Einführung in die konforme Abbildung [5., erw. Aufl. Reprint 2019] 9783111366814, 9783111009698

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768/768a

E I N F Ü H R U N G IN D I E KONFORME ABBILDUNG von P R O F E S S O K

Du.

L U D W I G

B I E B E K B A C H

Fünfte, erweiterte Auflage Mit 42 Zeichnungen

WALTER DE GRUYTER & CO. vormals G. J. Göschen'sche Verlagshandlung • J. Guttentag, Verlagabuchhandlung • Georg Reimer • Karl J. Trübner • Veit & Comp. BERLIN

1956

Alle R e c h t e , einschl. der Hechte d e r H e r s t e l l u n g von P h o t o k o p i e n u n d M i k r o filmen, v o n der V e r l a g s h a n d l u n g v o r b e h a l t e n

C o p y r i g h t 1956 b y W A L T E R DE G R U Y T E R & CO. Berlin W 35, Genthiner S t r . 13

A r c h i v - N r . 11 07 68 S a t z : W a l t e r de G r u y t e r Sc Co., Berlin W 35 Druck : P a u l F u n k , Berlin W 35 P r i n t e d in G e r m a n y

Inhaltsverzeichnis Seite

L Abschnitt. Grundlegung. Lineare Funktionen § 1. A n a l y t i s c h e F u n k t i o n e n u n d k o n f o r m e A b b i l d u n g § 2. G a n z e lineare F u n k t i o n e n

5 13

§ 3. Die F u n k t i o n w = —

14

A n h a n g zu § 3 : S t e r e o g r a p h i s c h e P r o j e k t i o n § 4. Lineare F u n k t i o n e n § 5. Lineare F u n k t i o n e n ( F o r t s e t z u n g ) § 6. G r u p p e n linearer F u n k t i o n e n

18 19 26 32

II. Abschnitt. Rationale Funktionen § 7. w = zn 8. R a t i o n a l e F u n k t i o n e n

37 44

H I . Abschnitt. Prinzip des Randes und Spiegelungsprinzip § 9. B e z i e h u n g zwischen der k o n f o r m e n A b b i l d u n g a m eines Bereiches u n d in seinem I n n e r n § 10. D a s Sehwarzsche Spiegelungsprinzip

Rande 49 51

IV. Abschnitt. Weitere Abbildungen durch gegebene Funktionen § 11. "Über einige d u r c h die F u n k t i o n w = z 2 v e r m i t t e l t e Abbildungen § 12. u< = z -h

X

-

z § 13. Die E x p o n e n t i a l f u n k t i o n u n d die t r i g o n o m e t r i s c h e n F u n k tionen § 14. D a s elliptische I n t e g r a l erster G a t t u n g

54 58 63 05

V. Abschnitt. Abbildung gegebener Gebiete § 15. A b b i l d u n g eines gegebenen Gebietes auf d a s I n n e r e eines Kreises ( Z u s a m m e n s t e l l u n g von Beispielen) 73 § 1 6 . Der Vitalische D o p p e l r e i h e n s a t z 81 § 17. E i n L i m e s s a t z ü b e r schlichte A b b i l d u n g e n 85 § 18. Beweis des R i e m a n n s c h e n A b b i l d u n g s s a t z e s 86 § 19. Ü b e r die t ä t l i c h e A u s f ü h r u n g d e r k o n f o r m e n A b b i l d u n g eines Gebietes auf die F l ä c h e eines Kreises 88 § 20. P o t e n t i a l t h e o r e t i s c h e B e t r a c h t u n g e n 93 § 21. D i e Z u o r d n u n g der R ä n d e r bei k o n f o r m e r A b b i l d u n g . . . . 103 § 22. V e r z e r r u n g s s ä t z e f ü r schlichte A b b i l d u n g e n des | z \ < 1 . . 108 § 23. V e r z e r r u n g s s ä t z e f ü r schlichte A b b i l d u n g e n des | z \ > 1 . . 120

4

Inhaltsverzeichnis — Schrifttum

Seite § 24. Die Löwnersche Differentialgleichung 140 § 25. Über die konforme Abbildung nichtschlichter einfach zusammenhängender Gebiete auf die Fläche eines Kreises 14» Bemerkung über die Abbildung mehrblättriger mehrfach zusammenhängender Gebiete auf schlichte Gebiete 1 i}4 § 2 6 . Die Probleme der l r niformisierung 15i> § 27. Abbildung mehrfach zusammenhängender schlichter Gebiete auf Normal-Gebiete 164 Sachverzeichnis

1 0 ist, geht die obere Halbebene in sich über, sonst nicht. Das entnehmen wir der F o r m (1) der Funktionen. Die Determinante von (1) ') J e d e l i n e a r e A b b i l d u n g i s t n a c h S. 2 1 d u r c h d i e B i l d e r dreier P u n k t e e i n d e u t i g b e s t i m m t . D a h e r k a n n j e d e reelle A b b i l d u n g in der F o r m (1) m i t reellen ß, y g e s c h r i e b e n w e r d e n .

§ 5. Lineare Funktionen (Fortsetznnji)

2Ü

hat den Wert ( ß — y) (ß — «) (a — y). Soll nun die obere Halbebene in sich übergehen, so muß die Reihenfolge a, ß, y mit der von 0 , 1 , oo übereinstimmen; anderenfalls werden die beiden Halbebenen vertauscht. Dann ist aber jene Determinante positiv; und ebenso schließt man aus dem positiven Vorzeichen auf die richtige Reihenfolge. So haben wir den Satz: A l l e l i n e a r e n k o n f o r m e n A b b i l d u n g e n d e r o b e r e n H a l b e b e n e in s i c h w e r d e n d u r c h w =

, cz — d m i t r e e l l e n K o e f f i z i e n t e n u n d ad — bc > 0 g e l i e f e r t . (Natürlich ist dies nicht die allgemeinste Form der S c h r e i b w e i s e . Man kann in Zähler und Nenner noch gemeinschaftliche [auch komplexe] Faktoren anbringen.) 3. Da wir gelernt haben, wie man eine beliebige Kreisscheibe auf eine Halbebene abbilden kann, so können wir nun auch die konformen Abbildungen einer b e l i e b i g e n K r e i s s c h e i b e in s i c h angeben. Wir merken dies noch für den K r e i s vom Radius eins um z = 0 als Mittelpunkt an. Wir erhalten «z + b 7.7 •w — • , ia ob >- (>. bz + u Die l / e s t p u u k t e einer linearen Funktion, welche die obere Halbebene in sich überführt, sind entweder reell oder konjugiert imaginär (siehe die Berechnung auf S. 22). Die mit, reellen Festpunkten sind hyperbolisch oder parabolisch oder loxodromisch mit negativem Multiplikator a, die mit konjugiert komplexen elliptisch (siehe die Berechnung von a und die Bestimmung der Festpunkte auf S. 22 u. 23). Eine loxo(Iromische Abbildung mit nicht reellem Multiplikator kann also niemals einen Kreis in sich überführen. Um zu erkennen, wie die Festpunkte von Abbildungen liegen, welche das Innere eines K r e i s e s in sich überführen, haben wir uns nur klarzumachen, was aus zur reellen Achse spiegelbildlichen Punkten wird, wenn wir die obere Halbebene auf eine Kreisscheibe abbilden. Darüber gibt der folgende allgemeine Satz Auskunft.

30

I. G r u n d l e g u n g . L i n e a r e F u n k t i o n e n

Bei j e d e r l i n e a r e n A b b i l d u n g zweier Kreise aufeinander werden aus spiegelbildlichen Punkten wieder spiegelbildliche Punkte. Dies folgt aus der B e m e r k u n g : Legt man durch zwei zu einem Kreis K spiegelbildliche P u n k t e P u n d Q einen Kreis /v", so steht er auf der Peripherie von K senkrecht. Ist K eine Gerade, so folgt dies daraus, daß der M i t t e l p u n k t von K' auf K liegt. H a t K den Radius R, so lege m a n vom Mittelp u n k t M von K aus die Tangenten an K'. Das Q u a d r a t ihrer Länge ist nach dem S e k a n t e n t a n g e n t e n s a t z = \ MP\-\MQ\. Dies aber h a t wegen der spiegelbildlichen Lage von P und Q, den Wert W. Die Tangenten von M an K' h a b e n also die Länge R. Daher erfolgt die B e r ü h r u n g in den S c h n i t t p u n k t e n von K und K', u n d daher steht K' auf K senkrecht. Umgekehrt besteht wieder nach dem S e k a n t e n t a n g e n t e n s a t z jeder auf K senkrechte Kreis K' aus lauter P a a r e n zu K spiegelbildlicher P u n k t e . Wegen der Winkeltreue m u ß n u n jeder auf K senkrechte Kreis bei der linearen Abbildung von K auf einen anderen Kreis in einen zu diesem senkrechten übergehen. D a aber ein P a a r zu K spiegelbildlicher P u n k t e durch zwei zu K senkrechte Kreise ausgeschnitten wird, so gehen P u n k t e , die zu K spiegelbildlich liegen, in P u n k t e über, die zum Bildkreis spiegelbildlich liegen. 4. Unsere Aufstellung aller linearen Abbildungen eines Kreises in sich erhält noch durch die Tatsache eine besondere Wichtigkeit, daß es ü b e r h a u p t keine anderen u m k e h r b a r eindeutigen konformen Abbildungen eines Kreises in sich gibt. Um das einzusehen, haben wir nur die L i n e a r i t ä t aller derjenigen u m k e h r b a r eindeutigen konformen Abbildungen der Kreisscheibe | z | < 1 auf sich zu beweisen, die seinen Mittelp u n k t festlassen. Denn durch eine geeignete lineare Abbildung von | z \ < 1 in sich k a n n m a n jeden anderen P u n k t in z = 0 überführen, z. B. durch eine passende hyperbolische Substitution, deren beide F e s t p u n k t e durch die E n d e n des Durchmessers geliefert werden, auf dem der betreffende P u n k t liegt. F ü r F u n k t i o n e n , die z = 0 festlassen, gründen wir den Beweis auf das sogenannte

§ 5. Lineare Funktionen (Fortsetzung) S c h w a r z s c h e L e m m a : S e i f(z) = axz + | 0 | < 1 k o n v e r g e n t und sei |/(g)5Sl d a n n i s t a u c h | f(z) | ^ | 2 | f ü r a l l e | 2 h e i t s z e i c h e n s t e h t f ü r ein z m i t | z | w e n n f(z) = eiaz ( a reell).

/ (2)=

E s ist n ä m l i c h — 2

k o n v e r g e n t . F ü r den

31

a2z2 + • • • f ü r für ¡ 2 ( < 1 : | < 1. D a s G l e i c h < 1 nur d a n n ,

% - f a2z -f • • • gleichfalls für \z \ < " f(z) Kreis | 0 ] q < 1 nimmt dann

n a c h dem auf S e i t e 7 e r w ä h n t e n P r i n z i p kein M a x i m u m seines a b s o l u t e n B e t r a g e s im K r e i s i n n e r e n an. D a h e r i s t /(-> - y für | z 1 ^ q. D a s gilt nun für j e d e s feste 2 und z beliebige Q < I, solange nur die Ungleichung | z | S i Q erhalI Uv) teil b l e i b t . D a h e r ist auch ; ; sS 1 für j e d e s \ z \ < 1, d. Ii. a b e r | f(z) ] ^ | 2 |. W e n n nun für irgendeinen P u n k t 2 --- u und | a | < 1 das Gleichheitszeichen s t e h t , d. h. wenn da f(z) |/(«) | — | « |, so m u ß ,

wenn

-

F u n k t i o n ( - t y eine U m g e b u n g von z

nicht,

konstant

ist,

die

a auf eine U m g e b u n g

v o n aa b b i l d e n v(nach dem S a t z von der G e b i e t s t r e u e )'. Da /(?) < /"'! aber .1, so iräbe es um z = a Stellen, wo - > I, n ' z \ a Das s t e h t a b e r mit dem bereits B e w i e s e n e n im W i d e r s p r u c h . W e n n also irgendwo in | z \ < t r i t t , dann m u ß

1 das Gleichheitszeichen ein-

k o n s t a n t sein. D a n n ist überall z und daher ü b e r a l l : j(z) - eixz.

c

:

I

D a r a u s folgt n u n : Alle u m k e h r b a r eindeutigen konformen Abbild u n g e n d e s I n n e r e n d e s E i n h e i t s k r e i s e s in s i c h s i n d linear. D e n n wenn v> ¡(z) eine solche A b b i l d u n g ist, die z 0 f e s t l ä ß t , dann m u ß bei der A b b i l d u n g nach dem S c h w a r z sehen L e m m a j e d e r P u n k t dem P u n k t 2 = 0 g e n ä h e r t werden. D a s gleiche gilt für die U m k e h r u n g s f u n k t i o n . B e i d e s ist

I

32

I. G r u n d l e g u n g . L i n e a r e F u n k t i o n e n

nur verträglich, wenn jeder Punkt bei der Abbildung seine Entfernung vom Mittelpunkt behält. Dann ist aber w = f(z) = eixz eine lineare Funktion, und unser Beweis ist fertig. Läßt aber eine Funktion f(z) den Punkt z — 0 nicht fest, so trifft dies für eine passende lineare Funktion von f(z) zu. B e m e r k u n g : Die Voraussetzung „umkehrbar eindeutig" ist wesentlich für das Bestehen unseres eben bewiesenen Satzes, denn es liefert ja z. B. auch w = z2 eine Abbildung des" Einheitskreises auf sich selbst. Ü b u n g s a u f g a b e n : 1. Man bilde durch eine hyperbolische Substitution einen exzentrischen Kreisring auf einen konzentrischen ab. 2. Man gebe das allgemeinste Kreisbogendreieck an, das durch w = • _

in ein geradliniges verwandelt wird.

3. Man bilde die von zwei einander berührenden Kreisen begrenzte Sichel auf einen von zwei parallelen Geraden begrenzten Streifen ab. § 6. Gruppen linearer Funktionen Unter einer Gruppe linearer Funktionen verstehen wir eine Menge linearer Funktionen derart, daß die Zusammensetzung S1S2 zweier Funktionen IS'J und S.2 der Menge wieder eine Funktion S3 der Menge liefert und daß gleichzeitig die Menge zu jeder vorkommenden Funktion S die inverse S"1 enthält. (Man vergleiche die Seite 21 eingeführten Bezeichnungen.) Wir wollen einen Fundamentalbereich einer solchen Gruppe bestimmen. Unter einem Fundamentalbereich verstehen wir eine Punktmenge folgender Art. Sie ist die Vereinigungsmenge eines Bereiches mit einem Teil seiner Kandpunkte, soll also jedenfalls auch innere Punkte besitzen, d. h. Punkte, um die es Kreisscheiben gibt, die dem Fundamentalbereich angehören. Wenn wir alle Abbildungen der Gruppe nacheinander auf ihn anwenden, soll die Gesamtheit der so erhaltenen Bildmengen eine einfache Überdeckung' der vollen Ebene oder eines Teiles derselben liefern, und es

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I. G r u n d l e g u n g . L i n e a r e F u n k t i o n e n

nur verträglich, wenn jeder Punkt bei der Abbildung seine Entfernung vom Mittelpunkt behält. Dann ist aber w = f(z) = eixz eine lineare Funktion, und unser Beweis ist fertig. Läßt aber eine Funktion f(z) den Punkt z — 0 nicht fest, so trifft dies für eine passende lineare Funktion von f(z) zu. B e m e r k u n g : Die Voraussetzung „umkehrbar eindeutig" ist wesentlich für das Bestehen unseres eben bewiesenen Satzes, denn es liefert ja z. B. auch w = z2 eine Abbildung des" Einheitskreises auf sich selbst. Ü b u n g s a u f g a b e n : 1. Man bilde durch eine hyperbolische Substitution einen exzentrischen Kreisring auf einen konzentrischen ab. 2. Man gebe das allgemeinste Kreisbogendreieck an, das durch w = • _

in ein geradliniges verwandelt wird.

3. Man bilde die von zwei einander berührenden Kreisen begrenzte Sichel auf einen von zwei parallelen Geraden begrenzten Streifen ab. § 6. Gruppen linearer Funktionen Unter einer Gruppe linearer Funktionen verstehen wir eine Menge linearer Funktionen derart, daß die Zusammensetzung S1S2 zweier Funktionen IS'J und S.2 der Menge wieder eine Funktion S3 der Menge liefert und daß gleichzeitig die Menge zu jeder vorkommenden Funktion S die inverse S"1 enthält. (Man vergleiche die Seite 21 eingeführten Bezeichnungen.) Wir wollen einen Fundamentalbereich einer solchen Gruppe bestimmen. Unter einem Fundamentalbereich verstehen wir eine Punktmenge folgender Art. Sie ist die Vereinigungsmenge eines Bereiches mit einem Teil seiner Kandpunkte, soll also jedenfalls auch innere Punkte besitzen, d. h. Punkte, um die es Kreisscheiben gibt, die dem Fundamentalbereich angehören. Wenn wir alle Abbildungen der Gruppe nacheinander auf ihn anwenden, soll die Gesamtheit der so erhaltenen Bildmengen eine einfache Überdeckung' der vollen Ebene oder eines Teiles derselben liefern, und es

§ G. Gruppen linearer Funktionen

soll die Menge nicht Teilmenge einer sie umfassenden Menge der gleichen eben angegebenen Eigenschaft sein. Ein p a a r Beispiele werden das Gesagte klarer machen. Sei z. B. eine Gruppe aus Drehungen u m den P u n k t 2 = 0 gegeben. Ihre 2 hin Elemente sollen die folgenden sein: z' = e n z(h = 1, 2, • • • n),n ganzzahlig. Die Gruppe besteht also aus der Drehung 2n vom Winkel — um 2 = 0 und den Wiederholungen dieser Drehung. Man sieht2 hiin sofort, daß die Zusammensetzung zweier 2 hAn Drehungen z' = e n z und z" = e " z' der Menge die 2(Ai-l-A,)üi Drehung z" —e " 2 der Menge liefert. Fei ner ist die zu 2 hin 2(m —h)in s'— e '" 2 in verse Drehung z — e n «'in der Menge enthalten. Als Fundamentalbereich können wir z. B. den Winkelraum zweier von Null nach Unendlich gehenden Halb2 71 geraden nehmen, welche bei z = 0 den Winkel — einschließen, einschließlich der einen Begrenzungsgeraden. Denn wenden wir auf ihn alle Drehungen der Gruppe an, so erhalten wir eine volle Bedeckung der ganzen Ebene durch n Zweiecke. Wir können auch sagen: Jeder P u n k t der Ebene kann durch eine passende Drehung der Gruppe in einen P u n k t des Fundamentalbereiches übergeführt werden, der so zu jedem P u n k t e der Ebene genau einen entsprechenden enthält, wenn wir ihm nur seine eine Begrenzungsgerade zurechnen, die andere aber, soweit auf ihr z 4= 0 ist, nicht mehr als einen Teil von ihm auffassen. Einen Fundamentalbereich würde im Gegensatz zum angegebenen der im Inneren des Einheitskreises liegende Teil des Zweiecks nicht liefern, obwohl wir durch Ausübung der Drehungen der Gruppe einen Teil der Ebene mit kongruenten Teilzweiecken überdecken können, aus dem einfachen Grunde, weil eben ein diesen Teil umfassender Bereich (das ganze Zweieck) auch eine einfache Überdeckung liefert. Als Fundamentalbereich können wir weiter nicht ein Zweieck brauchen, das bei z = 0 den doppelten des :!

B i e b e r b a c h , E i n f ü h r u n g in die k o n f o r m e A b b i l d u n g

34

I. Grundlegung. Lineare Funktionen

angegebenen Winkels einschließt, denn bei Ausübung der Drehungen erhalten wir zwar eine lückenlose, aber keine einfache, sondern eine doppelte Überdeckung der Ebene. Soviel zur Erläuterung der Begriffsbestimmung. Weiter können wir bemerken, daß der F u n d a m e n t a l b e r e i c h k e i n e s w e g s e i n d e u t i g b e s t i m m t i s t . Wir können zu ein und derselben Gruppe recht mannigfache Fundamentalbereiche angeben. S t a t t den Winkelraum geradlinig zu begrenzen, können wir auch irgend zwei von Null nach Unendlich ohne Überkreuzung laufende Kurven nehmen, deren eine aus der andern 2 in

durch die Drehung s' = e " z hervorgeht. Weiter merken wir an, daß n i c h t j e d e G r u p p e e i n e n F u n d a m e n t a l b e r e i c h b e s i t z t , z. B. nicht die Gruppe a l l e r Drehungen u m den P u n k t 2 = 0 oder die von allen linearen Abbildungen mit von Null verschiedener Determinante gebildete Gruppe. Denn es liegt im Begriff des Fundamentalbereiches, daß er nicht zwei P u n k t e enthalten kann, die auseinander durch eine Abbildung der Gruppe hervorgehen. Das würde nämlich der Forderung des einfach Bedecktseins widersprechen. Daraus folgt die Behauptung. Denn in den Beispielen kann jeder P u n k t durch eine geeignete Abbildung der Gruppe in einen ihm beliebig nahe gelegenen, aber von ihm verschiedenen P u n k t übergeführt werden; der Fundamentalbereich kann demnach keinen inneren P u n k t besitzen. Denn um einen solchen P u n k t P m ü ß t e sich eine Kreisscheibe legen lassen, die keinen weiteren P u n k t enthält, der aus P durch eine Abbildung der Gruppe hervorgeht. Diese Betrachtungen enthalten eine notwendige Bedingung dafür, daß eine Gruppe einen Fundamentalbereich besitzt. Sie liegt darin, daß es Gebiete gibt, die keine zwei einander durch die Gruppe entsprechenden P u n k t e enthalten. Diese Bedingung erweist sich auch als hinreichend. Man hat, um das einzusehen, nur einen ersten Bereich, der frei ist von Punkten, die auseinander durch Abbildungen der Gruppe hervorgehen, soweit als möglich zu erweitern. Es würde hier zu weit führen, dies eben angedeutete Verfahren zur Herstellung des F u n d a m e n t a l bereiches einer gegebenen Gruppe weiter zu verfolgen. Es

§ 6. Gruppen linearer Funktionen

35

genügt für uns, noch ein paar Beispiele für Gruppen und ihre Fundamentalbereiche anzugeben. .1. Die Gruppe der Abbildungen w •-- z -I- Ii, Ii ganzzahlig, hat als Fundamentalbereich einen Streifen von der Breite eins, begrenzt z. B . von zwei Parallelen zur imaginären Achse, die im Abstand eins voneinander verlaufen. 2. z' — z + 2ht + 2/j2o> {hv h2 ganzzahlig, o> nicht, reelle komplexe Zahl). Fundamentalbereich ist, ein Parallelogramm, das als Seiten die von Null ausgehenden Vektoren 1 und tn und zwei Parallele derselben hat. 1 -3. z' = — , z' — e. " z und ihre zusammengesetzten. n ganzijt

r

zahlig (Diedergruppe). Kreisbogendreieck mit den Kc.ken c n in

und e " ; zwischen beiden als Begrenzung der über z — 1 führende Bogen des Einheitskreises, ferner als Grenze die in

in

Kreisradien von z --- 0 nach cn und nach e n . 4. Die Drehgruppen der weiteren regulären Körper. Den unter Nummer 3 angegebenen Gruppen entsprechen nach S. 18/19 durch stereographische Projektion Gruppen von Kugeldrehungen, welche die Dieder in sich überfuhren; das sind Doppelpyramiden, mit Nord- und Südpol der Kugel als Spitze. Ebenso geben die anderen regulären Körper zu Gruppen von Drehungen Anlaß, die sie mit sich selbst zur Deckung bringen. Ihre Fundamentalbereiche sucht man am besten erst auf der Kugel auf, um dann durch Kugelabbildung zur E b e n e überzugehen. Projiziert man zunächst die Begrenzungsdreiecke der Körper vom Mittelpunkt der Kugel aus auf ihre Oberfläche und zieht dann in allen diesen sphärischen Dreiecken die Höhen von den E c k e n bis zu ihrem gemeinsamen Schnittpunkt, so hat man in den so entstandenen neuen Dreiecken die Fundamentalbereiche der Gruppe vor Augen. (Würfel und Dodekaeder können beiseite bleiben, weil ihre Gruppen schon bei Oktaeder und Ikosaeder vorkommen.) 5. Die Nebeneinanderlagerung der Fundamentalbereiche muß nicht immer wie in den oben behandelten Beispielen eine 3*

36

I. Grundlegung. Lineare Funktionen

Überdeckung der vollen Ebene liefern. Das kann auch mancher andere Teil der Ebene sein, z. B. das Innere eines Kreises oder die obere Halbebene. Diese wird z. B. durch die elliptische Modulgruppe in sich übergeführt. Sie ist durch Substitutionen 2' = gebildet. Hier sind a, b, c, d ganze rationale Zahlen, für die ad — bc = 1 ist. Diese Gruppe hat als Fundamentalbereich den außerhalb des Einheitskreises gelegenen Teil des Streifens zwischen den beiden Geraden x — — \ und x = + \(z = x + iij) (Zeichnung 8). Wegen des Beweises verweise ich auf umfassendere Darstellungen. Wir bemerken nur noch, daß man alle Abbil, düngen durch Zusammensetzung von zwei geeigneten derselben erhalten kann, -/ O nämlich der parabolischen z' = z + 1, die die beiden Begrenzungsgeraden ineinZeichnung 8 an(Jer überfiihrt) u n d der elliptischen w

mit den Fixpunkten i, — i, durch die die beiden Z I i / 1 und von + i bis -f —Bogen von + i bis — — i + 1'3 des Einheitskreises zusammenhängen. Eine wichtige Disziplin der modernen Funktionentheorie ist die Theorie der automorphen Funktionen. Sie betrachtet die Funktionen, welche bei Gruppen linearer Funktionen ungeändert bleiben. Das sind Funktionen, die allen Funktionalgleichungen f(z) = f{li(z)) genügen, wenn wir mit Z,-(z) die Abbildungen der Gruppe bezeichnen. In einfachen Fällen lassen sich derartige Funktionen leicht angeben. Z. B. bleibt IMn w = zn durch die Drehungen z' = e n z ungeändert. Ebenso ist w = zn +

eine automorphe Funktion derDiedergruppe

von Beispiel 3. Automorphe Funktionen der Gruppe 2 sind doppelperiodische Funktionen, von Gruppe 1 die Funktionen w = e2i!zz, von Gruppe 5 die elliptische Modulfunktion; bei Gruppe 4 erhält man leicht automorphe Funktionen in der

§ 7. w = s n

37

Gestalt w —

r(lt(z)), wenn r(z) eine passende Funktion ist l und li(z) die Abbildungen der Gruppe, n die Zahl ihrer Abbildungen, d. h. ihre Ordnung bedeuten.

Zweiter

Abschnitt

Rationale Funktionen § 7. « = «» Im § 1 mußten vorläufig die singulären Stellen der F u n k tion oder ihrer Umkehrungsfunktion und daher auch die Nullstellen der Ableitung von der Betrachtung ausgeschlossen werden. Im § 3 haben wir durch Studium der F u n k t i o n w = — einen ersten Schritt zur Ausfüllung dieser L ü c k e g e t a n . Wir konnten auf beliebige Funktionen schließen, die irgendwo einen einfachen Pol haben. Die Untersuchung von w = z n wird zu neuen Einsichten führen. w = zn hat bei z = 0 eine verschwindende Ableitung. Ihre Umkehrungsfunktion zeigt an dieser Stelle singuläres Verhalten. Sie hat dort einen Y e r z w e i g u n g s p u n k t w-ter Ordnung, wie wir sagen wollen. Um den Verlauf der Abbildung w — zn bei 2 = 0 zu erkennen, führen wir Polarkoordinaten ein, indem wir z = re1*, w = geil} setzen. Dann wird q — r", § -= ncp. Aus jedem Kreis r = const. wird so bei der Abbildung wieder ein Kreis q = const.; aus jeder Geraden

2 71 < —- . E s hat die Ecken z = 0, oo und wird von den Geraden n 2 ji

in großen Zügen anschaulich zu machen. W e n n wir nämlich an jedem P u n k t der Riemannschen F l ä c h e den z-Wert des P u n k t e s anschreiben, aus dem er bei der konformen Abbildung w — zn entstanden ist, n

so ist die F u n k t i o n ]/w auf der Riemannschen F l ä c h e eindeutig erklärt, während sie in der to-Ebene selbst nicht eindeutig, sondern n-deutig erklärt ist. Verfolgen wir die W e r t e , die z längs einer F l ä c h e n k u r v e bei dem bekannten Prozeß der analytischen Fortsetzung a n n i m m t , so sind es gerade die eben angeschriebenen. Längs einer auf der .Riemannschen F l ä c h e geschlossenen K u r v e kehrt die F u n k t i o n bei voller 1 )urchlaufung zum Ausgangswert zurück, während dies in der einfach bedeckten w-P]bene nicht immer der F a l l ist. J e d e m n

der n Werte, die z = ]fw spricht genau ein P u n k t schen F l ä c h e . Wie man auch bei Riemannschen F l ä c h e n

für denselben W e r t w a n n i m m t , entin einem der n B l ä t t e r der R i e m a n n a l l g e m e i n e r e n F u n k t i o n e n solche zur Veranschaulichung des Zusam-

Tl. Rationale Funktionen

42

raenhangs der einzelnen Zweige der Funktion bilden kann, werden wir im Verlauf der folgenden Betrachtungen kennenlernen. Vorab können wir uns die Entstehungsweise der Riemannschen Fläche in unserem Sonderfall auch so denken, daß wir n Blätter der w-Ebene nehmen, die wir alle durch einen von Null nach Unendlich laufenden Schnitt längs der reellen Achse aufschneiden. Dann benutzen wir je ein solches Blatt zum Auftragen eines der Zweige unserer Funktion. Um diese Auftragung zu bewerkstelligen, können wir z. B. so vorgehen: Wir markieren zunächst an einem inneren Punkt, z. B. bei iv -= i, in jedem der n Blätter einen der n Werte der Funktion, so daß zu jedem derselben jetzt ein Blatt gehört. Dann denken wir uns von hier aus die einzelnen Zweige der Funktion analytisch fortgesetzt, soweit dies ohne Überschreitung des Einschnittes in jedem Blatt möglich ist. So werden die n Zweige der Funktion auf die n Blätter verteilt. Diese denken wir uns dann in den Stellen der reellen Achse auseinandergeheftet, an welchen die Funktion gleiche Werte annimmt. Dieses Aneinanderheften liefert uns die w-blättrige n

Riemannsche Fläche der Funktion z -••- ]/w. Das eingehende Studium der Funktion w ----- 2", das wir eben abgeschlossen haben, ermöglicht uns auch einen genauen Einblick in die konforme Abbildung anderer Funktionen in der Umgebung von Nullstellen der Ableitung. Sei z. B. w — b = an(z — «)" + • • • eine solche Funktion. Es sei a n =(= 0. Um den Verlauf der Abbildung bei z = a, w = b zu erkennen, führen wir durch die Gleichung w — b = in eine Hilfsveränderliche ein. Dann wird tn = an(z — «)" + •••. Daraus folgt t = ßx(z — a) + ß2(.z — a)2 + • • •. Es ist n

ßi = Van =t= 0. Es ist gleichgültig, f ü r welchen Wert dieser n-ten Wurzel man sich entscheidet. Durch diese Wahl sind dann auch die weiteren Koeffizienten ß.2, . . . bestimmt. Durch Auflösen finden wir z — a = = \'(z— a) (z-

b) (s

-c)

(z -

d)

hat ihre Verzweigungspunkte bei z = a,b, c, d; denn z. B. bei z = a läßt sich w nicht nach ganzen Potenzen von z — a entwickeln. Die Fläche ist zweiblättrig über der z-Ebene ausgebreitet. Wir erhalten sie, wenn wir die beiden Blätter längs zwei Kurvenstücken aneinander heften, die je zwei Verzweigungspunkte verbinden, etwa« undb das eine, c und d das andere, ohne jedoch die übrigen Verzweigungspunkte zu Zeichnung 12 treffen. Sie wird durch w = w(z) auf eine vierblättrige Riemannsehe Fläche über der w-Ebene abgebildet. Es ist nicht möglich, sie durch eine andere passend gewählte Funktion auf eine schlichte Ebene umkehrbar eindeutig abzubilden, solange die a, l, c, d alle voneinander verschieden sind. Denn wenn wir in einem Blatt eine Kurve ziehen, die in ihrer Projektion auf die z-Ebene a und i umschlingt, c, d dagegen ausschließt, so zerlegt diese Kurve die Fläche nicht in zwei Teile. Denn man kann durch einen passend gewählten Linienzug die beiden Seiten dieser Kurve miteinander verbinden, ohne die Kurve dabei zu überschreiten (vgl. Zeichnung 12). Wäre nun die Fläche auf die z-Ebene umkehrbar eindeutig abbildbar, so müßte es auch in der z-Ebene geschlossene Kurven geben, welche die Ebene nicht zerlegen. Daß dem nicht so ist, entnehmen wir hier einfach der Anschauung. Wir wollen ja den Leser nur beiläufig auf einen Umstand aufmerksam machen, der für manche tiefergreifenden Fragen

§ 9. Prinzip des Randes

der Funktionentheorie, z. B. die der Uniformisierung, die wir noch öfter streifen werden, von entscheidender Bedeutung ist. Denn bei diesem Problem handelt es sich ja gerade, wie wir schon Seite 44 sahen, um die konforme Abbildung der Riemannschen Fläche auf ein schlichtes Ebenenstück. Hier ahnen wir nun, daß das nicht immer durch umkehrbar eindeutige Abbildung möglich sein wird, wie das bei den Riemannschen Flächen der Fall war, auf die wir bei Betrachtung der rationalen Funktion w = f(z) und ihrer Umkehrungsfunktion z = 0) der Geraden x = | c \. Die Parabelhälfte erscheint somit auf den in der Zeichnung 16 schraffierten Halbstreifen abgebildet.

§11. Durch w ^.s2 vermittelte Abbildungen

57

Was wird nun bei der Abbildung aus der anderen Hälfte des Parabelinneren ? Da die Gerade v = 0, u < 0 bei der Abbildung in die imaginäre Achse der z-Ebene übergeht und da die Parabel zu dieser Geraden (i> = 0, u < 0) symmetrisch ist, so erhalten wir nach dem Spiegelungsprinzip das Bild der anderen Parabelhälfte, in dem wir den Halbstreifen an dem ihn begrenzenden Teil der imaginären Achse spiegeln. Die ganze Parabel erscheint so auf einen Doppelhalbstreifen abgebildet, der oberhalb der reellen Achse liegt und der von x — — | c | bis x — + | c | reicht. Die senkrechten Begrenzungsgeraden entsprechen dabei der Parabelkurve; das Stück der reellen w-Achse von w = 0 bis w = e2 entspricht der Strecke von x = — | c | bis a; = + | c |. Vom Scheitel bis zum Brennpunkt muß man sich die Parabel aufgeschnitten denken, wenn man nur einen Zweig der Funktion z = ]/w in Betracht ziehen will. Statt des eben benutzten können wir aber auch den anderen heranziehen. Dann würde die, wie angegeben, aufgeschnittene Parabel auf das Spiegelbild unseres Doppelhalbstreifens unterhalb der reellen Achse abgebildet erscheinen. Schließlich Z e i c h n u n g 17 kann man wieder von der Abbildung der Parabelhälfte auf Zeichnung 16 ausgehen und beachten, daß das geradlinige Stück von w = 0 bis w = c2 in ein Stück ( 0 < a ; < | c | ) der reellen Achse übergeht. Dann würde man wie vorhin erkennen, daß die gesamte, längs u < 0 aufgeschnittene Parabel durch den einen Zweig von [/«,' auf den Streifen 0 < x < | c |, durch den anderen Zweig von [/w; auf den Streifen — | c \ < x < 0 abgebildet wird. Diese Betrachtung wird in § 15 Nr. 10 fortgesetzt. Der Kreis (x — r) 2 + y2 = r 2 , r > 0 wird durch w = z2 auf (w + v2f - Ar2u(u2 + v2) - 4 r 4 f 2 = 0 abgebildet (Kardioide). Sie ist Epizykloide des in Zeichnung 17 punktierten Kreises vom Radius r2, wenn man auf diesem einen Kreis vom gleichen Radius rollen läßt. Bei unserer Abbildung geht das 2

58

IV. Weitere Abbildungen durch gegebene Funktionen

I n n e r e des Kreises | 2 | < r u m k e h r b a r e i n d e u t i g in das I n nere der K a r d i o i d e ü b e r . E n d l i c h sei noch b e m e r k t , d a ß die P a r a b e l 4 r 4 if + 4 r 2 x — 1 = 0 d u r c h w = I / 2 auf die K a r dioide abgebildet wird, P a r a b e l ä u ß e r e s auf K a r d i o i d e n inneres. §12.

= *

+ ' z

Zu j e d e m W e r t w g e h ö r e n zwei W e r t e 2. Also wird die 2 - E b e n e auf eine z w e i b l ä t t r i g e R i e m a n n s c h e F l ä c h e ü b e r d e r ¿«-Ebene abgebildet. Sie h a t ihre Y e r z w e i g u n g s p u n k t e bei (« = ¿ 2 . I h n e n e n t s p r e c h e n die P u n k t e 2 = ^ 1 . U m etwas m e h r ins einzelne einzudringen, e m p f i e h l t e s sieh, w = u + iv, 2 = Qe'f zu setzen u n d d a n n Reelles u n d I m a ginäres zu t r e n n e n . D a n n b e k o m m e n w i r : u=

[r -f - ¿ j cos cp,

v -- (r — — ) sin cp. Aus den Kreisen r = const. der 2 - E b e n e 1 1 werden Ellipsen m i t den H a l b a c h s e n r -| . r !. J e r r\ weils zwei Kreise m i t den R a d i e n r =1= 1 u n d — liefern dieselbe ' r Ellipse, d e n beiden B l ä t t e r n der R i e m a n n s c h e n F l ä c h e e n t sprechend. D e m Kreise r = 1 indessen e n t s p r i c h t das g e r a d linige S t ü c k v o n w = — 2 bis w = + 2, also die V e r b i n d u n g s strecke der B r e n n p u n k t e der Ellipsen. Aus den Geraden

= f - J , w = — itv setzen. Aus den Z+ 1 Parallelen zur imaginären Achse der z-Ebene werden hier die durch w = + 1 gehenden Kreise, aus den Parallelen zur • reellen Achse der z-Ebene das zum ebengenannten senkrechte Kreisbüschel. § 14. Das elliptische Integral erster Gattung _ r J /(* - «ij

dz - a2) 0 - o3) O - «4)

Wir haben schon oben (S. 48) die Riemannsche Fläche der unter dem Integral stehenden Quadratwurzel betrachtet. Sie ist zweiblättrig über der z-Ebene ausgebreitet. Ihre Verzweigungspunkte liegen bei av a2, a3, a 4 . Wir wollen die Abbildung der Fläche durch das Integral untersuchen. Dabei wollen wir uns auf den Fall reeller Verzweigungspunkte beschränken. Man erkennt sofort, daß unser Integral an jeder Stelle der Fläche sich nach ganzen Potenzen der zum betreffenden Flächenpunkt gehörigen lokalen uniformisierenden Variablen entwicklen läßt. Das ist Vz — tx. in der Umgebung eines der Verzweigungspunkte, z — « i n der Umgebung eines gewöhnlichen Flächenpunktes,

in der Umgebung von

z = 00 oder l / / z für den auch hierher gehörigen Fall, daß unter der Wurzel statt des Polynomes vierten Grades eines vom dritten Grade steht. Ein Verzweigungspunkt liegt dann im Unendlichen. Man sieht das alles sofort ein, wenn man zunächst die Potenzreihenentwicklung für die Wurzel W = Y(z - dj) (z - a2) (z - a 3 ) (z 5

B i e b e r b a c h , Einführung in die konforme Abbildung

at)

66

IV. Weitere Abbildungen durch gegebene Funktionen

ansetzt. Sie lautet z. B. bei z = W -- Vz'~

so:

äx • «p(e -

Bi).

Dann hat man gliedweise zu integrieren und findet w = Vz — flj •

— c^).

Hier bedeuten, wie üblich, und ^ Potenzreihen von der Form e 0 + Cj(z — a) + • • •. Gleichzeitig erkennt man hierbei, daß unsere Funktion auf der ganzen Riemannschen Fläche überall endlich ist. Trotz dieser lokalen Eindeutigkeit ist, wie sich gleich zeigen wird, das Integral keine eindeutigeFunktion auf der Fläche. Um die Abbildung zu übersehen, zerschneiden wir zunächst die Fläche, deren a,- wir reell angenommen haben, längs der reellen Achse durch beide Blätter hindurch in vier Halbebenen. Wir wollen zunächst eine derselben, etwa eine obere, abbilden. Die Abbildung Zeichnung 31 der anderen wird sich dann daraus nach dem Spiegelungsprinzip ergeben. Um Klares vor Augen zu haben, müssen .wir zunächst angeben, welchen Wert der Wurzel wir in unserer Halbebene verwenden wollen. Wir wollen die % < a2 < a3 < ai der Größe nach geordnet nehmen und wollen 2 — die = r ^ n (k = 1, 2, 3, 4) setzen. Dabei sollen die Winkel 1 + 2hx>2) = W(w). Das meinen wir, wenn wir z(w) und W(w) doppelperiodische Funktionen nennen. U m die Beziehung zu der Theorie der doppelperiodischen Funktionen aufzuweisen, wollen wir noch auf die formelmäßige Darstellung von z(w) und }V(w) eingehen. Zu dem Zwecke wollen wir zunächst durch eine passende lineare Transformation von z die zweiblättrige Riemannsche Fläche und ihr Integral erster Gattung auf eine besonders bequeme Gestalt bringen, die sogenannte Weierstraßsehe Normalform. Sie hat die Gestalt

/4ä3 + 9ii + 9z D a liegt ein Verzweigungspunkt im Unendlichen, die drei anderen haben z = 0 als Schwerpunkt (d. h. Summe der drei Verzweigungsstellen ist Null, weil der Koeffizient von z2 u n t e r der Wurzel verschwindet). Unter diesen Annahmen werden z{w) = p(w) =

w

1 ¿+-2 2 h,k (w — co)

oß

2

1 - 12 22 - w V) , ' h,ki —f CO2 Diese d a m i t e x p l i z i t e d a r g e s t e l l t e F u n k t i o n b i l d e t , wie wir uns für eine spätere Anwendung noch merken wollen, das R e c h t e c k m i t den E c k e n 0, a)v tuj + co2 , co2 auf eine obere H a l b e b e n e der r e e l l e n Achse ab. Nun wollen wir auch noch Viz 3 + g2 z + g3 als Funktion von w darstellen. Aus »

/

73

§ 15. Beispiele

finden wir durch Differentiieren dw _ dz ~

1 g~g-+ g3

und daraus

y^Tg^Tg3

= £ = P'W =

-

Auf die Abbildung der Riemannschen Fläche durch ein Integral erster Gattung für den Fall, daß die Verzweigungspunkte nicht alle auf einem Kreise liegen, gehen wir nicht näher ein. Nur soviel sei gesagt: Bei passender Wahl der Zerschneidung auf der Riemannschen Fläche erhalten wir die Abbildung der Fläche auf ein Periodenparallelogramm. Auch jetzt werden z(w) und die Wurzel doppelperiodische Funktionen. Auch hier löst das Integral erster Gattung die entsprechende Uniformisierungsaufgabe.

Fünfter Abschnitt Abbildung gegebener Gebiete § 15. Abbildung eines gegebenen Gebietes auf das Innere eines Kreises (Zusammenstellung von Beispielen) Riemann hat in seiner Dissertation vom Jahre 1851 den Satz ausgesprochen, es lasse sich ein jeder einfach zusammenhängende Bereich mit mindestens zwei Randpunkten umkehrbar eindeutig und winkeltreu auf das Innere eines Kreises abbilden. Mit dem Beweise dieses Satzes werden wir uns in den nächsten Paragraphen beschäftigen. Vorab wollen wir nur Beispiele solcher Abbildungen zusammenstellen, wie sie sich aus den Entwicklungen der vorigen Paragraphen ergeben. Wir werden bald Funktionen angeben, die den Bereich auf das Innere des Einheitskreises abbilden, bald solche, die ihn auf die obere Halbebene der reellen Achse abbilden. Das kommt

73

§ 15. Beispiele

finden wir durch Differentiieren dw _ dz ~

1 g~g-+ g3

und daraus

y^Tg^Tg3

= £ = P'W =

-

Auf die Abbildung der Riemannschen Fläche durch ein Integral erster Gattung für den Fall, daß die Verzweigungspunkte nicht alle auf einem Kreise liegen, gehen wir nicht näher ein. Nur soviel sei gesagt: Bei passender Wahl der Zerschneidung auf der Riemannschen Fläche erhalten wir die Abbildung der Fläche auf ein Periodenparallelogramm. Auch jetzt werden z(w) und die Wurzel doppelperiodische Funktionen. Auch hier löst das Integral erster Gattung die entsprechende Uniformisierungsaufgabe.

Fünfter Abschnitt Abbildung gegebener Gebiete § 15. Abbildung eines gegebenen Gebietes auf das Innere eines Kreises (Zusammenstellung von Beispielen) Riemann hat in seiner Dissertation vom Jahre 1851 den Satz ausgesprochen, es lasse sich ein jeder einfach zusammenhängende Bereich mit mindestens zwei Randpunkten umkehrbar eindeutig und winkeltreu auf das Innere eines Kreises abbilden. Mit dem Beweise dieses Satzes werden wir uns in den nächsten Paragraphen beschäftigen. Vorab wollen wir nur Beispiele solcher Abbildungen zusammenstellen, wie sie sich aus den Entwicklungen der vorigen Paragraphen ergeben. Wir werden bald Funktionen angeben, die den Bereich auf das Innere des Einheitskreises abbilden, bald solche, die ihn auf die obere Halbebene der reellen Achse abbilden. Das kommt

74

V. Abbildung gegebener Gebiete

im Wesen der Sache auf dasselbe hinaus; denn die F u n k t i o n 1 -I- iz

w = y^I Jz

die obere Halbebene

> 0 auf das Innere

des Kreises | w ] < 1 ab. 2n 1. w = z n bildet das Zweieck 0 < cp < — •, 2 = re'«' auf die obere Halbebene > 0 ab. 2. Der Halbkreis \z\ < 1, y > 0 (z = z + iy) wird durch /z + 1\ 2 w = (¿^j) die obere Halbebene abgebildet. Denn 1 -{- Z

7t

l = j _ - bildet ihn auf das Zweieck 0 < cp
1 auf das Äußere eines Polygones mit den Außenwinkeln x k n abbildet. Dabei sind die \a k \ = 1 angenommen. Ähnlich bildet r f l - a j " . . . . ( 0 vorgegeben ist. Nachdem X b e s t i m m t ist, wähle m a n v so groß, daß 6*

84

V. Abbildung gegebener Gebiete e ¡• oo sollen sich die Qn ebenfalls auf P zusammenziehen. Daß solche Querschnitte Qn existieren, wird in der Topologie gezeigt. Eine Betrachtung, die der bei den Querschnitten Kr vorgetragenen ganz analog ist, lehrt, daß die BilderQñ der Querschnitte Qn sich auf den Peripheriepunkt P' zusammenziehen. Und dies vollendet den Beweis der behaupteten Stetigkeit von /(z) auf der Vereinigungsmenge von B und 3. Erwähnen möchte ich auch noch, daß die Abbildung in einem Randpunkt noch winkeltreu ist, wenn dort die Randkurve eine Tangente besitzt. Die Abbildungsfunktion ist dort differenzierbar, wenn überdies zwei Kreise vorhanden sind, zwischen deren Peripherien die Randkurve in der Nähe des Berührungspunktes verläuft. § 22. Yerzerrungssätze für schlichte Abbildungen des | z | < 1 In dem jetzt zu besprechenden Fragenkreis hat R o e b e 1907 das erste Ergebnis gewonnen. Man kann es so aussprechen: Wenn w = f(z) in | z \ < 1 r e g u l ä r ist u n d eine

§ 22. Verzerrungssätze für schlichte Abb. des | s | < 1

109

s c h l i c h t e A b b i l d u n g d i e s e s K r e i s e s v e r m i t t e l t , so g i b t es e i n e v o n f(z) u n a b h ä n g i g e Z a h l m > 0, d e r a r t , d a ß s ä m t l i c h e R a n d p u n k t e des B i l d b e r e i c h e s v o m P u n k t e /(0) e i n e n A b s t a n d h a b e n , d e r n i c h t k l e i n e r i s t a l s | /'(0) | w. D. h. also kurz, daß die Randpunkte des Bildgebietes bei schlichten Abbildungen mit festem /' (0) nicht beliebig nahe an /(0) heranrücken können: Die Kreisscheibe vom Radius I /'(0) | m um /(0) gehört stets dem Bildgebiet an. Es wäre leicht, diesen Satz in wenigen Zeilen zu beweisen. Man bedient sich aber besser nach R. Prawitz einer anderen Methode, die zugleich lehrt, daß m — -j- ist und die außerdem zu einer ganzen Reihe verwandter Sätze führt. Wenn w = z + a 2 z 2 + • • • den | z | < 1 schlicht abbildet, so läßt das Bildgebiet Gr eines jeden Kreises [ z | r< 1 einen — den unendlich fernen Punkt enthaltenden — Teilbereich 0'T der w-Ebene unbedeckt. Daher ist (1)

//wvWQdgd

0,

wofern es konvergiert, und es ist (2)

lim f f wv w" q dQ d(p St 0. r—>\ a-

Dabei ist w — ge'v gesetzt worden. Die Konvergenz ist gewährleistet, wenn man v < — 1 nimmt. Wir setzen noch z = reil}. Der Rand von G'r ist das Bild von | z \ = r. Darauf sei q = (Aß),

^

(T+TTj)*

Daher können die Gn doch nicht gegen den Nullpunkt als ihren Kern konvergieren. Aus 0)-*0 folgt aber wieder nach dem Verzerrungssatz

Wenn daher die Gn gegen den Nullpunkt als ihren Kern konvergieren, so konvergieren auch die f„(z) in | z | ig q < 1 für jedes q aus O < q < 1 gleichmäßig gegen 0. Nun behandele ich den Fall, daß der Kern der Gn ein den Nullpunkt enthaltendes Gebiet G ist. Da nach Voraussetzung die fn(z) gleichmäßig beschränkt sind, kann man eine Teilfolge auswählen, die für jedes Q aus 0 < p < 1 in | z | ¡3 < 1 gleichmäßig konvergiert. Man betrachte die in G regulären und gleichmäßig beschränkten Umkehrungsfunktionen dieser ausgewählten Folge. Aus dieser Folge kann man wieder eine Teilfolge auswählen, die in jeder abgeschlossenen Teilmenge von G gleichmäßig konvergiert. Ich bezeichne die so aus-

118

V. Abbildung gegebener Gebiete

gewählte Folge wieder mit /„(z), und es seien q>n(w) die Umkehrungsfunktionen. w = /(z) und z = (p{w) seien die Grenzfunktionen. Ich zeige, daß — 1 (2) 1 + (v + 1) (v - 1) | + (v + 1) (v - 2) | « s | * I + (v + l) iy - 3 ) ! a 3 +

Y«!|

2

+v^o!

Für v = 0 hat man den sogenannten Flächensatz (3) | a i | 2 + 2|a2|2 + . . . + M | a j 2 + . . . ^ 1 . Aus (3) ergibt sich | x 1 1 iS 1. [ a x | = 1 zieht « 2 = a 3 = • • • = 0 nach sich, so daß

§ 23. Verzerrungssätze für schlichte Abb. des | z | > 1

« +

121

= 1

die einzigen in | z | > 1 schlichten Funktionen (1) mit | a , | = 1 sind. Wählt man v = ^ in (2), so kommt 1 -

I2 -

j l « 2 I2 - X

Daraus ergibt sich

+

1

, ^ I 1 schlichte Funktion (1) mit gegebenem a 2 mit I a 2 1 = 1 geben kann. In der Tat bildet 2

r( 1 schlicht ab. Das entnimmt man einer der auf S. 79 stehenden Formeln. Der Rand des Bildbereiches wird 3

a

3

aus Radien von 0 nach — / 4 , — Q K4, — Q2 / 4 , Q3 = 1 gebildet. Die gelegentlich geäußerte Vermutung, es sei allge2 mein I ocn 1I < —, trifft schon für n = 3 nicht zu. Garabe' " —n + 1 dian und Schiffer fanden | « 3 | ^ \ + e~ 6 als genaue Schranke. (Ann. of math. [2], 61, 1955.) Aus der Abschätzung | / 2 | ^ 2 für die schlichten regulären Abbildungen z + f2z2 + • • • des ] 2 [ < 1 folgt: F ü r j e d e s c h l i c h t e A b b i l d u n g (1) des | z | > l l i e g e n a l l e R a n d p u n k t e des B i l d b e r e i c h e s in | w \ 2, u n d es k a n n n u r d a n n ein R a n d p u n k t a u f |w| = 2 a u f t r e t e n , w e n n es s i c h um die A b b i l d u n g e n z + ejz, \ e | = 1 h a n d e l t . Wenn nämlich (1) den | z \ > 1 schlicht abbildet und dabei den Wert c in | z \ > 1 nicht annimmt, so ist F(z) =

= 2 + C22 + • • • in

| z |
'

a

^ ! d : i f \ F ' \*dv 0 0 / b

.

\ 2

Hier b e d e u t e t a b e r / | r,) \ dr, 0 die L ä n g e des Bildes der zu d e n Seiten 6 parallelen S t r e c k e £ = f j im R e c h t e c k 9i. D a h e r ist n a c h V o r a u s s e t z u n g } \ F ' \ d 0

v

^ ß .

S o m i t ist I s t f ü r irgendein £ = } \ F ' ( t l t V ) \ d v > ß + c, 0 0, 0 d a n n gibt es wegen der S t e t i g k e i t von F' ( f , jy) ein (5 > 0, so d a ß J\F'(Z,i])\dV>ß 0

+ c in \ £ - £

Daher wird jetzt

D a h e r ist j e t z t Soll n u n

< 4 = ~ eine zur Konkurrenz zugelassene Funktion. Für sie ist o2

ffe n

dxdy

"

Es sei Q(X, Y) irgendeine weitere Funktion der Konkurrenz. Dann ist 0

eo)2

^

//(e R

-

=

ffe2 R

dxdy

dxdy

+

b — "

IIe2 R

=

2 —

"

b

d x d

v

+

a

-

\ f f e d a n .

ff@2 R

dxdy

x d

a

f dy f g d x ^ 0 0

+

v b — a

=

-

§ 23. Verzerrungssätze für schlichte Abb: des | z \ > 1

Denn es soll doch J

127

1 sein für jede Kurve der Menge

gds^i

c,

c

insbesondere also auch für die parallelen zur reellen Achse. Die bewiesene Ungleichung lehrt, daß L(c) = ajb ist. Für das Folgende ist es wichtig zu wissen, daß der oben bewiesene Rengelsche Verzerrungssatz richtig bleibt, w e n n m a n z u l ä ß t , d a ß F(£) auf den S e i t e n l des R e c h t e c k s u n d auf e n d l i c h v i e l e n diesen S e i t e n p a r a l l e l e n S c h l i t z e n a u f h ö r t r e g u l ä r zu sein. Die L ä n g e eines j e d e n d i e s e r S c h l i t z e soll k l e i n e r als b sein, so d a ß sie in i h r e r G e s a m t h e i t das R e c h t e c k n i c h t z e r l e g e n . U n t e r I h a t m a n j e t z t den i n n e r e n I n h a l t des B i l d e s von 3t zu v e r s t e h e n , d. h. die obere G r e n z e der D o p pelintegrale ^ SR'

erstreckt über irgendwelche singularitätenfreie T e i l b e r e i c h e 9t' des a u f g e s c h l i t z t e n R e c h t e c k s . Zum Beweis nehmen wir zunächst einmal an, daß keine Schlitze vorhanden sind, daß aber auf den Seiten & des Rechtecks die Regularität von F(C) aufhören kann. Wir betrachten dann ein Rechteck 9iE: £ f a — e, O f g ^ f S f c , e > 0 . Für dieses gelten die Voraussetzungen des bewiesenen Satzes unverändert. Der Bildinhalt sei l £ . Dann ist a — 2e ^ I b = " Grenzübergang £-->-0 liefert e

a

Ist nun wieder ¡ \ F ' \ d

^

1

T ~ J

2

'

> ß

+

c,

V

e > 0

o für ein reguläres f aus so wählen wir s so klein, daß dies f zu 9?t gehört. Die beim vorigen Beweis angestellte Betrachtung gilt dann unverändert für 9?f, und man erhält a —

2e

^

I

e

4de

128 128

V. Abbildung gegebener Gebiete

Durch Grenzübergang s a ^

0 folgt hieraus I

4 de

sein, so schließt man genau wie vorhin, daß F(£) ganz und linear ist. Wenn weiter Schlitze vorhanden sind, so zerlegen wir durch die solche Schlitze tragenden Geraden das Rechteck JR in endlich viele Teilrechtecke ?f}y: iv i < 0 < tj < b. Für jedes ist die eben angestellte Betrachtung anwendbar. Man erhält daher I =

ß2

'

wenn mit /„ der innere Inhalt des Bildes von Div bezeichnet wird. Durch Addition dieser Ungleichungen erhält man

Zugleich sieht man, daß hier nur dann das Gleichheitszeichen stehen kann, wenn in jedem der Summanden, d. h. für jedes Rechteck 5t\ das Gleichheitszeichen steht. Daher ist F(£) in jedem ganz und linear. Da die Schlitze aber das Rechteck ifi nicht zerlegen, ist F{Q von zu 9?„+1 fortsetzbar, und daher ist F(£) in ganz SR ganz und linear (und singularitätenfrei). Als Anwendung beweisen wir jetzt das G r ö t z s c h - R e n g e l s c h e K r e i s b o g e n s c h l i t z t h e o r e m , to = /(¿) b i l d e das I n n e r e der l ä n g s e n d l i c h v i e l e n K r e i s b ö g e n m i t 3 = 0 als M i t t e l p u n k t a u f g e s c h l i t z t e n E b e n e s c h l i c h t u n d k o n f o r m ab. /(§) sei bei j = 0 r e g u l ä r . Bei j = oo g e l t e die E n t w i c k l u n g /(a) = «18 + «o + V

+ " l

a

i l

= 1

-

§ 23. Verzerrungssätze für schlichte Abb. des [ 2 [ > 1

129

Dann ist [/'(0)1^1. Das G l e i c h h e i t s z e i c h e n s t e h t n u r bei B e w e g u n g e n . Zum Beweis können wir /(0) = 0 nehmen. Wir wählen r und R so, daß alle Schlitze in r < | 3 | < R liegen. | tt> | = q(r}r sei der größte Kreis um tt> = 0, den das Bild von | 3 | = r unischließt und | tu | — Q(R)R sei der kleinste Kreis um rt) = 0, der seinerseits das Bild von | 3 | = R enthält. Den Kreisring r < [ 3 [ < R schneiden wir durch einen Radius auf und bilden den aufgeschnittenen Ring durch f = log 3 auf ein Rechteck 3t ab. Die Kreisbogenschlitze gehen in Parallele zur imaginären Achse über. Wir wenden den verallgemeinerten Rengelschen Satz S. 127 auf = log/(eC) an. Es ist dann zu nehmen a = logi,

6 = 2tt,

ß = 2 n,

log^f-.

Alle Schlitze sind kürzer als 2n. Der verallgemeinerte Rengel sche Satz liefert dann , R , Q(R)R 2jt = d.h.

2

0 < log

n .

Da nun

lim q(r) = | /'(0) |, limQ(Ä) = 1 r —> 0 00 ist, so erhalten wir für r ->• 0, R -+ 00 aus der letzten Abschätzung log

d.h.

m ;' I/'(0)|^1.

Das Gleichheitszeichen steht dann und nur dann, wenn £1 = log /(e f ) eine Ähnlichkeitstransformation ist. Ist aber log m ^ A C 9

+ B,

B i e b e r b a c h , Einführung in die konforme Abbildung

130

V. Abbildung gegebener Gebiete

so ist

/(et) = e A ^e B l /(j) = eA >°s

i-eB.

Da aber /(•$) bei j = 0 regulär sein soll, so muß A ganz und positiv sein. Es ist also f(i) = hA ' eB i A ganz positiv. Da endlich /(j) schlicht abbilden soll, so muß A = 1 sein, d.h. Da bei j = oo die Entwicklung .

Iii) = | = q'(r)r sei der kleinste Kreis um tt> = 0, der das Bild von | j | — r enthält und | to | = Q'(R)R sei der größte Kreis um tu = 0, den das Bild von | 3 | = R enthält, q und Q behalten ihre beim Kreisbogenschlitztheorem erläuterte Bedeutung. Wir schneiden den Kreisring r < | j | < R wieder längs eines Radius auf

§ 23. Verzerrungssätze für schlichte Abb. des | z | > 1

13]

und bilden den aufgeschnittenen Ring wieder durch J = log j auf ein Rechteck [Ff ab. Wir wenden den verallgemeinerten Rengelschen Satz auf SR und ^ = log f(et) an. Jetzt ist zu nehmen i R , ßa = log T Q'(R)R , / ^ » r i l o Q(R)R a = o2n, 6i. = log g ^ ^ . ?

Alle Schlitze, die aus den Radialschlitzen entstehen, sind der Seite l parallel und < b. Dann liefert der Rengelsche Satz 2" < log Ii

_ ° q(r)r 2 I,log • Q'(ll)lt\ - ' -- I

Q(R) . . ß \ . Ä (log _ . + l o g 7 ) l o g 7

1


f ,' (0)

00

132

V. Abbildung gegebener Gebiete

Das Gleichheitszeichen gilt nur, wenn eine Ähnlichkeitstransformation ist. Ganz ebenso wie beim Kreisbogenschlitztheorem schließt man, daß dann tu = /(¿) eine Bewegung ist. Man kann die beiden Grötzsch-Rengelschen Sätze auch so formulieren: E i n 2 = 0 u n d z = oo e n t h a l t e n d e r e n d lich v i e l f a c h z u s a m m e n h ä n g e n d e r B e r e i c h werde durch eine F u n k t i o n (f{z) = z + «o + ^

+ • • •,

schlicht abgebildet. | | e r r e i c h t sein M a x i m u m n u r f ü r die K r e i s b o g e n s c h l i t z a b b i l d u n g . | (p'(0) | e r r e i c h t s e i n M i n i m u m n u r f ü r die R a d i a l s c h l i t z a b b i l d u n g . Der M i t t e l p u n k t der K r e i s b o g e n ist d a b e i 9?(0). D i e R a d i a l s c h l i t z e l i e g e n a u f G e r a d e n d u r c h q?(0). Der Beweis dafür, daß man jeden endlich vielfach zusammenhängenden Bereich auf Bereiche der eben genannten Art abbilden kann, wird in § 27 gegeben werden. Für einfach zusammenhängende Bereiche gebe ich jetzt die Abbildungsfunktionen explizite an. Nach dem Riemannschen Abbildungssatz kann man jeden einfach zusammenhängenden z — oo enthaltenden Bereich mit mehr als einem Randpunkt schlicht auf das Äußere des Einheitskreises abbilden. Insbesondere gilt dies für Kreisbogenschlitzbereiche und Radialschlitzbereiche. Man kann so aus den beiden bewiesenen Schlitztheoremen Aussagen über schlichte Abbildungen des | z | > 1 gewinnen. Dadurch erhalten wir den Verzerrungssatz für schlichte Abbildungen des | z | > 1. Wir betrachten irgendeine schlichte konforme Abbildung tu = 1 mit folgender Entwicklung bei z = oo h> = 9?( 2 ) = aiz

+ ao + ~

+ • '•>

K l

=

1-

Wir fragen nach Schranken für | rp (zx) |, wobei z1 ein beliebiger Punkt aus | % | > 1 sei. 1 auf einen

§ 23. Verzerrungssätze für schlichte Abb. des | z \ > 1

133

Bereich B ab. Wir dürfen dabei annehmen, daß 99(zj) = 0 ist. Denn wir fragen nach Schranken f ü r die Ableitung (p'(z{). Diesen Bereich B bilden wir nun schlicht entweder auf einen Kreisbogenschlitzbereich oder auf einen Radialschlitzbereich ab, derart, daß 2 = z1 entweder in den Mittelpunkt des Kreisbogens oder in einen P u n k t auf der Verlängerung des geraden Schlitzes übergeht. Diese F u n k t i o n nennen wir als Umkehrungsfunktion der bei den Schlitztheoremen betrachteten 8=/"1(t»)•

Die F u n k t i o n

h = f-i( 1 auf einen der genannten Schlitzbereiche ab, so daß z — zl in den Mittelpunkt des Kreisbogens oder in einen P u n k t auf der Verlängerung des geradlinigen Schlitzes übergeht. Es ist daher L

'

\

dm

j iu = 0 1 dz

,z ~

Wir schreiben weiter b\ statt F, bzw. Fr s t a t t F u n d ebenso fk s t a t t / und fT statt /, je nachdem, welche der beiden Abbildungen gemeint ist. Nach den Schlitztheoremen ist Daher finden wir I Fr(h) I ^ I 9?'( 2 i) I ^ I FHzi)\Dies ist eine vorläufige Formulierung des Verzerrungssatzes, die wir nun noch durch explizite Angabe der Schranken, d. i. durch explizite Angabe der Funktionen Fr und Fk ergänzen wollen. Diese expliziten Abbildungen des | 2 [ > 1 auf Schlitzbereiche der angegebenen Art ergeben sich unschwer im Anschluß an das, was § 12 über die Abbildung durch 2 + — vorgebracht wurde. Diese F u n k t i o n bildet bekanntlich [ 2 | > 1 auf die von — 2 bis + 2 geradlinig aufgeschlitzte E b e n e ab. I n den P u n k t e n z = ± 1 t r i t t Winkelverdoppe-

134

V. Abbildung gegebener Gebiete

lung ein. Die Punkte der reellen z-Achse gehen in Punkte auf der Verlängerung des Schlitzes über. Soll nun | 2 | > 1 so auf einen geradlinigen Schlitzbereich abgebildet werden, daß = | zx | e^i in einen Punkt auf der Verlängerung des Schlitzes übergeht, so bemerkt man sofort, daß Fr{z) = e~i6< ? +

~

zu nehmen ist. Wir finden

Etwas mühsamer ist die Auffindung von Fk(z). Wir stützen uns jetzt auf die Bemerkung, .daß bei der Abbildung z +

~

alle Kreise durch 2 = i 1 in (doppelt durchlaufene) Kreisbogen bzw. gerade Linien übergehen, und zwar so, daß zwei zueinander senkrechte Kreise durch 2 = 1 Schlitze liefern, die sich zu einem vollen Kreis (bzw. einer vollen Geraden) der Bildebene ergänzen. Da nun bei der Kreisbogenschlitzabbildung des | z | > 1 der unendlichferne Punkt festbleiben und da 2 = z t in den Mittelpunkt des Kreisbogens übergehen soll, so legen wir um 2 = zx als Mittelpunkt einen Kreis, der den | 2 | = 1 senkrecht schneidet. Dieser Kreis ist es, dessen Bild das Bild des Einheitskreises zum vollen Kreis ergänzen muß. Dementsprechend sind die beiden Schnittpunkte dieses Kreises zu den Punkten der Winkelverdoppelung zu wählen. Für den Radius r des genannten Kreises um z = zx ist t - H ^ I ' - i . Die beiden zueinander senkrechten Kreise sind also |2-*il2 = KI

2

- 1 ,

M

2

Ihre Schnittpunkte liegen auf der Geraden ez1 + zz1 — 2 = 0.

= 1.

§ 23. Verzerrungssätze für schlichte Abb. des | z | > 1

135

Setzen wir z = eif>,

zl = \zi \ ei9 0 normierten Abbildungen, welche den | z \ < 1 auf die genannten Schlitzbereiche abbilden, in jeder abgeschlossenen Teilmenge des | z | < 1 gleichmäßig gegen diejenige bei z = 0 in der gleichen Weise normierte Funktion, die den | z | < 1 schlicht auf den Kern B der Schlitzbereiche abbildet. Daraus ergibt sich, daß es für alle, die Gesamtheit aller schlichten bei z = 0 normierten Abbildungen des [ z | < 1 betreffenden Fragen genügt, die Schlitzabbildungen zu untersuchen. Natürlich kommen für das weitere nur Schlitze in Betracht, die den Nullpunkt nicht treffen. Denn alle Abbildungen sollen den z = 0 als inneren Gebietspunkt in den w = 0 als inneren Punkt des Bildgebietes überführen. Es sei w = L ( t ) , 0 e i n e Jordankurve, und es sei | L(0) | < 1, | L(t0) \ = 1. Für jedes feste t aus (0, t0) entsteht aus | w \ < 1 durch Weglassen, des 0 iS r 5S t entsprechenden Bogens L( von L(t) ein Schlitzbereich B(t). Es sei

(1)

w = g(z, t) =

(z + b2(t)

+ • • •)

die bei z = 0 normierte Funktion, die den | z | < 1 schlicht auf B(t) abbildet. Man darf den Parameter t so wählen, wie das in der Schreibweise (1) angegeben ist, d. h. so, daß

g'(0,t) ist. Denn diese Ableitung ist nach Annahme positiv, und nach dem Schwarzschen Lemma von § 5 ist sie < 1. Außerdem nimmt die Ableitung ab, wenn t abnimmt, und ist g'(0, t0) = 1, weil dann der Bildbereich der volle | w \ < 1 ist. Daher ist g(z, t0) = z. Daß der Abbildungsmodul g' (0, t) abnimmt, wenn t abnimmt, ergibt sich daraus, daß 1 schlicht ab, daß dabei einer der beiden unendlichfernen P u n k t e festbleibt. Das Schwarzsche L e m m a lehrt, daß dabei G1 in ein Gebiet übergeht, das in einem Kreisring 1 < ) z [ < qv mit < y P l a t z hat. D a s widerspricht der Definition von q. Dies Ergebnis ist auch insofern von grundsätzlicher Wichtigkeit als es lehrt, d a ß die zweifach z u s a m m e n h ä n g e n d e n Bereiche g e m ä ß dem W e r t von q in eine einparametrige Schar von Klassen zerfallen, derart, daß Bereiche der gleichen Klasse k o n f o r m aufeinander angebildet werden können, während Bereiche verschiedener Klassen nicht aufeinander abbildbar sind. Die konforme I n v a r i a n t e q > 1 n e n n t m a n den M o d u l des zweifach z u s a m m e n h ä n g e n d e n Bereiches. Ein ähnliches Ergebnis gilt auch f ü r mehrfach z u s a m m e n hängende Gebiete. J e d e s e n d l i c h v i e l f a c h z u s a m m e n hängende Gebiet ohne isolierte R a n d p u n k t e läßt sich u m k e h r b a r e i n d e u t i g u n d k o n f o r m auf ein von l a u t e r V o l l k r e i s e n b e g r e n z t e s G e b i e t a b b i l d e n . Ich gebe den Beweis a m Schluß dieses P a r a g r a p h e n . E s gibt noch mancherlei andere Normalgebiete, auf die m a n mehrfach z u s a m m e n h ä n g e n d e Gebiete abbilden k a n n , so z. B. auf Gebiete, deren Grenze vollständig auf gewissen, der reellen Achse parallelen Schlitzen liegt, oder auf ein Gebiet, begrenzt von lauter konzentrischen Schlitzen. A u c h Schlitzgebiete k o m m e n in F r a g e , deren Schlitze alle auf Geraden durch einen festen P u n k t liegen. Endlich k ö n n e n die Schlitze teils radial teils konzentrisch angeordnet sein. Das sind alles mögliche F o r m e n von Normalgebieten. Solche u n d noch eine große Zahl anderer Normalgebiete k ö n n e n häufig durch Extremaleigenschaften gekennzeichnet werden. Die Ergebnisse des § 23 legen es nahe, u n t e r allen diesen Abbildungen die auf einen Kreisbogenschlitzbereich u n d die auf einen Radialschlitzbereich hervorzuheben. Wir beweisen daher folgenden S a t z : IIa"

166

V. Abbildung gegebener Gebiete

B s e i e i n n-f a c h z u s a m m e n h ä n g e n d e r B e r e i c h o h n e i s o l i e r t e R a n d p u n k t e . E r e n t h a l t e 2 = 0 u n d z = oo. E s g i b t g e n a u z w e i F u n k t i o n e n ^ ( 2 ) u n d f2(z), d i e B schlicht abbilden und dabei den folgenden Beding u n g e n g e n ü g e n . E s i s t / j ( 0 ) = / 2 ( 0 ) = 0. B e i z = oo gelten für beide F u n k t i o n e n Entwicklungen 2 + «0 + - 7 + jy(z) b i l d e t j e d e R a n d k o m p o n e n t e i n e i n e n K r e i s b o g e n s c h l i t z m i t 2 = 0 als M i t t e l p u n k t ab (Kreisb o g e n s c h l i t z b e r e i c h ) , u n d / 2 ( 2 ) b i l d e t je de R a n d k o n i p o n e n t e auf einen auf 2 = 0 h i n z i e l e n d e n g e r a d l i n i gen Schlitz ab (Radialschlitzbereich). Z u m Beweis b e t r a c h t e n wir die M e n g e 2Jf (/) d e r j e n i g e n B schlicht a b b i l d e n d e n F u n k t i o n e n , f ü r die / ( 0 ) = 0 ist u n d f ü r die / ( o o ) = oo, / ' ( o o ) = 1 ist, die also bei z ~ oo eine E n t wicklung 2 + «o + ~ + " * • b e s i t z e n u n d zeigen, d a ß es in dieser Menge g e n a u eine F u n k tion / x (2) g i b t , f ü r die | / ' ( 0 ) | = M a x u n d g e n a u eine F u n k t i o n f2(z) f ü r die | / ' ( 0 ) | = Min ist. D a n n b i l d e t n a c h § 2H die F u n k t i o n fx{z) d e n B e r e i c h B auf den K r e i s b o g e n s c h l i t z bereich a b u n d / 2 (z) leistet die A b b i l d u n g auf den R a d i a l srhlitzbereich. Z u r D u r c h f ü h r u n g des so a n g e d e u t e t e n Beweises sind noch einige Ü b e r l e g u n g e n nötig. Z u n ä c h s t ist zu zeigen, d a ß [ / ' (0) | f ü r die F u n k t i o n e n f(z) der M e n g e 9J{(/) eine e n d l i c h e obere u n d eine v o n Null v e r s c h i e d e n e u n t e r e G r e n z e besitzt. Dies f o l g t a u s d e m V e r z e r r u n g s s a t z . I s t n ä m l i c h f(z) eine beliebige F u n k t i o n der Menge 3Ji(/) u n d K so g e w ä h l t , d a ß alle l l a n d k o m p n n e n t e n von B in | 2 j < R liegen. D a n n ist lu ^

K

in | 4 | < 1 r e g u l ä r u n d leistet eine s c h l i c h t e A b b i l d u n g dieses

§ 27. M e h r f a c h z u s a m m e n h ä n g e n d e schlicht« Gebiete

1G7

Bereiches. Auf | j | = h gilt daher nach dem Verzerrungssatz von S. 115 wegen tt>(0) = 0 2

Dies lehrt, daß für jede Funktion f(z) aus äJi(/) auf \z\ die Abschätzungen p q p

= 2 Ii

gelten. Daraus folgt erstens, daß die Funktionen f(z) aus 3Ji(/) in dem in | z | < R enthaltenen Teilbereich von B beschränkt sind. Daher sind auch ihre Ableitungen in z — 0 nach dem Cauchyschen Koeffizientensatz beschränkt. Es folgt aber auch zweitens, daß | /'(0) | f ü r alle / aus eine von Null verschiedene untere Grenze hat. Anderenfalls nehme man eine Teilfolge aus 2JJ(/), f ü r die die /'(0) gegen Null konvergieren. Nach § 16 kann man daraus eine in jedem inneren TeilbereichD' des DurchschnittesD von B und | z\ < R gleichmäßig konvergente Folge auswählen. Die Grenzfunktion h a t dann eine bei z = 0 verschwindende Ableitung, leistet aber nach § 17 eine schlichte Abbildung, wenn sie nicht konstant ist. Wegen der bei z = 0 verschwindenden Ableitung müßte dann die Grenzfunktion konstant, und zwar gleich Null sein. Dies widerspricht aber, wie man leicht sieht, der Tatsache, daß die absoluten Beträge aller Funktionen von 3 J l ( f ) auf H

| z [ = 2 R größer sind als -¡j-. Nunmehr ist es ein leichtes, den Beweis unseres Satzes zu Ende zu führen. Zunächst können wir wegen der Beschränktheit der Funktionen von W(f) in J) zwei Teilfolgen auswählen, die in jedem 1)' gleichmäßig konvergieren gegen Grenzfunktionen fx{z) und f2(z), derart, daß | /{(O) | jener oberen Grenze aller | /'(0) | aus 2 J l ( f ) und daß ] /¿(O) | jener unteren Grenze aller | /'(0) | aus Wt(f) gleich wird. Dann zeigt man z. B. durch Heranziehen der schon einmal benutzten Hilfsfunktionen

H

daß diese Folgen auch in | z \ > R

gleichmäßig konvergieren und daß somit auch die Grenz-

168

V. Abbildung gegebener Gebiete

funktionell bei z = oo Entwicklungen der Form (U 2 + «0 + 7" + • • • besitzen. Nach § 17 bilden die Grenzfunktionen den Bereich B schlicht ab. Sie gehören somit zu 9Ji(/). Daß dann f^z) eine Abbildung auf einen Kreisbogenschlitzbereich liefert folgt so. Angenommen, der Bildbereich habe eine Randkomponente die nicht Kreisbogenschlitz mit 2 = 0 als Mittelpunkt ist. Dann bezeichne man mit B' den nur von sJt' berandeten, den Bildbereich umfassenden einfach zusammenhängenden Bereich. Ihn bilde man, wie in § 23 auf einen Kreisbogenschlitzbereich ab. Die Abbildungsfunktion hat bei z = 0 eine Ableitung, die wieder nach § 23 einen absoluten Betrag größer als Eins besitzt. Setzt man diese Abbildung mit zusammen, so erhält man eine Abbildung aus 3Ji(/), die bei 2 = 0 eine Ableitung mit einem Betrag größer als | /{(0) | hat. Das verstößt gegen die Definition von j1 (z). Daher leistet f j z ) eine Abbildung auf einen Kreisbogenschlitzbereich. Genau ebenso führt man den Beweis, daß f2(z) eine Abbildung auf einen Radialschlitzbereich liefert. Es bleibt noch der Unitätsbeweis zu führen, d. h. zu zeigen, daß /,(2) und /2(z) die einzigen Funktionen sind, die solche Abbildungen leisten. Anderenfalls ließe sich B z. B. auf zwei verschiedene Kreisbogenschlitzbereiche durch Funktionen aus W(f) abbilden. Wir betrachten die Abbildung des einen der beiden auf den anderen. Nach § 23 hat sie bei z = 0 eine Ableitung, deren Betrag höchstens Eins ist. Da dies für die Abbildung beider Kreisbogenschlitzbereiche aufeinander gilt und beide Abbildungen Umkehrungsfunktionen voneinander sind, so müssen beide bei z = 0 Ableitungen vom Betrag Eins besitzen. Dann sind sie aber nach § 23 Bewegungen, und da sie bei z = 0 verschwinden und bei z = 00 die Ableitung Eins haben, so sind beide Kreisbogenschlitzbereiche ebenso wie die Abbildungsfunktionen identisch. Genauso führt man den Unitätsbeweis beim Radialschlitzbereich. Nun erkennt man auch, daß der § 23 auch für mehrfach zusammenhängende Bereiche den Verzerrungssatz enthält.

§ 27. Mehrfach zusammenhängende schlichte Gebiete

169

Der dort für einfach zusammenhängende Bereiche geführte Beweis kann wiederholt werden, nachdem gezeigt ist, daß jeder endlich vielfach zusammenhängende Bereich auf einen Kreisbogenschlitzbereich und einen Radialschlitzbereich abgebildet werden kann. Wir haben somit die folgenden beiden Sätze. 1.WpnnderBpreich/idiePunkteOundouenthält, ho k a n n er d u r c h g e n a u eine bei oo n o r m i e r t e F u n k tion 2 + «o + "¡T + ' ' ' ' welche 0 u n d oo f e s t l ä ß t , auf ein G e b i e t — R a d i a l s c h l i t z g e b i e t — a b g e b i l d e t w e r d e n , d e s s e n v o l l e r R a n d aus S c h l i t z e n auf Ger a d e n d u r c h 0 b e s t e h t . Die A b b i l d u n g s f u n k t i o n h a t u n t e r allen s c h l i c h t e n A b b i l d u n g e n von B d u r c h F u n k t i o n e n m i t der a n g e g e b e n e n E n t w i c k l u n g bei z = Ode n k l e i n s t e n a b s o l u t e n B e t r a g der A b l e i t u n g . 2. Man k a n n B d u r c h g e n a u eine F u n k t i o n z -f a0 + — + •••, welche 0 u n d oo f e s t l ä ß t , auf ein G e b i e t a b b i l d e n , dessen R a n d aus K r e i s b o g e n s c h l i t z e n m i t 2 = 0 als M i t t e l p u n k t b e s t e h t . Die A b b i l d u n g i s t d a n n u n t e r allen s c h l i c h t e n A b b i l d u n g e n d u r c h F u n k t i o n e n mit der a n g e g e b e n e n E n t w i c k l u n g von 7? d i e j e n i g e , w e l c h e bei z = Oeinen m ö g l i c h s t g r o ß e n a b s o l u t e n B e t r a g der A b l e i t u n g b e s i t z t . Ich füge noch folgenden Satz hinzu: 3. Der B e r e i c h G k a n n d u r c h g e n a u ein p a s s e n d e s z + y + ••• auf ein P a r a l l e l s c h l i t z g e b i e t a b g e b i l d e t w e r d e n , dessen S c h l i t z e alle einer g e g e b e n e n Ger a d e n p a r a l l e l sind. I n s b e s o n d e r e soll der R a n d aus l a u t e r zur r e e l l e n Achse p a r a l l e l e n g e r a d l i n i g e n S t r e c k e n b e s t e h e n . Die A b b i l d u n g i s t u n t e r a l l e n schlichten Abbildungen von Q durch F u n k t i o n e n m i t der a n g e g e b e n e n E n t w i c k l u n g d i e j e n i g e , f ü r die der reelle Teil von a x ein M a x i m u m h a t . Dieser Satz wird folgendermaßen bewiesen:

170

V.

1. W e n n | z | > R dem Gebiet G angehört, so gilt nach dein Flächensatz von S. 120 f ü r jede schlichte Abbildung z

von G die Abschätzung

Hiernach sind f ü r alle diese schlichten Abbildungen von G die Realteile von « x beschränkt. Diese Realteile besitzen daher eine endliche obere Grenze. 2. B e t r a c h t e t m a n eine Folge von schlichten Abbildungen

von G, f ü r die JR«! gegen diese obere Grenze konvergiert, so k a n n m a n nach der beim Beweis der vorigen beiden Sätze befolgten Schlußweise daraus eine Teilfolge auswählen, die gleichmäßig gegen eine schlichte Abbildung z von G konvergiert, in der s Ji«j sein Maximum h a t u n t e r allen diesen schlichten Abbildungen von G. 3. Wir zeigen, daß die sämtlichen R a n d k o m p o n e n t e n des durch diese F u n k t i o n gelieferten Bildbereiches von G Schlitze parallel zur reellen Achse sind. Dazu bemerken wir: a) Unterwirft m a n G nacheinander zwei schlichten Abbildungen = + j- + • • • 3

= zi + V- + ' • ' . so verhalten sich die Koeffizienten von — additiv, d. h. es ist

wie m a n u n m i t t e l b a r nachrechnet.

§ 2 7 . Mehrfach zusammen hängende schlichte Gebiete

171

b) | g | > R wird durch •

w = z -\

R2

z

auf einen Bereich abgebildet, der von dem Schlitz — 2 Ii < iüw < + 2 R begrenzt ist. c) Wie schon in 1. bemerkt wurde, gilt für alle schlichten Abbildungen 2

+

f

+

- "

von G die Abschätzung | oc1 | ^ R2, also auch 9 } « ! 5S /'-. Dabei gilt nach dem Flächensatz das Gleichheitszeichen nur ... , R2 für w = z + — • Z

d) Nach a) und c) nimmt im Falle eines einfach zusammenhängenden Bereiches G der 9 i « ! für die schlichte Abbildung

z auf einen von einem Schlitz parallel zur reellen Achse begrenzten Bereich seinen größten Wert an. e) Wäre nun bei der schlichten Abbildung eines mehrfach zusammenhängenden Bereiches 0 durch die Funktion

z mit dem Maximalwert von SiiXj eine Kandkomjionente des Bildbereiches kein Schlitz parallel zur reellen Achse, so unterwerfe man den nur von dieser Randkomponente begrenzten, das Bild von G umfassenden einfach zusammenhängenden Bereich G1 der Parallelschlitzabbildung. Diese Abbildung

„ , ßi hat ))\ß1 > 0 (nach d). Setzt man diese Abbildung mit der schon vorgenommenen Abbildung von G zusammen, bei der doch S i « ! den Größtwert haben sollte, so erhält man nach a) eine Abbildung von G mit noch größerem Wert des Realteils

172

V. Abbildung gegebener Gebiete

des K o e f f i z i e n t e n v o n - i - . Dieser W i d e r s p r u c h zeigt, d a ß alle R a n d k o m p o n e n t e n des Bildbereiches von G Schlitze parallel zur reellen Achse sind. Der U n i t ä t s b e w e i s f ü r die P a r a l l e l s c h l i t z a b b i l d u n g eines « - f a c h z u s a m m e n h ä n g e n d e n Gebietes 0 k a n n so g e f ü h r t werden. M a n darf a n n e h m e n , d a ß 0 e i n . S c h l i t z b e r e i c h ist ( R a dialschlitz oder Kreisschlitz). G ä b e es zwei A b b i l d u n g e n z + ~

+ • • • desselben auf einen Parallelschlitzbereich,

so

wäre die D i f f e r e n z d(z) beider in G b e s c h r ä n k t u n d gleich Null i m U n e n d l i c h e n . d(z) n i m m t auf j e d e r R a n d k o m p o n e n t e v o n G W e r t e an, die ihrerseits endliche S t r e c k e n auf gewissen G e r a d e n gy erfüllen, die s ä m t l i c h der reellen Achse parallel sind. I s t d a n n w0 ein W e r t , der keiner dieser G e r a d e n g„ angehört, so ist die Ä n d e r u n g v o n arg (d (z) — w0) bei D u r c h l a u f u n g einer j e d e n der n R a n d k o m p o n e n t e n Null. A u s der F u n k t i o n e n t h e o r i e weiß m a n , d a ß d a h e r d(z) d e n W e r t w0 n i c h t a n n i m m t . D a w 0 in der a n g e g e b e n e n Weise beliebig ist, so ist d(z) k o n s t a n t . D a d(oo) = 0 ist, so ist d(z) == 0. W ä h l t m a n die reelle Zahl § beliebig, so e r k e n n t m a n d u r c h g a n z analoge B e t r a c h t u n g e n , d a ß es u n t e r den schlichten Abbildungen z + ^ -

+ • • • v o n G g e n a u eine gibt, f ü r die

9

^ ( e * « ! ) seinen M a x i m a l w e r t a n n i m m t . Diese bildet G auf einen Bereich ab, der v o n geradlinigen S t r e c k e n b e g r e n z t ist, deren T r ä g e r g e r a d e n d u r c h ^ ( , r i " w ) = c gegeben sind. Bezeichnet m a n eine solche A b b i l d u n g d u r c h jß(z), so bestellt die B e z i e h u n g j9(z) =

[j0(z) cos§

— ij„(z)

sin # ] .

2

D e n n bezeichnet m a n die r e c h t e Seite m i t j* (z), so ist ju(oo) — j*(oo) = 0. F e r n e r n i m m t die Differenz jn(z) — j„{z) auf j e d e r R a n d k o m p o n e n t e v o n G W e r t e a n , die endliche S t r e c k e n auf G e r a d e n = c ausmachen. Daraus schließt m a n g e n a u wie bei d e m v o r h i n g e f ü h r t e n U n i t ä t s beweis, d a ß j»(z) = j*(z) ist. N o c h sei e r w ä h n t , d a ß m a n analoge B e t r a c h t u n g e n a u c h bei schlichten A b b i l d u n g e n v o n

§ 27. Mehrfach zusammenhängende schlichte Gebiete 173 G anstellen kann, die ihren Pol an einer endlichen Stelle a haben und die durch ^

^ + oi.x(z — a) + • • • normiert sind.

Auch unter diesen gibt es genau eine j»(z, «), die auf einen Parallelschlitzbereich abbildet, dessen Schlitze auf Geraden = c liegen. Auch hier besteht die Beziehung jf>{z, a) -= cUi [ja{z, a) cos & - ij„ (z, a) sin 2

Noch sei erwähnt, daß der Existenzbeweis für die Parallelschlitzabbildung auch für unendlich vielfach zusammenhängende Bereiche geführt werden kann. Der Unitätsbeweis ist auf endlich vielfach zusammenhängende Bereiche beschränkt. In Analogie zu dem Flächensatz von § 19 kann man auch bei mehrfach zusammenhängenden Bereichen B nach denjenigen Funktionen fragen, die den Flächeninhalt des Bildbereiches möglichst klein machen. Es gibt in der Tat unter allen in B regulären Funktionen /(?), für die /(oo) = 0, /'(oo) = 1 ist, eine, die dem Bildbereich ein Minimum des Inhalts erteilt. H. Grunsky zeigte 1932, daß diese Abbildung von c[j0(z) — j„(z)] mit passendem konstanten c geleistet wird. 2

H. Grunsky zeigte weiter, daß j0(z) + j„(z) eine Abbildung 2

von B liefert, bei der die Komplementärmenge des Bildbereiches einen möglichst großen Inhalt hat. In beiden Fällen sind nach M. Schiffer die Bildbereiche schlicht und von konvexen Kurven berandet. Sie sind jedenfalls nicht Vollkreisbereiche. Endlich beweise ich den schon erwähnten Koebeschen Satz, daß sich jeder endlich vielfach zusammenhängende Bereich auf einen von lauter V o l l k r e i s e n begrenzten Bereich konform abbilden läßt. Ich gehe von der Abbildung auf einen Kreisbogenschlitzbereich aus. Ich spiegle ihn an einem seiner Ränder und verhefte das Spiegelbild mit dem Original längs dieses Schlitzes. Diesen Bereich spiegeln wir erneut an einem seiner Ränder

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V. A b b i l d u n g g e g e b e n e r Gebiete

und erhalten durch kreuzweises Verheften einen nunmehr vierblättrigen Bereich. So fahren wir in inifinitum fort. Dadurch erhalten wir eine unendlich vielblättrige Überlagerungsfläche des gegebenen Bereiches. Diese hat die Eigentümlichkeit, jeweils durch Spiegelung an jedem der vorkommenden Kreisbogenschlitze in sich überzugehen. Wir bilden diese Überlagerungsfläche nach dem in § 25 beschriebenen Verfahren umkehrbar eindeutig konform auf einen schlichten Bereich ab. Dies kann z. B. so bewerkstelligt werden, daß man jeder einzelnen beim Aufbau der Überlagerungsfläche benutzten Spiegelung sofort durch eine schlichte Abbildung des nun jeweils nur zweiblättrigen Bereiches auf einen Kreisbogenschlitzbereich nachkommt. Aus den so vorkommenden Abbildungen läßt sich eine gleichmäßig konvergente Folge auswählen, deren Grenzfunktion die Überlagerungsfläche schlicht abbildet. Der so erhaltene Bildbereich der Überlagerungsfläche geht durch Spiegelung an den Bildern aller Kreisbogenschlitze in sich über. Spiegelung bedeutet dabei eine umkehrbar eindeutige konforme, den Drehsinn wechselnde Abbildung. Es wird behauptet, daß infolgedessen alle Kreisbogenschlitze in Vollkreise übergegangen sind, daß demnach der ursprünglich gegebene, dem Aufbau der Überlagerungsfläche zugrunde liegende Bereich in einen von lauter Vollkreisen begrenzten Bereich abgebildet erscheint. Den unendlich vielen Blättern der Überlagerungsfläche entsprechend ist ihr Bildbereich in unendlich viele Teilbereiche eingeteilt, die durch die sukzessiven Spiegelungen auseinander hervorgehen. Es wird n u n zu n ä c h s t g e z e i g t , d a ß die S u m m e der Q u a d r a t e der U m f a n g e der Beg r e n z u n g s l i n i e n a l l e r dieser T e i l b e r e i c h e k o n v e r giert. Um das einzusehen, betten wir die Randkurven eines der Teilbereiche in zweifach zusammenhängende Bereiche ein, die wir den Spiegelungen mitunterwerfen. Offenbar können wir sie so klein wählen, daß sie sich untereinander und mit ihren Spiegelbildern nicht überschneiden. Dann ist die Summe ihrer Inhalte offenbar konvergent. Können wir nun zeigen, daß es eine von den einzubettenden Kurven unabhängige Zahl /.( gibt, derart, daß zwischen Umfang U der

§ 27. Mehrfach zusammenhängende schlichte Gebiete

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R a n d k u r v e und I n h a l t F des e i n b e t t e n d e n B e r e i c h e s die A b s c h ä t z u n g U2 < ¡uF b e s t e h t , so f o l g t aus der K o n v e r g e n z der S u m m e der F die der S u m m e der U2. D i e E x i s t e n z dieser Z a h l fi folgt aus den K o e b e s c h e n V e r z e r r u n g s s a t z . Die s ä m t l i c h e n E i n b e t t u n g s b e r e i c h e gehen n ä m l i c h aus endlich vielen derselben, d e m endlich v i e l f a c h e n Z u s a m m e n h a n g des B e r e i c h e s e n t s p r e c h e n d durch k o n f o r m e A b b i l d u n g ( m i t oder o h n e U m legung der W i n k e l ) hervor. D a a b e r bei einer Spiegelung an der reellen A c h s e I n h a l t u n d U m f a n g sich n i c h t ä n d e r n , so g e n ü g t es, folgendes zu z e i g e n : E s g i b t eine Z a h l p, derart, d a ß für j e d e n der endlich vielen a b z u b i l d e n d e n zweifach z u s a m menhängenden Bereiche und für jede schlichte Abbildung f(z) desselben zwischen I n h a l t und U m f a n g des durch /(z) gelieferten B i l d e s die B e z i e h u n g II2 < F¡1 b e s t e h t . Nun f o l g t a b e r aus dem V e r z e r r u n g s s a t z 1 ) , d a ß es zwei von B e r e i c h und F u n k t i o n u n a b h ä n g i g e Zahlen q u n d Q gibt, so d a ß für irgend zwei S t e l l e n eines j e d e n der a b z u b i l d e n d e n zweifach z u s a m m e n h ä n g e n d e n B e r e i c h e die A b s c h ä t z u n g

also a u c h ^

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wenn ,1 der Inhalt, des a b z u b i l d e n d e n Bereiches ist. Also ist. 11* F

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nur endlich viele z w e i f a c h z u s a m m e n h ä n g e n d e

Einbet-

' ) l)ie 8. 114 gegebene Konaol des VerzeiTun^ssatzt's spricht von Abbildungen der Kreisscheibe. Da man aber einen zweifach zusammenhängenden .Bereich mit. endlich vielen Kreisscheiben überdecken kann, so folgt durch mehrmalige Anwendung des Verzerrungssatzes die Behauptung des T e x t e s .

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V. A b b i l d u n g g e g e b e n e r Gebiete

tungsbereiche abzubilden sind, so gibt es ein ¡j, so daß alle L2 Q 2 ^ ^ , u sind. Also 1 ' TJ* KranefelJt 3 Krieger 5 Kropp 3 Krug 7 Krull 8 Kuckuck 11 Landmann 3 Langosch 5 Lausberg 6 Lehmann 3 Lehnert 6 Leisegang 3 von Lengerken 12 Lockemann 10 Lotze 12 Ludin 15 Lüdemann 11 Mahler 10 Marcard-Beck 14 Matthes 14 Mayrhofer 7 zur Megede 13 Meinke 13 Meissner 6 Mellerowicz 7 Moede 3 Mohr 13 Moser 4 G. Müller 5 W . Müller 13 Müller-Schulze 13 Naumann 5 Naumann-Betz G Neger-Münch 11 Nestle 7 Niese 14 Niese-Dienst 14 Nusselt 14 Oehlmann 4

Paulsen 7 Pepping 4 Preller 5 Quelle 7 Ranke 6 Reichenow 12 Ringleb 8 Roth 10 Rumpf 4 Sauter 10 Schäfer 14 Scharrer 12 Schilling 3 Schirmer 5 Schlenk 10 Schmidt 14 Scholz-Schoeneberg 8 Schubel 6 Schubert 4 Schulze 10 Schwaiger 13 Schwartz 11 Seidel 11 Simmel 3 zu StolbergWernigerode 5 Stolz-Debrunner 7 Strubecker 9 Tafel 14 Teichmann 15 Thum-Meysenbug 13 Tochtermann 14 Tölke 15 Treue 5 Troche 15 Unger 13 Valentiner 9 Vogel 12 Vossler 6 von Waltershausen 4 Weigert 4 Weimer 3 Werkmeister 9 Wickop 15 von Wiese 3 Witting 8 Zietemann 14 Zipperer 13