Einführung in die konforme Abbildung [6., neubearb. Aufl. Reprint 2019] 9783111370927, 9783111013985

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Einführung in die konforme Abbildung von

Professor Dr. Ludwig Bieberbach

Sechste, neubearbeitete Auflage Mit 41 Zeichnungen

Sammlung Goschen Band 768/768a

Walter de Gruyter & Co • Berlin 1967 vormals G. J . Göschen'sche Verlagshandlung • J . Guttentag, Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • Karl J . Trübner • Veit & Comp.

Copyright 1967 by Walter de Gruyter & Co., vormals G. J . Göschen'sche Verlagshandlung — J . Guttentag, Verlagsbuchhandlung — Georg Reimer — Karl J . Trübner — Veit & Comp., Berlin 30. — Alle Hechte, einschl. der Rechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen von der Vcrlagshandlung vorbehalten. — Archiv-Nr. 7711679. — Satz und Druck: Walter de Gruyter & Co., Berlin. — Printed in Germany.

Inhaltsverzeichnis Seite

Schrifttum

5

I. Abschnitt. Grundlegung § 1

Analytische Funktionen und konforme Abbildung

§ 2

Ganze lineare Funktionen

14

§ 3

Die Funktion

15

§ § § §

Anhang zu § 3 Stenographische Projektion Lineare Funktionen w — (z + b) / (cz d) Lineare Funktionen (Fortsetzung) Gruppen linearer Funktionen w = zn

4 5 6 7

w

6

=

19 20 26 32 37

I L Abschnitt. Prinzip des Randes und Spiegelungsprinzip § 8 § 9

Beziehungen zwischen der konformen Abbildung am Rande eines Bereiches und in seinem Inneren Das Schwarzsche Spiegelungsprinzip

43 45

I I I . Abschnitt. Weitere Abbildungen durch gegebene Funktionen § 10

Einige Abbildungen durch w = z1

§ 11

w = z + —

§ 12

Die Exponentialfunktion und die trigonometrischen tionen Das elliptische Integral erster Gattung

§ 13

48 52 Funk-

57 59

IV. Abschnitt. Abbildungen gegebener Gebiete § 14 § 15 §16 § 17 § 18 § 19 § 20 § 21 § 22 § 23 § 24

Ein Limessatz für schlichte Abbildungen Der Riemannsche Abbildungssatz Die Zuordnung der Ränder bei konformer Abbildung . . . . Beispiele zum Riemannschen Abbildungssatz Praxis der konformen Abbildung Potcntialtheoretische Betrachtungen Die grundlegenden Eigenschaften der schlichten Abbildungen des | z j < 1 und des | z | > 1 Der Grunskysche Koeffizientensatz Die Löwnersche Differentialgleichung Die Variationsmethode von M. Schiffer Konforme Invarianten

65 67 71 75 84 89 98 112 122 131 140

Inhaltsverzeichnis

§ 25 § 26 §27

Der Koeffizientensatz von J . A. Jenkins 151 Abbildungen endlich vielfach zusammenhängender Gebiete auf Normalgebiete 163 Schlichte Abbildungen nichtschlichter Gebiete 176

Sachverzeichnis

184

Schrifttum In diesem Buch benutzte, aber nicht bewiesene Tatsachen aus der Funktionentheorie wird der Leser meistens bei K. Knopp Funktionentheorie (Sammlung Göschen Bd. 668, 703, 1109) finden; oder aber bei L. Bieberbach, Einführung in die Funktionentheorie, 4. Aufl. Stuttgart 1965. Für eine weitere Vertiefung seien empfohlen: G. M. Golusin, Geometrische Theorie der Funktionen einer komplexen Veränderlichen (Russisch), Moskau 1952. — Z. Nehari, Conformai mapping, New York 1952. — C. Gattegno und A. Ostrowski, Représentation conforme à la frontière, Mém. Sc. math. 109.110. Paris 1949. — A. C. Schaeffer and D. C. Spencer, Coefficient regions for schlicht functions. Am. math. Soc. Coll. Pubi. 35. New York 1950. — J . A. Jenkins, Univalent functions and conformai mapping. (Erg. d. Math. Bd. 18.) 2. Aufl. Berlin 1965. — W. K. Hayman, Multivalent functions. Cambridge Tracts No. 48, 1958. — W. von Koppenfels und F. Stallmann, Praxis der konformen Abbildung (Gründl, d. math. Wiss. Bd. 100), Berlin 1959. — D. Gaier, Konstraktive Methoden der konformen Abbildung. (Tracts in Nat. Phil. Vol. 3.) Berlin 1964. — H. Behnke und F. Sommer, Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen. (Gründl, d. math. Wiss. Bd. 77.) 3. Aufl. Berlin 1965. — A. Dinghas, Vorlesungen über Funktionentheorie. (Gründl, d. math. Wiss. Bd. 110.) Berlin 1961. — R. Nevanlinna, Uniformisierung. (Gründl, d. math. Wiss. Bd. 64.) Berlin 1953. — A. Hurwitz, R. Courant, H. Röhrl, Funktionentheorie. 4. Aufl. (Gründl, d. math. Wiss. Bd. 3.) Berlin 1964. — C. Carathéodory, Conformai representation. (Cambridge Tracts No. 28 sec. ed 1958. — R. Courant, Dirichlets Principle, Conformai Representation and minimal surfaces. New York 1930. — J. Lelong-Ferrand, Représentation conforme et transformations à intégrale de Dirichlet bornée. Paris 1955. — A. Betz, konforme Abbildung. 2. Aufl. Berlin 1964.

Erster Abschnitt

Grundlegung § 1. Analytische Funktionen und konforme Abbildung Unter einer in einem Gebiet 1 )^ holomorphen, d. i. regulären analytischen Funktion w = f(z) einer komplexen Veränderlichen z = x + iy (i = (/ — 1) versteht man bekanntlich eine in G eindeutige, an jeder Stelle differentiierbare Funktion. Als Folge der Differentiierbarkeit ergeben sich für Realteil und Imaginärteil von f(z) = u(x, y) + iv(x, y) die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen '

du __ 8v 8x = 8y '

du _

8v dy=~dx'

Die analytischen Funktionen lassen sich bekanntlich in Potenzreihen entwickeln, derart, daß in einer Umgebung | z — a | < ra einer jeden Stelle a des Gebietes 0 eine Darstellung (2) w = c0 + ct(z — a) + c2(z — a)3 + • • • gilt. Wir betrachten nun insbesondere Funktionen /(s), für die in 0 überall f'(z) =±= 0 ausfällt. Wir deuten x, y und u, v in bekannter Weise als rechtwinklige Koordinaten und betrachten die Abbildung von Gr auf eine Punktmenge Cr'. In der Funktionentheorie wird gezeigt, daß G' wieder ein Gebiet ist ( S a t z v o n d e r G e b i e t s t r e u e ) . D. h. 1. wenn c 0 einen P u n k t von G' bezeichnet derart, daß a in c 0 = f(a) ein i n n e r e r P u n k t von G ist, so gehören alle Unter einem Gebiet versteht man eine Punktmenge derart, daß 1. mit jedem Punkt der Menge auch eine den P u n k t enthaltende Kreisscheibe zur Menge gehört und daß 2. die Menge zusammenhängt, d. h. daß je zwei Punkte der Menge durch eine in der Menge enthaltene stetige Kurve verbindbar sind. In der Funktionentheorie und auch in diesem Buch wird das Wort „Bereich" als gleichbedeutend mit d e m Wort „Gebiet" benutzt. Die Vereinigungsmenge eines Gebiets und seiner Randpunkte heißt „abgeschlossenes Gebiet" oder „abgeschlossener Bereich" oder auch Abschluß des Gebietes.

§ 1. Analytische Funktionen und konforme Abbildung

7

Punkte eines genügend kleinen um c0 gelegten Kreises ebenfalls der Punktmenge G' an; 2. die Punktmenge G' ist zusammenhängend. Der erste Teil dieser Behauptung ist nur ein geometrischer Ausdruck der Tatsache, daß man Potenzreihen umkehren kann. Aus w = c0 + cx(z — a) + • • • folgt nämlich z = a H

(w — c0) + ••• a möge innerer Punkt von G sein. Die i zweitgenannte Potenzreihe konvergiert in einem gewissen Kreise um w = e0. Den Punkten dieses Kreises entsprechen daher z-Werte aus der Umgebung von z = a. Diese Umgebung wird sicherlich dem Gebiete G angehören, solange wir uns auf genügend kleine Kreise um w = c0 beschränken. Ein solcher Kreis gehört aber dann vollständig der Punktmenge G' an. Der zweite Teil unseres Satzes besagt, daß man irgend zwei innere Punkte von G' durch einen stetigen Linienzug von inneren Punkten verbinden kann. Das ist aber eine unmittelbare Folge davon, daß dies für die entsprechenden Punkte von G möglich ist und daß u(x, y), v(x, y) stetige Funktionen sind. B e m e r k u n g e n . 1. Ist die Abbildungsfunktion auch auf dem Rande des Gebietes regulär, so entsprechen den Randpunkten von G Randpunkte von G', weil sonst für die inverse Abbildung von G' auf G die Gebietstreue verletzt würde. 2. Wir haben unseren Satz nur unter gewissen Einschränkungen bewiesen. Wir werden bald sehen, daß er für alle bis auf Pole regulären Funktionen und auch für unendliche Gebiete gilt, wenn wir nur die Gebietsdefinition ein wenig erweitern. Siehe § 7. 3. Ein und derselbe Punkt der w-Ebene kann gleichzeitig als innerer und als Randpunkt von G' auftreten. Das hängt mit der Vielwertigkeit der Abbildungsfunktion zusammen. Es ist ganz und gar nicht nötig, daß sie jeden Wert nur einmal in G annimmt. So kann es auch vorkommen, daß sie ein und denselben Wert im Innern und am Rande von G annimmt; der diesem Wert entsprechende Punkt der w-Ebene ist dann sowohl innerer wie Randpunkt von G'. Das macht zunächst der geometrischen Vorstellung einige Schwierigkeit. Seit c

8

I. Grundlegung

Riemann hat man aber gelernt, auch dies Vorkommnis anschaulieh zu beherrschen. Was wir im Augenblick brauchen, können wir uns so klarmachen. Wir denken uns z. B. am Rechteck der Zeichnung 1 längs AB eine Zunge befestigt, die im schraffierten Teile über das ursprüngliche Rechteck hinübergreift. Das wäre ein Beispiel für ein Gebiet G', wie wir es im Auge haben. Der Punkt C z. B . ist sowohl Randpunkt als innerer P u n k t von G', nämlich Randpunkt als P u n k t des Rechteckrandes und innerer Punkt als P u n k t der Zunge. Es wird dem Leser nicht schwer fallen, auch Punkte ausfindig zu machen, die zweimal als innere Punkte von 0 auftreten, z. B. D. A m klarsten übersieht man diese Dinge, wenn man sich ein Modell aus Papier verfertigt. Dies einfache Beispiel mag v o r l ä u f i g genügen, um die Verhältnisse anschaulich klarzulegen. Wir nennen weiterhin ein Gebiet, das keinen Punkt mehr als einmal bedeckt, schlicht, alle anderen nichtschlicht. Eine Abbildung Zeichnung 1 w = f(z), die ein Gebiet G der s-Ebene in ein schlichtes Gebiet G' der w-Ebene überführt, heißt eine s c h l i c h t e A b b i l d u n g . A n w e n d u n g des Satzes von der Gebietstreue. Wenn f(z) im Innern eines Gebietes G regulär ist, so besitzt \f{z)\ kein Maximum im Inneren des Gebietes ( P r i n z i p d e s M a x i mums). Diese Behauptung (bekanntlich eine leichte Folgerung des Cauchyschen Integralsatzes) kann auch unmittelbar aus der Gebietstreue gefolgert werden. Man muß nur daran denken, daß |/(2)| die Entfernung des z entsprechenden Punktes vom Nullpunkt der w-Ebene ist und daß es um jeden Bildpunkt eines inneren Punktes von G, also auch um den vielleicht am weitesten entfernten, einen Kreis von lauter Bildpunkten gibt, die den Punkten einer Umgebung jenes Punktes der s-Ebene entsprechen.

§ 1. Analytische Funktionen und konforme Abbildung

9

Die Gebietstreue haben die durch analytische Funktionen vermittelten Abbildungen gemeinsam mit allen Abbildungen, die in jedem Punkte stetig und im ganzen Gebiete umkehrbar eindeutig oder endlich vieldeutig sind. Das Merkmal, das sie erst kennzeichnet und das für alle unsere weiteren Untersuchungen den Ausschlag gibt, ist in dem Satz von der Winkeltreue enthalten. D i e d u r c h e i n e a n a l y t i s c h e F u n k t i o n w — f(z) v e r m i t t e l t e A b b i l d u n g ist an jeder Stelle z = a winkelt r e u , a n d e r d i e A b l e i t u n g f(a)=(=0 i s t . D. h. wenn und ß 2 zwei durch a gehende Kurven sind, die dort differentiierbar sind und den Winkel •& miteinander bilden, so schließen die Bildkurven 61 und ß der «.'-Ebene im Bildpunkte f(a)v on a den gleichen Winkel •& miteinander ein, gleich, d. h. gleich nach Größe und Drehungssinn. Um den Sinn dieses Satzes klar zu verstehen, müssen wir uns klar die Voraussetzung vor Augen halten, daß f(z) im Punkte z = a regulär ist und dort eine n i c h t v e r s c h w i n d e n d e A b l e i t u n g besitzt; wir müssen uns weiter klar darüber verständigen, wie wir die Winkel messen wollen. Zu dem Zweck legen wir in der g-Ebene einen positiven Drehungssinn fest; er soll durch die Drehrichtung bestimmt sein, in der man auf kürzestem Weg die positive Richtung der x-Achse in die positive Richtung der «/-Achse überführen kann. Ebenso verstehen wir unter positivem Drehsinn in der w-Ebene den Drehsinn, auf dem man am kürzesten die positive w-Richtung in die positive v-Richtung überführt. Dann nehmen wir auf jeder unserer Kurven eine Fortschreitungsrichtung und verstehen unter dem Winkel # zwischen S j und ®2 in ihrem Schnittpunkt z — a den Winkel, u m den man im positiven Sinn den Tangentenvektor von ß j im Punkte a zu drehen hat, u m ihn in den Tangentenvektor von ß 2 im Punkte a überzuführen. Bei der Abbildung werden dann aus den gerichteten Kurven (Sj und ©2 gerichtete Kurven ß i und ß i , die sich in w = f(a) schneiden. Unser Satz behauptet dann, d a ß m a n d e n T a n g e n t e n v e k t o r v o n ß i i m P u n k t e f(a) g l e i c h f a l l s i m p o s i t i v e n S i n n u m d e n W i n k e l •& zu d r e h e n h a t , u m i h n in d e n T a n g e n t e n v e k t o r v o n (£2 i m P u n k t e /(«)

10

I. Grundlegung

tiberzuführen. Dieser S a t z v o n der W i n k e l t r e u e ist eine u n m i t t e l b a r e Folge der C a u c h y - R i e m a n n s c h e n D i f f e r e n t i a l gleichungen. Die beiden K u r v e n seien 2 = z^t) u n d 2 = z2(t). t = 0 möge bei b e i d e n K u r v e n d e m P u n k t e z = a e n t s p r e c h e n . W a c h s e n d e m t möge bei b e i d e n K u r v e n die v o r g e s c h r i e b e n e D u r c h l a u f u n g s r i c h t u n g e n t s p r e c h e n . Die A b l e i t u n g e n z\ (t) u n d 22 (t) m ö g e n existieren, u n d es sei z\ (0) ={= 0 u n d 22(0) =)=0, eine A n n a h m e , die b e k a n n t l i c h singulare K u r v e n p u n k t e u n d schlechte P a r a m e t e r w a h l ausschließt. D a n n ist 0 = arg — der W i n k e l , u m den m a n in z — a den T a n g e n t e n v e k t o r z\ (0) v o n im positiven Sinn zu drehen h a t , u m i h n in den T a n g e n t e n v e k t o r z'2{0) v o n © 2 ü b e r z u f ü h r e n . I s t n ä m l i c h z' = rel' d i e f ü r r = l i n e i n e D r e h u n g j f ü r ^ = 0 in eine S t r e c k u n g s p e z i a l i s i e r t ist.

§ 3. Die Funktion w = 1/z

15

88 3. Die Funktion vi = — z

Zunächst hat es keine grundsätzliche Schwierigkeit, die Funktion an all den Stellen zu betrachten, wo weder z noch w unendlich werden, d. h. an allen von Null verschiedenen endlichen Stellen der z-Ebene. Auf die Stelle z = 0 selbst beziehen sich die allgemeinen Untersuchungen von § 1 nicht. Wenn wir also unsere Funktion auch hier betrachten, so liefern wir zugleich in einem besonderen Fall eine Ergänzung zu den Erörterungen des § 1. Man führt zweckmäßig Polarkoordinaten ein, indem man z = reilp, w = gei9 setzt. Dann wird Q = —, $ = —

0 ist, geht die obere Halbebene in sich über, sonst nicht. Das entnehmen wir der F o r m (1) der Funktionen. Die Determinante von (1) hat den Wert ( ß — y) (ß — x) (a — y). Soll nun die obere Halbebene in sich übergehen, so muß die Reihenfolge x, ß, y mit der von 0 , 1 , oo übereinstimmen; anderenfalls werden die beiden Halbebenen vertauscht. D a n n ist aber jene Determinante positiv; u n d ebenso schließt man aus dem positiven Vorzeichen auf die richtige Reihenfolge. So haben wir den Satz: A l l e l i n e a r e n k o n f o r m e n A b b i l d u n g e n d e r o b e r e n H a l b e b e n e in sich w e r d e n d u r c h w — ^ cz — a m i t r e e l l e n K o e f f i z i e n t e n u n d ad — bc > 0 g e l i e f e r t . (Natürlich ist dies nicht die allgemeinste F o r m der S c h r e i b w e i s e . Man kann in Zähler u n d Nenner noch gemeinschaftliche [auch komplexe] Faktoren an den Koeffizienten anbringen.) 3. Da wir gelernt haben, wie man eine beliebige Kreisscheibe auf eine Halbebene abbilden kann, so können wir nun auch die konformen Abbildungen einer b e l i e b i g e n K r e i s s c h e i b e i n s i c h angeben. Wir merken dies noch f ü r den K r e i s vom Radius eins um z = 0 als Mittelpunkt an. Wir erhalten az 4- b ,r „ w = , «a — oo > 0. bz + a Die F e s t p u n k t e einer linearen Funktion, welche die obere Halbebene in sich überführt, sind entweder reell oder konjugiert imaginär (siehe die Berechnung auf S. 23). Die mit reellen F e s t p u n k t e n sind hyperbolisch oder parabolisch oder loxodromisch mit negativem Multiplikator x, die mit konjugiert komplexen elliptisch (siehe die Berechnung von x u n d

30

I. Grundlegung

die Bestimmung der Festpunkte auf S. 23 u. 24). Eine loxodromische Abbildung mit nicht reellem Multiplikator kann also niemals einen Kreis in sich überführen. Um zu erkennen, wie die Festpunkte von Abbildungen liegen, welche das Innere eines K r e i s e s in sich überführen, haben wir uns nur klarzumachen, was aus zur reellen Achse spiegelbildlichen Punkten wird, wenn wir die obere Halbebene auf eine Kreisscheibe abbilden. Darüber gibt der folgende allgemeine Satz Auskunft. Bei j e d e r l i n e a r e n A b b i l d u n g zweier K r e i s e a u f einander werden aus spiegelbildlichen P u n k t e n wieder spiegelbildliche Punkte. Dies folgt aus der Bemerkung: Legt man durch zwei zu einem Kreis K spiegelbildliche Punkte P und Q einen Kreis Ii', so steht er auf der Peripherie von K senkrecht. Ist K eine Gerade, so folgt dies daraus, daß der Mittelpunkt von Ii' auf Ii liegt. H a t K den Radius R, so lege man vom Mittelpunkt M von K aus die Tangenten an Ii'. Das Quadrat ihrer Länge ist nach dem Sekantentangentensatz = \MP\-\MQ\. Dies aber hat wegen der spiegelbildlichen Lage von P und Q den Wert Ä 2 . Die Tangenten von M an Ii' haben also die Länge R. Daher erfolgt die Berührung in den Schnittpunkten von K und K', und daher steht Ii' auf Ii senkrecht. Umgekehrt besteht wieder nach dem Sekantentangentensatz jeder auf Ii senkrechte Kreis Ii' aus lauter Paaren zu Ii spiegelbildlicher Punkte. Wegen der Winkeltreue muß nun jeder auf K senkrechte Kreis bei der linearen Abbildung von Ii auf einen anderen Kreis in einen zu diesem senkrechten übergehen. Da aber ein Paar zu Ii spiegelbildlicher Punkte durch zwei zu Ii senkrechte Kreise ausgeschnitten wird, so gehen Punkte, die zu K spiegelbildlich liegen, in Punkte über, die zum Bildkreis spiegelbildlich liegen. 4. Unsere Aufstellung aller linearen Abbildungen einer Kreisscheibe auf sich erhält noch durch die Tatsache eine besondere Wichtigkeit, daß es überhaupt keine anderen umkehrbar eindeutigen konformen Abbildungen einer Kreisseheibe auf sich gibt.

31

§ 5 . Lineare Funktionen (Fortsetzung)

Um das einzusehen, haben wir nur die Linearität aller derjenigen umkehrbar eindeutigen konformen Abbildungen der Kreisscheibe | z \ < 1 auf sich zu beweisen, die seinen Mittelpunkt festlassen. Denn durch eine geeignete lineare Abbildung von | 2 | < 1 in sich kann man jeden anderen Punkt in 2 = 0 überführen, z. B. durch eine passende hyperbolische Substitution, deren beide Festpunkte durch die Enden des Durchmessers geliefert werden, auf dem der betreffende Punkt liegt. Für Funktionen, die 2 = 0 festlassen, gründen wir den Beweis auf das sogenannte Schwarzsche L e m m a : Sei f(z) =

1.

Das steht aber mit dem bereits Bewiesenen im Widerspruch. Wenn also irgendwo in | z \ < 1 das Gleichheitszeichen ein-

32

I. Grundlegung

f/z) ffz\ tritt, dann muß — konstant sein. Dann ist überall — ' z i z und daher überall: f(z) = eiaz.

= 1

Daraus folgt nun: Alle u m k e h r b a r e i n d e u t i g e n k o n f o r m e n A b b i l d u n g e n des I n n e r e n des E i n h e i t s k r e i s e s auf sich sind linear. Denn wenn w — f(z) eine solche Abbildung ist, die z = 0 festläßt, dann muß bei der Abbildung nach dem Schwarzschen Lemma jeder Punkt dem Punkt z — 0 genähert werden. Das gleiche gilt für die Umkehrungsfunktion. Beides ist nur verträglich, wenn jeder Punkt bei der Abbildung seine Entfernung vom Mittelpunkt behält. Dann ist aber w = f(z) = eiaz eine lineare Funktion, und unser Beweis ist fertig. Läßt aber eine Funktion f(z) den Punkt 2 = 0 nicht fest, so trifft dies für eine passende lineare Funktion von f(z) zu. B e m e r k u n g : Die Voraussetzung „umkehrbar eindeutig" ist wesentlich für das Bestehen unseres eben bewiesenen Satzes, denn es liefert ja z. B. auch tv = z2 eine Abbildung des Einheitskreises auf sich selbst. Ü b u n g s a u f g a b e n : 1. Man bilde durch eine hyperbolische Substitution einen exzentrischen Kreisring auf einen konzentrischen ab. 2. Man gebe das allgemeinste Kreisbogendreieck an, das durch w =

_ - in ein geradliniges verwandelt wird.

3. Man bilde die von zwei einander berührenden Kreisen begrenzte Sichel auf einen von zwei parallelen Geraden begrenzten Streifen ab. § 6. Gruppen linearer Funktionen Unter einer Gruppe linearer Funktionen verstehen wir eine Menge linearer Funktionen derart, daß die Zusammensetzung S1S2 zweier Funktionen S1 und S2 der Menge wieder eine Funktion S3 der Menge liefert und daß gleichzeitig die

§ 6. Gruppen linearer Funktionen

33

Menge zu jeder vorkommenden Funktion S die inverse S - 1 enthält. (Man vergleiche die Seite 21 eingeführten Bezeichnungen.) Wir wollen einen Fundamentalbereich einer solchen Gruppe bestimmen. Unter einem Fundamentalbereich verstehen wir eine Punktmenge F folgender Art: Sie ist die Vereinigungsmenge eines Bereiches mit einem Teil seiner Randpunkte, soll also jedenfalls auch innere Punkte besitzen, d. h. Punkte, um die es Kreisscheiben gibt, die F angehören. Wenn wir alle Abbildungen der Gruppe auf F anwenden, soll die Vereinigungsmenge der so erhaltenen Bilder von F eine einfache Überdeckung der vollen Ebene oder eines Teiles derselben liefern, und es soll F nicht Teilmenge einer F umfassenden Menge mit den eben angegebenen Eigenschaften sein. Ein paar Beispiele werden das Gesagte klarer machen. Sei z. B. eine Gruppe aus Drehungen um den Punkt z = 0 gegeben. 2 hin Ihre Elemente sollen die folgenden sein: z' = e " z(h = 1, 2, • • • n), w ganzzahlig. Die Gruppe besteht aus der Drehung. 2jj

vom Winkel — u m z — 0 und den Wiederholungen dieser Drehung. Man sieht2 hiin sofort, daß die Zusammensetzung zweier 2 h2iji Drehungen z' = e

n

z und z" = e

n

z' der Menge die

n Drehung z der Menge 2Aü z" = e 2(n —liefert. h)in Ferner ist die zu n n z' = e z inverse Drehung z — e 2' in der Menge enthalten. Als Fundamentalbereich können wir z. B. den Winkelraum zweier von Null nach Unendlich gehenden Halb2 7C geraden nehmen, welche bei« = 0 den Winkel — einschließen,

einschließlich der einen Begrenzungsgeraden. Denn wenden wir auf ihn alle Drehungen der Gruppe an, so erhalten wir eine volle Bedeckung der ganzen Ebene durch n Zweiecke. Wir können auch sagen: Jeder Punkt der Ebene kann durch eine passende Drehung der Gruppe in einen Punkt des Fundamentalbereiches übergeführt werden, der so zu jedem Punkte der Ebene genau einen entsprechenden enthält, wenn 3

B i e b e r b a c h , Einführung in die konforme Abbildung

34

I. Grundlegung

wir ihm nur seine eine Begrenzungsgerade zurechnen, die andere aber, soweit auf ihr z =j= 0 ist, nicht mehr als einen Teil von ihm auffassen. Einen Fundamentalbereich würde, im Gegensatz zum angegebenen, der im Inneren des Einheitskreises liegende Teil des Zweiecks nicht liefern, obwohl wir durch Ausübung der Drehungen der Gruppe einen Teil der Ebene mit kongruenten Teilzweiecken überdecken können, aus dem einfachen Grunde, weil eben ein diesen Teil umfassender Bereich (das ganze Zweieck) auch eine einfache Überdeckung liefert. Als Fundamentalbereich können wir weiter nicht ein Zweieck brauchen, das bei z = 0 den doppelten des angegebenen Winkels einschließt, denn bei Ausübung der Drehungen erhalten wir zwar eine lückenlose, aber keine einfache, sondern eine doppelte Überdeckung der Ebene. Soviel zur Erläuterung der Begriffsbestimmung. Weiter können wir bemerken, daß der F u n d a m e n t a l b e r e i c h k e i n e s w e g s e i n d e u t i g b e s t i m m t ist. Statt den Winkelraum geradlinig zu begrenzen, können wir auch irgend zwei von Null nach Unendlich ohne Überkreuzung laufende Kurven nehmen, deren eine aus der andern 2 in

durch die Drehung z' = e" z hervorgeht. Weiter merken wir an, daß n i c h t j e d e Gr u p p e einen F u n d a m e n t a l b er eich b e s i t z t , z. B. nicht die Gruppe a l l e r Drehungen um den Punkt 2 = 0 oder die von allen linearen Abbildungen mit von Null verschiedener Determinante gebildete Gruppe. Denn es liegt im Begriff des Fundamentalbereiches, daß er nicht zwei Punkte enthalten kann, die auseinander durch eine Abbildung der Gruppe hervorgehen. Das würde nämlich der Forderung des einfach Bedecktseins widersprechen. Daraus folgt die Behauptung. Denn in den Beispielen kann jeder Punkt durch eine geeignete Abbildung der Gruppe in einen ihm beliebig nahe gelegenen, aber von ihm verschiedenen Punkt übergeführt werden; der Fundamentalbereich kann demnach keinen inneren Punkt besitzen. Denn um einen solchen Punkt P müßte sich eine Kreisscheibe legen lassen, die keinen weiteren Punkt enthält, der aus P durch eine Abbildung der Gruppe hervorgeht. Diese Betrachtungen ent-

§ 6. Gruppen linearer Funktionen

35

halten eine notwendige Bedingung dafür, daß eine Gruppe einen Fundamentalbereich besitzt. Sie liegt darin, daß es Gebiete gibt, die keine zwei einander durch die Gruppe entsprechenden Punkte enthalten. Diese Bedingung erweist sich auch als hinreichend. Man hat, um das einzusehen, nur einen ersten Bereich, der frei ist von Punkten, die auseinander durch Abbildungen der Gruppe hervorgehen, soweit als möglich zu erweitern. Es seien noch ein paar Beispiele für Gruppen und ihre Fundamentalbereiche angegeben. 1. Die Gruppe der Abbildungen w = z 4- h,h ganzzahlig, hat als Fundamentalbereich einen Streifen von der Breite eins, begrenzt z. B. von zwei'Parallelen zur imaginären Achse, die im Abstand eins voneinander verlaufen. 2 . 2' = z + + 2H (O (hv H ganzzahlig, OD nicht reelle komplexe Zahl). Fundamentalbereich ist ein Parallelogramm, das als Seiten die von Null ausgehenden Vektoren 1 und und zwei Parallele derselben hat. 2

2

2iir

3. z' = — , z' = e n z und ihre zusammengesetzten, n ganz^

in

zahlig (Diedergruppe). Kreisbogendreieck mit den Ecken 0, e " in

und e n . Die'Begrenzung besteht aus dem über z = 1 führenden Bogen des Einheitskreises zwischen diesen beiden Punkte

i'i

ten, sowie den Kreisradienvon z = 0 nach en und nach e n . 4. Die Drehgruppen der weiteren regulären Körper. Den unter Nummer 8 angegebenen Gruppen entsprechen nach S. 19/20 durch stereographische Projektion Gruppen von Kugeldrehungen, welche die Dieder in sich überführen; das sind Doppelpyramiden, mit Nord- und Südpol der Kugel als Spitze. Ebenso geben die anderen regulären Körper zu Gruppen von Drehungen Anlaß, die sie mit sich selbst zur Deckung bringen. Ihre Fundamentalbereiche sucht man am besten erst auf der Kugel auf, um dann durch Kugelabbildung zur Ebene überzugehen. Projiziert man zunächst die Begrenzungsdreiecke der Körper vom Mittelpunkt der Kugel aus auf ihre 3*

36

I. Grundlegung

Oberfläche und zieht dann in allen diesen sphärischen Dreiecken die Höhen tvon den Ecken bis zu ihrem gemeinsamen Schnittpunkt, so hat man in jedem der so entstandenen neuen Dreiecke einen Fundamentalbereich der Gruppe vor Augen. 5. Die Nebeneinanderlagerung der Fundamentalbereiche muß nicht immer wie in den oben behandelten Beispielen eine Überdeckung der vollen Ebene liefern. Das kann auch mancher andere Teil der Ebene sein, z. B. das Innere eines Kreises oder die obere Halbebene. Diese wird z. B. durch die elliptische Modulgruppe in sich übergeführt. Sie ist durch Substitutionen 2' = ^ ^ ^ gebildet. Hier sind a, b, c, d ganze rationale Zahlen, für die ad — bc = 1 ist. Diese Gruppe hat als Fundamentalbereich den außerhalb des Einheitskreises gelegenen Teil des Streifens zwischen den beiden Geraden x = — \ und x = + \ — x iy) (Zeichnung 8). Die Menge aller Abbildungen der Gruppe erhält man durch Zusammensetzung von zwei geeigneten derselben, nämlich der parabolischen z' = z-j- 1, die die beiden Begrenzungsgeraden ineinander überführt, und der elliptischen w = — - mit den Fixpunkten i, — i, durch die die beiden Bogen von + i bis — - i + -i- j/3 und von + i bis + ~ i ¿ ¿ t ¿2 + -g- V3 des Einheitskreises zusammenhängen. Eine wichtige Disziplin der modernen Funktionentheorie ist die Theorie der automorphen Funktionen. Sie betrachtet die Funktionen, welche bei Gruppen linearer Funktionen ungeändert bleiben. Das sind Funktionen, die allen Funktionalgleichungen f(z) = f(li(z)) genügen, wenn wir mit l,(z) die Abbildungen der Gruppe bezeichnen. In einfachen Fällen lassen sich derartige Funktionen leicht angeben. Z. B. bleibt 2 hin

w — zn durch die Drehungen 2' = e n z ungeändert. Ebenso

§7. ist w = z n +

W

= 2"

37

eine automorphe Funktion derDiedergruppe

von Beispiel 3. Automorphe Funktionen der Gruppe 2 sind doppelperiodische Funktionen, von Gruppe 1 die Funktionen w = e ii7tz , von Gruppe 5 die elliptische Modulfunktion; bei Gruppe 4 erhält man leicht automorphe Funktionen in der n

Gestalt w = J£'r(i ( (z)), wenn r ( z ) eine passende Funktion ist i und l t { z ) die Abbildungen der Gruppe, n die Zahl ihrer Abbildungen, d. h. ihre Ordnung bedeuten. § 7. w = z

n

Im § 1 wurden vorläufig die singulären Stellen der Funktion und die ihrer Umkehrungsfunktion und daher auch die Nullstellen der Ableitung von der Betrachtung ausgeschlossen. Im § 3 haben wir durch Studium der Funktion w = — einen erstenSchrittzur AusfüllungdieserLückegetan. Wir konnten auf beliebige Funktionen schließen, die irgendwo einen einfachen Pol haben. w = z n hat bei z = 0 eine verschwindende Ableitung, wenn n ^ 2 eine natürliche Zahl ist. Die Umkehrungsfunktion zeigt an dieser Stelle singuläres Verhalten. Sie hat dort einen Verzweigungspunkt w-ter Ordnung.Um denVerlaufder Abbildung w = z n bei z = 0 zu erkennen, führen wir Polarkoordinaten ein, indem wir z = rei?>, w = g e i & setzen. Dann wird q = r n , & = n1 — a>2, OJ1 — a>2, OJ1 + ftJ2, — co1 + 0. Ich behaupte nun, daß w = f(z) das Gebiet 0 auf den v o l l e n Kreis | w | < g abbildet. Bisher wissen wir nur, daß das Bildgebiet über diesen Kreis nicht herausragt. Wäre er not diesem Kreise nicht identisch, so müßten Randpunkte desselben dem Inneren des Kreises angehören. Dann kann man aber, wie gezeigt werden soll, eine in 0 reguläre Funktion (f (z) angeben, die bei z = z 0 verschwindet, die dort die Ableitung Eins besitzt, die 0 schlicht abbildet, und deren ¡JAJP) < g ist. Dies widerspricht aber der Definition von o. E s genügt in dem durch w — f(z) erhaltenen Bildgebiet G' von G eine entsprechende Funktion 1 schlicht ab, daß dabei einer der unendlich fernen Punkte festbleibt. Das Schwarzsche Lemma läßt dabei erkennen, daß Cr-, in ein Gebiet übergeht, das in einem Kreisring 1 < z < q1 Platz hat mit q1 < g. Das widerspricht der Definition von q. Durch analytische F o r t s e t z u n g e n Hand des Schwarzschen Spiegelungsprinzips kann man zeigen, daß zwei konzentrische Kreisringe nur durch Ähnlichkeitstransformationen verbunden mit einer Stürzung ineinander abgebildet werden können, woraus sich ergibt, daß zwei solche Kreisringe gleiches Radienverhältnis haben. Z w e i ! k o n z e n t r i s c h e Kreisringe mit gleichem Radienverhältnis können demnach schlicht und konform aufeinander abg e b i l d e t w e r d e n , w ä h r e n d das bei v e r s c h i e d e n e n

§ 16. Die Zuordnung der Ränder bei konformer Abbildung

71

' R a d i e n v e r h ä l t n i s n i c h t m ö g l i c h i s t . Man nennt daher das R a d i e n V e r h ä l t n i s eine k o n f o r m e I n v a r i a n t e oder auch den Modul der zweifachzusammenhängenden Gebiete. Siehe auch § 24. Auch jeder endlich vielfach zusammenhängende B e r e i c h l ä ß t sich u m k e h r b a r e i n d e u t i g u n d k o n f o r m auf einen von l a u t e r V o l l k r e i s e n (und isoliertten Punkten) b e g r e n z t e n B e r e i c h a b b i l d e n . Dieser 1910 von P. Koebe gesicherte Satz verlangt wesentlich tiefergreifende Überlegungen. Zwei von V o l l k r e i s e n b e grenzte Gebiete können nur durch lineare F u n k tionen s c h l i c h t a u f e i n a n d e r a b g e b i l d e t werden. Siehe § 26. § 10. Die Zuordnung der Ränder bei konformer Abbildung Bereits H. A. S c h w a r z hat sich mit der Frage beschäftigt, wie es bei der Abbildung eines einfach zusammenhängenden Gebietes auf eine Kreisscheibe mit dem gegenseitigen Entsprechen der Randpunkte steht. Sein Hauptergebnis ist dieses: W e n n ein von e n d l i c h v i e l e n S t ü c k e n a n a l y t i scher K u r v e n 1 ) begrenztes Gebiet u m k e h r b a r eind e u t i g und a n a l y t i s c h auf das I n n e r e eines K r e i s e s a b g e b i l d e t wird, so wird d a d u r c h eine u m k e h r b a r e i n d e u t i g e und s t e t i g e A b b i l d u n g des a b g e s c h l o s senen G e b i e t e s e r k l ä r t ; in den von E c k p u n k t e n v e r s c h i e d e n e n P u n k t e n eines j e d e n der a n a l y t i s c h e n R a n d b o g e n i s t die A b b i l d u n g r e g u l ä r und b e s i t z t eine n i c h t v e r s c h w i n d e n d e A b l e i t u n g . Die moderne Theorie ist bei diesem Schwarzschen Ergebnis über Ränderzuordnung nicht stehengeblieben. Nach Vorstufen bei Painleve, der stetig differenzierbare Randkurven behandelte, und bei Osgood haben die Arbeiten von Caratheodory und Study die volle Erledigung des Problems gebracht. Von verschiedenen Seiten, namentlich von Lindelöf L ä n g s j e d e m B o g e n ist die den B o g e n darsteUende F u n k t i o n z = z((.) bei passender W a h l des längs dem B o g e n reellen P a r a m e t e r s t a n a l y t i s c h und

z'(i) =t= 0.

72

IV. Abbildung gegebener Gebiete

und Koebe, ist die Beweisführung wesentlich vereinfacht worden. Hier sei ein Hauptergebnis behandelt: E s sei J ein dem R a n d eines e i n f a c h z u s a m m e n h ä n g e n d e n B e r e i c h s B der s - E b e n e a n g e h ö r i g e r J o r d a n s c h e r K u r v e n b o g e n . E s l e i s t e w = f(z) eine s c h l i c h t e A b b i l d u n g von B auf den | w | < 1. D a n n i s t f(z) in der Y e r e i n i g u n g s m e n g e v o n ß u n d J s t e t i g . I s t J a n a l y t i s c h , so i s t f(z), wie d a r a u s g e f o l g e r t w e r d e n k a n n , in der V e r e i n i g u n g s m e n g e v o n B u n d J h o l o m o r p h . Diesen Satz, der das eingangs hervorgehobene Schwarzsche Ergebnis enthält, kann man nach einem auf G. Faber zurückgehenden Gedanken wie folgt beweisen. Es sei P ein Punkt auf J. Es sei K(r) der Kreis vom Radius r um P als Mittelpunkt. Es sei W eine Jordankurve, die einen inneren Punkt Q von B mit P verbindet. Die Existenz solcher Jordankurven wird in der Topologie bewiesen. Es sei Pr der letzte Schnittpunkt von W mit K(r), der bei Durchlaufung von W in Richtung von Q nach P angetroffen wird. Er existiert, wenn r hinreichend klein ist. Pr gehört einem Bogen Kr von K(r) an. Kr ist für genügend kleine r ein Querschnitt von B, der zwei auf J gelegene Randpunkte von B verbindet. Kr zerlegt dann B in zwei Teilgebiete, dessen eines B, den Randpunkt P hat. Ist r' < r", so ist BR- Q BT". Bei der Abbildung von B auf | w | < 1 durch w — /(z) geht Br in ein Teilgebiet B'r von | w \ < 1 über und aus Kr wird eine Jordansche Kurve K'r, die B'r von | w | < 1 abtrennt. Es ist noch unklar, ob sie bestimmte Endpunkte auf | w \ = 1 hat. Aber jedenfalls konvergiert sie gegen | w | = 1, wenn man auf K, gegen J konvergiert. Wenn nun f(z) bei Annäherung an P längs W keinen Grenzwert hat, wenn vielmehr w0 und wx zwei verschiedene Stellen auf | w \ = 1 sind, die Häufungspunkte von Werten sind, die f(z) auf W annimmt, so muß in jedem K'r für genügend kleines r ein Bogen enthalten sein, dessen Länge lr | w0 — wx | = l > 0 ist. Ich wähle ein r 0 fest und betrachte 'o / | /' 12 r dr d

0 auf das I n n e r e

des Kreises | w | < 1 a b .

2 71 1. w = zn bildet das Z w e i e c k 0 < q> < — , 2 = re'^ auf die obere H a l b e b e n e > 0 schlicht a b . 2. D e r H a l b k r e i s \ z j < 1 , y > 0 (z —- z + iy) w i r d d u r c h lg ]\2 w = auf die obere H a l b e b e n e schlicht a b g e b i l d e t . D e n n l =

2

bildet i h n auf das Zweieck 0 <

0, v > 0 angehörige Hälfte nehmen. Sie wird durch die Inverse von w = z + — auf den z Sektor — a < 99 < 0, | z | < 1 abgebildet, wofern man denK) 1 4 jenigen Zweig der Umkehrungsfunktion z = —— Wählt, der Vvß — 4 < 0 für w > 2 liefert. Spiegelung an | z | = 1 läßt erkennen, daß das längs w > 2 aufgeschlitzte

§ 17. Beispiele

79

Hyperbelinnere auf das Zweieck — a < q> < 0 abgebildet ist, wobei

< 1 dem Schlitz entspricht und daß zwei nur ums Vorzeichen verschiedene Punkte dieser Strecke denselben Punkt des Schlitzes liefern, tü2 liefert dann endlich die schlichte Abbildung des Inneren des Hyperbelastes auf das Innere eines Einheitskreises. M2 V2 1 13. Das Außere der Ellipse ^ + p = 1, a = r + —, b = —— r, r < 1 wird durch die Inverse von w = z + — r

z

'

auf das Innere des Kreises | w \ = r < 1 schlicht abgebildet. (w

=

u +

iv.)

14. Die gleiche Funktion bildet die oberhalb der reellen Achse gelegene Hälfte des Inneren derselben Ellipse auf ein Kreisbogenviereck ab, begrenzt von den beiden oberhalb der reellen Achse gelegenen Halbkreisen | z \ — 1 und \ z \ = r < 1 und zwei Stücken der reellen Achse, wofern man denjenigen Zweig der Umkehrungsfunktion z =

w + ]fw2 — 4 -—

2

verwendet, der bei w = 0, z = i liefert, j = log z bildet dies Viereck auf das Rechteck log r < SKj < 0, 0 < < n ab, und dieses wird durch p (j, log r, in) auf eine Halbebene schlicht abgebildet.

80

IV. Abbildung gegebener Gebiete

15. Polygone. Die Halbebene 3(2) > 0 wird durch z

r j t __ «1 + «2 + «3 = 2 J (t — a^i (i — a2)a> (t — a3) 1, so folgt ebenso | b | ^ 2 und aus beidem zusammen I a — b I < 4 mit = nur bei

102

IV. Abbildung gegebener Gebiete

den Funktionen (20. 9). Die Aussage (20.13) gilt dann auch für alle Funktionen (20. 2) der Familie S, weil die Subtraktion des Absolutgliedes b0, durch die man von b(z) zu b*(z) übergeht, aus (20.13) herausfällt. 20. 9. Ich erinnere daran, daß w = z + 1/s den | z | > 1 2 schlicht abauf das Komplement des Schlitzes — 2 ^ u bildet (w = u + iv) und daß infolgedessen w = 2/(1 + zf den | z | < 1 schlicht auf das Komplement des Schlitzes u ^ -j- abbildet. Daraus entnimmt man die durch irgendwelche Funktionen (20. 9) und (20.11) vermittelten Abbildungen. 20.10. D e r V e r z e r r u n g s s a t z . F ü r j e d e F u n k t i o n (20.1) d e r F a m i l i e 8 u n d f ü r j e d e s | z | < l g e l t e n die f o l g e n d e n A b s c h ä t z u n g e n : (20.14) (20.15) (20.16)

(20.17)

(11(i

^ I «(*) I ^

(1~M)2 i + M +\g\y ^ l«'(z)l ^ ( 1 - 1 2|) 3

M)2

i - M M(i+M) a'(z)


1, | j | > 1 die Schlichtheit von (21.1) in | z | > 1 kennzeichnet. U m den Zusammen-

§ 21. Der Grunskysche Koeffizientensatz

113

hang der i ß in (21. 3) mit den l l n in (21.1) zu finden, ist es zweckmäßig, die Ableitung von (21. 2) nach z heranzuziehen. Sie ist %(») ii(z) — h(i)

(21. 4)

1 2—b

Nun ist (21.5) Hier sind die (21. 6)

Fjiw) = w> + • • •

die nach G. Faber benannten Polynome j'-ten Grades, deren Koeffizienten sich ganz rational durch die b n , . . . , ausdrücken lassen. Insbesondere ist (21.7)

F0(w) = l,F1(w) = w-b10, F2(W) = W*-2b10w + 6f0 2bn, F3(W) = W*~ 3b10w2 + 3 (6f 0 - bn)w +

3&

-

b*

l A ö — 3J 12-

Trägt man in (21. 5) w =

ein, so bemerkt man, daß

(21. 8)

i f y ) = F ß M = tf + j J biki-\ j > 1 £=1 ist, weil (21. 4) für große j bei festem z holomorph ist. Insbesondere ist bm in (21. 3) mit bln in (21.1) identisch. Ich benutze später die bjle für kleine Nummern. Für den allgemeinen Fall siehe I. Schur, Am. J. Math. 67 (1945). Man hat ^21 = ^12> ^22 = ~2~ ^11

^13' ^31 = ^13' ^23 = ^11^12 4" ^14)

= 623> &33 = h s + &11613 + ^12 + y 611" Aus (21, 3) ergibt sich die zuerst von H. Grunsky bemerkte Symmetrieeigenschaft bj k = 8

B i e b e r b a c h , Einführung in die konforme Abbildung

114

IV. Abbildung gegebener Gebiete

21. 2. V e r a l l g e m e i n e r u n g d e s F l ä c h e n s a t z e s . Ich schließe mich der Darstellung von Chr. Pommerenke an, die eine lange Entwicklung abschließt (MZ. 85, 1964). W e n n (21.9)

=

+

+&»!*-+•••

in | z | > 1 h o l o m o r p h u n d e i n d e u t i g i s t , sowie das e l b s t j e d e n W e r t h ö c h s t e n s m m a l a n n i m m t , so i s t oo

m k=l

k=1

(21.10)

= lim

In ~

r 11

=

~n

V(re m)

I

b ( r e r & H d

o I

I

(

m

—

n

(

w

) ) dudv

Sä

0.

Das Flächenintegral ist hier über die volle w-Ebene zu erstrecken. n(w) bedeutet die Anzahl der w-Stellen von b(z) in | 2 | > 1. sei w = w(t) H i l f s s a t z , In der w=u-\-iv-Ebene eine geschlossene analytische Kurve. Dann ist (21.11)

J

udv

=

f f

U(w)

dudv.

Zw

Hier ist wie im Satz das Flächenintegral über die volle «;-Ebene erstreckt und bedeutet U(w) die Umlaufzahl der Kurve (i w um die Stelle w. Da analytisch ist, liegt diese Kurve in einem beschränkten Gebiet der w und zerfällt in endlich viele geschlossene Jordankurven. Wie aus der Integralrechnung bekannt ist, ist das Kurvenintegral über eine jede derselben gleich dem positiven oder negativen Flächeninhalt des von der betr. geschlossenen Jordankurve umschlossenen Gebietes je nachdem, ob die Jordankurve um die Gebietspunkte die Umlaufzahl + 1 oder —1 hat. Daraus ergibt sich der Hilfssatz, wenn man noch beachtet, daß für alle w außerhalb des Gebietes, in dem liegt, die Umlaufszahl 0 ist.

§ 21. Der Grunskysche Koeffizientensatz

115

Man wende den Hilfssatz auf die Kurven an, die aus den positiv durchlaufenen Kreisen \z \ = r > 1 durch (21.9) hervorgehen. Dann ist U(w) = m — n ( w ) . Denn jetzt umläuft jede in (Em enthaltene geschlossene Jordankurve, falls sie Band eines Stückes des durch (21. 9) erhaltenen Bildgebietes von | z | > r ist, die Punkte dieses Gebietes einmal im negativen Sinn. Außerdem hat für jeden nicht vom Bildgebiet bedeckten Punkt w die Umlaufszahl m. Das folgt daraus, daß es für jede Kurve so ist, die aus einem genügend großen Kreis durch (21. 9) hervorgeht. Diese Umlaufszahl hängt aber stetig vom Kreisradius ab. Das in (21.10) stehende Kurvenintegral ist das Doppelte des in (21. 11) stehenden Kurvenintegrals, wie man aus dem Beweis des Flächensatzes (20. 6) weiß. Geht man zu r j 1 über, so hat man die in (21.10) stehende Beziehung zwischen Kurvenintegral und Flächenintegral aus der in (21.11) gewonnen. Das Kurvenintegral in (21.11) berechnet man ganz ebenso, wie beim Flächensatz in § 20. Das schließt den Beweis des verallgemeinerten Flächensatzes ab. 2 1 3 . D e r K o e f f i z i e n t e n s a t z v o n H. G r u n s k y . a. D i e P o t e n z r e i h e (21.1) b i l d e t d e n | 2 [ > 1 g e n a u d a n n schlicht ab, wenn f ü r m = 1 , 2 , . . . u n d bel i e b i g e k o m p l e x e xi co m ml (21.12) £ j\£bikxk\* ^ 2 yl^l2 j=1 k=l k=1 K i s t . b. D i e P o t e n z r e i h e (21.1) b i l d e t d e n ] s ] > l g e n a u d a n n s c h l i c h t a b , w e n n f ü r m = 1, 2 , . . . u n d b e l i e b i g e k o m p l e x e Xi mm m 1 (21.13) £iikxixt\ ^ £ -j\xk\2 ?' = 1 k = 1 k=l ist. Man wähle in (21. 9) als b(z) ein Polynom m-ten Grades von (21.1). Ein jedes solches Polynom kann man nach (21. 6) linear aus den Faberschen Polynomen aufbauen: m

(21.14) l{z) = 2 le-^FtlbM k=1 8*

m

=

k=1

00

j=1

bkixkz~K

116

IV. Abbildung gegebener Gebiete

Daher folgt (21.12) aus (21.10) für jedes (21.1) e i Umgekehrt ist auch jedes (21.1) e ü , wenn (21.12) erfüllt ist. Setzt man nämlich in (21.12) alle Xi mit einer Ausnahme 0, so ergibt sich (21.15)

g

CO

j | ljk [2 ^

1 T

. Also ist auch | bjk \ f£

J

.

Daher konvergiert die Reihe in (21. 3) für | z | > 1, | j | > 1 absolut, was (21.1) e 2 J zur Folge hat. Außerdem sieht man, daß in (21.12) nur dann an irgend einer Stelle ein Gleichheitszeichen auftreten kann, wenn (21.1) den j z | > 1 auf ein Gebiet abbildet, dessen Komplementärmenge den Inhalt 0 hat. Mit Hilfe der Schwarzschen Ungleichung 1 ) für komplexe ! £ cndn |2 £ £ | en |2 • 2 \ |a folgt aus (21.12), daß (21.13) für beliebige komplexe x t gilt, falls (21.1) e T ist. Das hat H. Grunsky 1938 MZ. 45 gefunden und auch bewiesen, daß (21.1) e 27 ist, wenn (21.13) gilt. In der Tat: Setzt man in (21.13) alle xt mit zwei Ausnahmen 0, so hat man (21.16) | bjjxj + 2bjkXjXk

+ bkkx\ | ^ j

\ x, |2 -f

| xk |2.

Daher ist für beliebige reelle x,, xk,oc (21 17)

7 ^

+

T * * ~ ^"(bjjXf

+ ZbjkXj xk + hk4)

^ o.

Daraus folgt ( j . _ $iei°lbjjSj ( y - « e ' « 6 t t ) -

^ e * « b j k f Z 0.

Und daraus entnimmt man \bn\ ^ y . Man beweist sie analog wie in § l ß .

=

§ 21. Der Grunskysche Koeffizientensatz

117

Daraus folgt wieder die absolute Konvergenz der Reihe in (21. 3) für | 2 | > 1, | j | > 1 und damit (21.1) eZ. 21. 4. | a 4 | ^ 4. F ü r j e d e s (20.1) e S i s t | a 4 | g 4 und g i l t = n u r f ü r die (20.11). Ich schreibe den Spezialfall m = 3 von (21.12) explizite an und lasse dabei auch die dort unendliche Reihe nur bis 3 laufen. Dann hat man 3 (21.18) |2 ^ 0. 2 T I xk - k l I 1 k=1 Hier hat man eine positive Hermitesche Form Z AßXjX],, Afk = Akj vor sich. Von (20.1) gehe man, wie in § 20 dargelegt wurde, durch (21.19)

b^z) = 1

zu einer (21.1) e Z über. Man hat dann K (21.20)

= ~

a. & > 12 = ~2

&

i3= —

+ "

= 0

• ^ a2a3

h

h22 — — ff2— — — 2 2 2 ' hs = , _ °33 — y

2

,

a

2a3

13_ 3 24 ffl2 •

Die Definitheit von (21.18) führt zu folgenden Bedingungen: 1 — (21. 21)

- 3 —

2

— o ai

i 1 -

a 2

s

> 0

> 0

-^11^33 ' Aus der ersten derselben kann man nochmals (20.10) entnehmen. Die zweite führt zu \a\— az \ ^ 1, wobei das Gleichheitszeichen nur für die Funktionen

118

IV. Abbildung gegebener Gebiete

gelten wenn dritte lautet

kann. Das entnimmt man ja auch schon aus (20. 4), man darauf den Flächensatz (20. 6) anwendet. Die Bedingung (21.21) w i r d ' z u | a 4 | 4 führen. Sie explizite —

(21.22)

a2 2

3 1 + 39i|« 2

2

13^ 2 i U(Xn 2UZ Cto ~24

1

3 "8ai

t 2

1 22 8®

a% + 3

-

2

13 24

®2®3

> 0.

| a 2 \ = 2 tritt nur bei den Funktionen (20.11) auf. Für diese ist | a 4 | = 4 . Daher genügt es in den weiteren Überlegungen | a2 | < 2 anzunehmen. Dann ergibt sich aus (21. 22) (21. 23)

a, 3o

ClnCto ÜL a 3

3 1/1-

24 2

3

a

i