Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik: Band 60, Heft 1 Januar 1980 [Reprint 2022 ed.] 9783112649961

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UNTER M I T W I R K U N G V O N E . B E C K E R • H. BECKERT • L. BERG • L. BITTNER • L. C O L L A T Z W. F I S Z D O N • H. GÖRTLER • J . H E I N H O L D • H . H E I N R I C H • J . H U L T • A. JU. I S C H L I N S K I R. K L Ö T Z L E R • P . H . M Ü L L E R • H. N E U B E R • W. O L S Z A K • K. O S W A T I T S C H • A. S A W C Z U K L. SCHMETTERER • J . W . S C H M I D T • H . S C H U B E R T • G. G. T S C H O R N Y • H. U N G E R F. W E I D E N H A M M E R U N D F. Z I E G L E R HERAUSGEGEBEN VON G.SCHMIDT, BERLIN C H E F R E D A K T E U R : G. S C H M I D T

R E D A K T E U R E : W. H E I N R I C H , H. W E I N E R T

HEFT 1

1980

B A N D 60

A U S DEM I N H A L T H A U P T A U F S Ä T Z E B. D. Craven: Strong Vector Minimization and Duality / F. Vogl: Über ein System linearer Funktional-Differentialgleichungen / K.-R. Schneider: Andronov-Hopf-Bifurkation im Falle stetiger Parameterabhängigkeit / K. Gröger: Asymptotic Behaviour of Elastoplastic Bodies under Periodic Loading / L. M. de Socio/L. Misici : Free Convection in a Trench with Radiative Wall Conditions / P. D. Ariel/B. D. Aggarwala: Rayleigh-Taylor Instability of a Visco-Elastic Fluid K L E I N E

M I T T E I L U N G E N

B U C H B E S P R E C H U N G E N E I N G E G A N G E N E

B Ü C H E R

A K A D E M I E - V E R L A G ZAMM EVP 18,- M

Bd. 60

Nr. 1

S. 1—64

B E R L I N Berlin, Januar 1980

34115

INHALT Hauptaufsätze B. D. C r a v e n : Strong Vector Minimization and Duality F. V o g l : Über ein System linearer Funktional-Differentialgleichungen K.-R. Schneider: Andronov-Hopf-Bifurkation im Falle stetiger Parameterabhängigkeit K. G r ö g e r : Asymptotic Behaviour of Elastoplastic Bodies under Periodic Loading L. M . de Socio/L. M i s i c i : Free Convection in a Trench with Radiative Wall Conditions P. D . Ariei/B. D. A g g a r w a l a : Rayleigh-Taylor Instability of a Visco-Elastic Fluid

Seile 1 7 19 25 31 39

Kleine Mitteilungen U . F i s c h e r : Bestimmung der kleinsten Eigenwerte symmetrischer, positiv definiter Matrizen durch direkte Vektoriteration K. S t r e h m e l : Bemerkungen zum Verfahren von Nickel und Rieder K. C. G a r g / K . S w a r u p : The Use of Cuts in Linear Fractional Functional Complementary Programming . . . E. K r e y s z i g : Newton-Cotes-Koeffizienten und Binomialverteilung L. K. R o y : More about Entropies of Power Distributions K. K. T a m : A Remark on the Brunt-Väisälä Frequency . . . K. Yoneyama/T. Yuasa/T. N i s h i d a : A Queueing System with c-Random Additional Service Channels

49 50 53 55 55 56 57

Buchbesprechungen

59

Eingegangene Bücher

64

W i r bitten, M a n u s k r i p t s e n d u n g e n zweifach (Original und eine Kopie, sprachlich einwandfrei, Formeln mit Maschine oder in Druckschrift geschrieben) an folgende Anschrift zu richten: Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik z. Hd. Herrn Prof. Dr. Günter S c h m i d t Zentralinstitut für Mathematik und Mechanik an der Akademie der Wissenschaften der D D R DDR-1080 B e r l i n , Mohrenstraße 39. Z u den Arbeiten, die als Hauptaufsätze bestimmt sind, ist auf gesondertem Blatt eine Zusammenfassung von 5 bis 10 Zeilen in englischer und (möglichst) deutscher und russischer Sprache beizufügen. Ausführliche Hinweise für die Autoren, um deren strikte Berücksichtigung gebeten wird, finden sich im Anschluß an das Inhaltsverzeichnis des Jahrganges 59(1979). Die Autoren erhalten von den Hauptaufsätzen 73, von den Kleinen Mitteilungen 25 Sonderdrucke ohne Berechnung, darüber hinaus weitere Sonderdrucke gegen Berechnung. Der Verlag behält sich für alle Beiträge das Recht der Vervielfältigung, Vorbereitung und Übersetzung vor. Bestellungen sind zu richten — in der D D R an den Postzeitungsvertrieb; an eine Buchhandlung oder an den AKADEMIE-VERLAG, DDR-1080 Berlin, Leipziger Str. 3—4— i m sozialistischen A u s l a n d an eine Buchhandlung für fremdsprachige Literatur oder an den zuständigen Postzeitungsvertrieb — in der B R D und Westberlin an eine Buchhandlung oder an die Auslieferungsstelle K U N S T U N D W I S S E N , Erich Bieber, 7000 Stuttgart 1, Wilhelmstraße 4 - 6 — in Österreich an den Globus-Buchvertrieb, 1201 Wien, Höchstädtplatz 3 — in den übrigen westeuropäischen Ländern an eine Buchhandlung oder an die Auslieferungsstelle K U N S T U N D W I S S E N , Erich Bieber GmbH, Ch-8008 Zürich/Schweiz, Dufourstraße 51 — i m übrigen A u s l a n d an den Internationalen Buch- und Zeitschriftenhandel; den Buchexport, Volkseigener Außenhandelsbetrieb der Deutschen Demokratischen Republik, DDR-7010 Leipzig, Postfach 160, oder an den AKADEMIE-VERLAG, DDR-1080 Berlin, Leipziger Straße 3 — 4 ZEITSCHRIFT FÜR A N G E W A N D T E M A T H E M A T I K U N D M E C H A N I K Herausgeber und Chefredakteur: Prof. Dr. Günter Schmidt. Redaktion: Dr. Winfried Heinrich, Dr. Horst Weinert, Dipl.-Math. Friedhild Dudel, Helga Rühl, Zentralinstitut für Mathematik und Mechanik der Akademie der Wissenschaften der DDR. Verlag: Akademie-Verlag, DDR-1080 Berlin, Leipziger Straße 3 — 4 ; Fernruf: 2 23 62 29 oder 223 6221 Telex-Nr.: 114420; Bank: Staatsbank der D D R , Berlin, Kto.-Nr.: 6836-26-20712. Anschrift der Redaktion: Zentralinstitut für Mathematik und Mechanik der Akademie der Wissenschaften, DDR-1080 Berlin, Mohrenstraße 39; Fernruf: 2000561. Veröffentlicht unter der Lizenznummer 1282 des Presseamtes beim Vorsitzenden des Ministerrates der Deutschen Demokratischen Republik. Gesamtherstellung: V E B Druckerei „ T h o m a s Müntzer' 4 , 5820 Bad Langensalza. Erscheinungweise: Die Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik erscheint monatlich. Die 12 Hefte eines Jahres einschließlich Tagungsheft bilden einen Band. Bezugspreis je Band 3 6 0 , — M zuzüglich Versandspesen (Preis für die D D R 2 1 6 , — M). Bezugspreis je Heft 3 0 , — M (Preis für die D D R 1 8 , — M). Bestellnummer dieses Heftes: 1009/60/1. (£) 1980 by Akademie-Verlag Berlin • Printed in the G e r m a n Democratic Republic. A N ( E D V ) 35937

1

B . D. CHAVEN: Strong Vector Minimization and Duality

ZAMM 80, X - 5 (1980) B. D.

CRAVEN

»Strong Vector Minimization and Duality In der Terminologie eines Ordnungskegels wird das restringierte Minimum einer vektorwertigen Funktion definiert. Die gewählte Definition führt auf ein vektorielles Analogon des Kuhn-Tucker-Theorems und auf einen Dualitätssatz, in dem das duale Problem eine vektorwertige Zielfunktion besitzt. Ferner loird die schwache Dualität durch geeignete Kegelordnungen definiert. Darüberhinaus werden ein vektorwertiges inverses Dualitätstheorem und ein vektorielles Quasi-Dualitätstheorem bewiesen, bei dem keine Konvexität erforderlich ist. Die Ergebnisse werden in Beziehung gesetzt zu Störungen der Zielfunktion in einem Minimalproblem. A constrained minimum of a vector valued function is defined, in terms of an ordering cone. The definition chosen leads to a vector analog of the Kuhn-Tucker theorem, and to a duality theorem where the dual problem has a vector valued objective function, and weak duality is defined by appropriate cone orderings. Also proved are a vector valued converse duality theorem, and a vector quasiduality theorem which does not require convexity. The results are related to perturbations of the objective function in a minimization problem.

OnpenejiHeTCH ycjioBHwii MHHHMYM BeKTopHo-3HaiHoii (JjyHKUHH B TepMHHax ynopHfloqenHH nopo/Knaiomero KOHycoM. Bw6paHHoe onpeneJiemie IIPHBOHHT HO BCKTopHoro aHajiora TeopeMbi KyHa-TaKKepa H no TeopeMbi HBoficTBeHHocTH, rae nBoiiCTBeinian oanaia HMeeT ncKTopiio-SHaiHyio ne.ncRyio (JiynKumo. Cjiaöan HBOÜCTBeHHOCTb onpeaejiHeTCH noaxoHHLUHM ynopHnoiem-ieM nopoHinaromeM KouycoM. To>Ke nona3biBaeTCH BeKT0pH0-3HamiaH oßpawiaH Teopeiwa HBoficTBeHHocTH H BeKTopHan TeopeMa KBa3H-HB0iicTB6HHOCTH B KOTopofi BbinyKJiocTb ne TpeôoBaeTCH. Pe3yjibTaTM CTUBHTCÎI B CBH3b c B03MymenneM ijejieiioii i()yiiKL(HH B OHHOÜ MHHHMajibHOii 3analie. 1. Introduction Consider the vector-valued minimization problem : Minimize f{x) subject to i f I ,

(1)

where H c W , / : M W is a continuous function, with r > 1, and P is a closed convex cone in W (in particular P may be the nonnegative orthant IRr+ in ff). A global minimum of (1) âit X — 30 e H has been defined in several ways, which may be expressed as follows. The problem (1) has a vector minimum at x (see [11, page 216], [12], [13]) if there exists no x e H for which f(x) — f(x) € P \ { 0 } . The problem has a weak minimum at x = x (see [2], [1, page 33]) if there exists no x € H for which f(x) — f(x) e int P, where int P denotes the interior of P. When, as in [8], [9], [13], n

f(x) - f(x) e P

for all xi H ,

(2)

the point x will be called a strong minimum of (1), to distinguish this case from the other two. These are global minima; definitions for the corresponding local minima are obtained from those above by replacing H by H n N, where N is a sufficiently small neighbourhood of x. Clearly, a strong minimum implies a vector minimum, and a vector minimum implies a weak minimum. Necessary conditions for a weak minimum are known [1], [2], [4], [5], in terms of a real-valued L A G B A N G I A N . In the present paper, a strong minimum is described, using a vector-valued L A G R A N G I A N ; this leads to duality and converse duality theorems, where the dual problem also lias a vector-valued objective function. Consider the minimization problem: Minimize f(x) subject to h(x) e T ,

(3)

where / : W" -> W and h : M -> R are differentiable functions ; P c W and T c R are closed convex cones ; and a (local) strong minimum is defined, as above, using the cone P, with H = {x : h(x) 6 T}. The domain of / and h may be reduced to an open convex subset of R n , without changing the results. When P = IRr+, strong minimization with respect to P means simultaneous minimization of each component of f(x). This requirement is too stringent for most applications of vector-valued minimization. More relevant cases are obtained by choosing P as a suitable polyhedral cone. Let P c W be the polyhedral cone defined by y 6 P iff Cy e Ms+, where 0 is a given matrix, not necessarily square or invertible. Assume the constraint h(x) E T to be hj(x) > 0 (i = 1, 2, ... , to). Then a strong minimum of f{x) with respect to P is equivalent to a strong minimum of Gfix) with respect to Rf. For the latter problem, the vector K U H N - T U C K E R conditions (Theorem 8) for a strong minimum at x = x lead to n

Cf'{x) = Wh'(x) ,

m

Wh{x) = 0 ,

m

W ^ 0,

h{x) ^ 0 ,

(4)

where W ^ 0 means that each component of thé matrix W is 0. If C happens to be invertible, then (4) leads to the vector K U H N - T U C K K R conditions for the original problem, thus, for a suitable matrix V € Mrxm, f'(x) = Vh'{x),

Vh(x) = 0 ,

CV ¡> 0 ,

h(x) ^ 0 .

(5)

In fact from (Theorem 8), (5) holds without this restriction on C. Moreover, if the problem is also convex, then (5) is also sufficient for a strong minimum. 1

ZAMM, BEL. 00, II. 1

2

B . D. CRAVEN: Strong Vector Minimization and. Duality

Consider, in particular, a linear program with h[x) — Ax — b and f(x) =

"1 c = P .y

~cjx~ .clx.

0" I

where /S, y, d are real constants with y > 0. Assume that cjx is minimized, subject to the constraints, at x = x. Except in some limiting cases, a perturbation of c[x to (cx + /3'1c2)Tx or to (ct + y~18c2)rx leaves the optimal basis unchanged, while and remain in suitable intervals. For such /?, y, d, the vector function }{x) reaches a strong minimum with respect to the polyhedral cone G~1(RS+). Let F denote the space Rr, with the partial ordering 0. Since x minimizes (10), f(x + oo) .

(17)

Since (17) contradicts (16), it follows that x is a strong quasimin of (10). Adapting the definition of q u a s i d u a l in [4], problem (11) will be called a vector quasidual of (10) if, whenever (10) reaches a strong quasimin at x, (11) reaches a strong quasimax at some (w, V), and the two objective functions are equal. T h e o r e m 6: Assvme the hypotheses of the first part of Theorem 5. Then problem problem (10).

(11) is a vector quasidual

of

P r o o f : Let (10) reach a strong quasimin at x. Given the hypotheses, (12) holds, from Theorem 5, with some F. Let (w, F ) be feasible for (11), with u = x + p and v = V + w. Then, since Vh(x) = 0, fix) - [/(«) -

Vhiu)] = -f'ix)p-

odl^ll) + Whix) + Vh'ix)p

+ oUMI + llfFH) = * + o(||p|| + IITFII), for some k 6 K, by (12).

Hence (11) has a strong quasimax at (», F). Since also fix) = fix) — F7i(x), (11) is a strong quasidual of (10). 5. Converse duality The following theorem generalizes the converse duality theorems of [3], and [5] Theorem 4.8.1, to strong minima and maxima. T h e o r e m 7: Let P,Qc FT and T c Rm be closed convex cones. Let f : R" Mr and —h : IR" Rm be differentiate functions, respectively Q-convex and T-convex. Let (11) reach a strong maximum, with respect to P, at (u, F) = = (x, V), where also Q + V(T) c P, and P n (—P) = { 0 } . Whenever V + W € M(T, P) and oc is sufficiently small positive, assume that the equation f [x Hoc)) = ( F +

COl-'Nr-l(t)\

...

(2.9)

N0(t),

^ "'

———-, f ^ r ?'

— 1, das j-te

NEWTONsehe

Interpolationspolynom

F. V o g l : Ein System linearer Funktional-Differentialgleichungen

10

A n m e r k u n g : Die Folge N,[t

1)

+

-

6 N0, genügt bekanntlieh der Differenzengleichung

{Nf(t)}, j

N,(t) =

N j . ^ t ) ,

N

1,

=

0

(2.10)

mit deren Hilfe man direkt abliest, daß B(t) eine Lösung von (2.8) ist. Mit (2.5) erhält man daher endgültig w-i)

R

In ( c ü x Y = e ' ^ ^ i s t dabei der Hauptwert einzusetzen. Die Matrix von (2.3). Natürlich sind die Matrizen

F0(x)

ist für

x

^ 0 analytisch und eine Lösung

i(i--i) (,.,,.)! 1 2 p2mnt

/

r[t

m

4 - 1 ) ~

d

t

n

'

i

I

( 2 > l 2 )

'

R

ebenfalls Lösungen von (2.3). A n m e r k u n g : Man erhält Fn(x) man F0(x) = i' 0 (ln x), so kann man =

Fn(x)

(In

F0

-J

x

aus

wenn man in (2.11) den w-ten Zweig des Logarithmus wählt. Setzt

F0(x),

(2.13)

2nin)

sehreiben. Im weiteren Verlauf der Arbeit wird mit In x immer der Hauptwert bezeichnet. Außerdem sind Ausdrücke der Form ab immer als e 6 ' 1 " zu interpretieren. Eine analoge Konstruktion führt auch beim adjungierten System (2.4) zum Ziel. Mit dem Lösungsansatz 1 +ioo Gn(x)

{2m)-1

=

f

l('-l) 2

x~'ß

e~2™kt

T(t)

C*(t)

At,

/i

=

A"1

>

1,

n

eZ ,

(2.14)

1 ~ioo

erhält- man zunächst formal die Bedingung C*(t — 1) = C*{t) A . Wegen fx > 1 ist der Integrationsweg so zu wählen, daß (2.14) analytische Lösungen liefert. Der Faktor dient nur Normierungszwecken. Setzt man analog zum vorhergehenden Fall C*(t)

=

w-'B*(t),

(2.15) (2m)-1

(2.16)

wobei B*(t) wieder eine obere Dreiecksmatrix mit der Normierung Det B*(t) = 1 sein soll, so erhält man unmittelbar B*(t) = j

Die Polynome AT,(i) = Ni(t _

I}

'1

w^N^t)

0

1

^0

0

Nj(—t) =

_ %i{t)

...

CO1

-

« 2 _ r ^r-2(' 2 e~ 2 j n n i

(wx)-'fi

P(t)

B*(t)

di,

n i l ,

x

# 0.

(2.19)

1 —ioo

Die Matrizen Fn(x), G„(x) lassen sich noch so umformen, daß die in [1] für den skalaren Fall angegebenen asymptotischen Abschätzungen verwendet werden können. S a t z 2:

Seien

w-1)

/.(*)•

=

U;iM)

9n{x)

=

gn-jj(x)

-

J

"(cox)1?. "2~ e i M n t

d i

( 2

-

2 0 )

bzw. =

{2m)-1

l+ico f 1 —ioo

(cx)-«//

' oo;

,

(3.10) Voi/'*)

[2 n2ni2.

exP

2mm , , , ln'ln x In x — Jn In x 4- — h y In x

I

+

¡ - — H , m e Z, x ->• o o . In xj\

0

(3.11) Ist andererseits I C H + ein beliebiges, kompaktes Intervall, dann gelten für \n\ -> oo und x € I außerdem folgende Beziehungen fn{Xkx) = /„(!) exp

2nin — In 2rc | n\

171

In W x !

• sgn n + y

2c

1 \

y

nin (3.12)

k e

/,( 1) -

gn{^x) ^

(vgl. (2.27));

¿(In 1 + 2nin) ,

g „ ( l ) exp

27iin — In 2,-r |k| — — s 8 n

+ Y

n

In2/x1x i

'

~2c~

1

)}• In \n\

0

nin

W~ (3.13)

o; /In |n|\'

1+ 0

(3.14)

)

l I»!

Mit Hilfe dieser asymptotischen Beziehungen läßt sich nun der folgende Satz beweisen. S a t z 3: Die Matrizen Fn(x), (Gm(x),

Fn(x)>

-

Gm(x), m, n € Z, genügen für x € R+ der Beziehung

Gm(x) Fn(x)

~ H f Gm{f*t) AFn(t)

dt =Emn

( E

=•

,m = n

to, m

n

,

0:- Nvllmntrix.

(3.15)

A n m e r k u n g : Aus (3.15) folgt insbesondere die Biorthogonalität der Z-ten Zeilen- und Spalten Vektoren l — 1, 2, ... , r, der Matrizen Gm{x) und Fn(x) bezüglich des inneren Produktes (2.2). Der Einfachheit halber wird daher auch vom „Biorthogonalsystem" (Gm(x), Fn(x)) gesprochen. B e w e i s : Offenbar sind die Matrizen Emn konstante obere Dreiecksmatrizen, deren Elemente mit den Bezeichnungen aus Satz 2 für A = coE + N die Form k emn-jk

=

E

k gm-,jl(x)

fn-it(x)

+

l =J

flW

£

z f

emn]jt,

k ^

j,

k—Ix gm;jl(/it)

l = j Xx

fn-uA1)

d

t

+

(i

£

/l = l

f

gm;jl(jUt)

/„¡(i

+ i)i(i)

dt

(3. IG)

Ix

besitzen. Für k = j erhält man daher emn;ii

—

gm{%)

fn{x)

+

(XW

f

X

gm(/it)

fn(t)

d t .

(3.17)

I m weiteren Verlauf werden nun 2 Fälle unterschieden. Der Fall j < k läßt sich leicht direkt erledigen, während für den Fall j = k die asymptotischen Abschätzungen (3.5) bis (3.11) herangezogen werden.

F. V o u l : Ein System linearer Funktional-Differentialgleichungen

13

!• e«tn-,jk = 0 f ü r j k 1, für jedes x e W+ eine endliche Summe, die für x t identisch verschwindet und für x = t in die Einheitsmatrix E übergeht. Der B e w e i s von Satz 4 ergibt sich direkt durch Differenzieren von (4.7) unter Benützung der für die Polynomfolge {pn(x)} gültigen Funktionalgleichung p'n{x) — pn_i(Äx), sowie der Beziehung f(x) ö(x — t) — j(t) ö{x — t). 0 j / n t

{

n

'

erhält man

n

' kann man (4.7) auch ohne die HsAVisiDEsche Funktion schreiben, u. zw.

1, x S; fi t,

0(x,

t)=

Z 0 < n
¡ik~i~xt bewiesen wird, keine Einschränkung, da wegen q>ik{x, t) ~ 0, für x fik~H, j < k, (vgl. (4.10)) und Darstellung (4.5) die fik~ix0 einen Beitrag zur Lösung liefern. Setzt man daher für j < k die Reihen in (5.1) durch Multiplikation mit den HEAVisiDE-Funktionen 1 + (a; — ¡ik ~k) auf Xt < x < oo i exp

MPx) gn{fi"t)

{I

j 2nin

In

+ — (In2 Xux - In3 ¡ivt) 1 ¿iC

— sgn n + y ¿à 1

win})

(:2n M) c

+ ]nfi«+» — -1

1+0

In 1

(5.3)

M

woraus für k = j

Î

1

(pn;jj{%> t) =

x !

in

\

1

— In y 12nin — — sgn n + yj +

1 2

— in — -l

An\n\

1+0

\n\

2

(In x — I n t ) f (2n \n\)°

(5.4)

folgt. Für j < k, u = l — j, v = k — l, erhält man aus (5.3) unter Berücksichtigung der speziellen Form der Polynome pi-j(x), qk i(/j.t) mit e° = ¡i (K-j) [ximl — [(iX-Hf™1) X