Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik: Band 54, Heft 1 Januar 1974 [Reprint 2021 ed.] 9783112550045, 9783112550038

Citation preview

ZEITSCHRIFT FÜR ANGEWANDTE M A T H E M A T I K UND M E C H A N I K INGENIEURWISSENSCHAFTLICHE FORSCHUNGSARBEITEN U N T E R M I T W I R K U N G V O N E. B E C K E R - H. B E C K E R T - L . BERG L. B I T T N E R L. C O L L A T Z W . F I S Z D O N • H. G Ö R T L E R - J. H E I N H O L D • K. M A R G U E R R E • P. H. M Ü LLE R • H. N E U B E R W . O L S Z A K • K. O S W A T I T S C H • A . S A W C Z U K • L . S C H M E T T E R E R • G. S C H M I D T K . S C H R Ö D E R • H. SC H U B E RT . H. U N G ER • C . W E B E R U N D F. W E I D E N H A M M E R HERAUSGEGEBEN VON H.HEINRICH,

DRESDEN

Vierundfünfzigster Jahrgang 1974

AKADEMIE-VERLAG - BERLIN

INHALTSÜBERSICHT A. Vcrfasserverzeichnis (B. = Bericht; Ber. = Berichtigung; H. = Hauptaufsatz; HV. = Hauptvortrag; KM. = Kleine Mitteilung; N. = .Nachricht.; V. = Vortragsauszug; ZB. = Zusammenfassender Bericht) Der Buchstabe T vor der Seitenzahl weist darauf hin, daß der betreffende Beitrag im Sonderheft 4 (GAMM-Tagung 1973) erschienen ist. Seite A d a m s , E. Siehe Ames, W. F. — , Siehe Schönhauer, W. A g g a r w a l a , B. D., On a Monte Carlo Method for Rectilinear Plates. KM 194 A h r e n s , J . H . / D i e t e r , U., Zusammengesetzte Verfahren zur Erzeugung von Poisson- und binomialverteilten Zufallszahlen. V T243 A l e f e l d , G., Quadratisch konvergente Einschließung von Lösungen nichtkonvexer Gleichungssysteme. H 335 — / H e r z b e r g e r , J., Über die Konvergenzordnung einiger Verfahren zur simultanen Berechnung von Polynomwurzeln. V T20ö —/ —, Über Simultanverfahren zur Bestimmung reeller Polynom wurzeln H 413 A l l g o w e r , E. L., Numerische Approximation von Lösungen nichtlinearer Randweitaufgaben mit mehreren Lösungen. V T20(i A m e s , W. F . / A d a m s , E., A Family of Exact Solutions for Laminar Boundary Layer Equations. V T180 A n a n d , D. K. Siehe Whisnant, J. M. A n d e r s o n , N . / A r t h u r s , A.M., Complementary A'ariational Principles and Error Bound for a Nonlinear Boundary Value Problem in Couette. Flow. KM 518 A n t e s , H., Plattenberechnung mit Fundamental-Splinefunktionen. V T182 A p o s t o l a t o s , N., Einige Ergänzungen zu dem Begriff des Rasters. KM 517 A p p e l t , W., Fehlereinschließung für die Lösungen einer Klasse elliptischer Randwertaufgaben. V T207 A r t h u r s , A. M. Siehe Anderson, N. B a b a d s h a n j a n , H., Zur Begründung einiger Iterationsmethoden in der nichtlinearen Kriechtheorie. H 259 B a b u s k a , I., Numerical Solution of-Partial Differential Equations. HV T3 B a l l t e , H., Thermodynamische Analyse von Deformationsgesetzen des Modellstruktursystems. H 233 B a l l m a n n , J., Ein Beitrag zum Singularitätenverfahren für Überschallströmungen um schlanke Körper. V T110 - Siehe Roy, D. P. B a n s a l , J . L., On the Temperature Distribution in a Plane Jet. KM 279 B a s s a l i , W. A . / M a h m o d d , S. S., Analysis of Hydrostatically Loaded Semi-Circùlar-Plate with a Clamped Diameter and a Free Circular Edge. H 755 B a t h e l t , H., Berechnung der Strömungsvorgänge in den Profilrillen eines schnell rollenden Reifens. V T166 B a u e r , K. W., Differentialoperatoren bei einer Klasse verallgemeinerter Tricomi-Gleichungen. H 715 B a u m a n n , G., Extrapolation des Series Aléatoires. KM 197

Seite . B a u m g a r t e , J., Zeittransformation zur analytischen Schrittregulierung bei der numerischen Integration gewöhnlicher Differentialgleichungen. KM 120 — Zeittransformation zur analytischen Schrittweitenregulierung bei der numerischen Integration gewöhnlicher Differentialgleichungen. V T107 B e c k e r , E., Widerstand einer porösen Kugel in schleichender Strömung. KM 745 B e e c k , H., Zur scharfen Außenabschätzung der Lösungsmenge bei linearen Intervallgleiclmngssystemen. V T208 B e s d o , D., Einige Bemerkungen über Stoffgesetze der Plastomechanik Cosseratscher Kontinua. V T70 B h a t i a , D., Duality for Quadratic Programming in Complex Space. KM 55 B h a t t , B. S. Siehe Verma, P. D. B i a n c h i n i , A. Siehe Pozzi, A. B l a t t , H.-P., Eine Verallgemeinerung des Remez-Algorithmus für lineare Simultanapproximation. V T210 B l u m , R . / L o s c h , M . / L u z , E . , Ein niclilineares, zweidimensionales Stoffgesetz für eine hyperelastische Membran unter endlichen Verzerrungen. V T7J. B o h l , E., Iterative Behandlung diskreter „elliptischer" Probleme: Konvergenz und Fehlerabschätzung. V T184 B ö h m e , G., Die Sekundärströnutng „einfacher Fluide" im Spalt zwischen zwei Rotationsflächen. V Till B ö h m e r , K., Über die stetige Abhängigkeit von Interpolations- und Ausgleichssplines. V T2! 1 B o h n i n g , R., Schnallalle, schwach gestörte Potentialwirbelströmnng durch gekrümmte Kanäle. V T112 B o r g h t , R. Van d e r / M u r p h y , J . O . / S t e i n e r , J . M., A Theoretical Investigation of Finite Amplitude Thermal Convection in Non-Newton Fluids. H 1 B o r i c i c . Z. Siehe Saljnikov, V. B r a s s , H., Eine Restdarstellung bei Gregorysehen Quadraturverfahren ungerader Ordnung. KM 123 B r a u n l e d e r , B., Modifikation des Ritzschen Verfahrens für Operatoren in Banachräumen. V T212 B r e c h l i n g , J., Die Beeinflussung der Stabilität von Laminarströmuugcn durch die Eigenschaften der Wände. H 247 B r e u e r , S., Extremum Priciples Governing an Anisotropie Viscoelastic Model. Ii 509 • B r i l l a , J., Convolutional Variational Principles and Methods in Linear Viscoelasticity. V T40 — Finite ElementjMethod in Linear Viscoelasticity. V T47 B r i n k , D. F./Chow, W. L., The Development of J e t Mixing Toward the Asymptotic Similar Solution. H 241 Br od k e y , R. S. Siehe Nychas, S. G. B r u h n s , O . / T h e v m a n n , K., Stabilitätsprobleme clasilnKl.ixchcr Kontimm. V T73

Zeitschrift f ü r Angewandte Mathematik u n d Mechanik Seite B r u n k , G., Rahmeninvarianz in der speziellen Relativitätstheorie. V T70 B u c k l e y , A., A Note an Matrices A = I + H, H Skew-Symmetric. KM 125 15 u f i e r , H., Elastisches Mehrschichtsystem u n t e r asymetrischer Belastung. H 103 B u r g , K., Stabilitätsbetrachtungen beim BenardProblem mit oszillierender Randbedingung. V TU 3 C a r m i , S . / E b e n s t e i n , S., A Note on Stability in Unbounded Domains. K M 007 C a r r i è r e , P., Pregrès et tendances actuelles de la recherche en Aérodynamique appliquée. HV T l l C h a k r a b a r t i , A., On t h e Solution of Certain Simultaneous Pairs of Dual Integral Equations. H 383 — Certain D u a l Series Relations Involving Besse! Functions Arising in Crack Problems. K M 43(i C h a n , M. W. K . Siehe Zlobec. S. C h a n d r a s h e k h a r a , K . Siehe Iyengar, K . T. S. R . C h e s h a n k o v , B. I., Multifrequency Oscillations under E x t e r n a l Excitations in t h e Case of Resonance of Mixed Second and Third R a n k . K M 3(i2 C h o w , W. L. Siehe Brink, D. P . C h r i s t i a n s e n , S., On Green's Third I d e n t i t y as a Basis for Derivation of Integral Equations. V TJ 85 C l a u s s , U., Zur Lösung bilinearer diskreter Differentialspiele. V T244 C o l w e l l , D. J . / T a l b o t , R. P., Certain Irrotational, Plane, Unsteady Gasdynamie Flows. H 525 C r a n e , L. J . , Axial Flow P a s t a Cylinder with Suction. H 507 — Error E s t i m a t e for t h e Schlichting R o u n d J o t . K M 591 C r o n j a e g e r , R., E i n einfaches Modell f ü r Zungenmusikinstrumente. V T48 B a t t a , A. B., Flow Due to Oscillatioiì of a P l a t e in Micropolar Fluid. KM 592 D i e t e r , U. Siehe Ahrens, J . H . D i n k e l a c k e r , A. Siehe Emmerling, R . D i s t é f a n o , N . / T o d e s c h i n i , R., On t h e Identification of Nonlinear Viscoelastic Characteristics of a Class of Polymeric Materials. KM 429 D j u k i c , Dj. S., The Universal F o r m of t h e B o u n d a r y Layer E q u a t i o n a n d its Solution for Non-Newtonian Power-Law Fluids. H 9 D u b e y , R. N. Siehe Shirvastava, H. P. E b e . n s t e i n , S. Siehe Carmi, S. E c k e l m a n n , H. Siehe Kreplin, H.-P. E c k h a r d t , U., Ein Iteration s verfahren zur Berechn u n g nichtnegativer Lösungen eines linearen Gleichungssystems. V T213 E d e r , Erich., Eine einfache Approximation f ü r das vollständige elliptische Normalintegral erster und zweiter Gattung. KM

121

E d e r , E l m a r , Verallgemeinerungen der Rellichschen Abschätzung und eines Satzes von E. Wienholtz. Y T186 Eggers,

I i . , Von K ö r p e r n erzeugte

Wasserwellen. HV

T20

E l N a s c h i e , M. S., E x a c t Asj'mptotic Solution for t h e Initial Post-Buckling of a S t r u t on Linear Elastic Foundation. H 677 E m m e r l i n g , R . / M e i e r , G. E. A . / D i n k e l a c k e r , A., Die momentane S t r u k t u r des Wanddruckes einer turbulente!! Grenzschiclitströmung. V TI 13 E n g e l s , H., Allgemeine interpolierende Splines dritten Grades. V T215 E s c h e n a u e r , H . / H e n n i n g , G., Modellgleichungen zur Beschreibung des dynamischen Verhaltens von Großantennen. V TJG7 F a h r m e i r , L., Schwache fusionsprozesse.

Konvergenz

gegen DifV T245

F e i l m e i e v , M„ CSSL-M. und D A R E II M. zwei Simulai ionsspracheu f ü r kontinuierliche Systeme V T241

III

Seite F e t t i s , H . E., An Alternative to Sylvester's Method. K M 205 F i c h e r a , G., Existence Theorems in Linear and SemiLinear Elasticity H V T 24 F i s c h e r , H., Über vektorielle Normen u n d den Zusammenhang mit Pseudometriken. V T188 V T217 — Normbälle in der Intervallrechnung. F o r s t e r , P., Bemerkungen über den Defekt von GaJerkin-Näherungen f ü r nichtlineare R a n d w e r t a u f gaben. KM 513 F r a n k , E . Siehe Widera, 0 . E . F r i e d r i c h , R., E x a k t e Lösung der Boltzmann-Gleichung in der Umgebung einer plötzlich bewegten, lialbunendlieh langen P l a t t e in freier Molekülströmung. V T114 F r i k , M., Zur Stabilität parametererregter Satellitenschwingungen. V T50 F r o h n , A., Lösung der nichtlinearen Integralgleichung der schallnahen Strömung. V T1I0 F u j i w a r a , T. Siehe Tsuge, S. G a m p e r t , B., Berechnung des Wärmeüberganges an einem in ruhendem Fluid kontinuierlich bewegten schlanken Kreiszylinder f ü r kleine Werte des Kriimmungsparameters auf der Basis von Reihenansätzen. V T1J. 8 G a s t e i g e r , H . / H i n d e l a n g , F. J . , Das Strömungsfeld in der Umgebung einer längsangeströmten ebenen P l a t t e im Bereich der freien Molekülströmung. H 7(i7 G e i g e r , C., Minimale H-Mengen, starke Eindeutigkeit und Stetigkeit des Tsehebyscheff-Operators. H 027 G e r l a c l i , W., Nachkorrektur bei numerischer Differentiation. , KM 193 G e r s t e n , K., Die Verdrängungsdieke bei Grenzschichten höherer Ordnung. H 105 G h o r i , Q. K . / H u s s a i n , M., Equations of Motion_of Nonholonomic Dynamical Systems in Poincare-Cet a e v Variables. H 311 —/ —, On Some F o r m s of t h e Equations of Motion in Poincare-Cetaev Variables. H 495 G h o s h , M. L., Homogeneous Solution of Elastic Wave Propagation in t h e Presence of a Half-Plane a t t h e Fluid-Solid Interface. H 449 G l a s h o f f , K . . Pseudo-Solutions of Optimization Problems. V T218 — / K r a b s , W., Konvergenz der Linienmethode bei einem parabolischen Rand-Kontrollproblem. H 551 G l o c k n e r , J». G . / M a l c o l m , D. J . , Cosserat Surface: A Model for Idealized Sandwich Shells. V. T78 G r a b i t z , G., Der Widerstand der laminaren Rohrs t r ö m u n g einer Flüssigkeit mit Gasblasen V TJ20 G r i i t e r s , H., I t e r a t i v e Lösung von Lastspannungsproblemen in anisotropen Körpern. V T79 G u d e h u s , G . / V a r d u l a k i s , I., Darstellung der nichtlinearen Mohrschen Grenzbedingung im H a u p t s p a n nungsraum. K M 198 G u p t a , 0 . P. Siehe Srivastava, K . N. G u p t a , P. S., Combined Free and Forced Convection Effects on the Flow Through a R o t a t i n g Channel. KM 359 G u p t a , R . K., Slow Flow of a Viscous Fluid P a s t a Porous Spherical Surface in a Uniform Stream. KM 815 H a b e d a n k, G., Über eine Kombination des Ritzsehen Verfahrens m i t einem Iterations verfahren. H 325 H a b e r l , (.!., Theoretische Bestimmung der Eigenschaften faserverstärkter Werkstoffe bei Belastung quer zur Faserriehtmig. V T80 H a d w i g e r , H., Räumlich-geometrische Wahrscheinlichkeiten und Mittelwerte. KM

004

H a s s , R . / K r e t h , H., Stabilität und Konvergenz von Mchrschrittverfahren zur numerischen Lösung quasilinearer Anfangswertproblemc. H

353

IV

Inhaltsübersicht

Seite H a t a, T., Relief of Thermal Streses in an Infinite Strip with Heat Dissipation at Both Plane Surfaces through Creep. KM 659 H a y d l , H. M . / S h e r b o u r n e , A . N . , Similarity in Plastic Analysis of Irradiated and Variable Thickness Plates and Shells. KM 445 — Siehe Sherbourne, A. N. H e i n r i c h , H., Bericht zum vorliegenden ZAMMSonderheft GAMM-Tagung München 1973. T.l H e i s e , TJ., Die Erzeugung von Singularitäten für Integralverfahren der Elastostatik. V T82 H e n d e r s o n , Lc lloy F., Theorem on Entropy Production on Either Side of Shock Branching. KM: 281 H e n n e b e r g e r , K . Siehe Röseler, J . H e n n i n g , G. Siehe Eschenauer, H. H e r b e c k , M., Das Temperaturfeld eines geheizten Zylinders in einer Potentialströmung V T122 H e r o l d , H., Ein singuläres lineares Eigenwertproblem. KM 741 H e r s h e y , H. C. Siehe Nychas, g, G . H e r z b e r g e r , J . Siehe Alefeld, G. H i n d e l a n g , F. J . Siehe Gasteiger, H. H o e h n , E. K . H., Properties of Stability Diagrams for Hill's Equation. KM 734 H o f f m a n n , K.-H., Tschebyscheff-Approximation unter Nebenbedingungen via Kontroll-Theorie. V T219 H u s s a i n , M. Siehe Ghori, Q. K . H u t a , A., Eine Verallgemeinerung des RungeKutta-Verfahrens zur numerischen Lösung der Gleichung y' = f(x, y). VT22I H u t t e r , K./Ol u n l o y o , V. 0 . S., The Transient and Steady State Response of a Thick Membrane to Static and Dynamic Loading. H 795 I b e n , H., Ebene, kreissymmetrische Rand-Anfangswertprobleme zäher Flüssigkeiten. H 213 l e s a n , D., Torsion of Anisotropie Micropolar Elastic Cylinders. H 773 I m e r , S. Siehe Zimmermann, P. I s a y , W. H . / N i e r m a n n , H., Der in seinen Spitzenwirbcln von der Wasseroberfläche her belüftete Tragflügel. KM (52 — / R o e s t e l , Th., Berechnung der Druckverteilung an Flügelprofilen in gashaltiger Wasserströmung. H 571 I y e n g a r , K . T. S. R . / C h a n d r a s h e k h a r a , K . / S e b a s t i a n , V. K., On the Analysis of Thick Rectangular Plates. KM 589 J ä g e r , H., Zur Abhängigkeit der stochastisclien Stabilität von der Definition des stochastisclien Integrals. V T169 J a h n , K.-TL, Eine Theorie der Gleichungssysteme mit Intervall-Koeffizienten. H 405 J a n k o v i c , Z., On the Geodesic and Autoparallel Curves in a Generalized Metric Space. V T189 J a n k o w s k a , J . Siehe Kielbasinki, A. J i s c h a , M., Diskussion der Energiegleichung reagierender Strömungen bei chemischem Gleichgewicht. V T123 J o h n , R . W., Der geodätische Abstand in einer Riemannschen Raum-Zeit in zweiter nach-Minkowskischer Näherung. KM 737 J o r d a n , P. F., On Lifting Wings with Parabolic Tips. H 463 J o v a n o v i c , B . D., Einfluß von Momentspannungen in der linearen Biegungstheorie dünner Platten. V T84 K a f k a , V., Zur Thermodynamik der plastischen Verformung. H 649 K a l r a , G. L. Siehe Kathuria, S. N. K a n s y , K., Intervallarithmetische Darstellung von Funktionen und ihren Ableitungen. V T222 K a n w a l , R . P . / P a s h a , M. L., Rotary Oscillations of Spheroids and Disks in an Elastico-Viscous Fluid. H 703

Seite K a p o o r , R . N . / L e i p h o l z , H. H. E., On Mass Distribution, Rotary Inertia and External Damping of a Viscoelastic Polygenic System. KM 205 K ä r c h e r , H. J . , Uber die Anwendung eines Konjugierten-Gradienten-Verfalirens auf die Finit-Element-Berechnung nichtlinearer Strukturen. V T85 K a s t l , H . / S c h i f f n e r , K., Das instationäre Wärmeleitproblem als Variationsaufgabe bei diskreten Zeitschritten. V T.L70 K a t h u r i a , S. N . / K a l r a , G. L., Effect of Tensor Conductivity on Rotating Superposed Plasmas. H .133 K e l l e r , J . , Eine Mastergleichung für Turbulenzströmungen. VTI25 K e r m a n i d i s , Th., Ein Beitrag zur Torsion prismatischer Stäbe. V T87 K i e l b a s i r i s k i , A./J a n k o w s k a , J . , Fehleranalyse der Schmidtschen und Powellschen Orthonormalisierungsverfahren. V T223 K i l b e r t h , K., Über Typen von kubischen Splinefunktionen. V '1224 K i r c h - g r a b e r , U., Das Transfonnationsverhalten von Störungsgleichungen. V TlltO K l i n v i c k , A., Zur Bedeutung der kumulativen Glieder im analytischen Charakteristiken verfahren. V TM 26 K o c h , W., Wechselwirkung zwischen Strahlung und Konvektion an einer umströmten Platte. V T128 K ö h l e r , M., Diskrete Approximation eines zeitoptimalen Kontrollproblems. V T240 K o i z u m i , T. Siehe Sliibuj'a, T. K o l e r u s , J . , Reibungsschwingungeji als Aisermansches Problem. V T172 K r a b s , W. Siehe Glashoff, K . K r a e m e r , K., Bemerkung zum Kugelapparat von Mariotte. V T174 K r ä t z i g , W. B., Optimale Schalengrundgleichungen und deren Leistungsfähigkeit. H 2C5 K r e p l i n , H . - P . / E c k e l m a n n , H., Das Verhalten der Längsschwankungen der Geschwindigkeit einer turbulenten Kanalströmung in Wandnähe. V T129 K r e t h , I i . Siehe Hass, R . K r i e r , N., Komplexe Kreisarithmetik. V T225 K u h n , G . / M a t c z y i i s k i , M., Beitrag zum gemischten Randwertproblem am Streifen. V T88 K ü m m e r e r , H., Numerische Untersuchung der Energie kleiner wellenartiger Störungen in laminaren Grenzschichtströmungen. V T130 K ü r k t s c h i e v , R., Über das Durchschlagproblem des Mises-Fachwerks. V T9I K u x , J . , Kovariante Formulierung der Grenzscbichtgleichungen als Grundlage für die Berechnung von Grenzschichten an gekrümmten Wänden. V T132 L a n g e , H., Über ein Problem aus der Theorie der laminaren Grenzschichten. V T19I L e d e r , D., Automatische Schrittweitensteuerung bei global konvergenten Einbettungsmethoden. H 319 L e i p h o l z , H. H. E. Siehe Kapoor, R . N. L e i s , R., Rand- und Eigenwertaufgaben in der Theorie elektromagnetischer Schwingungen. HV T36 L e oturbulenter p o l d , J . , Berechnungsmöglichkeiten gekrümmter Freistrahlen. KM 729 L i e b o l d , R., Die elementare Bestimmung der Eigenschwingungszahlen von Stäben und Platten. KM 514 L i e s s , C., Einfluß der Machzahl in der Hauptströmung auf die dimensionslose Eigentemperatur einer film gekühlten Wand. V T133 L i l o v , L., Die Stabilität einer Bewegung bezüglich einer Menge. H

789

L i r o n, N./W i 1 h el m, H. E. Integration of the Magnetohydrodynamic Boundary-Layer Equations by Meksyn's Method. H 27 L o c h e r , F., Numerische Quadratur von Funktionen mit Singularitäten. V T227

Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik Seite L o k o s c h t s c h e n k o , A.M., Bestimmung der zum Plattdrücken einer Zylinderschale unter konstantem Außendruck erforderlichen Zeit. KM 203 L o s c h , M. Siehe Blum, R. Lo u i s, A., Rimdungsfeh'ler beim expliziten Differenzenverfahren zur Integration der Wellengleichung. V T228 L i i c k e l , J., Verallgemeinerte Störgrößenaufschaltung bei linearen mehrdimensionalen Systemen. V T51 — Siehe Müller, P. C. L u n d e r s t ä d t , R., Energieoptimale Regelung von Laufkranen. y '['52 L u z , E. Siehe Blum, R. M a g n u s , K „ Zur Theorie der Keltischen Wackelsteine. y T54 M a h m o o d , S. S. Siehe Bassali, W. A. M a j u m d a r , S. R., Note on the Numerical Solution of Singular Fredholm Linear Integral Equation. KM 515 M a l c o l m . D. J . Siehe Glockner, P. G. M a r l c y t a n , R. M., Anwendung einer indirekten Methode zur Berechnung ebener Unterschallströmungen auf die Berechnung der ebenen, stationären, inkomprcssiblen Strömung durch Gitter starker Umlenkung. H 9] M a r t i , K „ Über ein Verfahren zur Lösung einer Klasse linearer Entscheidungsprobleme. V T247 M a t c z y r i s k i , M. Siehe Kuhn, G. M e c k e r t , C.,Étude de la stabilité d'une équation différentielle non conservative du second ordre, à coefficients périodiques. H 78I M e h l h o r n , G., Anwendung eines potentialthcoretischcn Analogieverfahrens in der Elastomechanik. „ . „ V T92 M e i e r , G. E. A. Siehe Emmerling, R. — Siehe Schildknecht, M. M e n z e l , K . / R o e s n e r , K., Zylindrische Couetteströmung mit radialem Temperaturgradienten. V T135 M e s e t h , J., Anwendung einer Staurohrsonde mit sehr kurzer Ansprechzeit zur Untersuchung der Turbulenzentstehung bei einer Rohrströmung. V T13f> M i c r s c m a n n , E., Lineare elliptische Zustände mit nichtlinearem Zielfunktional. H 19 Mioduchowski, A./Thermann, K., Minimum Weight Design of Structure with two Prescribed Frequencies. KM 442 M i s i c u . M„ The Method of Parallel Transfer of Physical Fields on Mobile Manifolds; Application in View of Exact Solving Median-Type Elastic Problems. V T94 M o a n , T., Experience with Orthogonal Polynomials and „Best" Numerical Integration Formulas on a Triangle; with Particular Reference to Finite Element Approximations. H 501 M ö h r m a n n , W., Schranken, Existenz und Eindeutigkeit für ein freies Randwertproblem. V T192 Mö n c h , AV., Monotone Einschließung von Lösungen nichtlinearer G leichimgssysteme durch uberlinear konvergente Mehrschrittverfahren. H 807 M ü h l b a c h , G., Newton- und Hermite-Interpolation mit Cebysev-Systemen. H 541 Müll e r , P. C., Stabilität und Instabilität bei linearen, zeitinvarianten, dynamischen Systemen. V T55 — / L ü c k e l , J., Modale Maße für Steuerbarkeit, Beobachtbarkeit und Störbarkeit dynamischer Systeme. V T57 — / P o p p , K., Zur Theorie der ersten Integrale bei gesteuerten dynamischen Systemen. V T58 —/ —, Zur Theorie der ersten Integrale beigesteuerten mechanischen Systemen. H 695 M u r p h y , J. O. Siehe Borght, R. Van der N a t h , G., An Approximate Method for the Similar Solution of Nonlinear Boundary Layer Equations for Power-Law Fluids. KM 198 — , Solutions of Boundary Layer Equations Governing Free Convective and Magnetohydrodvnamic Flows through Parametric Differentiation. ' H 085

V

Seite N a y a k , M . / S r i n i v a s a n , R. J., Stresses and Displacements under a Flexible Circular Foundation in the Presence of Friction or Adhesion. H 225 N e u m a i e r , A., Rundungsfehleranalysc einiger Verfahren zur Summation endlicher Summen. H 39 N e u n z e r t , H . / W i c k , J „ Zur numerischen Lösung von Erhaltungsgleichungen. V T194 N i e r m a n n , H. Siehe Isay, W. H. N i s h i k a w a , Y. Siehe Willems, P. Y. N i x d o r f f , K., Ein Lösungsverfahren für einige gewöhnliche, nichtlineare Differentialgleichungen. V T190 —, Zur iterativen Bestimmung nichtlinearer SchwingungenKM 819 N o v o t n y , B., Geometrically Nonlinear Shell Theory in the Light of the Method of Asymptotic IntegrationH 145 N y c h a s , S. G . / H c r s h e y , H. C . / B r o d k e y , R. S., A Visual Study of Turbulent Shear Flow. V T137 O b e r m e i e r , F., Einige theoretische Bemerkungen zum Verhalten der viskosen Wandströmung turbulenter Grenzschichten. y T138 O e t t l i, W., Einzelschrittverfahren zur Lösung konvexer und dual-konvexer Minimierungsprobleme. H 343 O l i t m e r , 0., Berechnung von zwei- und dreidimensionalen Strömungsproblemen nach der SubstructureTheorie mit isoparametrischen finiten Elementen. VT139 Ol u n l o y o , V. 0 . S. Siehe Hutter, K. P a s h a , M. L. Siehe Kanwal, R. P. P a s s m a n , S. L., General Solutions for Motions with Convectcd Stretching. KM 57 P e d d i o s o n , J., A Note on Unsteady Parallel Flow of Suspensions. KM 740 P o m e n t a l e , T., A Boundary-value Problem for the Equation y' = Af(x, y) + h(x, y) - g(x, y) y. H 723 P o p , I., On the Hydromagnetic Flow due to an Impulsive Rotating Disk. KM 284 P o p p , K., Vergleich von passiver und aktiver Schwingungsdämpfung bei gravitationsstabilisicrten Satelliten. y X59 - Siehe Müller, P. C. P o z z i , A . / B i a n c h i n i , A., Linearized Solutions for Circular Jets. H 621 P r ä s e k , L., Mathematische Lösung der Differentialgleichung der Wärnieleitung in einem vollen kreisförmigen Zylinder unter der Voraussetzung konstanter Abkühlung des Zylindermantels. V T141 P u r i , P., Rotating Flow of an Elastico-Viscous Fluid on an Oscillating Plate. KM 743 R a s k o v i c , D., Die Verteilung des Ruckvektors im Falle der Zentralbewegung. V T61 R a t s c h e k , H., Mittelwertsatz für Intervallfunktionen. V T229 R a u t m a n n , R., Zur iterativen Lösung spezieller Systeme partieller Differentialgleichungen. V T197 R e i c h a r d t , H., ü b e r ein Turbulenzmodell mit festen Körpern. V T144 R e i s m a n n , H. Siehe Weingarten, L. I. R e u t t e r , F., Über Fimktionensysteme, die durch Fluchtliniennomogramme mit einer algebraischen Kurve vierter Ordnung als Träger aller Skalen darstellbar sind. H 635 R o b i n s o n , A. R . / T h o m p s o n , J . C., Transient Stresses in an Elastic Half Space Resulting from the Frictionless Indentation of a Rigid Wedge-Shaped Die. H 139 R o b i n s o n , N. I . / U n g a r , A., Concentrated Load on an Elastically Supported Strip. KM 441 R o l s k i , T . / S t o y a n , D., Two Classes of Semi-Orderings and their Application in the Queuing Theory. KM 127

VI

Inhaltsübersicht Seite

R ö s e l e r , J . / H e n n e b e r g e r , K., Bloch Electrons in the Electric field: Existence and Properties of the Solutions of the Auxiliary Equation Stated by Wannicr. H 303 R o e s n e r , K. Siehe Menzel, Ii. R o e s t e l , Th. Siehe Isay, W. H. R o t h c r t , H., Repräsentation der freien Helmholtzschen Energie bei viskoelastischen Cosseratflächen. V T95 R.oy, D. P . / B a l l m a n n , J., Überschallströmung thermisch relaxierender Gase um Profilvorderkanten lind Spitzen. V T144 Pv.no, S. Y., Slowly Oscillating Pointed Low Aspect Ratio Wings at Sonic Speed with Thickncss Effect. KM 119 Sachs, A., Zur globalen Konvergenz eines impliziten Differenzenverfahrens für ein freies Randwertproblem der Wärmeleitungsgleichung. V T232 Sagirow, P., Zeitoptimale Drehungen um eine kövperfestc Achsc. V T63 S a l j n i k o v , V./Boricic, Z., Die universellen Grenzschichtgleichungcn für den Fall der koinpressiblen laminaren Strömung. V T146 Samli, S. G., Über den Gleichgewichtszustand der Kragbalken (Konsolträger) und der beiderseits eingespannten Balken gleicher Festigkeit gegen Zug. V T97 S c h ä f e r , E., Eine Fehlerabsehätzung für lineare Funktionale auf Sovolov-Räumen. V T231 S c h a r f , V., Optimuminvariante Bereiche der Zielfunktionskoeffizienten linearer Programme. KM 58 S che u, G., Sehrankenkonstniktion für die Lösung einer Regelungsaufgabe bei zwei unabhäniggen Variablen. V XI99 S c h e u r i n g , H. Th., Einbettung bei elliptischen Differentialgleichungen mit nichtlincaren Randbedingungen. V T233 S c h i e h l e n , W., Zur Untersuchung von Zufallssch wingungen. V Tfi4 S c h i f f n e r , IC. Siehe ICastl, H. S e h i l d k n e c h t , M./Meier, G. E. A., Einflüsse von Querschnittskontraktionen auf eine voll ausgebildete turbulente Rohrströmling. V T149 Schilling, U. Siehe Siekmann, J. Schips, B./Stier, W., Über eine Klasse nicht-stationärer Prozesse als Grundlage zur Saisonbercinigung ökonomischer Zeitreihen. V X249 S c h m i d t , J. W., Berichtigung und Ergänzung zur Arbeit: Überlinear konvergente Mehrschrittverfahren vom Regula falsi- und Newton-Typ. ZAMM 53,103-114 (1973). Ber. 000 S c h m i e d e r , L., Eine mathematisch strenge Schalentheorie, hergeleitet aus dem Prinzip der virtuellen Verrückungen. V T99 S c h n e i d e r , K. R./Stefek, M., Bemerkungen zum Verfahren der zweidimensionalen Sturmschen Kette. KM 67 —, Zur Abschätzung der Frequenz nichtlinearer Schwingungen einer Klasse gewöhnlicher Differentialgleichungen. H 83 S c h n e i d e r , W., Stromaufwärtswirkung von kleinen Störungen in Überschallgrenzschichten unter Berücksichtigung von instationären Vorgängen und Reibung. V T150 S c h ö n a u e r , W./Spreuer, H . / S t r a u b , D./Adams, E., Beitrag zur numerischen Lösung von Grenzschichtgleichungen bei chemischem Nichtgleichgewicht. V T.151 Schoop. H., Drehwellenberechnung mit finiten OrtZeit-Elementen. V T100 S c h o r l i n g , M., Der Überschallkanal in einer geschichteten Atmosphäre. V T153 S c h o r r . B., On the Choice of the Class Intervals for the Chi-Square Test of Goodness of Fit. V T249

Seite S c h r ä p e l , H. D., Verschärfung des Ljapunowschen Stabilitätsbegriffes. ' V T174 S e h r o e d e r , P., On the Validity of the Peripheral Plasma Layer Model for Blood Flow in Narrow Tubes. V T150 S c h u l z - J a n d e r , B., Ein mehrparametriges Intcgralverfahren zur Berechnung von turbulenten Temporaturgrenzschichten. V TI58 S c h w e t l i c k , H., Über die Realisierung und Konvergenz von Mehrschrittverfahren zur iterativen Lösung nichtlinearer Gleichungen. H 479 —, Über w2-Schritt-Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungen. KM 822 S e b a s t i a n , V. IC. Siehe Iyengar, K. T. S. R. S e t h , B. R., Creep-Plastic Effects in Sheet Bending. H 557 S h e r b o u r n e , A. N i / H a y d l , H. M., Plastic Analysis of Shallow Spherical Shells under Combined Loading at Moderately Large Deflections. H 73 Siehe Haydl, H. M. S h i b u y a , T . / K o i z u m i , T . / Y o d a , H., Flexural Stress Waves in an Infinitely Long Strip with Clamped Edges Subjected Stepwise to a Concentrated Transverse Load. H 421 S h r i v a s t a v a , H. P . / D u b e y , R. N., Yield Condition and Hardening Rule for Density Varying Materials. KM 594 Siegel, G., Abschätzungen für die Wartezeitverteilungen und ihrer Momente beim Wartemodell GI/G/1 mit und ohne „Erwärmung". H 009 S i e k m a n n , J./ Schilling, U., Berechnung von Flüssigkeitsschwingungen in rotationssymmetrischen Treibstofftanks nach dem Singularitäten verfahren. VT.158 Singh, B. M., Quadruple Integral Equations Involving Inverse Mel Im Transforms. KM 201 —, The Solution of Quadruple Integral Equations Involving Modified Hankel Functions. KM 439 Socio, L. dc, Viscous-Magnetic Boundary Layers. H 373 Solecki, R., Invariant Form of the General Solution of the Steady-State Therm oclastic Problems. KM 008 S p ä t h , H., Verallgemeinerte kubische SplineInterpolation. V T234 Spierig, S., Zur Dynamik des Seiles bei großen Auslenkungen. V T102 S p r e m a n n , K., Optimierung verschiedener Steuerungsprobleme mit einem funktionalanalytischen Maximumprinzip. ZB 293 Spreu er, H. Siehe Schönauer, W. S p r i n g e r , H., Über die Belastung der Reifen eines Kraftfahrzeuges bei ebenen Schleuderbewegungen. V T175 S r i n i v a s a n , R. J. Siehe Nayak, M. S r i v a s t a v a , K. N . / G u p t a , O. P., Stress Distribution in a Thin Circular Plate Having StarShaped Crack. KM 431 S t e f e k , M. Siehe Schneider, K. R. S t e i n e r , J. M. Siehe Borght, R. Van der S t i e r , W. Siehe Schips, B. S t o y a n , D. Siehe Rolski, T. S t r a u b , D. Siehe Schönauer, W. S t r a u s s , IC., Stabilität der Strömung einer Ncwtonschen Flüssigkeit in einem konvergenten Kanal. V T159 S u n d a r a r a j a n , C., On the Stability and Eigencurves of an Elastic System Subjected to Conservative and Nonconservative Forces. KM S u z u k i , S., Stress Analysis of a Short Cantilever Beam and Comparison of Accuracy of Solutions. KM S w a r u p , K., On Duality in Non-Linear Fractional Programming Problems. KM Szablewski, W., Turbulente Strömungen in rauhen Rohren und an der rauhen Platte. KM

434 002 734 670

Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik Seite T a l b o t , R. F. Siehe Colwell, D. J. T a n i , J. Siehe Yamaki, N. T e i p e l , I., Kritische Bemerkungen zur Berechnung von Grenzschichtströmungen nicht-Newtonscher Medien. V T161 X h a k a r e , N. K., Some Dual Series liquations Involving Jacobi Polynomials. KM 283 T h e r m a n n , K. Siehe Bruhns, 0. —, Siehe Mioduchowski, A. T h o m p s o n , J. C. Siehe Robinson, A. R. T o d o s c h i n i , R. Siehe Distefano, N. T o k u o k a , T., A Generalized Hypo-Elasticity and Derived Failure Condition. H 601 T o r r e , C., Ableitung der Bewegungsgleichung der Plastiko-Dynamik in den Spannungsgrößen. V T104 T r o g e r , H., Zur Einteilung von Sprungeffekten in mechanischen Systemen. V T177 T a u g e , S . / F u j i w a r a , T., On the Propagation VeloCombined of Wave. H 157 Thermally T v ecity i t e rofe iadDetonation-Shock , M., On the Stability Stratified Plane Poiseuille Flow. H U n g a r , A. Siehe Robinson, N. I. V a r d u l a k i s , I. Siehe Gudehus, G. V a s a n t a R a m , V., Die Grenzschicht höherer Ordnung an einem axialangeströmten elliptischen Zylinder in Überschall,Strömung. V Vel, H. van de, "Upper Bounds for the Number of Real Zeros of Generalized Polynomials. KM V e i t e , W., Komplementäre Extremalprobleme. HV V e r m a , P. D . / B h a t t , B. S., On the Flow of Immiscible Incompressible Fluids Between Naturally Permeable Walls. KM W a c k e r , Hj., Übergangsmöglichkeiten zwischen verschiedenen Iterationsverfahren. V W a u c r , J., Eigenschwingungen von Systemen aus Kontinua und endlich vielen Starrkörpern V W a u s c h k u h n , U., Bestimmung periodischer Lösungen von Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen mit mtervallanalytischen Methoden. V W e b e r , H. I., Improving of Mechanical Systems by Optimal and Suboptimal Control. V W e i d n e r , P., Die Minimalkugel als Optimierungsproblem. V

533

Tlfil 813 T45 817 T23ß T65 T237 T67 T238

VII

Seite W e i n g a r t e n , L. I . / R e i s m a n n , H., Forced Motion of Cylindrical Shells — A Comparison of Shell Theory with Elasticity Theory. H 181 W e i n m a n n , K., Optimierungsprobleme mit nichtlinearen Gleichungsrestriktionen. V T239 W e l l m a n n , J., Der Einfluß der Machzahl auf wellenwiderstandsoptimierte Rümpfe und Profile bei "Überschallanströmung. H 389 W e r n e r , B., Abschätzungen von Projektionen und Näherungen von Eigenelementen. V T201 W h i s n a n t , J. M . / A n a n d , D. K., Invariant Surfaces for Rotor Controlled Satellits in Highly Elliptical Orbits. H 563 W i c k , J. Siehe Neunzert, H. W i d e r a , 0. E . / F r a n k , E., Ein Beitrag zur Analyse der versteiften Kreisringplatte. V T107 W i l d e n a u e r , P., Tschebyscheff-Verfahren in halbgeordneten topologischen Vektorräumen. V T202 W i l h e l m , H. E. Siehe Liron, N. W i l h e l m i , W., Ein Algorithmus zur Lösung eines inversen Eigenwertproblems. KM 53 W i l l e , F., Borsuk's Antipodensatz für mehrwertige monotone Operatoren mit Störungen. V T204 W i l l e m s , P. Y . / N i s h i k a w a , Y., Kinematical Drift of two Degree of Freedom Gyroscopes. H 173 W i m m e r , H., Trägheitssätze für Matrizen, Steuerbarkeit und lineare Schwingungen. V T205 W i t t e k , G., Analysis bewegter Singularitäten. V T163 W i t t e n b u r g , J., Stand und Entwicklungstendenzen der Mechanik rotierender Körper HV T40 W ö b b e c k e , W., Allgemeine Differentialgleichungen dünner elastischer Schalen in Matrizendarstellung. V T108 Y a m a k i , N . / T a n i , J., Postbuckling Behavior of Circular Cylindrical Shells under Hydrostatic Pressure. H 709 Y o d a , H. Siehe Shibnya, T Z i m m e r m a n n , G., Eine näherungsweise gültige Integralgleichung für die Wandspannungen einer turbulenten Grenzschicht an einer deformierbaren Wand. V T1Ö5 Z i m m e r m a n n , P . / I m e r , S., Freie Schwingungen polarorthotroper Kreisringplatten. KM 366 Z l o b e c , S . / C h a n , M. W. K., The Gauss-Bordering Method for Matrix Inversion. KM 277

B. Sachverzeichnis (Abkürzungen s. S. II) Seite Seite S p ä t h , H., Verallgemeinerte kubische Spline-IntcrApproximationstheoric V T234 polation. (siehe auch Numerische Mathematik und Rechentechnik) E d er, E., Eine einfache Approximation für das Differential- und Integralgleichungen vollständige elliptische Normalintegral erster und zweiter Gattung. KM 121 (siehe auch Eigenwertprobleme; Numerische Mathematik und Rechentechnik; Operationsforschung, Optimierung, B l a t t , H.-P., Eine Verallgemeinerung des RemezAlgorithmus für lineare Simultanapproximation. V T210 optimale Prozesse; Regelungssysteme) B a b u s k a , I., Numerical Solution of Partial DifferenB ö h m e r , K., Über die stetige Abhängigkeit von tial Equations. HV T3 Interpolations- und Ausgleichssplines. V T211 B a u e r , K. W., Differentialoperatoren bei einer Klasse E n g e l s , H., Allgemeine interpolierende Splines dritten verallgemeinerter Tricomi-Gleichungen. H 715 Grades. V T215 B a u m g a r t e , J., Zeittransformatxon zur analytischen G e i g e r , C., Minimale H-Mengen, starke Eindeutigkeit Schrittweitenregulierung bei der numerischen Inteund Stetigkeit des Tschebyscheff-Operators. H 627 gration gewöhnlicher Differentialgleichungen. V T167 H o f f m a n n , K.-H., Tschebyscheff-Approximation C h a k r a b a r t i , A., On the Solution of Certain Simultaunter Nebenbedingungen via Kontroll-Theorie. V T219 neous Pairs of Dual Integral Equations. H 383 K i l b o r t h , K., Über Typen von kubischen Splinc— , Certain Dual Series Relations Involving Bessel funktionen. V T224 Functions Arising in Crack Problems. KM 436 M ü h l b a c h , G., Newton- und Hermitc-Tnterpolation C h r i s t i a n s e n , S., On Green's Third Identity as a mit Öebysev-Systemen. H 541 Basis for Derivation of Integral Equations. V T185

Inhaltsübersicht

Vili

Seite E d e r , E., Verallgemeinerungen der Rellichschen Abschätzung und eines Satzes von E . Wienholtz. V T186 K i r c h g r a b e r , U., Das Transformationsverhalten von Störungsgleichungen. V TI90 K u h n , G . / M a t c z y i i s k i , M., Beitrag zum gemischten R a n d w e r t p r o b l e m a m Streifen. V T88 M a j u m d a r , S. R., Note on t h e Numerical Solution of Singular Fredholm Linear Integral E q u a t i o n . K M 515 M e c k e r t C., E t u d e de la stabilité d'une équation différentielle non conservative du second ordre, à coefficients périodiques. H 781 M ö h r m a n n , W., Schranken, Existenz u n d Eindeutigkeit f ü r ein freies R a n d w e r t p r o b l e m . V T192 N e u n z e r t , H . / W i c k , J . , Zur numerischen Lösung von Erhaltungsgleichungen. V T194 N i x d o r f f , K., Ein Lösungsverfahren f ü r einige gewöhnliche, nichtlineare Differentialgleichungen. V T196 P o m e n t a l e , T., A Boundary-value Problem for t h e E q u a t i o n y' = Af(x, y) + h(z, y) — g(x, y) y. H 723 P r â s e k , L., Mathematische Lösung der Differentialgleichung der Wärmeleitung in einem vollen kreisförmigen Zylinder unter der Voraussetzung kons t a n t e r Abkühlung des Zylindermantels. V T141 R a u t m a n n , R., Zur iterativen Lösung spezieller Systeme partieller Differentialgleichungen. V Ï197 S i n g h , B. M., Quadruple I n t e g r a l E q u a t i o n s Involving Inverse Meilin Transforms. KM 201 — , The Solution of Quadruple Integral Equations Involving Modified Hankel Functions. KM 439 T h a k a r e , N. K., Some Dual Series Equations Involving Jacobi Polynomials. K M 283 W a u s c h k u l i n , U., Bestimmung periodischer Lösungen von Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen mit intcrvallanalytischen Methoden. V T237 Dynamik, Schwingungen und Wellen (siehe auch Elasto- u n d Plastomechanik; Mechanik, allgemein und P h y s i k ; Operationsforschung, Optimierung, optimale Prozesse; Stäbe, Schalen, P l a t t e n , Scheiben) C h e s h a n k o v , B. I., Multifrequency Oscillations under E x t e r n a l Excitations in t h e Case of Resonance of Mixed Second a n d Third R a n k . KM 362 C r o n j a e g e r , R., E i n einfaches Mode llfiir Zungenmusikinstrumente. V T48 E g g c r s , K., Von Körpern erzeugte Wasserwellen. H V Ï 2 0 1 E s c h e n a u e l , H . / H e n n i n g , G., Modellgleichungen zur Beschreibung des dynamischen Verhaltens von Großantennen. V T167 E r i k , M., Zur Stabilität parametererregter Satellitenschwingungen. V T50 G h o r i , Q. K . / H u s s a i n , M., E q u a t i o n s of Motion of Nonholonomic Dynamical Systems in PoincaréÖetaev Variables. H 311 —/ —, On Some F o r m s of the Equations of Motion in Poincaré-Cetaev A'ariables. H 495 G h o s h , M. L., Homogeneous Solution of Elastic W a v e Propagation in t h e Presence of a HalfPlane a t t h e Fluid-Solid Interface. H 449 H o e h n , E . K . H., Properties of Stability Diagrams for Hill's E q u a t i o n . K M 734 K a n w a l , R . P . / P a s h a , M. L., R o t a r y Oscillations of Spheroids a n d Disks in an Elastico-Viscous Fluid. H

703

K l u w i c k , A., Zur Bedeutung der kumulativen Glieder im analytischen Charakteristikenverfahren. V T126 K o l e r u s . J . , Reibungsschwingungen als Aisermansches Problem. V T172 L e i s, R., R a n d - u n d Eigen wertauf gaben in der Theorie elektromagnetischer Schwingungen. HV T3G M a g n u s , K., Zur Theorie der Koltischen steine.

WaokelV

T54

Seite M ü l l e r , P. C., Stabilität und Instabilität bei linearen, zeitinvarianten, dynamischen Systemen. V — / L i i c k e l , J . , Modale Beobachtbarkeit u n d Systeme.

T55

Maße f ü r Steuerbarkeit, Störbarkeit dynamischer V T57

— / P o p p , K., Zur Theorie der ersten Integrale bei gesteuerten dynamischen Systemen. V T58 —/ —, Zur Theorie der ersten Integrale bei gesteuerten mechanischen Systemen. H N i x d o r f f , K., Zur iterativen Bestimmung nichtlinearer Schwingungen. KM P o p p , K., Vergleich von passiver u n d aktiver Schwingungsdämpfung bei gravitationsstabilisierten Satelliten. V

695 819 T59

S c h i o h l e n , W., Zur Untersuchung von Zufallsschwingungen. V S c h n e i d e r , K . R., Zur Abschätzung der Frequenz nichtlinearer Schwingungen einer Klasse gewöhnlicher Differentialgleichungen. H

T64

83

S h i b u y a , T . / K o i z u m i , T . / Y o c l a , H., Flexural Stress Waves in an Infinitely Long Strip with Clamped Edges Subjected Stepwise to a Concent r a t e d Transverse Load. H S i e k m a n n , J . / S c l i i l l i n g , U., Berechnung von Fliissigkeitsschwingungen in rotationssymmetrischen Treibstofftanks nach dem Singularitätenverfahren. V S p i e r i g , S., Zur D y n a m i k des Seiles bei großen Auslenkungen. V S p r i n g e r , H., Über die Belastung der Reifen eines Kraftfahrzeuges bei ebenen Schleuderbewegungen V T o r r e , C., Ableitung der Bewegungsgleichung der Plastiko-Dynamik in den Spannungsgrößen. V W a u e r , J . , Eigenschwingungen von Systemen aus K o n t i n u a u n d endlich vielen Starrkörpern. V W h i s n a n t , J . M . / A n a n d , D. K., I n v a r i a n t Surface for Rotor Controlled Satellits in Highly Elliptical Orbits. H W i l l e m s , P. Y . / N i s h i k a w a , Y., Kincmatical D r i f t of two Degree of Freedom Gyroscopes. H W i t t e n b u r g , J . , S t a n d u n d Entwicklungstendenzen der Mechanik rotierender Körper. HV

421

T158 T102 T175 T104 T65 563 173 T40

E i gcnwertpoblcme (siehe auch Differential- lind Integralgleichungen) H e r o l d , H.. Ein singuläreslineares Eigenwertproblem. K M 741 L i e b o l d , R., Die elementare Bestimmung der Eigenschwingungszahlen von Stäben u n d P l a t t e n . K M 514 W e r n e r , B., Abschätzungen von Projektionen u n d Näherungen von Eigenelementen. V T201 W i l h e l m i , W., Ein Algorithmus zur Lösung eines inversen Eigenwertproblems. KM 53 Elasto- und Plastomechanik (siehe auch Methoden der finiten Elemente; Stäbe, Schalen, P l a t t e n , Scheiben; W ä r m e ü b e r t r a g u n g ) B a b a d s l i a n j a n , H., Zur Begründung einiger Iterationsmethoden in der nichtlinearen Kriechtheorie. H 259 B e s d o , D., Einige Bemerkungen über Stoffgesetze der Plastomechanik Cosseratscher K o n t i n u a . V T70 B l u m , R . / L o s c h , M . / L u z , E., Ein nichtlinearcs, zweidimensionales Stoffgesetz f ü r eine hyperelastische Membran unter endlichen Verzerrungen. V T7I B r e u e r , S., E x t r c m u m Principles Governing an Anisotropie Viscoelastic Model. H 509 B r i l l a , J . , Convolutional Variational Principles and Methods in Linear Viscoelasticity. V T46 B r u h n s , 0 . / T h e r m a n n , K., Stabilitntsprobleme clastoplastischer K o n t i n u a . V T73

Zeitschrift für Angewandte Mathematik u n d Mechanik Seite B u f l e r , H., Elastisches Mehrschichtsystem unter Belastung. H D i s t e f a n o , N . / T o d e s c h i n i , Ii., On the Identification of Nonlinear Viscoelastic Characteristics of a Class of Polymeric Materials. KM E l N a s c h i e , M. S., Exact Asymptotic Solution for the Initial Post-Buckling of a Strut on Linear Elastic Foundation. ' H F i e h e r a , G., Existence Theorems in Linear and Semi-Linear Elasticity. HV G r i i t e r s , H., Iterative Lösung von Lastspannungsproblemen in anisotropen Körpern. V G u d e h u s , G . / V a r d u l a k i s , I., Darstellung der nichtlinearen Mohrschen Grenzbedingung im H a u p t spannungsraum. KM H a b e r l , G., Theoretische Bestimmung der Eigenschaften faserverstärkter Werkstoffe bei Belastung quer zur Faserrichtung. V H a t a , T., Relief of Thermal Stresses in an Infinite Strip with H e a t Dissipation at Both Plane Surfaces through Creep. KM H e i s e , U., Die Erzeugung von Singularitäten für Integralverfahren der Elastostatik. V I c s a n , D., Torsion of Anisotropie Micropolar Elastic Cylinders. H K a f k a , V., Zur Thermodynamik der plastischen Verformung. H K a p o o r , R. N . / L e i p h o l z , H. H. E., On Mass Distribution, R o t a r y Inertia and External Damping of a Viscoelastic Polygenic System. KM M e h l h o r n , G., Anwendung eines potcntialtheoretischcn Analogieverfahrens in der Elastomechanik. V N a y a k , M . / S r i n i v a s a n , R. J . , Stresses and Displacements under a Flexible Circular-Foundation in the Presence of Friction or Adhesion. H R o b i n s o n , A. R . / T h o m p s o n , J . C., Transient Stresses in an Elastic Half Space Resulting from the Frictionless Indentation of a Rigid WedgeShaped Die. H R o b i n s o n , N. I . / U n g a r , A., Concentrated Load on an Elastically Supported Strip. KM R o t h e r t , H., Repräsentation der freien Helmholtzschen Energie bei viskoelastischen Cosseratflächen. V S a m l i , S. G., Über den Gleichgewichtszustand der Kragbalken (Konsolträger) und der beiderseits eingespannten Balken gleicher Festigkeit gegen Zug. V S e t h , B. R., Creep-Plastic Effects in Sheet Bending. H S h r i v a s t a v a , H . P . / D u b e y , R. N., Yield Condition and Hardening Rule for Density Varying Materials. , KM S o l e c k i , R., Invariant Form of the General Solution' of the Steady-State Thermoelastic Problems. KM S r i v a s t a v a , K . N . / G u p t a , 0 . P., Stress Distribution in a Thin Circular Plate Having Star-Shaped Crack. KM S u n d a r a r a j a n , C., On the Stability and Eigencurves of an Elastic System Subjected to Conservative and Nonconservative Forces. KM T o k u o l c a , T., A Generalized Hypo-Elasticity and Derived Failure Condition. H Y a m a k i , N . / T a n i , J . , Postbuckling Behavior of Circular Cylindrical Shells under Hydrostatic Pressare. H

103 429 677 '124 T79 198 T80 659 T82 773 649 205 T92 225

139 441 T95

T97 . 557 594 668

431

434 001 709

Gasdynamik und Magnetohydrodynamik (siehe auch Grenzschichttheorie und Turbulenz; Strömungsmechanik; Wärmeübertragung) B a l l m a n n , J., Ein Beitrag zum Singularitätenverfahren für Überschallströmungen um schlanke Körper. V T110

IX

Seite Col w e l l , D. J . / T a l b o t , R. F., Certain Irrotational, Plane, Unsteady Gasdynamic Flows. H 525 F r i e d r i c h , R., E x a k t e Lösung der BoltzmannGlcichung in der Umgebung einer plötzlich bewegten, halbunendlich langen Platte in freier Molekülströmung. VTU4 G a s t e i g e r , H . / H i n d e l a n g , F. J . , Das Strömungsfeld in der Umgebung einer längsangeströmten ebenen Platte im Bereich der freien Molekülströmung. H 767 H e n d e r s o n , Le Roy F., Theorem on E n t r o p y Production on Either Side of Shock Branching. KM 281 K a t h u r i a , S. N . / I C a l r a , G. L., Effect of Tensor Conductivity on Rotating Superposed Plasmas. H 133 L i c s s , C., Einfluß der Machzahl in der Hauptströmung auf die dimensionslose Eigentemperatur einer filmgekühlten Wand. VT133 P o p , I., On t h e Hydromagnetic Flow due to an Impulsive Rotating Disk. KM 284 R o y , D. P . / B a l l m a n n , J . , Überschallströmung thermisch relaxierender Gase um Profilvorderkanten und Spitzen. V T144 S c h o r l i n g , M., Der Überschallknall in einer geschichteten Atmosphäre. V T153 T s u g e , S . / F u j i w a r a , T., On t h e Propagation Velocity of a Detonation-Shock Combined Wave. H 157 W e l l m a n n , J., Der Einfluß der Machzahl auf wellenwiderstandsoptimierte Rümpfe u n d Profile bei Überschallanströmung. H

389

Grcnzscliichtthcoric und Turbulenz (siehe

auch

Gasdynamik u n d Magnetohydredynamik; Wärmeübertragung)

A m e s , W. F . / A d a m s , E., A Family of Exact Solutions for Laminar Boundary Layer Equations. V B r e c h l i n g , J . , Die Beeinflussung der Stabilität von Laminarströmungen durch die Eigenschaften der Wände. H C r a n e , L. J., Error Estimate for the Schlichting Round Jet, KM D j u k i c , Dj. S., The Universal Form of the Boundary Layer Equation and its Solution for Non-Newtonian Power-Law Fluids. H E m m e r l i n g , R . / M a i e r , G. E. A . / D i n k e l a c k e r , A., Die momentane Struktur des Wanddruckes einer turbulenten Grenzschichtströmung. V G e r s t e n , K., Die Verdrängungsdicke bei Grenzschichten höherer Ordnung. H K e l l e r , J., Eine Mastergleichung für Turbulenzströmungen. V K r e p l i n , H . - P . / E c k e l m a n n , H., Das Verhalten der Längsschwankungen der Geschwindigkeit einer turbulenten Kanalströmung in Wandnähe. V K ü m m e r e r , H., Numerische Untersuchung der Energie kleiner wellenartiger Störungen in laminaren Grenzschichtströmungen. V K u x , J., Kovariante Formulierung der Grenzschichtgleichungen als Grundlage für die Berechnung von Grenzschichten an gekrümmten Wänden. V L a n g e , H., Über ein Problem aus der Theorie der laminaren Grenzschichten. V L e o p o l d , J., Berechnungsmöglichkeiten gekrümmter turbulenter Freistrahlen. KM L i r o n , N . / W i l h e l m , H. E., Integration of t h e Magnetohydrodynamic Boundary-Layer Equations by Meksyn's Method. H Me s e t h , J., Anwendung einer Staurohrsonde mit sehr kurzer Ansprechzeit zur Untersuchung der Turbulenzentstehung bei einer Rohrströmung. V N a t h , G., An Approximate Method for the Similar Solution of Nonlinear Boundary Layer Equations for Power-Law Fluids. KM

T180

247 591

9

Tll3 165 T125 T129

T130 T132 T191 729 27

T136 198

X

I nhall1>i'ibeisieht Seite

—, Solutions of Boundary Layer Equations Governing Free Convective and Magnetohydrodynamic Flows through P a r a m e t r i c Differentiation. H N y c h a s , S. G . / H e r s h e y , H . C . / B r o d k e y , R . S., A Visual S t u d y of Turbulent Shear Flow. V O b e r m e i e r , F., Einige theoretische Bemerkungen zum Verhalten der viskosen W a n d s t r ö m u n g t u r b u lenter Grenzschichten. V R e i c h a r d t , H., Über ein Turbulenzmodell mit festen Körpern. V S a l j n i k o v , V . / B o r i c i c , Z., Die universellen Grenzschichtgleichungen f ü r den Fall der kompressiblen laminaren Strömung. V S c h i l d k n e c h t , M . / M e i e r , G. E. A., Einflüsse von Querschnittskontraktionen auf eine voll ausgebildete t u r b u l e n t e Kohrströmung. V S c h n e i d e r , W., Stromaufwärtswirkung von kleinen Störungen in Überschallgrenzschichten unter Berücksichtigung von instationären Vorgängen u n d Reibung. V

085 T137

T138 T144 T140

TI49

T150

Schönauer, W./Spreuer, H./Stra\ib, D./Adams, F . , Beitrag zur numerischen Lösung der Grenzsehiehtgleichungen bei chemischem Nichtgleichgewicht. VT151 S c h u l z - J a n d e r , B., Ein mehrparametriges Integralverfahren zur Berechnung von t u r b u l e n t e n Temperaturgrenzschichten. V T158 S o c i o , L. de, Viscous-Magnetic B o u n d a r y Layers.

H

373

S z a b l e w s k i , W., T u r b u l e n t e Strömlingen in rauhen Rohren u n d an der rauhen P l a t t e . KM 670 T e i p e l , I., Kritische Bemerkungen zur Berechnung von Grenzschichtströmungen nicht-Newtonscher Medien. V T.101 V a s a n t a R a n i , V., Die Grenzschicht höherer Ordnung an einem axialangeströmten elliptischen Zylinder in Überschallströmung. V TI Gl Z i m m e r m a n n , G., Eine näherungsweise gültige Integralgleichung f ü r die W a n d s p a n n u n g e n einer t u r b u l e n t e n Grenzschicht an einer deformierbaren Wand. V T1G5 Intervallir.atlicmatik (siehe auch Numerische Mathematik u n d Rechentechnik) A l e f e l d , G., Quadratisch konvergente Einschließung von Lösungen nichtkonvexer Gleichungssysteme. H 335 A p o s t o l a t o s , N., Einige Ergänzungen zu dem Begriff des Rasters. K M 517 B e e c k , H., Zur scharfen Außenabschätzung der Lösungsmenge bei linearen Intervallgleichungssystemen. V T208 F i s c h e r , H., Normbälle in der Intervallrechnung. V T217 J a h n , K.-U., Eine Theorie der Gleichungssysteme m i t Intervall-Koeffizienten. H 405 K a n s y , K., Intervallarithmetische Darstellung von Funktionen und ihren Ableitungen. V T222 K r i e r , N., Komplexe Kreisarithmetik.

V T225

Seite R e u t t e r , F., Über Funktionssysteme, die durch Fhichtliniennomogramme mit einer algebraischen K u r v e vierter Ordnung als Träger aller Skalen darstellbar sind. H 035 S c h e u r i n g , H . Th., E i n b e t t u n g bei elliptischen Differentialgleichungen mit nichtlinearen Randbedingungen. V T233 V e l , H . van de, Upper Bounds for t h e N u m b e r of Real Zeros of Generalized Polynomials. K M 813 W i l l e , F., Borsuk's Antipodensatz f ü r mehrwertige monotone Operatoren m i t Störungen. V T204 Matrizen B u c k l e y , A., A Note on Matrices A = I + H, H Skew-Symmetric. KM 125 F e t t i s , H. E., An Alternative to Sylvester's Method. K M 205 W i m m e r , H., Trägheitssätze f ü r Matrizen, Steuerbarkeit unci lineare Schwingungen. V T205 Z l o b e c , S . / C h a n , M. W. K., The Gauss-Bordering Method for Matrix Inversion. KM 277 Mechanik, allgemein und Physik (siehe auch Differential- u n d Integralgleichungen; Dynamik, Schwingungen u n d Wellen; Elasto- u n d Piastomechanik; Gasdynamik u n d M a g n e t o h y d r e d y n a m i k ; Grenzschichttheorie u n d Turbulenz; Methode der finiton Elemente; Stäbe, Schalen, Scheiben; Strömungsmechanik; Wärmeübertragung) B a l k e , H., Thermodynamische Analyse von Deformationsgesetzen des Modellstruktursystems. H B r u n k , G., Rahmeninvarianz in der speziellen Relativitätstheorie. V J o h n , R . W., Der geodätische Abstand in einer Riemannschen Raum-Zeit in zweiter nach-Minkowskischer Näherung. KM K r a e m e r , K., Bemerkung zum Kugelapparat von Mariotte. V K ü i ' k t s c h i e v , R., Über das Durchschlagproblem des Mises-Fachwerks. V L i l o v , L., Die Stabilität einer Bewegung bezüglich einer Menge. H M i s i c u , M., The Method of Parallel Transfer of Physical Fields on Mobile Manifolds; Application in View of E x a c t Solving Median-Type Elastic Problems. V P a s s m a n , S. L., General Solutions for Motions with Convected Stretching. KM R a s k o v i c , D . , Die Verteilung des R u c k v e k t o r s i m Falle der Zentralbewegung. V R ö s e l e r , J . / H e n n e b e r g e r , K., Bloch Electrons in t h e Electric Field: Existence and Properties of t h e Solutions of t h e Auxiliary/ E q u a t i o n Stated b y Wannier. H

233 T7f>

737 T174 T91. 789

T94 57 T01

303

T r o g e r , H., Zur Einteilung von Sprungeffekten in mechanischen Systemen. V T177 V e i t e , W., Komplementäre Extremalprobleme. H V T45

R a t s c h e k , H., Mittelwertsatz f ü r Intervallfunktionen. V T229

Methode (1er finiten Elemente

Mathematik, allgemein

B r i l l a , J . , Finite Element Method in Linear Viscoelasticity. V

T47

K ä r c h e r , H . J . , Über die Anwendung eines K o n j u gierten-Gradienten-Verfahrens auf die Finit-Element-Berechnung nichtlinearer Strukturen. V

T85

M o a n , T., Experiences with Orthogonal Polynomials a n d „ B e s t " Numerical Integration Formulas on a Triangle; with Particular Reference t o Finite Element Approximations. H

501

(siehe auch Approximationstheorie; Differential- u n d Integralgleichungen; I n t e r v a l l m a t h e m a t i k ; Matrizen; Numerische Mathematik u n d Rechentechnik; Operationsforschung, Optimierung, optimale Prozesse; Regelungssysteme; Wahrscheinlichkeitstheorie u n d Mathematische Statistik) F e i l m e i e r , M., CSSL-M und D A R E II-M, zwei Simulationssprachen f ü r kontinuierliche Systeme. V T241 F i s c h e r , H., Über vektorielle Normen und den Zusammenhang mit Pseudometriken. V T188 J a n k o v i ö , Z., On tlie Geodesic a n d Autoparallel Curves in a Generalized Metrie Space. V T189

O h t m e r , O., Berechnung von zwei- u n d dreidimensionalen Strömungsproblemen nach der SubstructureTheorie mit isoparametrischen finiten Elementen. V T139

Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik Seite S e h o o p , H., Drehwellenberechnung mit finiten OrtZeit-Elementen. V XI00 Numerische Mathematik und Rechentechnik (sishe auch Approximationstheorie; Differential- undlntegralgleichungen; Eigenwertprobleme; Grenzschichttheorie und Turbulenz; Intervallmathematik; Mechanik, allgemein und Physik; Operationsforschung, Optimierung, optimale Prozesse; Strömungsmechanik; Wahrscheinlichkeitstheorie und Mathematische Statistik) A g g a r w a l a , B. D., On a Monte Carlo Method for Rectilinear Plates. KM 194 A l e f e l d , G . / H e r z b e r g e r , J., Über die Konvergenzordnung einiger Verfahren zur simultanen Berechnung von Polynomwurzeln. V X206 — / — . Ü b e r Simultanverfahren zur Bestimmung reeller Polynomwurzeln. H 413 A l l g o w e r , E. L., Numerische Approximation von Lösungen nichtlinearer Randwertaufgaben mit mehreren Lösungen. V X206 A p p e l t , W., Fehlereinsehließung für die Lösungen einer Klasse elliptischer Randwertaufgaben. V X207 B a u m g a r t e , J., Zeittransformation zur analytischen Schrittregulierung bei der numerischen Integration gewöhnlicher Differentialgleichungen. KM 126 B o h l , E., Iterative Behandlung diskreter „elliptischer" Probleme: Konvergenz und Fehlerabschätzung. V T184 B r a s s , H., Eine Restdarstellung bei Gregoryschen Quadraturverfahren ungerader Ordnung. KM 123 B r a u n l e d e r , B., Modifikation des Ritzschen Verfahrens für Operatoren in Banachräumen. V X212 E c k a r d t , U., Ein Iterationsverfahren zur Berechnung nichtnegativer Lösungen eines linearen Gleichungssystems. V X213 F o r s t e r , P., Bemerkungen über den Defekt von Galerkin-Näherungen für nichtlineare Randwertaufgaben. KM 513 G e r l a c h , W., Nachkorrektur bei numerischer Differentiation. KM 193 H a b e d a n k , G., Über eine Kombination des Ritzschen Verfahrens mit einem Iterationsverfahren. H 325 H a s s , R . / I C r e t h , H., Stabilität und Konvergenz von Mehrschrittverfahren zur numerischen Lösung quasilinearer Anfangswertprobleme. H 353 H u t a , A., Eine Verallgemeinerung des Runge-KuttaVerfahrens zur numerischen Lösung der Gleichung y'=f(x,y). VX221 K i e l b a s i i i s k i , A . / J a n k o w s k a , J . Fehleranalyse der Schmidtschen und Powellsclien Orthonormalisierungsverfahren. V X223 L e d e r , D., Automatische Schrittweitensteuerung bei global konvergenten Einbettungsmethoden. H 319 L o c h e r , F., Numerische Quadratur von Funktionen mit Singularitäten. V X227 L o u i s , A., Rundungsfehler beim expliziten Differenzenverfahren zur Integration der Wellengleichung. V X228 M ö n c h , W., Monotone Einschließung von Lösungen nichtlinearer Gleichungssysteme durch überlinear konvergente Mehrschrittverfahren. H 807 N e u m a i e r , A., Rundungsfehleranalyse einiger Verfahren zur Summation endlicher Summen. H 39 S a c h s , A., Zur globalen Konvergenz eines impliziten Differenzen Verfahrens für ein freies Randwertproblem der Wärmeleitungsgleichung. V X232 S c h ä f e r , E., Eine Fehlerabschätzung für lineare Funktionale auf Sobolov-Räumen. V X231 S c h m i d t , J . W., Berichtigung und Ergänzung zur Arbeit: Überlinear konvergente Mehrschrittverfahren vom Regula falsi- und Newton-Xyp. ZAMM 53, 1 0 3 - 1 1 4 (1973). Ber 600 S c h n e i d e r , K. R . / S t e f e k , M., Bemerkungen zum Verfahren der zweidimensionalen Sturmschen Kette. KM 67

XI

Seite S c h w e t l i c k , H., Über die Realisierung und Konvergenz von Mehrschrittverfahren zur iterativen Lösung nichtlinearer Gleichungen. H 479 —, Über n 2 -Schritt-Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungen. KM 822 W a c k e r , Hj., Übergangsmöglichkeiten zwischen verschiedenen Iterationsverfahren. V X236 W i l d e n a u e r , P., Xsehebyscheff-Verfahren in halbgeordneten topologischen Vektorräumen. V X202 Operationsforschung, Optimierung, optimale Prozesse B l i a t i a , D., Duality for Quadratic Programming in 55 Complex Space. KM C l a u s s , U., Zur Lösung bilinearer diskreter Differentialspiele. V X244 G l a s h o f f , K., Pseudo-Solutions of Optimization Problems. V 1218 — / K r a b s , W., Konvergenz der Linienmethode bei einem parabolischen Rand-Kontrollproblem. H 551 K ö h l e r , M., Diskrete Approximation eines zeitoptimalen Kontrollproblems. V X246 M i e r s e m a n n , E., Lineare elliptische Zustände mit nichtlinearem Zielfunktional. H 19 M i o d u c h o w s k i , A . / X h e r m a n n , K., Minimum Weight Design of Structures with two Prescribed Frequencies. KM 442 O e t t l i , W., Einzelschrittverfahren zur Lösung konvexer und dual-konvexer Minimierungsprobleme. H 343 S a g i r o w , P., Zeitoptimale Drehungen um eine körperfeste Achse. V X63 S c h a r f , V., Optimuminvariante Bereiche der Zielfunktionskoeffizienten linearer Programme. KM 58 S p r e m a n n , K., Optimierung verschiedener Steuerungsprobleme mit einem funktionalanalytischen Maximumprinzip. ZB 293 S w a r u p , K., On Duality in Non-Linear Fractional Programming Problems. KM 734 W e b e r , H. I., Improving of Mechanical Systems by Optimal and Suboptimal Control. V X67 W e i d n e r , P., Die Minimalkugel als Optimierungsproblem. V X238 W e i n m a n n , K., Optimierungsprobleme mit nichtlinearen Gleichungsrestriktionen. V X239 Regelungssysteme (siehe Dynamik, Schwingungen und AVellen) L ü c k e l , J., Verallgemeinerte Störgrößenaufschaltung bei linearen mehrdimensionalen Systemen. V X51 L u n d e r s t ä d t , R., Energieoptimale Regelung von Laufkranen. V X52 S c h e u , G. Schrankenkonstruktion für die Lösung einer Regelungsaufgabe bei zwei unabhängigen Variablen. V X199 S c hStabilitätsbegriffes. r ä p e l , H. D., Verschärfung des Ljapunowschen V X174 Stäbe, Schalen, Platten, Scheiben (siehe auch Dynamik, Schwingungen und Wellen; Eigen werte; Elasto- und Plastomechanik; Methode der finiten Elemente) A n t e s , H., Plattenberechnung mit FundamentalSplinefunktionen. V XI82 B a s s a l i , W. A . / M a h m o o d , S. S., Analysis of Hydrostatically Loaded Semi-Circular-Plate with a Clamped Diameter and a Free Circular Edge H 755 D a t t a , A. B., Flow Due to Oscillation of a Plate in Micropolar Fluid. KM 592 G l o c k n e r , P. G . / M a l c o l m , D. J., Cosserat Surface: A Model for Idealized Sandwich Shells. V X78 H a y d l , H. M . / S h e r b o u r n e , A. N., Similarity in Plastic Analysis of Irradiated and Variable Thickness Plates and Shells. KM 445

XII

Inhaltsübersicht

Seite H u t t e r , K . / O l u n l o y o , V. 0 . S., The Transient and Steady State Response of a Thick Membrane to Static and Dynamic Loading. I i 7 ( * £ ) ' + ( ? ) " ] } - ¥ •

//a/yray ay i \ \ a z j [0a;4 ^ 3a;2 a«/2 J ray sy

a / s f r ay 8x dy [dy Sx3

ay _ay_

2

ay ] 9a; 3i/3J

/a/vray ay 1\ _ [8y 1 ^ 8x2 8y2]/

_ay_ _ a y j sj_ ray ay

ay _ay_

8x8ydx28y\

8x2 8x2 8y

Vax[aa;2a®3 8y28x8y2

8yl8y28y3

2

_ay_

f c 2

ay i \

v

'

_

=

8x8y8x8y2\J

4

Combining the results given in (22), (26), (31), (32) and (34) we find that equation (15) can be written ¡j, (Z>2 - fc2)2 W = g (AT) F,

D ^ ^ D , a

k2 -> ~ , ci

W

~ W, a

(42)

where AT = the temperature drop across the convective layer, d = the thickness of the layer, a = a ¡^imensionless horizontal wave-number, x = — — = the thermal diffusivity. Qo (¿v Introducing, in addition, the following parameters: R =

a ex. d3 AT = the XV

RAYLEIGH

v a = — = the X

number,

PKANDTL

number, (43)

v = — = kinematic viscosity, it is possible to write the basic equations of our problem in the following form (.D2 - a 2 ) 2 W = Ra2F

+ —{2 DW D2W + W D3W - 3 a2 W DW} + a

+ CTJ {5 a2DW D2W - 2 a2 W D3W + 3 a 4 W DW - DW D*W + + W D*W - QD2WD3W} 2

2

(.D -a )F

=W

,

(44)

DT0 + C {F DW + 2 W DF) ,

(45)

D2T0 = DiFW)

(46)

where Tj is an elastic parameter defined as follows

In the case of two free, isothermal and non-deformable boundaries this system of equations will have to be solved subject to the following boundary conditions: and

Zo(0) = 0 ,

Tyi) = - 1

W = D2W = F = 0

at

(48) z= 0

and

z= 1.

An outline of the numerical method used will be found in the next paragraph.

(49)

R. VAN DER BORGHT/J. 0. MURPHY/J. M. STEINER: Investigation of Finite Amplitude Thermal Convection

5

3. Numerical Method and Discussion of Results

The non-linear BÉNARD problem with hexagonal planforms (C =(= 0) and rigid boundaries has been solved, in the case of NEWTONian fluids, by ROBERTS [11], using a quasi-linearization technique and the RUNGEKTTTTA routine. However, at R A Y L E I G H number B 3 Bc the method failed to converge. The use of a finitedifference-scheme method by GOUGH, SPIEGEL and TOOMRE [13] in their study of this problem, with several horizontal modes included, was successful to very high values of B. Solutions when the free boundary conditions apply have been obtained by MURPHY [14] to high R A Y L E I G H numbers, using expansions in truncated FOURIER series. In the present problem on BÉNARD convection in viscoelastic fluids (C 4= 0, Ti == ! 0) the differential equation (44) for W(z) now has additional non-linear terms up to the fifth order in W. In order to satisfy the boundary conditions (48) and (49) we represent W, F, and Ta by the following FOURIER expansions W(z) =

Wn sin

nnz,

(50)

F(z) = Z /„ sin M 7T z ,

(51)

«=i M

re = 1 M T0{z) = ][ tn sin n n z — z

(52)

and substitution into equations (44), (45) and (46) leads to the following system of 3M non-linear algebraic equations: M fí A.2 1 2 2 o)p { |n-

+ (» - p)2 {Ct + p*Ct ~(p

p\ [C3 + p (Cj + p C6) +

+ ( n - p)2 Gt) ]

2

-

2

+ n) [Ct + p (C, + p Cb) + (n + pY (C2 + p2 Ct + (n + p)2 Ce)]

wn+p) (53)

71

¥ 3> = 1,2,...P tp [a).« +, +

(n2 + a 2 ) fn = (On

C 7T

+ T 71

n tn = —

u yj

7 (n

p) W|„-,|] +

31

• £

21 = 1,2,.

n)

{ ( 2 n + P ) f n + p + [ n Y {p

Wp [fn+p + Y (p - n)f\n-i,\]

,

In - Pl]fm-pi}

,

M

n = 1, 2, 3, .

(54) (55)

where R 7? =- ZT

Y(x) =

G1 =

(On

1 0 -1

Wn =

0Í

=

a — 71

9 =

Gn

(56)

x > 0 x = 0,

(57)

x < 0

— G n^Tj^a2 L

C4 = - 3 G n3 Tj

C2 = G 7ta Tj a2 —

C3 = — C n 3 z 1 » 1 •

C5 = - — 7I8Tj

C

¿i

6

=

¡

:¡x

q (58)

•

All even and odd vertical modes in (50), (51) and (52) have to be retained as the solutions sought no longer have symmetry about z = 1/2, as in the case of the G = 0 type solutions. The total number of modes M, included in any particular solution, depended upon a test for the constancy of the NUSSELT number N over the layer from z = 0 to z = 1. From a physical point of view, when a = 0(1), minimum M is essentially determined by the boundary layer thickness. This corresponds to the numerical requirement that there should be sufficient "collocation points" within the smallest boundary layer. For example at B = 5 • 104, when x1 = 10"3 and a = nj )/2 it was necessary to take M = 60 and the resulting 3 M equations were solved on an iterative basis using the generalized NEWTON-RAPHSON procedure with N being evaluated from the integral N = 1 + / F W dz.

o

(59)

6

R.

V A N DEB B O R G H T / J .

0.

MURPHY/J.

M. STEINER: Investigation of Finite Amplitude Thermal Convection

Table 1 a = 102

C = 1/1/6 , E = 5 • 103

R = 104

R = 5 • 104

a/ji

N(^ = 0)

N (r1 = 10~3) ^ ( ^ = 0)

N(r1 = 10"3) 2V(r1 = 0)

N(r1=

0.25 0.5 0.707 1.0 1.25 1.5 1.75 2.0 2.25 2.50 2.75 3.0

2.2783 2.5968 4.0151 4.0389 3.7395 3.2530 2.6372 1.9452 1.2707

2.2800 3.6021 4.0234 4.0488 3.7492 3.2626 2.6454 1.9519 1.2718

3.1790 4.7689 5.3570 5.5229 5.3073 4.8982 4.3511 3.6920 2.9458 2.1593 1.4201

5.9254 8.9030 10.2729 11.0697 10.9254 10.5228 10.0568 9.5375 8.9572 8.3039 7.5680 6.7448

—

—

—

—

—

—

3.1757 4.7546 5.3335 5.4955 5.2818 4.8758 4.3315 3.6750 2.9316 2.1478 1.4144 —

—

5.8889 8.6072 9.7180 10.2741 10.2571 10.0258 9.6701 9.2300 8.7096 8.1048 7.4098 6.6216

10'3)

In Table 1 the N U S S E L T number N for a NEWTONian fluid, of P R A N D T L number a = 1 0 2 for hexagonal planform of the convective cells, can be compared with the values N obtained for a viscoelastic fluid for which the dimensionless relaxation time x1 = 10"3. This value of RX is probably an upper limit for this p a r a m e t e r ; it has been obtained in the case where the relaxation time of the fluid is 1 sec, the thermal diffusivity is 10~3 cm 2 /sec, and for a layer thickness of 1 cm. As can be seen from the Table 1 there is only a slight change in the N U S S E L T number a t R A Y L E I G H number R S I 104. At R A Y L E I G H number R = 5 • 104 the change is more marked and, in line with the experimental results, the N U S S E L T number is consistently larger for a non-NEWToman fluid t h a n for the NEWTONian fluid with same P R A N D T L number. This is consistent with the destabilizing effect of elasticity on thermal convection [9], [15] —[19]. I n Table 2 we illustrate the dependence of the N U S S E L T number on R A Y L E I G H number for both a NEWTONian and non-NEWTC>Nian fluid. These results were obtained for a wave-number ac = n\|/2 corresponding t o the critical R A Y L E I G H number Rc predicted by t h e linear Table 2 theory. This wave-number was chosen on t h e assumption t h a t the linear theory can make good predictions of t h e hori2 C = 1/1/6, o = 10 , a = 31/1/2 = ac zontal wave-number of the convective flow p a t t e r n ; the reason for this being t h a t convection in the range of the R A Y L E I G H 3 N (rx = 10" ) R N (r t = 0) numbers considered is an organized steady flow which is dependent upon its past history [20], [21]. 3 1.5995 1.6006 10 I t can be seen t h a t the values of the N U S S E L T number for 2 • 103 2.5830 2.5858 a visco- elastic fluid are again consistently higher, although only 3.6472 4 • 1033 3.6410 4.3372 6 -• 10 4.3480 slightly, t h a n the corresponding ones for a NEWTONian fluid 4.8800 4.8966 8 • 1031 with same P R A N D T L number and wave-number. Moreover, 5.3570 10 5.3335 this difference in the N U S S E L T number becomes more marked 2 • 1044 6.9547 7.0318 with the increasing R A Y L E I G H number. The dependence of N 4 • 104 9.2785 8.9690 5 • 10 9.7180 10.2729 on R is illustrated in Figure 4 for free boundaries when the convective cells have hexagonal planform. I t is of interest t o compare the corresponding dependence obtained experimentally by L I A N G and A O R I V O S [ 1 ] for various Sevaran A P - 3 0 solutions in the case of rigid boundaries, bearing in mind t h a t , for the same value of R, less heat will be transported when the fluid layer is contained by rigid boundaries [22] rather t h a n by free boundaries in the case of a NEWTONian fluid. The detailed solutions obtained for the vertical velocity W(z), the temperature fluctuation F(z) and the mean temperature Ta(z) across t h e fluid layer O g z g 1, for several values of R when T1 = 10~3 are given in Figure 1. For large P R A N D T L number, a = 102, and when R 2; 104 these solutions show t h a t the greater maximum in the temperature fluctuation exists near the upper boundary. In Figure 2 the W, F and T0 solutions are given for both r x = 0 and x1 = 10" 3 at two values of R. This comparison shows t h a t at R = 104 there is little difference between t h e solutions for the two types of fluid b u t a t R = 5 • 104 there are some marked differences due to t h e viscoelastic effects, as already noted in t h e values obtained for the total heat transport. I n particular, we observe t h a t larger vertical velocities are attained in the viscoelastic fluid and t h a t t h e maximum is shifted nearer the upper boundary. The dependence of the W, F and T0 solutions on the horizontal wave number a is illustrated in figure 3 for the viscoelastic fluid when R = 5 • 104. The corresponding values of N are given in Table 1. One different feature arising from the solutions obtained from the smaller convective cell size when A = 3 JZ is t h a t the vertical velocity, a p a r t from having a reduced maximum value, is near constant over the central regions of t h e fluid layer.

R. V a n d e e B o e g h t / J .

0.

Murphy/

J . M. S t e i n e r :

Investigation.of Finite Amplitude Thermal Convection

Fig. 1. Numerical solutions obtained for W, F and T„ as tunctions of z,0 ^ z ^ i , when a = m/|/2, 0 = 10*, r , = 10 cated values of the R a y l e i g h number li

3

. Fig. 2. Numerical solutions obtained for W, F and T 0 as functions of z, 0 ^ 2 ^ 1, when a = TI/Y2, a = 10 2 , Tj = 10 Tj = 0 ( ) and'for the two indicated values of R

7

and for the indi-

3

(

),

Fig. 3. Numerical solutions obtained for W, F and T0 as functions of z, 0 S z S 1 when R — 5 • 10 4 , o = 10 2 , xx = 10" 3 and for the indicated values of the wave number a

8

R. VAN DEB BORGHT/J. 0 . MURPHY/J. M. STEINER: Investigation of Finite Amplitude Thermal Convection

4. Concluding Remarks

Fig. 4. variation oi the NUSSELT number N with the R WHEN c = 1/1/6, A = ios, = 10"' AND A = N//2

IUYLEIGH

The major result t h a t emerges from the above theory is t h a t when a M A X W E L L fluid is subjected to buoyancydriven convection, between two free isothermal and non-deformable boundaries, there is little change in the N T J S S B L T number due to visco-elastic effects. However, the N U S S E L T number is consistently higher, although only slightly, than the one for an ordinary viscous fluid with same P R A N D T L number. I t would appear then from the above results, that when subject to buoyancydriven steady convection, a visco-elastic fluid acts rather like an ordinary viscous fluid with constant comnumber parable viscosity. Of course, one would expect a significant departure from such an approximate NEWTONian

behaviour at higher rates of strain, however, this would probably require values of the R A Y L E I G H number substantially larger than those covered during the course of this investigation. These predictions are in good qualitative agreement with the recent experimental findings of L I A N G and A C R I V O S [ 1 ] on buoyancy-driven convection in horizontal layers of dilute water solutions of polyacrylamides confined between rigid, parallel conducting surfaces. B y determining the temperature difference at the point where convection sets in, they have calculated values of the zero shear rate viscosity which were in good agreement with those obtained from rheogoniometer data. The zero shear rate viscosity is one of the most important physical parameters of a non-NEWTONian fluid, hence it is important to determine it accurately. Unfortunately, it is not easy to achieve this task by conventional means (capillary viscometers, rheogoniometers). However, in a natural convection experiment the fluid velocities at the point at which convection first sets in are everywhere very small; hence, the viscosity entering into the expression for R c should be that corresponding to zero strain. Using this fact, the authors have used for the first time a theoretically determined critical R A Y L E I G H number in conjunction with a convection experiment to obtain the value of a physical quantity. The numerical solution of the basic equations for the case of two rigid boundaries is thus clearly an obvious step in the development of the theory and we hope to explore this in the near future. We are greatful to the referee for his valuable comments. References 1 2 3 4

L I A N G , S . F . a n d ACRIVOS, A . , R h e o l o g i c a A c t a 9 , p . 4 4 7 ( 1 9 7 0 ) . PRIGOGINE, I . a n d GLANSDOREF, P . , P h y s i c a 3 0 , p . 3 5 1 ( 1 9 6 4 ) . PRIGOGINE, I . a n d GLANSDORFE, P . , P h y s i c a 3 1 , p . 1 2 4 2 ( 1 9 6 5 ) . UNNO, W . , P u b l . A s t r . S o c . J a p a n 2 1 , p . 2 4 0 ( 1 9 6 9 ) .

6 7 8 9

TLAPA, G. a n d BERNSTEIN, B . , P h y s i c s F l u i d s 1 3 , p. 5 6 5 OLDROYD, J . G „ P r o c . R o y . S o c . L o n d o n , A 2 0 0 , p. 5 2 3 OLDROYD, J . G . , P r o c . R o y . S o c . L o n d o n , A 2 4 5 , p . 2 7 8 V E S T , C . M . a n d ARPACI, V . S . , J . F l u i d M e c h . 3 6 , p . 6 1 3

5 PORTEOUS, K. C. and DENN, M. M., Linear und non-linear stability of plane Poiseuille flow of viscoelastic liquids, University of Delaware Water Resources Centre, Contribution No. 16 (1971). (1970). (1950). (1958). (1969).

10 GREEN, I I I , T., Physics Fluids 11, p. 1410 (1968). 11 ROBERTS, P. H., Non-Equilibrium Thermodvnamics, Variational Techniques and Stabilitj', University of Chicago Press 1966. 12 CHANDRASEICHAR, S., Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability, Clarendon Press, Oxford 1961.

1 3 GOUGH, D . O . , S P I E G E L , E . A . , a n d TOOMRE, J . , T o a p p e a r . 14 MURPHY, J . O., P r o c . A s t r o n . Soc. Aust. 2, p. 5 3 (1971).

15 STEINER, J . M., Zastosowania Matematyki. 41, p. 271 (1973). 16 BHATIA, P . K . a n d STEINER, J . M . , Z A M M 5 2 , S. 3 2 1 ( 1 9 7 2 ) .

17 18 19 20 21 22

BHATIA, P. K. and STEINER, J . M., Phys. Lett. A 37, p. 419 (1971). BHATIA, P. K. and STEINER, J . M., J . Math. Anal, and Appl. 41, p. 271 (1973) BHATIA, P. K. and STEINER, J . M., Aust. J . Phys. 25, p. 695 (1972). FOSTER, T. D., J . Fluid Mech., 37, p. 81 (1969). FOSTER. T. D., Geoph. Fluid Dynamics 2, p. 201 (1971). HERRING, J . R., J . Atmos. Sci. 21, p. 277 (1964).

Eingereicht am 13. 10. 1972, revid. Fassung 6. 4. 1973 Anschrift:

R. VAN DER BORGHT, J . O. MURPHY and J . M. STEINER, Department of Mathematics, Monash University, Melbourne, Australia

DJ.

S.

DJUKIC:

9

The Universal Form of the Boundary Layer: Equation

ZAMM 54, 9 - 1 7 DJ. S.

(1974)

DJUKIC*)

The Universal Form of the Boundary Layer Equation and its Solution for Non-Newtonian Power-Law Fluids Die vorliegende Arbeit bringt eine theoretische Untersuchung der laminaren Grenzschichtströmung einer dem Potenzgesetz gehorchenden nichtnewtonschen Flüssigkeit hinter einer beliebigen zweidimensionalen Fläche. Es wird eine Form der Orenzschichtgleichung hergeleitet, die in der Hinsicht universell ist, daß weder die Gleichung noch die Randbedingungen von den besonderen Bedingungen des Problems abhängen. Dies wird dadurch erreicht, daß in die Zahl der unabhängigen Variablen eine Schar von Parametern einbezogen wird, die den Einfluß der für ein spezielles Problem charakteristischen Bedingungen ausdrücken. Die universelle Gleichung wird durch eine Parameterapproximation numerisch gelöst. Mit Hille dieser Lösung werden mehrere spezielle Probleme im Detail diskutiert. This paper presents a theoretical analysis of the laminar boundary layer flow of a non- Newtonian fluid, obeying the power-law model, past an arbitrary two-dimensional surface. The universal form of the boundary layer equation, such that neither the equation nor the boundary conditions depend on the particular conditions of the problem, is derived. This universality is achieved by introducing a set of parameters expressing the influence of external conditions characteristic of a particular problem into a number of independent variables. The universal equation is solved numerically by a parameter approximation. Using this solution several particular problems are analysed in detail. B iiacTOHmeii paßOTe iipHBeueno TeopeTH'iecKoe ncc.ne;j,OBanMe jiaMHHapnoro reqeHHH norpaninmoro CJIOfl IieriblOTOHOBCKOH JKHRKOCTH, IIOJl'IMH>110 III CMCfI CTeiieHHOMy 3aKOHy, 3a JIIOSOH HByXMepHOii iiOBepxHOCTMO. opMa BMBenenHoro ypaBiieiiHH n o r p a H n m o r o CJIOH HBJIHGTCH yHHBepcajibHoii B TOM cMbicjie, I T O HH caMo ypaBneiiHe I W rpaiiiimibie ycnoBHH ne 3aBncfiT OT OCO6I.IX YCJIOBHH 3ana™. 3TO HOCTHraeTCH nyreM BBCHCHHH B I IHCÜO iie3aBHCHMWX n e p e M e m m x ceMeücTBa napaMeTpoB, yiiiTLiBaiomHx BjiHHHHe xapaKTepHCTH'iecKHx ycJioBHit ,T;.IIH KawHoü ciieuHajiiiHoii 3ana>iH. YHHBepcaJibHoe ypaBHeime pemaeTCH Mi-icjieiiiio nyreM annpoucHManjiH napaMeTpoB. C noMomwo SToro peineimn o6cy?KjiaioTcn iionpoßno Miiorne cneunaJiMiuc 3aua>m.

1. Introduction Considerable attention has recently been devoted to predicting the behaviour of non-NEWTOSrian fluids in motion. This is due to the fact t h a t fluids, suchas molten plastics, pulps, slurries, emulsions, etc., are being produced industrially in increasing quantities, and do not obey the NEWTONian postulate-that t h e stress tensor is directly proportional to the deformation tensor. I t is well known, though, t h a t a chief difficulty in the study of non-NEWTONian fluid mechanical phenomena is t h a t t o this point no definite relationship between t h e stress tensor and the deformation tensor, valid for all fluids, has been discovered. Thus, except for simple cases, a generalized form of t h e N A V I E B - S T O K K S equations, obeyed by all fluids in motion, can not be formulated, and so theoretical studies in this area have been limited not so much by the mathematical complexity of the basic non-linear equations as by the inability to arrive a t their correct form. We shall restrict our analysis here t o a special family of non-NEWTONian substances, the so-called powerlaw fluids, with t h e two-parameter non-linear equation of state n-1

Ti,- = - p dt1 + k \ems e s m /2|

2

¿i?,

(1.1)

which is adequate for many non-NEWTOirian fluids. Here, xi1 — stress tensor, p — pressure, 1, t h e fluid is dilatant; n " !Jn . +^ ^ — F™ Fd> -I (fid))»+i ri — (-F L jj (2?(i))u+i % > A (fid))» +1

$(1) J- 2 n Jf , _pd) —-l FW + J fl , 00) jfW _ fid) U fi( i) h n + 1 ^ '

J?d> = 0 , " FW = 1,

JW> F ^ F ^ l — J W j>d) + - fid) J W n iih vv h fi( i) /1 »11

V

= oo;

F(V = F0r,(V),

/j = 0 ,

(6.1)

0,

>? = 0; (6.2)

D J . S. DJUKIC: T h e Universal F o r m of t h e B o u n d a r y L a y e r E q u a t i o n

13

where -F0(T?) is solution of the system (5.5). Here, and in the coming analyses the upper index (1) denotes the quantities calculated from the single-parameter approximation of the universal equation. The differential equation (6.1) with the corresponding boundary conditions (6.2) ought to be solved along with the equations (4.2), (4.4-5) and (3.4). I t is obvious that an analytical solution of this problem can not be found. The numerical approach to this difficult mathematical problem makes it evident that the solution is unstable. The solution becomes stable if an approximation to the complete problem is made, namely that the function B, which depends on/.,, is constant. We suppose that this function is equal to the same function-constant calculated for the power-law fluid flow across a flat plate m f i )

=

B,'o

(6.3)

where B0 is given by ( 5 . 6 ) . This assumption is equivalent to that made by LOITSANSKII [ 2 8 ] in considering NüWTONian boundary layers. The necessary values of F0,,n(Q), for calculating the constant B0 by ( 5 . 6 ) , are t a k e n f r o m ACKIVOS, SHAH a n d P E T E R S E N [ 3 ] f o r u s e b e l o w .

The problem of the boundary layer flow now consists of solving equations (6.1-2), (4.2), (4.4-5), (3.4), (5.6) and (6.3). The numerical integration method for non-linear partial differential equations (see for instance LOITSANSKII [ 2 8 ] , K A R Y A K I N [ 2 3 ] , L Y U B E N O V [ 2 9 ] ) was adapted for this system of equations. The stable numerical solution of these eq. was obtained on an IBM-360 digital computer for the following values of the power-law flow behaviour index: n = 0,5; 1,5; 2; 2,5; 3; 4 and 5. The solution for the NEWTONian case ( n = 1 ) is same as that obtained by LOITSANSKII [ 2 8 ] . For n < 0 , 5 a stable solution in the separation point vicinity could not be found. The numerical integration of the equations was performed in the interval / i s 2 S / i m , where / l s is the value of the formparameter at the separation point, i.e. C ( > / i s ) = 0> and fim is the value of fl at the front stagnation point of the fluid flow, i.e. flm) = 0. Calculated characteristic functions for the boundary layer analysis C (1> ( w »/j). H ( 1 ) { n ,fi) a n d ^ ( 1 ) ( w >/i) a r e plotted in the figures 1—4. ( 1 )

w

,7>iH y0 in G1 gilt. Aus den Voraussetzungen a) und b) folgt, daß der Grenzübergang unter dem Integralzeichen vollzogen werden kann: lim f F(x, yn,...,Dl yn) dx = f F(x, y„, . . ., Dl y0) dx . n-yoo JD D Wie Satz 1 beweist man S a t z 2: Sei a) l ^ 2 m , b) / F(x, . . ., Dly) dx sei in y bezüglich der schwachen Konvergenz D c) N(L) = (0) oder I(u) oo, wenn \\y\\it oo gilt, d) U

in H^m stetig,

beschränkt.

Dann existiert

eine optimale

Steuerung für (1), (2).

B e m e r k u n g : Die Stetigkeitseigenschaft b) trifft zu, wenn gilt: l 5S 2 m — 1 und Iii ^ c{\y\a) (l + Z \ }(M) + Fu)

y(u), ...,«),

= (0), dann kann

j>(«) 6 Hm .

Uai

{v -

B e m e r k u n g : Bei N(L+)

u) dx ^ 0 .

=(= (0) ist die Existenz des adjungierten Zustandes p(u) nicht gesichert.

5. Regularität Wir betrachten den folgenden Steuerungsbereich: U ={u S a t z 4:

| \\u\\Lí ^ 1 } .

Voraussetzungen:

a) l 0. Wegen der Entwicklung (11) folgt aus \\u + ev\\i, < 1 die Ungleichung F(«, v) ¡> 0. Es ist %

II« + £ »IU, < 1 ~ II« + e v\\l2 - \\u\\l2 < 0 , d. h. aus 2(u, v) < 0 folgt V(u. v) > 0. Nach einem Lemma in [2] existiert eine negative Konstante 7, mit 2 l(u, v) = V(u, v) für alle v € L2(2» . Es ist also Z Fm v Di z(x) dx . 2 X(u, v) = / z> OSIjIS! Wir führen die GREENsche Punktion zu L ein, die wegen der Voraussetzung b) existiert,

() = / x') v(x') dx' . 3) Wir erhalten für alle v 6 L2(S>)\ z x

Daraus folgt

2 X(U,v)=ff Z FDUJ(X, . . .) D{G(x,x')v{x')dx'dx D2> Oäli'lfi!

.

2 Xu(x')=f

£ FDUJ{X, . . .) Dl G(x, x') dx . a osiiläi Wie in [2] folgt wegen der Voraussetzung a) u £ O . P(ä) . Aus (1) folgt dai>n [1] y{u) £ C3 m, v(2>) .

(10)

Da nach Voraussetzung a) 2 m > I + l gilt, können wir die rechte Seite von (16) mindestens einmal partiell integrieren. Dadurch verringert sich die Ableitungsordnung bei der GREENschen Funktion um eins. Die Regularität von v, erhöht sich iterativ [2]. Wir erhalten schließlich « 6 C°°(3)). Bemerkungen: 1. Die Voraussetzung c) ist in folgendem Beispiel erfüllt. E s sei L y(u) = / + u

und

I(u) = / |y{u) — h\2 dx . 3 o h ist ein festes Element aus L2(2)) und h S Hm. Wäre u Extremale, dann würde y(u) = h gelten. Das kann aber nicht sein, da y(u) e Hm gilt. 2. Werden Wachstumsbedingungen an die F»¡y gestellt, dann kann auch für u € C°° nachgewiesen werden, indem man die Ergebnisse von [2] auf das obige Steuerungsproblem anwendet. Wir leiten jetzt einen Regularitätssatz für das Problem (1), (6) her. S a t z 5:

Voraussetzungen:

a) Das Problem

(1), (6) sei über U

b) Für die optimale Fvu{x, c) Für

Steuerung

lösbar.

u und den zugehörigen

Zustand

y(u) soll

gelten

y(u), . . ., Dl y{u)) ^ 0 .

0 ^ r ^ 2: m ^ c(|y|c.) (1 + N r ) •

d) Mit 0 iS rk

2 verlangen

wir

\Fd,v\ g c{\y\0i) (1 + W'*) . e) l < 2 m —

A

Max rk Ic

und

2

Weiterhin sollen die Voraussetzungen a)—d) von Satz 4 gelten. Dann ist u € C°°{$) für jedes in 3) kompakte Gebiet $. Beweis: Die Darstellungsformel (16) hat jetzt die Form 2 lu(x')=f £ Fnsy(x, . . .) Dl G(x, x') dx + Fu .

(17)

Wegen d) gilt Fsiy € Lps mit pj — 2/rj. Auf Grund der Singularitätsordnung von Di G(x, x') gilt für jedes in 3) kompakte Gebiet $ ([6], S. 73, Theorem 3.4.1) / Fßiy(x, ...)Di G(x, X') dx 6 H2rn~\i\,nm . so Folglich gilt mit p = Min p] 3 IXu — Fu€ Him-i,p .

E. MIERSEMANN : Lineare elliptische Zustände mit nichtlinearem Zielfunktional Aus (17) erkennen wir wegen der Voraussetzung e), daß 2 X u — Fu e C(S) € Ci. Wegen b) ist

25

gilt. Aus der zweiten Bedingung von e) folgt

y(u)

( 2 X u -

F

u

)

< 2 X .

u

Wir können also 2 X u — F nach u auflösen, und wir erhalten halten wir dann aus der Darstellungsformel (17) » e u

u

€

Daraus folgt [1] y(u)

€ G2m-

>*(%).

Wie bei Satz 4 er-

Literatur 1 AGMON, S., DOTTGLIS, A. and NMENBERG, L., Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions, I. Comm. on Pure and Appl. Math. 12, 623 — 727 (1959). 2 BECKERT, H., Über eine bemerkenswerte Klasse gemischtfreier Variationsprobleme höherer Ordnung, Math. Zeitschr. 103, 3 4 5 6 7

18-29

(1968).

BROWDER, F. E., On the spectral theory of elliptic differential operators, I. Math. Ann. 142, 22 — 130 (1961). BROWDER, P. E., Nonlinear elliptic boundary value problems I I , Trans. Amer. Math. Soc. 117, 530 — 550 (1961). LIONS, J . L., Optimal control of systems governed by partial differential equations, Springer 1971. MORREY, C. B., Multiple integrals in the calculus of variations, Springer 1966. SCHECHTER, M., Solutions of the Dirichlet problem for systems not necessarily strongly elliptic equations, Comm. on Pare and Appl. Math. 12, 2 4 1 - 2 4 7 (1959).

Eingereicht am 10. 1. 1973. Anschrift:

Dr.

ERICH MIERSEMANN,

701

Leipzig, Karl-Marx-Universität, Sektion Mathematik, Karl-Marx-Platz, D D R

N. LIBON/H. E. WJUHSLM: Integration of the Magnetohydrodynamic Boundary-Layer Equations

27

ZAMM 51, 27 -37 (IU74) N . LIKON / H . E . WILHELM

Integration of the Magnetohydrodynamic Boundary-Layer Equations by M e k s y n ' s Method*) Es wird das nichtlineare Randwertproblem formuliert, das die räumliche Entwicklung der Grenzschicht in einer leitenden Flüssigkeit beschreibt, die bei Vorhandensein eines äußeren Druckgradienten quer zu einem inhomogenen Magnetfeld entlang einer ebenen Platte strömt. Mit Ililfe von Transformationen, Reihenentwicklungen und Integrationsverfahren (Sattelpunkt-Methode), wie sie von Meksyn in die Analysis hydrodynamischer Grenzschichten eingeführt worden sind, werden analytische Lösungen für das Geschivindigkeitsfeld sowohl in Punkten der anliegenden als auch der abgelösten magnetohydrodynamischen Strömung gewonnen. Der Anwendung auf magnetohydrodynamische Diffusor-Strömungen wird besondere Aufmerksamkeit geschenkt. Es wird gezeigt, daß ein inhomogenes Magnetfeld die Grenzschichtablösung unterdrücken kann. The nonlinear boundary-value problem describing the spatial development of the boundary-layer in a conducting fluid flowing transverse to an inhomogeneous magnetic field along a flat plate with external pressure gradient is formulated. Analytical solutions of the velocity field are obtained for unseparaied and separated points in the magnetohydrodynamic flow by means of transformations, series expansions, and integration procedures (method of steepest descent) introduced by Meksyn in the analysis of ordinary boundary layers. In an application, attention is given to magnetohydrodynamic diffuser flows. It is shown that an inhomogeneous magnetic field can suppress boundary-layer separation.

(iJopMyjiHpyeTCH HejiHHciinaH 3ana'ta na KpaeBiae anaieiinn, oiiHCHBaioiuafi npoerpaiicTBeHHoe paaHHTHe norpanmnoro C J I O H B lipoBOHnmeii jkhj^kocth, TCKyiueii bhojiij IMOCKOH riJiacTHHM no« BJIHHHHCM Buemnero rpaanenTa «aBJieHHH, nanpaBJieinioro iionepeK K HeonnopoanoMy MarmmioMy IIOJIIO. C noMomisio Tpanc(j)opMaijHH, pa3BHTHH B pnaH h cneunajn>Hbix npHeMOB HHTerpiipoBaHHH (Hanp.: MeToaa CKopefiiiiero cnycKa), KOTopwe GBIJIK BBejienbi B anaJiH3 norpaHnmibix cjioea MSKCHHOM, onpencjinKiTCii aiiajiHTHiecKHe peuiennn hjih nojin CKopocTeH B TO'-max lipujieHaiiHn H oTCJiaiiBaHHii MarnHTO-rHHpoHHHaMHHecKoro noTorta. Ocoßoe BHHMairae ynejiHeTCH npHMeHeimio K MariiHTo-ri-iaponyimMHiecKOMy A w (£)• Following M e k s y n [ 7 ] , Eq. ( 1 7 ) is formally written as an inhomogeneous equation for / " = d 2 / j d t f :

^r + fr = p&v)

(23)

where P ( f , V ) = A[1 -

+

n

p{l

- /') +

2

^ (/' §

- /" § ) ;

(24)

hence 32/ ^ =

(25)

where F(S,V)

=

f f ( S ,

v

o

) d

(26)

v

and JJ) = C(|) + J

V)

©W.f> cfy

(27)

is a slowly varying function of rj for any £ as can be shown from the asymptotic solution for / ( f , rf). The boundary-value problem in Eqs. (17) —(20) is solved by the following method [7]: i) / ( f , ?]) is expanded in powers of iq, the coefficients a M (f) being functions of oo

y.n

f(S,V) =

(28)

where a 0 = 0 and % = 0 in view of the boundary conditions in Eqs. (18) and (19). Further, by Eq. (26) oo +l j) The expansion of E q . (28) is inserted in E q . (17), and the coefficients a n S 3 ( | ) are found in terms of a 2 (f) and «¿(f) = da 2 (f)/df. k) The function ç>(f, rf) defined in Eq. (27) is expanded in powers of rj, t h e coefficients i>„(f ) being functions of i ,

co

> CO

/'

oo

/'(f,1j)= ¿ ' 4

e-TT(M--2)/3

m=0

dx —

J

o

£ d m=0

m

y

m

+

1

,

(41)

v)

Finally, the still undetermined expansion parameter o(|) is implicitly given by the boundary condition in E q . (20), °° /m X \ /'(£, y)n = oo = £ d m r —J— = 1, dm = dm(a, a', a" . . .) (42) m=0 ^ ^ where the complete gamma function is defined by F

j

V

=

>

00

j•

The procedure indicated [see Eq. (40)] gives the coefficients dm first in terms of the bm s»nd. Cm : (I

~ ~

— 3

j _

1-4/3^3 [3Î

4 Clb2 3 c0 2 !

_

/Uci \ 9 c'J

,7 _ 1 „-5/3P4__ a « - 3 C o [4! 3 c0 3 ! -h

l

1 1 0 c

27 eg

140 ef 28(^6, I T i f + T

4-A 3 c0 ) + 0 l

j.4."^ Sl'cg + 'a c f

2 ! \ 9 e§

220 Cj c2

i

°U43eS

+

4 cA\,h( 3 e J + M

40 +

c3

20 c|

5 c4\]

9 c§

3 cj\

9 cj|

+

4! \

3 c0

4 c3\1

5

M 3 cj +

+»if-«1)1 1

-7/3

^ = 33

0

[6!

_ _Z.fi

+

2!2!. \

"3"^

+

bl\

3 c0

4_A I + 0 \

7

c"

~9~ eg

+

9 c|

+

70 C1C4 9 eg 3 5 c»

3 c0

7280 cfc, 243 cf,

,

3 c0 5!

, 35Ç5\ , 9 c§/

27 cj

+

3! \

243 c* J

7OÇ2C3 _ 456C1CI _ 4 5 5 ^ 9 Cq 27 eg 27 c» 70cic5

9 eg

9 cj

70^_C4_455 c.3 9 c% 81 c§

1Q920 c|_c| _ 34580 C2 l243~ cî 729 "¿¡r

3c,

,

+

9

c0

81 c$ J

I

+

+

+

, 7280 c ^ _ 6916 cf \ 243""^_ W 4 /

455 cj c4 27 eg

910 ci c 2 c 3 27 cj>

+

+

76076 0«\ 1 6561 ./J'

Or, in general, -I 1

n- hi n — V-i

7 On_i.

£

+

r

i>„ = {C 0 } -Oi = {0; C i ; } 2)a = {0; C2; C?;} ; j 3 = { 0 ; C 3 ; 2 C 1 C 2 ; C?;} A = {0; C4; CI + 2 CV C3; 3 O? C2; Cf;} 2), = {0; C6; 2[C1 C4 + C2 OJ; 3[C? C3 + O, 0|]; 4 CJ C2; C?} Z)6 = {0; 0 6 ; 2[Ct C5 + C2 C4] + CI; C| + 3 C\ C4 + 6 Cx C2 C3; 4 Cf C3 + 6 C\ C|; 5 G\ C2; C»};

(431

32

N.

Liron/ H.

D,

=

{0;

Wilhelm:

E.

2[C, C 6

C7;

4[C3 C4 + D ,

=

{0;

D„

=

C8;

Ci

+

{0; +

+

5[CJ

2[0! C, +

C2 0

2CC?! C 8 +

6[C! C2 C

5[C4 C5 + 1

C3

C2 C5 +

C|];

C3

+

+

6

C

6

+

Cx C +

3

4

+

C

+

5

8 0;0

C

3

6

C2;

+

6

C

C4];

i

Boundary-Layer

+

C, C2

2

Equations

CJ;

2

Of C6 + +

4

C \ C4 +

2 C? Of

C5];

C| +

4[Cf C6 +

4 Cf C2 C4 +

;

2

C5 + C, C* + C* C3 C\ C ; C j ; }

3[C? C|];

5 [C4 C

C3

C2

2 Cf C| +

3 0|];

C\

C2 O J ;

C2 C , +

0, C3 C

CJ;

2

C3 C5] +

12 C x C2 [Cx C4 +

09;

7 0 f [ C

+

Integration of the Magnetohydrodynamic

C\

6

C2 Of + 2 CtfC, C5 +

+

4

Of C2 C3]; 3 C}

3[ C f C , C§ C3 + C J ;

+

C| C5 +

C3

3 ^

2

Cf

[3 C f C

t

C3 C J ;

G1Ct

[2

C, C2]

4 C fC5 + 5 C|];

2

6 CJ C

C\

7

C2;

+

C»;}

+

C2 C4 +

C4 + +

+

C2 C, +

1 5 C^ C 2 C 3 +

C,

C2

0,)];

10 CI];

C?;}

Ck = cj;/c0

(43)'

D^j = D k j ( c k ) is a lower triangular matrix the k j - e l e m e n t s of which are given in the row vectors D k (up to the diagonal element k k ) , k = 0, 1, 2, . . . . Hence, ,

1 / 6 \i/3 5

/ 6 \2/3

1 / 6

¡a

\i/3

-

28 A a +

I ^ 4

~

j

^

/_6 \ 2 / 3 ( [ 4 1 -

2

\ a /

17

32

a?

7

72o®"

i 0

y \ a /

1 2 0 /

935_ y 4

g _

7776a4

189

3

20

1/3 r

91 y 3

112 | (g'/a)] y +

68 A -

\

6 r

a'

28 f

,

93

^ 256

a

133

a4

99

11 +

70

9

27

2

y

1 0 8

P

a

2

| J

. ,

£

9

. ,

,

,

,.

3 „ ,

,

J

98

1

y

,

1

, P

7

77

,

63

,

7

„

(i) 135

540

fi/in

a

s

5 ' O2 I1 R 6 4 ''

540

P

a2

'

432P

a3

a3

1 r P « 1 I" lOJ^ J OAA a„ ~r 2OlRfl 1 6 0 K P a^ 1 ' 2oiflri 160 a 1944 a3

1

300

15552 P a 5

972?

559872 a '

1

5«»S

3888

a3

a4 J '

{

'

by Eq. (43) upon elimination of the b„ and c „ given in Eqs. (35) and (37). For practical applications, the expansion parameter a(£) is evaluated from Eqs. (42) and (44) by successive approximation or numerical iteration. To this end, Eq. (42) is rearranged, if necessary as a convergent sum by means of E u l e r ' s transformation [7]

m=0

m=0

^ '

\

\ /

1

\ '

Separated Flow At the point of separation, the normal derivative of the longitudinal velocity component vanishes at the plate, [duldr)]n=o = 0, i. e. by Eqs. (15) and (28) a ( i ) = 0,(1) = [ a V / ^ ^ - o = 0 •

(45)

The expansion for /(£, rj) [Eq. (28)] starts with i f at the separation point, oo y.n mr,)= where

«3 = V . a7

a

a

n

2 n

«5 = - P V ,

=

~ ( 4

=

P [6(5 +

=

pi

y -

-

240 f A'

=

(46)

+

6A)y

2

+

4 f y ' y

6 A) y 2 -

y /J 2 ] -

6 (25 + y

3

27

X) p 2

+ 24 |

y'

+

y2 + 2

/3

(32y

6 £ (2 p y ' +

y

1 6 (2 +

+ 126

3 (3' y ) y +

3 A) (8 +

i P' p y* -

36 y ( i

7 A) y 3 -

64 ( |

y')

2

a')2

16 (12 + y

+ 160 g

2 3 A) I y ' 2

y " y

2

-

y2

36 ( | a') 2

PV

0

(47)

since for separation a(|) = 0. The corresponding expansion for i ^ f , rj) [Eq. (29)] starts with rf, F(t,V)=ViZcnVn= r, n=0

cn=

a"+s . (w + 4)!

(48)

33

N. Liron/H. E . Wilhelm : Integration of the Magnetohydrodynamic Boundary-Layer Equations

The point of separation f s = f is determined by the boundary condition in Eq. (20), which becomes in view of Eq. (25) OO /'(f, 1?), = » = / e " ^ ' » n) drj = 1 (49) o where oo y.n q>(S,V)

(5°>

= n = l

and h = J5= 6, = 69 =

Y> h = - /? y (1 — 6 A) y2 + /32 y + 4 f y' y £[12 (3 A - 1) y - j?2] £ y - 6 £ (2 0 y' + 3 jS' y) y + 36 ({ a')2 y y{2(2 + 3 X) (56 X - 71) y2 + 6 (64 - 27 X) y j32 + /34 + 4 (87 - 92 A) f y' y - 240 f V y2 + 24 f y' /32 + 12 6 £ ¡3' 0 y - 36 /?({ a')2 - 64(f y')2 + 160 f y" y }

= 0

(51)

since for separation a(£) = 0. For the evaluation of the integral in Eq. (49) let (52)

b=o

IT

where the expansion starts with T (+0)

3'4,

since t) starts with r 1 ' 4 [Eq. (48)]. Accordingly [7],

(+0)(+0)(+0)(+0)

/

_

1) erreicht, können also i. a. nicht mehr verbessert werden. Nun ist 5 = (s n + wn) (1 + 0, B < 0, so ist mit A =

=

(d) X) = -

B).

~ W (X + ( - 7)) = B -

X: ~ (X - (X + +

B).

l

(1,7)

V e r f a h r e n I I : Aus (11,2), (11,5), (14) folgt unmittelbar: |s - s\ g ^e (1 + log 2 n) + I« - «I g

(1 + log 2 n) +

e 2 log 2 n (logg n + 2) j £

\at|

w ^ -ij,

e 2 log 2 n (log2 n + 2)J n Max |a4I (e n ^ j J . . .

(11,6) (11,7)

V e r f a h r e n I I I : Nach (111,15) ist Max \rii\ g e + e 2 [ ~ n 2 + n) 1 \4 2 / £

\m\

S + e*

+ j n j + £

( 1

23

+

43

t2 + 1

£2

tj j

17 \

/I

— n + — n* + — n — — \ gL e n + e (— n 3 + 3 n* + i n

also \a - S |

3

2

|s| + (e + e 2 ( ^ n 2 +

|s - l | ^ e |s| + |e w + £2

» ) J J T lad

n 3 + 3 w2 + 4 » j j Max K l

[

e n

- J )

|e n. g ^ - j .

(111,16) (111,17)

48

A. Nkumaier: Rundungsfehleranalyse einiger Verfahren zur Summation endlicher Summen

V e r f a h r e n IV: Aus (IV,11) folgt Max \r¡t\ ^ £ 2 ( — n2 + ra ¿

¿

\Vt\ < a2 (-J n» + ra) + < e2 —

(ra3

e2

f 2 + t) = ¿ 2

17 25 ra3 + — ra2 + -3- »

11

+ -H-ra2+ ra|,

\ 4

2

/

also e |sl + e2 (

|s — 5|

ra2

e W

/ ¿=1

1« - s\ ^ e [si + £ 2 (-^ra 3 + 4 - W 2 + ra) Max |a t | ,4 I J 1SK,

eW

=

(IV,12)

3

(IV,13)

="3

Die Ergebnisse ((1,6, 7), (11,6, 7), (111,16, 17), (IV,12, 13)) sind in Tabelle 1 zusammengefaßt. B e m e r k u n g : Der «-Anteil der Verfahrensfehler v o n l , II, III wurde — in etwas anderer Form — schon von Babttska [3] angegeben. T a b e l l e 1. Fehlerkoeffizienten der Summierungsverfahren

|s - SI ^ A e|«| + {Be + 0 e2) £ ]0(| 2

(15)

für e n SS —

|« - ä| ^ A e\s\ + (D £ + E e ) Max \at\ íáisíM Verf. Nr.

A

B(n)

I II III IV

0 0 1 1

n - 1

1 + log 2 n 1 0

(16)

C(n)

D(n)

E(n)

0,6 n2

0,5 n + 0,5 n - 1 n (1 + loga »)

2

0,6 (log¡¡ra)2+ 1,2 1 2 0,75 n + 3,5 n 0,75 n 2 + n

0,2 n3 + n2

0,6 n log2 n 2 0,25ri>+ 3 n + 4 n 3 2 0,25 n + 2,5 n + n

8. Diskussion der Ergebnisse 8.1. Zunächst sollen alle a t dasselbe Vorzeichen haben. Dann ist mit der Abkürzung n

«abs : = 2

i=1

(17)

\ai\

Sabs — lsl und der relative Fehler ist nach (15) s —s g {A + B) s + G e2 . s

(18)

Solange n < e - 1 / 2 ist, spielt der Term C e2 in (18) gegenüber (A + B) s keine Rolle. Das erste Verfahren hat dann einen maximalen Fehler, der proportional zur Zahl ra der Summanden wächst. Im zweiten Verfahren hat man trotz gleichen Rechenaufwands einen maximalen Fehler, der nur mit dem Logarithmus von ra wächst (ist z. B. n = 106, so ist der Verfahren-I-Fehler 106 e, der Verfahren-II-Fehler nur 20 eü). Wenn daher die Zahl der Summanden von vornherein bekannt ist, empfiehlt es sich, anstelle von Verfahren I stets Verfahren I I zu benutzen. (Bei der Summierung einer unendlichen Reihe ist das natürlich nicht möglich.) Beim Kahan-Babuska-Verfahren (III) ist der maximale Fehler fast konstant. Mit etwa 2 e liegt er in derselben Größenordnung wie der Fehler bei einer Normalverfahrenrechnung mit doppelter Genauigkeit (e2 s t a t t e), bei der das Ergebnis auf einfache Genauigkeit gerundet wird. Da aber der Rechenaufwand für doppelte Genauigkeit nur doppelt so groß ist wie der für einfache, lohnt sich Verfahren I I nur dann, wenn auf der Maschine keine Möglichkeit, mit doppelter Genauigkeit zu rechnen, besteht. Dann ist das Verfahren ein guter Ersatz dafür (das gilt nur für .sabs sa .s; vgl. unten!). Die Fehlerschranke von Verfahren IV hat ebenfalls die Größenordnung e. Die geringfügige Verbesserung gegenüber I I I lohnt den höheren Aufwand zur Berechnung der Summe jedoch nicht. Ist s'1 SS w2 e - 1 log2 (e"1), so wachsen die Schranken in (18) zwar quadratisch in n bzw. log2 ra, aber das Obengesagte bleibt qualitativ richtig. Für n 2 sa e" 1 log2 (e_1) sind Verfahren I I und I I I etwa gleich genau; für n 2 2g 2 s ' 1 log2 (e_1) ist schließlich Verfahren I I das genaueste Verfahren (genauer als I I I und IV), da 0,6 (logg ra)2 + 1,2 loga n ¿ n log2 n

—ra2e

für

für alle w ,

n 2 ^ 2 e" 1 log2 (tr 1 )

A. Neumahsr: Rundungsfehleranalyse einiger Verfahren zur Summation endlicher Summen

los

t

3

ist für t ¡g 3 monoton fallend und 1

X I02 für t = 2 e'1 Jog2 (fi -1 ), also ist log 2 n = — n2 ——

49 3

g

T^r

1

n ^ 2 8- l o g ^ e " ) ) . 8.2. Es sei Sabs ^ l-s|• Dann gilt (18) angenähert. Daher lassen sich alle obigen Aussagen näherungsweise übertragen. Insbesondere ist Verfahren I I I fast so gut wie Verfahren IV, für kleine n ist Verfahren I I I (IV) das beste, für große n ist Verfahren I I am besten geeignet. Verfahren I ist wieder das sohlechteste Verfahren von allen. 8.3. Es sei s a b s

|.s|. J e t z t kann man das Glied A s |s| vernachlässigen und man erhält

|s - 5| ^ (B + C s) (s abs e) .

(19)

8.3.1. Ist s a b s so groß, daß s a b s • s mindestens die Größenordnung von [s| h a t (etwa wenn s fast Null ist), so ist der Näherungswert s i. a. nur dann brauchbar, wenn B = 0 ist, also wenn s nach IV berechnet wird. I n den anderen Fällen kann eine so starke Auslöschung auftreten, daß nur noch eine oder keine Ziffer von 5 mehr richtig ist. 8.3.2. Auch wenn der Extremfall 8.3.1 nicht vorliegt, bestimmt die Größe von B zunehmend die Fehlerschranke. F ü r Verfahren I ist der maximale relative Fehler jetzt n e, f ü r große n ist das Verfahren unbrauchbar. Verfahren I I hat jetzt einen Fehler von ungefähr £abs logg n >sab8/|.sj, der in nicht zu ungünstigen Fällen etwa die Größenordnung n e haben kann. Dieses Verfahren ist also noch so gut wie Verfahren I im günstigsten Fall, also bedingt verwendbar. F ü r das Kahan-Babuska-Verfahren ist die Schranke ungefähr s .5abs/|.s| (für kleine und mittlere n), wird also in der Mehrzahl der Fälle (z. B. Summation absolut konvergenter Reihen mit alternierenden Vorzeichen) noch gute Ergebisse liefern. Das verbesserte Kahan-Babuska-Verfahren hat jedoch eine Schranke von größenordnungsmäßig n2 fr für den relativen, n2 e 2 s a b s für den absoluten Fehler, liefert also für nicht allzu große n (z. B . f ü r n

0 -O.lOOOio-« -0.150010-'

0 -O.5OOO10-»

a

m

-O.2OOO10-» -O.2OOO10-» 2

—0.6500io" -0.6500io-»

-O.IOOO10-'

-O.15OO10-* +0.1500xo-= — 0.3000xo-a -0.3000x0-»

Ergebnisse SI = 0.7780lO' «in = 0.7774x0' siv = 0.7777x0'

T a b e l l e 5. Zwischenwerte zu Beispiel d) m

s

1

0.5555io° 0.5555xo> 0.5555x0° 0.5555xo> 0.5555io s 0.5555xo° — 0.5555xo8

2

3 4 5

s

m2

m0 O.6III10'

O.llllxo 1 0.5611xos — 0.5555x0*

0.7222x0' 0.5600xo«

0.7782x0'

Ergebnis: «u = 0.7782xo'

0

Die W e r t e wurden unter Annahme einer Dezimalmaschine mit vier geltenden Ziffern u n d der üblichen R u n d u n g berechnet. Das genaue Ergebnis ist s = 0.7777 10 i = ,s Iv . Wie zw erwarten war, nimmt jetzt die Genauigkeit der Verfahren in der Reihenfolge I, I I , I I I , IV zu. An den Tabellen 2 und 4 sieht man gut, woran es liegt, daß Verfahren I I I i. a. schlechter ist als Verfahren IV. Immer wenn ein großes am zu einem kleinen s m _ i addiert wird, berechnet der Korrektor wm des K a h a n Babuska-Verfahrens nicht mehr, wie geplant, den Rundungsfehler, sondern einen Wert, der mit dem Rundungsfehler nicht mehr viel zu t u n h a t . Die im verbesserten Kahan-Babuska-Verfahren eingebaute Abfrage vertauscht hier sozusagen die Rollen von am und sm _ L und berechnet dadurch — nach Satz 2 des f ü n f t e n Abschnitts — den richtigen Fehler.

51

A. Neubiaiek: Rundxmgsfehleranalyse einiger Verfahren zur Summation endlicher Summen

Nickel [3] berechnete auf einer Maschine mit e = 2 und I I I ( = IV in diesem Fall). Für s = |s -

üjl 1=» 25 • 1 0 " 8 ,

2!

30

212 2

!

die Summe £

—für 0 sS i sS 14 nach Verfahren I

5=1 h

— z. B. erhält er

i-i « \s -

5jy| ^ 0 . 5 • 1 0 - « .

Unter Verwendung von s < 9 ergibt sich aus Tabelle 1: - sx| ^ 3500 • 1 0 " 8 ,

|s - s IV | ^ 1.7 • 10" 8 .

Der Fehler von Verfahren I wird also durch die Schranke in Tab. 1 um das 140fache, bei Verfahren IV mindestens um das dreifache überschätzt. Jedoch liegt die Tab. 1-Schranke für Verfahren IV immer noch niedriger als der maschinell berechnete Fehler von Verfahren I. Das letzte Beispiel soll wieder auf einer Z-ziffrigen Dualmaschine gerechnet werden. Diesmal soll die Rundung jedoch durch Abschneiden der (L + i)-ten Ziffern (i 2; 1) geschehen (e = 2 1 _ £ ) . Nun sei n = 2', 2 t rg — 1, ax = 1 ,

a2 = 2~L

a2i+i = • • • = a2i+i = 2~L

+ 2;-2£

(1 g i < t -

1) .

Man findet leicht: 5 = 1 + 2'~L - 2~L + i - 2 " 2 £ ( 2 2 i - 4) , O

5U=

1 +

S n = l + 2 ' - £ — 2 1 " i + i - 2 - 2 £ ( 2 2 i — 2 L + r ) ^t > ^- + l ; r = 2 für gerade L, r = l für ungerade i j , 5nI = 1 + 2i_£ -

2!-£ .

Man sieht unmittelbar, daß Verfahren I I für n2 8 e" 1 genauer ist als Verfahren I I I (hier = Verfahren IV); das ist in guter Übereinstimmung mit der in Abschnitt 8 abgeleiteten Bedingung n2 e" 1 log2 e - 1 . Daß « n für kleine n hier = ,s in ist, folgt daraus, daß wegen der speziellen Form der Summanden bei Verfahren I I nur die i n gerundet sind. Für die Fehler erhält man |5l _

=

2'~l +

-

-

i-22-2^ = 1 ( « _

|Sn - «| = 2 " £ + - i - 2 - " (221 - 4) = 1 ISii - « I = ( j 2 ' +

I«iii " «I = 2 - i

E

l)

e

+

+ ^-Ln» - i j e 2

_ lje» ,

(für n2 < 8 e" 1 ) , (für »» ^ 8 e"*) ,

~

-4) = I

e

+

_

.

Die Fehlerschranken aus Tab. 1 überschätzen hier den Fehler bei Verfahren I um den Faktor 2, bei Verfahren I I um den Faktor 2 log2 s - 1 , bei Verfahren I I I um den Faktor 4 (da s s» 1). Der hohe Fehler (im Vergleich zur Sehranke) bei Verfahren I und I I I und der kleine Fehler bei Verfahren I I rühren von der speziellen Form der at her; im allgemeinen werden die Fehler bei Verfahren I und I I I kleiner, bei Verfahren I I größer sein. Trotzdem gibt dieses Beispiel die Unterschiede der benutzten Summierungsverfahren gut wieder, wie sie in Abschnitt 8.1 diskutiert wurden. Literatur 1 2 3 4

Babtjska, I., Numerieal Stability in Mathematical Analysis, Information Processing 68, Amsterdam, 11—22 (1969). , Kahan, W., Further Remarks on Reducing Truncation Errors, Comm. ACM, 8, 40 (1965). Nickel, K., Das Kahan-Babuskasche Summierungsverfahren in Triplex-ALGOL 60, ZAMM 50, 3 6 9 - 3 7 3 (1970). Wilkinson, J . H., Rounding Errors in Algebraic Processes, London 1963; dt. Übersetzung: Rundungsfehler, Berlin-Heidelberg-New York 1969.

Eingereicht am 6. 3. 1973 Anschrift: Arnold Neumaier, 75 Karlsruhe 41, Kieselweg 1, BRD

4*

Kleine Mitteilungen

53

KLEINE MITTEILUNGEN Z A M M 54, 53 - 5 Ú (.1.974) VV. W l L H E L M I

Ein Algorithmus zur Lösung' eines inversen Eigemvertproblems*) 1. A u f g a b e n s t e l l u n g Viele technische Entwurfsaufgaben lassen sich auf folgendes Problem zurückführen: Es sei ••Ae+ZBkKCb (1) k=l eine quadratische Matrix ra-ter Ordnung, wobei Ac eine konstante Matrix und K eine (s,s)-Diagonalmatrix mit variablen Diagonalelementen hv . . . , ks sind. B/c und C/c sind konstante (n, s)- bzw. (s, w)-Matrizen. Die Parameter kx, . . .-, ks sollen so bestimmt werden, daß die Matrix A vorgegebene Zahlen X^ . . . ,Xr (r n) als Eigenwerte hat. Diese Zahlen seien voneinander verschieden. Komplexe Zahlen Xj sollen in konjugierten Paaren vorgegeben werden. Diese Aufgabenstellung ist ein inverses Eigenwertproblem, das sowohl den additiven (s = n, q = 1, B1 = C1 = I) als auch den multiplikativen (s = n, q = 1, Äc = 0, B1 = I) Fall umfaßt. In [2], [3], [4] werden Lösungsmethoden für additive und multiplikative Probleme angegeben. [2] und [4] setzen Ac als symmetrisch voraus, während in [3] die Vorgabe komplexer Xj nicht behandelt wird. Mit den r vorgegebenen '/.j und dem s-dimensionalen Vektor ¿i"! k = der zu bestimmenden Parameterwerte fcj sowie r noch zu bestimmenden Vektoren ffj mit der unitären Norm 1 wird folgende Funktion gebildet: 2- yf (A - X , I ) * ( A - X1 I) y, 7= 1 (2) = í S/f H , y¡ 11*11 = 1 7=1 In (2) sind die Matrix A entsprechend (1) bzw. die im allgemeinen positiv semidefiniten Matrizen

H,(k) = (A - X, I)* (A - X, I)-, j=l,...,r von den Parametern fc, abhängig. Es ist Q(k, j/j) = 0 dann und nur dann, wenn gilt

(3)

A(k) H] = Xf «/,•;

(4)

j = l,...,r

d. h. wenn klt -. . . , ks eine Lösung der inversen Eigenwertaufgabe ist. Für s < r wird eine Lösung im allgemeinen nicht existieren. Für s > r sind im allgemeinen keine isolierten Lösungen vorhanden. In Abschnitt 4 werden Bedingungen für die Existenz von Lösungen angegeben. Die Bestimmung einer existierenden Lösung /.• von Q(k, y¡) = 0 läßt sich als Minimierungsaufgabe darstellen: min

k

9]) = Q( > Vi) kiBs-, y^ün, ||J/,H = 1;

j = l,...,r.

(6)

Dies ergibt sich daraus, daß jeder Summand von Q und damit auch Q gemäß Definition (2) stets nichtnegativ ist. 2. L ö s u n g s a l g o r i t h m u s 2.1.

Es wird abwechselnd auf dem (r X «)-dimcnsionalen Kaum der Vektoren »/,• und dem s-dimensionalen Kaum der Para*) Begründung und Anwendung des Verfahrens sind in der Jlissertiition [1] des Verfassers enthalten.

meter k\ minimiert. Wegen des unabhängigen Eingehens der t/j in die Summanden von Q(lt, »/;) zerfällt der erstgenannte Schritt in r m-dimensionale Minimierungsaufgaben. Diese lassen sich einzeln wie folgt formulieren: Finde den zum kleinsten Eigenwert von H t gehörigen Eigenvektor! Damit lautet der Iterationsalgorithmus 1. Wähle Anfangswerte für die Parameter . . , k^K Setze v = 0. 2. Berechne B.P aus k^ nach (1) und (3) für j = 1 ,...,»•. 3. Bestimme den zum kleinsten Eigenwert oSp von gehörigen Eigenvektor yp für j = 1 , . . . . , r. 4. Bestimme fc(v + 1) so, daß Q(k^v+1\ 5. Erhöhe v um 1 und gehe nach 2. 2.2. Praktische

y f ) = min).

Durchführung

2.2.1. Schritt 3 Zur Bestimmung des zum kleinsten Eigenwertes gehörigen Eigenvektors wird das bekannte Verfahren der gebrochenen Iteration [5], [6] angewendet. Die gebrochene Iteration braucht bei komplexer Matrix Hj (als Folge von Re (X]) 4= 0) nur für eine der Zahlen Xj aus dem vorgegebenen konjugierten Paar durchgeführt zu werden, da die entsprechenden iterierten Vektoren ebenfalls konjugiert komplex sind. Zu Beginn dürfen beliebige Vektoren gewählt werden. Als Anfangswerte für die nächste Durchführung des Schrittes 3 mittels gebrochener Iteration dienen die im vorhergehenden Durchlauf bestimmten Vektoren j/i"- 1 ' wodurch der Rechenaufwand besonders bei höheren Iterationsstufen gering gehalten wird. Wegen der Konvergenz der gebrochenen Iteration bricht sie bei passender Abbrechbedingung nach endlich vielen Wiederholungen ab. Dabei ist zu beachten, daß der gesuchte Eigenvektor nur approximiert wird. Die Abweichung i / p * H{p t/p - «P S 0;

3 = i. • • •

(ö)

ist bei gegebenen k p k P um so kleiner, je größer die Zahl der gebrochenen Iterationen ist. Um Komplikationen zu vermeiden, die bei singulärer oder fast singulärer Matrix H l p eintreten können, wird empfohlen, die Iteration auf ilP + dl (d > 0) anzuwenden. 2.2.2. Schritt 4 Der zu minimierende Ausdruck läßt sich durch Einsetzen von (1) in (2) wie folgt errechnen: