Wahrscheinlichkeitstheorie und Grundzüge der Maßtheorie, Band 1 [Reprint 2019 ed.] 9783111370040, 9783111013039

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SAMMLUNG

GÖSCHEN

BAND

1216/1216a

WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND

GRUNDZÜGE

DER

DR. PHIL. NAT.

MASSTHEORIE

H E I N Z BAUER

o. P r o f e s s o r a n der U n i v e r s i t ä t H a m b u r g

Band I

WALTER DE GRUYTER

& CO.

v o r m a l s G. J . G ö s c h e n ' e c h e V e r l a gsh a n d l u n g • Jf. G u t t e n t a g , Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • K a r l J . T r ü b n e r • Veit & Comp.

B E R L I N 1964

Meinem verehrten Lehrer Herrn Professor Dr. Dr. h. c. Dr. h. c, Otto H A U P T in Dankbarkeit gewidmet

© Copyright 1964 by Walter de Gruyter & Co., vormals G. J . Göschen'schc Verlagshandlung — J . Guttentag, Verlagsbuchhandlung — Georg Reimer Karl J . Trübner — Veit & Comp., Berlin 30. Alle Rechte, einschl. der Rechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, vom Verlag vorbehalten. — Archiv-Nr. 7720841. Satz und Druck: Walter de Gruyter & Co., Berlin 30. — Printed in Germany.

Inhaltsverzeichnis Seite

Literaturverzeichnis Einleitung Bezeichnungen

5 7 10 Erster Teil

Maß- und

Integrationstheorie

Kapitel I. M a ß t h e o r i e § 1. § 2. § 3. § 4. § 5. § 6. § 7. § 8.

tr-Algebren und ihre Erzeuger Dynkinsche Systeme Inhalte und Prämaße Lebesguesches Prämaß Fortsetzung eines Prämaßes zu einem Maß Boreische Mengen und Lebesguesches Maß Meßbare Abbildungen und Bildmaße Meßbare numerische Funktionen

12 14 16 21 26 31 35 38

Kapitel II. I n t e g r a t i o n s t h e o r i e § 9. § 10. § 11. § 12. § 13. § 14. § 15. § 16. § 17.

Das Integral von Elementarfunktionen Das Integral nicht-negativer meßbarer Funktionen . . Integrierbarkeit Fast überall bestehende Eigenschaften Die Räume Sev{ji) Konvergenzsätze Maße mit Dichten Integration bezüglich eines Bildmaßes Bemerkungen über Lebesgue- und Riemann-Integral .

42 45 49 53 56 59 64 67 68

Kapitel III. P r o d u k t m a ß e § 18. Produkt von «r-Algebren und Eindeutigkeit des Produktmaßes § 19. Existenz und Eigenschaften des Produktes von zwei Maßen § 20. Ausdehnung auf den Fall endlich vieler Faktoren . . . § 21. Faltung endlicher Borel-Maße l*

71 73 78 81

4

Inhaltsverzeichnis Zweiter Teil Wahrscheinlichkeitstheorie

Kapitel IV. G r u n d b e g r i f f e der T h e o r i e § 22. § 23. § 24. § 25. § 26.

Wahrscheinlichkeitsräume Behandlung einiger elementarer Aufgaben Zufallsvariable, Verteilungen und Momente Einige spezielle Verteilungen Verteilungsfunktionen

Seite

86 92 97 101 104

Kapitel V. U n a b h ä n g i g k e i t § 27. § 28. § 29. § 30.

Unabhängige Ereignisse und a-Algebren Unabhängige Zufallsvariable Produkte und Summen unabhängiger Zufallsvariablen Unendliche Produkte von Wahrscheinlichkeitsräumen .

106 111 114 119

Kapitel VI. G e s e t z der g r o ß e n Z a h l e n §31. §32. § 33. § 34. § 35. § 36.

Fragestellung 127 Null-Eins-Gesetze 129 Die Ungleichung von Häjek-Renyi 133 Die Kolmogoroffschen Sätze 136 Schwaches Gesetz der großen Zahlen 143 Stochastische Konvergenz und gleichmäßige Integrierbaxkeit 146

Namen- und Sachregister

152

Literatur 1. Lehrbücher (Nur diejenigen Werke werden genannt, welche sich nach Meinung des Verf. zur Vertiefung und Ergänzung des hier gebotenen Stoffes besonders eignen.) a) Wahrscheinlichkeitstheorie [1] J . L. DOOB, Stochastic processes. New York-London 1953. [2] W. F E L L E R , An introduction to probability and its applications, Vol. I. New York-London 1960 (2nd edition). [3] M. FISZ, Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. Berlin 1958. [4] B. W. GNEDENKO, Lehrbuch der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Berlin 1958. [5] K. K R I C K E B E R G , Wahrscheinlichkeitstheorie. Stuttgart 1963. x [6] M. LOK V]i, Probability theory. Princeton-New York-Toronto-London 1963 (3rAr^B) + M*(Q r^Ar^CB) + fl*{Qr>CAr> B) + n*{Q r^CArsCB). Ersetzt man hierin Q durch Q a ( 4 w B), so gewinnt man (5.8) fj,*(Q ^ ( 4 w B)) = n*(Q rsArsB) + ¡U*IQ r^Ar^CB) + ¡u*(Q r^CAr, B), was zusammen mit der vorhergehenden Gleichung P*(Q) = f**{Q ^ ^ B)) + fj,*{Q rs C(A w B)) = fi*(Q B)) + p*(Q - A ^ B ) ergibt. Da Q e hierbei beliebig war, ist also A^ B e2l*. Nunmehr sei (A„) eine Folge paarweise fremder Mengen aus 2t* und A deren Vereinigung. Wählt man in (5.8) A = A1 und B = A2, so ergibt sich o (Ax w A2)) = /i*(Qr^

Aj)

A2).

§ 5. Fortsetzung eines Prämaßes zu einem Maß

29

Hieraus folgt durch vollständige Induktion /**(Q für alle Q e n

U Aj) = 1 !a*{Q At) i=1 ¿=1 und n > 1. Berücksichtigt man, daß

Bn: = U Aj nach dem bereits Bewiesenen in 2i* liegt und Q — Bn> Q — A, also ¡u*(Q — Bn) ^ fi*(Q — A) ist, so erhält man: /»*(«) = f**(Q ^ Bn) + fi*(Q — Bn) ^ 1 fz*(Q^Ai) + fi*{Q~A) ¿=i für n = 1, 2, . . . . Hieraus folgt schließlich unter Verwendung von (5.5) fi*(Q) ^ J s ^ i Q ^ n

^ /u*(Qr,A)

A

n) +

+

A) ft*(Q-A)

und damit nach der einleitenden Bemerkung sogar t**(Q) = 2 fi*(Qr^An) + jU*(Q-A) = fi*{Q^A) + p*(Q — A) für alle Q e ^ ( ß ) . Also liegt A in 9i*, und 21* ist dann nach Satz 2.2 eine u-Algebra. Setzt man in der letzten Doppelgleichung speziell Q — A, so folgt noch (¿*{A) = 2

fi*{An).

Also ist Restj.»^* ein M a ß . j B e m e r k u n g . Eine numerische Funktion fi* auf mit den Eigenschaften (5.2)—(5.5) wird äußeres Maß genannt. Zu jedem Prämaß gehört somit ein äußeres Maß im Sinne von (5.1).

Es soll nun noch gezeigt werden, daß in vielen wichtigen Fällen das Maß fi aus Satz 5.2 eindeutig bestimmt ist. 5.4 Satz ( E i n d e u t i g k e i t s a t z ) . S e t (5 ei« r\-stabiler Erzeuger einer o-Algebra'H inQ, in welchem eine Folge (En) von Mengen existiert mit En t Q. Sind dann ^ und ¡i2 Maße auf 9t mit

30

Maßtheorie

¡u^E) = fi2(E) für alle E e G und mit ju^En) für alle n, so ist = fi2 auf ganz 9t.

= fi2(En)


-dimensionale L-S-Maß. Für jeden Punkt a € Rp ist die Translationsabbildung Ta:Rv RP definiert durch x -»- a + x. Ta ist als stetige Abbildung meßbar nach dem zweiten Beispiel dieses Paragraphen. Wir fraeen nach dem Bildmaß

X •=

Ta(p).

38

Maßtheorie

Die Abbildung Ta ist eineindeutig. Für jedes halboffene Intervall [c, d [e QP gilt d[)= [c — a,d — a[ und somit X'([c, d[) = Xp{[c — a, d — O [ ) = A P ( [ C , d[). Beide, Maße Xp und X' ordnen also jedem Intervall aus seinen pdimensionalen Elementarinhalt zu. Nach 6.2 ist somit Xv — X', also (7.7)

Ta(XP) = Xv

(a e RP).

Man nennt diese Eigenschaft die T r a n s l a t i o n s i n v a r i a n z von AP. 2. Sei S die durch x — x definierte Spiegelung am Nullpunkt des RP. Für jedes halboffene Intervall [c, d [ e ist dann S-i([c, ¿[) = ] — d, — c] : = {»:—

d < x g — c}.

Ebenso wie in (6.5) ergibt sich AP(] — d, — c]) = ).v([c, d [); also stimmen iS(AP) und Xp auf Qp überein. Folglich ist abermals nach 6.2 S(XP) = Xv. Dies ist die S p i e g e l u n g s i n v a r i a n z von Xp. B e m e r k u n g e n . 1. Xp kann wie folgt durch die Translationsinvarianz gekennzeichnet werden: Jedes auf endliche, translationsinvariante Maß n auf S3P ist ein Vielfaches von AP, d. h. es existiert eine reelle Zahl y Sg 0 mit ¡i(B\ = y Xv(B) für alle B e 33P. (Vgl. etwa RUDIN [20], S. 2.) 2. Ist T eine beliebige Bewegung (orthogonale Transformation) des RP auf sich, so gilt T{XP) = AP. Das ¿-B-Maß AP ist also sogar b e w e g u n g s i n v a r i a n t . Dagegen ist XV nicht invariant bezüglich aller Homöomorphien des Rv auf sich. (Vgl. etwa AUMANN [15], insbes. Abschnitt 8.11.) § 8. Meßbare numerische Funktionen Auf der Zahlengeraden R hatten wir die er-Algebra 331 der Boreischen Mengen definiert. Kompaktifiziert man R in herkömmlicher Weise zum R durch Adjunktion der „idealen" P u n k t e + 00 und — 00, so nennt man diejenigen Mengen B { + 00}, B0 {— oo}, B0 w { + 00} w {— 00} mit B0 e SS1. Das S y s t e m S31 dieser in R Boreischen Mengen ist offenbar eine a-Älgebra in R mit R = S31.

§ 8. Meßbare numerische Funktionen

39 1

Ist nun (Q, 91) ein Meßraum, so ist die 3i-S3 -Meßbarkeit von numerischen Funktionen f: Q R definiert. Solche 9l-SB 1 -meßbaren Funktionen / sollen fortan kurz (9{^meßbare, numerische Funktionen auf Q genannt werden. Jede reelle F u n k t i o n / : Q -> R ist auch eine numerische Funktion. Wegen R r \ S31 = S31 besagt f ü r jede solche F u n k t i o n die 9I-33 1 -Meßbarkeit dasselbe wie die S i - ^ - M e ß b a r k e i t . Beispiele. 1. Sei(ß,St) ein Meßraum und A eine Teilmenge von Q. Die Funktion (8.D

=

(®€fl)

heißt die I n d i k a t o r f u n k t i o n (oder auch charakteristische Funktion) von A. Diese auf Q definierte reelle Funktion xa ist genau dann St-meßbar, wenn A in 9t liegt. Bs ist nämlich Xa(^) für jedes B «]; [/