Einführung in die Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematischen Statistik [Reprint 2018 ed.] 9783486804683, 9783486254693

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Einführung in die Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematischen Statistik von Detlev Plachky

Oldenbourg Verlag München Wien

Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Plachky, Detlef: Einführung in die Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematischen Statistik / von Detlef Plachky. - München ; Wien : Oldenbourg, 2 0 0 0 ISBN 3-486-25469-3

© 2000 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH Rosenheimer Straße 145, D-81671 München Telefon: (089) 45051-0 www.oldenbourg-verlag.de Das Werk einschließlich aller Abbildungen ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen. Lektorat: Martin Reck Herstellung: Rainer Hartl Umschlagkonzeption: Kraxenberger Kommunikationshaus, München Gedruckt auf säure- und chlorfreiem Papier Gesamtherstellung: Druckhaus „ T h o m a s Müntzer" GmbH, Bad Langensalza

V

Inhalt 1. Einleitung

1

2. Grundbegriffe der Maßtheorie: Inhalte auf Algebren, Maße auf a-Algebren

5

3. Das Maßintegral

23

4. Vergleich von Riemann- und Lebesgue-Integral

32

5. Konvergenzbegriffe

36

6. Produktmaße und Satz von Fubini-Tonelli

44

7. Maße mit Dichten und Satz von Radon-Nikodym

56

8. Konvergenz von Zufallsgrößen und Verteilungen

81

9. Gleichmäßig beste, erwartungstreue Schätzer

97

10. Lokal optimale Schätzer

110

11. Suffizienz und Vollständigkeit

129

12. Grundbegriffe der statistischen Entscheidungstheorie

173

13. Grundbegriffe der Testtheorie

177

Literatur

190

Sachverzeichnis

191

Vorwort Bei dieser Einführung in Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematischen Statistik handelt es sich um Vorlesungen des Verfassers an der Universität Münster. Dabei werden zunächst Grundbegriffe aus der Maß- und Integrationstheorie unter Berücksichtigung von Anwendungen in der Wahrscheinlichkeitstheorie, mathematischen Statistik und verwandte Gebiete vorgestellt. Insbesondere wird auf den Aspekt der endlichen Additivität der zugrundeliegenden Mengenfunktionen eingegangen. Obgleich in der Hauptsache Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematischen Statistik behandelt werden, hofft der Verfasser, dem Leser auch neuere Resultate zu präsentieren. Dies gilt zum Beispiel im Zusammenhang mit Fortsetzungen von Wahrscheinlichkeitsinhalten und Kennzeichnungen der Suffizienz und Vollständigkeit von Teil-cr-Algebren aus schätztheoretischer Sicht. Allerdings werden abgesehen vom Fortsetzungsmodell bzw. vom Begriff der schätztheoretischen Suffizienz keine neuen Modelle bzw. Begriffe vorgestellt. Im wahrscheinlichkeitstheoretisch orientierten Teil dieser Einführung steht der Begriff der Konvergenz von Zufallsgrößen und Verteilungen einschließlich charakteristischer Funktionen mit einem Ausblick auf Radontransformationen sowie der Begriff der regulären bedingten Verteilung einschließlich einer ausführlichen Diskussion der Existenz bzw. Nichtexistenz regulärer bedingter Verteilungen im Vordergrund. Der statistisch orientierte Teil dieser Einführung betont die Idee des erwartungstreuen Schätzers unter besonderer Berücksichtigung der lokalen und globalen Optimalität, wobei die grundlegenden statistischen Begriffe der Suffizienz und Vollständigkeit von Teil-cr-Algebren eine zentrale Rolle spielen. Die Darstellung ist mit Rücksicht auf den Umfang des Stoffes, Grundbegriffe aus Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematischer Statistik betreffend, recht knapp gehalten. Dabei werden die sparsam zum Einsatz gebrachten Grundbegriffe aus der Funktionalanalysis nicht wie die benötigten Grundbegriffe aus der Maß- und Integrationstheorie entwickelt. Für das Verständnis dieser Einführung von Grundbegriffen aus der Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematischen Statistik sind Vorkenntnisse über diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen hilfreich.

VIII Ferner möchte der Verfasser mit dieser Darstellung den engen Zusammenhang der Gebiete Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematische Statistik sowie deren Verbindung mit anderen mathematischen Disziplinen wie Maß- und Integrationstheorie bzw. Funktionalanalysis illustrieren und hofft insbesondere, daß die Verbindung zwischen Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematischer Statistik unzertrennlich ist

D. Plachky

1

1 Einleitung IR m i t P ( £ ) > 0, E G P(I2) ( P SPRECHWEISE: ft nicht-leere Menge. P : V(Q) nicht negativ), P(0,) = 1 ( P normiert), P(U^Li En) = E ^ i ¿ W , En G n = 1 , 2 , . . . , paarweise disjunkt ( P a-additiv) heißt Wahrscheinlichkeitsmaß auf V(Ü). Gilt zusätzlich: Es existiert eine abzählbare Teilmenge von Q mit P(Q 0 ) = 1, dann heißt P diskretes Wahrscheinlichkeitsmaß auf P(i2). BEISPIELE:

1.

S

U

( E )

=

1,

u

e

E ,

6

U

( E )

0,

=

u

i

E ,

E

G

G

V { Q ) , u

n

fest, heißt

Dirac-Maß in u>, in Zeichen: 2. P := E r = i a« > 0, n = 1 , 2 , . . . , 1, 2 , . . . , d. h. P ( £ ) = «n £eP(fi).

a n = 1, w n G fl, n =

BEMERKUNG: P diskretes Wahrscheinlichkeitsmaß auf V(Q) gemäß dem 2. Beispiel, wegen: P = E^Li P({w n }) a mit a G IR, a + 00 = 00,fflraG R, XZ^Li an '•= 00, an > a 0, n e IN, n divergiert. BEISPIEL: hq(E) =card(£'), E endliche Teilmenge von II, ¡iq(E) = 00, sonst, heißt Zählmaß über V (£l). SPRECHWEISE: /X : V(Q) ->• IR Maß heißt finit (endlich), falls n(Q) < 00, ufinit (er-endlich), falls es En G "P(i2), n = 1,2,..., paarweise disjunkt, gibt mit n{En) < 0 0 , n = 1, 2,..., und X ^ i En = semifinit (Maß mit der endlichen Teilmengeneigenschaft), falls fi(E) = sup{/x(F) : F c E, fi(F) < 00}, E G V(Q).

BEMERKUNG: Zählmaß /¿0 aufV(Q) endlich O fi endlich, Zählmaß endlich o Q abzählbar. Zählmaß stets semifinit.

auf V(ü) a-

Diskrete bzw. stetige Maße: SPRECHWEISE: (j, : V(ü) ->• IR Maß heißt diskret, falls /¿(FIG) = 0 für eine abzählbare Teilmenge Q0 von O zutrifft; ¡i : V{ü) IR Maß heißt stetig, falls M M ) = 0 , u 6 i ] , gilt. ZUSAMMENHANG: fj, : V{ü) ->• IR endliches Maß läßt sich eindeutig zerlegen gemäß: /x = + ¡jl2, Mj : -> IR, j = 1,2, endliche Maße mit ¿¿1 diskret, H2 stetig, denn: ü 0 := {cj G 0, : h({uj}) > 0} abzählbar wegen {w e ii : ^ ^ < MM) < Ä endlich, n = 1,2,.... m(E) := /i(£?ni2o), E G /¿ 2 (£) := n{E n flg), E G =>• /¿1

1

3

Einleitung

endliches, diskretes Maß a.ufV(ü), /z2 endliches, stetiges Maß auf V(fi) => Existenz der Zerlegung. Eindeutigkeit der Zerlegung, fi = /zi + /x2 = ß'i + endliche, diskrete = Maße, H2 j 1^2 endliche, stetige Maße Mi(i^o) Pi (^o) = 0, i^o abzählbare Teilmenge von fi => ¡x2(E n iig) = n'2(E n iig), V(Q) in = M2> denn /x 2 (ft 0 ) = M2(^o) = 0 ni = fi[. BEMERKUNG:

1. Ulam: ü Menge mit card(O) =alephi; es gibt kein endliches, stetiges Maß /x auf V(Q) mit /x(il) > 0, d. h. alle endlichen Maße auf V(ü) sind in diesem Fall diskret. 2. Pelc: Es existiert eine Menge S7, so daß ein endliches, stetiges Maß /x auf V (i2) mit fi(Q) > 0 erklärt werden kann genau dann, wenn es eine Gruppe G gibt und dazu ein semifinites Maß /x auf V(G) mit: /x £ {c/x0 : c > 0, /x0 Zählmaß auf V(ü)} und h{9E)

= h(E),

E e P(G),

geG(gE

:= {gg' : g' €

E}).

Unlösbarkeitdes Maßproblems nach Vitali: Es gibt kein Maß ß ^ ( K ) ^ IR mit ¿x([0,1]) = 1 und ¿x(

a_-M

) =

={a+a':a'eA}

ß(A),

A 6

P(R).

Äquivalenzrelation: xi ~ x2 : O xx - x2 E Q, xi,x2 G H , R vollständiges Repräsentantensystem O. B. d. A. R c [a, b], a, b e 1R, a < b, b - a < 1, Äquivalenzklasse mit Repräsentant r € Ä : => R = + Q) = E ^ q (p + R) => [0,1] D £ -a Widerspruch /x([0,1]) = 00, falls ein solches Maß /x existiert. BEGRÜNDUNG:

BEMERKUNG:

1. Banach: Es gibt /x : P ( R ) —• R mit /¿(Ei + E2) = p(Ei) + /i(£ 2 ), Eu E2 € P ( R ) , /x(£) > 0, £" 6 7?(R), ¿x(R) = 1, und/x(a + £ ) = /x(£), £ "P(IR), a e 1R. Allerdings ist /x durch diese Eigenschaften nicht eindeutig bestimmt. 2. Die Argumentation von Vitali zur Unlösbarkeit des Maßproblems liefert die folgende wahrscheinlichkeitstheoretische Variante: Eine Gruppe G läßt auf der Potenzmenge V(G) genau dann ein Wahrscheinlichkeitsmaß P mit P(gA) — A, A e V(G), geG(gA := {gg' : g' e A}, g e G, A € V(G)) zu, wenn G endlich ist und P{A) = A € P(G), gilt, denn, istG nicht abzählbar, dann erzeugen abzählbar unendlich viele Elemente von G eine abzählbare Untergruppe U von G. Mit R als korrespondierendem vollständigen Repräsentantensystem gilt = WOf dann G = ^renUr 52ueu aus P(G) = 00 resultiert. Man kann

= G> a u c ^ eine Menge R C G mit Ru, u £ U, paarweise disjunkt, J2ueu nach dem Lemma von Zorn als maximales Element bezüglich der Inklusion von {R C G : Ru, u e JR, paarweise disjunkt, 1 e R} erhalten.

5

2 Grundbegriffe der Maßtheorie: Inhalte auf Algebren, Maße auf a-Algebren S P R E C H W E I S E : A C V(ü) heißt Algebra (Mengenalgebra) über Í2 falls gilt: Í2 E Ai U A2 6 A A, A e A Ac e A (Komplementstabilität), A1} A2 € A (Vereinigungsstabilität). Gilt statt der Vereinigungsstabilität: An e A, n e IN => u r = i An e A (Stabilität unter abzählbaren Vereinigungen), so heißt A

A\ n A2 e A, denn:

2. S er-Algebra ist durchschnittsstabil gegenüber abzählbaren Durchschnitten: An £ 5 , n = 1 , 2 , . . . => n r = i ^ € denn: i = (IXLi K Y 3. Eine Algebra A ist genau dann eine cr-Algebra, wenn A vereinigungsstabil gegenüber abzählbaren Vereinigungen von paarweise disjunkten Mengen aus A e ist: An 6 A, n = 1 , 2 , . . . , paarweise disjunkt A, denn: ir=i

=

SPRECHWEISE:

über Q, S(£)

n o x ä

£ c V(ü); A(£)

~ H

ees

s (FI), £c

: = {E°:

E e

£}.

B E M E R K U N G : £ = 0 =¡> A(£) = S{£) = {0, Í 1 } triviale Es gibt Atome i G I (card (/) < card(lR)), von S mit Ai = ü. Dabei heißt A G S Atom der a-Algebra S, wenn A / 0 und B c A mit B G S impliziert B = 0 oder B = A. Insbesondere existiert keine «r-Algebra mit genau abzählbar unendlich vielen Elementen. BEGRÜNDUNG: Ist £ = {£1, E2,...} Erzeugendensystem der a-Algebra S über Q, so sind die nicht-leeren Teilmengen von Í1 der Gestalt f X L i E*, E* G {En, ££}, n = 1 , 2 , . . . , die Atome. Würde eine cr-Algebra mit genau abzählbar unendlich vielen Elementen existieren, so liefert die vorausgehende Überlegung genau abzählbar unendlich viele Atome und damit überabzählbar viele Elemente dieser a-Algebra.

2 Grundbegriffe

7

Ist Q abzählbar, so besitzt jede cr-Algebra S über ÍÍ höchstens abzählbar viele Atome, deren Vereinigung Q ist, denn: Jede Vereinigung (J, e / At mit At G i G I, kann bereits als | J j e J Aj mit J als abzählbare Teilmenge von I dargestellt werden wegen ( J i e I Ai = 52ieI(Ai n ((Jjei Aj)c) mit < als j Wohlordnung von I, so daß, wegen der Abzählbarkeit von Q, höchstens abzählbar viele Mengen Alk n (|J A:)c, k = 1,2,..., nicht leer sind. Also gilt i« k A e S, cj e fl fest, so daß zu jedem u G Í2 ein Atom Aw von >4es S existiert, nämlich Au := n h ] • Ofc, h

e

IR, ak < öfc, n € 1N0}; dann gilt: A(£) = A und A(£) heißt Boreische Algebra über IR. BEZEICHNUNG: 5 ( { ( a , b): a, b e IR, a < 6}) heißt Boreische cr-Algebra über IR, in Zeichen: B bzw. ß(IR). Die Elemente von B bzw. ß(IR) heißen Boreische Teilmengen von IR. BEMERKUNG:

1. Die Boreische cr-Algebra über IR ist abzählbar erzeugt, denn { ( a , b] : a,b e Q U { - 0 0 , 0 0 } , a < 6} ist ein abzählbares Erzeugendensystem von B, wegen: (

a

'

6

l =

H P'€Q p'> b

[ j "

ÍP,P'],

a , b e U ,

a < b .

PEII (M(Z))C = M(ZC), denn: (M(Z))C ist stets monotone Klasse, also gilt immer M(Z) c (M{ZC))C, und damit (M{Z))C c M{ZC); im Fall Z = Zc folgt M(ZC) c M(Z)C, also (M(Z))C = M{ZC). 2. M(£) ist durchschnittsstabil, falls Z durchschnittsstabil, denn: {M £ M(£) : M n E £ M(Z)} ist monotone Klasse, die Z enthält (E £ Z fest). Ferner gilt: {M £ M(Z) : M n M 0 e M(£)} monotone Klasse (M0 G M(£) fest), die £ enthält, wegen £ n M 0 C M(£), also ist M (Z) durchschnittsstabil. FOLGERUNG:

A Algebra

M(A) = S(A).

Inhalte auf Algebren: A Algebra über IL; dann heißt ^ : A ->• IR mit / / ( 0 ) = 0 , n(A) > 0, A £ A (Nicht-Negativität), n(Ax + A2) = fi(A{) + n(A2), AUA2 £ A, Ai n A2 = 0 (Additivität), Inhalt auf A. Der Inhalt ß auf A heißt cr-additiv, falls An) = X^Li (¿(An), An £ A, n = 1, 2 , . . . , paarweise disjunkt, An G A, zutrifft. Schließlich heißt ein Inhalt \i auf einer Algebra A über ü endlich, wenn //(fi) < oo gilt, er-endlich, wenn es An £ A, n — 1,2,..., paarweise disjunkt, mit An = ü und fi(An) < oo, n = 1,2,..., gibt, bzw. semifinit, falls n(A) = sup{fJ-(B) : B c A, B £ A, fi(B) < oo}, A £ A, zutrifft. Schließlich heißt ein cr-additiver Inhalt n auf einer er-Algebra S über ü Maß. Gilt zusätzlich fi(Q) = 1, dann heißt fi Wahrscheinlichkeitsmaß auf S. SPRECHWEISE:

11

2 Grundbegriffe EIGENSCHAFTEN von Inhalten: ¡i Inhalt auf Algebra A über FI; dann gilt: 1. Subtraktivität: JU(Ai\A2) = m(A) - M A ) , A , A 2 6 A, A2 C Au oo, denn: AX = A2 + (Ai\A 2 ) => fi(Ai) = n(A2) + fi{A1\A2). 2. Isotonie: fi(Ai) MMXAt),

> /¿(A2), AltA2

n{A2)


0. 3. Subadditivität: /xflJLi A ) < E L I M A ) , k-I

Ak £ A, k = 1 , . . . , n, denn:

U £ = i A = E L i ( ^ N ( ( J A M R). V

M=1 V

'

CAk

Inhalt n auf Algebra A ist «7-additiv & n ist sub-C-additiv, d. h. A ) < E ~ i M A ) , A 6 A, » = 1 , 2 , . . . , IX=i A € A d e n n : n-l

BEMERKUNG:

U^Li A

= E ^ L i (An n ( ( J Am)c) und n cx-additiv => m—1 N ^ '

// sub-cr-additiv; um-

CAn

gekehrt folgt aus fj, sub-cr-additiv, daß ß cr-additiv ist, wegen /¿(E^Li A ) M E ™ i An) = E ^ i M A ) , m = 1 , 2 , . . . , n = l , 2 , . . . , Er=i A ^ M(ER=I a ) > M(A). Siebformel von Sylvester-Poincar6 für endliche Inhalte auf Algebren:

> e

Es sei (i ein endlicher Inhalt auf der Algebra A über Q. und Am e A, m = 1,.. ,,n. Dann gilt: ^ U U i An) = E L i ( - l ) f c + 1 E i < j l < . . . < j t < n M A j 1 N .. .N AJFC). Die a-Algebra S := S ( { A , • • •, A } ) besitzt Atome ß i , . . . , Bm, mit E r = i ^ = so daß die Einschränkung fi\S einen endlichen Inhalt v auf S ai liefert mit v = M B i)> ^ = 1, - - -, rn, und e l = 1 , . . . , m. Ferner ist die Siebformel ftir jedes Dirac-Maß zutreffend, da im Fall u e Um=i A i angenommen werden kann u> e A\,..., Ap, u £ A p + i , . . . , An mit 1 < p < n - l , so daß, wegen 1 = E L i ( _ 1 ) f c + 1 = 1 - (1 - l) p , die Siebformel gilt. Aus M U U A » ) = ELi(-i)fc+1Ei 1R (eindimensionale) Verteilungsfunktion existiert genau ein Wahrscheinlichkeitsmaß vp auf B mit v p ( ( - o o , 2:]) = F(x), x e R . Ist G : IR —> IR eine weitere (eindimensionale) Verteilungsfunktion mit 1>g = vp, so gilt G — F. Zu F : IR™ R n-dimensionale Verteilungsfunktion existiert genau ein Wahrscheinlichkeitsmaß vp auf der Boreischen cr-Algebra Bn des IRn, d. h. Bn ist von {(a,6] c IR" : a, b e IR", a < bj erzeugt, mit i^f(((-oo, . . . , - 0 0 ) , ( z i , . . .,£„)]) = F ( x x n ) , ( x i , . . . , x n ) G IR™. Ist G : IRn —> IR eine weitere n-dimensionale Verteilungsfunktion mit vq = v f < so gilt G = F. Die eindimensionale Verteilungsfunktion F : IR —> IR ist für x e IR genau dann stetig, wenn für das zugehörige Wahrscheinlichkeitsmaß vp auf B gilt vp({x}) = 0, denn die Stetigkeit von unten für VF liefert ^ ( { 2 } ) = F(x) - F(x-) mit F(x-) := lim ytx F(y). Also ist F | R stetig genau dann, y 0 , k = 1 , 2 , . . . , ist vf genau dann diskret, wenn gilt - F(xk-)) = 1. Lebesgue-Borelsches Maß: Mit F : IR ->• R , F(x) := x, x e R und A\ := vF erhält man ein (a-endliches) Maß A\ auf B mit A\(ß) = + x), B e B, x e R (Translationsinvarianz), also eine Lösung des Maßproblems, wobei "P(R) durch ß ( R ) = B ersetzt worden ist, denn B + x e B, B G B, x e R , da {B e B \ B + x e B}, x e R fest, eine 0, denn F(x) := /x((0, x]), x > 0, F(x) := -/¿((x, 0]), x < 0, F(0) := 0, ist eine maßdefinierende Funktion mit (i = HF und F(x + y) = F(x) + F(y), x, y € R , wegen der Translationsinvarianz von /x. Diese Eigenschaft zusammen mit /z([0,1]) < 00 impliziert auch ß({x}) = 0, woraus die Stetigkeit von F | R folgt. Daher gilt F(x) = cx, x e R , für ein c e R , c > 0, nämlich c := ¿t([0,1]), woraus ¡i — cA\ folgt. BEISPIEL:

Vervollständigung von Maßräumen SPRECHWEISE: (F2,

S, h) mit S

als ER-Algebra über

Q und

/x als Maß auf

S

heißt

2 Grundbegriffe

19

Maßraum und die Elemente von S heißen ¿»-meßbare Teilmengen von Q und N £ S mit ß{N) = 0 heißt /i-Nullmenge. Ist ß speziell ein Wahrscheinlichkeitsmaß P auf S über íí ^ 0, dann heißt (Í2, S, P) Wahrscheinlichkeitsraum. Als Vervollständigung des Maßraumes (Q,S,ß) bezeichnet man (Í1, Sß,ß) mit Sß := {A + M : A G S, M 6 P(Q)mitM C N für eine Nullmenge N € S, AHM = 0}, ß(A + M) := fi( A), A + M e Sß. Es gilt: Sß ist eine • /z*(Ai n A 0 ) + N*(A2 n Ag) bzw. AIF)A0 + A2R)A^ -» /z*(AinA 0 )+/i*(A 2 nA§), A1,A2EA, A0 := {w 0 },erklärte Wahrscheinlichkeitsmaß mit SUO | S ' bzw. ¡I' mit FI'(A) — 0, A abzählbare Teilmenge von f l , bzw. //(A) = 1, sonst, identisch. Allerdings ist im Fall card(Q) =alephi nach Ulam /i eindeutig auf V ( f l ) zu 6Wo fortsetzbar, während \i' nicht zu einem Maß auf V ( f l ) fortsetzbar ist wegen /¿'({u;}) = 0, u G ii. BEISPIEL:

Inhaltsfortsetzungssatz Jeder endliche Inhalt /x auf einer Algebra A über fl ist auf V ( f l ) zu einem Inhalt fortsetzbar. Insbesondere existiert ein endlicher Inhalt v auf V ( f l ) mit der Approximationseigenschaft: Zu e > 0 und B G V ( f l ) existiert A G A mit v(AAB) < e. Die Fortsetzung von // zu einem Inhalt auf eine Algebra A' über fl mit A c AI ist eindeutig genau dann, wenn folgende Approximationseigenschaft erfüllt ist: Zu e > 0 und A' G A' existiert A I , A 2 G A mit AX c A! c A2 und / / ( A 2 \ A I ) < e. BEGRÜNDUNG: ES wird zunächst nach Los-Marczewski der Spezialfall behandelt, daß durch A X n A0 + A2 n A£ /X*(AI n A0) + ß*{A2 n A§) bzw. AX n A0 + A 2 n AG ->• n A 0 ) + H*{A2 n A£), AUA2 G A, A0 G V { f l ) fest, endliche Inhalte bzw. [I2 auf A' := A(A U { AQ}) sind, die FI auf A! fortsetzen. Dabei

2 Grundbegriffe

21

ist fi*{B) := inf{//(A) : A £ A, B C A} bzw. n*{B) := s u p { ß { A ) : A G A c ß ) , B € "P(fi). Ferner gilt für bzw. ¿¿2 die Approximationseigenschaft: Zu e > 0 und AI G .4' existiert , 4 2 G 4 mit ^ij(AjAA) < e, j = 1,2. Für den allemeinen Fall betrachtet man die Menge M := {(-4', /¿') : A! Algebra über fi mit A c .4', / / | 4 = n und zu e > 0 und A' G AI existiert A e A mit n'(A'AA) < e], wobei M mit der teilweisen Ordnung (A\, fi\) < (4' 2 , /4) genau dann, wenn A\ C A'2 und ij'2\A\ = ¡i\ zutrifft mit (A'^n'j) G M, j = 1,2, induktiv geordnet ist und daher ein maximales Element (Ao, Mo) besitzt, wobei, aufgrund der Fortsetzungen von tos-Marczewski, AQ = V(Q) zutrifft. Zur Eindeutigkeit der Fortsetzung von // auf A zu einem Inhalt / / auf A! mit A! als A umfassender Algebra ist zu beachten, daß nach den Fortsetzungen von Los-Marczewski im eindeutigen Fortsetzungsfall ß*(A') = /¿*(4') für jedes A! G A! gelten muß, woraus folgt, daß es zu e > 0 und A! G A! Mengen Ai, A2 G A gibt mit Ai c A' c A2 und /x(A2\A1) < e. Umgekehrt folgt aus dieser Approximationseigenschaft für zwei Inhalte , /i2 auf A' mit = /x, j = 1,2, die Beziehung Mi (4') - / i 2 ( A ' ) < /¿(4 2 ) - /x(4i) < e und H2(A') - m{A') < h(A2) - ^(Ai) < e , a l s o | fi^A')fi2(A')\