Die Mathematischen Grundlagen der medizinischen Statistik [Reprint 2021 ed.] 9783112396384, 9783112396377

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DTE MATHEMATISCHEN GRUNDLAGEN DER

MEDIZINISCHEN

STATISTIK.

DIE

MATHEMATISCHEN GRUNDLAGEN LIElt

MEDIZINISCHEN STATISTIK ELEMENTAR DARGESTELLT VON

Dr. med. J.

HIRSCHBERG.

Tantum poesumus quantum scimus.

LEIPZIG V E R L A G V O N V E I T & COMP. 1874.

Alle R e c h t e v o r b e h a l t e n .

So lange es eine Heilkunde giebt, hat man die wirklichen oder vermeintlichen Erfolge der angewendeten Heilmittel aufgezeichnet.

Aber umfassende zift'ermässige Belege über thera-

peutische (und überhaupt medizinische) Erfahrungen treten erst in' unserem Jahrhundert etwas häufiger auf. Im Jahre 1835 fanden in der Akademie der Wissenschaften zu

Paris

lebhafte

Debatten

über

die

Anwendbarkeit

der

numerischen Methode auf die Medizin statt; im Jahre 1837 entbrannte in der Pariser Akademie der Medizin der Streit von Neuem: aber die ärztliche Welt wurde nicht überzeugt.

Man

wollte der W a h r s c h e i n l i c h k e i t s r e c h n u n g keiu Bürgerrecht in der Medizin gewähren, weil man mit Wahrscheinlichkeiten keine Wissenschaft machen könne. So heisst es bei B o u i l l a u d : „La somme de nos certitudes en matière d'étiologie, d'anatomie pathologique,

de diagnostic et de thérapeutique est énorme;

que dis-je? la médicine ne serait pas une science, mais une sorte de jeu de hasard, si elle ne roulait toute entière que sur des probabilités." Diese Sätze, obwohl sie in seinem Essai sur la p h i l o s o p h i e médicale stehen, sind doch wenig philosophisch ; denn, abgesehen von der reinen Mathematik, erfreuen sich unsere g e s a m m t e n Kenntnisse

nur eines mehr oder minder hohen Grades von

VI

Wahrscheinlichkeit*), die allerdings in einigen Wissenschaften, wie in der Physik und in der Chemie, mit der Gewissheit nahezu zusammenfällt. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung, welche auf vielen Gebieten der Naturwissenschaft geradezu unentbehrlich ist,

verdient keineswegs

die Geringschätzung,

mit der

manche Mediziner auf sie herabschauen. „In der Astronomie und einigen Theilen der Physik hat die Anwendung

der

Wahrscheinlichkeitsrechnung

seit

etwa

50 Jahren zu einer vorher ungeahnten Schärfe in der Bestimmung der Constanten so wie auch zu anderen wichtigen Entdeckungen geführt.

Diese Rechnungsart dient nicht nur zur

Auffindung der wahrscheinlichsten Resultate aus einer grösseren Anzahl von Beobachtungen, sondern sie lässt auch die gewonnene Sicherheit richtig beurtheilen. und lehrt

Sie beseitigt daher jede Willkür

die Zuverlässigkeit jedes Schrittes würdigen.

In

anderen Wissenschaften hat man von ihr nur ausnahmsweise Gebrauch gemacht; und in diesen werden nicht selten noch gegenwärtig Gesetze aufgestellt, die weder in sich begründet noch durch die Erfahrung hinreichend bestätigt sind. — Aus einzelnen und zwar oft sehr unsicheren Wahrnehmungen will man allgemeine Gesetze herleiten. Oberflächliche Beobachtungen, die unter gewissen oft zweifelhaften Voraussetzungen den Zusammenhang der

Erscheinungen

ungefähr

errathen

vertreten vielfach die Stelle bewiesener Theorien."

lassen,

(Hagen).

Man wird leicht zugestehen, dass die letzteren Sätze auch * Presque toutes nos connaissances ne sont que probables.

L api ace.

VII

auf die medizinische Wissenschaft passen. Gewiss wäre es von höchster Wichtigkeit, die möglichen Fehler der aus medizinischen Beobachtungsreihen abgeleiteten Resultate und somit den Grad ihrer Sicherheit kennen zu lernen; zumal eine einfache Erwägung ergiebt, dass diese Fehler im Allgemeinen nicht unbeträchtlich sein werden.

Ein grosser Unterschied besteht zwischen der

gewöhnlichen Statistik (Demologie) und der medizinischen Statistik: bei der ersteren können die Zählungen (Beobachtungen), aus denen man Schlüsse ziehen will, vollständig beendigt; bei der letzteren nur zu einem kleinen Theile durchgeführt werden. Man kann recht gut ermitteln, wie viele Procente der Bevölkerung der ersten Lebensdekade z. Z. angehören; man kann aber nicht auszählen, welchen Procsntsatz die Mortalität der Lungenentzündung gegenwärtig bei uns hat.

In der pathologischen

und therapeutischen Statistik hat man stets die Schwierigkeit zu überwinden, dass aus einer ziemlich unvollständigen Induction die Gesetze zu abstrahiren sind. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung kann uns zum Theil über diese Schwierigkeit hinweghelfen; sie kann und soll uns zeigen, 1) wie weit in der Medizin die Beobachtungen auszudehnen sind, damit die Resultate auf allgemeinere Gültigkeit Anspruch haben;

2) welchen Grad von Genauigkeit

publicirten

Beobachtungsreihen

besitzen.

die gewöhnlich

Selbstverständliche

Voraussetzung der Rechnung ist die Richtigkeit der zu Grunde gelegten Einzelbeobachtungen; man könnte zu diesem Behuf den berühmten Satz von M o r g a g n i folgendermaassen formuliren: Non solum numerandae sed etiam perpendendae sunt obser-

VIII

vationes. *) Darum wird man auch nur auf denjenigen Gebieten der Medizin, wo die Diagnose mit Sicherheit gestellt werden kann, und nur mit Beobachtungsreihen, die von competenten Forschern herrühren, den Yersuch wagen, nach physicalischen Frincipien das G e s e t z d e r E r s c h e i n u n g

einer

Krank-

h e i t , ihre Mortalität und ihre Beeinflussung durch verschiedene Heilverfahren, festzustellen. Freilich bietet der Gegenstand ganz besondere S c h w i e r i g keiten.

Schon an sich steht die statistische Methode (Massen-

beobachtung) weit hinter der experimentirenden zurück.

Aber

wie auch der Physiker auf den Gebieten, wo er nicht mit reinen Stoffen, isolirten Erscheinungen experimentiren kann, beispielsweise in der M e t e o r o l o g i e ,

die Massenbeobachtungen

zu

Hilfe nehmen muss: so ist man in der Heilkunde ganz und gar auf die Massenbeobachtungen angewiesen, um Gesetze über den natürlichen Verlauf von Krankheiten und über die Wirksamkeit von Heilmitteln festzustellen; übrigens wird sich sogar herausstellen, dass gut gruppirte Massenbeobachtungen mitunter die Rolle des Experimentes vertreten können. Ferner existiren ja keine Krankheiten, sondern nur kranke Individuen; die Einzelfälle, denen man denselben Krankheitsnamen vindicirt, sind

*) Diese Prüfung, über welche allgemeine Regeln sich nicht aufstellen lassen, kann nur nach logischen Principien von Fachkundungeu ausgeführt werden. Wie man in dem seltenen Falle, dass eine fingirte Beobachtungsteihe veröffentlicht worden, mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsrechnung die Fiction darlegen kann, hat H a g e n (in seiner Wahrscheinlichkeitsrechnung p. 104) an einem Beispiel auf das glänzendste nachgewiesen.

IX

nicht identische Einheiten.

Aber es giebt auch in der orga-

nischen Natur keine Gattungen und Arten, sondern nur différente Einzelwesen, die dann der Zoologe und Botaniker (und zwar mit vollem Recht) nach ihrer Aehnlichkeit und Verwandtschaft in grössere und kleinere

Gruppen

zusammenfasst.

Um die

medizinischen Erfahrungen zu einer Wissenschaft zu gestalten, sind wir auch genöthigt, die Einzelbeobachtungen zu gruppiren : und dies hat man von jeher mit Yortheil gethan. Die Widersprüche und die Verwirrung, namentlich auf therapeutischem Gebiete*), rühren zum Theil davon her, dass man zwar zählte — aber die Gesetze der Zahlen nicht genügend berücksichtigte oder nicht berücksichtigen konnte**). Eine

wirklich

wissenschaftliche Begründung

der medi-

zinischen Statistik durch Wahrscheinlichkeitsrechnung wird die schmählichen Urtheile über Statistik aus der Welt schallen, die man in der heutigen medizinischen Literatur so häufig zu Gesicht bekommt***). Die principiellen Bedenken, ob man überhaupt die numerische Methode und die Wahrscheinlichkeitsrechnung auf die Nosologie und Therapeutik anwenden könne, hat zuerst J a c o b *) A n d r a l : Avec 30 ou 40 observations vous pourrez établir le diagnostic et l'anatomie pathologique d'une maladie; mais il vous faudra, plusieurs années pour arriver à un résultat satisfaisant en thérapeutique. **) So klagt der um die Einführung der numerischen Methode in die Medicin hochverdiente Bouillaud •. „Je ne possède pas pour mon compte tous les éléments nécessaires." ***) La statistique se rend, comme une fille publique, au premier venu. (Les Mondes). Statistics can be made to pvove anything. (Edinburg Med. Journal).

X

B e r n o u i l l i (im Anfang des vorigen Jahrhunderts) kurz aber gründlich beseitigt*). „Objiciunt primo, aliam esse rationem calculorum, aliam morborum aut mutationum aëris; illorum numerum determinatum esse, horum indeterminatum et vagum. Ad quod respondeo, utrumque respectu cognitionis nostrae aeque poni incertum et indeterminatum; sed quicquam in se et sua natura tale**) esse, non magis a nobis posse concipi, quam concipi potest, idem simul ab Auetore naturae creatum esse et non creatum; quaecunque enim Deus fecit, eo ipso dum fecit, etiam determinavit" ***). Im Jahre 1840 hat G a v a r r e t f ) , auf Grund der Rechnungen von P o i s s o n ++) ausführlich die hier in Betracht kommenden Verhältnisse auseinandergesetzt,

— aber so wenig

Beachtung bei den Medizinern gefunden, dass er gewissermaassen von Prof. A. Fick wieder entdeckt werden musste f t t ) -

Der

Grund dieser Vernachlässigung liegt hauptsächlich in dem Widerwillen der Mediziner

gegen mathematische Erörterungen.

*) J. Bernouilli Ars conjectandi pars IV, p. 227. **) sc. indeterminatum. ***) D. h. Was uns zufällig erscheint, ist nicht seiner Natur nach zufallig, sondern von Ursachen abhängig, die wir nicht kennen. t) Principes généraux de statistique médicale Paris 1840. 8°. p. 312. t t ) Recherchen sur la probabilité des jugements Paris 1837. Deutsch von S c h n u s e (Lehrbuch der Wahrscheinlichkeitsrechnung v. P o i s s o n , 1841). t t t ) Medizinische Physik. II. Aufl. 1866. Anhang. Ueber Anwendung der Wahrscheinlichkeitsrechnung auf mediz. Statistik. O e s t e r l e n (in seinem so bekannten Handbuch der mediz. Statistik 1865) giebt nur einleitungsweise eine kurze Notiz über Gavarret's Sätze.

XI

lum Theil aber auch wohl

in der Form von

Gavarret's

Buch, das trotz seines bedeutenden Umfangs wesentliche Lücken enthält-" insofern erstlich die Wahrscheinlichkeitsrechnung als bekannt vorausgesetzt wird und zweitens die beiden Hauptsätze über die möglichen Fehler statistischer Beobachtungsresultate nicht bewiesen sondern nur aus P o i s s o n ' s Werke übernommen werden *).

Hierdurch ist der ganzen Darstellung der Stempel

des Dogmatischen aufgedrückt; mathematische Sätze sind uns eben nur dann einleuchtend, wenn ihre Richtigkeit uns nachgewiesen ist. Der Beweis der fraglichen Sätze ist aber keineswegs so selbstverständlich, sondern ziemlich complicirt.

Wer

zur Skepsis neigt, könnte die Richtigkeit der Gavarret'sehen Auseinandersetzungen ebenso bezweifeln, wie die irgend einer medizinischen Hypothese z. B. der Homoeopathie. Ich habe mich bestrebt in der folgenden Studie

einen

kurzen d u r c h a u s elementaren Abriss der Wahrscheinl i c h k e i t s r e c h n u n g **) mit Beispielen aus der Medizin und *) Den Beweis will G a v a r r e t angeblich in einer Note nachholen, welche die Uebersehrift führt: Demonstration des principe» enonces dans l'Article U . Im Laufe dieser Note heisst es aber: M. Poisson a demontre dans une suite de calculs, dont il serait au moins inutile (?) de rapporter ici les details . . . Consultirt man nun das Werk von Poisson, — so findet man über 100 Seiten ziemlich complicirter Integralrechnungen, die gänzlich ausser dem Bereiche der meisten Aerzte liegen. Vergl. die Bearb. von S c h n u s e p. 138—278. **) Wenn ich, statt auf die bekannten (wiewohl nur von wenigen Medizinern studirten!) Bücher von Laplace, Lacroix, Hagen u. A. zu verweisen, die Hauptsätze der Wahrscheinlichkeitsrechnung kurz und

XII

einen systematischen leicht verständlichen Beweis der beiden H a u p t s ä t z e der m e d i z i n i s c h e n

Statistik,

welchen

ich

Herrn Dr. N a t a n i verdanke, zu geben, und glaube, dass der Gegenstand für das medizinische Publicum wohl beachtenswerth ist. Soll der angehende Arzt ein angehender Naturforscher sein, so muss ihm das Studium der besonders empfohlen werden.

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wenn ich auch nicht zu den

Zahlen-Enthusiasten*) gehöre, die von der medizinischen Statistik eine neue Aera der Therapie erwarten; so glaube ich doch, dass nach weiterer Ausdehnung und tieferer Begründung der medizinischen

Statistik

der Fortschritt der Heilkunde

viel

stetiger sein wird. leicht verständlich dargelegt habe, so geschah dies lediglich, um denjenigen Medizinern, die sich mit Statistik beschäftigen wollen, aber nur geringe mathematische Kenntnisse besitzen, Z e i t u n d M ü h e zu ersparen. Jene mathematische Disciplin zu fördern lag weder in meiner Absicht noch in meinem Vermögen. Ich wäre zufrieden, wenn mein Büchlein etwas dazu beitrüge, in der medizinischen Welt die Wahrscheinlichkeitsrechnung bekannter zu machen. *) Jatromathematiker hat es zu den; verschiedensten Zeitepochen gegeben. So gewiss die Mathematik uns kein neues Heilmittel gegen eine Krankheit ausrechnen kann; so gewiss kann sie uns den Weg zeigen, um zur richtigen Würdigung der schon angewendeten Mittel zu gelangen; und da die Materia medica ziemlich ausgedehnt ist, fast so sehr wie die drei Naturreiche, und man so ziemlich Alles gegen Alles angewendet h a t ; so dürfte z. Z. die Kritik ebenso wichtig wie die Heuresis sein.

I.

Abschnitt.

"Wahrscheinlichkeitsrechnung *) für Mediziner. Erstes Kapitel. Die m a t h e m a t i s c h e W a h r s c h e i n l i c h k e i t e i n e s Ereignisses**) ist das Y e r h ä l t n i s s der diesem E r e i g n i s s g ü n s t i g e n F ä l l e zu a l l e n m ö g l i c h e n F ä l l e n . Kann das Ereigniss A unter N überhaupt möglichen Fällen n Mal auftreten, so ist die Wahrscheinlichkeit dieses EreigH )l nisses w — -jy. Natürlich ist immer n < ÏV, also < 1, d. h. w ist immer ein echter Bruch, welcher der Einheit sich beliebig annähern kann. Die E i n h e i t i s t das Symbol der G e w i s s h e i t ; w = 1, (» = N) bedeutet, dass in allen überhaupt möglichen Fällen das fragliche Ereigniss zutrifft. Wenn ein gewöhnlicher (richtiger) 6seitiger Würfel aufgeworfen wird, so kann jede der sechs Seiten kommen; keine hat den Vorzug vor den andern. Sechs Fälle sind überhaupt möglich. Die Wahrscheinlichkeit, irgend eine der sechs Zahlen, z. B. die Zwei, zu treffen, ist gleich Wirft man gleich*) Vgl. L a p l a c e , Essai philosophique sur les probabilités, dessen Hauptsätze auch iu den klassischen Grundzügen der Wahrscheinlichkeitsrechnung von H a g e n (2. Aufl., Berlin 1867) reproducirt sind. Vgl. auch K l ü g e l ' s mathem. Wörterbuch V, 2. p. 890—1030 u. L a c r o i x , Traité élémentaire du calcul des probabilités. IV. Edit. Paris 1864. **) Chance. H i r s c h b e r g , Statistik.

1

2 zeitig mit 2 Würfeln, so kann jede der 6 Seiten des ersten Würfels (I) mit jeder der 6 Seiten des zweiten (II) zusammentreffen: es sind offenbar 6 . 6 = 36 verschiedene "Würfe möglich, welche die folgende Tabelle einzeln darlegt.

I, II.

I, II.

I, II.

I, II.

I, II.

I, II.

1.1. 1,2. 1,3. 1,4. 1,5. 1.6.

2,1. 2,2. 2.3. 2,4. 2,5. 2,6.

3,1. 3,2. 3,3. 3,4. 3,5. 3,6.

4,1. 4,2. 4,3. 4,4. 4,5. 4,6.

5,1. 5,2. 5,3. 5,4. 5,5. 5,6.

6,1. 6,2. 6,3. 6,4. 6,5. 6,6.

Die Wahrscheinlichkeit, mit 2 Würfeln den bestimmten Pasch (1,1) zu werfen ist gleich da dieser unter den 36 Würfen nur ein Mal vorkommt. Die Wahrscheinlichkeit mit 2 Würfeln irgend einen Vasch zu werfen, deren im Ganzen 6 sind, ist gleich 366 = J. Wenn eine verdeckte Urne 5 schwarze und 1 weisse Kugel enthält, so ist die Wahrscheinlichkeit, blindlings eine schwarze Kugel zu ziehen, ?vl = jj; die Wahrscheinlichkeit, eine weisse zu treffen, w2 = Wenn die Urne 500 schwarze und 100 weisse Kugeln enthält, so ist immer noch _ 500_ _ 500 5 5ÖÖ + 100 ~ 600 6' Die Aenderung der absoluten Zahl der möglichen Fälle braucht die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses nicht zu verändern, wenn nur die Zahl der günstigen Fälle in entsprechender Weise sich mit verändert, so dass das Verhältniss zwischen den günstigen und den möglichen Fällen dasselbe bleibt. Die mathematische Wahrscheinlichkeit ist der präcise Ausdruck für den gewöhnlichen Begriff' des Wahrscheinlichen und

8

des Unwahrscheinlichen zusammengenommen. (Probabile id est quod fere fieri solet. C i c e r o . ) Wahrscheinlich pflegt man ein solches Ereigniss zu nennen, dessen mathematische Wahrscheinlichkeit > unwahrscheinlich ein solches, dessen mathematische "Wahrscheinlichkeit < \ ist*). Eine mathematische Wahrscheinlichkeit -j®r genügt schon für d a s f o r m a l e D e n k e n , um ein Ereigniss zu einem wahrscheinlichen zu stempeln; für unser p r a k t i s c h e s H a n d e l n verlangen wir grössere Wahrscheinlichkeiten, die sich der Gewissheit mehr annähern. Der bisher beobachteten W a h r s c h e i n l i c h k e i t aus G r ü n d e n o d e r a p r i o r i steht d i e W a h r s c h e i n l i c h k e i t a u s B e o b a c h t u n g e n o d e r a p o s t e r i o r i entgegen. Für die medizinische Wissenschaft ist die letztere von weit grösserer Bedeutung. H a t die Erfahrung ergeben, dass von 100 gleich gut gebauten und ausgerüsteten Segelschiffen, die von Hamburg nach New-York in einer Jahreszeit fahren, 3 verunglücken, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein ähnliches Schiff, welches zu derselben Jahreszeit dieselbe Reise macht, verunglücken kann, «• = -räö = 0,03. Diese l'robabilität muss gelten, bis sie durch weitere Erfahrung widerlegt ist. Hat man durch eine grosse Beobachtungsreihe ermittelt, dass die Lethalität einer bestimmten Krankheit, z. B. der gewöhnlichen akuten Lungenentzündung für ein bestimmtes Lebensalter und eine bestimmte (z. B. die exspectative) Behandlungsweise 1 0 % beträgt, so ist für ein Individuum dieses Alters, welches von derselben Krankheit befallen w i r d , die Wahrscheinlichkeit des tödtlichen Ausganges v' = JTuQ u. = iJ »• 71 Ist für das Ereigniss A die Wahrscheinlichkeit w — , *) Oder nach unserer Ansicht so i s t : die subjective Probabilität richtet sich nach der objectiven Chance der E r e i g n i s s e ; die letztere ist uns aber oft unbekannt. 1*

4 und sind, wie in den bisher betrachteten Beispielen nur 2 einander ausschliessende Ereignisse A und B (B gleich Nicht-^i) möglich; so ist w v d i e e n t g e g e n g e s e t z t e W a h r s c h e i n l i c h k e i t von A, oder, was dasselbe bedeutet, die direkte Wahrscheinlichkeit von B, gleich 1—w. N Fälle sind möglich, «sind für A günstig; N—n bleiben für B übrig. h + n1 — N. 'i + nx _ N_ _ t N ~ N ~ ' j j + y = 1- Nun ist ~ = w, ^ =

= nY

folglich

w + wx = 1, oder = 1—w. Die Wahrscheinlichkeit des günstigen Ausganges der Lungenentzündung ist 1 tV = i V Sind bei N überhaupt vorkommenden Fällen 3 Ereignisse (Alt A2, A3), aber nur diese 3 möglich; von denen das erste A1 unter N Fällen nx mal, das zweite A2 unter N Fällen »2 mal, das dritte A3 unter N Fällen u3 mal vorkommt: so muss sein n \ + «2 + >h _ 1 A ' ~ n. n0 n„ , = Wl + W% + N + N~ + N = Die S u m m e der P r o b a b i l i t ä t e n a l l e r m ö g l i c h e n E r e i g n i s s e ist g l e i c h der Ge,wissheit = 1. Dieser Satz ist unabhängig von der Zahl der möglichen Ereignisse; denn man hat in gleicher Weise »i + n2 + >i3 + . . . nm _ N b »m _ 1 N N N JV _ Wenn die Lungenentzündung in 10% den tödtlichen Aus-

gang, in 10% chronisches Siechthum (unvollständige Heilung), in 80% vollständige Genesung liefert; so ist 1 0 +

-

1

^ -

8

°

= 1 = 0 , 1 0 + 0,10 + 0,80.

Die ganze Schwierigkeit der Probabilitätsrechnung, auch für die Wahrscheinlichkeit a priori, beruht in der Ermittelung der überhaupt möglichen und der einem Ereigniss günstigen Fälle. Diese Schwierigkeit ist mitunter so gross, dass selbst Mathematiker wie d ' A l e m b e r t sich bei s c h e i n b a r einfachen Aufgaben geirrt haben.

Zweites Kapitel. Bezeichnet N alle möglichen, n die einem Ereigniss A günstigen Fälle, so ist nur dann die Wahrscheinlichkeit des u Ereignisses w = , wenn die günstigen Fälle alle gleich möglich, resp. wahrscheinlich sind. Sind hingegen die einzelnen günstigen Fälle nicht gleich wahrscheinlich, so muss man, um die Wahrscheinlichkeit für A zu finden, die Summe der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen günstigen Fälle nehmen. "Wirft man eine Münze auf, so kann entweder Kopf {K) oder Schrift (S) oben liegen. Wir suchen die Wahrscheinlichkeit in 2 Würfen wenigstens ein Mal Kopf zu treffen. In 2 Würfen sind überhaupt die folgenden 4 Fälle möglich: K K, KS, SK, SS. Die 3 ersten Fälle sind günstig für das Ereigniss, dessen Wahrscheinlichkeit wir suchen; die letztere ist also = f . Man könnte auch anders räsonniren: „Nur 3 Fälle sind möglich: 1) Z b e i m ersten Wurf, dann ist das Spiel aus; 2) S beim ersten Wurf, K beim zweiten; 3) S in beiden Würfen. Hieraus würde die gesuchte Wahrscheinlichkeit sich = J ergeben, wenn man mit d ' A l e m b e r t diese 3 Fälle als gleich möglich betrachtete. Aber die Wahrscheinlichkeit, K beim ersten Wurf herbeizu-

6 führen, ist = Dieser einfache Fall entspricht den b e i d e n zusammengesetzten KK und KS (von denen jeder die Wahrscheinlichkeit | besitzt), und hat also w = wie auch von vornherein einleuchtend ist. Die Wahrscheinlichkeit, K beim zweiten Wurf herbeizuführen, ist = Folglich ist die Wahrscheinlichkeit, K überhaupt 1 Mal bei 2 Würfen herbeizuführen, gleich 1 + 1 = genau wie bei der ersten Betrachtungsweise. Drittes Kapitel. Von der bisher betrachteten a b s o l u t e n Wahrscheinlichkeit muss man die r e l a t i v e W. unterscheiden: 2 Personen, A und B, spielen mit 2 Würfeln unter der Bedingung, dass A gewinnt, wenn 4 Augen, Ii gewinnt, wenn 7 Augen geworfen werden. Aus der Tabelle im ersten Kapitel folgt, dass 4 auf 3 verschiedene Arten geworfen werden kann, nämlich 1,3; 2,2; 3,1; dass hingegen 7 auf 6 verschiedene Alten geworfen werden kann, nämlich 1,6; 2,5; 3,4; 4,3; 5,2; 6,1. Da alle übrigen Würfe unberücksichtigt bleiben, so ist die Zahl der in Betracht kommenden Fälle - 9; von diesen sind 3 f ü r A, 6 für B günstig. Die relative Wahrscheinlichkeit des Gewinnes ist also für den ersten Spieler = für den zweiten = Die beiden relativen Wahrscheinlichkeiten verhalten sich zu einander wie 1 ; 2. Dasselbe Resultat erhält man auch, wenn man die absolute Wahrscheinlichkeiten der Würfe 4 und 7 mit ihrer Summe vergleicht 3 36 _ 3 _3 6 = 9' 36 + 36 6 36 _ 6 3 jf 9. 36 + 36 Sei allgemein JV die Anzahl aller Fälle, n die für A günstigen, n" die für B günstigen (so dass n + n" < i V ) ; so ist die relative Wahrscheinlichkeit für A W\ = - , n—„; und die relative W. für B

n+n 71 ' Wo = — - Natürlich ist die absolute W. für A n+n r

7 «•' =

und die absolute W. f ü r B

u"

„ A u n ist

= -y.

^ ir

1

_

»'

~ n + n =

__»'

_

(«' • yj

«•' _

~ (»': .V) + (»"":'2V) ~ w + ie" '

(" • y)

_

_

n^

ri + M" — (ri : X ) + («" : y ) — %c + ic"' Die relative Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses wird e r h a l t e n , wenn m a n seine absolute Wahrscheinlichkeit durch die S u m m e der absoluten Wahrscheinlichkeiten der in B e t r a c h t gezogenen Ereignisse dividirt.

Mit der relativen Wahrscheinlichkeit zweier oder mehrerer Ereignisse ist gleichbedeutend d a s Y e r h ä l t n i s s , in dem 2 o d e r m e h r e r e ab s o l u t e W a h r s c h e i n l i c h k e i t e n zu e i n e r s t e h e n . In der Medizin kann man öfters die absolute Wahrscheinlichkeit einer Erkrankung für die einzelnen Lebensalter (z. B. die einzelnen Dekaden vom 1. bis 10., 10. bis 20. Jahr, u. s. f.) nicht ermitteln, wohl aber das Verhältniss, in dem diese absoluten Wahrscheinlichkeiten zu einander stehen, und das ist vorläufig wichtig genug, da man aus den Verhältnisszahlen, ebenso wie aus den absoluten Grössen, das Zu- oder Abnehmen der Erkrankung während der einzelnen Lebensdekaden sehr genau zu beurtheilen vermag. F a b i n i (Graefe und AValther's Journal für Chirurgie und Augenheilkunde, XIV, 545, Berlin 1820) fand unter 500 Staarpatienten vom 1. bis 10. L e b e n s j a h r 14 F a l l e ; d. i. 2 , 8 % = 0,028 x*) = Pi • x „ 10. „ 20. 16 3,2 % = 0,032 x = p2 . X >> „ 20. „ 30. 18 = p3.x 3 , 6 % = 0,036 x 5) „ 30. „ 40. = Pi. X 18 3,6 % = 0,036 x >) 51 >, -»0. „ 50. >> fi 10,2% = 0,102 x = Pf,. X „ ÖC. „ 60. 102 20,4 % = 0,204 x = Pf, • X = p7.x 172 34,4 % = 0,344 x „ 60. „ 70. >>

„

„

„

71. und darüber

109

»

21,8%.

*) W i r setzen die u n b e k a n n t e Zahl alle r S t a a r p a t i e n t e n seines örtliehen und zeitlichen Beobachtungsbereiches (oder auch des ganzen Landes) gleich x und setzen ferner 0,028 => pj u. s. f.

8 Bezeichnen wir die Wahrscheinlichkeit der Cataractbildung für die erste Lebensdekade mit W v für die zweite mit für die dritte mit W3 u, s. f.: so verhält sich, wie leicht ersichtlich, keineswegs H\ : W\ : IV3... = : p3: p3 Um das Verhältniss }f/\ : W Z \ W 3 zu ermitteln, muss man wissen, wie sich die einzelnen Dekaden auf die Gesammtbevölkerung vertheilen. Nach der Volkszählung im Königreich Preussen vom Jahre 1867 entfallen (die Gesammtbevölk. = X gesetzt.) auf das 1. bis 10. Lebensjahr 24,9%; d i. 0,249 X= Px.X 0,199 X=Pt.X 19,9%; ti ft 10. „ 20. 0,164 X= P 3 . X 16,4%; tl yy 20. „ 30. 13,0%; 0,130 X= P 4 . X yy yy 30. „ 40. 0,111 X=P5.X 40. „ 50. n,i%; 0,075 X = P 6 . X 1,5%; yy » 50. „ 60. 0,047 X= P7.X 4,7%; »» yy 60. „ 70. 0,018 X = PH. X yy >» 70. „ 80. 1,8%; 0,003 X = P9 . X 0,3 % ; yy yy 80. „ 90. 0,0002 A" = Plu.X 0,02%; »» yy 90. „ 100. Nunmehr sieht man sofort, dass

„ ,,

II

1

II

2

-

_

°'028^ . _ 0,028. (\032 />, _ 0,249 X: 0,199 A " _ 0,249 : 0,199 ~ P , : P2'

Die Unbekannten x und X heben sich fort. Man hat einfach : / / 2 : / / 3 : / / 5 : / / ' \W. = Pi . n . h. • t* • Ii . h. • P\ ' P2 ' P3 • P 4 • P 6 • Pe • P 7 = 0,11:0,16:0,22:0,27:0,92:2,7: 7,3 = 1:1,5 : 2 :2,5 :8,3 -.24,5:66,3. W j : / / 2 : / / 3 . . . wächst ausserordentlich viel rascher als p{-,p2-'(>-i • • • IV3 ist

2 Mal so gross als lf \ , ••

M

««

1«

«

•

Stellen wir das gewonnene Resultat graphisch dar-, so bedeutet das Rechteck Ol ba die Wahrscheinlichkeit der Cataractbildung: für die erste Dekade.

das Rechteck 12 de die Wahrscheinlichkeit für die 2. Dekade, 23fe 34 hg 45 ki 56 ml 67 on

3. 4. 5. 6. 7.

y

Es lässt sich doch nicht in Abrede stellen, dass die Betrachtung dieser Zeichnung eine ausserordentlich viel klarere Anschauung von dem Sachverhältniss giebt, als die gewöhnliche Phrase der Compendien, dass Cataract vorwiegend eine Krankheit des reiferen Alters sei. Man unterscheidet ferner zwischen der e i n f a c h e n W a h r s c h e i n l i c h k e i t e i n e s Ereignisses und zwischen der z u s a m m e n g e s e t z t e n Wahrscheinlichkeit mehrerer Ereignisse. A) Die Probabilität, dass unter mehreren Ereignissen irgend eines eintrete, ist gleich der Summe der Probabilitäten der in Betracht gezogenen Ereignisse.

10 Sei N die Anzahl aller Fälle, n + n" + n" = n die Anzahl der günstigen Fälle beziehentlich für das Ereigniss Ai, A2, A 3 . . . ., so ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit, da jeder der n Fälle günstig ist, w

n _ n ~ ~N ~N

+

n ~N

n' ' W '•'

+

Wenn 2 Personen P und Q mit 2 Würfeln spielen, unter der Bedingung, dass P bei dem Wurf 4 oder 7 gewinnt, Q aber bei allen übrigen Würfen, so ist die Wahrscheinlichkeit des Gewinnes für P

=

Ä 36

+

_6_ 36

=

1

36

B) Wenn z w e i E r e i g n i s s e von e i n a n d e r unabh ä n g i g s i n d , so i s t die W a h r s c h e i n l i c h k e i t ihres Zus a m m e n t r e f f e n s das P r o d u c t der W a h r s c h e i n l i c h k e i t e n für die b e i d e n e i n z e l n e n E r e i g n i s s e . Für das Ereigniss A sei N' die Anzahl aller möglichen, n' n' die aller günstigen Fälle, also w' =

und für das Er-

eigniss B sei w" = n" Jeder der N' Fälle kann mit jedem der N" Fälle zusammentreffen; mithin ist für die vorliegende Aufgabe die Zahl aller möglichen Fälle = N'.N". Unter allen diesen N'. N" Fällen kann jeder der n' für A günstigen Fälle mit jedem der n" für B günstigen Fälle zusammentreffen. Die Anzahl der dem Zusammentreffen von A und B günstigen Fälle ist n'. n". Folglich ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit (für die Concurrenz von A mit B) w = Wenn 2 Personen P und Q gleichzeitig jede 2 Würfel anfwirft, wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass die eine 8, die andere 9 Augen treffe? _ 5 4 _ 5 W 36 A 36 324"

Haben wir ausser A und B noch ein drittes Ereigniss C n'" mit der einfachen Wahrscheinlichkeit w'" = so kann man

11 das Zusammentreffen von A und B als ein einzelnes Ereigniss betrachten, dessen Wahrscheinlichkeit w bereits bekannt ist; w = (w' . w").

Die "Wahrscheinlichkeit IF, dass noch C mit (./, B) zusammentrifft, ist nach dem vorhergehenden, W = = «/. w". ic'" u. s. f.

w"). w'"

Ist fiir ein Ereigniss A die Wahrschein-

lichkeit !F. = y , so ist die Wahrscheinlichkeit, dass dasselbe 2 Mal nacheinander (resp. unter Umständen nebeneinander) aufl (

trete,

( )l 4 ~

)^

=

ander auftrete, //'", =

~ (jyj >

^ass

es

^ Mal hinterein-

(' ^.j . y = ( ^ J , dass es endlich x Mal

hintereinander auftrete, // Die Wahrscheinlichkeit, mit einem Würfel 6 zu werfen, ist = Die Wahrscheinlichkeit, den Wurf 6,6 mit 2 Würfeln herbeizuführen, gleichgültig, ob man die beiden Würfel gleichzeitig oder nacheinander aufwirft, ist = (J)2 = Die Wahrscheinlichkeit, mit 2 Würfeln zwei Mal nach einander 6,6 zu werfen, ist = (:tV)2 = r s W Da die Potenzen eines echten Bruches mit wachsendem Exponenten stetig abnehmen, so kann die öftere Aufeinanderfolge eines an sich sehr wahrscheinlichen Ereignisses höchst unwahrscheinlich werden. Sei es festgestellt, dass ein guter Operateur bei der linearen Extraction des gewöhnlichen grauen Staares 97 % Heilungen und 3 % Verluste erlebe, so ist die Wahrscheinlichkeit der Heilung für jeden einzelnen Fall = - j ^ , also der Gewissheit sehr nahe. Die Wahrscheinlichkeit, in einer Centurie von Operationen nur Heilungen zu haben, ist

12 » = (roV) 100 = 0,971»° logar. comm. 0,97 = 0,9868 - 1 X 100 log. w = 98,68 - 100 = 0,68 - 2 w = 0,0479 = ^ Unter 1000 Centimen von Operationen wird dieses günstige Ereigniss 48 Mal vorkommen. Hiernach kann man auch beurtheilen, ob zwei pathologische Zustände A und B einen ätiologischen Zusammenhang haben oder nicht. ii Ist die absolute Wahrscheinlichkeit von A — —, die von B m P = y , so hat man für die Concurrenz von A und B, wenn beide von einander unabhängig sind, die Chance c =

~ .

Die

b e o b a c h t e t e Zahl der relativen Häufigkeit der Concurrena von A und B sei C. Ist c annähernd gleich C, so besteht hiernach kein Grund zu der Annahme, dass A und B eine gemeinschaftliche Ursache haben, resp. dass A das Auftreten von B, oder B das Auftreten von A nach sich zieht. Ist C bedeutend grösser als c — beide stellen echte Brüche dar —, so kann man einen ätiologischen Zusammenhang zwischen A und B annehmen. Ist endlich C bedeutend kleiner als c, so wäre es nicht ungereimt, anzunehmen, dass A und B einander theilweise ausschliessen. Natürlich müssen die Chancen für A und 11

B (resp. ^ und

Vi

welche die Basis der Rechnung abgeben,

aus hinlänglich ausgedehnten Beobachtungsreihen ermittelt sein. Auf Grund derartiger Erwägungen hat B u c h a n a n neuerdings den ätiologischen Zusammenhang der gewöhnlichen epidemischen Krankheiten untersucht. Sehr wichtig für unsere Zwecke ist die Betrachtung der zusammengesetzten Wahrscheinlichkeit bei wiederholten Ver-

13 suchen. Nehmen wir zunächst*) den einfachsten Fall, wo 2 Ereignisse / und B einander entgegengesetzt und ihre respectiven Wahrscheinlichkeiten einander gleich, also jede = ^ ist, wie es z. B. der Fall ist, wenn aus einer Urne, worin eine grosse Anzahl schwarzer und eine ebenso grosse weisser Kugeln vorhanden ist, immer eine Kugel gezogen und nach Feststellung ihrer Farbe wieder hineingeworfen wird, damit die Gesammtzahl der Kugeln für jede Ziehung dieselbe sei. Bei der ersten Ziehung ist es ebenso wahrscheinlich, dass eine schwarze, wie dass eine weisse Kugel kommt. Die beiden möglichen Fälle sind, wenn S eine schwarze, W eine weisse Kugel bedeutet, S, W. Bei 2 Ziehungen sind die möglichen Fälle SS, SW, WS, 7FW. Die Wahrscheinlichkeit einer jeden dieser 4 C'ombinationen ist also = f. Bleibt die Reihenfolge, in der die weissen und schwarzen Kugeln auftreten können, unbeachtet, so fallen die beiden mittleren Combinationen S W und WS in eine zusammen, deren Wahrscheinlichkeit = 2 . | = | ist, während die Wahrscheinlichkeit für SS und für W W jede = j bleibt. Betrachtet man 3 Ziehungen, so erhält man nach der Lehre von den Combinationen die möglichen Fälle, indem man zu jedem Glied der 2. Klasse (SS, SW, WS, WW) noch ein S oder ein W hinzufügt. Die möglichen Fälle bei 3 Ziehungen sind also SSS, SSW; SWS, swwWSS, WSW-, wws, www. Die Anzahl der mögliehen Fälle verdoppelt sich also (von 4 auf 8); die Wahrscheinlichkeit jedes einzelnen Falles wird halb so gross, als sie früher war, nämlich = Nimmt man wieder keine Rücksicht auf die Reihenfolge, so werden aus den 8 Fällen 4, nämlich SSS, SSW, SWW, WWW. Jeder der beiden mittleren dieser 4 Fälle ist aus 3 Fällen zusammen*) Nach Ha fr eri.

14 gesetzt: SSW aus SSW, SWS und WSS- SWII aus SWW, WSW und WWS. (Es ist auch einleuchtend, dass man aus SSW durch Stellungsänderung von S und W nur 3 Unterfälle bilden kann.) Die Wahrscheinlichkeiten für die bei 3 Ziehungen möglichen 4 Fälle sind a) für SSS und WWW je j , h) für SSW und SWW j e 3 . = f. Das Gesetz, wonach die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Verbindungen von S und W bei wiederholten Ziehungen gebildet werden, ist einfach und entspricht den entwickelten Potenzen des JBinomium (S + W). Bei der ersten Ziehung sind 2 gleich wahrscheinliche Fälle möglich (S und //'"); bei jeder folgenden Ziehung verdoppelt sich die Anzahl der Fälle, indem zu jedem der beiden ersten Fälle noch j e ein S oder W hinzugefügt werden kann. Folglich giebt es bei V Ziehungen 2 V einzelne Fälle, die alle gleich wahrscheinlich sind; die Wahrscheinlichkeit eines jeden von ihnen ist also =

. Von diesen Fällen (Combinationen

von S und W) sind indess immer einige nur durch die Stelle des S und II verschieden und vereinigen sich zu einer Gruppe, wenn man die Reihenfolge nicht berücksichtigt. Genau dasselbe geschieht, wenn das Binomium (S + W) zu irgend einer ganzen Potenz erhoben wird, wobei auch die Stellung der Faktoren — ob SSW oder SWS, da beides mit S2W bezeichnet wird — ohne Einfluss ist, und somit dieselben Glieder mehrfach vorkommen resp. mit den bekannten Binomialcoefficienten behaftet sind. Indem bei jeder neuen Ziehung zu jeder möglichen Combination der vorigen Ziehung noch ein S und ein W hinzukommt, verändern sich die Combinationen genau in derselben Art, wie die Glieder eines Binomium, sobald der Exponent um 1 wächst. Hiernach ist bei V Ziehungen die Anzahl der wirklich (d. h. in Beziehung auf die Zahl der einzelnen S und W) verschiedenen Combinationen — ohne Rücksicht auf die Reihen-

15 _ folge der einzelnen S und W — gleich V + 1 ; und die Zähler Z) der Ausdrücke für die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Combinationen sind Z0 — \ für V schwarze, 0 weisse Kugel, Zj = Y für (V — 1) schwarze, 1 weisse Kugeln, V (V — 1) Zï = —V —- für (V — 2) schwarze, 2 weisse Kugeln, 1 . u V (V — 1WV — 2) Z3 = -¿--r. - für (V—3) schwarze, 3 weisse Kugeln. 1 . ¿i . ö Der Nenner einer jeden dieser Wahrscheinlichkeiten ist 2 V . Dieser wichtige Satz behält aber auch seine Gültigkeit, wenn die Ereignisse A und B verschiedene Chancen besitzen. Sei*) die Wahrscheinlichkeit von A w, = — m

scheinlichkeit von B w,, =

"

+

m

H

77t +

n

, die Wahr-

, so dass w, + w„ = 1. Bei

e i n e r Ziehung sind 2 Fälle möglich — A und B — mit den respectiven Wahrscheinlichkeiten — - - - - - und — - — .

+

m

n

+

M

Bei zwei

»

Ziehungen sind 4 Fälle möglich —

//,//; A , B ;

B , A\

B , B .

—

Ihre Wahrscheinlichkeiten sind nach dem oben- (p. 10) entwickelten Satz B) m . m {vi

+

ri) (m

m . m +

»)'

(»»

(m

+

-f

n)

{m

n.

n

n)

(m

+

«)'

+

n) '

{m

+

n.

m

n)

[m

+

>0'

Zieht man A, B und B,A in einen Fall zusammen, so werden für die 3 Combinationen A A ; A,B; B, B die Wahrscheinlichkeiten resp. m.2 2 mn n2 (m

•

h)2''

{m

-r

n)2''

{m

n)2'

*) Nach L a c r o i x , Traité élémentaire du calcul des probabilités IV. Ed. Paris 1864.

16 Die Zähler der einzelnen Wahrscheinlichkeiten sind die Glieder der Entwicklung von (m + n)2; der Nenner ist allen gemeinschaftlich = (m + n)2; die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Fälle ist natürlich = 1. m2 + 2 mn + n2 (>» +

n)2

Für 3 Ziehungen sind die möglichen Fälle AAA-,

AAB-,

ABA\

ABB;

BAB-,

BBA-,

BAA; BBB.

Ihre respectiven Wahrscheinlichkeiten sind m3 (m

+

mmn n)3'

mnn

+

(m

mnm

3

(m + »)

n)3'

nmn

'

nmm (m

nnm

+

n)3'

nnn

3 (m + nf (m + ») ' (m + n)3' {m + n)3' Abstrahirt man von der Reihenfolge der A und B, so bleiben von den 8 Fällen 4:

AAB-,

ABB-,

mit den Wahrscheinlichkeiten m3 3 m2 n

AAA-,

3

(m +

nf'

(m +

n)v

BBB mn2

(m +

m) 3 '

n3 (m

Zu analogen Resultaten gelangt man für eine beliebige Anzahl von Ziehungen. Die Entwicklung von (m + n)P, nämlich mP -f p . m'> — 1 . n + p ——^ 1 . £

.... +

mP —2 . n2

iip

giebt die Zähler für die Wahrscheinlichkeit der Combinationen p X A-, (p - 1) X A, 1 X B-, (p - 2) X A, 2 X B; ; p

x

B.

Der Nenner einer jeden dieser Wahrscheinlichkeiten ist (m + u)p. Die Summe aller dieser Wahrscheinlichkeiten ist (in_+n)P (m +

n)P

=

17 Man kann die entwickelte Summe der einzelnen Wahrscheinlichkeiten folgendennassen schreiben: mP m'*-* (m + »), + P - (» +

*

+

(» - 1) m>'- 1 1 . 2 * („ + n y

*

'-

n

+

oder (da im Nenner des 2. Gliedes (»8 + n)p = (»» + »)i> -

(m + «);

im Nenner des

3. Gliedes p

m

(»i + «)-" -- (m + il)>'~ -. (»» + »)2 XI. S. f.): mP ~ 1 n {p — 1) mP — -

+ n)P ' +P

(w + «)>>-

(«7+"») ' 1 . 2 . . . . + nP\ + 1

' (»i +

n"-

— ' (»»"+») 2

also, indem man immer die Factoren mit gleichen Exponenten im Zähler und Nenner vereinigt und für [—-'"seinenWerth \m + ni

w, xxnd für I I seinen Werth w„ setzt: \m ++ n) nl w,p + p. w,p - >. «-„ + p.

™,p-2. u'„2

+ w„> - 1.

Jedes Glied dieser Entwickelung giebt die Wahrscheinlichkeit, in p Ziehungen dasjenige aus A und B zusammengesetzte Ereigniss zu erhalten, in welchem A so oft wiederholt vorkommt, als es der Exponent von w, angiebt; ß aber so oft vorkommt, als es der Exponent von w„ angiebt. Das vorderste (nullte) Glied giebt die Wahrscheinlichkeit, dass in p Ziehungen A p mal, B null mal vorkommt; das folgende (erste) Glied giebt die Wahrscheinlichkeit, dass in p Ziehungen A (p — 1) mal, B 1 mal vorkommt u. s. f . — Wenn 2 Ereignisse A und B von einander a b h ä n g i g sind, so findet man die Wahrscheinlichkeit des Zusammentreffens von A und B, indem man die Wahrscheinlichkeit des Eintreffens von A multiplicirt mit der Wahrscheinlichkeit, das?, wenn A eingetreten ist, B eintreten werde. H i r s c h b e r g , Statistik.

2

18 Sind 3 Urnen vorhanden, A, B und 6', von denen man nur das weiss, dass 2 lediglich weisse, eine aber lediglich schwarze Kugeln enthält, während man noch nicht weiss, welche der Urnen die schwarzen Kugeln beherbergt, so ist die Wahrscheinlichkeit, aus der Urne C weisse Kugeln zu ziehen, = -f, da von den 3 vorhandenen Urnen 2 weisse Kugeln enthalten. Hat man nun wirklich weisse Kugeln aus C gezogen, so ist die Wahrscheinlichkeit, aus B weisse Kugeln zu ziehen, = da von den beiden Urnen A und B nur noch die eine weisse Kugeln führen kann. Also ist von vornherein die Wahrscheinlichkeit, sowohl aus C als auch aus B weisse Kugeln zu ziehen, gleich . ^ = Natürlich, dieses zusammengesetzte Ereigniss ist identisch mit dem Fall, dass gerade A schwarze Kugeln enthält, und die Wahrscheinlichkeit dieses Falles ist von vornherein = da von den 3 Urnen eine schwarze Kugeln enthält. Man erkennt hieraus so recht die s u b j e c t i v e N a t u r des W a h r s c h e i n l i c h k e i t s b e g r i f f e s . Die Probabilität wechselt je nach dem augenblicklichen Zustande unseres Wissens. Die Wahrscheinlichkeit, eine weisse Kugel aus B zu ziehen, ist von vornherein = f ( ; sie fällt auf nachdem man aus C eine weisse Kugel gezogen-, sie würde auf 1 aufsteigen, d. h. in Gewissheit übergehen, wenn man aus C eine schwarze Kugel gezogen hätte. Berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines bereits eingetretenen Ereignisses A und die Wahrscheinlichkeit eines zusammengesetzten Ereignisses (/l, B), das von A und einem noch in Aussicht stehenden Zufall B abhängt: so ist die Wahrscheinlichkeit dieses Zufalls B gleich der Wahrscheinlichkeit des zusammengesetzten Ereignisses (A,B), dividirt durch die Wahrscheinlichkeit des ersten Ereignisses A. w' sei die Wahrscheinlichkeit von A, w " tt )t ii ii {-A, B), M „ „ gesuchte Wahrsch. „ B,

19 so ist nach pag. 10 v:" = II . /r2 = II. Es sind 2 weisse Kugeln und 2 schwarze vorhanden: zo1 = f ; w2 = j . III. Es ist 1 weisse Kugel und 3 schwarze vorhanden:

»i = b »» = 1Die Wahrscheinlichkeit des beobachteten zusammengesetzten Ereignisses, dass in 4 Ziehungen 3 weisse und 1 schwarze Kugel aus der Urne gezogen worden, wird erhalten, wenn man aus der Entwickelung des Binomium (wx + w2)* dasjenige Glied nimmt, welches ivx in der 3., ws in der 1. Potenz enthält, nämlich: 4 u\ 3 . u-2. Dieses Glied hat nach der ersten Hypothese den Werth // / — 4 . (|) 3 . J = f f ; nach der 2. „ „ „ W n = 4 . (f ) 3 . | = „ „3. „ „ „ IKm= 4.(|)». f = Nun sind selbstverständlich die Wahrscheinlichkeiten der Ur*) Nach L a c r o i x . Nur so ist das Beispiel dem Talle adäquat, welchen man in der medicinischen Statistik regelmässig zu behandeln hat. Da die Zahl der Fälle einer Krankheit, z. B . der Lungenentzündung, unendlich gross ist, so wird die Gesammtzahl nicht geändert, wenn man eine beschränkte Beobachtungsreihe herausgreift.

21 sacken oder Hypothesen proportional den Wahrscheinlichkeiten, mit welchen die Ursachen das beobachtete Ereigniss herbeiführen würden; denn je leichter eine Ursache das beobachtete Ereigniss bewirken kann, um so wahrscheinlicher ist sie. In unserem Falle verhalten sich also die Wahrscheinlichkeiten der drei Ursachen C\ : C2 : C3 wie //",: //"„: //",„ = f f :

: ¿1 11 11 2.-J- „ ,, ,, // , V'2 Ii il ii 11 ii ii ij W3 ii ii 11 ii ,, ,, ,, // 4 W^'t

und hat zu vergleichen, ob u\ . 1 + k-2 • 2 + K> 3 .3.... g . 1 + / / 2 . 2 + . 3... Gewiss würde dann öfter an die Stelle von vorgefasster Meinung oder Vorliebe für ein Verfahren ein bewusstes Handeln aus Gründen treten. Da aber bei dem jetzigen Standpunkte der Therapie dies pia desideria sind, wollen wir dieses ideale Gebiet verlassen. Das ist aber sicher, dass der Werth einer Staarextractionsmethode sich leicht nach dem Begriff der mathematischen Hoffnung eruiren lässt. Der Werth einer Staarextractionsmethode ist um so grösser: 1) je kleiner der Procentsatz der totalen Verluste; 2) je grösser die mathematische Hoffnung auf Gewinn an Sehkraft. Der procentarische Verlust kann für die verschiedenen heute noch in Betracht kommenden Methoden a) die klassische Lappenextractionsmethode (Daviel) b) die moderne Linearextractionsmethode (v. Graefe) c) die Extractionsmethode mit kleinem Lappen (Liebreich, Warlomont etc.). durch grosse Beobachtungsreihen guter Operateure, die sich über 1000 Fälle mindestens erstrecken, ermittelt und der Geltungsbereich (die Fehlergrenzen) der ermittelten Zahlen nach Anleitung des folgenden Abschnittes festgestellt werden (s. unten). Wenn man nun, wie üblich, die Sehkraft des normalen Auges S„ = 1 setzt, die des staarblinden Auges Sc =

¿r; oo wenn man ferner feststellt, wie gross für jede Operationsmethode die Wahrscheinlichkeit

29 dass nach d.Operat. (resp. nach (1. Nachoperat.) S0 =

«>1, •ic2,

«1 = !

0 od. —- besteht,

OO

S; = =

«'s.

«4 = Ss = So =

f». «'10.

«'11. "'12.

s7 = s8 = s9 = «10 =

«11 =

«12

=

so ist die mathemat. Hoffnung eines der Extraction zu unterwerfenden Auges W = wj -S'j + w%. S2 + w3 S3 + ... = 2w-S. Diese Zalilenwerthe sind durchaus vergleichbar für die verschiedenen Methoden, lieber eine Skala, nach der man S ansteigen lässt, könnte man sich leicht einigen. Ich lege auf das obige Beispiel einer solchen, das sich den üblichen Statistiken einigermassen anschliesst, keinen besonderen Werth ; man könnte S von 0 bis 1 in irgend einer geometrischen oder arithmetischen Progression zunehmen lassen. Nur um dem mit der ophthalmologischen Literatur weniger vertrauten Leser zu beweisen, dass wir auf diesem Gebiet dem erstrebten Ziel schon etwas näher gekommen sind, will ich aus dem soeben von Dr. Masseion veröffentlichten Bericht der Wecker'schen Augenklinik zu Paris f. d. Jahr 1873 Folgendes entnehmen: Les opérés de cat. simple (250) relativement à la vision, qu'ils ont recouvrée par l'opération, se classent comme il suit: chez 25 „ 75 33 5 = a 57 17 5 ¿' = 4Î8* .-l).y>

1.2.3

••—

{p-\)p

X 1.2.3...

-p-2)..

.2 A (q-p)

, da das übrige sich forthebt, also

S= qp, (vgl. den Eingang dieses Kapitels).

40 Um die Anzahl der für Jf günstigen Fälle zu finden, müssen wir S mit R multipliciren und finden schliesslich den Zähler des Bruches 7F Z=qpxpl.{pi

- 1) • • • (lh - p + 1) X (ft - pj

Folglich ist //

=

lr

- 1) .

-

• (ft - 1) (?, - 2) • • • ( ?1 - ? + 1).

'

Nach der Annahme ist q1 unendlich gross gegen q, Pi also auch [ql -px)

« „

„

„

P, q - j».

Gegen die unendlich grossen Zahlen verschwinden die endlichen in den einzelnen eingeklammerten Factoren; es wird W=q

X (g, - lh) • (q, - j>,) •••({!I,). ?1 • il • $1 • • • il Man sieht aber leicht, dass der Factor ^ im Zähler p mal vorhanden ist, (ql — p^) hingegen (q — p) mal, und der Factor ql im Nenner q mal. Daher ist x

l'i -l^-'-Pi

II'-

„

v

'

~

Pl)Q

Es ist aber identisch qx* = q^i—p+p =

~V - p . V - 2 Die verlangte Wahrscheinlichkeit ist i r = irj 4 + 4 . /r2 + 6 K-!2 « V = 1 , 1.5 . K 25 171 6 x = 1296 =iP-P64 + 4 x f i - +

Hieran schliesst sich, die Statistik als Hilfsmittel der Forschung überhaupt ermöglichend, das bemerkenswerthe G e s e t z d e r g r o s s e n Z a h l e n , auf dessen Beweis der berühmte Mathem a t i k e r J a c o b B e r n o u i l l i * * ) ein 20jähriges Nachdenken verwendet hat. *) Nach L a c r o i x . **) J. Bernouilli Ara conjectandi Basil. 1713 p. 227. Hoc igitur est illud problema, quod evulgandunj hoc loco proposui, postquam jam per vicennium pressi, et cujus tum uovitas tum summa utilitas cum pari conjuncta difficultate omnibus reliquis hujus doctrinae capitibus pondus et pretiuin superaddere poteut.

42 Dieses Gesetz ist keineswegs so selbstverständlich, wie mancher bei oberflächlicher Betrachtung glauben möchte. Dass man durch Häufung der Beobachtungen die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses a posteriori sicherer erfährt, als bei wenigen Versuchen, weiss Jeder. Was aber nicht ohne weiteres klar wird, ist die Frage, ob mit der Häufung der Versuche die Wahrscheinlichkeit, den wahren Werth der Möglichkeit des Ereignisses zu erreichen, continuirlich wächst, also der Gewissheit beliebig angenähert werden kann, oder ob man über einen g e w i s s e n Grad der Wahrscheinlichkeit nicht hinaus kommt, — eine Unterscheidung, die selbst von den neueren Autoren manchen entgangen zu sein scheint. „Et stupidissimus quisque nescio quo naturae instinctu — per se compertum habet, quo plures captae fuerint observationes, eo minus a scopo aberrandi periculum fore. Quamquam autem hoc naturaliter omnibus notum est, demonstratio, qua id ex artis principiis evincitur, minime vulgaris est et proin nobis hic loci tradenda incumbit: ubi tarnen parum me praestiturum existimarem, si in hoc uno, quod nemo ignorat, denunciando subsisterem. Ulterius aliquid hic contemplandum superest, quod nemini fortasse vel cogitando adhucdum incidit. Inquirendum nimirum restat, an aucto sie observationum numero ita continuo augeatur probabilitas assequendae genuinae rationis inter numeros casuum, quibus eventus aliquis contingere et quibus non contingere potest, ut probabilitas haec tandem datum quemvis certitudinis gradum superet: an vero Problema, ut sie dicam, suam habeat Asymptoton, h. e. an detur quidam certitudinis gradus, quem nunquam excedere liceat, utcunque multiplicentur observationes." ( B e r n o u i l l i , 1. c.) Der Beweis des B e r n o u i l l i ' s c h e n Gesetzes beruht ganz und gar auf den Eigenschaften des Binomium K + Dasjenige Glied desselben, welches den grössten absoluten Werth hat, liefert, für q Versuche, diejenige Combination von A und

43 B , welche au sich die wahrscheinlichste ist. .zunächst den einfachsten Fall, wo tcl = ic2 = 1) («:, + «•,)* = f , 2 + 2 ir, «., + 2) («.j + w 2 f = >2+6 4

Betrachtet man 1, so ist

w,* + ip8®, + 4 w23 + w 2 \

2

) ('''i + ?«3)6 = "'i 5 + 5 "'i 4 ' 4 + 1 0 /'-!3 ? 4 2 + 1 0 + f j 5 u. s. f.

2

w, 3 + 5

r34

In diesem Falle ist natürlich, wenn der Exponent q eine grade Zahl darstellt, das mittlere Glied der Entwickelung (die Anzahl der Glieder ist i m m e r = q + 1) das grösste. In 1) ist 2 Wj w2 = 2 . also grösser als das erste Glied und als das letzte Glied, von denen jedes = (-i)2 ist. I n 3) ist 6 v \ 2 w 2 2 — 6 (i) 2 • Co)2 = 6 . (-J)4, also grösser als das erste oder als das letzte Glied, von denen jedes = (4) 4 ; und ferner grösser als das 2. oder als das vorletzte Glied, von denen jedes = 4 . (-J) 3 . | = 4 . W e n n aber q eine ungrade Zahl, so ist von den beiden m i t t l e r e n , m i t gleichen Binomialcoefficienten behafteten Gliedern jedes grösser, als jedes andere Glied. Denn in 2) ist 3 iv12 w2 — 3 » , w 2 2 = 3 . (i) 3 , also grösser als das erste Glied oder als das letzte Glied, von denen jedes = (-£)3. In 5) ist 10 Wj 2 = 10 v \ 2 f 2 3 — 10 . also grösser als das erste oder als das letzte Glied, von denen jedes = (J) 6 ; ferner auch grösser als das 2. oder vorletzte Glied, von denen jedes = 5 (j) 5 . F ü r die höheren Potenzen gilt dasselbe. Bei n „ „

2 Ziehungen ist die wahrscheinlichste Combination J, B\ 4 „ „ „ „ „ 2 A, 2 B\ 3 „ sind die beiden wahrsch. Comb. 2 A,B\\. A,2 B-, 5 „ „ „ „ „ „ 3 , / , 2 B u. 2 A, 3 B . Man sieht, dass in den wahrscheinlichsten Combinationen die Zahl der A zu der Zahl der B sich entweder verhält wie w-j: ie2, d. h. gleich ist, oder doch sich diesem Verhältniss möglichst annähert. D i e a b s o l u t e G r ö s s e der Wahrscheinlichkeit des wahrscheinlichsten Falles n i m m t dabei m i t

44 w a c h s e n d e m q i m m e r m e h r a b , was sehr einleuchtend ist, da mit wachsendem q die Zahl aller möglichen Fälle immer mehr zunimmt. Es ist die absolute Grösse des W bei 2 Ziehungen für 1 mal A, 1 mal B = 2 k1 w2 = B = 6»12»,I= 6 . { . i = i 2 „ Ä,2 „ 4 2 „ AA I o I i = 3 = 3.|. j=I !• ~ 7' 7 6 Ziehungen eher 3 mal A 6 mal A, ist gleich = AOL- 3ä-

und

und

4

Wenn wx nicht gleich w% igt, so ist die relativ wahrscheinlichste Combination von A und B immer noch diejenige, in welcher die Zahl der A sich zu der Zahl der B verhält wie Wj : w v Sei u\ — f , w2 =

so dass wx : iv2 = 3 : 2 ; machen wir

45 q — 5, so ist das grösste Glied in der Entwickelung von (wt + f 2 ) 5 das folgende 10 k>2* = = i p. p. Das voraufgehende Glied ist nämlich 5 vh = < das folgende Glied ist 11 Uf) V„. 2 3 _ 72 0_ ^ 1 08 I) \ "2 — 3T2Ü »OäMachen wir q = 10, so ist das grösste Glied der Entwickelung ("'1 + k',) 10 das folgende 10.9^8.7 „ 2 1 0 . 3 B . 2* _ 2 4 4 9 4 4 0 _ „ 4 t _ W l l 2 1 . 2 73 . 4 " " 510 ~ 9 7 6 5 6 2 5 ~~ * 7 P ' P ' Das vorhergehende Glied ist 10.9.8 , 120 . 3 7 . 2 3 2099520 7 1 . 2 . 3 = 5 1 0 ~ " 9 7 6 5 6 2 5 = ** ™ Das folgende Glied ist „,„ , . 252 , 3 ' . 2 5 1959242 fi 210. * . „

=

—

510

=

9765625

Damit q in 2 ganze Zahlen getheilt werden könne, die sich verhalten wie w, : w9 =

—-— : •M = m : » , mache man m + 11 jn -f- 11 q = r (m + »), wo r eine ganze Zahl ist. In der Entwickelung + V \ Y ( m + d a s grösste Glied dasjenige, das den Factor » y " . v.™ enthält; diejenige Combination also bei r (m + n) Versuchen die wahrscheinlichste, die rm mal A und r« mal B enthält. In der Entwickelung von + w,)10, wenn v\ — f , verhält sich das grösste Glied zum vordersten wie 2449440 31° 9765625 : 9765625 = 2 4 4 9 4 4 0 : 59049 = 245 : 6 . (p. p.) In der Entwickelung von (?«, + w 2 f verhält sich das grösste Glied zum ersten wie : ii¥A = 1 0 : 2 (p- p-)J e mehr q = r (m + ») anwächst, desto grösser wird in der Entwickelung von (w^ + w,)» die Summe des grössten Glie-

46 des und der ihm unmittelbar benachbarten im Vergleich zu der Summe aller übrigen Glieder: desto grösser ist also die Wahrscheinlichkeit, dass in q Versuchen die Zahl der Ereignisse A zu der Zahl der Ereignisse B sich verhält wie v\: ic2 und dass hierbei ihr Yerhältniss eine gegebene Grenze nicht überschreite. Um dies genauer nachzuweisen, betrachten wir zunächst wieder den einfachsten Fall, dass wx = v:2 = \ und suchen die Wahrscheinlichkeit //", dass in q Versuchen A nicht häufiger als % . q mal und nicht seltener als f . q mal vorkomme. (3 - TV = i = I + TV) Setzen wir zunächst q = 5, (machen wir 5 Versuche), so ist die Wahrscheinlichkeit, dabei nicht mehr als f . 5 = 3 x A und nicht weniger als f . 5 = 2 x A zu erhalten, gleich demjenigen Theil aus der Entwickelung des Binoms (M,i + «'2)5' welcher u\ in der 2. und in der 3. Potenz erhält: W = 10 iv* . tr 2 2 + 10 w* . w * = 20 . = ff = Setzen wir q = 10, (machen wir 10 Versuche), so ist die Wahrscheinlichkeit, dabei nicht mehr als | . 10 = 6 x A und nicht weniger als 4 . 1 0 = 4 x A zu erhalten, gleich demjenigen Theil aus der Entwickelung des Binoms + ?'',)10, welcher n\ in der 6., 5. und 4. Potenz enthält. II = 210 JO^ wf + 252 w^ + 210 wx* w« ----_ß4 0 _ 5 . 6 72 \ 5 Tu TT — » ' T01T4" tf Setzt man q — 100 (macht man 100 Versuche), so ist die Wahrscheinlichkeit // , dabei nicht über f . 100 = 60 x A und nicht unter | . 100 = 40 x A zu erhalten, gleich demjenigen Theil in der Entwickelung des Binomium (»i + «'s)100, welches anfängt mit 100 4O . u \ 6 0 . «-240 und endigt mit 100 6 | ) .;V° • < " • * ) *) Wie 80 hohe ßinomialcoeff. bequem berechnet werden, 3. im Anhang.

47 Man findet II = -^¡y, eine Wahrscheinlichkeit, die der Gewissheit bereits sehr nahe kommt. N e n n t m a n d e n beo b a c h t e t e n "Werth der W a h r s c h e i n l i c h k e i t w'. so bes t e h t f ü r 100 V e r s u c h e s c h o n d i e W a h r s c h e i n l i c h k e i t //' = -jäj^, d a s s d i e b e o b a c h t e t e W a h r s c h e i n l i c h k e i t f ü r A, f ' n i c h t um m e h r a l s jL- i h r e s W e r t h e s v o n d e r wahren Wahrscheinlichkeit = J- a b w e i c h e n w e r d e : w ä h r e n d f ü r 10 V e r s u c h e II n u r = -j®,,^, f ü r 5 V e r s u c h e II -- -fÖgij igt. Steckt man die Grenzen enger, so ist für die gleiche Zahl von Versuchen II geringer. Die Wahrscheinlichkeit /F, dass in 100 Versuchen die beobachtete Chance von A, nämlich höchstens um + seines Werthes von der wahren Chance v\ abweiche, ist für 100 Versuche = T7ff3u> < IT,6»• Lässt man aber q noch weiter anwachsen, so wird auch für die engere Grenze ( + o1» die gesuchte Wahrscheinlichkeit II weiter wachsen und kann der Gewissheit beliebig angenähert werden. Dieser wichtige Satz ist nicht auf den Fall beschränkt, wo n\ = = sondern hat allgemeine Gültigkeit für jedes beliebige w v Sei die Wahrscheinlichkeit von A 1

m

+

n

=

->

also ?r9 = *

m +

n

°

Setzen wir zunächst wieder q = 5, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass in 5 Versuchen A nicht öfter als i . 5 mal und nicht seltener als f . 5 mal vorkomme.

=

;/" = 5 ?r2 + 10 ?* v>* 810 1080 720 2610 26 "5« + 55 + 55 = 3125 = 3 l P - P - =

0 -'-

Setzen wir ^ = 10, so ist die Wahrscheinlichkeit, in 1 0 Versuchen nicht über | . 10 = 8 mal und nicht unter * . 10 = 4 mal A zu finden,

48

_

W = 45 ? y . a>22 -f- 120 V » 2 3 + 210 w^ w24 + 252 + 210 w^ iv2e _ 1180980 ~ 9765625

+

2099520 '9765625

+

2449440 9765625

+

1959552 9765625 +

w*

1088640 9765615

= I (P- P-) = °< 88 '. 0,88 > 0,7 u. s. f. Der bisherige inductive Beweis des B e r n o u i l l i ' s c h e n Gesetzes mag für unsere Zwecke*) genügen. D i e s e s G e s e t z , w e l c h e s ( n a c h P r o f . A. F i c k ) zu d e n b e m e r k e n s w e r t h e n u n d a l l g e m e i n s t e n W a h r h e i t e n zu r e c h n e n i s t , d i e b i s j e t z t von d e m m e n s c h l i c h e n G e i s t m i t S i c h e r h e i t e r k a n n t s i n d , besagt, dass m a n d u r c h g e n ü g e n d oft w i e d e r h o l t e V e r s u c h e , wenn n u r zwei Ereignisse A und B m ö g l i c h sind, die w i r k l i c h e W a h r s c h e i n l i c h k e i t von A i n n e r h a l b g e w i s s e r G r e n z e n m i t einer der S i c h e r h e i t b e l i e b i g angenäherten W a h r s c h e i n l i c h k e i t a u f f i n d e n kann. Aus einer sehr grossen Reihe von Beobachtungen, worin A eintreten muss oder B, kann man einen. Schluss, aber nur einen Wahrscheinlichkeitsschluss!, auf die abstracte Wahrscheinlichkeit (relative Häufigkeit) von A machen, und h i e r a u f b e r u h t e i n w i c h t i g e r T h e i l der S t a t i s t i k . In der medizinischen Statistik ist die Zahl der Versuche öfters beschränkt, da das Beobachtungsmaterial eben nicht in beliebiger Ausdehnung zu beschaffen ist. D i e k l e i n e n Beo b a c h t u n g s r e i h e n s i n d k e i n e s w e g s w e r t h l o s ; man muss aber ihr Gewicht richtig beurtheilen, wenn nicht die Heilkunde von einer Hypothese zur andern schwanken soll. Man muss darauf dringen, dass, um als Richtschnur für unser praktisches Handeln zu dienen, als Ersatz für die m a t h e m a t i s c h e G e w i s s h e i t , die in der Medizin (wie auch z. B. *) Den allgemeinen (deductiven) Beweis s. bei B e r n e u i l l i p. 228 bis 238 und danach bei L a c r o i x p. 52 flg.

49 in der Jurisprudenz) oft genug nicht zu erzielen ist, ein sehr hoher Grad von Wahrscheinlichkeit gewählt werde, den B e r n o u i l l i als m o r a l i s c h e G e w i s s h e i t bezeichnet. Diejenige Wahrscheinlichkeit, die wir als genügend gelten lassen wollen, kann an sich willkürlich gewählt werden; einen gewissen historischen Wrerth hat die Zahl 0 , 9 9 5 3 d i e Voisson (in seiner Wahrscheinlichkeitsrechnung) eingeführt und G a v a r r e t (in seiner medizinischen Statistik) angewendet hat. Welcher Kaufmann würde nicht ein Geschäft unternehmen, für dessen Gelingen er 212 gegen 1 zu wetten berechtigt ist? Das ärztliche Handeln ist allerdings von anderen Motiven geleitet als die kaufmännische Spekulation. Wenn aber absolute Sicherheit nicht zu erreichen ist, wird man immerhin diesen hohen Grad von Wahrscheinlichkeit als Ersatz der Gewissheit gelten lassen müssen, ebenso wie Richter und Geschworene erfahrungsgemäss nicht anstehen, auf Grund einer solchen Prubabilität ihr Verdict abzugeben. Wollten wir nun versuchen, mit einer solchen Wahrscheinlichkeit von 0,9953 für eine kleine Reihe von z. B. 10 Beobachtungen die Grenzen anzugeben, innerhalb deren das Vorkommen von A schwanken kann; sei die abstracte Wahrscheinlichkeit von A, wl = -i, also u-2 = £ : so ist die Wahrscheinlichkeit, bei 10 Versuchen A nicht öfter als 8 und nicht seltener als 4 Mal zu erhalten, erst = 0,88. Die Wahrscheinlichkeit, bei 10 Versuchen A nicht öfter als 9 Mal und nicht seltener als 3 Mal zu erhalten, ist = g-j — 0,93 u. s. f. Man sieht leicht ein, dass, falls die erwähnte Wahrscheinlichkeit als Norm gewählt wird, bei mehreren Gruppen von je 10 Versuchen die beobachtete Zahl der relativen Häufigkeit so verschieden ausfallen kann, dass ein sicherer Rückschluss auf den wirklichen Werth der Probabilität von A fast unmöglich ist; vollends ist dies unthunlich, wenn nur eine Beobachtungsreihe von 10 Fällen vorliegt. Diese Betrachtung leitet uns von selber zu dem folgenden H i r s c h b e r g , Statistik.

4

50 Satz über, dass nur sehr grosse B e o b a c h t u n g s r e i h e n (q s 300) es ermöglichen, a posteriori (durch Beobachtung) den wirklichen Werth der Chance von A innerhalb gewisser enger Grenzen mit einer an Sicherheit grenzenden Wahrscheinlichkeit zu ermitteln.

Zweites Kapitel. lieber die möglichen Fehler der durch die medizinische Statistik ermittelten Hänflgkeitszahlen. *)

Lehrsatz: H a t man in e i n e r g r ö s s e r n R e i h e von v e r g l e i c h b a r e n F ä l l e n s t a t i s t i s c h e r m i t t e l t , wie o f t ein b e s t i m m t e s E r e i g n i s s (z. B. der t ö d t l i c h e Ausgang bei einer bestimmten K r a n k h e i t ) e i n g e t r e t e n i s t u n d wie o f t n i c h t ; so k a n n m a n m i t t e l s t der d u r c h diese S t a t i s t i k g e l i e f e r t e n Z a h l e n i m m e r den mögl i c h e n F e h l e r des B e o b a c h t u n g s r e s u l t a t e s b e r e c h n e n , d. h. f e s t s t e l l e n , um wie viel s i c h die b e o b a c h t e t e F r e q u e n z z a h l des E r e i g n i s s e s von s e i n e r w i r k l i c h e n C h a n c e u n t e r s c h e i d e n kann. Wenn in einer grossen Zahl von q überhaupt beobachteten Fällen das Ereigniss A p mal, sein Gegentheil Ji (q — p) mal gefunden wurde, so besteht die sehr grosse Wahrscheinlichkeit W = 0,9953 (d. h. man hat das Recht, 212 gegen 1 zu wetten), tn

dass die beobachtete Frequenzzahl für A, nämlich -—, mit dem 2

behaftet sein kann, also

P

i

± v von w, der wahren Chance von A, abweichen kann.

- um Man

*) Das Problem ist zuerst von P o i s s o n (Recherches sur la probabilité des jugements Paria 1837) gelöst und von G a v a r r e t (Statistique medicale Paris, 1840) ausführlich besprochen worden. Die folgende einfachere Lösung der Aufgabe verdanke ich Herrn L. N a t a n i .

51

kann noch allgemeiner sagen: es besteht irgend eine sehr hohe, der Sicherheit ( = 1 ) nahe Wahrscheinlichkeit, dass IL = w 4- t 1 /

q

~

2

\

''

q%

wo i einen kleinen Zahlen-

werth. etwa zwischen den Grenzen 1,2 und 2,0, bedeutet. *) Be eis. Wenn unter q Fällen p für das Ereigniss A günstige gefunden sind, so kann man zunächst fragen: Wie gross ist die Probabilität, dass der bestimmte Werth w der Chance von A**)

p

die Ursache der beobachteten Relation — ?

abgebe? Wenn eine Erscheinung mehrere Ursachen haben kann (1. Abschn. IV. Kap.), so verhalten sich die Wahrscheinlichkeiten dieser Ursachen — Cx, C't, Cs . . . . (.'„ — zu einander, wie die Wahrscheinlichkeiten — J\, 7"2, / 3 . . . . Vn —, dass die beobachtete Erscheinung unter dem Einfluss der 1., 2. ... , nle" Ursache zu Stande gekommen.

C

Hieraus folgt

V

,, -j- — = . - oder, + L -2 + • • • ' " ' 1 + ' 2 + •••'« wenn man a l l e m ö g l i c h e n U r s a c h e n berücksichtigt, wodurch Cl + C2 . . . C'„ = 1 wird, y 1W' = . i

'

1

i\ + r2... + rn-

In unserem Falle wird nach der Wahrscheinlichkeit gefragt, dass die beobachtete Combination von p mal A mit {q — p) mal B in q Versuchen den bestimmten Werth w der *) In Oesterlen's vortrefflichem Handbuch der medicinischen Statistik (p. 61 sowohl der ersten wie der unveränderten zweiten Auflage) ist die Formel nicht richtig wiedergegeben. **) Hat man nicht in der ganzen Beobachtungsreihe eine constante, sondern eine von Fall zu Fall wechselnde Chance, s o b e d e u t e t « d i e m i t t l e r e C h a n c e , welche während der Beobachtungsdauer constant bleibt, wenn eben die Summe der wirksamen Ursachen sich nicht ändert.

4*

52 Wahrscheinlichkeit von A zur Ursache habe. Existirt der Werth w, so ist die Wahrscheinlichkeit V v dass (unter der Einwirkung des Werthes w als Ursache, wo w irgend einen echten Bruch z. B. bedeutet,) in q Fällen A p mal vorkomme, nach dem vorigen Kapitel 2) Fj = qp . w (1 — w)i-?. Berücksichtigen wir a l l e m ö g l i c h e n U r s a c h e n , d. h. alle möglichen Werthe der Wahrscheinlichkeit von A, die der Natur der Sache nach möglich sind, d. h. alle Werthe von 0 bis 1, so wird V^ -f- V^ . . . + Vn = qp . k0p (1 - »„)»-* + qP • (1 wtf-r + ...qp ivn? (1 - w, 3)

+

+ ra . . . + rn =

V [qp . KP (1 -

O bis 1

»)«-/>],

wo 1 das Summenzeichen ist und die einzelnen Glieder der Summe successive für w jeden Werth von 0 bis 1 erhalten. Aus Gl. 1, 2 und 3 folgt durch Substitution WV (1 — w)1 —P 4) C,1 - _v r --,„•-„, da 1qPp sich forthebt. ' 1 w {1 — w)i—r O bis 1

Wichtiger als C\ ist diejenige Wahrscheinlichkeit Ml} dass in q Versuchen A p mal vorkommt, während die Chance von A, nämlich w, nicht kleiner als der beliebige echte Bruch a und nicht grösser als der echte Bruch ß ist, also 0 < a < ß < 1, [z. B. a = ^ ß = ¿fo] In diesem Falle bleibt der Nenner ungeändert, der Zähler Z geht aber auch in eine Summe über, in der w alle möglichen Werthe von a bis ß annimmt. Denn günstig sind für die Wahrscheinlichkeit Ml alle Fälle, wo w den Werth oder ¡Vir o d e r f f a bis annimmt, falls a = ^ ß = also ist Z (nach Abschn. I. Kap. III.) die Summe + '-iv AV' (i - m'] M1 — " b i s 11 ~ 2 [ws.. (i «y-py

q>. f f a * (i - W 0>

O bis 1

+ •••

53 Denken wir die Einheit in eine unendlich grosse Zahl (() von unendlich kleinen Brüchen (dw oder dx) getheilt, so dass 1 = t . dw = t . dx, dw =

dx =

|;

und multipliciren mit dw Nenner wie Zähler von Mv folglich, da Nenner wie Zähler eine Summe darstellt, jedes Glied von jeder dieser Summen; so wird Ka\ ;

2 [w>' (1 — wy-r 1/ __ üJ'Jlj? ' 1 [U-P (1 - W)i~P

dw] dw]'

1

0 bis 1

Der Werth des Nenners von M 1 ist V '

V _ (g - p) (g - P — 1) (i - f (p + l ) ( p + 2)(p + 3) ....(p

2> 3 .2^1 ^ + q - p + 1 )• >

Der Werth dea Nenners ist, da in der Summe to jeden Werth von 0 bis 1, also von 0 . dx bis t. . dx annehmen soll, 6a) N = d.rl-. (1 — dx)1) —P . dx + (2 dx)l' ( 1 — 2 dx)'i —V dx + (3 dx)P ( 1 - 3 dx)l -v .dx \t Glieder} . Der Werth eines beliebigen, des r'm Gliedes, ist (r . dx)P (1 — rdx)i —p dx oder, wenn r . dx = x gesetzt wird, 6b) xi'.. (1 — x)i— P dx. Diesem rien Gliede müssen, da r =

im ganzen

— l) Gliedervor-

aufgehen. Die Summe S dieser voraufgehenden Glieder werde ausgedrückt durch eine Reihe 7) B = AxP + i (1 — x)i —P + BxP + 2 (1 - x)i — P — + Cxi' -f 3 (1 _ X)q-p-'i wo A, B, C. . . noch zu bestimmende Factoren darstellen. Eine solche Keihe für die Summe B ist möglich, da diese Summe, wenn man von dem hintersten Glied anfängt, die folgende Form hat 1

*) Wie die partielle Integration sofort ergiebt, elementar aber nur auf Umwegen — nach C o n d o r c e t Elements du calculs des prob, p. 70; vgl. L a c r o i x 1. c., p. 138 — gezeigt werden kann.

54 (x — dx)P . [1 — (x — dx)]l—P dx (x — 2 dx)P . [1 — (.r — 2 d x f j - P dx + . . .

+

L ä s s t man in Gl. 7) x anwachsen auf (x + dx), wachsen auf B + dB. 8) B + dB

so muss auch B

= A{(x

+ dx)P + i . (1 — [x + dx~])t

+ B\(x

+ dx)P + * . (1 — l> + dx])i-P

+

+ dx)P+

C\(x

.

» . (1 — [.r +

an-

-P] - if

rf;r];?-/>-2}

. .

Zieht man Gl. 7 von 8 ab, so bleibt 9) dB = A j ( x + dx)P + l . (1 - x — dx) 1 - P + B j(.r + rfa;)P + 2 . ( 1 — .r — dx)i-P+ C f ( ; r + dx)p + 3 . ( 1 — x -

-

xP +1 (1 — x)l-P

\

» - ,rJ>+2(l — a j i - p l - i }

dx)+3(l _

x)q-P-*\

= xP (1 — x)Q —P . dx. Denn der Zuwachs, den die Summe B erfährt, wenn x auf (x + dx) anwächst, ist eben das rte Glied der Reihe N, also xP (1 — x)i—p dx. Um in Gl. 9 die Keihe rechterseits bequem zu entwickeln, setze man 1 — x = z und beachte, dass die 2. Zeile aus der ersten folgt, wenn A in B übergeht, sowie (p + 1) in (p + 2), sowie (q — p) in (q — p — 1) u. s. f. Man braucht also nur die erste Zeile zu berechnen. Nach dem binomischen Lehrsatz ist A j (x +

dx)P + i . (z — dx)?-P

f =

A \ {xP + i + O + 1] . xP . dx + . .) (i] . 2 « - J > — l . dx + . .)} ; da die Glieder, die dx in höheren Potenzen als der ersten enthalten, verschwindend klein werden; — oder, nach Ausführung der Multiplication, wobei wieder die Glieder, die dx in höheren Potenzen enthalten, verschwinden : = A . aP + 1 . z'l — P + ( p + 1) AxP 2? —P . dx — (q — p) AxP +l.2ä— P — * . dx . . . Also ist in Gl. 9 die erste Zeile A { (x + dx)P + l (1 — x — dx) « — P — srP + l (1 — x) i — P ] A.xP+

iiq—P

+ (p + l)A.xPLi—P.dx — (q — p). AxP — A.1P + 1.2 i—P

=

— p — i . dx

= (p + 1) A . xP zl —p . dx — (q — p) A . xP + 1 . z zl-P

f (p -+- 1) A -

1 }

— xP + 1 . 2 5 - ^ - 1 { ( ? — p)A - SP + 2 . zi - P-2

— (p + 2) B \

{ (q - - p -

1) B -

(p -i 3) C'} + . . .

Diese Gleichung kann für jedes beliebige x nur dann gelten, wenn die constanten Factoren der einzelnen Glieder, die in den Klammem { j enthalten sind, einzeln gleich null werden. Man hat also die folgenden Gleichungen (p + 1) A — 1 = 0; mithin A = (q — p) A — (p 4- 2) B = 0 ; mithin B ( , - / , _ ! )

J - ( p

+ 3) C = 0 ;

(p +

mithin C =

(g~i>) 1) (/. + 2)' (? - P) (? — P — 1) +

(p

+

2)

+

3)

,

u. s. f. Somit sind die Factoren A, B, C in Gl. 7 bestimmt und diese lautet jetzt _ xP + 1 (1 — x)i— P (q — p) xP + 2 (1 — x)i — P — i + "(/>+!) ~ -(p + i ) ( p - + - 2 ) " (q — p) (q — p — 1) . . . . 3 . 2 . 1 X xP + i - P + 1 + (P + l T ( P + 2) ( p + 8) (p +'q - p+ l) B bedeutet die Summe der Glieder in der Reihe N vor dem iUn Gliede; dieses selber ( = XP [1 —x]i—t' dx) ist verschwindend klein gegen B, da dx =

x aber

einen

echten

Bruch

darstellt,

dessen

höhere Potenzen sehr klein werden, jedenfalls die Eins zur Grenze haben. Man kann also in 12 die Summe rechter Hand für alle Glieder der Summe 6a incl. des rlen setzen. Um den Werth des Nenners iV complet zu haben, muss das rte Glied dasjenige sein, für welches x seinen höchsten Werth ( = 1 ) erlangt. Dana verschwinden, da der Factor 1 — x = 0 wird, alle Glieder, die diesen Factor besitzen; es bleibt allein das letzte übrig und wird, da die Potenzen von 1 immer 1 sind, I

,V=

») ( g - j » - 2 ) . . . 8 . 2 . 1 \p + 1) (P + 2) (p + 3) . . . (p + q - p + 1)"

...

56 Im Nenner von I ist j) + q — p + 1 = q + 1, somit wird 1 N

=

(q + 1) X q . (q - 1) (g - 2) . . . . (g - [_q - p\ + 1) 1 . 2 . 3 . . . . ( 7 - p - 1) (q - p) la-

^T = ( ? + !)-7(1-1.) = (7 + ptenbei

d

a

der«/'6"

Binomialcoefficient gleich dem man diesen Werth in 5a ein, so wird

der (y -

p)"

Potenz ist.*) Setzt

18) Ml — {q + 1) . qp . I ie? (1 a bis 11

w)t-P