Die Bayerischen Kartenwerke in ihren mathematischen Grundlagen [Reprint 2019 ed.] 9783486732597, 9783486732580

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Die

Bayerischen Kartenwerke in ihren

mathematischen Grundlagen.

Bearbeitet von

Karl Then, Oberleutnant a. D.,

Topograph im Topographischen Bureau des Kgl. Bayer. Generalstabes.

Mit 48 Abbildungen und 5 Karten.

München und Berlin. Druck und Verlag von R. Oldenbourg.

1905.

Vorwort Die bayerischen Kartenwerke sind nicht nach einem einheitlichen Gesichts-

punkte bearbeitet, sondern berilhen hinsichtlich der angenommenen Erdmaße, des Kartenentwurfes und der Blatteinteilung auf drei unter sich verschiedenen Grundlagen. Hieraus ergeben sich etwas verwickelte gegenseitige Beziehungen der drei Systeme, deren Kenntnis nicht nur für die Bearbeitung, sondern auch für die richtige Beurteilung und den sachgemäßen Gebrauch der Karten von wesentlichster Bedeutung ist. Was die vermessungswissenschaftliche Literatur über den einschlägigen Stoff bietet, ist an verschiedenen Orten und nach verschiedenen Gesichtspunkten behandelt und entspricht keinesfalls dem vorhandenen Bedürfnisse, das sich überall geltend macht, wo Karten für wichtigere Zwecke gebraucht werden. Diesem, seit langer Zeit bestehenden Mangel abzuhelfen, war die Auf­ gabe, welche ich mir, dem ehrenden Auftrage des Direktors des Topographischen Bureaus des kigl. Bayer. Generalstabes, Herrn Generalmajor Heller, Folge leistend, in der vorliegenden Bearbeitung ]) gestellt habe. Was zunächst den Umfang und die Anordnung des Stoffes betrifft, so war hierfür die Nücksicht auf dell logischen Zusammenhang des Ganzen und die Lückenlosigkeit der mathematischen Begründungen bestimmend. In formaler Beziehung aber erforderte der oben erwähnte Zweck dieses Buches, vor allem das praktische Bedürfnis im Auge zu behalten. Es wurde daher bei den nötigen mathematischen Ableitungen der Elementarmethode auch in jenen Fällen der Vorzug gegeben, in welchen die Hilfsmittel der Infinitesimal­ rechnung schneller zum Ziele gefiihrt haben würden, und auf die Erläuterung durch Beispiele aus der Praxis besonderes Gewicht gelegt. Schließlich darf ich es nicht unterlassen, dem Kgl. Professor an der Technischen Hochschule in München, Herrn vr. Max Schmidt, welcher die Güte hatte, sich der Mühe der Durchsicht meines Entwurfes zu unterziehen, und welchem ich manchen schätzbaren Wink für die Verbesserung meiner Arbeit verdanke, auch an dieser Stelle den schuldigen Dank zu erstatten. München, im November 1904.

_________

K. Then.

l) Das Buch ist auch als „Theoretische und praktische Anleitung für den Dienst in der mathematischen Sektion", München (R. Oldenbourg) 1905, erschienen.

Inhaltsverzeichnis. Seite

Bedeutung, Zweck und Aufgabe der Kartcnzeichnung.

I. Teil.

1

Die Kartenprojektionen.

Kapitel 1. Die Grundlagen der Landesvermessung..................................... 5 § § § § § § £ 8

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Einfluß der Erdgestalt........................................................................... 7 Gestalt und Größe der Erde....................................................................8 Die Ellipse....................................................................................................9 Die Erdmaße in den bayerischen Kartenwerken............................. 16 Geographische Begriffe......................................................................... 17 Geodätische Begriffe............................................................................... 18 Koordinatensysteme..............................................................................20 Haupttriangulierung.............................................................................. 22

Kapitel 2. Kartenentwurf «Projektion)...................................................... 25 § 9. 8 10.

Allgemeines.......................................................................................... 25 Winkel- und Flächentreue..................................................................26 Projektion auf abwickelbare Flächen............................................... 29 Die Kegelprojektion im allgemeinen............................................... 29

§ 11. § 12. Kapitel 3. Die Bonnesche Projektion...................................................... 31 § 8 8 § 8 8

13. 14. 15. 16. 17. 18.

Begriff und Name..............................................................................31 Entwickelung der Formeln für die Projeklionskoordinatcn 33 Eigenschaften der Bonneschen Abbildung......................................... 35 Form der Neplinien.............................................................................. 35 Berzerrungsgesepe.................................................................................... 40 Kritische Betrachtung der Bvnneschen Projektion............................. 47

Kapitel 4. Der 50 000 teilige topographische Atlas und die Karte von Südwest­ deutschland ........................................................................ 49 8 19. Konstanten.................................................................................................. 49 Tabelle der Krümmungshalbmesser, Projekttonsradien, Mittel­ punktswinkel, Meridian- undParallelbogenlängen ... 52 8 20. Astronomische Orientierung....................................................................53 § 21. Einteilung und Größe der Kartenblätter........................................... 53

VI

Inhaltsverzeichnis.

Seite § 22. Orientierung der Blätter............................................................................... 54 § 23. Gestalt der Netzlinicn innerhalb des Atlasses....................................... 54 § 24. Größe der Verzerrungen............................................................................... 55

Kapitel 5. Der Eintrag der Dreieck-punkte in die Kettenblätter

....

56

§ 25. Eintrag der Dreieckspunkte und Knotenpunkte des Gradnetzes .

56

§ 26. Berechnung der geographischen Koordinaten aus den Projektions­ koordinaten .......................................................................................................... 57

Beispiele für die Berechnung.................................................................. 58

Kapitel 6. Die topographische Karte von Bayern in 1 :25000 ....................

65

8 27.

Allgemeines...................................................................................................65

§ 28.

Unterschied zwischen der Cassinischen Projektion und dem Soldnerschen System................................................................................66

§ 29.

Einteilung und Größe der Blätter.......................................................... 69

§ 30.

Die 25000 teilige Karte als Ganze-....................................................72

8 31. 8 32.

Verzerrungsgesetze............................................................................................ 73 Die Soldnerschen Koordinaten................................................................. 75 A. Berechnung der sphärischen Koordinaten und Direktionswinkel der Dreieckseiten.......................................................................................75

B. Berechnung der sphärischen Dreieckseiten aus den Koordinaten C. Berechnung der Dreieckseiten rc., wenn die Dreiecke so klein sind, daß sie als ebene angesehen werden können....

77 78

D. Das Aufträgen der Koordinaten.....................................................79 § 33. Das geographische Netz............................................................................... 81

81

A. Erklärung.....................................................

B. Entwicklung der Näherungsformeln........................... 84 C. Ableitung genauer Formeln..................................................................89 D. Rechnungsbeispiele................................................................................90

Kapftel 7. Das Solduersche Netz im 50 000 tdligtn topographischen Atlasse

.

95

§ 34. Gestalt des Soldnerschen Netzes in der Bonneschen Projektion .

95

8 35. Einlegung der Soldnerschen Blätter in den 50 000 teiligen Atlas:

Berechnung der sphärischen Koordinaten aus den Projektions­

koordinaten .......................................................................................................... 98 Rechnungsbeispiel....................................................................................... 100

Kapitel 8. Die Gra-abteilung-karte des Deutschen Reiche- in 1 : 100000 .

103

§ 36. § 37.

Die Gradabteilungskarle im allgemeinen...........................................103 Die Gradabteilungsblätter der Karte desDeutschenReiches . 106

§ 38.

Randlinien und Flächen der Blätter................................................. 107

§ 39.

Beziehungen der geographischen Netzlinien zu denBlatträndcrn

8 40.

Verzerrungsgesetze..........................................................................................114

110

Maße der Gradabteilungsblätter......................................................... 121

Inhaltsverzeichnis.

VII Seite

Kapitel 9. Die EradabteilungSkarte in Beziehung zum topographischen Atlas und zur topographischen Karte von Bayern.............................. 122 § 41. Umwandlung der geographischen Positionen des Atlasses in solche der Gradabteilungskarle........................................................................122 Beispiel für die Berechnung................................................................. 128

II. Teil. Die Messungen. Kapitel 10. Detailtriangulierung.......................................................... 131 § 42. Allgemeines........................................................................................... 131 § 43. Wahl und Bezeichnung der Punkte..................................................... 132 § 44. Messung der Winkel...............................................................................133 A. Prüfung und Berichtigung des Instrumentes............................ 136 B. Ausführung der Winkelmessnng..................................... . 136 § 4s). Berechnung der Dreieckseilen und Koordinaten............................. 138 A. Ableitung aus 2 Punkten........................................................... 138 a) Borwärtseinschneiden, b) Kranzsystem, c, — (1 — t2 ain2 ßfl, ).................................. 20) (Krümmungshalbmesser des Meridians.)

Aus den Gleichungeil

man

für r und q (20 und 11) findet man,

indem b2 = 0° und ß — 90°, sowie aus 2) den Wert für 1 — t2 = — ein­

führt, daß für den Äquator beide ihren kleinstell Wert

- CI (>(0) —

und

1 (o) —

und für den Pol ihren größten Wert

a2 P(«0) — /*(«0) =

erreichen, sowie daß für die gleiche Breite stets r < q ist.

Es ist nun noch die Größe des elliptischen Bogens zwischen zwei gegebenen Breiten ßx und ß2 zu bestimmen.

Aufgabe der Integral-Rechnung.

Dies ist im allgeineinen eine

Da aber der Wert von t sehr klein und

daher der Unterschied des elliptischen

und des Kreisbogens

deutend ist, so können Meridianbögen

von nicht allzu großer Ausdehnung

als Kreisbögen

berechnet werdell,

welche mit dem

nicht sehr be­

der Mitte des Bogens

entsprechenden Krümmungshalbmesser r(m) beschrieben sind. Demnach ist der Meridianbogen zwischen den Breiten ßx und ß2: S(A-A) =

ni80 ^6oT6O}

= N->

ein l"

•

•

21)

worin ßi und ß2 in Sekunden auszudrücken, nnb r(,„) der Krümmungshalb­

messer für die Breite

(ßx + ßz) = m ist.

B ist hier positiv, wen,: ßx > ß2, und negativ, wenn ßx < ß2 ist.

l) Fiir die numerische Berechnung ist, wenn wieder e sin ß = sin o> gesetzt wird, und weil 1 — e8 = cos8 y, ist: — a cos8 m> sec3 arc CA). Diese echte Kegelprojektion, deren Erfindung Claudius Ptolemäus zugeschrieben wird, entspricht also keineswegs der Forderung möglichster Ähn­ lichkeit der Abbildung mit dem llrbilde, sondern bedarf, um für topographische

Zwecke geeignet zu werden, noch einiger Verbesserungen („Modifikationen"). Dieser Aufgabe wird entsprochen,

welche in

durch

die sog. modifizierte Kegelprojektion

nachstehendem,

und zwar sogleich unter Zugrunde­

legung der sphäroidischen Erdgestalt betrachtet werden soll.

§ 18. Begriff und Name.

31

Kapitel 3. Die Bonnesche Projektion. 8 13. Begriff und Name. Ist (Fig. 10) C der Mittelpunkt des darzustellenden Teiles der Erd­ oberfläche (Kartenmittelpunkt, auch Normalpunkt genannt), NV der Haupt­ meridian, und bezeichnet hier, wie in den folgenden Paragraphen: a die große Halbachse, e die numerische Exzentrizität, y die geographische Breite des mittleren Kartenparallels CH, in welchem der Kegel daS Sphäroid berührt, Ar A • • • die geographische Breite irgend eines Punktes Px, Pi-..,

Xi, Xi... die geographische Länge irgend eines Punktes Pit

v

Pi..,

li, kz... das Bogenstück eines ParallelkreiseS, welches den geogra­ phischen Koordinaten Xx A, X2 A • • • entspricht, B das Bogenstück eines Meridians zwischen den Parallelkreisen der Breite y und A, Bx... das Bogenstück eines Meridians zwischen den Parallelkreisen der Breite A und A, P Krümmungshalbmesser des Normal­ schnittes im Parallelkreise der Breite y, Pi, P2 • • • Krümmungshalbmesser deS Normalschnittcs im Parallelkreise der Breite A, A ■ • -, r Krümmungshalbmesser des Meridians im Parallelkreise der Breite y, n, r2... Krlimmungshalbmefler des Meridians im Parallelkreise der Breite A. A, E Projektionsradius für einen Punkt der Breite y. Bi, L,.. . Projcktionsradius für einen Punkt der Breite Ar A • • •

32

Kapitel 3. Die Bonnesche Projektion.

/ (ft ist, wird fr positiv, und man erhält für v:

1. Auf dem Meridian, d. h. wenn = 0;

cos2

a =

|

0°

wird

(weil ein 2a

a = 1),

V = /1 4- tg* & =

also V > 1,

d. h. in der Meridianrichtung werden die Linien im allgemeinen vergrößert.

Für den mittleren Meridian ist aber (Folgerung

aus 33) & = 0, also wahren Größe.

v = 1, dieser erscheint daher in seiner

Kapitel 3. Die Bonnesche Projektion.

46

2. Auf dem Parallelkreise, d. h. wenn « —

27^0 wird

(weil

8LN 2 « — 0; cos2 « — 0) d. h. auf dem Parallelkreise findet keine Verzerrung statt.

3. Ist « —

|

45° 1 2250* f° XDXX’$)» weil sm 2a = 1 und cos2 a = —

^j/l -tg» + ^-tg2», also ® 1.

II. Wird £ < y, so wird tauschen ihren Platz.

negativ und die Werte ad 3 und 4

In der Bonneschen Projektion werden also nur jene Linien in ihrem wahren Größen verhält nisse abgebildet, welche entweder auf dem mittleren Meridian oder auf irgend einem Parallelkreise liegen. In allen anderen Richtungen tritt eine Vergrößerung oder eine Verkleinerung ein, welche ihren größten Betrag in der Oktantenrichtung erreicht, d. h. für jene Linien, welche mit den Netzlinien einen Winkel von 45° bilden.

Für ein Gebiet von mäßiger Ausdehnung darf wieder tg & = & und tg2 & = 0

gesetzt werden, und es ergibt sich dann für die Längenverzerrung der einfache Ausdruck: v = yi — ein 2 a.......................................... 40) und für das Maximum der Verzerrung bei a = nn +_ 45°

v' = /1 — &

41)

Führt man für den kleinen Winkel 9- seinen Sinus ein, so läßt sich diese Formel auch schreiben:

42 a) Ist 9- ein sehr kleiner Winkel, so wird aus 41) v' = (1 — #■)* mit Vernach­ lässigung der höheren Potenzen:

42 b)

47

§ 18. Kritische Betrachtung der Bonneschen Projektion.

§ 18. Kritische Betrachtung der vonneschen Projektion. Wie aus den

Verzerrungen

vorstehenden

in der Nähe

Untersuchungen zu ersehen ist,

des Kartenmittelpunktes

wachsen aber mit zunehmender Entfernung

sind die

verschwindend

klein,

von diesem und erreichen

für

Das Gradnetz des (krdsphäroides in der Bonneschen Projektion. (Mittlerer Kartenparallel y = 49° n. Br.)

90° S

Fig. 14 a.

große Gebiete sehr bedeutende Beträge.

des Bonneschen Netzes,

Betrachtet man die obige Abbildung

so sprechen die bedeutenden Verzerrungen,

in den weit vom Kartenmittelpunkte liegenden Gegenden

zugunsten der Bonncschen Projektion,

welche

auftreten, nicht

und dies mag auch der Grund sein,

Kapitel 3. Die Bonnesche Projektion.

48

daß sich Stimmen erhoben haben,

welche ihr jede Berechtigung für

Karten sowohl größerer als auch kleinerer Gebiete absprechen.

Indes kommen für die Beantwortung der Frage nach der Berechtigung einer

Projektion

nicht

nur

die

Verzerrungsgrößen,

absoluten

sondern auch der Zweck der Karte, die sonstigen Eigenschaften der Projektion

und das Verjüngungsverhältnis der Karte in Betracht. Es kann keinem Zweifel unterliegen,

daß etwaige Verzerrungen doch

nur dann als ein Nachteil zu betrachten sind,

wenn sie Beträge erreichen,

die in der Kartenzeichnung, d. h. auf graphischem Wege noch nach­

gewiesen

werden

können.

Nun

sind

aber

z. B.

int

Maßstabe

1:50000 Linien unter 5 m und Winkel von wenigen Minuten Größen,

welche sich überhaupt nicht mehr graphisch darstellen lassen. Die Verzerrung kann daher, so lange sie in solchen Grenzen bleibt — wie dies bei dem bayerischen topographischen Atlas in 1:50000 der Fall ist (vgl. § 24

und die Rechnungsbeispiele IV, V, VI in § 26) — um so weniger als ein

Nachteil betrachtet werden, als es Projektionen ohne Verzerrungen

überhaupt nicht gibt.

Selbst bei einer Ausdehnung des bayerischen Atlaffes mit dem Karten­ mittelpunkte

) = y (A + ) ist.

Nun ist die geographische Breite der alten Sternwarte nach obiger /ti — 48 ° 07' 33",

Annahme:

demnach die in Winkelmaß ausgedrückte Bogenlänge D = A — y: D = 52' 27" = 3147", und

Am) = 49° — y = 48» 33' 16,"5.

Für diese Breite A«) finden wir den Wert von »» mit Benutzung der unter IV) berechneten Werte für t2 und log (1 — t2): log a = 6,8045902 log (1 — e2) = 9,9971570—10

log t2 = 7,8145984—10 log Bin2 Am) = 9,7496434

6,8017472

9,9976072—10

7,5642418—10 t2 ein2 Am) 1 — t2 sin2 Am) log (1 — t2 Bin2 Am) | log (1 — t2 sin2 Am))

— 0,0036664 = 0,9963336 = 9,9984048—10 = 9,9976072—10

log f(m) — 6,8041400 log GA — y)" = 3,4978967 log sin 1" — 4,6855749—10 log r(m) — 6,8041400

log D

= 4,9876116;

D = 97188

VII)

Mit den obigen Konstanten und Formeln lassen sich nun die in nach­ stehender Tabelle zusammengestellten Zahlenwerte berechnen, deren Kenntnis für die Konstruktion des Atlasses notwendig ist.

52

Kap. 4. Der daher, topographische Atlas und die Karte von Südwestdeutschland.

Tabelle I. Die Krümmungshalbmesser, Projektionsradien, Mittelpunktswinkel, Meridian- und Parallelbogeulängen. ß Geographische Breite, X Längenunterschied gegen den Hauptmeridian, Krümmungshalbmesser des elliptischen Meridians in Meter (20), Querkrümmungshalbmesser in Meter (11), Mittelpunktswinkel für X —10' in Sekunden (26), R^ Projektionsradius in Meter (22), B(m) — R^ — R^ Meridianbogen B zwischen dem Parallel 49° und dem Parallel ß in Meter (21), Parallelbogen für X = 10' in Meter (24). 1

ß

2

108

3

4

i°e *(ä

ö

6

7

R(ß)

log R(ß)

ß(m) — arc (ß — V)

5386637 6,7313177 5405171 328095 342962 23706 357777 42240

166798 148264 129729 111195

11821,49 863,04 904,49 945,87

50® 30' 6,8042825 6,8054353 452",668 2700 4312 702 50® 20' 4272 731 2575 50» 10' 4232 756 2465 50® 00'

I I

für X - 10'

8

49® 50' 49® 40' 49® 30' 49® 20' 49® 10' 49® 00'

2342 2220 2097 1975 1852 1730

4191 4150 4109 4069 4028 3987

777 795 808 818 823 826

60774 79307 97840 5516372 34904 53435

372542 387256 401921 416536 431101 445618

92661 74128 55595 37063 18531

987,09 12028,23 069,27 110,21 151,05 191,79

48® 50' 48® 40' 48® 30' 48» 20* 48» 10' 48® 00’

1607 1484 1361 1238 1115 0992

3946 3905 3864 3823 3782 3741

823 818 809 796 779 758

71965 90495 5609025 27554 46083 64611

460084 474502 488874 503196 517473 531701

18530 37060 55590 74119 92648 111176

232,42 272,95 313,38 353,69 393,90 434,01

47® 50' 47® 40' 47® 30' 47« 20' 47® 10' 47® 00'

0868 0745 0621 0498 0374 0250

3700 3659 3618 3577 3536 3495

734 706 674 640 602 564

83139 6701666 20193 38719 57245 75771

545882 560018 574106 588149 602147 616099

129704 148231 166758 | 185284 . 203810 ! 222335

474,01 513,90 553,68 593,36 632,94 672,40

i

§ 20. Astronomische Orientierung. — § 21. Einteilung u. Größe d. Kartenblätter.

53

§ 20. Astronomische Orientierung. Der astronomischen Orientierung wurde die in den Jahren 1801 und 1802 von Henry ausgeführte Azimutmessung: München — Aufkirchen zugrunde gelegt, welche ergab: « = 48° 59' 53" (von Nord über Ost gezählt). Aus späteren Bestimmungen (Soldner 1813, Orff 1863/64) ergab sich aber, daß dieses Henrysche Azimut um etwa 14",5 zu klein ist. Das ganze Gradnetz des bayerischen Atlasses muß daher um diesen Betrag in der Richtung: Nord—West—Süd gedreht werden, damit dasselbe die richtige Orientierung erhält. Die Gleichung 37) der Winkeländerung einer Richtung unter dem Azinlut« wird daher mit Berücksichtigung der wegen der unrichtigen Orien­ tierung nötigen Verbesserung, wenn man für die Tangente des sehr kleinen Winkels u seinen Bogen setzt: ii! = & ein2 « + 14",5.

8 21. Einteilung und Größe der Äartenblätter. a) Topographischer Atlas in \: 50000.

Die Bildfläche wird, vom Hauptmeridian ausgehend, durch Parallele zu diesem in Streifen von je 80 cm, und durch hierzu senkrechte Linien in Streifen von je 50 cm geteilt. Die hierdurch entstehenden Atlasblätter sind demnach kongruente Rechtecke, deren Fläche 4000 qcm beträgt. Dieselben sind so angeordnet, daß die alte Münchner Sternwarte genau in die Mitte des Atlasblattes Nr. 77, München, zu liegen kommt. In neuerer Zeit kommen die Blätter als Atlas halb blätter zur Ausgabe, welche also je ein rechteckig begrenztes Gebiet von nachstehenden Maßen in natürlicher Länge darstellen: Nord- und Südrand 20 km, West„ Ostrand 25 „ Fläche 500 qkm, Diagonale . . . 32,0156 km.

b) Die Karte von Südwestdeutschland in \ : 250000, welche, den politischen Grenzen des Deutschen Reiches entsprechend, jetzt eigentlich als Karte von Süd deutsch land zu bezeichnen wäre, besteht aus Rechtecken, deren Ränder je 3 Atlasblattseiten enthalten. Die Länge der Blattseiten von 48 cm bzw. 30 cm entspricht daher in der Natur 120 km bzw. 75 km, und einer Fläche von 9000 qkm.

54 Kap. 4. Der bayer. topographische Atlas und die Karte von Südwestdeutschland.

§ 22. Orientierung der einzelnen Blätter. Bezeichnet i = 1,006012,

d. h. die Längenverzerrung erreicht in der Oktantenrichtung ihren größten Betrag von 12 mm auf 1 km, bzw. für die Diagonale eines Blattes der topographischen Karte 13,2 • 12 mm — 158 mm, d. i. im Maßstabe dieser Karte 0,006 mm.

Da die graphische Darstellung einer solchen Größe unmöglich ist, so darf für alle praktischen Zwecke die Abbildung als längentreu betrachtet werden.

8 32. Die Soldnerschen Koordinaten. A. Berechnung der sphärischen Koordinaten und DirektionSwiukel. Ist (Fig. 16) M der Normalpunkt, NM die Abszissenachse und ABC ein sphärisches Dreieck, in welchem die drei Seiten und der Direktionswinkel dx — WAB der Seite AB = b gegeben ist, und sind ferner:

EM AE DM BD

— = — —

xx r/i x2 y2

die Koordinaten des Punktes A, .

so hat man, bo A TK = 90° — yx und BW = 90° — y2 ist, zur Bestimmung der sphärischen Koordinaten deS Punktes B fol­

gende drei, aus dem sphärischen Dreiecke ABW sich ergebende Gleichungen: 1. ein y2 — cos b ein y1 -s- ein b cos yx cos r2....

und eos

,

sowie

§ 40.

Berzerrungsgesetze.

115

Diese Gleichung zeigt, daß die Flächenverzerrung sich im Verhältnisse der Zunahme der Blattseiten (bzw. Parallelkreisbögen) gegen den Äquator

Für die Größe eines Kartenblattes: l = 30' b = 15' wird daher, wenn wir wieder die konstanten Logarithmen zusammen fassen:

vergrößert.

ö = [9,781—20] r2 cos ß, z. B. für die Zone: ßi — 49° 15' und ß2 — 49°:

ä — 0,0024 qkm übereinstimmend mit der Berechnung der Flächenunterschiede in § 38.

b) lvinkelverzerrung.

Daß das geradlinig begrenzte Trapez keine konforure Abbildung eines Netzviereckes ergeben kann, ist schon in § 9 erörtert worden.

Nur der mittlere Meridian schneidet die Parallelkreise normal, für alle, übrigen Netzlinien geht der rechtwinklige Schnitt verloren, und zwar wird die Änderung & am größten für die Randlinien. Nennt man den Südrand s, den Nordrand n, den Ost- und Westrand b, so ist ^ACT = & durch die Gleichung gegeben (Fig. 25):

Hieraus findet man z. B. für die Zone zwischen 48° und 48° 15': & = IV 10". Dieser Betrag wächst mit zunehmender Breite und erreicht z. B. für ß = 59° die Größe & = 12' 52".

Fig. 25.

Zu dem gleichen Ergebnisie würden wir gelangen mittels der für die Bonnesche Projektion aufgestellten Gleichung 33), welche selbstverständlich auch hier Geltung hat:

Da nämlich für die geradlinig abgebildeten Parallelkreise R — 9,82680

log h --- 4,44397 log cos v — 9,91991

o) = 56° 07'59", daher Unterschied 90 — (w + v) = 7' 43" log h = 4,44397 log ein tu — 9,91925

log Di

log Dr

v — 33° 44' 18"

= 4,52406

= 4,52472

D2 — 33475, daher Unterschied der Diago-

Di = 33424 nalen 51 m oder im Kartenmaßstabe x/2 mm.

Da die wirkliche Länge der Diagonale 33448 m ist, so beträgt die

Verzerrung 0,78 m aus das Kilometer.

118

Kap. 8. Die Gradabteilungskarte des Deutschen Reiches in 1 : 100000.

Mittels der Formel 41): v = / 1 f & sin 2« würde man, da hier & = 5' 35" (f. § 17 B, Anmerkung) und « — 33° 48' ist,

ebenfalls:

v

lf00078, also 0,78 auf das Kilometer

erhalten, welcher Betrag aber noch nicht das Maximum der Verzerrung ist.

2. Geradlinige Blattränder, kreisförmige Darstellung der Parallelkreise. In der Karte des Deutschen Reiches sind die nördlichen und südlichen Ränder der Sektionen nicht die das Netzviereck begrenzenden Parallelkreise, sondern gerade zum Mittelmeridian senkrechte Linien. Jedes Blatt erscheint daher für sich als eine Bonnesche Abbildung, in welcher der Normal­ punkt C (Fig. 10) der Mittelpunkt des betreffenden Gradnetzviereckes ist. Demnach ist der Projektionsradius einer Zone zwischen den Breiten ßx

und ß2 nach 22):

R=

q cot ß, tvo ß =

(ßx + ß2) —