Taschenbuch der Mathematik [12., bearb. und erw. Aufl.. Reprint 2015] 9783486785449, 9783486227505

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Taschenbuch der Mathematik von Dr. Helmut Wörle, Hans-Joachim Rumpf und Dr. Joachim Erven Professoren an der Fachhochschule München 12., bearbeitete und erweiterte Auflage Mit 423 Bildern

R. Oldenbourg Verlag München Wien 1994

Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufhahme Wörle, Helmut: Taschenbuch der Mathematik / von Helmut Wörle, HansJoachim Rumpf und Joachim Erven. - 12., beaib. u. erw. Aufl. - München ;Wien : Oldenbourg, 1994 ISBN 3-486-22750-5 NE: Rumpf, Hans-Joachim:; Erven, Joachim:

© 1994 R. Oldenbourg Verlag GmbH, München Das Werk einschließlich aller Abbildungen ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen. Satz: Blank Satzstudio GmbH, München Druck und Bindearbeiten: R. Oldenbourg Graphische Betriebe GmbH, München

ISBN 3-486-22750-5

INHALTSVERZEICHNIS Vorwort

9

1.

Planimetrìe

11

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

Grundkonstruktionen Dreieck Kreis Viereck Vieleck Kreismessung

11 13 17 19 21 25

2.

Stereometrìe

28

2.1 Ebenflächig begrenzte Körper 2.2 Krummflächig begrenzte Körper

28 34

3.

Arithmetik

40

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7

Begriffe der elementaren Mengenlehre Grundlagen der Arithmetik Potenzen im Reellen und ihre Umkehrungen Spezielle Folgen und Reihen Fehlerrechnung Kombinatorik Komplexe Zahlen

40 43 45 50 55 58 61

4.

Algebra

68

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6

Determinanten und Matrizen Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme Vektoralgebra Polynome einer Veränderlichen Nichtlineare Gleichungen und Gleichungssysteme Interpolationen und Näherungen

68 77 82 92 99 109

6

Inhalt

5.

Kreis-und Hyperbelfunktionen

111

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8

Kreisfunktionen 111 Ebene Trigonometrie 119 Sphärische Trigonometrie 122 Arcusfunktionen 127 Hyperbelfunktionen 131 Areafunktionen 135 Zusammenhang zwischen Kreis-und Hyperbelfunktionen . . . 137 Darstellung von Schwingungsvorgängen 140

6.

Analytische Geometrie

147

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10

Grundlagen Gerade Ebene Kreis Kugel Ellipse in Parallellage Hyperbel in Parallellage Parabel in Parallellage Allgemeine Kegelschnittgleichung Flächen zweiter Ordnung

147 154 159 163 168 171 178 185 190 196

7.

Differentialrechnung

202

7.1 Grundlagen 7.2 Rechengesetze 7.3 Unbestimmte Formen 7.4 Ebene Kurven 7.5 Räumliche Kurven 7.6 Rächen 7.7 Unendliche Reihen

202 213 221 223 245 251 256

8.

Integralrechnung

267

8.1 8.2 8.3 8.4 8.5

Unbesstimmtes Integral Bestimmtes Integral Integrationsverfahren Spezielle Integrationsformeln Anwendungen bestimmter Integrale

267 268 274 283 307

Inhalt

1

8.6 8.7 8.8 8.9

Flächen- und Raumintegrale Vektoranalysis Fouriersche Reihen Laplace-Transformation

312 318 331 338

9.

Gewöhnliche Differentialgleichungen

346

9.1 9.2 9.3 9.4

Allgemeines Differentialgleichungen erster Ordnung Differentialgleichungen zweiter Ordnung Differentialgleichungen höherer Ordnung und Systeme von Differentialgleichungen

346 347 353 360

10. Wahrscheinlichkeitsrechnung

370

10.1 10.2 10.3 10.4 10.5

370 373 375 378 380

Wahrscheinlichkeitsraum Zufallsvariable undVerteilung Funktionalparameter Spezielle diskrete Verteilungen Spezielle stetige Verteilungen

11. Statistik

386

11.1 Grundlagen 11.2 Parameterschätzung 11.3 Signifikanztests

386 388 391

12. Anhang

395

12.1 Tabellen 12.2 Mathematische Zeichen 12.3 Sachverzeichnis

395 405 412

VORWORT ZUR ZWÖLFTEN AUFLAGE Studierende technischer Fachrichtungen sind während ihrer Ausbildung und häufig auch im späteren Berufsleben mit Aufgaben befaßt, die sich nur mit mathematischen Hilfsmitteln lösen lassen. Dies trifft auch für die meisten naturwissenschaftlichen Studiengänge und Arbeitsgebiete zu. Eine auf die Bedürfnisse der Anwender ausgerichtete Zusammenstellung der theoretischen Grundbegriffe und der zugehörigen Formeln, soweit erforderlich, durch Beispiele erläutert, erweist sich dabei als überaus nützlich. Diese Überlegungen gaben vor nun mehr als 30 Jahren Veranlassung, das hiermit in der 12. Auflage vorliegende „Taschenbuch der Mathematik" zu verfassen. Bedingt durch die Entwicklungen in Naturwissenschaft und Technik war seither manches abzuändern, waren bedeutsam gewordene Verfahren neu aufzunehmen. Dennoch blieb der damals gewählte Aufbau und eine Darstellungsweise beibehalten, die mit angemessener mathematischer Strenge den Erfordernissen der Benutzerkreise entgegenkommt. Die Erweiterung dieser Auflage um die KapitelWahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik einschließlich der zugehörigen Tabellen trägt der ständig zunehmenden Bedeutung dieser Sachgebiete für Ingenieure und Naturwissenschaftler Rechnung. Kleinere Ergänzungen erfuhren insbesondere die Abschnitte Differentialrechnung und Integralrechnung. Die Bezeichnungsweise entspricht weitgehend den Empfehlungen des Deutschen Normenausschusses. Durch das ausführliche Sachverzeichnis ist ein rascher Zugriff auf gesuchte Stellen gewährleistet. Die Bearbeitung von Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik übernahm der als Mitautor eingetretene Dr. J. Erven. Unser Dank gilt Herrn Univ. Prof. Dr. B. Arnold, Hamburg, für die geleisteten Vorarbeiten. Ferner haben wir mehreren Kollegen für Verbesserungsvorschläge zu danken, die sich weitgehend berücksichtigen ließen.

Hingewiesen sei noch auf die seit vielen Jahren eingeführte „Ingenieurmathematik in Beispielen", die ebenfalls im R. OldenbourgVerlag erscheint. Hierin werden über 800 Beispiele mit vollständiger Wedergabe der Lösungswege behandelt.

H. Wörle, H. Rumpf, J. Erven

1. PLANIMETRIE Die Zahlen bei den Bildern geben die Reihenfolge der auszuführenden Konstruktionslinien an. Erläuternde Bemerkungen sind nur insoweit angeführt, als der Sachverhalt nicht unmittelbar ersichtlich ist. Geläufige Begriffe werden nur durch die Bilder erklärt.

1.1 Grundkonstruktionen 1. Übertragung des Winkels α an Gerade g im Punkt Ρ

2. Halbierung des Winkels α

3. Mittelsenkrechte m der Strecke AB ÄM = BM

4. Lot /auf Gerade; im Punkt Ρ

12

1. Planimetrie

5. Lot l durch Punkt Ρ auf Gerade g

6. Parallele ρ zur Geraden g durch Punkt Ρ

Antrag von α als Wechselwinkel bei Ρ nach 1.1.1.

P

7. Parallele ρ zur Geraden g im Abstand a

21

Lot auf g in Ρ (beliebig auf g) nach 1.1.4.; Parallele zu g durch Q mit α = 90° nach 1.1.6.

8. Teilung der Strecke Λ 5 in η gleiche Teile £(3)1! £(2) UND £(4) II £(2)

9. Teilung der Strecke Λ β im Verhältnis m :n £ c, \a - b \ < c. Der längeren (kürzeren) von zwei Seiten liegt der größere (kleinere) Winkel gegenüber. 2. Kongruenzsätze Kongruenz zweier Dreiecke liegt vor bei Übereinstimmung von je a) b) c) d)

drei Seiten (SSS), zwei Seiten und dem Zwischenwinkel (SWS), einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln (WSW), zwei Seiten und dem der längeren Seite gegenüberliegenden Winkel

(ÄSWO, e) einer Seite, einem anliegenden und dem gegenüberliegenden Winkel (^HOKongruenz bedeutet Deckungsgleicheit. 3. Ähnlichkeitssätze Ähnlichkeit zweier Dreiecke liegt vor bei a) Proportionalität aller entsprechender Seiten, b) Gleichheit aller entsprechender Winkel, c) Gleichheit zweier entsprechender Winkel und Proportionalität der entsprechenden, diesen Winkeln anliegenden Seiten, z.B. ß l = ß 2 , al:a2=c1:c2, d) Proportionalität zweier Paare von Seiten und Gleichheit der Gegenwinkel der jeweils größeren Seiten, z.B. at:a2 =Cj:c2Aai >Ci,aj =a2. Die Rächen ähnlicher Dreiecke verhalten sich wie die Quadrate entsprechender Seiten.

.

14

1. Planimetrie

4. Vierstreckensatz { S Ä ! ) : ( S I I J ) = (A ! ß , ) : (Α 2 Β 2 ) = ( Μ , ) : ( S ¿ ? 2 ) = ( S Q ) : ( S C 2 ) ,

( & 4 , ) : ( S S , ) = (A2Al):(B2B1)

=

(SA2):(SB2),

Λ^.ΙΙ-Β,Β,ιιο,Ο, 5. Teilungsverhältnis Die Strecke AB wird durch einen auf ihrer Trägergeraden AB liegenden, von Β verschiedenen Punkt Q im Teihingsverhältnis λ € IR geteilt, fallsAQ = QB-λist.(Vektoren siehe S. 82)! Das Teilungsverhältnis ist positiv, wenn der Teilpunkt innerhalb der zu teilenden Strecke, negativ, wenn er außerhalb derselben liegt (siehe auch S. 152). AB wird durch die Punkte X^ und X2 harmonisch geteilt, falls ÁX¡ = X1 Β· λ und AX2 = JSr2ß-(-X)ist. Die Figur zeigt die Konstruktion für ein rationales Teilungsverhältnis λ = ^ mit m, η € Ζ Der Kreis mit Χχ X2 als Durchmesser ist der geometrische Ort aller Eckpunkte Ρ der Dreiecke ABP mit gegebener Seite AB, für die AP = PB · | λ | ist (APOLLONIOS).

6. Spezielle Transversalen im Dreieck

1.2 Dreieck

15

In je einem Punkt schneiden sich a) die drei Mittelsenkrechten ma,mb, mc auf die Seiten a,b,c (Mittelpunkt des Umkreises mit Radius r), b) die drei Winkelhalbierenden w a , W ß , w 7 der Winkel α, β, γ (Mittelpunkt des Inkreises mit Radius p), c) die drei Höhen ha,hb, hc durch die Ecken A,B, Cauf die Seiten a, b, c, d) die drei Seitenhalbierenden sa, sb, sc durch die Ecken A, B, Cund die Mitten der gegenüberliegenden Seiten a, b, c (Schwerpunkt der Dreiecksfläche). Schwerpunkt, Umkreismittelpunkt und Höhenschnittpunkt liegen auf der EuLERschen Geraden. Die Halbierende eines Innenwinkels (Außenwinkels) teilt die dem Winkel gegenüberliegende Seite innen (außen) im Verhältnis der beiden diesem Winkel anliegenden Seiten, z.B. c:b =BD :DC. Der Schwerpunkt S teilt den Abschnitt jeder Seitenhalbierenden innen im Verhältnis 1:2 so, daß die größere Strecke an der Ecke liegt.

7. Flächenformeln Mit den obigen Bezeichnungen gilt fur lie Dreiecksfläche A = ì α·Α β = \b'hb

=|

chc,

A = y/s(s - a) (s - b) (s - c) mit s

(HERON/scAe Formet)

a + b+c , 2

. a-b'C A=—— = p-s 4r Siehe auch S. 120.

8. Rechtwinkliges Dreieck Das Quadrat über der Hypotenuse ist flächengleich der Summe der Quadrate über den Katheten: a2 + b2= c2 mit c als Hypotenuse (Satz des PYTHAGORAS).

16

1. Planimetrie

Das Quadrat über der Höhe ist flächengleich dem Rechteck aus der Projektion der Katheten auf die Hypotenuse: h2 =P'q

(Höhensatz).

Das Quadrat über einer Kathete ist flächengleich dem Rechteck aus der Hypotenuse und der Projektion dieser Kathete auf die Hypotenuse: a2 = c q , b2 = c p

(Kathetensatz

d e s EUKLID).

Die Hypotenuse ist ein Durchmesser des dem rechtwinkligen Dreieck umbeschreibbaren THALESkreises. Sein Mittelpunkt M halbiert die Hypotenuse. 9. Gleichschenkliges Dreieck

Gleichlange Schenkel AC und BC, gleichgroße Basiswinkel α bei A und B. Die Abschnitte der Mittelsenkrechten mc, Winkelhalbierenden Wy und Seitenhalbierenden sc sind so lang wie die Höhe hc und fallen mit dieser zusammen. £

«

Fläche A = — · s/Aa1 - c1 = 2- a2 sin γ. 4 a2 Sonderfall: γ = 90°: c =a \¡2, Λ = — .

10. Gleichseitiges Dreieck

Gleichlange Seiten AB =BC

=CÄ=a.

Gleichgroße Winkel bei A, B, C, jeweils α = 60°. Die Abschnitte aller Mittelsenkrechten, Winkelhalbierenden und Seitenhalbierenden sowie die Höhen sind gleich lang; alle einander zugeordneten Strecken fallen jeweils zusammen. Fläche A =

2

u2

yß =—· yß = | r2-\/3

Bezeichnungen siehe S. 15.

= 3 ρ 2 · λ/3;

1.3 Kreis

17

1.3 Kreis Der Kreis ist der geometrische Ort aller Punkte, die vom Punkt M, dem Kreismittelpunkt, gleiche Abstände haben. 1. Peripheriewinkelsätze

Der Zentriwinkel über einem Kreisbogen ist doppelt so groß wie jeder der zugehörigen PeripheriewinkeL

M = Mittelpunkt AB = Durchmesser CM = Radius oder Halbmesser a = Zentriwinkel oder Mittelpunktswinkel β = Peripheriewinkel oder Umfangswinkel AD = Bogen

Der geometrische Ort aller Punkte P, von denen aus die Strecke AD unter dem Winkel β oder 180° — β erscheint, sind die zwei Kreise mit AD als Sehne und β als Peripheriewinkel. Sonderfall^Fürβ = 90° ergibt sich der THALESkreis mit AD als Durchmesser.

2. Tangente im Kreispunkt Ρ

Die Tangente t steht senkrecht auf dem Radius MP.

3. Tangenten an Kreis Κ vom Punkt Q außerhalb Κ m

=

öT2-,nf2i.MQ·

Τχ T2 = Polarenabschnitt MQ

18

1. Planimetrie

4. Sehnensatz, Sekantensatz, Sekanten-Tangentensatz ÄP-PB = CP-PD, QË-QF = QG'QH

^QT2.

5. Goldener Schnitt Stetige Teilung der Strecke AB : ÄB:ÄP=ÄP:

PB,

1). P B ~ { 3-V5).

6. Chordale Geometrischer Ort aller Punkte Ρ mit gleichlangen Tangentenabschnitten an zwei Kreise Kl und K2 (Potenzlinie). PT\

=PT2.

Bei sich schneidenden Kreisen ist die Chordale die gemeinsame Sekante, bei sich berührenden Kreisen die gemeinsame Tangente. Die Konstruktion der Chordale bei sich nicht schneidenden Kreisen kann durch Verwendung der Hilfskreise Hy und H 2 erfolgen.

Kontrolle: Die Chordale steht senkrecht auf der Zentralen durch die Kreismittelpunkte Μγ und M2.

1.4 Viereck

g(6) II g(4).

g(7) > g(8) -1- Zentralabstand

19

M1M2

Die äußeren (ä) bzw. inneren (b) Tangentenpaare schneiden sich jeweils auf der Geraden durch die Kreismittelpunkte Mx und M2. Die Länge des über die beiden Kreise gelegten gespannten Bandes (Riemengetriebe) beträgt im Fall ®

mit M1M2

L = 2 s/(MyM2)2

- (R - r)2 + 2 (R - r) arc sin f

\M1M2 /

im Fall ( b ) mit M^M2>R L = 2V M W

>\R-r\: ) + n(R

+r:

- (R + r)2 + (R + r) [π + 2 • arc sin ( L \M1M2/

1.4 Viereck 1. Parallelogramm

Gleichlange Gegenseiten: a = c, b = d . Gleichgroße diametrale Innenwinkel: α = y, β = δ. Die Diagonalen A C und BD halbieren sich im Flächenschwerpunkt S. Fläche A = a-ha = b'hb=a'b'sinß = a · b · sin a.

=

2. Raute

Alle Seiten sind gleich lang und die diametralen Innenwinkel gleich groß: a = y,ß=S. Die Diagonalen stehen aufeinander senkrecht und halbieren sich im Flächenschwerpunkt S.

)1 j

+r),

20

1. Planimetrie

Fläche Λ = α · Λ = a 2 · sin α = β 2 · sin 0 ;

Inkreisradius ρ = —.

3. Rechteck

Gleichlange Gegenseiten; alle Innenwinkel 90°. Die gleichlangen Diagonalen halbieren sich im Schwerpunkt S. Fläche A = a · b ; Umkreisradius r =

V®2 + b2.

4. Quadrat

Alle Seiten sind gleich lang und alle Innenwinkel 90°. Die gleichlangen Diagonalen stehen aufeinander senkrecht und halbieren sich im Schwerpunkt S. Fläche A = a 2 ; a

a

/—

Inkreisradius ρ = —, Umkreisradius r = — ν 2 . 2 2 5. Trapez

Zwei Gegenseiten sind parallel: AB || CD. Länge der Mittelparallelen a + c m =-

e

a + c

Fläche A = —— · h.

C

A " Allí

Sonderfall: Für a = β gleichschenkliges Trapez mitylD = BC und gjeichlangen Diagonalen A C = BD. Die Mittelsenkrechten der Schenkel AD und BC schneiden sich im Umkreismittelpunkt M. 6. Tangentenviereck

Die Summe zweier Gegenseiten ist gleich dem halben Viereckumfang: ^=ÄB

+ CD = BC + DÀ.

1.5 Vieleck

21

7. Sehnenviereck

Die Summe diametraler Winkel beträgt 180°: α + γ=/3 + δ = 180°. Fläche A = V 0 - à) (s - b) (s - c) (s - d) a+b+c+d mit s = • AC-BD=ac + bd.

(PTOLEMÄUS)

1.5 Vieleck 1. Allgemeines n-Eck

Jedes Polygon mit η Ecken läfet sich immer in η - 2 Dreiecke zerlegen. Die Polygonfläche kann als Summe der einzelnen Dreiecksflächen berechnet werden (siehe auch S. 153). K-1 α =

n—2 av. v= 1

Σ

Für die Summe der Innenwinkel eines η-Ecks gilt: ¿ o¡v = (w — 2)· 180° v=l Die Anzahl der Geraden durch je zwei nicht benachbarte Ecken ist »-§(»-3). 2. Kongruenzabbildungen

Spiegelung an einer Geraden g Jeder nicht auf g liegende Punkt Pl wird in einen Punkt P2 so übergeführt, dafiΡγΡ2 senkrecht auf g und von g halbiert wird. Alle Punkte von g sind Fixpunkte.

/Μ,ρ,βιΙίε-,^ιιβ,β,ιίΕ,ίί,υΛΛ

22

1. Planimetrie

Parallelverschiebung Jeder Punkt Ρχ wird durch den gleichen freien Vektor (siehe Seite 82) in einen Punkt P2 übergeführt.

c,

Eine Parallelverschiebung kann stets durch zwei aufeinanderfolgende Spiegelungen an zwei parallelen Geraden g und g ersetzt werden.

Drehung Jeder Punkt Ρχ wird bezüglich des Zentrums Ζ um den gleichen gerichteten Winkel α = * Ρ ι ZP 2 nach einem Punkt P2 gedreht. Ζ ist Fixpunkt. Eine Drehung kann stets durch zwei aufeinanderfolgende Spiegelungen an zwei sich in Ζ schneidenden Geraden g und g ersetzt werden.

Α,

XrA¡ZA2=*BlZB1=X,ClZC1 = x,DlZD2=a

3. Ähnlichkeitssätze

Ähnlichkeit zweier Polygone liegt vor, wenn alle entsprechenden Winkel gleiche Größe besitzen und das Verhältnis k aller zugeordneten Strecken konstant ist. Bei paarweiser Parallelität sämtlicher zugeordneter Seiten zweier ähnlicher Vielecke befinden sich diese in ähnlicher Lage und es schneiden sich die Geraden durch die einander entsprechenden Ecken im Ähnlichkeitspunkt.

···

Äa = äußerer Ähnlichkeitspunkt Ät = innerer Ähnlichkeitspunkt

1.5 Vieleck

23

4. Ähnlichkeitsabbildungen

Zentrische Streckung Jeder Punkt P1 wird in einen Punkt P2 auf der durch das Zentrum Ζ verlaufenden Geraden ZPi so übergeführt, daß ZP2 = Z ? i · 1*1 mitfc=t=0. Für k > 0 (fc < 0) liegt der Fixpunkt Ζ außerhalb (innerhalb) der Strecke P [ P 2 . Drehstreckung Jeder Punkt Pl wird durch Aufeinanderfolge einer Drehung um das Zentrum Ζ und Streckung bezüglich des gleichen Zentrums Ζ in einen Punkt P2 übergeführt. Ζ ist Fixpunkt. 5. Reguläres n- Eck Gleichlange Seiten an und gleichgroße Innenwinkel Der Umfang des umbeschreibbaren Kreises vom Radius r wird durch die Eckpunkte des Polygons, der Umfang des einbeschreibbaren Kreises vom Radius ρ durch die Mittelpunkte der Polygonseiten in η gleiche Teile zerlegt. Der Schwerpunkt des η-Ecks fällt mit den Mittelpunkten der beiden Kreise zusammen. Fläche A„ = ^ · α η · ρ ; Umfang U„ =η·α„ ; FlächeA2n=yUn;r*=P2+fëJ ;

an-a2nf^)\

a2n =

r]Pf^.

-H) - -

-180°.

24

1. Planimetrie

6. Reguläres 6-Eck

a 6 = r = | p V 3 ; Ρ = ~ \/3; ¿ 6 = f r 2 V3 = 2 p 2 V 3 ; Al2 =

3r*.

Konstruktion: a 6 = τ. (Gleichseitiges Dreieck siehe S. 16). 7. Reguläres 8-Eck a%

= r s / l - s / 2 = 2pÜ2-

1);

p

= ^ ( i + V 2 ) = ^ V 2 + V2;

/18 = 2gg (1 + \/2) = 2 r 2 V2 = 8 p 2 (\/2 — 1); Al6 = 4 r

2

y/2-\j2.

Konstruktion: Halbierung der Winkel zweier senkrechter Kreisdurchmesser. 8. Reguläres 10-Eck

«io =

1)

=

V25-IOV5;

= j n / 5 0 ^ - 10 V/5; ρ

= ^ 2 x ^ 7 2 ^ 2

=7n/iO+2V5; 4

Λ 10 = § α ι 2 \ / 5 + 2 V 5 = I r 2 \ / l 0 - 2 \ ß = 2 p

2

\ / 2 5 - 10 \ / 5 ;

¿20 = f ' 2 ( V S - 1 ) · Konstruktion: a l 0 ist der längere Abschnitt des nach dem Goldenen Schnitt geteilten Radius. (Siehe S. 18.)

1.6 Kreismessung 9. Reguläres 5-Eck α5 = - ^ 1 0 - 2 v/5

= 2 p V s - 2 V5;

r

= γ ^ \/50 + 10\/5

ρ

= ¿ ( v / 5 + 1); 4 - 2 ( = j a¡ v/25 + 10 \ / 5 = - ^ - \ / l 0 + 2 v/5 = 5 p2 y/δ — 2 v/5. 10

=p(V5-l);

V25+10V5

4

o 2

2

Konstruktion: a s =/· +

.

10. Näherungskonstruktion Zur näherungsweisen zeichnerischen Ermittlung der Seitenlänge des dem Kreis vom Radius r einbeschreibbaren regulären K-Ecks mit η > 5 kann wie folgt verfahren werden: Der Kreisdurchmesser AB wird in η gleiche BC - • EB - • Teile zerlegt und bei Β ein weiterer Teilabschnitt BC auf der Verlängerung von AB angetragen. Die Gerade durch C unter 45° gegen AB schneidet den Kreis 3-ÄE. -ist, ungefähr so lang in D. Dann ist die Strecke ED, wobei EB ~ wie die gesuchte n-Eckseite an. 1.6 Kreismessung*) 1. Vollkreis Fläche A = r

d2 4

Umfang U = 2 rn = dir.

mit π = 3,141592653589... ; (LuDOLFseÄe Zahl)

r = Kreisradius d = Kreisdurchmesser 2 r, D = 2 R

*) Siehe auch S. 167.

25

26

1. Planimetrie

2. Kreisring

Fläche A = (R2 -r2)n=j

(D2 - d2) v.

Umfang U= 2 (R + r) π = (D +rf)ττ. 3. Kreissegment

Fläche Λ =

b - | (r - h) = £

· ττ - sin α).

Für h < s gilt die Näherung A » — ( 3 Λ2 + 4 s 2 ) . 6s Bogen b = r·

ru

180°

s Ol ,/a\ Segmenthöhe fc = - · tan — = 2r·sin 2 1 — 1 mit r als Radius, s als Sehne und α als Zentriwinkel, gemessen in Altgrad. Abstand des Flächenschwerpunktes S vom Kreismittelpunkt M\ ys

12 A

4. Kreissektor

r , air FlächeX=--6=r2·—0; Bogen b

=rα

'~^"n·

2 rs . a 240° Schwerpunktsabstand vv = —— = τ · sin — 3b 2 Tro 5. Kreisringsektor

Fläche A = \ (R-B - r · b ) = (R2 - r2)

απ ^

a , sin — R3 r 2 Schwerpunktsabstand y