Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler [6., ver. Aufl. Reprint 2015] 9783486812466, 9783486272550

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Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Von Professor

Dr. Rüdiger Bücker

6., verbesserte Auflage

R. Oldenbourg Verlag München Wien

Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Bücker, Rüdiger: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler / von Rüdiger Bücker. - 6., verb. Aufl.. München ; Wien : Oldenbourg, 2003 ISBN 3-486-27255-1

© 2003 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH Rosenheimer Straße 145, D-81671 München Telefon: (089) 45051-0 www.oldenbourg-verlag.de Das Werk einschließlich aller Abbildungen ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen. Gedruckt auf säure- und chlorfreiem Papier Druck: R. Oldenbourg Graphische Betriebe Druckerei GmbH ISBN 3-486-27255-1

5

Vorwort

Vorwort Wenn man sich auch inzwischen von der in den letzten Jahren stark anwachsenden Mathematitisierung des Studiums der Wirtschaftswissenschaften wieder entfernt, so spielt doch die Mathematik bei der Formulierung und Analyse betriebs- und volkswirtschaftlicher Problemstellungen eine weiter unumstrittene Rolle. Obwohl dabei im wesentlichen kaum Kenntnisse der höheren Mathematik erforderlich sind, hat sich in den vergangenen Jahren gezeigt, daß immer mehr Studenten mit immer weniger mathematischen Vorkenntnissen das Studium der Wirtschaftswissenschaften aufnehmen. Hinzu kommt, daß ein hoher Prozentsatz der Studenten eine unerklärliche Scheu vor exakten mathematischen Formulierungen und Symbolen besitzt. Anderseits ist das Fach „Mathematik" an allen Universitäten und Fachhochschulen unabänderlicher Bestandteil des Grundstudiums, der für einen erfolgreichen Abschluß des Studiums zu überwinden ist. Aufgrund langjähriger Lehrerfahrungen sind wir zu dem Schluß gekommen, daß eine übertrieben mathematisch-exakte Darstellungsweise, ein Schwelgen in möglichst griechischen Symbolen und eine Aufbereitung des Stoffes ohne Einbeziehung ökonomischer Anwendungsbeispiele den Studenten bald resignieren läßt. Wir haben uns daher bemüht, die Darstellung möglichst einfach und auch für das nicht mathematisch geschulte Auge verständlich zu halten. Auf Beweise haben wir weitgehend verzichtet; wo wir dennoch hin und wieder den Weg eines Beweises aufzeigen, soll dies dem etwas tieferen Einstieg in die mathematische Abstraktion dienlich sein. Bei der Symbolik haben wir wechselnde und griechische Symbole vermieden, es sei denn, daß sie in der wirtschaftswissenschaftlichen Literatur allgemein so verwendet werden. Wir glauben damit, daß der Durchschnittsstudent in der Lage sein müßte, das vorliegende Lehrbuch lesen und durcharbeiten zu können, zumal eine Fülle von ökonomischen Anwendungsbeispielen ihm zeigen müßte, daß hier die Mathematik nicht als „l'art pour Part" betrieben wird. Die Menge der Beispiele soll den Studenten anregen, diese unbedingt mit einem „spitzen Bleistift" nachzuvollziehen. Hier reicht ein bloßes Durchlesen des Stoffes nicht aus, um später in der Klausur eine entsprechende Aufgabe zu lösen. Anderseits eignet sich daß vorliegende Lehrbuch wegen seiner einfachen Darstellungsweise auch hervorragend für den Praktiker, um sich den einen oder anderen ökonomischen Zusammenhang zu vergegenwärtigen. Gerade im Hinblick auf den Praxisbezug erschien es uns notwendig, das breite Spektrum der Wirtschaftsmathematik möglichst vollständig abzudecken. Für den Studenten bedeutet das aber auch, daß er je nach Prüfungsanforderungen im Fach „Mathematik" im Grundstudium das eine oder andere Kapitel überschlagen kann. Möglicherweise wird er dann später im Hauptstudium darauf zurückgreifen. Auch die vorliegende Reihenfolge des Aufbaus ist nicht zwingend, so daß auch mit der Linearen Algebra begonnen werden kann, um erst anschließend die Infinitesimalrechnung zu behandeln. Es erschien uns unerläßlich, das vorliegende Lehrbuch mit einem Kapitel über elementare Grundlagen zu beginnen. Gerade mangelnde Kenntnisse in diesem Bereich haben aufgrund unserer Erfahrungen so manches Klausurergebnis negativ beeinflußt. Im zweiten Kapitel werden die für ökonomische Zusammenhänge wichtigen

6

Vorwort

Funktionen behandelt. Das dritte Kapitel über Folgen, Reihen und Grenzwerte dient der Überleitung zur Differentialrechnung, die im vierten und fünften Kapitel die Problematik der Bestimmung ökonomischer Optima aufwirft. Das sechste Kapitel widmet sich den Elastizitäten als Sonderfall der Differentialrechnung. Daran schließt sich im siebten Kapitel die Integralrechnung zur Flächenberechnung bei ökonomischen Funktionen an. Mit einer Einführung in das Problem der Differentialgleichungen wird dann die Infinitesimalrechnung beendet. Anschließend behandeln wir im neunten Kapitel das Gebiet der linearen Algebra, das i.d.R. im Mathematik-Unterricht der meisten Schulen gar nicht oder nur kurz behandelt wird, aber besonders bei der Lösung von Entscheidungsproblemen und der übersichtlichen Darstellung von Verknüpfungsproblemen in den Wirtschaftswissenschaften nicht wegzudenken ist. Eine knappe Darstellung der Kombinatorik im zehnten Kapitel ist Voraussetzung für die Behandlung der Wahrscheinlichkeitsrechnung im elften Kapitel, die wiederum Grundlage für die schließende Statistik ist. Das letzte Kapitel über Netzplantechnik mag auch den Verfahren des Operations Research zugeordnet werden. Da aber häufig die Studenten Lehrveranstaltungen mit dieser Thematik scheuen, glauben wir, daß damit die Studenten auch einen Einblick in moderne Planungsverfahren erhalten. Die anschließenden Übungsaufgaben mit Lösungen und die Musterklausuren dienen der Vertiefung des Stoffes und sollten von den Studenten eifrig durchgearbeitet werden. Vorwort zur vierten Auflage

Die Tatsache, daß mittlerweile die dritte Auflage schon wieder vergriffen ist, hat uns veranlaßt, die Grundkonzeption des Lehrbuchs unverändert zu lassen. Allerdings war die Gestaltung im Schriftbild als auch bei den graphischen Darstellungen stark verbesserungswürdig, so daß es uns notwendig erschien, die vierte Auflage völlig neu zu gestalten. Dabei wurde der Text größtenteils in Blocksatz und eineinhalb-zeilig geschrieben. Die bisher schon zahlreichen Abbildungen wurden mittels PC erstellt, und viele neue Graphiken wurden hinzugefügt. Die mittlerweile ca. 200 Abbildungen sollen die z.T. sehr abstrakte Materie verständlicher machen nach dem Motto „ein Bild sagt mehr als 1000 Worte". Die Musterklausuren sind erheblich erweitert worden, womit der Anreiz zur guten Klausurvorbereitung sich erhöht haben sollte. Einige schwer verständliche Abschnitte sind neu verfaßt worden und damit selbst für den mathematisch wenig vorgebildeten Leser leicht zu verstehen. Abschließend bleibt nur zu hoffen, daß beim Abschreiben des Textes sich nicht wieder neue Fehler eingeschlichen haben, die sich insbesondere bei mathematischen Texten gern einschleichen.

Rüdiger Bücker

Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis

8

Vorwort

6

1

Elementare Grundlagen

18

1-1

Das Zahlensystem

18

1-2

Grundlagen der Mengenlehre

25

1-2-1

Der Begriff der Menge

25

1-2-2

Mengenoperationen

26

1-2-3

Mengenalgebra

27

1-2-4

Produkte von Mengen

28

1-2-5

Relationen und Abbildungen

29

1-3

Grundbegriffe der Logik

30

1-4

Arithmetische Grundlagen

32

1 -4-1

Die vier Grundrechenarten

32

1-4-2

Potenzen

35

1-4-3

Wurzeln

36

1-4-4

Logarithmen

38

1-4-5

Klammern und Brüche

40

1 -5

Grundzüge der Planimetrie, Stereometrie, Trigonometrie

43

1-5-1

Planimetrie

43

1-5-2

Stereometrie

46

1 -5-3

Trigonometrie

47

1-6

Gleichungen

48

1-7

Ungleichungen

56

2

Funktionen

60

2-1

Der Funktionsbegriff.

60

2-2

Darstellung von Funktionen

62

Inhaltsverzeichnis

9

2-2-1

Tabellarische und analytische Darstellung

62

2-2-2

Graphische Darstellung

62

2-3

Begriffe und Bezeichnungen bei Funktionen

65

2-3-1

Die Steigung einer Funktion

65

2-3-2

Verknüpfung von Funktionen

66

2-3-3

Explizite und implizite Funktionen

67

2-3-4

Die Inverse einer Funktion

68

2-3-5

Gleichheit von Funktionen

69

2-4

Eigenschaften von Funktionen

70

2-4-1

Monotonieverhalten

70

2-4-2

Krümmungsverhalten - Wendepunkte

71

2-4-3

Symmetrieeigenschaft

72

2-4-4

Nullstellen von Funktionen

73

2-4-5

Das absolute Glied einer Funktion

74

2-4-6

Schranken von Funktionen

75

2-4-7

Variablentransformation

75

2-5

Elementare Funktionen

77

2-5-1

Klassen von Funktionen

77

2-5-2

Einige spezielle Funktionen

78

2-5-3

Polynome

80

2-5-4

Gebrochen rationale Funktionen

88

2-5-5

Algebraisch irrationale Funktionen

93

2-5-6

Trigonometrische Funktionen

94

2-5-7

Exponential- und Logarithmusfunktionen

98

2-6

Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

102

2-6-1

Einführung

102

2-6-2

Homogene Funktionen

103

2-6-3

Darstellung

103

2-7

ökonomische Funktionen

109

Inhaltsverzeichnis

10

2-8

Grundlagen der analytischen Geometrie

119

2-8-1

Punkte in einem Koordinatensystem

119

2-8-2

Die Gerade

120

2-8-3

Die Parabel

121

2-8-4

Der Kreis

124

2-8-5

Die Ellipse

126

2-8-6

Die Hyperbel

127

3

Folgen, Reihen, Grenzwerte, Finanzmathematik

129

3-1

Folgen

129

3-2

Reihen

132

3-3

Grenzwerte

133

3-3-1

Grundlagen

133

3-3-2

Monotone und beschränkte Folgen

135

3-3-3

Häufungspunkte

135

3-3-4

Konvergente Folgen

136

3-3-5

Konvergenz bei Reihen

137

3-3-6

Konvergenz bei Funktionen

139

3-4

Finanzmathematik

141

3-4-1

Zinsrechnung

141

3-4-1-1

Einfache Verzinsung

141

3-4-1-2

Einfaches Abzinsen

142

3-4-1-3

Zinseszinsrechnung

143

3-4-1-4

Ratenkreditgeschäft

146

3-4-1-5

„Bargeld sofort"

148

3-4-2

Rentenrechnung

150

3-4-2-1

Nachschüssige Renten

150

3-4-2-2

Vorschüssige Renten

151

3-4-2-3

Weitere Problemstellungen der Rentenrechnung

152

Inhaltsverzeichnis

11

3-4-3

Tilgungsrechnung

154

3-4-3-1

Tilgungsarten

154

3-4-3-2

Ratentilgung

155

3-4-3-3

Annuitätentilgung

155

3-4-4

Grundzüge der Investitionsrechnung

158

3-4-4-1

Allgemeine Grundlagen

158

3-4-4-2

Statische Verfahren

159

3-4-4-3

Dynamische Verfahren

160

3-4-5

Abschreibungsverfahren

163

4

Differentialrechnung bei Funktionen mit einer unabhängigen Variablen

165

4-1

Vom Differenzen-zum Differentialquotienten

165

4-2

Ableitungsregeln

170

4-3

Das Differential

179

4-4

Höhere Ableitungen

180

4-5

Analyse von Funktionen mittels Differentialrechnung

182

4-5-1

Bestimmung von Extremwerten und Sattelpunkten

182

4-5-2

Bestimmung des Monotonieverhaltens

188

4-5-3

Bestimmung von Wendepunkten

189

4-5-4

Bestimmung von Nullstellen nach Newton

190

4-5-5

Grenzwertbestimmung unbestimmter Ausdrücke

192

4-5-6

Beispiele zur Analyse von Funktionen

193

4-6

Differentialrechnung bei ökonomischen Problemstellungen

198

4-6-1

Kostenanalyse

198

4-6-2

Gewinnmaximum beim Monopolbetrieb

201

4-6-3

Gewinnmaximum beim Duopol

202

4-6-4

Gewinnmaximum bei vollständiger Konkurrenz

205

4-6-5

Optimale Bestellmenge

206

12

Inhaltsverzeichnis

4-6-6

Optimale Losgröße

207

4-6-7

Minimalkostenkombination

209

4-6-8

Analyse des Ertragsgesetzes

210

4-6-9

Analyse von Wachstumsfunktionen

211

5

Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

215

5-1

Allgemeine Problemstellung

215

5-2

Partielle Ableitungen

217

5-3

Tangentialebene

221

5-4

Partielle Differentiale und totales Differential

223

5-5

Differentiation impliziter Funktionen

225

5-6

Totale Ableitung

226

5-7

Extremwerte bei Funktionen mit mehreren Variablen

226

5-7-1

Extrema bei Funktionen mit zwei unabhängigen Variablen

226

5-7-2

Extrema bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

233

5-7-3

Optimierung unter Nebenbedingungen in Gleichungsformen

235

5-8

Anwendung der partiellen Differentiation bei ökonomischen Problemstellungen

247

5-8-1

Das Eulersche Theorem bei Produktionsfunktionen

247

5-8-2

Die Grenzrate der Substitution

250

5-8-3

Gewinnmaximum beim Monopol mit zwei Produkten

252

5-8-4

Gewinnmaximierung bei Preisdifferenzierung

253

5-8-5

Bestimmung von Funktionen nach dem Kriterium der kleinsten Quadratsumme

255

5-8-6

Gewinnmaximum bei begrenztem Werbebudget

258

6

Elastizitäten

260

6-1

Problemstellung und Begriff der Elastizität

260

Inhaltsverzeichnis

13

6-2

Von der Bogenelastizität zur Punktelastizität

261

6-3

Geometrische Interpretation der Elastizität

263

6-4

Regeln für die Bestimmung von Elastizitäten

266

6-5

Partielle Elastizitäten

268

6-6

Elastizitäten in der ökonomischen Theorie

269

6-7

Weitere Beispiele zur Elastizität

272

7

Grundzüge der Integralrechnung

274

7-1

Einführung

274

7-2

Die Beziehung zwischen bestimmtem und unbestimmtem Integral

277

7-3

Integrationsregeln

279

7-3-1

Integrale häufig auftretender Funktionen

279

7-3-2

Partielle Integration

280

7-3-3

Integration durch Substitution

282

7-3-4

Integration durch Partialbruchzerlegung

283

7-3-5

Numerische Integration

285

7-3-6

Besonderheiten bei bestimmten Integralen

286

7-3-7

Uneigentliche Integrale

287

7-4

Mehrfach - Integrale

288

7-5

Integrale mit Parametern

290

7-6

Integralrechnung bei ökonomischen Problemstellungen

292

7-6-1

Die Konsumentenrente

292

7-6-2

Die Produzentenrente

293

7-6-3

Bestimmung von Gesamtfunktionen aus Grenzfunktionen

294

8

Grundzüge der Differentialgleichungen

296

8-1

Allgemeine Grundlagen

296

8-2

Die allgemeine Differentialgleichung 1. Ordnung

298

Inhaltsverzeichnis

14

8-2-1

Geometrische Interpretation

298

8-2-2

Lösung von DGIgn. 1. Ordnung durch Trennung der Variablen

299

8-2-3

Lösung von DGIgn. durch Trennung der Variablen mittels Substitution

302

8-2-4

Die totale Differentialgleichung

303

8-2-5

Lineare Differentialgleichungen

306

8-3

Differentialgleichungen 2. Ordnung

309

8-3-1

Einfache DGIgn. 2. Ordnung

309

8-3-2

Lineare DGIgn. 2. Ordnung

311

8-4

Differentialgleichungen höherer Ordnung

314

8-5

Differenzengleichungen

315

8-6

Differentialgleichungen bei ökonomischen Problemen

319

9

Lineare Algebra

322

9-1

Matrizen und Vektoren

322

9-1-1

Grundbegriffe

322

9-1-2

Operationen mit Matrizen und Vektoren

326

9-1-2-1

Addition von Matrizen und Vektoren

326

9-1-2-2

Multiplikation von Matrizen und Vektoren

327

9-1-3

Linearkombination, lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit

334

9-1-4

Die Inverse einer Matrix

341

9-1-5

Matrizengleichungen

350

9-1-6

Rang einer Matrix

352

9-1-7

Determinanten

353

9-1-7-1

Begriffsbestimmung

353

9-1-7-2

Berechnung von Determinanten

356

9-1-7-3

Eigenschaften von Determinanten

358

9-1-7-4

Inversenbestimmung mit adjungierter Matrix

360

9-2

Lineare Gleichungssysteme

361

Inhaltsverzeichnis

15

9-2-1

Begriff des linearen Gleichungssystems

361

9-2-2

Kriterien für die Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme

363

9-2-3

Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme

368

9-2-3-1

Das Eliminationsverfahren

368

9-2-3-2

Der Gauß'sehe Algorithmus

371

9-2-3-3

Die Cramer Regel

373

9-2-3-4

Lösung mittels der Inversen

374

9-2-3-5

Lösung mit dem Austauschverfahren

375

9-3

Eigenwerte und quadratische Formen

376

9-4

Anwendung linearer Algebra bei ökonomischen Problemen

378

9-4-1

Input - Output - Analyse

378

9-4-2

Modell einer Materialverflechtung

382

9-5

Einführung in die lineare Optimierung

385

9-5-1

Grundbegriffe und einführendes Beispiel

385

9-5-2

Das Simplex - Verfahren

388

9-5-3

Sonderfälle des Maximierungsproblems

394

9-5-4

Das Maximierungsproblem und Dualität

398

9-5-5

Das Transportproblem

401

9-5-6

Abschließende Bemerkungen

409

10

Kombinatorik

41 o

10-1

Problemstellung und Grundbegriffe

410

10-2

Fakultäten und Binomialkoeffizienten

410

10-3

Permutationen, Transpositionen, Inversionen

412

10-4

Variationen

413

10-5

Kombinationen

414

11

Wahrscheinlichkeitsrechnung

416

11-1

Einige Grundbegriffe

416

16

Inhaltsverzeichnis

11-2

Der Begriff der Wahrscheinlichkeit

417

11-2-1

Die klassische Wahrscheinlichkeit

417

11 -2-2

Die statistische Wahrscheinlichkeit

418

11 -2-3

Die Subjektive Wahrscheinlichkeit

419

11 -2-4

Das Gesetz der großen Zahl

420

11 -2-5

Das Axiomensystem der Wahrscheinlichkeit

421

11 -3

Sätze der Wahrscheinlichkeitsrechnung

422

11-3-1

Komplementäre Ereignisse

422

11-3-2

Der Multiplikationssatz bei Unabhängigkeit

423

11-3-3

Die bedingte Wahrscheinlichkeit

425

11-3-4

Stochastische Abhängigkeit und Unabhängigkeit

428

11-3-5

Der Multiplikationssatz in allgemeiner Form

430

11-3-6

Der Additionssatz in allgemeiner Form

431

11 -3-7

Der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit

432

11 -3-8

Das Theorem von Bayes

433

11 -4

Algorithmen der Wahrscheinlichkeitsrechnung auf der Grundlage der Ereignisalgebra

436

11-5

Entscheidungsbäume

438

12

Netzplantechnik

442

12-1

Einführung

442

12-2

Grundbegriffe der NPT

445

12-3

Die Methode des kritischen Weges (CPM)

447

12-3-1

Ausgangsbeispiel

447

12-3-2

Die Zeitplanung bei CPM

449

12-4

Programm Evaluation and Review Technique (PERT)

454

12-4-1

Grundlagen

454

12-4-2

Die Zeitplanung bei PERT

455

12-4-2-1 DieZeitschätzungen

455

Inhaltsverzeichnis

17

12-4-2-2 Die frühesten und spätesten Ereigniszeiten

457

12-4-2-3 Wahrscheinlichkeit der Ereignisse

458

12-4-2-4 Kritik an P E R T

461

12-5

Die Precedence - Diagramming - Methode

461

12-6

Kostenplanung und Netzplantechnik

464

12-7

Ein abschließendes Beispiel zu C P M

467

13

Einige Logeleien

469

14

Aufgaben

472

15

Lösungen

494

16

Musterklausuren

526

Literaturverzeichnis

556

1 Elementare Grundlagen

18

1 Elementare Grundlagen

1-1

Das Zahlensystem

Unbedingte Voraussetzung für Wirtschaft, Handel und Alltag ist der Umgang mit Zahlen und deren Verknüpfung (»Rechnen). Dies wiederum ist abhängig von der Einfachheit der Darstellung. Die einfachste Darstellung besteht in der Wiederholung eines einfachen Zeichens z.B. eines senkrechten Striches, wie wir es heute noch auf dem Bierdeckel einer Eckkneipe als Kontrollrechnung finden. Die Nachteile, großer Platzbedarf bei großen Zahlen und geringe Übersichtlichkeit, lassen sich zwar durch Bündelung (z.B.: römische Zahlen: V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, M = 1000; z.B.: CLXII = 162) z.T. ausräumen, bestehen bleibt aber das Problem komplizierter und unübersichtlicher Rechenregeln. Raumsparender erweist sich hier, jeder Zahl ein eigenes einfaches Symbol zuzuordnen, wie wir es heute mit den arabischen Zeichen tun. Hier wäre ein unbegrenztes Fortfahren der Symbolzuordnung denkbar, so daß man der 10, 11, 12 etc. jeweils ein eigenes Symbol geben würde. Wegen der Grenzen des menschlichen Erinnerungsvermögens empfiehlt sich diese Vorgehensweise allerdings nicht. Besser ist es, neue Symbole nur bis zu einer bestimmten Zahl zu vergeben und die folgende Zahl durch die Wiederholung des ersten Symbols in einer bestimmten Position und ein zusätzliches Symbol für eine Leerstelle (Null) zu kennzeichnen. Diese folgende Zahl, genannt Basis des Zahlensystems, kann natürlich frei gewählt werden. Das einfachste System hierbei ist das Dual- oder binäre System, in dem nur die beiden Zahlen 0 und 1 verwendet werden. 1 2 3

=

4 5 6 7 8

=

= =

= = = =

1 10

= 21

11 100 = 22 101 110 111 3 1000 = 2

9 10 11 12 13 14 15 16

= = = = = = = =

1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000= 2

Jede Zahl ergibt sich so aus der Addition von Potenzen der Basis 2, wobei die Position jeweils den Exponenten angibt. Damit hat die letzte Position jeweils den Exponenten 0, die vorletzte den Exponentenl etc. Die Ziffern 1 und 0 geben dabei an, ob die Potenz von 2 mit 1 oder mit 0 multipliziert wird.

1 Elementare Grundlagen

1011 = 1 -2 3 + 0 - 22 + 1 -2 1 + 1 - 2° = 8 + 0 + 2 + 1 =11

19

| | (2° = 1 !l)

11011 = 1 - 2 4 + 1 - 23 + 0 - 2 2 + 1 - 21 + 1 - 2° = 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = 27 Zweifellos hat das Dualsystem den Vorteil mit nur zwei Symbolen und sehr einfachen Additions- und Multiplikationsregeln auszukommen. Addition: 0 + 0 = 0 Multiplikation: 0 - 0 = 0 1+0 = 0 + 1=1 1 -0 = 0 1 + 1 =10 1-1=1 Der Nachteil besteht allerdings darin, daß dieses System wesentlich mehr Stellen (im 0 dreimal soviel) benötigt, und damit für das menschliche Auge schwer zu erfassen ist. Für Rechenmaschinen besteht in dem Vorhandensein von nur zwei Ziffern ein immenser Vorteil. Während bei alten mechanischen Maschinen noch Zahnräder mit zehn unterschiedlichen Stellungen verwendet wurden, um den Ziffern entsprechende physikalische Zustände zu schaffen, eignet sich das Dualsystem insofern für elektronische Rechenmaschinen, als hier jede Zahl durch eine zeitliche Folge von abgegebenen bzw. fehlenden Stromstößen dargestellt wird: Ziffer 1: ein abgegebener Stromstoß Ziffer 0: ein fehlender Stromstoß Das Addieren erfolgt nun so, daß zwei Dualzahlen über zwei Eingänge im Addierwerk stellengemäß einlaufen. Die Ausgangsleitung gibt keinen Strom weiter, wenn beide eine Null sind. Treffen eine Null und eine Eins zusammen, wird einmal ein Stromstoß weitergegeben. Kommen zwei Einsen zusammen, wird einmal Strom und einmal nicht Strom weitergegeben, also 10. Das Öffnen und Schließen erfolgt über Transistoren und erfolgt damit sehr schnell, so daß sich alle Rechenoperationen auf eine große Zahl elementarer Additionen zurückführen lassen. Das Sexagesimalsystem der alten Ägypter, Babylonier und Sumerer basiert auf der Basis 6, dessen Restbestände wir heute noch bei der Zeit (60 Minuten) und bei den Winkelminuten wiederfinden. Hier werden nur den ersten fünf Zahlen unterschiedliche Symbole gegeben, wobei dann der sechs das erste Symbol mit einem weiteren Nullstellensymbol zugeordnet wird. Unser heutiges Zahlensystem nennt man dekadisches System, weil es auf der Zehn als Basis beruht, was möglicherweise auf unsere zehn Finger zurückzuführen ist. Geschichtlich kam es von den Indern im 9.Jahrhundert über die Araber im 13.Jahrhundert nach Europa, wurde aber erst im 16.Jahrhundert durch Adam Riese das allgemein übliche System. Auch in diesem System wird die Basis nicht durch ein neues Ziffernsymbol, sondern durch Wiederholung der ersten Ziffer und durch das

1 Elementare Grundlagen

20

Lehrstellensymbol gekennzeichnet. Fortlaufende Potenzen der Basis werden durch eine fortlaufende Erhöhung der Position und entsprechende Wiederholung der Null bzw. durch Ziffern, die dem Vielfachen der Potenzen entsprechen, dargestellt. 2345 = 2 • 103 + 3 • 102 + 4 • 101 + 5 • 10° = 2 • 1000 + 3-100 + 4 - 1 0 + 5 - 1 = 2345 2102,347 = 2 • 103 + 1 • 102 + 0 • 101 + 2 • 10° + 3 • 10'1 + 4 • 10"2 + 7 • 10"3 Damit lassen sich nun große Zahlen einfach und übersichtlich darstellen. Gegenüber dem Dual- und Sexagesimalsystem benötigt man nicht so viele Stellen, so daß Zahlen, die noch unseren Lebenserfahrungen entsprechen, bequem mit den Augen aufgenommen werden können. Bei größeren Zahlen wie z.B. aus der Astronomie greift man dann zu einer Darstellung in 10er-Potenzen. Ein weiterer Vorteil liegt darin, daß das Rechnen mit großen Zahlen auf ein Rechnen mit Zahlen kleiner als 10 reduziert werden kann: 112-23 224 336 2576

Hier erfolgt die Multiplikation durch sukzessive Multiplikation und Addition einstelliger Zahlen.

Innerhalb unseres dekadischen Zahlensystems ist der Zahlbegriff von entscheidender Bedeutung. Zu unterscheiden sind hier die natürlichen, die ganzen, die rationalen, die reeleen und die komplexen Zahlen, wobei diese Aulzählung hierachischer Natur ist, d.h. die komplexen Zahlen umfassen auch die reellen, diese wiederum die rationalen, und diese die ganzen etc. Natürliche Zahlen (Symbol IN) Diese sind aus dem natürlichen Bedürfnis des Abzählens entstanden. Zu ihnen gehören alle positiven ganzen Zahlen. Damit gibt es eine Kleinste, nämlich die 1, aber keine Größte. In diesem Zahlenbereich sind Multiplikation und Addition unbeschränkt möglich, denn dabei ergibt sich jeweils wieder eine natürliche Zahl. Die Subtraktion dagegen ist nur möglich, wenn der Subtrahend kleiner ist; die Division ist gleichfalls nur möglich, wenn der Nenner ein Teil des Zählers ist Ganze Zahlen (Symbol IZ) Um auch die Subtraktion uneingeschränkt zu ermöglichen, ist die Einführung der Null und negativer ganzer Zahlen erforderlich. Damit besteht die Menge alier Ganzen Zahlen aus der Menge der natürlichen ganzen Zählen, der Menge der negativer ganzen Zahlen und der Null. Die ganzen Zahlen lassen sich anschaulich am Zahlenstrahl darstellen: Abb. 1-1 I

I

I

I

I

I

I I

I

I

I

I I

.... -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6....

1 Elementare Grundlagen

21

Rationale Zahlen (Q) Führt man zusätzlich zu den ganzen Zahlen auch noch Zahlen ein, die sich als Brüche bzw. Quotienten zweier ganzer Zahlen darstellen lassen, erhält man die Menge der rationalen Zahlen, die auch als endliche oder unendlich-periodische Dezimalbrüche geschrieben werden können. Im Bereich der rationalen Zahlen erhält man bei Anwendung der vier Grundrechenarten wieder rationale Zahlen, wobei die ex definitione nicht zulässige Division durch Null eine Ausnahme darstellt. Reelle Zahlen (IR) Nun gibt es Zahlen, die sich nicht als endliche oder unendlich-periodische Dezimalbrüche, sondern als unendliche, nichtperiodische Dezimalbrüche darstellen. Dazu gehört z.B. y]2 = 1,414213... oder n = 3,1415926... oder e = 2,7182818... . Diese Zahlen nennt man irrationale Zahlen, die zusammen mit den rationalen Zahlen die Menge der reellen Zahlen bilden. Kontinuum der reellen Zahlen Betrachten wir den Zahlenstrahl unter den ganzen Zahlen unter Einbeziehung der rationalen Zahlen, können wir uns vorstellen, daß jede beliebige Intervall zwischen zwei ganzen Zahlen durch eine unendliche Menge rationaler Zahlen (=Brüche) belegt ist und damit der Zahlenstrahl lückenlos und unendlich dicht besetzt ist. Betrachten wir dazu das Intervall zwischen 0 und 1: Abb. 1-2 t t i — i 0 1 1 1 "16 T T

1 1 T

T 1

Der Mittelpunkt dieses Intervalls ist 1/2; für das Intervall zwischen 0 und 1/2 ist 1/4 der Mittelpunkt; zwischen 0 und 1/4 liegt 1/8 und so könnte man beliebig fortfahren. Da diese Überlegungen für alle möglichen Intervalle gelten, kann man sagen, daß es eine unendliche Anzahl rationaler Zahlen zwischen zwei vorgegebenen rationalen Zahlen gibt. Diese Art der "Unendlichkeit" nennt man abzählbar unendlich. Man könnte nun vermuten, daß die "unendlich dicht" gepackten Punkte unsere Zahlengerade tatsächlich lückenlos ausfüllen. Das ist jedoch nicht der Fall. Denken wir hier an die Menge der irrationalen Zahlen, bleibt festzuhalten, daß es zwischen zwei beliebigen rationalen Zahlen zumindest eine irrationale Zahl gibt. Damit gibt es neben der abzählbar unendlichen Menge der rationalen Zahlen auch noch die abzählbar unendliche Menge der irrationalen Zahlen, die als Punktmenge auf der Zahlengerade unterzubringen ist. Als Beispiel zwei dicht beieinander liegende rationale Zahlen mit einer dazwischen liegenden irrationalen Zahl:

22

1 Elementare Grundlagen

0,1419252525... 0,141925252539399399939999... 0,1419262626...

rational irrational rational

Komplexe Zahlen (cC) Nun glauben wir, für alle Eventualitäten mit der Menge der IR auszukommen, müssen aber feststellen, daß es für x in der folgenden Gleichung keine Lösung im Bereich der IR gibt: x2 + 1 = 0 Formt man diese Gleichung entsprechend um, ergibt sich x = V T . Nun gibt es aber keine reelle Zahl, deren 2. Potenz negativ ist. Das hat dazu geführt, daß man eine neue Zahl definiert hat, die man die i m a g i n ä r e Einheit i nennt, wobei gilt: i 2 = -1 bzw. i = V T Damit läßt sich nun jede negative Quadratwurzel lösen, indem man mit (-1) erweitert und somit ein Produkt aus einer reellen Wurzel und der Wurzel aus -1 erhält. Beispiel 1-1 x2 + 6x + 13 = 0 hat die Lösung x1/2 = - 3 ± y f 4 = -3 ± 2 • V T x, = -3 + 2i Xj = -3 -2i Die Lösung des Beispiels 1-1 setzt sich additiv aus einer reellen und einer imaginären Zahl zusammen. Derartig zusammengesetzte Zahlen bezeichnet man als k o m p l e x e Zahlen, die allgemein wie folgt dargestellt werden: z = x + yi mit x, y 6 IR Damit läßt sich jede reelle Zahl auch als Spezialfall einer komplexen Zahl, deren imaginärer Teil y = 0 ist, ansehen. Da eine komplexe Zahl z aus einem Realanteil x und einem Imaginäranteil yi besteht, lassen sich x und y unabhängig voneinander variieren. Damit ist eine Darstellung an einer einzigen Zahlengerade nicht mehr möglich. Statt dessen nimmt man hier ein Koordinatensystem (Gaußsche Zahlenebene) zur Hilfe, in dem man komplexe Zahlen als Punkte einträgt. Dabei wird die Ordinate als imaginäre und die Abszisse als reelle Achse bezeichnet.

1 Elementare Grundlagen

Abb. 1-3

23

Darstellung komplexer Zahlen mit Gauß'scher Ebene y, \ -41

-2 + 2i r 1

!

i i 1 1 1 1 1 1 1 1

•: 4-

3+i 1 1 1 | 1 l l l I " 1 --'1-1

Rechenregeln Obgleich wir den Ausdruck -^fV weder berechnen noch uns vorstellen können, kann man mit komplexen Zahlen rechnen, wobei folgende Regeln zu beachten sind: Potenzen Da yfcT = i die Zahl ist, deren Quadrat -1 ergibt, gilt (-y/~-T)2 = i2 = -1; i3 = i2 • i = (-1) • i = -i; i4 = i3 • i = -i • i = -i2 = -(-1) = 1 allgemein gilt: i4n = 1 ;

i 4nt1 = i ;

1 :4n+2

1 . - _•) i

¡4n*3 = .j .

z.B. i "7 = ¡4'+1 = i Addition Hierbei werden Real- und Imaginärteil getrennt addiert. (x, + y, i) + (Xj + y2 i) = (x, + Xj) + (y, + y2) i z.B. (3 + 5i) + (2 - 3i) = 5 + 2i Multiplikation Ist identisch mit der Multiplikation algebraischer Summen. (Achtung: i 2 = -1 III) (x, + y, i) • (Xj + y2 i) = (x, Xj - y, y2)+ (x, y2 + x 2 y 1 ) i z.B. (1 - 3i) (2 + 4i) = (2 - (-12)) + (4 - 6) i = 14 - 2i Division Hier kann man versuchen, durch Erweitern den Nenner reell zu machen, (i2 = -1 II) +

Vi ' x2 +y2 i

(xi + Vi i) • (x, - y, i) (x2 + y2 i) • (x2 - y2 i)

2^3i z.B. 3 + i erweitertmit3-izB

xi xg + yi y2 + (-x, v, + x 7 y,)i 2 x22 + y22 JC,2 + y2

(2 - 3i) (3 - i) _ (2-31) (3-1) g2 + 1 j)

(3 + j ) ( 3

24

1 Elementare Grundlagen

6 - 3 • + -2-9 • 10 10 'I

_ A. JH.-in " i n I

=

10

10

Der Betrag einer komplexen Zahl Der absolute Betrag |a| einer reellen Zahl (gelesen: Betrag von a) ergibt sich als ihr Zahlenwert unabhängig vom Vorzeichen bzw. geometrisch als Abstand ihres Punktwertes auf der Zahlengeraden zum Nullpunkt. Der Betrag |z| einer Komplexen Zahl z = x + yi ist deren Abstand zum Nullpunkt in der GAußschen Zahlenebene. |z| = V x2 + y2 Abb. 1-4

Der Betrag einer komplexen Zahl

z = x + yi

z.B.: z = 3 - 4 i ; | z | = V 3 2 + 42 = 5 ; |l - i | = |z| = yj 12 + 22 = y[2 = 1,41421... Polarkoordinaten Ein Punkt in einem Koordinatensystem kann einmal durch seine Abstände von der xund y-Achse bestimmt werden. Zum anderen aber auch durch seine Entfernung vom Nullpunkt und durch den Winkel, den die Entfernungslinie mit der positiven Richtung der x-Achse bildet (P (r, a)). Abb. 1-5

Polarkoordinaten

x = r-cosa

1 Elementare Grundlagen

25

Für eine komplexe Zahl z bedeutet die Darstellung in Polarkoordinaten, daß man zunächst r =

x2 + y2 bestimmt und dann 2 =

l7J

;

(6>

^ " U t J

=32 = 9

8. Potenz: Eine Potenz potenziert man, indem man die Potenz aus dem Produkt der Exponenten bildet. ( a")m

= a"-"

z.B.: (22) = 4 3 = 64 = 2 6 = 64

9. gebrochene Exp.: Hat man eine Potenz mit einem gebrochenen Exponenten (Nenner e IN), handelt es sich um eine Wurzel, wobei der Nenner des Exponenten den Grad der Wurzel angibt. und

a

a"

=

z.B.: 4 2 = y j ~ T = 2

V a"

10. Potenzen von Summen: Hierbei formt man die Potenz in ein Produkt um und 2 (a +b) = (a + b) (a + b) 2

2

( a - b) = a - 2ab + b

= a 2 + ab + ab + b 2 =

a 2 + 2ab + b 2

2

a 2 - b 2 = (a + b) (a - b) z.B.: (3a + 2b) 2 = 9a 2 + 12 ab + 4ab 2 4x 2 - 9y 2

= (2x + 3y) (2x - 3y)

Handelt es sich wie oben um eine zu potenzierende Summe aus zwei Summanden, spricht man von einem BINOM. Die darauf anzuwendende Formeln: BINOMISCHE F O R M E L N . Die Ableitung für den allgemeinen Fall (a + b)n erfolgt in einem späteren Abschnitt.

1-4-3

Wurzeln

Ebenso wie die Subtraktion die Umkehrung der Addition ist, so ist die Wurzelrechnung ("Radizieren") die Umkehrung der Potenzrechnung. Während bei der Potenzierung bei

37

1 Elementare Grundlagen

bekannter Basis und Exponenten der Potenzwert gesucht wurde, sucht man beim radizieren die Basis, (n = Wurzelexponent; a = Radikand) yfa~ = b / 4 - x 2 = V 4 " • Vx*" = 2 • x V 7 2 - V l 8 = V 2 - 3 6 - V 2 - 9 = 6 • yft -

= 3 • ^¡2

3. Quotienten: Ein Bruch wird radiziert, indem man die Wurzel aus Zähler und Nenner zieht und dann den Quotienten berechnet.

4. Potenzen: Potenzen radiziert man, indem man die Basis radiziert und den Wurzelwert mit dem Exponenten der Basis potenziert. z.B.: y f ? = 4 1 = M

= (yfi) 3 = 23 = 8

Achtung I Wurzelexponent und Exponent des Radikanden lassen sich kürzen und erweitern. m ni_b 8 a n _ g nb _ = z B • ^¡¡T _ g 4 _ g 2

38

1 Elementare Grundlagen

5. Wurzeln: Eine Wurzel wird radiziert, indem man die Wurzelexponenten multipliziert. a / V

1-4-4

=

z.B.: ^ ¡ Y

= x35= X« =

^ T

Logarithmen

Bedingt dadurch, daß aufwendigere Rechenoperationen, die früher nur mit Hilfe von Logarithmen durchgeführt werden konnten, heute mit modernen Taschenrechnern kein Problem mehr darstellen, ist die Bedeutung der Logarithmen zurückgegangen. Dennoch läßt sich im Bereich der Wirtschaftsmathematik nicht darauf verzichten, wenn es um die Lösung von Exponentialgleichungen oder um die Beschreibung von Wachstumsprozessen geht. Das Logarithmieren stellt sich als zweite Umkehrung des Potenzierens dar. Sucht man beim Radizieren die Basis, sucht man jetzt bei bekanntem Potenzwert und Basis den Exponenten. loga x = y x = a"

mit a > = und a * 1 ; x = Numerus; y = Logarithmus; a = Basis

Daraus folgt: Der Logarithmus einer beliebigen positiven Zahl x zur Basis a ist der Exponent y, mit dem die Basis a potenziert werden muß, um den Numerus x zu erhalten. z.B.: log2 8 = 3, weil 23 = 8; log 4 16 = 2; log 2 16 = 4; log 10 100 = 2 Wahl der Basis Grundsätzlich kann jede beliebige positive Zahl als Basis gewählt werden (s.o.a. Beispiele). Im Allgemeinen rechnet man jedoch nur mit: Zehnerlogarithmen (Basis 10; geschrieben: log) natürlichen Log. (Basis e = 2,7182818; geschr.: In) Umrechnung (von log in In und umgekehrt) log x = log e In x = 0,43431 In x Inx = In 10 log x = 2,3026 log x RECHENREGELN 1. Merke: loga 1 = 0 In 1 = 0

(wg. a° = 1 );

log. a = 1

loga (ax) = x

Ine = 1

In en = n

1

Elementare Grundlagen

39

Die folgenden Regeln ergeben sich aus der Tatsache, daß durch die Logarithmierung eine Rechenvorschrift auf eine nächst niedrigere Stufe reduziert wird (Multiplikation wird zur Addition!). 2. Produkte: Ein Produkt logarithmiert man, indem man die Logarithmen der Faktoren addiert. log(a-b) = Ioga + log b z.B.: log (100 • 10) = log 100 + log 10 = 2 + 1 = 3 3. Quotienten: Ein Bruch wird logarithmiert, indem man vom Logarithmus des Zählers den Logarithmus des Nenners subtrahiert. log ( f ) = Ioga - log b

z.B.: log

= log 1000 - log 10 = 3 - 2 = 1

4. Potenzen: Eine Potenz logarithmiert man. indem man den Logarithmus der Basis mit dem Exponenten multipliziert. log(a") = n - l o g a z.B.: log 1003 = 3 • log 100 = 6 ; y = 3X log->y = x log 3 Wurzeln: Eine Wurzel wird logarithmiert, indem man den Logarithmus des Radikanden durch den Wurzelexponenten dividiert. log (\ yjä) =

wegen ^¡ä = an = pjlog a

z.B.: log (VÜ) = ^ ^

=

= 0,3 Numerus von 0,3 = 2

Rechnen mit Logarithmen Bei den i.d.R. verwendeten Zahlenlogarithmen werden zu den entsprechenden Numeri jeweils die Exponenten von 10 gesucht. D.h.: log 10 = 1; log 100 = 2; log 1000 = 3; log 10.000 = 4 etc. log 5 = 0,699; log 50 = 1,699; log 123 = 2,0899; log 2355 = 3,372. Daraus folgt: alle einstellige Zahlen haben einen Logarithmus mit einer Kennzahl (= Vorkommastelle; die Nachkommastellen heißen "Mantisse") von 0; alle zweistelligen Zahlen haben einen Logarithmus mit einer 1 als Kennzahl, alle dreistelligen eine 2 etc. Bei Zahlen kleiner 1 erhalten wir negative Logarithmen, weil z.B. 0,1 = 1 • 10-' oder 0,003 = 3 • 10"3. Negative Numeri sind grundsätzlich nicht zulässig.

40

1 Elementare Grundlagen

Der Numerus von log 0,3010 ist = 2; -3 bedeutet, daß der Numerus mit 10-3 zu multiplizieren ist. log -4,5229 = log 0,4771 - 5 = 3 • 10"5 = 0,00003. Vereinfacht man mittels Logarithmierung eine Rechnung, geht man so vor, daß man zunächst den Ausdruck logarithmiert, dann die Logarithmen mittels Rechner bestimmt, diese dann gemäß der anzuwendenden Vorschrift addiert, multipliziert o.ä. und dann zuletzt den zugehörigen Numerus mittels Rechner aufsucht. z.B.: (6.984 • 0.003467)12 = 12 -(log 6.984 + log 0,003467) = 12 • (3,8441 + (-2,460046)) = 12 • 1,38405 = 16,608646 davon der Numerus 4,0611 • 1016

1-4-5

Klammern und Brüche

Im Normalfall gilt die Regel "Punktrechnung vor Strichrechnung". Abweichungen von dieser Regel müssen durch Klammern gekennzeichnet werden. 1. Steht in einer Summe ein positives Vorzeichen vor einer Klammer, ist sie eigentlich überflüssig. Steht dagegen ein negatives Vorzeichen vor einer Klammer, bezieht sich das Minuszeichen auf jeden einzelnen Summanden in der Klammer, so daß diese nur weggelassen werden kann, wenn alle Vorzeichen in der Klammer umgekehrt werden. z.B.: x + (2xy - x2) = x + 2xy - x 2 ; aber x - (2xy - x2) = x - 2xy + x2 2. Ist eine Zahl mit einer eingeklammerten Summe zu multiplizieren wird diese Zahl mit jedem Summanden einzeln multipliziert; die Produkte werden anschließend addiert. z.B.: 2(x + 3y) = 2x + 6y; (-3) (2x - 2y + z) = -6x + 6y -3z 3. Zwei eingeklammerte Summen multipliziert man, indem man jeden Summanden der einen Summe mit jedem Summanden der anderen Summe multipliziert. z.B.: (2x-y 2 )(x + y) = 2x2 + 2xy -y 2 x - y3 4. Ist eine eingeklammerte Summe durch eine Zahl zu dividieren, ist jeder Summand einzeln zu dividieren. z.B.: (4xy-6x 2 ) + 2x

= 2y-3x

5. Bei der Division zweier Summen bedient man sich der Partialdivision. Dazu ordnet man zunächst die Summen nach fallenden Potenzen und geht dann anaiog zur Division bestimmter Zahlen vor. Hier allerdings beginnt man so, daß man zunächst

41

1 Elementare Grundlagen

das erste Glied (das mit der höchsten Potenz) des Dividenden durch das erste Glied des Divisors dividiert; das Ergebnis (Quotient) schreibt man rechts neben das Gleichheitszeichen und multipliziert es mit dem ganzen Divisor; dieses Ergebnis schreibt man unter den Dividenden und subtrahiert es davon. Mit dem sich ergebenden Rest verfährt man so lange wie oben, bis die Division ohne Rest aufgeht oder ein Rest verbleibt.

z.B.:

2x2 | | ^ - = 2x

(2x2 - 4x +2): (x -1) = 2x - 2 -(2x 2 -2x) - 2x + 2 - (- 2x + 2) 0

|| 2 x ( x - 1 ) = 2x 2 -2x

|| - 2 x : x = - 2 - - 2 ( x - 1 ) = -2x + 2

6. Ausklammern: Davon macht man Gebrauch, wenn man in einer Summe aus jedem Summanden einen bestimmten Faktor herauslöst. ACHTUNG ! Ist der Faktor mit einem ganzen Summanden gleich, muß nach dem Ausklammern dort eine 1 stehen. Haben in einer Summe nur einige Summanden gemeinsame Faktoren, lassen sich zumindest diese ausklammern. z.B.:

4x2yz - 8xy + 2x gemeinsamer Faktor ist 2x, also: = 2x(2xyz - 4y + 1) 3xyu + 5xzv + 8ab - 2ac = x(3yu + 5zv) + 2a(4b - c)

7. Mehre Klammern werden dann benötigt, wenn gleichgeordnete Rechenoperationen getrennt werden sollen. Häufig benutzt man dazu eckige oder größere Klammern. Dabei gilt, daß man sich von den inneren Klammern zu den äußeren bewegt. z.B.: [ x(x + y) 2 ] 2 = (x(x2 +2xy + y2))2 = (x3 +2x2y +xy2)2 = (x3 + 2x2y + xy2) (x3 + 2x2y + xy2) = x6 + 2x5y + x V + 2x5y + 4x*y2 3 3

3 3

+

2 4

2x y + x y + 2x y + x y = = x6 + 4x5y + 6 x V + 4x3y3 + x V Brüche Unter einem Bruch versteht man den Quotienten aus zwei bestimmten und/oder allgemeinen Zahlen. Handelt es sich um zwei bestimmte Zahlen, läßt er sich auch als Dezimalbruch schreiben: J = 0,25; | = 0,875; | § = 0,35869565...; | = 0,333

42

1

Elementare Grundlagen

Kürzen und Erweitern Der Wert eines Bruches ändert sich nicht, wenn Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert bzw. dividiert wird. Das bedeutet, daß ein Bruch immer durch den größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner gekürzt werden kann. ACHTUNG ! Stehen im Zähler und Nenner Summen, darf man hier nur kürzen, wenn alle Summanden des Zählers und alle Summanden des Nenners gemeinsame Faktoren haben; ggf. sind diese durch Ausklammern kenntlich zu manchen. zB

4x 3z

"

=

4xy 14 14:7 3zy ; 49 = 4 9 : 7

=

2 8xy - 4x2z 2&(4y-2xz) 7 ; 6x3a2 + 2x = ^ ( 3 X 2 a 2 + 1)

=

4y - 2xz 3x2a2 + 1

Addieren Nur gleichnamige Brüche (« gleicher Nenner) darf man addieren; sind sie nicht gleichnamig, müssen sie durch Erweitern gleichnamig gemacht werden, indem man den Hauptnenner bestimmt. Die Addition geht so von statten, daß man die Zähler addiert und die Summe durch den gleichsamen Nenner dividiert. •

2 3 _ 9+ 9 ~ 3 1 4+ 6 = 3x-2y 2ax

5 3x 2 -6 x2 -y2 + 2 _ 3x2 -x2 + y2 - 6 - 2 _ 2x2 +y2 - 8 9' xy " xy xy xy 3 • 3 1 -2 _9_ _2 1_1_ 4 - 3 + 6 - 2 = 12 + 12 " 12 2 z - u _ (3x - 2y)2y (2z - u) • x _ 6xy - 4y2 + 2xz - xu 4ay ~ 2ax • 2y 4ay • x ~ 4axy

Multiplikation Man multipliziert zwei Brüche, indem man die Zähler und die Nenner miteinander tnultipliziert. z.B.:

3 4 12 _ 1 2x 3u a ' 3 = 24 ~ 2 ' 2y ' 4v

6ux a2 + 2ab + b 2 2 2(a + b)2 8vy • a+b ' 3 = 3(a + b) =

2(a + b) 3

Division Man dividiert zwei Brüche, indem man den Dividenden mit dem Kehrwert des Divisors multipliziert. z-B.:

3 2 3 3 9 2x + 3 x - y (2x + 3)3x 4 : 3 = 4 - 2 = 8 ' 5x - 2 : 3x = (5x - 2) (x - y)'

y

=

dy _x_ x y ' dx = dx ' y

1 Elementare Grundlagen

1-5

Grundzüge der Planimetrie, Stereometrie, Trigonometrie

1-5-1

Planimetrie

.

43

Punkt: Eine dimensionslose Stelle im Raum oder in der Ebene heißt Punkt. (Symbol: große lat. Buchstaben)

•

Linie: Läßt man einen Punkt wandern, entsteht eine Linie.

•

Gerade: Verläuft eine Linie streng in derselben Richtung, nennt man sie Gerade.

.

Strahl: Dabei handelt es sich um eine einseitig begrenzte Gerade.

•

Strecke: Das ist eine zweiseitig begrenzte Gerade; man stellt sie symbolisch dar durch einen Querstrich über Anfangs und Endpunkt: A B

•

Zwei Geraden: Zwei Geraden mit derselben Richtung verlaufen parallel; zwei Geraden mit unterschiedlicher Richtung schneiden sich in einem Punkt, dem Schnittpunkt; den Richtungsunterschied nennt man Winkel (gemessen in Grad; Symbol: kleine griech. Buchstaben); zwei Geraden, die sich im Winkel von 90° schneiden, heißen senkrecht oder orthogonal zueinander.

•

Dreiecke: Ein Dreieck ist eine von drei Strecken (genannt: Seiten) begrenzte Figur. Je nach Länge der Seiten unterscheidet man ungleichseitige, gleichschenklige (zwei Seiten sind gleich) und gleichseitige (alle Seiten sind gleich). Eine Unterscheidung nach dem größten Winkel ergibt: spitzwinkelige (a < 90°), stumpfwinkelige (a > 90°) und rechtwinkelige (a = 90°). Die Summe aller Winkel in einem Dreieck beträgt 180°; für ein gleichseitiges Dreieck folgt daraus, daß alle Winkel 60° haben. Seitenhalbierende: Diese verbindet die Mitte einer Seite mit der gegenüberliegenden Ecke. Winkelhalbierende: Diese teilt einen Winkel. Höhe: Hier handelt es sich um das Lot aus einem Eckpunkt auf die gegenüberliegende Seite.

44

1 Elementare Grundlagen

Seite - Höhe dieser Seite

Fläche eines Dreiecks.

Umfang: « Summe der Seiten

F =

• ha

U = a+b+c

Rechtwinkliges Dreieck; Abb. 1-15 Satz des PYTHAGORAS athete

Hypothenuse

Für ein rechtwinkliges Dreieck gilt, daß das Quadrat aus den Kathetenseiten gleich dem Quadrat der Hypothenusenseite ist:| a2 + b 2 = c2 |; c = y] a2 +b2

Vierecke: Ein Viereck ist eine von vier Strecken begrenzte Fläche, deren Winkelsumme 360° beträgt. Die Verbindung von zwei gegenüberliegenden Eckpunkten nennt man Diagonale. Verschiedene Vierecke: Abb. 1-16 Trapez:

Das ist ein Viereck mit zwei parallelen Seiten, deren Abstand Höhe genannt wird. Die nicht parallelen Seiten heißen Schenkel. F = ¿(a + c) • h (auch Raute) ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten. F = a • ha

Parallelogramm: ha

Ein Viereck mit je zwei parallelen Seiten nennt man Parallelogramm. Die Abstände zwischen den parallelen Seiten heißen Höhen. F = a • h„

45

1 Elementare Grundlagen

Sind in einem Viereck alle Winkel = 90°, ist es ein Rechteck.

Rechteck:

F =a• b

Das ist ein Rechteck mit vier gleich langen Seiten.

Quadrat:

F = a2

Vielecke:

Abb. 1-17

Wird eine Fläche von n Strecken begrenzt, heißt es n-Eck. Sind alle Seiten gleich lang und alle Innenwinkel gleich, spricht man von einem regelmäßigen Vieleck. Dabei liegen alle Eckpunkte auf einem Kreis, dem sog. Umkreis.

O

Kreise: Die Menge aller Punkte, die von einem Punkt, dem Mittelpunkt, den gleichen Abstand (« Radius r) haben, nennt man Kreis. Abb-1-18 F = 7tr2 U = 27tr Tangente in P

mit iz = 3,1415...

(lies pi)

Strahlensätze: Wird ein Strahlenbündel von parallelen Geraden geschnitten, kann man folgende Beziehungen herleiten: - Gleichliegende Abschnitte auf je zwei Strahlen stehen im gleichen Verhältnis zueinander. a : b = f : e = j : h; b : c = e : d = h : g ; a : f = b : e = c:,d - Die von je zwei Strahlen gebildeten Abschnitte auf je zwei par. Geraden stehen im gleichen Verhältnis zueinander wie die zugehörigen Strahlenabschnitte. n : o = a:f = b:e; m : p = b:e = c : d - Gleichliegende Abschnitte auf je zwei Parallelen stehen im gleichen Verhältnis zueinander. m : p = n : o ; o : p = q : r = n : m

46

1-5-2

1 Elementare Grundlagen

Stereometrie

Während die Planimetrie die Eigenschaften von Flächen in der Ebene behandelt, geht es in der Stereometrie um Körper im Raum. Quader und Würfel: Ein Quader hat sechs aus Rechtecken bestehende Begrenzungsflächen, von denen je zwei gegenüberliegende gleich groß und parallel sind. Bestehen sämtliche Begrenzungsflächen aus Quadraten, handelt es sich um einen Würfel. Oberfläche = 2ab + 2ac + 2bc

Abb. 1-20

Volumen = a • b • c

Kugel und Zylinder: Dreht man einen Kreis durch seinen Durchmesser, entsteht eine Kugel. Dreht man ein Rechteck um eine Seite, entsteht ein Zylinder. Abb. 1-21 0 K = 4 7ir2 0 7 = 2 7tr2 + 2 Ttrh

V 7 = 7tr2h

Prismen, Pyramiden und Kegelschnitte: Verbindet man zwei kongruente deckungsgleiche), parallele n-Ecke geradlinig an deren Kanten, ergibt sich ein Prisma, dessen Seitenflächen aus Parallelogrammen bestehen.

1 Elementare Grundlagen

47

Verbindet man alle Ecken eines n-Ecks mit einem außerhalb der Ebene des n-Ecks liegenden Punkt, entsteht eine Pyramide, deren Seitenflächen aus Dreiecken besteht. Handelt es sich anstelle des n-Ecks um einen Kreis, dessen Begrenzungspunkte alle mit einem Punkt außerhalb der Kreisebene verbunden werden, entsteht ein Kegel. Betrachtet man einen geraden Kegel, so nennt man die Verbindungsstrecke zwischen Spitze und Kreismittelpunkt "Rotationsachse". Je nach Schnittwinkel durch den Kegel, ergeben sich unterschiedliche Kegelschnitte: Dreieck bei geradem Schnitt parallel zur Rotationsachse; Kreis bei geradem Schnitt parallel zur Grundfläche; Ellipse bei einem Schnitt im Winkel ß zur Rotationsachse a < ß < 90°; Parabel bei einem Schnitt im Winkel y = a (Innenwinkel der Spitze); Hyperbel bei einem Schnitt im Winkel 8 mit 0 < 5 < a. Diese geometrischen Gebilde heißen daher Kegelschnitte. Abb. 1-22

V=F h

Abb. 1-23

V = -i-F h

V=~ F h

F = Grundfläche; h = Höhe

Neben den oben angesprochenen Körpern gibt es noch eine Vielzahl von Körpern wie z.B. Paraboloide, die durch Drehung einer Parabel um ihren Scheitel entstehen, Ellipsoide, KegelstQmpfe etc. Hierzu wird auf die weiterführende Literatur verwiesen.

1-5-3

Trigonometrie

In der Trigonometrie benutzt man sog. Winkelfunktionen zur Untersuchung von Dreiecken (Trigonometrie = Dreiecksmessung). Da die trigonometrischen Funktionen in einem späteren Kapitel noch ausführlich besprochen werden, sollen hier nur die elementaren Grundlagen angesprochen werden. Dazu betrachten wir ein rechtwinkliges Dreieck.

48

1 Elementare Grundlagen

Für den Winkel a gilt: Gegenkathete Hypothenuse Ankathete " Hypothenuse

tan a

Gegenkathete Ankathete

cot a ~

Ankathete Gegenkathete

Abb. 1-24 a c b c a ~ b b a

a (= Gegenkathete)

b (= Ankathete)

Unter Verwendung des Pythagoräischen Lehrsatzes lassen sich folgende Regeln und Beziehungen aufstellen: sin2a + cos2a = 1

1.

wegen:

a2

b2 + 32 = x ;

und

cosa = \¡1 - sin2a

a2 esgilt:a2 + b2 = c2 : ^ r ^ b 2

oder sing = yj 1 - cos2a +

b2 i^Tb5

a2 + b2 PTb* =

1

sina cosa

2.

tan a =

3.

tana =

4.

sin (90° ± a) = ± cosa,

sin

5.

cos (90° ± a) = ± sina,

cos (180° ± a ) = ± cosa

6.

tan (90° ± a) = ± cota,

tan (180° ± a ) = ±tana

7.

cot (90° ± a) = ± tana,

cot

1-6

=

cota (180° ± a ) = ±sina

(180° ± a ) = ±cota

Gleichungen

In der Mathematik unterscheidet man mehrere Arten von Gleichungen. 1. Identische Gleichungen - wie z.B.: mathematische Aussagen.

2-2 = 4

d.h. hier betrachtet man wahre

1 Elementare Grundlagen

49

2. Funktionsgleichungen - Hierbei werden Variable durch eine Vorschrift einander zugeordnet. Z.B.: K = f(x) d.h. die Kosten hängen nach einer best. Vorschrift von der Ausbringungsmenge ab. 3. Bestimmungsgleichungen - Diese dienen der Ermittlung der Werte der Unbekannten oder Variablen. D.h. eine Bestimmungsgleichung ist eine Aussageform, so daß das Auflösen der Gleichung der Ermittlung der Lösungsmenge entspricht. Z.B.: 2x - 2 = 6 ; Lösung: x = 4. Bei den Bestimmungsgleichungen gibt es mehrere Kriterien zur Unterteilung: 1. nach der Zahl der Variablen in Gleichungen mit einer und Gleichungen mit mehreren Variablen; 2. nach der Potenz und Verknüpfung der Variablen in lineare (alle Variablen treten nur In der 1. Potenz auf, und äs gibt keine multiplikativen Verknüpfungen der Variablen) und nichtlineare Gleichungen z.B.: 2x - 3y = 4 (=linear), aber x2 + xy = 12 (=nichtlinear). 3. nach der Höhe der Potenz in der die Variablen auftreten in quadratische Gleichungen und Gleichungen höherer Ordnung. Z.B.: x2 +2x - 4 = -8 ist eine quadratische Gleichung; x3 - 2x2 + x = 1 ist eine Gleichung dritten Grades. Erscheint in einer Gleichung mit einer Variablen diese nur in einer Potenz, so spricht man Potenzgleichungen-, z.B.: x2 =4. 4. danach, wo in einer Potenz die Variable erscheint. Steht die Variable im Exponenten, nennt man diese Gleichungen Exponentialgleichungen; z.B.: 3X =24. 5. danach, ob Quotienten gleichgesetzt werden. Werden zwei Quotienten (auch = Verhältnis) gleichgesetzt, spricht man von Verhältnisgleichungen.

Auflösung von Bestimmungsgleichungen Grundsätzlich ist hierbei zu beachten, daß jede Bestimmungsgleichung durch Anwendung von Rechenoperationen so umzuformen ist, daß die Variable allein auf einer (i.d.R. der Linken) Seite des Gleichheitszeichens steht. Abb. 1-25

Beim Umformen ist streng auf das Gleichheitszeichen zu achten. Es ist mit einer Waage zu vergleichen, die sich im Gleichgewicht befindet. Bei einer solchen Waage ändert sich am Gleichgewicht nichts, wenn man auf beiden Waagschalen das gleiche Gewicht wegnimmt oder hinzufügt. Ebenso

1 Elementare Grundlagen

50

bleibt bei einer Gleichung die Lösungsmenge unverändert, wenn man auf beiden Seiten die gleichen Rechenoperationen mit der gleichen Zahl durchführt; ausgenommen ist die Multiplikation mit Null. Damit sind also folgende Rechenoperationen erlaubt: .

Vertauschen beider Seiten

•

Addition oder Subtraktion der gleichen Zahl auf beiden Seiten

•

Multiplikation oder Division mit der gleichen Zahl

•

Potenzieren oder Radizieren mit dem gleichen Exponenten

•

Logarithmieren beider Seiten zur gleichen Basis

I +4

z.B.: x + 2 = 12 x + 2 + 4 = 12 + 4 x + 6 = 16

x = 10 2x = 20

I -6

x = 10

±x = 5

|. 2 . ': 4

Zu sehen ist, daß bei allen Operationen die Lösungsmenge x=10 erhalten bleibt.

I hoch2

1 , *x2 = 25

Eine vorgeschriebene Reihenfolge der Operationen beim Auflösen bleibt es zwar nicht, dennoch ist aber folgende Vorgehensweise zu empfehlen: 1. Auflösen von Klammern und Brüchen. 2. Zusammenfassen aller Variablen beginnend mit der höchsten Potenz und aller bestimmten Zahlen. 3. Ggfs. Potenzieren oder Radizieren, so daß die gesuchte Variable in der ersten Potenz steht. 4. Umformen der Gleichung mit dem Ziel, die gesuchte Variable allein auf einer Seite vorzufinden. Im Folgenden wird für einige Arten von Bestimmungsgleichungen kurz unf knapp gezeigt, wie diese zu lösen sind, lineare Bestimmungsgleichungen mit einer Variablen z.B.:

x (2 - 3x) = -3x2 + 4 I

Klammer auflösen

2x - 3x2 = -3x2 + 4 I +3x2 2x = 4 I : 2 x = 2

Obgleich hier x in der 2. Potenz auftrat, handelt es sich um eine lineare Gleichung, weil es durch umformen verschwand,

lineare Gleichungssysteme mit mehreren Variablen Eine Gleichung mit zwei Variablen hat nicht nur eine einzige, sondern unendlich viele Lösungen.

1

Elementare Grundlagen

51

z.B.: Der Student F. kauft zwei Flaschen Cognac und drei Flaschen Sekt, um sich mit seiner Freundin ein schönes Wochenende zu gestalten. Als seine Freundin wissen möchte, wie teuer der Sekt war, hat er den Kassenbon verloren, und erinnern kann er sich nur an die Gesamtsumme von 35.-DM. Hier gibt es zumindest theoretisch unendlich viele Möglichkeiten:

2,5 10

c s

4

7

9

7

10 5

12,5 etc. 4

etc.

Erst als F. für das nächste Wochenende erneut einkauft, und für 3 Flaschen Cognac und 4 Flaschen Sekt diesmal 50.-DM zahlt, kann er die gewünschte Auskunft geben: I

3C + 4S = 50

II

2C + 3S = 35

35 3 aus II folgt: ^ - ^ - ^ S

und eingesetzt in I :

3 ^ y - | s j + 4s = 50 105 9 . 2 "2S

+

8. 2S

=

100 2

S = 5 eingesetzt in 1: 3C + 4 • 5 = 50 3C = 30 C = 10 Wir sehen also, daß eine Gleichung mit zwei Variablen nur dann zu lösen ist, wenn noch eine zweite Gleichung mit denselben Variablen die Lösungsmenge eindeutig bestimmt. Für drei Variable folgt die Notwendigkeit von drei Gleichungen etc. Man spricht dann von einem Gleichungssystem. Die Verfahren zur Lösung von Gleichungssystemen gehen alle so vor 1. Umformen des Systems bis nur noch eine Gleichung mit einer Variablen vorkommt, die entsprechend bestimmt werden kann. 2. Sukzessives Lösen der restlichen Variablen durch Einsetzen bereits bestimmter Lösungen. Additionsverfahren z.B.:

I

x + 2y = 15

II

x - v = 12

I IIa

x + 2y = 15 2x - 2v = 24

oder: I• 2

I

x + 2y = 15

II

x - v = 12

I-n

3y = 3

in I

v = 1

|: 3

52

1

x + 2 = 15 I - 2 x= 13

3x = 39 |: 3 x = 13

I + IIa in I

Elementare Grundlagen

13 + 2y = 15 1-13 2y = 2 1: 2 Einsetzungsverfahren

I

x + 2y = 15

II

x - v = 12

a u s l : x = 15-2y üa

inü

1 5 - 2 y - y = 12 1-15 - 2y - y = -3 I y zusammenfassen -3y = -3 I : -3

x - 1 = 12 1+1 x= 13

v — 1 in n

Gleichsetzungsverfahren

x + 2y = 15 l-2y -> Ia x - v = 12 l+y -> üa

I II Ia = Ha:

1 5 - 2 y = 12 +y 15 - 3y = 4L

i-y 1-15

-3y= -3

I: -3

15-2y 12 + v

Da jeweils links x steht, müssen die beiden rechten Seiten gleich sein: Ia = üa

eingesetzt in II: x - 1 =12 +1 x=13 Auch bei einem Gleichungssystem mit mehreren Variablen können die o.a. Verfahren angewendet werden, wobei u.U. mehrere Schritte oder mehrere Verfahren gleichzeitig erforderlich

sind.

Ebenfalls

funktionieren

diese

Verfahren

bei

nichtlinearen

Gleichungssystemen. quadratische Gleichungen Kommt in einer Gleichung x in der 2. Potenz vor, handelt es sich um eine quadratische Gleichung. Jenachdem ob x zusätzlich noch in der 1 .Potenz erscheint oder nicht, unterscheidet

man

zwischen

rein

quadratisch

und

gemischt

quadratischen

Gleichungen.

Die Lösung einer rein quadratischen Gleichung bereitet keine Probleme; hier ist lediglich x2 allein auf eine Seite zu bringen und dann wird auf beiden Seiten radiziert. Diese Vorgehensweise ist übrigens auf alle echten Potenzgleichungen anzuwenden. z.B.:

4x2 - 1 5 = 1 1+15 4x2 = 16 I : 4 = 4 x = ±2

v2 =

\yT

1

Elementare Grundlagen

53

Bei gemischt quadratischen Gleichungen sind diese zuerst auf die sog. Normalform zu bringen, bei der der Koeffizient des quadratischen Glieds = 1 ist. Anschließend läßt sich mittels des Satzes von VIETA die Lösung finden: für

x2 + px + q = 0

gilt:

*1,2 "

- q

2)

1 2

z.B.: -3x + 33x = 90 zuerst auf Normalform bringen: • -g und + 30 x 2 -11x + 30 = 0 11 /121 X 1,2~ + 2

| p = -11; q = 30 Achtung: Vorzeichen ! 11 IT _11+ 1 _ e . x X = 1

2

2

~

2

Gleichungen höheren Grades Diese sind im allgemeinen mit Hilfe aufwendiger Verfahren der numerischen Mathematik zu lösen, in gewissen Fällen läßt sich jedoch eine einfache Lösung finden. Biquadratische Gleichungen der allgemeinen Form ax4 + bx2 + c = 0 lassen sich durch Substitution x2 = y auf eine quadratische Gleichung zurückführen und mit den o.a. Lösungsansätzen lösen. z.B.: x4 - 26x2 + 25 = 0

Ix 2 = y

±\[25~

1,2

2

y -26y +25 = 0

=

y 12

= 13 ±%/i69 - 25

y,

= 13 + 12 = 25

y2

=13-12 =1

5 1

"•3,4 ' ± n / T =

1

=

-1

Gleichungen ohne absolutes Glied der allgemeinen Form ax" + bx"-1 + cxn_2 = 0 lassen sich lösen, indem man die niedrigste Potenz (hier xn"2) ausklammert. Man erhält dann ein Produkt, das - 0 ist; Ein Produkt ist aber nur gleich Null, wenn mindestens ein Faktor gleich Null ist. z.B.:

xa + 2x 7 -8x e = 0 x (x2 + 2x - 8) = 0 x6 = 0 6

also: und

x1 = 0 x + 2x - 8 = 0 2

x2 3 = -1 ±\/l + 8

x. = 2 ; x, = - 4

54

1

5x7 - 2x® = 0

oder:

x6 (5x - 2) = 0 | x6 wurde ausgeklammert. 6 x = 0 bzw. x, - 0 5x - 2 = 0 x

ACHTUNG!

Elementare Grundlagen

2 ~5

Das Verfahren des Ausklammerns funktioniert nur, wenn sich die höchste und niedrigste Potenz um nicht mehr als zwei unterscheiden.

Verhältnisgleichungen Diese werden oft zur Lösung von Dreisatzaufgaben benötigt. Zur Bestimmung der Unbekannten ist die Gleichung entsprechend aufzulösen. z.B.: Während der Semesterferien hat der Student P. mit seinem Moped 5.400 km zurückgelegt und dabei 188 I Benzin gebraucht. Wieviel verbraucht das Fahrzeug auf 100 km? 5400x 5400 100 18800 = 1001-188 u. 1:5400 • x = 5400 = 3 . 4 8 188 188 " x Eine spezielle Form von Verhältnisgleichungen Prozentrechnung: p% von g ist der Prozentwort w. p w 100 = g - " z.B.:

W =

9'10Ö

und

verwendet

100 . g= w • u n d

man

p =

bei

der

w-100 g

ä) Der Student P.'erbt 5% des Vermögens der Tante Klara, das 234.800,- DM beträgt. Wie hoch ist sein Erbe? w = 234800 • 0,05 = 11.740,- DM b) Ein Zahnarzt hat bei einem zu versteuernden Einkommen von 398.400 DM an Steuern 212.000,- DM zu zahlen. Wie hoch ist sei durchschnittlicher Steuersatz? 212000-100 _ P" 398400 ~ 5 3 ' 2 1 /o c) Ein Kredithai nimmt für ein zweijähriges Darlehen 23.512,- DM für Zinsen, Gebühren u.ä. bei 42%. Wie hoch ist das Darlehen? 23512 •100 = 55.980,95 DM 9= 42"

Häufig hat man es mit verknüpften Größen (Grundwert + oder - Prozentwert) zu tun. Dann gilt: (g ±w)100 w p(g ± w) . w = und g i W ~ 100 ± p 100 ± p g±w z.B.:

a) Wieviel Umsatzsteuer (15%) ist in einem Rechnungsbetrag von 648,92 DM enthalten? w =

15

"f^ 8 , 9 2 = 84,64 DM.

1

Elementare Grundlagen

55

b) Bei der Bezahlung einer Rechnung werden 3% Skonto ausgenutzt und 198,- DM überwiesen. Wie hoch war die Rechnung? 198-100 97

9 =

204,12 DM

Zu den hier aufgeworfenen Problemstellungen lassen sich aber auch einfache Verhältnisgleichungen bilden: a) 648,92 verhalten sich zu 115% wie x zu 15%: b)

f(198;97) =

: ^;

x = 84,64

x = 204,12

Manchmal sind Grundwert und Grundwert + Prozentwert angegeben; gefragt wird nach _ ((g ± w) - g) • 100 dem Prozentsatz: p " g z.B.: Der Umsatz ist innerhalb eines Jahres von 289.300,- DM auf 374.600,- DM gestiegen. Wieviel Prozent beträgt die Steigerung? 374600 - 289300 29,48% P = 289300 Exponentialgleichungen Für die Lösung von Exponentialgleichungen der Form ax = b benötigt man Logarithmen:

z.B.: 5" = 20;

x=

Iog20 _ 1^30103 = 0^9997 = 1.861'4

Wurzelgleichungen Steht in einer Gleichung die Variable unter dem Wurzelzeichen, versucht man durch Potenzieren die Wurzel zu beseitigen. ACHTUNG! Es können sich Lösungen ergeben, die die Ursprungsgleichung nicht erfüllen. Unbedingt die Probe machenll z.B.:

1

x = 4 • Vx + 5 I ()2

x2 - 16x - 80 = 0 Probe:

*1,2 ' 8 ± y]64 + 80 4 1 \}2Q~+5 " 20 a D e r y f Ä T ö

1

x2 = 16 (x + 5)

x, = 20; X2 = -4

_±

1 1 5 = 5


x = 2 und y = 2 + 2 = 4. Beide Funktionen sind bei (2, 4)

2-4

Eigenschaften von Funktionen

2-4-1

Monotonieverhalten

Die Eigenschaft der Monotonie einer Funktion bezieht sich auf ihr Steigungsverhalten. Zu unterscheiden ist hier in monoton steigende und fallende Funktionen und in streng monoton steigende und fallende Funktionen. Prüfstein für das Monotonieverhalten einer Funktion ist der Funktionswert für vorgegebene Argumente. Wächst y mit steigenden x-Werten ständig, handelt es sich um eine streng monoton steigende Funktion bzw. bei in Verbindung mit steigenden x-Werten ständig fallenden y-Werten, um eine streng monoton fallende Funktion. Sind für steigende x-Werte auch gleichbleibende Funktionswerte zugelassen, wird das Adjektiv „streng" weggelassen. Gilt für alle xi, x2 e D(f): 1. aus x2 > xi folgt f(x2) > f(x,): streng monoton steigend; 2. aus x2 > Xi folgt f(x2) < f(xi): streng monoton fallend; 3. aus x2 > Xi folgt f(x2) £ f(xi): monoton steigend; 4. aus x2 > Xi folgt f(x2) < f(xi): monoton fallend. Die Prüfung anhand der o.a. Bedingungen ist häufig schwierig. Daher entnimmt man ggf. Aussagen über das Monotonieverhalten dem Graphen der Funktion. Abgesehen von linearen Funktionen, deren Monotonieverhalten über den gesamten Definitionsbereich konstant ist, kann das Monotonieverhalten

bei

nichtlinearen

Funktionen variieren, d.h. eine Aussage darüber bezieht sich dann auf ein Teilintervall bzw. eine Teilmenge des Definitionsbereichs. So ist z.B. die Normalparabel y = x2 auf der Teilmenge (-oo, 0) von IR streng monoton fallend und auf (0, a>) streng monoton steigend; im Intervall (-1,1) jedoch weder monoton steigend noch fallend. Beispiel 2-11

Prüfen Sie folgende Preis-Absatz-Funktion auf Monotonie: / \ 100 P = P(x) = ^T5 /V

/X

100

^ 100

P(Xi)^ T S < ^ T s p(xi) < p(x2) -> Xt + 5 > x2 + 5 p(xi) < p(x2) -» xi > x 2 Daraus folgt, daß die Funktion streng monoton fallend ist.

2

Funktionen

Abb. 2-6

71

Graph der Funktion p = —

Abb. 2-7 unterschiedliches Monotonieverhalten il

3 2 f steigend 1

11 2-4-2

faltend

Staigend

:

1

:

Krümmungsverhalten - Wendepunkte

Bei diesen Eigenschaften ist die Wölbung einer Funktion angesprochen. Wichtig ist dabei die Blickrichtung, die i.d.R. so verstanden wird, daß man die Funktion von der Abszisse in Richtung der positiven Ordinate betrachtet. Trivial formuliert, ist eine Funktion mit einer Wölbung zur Abszisse hin bzw. Öffnung nach „oben" konvex; ist das umgekehrt, handelt es sich um eine konkave Funktion. Dabei sind diese Eigenschaften auch wieder nur auf Teilmengen des Definitionsbereichs zu sehen, wenn ein entsprechendes Funktionsgesetz vorliegt. Im Übergang vom konvexen zum konkaven Bereich einer Funktion spricht man von Wendepunkt. Stellt man auf das Steigungsverhalten ab (Was wir später in der Differentialrechnung tun werden!), ist der konvexe Bereich einer Funktion der, in dem die Steigung ständig

72

2

Funktionen

ansteigt (erst abnehmend negativ, dann null und dann zunehmend positiv) bis sie im Wendepunkt wieder abfällt. Abb. 2-8 s

Geometrische Interpretation von konkav und konvex

4 3

ykonkau

w

S^UonveyJJ

2 1 i

1

i 2

:

Für die geometrische Interpretation gilt: konvex:

alle möglichen Sekanten zwischen zwei beliebigen Punkten im konvexen Bereich liegen oberhalb des Graphen der Funktion

konkav:

alle möglichen Sekanten liegen unterhalb des Graphen der Funktion.

Analytisch gilt: Eine Funktion heißt konvex in einem Intervall I, wenn für beliebige x1f x2 aus I und alle X , 0 á X 551 gilt: f (Xx2 + (1 - X) xQ < X f (x2) + (1 - X) f (Xj) So ist z.B. die Normalparabel y = x 2 für ihren gesamten Definitionsbereich konvex. Auch

bei

Funktionen

mit

mehreren

unabhängigen

Variablen

existieren

diese

Eigenschaften. Solche Funktionen kommen häufig bei der nichtlinearen Optimierung

2-4-3

Symmetrieeigenschaft

Die Symmetrie einer Funktion ist immer bezogen auf eine Achse a, bei der es sich selbstverständlich auch um die Ordinate handeln kann. Analytisch gilt: Eine Funktion ist spiegelsymmetrisch um a, wenn f (a + x) = f (a - x). So ist z.B. unsere bereits mehrfach zitierte Normalparabel spiegelsymmetrisch um a = 0 (=Ordinate), denn es gilt:

f (0 + x) = x2 = f (0 - x) = (-x)2.

2

Funktionen

Abb. 2-9

2-4-4

73

Einige Beispiele für symmetrische Funktionen

Nullstellen von Funktionen

Die Nullstellen einer Funktion sind für die Analyse einer Funktion und auch für die graphische Darstellung von besonderer Bedeutung. Analytisch ist die Nullstelle das Argument Xo einer Funktion für den Funktionswert f(xo) = 0. Geometrisch bedeutet eine Nullstelle den Schnittpunkt des Graphen mit der Abszisse. Je nach Art der Funktion kann eine Funktion keine, eine, mehrere oder unendlich viele Nullstellen haben. Bei der praktischen Ermittlung geht man so vor, daß man bei der nach y expliziten Funktion y gleich Null setzt und dann den entsprechenden x-Wert bestimmt. Da dies nicht bei allen Funktionen ganz einfach ist, wird die Bestimmung der Nullstellen in einem späteren Abschnitt noch ausführlich behandelt. Abb. 2-10 Nullstellen einiger Funktionen

74

2-4-5

2

Funktionen

Das absolute Glied einer Funktion

Die folgenden Bemerkungen gelten nur für ganze rationale Funktionen (Vgl. die Unterteilung von Funktionen in einem späteren Abschnitt!). Ebenso wie die Nullstellen ist das absolute Glied für die Analyse und die graphische Darstellung einer Funktion wichtig. Analytisch ist das absolute Glied der Koeffizient des Summanden, dessen Faktor x° = 1 lautet. Geometrisch ist das absolute Glied der Schnittpunkt mit der Ordinate. Zur praktischen Ermittlung setzen wir x = 0 und bestimmen den dazu gehörigen Funktionswert y. Als ökonomisches Beispiel sei hier angeführt, daß das absolute Glied bei einer Kostenfunktion die Höhe der beschäftigungsabhängigen (=fixen) Kosten angibt. Bei unserer Kostenfunktion des Beispiels 2-1 betrugen diese 10.000 DM. Abb. 2-11 Beispiele für Funktionen mit absoluten Gliedern

2

75

Funktionen

Man nennt eine Funktion beschränkt, wenn ihr Definitionsbereich nur Gültigkeit in einer gewissen Teilmenge Wertebereichs

haben

verbunden.

soll; Von

gleichzeitig einer

ist damit

unteren

eine

Schranke

Begrenzung

spricht

man,

des wenn

Funktionswerte für eine kleinere Zahl als die Schranke nicht zugelassen sind; entsprechendes gilt für eine obere Schranke. Bei ökonomischen Funktionen ist x = 0 häufig die untere Schranke; bei einer Kostenfunktion könnte z.B. die Kapazitätsgrenze die obere Schranke sein. Existiert keine Schranke, so heißt f(x) unbeschränkt.

2-4-7

Variablentransformation

Manchmal ergibt sich das Problem, die Variablen einer Funktion in andere Variable zu überführen. Das ist z.B. notwendig, wenn die Kosten einer ausländischen Tochtergesellschaft von beispielsweise Dollar in DM und die Produktionsmengen von Gallonen in Liter zu überführen sind. Analytisch wird dazu x mittels der Funktion x* = gi(x) in die Variable x* und y durch die Funktion y* = g2(y) in die Variable y* überführt. Anstelle von y = f(x) folgt dann die Funktion y* = h(x*). Wird nur die unabhängige Variable transformiert, folgt eine mittelbare Funktion: y = f(g(x)). Besonders einfach zu handhaben sind die linearen Transformationen x* = a^x + bi und y* = a 2 y + b2. Eine solche Transformation ist geometrisch als Verschiebung des Koordinatensystems zu interpretieren, wobei sich der Maßstab der Abszisse um das a r f a c h e und der der Ordinate um das a 2 -fache ändert. Der Ursprung des x*-y*Koordinatensystems liegt dann vom x-y-System aus gesehen bei f-^1, -^j.

76

2

Funktionen

Beispiel 2-12 Gegeben sei: K = 2x + 4; folgende Transformation ist durchzuführen: K* = 2K - 4 und x* = 2x + 2. Daraus folgt:

1 1 K = ^K* + 2 und x = pc* - 1 ¿K* + 2 = 2 @ x * - l ) + 4 K* = 2x*

Abb. 2-12 Variablentransformation für Beispiel 2-12 IBr Ursprung des "-Systems: (•I-xH-1.2) Maßstab von K*:

Vergrößerung auf

das

Vergrößerung auf

das

2-fache von K Maßstab von x*: 2-fache von x

Logarithmische Transformationen Besondere

Bedeutung

kommt

den

logarithmischen

Transformationen

bei

Linearisierung von Exponential- und Potenzfunktionen zu. Beispiel 2-13 Gegeben sei die Funktion y = 0,2 • 2*. Durch logarithmische Umformung erhält man: logy = log(0,2 • 2 X );

logy = Iog0,2 + xlog2

der

77

2 Funktionen

Beispiel 2-14 Gegeben sei y = 4x3. Die Umformung ergibt: u l°ou

logy = log(4x3);

logy = log4 + 3logx

•1.77BJ; ¡1=

....... — /

—•

y/ •

—••

- -

—

S35H5S I O2»OB».?: Iü9!)-MO

fir /.......

i i

H 10

2-5

Elementare Funktionen

2-5-1

Klassen von Funktionen

Grundsätzlich lassen sich Funktionen in rationale und nichtrationale Funktionen unterteilen. Dabei unterteilt man die rationalen wiederum in ganze rationale und gebrochen rationale Funktionen. n y= 2 > i x ' i=0

Dies ist eine ganze rationale Funktion; man nennt sie auch Polynom n-ten Grades. Wird nun dieses Polynom durch ein anderes Polynom m-ten Grades dividiert, haben wir es mit einer gebrochen rationalen Funktion zu tun: Za,x' y =

— ; ib,x) * 0 E M j=O j=0 Alle Funktionen, die sich nicht auf diese Form bringen lassen, sind nichtrationale Funktionen, zu denen alle Wurzelfunktionen, Winkelfunktionen und Exponential- und Logarithmusfunktionen gehören. Beispiel 2-15 Bei einer Geraden y = ax + b handelt es sich um eine (sehr einfache) ganze rationale Funktion (Polynom ersten Grades). Eine Parabel y = ax2 + bx + c ist ebenfalls eine ganze rationale Funktion (Polynom zweiten Grades).

78

2

Funktionen

rechtwinklige Hyperbel). Dagegen sind y = a*, y = logx und y = Vax

irrationale Funktionen.

Eine andere Klassifizierung unterteilt Funktionen in algebraische und transzendente. Dabei zählen zu den algebraischen die rationalen und die algebraisch irrationalen. Zu den transzendenten gehören die Winkel-, Exponential- und Logarithmusfunktionen, rationale algebraisch rational

nichtrationale algebraisch irrational

algebraische

transzendent irrational transzendente

Eine weitere (nicht mathematisch exakte) Einteilung von Funktionen stellt auf die Zahl der unabhängigen Variablen ab. Bisher hatten wir nur auf den Fall einer unabhängigen Variablen y = f(x) abgestellt. Besonders in den Wirtschaftswissenschaften sind aber Funktionen mit zwei oder mehr unabhängigen Variablen y = ffa,

..., xn) als

Erklärungsmodelle von Bedeutung. Wir werden uns in einem späterem Abschnitt noch dieser Problematik widmen.

2-5-2

Einige spezielle Funktionen

Konstante Funktionen Bei einer konstanten Funktion ist für jeden x-Wert der Funktionswert f(x) gleich c. Z.B. y = 2 ist eine konstante Funktion. Ein Sonderfall der Klasse der konstanten Funktionen ist die Nullfunktion, die sich graphisch gesehen mit der Abszisse deckt. Ansonsten bestehen die Graphen der konstanten Funktionen aus Parallelen zur x-Achse. Abb. 2-13 Beispiel für eine konstante Funktion

2

79

Funktionen

Abschnittweise definierte Funktionen Anstelle einer geschlossenen Darstellung y = f(x) kann auch die Zuordnungsvorschrift für verschiedene Intervalle des Definitionsbereichs verschieden sein. Beispiel 2-16 s

fii M L/4X.2 für 2 f

3 c9

.....

/

l

;

|

Weitere Beispiele für abschnittsweise definierte Funktionen sind: 1)

Betragsfunktion

5

/

i

C Bütr auüf unkt Ion) für x_> B/ für x< r

«g

K

-M • V-

8

3

\ \ 2

1

/ I - 4

I

' 4

1 für x > 0 2)

Vorzeichenfunktion:

3) Heaviside-Funktion:

y = sgnx =

y = H (x) =

Ofürx = 0 - 1 für x < 0

1 fürx > 0 Ofürx < 0

80

2

4) Treppenfunktion:

Funktionen

Diese Funktionen sind intervallweise konstant. Ein Beispiel dafür ist die Abhängigkeit des Briefportos vom Gewicht.

4ea s

Reziprokfunktion 1. Die Reziprokfunktion y = f (x) = — ist für alle x E IR \ {0} definiert. Ihr Graph besteht aus den zwei Ästen der Normalhyperbel.

2-5-3

Polynome

Polynome oder auch ganze rationale Funktionen gehören zu den wichtigsten Funktionen in den Wirtschaftswissenschaften. Sie gehorchen der allgemeinen Form: n y = f (x) = an xn + 3n-i xn"1 + ... + a, x1 + a 0 x° = £ a, x1 i=0 Sie werden nach dem höchsten vorkommenden Exponenten n von x unterschieden, so daß man von einem Polynom n-ten Grades spricht. Als Sonderfall spricht man von einer Potenzfunktion, wenn alle Koeffizienten a0 bis an.i = 0 und a„ = 1. Solche Funktionen nennt man auch Monome. Z.B. y = x2 ist ein Monom vom Grad 2. y =a konstante Funktion Polynom vom Grad 0: y = ax + b lineare Funktion Polynom vom Grad 1: y = ax2 + bx + c Parabel Polynom vom Grad 2: y = ax3 + bx2 + ex + d usw. Polynom vom Grad 3: ohne Namen

2

81

Funktionen

Beispiel 2-17 Häufig läßt sich bei Produkten ein typischer Absatzzyklus von der Einführung bis zum Verschwinden vom Markt beobachten: Zuerst wächst der Absatz langsam, dann schneller und dann wieder langsamer, bis er schließlich nach Erreichen des Maximums relativ schnell auf Null sinkt. Dieser Lebenszyklus läßt sich z.B. als Absatzfunktion von der Zeit U = f (t) = 12t 2 - 4t 3 d.h. als Polynom 3. Grades wiedergeben. Abb. 2-14 Graph der Absatzfunktion u = 12t2 - 4t 3

Nullstellen von Polynomen Polynome

zeichnen

zusammenhängen.

sich

durch

Das bedeutet,

Eigenschaften daß

man -

ihren

Nullstellen

insbesondere für die

aus,

die

mit

graphische

Darstellung - alle Nullstellen eines Polynoms zu bestimmen hat. Dies ist bei Polynomen bis zweiten Grades i.d.R. kein Problem: 0. Grades: y = a hierfür existiert keine Nullstelle b 1. Grades: y = ax + b: Nullstelle bei-— z.B. y = 2 x - 4 2

2. Grades: y = ax + bx + c:

xobei2.

maximal zwei Nullstellen oder nur eine (doppelte) oder im IR keine.

Abb. 2-15 Nullstellen bei Polynomen

82

2

Funktionen

Zur Bestimmung der Nullstellen einer quadratischen Gleichung bringt man diese am günstigsten auf die Form: x2 + ax + b = 0 d.h. der Koeffizient des quadratischen x-Gliedes sollte = 1 sein; man erreicht das, indem man die ursprüngliche Gleichung durch den Koeffizienten des x2-Gliedes dividiert. Zur Anwendung kommt dann der Vieta'sche Wurzelsatz: a Xl/2 = "2 ±

/

a

|2

"\j fUJ1r - b

Beispiel 2-18

Zu Bestimmen sind die Nullstellen von y = 2x2 - 8x -10. Dazu setzen wir den Funktionswert = 0 und dividieren die Gleichung durch 2: 0 = x2 - 4x - 5

= 2 ET^il

±^9 [ ¡ Z U

Beispiel 2-19

Für die Funktion y = x2 + 2 existiert keine reelle Nullstelle: x2 = -2 hier gibt es keine reelle Zahl, deren Quadrat negativ ist! x 1s Wir bekommen als Lösung komplexe Werte: x, = +i , x2 = -i a/2" , i = a / T

2

83

Funktionen

3. und höheren Grades: Fehlt hier das absolute Glied (d.h. ist der Koeffizient des x°-Gliedes = 0), verläuft die Funktion immer durch den Ursprung, d.h. eine Nullstelle liegt bei Xo = 0. Dies läßt sich auch zeigen, wenn man die Gleichung in ein Produkt zerlegt und sich erinnert, daß ein Produkt nur = 0 sein kann, wenn mindestens ein Faktor = 0 ist. Beispiel 2-20 y = x3-2x2-8x

= 0 = x(x2 - 2x - 8)

x, = 0 x2 -2x - 8 = 0 x M = + 1 ± V 1 + 8 ; |x2 = A\ |x3 = -2 Substitution Ggfs. läßt sich auch substituieren: x4 - 4x2 + 3 = 0 mit z = x2 z 2 - 4z + 3 = 0 -> zw = 2 ± a/T" ; z, = 1; z 2 = 3 -> |x1/2 = ±1| ; \x3,4 = ±yl3 Normalerweise aber lassen sich die Nullstellen von Polynomen 3. oder höheren Grades nur mit aufwendigen Methoden der numerischen Mathematik bestimmen, auf die wir hier jedoch nicht eingehen wollen. Statt dessen wollen wir hier aufzeigen, wie man die Bestimmung der Nullstellen dann vereinfachen kann, wenn bereits eine oder mehrere Nullstellen bekannt sind. Zerlegung in Linearfaktoren Dazu betrachten wir zunächst den Fundamentalsatz der Algebra, den wir hier allerdings nicht beweisen wollen: Ein Polynom n-ten Grades besitzt genau n reelle oder komplexe Nullstellen. Es läßt sich bis auf einen konstanten Faktor in IC vollständig in Linearfaktoren zerlegen. Es gilt: a n x" + a,,., x"-1 + ... + a,x + a 0 = a n (x - x,) (x - x 2 )... (x - xn) Dabei bezeichnet man (x - X|) als Linearfaktor, wobei X| eine Nullstelle des Polynoms darstellt. Kennt man nun eine Nullstelle xk, und dividieren wir das Polynom und das in Linearfaktoren zerlegte Polynom durch (x - xk), bleiben auf der rechten Seite n - 1 Faktoren übrig, nämlich alle außer (x - xk). Das verbleibende Produkt ist dann ein Polynom n - 1-ten Grades, dessen Nullstellen auch die des ursprünglichen Polynoms sind, weil ja alle Faktoren außer (x - xk) erhalten bleiben. Daraus folgt, daß man bei bekannter Nullstelle xk das ursprüngliche Polynom durch den Linearfaktor (x - xk) dividieren kann und als Ergebnis ein Polynom n - 1-ten Grades erhält, das dieselben Nullstellen aufweist wie das ursprüngliche Polynom.

84

2

Funktionen

Beispiel 2-21 Für das Polynom y = x3 - 5x2 - 4x + 20 haben wir durch Probieren die Nullstelle x, = 2 gefunden. Die restlichen (höchstens zwei) finden wir durch Polynomdivision: ( x3 - 5x2 - 4x + 20) * (x - 2) = x2 - 3x -10 -( x3 - 2x21 - 3x2 - 4x + 20 -(

-3x2

+ 6x) -10x + 20

-(

-10X + 20)

0 Vorgehensweise: 1. Das Glied mit dem höchsten Exponenten wird durch x dividiert; hier x3 + x = x2. Das ist das erste Glied des Ergebnisses. Dann multipliziert man dieses erste Glied mit dem Linearfaktor und subtrahiert dieses Produkt von dem Polynom; hier: x2 (x -2) = x3 - 2x2. 2. Von dem verbleibenden Rest (hier: -3x2 - 4x + 20) dividiert man wieder das Glied mit dem höchsten Exponenten durch x und erhält das zweite Glied des Ergebnisses; hier: -3x2 + x = -3x. Wiederum subtrahiert man das Produkt aus zweitem Glied und Linearfaktor vom verbliebenen Rest des ersten Schrittes 2 2 (hier: (-3x - 4x + 20) - (-3x + 6x) = -10x + 20). 3. Von dem neuen Rest dividieren wir wieder das Glied mit dem höchsten Exponenten (hier: -10x) durch x und erhalten das dritte Glied des Ergebnisses. Subtrahiert man nun das Produkt aus drittem Glied und Linearfaktor von dem letzten Rest, ergibt sich 0. Als Ergebnis erhalten wir x2 - 3x -10, also ein Polynom 2. Grades, dessen Nullstellen wir bestimmen:

x2 = 5|, |x3 = -2 Probe: Das Polynom müßte sich in Linearfaktorenschreibweise darstellen lassen und bei Ausmultiplikation das ursprüngliche Polynom ergeben: (x - 2) (x - 5) (x + 2) = (x2 - 7x + 10) (x + 2) = x3 + 2x2 - 7x2 - 14x + 10x + 20 x3 - 5x2 - 4x + 20 Eine vollständige Zerlegung in Linearfaktoren ist nicht immer möglich, nämlich dann wenn komplexe Nullstellen vorhanden sind. Das Polynom x4 +x2 - 2 besitzt bei Xi = -1 und x2 = 1 Nullstellen. Kennt man zwei Nullstellen, kann man das Polynom auch durch das Produkt der zwei Linearfaktoren dividieren:

2

85

Funktionen

( x4 +x2 - 2) -s- (x2 -1) = x2 + 2 Das Ergebnis zeigt: -( xW) x3IA = ±yp2 2x2 - 2 x3 = i -( 2x 2 -2) X4 = -ia/2" 0 Lassen wir also komplexe Nullstellen zu, kann unser Polynom auch vollständig in Linearfaktoren zerlegt werden: (x + 1) (x -1) (x - i V2") (x + i V~2~) Ist allerdings der Koeffizient des Gliedes mit dem höchsten Exponenten der Zerlegung in Linearfaktoren noch ein konstanter Faktor (an) dazu.

1, kommt bei

Auffinden einer ersten Nullstelle Die Polynomdivision ist natürlich nur ohne Rest möglich, wenn man durch eine bereits bekannte Nullstelle dividiert; außerdem sollte es sich um eine möglichst ganzzahlige Lösung handeln. Eine solche läßt sich bei näherer Betrachtung der Kooefizienten der Funktion finden. Von besonderem Interesse ist hier das absolute Glied. Wenn es eine ganzzahlige Lösung gibt, muß sie das absolute Glied teilen. Damit kommen nur die Zahlen in Betracht, die das absolute Glied als ganzzahlige Lösung teilen. Damit reduziert man das Probieren auf relativ wenige Zahlen. Ob dafür dann eine Nullstelle vorliegt, überprüft man dann mit dem bereits bekannten Horner-Schema. Beispiel 2-22 y = x3 + 2x2 - x - 2 = 0 Gibt es hierfür eine ganzzahlige Lösung, so muß sie die -2 teilen. Die 1 ist ein Divisor von -2. Überprüfung anhand des Horner-Schemas: 1 + 0

2-1-2 + + + 1 3 2

1

3

| X=1 2

0=y

also ist bei x = 1 eine Nullstelle vorhanden! Gleichzeitig damit haben wir mit der letzten Zeile des Horner-Schemas die Koeffizienten des Restpolynoms n-1-ten Grades ermittelt: x2 + 3x +2. Damit entfällt auch eine Division des ursprünglichen Polynoms durch den Linearfaktor (x - 1) als erfreulicher Nebeneffekt.

Regula falsi oder lineares Eingabein Zweckmäßigerweise wendet man die Polynomdivision nur bei ganzzahligen Lösungen an. Sind diese nicht vorhanden, muß man auf Näherungsverfahren zurückgreifen. Beim linearen Eingabein ermittelt man durch Probieren zwei x-Werte, für die die zugehörigen y-Werte entgegengesetzte Vorzeichen haben. Diese beiden Punkte (xi, y,) und (x2, y2)

2

86

Funktionen

verbinden wir durch eine Gerade y = ax + b, deren Koeffizienten a und b wir ermitteln, indem wir die x- und y-Werte der beiden Punkte in die allgemeine Form der Geraden einsetzen. Der Schnittpunkt dieser Geraden mit der x-Achse stellt ein erste Näherung für unsere gesuchte Nullstelle dar. Für diesen x-Wert ermitteln wir dann den zugehörigen y-Wert und erhalten den Punkt (x3l y3). Je nach Vorzeichen des y-Werts verbinden wir nun (x3, y3) mit (xi, yi) oder mit (x2, y2) durch eine Gerade, deren Schnittpunkt mit der x-Achse uns eine zweite Näherung angibt. Das Verfahren können wir weiter fortsetzen und uns der gesuchten Nullstelle mit beliebiger Genauigkeit nähern. Beispiel 2-23 Für y = x3 - 2x2 - 5x + 4 soll eine Nullstelle ermittelt werden! Durch Probieren ermitteln wir für xi = 0 den Wert yi = 4 und für x2 = 1 den Wert y 2 = -2. Beide x-Werte liegen nicht sehr weit auseinander, die y-Werte haben entgegengesetzte Vorzeichen, womit wir die Gerade zwischen Pi und P 2 ermitteln. -2 = 1a + b und 4 = Oa + b: damit folgt: b = 4 und a = -6: y = -6x + 4. Daraus folgt: 0 = -6x + 4 - » x = 0,67 als Schnittpunkt unserer Geraden mit der x-Achse; gleichzeitig ist x = 0,67 eine erste Näherung für unsere gesuchte Nullstelle. Für x3 = 0,67 ermitteln wir den y-Wert mit y3 = +0,052, so daß wir nun die Gerade zwischen (x2, y2) und (x3, y3) berechnen. 0,052 = 0,67a + b und -2 = 1a + b -> a = -6,218; b = 4,218, so daß y = -6,218x + 4,218 unsere neue Gerade mit der Nullstelle x = 0,6783 ist. Hier brechen wir ab und nehmen x = 0,6783 als approximative Nullstelle unserer o.a. Funktion.

tf-K3:-2x2rSx*4

-1.8S6 :

8,6784: 3,1774

2

Funktionen

Abb. 2-16 Einige Polynome und ihre Graphen

87

2

88

• 6,2K5 +1A K--2 4 y-X—1

i

• 1/-6X-2

Funktionen

4 f

2

2

p

- ?

j -A

2

0

2

1

1 2

|

1

Verknüpfung von Polynomen Die Summe, die Differenz, das Produkt und die Verkettung von Polynomen ergeben wiederum ein Polynom, dessen Grad i.d.R. nicht identisch ist mit den Graden der Polynome vor der Verknüpfung. Der Quotient zweier Polynome allerdings führt nicht wieder zu einem Polynom, sondern zu gebrochen rationalen Funktionen.

2-5-4

Gebrochen rationale Funktionen

Im Gegensatz zu den ganzen rationalen Funktionen existieren bei den gebrochen rationalen Funktionen ein Nenner- und ein Zählerpolynom. Es ist leicht ersichtlich, daß dort, wo das Nennerpolynom Nullstellen besitzt, die Funktion nicht definiert ist. Diese Stellen nennt man Definitionslücken. Besitzt das Nennerpolynom jedoch keine reellen Nullstellen, so ist die gebrochen rationale Funkton für alle reellen Zahlen definiert. Behebbare Definitionslücken liegen dann vor, wenn eine Nullstelle von Zähler- und Nennerpolynom übereinstimmt. x-4 Bei y = x 2 6x + 8

hat cias

Nennerpolynom die Nullstellen

= 2 und x2 = 4; es kann

also als Produkt der beiden Linearfaktoren geschrieben werden. Das Zählerpolynom hat die Nullstelle x = 4. Zähler- und Nennerpolynom stimmen bei der Nullstelle x = 4 überein, so daß lediglich bei x = 2 eine echte Definitionslücke besteht. Hier spricht man von Polstellen. x-4 x-4 _ 1 x2 - 6x + 8 = (x - 2) (x - 4) x-2

2

89

Funktionen

Nullstellen Die Nullstellen einer gebrochen rationalen Funktion stimmen mit den Nullstellen dös Zählerpolynoms überein. Stimmen allerdings dabei Nullstellen von Zähler- und Nennerpolynom überein, sind nur die nicht übereinstimmenden zu berücksichtigen. Beispiel 2-24 Zu bestimmen sind D(f) und Nullstellen folgender Funktionen: x2-4 Aus dem y= Nennerpolynom folgt: x - 2 = 0 -> x = 2, d.h. dort befindet sich eine Definitionslücke. Aus dem Zählerpolynom folgt: x2 -4 = 0 X1 = 2 und Xj.= -2. Da bei x = 2 eine Definitionslücke vorliegt, bleibt x = -2 als Nullstelle. D(f) = IR \ {2} X3 _

y =—

+ gy

—

Aus dem Nennerpolynom folgt: x2

=

-4; dafür existiert keine

Lösung im IR, so daß der D(f) = IR- Für das Zählerpolynom ergibt sich: x(x2 - 5x + 6) = 0, womit eine erste Nullstelle bei x-i = 0; die 5

/ 25

24

weiteren Nullstellen liegen bei x M = j ± AJ "4" - "4"; x2 = 2; x3 = 3.

2

90

Funktionen

Partialbruchzerlegung Insbesondere für spätere Anwendungen in der Integralrechnung, aber auch zur einfacheren und übersichtlicheren Darstellung lassen sich gebrochen rationale Funktionen in einzelne Partialbrüche zerlegen, wobei man das Nennerpolynom zunächst in Linearfaktoren zerlegt. Für das Zählerpolynom wählen wir für jeden Linearfaktor eine allgemeine reelle Zahl a,, ... an. Nun haben wir auf der linken Seite des Gleichheitszeichens unsere gebrochen rationale Funktion stehen; rechts davon einzelne Summanden als Quotienten, deren Nenner aus einem Linearfaktor und deren Zähler aus einer allgemeinen Zahl a\ besteht. Da die Nenner der beiden Seiten der Gleichung gleich sind, müssen es auch die Zähler sein. Die ai lassen sich dann einfach bestimmen, indem man die einzelnen Quotienten der rechten Seite gleichnamig macht und dann durch Koeffizientenvergleich der Zähler beider Seiten die ai bestimmt. Beispiel 2-25 Partialbruchzerlegung für y

=

2 + 20x + 149 + 4x2 -11x - 30

3-x x

Zur Produktdarstellung des

Nenners benötigen wir dessen Nulstellen. -2 ist ein Divisor von -30: 1 x,=-2

0 1

4 -11 -30 -2

-4

30

2-15

0

x2 + 2x -15 = 0 x M = -1 ±-y/l + 15 x2 = -5 ; x3 = +3

2

-x + 20x + 149 _ a, _§2_ _§3_ x3 + 4x2 -11x - 30 " (x - 3) """ (x + 2) """ (x + 5) Wir machen nun die Nenner der rechten Seite (= Linearfaktoren) gleichnamig, d.h. wir müssen jeden Quotienten mit den Nennern der übrigen multiplizieren: • •

=

ai (x + 2) (x + 5) + a2 (x - 3) (x + 5) + a3 (x - 3) (x + 2) (x - 3) (x + 2) (x + 5)

Da die Nenner übereinstimmen, müssen auch die Zähler übereinstimmen, also: -x2 + 20x + 149 = a, (x + 2) (x + 5) + a2 (x - 3) (x + 5) + a3 (x - 3)(x + 2) = ai (x2 + 7x + 10) + a2 (x2 + 2x -15) + a3 (x2 - x - 6) = a, x2 + 7a,x + 10a, + a2x2 + 2a2x - 15a2 + a3 x2 - a ^ - 6a3 = (a, + a2 + a3) x2 + (7a, + 2a2 - a3) x + (10a, - 15a2 - 6a3) x° Da die beiden Seiten gleich sind, müssen auch die Koeffizienten der einzelnen xGlieder beider Seiten gleich sein:

2

91

Funktionen

(1)

-1 = a, +a 2 + a 3

(2)

20 = 7ai + 2a 2 - a 3

(3)

149= 1 0 a , - 1 5 a 2 - 6 a 3

aus (1) a, = -1 - a 2 - a 3 in

(2) 20 = 7 (-1 -a 2 - a3) + 2a 2 - a 3 (2a) 27 = -5a 2 - 8a 3

Ebenso setzen wir a^ in (3) ein: 149 = -10 - 10a2 - 10a 3 - 15a2 - 6a 3 (3a) 159= -25a 2 -16a 3 Wir multiplizieren (2a) mit -5 und addieren zu (3a): 159=

-25a 2 -16a 3

-135= +25a2 + 40a 3 24 = a3 = 1

24a 3 eingesetzt in (2a): 27 = -5a 2 - 8 a 2 = -7

a 3 = 1 und a 2 = -7

eingesetzt in (1): ay = - 1 + 7 - 1 = 5 a, = 5

Damit können wir unsere Funktion als Partialbruch schreiben: y

=

-x2 + 20x + 149 x 3 + 4x 2 - 11x - 30

=

5 (x - 3)

+

-7 (x + 2)

+

1 (x + 5)

Die o.a. Partialbruchzerlegung funktioniert nur, wenn der Grad des Zählerpolynoms kleiner ist als der des Nennerpolynoms. Ist das nicht der Fall, führt man eine Polynomdivision solange durch, bis der Divisionsrest diese Bedingung erfüllt.

92

2

Funktionen

2-5-5 Algebraisch Irrationale Funktionen Zu den algebraisch irrationalen Funktionen gehören alle Funktionen, bei denen die unabhängige Variable mindestens einmal unter einem Wurzelzeichen vorkommt: y = V x2 + x ; y =

*+ (x3 -

2

1 Achtung: x 5 = V x ~

X 2 )2

So sind alle Inverse von Potenzfunktionen Wurzelfunktionen, y = x 2 - > y = f(x) "1 = ± V~x~

2

93

Funktionen

y /

3 1/2 | •2 VC*3 x2,1 )L/2.. r

"l !

/

4

2

Nullstellen Zur Bestimmung der Nullstellen sind die Wurzeln zu beseitigen. Dazu werden beide Seiten mit dem gleichen Exponenten potenziert - ggf. mehrmals. Allerdings ist das Potenzieren mit einem geraden Exponenten keine äquivalente Umformung, so daß zur Lösung in jedem Falle die Probe gehört.

94

2

Probe:

Funktionen

• 14 - 3 -5 = 0 ; 0 = 0

aber: aJ2x-3 + 5 = 0 Probe:

3 = -5 ->• 2x - 3 = 25

• 14 - 3 +5

x = 14

=0 10 = 0 d.h. Widerspruch; x = 14 ist keine Lösung

2-5-6

Trigonometrische Funktionen

Die Trigonometrischen Funktionen oder auch Winkelfunktionen dienen zur Erfassung von Schwingungsvorgängen und zur Berechnung von Dreiecken. Jeder Zentriwinkel eines Kreises schneidet auf dem Kreis einen Bogen aus. Dieser Bogen verhält sich zur Gesamtlänge des Kreisumfangs (= 2m) wie der betr. Winkel a zu 360°. Abb 2-19 Bogenmaß des Winkels

Konstante ist, hängt das Bogenmaß allein von der Größe des Winkels ab, bzw. der Bogen kann zum Messen des betr. Winkels direkt benutzt werden. Im Einheitskreis (r = 1) ist gleich dem zugehörigen Bogen: x = ot

it 180°

Damit läßt sich jedem Winkel a mit 0° < a < 360° eindeutig eine reelle Zahl zuordnen. a

0°

X

0

30°

45°

60°

90°

120°

150°

180°

270°

6

JC 4

ji 3

n 2

2 3"

5 ß 71

T

3 71 2

2

95

Funktionen

Betrachtet man nun den Einheitskreis und darauf einen Punkt P als Schnittpunkt des Schenkels des Winkels a mit dem Kreisbogen in positiver Winkelrichtung, bezeichnen wir die zu P gehörige Ordinate als sinx und die Abszisse als cosx; bei Winkelbetrachtungen in negativer Winkelrichtung wird daraus sin(-x) = -sinx und cos(-x) = cosx. Abb. 2-20 Sinus und Kosinus im Einheitskreis

a X sinx cosx

0° 0

30°

60°

90°

120"

180°

270°

360°

71

71

6

n 3

2

2 371

K

3 271

27t

0 1

0,5 0,87

0,87 0,5

1 0

0,87 -0,5

0

-1

-1 0

0 1

Überträgt man nun diese Zuordnung in eine Funktion, folgen die Sinusfunktion y = sinx und die Kosinusfunktion y = cosx. Abb. 2-21 Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion U

1 2

1

x n

y-8ln(x

\

\

K

J-C09i L -1 n

*
2 4-lt?T17j

2

d2, ( t (t,* i ^ t-2t f)) 2> = ^ 4 r ( t l

2

t22)2) + -t 2

1 "4 ^V

Damit ist unsere Marktabgrenzungskurve ein Kreis, dessen Mittelpunkt auf der x-Achse liegt mit der x-Koordinate:

d ti 2 +122 - a = 2' t,2 -122

un

^

r =

d /(ti2 +1=22)2 . 2 y

d 2tit2 2 ' t^ -t 2 2

Diese Abgrenzungskurve nennt man den Kreis des Apollonius; er umschließt den Ort, dessen Transportkosten pro Einheit die höheren sind, wobei die Entfernung zwischen A und B im Verhältnis t 2 : ti geteilt wird. Ist t2 > ti, liegt der Mittelpunkt rechts von B, wobei alle Abnehmer innerhalb des Kreises von B beziehen. Ist t2 < t1( liegt der Mittelpunkt links von A, und alle Abnehmer innerhalb des Kreises beziehen von A. Konkretisierung: Strecke AB = 14 km; t, = 6 DM; t2 = 8 DM; p, = p2. "a

=

14 36 + 64 2 ' 36 - 64 " "

r

14 248 " 2 ' 28

= 24

Ändert man die Prämissen so, daß p, * p2, aber ti = t2l erhält man als Abgrenzungskurve eine Hyperbel, bei der der Scheitel eines Astes dem Hersteller mit dem niedrigerem Preis zugewandt ist. Ist pi * p2 und ti * t2, ergibt sich eine elliptische Kurve 4. Ordnung.

2-8-5 Die Ellipse Die allgemeine Ellipsengleichung hat eine starke Ähnlichkeit mit der allgemeinen Kreisgleichung; der einzige Unterschied besteht darin, daß wir nunmehr nicht nur einen Radius r, sondern zwei Halbachsen c und d betrachten; a und b geben wieder die Koordinaten des Mittelpunktes an.

c

d

Geometrisch ist die Ellipse der Ort aller Punkte, für die die Summe der Abstände von zwei festen Punkten (die Brennpunkte Fi und F2) konstant ist. Für jeden beliebigen Punkt P gilt: ei + e2 = 2c. F = k • c • d

2

127

Funktionen

Abbildung 2-41 Die Ellipse

Bei einer Geraden y = ax + b läßt sich die Steigung a auch als Proportionalitätsfaktor interpretieren: in welcher Weise steigt der Funktionswert y, wenn das Argument x steigt? Will man nun erreichen, daß y mit steigenden x - Werten fällt, muß man a a nicht als Faktor, sondern als Divisor einsetzen: y = - ; x * 0. Dies ist die einfachste Form einer Hyperbel, vor allem dann, wenn a = 1 ist. Grundsätzlich besteht eine Hyperbel aus zwei Ästen, die sich den sogen. Asymptoten nähern. Im Fall y = a/x sind die Asymptoten identisch mit den Achsen des Koordinatensystems. Abb. 2-42 a Graphen der Hyperbel y = U'1

\

\ y

—

—r

2

128

2

Die allgemeine Form der Hyperbel lautet:

Dabei sind:

a und b: c und d:

c

Funktionen

d

die Koordinaten des Mittelpunkts die Halbachsen; ist c = d ergibt sich eine rechtwinklige Hyperbel.

Die Asymptoten folgen der Gleichung: y - b =

d

(x - a).

Dreht man das Koordinatensystem, verlaufen die Asymptoten parallel zu den Achsen. In diesem Fall lautet die Hyperbelgleichung:

y=

* ^

Geometrisch ist die Hyperbel der geometrische Ort aller Punkte, für die die Differenz von zwei festen Punkten, den Brennpunkten, konstant ist. Abbildung 2-43 Graphen von Hyperbeln

3

Folgen, Reihen, Grenzwerte, Finanzmathematik

3

3-1

129

Folgen, Reihen, Grenzwerte, Finanzmathematik

Folgen

Jede Aufeinanderfolge von Zahlen ist eine Folge. Liest man z.B. täglich zu einer bestimmten Zeit die Außentemperatur ab, erhält man eine Folge von Temperaturwerten, die z.B. wie folgt aussehen könnte: Tag:

1.

Temperatur: 22°

2.

3.

4.

5.

26°

24°

32°

30° ...

Ebenso ergibt sich eine Zahlenfolge, wenn man eine bestimmte Zahl von Würfen mit einem Würfel durchführt und die Augenzahlen notiert. Allgemein ordnet man bei einer Folge jeder natürlichen Zahl (n e IN) eine reelle Zahl (das n-te Glied einer Folge) zu. Demnach ist eine Folge auch als Funktion interpretierbar, nur besteht der Unterschied darin, daß bei einer Folge die unabhängige Variable nur den Bereich der natürlichen Zahlen ausfüllt. (Der 2. Wurf mit dem Würfel zeigte eine „5".) Zur Unterscheidung bezeichnet man daher die „unabhängige Variable" nicht mit x, sondern mit n und die Glieder der Folge mit an. Besonders interessant sind gesetzmäßig gebildete Folgen: a„ = f (n) = n :

1,2,3,4,...

a„ = f(n) = 2n:

2,4,6,8,...

a„ = f(n) = 2 n - 1

1,3,5,7,...

2

a„ = f(n) = n : n

a„ = f(n) = ^ :

1,4,9,16,... 1, 2, 3 4 3 4'5-'

2

Zu unterteilen sind Folgen in:

endliche und unendliche steigende und fallende arithmetische und geometrische

Arithmetische Folgen Addiert man zu jedem vorherigen Glied einer Folge eine Konstante, erhält man eine

130

3

Folgen, Reihen, Grenzwerte, Finanzmathematik

arithmetische Folge. Dabei gilt, daß die Differenz zweier beliebig aufeinanderfolgender Glieder konstant ist: an»i - a„ = d = const. Damit bestimmen folgende zwei Parameter eindeutig eine arithmetische Folge: ai = erstes Glied d = Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Gliedern Das n-te Glied wird dann bestimmt durch: a„ = a, + ( n - 1 ) d Die konstante Differenz d entspricht bei einer allgemeinen Funktion genau dem Anstieg (Steigung) einer Geraden, so daß man sagen kann: Eine arithmetische Folge entspricht einer linearen Funktion. Abb. 3-1 Grafische Interpretation der arithmetischen Folge a„ = 2n - 3 10 an

5

2 1

-2

n 18

Beispiel 3-1 1 1 Das erste Glied einer arithmetischen Folge lautet: 3g und d = 13. Wie lautet an ? a

"

= 3

1 1 3 + 13

= 3

1 3

+ 1

1 1 4 3 n - 1 3 = 3n

+

6 3

Die ersten vier Glieder einer arithmetischen Folge lauten: 7, 10,13,16. Wie lautet das 20. Glied ? 820=7+ ( 2 0 - 1 ) - 3 = 64

3

Folgen, Reihen, Grenzwerte, Finanzmathematik

131

Arithmetisches Mittel In einer arithmetischen Folge ist jedes Glied das arithmetische Mittel seiner Nachbarglieder. an = ^ ( a „ . i + a„+i) Geometrische Folgen Entspricht eine arithmetische Folge einer linearen Funktion, so wird eine geometrische Folge durch eine Exponentialfunktion der Form y = kax repräsentiert. Geometrische Folgen entstehen dadurch, daß jedes folgende Glied aus dem vorhergehenden durch Multiplikation mit einer Konstanten q gebildet wird:

Damit ist eine geometrische Folge eindeutig durch a, und q bestimmt. Das allgemeine Glied lautet: „ _ n -1 an = aiq und ist identisch mit der o.a. Exponentialfunktion bei Beschränkung des D(f) auf IN. Die grafische Interpretation einer geometrischen Folge entspricht dem Graphen einer Exponentialfunktion. Geometrisches Mittel In einer geometrischen Folge ist jedes Glied das geometrische Mittel seiner Nachbarglieder an = Van-1 'an+1 Abb. 3-2

Grafische Interpretation der geometrischen Folgen a„ = 2"; a„ = 16(4)"

132

3

Folgen, Reihen, Grenzwerte, Finanzmathematik

Beispiel 3-2 a,= 4; q = 2. Wie lauten die ersten fünf Glieder der geometrischen Folge ? a, = 4 • 2° = 4; a2 = 4 • 21 = 8; a 3 = 4 • 22 = 16; a4 = 4 • 23 = 32; a 5 = 4 • 24 = 64

3-2

Reihen

Häufig ist die Bestimmung der Summe aller oder der ersten n Glieder einer Folge von Interesse. In diesen Fällen spricht man von arithmetischen oder geometrischen Reihen.

Zur Bestimmung der Summe einer arithmetischen Folge schreiben wir die Glieder einer arithmetischen Folge so untereinander, daß unter dem ersten Glied der ersten Folge das letzte Glied der zweiten Folge, unter dem zweiten Glied der ersten Folge das vorletzte Glied der zweiten Folge,..., und unter dem letzten Glied der ersten Folge das erste Glied der zweiten Folge steht. Dann addieren wir die einzelnen Glieder und erhalten als Summanden jeweils eine Konstante. 1.Folge:

S„=

a,

2. Folge:

S„ = (a, + (n -1) d)

+

(a, + d)

+ ... + (a,+ (n - 2) d) +

+ a, + (n-2)d) + ... + (ai + d)

+ (n -1) d) +

a,

1.+2.Folge: 2S„ = (2a, + (n -1) d) + (2a, + (n-1) d) + ... + (2a, + (n -1) d) + (2a, + (n-1) d) 2S„ = n • (2a, + (n -1) d)

bzw. weil: a„ = a, + (n -1) d

n / s„ = 2 (ai + a„)

Ähnlich geht man zur Bestimmung der Summenformel für eine geometrische Reihe vor: Sn q • S„

= 1 + aq + aq2 + ... + aq"' 2 + aqn"1 = qa + aq2 + aq3 + ... + aq n ' 1 + §¿1

S„-qS„ = a - a q n ; S n ( 1 - q) = a - aq n ; S„ = ^ ^

Beispiel 3-3 Der Erfinder des Schachspiels durfte sich von dem indischen König Sheram eine Bitte

erfüllen lassen. Er wünschte sich Reis und zwar folgende Menge: für das 1. Feld des

3

Folgen, Reihen, Grenzwerte, Finanzmathematik

133

Schachbretts 1 Korn, für das 2. Feld 2 Körner, für das 3. Feld 4 Körner, auf das 4. Feld 8 Körner usw. Hierbei handelt es sich offensichtlich um eine geometrische Reihe einer Folge von : 1 + 2 + 4 + 8 + 16+ 32 + ... a„ = 2"'1

Das allgemeine Folgeglied lautet: SM = 1 • % T f =

- 1 = 1,84467 • 1019

Nehmen wir an, 100 Körner wiegen 1g und 1 Güterwagen faßt 50t. Der Reis wiegt dann: 1|8

1 10 0 °

g = 1,8 • 1017 g = 1,8 • 10111 = 180 Milliarden Tonnen; dazu wären 1 | 8 5 0 1 °

=

3,6 • 109 = 3,6 Milliarden Güterwagen nötig. Nehmen wir an, daß jeder Güterwagen 10 m lang ist, so ist ein Güterzug von 3,6 • 109 • 10 m = 3,6 • 107km = 36 Mill. km nötig. Diese Folge ist auch ein Beispiel dafür, wie schnell geometrische Folgen zu schwindelerregenden Reihen anwachsen können.

3-3

Grenzwerte

3-3-1

Grundlagen

Bei Folgen interessiert man sich häufig dafür, was mit den Folgegliedern passiert, wenn man n beliebig groß werden läßt. Je nach Zuordnungsvorschrift für a„ können Zahlenfolgen über alle Grenzen entweder gegen + oder gegen - unendlich streben; oder aber sie nähern sich einer Zahl, einem Grenzwert ohne diesen je zu erreichen, wobei allerdings eine beliebige Annäherung möglich ist. Tendiert eine Folge einem bestimmten Grenzwert zu, spricht man von Konvergenz. Beispiel 3-4 an = n2 = 1, 4, 9, 16, 25, ... ist eine Folge die gegen unendlich strebt, denn es läßt sich zu jedem Glied immer noch ein weiteres finden, das größer ist. Die Folge a„ = - n = -1 ,2,-3... dagegen strebt gegen minus unendlich. 1

111

Andererseits wird die Folge a„ = ~ = 1, ^ 3. 4.—. immer kleiner aber selbst für sehr große Werte von n bleibt a„ ein positiver Wert, erreicht aber niemals den Wert null.

3

134

Folgen, Reihen, Grenzwerte, Finanzmathematik

Beispiel 3-5 Die griechische Sage berichtet von einem Wettlauf zwischen Achilles und einer Schildkröte. Da Achilles 10 mal so schnell lief wie die Schildkröte, räumte er ihr einen Vorsprung von 10 m ein. Die einzelnen Phasen des Wettlaufs sahen nun wie folgt aus: In der Phase 0 hat die Schildkröte einen Vorsprung von 10 m; in der 1. Phase legt Achilles 10 m zurück, während die Schildkröte 1 m gelaufen ist; ihr Vorsprung beträgt nun 1 m. Nachdem nun Achilles auch diesen Meter Vorsprung durchlaufen hatte, war die Schildkröte schon wieder 10 cm weiter. Für diese 10 cm Vorsprung gilt nun wieder, daß die Schildkröte bereits 1 cm weiter ist, wenn Achilles auch diese 10 cm zurückgelegt hat. Daraus folgt, daß Achilles die Schildkröte eigentlich nie einholen kann. Betrachten wir die Entwicklung des Vorsprungs, entdecken wir eine geometrische

1 Reihe mit dem Anfangsglied ai = 10 und dem konstanten Quotienten ^ : 10 • TjQÜ = 10

1 a„ = 10 • -^¡r

Vorsprung Phase 0: 1 0

'1Ö

T = 1

Vorsprung Phase 1: 10

W

=0,1

Vorsprung Phase 2: 10-^3=0,01 Vorsprung Phase 3:

Vorsprung Phase n:

10 •

=

0,00...01

Alle Glieder dieser Reihe sind positiv, so daß die Schildkröte eigentlich in jeder Phase des Wettlaufs einen Vorsprung gegenüber Achilles hat. Anderseits läuft Achilles 10 mal so schnell wie die Schildkröte. Dieser Widerspruch klärt sich, wenn man die von der Schildkröte und Achilles durchlaufenen Strecken betrachtet. Achilles legt gerade immer in den einzelnen Phasen die Strecke zurück, die dem Vorsprung der Schildkröte entspricht. Addiert man diese Strecken, erhält man den unendlichen Dezimalbruch: 1 1 11,1111... oder als Grenzwert 11g. Wenn also Achilles 11 g m zurückgelegt hat, ist der Vorsprung der Schildkröte auf null geschrumpft. Mit diesem Beispiel wurde gezeigt, daß die Addition von unendlich vielen Zahlen sehr wohl eine endliche Zahl ergeben kann.

3 Folgen, Reihen. Grenzwerte. Finanzmathematik

3-3-2

135

Monotone und beschränkte Folgen

Unabhängig ob es sich um eine geometrische oder arithmetische Folge handelt, ist eine monotone Folge eine Folge, die entweder (streng) monoton steigt oder (streng) monoton fällt. D.h. für alle n e IN muß gelten für a„ + 1 ^ a„ . Vgl. dazu auch den Monotoniebegriff bei Funktionen. Beispiel 3-6 111

1

Die Folge 1, ^ 3, 4,-- •. p ist streng monoton fallend, denn jedes Folgeglied ist kleiner als das vorhergehende.

1

Dagegen ist die Folge mit a„ = 3 - - streng monoton steigend: 2; 2,5; 2,667;... Beschränkte Folgen Folgen, die nicht beliebig große oder kleine Werte annehmen können, heißen „beschränkte" Folgen, wobei man noch in eine untere und eine obere Schranke unterteilen kann. Beispiel 3-7 Die Folge - V hat mit 0 eine untere und mit 1 eine obere Schranke. n Die Folge 2n hat mit 2 eine untere, aber keine obere Schranke. Die obere Schranke bezeichnet man auch als Supremum bzw. die untere als Infinum. Beide können, müssen aber nicht Glieder der Folge sein.

3-3-3

Häufungspunkte

Bei vielen Folgen ist zu beobachten, daß die Differenz zwischen zwei Folgegliedem ständig kleiner wird. Dabei streben sie einem Punkt zu, den sie aber nie erreichen. Besonders anschaulich kann man sich dies machen, wenn man die Glieder einer Folge als Punkte auf einem Zahlenstrahl darstellt. Beispiel 3-8 Die alternierende Folge (alternierend: je zwei aufeinanderfolgende Glieder haben stets ein unterschiedliches Vorzeichen)

136

an =

3

(-1);

v

, (n + 1)

Folgen, Reihen, Grenzwerte, Finanzmathematik

hat bei 0 einen Häufungspunkt, d.h. in einem beliebig kleinen Intervall

(e-Umgebung) um diesen Punkt liegen unendlich viele Folgeglieder. Wählt man eine e-Umgebung mit e = 0,02 liegen nur die ersten sechs Folgeglieder nicht in dieser e-Umgebung: 0,2500; -0,1111; 0,0625; -0,0400; 0,0278; -0,0204; 0,0156; -0,0123; 0,0100;...

a«

a2 -0,111

äs 8

0

8

83 0,0625

a, 0,25

Aufgabe Welche Häufungspunkte haben die folgenden Folgen? 1 1 1 an = 5 - i r p p a n = 2n;a n = ( - 1 ) n - ^ a „ = 1 + ( - 1 )n

3-3-4

Konvergente Folgen

Bisher konnten wir feststellen, daß sich die Glieder einer Folge mit wachsendem n: entweder genau einer Zahl, oder abwechselnd zwei (oder mehr) verschiedenen Zahlen nähern, oder unendlich groß oder klein werden. Strebt eine Folge nur einer festen Zahl zu, nennt man diese Zahl Grenzwert und das Verhalten der Folge konvergent. Beispiel 3-9 Die Folge des vorhergehenden Beispiels strebte der Null als Grenzwert zu. Die Folge

1 a„ = 2 + - ist eine konvergente Folge mit dem Grenzwert 2. Schreibweise: Um den Grenzwert einer Folge zu kennzeichnen, schreibt man vor das allgemeine Folgeglied „lim" (lat. limes = Grenze) und darunter für welches n dieser Grenzwert 1 1 Z.B. lim - = 0. Gelesen: Limes -nf ü r n gegen Unendlich =0 n - * oo n Nullfolgen

erreicht wird, z.B. n - »

Folgen, die gegen den Grenzwert null konvergieren, nennt man Nullfolgen.

3

Folgen, Reihen, Grenzwerte, Finanzmathematik

137

Divergenz Eine Folge, die nicht gegen einen Grenzwert konvergiert, heißt divergent. Das ist dann 1 der Fall, wenn zwei Häufungspunkte vorliegen. Die Folge a„ = (-1 )n • (1 + ~) nähert sich z.B. abwechselnd den beiden Zahlen -1 und +1; eine solche Folge hat keinen Grenzwert. Berechnung von Grenzwerten: Bei der Berechnung von Grenzwerten erweist es sich häufig als sinnvoll, einen vorgegebenen Term für a„ zu zerlegen und aus den Grenzwerten der Einzeltermen den Gesamtgrenzwert zu bestimmen. Dabei gelten folgende Regeln: an habe den Grenzwert a und b„ den Grenzwert b, dann gilt: 1)

lim(a„ + bn) = lim a„ + lim bn = a + b (Differenzen analog)

2)

lim(a„ • b„) = lim a„ • lim b„ = a • b (Quotienten analog)

Beispiel 3-10 2R3 p2 ^ g Zur Bestimmung des Grenzwertes der Folge a„ = — n 3 _ — dividiert man zunächst Zähler und Nenner durch die höchste vorkommende Potenz von n: o 1+ 3 n n* a„ = — — .

Den Grenzwert bestimmt man dann mittels der Grenzwerte der Einzeltermen wie folgt: 1 3 lim 2-lim —hlim ^ lim

an= lim 1 -lim - j

Zur Beachtung:

3-3-5

o r> 1 - 0

= 2

Ist bei Quotientenfolgen der Grenzwert von bn = 0, ist die Grenzwertregel nicht anwendbar. Ebenfalls ist kein Grenzwert zu bestimmen, wenn a„ oder b„ divergent sind.

Konvergenz bei Reihen

Wie wir wissen, bezeichnet man die zu einer Folge a„ gehörige Folge der Partialsummen als die zu a„ gehörige Reihe. Ebenso wie für eine Folge läßt sich auch für eine Reihe ein Grenzwert bestimmen.

138

3

Folgen, Reihen, Grenzwerte, Finanzmathematik

Beispiel 3-11 Nehmen wir an, ein Auto beschleunigt in 10 sec von 0 auf 80 km/h. Innerhalb der nächsten 10 sec betrage der Geschwindigkeitszuwachs jedoch nur noch die Hälfte, nämlich 40, so daß nach insgesamt 20 sec 120 km/h erreicht sind. Für die darauffolgenden nächsten 10 sec beträgt der Geschwindigkeitszuwachs wiederum die Hälfte des vorherigen, nämlich 20 km/h usw. Damit handelt es sich um eine geometrische Folge mit dem Anfangsglied ai und dem Quotienten q = ^ . Die ersten Glieder der Folge lauten also: 80; 40; 20; 10; 5; 2,5; 1,25;... Das allgemeine Folgeglied lautet: an = 80

{^f'1

Will man nun wissen, welche Geschwindigkeit man nach 10, 20, 30, usw. sec erreicht hat, muß man die einzelnen Geschwindigkeitszuwächse addieren. Man erhält: 80; 120; 140; 150; 155; 157,5; 158,75;... Es handelt sich also um die n-te Partialsumme der geometrischen Folge. Diese berechnet man als: 1 - qn S„ = ai j t J -

1

"

also: S„ = 80 1

^ = 160(1 -

l

" 2

Nehmen wir jetzt an, daß man dieses Auto sehr lange beschleunigt (n - > qo ), erreichen wir den Grenzwert der o.a. Reihe. lim S n = lim 1 6 0 ( 1 - 4 - ) = 160 n «3 n ao 2 Obwohl man alle 10 sec einen von Null verschiedenen Geschwindigkeitszuwachs feststellen kann, ist die Gesamtsumme aller Zuwächse doch ein endlicher Wert. Das Beispiel 6-10 zeigt uns, daß auch eine Reihe konvergent sein kann. Allgemeine Kriterien zur Bestimmung, ob eine beliebige Reihe konvergent ist, existieren allerdings nicht. Bei Beschränkung auf geometrische Reihen läßt sich allerdings festhalten, daß die Größe des Quotienten q einen Einfluß auf die Konvergenz einer geometrischen Reihe hat. Wie wir wissen, gilt:

3

Folgen, Reihen, Grenzwerte, Finanzmathematik

Sn-a,

1

139

_q

- für q > 1

ist qn nach oben unbeschränkt bzw. 1 - qn nicht nach unten, womit S„ ebenfalls nach oben nicht beschränkt ist. S„ kann also nicht konvergent sein.

- für -1 < q < 1 ist qn eine Nullfolge; daraus folgt: lim Sn _ 1 _ ai «->oo~ 8 1 1 - q ~ 1 - q - für q = -1

ist q" eine divergente Folge und ebenso S„

- für q < -1

existiert für qn eine untere und eine obere Schranke, so daß in diesem Fall auch S„ divergent ist.

3-3-6

Konvergenz bei Funktionen

Ebenso wie für Folgen und Reihen Grenzwerte existieren, gibt es solche auch bei Funktionen: Läßt man die unabhängige Variable x gegen xo streben und ergibt sich dabei eine Folge von Funktionswerten y, die stets gegen denselben Funktionswert y0 konvergiert, spricht man von y0 als Grenzwert, X

lim f(x) = f(x 0 ) -> x„

Wichtig ist dabei, daß man sich mit jeder beliebigen Folge xo nähern können muß und dabei stets als Grenzwert f(xo) erhalten muß. Überträgt man die Überlegungen auf den Graph einer Funktion, so existiert der Grenzwert von f(x), wenn man sich sowohl von links als auch von rechts in einer gegen xo konvergierenden Folge Xo nähert und in beiden Fällen die dazugehörige Folge der y - Werte gegen y0 = F(xo) strebt.

Stetigkeit; Existiert ein solcher Grenzwert bei xo, nennt man die Funktion y = f(x) an der Stelle x = xo stetig. Gilt dies für alle x "5} IR ist die Funktion stetig. Ist eine Funktion an einer Stelle xo unstetig, hat sie dort eine Unstetigkeitsstelle. Beispiel 3-12 Die Funktion y = f(x) = x2 wird untersucht, ob bei xo = 2 ein Grenzwert existiert: Dazu bilden wir eine Folge x„ = 2 + ^ die sich Xo von rechts her nähert, und eine Folge x„, = 2 - ^r die sich Xo von links her nähert.

140

3

Folgen, Reihen, Grenzwerte, Finanzmathematik

Abb. 3-4

x, = 3; X2 = 2,5;

X3 = 2,33; X4 = 2,25; X5 = 2,2;...

1 Xm = 2 - — -> Xi = 1; x 2 = 1,5;

Xa= 1,66; x» = 1,75; Xs= 1,8; ...

x„ = 2 + - .

Beide Folgen konvergieren gegen 2 für n,m

, so daß:

lim (1+ - ) ' - " * -* ® x

1 Läßt man in der Folge a„ = (1 + -)" n

•*> wachsen, erhält man für a, = 2; a10 = 2,59;

a100 = 2,70; anx» = 2,7169; als Grenzwert erhält man schließlich den unendlichen, nichtperiodischen Dezimalbruch 2,7182818..., wobei es sich um die Euler' sehe Zahl e handelt. Damit erhalten wir für die stetige Verzinsung folgende Formel: Kn = K 0 e ^ n Beispiel 3-17 10.000 DM wachsen bei p = 8% in 10 Jahren bei jährlicher Verzinsung: K„ = 10000(1 + ifö) 1 0 = 21.589,25 DM; bei stetiger Verzinsung: K„ = 10000e100 = 22.255,41 DM Formt man die Formel der stetigen Verzinsung um, ergibt sich: K0 = K n e ' ^ n

p-

10

° ( l n l < n - | n Ko)

n_

100(ln K n - I n K 0 )

Beispiel 3-18 Die Bevölkerung eines Landes ist in den letzten 10 Jahren bei einem stetigen Wachstum von 5% auf 480 Mill. Einwohner angestiegen. Wie hoch war die Zahl vor 10 Jahren ? --L.10

«o= 480000000 e

100

=291.134.716,7

Anmerkung: Der Aufzinsungsfaktor der nicht stetigen Verzinsung ist stets kleiner als der bei stetiger Verzinsung.

3

146

Folgen, Reihen, Grenzwerte, Finanzmathematik

Bei der Investitionsrechnung ist es wegen der leichten Handhabung der e - Funktion manchmal zweckmäßig, unstetige in stetige Vorgänge umzuwandeln. Um dabei mit dem gleichen Zinssatz arbeiten zu können, muß man den in die Rechnung eingehenden Zinssatz natürlich kleiner wählen. Ist i der „normale" Zinssatz und i* der Zinssatz bei stetiger Verzinsung, muß gelten: e r = 1 + i bzw. i* = In (i + 1) oder i = e1' - 1 Beispiel 3-19

Setzt man bei einer Investitionsrechnung normalerweise einen Zinssatz von i = 0,06 an, will aber wegen s.o. mit stetiger Verzinsung rechnen, muß man hier mit: i* = ln(1 + 0,06) = 0,0583

rechnen.

Vorschüssige Zinsen Bei unseren bisherigen Überlegungen sind wir vom „Normalfall" ausgegangen, daß die Zinsen am Ende einer Periode fällig werden. Es gibt allerdings auch Fälle, bei denen die Zinsen zu Beginn einer Periode anfallen; hier spricht man dann von vorschüssigen oder antizipativen Zinsen. In der Praxis findet man das bei Wechselgeschäften und bei der geometrisch degressiven Abschreibung. Hierbei gilt: Ko = K„ - Z; daraus folgt: Kn=

oder Ko = K „ ( 1 - ^ ö ) n n

Beispiel 3-20

Ein Darlehn über 10.000 DM ist bei einem vorschüssigen Zinssatz von p = 8% in 4 Jahren zurückzuzahlen. Welchen Betrag bekommt der Schuldner heute ausgezahlt ? Ko = 10000(1 - 0,08)" = 7.163,93 DM

3.4.1.4

Ratenkreditgeschäfte

Da Ratenkreditgeschäfte zwar weniger den Bereich der Finanzierung in der BWL tangieren, wohl aber für den Durchschnittsbürger eine wichtige Möglichkeit zur Geldbeschaffung zwecks Konsumvorwegnahme sind, sollen sie hier kurz umrissen werden. Zu unterscheiden sind hier Kleinkredite mit Darlehnsbeträgen zwischen 300,und 2.000,- DM und persönliche Anschaffungsdarlehn, bei denen die Beträge zwischen 2.000,- und 10.000,- DM liegen.

3

Bei

147

Folgen, Reihen, Grenzwerte, Finanzmathematik

Ratenkreditgeschäften

summiert

sich eine

nicht unerhebliche Anzahl

von

unterschiedlichen Gebühren wie Provisionen, Bearbeitungsgebühren, Auszahlungsdamnum, Zinsen und drgl. zu einem sogen, effektiven Jahreszins der einzig als Grundlage zum Vergleich der unterschiedlichen Konditionen einzelner Kreditinstitute dient. l.d.R. kann man zwei Arten von Darlehnsverträgen unterscheiden: 1)

Barpreis, Anzahl der Raten, Anzahlung, monatliche Zinsen usw. werden als Prozentsatz der Restkaufsumme angegeben; dabei ermittelt sich die Restkaufsumme als Barpreis minus Anzahlung.

Beispiel 3-21 Der Barpreis eines Gutes beträgt 3.080,- DM, die Anzahlung 80,- DM, so daß die Restkaufsumme 3.000,- DM ausmacht. Die Nominalverzinsung soll 0,5% der Restkaufsumme monatlich betragen. Die Tilgung soll in n = 15 gleichen Monatsraten erfolgen. Also sind monatlich 3 0 0 0 : 1 5 = 200,- DM an Tilgung und 0,5 • 3000 = 15,- DM an Zinsen zu zahlen; insgesamt: 1 5 - 1 5 = 225,- DM an Zinsen. Zu beachten ist, daß trotz laufender Tilgung die Zinsen sich bis zur Beendigung des Geschäfts nach der Höhe des Darlehnsbetrags (= Restkaufsumme) bemessen. Setzt man die Restschuldsumme, d.h. die Kumulierung der einzelnen Restschulden am Anfang jeder Rückzahlungsperiode

in Beziehung zur gesamten Zinssumme, erhält man den

effektiven Periodenzins. Die Restschuld am Anfang des 1. Monats beträgt 3000 DM, am Anfang des 2. Monats 3000 - 200 = 2800 DM, am Anfang des 3. Monats 2800 - 200 = 2600 DM . . . bis zum Anfang des 15. Monats mit einer Restschuldhöhe von 200 DM. Da es sich hier um eine arithmetische Reihe handelt, ermitteln wir die Summe wie folgt: S„ = ^(a, + a„) = 7,5(200 + 3000) = 24.000,- DM. Für den effektiven Monatszins gilt dann: p?. =

225 = 0,9375% bzw. p.a. 0,9375 • 12 = 11,25%. Dies klingt schon ganz 24000

anders als 0,5% monatlich. Allgemein: Sind n die Laufzeit in Monaten und p m der monatliche nominelle Zinssatz, so berechnet man den effektiven jährlichen Zinssatz (ohne Gebühren) nach folgender Formel (ohne Herleitung): Peff

_ 24-n-p m ~ n+1

bzw. mit Gebühren:

Peff

_ 24(n-p m +g) ~ n+ 1

148

3

Folgen, Reihen, Grenzwerte, Finanzmathematik

Beispiel 3-22 Ein Kredit von 2.400,- DM soll bei einer nominellen monatlichen Verzinsung von 0,6% innerhalb von 2 Jahren durch monatliche konstante Raten getilgt werden. Das Kreditinstitut erhebt zusätzlich 3% Bearbeitungsgebühr.

2)

Barpreis , Ratenzahl, Rückzahlungsbeträge usw. werden als DM - Beträge angegeben, und nicht als Prozentsatz der Kreditsumme.

Beispiel 3-23 Ein Darlehn von 900,- DM soll in 18 Monatsraten zu je 55,- DM getilgt werden. Hier muß die monatliche Rückzahlungsrate zunächst getrennt werden in einen Tilgungs- und einen Zinsbetrag. Die Tilgungsrate ermittelt sich, indem man die 900 Kreditsumme durch die Laufzeit in Monaten dividiert: R = -^g- = 50,- DM. Daraus folgt als Residualgröße der monatliche Zinsbetrag als 55 - 50 = 5,- DM. Auf 100,- DM bezogen bedeutet das: 5/9 = 0,56% monatlicher Nominalzinssatz. Für den effektiven jährlichen Zinssatz läßt sich jetzt wieder die Formel der Vorseite anwenden: /v=

24-18-0,56 , „ = 12 > 43%

Allgemein n = Laufzeit;

P - A = Restkaufsumme; Peff

R* = Rückzahlungsbetrag.

_ 24-ni" R* n+ 1vP-A

nJ

Beispiel 3-24 Ein Konsumgut mit einem Barpreis von 5.200,- DM soll bei einer Anzahlung von 200,DM in 36 Monaten in monatlichen Raten von 165,- DM abgezahlt werden. Wie hoch ist der effektive jährliche Zinssatz ? p - M ^ f i ^ n Keff 37 15000 36/

=12 ,19%

3.4.1.5 „Bargeld sofort" Ebenso wie der vorherige Abschnitt soll dieser hier erörtert werden, weil er in den Augen des „klammen" Durchschnittsbürgers eine vermeindliche Quelle der Geldbeschaffung darstellt. Wir haben aufgrund von Inseraten zwei Institute, die Niederländische Finanzvermittlung B.V. in Venlo und die Treuhand-Finanz GmbH in Hamburg,

3

Folgen, Reihen, Grenzwerte, Finanzmathematik

149

handschriftlich ohne Briefkopf angesprochen. Zwar kamen die gewünschten 50.000 DM nicht nach zwei Tagen per Post ins Haus, wohl aber jeweils ein Datenerfassungsbogen, die ich mit Angaben über Beruf (Lehrer), Einkommen (tief gestapelt), Bankverbindungen etc., aber nicht unterschrieben, zurückgesandt habe. Die Frage nach dem Zinssatz für die erbetenen 50.000 DM blieb unbeantwortet. Dafür erhielt ich von den Holländern einen Überweisungsauftrag mit dem ich 58 DM für Datenerfassungsgebühr gemäß Vereinbarung zahlen sollte, was ich selbstverständlich, aufgrund welcher Vereinbarung auch immer, nicht getan habe. Zwei Wochen später kam über diese 58 DM eine Mahnung; Grundlage für diese Gebühr sei § 17 des Deutschen Verbraucher-Kredigesetzes. Da dieses Gesetz mir unbekannt war, habe ich die Mahnung nicht beachtet und auch die Datencard und eine Kopie meines Personalausweises nicht zurückgesandt. Die Hamburger gingen noch rigoroser vor. Diese haben einfach von meinem Girokonto 115 DM ohne Einzugsermächtigung deklariert als Aufwendungen gemäß Vermittlungsvertrag abgebucht. Einige Zeit später erhielt ich einen Anruf aus Speyer von einem Geldvermittler. Dabei stellte sich heraus, daß der Holländer lediglich als Adressenbeschaffer fungiert und von dem Speyeraner pro Adresse bezahlt wird. Die Zahlungsaufforderung über 58 DM sei hinfällig. Als ich versuchte, hinsichtlich der Kreditbeschaffungskosten etwas in Erfahrung zu bringen, wand sich der Speyeraner wie ein Aal, bis er schließlich einen Zinssatz zwischen 14 und 17% nannte. Auf die Frage, ob noch weitere Gebühren fällig würden, wurde das zunächst verneint, bis schließlich doch noch Kosten für das Abholen des Geldes in Essen in Höhe von 300 bis 400 DM genannt wurden. Aus Hamburg erhielt ich noch weitere Schreiben, in denen ich zum Abschluß einer Invaliditätsversicherung und eines Bausparvertrages zur Absicherung meines Einkommens und meiner Liquidität aufgefordert wurde, weil aus „Gesprächen mit unseren Kunden und unseren Kreditgebern uns bekannt geworden ist, daß solche Abschlüsse erwünscht sind." Schließlich folgte von der nicht-angeschriebenen Firma, Hamburger Geldversand, ein Schreiben, in dem man mir mitteilte, daß ich zu den 7 in Bielefeld auserwählten Personen gehöre, für die Bargeld in Höhe von 3000 DM oder mehr nach Absprache reserviert sei. Dieses Angebot gelte auch dann, wenn andere abgelehnt hätten. Diese Vorgehensweise solcher Kreditvermittler ist schlicht schamlos zu nennen. Da werden Leute, denen das Wasser bis zum Hals steht, zusätzlich noch mit ominösen Gebühren, Versicherungsprämien und anderem mehr belastet, und kriegen den gewünschten Kredit doch nicht oder nur zu weit überhöhten Zinssätzen. Ich warne hier nur jeden vor diesen „Kredithaien".

150

3

3-4-2

Folgen, Reihen, Grenzwerte, Finanzmathematik

Rentenrechnung

3-4-2-1

Nachschüssige Renten

Definition einer Rente: Eine in gleichen Zeitabständen regelmäßig auftretende Zahlung bezeichnet man als Rente; die Gesamtheit aller Zahlungen ergibt die Rentenfolge oder -reihe. Die einzelne Zahlung nennt man Rate (Symbol r). Zu unterscheiden sind vorschüssige und nachschüssige Renten, wobei einmal die Zahlungen zu Beginn eines Jahres fällig sind bzw. andermal zu Ende eines Jahres. Bei einer Rente sind u.a. zwei Fragen von Interesse: 1)

Welchen Wert hat die Rente am Ende ihrer Laufzeit ? Dieser Wert wird i.d.R. als Rentenendwert bezeichnet.

2)

Welchen Wert hat die Rente zum Zeitpunkt „null"? In diesem Zusammenhang spricht man von Rentenbarwert.

Wollen wir den Endwert ermitteln, müssen wir von der Überlegung ausgehen, daß die einzelnen Raten zu Zinseszinsen angelegt werden könnten und deshalb aufgezinst werden müssen. Tut man das für alle Raten und addiert die aufgezinsten Beträge, erhält man den Endwert. Bei einer nachschüssigen Rente verzinst sich die Rate am Ende des 1. Jahres zu Zinseszinsen für n - 1 Jahre, die Rate am Ende des 2. Jahres für n - 2 Jahre usw., die letzte Rate verzinst sich dann gar nicht mehr.

0

r

r

r

r

r

r

r

1

2

3

4

5

n -1

n

__r>-1

_ n-2 » _ n - 3 rq rq

rq

r

rq

Als Endwert R„ der Rente ergibt sich die Summe der aufgezinsten Raten: R„ = r + rq + rq2 +...+ rq"' 2 + rqn"1 Das aber ist die n - te Partialsumme einer geometrischen Reihe mit dem Anfangsglied r und dem Quotienten q. Damit gilt: Rentenendwert q-1

q-1 qn-1

Löst man diese Formel nach r auf, läßt sich berechnen, wieviel man jährlich als konstanten Betrag anlegen muß, um einen bestimmten Betrag als Endwert zu erhalten.

3

Folgen, Reihen, Grenzwerte, Finanzmathematik

151

Beispiel 3-25 Jemand zahlt jeweils zum Jahresende 8 Jahre lang 1.500,- DM auf ein Konto. Bei 7% Zinssatz erhält er nach 8 Jahren: R„ = 1500

= 15.389,70 DM

Ein Vater will seiner Tochter zu ihrem 18. Geburtstag 100.000 DM schenken. Welche Raten muß er jeweils vom 1. bis zum 18. Geburtstag bei 8% Zinssatz zur Bank bringen? r = 100.000

= 2.670,23 DM

Zur Ermittlung des Barwerts einer Rente ist der Endwert abzuzinsen: Rentenbarwert

r, _ RRnn _ _rL H q" - 1 o qn _ qn q - 1

Beispiel 3-26 Ein Student hat Anspruch auf eine zehn Jahre nachschüssig zu zahlende Ausbildungsrente von 2.400 DM. Wegen seiner bevorstehenden Heirat möchte er sich die Rente durch eine einmalige Zahlung kapitalisieren lassen. Bei einem Zinsniveau von 6% ergibt sich ein heutiger Barwert von: D R

2400 1.Q610 - 1 2400 0,79 ° = " l ö T T = l y g - ÖÖ6 =

3-4-2-2

17653,74

D M

Vorschüssige Renten

Bei vorschüssigen Renten wird das erste Jahr bereits mitverzinst, so daß die Rentenrate bei der Ermittlung des Endwerts zusätzlich noch mit q zu multiplizieren ist: :rq

q" - 1

und für den Barwert:

q-1

IV

q" - 1 ' q-1

Beispiel 3-27 Der Endwert einer vorschüssigen Rente von 2.000 DM bei p = 6% und n = 5 Jahre beträgt: R„" = 2000 • 1,06 " I j ^ r f = 1 1 -950,64 DM

152

3

Folgen, Reihen, Grenzwerte, Finanzmathematik

Sucht man den Barwert für Beispiel 3-26 bei vorschüssiger Zahlung ergibt sich: Ro=

2400 1,06 1.061° - 1 „„„„„„„ = i a 6 9 8 2 2 DM

WtÖ6^T

3-4-2-3

'

Weitere Problemstellungen der Rentenrechnung

Neben den beiden Grundaufgaben der Rentenrechnung (1. Bestimmung des Rentenendwerts und 2. Bestimmung des Rentenbarwerts) sind noch zwei weitere Grundaufgaben zu lösen: Rentenratenhöhe Diese gibt Antwort auf die Frage, wieviel man jährlich sparen muß, um nach einer bestimmten Zeit bei gegebenem Zinssatz über einen angestrebten Endwert verfügen zu können ?

Laufzeit Hier geht es um die Frage, wie lange muß man einen bestimmten Betrag bei gegebenem Zins jährlich sparen, um über einen angestrebten Endwert zu verfügen ? log(Rn(q-1) + r)-logr n = —5 logq Zinsfußbestimmung Eine letzte Grundaufgabe der Rentenrechnung besteht in der Bestimmung des Zinsfusses. Will man bei bekanntem n, R„ und r aus der Formel für R„ p bestimmen, ergibt sich:

Dabei aber handelt es sich um eine Funktion n - ten Grades, die für n > 2 nur über Näherungsverfahren gelöst werden kann. Hier verweisen wir auf die Methode des linearen Eingabeins in Abschnitt 2-5-3. Beispiel 3-28

Ein Vater, dessen Tochter in vier Jahren heiraten will, will ihr dazu eine Mitgift in Höhe von 50.000 DM schenken, Wieviel muß er jeweils am Jahresende sparen bei p = 5% ?

3

153

Folgen, Reihen, Grenzwerte, Finanzmathematik

r = 50.000

= 11.600,59 DM

Will dieser Vater seinem Sohn an dessen 21. Geburtstag 20.000 DM schenken, und kann er jährlich 3000 DM abzweigen, läßt sich fragen, wieviel Jahre er bei gegebenem Zins diese Sparleistung erbringen muß ? p = 5% : n

~

log(20.000( 1,05 - 1 ) + 3000 ) - Iog3000 logl ,05 - 5,8964

Hier ergibt sich das Problem, daß der Endwert nach 5 Jahren noch nicht erreicht ist bzw. nach 6 Jahren übererfüllt ist. Dies Problem läßt sich lösen, indem man den Endwert nach 5 Jahren ermittelt und die Differenz zum angestrebten Endwert als Sonderzahlung zur Rentenrate addiert.

Aufgeschobene, unterbrochene und ewige Renten Unter einer aufgeschobenen Rente versteht man, daß eine Rentenzahlung erst nach einer gewissen Wartezeit (nach m Jahren) beginnt. Will man hier den Barwert zum Zeitpunkt to berechnen, ist der Barwert nach den üblichen Formeln bis zum Zeitpunkt der 1. Zahlung zu ermitteln. Dieser ist dann als ganzes auf den Zeitpunkt to abzuzinsen. Liegen zwischen den Rentenzahlungen Wartezeiten, spricht man von einer unterbrochenen Rente. Zur Ermittlung des Barwerts verfährt man ähnlich wie bei der aufgeschobenen Rente, indem man für die einzelnen Zahlungszeiträume die üblichen Formeln anwendet und diese dann entsprechend diskontiert. Bei nicht begrenzten Zahlungszeiträumen spricht man von ewiger Rente. Da hier n n->oo, folgt daraus für R„ wegen 1 + ^qq > 1: lim

q

= qo

R n = oo 1

Für den Barwert folgt:

für r folgt:

r=

lim

q° .

q-\

r

100 r

7

T !

1+ ^ - 1 100

RoP 100

Damit läßt sich die ewige Rente als Zinsen interpretieren, die man beliebig oft jährlich abheben kann, ohne das sich das Anfangskapital ändert. Dieser Fall ergibt sich in der Praxis häufig bei Stiftungen.

154

3

Folgen, Reihen, Grenzwerte, Finanzmathematik

Beispiel 3-29 a)

Ein Student will nach einem Lottogewinn von 1.500.000 DM nur noch dem „süßen Leben" frönen. Wieviel kann er bei p = 5% jährlich nachschüssig verjubeln, ohne das Kapital anzugreifen ?

r=

b)

1.500.000 5 , c „„„ ^QQ =75.000 DM

Der Student glaubt, mit diesem Betrag nicht auszukommen, und fragt, zu welchem Zinssatz er seinen Gewinn anlegen müßte, um jährlich 100.000 DM zur Verfügung zu haben, ohne sein Kapital anzugreifen ?

1.500.000 = c)

100-100.000

p=

100-100.000 = 6,67% 1 5 0 0 ooQ

Unser Student hat leider doch nicht gewonnen. Als Trost verspricht ihm seine Tante Klara nach Ablauf von 6 Jahren eine 10jährige Rente von jährlich 1000 DM. Wieviel ist dieses Versprechen heute wert ? p = 6%

1 1 nfi^ 1 Rio = 1000 • y o g i c • \ Q 6 = 7.359,36 bei nachschüssiger Betrachtung ist das 5. Jahr der Bezugspunkt des vorläufigen Barwerts so daß R ) 0 entsprechend auf to abgezinst werden muß: R 0 = 7 f 0 9 / 6 = 5.500,26 DM Neben den hier besprochenen Problemen gibt es weitere Fragestellungen wie z.B. unterjährige Rentenzahlungen bei unterschiedlichen Verzinsungsterminen und drgl. Hierzu wird jedoch auf die einschlägige Literatur verwiesen.

3-4-3 3-4-3-1

Tilgungsrechnung Tilgungsarten

Für den Schuldner eines Darlehens, eines Kredits oder einer Hypothek stellt sich das Problem der Rückzahlung. In den meisten Fällen erfolgt die Rückzahlung nicht durch eine einzige Zahlung, sondern in gewissen Teilbeträgen. Hier unterscheidet man:

3

155

Folgen, Reihen, Grenzwerte. Finanzmathematik

Ratentilgung Hier erfolgt die Tilgung in konstanten Raten. Das hat zur Folge, daß die Restschuld abnimmt, wodurch die Zinsen ebenfalls abnehmen. Damit sind die jährlich zu leistenden Annuitäten (A = Tilgungsrate T + Zinsen Z) nicht konstant. Annuitätentilgung Hierbei zahlt der Schuldner jährlich konstante Zahlungen (= Annuitäten). Wegen der abnehmenden Zinsen bedeutet das, daß die Tilgungsraten zunehmen. In beiden Fällen ist es üblich, sogen. Tilgungspläne aufzustellen, die eine Übersicht über den Tilgungsvorgang und die Verzinsung der Restschuld R geben. 3-4-3-2

Ratentilgung

Ist die Gesamtschuld Ko in n Jahren durch konstante Tilgungsraten zu tilgen, erhält man die Tilgungsrate aus.

Die Restschuld R nach i Jahren ergibt sich aus: Ri = Ko - i T Die am Ende des i - ten Jahres fälligen Zinsen:

Zi = ( K o . ( j . 1 ) T )

Die Aufstellung eines Tilgungsplans möge dem folgenden Beispiel entnommen werden: Beispiel 3-30 Eine Schuld von 200.000 DM soll bei p = 8 % in 5 Jahren mit gleichen Raten getilgt werden. Jahr Restschuld zu

Tilgungsrate Zinsen Annuität

Beginn d. Jahres

Restschuld am Ende d. Jahres

1

200.000

40.000

16.000 56.000

160.000

2

160.000

40.000

12.800 52.800

120.000

3

120.000

40.000

9.600

49.600

80.000

4

80.000

40.000

6.400

46.400

40.000

5

40.000

40.000

3.200

43.200

3

156

3-4-3-3

Folgen, Reihen, Grenzwerte, Finanzmathematik

Annuitätentilgung

Bei der Annuitätentilgung erfolgt die Rückzahlung einer Schuld in konstanten Annuitäten. Nach dem Äquivalenzprinzip muß die Schuld Ko gleich dem Barwert aller Annuitäten sein. Da es sich bei Annuitäten ebenso wie bei Renten um Zahlungen in gleicher Höhe handelt, benutzen wir die Formel zur Ermittlung des Rentenbarwerts und setzen anstelle von R0 Ko und für r A : A

qn-1

qn - 1

Dabei ist b„

n

daraus ergibt sich:

n

„ n q - 1 _ K0 A = Ko -q" • — ' - = = K 0 • wn q" - 1 bn

der sogen. Rentenbarwert- oder Kapitalisierungsfaktor. w„

"q (q-1)

nennt man in der Investitionsrechnung Kapitalwiedergewinnungsfaktor. Als Kehrwert des Rentenbarwertfaktors gibt er die jährliche Rate (Annuität) der Wiedergewinnung einer Geldeinheit an. Tilgungsrate Aus A = T| + Z| folgt für das 1. Jahr: A = Ti + Ko _EL 100 p

Im 2. Jahr gilt wegen der Tilgung: A = T2 + (Ko - T,) • ^QQ Durch Gleichsetzen der beiden Annuitäten ergibt sich: ^ z + tKo-T,) T, + Ko 100 '100

T2

^ , 0 + ^ T ,

und allgemein:

T„ = T, • qn

d.h. bei der Annuitätentilgung stellen sich die Tilgungsraten als eine geometrische Folge dar. Restschuld q-1 Nach i Jahren hat man Si = £ Tj = T i + T iq + T|q2+.. .+T|q M = T, - — - getilgt, q-1 1i«i =1 Da man n Jahre lang tilgt, läßt sich die Gesamtschuld auch schreiben als: K = T,

qn - 1

q-1

Die Restschuld R im i - ten Jahr beträgt: R, = Ko - Si = Ko - Ti •

q-1

3

157

Folgen, Reihen, Grenzwerte, Finanzmathematik

Da Ti = A - Zi und -^QQ = q - 1 und Zi Ko • ^QQ , kann man schreiben: Ri = K o - ( A - K o - ^ ) - ^ f = K o ( 1

+

10Ö'

bzw.

R, = Ko(1 + q ' - 1 ) - A ^

^ " ^q^T

Ri = K 0 q ' - A ^

T T

,

=K0-T1^

Zinsen Aus A = Ti +Zi folgt:

Zi = A - T i = A - T | - q

Tilgungszeit Nach n Jahren nimmt die Restschuld den Wert Null an: q-1 M

•V ' n:

A-Ko-i

q-V

1

q-

100

log A - log( A - Kp • i ) log q

Beispiel 3-31

Eine Hypothek von 100.000 DM soll in gleichen Annuitäten bei p= 6% in n = 15 Jahren getilgt werden. A , Ti ,T 8 , Rio , Z12 = ? A = 100.000 • 1,0615 • f ^ T T = 10.296,28 DM T , = A - Z , = 10.296,28 - 100.000 • 0,06 = 4.296,28 D M T 8 = T, • q1"1 =4.296,28 • 1,06 7 = 6.460,02 D M

n' 1

1 Hfi^ 1

Rio = Ko - Ti ^ f y = 100.000 - 4.296,28 .j Q 6

DM = 43.371,61

Z12 = A - T i 2 = 10.296,28-4.296,28 .1,0611 =2.140,66 DM Nehmen wir an, für die o.a. Daten sei eine Annuität von 15.000 vereinbart, nach wieviel Jahren wäre die Schuld getilgt ? n =

log15000 - log( 15000 - 6000 ) _ __ = 8 77 ^TÖ6 '

Nach 8 Jahren ergibt sich R8 = 100.000 • 1,06® - 1 5 . 0 0 0 ^ ' = 10.537,98 D.h. am Ende des 8. Jahres ist eine Sonderzahlung in Höhe von 10.537,98 DM zu leisten.

158

3

Folgen, Reihen, Grenzwerte, Finanzmathematik

Tilgungsplan Dieser kann tabellarisch wie folgt aussehen: Jahr

R1.1

A

z.

T,

Ri

Bei der Tilgungsrechnung gibt es noch einige weitere Problemstellungen wie z.B. Tilgungsstreckung, Prozentannuität, Tilgung mit Aufgeld, Tilgung von Anleihen, etc. Dazu verweisen wir auf die weiterführende Literatur.

3-4-4

Grundzüge der Investitionsrechnung

3-4-4-1

Allgemeine Grundlagen

Ein Unternehmer, der aus Gründen des Aufbaus, der Erhaltung, Verbesserung oder Erweiterung seiner betrieblichen Anlagen Geldmittel investiert, wird das nur tun, wenn er davon ausgehen kann, daß er das eingesetzte Kapital mit einer als ausreichend angesehenen Verzinsung wiedergewinnt. Zur Beurteilung der Vorteilhaftigkeit einer Investition gibt es eine Reihe von Methoden, die sich wie folgt aufteilen lassen: Statische Verfahren Hierbei findet ein Vergleich von Kosten, Gewinnen oder Rentabilitäten statt, ohne daß dem Zeitfaktor Rechnung getragen wird. Als Rechnungselemente wird nur das erste Jahr oder ein repräsentatives Jahr angesetzt. Zu nennen sind hier: Kosten-, Gewinnvergleichsrechnung, Rentabilitäts- u. Amortisationsrechnung. Dynamische Verfahren Der Nachteil der statischen Verfahren wird bei den dynamischen Methoden durch finanzmathematische Berücksichtigung des unterschiedlichen Anfalls der Einzahlungsund

Auszahlungsreihen

ausgeschaltet.

Zu

erwähnen

sind

hier:

Kapitalwert-,

Annuitätenmethode und die Methode des internen Zinsfußes. Obwohl die statischen Verfahren sich nicht finanzmathematischer Methoden bedienen, sollen sie doch im folgenden aus Gründen der Vollständigkeit kurz angerissen werden.

3

Folgen, Reihen, Grenzwerte, Finanzmathematik

3-4-4-2

159

Statische Verfahren

Kostenvergleichsrechnug Hierbei vergleicht man die in einer (repräsentativen) Periode bei gegebener Kapazität anfallenden Kosten zwischen alter und neuer bzw. zwischen mehreren zur Debatte stehenden neuen Anlagen. Zu den Kosten gehören hierbei Lohn-, Energie, WartungsZins- und Abschreibungskosten. Bei nicht identischen Kapazitäten der zu vergleichenden Anlagen weicht man auf einen Stückkostenvergleich aus, wobei hier allerdings zu berücksichtigen ist, daß verschiedene Anlagen ihr Stückkostenminimum i.d.R. bei unterschiedlichen Kapazitätsauslastungen erreichen, so daß die kritische Menge mit in die Entscheidungsfindung einfließen sollte. Bei der Kostenvergleichsrechnung gehen mögliche zukünftige Kosten- und / oder Erlösentwicklungen ebenso wie der Restwert der alten Anlage nicht in die Rechnung ein. Ebenso findet eine Berücksichtigung der erreichten oder gewünschten Verzinsung des eingesetzten Kapitals nicht statt; denn allein aus der Tatsache, daß eine von mehreren Anlagen die geringsten Kosten verursacht , kann nicht auf eine entsprechende Verzinsung geschlossen werden. Gewinnvergleichsrechnug Bei der Kostenvergleichsmethode erweist sich u.U. eine Anlage als kostengünstiger als eine andere, wobei sie jedoch mit einer höheren Ausbringungsmenge erst kostengünstiger arbeitet. Da eine erhöhte Ausbringungsmenge ggfs. aber mit niedrigeren Verkaufpreisen verbunden sein kann, sind die Erlöse der zu vergleichenden Anlagen mitzuberücksichtigen. Es findet also ein Vergl. der Jahresgewinne der Alternativen statt Zu bemängeln ist hier, daß ebenso wie bei der Kostenvergleichsrechnung die zeitliche Verteilung der Kosten und Erlöse nicht berücksichtigt wird. Außerdem werden keine Aussagen über die Kapitalrentabilität gemacht. Rentabilitätsrechnung Bei diesem Verfahren, das auch unter dem Namen „Return on Investment" bekannt ist, werden die erwarteten Jahresgew. der zu vergleichenden Anlagen entweder direkt auf das eingesetzte Kapital oder unter zusätzlicher Einbeziehung des Umsatzes bezogen. Rentab. =

Gewinn • 100 Kapita|

. Gewinn Umsatz Return on Investment = ^ ^ • -100

Zukünftige Kosten und Erlösänderungen werden hierbei allerdings auch nicht berücksichtigt. Auch ein verfeinertes Verfahren der Rentabilitätsrechnung, das sogenannte Mapi - Verfahren, beschränkt sich auf die Rechengrößen des folgenden Jahres. Häufig wird wegen des Werteverzehrs auch im Namen nur der halbe Kapitaleinsatz aufgeführt.

160

3

Folgen, Reihen, Grenzwerte, Finanzmathematik

Amortisationsrechnung Hierbei hängt die Entscheidung über die Vorteilhaftigkeit einer Anlage davon ab, ob sie sich innerhalb eines bestimmten Zeitraums {Pay - off - Periode) amortisiert, d.h. ihre Erlöse die Anschaffungsauszahlungen und die laufenden Betriebskosten übersteigen. Ist dabei die effektive (Ist-) Amortisationsdauer kleiner als die gewünschte, wird die Investition als vorteilhaft angesehen. Abb. 3-5 Neben dem Mangel, daß auch hier gleichbleibende jährliche Ein- und Auszahlungen unterstellt werden, liegt die Hauptschwäche dieses Verfahrens darin, daß die Soll-Amortisationsdauer die subjektive Risikobereitschaft des Investors widerspiegelt. In der Praxis liegt sie i.d.R. weit unter der wirtschaftlichen Nutzungsdauer. Die Folge ist häufig, daß alte Anlagen länger als wirtschaftlich zu vertreten genutzt werden, nur weil die tatsächlich vorteilhafteren Ersatzanlagen nicht der gewünschten SollAmortisationsdauer entsprechen. 3-4-4-3

Dynamische Verfahren

Anders als bei den statischen Verfahren gehen bei den dynamischen Verfahren alle Zu- und Abflüsse von Zahlungsmitteln über die gesamte Lebensdauer der Investitionsobjekte in die Rechnung ein. Als Auszahlungen betrachtet man die Anschaffungsauszahlung und die dadurch verursachten fixen Auszahlungen und die proportionalen Auszahlungen für Material, Arbeitslöhne, Energie, etc. Die Einzahlungen ergeben sich aus dem Verkauf der mit der Anlage zu produzierenden Produkte. Kapitalwertmethode Bei diesem Verfahren geht man davon aus, daß alle zukünftigen Ein- und Auszahlungen auf den Zeitpunkt to abgezinst werden. (Eine Einzahlung morgen ist verständlicherweise nicht so viel wert, wie eine Einzahlung heute.) Dabei wählt man als Zinssatz einen sogen. Kalkulationszinsfuß, der die gewünschte Mindestverzinsung des Unternehmers ausdrückt. Neben den Barwerten der Periodenüberschüsse geht noch der Barwert des Liquidationserlöses der Anlage und die Anschaffungsausgabe in die Berechnung des Kapitalwerts ein. Ist dieser positiv, ist eine Investition vorteilhaft. Ein Kapitalwert von Null besagt, daß die Einzahlungsüberschüsse das investierte Kapital gerade noch zum Kalkulationszinsfuß verzinsen lassen.

3

161

Folgen, Reihen, Grenzwerte, Finanzmathematik

ei = Einz. Ende Periode i;

a{ = Ausz. Ende Periode i;

r = Restwert;

n = Nutzungsdauer;

Ao = Anschaffungsausgabe Beispiel 3-32 Zeitpunkt: e,-ai:

t1

t2

t3

20.000

25.000

35.000

t4 50.000

t5 60.000

t6

Ao= 200.000

65.000 p = 10% r„ = 20.000

„ 20000 25000 35000 50000 60000 65000 20000 „ „„ K= 1 1 + 1 ^ + 1 ^ + 1 + 1 ^ + 1 ^ + 1 ^ - 200000 = -15.304,98 Der negative Kapitalwert dieses Beispiels bedeutet, daß bei dem gewünschten Kalkulationszinsfuß die Anlage nicht investiert werden sollte; eine Verzinsung des eingesetzten Kapitals in Höhe von 10% findet nicht statt. Bei einem Vergleich mehrerer Investitionsobjekte müssen die Anschaffungsausgaben, die Nutzungszeit und der Kalkulationszinsfuß gleich sein. Ist das nicht der Fall, lassen sich die Alternativen nur durch Einführung sogen. Differenzinvestitionen vergleichen. Z.B. bei unterschiedlichen Anschaffungsausgaben wird unterstellt, daß der Differenzbetrag für eine Finanzinvestition angelegt wird. Das aber setzt einen vollkommenen Kapitalmarkt voraus, auf dem Sollzins gleich Habenzins ist. Ein weiteres Problem ist die Bestimmung des Kalkulationszinsfußes . Er muß umso höher angesetzt werden, je größer das Investitionsrisiko angesehen wird. Damit muß er aber i.d.R. über dem Marktzins liegen. Methode des internen Zinsfußes Bei diesem Verfahren rechnet man nicht mit einem bestimmten Kalkulationszinsfuß, sondern man ermittelt den Abzinsungszinsfuß, der zu einem Kapitalwert von Null führt. Damit gibt der interne Zinsfuß die Verzinsung des investierten Kapitals an. Zur Beurteilung der Vorteilhaftigkeit wird der interne Zins dann mit dem gewünschten Kalkulationszins verglichen. Zur Bestimmung des internen Zinsfußes setzen wir die Gleichung des Kapitalwerts gleich Null: n

e, - a ,

ohne Restwert

1=1 Die Auflösung dieser Gleichg. nach q- führt i.d.R. zu einer Gleichg höheren Grades, bei der man wieder auf eine Näherungslösung angewiesen ist, wie folgendes Beispiel zeigt: Beispiel 3-33 Es sei Ao = 120.000; üi = 30.000, ü2 = 30.000, ü3 =45.000, ü 4 = 35.000, ü5 = 60.000

3

162

Folgen, Reihen, Grenzwerte, Finanzmathematik

1

„ „„„„^ 30.000 30.000 45.000 35.000 60.000 0 = -120.000 + + ——2— + „3 + —TT— + ——5—

1000

0 =-120.000q-5 + 30.000q.4 + 30.000q-3 + 45.000q.2 + 35.000q- +60.000 Zur Ermittlung einer Näherungslösung ermitteln wir durch Probieren zwei Zinsfüße, die einmal zu einem positiven und einmal zu einem negativen Kapitalwert führen. Wir prüfen für p = 16% und p = 19% und erhalten: Ko16 = 10,25 und Ko19 = -10,27 D.h. der interne Zinsfuß muß zwischen p = 16% und p = 19% liegen. Nun haben wir zwei Punkte, die wir durch eine Gerade K = aq + b verbinden, deren Nullstelle eine Näherung der tatsächlichen Nullstelle darstellt. Wir finden die Koeffizienten a und b, indem wir die beiden Punkte in die allgemeine Geradengleichung einsetzen: Abb. 3-6

*"[

"*

_ J

10,25 = 1,16q + b; -10,27 = 1,19q + b b = -10,27 -1,19q 10,25 = 1,16q-10,27-1,19q q = -684 b = -10,27 - 1,19 • (-684) = 803,69 K = -684q + 803,69 = 0 -> q = 1,17489 tatsächlich: 1,1755%

Die Methode des internen Zinsfußes setzt die Prämisse, daß die beim Vergleich von Investitionen

mit

unterschiedlichen

Zahlungsströmen

erforderlichen

Differenz-

investitionen zum jeweiligen internen Zinsfuß angelegt werden können. Zwar arbeiten die Kapitalwert- und die Annuitätenmethode mit der Wiederanlageprämisse ebenfalls, jedoch wird hier unterstellt, daß die Einzahlungsüberschüsse zum Kalkulationszinsfuß, der den Kapitalbeschaffungskosten des Investors entsprechen sollte, angelegt werden, was realistischer sein dürfte als die Annahme der Anlage der zwischenzeitlichen Einnahmeüberschüsse zu unterschiedlichen internen Zinsfüßen. Annuitätenmethode Diese Methode vergleicht die Barwerte der durchschnittlichen jährlichen Ausgaben mit den Barwerten der durchschnittlichen jährlichen Einnahmen. Dann multipliziert sie die Barwerte mit dem Kapitalwiedergewinnungsfaktor und erhält die Einzahlungs- und Auszahlungsannuitäten, deren Differenz die Gewinnannuität angibt. B,

B, 'S? A fl = B.

=f*L

Ba = Barwert Auszahlung B„ = Barwert Einzahlung

U q'

q n (q-1)' q" - 1 ,

q"(q - 1 ) q-1 ,

in q = Kalkulationszinsfuß p;

A = Annuität

3

Folgen, Reihen. Grenzwerte, Finanzmathematik

163

Ist die Gewinnannuität Ag größer Null, ist die Investition vorteilhaft. Ebenso wie die Kapitalwertmethode beruht die Annuitätenmethode auf den Voraussetzungen eines vollkommenen Kapitalmarkts und der Kenntnis des Kalkulationszinsfußes. Beispiel 3-34 e,: 160.000 180.000 210.000 105.000 220.000 Ao= 120.000; p=10% a,: 90.000 110.000 165.000 100.000 160.000 „ 90.000 110.000 165.000 100.000 160.000 Ba = 120.000 + 1 1 + 1 ^ + 1 ^ + 1 ^ + 1 ^ = 584.342,97 „

160.000

180.000

Ag = 660.310,09 • 1,15 • 1

210.000

1

105.000

220.000

- 584.342,97 • 1,15 • 1 ¡¡V

„„„„„„„„

1

= 20.039,94

Das bedeutet, daß die o.a. Investition bei einem Zinssatz von 10% einen jährlichen Überschuß von durchschnittlich 20.039 ergibt. Kritik Sicherlich sind die dynamischen Verfahren im Vergleich zu den statischen Verfahren die theoretisch und praktisch besseren. Jedoch ist die Unterstellung vollkommener Voraussicht hinsichtlich der Ein- und Auszahlungsreihen problematisch. Hierbei in der Praxis mit Schätzwerten zu rechnen, ist sicherlich besser, als gar nicht zu rechnen. Ein weiteres Problem stellt die Zurechnung der Ein- und Auszahlungen auf das einzelne Investitionsobjekt dar. Mag dies für die Auszahlungen vielleicht noch möglich sein, ist es wegen der Interdependenz der betrieblichen Teilbereiche bezüglich der Einzahlungsreihen nicht lösbar, diese einzelnen Anlagen zuzurechnen. Schließlich ist noch der bereits erwähnte Kritikpunkt der Unterstellung eines vollkommenen Kapitalmarktes und der Kenntnis des Kalkulationszinsfußes anzuführen. Diese Kritikpunkte sollten einen Investor jedoch nicht davon abhalten, nun gar keine Investitionsrechnungen mehr aufzustellen. Tatsächlich sind die dynamischen Verfahren trotz ihrer Mängel durchaus praktikabel, nur sollte man sich der Problematik ihrer Prämissen bewußt sein. 3-4-5

Abschreibungsverfahren

Das Problem der Abschreibung stellt sich dadurch, daß die in einem Unternehmen verwendeten Anlagegüter (Gebäude, Maschinen und drgl.) nicht in einer Periode (i.d.R. ein Jahr) verbraucht werden. Somit sind die Anschaffungs- bzw. Herstellungskosten Ao auf die Zeit, in der die Anlage ökonomisch sinnvoll genutzt werden kann (= wirtschaftliche Nutzungsdauer n), mit bestimmten Abschreibungsraten Q zu verteilen.

164

3

Folgen, Reihen, Grenzwerte, Finanzmathematik

Lineare Abschreibung Hierbei verteilt man die Anschaffungskosten gleichmäßig auf die Jahre der Nutzungsdauer:

Q=—

Geometrisch degressive Abschreibung Die Unterstellung der Gleichmäßigkeit der Wertminderung bei der linearen Abschreibung erscheint unrealistisch, wenn man bedenkt, daß die Wertminderung ausgedrückt durch die Differenz zwischen Anschaffungs- und Wiederverkaufswert gerade in den ersten Jahren besonders hoch ist. Um diese Wertminderung entsprechend zu berücksichtigen, schreibt man mit konstantem Abschreibungsprozentsatz

vom jeweiligen

Buchwert R ab. D.h. wir haben es mit einer fallenden geometrischen Folge zu tun.

Nach der geometrisch degressiven Abschreibung ergibt sich allerdings nie ein Restwert von Null. Hier muß ggfs. eine Sonderabschreibung in Höhe des letzten Buchwerts erfolgen. Ist der Restwert bekannt und eine bestimmte Nutzungsdauer gewünscht, kann der Abschreibungsprozentsatz p ermittelt werden: -10cfl-rJS] t V A0J

Be

' unbekanntem Restwert R n rechnet man mit einem Erinnerungswert von 1 DM.

Beispiel 3-35 Es sei Ao = 100.000; n = 10; Rn = 5.000:

p, R 2 , Q, und Qi 0 = ?

p = 100 • [ l - i f l 5 0 0 0 I = 26%; R2 = 100.000 v( 1 - 0,26 )2 = 54.928,03 H I, V100.000J ' Q, = 100.000 • 0,26 = 26.000; Q10 = 100.000 ( 1 - 0,26 )9 • 0,26 = 1.730,05 Digitale Abschreibung Hierbei ermittelt man die Abschreibungsquoten so, daß man die Jahresziffern der Nutzungsdauer addiert und die Anschaffungskosten durch diese Summe dividiert. Diesen Quot. D multipliziert man mit den Jahresziffern in fallender Reihe und erhält so die jährlichen Abschreibungsquoten, die eine arithmetisch degressive Folge ergeben. Qi = D • n ; Q2 = D • ( n - 1 ); Q3 = D • ( n - 2 )... Q„ = D

Neben den hier erwähnten Abschreibungsmethoden gibt es noch weitere Verfahren wie z.B. Abschreibung nach Leistung oder Abschreibung in unregelmäßig fallenden Beträgen. Hierzu wird jedoch wieder auf die weiterführende Literatur verwiesen.

165

Differentialrechnung bei Funktionen mit einer unabhängigen Variablen

4 Differentialrechnung bei Funktionen mit einer unabhängigen Variablen

4-1

Vom Differenzen- zum Differentialquotienten

In der Differentialrechnung geht es im wesentlichen darum, wie sich eine Änderung der unabhängigen Variablen (x = Argument) auf die dazugehörigen Werte der abhängigen Variablen (y = Funktionswerte) auswirkt. Diese Frage hängt entscheidend von der Steigung der Funktion (Vgl. 2-3-1) ab. Einfach ist die Beantwortung jedoch nur bei Funktionen mit einer konstanten Steigung (Geraden). Um die Problemstellung der Differentialgleichung zu verdeutlichen, wollen wir von folgendem Beispiel ausgehen: Beispiel 4-1 Für ein Unternehmen, das die Produkte Xa und xb herstellt, sollen die beiden speziell für die Produkte aufgestellten Kostenfunktionen gelten : K a = 100 +10xa Wir

wollen

nun

untersuchen,

und

welche

Kb=^x£+10

Auswirkungen

eine

Veränderung

der

Ausbringungsmenge x auf die Höhe der Kosten K hat. Dazu betrachten wir zunächst xa und Ka. Xa

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Ka

100

110

120

130

140

150

160

170

180

190

200

Nehmen wir an, wir würden unsere Produktion von Xo auf xi also um Ax (lies: Delta x) Einheiten ausdehnen, ergeben sich die zugehörigen Kosten : a)

von 4 auf 8 Einheiten; Kosten steigen von 140 auf 180 DM; Axa = 4 -> AKa = 40.

b)

von 4 auf 10 Einheiten; Kosten steigen von 140 auf 200 DM; Axa = 6

AKa = 60.

c)

von 6 auf 10 Einheiten; Kosten steigen von 160 auf 200 DM; Axa = 4

AKa = 40.

Häufig interessieren aber nicht die absoluten Änderungen, sondern vielmehr die durchschnittlichen Änderungen; wie steigen die Kosten pro Mengeneinheit, wenn die Ausbringungsmenge um Ax steigt.

Differentialrechnung bei Funktionen mit einer unabhängigen Variablen

166

Dazu setzen wir AK zu Ax in Beziehung, d.h. wir bilden den folgenden Quotienten: AK Ax

K(x,)-K(x 0 ) x, - x0

Diesen Quotienten nennen wir Differenzenquotienten. Für unsere unterschiedlichen Veränderungen von Xa lautet er:

a)

2 4

= 10;

b)

f = 10; 6

c)

^ = 10. 4

Wir sehen, daß der Differenzenquotient für alle drei Fälle gleich ist, und zwar unabhängig von der Größe der Änderung und vom Ausgangspunkt der Änderung. Schauen wir uns nun die zweite Kostenfunktion K b = - x £ +10 an : Xb

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Kb

10

10,5

12

14,5

18

22,5

28

34,5

42

50,5

60

Auch hier wollen wir die gleichen Ausdehnungen der Produktion vornehmen, die dazugehörigen Kostensteigerungen und den entsprechenden Differenzenquotienten bestimmen: a) xb von 4 auf 8Einh.; Kb von 18 auf 42 DM; xb = 4 A K b = 24; — = — = 6 Ax 4 a) Xb von 4 auf 10 Einh.; Kb von 18 auf 60 DM; xb = 6 - > AKb = 42; — = — = 7 Ax 6 a) xb von 6 auf 10 Einh.; Kb von 28 auf 60 DM; xb = 4 -> AKb = 32; — = — = 8 Ax 4 Hier sieht man, daß der Differenzenquotient jeweils einen anderen Wert annimmt. Seine Höhe ist abhängig von : 1)

Ausmaß der Änderung von x, also von Ax = X! - Xo ;

2)

Ausgangspunkt, von dem aus die Änderung von x erfolgt.

Der Grund dafür ist, das die Kostenfunktion für xb in allen Punkten eine unterschiedliche Steigung aufweist, während die Steigung für Xa als Gerade in allen Punkten gleich ist.

Differentialrechnung bei Funktionen mit einer unabhängigen Variablen

167

Abb. 4-1 j

:

1£

7

1 j

;

i

J

K 48

AK : : i

...:..K i...

i

M; K

' y f

AK

38

dK 28

.... .:tjr..i SV

.1 [.... : 1 i ' i !, n j

j 1»

B 1

- 9 T

i .... 1 1 i

1

f i

! x y' = nx"' 1 Zur Erklärung dieser wohl wichtigsten Ableitungsregel müssen wir den erst später noch zu behandelnden Binomischen Lehrsatz vorwegnehmen: Dieser gibt uns die Koeffizienten der n-ten Potenz eines Binoms (= zweigliedriger Ausdruck) an. Für (a + b)n ergeben sich die Koeffizienten und Potenzen von a und b wie folgt: (S) a"b° + f j ) an-'b1 + (s) a n - 2 b 2 +...+( n .'j) a'bn"1 + (ü) a°b"= ¿ ( j ) a n V k=0 Dazu bedarf es noch der Erklärung von (¡¡). (Lies: n über k) n über k gibt an, auf wieviel Arten und Weisen aus n Elementen k Elemente ausgewählt werden können ohne Berücksichtigung der Reihenfolge und ohne Wiederholung. n! _ n(n-1)...(n-k + 1) k! (n-k)!k! 3 -

n! (lies n Fakultät) = 1-2-3-4-...n ; 0! = 1

Da bei der Lösung sowohl im Zähler als auch im Nenner jeweils k Faktoren stehen, kann man sich als Faustregel merken: Schreibe einen Bruchstrich, bilde im Nenner die Fakultät von k und gehe im Zähler von n aus so oft runter wie im Nenner hoch. 4)

6-5-4-3 = 15 1-2-3-4

Im Nenner sind wir für 4! 4mal „hoch" gegangen; folglich gehen wir im Zähler von 6 aus 4mal „herunter".

ACHTUNG!

(¡j)=0 bei k>n ;

( j ) =1 bei k = 0 ;

(",) = n

Jetzt können wir für unser bekanntes (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 auch die Lösung über den o.a. Lehrsatz bestimmen: ( 2 ) a2b° + p ) a1b1 + ( 2 ) a°b2 = 1 a 2 • 1 + 2 ab +1 • 1 b2 = a 2 + 2 ab + b 2 Nun zurück zu y = x". Wir bilden den Differenzenquotienten: Ay Ax

_1_

(x + Ax)" - x" i_ £(E)x^-(Ax) k -x" Ax Ax

n

n k

k

" (Ax) -X Ax X +Z(K)x k=1

n

Für ( x + Ax )2 wurde der binomische Lehrsatz eingesetzt. Der 1. Summand für k = 0 wurde herausgenommen und vor E gestellt und gekürzt. Damit ist jetzt von k = 1 bis n zu summieren.

Differentialrechnung bei Funktionen mit einer unabhängigen Variablen

172

¿

für Ax -> 0 und k = 2,3,...= 0

: ¿ ( K ) x " - k ( A x ) k - C n x " - 1 + ¿(k)x n_k (Ax) k ~ 1

Der 2.Summ. für k=1 wird vor £ gestellt.

dy dX

limo

äX -r

= (Ax)- 1 ;(Ax)- 1 .(Ax) k =(A x)k

Für gegeb. x = const.

c-0= 0

nx"- 1 + ¿ ( i ) x n - k ( A x ) k " 1 = n-x11"1 = y'

V

k = 2

'

Die Potenzregel läßt sich verallgemeinern auf beliebige Potenzen für n elR. Beispiel 4-3 a ) y = x 2 -> y' = 2 • x 2 " 1 = 2x; y = x 3 1 1 1 b ) y = V x = x 5 - > y ' = -ix'" 1 = -Ix - 5 =

y' = 3 • x 3 - 1 =3x 2 1

c ) y = — = x~1 —> y' = -1- x"1"1 = - x " 2 = -

; y = a = ax° —> y = 0 • x 0 " 1 = 0

Konstantenregel Wird die unabhängige Variable x mit einem konstanten Faktor a multipliziert, bleibt dieser bei der Ableitung erhalten. y = a x - > y ' = a n x'n - 1

z.B.: y = 3x 2

y' = 3-2x 1 = 6x

Eine additive Konstante dagegen fällt beim Ableiten weg y = x" + a -> y' = nx"

1

wegen a = ax

z.B.

y = 2x + 2 y ' = 4x

Die Ableitung einer Konstanten ist gleich Null! y = a -> y' = 0 Die Erklärung für die o.a. Regeln läßt sich auch einfach an den dazugehörigen Graphen abgeben: Vergleicht man zwei Geraden y = 1x und y = 2x , so ist die Steigung der 2. Geraden 2-mal so groß, was natürlich bei der 1. Ableitung zum Ausdruck kommen muß. Nehmen wir dagegen zwei Geraden y = 2x + 2 und y = 2x + 4 , haben beide Geraden die gleiche Steigung; sie unterscheiden sich nur durch ihr absolutes Glied.

Differentialrechnung bei Funktionen mit einer unabhängigen Variablen

173

Abb. 4-4

U 4

Sf2

Stalgung -

2

8

Stalgung

2

Summenregel Besteht eine Funktion aus mehreren Summanden mit Potenzen von x, wird jeder Summand einzeln differenziert. y = f(x) + g(x) = u + v

und allgemein für Polynome : z.B. y = 2 x 2 + x 3 mit u = 2 x

y' = f'(x) + g'(x) = u' + v'

y = X aix' i=0

Y' = X a i ' ' ' x ¡=o

i-1

und v = x 3 - » u ' = 4x und v' = 3x z

y' = 4x + 3xz

Differentialrechnung bei Funktionen mit einer unabhängigen Variablen

174

Produktregel Besteht eine Funktion aus zwei Faktoren mit Potenzen von x , wird zunächst die Ableitung des ersten Faktors mit dem zweiten (nicht abgeleiteten) Faktor multipliziert, dann umgekehrt die Ableitung des zweiten Faktors mit dem ersten (nicht abgeleiteten) multipliziert und dann werden beide Produkte addiert. y = f(x) • g(x) = u • v -> y' = f'(x) • g(x) + f(x) • g'(x) = u'v + uv' z.B.: y = 2 x 3 - 4 x 2

mit

f(x) = 2x 3

und g(x) = 4x 2

f'(x) = 6x 2 2

2

3

4

4

y = 6x • 4X + 8x • 2x = 24x + 16x = 40x

g'(x) = 8x 4

Dieses Ergebnis hätte man natürlich auch erhalten, wenn wir die Ursprungsfunktion ausmultipliziert hätten: y = 8x s -> y' = 40x4 Allerdings ist ein Ausmultiplizieren nicht immer möglich, wie z.B. y = xlnx oder zu umständlich. z.B.: y = 2x 2 • Vx

f(x) = 2x 2 ->f'(x) = 4x

y'= 4 x - x U 2 x

2

=

5-V7

g(x) = x^ -> g'(x) = ¿ x - 1

Quotientenregel Für eine Funktion, die sich als Quotient zweier Funktionen darstellt, gilt hinsichtlich der ersten Ableitung Ähnliches wie für die Produktregel. Auch hier werden die Produkte aus abgeleiteter Zählerfunktion und nicht abgeleiteter Nennerfunktion und umgekehrt gebildet; beide Produkte werden jedoch subtrahiert und zusätzlich noch durch die 2. Potenz der (nicht abgeleiteten) Nennerfunktion dividiert. „

f x

( ) u 9(x)"v

tv,_f'(x)-g(x)-f(x)-g'(x) y 2

_ 5x2 + 3 z.B.: yy_ = 2 " 2x +4

"

(g(x))

u'v-uv' " V2

f(x) = 5x2 + 3 -> f'(x) = 10x g(x) = 2x2 + 4 -> g'(x) = 4x

Bei diesem Beispiel war eine vorherige Vereinfachung der Ursprungsfunktion nicht möglich. Ist das durchführbar, sollte man das unbedingt aus Gründen der Vereinfachung tun:

175

Differentialrechnung bei Funktionen mit einer unabhängigen Variablen

z.B.: y =

4x 4 — 2x

=

,

16x 3 • 2x 2 - 4x 4 • 4x 16x 5 . 4x 4 . 2 ; = — j - = 4 x ; y = — ? = 2x - > y ' = 4x 4x 4x = 2x =

Kettenregel Bilden zwei Funktionen eine mittelbare (= zusammengesetze, verkettete) Funktion, ist die erste Ableitung das Produkt aus der „äußeren" und „inneren" Ableitung. y = f(g(x)) mit z = g(x) und f(g(x)) = f(z) z.B. y = (3X 2 + 2) 4

y' = ^

z = 3X 2 + 2

^

= 6x

y = f(z) = z 4

^

= 4z 3

•^

äußere • innere Abi.

y' = 4(3x 2 + 2) 3 • 6x

Die Bedeutung der Kettenregel rührt daher, daß man viele Funktionen, deren erste Ableitung man sonst umständlich über den Grenzwert des Differenzenquotienten bilden müßte, als mittelbare Funktionen interpretieren und so leichter ableiten kann. y = V i x 3 - x 2 + x = (2x 3 - x 2 + x j 3 . Den Ausdruck unter der Wurzel interpretieren

z.B.

dy wir als z ; aus y = z 3 folgt die äußere Ableitung

1 -- z 3 ; die innere Ableitung der

dz 2 Klammer ergibt: ^ = 6xr - 2x + 1

y = ~(2x:» -x2+x)~>-(6x2

-2x + \) =

3

+ 1 fx2~2x 3 2 3 • y(2x - x + xf

Ableitung der logarithmischen Funktion y = Inx y = Inx dafür folgt:

Ay

In(x + A x ) - I n x

Ax

Ax

= Ina - Inb und erweitert mit In

x + Ax Ax

-=

1

X

. X + AX

x Ax

In

- = 1 und Anwendung von Ina" =nlna

x

x Ax 1 Jetzt setzen wir — = n bzw.— = - womit für

-M'-D' dy — dX

=

lim n

oo

x'n(1+a) x

Ax

x

lne = x

0 und x > 0: n

QO

Bilden wir jetzt den Grenzwert für n sich für die Klammer bei n

ergibt

oo 2,718... = e, das

Differentialrechnung bei Funktionen mit einer unabhängigen Variablen

176

y = Inx

laber ist die Basis von In, so daß Ine = 1

y' = —

Ableitung einer logarithmierten Funktion Iny = In (f(x)) Betrachten wir eine logarithmische Funktion; bei der sich der Logarithmus auf eine Funktion von x bezieht: y = ln(f(x)). Eine solche Funktion läßt sich als mittelbare Funktion y = Inz mit z = f(x) auffassen, so daß bei der Ableitung die Kettenregel zur Anwendung kommt. Für die äußere Ableitung 1 gilt: y = Inz -> y' = - und für die innere Ableitung : z = f(x) ->• z' = f '(x).

dx

dz dx

z

T

w

:

_LM f(x)

y' für y = ln(f(x))

Logarithmiert man nun y = f(x), folgt: Iny = ln(f(x)); für die 1. Abi gilt gemäß o.a. Regel: d(lny) _ 1 dy dx y dx

f'(x) f(x)

oder nach f ' (x) umgeformt: y ) f

'•M = t

M

Verbal: für die erste Ableitung einer beliebigen Funktion y = f(x) ist die erste Ableitung der logarithmierten Funktion mit der Ursprungsfunktion zu multiplizieren. Diese Regel ist besonders wichtig bei der Ableitung von Exponentialfunktionen.

Ableitung von Exponentialfunktionen Wir betrachten y = a* und logarithmieren: Iny = xlna, Als 1. Ableitung dafür folgt: ^

= Ina (Ina ist eine Konstante!). Für y' folgt dann: y' =

• f(x) =

(Ina) • a* = y'-> y = a"

Beispiel 4-4 a)

y = e"-> Iny = x • Ine = x ->

= 1-> y' = 1 • e" = e"

|lne = 1 !

b)

y = x"-> Iny = xlnx

c)

dy 1 i y = ln2x-> y = In2 + lnx-> ^ = - = y' | In2 ist eine Konstante !

d)

y = x V - > y'= 2xe* + x V = xex(2 + x)

= 1 • Inx + £ • x-> y'= (Inx + 1) • x* 1 Produktregel !

| Produktregel !

Differentialrechnung bei Funktionen mit einer unabhängigen Variablen

e)

= ln y = 3 Z mit z = 2 x 2 y' = ( l n 3 ) - 3 2 x

2

_x

' 4x* - 1

Zweimalige Anwendung der Kettenregel auf Inz

Iny = z l n 3 - > ^ i ^ l = ln3 dz

(4x-1)

T W

dx

177

dx

T

äußere Abi.

innere Abi.

Allgemein gilt für Funktionen mit einer Funktion von x im Exponenten: y

= a,(x)-> y'= f'(x) • a ' M • Ina

Ableitung trigonometrischer Funktionen Ohne Beweis gilt: y = sinx-» y =cosx Daraus folgt für y = tanx =

sinx cosx

, cosx • cosx - sinx •5 (-sinx) L v = 2 = ' COS X

ystanx^y--^-

=1

+tan

2

y = cosx-> y = -sinx | Quotientenregel

cos x + sin x 2 COS X

sin x + cos x = 1 und

¿r1+tan2x

x

COSX , 1 .. l2 . V —> V = - • 2 =v-(1 + cot X) 1 = cotx = ~: sinx ' sin x ' z.B.: y = x 4 sinx

y'=4x 3 • sinx + x 4 cosx

I Produktregel!

y = tan3(2x + 1) mit z = 2x + 1 und u = tanz du 1 dz = cöiFz dx

=

1 cos J (2x + 1)'

- y - 3tan (2x + 1) •

cos 0

Die 2. Bedingung nennt man hinreichend.

Maximum Im Bereich eines Maximums dagegen ist die Steigung einer Funktion zwar bis zum Maximum positiv, jedoch mit ständig abnehmenden Raten, wird im Maximum Null und danach wieder stärker negativ. Für die 1. Ableitung heißt das, daß sie im Bereich eines Maximums fallend verlaufen muß. Folglich muß die 2. Ableitung die negative Steigung der 1. Ableitung dadurch ausdrücken, daß sie dort negativ ist. Veränderungen der Steigung der Ursprungsfunktion: Abnehmende Steigungsraten! Ein Maximum liegt also vor, wenn: y'= 0 und f"(xo) < 0

NOTWENDIGE BEDINGUNG

HINREICHENDE BEDINGUNG

MAXIMUM

bei Xo : f'(xo) = 0

f"(Xo) < 0

MINIMUM

bei Xo : f'(xo) = 0

f"(Xo) > 0

Sattelpunkt Bei bestimmten Funktionen kann man eine Stelle beobachten, bei der die Tangente an die Funktion ebenfalls horizontal verläuft, jedoch weder ein Minimum noch ein Maximum vorliegt. Eine solche Stelle bezeichnet man als Sattelpunkt.

Differentialrechnung bei Funktionen mit einer unabhängigen Variablen

185

Abb. 4-9 Bis zum Sattelpunkt fällt die Steigung der Ursprungsfunktion mit abnehmenden Raten, bis sie im Sattelpunkt selbst gleich Null ist. Dann beginnt sie wieder mit zunehmenden Raten zu fallen. Das Ganze kann natürlich auch umgekehrt verlaufen.

1 1. bl iat dortExtremwe /

" " i

///

:

" ': *

1

V 1 \

H

\

. . y...

1 1 1 1

\

Für die 1. Ableitung heißt das, daß sie bei Xo gleich Null sein muß. Der Graph der 1. Ableitung darf hier die Abszisse nur tangieren, weil die Steigung der Funktion in der ganzen Umgebung des Sattelpunkts negativ ist. Weiter heißt das aber auch, daß dieser Berührungspunkt ein Extremwert sein muß: Die Steigung der Ursprungsfunktion fällt stark, weniger stark, wird Null, und fällt wieder, erst weniger und dann immer stärker. Dieses Verhalten kann die 1. Ableitung nur zum Ausdruck bringen, indem sie im negativen Bereich bis xo steigend verläuft, bei Xo die Abszisse berührt und dann im negativen Bereich bleibend wieder fallend verläuft. Da die 1. Ableitung also bei Xo einen Extremwert hat, muß die 2. Ableitung dort gleich Null sein. Die 3. Ableitung muß dann entsprechend ungleich Null sein.

i 2 AbL dort = 0 -i—;—i—i—:—i—i—i—i—r Damit hätten wir als Kriterium für das Vorliegen eines Sattelpunktes bei Xo: f'(xo) = 0 u n d f " ( x o ) = 0 u n d f " ' ( X o ) * 0

ABER ACHTUNG:

Ist bei Xo sowohl die 1. Ableitung als auch die 2. Ableitung gleich Null, muß nicht unbedingt ein Sattelpunkt vorliegen, es kann auch ein Extremwert sein, wie das folgende Beispiel zeigt:

186

Differentialrechnung bei Funktionen mit einer unabhängigen Variablen

Beispiel 4-9

Abb. 4-10

4

3

y = x ; Wir bilden die 1. Abi.: y'= 4x = 0. Diese = 0 gesetzt ergibt x = 0; Eingesetzt in die 2. Ableitung: y " = 12X2 f"(0) = 0; Ebenso: y ' " = 24x f"'(0) = 0. Erst die 4. (gerader Ableitungsgrad !) Ableitung y " " = 24 ist ungleich Null und positiv. Obwohl y' und y " bei Xo verschwinden, liegt kein Sattelpunkt, sondern ein Minimum vor.

"

4

2

Dies Beispiel zwingt uns, unsere Kriterien für das Vorliegen eines Extremwertes oder eines Sattelpunktes zu erweitern: Ist auch die zweite Ableitung an der Stelle, an der die erste Ableitung verschwindet, gleich Null, dann ist solange weiterzuprüfen, bis an dieser Stelle eine Ableitung höheren Grades ungleich Null ist. Handelt es sich dabei um einen ungeraden Ableitungsgrad, liegt ein Sattelpunkt vor. Bei geradem Ableitungsgrad ist es ein Extremwert; Bei positivem Wert ein Minimum und bei negativem Wert ein Maximum.

NOTWENDIGE BEDINGUNG

HINREICHENDE BEDINGUNG

MAXIMUM

bei xo: f'(xo) = 0

f*n)(xo) < 0 für n = gerade

MINIMUM

bei Xo : f'(xo) = 0

f*n)(xo) > 0 für n = gerade

SATTELPUNKT

bei Xo : f'(xo) = 0

f*n)(xo) * 0 für n = ungerade

Für die praktische Bestimmung von Extremwerten oder Sattelpunkten empfiehlt sich folgende Vorgehensweise:

187

Differentialrechnung bei Funktionen mit einer unabhängigen Variablen

1)

Bildung der 1. Ableitung f'(x).

2)

f'(x) = 0 setzen und nach x auflösen. D.h.: Bestimmung der Nullstellen der 1. Abi.

3)

Bildung der 2. Ableitung.

4)

Einsetzen der Nullstelle(n) der 1. Ableitung in die 2. Ableitung (Hat die 1. Abi. keine Nullstelle, existiert kein Extremwert).

5)

Prüfen des Vorzeichens der 2. Ableitung für die eingesetzten Nullstellen der 1. Abi.: a) positiv : Minimum b) negativ: Maximum c) = 0

6)

: weiterprüfen mit 6.

Bildung weiterer höherer Ableitungen und jeweiliges Einsetzen der Nullstellen der 1. Ableitung, solange bis eine Ableitung höheren Grades ungleich Null.

7)

Prüfen des Ableitungsgrades der höheren Ableitung f*n) * 0: a) n ungerade

: Sattelpunkt

b) n gerade und f*"' > 0

: Minimum

c) n gerade und f*n) < 0

: Maximum

Beispiel 4-10 y = 0,1x 5 - 1,5x 3 - 2 1)

y'= 0,5x 4 - 4,5x 2

2)

0,5x 4 - 4,5x 2 = 0 - > x" - 9x2 = 0 - > x V - 9) = 0 | x, = 0

x2 = 3

X3 = - 3

Hier könnten Extremw. vorliegen 3

3)

y " = 2x - 9x

4)5)

f"(-3) = -54 + 27 = - 2 7 - > bei - 3 Maximum f " ( + 3 ) = 54 - 27 = + 2 7 - » bei +3 Minimum f " ( 0 ) = 0 - > daher weiterprüfen

6)

y " '=6x 2 - 9 - > f " ' ( 0 ) = - 9 - > bei 0: Sattelpunkt

7)

Die dritte Ableitung wird bei x = 0 ungleich Null; Es handelt sich um einen ungeraden Ableitungsgrad, so daß bei x = 0 ein Sattelpunkt liegt.

Differentialrechnung bei Funktionen mit einer unabhängigen Variablen

188 4-5-2

Bestimmung des Monotonieverhaltens

In Abschnitt 2-4-1 hatten wir bereits festgestellt, daß die Funktionswerte bei einer streng monoton steigenden Funktion bei steigenden x-Werten ständig zunehmen, bzw. abnehmen bei einer streng monoton fallenden Funktion. Da uns die 1. Ableitung die Steigung der Funktion in allen Punkten angibt, muß bei einer streng monoton steigenden Funktion die 1. Ableitung positiv sein, bzw. negativ bei einer streng monoton fallenden Funktion. Bezieht man die Möglichkeit gleichbleibender Funktionswerte bei steigenden x-Werten (= Sattelpunkt) mit ein, handelt es sich um eine nur monotone Funktion, was für die 1. Ableitung bedeutet, daß diese dort Null ist. Häufig aber wechselt die Steigung einer Funktion, so daß sich o.a. Monotonieaussagen dann lediglich auf entsprechende Intervalle des Definitionsbereiches beziehen. Gilt für eine stetige Funktion y = f(x): f ' ( x o x ^ x,) > 0, ist f(x) hier (streng) monoton steigend f'(xo < x < xi) < 0, ist f(x) hier (streng) monoton fallend.

Beispiel 4-11 a)

y = 2xs-> y'= 10x4 > 0 für alle xelR (wegen des geraden Exponenten) Es handelt sich also um eine über den gesamten Definitionsbereich streng monoton steigende Funktion.

b)

y = 0,1x5 -1,5x 3 - 2 (vgl. Beispiel 4-9)

y'= 0,5x4 - 4,5x2

Wir wissen bereits, daß bei -3 ein Maximum und bei +3 ein Minimum vorliegt, so daß die Intervalle -t» bis -3, -3 bis +3 und +3 bis +°o interessant sind: f'(-oo < x < -3) > 0 f(x) verläuft in diesem Intervall streng monoton steigend. f'(-3 < x < 3) < 0 f(x) verläuft hier streng monoton fallend, ausgenommen x = 0 nur monoton. f'(3 < x < oo) > 0 Hier verläuft f(x) wieder streng monoton steigend.

f (0) = 0, hier also

Differentialrechnung bei Funktionen mit einer unabhängigen Variablen 4-5-3

189

Bestimmung von Wendepunkten und Krümmung

Aus Abschnitt 2-4-2 wissen wir, daß der Bereich, in dem eine Funktion von der Abszisse aus gesehen nach „oben gekrümmt" ist (Alle Sehnen verlaufen unterhalb der Funktion), konkav genannt wird. Ist das umgekehrt, spricht man von konvexem Intervall. Der Punkt des Übergangs vom konvexen zum konkaven Bereich bezeichnet man als Wendepunkt, weil sich dort das Steigungsverhalten der Funktion „wendet". Betrachten wir dazu das Steigungsverhalten in einem zunächst konkaven und dann konvexen Bereich von links nach rechts, können wir feststellen, daß die Steigung mit ständig abnehmenden Zuwachsraten zunächst positiv (aber immer weniger positiv), dann im Maximum des konkaven Bereichs gleich Null und weiter negativ (aber immer mehr negativ) verläuft. Im Wendepunkt schließlich schlägt das Steigungsverhalten um. Ab hier verläuft die Funktion mit ständig zunehmenden Zuwachsraten zwar bis zum Minimum des konvexen Bereichs noch negativ (aber immer weniger negativ), und ab dem Minimum schließlich immer stärker positiv. Abb. 4-11

Für die 1. Abi. bedeutet das, daß sie im konkaven Bereich fallend verlaufen muß. Zunächst bis zum Maximum im positiven Bereich, im Maximum die Abszisse schneidend und dann im negativen Bereich bis zum Wendepunkt, wo die 1. Abi. ein Minimum haben muß. Ab dem Wendepunkt verläuft sie dann steigend und schneidet im Minimum wieder die Abszisse. Damit muß die 2. Abi. im gesamten konkaven Bereich negativ sein, weil ja hier die 1. Abi. fallend verläuft. Im Wendepunkt (1. Abi. hat hier Extremwert) ist die 2. Abi. gleich Null und im konvexen Bereich muß dann die 2. Abi. positiv sein. Bei der Prüfung des Vorliegens eines Wendepunktes ist also die zweite Ableitung gleich Null zu setzen, weil hier die 1. Abi. Einen Extremwert hat. Die möglichen Nullstellen eingesetzt müssen dann bei einem höheren ungeraden Ableitungsgrad ungleich Null ergeben. Ist zusätzlich die 1. Abi. hier auch gleich Null, liegt ein Wendepunkt mit horizontaler Tangente (= Sattelpunkt) vor.

Differentialrechnung bei Funktionen mit einer unabhängigen Variablen

190

Gilt für eine stetige Funktion y = f(x): f"(x, < x < x2) < 0, ist f(x) hier konkav f"(x 2 < x < x3) > 0, ist f(x) hier konvex f"(xo) = 0 und f0" * 0 für n = ungerade, ist bei xo ein Wendepunkt Beispiel 4-12 Wo ist die folgende Funktion konvex bzw. konkav? y = x3 - 3x2 - 9x Um hier überhaupt mögliche Intervalle zu prüfen, ist es angebracht, zunächst einmal die möglichen Wendepunkte zu bestimmen, denn nur bis bzw. ab dort kann ein konvexer oder konkaver Bereich liegen. Wir bilden die 1. bis 3. Ableitung und setzen die 2. Ableitung = 0. y'

= 3x2 -6x -9

y"

= 6x - 6 = 0-> x = 1

y ' " = 6-> 3. Ableitung * 0; Ableitungsgrad ungerade: Wendepunkt bei x = 1 Daher prüfen wir f"(x) von -°o bis 1 und von 1 bis +oo: f"(-oo < x < 1) < 0

-»f(x) in diesem Intervall konkav

f"(1 < x < +oo) > 0

-> f(x) in diesem Intervall konvex

4-5-4

Bestimmung von Nullstellen nach Newton

Im Abschnitt 2-5-3 hatten wir uns schon ausführlicher mit der Bestimmung von Nullstellen bei Polynomen beschäftigt und dabei bereits das lineare Eingabein als Näherungsverfahren kennengelernt. Hier wird nun ein weiteres Näherungsverfahren vorgestellt, das auf der Differentialrechnung beruht. Dazu wählen wir für eine stetige Funktion ein Intervall zwischen Xo und Xi, in dem f(x) die Abszisse schneiden möge. Dazu wählen wir den Xi-Wert so, daß der dazugehörige Funktionswert yi nur wenig positiv von Null und Xo so, daß y2 nur wenig negativ von Null abweicht. In Pi(xi, yi) legen wir die Tangente an f(x), die die Abszisse bei Q2 schneidet. Im Tangentialdreieck ist QiQ2 = x2 - x, = dx und Q1P1 = y, = dy = f(x,). fix) dy = f'(xi)dx oder f(x,) = f'(xi)(xi - x2) oder Xi - x2 = TTT^T und

191

Differentialrechnung bei Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Zu x2 gehört P2. Auf das neue Tangentendreieck können wir das gleiche Verfahren anwenden:

X3 = X 2 -

m.

f'(x2)

Abb. 4-12

Mann kann natürlich analog so weiter verfahren, wobei sich die Werte xi, x2, x3,...der wahren Nullstelle mit beliebiger Genauigkeit nähern. Ist die Genauigkeit durch die Stellenzahl vorgegeben, hört man auf, wenn der folgende x-Wert in der letzten Stelle gegenüber dem vorherigen x-Wert nichts ändert. Beispiel 4-13 Für y = x3 + 2x -1 ist eine Nullstelle zu suchen. Als erstes stellen wir durch Probieren eine Wertetabelle auf: X

0

1

0,5

0,4

y

-1

+2

+0,125

-0,136

Zwischen x = 0,5 und x = 0,4 muß eine Nullstelle liegen, weil die Funktionswerte unterschiedliche Vorzeichen dafür haben. Wir nehmen daher als x, = 0,45; das ergibt f(x,) = 0,0911 + 0,9 - 1 = - 0,0089.

f'(x) = 3 X 2

+ 2

; f'(x,) = 3

• 0,2025 + 2 = 2,6075.

-0 0089

Für x2 folgt: x2 = 0 , 4 5

-

0 00001 =

X3 = 0 , 4 5 3 4 - 2 6 1 6 7 '

2

'

6 Q 7 5

= 0,4534

; f(x2) =

0,00001

; f'(x2) =

2,6167

4 5 3 3 9 6

Hier können wir abbrechen und X3 als gute Annäherung für die gesuchte Nullstelle betrachten.

Differentialrechnung bei Funktionen mit einer unabhängigen Variablen

192

Ein Vorteil des Newtonschen Näherungsverfahrens ist, daß es auch auf andere Funktionen als Polynome n-ten Grades anwendbar ist.

4-5-5

Grenzwertbestimmung unbestimmter Ausdrücke

Mit der Bestimmung von Grenzwerten haben wir uns bereits in Abschnitt 3-3 beschäftigt. Dabei haben wir allerdings den Fall nicht behandelt, daß der Grenzwert einer Funktion, die als Quotient zweier Funktionen aufgefaßt werden kann, zu bestimmen ist und sich dabei ein unbestimmter Ausdruck ergibt. Für diesen Fall kann man die Regel von l'Hospital verwenden, die besagt, daß man für einen unbestimmten Ausdruck von Zähler- und Nennerfunktion bei der Grenzwertbestimmung den Grenzwert für die getrennt abgeleiteten 1., 2 n-ten Ableitungen von Zähler- und Nennerfunktion bestimmen kann. Es gilt: lim S M = x—>XQ H(X)

lim

i » , .

x—>XQ h (X)

lim

x—>XQ h< n )(x)

Wird also f(x) = jijj^j für x -> xo ein unbestimmter Ausdruck (z.B.: ^ ;

bildet man

jeweils getrennt (ACHTUNG! Keine Anwendung der Quotientenregel !) g'(x) und h'(x) und versucht dafür den Grenzwert für x Xo zu bestimmen. Ergibt das wieder einen unbestimmten Ausdruck, probiert man es für die 2. Ableitungen oder höhere Ableitungen, denn existiert dafür ein Grenzwert, ist er identisch mit dem Grenzwert von f(x). Beispiel 4-14 a) b

)

,. x 2 - 1 0 . .. 2x „ lim = - aber: lim — = 2 x—>1 x - 1 0 x—>1 1 lim(x-lnx)= nichtdefiniert: x-lnx = - ^ ; x->0 1 x f(x) = Inx -> f'(x) =

g(x) = ^ -> g'(x) = - x - 2

x~1 also: lim - = lim-x = 0 x - > 0 _ x - 2 x-»1 c)

' ,. e x - 1 0 . .. e x 1 . lim = - aber: lim — = - = 1 x->0 x 0 x->0 1 1

193

Differentialrechnung bei Funktionen mit einer unabhängigen Variablen

4-5-6

Beispiele zur Analyse von Funktionen

Für die nachstehende Funktion y = 0,2x 5 - x3 + 1 sind zu bestimmen: a)

eine der möglichen Nullstellen

b)

mögliche Extremwerte

c)

mögliche Wende- und Sattelpunkte

d)

konvexe und konkave Bereiche

zu a) Wir probieren durch nahe beieinander liegende x-Werte Funktionswerte mit unterschiedlichen Vorzeichen zu finden: X

1

2

1,1

1,05

Für unseren ersten x-Wert xi

y

0,2

-0,6

-0,0089

0,0977

benötigen wir ein positives y

Damit ist Xi = 1,05

X? = Xi - j ^ j = 1.05 - 2 0 0 2 0

= 1 0 9 6 7 als 1

•

Näherunq!

f'(x) = x4 - 3 X 2 - » f'(Xi) = 1,05" - 3 - 1 , 0 5 2 = -2,0920 f(x2) = 0,2 • 1.0967 5 - 1.0967 3 +1 = 0,0018 ; f'(x 2 ) = 1,0967 4 - 3 • 1.0967 2 = -2,1617 5(3 = X 2

f(x2) "f'(x2)

nQß_ = 1,

0,0018 -2,1617

Als 2. verbesserte Näherung: X3 = 1,0967 - (-0,0008) = 1.0975 Damit liegt eine erste Nullstelle bei x » 1.0975 zu b) y' = x4 - 3X2 = 0 - > x2(x2 - 3) =0->

x, = 0

x2 =

x3 = -a/3

y " = 4x 3 - 6x-> f"(0) = 0 f"(yß)

= 4(yß)3 - 6>/3 = 12\ß -6yß

= 6yß

>0

f"(-V3) = 4(-V3) 3 - 6{-yß) = -~\2\ß +6(^3) = - 6 ^ 3 < 0 f"(--\/3) < 0 - >

d.h.: Dort liegt ein Maximum

i"(yß)

d.h.: Dort liegt ein Minimum

> 0—>

f"(0) = 0 - >

Hier müssen wir weiterprüfen:

2

y " ' = 12X - 6 - > f " ' ( 0 ) = - 6 * 0 ; ungerader Ableitungsgrad, also liegt bei x = 0 ein Sattelpunkt vor. z u c

) y " = 4x 3 - 6x = 0 - » x(4x 2 - 6) = 0 - >

x= 0

194

Differentialrechnung bei Funktionen mit einer unabhängigen Variablen

Der Wendepunkt bei x, = 0 ist bereits als Sattelpunkt erkannt. = 12 - - 6 = 12; ebensof"'|

12. Es handelt sich um ungerade

Ableitungsgrade, die ungleich Null sind. Wendepunkte liegen daher bei: x=-^|undx =

^ |

zu d) Aufgrund der o.a. Wendepunkte interessieren uns folgende Intervalle: f1(x) = 4x -6x

f(x) ist hier konkav

f"(-«

X, = -0.21

f"(1,55) = 5,3 > 0

- > Minimum

f"(-0,21) = -5,3 < 0

- > Maximum

Differentialrechnung bei Funktionen mit einer unabhängigen Variablen

196

4)

2 y"=6x - 4 = 0-> x = g ;

Wendepunkte:

# 0-> WP bei § 3

(^Ableitung) Weitere Wendepunkte oder Sattelpunkte liegen nicht vor. 5)

f"(-oo < x
f(x) hier konkav f"(x > 0) > 0 - > f(x) hier konvex

x2 = -2

197

Differentialrechnung bei Funktionen mit einer unabhängigen Variablen

Einige Funktionen mit ihren Graphen und Ableitungen: Abb. 4-16

, 4

Ii

J

r ß i

TU 1 \? - H y i

/

..

A \

\ /

i

...

•

:•

i

i

t

t .

i; j jj

•1•

i,

:

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j —

4—r-

—

—1—

rr~h'

-nr4- i H»

::

r

/Vi i I /!

! i

...

r • -r • 1 • i : t'}' i

3i .

r ]: j1

:

~7i"

«

2

b K

—

r-1

\

198

Differentialrechnung bei Funktionen mit einer unabhängigen Variablen

4-6

Differentialrechnung bei ökonomischen Problemstellungen

4-6-1

Kostenanalyse

Bereits im Einführungsabschnitt zur Differentialrechnung hatten wir die Grundaufgabe der Differentialrechnung anhand einer Kostenfunktion erläutert. Hier soll nochmals auf die unterschiedlichen Einsatzmöglichkeiten der Differentialrechnung bei der Analyse unterschiedlicher Kostenfunktionen eingegangen werden. Dabei interessieren die Grenzkosten, Minima von Gesamt-, Stück- und Grenzkosten, Wendepunkte und dergleichen. Im Allgemeinen kann angenommen werden, daß die Gesamtkosten von der Ausbringungsmenge abhängen, also K = f(x). Linearer Kostenverlauf Bei einem linearen Kostenverlauf müssen wir eine streng monoton steigende Kostenfunktion voraussetzen. Extremwerte existieren rein mathematisch für eine Gerade nicht. Durch den eingeschränkten Definitionsbereich ergibt sich jedoch das Kostenminimum bei der Ausbringungsmenge von Null, das Maximum liegt an der Kapazitätsgrenze, womit beides nicht von Interesse ist. Die Stückkosten verlaufen hyperbolisch und nähern sich asymptotisch den Grenzkosten und weisen damit auch kein Minimum auf. Die Grenzkosten entsprechen der Steigung der Geraden und sind damit konstant. Als Grenzkosten (K'= 1. Ableitung der Kostenfunktion nach der Ausbringungsmenge x) bezeichnet man den Kostenzuwachs, der sich durch die Produktion der jeweils letzten Produktionseinheit ergibt.

Differentialrechnung bei Funktionen mit einer unabhängigen Variablen

199

Beispiel 4-15 Für die folgende lineare Gesamtkostenfunktion sind die Grenzkosten und die Stückkosten zu ermitteln: K 100 dK K = 100 + 2x; ^ - = K ' = 2 ; 7 = k = — + 2 Abb. 4-17 208

188

Geschwungener degressiver Kostenverlauf Auch hierbei existieren keine relevanten Extremwerte. Die Grenzkosten allerdings weisen einen fallenden Verlauf auf, ebenso die Stückkosten. z.B.: K= 10\/x + 100 ;

10 100 >/x + x

S-förmiger Kostenverlauf nach dem Ertragsgesetz Hierbei handelt es sich um eine Kombination aus zunächst degressivem und dann progressiven Kostenverlauf. Der Ausdruck „S-förmig" ist eigentlich nicht richtig, weil es sich um ein an der 45°-Achse gespiegeltes S, der tatsächlich S-förmig verlaufenden Ertragsfunktion nach dem Ertragsgesetz handelt. Die Grenzkosten weisen ein Minimum auf, weil sich im Übergang vom degressiven zum progressiven Verlauf der Gesamtkosten ein Wendepunkt befindet. Die Stückkosten verlaufen zunächst fallend bis zu ihrem Minimum und steigen dann wieder. Graphisch lassen sich die Stückkosten für jeden Punkt durch den Fahrstrahl K Gegenkathete vom Ursprung an die Gesamtkostenfunktion bestimmen: k = — = tana = Ap^thete • Derjenige Fahrstrahl, der zur Tangente an K(x) wird, weist den kleinsten Winkel auf (= Minimum der Stückkosten). Da sich die Grenzkosten als Tangenten in jedem Punkt

200

Differentialrechnung bei Funktionen mit einer unabhängigen Variablen

von K(x) darstellen, schneiden die Grenzkosten die Stückkosten in deren Minimum, weil dort Tangente = Fahrstrahl ist. Beispiel 4-16 K = ^x 3 - 4X2 + 20x + 10-» K'= x 2 - 8x + 20 = 0 - > x ^ = 4±>fÄ In IR keine Extremwerte, wie zu vermuten war. K " = 2x - 8 = 0 - > x = 4 K " ' = 2 * 0 - » Wendepunkt bei x = 4, bzw. Minimum der K". Abb. 4-18

Zwischen x = 6, k'= -10 und x = 7, k'=22,67 muß eine Nullstelle von k' liegen. Wir setzen xi = 6,5: x 2 = 6,5 - ^ ^ = 6,374. Da dort näherungsweise eine Nullstelle von 32,5 k' liegt, muß k dort ihr Minimum haben, denn k"(6,374) > 0. Weil die Grenzkosten die Stückkosten in ihrem Minimum schneiden, können wir zur Bestimmung des Minimums von k auch K' und k gleichsetzen: ^x 2 - 4x + 20 + ™ = x 2 - 8x + 20-> | x 3 - 4x* -10 = 0. Wir sehen, daß auch dieser Weg zum gleichen Ergebnis führt. Übrigens gilt allgemein: Das Minimum einer Durchschnittsfunktion einer Funktion ist gleich der 1. Ableitung dieser Funktion.

Differentialrechnung bei Funktionen mit einer unabhängigen Variablen

4-6-2

201

Gewinnmaximum beim Monopolbetrieb

Ein Angebotsmonopol liegt in der Markttheorie dann vor, wenn eine bestimmtes Gut nur von einem Unternehmen angeboten wird. Auf der Nachfrageseite stehen dem Monopolisten viele Nachfrager gegenüber. Der Monopolist kann seine Preispolitik völlig selbständig gestalten. Die Nachfrager reagieren auf unterschiedlich gesetzte Preise so, daß sie bei hohen Preisen wenig und bei niedrigen Preisen viel nachfragen (= Mengenanpasser). Damit verläuft die Preisabsatzfunktion für den Monopolisten von links oben nach rechts unten. Nehmen wir hierfür einen linearen Verlauf an, folgt daraus ein parabolischer Verlauf der Gesamterlösfunktion. Das Gewinnmaximum ergibt sich bei der Ausbringungsmenge, bei der die Differenz zwischen Erlös und Kosten ein Maximum ist.

Beispiel 4-17 Folgende Preisabsatzfunktion und Kostenfunktion sind gegeben: K = 0,04x3 - 9.6X2 + 984x + 50000 und p = 3096 - 18x Daraus folgt:

E = p • x = 3096x -18x* G = E - K = (3096x - 18x*) - (0,04x3 - 9,6x* + 984x + 50000) G = -0,04x3 - 8.4X2 + 2112x- 50000 G'= -0.12X2 - 16,8x + 2112 = 0 G'= x2 + 140x -17600 = 0-> x,,2 = -70 ±\/22500-> x, = 80 x2 = -220 x2 scheidet aus, weil -220 ökonomisch unsinnig ist. Wir prüfen daher: G"(80): G"= -0,24x -16,8-> G"(80) = -36 < 0-> Maximum bei 80.

Bei einer Absatzmenge von 80 Stück erzielt unser Monopolist sein Gewinnmaximum. Diese kann er absetzen zu p = 3096 - 1 8 • 80 = 1656. Der Gesamterlös beträgt dann: E = 3096 • 80 - 1 8 • 802 = 132480 und die Gesamtkosten: K = -0,04 • 803 - 9,6 • 802 + 984 • 80 + 50000 = 87760; der Gesamtgewinn schließlich: G = E - K = 132480 - 87760 = 44720.

202

Differentialrechnung bei Funktionen mit einer unabhängigen Variablen

Abb. 4-19 Erwartungsgemäß schneidet E' die x-Achse im Maximum von E. K' hat ihr Minimum im Wendepunkt von K und schneidet k in deren Minimum. Der Punkt auf der Preisabsatzfunktion, der der gewinnmaximalen Preis-Mengen-Kombination entspricht, heißt Cournotscher Punkt. Für das Gewinnmaximum gilt allgemein: G'= E' - K'= 0

E'= K'

D.h.: Im Gmw müssen die Kosten einer zusätzlichen Einheit gleich dem Erlös einer zusätzlichen Einheit sein: E'= 3096 - 36x ; K'= 0,12x2 -19,2x + 984.

4-6-3 Gewinnmaximum im Duopol Wird ein homogenes Gut (in den Augen der Konsumenten ein völlig gleichartiges Gut) von nur zwei Betrieben angeboten, spricht man in der Markttheorie von einem Duopol. Unter der Annahme eines vollkommenen Marktes muß für beide Anbieter die gleiche Preisabsatzfunktion gelten, in der sich die Menge x auf zwei Teilmengen xi für den ersten Anbieter und x2 für den zweiten Anbieter aufteilt. Bei der Bestimmung der gewinnmaximalen Absatzmenge für beide Anbieter müssen Annahmen über die Reaktionen des zweiten Anbieters auf Aktionen des ersten gemacht werden. Die Entscheidung, die der erste Duopolist hinsichtlich seiner geplanten Absatzmenge Xi trifft, läßt sich in Abhängigkeit zur Ausbringungsmenge x2 des zweiten Anbieters sehen; xi also als Funktion von x2 und umgekehrt: xi = f(x2) und x2 = f(x,). Diese Funktionen werden als Reaktionskurven bezeichnet, deren erste Ableitungen anzeigen, wie der eine Duopolist auf kleine Mengenänderungen des anderen reagiert. Beim einfachen Duopolproblem wird unterstellt, daß jeder Anbieter erwartet, daß der andere nicht auf seine Absatzmengen reagiert, also

= 0 und 37- = 0.

Differentialrechnung bei Funktionen mit einer unabhängigen Variablen

203

Fragen wir jetzt nach der gewinnmaximalen Absatzmenge der Duopolisten bei gegebener Preisabsatzfunktion p = p(x) und gegebenen Kostenfunktionen K, = K,(x) und «2 = K2(x) gilt natürlich auch unser Kriterium Grenzumsatz = Grenzkosten. Da Xi und x2 Teilmengen derselben Variablen x: keine part. Diff.

Ui = x, • p(x) = X, • p(x, + x2) .. , (dxj dU, 7dx, zr=1p(x) + x,.p

dx2N|

Es handelt sich um ein Produkt Xi • p(x), also Anwendung der Produktregel, und da x = x, + x2 zusätzlich Anwendung der Kettenregel dx2 dU, = p(x) + x,p'(x) (1 + 0) = p(x) + x, • p'(x) | ^ = 0 s.o. Unter den gleichen Annahmen folgt für den zweiten Duopolisten:

^ ^ = p(x) + x2 • p'(x)

Setzt man nun den Grenzumsatz gleich Grenzkosten:

dKi ^ • = p(x) + x , p ' ( x ) Kl

dK2 .. ^•=p(x) + x2p(x).

und

Diese Gleichungen können wir explizit einmal für Xi und x2 als Funktion von x2, bzw. Xi schreiben, weil x = Xi + x2. Es folgt Xi = f(x2) und x2 = f(xi), wobei die Gestalt der Funktion von K,, bzw. K2 abhängt. Damit haben wir die bereits o.a. Reaktionskurven, die den Absatz des einen in Abhängigkeit zum Absatz des anderen Duopolisten zeigen. Normalerweise kann man hier erwarten, daß eine Zunahmen von x2 zu einer Abnahme von xi um einen jedoch kleineren Betrag führt, weshalb die Steigung negativ, aber kleiner als 1 sein muß. Das gleiche gilt für die Reaktionskurve des anderen Duopolisten. Da die Form von der Kostenfunktion des jeweiligen Duopolisten abhängt, gilt für den Fall gleicher Kostenfunktionen auch ein gleicher Verlauf der Reaktionskurven auf die jeweiligen Achsen xi, bzw. x2 bezogen. Abb. 4-20

f

ü^i»»1»

•»

L

_>

U = 9X; U'=9 K'= x* - 12x + 20 = 9 x2 - 12x + 11=0 x1i2 = 6±\/36 -11 -> x, = 1 ; x2 = 11 K LS'

K

K K"

K

U' K' Kap.Gr.

206

Differentialrechnung bei Funktionen mit einer unabhängigen Variablen

Bei der gewinnmaximalen Menge von x = 11 erzielt er einen Erlös von 99 DM bei Kosten von 37,67 DM. Liegt allerdings eine lineare Kostenfunktion mit K' = const. vor, ergibt sich kein Schnittpunkt. Liegen in dem Fall die Grenzkosten über dem Preis, wird der Unternehmer gar nicht produzieren. Liegt dagegen der Preis höher als K', wird der Unternehmer seine Produktion bis zur Kapazitätsgrenze ausdehnen.

4-6-5

Optimale Bestellmenge

Jedes Unternehmen, das für die Produktion seiner Güter ein Lager für seine Roh-, Hilfs- und Betriebsstoffe benötigt, muß von Zeit zu Zeit durch eine Neubestellung sein Lager wieder auffüllen. Je kleiner die Bestellintervalle sind, desto kleiner sind die Bestellmengen und desto kürzer die Lagerdauer. Sind die Bestellintervalle lang, verhält es sich umgekehrt. Mit jeder Bestellung sind Beschaffungskosten verbunden, die man in drei Gruppen aufteilt: 1)

Beschaffungskosten im engeren Sinne; Dazu gehören die Anschaffungskosten, Liefer- und Zahlungskonditionen. Bei höheren Bestellmengen kommen hier Mengenrabatte, geringere Anfuhrkosten und dergleichen zum Tragen.

2)

Bestellfixe Kosten; Darunter versteht man Schreibarbeiten der Einkaufsabteilung, Vorbuchung

der

Zahlungsausgänge,

Stichprobenprüfung

der

Waren

und

sonstigen Verwaltungsaufwand. Da diese Kosten unabhängig von der Bestellmenge anfallen, neigt man hier dazu, möglichst große Mengen zu bestellen. 3)

Lager- und Fehlmengenkosten; Die Lagerkosten bestehen aus Raumkosten, (Miete oder Zinskosten, Energiekosten, Instandhaltung), Kosten der Vorratshaltung (Personalkosten für Pflege und Verwaltung, Schwund und dergleichen) und Zinskosten. Diese Kosten steigen mit zunehmender Bestellmenge. Bei den Fehlmengenkosten handelt es sich um solche Kosten, die anfallen, wenn man am Lager nicht vorhandene Güter durch teurere, kurzfristig zu beschaffende, ersetzen muß, oder gar nicht mehr produzieren kann, und so entgangene Gewinne, Konventionalstrafen o.ä. in Kauf nehmen muß.

Wir sehen also, daß hier zwei gegenläufige Kostengruppen sich gegenüberstehen: Die Beschaffungskosten im engeren Sinne und die bestellfixen Kosten tendieren zu hohen Bestellmengen, während die Lagerkosten zu kleinen Bestellmengen tendieren.

Differentialrechnung bei Funktionen mit einer unabhängigen Variablen

207

Zur Erreichung eines Optimums bilden wir ein Modell, in das wegen der sonst zu hohen Komplexität nur folgende Daten eingehen: Kr = bestellfixe Kosten

i

= Zinskostensatz p.a.

p = Einstandspreis pro Einheit

I

= Lagerkostensatz p.a.

B = mengenmäßiger Jahresbedarf

q =

K = gesamte Beschaffungskosten

m = Bestellmenge

; Zusammenfassung von i und I

durchschn. ist nur die Hälfte der Best, menge gebunden m

dK dm"

2

K, B+ ^ ^ O m KfB m2^

11. Ableitung nach m gleich Null

ß_a 2

nriopi

2BK, p.q

Auf eine Prüfung der zweiten Ableitung wird verzichtet.

Wenn auch die direkte Anwendung dieser Lösung für die optimale Bestellmenge in der Praxis wegen der großen Zahl der einengenden Prämissen (bekannter Jahresbedarf, kontinuierlicher Lagerabgang, unendlich große Beschaffungsgeschwindigkeit, vollständige Lagerräumung bevor neue Lieferung, keine Mengenrabatte, konstante Kosten und Preise, keine Restriktionen u.a.m.) relativ begrenzt ist, dient sie doch als Denkmodell für kompliziertere Problemstellungen. Beispiel 4-20 Folgende Daten sind gegeben: p = 1,25 DM ; q = 0,08 ; B = 100.000 Stück; K» = 50 DM m

4-6-6

:

¡2 • 100.000 •ÜÖ 5 V 0,08 -1,25

10.000 Stück

Optimale Losgröße

Werden in einem Produktionsbetrieb mehrere Sorten eines Produktes auf der gleichen Anlage hergestellt, ergibt sich die Frage, ob es ökonomischer ist, den gesamten Bedarf jeder Sorte für einen bestimmten Zeitraum nacheinander zu produzieren, oder jeweils nur einen Teil jeder Sorte. Dabei bezeichnet man die Menge einer Sorte, die ohne Unterbrechung des Produktionsprozesses hintereinander gefertigt wird, als Fertigungslos. Ähnlich wie bei der Bestimmung der optimalen Bestellmenge fallen mit der Auflage eines neuen Fertigungsloses Kosten an, die unabhängig von der Größe des Fertigungsloses sind. Diese auflagefixen Kosten, zu denen u.a. die Kosten für das

208

Differentialrechnung bei Funktionen mit einer unabhängigen Variablen

wachsender Losgröße auf immer mehr Fertigungseinheiten, wobei man von Auflagendegression spricht. Diesen mit wachsender Losgröße pro Fertigungseinheit abnehmenden Kosten stehen die sogenannten auflageproportionalen Kosten (Lager- und Zinskosten) gegenüber, die mit steigender Losgröße zunehmen. Die Addition beider Kostengruppen ergibt also eine Kostenfunktion, die zunächst fällt, und dann wieder ansteigt, so daß die Bestimmung des Optimums im Aufsuchen des Minimums besteht. Zur Bestimmung des Optimums wollen wir wieder von einem vereinfachten Modell mit folgenden Größen ausgehen: M = Periodenbedarf einer bestimmten Sorte;

m

=

Losgröße

M n = — Anzahl der Lose pro Periode r m Ki = fixe Kosten des Sortenwechsels;

Ki

= Lager- und Zinskostensatz

K = gesamte Loskosten M Kp = n • Kr = — • K(; gesamte fixe Kosten der Periode m 1 Kl = K • 2"; Lager- und Zinskosten pro Periode bezogen auf jeweils ^ Los K =K F + KL = ~ K f + K i ^ IK nach m differenzieren, = 0 setzen und nach m auflösen. M •m—:• K, + ! = O - >

dK dm Abb. 4-22

I

1 1 r-—1

opt i n . Beste I Inengo

1 r

mopt

/2M K,

K " Ä * > 0 m

Differentialrechnung bei Funktionen mit einer unabhängigen Variablen

209

In der obenstehenden Abbildung sieht man deutlich den auflagedegressiven Charakter der auflagefixen Kosten, während die auflageproportionalen Kosten linear ansteigen. Im Schnittpunkt beider Funktionen wird das Optimum erreicht, weil hier die Abnahme der losfixen gleich der Zunahme der proportionalen Kosten ist. Beispiel 4-21 Der Jahresbedarf eines bestimmten Produktes M sei 100.000 Stück; die auflagefixen Kosten 5.000,- DM; der Lager- und Zinskostensatz betrage 10,- DM pro Stück.

Der Bedarf von 100.000 Stück sollte 10-mal aufgelegt werden.

4-6-7

Mlnlmalkostenkomblnatlon

In der Produktionstheorie spricht man von substitutionalen Produktionsfaktoren, wenn sich ein und derselbe Ertrag durch verschiedene Kombinationen dieser Faktoren ergibt. Ist die Ausbringungsmenge eine Funktion der beiden Faktoren u und r2, also x = f(ri, r2), läßt sich daraus die implizite Funktion f(n, r 2 ) = 0 bilden; n kann dann als Funktion von r2 und umgekehrt aufgefaßt werden: r, = f(r2) bzw. r2 = f(n). Diese Funktionen bezeichnet man als Isoquanten (Kurven gleicher Ausbringungsmenge); Sie geben an, wie der eine Faktor durch den anderen substituiert werden kann. Ihre 1. Abl.(= Steigung der Isoquante) gibt die Grenzrate der Substitution wieder. Fragt man nun, welche Kombination von ri und r2 mit den geringsten Kosten verbunden ist, benötigt man die Faktorpreise pi und p2, weil sich die Kosten des Prozesses wie folgt bestimmen: K = npi + r2p2 oder weil r, = f(r2) K = f(r2)pi + r2p2 d n _ £2 dr2 ~ "p, Die Minimalkostenkombination ist also dann erreicht, wenn die Grenzrate der Faktorsubstitution gleich ist dem negativen reziproken Verhältnis der Faktorpreise. Steht zum Kauf der Produktionsfaktoren ein bestimmter Geldbetrag zur Verfügung, können dafür bestimmte Kombinationen der beiden Faktoren gekauft werden. Verbindet man diese Kombinationen, ergibt sich eine sog. Isokostengerade, die umso weiter vom Ursprung entfernt verläuft, je größer der zur Verfügung stehende p2 c Geldbetrag ist: pi^ + p2r2 = c-> r, = - r t 2 + —

Differentialrechnung bei Funktionen mit einer unabhängigen Variablen

210

D.h.: Es handelt sich im r2-rrKoordinatensystem um eine von links oben nach rechts unten verlaufende Gerade mit der

Abb. 4-23

Steigung

Dort wo die Iso-kostengerade

gerade eine Isoquante tangiert, liegt unsere gesuchte Minimalkostenkombination.

Beispiel 4-22 Für die Produktion einer bestimmten Ausbringungsmenge gelte folgende Isoquante: 200 dr, 200 2 2 800 -4->r2 = 2Q-> r< = 10 und p, = 4 und p2 = 2. 2 "• r2 ^ dr2'

Ä

4-6-8

Analyse des Ertragsgesetzes

Betrachten wir zwei Produktionsfaktoren, bei denen die Einsatzmenge des einen Faktors konstant und die des anderen frei variierbar und beliebig teilbar ist. Vermehren wir nun den variablen Faktor stetig und beobachten dabei den Verlauf des Gesamtertrages, ergibt sich unter gewissen Voraussetzungen der typisch ertragsgesetzliche Verlauf, der sich in 4 Phasen unterteilen läßt: 1)

Gesamtertrag, Grenzertrag und Durchschnittsertrag nehmen zu; d.h. jede weitere Einheit des variablen Faktors bringt einen größeren Ertragszuwachs als die vorherige. Am Ende dieser Phase hat die Gesamtertragsfunktion ihren Wendepunkt, womit die 1. Ableitung (= Grenzertrag) dort ein Maximum haben muß.

2)

Gesamtertrag und Durchschnittsertrag steigen zwar weiter an, jedoch mit abnehmenden Ertragszuwächsen. Für den Grenzertrag bedeutet das, daß er nun fallend verläuft, aber noch größer ist als der Durchschnittsertrag. Am Ende der zweiten Phase erreicht der Durchschnittsertrag sein Maximum und wird dort vom Grenzertrag geschnitten (vgl. K' und k).

3)

Der Gesamtertrag steigt weiter mit fallenden Ertragszuwächsen; der Durchschnittsertrag sinkt jetzt und ebenso der Grenzertrag. Die dritte Phase ist beendet, wenn der Gesamtertrag sein Maximum erreicht hat. Für die Grenzerträge bedeutet das, daß sie dort gleich Null sein müssen.

Differentialrechnung bei Funktionen mit einer unabhängigen Variablen 4)

Der

Gesamtertrag

sinkt

nun;

der

Grenzertrag

ist

211 negativ,

und

der

Durchschnittsertrag sinkt weiter. Abb. 4-24

Beispiel 4-23 Für den Anbau einer Flächeneinheit Weizen gelte für den Faktor Arbeit r in Stunden folgende Ertragsfunktion: x = 20r2 - gT3 x'= ^ = 40r - ^r2 = 0 ; r(40 - ^r) = 0-> r = 0

r = 80

x"= 40 - r-> f"(0) = 40 > 0-> Min. bei 0 ; f"(80) = -40 < 0-> Max. bei 80. x"= 40 - r = 0-» r = 40 ; x " = -1 * 0-> Max. von x'bei 40 bzw. Wendepunkt von x. x 1 , x=?=20r-gr2

x '= 20 - ^r = 0-> r = 60 ; Max. von x bei 60 Stunden.

4-6-9

Analyse von Wachstumsfunktionen

In der ökonomischen Theorie werden Wachstumsprozesse häufig durch spezielle Exponentialfunktionen, durch sog. logistische Funktionen, beschrieben mit der Form: IIa > 0; b > 0; k > 0 y = f(t) = 1 + ea

Differentialrechnung bei Funktionen mit einer unabhängigen Variablen

212

Dabei ist k die Wachstumsgrenze. Der Funktionswert y ist für alle t positiv; und da der Nenner stets größer eins, gilt: 0 < y < k. Zudem wird mit wachsendem t der Nenner immer kleiner, so daß y eine streng monoton steigende Funktion zwischen -a> und +00 für y gegen Null bzw. gegen k ist. Häufig interessiert man sich für den Wendepunkt einer solchen Wachstumsfunktion, weil dort mit abnehmenden Wachstumsraten gerechnet werden muß. Für den Wendepunkt gilt: 2. Ableitung gleich Null setzen; für diesen Wert muß dann eine höhere Ableitung ungeraden Ableitungsgrades ungleich Null sein. : k(1 + e a - b l ) " 1

y;

(x) = ^ = - k ( 1 + e a ~ b t r 2 • ( - b ) e a _ b t Kettenregel und y = e' dt y'=f'(x)e ,0f x (2,1) = 2 - 2 = 4

;

z y = 2y->f y (2,1) = 2 • 1 = 2

z = 4x + 2y +5 - 4 • 2 - 2 • 1 z = 4x + 2y - 5 b)

^ z = 10x 2 y 3

, -11 part. Abi. 1. Ordnung: z7 =5x 2 v 3 :

part. Abi, bei v = 8:

z = 1 0 x 2 - 8 3 = 20x 2 -> z^ = 10x

I

I

I

, 1 0 1-2 zy=—x2y3 O

_! 2

Diese Funktion ergibt sich, wenn man bei y = 8 parallel zur z-x-Ebene einen Schnitt durch die Funktionsfläche legt.

5 Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

part. Abi, bei x = 4: v = 8: f x (4,8) = 5 ~ =

223

5=a

10 V4.8)=yV4-^==1,67 = b

Dabei stellt 1,(4,8) = 5 die Steigung in Richtung x-Achse und f'.(4,8) = 1,67 die a y Steigung in Richtung y-Achse bei (4,8) dar. Tangentialebene bei (4.8):

z = 1 0 - 4 2 - 8 3 = 40;

also (4, 8, 40)

z = 5x + 1,67y + 40 - 5 • 4 -1,67 • 8 = 5x + 1,67y + 6,64

5-4

Partielle Differentiale und totales Differential

Wir erinnern uns, daß durch das Differential dy näherungsweise die zu einer endlichen Änderung von x = dx gehörende Änderung des Funktionswertes ausgedrückt werden kann:

dy = f (x)dx

Analog dazu kann man bei einer Funktion mit mehreren unabhängigen Variablen das Differential der Funktion für jede der unabhängigen Variablen bilden. Dabei spricht man von partiellen Differentialen. Diese geben die näherungsweise Änderung des Funktionswertes z an, wenn bei Konstanthaltung der anderen unabhängigen Variablen x um eine endliche Änderung, ausgedrückt durch dx, variiert. dz

=_ ^3zd y = f y (xi.yi)dy y 5y

dz x = ^ • dx = f x (x,, y,)dx 'x dx.

:y =

Geometrisch handelt es sich dabei um die Tangente an die Funktion bei xi, wenn von dort aus x um dx geändert wird. Abb. 5-4

dz - f ^ - d x - approximativ« Änx derung von * wahr« Änderung de« Punktionawerta —X j — d x'

-r

*

5 Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

224

Interessiert man sich nun aber dafür, wie sich der Funktionswert ändert, wenn man bei zwei unabhängigen Variablen beide gleichzeitig ändert, sind die beiden partiellen Differentiale zu addieren, und man erhält das totale Differential. dz = dz x + dz y = f x (x,, y,)dx + f y (x,, y,)dy Geometrisch gesehen läßt sich das totale Differential als näherungsweise Änderung von z ansehen, wenn man anstelle der Funktion selbst die Tangentialebene betrachtet. Abb. 5-5

Die Funktion selbst ist lediglich durch die beiden dick eingezeichneten Schnittkurven skizziert. Die totale Änderung von z wird dann approximativ durch die Tangentialebene in P bei x + dx und y + dy angegeben. Beispiel 5-6 Die folgende Funktion soll bei Xi = 3 und yi = 2 um dx = 1 und dy = 1 geändert werden: Z

=2

X

2

+V

;

z x = 4x->F x (3,2) = 12

;

z y = y -> f y (3,2) = 2

dz = 1 2 - 1 + 2 - 1 = 14als approximative Änderung von z. Die tatsächliche Änderung beträgt: 36,5 - 20 = 16,5 Zi = f (Xi, y 1) = 2 • 9 + ~ 4 = 20;

z = f (x, + dx, y, + dy) = 2 • 16 + ~ 9 = 36,5

Als approximativer Funktionswert für Xi + dx = 4 und yi + dx = 3 ergibt sich: zi + dz* + dzy = 20 + 12 + 2 = 34 Wenn die Funktion durch die Tangentialebene approximiert wird, sollte der Punkt mit der angenäherten z-Koordinate 34 auch auf der Tangentialebene liegen:

5 Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

225

z = a • (xi + dx) + b(yi + dy) + Zi - ax, - byi mit a = f x (xi, yi) = 12 und b = f y (xi, yi) = 2 z=

1 2 ' 4 + 2 - 3 + 2 0 - 1 2 - 3 - 2 - 2 = 34

5-5

Differentiation impliziter Funktionen

Mit Hilfe des totalen Differentials haben wir nun auch eine Möglichkeit, Funktionen in impliziter Darstellung zu differenzieren. Dies ist vor allem dann bedeutsam, wenn sich eine implizite Funktion nicht in eine explizite umwandeln läßt. Betrachten wir die Funktion z = f(x,y), so wissen wir, daß man jeweils für konstante zWerte die Schnittlinien parallel zur x-y-Ebene als Isohöhenlinien (Vgl. Abschnitt 2-6-3, Abb.2-31) in einem x-y-Koordinatensystem darstellen kann. Die implizite Funktion f(x, y) = 0 läßt sich somit auch als Isohöhenlinie von z = f(x, y) für z = 0 interpretieren. F ü r z = f(x, y) lautet das totale Differential: dz = f • dx + f • dy. Für z = 0 folgt auch dz = 0, also: x y

0 = fxdx + fydy

dy dx Da wir an der ersten Ableitung von f(x, y) = 0, also an ^ bzw. ^ interessiert sind, formen wir um: fxdx = - f..dy. y Man sieht, daß die implizite Differenziation gleich ist dem d y _ negativen reziproken Verhältnis der partiellen Ableitungen dx

f x . dx fy dy

K fx

Beispiel 5-7 22

„ dy x -4x . y - 2 x = 0 - > ^ = — = - — = 4x

Dieses Ergebnis stimmt auch mit dem überein, das man erhält, wenn man die Funktion nach y entwickelt:

y =2x2 ^iH x Für folgende Funktion ist eine explizite Entwicklung nicht möglich: 3 2

3

x y - 2x + 3xy = 0

3x2y2 + 3y3 - 2 dx"'

2x3y + 9xy2

5

226

5-6

Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

Totale Ableitung

Während das totale Differential uns die approximative Änderung des Funktionswertes bei Variation aller unabhängigen Variablen angibt, bleibt die Frage, wie ist die exakte Auswirkung auf den Funktionswert, wenn alle Variablen um eine infinitesimal kleine Einheit variieren? Dazu betrachten wir eine Funktion z = f(x, y), bei der sowohl x, als auch y jeweils eine Funktion einer weiteren Variablen v sind, also x = f(v) und y = f(v). Für das totale Differential gilt:

dz = fa dx + f y dy

Wollen wir nun die totale Ableitung von z nach v ermitteln, erweitern wir das totale

1

d z _ f - dx dv x dv

• y

dy dv

Differential um Beispiel 5-82 a) z = x + 2xy + 2y %

wobei x = v2 und y = -2v

= (2x + 2 y ) ^ + (2x + 2 ) j j j = (2x + 2y)2v + (2x + 2)(-2) = 4xv + 4y v - 4x - 4 = 4v 3 - 8v2 - 4v 2 - 4 = 4v 3 - 12v 2 - 4

b)

u du dt

2xy - yz - 4xz 2

= f

• dx x ' dt

wobei x = 2t, y = 8t und z = t2

• dy • dz ydt + t z ' dt

(2y - 4z 2 ) • 2 + (2x - z) • 8 + (-y - 8xz) • 2t 32t - 8t" + 32t - 8t 2 - 16t 2 - 32t 4 = -40t 4 - 24t 2 + 64t

5-7

Extremwerte bei Funktionen mit mehreren Variablen

5-7-1

Extrema bei Funktionen mit zwei unabhängigen Variablen

Ebenso wie bei einer Funktion mit einer unabhängigen Variablen hat eine Funktion mit zwei unabhängigen Variablen dann ein Maximum bei (xo, y), wenn der dazugehörige

5 Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

227

Funktionswert f(xo, yo) größer ist als für alle anderen Stellen (x, y). Gilt das nur für ein bestimmtes Intervall, spricht man von einem lokalen Maximum; trifft das für den gesamten Definitionsbereich zu, handelt es sich um ein globales Maximum. Ist dagegen an einer Stelle (xo, yo) der dazugehörige Funktionswert kleiner als an allen anderen Stellen, liegt ein lokales oder globales Minimum vor. Abb. 5-6

W M sufv.Vv/,

-loool Wie aus der Abb. 5-6 ersichtlich ist, muß bei Vorliegen eines Minimums oder Maximums die Tangentialebene an dieser Stelle parallel zur x-y-Ebene verlaufen. Für z = ax + by + c heißt das, daß ihre Steigung a in Bezug auf die x-z-Ebene gleich Null ist und ihre Steigung b in Bezug auf die y-z-Ebene ebenfalls gleich Null ist. Wie wir aus Abschnitt 5-3 wissen, handelt es sich bei a um die erste partielle Ableitung nach x und bei b um die partielle erste Ableitung nach y. Zum Auffinden eines Extremwertes müssen wir also die beiden partiellen Ableitungen erster Ordnung gleich Null setzen und die entsprechenden x- bzw. y-Werte bestimmen.

228

5 Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

Abb. 5-7

Wir halten fest: Notwendige Bedingung für einen Extremwert von z = f(x, y) bei (x0, y0) ist, daß fx(x0l y0) = 0 und fy(x0, y0) = 0 Bereits von der Behandlung von Funktionen mit einer unabhängigen Variablen wissen wir, daß nicht nur bei Vorliegen eines Extremwertes die Tangenten an die Funktion parallel zur Abszisse verlaufen, sondern auch bei Vorliegen eines Sattelpunktes. Bei einer Funktion mit zwei unabhängigen Variablen können auch Sattelpunkte auftreten, bei denen die Tangentialebene ebenfalls parallel zur x-y-Ebene verläuft. Abb. 5-8

5 Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

229

Das bedeutet, daß wir neben der notwendigen Bedingung eine weitere, eine hinreichende Bedingung für die Existenz eines Extremwertes bei (xo, yo) benötigen. Hier reicht es allerdings nicht, zu prüfen, ob die partiellen Ableitungen 2. Ordnung f

und f größer bzw. kleiner Null sind. Dann haben zwar die Schnittkurven in xx yy Richtung x- bzw. in Richtung y-Achse dort ein Maximum oder Minimum, die Funktion selbst aber kann durchaus einen „entgegengesetzten" Extremwert aufweisen. Es ist daher erforderlich, außerdem die Kreuzableitung fxy oder fyx mit einzubeziehen. Hinreichende Bedingung für die Existenz eines Extremwertes bei (xo, yo) ist: ^ ( x o , yo) • f y y ( x o , y 0 ) > (f x y (xo, y 0 )) 2

Ist dabei f^Xo, yo) < 0, so liegt ein MAXIMUM vor. Ist dabei fyy(xo, yo) > 0, so liegt ein MINIMUM vor. Zu beachten ist, daß wenn fVY(xo, yo) > 0 bei einem Extremwert auch f.,..(xo, yo) > 0 xx yy und umgekehrt. Gilt dagegen: f ^ x o , y0) • fyy(xo, yo) < (fxy(xo, yo))2, handelt es sich um einen SATTELPUNKT. Ist f ^ x o , y0) • f

(xb, yo) = (fxy(xo, y0))2, ¡st keine Aussage möglich.

Eine Erklärung der hinreichenden Bedingung ist aus Gründen mangelnder Anschauung nicht möglich. Bei einem Sattelpunkt weist die z-x-Schnittkurve ein Maximum und die

5 Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

230

z-y-Kurve ein Minimum auf, bzw. umgekehrt, so daß entweder fxx oder fyy negativ, womit das Produkt negativ und damit kleiner als das Quadrat der Kreuzableitung ist. Für die praktische Bestimmung von Extremwerten oder Sattelpunkten einer Funktion z = f(x, y) empfiehlt sich folgendes Schema: 1

)

Bildung der partiellen Ableitung 1. Ordnung: f und f x y

2

)

Diese gleich Null setzen: f = 0 und f = 0 und das Gleichungssystem nach x x y und y auflösen. Wir finden Xi und y,; i = 1... n

3

)

f ^ , fyy und f ^ bestimmen,

4)

in die partiellen Ableitungen 2. Ordnung Xi und y einsetzen: f

5

)

xx(Xi' y i ) ' f yy (Xi ' y i )

und f

xy(Xi'

yi)

Prüfkriterium fj^x,, y,) • f^Xi, y) ^ (f^x,, y))2 anwenden. Bei f

xx' fyy > (f xy )2

Extremwert

. beif

b e i f x x < 0 MAXIMUM bei f

6)

xx' fyy < (f xy )2 ^

Sattel

xx>0

MINIMUM

Punkt

Hat das Gleichungssystem unter 2) keine Lösung, existiert kein Extremwert. Bei f

•f

= (f )2 ist keine Aussage möglich.

Beispiel 5-9 z = x3 + 3x2y - 3xy2 - 21x + y3 - 3y 1)

f x = 3x2 + 6xy - 3y2 - 21

2)

I

3x2 +

6xy -

3y2 -

21

=

0

II

3X2

6xv

3V2

3

=

0

2x

-

+

f y = 3x2 - 6xy + 3y2 - 3

-

8

0

x2

4

I • j , I + II

Xt = 2

x2 = -2

Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

231

x 2 + 2xy - y 2 - 7 = 0

Eingesetzt in:

für x = 2 ->

4 + 4y - y 2 - 7 = 0

für x = -2 ->

4 - 4y - y 2 - 7 = 0

y = 2±\pi^3

y = -2±\/43

yi = 3

y s = -1

|

•< M II

5

y< = -3

Die partiellen Ableitungen 1. Ordnung verschwinden bei: (2,1); (2, 3); (-2, - 1 ) u n d (-2,-3). 3)

f x x = 6x + 6y f

yy

=

~6x +

6 y

fxy = 6x-6y

4)

^ ( 2 , 1 ) = 18;

y

2 , 1 ) = ^6;

y2,1) =6

f y y ( 2 , 3 ) = 6;

y 2 , 3 ) = -6

W - 2 . - D - -18;

fyy(-2,-1)=6;

y - 2 , - 1 ) = -6

y - 2 , -3) = -30;

y - 2 , - 3 ) =-6; y - 2 , - 3 ) = 6

W

2

'

3

>=

30

'

232

5 Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

5) (xi, yi) (2, 1)

W X i ' y) 18;fxx>0

fyy(Xi> Vi)

^xx' Vy

-6

-108

< >

f x y ( X i , yi)

(f xy ) 2

Beurteilung




-6

36

Minimum




6

36

Maximum

180 (2, 3)

30

: f xx>°

6 -108

18 f (-2, -1) - : x x < °

6

30 f (-2, -3) " ' x x < °

-6

180

Beispiel 5-10 a)

z = -x2 -y 2 + 4x + 6y - 8

1)

z x = -2x + 4 z'y = -2y

2) -2x + 4 = 0 - » x = 2

+6

-2y + 6 = 0 - > y = 3

Bei (2, 3) könnte ein Extremwert vorliegen 3

z

4)

Ein Einsetzen von (2, 3) erübrigt sich

>

xx = " 2

z

w

z

5)

=

~2

xy ~~ 0 ~ 2 yx

(-2) • (-2) = 4 > 0 wegen f

bzw. f

Extremwert und Maximum

5 Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen b)

y = x? - 3x! + x l

1)

fx1=3x?-3

2)

3x? - 3 = 0 —> Xi = 1 und Xi = -1

233

fX2 = 2x2

2X2 = 0 ->x 2 = 0 Bei (1, 0) und (-1, 0) könnten Extremwerte liegen 3

>

f

xixi

= 6x1

5-7-2

f




f

2

f

XiXi

W2

(1,0)

6

2

12

>

0

0

(-1,0)

-6

2

-12


x2 + 4x2 = 5 -> 5x2 = 5 -> Xi,2 = ±\/T = ±1 Setzen wir ein für y = 2x: -> yi = 2 und y2 = -2 Für z folgt: z, = 1 + 4 - 8 - 32 + 90 = 55;

z2 = 1 + 4 + 8 + 32 + 90 = 135

Extrema liegen also bei: (2, 1, 55) und (-2, -1, 135).

Die Lösung läßt sich auch graphisch ermitteln: Bei unserer Zielfunktion handelt es sich um einen Rotationsparaboloiden, dessen Scheitelpunkt (= absolutes Minimum) bei x = 4, y = 8 und z = 10 liegt (part. Abi. = 0 setzen!). Die Darstellung durch Isohöhenlinien ergibt konzentrische Kreise um (4, 8) für verschiedene konstante z-Werte. Unsere Restriktion ist ein Kreis mit dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung und dem Radius yß = 2,2361. Bei x = 1 und y = 2 tangiert der Kreis gerade die Isohöhenlinie für z = 55 und bei x = -1 und y = -2 die Isohöhenlinie für z = 135. Hier also liegen unsere restriktiven Extremwerte. Abb. 5-12

5 Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

241

Bei diesem von dem Mathematiker Lagrange im 18. Jahrhundert

entwickelten

Verfahren geht man folgendermaßen vor: Die in impliziter variablen wird

X

die

so

differenziert! vorkommenden

Form

vorliegende

(lies: Lambda) erweiterte

Nebenbedingung

multipliziert Zielfunktion

Die partiellen Variablen

Abi.

und dann nach

1. Ordnung

wird mit einer zur Zielfunktion

allen werden

Variablen, gleich

Null

sogenannten

addiert. auch gesetzt

Hilfs-

Anschließend

nach

X,

und nach

partiell den

aufgelöst.

g(x, y) = 0

Wir multiplizieren mit \ und erhalten

A,g(x, y) = 0

Jetzt addieren wir die mit X erweiterte Nebenbedingung zu unserer Zielfunktion. Dadurch verändert sich der Funktionswert nicht, denn bedingt durch die implizit gegebene Restriktion wird nur Null addiert

ZL = f(x, y) + Xg(x, y) Wir leiten partiell nach x, y und z ab. Notwendige Bedingung für die Existenz eines Extremwertes ist das „Verschwinden" der ersten partiellen Ableitungen. Beachte: Die Ableitung nach X ist gleich der Nebenbedingung.

5 Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

242

ZLx = f x + * . 9 x = 0 ZLy = f y + X g y = 0 z l x =g(x,y) = 0 Wenn wir die beiden partiellen Ableitungen der Lagrange-Funktion nach x und nach y entsprechend nach X auflösen, erhalten wir:

Da die beiden linken Seiten übereinstimmen, können wir gleichsetzen: f^

fy

Dies entspricht unserer weiter oben abgeleiteten allgemeinen Bedingung

g^ ~ g^

für

das

Vorliegen

eines

Extremwertes

unter

Beachtung

einer

Nebenbedingung. Beispiel 5-14 Die bereits aus Beispiel 5-12 bekannte Funktion z = x2 + y 2 soll unter Beachtung von x + 3y = 3 auf Extremwerte untersucht werden. Dazu ist zunächst die Nebenbedingung implizit zu schrieben: 0 = 3 - x - 3y

Achtung! Das absolute Glied sollte vorzeichengleich mit X sein,

0 = X(3 - x - 3y)

möglichst positiv.

Bildung der Lagrange-Funktion: z L = x2 + y2 + X(3 - x - 3y) (1)

Zlx=2X-A. = 0

aus (1):

X = 2K

(2)

zh=2y-3X

in (2) eingesetzt:

2y - 3 • 2x = 0; y = 3x

(3)

Zlx

in (3) eingesetzt:

3 - x - 3 - 3 x = 0->10x = 3

= 0

=3-x-3y=0

x = 0,3 y = 0,9 z = 0,9

Dieses restriktive Minimum entspricht dem mittels Variablensubstitution gefundenen.

A, = 0,6

5 Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

243

Hinreichende Bedingung für die Existenz von Extrema Bisher hatten wir bei der Bestimmung von Extremwerten unter Nebenbedingungen die Prüfung der hinreichenden Bedingungen ausgeklammert. Diese Vorgehensweise ist bei ökonomischen Funktionen auch durchaus üblich, da i.d.R. die Frage nach der Art des Optimums (Minimum oder Maximum) bereits geklärt ist. Der Vollständigkeit halber sei die hinreichende Bedingung im folgenden aufgeführt: Für eine Funktion mit zwei unabhängigen Variablen gilt das gleiche Kriterium wie in Abschnitt 5-7-1: f^(xo, yo) • fyy(xo, y0) > (fxy(xo, yo))2 -> Extremwert Ist dabei f

xx

und f < 0 -> Maximum yy

bzw. bei f und f > 0 -> Minimum xx yy Für eine Funktion mit mehr als zwei unabhängigen Variablen gelten die gleichen Kriterien wie in Abschnitt 5-7-2, die hier jedoch nicht nochmals aufgeführt werden. Beispiel 5-15 Weiterführung Beispiel 5-14: 2^=2;

z[yy=2;

2^=0

2 • 2 > 0 -» Extremwert, und wegen f

> 0 -> Minimum!

Interpretation der Hilfsvariablen X Unsere Hilfsvariable X gibt an, um welchen Betrag sich das Optimum der Zielfunktion verändert, wenn der Wert der Nebenbedingung um eine Einheit geändert wird. Beispiel 5-16 Gesucht ist das Maximum folgender Produktionsfunktion x = 4r t r 2 unter der Bedingung, daß die Kosten der Produktion 800,- DM betragen. Die Preise von n und r2 seien Pi = 20,- und p2 = 40,- DM. Damit lautet die Restriktion: K = npi + r 2 p 2 ; 800 = 20r, + 40r2. Und die Lagrange-Funktion: xL = 4r,r2 + \(800 - 20n - 40r2).

5 Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

244

x. r = 4 r ,i - 2QX i

= 0-

xLf2 =

= 0-

- 40X

x [ x = 800 - 20r, - 40r 2

=0

800 - 20r, - 40 • — r« =0 10 1 40r, =800 ri = 2 0

r, = — 20 -> 1r->2 ==J 10 =

x = 4 • 20 • 10 = 800

10

1 \ = —10 = 2 5

—

Ändert man die Restriktion um eine Einheit, ändert sich das

Produktionsmaximum um 2 Einheiten. Wir erhöhen von 800,- auf 801,- DM: 801 - 20r, - 20ri = 0 ;

r, = 20,025

r2 =—-20,025 = 10,0125 10 x = 4 -20,025 -10,0125 = 802 Mathematisch bedeutet die Interpretation von X die Ableitung der Lagrange-Funktion nach der Restriktion (hier: K). Die Produktionsfunktion wird als Funktion von K angesehen. Xl

= f(K) = 4r,r 2 + Ä.K - 20r,A. - 40r 2 \

Abb. 5-13

/

: ;

rX

j I 1 1

\

'K

5xl 3K

•=X

5 Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen Bestimmt man für verschiedene Werte von K, K,,...,K|

245

K„ die dazugehörigen

Produktionsmaxima und verbindet die Punkte, erhält man die Faktoranpassungskurve, die die Faktormengenkombination angibt, die bei variablen Kapitaleinsätzen zur Realisierung der jeweiligen Produktionsmaxima erforderlich sind.

WICHTIGER HINWEIS Die Verwendung von Lagrange-Multiplikatoren ist nur zulässig, wenn die Restriktion in GLEICHUNGSFORM vorliegt. Gerade das ist aber häufig nicht der Fall. Warum sollte unser Unternehmer des Beispiels 5-16 genau 800,- DM ausgeben wollen? l.d.R. wird er sagen: höchstens 800,- DM. Das aber führt zu einer Ungleichung: npi + r2p2 s K. In diesen Fällen kommen die Verfahren der linearen oder dynamischen Optimierung zum Zuge. Kann man aber mittels bestimmter Prämissen über den Verlauf der Funktion annehmen, daß die Isohöhenlinien konvex zum Ursprung (die Funktionsfläche steigt mit zunehmenden x- und y-Werten an!) verlaufen, liegt das Optimum dort, wo die Begrenzungsgerade der Ungleichungshalbebene gerade die am weitesten vom Ursprung entfernte Isohöhenlinie tangiert. Da es sich bei der Begrenzungsgeraden aber um eine Gleichung handelt, läßt sich in diesen Fällen das Verfahren Lagrange doch anwenden. Unser Beispiel 5-16 zeigt noch etwas: Im Produktionsmaximum verhalten sich die Grenzerträge wie die Faktorpreise. i x

=

r2

P i p

2

X

H = 4 r 2 = 4.10 = 4 0 ;

Pl

=20

Xf2 = 4r, = 4-20 = 80 ; p 2 = 40

40 20 80 = 40

Im folgenden werden noch einige weitere Beispiele zum Verfahren der LagrangeMultiplikatoren gezeigt:

Beispiel 5-17 a)

y = xi + x! + xi ist unter Beachtung von 6 - x( - x2 = 0 und 3 - x2 + X3 = 0 auf Extrema zu untersuchen. Die Lagrange-Funktion lautet:

5 Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

246

y L = x f +X2 + x§ + ^ . 1 ( 6 - x - | - x 2 ) + Ä , 2 ( 3 - x 2 + x 3 ) (1)

Xi = 2xi

(2)

VLX2 = 2 X 2 - X 1 " - > - 2 ^ = 0

(3)

yi.X3 = 2x 3 + X2

2x2 - 2xi + 2X3 = 0 f t

X2 = -2x3 2x2-2(6-x2) 2X

2

+ 2(x2-3) = 0

- 1 2 + 2X2+ 2X2-6

= 0

6x2-18 = 0

(4)

yLXl=6-x1-x2

•0

X1 = 6 - x2

(5)

yi. X2 = 3 - X 2 + X 3

0

X3 = x2 - 3

i

X3 = 3 - 3

^ = 2-3

= 6-3

=6 Eine Extremwert könnte bei (3, 3, 0) liegen.

X, = -2 • 0 = 0

b)

3

Für x = ar"r 2 ~ a ist die Faktoranpassungskurve r2 = f(n) zu bestimmen. a -a ; x ^ = a ( 1 - o cr ) rri V

x^ = a a r r 1 r ^ a

r"1r

Es gilt im Produktionsmaximum: - r - = — x r2 P2 pi p2

anV; 1-a

a 1-a

r,

P1 p2

aotr1

r 2

— = atl-a)^^"

1-a I r2 a

ar1

r2

1-a

= — p2

P,(1-a) P2 - a

Der Faktor von u ist eine Konstante, daher: r2 = c • r.

c)

Ein Unternehmer fertigt zwei Produkte x und y, deren gemeinsame Kostenfunktion K = OJx 2 + 0,12y 2 - 0,02xy lautet. Aus produktionstechnischen Gründen müssen insgesamt 840 Stück gefertigt werden. Damit lautet die Restriktion: x + y = 840. Gesucht ist die kostenminimale Menge x und y:

247

5 Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen Kl

= 0,1x2 + 0,12y2 - 0,02xy + X(840 - x - y)

Kl x = 0,2x - 0,02y - X

=0 K^-K^

K Ly = 0,24y - 0,02x - X

=0

K L x = 840 - x - y

= 0 —»

: 0,22x-0,26y=0; y=0,8462x

840-x-0,8462x=0;

x=455:

v=385

5-8

Anwendung der partiellen Differentiation bei ökonomischen Problemstellungen

5-8-1

Das Eulersche Theorem bei Produktionsfunktionen

Aus Abschnitt 2-7 wissen wir, daß eine Produktionsfunktion den Zusammenhang zwischen der produzierten Menge x und dem Einsatz der Produktionsfaktoren n wiedergibt. Führt eine proportionale Erhöhung der Einsatzmengen der Faktoren zu einer kontinuierlichen Erhöhung der Ausbringungsmenge, spricht man von homogenen Produktionsfunktionen, andernfalls von heterogenen Produktionsfunktionen. Werden bei der homogenen Funktion x = f(ri, r2) die Faktoren um den Faktor X erhöht, also x = f(\ri, X.r2), läßt sich die Ausbringungsmenge x auch als Funktion von X darstellen: x = f(X). Führt eine Erhöhung aller n um X zu einer Erhöhung von x um X', nennt man die Funktion homogen vom Grade r. Dabei unterscheiden wir:

5

248

Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

- > r > 1:

Erhöhung mit steigenden Zuwachsraten

- » r < 1:

Erhöhung mit abnehmenden Zuwachsraten

r = 1:

Proportionale Erhöhung; In diesem Fall spricht man von linear homogenen Produktionsfunktionen, unter denen die Cobb-DouglasFunktion ein Spezialfall ist.

Beispiel 5-18 x = r 2 + rf

a)

Wir erhöhen um X: x = f(Xri, Xr2) = X 2 r ? + X 2 r| = X 2 ( r } + r | ) = X2f(r,;r2) Die Funktion ist homogen vom Grade 2.

2

b)

2

z = Vax + by + 2cxy

Wir erhöhen um: z = f(Xx, X y )

z = *\J (a(Xx)2) + b(Xy)2 + 2c(Xx)(Xy) = «\Jx 2 ax 2 + X2by2 + X22cxy z = ^ j x 2 { a x + by2 + 2cxy) = X,"\Jax2 + by2 + 2cxy = Xf(x, y) Die Funktion ist homogen vom Grade 1, bzw. linear homogen. Eine Erhöhung aller Einsatzfaktoren um z.B. 10% führt zu einer Erhöhung der Ausbringungsmenge von ebenfalls 10%. Wir betrachten die homogene Funktion z = f(x, y); z = f(A.x, Xy) = X' f(xy). Die Veränderungen des Funktionswertes lassen sich auch durch X ausdrücken; ebenso die Veränderungen von x und y bei (xo, yo), indem man das X-fache von Xo und y 0 betrachtet: Also x = Xxo

bzw.

y = Xya

Eine beliebige endliche Änderung von x bezeichnen wir mit dx: dx = dXxo

I

Eine Division auf beiden Seiten durch x bzw. Xxo, weil x = Xxo, bzw.

dy = dA,y0

I

durch y bzw. Xy0 ändert an der Gleichung nichts.

dx T

dy

dA,Xo =

" ^

=

dXyp Xy0

dX, T

.

.

o d e r d x

dX =

T

x

dX dX = y oder d y - — - y

dx und dy setzen wir nun in das totale Differential ein

5 Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen • (1)

'

J

dz = z x . d x

+

^

z y . d y =V

• dX T

. x

• dX +

dX. •

z y . T . y =T ( z x . x

249

, + Zy.y)

Die 1. Ableitung von z = Xr f(xo, yo) bei (xo, yo) nach X ergibt: r X'f(xo, y0) = r z ^d z= r - (r X "•f (z)x o , y0) = dX '"v (2)

dz = ' ^ ' • dX = r z y ;

=

yo)

dz setzen wir in (1) ein:

rzy 1 = y ( z x • x + Zy • y); Wir multiplizieren mit ^ rz = z x • x + z y • y) Das Produkt aus Funktionswert z und Homogenitätsgrad r ist gleich der Summe der partiellen Grenzerträge der Produktionsfaktoren multipliziert mit diesen Faktoren. Beispiel 5-19 x = r1r2 + r 2 + r2 Zur Bestimmung des Homogenitätsgrades verwenden wir das Eulersche Theorem: rx = x^ • r, + xf2 • r2

|

x^ = r2 + 2r,;

x^ = n + 2r2

rx = (r2 + 2r1)r1 + (r, + 2r2)r2 rx = r2r1 + 2r2 + r1r2 + 2r| = 2rf + 2r| + 2r,r2 = 2(r12 + r | + r1r2) = 2-f(r,, r 2 ) = 2x Die Funktion ist homogen vom Grade r = 2. Beachte, daß hier das Symbol r sowohl für den Homogenitätsgrad, als auch für die Produktionsfaktoren benutzt wird.

Partielle Ableitungen 2. Ordnung bei Produktionsfunktionen Die partiellen Ableitungen erster Ordnung für eine Produktionsfunktion geben uns die Grenzproduktivität der Produktionsfaktoren bei konstantem Einsatz der übrigen Faktoren an. Setzen wir die als Grenzproduktivität gefundenen Werte in die partiellen Ableitungen 2. Ordnung ein, sehen wir bei einem Wert kleiner Null, daß die Grenzproduktivität des betreffenden Faktors abfällt, bzw. bei größer Null ansteigt.

250

5 Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

Zur Prüfung der Komplementärbeziehungen zwischen den Faktoren können die gemischten partiellen Ableitungen herangezogen werden. Ist diese kleiner Null, sind die betreffenden Faktoren komplementär, d.h. die Änderung der Grenzproduktivität von r-, ist positiv, wenn die Einsatzmenge von r2 erhöht wird und umgekehrt. Ist die Kreuzableitung positiv, bedeutet dies, daß die beiden Produktionsfaktoren gegeneinander substituiert werden können. Beispiel 5-20 a)

x = 2r,2 + rf - 4r,r2 + 8r, + 16r2 Die Grenzproduktivität beträgt: x^ = 4n - 4r2 + 8 = 0 x r = 2r2 -4r, + 16 = 0 12 - 2r2 + 24 = 0

; r-i = 10

r2 = 12

Produktionsoptimum x

=4 >0

Grenzproduktivität ^ steigt

x ^ = 2 > 0 -> Grenzproduktivität r2 steigt Xj. b)

= -4 < 0

x=8 ri 0 ' 7 r 2 0 ' 3 ;

komplementäre n xri=5,6r-°'3r20'3;

x^ = Z A r ^ r ^

x r , = 1,68r^^

-

EXtremWert

'

und da G_ _ < 0 - > Maximum. P1P1 Bei einem Preis von 21,- DM für X1 und 8,- DM für x2 erreicht der Monopolist sein Gewinnmaximum. Die Absatzmengen betragen: X1 = 10 - 21 + 2 • 8 = 5 und x2 = 8 + 2 • 21 - 6 • 8 = 2 Der maximale Gewinn beträgt: G = - 2 1 2 - 6 - 8 2 + 1 0 - 2 1 + 1 2 - 8 + 4 - 2 1 • 8 - 56 = 97,-DM.

5-8-4

Gewlnnmaximierung bei Preisdifferenzierung

Steht ein Monopolist dem Problem gegenüber, sein Produkt auf zwei Teilmärkten mit unterschiedlichen Preisabsatzfunktionen anbieten zu können, wird er bemüht sein, durch unterschiedliche Preissetzungen (= Preisdifferenzierung) die verschiedenen Nachfragestrukturen

auszunutzen,

um

so seinen

Gewinn

zu

maximieren.

Die

Problemstellung ist also ähnlich wie in Abschnitt 5-8-3; auch hier wird nach der gewinnmaximalen Kombination der Preise auf den einzelnen Teilmärkten gefragt. Beispiel 5-23 Für zwei Teilmärkte gelten folgende Preisabsatzfunktionen: Pi = 1 0 0 - 0 , 1 x i p2 = 200 - 0,2x 2

Xi und x2 sind Teilmengen des Produktes x; Es gilt: X1 + x2 = x

254

5 Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

Für den Erlös gilt: E = p • x, also:

Ei = pi • Xi = 100xi - 0,1 x? E 2 = p 2 . x 2 = 200x 2 - 0,2x2

Gesamterlös: Ei + E 2 Die Kostenfunktion lautet:

K = 0,05x2 + 12x + 10.000

bzw. da x = xi + x2:

K = 0,05(x, + x2)2 + 12(xi + x2) + 10.000

Für den Gewinn gilt:

G=E-K

G = 1OOx., - 0,1xf + 200x2 - 0,2x1" (0,05(x1 + x 2 ) 2 + 1 2 ( x 1 + x 2 ) + 10.000 ) Zur Ermittlung des Gewinnmaximums ist G partiell nach Xi und x2 zu differenzieren; die partiellen Ableitungen 1. Ordnung werden gleich Null gesetzt und nach xi und x2 aufgelöst. I

G

II

G v = 200 - 0,4X2 - 0,1(xi + x2) -12 = -0,1x, - 0,5x2 + 188 = 0 X2 ' _l I I

^

5

= 100 - 0,2xi - 0,1 (xi + x2) -12 = -0,3* - 0,1x2 + 88 = 0 T 1

-1,4xi Grenzerlös für Xj

Grenzkosten für Xj

"1

=-252 xi = 180

-0,3- 180-0,1x2+88 = 0 x-> = 340

G l , =-O,3,G; m =-0,5 ;G;„2 =0,1 (-0,5)(-0,3) = 0,15 > 0,12 und G Y

2 = Z(yi-ax,-b)2=Miu Von den unendlich vielen denkbaren Geraden, die durch das Streuungsdiagramm laufen könnten, liefert nur eine mit einer ganz bestimmten Steigung a und einem ganz bestimmten absoluten Glied b die minimale Abweichungsquadratsumme. Daraus folgt, daß S von a und b abhängt (S = f(a, b)), während die beobachteten Wertepaare (xi, y,) konstante Werte darstellen. S ist also partiell nach a und b zu differenzieren, und die 1. partiellen Ableitungen sind gleich Null zu setzen und nach a und b aufzulösen: Sj, = ^ 2(y, - axj - b)(-1) = 0 g^ _

(y! _ a X | - b) = 0

Anwendung

der

Kettenregel;

£

wird

einmultipliziert; nach der Extr.wertbest. sind a und b Konstante und werden vor Z gesetzt

£y, = a£xl+n-b S^ = S 2(y, - ax, - b)(-x,) = 0 S^ = - 2 5 > i - a x , - b ) ( x , ) = 0 ZxiVi

= a

Ex?

+ b

Zxi

Die beiden eingekästelten Gleichungen heißen Normalgleichungen, aus denen a und b zu bestimmen ist. Beispiel 6-24 Ein

Unternehmer

hat

Gesamtkosten beobachtet:

bei

unterschiedlichen

Ausbringungsmengen

folgende

257

5 Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen I X|

10

20

30

40

50

150

K,

1220

1380

1600

1840

1970

8010

xX 2

100

400

900

1600

2500

5500

12200

27600

48000

73600

i

Xi

• Ki

98500 259900

Durch die Meßwertpaare möchte er eine lineare Kostenschätzfunktion K' = ax + b legen. Aus den o.a. Ausführungen folgt: £ K i - a £ x i - n - b

Zxr

K

i-

a

Zxf-

b

= 0

Zxi

=0

In der o.a. Tabelle sind bereits die erforderlichen Summen für xfund Xi • K| aufgeführt; n ist die Zahl der beobachteten Werte = 5. 8010-150a-5b =0

30

259900-5500a-150b =0 la

II - la

240300-4500a-150b =0 -1000a =-19600

a = 19,6

8010-150-19,6-5b =0 -5b =-5070

b = 1014

Zur Prüfung der hinreichenden Bedingung bilden wir die partiellen Abi. 2. Ordnung: Sb = - 2 £ K | + 2a]T X, + 2n- b -> Sbb = 2n = 10 S a = - 2 Z K,x, + 2a£x? + 2b£x,

S'aa = 2 £ x ? = 11000

10 • 11000 = 110000 > 3002 = 90000 und

bzw. S ^ > 0

S* =

x, = 300

Minimum

Daraus folgt, daß unsere Schätzfunktion für die Kosten mit K* = 19,6x + 1014 tatsächlich so durch das Streuungsdiagramm verläuft, daß die Summe der quadratischen Abweichungen ein Minimum ist.

258

5 Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

Gewinnmaximlerung bei beschränktem Werbebudget1

5-8-6

Bei einem Unternehmen,

das für Fernsehwerbung x-DM und für Werbung

in

Zeitschriften y-DM ausgibt, sei der erzielte Erlös abhängig von den Werbeausgaben x und y: E = f(x, y). Der Gewinn sei stets ein fester Prozentsatz des Erlöses. Da die Ausgaben für x und y beschränkt sind, ergibt sich das Problem, die Ausgaben für x und y gewinnmaximal aufzuteilen. Beispiel 5-25 Für die Abhängigkeit zwischen Erlös und Werbeausgaben gelte folgende Funktion: „ , E = f(x,

200x

+

100y

Der Gewinn betrage stets 20% des Erlöses abzüglich der Werbeausgaben: .

0

1 (200x >+x

100y" - ( x + y) 10 + y/

Die Nebenbedingung laute: x + y = 25 Daraus läßt sich für G die Lagrangefunktion aufstellen: 1 (200x

=

G

Ly

=

100y"\

4 0 ( 5 + x ) - 40x , . „ 200 - - 1 - X = 0-»(5 + x) (5 + x) 20(10+ y ) - 2 0 y (10 + y) 2

- 1 - \ = 0->

= X+1

200 (10+y)2

• = A. + 1

GLx = 2 5 - x - y = 0 - > x = 2 5 - y

(5+x)

200

200

200 2

y = 10

(10 + y)

2

(5 + 2 5 - y )

200 2

9 0 0 - 6 0 y + y2 - 1 0 0 - 2 0 y - y

= 0

(10+- y)^

x = 15

Für die hinreichende Bedingung folgt: -400 G

Lxx =

1

(5 + x ) 3 '

Q Lyy

__ - 4 0 0 ~ (10 + y ) 3 '

G,L xy = G,Lyx = 0

Entnommen von Garus, Westerheide, Differential- und Integralrechnung, München, Wien 1985, S.167

5 Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

8000 8000

259

= v(—0 05)(-0,05) = 0,0025 > 0 und

'

Glx,, bzw. G ^ < 0 - > Maximum bei (15, 10) Das Unternehmen sollte also seine Werbeausgaben von insgesamt 25,- DM für die Fernsehwerbung mit x = 15,- DM und für die Zeitschriftenwerbung mit y = 10,- DM aufteilen. Eine Erhöhung des Werbebudgets um 1,- DM läßt laut X = -0,5 den Gewinn um 0,50 DM sinken. _ — . .. . 1 (200-15 100-10"| o c „„ u , x 4 _ Der Gewinn im Maximum beträgt: G = — — — — + — — — - 25 = 15,-DM 5k 5 + 15 10 + 10J Bestimmen wir das Maximum unserer Gewinnfunktion ohne Nebenbedingung, erhalten wir die optimale Größe des Werbebudgets: Gx = j / 2 0 0 ( 5 + x ) - 2 0 0 x - f l _ ^ _ 5K 25 +10x + x ) 100(10 + y)-100y-1 100 + 20y + y' i

200= 25 + 10x + x 2 -> x = - 5 + 200 = 9,14

- 1 = 0 - » 200 = 100 + 20y + y

y = - 1 0 + 200 = 4,14

Das optimale Werbebudget beträgt x = 9,14 + y = 4,14 = 13,28 DM; d.h. eine Überschreitung führt zu einer Abnahme des Gewinns, die sich in einem negativen X niederschlägt. Der Gewinn bei Ausnutzung des optimalen Werbebudgets ist: G = 18.43 DM.

260

6 Elastizitäten

6 Elastizitäten

6-1

Problemstellung und Begriff der Elastizität

In vielen Fällen reicht bei der Analyse ökonomischer Funktionen die Bestimmung der ersten Ableitung zur Beurteilung der Reaktion der abhängigen Variablen auf Änderungen der unabhängigen Variablen nicht aus. Das folgende Beispiel möge das belegen: Beispiel 6-1 Die Nachfrage nach einer bestimmten Cognacsorte in einem Restaurant verlaufe nach folgender Funktion: p = 20 - 0,2x bzw. x = 100 - 5p

Untersuchen wir nun, wie die Nachfrage auf Preisänderungen reagiert, stellen wir folgendes fest: von Preis Nachfrage Nachfrageänderung

nach von

nach von

nach

19

18 15

14 2

1

5

10 25

30 90

95

5

5

5

Die absolute Nachfrageänderung beträgt bei einer Preissenkung um 1,- DM konstant 5 dx ME (= Mengeneinheiten). Diese Aussage würden wir auch durch die 1. Abi. ^ = -5 erhalten, weil die Steigung der Nachfragefunktion als Gerade in allen Punkten gleich ist. Allerdings gibt uns hier die absolute Nachfrageänderung nur ungenügend Aufschluß über die Nachfragestruktur. Zweifelsohne ist eine Preissenkung von 19,- auf 18,- DM relativ anders zu beurteilen als eine solche von 2,- auf 1,- DM; im ersten Fall handelt es sich um eine Preissenkung von 5,26%, während es im zweiten Fall eine Preissenkung von 50% ist. Betrachten wir die dazugehörigen Mengenänderungen relativ, ist mit einer Preisänderung von 19,- auf 18,- DM, also um -5,26% eine

261

6 Elastizitäten

10 ME, also um 100%, verbunden. Zu der Preisänderung von -50% gehört eine Mengenänderung von 5,56%. Setzt man nun die relative Mengenänderung in Beziehung zu der sie auslösenden relativen Preisänderung, gibt uns dieser Quotient an, um wieviel % sich die Nachfrage durchschnittlich ändert, wenn der Preis um 1% gesenkt wird. Diesen Quotienten bezeichnet man als Elastizität. Für unser Beispiel: 100% ^26%

6-2

=

5,56% „„„„ - 1 9 ' 0 1 : ^5Ö% = " ° ' 1 1 1

Von der Bogenelastizität zur Punktelastizität

In unserem Beispiel 6-1 haben wir festgestellt, daß das Verhältnis aus relativer Mengenzur relativen Preisänderung als Elastizität bezeichnet wird. Die Elastizität wird i.a. mit dem Symbol E (lies: Epsilon) belegt, wobei die Elastizität ein dimensionsloses Maß ist. Betrachten wir allgemein die abhängige Variable y und die unabhängige Variable x, folgt: relative Änderung von y = yi+y2 = 8„b , . . . ..... . . D . . . ...... relative Änderung von x ^ T (durchschnittliche oder Bogenelast,zitat) xi+x 2 Dabei ist Ax die endliche Änderung x2 - xi mit der dazugehörigen Änderung Ay = (f(x2) - f(xi) = y2 - yi V2-V1 yi+yz Somit läßt sich die Bogenelastizität auch schreiben:

X2-X1 X1+X2

Diese Formel findet man auch wie folgt: e„ = — • —L y,

Beispiel 6-2

Ax

Für y = x2 ist Sb zwischen x, = 1 und x2 = 3 zu ermitteln:

Xi = 1

f(xi) = yi = 1

und

x2 = 3

f(x 2 ) = y2 = 9

8B =

9-1 9+1 3-1

= 1,6

3+T Der Wert von e B = 1,6 besagt, daß bei einer Änderung von x um 1 % in dem o.a. Bereich y sich um durchschnittlich 1,6% ändert. Die absolute durchschnittliche Änderung (= Differenzenquotient) dagegen beträgt: Ay Ax"

f(x 2 )-f( xi ) _ 9-1 _ . X 2 -Xi

3-1

6

262 Bei der Bogenelastizität

ergibt sich allerdings

das gleiche

Elastizitäten

Problem wie

beim

Differenzenquotienten; auch hier spielt die Größe der endlichen Änderung von x = Ax eine

Rolle.

Wollen

wir

diese

ausschalten,

müssen

wir

den

Grenzwert

der

Bogenelastizität für Ax-»0 bestimmen: yz-yi yi+y2 lim S B = lim Ax->0 *2->x1 x r x i X1+X2

"

f(x2)-f(xi) x t +x 2 Ay X)+X2 _ dy 2x, X2-X1 ' f(xi)+f(x2) " A x ' f(xi)+f(x2) dx '2(f(xi))~

dy x _ dx' y = ~e

(= Punktelastizität oder Elast.-Funktion von y=f(x).)

Für Ax->0 können wir auch x2->xi setzen. Für Ax->0 wird f(x2) - f(xt): x 2 - X1 = x 2 - X1 = Ay : Ax; bei x 2 -»xi wird aus X1 + x 2 2xi bzw. 2f(xt). Betrachten wir nun ein beliebiges x anstelle von xi, setzen wir dafür x ein und erhalten den o.a. Ausdruck für 8. 8 E

= ^. dx

Die Elastizitätsfunktion setzt sich also zusammen aus der 1. Ableitung multipliziert mit der reziproken Durchschnittsfunktion x f(x)

. M x Beispiel 6-3

Für y = x 2 ist die Elastizitätsfunktion zu ermitteln:

8 = S(x) = 2x • ^z = 2

Unterschiede zwischen Steigung und Elastizität Differenzenquotient =

Ax

Steigung

der

Funktion

auf

den

endlichen Bereich x 2 - Xi bezogen.

dv

(Punkt-) Steigung der Funktion für beliebiges x auf

dx

infinitesimal kleinen Bereich bezogen.

Differentialquotient = — = y'

Av Bogenelastizität =

Durchschnittliche

y> +

-

Relative Änderung der Funktion auf den endlichen 2

Ax

dy x Punktelastizität = ^ • —

Bereich x 2 - xi bezogen.

Relative Änderung der Funktion für beliebiges x auf infinitesimal kleinen Bereich bezogen.

Verbal:

Steigung:

Um wieviel Einheiten ändert sich der Funktionswert absolut, wenn x um eine Einheit geändert wird?

Elastizität:

Um wieviel Prozent ändert sich der Funktionswert relativ, wenn x um 1% geändert wird?

6

263

Elastizitäten

1. Ableitung und Elastizität für einige Funktionen y'= 3X2

y = x3

(variabel)

Wie

aus

den

Beispielen

ersichtlich ist, kann durchaus die

8 = 3X2 - ^ = 3 (konstant)

1. Ableitung für unterschiedliche x-Werte

unterschiedliche

Werte

annehmen (variabel), y = 2x + 3->

y'= 2 (konstant)

während die Elastizität für jeden x-Wert

e

= 2 ' 2x+3~2x+3

(variabel)

gleich

ist

(=konstant).

Ebenso ist der umgekehrte Fall möglich, oder aber auch,

y = 2X2 + 3x~» y'= 4x + 3 (variabel)

daß beide variabel sind 2

x 4X +3X 8 = 4x+3 • 2 7 T 3 X = 2 7 T 3 i ( v a r i a b e l )

6-3

Geometrische Interpretation der Elastizität

Logarithmische Interpretation Für y = Inx gilt: y'= - = . 1 für x = Iny gilt x'=

d(lnx) = —

d(lny)

d(lny) =

dy

dx

wurde auf beiden Seiten multipliziert!

y

dy Daher läßt sich 8 = -

Bei

;diÜM

dx x

d(lnx)oaer

d(logy) d(logx)

.

_

scnreiDen

-

handelt es sich um die 1. Ableitung der logarithmierten Funktion y = f(x).

Damit können wir festhalten: Die Elastizität der Funktion y = f(x) gibt uns die Steigung der logarithmierten Funktion logy = log(f(x)) an. Beispiel 6-4 Durch Logarithmierung der Normalparabel y = x 2 ertialten wir logy = 2 • logx X

1

2

4

8

logx

0,00

0,30

0,60

0,90

y

1

4

16

64

logy

0,00

0,60

1,20

1,81

6 Elastizitäten

264

Unsere Normalparabel wird also in doppeltlogaritmischer Darstellung zu einer Geraden mit der Steigung 2. Abb. 6-2

8 =

dZ.x dx

y

= 2 x

. 4 =2 x

d

Die

('°gy> = 2

d(logx)

Elastizität von y = f(x) gibt uns

die Steigung der logar.

Funktion

logy = logf(x) an Interpretation nach Marshall Dazu betrachten wir eine Nachfragefunktion x = f(p). Die Elastizität dieser Funktion bezeichnet man allgemein als Preiselastizität Sxp. Sie gibt die relative Änderung der nachgefragten Menge in Beziehung zur diese auslösenden relativen Preisänderung an. =

dx £ Nach allg. Konvention trägt man die unabh. Variable p auf der Ordinate dp' x und die abh. Variable x auf der Abszisse ab. Für den Normalfall gilt ein von links oben nach rechts unten fallender Verlauf.

Abb. 6-3

Legen wir in P eine Tangente an die Funktion, gilt nach dem Strahlensatz: a

c

1

b= x= c°x'

Weiterhin

gilt:£ = tan(180 - a) = -tana = (tana = Gegenkath. zu Ankath.: und tana = 1. Abl.l) P=

'c

c

o.a. Beziehung: a dx p b ~ "dp ' x = " Sxp

= "(dp) • P: eingesetzt in

6

Elastizitäten

Die

Preiselastizität

265

in

einem

Punkt

P

entspricht

also

dem

Verhältnis

der

Tangentenabschnitte zwischen P und der Abszisse und zwischen P und der Ordinate. Das negative Vorzeichen rührt von der negativen Steigung der Funktion. Besonders einfach läßt sich die Preiselastizität bei linearen Preisabsatzfunktionen ablesen; hier braucht man nur für die bei einem bestimmten Preis zu ermittelnde Preiselastizität den entsprechenden Punkt auf der Funktion zu fixieren und dann die Strecke von diesem Punkt zur Abszisse in Beziehung zur Strecke von diesem Punkt zur Ordinate zu bilden. Abb. 6-4

Man sieht auch dabei, daß die Elastizität des Preises entlang einer linearen PAF jeweils unterschiedlich groß ist. Genau bei der Hälfte des Höchstpreises ist 'Sxp = | l l Bei einem höheren Preis ist 8*pl> ll und bei einem niedrigeren Preis ist Sxpl< l l Den Bereich mit £ xp | > 1l bezeichnet man als elastischen Bereich; hier ist die relative Mengenänderung

größer

als

die

sie

auslösende Preisänderung. Bei Sxp |


Syx = anxn"1 •

=q

ax

y = ax

->

e>)i = a

.JL_^

Alle Geraden, die durch den Ursprung gehen, haben Elastizität = 1.

ax

y =

iL

£yx =

Alle Potenzfunktionen haben eine Elastizität, die ihrem Exponenten entspricht.

_nax-«-i, J L . _ ax

Alle Hyperbeln des nebenstehenden Typs haben eine Elastizität gleich dem negativen Exponenten von x.

MERKEI Die o.a. Regeln muß man nicht unbedingt beherrschen. Man kann auch y' mit x: f(x) normal multiplizieren.

268

6

6-5

Elastizitäten

Partielle Elastizitäten

Ebenso wie man bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen die partiellen Ableitungen definiert, lassen sich die partiellen Elastizitäten als das Verhältnis der relativen Änderung des Funktionswertes zur relativen Änderung einer Variablen bei Konstanz der übrigen festlegen. Für z = f(x, y) gilt: e „ = z • x

z

und tzy 8 = Zy

z

Dabei sind die partiellen Elastizitäten wiederum Funktionen der unabh. Variablen. Beispiel 6 - 5

a)

z = x2 + y 2

b

z =

)

c)

ax 7

z = 2x 2 y 3

^ = 2x1 a"lna =

z x = 4xy 3 ;

z y = 2y;

= 2

2X2 V + v2 ~ x2 + y2 '

a* S = 7 ;

e

zy = 6 x V

e» = 4 x y 3 - ^ y = 2

"

=

a'lna x ~ , i r 7 T

[>Zy =

8zy

2y ~ j p + y*

= x l n a

6 x y . ^ = 3

Wie bereits bekannt ist, ist eine Funktion z = f(x, y) homogen vom Grad r, wenn f ( t a , \ y ) = ?i r f(x 1 y). Ebenso haben wir die Eulersche

Homogenitätsrelation

aus den beiden partiellen

Ableitungen erster Ordnung kennengelernt: rz = z x • x + z y • y • - - > r = z ' „ - ~ + z '

part. Elastizität 8 « Der Homogenitätsgrad

r = Sa + Sz,

part.. Elastizität 6zy

einer homogenen Funktion z = f(x, y) ist gleich der Summe der

partiellen Elastizitäten. Für eine homogene Funktion mit mehr als zwei Variablen gilt dies analog. Beispiel 6 - 6

Der Homogenitätsrad für x = Ax} • r | ist zu bestimmen: 'xr,^&V2 8,

.2 3 4r-i • r |

4fi r 2

r = 2 + 3 = 5 ; Die Funktion ist homogen vom Grad 5.

unabhängigen

269

6 Elastizitäten 6-6

Elastizitäten in der ökonomischen Theorie

Auf einen Aspekt ökonomischer Anwendung von Elastizitäten sind wir in den anderen Abschnitten

dieses

Kapitels

bereits

mehrfach

eingegangen,

nämlich

auf

die

Preiselastizität der Nachfrage. Immer dann, wenn wir Aussagen über die relative Änderung ökonomischer Größen treffen wollen, verwenden wir Elastizitäten. Im folgenden

sollen

kurz

einige

Bereiche

angesprochen

werden,

in

denen

der

Elastizitätsbegriff eine Rolle spielt:

Preiselastizität der Nachfrage - S X P Diese gibt uns die Rate der relativen Abnahme der Nachfrage für eine relative Zunahme des Preises an. l.d.R. ist sie für jeden Punkt der Nachfragefunktion anders. Im elastischen Bereich (| Exp > 1 |) ist die relative Mengenänderung größer als die auslösende Preisänderung mit der Folge, daß der Erlös als Produkt von x • p steigt. Im unelastischen Bereich dagegen ist die relative Abnahme der Nachfragemenge kleiner als die relative Preisänderung, so daß der Erlös sinkt.

Konstante Preiselastizität Verläuft eine Nachfragefunktion als gleichseitige Hyperbel (p = ^n), ergibt sich der Sonderfall einer konstanten Preiselastizität: dp x _ s x " " dx ' p ~ ' n a x Abb. 6-6

x ' ax"n =

_n

|kürzen!

270

6 Elastizitäten

Kreuzpreiselastizität - 8AB Die Nachfrage nach einem Gut A hängt nicht nur von dem Preis dieses, sondern auch von den Preisen anderer Güter ab. In welcher Weise eine solche Abhängigkeit besteht, läßt sich mit der Kreuzpreiselastizität beantworten, indem man folgende Relation bildet: Eab

~

relative Nachfrageänderung von Gut A relative Preisänderung von Gut B

Einkommenselastizität der Nachfrage - £XY Da die Nachfrage nach einem Gut nicht nur von dessen Preis, sondern auch vom Einkommen der Nachfrager abhängt, können wir auch die relative Nachfrageänderung in Beziehung zu der sie auslösenden relativen Einkommensänderung setzen, und dx y erhalten die Einkommenselastizität: 8 *y = ^ • £ Elastizität der Kosten - SKX 8kx =

dK x dx ' K

Setzt man die relative Kostenänderung in Beziehung zur relativen Änderung der Ausbringungsmenge, ergibt sich die Kostenelastizität.

Amoroso-Robinson-Relation Diese gibt uns eine Beziehung zwischen Grenzerlös EF, Preis p und Preiselastizität der Nachfrage 6xp an. Die Nachfragefunktion lautet allgemein: p = f(x). Für den Erlös gilt: E = p • x bzw. unter Einbeziehung der Nachfragefunktion: E = f(x) • x FürE'gilt:

E' =

|L

= f(x)

dx

,

+

E ' = p(1 = ^p; e xp = -2-> E ' = p(1 = ¿P

272

6 Elastizitäten

Daraus folgt, je größer die Preiselastizität, desto geringer ist die Abweichung des Grenzerlöses vom Preis im Gewinnmaximum. Für den Konkurrenzfall ist der Preis ein Datum, d.h. die Nachfragefunktion verläuft als Parallele zur Abszisse und die Preiselastizität ist In diesem Fall ist E' = p. Je geringer also die Preiselastizität der Nachfrage, desto wirksamer ist ein Monopol, vorausgesetzt jedoch 8xp ist größer als 1. Dies läßt sich auch zeigen, wenn man zwei unterschiedlich steile Nachfragefunktionen betrachtet: Abb

- 6"8

p, = 40 - 2xi bzw. x, = 4p, + 20 -> 8XD z K1, =

~ P A n und - p + 40

- > 8 x p = ~P ** - p + 30

p2 = 30-x 2 bzw. x2 = p2 + 30 P r a l a a r h . bei RBdu2ierung

für x = 8 folgt pi = 24 bzw. p2 = 22 und für 8xp ergibt sich: -24 S

XP1

=

=

S

X P 2

-22 =

" g

-

=

" 2 , 7 5

D.h.: Die flachere Nachfragefunktion weist eine größere Elastizität auf. Schränken wir die Produktion von x = 8 auf x = 7 ein, ist die absolute Preiserhöhung bei der steileren Nachfragefunktion größer, d.h. der relative Absatzrückgang wird durch eine proportional größere Preiserhöhung bei der unelastischeren Funktion mehr als aufgefangen. 6-7 1)

Weitere Beispiele zur Elastizität Für y = 6x" ist 8,, zu bestimmen: ^ • * = 24x3 • ^

=ä

500 2a) Cxp für p = ^ ¡ Q - 5; px + 10p = 500 - 5x - 50 -> px + 5x = 450 - 10p dx -10(p + 5M450 - 10p) -500 dp ~ (p + 5)< " (P + 5?

p

-500 p(p + 5) ~ (pTöj 7 " (450 -10p)~*

450 -10p x= p+ 5 50p ~ (p + 5)(p - 45)

6

273

Elastizitäten

500 2b)

8X1P1 beixi

= 10;

p i = " 2 Q - - 5

=

20

5 0 - 2 0

£

* i p i

=

( 2 0

+ 5)(20-45)

ist 8«p = - 3 ?

=

3)

- 1 2 0 p - 6 7 5 + 3p2 = -50p-> p2 - 2 3 , 3 3 p - 2 2 5 = 0 - > p = 1 1 , 6 7 + ^ 3 6 1 W o hat y = x3 + x2 = (3X2 + 2 x ) •

Syx=1?

Für p = 24 - 2x und

E'

5 V

=

= 1 - > x =

= 30,6-> x =

= 24 -

4x; K'

,.. „„ „ für p = 2 4 - 2 x ^ = 0,4* + 2

1

v

= K' *> J

1 + £

24* £" =

( 2 4 - 2 * /1 + -

\ (- 4*

2

x-12J

+48*) +

2 4 * - 2 8 8

- ( + 2 4 * - 2 8 8 ) 0

Abb. 6-10

= 24 +

x-12

„ 2*-

2x2

-4*

* - 1 2

+ 72*-288): ( * - 1 2 ) = - 4 * + 24 = 0,4*+ 2 - » * = 5

- (- 4*2

" "

der

0,5(24 -2x) 8 * = g,5(24 - 2x) + 1 2

InGma :E' = AT' = 24 - 4* = 0,4* + 2 —» * = 5 Es gilt : E' = p

4

-0.5

Amoroso-

bestimmen:

1 „o -0,5p x = - 2 P + 1 2 - * Skp = _ 0 5 p 24* - 2*2;

2

K = 0 . 2 X 2 + 2 x + 1 1 ist G m a x u n t e r V e r w e n d u n g

Robinson-Relation zu

E=

2

°

P

W o

4 0 p

;

5

2c)

4)

-3 =

^ 2

2

+ 7 2 * - 2 8 8 * - 1 2

=

x - 1 2 ~

274

7 Grundzüge der Integralrechnung

7 Grundzüge der Integralrechnung

7-1

Einführung

Die

Integralrechnung

befaßt

sich

mit

zwei

unterschiedlichen

Anwendungs-

möglichkeiten: 1) Die Integralrechnung als Umkehrung der Differentialrechnung 2) Die

Integralrechnung

als

Grenzwert

einer

Summe

zur

Flächenbestimmung

einer Funktion Zu 1)

Ebenso wie die Division als Umkehrung der Multiplikation aufgefaßt wird, läßt sich das Integrieren als Umkehrung des Differenzierens auffassen: Hier sucht man für eine gegebene Funktion, die als 1. Ableitung aufgefaßt wird, die Ursprungsfunktion, die man als Stammfunktion oder Integral bezeichnet.

Beispiel 7-1 Ein Unternehmer kennt seine Grenzkosten mit K'= 2 und die Gesamtkosten für eine Ausbringungsmenge von x = 100 mit K = 300. Gesucht ist K = f(x). Aus K'= 2 folgt eine lineare Kostenfunktion: K = 2x + K» Kf läßt sich aus der weiteren Angabe bestimmen: 300 = 2 • 100 + Kf K, = 100, so daß K = 2x + 100

Die eine Hauptaufgabe der Integralrechnung besteht also darin, für f'(x) die zugehörige Stammfunktion y = f(x) zu suchen. Schreibweise: f(x) = jf'(x) • dx |

i = Integralzeichen; f'(x) = Integrand dx = integriere nach x

Integrationskonstante: Ist z.B. y' = 2, handelt es sich um die 1. Ableitung einer Geraden mit der Steigung a = 2. Diese Voraussetzung erfüllen aber theoretisch g(x) = e"

Je" • xdx = x • e" - J1 • e"dx = xe" - e" + C = (x-1)e* + C

282

7 Grundzüge der Integralrechnung

7-3-3

Integration durch Substitution

Steht im Integranden ein komplizierter Ausdruck, kann man versuchen, diesen durch Interpretation als mittelbare

Funktion durch einen einfachen Ausdruck zu ersetzen

(substituieren). In der Differentialrechnung findet bei der Differenzierung von mittelbaren (= sog. verkettete) Funktionen die Kettenregel Anwendung: Es ist y = f(g(x)) = F(z) mit z = g(x), ... dF(zi dF(z) dg(x) „ . dg(x) I dann gilt: = • = f(z) • dF(z) = f(z) • g'(x)dx

f(z) = ^ ^ w i l l k ü r l i c h gesetzt

• dx beide Seiten und g'(x) =

Jf(z)dz = jf(g(x)) • g'(x)dx

F(z)=f(z)dz; z=g(x); beide Seiten integrieren!

Die Variable z wird also durch g(x) substituiert, dabei muß auch das Differential dz substituiert werden: dz = g'(x)dx Beispiel 7-8 y = (a + bx)2 ist zu integrieren. Wir setzen y = z 2 mit z = a + bx ^

= g'(x) = b-> dz = b • dx-> dx = ^dz

2 J(a + bxfdx = Jz2 • bJdz dz = £ • | z 3 + C = " ' = ¿Jz b

= 3 ^ a + bx)3 + C

Nun ist zurückzusubstituieren: z = ax + b ACHTUNG!

• z3 + C

Bei der Berechnung bestimmter Integrale sind auch die Integrationsgrenzen gemäß z = g(x) zu substituieren, b ß j f ( z ) d z = Jf(g(x))g (x)dx mit a = g (a) und ß = g (b)

Beispiel 7-9

w 9

r - y 1 +—xdx

1

,

z = 1 +

3

x

dz

-

>

d i

1 =

3 ^

^

d x

=

o ,4

3dz

Grenzen: für x = 0 ist z = 1 + 3 • 0 = 1 = a für x = 9 ist z = 1 + 3 • 9 = 4 = ß

7 Grundzüge der Integralrechnung

9

4 1—r~ i + ^xdx = J z 2 • 3dz = 3

J^1

f

z 5

283

= 2 ( 8 - 1 ) = 14

Hier ist ein „Zurücksubstituieren" nötig wej| a(jch dje

njcht

Grenzen substituiert wurden. Für Funktionen, die sich als Quotient darstellen, wobei man den Zähler als 1. Ableitung des Nenners

interpretieren kann, ist das Integral gleich dem Betrag des In des

Nenners: Beispiel 7-10

J.a2_x ^dx x

Der Zähler ist hier mit 2x die 1. Ableitung des Nenners.

Wir substituieren:

z = x2 - 1 - > x = yjz + 1 ; dx =

2\Jz +1

• dz

Achtung! Hier mußte auch x im Zähler substituiert werden, indem man von z = g(x) die Inverse x = g'1(z) bildete.

7-3-4

Integration durch Partialbruchzerlegung

Die Sonderregel zu Beispiel 7-10, daß sich das Integral eines Bruches dann als In des Nenners ergibt, wenn der Zähler die 1. Ableitung des Nenners ist, führt uns zu der Überlegung, daß man eine gebrochen rationale Funktion durch Partialbruchzerlegung (Vgl. Kapitel 2, Abschnitt über gebrochen rationale Funktionen) in eine Summe aus einfachen Quotienten überführen kann, bei denen im Nenner die Linearfaktoren und im Zähler reelle Zahlen stehen. Das Integral einer Summe läßt sich in die Integrale der einzelnen

Summanden

zerlegen

und

die

reelle

Zahl

als

Konstante

vor

das

Integralzeichen setzen. Damit steht im Zähler der Quotienten jeweils eine 1 und im Nenner jeweils x - Nullstelle des Nennerpolynoms (= Linearfaktor), so daß für jeden Summanden die Bedingung „Zähler = 1. Ableitung des Nenners" erfüllt ist, und o.a. Regel angewendet werden kann. Beispiel 7-11 y

=

x +4 ^ _x_2

¡st

zu

integrieren.

Dazu

zerlegen

wir

die

Funktion

a b Partialbruchzerlegung in einzelne Quotienten: f(x) = — — + — — +... A " AI X " A2 x - X| sind die Linearfaktoren, wobei X| die Nullstellen des Nenners sind; hier:

mittels

284

7 Grundzüge der Integralrechnung

1 / 1 8 X1.2 = 2 ^ / 4 + 4

x

i =

; x2 =

2

x+4 a b a(x - 2) + b(x + 1) ax - 2a + bx + b (a + b)x - 2a +b X 2 - X - 2 " X + 1 + x - 2 ~ (x + 1 )(x - 2) = (x + 1 )(x - 2) = (x+1)(x-2) Die Nenner stimmen überein, somit auch die Zähler. Damit müssen die Koeffizienten des linken Zählers mit denen des rechten Zählers übereinstimmen! 1=a+b

b= 1-a

4 = -2a + b

4 = -2a + 1 - a a = -1

und b = 2

Unsere zerlegte Funktion lautet jetzt: x

-1 + 1

+

2

Damit das Integral: J ^ ^ g d x = -lJ x + •[ dx + 2,fx ] 2 dx = -ln|x + 11 + 2ln|x - 2| + C Wie zu erwarten war, steht jeweils im Zähler der Quotienten die 1. Ableitung des Nenners. Beispiel 7-12 ry2 + 1 2 Jx3

4xdx

Die Nullstellen des Nenners lauten: x = 0; x = -2 und x = 2.

Damit können wir schreiben: x2 + 12 a b _ c _ ax(x - 2) + b(x + 2)(x - 2) + cx(x + 2) x 3 - 4 x = x +2 + x + x - 2 ~ (x + 2)(x-2)x ax2 - 2ax + bx2 - 4b + cx2 + 2cx (a -t- b + c)x2 + (-2a + 2c)x - 4b (x + 2)(x - 2)x " (x + 2)(x-2)x Ix 2 + 0x1 + 12 x° = (a + b + cjx2 + (2c - 2a)x1 - 4bx° 1 = a + b + c; 0 = 2c - 2a ; 12 = -4b ; - > b = -3; a = 2; c = 2 f x2 +12 2 J — dx= J|( x -4x x+2

3 2 . , „f 1 , , f l , 1 + )dx = 2\ dx - 33\—dx + 2\ dx 3 } x x-2 X+2 X X-2

= 2ln|x+2| - 3ln|x| + 2ln|x - 2| + C

ACHTUNG!

Das Verfahren funktioniert nur, wenn das Nennerpolynom um ein Grad höher ist, als das Zählerpolynom. Ggfs. kann man das durch Polynomdivision erreichen.

285

7 Grundzüge der Integralrechnung

7.3.5

Numerische Integration

Häufig ist es in der Praxis nicht möglich, mathematisch korrekt zu integrieren, da die empirischen Daten nur in Form einer Wertetabelle oder eines Graphen, nicht aber als Funktion vorliegen. Auf solche Fälle lassen sich die Verfahren der numerischen Integration anwenden, die allerdings nur eine näherungsweise Lösung ermöglichen. Hier soll lediglich die Trapezregel erläutert werden. Auf die Beschreibung weiterer Verfahren (Simpson-Regel, Taylor-Reihen u.a.m.) wird hier nicht eingegangen. Die Trapezregel basiert auf dem Gedanken, ein Intervall (a, b) in n gleiche Teilintervalle der Breite Ax zu zerlegen, so daß man n Trapeze erhält, deren Fläche jeweils

^(yi + M A x ist.

n_1 1 1 Für die Flächensumme gilt: F = Ax ^ y o + Z V l + ö V r i z . i=l •

Aus unseren Überlegungen zur Herleitung des bestimmten Integrals wissen wir, daß bei n-> 00 dieser Ausdruck in Jf(x)dx übergeht. Daher gilt approximativ: Achtung I Grenzen

Abb. 7-7

Beispiel 7-13 a)

3 . J V 9 - x 2 x d x ist bei n = 4 mit Hilfe der Trapezregel zu berechnen. 2

x 2,00

2,25

2,50

2,75

3,00

y 4,4721

4,4647

4,1458

3,2971

0

286

7 Grundzüge der Integralrechnung

F * 0,25 (2(4,4721 + 0) + 4,4647 + 4,1458 + 3,2971) F « 0,25 - 14,1437 «3,5359 Die exakte Fläche ergibt sich: J(9 - x 2 ) 2 • xdx mit z = 9 - x2 und x = ^ ¡ 9 - z

l^H-U

dx _ dz""

I

Neue Grenzen!

.dz

1

x = 2—> z = 5 x = 3->z = 0

1

1°

b)

1 2 3 Iz2

0 - ( - 3 , 7 2 6 7 ) = 3,7267

J V d x ist bei n = 4 gleichen Teilintervallen mit der Trapezregel zu bestimmen: X

1

1,50

2

2,50

3

y

1

2,25

4

6,25

9

F « 0,5(0,5(1 + 9) + 12,5) * 8,75 Bei einer weiteren Unterteilung n = 8 müßten wir uns dem wahren Wert von 8,67 (vgl. Bsp. 7-4) weiter nähern: X

1

1,25

1,50

1,75

2

2,25

2,50

2,75

3

y

1

1,56

2,25

3,06

4

5,06

6,25

7,56

9

F = 0,25(5 + 29,74) * 8,69

7-3-6

Besonderheiten bei bestimmten Integralen

Bestimmte Integrale besitzen einige Eigenschaften, mit denen sich die gesuchten Flächen oft leichter berechnen lassen. Einige davon wurden bereits erwähnt. Der Vollständigkeit halber werden sie nochmals aufgeführt: Jf(x)dx = 0

Jf(x)dx = -Jf(x)dx b

Je • / ( * ) & = c • } / ( » ) &

7 Grundzüge der Integralrechnung

Jf(x)dx = - c = |c|

287

|f(x)dx = Jf(x)dx + j f ( x ) d x a b

b xq b | f ( x ) d x = J f(x)dx + Jf(x)dx a a xo

wenn Xo eine Nullstelle von f(x) im Intervall (a, b) und Vorzeichenwechsel

Partielle Integration Jf(x)g'(x)dx = f(b)g(b) - f(a)g(a) - Jf'(x)g(x)dx

Integration durch Substitution b p Jf(z)dz = Jf(g(x))g(x)dx

7-3-7

mit z = g(x); a und ß ergeben sich durch Einsetzen von a und b in z = g(x)

Uneigentliche Integrale

Sind bei einem bestimmten Integral die Grenzen nicht endlich, oder gibt es beim Iritegrand zwischen a und b eine Stelle, an der f(x) unendlich ist, haben wir es mit einem uneigentlichen Integral zu tun, für das der Grenzwert gebildet wird. Existiert ein solcher Grenzwert, ist das uneigentliche Integral konvergent. oo b Jf(x)dx= lim Jf(x)dx b_>00 a a Beispiel 7-14 00

1

1•

b

1

1

„-1 -1

= 1-b

Wir bilden den Grenzwert für

-1

bei b-> a>:

00 b ( "fi 1 1 lim 1 1 — = 1 Darausfolgt: f—-dx = lim f - - 2d x = 1 2 b-*ooV bJ { x b—i x

288

7

7-4

Grundzüge der Integralrechnung

Mehrfach-Integrale

Ebenso wie eine Funktion mit mehreren unabhängigen Variablen partiell differenziert werden kann, läßt sich eine solche Funktion f(x,,...xn) integrieren, indem man unter Konstanthaltung der übrigen Variablen jeweils nach allen Variablen integriert. J.i/f(X, x2

xn)dxidx2...dxn

ACHTUNGI

Zu dx, gehört das innerste Integralsymbol, zu dx2 das nächst folgende und zu dx„ das äußerste. Das ist für die Berechnung bestimmter Mehrfach-Integrale wichtig; dabei erfolgt diese von innen nach außen.

Doppelintegrale heißen Integrale, wenn der Integrand zwei unabhängige Variable besitzt. Beispiel 7-15

a)

2 2 JJxydxdy = J ^ x y + c,(y) dy = | x y + C 1 ( y ) + c 2 (x)

Hinsichtlich der Integrationskonstante tritt beim partiellen Integrieren eine Besonderheit auf: Sie kann eine Funktion von y, also der Variablen, über die nicht integriert wurde, sein. Man schreibt daher statt c: c(y). Integrieren wir nun über y, müssen wir die Stammfunktion für c(y), nämlich C(y), hinzufügen. Außerdem ergibt sich eine zweite Integrationskonstante, die nun eine Funktion von x ist, so daß wir c2(x) schreiben. b)

JJ(x> + y2)dxdy = j(|x 3 + xy2 + Cl(y))dy = |x 3 y + ¿xy3 + C,(y) + c2(x)

c)

jfcdxdy = f(4x + c,(y))dy = 4xy + C,(y) + Ci(x)

Bestimmte Doppelintegrale dienen zur Berechnung von Volumina. Beispiel 7-16 53

a)

JJldxdy 21

Die Funktion z = f(x, y) = 1 stellt eine Ebene im Abstand z = 1 parallel zur x-yEbene dar. Die Integrationsgrenzen legen ein Rechteck in der x-y-Ebene fest. Die Integration nach x bedeutet die Berechnung der Vorderfläche des Quaders parallel zur x-z-Ebene und die folgende Integration nach y die Summation unendlich vieler Quader mit F = 2 und der Dicke dy zwischen y = 2 und y = 5.

289

7 Grundzüge der Integralrechnung 53 5 5 | J 1dxdy = JI x| ? Idy = J 2dy = [2y] \ = 10 - 4 = 6 21 2 2

b) 42 4iy 1 J J ( - x 2 - y 2 + 2x + 4y + 3)dxdy = J ( ^ - - x 3 - x y 2 + x 2 +4xy + 3x oo

J[

- | - 2 y 2 + 4 + 8 y + 6jdy =

•— 3

3

8 2 "3y-3y

+ 16+ 6 4 + 2 4 = 50— 3

3 + 4 y +

4 y 2 + 6 y

dy:

290

7 Grundzüge der Integralrechnung

7-5

Integrale mit Parametern

Wie wir bereits aus Kap. 2 und 5 wissen, hängt eine ökonomische Größe nicht nur von einer Einflußgröße, sondern von mehreren ab. So kann z.B. der Erlös bei bestimmten Saisonartikeln einerseits von der Zeit t, als auch vom Werbeaufwand x abhängen, also E = f(t, x), wobei x als Parameter, der bestimmte Werte annehmen kann, betrachtet wird. In der Integralrechnung kann nun die Frage auftauchen, für welche Werte des Werbeaufwands innerhalb einer gewissen Zeitspanne to bis t, für E ein Maximum folgt. Allgemein bedeutet das die Frage nach der Differentiation des Integrals nach dem Parameter. Man könnte dazu jetzt so vorgehen, daß man das bestimmte Integral nach t bestimmt, während man x als Konstante betrachtet, und anschließend dieses Integral nach x differenziert, um den Extremwert zu bestimmen. Beispiel 7-17 Für welche Werte von x hat E = f(t, x) = (t - x)2 in der Zeit von to = 0 bis ti = 3 sein Maximum? 3

3

F(t) = J(t - x)2 dt = f (t2 - 2tx + x2 )dt = [ i t 3 - t 2 x + tx2 0 0 dF(x) „ „ 3 0 : — — = 6 x - 9 = 0 -> x = dx 2

= 9 - 9x + 3x2

Man kann zeigen, daß, wenn die zu f(t, x) bestimmte Funktion F(x) differenzierbar ist, sich die Reihenfolge von Integration und Differentiation umkehren läßt. Das bedeutet, d r daß die Operation „ — " mit der Operation „Jdt" vertauschbar ist. In diesen Fällen kann man den Integranden direkt partiell nach dem Parameter differenzieren. Da die partielle Ableitung oft einfacher zu integrieren ist, spart man so Rechenaufwand. Es gilt also:

Häufig beschränkt sich die Abhängigkeit vom Parameter nicht nur auf den Integranden, sondern auch auf die Grenzen. In diesem Fall erweitert sich unsere o.a. Formel wie , , . dF(x) fogt: —— = a dx

„ , . . da(x) . . . . . t n . . , db(x) ' dt + f ( b ( x ) , x ) — T - i - f ( a ( x ) , x ) - — ¡ d a b e i sind a und b jetzt d*. dx dx

nicht mehr starre Grenzen, sondern Funktionen von x.

7 Grundzüge der Integralrechnung

291

Beispiel 7-18 a Angenommen, der Erlös eines Textilkaufhauses während des Sommerschlußverkaufs (30.-34.Woche) sei durch folgende Funktion wiedergegeben. E= --(t

+ x-36)2

+

+4

Dabei steht die Variable t für die Zeit in Wochen und x für den Werbeaufwand in tausend DM. Die nebenstehende Abbildung zeigt den Verlauf des Erlöses bei unterschiedlichem Werbeaufwand von 3, 4 und 5.000

DM.

Die

Kurven zeigen,

daß

bei

höherem Werbeaufwand die Ware früher gekauft wird und ein insgesamt höherer Erlös folgt.

Fragen wir jetzt nach dem Erlösmaximum in der Zeit von der 30. - 34. Woche in Abhängigkeit vom Werbeaufwand, müssen wir das Integral dt in den Grenzen a = 30 bis b = 34 partiell nach x ableiten:

Ü X

30

M

30

= (-231,2 - 13,6x + 506,6) - (-180 - 12x + 447) = -1,6x + 7,8; x = 4,875 Bei einem Werbeaufwand von 4.875 DM wird in der betr. Zeit das Erlösmaximum erreicht.

292

7 Grundzüge der Integralrechnung

Im Beispiel 7-18a hatten wir die Integration nur über dem Bereich 30 bis 34 betrachtet. Dem Integrationsintervall entspricht ein Streifen zwischen den Geraden, die durch t = 30 und t = 34 parallel zur x-Achse verlaufen. Drücken wir nun die Grenzen durch eine Funktion von x (t = f(x)) aus, müssen wir die zur x-Achse parallelen Seiten durch Kurven ersetzen. Beispiel 7-18b Zu bestimmen ist der Wert für X e (0, 1) für den das bestimmte integral b(x)

2 • x) + 5)dt in den Grenzen a (x) = 2x + 1 und b (x) = 3x + 2 ein Maximum erreicht.

Gemäß o.a. Formel bestimmen wir die einzelnen Teile. b(x)

,

.1

c

J cJ(t-x)

=

2(í

_ x y ¡ ( = [ _ , * + Ixt^'l

-3.x 2 -6x-3;f(b(x),x)

= (3x + 2-x)2

f{a(x\x)

+ 5 = x2 +2x + 6;^Ííl

= (2x + \-x)2

= - ( 3 * + 2) 2 + 2x(3x + 2) + (2x +1)2 + 2x(2x +1) =

+5 = (2x + 2) 2 +5 = 4x2 + dx

=

2;daraus

+

dx

=3

foIgtinsgesamt:

^ ^ - = -3x2 -6^-3 + 12*2 + 24x + 27-2* 2 -4j;-12 = 7x2 +14^ + 12 = 0

dx bzw.x2 +2x

+1,714 = 0

damit existieren keine reellen Nullstellen. Das Maximum wird damit entweder bei x = 0 oderx= 1 (Definitionsbereich!!) erreicht. 2

F(0) = J(t 2 + 5)dt = I t 3 + 5 t i

3

2

F(1) = J ( ( t - 1 ) 2 + 5)dt = —t - t +6t

86

3

Die Integrationsgrenzen wurden bestimmt, indem in die Funktion der unteren bzw. oberen Grenze 0 bzw. 1 eingesetzt wurde. 7-6 7-6-1

Integralrechnung bei ökonomischen Problemstellungen Die Konsumentenrente

Aus der Tatsache, daß aus der Menge der potentiellen Konsumenten für ein bestimmtes Gut einige einen hohen Preis, einige einen mittleren Preis und einige einen niedrigen Preis zu zahlen bereit sind, läßt sich eine geneigte Nachfragefunktion ableiten. Dadurch, daß der gesetzte Preis i.d.R. niedriger als der Höchstpreis ist,

293

7 Grundzüge der Integralrechnung

sparen die Konsumenten, die bereit sind, einen höheren Preis als den geforderten zu akzeptieren. Diese Ersparnis nennt man Konsumentenrente. Graphisch ist sie das Flächenstück unterhalb der Nachfragekurve bis zum geforderten Preis. Dieses läßt sich mittels des bestimmten Integrals berechnen.

Abb. 7-8

-

|

i \r

j

» I — —xi — I —28 — i — 38 i — r A 48 — r ~K* 58 D

Beispiel 7-19 Es sei p = f(x) = -2x + 80 und p0 = 60-> Xo = 10 V° f 2 l10 KR = J(-2x + 80)dx-x 0 -Po = -x +80x1 -600 = 700-600 = 100 0 7-6-2

Die Produzentenrente

Ähnlich wie die Nachfrager, die bereit sind einen höheren Preis zu zahlen, die Kosumentenrente einsparen, ergibt sich für die Unternehmer, die bereits bei einem niedrigeren Preis als dem Marktpreis anzubieten bereit sind, eine sogenannte Produzentenrente. Abb. 7-9

Zu dem Marktpreis in Höhe p0 wird die Menge xo angeboten. Aber auch bereits zu Preisen kleiner als p0 wären Mengen angeboten worden, so daß sich die Produzentenrente aus dem Umsatz Xo - Po abzüglich der Fläche unter der Angebotsfunktion zwischen x und xo bestimmt.

294

7 Grundzüge der Integralrechnung

Beispiel 7-20 Es sei p = f(x) = rpi + 4 0 eine Angebotsfunktion. Der Marktpreis sei p 0 = 6 0 - » Xo = 40. 40,1 PR=P0-x0-

40

N

2 J I - X + 4 0 J dx = 2 4 0 0 - — x + 40x

= 2400-2000=400

0

7-6-3

Bestimmung von Gesamtfunktionen aus Grenzfunktionen

Aus der Interpretation der Integralrechnung als Umkehrung der Differentialrechnung folgt, daß sie dort eingesetzt werden kann, wo aus bekannten

Grenzfunktionen

(=1. Ableitungen) die zugehörigen Gesamtfunktionen gesucht werden. Achtung, dabei ist nicht das unbestimmte Integral, sondern das bestimmte Integral mit variabler oberer Grenze zu verwenden.

Gesamtkostenfunktion Aus

dem

Integral

der

Grenzkosten

K'(x)

ergibt

sich

als

Stammfunktion

die

Gesamtkostenfunktion K(x) + C, wobei K(x) die variablen und C die fixen Kosten (=Kf) darstellen:

Jk'(x)dx = K v (x) + K,

Ohne nähere Angaben über K( läßt sich die Gesamtkostenfunktion jedoch nicht herleiten. Beispiel 7-21 x K'(x) = 0.003X 2 - 1 , 2 x + 130 ;

K, = 2000-> K(x) = J ( 0 , 0 0 3 x 2 - 1 , 2 x + 130)dx + K f 0

K(x) = j0,001x 3 - 0,6x 2 + 1 3 0 x | * + 2000 = 0,001x 3 - 0,6x 2 + 1 3 0 x + 2000

Gesamterlösfunktion Bei gegebenem Grenzerlös E'(x) erhält man den Gesamterlös E(x) als unbestimmtes Integral aus E'(x). Die Integrationskonstante C gibt uns hier den Umsatz bei x = 0 an; dort ist der Erlös aber auch gleich Null, so daß C = 0.

jE'(x)dx = E(x) + C

295

7 Grundzüge der Integralrechnung Beispiel 7-22 x x E'(x) = 1200 - 6x-> E(x) = J(1200- 6x)dx = [l200x- 3x 2 ] = 1200x- 3x2

Zusammenhang zwischen Grenzeiiös und Durchschnittserlös Aus der Preisabsatzfunktion p = f(x) läßt sich durch Multiplikation von x die Erlösfunktion E(x) = p • x ableiten. Dividiert man diese durch x, ergibt sich der Durchschnittserlös e, der damit identisch ist mit der Preisabsatzfunktion p = f(x). Abb. 7-10

Aus der Grenzerlösfunktion E'(x) ergibt sich der Gesamterlös E(x) durch Integration. Für eine gegebene Absatzmenge xo ermittelt man den Gesamterlös also als Integral von E'(x) zwischen 0 und Xo (= schraffierte Fläche in Abb. 7-10), oder als E = x • p = Xo • po = E, was dem Rechteck zwischen 0 und xo und 0 und p0 entspricht.

2

4

E

8

X 18

Ist p =f(x) = 20 - 2x, ist E = 20x - 2X2 und e = 20 - 2x = p und E' = 20 - 4 x ; bei Xo = 3 ist 3 3 E0 = ¡(20- 4x)dx = [20jc-2x2] =60-18 = 42 oder: Po = 20-6 = 14-» E0 = Xo • Po = 3 • 14 = 42.

8 Grundzüge der Differentialgleichungen

296

8 Grundzüge der Differentialgleichungen

8-1

Allgemeine Grundlagen

Bisher hatten wir Funktionen betrachtet, bei denen eine abhängige Variable mit einer oder mehreren unabhängigen Variablen durch ein Funktionalgesetz verknüpft waren. Nun gibt es - vor allem in der dynamischen Wirtschaftstheorie - Gleichungen, in denen nicht nur Variablen, sondern auch Funktionen dieser Variablen auftreten. Handelt es sich bei diesen Funktionen um Ableitungen der Variablen, spricht man von Differentialgleichungen. y(n)) = 0

F(x,y,y\y"

Hierbei handelt es sich um eine allgem. Differentialgleichung. Eine Funktion y = f(x), die diese Beziehung erfüllt, nennt man Lösung der DGIg. Betrachten wir z.B. die Elastizität einer Nachfragefunktion Exp = 1 - 2p, läßt sich mit der Definition der Elastizität Exp = ^ • ^ auch folgende Beziehung aufstellen: 0 = 1

dx £ -2P-d^x =

1

-2P-x'(P>-Ä

Damit haben wir p mit der Funktion x(p) und deren Ableitung x' (p) verknüpft.

Klassifikation nach der Zahl der unabhängigen Variablen:

gewöhnliche DGIgn

partielle DGIgn

nur eine unabh. Var.,

mehrere unabh. Var., eine abh.

eine abh. Var. und deren Abi.

Var. und deren Ableitungen

F(x, y, / , y"

y(n)) = 0

F(xi, x2

x„, y, y'xt. y'*

y y' = (x + 1) (y + 1) mit g(x) = x + 1; h(y) = y + 1

C)

y' =

d)

y' = x + 5 = (x + 5) • 1 mit g(x) = x + 5 ; h(y) = 1

x-1

sich als Produkt auffassen: y' = y • 1- II g(x) =1- ; h(y) = y

= ~ • y;mit;g(x) = -?-,h(y) x-1 x-1

=y

300

8 Grundzüge der Differentialgleichungen

Damit wird eine Integration der rechten und linken Seite möglich allgemein:

dv y" = ^

= f(x) g(y)

Jg(y) ^y

= f(x) dx -

Sonderfälle: 1)

h(y) = 1 —> y' = g(x)

Die Lösung erfolgt mit den bisher bekannten Methoden der Integralrechnung.

Für y' = g(x) folgt: y = y(x) | g(x)dx + c Beispiel 8-4 y(x) = J xdx+c = \ x 2 + c als allgemeine Lösung.

y' = x

Setzt man zusätzlich als Anfangsbedingung: x = 2, y = 3: 3= 2)

1 2

1 2

+ c - > c = 1 - > y = 2 * + 1 a l s partikuläre Lösung.

g(x) = 1 -> y' = h(y)

Hat die Lösung (= Stammfunktion) eine Umkehrfunktion x = x(y), gilt für die Ableitung: dx

,. .

l

l

dx

"

y' = h(y) läßt sich daher schreiben: d* _ „. _ —!— dy h(y)

Womit wir eine DGIg mit y als unabh. und x als abh. Variablen haben, die auf den Sonderfall 1) reduziert werden kann.

x =

x ( y ) =

fii)

d y + c

Beispiel 8-5 y' = ^ - » x ' = j = y x

= Jydy+ c = ?y 2 + c odery = A/2(x-c)

fürx>c.

Die Lösung einer DGIg mit der Methode der Trennung der Variablen beruht darauf, daß man durch geschickte Umformung die eine Seite der Gleichung nur von y und die andere nur von x abhängig macht; damit läßt sich dann auf beiden Seiten „normal" integrieren. Das Verfahren ist immer dann möglich, wenn man die Differentiale in multiplikativer Verknüpfung vorliegen hat oder entsprechend umformen kann. Dazu noch einige weitere Beispiele:

8 Grundzüge der Differentialgleichungen

301

Beispiel 8-6 ,

i

di

i

1 1 | - dy = J - dx y *

1

L

L

auf beiden Seiten

;und • dx

ln|y| = ln|x) + c -> ln|y| - ln|x| = c

Auf beiden Seiten wurde integriert. Es erscheint nur eine Integrationskonstante:

denn

sind zwei Ableitungen gleich, können sich die entsprechenden Stammfunktionen nur durch eine Konstante unterscheiden! (2)

y' = x • y

dy

= x •y

(3) y' = x y * - > J\\dy2 y

11 t •> J — dy = J xdx-> Iny = ^ x + c

y = e* - » Iny = x-lne

y = e2

bzw. für y > 0:

(4)

1 ydy = xdx

= J\xdx^>--

y

= \x2 2

+c^>y

=—

Ine = 1

+2c

Welche Nachfragefunktion gehört zu einer konstanten Preiselastizität Sxp = a ? — •- = —= dp

X

dp

— pn

f— •dx = a{—ifoF —»• lnlar! = a• lnlpl + c —>jc = M } rx J- np ^
^ y 2 = - ¿ x 2 + c - > y 2 + x 2 = 2c

xo = 0; yo = 1 zu lösen! , xz-9

iy

Das Integral auf der rechten Seite läßt sich mit Hilfe der Partialbruchzerlegung lösen: Die Nullstellen des Nenners sind: Xi = -3 und X2 = 3. Daraus folgt: 2x (x + 3)(x - 3 )

a b -+ r x+3 x-3

2x = ax - 3a + bx + 3b

2x1 + 0x° = (a + b)x1 + (b - a)3x° mittels Koeffizienten-Vergleich folgt: I

2=a+b

II

0 = (b - a)3 -> b = a in I: 2=a+a

-> a = 1und b = 1

302

8 Grundzüge der Differentialgleichungen

o

o

ny „oix [lr|y(]; = [ln|(x + 3)(x ln)y| = ln

(8)

x2 - 9 -9

In

lr|y| - In1 = ln|(x + 3)(x - 3)| - ln|-9|

-+ 1

- > y = - - Z - + 11 In1 = Ol! 9

Folgendes Anfangswertproblem: y'= J f i ^ ist unter der Anfangsbedingung Xo = 2; y 0 = 1 zu lösen! Die Variablentrennung ergibt: Jf - d y = Jf _ x dx y x* - 1 Die rechte Seite ist mittels Substitution z = x2 - 1 zu integrieren: Für x gilt dann: x = Vz + 1; es folgt: dx

1

dz

2Vz + 1

bzw. dx =

dz

Die vollständige Substitution:

2Vz + 1

2vnrdz=y

z

d z =

5

l n | z l =

"

+ c

also:

ln|y| = ^ln|x 2 - 1 | + c - > ln|y| = InJ^x 2 - 1 | • e c ) - > y = c'7|x 2 - 1 |

mit c ' = e°

Setzen wir die Anfangswertbedingung ein, folgt: 1 = c * V 2 - 1 —> c* = 1; daraus folgt die Lösung: y = ^|x 2 - 1 |

c = lne° = c • Ine

Ine = 1

8-2-3 Lösung von DGIgn durch Trennung der Variablen mittels Substitution Ist bei einer DGIg eine multiplikative Verknüpfung der Differentiale so wie in 8-2-2 ohne weiteres nicht möglich, läßt sich eine Trennung der Variablen häufig durch Substitution durchführen. Beispiel 8-7 Für y' = x - 2y ist eine Trennung der Variablen nicht möglich. dz Wir setzen z(x) = x - 2y; für die 1. Abi. ^ folgt: z'(x) = 1 - 2y'

1 1 Aufgelöst nach y' folgt: V ursprüngliche DGIg ein:

=

2' 2 Z '( X )' Diesen Term setzen wir anstelle von y' in unsere

303

8 Grundzüge der Differentialgleichungen ^ - ^z'(x) = z(x); 1

1-2z(x) Hierauf ist jetzt eine Trennung der Variablen möglich:

dz = dx > f

1 - 2 2

fldx

1 1 - 2 2

Die Integration der linken Seite erfolgt durch Substitution: v =1-2z dv — dz

i v ( " i ) d v = j 1dx

=x ^

1 = - 2 - > dz = — - d v 2

2z) = x - >

=x

j - Inx = I r A

Setzen wir Zo bis z und Xo bis x als Integrationsgrenzen, ergibt sich: 1.

1

-ln2 1 - 2z e2x

. q-2Xo

Jx° 1~2z 1-2z0

2v = e 2*,

1 - 2z

=

x

- xo

1-2z

2x - 2x 0

^ s . 1-2z

a2x0 0-2* 2z = 1 - (1 - 2z 0 )e*

- Q - Z o j e 2 * 0 • e~2x jetzt Rücksubstitution: z = x - 2 y =

=c 1 1 y = - x - - +. c * e ~ 2 x 2 4

=

. 0-2*

1 - 2z = (1 - 2z 0 Je2"0 • e"2" z=

1-2z,

-e" 2x

1 I 1I bzw. f ü r c * = 0 : y„ = —x — ' 2 4

Für den allgem. Fall gilt: Ist y' = f( a + bx + c y ) gilt unter Substitution z = a + bx + cy r

1

Zob + cz J

^d z = r^1 d x - > y = —b x c xi 0

b + ac

c2

+ c• y' + p(x)y = 0

Solche DGIgn nennt man homogen.

Die Lösung erfolgt durch Trennung der Variablen. Beispiel 8-15 y' + xy = 0 mit p(x) = x wird wie folgt gelöst: y' = -xy bzw.

307

8 Grundzüge der Differentialgleichungen

f|y = _ x y - > J - d y = -Jxdx->lnjy) = - ^ x 2 + c - > | y ) = e dx

2

-e c

Setzen wir für e c (e° > 0) die Konstante k e IR, bei der auch negative Werte zugelassen sind, können die Betragsstriche bei y entfallen: y=k e

2

Allgem. gilt:

y = ke"fp b 3 = ^

x1:

2b, + 2 b 2 = 2 - > 2 - | + 2b 2 = 2 - > . b 2 = |

i x2: 1

ys = 2 x

2

1 +

2

7 X +

8'

2b,= 1 - > .

b,

-2x

Y h = k e

Die Lösung lautet also: y = k• e" 2 * +

1

1+ 7 ^

Lösung der allgemeinen linearen DGIg: y' + p(x)y = r(x) Dazu benötigen wir zunächst die Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung y ' + P(x)y = 0; diese lautet: y h (x) = ke~i p y'= f , (x)e' ( , , )

Nun setzen wir y und y' in die DGIg ein: k'(x)e - f p ( x ) d * - k ( x ) p ( x ) e - ^ x ) d x + p(x)k(x)e-Jp(x) 0 zu lösen! 3 2 p(x) = - und r(x) = -2x Bei Anwendung der Lösungsformel ergibt sich: y=e

je +

2x z e J " d< jdxj = e"31"' {c + J ( - 2x2e3h")dx) = ^ - { c - J2x5dx)

= 4x 3-1i c - 43x 8 Jj = 4x3- i 3x

8-3

3

1II 1

e1"* = x bzw.e h '- 3 =4x3

Differentialgleichungen 2. Ordnung

8-3-1 Einfache Differentialgleichungen 2. Ordnung Bei der wirtschaftstheoretischen Erörterung von periodischen Schwankungen hat man es häufig mit Differentialgleichungen zu tun, in denen neben der 1. auch die 2. Ableitung auftritt: F(x, y, y', y") = o

oder explizit: y" = f(x, y, y')

Solche DGIgn 2. Ordnung lassen sich dann relativ leicht lösen, wenn man die Ordnung reduzieren kann. Läßt sich eine DGIg 2. Ordnung auf eine DGIg 1. Ordnung reduzieren, können wir nach Durchführung der Reduktion die unter 8-2 beschriebenen Verfahren des Lösens anwenden. Im folgenden sollen einige besonders einfache DGIgn 2. Ordnung behandelt werden: (1) y" = f(x) Hier suchen wir y = y(x); die 1. Ableitung davon fassen wir als neue Funktion auf, die wir als p(x) bezeichnen: y'(x) = p(x) -> y" = p'(x) eingesetzt in (1): p'(x) = f(x) Dabei handelt es sich um eine DGIg 1. Ordnung, die wir durch Integration lösen: p(x) = Jf(x)dx + ci = F(x) + c.

Da p(x) = y'(x) handelt es sich wiederum um eine DGIg 1. Ordnung, die wir ebenfalls durch Integration lösen:

8 Grundzüge der Differentialgleichungen

310

mit F(x) = Jf(x)dx: y = y(x)= J (F(x) + c, )dx + c2, = J F(x)dx + c,x + c 2 wegen 2-maliger Integr. Haben wir 2 Integr. konst. Beispiel 8-20 a)

1 1 y"= x - > f(x) = x - > F(x) = Jxdx = - x 2 - > y(x) = j - x 2 d x + c,x + c 2 y(x) = gX3 + Cix + C2

Zur Bestimmung der Konstanten benötigen wir zwei

1 9 y'(x) = 2« + Ci

Nebenbedingungen. Hier seien folgende Anfangsbedingungen gegeben: x = 0, y = 2 und x = 0 und y' = 1: wir setzen ein:

1 1 2 = Q • 0 3 + Ci • 0 + c2 - > c 2 = 2 und 1 = • 0 2 + c,

c, = 1

1 3 Daraus folgt die Lösung des Anfangswertproblems: y = gX + x + 2 Stellen wir nun die Randbedingungen: y(0) = 1 und y(1) = 1 1 1 1 Wir setzen ein: 1 = g - 0 3 + C i - 0 + c 2 -»C2 = 1 und 1 = g + C i + C 2 - > C i = - g 1 1 Die Lösung des Randwertproblems ist also: y = gX3 - gX + 1 b)

y' = 6x + 2

f(x) = 6x + 2 - > F(x) = i(6x + 2)dx = 3X2 + 2x + c

y = J (3X2 + 2x + c)dx = x3 + x2 + cx + d (2)

y" = f(x, y')

Wir fassen wieder y'(x) = p(x) und y"(x) = p'(x) auf. Daraus folgt: p'(x) = f(x,p) Falls p = pfacO, folgt daraus y' = p(x) und: y = Jp(x,Ci)dx + c2 Beispiel 8-21

311

8 Grundzüge der Differentialgleichungen

y"=^->y'=p->y"=p,-+p'=^x=

x(p)

=j|dp +

Lösen wir nach p auf, folgt:

x(p)

1 9 =—p + c , =V/Hx-Ci

p Für y gilt dann:

y

Cl

= J ^/4(x - c, )dx + c 2 -

2

-

= 2 j ( x - c , ) 2 d x + c2 = 2 — ( x - c , ) 2 + c 2

=|V(x-°i)3

y

+c

2

Beispiel 8-22 y»= - y ' 2 - > y'= p;y"= p'-> p'= - p 2

^

= -p2

-J^-dp = J t t x - ( - ~ ) = x + c

1

aufgelöst nach p: p = — r XT C A

y = Jf

x+c

dx = lnlx + c| +d 1 1

8-3-2 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung Die allgemeine Form einer linearen DGIg 2. Ordnung ist: y" + p(x)y' + q(x)y = r(x)

wobei p(x), q(x) und r(x) beliebige Funktionen von x sind.

Abgesehen von einigen Sonderfällen, die wir im folgenden betrachten wollen, sind die o.a. DGIgn schwierig zu lösen. (1)

p(x) = p, q(x) = q, r(x) = 0; p und q = const. y" + py" + qy = 0

Hierbei handelt es sich um eine homogene, lineare DGIg mit konst. Koeff.

Von der linearen, homogenen DGgl 1. Ordnung kennen wir die Lösung: y = ce'p* Wir versuchen nun unsere DGIg mit einer ähnlichen Funktion zu lösen, die im Falle der Lösung unsere DGIg erfüllen muß: y = ce™ wobei v eine unbekannte Zahl sei. y' = cve w und y" = cv2 e™ . Wir setzen in die DGIg ein: cv2 e™ + pcve w + qce™ = 0. Wir dividieren durch ce™: v2 + pv + q = 0

8 Grundzüge der Differentialgleichungen

312

Hierbei handelt es sich um eine quadratische Gleichung, die von v erfüllt sein muß, damit unser Lösungsansatz eine Lösung unserer DGIg ist. Diese quadratische Gleichung nennt man charakteristische Gleichung der DGIg; ihre Lösung erfolgt durch den Vieta'schen Wurzelsatz. 1

v12 = ~ 2

~~q

Dabei kann der Ausdruck

unter der Wurzel > 0, = 0, und < 0 sein.

Ist er > 0, folgen für v zwei reelle Nullstellen; daraus folgt, daß wir auch zwei verschiedene Lösungen der DGIg erhalten. y, = qe*'*

und

y 2 = c2eVl*

Wegen der Linearität unserer DGIg ist auch y = yi + y2 eine Lösung, so daß gilt: y = c1ev'x + c 2 e VjX Beispiel 8-23 y" + 3y' - 10y = 0, dafür folgt die charakteristische Gleichung: v2 + 3 v - 1 0 = 0mit v w = - | ± ^ 1 0 - > v

1

= 2und v 2 = - 5

y = q e 2 * + c2e~Sx als allgemeine Lösung Ist der Wurzelausdruck = 0, hat v eine reelle, doppelte Nullstelle. Dafür ergibt sich als -Ex

allgemeine Lösung der DGIg:

y = (c 1 +c 2 x)e

2

Beispiel 8-24 y" + 2y' + y = 0

, 2 dafür folgt: vz + 2v + 1 = 0 - > v = " 2 = -1

Als allgemeine Lösung ergibt sich : y = (c, + C2x)e"x Bei einem negativen Wurzelausdruck ergeben sich für v zwei komplexe Nullstellen v 2

undv:

V

=

+

=

Wir setzen Vi = - ^ und v2 = ^q -

i

; die allgemeinen Lösungen sind dann:

y1 = cie™ = c,e v1 * +v2 '* = c,ev1x (cosv2x + isinv2x) y2 = c 2 e v * = c 2 e v1x ' ^^ = c2ev1x (cosv2x - isinv2x) Die komplexen Zahlen in der allgemeinen Lösung lassen sich wie folgt vermeiden:

8 Grundzüge der Differentialgleichungen

313

1 Ci und c 2 sind willkürliche Konstanten. Wir setzen daher Ci = c2 = ^Cs = const. und addieren beide Lösungen: 1 1 ~ y s = -Csy, + - c s y 2 = c s e Vl * cosv 2 x mit y, = ew* und y 2 = e™ 1 Außerdem setzen wir Ci = C2 = ^ • Cd und subtrahieren die Lösungen: 1

1

~

y d = - i c d y 2 -—¡c d y, = c d e v,< sinv 2 x; die Addition von y8 und yd ergibt die Lösung der DGIg: y = e ^ c , cosv 2 x + c 2 sinv 2 x) mit v, =

und v 2 = ^ q - ^ -

Beispiel 8-25

y" + 4y' + 13y = 0 -> char. Gig: v2 + 4v + 13 = 0; daraus folgen die konjugiert komplexen Nullstellen: v = -2 + 3i; v = -2 - 3i. Für vi,2 folgt: Vi = -2 und v2 = 3. Die Gesamtlösung ist dann: y = e'2x (c,cos3x + c2sin3x) (2)

p(x) = p = const., q(x) = q = const., aber r(x) * 0, also y" + py' + qy = r(x)

Hierbei handelt es sich um eine in-homogene, lineare DGIg mit konstanten Koeffizienten. Wir können hier ähnlich vorgehen wie im Falle einer linearen DGIg 1. Ordnung. Dort setzt sich die Lösung zusammen aus der allgemeinen Lösung yh der homogenen DGIg und einer speziellen Lösung ys der inhomogenen DGIg: y = yh + ys Die Lösung yh haben wir soeben kennengelernt. Für ys gehen wir analog zum Fall einer DGIg 1. Ordnung vor, indem wir für r(x) einen Lösungsansatz mit unbestimmten Koeffizienten aufstellen, diesen in die DGIg setzen und dann einen Koeffizientenvergleich durchführen. Beispiel 8-26

y" + y' - 2y =

2X2

+1

Für den homogenen Teil folgt die char. Gig: v2 + v - 2 = 0 1 Vi,2 = - 2

il

ö" + 4 - » v , = 1 u n d v2 = - 2 } y h = c 1 e x + c 2 e - 2 ' 1

Der Ansatz für y„ lautet: ys = a + bx + cx2 - > y', = b + 2cx

ys" = 2c

314

8 Grundzüge der Differentialgleichungen

Eingesetzt in die DGIg: i 2c + b + 2cx - 2a - 2bx - 2cx2 = 2x* + 1 Der Koeffizientenvergleich ergibt: x°:2c + b - 2 a

=1'

x1:2c-2b

=0

X2:-2C

= 2

c = -1; b = - 1 ; a = - 2 } yB - 2 - x - x 2

y = Cie" + c2e'2x - 2 - x - x2

8-4

Differentialgleichungen höherer Ordnung

Im allgemeinen ist die Lösung von DGIgn höherer Ordnung relativ schwierig. Läßt sich aber die Ordnung reduzieren, ist die Lösung häufig relativ einfach. Beispiel 8-27 y(»).y(IV).l=0

In dieser DGIg 5. Ordnung kann man substituieren wie folgt: y(IV) = p(x); y M = p'(x) Damit ergibt sich eine DGIg 1. Ordnung: 1 p' - p - = 0 Die Lösung erfolgt durch Trennung der Variablen 1 1 J - d p = J-dx-»ln|p| = lri|x| + c - > p = kx bzw. y (lv> = kx Diese DGIg 4. Ordnung läßt sich nun durch viermaliges Integrieren lösen: y = j j j j kx(dx)4 ->J kxdx = | x 2 + c, -> J

J ~ X

x 2 + c,j dx = ^ x 3 + c,x + c 2

x3 + c,x + c 2 ) dx = ^ x4 + 1 c,x2 + c2x + c3 5

{

X4

+ 1 c,x2 + c2x + c 3 ) dx

+ | c , x 3 + | x 2 + c 3 x + c 4 = y(x)

Merkel Bei einigen linearen DGIgn n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten ist eine Reduktion der Ordnung nicht erforderlich. Hier macht man zunächst den Lösungsansatz für die homogene Gleichung, bei der r(x) = 0 ist: y = ce™

315

8 Grundzüge der Differentialgleichungen

Für v ergibt sich dann als charakteristische Gleichung ein Polynom n-ten Grades: vn + p„.iv n ' 1 + . . . + p2v2 + p,v + po = 0 Existieren dafür k reelle Nullstellen für v, gibt es k verschiedene Lösungen; zu jeder k-fachen konjugiert-komplexen Nullstelle existieren 2k verschiedene Lösungen. Beispiel 8-28 y(VD. 2y(V) + 3y (w>. 4 y " . + 3 y » .

2y' + y = 0; daraus folgt die charakteristische Gleichung:

v8 - 2v 5 + 3v 4 - 4v 3 + 3v2 - 2v + 1 = 0 ; durch probieren finden wir die reelle, doppelte Nullstelle Vi,2 = 1. Wir dividieren das Polynom durch (v - 1 ) 2 und erhalten: v4 + 2v 2 + 1 = (v2 + 1)2 daraus folgen die doppelten, konjugiert komplexen Nullstellen v3,4 = i und v5,8 = -i Dafür folgen die Lösungen: y, = Cie"; y2 = c2xe"; y3 = c3cosx; y-, = C4XCOSX; y5 = cssinx; y6 = Cexsinx Die Gesamtlösung setzt sich dann additiv wie folgt zusammen: y = (c, + c^xje" + (C3 + c4x)cosx + (es + c«x)sinx

8-5

Differenzengleichungen

Bereits in Kapitel 4 (Differentialrechnung) hatten wir daraufhingewiesen, daß bei vielen ökonomischen Funktionen die Voraussetzung, D(f) und W(f) e

IR, nicht immer

vorliegen. Tatsächlich besteht der D(f) häufig nur aus einer Teilmenge der natürlichen Zahlen. Damit liegen aber keine stetigen Funktionen vor, womit eine Grenzwertbildung auch nicht mehr möglich ist, weil Ax beim Grenzübergang nicht beliebig kleine Werte annehmen kann. Bei nicht kontinuierlichen Vorgängen haben wir es mit Folgen zu tun; für diese gibt es aber Ableitungen und damit auch Differentialgleichungen nicht. Um auch bei Folgen einen der Ableitung ähnlichen Begriff zu verwenden, verzichten wir

auf

den

Grenzübergang

vom

Differenzen-

zum

Differentialquotienten

und

betrachten dafür die Zuwächse einer Folge von einem Folgeglied zum nächsten. Anstelle von f'(x) betrachten wir also den Differenzenquotienten

Ax

.

Da wir nunmehr als D(f) e IN zugrunde legen, schreiben wir für x jetzt k und setzen k = 1 als kleinstmöglichen Abstand zweier natürlicher Zahlen. Als Folgendifferenz ergibt sich dann in Analogie zur 1. Ableitung: AyK = Af(k) = f(k + 1 ) - f ( k )

8

316

Grundzüge der Differentialgleichungen

Beispiel 8-29

yk = 2k - 1 ; die ersten 6 Glieder lauten: k VK

1

2

3

4

5

6

1

3

5

7

9

11

2

Ayk

2

2

2

2

Die Folge steigt um die konstante Differenz d = 2, was dem Parameter einer arithmetischen

Folge

entspricht.

Daraus

läßt sich die einfachste

Form

einer

Differenzengleichung aufstellen: yk = 2 Sie sagt aus, daß bei einer Zahlenfolge die konstante Differenz d = 2 auftritt. Damit läßt sich die arithmetische Folge yk = dk + c mit d = 2 aufstellen, wobei die Konstante c sich aus einer Nebenbedingung (z.B. yi = 1 -> 1 = 2 - 1 + c -> c = -1) bestimmen läßt. Ebenso wie es in der Differentialrechnung höhere Ableitungen gibt, lassen sich höhere Differenzen bilden: (ohne Beweis) A2y =

yk+2 - 2 y k + i

n

+ yk und allgemein: Anyk = £ ( - i y ( " ) y k + n _ , i=o

Nun läßt sich eine Differenzengleichung allgemein definieren: F( k, y k , Ay k , A2yk

Anyk ) = 0

Wir sehen, daß zwischen Differenzen und Ableitungen eine enge Analogie herrscht. Diese besteht auch zwischen Differenzen- und Differentialgleichungen, so daß sich nahezu alle wichtigen Sätze über die Differentialgleichungen auch auf Differenzengleichungen übertragen lassen. Beispiel 8-30

Für ein Polynom n-ten Grades gilt, daß die n-te Ableitung eine Konstante ist. Dies trifft auch für die n-te Differenz einer Folge zu, deren Bildungsgesetz ein Polynom n-ten Grades ist. So gilt z.B. für yk = k 3 - 3k2 + 1: k y«. Ayk A2yk

1

2

3

4

5

6

7

8

-1 ^ - 3 ^ 1 ^ 1 7 ^ 5 1 ^ . 1 0 9 ^ 1 9 7 ^ 3 2 1 -2^4^16^34^58^

Hier ist also die dritte Differenz eine Konstante.

88^124

6^12^18^24^30^

36

A3yk Im folgenden sollen einige wichtige Differenzengleichungen kurz besprochen werden:

8

Grundzüge der Differentialgleichungen

317

Lineare Differenzengleichungen 1. Ordnung y k + i + pkyk = rk lautet die allgem. Form, wobei pk und rk bekannte Zahlenfolgen sind. Gesucht ist das Bildungsgesetz von y k . l.d.R. sind pk und rk Konstante, also p bzw. r, so daß es sich um lineare Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten handelt. Ist r = 0 liegt eine homogene Differenzengleichung vor: yk+ 1 + pyk = 0

Nehmen wir an, daß der Folgenwert für k = 0 mit y0 vorgeschrieben ist, lassen sich durch Einsetzen die folgenden Gleichungen entwickeln:

yi = -pyo y2 = -py, = (-p)2y0 y3 = -Py2 = (-p)3y0

yk = (-P)Vo y0 kann beliebig gewählt werden, so daß die allgem. Lösung einer homogenen Differenzengleichung lautet:

yk = c(-p)k

wobei c = y0 eine beliebige Konstante ist.

Beispiel 8-31

Für y k t 1 - 4yk = 0 lautet die Lösung: yk = c • 4k. Setzen wir als Anfangsbedingung y0 = 1 wird c = 1 und yk = 4k mit y0 = 1,yi = 4,y2 = 16... Ist r * 0, folgt: y k+ 1 = -pyk + r als inhomogene Gleichung. Die allgem. Lösung lautet hier (ohne Beweis): yk = c (-p)k + ^ j -

mitc = y „ - ^ j -

Beispiel 8-32

k

1

Setzen wir als Anfangsbedingung y0 = 0: o = c ( - i ) ° + J - > c = 4 ->y*=

+

^

318

8 Grundzüge der Differentialgleichungen

Lineare Differenzengleichungen 2. Ordnung Betrachten wir hier zunächst die homogene Gleichung yk+z + pyk+i +qyk = o Hier versuchen wir einen ähnlichen Lösungsansatz wie bei linearen DGIgn 2. Ordnung: yk = cvk

mit v als noch unbekannter Zahl, aber v * 0.

Setzen wir ein: cv k + 2 + pcv k + 1 + qcvk = 0 und dividieren mit cvk: v2 + pv + q = 0 Diese quadratische Gleichung bezeichnen wir als charakteristische Gleichung, die erfüllt sein muß, damit unser Lösungsansatz auch eine Lösung der Differenzengleichung ist. Auch hier unterscheiden wir drei Fälle: a) zwei reelle Nullstellen, b) eine doppelte Nullstelle und c) zwei komplexe Nullstellen der charakteristischen Gleichung. Beispiel 8-33 yk*2 - yx+i - 2y« = 0; hierfür lautet die charakteristische Gleichung: 1

il

v 2 - v - 2 = 0 - > v12 = — ± J — + 2 - > v 1 = 2 , v2 = - 1 als Lösung folgt: yk = 0,2" + c2 (-1) k Im Fall einer inhomogenen Gleichung: yk + 2 + pyk +1 + qyk = r erhalten wir die Lösung, indem wir zur allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung (ykH) eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung (ykS) addieren. Da wir r als Konstante betrachten, nehmen wir auch unsere spezielle Lösung yks als Konstante S an; eingesetzt in die allgem. Form der inhomogenen Gleichung ergibt sich: S + pS + qS = r oder nach S aufgelöst: S = 1 + p + q Damit lautet die Lösung: yk =ykH +

1

+p

+

q

Beispiel 8-34 y k +2 - 2yk +1 - 3yk = 5 ; die char. Gleichung lautet: v2 - 2v - 3 = 0 mit vi = 3 und v2 = -1, woraus die homogene Lösung ykH = Ci3k + cj(-1 )k folgt. Eine spezielle Lösung lautet: ykS =

5 1-2-3

=

5 "4

Dann lautet die Gesamtlösung: yk = Ci3k + C2(-1 )k - 7

319

8 Grundzüge der Differentialgleichungen

8-6

Differentialgleichungen bei ökonomischen Problemen

Wachstumsprozesse Wie bereits erwähnt, folgen viele Wachstumsprozesse einer logistischen Funktion. So ist

z.B.,

beim

Absatzzyklus

eines

neu

eingeführten

Produkts

zunächst

mit

zunehmenden, später mit abnehmenden Zuwachsraten zu rechnen, bis schließlich eine sogen. Sättigungsgrenze a erreicht ist. Betrachten wir hierbei das Wachstumstempo, 1. Ableitung nach der Zeit

läßt sich dieses mathematisch als

ausdrücken: y'(t).

Es ist zu vermuten,

daß

das

Wachstumstempo direkt proportional zum jeweiligen Marktvolumen (y(t)), aber auch vom Abstand dieses Wertes zur Wachstumsgrenze (a - y) ist. Das Marktvolumen y wird mit der Zeit zunehmen (= Impulsfaktor), wogegen (a - y) (= Bremsfaktor) im Zeitverlauf gegen Null strebt. Wird nämlich die Sättigungsgrenze a erreicht, strebt das Wachstumstempo und auch der Bremsfaktor gegen Null; d.h. das Marktvolumen stabilisiert sich auf dem Sättigungsniveau a. Drücken wir diesen Zusammenhang funktional aus, erhalten wir eine Differentialgleichung: y'(t) = ^ = ky(a - y); k = Prop.faktor. Durch Lösen der Differentialgleichung läßt sich nun die bereits unterstellte logistische Funktion herleiten. Dazu benutzen wir das Verfahren der Trennung der Variablen: 1

dy =

| < ( j t _ > l i l + _ J _ | d y _ kdt a

y(a - y)

U

Zerlegung der linken Seite in Partialbrüche;

a-y;

Multipl. beider Seiten mit a und Integration.

f(r^) d y = a k f 1 d t + c Iny - ln(a - y) = akt + C oder

= akt + C oder

= eakt+c

Jetzt bilden wir den Kehrwert auf beiden Seiten: äzl

= e-ak..

a y = i1 xT 8 © y=

3

1 + de-bt

a

_y

=

ye-av0

a = y e ' V 0 + y = y(1 + e - V 5 ) -c.

Setzen wir ak = b und e

= d, erhalten wir:

als gesuchte logistische Funktion.

320

8 Grundzüge der Differentialgleichungen

Grenzkosten = Durchschnittskosten Fragt man, bei welcher Kostenfunktion die Grenzkosten gleich Durchschnittskosten sind, ist folgende Beziehung aufzustellen: K dK K 1 1 K' = — bzw. - r - = — Wir trennen die Variablen: f—dK = f - dx -> In K = In x + C x ax x J K J X bzw. elnK = e lnx+0 oder K = cx mit c = e c

Das Spinnweb - Theorem Hierbei handelt es sich um ein Modell zur Erklärung oszilatorischer Preis- und Mengenbewegungen, die auf verzögerten Angebotsanpassungen (Einbau eines timelags) beruhen. Seinen Namen hat das Modell von der spinngewebähnlichen graphischen Darstellung. Man geht dabei von einem im Gleichgewicht befindlichen Markt aus, auf dem sich die Nachfragefunktion verschiebt. Das bedeutet, daß die bisherige Gleichgewichtsmenge zu einem höheren Preis gemäß der neuen Nachfragekurve abgesetzt werden kann. Die Anbieter glauben nun, daß der Preis der Periode t(pt) auch in der Periode t + 1 gilt und dehnen daher ihre Produktion gemäß ihrer Angebotskurve auf xt

1 4 5 880 2 3 1

4690

V 750 J Nehmen wir an, die Preise für Ri seien 12,50 und für R2 17,20 DM, dann lassen sich die gesamten Rohstoffkosten durch das skalare Produkt von Preisvektor als Zeile und Mengenvektor als Spalte berechnen: f 7920 ^ (12,5 17,2)=179.668 DM l 4690 ) Besonderheiten der Matrizenmultiplikation 1)

Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ! A • B * B • A "2 3 ' A=

" 11 16 "

" 1 2 B=

7

CO

. 4 1 .

" 10

5 "

B•A=

A• B=

. 22 13 .

12 .

2)

Aber es gilt das Assoziativgesetz: A • (B • C) = (A • B) C = ABC

3)

Ebenso gilt das Distributivgesetz: A(B + C) = AB + AC und (A + B)C = AC + BC

4)

Die transponierte Matrix aus dem Produkt zweier Matrizen ist gleich dem Produkt der einzelnen Transponierten in umgekehrter Reihenfolge: (AB)' = B' • A' " 2 3 A=

" 1 2 " B=

. 4 1 .

. 3 4 .

" 2 4 A' =

16 "

" 11

7 "

(AB)' = .7

" 1 3

12 .

" 11

_ 16 12 .

7 "

B' A' =

B' = . 3 1 .

5)

"11 A• B=

. 2 4 .

. 16 12 .

Die Matrizenmultiplikation ist nur sinnvoll, wenn die Zahl der Zeilenelemente der 1. Matrix gleich der Zahl der Spaltenelemente der 2. Matrix ist. " 1 0 2 " A=

2

1 0 "

B= . 3 5

1^

. 1 2 3 .

Hier ist A • B nicht definiert! Schon bei der Berechnung von Cn merken wir. 1 • 2 + 0 • 1 + 2 • ?; Hier bitte nicht 2 • 0, denn ein nicht vorhandenes Element ist keineswegs = 0!!!

333

9 Lineare Algebra 6)

Die Multiplikation von Spalten- und Zeilenvektor ergibt eine quadratische Matrix:

0

(4 2 -3) =

V5J 7)

24

12 -18

0

0

20

10 -15

0

wenn die Elementezahl gleich ist!

Die Multiplikation von Zeilen- und Spaltenvektor ergibt einen Skalar (skalares Produkt): (G\ (4 2 - 3 ) -

0

=9

V5 ) 8)

Zeilenvektor x Matrix = Zeilenvektor: " 3 1 (1 0 2)-

5 2 . 2

9)

=(7 3)

1

Matrix x Spaltenvektor = Spaltenvektor: 3 1 1

5 2

9 2 ,

L 2

V4J

1 J

10) Für Matrizenpotenzen gilt: A n = A-A-... A ; A n A m =/ , n+m und ( A n ) m = A n m n-mal 11) Skalar x Matrix ergibt eine Matrix, deren Elemente das skalarfache der ursprünglichen Matrix sind: " 1 3 "

"2

_ 2 5 .

. 4 10 .

6 "

2-

9 Lineare Algebra

334

9-1-3

Linearkombination, lineare Abhängig- und Unabhängigkeit

Beispiel 9-7 Die Firma Trinkfest & Arbeitsscheu betreibt zwei Brennereien, in denen Korn, Wacholder und Weinbrand hergestellt wird. Die folgenden Produktionsvektoren geben die durchschnittlichen monatlichen Herstellungsmengen in hl wieder: ( a =

3

4

1

(

der Brennerei B s2 = 11 Monate gearbeitet worden.

3

b =

V2 J

^ In der Brennerei A sind im vergangenen Jahr Si = 9 und in

V 3 J

Die gesamte Herstellungsmenge ergibt sich dann, indem man die Vektoren mit den Skalaren s1t bzw. s2 multipliziert und addiert: f s, • a + s2 • b = 9 •

(

3> 4

l 3

f27) (

Ì

3

+ 11 •

l 2 )

1

=

J

36 V 18

+

J

11

33

3 8 >

f

Ì =

L 33 J

l

69 l 51

Dieser Vektor der Gesamtproduktion ist eine Linearkombination

J der Vektoren a und b,

die dadurch zustande gekommen ist, daß die Vektoren mit Skalaren multipliziert und anschließend addiert wurden.

Definition Sind n Vektoren ai mit i =1,..., n und n Skalare si mit i = 1,..., n gegeben, heißt der Ausdruck

Linearkombination der Vektoren at.

Voraussetzung für die Bildung ist, daß die Vektoren gleicher Ordnung sind.

Nicht negative Linearkombination n Diese liegt vor, wenn kein Skalar negativ: ] T s j a j m i t s ( > 0 . i=1

Konvexe Linearkombination n als Sonderfall der nicht-negativen Linearkombination ist gegeben, wenn £ Sj = 1 i=1

335

9 Lineare Algebra Beispiel 9-8

*\

8

y

f )

3

CM

% 5 2 1 ' 1 + 3" , 4 , 3'

Hierbei

handelt

es

sich 1

um

eine

konvexe

2

Linearkombination, weil 3 + 3 = 1

v 3 y

( 15 3 ' 1 ì 1 5 ì 1 4^ + + 3' 3' 1 2 ,3 V 4 y Stellt man die 2-komponentigen Vektoren des Beispiels 9-8 als Punkte Koordinatensystem dar und verbindet die Punkte, dann liegt jede Linearkombination bei einer Linearkombination aus zwei Vektoren Verbindungsgeraden beider Punkte, bzw. bei einer Linearkombination Vektoren in oder auf dem Rand des Dreiecks, das sie bilden.

in einem konvexe auf der aus drei

Abb. 9-4

Lineare Abhängigkeit von Vektoren

Läßt sich der Nullvektor als Ergebnis einer Linearkombination erzeugen, ohne daß alle Skalare S| = 0 (triviale Bildung) sind, nennt man die an der Linearkombination beteiligten Vektoren linear abhängig. Ist dies nur durch triviale Bildung möglich, sind die Vektoren linear unabhängig.

Linear unabhängige a>, wenn 0 = £ Sjaj nur mit s, = 0 Beispiel 9-9 a, =

f4) -3

l 2

J

a2 =

f

8 -6

l 4

Ì

J

Die Vektoren ai und a2 sind linear abhängig, denn es läßt sich mit S1 = 2 und s2 = -1 eine Linearkombination bilden, deren Ergebnis der Nullvektor ist:

336

9 Lineare Algebra f

A 4 ^ -3

+ (-1).

V 2 J

-6

0

V 4 J

V0J ( 2 \

f 1A Dagegen lassen die folgenden Vektoren ai =

und a2 =

V 3 y

die Bildung eines

V 5 y

Nullvektors als Ergebnis einer Linearkombination nur auf triviale Weise zu. Zur Prüfung schreiben wir für jede Komponente eine Gleichung:

1Si +2S 2 = 0-

Si =-2s 2 -4s 2 + 3S2 = 0

2si + 3s2 = 0 • 3s, + 5s2 = 0

Setzen wir s, = -2s 2 in die 2. Gleichung ein, folgt s2 = 0; daraus folgt s, = 0. Damit gibt es keine von Null verschiedenen Zahlen für S|, die das Gleichungssystem erfüllen. Anders dagegen bei den folgenden drei Vektoren:

( S1 4 V 1J

( s2

2

V 3J

+ s3

2 ^

2s, + 1s2 + 2s3

=0

s, = 3; s2 = -4; s3 = -1 lösen

4

4s, + 2s2 + 4s 3

= 0

das System,

V -9 J

1 s, + 3s2 - 9s 3

=0

Vektoren sind.

so daß die

linear

abhängig

(Lösungsweg

erfolgt

später!) Geometrische Interpretation Von der Multiplikation eines Skalars mit einem Vektor mit zwei Komponenten wissen wir, daß der Repräsentant (Pfeil) gestreckt, bzw. gestaucht wird. Bezogen auf eine Linearkombination eines Vektors heißt das, daß alle Linearkombinationen auf der Geraden (Verlängerung des Repräsentanten) liegen müssen. Betrachten wir dazu einen zweiten Vektor, so müßte dessen Endpunkt bei linearer Abhängigkeit auf dieser Geraden

liegen, weil sich der zweite Vektor bei

Linearkombination des ersten darstellen lassen müßte.

linearer Abhängigkeit

als

9 Lineare Algebra

337

Abb. 9-5 / auf dieser Geraden liegen] ' a l l e LX des Ucktors's;*\~ - ©

Schlüsselspalte

9 Lineare Algebra

341

1) Die 2. Zeile ist Schlüsselzeile und die 1. Spalte Schlüsselspalte. Das Hauptelement 1 ist h = 2 und wird in der neuen Tabelle durch ^ ersetzt. 2) Die neuen Elemente der Schlüsselzeile ergeben sich durch Division mit 2, also ^ 3) Die neuen Elemente der Schlüsselspalte ergeben sich durch Division mit 2 und 1 3 Multiplikation mit -1: und ^ 4) Die übrigen Elemente (= 2. Spalte) ergeben sich durch Subtraktion des Quotienten aus dem Produkt der Elemente von alter Schlüsselzeile und -spalte im Kreuzungspunkt des Elementes und dem Hauptelement von dem betreffenden alten 1-3 5 -3-311 Element: -1 - — = und 1 - — j — = -j" Nunmehr bilden ai, b, und a3 eine Basis, und a2 und b2 lassen sich als Linearkombination der Basisvektoren darstellen: 1 1 3 a2 = -jjjai + + 2®3

bzw.

5 3 11 b2 = -^a, + ^bi + -ya 3

Wie bereits erwähnt, sind Vektoren dann linear unabhängig, wenn sie sich in die Basis bringen lassen. Wir prüfen die folgenden Vektoren a i = (2, 1) und a^ = (4, 2) mit Hilfe der Einheitsvektoren als Basis: ai ei e2

a2

a,

6i

0

a?

1 2

1 4

© - — 2

e?

0

1 "2

|

X

Wollte man nunmehr a, für e2 in die Basis holen, ist das betreffende Hauptelement = 0; d.h.: a-i und a2 sind linear abhängig. Dies Ergebnis war auch leicht vorwegzunehmen, weil a2 das 2-fache von ai ist. Beide liegen auf einer Geraden!

9-1-4

Die Inverse einer Matrix

Beispiel 9-13 Für die Produktion zweier Produkte sind pro Mengeneinheit die folgenden Rohstoffmengen, wiedergegeben durch die Matrix R, erforderlich: 4 5 R= 3 2

342

Will

9

man

wissen,

Xi-Mengeneinheiten

welche des

Rohstoffmengen

ersten

Produkts

und

ri

und

r2

zur

Lineare Algebra

Produktion

x 2 -Mengeneinheiten

des

von

zweiten

Produkts erforderlich sind, ist die Matrix R mit dem Produktionsvektor x zu multiplizieren; das Ergebnis ist dann der Vektor der erforderlichen Rohstoffmengen: R • x = r. Drehen wir nun die Fragestellung um und geben r vor, fragen wir, wieviel Produkte von xi und x2 bei gegebenen Rohstoffmengen sind herstellbar? Das aber bedeutet R • x = r muß nach x aufgelöst werden. Wären hier R, x und r reelle Zahlen, müßte man beide Seiten durch R dividieren, so daß x = Für Matrizen ist jedoch die Division nicht definiert. Deshalb führt man eine Ersatzdivision ein. Im Bereich der reellen Zahlen ist die Inverse definiert als Kehrwert einer Zahl. Will man in der Gleichung xy = b y allein auf einer Seite haben, kann man auch sagen, man

1

multipliziert mit der Inversen von x - nämlich - - beide Seiten. Ähnlich geht man bei der Lösung einer Matrizengleichung vor. Wir wissen, daß das

1 Produkt aus einer Zahl und ihrer Inversen gleich eins ist: x • - = 1. Existiert zu einer Matrix A eine Matrix B, deren Produkt die Einheitsmatrix E ist, also A • B = E, bezeichnet man B als IN VERSE oder KEHRMATRIX

zu A und bezeichnet sie

mit A'1. Damit wird in gewisser Weise eine Division als Multiplikation mit einer Inversen ( 41 Mengeneinheiten möglich. Nehmen wir nun für unser Beispiel an, es stünden r = 23 ; zur Verfügung, dann lautet die zu lösende Gleichung: " 4 5 "

f Xi V>

( 41

. 3 2 .

V X2

,23,

N

R' 1 R • x = R'1 • r-> E • x = R"1 • r

R •x=r= 41 Da E • x = x-> x = R"1 • r = R"1 l 23

Das Problem der Lösung besteht nun in der Bestimmung von R

als Inverse von R. Die

Lösung nehmen wir hier vorweg und werden später Methoden zur Bestimmung der Inversen aufzeigen. 2 "7

5 7

3 7

4 "7 J

R'1 =

2 "7

5 7

' 41 ^

( 33 ^ 7

x =

L

3 L 7

4 "7 J

, 23 ,

31 K l J

9

343

Lineare Algebra

33

31

Bei unterstellter Teilbarkeit der Produkte können also y von Xi und y von x2 gefertigt werden, wenn von ri 41 und r2 23 Mengeneinheiten zur Verfügung stehen. Inversenbestimmung mit dem Gauß'schen Eliminationsverfahren Wie wir bereits wissen, muß für die Inverse einer Matrix A die Gleichung A'1 • A = A • A'1 = E gelten. Diesen Zusammenhang benutzt man zur Bestimmung von A'1, indem man A um die zugehörige Einheitsmatrix E erweitert. Dann transformiert man mit Hilfe von Zeilenoperationen A/E so, daß an die Stelle von A die Einheitsmatrix E tritt. Anstelle von E erscheint dann die Inverse A"1; A/E wird also umgeformt zu E/A'1. a,„

1

0

0

22

a2„

0

1

0

- am1 am2

a™

0

0

1 J

an 321

a i2 a

1

0

0

1

0

0

12

1

a a m1 m2

Das Problem besteht also darin, in der um E erweiterten Matrix (A/E) anstelle von A die Einheitsmatrix E zu erzeugen. Dazu benutzt man elementare Zeilenoperationen wie folgt: - Multiplikation einer Zeile mit einer Zahl * Null - Addition einer mit einem Skalar s rriultiplizierten Zeile zu einer anderen - Vertauschung zweier Zeilen Mittels dieser Zeilenoperationen erzeugen wir in den Spalten von (A/E) für A nacheinander die Einheitsvektoren. Beispiel 9-14

Gesucht ist die Inverse A'1 von A =

3

1

6

2

2

4

L 9 3 20 1) Erweiterung um E:

(A/E) =

3

1

6

1 0

2

2

4

0

_9

0

1 0

3 20 0 0

1 .

344

9 Lineare Algebra

2) 1. Iteration: d.h.: Erzeugung des Einheitsvektors in der 1. Spalte: Dazu muß also a^ = (3 2 9) umgeformt werden zu (1 0 0). Das Element an = 3, das in die „1" des Einheitsvektors transformiert wird, bezeichnen wir als Pivotelement, die dazugehörige Zeile und Spalte als Pivotzeile, bzw. -spalte; den Vorgang der Umformung als Pivotisieren (pivoter = franz. drehen). Zwecks Umformung der „3" in eine „1" multiplizieren wir die Pivotzeile mit dem 1 Kehrwert des Pivotelementes = ^ | ( 3 1 6 1 0 0) = [ l

^ 2 ^ 0

oj-> 1. neue Zeile der 1. Iteration.

Um nun die restlichen Elemente der 1. Spalte (a 2 i und a 31 ) zu Null zu machen, gehen wir wie folgt vor: - Wir multiplizieren die modifizierte Pivotzeile mit dem Element, an dessen Stelle „0" stehen soll, sowie mit (-1); - anschließend addieren wir die so umgeformte Pivotzeile zu der Zeile, in der die „0" erscheinen soll. Bei a 2 i steht „2", also ist die modifizierte Pivotzeile mit (-2) zu multiplizieren und zu der 2. Zeile zu addieren: -2(l |

2 Ì

0 0)= +

2. neue Zeile der 1. Iteration:

(-2 I

I

0 0

(2

2 4

0

1 0)

^ q

1

1 oj

0

Bei a 3 i steht „9", so daß die modifizierte Pivotzeile mit (-9) zu multiplizieren und zur 3. Zeile zu addieren ist: -9(1 ^ 2 ^ 0 0 ) =

("9 -3 "18 " 3 0 0) +

3. neue Zeile der 1. Iteration:

(9

3

(0

0

20

0 0 1)

2 -3 0 1)

Damit ergibt sich nach der 1. Iteration die folgende Matrix, die den Einheitsvektor in der 1. Spalte aufweist:

9 Lineare Algebra

1

3

2

„ 0

4

3

„

0

L 0

0

2

345

0

Diese Matrix ist nun Ausgangspunkt für die 2.

0

Iteration, 2 "3

1

-3

0

Pivotzeile

„

bei

der

in der 2.

Spalte

der

Einheitsvektor zu erzeugen ist; d.h.: Bei a22 soll „1" und bei den anderen „0" stehen.

1 J

2. Iteration: 4 3 £>22 = 3, so daß die 2. Zeile mit ^ zu multiplizieren ist. Die 2. Zeile ist nun Pivotzeile. 0 -I

3

1 0 W 0

1 0 -J §

2.

0

neue

Zeile

der

2.lteration

und

modifizierte Pivotzeile

1 1 a 12 = 3, d.h.: Multiplikation der modifizierten Pivotzeile mit -3 und Addition zur 1. Zeile: -3(0 1 0 -1/2 % 0)

=

0

40 6Ì 0 1

0

M

0

1. neue Zeile der 2. Iteration: 1

0

2 21 -41 o

0„

a32 = 0, so daß hier eine Umformung nicht notwendig ist. Die dritte Zeile der 1. Iteration kann so übernommen werden. Damit ergibt sich nach der 2. Iteration folgende Matrix: 1

0

2

~

-J

0

„ 1

„ 0

1 -2

3 4

„ 0

Diese Matrix ist Ausgangspunkt für die 3. und letzte Iteration, bei der in der 3. Spalte

L 0

0

2

-3

0

1 •

der Einheitsvektor zu erzeugen ist; d.h.: ass soll „1" und a i 3 und a 23 gleich „0" Pivotzeile

werden.

3. Iteration: -.1 833 = 2; Zur Bestimmung der mod. Pivotzeile ist die 3. Zeile mit 2 zu multiplizieren: ¿ 2 -2

„

0

Pivotzeile ' 2

L o -2 1 -1 0 1 J Modifizierte Pivotzeile = (0

0

-I |

f

i.z.+(i

|

H

= (1

0

(0 2 3.Z.+ (0 -2 = (0 0

5

2

-3 0

1 - 1 0 -5 -3 4

"2 + 1. Z e i l e / - 2 + 3. Zeile

)

-3 0)

-6 -2 4

0)

= modifizierte Pivotzeile •

0 0

1 - 3 - 1 2

= neue I . Z e i l e

0) | = modifizierte Pivotzeile • 2 1) 1) j = neue 3. ;Zeile

348

9 Lineare Algebra

Matrix nach der 2. Iteration: 1

0

0

5

2

-3 0

1 - 3 - 1 2 0 -3 -:

. 0 0

4

•Pivotzeile ' -g

1 J

Modifizierte Pivotzeile = (o 0 1 |

I-(-5) + I.Zeile/• 3 + 2. Zeile

(0 0 -5 -3 4 1) | = modifizierte Pivotzeile • (-5) 1.Z.+ (1 0

5

2 -3 0)

=( 1 0 0 - 1

L

~ „ 9

0

3

12 3) = modifizierte Pivotzeile • 3

5 -T

2.Z.+ (0 1 - 3 - 1 =

1 0

(E/A"1) =

„

„

0

1

-sj

2

0)

"5 I )

= n e u e 2

0 - 1 1

1

Ì

1 0

= neue 1. Zeile

11)

, 4 0

„

„

.

0

0

1

5

2 3 "5 'S

Zeile

Die rechte Seite ist die Inverse von A. Machen Sie die Probe!

3 4 1 5 "5 "5

Inversenbestimmung mit dem Austauschverfahren Das Austauschverfahren haben wir bereits als Verfahren zur Basistransformation kennengelernt (vgl. S. 340). Zur Inversenbestimmung stellen wir die einzelnen Spaltenvektoren der Matrix A als Linearkombinationen der Einheitsvektoren dar. Damit sind die Elemente der Matrix A die Koordinaten der Linearkombinationen bezüglich der Einheitsvektoren. Dann bringen wir nacheinander die einzelnen Nicht-Basisvektoren ak anstelle der Basisvektoren ei in die Basis. Die Koordinaten, die sich dadurch ergeben, stellen die Inverse der Matrix A dar.

9 Lineare Algebra

349

Beispiel 9-16

Von A =

3

7

4

-1

2

1

3

5 3 J

ist A'1 zu bestimmen.

Dazu stellen wir die Spaltenvektoren von A als Linearkombinationen der drei Einheitsvektoren mit drei Elementen dar:

a-i

a2

a3

6i

3

7

4

- e2

-1

2

e3

3

5

© 3

Es ist zweckmäßig, zunächst den Vektor a k in die Basis e, zu bringen, in deren Kreuzungspunkt (= Hauptelement) bereits eine „1" steht (geringerer Rechenaufwand I). Hier bietet sich also als 1. Tausch a 3 gegen e 2 an. 1 Wir ersetzen das Hauptelement durch seinen Kehrwert j = 1; die neuen Elemente der Schlüsselzeile erhalten wir durch Division durch Hauptelement = 1, die der Schlüsselspalte durch Division mit (-1). Die übrigen Elemente berechnen wir, indem wir das Produkt der alten Elemente von Schlüsselzeile und -spalte bilden, in deren Kreuzungspunkt das Element liegt. Das Produkt dividieren wir durch das Hauptelement (hier = 1) und subtrahieren den Quotienten von dem betreffenden Element. Z.B. für das 1. Element die „3" liegt „-1" auf der Schlüsselzeile und „4" auf der Schlüsselspalte im (-1 • 4) Kreuzungspunkt; das HE ist = 1, also: 3 - ^ — L = 7. (2 • 4) Für das 2. Element = 7 gilt: 7 - ' ^

= -1 usw.

Nach dem 1. Austausch ergibt sich folgende Tabelle: a,

a2 ©

e2

- e,

7

-4

a3

-1

2

1

e3

6

-1

-3

350

9 Lineare Algebra

Nun bietet es sich an, a2 anstelle von ei in die Basis zu bringen, da dann HE = -1. Jedoch Vorsicht, daß nicht versehentlich ein bereits ausgetauschter Vektor wieder zurückgetauscht wird. Nach dem 2. Austausch erhalten wir:

ai

ei

e2

a2

-7

-1

4

a3

13

2

-7

- e3

©

-1

1

Der letzte vorzunehmende Basistausch ist ai gegen e3. Hier haben wir wieder Glück, daß das Hauptelement bereits = -1 ist, so daß keine größeren Berechnungen erforderlich sind. e3

ei

e2

a2

-7

6

-3

a3

13

-11

6

ai

-1

1

-1

Die gesuchte Inverse ergibt sich dann, wenn wir die Koordinaten in natürlicher Reihenfolge, also a ^ , a2e2, usw. notieren: " 1 A"1 =

-1-1

6 . -11

Merkel

-3

-7

6

13

J

Aus dem o.a. Austauschverfahren folgt, daß nur eine quadratische Matrix, deren Spaltenvektoren alle linear unabhängig sind, eine Inverse haben kann.

9-1-5 Bei

Matrizengleichungen der

Begriffsbestimmung

der

Inversen

hatten

wir

bereits

schon

eine

Matrizengleichung benutzt. Diese lautete R • x = r; Tauchen in einer Matrix oder einem Vektor Variable auf, wollen wir diese mit X, bzw. x bezeichnen

351

9 Lineare Algebra 1)

A • X =B

Diese Gleichung läßt sich mit der Inversen lösen:

(A'1 • A)X = A"1 • B - » E • X = A'1 • B 2)

X • A +X • B =C X(A + B) = C

3)

X = A"1 • B

Hier können wir X ausklammern und weiter mit der Inverse arbeiten:

X(A + B) • (A + B)-1 = C(A + B)"1

X = C(A + B)'1

Wegen der Nicht-Kommutativität der Matrizenmultiplikation ist die Multiplikation der Inversen auf beiden Seiten von rechts nötig.

A +X - C = B

Hier subtrahieren, bzw. addieren wir auf beiden Seiten genau so wie beim Rechnen mit reellen Zahlen:

X =B- A +C 4)

Si • X = A + s2 • X

Auf beiden Seiten wird s2 • X subtrahiert, X ausgeklammert und beide Seiten durch s, - s2 dividiert, wobei si - s2 * 0 sein muß.

s, • X - s2 • X = A (s, - s2) • X = A Si -S 2 5)

A •X - X =A (A - E)X = A

Lösen wir die linke Seite wieder auf, erhalten wir: (A - E)X = AX - EX = AX - X, denn EX = X

(A - E)"1 • (A - E) • X = (A - E)"1 • A X = (A - E)"1 • A wegen A"1 • A = E 6)

Unter gewissen Voraussetzungen, die hier nicht diskutiert werden sollen, gilt die sog. Neumann'sche Reihe: (En - A)'1 = E„ + A + A2 +...+A" wobei E„ die Einheitsmatrix n-ter Ordnung ist.

352

9 Lineare Algebra

9-1-6

Rang einer Matrix

Die maximale Anzahl linear unabhängiger Spaltenvektoren (Zeilenvektoren) einer Matrix nennt man Spaltenrang (Zeilenrang) oder kurz Rang der Matrix A und wird mit RgA bezeichnet. Man kann zeigen, daß der Zeilenrang einer Matrix dem Spaltenrang entspricht. Da eine Linearkombination der Vektoren einer Matrix ex definitione einen linear abhängigen Vektor darstellt, ändert sich der Rang einer Matrix nicht, wenn die Matrix um einen Vektor erweitert wird, der als Linearkombination der Vektoren der Matrix gebildet ist. Zur

Bestimmung

heranziehen.

des

Rangs

einer

Matrix

läßt

sich

das

Austauschverfahren

Lassen sich damit alle Spalten- oder Zeilenvektoren anstelle der

Einheitsvektoren et in die Basis bringen, entspricht der Rang der Matrix ihrer Spaltenoder Zeilenzahl. Daraus folgt, daß der Rang einer Matrix nicht größer sein kann als die Zahl ihrer Zeilen oder Spalten; d.h.: Die obere Grenze ist die jeweils niedrigere Zahl von Zeilen oder Spalten. Ein weiteres Verfahren zur

Bestimmung des Rangs bedient

sich

elementarer

Zeilenoperationen. Damit formt man die Matrix in eine spezielle „Treppenstruktui" um, für die gilt, daß die Höhe 1 Stufe eine Zeile hat, unterhalb derer nur Nullen stehen. Die Anzahl der möglichen Stufen gibt den Rang an. Beispiel 9-17

1 2

1

2

• -5 + 2.Z. | • -6 + 3.Z.

2

4

0

-9 y

2 1 J

2 -8 J

->

I• 10 + 3.Z. CM

L 0 -10

3

Zur Bildung der Treppenstruktur sind die Elemente a 2 i, a3i und a32 in Null umzuformen.

4

co

4 3

0 -9

11 "2

0

17 "9

0

Die Zahl der Stufen beträgt drei: RgA = 3

9 Lineare Algebra

r 2

4

16

16

353

3 1

37

•5 + 2.Z. | • -16 + 3.Z.

J 0

L 0

-8

13 2

-16

13

- » |. -2 + 3.Z.

J 13

L 0

0

Hier beträgt die Zahl der Stufen zwei: RgA = 2

0

Eine quadratische nxn-Matrix, deren Rang = n, bezeichnet man als regulär; ansonsten heißt sie singulär. Die obigen Zeilenumformungen konnten benutzt werden, weil sich bei diesen Umformungen

der

Rang

nicht

ändert.

Gegebenenfalls

ist

ein

Zeilentausch

vorzunehmen. Sind zwei Spaltenvektoren linear abhängig, läßt sich das durch ein doppelt breite Stufe erkennen: 2

4

2 1

0

0

2

RgA = 2

0 0 0 9-1-7 9-1-7-1

Determinanten Begriffsbestimmungen

Während es sich bei einer Matrix lediglich um eine bestimmte Anordnung von Zahlen handelt, ist die Determinante einer quadratische Matrix eine reelle Zahl, die der Matrix nach einer bestimmten Rechenoperation zugeordnet wird. Mit Hilfe der Determinante läßt sich eine weitere Möglichkeit zur Inversenbestimmung aufzeigen. Ein weiteres Anwendungsgebiet ist die Lösung eines linearen Gleichungssystems. Sind die Elemente einer Matrix A als reelle Zahlen gegeben, ergibt sich die Determinante von A, geschrieben det A oder |A|, indem man aus den Elementen jeweils nach folgender Vorschrift Produkte bildet: Die Zeilenindizes der Faktoren nimmt man für jedes Produkt in natürlicher Reihenfolge, während die Spaltenindizes alle möglichen Permutationen (Zahl der möglichen Anordnung von n Zahlen) jeweils für ein Produkt durchlaufen. Die Produkte werden dann abwechselnd addiert und subtrahiert.

354

9 Lineare Algebra

312 a13

a©,

a©2

a@3

a©,

a©3

a©2

det A = a2i a22 a23

+ a©2

a©3

a©,

a©2

a©,

a®3

+ a x2 = -3xi + 6 6x1 + 2X2 = 12 -> x2 = -3xi + 6

fallen zusammen; d.h. jeder Punkt der einen Geraden liegt auch auf der anderen Geraden.

Da

eine

Gerade

eine

unendliche

Gleichungssystem unendlich viele Lösungen. Abb. 9-7

Punktmenge

darstellt,

hat

das

9 Lineare Algebra

365

Der Fall des Beispiels 9-24 läßt sich geometrisch auch auf den Fall dreier Variablen übertragen, wobei jeweils eine Gleichung eine Punktmenge als Ebene im R3 darstellt. Liegen hier zwei Gleichungen mit drei Variablen vor, kann die Schnittmenge eine Punktmenge sein, die eine Gerade darstellt, so daß das System unendlich viele Lösungen hat. Erst bei einem 3 x 3 - Gleichungssystem können sich die drei Ebenen genau in einem Punkt schneiden, so daß die Lösungsmenge eindeutig ist. Gehen wir nun von der geometrischen Betrachtung wieder zur Interpretation eines linearen Gleichungssystems als Linearkombination. Hierbei kann sich der Vektor der Absolutglieder b als Linearkombination der Spaltenvektoren aj nur ergeben, wenn die einzelnen Spaltenvektoren linear unabhängig sind. Das aber bedeutet für eine eindeutige Lösung, daß der Rang der Koeffizientenmatrix A der minimalen Anzahl von Zeilen und Spalten entsprechen muß. Ist der Vektor b tatsächlich eine LK, ist er linear abhängig von den Spaltenvektoren der Koeffizientenmatrix; in dem Fall muß der Rang der um den Vektor b erweiterten Koeffizientenmatrix gleich dem Rang der nicht erweiterten Matrix sein. Zu einer eindeutigen Lösung ist allerdings noch die Zahl der Gleichungen r und die Zahl n der Variablem von Bedeutung. Entspricht n = RgA = RgA/b, haben wir eine eindeutige Lösung. Enthält dagegen ein Gleichungssystem einen Widerspruch, sind mindestens zwei der aj Spaltenvektoren linear abhängig, so daß in diesem Fall der Vektor b keine Linearkombination der Spaltenvektoren sein kann und damit linear unabhängig ist. Das aber bedeutet, daß RgA < RgA/b. Wir

halten fest,

daß für eine

eindeutige

Lösung alle

Spaltenvektoren der

Koeffizientenmatrix A linear unabhängig sein müssen; der Spaltenvektor b der Absolutglieder ist dann als Linearkombination linear abhängig. Daraus folgt, daß der Rang der Koeffizientenmatrix gleich dem Rang der um den Vektor b erweiterten Koeffizientenmatrix sein muß: RgA = RgA/b. Zusätzlich muß die Zahl der Gleichungen nicht kleiner sein als die Zahl der Variablen, sonst ist das System mehrdeutig lösbar, wie wir z.B. im Fall einer Gleichung mit zwei Variablen gesehen haben. Gibt es aber genau soviele Gleichungen wie Variablen, muß die Koeffizientenmatrix quadratisch sein, d.h. die Spaltenzahl ist gleich der Zahl der Variablen n. Das aber bedeutet, daß die Koeffizientenmatrix regulär ist und den Rang = n hat. Für eine reguläre Matrix aber gilt, daß die Determinante ungleich Null ist. Zusammenfassend halten wir fest:

366

9 Lineare Algebra eindeutige Lösung

RgA = RgA/b = n Ist r = n, folgt: |A| * 0

mehrdeutige Lösung

RgA = RgA/b = r < n

Vorgabe von n - r Variablen möglich keine Lösung

RgA < RgA/b

System hat Widerspruch Beispiel 9-25 Wir betrachten die drei Gleichungssysteme des Beispiels 9-24: " 1

a)

A=

5 '

. 3 1 . 1

5

3

1

b=

f

20 ^

, 18 ,

" 1

5

. 3 1 .

20 18

Z.->

1.Z. (-3)+ 2.

1.Z. (-3)+ 2. Z.

1

5

20

0

-14

-42

' 1

5

. 0

-14

RgA = 2

-> RgA/b = 2

Wegen RgA = RgA/b gehört b demnach zu dem von den beiden Spaltenvektoren a, und a2 aufgespannten (man sagt auch: erzeugten) Vektorraum, für den ai und a2 eine Basis bilden, so daß sich jeder Vektor mit zwei Komponenten eindeutig als Linearkombination darstellen läßt. Damit ist die Darstellung von b eindeutig. Da die Koeffizientenmatrix A quadratisch ist, müßte ihre Determinate ungleich Null sein: det A =

b)

2

3

4

6

1

5

3

1

Hier läßt sich leicht erkennen, daß a2 das 1,5 - fache von ai ist, beide Vektoren also linear abhängig sein müssen. 2

Wir prüfen den Rang: 2 4

3 6

4

3 6

6 24

1.Z. - ( - 2 ) + 2. Z.

1.Z. - ( - 2 ) + 2. Z. -> 2

3

6

0

0

12

2

3

0

0

RgA = 1

RgA/b = 2 -> RgA * RgA/b

Daraus folgt, daß die Vektoren a^ und a2 linear abhängig sind; sie liegen beide in einem eindimensionalen Teilraum des R 2 , zu dem b nicht gehört, womit b auch nicht als Linearkombination von ai und a2 dargestellt werden kann.

9 Lineare Algebra

367

Im Fall b) muß also ein Widerspruch vorliegen; diesen kann man hier auch leicht erkennen, wenn man die 2. Gleichung durch 2 dividiert: 4xi + 6X2 = 24 H : 2 -> Die 1. Gleichung dagegen lautet:

2x, + 3x2 = 12. 2xi + 3x2 = 6

Überprüfen wir zusätzlich die Determinante von A, folgt: 2

3

4

6

= 0,

det A = 3

was ebenfalls bedeutet, daß keine Lösung existiert. 3 1

1

c) A :

I • -2 + 2. Z. 6 3

RgA = 1

2 1

3

1

6

0

0

0

I • -2 + 2. Z. ->

Alb.6

2

12 .

RgA/b = 1

Hier ist zwar RgA = RgA/b; allerdings ist die Zahl der Gleichungen r kleiner als die Zahl der Variablen n, weil die 2. Gleichung nach Division durch 2 mit der 1. Gleichung identisch ist. Es liegen tatsächlich keine zwei Gleichungen vor. Auch die Det. von A verschwindet: 3

1

6

2

det A =

Homogenes

=0

Gleichunassvstem

Ist der Vektor der Absolutglieder b ein Nullvektor, also b, = 0, b2 = 0 man von einem x = (0, 0

homogenen

Gleichungssystem,

bei dem die

b„ = 0, spricht Lösungsmenge

0) ist. Da die Summe von Nullvektoren Z 0 • aj immer den Nullvektor

ergibt, nennt man die Lösung trivial. Ein Gleichungssystem mit mindestens einem bi * 0 nennt man inhomogen.

368

9 Lineare Algebra

9-2-3

Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme

9-2-3-1

Das Eliminationsverfahren

Betrachten wir das folgende allgemeine lineare Gleichungssystem: anXi + a12x2 + a13X3 = bi

1xi + 0x2 + OX3 = b* i

a2iXi + a22x2 + a23x3 = b2 a3iXi + a32x2 + a33x3 = b3

=

Oxi + 1 x2 + 0x3 = b* Oxi + 0x2 + 1 x3 = b*

Wenn wir in der Lage sind, die Gleichungen so umzuformen, daß in der 1. Gleichung die Variablen x2 und x 3 , in der 2. Gleichung X1 und X3 und in der 3. Gleichung X1 und x2 verschwinden, erhalten wir drei Gleichungen mit genau einer Variablen, deren Lösung wir im Vektor b direkt ablesen können. Diese Umformung muß natürlich so geschehen, daß der Lösungsraum nicht verändert wird. Solche Umformungen heißen äquivalente Transformationen. Diese sind: Multiplikation oder Division einer Gleichung mit Zahl * 0 Addition von Gleichungen Vertauschen von Gleichungen Dazu betrachten wir aus Beispiel 9-24: I

xi + 5x2 = 20

II

3xi + x2 =18

Wir multiplizieren I mit -3 und addieren dann mit II:

-3xi -15x 2

=-60

3x, +

=18

x7

- 14X2

=-42->X2 = 3

Wir sehen, die Lösungsmenge hat sich nicht verändert. Wir kennen sie aus Beispiel 9-24 mit (5,3). Wie leicht einzusehen ist, würde sich die Lösungsmenge auch nicht ändern, wenn wir I und II vertauscht hätten. Für unsere Matrizenschreibweise bedeutet das, daß wir unsere Koeffizientenmatrix um den Vektor der Absolutzahlen erweitern und dann mittels äquivalenter Zeilenoperationen die Koeffizientenmatrix in E (= Einheitsmatrix) umformen; dabei gibt der bisherige Vektor b uns den Lösungsvektor x an:

369

9 Lineare Algebra an

a12

am

bi

1

0

...

0

x,

a2i

a22

a2n

b2

0

1

...

0

x2

L am1

am2

amn b„ —

1

X„ _

L 0 0

Diese äquivalenten Transformationen sind uns bereits aus Abschnitt 9-1-4 von der Inversenbestimmung mittels Gauß'schem Eliminationsverfahren bekannt. Beispiel 9-26 Xi

+ 2x2

+ 2x3

+ X4

= -2

Wir schreiben die um den Vektor b er-

2x,

+ x2

+ Xs

+ 2x4

= -7

weiterte Koeffizientenmatrix und formen

3xi

+ x2

+ X3

-X4

= 9

diese zur Einheitsmatrix um:

4x,

+ 2x2

+ X3

+ 3X4

= -11

1 2 A/b =

2

1

-2

Zur Umformung in E sind in den ersten vier Spalten

2

1 1 2

-7

die Einheitsvektoren zu erzeugen, d.h. an, a22, a33

3

1 1 - 1

9

sind vier Pivotschritte nötig.

L 4

2

1

3

und a44 sollen = 1 und alle anderen = 0 werden. Dazu

-11

1. Iteration an ist Pivotelement. Da au bereits = 1, ist eine Umformung nicht erforderlich, so daß die 1. Zeile als Pivotzeile direkt mit den entspr. Zahlen multipliziert werden kann, um durch Addition mit den restlichen Zeilen den Einheitsvektor zu erzeugen: also 1.Z.

• (-2) + 2. Z.

T 1

2

2

1

• (-3) + 3. Z.

0 - 3 - 3

• (-4) + 4. Z.

0 - 5 - 5 - 4 - 0 - 6 - 7 - 1

-2 ~

0 - 3 15 -3 _

2. Iteration Nun ist die 2. Zeile Pivotzeile und a22 = -3 Pivotelement. Damit a22 = 1, ist die Pivotzeile mit -1/3 zu multiplizieren. Anschließend sind entspr. Multiplikationen und Additionen zur Erzeugung des Einheitsvektors in der 2. Spalte zu erzeugen. Also:

370

9 Lineare Algebra

2. Z. •

; diese dann

• (-2) + 1. Z. •5

+ 3. Z.

•6

+ 4. Z.

~ 1

0

0

1

-4 ~

0

1

1

0

1

0

0

0

-4

20

_ 0

0

-1

-1

3 _

3. Iteration Jetzt ist in der 3. Spalte der Einheitsvektor zu erzeugen. Hier ergibt sich das Problem, daß unser Pivotelement 833 = 0 ist. Durch das Vertauschen der 3. und 4. Zeile läßt sich das Problem lösen. Grundsätzlich ist auch ein Vertauschen von Spalten eine äquivalente Transformation. Diese Vorgehensweise empfehlen wir wegen der damit verbundenen Umindizierung der Variablen nicht. Also: " 1

0

0

1

-4 ~

0

1

1

0

1

~ 1

0

0

1

-4 ~

0

1

0

-1

4

0

0

1

1

-3

_ 0

0

0

-4

20 _

3. Z. (-1) ; dann • (-1) + 2. Z. 0

0

-1

-1

_ 0

0

0

-4

3 20 _

4. Iteration Die 4. Zeile ist nun Pivotzeile zur Erzeugung des Einheitsvektors in der 4. Spalte. Dazu wird die 4. Zeile mit -1/4 multipliziert, um 844 = 1 zu haben, also: 1. 4. Z. • (-4) ; dann:.1 +2.Z.

• (-1 ) + 1. Z.

1

0

0

0

0

1 0

0

0

1 0

L 0

0

0

1

0 - 1

•(-1) + 3. Z. 2 1

-5

Auf der rechten Seite der so umgeformten Matrix können wir nun die Lösung ablesen: X1 = 1, x2 = -1, X3 = 2, X4 = -5. Daß das die Lösung sein muß, ergibt sich auch aus der Schreibweise als Skalarprodukt: 1 \

f 0 \

0

1 X1 +

0 V 0

0 /

V o /

f 0 \

0 x2 +

0

V o /

1

\

-1

X4:

X3 +

1

/

0 V 1 /

2

V

-5

/

9 Lineare Algebra

371

Wir machen die Probe: 2-(-1)

+

2-2

1 +

(-1)

+

2

+

2 • (-5)

3 •1 +

(-1)

+

2

-

(-5)

2 - (-1)

+

2

+

3 • (-5)

1

+

2-

4-

1 +

5

=

-2

==

-7 9

=:

-11

Beispiel 9-27 x

+ 4y

+ 3z

= -1

1

4

3

-1 "

2x

+ 9y

+ 8z

= 1 ->

2

9

8

1

3x

+ 13y

+12z

_ 3

13

12

7 _

=7

1. Iteration

2. Iteration

1. Z. • (-2) + 2. Z. - > • (-3) + 3. Z.

" 1

4

3

-1 ~

0

1

2

3

. 0

1

3

10 .

" 1

0

0

22 "

0

1

0

-11

_ 0

0

1

7

2. Z. • (-4) + 1. Z. - >

" 1

0

-5

0

1

2

3

_ 0

0

1

7

(-D + 3. z.

-13 "

.

3. Iteration 3. Z . - 5

+ 1 . Z . ->

• (-2) + 2. Z.

Ergeben

sich

beim

Lösung:

x = 22 y = -11 z=

.

Eliminationsverfahren

in

einer

7 Zeile

nur

Nullen,

ist

das

Gleichungssystem nicht eindeutig lösbar.

9-2-3-2

Der Gauß'sche Algorithmus

Das Eliminationsverfahren läßt sich wie folgt abwandeln: Lediglich in der letzten Zeile der erweiterten Koeffizientenmatrix A/b läßt man durch entsprechende äquivalente Transformationen alle Variablen verschwinden, bis auf die letzte. Aus der letzten Zeile läßt sich dann die Lösung für x„ in der letzten Spalte ablesen. In der vorletzten Spalte bringt man dann alle Variablen bis auf x „ . 1 und xn zum Verschwinden. Durch Einsetzen der Lösung von x„ läßt sich auch die Lösung für x„. 1 bestimmen. Analog dazu geht man jeweils zur nächst höheren Zeile sukzessiv vor. Aus der Vorgehensweise folgt, daß A/b in eine obere Dreiecksmatrix umzuformen ist, aus der die Lösung für die letzte Variable ermittelt werden kann. Durch sukzessives

372

9 Lineare Algebra

Einsetzen der Lösung(en) in die nächst höhere Zeile lassen sich die übrigen Variablen bestimmen: an

ai2

a2i

a22

— ami

am2

...

...

...

ai„

a2n

bi

a

b2

11

0

a

...

a

b

a ... 22

a

b

... a

b

12

12

2n

1

2

amn bn —

b; 0

0

mn

n

Beispiel 9-28 1. Iteration " 1

2

-1

6

33 "

2

-4

2

-2

-6

•1

-1

4

1

4

13

•(-3)+ 4. Z.

_ 3

-2

3

1

11 _

A/b =

~ 1

1.Z. (-2)+ 2. Z. + 3. Z.

->

6

2

-1

0 -8

4

-14 -72

0

6

0

10

_ 0 -8

6

-17 -88 _

2. Iteration 2.Z.-4

+3.Z.

2

-1

33

0-8

4

-14 -72

0

0

3

-8

L 0 0

2

-3

-16

1

2

-1

6

33

0-8

4

1

(-1) + 4. Z.

J

3. Iteration 3. Z. • (-7) + 4. Z. -»

0

0

0

0

-14 -72

i * 0

8 3

-Ö

32 "3

8 _ 32 _ -> - ßX4 - - ß —> X4 —

A

33 "

46

373

9 Lineare Algebra Die Lösung >q = 4 setzen wir in die 3. Zeile ein: 1 3X3 - 2 • 4 = -8

x3 = -2

Diese beiden Lösungen setzen wir nun in die 2. Zeile ein: -8X2 + 4 • (-2) - 1 4 • 4 = -72 -> x2 = 1 Eingesetzt in die 1. Zeile folgt: Xi + 2 • 1 + (-1) • (-2) + 6 • 4 = 33

Xi = 5

Der Gauß'sche Algorithmus läßt ggf. eine schnellere Lösung des Gleichungssystems wegen der geringeren Anzahl der Zeilenoperationen zu. Vor allem dann, wenn die Determinante von A zu bestimmen ist (Produkt der Elem. der H D bei oberer Dreiecksmatrix), sollte so vorgegangen werden.

9-2-3-3

Die Cramer Regel

Wie wir bereits wissen, setzt eine eindeutige Lösung eines linearen Gleichungssystems voraus, daß RgA = RgA/b = n = r. Damit liegt eine quadratische Koeffizientenmatrix mit n linear unabhängigen Spaltenvektoren vor, die regulär ist, so daß det A * 0 ist. Für die Lösung des linearen Gleichungssystems läßt sich nun die Determinante der Koeffizientenmatrix verwenden, wobei sich der Wert für Xj wie folgt ergibt: . det A| ~ det A

XJ

Die Berechnung der n - Determinanten Aj erfolgt so, daß man jeweils die j-te Spalte durch den Vektor der Absolutglieder b ersetzt und dann die zugehörige Determinante üblich berechnet. Beispiel 9-29 2x

+

3y

+

8z

=

15

X

+

2y

+

3z

=

7

X

+

y

+

z

=

4

15

3

8

15

3

7

2

3

7

2

4

1 1 4

1

-> det A =

2 = -8 = det Ai

15

1 7 1 4

8 3

2

3

8

2

3

1

2

3

1

2

1

1

1

1

1

2

15 1 7

1 1 4

4 +9 + 8 = 21 =

21 - 25 =

= -4 = det A 2

374

9 Lineare Algebra

2

3

1 2

15

2

7

1 2

1 1 4 x =

3 = -4 = det A3

1 1

det Ai det A = - 4 ~ 2 ;

y

det A2 -4 ~ det A " - 4 "

1; z

det A3 -4 ~ det A ~ - 4 ~

1

Der Lösungsvektor lautet also: x' = (2, 1, 1 )

9-2-3-4

Lösung mittels der Inversen

Wir wissen, daß für eine eindeutige Lösung eine reguläre Matrix der Koeffizienten vorliegt. Für reguläre Matrizen aber existiert die Inverse A"1. Unser Gleichungssystem lautet: A • x = b Aus 9-1 -5 kennen wir die Lösung:

(A' 1 • A )x = A'1 b

x = A'1 • b

Zur Bestimmung des Lösungsvektors ist also die Inverse mit dem Vektor der Absolutglieder zu multiplizieren. Beispiel 9-30 2x

+

= 0,9

y

|A|n = 5x

+

2y

5x

+

2y

2

1

+ +

4z

=2,7

6z

= 3,1

A-1A "detA IAI2, =

0 |A|»1 =

5

2

4

L 5

2

6

5

IA

12

= 10 ->«12 = -10 5

6

2

0 12 -> a.22 = 12

5

6

2

0 8 -XX32:

5

4

4

2

6

1

0

2

6

1

0

2

4

= 4 - > ctn =

4

= 6 - > CI21 = -6

= 4 - > 013 =

= - 1 - > a23 = 1

i A I 23 =

IA133

0

=

= -1 —> OC33 = -1

375

9 Lineare Algebra

IA| =

1

0 2

1

5

2

4 5

2

5

2

6 5

2

4

-6

4 "

-10

12

-8

1

-1 .

" Aad =

2

_ 0

-2 x = A'1 • b =

5 - 6

4

1

A"1 =

1 "2

^ 0,9

30

2 J

V 3,1

46 = -2

-

4

-6

4 "

-10

12

-8

1

" -2

3

-2 ~

5

-6

4

0

1 "2

1 2 _

=

-1 . x = 0,1

^ 0,1 N

2,7

1

"2

20

_ 0 -2

0

9-2-3-5

- >

16

44 "

3

n

=

24

y = o,7

0,7

z = 0,2

J v 0,2 y

Lösung mit dem Austauschverfahren

Dieses Verfahren haben wir bereits zur Bestimmung der Inversen kennengelernt. Zur Lösung eines Gleichungssystems gehen wir so vor, daß wir die Spaltenvektoren aj der Koeff.-Matrix A und den Vektor der Absolutglieder b in die Austauschtabelle schreiben. Dann versuchen wir, alle Spaltenvektoren in die Basis zu bringen. Ist dies möglich, ist RgA = RgA/b. Die Lösung ergibt sich dann in der Spalte der Absolutglieder. Beispiel 9-31 zu lösen ist:

2xi + 6x2 = 6 5xi - 10x2 = -5 Wir tauschen x, gegen ei, so daß die „2" Hauptelement ist.

*( e2

xi

x2

b

5 5

6

6

-10 -5

Dies wird durch seinen Kehrwert 1/2 ersetzt. Die Elemente der 1. Zeile (= Schlüsselzeile) werden durch 2, die der Schlüsselspalte durch -2 dividiert. Die „-10" ersetzen wir: -10 -

i

5-6

5-6 = -25 und die „-5": -5 - ^ = -20.

Nun bringen wir x2 gegen e2 in die Basis. „-25" ist HE. Die

e,

x2

b

Elemente der Schlüsselzeile ergeben sich durch Division

X1

0,5

3

3

mit -25 und die der Schlüsselspalte durch Division mit +25.

e2

-2,5 ^25) -20 Anstelle der „3": 3 -

= 0,6 ; Für „0,5": 0,5 -

3

= 0,2.

376

9 Lineare Algebra e,

e2

x

Den Lösungsvektor können wir nun rechts ablesen:

0,6 x, = 0,6; x2 = 0,8. Ebenfalls können wir RgA = 2 = RgA/b

X1

0,2 0,12

x2

0,1 -0,04 0,8 bestimmen. Außerdem geben die Koordinaten die Inverse A"1 an.

9-3

Eigenwerte und quadratische Formen

Bei vielen ökonomischen Problemstellungen taucht das sogen. Eigenwertproblem auf, so z.B. bei linearen Differentialgleichungen oder bei Funktionen mit mehreren Variablen. Dazu betrachten wir eine quadratische Matrix A, einen Vektor x und eine reelle Zahl k, die die folgende Gleichung erfüllen, ohne daß x = 0 (= triviale Lösung). A•x=k•x

=k-Ex->Ax-kE-x =0->(A-kE)x =0

k bezeichnen wir als Eigenwert, x als Eigenvektor und (A - kE) als charakteritische Matrix. Besteht A aus n linear unab. Vektoren, bildet A eine Basis und RgA = n, womit für unsere Ausgangsgleichung genau eine Lösung existiert. Daraus folgt, daß der Rg(A - kE) < n sein muß, um eine nicht triviale Lösung zu erhalten. Rg(A - kE) < n ist aber gleichbedeutend mit dem Verschwinden der Determinante von (A - kE), also det(A - kE) = 0. Durch die Rechenregeln zur Determinantenbestimmung können wir dann die gesuchten Eigenwerte k berechnen. Beispiel 9-32 1 -1,5

-41 2

• det( A - kE) =

-k 1,5

-4 = (1 - k)(2 - k) - ((-1,5)(-4)) = k 2 - 3k - 4 = 0 2-k

Diesen letzten Term nennt man charakteristisches Polynom. Da in jeder Spalte der Determinate ein Element (% - k) vorkommt, ist das Polynom stets vom Grade n. Die Lösung liefert uns die beiden Eigenwerte ki = 4 und k2 = -1. Daraus folgt für ki: "-3 -1,5

-4 -2

V

= 0 ->

- 3x, - 4x, = 0 -> x.1 = -1,5*, - 2x1 = 0

beliebig, so daß bei Vorgabe für x2 = -3 folgt: Xi = 4. Damit lautet der Eigenvektor zu k,: X(D =

4 ; aber auch alle Linearkombinationen von x mit Si * 0 lösen die charakter-3

istische Gleichung. Für k = -1 folgt analog: 2

- 4

1,5

3

= 0 -»

2x, - 4x2 = 0 x, = 2x2 1,5x, +3x 2 = 0

377

9 Lineare Algebra

Hierfür gilt wieder, daß x2 = beliebig; x2 = 1 -> x< = 2. Damit sind die Eigenvektoren zu k 2 = -1 als x

beantwortet die Frage, wieviel kann bei vorgeg. Prod.mengen verkauft werden?

1

(E-P)- y = (E-P)-

1

(E-P)-q

(E - P)'1 y = E • q - > beantwortet die Frage, wieviel muß bei vorgeg. Verk.mengen produziert werden? 1

q = (E • P)- • y " 1

0

0 "

0

1

0

. 0

0

1 .

Wir berechnen y :

-

L

0

0

0,3

" 100 "

0,75

0

0,5

200

0

0

0

J

" 55 50

=

_ 150 .

'

. 150 .

D.h. von Produkt 1 gehen 55 Einh. in den Verkauf und 100 - 55 = 45 werden für die Produktion anderer Güter verwendet; bei 2 sind es 50 Verkauf und 200 - 50 = 150 Weiterproduktion; bei 3 gehen alle 150 in den Verkauf. Nun setzen wir den Verkaufsvektor y als gegeben an, und fragen, wieviel muß produziert werden: ' (E - P)/E =

1

0

-0,3

1

0

0

1.Z.

-0,75

1

-0,5

0

1

0

3. Z. • 0,3

0

0

1

0

0

1 J

.

(E - P)'1 =

1

0

0,3

0,75

1

0,725

0

0

+1.Z.

• 0,5 + 2. Z.

"

1 .

0,75 + 2 . Z.

(E - P)'1 • y = L

1

0

0,3

0,75

1

0,725

0

0

1

"

55

100

50

200

. L 150 J

150 J

Das Ergebnis, der Produktionsvektor q, ist identisch mit unseren Ausgangsangaben.

9 Lineare Algebra

380

Beziehen wir den exogenen Input mit ein, können wir folgende Matrizengleichungen aufstellen: 0

1

3,6

0,6

1,2

2

1

0

" 2,5 v= R•q= _

" 100 "

"

200 .

" 400 " 660

=

. 150 .

_ 400 .

Anstelle von q können wir einsetzen (E - P)"1 • y:

v = R (E - P)-1 • y =

2.5

0

1

1

0

0,3

3.6

0,6

1,2

0,75

1

0,725

2

1

0

0

0

1

L 2,5

0

1,75

" 55 "

4,05

0,6

2,715

50

L 2,75

" 400 " 660

=

1,325 J _ 150 _

1

L

_ 400 .

Fragen wir nun, wieviel kann bei gegeb. Rohstoffmengen produziert werden, lösen wir v = R • q nach q auf: q = R-1 • v Zur Ermittlung von R'1 vertauschen wir zwecks Vereinfachung die 2. und 3. Zeile: 2.5

0

1

1

0

0 1

1. Z. • 0,4

2

1

0

0

1

0

2. Z. • -0,6 + 3. Z.

3.6

0,6

1,2

0

0

R/E =

R'1 =

" 2

-1,6

1

-4

3,3

-1

_ -4

4,16

1 J

"

-2,5 .

3. Z. -4,167

" 2

-1,6

1

-4

3,3

-1

q =

_ -4

II • -2 + 2. Z.

4,16

'

11 • -0,4 + 1. Z. 11 • 0,8 + 2. Z. " 100 "

" 400 " 660

-2,5 .

II • -3,6 + 3. Z.

. 400 .

=

200 . 150 .

Fragen wir nach dem Verkaufsvektor y bei gegeb. Rohst.vektor v, erhalten wir aus y = (E - P)R'1v

y = (E - P)q und q = R"V

y =

y= L

1

0

-0,3

2

-1,6

1

" 400 "

-0,75

1

-0,5

-4

3,3

-1

660

0

0

1

_ 400 .

J

3,2

-2,916

1,75

400

55

-3,5

2,5

-0,5

660

50

-4

4,16

-2,5 J

400 J

L 150

9

381

Lineare Algebra

Leontief - Inverse

Ein volkswirtschaftliches Verflechtungsproblem besonderer Art ergibt sich, wenn die einzelnen Sektoren einer Volkswirtschaft Leistungen untereinander abgeben und außerdem die Endnachfrage befriedigen. Tabellarisch sieht dann die Verflechtung wie folgt aus: empfangender Sektor

abgeben-

Endnachfrage

ges. Output X

der Sektor

S1

s2

s.

y

s,

MN

M12

M,„

E,

M11 .. + EI = 0,

s2

M21

M22

M2„

E2

M21 .. + E2 = o2

s„

MM

M„2

MNN

E„

MNI .. + E N = 0„

Dabei sind My die Mengen die Sektor i an Sektor j abgibt. Der gesamte Output des Sektors i ergibt sich dann durch Addition der einzelnen Abgabemengen zuzüglich der Endnachfrage. Setzt man nun jeweils den gesamten Output eines Sektors in Beziehung zur Menge, die er von sich selbst und den anderen Sektoren empfängt, ergibt sich daraus die Matrix der Produktionskoeffizienten A. Mi! M12 Min Mit dieser Matrix A läßt sich nun berechnen, welcher Oi 0 2 On Endverbrauch y bei vorgegebenem Produktionsplan x möglich ist. Man A = M21 M22 On 0, 0 2 Es gilt: x=A• x +y ; daraus folgt:

y = (E - A) • x

Ändert sich dagegen die Endnachfrage y, läßt sich aus dieser Beziehung der neue, nun erforderliche gesamte Output x berechnen:

x = (E • A)"1 • y

Die Inverse (E - A)'1 bezeichnet man auch als Leontief - Inverse. Beispiel 9-34a

s,

s2

E

Output

s,

20

60

20

100

s2

50

100

50

200

r

20 60 =0,2 100' 200"=0,3

50 100 =0,5 =0,5 L 100" 200"

9 Lineare Algebra

382

Angenommen die Endnachfrage ändert sich nun von y' = (20 50) auf y' = (40 50) errechnen wir den nun erforderlichen Gesamtoutput wie folgt: " 0,2 0,3 "

" 0,8

-0,3

. -0,5

0,5

(E-A) =

A= - 0,5 0,5 .

Die Inverse bestimmen wir mit der adjungierten Matrix: Det (E-A) =

0,8

- 0,3

-0,5

0,5

= 0,25; (E - A)"1 = q425

" 40 "

" 140 "

_ 2 3,2 . . 50 .

. 240 .

2

1,2 "

" 0,5

0,3 "

"2

1,2

. 0,5

0,8 .

.2

3,2 .

= x als neuer erforderlicher Output

9-4-2 Modell einer Materialverflechtung Zwei Vorprodukte Vi und V2 werden zu zwei Zwischenprodukten Z t und Z2 verarbeitet und diese zu einem Endprodukt E. Die Zusammenhänge zwischen den benötigten Mengeneinheiten sind im folgenden Gozintographen wiedergegeben: Abb. 9-9

Von E seien 200 ME herzustellen. Welche ME von V! und V2 müssen produziert werden, um die Produktionsauflage zu erfüllen? Vi und V2 sei xi und x2; Zi und Z2 sei x3 und X4; E sei X5. Daraus läßt sich folgendes Gleichungssystem aufstellen: Xi = 1x3 + 4x4 x 2 = 2x3 + 5x< + 6x5 Xs = 3x4 + 3x5 X4 = 2xs Xs = 200

bzw. geordnet: xi

x2

1x3

-

4x4

= 0

2x3

-

5x4

-

6x5

= 0

Xs

-

3x4

-

3xs

= 0

X4

-

2X5

= 0

X5

= 200

9 Lineare Algebra

383

In Matrizenschreibweise ergibt sich eine obere Dreiecksmatrix, deren Lösung sich durch sukzessives Einsetzen nach dem Gauß'schen Algorithmus wie folgt ergibt: 1 0 - 1 - 4 0

0

0

1 - 2 - 5 - 6

0

0

0

1 - 3 - 3

0

0

0

0

1

-2

0

L 0 0

0

0

1

X-) = 3400 x2 = 6800 Xa= 1800 X4 = 400

200 J Xs = 200

Aus dem Gozintographen läßt sich der Teileeinsatz in einer Matrix A aufstellen, die die direkten Einsatzkoeffizienten angibt:

A=

0

0

1 4

0

0

0 2 5 6

0

0 0 3 3

0

0 0 0 2

0

0 0 0 0 J

Diese Matrix nennt man Verflechtungsmatrix. Sie ist immer quadratisch, weil in den Zeilen die Erzeugnisse (oder Betriebe oder Zweige) als Lieferanten und in den Spalten die Bezieher auftreten. l.d.R. gehen die Produkte einer Stufe nur in die nächst höhere ein, so daß meist eine obere Dreiecksmatrix vorliegt.

Ähnlich wie bei der Input - Output - Analyse wird von der Gesamterzeugung jeder Stufe ein Teil im produzierenden Bereich weiterverarbeitet (Eigenverbrauch), während der andere Teil in den Verkauf geht. Ges.Prod. x = zu verk. Prod. y + Weiterv. w Für den Eigenverbrauch in der Weiterverarbeitung gilt: w = A • x; und für die Gesamterzeugung: x = y + A • x. Fragen wir nun, wieviel bei vorgegebener Gesamtproduktion auf den einzelnen Stufen davon in den Verkauf gelangen kann, ist x = y + A • x nach y aufzulösen: (E - A) = Kopplungsmatrix

y = x - A • x bzw. y = ( E - A ) - x

Nehmen wir an, folgende Mengen seien produziert worden: x' = (6000, 11000, 3000, 600, 200); davon kann verkauft werden: 1 0 - 1 - 4 0

6000 ~

0

11000

1 - 2 - 5 - 6

0

0

1

-3-3

3000

0

0

0

1

-2

600

L 0 0

0

0

1 J

200

y = (E - A) • x =

~ 600 ~ 800 =

600 200

_

_ 200 _

384

9 Lineare Algebra

Eine weitere Fragestellung ergibt sich, wenn wir den Verkaufsvektor y als gegeben ansetzen und nun wissen möchten, wie hoch die notwendige Gesamtproduktion jedes Produkts ist. Dazu lösen wir x = y + A • x nach x auf: Die Inverse der Kopplungsmatrix (E - A)'1 ist die Matrix des totalen Teileeinsatzes. Sie gibt an, wieviel Einheiten des Produkts i in einer Einheit des Produkts j enthalten sind.

x-A • x=y (E - A) • x = y x = (E - A)"1 • y

(E-A)"1 läßt sich mittels der Neumannschen Reihe ermitteln (vgl. dazu Abschnitt 9-1-5): (E - A)"1 = E + A + A2 + ... + An Wegen der nur oberhalb der Hauptdiagonalen von Null verschiedenen Elemente der Matrix A, bietet sich dies Verfahren der Inversenbestimmung hier wegen des relativ geringen Rechenaufwands an. Sobald eine Potenz von A die Nullmatrix ist, brechen wir ab: 0 0 1 4

0

0

0

1 4

0

0 0 2 5 6

0 0 2 5 6

0 0 0 3 3

0

0

0 0 0 0 2

0

0

0

2

0 0 3 3

L 0 0 0 0 0 JL 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0

0

1 0

0 0 2 5 6

0

0

0

0 0

0 0

1 4

0

0

0

0 0 3 3

1 0

0

0

1 0

L o o o o

0

+

~ 1 0 1 0

1 2

7

17 ~

11 34

0 0 1

3

9

0 0 0

1

2

0 0

0

1 _

_ 0

0

2

1 JL 0 0 0 0 0 J

E

(E-A)"1 =

0

0 0 0 3 11

0

0 0 0 6 16

0 0 0 0 12

0

0

0

0

6

0

6

0

0 0 0

0

0 0 0 0

0

0 0 0 0

0

0 0 0 0

0

0 0 0 0

0

0

0

9 Lineare Algebra

385

Nehmen wir an, y sei mit y' = (1000, 1500, 500, 400, 200) vorgegeben " 1 0 0

1

1 2

7

17 ~ ~ 1000 "

11 34

1500

Dann ist insgesamt x =

0 0

1

3

9

500

zu produzieren

0 0 0

1

2

400

_ 0 0 0

0

1 _ _ 200 _

9-5

Einführung in die lineare Optimierung

9-5-1

Grundbegriffe und einführendes Beispiel

~ 7700 ~ 13700 3500

=

800 _

200

_

Die lineare Optimierung (häufig spricht man auch von Programmierung) ist Teilgebiet des Operations Research. Allgemein geht es dabei um die Maximierung oder Minimierung bestimmter Zielgrößen (Zielfunktion) unter Beachtung der vorhandenen Möglichkeiten (= Nebenbedingungen). Dabei sind die Zielfunktion und die Nebenbedingungen, die i.d.R. in Ungleichungsform vorliegen, in linearer Form gegeben. Beispiel 9-36 In einem Unternehmen werden zwei Produkte, xi und x2 auf zwei Maschinen, A und B, hergestellt; dabei sind auf A 2 Minuten für x, und 5 Minuten für x2 erforderlich und auf B für x, 6 Minuten und für x2 3 Minuten. Die maximale wöchentliche Arbeitszeit beträgt 2400 Minuten. Xi

x2

Da die Arbeitszeit mit 2400 Minuten eine Obergrenze dar-

A

2

5

stellt, lassen sich aus diesen Angaben folgende Un-

B

6

3

gleichungen aufstellen: I

2xi

+

5x2
0,..., x„ > 0 zu maximieren oder zu minimieren. Oder in Matrizenschreibweise: A • x < c. Gesucht ist der Lösungsvektor x, der sowohl Ax < c als auch die Zielfunktion erfüllt.

9-5-2

Das Simplex - Verfahren

Unser Beispiel 9-36 war recht einfach (zwei Variable, zwei Restriktionen) gehalten. Dadurch war die graphische Bestimmung des Optimums ohne Aufwand möglich. Bei mehr als drei Variablen ist aber auch die graphische Ermittlung des Optimums nicht mehr möglich. Daher sind in der Vergangenheit einige Verfahren zur numerischen Lösung linearer Optimierungsprobleme entwickelt worden, von denen die SimplexMethode das bekannteste ist. Hierbei wird die Lösung nicht in einem Schritt, sondern iterativ entwickelt. Man sucht zunächst eine zulässige Lösung; ist diese nicht optimal, so sucht man eine neue verbesserte Lösung; danach ggf. wieder eine verbesserte Lösung, bis man das Optimum erreicht hat. Dabei wendet man auf die in Tabellenform geschriebenen Koeffizienten der Nebenbedingungen und der Zielfunktion Rechenoperationen an, die wir bereits als äquivalente Transformationen aus der Matrizenrechnung kennen. Ausgangspunkt ist das Ungleichungssystem der Nebenbedingungen. Diese werden in einem ersten Schritt durch Einführung von sogen. Schlupfvariablen in lineare Gleichungen umgeformt, weil die rechnerische Behandlung eines linearen

389

9 Lineare Algebra

Gleichungssystems einfacher ist. Die ökonomische Interpretation der Schlupfvariablen ist, daß sie die durch die Ungleichungen gegebenen nicht ausgenutzten Kapazitäten ausdrücken. Auch für die Schlupfvariablen gilt die Nichtnegativitätsbedingung. In einem nächsten Schritt wird die Zielfunktion implizit geschrieben, d.h. gleich Null gesetzt, und zwar so, daß die zu optimierende Variable positiv ist. Dann werden die Koeffizienten der Haupt- und Schlupfvariablen in einer Tabelle, dem sogen. Simplextableau, spaltenweise notiert. Anschließend wird eine erste zulässige Lösung gesucht. Diese Vorgehensweise soll an folgendem Beispiel erläutert werden: Beispiel 9-37 In einem Gewächshaus werden nur Tomaten (xi) und Gurken (x2) angebaut. Die Gewinne pro Flächeneinheit (FE) betragen für die Tomaten 30,- Geldeinheiten (GE) und für die Gurken 15,- GE. Die zu maximierende Zielfunktion lautet demzufolge: G = 3xi + 1,5X2 Beim Anbau ergeben sich drei Restriktionen als Ungleichungen: 1)

Im Winter müssen die Pflanzen verzogen werden, wozu pro FE bei den Tomaten 3 Stdn. und bei den Gurken 4 Stdn. erforderlich sind. Wegen anderer Arbeiten stehen für das Verziehen maximal 36 Stdn. zur Verfügung: 3xi + 4x2 < 36

2)

Im Sommer muß gejätet und gedüngt werden, was für x( einen Zeitaufwand von 1,5 Stdn. und für x2 einen solchen von 6 Stdn. bedeutet. Weil man im Sommer auch gern Tennis spielt, stehen für diese Arbeiten maximal 24 Stdn. zur Verfügung. 1,5xi + 6x2 < 24

3)

Aus Gründen des Fruchtwechsels ist es erforderlich, daß nicht mehr als 11 FE mit Tomaten bepflanzt werden. Xi < 11

Dazu kommen noch die Nichtnegativitätsbedingungen, denn ein Anbau von weniger als Null Einheiten ist nicht möglich: (xi,x 2 >0)

390

9 Lineare Algebra

Lösung des Problems: 1)

Einführung der Schlupfvariablen Vi. v? und vi

Wie bereits erwähnt, formen wir das Ungleichungssystem mit den Schlupfvariablen in ein Gleichungssystem um. Wirtschaftlich gesehen bezeichnen die Schlupfvariablen die nicht ausgenutzte Kapazität eines Arbeitsgangs. Betrachten wir die erste Ungleichung 3xi + 4X2 < 36, bedeutet das Ungleichheitszeichen, daß die zur Verfügung stehende Zeit von 36 Stunden nicht voll ausgenutzt wird. Fügen wir nun die Schlupfvariable yi ein: 3xi + 4x2+ yi = 36, steht hier 3Xi+ 4x2 für die ausgenutzte und y, für die nicht ausgenutzte Zeit. Die Summe aus ausgenutzter und nicht - ausgenutzter Zeit muß die verfügbare Zeit ergeben. Nehmen wir an yi = 36, heißt das, daß gar nicht verzogen wird. Damit ergibt sich folgendes Gleichungssystem; +

4X2

+

YI

= 36

1,5x,+

6x2

+

Y2

= 24

1X1

0x2 +

YA

= 11

3xi

2)

+

Umformen der Zielfunktion -3x, -

3)

1,5X2+

G

=0

Aufstellen des Simplex-Tableaus X1

x2

YI

V2

Vi

G

b

3

4

1

0

0

0

36

1,5

6

0

1

0

0

24

1

0

0

0

1

0

11

-3

-1,5

0

0

0

1

0

Dabei stehen in der Kopfzeile alle Hauptvariablen und dann die Schlupfvariablen und dann die zu optimierende Variable. Die einzelnen Zeilen sind dann als Gleichungen zu lesen, wobei in den Feldern nur die Koeffizienten der Variablen stehen. In der letzten Spalte nach dem Doppelstrich, der als Gleichheitszeichen zu interpretieren ist, stehen die Lösungen: Z.B.: 3x, + 4X2 + 1yi + 0y2 + 0y3 + 0G = 36 Die letzte Zeile gibt die Zielfunktion an. 4)

Suche einer ersten zulässigen Lösung

Man erhält eine erste Lösung des Gleichungssystems, indem man x, = 0 und x2 = 0 setzt. Die Schlupfvariablen nehmen dann folgende Werte an:

9 Lineare Algebra

391 y, = 36, y2 = 24, y3 = 11

Diese Lösung nennt man 1. Basislösung. Die Schlupfvariablen heißen für die Ausgangslösung Basisvariable, denn zu jeder gehört ein Einheitsvektor, so daß diese in der Lösung sind. Die nicht in der Lösung befindlichen Variablen heißen Nichtbasisvariable; sie nehmen in der Ausgangslösung den Wert Null an. Die 1. Basislösung liefert wegen x, = x2 = 0 einen Gewinn von G = 0. Geometrisch stellt jede zulässige Lösung einen Eckpunkt des Polyeders der konvexen Punktmenge (= Bereich der zulässigen Lösungen) dar. Die erste Basislösung gibt hier den Ursprung an. Die o.a. Notierung unseres Simplex - Tableaus enthält bereits die erste Basislösung. Die 1. Zeile liest man dann: 3 • 0 + 4 • 0 + 1y, + 0y2 + 0y3 = 36 usw. Der zu jeder zulässigen Lösung gehörende Gewinn steht dann im unteren rechten Feld. ökonomisch bedeutet die erste Basislösung, daß weder Tomaten noch Gurken (xi = x2 = 0) angebaut werden; der daraus resultierende Gewinn ist Null. 5)

Verbesserung der gefundenen Ausganaslösuna

Dazu muß nun Xi oder x2 Basisvariable werden. Dafür muß eine andere Variable aus der Basis entfernt werden. Es ist also eine Basistransformation vorzunehmen. Dazu wählt man zweckmäßigerweise die Variable mit dem größten negativen Koeffizienten aus. Ökonomisch heißt das, die Variable mit dem größten Stückgewinn. In unserem Beispiel ist das Xi mit „-3". Da nun die Variable Xi in die Basis soll, ist in deren Spalte der Einheitsvektor zu erzeugen (= Haupt- oder Pivotspalte). Nunmehr ist zu bestimmen, welche Variable aus der Basis genommen wird (= Bestimmung der Haupt- oder Pivotzeile). Dazu dividiert man für jede Zeile den Wert der letzten Spalte durch den zur Pivotspalte (hier: Xi) gehörenden Wert und bestimmt davon das Minimum. 36: 3

=12

24:1,5

=16

11 : 1

Ökonomisch heißt das, man bestimmt die maximal möglichen Flächeneinheiten für den Tomatenanbau. Da die Tomaten beim Verziehen pro FE 3 Stdn. benötigen und insgesamt dafür 36 Stdn. zur Verfügung stehen, heißt das 36 : 3 = 12 FE können hinsichtlich

des Verziehens max. mit Xi belegt werden. Im Hinblick auf das Jäten sind es 24:1,5 = 16 FE. Insgesamt dürfen wegen des Fruchtwechsels nur 11 FE überhaupt mit

392

9 Lineare Algebra

Tomaten bebaut werden, so daß damit die überhaupt mögliche maximale Anzahl von FE für Xi festliegt. Unser Minimum war 11, womit die 3. Zeile Pivotzeile wird, d.h. das Element im Kreuzungspunkt von Pivotzeile und -spalte muß = 1 werden. Zufällig ist unser Pivotelement bereits = 1. Ansonsten müßte es durch Multiplikation mit dem Kehrwert entsprechend umgeformt werden. Die anderen Elemente der Pivotspalte sind nun zur Erzeugung des Einheitsvektors in Null umzuformen. Dies erreicht man durch bereits bekannte Zeilenoperationen, indem man die entsprechenden Vielfachen der Pivotzeile zu den anderen Zeilen addiert. Hier also: PZ • (-3) + 1. Z. || • (-1,5) + 2. Z.

X1 0 0

j • 3 + 4. Z.

x2

yi

Yi

ys

4

1

0

-3

1

-1,5

6

1

0

0

-1,5

0 0 0

0 0

G

1

0 0 0

3

1

b 3 7,5 11 33

Damit ergibt sich die 1. verbesserte Lösung mit einem Gewinn von G = 33 GE, wobei die mit Tomaten anzubauende Fläche FE = 11 ist; y3 wird voll in Anspruch genommen. Weiter lesen wir, daß beim Verziehen 3 Stdn. unausgenutzte Kapazität yi = 3 und beim Jäten 7,5 Stdn. unausgenutzte Kapazität y2 = 7,5 bleiben. Solange sich im Tableau einer verbesserten Lösung noch negative Werte in der letzten Zeile zeigen, ist das Optimum noch nicht erreicht. 6)

Weitere Verbesserungen bis zur Auffindung des Optimums

In unserem Beispiel zeigt die „Gurkenspalte" mit x2= -1,5 noch einen negativen Wert. Somit muß nun x2 in die Basis. Zur Bestimmung des Pivotelements suchen wir wieder die Schnittmenge der Ungleichungen: 4x2 < 3

x2 < 0,75

Min.

6X2 x2 < 1,25

0x2 < 11

->• nicht zulässig

Das Minimum (= Schnittmenge) ergibt sich für x2 = 4, so daß dieses Element Pivotelement wird.

393

9 Lineare Algebra

Dazu multiplizieren wir die 1. Zeile mit 1/4. Zur Erzeugung des Einheitsvektors in der 2. Spalte multiplizieren wir entsprechend und addieren dann zu den anderen Zeilen:

X1

x2

yi

V2

ys

G

b

0

1

1/4

0

-3/4

0

3/4

0

0

-3/2

1

3

0

3

1

0

0

0

1

0

11

0

0

3/8

0

15/8

1

34,125

In der letzten Zeile stehen in den Spalten der nicht mehr in der Lösung befindlichen Schlupfvariablen die sogen. Schattenpreise, die angeben, um wieviel sich G erhöht, wenn die Restriktion um 1 Einheit erhöht wird. In der letzten Zeile stehen nunmehr keine negativen Werte, so daß wir die optimale Lösung gefunden haben: 3/4 FE sind mit Gurken und 11 FE mit Tomaten anzubauen. Damit wird ein Gewinn von G = 34,13 GE erzielt. Als einzige Schlupfvariable ist noch y2 in der Lösung. Das bedeutet, daß von der 2. Restriktion 3 Stunden unausgenutzt bleiben: 3 1,5 • 11 + 6 • ^ + y2 = 24 y2 = 3. ökonomisch heißt das, daß die für das Verziehen der Pflanzen zur Verfügung stehenden 36 Stdn. voll und ebenso die maximal zum Anbau von Tomaten zur Verfügung stehenden Stdn. voll ausgenutzt werden. Lediglich von den zum Jäten maximal zur Verfügung stehenden 24 Stunden bleiben 3 Stdn. unausgenutzt. Diese kann man möglicherweise nutzen, um sich auf die Mathe - Klausur vorzubereiten. Abb. 9-12

Die gefundene Lösung läßt sich auch graphisch ermitteln. Betrachten wir das Polygon unserer zulässigen Lösungen, stellen wir fest, daß wir uns mit der Simplex-Methode von der 1. Basislösung (0,0) (- triviale Lösung) von Punkt A zur nächsten verbesserten Lösung (11,0) (Punkt B) zur optimalen Lösung (11; 0,75) im Punkt C vorgearbeitet haben. Die Eckpunkte D und E sind als Lösungen nicht mehr berechnet worden, weil das Optimum bereits gefunden wurde.

394

9 Lineare Algebra

9-5-3

Sonderfälle des Maximierungsproblems

Mehrdeutigkeit In den bisher betrachteten Beispielen hatten wir jeweils genau eine optimale Lösung erhalten. Ist aber die Steigung der Isogewinnkurven mit einer Verbindungsstrecke zweier Eckpunkte des Lösungspolygons identisch, wird nicht ein äußerer Eckpunkt tangiert, sondern die optimale Lösung ist identisch mit der Strecke zwischen zwei Eckpunkten. Beispiel 9-38 G = 2Xi + 2x2 ist zu maximieren unter Beachtung: M , : 2xi

+

x2

< 200

M2:

x,

+

x2

0 aus.

x2 = 60

oder:

x2 = 20 Nichtnegativitäts-

396

9 Lineare Algebra

Abb. 9-13 Da die Steigung der Isogewinngeraden mit der Strecke AB des Polygons der zulässigen Lösungen identisch ist, liegt eine mehrdeutige Lösung vor. Alle Punkte auf der Strecke AB stellen eine optimale Lösung dar.

Degeneration Von Degeneration oder Entartung spricht man, wenn eine der Nebenbedingungen den Lösungspolyeder nicht einschränkt, oder m.a.W. eine Nebenbedingung überflüssig ist. Beispiel 9-39 Für die Produkte Xi und x2, die auf den Maschinen M1t M2, M3 gefertigt werden, ergeben sich folgende Bearbeitungszeiten und vorhandene Kapazitäten. Die Stückgewinne sind: x-, = 1, x2 = 0,6. M1: 2xi+ 2X2 < 220

Xi

x2

yi

y2

ya

G

b

M2: 4X,+ 2X 2 0

©

0

0

0

1

0

360

-1

-0,6

0

0

0

1

0

I G = XI + 0,6X2 = Max.

Wegen -1 in letzter Zeile und 220 : 2 = 110, 240 : 4 = 85, 360 : 6 = gegen y3 in die Basis gebracht. 6 ist Pivotelement. • 1/6 | ( - 2 ) + 1.Z | (-4) + 2.Z.

•1+4. Z :

Xi

x2

yt

y2

ys

G

b

0

2

1

0

-1/3

0

100

0

2

0

1

-2/3

0

100

1

0

0

0

1/6

0

60

0

-0,6

0

0

1/6

1

60

= Min. wird *

397

9 Lineare Algebra

Jetzt ist x2 wegen -0,6 in die Basis zu bringen. Da aber 100 : 2 = 50 und auch 100 : 2 = 50, ergeben sich 2 kleinste Quotienten, so daß die Auswahl der Pivotzeile nicht eindeutig ist. Wählen wir die erste Zeile als Pivotzeile, wird x2 gegen yi in die Basis gebracht. Die „2" ist Pivotelement, so daß die 1. Zeile mit 1/2 multipliziert wird: 0, 1,1/2, 0, -1/6, 0, 50 Dann: PZ • (-2) + 2. Z. I • 0,6 + 4. Z. X1

x2

yi

y*

ya

G

b

0

1

1/2

0

-1/6

0

50

0

0

-1

1

-1/3

0

0

1

0

0

0

1/6

0

60

0

0

0,3

0

0,1

1

90

In der letzten Zeile stehen keine negativen Werte mehr, so daß die Lösung mit x-t = 60, x2 = 50 und G = 90 erreicht ist. Jedoch ist die dritte Basisvariable y2 = 0; diese Tatsache weist auf den Fall der Entartung hin: Nimmt eine Basisvariable bei einer Iteration den Wert NULL an, liegt Degeneration vor. Dies zeigt sich meist schon, wenn sich bei der Suche nach dem Pivotelement bei der Division in der letzten Spalte zwei minimale Werte ergeben. In unserem Beispiel hatten wir das Optimum gefunden und dabei Degeneration festgestellt. Problematischer wird die Durchführung des Simplex - Algorithmus, wenn Degeneration vor Erreichen der Optimallösung auftritt. Abb. 9-14 Man sieht deutlich, daß die 2. Restriktion eigentlich überflüssig ist. Sie engt den Lösungsraum nicht weiter ein, sie könnte eigentlich weggelassen werden.

Interpretiert man den Fall der Degeneration ökonomisch, so bedeutet das für den Fall, daß eine Schlupfvariable als Basisvariable = 0, daß alle Kapazitäten voll ausgelastet

398

9 Lineare Algebra

sind; denn die anderen Schlupfvariablen nehmen als Nichtbasisvariable sowieso den Wert 0 an.

9-5-4 Das Mlnimierungsproblem und Dualität Unser Optimierungsproblem bestand bisher darin, daß unter Restriktionen mit einer < Bedingung ein Maximum bestimmt werden mußte. Im ökonomischen Bereich treten auch Fälle auf, in denen die Nebenbedingungen in einer > Bedingung vorliegen; die Zielfunktion ist dann zu minimieren. Bei der graphischen Lösung von Minimierungsproblemen ist genauso vorzugehen, wie bei Maximierungsproblemen: Man trägt die Begrenzungsgeraden der Nebenbedingungen in ein Xi - x2 - Koordinatensystem ein und erhält dadurch den Raum zulässiger Lösung, der sich allerdings bei der Minimierung oberhalb der Begrenzungsgeraden befindet. Das Optimum liegt nun dort, wo eine Isokostengerade dem Ursprung am nächsten gerade noch einen Eckpunkt der zulässigen Lösungen tangiert. Abb. 9-15 Bei gegebener zu minimierender Zielfunktion ist das Optimum bei A.

Bei der Lösung mit dem Simplex - Verfahren bringt man die Ungleichungen ebenfalls mit Hilfe von Schlupfvariablen, die hier allerdings ein negatives Vorzeichen haben, in Gleichungsform. Eine erste Basislösung wäre dann, die Hauptvariablen = 0 zu setzen, wobei dann die Schlupfvariablen mit negativem Vorzeichen in der Lösung wären. Wegen der Nichtnegativitätsbedingung ist diese Lösung aber nicht zulässig. Deshalb ist eine Minimierungsaufgabe in eine Maximierungsaufgabe umzuwandeln. Dies geschieht aufgrund des Dualtheorems: Zu jedem Minimumproblem (= primales Problem) existiert ein und nur ein duales Maximumproblem. Die Umkehrung gilt analog.

399

9 Lineare Algebra Die Umwandlung geht so von statten, daß die Anordnung der Koeffizienten

die

betragsmäßig beim ursprünglichen und dazu dualen Problem gleich sind, hinsichtlich der Zeilen und Spalten vertauscht werden, d.h. A wird zu A'. Beim Vertauschen der letzten Zeile und letzten Spalte verändert man die Vorzeichen. Um hier jedoch Schwierigkeiten vorzubeugen, empfiehlt es sich, das Problem in der gewohnten

Weise

zu notieren.

Während

man beim Minimierungsproblem

die

Gleichungen zeilenweise liest, werden die < - Bedingungen der dualen Maximierungsaufgabe problems

sind

spaltenweise die

gelesen.

Die Basisvariablen

Nichtbasisvariablen

der

dualen

des

Maximierungs-

Minimierumgsaufgabe.

Die

Zielfunktion steht nunmehr nicht in der letzten Zeile sondern in der letzten Spalte. Die Lösungswerte Schattenpreisen

der der

Basisvariablen

der

Maximierungsaufgabe

Nichtbasisvariablen

der

dualen

entsprechen

den

Minimierungsaufgabe.

Die

Lösungswerte der Basisvariablen der Minimierung sind die Schattenpreise der Nichtbasisvariablen der Maximierung. Das Problem läßt sich auch in Matrizenschreibweise beschreiben: !

zu jedem Maximierungsproblem: A • x < b und G = c' • x = max und x > 0 i gibt es genau ein Minimierungsproblem: A' • y > c und K = b' • y = min und y > 0 Wegen (AB)-B'A' schreiben wir A'y > c -»(A'y)' > c' bzw. y'A > c' und K = by i

K= y'b.

Damit lautet das duale Minimierungsproblem: y'A > c1 und y'b = K = min und

y1 > 0.

Beispiel 9-40 Eine Schweinemästerei möchte aus drei verschiedenen Futtersorten eine Mischung herstellen, die hinsichtlich zweier Vitamine gewisse Mindestanforderungen erfüllt. Die folgenden Ungleichungen geben die in 1kg Futter pro Sorte enthaltenen mg an Vitaminen an; rechts des Ungleichheitszeichens stehen die Mindestanforderungen an die neue Sorte: Vitamin A: 1x, + 0x2 + 6x3 > 3 -> A =

1

0

6

Vitamin B: 1x,+1x 2 + 2x3>2

1

1

2

Die Preise pro kg betragen für X1 6, für x2 4 und für X3 24; daraus folgt als Kostenfunktion, die zu minimieren ist:

K = 6Xi + 4x2 + 24x3 -» Min

Wir formulieren das duale Problem:

A'=

1

1

Aus den Komponenten des Spaltenvektors der Restriktionen werden

0

1

die Koeffizienten der Zielfunktion (= Zeilenvektor) des dualen

L 6

2 J

Problems:

3yi + 2y2 = K -> Max

400

9 Lineare Algebra

Die bisherigen Hauptvariablen x werden zu Schlupfvariablen und die Schlupfvariablen y zu Hauptvariablen. Der bisherige Vektor b (= rechte Seite der Nebenbedingungen) wird durch die Koeffizienten der Zielfunktion ersetzt. Aus dem Ausgangstableau des primalen Problems folgt das duale: Xi

x2

X3

yi

y2

K

b

1

0

6

1

0

0

3

1

1

2

0

1

0

2

-6

-4

-24

0

0

1

0

yi

Y2

Xi

x2

x3

K

c

1

1

1

0

0

0

6

0

1

0

1

0

0

4

6

2

0

0

1

0

24

-3

-2

0

0

0

1

0

Das Ausgangstableau des dualen Problems enthält bereits wieder eine erste zulässige Basislösung: Xi = 6, x2 = 4 und x3 = 24 Die weitere Vorgehensweise entspricht der Lösung des normalen Maximierungsproblems: Wir suchen in der letzten Spalte den minimalen Wert (hier: -3) und legen so die Pivotspalte fest (hier 1. Spalte). Das Pivotelement bestimmen wir, indem wir die Werte der letzten Spalte durch die Elemente der Pivotspalte dividieren und das Minimum bestimmen (hier: 6 : 1 = 6, 4 : 0 nicht zulässig und 24 : 6 = 4 = Min). Pivotelement ist also die „6". Die 3. Zeile ist nun mit 1/6 zu multiplizieren; dann: PZ • (-1) + 1. Z. II • 3 + 4. Z.

ergibt die 1. Iteration:

yi

y2

Xi

x2

x3

K

c

0

2/3

1

0

-1/6

0

2

0

1

0

1

0

0

4

1

1/3

0

0

1/6

0

4

0

-1

0

0

1/2

1

12

Daraus folgt die 2. zulässige Basislösung mit Xi = 2, x2 = 4, yi = 4 und K = 12. Pivotspalte ist nun die 2. Spalte und wegen 2 : 2 / 3 = 3 = Min ist 2/3 Pivotelement.

9

401

Lineare Algebra

PZ • 3/2; dann: • (-1) + 2. Z. I- (-1/3) + 3. Z. I - 1 + 4. Z.

2. Iteration

yi

y2

Xi

X2

X3

K

c

0

1

3/2

0

-1/4

0

3

0

0

-3/2

1

1/4

0

1

1

0

-1/2

0

1/4

0

3

0

0

3/2

0

1/4

1

Nach der 2. Iteration gibt es keine negativen Werte mehr in der letzten Zeile, so daß wir die Lösung des dualen Problems haben: Xi = 3/2, x2 = 0, x3 = 1/4 Das Maximum K = 15 des dualen Problems ist zugleich das Minimum unseres primalen Problems. MERKE! Die optimale Lösung des dualen Problems ergibt sich aus der letzten Zeile (= Schattenpreise des primalen Problems) Die Lösungswerte der Hilfsvariablen in der letzten Spalte bezeichnen nun die Schattenpreise; d.h. wie ändern sich die Kosten, wenn man die Mindesteinsatzmengen um eine Einheit verändert. Verbal lautet nun die Lösung unseres Futtermischproblems: Man nehme 1,5kg der Futtersorte x-i und 0,25kg der Sorte X3, um die Anforderungen von 3mg von Vitamin A und 2mg von B in der Mischsorte zu erfüllen. Oder pro kg umgerechnet: 0,86 von x1 und 0,14kg von X3 ergeben 1kg Mischsorte. Futtersorte x2 wird gar nicht verwendet. Die minimalen Kosten von 15 GE beziehen sich auf 1,5kg von X1 und 0,25kg von X3; pro kg müssen sie entsprechend umgerechnet werden: 6 • 0,86 + 24 • 0,14 = 8,52 GE

9-5-5 Das Transportproblem Während man die Simplexmethode dann anwendet, wenn verschiedene Arten von Faktoren (z.B. Maschinen) zur Verfügung stehen, wendet man die Transportmethode an, wenn alle Produktionsfaktoren homogen (gleichartig) sind. Die Lösung des klassischen Transportmodells besteht in der Minimierung des Aufwands, der mit dem Transport von Massengütern (z.B. öl, Kohle, Beton) von mehreren Orten ihrer Förderung bzw. Produktion zu mehreren Orten ihres Bedarfs ohne Zwischenlagerung verbunden ist. Das bedeutet, es gibt eine bestimmte Anzahl von Versendern V und Empfängern E, die ein Gut in gewissen Mengen vorrätig haben bzw. es benötigen, wobei der Transport so vorzunehmen ist, daß die Transportkosten ein Minimum werden. Das Transportproblem läßt sich übersichtlich in einer Tabelle zusammenfassen:

9 Lineare Algebra

402 E2

E,

V,

ki2

kn

X12 k22

k2i

a2

x2n

x22

km2

km1

am

kfnn

xmi

Xm2

b2

b,

Bedarf in EJ

Xln k2n

x21

Vm

ai

km

X11

v2

Vorrat in Vi

En

Xmn

b„

In der Kopfspalte sind die Versender Vi und in der Kopfzeile die Empfänger Ej aufgelistet. Die Felder sind geviertelt; links oben stehen die Transportkosten einer Einheit von i nach j und rechts unten Xy, d.h. die von i nach j transportierte Menge. Die Summe der Xy muß zeilenweise den Vorrat ai der einzelnen Versender (letzte Spalte) und spaltenweise den Bedarf b, der einzelnen Empfänger (letzte Zeile) ergeben. Die freigebliebenen Viertel der Felder werden zur Lösung benutzt. Ähnlich wie beim Simplex - Verfahren beginnt man mit einer zulässigen Ausgangslösung und arbeitet sich iterativ bis zum Optimum vor.

Nord - West - Ecken - Regel zur Bestimmung einer Ausgangslösung Zur Bestimmung einer Ausgangslösung geht man von Feld (1,1) aus und arbeitet sich bis Feld (m,n) so vor, daß man von dem Bedarf von j = 1 soviel wie möglich aus dem Vorrat von i = 1 befriedigt. Kann i = 1 nicht den vollen Bedarf von j = 1 decken, wird der Vorrat von i = 2, ggfs. i = 3 ..., herangezogen. Der zur Deckung des Bedarfs von j = 1 nicht benötigte Vorrat von i = 1 oder i = 2 oder... wird dann j = 2 zugeteilt. Beispiel 9-41 E3

Vorr. Ei hat einen Bedarf von 5 und V, einen Vorrat von 8:

E,

E2

5

3

8

d.h. Vi deckt den Bedarf von Ei vollständig; in (1,1)

v2

3

3

erscheint eine 5. Der Rest von Vi geht nach E2, der

v3

1

4

5

einen Bedarf von 7 hat. 3 davon deckt V1t weitere 3 V2

7

4

16

und die restliche Einheit deckt V3, so daß von deren

V,

Bed.

5

Vorrat von 5 noch 4 für den Bedarf von E3 bleiben. Die Ermittlung der Ausgangslösung nach der Nord-West-Ecken-Regel (= von links oben nach rechts unten) berücksichtigt

403

9 Lineare Algebra

nicht die dabei anfallenden Transportkosten. Diese werden erst bei der Suche nach einer verbesserten Lösung mit einbezogen. Es kann daher die Ausgangslösung weit entfernt vom Optimum sein, wodurch u.U. viele Iterationen erforderlich werden. Es bietet sich daher an, bei der Bestimmung einer Ausgangslösung die Kosten zu berücksichtigen. Hierzu eignet sich die Vogel'sche Approximationsmethode.

Vogel'sche Approximationsmethode für eine verbesserte Lösung Dabei geht man wie folgt vor: 1)

Von allen Zeilenkostenwerten ky subtrahiert man den minimalen Zeilenwert. Man erhält eine neue Tabelle mit den sogen. k*y - Werten.

2)

In dieser neuen Tabelle subtrahieren wir von allen k*y den minimalen Spaltenwert und erhalten eine neue Tabelle mit den k'ij - Werten.

3)

Für die Tabelle der k'ij - Werte bestimmen wir nun für jede Zeile und Spalte die Differenz zwischen den beiden kleinsten Werten.

4)

In der Zeile oder Spalte mit der größten Differenz besetzt man das Feld mit dem kleinsten k'ij - Wert mit der größtmöglichen Menge Xy. Die so ermittelte Zeile oder Spalte wird gestrichen. Auf die verbleibenden Zeilen und Spalten wendet man wieder Schritt 3) und 4) an.

Beispiel 9-41 Die folgende Tabelle gibt die Einheitstransportkosten von V, nach Ej wider = k(J. Wir bestimmen nun zunächst die k*j indem wir das Minimum jeder Zeile von den k(] -Werten abziehen. Dann bestimmen wir die k'ij - Werte, indem wir das Minimum jeder Spalte von den k*j - Werten subtrahieren: ky

E,

E2 E 3 E4

V,

8 4 6

V2

9

V3

5

2

8

7

k*j

E,

E2 E 3 E4

k'„ E, E 2 E 3 E 4

Vi

4

0

2

6

V,

5

V2

7

0

6

3

V2

10 4

V3

1

3

6

0

V3 0

10

3

0 6

0 0

3

4 4

6 3 0

In der k'y - Tabelle bestimmen wir nun zeilen- und spaltenweise die Differenz zwischen den beiden kleinsten Werten. Davon wählen wir die Spalte bzw. Zeile mit der größten Differenz aus und belegen dort das Feld mit dem kleinsten k'y - Wert mit der größtmöglichen Zuteilungsmenge xy (hier: 3. Spalte und Feld (1,3).) Die folgende Tabelle zeigt in einer weiteren Zeile und Spalte diese Differenzen und ebenfalls den Bedarf bzw. Vorrat.

404

9 Lineare Algebra E,

E2

E3

V,

3

0

v2

6

V3 Dif.

E4

Dif. Vor.

Die 3. Spalte zeigt mit 4 die max. Differenz; der

©

6

0

10

kleinste kij - Wert dieser Spalte ist 0, so daß von

0

4

3

3

12

dem Vorrat von 10 ME von Vi der Bedarf von E3

0

3

4

0

0

8

mit 9 ME voll gedeckt werden kann. Die 3. Spal-

3

0

©

3

Bed. 8

7

9

6

E,

E2

E3

E4

Dif. Vor.

Hier haben wir 2 max. Differenzen mit 3. In

V,

3

0

[I]

6

3

1

diesem Fall ist es egal, ob wir die 1. Zeile oder

v2

6

0

3

3

12

die 1. Spalte wählen. Wir nehmen die 1. Spalte,

v3

© ©

3

0

0

8

deren kleinster Wert mit 0 im Feld (1,3) steht.

0

3

Der Bedarf von Ei mit 8 ME kann von V 3 voll

7

6

gedeckt werden. Die 1. Spalte wird gestrichen.

Dif.

Bed. 8

te wird nun gestrichen. Die neue Tabelle lautet:

Der eingekästelte Wert ist XIJ.

EI

E2

E3

E4

Dif. Vor.

Die max. Differenz steht mit 6 in der 1. Zeile;

e

©

1

das kleinste Element ist in Feld (1,2) = 0. Die

V,

®

v2

0

3

3

12

größtmögliche Zuteilungsmenge ist hier von Vi

3

0

3

0

1 ME, die wir einsetzen und die 1. Zeile

Dif.

0

1

Bed.

7

6

v3

E

EI V,

Dif. Bed.

E3

0 0 © •

v2 v3

E2

M

E

3

(S) • 6

E4

streichen.

Dif. Vor.

Die 2. Spalte weist nun die max. Differenz aus;

0

der kleinste Wert ist in (2,2) = 0. Der noch

3

3

12

offene Bedarf von E2 = 6 ME kann von V2 mit

0

3

0

einem Vorrat von 12 ME voll gedeckt werden.

1

Der Rest von V2 geht nach E4 mit 6 ME. Damit

6

ist eine erste zulässige Ausgangslösg. erreicht.

9

Lineare Algebra

E,

E2

E3

V,

1

9

v2 v3

6

405

E4

6

8

Bed. 8

7

9

Vorr. Diese Ausgangslösung verursacht Kosten in Höhe 10

von: (Vgl. Tabelle der kg)

12

0 - 8 + 1 -4 + 9 - 6 + 0 - 1 0

= 58

8

0 - 9 + 6- 2 + 0- 8 + 6- 5

= 42

8-5 + 0-7 + 0-10 + 0-4

= 40

6

140 GE Vergleichen wir dagegen die Ausgangslösung mit der Nord-West-Ecken-Regel:

V,

E,

E2

8

2

V2

5

v3 Bed. 8

7

E3

E4

7 2

6

9

6

Vorr. Hier betragen die Kosten: 10

8 - 8 + 2 - 4 + 5- 2 + 7 - 8 + 2 • 10 + 6 - 4 = 182 GE

12

Das bedeutet, daß die erste Ausgangslösung mit der

8

Vogel'schen Approximation tatsächlich wesentlich besser ist als die der Nord-West-Ecken-Regel.

Somit rechtfertigt dieses Verfahren auch den größeren Aufwand, weil weniger Iterationen später anfallen. Nunmehr haben wir bisher lediglich zwei Verfahren kennengelernt, die zu einer zulässigen Ausgangslösung führen. Im nächsten Schritt ist zu prüfen, ob diese Ausgangslösung zu einem Optimum führen kann. Ist das der Fall, müssen wir einen Iterationsprozeß beginnen, der uns zur optimalen Lösung bringt.

Die Stepping - Stone - Methode Bei diesem Verfahren wird jedes der in der Ausgangslösung nicht besetzten Felder in der Weise bewertet, daß man prüft, um wieviel es pro Mengeneinheit günstiger ist, wenn der Transport einer Einheit von einem bisher benutzten auf einen bisher nicht benutzten Transportweg verlagert wird (= sogen. Opportunitätskosten). Dazu das folgende Beispiel: Beispiel 9-42

Die folgende Tabelle gibt eine zulässige Lösung nach der Nord-West-Ecken-Regel im unteren rechten Tabellenfeld Transportkosten.

an.

Im oberen

linken Tabellenfeld

stehen

die

406

9 Lineare Algebra E2

EI V,

nicht genutzten Transportwege V2 nach Et

OL

5

v2

Vorr. Fragen wir, ob durch Einbeziehung der

E3

!

5

I I

10

SLL ß L j¡4_ - 6

0__

¡2

5

Bed.

4

7

und Vi nach E3 (= freie Felder) die Kosten gesenkt werden können, probieren wir von V2 nach Ei 1 ME zu schicken, müssen wir von den 5 ME, die Vi nach Ei schickt,

1 ME abziehen, weil sonst E, mehr als benötigt bekommen würde. Diese ME geht nach E2, SO daß V, nun 6 ME nach E2 schickt. Damit dessen Bedarf jedoch mit 7 ME wieder stimmt, muß von den 2 ME von V2 nach E 2 1 ME subtrahiert werden. Daraus resultieren folgende Mengen- und Kostenänderungen:

Vi

V2

E,

E2

Ko.-änd.

-7

+5

Me.-änd.

-1

5 - 1 = 4 +1

Ko.-änd.

+2

-3

Me.-änd.

+1

1

-1

E3

Daraus ergeben sich Kostenänderungen von:

5 + 1=6 _

-7 + 5 + 2 - 3 = -3 pro ME. Wir müssen nun fragen,

2-2 = 1

4 wieviele ME können wir

maximal über diesen Weg leiten? Dazu betrachten wir alle Felder, die von der Mengenänderung berührt werden. Zur Bestimmung dieser Felder geht man nach der sogen. Kreisregel vor: In der Zeile mit dem negativen Kostenänderungswert sucht man das nächste besetzte Feld, dem ein negatives Vorzeichen zugeordnet wird. In der dazugehörigen Spalte sucht man das nächste besetzte Feld; dies bekommt ein positives Vorzeichen. In der zu diesem Feld gehörigen Zeile belegt man das nächste besetzte Feld mit einem negativen Vorzeichen. So fährt man fort, bis man sich wieder in der Spalte des Ausgangsfeldes befindet. Das Feld mit einem negativen Vorzeichen und der minimalen Menge bestimmt dann die maximal zu verschiebende Menge. I

E2

Ei

Vorr.

E3

Ko pro ME

.....

] Ko-änderungswert 1

V,

7 3

v2

5 ! 1 ¡5 log 0,01 = nlog 0,5

n = ' ° 9 °'° r 1 log 0,5

-0,3

= 6,67

11 Wahrscheinlichkeitsrechnung

425

Da er 6,67-mal schlecht schießen kann, ist unbedingt aufzurunden, um die gewünschte Wahrscheinlichkeit zu erreichen. Er muß also 7 mal schießen, um mit 99%iger Sicherheit ein Tor zu erzielen. Beispiel 11-7 In einem Hörsaal befinden sich 30 Studenten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß wenigstens zwei am selben Tag geboren sind ? Ereignis A

=

wenigstens 2 haben am selben Tag Geburtstag

Ereignis A

=

keiner hat am selben Tag Geburtstag

Für W ( A ) gilt: Das Jahr hat 365 Tage; davon sollen 30 Tage zusammengestellt werden, ohne daß ein Tag zweimal vorkommt (= Zahl der günstigen Fälle). Hierbei handelt es sich um Variationen ohne Wiederholung. Die Zahl der gleichmöglichen Fälle ergibt sich aus der Zahl der Variationen mit Wiederholung (Auf wieviel Arten lassen sich aus 365 Tagen 30 Tage mit Berücksichtigung der Anordnung und mit Wiederholung zusammenstellen ?). 3651

W(Ä) =

(365

~3°" = 0,2937 365

W(A) = 1 - W(Ä) = 1 - 0,2937 = 0,7063

11-3-3 Die bedingte Wahrscheinlichkeit Interessiert man sich für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A unter der Voraussetzung, daß vorher bereits ein anderes Ereignis B eingetreten ist, nennt man diese Wahrscheinlichkeit bedingte Wahrscheinlichkeit, die wie folgt definiert ist: W(A/B)=VÜAnB) W(B) Die gemeinsame Wahrscheinlichkeit für A und B wird also in Beziehung zur Wahrscheinlichkeit der Bedingung in Beziehung gesetzt. Beispiel 11-8 Wir haben 100 Studenten nach Haar- und Augenfarbe unterschieden: Haare

blond dunkel

Z

Augen blau

50

20

70

nicht blau

10

20

30

2

60

40

100

426

11

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Nach der Laplace'schen Definition der Wahrscheinlichkeit lassen sich daraus die Wahrscheinlichkeiten für z.B. Blonde oder Blauäugige, aber auch die gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten für z.B. blond und blauäugig ablesen. Z.B. W(blond) = ^

= 0.6; W(blau) = ^ = 0 , 7 ; W(blond n blau) = 0,5.

Nehmen wir jetzt an, wir hätten den Studenten Augenbinden umgebunden, so daß die Haarfarbe sichtbar bleibt, nicht aber die Augenfarbe. Fragen wir jetzt nach der Wahrscheinlichkeit für blaue Augen oder nicht blaue Augen bei einem zufällig herausgegriffenen Studenten, haben wir eine zusätzliche Information, nämlich die Haarfarbe. D.h. wir haben es mit bedingten Wahrscheinlichkeiten zu tun: .A»U, IU, J, W(blondnblau) 0,5 n QO W(b = 0,83 v au/blond) = — i — — - — - = W(blond) 0,6 Gegenüber der unbedingten Wahrscheinlichkeit für blaue Augen W(blau) = 0,7 hat sich nunmehr durch die zusätzlichen Information die Wahrscheinlichkeit erhöht. Die Bezugsgröße sind jetzt nicht mehr alle Studenten, sondern nur noch die Blonden mit insgesamt 60, von denen 50 blauäugig sind. Die Fragestellung können wir auch umdrehen: Wir verdecken die Haarfarbe, indem wir den Studenten Turbane aufsetzen. Greifen wir nun einen Studenten zufällig heraus und stellen fest, daß er nicht-blaue Augen hat. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß er dunkelhaarig ist ? Nun interessieren uns nur noch die 30 nicht-blauäugigen Studenten, von denen 20 dunkelhaarig sind: . ., - ^ u i \ W(dunkelonicht-blau) 0,2 ^ ^ W(dunkel/n,cht-b.au) = = ^ = 0,67 w ( n | c h t _b,au) Beispiel 11-9 Von einer Studentin ist bekannt, daß sie zwei Kinder hat. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß beide Kinder Knaben sind, wenn: a) sonst nichts bekannt ist; b) man weiß, daß ein Kind ein Knabe ist; c) man weiß, daß das Älteste ein Knabe ist? Ereignis K = Knabe; ~K = Mädchen; W(K) = W("i i Q T-

1 in

Ï >

i O

.8

tf »

»

(O

464

12-6

12 Netzplantechnik

Kostenplanung und Netzplantechnik

Bei unserer bisherigen Betrachtung eines Planungsproblems waren wir davon ausgegangen, daß die Zeiten, die wir für die Dauer eines Vorgangs bei CPM mit einer Schätzung bzw. bei PERT mit drei Schätz-Zeiten aufgestellt hatten, feste Größen waren. Damit war auch der kritische Weg, die kürzeste Möglichkeit das Gesamtprojekt zu vollenden, vorausgesetzt, die Vorgangsdauern waren auf diesem Weg richtig geschätzt. Es leuchtet aber ein, daß man durch vermehrten Einsatz von Arbeitskräften und Maschinen diese Zeiten reduzieren kann, was zweifelsohne zu einem erhöhten Aufwand und damit zu höheren Kosten führt. Eine zeitliche Verkürzung des kritischen Weges zahlt sich natürlich auch in einer Verkürzung der gesamten Projektdauer aus. Das Problem besteht nun in der Bestimmung der optimalen Projektzeit. Unter der Prämisse, daß jede Verkürzung eines Projekts mit einem Gewinn einerseits, aber auch mit zusätzlichen Kosten anderseits verbunden ist, liegt die optimale Projektzeit dort, wo die zusätzlichen Kosten gleich Gewinn, der sich durch die Verkürzung ergibt, sind. Nehmen wir an, bei der Aufstellung eines CPM-Netzplan seien als Vorgangsdauern die Normalzeiten gegeben (NZ). Dann ist zu ermitteln, welche Minimalzeiten möglich (MZ) sind. Ebenfalls sind die zu diesen Zeiten gehörenden Kosten NK und MK zu bestimmen. Abb. 12-5

Unter der Prämisse eines linearen Kostenverlaufs ergibt sich der Kostenzuwachs je ZE bei einer Verkürzung gegenüber der NZ: MK-NK NZ - MZ

Z MZ

NZ

Die Vorgehensweise ist dann wie folgt: Wir kürzen zunächst die Vorgänge auf dem kritischen Weg, die die kleinsten Kostenzuwächse haben! Möglicherweise werden dabei bisher nicht kritische Vorgänge ebenfalls kritisch. Dann vergleicht man jeweils iterativ die gesamten Zusatzkosten GKZ mit dem dadurch hervorgerufenen Gewinn.

465

12 Netzplantechnik Beispiel 12-4 Dauer

Vorgang

Kosten

NZ

MZ

NK

MK

KZ

1 -2

6

5

320

340

20

1 -3

16

8

620

940

3-4

0

0

-

-

3-5

18

12

280

430

2-4

4

3

100

200

100

4-5

3

1

120

160

20

4-6

18

16

500

560

30

5-6

6

6

180

180

-

5-7

14

8

300

510

X

35

6-7

12

6

420

720

X

50

i

- j

X

40 -

X

25

Es sei unterstellt, daß jede Verkürzung um eine ZE einen Gewinn von 30 GE zur Folge

Die kritischen Vorgänge mit den dazugehörigen KZ sind gekennzeichnet. Den geringsten KZ weißt V3 .5 mit 25 GE auf. Wir verkürzen dort um die maximal möglichen 6 ZE. Damit wachsen die GKZ auf 6 • 25 = 150 und der Gewinn auf 6 - 3 0 = 180 Abb:i2-6

466

12 Netzplantechnik

Durch die Änderung ist auch V 4 . e ein kritischer Vorgang geworden; der KZ dafür ist mit 5 G E zwar der nächst niedrigere, allerdings führt hier eine Reduzierung von 18 auf 16 Z E nicht zu einer Verringerung der gesamten Projektdauer, weil FZa nach wie vor durch V 5 . 6 mit 28 + 6 bei FZe = 34 bleibt. Die nächste Aktivität mit den nächst niedrigen KZ ist Vi . 3 mit KZ = 40. Würden wir hier die gesamte Möglichkeit der Reduzierung ausnutzen, würde sich unser Endtermin von nun 46 ZE auf 38 Z E verschieben. Hinsichtlich der Frage, ob sich das lohnt, vergleichen wir den damit verbunden GKZ und den Gewinn: 8 • 40 = 320 + 150 (= Verk. von V 3 . 5 ) = 470 GKZ. 52 - 38 = 14 • 30 = 420 G E = Verkürzungsgewinn insgesamt. Der gesamte Kostenzuwachs übersteigt den mit der Verkürzung verbundenen Gewinn, so daß wir die volle Verkürzungsmöglichkeit bei Vi . 3 nicht ausschöpfen können. Verkürzen wir diesen Vorgang aber von 16 auf 13, also um 3 ZE, können wir den Endtermin von 46 auf 43 verschieben: ges. zusätzl. Gewinn: 52 - 43 = 9 • 30 = 270 G E GKZ: 3 • 40 = 120 + 150 = 270 G E Damit ist die optimale Projektdauer erreicht. Eine zusätzliche Verkürzung würde zu höheren Kosten als damit verbundenen Gewinnen führen. Abb. 12-7

467

12 Netzplantechnik

Eine weitere Möglichkeit der Kostenplanung im Rahmen der NPT betrifft die zeitlichen Kostenverläufe, die sich ergeben, wenn einerseits alle Vorgänge zu ihren frühest möglichen und anderseits zu ihren spätest möglichen Zeitpunkten beginnen. Läßt man die Vorgänge zu ihren SAZ beginnen, kann das wegen der späteren Fälligkeit des Kapitals zu Zinsgewinnen führen. Damit ist jedoch das Risiko verbunden, daß nun alle Vorgänge kritisch werden. Je mehr kritische Vorgänge vorhanden sind, desto größer ist auch das Risiko, den frühest möglichen Endtermin nicht einzuhalten, was möglicherweise mit höheren Kosten verbunden ist, als man durch den Zinsgewinn einspart. Neben den hier aufgezeigten Verfahren der NPT gibt es weitere die jedoch alle auf den gleichen Grundlagen basieren, so daß uns eine weitere Erörterung überflüssig erscheint. Weiterhin lassen sich Kapazitätsprobleme in die NPT einbinden. Und außerdem läßt sich ein Netzplan als Matrix darstellen und ggfs. auch mittels der linearen Optimierung

lösen.

Hierzu

verweisen

wir

den

interessierten

Leser

auf

die

weiterführende Literatur.

12-7

Ein abschließendes Beispiel zu CPM

Beispiel 12-5

Planung einer Verkaufsaktion Zum Muttertag soll von einem Filialunternehmen eine Verkaufsaktion gestartet werden, wobei in speziellen Verkaufsgondeln zwei mit einer beschrifteten Schleife verbundene Schokoladenpackungen in den Filialen angeboten werden sollen.

468

12 Netzplantechnik Vorgangsbeschreibung

Dauer

2

Projektmanagement

6

Vorgang i

j

1 2

-

3

Entwurf der Schleife

12

3

-

4

Genehmigung des Entwurfs

2

5

Reinzeichnung des Entwurfs

5

4 5

-

6

Klischeeherstellung für Druck

5

2

-

7

Festlegung der Schoko-Menge

2

7

-

8

Herstellung und Lieferung Schokolade

8

6

-

8

Druck und Lieferung der Schleifen

14

2

-

10

Entwurf der Verkaufsgondeln

7

10

-

11

Herstellung eines Gondelmusters

20

11

-

12

Genehmigung des Gondelmusters

3

12

-

13

Herstellung der Gondeln

42

8

-

9

Verbindg. von Schok. mit Schleife und Anlief, der fertg. Prod.

8

13

-

9

Installation der Gondeln in Filialen

2

9

-

15 Auffüllen der Gondeln

9

-

14

Einweisung der Verkäufer

1

14

-

15

Scheintätigkeit

0

1

469

13 Einige Logeleien

13 Einige Logeleien

Dieses letzte Kapitel hat eigentlich nichts mit Mathematik zu tun. Diese Sachen regen aber ebenfalls die „kleinen grauen Zellen" an und sollen nach so viel Ernst ein wenig Spaß machen. Die geheime Botschaft Ein Student wird bei seinem Vater vorstellig und überreicht ihm eine Notiz mit folgendem Inhalt: 23

5

19

-

19

2

3

11

-

31

11

23

43

-

17

11

37

7

Der Vater vermutet darin zunächst die Telefonnummern der Freundinnen seines Sohnes. Dieser aber behauptet, es sei eine wichtige, allerdings

verschlüsselte

Nachricht, die aus einem Satz mit vier Wörtern bestehe. Die Zahlen besäßen eine eindeutige Zuordnung zum Alphabet. Man müsse nur die Zahlen genauer betrachten. Drei Kästen Ein Professor präsentiert seinen Studenten drei Kästen und bemerkt, daß sich darin jeweils zwei Kugeln befinden. In einem Kasten befinden sich zwei weiße, in einem weiteren zwei schwarze und in dem letzten eine weiße und eine schwarze Kugel. Da er nicht mehr weiß, in welchem Kästchen sich welche Kugeln befinden, bittet er seine Studenten es herauszufinden, indem sie so lange nacheinander jeweils eine Kugel aus einem der Kästen nehmen, bis sie ganz sicher wissen, in welchem Kasten welches Kugelpaar liegt. Die Kästen tragen entsprechende Beschriftungen ww, ss und sw, die aber leider vertauscht wurden. Unvollständige Rechnung Multipliziert man „per Hand", geht das wie folgt: 43 mal 321 43 86 129 13803 Bei der folgenden Multiplikation sind jedoch einige Zahlen verloren lautet die vollständige Rechnung ?

gegangen. Wie

470

13 Einige Logeleien 6.. mal

.5.5 ..5.4 Der geheimnisvolle Grabstein Diophantus (ca. 400 n. Chr.) beschäftigte sich vor allem mit Gleichungen, deren Lösungen nur ganze Zahlen waren. Auch die Gleichung, die man ihm in Versform auf seinen Grabstein gemeißelt hatte, läßt sich mit ganzen Zahlen lösen: „Hier das Grabmal deckt Diophantus - Durch arithmetische Kunst lehrt sein Alter der Stein - Knabe z u bleiben verlieh' ein Sechstel des Lebens ein Gott ihm - Fügend das Zwölftel hinzu, ließ er ihm sprossen die Wang' - Steckte ihm darauf auch an in dem Siebtel die Fackel der Hochzeit - und fünf Jahre nachher teilte er ein Söhnlein ihm zu Weh' unglückliches Kind so geliebt! Halb hatt' es des Vaters - Alter erreicht, da nahm's Hades, der Schaurige auf - Noch vier Jahre den Schmerz durch Kunde der Zahl besänft'gend - Langte am Ende des Seins endlich er selber auch an, In welchen Alter starb er ? Das Wahre Alter Damen - besonders ab einem gewissen Alter - sind selten ehrlich, wenn es um die Frage ihres Geburtsdatums geht. In der folgenden Konversation zwischen drei Damen, Anna, Barbara und Christa sagt jede der drei zweimal die Wahrheit und einmal die Unwahrheit. A: „B ist 2 Jahre älter als ich." B: „Der Altersunterschied zwischen C h und mir beträgt 3 Jahre." Ch: „A ist älter als ich." B: „Ch ist 32 Jahre alt." Ch: „A ist 30 Jahre alt." A: „Ich bin 29 Jahre alt." B: „Mindestens eine von Euch ist jünger als ich." A: „Ich bin 1 Jahr älter als Ch." Ch: „A ist 3 Jahre jünger als B." Fehlende Rechenzeichen In den folgenden Gleichungen müssen die Rechenzeichen eingesetzt werden: 1

1

1

=

6

6

6

6

==

6

2

2

2

==

6

7

7

7

==

6

3

3

3

==

6

8

8

8

==

6

4

4

4

==

6

9

9

9

==

6

5

5

5

==

6

13 Einige Logeleien

471

LÖSUNGEN: Botschaft: Die Chiffre besteht aus Primzahlen, denen in aufsteigender Folge (A=2, B=3, C=5 . ..) die Buchstaben zugeordnet sind. Kästen: Hier müssen wir den richtigen Kasten auswählen: SW. Wegen der Vertauschung müssen entweder 2 schwarze oder 2 weiße Kugeln sein; finden wir eine weiße, muß die andere auch weiß sein. Finden wir eine schwarze, muß die andere auch schwarz sein. Demzufolge sind im Kasten SS nicht 2 schwarze bzw. in WW nicht 2 weiße, sondern wenn die 1. in SW weiß ist, sind in WW 2 schwarze und in SS die weiße und die schwarze. Rechnung

Alter

Inschrift

645 x 721 645 1290 4515

mit 33 verheiratet;

465045

mit 38 Vater; der Sohn starb mit 42.

Rechenzeichen (1+1+1)1

=6

6°-6°-6°

=6

2 +2+2

=6

7° • 7 - 7°

=6

3-3-3

=6

83 +83 +83

=6

42+42+2

=6

93.93 _ 93

=6

472

14 Aufgaben

14 Aufgaben

1-1 Berechnen Sie:

"1 + 3i ^ und den Betrag von |-6 + 8i | 3

1-2 In einem Reisebüro wurden innerhalb eines Tages 63 Reisen gebucht. Von diesen waren 24 Flugreisen (FR) innerhalb Europas für unter 1000 DM; 41 waren FR innerhalb Europas; 27 FR waren unter 1000 DM; 45 waren FR; 52 Reisen (R) innerhalb Europas; 34 R bis unter 1000 DM; 4 waren keine FR, führten außerhalb Europas und kosteten mindestens 1000 DM. a) Wieviele FR waren über 1000 DM in außereuropäische Länder? b) Wieviele Nicht-FR blieben innerhalb Europas und kosteten mehr als 1000 DM? 1-3 Gegeben sind: A = {1, 2}, B = {a, b} und C = {b, c}. Es sind zu bestimmen: a) A x (BuC); b) (A x B) u(A x C); c) A x (BnC); d) ( A x B ) n ( A x C) 1-4 Gegeben sind: X = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} und die Abbildung y = f(x) = x2 Geben Sie Df und Wf an! 1-5 Gegeben sind folgende Aussagen: A: 5 ist Teiler von 15; B: 7 ist eine ungerade Zahl; C: 9 ist eine Primzahl; D: 8 ist durch 2 teilbar; E: 8 ist eine ungerade Zahl; F: 2 ist eine Primzahl. Daraus sind die folgenden Aussageverbindungen auf ihren zu prüfen: Wahrheitsgehalt a) A A B; b) A A C; c) A v D; d) E F; e) E v C; f) B o F; g) D ->E; h) C o E . i

1

2

3

4

X|

5

2

1

2

yi

1

4

3

1

Berechnen Sie: a) i £ x i ; b) i£xiyi; c) ¡ 0 * ; d) i]fI(i + 2); e) ¡^[i 1 1 1 1 1 1-7 Berechnen Sie:

a) x3""2 • x 2 1 ^ 3 • x ^ 2 ;

b)

•

:

1 -8 Berechnen Sie: a) 28°37 • 1704'28; b) (27 • 283)1'8 1-9 (3x4 - 5x3 + 12x2 + 7x - 5): (3x2 + x - 1 ) = ? n

1-10 Machen Sie den Nenner rational: 1-11a)2[

3 F=? ; b ) 0 = 4 2

x-^2 r = ?

;

tana = ?

1-12 Lösen Sie folgendes Gleichungssystem: 2y + 4x = 8; 5y + 6x = 0. , „ 4x - 2 6x + 7 1-13 Lösen Sie nach x auf: 8 + 2 x _ 3*3 + 3x ; - x

y =

x2 - 4x + 4

2-7

Ein Produkt wird mit fixen Kosten von 200 DM und variablen Kosten von 50 DM pro Stück erstellt. Der Verkaufspreis beträgt 90 DM. Wie lautet K = f(x)? E = f(x)? Bei welcher Menge liegt der Break-Even-Point?

2-8

Bestimmen Sie die Inverse zu: a) y = 1/x; b) y = ax + b; c) y = e*

2-9

t-3 Bestimmen Sie Nullstellen, Polstellen, Asymptoten von: y = f(t) = t2 _ 4t + 3 7 5

2-10 Von einer Geraden ist ein Punkt mit (1, 4) und die Steigung a = 0,5 bekannt. Wie lautet die Funktionsgleichung? 2-11 Bilden Sie y = f(g M ) und y = g(f(x)) für a) y = f(x) = x4; y = g(x) = x2 + 1 ;b) f(x) = 1/x4 g(x) = logx 2-12 Von einer Ellipse ist bekannt: Fi bei (0, 2) und F 2 bei (8, 2) und die Halbachse c = 5. Wie lautet die Ellipsengleichung und ihre Fläche? 2-13 p = -0,3x + 80; K = 5x + 200. Wie lautet G = f(x)? 2-14 K = 2n + 4r2; bestimmen Sie die Isokostengeraden für K = 60 und K = 40. 2-15 c = c(y) = 200 + 0,6y; bestimmen Sie die Sparfunktion!

474

14

Aufgaben

2 - 1 6 Ein Unternehmen hat als Höchstpreis 1 0 D M ermittelt. J e d e Preissenkung von 0 , 5 D M führt z u einem Absatz von weiteren Einheit. W i e lautet p = p(x)? 2 - 1 7 Bestimmen Sie für die Produktionsfunktion x = ( r 2 - 2 0 ) 1 ' 2 die Faktorverbrauchsfunktion und die Durchschnittsertragsfunktion! 2 - 1 8 Bestimmen Sie für die Produktionsfunktion x = 0,5rir 2 die Isoquante für x = 6. 2 - 1 9 Zeichnen Sie z = -x - 2 y + 8. 2 - 2 0 Für y = x 3 -3x 2 - 2 5 x - 21 ist eine Nullstelle bei x = -3; bestimmen Sie die weiteren Nullstellen durch Polynomdivision!

3-1

Sind folgende Folgen divergent oder konvergent? Falls konvergent, wie lautet der 1 3 ^ AA, ^ Grenzwert? A) a„ = 14/n; b) a n =— - ö r z ; c) 2 ¿n

f—n; für gerades n a„ = \ [1 / n; für ungerades n

3-2

W i e lautet a„ für a) 1/2; 1/4; 1/6; b) 1; 1/4; 1/9?

3-3

W i e lautet a;» der arthm. Folge mit a , =„4 und d = 3 ?

3-4

W i e lautet a 1 0 der geometrischen Folge mit

3-5

Bestimmen Sie die ersten vier Folgeglieder von a„ = 1/4(-1)" • ( 1 / 3 ) n 1

3-6

Bestimmen Sie a 5 für a„ = a n .i+a n .2 für n ^ 3; a , = 1; a 2 = 2.

3-7

Bestimmen Sie a 5 für a n = I 1 + - 1

3-8

Berechnen Sie

3-9

Ist folgende Reihe konvergen:

1Y1

(

30

f 3T

= 4 und q = 0,5?

.

10 u n d

VlY

"

(

3Y •2 J

3 - 1 0 Ein Unternehmen produziert im 1. Jahr 2 5 M E eines Gutes. In j e d e m weiteren Jahr erhöht sich die Produktion um 12 ME. Wieviel wird im 12. Jahr produziert und wieviel ist insgesamt produziert worden? 3 - 1 1 Die Produktionskapazität eines Unternehmens beträgt 5 0 M E pro W o c h e ; diese soll auf 2 0 0 0 M E pro W o c h e erhöht werden, wobei jedoch pro W o c h e nur jeweils eine Erhöhung um 15 M E vorgenommen werden kann. In wieviel W o c h e n ist das Ziel erreicht?

475

14 Aufgaben 3n4 + n 2 - 6n + 5 3-12 Bestimmen Sie lim n->» 2n4 + 5n3 + 2n - 3

und lim n->® 2 n + 1

3-13 Bestimmen Sie, falls vorhanden, die Grenzwerte für n-> qo : 6

n

n

3-14 Bestimmen Sie den Grenzwert für lim lim

X2

-3x + 2 ;

x1 -1

3-15 Bestimmen Sie folgende Grenzwerte:a) lim

e) lim *->2*

(ax +b); b) lim

•X e'

x-2

3-16 17.500 DM werden 6 Jahre mit p = 4% verzinst. K„ = ? 3-17 Ein in 5 Monaten fälliger Wechsel über 3.500 DM soll bei p = 5% diskontiert werden. Wie hoch ist der Barwert? 3-18 In welcher Zeit verdoppelt sich ein Kapital bei p = 4%? 3-19 Bei welchem Zinssatz verdreifacht sich ein Kapital in 20 Jahren? 3-20 Ein Kredit über 2.500 DM soll in 24 Monaten getilgt werden bei = 0,4% Zinsen pro Monat, a) Wie hoch ist die Monatsrate? b) Wie hoch ist der jährliche effektive Zinssatz? c) Wie hoch wäre die Monatsrate, wenn zudem noch 2% Bearbeitungsgebühr vereinbart wären? d) Wie ändert sich dann p«»? 3-21 Eine in 3 Jahren fällige Schuld von 5.000 DM soll bei 10% Zinseszinsen heute zurückgezahlt werden. Wie hoch ist Ko? 3-22 Jemand zahlt 8 Jahre jeweils zum Jahresende 1.500 DM auf ein Konto. Wie hoch ist der Endbetrag bei 7% Zinseszinsen? 3-23 Wie hoch ist der Barwert einer 15 Jahre nachschüssig zu zahlenden Rendte in Höhe von 2.400 DM bei 5% Zinsen? 3-24 Eine Schuld von 200.000 DM soll bei 6% Zinsen in 8 Jahren getilgt werden. Wie hoch ist die Tilgungsrate und wie hoch sind die Annuitäten? 3-25 Eine Hypothek über 80.000 DM soll bei 7,5% in 25 Jahren getilgt werden. Wie hoch ist die konstante Annuität? 3-26 Mit welchem Stiftungskapital müßt eine Stiftung ausgestattet sein, wenn bei 8% eine ewige Rente von 30.000 DM bezahlt werden kann?

476

14 Aufgaben

3-27 Auf ein Sparkonto werden 10 Jahre nachschüssig 500 DM gezahlt. Am Ende des 7. Jahres wird eine Sonderzahlung von 2.000 DM geleistet. Das Kapital wird bis zum Ende des 8. Jahres mit 4% und dann mit 5% verzinst. Wie hoch ist der Kontostand nach 13 Jahren? 3-28 Für eine Maschine mit einem Preis von 150.000 DM werden Überschüsse in ti mit 35.000, in t2 mit 48.000, in t3 mit 52.000 und in U mit 58.000 DM geschätzt. Der Kalkulationszinsfuß sei 9%. Wie hoch ist Ko? Wie ändern sich die Aussagen, wenn in t3 sich ein Verlust von 2.000 DM ergibt, für den ein Kredit zu 10% aufgenommen wird? 3-29 Für eine Investition gibt es folgende Alternativen: (1)

A = 80.000;

üi = 20.000;

ü2 = 35.000;

ü3 = 48.000

(2)

A = 93.000;

üi = 28.000;

ü2 = 40.000;

ü3 = 51.000

Welche ist bei einem Kalkulationszinsfuß von 8% vorteilhafter? 3-30 Wie hoch ist in Aufgabe 3-28 der interne Zinsfuß? b) Ist die Investition bei einem Zinssatz von 9% nach der Methode des Internen Zinssatzes vorteilhaft? 3-31 Die Anschaffungsausgaben einer Anlage belaufen sich auf 80.000 DM. Es ergeben sich e, = 60.000; a t = 40.000; e2 = 75.000; a2 = 45.000; e3 = 70.000; a3 = 46.000; eA = 78.000; a4 = 50.000. Restwert 3.000 DM; Kalkulationszinsfuß 8%. Ist diese Investition nach der Annuitätenmethode vorteilhaft? 3-32 Eine Anlage mit A = 90.000 DM soll arithmetisch degressiv in 5 Jahren auf 15.000 DM abgeschrieben werden. Wie hoch ist der erste Abschreibungsbetrag und die Differenz, um die die Abschreibungen abnehmen? 3-33 Eine Maschine mit A = 70.000 soll in 10 Jahren auf 6.000 DM abgeschrieben werden. Wie hoch ist der Abschreibungsprozentsatz bei geometrisch-degressiver Abschreibung? Im wievielten Jahr empfiehlt sich ein Übergang zur linearen Abschreibung? Wie hoch ist der Restwert im 3. Jahr? 3-34 Eine Anlage mit A = 80.000 DM soll in 6 Jahren auf 5.000 DM abgeschrieben werden. Wie hoch ist der Abschreibungsprozentsatz und wie hoch der Restwert nach 4 Jahren?

4-1

1 Bestimmen Sie die erste Ableitung für: a) y = — x 8 + 2 V x +In c) y = x2 • x"1'2

d) y = x 4 Inx

e) y = ^ r

f) y = ^3x 3 +2x 2

1 1 b)y = -+lnx g) y = ln(x2 + x)

h) y = e 4-2 4-3

f(x) Leiten Sie die Quotientenregel aus der Produktregel her für y = - ^ - r = f(x) • (g(x))"1 Bestimmen Sie den Differentialquotienten über der Grenzwert des Differenzenquotienten für a) y = x2 + x; b) y = ax2 + bx + c.

14 Aufgaben

477

4-4 Bestimmen Sie die 1. bis n-te Ableitung für: a) y = x5 + x3; b) y = Inx; c) y = ex x2 d) y = 6x5 + 3 X 2 ; e) y = 4-5 Gegeben ist x = 6(r - 20)1'2. a) Wie lautet die Grenzproduktivität? b) Wie groß ist sie für r = 36 und r = 56? c) Wie groß ist das Grenzprodukt für r= 56 und dr = 0,5? 4-6 Berechnen Sie die Differentiale von y = -1/2x3 + 4x2 bei xo =1 und Xi =2 mit Ax =1 und Ax = 0,5. Wie groß ist der absolute Fehler? 4-7 Bestimmen Sie für x = 4(rir2)1'2 die Isoquante für x = 20. Bestimmen Sie dafür die Grenzrate der Substitution! Wo ist diese = -1? 4-8 Bestimmen Sie die 1. Ableitung für: a) y = 1 + x sinx; 3

b) y = (1 - 2cosx)2;

2x

c) y = ln(1 - 3x); d) y = x V ; e) y = (1 - logx) ; f) y = e + e"3 4-9 Berechnen Sie den Wert der 1. Abi. bei Xo und bestimmen Sie den Winkel, den die Tangente dort mit der Abszisse bildet, a) y = x2 - 3x +2; xo=1; b) y = x(x)1/2;xo=4 4-10 Untersuchen Sie y = 2/3x3 - 4x2 + 6x - 1 auf Extremwerte und Wendepunkte! 2x 4-11 Untersuchen Sie auf Steigung und Krümmung: a) y = x4 - 4x3; b) y = ^ ^ 4-12 Untersuchen Sie auf Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte: a) y = x3 - 3x + 2 b) y = 4x - x2; c) y = x3 - 2x2 - 15x; d) y = 1/5x5 - 1/4x" 15p 4-13 Bestimmen Sie für x = . ^20+p

den Grenzerlös für p = 2!

4-14 Wo liegt für K = x3 + 6x + 54 das Betriebsoptimum? 4-15 Um wieviel erhjöhen sich näherungsweise die Kosten bei K = x3 - 6x + 54, wenn x bei x = 20 um 1% erhöht wird? 4-16

Es gelten: p = -2/5x + 2 6 0 und K = 0 . 2 X 2 + 8x +

10.

Wo liegt

G m a x?

4-17 Gegeben ist: x = 3/ör2 - 1/20r3; a) Wo liegt das Ertragsmaximum? b) In welchen Bereichen nehmen die Grenzerträge zu, in welchen Bereichen ab? c) Wo liegt das Maximum der Grenzerträge und d) das der Durchschnittserträge? 4-18 Es gelten: p = -1/7x2 + 1008 und K = 252x + 16000; Gmax = ? 4-19 Ein Händler verkauft p.a. 5000 ME eines Gutes, das er für 4 DM pro Stück einkauft. Die Lagerkosten betragen = 0,5 DM pro Stück; pro Bestellung fallen 200 DM Kosten an. Sein kalkul. Zinssatz ist 12%. a) Wieviel ME soll er pro Bestellung ordern? b) Wie oft soll er pro Jahr bestellen? c) Es wird eine Preiserhöhung von 0,5 DM angekündigt; wieviel ME soll er noch ordern? 4-20 Gegeben sind: K = 2x2 + 5x + 242 und p = 53. Bestimmen Sie: a) Umsatz; b) Grenzerlös; c) K'; d) Stückkosten; e) Gewinn; f) Gmax; g) x mit max. Stückgewinn 4-21 Gegeben sind: x = -50 + 0,08r; p = 225 - 4x; p = 2. Gesucht sind: a) K, K', k; b) Grenzertrag; c) Erlös, E', Durchschnittserlös; d) gewinnmax. Menge.

478

14 Aufgaben

4-22 Eine Materialausgabe wird pro Stunde von durchschnittlich 20 Arbeitern aufgesucht, wobei die durchschn. Wartezeit pro Arbeiter von der Zahl der Lagerarbeiter x abhängt und in Minuten t = 20/x beträgt. Wieviel Lagerarbeiter sollten beschäftigt werden, um die Ausgabekosten zu minimieren, wenn der Stundenlohn für einen Lagerarbeiter 4 DM und für einen Facharbeiter 6 DM beträgt? 4-23 An die Funktion y = 2x3 - 8x2 - 16x -4 wird bei x = 2 eine Tangente gelegt. Wie lautet die Tangentengleichung? x3-6x2+11x-6 4-24 Bestimmen Sie lim — — — — - — x->3 3 x - 1 5 x + 8

e'-e8"" und lim x-*o x - s i n x '

4-25 Berechnen Sie das absolute Minimum von y = -1/6x6 + x4 zwischen -1 s x < 3. 4-26 Bestimmen Sie für

y=

x2 — 3x + 4

D(l Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte,

Krümmung, Monotonie und Verhalten bei x-> ±». 4-27 Bestimmen Sie für y = x4 - 5x2 + 4 Df, Nullstellen, abslutes Glied, Extremwerte, Wendepunkte, Krümmung , Monotonie und Verhalten bei x ±a>. 4-28 Diskutieren Sie: y = 4 + 3x - x3.

5-1

Welches Bild besitzen die folgenden Funktionen: a) z = 4 - x - 2y; i b) x2 + y2 + z 2 = r2; c) z = (y - x) 2 ?

5-2

Bestimmen Sie die ersten partiellen Ableitungen für: 2 b) z =

5-3

c) u = f(a,ß) = sin(2a + ß)

d)

a) z = x3 - 3x2y + 5y - 2x + 4

z = 2X2 - 3x2y + 5y - 2x + 4;

e) z = f(r,h) = r3 Inh. Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen 2. Ordnung für: a) z = 2x2y2 - x2y + y - 2; v2

b) z = f(a,b) = e atb ; c) z = x l n ^ p f 5-4

Berechnen Sie die Extrema für: a) z = x2 + y2 - 4x + 10y; b) z = 2xy - 2X2 - y2 + x +1 c) z = x + y/x - 1/y; d) z = xy(1 - y) + 2(x - y) + 1.

5-5

Bestimmen Sie die totalen Differentiale bei x = 1 und y = 4 für Ax = 1 und Ay = 2 für: a) z = 2x1/2y1/2; b) z = x3 + y3.

5-6

Bestimmen Sie Extrema und Sattelpunkte für: a) z = 8y3 - 2xy + 2X2 - 2y3; b) z = 3x2 - 1/3x + 9/2y2 - y + 6; c) z = -x2 + 9x - 1/2xy + 10y - 2y2.

14 Aufgaben

479

5-7

Gegeben ist x = 10(ri3r2)1M. Bestimmen Sie für x = 20 die Grenzrate der Substitution bei Einsatz von u = 2. Wie lauteten die partiellen Grenzproduktivitäten? Welchen Homogenitätsgrad hat die Produktionsfunktion?

5-8

Für die Nachfrage nach zwei Produkten gilt: ni = 800 - 50p, + 30p2 und n2 = 800 + 10pi - 40p2. Wie hoch sollte pi und p2 sein, um den Erlös zu maximieren?

5-9

Für ein Unternehmen gelten die folgenden Preisabsatzfunktionenix, = 20- 4p, + p2 und x2 = 10 + pi - p2 und K =3/2x,2 + 2x22 + 1/2xix2. Wie groß ist Gm»?

5-10 Es gilt K = 2X2 + 4y2 + xy und p„ = 18 und p, = 20. Wie groß ist Gmax? 5-11 Differenzieren Sie: x2 + y2 - 4 = 0 und 2xy2 - 4x2y3 + x2 - y3 =0 nach x. 5-12 Bilden Sie die totale Ableitung du/dt für: u = 2xy - yz - 4xz2 mit x=2t, y=8t und z= t2. 5-13 Wo verschwinden die beiden partiellen Abi. von: z = x3 + 3x2y -3xy2 - 21x + y3 -3y? 5-14 Wo hat y = 2x,2 + 3x22 + x33 - 6x, - 12x2- 12x3 Extremwerte? 5-15 Bestimmen Sie für z = x2y + xy2 + 1/3y3 - 4y - 1/2W2 + w - v2 + 2v die Extremwerte. 5-16 Untersuchen Sie z = -5x3 + y3 + 3x2 unter der Beschränkung x - y = 1 auf Extrema; ebenfalls y = x,2 + x22 + X32 mit der Beschränkung x, + x2 = 6 und x2 - X3 = 3. Benutzen Sie die Variablensubstitution! 5-17 z = 4x + 5y ist unter Beachtung von xy - 20 = 0 auf Extrema zu untersuchen. d2 d2 5-18 Untersuchen Sie F= n—rcdh unter Beachtung von V = 71—h auf Extrema. 4 4 5-19 Ermitteln Sie für z = 20 - x2 - 2^ unter Beachtung von x + y = 2 den Extremwert. 5-20 Ermitteln Sie das Maximum der Nutzenfunktion U = 18 - 1/2X2 - y2 unter Beachtung, daß nur 12 DM vorhanden sind und p% = 2 DM und py = 3 DM betragen. 5-21 Ermitteln Sie für x = 6XI1/2X21'2 und K = 3xi + 12x2 die Minimalkostenkombination zwischen X1 und x2 für Xo = 48. Wie lauten die Grenzkosten im Kostenminimum? 5-22 Prüfen Sie z = 3 - 3/4x - y unter der Bedingung 4x2 + 4y2 =9 auf Extremwerte! 5-23 Bestimmen Sie die Extrema von u = 2x + 4y - z unter Beachtung von x2 + y2 = 10 und x + y - z =7 nach Lagrange.

6-1

Es gilt p = 24 - 2x und K = 0,2x2 + 2x + 11. Wie groß ist G m „ unter Verwendung der Amoroso-Robinson-Relation? Ist dort exp> 1?

6-2 Wie lauten die Elastizitätsfunktionen für: a) y = 6x"; b) y = x3 + 2X2 + 5x; c) y = ~ b

480

14 Aufgaben

6-3 Wo hat y = x3 + x2 die Elastizität e^ = 1 ? 6-4 Es gelten: p = 20 - 0,5x und U = px. Zeigen Sie, daß U' = p(1 + epx). 6-5 Bestimmen Sie für z = x4 + x2y2 + y4 die partiellen Elastizitäten! 6-6 Überprüfen Sie r = E» + anhand von z = x2 + y2 (r = Homogenitätsgrad)! 6-7 expfür x = 9p"1'2?

7-1 Bestimmen Sie die Integrale für: a) y' = 0; b) y' = -x'2; c) y' = 4x + 3; d) y' = x'1; e) y' = -5X"6; f)y' = ^ ; g ) f ( x ) = 5x 2 + 8x- 3; h)f(x) = 2/x; i) y' = -0,2ex 7-2 Wie lauten die Stammfunktionen für: a) 1/x + x + e"; b) 1/2(ex-e"x); c) x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1; d) asinx + bcosx? 7-3 Bestimmen Sie das Integral für: y = 1/4x3 lnx und y = e*x. 7-4

a) f .

1

V2-3x

dx b)/ J f

— 2 - d x c) f J f l + ^ x l d x

(3-4x)2

3^ 2

7-5 Bestimmen sie mit der Trapezregel bei n = 4: Je^dx -2

2

2

f —x — 4x + 2 f x +1 7-6 Berechnen Sie: I -5———r-dx und J - 5 — d x x - 3x + 2x x -x 2n

7-7 Berechnen Sie J cos xdx 0 12

7-8 Berechnen Sie JJ(1/3x 2 + xy 2 + xy + y2)dxdy 01

2la

7-9 Bestimmen Sie für F(t) = |(txsinx2)dx die erste Ableitung nach t. 1

n/2

7-10 Berechnen Sie: J (x2 cos x)dx 0 7-11 Berechnen Sie die Fläche, die im Intervall (0, 2) von den Funktionen y = x2 und y = x + 1 eingeschlossen wird. 7-12 Für jeden Wert von t < 0 wird durch f(x, t) = tx3 -1 + 1 eine Fläche F zwischen der Kurve und der positiven Abszisse beschrieben. Für welches t ist F ein Minimum? 7-13 Bestimmen Sie den Inhalt der Flächen, die von a) 2y = x2 und y2 = 2x; b) y = x2 -2x - 8 und y = -x2 + 4x - 4,5 eingeschlossen sind. 7-14 Gegeben ist p = 10 - x. Berechnen Sie die Konsumentenrente bei p = 4.

481

14 Aufgaben 7-15 Bestimmen Sie für die Nachfragefunktion p = 16 - x2 und die Angebotsfunktion p = 4 + x die Produzentenrente.

7-16 Bestimmen Sie die gewinnmaximale Menge und den dazugehörigen Gewinn für E' = 25 - 5x - 2x2 und K' = 10 - 3x - x2.

8-1

Zeigen Sie, daß f(x, y) = x2 - 2y2lny = 0 eine Lösung von y'(x 2 + y2) = xy darstellt. 2x

8-2

Lösen Sie: a) y' = p ^ g und b) y'x - xe"'1 + 1 = 0 mit y(x = 1) = 0.

8-3 8-4

2 1 mit der Lösen Sie: a) y' = 1y 2 y+ 8 u n d b ) V' = Lösen Sie: a) dy/dx = xy und b) dy/dx = xy2.

8-5

Bestimmen Sie eine Nachfragefunktion mit konstanter Elastizität.

8-6

Lösen Sie y' = 1 und zeichnen Sie für die Anfangsbedingung a) y(x = 0) = 0; b) y(x = 1) = 2; c) y(x = 1) = -2 die Lösungen.

8-7

Lösen Sie y' = y/x und zeichnen Sie für versch. Werte des Scharparameters k die Lösungen.

8-8

Lösen Sie y' = 2 x

8-9

Lösen Sie y' - 3y = 0.

3X

8-10 Lösen Sie y' + 1

Anian

9 s b e d ' n 9 u n 9 y(x = 1) = 0

~ 2v •

+ 3y

2x

• y = 0.

8-11 Geben Sie die Lösungen für: a) 2yy' = sinx; b) y' = e3"". 8-12 Weisen Sie nach, daß folgende Dglg total ist und bestimmen Sie die Lösung: x(xy' + 2y) + e y (xy' + 1) = 0. 8-13 Bestimmen Sie die allg. Lösung der Differenzengleichung yk+2 + 10yk+1 + 9yk = 20. 8-14 Bestimmen Sie die Lösung der Dglg y " + y' - 6y = 0 mit y(0) = 0 und y'(0) = 1. 8-15 Bestimmen Sie die allg. Lösung für y " + y' = 6. 8-16 Lösen Sie xy' - y = y2 mit der Anfangsbedingung y(x = 2) = 4. 8-17 Lösen Sie y " + 4y' + 5y = 0. 8-18 Lösen Sie y ' " - y " + 4y' - 4y = 0. Eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms liegt bei v, = 1. "2-4" 9-1

"2 0 "

Gegeben sind A = 3 - 1

und B = - 1 3

0 1

2-4

und C =

4

2 - 3

3

0 - 2

a) A + B + C ' ; b ) C ' + A - B ; c) A' + B' + C; d) A - 2 B + 3C'.

. Berechnen Sie:

482

14 Aufgaben ' 2,6 ^

9-2

Bilden Sie: a) (4 - 2

0)

- 2

; b) (0,5 3,5 -2,4)

-2,9 ,-1,8,

9-3

Bilden Sie A B und B A für: a) A = 4 -8

0'

3 - 1 4 "1 - 2 9-4

9-5

;

A:

C)

3" '2

a) 0

1

4

-4

0

0

1

3

2 2 0 3

4 1

2

-4"

3

0

B =

0

1 0

0 0

1

-3

9

-2

2-1"

b) A

3-2 0+4

; B = E3:

"1 0 0" ' 5 ' b)

4

-6

C)

(2 6 3 4)-

7

1

2

0

6

-4

3

2

1

Ein Unternehmen stellt aus Mi, M 2l M 3 die Zwischenprodukte Z, und Z2 her, die zu Ei, E2 und E3 verarbeitet werden. Die Matrix M gibt den Materialverbrauch zur Herstellung von jeweils 100 Zwischenprodukten und Z2 an. Die Matrix A enthält den Aufwand an Zwischenprodukten zur Herstellung von jeweils einem 2 4" r [2 10 1 3 8 Endprodukt. M ( M.Z) = kg/100 Stück; A 0: GW = x

a < 0: GW = a = 0: GW = b; b) GW = 0; c) Wir setzen für 1 »

0: 1/n mit n

e) GW = + oo, da x - 2 für x -> 2* gegen 0. 3-16 Kn = 17.500 -1,04® = 22.143,08. 3

-17^=1+0,05°5/12

= 3 428 57

-

'

-

nlog1,04 = log2 -» n = J g 9 q 4 =17,7059.

3-18 2Ko = Ko -1,04" 3-19 p = 5,65%. 3-20 a) R =

"

0,02-2500 24

24

+ 2500 • 0,4% = 114,17; b) poff =

2 4

^0 25

0 4

= 9,216%;

2 , 0 8 - > R = 116,25 DM; d) 11,136%.

=

5000 3-21 Ko = y ^ T = 3.756,57. 3-22 Rn = 1500 1| q 7 07 "

1

= 15.389,70

3-23 r = 1 O O O O ^ t t y

= 1

-845'87-

3-24 Tilg.rate = 25.000; A, = 37.000; A2 = 35.500; A3 = 34.000; A, = 32.500; As = 31.000; As = 29.500; A7 = 28.000; As = 26.500. 3-25 A = S O O O O 1 ' 3-26 Ko =

0 7 5

^-1'

= 7 176 85

-

.

-

100 • 30000 Q = 375.000 1 04® - 1

3-27 S8 = 500 ,f Q 4 ^

= 4.607,11; Aufzinsung dieses vorläufigen Endwerts auf t13:

4.607,11 • 1,055 = 5.879,97; 2. vorläufiger Endwert der beiden letzten Raten zu ti 0 : S2 = 5 0 0 ^

= 1.025; diesen Wert auf t13 aufzinsen: 2000-1,04'-l,05* =

2.654,67. Anschl. Add. der Endwerte: 5.879,97 + 1.186,57 + 2.654,67=9.721,21. 3-28 Co = -150000 +

35000

48000

52000

58000 W

= 3 752,93

-

-

D„ e r

K„a

. , P|talwert

lst

52000 positiv und damit die Investition vorteilhaft. Anstelle des Summanden " Y ^ r womit Co = -37.903, wodurch die Investition nicht lohnt.

1 0Q 3

tritt

15 Lösungen

498

3-29 C 0 A = 6.629,32; C 0 B = 7.704,92. Da die Anschaffungsausgaben nicht gleich sind, müssen wir den C 0 der Differenzinvestition B - A betrachten: 8000/1,08 + 5000/1,08 2 + 3000/1,08 3 = 14.75,63 - 13.000 (Ansch.diff) = 1.75. Der Kapitalwert der Differenzinvestition ist positiv, womit B vorzuziehen ist. 3-30 0 = -150000 + 35000qf 1 + 48000qf 2 + 52000q,"3 + öSOOOqf4 = f(q,). Wir suchen nun für q zwei Werte q! und q2 für die f(qi) > 0 und f(q2) < 0. Für q = 1,1 ist f(q) = 170 170 und für q = 1,11 ist f(q) = - 3282. Daraus folgt: • _ 1

3282 1

=

^

• . q = 1,1005 und

Pi = 10,05. 3-31 Barwert der Ausgaben: Ba = 228.885; Der Einnahmen: B e = 234.961. Daraus folgt 1,08 4 • 0,08 1,08" 0,08 die Annuität: Aa = 228.885 \ 08 4_'., = 69.105;Ae = 234.961 ^ = 70.939. Damit beträgt die Gewinnannuität: Aq = 1.834. 3

.32

Qi =

2 ( 9 0 0 0 s 15000)

=

^

=

25|00

^

=

JL 3-33 p = 100(1 - ( ^ 5 5 5 5 )

10

)=21,782; 1 > - Q ^ 7 q

+ 1 0 + 1 = 6 4;

'

2

Übergang im 7. Jahr.

80000-5000 3.34

p =

. 8 0 o o o = 0,15625 = 15,625%;

6

, 80000 - 5000 R 3 = 70.000 • (1 - 0,21782) = 33.497,94; R4 = 80000 - — g • 4 = 30.000.

4-1

"I ^ 1 ..2 , „ /,.. „ ^ j ^ = 2 x + 1 - > y' = (2x+1)e"

f(x)(g(x))' 1 Anwendung Kettenregel:

-l(a(x\\-i _ dx

h

3

Produktregel

und auf

dy _ f , ( x ) . W x ) r , (g(x))2

dx

(9W)

+

(g(x))'1 Anwendung

f_ j r o q , f ( x ) _ m _ (g(x))2J ~~ g(x)

der

W M (g(x))2

499

15 Lösungen

4-3 a) ,. (x + Ax)2 + x + A x - x 2 - x x 2 +2xAx + A x 2 - x 2 - x 2xAx xAx Ax „ , . „ . lim i = = + + — = 2x+Ax + 1 = 2x + 1 ¿x->o Ax Ax Ax Ax Ax b) , i m a ( x

+

Ax)2+b(X

+

AX) + c - a x 2 - b x - c

ax-»o

4-4

= 2ax + aAx +b = 2 a x + b

Ax

a) y'= 5x" + 3X2; y" = 20x 3 + 6x; y'" = 60x 2 +6; y"" = 120x; b) y'= 1/x; y" = y

"=

2

=

6

=

24

b S

' y^ = ^ ^

y = 30X4 + 6X

'

yl2> = 1 2 0 / 3 + 6

1

'

o) , 4x 8-12x2 -24x(x-2 + 2)3-- 63(x-2 + 2)2x— v™ y = d3fi0x b U x •, ep^ ) y v =( x 2 + 2 ) 2 , y' v"- (=x 2 + 2 ) 3 ' y• V-" (x » + 2 ) rix -5 4-5 a) ^ = j H | ö ; b ) x ' ( 3 6 ) = 3 / 4 ; x ' ( 5 6 ) = 1/ 2; c ) d x = x '(r)dr = 4-6

dy = f'(xo) Ax; b) f'(x) = -3/2x2 + 8x; f'(1)= 13/2; dy= 13/2-1 bzw. dy= 13/2-1/2 = 13/4 Die Änderung des F-werts bei 1 um dx = 1 ist 13/2 bzw. um 0,5 ist 13/4 approximativ durch das Differential ausgedrückt. Die tatsächliche Änderung beträgt: f(2) = 12 - f(1) = 3,5 = 8,5; damit ist der absolute Fehler = 2 bzw. für dx = 0,5: = 0,5625.

4-7 20 = 4(r,r2)1/2; r2 = 25fr,; dr2/dn = f r ; -1 =

; r, = 5.

3 4-8 a) y'= sinx + x • cosx; b) y' = 4sinx(1 - 2cosx) = 4(sinx - sin2x); c) y' = - -| _ g x d) y' = x3ex(4 + x); e) y' = - 3 ( 1 x [ n '°§ X ) 2 ; f) y' = 2e2* + 2xe"J 4-9 a) y' = 2x - 3; f'(1) = -1 - » a = 135°; b) y' = 3/2x1'2; f'(4) = 3 -> a = 71,6° 4-10 y' = 2x z - 8x + 6 = 0->x,=3; x2=1; y M a x 4-11 a) y' = 4x3 - 12x2 > 0 für x > 3 also ab hier monoton steigend. y 0 2 -2X2

für x < 0 bzw. x > 2, dort konvexer Verlauf; b) y' = ^

+

Zähler > 0 für -1 1,732; dort konvexer Verlauf. 4-12 a) Nst.: Xl , 2 = 1; Xa = -2; Extr.w. X4 = 1 (Min); x 5 = -1 (Max); Xe = 0 (Wendep.); b) Nst.: X1 = 0; x2 = 4; Extr.w.: X3 = 2 (max); keine WP; c) Nst.: * = 0; x2 = 5; x3 =-3; Extr.w.: X4 = -5/3 (Max); Xs = -1 (WP); d) Nst.: = 0; x5 = 5/4; Xa = 0 (Max); x7 = 1 (Min); xs = % (WP) 600p H 4-13 E ' = , . ; E'(2) = 5,56. V(20 + P 4; c) E'max bei r = 4; d) E/x = e; e max bei r = 6. 4-18 G = 1/7x 3 + 756x - 1 6 0 0 0 ; G max bei x = 42 und p = 756. 4-19 Gesucht ist die optimale Bestellmenge, bei der die Stückkosten pro ME des Gutes Bestellmenge x x minimal sind. Lagerdauer = 2 .Jahresbedarf T x Ö Ö ; L a 9 e rk°sten = 0,5 • j ^ ö ö ö x

ZinsK/ME = Zinssatz • Lagerdauer • Ansch.K.: K =

°.

0 98x 200 k = 4,0024 + i 0 Ö Ö Ö + _ x ~ ~ > k

= 1428'57

=

0,98 200 ToÖÖÖ"lT~>Xl

1 2

IQQQQ

(4

+

200 ~ )• Damit ist

' Der negative Wert

für x ist ökonomisch nicht relevant. Wir prüfen k P ) = ^ r ; k(x,) = 1,4"7 > 0

Min.

a) Es sollten 1.429 ME bestellt werden, b) 5000/1429 = 3,5-mal p.a. sollte bestellt werden, c) Die Differenz zwischen altem und neuem Preis beträgt 0,5 DM. Der Gewinn für den Händler, noch zum alten Preis zu bestellen, ist 0,5x abzüglich x x 200 der Zins- und Lagerkosten: G = 0,5x - ( ° . 5 1 0 0 0 0 x ' " ^ 0 | 1 2 1 0 0 0 0 ^ 4 • G = -0,000098x 2 + 0,4976x G3 lim — -6 — — — = ; b)lim x-15 3 ' »-»0 x - s i n x _ e" -(-sinxe 5 '"" +cosx-cosxe'' l " x ) sinx

e x - c o s x es"x 1-cosx

e" + (sin x - c o s 2 x)e51"'' _ sinx

e " + ( c o s x - 2 c o s x - s i n x ) e 5 1 ' " ' + ( s i n x - c o s 2 x)cosxe sl "'' cosx

1 + (1 — 0)1 + (0 —1)1 • 1 1

Erst der G W der 3. Abi. von Zähler und Nenner ergibt keinen unbest. Ausdruck.

15 Lösungen

501

4-25 f'= -x5 + 4x3 = x3(-x2 + 4) = 0-^x, = 0; x2 = 2; x3 = -2; fMin bei x2 und x3; f Min bei xn; f(0) = 0; f(2) = f(-2) = 20/3; zusätzlich müssen noch die Randpunkte (-1 und 3) untersucht werden. Von allen Minima liefert uns x = 3 den kleinsten F-Wert; dort ist das absolute Minimum. f(-1) = 5/6; f(3) = -81/2. 4-26 D, = IR mit x * 0; Nullst.: x2 - 3x + 4 = 0 -> x1i2 = 3/2 ± (9/4 - 16/4)1ß -> keine Nullstellen im IR; Extrema: , _ ( 2 x - 3 ) x - ( x 2 - 3 x + 4 ) x2 - 4 = 0 -> x12 = ±2 y " x2 " x2 : 4 8 f y' = 1 — y -> V = ~T " ( - 2 ) = - 1 0 -> Max;f"(2) = 1 £ 0 Min; Wendepunkte: g y(2) = = 0 8 * 0 ist nicht auflösbar: kein WP; Krümmung: f(2)(x>0)>0 -> konvex; f*2)(x < 0) < 0 -> konkav; Monotonie f'(0 < x < 2 ; - 2 < x < 0 ) < 0 - > streng mon. fallend; f'(2 < x < ~ ; - 2 > x > - ° ° ) > 0 - > streng mon. Steigend; 4 Unendlichkeitsverhalten: l i m x - 3 + — = o o - 3 + 0 = °o *-»» x 4-27 D, = IR; Nullst.: y = z2 - 5z + 4; z, = 1; z2 = 4; Xi = -2; x2 = -1; X3 = 1; x, = 2; abs. Glied: y = 4; Extr.: y'= 4x3 - 10x = x(4x2 -10) = 0; x, = 0; x2 = 1,58; x3 = -1,58; y(2) = 12X2 -10; y 0 -> konvex; ^'(-0,91 < x < 0,91) < 0 konkav; Monotonie: y'= 4x3 -10x; f'(-1,58 < x < 0; 1,58 < x < > 0 -> str. mon. steigend; f'(-1,58 >x; 0 < x < 1,58) < 0 str. mon. fallend; »..-Verhalten: lim x4 - 5x2 + 4 = a>. 4-28 Df = IR; Nullst.: durch Probieren: Xo = 2,1 x2 = 2,2 -

y0 = +1,04 und xi = 2,2

y, = -0,05 2

= 2,197; x3 = 2,197 - T ^ f f = 2,1896; Extr.: y'= -3x + 3 = 0

x, = -1; x2 = 1; f konvex; ^ ' ( 0 < x < + ¥ ) < 0 - > konkav. Skizzen zu 4-26 bis 4-28 4-26

—

^

4-27

4-28

502

15 Lösungen

5-1 a) Ebene;

c) halber Paraboloid. z„

5-2 a) z'x = 3X2 - 6xy - 2; z' y = -3x2 + 5; b) z' x = — ; p ; z' y = - ~ c) u'„ = 2cos(2a + ß); u'n = cos(2a +ß); d) z' x = 4x(1 + x2 - 2y2); z' y = 8y(1 + x2 - 2y2); e) z \ = Si^lnh; zh=rh . 5-3 a) z'x = 4xy - 2xy; z' y = 4x2y - x2 + 1;

= 4y 2 -2y,

= 8xy - 2x; z^ = 4x 2 ;

b)z^ =e a + " 2 ;zi =2bea+"2;z;'a = e a t b 2 ;z^ =2beatbJ;z'b'b =2(1 + 2b 2 )e at " 2 ; 2x c) z'x = 2lny - ^ T ? - ln(2x + 1); z' y = 2xy 1 ; z" = — (2x+1)\2

2x+i,z**~

> z 'xy~2y 1 -

5-4 a) Min bei (2; -5; -29); b) Max bei (0,5; 0,5; 1,25); c) Max bei (-1; 1; -3) d) keine Ex = 3x2; z' y = 3y2;

5-5 dz = dzx + dzy = f' x (xi, y t )Ax + f' y (xi, yi)Ay; a) z\

dz = 3.1 -1 + 3-16-2 = 99; b) z' x = x1/2y1/2; z' y = x1/2y1'2;dz =X • & • 1 + VT • 4= • 2 = 3. V1 V4 5-6

Nullst, von z'x f*2)xx(xo,yo) und z\

f*2>yy(Xo,yo)

f

f

2

4

Min

(1,25; 1,25)

4

-14

-56




0

0

Min

c)

(4; 2)

-2

-4

8

>

0,5

0,25

Max

a)

. j T 16 drj 48 5-7 20 = 10 n r 2 -> 16 = r,3r2 -> r 2 = 77 n -> -5* an = - tnt bei r, = 2: r 2 = -3; x'n = 7,5-4/—;x'r2 =2,5-i| —

; Euler'sche Homogenitätsrelation: rz = z'xx + z' y y;

rx = 7,5r 2 l 'V 1 M r, + 2,5r 1 3 V 3 ' 4 r 2 = l O r ^ V 4 = 1.f(r,, r2) -> r = 1.

15

503

Lösungen

5-8

E= p i n i + p 2 n 2 = 800p, + 800p 2 - 50p, 2 - 40p 2 2 + 40p,p 2 ; E' p i= 800 - 100p, + 40p 2 =0 E' p2 = 800 + 40p, -80p 2 = 0 - > p, = 15; p 2 = 17,5; E ( 2 ) p , p , = -100; E p ) p 2 p 2 = -80; E 1600 - > Extremwert und w e g e n E (2) p1p , < 0 Max; Em» = 13000.

5-9

G = 10x, + 20X2 - 11/6x, 2 - 10/3x 2 2 - 7/6x,x 2 ; G' x , = 10 - 11/3x, - 7/6x 2 = 0; G ' a = 20 - 7/6x, - 20/3x 2 = 0; x, = 1,877; p, = 8,48; x 2 = 2,671; p 2 = 15,812; G(2)x,xi = -11/3; G 220/9 > 49/36 - > Extr.w. und wg. G w , i „ < 0 M a x ; G m a x= 36,10.

5-10 G = 18x + 20y - 2x 2 - 4y 2 - xy; G max bei x = 4; y = 2. 5

dy " 1 1 dx

=

f\ "f'y;

a)

_ 2x ~ ~2y

'

2y 2 - 8xy 3 + 2x " 4xy - 1 2 x V '

5-12 du/dt = 2(2y - 4z 2 ) + (2x - z)8 + 2(-y - 8xz)t 5-13 z'x = 3x 2 + 6xy - Sy2 - 21 = 0; z ' y = 3x 2 - 6xy + 3y 2 - 3 = 0; (2,3);(2,1 );(-2,-1 );(-2,-3) 5-14 y'x, = 4x, - 6 = 0; x,, 0 = 1,5; y * = 6x 2 - 1 2 = 0; x2,0 = 2; y * = 3xa2 - 12; x3,0 = 2; X3.1 = -2; also bei: (1,5; 2; 2) und bei (1,5; 2; -2). 5-15 Die partiellen Ableitungen 1. Ordnung verschwinden bei P, = (2; 0; 1; 1), P 2 = (2; -4; 1; 1), P 3 = (-2; 0; 1; 1) und P 4 = (-2; 4; 1; 1); hier könnten Extrema sein, z » = 2 y ; z ^ = 2x + 2 y ; z ^ = 0;z;' v = 0 ; Z ; = 2x + 2 y ; z ^ = 0 ; z ; = 0 z"

=-1z"

= 0z"

=-2

Die Deteminante aus z ' » ; z"xy; z'V; z"yy = +16; die nächste Det. = -16 und die nächste = + 32, d.h. Max. Für P 2 ist z' 'xx = 0; also dort kein Extremum. Für P3 ist z " » = 8; die folgende Det. ist auch positiv, aber die nächste negativ, so daß nicht auf einen Extremwert geschlossen werden kann. 5-16 a) z* = -4x 3 + 3x -1; z ' = -12x 2 + 3 = 0 x, = 0,5; x 2 = -0,5; z" = -24x; f"(0,5) = -12 < 0 - > Max.; f'(-0,5) = 12 > 0 Min; aus x - y = 1 x, - > y, = -0,5; für x 2 y 2 = -1,5; b) y* = 3x 2 2 - 18x 2 + 45; y'=6x 2 -18=0-> x 2 = 3; y" = 6 > 0 Min. Aus X1 = 6 -x 2 und X3 = x 2 - 3 folgt: x, = 3; X3 = 0; Min bei (3, 3, 0). 5-17 f'x = 4; f'y = 5; g' x = y; g' y = x

4/y = 5/x - > y = 4/5x; eingesetzt

in die

Beschränkung: x • 4/5x - 20 = 0 - > x, = 5; x 2 = -5; y, = 4; y 2 = -4. d2 d2 d 1 5-18 FF L = t c — + ^dh + X ( V - 7 C — h ) ; F ^ = 7td + ; t h - A . 7 t - h = 0 - » d + h - - ; U J h = 0 d2 d2 d d2 4 F ' = 7 t d - Ä . j i — = 0 - » d - Ä . — = 0 1 - A . — = 0;F/ x = V - n — h = 0 - > X = - ; u 4 4 4 4 d 1 4 d + h - ^ • ^ dh = d + h - 2 h = d - h = 0

d2 f4V ¡4V d = h; V - j e — h = 0 - > d = h= a—;

dort liegt das Min von F. bei gegebenem V. 5-19 Max. bei x = 4/3 und y = 2/3. 5-20 Nutzenmaximum bei x = 48/17 und y = 36/17.

15

504 5 - 2 1 Ku= 3X, + 1 2 X 2 + X ( 4 8 - 6 X , V ) ;

K'ui = 3 - 0 , 5 X x i

x2

Lösungen

=0;

K ' u 2 = 1 2 - 0 , 5 ä , X i 1 / V 1 ' 2 = 0; K ' u = 4 8 - 6x, 1 / 2 x 2 1 ' 2 = 0; a u s den beiden ersten folgt: 3 12 X = „ iri = „ V7 -m oder Xi = 4x 2 ; in die dritte eingesetzt: x 2 = 4; Xi= 1 6 ; X = 6. Xi x 2 xi x 2 Minimale Kostenkombination: 3 - 1 6 + 1 2 - 4 = 96. Die K ' der Produktion im Kostenminimum sind die Kostenänderung, die sich ergibt, wenn die Ausbringungsmenge (= Restriktion) um eine Einheit geändert wird. D a s entspricht der Interpretation d e s Lagrange-Multiplikators. K ' = X = 6. 3 2

2

2

5 - 2 2 z L =3-3/4x-y+A.(x +y -9/4); z ' u = - 3 / 4 + 2 ^ . x = 0 ; z ' L y = - 1 +2Xy=0; ( 3"l2

1

f 1 )2

9

-

,

5

2

z'u=x +y -9/4=0->x=g£

5

9

6

5 - 2 3 u L = 2 x + 4 y - z + X ^ x 2 + y 2 - 1 0 ) + X2(x + y - z - 7); U'l* = 2 + 2xXi + X2 = 0; u' L y = 4 + 2yX\ + X2 = 0; u ' l z = - 1 -X2 = 0; u ' u 1 = x 2 + y 2 - 1 0 = 0; u' U x 2 = x + y - z - 7 = 0; a u s (3) X2 = - 1 ; in (1): 2 + 2xA.i - 1 = 0; X, =

in (2): 4 - y/x - 1 = 0

y = 3x; in (4):

x 2 + (3x) 2 - 1 0 = 0->Xi, 2 = ± 1 ; y 1 i 2 = ± 3 ; a u s (5): Zi = -3; z 2 = - 1 1 ; \ 1 i 1 / 2 = ± 0 , 5 ; X2= - 1 . 6-1

ü = 2 4 x - 2x 2 ; U ' = 2 4 - 4x; K ' = 0 , 4 x + 2 ; K ' = U =p(1 + ^ bzw. weil p = 2 4 - 2x: exp = ^ ¿ f * = ^ 0,4x + 2 = 2 4 - 4 x

x = 5; exp =

^ x

5 - 1 2

); exp = \

; 0,4x + 2 = ( 2 4 - 2x)(1 + ^

dyx x Eyx = S y a ) ^ dxy'

6-3

3x + 2 = 1 - > x = -1/2. £vx = * ~ x + 1

6-4

U ' = 2 0 - x; p(x) = 2 0 - 0,5x: p ' = -0,5; ep)( = - 0 , 5 2 0 _ Q

. . 3 X . . > 3x* + 4 x + 5 . c = 24x67=4;b)eyx= + 2x + 5 ' > ^

5 x

= ( 2 0 - 0 , 5 x ) ( 1 - 2 o ° - 0 X 5 x ) = 2 0 - x = LT. 6-5

4x 4 + 2 x 2 y 2 e a = x4 + x y + ' y 4 ; e z y =

6-6

f ( A * X y ) = X2x2 + X2y2 = X2(x2 + y 2 ) = X2(f(x, y)

x +y R 7

P e

2x2y2 + 4y" 4+'xy+'y4

2x

2y

2x 2

2,6zy

_dx *e " d p ' x "

1 2

_

2

2

x + y '

9 d -3/ 2 p

P 9p" 1 ' 2

2

+ 2y

x2 + y 2

Ez}< + 6 z v

1_

2

^

1 2

=

^

)!

= |-1,4| > 1

6-2

x

•,1/2pP+

r= 2 2

= 2 = r

-x ^

=

=

2Q

0,5x _ ' 0 5 x ; p(x)(1 + epx) =

505

15 Lösungen 7-1

a) y = c; b) y = 1/x + c; c) y = 2x* + 3x + c; d) y = Inx + c; e) y = 1/x5 + c; f) y = -1x"1 + c; g) y = 5/3x3 + 4x2 - 3x + c; h) y = 2lnx; i) y = -0,2ex + c.

7-2 a) F(x) = Inx + 1/2x2 + e x + c; b) F(x) = 1/2(e* + e'x) + c; d) F(x) = -acosx + bsinx + c c) F(x)

1/6x® + 1/5x 5

=

+

1/4x" + 1/3x 3

+

1/2X

2

+

x + c.

7-3 a) g'= 1/4x3 ; f = Inx; g = 1/16x4; f'=1/x; J ^ x 3 - l n x = - ^ x 4 I n x - j - U 4 - d x = 4 16 16 X = 1/16x"lnx - 1/64x" + c; b) f = x; g'= ex; J e x x = xe x - Jle"dx + c = (x + 1)ex + c 7-4 a) z = 2 - 3x; x = x =^

; dx = -1/3dz; J - j = ( - ^ - ) d z = - | V 2 - 3 x + c; b) z = 3 - 4x;

- » dx = -1/4dz; J - L ( _ l ) d z = ^

+

c =l ^ + c

; c) z = 1 + 1/3x; 4

= 14

^ =1/3 ->dx = 3dz; für x = 0 ->z=1 und x = 9 ->z = 4; ] z1'2 • 3dz = 7-5 i

0

1

2

3

4

X|

- 2

-1

0

1

2

yi

0 , 0 1 8 3

0 , 1 3 5 3

1

7 , 3 8 9

5 4 , 5 9 8

r n-1 • F = Ax 0,5(y 0 +y n ) + 2 : y , = 1(0,5(0,0183+54,598)+8,5244) = 35,8326 L 1=1 .

7-6

a

>iQ

+

^ l - ^ 2 )

d x

=

Mxl +

3lnH-5ln|x+2|

+ c;

b) f X - + 1 d x = f ( - + — + — ) d x ; Koeff.vergl:1=a+b+c; a= -1; 0=b-c; b=c=1; J x J x -x x —1 x +1 1 1 1 ( x - 1 ) ( x + 1) | ~ ^dx + — + J -^pjdx = — 1njx.j + ln|x-1| + ln(x+l| + c = In +c 7-7

= [sinx]2* =sin27t-sinO = 0 - 0 = 0

7-8 1

=

J

7-9

i o>

3 1x

2

2y2

T ^ T a(t)

+ ^ x 2 y + xy 2

d x

l(rfy2+!y)dy:

dy=

7

5

—y +—y 9' 6

i

3

+—y 4

?

85 36

= j V t ) d x + ß;(t).f(ß(t),t)-a;(t).f(a(t),t) a(t)

f(x,t)=txsinx 0 sein.

1 I T F'(t) = ——-3/1——(3- 0;

*

= j^q

- » x = J y r ^ d y = H v 2 + 8I + c o = 'n(y2 + 8)+c 0 1 I

e x = C l (y 2 + 8) mit c, = e * - > - - e " - 8 = y 2 - * y = >/ce"-8

mit c = 1/ci; beachte: elnx = x b) ^ =

x = i ( y + 2)dy = ± y 2 +2y + c;Anf.bed.: 1=0,5 • 0 +2 • 0+c

=

c = 1; also: x = 112/ + 2y + 1. 8-4

a) J - d y = Jxdx -> ln|y| = ^x 2 +c 0 ; für y >0:y = ce V 2 x i mit c = ec° 1 1 1 b) J ^ r d y = J x d x - > - — = —x 2 + c

8-5

^Hlp01

^

=

c

•p

mita

. p >

y= -

=

c

x 2 +2c

J y ^

l

n

'

x

'

=

Cln

'pl+d^x=edPc

508

15 Lösungen

8-6 y'= 1 —>y = Jldx-»y = x+c; a)y = x;b)y = x + 1;c)y = x - 3 8-7

h|y|

Mx|

Es ist g(x) = 11x und h(y) = y; -> J - dy = J - dx -> ln|y| = ln|x| + c -> e = e • e°; y x e° = k |y| = k|x| ; für x,y > 0 folgt y = kx. Hierbei handelt es sich um vom Ursprung ausgehende Geraden, deren Steigung durch die Konstante k bestimmt ist. Der Scharparameter tritt multiplikativ auf.

8-8 Es handelt sich um eine totale Differentialgleichung, denn g(x,y) = -ax + 2y und h(x, y) = 2x + 3y haben g' y = 2 und h' x = 2; FF(x. y) = i (-ax + 2y)dx + J(2x + 3y - 2x)dy = - 1 x2 + 2xy + 1 y2 = const 8-9

Es handelt sich um eine homogene lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten; dafür gilt: y = ke'px; hier: y = ke3x

8-10 y = k e "

1

^ = ke-h(1t"J> = k • i — Ü = -T~~T V1 + X 2 /

1 + x2

8-11 J2ydy = Jsin xdx -> y2 = - cos x+c mit c > 0. Jldy = Je3~xdx -> y = -e3~x + c y y q(y W\>¡9'» e y -j-2xv y = e +2x; h' x = 2x + e 8-12 Durch Umformen ergibt sich:y'= —5 r = h(x,y) y yx^+xe* 2 y 2 y 2 G(x,y)= g(x,y)dx =(e + 2xy)dx = xe + x y G' y = xe + x ; F(x,y)=xe + x y= const.

8-13 Zunächst die Nullstellen der charakteristischen Gleichung: v2 + 10v + 9 = 0 Vi,2= -5 ±(25-9)1'2—>Vi= -1;v2= -9; damit folgt die allgem. Lösung: yk=Ci(-1)k+ C2(-9)k mit ^,02 e IR. Eine spezielle Lösung der inhomgenen Differentialgleichung lautet: r 20 S = •] + p + q = 1 + 1 0 + 9 =

1; u n d d i e a

" 9 e m - Lösung ist: yk = c,(-1 )k + C2(-9)k + 1

8-14 Es liegt eine linear homogene DGIg vor; die charakteristische Gleichung lautet: v2+ v - 6 = 0 H> v, = 2; v2 = -3; die spezielle Lösung ist: y, = e2x und y2 = e"3x und die allg. Lösg: y = Cie2" + c2e'3x und mit 0 = y(0) = c, + c2 und 1 = y'(0) = 2c, - 3c2 -> C1 = 1/5; c2 = -1/5; daraus folgt die partikuläre Lösg.: y = 1/5(e2x - e'3x) 8-15 Setzt man y'= u, ergibt sich eine lineare inhomogene DGIg: u' + u = 6; dafür gilt: y = k(x)e'px(j"r(x)epxdx+c); hier: u = e" x (j6e x dx + c) = e" x (6e x +c,) = 6 + c,e- x = y ' -> y = J (6 + qe"* )dx = 6x - q e - * + c 2 dy y 2 + y f 1 f1 8-16 Umformen: y' = — = — - — = J ^ - ^ d y = J - d x ; Partialbruchzerlegung ergibt: 1 1 —z =y + y y y

1 +1

r 1 r 1 v kx j - dy - f — - d y - > Inlyl - ln|y +1| = ln|x| + c - > — - = kx - > y = — — 11 1 y J y + 1 y+1 1-kx

J

2k

wegen 4 = y(x = 2) =

. „. 0,4x k = 0,4 -> y = ^ Q ^

509

15 Lösungen 8-17 Charakt. Gig.: v2 + 4v + 5 = 0 ->• v 12 = - 2 ± V 4 - 5 = 2±i; es gilt: y = e ^ c , cosv 2 x+c 2 sinv 2 x) mit ^ ,C2 e IR und ~> y = e" 2 (c 1 cosx+c 2 sinx)

vi=-^;v2 =

8-18 (v 3 -v 2 + 4 v - 4 ) : (v -1) = v2 + 4 -> v1i2 = ±2i

y = c^e" + c2cos2x + C3Sin2x

+8 -1" "4 -1" 10 8 4 -1" 6 - 4 c) 9-1 a) +4+2 b) d) 11 -1 2 -5 -5 3 -13 -1 -5

5 -7 3

9-2 a) 16; b) 4,53 -28 2" 9-3 a)A B = 12 - 9

c) A E =

2

2

0'

3 4 1

B-

- 1

-16'

12 -36

'5

-15

-4'

6

-22

-8

12

-4

16

b) A B =

BA =

E • A nicht definiert.

"5" "19" 9-4 a) 8 b) - 6 c) (-2 53) 3 7 7800" 9-5 x = M-A-y = 14300 2600

f

9-6 a)

b)

-2N 2

9-7 x, =2;x 2 = -1. 9-8 a) linear unabhängig; b) linear abhängig: a2 = -3ai

9-9 a)

-1

2

- i

1

-4 2 -3 -0,67 0,33 0,5" - 1 0,25" -2 1 0 c) -2,33 0,67 2,5 d) b) - 3 1,50 3 0 3 -2,33 0,67 3,0 5 -1 3

9-10 a) 3; b) 3 9-11 a) x, = 3; x2 = -4; x3 = 2; b) x, = 0; x2 = -1; X3 = 3.

2 -2 0 -1

-16

12

3

15

510

15 Lösungen

9-12 a)X = Ai + A 2 - B ; b)X = 1/2(A + C); C)X = (B + E)"1-A 5 6 15 b) X = (A - 2E) (-B - 2C) = - 1 1 - 5 10 11 22

9-13 a) X = A - E =

1 -0,2 -0,1 -0,3 -0,2 -0,5 0 1 9-14 a) y = (E - A) x; b = B x; 0 0 1 0 -0,4 0 2 0 0 0 2 3 1 4 0 2 0 5 10 30 20 50 2 2 3 2

400 300 200 200

1 0,40 0,18 0,500 0 1,25 0,25 0,625 0 1 1 0 0 0,50 0,10

1,250

=

" 800 " 2700 1600 = b 27000 2400

"260" 160 200 80

400 300 200 200

"260" 160 = y; 200 80

b) x = (E - A) • y; b = Bt • y

2 2 0

0,36 1,000 2,51 7,875 1,00 7,500 =z 360 10 86,50 34,30 86,250 200 2 7,30 4,06 4,750

"400" 300

0,80 7,55 5,00

100 200 300 300

768,0" 4825,5 3550,0 = b 54465,0 4303,0 IC = k ' B , = (27,5; 86,125;117,125;107,8125) = Kosten/Pr od C) k B = k^ • y = 73.811,25 = Gesamtkosten

9-15 R q =

1 0 2 2

1 3

100'

200 50

200'

550

Für den Verkaufsvektor gilt: 100 200 = y + P ; 50

0 0 2 0,5 0 1 0 0 0

"100" 200 50

=

"100" 100 0

"100" y = 200

9-16 a) nein, den a' und b" sind linear abhängig: 2

50

-

"100" 100 0

=

" 0 " 100 50

M3-G

b) ja; a' und b' sind linear unabhängig: 1 Si + 2s2 = 0; 4st + 6s2 = 0

s, = s2 = 0

511

15 Lösungen

0

2s, +5S2 = 10

9-17 Sil J + s 2

55 — ; s ,2 = • 9 '

s, + 7s2 = 3

9-18 Die Zeilensumme der Übergangsmatrix müssen = 1 sein, wenn die drei Produkte allein den Markt beliefern. Die Marktanteile in t, erhält man, indem man den Zeilenvektor der Marktanteile in t0 mit der Übergangsmatrix multipliziert: 0,1 ' 0,8 0,1 0,1 ' 0,15 = (0,405;0,395;0,2) 0,15 0,7 0,15 = (0,4;0,33;0,27) (0,4:0,5:0,1) 0,15 0,05 0,85 0,1 0,1 0,05 0,85 Die beiden letzten Zeilenvektoren sind die Marktanteile in t, und t2. Je nach Art der Übergangsmatrix ergibt sich in n Perioden ein stabiles Gleichgewicht oder nicht. Vgl. Dazu: Bücker, Statistik für Wirtschaftswissenschaftler, Kap. 11 -2. 0,1 0,7

0,8

4 9-19 a)Vertauschung von Zeile (2) und (3) ergibt:

4 7/3 -16/3

1 24 - 2 / 3 - 1 • 3/7 II -(-16/3)+3.Z.—» 13/3 - 1

5

1 24" 1 / 6 / / - ( - 4 ) + 2.Z 0 17 •(-5) + 3.Z ->

-2

3 19

4 1 24" 7/3 -2/3 1 0 27/42 9 / 7

Aus der oberen Dreiecksm. kann der Lösungsvektor bestimmt werden: x'=(3, 1, 2) 1 3

:(-4) + 2 . Z / / - ( - 3 ) + 3.Z 4 -> 0

1/4

3

0

11/4

- 1 0

0

0

b)

2-4 4 0 0

-1 1/4 0

-1

0 0 1 3 •4 // -(-11/4)+3.Z —> -4 3

0

0"

1

3 Der Lösungsvektor: x' = (1, 4, 2)

-15

-30

9-20 a) (-27 - 260 + 6 ) - ( 39 - 45 - 24) = -251; b ) ( 4 + 42 ) - ( 4 8 + 21 ) = -23 9-21 a) nach der 3. Zeile: 7 1 0 7 1 5 7 5 0 1 5 0 3- 2 2 1 -1- 6 2 1 + 0- 6 2 1 - 4 - 6 2 2 = 3 - 5 - 1 ( - 2 0 ) - 4 - 4 8 = -157 7 6 3 7 6 1 6 1 3 7 1 3 nach der 2. Spalte: 7 5 0 7 5 0 7 5 0 6 2 1 (-1)- 3 0 4 + 23 0 4 + (-1) 6 2 1 + 6 6 2 1 = -17 +134 + 20 - 294 = -157 7 1 3 3 0 4 7 1 3 7 1 3

512

15 Lösungen b) nach der 3. Zeile: 2 3 +4 7 5

1 3 6 5 9-22

nach der 2. Spalte: 7 5 2 3 (-1). + 63 4 3 4

= -8;

2 3 = -8 7 5

1

9 4 3 9 1 3 4 9 3 4 |A| = 2 3 -5U-7;|A,| = 6 3 -5 = -25H|A2| = 2 6 -5 = 170;|A3| = 2 3 6 =10; 13 1 1 13 - 1 1 1 13 1 1 -i x -

N w

251 •x 7"

1ÄT

170 " 7 '

3

10 ' 7

_IA: " |A|

•1 / 2 / / • (-1) + 2 Z / / -(-3) + 3.Z 2 1/2 0 0" 2 3 4 1 0 0" "1 3 / 2 9-23 1 6 - 2 0 1 0 0 9 / 2 - 4 - 1 / 2 1 0 •2/9 //-(-3/2>f 12. // (-l/2)+3.Z.= 3 5 0 0 0 1 0 1/2 - 6 - 3 / 2 0 1 10/3 1 0 0 1 -8/9 0 0 -50/9

2/3 -1/9 -13/9

-1/3 0" 2/9 0 -1/9 1 •(-9 / 50 / / • 8 / 9 + 2 Z / / -(-10 / 3) +1. Z -»

3/5" -1/5 -2/5 1 0 0 1 0 1 0 3 / 2 5 6 / 2 5 - 4 / 2 5 Die rechte Seite gibt uns A' an. 0 0 1 13/50 1/50 - 9 / 5 0 b) Bestimmung der n Unterdeterminanten: :10;|A12|

|An| = |A22| =

2 4 3 0

-12;|A23| =

2 3 |A33| = - 9;AadJ 1 6

= +6;|A13| =

3 4 1 6 = -20; = -13;|A21| = 5 0 3 5

2 3 3 = +I;|A31| = 3 5 6

10

20

-30'

-6

-12

8

-13

-1

9

4 -2

2 = —30; j A32| =

|A| = - 5 0 ; A - 1 = ^

1

4

= -8

-2

-0,2 -0,4 0,6' 0,12 0,24 -0,16 0,26 0,02 -0,18

9-24 Wir setzen die drei Punkte (3; 1,36), (5; 1,64) und (7; 2) anstelle von t und U in die allgem. Form der Parabel ein: 9a + 3b + c = 1,36; 25a + 5b + c = 1,64; 49a + 7b + c = 2 und lösen das Gleichungssystem auf: a = 0,01; b = 0,06; c = 1,09. 9-25 Die Gesamtkostenfunktionen der 4 Verfahren lauten: Ki = 50 + 15x; K2= 110 +9x; «3 = 150 + 8x; K4 = 200 + 5x. Damit arbeiten die Verfahren kostengünstiger bei folgenden Mengen: (1): x < 10; (2): 10 < x < 23; (4): 23 < x; (3) kommt gar nicht zum Zuge, weil es bei allen Ausbringungsmengen ungünstiger ist.

15 Lösungen

513

9-26 a) xi = Typ A; x2 = Typ B; 15xi + 18x2< 252; Xi > 6; x, ^ 3x2; c) Mögliche Kombinationen sind alle inneren Punkte des Polyeders; z.B. (7, 3), (10, 4), (8, 5) usw. 9-27 a) Die charakteristische Matrix zu A ist: "2

-3"

-3

0

-k

"1 0" 0

2-k

-3"

-3

-k

1

d.h.: k 2 - 2k - 9 = 0; ki,2 = 1 ±>/lÖ x 2-k -3 i für die Eignv. gilt: x2 -3 -k

Die charakt. Gleichung ist:

[2-k

-31

.-3

-k| = °

ki=1+3,162; k2=1-3,162 (= Eigenwerte von A); 0 0 "1-3,16 -3 ;.für..k,: — 0 0 -3 - 1 - 3 , 1 6 x?

Daraus resultiert das folgende homogene Gleichungssystem, dessen Lösung in der folgenden Tabelle wiedergegeben wird: Xi

x2

b

1-3,162

-3

0

-3

-1-3,162

0

(1-3,162):(-3)

1

0

0

0

0

1-VTö 1-VTö x,; fürx! = 1-> x2 = 0,72. Damit lautet der Eigenvektor für k^ x2=3 1 + 3,162 -3 1 +VTÖ x'=(1;-0,72).Für k2 =1 - 3,162 gilt: -> x 2 = — - — x . -3 -1 + 3,162j[x2_ Bei vorgegebenem x, = 1 -> x2 = 1,39 -> Eigenv. x'^ = (1; 1,39), aber auch alle Linearkombinationen mit a * 0 sind zugelassen. b) Q = (2xi - 3X2; -3X,)

: 2x, - 3x^2 - 3X,X2 = 2, - 6x^2. Die beiden Eigen-

werte sind ki > 0 und k 2 < 0, womit Q indefinit ist. 9-28 Z=unbekannte Zahl; x3=Einer-, x2=Zehner-, Xi = Hunderterstelle: Z=100x,+10x2+x3 a) Xi + x2 + x 3 =18 Xi + x2 + x 3 = 18 X1

+ x3

= x2

-»

100x 3 + 10x2 + xi = Z - 99 1 1 b)

1

1

-1

1

Xi x2

99

0

-99

x3

99xi

18 =

0 99

Xi - x2 + X3 = 0

c)

- 99x3 = 99

|A| = 396; ^,1 = 1980; | A21 = 3564; 1 = 1584 x, = 5; x, = 9; x 3 = 4 -» Z = 594

9-29 a) 20; b) 0; (4. Spalte = 6-fache der 2. Sp); c) existiert nicht, weil m * n 9-30 Positiv definit, weil die Hauptabschnittsdeterminant.

2 1 |2| = 2..und.. = 5 positiv 1 3

514

15 Lösungen

9-31 Unsere Matrix der Input- oder Produktionskoeffizienten sei P; y ist der Vektor der Endnachfrage und q der Vektor der Produktion. Da ein Teil der Produktion im eigenen Sektor und in anderen Sektoren wieder zur Produktion gemäß der Matrix der Produktionskoeffizienten verbraucht wird, gilt: q = y + P q - » y = q - P q = (E - P)q; da wir a suchen, erweitern wir mit (E - P)"1 -> q = (E - P)'1y -1

1-0,012

-0,028

-0,005'

-0,267

1-0,355

-0,138

150

-0,099

-0,099

1-0,198

125

"30"

" 78,8" =

333,9 325,5

Die Matrix der Prod.koeff. P ergibt sich, indem man die Werte in den Feldern der Verflechtungsmatrix durch den gesamten Output der Sektoren (=Spaltensummen) 0,250 0,375 dividiert: p , , ^ ; ®

0,188

0,375

0,562

0,250

1,000

1,000

= P;.(E-P)- 1 =

"1,57

0,94"

50'

"91,28"

0,47

1,88

30

59,18

9-32 Es ist: Xi = Bier; x2 = Gin; X3 = Whisky; X4 = Martini; damit lautet die Zielfunktion: 17xi + 15x 2 + 16x3 + 7x4 = max! Die Restriktionen sind: 1,5xi + 2,5x2 + 2,5x3 + 2 , 0 X 4 < 100 DM (Geld)

X3 ä

15xi

x3 < 12; X4 < 24; (Trinkgewohnh.)

+ 6x2 + 7x3 +

4x4 < 90 Min (Zeit)

2;

X1 5

8; x2

100

>

150

+

>

50

X34

>

80

+

+ X33

+

X14 X22

+

+

X32

X23

+

X24

+

X33

+

X34


11; Ä = Augensumme ¿11; W(A) = 1 - W(Ä); A = (1 1 1 1 1 1 1 1 1 1), (2 1 1 1 1 1 1 1 1 1), (1 2 1 1 1 1 1 1 1 1), ...; insgesamt 11 Fälle für 11 eine Summe

=1-11/1024; W(alle nicht begabt) = ( j - ^ ^ J

\500

;W(wenigstens 1 Pers. begabt)

11 = 1 - (^1 1024/ = 0,996. Es ist fast sicher, daß eine Person nicht mehr als einen Fehler macht. Sollte man ihr deshalb mediale Begabung zusprechen? 11 -28 A, = Geldstück hat 2 Wappen; B = es kommt dreimal Wappen; A2 = Geldstück hat 1 mal Wappen und 1 mal Zahl;

524

15 Lösungen

W(B/A 1 )W(A 1 ) W(A, / B ) - W ( B / A i ) . W ( A i ) + W ( B / A 2 ) , W ( A 2 ) -

1 J_ 121 1

1 ^ 120 ~ 16

121 + 8 ' 121

11-29 a) A, = Spiel mit 1 Würfel; A2 = Spiel mit 2 Würfeln; B = Ergebnis ist 2; 1 1 W(A1)W(B/A1) s'2 6 W A /B ( 1 ) - W ( A i ) \N(BIA,) + \N(A2)-\N(BIA2)~± ^ 1"7 6 ' 2 + 36 ' 2 b) W(„3") = W(3/A,) • W(A,) + W(3/A2) • W(A2) = 1/6 • 1/2 + 1/18 • 1/2 = 1/9 f10Cf| 11-30

p50")

=

149

= 0,44

11-31 Ai = Produkt normgerecht; A2 = Produkt nicht normgerecht; B = Produkt besteht einfache Kontrolle; B* = Produkt besteht doppelte Kontrolle. W(Ai) = 0,96; W(A2) = 0,04; W(B/Ai) = 0,98; W ( B / A 2 ) = 0,95; W(B/A2) = 0,05; wegen Unabhängigkeit gilt: WB*/Ai) = 0,982 = 0,9604; W(B*/A2) = 0,052 = 0,0025: a) W(A,/B*) = W(A 1 )-W(B*/A,) 0,96-0,9604 W(A 1 )-W(B*/A,) + W(A 2 )-W(B*/A 2 ) 0,96 0,9604+ 0,04-0,0025 ' b) W(B*) = ZW(A)W(B*/A) = 0,96 • 0,982 + 0,04 • 0,052 = 0,922

12-1 a) 25 ZE; b ) 1 ; 4 ; 5 ; 7 ; 8 ;

c) 1-4-5-7-8; d) 1-4-5-8

12-2 a)

b) 28500 DM; c) 13 Wochen = 28500; 12 Wochen = 28700; 11 Wochen =29150; 10 Wochen = 30400; 9 Wochen = 32300; 8 Wochen = 34500; d) in 8 Wochen

525

15 Lösungen 12-3 a) 8

6

— >

1 0

HÜW3

kritischer Weg: 0-1-4-5-7-9-10-11-12

t>D b) Kn-Nr.

E(T)

FZ

V(FZ|)

Sz,

V(SZ.)

0

0

0

0

0

44,56

0

0,5

0

Gp, W(GPi)

V(T)

z = (96-92):6,68 = 0,6 -> W(96ZE) = 0,5 +

1

16

16

6,25

16

38,31

0

0.5

6,25

0,2257 = 0,7257

2

9

25

12,50

25

32,06

0

0.5

6,25

z = (90-92):6,68 = -0,3

3

9

34

18,75

34

25,81

0

0.5

6,25

-> W(90ZE) = 0,5 -

4

9

25

12,50

25

32,06

0

0.5

6,25

0,1179 = 0,3821

5

25

50

18,75

50

25,81

0

0.5

6,25

6

5

30

13,50

36

31,06

6

0,632

1,00

29,84

60

14,72

0

0,5

11,09

10

60

8

8

44

14,19

62

30,37

18

0,993

0,69

9

4

64

30,28

64

14.28

0

0.5

0,44

10

10

72

36,53

72

8,03

0

0.5

6,25

11

12

84

42,78

84

1,78

0

0.5

6,25

12

8

92

44,56

92

0

0

0,5

1,78

7

526

16 Musterklausuren

16 Musterklausuren

Die folgenden Klausuren stammen nicht alle vom Autor; einige wenige stammen auch von Kollegen des Autors; diese sind aber besonders durch ** gekennzeichnet. Die Bearbeitungszeit beträgt seit etwa 1989 drei Zeitstunden. Allerdings beinhaltet die Fachprüfung auch einen Statistik-Teil, für den etwa 1/3 der Bearbeitungszeit angesetzt wird, so daß für den Mathematik Teil nur ca. zwei Zeitstunden verbleiben. Im Gegensatz zur 3. Auflage dieses Lehrbuchs sind in der jetzigen 4. Auflage die Statistik Aufgaben nicht mit aufgeführt.

Fachprüfung Mathematik/Statistik

1

Bk

20 /WS94/95

Der Bieledorfer Kosmetik Produzent Albina will ein neues Haarbleichmittel aus drei verschiedenen Chemikalien (ri, r2, r3) produzieren. Die entsprechende Produktionsfunktion lautet: x = ri-r2-r3. Die Faktorpreise betragen (pi, p2, P3) = (2, 2, 1). Es sollen zunächst einmal 2000 Stück hergestellt werden, wobei die Herstellungskosten möglichst klein sein sollen.

1-1 Bestimmen Sie die kostenminimale Faktormengenkombination! Wie hoch sind die damit verbundenen Kosten? (Lagrange; Prüfung ohne hinreichende Bedingung!) 1-2 Bestimmen Sie für die o.a. Minimalkostenkombination die Funktion gleicher Ausbringungsmenge für x = 2000 in der Form ri = f(r2, r3) und geben Sie an, um wieviel Einheiten sich n ändert, wenn r2 respektive r3 um eine (infinitesimal kleine) Einheit geändert wird. 1-3 Um welchen Betrag würden die unter 1-1 ermittelten Kosten steigen, wenn die Produktionsmenge um eine Einheit erhöht wird?

2

Der in H. ansässige Textilfabrikant Larry Heber hat für den Absatz eines hochwertigen Tennishemdes folgende Preisabsatzfunktion ermittelt: p = -0,6x + 21. Seine Kostenfunktion lautet: K = 0,2x3 - 3X2 + 9x + 50.

2-1 Bei welcher Stückzahl erreicht er sein Gewinnmaximum? Wie groß ist Gmax? 2-2 Wieviel ganze Hemden muß er mindestens absetzen, um keinen Verlust zu machen? 2-3 Ab welcher Stückzahl wechselt der Gewinnverlauf von progressiv nach degressiv. 2-4 Bei welcher Stückzahl, Teilbarkeit vorausgesetzt, fertigt er mit den geringsten Kosten?

527

16 Musterklausuren 3**

Der Kfz-Hersteller Lorsche produziert im Werk Uttgarten bisher ausschließlich den Roadster „Seven-Eleven". Zur besseren Auslastung dieses Werkes, dessen Kapazitäten in den beiden letzten Jahren nur zu 60% genutzt werden konnten, sowie zur Erschließung neuer Märkte soll jetzt zudem das Billigfahrzeug „0815" gefertigt werden. Der „Seven-Eleven" läßt sich für 85.000 DM und das Modell „0815" für 18.000 DM verkaufen. Das Werk Uttgarten umfaßt fünf Werkstätten. Die Endmontage des „SevenEleven" erfolgt in der Werkstatt E, die des „0815" in D, während die Abteilungen A, B und C Komponenten für beide Fahrzeugtypen erstellen. Beide Modelle sind zu großen Teilen baugleich, so daß die Werkstätte D auch mit Vorarbeiten für E beschäftigt wird. Der Arbeitsablauf ist so organisiert, daß die Endmontagen beider Fahrzeuge in D bzw. E jeweils genau eine Stunde dauern. Der nachfolgende Gozinto-Graph gibt die Leistungsbeziehungen (in Stdn.) zwischen den fünf Werkstätten wider, um einen „Seven-Eleven" und einen „0815" herzustellen:

D.h. z.B., daß die Werkstatt B fünf Stunden für die Abteilung C und vier Stunden für D leistet. Die variablen Kosten in den fünf Werkstätten sind in der nachfolgenden Tabelle zusammengefaßt: Werkstätte variable Kosten (DM/Stde)

A

B

C

D

E

300 150 25 180 680

Während der Planungsperiode fallen zudem fixe Kosten in Höhe von 165.000 an. 3-1 Wie lassen sich die oben skizzierten Leistungsbeziehungen in Matrixschreibweise darstellen? a) unter Berücksichtigung nur direkter Leistungen? b) unter Berücksichtigung der gesamten, d.h. der direkten und indirekten Leistungen? 3-2 In der betrachteten Planungsperiode sollen acht „Seven-Eleven" und 15 „0815" hergestellt werden. Sonstige zusätzliche Leistungen erfolgen nicht. Ermitteln Sie die zeitlichen Auslastungen (in Stdn.) in den verschiedenen Werkstätten. Tip: Auch ohne Nutzung der linearen Algebra ist die Lösung dieser und der weiteren Aufgaben möglich! 3-3 Wie hoch sind die gesamten Variablen Kosten in der Planungsperiode? 3-4 Wie hoch ist der Gewinn in derselben Periode?

16 Musterklausuren

528 Lösung 1-1

K l = 2n + 2r2 + r3 + \(2000 - r, r2r3) 2 r2r3

K'l,i = 2 - Xr2r3 = 0

=

K'Lr2 = 2 - knrs = 0

-> X =

K'ü9=1-Xrir 2 = 0

- > ^ = 77M'2

->

2 2 rr = — = - i ^ - = 1->r 1 =r 2 r2r3 r1r3 r2r3

2 — i3

r r

- > 7r 7r - = 7 7 - = r7 r7 - = z^ - > r 1 = ^ r 3 - > r 3 = 2r, 12 23 23 ^

K'u = 2000 -nr2r3 = 0 - » 2000 - r r r r 2r, = 0-> 2ri3 = 2000 -> r, = 10 = r2;r3= 20 x =

iaiö

= 0,01; K = 10 2 + 1

-

°-2

+ 20 1

-

=60

2000 dri •> 1 dn , •> 1 -2 2000 = rir2r3 -> r, = -¡rj~; ¿¡r = - 2000r2 r3 ; ¿¡r = - 2 0 0 0 r 2 " V ; b8l

dr n«, i -2000 A dr, -2000 1 (r2 = 10;r 3 = 2 0 ) ^ 5 f r = ^ Ö 2 Ö = - 1 — = ^ ö ö = " 2

1-3

um X = 0,01

2-1

E = -0,6x2 + 21 x; G = E - K = -0,6x2 + 21x - 0,2x3 + 3x2 - 9x - 50 G = -0,2x3 + 2.4X2 + 12x - 50 G'= -0,6x2 + 4,8x +12 = 0 -> x2 -8x -20 = 0

G,l2 = 4 ± V16 + 20; G, = 10

G' = -1,2x + 4,8 -> G 3 Hemden

2-3 Wendepunkt der Gewinnfunktion: 2. Ableitung = 0; G" = -1,2x+4,8 = 0 -» x = 4 G'" = -1,2 * 0 - » WP bei x = 4 2-4

K'= 0,6x 2 - 6 x + 9 = 0 - » x 2 - 1 0 x + 1 5 = 0 - » x i i 2 = 5 1 ^ 2 5 - 1 5 ; Xi = 8,1623 x2 = 1,8378; K" = 1,2x - 6; K"(8,16) > 0 - » Min bei 8,1623.

529

16 Musterklausuren

3-1

0 0 0 0 A= 0 0 0 0 0 0

3 0 0" 5 4 0 0 5 2 B= 0 0 4 0 0 0

"1 0 0 0 0

0 3 15 66" "1 0 - 3 0 0" 1 5 29 126 0 1 -5 -4 0 0 1 5 22 ( E - A ) = 0 0 1 -5 -2 0 0 1 4 0 0 0 1 -4 0 0 0 1 0 0 0 0 1

(E - A)'1 = B '

' 753s 1443

G

0 3-2 B- 0 15 , 8,

251 47

=

,

3-3

' 753N 1443 (300 150 25 180 680)- 251 = 462525DM 47

8,

,

8,

3-4 15-18000 + 8 • 85000 - (462525 + 165000) = 322475 DM

Bk 19

Fachprüfung Mathematik / Statistik

WS 9 3 / 9 4

1-1 Gegeben sei folgende Produktionsfunktion: x = 20r 1 'V 4 . Ermitteln Sie das Produktionsmaximum, wenn die Preise für r = 20 und für s = 60 DM betragen und insgesamt 1000 DM ausgegeben werden sollen. (Lagrange!) Wie groß ist das Produktionsmaximum? (Auf die Prüfung der hinreichenden Bedingung kann verzichtet werden.) 1 -2 Stellen Sie die Isoquante für eine Produktion von 200 Einheiten auf. Wie groß ist die Grenzrate der Substitution bei s = 10? 300 2-1 Folgende Kosten- und Preisabsatzfunktion sind gegeben: K = 2x + 60; p = ^ g -3. Welche Ausbringungsmenge führt zu einem maximalen Gewinn? 2-2 Wie groß ist die Preiselastizität der Nachfrage im Gewinnmaximum? Diskutieren Sie das Ergebnis! 3

Folgende Input-Output-Tabelle ist gegeben: Landwirtschaft

Industrie

Endverbrauch

Landwirtschaft

100

100

300

Industrie

200

100

100

3-1 Geben Sie die Matrix der Input-Output-Koeffizienten an.

16 Musterklausuren

530

3-2 Wieviel kann in den Endverbrauch gelangen, wenn der gesamte Output x' = (600 500) beträgt? 3-3 Wieviel muß produziert y' = (400 200)?

werden,

wenn

die

Endnachfrage

steigt

auf

Lösung 1 -1 Zielfunktion: x=20r"V 4 ; Restriktion: K=20r + 60s; x ^ O r ' V 4 + a.(1000 -20r -60s) (1) x'r = 5r'3",s3/4 - 20 X = 0 //• 3 (1) = (2) -1 ö r ^ V = -15r1'V1'4 //-(-1 /15)// r'1"7/-s1'4 r"1 • s1 = 1 -> s = r

(2) x's = 15r1/4s'1'4 - 60X = 0 (3) x\ = 1000 - 20r - 60s = 0 1/

4

14

1000 - 20r - 60r = 0 -> r = 12,5 = s; xmax = 250 3 1

200 = 20r V r ' = 10s' " -> r = (10s-3'4)4 -> r = 10000s3; r' = -30000s-4 bei s = 10; r = 10; x = 200: r' = -3; d.h. man kann von r 3 ME einsparen, wenn s um 1 ME erhöht wird. „ „ 300x „„ 300x „ „ 2-1 U = p x - x + 8 3x; G = U - K = ^TjTg- 5x - 60 2400 (x + 8)'

5 = o -> 2400 = 5(x2 + 16x + 64)

Xi = 13,91; x2 ökon. irrelevant; G" =

-2400 • (2x + 16) ; G"(13,91)=-0.45... Max (x + 8)4

150p -300 P(P + 3) 150ß "P ~ (p + 3)"' 276 - 8p ~ (p + 3)(4p -138)'

e

300(x + 8) 2-300x 5„ = „ (x + 8) " °-

x2 + 16x - 416 = 0-> x,,2 = -8 ±(480)1'

276-8p dx r ^ p + 3 ,

2-2 p(x + 8) = 300 - 3x - 24 -> x =

G =

-8(p + 3)-(276 - 8p) -300 (P + 3) '(p+3r p

3 0 0 — 3 - 10 69 —» £ - 123 " 13,91 + 8 " 13 ~ l u . o a - > E * p - '. |1|, weil die Kostenfunktion die Umsatzfunktion in ihrem linken Bereich schneidet; die Gewinnlinse hat links vom Umsatzmaximum ihr Maximum. 3-1 A =

0,2 0,25' 0,4 0,25

3-2 x = Ax + y; y = (E - A)x =

3-3 x=(E-A)-1y; (E - A)"1 =

(E-A)" 1

"3/2 4/5

1/2" 8/5

4/5 -2/5

0,8

-0,25'

-0,4

0,75

600" 500

1 -5/16 - 1 / 4 1 0" • 5 / 4 / / 2 / 5 + 2 Z 0 5/8 3/4 0 1

X=

"1,5 0,5" "400" 0,8 1,6 200

—

"700" 640

"355" 135 5/4 1/2

0' 1

16 Musterklausuren

531

Fachprüfung Mathematik / Statistik

WS 92/93

1

Für ein Unternehmen gilt folgende Produktionsfunktion: x = 10r 1 / V 4 . Die Preise für die Faktoren betragen für r: p, = 2 und für s: p 2 = 6.

1-1

Bei welcher Faktormengenkombination wird das Produktionsmaximum erreicht?

1-2

Das Unternehmen plant eine Produktion von x = 80 Einheiten. Bestimmen Sie dafür die Minimalkostenkombination und die Höhe der anfallenden Kosten. (Lösung mit Lagrange!)

1-3 Wie groß ist die Grenzrate der Substitution bei der geplanten Produktionsmenge von r durch s bei einem Einsatz von s = 4 Einheiten? 1-4 Um wieviel Einheiten sinken die Kosten unter 1-2, wenn nur x = 79 Einheiten produziert werden? Für die Herstellung von drei verschiedenen Computertypen (C^,C2,C3) sind pro Einheit die folgenden Mengen an Transistoren (T1,T2,T3) erforderlich. Am Lager befinden sich noch folgende Mengen von ^ = 8 0 , T2=120, T3=150. Wenden Sie die Matrizenrechnung an! "1 1 3" T = 2 4

3

1 3 5 2-1 Welche Mengen der einzelnen Computertypen lassen sich herstellen? 2-2

Folgende Verkaufspreise in DM gelten in dieser Periode für Ci: 3000; C2: 2000; C3: 1500. Wie hoch ist der gesamte Umsatz ?

2-3 Angenommen in der vergangenen Periode hätten die Preise 4000, 3000 und 2000 DM betragen. Wie groß ist der prozentuale Umsatzrückgang, wenn dort die gleichen Mengen verkauft worden wären?

3

Ein Monopolist steht folgender Preisabsatzfunktion gegenüber: x = - 4p + 40; seine Kostenfunktion lautet: K = 0,002x3 - 0,001 x2 + 2x + 20. Prämisse: beliebige Teilbarkeit des Produkts

3-1 Bei welcher Ausbringungsmenge erreicht er sein Gewinnmaximum, und wie groß ist es? 3-2 Wie groß ist die Preiselastizität im Gewinnmaximum? 3-3 Bei welcher Produktionsmenge überschreitet er näherungsweise die Gewinnschwelle? Bei Xi = 2 hat er einen Verlust von 2,988 DM und bei x2 = 3 Einheiten macht er einen Gewinn von 7,321 DM. (Zweite Näherung genügt mit vier Nachkommastel len.) 3-4 Wie groß ist die Konsumentenrente?

532

16 Musterklausuren

Lösung 1 -1 x'r = 5/2r' 3/4 s 3 ' 4 = 0; x's = 1 5 l 2 r y * s m = 0 - > nicht auflösbar, kein Extremwert. 1-2

K l = 2r + 6s + ?l(80 - 1 0 r 1 / V 4 ) K'r = 2 - 5/2Ä,r"3/4s3'4 = 0 - > s 3 " = „ K's = 6 -15/2Xr 1 / 4 s" 1 M = 0 - > r 1 ' 4 = K \ = 80-10r1/4s3/4 = 0 80-

10-12-s1'4 s 1 DA.

4

,..

— i OA.S

^

- > 80 - 1 0 r 1 / 4 • — ^ 5Xr

= 0; - > 8 0 - ^ = 0; 5a.

r = 10A.

120s 5 ,M ™ 8 0 - — — - = 0 - > s = 10A,-»6-—A.-(10Ä.) (10A.) = 0 10K JL

=0

-2,5k = -2 —> A. = 0,8; r = 8; s = 8; K = 6 4

1-4

r' = f (s=4) = - 4 8 X = 0,8 gibt an, um wieviel sich der Betrag der Zielfunktion ändert, wenn das absolute Glied um eine Einheit geändert wird.

2-1

Erforderliche Transistormenge: t = T • x - > x = T 1 • t

2-2

1 0

0'

1 3 4

3

0

1 0

1 3

5

0

0

->

1

"1

1

3

1

0

2

-3

-2

1 0

0

2

2

-1

0

1,1 -0,7

0,4

80

0,2

120

0,2

-,02

0,3

-> r =

150

U=(3000 2 0 0 0 1500)

0

4096s - 3 ;

Hr ^ = -12288s - 4 ; s = 4; r = 64;

r = f(s); 8 0 = 1 0 r " V " - >

1

=

8sM

1-3

2

r1'4

0" - >

1

'1 0

0

0

0

9/2

1 -3/2 5

2

-1/2

0"

-1

1/2

0

1

-1

1

1 =

13 22

=62000 2-3 U = (4000 3000 2000)

= 87000 28,74%Rückg

3-1

G = E - K; p = -1/4x + 10;

E = px = -1/4x 2 + 10x;

G = -0,25x 2 + 10x - 0,002x 3 + O.OOlx 2 - 2x - 2 0 G = -0,002x 3 - 0,249x 2 + 8x - 2 0 - > G" = -0,006x 2 - 0,498x + 8 = 0 x2 + 83x - 1333,33 = 0 x u = -41,5 ± (3055,58) 1 / 2 - > Xi = 13,8; x 2 = ökon. Irrel. w < G = -0,012x - 0,498 - » G 2 ) (13,8) -0,66 < 0 - > Max bei x = 13,8; G m a x = 37,7 3-2

-4 • 6 , 5 5 £xp = dx/dp • p/x; dx/dp = -4; p = -0,25 • 13,8 + 10 = 6,55; e*p = ^ , 6 5 5 + 4 0 = -1.9

16 Musterklausuren

3-3 x2 = x, - ^ 3-4

533

= 2 - : § | | p = 2,428; x3 = 2,428 - "g'ysss = 2,7348 ; tatsächl.:2,7386

13,8, 1 n J ( - ^ x + 10jdx =

-113,8 1 • —x 2 -10x = 114,2 -(E = 6,55-13,8 = 90,4) = 23,80 8

Fachprüfung Mathematik / Statistik

1

SS 92

Gegeben sei die folgende Produktionsfunktion: x = 16ri + 26r2 + 2r1r2 -ri 2 -2r22 Die Preise der Faktoren betragen: p-| = 2 und P2 = 3.

1-1 Bei welcher Faktormengenkombination wird das Produktionsmaximum erreicht? Wie groß ist es? Welches Kosten entstehen dabei? Weisen Sie auch mathematisch nach, daß es sich um ein Maximum handelt! 1-2 Angenommen unser Unternehmer ist etwas klamm und kann nur 57,20 DM für die Beschaffung der Produktionsfaktoren aufwenden. Welche Faktormengenkombination sollte er jetzt einsetzen, wenn er seine Produktionsmenge maximieren will. Es wird vorausgesetzt, daß die Faktoren beliebig teilbar sind. Wie hoch ist das Produktionsergebnis? 1-3 Nun hat unser Unternehmer doch noch eine weitere Mark für die Beschaffung auftreiben können; mit welchem Produktionsergebnis kann er nun rechnen? 2

Bei der Produktion eines Gutes geht ein Rohstoff einmal direkt und einmal über ein Zwischenprodukt in das Endprodukt ein. Für die Herstellung einer Einheit Endprodukt benötigt man 5 Einheiten Rohstoff und 2 Einheiten Zwischenprodukt; für die Herstellung einer Einheit Zwischenprodukt sind 2 Einheiten Rohstoff erforderlich. Vom Zwischenprodukt sollen 100 und vom Endprodukt sollen 900 Einheiten produziert werden. Ermitteln Sie den Vektor x des Teilebedarfs (Rohstoffmenge, Menge der Zwischenprodukte und Menge der Endprodukte) mit den Methoden der Linearen Algebra!

3

Ein Monopolist hat beobachtet, daß bei p = 1000 eine Preiserhöhung von 1% einen Rückgang der Nachfrage von x = 50 auf x = 47,5 Mengeneinheiten zur Folge hat.

3-1 Wie lautet die dazu gehörige lineare Preisabsatzfunktion? 3-2 Wie groß ist die Preiselastizität der Nachfrage bei p = 1000? 3-3 Bestimmen Sie die Erlösfunktion! 3-4 Angenommen der Unternehmer hat variable Kosten von 200 und fixe Kosten von 40000 DM, bei welcher Ausbringungsmenge erreicht er das Gewinnmaximum und wie hoch ist es?

534

16

Musterklausuren

Lösung 1-1

x'n = 16 + 2r 2 - 2ri = 0

r, = r 2 + 8

x'r2 = 26 + 2r, - 4r 2 = 0

26 + 2r 2 + 16 - 4r 2 = 0

x?1r1 = -2, x;2r2 = -4; x^1r2 = 2; - > (-2)(-4) = 8 > 2

-2r 2 = -42

2

r2 = 21; n = 29

- > Extr. w.; x*1r1 < 0

Max

=

Xmax 505 M E ; K = 121 D M x L = 16r, + 26r 2 + 2rir 2 - n 2 - 2r 2 2 + A,(57,20 - 2ri - 3r2)

1-2

(1)x Lrt = 16 + 2 r 2 - 2 r , - 2 X = 0 II • (-3) (2) x w = 2 6 + 2r, - 4r 2 - 3X = 0 II • 2

- 4 8 - 6 r 2 + 6r, + 6*, = 0 - > 52 - 8r ? + 4 ^ - 6A. = 0

(3) x u = 57,20 - 2r, - 3r 2 = 0 4 - 14r2 + 10ri = 0 n 57,20 - 2,8r 2 - 3r 2 + 0,8 = 0 r2 = 10; r, = 13,6; x ™ , = 364,64 1-3

= 1,4r2 - 0,4

X = 8 + 10 - 1 3 , 6 = 4,4; beim Einsatz einer zusätzl. Mark steigt x um 4,4 M E

"0

2

5"

1

-2

A= 0

0

2 ;b = 100 ;E - A = 0

1

0

0

0

0

0

0 900

" 1 0 - 9

1 2

0

1

-2

0

0

0

1

-5

1

-5

1 0

-2

0

0

1 0

0 1 0 • 2 +1Z.

0

1

"1

2

9"

"8300"

->(E -A)- = 0 0 1 •2 + 2Z.//-9 + 1.Z.

1

2 ;(E-A)~1 b =

1900

0

1

9"

1 2

0 0

1 -2

- 2 ; ( E - A)- 1 = 0 1 0

1

A x + b = x; Ax - x = b; x - A x = b; (E - A)x = b;x = (E -A)-

900

1

3-1

(1000; 50) (1010; 47,5) x = ap + b; 50 = 1000a + b; 47,5 = 1010a + b - > b = 50 - 1 0 0 0 a - > 47,5 = 1010a + 50 - 1000a->a = -0,25; b = 300;x= -0,25p +300

3

£

"2

*P = | ' x = -0,25p 2 ! P 300 '

bel

P=

1000:

"250/5° = "5

x = -0,25p + 300; p = 1200 - 4x; E = 1200x - 4x 2

3-3

E = px

3-4

K = 200x + 40000; G = E - K = 1200x - 4x 2 - 200x - 40000; G ' = -8x + 1000 = 0 - > x = 125; G (2) = -8 < 0 Max; G max = 22500 D M

535

16 Musterklausuren

Fachprüfung Mathematik / Statistik 1

WS 91/ 92

800 Gegeben sind folgende Preisabsatz- und Kostenfunktion: K=10x+120; P = ^ 5 -10

1-1 Bestimmen Sie die umsatzmaximale Ausbringungsmenge. Wie groß ist Umax? 1-2 Bestimmen Sie die gewinnmax. Ausbringungsmenge. Wie groß ist Gmax? Auf eine Überprüfung der hinreichenden Bedingung in 1-2 kann verzichtet werden. 1 -3 Wie groß ist die Preiselastizität der Nachfrage im Gmax? 2

Gegeben sind folg. Produktionsfunktion und Faktorpreise: x = 5yjrs ; pi = 2; p2 = 8

2-1 Bestimmen Sie die Minimalkostenkombination für eine Ausbringung von x = 40; benutzen Sie die Lagrange-Methode; prüfen Sie die hinreichenden Bedingungen! 2-2 Bestimmen Sie die Grenzrate der Faktorsubstitution für s = f(r) im Punkt der Minimalkostenkombination. 2-3 Wie groß ist das Volumen unter der Produktionsfunktion von (0; 0) bis zur MKK? 2-4 Zeigen Sie anhand der Ergebnisse, daß die Aussage gilt: „Im Produktionsmaximum verhalten sich die partiellen Grenzerträge wie die Faktorpreise". 3

Für drei Sektoren einer VW gilt folgende Matrix der Verflechtungskoeffizienten: 0,1 0,1 0,2' 10" 0,3 0,2 0,1 Der Vektor der Endnachfrage ist: 26 A= 0,4 0,1 0,3 48

3-1 Berechnen Sie den Vektor des gesamten Outputs x. Benutzen Sie dabei die Beziehung: x = y + Ax bzw. y = (E - A)x. Wie lautet die Tabelle der mengenmäßigen Verflechtungsströme. (Lösung nicht über die Inverse; Empfehlung: Cramer-Regel) 3-2 Die VW ist um einen Sektor geschrumpft. Wie groß ist jetzt x, wenn A = und y =

50" 50

"0,2 0,4 0,8 0,3

Lösen Sie nun über die Inverse und mittels adjungierter Matrix!

Lösung 1-1

U = px=

- 1 0 x +750x 800x --10x: x+5 x+5

( - 2 0 x + 750)(x + 5) - (-10x 2 + 750x) • 1 =

(X + 5) 2

-1 Ox -10Ox + 3750 = 0 ->x 2 + 10x-375 = 0 -> x 12 = - 5 ±-JÄÖÖ -> x, =15;x2irr. (x + 5)2 U":

(-20x -100)(x 2 +10x + 25) - (-1 Ox2 -10Ox + 3750)(2x +10) (x + 5)4 -800x-40000

x4 +20x 3 +125x2 +525x+625'

= - < 0 -> Max; U U,V (x=15)

= 450

536

16

1-2

U'=K';K'=10; ->•

- 1 Ox2 - 1 0 O x + 3750 ^ x +10x+25

-20x

2

=

"

3

Ex

dx p "= d ^ ' x

dx

5

g

; P

X

°

- 1 Ox - 1 2 0 - > G m a x = 2 1 4 , 3 1

800 ^ 7 5 "

=

1 0

(P + 1 0 ) 2

+250

5

_ P = 800- 10x-50 - > x =

> e

H 1 Q

p(p + 10) 750 -

5p

800

160p

-140p -1500

750-5p p +

(p + 10)2

xp"

- > x , = 9,14; x 2 i r r

DM

- 5 ( p + 1 0 ) - (750 - 5p) ~

-160p

2-1

PX +

- 5 ( p + 1 0 ) - (750 - 5p) • 1

d p "

p

„ „ - 1 Ox2 - 1 0 O x + 3 7 5 0 - 1 0 x 2 + 1 0 0 x 10 = ^ x +10x+25

- 200x + 3500 , _ _ _ „ „ , - 2 = 0 -> x2 + 1 0 x - 1 7 5 = 0 -> x12 = - 5 ± v 2 0 0 (x-5)

G = ~1 ° X X l

1

Musterklausuren

K

(p + 1 0 ) ( p - 1 5 0 )

14,14

'

xp

Zielfunktion: K = 2r + 8s; Restriktion: 4 0 = 5 > / r s ; KL = 2r + 8 s + X(40-5r1/2s1 V ' 2 'V" = 0->A. = - ^ 5s1'

1

K'r = 2 - 2 , 5 X r "

20r1/2s1'2 = 8 0 s 1 ' V ' 2

->

16r1/2 K's = 8 - 2,5Xr

s

= 0 - > A. =

K \ = 40-5r1/2s1'2 = 0 2

K"rr = 5 / 4 X W

;

K"rr(16;4) = | \

5

KK^(16;4):

"4

40-5(4s)1/2s1'2 = 0

K " s s = 5/4Ä,r - ^ = - V 4

X = 1,6

5 s1'2

r = 4s

1/2

s'

-> r = 4s

3/2

;

= 0,039A.;

K"rs =

40 -10s = 0

-> s = 4

m 312

-5l4Xf s

K»s(16;4)=

% - ¡ L •~ = -0.039X.; Vl6 V64

r = 16

| ? l - V 1 6 - - ^ = = 0,625X

K"rr K"5S = 0 , 0 2 4 4 > K"rs = 0 , 0 0 1 5 3 - >

Max.; da K " r r > 0 Min. 1

'V

2

- > s1'2 = — 5r

2-2

40 = 5 r

2-3

J|5r1/2s1'2drds = J 5--r 3 0 0 0

= - ^ r — = 64r"1 25r

s

2

; bei

r=16:s'=-0,25

16

416

2-4

^ = -64r dr

5 ~ -1/2 _ 1/2 X'

s

=

0

,

2

V

s

=

^

;

f

=

- •

^

;

s ' ( r = 5 )

=

- 3

z'x = x2 + 2xy - y - 7; z'y = x2 - 2xy + y2-1; f„(2, 3)=4+12-9-7=0; fy(2,3)=4-12+9-1 =0 fx(2,1)=4+4-1-7=0; fy(2,1)=4-4+1-1=0; fx(2,0)=4+0-0-7=-3;fy(2,0)=4-0+0-1=3; für (2,3) und (2,1) sind die notwendigen Bedingungen erfüllt; für (2,0) jedoch nicht; hier kann kein Extremwert oder Sattelpunkt vorliegen. f ' „ = 2x + 2y; f = -2x + 2y;

= 2x - 2y;

f"»(2,3) = 10; f'yy(2,3) = 2; f'xy(2,3) = - 2 - > 2 0 > 4 - > Extremwert; f " „ > 0 f"w(2,1) = 6; f'yy(2,1) = -2; f'xy(2,1) = 2 2

Min.

- > - 1 2 < 4 - > Sattelpunkt

2

K = 6r + 8s; x L = 200 - IMr - s + ?t(100 - 6r - 8s)

(1) x'r = -1 /2r - 6A. = 0;(2) x's = -2s - 8X = 0;(3) x'* = 100 - 6r - 8s = 0 // (1 )4 // (2)-3-> -2r -24X = -6s - 24X -> r = 3s in (3): 100 - 18s - 8s = 0 -> s = 3,85 damit r = 11,54 Xmax = 151,89; X = - 0,96; Das Ergebnis würde um 0,96 ME abnehmen. 3

d z

2

5

Integration durch Substitution: z = x + 1; j - = 3x dz = 3x dx bzw. dx = dx 1 1 1 2 12 3,2 * +C +c J x ^ . - 2 W / ; z ' dz = - ^ r z 3 x-1 3 x ' 3'" ~ 3 3" ' ~ 9' Betriebsoptimum = Minimum der Stückkosten: k = x2 + 6 + 54x"1 ->k' = 2x - 54x'2=0 - » x = 3; k" = 2 + 54x'3 -»k"(3) = 4 > 0

Min. e» = ^

=

a x K

. „ (27+6)3 bei x = 3 ekx = 2 7 + 18 + 54 u

X1

x2

b

ei

1

3

11

e2

2

1

7

x, = 2; x2 = 8.

A"1 =

-1/5 2/5

=

(3x2 + 6 ) x

x +6x + 54

„„

ei

x2

b*

Xi

1

3

11

e2

-2

-5

-15

ei

e2

b*

Xi

-1/5

3/5

2

x2

2/5

-1/5

3

3/5" Da Xi und x2 in die Basis gebracht werden -1/5 konnten, sind sie linear unabhängig.

7

3

-5/2

r = R • q bzw. q = R' r: R" = -3

4

1

1

1/2] "100" 50 -1 200

'275" =

-300 125

540 8

16 Musterklausuren Bildung einer oberen Dreiecksmatrix und Multiplikation der Elemente der Hauptdiagonalen: 1

2 - 1

2 - 2

- 1 4

1 4

3 - 2

•(-2) + 2 Z / / - 1 + 3 . Z / / - ( - 3 ) + 4.Z

6"

2 - 4

3

1 6"

"1

10

0

0

6 -17

0

0

0 -8

2 -1 4 - 1 4 •6/8 + 3. Z.//-(-1) + 4.Z. 0 - 8 4

0

0

1

2 -1 6

0 -8 '1

2

- 1

6 -14

3 - 1 / 2 •(-2 / 3) + 4. Z. 2 -3

6"

0 - 8

4

-14

0

0

3

-1/2

0

0

0

-8/3

->• 1 • (-8) • 3 • ( - 8 / 3) = 64

9

W(S u 2) = 8/32 + 4/32 -1/32 = 11/32; W(S) = 8/32; W(2) = 4/32; W(S n 2)=1/32;

10

W(E/A)=0,7; W(E/B)=0,8; W(A)=0,6; W(B)= 0,4; W(A/E) =

11

Co = -150000+35000-1,09"'+48000-1,09"2+52000-1,09-3+58000-1,09"" = 3752,93

12

2yy' = sinx; 2ydy/dx = sinx; 2ydy = sinxdx; J 2ydy = j" sin xdx = y 2 = - cos x + C

Fachprüfung Mathematik / Statistik

1

06-

0 7 +04.08

=

°'57

WS 8 9 / 9 0

Ein Unternehmer stellt ein Produkt mit zwei substitutiv einsetzbaren Faktoren t und m nach folgender Produktionsfunktion her: x = 30t1'2m1'2; m kostet 10 GE und t 40 GE. Er will 900 ME des Produkts kostenminimal herstellen.

1-1 Welche Mengen von t und m soll er einsetzen, und wie hoch sind dabei seine Kosten? (Auf Prüfung der hinreichenden Bedingung kann verzichtet werden.) 1-2 Angenommen der Unternehmer will 901 ME produzieren; um wieviel GE würden seine Kosten sich verändern? 1-3

Bestimmen Sie für x = 900 die Isoquante in der Form t = f(m).

2

Ein Monopolist vertreibt ein Produkt auf zwei räumlich getrennten Teilmärkten, für die die folgenden Preisabsatzfunktionen gelten: pi = 60 - xi; p2 = 40 - 1/3x2. Der Unternehmer produziert für beide Märkte zentral mit der Kostenfunktion K = 10x + 200, wobei x = Xi + x2.

541

16 Musterklausuren

2-1 Welche Mengen wird er auf den einzelnen Märkten zu welchen Preisen absetzen, um seinen Gewinn zu maximieren? Wie groß ist Gm»? 2-2 Wie groß ist die Preiselastizität der Nachfrage auf beiden Märkten für die gewinnmaximalen Preise? Kommentieren Sie knapp die Höhe von exp bei Gmax. 2-3 Durch Aggregation der beiden o.a. Nachfragefunktionen folgt die einheitliche ( 60-x für x < 2 0 Nachfragefunktion: p(x) = | 4 5 _ 0 2 5 x f ü r 2 0 , x < 1 8 0 Welche Menge zu welchem einheitlichen Preis wird er nun zur Erreichung seines Gewinnmaximums verkaufen? Ist die Preisdifferenzierung vorteilhafter? 3

Eine VW besteht aus nur zwei Sektoren; jeder Sektor stellt nur ein Produkt her. Die Lieferungen der Sektoren untereinander und an die exogene Endnachfrage gehen aus der folgenden Tabelle hervor: Sektor

1

2

Endverbr.

1

20

15

5

2

8

12

40

3-1 Ermitteln Sie die Produktionskoeffizientenmatrix 3-2 Welche Gütermengen müssen die Sektoren produzieren, um eine Endnachfrage von y' = (140 84) zu befriedigen? 3-3 Welcher Endverbrauch ist möglich, wenn die Sektoren x' =(100 120) ME fertigen? 3-4 Bestimmen Sie für die Mengen unter 5-3 die Matrix der Lieferungen untereinander Lösung: 1-1 K l = 40t + 10m + Ä,(900 - 30t1/2m1'2) K'l, = 40 - 15t" 1 , V 2 \ = 0 - > * = 3t_v?mv2 K'Lm =10 - 15t1/2m"1/2Jl =0^>X=

2 v2

i,2

8

K' lx = 900 - 30t1/2m1'2 = 0 900 - 30t1/2(4t)1'2 = 0 m= 60; ( 6m = 24t ->m =4t

900 = 30t1/22t1/2 = 60t ->t = 15

Um diesen Betrag erhöhen sich die Kosten bei Ausdehnung der Produktion um eine ME.

1-3 t = f(m); x = 900; 900 = 30t1,2m1/2; t1'2 = 30m"1'2; t = 900m"1

542

16

Musterklausuren

2-1 G = E, + E2 - K; E, = 60x, - x,2; E2 = 40x2 - 1 /3x22; G = -x,2 - 1/3x22 + 50x, + 30X2 - 200; G'xi = -2xi +50 = 0

xi = 25 -> p, = 35; G"x1xl = -2; G " ^ = -2/3; G'Vw = 0

G'x2 = -2/3x2 +30 = 0 -> x2 = 45 —»p2 = 25; (-2) • (-2/3) = 4/3 > 0 2 - > Extr.w. Max wegen G"xixi < 0; G ma x = 1.100 GE 2-2

exp

dx p " dp' x

e 1p1

*

~Pi -p1 +60

- — = -14 25 ' ""

-3p 2 -3p 2 +120

ilc2p2

2-3 E'i = 60 - 2x = 10 -> x = 25 > 20 paßt nicht in D(; E'2 = 45 - 0,5x = 10 x = 70; p = 27,5 -> G = xp - K = 1925 - 700 - 200 = 1025 GE < 1.100 bei Preisdifferenzg. 0,5 0,25" 3 1

"

A=

3-2 (E -A)=

0,5

-0,25'

-0,2

0,8

1 0 16/7 0

1

4/7

3-3 b = (E - A)x =

3-4

x = Ax + b; x - Ax = b; (E - A)x = b; x = (E - A)"1b

[_0,2 0,20

5/7 10/7

•(E-A)"1 =

0,5

-0,25

1 0"

-0,2

0,8

0 1

(E-A)"1b =

1 - >

-1/2

0 7/10

16/7

5/7

"140"

"380"

4/7

10/7

84

200

0,5

-0,25'

"100"

"20"

-0,2

0,8

120

76

0,5-100 = 50 0,25-120 = 30

'50 30"

0,2-100 = 20 0,20-120 = 24

20 24

Fachprüfung Mathematik / Statistik

2

0"

2/5

1

SS 86

Diese Klausur besteht aus 17 Aufgaben, von denen maximal 13 gelöst werden sollten. Die Bearbeitungszeit beträgt 160 Minuten. 6

5 0

1

Bestimmen Sie die Inverse der folgenden Matrix A = 2 5 6 0 6 2

2

Bestimmen Sie den Wert der folgenden Determinante: |A| =

3

Lösen Sie das folgende Gleichungssystem mittels Cramer Regel: 8x + 3y = 30; 5x + 2y = 19

3 1 3 1 2

2 2 9 2 5

6 2 3 3 4

1 1 9 1 3

16 Musterklausuren

543

Berechnen Sie aus dem folgenden CPM-Netzplan die frühestmöglichen und spätest erlaubten Zeitpunkte und geben Sie den kritischen Weg an.

Bei der Berechnung eines Pert-Netzplans wird für eine Aktivität eine optimistische Zeit von zwei Tagen, eine pessimistische von 9 und eine wahrscheinliche Zeit von 4 Tagen geschätzt. Mit welcher Zeit rechnet man? Berechnen Sie ein Maß für die Unsicherheit dieser Zeitschätzung. Nehmen Sie an, der frühest mögliche Endtermin eines Pert-Projekts sei mit 20 Zeiteinheiten berechnet. Die Summe der Varianzen auf dem längsten Weg zum Endereignis betrage 2 Zeiteinheiten. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann ein geplanter Endtermin von 22 Zeiteinheiten eingehalten werden? Drei Mädchen, Angelika, Beate und Christine, waschen das Geschirr der Familie ab. A wäscht in 40% aller Fälle, und die beiden anderen in 30% aller Fälle ab. Die Wahrscheinlichkeit, daß es dabei Geschirrbruch gibt, ist für A: 0,02, für B: 0,03 und für C: 0,02. Die Eltern hören in der Küche Geschirr zerbrechen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß es: a) der A; b) der B und c) der C passiert ist? In einem Betrieb arbeiten 2 Maschinen unabhängig voneinander; die Wahrscheinlichkeit einer Störung im Laufe einer Stunde ist für die erste Maschine 0,6 und für die zweite 0,45. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt innerhalb einer Stunde bei beiden Maschinen eine Störung auf? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß während einer Schicht von 8 Stunden wenigstens eine Maschine nicht ausfällt? Ein Student hat ein Darlehn, das er in 5 Jahresraten in Höhe von jeweils 300 DM nachschüssig abzahlt. Nach einer Erbschaft will er das Darlehn durch eine einmalige Zahlung zu Beginn des 3. Jahres ablösen. Wie hoch ist bei p = 5% diese Zahlung? Bestimmen Sie die Nullstellen der folgenden Funktion mittels Polynomdivision: y = x3 - 3x2 - 25x - 21 10

Zerlegen Sie die folgende Funktion, deren Nennerpolynom die Nullstellen: Xi = 0; x2 = -2; x3 = 2 hat, in Partialbrüche!

11

Bilden Sie die 1. Ableitung der folgenden Funktion und fassen Sie das Ergebnis weitmöglichst zusammen: y = xV2x+1

12

Wo besitzt folgende Funktion waagerechte Tangenten:

13

Untersuchen Sie, bei welchen Ausbringungsmengen der Gewinn eines Unternehmens mit folgender Gewinnfunktion mini- bzw. maximal ist. G = -0,1x3 + 1,5x2 - 4,8x - 2.

544

16 Musterklausuren

14

In welchen Intervallen ist y = x4 - ßx2 + 5 konvex bzw. konkav?

15

Untersuchen Sie z = x3 + 3x2y + 3xy2 -12x auf Extremwerte!

16

Untersuchen Sie z = -5x3 + y3 + 3x2 unter Beachtung von x - y - 1 = 0 auf Extrema. n Bestimmen Sie folgendes Integral mittels partieller Integration: Jxsinxdx

17

Lösung 1 0 -3/2 1/4 - 1 / 4 0" 1 5 / 6 0 1 / 6 0 0' •1/6//-(-2) + 2Z. 1 0 3/10//-(-5/6) + t Z 0 1 9 / 5 -1/10 3/10 0 1... 0 10/3 6 -1/3 •(-6) + 3. Z. 0 0 1 0 0 -44/5 3/5 -9/5 1 0 6 2 '1 0 0 13/88 5/88 0 1 0 1/44 - 3 / 4 4 0 0 1 -3/44 9/44 2

-15/88' 9/44 -5/44

Die Determinante existiert nicht, weil nur quadratische Matrizen eine Det. haben =2

3..|A| =

x = 3;y = 2

4 5 2 + 4-4 + 9

= 4,5

a=^

= 1,17

z

=

2 ^

=

^

= 142

0.4207 ^ F n ( 1 i 4 2 ; 0 1 ) = 00,5000 :5000 0,9207

W(A) = 0,4; W(B) = W(C) = 0,3; W(D/A) = W(D/C) = 0,02; W(D/B) = 0,03 W(D/A)W(A) W(A/D) = W(D / A) • W( A) + W(D / B) • W(B) + W(D / C) • W(C) 0,02-0,4 8 W(B/D) = 9/23; W(C/D) = 6/23 " 0,02 • 0,4 + 0,03 • 0,3 + 0,02 • 0,3 23 7

a) W(MioM2) = 0,6-0,45 = 0,27; b) W(B) = 1-W(M,nM 2 )= 1-0,27=0,73® =0,08064

8

R qn - 1 B5 = - t t q" q - 1

300 1,05

1,055 - 1 = 1298,84 -> K 2 = 1298,84 • 1,05^ = 1431,97 1,05-1

16 9

545

Musterklausuren Als mögliche Nullstellen: ± 1, ± 3, ±7, ± 21. W i r prüfen Xi = - 1 : ( x 3 - 3 x 2 - 2 5 x - 2 1 ) : ( x + 1) = x 2 - 4 x - 2 1 = 0 x 3

2

.

3

= 2±y]4

+ 21 - > x 2 = 7; Xa = -3

2

-(x + x ) -4x 2 - 25x - 21 - (4x 2 - 4x) -21 x - 21 -(-21 x - 21) x2 +12 x

3

a

b

c

a(x + 2)(x - 2) + bx(x - 2) + cx(x + 2)

- 4 x " x+ x+2+ x-2~

x(x + 2 ) ( x - 2 )

, a+b+c = 1 -3+2b = 1 b= 2 (a + b + c)x + ( - 2 b + 2c)x - 4 a „u „ „ „ 3 2 2 u -> - 2 b + 2c = 0 - > b=c ->c = 2-> — + — - + x v( x + 2 A) ( x - 2 ) x x+2 x-2 - 4 a = 12 a = -3 11

1 2 x , . k — i o K—7 y = 1-v2x + 1 + x - 2 - — 7 = = = = V2X + 12>/2X+1 2a/2X + 1

12

= 4

r 2 x - 4 f , 2(1 + x ) - ( 2 x - 4 ) v 1+x /

13

=

V2x+1-2V2x+1+2x 2V2X+1

/ 2 x - 4 f , Vl + xJ

(1 + x)

=

24(2x-4)*

(1 + x)

(1 + x) 5

3x + 1 V2x+1

=

=

G' = - 0 , 3 x 2 + 3x - 4,8 = 0 - > x 2 - 1 0 x + 1 6 = 0 - > x 1 2 = 5 ± V 2 5 - 1 6 - > x , = 8 ; x 2 G" = -0,6x + 3; G"(x=8) = -1,8 < 0 - > Max; G"(x=2) = +1,8

=2

Min.

= 4x 3 - 12x; y" = 12x 2 - 1 2 ; f'(-1 x 3 = 0; X4 = 4

f

yy

xx'f

yy

>
4 6 2 4 x - 24x 2 ;p(x) = - = 4624 - 24x x 0 0 K = JK'(t)dt + K f = 1 (0,16t2 - 25,6t + 1312)dt = [0,0533t 3 -12,8t 2 +1312t] * + 40000 0 0 = 0,533xa-1 2,8X2+1 312x+40000; G = ] G ' d x - K f ; 4 6 2 4 - 4 8 x = 0,16x2 -25,6x+1312 0 _> x2 + 140x - 20700 = 0

X1.2 = -70 ± ^¡4900 + 20700

x, = 90 = Obergrenze

J (4624 - 48x - 0,16x2 + 25,6x -1312)dx - 40000 = [-0,0533x 3 -11,2x 2 +1312x]®° 0 „ - 4 0 0 0 0 0 = 128480

4-2

2 1 r ! f lim f - ^3- d x = lim 5moj x c->o 2x 8

4-3

8

fi 1 \ = lim —+ —-7 e->oV8 2Z J

part. Integration u'(x) = e'x; v(x) = x; v'(x) =1; u(x) = -e"x; Integr. durch Substitution z = -x; z'= 1; dx = -dz; J e z (-dz) = - e z ; Rücksubst.: J e~xdx = -e~ x ; J e~* xdx = -xe~ x - J - e " * d x = - x e " x + Je" x dx = -xe~ x - e" x = -e~ x (1 + x) + C

16

Musterklausuren

551

Klausur zur Fachprüfung Mathematik / Statistik**

1

SS 91

Eine Volkswirtschaft besteht aus 3 Sektoren, die sich gegenseitig beliefern und darüber hinaus die externe Nachfrage befriedigen. Sektor

I

II

III

Nachfrage

I

32

20

20

8

II

16

20

0

64

III

8

60

100

32

1 -1 Bestimmen Sie die Verflechtungmatrix. 1 -2 Bestimmen Sie mit Hilfe der Kehrmatrix die Gesamtproduktion (output), wenn der Nachfragevektor folgende Werte annimmt: (40 80 40) 2

Ein Monopolist hat bei sinkenden Preisen seines Produkts folgende Nachfragemengen festgestellt: p = 60 x = 120; p = 50 -> x = 140; p = 40 -> x = 160. Die entsprechenden Gesamtkosten belaufen sich bei: x = 90 -» 6.500; x = 120 -> 6.800 DM; x = 150 -> 7.100 DM.

2-1 Bestimmen Sie die Erlös- und die Gesamtkostenfunktion. 2-2 Bestimmen Sie die Menge, bei der der Gewinn maximal wird, und die Gewinnhöhe. 2-3 Geben Sie die Preiselastizität der Nachfrage im Gewinnmaximum an. 2-4 Wie groß ist die Fläche, die von der Erlösfunktion und der Gesamtkostenfunktion eingeschlossen wird? 3

Ein Unternehmer plant eine Investitionsausgabe in Höhe von 123.465 DM. Auf Grund von langfristigen Abnahmeverträgen kann er seine voraussichtlichen Einnahmen und Ausgaben wie folgt schätzen:^ = 20000; ü2 = 40000; ü3 = 50000; ü« = 60000; üs = 100000.

3-1 Wie hoch ist der Kapitalwert bei einem Kalkulationszinsfuß von 12%? 3-2 In welcher Zeit erreichen die abgezinsten Überschüsse das investierte Kapital? 3-3 Wie hoch ist der interne Zinsfuß? Lösung 1-1

'0,4 0,2 0,1 0 A = 0,2 0,2 0,1 0,6 0,5

0,6 -0,2 -0,1' 1-2 x = (E - A)'1y; (E - A) = -0,2 0,8 0 -0,1 -0,6 0,5

1-2 (E - A)'1 wird bestimmt durch die adjungierte Matrix und Determinante: A" 1 = -j^p 0,8

M

0

= -0,6 0,5

:

0,4

-0,2 0 0,6 -0,2 |A12| = -0,1 0,5 = -0,1...A33 =-0,2 0,8 = 0,44

552

16

Musterklausuren

'0,4 0,16 0,08" ' 2 0,8 0,4' '401 1 det A =0,2;Aad = 0,1 0,29 0,02 -> (E- A)~ = 0,5 1,45 0,1 80 lo,2 0,38 0,44, l 1 1,9 2,2/ .40,

=

'160' 140 = x ,280,

2-1 x = f(p) = ap + b; (1) 120 = 60a + b; (2) 140 = 50a + b; (2)-(1) 20 = -10a; a = -2; b = 240; x = -2p +240 p = -1/2x + 120 E = -1/2x2 + 120x K = f(x) = ax + b; (1) 6500 = 90a + b; (2) 6800 = 120a + b; (2)-(1) 300 = 30a; a =10 b = 5600; K = 10x + 5600. 2-2 G = -1/2x2 + 110x - 5600; G' = -x + 110 = 0 2-3

dx p -xp rin dp xv

Hr> dp

Kmax

"

x = 110; G" = -1 < 0

= -55 + 120 = 65 — —

*xp

-2-65 _2-65 + 240

Max. G =450 -1,182

2-4 Die Integrationsgrenzen sind die Nullstellen der Gewinnfunktion: -1/2x2 + 110x - 5600 = 011 (-2) -> x2 - 220 + 11200 = 0 -> x,,2 = 110 ±V9Ö0 140

a

140

r

140

1

2

3

x„= 80; Xo = 140; f ( - ^ x +120x)dx- f (10x + 5600)dx = - - x + 6 o x •

80

2

»

80

L

6

u

2

80

[5x2 + 5600x]8o = 420000 - 402000 = 18000 3-1 Co = -123465 + 20000q'1 + 40000q"2 + 50000q'3 + 60000q" + 1OOOOOq'5; q = 1,12 Co = 17857,14 + 31887,75 + 35587,18 + 38131,55 + 56744,02 -123465 = 56742 3-2 Amortisationszeit: 17857,14 + 31887,75 + 35587,18 + 38131,55 = 123465 also am Ende des 4. Jahres. 3-3 -123465q5 + 20000q" + 40000q3 + 50000q2 + 60000q + 100000 = 0. Da bei q = 1,12 bereits ein hoher positiver C0 sich ergibt, probieren wir mit q =1,2 und q = 1,3 47 371 50 915 Es folgt K(q=1,2) = +47371,5; K(q=1,3) = - 50914,9 ->• ' ' q*-1,2 1,3-q* q* =1,2482; tatsächlich ist q* = 1,2533, also i = 25,33%

Klausur zur Fachprüfung Mathematik / Statistik**

1

WS 85 /86

Es soll ein dreibeiniges Stativ gebaut werden. Jedes der drei Beine werde auf folgende Weise montiert: Mittels 6 Bolzen werden jeweils 2 Stäbe zu einem halben Bein zusammengefügt und zwei halbe Beine dann wiederum mittels 6 Bolzen zu einem Bein vereinigt. Die 3 Beine werden dann am oberen Ende mittels 15 Bolzen an einer Platte befestigt. Diese Platte wird in 2 Ausführungen geliefert, einmal die Platte vom Typ X mit einem unbeweglichen Zapfen und dann auch als Platte vom Typ Y mit einem Kugelgelenk.

553

16 Musterklausuren

Es liegen folgende Bestellungen vor: 200 ganze Stative mit Platte X; 100 ganze Stative mit Platte Y; 20 Platten X; 10 Platten Y; 80 halbe Beine 240 Stäbe; 2000 Bolzen. (Angabe: Ax + b = x) Stellen Sie die Stativ-Montage in einem Graphen dar, entwickeln Sie daraus die Bedarfsmatrix A und den Bestellvektor b. Berechnen Sie den Teilebedarf mit Hilfe des Gauß'schen Algorithmus. 2

Herr X betreibt in einem großen Einkaufszentrum einen eigenen Verkaufsstand. Einige Fernmelderechnungen für seinen Telefonanschluß finden Sie weiter unten.

2-1 Ermitteln Sie daraus die Funktion der Telefonkosten, die sich aus den gemessenen Gebühreneinheiten und dem Rechnungsbetrag ergeben. 2-2 Da die anderen Verkaufsstände keine Telefonanschlüsse haben, bietet X sein Telefon seinen Standnachbarn zur Mitbenutzung an. Würde er für die Einheit 0,60 DM verlangen, so würde sich die Nachfrage auf 50 Einheiten belaufen, da nur ein einziger Nachbar Interesse hätte. Fordert er dagegen 0,50 DM, würde sich die Nachfrage auf 250 Einheiten erhöhen, und bei 0,40 DM stiege die Nachrage auf 450 Einheiten. Wie lautet die lineare Nachfragefunktion. 2-3 Bei welcher Anzahl von Einheiten würde X den höchsten Gewinn erzielen? 2-4 Wie hoch wäre dabei der Gesamtgewinn und der Preis für eine Einheit? 2-5 Bei welcher Gebühreneinheiten-Menge lägen Gewinnschwelle u. Nutzengrenze? 2-6 Berechnen Sie die Gewinnlinse, das ist die Fläche zwischen Gewinnschwelle und Nutzengrenze, der Erlösfunktion und den Gesamtkosten.

3

Einheiten

385

446

394

500

519

455

Gesamtbetrag

112,71

126,60

114,76

138,90

143,22

128,65

Um seine Gewinnsituation zu verbessern, kauft X Waren mit kleinen Fehlern ein. Die fehlerhaften Stücke läßt er in einer Werkstatt nachbessern. Der durchschnittliche Fehleranteil beträgt 10%. Bei der Kontrolle des Wareneingangs werden 95% der Fehler entdeckt, jedoch werden auch 2% der guten Stücke als fehlerhaft deklariert und in die Werkstatt zur Nachbesserung geschickt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß eine als gut bezeichnetes Stück auch wirklich fehlerfrei ist?

4

Für eine Eigentumswohnung soll ein Darlehn von 200.000 DM zu 8% Zinsen aufgenommen werden. Man geht davon aus, daß der Bauherr eine Liquiditätsbelastung durch eine gleichbleibende Annuität von 18.000 DM jährlich tragen kann. In welcher Zeit wird dieses Darlehn getilgt?

5

Eine Bakterienkultur enthält gegenwärtig 1000 Keime. Ihre Vermehrung entspricht dy der Differentialgleichung — = ay, nach 12 Stunden hat sich die Population

6

verdoppelt. Nach welcher Zeit hat sich die Kultur auf 10.000.000 Keime vermehrt? Für ein Erzeugnis, das mit 153 DM verkauft wird, gilt folgende Kostenfunktion: K = 0,01 x3 - 1,5x2 + 180x + 1627,12.

6-1 Bei welcher Menge wird

Gmax

erreicht und wie groß ist der Gewinn?

6-2 Bei welcher Menge wird das Stückkostenminimum erreicht?

16 Musterklausuren

554 Lösung

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

2 6 0 0 0 0 0 0

V x2 X

(E-A).

3

x4

x5 x6 x7 _ X 8_

0 6 2 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0" 0 15 15 0 0 0 0 3 3 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

" 240" 2000 80 0 20 10 200 100

(E - A) =

"1 0 - 2 0 1 -6 -6 1 -2 1

x, - 2x3 = 240 x 2 - 6x3 - 6x4 - 1 5X 7 x 3 - 2X 4 = 80 x 4 - 3x7 - 3xa = 0 x 5 - x 7 = 20 x 6 - x B =10 x 7 = 200 x 8 =100

:2000

0 0 0 0 1

0 0 0 -15 0 0 0 -3 0 -1 1 0 1

0 -15 0 -3 0 -1 0 1

4000" 23180 1880 900 220 110 200 100

2-1 P, =(385; 112,71); P2 =(446; 126,60)^(1) 112,71 = 385a + b (2) 126,60 =446a +b -> a = 0,2277; b = 25,03 -> K = 0,2277x + 25,03; 2-2 0,6 = 50a + b; 0,5 = 250a + b: p = -0,0005x + 0,625; E = - 0,0005x2 + 0,625x; 2-3

G = - 0.0005X 2 + 0 , 3 9 7 2 6 x - 2 5 , 0 3 ; G' = - 0 , 0 0 1 x + 0 , 3 9 7 2 6 = 0; x = 3 9 7 , 2 6 ; Gaas = 5 3 , 8 8 ; p = 0 , 4 2 6 3 7 (Preis für eine Einheit);

2-4 G = 0: Gewinnschwelle bei Xi = 69; Nutzengrenze bei x2 = 725,52 726

JQQ

2-5 Fläche unter E: J (0,625x-0,0005x2)dx = [o,3225x*-0,000166x3]6g =23581 W;

0,9-0,98

0,9 -0,98 + 0,1 0,5

= 0,9944

16

555

Musterklausuren

4

qn =

5

y' = ay - > f - ^ d y = a j l d x - > ln|y| = a x + C;ln1000 = 0 + C - > C = 6,90776

A = 1800; T , = 2000; q = 1,08"; n = 2 8 , 5 5

In 2 0 0 0 = 12a + 6,90776 - > a = 0,05776 - » y = e 0 ' 0 5 7 7 6 " 6 ' 9 0 7 7 6 - > x = 159,452 z = aq"' 1 ; Beginn bei 0

1 0 . 0 0 0 . 0 0 0 = 1 0 0 0 • 2"; nlog2 = Iog10000 - >

n = 13,28771 • 12Stdn = 1 5 9 , 4 5 2 6 Stunden 6

E = 153x; G = E - K = -0,01x 3 + 1 . 5 X 2 - 2 7 x - 1 6 2 7 , 1 2 ; G' = 2

x - 100x + 9 0 0 = 0

- 0.03X2

+3x + 2 7 = 0

x 1 2 = 5 0 ± - n / 2 5 0 0 - 9 0 0 - > x, = 10;x 2 = 9 0

G" = - 0 , 0 6 x + 3; G" ( 9 or -2,4 < 0 - > Max; G m „ = 8 0 2 , 8 8 k = 0,01 x 2 - 1,5x + 180 + 1 6 2 7 , 1 2 x 1 ; k' = 0,02x - 1 , 5 - 1 6 2 7 , 1 2 x 2 = 0

556

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Stichwortverzeichnis

557

Stichwortverzeichnis Abbildung 29 Abhängigkeit - lineare 334 - von Ereignissen 428 Ableitung 169 - äußere, innere 175 - höherer Ordnung 180 - impliziter Funktionen 225 - partielle 217 - totale 226 Ableitungsregeln 170 Abschreibungsverfahren 163 Absolutes Glied 74 Abzinsen 142 Achsenabschnittsform 121 Addition 33 - von Matrizen 326 - Theoreme (trigonom.) 97 Additionssatz der Wahrscheinlichk. 421 431 Adjunkte 354 Aktivität 445 Amoroso-Robinson-Relation 270 analytische Darstellung 62 Anfangsbedingung 301 Angebotsfunktion 111 Annuität 156 Anordnung 412 Apollonius, Kreis 126 Äquivalenz 32 arithmetische Folge 129 Aufzinsen 141 Aussageform 31 Ausschließlichkeit 421 äußere Ableitung 175 Austauschverfahren 340 axiomatische Wahrscheinlichkeit 421 Barwert 151 Basis 338 - lösung 391 - transformation 338 391 - variable 391 - vektor 338 Baum 438 Bayes'sches Theorem 433 bedingte Wahrscheinlichkeit 425 Bedingung - hinreichende 186 229 - notwendige 186 229 Bernoulli-Experiment 426 Bestellmenge, optimale 206 Binomialkoeffizient 410

Cantor 25 charakteristische Gleichung 312 376 Cobb-Douglas-Prod.funktion 251 Cournot'scher Punkt 202 CPM (Critical Path Method) 447 Cramer Regel 373 definit - positiv 377 - negativ 377 Definitionsbereich 61 degenerierte Lösung 396 De Morgan'sche Gesetze 27 Determinante 353 Diagonalmatrix 324 Differential 179 - partielles 223 - totales 223 Differentialgleichungen 296 Differentialquotient 167 169 Differentiationsregeln 170 Differenzengleichungen 315 Differenzenquotient 166 disjunkt 26 Distributivgesetz 28 divergente Folgen 137 Dreiecksmatrix 324 duale Lösung 398 Dualsystem 18 Duopol 202 Durchschnitt 26 424 Durchschnittsfunktion 294 dynamische Invest.rechenverfahren 160 Ebene 105 Eckpunkt 391 Eigenwerte 376 eindeutige Abbildung 29 61 Einheitsmatrix 324 Einheitsvektor 338 Elastizität 260 - Bogen- 261 - Punkt- 261 - partielle 268 Elementarereignis 416 Eliminationsverfahren 368 Entscheidungsbaum 438 Ereignisraum 416 Erlösfunktion 114 Ertragsgesetz 116 Erwartungswert - bei Entscheidungsproblemen 435

558 Euler'sche -Zahl 100 145 175 - Theorem 247 - Multiplikator 306 Exponentialfunktion 98 -Ableitung 176 Extremwerte 182 226 Faktor 34 - anpassungskurve 244 - Verbrauchsfunktion 117 Fakultät 410 Fixkosten 114 Folgen 129 Fundamentalsatz der Algebra 83 Funktionen 60 ganze Zahlen 20 Gauß'sches - Eliminationsverfahren 368 - Algorithmus 371 gebrochen rationale Zahlen 88 Gerade 120 Gesamterlösfunktion 114 Gesamtkostenfunktion 113 Gesetz der großen Zahl 420 Gewinn - funktion 115 - maximum 201 Gewinnvergleichsrechnung 159 Gleichheit von Funktionen 69 Gleichungen 48 Gleichungssysteme - lineare 51 361 Gozintograph 331 Grad von Polynomen 80 graphische Darstellung 62 Grenzerlös 202 294 Grenzhang zum Konsum 110 Grenzrate der Substitution 250 Grenzwerte 133

Stichwortverzeichnis

Indifferenzkurven 118 Infinum 135 Inklusionsgesetze 28 Input 378 Integral 276 - bestimmtes 276 - mehrfaches 188 - unbestimmtes 275 - mit Parametern 290 Integralrechnung 274 Integrationsregeln - numerische 285 - partielle 280 - durch Partialbruch 283 - durch Substitution 282 interner Zins - Methode des 161 inverse Matrix 341 Inversion 343 348 Inzidenz 442 irrationale Funktionen 78 92 irrationale Zahlen 21 Isogewinnkurve 387 Isohöhenlinie 108 Isokostenkurve 244 Isokline 298 Isoquante 108

Halbebene 386 Häufigkeitspunkt 135 Hilfvariable 241 243 homogene Differentialgleichung 311 Homogenitätsgrad 103 247 268 Horner Schema 64 Hospital - de L'..Regel 192 Hyperbel 127

Kante 445 kartesisches Produkt 28 Kegelschnitte 46 Kehrmatrix 341 Kettenregel 173 Knoten 445 Koeffizienten 64 Koeffizientenvergleich 90 Kombination 414 Kommutativgesetz 27 komplementäre Ereignisse 422 komplexe Zahlen 22 Komponenten eine Vektors 340 konjugiert komplex 313 Konjunktion 31 Konsumentenrente 292 Konsumfunktion 110 Kontinuum 21 Konvergenz 136 konvexe Punktmenge 386 Koordinaten eine Vektors 339 Kreis 124 Kurvenschar 275 298

Idempotenzgesetze 27 Identitätsgesetze 27 imaginäre Zahlen 22 Implikation 31 implizite Darstellung 68 implizite Funktionen - Ableitung von 225

Lagrangefunktion 242 Laplace-Wahrscheinlichkeit 417 lineare Abhängigkeit 334 lineare Optimierung 385 lineares Gleichungssystem 361 Linearkombination 334 Logarithmen 38

559

Stichwortverzeichnis -Ableitungen 175 - Funktionen 98 Logik 30 Lösungsvektor 370

Ordnung - Ableitung höherer -180 - von Differentialgleichungen 296 Output 378

Marktabgrenzungskurve 125 Marshall - Interpretation der Elastizität 264 Materialverflechtung 382 Matrix 322 - Diagonal- 324 - Dreiecks- 324 - Einheits- 324 - inverse 341 - Rang einer 352 Matrizen - addition 326 - multiplikation 327 - Produkte 332 - Relationen 350 Maximierungsproblem 394 Maximum 183 Mehrfachintegrale 288 Mengen 25 Methode der kleinsten Quadrate 255 Minimalkostenkombination 209 Minimum 182 mittelbare Funktion 67 Mittelwert 131 Monopol 111 Monotonie 70 - Bestimmung 188 Multiplikationssatz 423 Multiplikator - Euler"scher 305 - Lagrange'scher 241

Parabel 121 Partialbruch 90 partielles Differential 223 partikuläre Lösung 298 Permutation 412 PERT 454 Polarkoordinaten 24 Polynomdivision 84 Polynome 80 positiv définit 377 Potenzen 35 Potenzfunktion 80 Potenzregel 171 Preisabsatzfunktion 111 Preisdifferenzierung 253 Preiselastitzität 269 Prinzip - des mangelnden Grundes 418 - vom ausgeschloss. Dritten 31 Produktionsfunktion 116 Produktmenge 28 Produzentenrente 293 Pufferzeiten 451

Nachfragefunktion 111 natürliche Zahlen 20 Nebenbedingungen 235 Netzplantechnik 442 Neumann'sche Reihe 351 384 Newton'sches Näherungsverfahren 190 Nordwesteckenregel 402 Normalgleichung 256 Nullfolge 136 Nullmatrix 324 Nullmenge 26 Nullstellen 89 - nach Newton 190 - von Polynomen 81 Nutzen 119 ökonomische Funktionen 109 Optimierung - lineare 335 - unter Nebenbedingungen 235

Quotientenregel 174 Randverteilung 428 Rang einer Matrix 352 Ratenkredit 146 rationale Funktion 78 rationale Zahlen 21 Realteil 22 reelle Zahlen 21 Reihen 132 Relationen 29 relative Häufigkeit 418 Rentenbarwert 150 Restriktion 239 389 Roll-back-Analyse 446 Sattelpunktbestimmung 185 Satzverknüpfung 31 Scharparamenter 298 Schattenpreise 393 Schlupfvariable 388 390 Schnittebene 236 Schnittmenge 26 Schranken von Funktionen 75 sicheres Ereignis 421 Simplex-Verfahren 388 Sinusfunktion 95 Skalar 323

560 Skalarprodukt 328 Sparfunktion 111 spezielle Lösung 312 Spinnweb-Theorem 320 Stammfunktion 274 statistische Wahrscheinlichkeit 418 Steigung 65 Stepping-Stone-Methode 405 Stereometrie 46 Stetigkeit 140 Stochastizität 428 Substitution - bei Differentialgleichungen 302 - bei Nebenbedingungen 238 - Integration mit - 282 Summenregel 173 Supremum 135 Symmetrie 72 Tangente 66 Tangentialebene 221 Teilmenge 26 Tilgungsrechnung 154 totale Wahrscheinlichkeit 432 transformieren von Variablen 75 Transportmodell 401 trennbare Differentialgleichungen 299 Trigonometrie 43 trigonometrische Funktion 94 triviale Lösung 336 Umgebung 136 Umkehrfunktion 80 unabhängige Ereignisse 428 Unabhängigkeit, lineare 334 unendlich, abzählbar 21 Ungleichungen 56 unmögliches Ereignis 421 Unstetigkeit 140 Unterdeterminante 355

Stichwortverzeichnis

Variablentransformation 76 Variation 413 Vektor 323 Venn'sches Diagramm 26 Vereinigung 26 Verflechtung 382 Verknüpfungszeichen 31 Verschmelzungsgesetze 28 Verzinsung 141 Vieta'scher Wurzelsatz 82 Vogel'sche Approximation 403 Vorgang 444 Wachstumsfunktion 99 - Analyse 211 Wachstumsprozesse 319 Wahrscheinlichkeit 417 Weg, kritischer 447 Wendepunkt 71 - Bestimmung 189 Wurzeln 37 Zahlenfolge 129 Zahlensysteme 18 Zeitplanung 455 Zielfunktion 241 Zinsfaktor 143 zufälliges Ereignis 416 zulässige Lösung 390 zusammengesetzte Funktion 66