Szczególna teoria względności: notatki z wykładu Leszka M. Sokołowskiego [I ed.] 9788323347156

Citation preview

´ U NIWERSYTET J AGIELLO NSKI

Szczególna teoria wzgl˛edno´sci

notatki z wykładu Leszka M. Sokołowskiego

©Copyright by Leszek M. Sokołowski Published by 〈N |Kb |F 〉 ISBN ??? Kraków 2019

1

W przepisywaniu skryptu udział wzi˛eli: Pomysł i organizacja Strony 8-27 Strony 27-50 Strony 51-75 Strony 76-113 Strony 114-129 Poprawki i stylistyka dokumentu Rysunki Naniesienie korekty Profesora Korespondencja z Wydawnictwem

Adam Cie´slik Adam Cie´slik Karolina Piotrowska Mikołaj Pietrzynski ´ Tomasz Kope´c Mateusz Kmie´c Tomasz Kope´c i Mikołaj Pietrzynski ´ Mikołaj Pietrzynski ´ Mikołaj Pietrzynski ´ Adam Cie´slik

2

Spis tre´sci Przedmowa

6

1 Czasoprzestrzen ´ i układy odniesienia 1.1 Szczególna teoria wzgl˛edno´sci (STW) . 1.2 Czasoprzestrzen ´ . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Wst˛epna konstrukcja czasoprzestrzeni 1.4 Linie s´wiata . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Układy odniesienia . . . . . . . . . . . . 1.6 Pomiar czasu . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Synchronizacja zegarów . . . . . . . . . 1.8 Inercjalne układy odniesienia . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

8 8 9 10 11 12 12 13 15

2 Zasada Wzgl˛edno´sci 2.1 Zasada wzgl˛edno´sci Galileusza-Einsteina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Transformacje współrz˛ednych w czasoprzestrzeni . . . . . . . . . . 2.2 Prawa fizyki niezmiennicze wzgl˛edem transformacji Galileusza . . . . . . . 2.2.1 Przykłady praw transformacyjnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Przykłady praw niezmienniczych wzgl˛edem transformacji Galileusza 2.2.3 Kontrprzykład . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Komentarze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Ograniczenia na stosowanie zasady wzgl˛edno´sci . . . . . . . . . . . . . . .

18 18 19 19 20 22 25 26 27

3 Podstawy Teorii Wzgl˛edno´sci 3.1 Grupy przekształcen ´ i niezmienniki 3.2 Stało´sc´ pr˛edko´sci s´wiatła . . . . . . . 3.3 Diagram Minkowskiego . . . . . . . 3.4 Interwał czasoprzestrzenny . . . . .

. . . .

30 30 31 32 36

. . . . . .

40 40 40 41 42 44 45

5 Diagram Minkowskiego i transformacja Lorentza 5.1 Szczególna transformacja Lorentza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Dylatacja czasu i skrócenie długo´sci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51 51 53

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

4 Wektory i figury niezmiennicze 4.1 Wektory w czasoprzestrzeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Odcinki skierowane łacz ˛ ace ˛ pary punktów (zdarzen) ´ 4.1.2 Wektory ró˙znych wielko´sci fizycznych . . . . . . . . . 4.2 Algebra wektorów i sto˙zek s´wietlny . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Sto˙zek s´wietlny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Równoczesno´sc´ zdarzen ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

5.2.1 Dylatacja czasu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Skrócenie długo´sci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Składanie pr˛edko´sci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Ruch jednowymiarowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Technika diagramu Minkowskiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Wyznaczanie jednostek na osiach układów S i S 0 za pomoca˛ niezmienniczych hiperbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2 Dylatacja czasu i skrócenie Lorentza na diagramie Minkowskiego . 5.4.3 Kontrakcja Lorentza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.4 Dylatacja czasu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Zjawisko Dopplera i aberracja s´wiatła . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58 61 62 62 63

6 Czas własny 6.1 Czas własny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Paradoks bli´zniat ˛ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Nierówno´sc´ trójkata ˛ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66 66 69 72

7 Wektorowa przestrzen ´ Minkowskiego 7.1 Wektorowa przestrzen ´ Minkowskiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Podprzestrzenie wektorowej przestrzeni Minkowskiego . . . . . . . . . . . 7.2.1 Podprzestrzenie liniowe wymiaru 2 i 1 . . . . . . . . . . . . . . . . .

76 76 81 82

8 Czasoprzestrzen ´ Minkowskiego 8.1 Czasoprzestrzen ´ Minkowskiego . . . . . . . . . . . . . 8.2 Odwzorowania wektorowej przestrzeni Minkowskiego 8.3 Transformacje czynne i bierne . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Przekształcenia czasoprzestrzeni Minkowskiego M4 . 8.4.1 Transformacje czynne . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.2 Transformacje bierne . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

84 84 85 88 91 91 92

. . . . . . .

95 95 96 98 100 101 103 107

9 Grupa Lorentza 9.1 Ogólne własno´sci grupy Lorentza 9.2 Składowe grupy Lorentza . . . . . 9.3 Dyskretne transformacje Lorentza 9.4 Małe grupy . . . . . . . . . . . . . . 9.5 Obroty przestrzenne . . . . . . . . 9.6 Boosty (pchni˛ecia) . . . . . . . . . 9.7 Obroty zerowe . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

10 Relatywistyczna niezmienniczo´sc´ praw fizyki

4

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

53 54 55 56 57

108

11 Mechanika relatywistyczna 11.1 Kinematyka relatywistyczna . . . . . . . . . . . . . 11.2 Relatywistyczny p˛ed kinetyczny . . . . . . . . . . 11.3 Relatywistyczne równania Newtona . . . . . . . . 11.4 Całkowita energia kinetyczna . . . . . . . . . . . . 11.4.1 Własno´sci transformacyjne 4-p˛edu p α . . 11.5 Prawo zachowania 4-p˛edu . . . . . . . . . . . . . . 11.6 Kowariantne relatywistyczne równania Newtona 11.7 Ruch jednostajnie przyspieszony . . . . . . . . .

5

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

114 114 117 118 120 123 123 124 125

Przedmowa Szczególna teoria wzgl˛edno´sci jest tradycyjnie wykładana jako fragment tego działu fizyki, w którym pojawiła si˛e w wyniku eksperymentu (Michelsona–Morleya), czyli w elektrodynamice. W ciagu ˛ stu nast˛epnych lat okazała si˛e bazowa˛ teoria˛ dla wszystkich zjawisk i form materii, bowiem wszelka materia jest relatywistyczna. Teori˛e t˛e, jak ka˙zda˛ inna˛ teori˛e fizyczna, ˛ mo˙zna w pełni zrozumie´c i wyrazi´c w najbardziej adekwatnym systemie poj˛ec´ , gdy spojrzy si˛e na nia˛ z perspektywy obejmujacej ˛ ja˛ teorii bardziej uniwersalnej. Okazało si˛e, z˙ e STW jest bardzo szczególnym przypadkiem (tzw. rozwia˛ zaniem podstawowym) ogólnej teorii wzgl˛edno´sci, czyli teorii oddziaływan ´ grawitacyjnych. Jest to przypadek szczególny, a zarazem fundamentalny dla naszego istnienia i poznania s´wiata, bowiem w silnych i szybko zmiennych polach grawitacyjnych powstanie i przetrwanie znanych nam organizmów jest watpliwe, ˛ a gdyby nawet odmienne istoty inteligentne mogły w nich istnie´c, to napotkałyby du˙zo wi˛eksze trudno´sci w sformułowaniu jakichkolwiek praw fizyki. Pomijamy zatem grawitacj˛e, lecz patrzymy z perspektywy OTW i formułujemy STW jako geometri˛e specyficznej — płaskiej — czasoprzestrzeni. U˙zywamy aparatu geometrii analitycznej i algebry tensorów, co prowadzi do nadania wła´sciwej rangi niezmiennikom geometrycznym. W takim uj˛eciu transformacja Lorentza, której rola w tradycyjnym wykładzie jest nadmiernie wyeksponowana, wraca na wła´sciwe jej miejsce. Podej´scie geometryczne daje gł˛ebsze zrozumienie zjawisk relatywistycznych i eliminuje praktycznie wszystkie paradoksy, towarzyszace ˛ STW od jej narodzin i dajace ˛ jej watpliw ˛ a˛ sław˛e. Uzupełnieniem podej´scia geometrycznego jest uwzgl˛ednienie gł˛ebokiego zwiazku ˛ (do dzi´s nie w pełni zrozumianego) zjawisk relatywistycznych i fizyki kwantowej. Bez uwzgl˛ednienia fizyki czastek ˛ elementarnych i jader ˛ atomowych samo istnienie uniwersalnej i inwariantnej pr˛edko´sci oddziaływan ´ fundamentalnych jest trudnym do zrozumienia dziwactwem przyrody. Bez zjawisk kwantowych, w których masa spoczynkowa czastek ˛ elementarnych zamienia si˛e w energi˛e (i na odwrót), kinematyka relatywistyczna byłaby ułomna. Takie sformułowanie STW pojawiło si˛e w literaturze s´wiatowej w ostatnich dekadach, lecz ksia˙ ˛zki te sa˛ trudno dost˛epne polskim studentom. Wst˛epnym zapełnieniem tej luki ma by´c ten skrypt, adresowany do studentów drugiego roku fizyki i astronomii. Skrypt ten stanowia˛ notatki do jednosemestralnego wykładu STW i obejmuje materiał, który z trudem mog˛e wyło˙zy´c w dost˛epnym czasie. Zrezygnowałem zatem z przedstawienia czasoprzestrzeni Galileusza fizyki nierelatywistycznej, mimo z˙ e jest ona bardzo pouczajacym ˛ przykładem, i˙z geometria Minkowskiego jest konstrukcyjnie od niej prostsza. Podaj˛e jedynie rudymenty mechaniki relatywistycznej, bez formalizmu Lagrange’a i Hamiltona. Kinematyk˛e relatywistyczna˛ ograniczyłem do minimum, bowiem wła´sciwym miejscem jej prezentacji jest wykład fizyki czastek ˛ elementarnych. Skrypt zachował telegraficzny styl notatek do wykładu. Zawiera sporo powtórzen, ´ które psuja˛ elegancj˛e 6

wykładu, lecz sa˛ wygodne dla czytelnika – sa˛ wi˛ec celowe. Notatki te uzupełniłem w szeregu miejsc komentarzem, który był wygłaszany na wykładzie. Nie zakładam tu z˙ adnej uprzedniej znajomo´sci STW, chocia˙z skromne elementy tej teorii pojawiaja˛ si˛e wcze´sniej w kursie wst˛epu do fizyki. Istotna jest znajomo´sc´ przez studenta geometrii analitycznej i algebry tensorów w zakresie kursów na studiach fizyki i astronomii; cz˛es´c´ wykładu algebry tensorów jest powtórzona w notacji stosowanej do czasoprzestrzeni. Jestem wdzi˛eczny panstwu: ´ Tomaszowi Kopciowi, Mikołajowi Pietrzynskiemu, ´ Karolinie Piotrowskiej, Adamowi Cie´slikowi i Mateuszowi Kmieciowi za staranne przepisanie moich r˛ecznych notatek zawierajacych ˛ liczne wzory, w edytorze Tex i za opracowanie skryptu. Dzi˛eki temu mój wykład b˛edzie łatwiej czytelny dla zainteresowanych studentów.

Leszek M. Sokołowski, Kraków, lipiec 2018

Jedna˛ z podstawowych misji Naukowego Koła Fizyków Studentów Uniwersytetu Jagiellonskiego, ´ od zawsze była popularyzacja wiedzy fizycznej, zarówno w s´rodowiskach studenckich jak i poza nimi. Na przestrzeni dziejów, członkowie Koła wydawali skrypty wyró˙zniajace ˛ si˛e rzetelnym oraz przejrzystym sformułowaniem materiału. Dla współczesnych studentów takimi wła´snie sa˛ wykłady prof. Leszka Sokołowskiego, których wr˛ecz chce si˛e słucha´c jak najwi˛ecej. Niniejsza ksia˙ ˛zka jest napisanym przez prof. Sokołowskiego wykładem ze Szczególnej Teorii Wzgl˛edno´sci. Dzi˛ekujemy Panu profesorowi za jego udost˛epnienie, korekt˛e merytoryczna˛ i stylistyczna˛ a tak˙ze pomoc przy jego wydaniu. Ponadto dzi˛ekujemy równie˙z naszym kolegom: Adamowi Cie´slikowi, Mateuszowi Kmieciowi, Tomaszowi Kopciowi, Mikołajowi Pietrzynskiemu ´ oraz Karolinie Piotrowskiej za ˙ pieczołowite przepisanie odr˛ecznych notatek profesora do systemu LATEX. Zywimy szczera˛ nadziej˛e, z˙ e opracowanie to usatysfakcjonuje zarówno młodych jak i starszych adeptów fizyki oraz wszystkich zainteresowanych ta˛ niezwykła˛ dziedzina˛ wiedzy.

˙ Zyczymy miłej lektury, Zarzad ˛ NKF UJ

7

1 Czasoprzestrzen ´ i układy odniesienia 1.1 Szczególna teoria wzgl˛edno´sci (STW) Jest to teoria własno´sci czasoprzestrzeni w nieobecno´sci oddziaływan ´ grawitacyjnych. Czasoprzestrzen ´ – scena, na której rozgrywaja˛ si˛e wszystkie procesy fizyczne. Grawitacja – uniwersalne oddziaływanie generowane przez dowolna˛ form˛e materii. Obiekt fizyczny – istnieje, gdy mo˙ze oddziaływa´c ⇒ przekaz energii i/lub p˛edu. Ogólna teoria wzgl˛edno´sci (OTW): ka˙zdy obiekt niosacy ˛ energi˛e i p˛ed i mogacy ˛ je przekazywa´c oddziałuje grawitacyjnie. ⇒ Materia˛ jest to, co oddziałuje grawitacyjnie. Pozostałe oddziaływania fundamentalne: silne, słabe i elektromagnetyczne sa˛ specyficzne. OTW: czasoprzestrzen ´ to swoisty obiekt fizyczny, jest obiektem dynamicznym, oddziałuje z ciałami znajdujacymi ˛ si˛e w niej ⇒ istnieje nieskonczenie ´ wiele ró˙znych czasoprzestrzeni, tyle, ile jest ró˙znych obiektów fizycznych i ich ruchów. Opis procesów fizycznych w obecno´sci grawitacji jest skomplikowany. Grawitacja jest najsłabszym z oddziaływan ´ fundamentalnych: F e - siła elektromagnetyczna mi˛edzy elektronem i protonem, F g - siła grawitacyjna newtonowska mi˛edzy nimi: F e /F g = 2, 3 · 1039 . Grawitacja jest słaba: pokonujemy sił˛e przyciagania ˛ Ziemi (mo˙zemy si˛e porusza´c), istnieja˛ ciała makroskopowe ⇒ siły elektromagnetyczne mi˛edzy atomami spajaja˛ ciała makroskopowe i daja˛ im siły spr˛ez˙ ysto´sci równowa˙zace ˛ kurczace ˛ siły grawitacji. Zjawiska, w których grawitacja jest silna: osobliwo´sc´ czarnej dziury, pobli˙ze Wielkiego Wybuchu. ˙ Zyjemy w cz˛es´ci Wszech´swiata, w której grawitacja jest słaba ⇒ w fizyce jadrowej ˛ i czastek ˛ elementarnych mo˙zna grawitacj˛e pomina´ ˛c - tylko oddziaływania elektromagnetyczne, silne i słabe (Model Standardowy Czastek ˛ Elementarnych). OTW: gdy oddziaływania grawitacyjne materii i fale grawitacyjne mo˙zna pomina´ ˛c, to czasoprzestrzen ´ jest płaska – czasoprzestrzen ´ Minkowskiego M4 . STW: w nieobecno´sc´ grawitacji czasoprzestrzen ´ jest M4 - jest absolutna˛ (niedynamiczna) ˛ scena˛ fizyki i jest ró˙zna od absolutnej czasoprzestrzeni Galileusza mechaniki klasycznej. Definicja 1.1. STW to fizycznie zinterpretowany system twierdzen ´ geometrycznych czasoprzestrzeni Minkowskiego. Geometria czasoprzestrzeni M4 nakłada ograniczenia na form˛e oddziaływan ´ materii, ale nie okre´sla konkretnej postaci oddziaływan. ´ 8

Okre´sleniem oddziaływan ´ materii zgodnych z geometria˛ M4 zajmuja˛ si˛e klasyczna i kwantowa teoria pola ⇐ oddziaływania musza˛ mie´c charakter polowy. W tym wykładzie zajmujemy si˛e fizycznymi konsekwencjami geometrii M4 czyli kinematyka˛ zjawisk fizycznych. Na koncu ´ zajmiemy si˛e podstawami mechaniki relatywistycznej.

1.2 Czasoprzestrzen ´ Jej konstrukcj˛e podajemy stopniowo, w kilku wykładach. Czasoprzestrzen ´ to "iloczyn kartezjanski" ´ czas × przestrzen. ´ Najbardziej fundamentalny (elementarny) opis dowolnego zjawiska fizycznego to: – lokalizacja w przestrzeni = podanie relacji do innych rozciagłych ˛ ciał, – umieszczenie w ciagu ˛ nast˛epstw¡zdarzen ´¢ ( porzadek ˛ czasowy). To jeszcze nie sa˛ współrz˛edne t , x, y, z - bo nie mamy układu współrz˛ednych. Umieszczenie w czasie i przestrzeni - uniwersalna charakterystyka zjawisk fizycznych, dopiero na ich podstawie wprowadza si˛e specyficzne wielko´sci fizyczne: T, v, ci´snienie p, pola E i H. Nowo˙zytna koncepcja czasu i przestrzeni: I. Newton 1687, "Philosophiae Naturalis Principia Mathematica", po "Definicjach" nast˛epuje "Scholium" ("Obja´snienia"): 1) Czas absolutny, prawdziwy i matematyczny, sam z siebie i przez swa˛ natur˛e wpływa równomiernie bez zwiazku ˛ z czymkolwiek zewn˛etrznym i inaczej nazywa si˛e trwaniem. 2) Przestrzen ´ absolutna, przez swa˛ natur˛e, bez zwiazku ˛ z czymkolwiek zewn˛etrznym pozostaje zawsze taka sama i nieruchoma. Definicja Newtona - filozoficzna i nieoperacyjna. Zasada wzgl˛edno´sci Galileusza ⇒ przestrzen ´ nie jest absolutna - bo nie istnieje spoczynek absolutny ⇐ ruch jest wzgl˛edny. Mechanika klasyczna jest formułowana w czasoprzestrzeni Galileusza - odmiennej od koncepcji Newtona. W czasoprzestrzeni Galileusza nie ma absolutnej odległo´sci przestrzennej zdarzen ´ nierównoczesnych, jest tylko absolutny przedział czasu mi˛edzy nimi. Dla zdarzen ´ równoczesnych ich odległo´sc´ przestrzenna jest absolutna. Przykład: odległo´sc´ przestrzenna i czasowa Krakowa i Warszawy w układzie odniesienia Ziemi i pociagu ˛ jadacego ˛ mi˛edzy nimi. (Własno´sci czasoprzestrzeni Galileusza w tym kursie nie omawiam; sa˛ one przedstawione w miarodajnym wykładzie STW W. Kopczynskiego ´ i A. Trautmana, „Czasoprzestrzen ´ i grawitacja”, PWN, Warszawa 1981.) Einstein: własno´sci czasu i przestrzeni trzeba bada´c empirycznie a nie filozoficznie a priori. 9

Nowoczesna fizyka: czas i przestrzen ´ sa˛ odmiennymi aspektami (przejawami) jednego obiektu fizycznego - czasoprzestrzeni ⇐ zasada wzgl˛edno´sci ruchu. Elektrodynamika: konieczno´sc´ unifikacji czas × przestrzen ´ = czasoprzestrzen. ´ Powód: istnieje jeden obiekt fizyczny - pole elektromagnetyczne (fala elektromagnetyczna) ⇒ konieczno´sc´ zunifikowania E i H. Jeden obiekt fizyczny ⇒ opis jedna˛ wielko´scia˛ matematyczna. ˛ W E3 nie da si˛e połaczy´ ˛ c E i H w jeden obiekt matematyczny. W czasoprzestrzeni: (E, H) ↔ tensor nat˛ez˙ enia pola F µν - konieczne 4 wymiary. Czasoprzestrzen ´ - bardzo udana unifikacja w fizyce. Inne unifikacje: ogólna koncepcja energii (dowolne formy), elektromagnetyzm, oddziaływanie elektrosłabe (teoria Weinberga i Salama 1967-68) - kamienie milowe fizyki. Czasoprzestrzen ´ - jedyna udana unifikacja przestrzeni z innymi wielko´sciami fizycznymi. Nie istnieje np. "temperaturoprzestrzen" ´ - nie ma interesujacych ˛ i u˙zytecznych wła´sciwo´sci.

1.3 Wst˛epna konstrukcja czasoprzestrzeni Nale˙zy zbada´c empirycznie i u´sci´sli´c poj˛ecia, które w mechanice klasycznej sa˛ interesujace ˛ i "oczywiste" - w rzeczywisto´sci sa˛ m˛etne. Czasoprzestrzen ´ = { zbiór zdarzen ´ }. Zdarzenie – elementarny, pierwotny (niedefiniowalny) składnik ka˙zdego zjawiska fizycznego. To ka˙zdy fakt fizyczny bez rozciagło´ ˛ sci przestrzennej i bez trwania w czasie ("fakt punktowy i momentalny"). Przykład: zderzenie dwóch czastek ˛ punktowych, chwilowe poło˙zenie planety na orbicie wokół Słonca. ´ Fala elektromagnetyczna: nieskonczenie ´ wiele zdarzen ´ w jednej chwili warto´sci nat˛ez˙ en ´ pól E i H we wszystkich punktach obszaru zaj˛etego przez fal˛e w danej chwili. Matematycznie: zdarzenie = punkt w czasoprzestrzeni. Zdarzenie to te˙z punkt, w którym nie ma materii i nic si˛e nie dzieje. Czasoprzestrzen ´ – nało˙zenie kolejno 4 struktur matematycznych: 1) Struktura mnogo´sciowa : zbiór zdarzen ´ jest mocy continuum (zbiór liczb rzeczywistych). 2) Struktura topologiczna: zbiory otwarte i domkni˛ete, ciagło´ ˛ sc´ funkcji. 3) Struktura rozmaito´sci ró˙zniczkowej: układy współrz˛ednych, ró˙zniczkowalno´sc´ funkcji, wymiar czasoprzestrzeni = 4. 4) Struktura metryczna − odległo´sc´ mi˛edzy punktami.

10

Wszystkie czasoprzestrzenie w fizyce: Galileusza, Minkowskiego i Einsteina (OTW) maja˛ te same pierwsze 3 struktury, takie same jak przestrzen ´ euklidesowa E4 . Ró˙znia˛ si˛e metryka˛ – okre´sleniem odległo´sci. Wymiar czasoprzestrzeni: dim M4 = 4 – poj˛ecie topologiczne, empirycznie wprowadza si˛e go za pomoca˛ układów współrz˛ednych. Eksperyment: dim = 3 + 1 – prawo Ptolemeusza. Ptolemeusz: operacyjna definicja wymiaru przestrzeni = liczba współrz˛ednych koniecznych do zidentyfikowania dowolnego punktu w przestrzeni fizycznej. Prawo Ptolemeusza - jedyne uniwersalne prawo fizyki, które przetrwało ze staro˙zytno´sci. Geometria ró˙zniczkowa: identyfikacja punktów za pomoca˛ układów współrz˛ednych. Czasoprzestrzen ´¡ pokryta jest mapami. ¢ Mapa: para U , φ , U - otwarty zbiór (obszar) w czasoprzestrzeni, dziedzina mapy, φ - homeomorfizm obszaru U w R4 , φ : U → φ(U ) ⊂ R4 układ współrz˛ednych w danej mapie. ¡ ¢ ¡ ¢ p ∈ U − zdarzenie elementarne, φ p = x = t , x, y, z współrz˛edne punktu w mapie. Punkt x ∈ R4 identyfikujemy z ciagiem ˛ 4 liczb. Zało˙zenie: czasoprzestrzen ´ STW = M4 ma topologi˛e R4 i do jej pokrycia wystarczy jedna mapa ⇒ U = M4 . Układ współrz˛ednych φ nie jest jednoznaczny: w M4 mo˙zna wprowadzi´c nieskon´ czenie wiele ró˙znych układów współrz˛ednych. Własno´sci geometryczne figur w przestrzeni (np. w E3 ) nie zale˙za˛ od wyboru układu współrz˛ednych ⇒ własno´sci fizyczne zjawisk nie zale˙za˛ od wyboru układu współrz˛ednych φ. Przestrzen ´ euklidesowa E3 ma symetri˛e translacyjna˛ i obrotowa˛ ⇒ sa˛ wyró˙znione układy współrz˛ednych: kartezjanskie, ´ troch˛e sferyczne. M4 ma du˙za˛ symetri˛e ⇒ istnieja˛ w niej wyró˙znione układy współrz˛ednych. W fizycznej czasoprzestrzeni rozmaite układy współrz˛ednych wprowadzamy za pomoca˛ układów odniesienia.

1.4 Linie s´wiata Ka˙zde ciało o okre´slonych rozmiarach ma ciagł ˛ a˛ sekwencj˛e zdarzen ´ tworzacych ˛ jego cała˛ histori˛e - przeszła˛ i przyszła. ˛ Ciała punktowe – idealny punkt materialny, czastki ˛ elementarne: e, µ, τ, kwarki, neutrina - zakre´slaja˛ w czasoprzestrzeni ciagł ˛ a˛ krzywa˛ 1-wymiarowa: ˛ lini˛e s´wiata. Obiekty 1-wymiarowe (struny) - zakre´slaja˛ w czasoprzestrzeni powierzchni˛e 2-wymiarowa˛ - wst˛eg˛e s´wiata. Obiekty 2-wymiarowe ("membrany") maja˛ histori˛e która jest 3-wymiarowa. Byty 3-wymiarowe - wycinaja˛ w czasoprzestrzeni tunele s´wiata.

11

Czasoprzestrzen ´ jest utkana z linii s´wiata czastek ˛ punktowych. Linie s´wiata moga˛ si˛e przecina´c – zderzenia. Czasoprzestrzen ´ jest ciagła ˛ - jak przestrzen ´ R4 .

1.5 Układy odniesienia Pomiar wielko´sci fizycznych jest zawsze wykonywany w pewnym fizycznym układzie odniesienia (UO), bowiem ka˙zda aparatura pomiarowa jest ustawiona w pewnym UO i najcz˛es´ciej w tym UO dane zjawisko fizyczne jest opisywane. UO jest niezb˛ednym elementem naukowego postrzegania (opisu) s´wiata. Na ogół wynik pomiaru zale˙zy od UO, w którym jest wykonany; niektóre wielko´sci fizyczne nie zale˙za˛ wyboru UO, w którym sa˛ mierzone, np. ładunek elektryczny, wymiar przestrzeni fizycznej. Definicja 1.2. Układ odniesienia w STW = sztywna kratownica (sie´c) pr˛etów rozciagaj ˛ aca ˛ si˛e w całej przestrzeni, wyposa˙zona w zegary. UO jest ∞ wiele Zało˙zenie: istnieja˛ pr˛ety sztywne, ale nie doskonale sztywne (pr˛edko´sc´ d´zwi˛eku v s wywołanego zadziałaniem siły na pewien punkt pr˛eta jest mniejsza od pr˛edko´sci s´wiatła w pró˙zni c), które wytrzymuja˛ bez deformacji siły wywierane na sie´c. Istnieja˛ pr˛ety miernicze: za ich pomoca˛ wyznaczamy odległo´sci mi˛edzy w˛ezłami sieci i geometri˛e sieci: sze´scienna, ˛ sferyczna, ˛ cylindryczna. ˛ Dla wygody wybieramy sie´c sze´scienna. ˛ W˛ezły sieci numerujemy 3 liczbami x, y, z. Sie´c jest g˛esta ⇒ liczby x, y i z sa˛ wymierne. ¡ ¢ Zdarzenie punktowe ma współrz˛edne = numerowi x, y, z najbli˙ ¡ zszego ¢ w˛ezła sieci. W granicy rozmiar komórki sieci sze´sciennej → 0 ⇒ współrz˛edne x, y, z to liczby rzeczywiste. To jest lokalizacja przestrzenna zdarzenia wzgl˛edem danego UO. W silnym polu grawitacyjnym w OTW ciała sztywne nie istnieja˛ ⇒ sie´c pr˛etów jest "mi˛ekka" i odległo´sci mi˛edzy w˛ezłami sieci zale˙za˛ od czasu. T˛e sytuacj˛e pomijamy.

1.6 Pomiar czasu W w˛ezłach sieci UO umieszczamy zegary. Zegar = układ fizyczny mierzacy ˛ upływ czasu. Postulat empiryczny: istnieja˛ rozmaite zjawiska cykliczne (powtarzalne) s´ci´sle periodyczne. Jedno zjawisko fizyczne - tylko cykliczno´sc´ (piłka toczaca ˛ si˛e po piasku), nie mo˙zemy ustali´c, czy jego okres jest stały. Zjawisko s´ci´sle periodyczne: jego okres T = const. Sprawdzamy to innymi zjawiskami periodycznymi. Mechanizmy zegarowe: oscylacje kryształów kwarcu, zegary atomowe, ruch wirowy Ziemi, wirujace ˛ pulsary − sa˛ reprodukowalne i zgodne co do T = const. 12

Poniewa˙z pr˛edko´sc´ s´wiatła w pró˙zni c = const ⇒ istnieje zegar fotonowy EinsteinaLangevina: foton porusza si˛e prostopadle do dwu równoległych zwierciadeł i odbija si˛e od nich wielokrotnie, zliczane sa˛ odbicia od jednego z nich. Zbudowanie takiego zegara jest trudne.

T = 2lc

l

Zegar zlicza cykle zjawiska s´ci´sle periodycznego. Mechanizm zegara nie mo˙ze by´c uwarunkowany siłami zewn˛etrznymi (wahadło w polu grawitacyjnym Ziemi). Dobry zegar = zegar oparty na zjawisku s´ci´sle periodycznym, nieczuły (do pewnego stopnia) na siły zewn˛etrzne. Historia. Jedyny sposób na wyznaczanie długo´sci geograficznej na morzu: porównanie wskazan ´ zegara nastawionego na południku 0◦ z momentem lokalnego górowania Słonca ´ (lokalnie 12 h). Parlament brytyjski 1714: Longitude Act, nagroda za „praktyczna˛ i u˙zyteczna" ˛ metod˛e pomiaru długo´sci geograficznej. John Harrison 1762: chronometr odporny na wstrzasy ˛ i kołysanie statku, przewieziony z Anglii na Jamajk˛e i z powrotem odchylił si˛e o 5 sekund. Definicja 1.3. Fizyczny czas = to, co mierzy dobry zegar. Czas ka˙zdego zegara ma struktur˛e prostej E1 . Pomiary przestrzeni i czasu - koincydencja zdarzen. ´ ⇒ Chwila zaj´scia zdarzenia momentalnego = czas wskazany przez zegar spoczywajacy ˛ w danym UO w miejscu zdarzenia. Nie mo˙ze to by´c zegar odległy. ⇒ W danym UO musi by´c nieskonczenie ´ wiele zegarów, w ka˙zdym w˛ez´ le sieci.

1.7 Synchronizacja zegarów W danym UO wszystkie zegary sa˛ nieruchome wzgl˛edem siebie. Postulat empiryczny: istnieja˛ układy odniesienia, w których zegary ida˛ w zgodnym tempie („równo”). Niech zegar znajdujacy ˛ si˛e w w˛ez´ le A sieci wysyła do zegara w w˛ez´ le B sygnały, o których wiadomo, z˙ e czas ich przelotu z A do B jest zawsze taki sam. Ustala si˛e to nast˛epujaco: ˛ 13

czas przelotu sygnału z A do B i z powrotem, mierzony przez zegar w A, jest stały. Je˙zeli przedział czasu pomi˛edzy wysłaniem kolejnych dwu sygnałów przez zegar w A, zmierzony przez zegar w A, jest równy przedziałowi czasu pomi˛edzy odebraniem kolejnych dwu sygnałów w B, zmierzonemu przez zegar w B, to zegary w A i B ida˛ w zgodnym tempie („równo”). W praktyce najcz˛es´ciej u˙zywa si˛e sygnałów s´wietlnych. Zgodno´sc´ tempa chodu zegarów w ró˙znych miejscach wymaga 2 warunków: 1) czasoprzestrzen ´ nie jest dynamiczna - jest absolutna i płaska: Galileusza lub Minkowskiego, 2) UO nie mo˙ze by´c pod działaniem sił zewn˛etrznych lub wewn˛etrznych, które nadaja˛ mu przyspieszenie (np. silnik rakiety), nie mo˙ze te˙z wirowa´c (na karuzeli zegary ida˛ w ró˙znym tempie). Definicja czasu (to, co mierzy dobry zegar) nie implikuje, z˙ e istnieje jeden fizyczny czas - w ró˙znych miejscach moga˛ by´c ró˙zne czasy. Je˙zeli w pewnych UO zegary ida˛ w równym (zgodnym) tempie, to w ka˙zdym z tych UO w całej przestrzeni istnieje jeden czas i w ka˙zdym z nich mo˙ze on by´c inny. Je˙zeli w danym UO istnieje jeden czas, to bardzo po˙zyteczne jest poj˛ecie równoczesnos´ci. Równoczesno´sc´ zdefiniujemy pó´zniej, teraz pojmujemy ja˛ intuicyjnie. W takim wyró˙znionym UO wykonywanie pomiarów odległo´sci pomi˛edzy zdarzeniami w ró˙znych miejscach i przedziałów czasu mi˛edzy nimi wymaga, by idace ˛ równo zegary były zsynchronizowane. Synchronizacja − konsekwencja istnienia równoczesno´sci zdarzen, ´ nie definiuje równoczesno´sci. 3 metody synchronizacji zegarów stosowane w STW i mechanice klasycznej (MK), sa˛ zgodne. 1) Wymiana sygnałów z pr˛edko´scia˛ v = const: d´zwi˛ek, fala elektromagnetyczna, pocisk w pró˙zni. Zegar wzorcowy w momencie emisji sygnału pokazuje czas t , zegar odległy o l nastawiamy w momencie odbioru na t + l /v. Pr˛edko´sc´ fal elektromagnetycznych w pró˙zni c = const ⇒ synchronizacja sygnałami s´wietlnymi, technicznie najpewniejsza i najdokładniejsza. 2) Zegar rozciagły: ˛ wirujaca ˛ kula (planeta, pulsar) lub cylinder. Pomiar czasu: zliczanie obrotów. Synchronizujemy zegary niemal punktowe, odległe od siebie, lecz znajdujace ˛ si˛e blisko zegara wirujacego, ˛ po jego przeciwnych stronach. Tutaj sygnałem synchronizujacym ˛ jest obrót.

14

3) Quasi-statyczny transport zegarów. Zegary A i B synchronizujemy w jednym miejscu, zegar B poruszamy quasi-statycznie na dana˛ odległo´sc´ l . t - czas podró˙zy zegara B mierzony przez nieruchomy zegar A, v ∼ = const - pr˛edko´sc´ przesuwania B wzgl˛edem A. STW: pczas podró˙zy mierzony przez ruchomy zegar B jest 0∼ t = 1 − (v/c)2 t − dylatacja czasu. ³ ¡ ¢ ´ 1 v 2 0∼ , vt = l ⇒ t −t0 ∼ v ¿ c ⇒ t −t = t −t 1− = vl → 0 dla v → 0 - ró˙znica dowolnie 2c 2

2 c

mała (wymaga to t → ∞).

1.8 Inercjalne układy odniesienia Postulat empiryczny: w nieobecno´sci grawitacji w zbiorze wszystkich UO istnieje klasa układów wyró˙znionych - Inercjalne Układy Odniesienia. Definicja 1.4. Inercjalnym Układem Odniesienia (IUO) nazywamy UO, w którym: – przestrzen ´ mierzona pr˛etami mierniczymi ma w ka˙zdym miejscu lokalnie geometri˛e przestrzeni euklidesowej i jest w ka˙zdym kierunku nieograniczona ⇒ ma topologi˛e przestrzeni R3 ⇒ przestrzen ´ fizyczna jest matematycznie modelowana prze3 strzenia˛ euklidesowa˛ E , – we wszystkich miejscach w przestrzeni zegary ida˛ w zgodnym tempie, zatem istnieje jeden wspólny czas dla tego układu i czas ten jest (w ka˙zdym miejscu) jednorodny. Czas jest wsz˛edzie jednorodny: dowolne zjawisko fizyczne izolowane (wolne od działania sił zewn˛etrznych) powtórzone wielokrotnie w tych samych warunkach fizycznych (te same warunki na poczatku ˛ tego zjawiska i na jego przestrzennym brzegu) przebiega jednakowo i ma za ka˙zdym razem te same wszystkie charakterystyki liczbowe, w tym czas trwania tego zjawiska. Tak jest w ka˙zdym miejscu. Przykład: czas ładowania akumulatora o okre´slonej pojemno´sci pradem ˛ o ustalonym napi˛eciu i nat˛ez˙ eniu jest taki sam niezale˙znie od tego, gdzie i kiedy to si˛e odbywa. IUO istnieje tylko w czasoprzestrzeni Minkowskiego - geometrycznie jest to czasoprzestrzen ´ płaska (nie ma grawitacji). Kontrprzykłady − IUO nie istnieje w czasoprzestrzeniach zakrzywionych. 1) Pole grawitacyjne Słonca ´ (jest statyczne), bierzemy UO, w którym Słonce ´ jest nieruchome. Przestrzen ´ (i czasoprzestrzen) ´ jest zakrzywiona - nie jest E3 . Zegary nie ida˛ równo: blisko Słonca ´ czas płynie wolniej ni˙z na Ziemi - linie emisyjne pierwiastków na powierzchni Słonca ´ obserwowane na Ziemi sa˛ przesuni˛ete do fal dłu˙zszych. Czyli w ka˙zdym miejscu w przestrzeni jest inny czas (zale˙znie od odległo´sci od Słonca) ´ 15

i ka˙zdy czas jest jednorodny - czas trwania dowolnego zjawiska nie zale˙zy od momentu jego rozpocz˛ecia. 2) Kosmologiczna czasoprzestrzen ´ Friedmanna naszego Wszech´swiata. Przestrzen ´ jest E3 , a zarazem rozszerza si˛e, bowiem wszystkie odległo´sci pomi˛edzy wzajemnie nieruchomymi ciałami rosna. ˛ Ten wzrost odległo´sci powoduje, z˙ e czas przelotu sygnału (´swiatła) pomi˛edzy odległymi ciałami te˙z ro´snie i powy˙zsze kryterium wskazujace, ˛ z˙ e zegary nie ida˛ zgodnie, nie stosuje si˛e. Istnieje inne kryterium, geometryczne, wskazujace, ˛ z˙ e zegary tkwiace ˛ nieruchomo w rozszerzajacej ˛ si˛e przestrzeni, ida˛ w równym tempie i czasoprzestrzen ´ ta ma jeden wspólny czas. Obserwacje astronomiczne odległych galaktyk daja, ˛ z˙ e ten czas jest niejednorodny i czas trwania takich samych zjawisk zale˙zy od momentu ich rozpocz˛ecia. Kontrprzykłady te ujawniaja, ˛ z˙ e powy˙zsza definicja IUO, intuicyjna i odwołujaca ˛ si˛e do pomiarów, jest nie´scisła i niekompletna. Poprawna definicja IUO podaje matematyczny model IUO i jest sformułowana w j˛ezyku geometrii czasoprzestrzeni Minkowskiego. Podamy ja˛ pó´zniej. Najpełniejszego opisu IUO dostarcza OTW. IUO jest zdefiniowany geometrycznie jako pewien obiekt w czasoprzestrzeni, a nie dynamika˛ zjawisk w nim opisywanych. IUO jest fizycznie wyró˙zniony i wa˙zny - bo w nim procesy dynamiczne - zarówno ruch ciał pod działaniem rozmaitych sił, jak i inne procesy (elektromagnetyczne, termodynamiczne), maja˛ najprostszy opis. W IUO sa˛ tylko siły oddziaływan ´ mi˛edzy ciałami, nie ma sił bezwładno´sci wynikaja˛ cych z nieinercjalno´sci UO (np. siły od´srodkowej w układzie wirujacym). ˛ Postulat empiryczny: w IUO obowiazuje ˛ I zasada dynamiki Newtona − ciało swobodne (wolne od oddziaływan ´ z innymi obiektami) porusza si˛e ruchem jednostajnym prostoliniowym. Stad: ˛ ka˙zdy inny ruch jest wywołany siła˛ zewn˛etrzna˛ b˛edac ˛ a˛ przejawem oddziaływania. Przyspieszony ruch rakiety jest wynikiem siły zewn˛etrznej - siły odrzutu wyrzucanych z jej silnika gazów. Cały układ zło˙zony z rakiety i jej gazów porusza si˛e jako jeden obiekt jednostajnie i prostoliniowo (ruch jego s´rodka masy). Niech F - siła działajaca ˛ na dane ciało ze strony innych ciał. Wtedy mamy niezale˙zny postulat empiryczny: w IUO obowiazuje ˛ II zasada dynamiki Newtona − trajektoria ciała x(t ) pod działaniem siły F dana jest równaniem m

d2 x = F. dt 2

Dla F = 0 mamy v = const, ale warunkiem koniecznym słuszno´sci II zasady jest prawdziwo´sc´ I zasady − I zasada nie wynika z II, sa˛ tylko spójne. Uwaga. W IUO jego czas jest jednorodny, a przestrzen ´ jest E3 ⇒ przestrzen ´ jest jednorodna i izo16

tropowa. Stad ˛ nie wynika, z˙ e cała czasoprzestrzen ´ jest izotropowa - w M4 mamy kierunki czasowe, przestrzenne i zerowe (definicja dalej). Geometryczna definicja IUO ⇒ istnieje ∞ wiele IUO o tych samych własno´sciach. Je˙zeli układ S jest IUO, to ka˙zdy układ S 0 poruszajacy ˛ si˛e wzgl˛edem S jednostajnie prostoliniowo (V = const) jest te˙z IUO. To nie wynika z I zasady dynamiki. W praktyce laboratoryjnej: IUO wyznaczamy metodami dynamicznymi - czy spełniona jest I zasada dynamiki, np. za pomoca˛ z˙ yroskopu sprawdzamy, czy UO nie wiruje. W ka˙zdym IUO przestrzen ´ jest E3 ⇒ najwygodniejsze sa˛ współrz˛edne kartezja ´ ¢ ¡ nskie x, y, z. Ale to nie jest konieczno´sc´ - mo˙zna u˙zywa´c współrz˛ednych sferycznych r, θ, φ lub innych krzywoliniowych. STW jest prawdziwa, je˙zeli czasoprzestrzen ´ ma geometri˛e Minkowskiego, nie jest konieczne, by IUO mo˙zna było efektywnie zbudowa´c w danym obszarze czasoprzestrzeni. IUO nie da si˛e skonstruowa´c we wn˛etrzu gwiazd - goraca ˛ (T > 107 K) i g˛esta plazma czastek ˛ elementarnych, ale STW tam obowiazuje. ˛ Pytanie: czy w zbiorze IUO istnieje wyró˙zniona podklasa UO, w których prawa fizyki sa˛ jeszcze prostsze? Nie. Wszystkie IUO sa˛ równoprawne.

17

2 Zasada Wzgl˛edno´sci 2.1 Zasada wzgl˛edno´sci Galileusza-Einsteina STW opiera si˛e na dwóch postulatach: – zasadzie wzgl˛edno´sci, – stało´sci pr˛edko´sci s´wiatła w pró˙zni. Zasada wzgl˛edno´sci Galileusza-Einsteina: Prawa fizyki sa˛ we wszystkich IUO takie same, układy te ró˙znia˛ si˛e mi˛edzy soba˛ tylko kinematycznie w opisie zjawisk. Ruch jednostajny prostoliniowy jest wzgl˛edny - z˙ adne prawo fizyki nie odró˙znia go od stanu spoczynku. Zjawiska zachodzace ˛ w ciele b˛edacym ˛ w ruchu jednostajnym prostoliniowym niczym si˛e nie ró˙znia˛ od zjawisk zachodzacych ˛ w takim samym ciele w spoczynku. Dotyczy to praw ujmujacych ˛ wszystkie zjawiska, nie tylko mechaniczne (ruchy). Zasada wzgl˛edno´sci G-E dotyczy praw fizyki, a nie samego opisu zjawisk. Przykład: ruch planet w polu grawitacyjnym Słonca ´ z potencjałem 1/r . Ruch ten opisujemy w UO zwiazanym ˛ ze Słoncem ´ i r = 0 to s´rodek Słonca. ´ Dostajemy wtedy prawa Keplera: ruch po elipsach. W ka˙zdym IUO, w którym Słonce ´ ma stała˛ pr˛edko´sc´ V 6= 0, potencjał jest zale˙zny od czasu i nie jest sferycznie symetryczny ⇒ rozwiazanie ˛ równan ´ Newtona (lub Hamiltona) jest trudne. W¡ układzie s´rodka masy nie dostajemy ruchu pla¢ nety x = x(t ), tylko równanie toru r = r φ ; w innych IUO trudno b˛edzie znale´zc´ nawet równanie toru. Prawa fizyki to równania ró˙zniczkowe (zwyczajne i czastkowe), ˛ a nie ich rozwiazania. ˛ Przykłady. 1) Równania Newtona, Lagrange’a i Hamiltona w mechanice klasycznej - a nie "prawa" Keplera. 2) Równanie Poissona dla potencjału grawitacyjnego ∇2U = 4πGρ - a nie "prawo" powszechnego cia˙ ˛zenia Newtona. 3) Równania Maxwella w elektrodynamice, w szczególno´sci równanie Poissona dla potencjału elektrostatycznego φ, ∇2 φ = −4πρ e - a nie "prawo" Coulomba w elektrostatyce. Zasada wzgl˛edno´sci G-E ma s´ci´slejsze sformułowanie jako Zasada Niezmienniczo´sci Praw Fizyki: 18

Fundamentalne równania fizyki sa˛ niezmiennicze wzgl˛edem transformacji współrz˛ednych kartezjanskich ´ i czasu mi˛edzy ró˙znymi IUO, co oznacza, z˙ e równania te sa˛ form-inwariantne wzgl˛edem tych transformacji. Dla wygody ograniczymy si˛e do współrz˛ednych kartezjanskich ´ we wszystkich IUO (mo˙zna u˙zywa´c dowolnych współrz˛ednych krzywoliniowych, ale wtedy konieczne jest stosowanie aparatu analizy tensorowej). ¡ ¢ Transformacja mi˛edzy dwoma IUO: transformujemy współrz˛edne t , x, y, z w (t 0 , x 0 , y 0 , z 0 ) oraz wszystkie wielko´sci fizyczne w równaniach (v, a, F, J, E, H, ...) w (v0 , a0 , F0 , J0 , E0 , H0 , ...). Form-inwariantno´sc´ : równania w zmiennych nieprimowanych i primowanych maja˛ t˛e sama˛ posta´c. Wyja´snimy to dalej na przykładach. Zasada wzgl˛edno´sci nie implikuje praw transformacyjnych ani dla współrz˛ednych w czasoprzestrzeni, ani dla wielko´sci fizycznych - to był bład ˛ fizyki klasycznej przed Einsteinem. 2.1.1 Transformacje współrz˛ednych w czasoprzestrzeni W danym IUO punkt ma współrz˛edne kartezjanskie: ´ ¡ ¢ ¡ p czasoprzestrzeni ¢ 1, 2, 3. (x µ ) = x 0 , x 1 , x 2 , x 3 = t , x, y, z , µ, ν,¡α, β¢ = 0, ¡ ¢ Zmiana IUO to transformacja (x µ ) → x 0µ = t 0 , x 0 , y 0 , z 0 . Współrz˛edne sa˛ kartezjanskie ´ ⇒ postulat: transformacja mi˛edzy IUO jest liniowa˛ transformacja˛ w czasoprzestrzeni, x 0µ = a µ ν x ν + b µ . µ Konwencja sumacyjna Einsteina! (a µ ν ) - macierz ¡ µ ¢liczbowa 4 × 4, b ∈ R - 4 dowolne liczby. Transformacja musi by´c odwracalna ⇒ det a ν 6= 0. Matematycznie wyró˙znione sa˛ 3 typy transformacji w czasoprzestrzeni: Galileusza, Lorentza (Poincarégo) i Euklidesa, pierwsze 2 maja˛ sens fizyczny.

2.2 Prawa fizyki niezmiennicze wzgl˛edem transformacji Galileusza ¡ ¢ 2 IUO: S(t , r) i S 0 t 0 , r0 w relacji standardowej: osie obu układów sa˛ stale równoległe, 0 V = const ¡ - pr˛ ¢edko´ ¡ sic´¢ S wzgl˛edem S mierzona w S, r ≡ x = x, y, z = x , i = 1, 2, 3. Postulat: transformacja z S do S 0 jest transformacja˛ Galileusza (Philipp Frank 1909): ½

r0 = r − Vt − b, t0 = t, 19

czyli r0 = f(t , r, V) - liniowa funkcja wielko´sci w S. Je˙zeli b = 0 ⇒ w t = 0 osie obu układów pokrywaja˛ si˛e. Wielko´sci fizyczne w fizyce nierelatywistycznej definiujemy w przestrzeni - a nie w czasoprzestrzeni - czyli w danym IUO jako 3-skalary i 3-wektory wzgl˛edem zmiany współrz˛ ednych w tym IUO. Z zało˙zenia rozpatrujemy tylko współrz˛edne kartezjanskie ´ ¡ i¢ x ⇒ transformacja współrz˛ednych w danym IUO jest liniowa: x 0i = a i j x j + b i . ¢ ¡ ¢ ¡ Przy tej transformacji wielko´sci skalarne nie zmieniaja˛ si˛e: s t , x i = s 0 t , x 0i , a składowe wektorów w i transformuja˛ si˛e liniowo jednorodnie: ³ ´ ³ ¡ ¢´ w 0i t , x 0k = a i j w j t , x k x 0 . Transformacja Galileusza to transformacja w czasoprzestrzeni ⇒ 3-skalary i 3-wektory transformuja˛ si˛e rozmaicie ⇒ przestaja˛ by´c skalarami i wektorami w czasoprzestrzeni. 2.2.1 Przykłady praw transformacyjnych r(t ) - wektor wodzacy ˛ czastki ˛ w IUO S. 1) Pr˛edko´sc´ czastki. ˛ W S: v(t ) = r˙(t ). W S 0 : v0 =

d 0 d 0 r = r = v−V dt 0 dt

− to nie jest prawo transformacyjne wektora w E3 . 2) Przyspieszenie: dv d2 r a= = , dt dt 2

0

a =

d2 r0 dt 0 2

d2 r0 d = 2 = (v − V) = a dt dt

− przyspieszenie nie zmienia si˛e przy transformacji IUO. 3) Moment p˛edu: J = r × p ⇒ J0 = J + V × (mr − t p).

(zadanie)

4) Pole elektrostatyczne Coulomba: E=

e r 12 3

(r1 − r2 ),

mamy r01 − r02 = r1 − r2 ⇒ E = − pole elektrostatyczne nie zmienia si˛e. 20

¢ e ¡ 0 r − r02 = E0 3 1

0 r 12

5) Pole magnetostatyczne pradu ˛ stałego w nieskonczenie ´ długim prostoliniowym przewodniku (prawo Biota-Savarta).

I R r 2I . W układzie S, gdzie przewodnik spoczywa: |H| = cR dQ 0

dQ

W S 0 : R 0 = R - odległo´sc´ si˛e nie zmienia, I 0 = dt 0 = dt = I - nat˛ez˙ enie pradu ˛ jest takie samo, c - stała zale˙zna od wyboru jednostek. Zatem: ¯ 0 ¡ 0 ¢¯ 2I ¯H r ¯ = = |H(r)| cR − takie pole magnetyczne nie zmienia si˛e. 6) Ogólnie, siła zale˙zna od wektora odległo´sci mi˛edzy 2 czastkami: ˛ ¡ ¢ F = F(r1 − r2 ) = F r01 − r02 = F0 − nie ulega zmianie 7) Siła Lorentza działajaca ˛ na poruszajacy ˛ si˛e ładunek: e F = eE + v × H. c Niech w S 0 zale˙zno´sc´ F0 od E0 , H0 i v0 b˛edzie taka sama i niech pola E i H nie zmieniaja˛ si˛e, jak w przykładach powy˙zej: e e F0 = eE0 + v0 × H0 = F − V × H c c − pojawia si˛e dodatkowy wyraz niezale˙zny od v. Ta siła zmienia si˛e przy transformacji Galileusza. 8) Energia kinetyczna (skalar w E3 ): T=

m 2 v , 2

T0 =

m m (v − V)2 = T − mv · V + V2 . 2 2

9) Energia potencjalna: U = energia oddziaływan ´ wewnatrz ˛ układu fizycznego + energia oddziaływan ´ układu z otoczeniem (siły zewn˛etrzne i pola). 21

Definicja 2.1. Energia potencjalna jest skalarem wzgl˛edem transformacji współrz˛ednych w obr˛ebie jednego IUO. Transformacja U przy zmianie IUO zale˙zy od modelu oddziaływan. ´ Najprostszy model: układ n czastek ˛ punktowych: masy m i i promienie wodzace ˛ ri (t ), i = 1, 2, ..., n. Oddziaływanie cz astki ˛ i z cz astk ˛ a ˛ j zale˙ z y tylko od wektora r e poteni − r j i ma energi˛ ¡ ¢ cjalna˛ Ui j ri − r j . Całkowita energia potencjalna układu w S: U=

n n X X

¡ ¢ U i j ri − rj

i =1 j =1 i 0 wzgl˛edem S. W momencie, gdy ich poczatki ˛ O i O 0 pokrywaja˛ si˛e, równie˙z ich osie pokrywaja˛ si˛e, a zegary w O i O 0 zostaja˛ nastawione na, t = t 0 = 0.

32

y0

y

V S0

S

x0

O0

x

O

Osobne diagramy Minkowskiego dla S i S 0 : osie ;c t i ;x na ka˙zdym diagramie tworza˛ układ prostokatny. ˛ (; to punkt zero w czasoprzestrzeni, czyli poczatek ˛ 4-wymiarowego kartezjanskiego ´ układu współrz˛ednych.) S i S 0 na jednym diagramie Minkowskiego - tylko jeden układ (S) rysujemy jako prostokatny. ˛ linia s´wiata fotonu z ;

ct

45◦ x

;

linia s´wiata czastki ˛ om>0 Aby ustali´c relacj˛e mi˛edzy osiami S i S 0 na jednym diagramie Minkowskiego, rozpatrujemy rozchodzenie si˛e sygnału s´wietlnego po osi Ox 0 w S 0 . ct0 C

cτ

S0

O0 cτ ;

B

x0

45◦ A

−cτ

W chwili t 0 = −τ (punkt A) sygnał s´wietlny jest wysłany z x 0 = 0 na prawo po osi Ox 0 , w chwili t 0 = 0 (punkt B ) odbija si˛e od lustra w x 0 = cτ i w chwili t 0 = τ (punkt C ) wraca do x 0 = 0. 33

O´s ;ct 0 to linia s´wiata poczatku ˛ O 0 układu współrz˛ednych przestrzennych. Ten sam proces przedstawiam na diagramie Minkowskiego w S i na ten diagram nanosz˛e układ S 0 . ct0

ct O S

O0 C

tC tB

B

x0 V >0

; x

A

tA

S 0 ma pr˛edko´sc´ V > 0 wzgl˛edem S ⇒ o´s ;c t 0 (linia s´wiata poczatku ˛ O 0 ) jest na prawo od osi ;ct dla t > 0. Sygnał s´wietlny z A biegnie pod katem ˛ 45o od osi ;c t i ;x (bo ma v = c). O´s ;x 0 = miejsce geometryczne punktów z t 0 = 0 − prosta przechodzaca ˛ przez ; i B . Według obserwatora w S: lustro w B ucieka z pr˛edko´scia˛ V przed sygnałem, a odbiornik w C biegnie mu na spotkanie ⇒ t B − t A > tC − t B . Punkty C i A le˙za˛ symetrycznie wzgl˛edem punktu ; na diagramie Minkowskiego w S 0 ⇒ le˙za˛ symetrycznie wzgl˛edem ; na diagramie w S ⇒ odcinki A; i ;C maja˛ równe długos´ci na obu diagramach ⇒ tC = −t A . Stad ˛ nierówno´sc´ t B − t A > tC − t B daje t B − t A > −t A − t B ⇒ 2t B > 0. t B > 0− o´s ;x 0 le˙zy ponad dodatnia˛ osia˛ ;x. Osie ;ct 0 i ;x 0 układu S 0 tworza˛ kat ˛ ostry na diagramie Minkowskiego ⇐ skutek przedstawienia geometrii Minkowskiego na płaszczy´znie euklidesowej: transformacja z S do S 0 to nie jest obrót na płaszczy´znie, lecz nachylenie obu osi do siebie. Je´sli V < 0 − S 0 porusza si˛e w lewo wzgl˛edem S ⇒ osie S 0 na diagramie Minkowskiego układu S tworza˛ kat ˛ rozwarty.

34

ct0

ct

O0 C

S

tC

x

; B

tB tA

A

x0 V 0, unsophisticated ; jest pó´zniejsze ni˙z w B − gdy V < 0. Jest to wzgl˛edno´sc´ równoczesno´sci zdarzen ´ w przypadku, gdy łacz ˛ acy ˛ je (w przestrzeni) 3-wektor jest równoległy do wektora pr˛edko´sci wzgl˛ednej. W analogiczny sposób mo˙zna dowie´sc´ Twierdzenie 3.1. Dwa zdarzenia równoczesne w jednym IUO sa˛ równoczesne w ka˙zdym innym IUO, który porusza si˛e wzgl˛edem niego z pr˛edko´scia˛ wzgl˛edna˛ prostopadła˛ do 3wektora łacz ˛ acego ˛ te zdarzenia. Transformacja Lorentza daje prosty dowód tego twierdzenia.

35

3.4 Interwał czasoprzestrzenny Wyka˙zemy, z˙ e z postulatu c = const wynika fundamentalny niezmiennik w czasoprzestrzeni: odległo´sc´ dowolnych dwóch zdarzen ´ ⇒ czasoprzestrzen ´ jest metryczna. Znane przestrzenie w fizyce sa˛ niemetryczne: ¡ stanów ¢ − przestrzen ´ stanów p,V w termodynamice, − przestrzen ´ fazowa układu N punktów w mechanice klasycznej: punkt fazowy ma 6N współrz˛ednych − 3N poło˙zen ´ q i i 3N p˛edów p i , i = 1, ..., 3N . Czasoprzestrzen ´ Galileusza mechaniki klasycznej ma dwa niezmienniki transformacji Galileusza: 1) odległo´sc´ przestrzenna˛ dwóch zdarzen ´ równoczesnych, 2) przedział czasu mi˛edzy dwoma dowolnymi zdarzeniami. W czasoprzestrzeni Galileusza nie ma odległo´sci czasoprzestrzennej dwóch dowolnych zdarzen. ´ Chcemy wprowadzi´c w czasoprzestrzeni Minkowskiego metryk˛e, czyli odwzorowanie przypisujace ˛ dowolnym dwu zdarzeniom ich odległo´sc´ . Z geometrii euklidesowej jeste´smy przyzwyczajeni do tego, z˙ e odległo´sc´ dwu ró˙znych punktów jest dodatnia. Jez˙ eli odległo´sc´ w czasoprzestrzeni ma uwzgl˛ednia´c fakt, z˙ e pr˛edko´sc´ s´wiatła jest taka sama we wszystkich IUO i odległo´sc´ danych dwu punktów ma mie´c we wszystkich IUO t˛e sama˛ warto´sc´ (ma by´c niezmiennikiem, w przeciwnym razie nie miałaby wi˛ekszego sensu), to nie dla ka˙zdej pary zdarzen ´ mo˙ze ona by´c dodatnia. Z tego wzgl˛edu odległo´sc´ czasoprzestrzenna˛ poprawniej nazywamy interwałem i konstruujemy jego kwadrat tak, by spełniał oba warunki. Rozpatrujemy dwa zdarzenia, A i B , opisane w dwóch IUO: S: A(t¡ 1 , x1 ),¢ B (t¡2 , x2 ),¢ S 0 : A t 10 , x01 , B t 20 , x02 , Definicja 3.2. Interwał czasoprzestrzenny ∆s mi˛edzy A i B definiujemy wzorem dla jego kwadratu: 2 w S: (∆s)2 ≡ c 2 (t¡ 2 − t 1 )¢2 − (x 2 − x1 ) ¢ , ¡ 2 2 w S 0 : (∆s)2 ≡ c 2 t 20 − t 10 − x02 − x01 . Znak minus - narzucony przez fizyk˛e: aby ∆s był niezmiennikiem. Rozpatrujemy dwa przypadki. 36

1) A − sygnał s´wietlny wysłany z x1 , B − sygnał dociera do x2 . W S: odległo´sc´ zdarzen ´¯ |x2 − x¯1 | = c|t ¯ 2 − t 1¯| ⇒ ∆s = 0. W S 0 : równie˙z v = c ⇒ ¯x02 − x01 ¯ = c ¯t 20 − t 10 ¯ ⇒ ∆s 0 = 0. Wniosek: warto´sc´ ∆s = 0 jest niezmiennikiem transformacji (jeszcze nieznanej) mi˛edzy IUO: ∆s = 0 w S ⇒ ∆s 0 = 0 w ka˙zdym innym IUO. 2) A i B − dowolne, infinitezymalnie bliskie zdarzenia, nie połaczone ˛ sygnałem s´wietl0 nym ⇒£ ∆s 6= 0 i ∆s ¤ 6= £ 0. ¤ W S: A c t , x, y, z , B c(t + dt ), x + dx, y + dy, z + dz , podobnie w S 0 . Kwadrat interwału ds jest forma˛ kwadratowa˛ ró˙zniczek współrz˛ednych: (ds)2 ≡ ds 2 = c 2 dt 2 − dx 2 − dy 2 − dz 2

− w S.

Z zało˙zenia ds 6= 0 ⇒ ds 0 6= 0. V − pr˛edko´ sc´ S 0 wzgl˛ ¢edem S (dowolny 3-wektor). ¡ 2 0 02 Transformacja interwału z S do S : ds = f ds , V, t , x . Układy inercjalne spełniaja˛ warunki: − w ka˙zdym IUO przestrzen ´ jest E3 ⇒ jest jednorodna i izotropowa, − w ka˙zdym IUO czas jest jednorodny. Stad: ˛ Jednorodno´sc´ czasu i przestrzeni ⇒ f nie zale˙zy od t i x. Izotropowo´sc´ przestrzeni ¡ 2 2 ¢ ⇒ f nie zale˙zy od kierunku V. 02 Zatem: ds = f d s ,V . To samo prawo transformacyjne musi obowiazywa´ ˛ c dla skonczonych ´ interwałów ∆s ¡ 0 ¢2 ¡ ¢ 2 2 − bo f nie zale˙zy od t i x, czyli ∆s = f (∆s) ,V . −1 f −1 − transformacja z S 0 do S ⇒ ³¡ f ¢ okre´ ´slona i odwracalna dla 2 2 −1 0 2 2 −∞ < (∆s) < +∞, (∆s) = f ∆s ,V . Symetria mi˛edzy S i S 0 ⇒ odwzorowanie f −1 musi mie´c funkcyjnie taka˛ sama˛ posta´c jak f − jedynie współczynniki moga˛ by´c inne. W zbiorze funkcji zespolonych okre´slonych na C jedynym takim odwzorowaniem jest homografia: f (z) = z 0 = az+b , ad − bc 6= 0 i a, b, c, d ∈ C, ¡ ¢ cz+d −d z 0 +b −1 0 z=f z = cz 0 −a . Niech z ≡ ∆s. Wtedy z = 0 ⇒ z 0 = 0 = db ⇒ b = 0 i d 6= 0. az Dostajemy z 0 = cz+d i a 6= 0. Ta transformacja nie jest odwracalna na całej osi R: dla 0 cz + d mamy z = ∞, czyli dla ∆s = − dc (gdzie c, d ∈ R) dostajemy ∆s 0 = ∞ − niefizyczne. Trzeba wykluczy´c istnienie punktu osobliwego homografii ⇒ musi by´c c = 0 ⇒ z 0 = da z − jednorodna funkcja liniowa. 37

¡ ¢ ¡ ¢2 Dla interwału: ∆s 0 = a V 2 (∆s)2 . Transformacja odwrotna: (∆s)2 =

1 a (V 2 )

¡

¢2 ∆s 0 .

Zarazem: transformacja odwrotna z S 0 do S winna polega´c na zastapieniu ˛ w transforma¡ 2 ¢¡ 0 ¢2 ¡ ¢¡ 0 ¢2 0 2 2 ˛ a1 = a, cji¡ z S¢ do S pr˛edko´sci V przez −V, czyli (∆s) = a (−V) ∆s = a V ∆s . Stad a V 2 = ±1 − nie zale˙zy od V . Dla transformacji to˙zsamo´sciowej mamy V = 0 i musi by´c a(0) = +1 ⇒ a = +1 . Wniosek: c = const ⇒ ds2 = ds02 = inwariant − jest to niezmiennik transformacji mi˛edzy IUO majacy ˛ geometryczny sens kwadratu odległo´sci punktów bliskich ⇒ czasoprzestrzen ´ ma geometri˛e metryczna˛ z metryka˛ wyznaczona˛ przez interwał ds. Interwał czasoprzestrzenny jest zachowany przez transformacje Lorentza. ⇒ STW to geometria metryczna dla interwału czasoprzestrzennego, czyli teoria niezmienników przekształcen ´ Lorentza czasoprzestrzeni. Aby unikna´ ˛c pierwiastków operujemy zwykle kwadratem interwału ds 2 . ds 2 − jest forma˛ kwadratowa˛ ró˙zniczek współrz˛ednych, ds 2 = η µν dx µ dx ν ,

  +1 0 0 0  ¡ ¢  0  ¡ µν ¢  0 −1 0 η µν =  = η 0 −1 0  0 0 0 0 −1

µ, ν = 0, 1, 2, 3,

− tensor metryczny Minkowskiego xd(Hermann Minkowski 1908).

µ

ηµν − tensor odwrotny do η µν , ηµα η αν = δν . η µν = η νµ − tensor symetryczny i diagonalny. Sa˛ dwie konwencje. 1) Konwencja czasopodobna: metryka ma sygnatur˛e (+ − − −), czyli sygnatur˛e -2. Wygodna w mechanice relatywistycznej: wzdłu˙z linii s´wiata czastki ˛ z masa˛ jest ds 2 > 0. 2) Konwencja przestrzennopodobna: metryka ma sygnatur˛e (− + ++), czyli sygnatur˛e +2. Wygodna w teorii pola: hiperpłaszczyzny t = const maja˛ dodatnio okre´slona˛ metryk˛e dl 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 > 0. Tu wybieramy sygnatur˛e (+ − − −).

38

  >0 ¢ =0 . ds 2 − forma kwadratowa indefinitna: dla p 6= q mo˙ze by´c ds p, q  0 dla p 6= q.

39

4 Wektory i figury niezmiennicze 4.1 Wektory w czasoprzestrzeni W czasoprzestrzeni M4 wprowadzamy dwa rodzaje wektorów (ze wzgl˛edu na ich konstrukcj˛e) − zwanych 4-wektorami (aby je odró˙zni´c od 3-wektorów w E3 ). 4.1.1 Odcinki skierowane łacz ˛ ace ˛ pary punktów (zdarzen) ´ Parze punktów A i B przyporzadkowujemy ˛ wektor = odcinek skierowany od A do B . Konstrukcja ta jest mo˙zliwa, bowiem M4 jest przestrzenia˛ afiniczna. ˛ B

−−→ AB

A ¡ ¢ ¡ µ −−→ µ¢ Wektor AB ma składowe ∆x µ := x B − x A . Wektory te (ich składowe) maja˛ wymiar długo´sci (cm). Równoległo´sc´ wektorów: ¡ µ −→ −−→ µ µ µ¢ Wektory AB i C D sa˛ równoległe, je˙zeli ich składowe sa˛ proporcjonalne, x D −xC = a x B − x A , a 6= 0. Punkty A i B oraz C i D nie musza˛ le˙ze´c na jednej prostej. −→ Odcinek AB jest wektorem umiejscowionym, zaczepionym w A. ds − odległo´sc´ punktów bliskich. Metryka nie zale˙zy od x α ⇒ odległo´sc´ dwóch punktów dalekich to długo´sc´ łacz ˛ acego ˛ je wektora umiejscowionego, ¡ µ ¢ µ ¢¡ s 2 (A, B ) ≡ (∆s(A, B ))2 := η µν x B − x A x Bν − x νA . Kwadrat odległo´sci punktu P (x µ ) od poczatku ˛ ; układu współrz˛ednych: s 2 (P, ;) = η µν x µ x ν . Za pomoca˛ odległo´sci punktów mo˙zemy definiowa´ ¡ µ ¢ c rozmaite hiperpowierzchnie. Zbiór punktów P (x µ ) odległych o a od punktu A x A to 3-wymiarowa hiperpowierzchnia o równaniu µ

s 2 (P, A) = η µν (x µ − x A )(x ν − x νA ) = a 2 . W E4 jest to 3-sfera S 3 . W M4 − terminologia jak dla powierzchni w E3 o tych samych równaniach (o 1 wymiar mniej):

40

 2  ±a -hiperboloida jedno2 µ ν 2 2 2 2 2 lub dwupowłokowa, s (P, ;) = η µν x x = c t − x − y − z =  0 − sto˙zek s´wietlny (zerowy). Te trzy hiperpowierzchnie w M4 nie maja˛ własno´sci 3-sfery w E4 : nie sa˛ zwarte! Sa˛ nieograniczone: −∞ < c t , x, y, z < +∞ ⇒ W M4 istnieje rozbie˙zno´sc´ pomi˛edzy topologia˛ wyznaczona˛ przez kule otwarte z metryka˛ euklidesowa˛ i "kulami" wyznaczonymi metryka˛ Minkowskiego, η µν x µ x ν < a 2 . 4.1.2 Wektory ró˙znych wielko´sci fizycznych Nie sa˛ zdefiniowane przez par˛e punktów jako odcinek skierowany − definiuje si˛e je w inny sposób − jako wektory styczne do krzywych w M4 . (Definiuje si˛e je tak jak w analizie wektorowej w E3 i t˛e definicj˛e podajemy w rozdziale o kinematyce relatywistycznej, tutaj nie jest niezb˛edna.) Sa˛ przyporzadkowane ˛ do jednego punktu − punktu zaczepienia ⇒ te˙z sa˛ wektorami umiejscowionymi. Maja˛ wymiary ro˙zne od długo´sci (cm): sa˛ to 4-wektory pr˛edko´sci, p˛edu, przyspieszenia, siły, potencjału elektromagnetycznego A µ . Rysujemy je jako strzałki i maja˛ kierunek odcinka skierowanego, który jest do nich proporcjonalny. B0 A

B

pµ

−→ 4-wektor p˛e¢du p µ zaczepiony w A ma kierunek odcinka AB , je˙zeli ¡ µ µ p µ = a x B − x A , a 6= 0 − wielko´sc´ wymiarowa (dla p˛edu [a] = g s−1 ). Zamiast B mo˙zna wzia´ ˛c dowolny współliniowy punkt B 0 . Te 4-wektory maja˛ sens geometryczny: sa˛ styczne do pewnych krzywych ⇒ sa˛ niezale˙zne od wyboru IUO i od współrz˛ednych w nim. Oprócz wektorów umiejscowionych wielko´sci fizyczne opisujemy wektorami swobodnymi − nie zwiazanymi ˛ z jakim´s punktem. Przykład. Płynaca ˛ ciecz składa si˛e z kropel. Kropla znajdujaca ˛ si˛e w punkcie x µ (w danym IUO) ma 4-p˛ed p α (x µ ) − wektor umiejscowiony. Cała ciecz ma całkowity 4-p˛ed P α − nie jest umiejscowiony. W praktyce: wszystkie 4-wektory − odcinki skierowane, wektory styczne do krzywych (umiejscowio41

ne), wektory swobodne − zapisujemy jako 4 składowe w bazie wyznaczonej przez konkretny układ współrz˛ednych: − ustalamy pewien IUO, ¡ ¢ − w tym IUO wybieramy pewien kartezjanski ´ układ współrz˛ednych x, y, z − jest wyznaczony z dokładno´scia˛ do translacji i obrotów. W tak ustalonym układzie współrz˛ednych x µ ka˙zdy 4-wektor u ma składowe ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ u = uµ = u0, u1, u2, u3 = u0, u , ¢ ¡ u = u 1 , u 2 , u 3 − 3-wektor w przestrzeni E3 , cz˛es´c´ przestrzenna 4-wektora u.

4.2 Algebra wektorów i sto˙zek s´wietlny Tensor metryczny Minkowskiego ma z definicji t˛e sama˛ posta´c (i warto´sc´ ) we wszystkich IUO ze współrz˛ednymi kartezjanskimi, ´ η µν = diag[+1, −1, −1, −1]. Ta metryka definiuje równie˙z iloczyn skalarny wektorów. Definicja 4.1. Iloczyn skalarny dwóch wektorów zaczepionych w tym samym punkcie M4 jest liczba˛ równa˛ u · v ≡ 〈u|v〉 := η µν u µ v ν = u 0 v 0 − u 1 v 1 − u 2 v 2 − u 3 v 3 = u 0 v 0 − u · v. η µν = η νµ ⇒ iloczyn jest symetryczny: u · v = v · u = η µν v µ u ν . u · v − euklidesowy iloczyn skalarny 3-wektorów. u ·v − skalar, liczba nie zmieniajaca ˛ si˛e przy zmianie składowych u µ i v µ w skutek transformacji mi˛edzy IUO. ¡ ¢ Je´sli x 6= y, to nie istnieje iloczyn skalarny wektorów u(x) i v y . Je´sli u − wektor swobodny, to istnieje iloczyn skalarny u · v(x) z dowolnym wektorem umiejscowionym v(x) − ten iloczyn mo˙ze nie by´c fizycznie interesujacy. ˛ Kwadrat długo´sci wektora ¡ ¢2 u · u = 〈u|u〉 = η µν u µ u ν = u 0 − u2

− mo˙ze by´c > 0, < 0 lub = 0.

Ortogonalno´sc´ wektorów zaczepionych w tym samym punkcie: u ⊥ v ⇔ u · v = η µν u µ v ν = u 0 v 0 − u · v = 0. 42

Geometria Minkowskiego jest z definicji geometria˛ metryczna˛ ⇒ transformacje Lorentza z definicji zachowuja˛ długo´sci wektorów ⇒ zachowuja˛ iloczyny skalarne. Wszystkie wektory w M4 dziela˛ si˛e na 3 rozłaczne ˛ klasy: − czasopodobne (czasowe): v · v > 0 , − przestrzennopodobne (przestrzenne): v · v < 0 , − zerowe (´swietlne): v · v = 0 . Wektor zerowy to nie jest wektor 0: v · v = 0 ; v = 0. Wektor 0 jest zerowy. Wektor zerowy jest ortogonalny do samego siebie: v · v = 0 ⇒ v ⊥ v. Geometria Minkowskiego w ogólno´sci nie pozwala zdefiniowa´c kata ˛ mi˛edzy wektorami zaczepionymi w tym samym punkcie. W E3 kat ˛ mi˛edzy a i b jest zdefiniowany iloczynem skalarnym a · b = |a| · |b| cos θ. Tej definicji nie da si˛e przenie´sc´ na M4 , bo rzeczywisty jest tylko kwadrat długo´sci wektora, a wektory zerowe maja˛ długo´sc´ zero. Kat ˛ θ ma sens geometryczny je˙zeli −1 6 cos θ 6 +1. Je˙zeli u · v = 0, to mówimy, z˙ e u i v sa˛ ortogonalne, a nie „prostopadłe”. Metryka Minkowskiego jednoznacznie odwzorowuje wektory kontrawariantne na kowariantne (kowektory). 4-wektor v interpretujemy jako wektor kontrawariantny ze składowymi (v µ ) w danym IUO. Przyporzadkowujemy ˛ mu kowektor o składowych v µ := η µν v ν ¡ ¢ ˛ jednoznacznie weki na odwrót, kowektorowi o składowych v µ przyporzadkowujemy tor o składowych v µ := ηµν v ν . Dzi˛eki metryce uto˙zsamiamy geometrycznie wektor kontrawariantny (styczny do krzywej) z wektorem kowariantnym (kowektorem) − jest to jeden obiekt geometryczny. W danym układzie współrz˛ednych wektor v ma: µ − składowe kontrawariantne ¡ ¢(v ), − składowe kowariantne v µ . Ogólnie: v 0 = v 0 ,

v 1 = −v 1 ,

v 2 = −v 2 ,

v 3 = −v 3 .

W E3 wektor z definicji jest wektorem kontrawariantnym: ¡ ¢ v = v 1 , v 2 , v 3 , a jego składowe kowariantne sa˛ równe kontrawariantym, v i = v i , i = 1, 2, 3. Natomiast w M4 dla składowych przestrzennych wektora mamy v i = −v i , stad ˛ 43

dla dowolnego 4-wektora zachodzi ¡ ¢ v µ = v 0, v ,

v µ = (v 0 , −v).

Metryka η µν i ηµν słu˙zy te˙z do zamiany indeksów kontrawariantnych na kowariantne i na odwrót w dowolnych tensorach, na przykład: Tµν = η µα η νβ T αβ ,

T µν = ηµα ηνβ Tαβ

T µ ν = η να T µα ,

Tµ ν = η µα T αν

Przy przesuwaniu indeksów w pionie ich kolejno´sc´ musi by´c zachowana: na ogół T µ ν 6= Tν µ − chyba z˙ e T µν jest symetryczny, T µν = T νµ . Wtedy: ¡ µν ¢ ¡ ¢ T jest symetryczny ⇐⇒ Tµν jest symetryczny . 4.2.1 Sto˙zek s´wietlny Czasoprzestrzen ´ Galileusza daje si˛e w sposób absolutny (tzn. niezale˙zny od wyboru IUO) rozwarstwi´c na 3-wymiarowe hiperpłaszczyzny zdarzen ´ równoczesnych − sa˛ to fizyczne przestrzenie odpowiadajace ˛ ró˙znym chwilom czasu.

Czasoprzestrzen ´ Galileusza

t =2 t =1 t =0 t = −1

Tutaj nie ma wyró˙znionej osi czasu − bo taka o´s byłaby linia˛ s´wiata ciała w spoczynku absolutnym. To rozwarstwienie to foliacja czasoprzestrzeni przestrzeniami (hiperpłaszczyznami) zdarzen ´ równoczesnych. W M4 równoczesno´sc´ zdarzen ´ jest zrelatywizowana do wyboru IUO ⇒ foliacja czasoprzestrzeni hiperpłaszczyznami zdarzen ´ równoczesnych zale˙zy od IUO. W M4 zamiast absolutnych hiperpłaszczyzn równoczesno´sci mamy inne absolutne hiperpowierzchnie − sto˙zki s´wietlne. Sto˙zek s´wietlny o wierzchołku w P (x P µ ) składa si˛e z punktów x µ spełniajacych ˛ równanie ¡ ¢¡ ¢ ¡ ¢2 η µν x µ − x P µ x ν − x P ν ≡ c 2 (t − t P )2 − (x − x P )2 − y − y P − (z − z P )2 = 0.

44

A

ct

C B ;

P

y

x

D

Sto˙zek s´wietlny w P dzieli M4 w sposób niezmienniczy (niezale˙zny od IUO) na 3 rozłaczne ˛ obszary: −→ − przyszło´sc´ punktu P = zbiór punktów A takich, z˙ e wektor P A jest czasowy i x A 0 > x P 0 (wn˛etrze sto˙zka przyszło´sci), −−→ − przeszło´sc´ punktu P = zbiór punktów D takich, z˙ e wektor P D jest czasowy i x D 0 < x P 0 (wn˛etrze sto˙zka przeszło´sci), − "gdzie indziej" (tera´zniejszo´sc´ punktu P ) − składa si˛e z punktów B takich, z˙ e wektor −→ P B jest przestrzenny (obszar na zewnatrz ˛ sto˙zka s´wietlnego). −→ Sto˙zek zbudowany jest z punktów C takich, z˙ e wektor PC jest zerowy (jest ortogonalny do samego siebie) ⇒ odległo´sc´ C od wierzchołka P jest 0. Ten podział zale˙zy od wyboru punktu P : je˙zeli w wybranym IUO we´zmiemy punkt P 0 o tej samej współrz˛ednej czasowej, x P 0 0 = x P 0 , to sto˙zek s´wietlny w P 0 dzieli M4 na 3 obszary inne ni˙z te wyznaczone przez sto˙zek w P .

4.3 Równoczesno´sc´ zdarzen ´ Definiujemy geometrycznie równoczesno´sc´ . c = const ⇒ równoczesno´sc´ zdarzen ´ połaczonych ˛ 3-wektorem równoległym do pr˛edko´sci wzgl˛ednej V dwu IUO jest zrelatywizowana do układu (w jednym jest, w drugim jej nie ma). Wybieramy dowolnie pewien IUO i nazywamy go LAB. Obserwator (= przyrzad ˛ pomiarowy) porusza si˛e wzgl˛edem LAB z pr˛edko´scia˛ V = const ⇒ istnieje IUO, w którym

45

obserwator spoczywa − jest to inercjalny układ spoczynkowy (układ własny) obserwatora. W LAB linia s´wiata obserwatora inercjalnego jest sparametryzowana czasem t układu LAB: x 0 = ct xi = V i t + bi . linia s´wiata obserwatora

ct0

O0 B LAB

vα P lα

A

O 0 − poczatek ˛ układu własnego jest miejscem, gdzie jest obserwator ⇒ jego linia˛ s´wiata jest o´s czasu c t 0 układu własnego. Wszystkie wektory zapisujemy w układzie LAB. Wybieramy dowolny punkt B 6= A na linii s´wiata obserwatora. Wektor styczny do linii s´wiata obserwatora: i ¢ h −→ ¡ α ¢ ¡ α AB = v = x B − x A α = c(t B − t A ),V i (t B − t A ) , jest czasowy, ¡ ¢ η αβ v α v β = (t B − t A )2 c 2 − V2 > 0. Niech P − dowolny punkt poza linia˛ s´wiata obserwatora O 0 . −→ −→ Wektor AP ma składowe AP = (l α ) = (x P α − x A α ). Definicja 4.2. −→ Zdarzenie P jest równoczesne ze zdarzeniem A dla obserwatora O’, je˙zeli wektor AB stycz−→ ny do jego linii ´swiata jest ortogonalny do wektora AP : η αβ v α l β = 0. Definicja równoczesno´sci jest geometryczna (ortogonalno´sc´ 4-wektorów) − nie jest konwencja! ˛

46

Wykazuj˛e: synchronizacja dwóch odległych zegarów w tym samym IUO (spoczywaja˛ wzgl˛edem siebie) za pomoca˛ sygnału s´wietlnego (str.14) jest zgodna z definicja˛ równoczesno´sci. Rysujemy diagram Minkowskiego w układzie, w którym zegary spoczywaja. ˛ ct

ct + l

ct

A

P

B l Z2

; Z1

x

Zegar Z1 ma lini˛e s´wiata o´s ;c t : x = y = z = 0, zegar Z2 jest w punkcie x = l , y = z = 0. Linie s´wiata obu zegarów sa˛ równoległe. Z punktu B (Z1 pokazuje czas t ) wysyłamy sygnał s´wietlny, dociera on do Z2 w punkcie P w chwili t + l /c według Z1 i w P nastawiamy Z2 na czas t + l /c. W tym momencie Z1 jest w A. Sprawdzam, czy zdarzenia A i P sa˛ równoczesne. Wektor do linii s´wiata Z1 ma składowe ³−→´styczny α α α (v ) = B A = (x A − x B α ) = (l , 0, 0, 0), ³−→´α wektor łacz ˛ acy ˛ A z P : AP = (l α ) = (x P α − x A α ) = [c t + l − (c t + l ), l , 0, 0] = [0, l , 0, 0]. Wektory te sa˛ ortogonalne: η αβ v α l β = η 0β l l β = η 00 l l 0 = 0 ⇒ synchronizacja jest poprawna, bowiem jednakowe wskazania obu zegarów daja˛ zdarzenia równoczesne w ich wspólnym układzie własnym. Własno´sci równoczesno´sci. 1) Je˙zeli A i P sa˛ równoczesne dla obserwatora O 0 poruszajacego ˛ si˛e z pr˛edko´scia˛ V wzgl˛edem LAB, to na ogół nie sa˛ równoczesne w LAB. 2) Równoczesno´sc´ A i P nie zale˙zy od wyboru punktu B na linii s´wiata obserwatora O 0 ⇒ mo˙zna zastapi´ ˛ c v α → av α , a 6= 0. 3) W definicji równoczesno´sci u˙zywamy składowych wektorów (odcinków skierowanych) w dowolnym IUO (nazwanym LAB) − bo ortogonalno´sc´ wektorów nie zale˙zy od wyboru IUO. 47

W układzie spoczynkowym O0: ¢ ¡ ¢ ¡ 0α v = c∆t 0 , 0, 0, 0 wtedy warunek η αβ v 0α l 0β = 0 ⇒ l 0β = (0, l), l − 3-wektor wodzacy ˛ z A do P w układzie własnym i t P0 − t A0 = 0 − zdarzenia równoczesne w układzie własnym O 0 maja˛ t˛e sama˛ współrz˛edna˛ czasowa. ˛ 4) Równoczesno´sc´ nie jest relacja˛ w zbiorze zdarzen! ´ Przypominam: relacja˛ R w zbiorze zdarzen ´ M4 jest dowolny podzbiór R iloczynu kartezjanskiego ´ M4 × M4 . Zdarzenie A jest w relacji R z P , je˙zeli para (A, P ) ∈ R. Równoczesno´sci nie mo˙zemy zdefiniowa´c za pomoca˛ samego zbioru zdarzen ´ − jest zrelatywizowana do linii s´wiata obserwatora (do jego układu własnego). Zbiór zdarzen ´ równoczesnych z A dla obserwatora O 0 składa si˛e z takich zdarzen ´ P, dla których η αβ v α l β = 0. ¡ ¢ W układzie własnym punkty P sa˛ wyznaczone wektorem l 0α = (0, l), l 1 , l 2 , l 3 ∈ R ⇒ jest to matematycznie przestrzen ´ euklidesowa E3 . Stad ˛ s´cisła definicja przestrzeni fizycznej. Definicja 4.3. Zbiór zdarzen ´ równoczesnych dla obserwatora O 0 ze zdarzeniem A nazywamy przestrzenia˛ fizyczna˛ w układzie własnym O’ w chwili t A0 . Gdy t A0 przebiega od −∞ do +∞, to przestrzenie fizyczne w układzie własnym O 0 wypełniaja˛ cała˛ M4 . W dowolnym IUO (np. w LAB) przestrzen ´ zdarzen ´ równoczesnych z A dla obserwatora O 0 ma równanie parametryczne x α = x A α + l α , l α ⊥ v α , v α − wektor styczny do linii s´wiata O 0 ⇒ jest to 3-wymiarowa hiperpłaszczyzna przechodzaca ˛ przez A(x A α ). Hiperpłaszczyzna zdarzen ´ równoczesnych przechodzaca ˛ przez punkt B na linii s´wia0 α α α ta O ma równanie x = x B + l − jest przesuni˛eta o wektor v α = x B α − x A α w stosunku do hiperpłaszczyzny równoczesno´sci z A. Obie hiperpłaszczyzny sa˛ do siebie równoległe. Zatem: linia s´wiata O 0 wyznacza foliacj˛e czasoprzestrzeni M4 hiperpłaszczyznami zdarzen ´ równoczesnych dla O 0 i hiperpłaszczyzny te sa˛ ortogonalne do tej linii s´wiata oraz wzajemnie równoległe.

48

t0 = 3 t0 = 2 t0 = 1 t =3 t =2 t =1

ct0

ct

Ka˙zdy IUO (jego o´s czasu) wyznacza własna˛ foliacj˛e M4 przestrzeniami równoczesno´sci ⇒ foliacji jest nieskonczenie ´ wiele. Linia s´wiata (czasowa!) wyznacza foliacj˛e całej M4 wtedy i tylko wtedy, gdy jest to linia prosta − linia s´wiata obserwatora inercjalnego. Mo˙zna wykaza´c: je˙zeli obserwator O 0 jest nieinercjalny (doznaje przyspieszen), ´ to jego linia s´wiata wyznacza foliacj˛e przestrzeniami równoczesno´sci tylko lokalnie − w otoczeniu tej linii s´wiata, bowiem daleko od niej hiperpłaszczyzny przecinaja˛ si˛e. W danym IUO relacja równoczesno´sci jest relacja˛ równowa˙zno´sci: − jest zwrotna: A jest równoczesne z A, − symetryczna: A równoczesne z P ⇒ P równoczesne z A, − przechodnia: je˙zeli A jest równoczesne z P i P jest równoczesne z Q, to Q jest równoczesne z A, bo w tym samym układzie t A = t P i t P = tQ ⇒ tQ = t A . Wyznacza zatem klasy równowa˙zno´sci zdarzen ´ − sa˛ to przestrzenie zdarzen ´ równoczesnych. Na diagramie Minkowskiego dla układu S i S 0 : ct0

ct O0

O

x0

x

;

− o´s ;x jest zbiorem zdarzen ´ równoczesnych z ; w S: jest ortogonalna do osi ;c t (linii s´wiata O), − o´s ;x 0 jest równoczesna z ; w S 0 : jest ortogonalna do osi ;c t 0 (linii s´wiata O 0 ).

49

S2

Z

S1

G

A1

B1

A

B

A2

B2

Relacja równoczesno´sci nie jest przechodnia mi˛edzy ró˙znymi IUO: Z − Ziemia, G − daleka gwiazda spoczywajaca ˛ wzgl˛edem Z , A i B − równoczesne w układzie własnym Z i G, S 1 − obserwator z pr˛edko´scia˛ V ¿ c wzgl˛edem Z , A i B 1 − równoczesne w układzie S 1 , B 1 i A 1 − równoczesne w układzie własnym Z i G, S 2 − obserwator z pr˛edko´scia˛ −V ¿ c wzgl˛edem Z , A i B 2 − równoczesne w układzie S 2 , B 2 i A 2 − równoczesne w układzie własnym Z i G, wtedy: A 1 i A 2 − zachodza˛ w układzie Z w tym samym miejscu i sa˛ odległe od A np. o 1000 lat. Oznacza to, z˙ e ilekro´c gdzie´s idziemy, to zdarzenie to jest dla mieszkanców ´ dalekich gwiazd równoczesne ze zdarzeniem na Ziemi 1000 lat temu lub za 1000 lat. Poniewa˙z jednak nie znamy (i chyba nie ma) sygnałów szybszych od s´wiatła, z równoczesno´sci tej niewiele wynika. Je˙zeli dwa zegary spoczywaja˛ wzgl˛edem siebie w pewnym IUO ⇒ ich linie s´wiata sa˛ prostymi równoległymi ⇒ wyznaczaja˛ te same hiperpłaszczyzny równoczesno´sci ⇒ mo˙zna je zsynchronizowa´c.

50

5 Diagram Minkowskiego i transformacja Lorentza 5.1 Szczególna transformacja Lorentza S´ cisła równowa˙zno´sc´ wszystkich IUO ⇒ tensor metryczny Minkowskiego jest taki sam we wszystkich IUO, tzn. w ka˙zdym IUO we współrz˛ednych kartezjanskich ´ (x µ ) interwał czasoprzestrzenny ma kwadrat dany tym samym wyra˙zeniem ds 2 = η µν dx µ dx ν . Transformacja Lorentza zachowuje posta´c i warto´sc´ interwału: ds 2 = ds 02 = c 2 dt 02 − dx 02 − dy 02 − dz 02 − czyli¡ niezmienniczo´ sc´ metryki. Szukamy najprostszej transfor¢ ¢ ¡ s0 c´ i0 form-inwariantno´ 0 0 ˛ te warunki. W E3 : macji ct , x, y, z → c t , x , y , z spełniajacej dl 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 = dx 02 + dy 02 + dz 02 − transformacjami zachowujacymi ˛ niezmienniczo´sc´ i form-inwariantno´sc´ dl 2 sa˛ obroty i translacje. Najprostszy obrót: wokół osi Oz w płaszczy´znie Ox y: x 0 = x cos φ + y sin φ y 0 = −x sin φ + y cos φ z0 = z ¡ ¢ ¡ ¢ − układ x 0 , y 0 jest obrócony wzgl˛edem x, y o kat ˛ +φ. Przez analogi˛e: szczególna trans0 1 formacja Lorentza to "obrót" w płaszczy´znie x x w M4 ⇒ x 2 i x 3 nie zmieniaja˛ si˛e ⇒ c 2 dt 2 − dx 2 = c 2 dt 02 − dx 02 . Znak minus w ds 2 ⇒ obrót za pomoca˛ funkcji hiperbolicznych (nie trygonometrycznych): x 0 = x cosh ψ − c t sinh ψ c t 0 = −x sinh ψ + c t cosh ψ 0

y = y,

(4)

0

z = z.

Szukamy interpretacji fizycznej kata ˛ hiperbolicznego ψ. Układy S i S 0 sa˛ w relacji standardowej. Linia s´wiata poczatku ˛ O 0 układu S 0 ma w S 0 0 równania x 0 = y 0 = z 0 = 0, x 0 = c t 0 . W S linia ta jest sparametryzowana czasem t i ma równania x0 = c t ,

x = V t, 51

y = z = 0.

Na tej linii transformacja (4) implikuje: x0 = 0 ⇒

x x cosh ψ = sinh ψ ⇒ = tgh ψ. ct ct

Z kolei równanie x = V t daje V=

x V V ⇒ = tgh ψ ⇒ sinh ψ = γ , cosh ψ = γ, t c c

tutaj czynnik Lorentza γ := q

1 ¡ V ¢2 , 1− c

β :=

V c

¡ ¢−1/2 ⇒ γ = 1 − β2 .

Szczególna transformacja Lorentza: ³ ´  ¡ ¢  x 00 = γ¡x 0 − βx 1 ¢  t 0 = γ t − cV2 x   01 = γ x 1 − βx 0 Boost (pchni˛ecie). x 0 = γ(x − V t )  ⇐⇒ x 02 2 03 3   0 0 x =x , x =x . y = y, z = z V < c, bo γ < ∞ i γ ∈ R. Po prawej stronie mamy tylko wielko´sci o wymiarze długo´sci (x µ ) oraz bezwymiarowe (β, γ). Piszemy

 ¡

L= L

α

β

¢

  = 

x 0α = L α β x β − transformacja liniowa jednorodna.  γ −βγ 0 0  −βγ γ 0 0  − macierz (operator) szczególnej  0 0 1 0  transformacji Lorentza. 0 0 0 1

Przy dowolnej (nie tylko szczególnej) transformacji Lorentza, której macierz równie˙z oznaczamy (L αβ ), dowolny 4-wektor v α transformuje si˛e liniowo jednorodnie, jak współrz˛edne kartezjanskie, ´ ta˛ sama˛ macierza: ˛ v 0α = L α β v β . Twierdzenie 5.1. Równoczesno´sc´ zdarzen ´ połaczonych ˛ 3-wektorem ortogonalnym do wektora pr˛edko´sci wzgl˛ednej dwu IUO jest absolutna.

52

Dowód. Obracamy osie obu układów tak, by znalazły si˛e w relacji standardowej, wtedy łaczy ˛ je szczególna transformacja Lorentza, nast˛epnie oba układy obracamy jednakowo tak, by zdarzenia równoczesne w S znalazły si˛e na prostej równoległej do jego osi Oz. Wtedy ró˙znica ich współrz˛ednych czasoprzestrzennych jest 4-wektorem (bo jest odcinkiem skierowanym w M4 ) o składowych ∆x µ = (0, 0, 0, ∆z). Transformacja Lorentza daje składowe tego wektora w S 0 :  0 ∆x 0 = γ(∆x 0 − β∆x 1 ) = 0,     ∆x 0 = γ(∆x 1 − β∆x 0 ) = 0,  ∆y 0 = ∆x 2 = 0,    0 3 ∆z = ∆x = ∆z, wektor ∆x µ ma te same składowe w S i w S 0 . Stad: ˛ ∆t 0 = 0 − równowa˙zno´sc´ w S 0 . Szczególna transformacja Lorentza niesie prawie cała˛ tre´sc´ fizyczna˛ w STW. Dopiero przy ruchach 2- i 3-wymiarowych ujawniaja˛ si˛e własno´sci, których ona nie zawiera (tzw. precesja Thomasa).

5.2 Dylatacja czasu i skrócenie długo´sci Szczególna transformacja Lorentza ⇒ przedziały czasu mi˛edzy zdarzeniami i ich odległo´sc´ wzdłu˙z kierunku pr˛edko´sci wzgl˛ednej sa˛ ró˙zne w ró˙znych IUO. Uwaga. Macierz szczególnej transformacji Lorentza jest symetryczna. Macierz ogólnej transformacji Lorentza (zdefiniujemy ja˛ pó´zniej) takiej symetrii nie ma.

5.2.1 Dylatacja czasu W IUO S 0 zegar znajduje si˛e w punkcie o współrz˛ednej x 0 = 0 (warto´sci y 0 i z 0 sa˛ nieistotne). Zegar obserwowany z układu S w czasie ∆t mierzonym w S przesunie si˛e w S o odległo´sc´ ∆x = V ∆t . Przedziałowi czasu ∆t w S odpowiada w S 0 przedział ∆t 0 mierzony przez ten zegar: ¶ µ ¶ µ µ ¶2 ¶ µ V V V 0 = γ∆t γ−2 , ∆t = γ ∆t − 2 ∆x = γ ∆t − 2 V ∆t = γ∆t 1 − c c c 1 ∆t 0 = ∆t = γ

s

V 1− c µ

¶2

∆t < ∆t

− w układzie ruchomym S 0 czas płynie wolniej ⇒ jednostka czasu w S 0 jest dłu˙zsza ni˙z w S: je˙zeli w S 0 zegar odmierzył 1 sekund˛e, to w S upłyn˛eło γ > 1 sekund. Nazywamy to dylatacja˛ czasu. 53

5.2.2 Skrócenie długo´sci W S 0 znajduje si˛e pr˛et o długo´sci L le˙zacy ˛ na osi O 0 x 0 , jego konce ´ A i B maja˛ stałe 0 0 0 0 współrz˛edne x A = 0, x B = L ⇒ ∆x ≡ x B − x 0A = L. W IUO S długo´sc´ tego pr˛eta to wielko´sc´ l = ∆x ≡ x B − x A , współrz˛edne konców ´ pr˛eta sa˛ mierzone równocze´snie w S: ∆t = t B − t A = 0. Odwrotna szczególna transformacja Lorentza (zamieniamy V na −V ): µ ¶ ¡ 0 ¢ V 0 0 0 x = γ x +V t , t =γ t + 2x . c Stad: ˛ µ ¶ µ ¶ V V V 0 0 0 ∆t = 0 = γ ∆t + 2 ∆x = γ ∆t + 2 L ⇒ ∆t 0 = − 2 L c c c − z punktu widzenia układu S 0 poło˙zenia obu konców ´ pr˛eta sa˛ mierzone w S niejednocze´snie. Długo´sc´ pr˛eta w S: ¶¶ µ µ ¶2 ¶ µ µ V V , l = ∆x = γ(∆x + V ∆t ) = γ L + V − 2 L = γL 1 − c c 0

0

1 l= L= γ

s 1−

V2 L < L c2

− pr˛et ruchomy okazuje si˛e krótszy ni˙z mierzony w swoim układzie własnym − jest to skrócenie (kontrakcja) długo´sci. Ten efekt wykrył H. Lorentz jeszcze przed powstaniem STW w 1905 r. ⇒ kontrakcja Lorentza. Twierdzenie 5.2. Kontrakcja Lorentza jest zawsze w kierunku pr˛edko´sci wzgl˛ednej V − nie ma skrócenia w kierunku poprzecznym. Inaczej: nie ma transformacji Lorentza dajacej ˛ skrócenie poprzeczne. Dowód. S´ cisły dowód wymaga u˙zycia ogólnej transformacji Lorentza, a nie szczególnej. Tutaj: pogladowy ˛ dowód nie wprost. Załó˙zmy, z˙ e istnieje skrócenie poprzeczne. W IUO LAB rozpatruj˛e dwa cylindry o tym samym promieniu poruszajace ˛ si˛e naprzeciw siebie wzdłu˙z wspólnej osi z pr˛edko´scia˛ +V i −V . V

−V

A

B

54

Cylinder A - cienka pusta rura; cylinder B - lity walec. Układ LAB: oba cylindry doznaja˛ jednakowego skrócenia poprzecznego ⇒ zderzaja˛ si˛e brzegowymi okr˛egami. Układ spoczynkowy A: walec B jest ruchomy ⇒ ma mniejszy promien ´ ⇒ przeleci przez rur˛e A bez kolizji. Układ spoczynkowy B : rura A jest ruchoma ⇒ A jest w˛ez˙sza od B ⇒ walec B zostanie uderzony przez A wzdłu˙z współosiowego okr˛egu na przedniej s´cianie B (to nie jest okrag ˛ brzegowy). Mamy trzy ró˙zne IUO: w ka˙zdym mamy dynamicznie inny przebieg zjawiska ⇒ złamana zasada wzgl˛edno´sci Galileusza-Einsteina. Stad: ˛ istnienie skrócenia poprzecznego prowadzi do sprzeczno´sci. Podobnie dowodzi si˛e, z˙ e nie istnieje wydłu˙zenie poprzeczne.

5.3 Składanie pr˛edko´sci y0

y v

V

S S0 x x0 Układy S i S 0 sa˛ w relacji standardowej. W S mamy czastk˛ ˛ e z pr˛edko´scia˛ µ ¶ ¡ ¢ dx dy dz , , v= = vx , v y vz . dt dt dt W S 0 czastka ˛ ma pr˛edko´sc´ v0 . Transformacja Galileusza ⇒ v0 = v − V, V = (V, 0, 0). dr0 0 Transformacja Lorentza ⇒ w S czastka ˛ ma pr˛edko´sc´ v0 = dt zsza 0 − to nie jest powy˙ ró˙znica 3-wektorów. Jej składowe wyliczamy stosujac ˛ transformacj˛e ró˙zniczek dt i dx i . dx

v x0 =

−V dx 0 γ(dx − V dt ) ´ = dt = ³ = 0 1 dt 1 − c 2 V dx γ dt − c12 V dx dt dy

v 0y

dy 0 dy 1 dt ´= = 0 = ³ 1 1 dt γ 1 − c2 V γ dt − c 2 V dx

dx dt

=

vx − V 1 − c12 V v x

= v x0 ,

vy 1 = v 0y , γ 1 − 12 V v x c 1 vz = v z0 . 1 γ 1 − 2 V vx c

55

Składowa v x równoległa do pr˛edko´sci wzgl˛ednej V transformuje si˛e inaczej ni˙z składowe prostopadłe. Niech v x = c (foton) oraz v y = v z = 0. Wtedy: v 0y = v z0 = 0 oraz v x0 = c−V =c − 1 1−

c2

Vc

pr˛edko´sc´ s´wiatła w pró˙zni jest niezmiennikiem transformacji Lorentza ⇒ spójno´sc´ z zało˙zeniem wyj´sciowym, które doprowadziło do twierdzenia, z˙ e ds 2 jest niezmiennikiem transformacji mi˛edzy ró˙znymi IUO. 5.3.1 Ruch jednowymiarowy Niech v x = v, v y = v z = 0. Odwrotna transformacja pr˛edko´sci (z S 0 do S) - to zamiana +V na −V : v=

v0 +V 1 + c12 V v 0

.

(5)

Prawo transformacyjne (5) mo˙zna otrzyma´c składajac ˛ transformacj˛e Lorentza współ0 rz˛ednych. Niech czastka ˛ ma pr˛edko´sc´ v wzgl˛edem układu S 0 i pr˛edko´sc´ v wzgl˛ ¡ e¢dem S. Wprowadzamy chwilowy układ spoczynkowy S 00 czastki ˛ ze współrz˛ednymi x 00µ . Układ S 0 porusza si˛e wzgl˛edem S 00 z pr˛edko´scia˛ −v 0 , a układ S ma wzgl˛edem S 0 pr˛edko´sc´ −V . 0 −v - pr˛edko´sc´ S wzgl˛edem S 00 . Oznaczam: β¢0 = vc , β0 = Vc , β = vc . ¡ Transformacja z S 00 do S 0 : x 0α = L α¡ν −β¢ 0 x 00ν , transformacja z S 0 do S: x µ = L µ α −β0 ¡x 0α .¢ ¡ ¢ α ¡ 0 ¢ 00ν 00 µ µ 00ν µ Stad ˛ transformacja z S do S: x = L −β x = L −β L ν −β x , ν α 0 ¡ ¢ ¡ ¢ α ¡ 0¢ µ µ czyli L ν −β = L α −β0 L ν −β , macierzowo ten iloczyn jest:      γ +βγ 0 0 γ0 +β0 γ0 0 0 γ0 +β0 γ0 0 0      γ 0 0  +β0 γ0 γ0 0 0  +β0 γ0 γ0 0 0 +βγ  =  . 0 1 0  0 0 1 0  0 0 1 0  0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ Aby wyznaczy´ c β wystarczy w iloczynie L µ α −β0 L α ν −β0 policzy´c dwa elementy: L 0 0 −β ¡ ¢ i L 0 1 −β . Mamy ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¾ L 0 1 −β βγ L 0 0 ¡−β¢ ≡ γ = γ0 γ0 + β0 γ0 β0 γ0 = γ0 γ0 1 +¡ β0 β0 , ¢ =β= ⇒ 0 ¡ ¢= 0 0 0 0 0 0 L 1 −β = +βγ = γ0 β γ + β0 γ0 γ = γ0 γ β + β0 γ L 0 −β ¡ ¢ v0 + Vc γ0 γ0 β0 + β0 v v0 +V c ¡ ¢= = = β = =⇒ v = − wzór (5). c γ0 γ0 1 + β0 β 1 + 12 V v 0 1 + 12 V v 0 c

c

Twierdzenie 5.3. Przy transformacji (5) pr˛edko´sci pod´swietlne (v 0 < c) przechodza˛ w pod´swietlne, v < c, a pr˛edko´sci nad´swietlne (v 0 > c) przechodza˛ w nad´swietlne, v > c. 56

Dowód. Wiemy, z˙ e V < c - bo γ ∈ R i γ < ∞. Niech v 0 > 0 - dowolna pr˛edko´sc´ < +∞. ac+V Niech v 0 = ac, a > 0 - dowolne ⇒ v = c+aV c. Aby ustali´c, czy ten ułamek jest > 1, czy < 1, obliczamy ró˙znic˛e licznika i mianownika: ½ < 0 dla a < 1 ⇒ v < c, ac + V − (c + aV ) = (a − 1)(c − V ) > 0 dla a > 1 ⇒ v > c.

Wniosek: pr˛edko´sc´ s´wiatła c jest granica, ˛ której nie da si˛e przekroczy´c zmiana˛ IUO (czyli transformacja˛ Lorentza) ani z góry, ani z dołu. To jest geometryczne twierdzenie STW. Popularne twierdzenie „nie istnieja˛ pr˛edkos´ci nad´swietlne" jest twierdzeniem dotyczacym ˛ dynamiki oddziaływan ´ materii - zapewne prawdziwym - ale nie wynikajacym ˛ z geometrycznej STW. STW nie wyklucza istnienia tachionów - to wykracza poza jej dziedzin˛e. Uwaga. Transformacja pr˛edko´sci jest nieliniowa i ró˙zne jej składowe transformuja˛ si˛e w ró˙zny sposób, bowiem v nie stanowi składowych przestrzennych z˙ adnego 4wektora ⇒ jego interpretacja geometryczna jest skomplikowana. Prosty sens geometryczny w czasoprzestrzeni maja˛ tylko 4-wektory, a nie 3-wektory definiowane w przestrzeni konkretnego IUO. Potem w M4 wprowadzimy 4-wektor pr˛edko´sci, który transformuje si˛e liniowo jednorodnie - jak prawdziwy wektor.

5.4 Technika diagramu Minkowskiego Diagram Minkowskiego to reprezentacja graficzna płaszczyzny M2 = {(c t , x)} na płaszczy´znie euklidesowej E2 . Niech S i S 0 b˛eda˛ w relacji standardowej, V > 0. Na diagramie Minkowskiego rysujemy układ S jako prostokatny ˛ ⇒ S 0 jest ostrokatny ˛ (rys. na str. 34) Teraz wyznaczamy relacje ilo´sciowe mi˛edzy obydwoma układami na diagramie. ct

ct

P

c tp

=

x

ct 0

c t p0 O

O0 B

A α α

0

x0

x p0

;

xp 57

x

Linia s´wiata fotonu biegnacego ˛ na prawo z ; po osi Ox (pokrywajacej ˛ si˛e z osia˛ O 0 x 0 ) ma równanie c t − x = 0 = c t 0 − x 0. ¢ ¡ ˛ P na osie Współrz˛edne (c t , x) i c t 0 , x 0 dowolnego punktu P znajdujemy rzutujac danego układu równolegle do drugiej osi tego układu (reguła równoległoboku). Wyznaczam nachylenie osi ;c t 0 do ;c t i osi ;x 0 do ;x. O´s ;ct 0 (linia s´wiata poczatku ˛ O 0 układu S 0 ) na diagramie tworzy kat ˛ α z osia˛ ;c t i ma 0 równanie x = 0. Dowolny punkt A na osi ;c t 0 ma w S współrz˛edne wynikajace ˛ z transformacji Lorentza: x 0 = 0 ⇒ x = V t . Jego współrz˛edne w S wyznaczaja˛ kat ˛ α: tg α =

x Vt V = = = β. ct ct c

Kat ˛ α0 pomi˛edzy osia˛ ;x 0 i ;x jest wyznaczony przez współrz˛edne (c t , x) dowolnego punktu B na osi ;x 0 : tg α0 = ct . x 0 0 O´s ;x ma równanie t = 0 ⇒ transformacja Lorentza daje t = cV2 x ⇒ V

x

⇒ tg α0 = cx = β = tg α ⇒ α0 = α - na diagramie Minkowskiego osie ;c t 0 i ;x 0 nachylaja˛ si˛e symetrycznie do sto˙zka s´wietlnego c t = x ⇐⇒ sto˙zek s´wietlny jest dwusieczna˛ kata ˛ mi˛edzy osiami ;c t 0 i ;x 0 . Jest to efekt kinematyczny - geometri˛e Minkowskiego przedstawiamy graficznie na płaszczy´znie euklidesowej. 5.4.1 Wyznaczanie jednostek na osiach układów S i S 0 za pomoca˛ niezmienniczych hiperbol Szczególna transformacja Lorentza (jedyna transformacja na płaszczy´znie Minkowskiego zgodna z niezmienniczo´scia˛ interwału) implikuje niezmienniczo´sc´ formy kwadratowej na M2 : η µν x µ x ν = c 2 t 2 − x 2 = const - równanie hiperboli na E2 we współrz˛ednych (ct , x). 1) Niech const = +1. ¯ ¯ c t − x = +1 = c t − x ¯ d, 2 2

2

2 02

⇒

02 ¯

¡ ¢ 2c t d(c t ) − 2xdx = 0 = 2c t 0 d c t 0 − 2x 0 dx 0 ⇒

x cdt = ±p , dx 1 + x2

cdt 0 x0 = ± − sa˛ dwie hiperbole. p dx 0 1 + x 02

Na górnej gał˛ezi hiperboli, c t > 1, mamy znak +. Bior˛e górna˛ gała´ ˛z hiperboli. 58

ct

ct0

2

c

2

t

− 2

x

= 1

P 00 P0 1

1 x0

; x

Hiperbola przecina osie ;c t i ;c t 0 odpowiednio w punktach P 0 (c t = 1, x = 0) oraz ¡ ¢ P 00 ct 0 = 1, x 0 = 0 ⇒ wyznacza jednostki czasu w S i S 0 . dt = 0 - minimum hiperboli w S ⇒ styczna w P 0 jest równoległa do osi ;x. W P 0 : c dx 0

dt 0 0 0 W P 00 : c dx 0 = 0 - minimum hiperboli w S ⇒ styczna w P 0 jest równoległa do osi ;x .

Stad: ˛ druga metoda wyznaczania poło˙zenia osi ;x 0 wzgl˛edem ;x. Dla danej V < c 0 2 2 2 rysujemy o´s ;c ¡ t 0 jak ¢na rysunku na str. 57 (tg α = β), rysujemy hiperbol˛e c t −x = 1, 0 w punkcie P 0 c t = 1 rysujemy styczna˛ do niej, wtedy prosta równoległa do stycznej i przechodzaca ˛ przez ; jest osia˛ ;x 0 . Ró˙znica mi˛edzy geometria˛ euklidesowa˛ płaszczyzny E2 i geometria˛ Minkowskiego płaszczyzny M2 : na E2 równe długo´sci odcinków wyznaczamy za pomoca˛ okr˛egu - na M2 za pomoca˛ hiperboli, bowiem w obu przypadkach sa˛ to krzywe, których punkty sa˛ równoodległe od wybranego punktu. Uwaga. Minimum (ekstremum) krzywej nie jest jej cecha˛ inherentna, ˛ ale zale˙zy od jej parametryzacji i od wyboru orientacji współrz˛ednych kartezjanskich ´ na płaszczy´znie. Okrag ˛ ma w ka˙zdym punkcie ekstremum, zale˙znie od ustawienia (orientacji) osi Ox i O y. 2) Niech const = −1.

59

ct

ct0

x0 P 00 1 ; 1 P0

c

2

t

x

2

−

x

2

=

−1

Prawa gała´ ˛z hiperboli c 2 t 2 − x¢2 = c 2 t 02 − x 02 = −1 przecina o´s ;x w P 0 (c t = 0, x = 1) ¡ oraz o´s ;x 0 w P 00 c t 0 = 0, x 0 = 1 ⇒ wyznacza jednostki długo´sci na osiach przestrzennych układów S i S 0 . Porównanie jednostek czasu i długo´sci w S i S 0 na tym samym diagramie Minkowskiego daje dylatacj˛e czasu i kontrakcj˛e (skrócenie) Lorentza, czyli spowolnienie biegu zegarów w ruchu i zmalenie długo´sci poruszajacych ˛ si˛e pr˛etów mierniczych. Jest to efekt czysto kinematyczny - wynika z geometrii Minkowskiego, nie jest skutkiem działania jakich´s sił.

60

5.4.2 Dylatacja czasu i skrócenie Lorentza na diagramie Minkowskiego ct0

2

c

ct 2

t

− 2

x

= 1

ct = − x

1

1 Q

x0

P

1 1

;

x

2

c

2

t

−

x

1 −

ct

=

=

2

x

D

C

A

B

W S spoczywa jednostkowy pr˛et AB , w S 0 - spoczywa jednostkowy pr˛et C D. Na rysunku podane jest ich chwilowe poło˙zenie - równoczesne poło˙zenie konców ´ pr˛eta w jego układzie spoczynkowym. Oba pr˛ety zakre´slaja˛ w czasoprzestrzeni wst˛egi s´wiata. Linia˛ s´wiata konca ´ A jest o´s c t , linia˛ s´wiata konca ´ C - o´s c t 0 . Na koncach ´ A, B, C i D sa˛ zegary. Gdy zegary A i C spotykaja˛ si˛e w punkcie ;, to nastawiamy je na t = t 0 = 0, a nast˛epnie synchronizujemy B z A i D z C . W punkcie P zegar C pokazuje czas c t 0 = 1 i punkt P ma współrz˛edna˛ czasowa˛ c t > 1 ⇒ zegar C pó´zni si˛e wzgl˛edem zegara A. W punkcie Q zegar A pokazuje czas c t = 1 i punkt Q ma współrz˛edna˛ czasowa˛ c t 0 > 1 ⇒ zegar A spó´znia si˛e wzgl˛edem zegara C . Nie ma tu sprzeczno´sci: porównujemy ró˙zne zdarzenia P i Q, czyli długo´sci odcinków ;P i ;Q.

61

Długo´sc´ pr˛eta C D mierzy si˛e w S wyznaczajac ˛ równoczesne w S poło˙zenia konców ´ 0 C i D, np. w chwili t = 0 ⇒ l C D < 1. Podobnie: długo´sc´ pr˛eta AB w S jest okre´slona 0 równoczesnym w S 0 poło˙zeniem jego konców, ´ np. w t 0 = 0 ⇒ l AB < 1. 5.4.3 Kontrakcja Lorentza Jest ona skutkiem wybranej metody pomiaru długo´sci - jednoczesne poło˙zenia kon´ ców pr˛eta w danym układzie, jest wi˛ec konsekwencja˛ definicji zdarzen ´ równoczesnych: ortogonalno´sc´ osi czasu do osi przestrzennych - w sensie 4-wektorów. Kontrakcja jest obserwowalna w eksperymentach (zjawiskach), w których odgrywa rol˛e równoczesno´sc´ zdarzen ´ przestrzennie odległych. Gdy obserwacja nie opiera si˛e na zdarzeniach równoczesnych, to skrócenie długo´sci nie pojawia si˛e. Przykład: obraz optyczny (fotografia) poruszajacej ˛ si˛e bryły nie wykazuje jej skrócenia, bowiem fotografia rejestruje jednoczesne dotarcie do aparatu fotonów wyemitowanych w ró˙znych chwilach z ró˙znych punktów powierzchni bryły- efekt Terrella-Penrose’a (1959), Z. Lampa 1924. Metoda pomiaru długo´sci oparta na zdarzeniach równoczesnych jest jedyna˛ sensowna. ˛ Stad: ˛ długo´sci ciał nale˙zy mierzy´c w ich układzie spoczynkowym - ortogonalnie do linii s´wiata ich konców. ´ Ortogonalno´sc´ : w sensie 4-wektorów b˛edacych ˛ odcinkami skierowanymi. Analogia z geometria˛ euklidesowa: ˛ szeroko´sc´ ulicy mierzymy prostopadle do kraw˛ez˙ ników, a nie uko´snie. W czasoprzestrzeni M4 ruchomy IUO jest odpowiednikiem obróconego ("uko´snie ustawionego") układu w E3 . 5.4.4 Dylatacja czasu Zjawisko wynikajace ˛ z ró˙znego tempa upływu czasu w ró˙znych IUO. Metoda wykrycia tego efektu zale˙zy od ruchu zegara. Je˙zeli zegar porusza si˛e jednostajnie prostoliniowo (znajduje si˛e stale w jednym IUO), to jego spowolnienie ujawnia si˛e przez porównanie jego wskazan ´ ze wskazaniami wielu nieruchomych zsynchronizowanych zegarów: w punkcie P wskazania zegara C porównujemy z zegarem układu S znajdujacym ˛ si˛e w P (zegarem układu S, którego linia s´wiata przechodzi przez P ), czyli z zegarem zsynchronizowanym z zegarem A. Czyli: dylatacja czasu w ruchu jednostajnym prostoliniowym jest wykrywalna dzi˛eki synchronizacji zegarów - bez niej nie mo˙zemy porówna´c wskazan ´ dwóch zegarów, które poruszaja˛ si˛e wzgl˛edem siebie. Je˙zeli zegar porusza si˛e z przyspieszeniem i nie po linii prostej (w ka˙zdej chwili spoczywa w innym IUO), to dylatacja jego czasu mo˙ze ujawni´c si˛e bez u˙zycia zsynchronizowanych zegarów, np. w paradoksie bli´zniat ˛ (przedstawiamy go dalej). Jak zobaczymy dalej: dylatacja czasu to ró˙znica długo´sci linii s´wiata dwóch zegarów w ruchu wzgl˛ednym przyspieszonym pomi˛edzy dwoma zdarzeniami. ⇒ Dylatacja czasu 62

ma sens geometryczny ⇒ jest to fundamentalny efekt STW, du˙zo wa˙zniejszy ni˙z skrócenie długo´sci (efekt pomiaru w układzie ruchomym).

5.5 Zjawisko Dopplera i aberracja s´wiatła Jako´sciowo dylatacj˛e czasu i kontrakcj˛e długo´sci przedstawiamy na diagramie Minkowskiego bez u˙zycia transformacji Lorentza. Efektem, do którego konieczna jest szczególna transformacja Lorentza jest relatywistyczne zjawisko Dopplera - zmiana cz˛estotliwo´sci s´wiatła przy zmianie IUO. Dla fal d´zwi˛ekowych mamy nierelatywistyczne zjawisko Dopplera - je˙zeli nadajnik fali i odbiornik sa˛ w ruchu wzgl˛ednym, to fala akustyczna porusza si˛e wzgl˛edem odbiornika z inna˛ pr˛edko´scia˛ ni˙z wzgl˛edem nadajnika ⇒ cz˛estotliwo´sc´ fali mierzona przez odbiornik jest inna ni˙z cz˛estotliwo´sc´ wyemitowana przez nadajnik. Fala elektromagnetyczna ma w ka˙zdym IUO pr˛edko´sc´ c ⇒ zmiana cz˛estotliwo´sci jest skutkiem transformacji Lorentza. S´ wiatło opisujemy w przybli˙zeniu optyki geometrycznej. Foton = kwant pola elektromagnetycznego = czastka ˛ niemal punktowa (rozpatrujemy odległo´sci l du˙zo wi˛eksze ni˙z długo´sc´ λ fali fotonu, l À λ), opisana cz˛esto´scia˛ kołowa˛ ω i 3-wektorem falowym k. T - okres fali,

k=

2π n, λ

λ = cT, ω =

2π . T

n - wektor jednostkowy kierunku ruchu fali (fotonu).

k = |k| =

2π 2π ω ω = = ⇒ k= . λ cT c c

Wprowadzamy 4-wektor falowy monochromatycznej fali płaskiej (fotonu): k α :=

³ω c

´ ,k .

Jest to wektor zerowy:

k α k α = η αβ k α k β =

³ ω ´2 c

− k2 = 0.

Foton jest emitowany z wektorem k α przez gwiazd˛e spoczywajac ˛ a˛ w układzie S i jest 0 obserwowany w IUO S (Ziemia). Układ S orientujemy przestrzennie tak, by foton leciał w płaszczy´znie Ox y. Układ S 0 jest w relacji standardowej do S.

63

y0

y S

0

k

k0

V

S0

α

α0 x0

x

W S: k¡= (k cos α, k sin α, 0). ¢ W S 0 : k0 = k 0 cos α0 , k 0 sin α0 , 0 . Foton jest emitowany w S z wektorem falowym ¡ ¢ ω k α = k 0 , k 1 , k 2 , 0 = (1, cos α, sin α, 0), c ¢ 0¡ w S 0 ma wektor falowy k 0α = ωc 1, cos α0 , sin α0 , 0 . Transformacja wektora: k 0α = L α β k β ,   γ −βγ 0 0  ¡ α ¢  γ 0 0 −βγ L β =  , wi˛ec 0 1 0  0 0 0 0 1 ¢ ω0 ω ω ω¡ = γk 0 − βγk 1 = γ − βγ cos α = γ 1 − β cos α , c c c c 0 ω ω ω k 01 = cos α0 = −βγk 0 + γk 1 = −βγ + γ cos α, c c c ω k 02 = k 2 = sin α, k 03 = 0 = k 3 . c k 00 =

k 00 6= k 0 ⇒ relatywistyczna zmiana cz˛esto´sci: ¡ ¢ ω0 = γ 1 − β cos α ω.

Relatywistyczne zjawisko Dopplera,

β = V /c - pr˛edko´sc´ wzgl˛edna, nie jest wa˙zne, czy porusza si˛e nadajnik czy odbiornik. Zmiana ω zale˙zy od kata ˛ α. Podłu˙zne zjawisko Dopplera: foton biegnie równolegle do pr˛edko´sci wzgl˛ednej V . 1) α = 0 - foton goni odbiornik S 0 ⇒ cos α = +1, s 0

¡ ¢ ω = γ 1−β ω =

64

1−β ω < ω. 1+β

2) α = π - foton biegnie na spotkanie odbiornika ⇒ cos α = −1, s ¡ ¢ ω0 = γ 1 + β ω =

1+β ω > ω. 1−β

Poprzeczne zjawisko Dopplera: foton biegnie prostopadle do pr˛edko´sci V ⇒ α = π2 lub 23 π ⇒ cos α = 0 ⇒ ω0 = γω > ω. Aberracja s´wiatła: zmiana kierunku biegu s´wiatła w skutek zmiany IUO, α0 6= α. k 01 :=

¢ ω0 ω¡ cos α0 = γ −β + cos α ⇒ c c cos α − β . Aberracja s´wiatła. cos α0 = 1 − β cos α

Roczny ruch Ziemi wokół Słonca ´ z chwilowa˛ pr˛edko´scia˛ V ≈ 30 km/s powoduje aberracj˛e gwiazdowa˛ (aberracj˛e astronomiczna): ˛ co 6 miesi˛ecy pr˛edko´sc´ Ziemi zmienia si˛e z V na −V i kat ˛ α0 obserwacji gwiazdy zmienia si˛e. Faktycznie kat ˛ α0 (V ) poło˙zenia obserwowanej gwiazdy zmienia si˛e w sposób ciagły ˛ ⇒ obserwowana gwiazda zakre´sla na niebie mała˛ elips˛e. Rozmiar tej elipsy nie zale˙zy od odległo´sci gwiazdy i jest uniwersalny: zalez˙ y od V /c. Elipsy aberracji nie nale˙zy myli´c z paralaksa˛ gwiazdowa˛ (te˙z elipsa na niebie) − t˛e wida´c tylko dla bliskich gwiazd. Transformacja odwrotna z S 0 do S: zamiana β → −β, tzn. ¡ ¢ ω = γ 1 + β cos α0 ω0 ,

cos α =

cos α0 + β . 1 + β cos α0

¡ ¢2 Przybli˙zenie nierelatywistyczne Vc ≈ 0 ⇒ γ ≈ 1: ¡ ¢ ω0 ≈ 1 − β cos α ω ⇒ nie ma poprzecznego efektu Dopplera: ω0 ≈ ω ¡ ¢¡ ¢ ¡ ¢ dla α = π2 lub 32 π, cos α0 ≈ cos α − β 1 + β cos α ≈ cos α + β cos2 α − 1 = = cos α − β sin2 α ≈ cos α0 . Efekt Dopplera - wielokrotnie potwierdzony do´swiadczalnie (zobacz A. Wróblewski i J. Zakrzewski, Wst˛ep do fizyki, tom 1 rozdział III przypis II).

65

6 Czas własny 6.1 Czas własny Z IUO LAB obserwujemy przyspieszony ruch czastki ˛ pod działaniem jakiej´s siły. k(t ) ct C B A

SA

LAB x, y, z

;

k(t ) - linia s´wiata czastki ˛ sparametryzowana czasem t układu LAB. v(t ) - pr˛edko´sc´ czastki ˛ w LAB. A i B - punkty bliskie na k(t ) ⇒ mi˛edzy A i B czastka ˛ ma prawie stała˛ pr˛edko´sc´ v(t A ) ≡ V A wzgl˛edem LAB. S A - IUO, który wzgl˛edem LAB ma pr˛edko´sc´ V A ⇒ w przedziale od A do B czastka ˛ spoczywa w S A ⇒ S A - chwilowy układ spoczynkowy (chwilowy układ własny) czastki ˛ = układ, który przez krótki czas ∆t = t B − t A ma wzgl˛edem LAB t˛e sama˛ pr˛edko´sc´ co czast˛ ka. W odległym punkcie C czastka ˛ ma pr˛edko´sc´ v(tC ) 6= V A ⇒ inny IUO jest jej chwilowym układem własnym. Przy dowolnym ruchu czastki ˛ w ka˙zdej chwili istnieje taki IUO, w którym czastka ˛ przez krótki czas spoczywa - jest jej układem własnym. Rozpatrujemy interwał czasoprzestrzenny ds od A do B w LAB i w S A . W LAB: · ¸1/2 · ¸ £ 2 2 ¤ 1 dl 2 1 2 1/2 1 2 1/2 ds(A, B ) = c dt − dl = cdt 1 − 2 2 = cdt 1 − 2 V A = cdt . c dt c γ(t A ) W S A: ds(A, B ) = cdt 0 r 0

dt =

1−

- czastka ˛ spoczywa (dl 0 =0). Stad: ˛

1 2 1 v (t A ) dt = dt < dt 2 c γ(t A )

66

- dylatacja czasu,

wyprowadzona bez u˙zycia transformacji Lorentza. dt 0 - czas własny czastki ˛ (zegara) = czas mierzony w chwilowym układzie spoczynkowym zegara = czas fizyczny dobrego zegara. Jednocze´snie: ds - długo´sc´ łuku linii s´wiata czastki ˛ (zegara). ⇒ Interpretacja geometryczna: dt 0 = 1c ds - czas własny (czas fizyczny) zegara jest miara˛ długo´sci jego linii s´wiata. Uto˙zsamiamy: cdt 0 ≡ ds - czas własny mierzymy w jednostkach długo´sci (1 sekunda s´wietlna = 300 000 km). Linia s´wiata zegara jest sparametryzowana czasem t układu LAB: x0 = c t ,

x = x(t ),

v=

dx . dt

Czas własny s zegara mi˛edzy chwilami t 1 i t 2 w LAB: k(t ) tB B

tA A

ˆ

t2

r

1 2 ´ v (t ) dt - zale˙zy od v 2 (t ), nie zale˙zy od przyspieszen. 2 c t1 Ogólnie: niezale˙zno´sc´ czasu własnego od przyspieszenia wynika z jego interpreta´B cji geometrycznej s(A, B ) = A ds - długo´sc´ krzywej to granica długo´sci linii łamanej. Czas własny zegara na krzywej k (doznaje skonczonych ´ przyspieszen) ´ i suma czasów własnych na odcinkach linii łamanej sa˛ równe - je˙zeli przyspieszenia nie psuja˛ mechanizmu zegara. Eksperyment ⇒ zasadna jest s(t 1 , t 2 ) = c

1−

Hipoteza o zegarach: Dla dowolnych warunków fizycznych panujacych ˛ w danym miejscu w czasoprzestrzeni istnieje taki s´ci´sle periodyczny proces fizyczny, z˙ e zegar oparty na tym procesie ma chód niezakłócony przez te warunki, tj. zegar ten idzie tak, jak gdyby był swobodny od zewn˛etrznych oddziaływan ´ i poruszał si˛e jednostajnie prostoliniowo. Taki zegar mierzy czas własny b˛edacy ˛ długo´scia˛ jego linii s´wiata. 67

Przykład. Punktowy zegar porusza si˛e po okr˛egu o promieniu R ze stała˛ pr˛edko´scia˛ katow ˛ a˛ ω ⇒ pr˛edko´sc´ liniowa jest v = ωR = const. W LAB jego trajektoria jest  x = R cos ωt  dr y = R sin ωt ⇒ v = = ωR(− sin ωt , cos ωt , 0),  dt z= 0 2

przyspieszenie a = dv = −ω2 R(cos ωt , sin ωt , 0) ⇒ a = |a| = ω2 R = vR . dt Czas własny jest s(t 1 , t 2 ) = γc (t 2 − t 1 ). Zwi˛ekszamy ω i zmniejszamy R tak, by v = ωR = const ⇒ s nie zmienia si˛e, a → ∞. Eksperyment w CERN w 1966 r. Naładowane elektrycznie czastki ˛ elementarne miony µ (nale˙za˛ do grupy leptonów) sa˛ nietrwałe i przeci˛etny czas z˙ ycia µ w spoczynku jest τ = 2.2 · 10−6 s. W sposób naturalny miony powstaja˛ w górnych warstwach atmosfery w wyniku uderzenia ultrarelatywistycznego protonu przybywajacego ˛ z odległego z´ ródła w jadro ˛ atomu tlenu lub azotu. Cz˛es´ci rozbitego jadra ˛ uderzaja˛ w inne jadra ˛ i je rozbijaja, ˛ a te cz˛es´ci rozbijaja˛ kolejne jadra ˛ i powstaje wielki p˛ek atmosferyczny, który dolatujac ˛ do powierzchni Ziemi liczy wiele tysi˛ecy czastek. ˛ Miony odkryto w p˛ekach atmosferycznych. Miony powstaja˛ na wysoko´sci ponad 10 km i gdyby nie było dylatacji czasu, to lecac ˛ z pr˛edko´scia˛ v ≈ c rozpadłyby si˛e po przebyciu drogi 600 m. Dylatacja czasu ⇒ czas z˙ ycia µ w ruchu jednostajnym prostoliniowym z pr˛edko´scia˛ v mierzony w LAB: ∆t = γτ - dzi˛eki temu miony z p˛eków atmosferycznych (czynnik Lorentza γ ≈ 20) dolatuja˛ do powierzchni Ziemi. W eksperymencie w CERN miony poruszały si˛e w polu magnetycznym po okr˛egu z relatywistyczna˛ pr˛edko´scia. ˛ Celem eksperymentu było sprawdzenie, czy przyspieszenie dos´rodkowe zmienia czas z˙ ycia mionów. Wynik: promien ´ okr˛egu R = 2.5 m, v = const, γ = −2 12.1, g = 9.8 ms - przyspieszenie ziemskie, ∆t (teoria) = 12.1 · 2.2 · 10−6 s = 26.6 · 10−6 s, ∆t (eksperyment) = 26.15 · 10−6 s - odchylenie od teorii < 2% 2

Przyspieszenie mionów w LAB: a ≈ 2.5c m ≈ 3.6 · 1015 g , przyspieszenie mionów w ich układzie własnym w = γ2 a ≈ 5.3 · 1017 g

¾ ⇒

⇒ takie przyspieszenie nie psuje wewn˛etrznego zegara kwantowego mionów. Czas własny = długo´sc´ linii s´wiata ciała materialnego, czyli wielko´sc´ geometryczna - parametr skalarny, niezale˙zny od wyboru IUO.

68

s - naturalny parametr do parametryzowania linii s´wiata czastek ˛ zm>0 (nie fotonów): x α = x α (s). Przykład. Ruch jednostajny po okr˛egu z pr˛edko´scia˛ ω = const: v = ωR ⇒ ³ ´ ´tq 2 2 −1/2 2 2 γ = const ⇒ t = c s. s(t ) = c 0 1 − ωc R2 dt = γc t , γ = 1 − ωc R2 Parametryczne równanie linii s´wiata w LAB:  x 0 = γs,  ¡ ¢ x 1 = R cos¡ωt =¢R cos ωc γs ,  x 2 = R sin ωc γs , x 3 = 0.

6.2 Paradoks bli´zniat ˛ Einstein 1905: "Je˙zeli w punkcie A znajduja˛ si˛e dwa zsynchronizowane zegary, a nast˛epnie jeden z nich porusza si˛e wzdłu˙z dowolnej linii zamkni˛etej ze stała˛ pr˛edko´scia, ˛ a˙z powróci do A, co wymaga t sekund, to po powrocie zegar ten b˛ e dzie si˛ e pó´ z nił w stosunku do zegara, który ¡ ¢ 1 v 2 pozostał w spoczynku, o 2 c t ." Paul Langevin 1911: paradoks zegarów = paradoks bli´zniat. ˛ Bli´zniak-astronauta jest młodszy od bli´zniaka nieruchomego. Paradoks bli´zniat ˛ nie wynika z procedury synchronizacji (wyznaczanie zdarzen ´ równoczesnych dla bli´zniaków) - licza˛ si˛e tylko przedziały czasu mierzone przez bli´zni˛eta. Poprawne wyja´snienie - opis geometryczny: paradoks jest ilustracja˛ tezy - fizyczny wiek bli´zniaka = długo´sc´ jego linii s´wiata. ct Q kA

kB

P x, y, z Bli´zniacy A i B rozchodza˛ si˛e w P , ich linie s´wiata sa˛ k A i k B i ponownie spotykaja˛ w Q.

69

Fizyczny czas bli´zniaka A prze˙zyty mi˛edzy P i Q:

ˆ sA =

ds, kA

czas prze˙zyty przez B mi˛edzy P i Q:

ˆ sB =

ds. kB

Krzywe k A i k B sa˛ ró˙zne ⇒ s A 6= s B na ogół. Geometrycznie nie ma paradoksu - jak z podró˙zowaniem w E3 . Jest tu pewna subtelno´sc´ - o niej dalej. Eksperyment makroskopowy J. C. Hafele and R. E. Keating, Science 177 (1972) 166. Porównujemy wskazania 3 zegarów: - zegar odniesienia spoczywa na Ziemi na równiku, - jeden zegar ruchomy leci nad równikiem zgodnie z obrotem Ziemi - na wschód z pr˛edko´scia˛ v E = +v 0 , - drugi zegar ruchomy leci nad równikiem na zachód z pr˛edko´scia˛ v W = −v 0 .

Linie s´wiata obu zegarów rysuje si˛e w IUO, w którym s´rodek Ziemi spoczywa. ω - pr˛edko´sc´ katowa ˛ obrotu Ziemi, R - promien ´ ziemi, ωR - pr˛edko´sc´ obrotu na równiku. W układzie własnym s´rodka Ziemi zegar lecacy ˛ na wschód ma pr˛edko´sc´ VE = v 0 + ωR, zegar lecacy ˛ na zachód ma pr˛edko´sc´ VW = −v 0 + ωR. VW < VE ⇒ sW > s E . Oba zegary okra˙ ˛zaja˛ Ziemi˛e w tym samym czasie mierzonym przez zegar odniesienia i wracaja˛ do niego. 70

s 0 - czas własny przelotu zmierzony przez zegar odniesienia, s E , sW - czasy własne przelotu mierzone przez zegary ruchome. s 0 , s E , sW - wszystkie ró˙zne. c∆t - czas przelotu zegarów zmierzony przez zegar fikcyjny znajdujacy ˛ si˛e w układzie własnym s´rodka Ziemi. Zegar odniesienia ma wzgl˛edem zegara fikcyjnego pr˛edko´sc´ ωR ⇒ q ³ ´ ¡ ωR ¢2 2 2 c∆t ≈ 1 − ω2cR2 c∆t . Podobnie: ⇒ s0 = 1 − c ¶ ¶ µ µ q q 2 VE2 VW 1 2 1 2 s E = 1 − c 2 VE c∆t ≈ 1 − 2c 2 c∆t , sW = 1 − c 2 VW c∆t ≈ 1 − 2c 2 c∆t i h v0 ⇒ sW − s 0 ≈ c∆t 2c12 ω2 R 2 − 2c12 (ωR − v 0 )2 = 2c (2ωR − v 0 )∆t , v0 s E − s 0 ≈ − 2c (2ωR + v 0 )∆t . Nieznany czas ∆t eliminujemy za pomoca˛ s 0 : µ ¶ 1 ω2 R 2 ∆t ≈ 1 + s0 . c 2c 2

Ró˙znice sW − s 0 i s E − s 0 wyliczamy z dokładno´scia˛ do wyrazów rz˛edu

1 : c2

µ ¶ v0 1 ω2 R 2 v0 sW − s 0 ≈ (2ωR − v 0 ) · 1 + s 0 ≈ 2 (2ωR − v 0 )s 0 , 2 2c c 2c 2c v0 s E − s 0 ≈ − 2 (2ωR + v 0 )s 0 . 2c Aby wyeliminowa´c wpływ ziemskiego pola grawitacyjnego na te trzy zegary, rozpatrujemy tylko ró˙znic˛e sW − s E ≡ sW − s 0 − (s E − s 0 ) =

2ωR v 0 s0 . c2

W przybli˙zeniu s 0 ≈ 2πR v0 c ⇒ sW − s E ≈

4π ωR 2 c

- nie zale˙zy od v 0 .

Dla Ziemi: ω = 2π , T = 86 400 sek, R = 6 378 km. T Stad: ˛ 1c (sW − s E ) ≈ 410 · 10−9 s. Pa´zdziernik 1971: Hafele i Keating przewie´zli cztery zegary atomowe (cezowe) samolotami pasa˙zerskimi na wysoko´sci ≈ 10 km nad Ziemia, ˛ raz na wschód, raz na zachód. Loty nie były dokładnie nad równikiem - trasy lotów pasa˙zerskich. Wyniki pomiarów - dobrze zgodne z STW. Zegar lecacy ˛ na wschód porusza si˛e szybciej wzgl˛edem zegara fikcyjnego ni˙z zegar lecacy ˛ na zachód ⇒ odmierza krótszy czas przelotu, sW > s E . 71

6.3 Nierówno´sc´ trójkata ˛ Paradoks bli´zniat: ˛ paradoksalne jest to, z˙ e bli´zniak-astronauta, którego linia s´wiata jest zakrzywiona, ma mniejszy czas własny ni˙z bli´zniak pozostajacy ˛ w układzie inercjalnym. Geometria euklidesowa: linia prosta łacz ˛ aca ˛ dwa punkty jest najkrótsza. Wynika to z nien równo´sci trójkata ˛ wE : C

A

B

AB + BC > AC . STW: fizyczna czasoprzestrzen ´ ma geometri˛e Minkowskiego ⇒ linia czasowa prosta ła˛ czaca ˛ dwa punkty jest najdłu˙zsza ze wszystkich krzywych mi˛edzy tymi punktami. Jest to konsekwencja˛ odwróconej nierówno´sci trójkata. ˛ α α α Wyprowadzamy ja˛ biorac ˛ u , v , w - trzy wektory czasowe skierowane w przyszło´sc´ : u 0 , v 0 i w 0 > 0. vα b wα uα c a

Niech w α = u α + v α , ich długo´sci: u α uα = a 2 ,

v α vα = b2,

w αwα = c 2

(c to nie pr˛edko´sc´ s´wiatła).

Układ współrz˛ednych dobieramy tak, z˙ e u α ma tylko składowa˛ u 0 (jest styczny do linii czasu ;x 0 pewnego IUO), u α = (a, 0, 0, 0), ∗

72

a > 0.

¡ ¢ Wektor v α = v 0 , v , v2 > 0 - bo v α nie jest proporcjonalny do u α . ¡ ¢2 ¡ ¢2 v α v α = v 0 − v2 = b 2 ⇒ v 0 = b 2 + v2 ⇒ v 0 > b > 0. Długo´sc´ wektora w α : ¡ ¢ ∗ w α w α = c 2 = u α + v α (u α + v α ) = u α u α + 2u α v α + v α v α = a 2 + 2av 0 + b 2 = = a 2 + b 2 + 2av 0 . v 0 > b ⇒ c 2 > a 2 + b 2 + 2ab = (a + b)2 ⇒ odwrócona nierówno´sc´ trójkata ˛ w M4 : c > a + b. Je˙zeli wektory u α i v α sa˛ czasowe i skierowane w przeszło´sc´ (u 0 , v 0 < 0), to równie˙z wektor w α = u α + v α jest czasowy i skierowany w przeszło´sc´ i równie˙z c > a + b. Odwrócona nierówno´sc´ trójkata ˛ jest słuszna tylko dla wektorów czasowych, które sa˛ wszystkie skierowane w przyszło´sc´ , lub wszystkie skierowane w przeszło´sc´ . Je˙zeli u α i v α - czasowe, u 0 > 0, v 0 < 0, to w α = u α + v α mo˙zne by´c czasowy, przestrzenny lub zerowy ⇒ na ogół nie ma relacji typu nierówno´sci trójkata. ˛ Przykład. (2, 1, 0, 0) + (−2, 0, 0, 0) = (0, 1, 0, 0) - przestrzenny, ich długo´sci p a = 3, b = 2, w α w α = −1. Porównujemy długo´sci krzywych czasowych.

Q k1

k0

P Q - le˙zy w przyszło´sci punktu P = znajduje si˛e wewnatrz ˛ sto˙zka s´wietlnego przyszłos´ci punktu P . k 0 - czasowa linia prosta łacz ˛ aca ˛ P z Q, k 1 - dowolna linia czasowa (ró˙zna od k 0 ) od P do Q. 73

Q

C k0 k1 B

A

P Krzywa˛ k 1 rozkładamy na łuki, na ka˙zdym łuku budujemy trójkat ˛ z wektorów czasowych skierowanych w przyszło´sc´ . Z odwróconej nierówno´sci trójkata: ˛ P B > P A + AB i BQ > BC +CQ - długo´sc´ ci˛eciwy ka˙zdego łuku jest wi˛eksza od długo´sci tego łuku. Stad: ˛ długo´sc´ prostej k 0 od P do Q jest wi˛eksza od długo´sci krzywej k 1 . (Dowód geometryczny jest silnie uproszczony - zało˙zenie, z˙ e k 0 i k 1 le˙za˛ na jednej płaszczy´znie M2 .) Inaczej: prosta czasowa k 0 jest najdłu˙zsza˛ krzywa˛ mi˛edzy P i Q. Dowód analityczny. Wprowadzamy IUO, w którym prosta czasowa k 0 jest osia˛ czasu, wtedy punkty P i Q maja˛ współrz˛edne P (t P , 0), Q(tQ , 0). Długo´sc´ k 0 :

ˆ

ˆ

tQ

s(k 0 ) =

tQ

¡ ¢ cdt = c tQ − t P .

ds = tP

tP

Zakrzywiona linia czasowa k 1 jest sparametryzowana czasem t : dx , jej długo´sc´ : x = x(t ), v(t ) = dt ˆ tQ ˆ tQ r ¡ ¢ 1 s(k 1 ) = ds = 1 − 2 v2 (t )c dt < c tQ − t P dla v 6= 0. c tP tP x0 = c t ,

74

QED Nie ma najkrótszej linii czasowej od P do Q: kres dolny długo´sci krzywych jest zero. Q

M2

R

P Na płaszczy´znie M2 punkty P i Q mo˙zna połaczy´ ˛ c dwoma odcinkami linii zerowych: P R - odcinek na sto˙zku s´wietlnym (linia s´wiata fotonu wyemitowanego z P ), s(P R) = 0, RQ - odcinek na sto˙zku s´wietlnym wystawionym w R, s(RQ) = 0 ⇒ najkrótsza linia ła˛ czaca ˛ punkt P z Q to linia zerowa zło˙zona z dwóch odcinków, jej długo´sc´ jest s(P R) + s(RQ) = 0. Cienka krzywa (ruch przyspieszony) - jest czasowa i jej długo´sc´ jest dowolnie bliska 0.

75

7 Wektorowa przestrzen ´ Minkowskiego 7.1 Wektorowa przestrzen ´ Minkowskiego Nale˙zy odró˙znia´c czasoprzestrzen ´ Minkowskiego czyli przestrzen ´ afiniczna, ˛ b˛edac ˛ a˛ matematycznym modelem fizycznej czasoprzestrzeni, od wektorowej przestrzeni Minkowskiego, która˛ zdefiniujemy najpierw. V4 = {v} - rzeczywista przestrzen ´ wektorowa o wymiarze dimV4 = 4. v - wektory o fizycznym wymiarze długo´sci ⇒ moga˛ by´c uto˙zsamiane z odcinkami skierowanymi łacz ˛ acymi ˛ dwa punkty w czasoprzestrzeni. Je˙zeli v maja˛ inny wymiar fizyczny, np. masa × pr˛edko´sc´ , to tworza˛ przestrzen ´ p˛edów. Definicja 7.1. ¡ ¢ Wektorowa przestrzen ´ Minkowskiego to para V4 , η µν zło˙zona z przestrzeni V4 , w której zadany ¡ jest ¢ iloczyn skalarny wektorów za pomoca˛ tensora metrycznego Minkowskiego G = η µν . (Definicja niekompletna, uzupełnimy ja˛ dalej.) Iloczyn skalarny: odwzorowanie pary wektorów u, v ∈ V4 w liczb˛e rzeczywista˛ u · v ≡ 〈u|v〉 ∈ R o własno´sciach: ¯ ® ­ 1) αu + βv ¯w = α 〈u|w〉 + β 〈v|w〉 dla α, β ∈ R - liniowo´sc´ , 2) 〈u|v〉 = 〈v|u〉 - symetryczno´sc´ , 3) je˙zeli ∀v ∈ V4 jest 〈v|u〉 = 0 to u = 0 - iloczyn jest nieosobliwy, 4) 〈v|v〉 ∈ R - iloczyn jest indefinitny. 1) i 2) ⇒ iloczyn skalarny jest biliniowy. Iloczyn skalarny konstruujemy konkretnie za pomoca˛ specyficznej bazy ortogonalnej Postulat: w V4 istnieje baza quasi-ortonormalna (tetrada, reper) {e α } = {e 0 , e 1 , e 2 , e 3 } (α - numer wektora, nie indeks) z iloczynem skalarnym ­ ¯ ® e α ¯e β ≡ e α · e β := η αβ - tetrada Minkowskiego.   1 0 0 0  ¡ ¢  0 0 −1 0 G = η αβ =   0 0 −1 0  0 0 0 −1

– macierz Grama (elementy sa˛ iloczynami skalarnymi).

76

¢ ¡ G −1 = ηαβ - macierz odwrotna, jest matematycznie identyczna z G. Dowolny wektor: v = v αeα, v α - składowe kontrawariantne wektora {e α }. ¢ ¡ 0 Minkowskiego ¢ ¡ v0 w itetradzie α (v ) = v , v = v , v . Składowe v α wektora w bazie Minkowskiego sa˛ równe: e 0 · v = e 0 · v α e α = v α η 0α = v 0 , e i · v = e i · v α e α = v α η i α = v j η i j = −v i , czyli v 0 = e 0 · v,

v i = −e i · v = −v i .

Iloczyn skalarny e za pomoca˛ składowych w tetradzie Minkowskiego: ¡ βwyra˙ ¢ za si˛ α β α u · v = (u e α ) · v e β = u v η αβ , u · v = η αβ u α v β = u 0 v 0 − u · v = u α v α = u α v α = ηαβ u α v β . ¡ ¢ Baz Minkowskiego w V4 , η µν jest nieskonczenie ´ wiele. Liniowa transformacja bazy: 0 eα = T β α e β - wektory nowej bazy sa˛ liniowa˛ kombinacja˛ wektorów starej bazy, ¡ ¢ 0 det T α β 6= 0, aby transformacja była odwracalna, za´s warunek, by nowa baza {e α } te˙z

była tetrada˛ Minkowskiego wymaga, by T µ α η µν T ν β = η αβ . Jak zobaczymy dalej, warunek ten okre´sla ogólna˛ transformacj˛e Lorentza. Definicja © 7.2. ª © 0ª Tetrady e α i e α maja: ˛ – t˛e sama˛ (zgodna) ˛ orientacj˛e, je˙zeli det T > 0.

– przeciwna˛ orientacj˛e je˙zeli det T < 0. © ª W E3 baza ortonormalna ex , e y , ez jest albo prawoskr˛etna albo lewoskr˛etna. W wymiarze dim > 4 nie mo˙zna okre´sli´c skr˛etno´sci, wprowadza si˛e orientacj˛e baz. Orientacji baz nie mo˙zna zdefiniowa´c absolutnie, jak skr˛etno´sci w E3 , mo˙zna tylko mówi´c o wzgl˛ednej orientacji dwóch baz - okre´sla ja˛ wyznacznik transformacji mi˛edzy nimi. Istotny jest tylko znak det T . Przykład. © ª 1) W E3 baz˛e prawoskr˛etna˛ ex , e y , ez obracamy o kat ˛ φ wokół wektora ez (czyli wokół osi Oz):  e0x = ex cos φ + e y sin φ,  e0y = −ex sin φ + e y cos φ,  e0z = ez , 77

macierz transformacji e0i = T j i e j jest   cos φ − sin φ 0 ³ ´ T j i =  sin φ cos φ 0. 0 0 1 ¡ ¢ Nowa baza jest te˙z prawoskr˛etna i det T j i = +1. © ª © ª 2) W bazie prawoskr˛etnej ex , e y , ez w E3 zamieniamy ez na −ez ⇒ baza ex , e y , −ez jest lewoskr˛etna. Transformacja ma macierz ³

T ji

´

  1 0 0 = 0 1 0  i 0 0 −1

³ ´ det T j i = −1.

Twierdzenie 7.1. Relacja zgodno´sci orientacji baz jest relacja˛ równowa˙zno´sci. Dowód. Zwrotno´sc´ i symetryczno´sc´ sa˛ oczywiste. Dowodz˛e przechodnio´sci zgodno´sci orientacji. Niech {e α } i {e β0 } maja˛ t˛e sama˛ orientacj˛e, e β0 = T α β e α , det T > 0, oraz niech {e β0 } i {e γ00 } maja˛ t˛e sama˛ orientacj˛e, e γ00 = U β γ e β0 , e γ00

β

α

α

β

detU > 0.

α

Wtedy = U γ T β e α = (T βU γ )e α = (T U ) γ e α oraz wyznacznik det(T U ) = det T · detU > 0 ⇒ tetrady {e α } i {e γ00 } maja˛ zgodna˛ orientacj˛e. ¡ ¢ ˛ Wniosek: wszystkie tetrady Minkowskiego w V4 , η µν nale˙za˛ do dwóch rozłacznych klas równowa˙zno´sci. Definicja 7.3. ¡ ¢ Orientacja˛ wektorowej przestrzeni Minkowskiego V4 , η µν nazywamy wybrana˛ orientacj˛e jednej z tych dwóch klas równowa˙zno´sci. Tetrady nale˙zace ˛ do wybranej klasy nazywamy wła´sciwymi (proper), tetrady z drugiej klasy - niewła´sciwymi (improper). ¡ ¢ Rozpatrujemy przestrze n ´ V , η zorientowana˛ i wła´sciwe tetrady Minkowskiego. 4 µν ¡ ¢ Wektor v ∈ V4 , η µν jest: – czasowy, je˙zeli v · v > 0, – przestrzenny, je˙zeli v · v < 0, – zerowy, je˙zeli v · v = 0 i v 6= 0.

78

Definicja 7.4. Wektor v 6= 0 czasowy lub zerowy nazywamy kauzalnym. W tetradzie ¡ ¢2 Minkowskiego: v · v > 0 ⇒ v 0 > v2 . Twierdzenie 7.2. Je˙zeli u i v sa˛ dwoma dowolnymi wektorami kauzalnymi, które nie sa˛ jednocze´snie zerowe i równoległe (wykluczamy przypadek v = αu i u·u = 0), to ich iloczyn skalarny ma ten sam znak, co iloczyn u 0 v 0 , tzn. ¡ ¢ sgn (u · v) = sgn u 0 v 0 . ¯ ¯ ¡ ¢ ¡ ¢ ¯ ¯ Dowód. Mamy u α = u 0 , u , v α = v 0 , v i ¯u 0 ¯ > |u| ≡ u, ¯v 0 ¯ > |v| ≡ v oraz u · v = uv cos θ 6 uv, θ - kat ˛ mi˛edzy u i v. Stad ˛ ¯ 0 0¯ ¯u v ¯ > uv > |u · v|.

(6)

Musi by´c: u 0 6= 0 i v 0 6= 0. Je˙zeli u 0 = 0, to u = 0 ⇒ u α = (0, 0) - wykluczamy, podobnie z v 0 = 0. Sa˛ tu dwie mo˙zliwo´sci: ¯ 0¯ α ¯u ¯ > u. 1) Przynajmniej jeden wektor jest czasowy. Niech u czasowy ⇒ ¯ 0 0¯ ¯ 0 0¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Wtedy u v > uv i (6) ⇒ u v > |u · v| . – Niech u 0 v 0 > 0. Wtedy ¡ ¢ u α v α = u 0 v 0 − u · v > 0 ⇒ sgn (u α v α ) = +1 = sgn u 0 v 0 . – Niech u 0 v 0 < 0. ¯ ¯ ¯ ¡¯ ¢ u α v α = u 0 v 0 − u · v 6 u 0 v 0 +¡ |u · v|¢= −¯u 0 v 0 ¯ + |u · v| = − ¯u 0 v 0 ¯ − |u · v| < 0, wi˛ec sgn (u α v α ) = −1 = sgn u 0 v 0 . α α 2) Oba wektory ¯ 0 0 ¯ sa˛ zerowe, u u α = v v α = 0. (6) ⇒ ¯u v ¯ = uv > |u · v|. (*)

– 3-wektory u¯ i v nie sa˛ równoległe: θ 6= 0, π ⇒ uv > |u · v|. ¯ (*) ⇒ ¯u 0 v 0 ¯ > |u · v| - dalej dowód biegnie jak w punkcie 1). ¡ ¢ ¯ ¯ – Niech v = au, a 6= 0. v α = v 0 , au , ¯v 0 ¯ = |a|u i z zało˙zenia v α 6= au α ⇒ v 0 = −au 0 . Iloczyn skalarny ¡ ¢2 2 u α v α = u 0 v 0 − u · v = −a u 0 − au2 = −2au ⇒ ¡ ¢ ⇒ sgn (u α v α ) = sgn (−a) = − sgn a i sgn u 0 v 0 = sgn (−a).

79

Wniosek: dwa wektory kauzalne nie moga˛ by´c do siebie ortogonalne, chyba z˙ e sa˛ zerowe i równoległe: ¡

¢ ¡ ¢ u α v α = 0 ⇐⇒ v α = au α , a 6= 0 i u α u α = 0 .

W wektorowej przestrzeni Minkowskiego mamy orientacj˛e wzgl˛edna˛ tetrad {e α }. Rozpatrujemy tetrady wła´sciwe. Je˙zeli {e α } jest wła´sciwa, to tetrada {−e α } te˙z jest wła´sciwa, bo macierz odwzorowania T β α = −δβ α i det T = +1 ⇒ klasa tetrad wła´sciwych zawiera wektory czasowe przeciwnie skierowane: e 0 i −e 0 . Wprowadzamy orientacj˛e czasowa˛ przestrzeni. Definicja 7.5. ¡ ¢ Orientacja˛ czasowa˛ wektorowej przestrzeni Minkowskiego V4 , η µν nazywamy wybór wektora e 0 wła´sciwej tetrady Minkowskiego. Wybrany wektor e 0 jest z definicji skierowany w przyszło´sc´ . Tetrada {e©α } zawieraj aca ˛ e 0 skierowany w przyszło´sc´ – tetrada ortochroniczna. Tetrada ª 0 wła´sciwa e α jest ortochroniczna, je˙zeli e 00 · e 0 > 0. Rozpatrujemy tylko tetrady ortochroniczne. Wszystkie wektory kauzalne rozdzielaja˛ si˛e na dwie rozłaczne ˛ klasy wzgl˛edem dowolnej tetrady ortochronicznej Minkowskiego: © ª © ª F := v : v 0 > 0 i P := v : v 0 < 0 . (Musi by´c v 0 6= 0.) Z definicji: wybrany wektor zadajacy ˛ orientacj˛e czasowa˛ e 0 ∈ F . Klasa F – wektory kauzalne skierowane w przyszło´sc´ , klasa P – wektory skierowane w przeszło´sc´ . Własno´sci: 1) je˙zeli v ∈ F , to −v ∈ P , 2) je˙zeli u, v ∈ F lub u, v ∈ P ⇒ u · v > 0, 3) je˙zeli u ∈ F i v ∈ P ⇒ u · v < 0. Dowód ⇐ twierdzenie o sgn (u · v). Teraz kompletujemy definicj˛e wektorowej przestrzeni Minkowskiego. Definicja 7.6. ¡ ¢ Wektorowa˛ przestrzenia˛ Minkowskiego nazywamy par˛ e V , η , gdzie V4 jest rzeczy4 µν ¡ ¢ wista˛ przestrzenia˛ wektorowa˛ o dim = 4, a G = η µν jest macierza˛ metryki Minkowskiego, wyznaczajac ˛ a˛ iloczyn skalarny w V4 oraz przestrzen ´ V4 ma zadana˛ orientacj˛e baz quasiortonormalnych i jest zorientowana czasowo. 80

Czyli: w V4 okre´slona jest wybrana klasa wła´sciwych tetrad Minkowskiego {e α } z iloczynem skalarnym e α · e β = η αβ , które sa˛ ortochroniczne: w ka˙zdej tetradzie wektor czasowy e 0 jest skierowany w przyszło´sc´ . W tetradzie ortochronicznej wektor kauzalny v jest skierowany w przyszło´sc´ wtedy i tylko wtedy gdy v 0 > 0. W ka˙zdej tetradzie ortochronicznej {e α } wektory przestrzenne e i rozpinaja˛ 3-wymiarowa˛ hiperpłaszczyzn˛e, czyli podprzestrzen ´ liniowa, ˛ która˛ nazywamy przestrzenia˛ równoczesno´sci z 4-wektorem 0. Ta hiperpłaszczyzna wyznaczy potem przestrzen ´ zdarzen ´ równoczesnych w fizyce czasoprzestrzeni.¡ ¢ Orientacja tetrad i orientacja czasowa V4 , η µν okre´slaja˛ skr˛etno´sc´ przestrzeni równoczesno´sci z wektorem 0: je˙zeli tetrada {e α } jest wła´sciwa i ortochroniczna, to wektory przestrzenne e 1 , e 2 i e 3 uto˙zsamiamy z 3-wektorami e1 , e2 , e3 le˙zacymi ˛ w tej hiperpłaszczy´znie i przyjmujemy, z˙ e e1 , e2 i e3 sa˛ ustawione w takiej kolejno´sci, z˙ e tworza˛ trójk˛e prawoskr˛etna. ˛

7.2 Podprzestrzenie wektorowej przestrzeni Minkowskiego W euklidesowej przestrzeni wektorowej wszystkie podprzestrzenie tego samego wy¡ ¢ miaru maja˛ te same ¡ wła´sciwo´ ¢ sci. W V4 , η µν sa˛ trzy ró˙zne typy podprzestrzeni liniowych. Niech H ⊂ V4 , η µν – podprzestrzen ´ liniowa wła´sciwa = hiperpłaszczyzna wymiaru 6 3. Hiperpłaszczyzna (zawierajaca ˛ wektor 0) 3-wymiarowa jest okre´slona przez ustalony wektor n α ortogonalny do niej: H = {v : n · v = 0}. Definicja 7.7. H ≡ S 3 jest przestrzenna, je˙zeli n · n > 0 – wektor czasowy, H ≡ T3 jest czasowa, je˙zeli n · n < 0 – wektor przestrzenny, H ≡ N3 jest zerowa, je˙zeli n · n = 0 – wektor zerowy. Przykłady. ©¡ ¢ª Czasoprzestrzen ´ Minkowskiego M4 = c t , x, y, z traktujemy jak przestrzen ´ wektorowa˛ zbudowana˛ z wektorów – odcinków skierowanych o składowych x α . ©¡ ¢ª 1) Hiperpłaszczyzna S 3 = 0, x, y, z jest przestrzenna, bo wektor (1, 0, 0, 0) jest ortogonalny do ka˙zdego jej wektora ⇒ fizyczna 3-przestrzen ´ jest hiperpłaszczyzna˛ przestrzenna. ˛ ©¡ ¢ª 2) 3-wymiarowa czasoprzestrzen ´ Minkowskiego M3 = c t , x, y, 0 jest hiperpłaszczyzna˛ czasowa, ˛ bo ortogonalny do niej jest wektor przestrzenny (0, 0, 0, 1). 81

3) Hiperpłaszczyzna N3 = (1, 1, 0, 0).

©¡

c t , c t , y, z

¢ª

jest zerowa, bo ortogonalny do niej jest wektor

Te przykłady sugeruja˛ Twierdzenie 7.3. 1) S 3 składa si˛e tylko z wektorów przestrzennych, 2) T3 składa si˛e z wektorów czasowych, przestrzennych i zerowych, 3) N3 składa si˛e z wektorów zerowych proporcjonalnych do n, an, a 6= 0 oraz z wektorów przestrzennych. Dowód. 1) Wektor czasowy n nie mo˙ze by´c ortogonalny do wektorów kauzalnych ⇒ S 3 nie zawiera wektorów czasowych i zerowych. 2) Wybieramy tetrad˛e tak, by n µ = (0, 0, 0, a), a 6=¡0. ¢ v ∈ T3 ⇒ n α v α = η µν n µ v ν = −av 3 = 0 ⇒ v µ = v 0 , v 1 , v 2 , 0 – to sa˛ wektory czasowe, np. (1, 0, 0, 0), przestrzenne, np. (0, 0, 1, 0) i zerowe, np. (1, 1, 0, 0). 3) Zerowy n α nie mo˙ze by´c ortogonalny do wektora czasowego ⇒ N3 zawiera wektory przestrzenne i zerowe postaci k α = an α . Wektor zerowy jest ortogonalny do hiperpłaszczyzny N3 i jednocze´snie le˙zy na niej. Trójwymiarowa podprzestrzen ´ zerowa jest rozpi˛eta na ortogonalnym do niej wektorze zerowym n i dwóch wektorach przestrzennych liniowo niezale˙znych p i q, © ª N3 = c 1 n + c 2 p + c 3 q , n · n = 0, n · p = n · q = 0, p · p < 0, q · q < 0, c 1 , c 2 , c 3 ∈ R. Przestrzenna S 3 jest rozpi˛eta na trzech liniowo niezale˙znych wektorach przestrzennych©p, q, r , ª S 3 = c 1 p + c 2 q + c 3 r – wektory p, q i r musza˛ by´c wzajemnie ortogonalne. Kontrprzykład: p = (1, 2, 0, 0), q = (0, 2, 0, 0), r = (0, 0, 0, 1) – przestrzenne i liniowo niezale˙zne, p − q = (1, 0, 0, 0) – czasowy ⇒ hiperpłaszczyzna H jest czasowa. 7.2.1 Podprzestrzenie liniowe wymiaru 2 i 1 Czy istnieja˛ podprzestrzenie liniowe wymiaru 2 zło˙zone z wektorów jednego typu? Istnieje przestrzenna S 2 rozpi˛eta na dwóch wektorach tetrady Minkowskiego, np. S 2 = {c 1 e 1 + c 2 e 2 }. Twierdzenie 7.4. Podprzestrzenie liniowe zbudowane tylko z wektorów czasowych lub tylko zerowych maja˛ wymiar 1. 82

Dowód. 1) Niech H – 2-wymiarowa podprzestrzen ´ liniowa zawierajaca ˛ liniowo nieza0 0 le˙zne wektory czasowe u i v. ⇒ u 6= 0 i v 6= 0. Tworz˛e wektor µ ¶ 0 ¶ µ u0 α ¡ 0 ¢ u0 0 u p := u − 0 v = u , u − u , 0 v = 0, u − 0 v v v v α

α

– wektor przestrzenny, nale˙zacy ˛ do H ⇒ 2-wymiarowa przestrzen ´ H zawierajaca ˛ ˙ wektory czasowe musi zawiera´c wektory przestrzenne. Mo˙zna dowie´sc´ , ze zawiera te˙z wektory zerowe. 2) Niech podprzestrzen ´ N b˛edzie rozpi˛eta na dwóch liniowo niezale˙znych wektorach zerowych k i l : N = {c 1 k + c 2 l }, k · k = l · l = 0. Wektory te, jako kauzalne i liniowo niezale˙zne, nie moga˛ by´c ortogonalne. Dobieramy je tak, by k · l > 0. Badamy wektor k + l : (k + l ) · (k + l ) = k · k + k · l + l · k + l · l = 2k · l > 0 – wektor czasowy. Z kolei (k − l ) · (k − l ) = −2k · l < 0 – wektor przestrzenny. Stad: ˛ płaszczyzna N zawiera wektory zerowe, czasowe i przestrzenne ⇒ jest podprzestrzenia˛ czasowa. ˛ W wymiarze 1 mamy podprzestrzenie: T1 = {cv : v · v > 0 i c ∈ R} – podprzestrzen ´ czysto czasowa, N1 = {ck : k · k = 0 i c ∈ R} – podprzestrzen ´ czysto zerowa (promien ´ s´wietlny).

83

8 Czasoprzestrzen ´ Minkowskiego 8.1 Czasoprzestrzen ´ Minkowskiego Według STW fizyczna˛ czasoprzestrzenia˛ jest afiniczna przestrzen ´ Minkowskiego, zwana czasoprzestrzenia˛ Minkowskiego. Definicja 8.1. Afiniczna przestrze ´ Minkowskiego ´ Minkowskiego) M4 jest to zespół ¡ ¢ n ¡ ¢ (czasoprzestrzen M4 = E , V4 , η µν , gdzie V4 , η µν jest wektorowa˛ przestrzenia˛ Minkowskiego © ª (z zadana˛ orientacja˛ baz quasi-ortogonalnych i jest zorientowana czasowo), a E = p jest zbiorem punktów (zdarzen ´ elementarnych). ¡ ¢ E – przestrzen ´ bazowa, V4 , η µν – stowarzyszona z E przestrzen ´ wektorowa, która działa w E jak przemienna grupa przesuni˛ec´ równoległych: ∀p, q ∈ E istnieje jednoznaczny wektor v ∈ V4 , taki z˙ e q = p + v ⇒ v = q − p – odcinek skierowany Baza˛ (reperem) w M4 nazywamy zespół (θ, {e α }), gdzie: θ ∈ E – punkt bazowy, dowolnie wybrany punkt słu˙zacy ˛ jako poczatek ˛ czasoprzestrzennego układu współrz˛ednych w E (na diagramie Minkowskiego oznaczany ;), {e α } – włas´ciwa ortochroniczna tetrada Minkowskiego. Dowolny punkt p ∈ E ma jednoznaczne przedstawienie w bazie (θ, {e α }): ¡ ¢ ¡ ¢ p = θ + v p = θ + x α p eα. ¡ ¢ x α p – współrz˛edne punktu p w tej bazie. x α (θ) = 0. Teraz mo˙zemy matematycznie okre´sli´c czym jest układ inercjalny. Baza (θ, {e α }) to matematyczna reprezentacja IUO (ze współrz˛ednymi kartezjanski´ mi). e 0 – wektor styczny do osi czasu, czyli do linii s´wiata obserwatora spoczywajacego ˛ w poczatku ˛ O układu inercjalnego reprezentowanego przez baz˛e (θ, {e α }), a wektory e 1 , e 2 , e 3 wyznaczaja˛ w czasoprzestrzeni kierunki osi przestrzennych tego układu. IUO istnieje tylko w czasoprzestrzeni M4 i pełni w niej taka˛ rol˛e, jaka˛ w przestrzeni euklidesowej En pełni układ współrz˛ednych kartezjanskich. ´ To jest definicja IUO, natomiast w fizyce to, czy dany układ odniesienia jest inercjalny, sprawdza si˛e metodami dynamicznymi. ¡ ¢ Przestrzen ´ w M4 – to zbiór S p zdarzen ´ równoczesnych z danym zdarzeniem p wzgl˛edem danej bazy (θ, {e α }), czyli zdarzen ´ równoczesnych w IUO reprezentowanym przez t˛e baz˛e. Jest to hiperpłaszczyzna przestrzenna w M4 rozpi˛eta na wektorach e 1 , e 2 i e 3 ⇒

84

⇒ jest ortogonalna do e 0 i przechodzi przez p: o ¡ ¢ n ¡ ¢ ¡ ¢ S p := q ∈ E : q = θ + v p + a i e i = θ + x α p e α + a i e i , a i ∈ R ¡ ¢ ¡ ¢ – jest to przestrzen ´ w chwili t p = 1c x 0 p . e0

M4

S(p) p θ

ei

q

v(p)

Dana baza (θ, {e α }) zadaje foliacj˛e czasoprzestrzeni M4 hiperpłaszczyznami równoczesno´sci i zadaje parametryzacj˛e tych hiperpłaszczyzn czasem: ¡ ¢ t (S) = t q ,

q – dowolny punkt S.

Powtarzamy: afiniczna przestrzen ´ M4 jest matematycznym modelem fizycznej czasoprzestrzeni ⇒ cała STW to system fizycznie zinterpretowanych twierdzen ´ geometrii M4 .

8.2 Odwzorowania wektorowej przestrzeni Minkowskiego Odwzorowania w czasoprzestrzeni za pomoca˛ odwzorowan ´ wek¡ M4 konstruujemy ¢ torowej przestrzeni Minkowskiego V4 , η µν . W przestrzeni wektorowej rozpatrujemy tylko odwzorowania liniowe. Niech L – liniowe odwzorowanie V4 na V4 , Lu = v ∈ V4 . Definicja 8.2. Odwzorowanie L nazywamy transformacja˛ (czynna) ˛ Lorentza lub operatorem Lorentza, je˙zeli zachowuje długo´sc´ wektorów: (Lu) · (Lu) = u · u

∀u ∈ V4 .

Twierdzenie 8.1. 1) Operator Lorentza zachowuje iloczyn skalarny wektorów. 2) Operator Lorentza odwzorowuje tetrad˛e Minkowskiego {e α } w inna˛ tetrad˛e Minkowskiego.

85

Dowód. 1) Niech u, v ∈ V4 – dowolne wektory. Z definicji L: [L(u + v)] · [L(u + v)] = (Lu + Lv) · (Lu + Lv) = ( hhh (( hh + 2(Lu) · (Lv) = z definicji = (( =( · (Lu) + (Lv) · (Lv) (Lu)  = (u + v) · (u + v) =  u · u +X v ·X v + 2u · v ⇒ (Lu) · (Lv) = u · v. X 2) L odwzorowuje tetrad˛e {e α } w czwórk˛e {e˜α }, e˜α := Le α . ¡ ¢ L zachowuje iloczyny skalarne ⇒ e˜α · e˜β = (Le α ) · Le β = e α · e β = η αβ ⇒ ⇒ {e˜α } – tetrada quasi-ortonormalna. Odwzorowanie L na ogół nie zachowuje orientacji baz ani orientacji czasowej. Znajduj˛e reprezentacj˛e macierzowa˛ operatora L w bazie {e α }: jest to macierz odwzorowania tetrady {e α } w tetrad˛e {e˜α }. Wektory e˜α rozwijam w bazie {e α }: e˜α = Le α = L β α e β

– reprezentacja macierzowa operatora L w bazie {e α }.

Jawny zapis:      e˜0 L00 L10 L20 L30 e0    ˜   0 1 e 1  e 1  L 1 L 1   =  ,  0 L22 e 2  e˜2  L 2 0 3 L 3 L 3 e3 e˜3 czyli wprowadzajac ˛ macierz jednokolumnowa˛   e0   e 1  E =   mamy e 2  e3

L T E = E˜ .

Wektory bazowe e α odwzorowuja˛ si˛e w ¡e˜α macierz a˛ transponowana˛ L T . Nowa baza {e˜α } ¢ słu˙zy tylko do zdefiniowania macierzy L α β , natomiast wszystkie wektory rozkładamy w wyj´sciowej bazie {e α }. ¡ ¢ L zachowuje iloczyny skalarne ⇒ silne ograniczenia na macierz L α β . Dla wektorów ¡bazowych: ¢¡ ¢ ¡ ¢ e˜α · e˜β = η αβ = L µ α e µ · L ν β e ν = L µ α e µ · e ν L ν β ⇒ fundamentalna własno´sc´ operatora L: L µ α η µν L ν β = η αβ

⇐⇒

86

L T GL = G.

(7)

¡ ¢ Stad: ˛ det L T GL = det L · detG · det L = −(det L)2 = −1 ⇒ det L = ±1. ∀L : det L 6= 0 ⇒ istnieje jednoznaczna macierz reprezentujaca ˛ odwrotne odwzorowanie L −1 . W praktyce: w danej bazie {e α } uto˙zsamia si˛e operator L z jego reprezentacja˛ macierzowa˛ ¡ ¢ (nazywamy to naturalna˛ reprezentacja˛ transformacji Lorentza), L = Lαβ . Rozpisujemy (7): 3 ¡ ¡ 0 ¢2 P ¢2 α=β=0: L 0 − L k 0 = 1, k=1

α=β=i :

3 ¡ ¡ 0 ¢2 P ¢2 L i − L k i = −1, k=1

i = 1, 2, 3.

Stad: ˛ kolumny macierzy (L µ α ) sa˛ składowymi wektorów unormowanych do ±1: µ L 0 – wektor czasowy, L µ i – wektory przestrzenne. Sa˛ to składowe wektorów nowej bazy e˜0 = L µ 0 e µ , e˜i = L µ i e µ . Wektory te sa˛ ortogonalne: η µν L µ α L ν β = η αβ ⇒ macierz (L µ α ) jest macierza˛ ortogonalna˛ wzgl˛edem metryki Minkowskiego, macierzowo L T GL = G. Odwzorowanie składowych dowolnego wektora w bazie {e α }. Niech u = u α e α – dowolny wektor w V4 , Lu := v = v α e α . Wyznaczamy v α : Lu = L(u α e α ) = u α (Le α ) = u α L β α e β = v = v β e β , współczynniki przy e β musza˛ by´c takie same ⇒ v β = u α L β α , czyli v α = Lαβuβ rzy L.

– składowe v α wyra˙zaja˛ si˛e przez składowe wektora u za pomoca˛ macie-

Twierdzenie 8.2. Zbiór L := { L } odwzorowa´n Lorentza jest grupa. ˛ Dowód. Zbiór { L } zawiera macierz jednostkowa˛ I . ∀L istnieje odwzorowanie odwrotne L −1 , det L = ±1 ⇒ det L −1 = (det L)−1 = ±1. Trzeba wykaza´c, z˙ e (7) zachodzi dla L −1 . ¡ ¢−1 Mno˙ze˛ (7) z lewej strony przez L T , a z prawej przez L −1 : ¯ −1 ¡ T ¢−1 ¯ T L · ¯L GL = G ¯ · L ⇒ lewa strona równo´sci: ¡ T ¢−1 T −1 L · L GL · L = IG I = G, a prawa strona jest równa ¡ T ¢−1 −1 ¡ −1 ¢T ¡ ¢T L GL −1 ⇒ razem G = L −1 GL −1 ⇒ macierz L −1 jest macierza˛ GL = L Lorentza. Dowodz˛e, z˙ e (7) zachodzi dla L = ¡ L 2 L 1 , je˙ ¢ zeli zachodzi dla L 1 i L 2 : L T GL = (L 2 L 1 )T GL 2 L 1 = L T1 L T2 GL 2 L 1 = L T1 L T2 GL 2 L 1 = L T1 GL 1 = G. Stad ˛ L – grupa. L – automorfizm V4 : liniowa bijekcja V4 na V4 . L – grupa automorfizmów wektorowej przestrzeni Minkowskiego na siebie.

87

8.3 Transformacje czynne i bierne Poj˛ecie transformacji czynnych i biernych pojawiło si˛e przy omawianiu Programu Erlangenskiego ´ Felixa Kleina (par. 3.2). Relacja mi˛edzy nimi to ogólne zagadnienie z algebry liniowej, geometrii i fizyki. STW nie wnosi tu nic nowego, tylko wymaga s´cisło´sci. Znamy: 1) szczególna˛ transformacj˛e Lorentza pomi˛edzy ró˙znymi IUO. Jest to transformacja bierna = transformacja współrz˛ednych w M4 ; ¡ ¢ 2) odwzorowanie Lorentza L wektorów w wektory w V4 , η µν , Lu = v. Jest to transformacja czynna. W afinicznej czasoprzestrzeni M4 odpowiada jej odwzorowanie punktu p = θ + u w punkt q = θ + v. Okre´slam relacj˛e pomi˛edzy transformacja˛ czynna˛ i bierna. ˛ Jest ona taka sama we wszystkich przestrzeniach wektorowych ⇒ stosuj˛e podej´scie ogólne. Vn – dowolna rzeczywista przestrzen ´ wektorowa, dimVn = n, bez iloczynu skalarnego. Notacja jak w STW. {e α }, α = 1, 2, ..., n – dowolna ustalona baza w Vn . L – wzajemnie jednoznaczne liniowe odwzorowanie (automorfizm) Vn na Vn , Lu = v – transformacja czynna. Ró˙znica poj˛eciowa mi˛edzy transformacjami czynnymi i biernymi: – transformacj˛e czynna˛ (odwzorowanie) definiujemy abstrakcyjnie, piszac ˛ Lu = v, bez u˙zycia bazy (współrz˛ednych), {e α } jest potrzebna tylko do skonstruowa¡ baza ¢ nia reprezentacji macierzowej L α β operatora L, – transformacja bierna jest przekształceniem jednej bazy w druga. ˛ Majac ˛ ustalona˛ baz˛e {e α } najwygodniej jest zdefiniowa´c operator L jego działaniem na wektory bazowe: Le α = L β α e β := e˜α , ¡ β ¢ L α – reprezentacja macierzowa operatora L. wektory e˜α tworza˛ nowa˛ baz˛e, ale z niej nie korzystamy, jedynie na koncu ´ zrobimy komentarz o jej własno´sciach. Je˙zeli u = u α e α i v = v α e α = Lu, to v α = L α β u β – składowe wektorów odwzorowuja˛ si˛e macierza˛ L. Teraz w Vn rozpatrujemy transformacj˛e bierna: ˛ zamian˛e starej (pierwotnej) bazy 0 {e α } na nowa˛ baz˛e e α : 0 eα := T β α e β

0 – wektory e α wyra˙zaja˛ si˛e przez stara˛ baz˛e ¡ ¢T – za pomoca˛ macierzy T α β .

88

¢ ¢ ¡ ¡ 0 eα 6= e˜α – mi˛edzy tymi wektorami nie ma z˙ adnego zwiazku ˛ ⇒ macierze L α β i T α β sa˛ od siebie niezale˙zne. ¡ ¢ Transformacja baz musi by´c odwracalna ⇐⇒ det T α β 6= 0 ⇒ ¡ ¢β e α = T −1 α e β0

– wektory e α wyra˙zaja˛ si˛e przez e β0

¢T ¡ – za pomoca˛ macierzy kontragredientnej T −1 .

Wyznaczam transformacj˛e składowych wektorów u i v oraz reprezentacji macierzo¡ ¢ 0 wej L α β operatora L przy transformacji biernej {e α } → {e α }. ¢ ¡ α 0 0 ⇒ 1) u = u 0α e α = u β e β = u β T −1 β e α ¡ ¢ ¡ ¢α α ⇒ u 0α = T −1 β u β i tak samo v 0α = T −1 β v β . 2) Relacja mi˛edzy starymi składowymi v α nowego wektora v a nowymi składowymi u 0α wyj´sciowego wektora u. u β = T β µ u 0µ ⇒ v α = L α β u β = L α β T β µ u 0µ , oraz ¢α ¡ ¢α ¡ v 0α = T −1 β v β = T −1 β L β µ T µ ν u 0ν . © 0ª ¡ ¢ 3) W nowej bazie e α operator L ma reprezentacj˛e macierzowa˛ L 0 = L 0α β zdefiniowa0 = L 0β α e β0 . na˛ przez Le α

Nast˛epnie wyprowadzam znany z algebry liniowej wzór na transformacj˛e macierzy operatora liniowego przy zmianie T bazy: ¡ ¢ ¡ ¢β 0 Le α = L T µ α e µ = T µ α L ν µ e ν = T µ α L ν µ T −1 ν e β0 , 0 to porównuj˛e z definicja˛ Le α = L 0β α e β0 ⇒

¡ ¢β L 0β α = T −1 ν L ν µ T µ α ⇐⇒ L 0 = T −1 LT. Tak jest, je˙zeli operator odwzorowania L i transformacja baz T sa˛ niezale˙zne. Teraz zakładam zwiazek ˛ mi˛edzy L i T : 0 nowa baza {e α } jest obrazem starej bazy {e α } pod działaniem odwrotnego odwzorowania L: 0 0 eα ≡ L −1 e α ⇐⇒ e α = Le α . 0 Z eα = T βαeβ ⇒

¡ ¢β T β α = L −1 α ⇐⇒ T = L −1

– macierz transformacji biernej jest z definicji – równa macierzy odwrotnej transformacji czynnej.

Konsekwencje. 89

1) Operator L ma t˛e sama˛ reprezentacj˛e macierzowa˛ w starej i nowej bazie: L 0 = T −1 LT = T −1 LL −1 = T −1 I = L,

L 0 = L.

2) Relacja mi˛edzy składowymi v 0α i u 0α w nowej bazie i v α i u α w starej bazie jest taka sama: – albo L 0 = L daje v 0α = L α β u 0β , – albo¡ bezpo´ z ¢ srednio ¡ −1 ¢µ 0ν α β 0ν α 0β β µ 0ν α β 0α −1 α L T u = L L L v = T µ ν µ β νu = L βδ νu = L βu . β 3) Zachodzi "krzy˙zowa" równo´ wektorów u i v: ¡ −1s¢cα´ składowych β α β α α β 0α v = L β u oraz u = T βu = L βu ⇒ v α = u 0α – nowy wektor v = Lu ma w starej bazie takie składowe, jakie ma stary wektor u w nowej bazie. B˛edziemy zawsze zakłada´c, z˙e T = L −1 . Algebra czynnej transformacji L i biernej transformacji T = L −1 jest taka sama, ró˙znia˛ si˛e interpretacja˛ geometryczna. ˛ Ilustrujemy to obrotami na płaszczy´znie. y

Obrót czynny v α+ϕ u

ϕ

α

x

L – obrót czynny wektorów na E2 o kat ˛ +φ. Obrócony wektor v tworzy z osia˛ x kat ˛ α + φ. y 0 Obrót bierny

y

−ϕ u −ϕ

α

x x0 90

T = L −1 – transformacja bierna: obrót układu kartezjanskiego ´ o kat ˛ −φ. Wektor u 0 α 0α tworzy z osia˛ x kat ˛ α + φ – taki jak v z osia˛ x ⇒ v = u . Baza {e˜α }. Dotychczas rozpatrywali´smy© działanie L (transformacja czynna) w bazie ª © −1 operatora ª 0 wyj´sciowej {e α } i w nowej bazie e α = L e α . Operator L definiuje ponadto druga˛ nowa˛ baz˛e {e˜α }, e˜α := Le α = L β α e β . Porównujemy składowe v˜ α wektora v = Lu w bazie {e˜α } ze składowymi u w bazie {e α }: v = v˜ α e˜α = Lu = L(u α e α ) = u α e˜α ⇒ v˜ α = u α – nowy wektor v = Lu ma w bazie {Le α } takie składowe, jak stary wektor u w starej bazie {e α } – na rysunku obracamy wektor u oraz osie x i y o ten sam kat ˛ +φ.

8.4 Przekształcenia czasoprzestrzeni Minkowskiego M4 W afinicznej czasoprzestrzeni M4 rozpatrujemy przekształcenia: ¡ ¢ – transformacje czynne generowane operatorem Lorentza L o macierzy L α β w danej bazie {e α }, ¡ ¢−1 – transformacje bierne = transformacje baz generowane macierza˛ T = L α β . 8.4.1 Transformacje czynne Odwzorowanie M4 na M4 generowane operatorem L to szczególny przypadek odwzorowania afinicznego przestrzeni afinicznej (E ,V4 ) na (E ,V4 ). Odwzorowanie afiniczne f : (E ,V4 ) → (E ,V4 ) definiujemy w danej bazie (θ, {e α }). f jest okre´slone przez swoja˛ warto´sc´ f (θ) oraz macierz odwzorowania liniowego L : V4 na V4 . p ∈ E – punkt przestrzeni bazowej (czasoprzestrzeni), u ∈ V4 – odcinek skierowany. Odwzorowanie f jest afiniczne, je˙zeli ∀p ∈ E i ∀u ∈ V4 jest ¡ ¢ ¡ ¢ f p + u = f p + Lu. W bazie (θ, {e α }) mamy ¡ ¢ p = θ + v p = θ + x αeα,

x α – współrz˛edne p w tej bazie.

91

f (p + u)

Lu

q = f (p) Lv(p) v(q)

p +u

θ0 u

a p

v(p)

θ

Dalej: ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ q ≡ f p = θ + v q = θ + y α q eα, a jednocze´ ¡ ¢ snie: ¡ ¡ ¢¢ ¡ ¢ ¡ ¡ ¢ ¢ q = f p = f θ + v p = f (θ) + Lv p = f (θ) + L x β p e β = = f (θ) + x β Le β = f (θ) + x β L α β e α . f (θ) – obraz punktu bazowego, jest wyznaczony przez θ i pewien wektor a, θ 0 ≡ f (θ) = θ + a = θ + a α e α ,

a – wektor translacji punktu bazowego.

Razem: ¡ ¢ q = θ + y αeα = θ + a + x βLαβeα = θ + aα + x βLαβ eα ⇒ y α = Lαβ x β + aα

¡ ¢ – współrz˛edne nowego punktu q = f p sa˛ liniowymi niejednorod-

nymi funkcjami współrz˛ednych x¡α ¢starego punktu p. ˙ Z rysunku¡ wida´ ˛ ¡ ¢¢ wektor ¢ c, ze punkty ¡p i¢ f ¡p łaczy ¡ ¢ q − p = f p − p =¡ f (θ) +¢ Lv p − θ + v p = (L − I )v p + a, a ¡punkty ˛ wektor ¢ p¡+ u i f¢ p +¡u ¢ łaczy ¡ ¢ ¡ ¢ f p + u − p + u = f p + Lu − p + u = (L − I )u + (L − I )v p + a. Zatem: odwzorowanie afiniczne f : p 7→ q jest wyznaczone przez par˛e (a, L), a = a α e α – wektor translacji, L – macierz odwzorowania V4 na V4 . W przypadku odwzorowan ´ afinicznych M4 na M4 ograniczamy si˛e do odwzorowan´ tetrady Minkowskiego w inne tetrady Minkowskiego ⇒ L – operator Lorentza. 8.4.2 Transformacje bierne Jak wiemy, baza afiniczna (θ, {e α }) jest matematycznym modelem w M4 układu inercjalnego. ¡ ¢ Zakładamy: V4 , η µν – wektorowa przestrzen ´ Minkowskiego (z wybrana˛ orientacja˛ baz i zorientowana czasowo), {e α } – wła´sciwa ortochroniczna tetrada Minkowskiego. Wtedy: θ – wybrany punkt poczatkowy ˛ (bazowy) na linii s´wiata materialnego poczatku ˛ O układu inercjalnego (O to punkt, gdzie przecinaja˛ si˛e pr˛ety wyznaczajace ˛ osie Ox, O y i Oz), 92

x 0 (θ) = 0, o´s czasu = linia s´wiata punktu O, składa si˛e z punktów czasoprzestrzennych p = θ + x 0 e 0 , x 0 = c t , e 0 – styczny do osi czasu, wektory e 1 , e 2 i e 3 w danej chwili t wyznaczaja˛ kierunki osi Ox, O y i Oz. x0

e0

y e2

θ e1 x Zgodnie z poprzednimi rozwa˙zaniami transformacj˛e bierna˛ traktujemy algebraicznie (lecz nie geometrycznie!) jak odwrotno´sc´ transformacji czynnej. Wyznaczamy odwrotna˛ transformacj˛e afiniczna˛ czynna. ˛ Transformacja f jest wyznaczona przez par˛e (a, L), bowiem zgodnie z ogólna˛ definicja˛ mamy dla dowolnego wektora u f (θ + u) = f (θ) + Lu oraz f (θ) = θ + a. Dla a = 0 transformacja odwrotna jest dana para˛ (0, L −1 ) i spodziewamy si˛e, z˙ e gdy wektor translacji punktu bazowego a 6= 0, to transformacja odwrotna b˛edzie okre´slona para˛ (b, L −1 ) z ta˛ sama˛ macierza˛ L −1 . Wyznaczamy wektor b. Poniewa˙z f −1 jest transformacja˛ afiniczna, ˛ wi˛ec −1 f ( f (θ)) = f −1 (θ + a) = f −1 (θ) + L −1 a = θ + b + L −1 a = θ ⇒ b = −L −1 a. Sprawdzam, czy rzeczywi´scie para (−L −1 a, L −1 ) jest transformacja˛ odwrotna˛ f −1 . Niech p = θ + v, wtedy dla dowolnego wektora u mamy f −1 ( f (p + u)) = f −1 ( f (p) + Lu) = f −1 ( f (θ + v) + Lu) = f −1 ( f (θ) + Lv + Lu) = f −1 (θ + a + L(v + u)) = f −1 (θ) + L −1 (a + L(v + u)) = θ − L −1 a + L −1 a + v + u = p + u, zatem odwzorowanie f −1 jest poprawnie okre´slone. 0 Przyjmujemy definicj˛e: transformacja bazy (θ, {e α }) → (θ 0 , {e α }) ma posta´c ¡ ¢β 0 0 eα = T β α e β = L −1 α e β ⇒ e β = L α β e α

oraz

θ 0 = θ − L −1 a. Jak poprzednio przyjmujemy q = f (p) = θ + a + Lv = θ + y α (q)e α , gdzie y α (q) = L αβ x β (p) + a α . W nowej bazie punkt p ma przedstawienie 0 0 , p = θ 0 + x 0α (p)e α = θ + v = θ + x β (p)e β = θ 0 + L −1 a + x β L αβ e α −1 −1 α −1 α 0 α 0 tutaj L a = L (a e α ) = L (a Le α ) = a e α , a stad ˛ współrz˛edne punku p w nowej bazie 93

¡ 0 © 0 ª¢ θ , e α sa˛ równe x 0α (p) = L α β x β + a α . Dostajemy: współrz˛edne y α nowego punktu q w starej bazie (θ, {e α }) (równe składowym wektora a + Lv w tej bazie) sa˛ równe współrz˛ednym starego punktu p w nowej bazie 0 (θ 0 , {e α }), y α = x 0α = L α β x β + a α . Zakładamy ¡

¢ L - operator Lorentza ⇐⇒ L T GL = G.

Wtedy dla a α 6= 0 transformacja bierna to transformacja Poincarégo. Transformacje Poincarégo sa˛ wa˙zne w mechanice kwantowej, dla STW istotne sa˛ transformacje Lorentza y α = x 0α =ª L α β x β . © L := L : L - operator Lorentza – grupa Lorentza. Transformacja Poincarégo: Λ := (a, L) – niejednorodna transformacja Lorentza. Grupa grupa Lorentza): © Poincarégo (niejednorodna ª P := Λ = (a, L) : a ∈ R4 , L ∈ L . Dowodz˛e, z˙ e zło˙zenie dwóch transformacji Poincarégo jest transformacja˛ Poincarégo. Zapis dla wektorów (odcinków skierowanych): x 0 = Λx = Lx + a ⇒ x 0α = L α β x β + a α . Niech x 0 = Λ1 x i x 00 = Λ2 x 0 ⇒ x 00 = Λx = Λ2 Λ1 x = Λ2 (L 1 x + a 1 ) = L 2 (L 1 x + a 1 ) + a 2 = L 2 L 1 x + L 2 a 1 + a 2 ≡ Lx + a ⇒ ⇒ Λ2 Λ1 = (a 2 , L 2 )(a 1 , L 1 ) = (a 2 + L 2 a 1 , L 2 L 1 ) – mno˙zenie transformacji Poincarégo. ¡ ¢ Jest to iloczyn półprosty przemiennej grupy translacji (przesuni˛ec´ o wektor a ∈ V4 , η µν ) i grupy Lorentza L . B˛edziemy rozpatrywa´c tylko jednorodna˛ grup˛e Lorentza: a = 0, P = L = {L}. Dla wygody przyjmiemy interpretacj˛e czynna: ˛ L – grupa automorfizmów czasoprzestrzeni M4 (grupa izomorfizmów M4 na M4 ).

94

9 Grupa Lorentza 9.1 Ogólne własno´sci grupy Lorentza ¡ α ¢ Ma ona naturalna˛ reprezentacj˛e w postaci macierzy Lorentza czwartego stopnia L¢β ¡ działajacych ˛ jako operatory liniowe w wektorowej przestrzeni Minkowskiego V4 , η µν . Poprzednio wykazałem: ¡ ¢ grupa Lorentza jako grupa odwzorowan ´ wektorowej przestrzeni V4 , η µν , czyli odwzorowan ´ zachowujacych ˛ iloczyn skalarny z metryka˛ Minkowskiego, spełnia relacj˛e L T GL = G ⇐⇒ L µ α η µν L ν β = η αβ ,

(8)

L - macierz ortogonalna wzgl˛edem metryki η µν . Wyliczam odwrotn ¯ T ¯ −1a˛ macierz Lorentza: ¯ G · L GL = G ¯ · L , lewa strona G −1 L T GLL −1 = G −1 L T G I = G −1 L T G, prawa strona G −1GL −1 = I L −1 = L −1 ⇒ −1

¡ ¢α L −1 = G −1 L T G ⇐⇒ L −1 β = ηαµ L ν µ η νβ ,

(9)

ten wzór pozwala wyliczy´c L −1 bez stosowania definicji macierzy odwrotnej. Formalnie, stosujac ˛ metryk˛e do przesuwania indeksów w pionie, mo˙zemy napisa´c ¡ −1 ¢α ν µα L = η L η := L β α . Ale zapis L β α dla macierzy Lorentza L −1 jest mylacy ˛ – nie µ βν β b˛edziemy go u˙zywa´c. Poszczególne elementy macierzy L −1 : ¡ −1 ¢0 0µ ν 00 0 0 L 0 = η L µ η ν0 = η η 00 L 0 = L 0 itd., dostajemy ¡

L −1

¢0 0

= L00,

¡

L −1

¢0 i

= −L i 0 ,

¡

L −1

¢i 0

= −L 0 i ,

¡

L −1

¢i j

= Lji.

(10)

Dla dalszych potrzeb wyprowadzam wzór analogiczny do (8), zawierajacy ˛ G −1 zamiast G. W tym celu przekształcam (9): ¯ ¯ L · ¯ L −1 = G −1 L T G ¯ · G −1 , lewa strona LL −1G −1 = G −1 , prawa strona LG −1 L T GG −1 = LG −1 L T , czyli LG −1 L T = G −1 ⇐⇒ L α µ ηµν L β ν = ηαβ . 95

(11)

(8), (9) i (11) – równowa˙zne. Z (8) i (11) ⇒ zwiazki ˛ pomi˛edzy L 0 0 a L i 0 i L 0 i . (8) dla α = β = 0: 3 3 ¡ ¡ ¢2 P ¢2 P L µ 0 η µν L ν 0 = L 0 0 η 00 L 0 0 + L i 0 ηi i L i 0 = L 0 0 − L i 0 = η 00 = 1, i =1

i =1

(11) dla α = β = 0: 3 ¡ ¡ ¢2 P ¢2 L 0 µ ηµν L 0 ν = L 0 0 − L 0 i = η00 = 1 ⇒ podwójny zwiazek ˛ i =1

¡

L00

¢2

= 1+

3 ³ X

Li 0

´2

i =1

= 1+

3 ¡ X ¢2 L 0 i > 1.

(12)

i =1

Równania (8) i (11) sa˛ symetryczne, bo ich transpozycja daje te same równania ⇒ z 16 równan ´ (8) (lub (11)) tylko 10 jest niezale˙znych ⇒ jest 10 niezale˙znych ¢algebraicznych ¡ równan ´ kwadratowych nało˙zonych na 16 elementów macierzy L = L α β . Zatem: macierz L ma 6 dowolnych (niezale˙znych) elementów ⇒ ⇒ zale˙zy od 6 parametrów ⇒ grupa Lorentza ma 6 parametrów. W konsekwencji: transformacja Poincarégo Λ = (a, L) zale˙zy od 10 parametrów: 6 parametrów transformacji Lorentza L i 4 składowych dowolnego wektora translacji a = a µ e µ . Geometrycznie: dowodzi si˛e, z˙ e czasoprzestrzen ´ Minkowskiego M4 ma najwi˛eksza˛ mo˙zliwa, ˛ tj. 10-parametrowa˛ grup˛e symetrii (automorfizmów): 4 translacje i 6 obrotów w 2-płaszczyznach x α x β , czyli w płaszczyznach x 0 x 1 , x 0 x 2 , x 0 x 3 , x 1 x 2 , x 1 x 3 , x 2 x 3 – fizycznie sa˛ to 3 obroty w przestrzeni oraz 3 składowe pr˛edko´sci wzgl˛ednej V.

9.2 Składowe grupy Lorentza Grup˛e Lorentza mo˙zna potraktowa´c jako przestrzen ´ topologiczna˛ — ka˙zdy element grupy, czyli operator L, jest punktem pewnej przestrzeni topologicznej. W tym celu elementy L α β macierzy L ustawiamy w uporzadkowany ˛ ciag ˛ 16 elementów i traktujemy je jak współrz˛edne kartezjanskie ´ w przestrzeni euklidesowej E16 . Poniewa˙z elementy macierzy L spełniaja˛ 10 równan ´ L T GL = G, wi˛ec macierze-punkty Lorentza tworza˛ w E16 6-wymiarowa˛ hiperpowierzchni˛e L przedstawiajac ˛ a˛ geometrycznie grup˛e Lorentza. 96

Zbiorami otwartymi w E16 sa˛ 16-wymiarowe kule otwarte i przeci˛ecia (cz˛es´ci wspólne) tych kul z L tworza˛ zbiory otwarte w przestrzeni topologicznej L - dostajemy topologi˛e indukowana˛ w tej przestrzeni. Grupa Lorentza jako ta przestrzen ´ nie jest spójna – składa si˛e z 4 rozłacznych ˛ cz˛es´ci. L T GL = G ⇒ (det L)2 = +1 ⇒ det L = ±1. Mamy dwie rozłaczne ˛ cz˛es´ci (składowe) grupy: det L = +1 i det L = −1. Ka˙zda z nich rozpada si˛e z kolei na dwie rozłaczne ˛ składowe: (12) ⇒

¡

L00

¢2

> 1 czyli L 0 0 > +1 lub L 0 0 6 −1.

Pełna grupa Lorentza L rozpada si˛e na 4 rozłaczne ˛ podzbiory (składowe grupy): ↑ 0 L + : det L = +1 i L 0 > 1 – wła´sciwa ortochroniczna, oznaczana SO + (1, 3), L +↓ : det L = +1 i L 00 6 −1 – wła´sciwa antychroniczna, L −↑ : det L = −1 i L 00 > 1 – niewła´sciwa ortochroniczna, L −↓ : det L = −1 i L 00 6 −1 – niewła´sciwa antychroniczna. Twierdzenie 9.1. Z tych czterech spójnych składowych tylko zbiór L +↑ stanowi grup˛e – jest to wła´sciwa ortochroniczna grupa Lorentza, zachowujaca ˛ orientacj˛e czasowa˛ wektorów kauzalnych i orientacj˛e baz wektorowych. Dowód. Macierz jednostkowa I (element jednostkowy grupy macierzy) ma det I = 1 oraz I 0 0 = +1 ⇒ I ∈ L +↑ , a pozostałe 3 składowe L nie sa˛ grupami. Dowodz˛e, z˙ e L +↑ jest grupa. ˛ Niech A, B ∈ L +↑ i niech L = AB . Wtedy det(AB ) = det A det B = +1. Wyka˙ze˛ , z˙ e L 0 0 > 1. Obliczam: ¯ ¯ 3 3 ¯P ¯ P 0 0 µ 0 0 0 i 0 0 0 i ¯ ¯ L 0 = A µB 0 = A 0B 0 + A i B 0 > A 0 B 0 − ¯ A i B 0 ¯. i =1

i =1

Elementy A 0 i i B i 0 definiuja˛ w E3 dwa wektory o składowych kartezjanskich ´ ¡ 0 ¢ macierzowe ¡ i ¢ A = A i , B = B 0 . Ich iloczyn skalarny spełnia nierówno´sc´ #1/2 ¯ ¯ · ¸ " ¯P 0 i ¯ ¯ 2 ¯1/2 ¯ 2 ¯1/2 ¡ 0 ¢2 1/2 P ¡ j ¢2 P |A · B| = ¯¯ A i B 0 ¯¯ 6 ¯A ¯ ¯B ¯ ≡ A i B 0 . i

i

j

Zatem:

#1/2 ¯ ¯ · ¸1/2 " ¯ ¯ ¡ ¢ ¡ ¢ P P P 2 2 L 0 0 > A 0 0 B 0 0 − ¯¯ A 0 i B i 0 ¯¯ > A 0 0 B 0 0 − A0i Bj0 = i i j ½ ¾ h¡ i1/2 h¡ i1/2 ¢2 ¢2 P ¡ i ¢2 P ¡ 0 ¢2 ¡ 0 ¢ L 0 = L i = L 0 − 1 = A00B 00 − A00 − 1 B 00 − 1 > 0, = z (12): i

i

97

bo A 0 0 > 0 i B 0 0 > 0. ¯ ¯ Dla macierzy Lorentza ¯L 00 ¯ > 1, wi˛ec L 0 0 > 0 implikuje L 0 0 > +1 ⇒ L = AB ∈ L +↑ . ¢0 ¡ Niech L ∈ L +↑ . Dla macierzy L −1 mamy det L −1 = (det L)−1 = +1 oraz z (10) ⇒ L −1 0 = L 0 0 > 1 ⇒ L −1 ∈ L +↑ . ¢ ¢β ¡ ¡ 0 Operator L transformacji czynnej generuje transformacj˛e bazy e α = L −1 α e β , det L −1 = 0 det L = +1 ⇒ bazy {e α } i {e α } maja˛ t˛e sama˛ orientacj˛e. W koncu ´ dowodz˛e, z˙ e ka˙zda L ∈ L +↑ zachowuje orientacj˛e czasowa˛ wektorów kauzalnych. Niech {e α } – tetrada wła´sciwa ortochroniczna, niech u – kauzalny i u 0 > 0, niech v = Lu. Trzeba dowie´sc´ , z˙ e v 0 > 0.¡ ¢ ¡ ¢ W E3 mamy dwa 3-wektory: u = u i oraz L = L 0 i . Dla ich iloczynu mamy nierówno´sc´ #1/2 · ¯ ¯ · ¸ " ¸ ¯P 0 i ¯ ¡ 0 ¢2 1/2 P ¡ j ¢2 P P ¡ 0 ¢2 1/2 ¯ ¯ |L · u| = ¯ L i u ¯ ≤ |u|. L i = L i u i

i

i

j

Zatem:

· ¸ ¯ 0 i¯ P ¡ 0 ¢2 1/2 0 0 ¯ ¯ |u| = {z (12)} = v = L βu = L 0u + L i u > L 0u − L i u > L 0u − L i i i1/2 h¡ ¢ i1/2 h¡ ¢ 2 2 |u| > L 0 0 u 0 − L 0 0 − 1 u 0 > 0, bo u 0 > 0. L00u0 − L00 − 1 0

0

β

0

0

0

i

0

0

Dostali´smy v 0 > 0. Na ogół: L 1 L 2 6= L 2 L 1 – grupa nieprzemienna. L +↑ – 6-parametrowa podgrupa (spójna) grupy Lorentza. Jest to podgrupa ciagła: ˛ dowolny jej element mo˙zna zbudowa´c za pomoca˛ składania odwzorowan ´ infinitezymalnych. L = (I + ²A 1 )(I + ²A 2 )...(I + ²A n )...,

n → ∞,

|²| ¿ 1.

Badam macierz A w infinitezymalnym operatorze Lorentza L = I +²A. Z dokładnos´cia˛ do wyrazów liniowych ¡ w ² fundamentalna ¢ ¡ relacja ¢dla operatora L jest T + ²A) = I + ²A G = (I + ²A)T G(I + ²A) =¡ I + ²A T G(I (G + ²G A) ∼ = ¢ T T G + ²G A + ²A G = G + ² G A + A G ⇒ ⇒ G A + A T G = 0 ⇐⇒ η αµ A µ β + A µ α η µβ = 0 – macierz A jest antysymetryczna wzgl˛edem metryki η µν : je˙zeli w A µ β obni˙zy´c indeks metryka, ˛ A αβ := η αµ A µ β , to A 0 0 = 0,

A 0 i = +A i 0 ,

A αβ + A βα = 0. Dla składowych mieszanych: A i j = −A j i .

9.3 Dyskretne transformacje Lorentza Transformacje grupy L +↑ sa˛ ciagłe: ˛ ka˙zda transformacja zale˙zy od 6 lub mniej cia˛ głych parametrów i mo˙zna ja˛ zbudowa´c składajac ˛ transformacje infinitezymalne zaczynajac ˛ od L = I . Teraz przechodz˛e do omawiania wszystkich 4 rozłacznych ˛ składowych 98

grupy L . Wia˙ ˛za˛ si˛e z nimi dyskretne transformacje Lorentza: transformacje Lorentza, które nie zale˙za˛ od parametru zmieniajacego ˛ si˛e w sposób ciagły. ˛ Zale˙za˛ one od parametrów, które przyjmuja˛ tylko kilka warto´sci (łacinskie ´ discretus – rozłaczny, ˛ nieciagły). ˛ Sa˛ 3 ró˙zne dyskretne transformacje Lorentza. 1) Odbicia (inwersje) przestrzenne:   1 0 0 0  −1  ¡ ¢ ¡ ¢ ¢ 0 0 ¡ α ¢ ¡ 0 P : x 0 , x → x 0 , −x , P =   = P β = η αβ , 0 0 −1 0  0 0 0 −1 Mo˙zliwa jest te˙z inwersja przestrzenna w jednej osi, np. w osi x:  1  −1 ¡ 0 1 2 3¢ ¡ 0 ¢  P x : x , x , x , x → x , −x 1 , x 2 , x 3 , P x =  1 

P = P −1 i P 2 = I .



1

  , 

P x2 = I .

2) Odbicie (inwersja) w czasie:

¡ ¢ T : x 0 , x → (−x 0 , x),

 −1  ¢  ¡ 1 T = T αβ =  1 

3) Odbicie czasoprzestrzenne: ¡ ¢ ¡ ¢ P T : x 0 , x → −x 0 , −x ,



1

 ¡ ¢   = −η αβ , 

P T = T P = −I ,

T = T −1 i T 2 = I .

(P T )2 = I .

Grupa L ma 4 składowe spójne, z których 3: L +↓ , L −↑ i L −↓ nie tworza˛ grupy. Te 3 składowe mo˙zna wygenerowa´c z grupy L +↑ za pomoca˛ transformacji dyskretnych. Niech np. L ∈ L −↓ . Macierz T L ma det(T L) = +1 oraz (T L)0 0 = −L 0 0 > +1 ⇒ T L ∈ L +↑ . T −1 = T ⇒ T (T L) = L ∈ L −↓ – zatem T jest odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym L +↑ → L −↓ , piszemy T L +↑ = L −↓ . Podobnie: L −↑ = P L +↑ ,

L +↓ = P T L +↑ .

Grupa L jest suma˛ mnogo´sciowa˛ swoich składowych: L = L +↑ ∪ L +↓ ∪ L −↑ ∪ L −↓ = L +↑ ∪ P T L +↑ ∪ P L +↑ ∪ T L +↑ . 99

Z tych składowych mo˙zna zbudowa´c, oprócz spójnej grupy L +↑ , 3 niespójne 6-parametrowe podgrupy grupy Lorentza:

L0

L +↑

L −↑

L↑

L −↓

L +↓

L+

L + = L +↑ ∪L +↓ – wła´sciwa grupa Lorentza, mo˙ze zmienia´c kierunek czasu, oznaczana SO(1, 3), L ↑ = L +↑ ∪ L −↑ – ortochroniczna grupa Lorentza, zachowuje kierunek czasu, L 0 = L +↑ ∪¡L −↓¢ – ortochoryczna grupa Lorentza, transformacje zachowuja˛ znak obj˛eto´sci, tj. det L i j > 0. W fizyce klasycznej (niekwantowej) sens fizyczny ma tylko grupa L +↑ , natomiast transformacje dyskretne P , T i P T graja˛ wa˙zna˛ rol˛e w kwantowej teorii pola.

9.4 Małe grupy Teraz rozpatruj˛e podgrupy grupy L +↑ zale˙zne od mniej ni˙z 6 ciagłych ˛ parametrów. Sa˛ one zdefiniowane własno´scia, ˛ i˙z wybrany ustalony wektor k ∈ V4 jest ich wektorem własnym: podgrupa H składa si˛e z takich operatorów L, z˙ e k jest wektorem własnym ka˙zdego z nich do warto´sci własnej λ = +1, n o H = L ∈ L +↑ : Lk = k . Mo˙zna dowie´sc´ , z˙ e ka˙zdy operator L ∈ L +↑ ma podwójna˛ warto´sc´ własna˛ +1 (a niektóre operatory, takie jak szczególnej transformacji Lorentza, maja˛ jeszcze 2 inne warto´sci własne). Dowiedziemy w szczególnym przypadku, z˙ e je˙zeli wybrany wektor k jest czasowy (tak jest np. dla operatorów b˛edacych ˛ obrotami przestrzennymi, zob. dalej), to odpowiada mu warto´sc´ własna λ = +1. Dowód. Niech k – czasowy i niech Lk = λk. L – operator Lorentza ⇒ (Lk) · (Lk) = (λk) · (λk) = λ2 k · k = k · k ⇒ λ2 = 1. L zachowuje orientacj˛e czasowa˛ wektorów czasowych (ogólniej - kauzalnych) ⇒ λ = +1. Teraz dowodz˛e, z˙ e zbiór H jest rzeczywi´scie grupa. ˛ Twierdzenie 9.2. Zbiór H = {L} transformacji Lorentza, dla których ustalony wektor k (czasowy, przestrzenny lub zerowy) jest wektorem własnym do warto´sci λ = 1, tworzy grup˛e. 100

Dowód. H zawiera operator jednostkowy (to˙zsamo´sc´ ) I . Niech L 1 k = k i L 2 k = k. Wtedy L 2 L 1 k = L 2 k = k. Dla macierzy odwrotnej mamy L −1 · | Lk = k,

L −1 Lk = k = L −1 k.

Ka˙zda˛ taka˛ podgrup˛e nazywamy mała˛ grupa˛ grupy Lorentza L +↑ . W teorii grup u˙zywa si˛e nazwy grupa izotropii. Je˙zeli k – wektor własny małej grupy H , to jest nim te˙z ak, a 6= 0: L(ak) = aLk = ak. Wniosek: wektory własne danej małej grupy tworza˛ 1-wymiarowa˛ podprzestrzen ´ liniowa˛ wektorów własnych, zwana˛ te˙z podprzestrzenia˛ wektorów niezmienniczych, W := {ak : Lk = k, a ∈ R} ⊂ V4 . Mała˛ grup˛e mo˙zna te˙z zdefiniowa´c z˙ adaniem, ˛ by jej wektory własne tworzyły 2-wymiarowa˛ podprzestrzen ´ liniowa˛ – dostajemy wtedy boosty. 3 najwa˙zniejsze małe grupy: obroty przestrzenne, boosty i obroty zerowe.

9.5 Obroty przestrzenne Niech k – dowolny wektor czasowy. Definicja 9.1. Obrotem przestrzennym nazywamy ka˙zda˛ transformacj˛e Lorentza L taka, ˛ z˙e Lk = k, k - ustalony wektor czasowy. k ·k = a 2 > 0. Bior˛e wektor jednostkowy e 0 := ± a1 k skierowany w przyszło´sc´ . Uzupełniam go trójka˛ ortonormalnych wektorów przestrzennych e i : e i ·e j = −δi j , e 0 ·e i = 0, do wła´sciwej ortochronicznej tetrady Minkowskiego {e α } – takich tetrad jest niesko ´ ¡ α ¢ nczenie wiele. W wybranej tetradzie obrót L jest reprezentowany przez macierz L β , Le α := eeα = L β α e β , {e e α } – nowa tetrada Minkowskiego. Elementy tej macierzy dostajemy z relacji i 0 i ee0 = Le 0 = L 0 0 e 0 + ¡ L0 0 e i = ej0 ⇒¢ L 00= 1, i L 0 = 0 0 oraz ee0 · eei = e 0 · L i e 0 + L i e j = L i + 0 = 0 ⇒ L i = 0. Macierz obrotu przestrzennego oznaczamy przez R, ma ona posta´c   1 0 0 0 0    L≡R = . R ij  0 0 101

Macierz R działajac ˛ na wektory przestrzenne e i daje ich kombinacj˛e liniowa, ˛ Re i = R α i e α = R 0 i e 0 + R k i e k = R k i e k , zatem hiperpłaszczyzna S 3 = {c 1 e 1 + c 2 e 2 + c 3 e 3 } jest niezmiennicza wzgl˛edem obrotów R: je˙zeli u ∈ S 3 to Ru ∈ S 3 . Podprzestrzeni niezmienniczej wzgl˛edem obrotów nie nale˙zy myli´c z podprzestrzenia˛ wektorów niezmienniczych, czyli podprzestrzenia˛ wektorów własnych obrotów, W = {ce 0 , c ∈ R}. Relacja ortogonalno´sci dla R, R µ α η µν R ν β = η αβ : - dla αβ = α0 jest spełniona to˙zsamo´sciowo, - dla αβ = i j daje R m i δmn R n j = δi j . Wprowadzam macierz obrotu euklidesowego R (3) w E3 : R i(3) := −η i α R α j = +R i j . j Stad: ˛ R m i δmn R n j =

P m,n

(3) R mi δmn R n(3)j = δi j , czyli 3 X m=1

¢T ¡ (3) (3) R mi R m j = δi j ⇐⇒ R (3) R (3) = I .

³ ´ ¡ ¢ R ∈ L +↑ ⇒ det R i j = det R i(3) = det R (3) = +1. j Macierz R (3) jest ortogonalna wzgl˛edem metryki δi j przestrzeni E3 (współrz˛edne kartezjanskie) ´ ⇒ jest macierza˛ obrotu w E3 . Grupa obrotów wła´sciwych przestrzeni euklidesowej E3 : n o ¢T ¡ SO(3) := R (3) : R (3) R (3) = I oraz det R (3) = +1 . Odwzorowanie   1 0 0 0 0    7 R (3) R =  → R ij 0  0

jest podgrupy obrotów przestrzennych ¡ izomorfizmem ¢ w V4 , η µν na grup˛e obrotów SO(3) w E3 .

W tym sensie zwykłe obroty tworzace ˛ SO(3) stanowia˛ podgrup˛e grupy L +↑ – geometrycznie jest to oczywiste. Uwaga. W E3 mamy te˙z obroty niewła´sciwe, dla których det R (3) = −1, one nie tworza˛ grupy (nie obejmuja˛ I ) i nie wchodza˛ w skład L +↑ . 102

9.6 Boosty (pchni˛ecia) Jest to specyficzna mała grupa Lorentza zło˙zona z “czystych” transformacji Lorentza mi˛edzy ró˙znymi IUO. Przy odpowiednio dobranej bazie {e α } w wektorowej przestrzeni Minkowskiego sprowadzaja˛ si˛e one do szczególnych transformacji Lorentza. Definicja boostu jest geometryczna. Boosty ró˙znia˛ si˛e od pozostałych małych grup Lorentza: ich przestrzen ´ wektorów własnych jest 2-wymiarowa. Definicja 9.2. Boostem (pchni˛eciem) nazywamy taka˛ transformacj˛e B ∈ L +↑ , której wektory własne tworza˛ 2-wymiarowa˛ podprzestrzen ´ liniowa˛ wektorów przestrzennych S 2 : ∀k ∈ S 2 : Bk = k, k · k < 0 i dim S 2 = 2. Definicja ta opiera si˛e na fakcie, z˙ e szczególna transformacja Lorentza wzdłu˙z osi Ox nie zmienia współrz˛ednych y i z. Dobieramy (niejednoznacznie) tetrad˛e Minkowskiego {e α } tak, by S 2 była rozpi˛eta na wektorach e 2 i e 3 , S 2 = {c 1 e 2 + c 2 e 3 , c 1 , c 2 ∈ R}. T2

e0 e1

S2

e2

e3

V4

2-płaszczyzna T2 rozpi˛eta na wektorach e 0 i e 1 jest ortogonalna do S 2 : ∀k ∈ S 2 i ∀u ∈ T2 jest k · u = 0. Twierdzenie 9.3. Płaszczyzna czasowa T2 jest niezmiennicza wzgl˛edem boostu B : ∀u ∈ T2 zachodzi Bu ∈ T2 . Dowód. B zachowuje iloczyny skalarne, wi˛ec ∀k ∈ S 2 i ∀u ∈ T2 mamy (Bk) · (Bu) = k · u = 0, a jednocze´snie (Bk) · (Bu) = k · (Bu). Poniewa˙z zachodzi k · (Bu) = 0 dla ka˙zdego k i Bu 6= 0 (dla u 6= 0) ⇒ Bu ∈ T2 . Przy tym doborze tetrady {e α } mamy Twierdzenie 9.4. Boost B jest szczególna˛ transformacja˛ Lorentza w kierunku e 1 (czyli wzdłu˙z osi Ox 1 ).

103

Dowód. Jest to kolejne wyprowadzenie szczególnej transformacji Lorentza. Oznaczam: a, b = 0, 1 oraz i , j = 2, 3, Zatem B e i = e i oraz B e a ∈ T2 . W tej bazie {e α } boost ma reprezentacj˛e macierzowa˛   B 00 B 01 0 0 ¶ µ ¶  µB a ¡ α ¢  0 1 0 B 1 0 B 1 1 0 0 b B β = , I2 = . = 0 1 0 I2 0 1 0  0 0 0 0 1 Rozpisuj˛e warunek B µ α η µν B ν β = η αβ . Równania sa˛ nietrywialne dla α, β = 0, 1 ⇒ sa˛ 3 równania na 4 niewiadome B a b : ¡ ¢2 ¡ ¢2 ¡ ¢2 αβ = 00 : B µ 0 η µν B ν 0 = B 0 0 η 00 B 0 0 + B i 0 η i j B j 0 = B 0 0 + B 1 0 η 11 B 1 0 = B 0 0 − B 1 0 = 1, (a) αβ = 01 : B µ 0 η µν B ν 1 = B 0 0 η 00 B 0 1 +B i 0 η i j B j 1 = B 0 0 B 0 1 +B 1 0 η 11 B 1 1 = B 0 0 B 0 1 −B 1 0 B 1 1 = 0, (b) ¡ ¢2 ¡ ¢2 ¡ ¢2 αβ = 11 : B µ 1 η µν B ν 1 = B 0 1 η 00 B 0 1 + B i 1 η i j B j 1 = B 0 1 + B 1 1 η 11 B 1 1 = B 0 1 − B 1 1 = −1. (c) (a) ⇒ B 0 0 = cosh ψ, B 1 0 = sinh ψ, ψ ∈ R. (b) ⇒ B 0 1 cosh ψ − B 1 1 sinh ψ = 0 ⇒ B 0 1 = B 1 1 tanh ψ. ¡ ¢2 ¡ ¢2 ¡ ¢2 ¡ ¢ (c) ⇒ B 1 1 tanh ψ − B 1 1 = −1, B 1 1 tanh2 ψ − 1 = −1, ¡ 1 ¢2 B 1 = cosh2 ψ ⇒ B 1 1 = ² cosh ψ i B 0 1 = ² sinh ψ, ² = ±1. Wyznacznik: det B = +1 = B 0 0 B 1 1 − B 0 1 B 1 0 = ² cosh2 ψ − ² sinh2 ψ ⇒ ² = +1. Dostajemy szczególna˛ transformacj˛e Lorentza w kierunku e 1 : µ ¶ ¡ a ¢ cosh ψ sinh ψ B b = = L S (−ψ), B 00 > 1. sinh ψ cosh ψ Wniosek: zbiór boostów o tej samej podprzestrzeni S 2 wektorów własnych stanowi 1-parametrowa˛ mała˛ grup˛e, parametrem jest kat ˛ hiperboliczny ψ. Jest to grupa addytywna, a wi˛ec przemienna: ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¡ ¢¢ B ψ2 B ψ 1 = B ψ1 + ψ2 = L S − ψ 1 + ψ2 . Je˙zeli boosty interpretowa´c jako transformacje bierne mi˛edzy ró˙znymi IUO, to sa˛ to szczególne transformacje Lorentza wzdłu˙z wspólnej osi x z pr˛edko´scia˛ wzgl˛edna˛ V = c tgh(−ψ) – transformacja bierna jest odwrotna do transformacji czynnej. 104

Ustalona tetrada {e α } wyznacza 3 małe grupy boostów: grupy boostów w kierunku wektorów e 1 , e 2 i e 3 . Geometrycznie sa˛ to obroty hiperboliczne w płaszczyznach x 0 x 1 , x 0 x 2 i x 0 x 3 . Stad: ˛ zbiór wszystkich boostów, czyli połaczenie ˛ tych 3 małych grup (to nie ↑ jest podgrupa w L + !) jest zbiorem 3-parametrowym. Poprzednio widzieli´smy: grupa obrotów przestrzennych {R} jest izomorficzna z grupa˛ SO(3) obrotów euklidesowych wła´sciwych. Ka˙zdy obrót wła´sciwy w E3 mo˙zna zło˙zy´c z obrotów w płaszczyznach x y, y z i zx ⇒ grupa SO(3) jest 3-parametrowa ⇐ to wynika te˙z z relacji ortogonalno´sci ¡ (3) ¢T (3) R = I. R L +↑ – grupa 6-parametrowa. Ka˙zda˛ transformacj˛e L mo˙zna zło˙zy´c z obrotów w 6 2płaszczyznach w M4 : – 3 obrotów hiperbolicznych w płaszczyznach x 0 x 1 , x 0 x 2 , x 0 x 3 , – 3 obrotów euklidesowych w płaszczyznach x 1 x 2 , x 2 x 3 , x 3 x 1 . 6 parametrów grupy L +↑ mo˙zemy uto˙zsami´c z 3 katami ˛ obrotów i 3 składowymi pr˛edko´sci wzgl˛ednej V mi˛edzy IUO. Składanie ogólnej transformacji L z tych 6 małych grup jest skomplikowane i nie omawiam go. Małe grupy obrotów {R} i boostów {B } zawieraja˛ operator jednostkowy I . Czy jest to jedyny element wspólny obu tych grup? Twierdzenie 9.5. Małe grupy obrotów {R} i mała grupa boostów {B } maja˛ jako jedyny element wspólny operator jednostkowy I . Dowód. Niech istnieje boost b˛edacy ˛ obrotem przestrzennym, B = R, z czasowym wektorem własnym k, Rk = k i podprzestrzenia˛ S 2 przestrzennych wektorów własnych. Sa˛ dwie mo˙zliwo´sci. 1) Wektor k jest ortogonalny do S 2 : ∀u ∈ S 2 , k · u = 0 i Bu = u. Dobieram tetrad˛e Minkowskiego {e α } tak, z˙ e k = ae 0 , a 6= 0 i S 2 jest rozpi˛ete na e 2 i e 3 . Jak wiemy, wtedy macierze R i B maja˛ posta´c:     1 0 0 0 cosh ψ sinh ψ 0 0 0       sinh ψ cosh ψ 0 0 R =  i B = . R ij 0 1 0 0   0 0 0 0 1 0 R = B ⇒ cosh ψ = 1 i

sinh ψ = 0 ⇒ R = I = B.

2) Wektor k nie jest ortogonalny do S 2 . Dobieram tetrad˛e {e α } tak, z˙ e S 2 jest rozpi˛eta na wektorach e 2 i e 3 i k = λ(e 0 + ae 3 ). k · k > 0 ⇒ a 2 < 1. Dla wygody kład˛e λ = 1. W tej 105

bazie operator B ma macierz jak wy˙zej, a wektor k ma składowe   1   0 k α =  . Obliczam w tej bazie działanie obrotu R na k: 0 a        cosh ψ sinh ψ 0 0 1 cosh ψ 1         sinh ψ cosh ψ 0 0 0   sinh ψ  0 Rk = Bk =    =  =k =  ⇒ 0 1 0 0   0   0 0 0 0 0 1 a a a ⇒ cosh ψ = 1 i

sinh ψ = 0.

Innymi słowy: jedynym boostem, który jest jednocze´snie obrotem przestrzennym, jest odwzorowanie jednostkowe (to˙zsamo´sc´ ). Boosty i obroty przestrzenne sa˛ wyró˙znione w´sród małych grup Lorentza nie tylko ich prosta˛ interpretacja˛ fizyczna, ˛ lecz równie˙z tym, z˙ e dowolna˛ transformacj˛e Lorentza mo˙zna przedstawi´c jako ich iloczyn. Twierdzenie 9.6. Ka˙zda wła´sciwa ortochroniczna transformacja Lorentza L ∈ L +↑ daje si˛e jednoznacznie przedstawi´c jako zło˙zenie boostu i obrotu przestrzennego, L = B R, ta faktoryzacja zale˙zy od wyboru wektora czasowego e 0 definiujacego ˛ mała˛ grup˛e obrotów, Re 0 = e 0 . Dowód. Niech e 0 – dowolny wybrany wektor czasowy (jednostkowy), L – dowolny operator Lorentza. L działajac ˛ na e 0 daje e 00 := Le 0 . L zachowuje iloczyny skalarne ⇒ sa˛ dwie mo˙zliwo´sci: 1) Le 0 = e 0 ⇒ L = R – obrót przestrzenny, kładziemy B = I – twierdzenie jest słuszne. 2) e 00 – wektor czasowy liniowo niezale˙zny od e 0 . Rozpatrujemy ten przypadek. © ª Wprowadzam płaszczyzn˛e czasowa˛ T2 := ae 0 + be 00 , a, b ∈ R . Ta płaszczyzna wyznacza 2-wymiarowa˛ płaszczyzn˛e S 2 wektorów przestrzennych, która jest ortogonalna do T2 : ∀u ∈ T2 i ∀k ∈ S 2 , u · k = 0 i k · k < 0.

106

Nast˛epnie wprowadzam mała˛ grup˛e boostów, dla której płaszczyzna S 2 jest podprzestrzenia˛ liniowa˛ wektorów własnych: dla ka˙zdego B z tej małej grupy i ∀k ∈ S 2 : Bk = k. Ta mała grupa jest 1-parametrowa: jest nim kat ˛ hiperboliczny ψ. Okre´slony boost z tej małej grupy zadajemy jednoznacznie wybierajac ˛ warto´sc´ ψ, albo zadajac ˛ wynik działania tego boostu na 1 wektor z V4 . Przyjmujemy: boost B jest zdefiniowany równaniem B e 0 := Le 0 . B – zdefiniowany jednoznacznie. Dalej definiuj˛e operator R := B −1 L. Aby ustali´c jego własno´sci, obliczam Re 0 = B −1 Le 0 = B −1 B e 0 = e 0 ⇒ R – obrót przestrzenny. Zatem: B R = B B −1 L = L. Dowodz˛e jednoznaczno´sci tej faktoryzacji. Niech L = B R = B 1 R 1 . Przekształcam t˛e równo´sc´ : B 1−1 · | B R = B 1 R 1 | · R −1 ⇒ B 1−1 B = R 1 R −1 – obrót przestrzenny niezmieniajacy ˛ e 0 jest −1 równy B 1 B. Boosty B i B 1 maja˛ t˛e sama˛ podprzestrzen ´ wektorów własnych S 2 ⇒ nale−1 z˙ a˛ do tej samej małej grupy ⇒ B 1 B – boost. Boost jest obrotem ⇒ B 1−1 B = I = R 1 R −1 ⇒ B 1 = B i R 1 = R. Uwaga. Obroty przestrzenne i boosty sa˛ zdefiniowane geometrycznie za pomoca˛ swoich wektorów własnych. Maja˛ one sens fizyczny obrotów w 3-wymiarowej przestrzeni fizycznej i szczególnych transformacji Lorentza tylko dla tego obserwatora inercjalnego, którego o´s czasu (czyli jego linia s´wiata) jest styczna do e 0 , gdzie Re 0 = e 0 i wektor e 0 jest ortogonalny do płaszczyzny S 2 wektorów własnych boostów.

9.7 Obroty zerowe Jest to mała grupa L N grupy L +↑ majaca ˛ jako wektor własny ustalony wektor zerowy k : Z ∈ L N i k ·k = 0 ⇒ Z k = k. Faktycznie mamy 1-wymiarowa˛ podprzestrzen ´ liniowa˛ wektorów własnych, © ª W := ak : k - ustalony wektor, k · k = 0, a ∈ R = N

– promien ´ s´wietlny.

Ta mała grupa ma specyficzne własno´sci – nie omawiam jej.

107

10 Relatywistyczna niezmienniczo´sc´ praw fizyki Mieli´smy zasad˛e wzgl˛edno´sci Galileusza-Einsteina, czyli Zasad˛e Niezmienniczo´sci Praw Fizyki: Fundamentalne równania fizyki sa˛ form-inwariantne wzgl˛edem transformacji mi˛edzy ró˙znymi IUO. Postulat STW: Fundamentalne równania fizyki sa˛ form-inwariantne wzgl˛edem transformacji Lorentza, czyli sa˛ relatywistycznie kowariantne. Kowariantno´sc´ – to współzmienniczo´sc´ tensorowa równan ´ przy transformacjach współrz˛ednych w czasoprzestrzeni. Wiemy: równania Lagrange’a mechaniki klasycznej sa˛ form-inwariantne (czyli współzmiennicze) wzgl˛edem transformacji Galileusza. Teorie relatywistycznie niezmiennicze: mechanika relatywistyczna, elektrodynamika Maxwella. Rozpatruj˛e elektrodynamik˛e. Poprzednio widzieli´smy: 3-wektory (zdefiniowane w przestrzeni wyznaczonej przez wybrany IUO) transformuja˛ si˛e w skomplikowany sposób przy transformacjach Galileusza i Lorentza. Ogólna zasada: wszystkie wielko´sci fizyczne opisujemy skalarami, wektorami i tensorami w M4 . W M4 wybieramy pewna˛ baz˛e afiniczna˛ (θ, {e α }), która definiuje IUO, czyli wprowadza foliacj˛e M4 przestrzeniami fizycznymi tego układu. Wektory e 1 , e 2 i e 3 wyznaczaja˛ w ka˙zdej chwili przestrzen ´ tego układu i definiuja˛ jednoznacznie 3-wektory e1 , e2 , e3 tworzace ˛ baz˛e w tej przestrzeni: ka˙zdy 3-wektor w w przestrzeni ma posta´c w = w 1 e1 + w 2 e2 + w 3 e3 ≡ w¡ i~ bi¢. Wektory w przestrzeni traktujemy jak wektory kontrawariantne: w ↔ w i . δi j - metryka przestrzeni ⇒ w i = δi j w j = w i – składowe kowariantne sa˛ równe składowym kontrawariantnym. Ró˙zniczka funkcji: df =

∂f ∂x i

µ

i

dx = ∇ f · d~x ⇒ wektor gradientu ma składowe ∇ f =

108

∂f ∂x

¶ . i

Piszemy w skrócie

∂f ∂x i

≡ ∂i f

⇒ d f = ∂i f dx i . ³ ´ ¡ ¢ w µ = w 0, w , w = w i . ³ ´ w µ = (w 0 , w i ) = w 0 , −w i = (w 0 , −w).

W M4 dowolny wektor w = w µ e µ zapisujemy Składowe kowariantne tego wektora: ∂f

Ró˙zniczka funkcji f (x α ) : d f = ∂x µ dx µ , piszemy ¡ ¢ ¡ ¢ ∂f ≡ ∂ f = ∂ f , ∂ f = ∂ f , ∇ f – składowe kowariantne gradientu. µ 0 i 0 ∂x µ Składowe kontrawariantne gradientu: ¡ ¢ ¡ ¢ ∂µ f = ηµν ∂ν f = ∂0 f , −∂i f = ∂0 f , −∇ f . Operator pochodnej czastkowej ˛

∂ ∂x µ

∂µ = (∂0 , ∇),

jest w M4 wektorem o składowych: ∂µ = (∂0 , −∇) ≡

∂ . ∂x µ

W przestrzeni pole elektromagnetyczne jest opisane dwoma 3-wektorami E i H. W M4 budujemy z nich antysymetryczny tensor nat˛ez˙enia pola elektromagnetycznego. Pola E i H budujemy z potencjałów elektromagnetycznych: E=− φ – potencjał skalarny A – potencjał wektorowy Postulat:

¾

1 ∂A − ∇φ, c ∂t

H = ∇ × A,

(13)

i

przy transformacjach x i → x 0 w przestrzeni.

w M4 potencjały φ i A sa˛ składowymi 4-wektora ¡ ¢ potencjału elektromagnetycznego A µ = φ, A . ¡ ¢ Oznaczam: A 0 ≡ φ ⇒ A µ = A 0 , A ,

¡ ¢ A µ = A 0 , −A .

Definicja 10.1. Tensor nat˛ez˙enia pola elektromagnetycznego jest 4-wymiarowa˛ rotacja˛ 4-wektora potencjału: F µν := ∂µ A ν − ∂ν A µ . F µν = −F νµ ⇒ jest 6 algebraicznie niezale˙znych składowych F µν . Wyra˙zaja˛ si˛e przez E i H. Aby te relacje znale´zc´ , rozpisuj˛e składowe 3-wektorów (13) w przestrzeni E3 za 109

pomoca˛ notacji dostosowanej do M4 . ¡ ¢ 1 ∂A i ∂A 0 E i = Ex , E y , Ez = − − = −∂0 A i − ∂i A 0 , kolejno i c ∂t ∂x E x = −∂0 A 1 − ∂1 A 0 , E y = −∂0 A 2 − ∂2 A 0 , E z = −∂0 A 3 − ∂3 A 0 .

(14)

H i = ²i kl ∂k A l ,

3-wektor rotacji ma składowe

²i kl – całkowicie antysymetryczny symbol Levi-Civity, ²123 = +1. Kolejno: Hx Hy Hz

 = ²1kl ∂k A l = ²123 ∂2 A 3 + ²132 ∂3 A 2 = ∂2 A 3 − ∂3 A 2 ,  = ²2kl ∂k A l = ²213 ∂1 A 3 + ²231 ∂3 A 1 = −∂1 A 3 + ∂3 A 1 ,  = ²3kl ∂k A l = ²312 ∂1 A 2 + ²321 ∂2 A 1 = ∂1 A 2 − ∂2 A 1 .

(15)

6 niezale˙znych składowych tensora F µν : F 01 = ∂0 A 1 − ∂1 A 0 = −∂0 A 1 − ∂1 A 0 = E x , F 02 = ∂0 A 2 − ∂2 A 0 = −∂0 A 2 − ∂2 A 0 = E y , F 03 = ∂0 A 3 − ∂3 A 0 = −∂0 A 3 − ∂3 A 0 = E z , F 12 = ∂1 A 2 − ∂2 A 1 = −∂1 A 2 + ∂2 A 1 = −H z , F 13 = ∂1 A 3 − ∂3 A 1 = −∂1 A 3 + ∂3 A 1 = +H y , F 23 = ∂2 A 3 − ∂3 A 2 = −∂2 A 3 + ∂3 A 2 = −H x . Macierz tego tensora: 

0  −E x F µν =  −E y −E z

Ex 0 Hz −H y

Ey −H z 0 Hx

 Ez  Hy  . −H x  0

(16)

Tensor kontrawariantny: F µν = ηµα ηνβ F αβ , wi˛ec F 0i = η0α ηi β F αβ = η00 ηi j F 0 j = −δi j F 0 j = −F 0i , F i j = ηi α η j β F αβ = ηi k η j i F kl = +F i j .

¾ (17)

W pró˙zni (obszar poza ładunkami elektrycznymi) mamy 8 równan ´ Maxwella: 1 ∂H , c ∂t 1 ∂E ∇×H = , c ∂t

∇×E = −

110

∇ · H = 0,

(18)

∇ · E = 0.

(19)

Równania (18) sa˛ spełnione to˙zsamo´sciowo, gdy za E i H wstawi´c A µ : ∇ · H = ∇ · (∇ × A) ≡ 0, µ ¶ 1 ∂A 1 ∂ ∇×E = ∇× − − ∇A 0 = − ∇ × A − 0 oraz c ∂t c ∂t 1 ∂H 1 ∂ − =− ∇ × A. c ∂t c ∂t 4 równania (19) daja˛ si˛e zapisa´c tensorowo. W tym celu rozpisuj˛e je na składowe. ∇ · E = ∂i E i = 0, ³

H = Hi

´

¡

¢ = Hx , H y , Hz ,

(20)

wi˛ec z (15):

¢ ∇ × H = ∂2 H 3 − ∂3 H 2 , −∂1 H 3 + ∂3 H 1 , ∂1 H 2 − ∂2 H 1 . ¡

(21)

Rozpatruj˛e dywergencj˛e 4-wymiarowa˛ ∂ν F µν . µ = 0 : ∂ν F 0ν = ∂i F 0i = { z (17) } = ∂i (−F 0i ) = { z (16) } = −∂i E i = { z (20) } = 0, 12 13 µ = 1 : ∂ν F 1ν = ∂0 F 10 + ∂i F 1i = −∂0 F 01 +∂0 F 01 + ∂2 F 12 + ¡ + ∂23F + ∂23¢F = { z (17) 1} = ∂ E x − (∇ × H)x = 0. ∂3 F 13 = ∂0 E x + ∂2 (−H z ) + ∂3 H y = ∂0 E x − ∂2 H − ∂3 H = { z (21) } = c ∂t Podobnie dla µ = 2, 3. Równania (19) przyjmuja˛ posta´c tensorowa˛ (kowariantna): ˛ ∂ν F µν = 0. Sa˛ to najprostsze mo˙zliwe równania ró˙zniczkowe czastkowe ˛ I rz˛edu dla F µν . Teraz rozpatruj˛e transformacj˛e (bierna) ˛ Lorentza od IUO tetrada˛ {e α } ¡ 0αwyznaczonego ¢ α ze współrz˛ednymi (x ) do innego IUO ze współrz˛ednymi x : x 0α = L α β x β . ¡ ¢α Transformacja odwrotna: x α = L −1 β x 0β . Składowe wektorów transformuja˛ si˛e według: v 0α = L α β v β ,

¡ ¢β v α0 = L −1 α v .

Ten drugi wzór wyprowadzamy na dwa sposoby. 1) Dla dowolnych wektorów u i v mamy ¡ ¢β u 0α v α0 = L α β u β v α0 = u β v β ⇒ z dowolno´sci u β : v β = L α β v α0 | · L −1 µ , ¡ ¢β ¡ ¢β v β L −1 µ = L α β L −1 µ v α0 = δα µ v α0 = v µ0 . 111

¢ν ¡ 2) v α0 = η αβ v β0 = η αβ L β µ v µ = η αβ L β µ ηµν v ν = ηνµ L β µ η βα v ν = L −1 α v ν . Operator pochodnej czastkowej ˛ ∂µ transformuje si˛e jak wektor kowariantny: je˙zeli α f (x ) – dowolna funkcja skalarna, to ∂0µ f ≡

¡ ¢α ¡ ¢α ∂f ∂ ∂ f ∂x α = = ∂α f · L −1 µ ⇒ ∂0µ = 0µ = L −1 µ ∂α . 0µ α 0µ ∂x ∂x ∂x ∂x

Dowodz˛e, z˙ e tensor pola elektromagnetycznego F µν transformuje si˛e jak tensor dwukrotnie kowariantny przy transformacji Lorentza. A µ – wektor kowariantny, wi˛ec ´ ³¡ ´ ¡ ³¡ ¢ ¢ ¢ ¡ −1 ¢α −1 α −1 β −1 β 0 0 0 0 0 F µν = ∂µ A ν − ∂ν A µ = L µ Aα = ν ∂β L ν Aβ − L µ ∂α L ¢β ¡ ¢ ¢α ¡ ¡ ¡ ¢α ¡ ¢β 0 = L −1 µ L −1 ν ∂α A β − ∂β A α = L −1 µ L −1 ν F αβ = F µν . Stad: ˛ F αβ ¡– tensor dwukrotnie kontrawariantny. Obliczam jego dywergencj˛e we współ¢ rz˛ednych x 0α : ¡ ¢β ¡ ¢ ¡ ¢β ∂0ν F 0µν = L −1 ν ∂β L µ α L ν γ F αγ = L −1 ν L ν γ L µ α ∂β F αγ = δβ γ L µ α ∂β F αγ = L µ α ∂β F αβ . Zatem: je˙zeli ∂β F αβ = 0 ⇒ ∂0ν F 0µν = 0 – równania Maxwella we wszystkich IUO maja˛ t˛e sama˛ form˛e: dywergencja ∂β F αβ = 0. To oznacza, z˙ e równania Maxwella sa˛ form-inwariantne (kowariantne, współzmiennicze, niezmiennicze) wzgl˛edem transformacji Lorentza. Natomiast tensor nat˛ez˙ enia pola F µν transformuje si˛e, czyli pola E i H ulegaja˛ zmianie: np. przy szczególnej transformacji Lorentza mamy ¡ ¢ ¡ ¢ ¾ E x0 = E x , E y0 = γ E y − βH z , E z0 = γ E z + βH y , ¡ ¢ ¡ ¢ H x0 = H x , H y0 = γ H y + βE z , H z0 = γ H z − βE y . Przykłady. 1) Je˙zeli w układzie S mamy tylko pole E poprzeczne do pr˛edko´sci wzgl˛ednej: E = (0, 0, E ), H = 0 , to w S 0 mamy skrzy˙ i magnetyczne, te˙z poprzeczne do ¡ ¢ zowane ¡ pola elektryczne ¢ 0 0 pr˛edko´sci: E = 0, 0, γE , H = 0, βγE , 0 . 2) W przypadku płaskiej fali elektromagnetycznej mamy pola E i H o równym nat˛ez˙ eniu i skrzy˙zowane, E = (0, E , 0) i H = (0, 0, H ), gdzie H = E , fala biegnie w kierunku osi Ox. Szczególna transformacja Lorentza wzdłu˙z tej osi daje E0 = (0, E 0 , 0) i H0 = (0, 0, H 0 ), gdzie 1−β E =H = 1+β 0

0

µ

¶1/2 E.

Przy transformacji w kierunku ruchu fali (β > 0) nat˛ez˙ enie obu pól mo˙zna uczyni´c dowolnie małym; przy transformacji w kierunku przeciwnym (β < 0) nat˛ez˙ enie mo˙zna 112

uczyni´c dowolnie du˙zym. Transformacja ta zmienia te˙z cz˛estotliwo´sc´ fali (zjawisko Dopplera) i jej zmiana dana jest tym samym wzorem. Zatem fala płaska nie ma inherentnie z˙ adnej niezmienniczej wielko´sci fizycznej: zale˙znie od wyboru IUO ta sama fala ma małe nat˛ez˙ enie i niska˛ cz˛estotliwo´sc´ , albo jest silna i jej fala jest bardzo krótka. Wynika to z faktu, z˙ e same równania Maxwella sa˛ wzgl˛edem transformacji Lorentza niezmiennicze, natomiast transformacje te odwzorowuja˛ jedne rozwiazania ˛ tych równan ´ w inne rozwiazania ˛ (z zachowaniem dwu relatywistycznych niezmienników pola elektromagnetycznego, z których jeden jest F µν F µν = 2(H2 − E2 )).

113

11 Mechanika relatywistyczna 11.1 Kinematyka relatywistyczna M4 – czasoprzestrzen´ = afiniczna przestrzen´ Minkowskiego. Rozpatrujemy krzywe jako odwzorowania odcinka otwartego (a, b) lub domkni˛etego [a, b] w M4 ⇒ obrazem krzywej (obrazem odcinka) jest 1-wymiarowy zbiór punktów w M4 , które sa˛ uporzadkowane ˛ za pomoca˛ parametru τ o warto´sciach z przedziału (a, b).

M4

k(a)

k(b) k

R

a b Krzywa k to odwzorowanie k : (a, b) 3 τ 7→ k(τ) ∈ M4 . (θ, {e α }) – wła´sciwa ortochroniczna baza afiniczna w M4 . Punkt k(τ) obrazu krzywej ma przedstawienie k(τ) = θ + x α (τ)e α ⇒ x α (τ) – współrz˛edne punktu k(τ) w tej bazie, czyli w reprezentowanym przez nia˛ IUO. Wektorem stycznym do krzywej k w punkcie dx α ≡ x˙ α . k(τ) nazywamy wektor v = v α e α , którego składowe v α sa˛ równe v α (τ) ≡ dτ Krzywa k jest: – czasowa je˙zeli wektor styczny x˙ α jest czasowy, η αβ x˙ α x˙ β > 0, – przestrzenna, je˙zeli wektor styczny x˙ α jest przestrzennopodobny, η αβ x˙ α x˙ β < 0 – zerowa, je˙zeli wektor styczny x˙ α jest zerowy, η αβ x˙ α x˙ β = 0. Rozpatrujemy tylko krzywe czasowe – ka˙zda krzywa czasowa mo˙ze by´c linia˛ s´wiata jakiej´s punktowej czastki ˛ materialnej z masa˛ spoczynkowa˛ m > 0. Niektóre krzywe zerowe sa˛ liniami s´wiata czastek ˛ z masa˛ spoczynkowa˛ m = 0. Sa˛ to fotony i neutrina (?). Ale nie mamy mechaniki relatywistycznej czastek ˛ bezmasowych, czyli nie mamy opisu ich oddziaływan ´ z innymi obiektami fizycznymi za pomoca˛ sił i potencjałów oddziaływan. ´ Fotony i neutrina opisujemy jako pola kwantowe – tu opis jest zasadniczo odmienny od mechaniki relatywistycznej. Fotony mo˙zemy opisywa´c niekwantowo w przybli˙zeniu optyki geometrycznej jako czastki ˛ punktowe z wektorem falowym 114

k α , k α k α = 0, stycznym do ich linii s´wiata – sa˛ to linie proste, bowiem fotony traktujemy jak czastki ˛ swobodne. Hipotetyczne tachiony miałyby linie przestrzenne jako swoje linie s´wiata; nie bierzemy ich pod uwag˛e. Linie czasowe: wzdłu˙z nich ds 2 > 0 ⇒ naturalnym parametrem jest długo´sc´ łuku s = czas własny mierzony przez zegar poruszajacy ˛ si˛e po tej linii s´wiata. x α = x α (s) u q u p k

p ma współrz˛edne x α (a) q ma współrz˛edne x α (b)

ˆb ¡

¢

s p, q =

⇒ długo´sc´ krzywej k od p do q jest

ˆb s η µν

ds = a

¾

a

dx µ dx ν ds = b − a. ds ds

dx α – specjalne oznaczenie wektora stycznego v, gdy τ = s. ds u α ma 3 składowe niezale˙zne ⇐ wektor jest z definicji unormowany do 1:

4-pr˛edko´sc´ czastki: ˛ u α :=

dx α dx β (ds)2 α β −2 u u α = η αβ = η αβ dx dx · (ds) = = 1, ds ds (ds)2 α

u α uα = 1

– relacja słuszna dla dowolnej krzywej czasowej, wynika wyłacznie ˛ z parametryzacji czasem własnym s.

115

Je˙zeli x α = x α (τ), τ – dowolny parametr skalarny, to wektor styczny = wektor pr˛edα ko´sci v α ≡ dx nie podlega z˙ adnym ograniczeniom poza v α v α > 0. dτ W danym IUO (czyli w dowolnej bazie afinicznej (θ, {e α })) lini˛e s´wiata czastki ˛ x α = x α (s) mo˙zemy sparametryzowa´c czasem tego układu: x α = x α (t ) ⇐⇒ x 0 = c t i x = x(t ). Wtedy 3-pr˛edko´sc´ czastki ˛ w tym IUO: v≡

dx , dt

v β≡ . c

W danym IUO czas własny czastki ˛ dany jest wzorem: s ds = c

1−

v2 c dt = dt c2 γ

⇒

dt 1 = γ. ds c

Stad: ˛ dx α dx α dx α dt 1 dx α = = γ , = (c, v), u = ds dt ds c dt dt ³ £ ¤ v´ 1 u α = γ, γ , γ = q , u α = 1. c 1 − β2 α

([q] to wymiar fizyczny wielko´sci q.) Składowe u α zale˙za˛ od 3 parametrów – składowych v ⇒ tylko 3 składowe u α sa˛ niezale˙znie. Ta parametryzacja ujawnia unormowanie u α : ¶ µ 2 v2 α 2 2v 2 u u α = γ − γ 2 = γ 1 − 2 = γ2 γ−2 = 1. c c Uwaga. 4-wektor u tak samo jak wektor styczny v, jest poj˛eciem geometrycznym – jest zdefiniowany jako wektor styczny do pewnej krzywej czasowej i ta definicja jest niezale˙zna od układu współrz˛ednych. Dopiero wskazanie składowych u α wektora wymaga układu współrz˛ednych, czyli wybrania bazy afinicznej (θ, {e α }), u = u α e α . Natomiast 3-wektor nie ma sensu geometrycznego i jest zdefiniowany w okre´slonym IUO. v = dx dt Je˙zeli krzywa x α = x α (s) nie jest linia˛ prosta, ˛ to czastka, ˛ dla której jest ona linia˛ s´wiata, doznaje przyspieszen ´ – działa na nia˛ siła zewn˛etrzna. 4-wektor przyspieszenia czastki: ˛ w α :=

du α d2 x α = . ds ds 2 116

Mamy: µ α ´ β¶ du β d³ du β α β α du u uα = 1 ⇒ η αβ u u = η αβ u +u = 2η αβ u α = 0, ds ds ds ds α

zatem u α w α ≡ η αβ u α w β = 0 – wektor przyspieszenia jest ortogonalny do pr˛edko´sci czastki. ˛ Wektor czasowy u moz˙ e by´c ortogonalny tylko do wektora przestrzennego ⇒ wektor przyspieszenia w jest przestrzenny, w α w α < 0. W danym IUO mamy 3-wektor przyspieszenia wzgl˛edem czasu t : dv d2 x = . Wyra˙zam wektor w przez 3-wektory a i v: dt dt 2 ¡ ¢−1/2 ¡ 1 ¢¡ ¢−3/2 0 dγ dt dγ dγ dβ d 1 − β2 = dt ds = 1c γ dt , dt = dt = − 2 1 − β2 w 0 = du (−2)β · dt , ds a :=

dγ 1 = 2 γ3 v · a ⇒ w 0 = c13 γ4 v · a, podobnie dla w. dt c µ ¶ · ¸ 1 4 1 1 v 1 w = w , w = 2γ v · a, v·a + 2a . c c c c γ α

¡

0

¢

£

¤ w α = cm−1

Cz˛es´c´ przestrzenna w przyspieszenia w α nie jest proporcjonalna do a. Kwadrat długo´sci w: w αwα = −

¶2 ¸ · µ 1 4 2 1 2 v · a + a γ < 0. γ c4 c

Dla ruchu 1-wymiarowego: v = (v, 0, 0), a = (a, 0, 0), mamy wα =

´ a 4³ v , 1, 0, 0 γ c2 c

oraz

w αwα = −

a2 6 γ . c4

11.2 Relatywistyczny p˛ed kinetyczny P˛ed czastki ˛ punktowej w mechanice relatywistycznej mo˙zna wprowadzi´c na dwa sposoby: – z rozwa˙zan ´ heurystycznych wyprowadzi´c relatywistyczny p˛ed p – z zało˙zenia cz˛es´c´ przestrzenna˛ pewnego 4-wektora p α , czyli p˛edu kinetycznego, 117

– zapostulowa´c całk˛e działania dla relatywistycznej czastki ˛ swobodnej i ze skalarnego lagrangianu zdefiniowa´c 4-wektor relatywistycznego p˛edu kanonicznego tak jak w mechanice analitycznej. Dla czastki ˛ swobodnej p˛ed kinetyczny i kanoniczny pokrywaja˛ si˛e. Tutaj nie stosuj˛e formalizmu Lagrange’a i operuj˛e tylko p˛edem kinetycznym. Pewne rozwa˙zania heurystyczne sugeruja˛ nast˛epujac ˛ a˛ definicj˛e wektora p˛edu kinetycznego: p α ≡ mcu α = mc

¢ dx α ¡ 0 ¢ ¡ = p , p = mcγ, mγv . ds

m – masa spoczynkowa czastki ˛ = masa czastki ˛ mierzona w chwilowym układzie spoczynkowym – z definicji jest to relatywistyczny skalar. W IUO, w którym czastka ˛ porusza si˛e, pomiar jej masy da warto´sc´ ró˙zna˛ od m – jest to tzw. "masa relatywistyczna". Masa spoczynkowa jest wa˙zna˛ charakterystyka˛ czastki ˛ i nia˛ b˛edziemy operowa´c. Kwadrat długo´sci: p α p α = m 2 c 2 ⇒ p˛ed p α ma tylko 3 składowe niezale˙zne p i , a p 0 jest ich funkcja. ˛ P˛ed kinetyczny jest zachowany: – dla czastek ˛ swobodnych, – w zderzeniach czastek ˛ punktowych. Interpretacj˛e fizyczna˛ składowej p 0 podam dalej. Dalej p zawsze oznacza relatywistyczny p˛ed mγv, a p˛ed nierelatywistyczny zapisuj˛e mv.

11.3 Relatywistyczne równania Newtona ~ spełnia równania Mechanika klasyczna: ruch czastki ˛ o masie m, na która˛ działa siła F d Newtona dt (mv) = F. W STW postulujemy: w danym IUO (w bazie (θ, {e α })) linia s´wiata czastki ˛ o masie m i p˛edzie p = mγv spełnia relatywistyczne niekowariantne równania Newtona dp = F. dt

Max Plank 1906

F = F(x, t ) – zadana siła zewn˛etrzna, mechaniczna lub polowa (zewn˛etrzne pole elektromagnetyczne), która nie ulega zmianie wskutek ruchu czastki. ˛

118

Podobnie: układ n czastek ˛ o p˛edach pa , a = 1, 2, ..., n w polu sił zewn˛etrznych ma równania dpa = F(xa , t ). dt Je˙zeli siła działajaca ˛ na czastk˛ ˛ e a ma zale˙ze´c tylko od czasu t i jej poło˙zenia xa , to mamy silne ograniczenie na form˛e oddziaływania. Siła F mo˙ze by´c: 1) siła˛ zewn˛etrzna˛ wywierana˛ przez otoczenie, np. siła˛ Lorentza wywierana˛ przez zewn˛etrzne pola E i H na ładunek elektryczny e, dp e = eE + v × H, dt c 2) siła˛ kontaktowa˛ mi˛edzy czastkami ˛ działajac ˛ a˛ w momencie zderzen, ´ 3) siła˛ wewn˛etrzna, ˛ je˙zeli dana czastka ˛ jest układem zło˙zonym, np. siła˛ typu silnika rakiety. Czastki ˛ elementarne oddziałuja˛ siłami dalekozasi˛egowymi, np. elektromagnetycznymi – oddziaływanie dwóch ładunków elektrycznych prowadzi do zagadnienia ruchu ciał naładowanych – relatywistyczny problem dwóch ciał. Eksperyment: oddziaływania dalekozasi˛egowe nie sa˛ natychmiastowe, propaguja˛ si˛e z pr˛edko´scia˛ 6 c ⇒ sa˛ przenoszone polem fizycznym (specyficzna forma materii) niosacym ˛ własny p˛ed i energi˛e ⇒ kinetyczny p˛ed i energia oddziałujacych ˛ czastek ˛ nie sa˛ zachowane – trzeba uwzgl˛edni´c w bilansie energi˛e i p˛ed pola. Siła działajaca ˛ na czastk˛ ˛ e A ze strony B zale˙zy od ruchu B w chwili wcze´sniejszej. t

A

B

x

Mechanika klasyczna: nierelatywistyczny problem dwóch ciał – oddziaływanie natychmiastowe: F = F(r A (t ) − rB (t )). Siła działajaca ˛ na A ze strony B w chwili t jest okre´slona przez wzajemne poło˙zenia r A (t )

119

˛ A natychmiast odczuwa zmian˛e poło˙zenia B ⇐⇒ oddziaływanie biei rB (t ) ⇒ czastka gnie z nieskonczon ´ a˛ pr˛edko´scia. ˛ Dzi˛eki temu: d równania nierelatywistyczne Newtona dt (mv) = F sa˛ zwyczajnymi równaniami ró˙zniczkowymi. W rzeczywisto´sci oddziaływania fundamentalne rozchodza˛ si˛e z pr˛edko´scia˛ c ⇒ propaguja˛ si˛e po sto˙zku s´wietlnym. t

A

B

t0 t0 x

Elektrodynamika ˛ w chwili t 0 na czastk˛ ˛ e A ze strony B : F AB = ¡ ¡ ¢¢ klasyczna: siła działajaca F AB r A (t 0 ), rB t 0 – zale˙zy od ruchu czastki ˛ B w momencie t 0 emisji sygnału, ¡ ¢¯ 1¯ t 0 − t 0 = ¯r A (t 0 ) − rB t 0 ¯. c Zatem: siła działajaca ˛ na czastk˛ ˛ e A ze strony B jest siła˛ Lorentza, przy czym pola E i H w r A (t 0 ) zale˙za˛ od poło˙zenia, pr˛edko´sci i przyspieszenia ładunku B w momencie t 0 . Równania relatywistyczne Newtona z siła˛ zale˙zna˛ od t 0 i t 0 – równania ró˙zniczkowofunkcyjne. Relatywistyczny problem dwóch ciał jest nierozwiazany ˛ ze wzgl˛edu na ogromne trudno´sci matematyczne. Mechanika relatywistyczna ma ograniczony zakres stosowalno´sci – do 3 typów sił podanych powy˙zej. Oddziaływania czastek ˛ elementarnych opisujemy w ramach teorii pola – klasycznego lub kwantowego. Rozpatrujemy pojedyncza˛ czastk˛ ˛ e pod działaniem siły zewn˛etrznej F. Lewa strona równan ´ Newtona: dv dγ 1 d ¡ ¢ dγ γv = v + γ , tu = 2 γ3 v · a ⇒ dt dt · dt dt c ¸ 1 – relatywistyczna siła F nie jest F = mγ 2 γ2 (v · a)v + a równoległa do przyspieszenia a. c

11.4 Całkowita energia kinetyczna Rozpatrujemy czastk˛ ˛ e o masie spoczynkowej m w dowolnym ruchu – mo˙ze oddziaływa´c z otoczeniem. Interesuje nas jej całkowita energia kinetyczna wynikajaca ˛ z faktu, 120

z˙ e w danym IUO ma chwilowa˛ pr˛edko´sc´ v – jest to energia zwiazana ˛ ze stanem ruchu czastki. ˛ Nie uwzgl˛edniamy energii oddziaływan ´ czastki, ˛ traktujemy ja˛ jak swobodna. ˛ Definicja 11.1. Całkowita energia kinetyczna czastki ˛ w danym IUO jest suma˛ energii spoczynkowej E (0) zwiazanej ˛ z jej masa˛ oraz pracy W (v) wykonanej przez zewn˛etrzna˛ sił˛e F koniecznej do rozp˛edzenia czastki ˛ do pr˛edko´sci v, E (v) = E (0) + W (v). dp

Zmiana energii kinetycznej pod działaniem F : dE = dW := F · v dt = v · dt dt . Aby scałkowa´c dW po czasie t , ró˙zniczkuj˛e po t wielko´sc´ p α pα = m2c 2 | przez dp 0 dt

=

d dt ,

p0

dp 0 dt

dp

− p · dt = 0,

p 0 : p = mγv = 1c mcγv = dp dp 1 1 0 · p v · dt = 1c v · dt ⇒ p0 c ´v 0 0

dp 0 dt

=

dp 1 p · dt , p0

1 0 ec c p v, wi˛ dp 0 dp dW dt = v · dt = c dt

tu p wyra˙zam

¯´ ¯ ,

dW = c p (v) − c p (0) = c p 0 − mc 2 .

W (v) =

0

Dostajemy: E (v) = c p 0 (v) − mc 2 + E (0). Ustalenie E (0) jest poza zakresem geometrycznej STW: nie wynika z geometrii M4 . E (0) okre´slamy z do´swiadczenia i heurezy. E (0) – definiowana i mierzona w układzie własnym ⇒ wielko´sc´ skalarna okre´slona wewn˛etrznymi własno´sciami czastki ˛ ⇒ E (0) = 0 lub proporcjonalna do mc 2 – wymiar energii. 1) Je´sli E (0) = 0 ⇒ czastka ˛ w spoczynku nie ma energii ⇒ E = c p 0 − mc 2 – wielko´sc´ hybrydowa: suma składowej p 0 4-wektora i skalara mc 2 ⇒ energia nie ma prostych własno´sci transformacyjnych przy transformacji Lorentza. Tak jest w fizyce nierelatywistycznej i niekwantowej: materia jest trwała – z nieruchomego ciała (po wykorzystaniu wszystkich egzotermicznych reakcji chemicznych) nie da si˛e wydoby´c energii. 2) Eksperyment: czastki ˛ elementarne nie sa˛ absolutnie trwałe (poza protonem i elektronem i w pewnym sensie neutrinami) – w procesach kwantowych ulegaja˛ samoistnym rozpadom, gdy sa˛ swobodne, a w reakcjach z innymi czastkami ˛ zmieniaja˛ to˙zsamo´sc´ lub ulegaja˛ anihilacji. Rozpady: n → p + e − + νe , π0 → 2γ, π− → µ− + νµ , µ− → e − + νe + νµ . Suma mas produktów rozpadu jest mniejsza, np. rozpad neutronu: m p + m e + m νe < m n , n rozpada si˛e w spoczynku, p, e i νe maja˛ energi˛e kinetyczna˛ ⇒ n w spoczynku ma energi˛e, której cz˛es´c´ ujawniła si˛e w rozpadzie jako energia kinetyczna p, e i νe . Rozpad π0 : dwa fotony niosa˛ energi˛e równa˛ łacznie ˛ mπ c 2 . Kwantowy proces anihilacji elektronu (negatonu) i pozytonu: e − +e + → 2γ – energia 121

obu fotonów jest 2m e c 2 . Anihilacje czastek ˛ materii i odpowiadajacych ˛ im antycza˛ stek antymaterii daja˛ finalnie sama˛ energi˛e w postaci fotonów. Postulat empiryczny: E (0) = mc 2 – ka˙zde ciało ma energi˛e spoczynkowa˛ mc 2 , która˛ mo˙zna uwolni´c w odpowiednim procesie fizycznym, np. w wyniku anihilacji z takim samym ciałem zbudowanym z antymaterii. To jest równowa˙zno´sc´ masy spoczynkowej i energii: ciało o masie m ma energi˛e spoczynkowa˛ E = mc 2 i na odwrót – ka˙zdej energii E odpowiada masa bezwładna E /c 2 . Całkowita energia kinetyczna czastki ˛ (spoczynkowa i energia ruchu): E (v) = mc 2 γ = c p 0 . Powy˙zsze reakcje sa˛ do´sc´ egzotyczne, bo sa˛ zwykle obserwowane w akceleratorach cza˛ stek. Istnieje makroskopowy i kluczowy dla naszego istnienia przykład uwalniania energii spoczynkowej: reakcje termojadrowe ˛ w Słoncu. ´ Jadro ˛ o masie m(Z , N ) zbudowane z Z protonów i N neutronów ma¢ ujemna˛ energi˛e wiazania ˛ ¡ 2 2 E B := m(Z , N )c − Z m p + N m n c < 0 – jego masa jest mniejsza od sumy mas składników – jest to deficyt masy. Energia −E B jest uwalniana w procesach syntezy jader ˛ ci˛ez˙ 33 szych z jader ˛ l˙zejszych. Słonce ´ emituje 4 · 10 erg/s energii promienistej ⇒ jego masa m ¯ maleje o ≈ 4 miliony ton na sekund˛e. Wszystkie powy˙zsze reakcje moga˛ te˙z biec w przeciwna˛ stron˛e: zamiana energii na mas˛e spoczynkowa˛ – procesy kreacji czastek. ˛ Np. kreacja pary e + e − przez par˛e fotonów − + γ + γ → e + e – suma energii fotonów jest > 2m e c 2 . Fizyka nierelatywistyczna i niekwantowa: oddzielnie prawo zachowania energii i prawo zachowania masy. Fizyka relatywistyczna: tylko prawo zachowania energii (podaj˛e dalej). Rozwijam E (v) w szereg: E (v) =

2 mc |{z}

energia spoczynkowa

1 mv 2 2 | {z }

+

nierelatywistyczna energia kinetyczna

+

3 mv 4 5 mv 6 + + ... 2 4 16 {z c } |8 c poprawki relatywistyczne

E (v) = cp 0 ⇒ 4-wektor energii-p˛edu czastki: ˛ µ ¶ ¡ ¢ E p = mcu = m cγ, γv = ,p ⇒ c q 1 2 α 2 2 2 p p α = 2 E − p = m c ⇒ E = + c 2 p2 + m 2 c 4 . c α

α

122

vi =

Definicja zmiany energii kinetycznej, dE = v · dp daje

i ¡ ¢1/2 ∂E 2p = c E = c 2 p2 + m 2 c 4 ⇒ vi = E ∂p i

Tutaj 3-wymiarowe indeksy traktujemy jak w E3 : p2 = ¡ k k¢ ∂ p p = 2p i – suma po k. i ∂p

P k

∂E ∂p i

, tu wstawiam

⇒ p=

E v. c2

pk pk ⇒

11.4.1 Własno´sci transformacyjne 4-p˛edu p α P˛ed p α jest 4-wektorem przy transformacjach grupy L +↑ oraz przy inwersji przestrzeni P , czyli przy transformacjach ortochronicznej grupy Lorentza L ↑ = L +↑ ∪ L −↑ = L +↑ ∪ P L +↑ : je˙zeli L ∈ L ↑ to p 0α = L α β p β – transformacja składowych wektora. Ciag ˛ wielko´sci w α jest pseudowektorem przy transformacji współrz˛ednych x 0α = A α β x β , je˙zeli transformuje si˛e według w 0α =

det A α β A βw . |det A|

Przy inwersji czasu T mamy x 00 = −x 0 i długo´sc´ łuku linii czasowej transformuje si˛e według ds 0 = γc dt 0 = − γc dt = − ds – długo´sc´ łuku jest pseudoskalarem wzgl˛edem inwersji T : zmienia znak, bo długo´sc´ łuku liczymy teraz w przeciwnym kierunku od punktu poczatkowego. ˛ Zatem: µ ¶ 0 − dx 0 dx 0i dx i dx 00 0 0i 0 p = mc = mc = p , p = mc = mc = −p i , ds 0 − ds ds 0 (− ds) ³ ´ det T α β p 0α = p 0 , −p i = −T α β p β = T βp |det T | – 4-p˛ed p α jest pseudowektorem wzgl˛edem inwersji czasu T . Fizycznie: przy odwróceniu kierunku czasu p˛ed zmienia kierunek, p → −p, a energia czastki ˛ nie zmienia si˛e i pozostaje dodatnia.

11.5 Prawo zachowania 4-p˛edu ¡ ¢ 1) Jedna czastka ˛ swobodna: F = 0 ⇒ p = const, E = E p2 ⇒ E = const ⇒ p α = const – całkowity p˛ed czastki ˛ swobodnej jest zachowany. 123

2) Układ n czastek ˛ swobodnych (brak oddziaływan ´ długozasi˛egowych, brak zderzen): ´ n P p aα = const, a = 1, .., n ⇒ całkowity 4-p˛ed p aα = const. a=1

3) Je˙zeli czastki ˛ oddziałuja˛ siłami dalekozasi˛egowymi (np. oddziałuja˛ elektromagnetycznie), to energie i p˛edy samych czastek ˛ nie sa˛ zachowane: zachowana jest całkowita energia i p˛ed czastek ˛ i ich pola – dowodzi si˛e tego w teorii pola. Je˙zeli czastki ˛ oddziałuja˛ z otoczeniem, np. ze zmiennym zewn˛etrznym polem elektromagnetycznym, to na ogół nie ma z˙ adnych praw zachowania (bo trzeba uwzgl˛edni´c procesy zachodzace ˛ w z´ ródle siły zewn˛etrznej, a to zwykle jest niemo˙zliwe). Czastki ˛ elementarne: – oddziaływania długozasi˛egowe (np. elektromagnetyczne) opisujemy teoria˛ pola, – oddziaływania silne (jadrowe) ˛ i słabe (odpowiadaja˛ za rozpady czastek, ˛ np. neutronu) sa˛ krótkozasi˛egowe ⇒ działaja˛ niemal kontaktowo przy zderzeniach czastek ˛ ⇒ opis fenomenologiczny: nie badamy szczegółowo dynamiki oddziaływania, tylko patrzymy na charakterystyki czastek ˛ przed i po reakcji i szukamy wielko´sci zachowanych. Opis fenomenologiczny stosujemy do bardzo wa˙znych 2-ciałowych reakcji zderzenia nieelastycznego (proces niemechaniczny) A + B → C + D, Np. reakcja termojadrowa ˛ we wczesnym Wszech´swiecie 3 H+D → 4 He+n – czastki ˛ zmieniaja˛ to˙zsamo´sc´ ⇒ nie mo˙zna bezpo´srednio stosowa´c relatywistycznych równan ´ Newtona. Fenomenologicznie uzasadniamy tez˛e, która jest dobrze zgodna z do´swiadczeniem: w dowolnej reakcji 2-ciałowej zderzen ´ czastek ˛ (oddziaływania kontaktowe) całkowity p˛ed p i całkowita energia E sa˛ zachowywane, co prowadzi do zachowania całkowitego 4− p˛edu, α p αA + p Bα = p Cα + p D .

Tak samo jest dla reakcji wielociałowych (n > 2 czastek ˛ na wej´sciu lub wyj´sciu).

11.6 Kowariantne relatywistyczne równania Newtona Mechanika relatywistyczna spełnia zasad˛e wzgl˛edno´sci Galileusza-Einsteina ⇒ jedp z˙ eli w pewnym IUO spełnione sa˛ równania dt = F, to w ka˙zdym innym IUO obowia˛ zuja˛ analogiczne równania ruchu. Aby je jawnie zapisa´c, trzeba ustali´c jak transformuje si˛e siła F. Wygodnie jest zastosowa´c zasad˛e form-inwariantno´sci praw fizyki: dynamika relatywistyczna winna by´c opisana równaniami tensorowymi – sa˛ kowariantne (współzmiennicze) przy transformacji Lorentza. Linia s´wiata czastki ˛ w wybranym IUO

124

jest dana parametrycznie x = x(t ). Przechodzimy do parametryzacji czasem własnym s, x α = x α (s). Zmiana p˛edu p α (s) zachodzi pod działaniem 4-wektora siły Minkowskiego K α : dp α d2 x α ≡ mc = K α. ds ds 2 K α – 4-wektor siły mechanicznej lub polowej działajacej ˛ na czastk˛ ˛ e. W dowolnie wybranym IUO wyra˙zam go za pomoca˛ siły F i pr˛edko´sci v. Dla dowolnej funkcji f mamy df 1 df ec stosujac ˛ znane wzory dla F i pochodnej d γ/d t dostajemy kolejno ds = c γ dt , wi˛ ¡ ¢ dp 0 1 d d 0 K = ds = c γ dt mcγ = mγ dt γ = mγ c12 γ3 v · a; h 2 i γ γ4 γ F = mγ c 2 (v · a)v + a ⇒ F · v = mγ3 (v · a) ⇒ K 0 = c 2 m(v · a) = c 2 F · v, dalej K =

dp ds

=

γ dp , czyli c dt

¡ ¢ ³γ γ ´ K α = K 0 , K = 2 F · v, F . c c Kα =

dp α ds

= mc w α – wektor przestrzenny, γ2 K Kα = 2 c α

Poniewa˙z

11.7

dE dt

= F·v ⇒ K0 =

·µ

F·v c

¶2 −F

2

¸ < 0.

γ dE . c 2 dt

Ruch jednostajnie przyspieszony

Całkowanie relatywistycznych równan ´ Newtona (gdy sa˛ równaniami zwyczajnymi a nie równaniami ró˙zniczkowo-funkcyjnymi) jest du˙zo trudniejsze ni˙z nierelatywistycznych równan ´ Newtona (lub Lagrange’a) ⇒ znanych jest niewiele rozwiaza ˛ n. ´ Najprostsze rozwiazanie ˛ dla F 6= 0 – ruch jednostajnie przyspieszony (ruch hiperboliczny). Ruch jednostajnie przyspieszony w mechanice klasycznej: je˙zeli a = dv = const ⇒ dt 1 2 v = at i x = 2 at , a = const w ka˙zdym IUO. ©¡ ¢ª STW: bior˛e ruch 1-wymiarowy w płaszczy´znie Minkowskiego M2 = x 0 , x 1 . Jedno2

stajne przyspieszenie w STW to nie jest stałe a = ddt x2 w dowolnym IUO – je˙zeli a = const w wybranym S, to w ka˙zdym innym IUO przyspieszenie a 0 6= const. Jedyny IUO wyró˙zniony przez czastk˛ ˛ e w punkcie p jej linii s´wiata – jej chwilowy układ spoczynkowy S p w p.

125

ct

ct0

x0

Sp p

x

LAB

LAB – wybrany, ustalony IUO, S p – chwilowy układ spoczynkowy czastki ˛ w p, jego o´s czasu jest styczna w p do jej linii s´wiata. W innych punktach linii s´wiata chwilowy układ własny jest ró˙zny od S p . W S p : dx 0 = 0, dt 0 d2 x 0 a 0 (p) = 6= 0. dt 0 2 v 0 (p) =

Definicja 11.2. Ruch jest jednostajnie przyspieszony, je˙zeli w ka˙zdym chwilowym układzie własnym (tzn. w chwilowym układzie własnym w ka˙zdym punkcie linii ´swiata) przyspieszenie czastki ˛ jest takie samo, a 0 = const ≡ w. W przypadku ruchu 1-wymiarowego 4-wektor przyspieszenia w α jest dany znanym wzorem 4 ¡ ¢ γ w α = a c 2 vc , 1, 0, 0 ⇒ w układzie własnym S p : w 0α = cw2 (0, 1, 0, 0). Ruch jednostajnie przyspieszony opisuj˛e w ustalonym IUO LAB. W tym układzie ¡ ¢ ¡ ¢2 ¡ ¢2 u = u 0 , u 1 , 0, 0 oraz u 0 − u 1 = 1 ⇒ u 0 = cosh ϕ(s) i u 1 = sinh ϕ(s), ϕ(s) – dowolna funkcja czasu własnego s. ¡ ¢ α Ta posta´c 4-pr˛edko´sci, u = cosh φ, sinh φ, 0, 0 , stosuje si˛e w ka˙zdym IUO, w którym ruch jest 1-wymiarowy ⇒ zachowuje si˛e przy szczególnej transformacji Lorentza wzdłu˙z α

126

osi Ox : ¶µ ¶ µ ¶ cosh ψ − sinh ψ cosh ϕ cosh ψ cosh ϕ − sinh ψ sinh ϕ = = − sinh ψ cosh ψ sinh ϕ − sinh ψ cosh ϕ + cosh ψ sinh ϕ ¡ ¢¶ µ cosh¡ ϕ − ψ¢ = . sinh ϕ − ψ

µ

W ustalonym IUO LAB wyznaczam funkcj˛e ϕ(s) dla ruchu jednostajnie przyspieszone¡ ¢ α 0 go. Przyspieszenie w LAB: w α = du = ϕ (s) sinh ϕ, cosh ϕ, 0, 0 . Aby wyznaczy´ c ϕ(s) ds obliczam długo´sc´ wektora ¡ przyspieszenia ¢w LAB02i w S p : 2 2 α 02 w LAB : w w α = ϕ sinh ϕ − cosh ϕ = −ϕ , 2

2

dϕ

dϕ

w S p : w 0α w α0 = wc 4 (−1) ⇒ ϕ02 = wc 4 . Zakładam w > 0 i ds > 0 ⇒ ds = + cw2 . Tu korzystam z faktu, z˙ e ruch jest jednostajnie przyspieszony : w = const. Całkuj˛e: ϕ(s) = ws + const. Warunek poczatkowy ˛ w LAB: dla s = 0 czastka ˛ chwilowo spoczywa : u 1 (0) = c2 0 ⇒ sinh(0 + const) = 0 ⇒ const = 0, ϕ(s) =

ws . c2

Znajduj˛e lini˛e s´wiata w LAB: ´ 0 2 ws 0 = cosh u 0 = dx ⇒ x = cosh wc 2s ds = cw sinh wc 2s +C 1 . 2 ds c 2

Ustalam punkt poczatkowy: ˛ x 0 (0) = 0 oraz x 1 (0) = cw . Wtedy C 1 = 0. Dalej: u 1 = dx = sinh wc 2s ⇒ x 1 = x = ds Dostajemy:

´

2

sinh wc 2s ds = cw cosh wc 2s +C 2 , a stad ˛ C 2 = 0.

2

x 0 = c t = cw sinh wc 2s , 2

x 1 = x = cw cosh wc 2s .

Linia s´wiata ruchu jednostajnie przyspieszonego przedstawiona na płaszczy´znie euklidesowej to gała´ ˛z hiperboli: ¡

x0

¢2

¡ ¢2 c4 − x1 = − 2 . w

Równanie hiperboli η µν x µ x ν = const < 0, jest niezmiennicze wzgl˛edem transformacji Lorentza ⇒ ruch jest hiperboliczny nie tylko w tym ustalonym LAB, lecz w ka˙zdym innym IUO. Poniewa˙z ta hiperbola to faktycznie pseudo-okrag ˛ na M2 , wi˛ec ka˙zdy punkt 127

linii s´wiata dla ruchu jednostajnie przyspieszonego jest równoodległy (interwał czasoprzestrzenny jest taki sam) od poczatku ˛ układu współrz˛ednych, czyli od x 0 = x 1 = x 2 = 3 x = 0. Wyznaczam pewne własno´sci ruchu hiperbolicznego. 1) Pr˛edko´sc´ jako funkcja czasu własnego. v – pr˛edko´sc´ czastki ˛ w LAB. Mamy: u 0 = cosh wc 2s , a jednocze´snie u 0 = γ. Stad: ˛ ¡ v ¢2 ¡ 0 ¢−2 −2 w s u = cosh c 2 = 1 − c ⇒ v ws = tgh 2 . c c Ten sam wynik dostaje si˛e z β =

v c

(22)

1

= dx . dx 0

2) Pr˛edko´sc´ jako funkcja czasu w LAB. ³ 2 ´−1 0 = Z (22): vc = tgh wc 2s = xx 1 = c t cw cosh wc 2s µ ¶ h 0 i2 −1/2 wt wx 1 + ⇒ c c2 v=p

wt c

³

1 + sinh2 wc 2s

cwt (w t )2 + c 2

´−1/2

=

< c.

(23)

Dla t → ∞ : v → c – asymptota˛ hiperboli jest sto˙zek s´wietlny. 3) Czas t jako funkcja pr˛edko´sci w LAB. Odwracam (23): (w t )2 = t =γ

v . w

v2 ¡ ¢2 1− vc

⇒ (24)

4) Czas własny jako funkcja pr˛edko´sci w LAB. 1+β Odwracam (22): β = tgh wc 2s ⇒ wc 2s = artghβ = 12 ln 1−β ⇒ ¢¤ s c £ ¡ = ln γ 1 + β . c w Komentarz: według mechaniki nierelatywistycznej czas jednostajnego przyspieszania do pr˛edko´sci v jest wv ⇒ zgodnie z (24) czas ten mierzony w LAB jest według STW γ razy dłu˙zszy. Przykłady. Rakieta z Ziemi (LAB) rozp˛edzona do pr˛edko´sci v ≈ c. Dla astronautów jest po˙zadane, ˛ by c −2 rakieta miała stałe przyspieszenie równe ziemskiemu g , czyli w = g ∼ = 10 m s ⇒ = w 7 3 × 10 s ≈ 1 rok (1 rok ' 31 557 000 s). 128

1) β = 0.9 ⇒ γ ∼ = 2.294. Czas rozp˛edzania rakiety mierzony na Ziemi: t ≈ 1.963 lat. W rakiecie upłynie czas cs = 4.416 × 107 s ≈ 1.4 lat. 2) β = 0.99 ⇒ γ ∼ = 7.089. t ≈ 6.67 lat oraz

s c

≈ 2.516 lat.

Loty mi˛edzygwiezdne wymagaja˛ wi˛ecej czasu ziemskiego na rozp˛edzenie i wyhamowanie rakiety ni˙z przewiduje fizyka nierelatywistyczna. Uwaga. Wyznaczenie linii s´wiata ruchu jednostajnie przyspieszonego nie wymaga w ogóle całkowania relatywistycznych równan ´ Newtona. Z rozwiazania ˛ ³ mo˙zna wyznaczy´c sił˛´e Minws ws kowskiego K α oraz sił˛e F. Mamy: K α = mc w α ⇒ K α = mw 2 , 0, 0 . c sinh c 2 , cosh ³ c ´ γ ws Stosujac ˛ znana˛ ju˙z relacj˛e pomi˛edzy K α i F, K = c F, dostajemy F = mw cosh , 0, 0 . γ c2

K ON I E C

129

Dodatek: wybrane fragmenty oryginalnego skryptu

130

131

132