Stabile Modulformen und Eisensteinreihen 3540171819, 9783540171812

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Lecture Notes in Mathematics Edited by A. Oold and B. Eckmann

1219 Rainer Weissauer

Stabile Modulformen und Eisensteinreihen

Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York London Paris Tokyo

Lecture Notes in Mathematics Edited by A. Oold and B. Eckmann

1219 Rainer Weissauer

Stabile Modulformen und Eisensteinreihen

Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York London Paris Tokyo

Autor

Rainer Weissauer Mathematisches lnstitut, Universitat Heidelberg 1m Neuenheimer Feld 288, 6900 Heidelberg, Federal Republic of Germany

Mathematics Subject Classification (1980): 10-XX

ISBN 3-540-17181-9 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York ISBN 0-387-17181-9·Springer-Verlag New York Berlin Heidelberg CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek. Weissauer, Rainer: Stabile Modulformen und Eisensteinreihen 1Rainer Weissauer. - Berlin; Heidelberg; New York; London; Paris; Tokyo: Springer, 1986. (Lecture notes in mathematics; 1219) ISBN 3-540-17181-9 (Berlin ...) ISBN 0-387-17181-9 (New York ...) NE:GT This work is subject to copyright. All rights are reserved, whether the whole or part of the material is concerned, specifically those of translation, reprinting, re-use of illustrations, broadcas1ing, reproduction by photocopying machine or similar means, and storage in data banks. Under § 54 of the German Copyright Law where copies are made for other than private use, a fee is payable to "Verwertungsgesellschaft Wort", Munich.

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1986 Printed in Germany Printing and binding: Druckhaus Beltz, Hemsbach/Bergstr. 2146/3140-543210

INHALTSVERZEICHNIS 1 Introduction

. . . .

1

2 Stabile Modulformen

7

3 Differentialoperatoren

23

4 Automorphe Formen

45

5 Hyperebenen . .

51

6 Eisensteinreihen

59

7 Eisensteinreihen vom Klingenschen Typ

68

8 Ableitungen der Klingenschen Eisensteinreihen

80

9 Polstellen der Eisensteinreihen

84

10 Der Grenzfall k -- n+2j +l 11 Das holomorphe diskrete Spektrum yon

.97

L 2 (r n \G)

108

12 Der Operator M(p, s)

112

13 Stabile Liftungen

123

14 Die Siegelschen Eisensteinreihen

131

Literaturverzeichnis

142

Symbolverzeichnis

144

Schlagwortindex

146

III

1 INTRODUCTION The central theme of this book is the so called Siegel -operator arising in the theory of Siegel modular forms. Is F a holomorphic modular form of weight k on Siegel's upper half space

a, = { Z = z(n) = Z'

: Im(Z) >

of degree n, then the -operator given by ( F) (Z)

=

o}

lim F(

defines another

modular form F of the same weight on Siegel's upper half space of degree one less. If the weight is large enough every modular form of even weight on H n -

1

can be obtained in

this way. This was shown first by Maaf using the theory of Poincare series [26] and then later by Klingen [16] using Eisenstein series. For this one usually has to define Eisenstein series of the following type

G(Z) = Lg(1I"(M(Z))) det(GZ + D)-k M

where 9 is a cuspform on Hi of weight k, Here 11" denotes the projection of H n on Hi, which maps a matrix Z to its upper j by j submatrix, Finally M(Z) = (AZ + B)(GZ + D)-l denotes the action of a symplectic matrix M

=

on elements of upper half space

H n . The summation of the Eisenstein series is running over a system of representatives M of a coset in the Siegel modular group with respect to a suitable subgroup. If this sum converges absolutely and locally uniformly, then the Eisenstein series G(Z) defines a holomorphic modular form on H n of weight k, Applying the -operator n to the formula ipn-iG

= g.

j times leads

In order to guarantee convergence, the weight k has to be large. The precise condition is k

H n-

> n + j + 1. 1

Especially this shows that every modular form of even weight k

> 2n

on

is a -image of a modular form on H n of same weight. Compare Klingen [16] or

Freitag [i i]. For some applications such as, for instance, the theory of Satake cornpactification this information is enough. Studying questions of stability with respect to the -operator (a question that will be motivated later) however will automatically lead to small weights k

:s;

2n. To handle the cases of small weights requires the method of Hecke summation.

This was first introduced by Hecke in the theory of elliptic modular forms. The idea is to introduce additional factors of convergency in the Eisenstein series

G(Z ) = ""' ( (M(Z))) d (GZ D)-k (det(Im( 1I"(M(Z)))))-8 ,S L 9 11" et • + det(Im(M(Z))) 1

This modified sum converges for complex variable s with lR( s) large enough. The decisive point is that G( Z, s) has a meromorphic continuation to the complex s plane. This is not a trivial fact and was first proved by Langlands [21J in the more general framework of the theory of Eisenstein series on semisimple Lie groups. In analogy to the properties of the function G(Z) there are several natural questions: 1) Is the function G(Z, s) regular at s

= 0 for

all Z?

If this is the case we say that the Eisenstein series G(Z) has Heeke summation and we

define G(Z) = G(Z,O). This leads to the following questions: 2) Is G(Z) a holomorphic modular form? and furthermore 3) Does cpn-iG

9 hold?

A slightly weaker version is

4) For given Ii does there exist a 9 such that cpn-iG = Ii holds? These notes are devoted to study these questions. Let us look at some special cases first. That the answer to the questions above is not always positive, is well known and easy to see in the classical case where 9 is constant and j = O. Already this case is quite interesting. For even weights k one obtains the Eisenstein series

E(n)(Z s) = 'X' det(GZ + D)-k det(Im(ZJ)8 k '{;::; . Idet(GZ + D)l z8 These series converge without Hecke summation for weights k > n + 1. The first nontrivial case of Hecke summation therefore occurs for k n + 1. As a classical example in the theory of elliptic modula.r forms i.e.

(n

1) Hecke

summation is defined for weight k = 2 and produces a nonholomorphlc modular form

Ez(Z). The first example for higher genus n is due to Raghavan [29J. He showed that for n = 3 the Eisenstein series Ef)(Z,s) is regular at e = form in contrast to the case n

= 1.

°and defines now a holomorphic modular

This observation for the boundary weights k

=n+1

was confirmed later independently by Shirnura [30] and Weissauer [341 for all n > 1, for which n

+ 1 is even.

Beside that the only further known result seemed to be that for n k = 2. Hecke summation is defined and gives a holomorphic form

vanishes identically. This was shown by Christian [61. 2

3 and weight

(Z, 0) which actually

In these notes the behavior of Ekn)(Z,s) at s

0 will be answered in a essentially

complete form. Especially it will be shown that for positive weights Heeke summation is always defined. Furthermore the method of Heeke summation always produces holomorphic modular forms except maybe for the two irregular cases k so defined modular form Ekn) does not vanish if k >

and k =

or if k

n!3

The

0(4) and k ::;

These results occur as special cases of more general results on the Eisenstein series G(Z,s) attached to arbitrary cuspforms g on Siegel half spaces Hy. In that case one shows that G(Z) is defined by Hecke summation for weights k holomorphic in that case and q>n- j G g holds.

>

Again G(Z) is

Quite generally the first obstruction for lifting a cuspform g with respect to the if>operator from H j to H n occurs at weight k = Though Heeke summation is defined in that case is does not produce holomorphic modular forms in general. The precise lifting obstruction will be given by a certain space of vector valued modular forms (d. Sats 13). This may be explained best in case j

O. The critical weight is k

=

in that case.

(Z) to be holomorphic is a certain subspace [I'n, n;l]n of the

The obstruction for 2

space [I' n, n;l] of holomorphic modular forms of weight n;l on H n . Granting that fact one can reformulate this statement in a simpler fashion: if the weight

is holomorphic if and only 2

!!:.:f! is divisible by 4.

n;

1 and k 1= 0(4) This comes from the fact that every Siegel modularform of weight k ::; on H n vanishes. More precisely we have that the dimension of [I' n, n;l]n is either zero or one depending on wether k 1= O( 4) or not.

Another critical weight is the weight k = n+t+1. Heeke summation is defined and gives a holomorphic modular form. Nevertheless the resulting modular form may vanish identically in that case. This depends on the sign of a functional equation. For j = 0 it is divisible by 4 or not. reduces again to the question wether k = For weights k


si hS-i 13

E O(m, IR)

mit O(m, IR) identifizieren. Beziiglich dieser Identifikation operiert 0(8) und die Einheitengruppe E(8) = 0(8) n Glm(.tZ) der quadratischen Form 8 auf den Raumen Hm,n und Hm,n(P)'

1st pIn) E Hm,n(p(n)), dann definiert die Thetareihe

gaoz

eine Modulform zur Darstellung pIn) auf H n. Die Thetareihe

hangt dabei nur von

der Projektion von pIn) auf den Raum der E(8v ) invarianten Vektoren in Hm,n(p(n)) abo Wendet man zusatalich den pI] mit

Das Bild von Moo(p) in in [fi,p] ist im Teilraum [fi'P/]o der Spitzenformen enthalten, falls p nicht die stabile Standardliftung von p' lsi.

Bemerkung:

Auch im Fall der Standardliftung reduziert man das oben formulierte Problem durch Induktion nach j sofort auf die Beschreibung des Bildes von Moo(p) im Teilraum der Spitzenformen. Dies erreicht man durch sukzessives Anwenden des (l;'

gilt

=0

Da A vom Rang j gewahlt werden kann, findet man X derart, daf XI A invertierbar ist. Fur geeignete v ist dann P(X) ein nicht verschwindendes Polynom in Hm,i(P) mit P =

0po. Da dieser Raum irreduzibel beziiglich der Operation der orthogonalen Gruppe O(m) ist, falls p irreduzibel ist, wird er von Translaten des .Polynoms P(X) aufgespannt,

det

Da Translation mit orthogonalen Matrizen isotrope Matrizen A in ebensolche iiberfiihrt, erhalt man als Folgerung:

Fur m 2: 2j und irreduzibJes p ist jede pJuriharmonische Form P(X) in

Hm,i(P) eine Linearkombination von Formen Po(XI A)v fur festes v :f: 0 und geeigtiete isoirope Matrizen A. sowie aufierdem Folgerung:

Fur k(p) 2: j

Tiietsreibea

L

+ 1 und Po = p0det- lf

wird Bi,p(m) aufgespannt von den

po(G'SB)ei1rSpur(G'SGZ)v

ganz

fur unimoduJare, gerade quadratische Formen S vom Rang m und kompJexe m x j-Matrizen B mit BISB = O. Dies wird klar, indem man B durch S- A ersetzt. Die letzte Forderung ist im iibrigen fiir alle m richtig, also auch solche mit m < 2j. Dazu sei hier nochmals erwahnt, daf unter der Annahme k(p) 2: j

+ 1 der Raum Bi,p(m) verschwindet, wenn

m

< 2j ist. (Lemma 1).

Es folgen nun zwei Beispiele. Diese illustrieren die Filtrierungsaussage 1) des Darstellungssatzes. Im zweiten Beispiel wird gezeigt, daB die aufsteigende Filtrierung durch die Raume Bi,pl(m) im allgemeinen eine echte Filtrierung ist. Beispiel 1 (Die Schottkyrelation)

Es gibt bekanntlich genau eine Klasse S(8) und genau zwei Klassen S(8) ED 8(8),8(16) 19

zwei Klassen 8(8) EB 8(8), 8(16) von geraden, positiven quadratischen Formen in 8 beziehungsweise 16 Variablen [351. Die Differenz (4)

(4)

1J S (8 ) ffi S (8 ) -1J S ( 16 )

= 1, ist

gebildet zum harmonischen Polynom P

eine Spitzenform vom Gewicht 8 vom Grad

4, welche nicht identisch verschwindet. Dies wurde in [13] und [19] bewiesen. Igusa hat gezeigt, daB diese Modulform die sogenannte Schottkyrelation ist , deren Nullstellendivisor in

r 4 \H 4 durch den

AbschluB des Modulraumes M 4 der Kurven yom Geschlecht 4 gegeben

ist. Wir betrachten nun die ­Liftungen von p'

= det"

vom Gewicht 4 und 8 und wenden den

Satz 3 an. Man erhalt eine Inklusion B4,detS

(8)

< B4,det8 (16)

Der Vektorraum auf der rechten Seite wird von Thetareihen spannt. Wie wir weiterhin wissen, ist jede Modulform in Raum der Spitzenformen in

B4,detS (16)

1JW8)ffiS(8)

B4,det8 (8)

und

aufge-

eine Spitzenform. Der

ist jedoch wegen

hochstens eindimensional, Eine direkte Rechnung zeigt (4)

oS(8),P i= 0 bei geeigneter Wahl eines pluriharmonischen Polynoms. Sei L das Gitter von Rang 8 erzeugt von allen Vektoren x

= (Xi) mit 8

2Xi E YL,

Xi ­ Xj E YL,

LXi E 2YL. i=1

Eine nichtverschwindende Thetareihe

iJW8),P

ist dann zum Beispiel gegeben durch

) ' Q(G)e1riSpur(G'GZ) i.....J

GEL'

Hierbei ist

20

fiir die Zerlegung

von G in quadratische 4 x 4 Matrizen mittels der oben eingefiihrten Koordinaten L 0

co asymptotisch zu

und die Dimension von V1r ( p) wegen der Weylschen Dimensionsformel fiir irreduzible Darstellungen der orthogonalen Gruppe ist asymptotisch zu

Andererseits ist wohlbekannt, daB die Dimension des Raumes der Spitzenformen vom Gewicht k asymptotisch zu

21

fiir k

00

ist.

Es folgt daher, daB in diesem Fall fiir groBe k anders als in Satz 4 das Bild von Moo(p)

ill [ri, kl o ein echter Unterraum ist.

AbschlieBend erwahnen wir noch eine elementare aber dennoch niitzliche Eigenschaft von Thetareihen. Es bezeichne der Einfachheit halber Bi,k(m) den Raum der Thetareihen

Bi,p( m) zur Darstellung p = det". Sei n

= nl + n2

und Zl E H n1 sowie Z2 E H nz .

i2)

Durch Einschranken von Modulformen auf die Diagonale

E

n, erhiilt man

Funktionen auf H n 1 x H n z • Dies definiert eine Abbildung der Modulformen

Beziiglich dieser Abbildung besitzen die Thetareihen eine relativ einfache Der Unterraum Bn,k(m) von

Zerlegungseigenschaft:

If n, k]

bildet sich in das Ten-

sorprodukt der Uniertiiume Bn1.k(m) bzw. Bnz,k(m) ab:

Beweis: Es geniigt, daf

i

f

2

) bei festern Z2 als Funktion von

und umgekehrt. Siehe [10], S.148. Die Funktion

z, in Bn1,k(m)

liegt

f in Bn,k(m) ist eine Linearkombination

von Thetareihen iJr.s- Fur jede solche ist

il)

=

L

P(st(GI,G2))ell"iSpurS[Gl]Zlell"iSpurS[GzjZz

G=(G1,G Z )

= Le'lfiSpurS[Gzjzz LP(st(G I,G2 )) e'lf iSp u rS [G 1 j Z l Gz

G1

und P(XI , X 2 ) ist pluriharmonisch zur Darstellung det k aufgefaBt als Polynom in alle X 2 • Dies zeigt die Behauptung.D

22

Xl

fur

3 DIFFERENTIALOPERATOREN Dieses Kapitel enthalt eine Zusammenstellung emiger niitalicher Formeln fur aquivariante Differentialoperatoren, welche an mehreren Stellen spater verwendet werden. Sei G = SP2n(lR) die symplektische Gruppe der Matrizen 9 E Gl 2n (IR ) mit

,(0 -E) = (0 -E)

9

Die komplexifizierte Liealgebra

Y

E

9

0

9 von

E

0

Gist die Teilmenge

9

'(0 -E) + (0E -E) Y=O

YEO

0

M 2n,2n(([;' ) der Matrizen .

Wir verwenden die iibliche Zerlegung 9 = P+ E9 p., E9 k. kist die komplexifizierte Liealgebra der maximal kompakten Untergruppe K = G n SO(2n, IR) von G. kist gegeben durch die Matrizen

S')A' = -A , S' =S . A A (S Die Elemente von K sind (10)

k

1)

=

C

+ is

E U(n)

Daher ist K zur unitaren Gruppe U(n) isomorph. Die Liealgebren

(11)

P± = {

X ±iX) ( ±iX ­X '

sind abelsch. Man kann p., und P+ mit dem Raum der symmetrischen Matrizen X E Mn,n(([;') identifizieren. Die Killingform auf gist B(X, Y)

Spur(ad(X)ad(Y))

Hierbei ist die adjungierte Operation von

9 auf 9 durch

X,Y E

g.

ad(X)Y

= XY

- Y X gegeben.

Besiiglich der Killingform sind k und p., EBp+ orthogonal und P+ und p., sind maximal

isotrope Unterraume des Komplements von k. Das heiBt, die Einschrankung von B(X, Y) auf P+ und p., verschwindet.

23

Bezeichnungen Es sei eij die Elementarmatrix in Mn,n«L'), deren Eintrag an der Stelle (i, j) gleich 1 und sonst gleich null ist. (E-)ij bezeichne das Element von p., , welches besiiglich der Identifikation (11) der

symmetrischen Matrix

x entspricht.

Wir fassen die Elemente (E_ )ij zu einer symmetrischen Matrix E_ mit

Eintragen in p_ zusammen. Analog definiert man die Matrix E+. Wir bezeichnen mit aij(1 eij -

«« beziehungsweise A

:s; i :s; j :s; n) die Basis von k, welche den = 0, S = eij + eji fur i < j und A = 0, S

Matrizen S = 0, A ejj

zugeordnet ist.

Die kompakte Gruppe K operiert auf 9 mit der adjungierten Darstellung Ad(k)X kXk- 1 und bildet p+ und p., in sich abo Die Operation des Elementes (10) auf p.; ist

X ist

die symmetrische Matrix

x = (C + is)X(C + is)' Die Identifikation

ist vertraglich mit der Operation von K = U(n)

als Untergruppe von Gln(

ist,

[(8)iilk] auf V

C [(alii]

p., isomorph zur

Der Isomorphismus wird durch die Zuordnung

(a)ii ....... eii gegeben. Aus der Kettenregel und der Produktformel fur Ableitungen folgt Folgerung:

Fur die Symbole der Operatoren D stimmt die Zuordnung IJ'(D) 1 von K auf Synun'{p., ] Vp iiberein .

t->

IJ'([DlkJ) mit der Operation Symm" (pill)

Fur die Operatoren

D selbst ist

dies falsch.

Aus der p-Aquivalenz des Operators D folgt p(k)[Dlk]

=

D

Das Symbol IJ'(D) von D ist daher K invariant beziiglich der Operation Syrnm" (pill)

p.

Aus Lemma 3 folgt, daB damit IJ'(D) durch die Darstellung p bis auf eine Konstante eindeutig bestimmt ist. Insbesondere folgt:

32

(20).

Ein p-iiquivurizuter entiaoltnorpbe: Differentialoperator D aufH n ist durch sein

Symbol a(D) festge1egt. Es gilt Dc· D p fur eine geeignete Konstante c E dJ . Die symplektische Gruppe wird von den Substitutionen

fur reelle symmetrische Matrizen T erzeugt. p-Aquivarianz ist daher gleichbedeutend mit

(Dh)(Z*)

p(Z)D(h(Z*))

Z*

=

_Z-l

(21)

(Dh)(Z

+ T)

D(h(Z

+ T))

T=T'=T

Die zweite Gleichung bedeutet, daf die Koeffizienten des Differentialoperators D als Funktion auf H n nur von Y

= Im( Z)

abhangen,

Fur E E p., gilt bekanntlich EJp(g) Funktionen

O. Siehe [5]. Daher gilt fur E E

U(p_) und

f : G ---> Vp mit dem Transformationsverhalten (18)

Die Beschreibung der Operation von U(p_) auf K endlichen Funktionen reduziert sich daher auf die Beschreibung der Operation von U(p_) auf K invarianten Funktionen. Fur letzteres geniigt es die Wirkung der Operatoren D p zu kennen. Zumindest fur einige der Operatoren D p werden wir eine explizite Beschreibung angeben. 1m Fall der Darstellungen p

prill' bezeichnen wir den Operator D p auch mit D[IlI. 8 wie oben definiert, dann gilt

Verwendet man die Operatormatrix

rlll dabei nur auf den Funktionen innerhalb der Klammer. Wie iiblich bezeichne Trill E Hom (All R"; A" Rn) Vereinbarungshalber operiere der matrixwertige Differentialoperator 8

die Matrix der J.I. x J.I.- Minoren einer gegebenen Matrix T E Hom (Rn , Rn); T etc.. 33

= Z, Y, 8, ...

Zum Beweis von (22) geniigt es die Eigenschaften (21) fiir die rechte Seite von (22) nachzupriifen. Wegen (20) folgt die Gleichheit beider Seiten bis auf eine Proportionalitatskonstante. Die Bestimmung dieser Konstante reduziert man sofort auf den Fall J.l = 1 und eine direkte Rechnung. Wir beschranken uns auf den Nachweis der ersten Behauptung (Dh)(Z)

= {plpr(Z)D(h(Z*))}z .... a­

(23)

fur den Operator D auf der rechten Seite von Gleichung (22). Wir verwenden die IVI. Wegen (Z*)!1'1 = (­I)I'Z­11'1 Abkiirzungen x = e";l), (Z­l)11'1 = Z-!I'I,det(Y) ist (23) aquivalent zu

Wir set zen g(Z) = IVI-Xf(Z). Wegen Y* man die aquivalente Gleichung

= Im(Z*)

Z-lYZ

l

= ZlYZ- 1 erhalt

(analog fur IZl t ) eine holomorphe Wurzel von IZI auf Hj,, Wir wahlen hierbei fur auf deren Wahl es allerdings nicht ankommt. Den Term IZI­ x kann man an der Ableitung vorbeiziehen, so daB er sich weghebt. Die rechte Seite ist daher gleich

Die benotigte Identitat ergibt sich daher aus der Formel ([l1],Seite 214)

durch "analytische" Fortsetzung. Hierbei ist in der Notation von [111: (D(h(Y-1))y ......y_l. Damit ist (22) bewiesen. 0

(Dh)(Y)

Jedem irreduziblen Darstellungsraum V von Kin U(p_) wurde ein vektorwertiger Differentialoperator E p zugeordnet. Liegen die Werte von E p in Vp, so erhalt man die Operatoren aus V durch Anwenden von Linerarformen Spur(v· Ep} E V , v E Hom(Vp,lV)

34

Eine analoge Schreibweise verwenden wir fiir die Operatoren D p • Hochst- und Niedrigstgewichtvektoren von V erhalt man durch Spurbildung mit dem Hochstgewichtvektor bzw. Niedrigstgewichtvektor der dualen Darstellung Hom (Vp, ([:') von (Vp,

pl.

Ist E E U(p_) und hE COO(Gj K), dann gilt wegen EJp = 0 und Jp(l)

= id

[ESpur(v· Ep)h](l) = [Spur(v· J;l EDp)h](l)

= [ESpur(v· Ist daher

E=

Dp)h](l)

IT Spur(Vi . Epi) , vi

E Hom (VPi

, ([:' )

,

dann folgt durch Induktion

(Eh)(l) =

(24)

[IT Spur (Vi' Dp.)h](l) , s e COO(Gj K)

Wir fixieren Hochst- und Niedrigstgewichtvektoren vp. und wp. der Darstellungen

(Vp1"I,pfJLI), so daf Spur(vJL . E!:l) und Spur(wp J.L x J.L Minoren der Matrix E sind.

.

E!:I) gerade die ersten bzw. letzten

Es sei B;t die Gruppe der unteren Dreiecksmatrizen in Gln(IR)

Der Imaginarteil Y einer Matrix Z E H n schreibt sich in der Form

Y Sind

81, ... , 8 n

TT', t

E

B;t

E ([:', dann sei n

!(Y, §.)

IT t;; , Y = TT'

i=l Analog erhalt man die Funktion

n

F(g, ,1) = 35

ITt:;

i=l

auf der Borelgruppe P der Matrizen

von G. Da jedes Element 9 E G eine eindeutige Zerlegung 9 = pk mit pEP und k E K besitzt, kann F(g,§) durch F(pk,§) = F(p,§) auf ganz G fortgesetzt werden. Es gilt

F(pg,§)

(25)

= F(p,§)F(g,§) , p E P,g

E G

.

Da F(g, §.) rechtsinvariant unter Kist, kann F(g, s) als Funktion auf H n aufgefaBt werden. Man erhalt auf diese Weise die oben definierte Funktion f(Im(Z), §.). Wegen der Linksinvarianz der Operatoren E aus U[p., ] gilt (25) fur alle Ableitungen EF(g,§.). Man erhalt die Eigenwertgleichung

EF(p,§.)

= X(E,§.)F(p,§.) , pEP

fur Konstanten X(E,§.). Es gilt X(E,§) = EF(l,§.). Lemma 4:

lsi E Hochstgewichtvektor beziehungsweise Niedrigstgewichtvektor einer

iireduzibleii Teildarstellung p '"-' (>.1,,'" An) von K in U(p_), dann ist

( E s) = 2 A x,-

A i-1 ) IIn I'( i f(ls._.-1) +"2 1

1

Si


/L/L

/L

Wegen

erhalt man fur C

(36)

C = L(E+)v/L(E_)v/L

v,p

L[s;/L + 2i(n + 1 ­ J.l)s/L/L] + C I'

mit

C

L(sv/L V1

Im Fall n = 1 ist noch die Holomorphie von feZ) in den Spitzen zu zeigen. Ohne Einschrankung sei dies die Spitze 00. Dann ist f holomorph in der punktierten Kreisscheibe o < q < E:, q = e21riaZ mit Z E H 1 . Aus der Quadratintegrierbarkeit von F folgt k E IN

Dies impliziert

i

Iql n;l nichts zu zeigen ist, kdnnen wir An ::; n;l

falls e

zusatslich annehmen. Wegen (49) legt dies den Punkt A fest. Es gilt dann automatisch Al = - n;l, ... , An Durch die Anordnung in der Kette erhalt man beginnend mit der Ecke n eine Orientierung des Graphen. Aus hll = d( n, J.t) folgt: Sind J.t und J.tl mit einer Kante vom Typ 1 verbunden und J.tl folgt auf J.t, dann gilt

1) til' =

til

2) Die J.t' zugeordnete Zahl ist kleiner als die J.t zugeordnete Zahl genau dann, wenn

til

=

1

ist. Sind J.t und J.tl mit einer Kante vom Typ II verbunden, dann gilt

Da die Kette mit J.t

n und

=

til

I

1 beginnt gibt es die folgenden Moglichkeiten:

I

I

I

n

oder

I

I II

I

I

I

I

n

1J.t

Im zweiten Fall kann keine Kante vom Typ II mehr Folgen. Daher ist die Ecke J.tl notwendigerweise der Punkt 1. Aus Al + All = 1 und der Annahme (49) folgt dann aber An > n; lund dieser Fall wurde schon behandelt. Analog folgt im ersten Fall aus (48) die Ungleichung ( An.

Damit ist die Behauptung gezeigt.

Zusatz: Die Aussage der Behauptung bleibt richtig, auch wenn man Hyperebenen vom

Typ II mit

lei::; 1 zuliiBt solange An >

Lemma 10:

Es sei

(49) erfiillt. Es sei

}IF

}I

eine zuliissige Sequenz mit dem Endpunkt A, welcher Eigenschaft

eine maximale Anfangssequenz von

Entspricht F der Partition J.tl vorn Typ

III mit i

mit i, j

n

+1-

n;l ist.

+ ... + J.tt

}I

vom Typ I der Lange r,

= n, dann ist entweder H r +1

n + 1 - J.tt oder H r +1

=

{w : Wi + Wj

J.tt.

56

{'It: 'lti = Ai}

= 1 = Ai + Aj} ist

vorn Typ II

Beweis: Ist )I eine zulassige Sequenz mit Endpunkt, dann ist wegen (48) )I nie vom Typ

I. Ist daher )IF eine maximale Anfangssequenz von )I der Lange r (die leere Sequenz ist zugelassen), dann folgt notwendigerweise eine Hyperebene Hr+l vom Typ III oder vom Typ II. Fall 1: H r + 1 ist vom Typ III.

Die Hyperebene H r + 1 ist wegen A E H r + 1 durch Wi = Ai definiert. Aus (45) und (48) folgt wegen q>(r+l) E Hr+1,(q>(r+l))i Ai

Setzt man dies in (45) ein, erhalt man fur die letzten Koordinaten

Fur Sequenzen )I mit Endpunkt A wurde

gezeigt. Aus der Annahme An

s, 2: n

i folgt daher

Dies ist wegen (47) nur moglich, wenn i 2: n

+ 1-

J-lt ist,

Fall 2: Hr+l ist vom Typ II. Wegen q>(r+l) E Hr+l gilt -1

Ist An >

n;l

lassen wir auch [c]

Ai + (n - i) und An Ungleichung

Aj 2A n

+ (n 2n

1- i

2j)

- j) folgt zusammen mit Ai

+c-

i - j

i - j

+c-

+ Aj

= c die

.

folgt daher (55)

4A n

3n

1

.

Aus (54) und (55) folgt wegen c < j die Ungleichung

(.p(r+l)n

Widerspruch zur Annahme, daB A Endpunkt der Sequenz

)I

< An. Dies steht im

ist. Daher ist i, j

n

+1

Ilt

wie behauptet.D Es wird nun angenommen, daf A ein Punkt ist,welcher A2

-

Al = 1, ... , An - An- l = 1

erfiillt, Diese Sequenz definiert eine sulassige Sequenz von Hyperebenen vom Typ 1 der maximalen Lange n - 1. Es handelt sich um die Sequenz }IF , F = {n}. AIle anderen zulassigen Sequenzen

)IF

vom Typ 1 haben Lange

entsprechen den Partitionen III

+ ... + Ilt

= n mit t

< n - 1 und die dazu gehorigen

F

> 1.

Bemerkung: Die Sequenz )I = ()I{n} , H) mit H = {w : Wn

=

An} ist eine sulassige

Sequenz mit Endpunkt A. Ist An > n;l, dann ist diese Sequenz

)I

nicht entartet.

58

6 EISENSTEINREIHEN In diesem Abschnitt geben wir eine kurze Ubersicht tiber die Theorie der Eisensteinreihen. Ein wichtiger Aspekt der Theorie der Eisensteinreihen ergibt sich aus der Tatsache, daf man die quadratintegrierbaren automorphen Formen mit dieser Theorie beschreiben kann (Satz 7). Diese Beschreibung ist zwar im allgemeinen recht abstrakt, HiBt sich aber spater fiir die von uns betrachteten holomorphen Modulformen konkretisieren. Sei G eine reduktive, iiber Q definierte algebraische Gruppe mit Zusammenhangskomponente GO. Wir nehmen an, der Zentralisator eines maximal tiber Q zerfallenden Torus T trifft jede Zusammenhangskomponente von G und jeder iiber Q definierte Charakter X von G erfiillt X2 1. Wir nehmen weiterhin an, GO serfallt, das heiBt T ist ein maximaler Torus von G O • Sei B ::2 T eine Borelgruppe von G O • Die standard parabolischen Gruppen P von GO sind diejenigen iiber Q definierten algebraischen Untergruppen von GO, welche B enthalten. Die Normalisatoren dieser Gruppe P in G bezeichnen wir als standard parabolische Gruppen von G. Es gibt eine Zerlegung P

AMN fiir jede stan-

dard parabolische Gruppe P in G. N ist das unipotente Radikal derjenigen parabolischen Gruppe von GO, deren Normalisator P ist. A ist ein iiber Q definierter zerfallender Torus enthalten in T. Fiir den Zentralisator Z(A) von A in G gilt P Z(A)N. Die Gruppe M 2 n Kernx , wobei X alle iiber Q definierten Charaktere von Z(A) ist definiert durch M x

durchlauft, Mist eine Gruppe, welche dieselben Annahmen erfiillt wie G. Mist durch A eindeutig bestimmt. Eine iiber Q definierte algebraische Untergruppe von G heiBt parabolisch, wenn sie iiber Q konjugiert zu einer standard parabolischen Untergruppe von

Gist. Man erhalt Zerlegungen P = AMN fiir alle parabolischen Untergruppen von G. Diese Zerlegungen sind nicht eindeutig. Fur die Liegruppen der reellen Punkte der algebraischen Gruppen G,P,M N verwenden wir die Bezeichnungen G, P, M und N. A bezeichne die Zusammenhangskomponente der Gruppe der reellen Punkte von A. A heiBt Splitkomponente von P. 1st a die Liealgebra von A, dann gilt A Rang von P.

exp (a). Es gilt P = AMN und An M

{I} und dimIR a heiBt

Sei I' eine arithmetisch definierte diskrete Untergruppe von G. Wir setzen fp = I' n P und f M

= (fnN)/(fnMN).

Dann gilt fp

MN und f M ist eine arithmetisch definierte diskrete Untergruppe von M. Wir nehmen der Einfachheit halber an, daB fur alle standard parabolischen Untergruppen P von G die Gruppe f M nur eine Spitze in M (d.h. nur eine I'M Konjugationsklasse von tiber Q definierten Borelgruppen in M) besitzt. Dies geniigt 59

fur unsere Anwendungen und erleichtert die Notation. Seien PI und P2 parabolische Untergruppen von G. Sind aI und a2 die Liealgebren von Splitkomponenten von PI und P2 , dann heiBen PI und P2 assoziiert, wenn es ein w in G gibt, welches bei Konjugation

a1

in az iiberfiihrt, Dies hangt nicht ab von der Wahl

der Splitkomponenten und definiert eine Aquivalenzrelation. Es bezeichne {P} die Klasse der zu P assoziierten parabolischen Gruppen. Die Menge der verschiedenen Abbildungen von

nach a2, welche man durch Einschranken von Konjugationen in G erhalt, heiBt

a1

W(a1, az). Haben PI und Pz den gleichen Rang, dann sind sie genau dann assoziiert, wenn W (aI, az) nicht leer ist. Der Normalisator in G von der Liealgebra einer Splitkomponente A operiert auf Z(A), auf M und folglich auf ZM, dem Zentrum der universell einhiillenden Algebra der Liealgebra von M. Die Orbits T der induzierten Operation auf der Charaktergruppe von ZM sind endlich, Wir wahlen eine maximal kompakte Untergruppe K von G, deren Liealgebra orthogonal zur Liealgebra von T beziiglich der Killingform ist. Das Bild von K n P in M sei K M

P / AN

.

Ist (Vp ' , p') eine endlich dimensionale Darstellung von K M, X ein Charakter von ZM, dann bezeichne A(f M, X, p') den Raum der automorphen Formen auf M beaiiglich X und p', Dies ist der Vektorraum aller unendlich oft differenzierbaren Funktionen auf M mit Werten in

(]j,

welche schwaches Wachstum auf M haben, Eigenfunktionen von ZM zum Charakter

X sind und bei Rechtstranslation unter K M einen zur kontragredienten Darstellung von Vp isomorphen Darstellungsraum in COO(M) aufspannen. Der Teilraum der Spitzenformen

Ao(fM,X,p') ist der Raum derjenigen automorphen Formen ¢J in A(fM,X,p'), welche (56)

mEM

fur alle unipotenten Radikale N von parabolischen Untergruppen P =I- M von M erfiillen. Jede Spitzenform ist quadratintegrierbar auf fM\M beziiglich des Haarmafses von M. Sei T ein Orbit von Charakteren von ZM wie oben, dann ist V(T) der AbschluB des Unterraumes von L2(f M\ M ), welcher von Funktionen aus Ao(fM,X,p') mit X E T aufgespannt wird. V(T) heiBt einfach zuliissiger Raum von Spitzenformen auf M. 1st

P' assoziiert zu P, dann induziert V(T) durch Strukturtransport einen einfach zulassigen Raum V(T)' von Spitzenformen auf M'. Es sei ,(V (T), p) oder kurz ,( T , p) der Raum aller stetigen Funktionen ¢J auf N Af M \ G mit Werten in ([' ,fur welche ¢J(mg) fur alle g E Gin V(T) liegt und ¢J(gk- 1 ) fur alle g E G 60

als Funktion von k E K in dem von Matrixkoeffizienten der Darstellung p aufgespannten Raum von Funktionen auf K liegt. Der Raum

e(T , p) ist ein endlich dimensionaler kom-

plexer Vektorraum. Sei Peine parabolische Untergruppe von G. Sei

at:

das Dual der komplexifizierten

Liealgebra at' von A. Die Einschrankung der Killingform der Liealgebra von G auf a induziert eine Bilinearform (.,.) auf

ah.

Jedes A E

at:

definiert einen Charakter a

=

exp(A(log(a))) von A. Sei I:(P, A) die Menge der Wurzeln von P besiiglich A und I:o(P, A)

die Teilmenge der einfachen Wurzeln. Es bezeichne 0 = op die halbe Summe der positiven Wurzeln von I:(P, A). Jedes Element 9 E G besitzt eine Zerlegung 9 = n(g)a(g)m(g)k(g) mit n(g) E N,a(g) E A, m(g) E M und k(g) E K,P = AMN. Sei if; E C(T , p), 9 E G und A E ah ' dann konvergiert die Eisensteinreihe

E(g, if;,A)

=

I:

abg) (6, Q), Q E I:o(P, A). Wir bezeichnen diesen Bereich mit )+. In diesem Bereich definiert E(g, if;, A) bei festem 9 und if; eine holomorphe Funktion der Variable A. Die Eisensteinreihe E(g, if;, A) besitzt eine meromorphe Fortsetzung beaiiglich der Variable A auf ganz ah. Siehe [21], Seite 61 und 120.

fur aIle A mit (Re(A), Q)

o+

Die Funktion a(g)o' 2) lsi peine Liftung von p', dann gibt es genau einen Summanden VP1 0 Vpz in (82) mit PI

Fur diesen gilt P2

(Aj+l"'" An).

Beweis der Behauptung: Die Darstellung

(82) entspricht eine Zerlegung von der Annahme An

Vp

p = P0det­ An

ist polynomial. Der Zerlegung

in polynomiale Summanden

j die Ungleichung

(83) 72

Vp10pz,

Daher folgt aus

j

F(x)

= 2)Xi

Xi-l - i)2 , X = (xo, ... , x n )

i=l

und Xo = 0, sowie Xt = tx(X)

+ (1 - t)x(p),

dann gilt

Die Funktion ist daher mono ton wachsend auf der Verbindungsstrecke aller Xt, 0 :::; t :::; 1 wegen (80) und 1 dF --d (x) = 1 + (Xi - xi-d - (Xi+! - Xi) 2 Xi

ddF

2 Xj

(X) = Xj -

»s-. - j ;:::: 0

>0

(1:::; i

< j)

.

Es folgt F(x(X));:::: F(x(JL)). Nurfiir (X1, ... ,Xj ) = (Pl, ... ,JLj) gilt Gleichheit. Da x(p') > x(pd zu F(x(X)) ;:::: F(x(JL)) aquivalent ist, ist die erste Behauptung gezeigt. Gilt Gleichheit, dann ist (84) da A Hochstgewicht von Vp und (Pj+!, ... , Pn) Hochstgewicht von Vp z ist. Aus (84), (81) und (9) folgt JLi = Ai(1 :::; i :::; n). Der Eigenraum dieses Hochstgewichtes von Vp ist eindimensional. 0

Die Behauptung zusammen mit Satz 6 und (78) liefert Aussage a) und b) von Lemma 11.

Zum Beweis von c) kann man wegen (79) die Funktion det a(g)k4J(g) ohne Einschrankung durch

(85) 73

ersetzen. Hierbei ist nach (38)

und 10 ist holomorph auf Hj. Es gilt (86) wobei V/' der Vektorraum der beziiglich (1) invarianten Vektoren in Vp ist. Die Darstellung von Glj( IL') X Glr( IL') auf V/' ist zum auBeren Tensorprodukt p' 18> det k isomorph. Daher ist (85) gleich

und wegen (86) gleich (87) Wegen (22) geniigt es daher, daB (88)

pr : g I-> m(iE(j·j») , g = amnk

eine holomorphe Funktion auf G/ K

= Hn

mit Werten in Hj ist. Die Teilmatrix Zl von

bleibt unverandert, wenn man g von rechts um Elemente aus K und von links um Elemente aus N; und A r abandert, Daher ist

Andererseits ist

und mE (Mr)O definiert einen Punkt m(iE(i,i») in H j .

Dieser Punkt ist Zl. In den Koordinaten der oberen Halbebene ist daher pr gegeben durch

(89)

Insbesondere ist die Abbildung holomorph.D

74

Ist N das unipotente Radikal von P = B r , dann ist (90)

, A) ist daher fiir die Werte A = AO,A und Form in A(rn,xp,p), falls sie definiert ist. 76

X eine

automorphe

> 0 fiir alle a

Sei (a;)+ der Kegel aller A E a; mit (a,A)

tn:

der Identifikation a; "Killingform" sei

E Eo(Br,A r). Beziigllch

ist dies der Kegel (/R r ) +. Der duale Kegel beziiglich der

Dann gilt

k > n+j+1 2 ===*

(94)

AA

E

+( *) ar

A +( *) k < n+j+1 2 ===* E a r V

A(bzw.A = A)

In diesen Fallen gilt fur die Koordinaten der Punkte A Al

Folgerung:

r-l

> --2-

,

A;+l - A;

Gilt k > n+t I (resp.

(1:S i

1

< r) .

dann erfiillt der Punkt A =

A(resp.

A = A) Eigenschaft (49).

Bezeichnungen: 1m folgenden wird das Residuum

Res

A,-A'_1=1

Res

A 2-A 1=1

Resf(A)

oft abkiirzend mit Resf(A) bezeichnet. Ist 'II ein Punkt in r), dann sei auBerdem

(Jjr

mit 'II;+1 - 'II;

= 1(1 :S i
, A)

IT a;(,g)A i+;+:l1>( ,g) r

L

=

7EB,(Z)\r n ;=1

(95)

L

det

7E P r ( Z )\ r

Es bezeichne dabei

g = ·a·m (beziiglich

A)

n

der Zerlegung 9

·a·m·nk gebildet zur paraboli-

schen Gruppe Y' = PrJ. Die Funktion dg,A) ist die sogenannte Selbergsche Zetafunktion

(96)

=

L

IT a;(/g)Ai+; r

;=1

77

jgE Glr(IR)

.

Dies ist im wesentlichen die Eisensteinreihe der Gruppe SIr gebildet zur konstanten Funktion tfJ = 1 und der Borelgruppe !::J. r der unteren Dreiecksmatrizen. Bekanntlich gilt fur das Residuum der Selbergschen Zetafunktion

(97)

= const· det(g)Ar+l , 9 E Glr(IR)

Die findet man in [25] oder [7], Seite 70 mit etwas anderen Bezeichnungen. Die nicht verschwindende Konstante hangt von r ab und wird mit c(r) bezeichnet. Es folgt (98)

L

Res E(g, tfJ, A) = c(r)

det a(Jg)Ar+.i+ItfJ(Jg)

'YEPr(Z)\r n

Die rechte Seite ist die Klingensche Eisensteinreihe. (99)

L

K(g,tfJ,SA)

deta(Jg)/iP r+8 AdJ(Jg) , tfJEChol(P',p)

'YEPr(X)\r n

Es gilt

(100)

o - n + j + 1 SA

Insbesondere gilt daher s.it

(101)

2'

r, -

= ­ sA = k -

= A

r

_

r - 1

0P r fiir die Punkte

A=

(k - n, ... , k - j ­ 1)

X=

(j

Definition: Wir set zen fiir

f

E

2

+1­

,

k, ... , n ­ k)

[fi' p']o

K(g, *,""*)

angenommen werden konnen. Jedes Hochstgewicht des Tensorproduktes

p

0

p ist bekanntlich von der Gestalt

fur ein Gewichtstupel (6, ... , en) von (Vp, p) im Sinne von (80). Diese Gewichtstupellassen sich im Fall p plr]- mit Hilfe der "Basis der Minoren" sofort bestimmen. Zusammen mit (110) folgt dann

(Ill) liegt daher in c[p',p] und

Das Bild von

ist durch (109) vollstandig

bestimmt. Wegen Lemma 11a) sind c[p',p) und c(p',p) zu [rj,P']o isomorph. Dieser Isomorphismus ergibt sich analog zur Zuordnung (79). Bei geeigneter Wahl der Einbettung t

folgt die Behauptung. 0 Zum AbschluB betrachten wir die Wirkung von E_ auf den Klingensehen Eisensteinrei-

hen. Es gilt fur ¢> E

(112)

Chol (p', p)

E_K(g, ¢>, s) = (8

+ s - k)L(g, ¢>, s) , 8 = n+ 2 +1 82

Hierbei ist

(113)

L(g, rp, s)

L

=

det a6+s¢(lg)

,

0

= op,

"YEP,(Zj\r n

mit

(114) fiir 9

= bk und s « B;i und k E K.

Dies folgt aus Lemma 5 und Lemma 11. Fur rp E

Chol ip",

p) gilt namlich

Betrachtet man die Eisensteinreihe

(115)

E(g, ¢, A)

=

L

a(lg)t5+A¢(lg) , 0 = OB,

"YEB,(Z)\r n

dann ist beaiiglich der Zerlegung (GO) die innere Eisensteinreihe wegen

die Selbergsche Zetafunktion. Analog zu (98) folgt daher

(l1G)

ResE(g,¢,A)

c(r)L(g,rp,SA)

mit r-l

2

83

9 POLSTELLEN DER EISENSTEINREIHEN

s) und

In diesem Abschnitt werden Polstellen der Eisensteinreihen

A)

diskutiert. Es ist wohlbekannt ([21],Seite 117), daf jeder Pol der Eisensteinreihe

auch

ein Pol eines der Summanden der nullten Fourierkoeffizienten (57) der Eisensteinreihe ist. Da in unserem Fall alle parabolischen Gruppen P' E {B r } konjugiert zu P = B; beziiglich der Modulgruppe I' N sind, kann man sich sogar auf den nullten Fourierkoeffizienten beschranken, welcher besiiglich P'

= B;

gebildet ist.

Wie spater gezeigt wird, bilden die Operatoren M( w, A) die einzelnen Summanden der Zerlegung (78) von C(p',p) auf sich ab, insbesondere daher den Teilraum Chol(p/,p). Dies folgt aus einer Integralformel fur den Operator M( w, A). Siehe Abschnitt 12. Behauptung: 1st peine Liftung von p', dann gilt fur alle IjJ E Chol (p', p)

(117)

Die Operatoren M",(A) kommutieren und a durchlauft die positiven reduzierten Wurzeln

A r). 1st i(s) die Riemannsche Zetafunktion, e(s) =

von

und

a=

dann gilt

M (A)

(118)

c

=

A)) ,falls (a, A) = A eue((a, + (a,A))

y

± All (1/ :f

J-L)

ist. 1st (a, A) = A y oder 2A y , dann gilt (119) mit einem Operator M( s) = M(p, s), s E 12. Die einzige reelle Polstelle von Lemma 12:

([i,

welcher spater berechnet wird. Siehe Kapitel

liegt bei s = 1. Es folgt

Jede Polhyperebene von E(g,IjJ/,A) fur

Liealgebra a; trifft, ist von der Gestalt H = {A : Ay fur 1/

> J-L oder H = {A : A

y

+ All =

f

E [fj,P']o, welche die reelle

I} oder H = {A : Ay

­

All = I}

= c} fur c E JR.

Beweis der Behauptung: Setzt man M(s)

=

in (119), dann definieren (117),

(118) und (119) Funktionen MO(w,A) fur aile w E W(ana r).

84

Identifiziert man W(8 r, 8 r) mit der Weylgruppe der symplektischen Gruppe SP2n dann sind die Funktionen MO (w, A) gerade die Operatoren des nullten Fourierkoeffizienten der Eisensteinreihe der Gruppe SP2r gebildet zur Funktion ¢J = 1 und der Borelgruppe B; von SP2r' Siehe [21J, Seite 285.

1st peine Permutation der Basisvektoren e1, ... , er

dann stimmt wegen (62) sowohl

,

M(w,A) als auch MO(w,A) mit dem entsprechenden M-Operator der Selbergschen Zetafunktion iiberein. Die Operatoren

N(

w,

A) = M(w,A) MO(w,A)

erfiillen daher die Funktionalgleichungen und sind die Identitat fur Permutationen. Jedes Element w E W(8 r, 8 r) besitzt eine Zerlegung w

= P: s, wobei

peine Permutation

und seine Spiegelung r

S

=

II s'j: , sf.'(e,,) = (1 -

2D"f.')e" und

Ef.'

= 0,1

f.'=1

ist. Es gilt

M(w,A) = MO(w,A)N(s,A)

(120)

wegen

N(w,A)

= N(p,sA)N(s,A) = N(s,A)

Fur jede Wurzel a in {et, ... , e.} fiir r (121)

wa


i r

= N(Ap)'p N( II s';, A) p>i

Foiglich ist

N(s,A) =

II

N((a, A))

sa p(2) > ... > p(p, - 1) und p(p,) < p(p, + 1) < ... < p(r)

gilt.

Beweis: Wir schreiben w in der Form w

=

ps. Ist s

dann gilt fur w E

W(ar,a r) E)

i- 0 => Ev i- 0 , (v

Andernfalls ware w(eV +l - ev) = p(ev +l p"

1 ::; P, ::; r

+ 1.

j)

+ ev) = e + ev, > O. Daher ist V l

s

s(l') fur ein

Die Bedingungen fur die Permuta.tion p sind ebenso offensichtlich. 0

Bemerkung: Die einzige Permutation in W(ar,a r ) ist

w.

Im Rest dieses Abschnittes wird der folgende Satz gezeigt

f E [r),p']o, dann ist die Klingensche Eisensteinreihe K(g, n+g+3, dann ist K(g, j +1

k fiir

Vt

#

r, Aus der Annahme der Behauptung fur

daher das Verschwinden der Residuen (141) mit Hilfe von Lemma 10. Damit ist die Quadratintegrierbarkeit gezeigt. Der Rest der Behauptung folgt aus Satz 6. Der Eigenwert

x(A)

des Operators C (Viel-

faches des Casimiroperators) fur die Eisensteinreihe (140) ist als Funktion von quadratisches Polynom von Al

Al

ein

x(A) Fur

A= X und A= Agilt x(A) = x(p)

sowie Al

= j + 1- k beziehungsweise Al = k -

Behauptung folgt daher, falls der Koeffizient a gilt

95

> 0 ist. Wegen C

= Spur( E+ E_)

n. Die

+ x(p)

Wegen Lemma 5 ist

und

Der Koeffizient a ist daher der fiihrende Koeffizient von r

2.)Oi + A-

k)2

= rA; + O(Ad

i=l

und folglich positiv. Damit ist die Behauptung bewiesen. 0 Als Korollar erhalt man Satz 9:

Ist k


Beweis: Die Aussage des Lemmas erhalt man als Spezialfall n = j hauptung. Jede Polstelle von M(p, s) fur Re(s) > definiert fur Q(A) Behauptung.O

=

+ 1 der

obigen Be-

0 ist reell ([211, Seite 184) und

1 ein nicht verschwindendes Residuum (140) im Widerspruch zur

96

10 DER GRENZFALL k In diesem Abschnitt wird gezeigt, daf F(f, n, k) im Grenzfall k = n+4'+1 eine holomorphe Modulform ist. In gewisser Weise ist das Gewicht k

=

n+{+l ausgezeichnet. Da

bei Liftungsfragen ja immer die GroBen k und j festgehalten werden, bezeichnen wir das sugehorige n als kritisch. Es kann allerdings der Fall eintreten, daB fur gegebenes j und k beim Liften dieses kritische n nie auftritt. Dies ist genau dann der Fall, wenn das Gewicht k der Liftung kleiner oder gleich jist. Dies gibt ahnlich wie in Lemma 1 und Lemma

2 einen prinzipiellen Unterschied im Liftungsverhalten. Die belden Faile werden daher im folgenden auch im Prinsip getrennt behandelt werden. Nimmt man den Fall, wo man beim Liften den Fall n

nkrit

passieren mufs, dann zeigt es sich daf das vorherige und in

gewisserweise auch das nachfolgende Liften vom Ergebnis dieser Liftung im Fall n

nkrit

stark beeinftuBt ist. (Satz 10 und Lemma 15). Dies bezieht sich allerdings immer nur auf die durch die Funktion F(f, n, k) definierten " Eisensteinliftungen" . Es konnte zum Beispiel durchaus der Fall sein, daf F(f, n, k) fiir den kritischen Wert n

= nkrit verschwindet, obwohl es eine

iP­Liftung F gibt mit iPF = f.

Wie spater noch gezeigt wird, ist so etwas allerdings nicht mehr moglich fur n

> nkrit.

Die folgenden Bezeichnungen gelten fur alle Gewichte k. Es sei

A Ao 1st 'iI! im

IV (a r , a.]

{X

k>n+i+l ­

k

< ­

2

n+i+l 2

Orbit von Ao, dann sei

1st K(g , !PI> s) die Klingensche Eisensteinreihe, dann folgt wegen (124) fur den nuUten Fourierkoeffizienten von K(g,!PI> s) entlang P = B;

K(g, !Pi, SA)

(142)

L a(g)8+'11 1, dann gilt w' i- (Ao)'.

Es bezeichne (J s die Teilmenge Ao + (s, ... , s) in a'r,'-'h

•

Behauptung: Der Operator M(O w, (J s) ist holomorph im Punkt e = O.

Dies folgt aus der Produktdarstellung (117). 1st M(s) oder M( s) =

=

M(p, s) der Operator in (119)

dann reduziert man die Behauptung sofort auf die Holomorphie von

(144)

M(so

+ s)M( -so + s) =

M(so

+ s)M-1(so

- s)

im Punkt s = 0 (fur beliebiges So E (1i). Die Holomorphie von (144) im Punkt s = 0 ist klar fur (1i -wertige meromorphe Funktionen. Den allgemeinen Fall reduziert man darauf durch simultanes Diagonalisieren der Operatoren. Dies ist moglich, wie spater gezeigt wird. Aus der Funktionalgleichung folgt

und daher

fur den Operator M = MP i=A

(145)

Setzt man P± von

M= lim MCw,(Js) = lim 8-..0

=

8-+0

II

M(p,s+i)

i=-A

Hid ± M), dann erhalt man Projektoren auf die ±1 Eigenraume Wir verwenden dabei, daB die Operation der M(w,A) auf

Vp' von einer Operation auf c[p',p] induziert wird. Auch dies wird spater gezeigt. Man erhalt eine Zerlegung von [I'j, p'lo in die beiden Eigenraume (146) vom M. Diese hangt wie auch M von der jeweils gewahlten Liftung p von p' abo 99

Es sei n = nkrit. Dann ist die Klingensche Eisensteinreihe K(g, vs, s) regular im Punkt s = sA' Die automorphe Form F(j,n,k) = K(g,'Pf,sA) denniert eine holomorphe Modulform F E [I'n, pl. Es gilt

Satz 10:

1st f E [I'j, /Jt, dann ist F(j, n, k) eine holomorphe Modulform fur aile Liftungen n > j. Beweis: Wir zeigen fur die Summanden des nullten Fourierkoeffizienten (142) der Klingenschen Eisensteinreihe K(g, 'Pf, s) entlang P

B;

(147) Fur V-,v

=

1 gilt 'It

= AO

und

= lim. _(1) Res[M(w, A)a(g)"+tiiA¢'f + a(g)O+t1iA M(Ow, A)¢'f] 8-8.\ C

r

Daraus folgt die Holomorphie und die Wohldefiniertheit von F(j, n, k) fur n = nkrit. Dies ist klar, da zum Nachweis der Holomorphie die Gleichung (129) geniigt. Letztere folgt aus Lemma llc). Bei Residuenbildung entlang einfacher Polstellen gilt r

Resh(A)JA=w(g,s)

1 '" w'A-W I c(r) Res L" a(g) M(w,A)/P/IA= j) und die Wurzel ei bzw. 2e; fiir i = j, je nachdem

(149)

denn aus der Art der Einbettung von W w' in W w folgt waii

> 0 fur alle j
1, s) regular im Punkt SA' = SA fur n'

< nkrit.

Es folgt fur

lI

w > 1:

(152) AIle 4>w,(g) sind regular bei SA' = SA' Es ist Res

II a

r+1_i(g)A;-W

r

+1-i A' w(A)

L w'EWft

i

1)

> 3 alle Terme

> 3. Wir konnen uns daher auf die

2 beschranken,

= 3:

Man kann hier genauso schlieBen wie im Fall

Vw

> 3 mit der einen Ausnahme, daB auBer

fur W' = (A°), auch fur

W'

(155)

(A°), - (2, ... ,2) 2, ...

ein moglicher nicht verschwindender Term

n = j + 1. Dies folgt aus den Abschatzungen der Koeffizienten D:v,p, welche in [23] gezeigt wurden. Vergleiche [1]. Insbesondere erhalt man als

i= 0 fiir Re(A) > j + 1.

Folgerung:

Es bleibt das Integral

fN co F(mwn,j, A)dn

zu untersuchen.

irreduzible unit are Darstellung der Gruppe Moo

=

Sei allgemein (H,1!") eine

M. In unserer Anwendung wird es

sich um die irreduzible Darstellung von Moo handeln, welche von f

E [f j

,

/]0 in L2(MQ \MA ) aufgespannt wird. Nach dem Casselman subrepresen-

tation Theorem ist

1f

in einer induzierten Darstellung

H

'-+

M

, X Charakter von B M

enthalten. Siehe [32]. Die Borelgruppe B M von M besitzt die Langlandszerlegung B M = M ' A'N '. Da das Gewicht k gerade ist, ist der Charakter X trivial auf M ' und N ' und somit ein Charakter von A'. Ohne Einschrankung ist A' das Bild des maximalen Torus

A j in SP2j (Bezeichnungen wie in (70) mit j anstelle von n). Aus Lemma 6 folgt, daf der Charakter X von der Form j

x(Diag( a1," . ,aj)) =

II a7-

i

i=1

sein muf , da die Darstellung Heinen Vektor v

i= 0 mit

E_ v

0 enthalt. Durch doppelte

Induktion erhalt man das Diagramm

(167)

(1f0a A01)

'-+

(1f0a- A01)

'-+

I

Moo(A) I

!

Der Operator Moo(A) ist die Einschrankung eines Operators Moo(w,X(A)). Siehe [18]. Hierbei bezeichnet Be das Bild der Borelgruppe Bn. von G in

Der Charakter X(A) ist

x(A)(Diag(a1"'" an)) = x(Diag(a1"'" und es gilt X(A)W

X( -A).

Aus der Theorie der regularen Darstellung von K auf L 2(K) folgt, daB fiir die indusierten Darstellungen in (167) die p" isotypische Komponente der Darstellung p = det k von K genau eindlmensional ist und von einem Vektor v» aufgespannt wird. Dasselbe gilt fiir die isotypische Komponente der trivialen Darstellung von K fiir die induzierten Darstellungen auf der rechten Seite von (167). Diese wird von einem Vektor Uo aufgespannt. FaBt man Uk

als Funktion auf G auf, dann ist ohne Elnschrankung

(168)

118

fur alle a E A, n E N,

K;

E K (Isawazerlegung von G beziiglich B

= Bn ).

Hierbei ist F(g, s)

die Funktion (25) und £

= £A = (0, ... ,0, n + A k) . j

Es folgt bei geeigneter Wahl von vo

Da E = (E!:,l)t mit den Verkettungsoperatoren Moo(A) und M(w,X(A)) vertauscht, folgt aus (167) und (168)

wobei

c(A)

= 'If

Z

f( Hl j - r(',-lk-i))r( A+(k-i)) Z. r[r n, P]r liegi,

f E [I'i' p']o und PI und seien die Funktionen in t [P', p] bzw. t [P', p], welche der Modulform f zugeordnet sind. Fur die dazugeborigen Eisensteinreihen folgt

Beweis: Es sei

aus (107)

K(g, PI's) = X(s)K(g, Fur die Liftungen p vom Gewicht k =

s·A Aus k

s) ,

r

=n­ i

gilt wegen (100)

k_ n + i + 1 2

1

= oP + 1 folgt r

r

Xes)

II(OPr+ s - k+ 1 i=l r

II (s

i)

i=l

123

i)

und x(s) hat eine einfache Nullstelle bei s = l. Fur die Liftung

p vom Gewicht k = k - 2 gilt k < SA. = -(k _ n + j

2

+ 1)

n+4+1 und wegen (100) = 1

Es folgt daher

K(g, I

I nach

Lemma 14. 0 126

=1

I hat und regular

Lemma 21: k - j - 1

und

Es sei p eine stabile Liiiuug von pi vom Liftungsgewkht k mit b.

2. Dann ist

f

eine Eigenform der Heckealgebra }lj in [fj,p/]O mit k == 0(4)

- 1) =1= 0 Im Bild der stabilen Modulform Moo(p).

Beweis: Der erste Schritt des Beweises besteht darin zu zeigen, daf an den ganzzahligen Werten s k == 0(2)

(173) 1. Behauptung:

s)

=1=

s) keine Nullstellen

b. - 1 besitzt. Dazu wird nur verwendet

und

\/(b. - 1) =1= 0

0 fiir s ganz und s

mit

1

b.

1

b. - 1.

Wegen Satz 12 ist dies eine Folge der Holomorphie von + 1) im Bereich Re( s) > 1 falls wenigstens b. - 1 > 1 gilt. Es bleibt der Grenzfall b. = 2. Hier schliefst man etwas anders. Anstelle von p betrachtet man die Liftung k k - 2. Es gilt dann Li = O.

p von p'

vom Liftungsgewicht

Aus Lemma 14 foIgt die Holomorphie von M(j), s) fur Re( s) > O. Insbesondere ist

M(j), 1)

=1= 00.

Aus Lemma 20 wissen wir andererseits Moo(j), 1) =1= 0,00, denn die Voraus-

k

setzungen von Lemma 20 sind wegen k(p') foIgt \/(2) =1= 0 indem man s

j

+ 1 erfiillt,

Aus Formel (169) fur M(j), s)

= 1 setzt, da nach Annahme \/(1) =1= 0 ist. Aus \/(2) =1= 0 und + 1) im Bereich Re(s) > 1 foIgt die Behauptung.

der Holomorphie von \/(s)/\/(s

2. Behauptung: \/(s) =1= 00 fiir s

b. - 1.

Fur b. > 2 foIgt dies aus Satz 12. Fur b. 2 schliefst man wieder durch Betrachtung der Liftung p. Die Behauptung foIgt analog wie in der 1. Behauptung im wesentlichen aus

M(j), 1)

=1= 00.

Liftungsvergleich: Wir betrachten nun die beiden Operatoren MP und MP definiert in (145) besiiglich der Liftungen p und p von pi mit den Liftungsgewichten k und Aus Lemma 18 folgt

MP = lim M(p, b. + s)M(p, b.

1 + s)M(p, -b. - 1 + s)M(p, -b.

8--->0

(174) = lim Mi p, b. + s )M(p, b. s--->O M(p, b. - s)M(p, b.

wegen

· I1m

8--->0

II

k= k -

.

b. + t. + s b. - t - S

127

1

2.

+ s)MP

fur s

Wegen Formel (169) und dem einfachen Verhalten von lim M(p,

+ s)M(p,

M(p,

- s )M(p,

HO

- 1 folgt

- 1 + s) - 1 - s) 1 + s) 1 - s)

=-1

.

Die letzte Gleichung ergibt sich aus Lemma 20, wonach Moo(p,s) eine einfache Nullstelle bei s =

besitzt und weder eine Null- oder Poistelle bei s

= - 1.

Hierbei wird

- 1

1

verwendet. Zusammenfassend erhalt man die

Folgerung:

Da auBerdem nach der 1.Behauptung sowohl

als auch

gilt, liefert das Liftungskriterium von Satz 14 wegen (174), daf Liftung p oder beziiglich der Liftung

f entweder beziiglich der

p stabilliftbar ist,

Nach Satz 1 muB aber das Gewicht einer stabilen Liftung von

f durch 4 teilbar sein.

Damit scheidet eine Moglichkeit von vorneherein aus. Wir beriicksichtigen nun, daf wir auBerdem k == 0(4) angenommen haben und daher wegen p ausscheidet. 0

k=

k - 2 der Fall einer Liftung

Dasselbe Argument liefert die folgende Variante von Satz 14 Es sei f E [fJ, p']O eine nichtverschwindende Eigenform der Heckealgebra sei peine stabile Liftung von p' vom Gewicht k(p) k(P') - 2 falls k(p') == 0(2) und k(p) k(P') - 3 sonst. Dann sind iiouiveteu)

Satz 16: }lj. Es

i) fist im Bild der stabilen Modulformen Moo(p).

ii) Es gilt k(p) == 0(4) und

I +1) i= 0

fur 128

= k(p)

j - 1.

Beweis: i)

ii) ist klar (Satz 1 und Satz 14). Zum Nachweis von ii)

Satz 14 daf k(p) == 0(4) impliziert MPf =

Wir wechseln nun die Bezeichnungen und benennen p um zu

k + 2 von

die Liftung p vom Liftungsgewicht k

Annahmen k(p) :S k(P') - 2 resp. k(p) :S k(p') Lemma 21. Insbesondere gilt

Li ;:: 0 und

i) geniigt nach

f.

6;:: 2 und

p und betrachten zusatalich

p'. Diese Liftung existiert wegen der 3. Wir sind nun in der Situation von

-1)

zu den Voraussetzungen von Lemma 21 besteht darin, daf

i= O. Der einzige Unterschied k == 2(4) und k == 0(4) gilt.

Der Beweis von Lemma 21 iibertragt sich wortlich bis auf den letzten Satz. Nun folgt namlich im Unterschied zu dart, daf

f

stabilliftbar ist beziiglich

p.

Dies war aber gerade

das urspriingliche p. 0 Zum AbscluB geben wir nun die Beweise von Satz 3 und Satz 4, welche im 2.Kapitel formuliert werden.

Beweis von Satz 3 (Filtrierung): Es seien die Bezeichnungen wie in Satz 3. Wegen Lemma 1, Lemma 2 reduziert man sofort auf den Fall

Es gilt k l == k z == 0(4) nach Satz 1. Da das Bild der stabilen Modulformen Moo (pt} in

[fj, p/]a eine Basis von Eigenformen der Heckealgebra besitzt, geniigt es offenbar zu zeigen, daf jede Eigenform f der Heckealgebra im Bild von Moo(pt} stabilliftbar ist bezliglich der Liftung pz von p'. Nach Lemma 21 geniigt wegen obiger Reduktion

auf Grund von 6 z ;:: 3. Wir unterscheiden nun zwei Falle: Im ersten Fall ist k l

f

;::

i + 1.

Aus Satz 14 folgt fiir

wegen der Annahme von Satz 3

p und die Betrachtung der Liftung p von p' vom Liftungs= k 1 + 2 sind wir somit in der Situation (173) wegen 6 - 1 = 6 1 + 1. Aus der Behauptung folgt wie bendtigt 1) i= O. Damit ist Satz 3 in diesem Fall

Durch Umbenennung von Pl in gewicht k dortigen gezeigt.

Es bleibt nur noch der interessante 129

Es sei f E [fj,P']o Eigenform det Heckealgebra }lj. Es sei k(p') 2:: j

Grenzfall:

und p die Liftung von p' vom Liftungsgewicht

i)

fist stabil lift bar beziiglich p

ii]

Res.:l M(p,s)

i

+1

Dann sind aquivalent

-I- 0 und 1''f(2) -I- 0

s) besitzt eine einfachen Pol bei s = 1.

iii)

Der Beweis ist vollig analog dem von Satz 15 wenn man Lemma 17 ersetzt durch Lemma 20.0

Ist daher nun k l =

i, dann folgt

aus der Annahme von Satz 3 die Giiltigkeit von i) und

daher nach ii)

Da im Grenzfall

= 3 ist, bedeutet dies gerade

1)

-I- 0, was aber gerade zu

zeigen war. Damit ist Satz 3 vollstandig bewiesen. 0 Der Grenzfall ist gerade der Fall, der im Beispiel 2 im 2. Kapitel erlautert wurde. Anschaulich gesprochen wurde dort gezeigt, daf jede "generische" Eigenform mit k(p') ;::: j

+ 1 die

=

00

f

in [I'j, P'Jo

Eigenschaft

besitzt, also nicht beaiiglich des Gewichtes j stabil liftbar ist. genformen

f

DaB es iiberhaupt Ei-

zur holomorphen diskreten Serie gibt mit der "pathologischen" Eigenschaft

ist nicht vollig auf der Hand liegend, folgt aber durch explizite Konstruktion

von Thetareihen mit pluriharmonischen Polynomen P und quadratischen Formen S vom Rang m

2j. Jede solche nichtverschwindende Thetareihe 1'J P.S liefert durch Zerlegung

in Eigenformen solche Beispiele. Fiir geeignete p' erhalt man nichtverschwindende 1'J P.S dieser Bauart mit einer Methode, welche auf Raghavan zuriickgeht. Siehe [3].

Beweis von Satz 4: Da [I' j, P'Jo eine Basis von Eigenformen der Heckealgebra besitzt, geniigt es zu zeigen, daf jede Eigenform f im Bild der stabilen Modulformen Mco(p) ist. Satz 4 folgt jetzt aus Lemma 21, da

-I- 0 im Konvergenzbereich Re(s) > j + 1 des + 4 folgt somit - 1) -I- 0

Eulerproduktes gilt (Satz 12). Aus der Annahme k ;::: 2j wegen

1

> j + 1. Damit ist der Spitzenformfall gezeigt. Den Fall der Standardliftung

fiihrt man durch sukzessives Anwenden des qi­Operators auf den Spitzenformfall zuriick.

o

130

14 Die SIEGELSCHEN EISENSTEINREIHEN

In diesem Abschnitt behandeln wir den Fall der Siegelschen Eisensteinreihen, das heiBt der Liftungen von der "unendlich fernsten Spitze". Es handelt sich um die in der Einleitung definierten Siegelschen Eisensteinreihen Ekn)(Z, s). Insbesondere wird gezeigt, daf die analytische Form des Siegelschen Hauptsatzes auch fur die durch Heckesummation erklarten Siegelschen Eisensteinreihen kleinen Gewichtes richtig ist. Im Sinne der vorigen Kapitel betrachten wir also den Spezialfall j = 0, d.h. Liftungen der konstanten Funktion

f

= 1. Die Klingenschen Eisensteinreihen K(g, 'PI, s) auf der

symplektischen Gruppe G = SP2n(IR) entsprechen in diesem Fall bis auf eine Variablentransformation gerade den Eisensteinreihen Ekn)(Z,s) auf der oberen Halbebene Hj,;

Satz 11:

n)

Fur positives gerades k sind die Eisensteinreihen Ek (Z, s) regular bei s

n) Ek (Z, 0) definiert eine holomorphe Modulform Ekn) (Z), falls entweder k k > ist. Fur k > gilt n Ekn) = 1. ist El

Zusatz: Fur k = isi Ekn)(Z)

-I- 0

= o.

oder falls

n) (Z) holomorph genau dann, wenn k == 0(4) ist. Fur k

genau dann, wenn k == 0(4) ist.

Beweis: Im Fall k >

folgt die Behauptung aus Satz 8 und im Fall k =

aus Satz

10.

Ist k < (175)

dann gilt .

(n)(

lim E k

0--+0

mit einer Konstante c -I-

o.

Z, s)

(n) n+I-2k) = c· ResE (Z,s + -'-.-0=0 k 2

Die Begriindung sei fur einen Augenblick zuriickgestellt.

Die rechte Seite von (175) entspricht dem Residuum F(f, n, k) der Klingenschen Eisensteinreihe K(g, 'PI> s) im Punkt s = sx. Nach Satz 9 ist daher die rechte Seite von

n)

(175) eine holomorphe Modulform und insbesondere gilt Ek (Z) E [I' n, kJn. Da [I'n, k]n n

hochstens eindimensional ist, ist Ek ) (Z) eine Eigenform der Heckeoperatoren. Man erhalt

f = 1 (j = 0) als L­Funktion die Riemannsche Zetafunktion I/(s) = I(S). Wegen > 1 n) nicht verschwindet, definiert Ek (Z) fur k < eine stabilliftbare holomorphe Modul-

fiir

Lemma 15 und Lemma 17 und da die Riemannsche Zetafunktion im Bereich Re(s) form (beaiiglich des Liftungsgewichtes k). Aus Satz 1 folgt daher

131

im Fall k

t

O(4),k


k

k

2' u)E(n, 2' Z, u) -

u. Hierbei ist

t- 1

n­l

IT (2u ­ JL) IT (u + v ­

IT

v=o

F(2u

lJ+ 2

mit F(s) = s(1 ­ s)e(2s). Die Funktion A( n,

u) besitzt eine ­

fache Nullstelle bei u

­ 2)­fache Nullstelle bei u

und eine

­ 1)­

Daraus folgt (175).

Beweis des Zusatzes:

Der Fall k < Satz 13:

wurde schon gezeigt. Der Fall k =

=

([;' ""' if'.n '.f.'

[f n, ­2­ n + 3]n ED

n [

ergibt sich als Spezialfall von

n ­ 1]n I' n, ­2­

Da nach Satz 11 und (175) der Raum [I'n, n;-l]n von der Eisensteinreihe ELn) (Z), k =

n;­l

aufgespannt wird, folgt dieser Teil der Behauptung aus der entsprechenden Behauptung des Zusatzes im Fall k < nil. Es bleibt der Fall k

nil. Hier wenden wir Satz 10 an. Es gilt

;=A

M = lim

8­+0

IT M(k, s + i)

i=-A

132

mit

(s k + 1) (-s-k+l)

M(k s) _ . (s - 1)(s 3) , - e(s+l) (-s-I)(-s-3) Es folgt

M = lim

Li)

e(s

i=rr k

li

-

l

.=I-k

+ i-I)

(s (-s

(s + i - k + 1) (-s-i k+l)

i-l)

k

= (-IF

wegen Li

k - 1

1. Die Behauptung folgt, da Ein)(Z) in diesem Fall genau dann

versehwindet, wenn M Es sei 8 1 "

•• ,

=

-1 ist. 0

8 h ein Vertretersystem von unimodularen Aquivalenzklassen gerader po-

sitiver quadratiseher Formen der Determinante 1 vom Rang m

=

2k. Es bezeichne m/-,

die Ordnung der Einheitengruppe E(8/-,) der quadratisehen Form 8/-' und iJsp. (Z) die zum konstanten Polynom P

= 1 gebildete Thetareihe.

Satz 18:

(Analytische Version des Siegelschen Hauptsatzes) n) Es sei Ein)(Z) = Ei (Z,O). Ist k positiv und k == 0(4), dann gilt h

n

h

Lm;liJsp. (Z)

Ei ) (Z)'Lm;l

p.=1

/-'=1

Hierbei ist c(n) - 2 filr k k-


-Operator fiir die "Satakeparameter" der Eigenform g (X;,p

= Pi-k

und daher fiir die L- Funktion selbst n

+i

=

- k)\(s - i

+ k)

;=1

Siehe [0], ThmA.5.l . Es bleibt dem Leser iiberlassen nachzupriifen, daB die Werte der Parameter (X;,p in der Definition der L-Funktion (definiert bis auf Konjugation unter der Weylgruppe) mit den Werten der Parameter in [0] iibereinstimmen. Als nachstes wird gezeigt, daf mit den Konstanten h

q>n{} =

Em;1 # ° 1-'=1

die Gleichung

gilt. Ware f

°

'I 0, dann gibe es wegen q>n f = ein j so, daB q>i f eine nichtverschwindende

Spitzenform ist. Die obige Bemerkung angewandt auf die Eigenformen q>iELn) und q>i{} zeigt, daf q>iELn), q>i{} und damit auch q>if Eigenformen der Heckealgebra }In-i,p mit der zugehorigen L-Funktion n-i

=

II

+i

-

- i

+ k)

;=1

sind. Aus dem folgenden Lemma ergibt sich daraus ein Widerspruch. Es folgt daher wie behauptet f = 0. 134

Lemma 22:

Sei n ;::: 1 und k positiv sowie getsde. Dann gibt es keine nichtverschwin-

dende Spitzenform

f E If n, kl o mit L­Funktionen

+i -

s) =

+ k).

- i

Beweis: Folgende Falle werden getrennt untersucht. 1) Der Fall k ;::: n + 1: k > 1. 2) Der Fall k

> ILlI

nr


n;l: Aus der Annahme

11). Die Gleichung

das heiBt w(k-n, ... ,k-l)=(k

hat wegen Lemma 13 nur die Losung w =

w.

l, ... ,k-n)

Da wir bereits wissen, daf

Ek

n

)

holomorph

ist, folgt aus (98)

cin ) =: c1i Der Fall k :::;

n

Im Grenzfall k

_(1) lim. Res M(w, A) = 1 c n A-+A

= n;tl folgt die Behauptung aus Satz 10. Im allgemeinen

folgt die Behauptung aus den Uberlegungen von Lemma 15 und der Funktionalgleichung 135

(175). Als Resultat einer langeren Rechnung, welche dem Leser iiberlassen bleiben soli, erhalt man ern) ='

•

k

= _1_ lim [ResM(w , A) + (). e n 11.-+11.

k

ResM(w' , A)]

=2 mit

und l = n

+1-

2k. 0

Sei f E [I'n, k] eine holomorphe Modulform. Diese besitzt eine Fourierentwicklung

f(Z) =

L

a(T)e21riSpur(T Z)

T

Es ist wohlbekannt, daf der ([:' -Vektorraum [I'n, k] eine Basis von Modulformen f; besitzt, deren Fourierkoeffizienten a;(T) aIle rationale Zahlen sind. Jeder Automorphismus

(J

des

Korpers der komplexen Zahlen definiert daher einen Automorphismus des Vektorraumes

[I'n, k]. Dieser fiihrt die Modulform f(Z) iiber in

r(Z) =

L

a(T)" e21riSpur(T Z)

T

Die Heckealgebra

)In

wird von den Operatoren T(l), I

(J. T(l))(Z)

IN

= L La(T)eT(D)e21riSpur(I-T.Z[D-"j) T

D

erzeugt, wobei D iiber ein vollstandiges Reprasentantensystem der unimodularen Linksnebenklassen Gl(n, JZ) , D ganz , lD- 1 ganz lauft, Die Konstante eT(D) ist

cT(D)

= det(D)-k

L XEXD

wobei

136

e21riSpur(TX)

Insbesondere ist die Konstante cT(D) eine rationale Zahl. Aus der expliziten Gestalt der Heckeoperatoren T(l) sieht man, daf der Automorphismus o von [Fn, k] Eigenformen der Heckealgebra wieder in Eigenformen iiberfiihrt. Annahme: (i) fist Eigenform der Heckealgebra ).In'

(ii) Der nullte Fourierkoeffizient a(O) von fist eine nicht verschwindende rationale Zahl. Folgerung: AIle Fourierkoeffizienten a(T) von

f

sind dann rational.

n

Dies liiBt sich natiirlich auf die Eisensteinreihen Ei ) fur k >

anwenden. Es ist klar,

daf man sich im Hinblick auf Satz 18 hierbei auf die nicht durch 4 teilbaren Gewichte

beschranken kann. Beweis der Folgerung: Das Gewicht ist notwendig gerade und die L-Funktion

fist gegeben wie in Lemma 22. Dies folgt aus {(E,5)

5 8 9 9

eij

s,p

Jp(g) Dp

8

1l"(p) p(1l") Hm,n Hm.n(p) {fIn)

Ep

C c(p) C A(r,I,p) A[r,I,p] x(p) {r,x(p), p} Z

11

U(g) (IR n)+ )I(r) O(r) (r)

14 14 13 7,9 17 23

IC,IC r

iJ:;)

11

!o

27 27 24 28 25 25

" A

P M N

144

29 30 31 32 33 35 23 35 36 45 45 45 48 48 49 49 48 48 51 51 51 51 52 52 53 53 59 59 59 59

a

rp rM

W(a;, ail Ao(r,x,p) T VeT) c(T,p) E(P,A) D = Dp E(p,