Quantenphysik im Überblick: Ein Buch zum schnellen Einstieg in die verschiedenen Arbeitsmethoden der Quantenphysik. Mit MATLAB-Programmplots [Reprint 2014 ed.] 9783486599039, 9783486244182

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Zum Titelbild. Erzeugung eines Bose-Einstein-Kondensats nach C. E. Wiemann, E. A. Cornell und anderen: Schafft man ein Bosonensystem durch Einschluß von magnetische Momente aufweisenden Bosonen in einer magnetischen Falle und kühlt man das entstehende Bosonensystem hinreichend stark, dann entsteht ein Bose-Einstein-Kondensat. Die ein¬ zelnen Teilbilder zeigen die ortsaufgelöste Lichtabsorption eines durch Anwendung einer

Kombination von Verdampfungskühlung und Laserkühlung präparierten Systems aus Rubidium-Atomen kurze Zeit nach Abschaltung der magnetischen Falle. Gemäß der drei Teilbilder werden drei unterschiedliche Systempräparationen betrachtet. Die starke Licht¬ absorption der rechten Teilbilder kann mit dem Auftreten eines Bose-Einstein-Kondensats identifiziert werden. (Foto: Mit freundlicher Genehmigung

Boulder, Colorado)

von

E. A. Cornell, Joint Institute of

Laboratory Astrophysics,

ft

Quantenphysik im Überblick Ein Buch zum schnellen Einstieg in die verschiedenen Arbeitsmethoden der Quantenphysik Mit MATLAB-Programmplots von

Volker A. Weberruß

Mit 165 Bildern

R. Oldenbourg Verlag München Wien 1998

Texte, Graphikerstellung, analytische und numerische Berechnungen sowie Herstellung des

Software-Manuskriptes durch

Kontakt- und Auftragsadresse: V.A.W, scientific consultation Im Lehenbach 18 D-73650 Winterbach Tel./Fax.: ++49-(0)7181-71224

Dr. Volker A. Weberruß

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Die in diesem Buch abgedruckten Programme wurden sorgfältig getestet; deren Funktions¬ fähigkeit wird aber nicht garantiert. Für programmbedingte Schäden kann weder vom Ver¬ lag noch vom Autor irgendeine Haftung übernommen werden.

Für Ingeborg und Rolf, für deren Hilfsbereitschaft und Güte ein einfaches Dankeschön nicht ausreichen würde

Die Deutsche Bibliothek CIP-Einheitsaufnahme -

Weberruß, Volker A.:

Quantenphysik im Überblick : ein Buch zum schnellen Einstieg in die verschiedenen Arbeitsmethoden der Quantenphysik ; mit MATLABProgrammplots / von Volker A. Weberruß. München ; Wien : Oldenbourg, 1998 -

ISBN 3-486-24418-3

© 1998 R. Oldenbourg Verlag Rosenheimer Straße 145, D-81671 München Telefon: (089) 45051-0, Internet: http://www.oldenbourg.de Das Werk einschließlich aller Abbildungen ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwer¬ tung außerhalb der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages

unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen. Lektorat: Andreas Türk Herstellung: Rainer Hanl

Umschlagkonzeption: Kraxenberger Kommunikationshaus, München Gedruckt auf säure- und chlorfreiem Papier Gesamtherstellung: R. Oldenbourg Graphische Betriebe GmbH, München

Vorwort

Das vorliegende Buch repräsentiert eine Überblicksvorlesung über das weite Gebiet der Quan¬ tenphysik. Für die Quantenphysik grundlegende Sachverhalte werden dargestellt. Neuere ex¬ perimentelle Leistungen, wie beispielsweise die Erzeugung von Antiwasserstoff und BoseEinstein-Kondensaten, werden angesprochen. Weiterführende physikalische Methoden, bei¬ spielsweise vorgegeben durch Eichfeldtheorien, werden behandelt. Ein theoretischer Ansatz zur Vereinheitlichung der Maxwellschen Elektrodynamik und der Einsteinschen Gravitations¬ theorie wird studiert. Abschließend wird kurz auf die Problematik der Einordnung der Quan¬ tenphysik in einen übergeordneten nichtlinearen Rahmen eingegangen. Das Gesamtkonzept des Buches ist in allen Teilen dahingehend ausgerichtet, die Metho¬ den der Quantenphysik im Zusammenhang mit anderen Physikdisziplinen zu sehen: So wer¬ den auf allen Ebenen Verbindungen und Bezüge zu grundlegenden Disziplinen (wie der Me¬ chanik, der Thermodynamik und der Elektrodynamik) herausgearbeitet; die (inzwischen schon als klassische Disziplin zu wertende) Relativitätstheorie sowie neuere Disziplinen wie die La¬ sertheorie und die nichtlineare Physik werden in vielerlei Zusammenhängen berücksichtigt; die "klassischen Wurzeln" quantenphysikalischer Schemata werden studiert. Auch die für die mo¬ derne Physik immer wichtiger werdende numerische Methodik findet an geeigneten Stellen ih¬ re Berücksichtigung, d. h. einige Grundelemente der Programmiertechnik und ihre Anwendung zur Lösung und Veranschaulichung von mathematischen Gleichungen werden im Zusammen¬ hang mit speziellen physikalischen Modellen berücksichtigt. Auf diese Weise wird die Einord¬ nung der Quantenphysik in einen größeren Rahmen möglich. Da in dem vorliegenden Buch eine große Menge wesentlicher Merkmale der Quantenphysik und ihre Bezüge zur Physik makro¬ skopischer Systeme in vielerlei Wechselbeziehungen berücksichtigt werden und Denkansätze zur Vereinheitlichung angesprochen werden, könnte man die Darstellungsweise des Buches auch als eine "ganzheitliche" charakterisieren. Das Buch gliedert sich in mehrere Hauptteile, die grundsätzliche gedankliche Teileinhei¬ ten markieren und die entsprechend erweitert auch als einzelne Bücher hätten veröffent¬ licht werden können. Diese Hauptteile habe ich folglich als "Bücher" bezeichnet. Das vorlie¬ gende Buch setzt sich aus sechs solchen "Büchern" zusammen, wobei in diesem Zusammen¬ hang erwähnt werden sollte, daß die Kapitelnumerierung trotz der Einteilung in "Bücher" fort¬ laufend durchgeführt wird. Nach einer Einführung in das vorliegende Buch folgt das den er¬ sten Hauptteil abgrenzende "Buch 1" mit dem Titel Grundlagen. Es besteht aus einem Kapi¬ tel, in welchen mathematische und gedankliche Grundlagen dargestellt und grundlegende Be-

-

VI

Vorwort

griffe eingeführt werden. Das folgende "Buch 2", Der klassische Überbau der Quantenphy¬ sik, besteht ebenfalls nur aus einem einzigen Kapitel, in dem für den Übergang zur Quanten¬ physik wesentliche makroskopische Systeme und zugeordnete theoretische Behandlungsweisen auf wesentliche Bestandteile reduziert dagestellt werden. Das aus zwei Kapiteln bestehen¬

de "Buch 3", Quantenmechanik, behandelt nichtrelativistische sowie relativistische Strukturen der Quantenmechanik. "Buch 4", Quantenfeldtheorie, Quantenstatistik, Elementarteilchen, be¬ steht aus vier Kapiteln, die sich einerseits mit der quantenfeldtheoretischen und quantenstatisti¬ schen Beschreibung von Teilchensystemen und andererseits mit grundlegenden Eigenschaften mikroskopischer Teilchen beschäftigen. Das aus einem Kapitel bestehende "Buch 5", Nume¬ rische Aspekte der Quantenphysik, gibt einen Einblick in einige einfache numerische Verfah¬ rensweisen. Das "Buch 6", Lineare und nichtlineare Aspekte der Quantenphysik, schließt das Buch ab. Es besteht aus zwei Kapiteln, in dem spezielle lineare und nichtlineare Aspekte der Quantenphysik betrachtet, der oben angesprochene theoretische Ansatz zur Vereinheitlichung der Maxwellschen Elektrodynamik und der Einsteinschen Gravitationstheorie studiert und auf die ebenfalls angesprochene Problematik der Einordnung der Quantenphysik in einen nichtli¬ nearen Rahmen eingegangen wird. Diese beiden letzten Kapitel sollen zum Nachdenken über zukünftige Entwicklungsmöglichkeiten der Quantenphysik anregen. Bezüglich der Detailstruktur des Buches ist festzuhalten, daß wichtige Begriffe nicht vor¬ ausgesetzt, sondern in den jeweiligen Kapiteln explizit eingeführt, erklärt und in Relation zu an¬ deren üblichen Gebrauchsweisen gesetzt werden. Auch sollte erwähnt werden, daß aus dem angloamerikanischen Sprachraum kommende Begriffe in der amerikanischen und nicht in der bri¬ tischen Schreibweise benützt werden: beispielsweise Color und nicht Colour, Flavor und nicht Flavour. Zusätzlich hinzugefügte kleine Beispiele dienen zur Vertiefung einzelner Sachverhal¬ te. In einzelnen Kapitel werden zudem größere Beispiele diskutiert, die den Inhalt eines größe¬ ren Abschnitts oder Kapitels umfassend illustrieren. Ist die Kenntnis mathematischer Grundla¬ gen unumgänglich, dann wird zu Beginn eines Kapitels eine Einführung in diese mathemati¬ schen Grundlagen gegeben. Um eine hohe didaktische Qualität zu erreichen, wurden graphische Objekte eingeführt. So trennen graue Balken kleine Beispiele und Beweise vom übrigen Text ab. Wichtige For¬ meln werden grau hinterlegt. Verschiedene Formen von "Labels" und ein "Button" dienen zur Hervorhebung spezieller Sachverhalte: Ein Beachte-Label hebt wichtige Aussagen hervor; ein Hinweis-Label hebt Aussagen hervor, die den Zusammenhang abstrakter und klassischer Sachverhalte mit der Quantenphysik herstellen; ein Theorem-Label grenzt Theoreme vom übri¬ gen Text ab; ein Ausrufezeichen-Label kennzeichnet Aussagen, welche die Qualität quanten¬ physikalischer Formalismen illustrieren; wichtige mathematische und formale Attribute wer¬ den durch Bildlabels hervorgehoben; entspechende Labels auf der Grundlage verschiedener sachverhaltspezifischer Bilder deuten auf für das allgemeine physikalische Verständnis wichti¬ ge Aussagen hin; ein Programm-Button kennzeichnet Computerprogramme. Das Buch richtet sich einerseits an Studenten der Fachbereiche Physik und Mathematik und andererseits an wissenschaftlich Interessierte aus verwandten Fachgebieten. Es soll einen schnellen und weitgehenden Einstieg in das weite Feld der Quantenphysik ermöglichen, sodaß wesentliche Vorlesungen und Veröffentlichungen über Quantenphysik schnell in ein grundle¬ gendes Schema eingeordnet und damit leichter nachvollzogen werden können. Um dies zu er¬ reichen, werden die vielfältigen Möglichkeiten der Quantenphysik in einer formal geschlosse¬ nen und (wie ich hoffe) didaktisch anspruchsvollen Art und Weise präsentiert.

Vorwort

Sicherlich läßt sich in einer derartigen Arbeit nicht jeder Aspekt würdigen. Ich hoffe jedoch, daß das Buch ein positives Echo findet. Winterbach April 1998

zu

VII

aller Zufriedenheit

VolkerA.

Weberruß

Inhaltsverzeichnis

1.2 1.3

LEI Elementare Teilchen . 1.1.2 Nukleonensysteme. 1.1.3 Nukleonen-Elektronen-Systeme. 1.1.4 Massensysteme. Antimaterie . Über das vorliegende Buch.

1 1 4 4 5 8 8 10

Buch 1:

Grundlagen.

12

1

2

Einführung . 1.1 Materie.

Räume, Zeit und Symmetrien. 13 2.1 Abstrakte Räume. 13 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4

Der metrische Raum. Der normierte Raum. Der unitäre Raum. Der Hilbert-Raum.

Symmetriegruppen. 2.2.1 Gruppen, Matrizen und Operatoren. 2.2.2 Liesche Gruppen und Liesche Algebren. 2.2.3 Ein Beispiel: Drehgruppen Bezugssysteme. 2.3.1 Ortsraum, Zeit und Bezugssysteme. 2.3.2 Ein Beispiel: Inertialsysteme.

15 16 19 20 21 23 29 32 42 44 64

Überbau der Quantenphysik.

74

Das Hamiltonsche Prinzip. 3.1 Mathematische Grundlagen. 3.1.1 Funktionalableitungen. 3.1.2 Greensche Funktionen.

75 76 76 79

2.2

.

2.3

Buch 2: Der klassische

3

Inhaltsverzeichnis

X

3.2

Massenpunktmechanik. 3.2.1 3.2.2 3.2.3

3.3

Koordinaten und Koordinatenvektoren.

Der Euler-Lagrangesche Formalismus. Der Hamiltonsche Formalismus.

Felddynamik

Feldfunktionen und Feldfunktionsvektoren Der Euler-Lagrangesche Feldformalismus. Der Hamiltonsche Feldformalismus.100 Ein Beispiel: mechanische Wellen und Felder.102 Symmetrieeigenschaften der Wirkung.105 3.4.1 Die Wirkungsvariation.106 3.4.2 Das Noethersche Theorem.109 3.4.3 Der Energie-Impuls-Tensor.112

3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.3.4 3.4

3.5

3.6

4

.

Komplexe Feldfunktionen.114 3.5.1 Komplexe klassische Felder.114 3.5.2 Komplexe quantenmechanische Felder.117 Ein Beispiel: Die Maxwellschen Gleichungen.118 3.6.1 3.6.2 3.6.3 3.6.4

Buch 3:

.

83 83 85 91 95 96 96

Die Maxwellschen Gleichungen und ihre Komponenten.119 Der Energie-Impuls-Tensor: elektromagnetische Felder.124 Spezielle Lösungen I: Potentiale und Kräfte.132 Spezielle Lösungen II: Vektorpotentialwellen.143

Quantenmechanik.144

Materiefelder, nichtrelativistisch.145 4.1

4.2

Mathematische Grundlagen.147 4.1.1 Dirac-Vektoren.147 4.1.2 Dirac-Vektoren und Hilbert-Räume.147

Grundlegende Formalismen.149

4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4 4.2.5 4.2.6 4.3

4.4

Das Das Das

Schrödingerbild.149 Heisenbergbild.153 Wechselwirkungsbild.155

Abgeschlossene Systeme, offene Systeme, Umgebungen.157

Störungstheorie.161

Reine und gemischten Gesamtheiten.171 Einteilchensysteme in Ortsdarstellung .177 4.3.1 Zeitabhängige Einteilchen-Schrödinger-Gleichung.178 4.3.2 Der grundlegende Einteilchen-Hamiltonoperator.180 4.3.3 Die zugeordnete Lagrange-und Hamiltondichte .181 4.3.4 Die zugeordnete Kontinuitätsgleichung .182 4.3.5 Der zugeordnete Energie-Impuls-Tensor.184 4.3.6 Zeitunabhängige Einteilchen-Schrödinger-Gleichung.184 4.3.7 Observable und Operatoren.186 Vielteilchensysteme in Ortsdarstellung.191 4.4.1 Zeitabhängige Vielteilchen-Schrödinger-Gleichung.191

Inhaltsverzeichnis

4.5 4.6 4.7

4.8

XI

4.4.2 Vielteilchen-Hamiltonoperatoren.192 4.4.3 Zeitunabhängige Vielteilchen-Schrödinger-Gleichung.193 4.4.4 Die Feynmansche Pfadintegralmethode.195 Das Schema der ersten Quantisierung.201 Das Korrespondenzprinzip und mehr.202 Beispiele I: Verschwindende Potentiale.203 4.7.1 De Broglie-Wellen.204 4.7.2 Beugungswellen.208

Beispiele II: Oszillator-Potentiale.212

Harmonischer Oszillator I: Potenzreihenansatz .213 Harmonischer Oszillator II: Leiteroperatoren.225 Beispiele III: Coulomb-Potentiale.229 4.9.1 Atome, Moleküle, Gase, Flüssigkeiten und Festkörper.229 4.9.2 1-Elektron-1-Kern-Systeme.235 4.9.3 N-Elektronen-1-Kern-Systeme.260 4.8.1 4.8.2

4.9

5

Materiefelder, relativistisch.269 5.1

5.2

5.3

5.4

Buch 4: 6

Mathematische Grundlagen: Spinoren .269 5.1.1 Grundsätzliche Definitionen und Eigenschaften.270 5.1.2 Beispiele für Spinoren.274 5.1.3 Beispiele für Spinoroperatoren.276 5.1.4 Ein Beispiel für eine Spinorgleichung.278 Relativistische Feldgleichungen.280 5.2.1 Die relativistische erste Quantisierung.280 5.2.2 Die Klein-Gordon-Gleichung.283 5.2.3 Die Dirac-Gleichung.285 5.2.4 Die Dirac-Pauli-Fierz Spinorgleichung.290 5.2.5 Lagrangedichten und Kontinuitätsgleichungen.292 5.2.6 Ein nichtrelativistischer Grenzfall: die Pauli-Gleichung.294 Beispiele I: Spin und Spinsysteme .299 5.3.1 Statik einfacher Drehimpulssysteme.306 5.3.2 Dynamik einfacher Drehimpulssysteme.320 5.3.3 Die Blochschen Gleichungen .330 5.3.4 Der Elektronenspin, ein relativistischer Effekt?.331 Beispiele II: Teilchen und Antiteilchen.331 5.4.1 Ein spezielles Teilchen-Antiteilchen-Szenario.331 5.4.2 Teilchen, Antiteilchen und Dirac-Gleichung.333 5.4.3 Antiteilchensysteme: Antiwasserstoff.338

Quantenfeldtheorie, Quantenstatistik, Elementarteilchen.340

Einiges über Quantenfeldtheorie.341 6.1 Feynman-Diagramme .343 6.2 Das Schrödingerbild (2. Quantisierung).345 6.2.1 Die grundlegende Hamiltonfunktion.347

XII

Inhaltsverzeichnis 6.2.2 6.2.3 6.2.4 6.2.5 6.2.6 6.2.7 6.3

Das

Stationäre Systeme I: Bosonen, Fermionen.348 Stationäre Systeme II: wechselwirkend.371 Stationäre Systeme III: zusammengesetzt.375 Nichtstationäre Systeme I: teilchenzahlkonstant.378 Nichtstationäre Systeme II: teilchenzahlvariabel .383 Nichtstationäre Systeme III: gemischt.384

Heisenbergbild (2. Quantisierung).384 Heisenberg-Operatoren.385 Heisenbergsche Bewegungsgleichungen.386 Das Wechselwirkungsbild (2. Quantisierung).386 6.4.1 Wechselwirkungsbild-Operatoren.386 6.4.2 Wechselwirkungsbild-Bewegungsgleichungen.387 Ein Beispiel: Lasersysteme.388 6.5.1 Die makroskopisch-deterministische Betrachtungsbene.390 6.5.2 Die mikroskopische Betrachtungsbene.391 Unendlichkeiten.405 6.3.1 6.3.2

6.4

6.5

6.6 7

Einiges über Quantenstatistik.407 7.1 Grundsätzliches zur Statistik.407 7.2 Klassische Statistik: spezielle Sachverhalte .411 7.2.1 7.2.2 7.2.3 7.2.4

7.3

Quantenstatistik: Spezielle Sachverhalte.419 7.3.1 7.3.2

8

Statistische Gesamtheiten.412 Gibbsche Statistik und statistische Gesamtheiten.414 Gibbsche Statistik und Zustandssummen-Formalismus.416 Der Übergang zur Maxwell-Boltzmann-Statistik.418

Der Zustandssummen-Formalismus.419 Die Fermi-Dirac- und Bose-Einstein-Statistik .422

Einiges über Mikroteilchen.431 8.1 Teilchenklassen.431 8.1.1 Hadronen.438 8.1.2 Leptonen.439 8.1.3 Quarks.440 8.2 Teilcheneigenschaften.440 8.2.1 Die Baryonenzahl .443 8.2.2 Die Leptonenzahl.444 8.2.3 Die Hyperladungsquantenzahl.445 8.2.4 Die Isospinquantenzahlen.446 8.2.5 Die Seltsamkeitsquantenzahl.447 8.2.6 Die Paritätsquantenzahlen.447 8.2.7 Quantenzahlen des Aromas und der Farbe.449 8.3 Teilchenmultipletts.450 8.3.1 Isospinmultipletts.450 8.3.2 Supermultipletts.453 8.4 Das Standard-Modell.459

Inhaltsverzeichnis 9

Einiges über Eichfeidtheorien.463 9.1

Zur Theorie der Eichfelder .463 9.1.1 Eichfeldtheorien: Eichgruppen und Eichfelder.464 9.1.2 Eichfeldtheorien: abelsche und nichtabelsche.465

9.2

Zur Quantenchromodynamik.468 9.2.1 Quarks und Gluonen: Felder.468 9.2.2 Quarks und Gluonen: Feldgleichungen.469 9.2.3 Zur Feldquantisierung.470

Buch 5: Numerische 10

XIII

Aspekte der Quantenphysik.472

Analytik und Numerik.473

10.1 Klassische Oszillatoren.473 10.1.1 Die Lorenz-Gleichungen.474 10.1.2 Die Rössler-Gleichungen.477 10.1.3 Die van-der-Pol-Gleichungen.478 10.2 Quantenmechanische Oszillatoren.481 10.2.1 Lagrange-und Hamiltonfunktionen .481 10.2.2 Oszillator-Schrödinger-Gleichungen.485 10.2.3 Analytische Lösungen.486 10.2.4 Numerische Auswertung.488 10.3 Analogien.495

Buch 6: Lineare und nichtlineare Aspekte der Quantenphysik.498 11

Linearität und Nichtlinearität.499 11.1 Was versteht man unter Nichtlinearität?.501 11.2

11.3

Modengleichungen.501 11.2.1 Modengleichungen: Begründung .502 11.2.2 Modengleichungen: Separation.502 11.2.3 Modengleichung: Adiabatische Elimination.503 11.2.4 Modengleichungen: "Musterentwicklung".503 Operatormodengleichungen.504 11.3.1 Einiges über den Zeitentwicklungsoperator.504 11.3.2 Operatormoden, primäre und sekundäre.505 11.3.3 Operatormoden, "ordnende" und "versklavte".507 11.3.4 Zur Einordnung in das Konzept der Synergetik.511 11.3.5 Zur Einordnung in das Konzept der Sekularmittelung.511 11.3.6 Sind Operatormodengleichungen nichtlinearisierbar?.512

12

Über die Quantenphysik hinaus.515 12.1

Raum-Zeit-Geometrie.515 12.1.1 Raum-Zeit-Geometrie I: Massen.515 12.1.2 Raum-Zeit-Geometrie II: elektromagnetische Felder.520 12.1.3 Raum-Zeit-Geometrie III: verallgemeinerte Ladungen.523

12.2 Wellen-Teilchen-Materie.524

XIV

Inhaltsverzeichnis 12.2.1 Wellen-Teilchen-Materie: zeitunabhängige Zustände.524 12.2.2 Wellen-Teilchen-Materie: zeitabhängige Zustände.525 12.2.3 Wellen-Teilchen-Materie: nichtlineare Erweiterungen.526

12.24 Zum Denkansatz.526

Literaturhinweise.527 Sachwortverzeichnis.533

Über den Autor.545 Danksagung und Anmerkungen.545

Symbolverzeichnis

Buch werden

durchgehende Symbolstrukturen benützt. Es ist deshalb sinnvoll, grundsätzlichen Strukturen aufmerksam zu machen. Beginnen wir mit einigen Bemerkungen zu den im Buch auftretenden grundlegenden Objektklassen: In dem

vorliegenden

erst einmal auf die

.

Grundlegende Objekte der mathematisch-theoretischen Physik sind Tensoren. Eine fun¬ damentale Ausformulierung von Tensorelementen ist mittels oberer und unterer Indices möglich. Während obere Indices die Eigenschaft Kontravarianz andeuten, erfassen untere Indices die Eigenschaft Kovarianz, wobei die Zahl der (oberen bzw. unteren) Indices auf die (kontravariante bzw. kovariante) Ordnung eines Tensorelements hinweist. Diese Aus¬ formulierung wird in diesem Buch durchgehend benützt, wenn eine der vierdimensionalen (relativistischen) Raum-Zeit-Welt angepaßte Viererformulierung zugrunde gelegt wird. Beispiele für Tensorelemente sind durch die Raum-Zeit-Koordinaten q» mit p 1,2,3,0 (z. B. q] x1 x, q2 x2 y, q3 x3 z, q° x° ct bzw. q° x4 ici) gegeben, die entsprechend des auftretenden oberen Index p von erster kontravarianter Ordnung sind. Nicht immer jedoch deuten in der Viererformulierung auftretende Indices die Tensorelemen¬ tordnung an, dies sollte hier erwähnt werden: Christoffel-Symbole repräsentieren Beispiele =

=

=

=

=

=

=

=

=

-

.

.

-

dafür. Eine im Zusammenhang mit der Spinphysik auftretende Objektklasse bilden die Spinoren, die ebenfalls in ko- und kontravarianter Form auftreten können. Spinoren werden in diesem Buch in der Schriftart Jraftur gesetzt, d. h. beispielsweise stellt 6^ bzw. 6^ einen kovarianten bzw. einen kontravarianten Elementarspinor dar. Spinorkomponenten werden ohne Klammern gesetzt und klein geschrieben, d. h. si( sl stellen die Komponenten der obigen Spi¬ noren dar. Von einem allgemeinen mathematischen Standpunkt aus betrachtet, bilden derar¬ tige Spinoren eine noch weitergehendere Objektklasse als die Tensoren: Tensoren lassen sich aus Spinoren aufbauen. Im vorliegenden Buch spielt dieser Aspekt jedoch eine untergeord¬ nete Rolle, weshalb diese Objektklasse erst an zweiter Stelle genannt wird. In der mathematisch-theoretischen Physik treten häufig abstrakte Mengen von Elementen auf, die verschiedene Arten von abstrakten Räumen bilden. Die zugeordneten Mengensym¬ bole werden in der Schriftart ROMAN SPEZIÄL gesetzt. Beispielsweise steht H für eine Menge von quantenmechanischen Zustandsvektoren, die einen Hilbert-Raum bilden.

Die Indexstruktur der im Buch auftretenden Objekte läßt sich

weitergehend konkretisieren:

XVI

.

Symbolverzeichnis

Im Rahmen der Viererformulierung werden als Indices griechische Buchstaben v, K, etc. benützt. Werden im Rahmen der Viererformulierung nur "räumlichen Größen" betrachtet, dann werden Buchstabenindices in der Schriftart Times Roman kursiv benützt, d. h. es wird i, j, k, etc. geschrieben. So werden beispielsweise die Raum-Zeit-Koordinaten ql, in der Form (\i 1,2,3,0) notiert, die Raum-Koordinaten alleine werden in der Form q'

q2, q3, q°

=

(i= 1,2,3) geschrieben.

.

.

Im Rahmen der Spinorformulierung werden alleine Buchstabenindices der Schriftart Times Roman kursiv genommen. Außerhalb des Bereichs der Viererformulierung und Spinorformulierung gilt folgendes: Für diskrete (abzählbare) Elemente werden ebenfalls Buchstabenindices in der Schriftart Times Roman kursiv benützt; für kontinuierliche (nicht abzählbare) Elemente werden (wenn es für die Darstellung günstig ist) Buchstabenindices in der Italic-Version i, j, k, etc. benützt. In diesem (nicht-spinoriellen, nicht auf die Viererformulierung bezogenen) Zusammenhang einzuführende Indices werden entweder innerhalb von Klammern geführt oder als untere In¬ dices angefügt.

Elemente einer bestimmten Objektklasse lassen sich zu übergeordneten Einheiten zusammen¬ fassen. So lassen sich Tensorelemente zu übergeordneten Tensoren und Spinorelemente zu übergeordneten Spinoren zusammenfassen. Derartigen übergeordneten Einheiten werden spe¬ zielle Symbole zugeordnet. So gilt in diesem Buch (entsprechend der obigen Ausführungen) für Spinoren die Symbolzuordnung s¡ -> s1 -> ©W. Darüber hinaus sind folgende Fest¬

legungen zu berücksichtigen: .

.

.

6(¡),

Unterhalb der Objektklasse der Spinoren angesiedelten übergeordneten Einheiten, deren Ele¬ mente in Form von zeilenförmigen oder spaltenförmigen Matrizen anordenbar sind (das sind insbesondere Tensoren 1. Ordnung, sogenannte Vektoren), werden fette Symbole zugeordnet oder es werden Mengenklammern { } benützt. Beispielsweise repräsentiert x die drei räum¬ lichen Koordinaten x, y, z in einer kompakten Art und Weise. Unterhalb der Objektklasse der Spinoren angesiedelten übergeordneten Einheiten, deren Ele¬ mente in Form von quadratischen Matrizen anordenbar sind (das sind insbesondere Tenso¬ ren 2. Ordnung, die häufig einfach als "Tensoren" bezeichnet werden), werden serifenlose Symbole zugeordnet oder es werden Mengenklammern { } benützt. Beispielsweise stellt U eine solche Matrix dar. Für beliebige Matrizen gilt: Transponierte Matrizen beliebiger Ordnung werden durch das obere Symbol T dargestellt (beispielsweise bedeutet UT die zur Matrix U transponierte Ma¬ trix), konjugiert komplexe Matrizen sind durch das zusätzliche Symbol * ausgezeichnet (bei¬ spielsweise ist U* die zur Matrix U konjugiert komplexe Matrix) und das obere Symbol 1 deutet eine inverse Größe an (beispielsweise ist U~' die zu U inverse Matrix). Das obere Symbol t zeichnet adjungierte Matrizen aus (z. B. ist die zur Matrix U adjungierte Ma¬ -

trix). .

beliebige Matrizen der vierdimensionalen speziell relativistischen Raum-Zeit-Welt gilt speziell: Es wird das zusätzliche Zahlenwertsymbol 4 angefügt. So treten in diesem Buch folgende Größen auf: x4 (Vierervektor der Raum-Zeit-Koordinaten), p4 (Vierervektor der Energie-Impuls-Koordinaten), L4 (Vierertensor der Lorentz-Transformation). Für

Symbolverzeichnis

XVII

Ein wesentliches Merkmal jeglicher mathematisch-theoretischer Beschreibung ist das Auftre¬

Operatoren: d. h. z. B. repräsentiert H einen Operator. An¬ . Operatoren erhalten das zusätzliche Symbol sonsten gelten die gleichen Symboldefinitionen wie für Matrizen. Auf folgende Strukturen sei noch hingewiesen:

ten von

.

.

Treten Größenpaare auf, bei denen ein Element durch einen oberen Balken ausgezeichnet ist, d.h. beispielsweise das Größenpaar q¡, q¡, dann ist das Element mit Balken das zum Element ohne Balken konjugierte Element, wobei die Definition der Konjugation über eine partielle Ableitung der sogenannten Lagrangefunktion bzw. -dichte erfolgt. Im Buch wird diese Zu¬ ordnung ausführlich behandelt. Im Zusammenhang mit Teilchensymbolen deutet ein oberer Balken ein zugeordnetes Antiteilchen an. Zur Auszeichnung von Dichtefunktionen und Moden- bzw. Operatormoden wird eine 'K.ÄLLIQIlÄTttlSCM'E SCMVLIJIJOIRJM benützt: So steht L bzw. 9Í für die Lagrange- bzw. die Hamiltondichte und li, repräsentiert Moden.

Die wichtigsten Symbole werden im folgenden Verzeichnis aufgelistet. Griechische und grund¬ legende mathematische Symbole sind am Ende des Verzeichnisses aufgeführt.

aj, á¡

Vernichtungs- bzw. Erzeugungsoperator für Fermionen Beliebiger Skalar, Amplitude, Arbeit

A

A», Au

Element eines kontravarianten bzw. eines kovarianten Tensors 1. Ordnung Element eines kontravarianten bzw. eines kovarianten Tensors 2. Ordnung

A^v, Auv

AjJ

A

bj, bj

B c

cy ct

d3A:

-

x° dA:] d^d^

=

d3p dp\dp2dpi =

di

dw

d3x dx'dx2dx3 d4x dx'dx2dx3dx° d3Nx =

=

Eichfeldkomponente Beliebiger Vektor, beliebige Spaltenmatrix, Vektorpotential Vernichtungs- bzw. Erzeugungsoperator für Bosonen Beliebiger Vektor, Vektor der magnetischen Induktion Lichtgeschwindigkeit Lichtgeschwindigkeit des Vakuums Zeitkoordinate mit der Dimension einer Länge Infinitesimales Völumenelement im Wellenvektorraum Infinitesimales Volumenelement im Impulsraum Infinitesimales Linienelement (raumzeitlicher Abstand zwischen zwei naheliegenden Raum-Zeit-Punkten) Wahrscheinlichkeitselement Infinitesimales Raum-Volumenelement (alternativ: dx') Infinitesimales raumzeitliches Volumenelement (alternativ: Infinitesimales raumzeitliches Volumenelement eines JV-komponentigen Vielteilchensystems mit Koordinaten x'(I),I l...N,i= 1,2,3 Phasenraumelement Darstellung auf der Grundlage von Matrizen g(z') =

d£2 D [{#(/)}]

=

{g(i)}

dxv)

XVIII

Symbolverzeichnis

D D

Dielektrische Verschiebung Drehmatrix bzw. infinitesimale Drehmatrix Drehoperator (infinitesimale oder endliche Drehungen)

£>

Dirac-Spinor

D, d

Positive oder negative Elementarladung Einheitsvektor

e

e¡ E E

Energie

Elektrische Feldstärke Beliebige Funktion, Zahl der Freiheitsgrade Kraftdichte bzw. zugeordnete Komponente Betrag einer Kraft, Funktional ("Funktion" einer Funktion f) Kraftvektor Gravitationskraftvektor Feldtensor der Elektrodynamik bzw. Komponente Element einer Gruppe G Darstellungsmatrix der Gruppe G Metriktensorelemente Newtonsche Gravitationskonstante, Gruppe Tensor zum Herab- bzw. zum Heraufziehen von Spinorindices Plancksche Konstante (h Plancksches Wirkungsquantum) Hamiltonfunktion Magnetische Feldstärke

/

/, /v F F

FQ

{F^v }, F^v g(i) g(i) D [g(/)] =

8^v> £|jv G

G((;), G^'^ h

h/2K

=

=

H H H

Hamiltonoperator Hamiltonoperator eines abgeschlossenen Systems Wechselwirkungsoperator, der in vielen Fällen eine relativ kleine "Störung" repräsentiert: "Störoperator", X gibt die Größenordnung der Störung vor "Badoperator", Bahnbewegungsoperator Hamiltonoperator in 2. Quantisierung ("quantenfeldtheoretischer Systemoperator") Hamiltonoperator in 2. Quantisierung für Bosonen

HQ

XH§

//B

H(2)

fj{2,a) #(2,F) (

bzw. für Fermionen Hamiltondichte Hilbert-Raum

9{ M i

=

\/-L i2

/

k k

k4 kB K

-1

Imaginäre Einheit

dQ/dt, Q Gesamtladung), Inertialsystem Gesamtdrehimpulsquantenzahl Gesamtdrehimpulsvektor, Stromdichtevektor Quantenzahl eines Drehimpulses bzw. dritte Komponente Betrag eines Wellenvektors Stromstärke (/

/* j J, JT,

=

=

JZ

=

=

Wellenvektor Viererwellenvektor Boltzmannsche Konstante Einsteinsche Gravitationskonstante

Symbolverzeichnis ñ /

Klein-Gordon-Spinor Bahndrehimpulsquantenzahl

/ / L

Bahndrehimpulsvektor Bahndrehimpulsoperator Lagrangefunktion

L4

Vierertensor der Lorentz-Transformation

Lagrangedichte Magnetische Quantenzahl, Masse

L m

win

Ruhemasse

M

Observable, Eigenwert einer Observablen, Anzahlgröße (z. B. Anzahl der Nebenbedingungen)

M

Operator einer Observablen M (Schrödingerbild) Operator einer Observablen M (Heisenbergbild) Operator einer Observablen M (Wechselwirkungsbild) Hauptquantenzahl, Anzahlgröße Normierungsfaktor, Anzahlgröße Element einer orthogonalen Matrix mit Abzählnummer k bzw. übergeordnete Matrix Orthogonaler Operator Impulskoordinate Impulsvektor Impulsoperator Projektionsoperator Generator einer Gruppe Beliebige (generalisierte) Koordinate Zu q¡ kanonisch konjugierte Koordinate Gesamtladung Komponente einer generalisierten Kraft Verallgemeinerte Ladung Matrix, die infinitesimale Drehungen vermittelt Krümmungsskalar

MH Mw n

N

Ojj(k), 0(k) Ô Pi p p

P¡j P, q¡

q~i Q

óL/óq¡ -

Qi Q" r

R

Element des Ricci-Tensors

s

s¡

S

®

(M' ]'M) ^ S^i' '"ÍM '

Spinvektor Spin-Matrix Wirkungsintegral (= "Wirkung"), Skalarprodukt Allgemeiner Spinor beliebiger Ordnung bzw. Komponente

T

Zeitkoordinate Kinetische Energie

T, 7^v

Energie-Impuls-Tensor bzw. Komponente

t

Uij(k), u(k) U¡j(k), U(k) Û

Element einer unimodularen Matrix mit Abzählnummer k bzw. übergeordnete Matrix Element einer unitären Matrix mit Abzählnummer k bzw. übergeordnete Matrix Unitärer Operator

XIX

XX

Symbolverzeichnis

11

Mode

ÛM

Operatormode

Element eines abstrakten Raums,

Geschwindigkeitsbetrag Geschwindigkeitsvektorkomponente Geschwindigkeitsvektor Potentielle Energie

v

v¡ v

V

V4

Raumzeitliches Volumen (Vierervolumen) Vektorraum der Dimension n Skalare Wechselwirkungsfunktion Kartesische Raumkoordinate, x1 x, x2 y, x3 =z Vektor der kartesischen Raumkoordinaten x' Kartesische Raumkoordinatenx' + Zeitkoordinate x° ct Vierervektor der Raum-Zeit-Koordinaten x', x° ct Zeitkoordinate des pseudoeuklidischen (Minkowski-)Raums Zeitkoordinate des euklidischen Raums Koordinatenvektor eines Vielteilchensy stems Zustandssumme

V" W

x'

=

x

X*1

xA x° x4

(p. 1,2,3,0) =

=

=

=

=

ct

=

ic?

X Z

Häufig treten griechische Symbole auf. Die wichtigsten werden im folgenden aufgelistet: Komplexe Zahl, Winkel Matrix-Operator in der Dirac-Theorie Komplexe Zahl, Winkel Matrix-Operator in der Dirac-Theorie

a

ÓV

ß ß

Relativistischer Vorfaktor

y

y', y°

Dirac-Matrix, spezielle Formulierung: ÔV

TQ

Ladungsparameter Christoffel-Symbol Variationssymbol

T

Eulersche Gammafunktion

T*V 8

Ô; Ô,7 =

=

A 8

=

=

11[0

£o£r

£o

Ô^ fur

=

Ô(/,7) i

/

^

^j

=

y°f, ß y° =

Kronecker-Delta

Differenzoperator Dielektrizitätskonstante Absolute Dielektrizitätskonstante (auch: Influenzkonstante)

Tl^itluv f\J, f\J O

Relative Dielektrizitätskonstante Spezielle Metriktensorelemente (pseudoeuklidischer Raum) Vernichtungs- bzw Erzeugungsoperator (Bosonen, Fermionen) Winkel im Kugelkoordinatensystem

X

Größenordnungsparameter

X¡, Xjj

Potenzreihenkoeffizienten Potenzreihenkoeffizient auf kompakter Beschreibungsebene SU(n) -Generator

er

A{v.(/)j X¡

Symbolverzeichnis Permeabilität Absolute Permeabilität (auch: Relative Permeabilität

jj. popr p0 =

pr

XXI

Induktionskonstante)

v

Frequenz

p Ô'

Dichtefunktion (beispielsweise: pQ Ladungsdichte) Pauli-Matrix Geschlossene Darstellung der Pauli-Matrizen ...

{o'}

Linienparameter

ç

Z

Summenzeichen Winkel "Zentrale Funktion" Drehvektor (gerichtete

tp, (p,

X

Symmetrieoperator

Drehung um den Winkel ip)

Quantenmechanische Feldfunktionen ("Wellenfunktionen" )

vp", \|/,

4*,

Feldfunktion allgemein Vektor der Feldfunktionen 4*,

*

Winkelgeschwindigkeit Oszillator-Kopplungsstärke, Phasenraumsymbol

(0

Q.

Wichtige Zustandsvektorsymbole zeigt die folgende Liste:

|32 Ö33/

,

=

D(cx>c"c"q>)

Í

bzw. D=

^

"

21

D

,

^22^J

=

D(22

=

D33

=

COS(p + C.t2C(p , D)2

=

QSintp + CjtCvCq, D[3 ,

cv2C(p, D23 cx sin cp + CyCzcv D21 cos(p + cz2C(p, D31 cysin(p-(-cxczC(p, D32 cos (p

+

=

,

=

gegeben und im zweidimensionalen Fall gilt sin(p, D22 D|i=cos(p, D]2 sin(p, D21 =

=

=

-CySiny + CxCzCy

,

=

-cz sin (p + cxCyCy

,

=

-cxsin