Problemi di Fisica (Collana di Fisica e Astronomia) (Italian Edition) 884700795X, 9788847007956

Citation preview

Collana di Fisica e Astronomia

A cura di: Michele Cini Stefano Forte Massimo Inguscio Guido Montagna Oreste Nicrosini Franco Pacini Luca Peliti Alberto Rotondi

Michelangelo Fazio

Problemi di Fisica

f1 Springer

MICHELANGELO FAZIO

Dipartimento di Fisica Università degli Studi di Milano

Springer-Verlag fa parte di Springer Science+Business Media springer.com © Springer-Verlag Italia, Milano 2008

ISBN 978-88-470-0795-6 ISBN 978-88-470-0796-3 (eBook) Quest'opera è protetta dalla legge sul diritto d'autore. Tutti i diritti, in particolare quelli relativi alla traduzione, alla ristampa, all'uso di figure e tabelle, alla citazione orale, alla trasmissione radiofonica o televisiva, alla riproduzione su microfùm o in database, alla diversa riproduzione in qualsiasi altra forma (stampa o elettronica) rimangono riservati anche nel caso di utilizzo parziale. Una riproduzione di quest'opera, oppure di parte di questa, è anche nel caso specifica solo ammessa nei limiti stabiliti dalla legge sul diritto d'autore, ed è soggetta all'autorizzazione dell'Editore. La violazione delle norme comporta sanzioni previste dalla legge. L'utilizzo di denominazioni generiche, nomi cornrnerciali, marchi registrati ecc., in quest'opera, anche in assenza di particolare indicazione, non consente di considerare tali denominazioni o marchi liberamente utilizzabili da chiunque ai sensi della legge sul marchio.

CD a opera di Michelangelo Fazio con la collaborazione tecnica di Valter Giuliani Progetto grafico della copertina: Simona Colombo, Milano Impaginazione: Studio Ferrari, Milano Stampa: Grafiche Porpora, Segrate, Milano

Springer-Verlag Italia s.r.l., Via Decembrio, 28 - 20137 Milano

Prefazione

L'introduzione delle lauree triennali ha in molti casi costretto i docenti a ridurre drasticamente il numero di ore di insegnamento e quindi l'estensione dei programmi dei corsi di Fisica. In questo volumetto mi sono proposto di esporre sinteticamente ma con il massimo rigore possibile il corso di Fisica Generale I evitando le dimostrazioni delle leggi fisiche, ma dando la priorità alle applicazioni di tali leggi e allo svolgimento di esercizi, che in genere viene trascurato in molti corsi. Ho quindi cercato di presentare i fenomeni fisici sottolineando, dove possibile, la loro presenza nella vita quotidiana e le loro più semplici e immediate applicazioni, consentendo in tal modo agli studenti di vedere la Fisica non più come una interminabile serie di formule ma come un nuovo modo di interpretare e di capire i fenomeni naturali inanimati (del resto, non dobbiamo dimenticare che il termine greco da cui deriva il suo nome è q,l(Jt(J,fisis, ovvero "natura"). Il contenuto è completo, comprendendo anche quei capitoli che vengono trascurati da molti docenti, quale la meccanica relativa, i fluidi, la termodinamica dei cicli ... Al termine di ogni capitolo viene riportato un formulario che riassume sinteticamente le leggi più importanti esposte nel capitolo, premessa questa indispensabile per permettere allo studente la risoluzione di problemi che segue. I problemi proposti sono interamente svolti e commentati criticamente sottolineando i punti di maggiore difficoltà e sono preceduti da una serie di suggerimenti sia per i docenti sia per gli studenti. Una molto più ricca raccolta di problemi è presentata nel compact disc allegato al volumetto. Aprile 2008

Michelangelo Fazio Università di Milano

Sommario

Introduzione ............................................................................................................................ 1 Consigli agli studenti e ... ai docenti per risolvere un problema ........................................ 1

1

Vettori.. ............................................................................................................................ 5 Operazioni tra vettori ..................................................................................................... 5 Versori .............................................................................................................................. 6 Problemi ........................................................................................................................... 7

2

Cinematica ................................................................................................................... 13 Moto rettilineo uniforme ............................................................................................. 14 Moto uniformemente accelerato ................................................................................ 15 Moto circolare uniforme .............................................................................................. 15 Moto circolare uniformemente accelerato ................................................................ 16 Moto curvilineo ............................................................................................................ 16 Moto armonico semplice ............................................................................................. 17 Piano inclinato .............................................................................................................. 17 Moto dei gravi ............................................................................................................... 18 Unità di misura .............................................................................................................. 19 Problemi ......................................................................................................................... 19

3

Dinamica del punto .................................................................................................... 27 Leggi di Newton ........................................................................................................... 27 Risultante di forze ......................................................................................................... 27 Forza peso ...................................................................................................................... 27 Tensione di fili, funi ecc .............................................................................................. 28 Legge di Hooke ............................................................................................................ 28 Misura di pesi e di masse ............................................................................................ 28 Collegamento di molle ................................................................................................. 28 Pendolo semplice .......................................................................................................... 29 Condizioni di equilibrio traslatorio ............................................................................ 29 Diagramma di corpo libero ......................................................................................... 29 Unità di misura .............................................................................................................. 31 Problemi ......................................................................................................................... 31

VIII

Sommario

4

Lavoro ed energia ...................................................................................................... .37 Lavoro di una forza variabile ..................................................................................... .37 Lavoro di una forza costante ...................................................................................... .37 Lavoro elementare ....................................................................................................... .37 Energia cinetica ............................................................................................................ .37 Teorema dell'energia cinetica (o delle forze vive) ................................................. .38 Forze conservative ....................................................................................................... .38 Teorema dell' energia potenziale ............................................................................... .38 Energia potenziale elastica ......................................................................................... .38 Energia potenziale di gravità (con g costante) ......................................................... .39 Principio di conservazione dell' energia meccanica ................................................ .39 Potenza .......................................................................................................................... .39 Unità di misura ............................................................................................................ .39 Problemi .........................................................................................................................40

5

Quantità di moto. Centro di massa. Dinamica impulsiva ............................... .47 Quantità di moto .......................................................................................................... .47 Forze impulsive ............................................................................................................ .47 Urti ..................................................................................................................................48 Centro di massa .............................................................................................................48 Teorema del moto del centro di massa ......................................................................49 Unità di misura ..............................................................................................................49 Problemi ........................................................................................................................ .49

6

Meccanica relativa ......................................................................................................65 Velocità nel moto relativo ...........................................................................................65 Accelerazione nel moto relativo .................................................................................65 Sistemi di riferimento inerziali ...................................................................................66 Problemi .........................................................................................................................67

7

Dinamica dei corpi rigidi ..........................................................................................75 I equazione cardinale della dinamica dei corpi rigidi ..............................................76 II equazione cardinale della dinamica dei corpi rigidi ............................................76 Momento angolare di un corpo in rotazione .............................................................76 Condizioni di equilibrio di un sistema e sistema isolato .........................................76 Teorema di Huygens-Steiner, o degli assi paralleli ................................................ .76 Pendolo composto ........................................................................................................76 Pendolo di torsione .......................................................................................................77 Asse di istantanea rotazione ........................................................................................77 Unità di misura SI .........................................................................................................77 Problemi ........................................................................................................................ .77

8

Meccanica dei fluidi ...................................................................................................91 Pressione .......................................................................................................................91 Principio di isotropia delle pressioni locali ...............................................................91

Sommario

IX

Principio di Pascal ........................................................................................................ 91 Principio di Archimede ................................................................................................ 91 Tensione superficiale ................................................................................................... 92 Legge di Jurin-Borelli .................................................................................................. 92 Legge di Newton sulla viscosità ................................................................................ 92 Legge di comprimibilità .............................................................................................. 92 Regimi di moto dei fluidi ............................................................................................ 93 Legge di Torricelli ........................................................................................................ 94 Regime microvorticoso ............................................................................................... 94 Legge di Stokes ............................................................................................................. 94 Unità di misura .............................................................................................................. 95 Problemi ......................................................................................................................... 95

9

Gravitazione .............................................................................................................. 107 Leggi di Keplero ......................................................................................................... 108 Legge di gravitazione universale ............................................................................ .108 Newton e la terza legge di Keplero ......................................................................... .109 L'accelerazione di gravità ......................................................................................... 109 Campo gravitazionale ................................................................................................ 110 Energia potenziale gravitazionale ............................................................................ 112 Energia totale gravitazionale .................................................................................... 113 Principi di conservazione nel moto dei pianeti ..................................................... .114 Unità di misura ............................................................................................................ 115 Problemi ....................................................................................................................... 115

lO

Termologia ................................................................................................................. 121 Leggi di dilatazione .................................................................................................... 121 Scale termometriche ................................................................................................... 121 Leggi dei gas perfetti .................................................................................................. 122 Propagazione del calore ............................................................................................. 122 Calore specifico .......................................................................................................... 122 Capacità termica ......................................................................................................... 123 Sorgente di calore ....................................................................................................... 123 Equilibrio termico di miscele .................................................................................... 123 Cambiamenti di stato ................................................................................................. 124 Dipendenza della temperatura dei cambiamenti di stato dalla pressione esterna ............................................................................................... 125 Unità di misura ............................................................................................................ 125 Problemi ....................................................................................................................... 126

11

Teoria cinetica dei gas perfetti .............................................................................. 131 Nomenclatura .............................................................................................................. 131 Principio di equipartizione dell' energia .................................................................. 133 Distribuzione delle velocità molecolari secondo Maxwell-Boltzmann ............ .133

X

Sommario

Unità di misura ........................................................................................................... 134 Problemi ...................................................................................................................... 134

12

Primo principio della termodinamica ................................................................ 139 Carattere di una trasformazione ............................................................................... 139 Lavoro di espansione ................................................................................................. 14O Nomenclatura delle trasformazioni ......................................................................... 142 Primo principio della termodinamica ..................................................................... 142 Espansione libera di un gas perfetto ....................................................................... 143 Equazioni di Poisson ................................................................................................. 145 Trasformazioni politropiche ..................................................................................... 146 Unità di misura ........................................................................................................... 146 Problemi ...................................................................................................................... 147

13

Secondo principio della termodinamica. Cicli. Entropia .............................. 155 Macchina operante tra due temperature ................................................................. 156 Teorema di Carnot ..................................................................................................... 158 Disuguaglianza di Clausius ...................................................................................... 159 Entropia ....................................................................................................................... 159 Piano di Gibbs ............................................................................................................ 162 Unità di misura ........................................................................................................... 163 Problemi ...................................................................................................................... 163

14

Gas reali. Potenziali termodinamici .................................................................... 169 Equazione di van der Waals per i gas reali ............................................................ 169 Parametri critici .......................................................................................................... 170 Energia interna dei gas reali ..................................................................................... 170 Effetto Joule-Kelvin .................................................................................................. 170 Dipendenza della tensione di vapore dalla temperatura ...................................... 171 Unità di misura ........................................................................................................... 171 Problemi ...................................................................................................................... 171

15

Oscillazioni e onde armoniche .............................................................................. 175 Come nasce un'onda ................................................................................................. 176 Equazione del raggio ................................................................................................. 176 Onde piane e onde sferiche ...................................................................................... 177 Intensità di un' onda ................................................................................................... 177 Fenomeni caratteristici delle onde ........................................................................... 178 Onde sonore ................................................................................................................ 178 Fenomeni ondosi ........................................................................................................ 179 Effetto Doppler ........................................................................................................... 180 Tubi sonori. Corde vibranti ...................................................................................... 181 Risonanza .................................................................................................................... 183 Unità di misura SI ...................................................................................................... 184 Problemi ...................................................................................................................... 184

Sommario

XI

16

Teoria degli errori .................................................................................................... 191 Propagazione degli errori .......................................................................................... 192 Distribuzione binomiale ............................................................................................ 193 Distribuzione di Poisson ............................................................................................ 193 Problemi ....................................................................................................................... 193

17

Calcolo dimensionale ............................................................................................... 197 Criterio di omogeneità dimensionale ...................................................................... 197 Criteri di scelta delle grandezze fondamentali ...................................................... .197 Problemi ....................................................................................................................... 199

Cronologia della fisica ....................................................................................................... 203 Unità di misura e dimensioni delle grandezze fisiche ............................................... 209

Introduzione

Consigli agli studenti e ... ai docenti per risolvere un problema

L~importanza

delle ipotesi

Lo studente deve essere condotto per mano dal docente, il quale deve preoccuparsi di presentare il testo del problema con la massima chiarezza, con completezza di dati e senza mai lasciare dubbi sulla natura del processo esaminato, sulle ipotesi necessarie per poterlo trattare, su che cosa si può trascurare e che cosa invece si dà per scontato. È molto importante l'attenta lettura del testo da parte dello studente, che deve saper pesare attentamente qualunque sfumatura (aggettivi e avverbi compresi). Molto spesso nel testo di un problema si parla di molle o di fili precisando raramente che s'intendono molle o fili ideali; si parla di "gas" senza precisare se reali o perfetti; si parla di pendoli senza chiarire se semplici o composti e neppure se stanno oscillando ad angoli piccoli o meno; nello studio di un moto si dà troppo frequentemente per scontato che le costanti iniziali del moto siano nulle, come altrettanto spesso non si ritiene necessario precisare se gli attriti sono trascurabili o meno, se le carrucole sono lisce e prive di massa, o se la resistenza dell'aria debba essere tenuta in considerazione; in altri casi ancora, si parla genericamente di moto senza precisare se il piano in cui avviene è orizzontale o verticale, oppure si pretende che lo studente calcoli il momento d'inerzia di un'asta senza aver precisato se è omogenea e uniforme.

La soluzione letterale Lo studente tende generalmente a inserire subito nelle leggi fisiche i valori numerici dati dal testo del problema e in tal modo perde di vista il significato del risultato ottenuto: non si accorge se una soluzione perde significato all'annullarsi di un denominatore per certi valori dei parametri e neppure vede se un discriminante diventa negativo o nullo. L'inserimento immediato dei dati numerici impedisce di svolgere la discussione sui limiti di validità delle soluzioni trovate.

2

Introduzione

È perciò indispensabile che gli studenti si abituino allo svolgimento solo letterale del problema e a sostituire i valori numerici solo nell'ultima formula ricavata; questo modo di procedere consente anche il controllo dimensionale e quindi di scoprire la presenza di eventuali errori.

l dati ridondanti ... Talvolta in un problema vengono forniti dati numerici del tutto inutili e lo studente entra in crisi perché è convinto di doverli utilizzare a tutti i costi e non ci riesce. In alcuni casi si tratta di una trappola tesa dal docente per verificare il livello di sicurezza dello studente ed è una scelta che personalmente non condivido, poiché è ben raro che uno studente si trovi in una prova scritta nelle migliori condizioni per individuare trabocchetti. In altri casi, purtroppo molto frequenti, invece, l'insegnante propone il problema senza prima provare a risolverlo e nel dubbio ha pensato bene di fornire qualche dato in più, ma anche questo non mi trova d'accordo .

...e quelli mancanti In molti casi la soluzione del problema è indipendente da certe grandezze che lo studente ritiene invece indispensabili: è il caso della massa di due oggetti identici che entrano in collisione e la cui velocità dopo l'urto è del tutto indipendente dalla massa.

Effetti dannosi della premura Un difetto comune alla maggior parte degli studenti è di pretendere di trovare subito una formula che fornisca la grandezza incognita, senza tentare di costruire percorsi più o meno elaborati che conducano gradualmente alla soluzione. Qui è fondamentale la funzione del docente che deve dare una traccia, mediante lo svolgimento di molti esempi, di quali sono i metodi da seguire caso per caso.

Il riconoscimento Un altro ostacolo alle capacità di svolgere un problema è la generale incapacità degli studenti di riconoscere una legge fisica se appena viene presentata in modo leggermente diverso da quello tradizionalmente esposto nei libri di testo; ho per

Consigli agli studenti e ... ai docenti per risolvere un problema

3

esempio sperimentato che se si dà una legge di moto del tipo v = J-; , chiedendo le costanti iniziali del moto e il tipo di moto, solo una modesta percentuale di studenti è in grado di riconoscere un moto uniformemente accelerato e di capire che tali costanti sono nulle. Allo stesso modo, se si dà una relazione del tipo a + 2x = O (precisando il sistema di unità di misura usato) è ben difficile che lo studente si accorga che si tratta, nelle stesse unità di misura di un moto armonico con pulsazione m = J2.

Analogie pericolose Certe tecniche di soluzione di un problema, una volta apprese in un capitolo della fisica hanno validità generale: ciò accade per esempio, per il calcolo delle componenti di un vettore o per lo studio della legge del moto. Spesso però lo studente è tentato di applicare certe tecniche anche quando non è possibile: un esempio tipico è quello del doppio piano inclinato nel quale due blocchi sono collegati da un filo ideale; dati gli angoli e i coefficienti di attrito dei piani e le masse dei blocchi, non si può quasi mai stabilire a priori quale dei due blocchi trascinerà l'altro e allo studente non resta che scegliere a caso un verso di moto, scrivere le equazioni di movimento utilizzando il diagramma di corpo libero e calcolarsi l'accelerazione. Le cose vanno bene se l'accelerazione risulta positiva, mentre sono guai se essa risulta negativa, poiché la tentazione dello studente è in genere di concludere incautamente che non sarà il blocco prescelto a trascinare l'altro, ma esattamente il contrario, limitandosi a cambiare verso al moto ma convinto che l'accelerazione calcolata sia in modulo esatta; in realtà, cosÌ operando, lo studente non si rende conto che è necessario riscrivere interamente le equazioni di moto, perché non tutti i segni cambiano invertendo la direzione di moto scelta in un primo tempo: cambieranno verso e segno la forza di attrito e l'accelerazione, ma non le componenti del peso lungo i piani e le tensioni. Ben diversa è invece la situazione nel caso dei circuiti elettrici, dove, applicando i principi di Kirchhoff e attribuendo a caso i versi delle correnti, se qualcuna di esse risulta negativa basta invertirne il verso, ma con lo stesso valore assoluto.

La concretezza del problema Per interessare lo studente a un problema di fisica è opportuno non ricorrere troppo spesso a problemi le cui soluzioni non offrono alcuna possibilità di riscontro numerico con fatti osservabili nella vita quotidiana, ma rifarsi invece a problemi che possano interessare l'allievo facendogli capire come i risultati della corretta applicazione delle leggi fisiche siano in accordo con le nostre osservazioni reali di un fenomeno fisico.

4

Introduzione

Per esempio, in generale gli studenti non hanno la minima idea dei valori di accelerazione delle auto; la maggior parte di essi è convinta che i potenti motori di una macchina di Formula 1 possano fornire accelerazioni pari a 10-20 volte g. Invece di limitarci alla banale applicazione delle equazioni di Galileo sul moto uniformemente accelerato, perché allora non provare a far vedere agli allievi che un'auto che si porta da O a 100 km/h in lO s, nell'ipotesi di accelerazione costante, ha un'accelerazione di 2,8 m/S2 e che la stessa auto percorre 1 km da fermo in 26,8 s? Allo stesso modo, oltre a far calcolare agli allievi la potenza del motore di una pompa per espellere l'acqua da una miniera, perché non provare a far loro calcolare anche la minima potenza che deve avere il motore di una fuoristrada per superare una pendenza costante con una data velocità costante? In tal modo possono rendersi conto che i risultati del calcolo teorico coincidono con quelli reali. E ancora, oltre a far calcolare la potenza dissipata da un circuito elettrico puramente teorico, perché non convincere gli studenti, con le leggi di Ohm, Kirchhoff e Joule alla mano, che con un contatore domestico da 2,5 kW non possiamo far funzionare contemporaneamente lo scaldabagno elettrico, il forno a microonde, la lavatrice, la lavastoviglie e il termoventilatore? Oppure potremmo facilmente dar loro una chiara idea delle dispersioni nell'isolamento termico di un boiler elettrico facendo calcolare quanto tempo in teoria è necessario per riscaldare 80 l d'acqua da 20 a 60°C con una potenza di 2 kW e facendo notare la sensibile differenza tra il tempo calcolato (6700 s) e quello reale (almeno 9000 s). Infine, un suggerimento utile per gli studenti nella soluzione degli esercizi è di introdurre incognite "ausiliarie", grandezze di cui non si conosce il valore ma che, se il procedimento seguito è corretto, alla fine scompaiono semplificandosi.

1 Vettori

Sono cosÌ chiamate quelle grandezze fisiche caratterizzate da tre parametri, un valore numerico in opportune unità di misura, detto modulo, una retta che individua la direzione, un senso di percorrenza su essa che individua il verso. In alternativa ai vettori, esistono grandezze dette scalari, individuate completamente dal solo valore numerico, sempre seguito da un'opportuna unità di misura. Esempi di vettori sono la velocità, la forza, la posizione, lo spostamento, la quantità di moto, il momento meccanico, mentre sono scalari la superficie, la densità, la temperatura, l'energia, il tempo, la potenza.

Operazioni tra vettori Si può istituire un'algebra vettoriale che ripropone con opportune convenzioni le operazioni algebriche tradizionali; non sono definite per i vettori la divisione e la potenza. Somma

s=a+b

s=

Differenza

d=a-b

d

~ a 2 + b 2 + 2a b cos ()

= ~ a2 + b2 -

2a b cos ()

(1.1)

(1.2) (1.3)

Componenti cartesiane (1.4)

ax ' ay, a z sono i componenti del vettore a, mentre a x , a y e a z sono le componenti di a.

6

l Vettori

Versori Vengono cosÌ chiamati quei vettori di modulo unitario diretti e orientati lungo gli assi cartesiani x, y e z. La loro utilità è quella di poter scrivere un vettore mediante le componenti, anziché mediante i componenti. Si indicano rispettivamente con i,j e k e si può scrivere indifferentemente (1.5)

dove

Iii = iii = Ikl = 1.

Valgono inoltre per i prodotti misti tra versori le seguenti proprietà:

ixi = jxj = kxk = 1 ixj =jxk= kxi= O

= k,il\k=j,kl\j= i.

il\j

Prodotto veftoriale Si istituisce tra due vettori a e b un' operazione con la quale si ricava un nuovo vettore c indicato con il simbolo c = a 1\ b che ha la proprietà di essere perpendicolare al piano contenente a e b e ha per modulo c = a b sinO, ovvero

c=al\b

y cx = a,."b., - a.,b cy=a,b,-axb, c, = axb v - avbx

j

Icl=c=absinO,

(1.6)

I tre vettori del prodotto vettoriale sono correlati per quanto riguarda direzione e verso dalla regola della mano destra, secondo la quale il vettore c è perpendicolare al piano contenente a e b: prese le prime tre dita della mano destra, c è diretto lungo il pollice, a lungo l'indice e b lungo il medio e il loro verso è quello verso l'unghia. indice

medio

a b

Prodotto vettoriale

a=b/\c

c pollice

Fig. 1.1.

Problemi

7

Per ricordare le espressioni delle tre componenti del vettore c esiste una regola mnemonica che consiste nel costruire un determinante simbolico del III ordine avente nella prima riga i tre versori i,j, k, nella seconda le componenti del vettore a e nella terza quelle del vettore b; i tre minori di tale determinante forniscono nell'ordine le componenti del vettore c, come sotto:

j

k

Prodotto misto tra un vettore e uno scalare Dati un vettore a e uno scalare k si chiama prodotto misto tra i due il vettore ka che ha per modulo ka, per direzione quella di a e verso quello di a o quello opposto a seconda che k sia positivo o negativo.

Problemi 1.1. Su una cassa ferma sul pavimento spingono contemporaneamente due ragazzi, uno con una forza Fl = 100 N, l'altro con una forza F 2 = 173 N, come in figura 1.2. Calcolare la forza risultante sulla cassa, in modulo, direzione e verso . .......................................................... ········· ....···· .. A

F

l

c Fig. 1.2.

La forza F è il risultante delle due forze Fl ed F 2 ; possiamo calcolarne il modulo secondo la (1.5), ottenendo F

2

= F;2 + F22 = 10000 + 30000 = 40000 N 2 , F= 200 N.

8

l Vettori

Poiché nel triangolo rettangolo ABC il cateto AB (= F 1) è lungo la metà dell'ipotenusa AC (= F), l'angolo a sarà di 30°.

1.2. Un 'auto si muove verso est per un tratto a = 40 km, quindi verso sud per un tratto b = 30 km, infine verso ovest per un tratto c = lO km. Calcolare il modulo dello spostamento risultante, precisandone anche la direzione e il verso .

o

a

b

K

H

c

Fig. 1.3.

Lo spostamento risultante è il vettore s che chiude la spezzata costituita dai tre vettori a, b, c, orientato da O verso K. Dalla figura 1.3 , OK = b = 30 km , KH = 40 -lO = 30 km, quindi il triangolo rettangolo OKH è anche isoscele e sarà a = 45° la direzione del vettore s. Inoltre, è

s = ~ OK 2 + KH 2 = ~ 1800 = 42,4 km. 1.3. Dati i due vettori a = 2 (i +

.J3 j

)meb=2

(.J3 i + j

prodotto scalare, b) il prodotto vettoriale .

x Fig. 1.4.

) m, calcolare: a) il

Problemi

a) Il vettore a ha modulo

a=

9

J4+12 =4 m.

Il vettore b ha modulo

b=J12+4 =4 m. Con riferimento alla figura, essendo la componente ax pari alla metà del modulo di a, il vettore a forma un angolo di 60° con l'asse x; allo stesso modo, è facile verificare che l'angolo formato dal vettore b con l'asse x è 30°. Il prodotto scalare tra i due vettori, essendo 30° l'angolo tra essi, vale quindi

J3

ax b =abcos30° = 4·4·- = 13,84 m 2 • 2 b) Il prodotto vettoriale ha per modulo

la t\ bi = ab sin 0= 4·4·0,5 = 8 m

2

,

la direzione, essendo i due vettori entrambi giacenti nel piano (x,y), è quella dell'asse z, mentre il verso, applicando la regola della mano destra, risulta entrante nel piano della pagina. 1.4. Dati i due vettori perpendicolari a = (3,1,-4) m e b = (x, 2,1) m, calcolare: a) x, b) il modulo del loro prodotto vettoriale.

a) Se i due vettori sono perpendicolari, il loro prodotto scalare deve essere nullo, ovvero

3x+ 2-4 =0, x=0,67m. b)

c = a b sinO= ab =

1.5. Il vettore a = (l ,2,3 ) m è perpendicolare al vettore b = (-1,1, bz) m. Calcolare bz.

Se a è perpendicolare a b, deve essere aXb=-1+2+3b, =0,

lO

l Vettori

da cui l bz =--=-0 3 ' 33cm .

1.6. Dati i due vettori a = 3 i + 2j - 2 k e b = 2 i - 2j + k, determinare: a) l'angolo tra i due vettori; b) il prodotto vettoriale; c) il vettore b - a; d) il vettore (b - a) /\ (b + a).

a) Deve essere cos e =

axbx + ayby + azbz

6-4-2

ab

ab

---"--"----------'----'---------=----=-

O,

e=n/2. b) Se c = a /\ b, deve essere

c= 3

j

k

2

-2 =-2i+7j-lOk.

2 -2

l

c)

b - a = (2- 3)i+ (-2 - 2)j + (l + 2)k = -i - 4j + 3k.

d)

b + a = 5 i - k,

perciò j

(b-a)/\(b+a)= -l

5

-4

k

3 =4i+14j+20k.

O -l

1.7. Calcolare l'angolo tra i vettori a = 3 i - j + 2 k e b

=- i + 3j -

Deve essere cose

1.8. Calcolare:

axbx + a,b y + a,b, ab

-3- 3- 8

J14J26

i /\ k,k x k,i /\ j x k,k /\ j,i x j /\ k.

-0,734,

4 k.

Problemi

k

j

i 1\ k = l

Il

O O = - j;

O O k

X

k = l . l . cos 0° = l;

calcoliamo ora i 1\ j j

i 1\ j

=

k

l

O O =k,

O

O

quindi

i

1\

j x k = k x k = l; j

k

1\

j

=O

1\

= -i;

O l

O ixj

k

O

k = i x (-k 1\ j) = i x i = l.

1.9. Dati i vettori a e 3 a, calcolarne: a) il prodotto vettoriale; b) il modulo della differenza; c) il prodotto scalare; d) il prodotto scalare della somma per la differenza.

a)

la 1\ 3al =a· 3a ·sinO° =O.

c)

Ib-al = 13a- al = 12al = 2a. a x 3a = a . 3a . cos 0° = 3a 2 •

d)

(a+ 3a)x (a- 3a) = 4a x (-2a) = -8a 2 •

b)

1.10. Calcolare l'angolo tra i vettori a = 2 i - 3 j e b

cose

-6

fUfS

= 2j + k.

-0,744,

e= 138°5'.

1.11. Dati i vettori

a = 2 i- j+ 3 k, b=-i+2j+k,

12

1 Vettori

calcolare: (axb)/\a, (a/\b)xb, (b/\a)xi, (a/\b)/\a, (b/\a)/\b.

[ O, O, 7,- 12 i + 27 j + 17 k, 11 i - 4j + 19 k]

2 Cinematica

È il capitolo della Fisica che studia il moto dei corpi dal punto di vista puramente geometrico, senza indagare cioè le cause che lo producono. Quando osserviamo il moto di un corpo, dobbiamo fissare un sistema di riferimento, solitamente una tema cartesiana ortogonale rigidamente fissata al cielo delle stelle fisse; un sistema di riferimento del genere viene detto assoluto; qualunque altro sistema che si muove rispetto a esso di moto rettilineo uniforme viene detto inerziale. Fissato il sistema di riferimento, dobbiamo stabilire come individuare la posizione dell'oggetto di cui vogliamo studiare il moto: vi sono due modi principali, il primo è assegnare le coordinate x, y e z del punto materiale che rappresenta il punto P rispetto all'origine O del sistema di riferimento assoluto, il secondo è quello di individuare il punto mediante il vettore posizione r, un vettore avente per modulo la distanza del punto dall'origine, per direzione quello della congiungente il punto con l'origine e per verso quello che va dall'origine al punto P (Fig. 2.1). Viene detta traiettoria la linea ideale descritta dal punto nello spazio; è rappresentata nel piano da un'equazione del tipo y = f(x) , nello spazio da una curva di equazione z = f(x,y). y

y = f(x)

Fig. 2.1.

x

Di seguito sono riportate le definizioni di cui sopra in termini matematici.

r

vettore posizione X

= x(t)

y = y(t) {

z = z(t)

equazioni parametriche

14

2 Cinematica

r = r(t)

legge oraria del moto

z=

equazione della traiettoria

z(x,y)

vettore spostamento V

m

&=!1t

velocità media

dr v=dt

velocità istantanea

!1v

a =m

accelerazione media

!1t

dv

a=-

accelerazione istantanea

o

vettore posizione angolare

dt

!10

= O2 -

0\

!10

vettore spostamento angolare

w=m l1t

velocità angolare media

dO w=-

velocità angolare istantanea

dt

!1w

r =--;;; m

dw

r=dt

accelerazione angolare media accelerazione angolare istantanea

Quando siamo in grado di stabilire come varia nel tempo la posizione di un punto si dice che è nota la legge oraria del moto del punto r=f(t),

equazione che proiettata sugli assi cartesiani fornisce tre equazioni scalari dette equazioni parametriche del moto, eliminando dalle quali il parametro tempo ricaviamo l'equazione della traiettoria.

Moto rettilineo uniforme (v= costante) r= ro

+ vt

Moto circolare uniforme

15

Moto uniformemente accelerato (a = costante)

r=

V

2

1

2

±- at + vot + ro 2

V = Vo ±

at

2

= V o ± 2a(r - ro )

La tema di equazioni scritta sopra rappresenta le equazioni di Galileo del moto uniformemente accelerato. In esse ~ ed ro sono rispettivamente la velocità iniziale e la posizione iniziale del punto cioè la velocità e la posizione per t = O. Le due costanti vengono dette costanti iniziali del moto. L'ambiguità del segno dell'accelerazione dovrà essere sciolta nel momento in cui si preciserà se il moto è uniformemente accelerato (+) o decelerato (-).

Moto circolare uniforme È il moto di un punto avente per traiettoria una circonferenza percorsa con velocità periferica V di modulo costante. Viene però meglio rappresentato mediante un vettore costante, la velocità angolare Cl) che risulta correlata alla velocità periferica dalla relazione vettoriale

v=Cl)/\r, i cui tre vettori sono correlati dalla cosiddetta regola della mano destra (Fig. 2.2).

r

())

Fig. 2.2.

Si noti che il vettore velocità è sempre diretto secondo la tangente alla curva. La legge oraria del moto circolare uniforme è

e = eo +

dove eo è la posizione angolare iniziale.

Cl)

t

16

2 Cinematica

Moto circolare uniformemente accelerato (y = costante)

Per tale moto valgono ancora le leggi di Galileo, scritte però sostituendo alle grandezze lineari le corrispondenti grandezze angolari. 1 2 r t + lOot + 80 2 m = lOo ±rt al = m; ± 2y (8 - ( 0 )

8 = ±-

Moto curvilineo In tale moto, mentre la velocità è sempre tangente alla traiettoria curvilinea, l'accelerazione è in generale obliqua rispetto alla traiettoria e comprende due componenti, l'accelerazione centripeta, dovuta alla variazione della velocità nella sola direzione e l'accelerazione tangenziale, dovuta alla variazione della velocità solo in modulo (Fig. 2.3).

a

t

Fig. 2.3.

Ricordando che in qualsiasi moto curvilineo è sempre V=lOAr,

si può dimostrare che l'accelerazione centripeta è a

=lO/\V

c

2

a

c

2 V =m r = -

r

mentre per l'accelerazione tangenziale

= r /\ r

al

dv a =l

dI'

Piano inclinato

17

L'accelerazione totale a ha per modulo

Moto armonico semplice È il moto di un punto materiale che riprende la stessa posizione a intervalli di tempo uguali; momentaneamente lo presentiamo come la proiezione sui due assi x e y di un moto circolare uniforme. Successivamente lo vedremo meglio in termini dinamici. Ecco intanto la nomenclatura relativa:

x

elongazione

A

ampiezza

O)

pulsazione



Fig. 4.4.

Sul blocco, durante la discesa, agiscono tre forze, due motrici, il peso e il risultante delle due forze Fl ed F 2 , e una resistente, l'attrito. Il risultante delle due forze ha modulo R = 5 N ed è inclinato rispetto al piano di un angolo 13 = 30° + arctan 4/3 = 83,13°. Alla forza di attrito contribuiscono invece le componenti del peso e di R in direzione normale al piano inclinato, cioè Fati = J1 m g (cos a - sin 13 ).

Essendo poi tutte le forze agenti costanti, il lavoro sarà dato semplicemente dal prodotto della forza totale lungo il piano per la lunghezza dello stesso, ovvero

L = [ m g sin a + R cosf3 - J1 m g (cos a - sin 13) ] . 2 h = = 2 (6·9,8·0,5

+ 5· O, 866 + 0,3·6·9,8·0,127) = 36 J.

5 Quantità di moto. Centro di massa. Dinamica impulsiva

Quantità di moto Si definisce quantità di moto di un punto materiale di massa m in moto con velocità v il vettore q=m v. Per un corpo esteso formato da una distribuzione discreta di masse sarà n

Q= Lmivi , ;=1

mentre per un corpo continuo di massa M sarà

Q=f M vdm.

Forze impulsive Una forza si dice impulsiva quando è di breve durata e di alta intensità; forze del genere entrano in gioco negli urti e nelle esplosioni. Loro caratteristica principale è che durante l'applicazione di una forza impulsiva tutte le altre forze diventano trascurabili, quindi essendo esse sempre applicate a coppie uguali e opposte, il 10ro risultante è nullo e si conserva quindi la quantità di moto totale del sistema. Si definisce impulso di una forza applicata nell'intervallo di tempo (t\,t z) il vettore 1=

f Fdt l2

l,

Vale il seguente teorema dell'impulso e della quantità di moto, per il quale l'applicazione di un impulso I a un corpo ne provoca una variazione di quantità di moto uguale all'impulso applicato I=f'!.q.

48

5 Quantità di moto. Centro di massa. Dinamica impulsiva

Tale teorema spiega perché in certi urti il corpo urtato inizialmente fermo non acquista velocità ma solo un impulso.

Urti Possono essere elastici o anelastici; nei primi si conserva l'energia cinetica totale del sistema, mentre nei secondi essa viene parzialmente o totalmente dissipata. In entrambi i tipi di urto si conserva sempre la quantità di moto totale del sistema.

Centro di massa È il punto di un corpo nel quale si può ritenere concentrata tutta la massa del corpo. I! vettore posizione del centro di massa di un corpo di massa M è

fM rdm

rCM =

M

'

cui corrispondono le coordinate del centro di massa

fM xdm

xCM

=

YCM

=

ZCM

=

M

fMYdm M

.

fM zdm M

Una volta individuata la posizione del centro di massa di un corpo mediante le equazioni scritte sopra, il moto del corpo può essere descritto da una legge analoga alla II legge di Newton per il punto materiale sostituendo alla forza F il risultante R di tutte le forze agenti sul corpo e ali' accelerazione del singolo punto quella del centro di massa del corpo aCM ' Si potrà quindi scrivere

R=MaCM ' dove

L n

R=

i=J

mi ai

Problemi

49

è il risultante delle n forze applicate alle n masse mi da cui è costituito il corpo esteso in esame.

Teorema del moto del centro di massa Afferma che in condizioni di equilibrio, cioè con R = O, un corpo si muove mantenendo inalterata la posizione del proprio centro di massa.

Unità di misura Quantità di moto Impulso

kilogrammi metri al secondo (kg m1s) newton secondo (N s)

Problemi 5.1. Una bilia di massa m) = 40 g è fissata su un piano liscio a una molla ideale inizialmente scarica di rigidità k = 104 N/m. Se contro la prima bilia ne viene lanciata frontalmente una seconda di massa m2 = 80 g con velocità V2 = 30 m1s, calcolare: a) la massima compressione della molla, b) la velocità della bilia 2 immediatamente dopo l'urto supposto perfettamente elastico.

2

Fig. 5.1.

Nell'urto si ha la conservazione della quantità di moto

ma è m2 = 2m) , quindi

50

5 Quantità di moto. Centro di massa. Dinamica impulsiva

L'energia cinetica della bilia l si trasforma in energia elastica di compressione della molla: l 2 l 2 -m]v] =-kx , 2 2

Si ha però anche la conservazione dell'energia cinetica nell'urto: l 2 l 2 l ,2 -m2 v 2 = -m]v] +-m2 v 2' 2 2 2 l v~ = - v~ + v'~ . 2

Dobbiamo ora risolvere il sistema v] + 2V'2 = 2v 2 , {

v~ + 2v'~ = 2v~

che conduce dopo qualche calcolo alle soluzioni

,v

m

2 v 2 =-=103 s

e quindi x= 8 cm, v'z = lO m/s.

5.2. Una molla ideale di rigidità k = 1600 N/m è fissata a un blocco di massa mj = 40 g tenuto in quiete da un fermo che comprime la molla di un tratto d = 4 cm. A distanza d da m j è fermo un secondo blocco di massa m 2 = 20 g. Togliendo il fermo, il blocco l va a urtare il blocco 2 in modo perfettamente elastico. Calcolare: a) la velocità del blocco l dopo l'urto, b) la massima compressione della molla dopo il rinculo del blocco l, c) la distanza dall'origine O a cui si arresta il blocco 2 se la parte di piano sulla destra ha un coefficiente di attrito f..l = 0,4.

Fig. 5.2.

Problemi

51

a) L'energia elastica della molla compressa si trasforma in energia cinetica del blocco 1;

e tale blocco parte con velocità

Applichiamo ora la conservazione della quantità di moto nell'urto:

e quella dell'energia cinetica - trattandosi di urto elastico:

Essendo mI = 2 m2, si ottiene il seguente sistema:

le cui soluzioni sono

Scartando la soluzione v 'l = VI' perché sarebbe valida solo per blocchi di massa uguale, la soluzione accettabile è m

,V[

v[ =-=2673 ' s

b) Sarà '2 1 2 l -kx =-m[v j ,

2

,1m:

2

x=V[fk =1,34cm. c) Il blocco 2 parte con velocità V2

, m = 2(v[ - VI) = 10,66-

s

52

5 Quantità di moto. Centro di massa. Dinamica impulsiva

e la sua energia cinetica viene utilizzata interamente per vincere gli attriti, per cui l

2

"2m2V2 = p m2g d ,

d

2

V = _2_ == 14,5 m.

2pg

53. Un cuneo scabro di massa M = 1 kg, inclinazione a = 30° e lunghezza del piano inclinato s = 60 cm con coefficiente di attrito J.11 = 0,2 è in quiete su un piano orizzontale scabro di coefficiente di attrito P2 = 0,1. Se dal vertice viene lasciato libero un blocco di massa m = 100 g, calcolare: a) la velocità del cuneo nell' istante in cui il blocco lo abbandona, b) la distanza che il cuneo percorre sul piano orizzontale prima di arrestarsi.

Fig. 5.3.

a) Valgono sia il principio di conservazione della quantità di moto sia quello dell' energia:

m v cos a + M V = O, .

l

2

l

2

m g s sm a = - m V + - M V + P l m g s, 2 2

dacui V==

mvcosa M

che, sostituita nella precedente equazione, fornisce

Problemi

53

2g s (sin a - ,u ]cos a)

v=

l +~cOS2 a M

V=-~cosa 2gs(sina-,u]cosa) =-16,4 cm. M

l +~cos2 a

s

M

b) Deve essere l

2

-MV =,u Mgd 2 2' da cui

5.4. Un uomo R di massa m = 80 kg è in quiete all'estremità di un carrello di massa M = 200 kg in quiete sull'asse x. Trascurando qualsiasi attrito, se l'uomo comincia a muoversi con velocità costante v = 2 rn/s relativa al carrello, calcolare: a) la velocità acquistata dal carrello rispetto a un osservatore assoluto A fermo nell'origine degli assi, b) la velocità assoluta dell'uomo R.

a) Inizialmente è tutto in quiete: applicando il principio di conservazione della quantità di moto:

O=-mv +(M +m)V, mv m V=--=0,57-. M+m s

y

A

x Fig. 5.4.

54

5 Quantità di moto. Centro di massa. Dinamica impulsiva

b) La velocità assoluta dell'uomo è VA = -V+ V = -

m

2+0,57 = -1,43-. s

5.5. Una barca di lunghezza I = 6 m e massa M = 320 kg è in quiete in acqua ferma con un uomo di massa m = 80 kg fermo a poppa. Se l'uomo avanza di moto uniforme verso prua, calcolare: a) quanto dista la prua da riva nell'istante in cui l'uomo la raggiunge; b) l'energia spesa dall'uomo per spostarsi, sapendo che il coefficiente di attrito sul fondo della barca è f.l = 0,3.

m x

M Fig. 5.5.

a) Applicando la conservazione della posizione del centro di massa, abbiamo inizialmente I M-+ml 2 xCM = -M-=-+-m-' quando l'uomo ha raggiunto la prua, la barca si sarà spostata verso destra di un tratto x tale che

Uguagliando le due espressioni di XCM, si ricava:

mi x=---=1,2m. M+m b) È il lavoro compiuto per vincere gli attriti: L = f.l m g 1= 1,41 kJ.

Problemi

55

5.6. Un blocco cubico di lato 1=3 m e massa M = 100 kg è fermo come in figura 5.6 con un vertice nell'origine degli assi; un uomo di massa m = 70 kg inizialmente fermo in A, si muove verso B con velocità costante v = 40 cm/s. Calcolare, trascurando ogni attrito, a) dove si troverà lo spigolo destro del cubo quando l'uomo è giunto in B, b) con quale velocità si sta muovendo il blocco quando l'uomo è arrivato in B. y B

.~.A

o

x Fig. 5.6.

a) Dalla conservazione della posizione del centro di massa:

M±+ml=M(±+X )+mx, mi = (M +m)x, mi x=--=1,24m. M+m b) Dalla conservazione della quantità di moto:

0= -(v- V)m + M V

=

-mv+(M + m)V,

V=~=16,5cm. M+m s 5.7. Due sferette, una di massa doppia dell' altra, con velocità VI e v2 (VI> v2) si inseguono e si scontrano centralmente lungo l'asse x. Dopo l'urto la prima sferetta dimezza la velocità. a) Ricavare la nuova velocità della seconda sferetta in funzione di VI e v2 ; b) dire per quale valore di v2 l'urto è perfettamente elastico.

m

2m IV

l

x Fig. 5.7.

56

5 Quantità di moto. Centro di massa. Dinamica impulsiva

a) Applicando la conservazione della quantità di moto, otteniamo 2 m VI + m V z = m VI + m v~ , Vz =

VI +Vz ·

b) Se l'urto deve essere elastico, deve valere anche la conservazione dell'energia cinetica, cioè

vf

1 z 1 z 1 1 z -·2mv I +-mvz =-·2m·-+-m(v I +v z ) , 2 2 2 4 2

da cui, dopo brevi calcoli, risulta

5.8. Una sferetta di massa m = 50 g urta contro una parete rigida con velocità VI = 30 m/s che forma un angolo a = 30° con l'orizzontale e vi rimbalza a un angolo () = 45°. Se nell'urto la pallina perde il 50% della propria energia cinetica, calcolare: a) la velocità v2 con cui rimbalza la sferetta e b) la forza applicata alla parete, sapendo che l'urto dura b.t = 6 ms.

y

x

Fig. 5.8.

a) Se la sferetta perde nell'urto il 50% della propria energia cinetica, deve essere 1 2 1 l 2 -mV =-·-mv 2 z 2 2 l' quindi

Problemi

57

b) Il sistema sferetta-parete è un sistema isolato meccanicamente perciò la parete riceve un impulso opposto alla variazione di quantità di moto subita dalla sferetta, ovvero, con riferimento agli assi indicati in figura: /).qx =-mv2 cosa + mV1 cose,

asse x asse y

Dovrà allora essere per le componenti dell'impulso: asse x

Ix = -I1Qx = mV2 cosa + mV1 cose = 1,98N s,

asse y

Iy = -l1qy = +mv2 sina- mV1 sine = -0,53Ns.

e la forza esercitata sulla parete sarà 1 12

F= V

x

+ 12

~4,20

y

--3

I1t

6·10-

= 341,6 N.

Essa è orientata verso il basso formando con l'orizzontale un angolo di 15°.

5.9. Una particella di massa m = lO g in moto con velocità v = 100 mls lungo l'asse x urta elasticamente una seconda particella di ugual massa ferma nel punto O. Dopo l'urto le due particelle si allontanano formando con l'asse x rispettivamente un angolo a e - 2a. Calcolare: a) l'angolo a, b) le energie cinetiche delle due particelle dopo l'urto. y

m

v

m

o

x

V

:2

Fig. 5.9.

a) Applicando la conservazione della quantità di moto, per l'asse x e y, abbiamo rispettivamente

58

5 Quantità di moto. Centro di massa. Dinamica impulsiva

fmV

= mv'cosa+ mV2 cos2a

10=mv'sina+mv2 sin2a, mentre dalla conservazione del!' energia cinetica, trattandosi di urto elastico, abbiamo 1

1

2

,2

1

2

-mv =-mv +-mv2 . 222 Dobbiamo risolvere il sistema v = v'cosa + v 2 cos2a,

0= v'sina-v 2 sin2a,

f

v 2 = V,2+V~.

Essendo però uguali le masse delle due particelle, l'angolo tra esse deve essere 90°, cioè deve essere a = 30° e il sistema da risolvere è v = v' cos 30° + v 2 cos 60°, O = v' sin 30° - v 2 sin 60°,

ovvero

f

v2

= V,2+V~.

,J3

1

v=v T+ V2 '2"' O = v".!. - v . J3 2 2 2'

v 2 = V,2+ v~. che ha per soluzioni

v m v 2 =-= 502 s

J3 m v'=-v=86,6-. 2 s b) Le corrispondenti energie cinetiche sono K' = 37,5 J,

Problemi

59

5.10. Una sferetta di massa mI = 20 g si muove lungo l'asse x con velocità VI = 12 cm/s inseguendo una seconda sferetta di massa m 2 = 30 g in moto nello stesso verso con velocità v2 = 8 cm/s. L'urto è anelastico e la velocità relativa della sferetta l rispetto alla 2 dopo l'urto è V = 3 cm/s. Calcolare: a) le velocità delle due sferette dopo l'urto, b) l'energia dissipata nell'urto.

a) Dalla conservazione della quantità di moto, si ha

Tenendo presente che ,

,

VI -V 2

cm = 3-, s

si ricava dopo qualche passaggio: cm =11,4-, s b) L'energia dissipata nell'urto è

, cm v 2 =8,4-

,

VI

l 2

2

s

l 2

2

l 2

'2

Ed =-mIvI +-m 2v 2 --m I v 2 =4,2,uJ.

5.11. Due corpi di masse mI ed m2 in moto lungo l'asse x con velocità VI e v 2 « VI) si urtano anelasticamente proseguendo uniti. Ricavare l'espressione dell'energia dissipata nell 'urto e dire se esiste qualche caso particolare in cui essa può essere nulla.

Applicando la conservazione della quantità di moto, otteniamo mIvI

+ m2v 2 = (mI + m2)V, V = mIvI + m2 v 2 (mI +m2) .

L'energia dissipata è

Essa è nulla per

VI

= v2, ma in tal caso i corpi non potranno urtarsi.

5.12. Un corpo puntiforme di massa m = 100 g con velocità iniziale Vo = lO m/s urta frontalmente e anelasticamente a un'altezza h = l m dal suolo una parete verticale, ricadendo a terra a una distanza d = 3 m dalla stessa. Calcolare: a) l'impulso ricevuto dalla parete; b) la percentuale di energia meccanica persa dal corpo tra la posizione iniziale (prima di toccare la parete) e quella finale (quando tocca terra).

60

5 Quantità di moto. Centro di massa. Dinamica impulsiva

v

l h

j d

+---

-----+

Fig. 5.10.

a) Se il corpo rimbalza con velocità v, l'equazione della traiettoria parabolica sarà gx

2

y=--+h 2 2v

ma quando esso tocca terra è y = O e x V

2

'

= d, perciò gd

2

=--

H;

2h '

m

v=d -=664-. 2h ' s

La variazione di quantità di moto del corpo è

e quella della parete sarà uguale e opposta e origina un impulso 1= f:lqpar = 0,34 Ns.

b)

1 2 Ef=-mv, 2 quindi Ef -E· (v -----''--~1100=

Ei

2

v; +2gh

Problemi

61

5.13. Una sferetta di massa mi viene lanciata lungo l'asse x con velocità v contro una seconda sferetta di massa m2 in quiete. Determinare, in funzione delle quantità assegnate, l'espressione della massima quantità di calore Q che si può liberare nell'urto, precisando la natura energetica dell'urto prevista.

m

l

a::oa---..... v x Fig. 5.11.

Per liberare la massima quantità di calore l'urto deve essere totalmente anelastico; dalla conservazione della quantità di moto abbiamo

dove V è la velocità delle due sferette che procedono unite. L'energia cinetica iniziale è l 2 K.=-m\v l 2 '

quella finale

perciò la quantità di calore cercata è

5.14. Un oggetto puntiforme in moto orizzontale con velocità Vo urta normalmente e anelasticamente una parete rigida a quota h dal suolo. Se esso perde 114 della sua energia cinetica, ricavare l'espressione della distanza dalla parete alla quale tocca terra.

62

5 Quantità di moto. Centro di massa. Dinamica impulsiva

l h

j +---

d

-

Fig. 5.12.

Se l'oggetto perde nell'urto 1/4 della sua energia cinetica, dopo l'urto possiederà un' energia cinetica 3 mv~ 3 2 K =-'--==-mv f 4 2 8 o'

cioè una velocità v tale che

L'equazione della parabola sarà

ma per y == O deve essere x == d, perciò 0==-

gd 3

2

2·-v

4

d ==

2

+h,

o

vo~ 2g 3h .

5.15. Un proiettile di massa m == 20 g penetra orizzontalmente in un blocco di massa M »m in quiete su un piano orizzontale liscio per un tratto d == 4 cm impiegando t == 2 ms. Calcolare: a) la velocità del proiettile, b) l'energia dissipata nell'urto, c) l'impulso ricevuto dal blocco, d) la forza esercitata dal blocco sul proiettile.

Problemi

63

a) Essendo M » m, il blocco non si muove e tutta l'energia cinetica del proiettile si trasforma in lavoro di penetrazione

ma tale lavoro è

L=Fd=mv d, p t

quindi V=

2d =40 m. t s

b) L'energia dissipata nell'urto è 2

1 2 2md Ed =-mv =--=161. 2 t2 c) L'impulso ricevuto dal blocco è pari alla quantità di moto posseduta dal proiettile I

=m V= 210-2 40 =0,8 N s.

d) La forza esercitata dal blocco è

mv

F = -

= 400 N.

5.16. Una sonda spaziale di massa m = 1 t viene messa in moto accendendo il motore per un intervallo b.t = 50 s; in tale intervallo viene scaricato gas alla velocità vr = 5 kmls e la velocità finale della sonda è V j = 1200 mls. Trascurando il peso della sonda, calcolare la portata di massa del gas espulso.

La legge fondamentale della dinamica per sistemi a massa variabile si scrive nella forma dv dm F=m-+u - . dt r dt Se trascuriamo il peso della sonda, F, abbiamo

64

5 Quantità di moto. Centro di massa. Dinamica impulsiva VI

IO dv=-v mf = moe

r

Imf dm

-,

mo m

-~ V

r =

786,6 kg.

Sono stati espulsi 213,4 kg di gas in 50 s, perciò la portata di massa è 4,27 kg/s.

6 Meccanica relativa

Velocità nel moto relativo La velocità di un oggetto può apparire diversa a seconda delle condizioni di moto dell'osservatore. È allora opportuno riferire tale velocità a un sistema di riferimento che sia fermo o in moto lentissimo nello spazio. Un riferimento di questo tipo viene detto assoluto e la velocità di un oggetto misurata da un osservatore solidale con tale sistema viene detta velocità assoluta. Solitamente, si assume come riferimento assoluto un sistema di assi cartesiani ortogonali solidale con le stelle fisse, un gruppo di stelle talmente lontane da Terra che, anche se soggette a lenti moti, possono con buona approssimazione essere considerate ferme. Un sistema di riferimento in moto rispetto a quello assoluto viene detto relativo e la velocità di un oggetto misurata da un osservatore solidale con tale sistema viene detta velocità relativa. Se chiamiamo velocità di trascinamento Vr la velocità con cui la tema mobile si muove rispetto a quella fissa, VA la velocità di un punto in moto misurata rispetto all'origine della tema fissa e ~ la velocità dello stesso punto rispetto all'origine della tema mobile, si dimostra che (6.1) La (6.1) è detta legge di composizione delle velocità ed è dovuta a Galileo. Trattandosi di una relazione vettoriale, la velocità relativa sarà in generale diversa da quella assoluta non solo in modulo, ma anche in direzione, con la conseguenza che a un osservatore relativo apparirà diversa anche la traiettoria di un oggetto in moto rispetto a come la vede l'osservatore assoluto.

Accelerazione nel moto relativo Se deriviamo rispetto al tempo la (6.1), ricaviamo (6.2)

66

6 Meccanica relativa

dove a A è l'accelerazione assoluta, cioè quella attribuita all'oggetto in moto dsll'osservaore assoluto, a R l'accelerazione relativa, cioè quella attribuita all'oggetto dall'osservatore relativo e aT l'accelerazione di trascinamento, cioè l'accelerazione che l'osservatore assoluto attribuirebbe all'oggetto in moto se tale oggetto fosse rigidamente collegato alla tema mobile (si noti che aT non è in generale l'accelerazione della tema mobile rispetto a quella fissa). La (6.2) vale solo se il moto relativo delle due teme è traslatorio. Se il moto relativo è, nel caso più generale, rototraslatorio (cioè composto da un moto traslatorio e da uno rotatorio di una tema rispetto all'altra) l'accelerazione di trascinamento comprende il termine dovuto alla traslazione e un termine centripeto dovuto alla rotazione detto accelerazione di Coriolis che risulta espresso da (6.3) dove W è la velocità angolare del moto rotatorio di trascinamento della tema mobile rispetto a quella fissa e ~ è la velocità relativa dell'oggetto in moto. In base alla (6.3), la (6.2) diventa

e l'accelerazione attribuita dall'osservatore relativo all' oggetto in moto sarà (6.4) Nella (6.4) il termine di Coriolis è preceduto dal segno negativo, quindi l'accelerazione di Coriolis appare all'osservatore relativo come un'accelerazione centrifuga. Tale accelerazione centrifuga è responsabile di molti effetti che si osservano sulla superficie terrestre: la deviazione verso oriente della caduta di gravi, la formazione dei vortici nell'atmosfera, il moto del pendolo di Foucault.

Sistemi di riferimento inerziali Se moltiplichiamo per la massa m dell'oggetto in moto tutti i termini della (6.4), otteniamo (6.5)

Se chiamiamo forza assoluta il termine FA = m a A, forza di trascinamento il termine FT = m aT e forza di Coriolis il termine Fc = 2 m W /\~, la (6.5) si scrive

m aR = FA -FT -Fc , che ha un importantissimo significato fisico.

(6.6)

Problemi

67

L'osservatore relativo vede muoversi l'oggetto sotto l'azione di tre forze. La forza FA che rappresenta una effettiva azione fisica esercitata sull'oggetto; la forza FT che è dovuta al moto relativo della tema mobile rispetto a quella fissa; la forza F c che esiste solo se la tema mobile è in moto rotatorio attorno a quella fissa. Delle tre forze, l'unica che corrisponde a una reale azione fisica è FA e per questo motivo F T ed F c vengono anche dette forze fittizie o forze apparenti. Consideriamo due teme il cui moto relativo sia rettilineo uniforme: per gli osservatori relativi OR' e OR" solidali con le due teme l'accelerazione di trascinamento e l'accelerazione di Coriolis sono nulle, e la (6.6) si scrive nella forma

che, essendo forza e accelerazione parallele, altro non è che la legge di Newton e quindi per entrambi gli osservatori vale il principio d'inerzia. I due osservatori vengono detti inerziali; se uno dei due è fisso nello spazio viene detto inerziale primario, mentre quello in moto è detto inerziale secondario. Qualsiasi altro osservatore che si muove di moto vario rispetto a un osservatore inerziale vedrà muoversi l'oggetto sotto l'azione di tre forze ed è quindi logico attendersi una diversa versione dei fenomeni dinamici relativi all'oggetto. Per tale osservatore l'accelerazione relativa dell'oggetto non sarà in generale parallela alla forza assoluta, quindi per esso non vale più il principio d'inerzia e viene perciò detto non inerziale. Nella tabella sottostante vengono riassunti i principali concetti sopra espressi.

VA

velocità assoluta

~

velocità relativa

Vr aA

velocità di trascinamento

aR

accelerazione relativa

aT

accelerazione di trascinamento

ac

accelerazione di Coriolis

accelerazione assoluta

Problemi 6.1. Un ragazzo fermo su un tappeto mobile lancia verticalmente una palla con velocità Vo = 6 mJs nell'istante in cui il tappeto accelera verso destra con accelerazione aT = 2 mJs2 • a) Quale sarà il tempo di volo della palla? b) In quale punto del tappeto ricadrà?

68

6 Meccanica relativa

y

----+1 a

o

T

Fig. 6.1.

a) È

La palla tocca terra quando Y R = O, cioè per V

t = ~ = 1,22 s. g b) Per tale valore di t si ha XR

= - 1,5 m,

cioè alle spalle del ragazzo.

6.2. Sul pianale di un camion è appoggiata una cassa il cui coefficiente di attrito col pianale è Il = 0,8. Mentre il camion sta viaggiando con velocità v = 63 kmJh, l'autista, per evitare di investire un cane, è costretto a frenare fino all'arresto del veicolo. Supponendo che la decelerazione sia costante, calcolare: a) la minima distanza di arresto perché la cassa non si sposti sul pianale, b) il tempo di arresto del camion.

v

Fig. 6.2.

Problemi

69

a) Perché la cassa non si sposti sul pianale l'accelerazione di trascinamento deve essere minore della decelerazione di attrito Il g, cioè

Dato che il camion si arresta, dovrà essere

0= v 2 -2aTx,

v2 x=-2aT ' v2

x=--=19,5 m. 21lg

b) Allo stesso modo

0= v- Ilgt, t

v

= - = 2,23 s. Ilg

6.3. Un pendolo semplice di lunghezza l oscilla in un ascensore fermo a terra con periodo TI; quando l'ascensore accelera verso l'alto con accelerazione costante a = 2,3 m/s2 , il periodo misurato dal passeggero diventa T2 = 0,9 TI' Calcolare l'accelerazione di gravità del luogo.

Quando l'ascensore è fermo (o si muove di moto rettilineo uniforme) è

mentre, quando accelera verso l'alto, deve essere

T= 2n) g+al , 2

quindi

da cui m g= 9,805 2'

s

70

6 Meccanica relativa

6.4. Un pendolo conico è costituito da un corpo puntiforme sospeso a un punto fisso O mediante un filo ideale di lunghezza l = 1 m e posto in rotazione in modo da compiere una traiettoria circolare di raggio r = 90 cm in un piano orizzontale. Calcolare il periodo di tale pendolo conico.

o

·· · ··

--~~

':" -----.--------i----

..... _--- - -- - - - - -- - - - -- - _... - -----" Fig. 6.3.

Basta imporre le condizioni di equilibrio relativo del corpo ruotante, cioè a R = O; perché ciò avvenga, la tensione del filo, il peso del corpo e la forza centrifuga di trascinamento devono avere risultante nullo, ovvero tan

2

2

mg

g

e = mw r = w

r

ma r = l sine, allora gtane g w2 - ---

r

- r

sin

~

e

1- sin 2

e

g

.Jl27 '

da cui (O

=

rad 4,74 - , s

T = 1,32 s.

6.5. Un treno, ciascuna carrozza del quale ha massa m =120 t, sta viaggiando alle alte latitudini nell'emisfero Nord su un binario disposto lungo un parallelo a velocità v = 30 mls. Calcolare la forza agente sulle rotaie e stabilire qual è la rotaia maggiormente consumata per effetto di tale forza.

Il treno è soggetto alla forza complementare di Coriolis, espressa vettorialmente da

F=-2mw/\ v con (J) velocità angolare di rotazione terrestre; tale forza è diretta perpendicolarmente all'asse di rotazione terrestre e al vettore v.

Problemi

71

Se il parallelo è percorso dal treno in senso orario, la forza è orientata verso l'asse terrestre; a tale forza si contrappone la forza centrifuga di trascinamento che però alle alte latitudini è trascurabile rispetto a essa. Il modulo della forza di Coriolis, essendo lO e v perpendicolari, risulta

F=2m lOv=524,9N. La rotaia più consumata sarà quella più vicina al polo.

6.6. Un pendolo di Foucault compie un'oscillazione completa a Parigi (Lat. 48° 52') in 31 h 52 min. In quanto tempo compie l'oscillazione a Milano (Lat. 46° 30')? In quanto tempo ai poli?

Il periodo di oscillazione di un pendolo di Foucault è inversamente proporzionale al seno dell'angolo di latitudine, perciò

Tpa TMi

-

TMi

= 33h 5 min.

_

sin 46°30 ' sin 48°52 , '

Ai poli l'oscillazione dura 24 h.

6.7. Al soffitto di un ascensore è appeso un dinamometro al quale è fissata una massa m = 200 g. Calcolare quale peso indica il dinamometro a un passeggero nei seguenti casi di moto dell'ascensore: a) salita con velocità costante v = 3 m/s; b) discesa con la stessa velocità; c) per la rottura del cavo, moto in caduta libera; d) salita con accelerazione costante a = 2 mls2; e) discesa con la stessa accelerazione.

a) Quando il moto dell'ascensore è rettilineo uniforme, il peso apparente coincide con quello reale, cioè p

=0,2 . 9,8 = l ,96 N.

b) Lo stesso vale per la discesa.

c) In caduta libera

a R = aA - aT = g - g = O.

d)

aR = g + a = Il,8 mls 2 , P = m a R = 2,36 N.

e)

a R =g - a = 7,8 m/s 2 , P=maR=I,56N.

72

6 Meccanica relativa

6.8. Una pulce si muove radialmente con velocità costante ~ = 5 cm/s sul piatto di un giradischi che sta ruotando con frequenzaj = 33 giri/min. Calcolare a quale distanza dal centro del piatto deve trovarsi la pulce perché la sua accelerazione assoluta formi un angolo di 45° con la direzione radiale.

Applicando il teorema delle accelerazioni

a A = a R + a T + 2m /\ v R ' ma a R è nulla essendo costante la velocità della pulce; inoltre, l'accelerazione di trascinamento è radiale, mentre quella di Coriolis è ad essa perpendicolare. Se l'angolo tra tali due accelerazioni deve essere di 45°, dovrà essere

aT = ac, 2

m r = 2m v R ' 2v

v

r=-R-=~=2,9 cm.

m

nj

6.9. Due treni si muovono con la stessa velocità v in verso opposto su due binari paralleli e sono lunghi complessivamente 1= 200 m. Se essi impiegano t = 5 s per superarsi, calcolare v.

La velocità relativa dei due treni è

~

= 2 ve deve essere quindi

v = vR = ~ = 72 km . 2

2t

h

6.10. Un nuotatore capace di nuotare con velocità ~ = 1,8 km!h si tuffa in un fiume largo 1= 200 m con l'obiettivo di raggiungere la sponda opposta nel punto esattamente antistante quello di partenza. Se la corrente ha velocità Ve = 1,5 km!h, calcolare: a) in quale direzione deve tuffarsi, b) quanto tempo impiegherà a raggiungere l'obiettivo.

l

D A

Fig. 6.4.

Problemi

73

a) Per poter raggiungere la sponda sul punto antistante quello di partenza, il nuotatore dovrà tuffarsi in acqua con velocità ~ relativa all'acqua e tale che la velocità assoluta risulti perpendicolare alla sponda, ovvero, con riferimento alla figura

L'angolo a deve essere tale che Ve =

~

cos a,

V

cosa = _c v = O' 833 , R

a = 33°33'.

b) Il tempo impiegato sarà t=

l/vA = 12 min 4 s.

6.11. Un razzo viaggia lungo un parallelo con velocità v = 1000 kmlh da ovest verso est. Calcolare in modulo, direzione e verso l'accelerazione di Coriolis agente su esso.

Siha La direzione è perpendicolare a entrambi i vettori ah e v, quindi anche all'asse terrestre, orientata verso l'asse, come risulta dalla regola della mano destra.

7 Dinamica dei corpi rigidi

Si intende per corpo rigido un corpo nel quale la distanza tra due punti qualsiasi resta costante nel tempo. La dinamica dei corpi rigidi, oltre che i moti traslatori, prende in considerazione i moti rotatori, ovvero moti attorno a un asse che possono essere assiali, quando l'asse di rotazione è fisso, o polari, quando è mobile. Nella dinamica dei corpi rigidi i concetti di forza, di quantità di moto e di massa vengono sostituiti rispettivamente dai nuovi concetti di momento meccanico, di momento angolare e di momento d'inerzia

Mo=rA F

Momento meccanico di una forza rispetto al polo O

R

Risultante delle forze esterne

po=rAmv

Momento angolare di un punto materiale rispetto al polo O Momento angolare di un sistema di massa M rispetto al polo O Momento d'inerzia di un punto materiale rispetto a un asse passante per O Momento d'inerzia di un sistema rispetto a un asse passante per O

1 2

K = -[

Q

0)2

w = MQ X(j)

Energia cinetica di un corpo rigido in rotazione attorno a un asse per O Potenza in un moto rotatorio Lavoro in un moto rotatorio assiale

76

7 Dinamica dei corpi rigidi

I equazione cardinale della dinamica dei corpi rigidi R=dQ dt

II equazione cardinale della dinamica dei corpi rigidi dP

o Mo = --+v o /\Q dt

M

- d(loOJ) dt

0-

(valida quando il polo è fermo, o si muove parallelamente al centro di massa o coincide con il centro di massa) (valida quando lo = costante)

Momento angolare di un corpo in rotazione

Condizioni di equilibrio di un sistema e sistema isolato R=O:::::}aCM=O

MQ = O:::::} IoOJ = costante.

Teorema di Huygens-Steiner, o degli assi paralleli la = ICM + md 2, con d distanza tra i due assi.

Pendolo composto T

= 21r~

I

mgd

,

essendo I il momento d'inerzia rispetto al punto di sospensione, m la massa pendolare e d la distanza tra il centro di massa e il punto di sospensione.

Problemi

77

Pendolo di torsione

essendo I il momento d'inerzia rispetto al punto di sospensione e k la costante di torsione del filo.

Asse di istantanea rotazione Quando un corpo rigido quale una sfera o un cilindro rotola su un piano, il suo moto si può ricondurre a un moto puramente rotatorio attorno a un asse passante per il punto di contatto (asse di istantanea rotazione). L'energia cinetica del corpo si può scrivere indifferentemente come somma dell' energia cinetica di traslazione con velocità del centro di massa e dell'energia cinetica di rotazione attorno al centro di massa, oppure come energia cinetica di rotazione attorno all'asse a. In formule: M a

Fig. 7.1.

Unità di misura SI Momento meccanico

newton metro (N m)

Momento angolare

joule secondo (J s)

Momento d'inerzia

chilogrammi metro quadrato (kg m2 )

Problemi 7.1. Una trave omogenea uniforme di lunghezza 1=3 m incernierata in O è in equilibrio appesa in B a una molla ideale di rigidità k = 39,2 N/m che risulta allun-

78

7 Dinamica dei corpi rigidi

gata di s =6 cm, mentre un bambino di massa m =40 kg è fermo sulla trave in un punto C. Calcolare di quanto deve avanzare il bambino sulla trave per portarla in posizione orizzontale.

o

Fig. 7.2.

Indicando con x lo spostamento del bambino, quando la trave è orizzontale, il momento del peso del bambino e della trave rispetto al polo O deve uguagliare quello della forza di richiamo della molla, cioè (d + x) mg + M g

i

2

= k ( s + l sin 30°) l cos 30°

(1)

Inizialmente abbiamo invece

l m g d cos 30° + M g - cos 30° = k s l cos 30°, 2 l mgd+Mg-=ksl.

(2)

2

Esplicitando la (1) e tenendo conto della (2), si ricava

k l [ s ( cos 30° - l) +

x=

mg

±

sin 60°] 0,387 m = 38,7 cm.

7.2. Un cilindro omogeneo di massa M e raggio R ruota attorno all'asse baricentrale con velocità angolare iniziale mo e posizione angolare iniziale ()o quando viene sottoposto a un momento frenante Mo = - k m , dove k è una costante e m la velocità angolare istantanea. Ricavare la legge oraria del moto in funzione delle grandezze assegnate.

Problemi

79

Applichiamo l'equazione cardinale della dinamica dei moti rotatori dm -km = 1 dt ' dm k -=--dt m l' k In m = - - t + costante

dove, sapendo che per t =

°è m = m

I

o' risulta In mo = costante:

m k ln-=--t mo l' k

--t

m = moe I

k

dm --t -=m e I dt o '

If

(k)

I

m -~t m -~t m = ---:- e l d ]t = ----:-e l + costante. Essendo per t = 0,8 = 80 :

7.3. Un metodo per calcolare il momento d'inerzia di un corpo di forma irregolare rispetto all'asse baricentrale consiste nel sospenderlo a un filo ideale, farlo motare di un certo angolo e misurare il periodo delle piccole oscillazioni dopo averlo lasciato libero (pendolo di torsione). Sia TI = (2,5 ± O,I)s tale periodo. Si prende poi un corpo campione di momento d'inerzia noto, lo = (0,8 ± O,Ol)kg m2 e lo si sospende allo stesso filo, ripetendo il procedimento e trovandone il periodo delle piccole oscillazioni, To = (l,6 ± O,1)s. Calcolare: a) il momento d'inerzia del corpo irregolare, b) l'errore percentuale più probabile della misura. a) Detta c la costante di torsione del filo, l'equazione di moto di un pendolo di torsione risulta essere

equazione differenziale di un moto armonico semplice di periodo

80

7 Dinamica dei corpi rigidi

T=2n/f. Nel caso in esame

TI

]2

2

11=10 T =1,95kgm. ( O b) Per la formula della propagazione degli errori, essendo gli errori percentuali nella misura rispettivamente di lo, T) e To

0,01 00 25 0,1 0,1 El o/c =--1 =1, -/o,ETO/C =-100=4%,ET. o/c =-100=6,25%, o o 0,8 1 o 2,5 o o 1,6 (Jf

risulta

7.4. Un cilindro omogeneo rotola dalla cima al fondo di un piano inclinato di a = 30°, raggiungendo al termine una velocità del centro di massa VCM = 4 m/s. Calcolare: a) la lunghezza l del piano inclinato, b) l'accelerazione con cui scende il cilindro, c) il tempo impiegato a percorrere il piano inclinato.

Fig. 7.3.

a) Il moto del cilindro è rotatorio attorno all'asse di istantanea rotazione (passante per il punto di contatto con il piano). Esso scendendo trasforma l'energia potenzia3 .... 1 2d 2 2 le M g h m energIa emetica - I ()), ove I = lCM + M r = - M r

2

2

Problemi

81

Pertanto

1 3 2 2

Mgh=-·-Mr

2

3 2 . g l sma= -V CM ' 4 1= 3v ~M

2,45m.

4gsina

2 4 VCM=-g

3

(1)

lsma, '

(2)

ma deve essere anche

b) Dalla (1) quindi 2. m a = - g sm a = 3,27 2'

3

c) t=

s

v

CM

a

= 1,22s.

7.s. a) Quale potenza media deve avere un motore per conferire a una sfera omogenea di massa M = 2 kg e raggio r = lO cm una velocità angolare (ù = 40 girils in un tempo t = 15 s? b) Quanti giri ha compiuto la sfera in tale intervallo di tempo?

Fig. 7.4.

82

7 Dinamica dei corpi rigidi

a) Dalla definizione di potenza media

K

1m 2

t

2t

W =-=m

(~Mr2 +Mr2

)oi

2t

58,9W.

b) Ipotizzando un valor medio di m pari a m/2:

m

n=-t

2 '

quindi

mt

3

..

n = - = OOgm.

2

7.6. Con riferimento al Problema 6.53 dell'allegato CD, fissando 1=6 r, calcolare per quale valore del rapporto M/m il pendolo composto in esame avrebbe lo stesso periodo di un pendolo semplice di lunghezza 1+ r.

Fig. 7.5.

Dobbiamo in primo luogo calcolare la posizione del centro di massa del pendolo composto illustrato in figura. Risulta l m-+M{l+r) d = -----'2=--_ __ M+m Applicando poi la formula del periodo del pendolo composto di Huygens:

Problemi

83

ml 2 Mr 2 2 -+-+M(l+r) 3

ml 2 Mr 2 2 -+--+M(!+r)

= 27r

2

m 2 Mr 2 -·36r +--+49Mr 3 2 g(3mr+7Mr)

-----'3"--_---'3"-----_ _ _ _ = 27r

l m-+M(l+r) (M +m)g------'=2'----------M+m

= 27r

2

(M +m)gd

Mr 12mr +--+49Mr 2

g(3m+ 7M)

Il pendolo semplice di lunghezza l + r ha periodo

T = 27r

rE -g.

V

Uguagliando le espressioni dei due periodi, risulta:

Mr 12mr+--+49Mr

_ _ _.....2"----___ = 7r,

3m+7M

M

M

12+-+49-

2m

M

m

7,

3+7m

da cui M/m = 18.

7.7. Supponendo la Terra sferica e omogenea, di massa mT = 5,98.1024 kg e raggio r T = 6360 km, calcolare quale momento frenante è in grado di rallentare il periodo di rotazione terrestre di 1 J..ls nell' arco di 24 h.

Deve essere

11m

Mo=Iy=I - , I1t

ma, essendo m = 27r /T, risulta 27r

11m = - - 2 I1T, T

84

7 Dinamica dei corpi rigidi

quindi

= 0,4.5,98.10 24 .40,45.10 12 .

6

6,28.1086400 2 . 86400

17

9,42 ·10 N m.

7.8. Un'asta omogenea uniforme di lunghezza l = 60 cm e massa M = 6 kg è incernierata in O senza attriti a 2/3 della lunghezza e reca appese agli estremi due masse puntiformi m = 2 kg e x incognita, mantenendosi in equilibrio. Calcolare: a) il valore di x, b) il nuovo valore x' quando la massa m viene appesa nel punto C a 1/3 della lunghezza, c) il momento d'inerzia del sistema rispetto all'asse passante per O nelle condizioni iniziali.

M

O

Fig. 7.6.

Annulliamo il momento meccanico totale rispetto al polo O:

da cui 3M +12m x=---6

M+4m 2

7kg.

b)

1 ,l 2 1 ?,lx g+isM g=9Mlg+?,m 19, M

x'= m+-= 5 kg. 2

Problemi

85

c) [2 4 [2 [2 [2 lo =x-+m-Z 2 +M-+M-=-(x+4m+M)=O,84 kgm 2 9 9 12 36 9

7.9. Una sferetta di raggio r/2 urta orizzontalmente, frontalmente ed elasticamente con velocità v una seconda sferetta di raggio r e dello stesso materiale appesa in quiete al soffitto mediante un filo ideale di lunghezza [= 5 r. Esprimere: a) il valore di v in funzione di r perché in seguito all'urto la sferetta ferma raggiunga, fermandovisi istantaneamente, la posizione B; b) la velocità di rinculo v' della prima sfera sempre in funzione di r .

B 5r

r!2

.

--;~ .~

• "a, ....

m

A

Fig. 7.7.

a) Applicando il principio di conservazione del momento angolare, dato che si tratta di un urto con conseguenze rotatorie:

6mvr = Iw+6mv'r =

W(~M r2 +36M r 2 )+ 6mv'r

Trattandosi di un urto elastico, si conserva anche l'energia cinetica totale, quindi: 2 1 2 1 ,2 1 -mv =-Iw +-mv 2 2 2 '

ma M = 8 m, perciò, dopo qualche passaggio, dobbiamo risolvere il seguente sistema

j

6V=291,2wr+6v,

v 2 = 291,2w 2 r 2 +V,2.

86

7 Dinamica dei corpi rigidi

L'energia cinetica della sfera più grande si trasforma totalmente in energia potenziale in B, per cui si ricava:

1 2 - I ()) = 6M g r = 48 m g r 2

e, dopo qualche passaggio:

v=15, 56W' b) Successivamente

v'=-12,lW'

7.10. Un blocco omogeneo di massa M = 0,4 kg è appeso al punto O mediante un filo ideale di lunghezza l = 2 m ed è inizialmente in quiete in A. Una freccia di massa m = 60 g scagliata con velocità v si conficca nel blocco e il sistema entra in rotazione. Trascurando qualsiasi attrito, calcolare: a) per quale valore di v il blocco si porta, fermandosi nella posizione B; b) il lavoro di perforazione del blocco, c) che tipo di equilibrio è quello nella posizione B. B

o

J

v

M

m A Fig. 7.8.

a) Dalla conservazione del momento angolare:

Problemi

87

mv

w=---I(M +m)

Il blocco parte con energia cinetica

.!. I w2 = 2

2 2

mv

2(M +m)

e la trasforma in energia potenziale nella posizione B:

2(M +m)

(M + m)gl.

Si ha allora

b) Il lavoro di perforazione è la differenza tra l'energia cinetica del proiettile e quella con cui parte il blocco: l 2 l 2 L = - mv - - I w = 60 lI. p 2 2 ' c) Instabile, essendo massima l'energia potenziale del sistema.

7.11. Un uomo di massa m = 60 kg è in quiete sul bordo di una piattaforma di massa M = 200 kg e raggio r che sta ruotando con velocità angolare costante W = 15 rad/s attorno al proprio asse.

Fig. 7.9.

Se l'uomo si mette in moto radialmente con velocità costante v, a) ricavare, trascurando gli attriti e considerando puntiforme l'uomo, l'espressione della nuova velocità angolare in funzione della distanza x percorsa dall'uomo, b) calcolarne il valore quando l'uomo è giunto nel centro della piattaforma.

88

7 Dinamica dei corpi rigidi

a) Dalla conservazione del momento angolare, abbiamo:

= wl,

wolo w=wo

(2m+ M)r2 Mr2+2m(r-x)

2'

b) Nel centro della piattaforma x = r, pertanto w=w

o

M +2m M

24

rad s

7.12. Un'asta omogenea e uniforme lunga l = l m di massa M = l kg è appesa verticalmente imperniata in P. Un proiettile di massa m = lO g la colpisce orizzontalmente nel centro di massa restandovi conficcato. Se l'asta in seguito all'urto descrive un quarto di giro fermandosi per poi ricadere, calcolare: a) la velocità del proiettile, b) il lavoro di perforazione. p

m

_ _......

M

Fig. 7.10.

a) Dalla conservazione del momento angolare si ottiene 2 mv i =w(MI2 +mI ) 2 3 4' mvl

W=--.

21

Dalla conservazione dell'energia si ricava invece l 2 l l -lw =Mg-+mg2 2 2'

Problemi

89

e quindi, dopo una serie di passaggi:

v=

(M + m)gl(:M + 3m) = 364,6 m. 3m s

b)

1 2 - ( M+m ) g-=660J. I Lp=-mv 2 2

7.13. Un'asta e una sfera omogenee con la stessa massa M e tali che la lunghezza I della prima uguaglia il diametro della seconda, ruotano con la stessa velocità angolare O) costante attorno all'asse baricentrale. Calcolare i rapporti: a) tra i loro momenti d'inerzia baricentrali, b) tra i loro momenti angolari rispetto all'asse baricentrale.

a) Il momento d'inerzia dell'asta è 2

M1 1=-a 12'

quello della sfera

2 M 12 I =-Mr 2 = - s

5

lO '

perciò

b) Essendo p =

risulta

IO),

8 Meccanica dei fluidi

Pressione

ovvero la derivata del componente normale della forza agente rispetto alla superficie.

Principio di isotropia delle pressioni locali In un fluido in equilibrio la pressione in un punto è indipendente dalla giacitura e dall'orientazione della superficie passante per quel punto.

Principio di Pascal La pressione esercitata in un punto di una massa fluida si trasmette inalterata a tutti i punti del fluido.

Principio di Archimede Un corpo immerso in un fluido riceve una spinta verso l'alto pari al peso del fluido spostato. In formula:

dove p è la densità del fluido, g l'accelerazione di gravità e V il volume del corpo immerso.

92

8 Meccanica dei fluidi

Tensione superficiale dF dI

dL dS'

!'=-=-

ovvero la forza specifica lineare necessaria per tenere uniti i lembi di un ipotetico taglio praticato sulla membrana di una superficie liquida, oppure il lavoro compiuto per unità di superficie di una lamina liquida per mantenerne minima la superficie contro forze esterne tendenti a deformarla.

Legge di Jurin-Borelli h = 2rcos8 , prg

dove h è il dislivello del liquido di tensione superficiale !' e angolo di raccordo 8 con le pareti di un capillare di raggio r rispetto alla superficie libera del liquido nel contenitore in cui il capillare è immerso (h > 0, innalzamento, per 8 compreso tra e 90°, h < 0, abbassamento, per 8 compreso tra 90° e 180°).

°

Legge di Newton sulla viscosità dv

F=-nA'I dx'

dove F è la forza viscosa che si esercita tra due strati contigui di liquido di sezione A, 11 il coefficiente di viscosità dinamica del liquido, dv la differenza infinitesima di velocità tra i due strati e dx lo spessore infinitesimo di uno strato.

Legge di comprimibilità dV= -k Vdp,

dove dV è la variazione infinitesima di volume di un fluido di volume iniziale V sottoposto a una pressione additiva dp e k il coefficiente di comprimibilità.

Regimi di moto dei fluidi

93

Regimi di moto dei fluidi Sono tre: - regime stazionario, o di Bemoulli - regime macrovorticoso, o di Leonardo da Vinci - regime microvorticoso, o di Poiseuille

Regime stazionario Equazione di continuità Se A è la sezione di un condotto nel quale scorre con velocità v un fluido di densità p

QM =P A v = costante

(portata di massa)

Qv = A

(portata di volume, valida se il fluido è omogeneo)

v = costante

Principio di Bernoulli l 2 p+-pv +pgh = costante, 2 2

P v + - + h = costante, pg 2g

-

(valido solo per fluidi omogenei)

dove 1

_pv 2 2

pressione dinamica,

pgh

pressione idrostatica,

h

altezza geometrica,

v2 2g

altezza di arresto,

p pg

altezza piezometrica.

94

8 Meccanica dei fluidi

Legge di Torricelli La velocità di efflusso di un liquido da un foro praticato sul fondo di un recipiente contenente liquido fino alla quota h, se A e a sono le sezioni del recipiente e del forellino è data da

Regime microvorticoso È retto dalle due leggi di Poiseuille: v(r)= Ap (R 2 _r 2 )

411 1

nR 4 Ap Qv =

I legge II legge,

811 1

dove l ed R sono rispettivamente la lunghezza e il raggio del capillare, 11 il coefficiente di viscosità del liquido, r la distanza dall'asse del capillare e Ap la differenza di pressione ai suoi estremi. La prima legge riguarda in un capillare la velocità del liquido in funzione della distanza dall'asse, mentre la seconda riguarda la portata di volume di un capillare.

Legge di Stokes F= 6 n11 r v,

descrive la forza viscosa agente su un corpo sferico di raggio r di piccole dimensioni in moto con velocità v in un mezzo di coefficiente di viscosità 11. La velocità limite di un tale corpo, dette p e Po le densità del corpo e del mezzo in cui cade è

v Iim

=

2r2g(p- Po) 911

Problemi

95

Unità di misura Pressione

pascal (Pa), bar, millimetro di mercurio (mmHg)

Tensione superficiale

newton al metro (N/m)

Coefficiente di viscosità

Pa s = daP = kg/(m s), poi se (P)

Coefficiente di comprimibilità

Pa- 1

Portata di massa

kg/s

Portata di volume

m3/s,1/s

Problemi 8.1. Un cilindro di sezione S = 100 cm 2 galleggia in acqua (p = 1000 unità SI); appoggiando sul cilindro un oggetto di massa m, esso affonda di un tratto s = 3 mm. Calcolare m.

L'affondamento del cilindro implica che il peso aggiuntivo sia equilibrato da una spinta di Archimede pari al peso del fluido spostato, cioè

mg=pnrsg=pSsg, m=pS s =30 g. 8.2. Un cubetto di ghiaccio (densità Pgh = 920 unità SI) di spigolo a =4 cm galleggia in un bicchiere cilindrico di sezione S = 25 cm 2 pieno d'acqua fino a un'altezza h = lO cm. Calcolare la nuova altezza h' dell'acqua quando il cubetto è completamente fuso.

5 Fig. 8.1.

96

8 Meccanica dei fluidi

La fusione della parte immersa provoca una diminuzione di volume compensata esattamente dall'aumento di volume dovuto alla fusione della parte di cubetto immersa, perciò h' = lO cm. 83. Una sferetta di ferro di densità Po = 8000 unità SI e volume Vo = 6 cm 3 è immersa in acqua (p = 1000 unità SI) appesa a una molla ideale di rigidità k = 20 N/m mediante un filo ideale fissato al soffitto. Se la molla, in condizioni di equilibrio, è allungata di un tratto x = 1 cm, calcolare la tensione del filo.

Fig. 8.2.

Le condizioni di equilibrio impongono che sia T-mg+pVg+kx=O, T=(po-p) Vg-kx=0,21 N.

8.4. Un cilindro omogeneo di legno di altezza h e densità p = 950 unità SI immerso in un liquido galleggia in modo che la parte emergente è pari a 3/4 h. Calcolare la densità del liquido.

pSh=hSp'/4,

p' = 4 P = 3800 kg/m 3 . 8.5. Un cilindro di legno di sezione S = 300 cm 2 galleggia su un liquido; appoggiandovi un corpo di massa m = 0,9 kg, il cilindro affonda di un ulteriore tratto s = 2 cm. Calcolare la densità del liquido.

All' equilibrio iniziale deve essere M=pSx,

Problemi

97

mentre alla fine M + m = p S (x + s). Sottraendo m.a.m.:

p =m/S s = 1500 kg/m 3 •

8.6. Una sferetta omogenea appesa a un filo ideale viene immersa dapprima in un liquido di densità Pl = 2 g/cm3 , quindi in un secondo liquido di densità P2 = l g/cm 3 • Se la tensione del filo nel secondo caso è doppia che nel primo, calcolare la densità della sferetta.

Fig. 8.3.

Il risultante di tensione del filo, peso della sferetta e spinta di Archimede deve essere in entrambi i liquidi nullo, perciò T - m g + Pl V g = 2 T-m g + P2 V g,

da cui p

=2 Pl -

P2 = 3 g/cm

3

.

8.7. Un blocco prismatico retto di densità p = 900 unità SI e volume V = 0,2 l è appeso a due identiche molle di rigidità k = 60 N/m galleggiando radente al pelo libero dell' acqua e recando appesa nella parte inferiore mediante un filo ideale una sferetta di volume V 1= 5 cm3 e densità p l = 5000 unità SI. Calcolare: a) la tensione del filo, b) l'allungamento delle molle.

Fig. 8.4.

98

8 Meccanica dei fluidi

a) Scriviamo le condizioni di equilibrio per la sferetta, indicando con Pa la densità dell' acqua: b) Tenendo conto che la tensione è una forza interna, imponiamo che il risultante delle forze agenti sul sistema sia nullo:

x=o.

da cui

8.8. Una sfera cava di ferro (p = 7800 unità SI) di diametro esterno d 2 = 61 cm galleggia in acqua a Milano emergendo per metà. a) Calcolare il diametro interno della sfera. b) All'equatore la spinta di Archimede sulla sfera varierà? In che senso? c) Ai poli la sfera emergerà di più o di meno? a) Per ricavare il diametro interno dI della sfera, scriviamo che il peso della sfera uguaglia la spinta di Archimede sulla parte immersa che ha un volume pari alla metà di quello della sfera, cioè

4 (d d 3 np t-t 3

dI

3

1

)

2 nPa

=3

d t, 3

= d2 3 2P - Pa = 59,7 cm. 2p

b) Essendo g minore, sarà minore anche la spinta di Archimede. c) La linea di galleggiamento resterà invariata, in quanto anche il peso della sfera aumenta della stessa entità.

8.9. Una sottile asta omogenea e uniforme di massa m = 40 g è appesa come in figura a una molla ideale di rigidità k = 200 N/m e galleggia emergendo esattamente per metà in un liquido di densità PI in rapporto r = 4/3 con quella p dell'asta. Calcolare l'allungamento della molla.

Fig. 8.5.

Problemi

99

Indicando con ila lunghezza dell'asta e con A l'estremo fissato alla molla che assumiamo come polo, in equilibrio deve annullarsi il momento di tutte le forze agenti sull' asta; se {} è l'angolo formato dall'asta con la verticale, deve essere i

V

i

2

2

4

kxicos{}- mg-cos8+ PI - g-cos8 = O, kx= mg 3 '

8.10. Una canna barometrica torricelliana contiene acqua per un'altezza h =10 cm al di sopra del mercurio. Se la pressione atmosferica è 90 kPa, quale sarà l'altezza x della sotto stante colonna di mercurio?

h

x

Fig. 8.6.

La somma delle pressioni idrostatiche delle colonne d'acqua e di mercurio deve uguagliare la pressione atmosferica, quindi

Pa hg + PHg X g = p, e quindi

100

8 Meccanica dei fluidi

8.11. Un tubo orizzontale di diametro h = 30 cm alimentato da un acquedotto presenta un ugello di sezione a = 2 cm 2 inclinato di a = 30° sull' orizzontale. Calcolare quale deve essere la portata di volume dell'acquedotto perché lo zampillo del getto tocchi terra a distanza d = 6 m dall'inizio dell'ugello. a

d Fig. 8.7.

Deve essere Q = a v, quindi dobbiamo calcolare la velocità con cui il getto fuoriesce dal tubicino. Scriviamo l'equazione della traiettoria parabolica: 2

y=

dalla quale, essendo y

/x 2 +xtan300+h, 2v cos 30°

=O per x =d, si ricava

Q = ad

g

d sin 60° + 2h cos 2 30°

= 1 58 '

.! s

8.12. Quale deve essere la portata di volume di un condotto perché da un foro aperto in corrispondenza di una strozzatura di sezione A = 40 cm2 fuoriesca uno zampillo alto h = IO m?

Deve essere

Qv =

Av = Af2ih = 56 .!. s

8.13. Sulle pareti di un recipiente pieno d'acqua vengono praticati due forellini di sezione trascurabile rispetto alla sezione di base rispettivamente a distanza hl = 20 cm e h 2 = 80 cm dal pelo libero. Supponendo che un rubinetto immetta acqua nel recipiente mantenendo costante il livello del liquido mentre questo fuoriesce dai forellini e sapendo che i due getti toccano terra nello stesso punto, calcolare: a) l'altezza h del recipiente, b) la distanza d.

Problemi

101

d

Fig. 8.8.

Dalla legge di Torricelli, essendo costante il livello dell' acqua, le velocità di efflusso dai due fori sono

quindi le equazioni dei due getti parabolici sono

e dal momento che quando i getti toccano terra Yl e Y2 sono nulli, mentre valgono entrambi d, dobbiamo risolvere il seguente sistema

Xl

e

X2

d2

O=--+h-h 4h l

d2 4h2

O=--+h-h

l

2

che ammette per soluzioni h = 1 m, d = 80 cm.

8.14. Un silos cilindrico di sezione A = 1 m2 pieno di vino presenta sul fondo un forellino di sezione a = 0,5 cm2 • Il livello iniziale del liquido è h = 6 m; per evitare di perdere il prezioso liquido, si pone sotto il silos una vasca di capacità V = 40 1. In quanto tempo si riempirà tale vasca?

102

8 Meccanica dei fluidi

Mentre il vino fuoriesce dal forellino, il livello h si abbassa, quindi diminuisce la velocità di efflusso; per l'equazione di continuità deve essere, indicando con y l'abbassamento del livello del silos:

va

A

A dy

a

a dt

=-VA = - - ,

ma è anche, per la legge di Torricelli,

quindi A dy

-J2g(h-y) =

--o

a dt

Integrando, dopo qualche passaggio si ottiene

~=fh-~A~2fit. Imponendo poi che il volume fuoruscito dal silos uguagli quello V della vasca, si ricava per il tempo di riempimento: tr

=;

H(

fh - ~) = 20272 s ~ 5 h 38 min.

8.15. A quale altezza arriva lo zampillo fuoriuscente da un forellino praticato in un condotto in cui scorre acqua in regime stazionario con velocità 14 mls? A quale altezza se il liquido è mercurio?

h=!!..-= 2g

196 =lOm. 19,6

La stessa, perché l'altezza di arresto non dipende dalla densità del liquido.

8.16. Calcolare la pressione dinamica esercitata sulle pareti di un condotto di sezione costante 1200 cm2 nel quale scorre acqua con portata di volume 100 lIs. 2

Q2

10-2

S2

0,12

p= pv =E.~= 500.--= 347,2 Pa. 2 2

2

8.17. Il raggio dell'arteria aorta dell'uomo è 1 cm, mentre la portata di volume corrispondente al flusso cardiaco è 5 l/min. Calcolare, supponendo un regime stazionario, la velocità media del flusso sanguigno nell'aorta.

Problemi

Qv - nr 2

(5/60) .10-3 3,14·10-4

26,5 cm. s

V - - - - -'-------'-------;--

103

8.18. In una miniera a profondità 200 m si verificano infiltrazioni d'acqua al ritmo di 600 l/min. Quale potenza deve avere una pompa per garantire l'asportazione di tutta l'acqua di infiltrazione?

La potenza cercata è il lavoro compiuto nell'unità di tempo contro le forze di gravità che ostacolano la salita dell'acqua, ovvero

w=

L = mgh = pQv gh = 10 3 .10-2 .9,8.2.10 2 = 19,6 kW. t

t

8.19. In un capillare di raggio r = 1 mm si ha un gradiente di pressione di 4 mmHg/cm. Calcolare la portata di volume quando in esso scorre un liquido con viscosità 2 mPa s.

Dalla seconda legge di Poiseuille si ha: 4~

3

Q =nr P=104 cm. ' v 811 1 s

8.20. Un blocchetto cubico di legno di densità Po = 950 unità SI galleggia su un liquido emergendo per 2/3 del suo volume V. Calcolare la densità p del liquido.

Il peso del blocchetto deve uguagliare la spinta di Archimede sulla parte immersa:

PoV g =

v 3 Pg ,

p= 3po = 2,85 -g-3 cm

.

8.21. Un oggetto pesa 100 N in aria e 75 N immerso in acqua. Calcolare la densità relativa all'acqua dell' oggetto.

Se l'oggetto immerso in acqua pesa 75 N, la spinta di Archimede su esso è 25 N, cioè

P Vg=25 N, mentre in aria sarà

Po V g = 100 N,

104

8 Meccanica dei fluidi

quindi sarà

8.22. Se nell'esperimento di Torricelli il tubo barometrico viene inclinato a 45°, quale sarà la lunghezza l della colonna di mercurio?

Fig. 8.9.

Il dislivello tra l'estremo superiore della colonna di mercurio e il livello del mercurio nella vasca deve essere h = 76 cm, quindi, essendo h = l sin 45°, sarà h 1= - - = 107,5 cm. sin 45°

8.23. Un condotto di raggio r si suddivide in 4 condotti di raggio r/3. Se la velocità media di un liquido omogeneo nel primo condotto è v, qual è la velocità media in ciascuno dei condotti più piccoli ipotizzando un regime stazionario?

Se il liquido è omogeneo, la portata di volume è costante, quindi possiamo scrivere che 2

nr 2v= 4n~·v'

9

'

9 v'=-v. 4

8.24. In una piccola arteria di raggio r = 4 mm la pressione relativa è p mmHg. Calcolare la tensione elastica delle pareti.

T= r p = 21,3 N/m.

= 80

Problemi

105

8.25. Un blocco di sezione a = 150 cm2 e massa m = 4 kg viene appoggiato su un pistone mobile di sezione A = 1500 cm2 • Quale pressione vi esercita? {]

Fig. 8.10.

mg

p=-=261,3Pa. A

Si noti che il risultato è del tutto indipendente dalla sezione del blocco! 8.26. In un ramo di un tubo a U si trova acqua, nell'altro mercurio. In condizioni di equilibrio, quanto vale il rapporto tra l'altezza dell'acqua e quella del mercurio, misurate rispetto alla superficie di separazione tra i due liquidi?

Coincide con il rapporto tra le densità del mercurio e dell'acqua, cioè 13,6. 8.27. Un motore pompa lO l/s di liquido a una pressione media di 2 atm in un condotto orizzontale. Calcolare il lavoro compiuto in 2 s.

L1V L = pL1V = p - t = pQV t = 4,04 kJ.

t

8.28. Un'arteria nella quale scorre del sangue con velocità v si biforca in due arteriole ciascuna di raggio pari alla metà di quello dell' arteria principale. Quale sarà la velocità media del sangue nelle due arteriole?

La portata di volume dell'arteria più grande è Qv= 7r? v; ipotizzando un regime stazionario, la somma delle portate di volume delle due arteriole deve coincidere con Qv, cioè

v'= 2v.

106

8 Meccanica dei fluidi

8.29. La zattera del Problema 8.62 dell'allegato CD ha spessore d = 25 cm ed è costruita con un materiale di densità Po = 960 unità SI. Calcolare il periodo delle piccole oscillazioni della zattera dopo la perdita del carico.

Quando gettiamo in acqua il carico, la massa della zattera diminuisce ed essa subisce un' accelerazione verso l'alto cui corrisponde una forza M a = p o S da,

dove S è la superficie della zattera. A tale forza si oppone la forza di richiamo dovuta al peso della parte immersa, ovvero - p S Y g. Quindi

Po S d a = - p S Y g,

pg

a=---y, Pod che è l'equazione differenziale di un moto armonico semplice di periodo T=

2n~ Po d = 0,98 s. pg

8.30. Quando un sommergibile si immerge a 120 m di profondità, quale pressione devono esercitare le pompe per espellere acqua dai compartimenti stagni, se la densità dell'acqua marina è 1030 unità SI?

La pressione esercitata dalla colonna d'acqua sovrastante il sommergibile è

p = p g h = 1,21 MPa = Il,98 atm, tuttavia per espellere l'acqua le pompe devono vincere anche la pressione atmosferica, quindi la pressione da esercitare sarà 12,98 atm.

9 Gravitazione

Uno dei temi più interessanti per gli antichi era lo studio delle caratteristiche del sistema solare, descritto in un primo tempo dalla teoria geocentrica di Aristotele (III secolo a.C.), che lo stesso filosofo greco aveva ripreso dai modelli di Eudosso e di Callippo (IV secolo a.C.). Secondo Aristotele l'universo era formato da una serie di sfere cristalline tutte concentriche con la Terra, che era composta dai quatto elementi (terra, acqua, aria e fuoco). I corpi celesti si muovevano nell'etere, elemento puro, solido, incorruttibile, trasparente e imponderabile, e la materia occupava tutto l'universo senza lasciare vuoti (la non esistenza del vuoto fu uno dei dogmi della fisica aristotelica contro il quale si accanì, a ragione, Galileo); il moto della sfera più esterna si trasmetteva per contatto alle sfere più interne giungendo alla sfera della Luna, che era l'ultima. Alcune delle sfere intermedie erano occupate dai pianeti, che all'epoca erano solo sei (mancavano Urano, Nettuno e Plutone). Secondo tale teoria, le stelle cadenti erano frammenti di sfere staccatisi e arroventati per attrito. Essa non era in grado di prevedere la posizione futura dei pianeti e la loro variazione di luminosità. Fu il greco Tolomeo (II secolo a.c.) a proporre un modello geocentrico in grado di spiegare la variazione di luminosità dei pianeti con il complicato modello a epicicli. Già un secolo prima, tuttavia, il greco Aristarco aveva formulato l'ipotesi eliocentrica, secondo la quale il Sole era al centro dell'universo e i pianeti ruotavano attorno a esso; in particolare la rotazione della Terra avveniva con asse inclinato per giustificare il periodico abbassamento delle traiettorie del Sole, della Luna e di tutti i pianeti. Tale modello, però, non ottenne i consensi dei contemporanei di Aristarco, poiché era ancora troppa l'autorità di Aristotele. Il primo netto rifiuto della concezione geocentrica di Aristotele si ebbe con il polacco Nicola Copernico (1473-1543), che nell'ultimo anno di vita ripropose nella sua opera De Revolutionibus Orbium Coelestium il modello eliocentrico di Aristarco dando origine alla cosiddetta rivoluzione copernicana. Pochi anni dopo, l'astronomo tedesco Johannes Kepler (1571-1630), il cui nome fu latinizzato in Keplero, partendo dall' ipotesi eliocentrica di Copernico e basandosi sull'accurato lavoro sperimentale del suo maestro, l'astronomo danese Tycho Brahe (15461601), enunciò nella sua opera Astronomia Nova (1609) le leggi del moto dei pianeti, leggi empiriche dalle quali si calcolano ancora oggi con estrema precisione le traiettorie dei pianeti.

108

9 Gravitazione

Leggi di Keplero I. I pianeti descrivono orbite ellittiche attorno al Sole, che è posto in uno dei fuochi dell' elisse. II. Le aree spazzate dal raggio vettore (la congiungente pianeta-Sole) sono proporzionali ai tempi impiegati a descriverle. III. I quadrati dei periodi di rivoluzione dei pianeti sono proporzionali ai cubi dei semiassi maggiori delle loro orbite ellittiche. Le prime due leggi sono esposte in Astronomia Nova, mentre la terza legge fu enunciata da Keplero solo nel 1618. La seconda legge altro non è che la conservazione del momento angolare del pianeta nel moto attorno al Sole, mentre la terza legge si può ricavare matematicamente come conseguenza della legge di gravitazione universale. Importante fu il contributo di Galileo all' astronomia. Perfezionando nel 1609 il cannocchiale, egli riusCÌ a stabilire che la natura dei corpi celesti è del tutto simile a quella della Terra: la Luna presentava una serie di corrugamenti che lo stesso Galileo aveva chiamato mari e monti, mentre il Sole mostrava le cosiddette macchie solari descritte per la prima volta da Galileo nel Sidereus Nuncius (1610).

Legge di gravitazione universale Essendo l'orbita dei pianeti ellittica, si doveva individuare sia la natura della forza che li fa costantemente deviare sia la sua origine: il duplice obiettivo venne raggiunto da Isaac Newton (1643-1727). Se la forza che mantiene i pianeti in orbita è dovuta al Sole, si doveva ideare un meccanismo capace di trasmettere l'azione a distanze cosÌ grandi, enormemente maggiori di quelle alle quali un oggetto è attratto verso la Terra. Il grande merito di Newton fu proprio l'aver ipotizzato tra pianeti e Sole un'azione attrattiva reciproca tra masse della stessa natura di quella tra un oggetto e la Terra. La domanda che Newton si pose - secondo la leggenda fu: "Perché una mela che si stacca dall'albero cade a Terra e la Luna continua invece a orbitare attorno alla Terra senza cadervi sopra?" Dalle osservazioni del moto della Luna che gli permisero di ricavare l'accelerazione centripeta della Luna e di confrontarla con l'accelerazione di gravità terrestre, Newton stabilì la legge di gravitazione universale, secondo la quale tra due masse mI ed m2 poste a distanza r tra i loro centri di massa si esercita una forza attrattiva

F

= -G m172 r'

r,

(G =6,67' IO-II N m 2/kg2)

(9.1)

dove G è la costante di gravitazione universale. La forma vettoriale di F è stata scritta in questo modo tenendo conto che tale forza è diretta radialmente.

L'accelerazione di gravità

109

Da notare che l'azione gravitazionale tra due masse non dipende dal mezzo interposto, quindi non esistono schermi gravitazionali. La costante G è stata misurata da Henry Cavendish (1731-1810) nel 1798 ed è stata una delle misure più precise mai eseguite in Fisica, tanto che alla memoria dello studioso è stato intitolato a Cambridge nel 1870 uno dei più prestigiosi laboratori di Fisica del mondo.

Newton e la terza legge di Keplero Dalla legge di gravitazione universale (9.1) è possibile esprimere in forma matematica la terza legge di Keplero. Infatti, un pianeta di massa m orbitante attorno al Sole di massa ms su un'orbita circolare di raggio r è soggetto alla forza gravitazionale che è di natura centripeta, quindi si può scrivere: mms 2 G--2-=mm r, r dove m è la velocità angolare del pianeta e quindi, tenendo conto che il periodo di rivoluzione è dato da T = 21r / m , T2 =

2

~r3 Gms

(9.2)

che esprime la terza legge di Keplero e nella quale la costante di proporzionalità è detta anche costante di Keplero. La (9.2) è stata ricavata nel caso particolare delle orbite circolari, ma - con un procedimento più complesso - può essere ricavata anche per le orbite ellittiche.

L'accelerazione di gravità La legge di gravitazione universale consente una valutazione dell'accelerazione di gravità terrestre: la forza con cui un oggetto di massa m è attratto verso il centro della Terra, se mT è la massa della Terra, non è altro che il peso m g dell'oggetto, quindi possiamo scrivere. mmT

G--=mg, 2 rT

da cui

GmT g=--2-'

rT

(9.3)

che si calcola facilmente conoscendo il raggio terrestre rT = 6,36· 106 m e la massa terrestre mT = 5,98· 1024 kg.

110

9 Gravitazione

Infatti

Gm 6,67.10- 11 .5,98.10 24 g - - -T (6,36.106f

- ri -

m

9,76 2 , s

in ottimo accordo con il valore comunemente accettato per g. Facciamo notare che la (9.3) vale per oggetti sulla superficie terrestre; per un oggetto posto a quota h al di sopra della superficie terrestre, basta sostituire nella

(9.3) (rT + h)2 ad

ri ' ovvero

(9.4)

Campo gravitazionale La (9.1) afferma che tra due masse si esercita sempre una forza attrattiva purché non si trovino a distanza infinita una dall'altra. Ma cosa accade nelle vicinanze di una sola massa M isolata nello spazio? Per chiarirci le idee si introduce una grandezza vettoriale chiamata intensità di campo gravitazionale H (o semplicemente campo gravitazionale), definita come la forza agente sull'unità di massa; per esprimere matematicamente tale grandezza, si deve trovare un'espressione nella quale compare solo la massa che genera il campo e non quella sulla quale il campo agisce. In presenza di due masse M ed m poste a distanza r la forza gravitazionale agente è mM F=G-2- , r

mentre la forza agente sulla massa unitaria è (9.5) che rappresenta il campo generato dalla massa M in un punto a distanza r dal suo centro di massa. La (9.5) si scrive in forma vettori aIe M H=-G 3 r, r

dove il segno negativo indica che l'azione su una massa m che dovesse trovarsi alla distanza r da M è attrattiva, come indica il verso delle linee di campo con cui esso viene rappresentato nella figura 9.1. Il concetto di campo è importantissimo in Fisica, in quanto consente di descrivere la situazione creata attorno all'ente del campo indipendentemente dalla presenza di un altro ente nelle vicinanze.

Campo gravitazionale

III

Fig. 9.1.

È importante stabilire un particolare significato del campo H. Quando la forza F tra due masse coincide col peso, possiamo scrivere che

da cui (9.6)

ovvero l'accelerazione di gravità terrestre della (9.4) coincide con il campo gravitazionale terrestre. Questo sulla superficie terrestre o al di fuori di essa. Ma come si comporta H all'interno della Terra? È necessario avanzare alcune ipotesi semplificatrici: prima di tutto che la Terra sia sferica e che sia omogenea a strati, un po' come una cipolla non totalmente omogenea, ma omogenea soltanto nei singoli strati di cui è fatta. Un oggetto a distanza r dal centro della Terra sentirà l'azione attrattiva della sola parte di Terra al di sotto di esso, in quanto le due azioni attrattive del guscio esterno si compensano annullandosi (Fig. 9.2).

Fig. 9.2.

Possiamo allora, indicando con gi e con mi la gravità e la massa interne, scrivere

mm.

4 3 m'-nr p

r2

r2

mg = G __ = G 1

l

3

4 -Gnprm 3

e quindi gi =

4 3

-Gnpr.

(9.7)

112

9 Gravitazione

Il campo gravitazionale terrestre all'interno della Terra è quindi direttamente proporzionale alla distanza dal centro secondo la (9.7), mentre quello esterno diminuisce col quadrato della distanza dal centro, secondo la (9.6) (Fig. 9.3). g

Fig. 9.3.

Energia potenziale gravitazionale La forza gravitazionale è conservativa: per verificarlo basta scrivere con la (9.1) le componenti della forza secondo i tre assi e verificare che le derivate in croce di Schwartz sono uguali; si ha infatti F =-G x

F =-G y

F =-G z

(2 2 2)3/2 X +y +z

m I m2

x

(2 2 2)3/2 X +y +z

m I m2

y

mI m2

z

(2 2 2)3/2 X +y +z

le cui derivate parziali in croce sono uguali per ragioni di simmetria. Se quindi la forza gravitazionale è conservativa, essa ammette un'energia potenziale; per il teorema dell'energia potenziale del Capitolo 4, possiamo scrivere in forma infinitesima che OL=-dU,

dove OL = F dr = -G mI ~2 dr r

e quindi

Energia totale gravitazionale

113

La variazione di energia potenziale quando una massa mI passa dalla distanza r I alla distanza r2 da una seconda massa m2 , sarà quindi espressa da (9.8) I1U=U z -U j = r2Gmj~Zdr=_Gmlmz +G mjm2 , TI r rz rj per cui possiamo concludere che il sistema di due masse mI ed m2 poste a distanza r possiede un' energia potenziale

U = -G mjmZ + costante. r

Il valore della costante si determina facilmente pensando che quando le due masse si trovano a distanza infinita, la forza gravitazionale tra esse è nulla e quindi sarà tale anche l'energia potenziale gravitazionale. Ma qual è il significato dell'energia potenziale gravitazionale? Per vederlo, riscriviamo la (9.8) nel caso in cui r2 sia infinitamente grande, ottenendo (9.9) Possiamo dare il seguente enunciato: L'energia potenziale gravitazionale di un sistema di due masse poste a distanza r è il lavoro che devono compiere le forze gravitazionali per portare le due masse a distanza infinita: U=_G

mjmZ r

=Lr---1-

OO •

(9.10)

Il fatto che tale lavoro sia negativo come appare dalla (9.1 O) indica che per allontanare le due masse a distanza infinita si deve compiere un lavoro contro le forze del campo, notoriamente attrattive. In altre parole, il fatto che l'energia potenziale gravitazionale di un sistema di due masse sia negativa indica che si tratta di un sistema legato.

Energia totale gravitazionale Anche in un campo gravitazionale, essendo le forze agenti conservative, deve valere il principio di conservazione dell'energia, come ora verificheremo nel caso particolare di orbite circolari. Cominciamo col calcolare l'energia cinetica di una massa m in orbita circolare attorno a una massa M; si ha 1

z

1

z

K=-mv =-mm r

2

2

2

114

9 Gravitazione

da cui, per la (9.2) nella quale alla massa solare sostituiamo M, 2

1 2 2 1 4Jr 2 G M m K=-mOJ r =-m--r =---. 2 2 T2 2r

L'energia totale è data dalla somma dell'energia cinetica e di quella potenziale, perciò, per la (9.10):

E=K+U= GmM _ GmM 2r r

=_ GmM. 2r

Nel caso delle orbite circolari è evidente che E è costante, ma si può ricavare, con calcoli nettamente più complessi, che anche per le orbite ellittiche l'energia gravitazionale totale è costante.

Principi di conservazione nel moto dei pianeti Si consideri un pianeta in orbita ellittica attorno al Sole; assumendo come polo il Sole, il momento meccanico agente sul pianeta è nullo poiché la forza gravitazionale è diretta lungo la congiungente pianeta-Sole; perciò, per la seconda equazione cardinale della dinamica dei corpi rigidi, deve mantenersi costante il momento angolare del pianeta. Indicando ra e rp , va e vp distanza dal Sole e velocità del pianeta all'afelio e al perielio rispettivamente, dovrà essere e quindi

che traduce il noto risultato per cui la velocità di un pianeta in orbita ellittica è inversamente proporzionale alla sua distanza dal Sole (Fig. 9.4).

Fig. 9.4.

N.B. Per quanto riguarda invece la quantità di moto del pianeta, essa non si conserva poiché il vettore velocità cambia continuamente direzione, mentre si conserva la quantità di moto totale del sistema Sole-pianeta, essendo nullo il risultante delle forze agenti sul sistema.

Problemi

115

Unità di misura Costante di gravitazione universale N kg

Campo gravitazionale

m s2

Problemi 9.1. Calcolare a quanti chilometri dalla superficie terrestre un satellite lanciato da Terra con velocità v = l kmls dimezza la propria velocità (assumere i seguenti valori: raggio terrestre: 6,36 Mm; massa terrestre: 5,98 . 1024 kg).

Scrivendo il principio di conservazione dell'energia gravitazionale totale per il satellite, si ha

l 2 Gm mT 1 v 2 Gm mT -mV - - - - = - m - - - - 2

rT

2

4

rT

+h

da cui

8.6,67.10- 11 .5,98.10 24

-

3.10 6 .6,36.10 6

38,3 km.

9.2. Un satellite è detto geostazionario quando il suo periodo di rivoluzione attorno alla Terra è di 24 h. Supponendo che la sua orbita sia circolare, calcolare: a) il raggio dell'orbita, b) la velocità orbitale. Si ha T = 2rcr ,

v

ma anche, essendo la forza gravitazionale di natura centripeta

GmmT

r

quindi

-r-2-

116

9 Gravitazione

9.3. A quale distanza massima da Terra può arrivare un razzo lanciato verticalmente verso l'alto con velocità iniziale v =1800 km/h? Trascurare la resistenza dell' atmosfera e assumere per la massa e il raggio terrestre i seguenti valori: m T = 5,98 .10 24 kg, rT = 6,36· 10 6 m.

La soluzione è analoga a quella del Problema 8.33 dell'allegato CD: h = 12,7 km. 9.4. Tre masse identiche m = 20 g sono in quiete nei vertici A, B, C di un triangolo equilatero di lato 1= 40 cm. Se la massa posta in A viene lasciata libera, con quale velocità passerà dal punto medio M di BC? A

c

B

Fig. 9.5.

Applichiamo la conservazione dell'energia per la massa m nelle posizioni A ed M: Gm l

2

Gm l

2

l 2

-2--=-4--+-mv

2

v = 2) Gm = 3,66 Ilm. l s 9.5. Un satellite artificiale di massa m = 100 kg si trova in orbita circolare attorno alla Terra a una distanza dalla superficie terrestre h = 1140 km; sapendo che massa e raggio terrestri valgono mT = 5,98· 10 24 kg ed rT = 6,36· 10 6 m, calcolare: a) la velocità periferica del satellite, b) la forza centripeta agente su esso, c) il suo peso in orbita, d) la sua massa in orbita, e) l'energia totale, f) la gravità in orbita.

a) Scrivendo che la forza gravitazionale in orbita è di natura centripeta, abbiamo

J

v = G mT rT

b)

+h

= 7,29

km. s

Problemi

117

c) Il peso coincide con la forza centripeta. d) Sempre 100 kg. e)

f) m

7,1

s

2'

9.6. Ricavare l'espressione dell'energia potenziale derivante da una forza attrattiva radiale di modulo F = k/r4 •

Deve essere

v=-

f

F dr = k

f

r -4 dr = -

~3 + costante. 3r-

Per determinare la costante, basta ricordare che per r quindi anche l'energia potenziale, e sarà allora V( 00)

-t

00 la forza si annulla,

= O = costante.

Perciò

k V=--3 . 3r 9.7. Tre masse uguali m = 3 kg si trovano in quiete ai vertici di un triangolo equilatero di lato l = 60 cm. Calcolare: a) la forza gravitazionale agente su una quarta massa M = lO kg posta al centro del triangolo, b) il minimo lavoro che si deve compiere per separare a distanza infinita le quattro masse, precisando il significato dell' aggettivo "minimo" .

a) Essendo le tre masse m disposte simmetricamente attorno a M, il risultante delle tre forze è nullo. b) Tale lavoro coincide con l'opposto della somma delle energie potenziali delle 4 masse, ovvero 3Gm 2

3GMm

l

d

---+---

3Gm 2

3GMm

l

l 2 cos 30°

---+

3Gm

- - (m + 2M cos 30°) = 20,3 nJ.

l

d rappresenta la distanza tra la massa M e le masse m. Tale lavoro corrisponde alla situazione in cui le 4 masse sono in quiete (se le masse fossero ancora in moto si dovrebbe tener conto della loro energia cinetica) e a distanza infinita una dall'altra.

118

9 Gravitazione

9.8. Calcolare di quanto varia percentualmente l'accelerazione di gravità di un pianeta sferico di raggio r salendo dal livello del mare a una quota doppia del raggio del pianeta.

È

Gm go =-2-'

r

Gm g=--2 ' 4r

quindi Llg ( --1 g ) 100=-75%. -100= go go

9.9. Un pendolo semplice sulla Terra ha un periodo T = 4 s. Se lo si porta su un pianeta sferico avente raggio doppio della Terra e densità media pari a un quarto di quella terrestre, calcolare: a) 1'accelerazione di gravità di tale pianeta, b) il periodo T' del pendolo.

a) L'accelerazione di gravità di un pianeta sferico e omogeneo è

4 g = -7rG pr, 3 quindi per il nuovo pianeta sarà ,1

g =-gterra =

2

49 m , 2' s

b) Dalla formula del periodo del pendolo semplice consegue poi

T'=f2T=5,66 s.

9.10. Un pianeta di massa Mha un satellite di massa m che percorre un'orbita circolare di raggio r = 20.000 km e periodo T = 5 . 104 s. Supponendo m « M, calcolare la massa M. Se m « M, il satellite ruota attorno al centro del pianeta, altrimenti entrambi ruotano attorno al centro di massa del sistema. Nella prima ipotesi 2 GmM mw r=--2

r

Problemi

119

9.11. Se la massa della Terra raddoppiasse senza alcuna variazione del raggio, ipotizzandola sferica e omogenea, stabilire: a) la nuova durata dell' anno solare, b) la nuova accelerazione di gravità terrestre, c) la nuova distanza Terra-Sole, d) la nuova durata del mese lunare.

a) Dalla terza legge di Keplero, la durata dell'anno solare dipende solo dalla massa del Sole e non da quella del pianeta, perciò tale durata non cambia. b) La nuova accelerazione di gravità terrestre è 19,6 m/s 2 • c) La distanza Terra-Sole non cambia. d) La durata del mese lunare è data, con ovvio significato dei simboli, da T' =

27r~ GmT riL =

19 giorni 9 h.

9.12. Calcolare l'intensità del campo gravitazionale terrestre: a) a 6360 km di quota, b) a 3180 km di profondità all'interno della Terra.

a) Il campo gravitazionale terrestre esternamente alla Terra è dato da m

2,452". s b) Internamente alla Terra, a distanza r dal centro e ipotizzando la Terra sferica e omogenea di densità p = 5500 unità SI, si ha

H

mi

m

4 3

= -7r pGr = 4,88 2".

s

9.13. Sapendo che il raggio terrestre vale rT = 6360 km e supponendo che l'atmosfera terrestre sia alta h = 1000 km, calcolare la massa dell'atmosfera terrestre.

La pressione atmosferica è data dal rapporto tra la forza peso dell' atmosfera e la superficie su cui essa agisce perpendicolarmente, ovvero, indicando con gm il valor medio dell'accelerazione di gravità calcolato tra r T ed r T + h: 47rrip m- -- -

grn

47rrip

47rrihp

- l srT+ h G m T dx -

h

rT

(rT

+ x)

2

GmT

srT+ h rT

= 6,02 .10 18 kg.

dx (rT

+ x)

- 47rrip(rT +h) G mT

_--'.-'---~--'-

2

lO Termologia

Calore e temperatura sono concetti nettamente distinti. Il calore è energia di agitazione termica delle molecole, mentre la temperatura è un indice dello stato di agitazione: molecole più veloci, quindi più "agitate", necessitano di un volume maggiore e ne consegue una dilatazione termica; per tale motivo il termometro, che dovrebbe misurare la velocità delle molecole, si accontenta di misurare la dilatazione.

Leggi di dilatazione Lineare

I, = lo (l + À. t)

Superficiale

S, = So (1 + 2À. t)

Cubica

V, = Vo (1+ 3À.t)

t non è la temperatura Celsius e O non è lo zero Celsius. À. è il coefficiente di dilatazione lineare e si misura in gradi

-l. Il suo valore è diverso da solido a solido e da liquido a liquido, mentre è lo stesso per tutti i gas; esso dipende lievemente dalla temperatura per liquidi e solidi, mentre la dipendenza è molto netta per i gas.

Scale termometriche La scala Celsius sceglie come punti fissi il punto di fusione del ghiaccio e la temperatura di ebollizione dell'acqua, entrambi a pressione atmosferica. La scala Kelvin, o scala assoluta, si basa sull'esistenza di uno zero naturale delle temperature, ipotizzato da William Thomson (lord Kelvin) partendo tuttavia da una premessa errata, ovvero ritenere valide le leggi dei gas perfetti a temperature alle quali i gas sono liquefatti.

122

lO Termologia

Leggi dei gas perfetti

v = costante

Boyle

p

Gay-Lussac

p = Po (1

Charles

V = Vo (1 + a t) ,

+ a t)

dove a = 1/273,15 cC-l. a dipende dalla temperatura e non è una costante universale: a = l/T.

Propagazione del calore I meccanismi di propagazione del calore sono tre: - convezione, tipica dei fluidi; - conduzione, tipica dei solidi; - irraggiamento, tipico delle sorgenti di luce (il calore è anche onda elettromagnetica).

La conduzione è caratterizzata dalla legge di Fourier: dQ =-kA dT dx' dT

dove dQ/dt è la quantità di calore che passa nell'unità di tempo dalla faccia più calda a quella più fredda di una lastra metallica di spessore dx tra le cui facce esiste una differenza di temperatura dT; A è la superficie della lastra e k la conducibilità termica del materiale di cui è fatta. k si misura in W/Cm K) Il thermos, o vaso Dewar, o calorimetro è lo strumento nel quale sono presenti contemporaneamente i tre meccanismi.

Calore specifico

c=~ mAt

ovvero la quantità di calore che deve scambiare la massa unitaria di una sostanza per variare la propria temperatura di 1 grado. Unità SI: J/(kg K) Unità cgs: cal/(g 0c)

Equilibrio tennico di miscele

123

Dall'esperimento del mulinello di Joule risulta che l cal = 4,186 J, dove la caloria è la quantità di calore che si deve fornire a l g di acqua distillata per portarne la temperatura da 14,5°C a 15,5°C.

Capacità termica C=mc=!2....

!:it '

ovvero è la quantità di calore che deve scambiare un corpo per variare la propria temperatura di l grado (Celsius o Kelvin). . Si noti che mentre il calore specifico è caratteristico di una sostanza ed è indipendente dalla massa, la capacità termica è strettamente legata alla massa del corpo. Unità SI: J/K Unità cgs: carrC

Sorgente di calore È un qualsiasi corpo in grado di scambiare indefinitamente calore senza variare la propria temperatura. Dovendo essere !:it = O, dovrà essere infinitamente grande la capacità termica della sorgente, quindi, essendo limitato il valore di c, dovrà essere infinitamente grande la massa della sorgente. Questo spiega perché nelle regioni dei grandi laghi, dei grandi fiumi e nelle regioni costiere le variazioni climatiche avvengono in modo molto lento: la presenza di grandi masse d'acqua garantisce una variazione di temperatura pressoché nulla, quindi un clima temperato. Il Sole, avendo una enorme massa, è una sorgente di calore, mentre il fiammifero non lo è.

Equilibrio termico di miscele Si consideri una miscela formata da diverse sostanze di massa mI' m2, ... calori specifici C h C2, .,. e temperature t h t2 ••• Se mescoliamo il tutto in un calorimetro per evitare dispersioni di calore durante il miscelamento, si raggiungerà una temperatura di equilibrio teq data da

124

10 Termologia

mentre il calore specifico della miscela sarà

mlcl + m2 c2 + .... c = --'-'----"--"--mI +m2 + ....

Cambiamenti di stato Fusione e solidificazione: riguardano rispettivamente il passaggio dallo stato solido a quello liquido o viceversa. Vaporizzazione: comprende due diversi meccanismi: l'evaporazione, che avviene a qualsiasi temperatura, e l'ebollizione, che avviene a una ben definita temperatura. Liquefazione: è il passaggio dallo stato di gas a quello liquido. Condensazione: è il passaggio dallo stato di vapore a quello liquido. Sublimazione diretta: è il passaggio diretto dallo stato solido a quello di vapore. Ne sono esempi tutte le sostanze a elevata tensione di vapore, ovvero molto volatili, quali lo iodio, la naftalina, l'acqua nella formazione della rugiada. Sublimazione inversa: è il passaggio diretto dallo stato di vapore a quello solido; ne è un esempio la formazione della brina.

Calore latente Nei cambiamenti di stato si osserva che, una volta raggiunta la temperatura del cambiamento di stato, pur continuando a fornire (o a sottrarre) calore la temperatura della sostanza non cambia più fino a quando tutta la sostanza ha cambiato stato. Tale quantità di calore che, pur scambiata, non provoca variazioni di temperatura viene detta calore latente ed è definita come la quantità di calore che deve scambiare l'unità di massa di una sostanza, una volta portata alla esatta temperatura del cambiamento di stato, perché questo possa avvenire. Nel SI si misura in J/kg.

Vapore saturo Prende questo nome un vapore in equilibrio con il proprio liquido che esercita su esso la massima pressione compatibile alla temperatura cui si trova il liquido. Quando un vapore è saturo, per ogni molecola di liquido che passa allo stato di vapore, un'altra passa dallo stato di vapore a quello liquido. La pressione esercitata dal vapore saturo sul proprio liquido viene detta tensione di vapore. Essa dipende fortemente dalla temperatura; nel caso dell'acqua a 100°C la tensione di vapore è di 760 mmHg, mentre a O °C è di 4,58 mmHg.

Unità di misura

125

Dipendenza della temperatura dei cambiamenti di stato dalla pressione esterna

Legge di Clausius-Clapeyron

dove c è il calore latente del cambiamento di stato, T la temperatura a cui esso avviene a pressione atmosferica, dT la variazione di temperatura del cambiamento dovuta a una variazione di pressione esterna dp, vf e Vi i volumi specifici della fase finale e di quella iniziale. Il volume specifico è il reciproco della densità.

Applicazioni 1. Ci siamo mai chiesti per quale motivo gli sci da fondo sono più stretti di quelli da discesa? Il discesista sfrutta la gravità per scendere, mentre il fondista normalmente deve procedere in piano, quindi è opportuna la riduzione degli attriti e necessita quindi di acqua per la lubrificazione degli sci da fondo; in base alla legge di Clausius-Clapeyron, se il peso del fondista viene applicato su una superficie minore la pressione esercitata sarà maggiore; essendo inoltre la neve meno densa dell' acqua, il volume specifico della fase finale (acqua) sarà minore di quello della fase iniziale (neve) e il termine dp/dT sarà negativo, quindi si avrà una diminuzione della temperatura di fusione della neve che potrà fondere anche se si trova al di sotto di O °C producendo acqua per la lubrificazione. 2. Per lo stesso motivo, si può facilmente dimostrare che l'oro solidificando si contrae, mentre l'argento si dilata e quindi non si possono produrre oggetti d'oro con lo stampo, ma solo con la tecnica del conio o con la lavorazione a mano, mentre con l'argento la cosa è possibile.

Unità di misura Coefficiente di dilatazione termica

gradi alla meno uno (OC- 1, K- 1)

Flusso termico

watt (W)

Conducibilità termica

watt al metro kelvin (W/m K)

126

lO Termologia

Calore specifico

joule al kilogrammo (kelvin J/kg K) calorie al grammo grado (cal/g 0c) Jl cal = 4186kgK g °C

Capacità termica

joule al kelvin

(~)

calorie al grado Celsius (

~~)

l cal = 4,186J

°C Calore latente

K

joule al kilogrammo (:g)

g

o al grammo (cal) calone l cal =4186~ g kg

Problemi 10.1. Un barometro è munito di una scala graduata in ottone; alla temperatura tI = 27°C l'altezza della colonna di mercurio Ietta sulla scala è hl = 751,3 mmo Calcolarne l'altezza a to = O °C, sapendo che il coefficiente di dilatazione lineare dell' ottone è IL = 1,9 o10-5 OCr, mentre quello del mercurio è y = 1,82 o10-4 °CI o

Applicando la legge di dilatazione lineare: hl = ho [ 1+ t l ( Y - À) ] , h = o

hl [1+t l (y-À)]

748 O

, mmo

10.2. L'acqua di uno stagno (densità p = 10 3 unità SI) si trova a temperatura tI = O °C, mentre la temperatura esterna dell'aria è t 2 = -14°C. Quale spessore di ghiaccio si forma nell'intervallo T = 24 h contato a partire dall'istante in cui l'acqua comincia a solidificare? La conducibilità termica del ghiaccio è k = 2,1 unità SI, il calore di fusione del ghiaccio è Cf = 80 cal/go

Problemi

127

Applicando la legge di Fourier, la quantità di calore che l'acqua deve cedere all'aria per solidificare è

Q =m

Cf

=P A x Cf'

dove x è lo spessore e A la superficie della lastra di ghiaccio. Ma deve anche essere

Q = -kAT !1t x

con !1t = t2 - tI; ne consegue che

x=

8,7 cm.

10.3. Mescolando in un calorimetro 8,0 g di limatura di ferro (Cl = 0,12 cal /(g 0c) e 12,0 g di limatura di alluminio (c 2 = 0,21 cal / (g 0C» alla stessa temperatura, qual è il calore specifico della miscela ottenuta?

Dobbiamo applicare la formula della media ponderata c = _m....!l_cI'-.+_m....!2:....c;,..2 mI +m2

8·0,12+12·0,21 20

10.4. Un chiodo di massa m = lO g inizialmente in quiete si muove lungo l'asse x spinto da una forza F = O,02 t in unità SI. Dopo t = lO s il chiodo incontra un blocco di ghiaccio a O°C e vi penetra fermandosi in esso. Calcolare la massa di ghiaccio fusa, se la pressione esterna è 1,0 atm e il calore di fusione del ghiaccio è Cf = 80 cal/g.

f

lOS

Il chiodo esercita sul ghiaccio un impulso l = o

F dt e cede tutta la sua energia

cinetica trasformandola in calore per fondere il ghiaccio. L'impulso ceduto è pari alla variazione di quantità di moto del chiodo l = !1q = m v. Essendo

m

si ha

v2

hCf g

m2 v 2

12

=m-=--=-= 2 2m 2m

rlOs J2 [)0 F dt 2m

,

128

10 Termo1ogia

10.5. Un cilindro di ottone di sezione S = 20 cm2 contiene un volume VI = 200 cm3 di glicerina compressa da un pistone di peso P = 600 N. Trascurando la dilatazione termica dell' ottone, se si riscalda il cilindro da tI = 60°C a t 2 = 160°C, calcolare: a) l'aumento di volume dV della glicerina, il cui coefficiente di dilatazione cubica è y= 5,3 . 10-4 °el , b) il lavoro compiuto dalla glicerina sul pistone, c) la quantità di calore assorbita dalla glicerina, se la sua densità è p = 1260 unità SI e il suo calore specifico c = 0,5 cal/(g°C).

a) Dobbiamo applicare due volte la legge di dilatazione cubica nelle forme 1 + yt V2 = Vo (1+yt 2 )= Vj - - 2, 1+ytj

da cui

AV=V_lT=~y(t2-tj) 2 VI

ti

3 1027 ' cm,

1+yt l

b)

P L = pdV = -dV = 3,08 J. S c)

Q=mcdt=pVcdt=1,26.10 3 ·2.1O-4·0,5·4,186·10 3 .10 2 = 52,7kJ.

10.6. Due oggetti isolati mobili nella stessa direzione e nello stesso verso si urtano procedendo uniti dopo l'urto. Le masse, le temperature, le velocità e i calori specifici dei due oggetti sono: mI = 2,0 kg, m 2 = 4,0 kg, tI = 20°C, t2 = 24°C, VI = 50 m/s, v2 = 80 m/s, Cl = 1,0 cal/(g 0C), c 2 = 0,2 cal/(g 0C). Supponendo nullo il lavoro di deformazione e trascurando qualsiasi dispersione di calore, calcolare la temperatura finale dell' oggetto risultante.

Trattandosi di urto totalmente anelastico, tutta l'energia cinetica iniziale si trasforma in calore fino a raggiungere la temperatura di equilibrio to, cioè m]v] +m2v2 V

= (m] +m2)V,

= mjv j +m2v 2

,

(mj + m2)

1 2 1 2 1 2 Q=-mjv j +-m2v 2 --(mj +m2)V = 2 2 2

Problemi

129

ma deve essere anche

per cui, dopo qualche laborioso passaggio, si ricava:

21,1°C.

10.7. Calcolare la velocità che deve avere un proiettile di piombo (c = 0,3 cal/g 0c) per poter fondere urtando anelasticamente una lastra di acciaio. La temperatura del proiettile è tI = 27°C, quella di fusione del piombo è tf = 327°C e il calore di fusione del piombo è Cf = 5 cal/g.

Basta imporre che l'energia cinetica del proiettile viene totalmente in calore, in parte per portare il proiettile a 327°C, in parte per fonderlo:

1 2

2

- mv = m(cf..t + cf), v=

~2(cf..t + cf) = --12(0,3·300 + 5)·4186 = 892 m . s

10.8. Qual è il calore specifico di un oggetto di massa m = 2 kg che inizialmente alla temperatura to = 350°C, immerso in 1 l di acqua a tI =20°C ne fa innalzare la temperatura a t2 = 50°C? Basta scrivere che la somma algebrica delle quantità di calore scambiate dall'oggetto (cessione) e dall'acqua (assorbimento) è nulla, ipotizzando ovviamente che il tutto avvenga in un calorimetro la cui massa equivalente sia trascurabile. Ovvero, indicando con M la massa d'acqua (l kg), m x (t2 - to ) + M C (t2 -

tI)

= O,

da cui l . 1 . 30 2.300

= O 05 '

cal g °C

10.9. Ricavare la relazione tra il calore specifico c riferito all'unità di massa e quello molare c'.

130

lO Termo1ogia

Basta ricordare le due rispettive definizioni:

8Q

c=--

mdt

e

8Q

c'=--; ndt

essendo poi n = m/M, con M peso molecolare della sostanza in esame, risulta c' = M c.

Il Teoria cinetica dei gas perfetti

Si basa su un modello astratto costruito con le seguenti ipotesi: - molecole tutte identiche e puntiformi, quindi prive di volume proprio; - molecole non interagenti (forze di coesione nulle) se non per urti di natura elastica; - gas rarefatto e a temperatura sufficientemente lontana da quella di liquefazione.

Nomenclatura Nomenclatura

Unità SI

p

pressione

Pa

V

volume

M3

p

densità

kg/m 3

n

numero di moli

mol

M

peso molecolare

kg/mol

:M=nM

massa totale del gas

kg

m

massa di una molecola

kg

R

costante universale dei gas perfetti

l/mol K

No N

numero di Avogadro

mOrI

k

= R/No

numero totale di molecole

l/K

costante di Boltzmann

f

numero di gradi di libertà

U

energia interna di un gas perfetto

l

Clausius, riprendendo un primo tentativo di Bernoulli, di un secolo prima, di calcolare la pressione esercitata da un gas sulle pareti del recipiente in cui il gas è contenuto, ricava per tale pressione l'espressione (legge di Joule-Clausius)

132

Il Teoria cinetica dei gas perfetti

dove vqm è la velocità quadratica media, definita come la radice quadrata della media aritmetica dei quadrati delle velocità delle singole molecole, cioè

Dall'equazione di stato dei gas perfetti di Clapeyronp V = n R T, si ricava

da cui la definizione cinetica della temperatura 2 MV qm

T=-3R '

relazione che permette di raggiungere l'obiettivo di partenza della teoria cinetica, ovvero esprimere la temperatura in funzione della velocità media delle molecole. La teoria cinetica definisce energia interna di un gas perfetto la somma delle energie cinetiche delle singole molecole che lo costituiscono N

U

N

N

2

=..i..J ~ ! mv 2 = m ~ v 2 = mN ~ ~ =! Mv2 2 2..i..J 2..i..J N 2 qm ' i=1

l

i=1

l

i=1

dove M è la massa totale di gas; tale relazione permette di trattare un gas perfetto alla stregua di un corpo rigido con velocità del centro di massa corrispondente alla velocità quadratica media delle molecole. Inserendo nella precedente uguaglianza l'espressione di vqm ricavata sopra, si ottiene 3

U=-nRT 2

energia interna totale del gas

U=~RT

energia interna di 1 mol di gas

U=~kT

energia cinetica media di una molecola

2

2

Boltzmann, esaminando l'ultima formula e tenendo conto che le molecole del modello di gas perfetto, essendo puntiformi, devono essere necessariamente monoatomiche, quindi individuabili da tre coordinate indipendenti, definÌ grado di libertà ogni coordinata indipendente che consenta di individuare la posizione di una molecola; avanzò poi l'ipotesi che a ogni grado di libertà corrispondesse una quantità di energia interna media di una molecola pari a kT/2. In tal modo, dato che le molecole biatomiche hanno 5 gradi di libertà e quelle poliatomiche ne hanno 6, avrebbe dovuto risultare

Distribuzione delle velocità molecolari

V monoatomica =

133

3

"2 k T,

5

V biatomica =

"2 k T,

V poliatomica

= 3 k T.

Principio di equipartizione dell'energia La correttezza dell'ipotesi di Boltzmann, detta principIO di equipartiZIOne dell' energia, venne in seguito confermata da accurate misure dei calori specifici dei gas perfetti.

Distribuzione delle velocità molecolari secondo Maxwell-Boltzmann Maxwell e Boltzmann indagarono come erano distribuite le velocità delle molecole, dato che vqm era soltanto un valor medio, quindi una parte delle molecole aveva un valore superiore a vqm , una parte inferiore. I risultati delle loro ricerche sono riassunti nel grafico seguente, dove in ordinate è riportata la quantità dN/dv, cioè il numero di molecole con velocità comprese tra v e v + dv, mentre in ascisse è riportato il valore della velocità. dN dv

o

vp Fig. 11.1

La curva che ne risulta si estende da O all'infinito, è del tutto asimmetrica rispetto all'ascissa del massimo, che rappresenta la cosiddetta velocità più probabile, data da

134

Il Teoria cinetica dei gas perfetti

vp

_~2RT

-

M'

quindi leggermente inferiore alla velocità quadratica media. L'area sotto la curva rappresenta il numero totale di molecole del gas, in base al significato dell'integrale come area e deve mantenersi costante al variare della temperatura. Questo spiega perché, aumentando la temperatura, la curva si sposta verso le velocità crescenti e si abbassa.

Unità di misura Affollamento molecolare

J

Costante di Boltzmann

K

kg

Peso molecolare

mol

Numero di Avogadro

Problemi 11.1. Calcolare il numero di molecole di azoto contenuto in un recipiente di volume V =1,O l a temperatura T = 300 K e pressione p = 10-6 mmHg.

N P V=nRT=-RT=NkT N ' o

N = p V = 3 2 . 10 13

kT

'

11.2. Calcolare la velocità quadratica media delle molecole di anidride carbonica = 2,0 atm e il cui affollamento molecolare è JV = 10 19 molecole/cm3 • (M = 44 g/mol) contenute in un recipiente a p

v

qm

~ ~ 3RT ~ M

J

3p V nM

~

J3" ~ JJV V

~M

No

3p No M

~ 910 6

m

's

Problemi

135

11.3. :M = 12 g di un gas perfetto triatomico a T = 1000 K hanno un'energia interna U = 16,6 kJ. Calcolare il peso molecolare M del gas.

:M

U = 3nRT = 3-RT, M

da cui M

3511 RT

18

U

g

mol

11.4. n =1 mol di gas ideale biatomico ha energia interna di U = 6,23 kJ. Se la velocità quadratica media delle molecole del gas è, alla stessa temperatura, vqm = 1,5 kmJs, calcolare la massa m di una molecola. Indicando con :M la massa totale di gas, con N il numero di molecole, con No il numero di Avogadro e con M il peso molecolare si ha: 511

511

M

N

nNo

No

m==-=--=-,

ma

U=~RT 2

e

v qm

= ~3RT M'

perciò

e

5,52 .1O-27 kg.

11.5. Un recipiente cilindrico di sezione S = 200 cm2 munito di un pistone di massa m = 3,0 kg contiene ossigeno, il cui raggio molecolare è r = 0,18 nm. Se la velocità quadrati ca media delle molecole è vqm = l km/s, calcolare il cammino libero medio secondo Clausius, Ac.

Clausius valutò che il cammino libero medio di una molecola è dato da

dove JV è l'affollamento molecolare del gas, cioè il numero di molecole per unità di volume. Tenendo conto della legge dei gas perfetti nella formapV = N k T, si ha

136

Il Teoria cinetica dei gas perfetti

3 Àc = 16n r 2 5V

3V 16n r 2 N

3kT 16n r 2 p

3kT S 16n r 2 m g'

essendo però

3RT M'

risulta, dopo qualche passaggio: 22,2/lm.

11.6. In un recipiente a pareti rigide adiatermane inizialmente vuoto viene introdotto un gas ideale di peso molecolare M = 4 g/molle cui molecole hanno tutte la stessa velocità v = 2 km/s. Calcolare la temperatura del gas una volta raggiunto l'equilibrio termico.

2

Mv T=~=6418K.

3R

'

11.7. Calcolare l'energia cinetica traslazionale di una mole di ammoniaca NH 3 ideale alla temperatura di 300 K.

Pur essendo la molecola di ammoniaca dotata di 6 gradi di libertà, all'energia traslazionale contribuiscono solo 3 gradi di libertà, perciò

U=~RT=3,74kJ. 2

11.8. Un gas perfetto è una miscela di due gas, uno dei quali ha molecole di raggio r} = 2 .10-8 cm; il cammino libero medio delle molecole del primo gas è À} = 2.10-5 cm, mentre quello delle molecole del secondo, nelle stesse condizioni di temperatura e pressione, è À.z = 8 . 10-5 cm. Calcolare a quale distanza devono trovarsi i centri di due molecole della miscela perché possa aver luogo un urto nei seguenti casi: a) le due molecole sono del primo gas, b) le due molecole appartengono al secondo gas, c) le due molecole appartengono una al primo e una al secondo gas.

Il cammino libero medio di una molecola in un gas è inversamente proporzionale al quadrato del raggio, quindi T

2

= r,1

jE _I

..1.,

2

= 1·10 Scm •

Problemi

137

La distanza di interazione è la somma dei raggi di due molecole interagenti, perciò a) 2rt = 0,4 nm,

b) 2r2

{

= 0,2 nm,

c) lì +r2 =0,3nm.

11.9. Un uomo ha un volume V = 80 1. Calcolare in unità SI la spinta di Archimede agente sull'uomo in aria a temperatura t = 20°C e pressione p = l atm, sapendo che il peso molecolare dell'aria, considerata gas perfetto, è M = 29 g/mol.

È un problema basato sul corretto impiego delle unità di misura. La spinta di Archimede vale 5

- pM -_ FA -- pV gRT

1,01·10 Pa·29·10

-3

J

m kg -23 -·8·10 m .9,8 2 mol s

8 31--.293 15K 'molK '

0,94N.

12 Primo principio della termodinamica

Chiamiamo sistema l'oggetto delle nostre indagini per quanto riguarda le trasformazioni subite, gli scambi di calore, il compimento di lavoro, mentre chiamiamo ambiente esterno tutto ciò che non fa parte del sistema e con esso interagisce. L'insieme del sistema e dell'ambiente esterno è l'universo termodinamico. Un sistema che non può avere scambi di calore con l'esterno si dice isolato termicamente. L'universo termodinamico, non essendovi nulla con cui scambiare calore, è per definizione un sistema isolato termicamente. Le trasformazioni termodinamiche vengono generalmente descritte mediante le tre grandezze p, Ve T e rappresentate nel piano di Clapeyron (p, V) dato che per qualsiasi sistema termodinamico vale un' equazione di stato del tipo f (p, V, T) = O

e quindi un punto del piano (p, V) rappresenta univocamente uno stato del sistema in quanto, note p e V, dall'equazione di stato si ricava subito T. Esistono altre grandezze rappresentative, in generale chiamate coordinate termodinamiche macroscopiche; i criteri cui devono soddisfare due coordinate per poter rappresentare significativamente una trasformazione sono essenzialmente due: a) essere entrambe funzioni di stato; b) essere indipendenti una dall'altra.

Carattere di una trasformazione Una trasformazione che avviene in equilibrio termodinamico è detta reversibile; si intende per equilibrio termodinamico la coesistenza di tre tipi di equilibrio: a) equilibrio meccanico, si ha quando il risultante delle forze agenti reciprocamente tra il sistema e l'ambiente è nullo o al più infinitamente piccolo; b) equilibrio termico, si ha quando la differenza di temperatura tra il sistema e le sorgenti di calore è nulla o al più infinitamente piccola; c) equilibrio chimico, si ha quando il sistema durante la trasformazione mantiene costante la composizione, la concentrazione, il numero di moli e non subisce alcuna reazione chimica.

140

12 Primo principio della termodinamica

Se una trasformazione avviene in equilibrio termodinamico, siamo in grado di conoscere le coordinate termodinamiche rappresentative in ogni suo stato, quindi siamo in grado di percorrere a ritroso la trasformazione fino allo stato di partenza A attraversando al ritorno tutti gli stessi stati dell'andata. Una trasformazione che non avviene in equilibrio termodinamico è detta irreversibile. La principale causa di irreversibilità dei processi termodinamici è la presenza di attriti, sia interni nei fluidi (viscosità), sia di scorrimento, per esempio, di pistoni nei cilindri. La reversibilità o irreversibilità di un processo individua il carattere dello stesso. Tutti i processi spontanei che avvengono in natura sono irreversibili, ma possono a volte essere trasformati in reversibili se eseguiti in modo estremamente lento. Una trasformazione reversibile non lascia nell'ambiente esterno alcuna traccia e una volta riportato il sistema nello stato di partenza, dove per traccia si intende o la liberazione di calore o il compimento di lavoro. p

reversibile

.'

.. . ..

"

B

A

irreversibile

v

o Fig. 12.1. Trasformazioni reversibili e irreversibi1i

Una trasformazione reversibile viene rappresentata nel piano (p, V) con una linea continua che costituisce il profilo della trasformazione, mentre una trasformazione irreversibile tra uno stato A e uno stato B viene indicata con una linea punteggiata che collega i due stati, come in figura 12.1.

Lavoro di espansione Quando in un processo termodinamico un sistema subisce un'espansione o una compressione, esso compie sull'ambiente esterno o riceve da esso un lavoro detto lavoro di espansione che risulta dato da 8 L = Pext dV L=

Il

Pext dV

(nei processi infinitesimi) (nei processi finiti)

Lavoro di espansione

141

dove Pext è la pressione esterna agente sul sistema, dV è la variazione di volume infinitesima ed Ila linea lungo la quale avviene la trasformazione, ovvero il profilo della trasformazione. Per l'interpretazione di integrale come area, nel piano (p, V) l'area compresa sotto il profilo e delimitata dall'asse Ve dalle due verticali condotte per gli stati estremi della trasformazione rappresenta il lavoro scambiato dal sistema. Il lavoro sarà positivo per le espansioni, negativo per le compressioni: nel primo caso il sistema compie lavoro sull'ambiente esterno, nel secondo è l'ambiente a compiere lavoro sul sistema. p

o

c

D

v

Fig. 12.2. Lavoro come area. L'area del trapezoide ABCD è il lavoro compiuto nella trasformazione AB diverso lungo i tre percorsi l, 11, l,.

Ne consegue che il lavoro compiuto dipende sempre dal particolare profilo della trasformazione, quindi:

- il lavoro di espansione non è unaftmzione di stato; 8 L non è un differenziale esatto. Esistono in un processo termodinamico anche altri tipi di lavoro non classificabili come lavori di espansione: per esempio il lavoro compiuto per mettere in moto le cariche nel circuito di una pila o il lavoro compiuto dalle forze di tensione superficiale per mantenere sferica una bolla di sapone o una goccia d'acqua. Nei processi reversibili, essendo il sistema in equilibrio meccanico con l'ambiente, la pressione del sistema e quella esterna coincidono e si potrà allora scrivere

L=

Il

dV,

dove ora p è la pressione del sistema, quasi sempre calcolabile nota la natura del processo, diversamente da quanto avviene per la pressione esterna, spesso variabile in modo imprevedibile.

142

12 Primo principio della termodinamica

Nomenclatura delle trasformazioni a pressione costante

isobare

a volume costante

isovolumiche

a temperatura costante

isotermiche

a lavoro nullo

isocore

senza scambio di calore

adiabatiche

Se il lavoro è solo lavoro di espansione, isocore e isovolumiche coincidono. Abbiamo visto che il lavoro non è in generale una funzione di stato; l'esperienza insegna che anche la quantità di calore non lo è, ovvero tanto L quanto Q scambiati in un processo nel quale il sistema evolve da uno stato A a uno stato B dipendono dal profilo del processo; si è scoperto tuttavia che la differenza Q - L dipende soltanto dagli stati estremi del processo e non dal particolare profilo, suggerendo l'esistenza di una sorta di potenziale; dal momento che Q ed L sono in ultima analisi delle energie, potremo affermare che la differenza Q - L uguaglia la variazione di una nuova energia potenziale termodinamica che viene detta energia interna e indicata con U* per distinguerla dall' energia interna U dei gas perfetti introdotta in teoria cinetica. Possiamo allora scrivere che in qualsiasi processo termodinamico deve valere la relazione Q-L=!J.U*

o anche

Q = L +!J. U*, che costituisce il principio di conservazione dell' energia nei processi termodinamici ed è detto primo principio della termodinamica.

Primo principio della termodinamica Si tratta di un postulato che come tale non è dimostrabile matematicamente, ma la cui validità non può essere messa in discussione; la sua natura è prettamente deterministica. Tale principio può essere espresso con il seguente enunciato: In un processo termodinamico la quantità di calore scambiata da un sistema si trasforma parzialmente in lavoro compiuto o assorbito dal sistema e in variazione della sua energia interna.

Espansione libera di un gas perfetto

143

Le convenzioni sono: lavoro ricevuto L < O calore ceduto Q < O

lavoro compiuto L > O calore assorbito Q > O

Un esempio della validità di tale principio che vale sia per processi reversibili sia per quelli irreversibili, è costituito dal funzionamento del motore di un'auto: la benzina nella combustione fornisce calore che in parte diventa lavoro, da compiere per vincere gli attriti e per conferire energia cinetica al veicolo, in parte va in aumento di energia interna, ovvero in aumento di temperatura dei vari organi di trasmissione.

Espansione libera di un gas perfetto Joule si propose di stabilire da quali delle tre coordinate termodinamiche p, Ve T dipendesse l'energia interna U* e realizzò un memorabile esperimento (Fig. 12.3) attraverso il quale fu in grado di concludere che U* dipendeva dalla sola temperatura assoluta T del gas, ma non fu in grado di stabilire il tipo di dipendenza. T

io

"., "

"., ... ... '" "., '" '" ... ... ... ... '" lo ... ... ...... '" ... A '" '" ".. '" .I. ... '" '" A A . . . . . . . . . . . . . . . '" ... . . . . . . . . . ... ... ................ ....... ... ........... ... .... .... ... ... A ... ... ...... " ............................ " ... A ...................... A ...... A .......... ...

...... ""A ...... ...... ". ... ... " " ... " ... ......... """ ... " ... "' ''' ... ... " ... ''' ...

...

.......

... A

...

" "

...

...

......

""

...

...

...

"

"

,.,

......

............

... io

.........

...

...

...

"'

...

...

...

"

'"

...

io

".

............

...

...

...

,,

io

A"'''

......

.........

..........

.........

...

io

...

......

A

...

......

......

,.,

...

...

"'

A

...

.....................

...

...

"

...

A

...

...

'"

......

"

,.,

A

...... ...

"

......

AA

.........

...

.........

"

...

...

...

A ...

.......

...

,.,

...

.........

hAA ...

A

...

A

A

"

...

...

"

"

,.,

'"

............

...

...

A

...

... "" ............ ... ... ... ...... " ... ...... ... ... "' ... " " .... " " ... " A"'''' ''' '''

'"

~::::::::::::::::::::: ~:~:~:~ l:~:~:~i~~ ~:~;·~:Q:~ ~ l:~:~:l:~:~ ~: ...

...

... " ... " " ...... "" .........

A

......

"

...

.........

...

.........

"

...

...............

,.,

.........

A

...

"

,;,

"

...

...

.........

... "

".

.........

A

...... ... . . A

A

...

...

"

.........

............ ...

...............

""

A

'"

A

A

""

. . ...

.........

..................

'"

'" "

'*::::::::::::::::::::::~:::::::::::::::::::::::

.........

...

".,

......

......

...

A

"

........

AA

...

.........................

...

............

...

......

...

...

...

...

""

...

'" '" ... ... '" " '" . .". . . ..... . . .'". . .". . .'". . . ... h " ... '" '" '" '" '" . .". . . .". . .'". . . '" ... " ...... " '" lo '" ... " ... '" ... '"... '"lo ...... '"" '" ... '" ... " '" " '" '" '"'" '" " '" " A

...

...

...

...

.........

",,,

...

...

,,,

"''''

...

'''

............

'''

............

...

......

,,,,

...

...

Fig. 12.3. L'esperimento di Joule

In un grande calorimetro pieno d'acqua sono immerse due ampolle A e B a pareti metalliche, rigide e sottili: la prima riempita di gas, la seconda vuota; esse sono separate da un rubinetto. Joule misurò la temperatura dell'acqua mediante il termometro T, quindi aprì il rubinetto e, atteso un ragionevole tempo per lo stabilirsi dell'equilibrio termico, la rimisurò. In un primo tempo, quando la pressione del gas contenuto in A era piuttosto alta (circa 22 atm) osservò una diminuzione di temperatura, ma riprovando a minor pressione notò che al diminuire della pressione la diminuzione di temperatura era sempre minore fino ad annullarsi quando la

144

12 Primo principio della termodinamica

pressione si era ridotta a qualche decina di cmHg. In tali condizioni Joule applicò il primo principio al processo scrivendo lo in forma infinitesima Ò Q = Pext dV + dU* .

Osservò poi che Ò Q = O dal momento che se la temperatura dell'acqua non era cambiata, l'acqua non aveva scambiato calore e quindi neppure il gas con il quale era a contatto con pareti metalliche sottili, quindi perfettamente permeabili al calore. Inoltre la pressione Pext era quella nell'ampolla B, nulla essendo la stessa stata svuotata, mentre il gas non poteva compiere alcun lavoro di deformazione delle pareti, essendo queste rigide. Allora risultava che dU* = O e quindi U* era rimasta costante durante l'esperimento. Ma l'energia interna U*, come qualsiasi altra grandezza termodinamica, doveva dipendere da una o più delle coordinate termodinamiche macroscopiche p, V, T. Ma sia la pressione che il volume occupato dal gas erano cambiati durante l'esperimento, mentre la temperatura era rimasta costante, quindi U* doveva dipendere dalla sola temperatura. Nel frattempo il tedesco Mayer aveva trovato la relazione tra i calori specifici molari dei gas perfetti a pressione e a volume costante cp -

Cv =

R (relazione di Mayer).

Il primo principio della termodinamica per una trasformazione infinitesima reversibile di un gas perfetto si poteva scrivere nella forma

8 Q = p dV + dU* , perciò doveva risultare, per la stessa definizione di Cv,

Essendo però U* indipendente dal volume, si poteva scrivere dU* = n cvdT

e quindi U* = n

Cv

T + cost.

La costante di integrazione può ragionevolmente essere posta uguale a zero, in quanto allo zero assoluto il gas, secondo le previsioni di Kelvin, è "congelato", cioè non ha alcuna possibilità di movimento delle sue molecole, perciò U* = n Cv T.

Ammettendo che per un gas perfetto la U della teoria cinetica coincidesse con la U* della termodinamica, avrebbe dovuto risultare

Equazioni di Poisson

145

3R

2

U*

Cv

U

= nT = nT =

5R 2

3R. rispettivamente per gas monoatomici, biatomici e poliatomici. Le misure di Cv per vari gas confermarono pienamente tali previsioni, perciò siamo autorizzati a ritenere che 1'energia interna di un gas perfetto coincide con quella della termodinamica. D'ora in poi scriveremo il primo principio della termodinamica per un gas perfetto nella forma infinitesima

oQ = p dV + n Cv dT.

Equazioni di Poisson Utilizzando la precedente relazione con OQ = O si possono ricavare le equazioni delle trasformazioni adiabatiche reversibili di un gas perfetto: p vY = costante

= costante, pI-YTY = costante T

{

dove

Vy-I

r, detto coefficiente adiabatico, è dato da

e si può scrivere in funzione del numero dei gradi di libertà delle molecole del gas come f+2

r=-· f

La tabella seguente presenta per le più importanti trasformazioni di un gas perfetto i valori della quantità di calore, del lavoro di espansione compiuto e della variazione di energia interna, espressi in funzione delle coordinate macroscopiche degli stati iniziale finale.

146

12 Primo principio della termodinamica

Trasformazione

Q

L

Isotermica

L

n RT In (Vf / VJ

O

nc/.,T

p(Vf-V

ncv~T

Isobarica Isocora

j)

O

ncv~T

Adiabatica

O

I1U

-n

~T

Q -L

Trasformazioni politropiche Hanno, per un gas ideale, equazione

pV k = costante, dove k è un esponente reale. Al variare di k si ritrovano tutte le trasformazioni sopra elencate:

k=l

isotermiche

k=O

isobare

k=r

adiabatiche

k~oo

isovolumiche

La quantità di calore scambiata in una politropica si scrive come

Q=

ncx~t,

dove

R cx=cv+-l-k è il calore specifico politropico. Anche qui, sostituendo i vari valori di k, si ritrovano le espressioni delle quantità di calore scambiate nelle varie trasformazioni.

Unità di misura Quantità di calore

joule (J)

Lavoro

joule (J)

Energia interna

joule (J)

Pressione

pasca! (Pa)

Problemi

Volume

metri cubi (m3)

Calore specifico molare

joule (_J_) mole kelvin mol K

147

N.B. Pur trattandosi di unità non facenti parte del Sistema Internazionale, alcune addirittura fuori legge, molti Autori insistono nell'impiego della caloria e del litroatmosfera; riteniamo perciò utile riportare i relativi fattori di conversione:

Il atm = 101 J l cal = 4,186 J.

Problemi 12.1. Calcolare la variazione di energia interna di una mole di gas perfetto monoatomico se il gas si riscalda di fiT =100 K a) in una trasformazione isocorica, b) in una isobara, c) il rapporto tra le due quantità di calore necessarie.

a), b) Sia in un'isocora che in un'isobara è sempre

3 2

3 2

fiU = n Cv fiT = - R fiT = -·8,31·100 = 1,25 kJ. c)

12.2. Un gas perfetto è racchiuso in un recipiente cilindrico A nel quale può scorrere senza attrito un pistone pesante. Aprendo la valvola R, il gas si espande in un secondo recipiente B, inizialmente vuoto, fino al raggiungimento dell'equilibrio termodinamico. Supponendo che le pareti siano rigide e adiatermane e che l'espansione sia lentissima, si dica: a) se la trasformazione è o meno reversibile, b) se al termine del processo la temperatura del gas è aumentata, diminuita o è rimasta invariata.

B

Fig. 12.4.

148

12 Primo principio della termodinamica

a) Questo processo ricorda molto da vicino l'espansione libera di Joule, con la differenza che qui l'espansione è "forzata" dal peso del pistone: il gas inizialmente in A, non appena aperto il rubinetto R, espande sotto l'azione di una differenza di pressione finita, pertanto, mancando l'equilibrio meccanico, il processo è irreversibile anche se il testo, per trarre in inganno, dice che il processo è lentissimo. b) Dal primo principio della termodinamica, possiamo scrivere che !J.U = Q- L,

ma Q = O, essendo le pareti adiatermane, mentre L è il lavoro compiuto sul gas dal peso del pistone ed è quindi una quantità negativa; ne consegue che !J.U > O e quindi la temperatura del gas aumenta.

123. Un gas viene compresso in condizioni identiche dal volume VI al volume V2 , una volta rapidamente, una volta lentamente. In quale caso è maggiore il lavoro compiuto sul gas?

Il gas riceve lavoro dall'esterno, quindi il suo volume diminuisce. Quando il processo è rapido, quindi irreversibile, l'ambiente esterno deve compiere un ulteriore lavoro per vincere gli attriti, perciò nella compressione il lavoro compiuto sul gas sarà maggiore.

12.4. Se un gas perfetto pentaatomico dimezza il volume mentre quintuplica la pressione, calcolare: a) l'esponente politropico, b) il calore specifico molare.

a) Dovendo essere, per una politropica, p V k = costante, indicando con PI e VI la pressione e il volume iniziali, sarà: k VI k PI \'J = 5 PI ( - )

2

k = ln5 = 2 32. ln2 '

b) Ricordando l'espressione del calore specifico molare in una politropica: Cx

R =cv +--= 2,24 R. l-k

12.5. Un gas perfetto contenuto in un cilindro chiuso da un pistone di massa trascurabile riceve una quantità di calore Q = 400 J, mentre il pistone si sposta e il volume aumenta. La temperatura del gas resta costante e il lavoro compiuto viene

Problemi

149

utilizzato solo per sollevare una massa m = 80 kg, calcolare a quale altezza essa può essere portata.

Applicando il primo principio della termodinamica, si ha, essendo il processo isotermico: Q=L+/lU=L,

però è anche L=mgh,

quindi

h=~=~=0,51 m. mg

80·9,8

12.6. Se si comprime adiabaticamente e reversibilmente un gas ideale, esso: a) b) c) d) e)

si raffredda; diminuisce il volume; mantiene inalterata la velocità quadratica media; compie lavoro sull'esterno; mantiene costante l'energia interna.

Quali risposte cambiano e in che modo, se il processo è irreversibile?

Per il primo principio della termodinamica si ha: /lU = - L;

trattandosi però di una compressione, è L < O, quindi /lU > O, ovvero la temperatura aumenta, quindi aumenta anche la velocità quadratica media, espressa da

Allora si ha: a) b) c) d) e)

falso; vero; falso; falso; falso.

Anche per un processo irreversibile il primo principio assume la forma /lU = - L; ne consegue che le risposte sono tutte identiche; saranno però diversi in valore assoluto il lavoro e la variazione di energia interna, in quanto una parte del lavoro

150

12 Primo principio della termodinamica

verrà compiuto contro gli attriti e non solo in compressione del gas; ne consegue che la variazione di energia interna risulterà maggiore indicando un maggior aumento della temperatura finale del gas. 12.7. Un gas passa da uno stato con V) = 600 kJ a uno stato con V 2 = 200 kJ compiendo un lavoro L = 300 kJ. Calcolare la quantità di calore ricevuta dal gas nel caso di processo a) reversibile, b) irreversibile.

a) Dal primo principio, abbiamo:

Q = L + !lV = L + V 2 - V l

=300 + 200 -

600

=-

100 kJ .

Il gas non assorbe, ma cede calore. Il risultato è indipendente dalla reversibilità del processo, perché la forma del primo principio da noi utilizzata vale anche per processi irreversibili. 12.8. Un gas perfetto poliatomico espande isotermicamente da V) = 0,1 m3 a V2 = 0,3 m3 e la pressione finale è P2 = 2· 105 Pa. Calcolare: a) l'aumento di energia interna, b) il lavoro compiuto dal gas , c) la quantità di calore assorbita.

a) In un processo isotermico di un gas perfetto è sempre!lV = O. b) Il lavoro compiuto dal gas è invece dato da L

V2 V2 V2 = nRTln= P1VIln= P2V21n= 2 ·10 5 ·0,3·1n3 = 65,9 kJ. VI \'J \'J

c) Dal primo principio, essendo !lV, si ha Q = L

=65,9 kJ.

12.9. Ricavare il coefficiente di comprimibilità di un gas perfetto alla pressione P= 2 atm in una trasformazione reversibile di equazione T V 2 = costante.

Il coefficiente di comprimibilità è espresso dall'equazione k=- dV . Vdp'

differenziamo l'equazione della trasformazione data e utilizziamo l'equazione di Clapeyron in modo da ridurla in funzione delle sole coordinate termodinamiche p e V: V 2 dT + 2TV dV

= O,

V dT + 2T dV = O,

Problemi

151

con dT

pdV +V dp

nR

'

che, sostituita nella precedente relazione, fornisce:

v p dV + V dp + 2 PV = O nR

nR'

3pdV + V dp =0,

che, sostituita nella definizione di k , dà

12.10. Si dice che l'acqua è la sostanza con il più elevato calore specifico; tuttavia, esistono trasformazioni politropiche di gas perfetti nelle quali il calore specifico molare supera quello dell'acqua. Ricavare per quale minimo valore del coefficiente politropico k ciò si verifica per l'idrogeno.

Il calore specifico in una politropica vale R

c=cv +--. 1-k Per l'idrogeno, biatomico, è Cv = 5 R/2, perciò

c=~R+~= R(7-5k). 2 1- k 2(1- k) Il calore specifico molare dell' acqua è

J J cH o = 4,186-= 4,186--2 gK l -molK 18

dovrà quindi essere

R(7-5k»7535 2(1- k) " da cui

k> 0,85.

J 75,35 - - , molK

152

12 Primo principio della termodinamica

12.11. L'energia interna di un gas è data da V = a In (T/To) + b In (P/Po), dove a = 3 kJ, b = 7 kJ. Se il gas viene riscaldato da TI = 250 K a T2 = 500 K, assorbendo la quantità di calore Q = 14,33 kJ e compiendo un lavoro L = 4,56 kJ, quale sarà la variazione percentuale di pressione?

Indicati gli stati iniziali e finali rispettivamente con gli indici i ed f, abbiamo

Ma, dal primo principio, ~ A ~ ~ = aln-+bln~ A l'1V =Q-L = V f -Vi = aln-+bln--aln--bln-

To

Po

To

Po

T1

Pi

e quindi (14,33 - 4,56 - 31n 2) .10 3 7.10 3

1,09865

e

(;

)100 = 200%.

12.12. Se la pressione atmosferica cambia da PI = 983 hPa a P2 = 1003 hPa, qual è stata la variazione di energia interna dell'aria contenuta in un locale di volume V = 50 m3 ?

Considerando l'aria un gas perfetto biatomico, abbiamo l'1V

= n Cv (T2 -

T1 )

P2 V2 - P1V] = n Cv ~-"---=-'--"nR

5 2 =-V(p2-p1)=2,5·50·20·10 =250kJ. 2

12.13. Il calore specifico molare di un gas tetraatomico varia in una trasformazione secondo la legge C = (20 + 500/T ) J/(mol K). Calcolare il lavoro di l mol di gas nel riscaldamento da TI = 200 K a T2 = 544 K.

Problemi

153

Dal primo principio della termodinamica T2

L=Q-I1U=nf cdT-ncv (T2 -TI )= =

f2

T,

20 dT + 500

T,

= 20(T2

f2

dT - 3R(T2 T T TI )+ 500 In ~ - 3R(T2

-

TI ) =

-

TI) =

T,

-

TI

T

= (20 - 3R)(T2 - TI )+ 500 In ~ =

TI

-4,93·344 + 500 In2, 72 = -1696 + 500·1 = -1,2 kJ. Il fatto che il lavoro risulti negativo indica che è l'ambiente esterno a compiere lavoro sul gas durante il riscaldamento. 12.14. A parità di variazione di volume, partendo dallo stesso stato iniziale, in quale delle seguenti trasformazioni reversibili di un gas perfetto si ottiene la maggior quantità di lavoro: a) adiabatica, b) isobara, c) isotermica ?

Il problema può essere risolto in due modi differenti: dal punto di vista analitico, scrivendo e mettendo a confronto le tre espressioni del lavoro in funzione delle coordinate termodinamiche macroscopiche degli stati iniziale e finale del gas:

L ad= -I1U

=

-ncv I1T,

Lisob = pl1V, Liso! = nRT In -Yt

Vi

e i calcoli da affrontare sono molto complessi . .JI isobaIica

isotennica adiabatica

o

v

V

f

Fig. 12.5.

v

154

12 Primo principio della termodinamica

Un modo alternativo, molto più rapido, si basa sul significato di lavoro come area sottesa nel piano (p, V) tra il profilo della trasformazione e le proiezioni degli stati estremi sull'asse dei volumi. Con riferimento alla figura, si vede che l'area maggiore, quindi il maggior lavoro, compete alla trasformazione isobarica. Si tenga però presente che ciò vale unicamente nel caso di processi reversibili.

13 Secondo principio della termodinamica. Cicli. Entropia

Mentre abbiamo visto essere sempre possibile la completa trasformazione di lavoro meccanico in calore, la trasformazione inversa non è mai possibile. In questa affermazione sta il secondo principio della termodinamica, la cui natura è però probabilistica e non deterministica come il primo principio. Si può enunciare in molti modi: - per le trasformazioni aperte: non è possibile realizzare una trasformazione aperta il cui unico risultato sia la completa trasformazione di calore in lavoro (formulazione di Kelvin-Planck); - per i cicli termici: una macchina termica può funzionare solo assorbendo calore da una sorgente e cedendone una parte inferiore a una seconda sorgente più fredda della prima (formulazione di Kelvin-Planck); - per i cicli frigoriferi: non è possibile il passaggio spontaneo di calore da un corpo freddo a uno più caldo per differenza finita di temperatura (formulazione di Clausius). Il limite di trasformabilità di calore in lavoro è precisato dal rendimento di una macchina termica. Definizione universale di rendimento per una qualsiasi macchina:

1] =

prodotto della macchina alimentazione

Nel caso della macchina termica, il cui obiettivo è la parziale trasformazione di calore in lavoro meccanico e che opera assorbendo calore Qa da una sorgente calda e cedendone una parte Qc a una sorgente fredda, producendo un lavoro pari alla differenza delle due quantità di calore, L = Qa - Qc ,si ha

Il rendimento di una qualsiasi macchina termica non può mai raggiungere l'unità, o il 100%, in base al secondo principio, per il quale non può mai essere Qc = o.

156

13 Secondo principio della termodinamica. Cicli. Entropia

Macchina operante tra due temperature Viene definita in questo modo una macchina termica che riceve una data quantità di calore da una sorgente calda e ne cede una parte a una sorgente fredda. Dal momento che le due sorgenti hanno per definizione temperature costanti e uniformi, una macchina del genere, se reversibile, può operare solo con trasformazioni isotermiche e si dice che ha due soli scambi di calore. Una macchina termica può avere più scambi di calore con più sorgenti (Fig. l3.2); in tal caso si devono valutare i segni delle varie quantità di calore scambiate e sommare tutte quelle positive, ovvero assorbite dal fluido operante nella macchina e tutte quelle negative, ovvero cedute, e scrivere il rendimento nella forma

T

M

t

bi

L=Q-Q a

T

c

m

Fig. 13.1. Macchina termica operante tra due temperature

Una macchina che opera tra due sole temperature e quindi ha due soli scambi di calore lungo due isoterme, può chiudere il ciclo solo attraverso due adiabatiche; tale macchina è la macchina termica di Camot (Fig. 13.1). Un ciclo termico (L> O) è percorso in senso orario nel piano (p, V), mentre uno frigorifero (L < O) è percorso in senso antiorario (Fig. l3.3). Il rendimento di una macchina termica di Carnot si dimostra essere

dove Tm e TM sono rispettivamente la temperatura della sorgente fredda e di quella calda.

Macchina operante tra due temperature

157

p

2 scambi di calore

3

innnità di scambi

isobarica

o

v Fig. 13.2. Scambi di calore in una macchina termica

p

o

v Fig. 13.3. Ciclo termico e ciclo frigorifero

La suddetta espressione del rendimento - valida per qualunque fluido operante nella macchina - consente di ricavare la seguente relazione notevole di un ciclo di Carnot

Supponiamo di voler eseguire un ciclo di Carnot scegliendo come sorgente fredda una sorgente a O K; la relazione precedente diventa T Qc =Qa Tm =0 M

Tale risultato è in contrasto con una delle formulazioni del secondo principio secondo la quale una macchina termica può funzionare solo assorbendo una quantità di calore da una sorgente calda e cedendone obbligatoriamente una parte non nulla a una sorgente fredda. Questo vuoI dire la irraggiungibilità dello zero assoluto (terzo principio della termodinamica di Nernst).

158

13 Secondo principio della termodinamica. Cicli. Entropia

T

hl

L=Q -Q a

T

c:

tl1

Fig. 13.4. Schema di macchina frigorifera

Per le macchine frigorifere il parametro caratteristico della macchina non viene chiamato rendimento, mafattore di qualità, definito come

f

= Qst

L'

dove Qst è la quantità di calore strappata dal fluido alla sorgente fredda ed L il lavoro esterno (Fig. 13.4). Per una macchina reversibile le quantità di calore assorbite e cedute nel ciclo termico coincidono numericamente con quelle rispettivamente cedute e assorbite in quello frigorifero, perciò la quantità Qst del ciclo frigorifero coinciderà con la quantità Qc di quello termico. Si può dimostrare che per un ciclo reversibile è l f=--1

11

Tale relazione giustifica il motivo per cui f non si può chiamare rendimento, potendo essere anche maggiore dell'unità.

Teorema di Carnot Tra tutte le macchine termiche operanti tra le stesse temperature estreme, la macchina di Camot è quella dotata del massimo rendimento. Per le macchine frigorifere: tra tutte le macchine frigorifere operanti tra le stesse temperature estreme, la macchina di Camot è quella dotata del minimo fattore di qualità.

Entropia

159

Il teorema di Carnot costituisce un criterio per giudicare l'attendibilità di un ciclo termodinamico, per quei cicli cosiddetti "parlati", ovvero non rappresentati nel piano (p, V), ma dei quali si diano le quantità di calore scambiate e le temperature delle sorgenti. Un ciclo rappresentato nel piano (p, V) non richiede l'applicazione del criterio di Camot, perché è certamente attendibile.

Disuguaglianza di Clausius Per un ciclo qualsiasi nel quale vengono scambiate le n quantità di calore Qi con le n sorgenti a temperature Ti' deve essere rispettata la disuguaglianza

tQi::;o, ;=1

T[

dove il segno di uguaglianza vale solo per cicli reversibili. Se le quantità di calore scambiate sono infinitesime, la precedente relazione diventa

L'integrale si intende calcolato lungo la linea chiusa che rappresenta il profilo del ciclo. Le precedenti relazioni costituiscono un criterio di attendibilità dei cicli termodinamici più ampio di quello di Carnot; potrebbe infatti accedere che sia soddisfatto il criterio di Carnot, ma non quello di Clausius; in altre parole, il criterio di Clausius è condizione necessaria e sufficiente per l'attendibilità di un ciclo, mentre quello di Camot è solo condizione necessaria.

Entropia Viene definita una nuova funzione di stato S, la cui variazione nel passaggio di un sistema dallo stato iniziale i a quello finale f si scrive

!J.S?ff i

8Q T

,

dove il segno di uguaglianza vale nei processi reversibili, quello di disuguaglianza in quelli irreversibili. Dal momento che S è funzione di stato, la sua variazione nel passaggio di un sistema dallo stato i a quello f sarà la stessa per processi reversibili e irreversibili, pertanto possiamo calcolare la variazione di entropia di un sistema in un processo

160

13 Secondo principio della termodinamica. Cicli. Entropia

irreversibile non come limite inferiore ma come valore esatto, andando a calcolarla lungo uno o più processi reversibili che conducano il sistema dallo stato i allo stato f. Ciò vale solo per il sistema, non per l'ambiente esterno.

Formula generale per il calcolo di LiS per un gas perfetto

v:

T

/!"S = nR In -.l.. + ncv ln-.l.. ~ Ti

/!"S nei cambiamenti di stato M=mc

T'

dove m è la massa del sistema, c il calore latente del cambiamento di stato e T la temperatura del cambiamento di stato. Vi saranno casi in cui l'entropia aumenta, altri in cui diminuisce, a seconda del segno di c.

Interpretazioni dell' entropia L'entropia ha due interpretazioni principali: è un indice del grado di disordine di un sistema: un aumento di entropia indica un'evoluzione verso stati di maggior disordine; è un indice della diminuita capacità di un sistema di compiere lavoro: un aumento di entropia indica una perdita di capacità del sistema di compiere lavoro, cioè una maggior degradazione energetica, intensa come produzione di calore, non completamente recuperabile per compiere lavoro.

Entropia dell'universo Si intende per universo termodinamico l'insieme del sistema in esame e dell' ambiente esterno con cui esso può interagire. L'universo termodinamico è un sistema isolato termicamente, dato che esso non può avere alcuno scambio di calore. Dal momento che tutti i processi spontanei che hanno luogo in natura sono irreversibili, ne consegue che

Entropia

161

l'entropia dell'universo è in continuo aumento o anche che l'energia degradata nell'universo è in continuo aumento. Queste due possono essere assunte come formulazioni alternative del secondo principio; la prima di esse è dovuta a Clausius. Essendo l'entropia una grandezza scalare, possiamo scrivere in generale che LlSuniverso = LlSsistema + LlSambiente o anche

In un processo reversibile di un sistema isolato come l'universo sarà sempre aSu = O, quindi il che implica che sistema e ambiente esterno subiranno variazioni di entropia uguali e opposte. Ciò vuoi dire che se riportiamo il sistema nello stato di partenza sempre reversibilmente - la variazione di entropia complessiva al termine del processo ciclico sarà per entrambi nulla. Si suoi dire che nell'ambiente non è rimasta traccia alcuna del processo. Se invece il processo è irreversibile, l'entropia dell'universo aumenta, cioè asu > O, e sarà allora aSa>-aS s ' cioè la variazione di entropia dell'ambiente esterno è maggiore dell'opposto di quella del sistema. Riportando il sistema nello stato di partenza, la variazione di entropia dell'ambiente non sarà nulla, ma resterà nell'ambiente una traccia che in generale appare sotto forma di calore, cioè di energia degradata non più utilizzabile per compiere lavoro.

Esempi I. Nel!' espansione libera di Joule, il gas non ritornerà spontaneamente nel primo

recipiente se non con una probabilità infinitamente bassa. Per riportarcelo, dobbiamo usare un compressore che compie lavoro, la cui traccia al termine delle operazioni appare come calore liberato dal funzionamento del motore. II. Nella diffusione di due gas uno nell'altro, la separazione dei due gas, che anche qui non potrà avvenire spontaneamente, potrà essere eseguita soltanto impiegando una macchina centrifuga, il cui funzionamento lascerà una traccia ancora sotto forma di calore liberato nell'ambiente.

162

13 Secondo principio della termodinamica. Cicli. Entropia

Piano di Gibbs Adotta come coppia di coordinate macroscopiche anziché p e V, la temperatura assoluta T e l'entropia S. In tale piano l'area racchiusa dall' asse S e dal profilo di una trasformazione aperta rappresenta la quantità di calore scambiata nel processo, mentre l'area di un ciclo rappresenta ancora il lavoro scambiato dal sistema nel ciclo (Fig. 13.5).

T (K)

S (J ! K)

o

Fig. 13.5. Il piano di Gibbs

Un ciclo di Carnot reversibile nel piano (T, S) è rappresentato da un rettangolo per qualunque sistema termodinamico ed è immediato ricavare che la formula del rendimento di un ciclo di Carnot, TI

'/C

=l_Tm

T,' M

vale per qualsiasi sistema e non solo per un gas perfetto (Fig. 13.6).

o

S

l

SQ S (J ! K)

Fig. 13.6. Il ciclo di Camot nel piano di Gibbs

Il solo inconveniente di tale piano è che un punto del piano non rappresenta univocamente un solo stato del sistema, essendo l'entropia definita a meno di una costante di integrazione.

Problemi

163

Unità di misura Entropia

joule/kelvin (J/K)

Problemi 13.1. Un ciclo di profilo ellittico viene percorso in senso antiorario nel piano (p, V); calcolare la quantità di calore assorbita complessivamente nel ciclo dal

fluido operante. P (MPa)

0 . 4 I······",,····· ........·........ ·........, B 0.1 1,............ ,.......... ,...... • .... ·........::

0.6

0,2

V(l )

Fig. 13.7

La quantità di calore assorbita è data dalla differenza tra l'area del rettangolo ABCD e la semiarea dell' ellisse (ovvero dall'area sottesa dalla parte inferiore del ciclo): Qa

= 0,41· 0,25 MPa - 3,~4 ·0,21· 0,15 MPa = 100 -

47,1

= 52,9 J.

13.2. 1 mol di gas perfetto monoatomico subisce una compressione irreversibile dalla pressione Pl = 3 atm alla pressione P2 = 6 atm; se il volume finale è uguale a quello iniziale (V = 3 l), calcolare, sapendo che durante il processo vengono fornite al gas Q = 1209 J: a) il lavoro compiuto sul gas, b) la variazione di energia interna, c) la variazione di entropia del gas.

a)

b)

L

3 ( P2 V- Pl V) = Q- -V(P2 3 = Q-flU = Q--nR nR

2

3

2

flU = - V (P2 - Pl ) = 1,36 kJ. 2

Pl) = -154,5 J.

164

13 Secondo principio della termodinamica. Cicli. Entropia

c) Essendo l'entropia una funzione di stato, la sua variazione può essere calcolata lungo una trasformazione isovolumica che va dallo stato l allo stato 2, ovvero

133. Calcolare il rendimento e il fattore di qualità del ciclo reversibile eseguito da un olio combustibile indicato in figura 13.8. TK) 800 1-......... ,............................ , ,... B

600 500 1-·········,· ·····

c

D

200 1 - - -Y

o

5

Fig. 13.8

Il rendimento è dato dal rapporto tra l'area del ciclo (cioè il lavoro compiuto) e l'area sottesa dal segmento AB (cioè la quantità di calore assorbita):

13.4. l mol di gas perfetto monoatomico è contenuta in un recipiente adiatermano sigillato. Una resistenza libera calore all'interno del gas e la variazione di energia interna è /},V = 8 kJ. Calcolare la variazione di entropia del gas, sapendo che l'energia interna iniziale vale Vi = 4 kJ.

Essendo il recipiente sigillato, il volume è costante, quindi T

f M=ncvln-, Ti

ma è anche

Problemi

165

perciò

(!lU)

3 J !1S=-Rln 1 + - =13 7-. 2 Ui 'K

13.5. Un recipiente a pareti metalliche rigide e sottili è diviso in due parti diverse da un setto; nella prima vi sono n I = 2 mol, nella seconda n2 = 4 mol di gas perfetti, differenti tra loro, ma alla stessa temperatura e pressione. Calcolare la variazione di entropia del sistema dei due gas dopo aver tolto il setto.

Risulta

perciò

13.6. L'entropia di un sistema termodinamico varia con la temperatura secondo la legge S = a + b T, con b = 5 J/K 2 • Se il sistema viene portato da TI = 290 K a T2 = 310 K, quale quantità di calore assorbirà?

È Q= fTdS, ma

dS=bdT, perciò 2

T dT = b T2

2

-

2

TI = 30 kJ.

13.7. Calcolare: a) la variazione di entropia di 1 mol di gas perfetto che, espandendo isotermicamente a temperatura T = 400 K, compie un lavoro L = 800 J; b) il rapporto di espansione tra il volume finale e quello iniziale.

166

13 Secondo principio della termodinamica. Cicli. Entropia

Essendo L

V. = n R Tin -.-l. , Vi

ne deriva a)

Vf

b)

Vi

= e

L nRT

= 1,27 .

13.8. In un processo isotermico reversibile a T = 350 K, un olio compie un lavoro L = 80 J, mentre la sua energia interna aumenta di /).U = 7,5 J. Calcolare la variazione di entropia dell'olio.

Essendo un processo isotermico /).s =

Q = L + /).U T

T

87,5 = O 25 ~. 350 ' K

13.9. A quale temperatura fonde un blocco di ghiaccio compresso con un peso che lo sottopone alla pressione p = 300 atm? (densità del ghiaccio: 920 unità SI; calore di fusione: 80 caUg)

È una semplice applicazione del principio di Clausius-Clapeyron:

/).T = /).p. To (v acqua

- V ghiaccio)

Cf

7

3,03 .10 ·273,15 (_1___1_) = -2 150C. 80·4186 1000 920 '

13.10. Calcolare la variazione di entropia di 2 mol di gas perfetto poliatomico durante una trasformazione di equazione p T 2 = costante nella quale il volume del gas si dimezza.

La formula generale afferma che

Essendo però anche

Problemi

167

e tenendo conto che Vi = 2Vf , dopo qualche passaggio si ricava

e quindi l l ln-l) =2·8 31·2·ln -=-23l J t..s=nR ( In -+3·2 3 2 ' 2 K

13.11. Una macchina termica reversibile opera tra tre sorgenti alle temperature T]= 300 K, T 2 = 400 K e T 3 = 500 K, cedendo in un ciclo la quantità di calore Q] = 300 cal alla prima sorgente e assorbendo dalla terza sorgente la quantità di calore Q3 = 500 cal. Calcolare il rendimento di tale macchina.

Trattandosi di un ciclo reversibile, la disuguaglianza di Clausius impone che debba essere

ne consegue che 300 11=1--=04=40%. '/ 500 ' 13.12. Una macchina termica di Carnot compie in un ciclo un lavoro L = lO kJ. Se la massima differenza di entropia tra due punti del ciclo è !J.S = 100 J/K, qual è la differenza tra le due temperature di lavoro? T

9l

T

l

T

o

5 Fig. 13.9

2

168

13 Secondo principio della termodinamica. Cicli. Entropia

Le cose si vedono meglio nel piano di Gibbs:

L = f1S llT, llT =

~ = 100 K. IlS

13.13. Una centrale termoelettrica consuma una massa di carbone c = 1,5 t1h; se il potere calorifico del carbone è p = 32 MJ/kg e la potenza della centrale è W = 1,4 MW, calcolare il rendimento della macchina.

L

Wt

W

W

11 = - = = --= = 10,5%. Qa Qa (Qa / t) c p

14 Gas reali. Potenziali termodinamici

Equazione di van der Waals per i gas reali Per 1 mol

(p+ ~ }V-b)=RT, dove a e b sono due costanti diverse da gas a gas i cui valori sono riportati in tabella 14.1. Il termine al v 2 viene detto pressione interna o pressione di coesione, mentre il termine b rappresenta il volume proprio di una mole di gas ed è detto covolume molare. v è il volume molare, ovvero il volume occupato da 1 mol di gas: v = Vln. Per n mol

Tabella 14.1. Le costanti di van der Waals per alcuni gas Gas

a (l' atmlmol')

b (ml/mol)

31,9

Vapor d'acqua

5,80

Ammoniaca

4,17

37,1

Anidride carbonica

3,66

42,9

Argon

1,345

32,2

Azoto

1,39

39

Cloro

6,493

56,2

Elio

0,034

23,4

Idrogeno

0,244

26,6

Kripton

2,318

39,8

Neon

0,211

17,1

Ossigeno

1,38

31,8

Xenon

4,19

51

170

14 Gas reali. Potenziali terrnodinamici

Parametri critici Temperatura critica: è la temperatura Te al di sopra della quale un gas reale si comporta come perfetto. Pressione critica: è la pressione Pe al di sopra della quale un gas reale si comporta come perfetto. Volume critico: è il volume Ve al di sopra del quale un gas reale si comporta come perfetto. Tali parametri rappresentano nel piano di Clapeyron lo stato al di sotto del quale è possibile ottenere la liquefazione di un gas. Si può dimostrare che essi sono correlati alle due costanti di van der Waals dalle seguenti equazioni:

T=~ e

Ve

27 bR'

= 3b.

Energia interna dei gas reali Per 1 mol a

U = --+cvT + costante V

Per n mol

na U = --+ncvT + costante V

Effetto Joule-Kelvin È il raffreddamento di un gas reale durante un'espansione; la variazione di temperatura del gas quando espande dal volume Vi al volume Vf è data da:

Problemi

171

Dipendenza della tensione di vapore dalla temperatura _ MCeb

p(T) = Ae

dove A è una costante, del liquido.

Ceb

RT ,

il calore latente di ebollizione ed M il peso molecolare

Unità di misura Sono le stesse già illustrate per i precedenti capitoli.

Problemi 14.1. Una massa m = lO g di azoto subisce un'espansione isotermica reversibile a temperatura T = 500 K nel corso della quale la pressione si dimezza. Calcolare la variazione della funzione di Gibbs.

Dalla stessa definizione della funzione G, abbiamo

e, essendo costante la temperatura, !':.G =!':.F =!':.U - T!':.S - S!':.T =!':.U - T!':.S

=-

T !':.S.

Ma nei processi isotermici è V

!':.S = n R In -.1.

\1,' l

perciò !':.G = -nRTln lì = -nRTln2 = -!!!....RT ln2 =

P2

M

10-2

-28-.-10--....,-3 ·8,31· 500·0,693 = - 1,03 kJ. 14.2. Una certa quantità di gas biatomico perfetto viene fatta espandere reversibilmente e adiabaticamente dallo stato A (p A = 2 atm, VA = 1 l) allo stato B (VB = 3 l). Calcolare la variazione di entalpia del gas.

172

14 Gas reali. Potenziali terrnodinamici

Trattandosi di un gas biatomico, il coefficiente adiabatico vale 7/5, quindi, essendo il processo reversibile, possiamo applicare la prima equazione di Poisson, scrivendo 1 VI,4 V ,4 =PBB PAA

V PB=PA ( V;

)1,4

=2

(1'3 )1,4

=0,43atm.

Avremo allora MI = IlV + ll(pV) = nCvllT + ll(pV) = ncv (PBVB

5 2

n~PA VA ) + PBVB - PA VA =

7 2

= - (p BVB - PAVA) + PBVB - PAVA = - (p BVB - PAVA) =

= 3,5· (3 ·0,43- 2) ·101 = -251 J.

143. l mol di gas perfetto subisce un processo isotermico reversibile a temperatura T = 300 K nel corso del quale il volume raddoppia. Calcolare la variazione di energia libera del gas.

È M' = IlV - Il (T S) = IlV - T IlS - SIlT = - T IlS = - Q = - L = =

-RT ln2 = -8,31· 300·0,693 = -1,73 kJ.

14.4.1 mol di azoto (costante di van der Waals a = 1,3912 atm/moe) espande nel vuoto dal volume Vi = 1 l al volume Vf = lO I. Calcolarne la variazione di temperatura. L'espansione libera di un gas reale avviene ancora senza variazione di energia interna, ma ciò non vuoI dire che la temperatura sia rimasta costante. Infatti, essendo per un gas reale

an 2

V = ---+ncv T V

risulta IlV =

+ costante,

° -a n (1-V - -Vi1)+ n cvIlT' =

2

f

da cui, per 1 mol di gas:

(1 1)

a - - - =-6,IK. IlT=Cv Vf Vi

Problemi

173

14.5. In un processo isotermico reversibile di un gas perfetto a temperatura T = 400 K il potenziale di Gibbs subisce una variazione b.G = - 400 J. Calcolare: a) la variazione di entropia del gas e b) la quantità di calore scambiata con l'esterno.

Risulta, essendo il processo reversibile: b.G = b.U - Sb.T - Tb.S - b.(p V)= - T b.S, e quindi b.S = _ b.G = 400 = l ~ T 400 K'

Q=Tb.S=400J.

14.6. Calcolare la quantità di calore che si deve fornire a una certa quantità di ossigeno perfetto in un processo isobarico perché esso subisca un aumento di entalpia Mi = 104 J.

Ovviamente 104 J, dato che la variazione di entalpia coincide con la quantità di calore scambiata in un processo isobarico.

15 Oscillazioni e onde armoniche

Un moto armonico semplice viene anche detto moto oscillatorio; come abbiamo visto in meccanica, esso è caratterizzato dal periodo T, che è la durata di una oscillazione completa, dalla frequenza f, che è il numero di oscillazioni nell'unità di tempo, dall'ampiezza A, che è il massimo valore dell'escursione dalla posizione di equilibrio, dalla pulsazione m, data da 2;if, dalla costante di fase cp che individua l'istante in cui inizia l'oscillazione e dallafase m t +cp (Fig.15.1). x

A

-A

Fig. 15.1. Grafico orario di un moto oscillatorio: l'oscillazione b) è in anticipo di fase rispetto alla a), mentre la c) è in ritardo di fase rispetto alla a)

La legge oraria di un'oscillazione armonica lungo l'asse x è

x (t) = A cos (m t +cp ).

(15.1)

La (15.1), modificando opportunamente il valore di cp, può essere espressa in funzione del seno anziché del coseno; per esempio, in figura 15.1 l'oscillazione a) ha come legge oraria x = A sinmt, ma se la vogliamo scrivere usando il coseno scriveremo x = A cos (m t-n/2) per una nota relazione tra il seno e il coseno, quindi la costante di fase vale -n/2.

176

15 Oscillazioni e onde armoniche

A volte si usa indifferentemente il termine vibrazione al posto di "oscillazione"; in realtà si dovrebbe parlare di vibrazione quando la frequenza del moto è alta e quando si ha a che fare con oggetti vincolati in un punto, quali verghe, aste, lamine ecc.

Come nasce un'onda Un'oscillazione è limitata allo spazio nel quale si muove l'oscillatore; tuttavia, se questo è immerso in un mezzo materiale comprimibile, l'oscillazione provoca un'alternanza di compressioni e rarefazioni che si propagano con una certa velocità originando un'onda meccanica. II mezzo, perché in esso possa propagarsi un'onda, deve possedere due proprietà: inerzia ed elasticità, ovvero deve essere ponderabile, cioè avere una massa, e comprimibile.

Equazione del raggio Si chiama raggio una delle infinite direzioni nelle quali si può propagare un'onda: ma come si propaga un'onda? Un'oscillazione - abbiamo visto - è formata da un moto avanti-indietro; se il mezzo è ponderabile, esso subirà un'alternanza di compressioni e di rarefazioni e le sue particelle si muoveranno sotto l'azione di un'onda progressiva (in avanti) e di una regressiva (all'indietro). Se l'onda si propaga nella direzione dell'asse x, lo spostamento s delle particelle deI mezzo sarà espresso per le due onde da s = A sin ( w(t - -;) +

e),

onda progressiva

(I5.2a)

s = A sin ( w(t + -;) +

e) ,

onda regressiva

(l5.2b)

dove v è la velocità di propagazione dell'onda, che risulta dipendere dalla densità p del mezzo e dal suo coefficiente di comprimibilità k secondo la relazione l

v=--

JkP

(15.3)

Dalla (15.3) è evidente che un'onda sarà tanto meno veloce quanto più il mezzo è denso e comprimibile. Ciò non deve tuttavia far credere che nei gas, che sono poco densi, ma relativamente molto comprimibili, la velocità di propagazione di un'onda sia maggiore che nei solidi: infatti, mentre i gas sono mediamente 104 volte meno densi dei metalli, questi ultimi sono mediamente 10 7 volte meno comprimibili dei gas, quindi la velocità di propagazione è in essi maggiore, come si può vedere nel Problema 7.15 dell' allegato CD.

Intensità di un'onda

177

A seconda che lo spostamento s sia parallelo o perpendicolare alla direzione x parleremo di onde longitudinali o di onde trasversali. Dalle (15.2) si vede che s dipende da x e dal tempo; trattandosi di un moto periodico, un'onda sarà caratterizzata da una doppia periodicità, una temporale, descritta dal periodo T e una spaziale, descritta dalla lunghezza d'onda À ; infatti, mentre passa l'intervallo di tempo T, l'onda avanza con velocità v percorrendo una distanza v T, detta lunghezza d'onda e definita dalle relazioni seguenti À =vT

= ~ = 21W . f (ù

(15.4)

In base alla (15.4), le equazioni del raggio si potranno scrivere con un'unica relazione nel seguente modo s=

ASin[2; (vt ± x)+ e] = ASin[ 2n( ~ ± i)+ e],

(15.5)

dove il segno positivo e negativo valgono rispettivamente per l'onda regressiva e per quella progressiva.

Onde piane e onde sferiche Se il mezzo nel quale l'onda si propaga è omogeneo (densità costante) e isotropo (uguali proprietà in tutte le direzioni) e se la sorgente è puntiforme, l'onda si propaga per superfici sferiche di raggio r = v t e si dirà che il fronte d'onda è sferico. Tuttavia a grandi distanze dalla sorgente, se ci limitiamo a considerare una limitata porzione del fronte d'onda, esso ci appare piano e parleremo di onda piana. Se invece la sorgente non è puntiforme, la superficie dell'onda avrà più o meno forma simile a quella della sorgente se il mezzo è omogeneo e isotropo; se invece esso è disomogeneo o anisotropo, il fronte d'onda avrà una forma irregolare.

Intensità di un'onda Viene detta intensità di un'onda la quantità di energia En incidente normalmente all'unità di superficie nell'unità di tempo, ovvero E 1= -2l. St

(15.6)

Ciò vuoI dire che per un'onda sferica a distanza r dalla sorgente, sarà

I=~ 2

4n r t '

(15.7)

178

15 Oscillazioni e onde armoniche

che indica la dipendenza di I dall'inverso del quadrato della distanza, come illustrato dalla figura 15.2. Da tale figura si vede che a grande distanza dalla sorgente l'intensità è praticamente costante, quindi lo è anche l'ampiezza dell'onda. I

I I

o

I = costante

r

Fig. 15.2. A grande distanza dalla sorgente l'intensità di un'onda sferica è praticamente costante

In generale l'intensità, per come è definita, è proporzionale al quadrato dell'ampiezza dell'onda, essendolo l'energia di un oscillatore armonico (vedi Capitolo 4). Allora avremo che l'ampiezza A è per un'onda sferica inversamente proporzionale alla distanza r, mentre per un'onda piana è costante.

Fenomeni caratteristici delle onde I fenomeni di cui parleremo riguardano in generale le onde meccaniche e quindi le onde sonore e quelle elettromagnetiche, ma sono a seconda del tipo di onda di diversa entità. In generale tali fenomeni sono: riflessione, diffusione, rifrazione, dispersione, interferenza, diffrazione, polarizzazione.

Onde sonore Tra le varie categorie di onde meccaniche, tra le quali sono importanti le onde d'acqua e quelle sismiche, assumono particolare rilevanza le onde sonore, che vengono studiate da un ramo della fisica detto acustica. Le onde sonore sono onde la cui frequenza è compresa tra circa 16 e circa 15000 Hz che, incidendo sull' apparato ricevente dell' orecchio animale vi destano quella sensazione che chiamiamo suono. Al di sotto dei 16 Hz si hanno gli infrasuoni, mentre al di sopra dei 15000 Hz si hanno gli ultrasuoni, molto importanti per illoro elevato potere penetrante che li rendono utili in certe applicazioni della medicina, quale la ecografia. Alcuni animali hanno una particolare sensibilità per gli ultrasuoni; tra essi alcune razze canine e i pipistrelli nella cui scatola cranica esiste

Fenomeni andasi

179

un particolare apparato ricetrasmittente che consente loro di captare la presenza di ostacoli anche nel buio delle grotte dalla riflessione degli ultrasuoni emessi dalle pareti. I suoni non si propagano nel vuoto in quanto l'onda sonora per propagarsi necessita di un mezzo comprimibile; in aria a O °C la velocità di propagazione vale 332 m/s, mentre è notevolmente più elevata per l'acqua e per i metalli, dove può raggiungere anche i 5 km/s. Nei gas la velocità di un suono dipende dalla temperatura e dal peso molecolare secondo la relazione (15.8)

r

dove è il coefficiente adiabatico del gas, essendosi dimostrato che i suoni si propag;mo con un meccanismo adiabatico, ovvero senza scambi di calore con il mezzo. Tutti i suoni, di qualsiasi frequenza, si propagano con la stessa velocità nello stesso mezzo. È importante distinguere nettamente il suono dal rumore: il suono è in genere formato dalla sovrapposizione di più onde armoniche, mentre il rumore si genera quando viene superato il limite di elasticità del mezzo e produce sull'orecchio una sensazione sgradevole che può in certi casi provocare dolore all'apparato auricolare. È stata istituita una scala per la misura dell'intensità sonora soggettiva espressa in decibel (dB), i cui valori vanno da qualche decibel dello stormire delle foglie al centinaio di decibel dello scappamento di una moto o di un'auto da corsa o dei tifosi urlanti in uno stadio di calcio per arrivare alle migliaia di decibel di una vicina esplosione. Mentre un suono si propaga senza spostamento di materia, il rumore può invece provocare veri e propri spostamenti di materia, come nello spostamento d'aria associato all'esplosione di una bomba.

Fenomeni ondosi Tutti i tipi di onde sono soggetti a una serie di fenomeni che possono essere più cospicui per l'uno o per l'altro tipo di onda: la riflessione, la diffusione, la rifrazione, la dispersione, l'interferenza, la diffrazione, la polarizzazione. La riflessione è il "rimbalzo" di un raggio su una superficie liscia; detta n la normale alla superficie, detto angolo di incidenza l'angolo i formato dal raggio incidente con n e angolo di riflessione l'angolo r formato dal raggio riflesso, la riflessione è retta dalle due seguenti leggi: l) raggio incidente, raggio riflesso e normale sono complanari; 2) i = r. Nel caso delle onde sonore la riflessione origina il fenomeno dell' eco. Quando però la superficie presenta asperità, per ognuna di esse valgono ancora le due leggi,

180

15 Oscillazioni e onde armoniche

ma essendo diverse le normali nei vari punti, i raggi riflessi si sparpagliano in tutte le direzioni e il fascio incidente si apre a ventaglio, dando luogo al fenomeno della diffusione, particolarmente importante per le onde luminose. La rifrazione è il cambiamento di direzione di un raggio quando passa da un mezzo a un altro di diversa densità; per le onde sonore non è apprezzabile. La dispersione è un fenomeno per il quale la direzione del raggio rifratto cambia con la frequenza dell'onda ed è anch'esso poco importante per le onde sonore. L'interferenza avviene quando in una certa regione di spazio vengono a sovrapporsi due onde con la stessa frequenza e con differenza di fase costante (onde coerenti). Si manifesta alternativamente con un aumento (interferenza positiva) o una diminuzione (interferenza negativa) di intensità dell'onda risultante rispetto alla somma delle intensità delle singole onde interferenti. Quando le frequenze delle due onde sono invece leggermente diverse, si ha il fenomeno dei battimenti, particolarmente fastidioso in acustica musicale dove al suono della sovrapposizione delle due onde si aggiunge un secondo suono modulato che disturba l'ascolto. La diffrazione è particolarmente importante per le onde sonore; per tutte le onde si verifica allorché il fronte d'onda viene intercettato da un ostacolo le cui dimensioni sono confrontabili con la lunghezza d'onda incidente. Tutti i punti dell'ostacolo colpiti dal fronte d'onda incidente diventano sorgenti di onde sferiche coerenti elementari, il cui inviluppo (cioè la superficie tangente a tutte le nuove onde) costituisce il nuovo fronte d'onda (principio di Huygens-Fresne!). Nel caso delle onde d'acqua la diffrazione è molto evidente quando lanciamo un sasso nell'acqua di uno stagno in vicinanza di uno scoglio; si vedono i cerchi concentrici con centro del punto di impatto del sasso con l'acqua rompersi a contatto con lo scoglio per poi riformarsi perfettamente circolari al di là dello scoglio. Nel caso delle onde sonore il fatto che riesca a udire attraverso una porta aperta la voce di una persona che parla nel locale adiacente è dovuto alla diffrazione dell'onda sonora sugli stipiti della porta.

Effetto Doppler La frequenza di un suono può variare a seconda delle condizioni di moto relativo della sorgente e dell'ascoltatore. Supponiamo che la sorgente emetta onde armoniche di una sola frequenza j: se v è la velocità di propagazione, dalla relazione f = vlÀ, si deduce che la frequenza può essere interpretata come il numero di lunghezze d'onda contenuto in un tratto di lunghezza v. Se un ascoltatore è fermo nel mezzo in cui si propaga l'onda, misurerà per la sua velocità un valore ve quindi la frequenza percepita coinciderà con quellafo emessa dalla sorgente sonora. Indicando con va e Vs rispettivamente la velocità dell'ascoltatore e della sorgente, ci limitiamo a fornire in figura 15.3 i valori della frequenza f percepita dall'ascoltatore nei vari casi di moto relativo ascoltatoresorgente.

Tubi sonori. Corde vibranti Vv

O

S

181

f=fo(v+ vv)/v

V, = O

~

S

O

• v, = O

• Vo

S

O

•

•

Vv = O

O

•

~

Vv = O

v,

•

O

Vv

.

..

v,

S

•

v,

.. ..

s

O

v,

Vv

s

O

v,

Vv

vo)/v

f=fv v/(v+ v,)

1=10 v/(v - v,)

S

•

• Vo

•

v,

s

O

~

f=j~ (v -

1=lo(v - v)/(v+ v)

f =fo(v+ v) /(v+ v,;

I=fo(v + v)/(v - v)

1= l o (v - v) / (v - v,)

~ Fig. 15.3. I vari casi di effetto Doppler

Tubi sonori. Corde vibranti La presenza di forze dissipative dovute agli attriti provoca lo smorzamento delle vibrazioni che non avranno più la forma sinusoidale di un'oscillazione armonica, ma una forma smorzata come in figura 15.4.

s

Fig. 15.4. Oscillazione smorzata

182

15 Oscillazioni e onde annoniche

Perché l'oscillazione non si smorzi, si deve fornire al corpo l'energia dissipata con impulsi di intensità costante applicati periodicamente o con una forza variabile periodicamente. L'oscillazione mantiene costante la propria ampiezza e viene detta oscillazione forzata. Ogni oscillatore ha una frequenza propria di oscillazione che dipende dalla massa e dalla rigidità del corpo. In particolare i tubi sonori (quali le canne d'organo) e le corde degli strumenti musicali hanno frequenze proprie di oscillazione che si ricavano imponendo che in essi si instaurino delle onde stazionarie, ovvero onde che mantengono costante nel tempo e nello spazio la loro ampiezza. I tubi sonori possono presentare un'estremità aperta e una chiusa (tipo A in Fig. 15.5), due estremità aperte (tipo B) o due estremità chiuse (tipo C, dove è presente un'ancia per l'uscita dell'aria).

A

c

B

Fig. 15.5. Tubi sonori di vario genere

In un tubo sonoro di tipo A si instaura un'onda stazionaria quando si forma un nodo di spostamento sulla parete di fondo e un ventre sulla parte opposta. La colonna d'aria deve cioè contenere un numero dispari di quarti di lunghezza d'onda, ovvero la lunghezza LA del tubo deve essere tale che

A-

LA =(2n+l)-

(n

4

= 0,1,2 ...).

(15.9)

Dalla (15.9) si ricava

A-= 4LA

2n+l

(15.10)

.

Essendo f = v / A- e utilizzando le (15.10), si ottengono le frequenze che consentono la formazione di onde stazionarie, che sono poi le frequenze con cui vibrano le molecole d'aria lungo l'onda stessa: f

_

2n+ 1 4LA

JA--- V

(n = 0,1,2 ...)

(15.11)

Per i tubi di tipo B e C agli estremi si dovranno formare rispettivamente due ventri o due nodi e in entrambi dovrà essere contenuto un numero intero di mezze lunghezze d'onda, cioè

A-

LB = Le =n2

(15.12)

Risonanza

183

e per le frequenze

lE =

fc

nv

(n = 1,2 ... )

= 2L'

(15.13)

dove si è posto L = Ls = Le. Le corde vibranti degli strumenti musicali sono fisse agli estremi, quindi esse sono equiparabili al tubo C, cioè vale per esse la (15.13) nella quale L è la lunghezza della corda. Alle diverse frequenze di corde e tubi sonori corrispondono le diverse armoniche dei suoni emessi, come in figura 15.6. a)

b)

,

,,,

1

1

23

Fig. 15.6. Ventri e nodi all'interno di canne d'organo aperte (a) e chiuse (b). Le canne 1 producono la nota fondamentale (o prima armonica), le altre le armoniche superiori.

La frequenza delle onde stazionarie in una corda si dimostra essere data da (15.14) dove T è la tensione della corda e flla sua densità lineare. Da tale relazione si ricava che la velocità di propagazione dell'onda in una corda è

v=

f-F.

(15.15)

Risonanza Quando la frequenza impressa a un corpo è molto diversa dalle frequenze proprie, l'ampiezza delle oscillazioni è molto piccola e queste si estinguono rapidamente, dissipando l'energia in calore; quando invece la frequenza impressa coincide, o è molto prossima, con una delle frequenze proprie, l'ampiezza diventa molto grande e con essa l'intensità dell'onda. È questo il fenomeno della risonanza, comune a molti capitoli della fisica.

184

15 Oscillazioni e onde armoniche

Unità di misura SI Periodo Frequenza Fase Comprimibilità Lunghezza d'onda Intensità Intensità soggettiva

secondi (s) hertz (Hz) radianti (rad) pascal alla meno uno (Pa- I ) metri (m) watt al metro quadrato (W/m2 ) decibel (dB)

Problemi 15.1. Una corda di massa m = 0,5 g e lunghezza I = 90 cm è vincolata per un estremo a un supporto fisso e per l'altro al rebbio di un diapason che vibra con frequenzaf= 340 Hz. Calcolare la tensione alla quale deve essere sottoposta la corda per poter vibrare con la sua frequenza fondamentale. Risulta

ma in questo caso, essendo i due estremi della corda, deve instaurarsi un sistema di onde tale che Il = 2/. n La frequenza fondamentale si ha per n = 1, cioè Il = 2 I, quindi T

= m .4/ 2f2 = 4ml f2 = 208,1 N. I

15.2. La frequenza di vibrazione di un diapason è 290 Hz. Calcolare la lunghezza d'onda del suono emesso in aria a 25°C, sapendo che la velocità del suono in aria aumenta, a partire da cC, di 0,6 mls per ogni grado di aumento della temperatura.

°

La velocità del suono a 25°C vale perciò

v= vo + 0,6·25 = 347 m/s, Il = ~ = 347 f 290

= 1 2 ffi. '

Problemi

185

15.3. Calcolare: a) frequenza e b) lunghezza d'onda del suono prodotto da una sirena che ha un disco con 50 fori che ruota a 1200 girilmin (la velocità del suono è 344 m/s).

a) La frequenzaj di rotazione del disco in hertz è j =

1200 giri min 60_s_ min

20 giri = 20 Hz. s

La frequenza del suono prodotto sarà

l' = 50 im~ulsi .20 giri = 1000 Hz. giro

s

b) La lunghezza d'onda del suono prodotto è

v

).,=-=0344 m.

l'

'

15.4. Un'onda si propaga in una corda tesa con equazione, in unità SI: y = 0,4 cos (0,2 x - 16 t).

Calcolare: a) la lunghezza d'onda, b) la frequenza, c) la velocità di propagazione, d) l'ampiezza, e) la massima velocità trasversale delle particelle della corda.

L'equazione dell'onda si scrive anche come

Y =O , 4cos2n(~-~) )., T ' quindi: a)

02 = 2nx , x

).,'

2n ).,=-= 314 m. 0,2 ' b)

2m 16t=-=2njt T ' 16 2n

j=-=2,55 Hz. c)

v= ).,j= 31,4·2,55 = 80 m/s.

d)

A=0,4m.

186

15 Oscillazioni e onde armoniche

e)

Vy

= dy = -0,4. (-16) sin (0,2 x-16 t) = 6,4 sin (0,2 x-16 t),

dt

il cui massimo valore è 6,4 rn/s.

15.5. Ipotizzando un meccanismo di propagazione adiabatico, calcolare il rapporto tra le velocità del suono in due gas perfetti alla stessa temperatura, uno tetraatomico con peso molecolare 17 glmol e l'altro monoatomico con peso molecolare 87 glmol.

La velocità di propagazione di un'onda sonora nel meccanismo adiabatico è

v=

~ y RT

M'

quindi

15.6. Una corda fissa agli estremi è lunga Z = 0,99 m e ha massa m =1 g. Se essa vibra in tre segmenti con una frequenza/ = 500 Hz, calcolarne la tensione.

Se la corda vibra in tre segmenti, deve essere Z= 3 . .3:. = 3v

2

2/'

maè

T 2 -=v ).l

412Z2 9

quindi

15.7. Un'onda si propaga in una corda di densità lineare 40 glm tesa lungo l'asse x. Se la sua equazione in unità SI è y= 0,2 sin (3x+O,6 t) calcolare: a) la tensione della corda, b) la massima accelerazione trasversale.

Problemi

187

a) Nell'equazione dell'onda l'argomento si può scrivere come

2Jr(i+~ ), quindi 2Jr = 3 e /\,

/\, r

2Jr = O 6 r' ,

m s

v=-=O 2 -

'

2

T = J..l v = 1,6 mN. b) La massima accelerazione trasversale è l'ampiezza della derivata seconda di y rispetto al tempo a = - 0,072 sin (3x + 0,6 t), ovvero

15.8. Un'onda sonora piana ha in aria a 20°C intensità I =10,0 W/m 2 • Calcolare la forza esercitata da tale onda su una parete di superficie S = 5 m2 , supponendo incidenza normale e assumendo che la velocità dell'onda alla suddetta temperatura sia v= 343,5 m/s.

L'intensità di un'onda piana è

quindi F = I S = 146 mN.

v

15.9. La lunghezza d'onda del suono emesso da un diapason in aria è /\,= 1,20 m quando la temperatura dell'aria è 20°C. Se la velocità di propagazione del suono in aria a O °C è Vo = 332 m/s, calcolare la frequenza del diapason. Deve essere

ma, essendo la frequenza indipendente dalla temperatura, sarà

188

15 Oscillazioni e onde armoniche

quindi

dove, per la nota dipendenza dalla temperatura della velocità di propagazione delle onde sonore:

v2a

=

va 293,15 273,15

= l 036 v .

a

'

Risulta allora f= 1,036 va À

1,036·332 1,2

286,6 Hz.

15.10. Ipotizzando per l'elio CM = 4 g/mol) un meccanismo di propagazione del suono adiabatico, calcolare la velocità del suono in tale gas a temperatura 800°C e pressione 2,3 .10 5 Pa.

La velocità del suono con meccanismo adiabatico è

ma per l'elio, monoatomico,

v=

r = 5/3, quindi 5 8,31·1073,15 = 1,93 km. 3 4.10-3 S

15.11. Un ascoltatore vuole stimare a quale distanza d da lui è caduto un fulmine misurando il tempo trascorso tra l'osservazione del lampo e la ricezione del rumore del tuono, t = 4 s. Se l'aria è considerata un gas perfetto biatomico e la sua temperatura è T = 280 K, calcolare d ipotizzando un meccanismo di propagazione adiabatico.

Nel caso di propagazione adiabatica, è

d=vt=t~y~, dove y= 7/5, trattandosi di un gas biatomico. Maè anche

Problemi

189

quindi

d=v

t=t~

r

RT =4 1,4 8,31·280 M 29.10-3

1341 m.

15.12. Un recipiente munito di rubinetto è riempito d'acqua e al di sopra di esso viene fatto vibrare un diapason di frequenzaj= 440 Hz. Se si apre il rubinetto, per quale altezza Lo della colonna d'aria si sentirà il primo rinforzo del suono del diapason?

Fig. 15.7.

Il rinforzo del suono è un caso di risonanza e si ha quando si forma nel cilindro un sistema di onde stazionarie con un ventre in corrispondenza dell'imboccatura e un nodo sulla superficie libera dell' acqua. Ciò accade in generale quando la colonna d'aria è alta L = (2n+ l) A./4; il primo rinforzo si ha per n = O, cioè per v 332 L =-=--=018 m= 18cm. o 4j 4.440 '

15.13. Un organista preme il tasto di una nota di frequenza j = 600 Hz. Se una canna aperta a un estremo è lunga L = 1,2 m, calcolare la massima velocità dell'onda nella canna.

Applicando la (15.9) si ha À

v

L = (2n+ 1)- = (2n+ 1)-, 4 4j dacui

4jL v=-2n+l ' il cui massimo valore si ha per n = O, cioè

v max =4jL=4·600·1,2=2,88

km s

190

15 Oscillazioni e onde armoniche

15.14. In un tubo sonoro lungo L = 50 cm si propaga un'onda con velocità v = 332 mls. Calcolare: a) quali frequenze risuonano se il tubo è aperto agli estremi, b) quali se il tubo è chiuso a un estremo.

Sono entrambi casi di risonanza, per i quali dobbiamo applicare la (15.13) nel caso a) e la (15.11) nel caso b), ovvero nV f= 2L'

a)

che per n = 1,2 ... assume i valori 332,664,996 Hz ... b)

f

= 2n+l v

4L

'

che per n = O, 1,2 ... assume i valori 166,498,830 Hz ...

16 Teoria degli errori

Xi

risultato della i-esima misura

:x

valor medio

Xo

valor medio "vero"

n

numero delle misure

Valor medio

:x=~

n

Scarto

Errore Ci

Errore quadratico medio

Scarto quadratico medio

= Xi -xo

192

16 Teoria degli errori

Deviazione standard

(j=

(16.1)

n-l

(jrappresenta la probabilità del 68,3% che una misura sia compresa tra x-(jex+(j. Distribuzione normale di Gauss

Indicando con p(x) la probabilità che una misura dia come risultato il valore x compreso tra x - ç e x + ç, la distribuzione di Gauss prevede che

(x-xi

l

p(x) = - - e

(jJ2ii

con

_ p(x) =

--20"2

(16.2)

l

r;::;:; . (j\/ 2,.

Errore assoluto

Errore relativo

Errore percentuale

Propagazione degli errori Data una grandezza G non direttamente misurabile correlata ad altre grandezze misurabili direttamente x, y, z da una relazione del tipo G = G(x, y, z), l'errore massimo più probabile t:..G da cui è affetta la grandezza G risulta espresso da

Problemi

193

(16.3)

dove Ax, Lly e Llz sono gli errori da cui sono affette le misure di x, y e z. Nel caso in cui la relazione tra G, x, y e z sia del tipo monomiale G = H xaybZc,

con H costante e a, b e c numeri reali, l'errore percentuale ec%della grandezza G è dato da (16.4)

Distribuzione binomiale Detta Px la probabilità che un evento appaia x volte su z prove, Pf la probabilità dell'evento favorevole e Ps quella dell'evento sfavorevole, risulta Px

x z-x

z!

= x.,( z _ x.), Pf Ps

(16.5)

Tale distribuzione vale solo per x e z interi, per Pf e Ps costanti e se gli eventi sono equiprobabili e indipendenti.

Distribuzione di Poisson Nel caso in cui Pf « l e z sia molto grande: X

m -m , x.

Px=-, e

(16.6)

essendo m il valor medio. Per tale distribuzione risulta (16.7)

Problemi 16.1. In una misura di viscosità di un liquido si lascia cadere in esso una sferetta e

si misura la velocità costante che essa raggiunge dopo un certo tratto di caduta. Se il raggio della sferetta viene misurato con una precisione dell' 1%, la velocità limi-

194

16 Teoria degli errori

te con una precisione del 2%, la densità della sferetta e quella del fluido in cui si muove con una precisione dell' l %, ritenendo nota con precisione assoluta l'accelerazione di gravità, da quale errore percentuale sarà affetta la misura del coefficiente di viscosità del liquido?

L'espressione della velocità limite secondo la legge di Stokes è

quindi 2 11 = 2r g(ps - p)

_-=.c!---"-.---'---'--

9v

lim

Applicando la formula della propagazione degli errori:

= ~ 4E; +E~ +E~ =

ET)

3,16%.

16.2. Un corpo di volume l l viene pesato in aria con una bilancia a piatti e risulta avere una massa di 800 g. Se i pesi campione usati sono di rame (densità 8800 unità SI), calcolare: a) la vera massa del corpo, b) l'errore percentuale commesso.

a) Il peso misurato è la differenza tra il peso reale e la spinta di Archimede. Possiamo quindi scrivere, indicando con mo la massa reale del corpo e con So ed Sp rispettivamente le relative spinte di Archimede: mog - So = m g - Sp

da cui mo =m+

V Pa g-Sp g

,

dove Pa è la densità dell' aria (= l ,3 unità SI). La spinta di Archimede agente sui pesi è Sp =m Pa

,

PCu

quindi

= m+ VPa -m

mo

b)

E %

= 801,2 -

Pa PCu

= 801,2 g.

800 100 = O 15%. 801,2 '

Problemi

195

163. In una misura del coefficiente di viscosità di un liquido in un capillare, si misura il raggio del capillare con un errore percentuale dell' 1 %, la lunghezza dello stesso con un errore percentuale dello 0,5%, la differenza di pressione agli estremi con un errore percentuale dell' 1 ,5% e la portata di volume con un errore percentuale del 2%. Da quale errore percentuale sarà inficiata la misura di 11?

Dalla seconda legge di Poiseuille 4

Q _n:r Ap v - 811 l e quindi

Applicando la formula della propagazione degli errori fTJ%

=

~ 2 2 a

fr%

2 2 2 + b2 fQv% +C 2 f!!.p% + d2 fz%

=

= J16·1 + 1· 4 + 1· 2,25 + 1· 0,25 = 4,74%.

16.4. Un pianeta di massa M ha un satellite di massa m che percorre un'orbita circolare il cui raggio e il cui periodo sono noti entrambi con un errore percentuale dell' 1 % Supponendo m «M, qual è l'errore percentuale con cui viene misurata la massa M?

Dalla legge di gravitazione universale 2

GmM

mQ) r = - - 2 - ,

r

2 4n: 3 -2-r =GM,

T

da cui fM%

= .J9·1 + 4·1 = 3,61 %.

Abbiamo supposto che la costante di gravitazione universale sia misurata con elevatissima precisione. Inoltre abbiamo dovuto supporre m « M perché in realtà pianeta e satellite ruotano attorno alloro centro di massa e la terza legge di Keplero cambierebbe forma.

196

16 Teoria degli errori

16.5. Un ascoltatore vuole stimare a quale distanza d da lui è caduto un fulmine misurando il tempo trascorso tra l'osservazione del lampo e la ricezione del rumore del tuono, t = (4 ± 0,1) s. Se l'aria è considerata un gas perfetto biatomico di peso molecolare M = (29 ± 0,1) g/mol e la sua temperatura è T = (280 ± 0,4) K, calcolare: a) la distanza d ipotizzando un meccanismo di propagazione adiabatico, b) l'errore percentuale da cui è affetta la stima, supponendo noti con precisione molto alta l'esponente adiabatico dell'aria e la costante universale dei gas perfetti.

Nel caso di propagazione adiabatica, è

V=~YRT

M'

dove Y= 7/5, trattandosi di un gas biatomico. Maè anche

quindi

d=Vt=t~YRT

=4 1,4·8,31·280 =1341m. 29.10-3

M

Calcoliamo gli errori percentuali di t, T ed M: Et%

0,1 = 4100 = 2,5%,

0,4 = -100 = 1,43% 280 0,1 EM% = -100 = 0,34%. 29 ET%

Per la formula sulla propagazione degli errori in caso di misure indirette abbiamo Ed%

=" a I

2 2 Et%

+

b2

2 ET%

+C

2 2 EM%

con a = l, b = 0,5 e c = - 0,5. Sarà allora Ed%

=

J l· 6,25 +0,25·2,04 + 0,25 ·0,12 = 2,60%.

Il risultato della misura sarà quindi d= (1341 ± 35) m.

17 Calcolo dimensionale

Data una grandezza C esprimibile in funzione di altre grandezze A, B, c. .. assunte come fondamentali in un sistema metrico mediante una relazione del tipo

C = K A a Bf3CY, dove K è una costante, si dicono dimensioni di C nel sistema metrico A, B, C ... gli esponenti a, /3, re la precedente relazione si scrive in forma dimensionale come

[C

l = [ A a] [Bf3] [ CY ].

I tre esponenti sono numeri reali. Nel Sistema Internazionale le grandezze assunte come fondamentali sono la massa [M], la lunghezza [L], il tempo [T], la temperatura [e], l'intensità di corrente [I], l'intensità luminosa [Jl e la quantità di sostanza [N], perciò la relazione dimensionale con cui può essere espressa qualsiasi legge fisica si presenta nella forma

[Cl = [ Ma] [ rJ] [TY] [e8 ]

[lÀ] [JIi] [N

V

].

(17.l)

Criterio di omogeneità dimensionale Il calcolo dimensionale è estremamente utile in quanto consente di scoprire eventuali errori nella formulazione di un'equazione; infatti, nella relazione (17.l), le dimensioni del primo e del secondo membro devono coincidere.

Criteri di scelta delle grandezze fondamentali Nel campo della meccanica, qualsiasi grandezza derivata si può esprimere solo in funzione delle tre grandezze M, L, T. Allorché si passa alla termodinamica, le grandezze fondamentali necessarie diventano quattro in quanto si deve aggiungere la temperatura e. Una n-pia di grandezze si dice coerente quando le n grandezze sono sufficienti per la completa rappresentazione dimensionale di qualsiasi grandezza derivata.

198

17 Calcolo dimensionale

Le condizioni alle quali devono soddisfare n grandezze per costituire una n-pia coerente sono: a) considerate globalmente le n grandezze devono contenere le grandezze fondamentali del sistema SI; b) le n grandezze prescelte devono essere indipendenti, ovvero non deve esistere alcuna relazione diretta tra esse. In molti casi la relazione tra le grandezze proposte è immediatamente riconoscibile: per esempio non possiamo assumere come tema coerente quella formata da energia cinetica, massa e velocità dal momento che tra queste tre grandezze esiste la relazione 1 K=-mv 2 . 2 analogamente non possiamo assumere come tema coerente quella formata da massa, lunghezza e momento d'inerzia, perché in nessuna delle tre è presente il tempo. Ma nella maggior parte dei casi non è possibile riconoscere a occhio la relazione tra le grandezze. In tali casi si può procedere in due modi diversi: - impostare il sistema per la determinazione degli esponenti dimensionali: se il sistema ammette soluzioni, la tema proposta è coerente; se è impossibile, la tema non è coerente, mentre se risulta indeterminato, manca nella tema proposta una delle tre grandezze fondamentali M, L o T; - verificare se il determinante simbolico costruito inserendo nelle varie righe gli esponenti dimensionali delle grandezze proposte nel sistema M, L, T è diverso da zero; se è nullo, la tema proposta non è accettabile.

Esempio Calcolare le dimensioni dell'energia nel sistema metrico che adotta come terna di grandezze fondamentali la forza, la superficie e la pressione.

Forza, superficie e pressione non costituiscono una tema coerente, in quanto le tre grandezze sono correlate dalla relazione p = FlS. Ammettiamo di non aver visto tale correlazione e impostiamo il sistema. Le dimensioni dell'energia nel sistema M, L, T sono

mentre, nello stesso sistema si ha

[F] = [M] [L] [ 1 2 ], [p] = [M][ L-l] [ T-2 J,

[S] = [L2

J.

Problemi

199

Dovrà essere quindi

[El = [ ML2 r

2

] = [Fa p f3

sY] = [M aLar 2a ][ Mf3L- f3 r 2f3 ] [ L 2Y] =

= [ M a+f3][ La-f3+ 2Y][ r 2a - 2f3

J.

Uguagliando gli esponenti del primo e secondo membro, ricaviamo il seguente sistema 1=a+ f3 2=a-f3+2y

1

-2 = -2a - 213.

La prima e la terza equazione di tale sistema coincidono, pertanto ci troviamo di fronte a un sistema di due equazioni in tre incognite: tale sistema è indeterminato, quindi la tema proposta è inaccettabile. Verifichiamo ora il valore del determinate simbolico:

-2 Ll= 1 -1 O

2

-2 =1·4-2·2=0. O

Essendo nullo il determinante, la tema proposta non è coerente.

Problemi 17.1. Ricavare le dimensioni del momento angolare in un sistema metrico che adotta come grandezze fondamentali la forza, la frequenza e l'energia.

Il problema può essere risolto in due modi: il primo, rapidissimo, consiste nell'osservare che l'unità di misura del momento angolare è J s, quindi le sue dimensioni nella tema proposta devono essere [E fl]; l'altro metodo è quello tradizionale ed è consigliato a chi non ha dimestichezza con l'immediato riconoscimento delle unità di misura. Sappiamo essere ma deve anche essere [P] = [F'J [ffi] [E1.

Inoltre, nel SI: [F] = [M] [L] [r2], [f] = [T· I ], [E] = [M] [L2] [r2],

da cui

200

17 Calcolo dimensionale

Confrontando questa espressione dimensionale con la (1), si ricava

a+y=l {

a+2y=2 -2a- 13- 2y = -1,

che ha per soluzione

a=O,j3=-l, y= 1. 17.2. Ricavare le dimensioni della forza nel sistema metrico che adotta come grandezze fondamentali il momento d'inerzia, la densità e la potenza.

[F]

= [M] [L] [T- = [1'1 [pii] [Wl), 2

ma

]

[I] = [M] [L2], [p] = [M] [L- 3] , [W] = [M] [L2] [r 3] ,

da cui

{

a+j3+y=l 2a-3j3+2y=1 -3y =-2

le cui soluzioni sono

a= 2/15,13 = 1/5, y= 2/3 e quindi

17.3. Individuare quale grandezza è espressa nel SI dalla relazione

x=

KVQvp la '

---=--'-'---

nella quale K è un'energia cinetica, V un volume, Qv una portata di volume, l un momento d'inerzia, p una densità e a un'accelerazione.

Risulta [x]

= [M L 2 r

2

]

[L 3]

[e r

l

]

[M L- 3] [M- l L- 2] [L- l T 2 ]

= [M] [L2] ]r l ],

quindi x è un momento angolare. 17.4. Ricavare l'espressione dimensionale della pressione nel sistema metrico che adotta come grandezze fondamentali la viscosità, la forza e la velocità.

Problemi

201

Procedendo con il solito metodo, abbiamo ma

[1J] = [M] [L· I ] [TI], [F] = [M] [L] [T 2], [v] = [L] [TI],

da cui si ricava il seguente sistema

a+/3=1 -a + /3 + y = -1 , {-a - 2/3 - Y =-2 le cui soluzioni sono

a= 2, /3= -1, y= 2. Ne consegue

17.5. Tra le seguenti teme di grandezze fisiche, quali possono essere assunte come teme metriche per la costruzione di un sistema metrico coerente?

a) b) c) d) e)

momento meccanico, lavoro, velocità angolare; massa, energia cinetica, velocità; momento angolare, momento d'inerzia, periodo; rigidità, tensione superficiale, accelerazione; potenza, momento meccanico, momento d'inerzia.

Nessuna delle teme proposte è coerente. Infatti: a) momento meccanico e lavoro sono grandezze omogenee; b) massa, energia cinetica e velocità sono correlate dalla relazione K = mv 2/2; c) il momento angolare è correlato alle altre due grandezze dalla relazione p = IOJ = 2 7r l/T; d) rigidità e tensione superficiale sono grandezze omogenee, infatti si misurano entrambe nel SI in N/m; e) in questo caso non si evidenzia alcuna correlazione diretta, quindi è necessario calcolare il determinante simbolico:

2 -3 11= 1 2 -2 = 1·4-2·2-3·0=0.

2

O

Essendo nullo il determinante, le tre grandezze risultano correlate.

Cronologia della fisica

Meccanica Anno

384 a.c.

Nasce Aristotele

1564

Nasce Galileo

1580

G. Benedetti (1530-1590) introduce il concetto di forza centrifuga

1583

Isocronismo del pendolo

1596

Nasce Cartesio

1623

Galileo pubblica Il saggiatore

1629

Galileo enuncia la legge del moto del pendolo

1632

Pubblicato il Dialogo dei massimi sistemi

1633

Secondo processo a Galileo

1637

Cartesio pubblica il Discorso sul metodo

1638

Galileo pubblica i Discorsi intorno a due nuove scienze ...

1642

Calcolatrice di Pascal

1643

Nasce Newton

1644

Cartesio pubblica i Principi della filosofia

1657

Nasce l'Accademia del Cimento

1665

Newton enuncia la formula per lo sviluppo della potenza del binomio

1666

Nasce l'Académie des Sciences a Parigi

1673

Huygens pubblica Horologium Oscillatorium

1675

Nasce l'Osservatorio di Greenwich

1682

Legge di gravitazione di Newton

1687

Newton pubblica il calcolo differenziale e la prima edizione dei Principia ...

1743

D'Alembert pubblica il Traité de Dynamique

204

Cronologia della fisica

1803

L. Carnot introduce il concetto di lavoro e di quantità di moto

1835

Coriolis introduce l'accelerazione centrifuga composta

1851

Foucault esegue il famoso esperimento del pendolo. Poinsot introduce il vettore velocità angolare

1857

Figure di Lissajous

1883

Mach pubblica La Meccanica nel suo sviluppo storico-critico

1893

Hertz pubblica i Principi di Meccanica

Gravitazione e astrofisica Anno

400 a.c.

Nasce Eudosso

310 a.C.

Nasce Aristarco

276 a.C.

Nasce Eratostene, che misurò per primo la distanza Luna-Terra e Sole-Terra e il raggio terrestre

194 a.c.

Nasce Ipparco

100

Nasce Tolomeo

1473

Nasce Copernico

1543

Teoria eliocentrica di Copernico

1546

Nasce Tycho Brahe

1571

Nasce Keplero

1572

T. Brahe scopre una nova nella costellazione di Cassiopea

1573

T. Brahe pubblica De nova stella

1582

Riforma del calendario

1596

Mysterium Cosmographicum di Keplero

1609

Astronomia Nova di Keplero

1610

Scoperta dei satelliti medicei e delle macchie solari

1611

Keplero costruisce il primo cannocchiale

1635

Nasce R. Hooke

1672

Newton costruisce il telescopio a riflessione

1682

Halley osserva la cometa che da lui prenderà il nome

1727

Bradley scopre l'aberrazione steli are

Cronologia della fisica

205

1728

Newton pubblica il De Mundi Systemate

1781

Herschel scopre Urano

1798

Cavendish misura la costante di gravitazione universale

1834

Bessel scopre che Sirio fa parte di una coppia di stelle doppie (o binarie)

1912

Scoperta dei raggi cosmici da Hess. Teoria delle stelle binarie

1926

Lancio del primo razzo a combustibile liquido

1928

Legge di Hubble

1942

La Nebulosa del Granchio viene identificata tra i resti di un' esplosione di supemova avvenuta nel 1054

1948

Ipotesi del big-bang di Gamow

1957

Lancio dello Sputnik, il primo satellite artificiale

1958

Scoperte le fasce di van Allen

1961

Lancio della prima navicella spaziale con equipaggio umano (Y. Gagarin)

1962

Scoperta la prima stella a raggi X da Rossi, Giacconi e Friedman

1963

La prima donna nello spazio. Scoperta delle quasar

1965

Rivelato il fondo di radiazione "fredda" residuo del big-bang. La prima passeggiata spaziale e il primo rendez-vous spaziale

1968

Weber mette a punto il primo apparato per rivelare le onde gravitazionali

1969

Prime foto di una pulsar. Il primo uomo sulla Luna

1972

Scoperta di un probabile buco nero nella stella Cygnus XI

1976

Il primo atterraggio su Marte

1979

Il primo volo verso Satumo

1981

Lancio della Space Shuttle

1983

Lancio della prima sonda al di fuori del sistema solare

1984

La prima passeggiata libera nello spazio

1988

Lancio della navetta spaziale Discovery

Fluidi Anno

287 a.c.

Nasce Archimede

60 a.C.?

Nasce ad Alessandria Erone che nella sua opera Pneumatica descriverà la prima turbina a vapore dell'umanità, chiamandola eolipilo

206

Cronologia della fisica

1452

Nasce Leonardo da Vinci

1548

Nasce Stevino

1586

Stevino enuncia il suo famoso principio di statica dei fluidi

1602

Nasce von Guericke

1608

Nasce Torricelli

1623

Nasce Pascal

1627

Nasce Boyle

1643

Torricelli misura la pressione atmosferica

1648

Un esperimento ideato da Pascal dimostra che la pressione atmosferica diminuisce con la quota

1654

Von Guericke esegue il famoso esperimento degli emisferi di Magdeburgo. Pascal enuncia il principio sulla statica dei fluidi

1700

Nasce D. Bernoulli

1707

Nasce Eulero

1738

Bernoulli pubblica la Hydrodynamica

1769

Eulero rende note le equazioni del moto dei fluidi

1783

I fratelli Montgolfier compiono il primo volo in pallone

1799

Nasce Poiseuille

1845

Legge di Stokes

Termodinamica Anno

60

a.c.

Erone inventa la prima turbina a vapore, l'eolipilo

1545

Cardano nega il molo perpeluo

1592

Termoscopio di Galileo

1627

Nasce Boyle

1661

Boyle enuncia le leggi dei gas

1668

Hooke scopre la legge dell'ebollizione dei liquidi

1690

Papin costruisce l'autoclave

1712

Newcomen costruisce la prima macchina a vapore

1714

Nasce la scala Fahrenheit

Cronologia della fisica

207

1736

Nasce Watt

1743

Nasce Lavoisier. Nasce la scala Celsius

1764

Black introduce il concetto di calore latente

1776

Nasce la macchina a vapore di Watt

1787

Lavoisier enuncia il principio di conservazione della materia

1796

Nasce Sadi Carnot

1799

Nasce Clapeyron

1801

Gay-Lussac enuncia la legge delle isovolumiche

1811

Avogadro enuncia la sua legge

1814

Stephenson prova la locomotiva a vapore

1821

Nasce Helrnholtz

1822

Nasce Clausius

1823

Equazioni di Poisson

1824

Nasce Kelvin. Nasce Kirchhoff. Carnot pubblica le Refléxions sur la Puissance Motrice du Feu

1834

Clapeyron definisce il rendimento nella sua opera Mémoire sur la Puissance Motrice du Feu

1839

Nasce Gibbs

1842

Principio di conservazione dell'energia secondo Mayer

1843

Joule contro la teoria del calorico; mulinello di Joule. Equazione dei gas perfetti

1844

Nasce Boltzmann

1848

Scala Kelvin

1851

Kelvin e Clausius espongono il I principio. Clausius espone il II principio

1852

II principio secondo Kelvin

1854

II principio secondo Clausius

1857

Teoria cinetica secondo Clausius

1859

Potere emissivo e assorbente di un corpo (Kirchhoft)

1860

Legge di Maxwell sulla distribuzione di velocità. Kirchhoff introduce il concetto di corpo nero

1864

Nasce Nernst

1865

Nasce il concetto di entropia

1870

Teorema del viriale di Clausius

1875

Gibbs introduce i potenziali termodinamici

208

Cronologia della fisica

1876

Motore di Otto

1876

Interpretazione probabilistica dell'entropia

1877

Curve di Andrews. Liquefazione dell'ossigeno

1879

Legge di Stefan sul corpo nero

1881

Equazione di van der Waals

1884

Turbina Pelton. Nasce Debye

1891

Principio dell 'equipartizione de Il 'energia

1892

Motore Diesel

1893

Legge di Wien

1896

Planck studia il corpo nero e ne ricava la legge di emissione

1899

Corpo nero di Lummer e Pringsheim. Planck studia l'emissione del corpo nero

1900

Equazione di stato dei gas reali di van der Waals

1904

Liquefazione dell'idrogeno da parte di Dewar

1905

Legge di Jeans-Rayleigh sul corpo nero

1906

Nernst enuncia il III principio

1908

Perrin misura il numero di Avogadro con esperimenti sul moto browniano. Onnes liquefa]' elio

1912

Debye ricava la dipendenza del calore specifico dalla temperatura

Unità di misura e dimensioni delle grandezze fisiche

Grandezza

Unità SI

Accelerazione

m1s 2

Accelerazione angolare

Altre unità

Fattore di conversione

Dimensioni [L 12]

rad/s

[12]

2

Angolo piano

rad

Calore

J

cal

4,186

Calore specifico

J/(kg K)

ca1/(g 0c)

4186

Calore latente

J/kg

cal/g

4186

[M e 12] [L21 2 e-I] [L2 T-2]

J/K K- I

caUOC

4,186

[Me12 e- l ]

P

IO-I

Capacità termica Coeff. dilatazione termica

[e-I]

Coeff. viscosità

Pa s (daP)

Conducibilità termica

W/(mK)

Costante elastica

N/m

[M L-I 11] [M L13 e-I] [M 12]

J

kWh

3,6

[ML- 3] [ML2 12]

Forza

N

kgf

9,8

[MLT-2]

Frequenza

Hz

Impulso

Ns

Densità

kg/m

Energia

3

g/cm

3

10

3

[li] [M L T-I] [T]

Intervallo di tempo Lavoro v. Energia

[L)

Lunghezza

m

Massa

kg

Momento angolare

Js

Momento di inerzia

kgm2

Momento meccanico

Nm

g

10-3

[M e 12]

Periodo Peso molecolare

[M) [Meli] [ML2] [T]

kg/mol

Peso specifico

N/m

Portata di massa

kg/s

g/mol

10-3

[L'T-I] [M e 1

3

[M1 I]

Portata di volume

m /s

I1s

10-3

Potenza

W

CV

735

3

[M N-I] [M L- 2 T-2]

3

]

210

Unità di misura e dimensioni delle grandezze fisiche

Grandezza

Unità SI

Altre unità

Fattore di conversione

Dimensioni

Pressione

Pa

atm

101325

[M L-' T-2]

Quantità di moto

kg m1s

[MLT-']

Quantità di sostanza

mol

[N]

Rigidità v. Costante elastica Superficie

m2

Temperatura

K

Tensione superficiale

N/m

[MI 2 ]

Velocità

m1s

[LI']

Velocità angolare

rad/s

Volume

m3

Volume molare

m 3/mol

[L'w']

Volume specifico

m3/kg

[M-' L 3]

[e]

°C

[e]

[l']

10-3

[L']