Istituzioni di fisica teorica 8843004204, 9788843004201

Citation preview

ISTITUZIONI DI FISICA TEORICA Enri o Onofri Claudio Destri (E.O.) Dipartimento di Fisi a, Universita di Parma E-mail address : onofriparma.infn.it (C.D.) Dipartimento di Fisi a, Universita di Milano E-mail address : destrimilano.infn.it

2

Ad Alessio, Chiara , Giulia, Lella e Liliana.

Il nostro ringraziamento a D. Knuth (TEX), L. Lamport (LATEX), R. Stallman (gnu ema s) e all'INFN he hanno reso possibile quest'opera. Il testo e stato preparato on il sistema AMS-LATEX. Per i problemi he hanno ri hiesto al olo numeri o i siamo avvalsi del linguaggio matlab.

iii

Indi e Prologo Notazioni

xi xiv

Parte 1. Ri hiami di me

ani a analiti a lassi a

1

Capitolo 1. Me

ani a del punto materiale 1.1. Le equazioni di Lagrange 1.2. Simmetrie e leggi di onservazione 1.3. Prin ipi variazionali 1.3.1. Prin ipio di Eulero-Lagrange 1.3.2. Prin ipio di Maupertuis

3 3 6 8 9 11

Capitolo 2. Il formalismo hamiltoniano 2.1. Funzioni onvesse e trasformata di Legendre 2.2. Equazioni di Hamilton 2.3. Trasformazioni anoni he 2.3.1. Trasformazioni anoni he in nitesimali 2.3.2. Trasformazioni anoni he dipendenti dal tempo 2.3.3. L'equazione di Hamilton-Ja obi

15 15 16 20 22 23 24

Capitolo 3. Appli azioni 3.1. Invarianti adiabati i 3.1.1. Variabili d'azione 3.2. Linearizzazione delle equazioni del moto 3.2.1. Equazioni di Ja obi 3.2.2. Risonanza parametri a 3.3. Parti ella ari a in ampo elettromagneti o 3.3.1. Moto in ampo magneti o uniforme 3.4. Il problema dei due orpi 3.4.1. Separazione del moto del bari entro 3.4.2. Urti tra parti elle 3.4.3. Leggi di Keplero

31 31 35 37 37 38 40 41 43 43 45 47

Capitolo 4. Elementi di si a dei mezzi ontinui 4.1. La si a matemati a delle os illazioni elasti he

51 51

v

4.1.1. L'equazione d'onda 4.1.2. Vibrazione di membrane 4.1.3. Armoni he sferi he 4.2. Prin ipi variazionali in teoria dei mezzi ontinui 4.3. Il quadro generale

Parte 2. Me

ani a quantisti a

51 54 57 60 62 65

Capitolo 5. Quanti e onde 5.1. La ve

hia teoria dei quanti 5.1.1. Il orpo nero 5.1.2. Eetto fotoelettri o 5.1.3. Diusione Compton 5.1.4. Gli stati di polarizzazione del fotone 5.1.5. La teoria di Bohr 5.1.6. L'esperimento di Stern-Gerla h 5.2. L'equazione di S hroedinger 5.2.1. Onde materiali 5.2.2. Pa

hetti d'onda 5.2.3. L'equazione d'onda 5.2.4. Onde di probabilita 5.2.5. Proprieta matemati he dell'equazione 5.2.6. Corrente di probabilita 5.2.7. Soluzioni stazionarie 5.2.8. La rappresentazione dei momenti 5.2.9. La funzione di Green 5.2.10. Valori di aspettazione e osservabili si he 5.2.11. Relazioni di indeterminazione

67 67 68 70 71 72 75 79 80 80 82 85 92 95 99 101 106 108 109 112

Capitolo 6. Appli azioni elementari 6.1. Sistemi a un grado di liberta 6.1.1. Proprieta generali delle soluzioni 6.1.2. Potenziali ostanti a tratti 6.1.3. Il aso di una forza ostante 6.2. L'os illatore armoni o 6.2.1. Operatori di reazione e di anni hilazione 6.2.2. Fattorizzazione dell'Hamiltoniano 6.2.3. Stati oerenti 6.2.4. Ordinamento normale alla Wi k 6.3. Spettro ontinuo 6.3.1. Barriere di potenziale ed eetto tunnel 6.3.2. Formulazione integrale dell'equazione d'onda 6.3.3. Proprieta di analiti ita

115 115 115 116 122 124 125 132 133 136 138 138 141 146

vi

6.3.4. Densita degli stati 6.4. Potenziali periodi i 6.5. Campi di forze entrali 6.5.1. Separazione in oordinate polari 6.5.2. L'atomo di idrogeno

148 152 154 154 157

Capitolo 7. Lo sviluppo formale della me

ani a quantisti a 7.1. Sistemi si i, stati e osservabili 7.1.1. Insiemi ompleti di osservabili ompatibili (I) 7.2. Il prin ipio di sovrapposizione lineare 7.2.1. Sistemi omposti 7.3. Osservabili ed esperimenti in me

ani a quantisti a 7.3.1. Valori medi ed indeterminazioni 7.3.2. Commutatori ed osservabili ompatibili 7.3.3. Relazioni di intederminazione 7.3.4. Insiemi ompleti di osservabili ompatibili (II) 7.4. Il formalismo delle matri i di densita 7.4.1. Il teorema di Gleason 7.5. Regole di superselezione 7.6. Rappresentazioni e trasformazioni 7.6.1. Funzioni d'onda 7.6.2. Cambiamenti di base 7.6.3. Rappresentazioni della posizione e del momento 7.7. Evoluzione temporale 7.7.1. Stati stazionari e ostanti del moto 7.7.2. Relazione di indeterminazione tra tempo ed energia 7.7.3. Pro essi stazionari 7.8. Quantizzazione anoni a 7.8.1. Equazioni di Heisenberg-Hamilton 7.9. Preparazioni e misure 7.9.1. L'esperimento delle due fenditure 7.9.2. Diseguaglianze di Bell

167 167 175 177 182 184 192 193 196 197 200 205 206 209 209 210 214 229 235 236 238 240 243 244 248 255

Capitolo 8. Momento angolare 8.1. Momento angolare orbitale 8.2. Rotazioni e momento angolare 8.2.1. Momento angolare interno 8.2.2. Momento angolare intrinse o: spin 8.2.3. Momento angolare totale 8.2.4. Rotazioni e gruppo SU(2) 8.2.5. Rappresentazioni irridu ibili 8.2.6. Spettro del momento angolare orbitale 8.2.7. Spin ed eli ita delle parti elle

259 259 264 269 270 273 274 276 280 282

vii

8.2.8. Relazioni di ortogonalita 8.2.9. Rotazioni di 2 8.2.10. Operatori tensoriali irridu ibili 8.3. Addizione di momenti angolari 8.3.1. CoeÆ ienti di Clebsh-Gordan 8.3.2. Il teorema di Wigner-E kart 8.3.3. Simboli 3-j

283 284 285 287 289 292 295

Capitolo 9. Simmetria e invarianza 9.1. Trasformazioni di simmetria 9.1.1. Il teorema di Wigner 9.1.2. Legge di trasformazione delle osservabili 9.1.3. Trasformazioni in nitesimali e generatori 9.1.4. Sistemi omposti 9.2. Invarianze e leggi di onservazione 9.2.1. Trasformazioni dipendenti dal tempo 9.3. Gruppi di simmetria e di invarianza 9.3.1. Traslazioni spaziali 9.3.2. Traslazioni temporali 9.3.3. Traslazioni spazio-temporali 9.3.4. Rotazioni 9.3.5. Il gruppo eu lideo 9.3.6. Trasformazioni galileiane 9.3.7. Regola di superselezione di Bargmann 9.3.8. Parti elle elementari 9.3.9. Simmetrie interne 9.3.10. Interazioni minimali 9.4. Trasformazioni di gauge 9.5. Simmetrie spazio-temporali dis rete 9.5.1. Inversione spaziale 9.5.2. Violazione della parita 9.5.3. Inversione temporale 9.5.4. Il prin ipio di mi roreversibilita

297 298 301 302 306 308 311 314 315 319 321 323 325 327 330 335 336 338 339 343 346 346 350 352 356

Capitolo 10. Metodi di approssimazione 10.1. Teoria delle perturbazioni 10.1.1. Perturbazioni stazionarie 10.1.2. Il teorema di Feynman-Helmann 10.1.3. Teoria delle perturbazioni per livelli degeneri. 10.1.4. Perturbazioni dipendenti dal tempo 10.2. Approssimazione semi- lassi a 10.3. Metodo variazionale 10.3.1. Il metodo di Ritz

361 361 362 367 368 370 381 385 385

viii

10.3.2. Disuguaglianza di BBL 10.4. Approssimazione adiabati a 10.4.1. La fase di Berry

388 389 392

Capitolo 11. Parti elle identi he 11.1. Il prin ipio di indistinguibilita 11.2. Bosoni e fermioni 11.2.1. Interazione di s ambio 11.3. Se onda quantizzazione 11.3.1. Lo spazio di Fo k 11.3.2. Operatori di reazione e distruzione 11.3.3. Rappresentazione \numero-di-o

upazione" 11.3.4. Operatori di ampo 11.3.5. La orda vibrante quantisti a 11.3.6. Il ampo elettromagneti o 11.3.7. Polarizzazione dei fotoni

393 393 397 401 404 405 407 408 411 418 420 422

Capitolo 12. L'interazione elettromagneti a 12.1. L'a

oppiamento minimale 12.2. Campo magneti o ostante 12.3. Eetto Zeeman 12.4. Livelli di Landau 12.4.1. L'eetto Hall quantizzato 12.5. L'eetto Aharonov-Bohm

425 425 427 427 430 432 433

Capitolo 13. Teoria dell'urto 13.1. L'equazione integrale della diusione 13.1.1. Sezione d'urto dierenziale 13.1.2. Serie di Born 13.2. Diusione da un ampo entrale

437 437 439 441 443

Parte 3. Appendi i

447

App. A. Complementi A.1. La me

ani a quantisti a se ondo Feynman A.1.1. Integrali sui ammini A.1.2. Formulazione a tempo immaginario A.1.3. La me

ani a sto asti a A.2. Teorie di gauge in me

ani a quantisti a A.2.1. Approssimazione adiabati a e ampi di gauge A.2.2. Il ampo di monopolo della mole ola biatomi a A.3. Un esperimento on i fotoni

449 449 449 453 455 457 458 465 473

App. B. Ausili matemati i

479 ix

B.1. Elementi di teoria dei gruppi B.1.1. Gruppi astratti B.1.2. Rappresentazioni B.1.3. Gruppi ontinui, algebre di Lie B.1.4. Gruppo delle rotazioni e gruppo SU(2) B.1.5. Rappresentazioni lineari B.1.6. Analisi armoni a su gruppi ontinui B.1.7. Integrazione invariante su SU(2) B.1.8. Formula di Baker-Hausdor B.2. Metodi asintoti i B.2.1. Il metodo di Lapla e B.2.2. La formula di Stirling B.2.3. Prin ipio della fase stazionaria B.2.4. Trasformata di Borel B.2.5. Sviluppo di Eulero-M Laurin B.2.6. Sviluppi asintoti i dallo sviluppo di Taylor B.2.7. Due importanti funzioni spe iali B.3. Sistemi di oordinate ortogonali B.4. Integrazione formale delle equazioni di Hamilton B.5. La funzione Æ(x) di Dira B.6. Metodo di Lapla e B.6.1. Ipergeometri a on uente B.6.2. Funzioni di Bessel B.6.3. Sviluppo dell'onda piana in onde sferi he B.7. Integrali multidimensionali B.7.1. Integrali gaussiani B.7.2. La formula di integrazione di Feynman B.8. Regole di orrispondenza B.9. De omposizione spettrale Costanti si he

479 479 480 484 487 488 490 490 492 493 495 497 499 500 500 503 505 509 511 513 515 516 517 519 519 519 520 521 522 524

Problemi

525

Bibliogra a Indi e analiti o

533 539

Indi e analiti o

541

Elen o delle gure

551

Elen o delle tabelle

553

x

Prologo I rapporti he inter orrono tra si a teori a e si a sperimentale hanno subito una profonda evoluzione on l'estendersi del ampo di indagine a s ale di energia, tempi e lunghezze totalmente al di fuori della diretta per ezione sensoriale. Ogni esperimento di si a delle parti elle oppure di astro si a osmi a e os profondamente dipendente dal modello teori o da rendere probabilmente vuota di signi ato un'espressione quale \alla lu e dei puri dati sperimentali risulta he ... ". La distinzione tra si a teori a e sperimentale e quindi da onsiderare essenzialmente una divisione di

ompiti ma non di obiettivi, he rimangono, almeno per la ri er a \pura", quelli he os des rive Einstein nel 1940 [Ein88℄: La s ienza rappresenta il tentativo di far orrispondere la varieta aoti a della nostra esperienza sensibile a un sistema di pensiero logi amente uniforme. In questo sistema le singole esperienze vanno orrelate alla struttura teori a in maniera tale he la oordinazione risultante sia uni a e

onvin ente. ::: Cio he noi hiamiamo si a omprende quel gruppo di s ienze naturali he fondano i loro on etti nelle misure e i

ui on etti e proposizioni si prestano a una formulazione matemati a. Il suo dominio e di onseguenza de nito ome quella parte del omplesso delle nostre onos enze he e sus ettibile di venire espressa in termini matemati i. Einstein prosegue identi ando lo s opo della si a teori a nella ri er a di basi omuni e nella uni azione delle leggi dei vari fenomeni naturali: si pensi alla onquista di Newton { le leggi della me

ani a eleste sono le stesse leggi della me

ani a dei gravi { oppure all'uni azione tra elettrologia e magnetismo, ora proseguita nell'uni azione on le interazioni deboli. Newton er o basi uni ate tra me

ani a e otti a, ma il tentativo era prematuro. Vedremo ome nell'ambito della nuova me

ani a quantisti a l'idea di Newton torna attuale. Si puo allora dire he obiettivo della si a teori a e quello di realizzare la massima e onomia di xi

Prologo

pensiero nel des rivere il piu vasto ampo disponibile di fenomeni naturali. Il ampo di fenomeni he si prestano a una des rizione quantitativa in termini matemati i e in ontinua evoluzione; la matemati a stessa lo e, an he sotto lo stimolo della ri er a si a. Sembra non esser i limite alla appli abilita di s hemi matemati i an he i piu astratti { Wigner parla di una irragionevole apa ita della matemati a nel modellizzare la realta si a . Quello he a

ade ontinuamente nello sviluppo parallelo di matemati a e si a e he dalla si a sorgono esigenze di al olo e di formalizzazione he stimolano progresso in tutte le dis ipline matemati he. Una moderna teoria quale la romodinami a quantisti a ri hiede te ni he matemati he mutuate dall'analisi funzionale, dalla teoria dei gruppi, dalla teoria dei pro essi sto asti i, dalle equazioni integrali e in ne sempre piu diusamente dall'analisi numeri a piu raÆnata. La si a di questo se olo ha arontato problemi di grandissimo impegno: si sono omprese le basi della struttura intima della materia e si sono esplorati i on ni del osmo di ui si ha un modello globale he e oggetto di veri he sperimentali. Teoria ed esperimento sono sempre piu inestri abilmente legati, an he se l'apparenza e al ontrario quella di una di otomia tra l'attivita del si o sperimentale e del teori o. Cio e solo un'apparente ontraddizione: la omplessita degli esperimenti e del quadro teori o ha portato ad una forte par ellizzazione del lavoro, ma l'obiettivo e rimasto uni o, essenzialmente quello he e des ritto dalle parole di Einstein. Il nostro ammino di avvi inamento alla si a teori a pro edera per gradi. Innanzitutto rivedremo insieme le basi della me

ani a nella sua formulazione piu avanzata dovuta all'opera di Euler, Lagrange, Ja obi, Hamilton. Il fondamento euristi o { il prin ipio guida universale { di questa dis iplina e quello dei prin ipi variazionali. Vedremo ome tutta la me

ani a e la teoria dei ampi lassi i siano des rivibili in modo sempli e dalla ondizione di stazionarieta

Æ

Z

L(q; q_) dt = 0

rispetto a variazioni q(t) ! q(t)+Æq(t) della traiettoria. Questo prin ipio, lungamente onsiderato alla stregua di un fondamento meta si o, trovera una giusti azione adeguata solo nell'ambito della me

ani a quantisti a. Passeremo poi a sviluppare le basi elementari di quella he e tutt'ora la formulazione a

ettata della me

ani a quantisti a, in grado di des rivere quantitativamente la si a degli atomi, delle mole ole, dei solidi e, nei suoi sviluppi piu re enti, la si a delle interazioni fondamentali tra parti elle elementari. xii

Prologo

La me

ani a quantisti a ome e piu della me

ani a lassi a ri hiede solide basi matemati he. Nella sua prima formulazione (me

ani a ondulatoria) si presenta ome una teoria di ampo; gli strumenti basilari sono allora quelli delle equazioni dierenziali alle derivate parziali, dell'analisi omplessa e delle trasformate integrali. Nella sua formulazione generale ri hiede una onos enza di base della analisi funzionale (algebra lineare in spazi a in nite dimensioni), della teoria dei gruppi e, a se onda della omplessita dei sistemi in studio, an he degli strumenti della analisi numeri a. Al momento opportuno saranno indi ate le ne essarie fonti bibliogra he ovvero si svilupperanno, limitatamente alle ne essita del orso, al uni strumenti matemati i, raggruppati nelle varie appendi i. Questo libro non e un trattato di me

ani a quantisti a; in letteratura sono presenti testi di riferimento autorevoli [Dir59, Per36, LL76, Mer61, Mes62, S h63, Got66, CCP84, Sak90℄ a ui faremo riferimento nel orso dell'opera. Abbiamo voluto inve e mettere a disposizione dei olleghi un agile strumento didatti o pensato per il orso di Istituzioni di si a teori a del nuovo ordinamento del orso di laurea in Fisi a. Il suo s opo e, se ondo una tradizione ormai pluride ennale, quello di dotare tutti gli studenti di Fisi a, indipendentemente dall'indirizzo di laurea, di una solida base di si a teori a privilegiando l'aspetto del metodo. Non e pensabile oggi on gurare il orso ome in passato on obiettivi di ompletezza, in ludendo elettrodinami a, teoria della relativita, me

ani a statisti a, o altro. Si e inve e preferito limitare gli argomenti a quelli fondamentali della me

ani a analiti a lassi a e della me

ani a quantisti a elementare, in quanto esemplari dello stile della si a teori a e portatori di te ni he di indagine e di al olo esportabili ad altri ontesti teori i. Il nostro desiderio e ad esempio he lo studente he apprende le te ni he spettrali per l'equazione di S hroedinger sappia poi ri onos ere

he le stesse te ni he possono venire utili nello studio di guide d'onda per lu e oerente, oppure he le idee matemati he alla base delle bande di energia nei solidi ristallini sono identi he a quelle he sovrintendono alla dinami a lassi a in presenza di risonanza parametri a. Per una solida preparazione di base in me

ani a quantisti a riteniamo omunque indispensabile a

ompagnare queste lezioni allo studio dei \ lassi i", quali [Dir59, Bor60, Per36, LL76℄ per un approfondimento degli aspetti si i. Nel orso dell'opera saranno via via indi ate le sorgenti rilevanti, an he nella letteratura originale. E opportuno he lo studente aronti gia a questo stadio la onsultazione di opere originali, he poi diverranno il materiale di lavoro su ui guidare la ri er a. Si e messa una erta ura nella parte di eser izi, di ui una buona parte sono originati dalla prati a di insegnamento degli anni re enti (ringraziamo il ollega ed ami o Carlo Alabiso per aver i messo a disposizione xiii

Prologo

parte di questo materiale). Ringraziamenti: oltre alla dedi a, he, ome si sara apito, ha un

arattere eminentemente \te ni o", i e gradito ri ordare in questa sede tutti i olleghi he hanno avuto una parte nella preparazione di questa opera, in parti olare Mar ello Ciafaloni, He tor DeVega, Fiorenzo Duimio, Vladimir Fateev, Fran es o Guerra, John Klauder, Giuseppe Mar hesini, Pietro Menotti, Massimo Pauri, Ettore Remiddi, Gian Piero Te

hiolli, Mar o Toller e Miguel Virasoro per quanto i hanno insegnato in varie o

asioni di feli e ollaborazione s ienti a; un ringraziamento parti olare per Paolo Maraner he ha ontribuito la parte del testo relativa a nuovi sviluppi nelle appli azioni della geometria dierenziale alla me

ani a quantisti a (App. A.2). Nella preparazione del testo ha avuto una parte rilevante il supporto te ni o da parte del Laboratorio di Cal olo del Dipartimento di Fisi a dell'Universita di Parma; desideriamo per io ringraziarne il Direttore, Dr. Roberto Al eri e tutto il personale.

Notazioni In ne un enno alle notazioni impiegate. I problemi ontengono materiale importante. La loro numerazione e legata al apitolo e alla sezione nella forma Problema x.y-n, dove x e il numero del apitolo, y quello della sezione e n e un numero progressivo. Le soluzioni sono indi ate on Soluzione: : : : : : . I riferimenti bibliogra i sono in ordine alfabeti o ed hanno arattere mnemoni o (es. [LL76℄ indi a il testo di Landau e Lifshiz del 1976). I vettori sono denotati da lettere in grassetto (ad es. x; E ). L'insieme dei numeri naturali, interi, reali e omplessi sono indi ati on N ; Z; R ; C . Parte reale e immaginaria del numero omplesso z sono indi ate on Re z , Im z ; il omplesso oniugato e indi ato da z. Il simbolo r rappresenta l'operatore vettoriale di omponenti (=x; =y; =z ), per ui r
V e la divergenza di V , r ^ A e il rotore di A e r  e il gradiente di . L'operatore di Lapla e r2 e rappresentato dall'usuale 4 . Per vettori nello spazio di Minkowski (quadrivettori) si usa preferibilmente la notazione in oordinate p ; ( = 0; 1; 2; 3) e la lunghezza e de nita da p2 = p20 p21 p22 p23  p20 p2 .

xiv

Parte 1

Ri hiami di me

ani a analiti a

lassi a

CAPITOLO 1

Me

ani a del punto materiale 1.1. Le equazioni di Lagrange

La me

ani a di Newton, basata sulla legge del moto F = ma , si puo formulare in qualunque sistema di oordinate he si voglia adottare per des rivere il moto. Per il moto di un punto materiale soggetto a forza onservativa F = rV possiamo adottare oordinate artesiane fxi ; i = 1; 2; 3g oppure oordinate generali, ad esempio oordinate polari fr; #; 'g, legate alle artesiane da trasformazioni dierenziabili fx = r sin # os '; y = r sin # sin '; z = r os #g (si veda l'App. B.3 e per un'informazione piu ompleta [MS61℄). Le equazioni del moto assumono allora forme dierenti, del tutto equivalenti dal punto di vista si o: V (i = 1; 2; 3) mxi = xi oppure 8 V > > + m r #_ 2 + m r sin2 # '_ 2

> : m ' = : : : ( ompletare per eser izio le rimanenti equazioni del moto { si apprezzera maggiormente il metodo lagrangiano he svilupperemo nel seguito). L'adozione di oordinate generali e onveniente per sempli are le equazioni del moto (ad esempio per un ampo di forze entrali non ompaiono termini del tipo V=# ne V='), ma il lavoro ne essario per espli itare le equazioni puo diventare rilevante. Per sempli are questo

ompito onviene utilizzare il formalismo di Lagrange. Le equazioni del moto si possono porre nella forma generale d L(q; q_) L(q; q_) = ; (1.1) dt  q_i qi dove le variabili fqi ; i = 1; 2; 3g ostituis ono una s elta qualunque di oordinate generali e la funzione L(q; q_), detta la Lagrangiana del problema, e de nita dalla dierenza tra energia ineti a ed energia potenziale L=T V : 3

Me

ani a del punto materiale

Nell'uso di oordinate urvilinee e ne essario distinguere tra omponenti

ontrovarianti identi ate on un indi e in alto ( ome qi ) e omponenti

ovarianti identi ate inve e on indi e basso (pi ); sotto un ambiamento di oordinate P si intende he le omponenti ovarianti si trasformano in modo he i pi dqi rimane invariante. In base ad una onvenzione universalmente adottata (da Einstein in poi), si ometteranno i simboli di somma su indi i ripetuti. Se i si limita alle oordinate artesiane e a trasformazioni ortogonali non vi e dierenza tra indi i alti e bassi, ma in generale e ne essario tenere onto della dierenza. L'energia ineti a, he in oordinate artesiane e data sempli emente da

T=

3 X

i=1

1 mx_ 2 i 2

 21 mx_ ix_ i ;

e fa ilmente riespressa in oordinate generali qi dove assume la forma T = 12 m gij (q)q_i q_j : La forma quadrati a T e aratterizzata dalla matri e gij (q), detta la matri e metri a (o sempli emente la metri a ), de nita da x xk (1.2) gij (q) = ki j : q q In generale per un sistema di n parti elle interagenti on forze onservative de nite dall'energia potenziale V (q1 ; :::; qn ) la Lagrangiana sara de nita da

L(q; q_) =

1 2

n X 3 X

=1 i;j =1

m gij (q )q_i q_j V (q) :

Le equazioni del moto sono date dalla estensione a n gradi di liberta della (1.1), e ioe d L(q; q_) L(q; q_) (1.3) = ; (i = 1; 2; 3;  = 1; :::; n) : dt  q_i qi La validita delle equazioni di Lagrange e molto piu ampia di quanto esposto nora. La forma (1.3) si appli a an he in presenza di vin oli olonomi , esprimibili ioe da relazioni del tipo r (q) = 0 (r = 1; :::; p) a patto di introdurre oordinate generali q1 ; :::; q3n p he tengano onto espli itamente dei vin oli, oppure an ora on il metodo dei moltipli atori di Lagrange, ome e noto dalla me

ani a razionale. Il vantaggio della formulazione lagrangiana delle equazioni del moto si puo dunque riassumere nel fatto he la forma (1.3) si appli a a qualunque s elta delle oordinate generali, il he permette di sorvolare sul problema di identi are le forze 4

Le equazioni di Lagrange di inerzia e le reazioni vin olari . Non dimostreremo ora quanto aermato, assumendone la onos enza dalla me

ani a razionale; ne daremo tuttavia in seguito (x1.3) una derivazione a partire dal prin ipio variazionale. Ci interessa sottolineare l'ulteriore estensione della appli abilita delle equazioni di Lagrange a forze derivabili da potenziali dipendenti dalla velo ita. Cio permette di rappresentare nel formalismo di Lagrange an he le forze elettromagneti he (vedi il x3.3). Problema 1.1-1. Dimostrare he la quantita gij dqi dq j e invariante rispetto a trasformazioni di oordinate qi ! Qi = f i (q). Problema 1.1-2. Ri avare la matri e metri a per i sistemi di oordinate i) sferi he (r; # ') ii) paraboli he 8 1 2  2 ) os ' > 2 otteniamo due radi i !1 ; !2 reali e distinte on prodotto uguale a uno, il he impli a he una di queste (di iamo !2 ) e in modulo maggiore di uno. Ne segue he in questo aso la soluzione e instabile, dal momento

he ontiene un oeÆ iente !2n he diverge per n ! 1, il he omporta

he per tempi grandi l'approssimazione lineare ade in difetto. 39

Appli azioni

Se
< 2 le radi i sono omplesse di modulo uno e il moto si mantiene limitato { e questo il regime di stabilita. Lo stesso tipo di analisi si appli a al aso di sistemi lineari on parametri dipendenti dal tempo e, in tutt'altro ontesto, e alla base della teoria delle bande elettroni he in me

ani a quantisti a (si veda il x6.4). Problema 3.2-3. Risolvere le equazioni alle variazioni per il moto di un satellite in orbita ir olare. Problema 3.2-4. Dis utere le ondizioni di stabilita per le pi

ole os illazioni di un pendolo sempli e la ui lunghezza l(t) dipende periodi amente dal tempo se ondo la legge (

l(t + T ) = l(t) =

l1 per 0 < t < 12 T l2 per 21 T < t < T

3.3. Parti ella ari a in ampo elettromagneti o La Lagrangiana

e L = 12 mx_ 2 + A(x)
x_ e(x)

des rive una parti ella di ari a e interagente on un ampo elettromagneti o aratterizzato dai ampi E = r; B = r ^ A. Infatti le equazioni di Lagrange danno immediatamente le equazioni del moto orrette e  mxi = (x_ ^ B )i e

xi Il formalismo anoni o si ottiene attraverso la trasformata di Legendre: L e pi = = mx_ i + Ai  x_ i

1  e 2 H= p A + e(x) 2m

Nel formalismo anoni o entrano dunque in onsiderazione i potenziali (A; ) ome oggetti primari. Si tenga presente he la de nizione dei potenziali e sempre assoggettabile ad una trasformazione di gauge he non ambia i ampi si i E ; B . Il aso piu generale e quello di potenziali e ampi dipendenti dal tempo, he onviene des rivere nel formalismo tetradimensionale. Si indi a allora on A l'insieme dei potenziali (A0 = ; (A1 ; A2 ; A3 ) = A), e i ampi sono de niti dal sistema di equazioni A A F =  x x 40 (3.7)

Parti ella ari a in ampo elettromagneti o

Il tensore F ondensa in una stessa entita ampo elettri o e magneti o, se ondo lo s hema 0 1 2 3 1 0 0 0 E 1 E2 E3 B E1 B2 C 1 0 B3 C F = 2B  E2 B3 0 B1 A 3 E 3 B2 B1 0 La trasformazione di gauge A ! A0 = A + r (3.8) 1  ! 0=

t 0 (o piu sinteti amente A = A +  ) las ia il ampo elettromagneti o immutato. Nella des rizione anoni a delle interazioni elettromagneti he, il momento oniugato pi = x_ i + eAi = e dipendente dalla s elta di gauge, il he avra impli azioni importanti in teoria quantisti a. Problema 3.3-1. Dimostrare he per un ampo magneti o uniforme e ostante diretto nella direzione dell'asse z (B = B z^ ), l'Hamiltoniana si puo mettere nella forma p2 eB M + O(B 2 ) H= 2m 2m z dove Mz e la omponente z del momento angolare. Si s elga il potenziale vettore nella forma A = 21 B ^ x .

3.3.1. Moto in ampo magneti o uniforme. Il problema della dinami a della parti ella ari a in un ampo magneti o ostante B pone un quesito interessante: ome si on ilia la evidente simmetria di traslazione di ui sono dotate le leggi del moto di Newton on l'apparente man anza di simmetria della Hamiltoniana? Qualunque sia la s elta del potenziale A(x); l'Hamiltoniana non puo essere invariante per traslazione se on questo si intende l'ordinaria trasformazione x ! x + a . Tuttavia dal momento he A(x + a) deve orrispondere allo stesso ampo magneti o

ostante B deve esistere una trasformazione di gauge tale he A(x + a) A(x) = r(x; a): Cio omporta he la rottura di simmetria sotto traslazioni puo essere

orretta da una trasformazione di gauge in modo tale he la trasformazione risultante x ! x+a e p ! p + r(x; a)

41

Appli azioni

las i invariante l'Hamiltoniana. E questa dunque la de nizione piu onveniente di traslazione per una parti ella in ampo magneti o ostante, se non altro per he, da un punto di vista utilitaristi o, i ore immediatamente delle ostanti del moto e pre isamente le funzioni generatri i delle traslazioni in nitesimali he risultano sempli emente e Ga(x; p) = a
p (x; a):

Se s egliamo la gauge A = 12 B ^ x ; si ha in parti olare   e Ga(x; p) = a
p x ^ B ;

e le ostanti del moto sono le seguenti eB eB y; P2 = p2 + x; P3 = p3 (3.9) P1 = p1 2 2

he si veri a immediatamente avere parentesi di Poisson nulla on 1 H (x; p) = 2m

"

eB p1 + y 2

2



+ p2

eB x 2

2

#

+ p23 :

Qual e il signi ato di queste ostanti del moto? Appli ando le equazioni del moto troviamo subito eB P1 = mx_ y

eB P2 = my_ + x;

da ui segue  

2

2  d  P + y + P1 = 0; x dt eB 2 eB ossia la proiezione delle orbite sul piano xy e sempre ir olare e le ostanti del moto =(eB ) (P1 ; P2 ) ne rappresentano il entro . E immediato veri are he le variabili X = P2 =eB; Y = P1 =eB hanno la seguente parentesi di Poisson

fX; Y g = eB : Si puo peranto introdurre un nuovo insieme di oordinate anoni he di

ui fanno parte P1 = X e Q1 = eBY= . Come eser izio si determini la

oppia Q2 ; P2 he ompleta l'insieme di variabili anoni he. Problema 3.3-2. Dis utere la simmetria di traslazione nel aso della s elta di gauge A = (0; Bx; 0), ri avare le ostanti del moto relative e veri are he il loro signi ato si o e lo stesso individuato in pre edenza. 42

Il problema dei due orpi

3.4. Il problema dei due orpi La dinami a di un sistema isolato ostituito da due masse puntiformi m1 ; m2 interagenti attraverso un potenziale stati o V , he sia funzione solo della mutua distanza, e noto ome il problema dei due orpi . Il problema, interamente solubile per via analiti a, e nato nella des rizione newtoniana del moto dei pianeti e si appli a nella des rizione del modello di atomo di Rutherford. Il problema ammette soluzioni limitate in ui i due orpi rimangono per sempre legati a distanza nita, e moti non-legati,

he des rivono eventi di urto. Vedremo ome si studiano entrambi i asi.

3.4.1. Separazione del moto del bari entro.

del sistema si s rive

H (x1 ; x2 ; p1 ; p2 ) =

La Hamiltoniana

1 2 1 2 p1 + p + V (jx1 2m1 2m2 2

x2 j)

Dalla invarianza della Hamiltoniana sotto traslazioni segue he il momento lineare totale del sistema P = p1 + p2 e una ostante del moto. Conviene allora s egliere le omponenti Pi ome oordinate anoni he. La trasformazione anoni a si determina fa ilmente ome segue: indi hiamo on Q le omponenti delle variabili oniugate a P , e on (p; x) le rimanenti variabili da aggiungere alle (P ; Q) per ompletare il quadro delle oordinate

anoni he. Assumendo he la trasformazione sia lineare2, porremo

P = p 1 + p2 ; Q = 1 x1 + 2 x2 p = 1 p1 + 2 p2 ; x = 1 x1 + 2 x2 : Si puo imporre he la trasformazione sia anoni a attraverso le relazioni fondamentali (2.5). Si ottiene:  i Q ; Pj =  i

(1 + 2 ) Æij = Æij x ; Pj = ( 1 + 2 ) Æij = 0  i Q ; pj = (1 1 + 2 2 ) Æij = 0  i x ; pj = ( 1 1 + 2 2 ) Æij = Æij

Dalla se onda equazione possiamo porre 1 = 2 , 2 = 1 , per una nuova ostante . Sostituendo nelle rimanenti equazioni si ottiene 1 =

2 = 1=; la soluzione generale omporta quindi due ostanti arbitrarie 2Il gruppo delle trasformazioni anoni he lineari viene denominato gruppo simpletti o.

43

Appli azioni

 e 1 e si s rive

0 1

0

10

P 1 BQC B 0 B C=B  p A  (1 1 ) x 0

1

0 1 0 p1 C Bx1 C  0 1  1 1 CB C (3.10) 0 1 0 A p2 A x2 1= 0 1= Tra tutte le in nite soluzioni la piu interessante e quella he fa oin idere Q on il bari entro delle due masse; io orrisponde a ssare 1 = m1 =(m1 + m2 ), mentre l'altro parametro  si puo porre uguale a uno, senza perdita di generalita. Si ha in de nitiva il quadro seguente m x + m2 x2 P = p1 + p2 ; Q= 1 1 m1 + m2 (3.11) m1 p2 m2 p1 p= ; x = x2 x1 : m1 + m2 L'Hamiltoniana nelle nuove oordinate anoni he si trova fa ilmente essere (3.12)

H=

P 2 p2 + + V (r) 2M 2

dove r = jxj e si sono introdotte la massa totale M = m1 + m2 e la osiddetta massa ridotta  = m1 m2 =(m1 + m2 ). Il problema risulta pertanto separato nel moto del bari entro e nel moto relativo. La dinami a del bari entro e banale (moto rettilineo uniforme), mentre il moto relativo e quello di una parti ella di massa  in un ampo entrale V . Abbiamo sfruttato la simmetria di traslazione e ridotto il numero di gradi di liberta a quelli del moto relativo. C'e ora un'altra simmetria he puo essere utilizzata per ridurre ulteriormente i gradi di liberta, la simmetria di rotazione. In base a questa simmetria il momento angolare totale del sistema x ^ p + Q ^ P si

onserva (vedi Probl. 3.4-1). Nel sistema del bari entro la Hamiltoniana risulta invariante rispetto a rotazioni indipendenti delle oordinate Q e x, il he omporta he an he M = x ^ p e ostante del moto. Il moto relativo avviene pertanto nel piano ortogonale al vettore ostante M e si ridu e quindi a un problema a due gradi di liberta. In oordinate polari nel piano si ha allora l'Hamiltoniana ridotta !

1 2 p2' p + + V (r) h= 2 r r2 Il residuo di simmetria entrale si manifesta nel fatto he la oordinata ' non ompare espli itamente e quindi il suo momento oniugato e ostante del moto (p' = ostante = ` = jM j). Il moto e per io eettivamente ridotto allo studio di un sistema monodimensionale on potenziale eÆ a e Ve (r; `) = V (r) + `2 =2r2 . 44

Il problema dei due orpi Problema 3.4-1. Dimostrare he nel problema dei due orpi il momento angolare totale e dato da

M tot = x1 ^ p1 + x2 ^ p2 = Q ^ P + r ^ p :

3.4.2. Urti tra parti elle. La soluzione dell'equazione di Hamilton-Ja obi nel aso di ampo entrale, Eq. (2.11), permette di risolvere immediatamente il problema dell'urto di due masse. L'angolo di de essione # nel sistema di bari entro si ottiene ponendo r ! 1 e s egliendo r0 = r0 (E; `) uguale alla minima distanza possibile: # =  2
' Z 1 dr=r2 ` p =  2p 2 r0 E Ve (r; `) Per il potenziale oulombiano he agis e tra un nu leo di ari a Ze e una parti ella  si ha V (r) = 2 Z e2 =r; il al olo dell'integrale e elementare e ore il risultato

' = os

1

1=r k=`2 p 2E=`2 + (k=`2 )2

dove k = 2 Z e2 . Ponendo (3.13)

`2 = ; "= k

s

1+

!

2E`2 k2

si ottiene l'equazione

 = 1 + " os ' r

he rappresenta una oni a di e

entri ita ", ed in ne l'angolo di de essione (3.14)

(3.15)

# =  2 os 1 (1=") ;

o, piu sempli emente, sin 12 # = " 1 . Ora, i parametri naturali per des rivere l'urto sono la velo ita iniziale v1 e il parametro d'impatto b, de niti 2 =2

ome segue: in assenza di interazione l'energia e tutta ineti a E = v1 e la traiettoria e rettilinea: sia b la distanza di questa traiettoria \libera" dal entro di interazione. E hiaro he il parametro d'impatto e esprimibile in termini del momento angolare, e pre isamente ` = v1 b. Sostituendo a (E; `) le nuove variabili (v1 ; b) si ottiene (3.16)

p

4 =k 2 : " = 1 + 2 b2 v1 45

Appli azioni

Il al olo della sezione d'urto dierenziale ri hiede la onos enza di b in funzione di #, e pre isamente d bdb : = d d( os #) Combinando l'Eq. (3.15) on la (3.16) si ha allora # 2Ze2 b = 2 ot v1 2 (3.17)   2
d Ze sin 21 # 4 = 2 d

v1 Questa formula rappresenta la sezione d'urto dierenziale per diusione di parti elle  da parte di nu lei atomi i (Rutherford, 1911). La formula, basata interamente sulla me

ani a lassi a, oin ide a

identalmente3

on quella he ri averemo in base alla me

ani a quantisti a. Problema 3.4-2. Dimostrare he la sezione d'urto (3.17) si puo mettere nella forma d = jAj2 d

on 2 A = 4Ze  2

jpin pout j

essendo pin e pout il momento lineare iniziale e quello nale. Problema 3.4-3. Dimostrare he nel limite E ! 1 l'angolo di deflessione si puo porre nella forma sempli ata 2k : # bv1 Veri are he in una des rizione orpus olare della lu e questa formula darebbe una de essione dei raggi luminosi da parte del Sole nella misura di 2G M #  N 2 ; R (in questo aso si ha k = GN M ) e onfrontare questo risultato on il valore previsto dalla Relativita Generale (vedi Probl. 3.4-7). Problema 3.4-4. Considerare una oppia di parti elle ari he ( on

ari a totale zero) immerse in un ampo magneti o uniforme e ostante nel tempo B . Si determini la Hamiltoniana in termini delle oordinate del bari entro e delle oordinate relative. Il problema si aronta piu agevolmente 3Si tratta di una oin idenza he ha ontribuito favorevolmente allo sviluppo della si a atomi a!

46

Il problema dei due orpi a partire dalla Lagrangiana ed eettuando la trasformata di Legendre direttamente sulle oordinate adattate al sistema del entro di massa. La Lagrangiana e data da 2 X e1 e2 1 m x_ 2 L(x1 ; x_ 1 ; x2 ; x_ 2 ) = 2 i i +

i=1 2 X

jx1 x2 j

ei x_ i
A(xi ) i=1

Il potenziale A si puo s egliere ome A(x) = 12 B ^ x. Se inseriamo le formule (3.11) m2 x1 = X x; x2 = X + m1 x; e1 = e2 = e M M otteniamo la nuova Lagrangiana M 2  L(X ; X_ ; x; x_ ) = X_ + x_ 2 2 2 e m2 m1 + B
x ^ x_ e B
xX_ 2 M

dove  e la massa ridotta e un termine pari a d=dt (B
X ^ x) e stato eliminato in quanto non ontribuis e alle equazioni del moto. La trasformata di Legendre porta all'Hamiltoniana 2 2 e 1  e e2 1  P + B^x + p B ^ x H= 2M

2 2 r dove e e una ari a eÆ a e pari a m m2 e = 1 e m1 + m 2 Dal momento he P e una ostante del moto, la dinami a relativa si puo studiare nel riferimento in ui P = 0; l'Hamiltoniana ridotta risulta essere e 1  e 2 e2 1 B
x^p+ (B ^ x)2 : h(p; x) = p2 2 2 8 r La orrezione all'a

oppiamento magneti o dovuta alla presenza di e e sempre pi

ola per un atomo, dove il rapporto m2 =m1 e  5  10 4 (vedi [BS57℄), ma ovviamente e assai rilevante per un atomo mesi o (protone + muone). E da rilevare he in quest'ultimo aso si dovrebbe pero appli are la dinami a relativisti a.

3.4.3. Leggi di Keplero. Completiamo la trattazione del moto in

ampo entrale, in parti olare nel aso del potenziale Newtoniano generato dal Sole onsiderato ome una distribuzione di massa sferi amente simmetri a: V (r) = k=r = GN M m=r . Abbiamo gia determinato l'equazione dell'orbita (vedi l'Eq. (3.14); nel Probl. 3.4-5 si trovera un 47

Appli azioni

metodo alternativo). La trasformazione anoni a allo s hema di Hamilton-Ja obi si ompleta on il al olo della variabile oniugata all'energia,

he evolve nel tempo se ondo l'equazione W = t t0 = E r Z  dr p = 2 E Ve (r; `) Per il aso Kepleriano (orbita ellitti a, E < 0) il al olo e elementare, e permette di seguire il moto sull'orbita in funzione del tempo. Per ottenere la terza legge di Keplero si determina il periodo dell'orbita ome segue: indi ando on rmin; rmax rispettivamente l'afelio e il perielio, il periodo e dato da Z rmax
T = 2 r dr 2Er2 + 2kr `2 1=2 rmin

L'integrale si valuta in ampo omplesso deformando il ammino in una

ir onferenza di raggio R ! 1 e da il risultato r  dJ (E ) (3.18) T =  k( E ) 3=2 = 2 2 dE dove J (E ) e l'integrale d'azione. Dall'Eq. 3.14 a p. 45 si ottiene poi rmin + rmax = 2a = 2`2 =[k(1 "2 )℄ = k=E da ui, ombinando il risultato on l'Eq. 3.18, si ottiene T 2 =a3 = (2)2 =GN (M + m) Questo mostra he il rapporto T 2 =a3 e lo stesso per tutti i pianeti a patto di tras urare la massa del pianeta rispetto a quella del Sole . Problema 3.4-5. Determinare la ostante in modo he il vettore4

(3.19)

N =p^M

r r

risulti ostante del moto per il moto in ampo newtoniano V = k=r. Dimostrare he il vettore N gia e sul piano dell'orbita ed e legato in modo molto diretto all'e

entri ita. In base alle equazioni del moto, si trova fa ilmente he N risulta ostante per il parti olare valore = k. E hiaro

he N , essendo ortogonale a M , gia e nel piano dell'orbita. Se prendiamo il prodotto s alare on il vettore di posizione r, e indi hiamo on ' l'angolo tra quest'ultimo e N , troviamo  r rjN j os ' = r
p ^ M k r = `2

kr

4Noto ome vettore di Runge{Lenz, ma in realta gia ben noto a Lapla e.

48

Il problema dei due orpi da ui otteniamo immediatamente l'equazione dell'orbita jN j os ' `2 =1+ kr k il he mostra ome la lunghezza di N e direttamente proporzionale all'e

entri ita. Problema 3.4-6. Ri avare la III legge di Keplero attraverso un puro argomento dimensionale. Problema 3.4-7. Se ondo la Relativita Generale, la traiettoria di una parti ella soggetta a un ampo gravitazionale e data da una geodeti a nello spazio-tempo nella geometria de nita da una metri a g soluzione delle equazioni di Einstein; la metri a he orrisponde ad una distribuzione di massa a simmetria sferi a (metri a di S hwarzs hild) e data da ds2 = e  2 dt2 e dr2 r2 (d#2 + sin2 # d'2 ) dove e  = 1 S =r , S = 2GN M= 2 (raggio di S hwarzs hild), GN e la ostante gravitazionale e M e la massa totale5. Dimostrare he l'equazione della geodeti a nel piano # = 12  e equivalente alle equazioni di Eulero-Lagrange dedu ibili dalla Lagrangiana q

L = m e  2 e r_ 2 r2 #_ 2 : Si ri avi la Hamiltoniana e da questa si determini l'equazione dell'orbita attraverso il metodo di Hamilton-Ja obi. Si mostri he le traiettorie nel piano r; # sono indipendenti dalla massa m. Si ri avi la formula di Einstein per la pre essione del perielio (m 6= 0) e la de essione dei raggi luminosi (m = 0). L'equazione della geodeti a e Æ R ds = 0. Introdu endo t ome parametro e immediato identi are la Lagrangiana a meno di un fattore di proporzionalita he viene ssato nel limite ! 1 dalla ondizione di riottenere la me

ani a Newtoniana. Si trova poi l'Hamiltoniana s 1 p2 H = e 2 m2 2 + p2r e  + #2 r e si ottiene per io l'equazione di Hamilton-Ja obi nella forma  2     E W 2 W 2 2  +r = e m2 2 : e r #

5Si vedano [LL60, Pau58, Reg80, Piz93℄ per una introduzione alla Relativita Generale, [Edd24℄, ap. III, per i al oli dettagliati relativi alle prime veri he sperimentali, [Pau95℄ per una visione moderna dei on etti fondamentali di spazio e tempo.

49

Appli azioni

Le sostituzioni

p ! p ; H ! H ; m ! m ;

las iano invarianti le equazioni del moto e per io le traiettorie si possono studiare nei due asi essenzialmente dierenti m > 0 e m = 0. La separazione delle variabili porta a Z

s





E 2 (m2 2 + `2 =r2 ) e  : (3.20) W = `# +

L'equazione dell'orbita si determina imponendo he W=# = ostante. a) m > 0: si pone E = m 2 + E 0 e si ottiene Z dr=r2 : #  #0 + ` p 2mE 0 + 2GN Mm2 =r (1 S =r) `2 =r2 L'integrale si puo valutare per via approssimata tenendo solo il primo termine in 2 e da per lo spostamento del perielio la formula di Einstein a2 S
# = 243 2 2 ; = 3 2

T (1  ) a (1 2 ) dove a e il semiasse maggiore dell'ellisse,  e l'e

entri ita e T e il periodo; numeri amente si trova
#  5:7000 =a per ogni orbita, se il semiasse e espresso in milioni di km (si vedano [LCA74, Pau58℄). b) m = 0: si pone E= = `=b, introdu endo il parametro d'impatto b, e si ottiene l'equazione analoga alla (3.4-7). Dierenziando si trova (u = 1=r):  2 du + u2 = b 2 + S u3 : d# Ponendo bu = sin # + Æu si trova in prima approssimazione  Æu = S (1 + os2 #) : 2b La de essione orrisponde al doppio del valore di # per ui u = 0 e quindi si ottiene
# = 2S =b (se b = R si trova
#  1:7600 ). Si onfronti questo risultato on quello he si potrebbe ottenere da un'appli azione della dinami a newtoniana a una parti ella di velo ita (vedi Probl. 3.4-3). Problema 3.4-8. Se ondo il risultato del problema pre edente, la

orrezione relativisti a al moto di Keplero e equivalente a un termine adddizionale alla energia potenziale S `2 :
V = 2m r3 Determinare la variazione del vettore di Runge-Lenz dovuta a
V e valutare per questa via lo spostamento del perielio. dr e

50

CAPITOLO 4

Elementi di si a dei mezzi ontinui 4.1. La si a matemati a delle os illazioni elasti he L'apparato matemati o elementare della me

ani a ondulatoria e ereditato interamente dalla si a matemati a dei mezzi ontinui, piu pre isamente dalla si a he des rive la propagazione di onde in mezzi elasti i o la diusione del alore. Come preparazione agli sviluppi futuri, e per il loro interesse intrinse o, onsideriamo al uni sempli i problemi di vibrazioni elasti he.

4.1.1. L'equazione d'onda. Una orda elasti a ssa agli estremi si des rive on un'equazione alle derivate parziali nota ome equazione delle onde: 2 1 2 = ; x2 v2 t2 dove (x; t) e lo spostamento dalla posizione di equilibrio e v e un parametro esprimibile inptermini della densita  ( ostante) della orda e della tensione  : v = =. L'equazione ammette ome soluzione generale (x; t) = f (x vt) + g(x + vt) ;

ome si puo fa ilmente ri avare introdu endo nuove variabili x+ = x + vt; x = x vt, in termini delle quali l'equazione diviene sempli emente 2 =0: x+ x Questo tipo di soluzione non e tuttavia appli abile all'equazione d'onda in dimensione superiore a due e per io e piu importante onsiderare un altro s hema di soluzione molto piu generale. Cer hiamo soluzioni della forma fattorizzata (x; t) = X (x) T (t). Sostituendo nell'equazione d'onda si ottiene d2 X 1 d2 T T (t) 2 = 2 2 X ; dx v dt da ui, dividendo ambo i membri per XT , si trova X 00 1 T = : X v2 T 51

Elementi di fisi a dei mezzi ontinui

Dato he il membro di sinistra dell'equazione dipende solo da x mentre quello di destra dipende solo da t, ne segue he ambo i membri devono essere uguali ad una ostante, di iamo 2 , in genere denominata ostante di separazione : X 00 (x) + 2 X (x) = 0 (4.1) T(t) + 2 v2 T (t) = 0 : La soluzione generale e ovviamente X (x) = A sin x + B os x (4.2) T (t) = B os(v(t t0 )) : Se la orda e ssa agli estremi x = 0; x = L, dovremo imporre ondizioni al ontorno1 X (0) = X (L) = 0; mentre la prima ondizione e soddisfatta sempli emente ssando B = 0, la se onda i da A sin L = 0 : Non puo essere A = 0, he porta ad una soluzione banale, bens sara L = n ; per qual he intero positivo n. Le soluzioni possibili sono date per io (a meno di una ostante moltipli ativa) dalla parte reale di n nv o  nx  exp i t : (4.3) n (x; t) = sin L L Se esaminiamo l'altra possibilita, ioe soluzioni on ostante di separazione positiva, troviamo immediatamente he non i e possibile soddisfare le

ondizioni al ontorno. Osserviamo he queste soluzioni rappresentano movimenti periodi i della orda on frequenze tutte multiple della frequenza fondamentale ! = =L. Questi movimenti sono denominati \modi normali" della orda. Abbiamo per io determinato la forma piu generale delle soluzioni di tipo periodi o. Dal momento he l'equazione d'onda e lineare omogenea possiamo subito ostruire una soluzione molto piu generale attraverso una

ombinazione lineare delle n de nite dalla Eq. (4.3). (4.4)

(x; t) =

1 X

An n (x; t) ;

n= 1 dove le in nite ostanti arbitrarie An assumono valori omplessi, in modo da permettere uno sfasamento arbitrario tra i vari modi normali, ma soddisfano la ondizione A n = An per assi urare il arattere reale della soluzione. 1Si di e he si adottano \ ondizioni di Diri hlet".

52

La si a matemati a delle os illazioni elasti he

La questione piu importante da de idere a questo punto e la seguente: la soluzione (4.4) e davvero la piu generale possibile? La risposta puo essere data se ondo il seguente riterio: la soluzione generale deve essere in grado di riprodurre un'arbitraria ondizione iniziale (x; 0) = f (x); =t = u(x). Cio ondu e alle equazioni 1 X An sin(nx=L) = f (x) n= 1 1 X nv sin(nx=L) = u(x) ; An i L n= 1

he diviene2, tenendo onto delle ondizioni ui devono soddisfare i oef ienti An 1 X 2 Re An sin(nx=L) = f (x) n=1

2

1 X

n=1

sin(nx=L) = u(x) : Im An nv L

Se dunque le ondizioni iniziali f (x) e u(x) sono sviluppabili in serie di Fourier abbiamo ostruito attraverso le formule pre edenti la soluzione

er ata. Le ostanti An si determinano grazie alle formule di integrazione (relazioni di ortogonalita) Z L nx mx 1 dx sin sin = 2 L Ænm : L L 0 La su

essione di funzioni r 2 nx sin ; (n = 1; 2; : : :) en (x) = L L forma un sistema di vettori ortogonali e di lunghezza unitaria nello spazio delle funzioni a quadrato integrabile L2 ([0; L℄); diremo he il sistema forma una base ortonormale , rispetto al prodotto s alare

hf j gi =

Z L

0

f (x) g(x)dx :

E importante familiarizzar i in questo esempio, il piu sempli e possibile,

on questo on etto: le soluzioni di una equazione alle derivate parziali lineare omogenea formano uno spazio lineare (a in nite dimensioni); il metodo della fattorizzazione puo fornir i una base di vettori in questo 2Ri ordiamo la onvenzione adottata in tutto il testo: Re z indi a la parte reale del numero omplesso z e Im z la sua parte immaginaria.

53

Elementi di fisi a dei mezzi ontinui

spazio in modo he una qualunque soluzione puo essere espressa ome

ombinazione lineare di vettori della base. Problema 4.1-1. Esprimere l'energia della orda vibrante in termini dei oeÆ ienti dello sviluppo in modi normali. Si ri ordi he l'energia della

orda si esprime ome

Z L

( 

 dx  E [℄ = x 0 e si appli hi la relazione di ortogonalita. 1 2

2



 + t

2 )

4.1.2. Vibrazione di membrane. Passiamo ora allo studio di una membrana elasti a, quale quella di un tamburo: il problema delle vibrazioni si aronta risolvendo l'equazione d'onda in due variabili spaziali

on opportune ondizioni al ontorno. Qualunque sia la forma della membrana e hiaro he esistono modi normali di vibrazione he si possono individuare sperimentalmente utilizzando una lu e strobos opi a a frequenza regolabile. Dal punto di vista matemati o, se non i si vuole ri ondurre a qual he metodo numeri o, si potranno studiare analiti amente solo membrane dotate di parti olare simmetria. Il aso di una membrana rettangolare e del tutto banale. L'equazione 2 2 1 2 + = x2 y2 v2 t2 per [0 < x < L1 ; 0 < y < L2 ℄ si separa agevolemente ponendo (x; y; t) = X (x) Y (y) T (t) ; si trovano os i modi normali nella forma n x n y n1 n2 = sin 1 sin 2 os(!n1 n2 (t t0 )) L1 L2 p 2 2

on !n1 n2 = n1 + n2 , n1 ; n2 interi positivi. Las iamo al lettore il ompito di sviluppare i dettagli, basati an ora sulla trasformata di Fourier. Il aso di una membrana ir olare verra svolto piu a fondo, in quanto ri hiede l'introduzione di elementi di analisi

he risulteranno utili in seguito. Per una membrana ir olare di raggio r0

onviene introdurre oordinate polari (r; ') e s rivere l'equazione d'onda nella forma (si veda l'App. B.3)    ! 2 1  1 2 ; r + 2 2= r r r r ' v avendo gia selezionato soluzioni periodi he di frequenza !. La separazione delle variabili  = R(r) (') ore il seguente s hema (indi hiamo per sempli ita on un api e la derivata rispetto all'uni o argomento)  ! 2 1 00 1 R = 0 : (rR )  + 2 R00 + r r v 54

La si a matemati a delle os illazioni elasti he

Dividiamo per R, poniamo !=v = k e otteniamo 1 1 (rR0 )0 + 2 00 + k2 = 0 ; rR r ovvero, isolando il ternine he dipende dall'angolo,   00 1 2 0 0 2 =r (rR ) + k :  rR Dato he r e ' sono indipendenti i due membri di questa equazione devono essere uguali ad una medesima ostante, hiamiamola m2 . Ne ri aviamo per io due equazioni ordinarie (4.5) 00 + m2  = 0 (4.6)



1 (rR0 )0 + k2 rR



m2 R = 0: r2

La prima e ovviamente risolta da (') = exp(im'); dato he per la

ontinuita della funzione  dobbiamo ri hiedere he  sia periodi a di periodo 2 in ', la ostante m e ostretta ad assumere valori interi. L'equazione in R e ben nota n dal se olo s orso ome equazione di Bessel. Ne studiamo la soluzione on il (vedi l'App. B.6). Innanzitutto si ponga R(r) = r u(r) per ri ondursi ad una equazione in ui ompaiano

oeÆ ienti piu sempli i; la s elta  = jmj porta alla seguente ru00 + (2jmj + 1)u0 + k2 ru = 0

he e risolubile on il metodo di Lapla e: sostituendo la rappresentazione integrale

u(r) =

Z

ezr F (z )dz

nell'equazione dierenziale e integrando per parti otteniamo 2 2 2 zr 0 = (z + k )e F (z ) +

1 Z 

(2jmj + 1)zF (z )



 d  2 2 (z + k )F (z ) ezr dz ; dz

1

he e risolta da F (z ) = (z 2 + k2 )jmj 2 a patto di ssare la urva di integazione in modo he i ontributi niti dell'integrazione per parti svanis ano. Cio si realizza s egliendo per il segmento he ongiunge 55

Elementi di fisi a dei mezzi ontinui

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

m=0 m=1 m=2 m=3 2.40483 3.83171 5.13562 6.38016 5.52008 7.01559 8.41724 9.76102 8.65373 10.1735 11.6198 13.0152 11.7915 13.3237 14.7960 16.2235 14.9309 16.4706 17.9598 19.4094 18.0711 19.6159 21.1170 22.5827 21.2116 22.7601 24.2701 25.7482 24.3525 25.9037 27.4206 28.9084 27.4935 29.0468 30.5692 32.0649 30.6346 32.1897 33.7165 35.2187 Tabella 4-1. Zeri delle funzioni di Bessel Jm (x). ik a ik. Si ottiene os Rm (r) = rjmj

Z ik

ik

/ (kr)jmj

1

ezr (z 2 + k2 )jmj 2 dz

Z 1

 Jm (kr) :

1

exp(ikr )(1  2 )jmj

1 2 d

La ondizione al ontorno di annullamento sul bordo ir olare (r0 ) = 0 seleziona i valori ammessi di k e quindi della frequenza, determinando os il timbro della membrana. L'equazione

Jm (kr0 ) = 0 ammette in nite soluzioni (1) < k (2) < : : : < k (n) < : : : k = km m m

he orrispondono a modi di vibrazione on un numero di linee nodali (radiali) pari all'indi e superiore diminuito di uno. Da un al olo numeri o si ottiene la Tab. 4-1. E fa ile ottenere l'andamento asintoti o delle (n) frequenze !m per grandi valori di n in quanto le funzioni Jm sono bene approssimate per grandi valori dell'argomento dalla formula

Jm (x) 

r

2 sin(x x

(n) da ui si dedu e km r0  n + (m

1 2 (m

1). 2 2

56

1 ) ) ; 2

La si a matemati a delle os illazioni elasti he

Le proprieta delle funzioni di Bessel (vedi ad esempio [AS65, Ho 71℄) si possono fa ilmente studiare ri ondu endosi alla J0 (x) in base alla relazione di ri orrenza d Jm+1 (x) / xm x m Jm (x) dx

he segue direttamente dalla rappresentazione integrale. Per la J0 (x) si ha poi Z 1 2 ix os # d# J0 (x) = e 2 0 e l'espressione asintoti a pre edente si ottiene on il \metodo di punto a sella" [BRS93℄. Problema 4.1-2. Determinare i modi propri di os illazione per la pressione di un gas perfetto in una avita sferi a. Problema 4.1-3. Determinare la frequenza fondamentale di vibrazione per una lamina elasti a avente la forma di un triangolo rettangolo isos ele.

Abbiamo os ottenuto le frequenze proprie di vibrazione di una lamina elasti a ir olare. La frequenza fondamentale e data da !10 = 2:40483 v=r0 e tutte le altre si leggono dalla Tab. 4-1. Il timbro di un tamburo sara poi determinato an he dalle frequenze proprie della avita risonante e quindi il problema risulta in realta molto piu omplesso.

4.1.3. Armoni he sferi he. Consideriamo ora un problema la ui soluzione trova appli azione ad un'intera lasse di problemi on simmetria sferi a e in parti olare i servira in me

ani a quantisti a per al olare gli spettri atomi i. Si onsideri l'equazione d'onda per un mezzo elasti o omogeneo all'interno di una sfera di raggio a: 2 (t; x)  t2 4(t; x) = 0 ; dove il simbolo  e noto ome operatore di D'Alembert, mentre il simbolo 4 indi a l'operatore di Lapla e 2 2 2 4 = x2 + y2 + z2 : Le ondizioni al ontorno sulla super ie possono essere ssate in modo diverso a se onda della si a del problema e non sono rilevanti, per il momento. La simmetria sferi a suggeris e di risolvere il problema introdu endo oordinate polari (r; #; '). Per onde di frequenza !,  = 57

Elementi di fisi a dei mezzi ontinui

expfi!tg u(x) ; l'equazione si s rive nella forma seguente (equazione di Helmholtz): u 1 2u 1  1 2 sin # + ( ru ) + + k2 u = 0 : (4.7) r r2 r2 sin # # # r2 sin2 # '2 S rivendo u = R(r)Y (#; ') l'equazione si fattorizza nelle due equazioni Y 1 2Y 1  sin # + = Y r2 sin # # # r2 sin2 # '2 (4.8)  1 (rR(r))00 + 2 R(r) + k2 R(r) = 0 : r r Si nota he l'equazione per la parte he dipende dagli angoli e indipendente dalle ondizioni al ontorno , ma addirittura e indipendente dal valore del numero d'onda. Ne segue he possiamo er are la soluzione per Y nel aso piu sempli e, k = 0, he orrisponde all'equazione di Lapla e (4u = 0). In questo aso possiamo fare ri orso ad un'ulteriore simmetria dell'equazione, e ioe la simmetria per dilatazione: se 4u(x; y; z ) = 0 allora an he 4u(x; y; z) = 0 per qualunque ostante positiva . D'altro anto l'equazione di Lapla e ammette soluzione in termini di polinomi nelle variabili artesiane; siamo dunque ri ondotti a er are una soluzione in termini di polinomi omogenei . Si trova he l'introduzione della oordinata

omplessa  = x + iy permette di sempli are notevolmente il al olo. Indi ando on l il grado del polinomio, si avra X u(x; y; z ) = pq p q z l p q p;q

e l'equazione di Lapla e sara ri ondotta ad una relazione algebri a sui

oeÆ ienti f pq g. Si ha   2 4 = 4  + 2   z e pertanto

4u =

X

p;q



pq 4 p q p 1 q 1 z l

p q+

(l p q)(l p q

1) p q z l p q 2



=0

he si trasforma nella relazione di ri orrenza 4 (p + 1)(q + 1) p+1 q+1 + (l p q)(l p q 1) pq = 0 : Tutte le soluzioni si trovano allora fa ilmente tenendo onto he bisogna soddisfare i vin oli p  0; q  0; p + q  l : 58

La si a matemati a delle os illazioni elasti he

Assegnato un valore arbitrario a p 0 on 0  p  l e a 0 q on 1  q  l ; l'equazione di ri orrenza i permette di al olare tutti gli altri oeÆ ienti. Indi hiamo on Yll il polinomio he orrisponde ad avere ssato tutti i

oeÆ ienti p 0 = 0 q = 0, tranne l 0 = 1. Indi hiamo poi on Yll 1 il polinomio he orrisponde a l 1 0 = 1, no ad arrivare a Yl0 he orrisponde a 0 0 = 1. Indi heremo poi on un indi e negativo le soluzioni

he orrispondono a 0 q = 1 ) Yl q . A questo punto abbiamo ostruito 2l + 1 soluzioni linearmente indipendenti dell'equazione di Lapla e in forma di polinomi omogenei nelle variabili artesiane . Per loro natura questi polinomi sono della forma (per m < 0 si s ambiano i ruoli di  e ):

rl Ylm =

X

m+k;k m+k k z l

k X l = r eim' k

m 2k

2k m+k;k sin #

osl

k 2k # :

Ogni soluzione Ylm e per io esprimibile ome il prodotto di eim' per un polinomio in os # e sin #, noto ome funzione asso iata di Legendre. Queste funzioni sono denominate armoni he sferi he3 e saranno utilizzate an he nella soluzione di problemi di me

ani a quantisti a dotati di simmetria entrale. Di esse e importante ri ordare la seguente proprieta, detta relazione di ortogonalita (4.9)

Z 

0

sin # d#

Z 2

0

0

d' Ylm (#; ') Ylm 0 (#; ') = Æll0 Æmm0 :

Inoltre vale uno sviluppo he generalizza la serie di Fourier per le funzioni de nite sulla sfera X f (#; ') = flm Ylm (#; ') lm

he puo essere risolto per i oeÆ ienti flm proprio grazie alle relazioni di ortogonalita. Il punto ru iale e ora il seguente: dall'equazione 4rl Ylm = 0 si ha subito rl

1 d2 l Y 1 2Y 1  = r r Y = l(l + 1)rl 2 Y ; sin # + r2 sin # # # r2 sin2 # '2 r dr2

ossia   l(l + 1).

3Le funzioni Ylm sono espresse in termini di funzioni di Legendre nella forma

Ylm =

s

2l + 1 (l jmj)! jmj P ( os #) expfim'g 4 (l + jmj)! l

.

59

Elementi di fisi a dei mezzi ontinui

j1 j2 j3 j4 4.493409 5.763459 5.763459 6.987932 7.725252 9.095011 9.095011 10.41712 10.90412 12.32294 12.32294 13.69802 14.06619 15.51460 15.51460 16.92362 17.22076 18.68904 18.68904 20.12181 20.37130 21.85387 21.85387 23.30425 23.51945 25.01280 25.01280 26.47676 26.66605 28.16783 28.16783 29.64260 29.81160 31.32014 31.32014 32.80373 32.95639 34.47049 34.47049 35.96141 36.10062 37.61937 37.61937 39.11647 39.24443 40.76712 40.76712 42.26951 Tabella 4-2. Zeri delle funzioni di Bessel sferi he jl (x). n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

j0 3.141593 6.283185 9.424778 12.56637 15.70796 18.84956 21.99115 25.13274 28.27433 31.41593 34.55752 37.69911

Problema 4.1-4. Si determini lo spettro delle frequenze a usti he di una avita sferi a. Avendo risolto in generale l'equazione he dipende dalle

variabili angolari, resta solo da dis utere la soluzione dell'equazione radiale   l(l + 1) 1 R(r) = 0 : (rR(r))00 + k2 r r2 Conviene introdurre la funzione l (kr)  r l R(r) he soddisfa all'equazione l ( )00 + 2(l + 1)l ( )0 + l ( ) = 0; on  = kr ;

he e del tipo di Lapla e. La soluzione si esprime in termini di ombinazioni di potenze e di funzioni trigonometri he ed e legata alle funzioni di Bessel sferi he  =  l jl ( ) (vedi l'App. B.6.2). Per determinare le possibili frequenze di vibrazione (lo spettro a usti o) si tratta di imporre la ondizione di annullamento sulla super ie della avita. Detto a il raggio si avra jl (ka) = 0. Si noti he per le onde a simmetria sferi a (l = 0) si ha sempli emente j0 (x) = sin(x)=x e per io lo spettro dei modi simmetri i e dato da k0;n = n=a. Per l 6= 0 si

onos e l'andamento asintoti o degli zeri, ma i modi piu \bassi" sono da al olare numeri amente. La Tab. 4-2 riporta i primi valori per l  4.

4.2. Prin ipi variazionali in teoria dei mezzi ontinui Prin ipi variazionali simili a quello di Eulero-Lagrange vengono adottati in molti ampi della si a e permettono di esprimere in modo on iso le leggi del moto an he per sistemi a in niti gradi di liberta. L'equazione d'onda

he des rive la propagazione di pi

ole os illazioni in un mezzo elasti o, le equazioni di Maxwell dell'elettromagnetismo, le equazioni del ampo 60

Prin ipi variazionali

gravitazionale di Einstein, tutte ammettono una formulazione di tipo lagrangiano e sono per io esprimibili attraverso un prin ipio variazionale. Ad esempio l'equazione d'onda 2 4 = 12 t2 e equivalente al prin ipio variazionale

ÆS [ ℄ = Æ

Z

g   d4 x = 0 ;

dove  assume i valori 0; 1; 2; 3, la metri a g e quella di Minkowski (g00 = 1; g11 = g22 = g33 = 1, gij = 0 per i 6= j ), la oordinata x0 si identi a

on t e l'elemento di volume dx0 dx1 dx2 dx3 e indi ato su

intamente on d4 x. Per sempli ita, abbiamo abbreviato  =x in  . Inve e di dimostrare la validita del prin ipio variazionale in questo

aso parti olare e piu onveniente arontare un aso piu generale, per una teoria aratterizzata dall'azione Z

L( (x);  (x)) d4 x : Sotto una pi

ola variazione ! + Æ , on Æ nulla al di fuori di una S[ ℄ =

regione ompatta dello spazio-tempo, si avra, integrando per parti  Z  L L Æ + Æ d4 x ÆS =   ( )   Z  L L = Æ  Æ d4 x   ( )  Z  L L  Æ d4 x : =   ( ) Imponendo he l'azione sia stazionaria per Æ arbitraria (ad esempio Æ puo essere s elta diversa da zero dappertutto tranne he in una regione arbitrariamente pi

ola entrata intorno a un punto qualunque x ), si ottengono le equazioni del ampo in forma lagrangiana:   L X L =  :   (  )  

Notare he l'espressione  L= ( ) e da interpretare in modo analogo alla  L= x_ nel aso del punto materiale. Nell'eettuare le derivazioni parziali, ioe, la e tutte le sue derivate parziali  sono da onsiderare variabili indipendenti. Problema 4.2-1. Ri avare l'equazione d'onda di una orda elasti a

on densita  sottoposta ad una tensione  ; mostrare he la Lagrangiana 61

Elementi di fisi a dei mezzi ontinui

si puo s rivere

1  2  2 x dove  rappresenta lo s ostamento dalla posizione di equilibrio. Problema 4.2-2. Il ampo elettromagneti o (E ; B ) si puo esprimere in temini di potenziali (; A) ome segue: E = r +  A=x0 ; B = r  A. Dimostrare heZdall'azione

L = 21   t

S=

2




E 2 B 2 +  j
A d4 x

si ri avano le equazioni di Maxwell he ontengono la densita di ari a e di orrente; spiegare inoltre l'origine delle rimanenti equazioni he

ontengono il rotore di E e la divergenza di B . Problema 4.2-3. Dimostrare he l'operatore di Lapla e assume la forma seguente quando venga espresso in un sistema di oordinate qualunque ' ; (4.10) 4' = p1g x pggij x i j appli ando il prin ipio variazionale se ondo ui l'equazione 4' = 0 si ottiene ome equazione di Eulero-Lagrange a partire dall'azione Z ' ' ; A = pg d3x gij x i xj dove gij e la matri e metri a (vedi l'Eq. (1.2)), g  detgij ed in ne gij e la matri e inversa della matri e metri a. Dall'equazione variazionale segue subito

 p ij ' gg =0; xi xj da ui individuiamo l'operatore di Lapla e ome il membro di sinistra di quest'ultima equazione, a meno di un fattore moltipli ativo arbitrario (dipendente dalle R

oordinate). Dal momento he 4'pg d3 x  0 per ogni ' a supporto ompatto, si on lude he il fattore moltipli ativo deve essere proporzionale a 1=pg, e la

ostante he rimane an ora da determinare e ssata al valore uno sempli emente valutando il aso banale delle oordinate artesiane.

4.3. Il quadro generale Fa endo astrazione dai parti olari a

identali dei problemi he abbiamo in ontrato nora, possiamo riassumere gli aspetti matemati i fondamentali di questo genere di problemi si i4 ome segue: 4Per tutto l'apparato matemati o relativo a questa struttura di spazi e operatori lineari si veda ad es.[BRS93℄.

62

Il quadro generale

a) si tratta di risolvere un'equazione dierenziale lineare alle derivate parziali L = 0, dove L e un qual he operatore dierenziale lineare (di tipo iperboli o). b) Lo spe i o problema si o detta al une ondizioni al ontorno sulla in ognita , tipi amente l'annullamento di  su una super ie preassegnata ovvero l'annullamneto della sua derivata normale o piu in generale di una ombinazione lineare delle due.

) E individuabile un funzionale E [; ℄ he rappresenta l'energia del mezzo e he si onserva nella evoluzione temporale. d) E in genere de nibile un se ondo funzionale bilineare, indi ato ad esempio on h1 ; 2 i he gode delle proprieta tipi he di un prodotto s alare ( h; i  0, h1 ; 2 i = h2 ; 1 i) e he fornis e allo spazio delle on gurazioni una struttura di spazio metri o. Tipi amente si avra Z

h1 ; 2 i = 1 (x; t)2 (x; t) dx ; ma altre s elte sono dettate dalla forma parti olare dell'operatore L. e) L'operatore L nel aso delle onde elasti he ha la forma5 2 L= 2 X; t e i modi normali sono individuati dalle soluzioni dell'equazione (4.11) X = !2 

he rispettano le ondizioni al ontorno. L'operatore X si assume rispettare la ondizione di simmetria h1 ; X2 i = hX1 ; 2 i : Sotto ondizioni molto generali allora le soluzioni della Eq. (4.11), dette autofunzioni del problema, formano una base per lo spazio delle on gurazioni e ioe lo sviluppo X  = ! ! !

si omporta essenzialmente ome la trasformata di Fourier. Come per quest'ultima e possibile invertire lo sviluppo sempli emente on

! = h! ; i : Cio dis ende dalla proprieta di ortogonalita h!1 ; !2 i = Æ!1 !2 : 5I familiari fenomeni di propagazione ondosa he si osservano piu fa ilmente in

natura non rientrano ne essariamente in questa des rizione: tipi amente le onde sulla super ie di un liquido ri hiedono una des rizione ben piu elaborata.

63

Elementi di fisi a dei mezzi ontinui

Lo s hema andrebbe pre isato ulteriormente nei suoi dettagli matemati i, ma i suoi aspetti essenziali sono stati delimitati. Vedremo he questo s hema, appli abile a problemi tanto sempli i ome quelli he abbiamo illustrato o os omplessi ome l'a usti a di una grande sala di audizioni, si appli hera on minime variazioni alla nuova me

ani a quantisti a, nonostante he i prin ipi si i su ui quest'ultima si basa siano totalmente dierenti da quelli della me

ani a dei mezzi ontinui. In parti olare la linearita dell'equazione fondamentale (l'equazione di S hroedinger) non e frutto di approssimazioni (\pi

ole os illazioni") bens rappresenta una proprieta fondamentale della si a alla s ala atomi a6.

6Su questo punto l'ultima parola non e forse an ora stata detta (si veda ad es.[Wei89℄).

64

Parte 2

Me

ani a quantisti a

CAPITOLO 5

Quanti e onde 5.1. La ve

hia teoria dei quanti Nei pre edenti apitoli abbiamo illustrato i fondamenti teori i su ui si basa la des rizione lassi a del mondo si o. Essa onsiste in due tipi ben distinti di rappresentazioni me

ani he: da un lato 'e la materia, omposta di mole ole, atomi o omunque di parti mi ros opi he piu o meno elementari, numerabili e dotate di massa, he potremmo generi amente

hiamare \parti elle"; dall'altro i sono i mezzi ontinui. Non possiamo

onsiderare questi ultimi solo ome una onveniente approssimazione di sistemi omposti da molte parti elle, dato he esistono mezzi ontinui senza al un substrato materiale, i \ ampi", ome il ampo elettromagneti o e quello gravitazionale. In ogni aso, se ondo la si a lassi a, sia le parti elle he i ampi ubbidis ono a leggi deterministi he del moto, siano esse in forma di equazioni dierenziali ordinarie o alle derivate parziali, he oinvolgono variabili dinami he misurabili, in linea di prin ipio, on pre isione grande a pia ere. Questa visione lassi a della natura era stata ompletata, e

ezion fatta per quanto riguarda il ampo gravitazionale, gia prima della ne del se olo s orso. Essa si fondava sulle equazioni di Hamilton, o di Hamilton-Ja obi, per le parti elle e sulle equazioni di Maxwell per il ampo elettromagneti o. Ma gia agli inizi del nuovo se olo la si a

lassi a era profondamente in risi. Come vedremo dall'esame degli esempi piu rilevanti (esame fatto senza pretese di ompletezza ne di ordine stori o- ronologi o), la ontraddizione fondamentale della me

ani a lassi a risiede proprio nella separazione on ettuale tra parti elle, dotate di un numero nito di gradi di liberta, e ampi, dotati di un numero in nito di gradi di liberta. Questa profonda disparita della des rizione lassi a rende problemati a, se non del tutto impossibile, la stabilita della materia di fronte alla radiazione. Inoltre l'evidenza sperimentale impone di ri onos ere alla materia stessa sorprendenti proprieta ondulatorie ed alla radiazione una natura an he orpus olare. In questo apitolo illustreremo questi aspetti apparentemente ontraddittori e la loro ri on iliazione in uno s hema teori o nuovo, tutto sommato abbastanza sempli e e molto 67

Quanti e onde

onvin ente1.

5.1.1. Il orpo nero. La si a lassi a in ontra subito una grave diÆ olta nella des rizione del orpo nero, ioe di un oggetto materiale in grado di assorbire tutta la radiazione elettromagneti a in idente su di esso. L'esempio tipi o e rappresentato dall'interno di una avita risonante, le ui pareti, mantenute ad una temperatura T , emettono ed assorbono di

ontinuo radiazione elettromagneti a per rispettare l'equilibrio termodinami o. La grandezza si a rilevante e la densita di energia per unita di volume e frequenza, u(; T ), ontenuta nel ampo elettromagneti o. Alla ne del se olo s orso erano note due espressioni teori he per u(; T ). La osiddetta legge di Wien,

u(; T ) = a 3 e b=T ;

on a e b ostanti universali, era in a

ordo on gli esperimenti per frequenze abbastanza grandi, ma era nettamente violata a basse frequenze. Al ontrario, la formula di Rayleigh-Jeans, 8 2 (5.1) u(; T ) = 3 kB T ;

era in ottimo a

ordo on ls regione infrarossa dello spettro di emissione del orpo nero, ma perdeva signi ato nel regime ultravioletto, prevedendo una divergenza dell'energia ontenuta dal ampo elettromagneti o in un volume nito. In eetti questo era proprio dovuto all'ipotesi he gli in niti modi normali del ampo potessero interagire lassi amente on le mole ole delle pareti, nendo per ubbidire alla legge di equipartizione dell'energia. Un os illatore armoni o soggetto alla statisti a di Boltzmann ha l'energia media a temperatura T R1 exp( E=kB T ) = kB T ; hE i lassi a = 0R 1dEdEEexp( E=kB T ) 0 mentre in ogni intervallo di frequenza tra  e  + d vi sono 2(4= 3 ) 2 d modi normali per unita di volume. Il fattore 2 e dovuto ai due stati di polarizzazione della radiazione elettromagneti a, mentre il resto segue dalla leggi di dispersione 2 = jkj tra la frequenza ed il vettore numero d'onda k. 1In eetti qui i soeremeremo po o sulla si a dei \ orpus oli" della radiazione

elettromagneti a, i osiddetti fotoni . L'attenzione sara piuttosto rivolta alle osiddette \onde materiali". La ragione e he la orretta trattazione dei fotoni, he sono privi di massa, ri hiede il formalismo della \se onda quantizzazione" (vedi il x11.3 per una breve introduzione), integrato dai prin ipi di simmetria della relativita ristretta. Risulta inve e possibile trattare in modo onsistente una singola parti ella massiva in regime nonrelativisti o.

68

La ve

hia teoria dei quanti

1

Intensita‘

0.8

0.6 T=2.726K 0.4

0.2

0 0

2

4

6

8

10 12 onde/cm

14

16

18

20

Figura 5-1. La formula di Plan k a T = 2:726 K. Sono riportate in tratto ne e a tratteggio le formule di Wien e di Rayleigh-Jeans. Lo spettro della radiazione di fondo

osmi a se ondo le rilevazioni di obe e indistinguibile, su questa s ala del diagramma, dalla formula di Plan k.

All'inizio del 1900 Plan k propose la seguente interpolazione tra le due formule pre edenti 8 2 h (5.2) u(; T ) = 3

exp(h=kB T ) 1 dove h e nota appunto ome ostante di Plan k (vedi la tabella a p. 524). Dopo l'a

urata veri a sperimentale della Eq. (5.2)2, Plan k dimostro

ome essa dis enda dall'assunzione rivoluzionaria he l'energia di un dato modo normale del ampo elettromagneti o non e una variabile ontinua, ma puo assumere solo i valori dis reti (5.3) En = n h  ; n 2 N (intero nonnegativo): In tal aso infatti si ottiene il valor medio per l'energia a temperatura T P1 h n=0 En exp( En =kB T ) = hE iPlan k = P ; 1 exp( E =k T ) exp(h=kB T ) 1 n B n=0 2 Attualmente l'evidenza piu forte della validita della legge di Plan k viene dai dati relativi alla \radiazione fossile" del fondo osmi o { si veda [M+ 90℄ oppure, per informazioni aggiornate, si onsulti l'indirizzo http://www.gsf .nasa.gov/astro/ obe su Internet.

69

Quanti e onde

he subito riprodu e la (5.2) una volta moltipli ata per la densita di modi normali, (8= 3 ) 2 . L'interpretazione di questo risultato e he la radiazione elettromagneti a si manifesta sotto forma di quanti indivisibili di energia (i fotoni nella terminologia orrente). L'interazione on le mole ole delle pareti

ausa solo variazioni del numero di quanti presenti in ias un modo normale, dovute all'assorbimento e all'emissione di interi fotoni da parte della materia.  opportuno soermarsi un attimo sugli aspetti quanOsservazione. E titativi della questione: una lampadina emette lu e in oerente e non mono romati a, ma possiamo lo stesso stimare fa ilmente il numero N di fotoni emessi per se ondo, supponendo he siano tutti emessi uniformemente nel visibile. Data la pi

olezza della ostante di Plan k si trova he 100 Watt orrispondono a ir a 1020 fotoni al se ondo ad una frequenza di 7  1014 Hz.

5.1.2. Eetto fotoelettri o. Questo eetto fornis e una onferma assai stringente dell'ipotesi \quantisti a" per la radiazione elettromagneti a. Gli esperimenti relativi erano ben noti an or prima del lavoro di Plan k. Essi stabilivano on grande pre isione le seguenti leggi empiri he sull'emissione di raggi atodi i ( ioe di elettroni) da parte di una lastra metalli a illuminata: a) Il numero di elettroni emessi e proporzionale all'intensita della radiazione in idente. b) Esiste una frequenza di soglia 0 , propria del metallo in esame, sotto la quale non vi e al una emissione.

) La massima energia ineti a di un dato elettrone emesso e proporzionale alla dierenza  0 e non dipende aatto dall'intensita della radiazione in idente. I risultati (b) e ( ) non sono spiegabili lassi amente. Al ontrario, l'interpretazione fornita da Einstein3, he si basa sull'idea dei fotoni, e assai sempli e: la radiazione in idente, he assumiamo mono romati a, e omposta da fotoni identi i, tutti on energia h ; un fotone in idente viene assorbito (per intero !) da un elettrone he si trova legato nel metallo in uno stato di energia negativa V0 (V0 e detto an he potenziale di estrazione e dipende sia dal metallo he dallo stato dell'elettrone). L'energia dell'elettrone diventa h V0 , e se questa risulta positiva l'elettrone viene emesso. Per maggiori informazioni su questo argomento si veda ad esempio [Per36, Bor62℄. 3Per questo risultato Einstein fu insignito del premio Nobel nel 1922. Si veda [Pai95℄ per i retros ena di questo ri onos imento piuttosto tardivo.

70

La ve

hia teoria dei quanti

5.1.3. Diusione Compton. La diusione della lu e da elettroni liberi mostra un altro punto di on itto tra l'esperimento e la teoria elettromagneti a lassi a. Il fenomeno, messo in lu e per la prima volta da A. H. Compton nel 1920, onsiste nel fatto he raggi-X diusi da elettroni mostrano una variazione di frequenza dipendente dall'angolo di diusione. Se ondo la teoria lassi a l'onda diusa deve avere la stessa frequenza dell'onda da ui origina, trattandosi in sostanza di un fenomeno di os illazioni forzate. L'eetto, noto ome eetto Compton e inve e del tutto omprensibile alla lu e della teoria quantisti a. Se ondo quest'ultima l'onda luminosa e ostituita da un grande numero di fotoni, aventi energia E = h e il ui momento lineare q soddisfa alla relazione di dispersione propria delle onde elettromagneti he nel vuoto4, ioe jq j = q0  E = . Nel formalismo relativisti o, energia e impulso formano un quadrivettore (q ; q0 ) ovariante e la ondizione pre edente equivale all'aermazione he il quadrivettore

he rappresenta il momento lineare del fotone ha lunghezza nulla (si di e

he q sta sul ono di lu e ), intendendo ovviamente la lunghezza propria dello spazio di Minkowski q2  q02 jq j2 . Per una parti ella materiale

ome l'elettrone si avra p2  p20 jpj2 = (E= )2 jpj2 = m2 2 , dove m e la massa a riposo della parti ella. Ora, se onsideriamo un urto elasti o tra un elettrone e un fotone, potremo imporre la onservazione del quadrimomento e ottenere q0 + p0 = q00 + p00 q + p = q 0 + p0 : Assumendo l'elettrone in quiete prima dell'urto, si ha p0 = q q 0 e quindi p q0 + m 2 = q00 + m2 2 + (q q 0 )2 da ui segue fa ilmente

m 2 (q0 q00 ) = q0 q00 (1 os ) ;

essendo  l'angolo formato da q e q0 . Tenendo onto della relazione di Einstein he lega energia e frequenza, si trova

0  =

h (1 os ) m

he orrisponde perfettamente a quanto osservato. Il rapporto h=m e noto ome lunghezza d'onda Compton dell'elettrone. 4Il valore del momento lineare per i fotoni e in a

ordo on il valore della pressione di radiazione prevista dalla teoria elettromagneti a lassi a.

71

Quanti e onde

In de nitiva, la novita essenziale he viene alla lu e on la legge di Plan k, on l'eetto Compton e on l'eetto fotoelettri o onsiste nel fatto he il ampo di radiazione elettromagneti a, he si manifesta ordinariamente sotto forma di onde elettromagneti he des ritte dalle equazioni di Maxwell, puo in altre ir ostanze omportarsi inve e ome un gas di parti elle he obbedis ono alla inemati a relativisti a. Tra le grandezze parti ellari proprie di un singolo fotone e le grandezze ondulatorie sussiste il legame di Einstein: (5.4)

E = h ; q = h= = h= :

Nel seguito vedremo ome questo dupli e aspetto della radiazione, he ri hiede un ripensamento radi ale dell'elettrodinami a, si debba estendere alle parti elle materiali, di modo he il quadro omplessivo risulta, se non immediatamente oerente, almeno piu simmetri o. La des rizione

onsistente del ampo elettromagneti o quantizzato (QED:Quantum Ele troDynami s) ri hiede gli strumenti della se onda quantizzazione ( ui si dara un enno nel x11.3) ed e arontato nei orsi superiori di si a teori a [S h64, BD64, IZ80, Wei95℄. Per gli elementi di dinami a relativisti a si vedano [LL60, Pau58℄.

5.1.4. Gli stati di polarizzazione del fotone. Un aspetto he risulta opportuno approfondire gia in questa sede on erne l'interpretazione se ondo la teoria dei quanti degli stati di polarizzazione della radiazione elettromagneti a. Ri ordiamo allora he un'onda elettromagneti a mono romati a e aratterizzata, oltre he da un numero d'onda k e dalla relativa pulsazione ! = 2 = jkj; an he da un vettore di polarizzazione ", il quale des rive in he modo e on quale ampiezza il ampo elettri o ed il ampo magneti o os illano nelle due direzioni ortogonali alla direzione di propagazione ssata dal versore k^ = k=! . In parti olare il vettore del ampo elettri o si s rive E (x; t) = Re (" expfik
x i!tg) ; dove " e omplesso e ortogonale a k . Allora l'intensita della radiazione e proporzionale a j"j2 = "
" ; mentre le fasi di " determinano la traiettoria della punta del vettore E nel piano ortogonale a k^ . Fissando una direzione n in questo piano, possiamo porre " = "1 n + "2 k^ ^ n dove le omponenti "1 e "2 si possono s rivere (5.5)

"1 = j"j os  e

i1

; "2 = j"j sin  e 72

i2

:

La ve

hia teoria dei quanti

Quindi abbiamo

h

E (x; t) = j"j n os  os(k
x !t 1 ) + i

k^ ^ n sin  os(k
x !t 2 ) ; per ui, in ogni punto del raggio, al variare di t il vettore E (t) des rive un'ellisse nel piano ortogonale alla direzione di propagazione. Si di e allora he la polarizzazione e ellitti a. Nel aso parti olare in ui 1 = 2 , l'ellisse degenera in un segmento di retta e si parla di polarizzazione lineare. Ci poniamo ora il problema di interpretare " dal punto di vista dei fotoni he ompongono l'onda elettromagneti a. Il modulo quadro j"j2 e ollegato, attraverso l'intensita della radiazione, al numero medio di fotoni. D'altra parte, possiamo individuare nel vettore omplesso normalizzato "=j"j una grandezza si a propria di ogni singolo fotone. Si tratta della stessa grandezza per tutti i fotoni qualora la radiazione, oltre

he polarizzata, sia an he oerente , mentre essa varia da fotone a fotone, ma soltanto per quanto riguarda la fase omplessiva, nel aso di lu e polarizzata in oerente . Il signi ato della polarizzazione di un singolo fotone appare evidente dagli esperimenti on i ltri polarizzatori. Un ltro polarizzatore (lineare) e un dispositivo otti o apa e di las iar passare solo la lu e polarizzata linearmente in una parti olare direzione, detta asse del polarizzatore , he tipi amente oin ide on la direzione lungo la quale sono orientati erti mi ro ristalli he ompongono il ltro stesso. In generale un polarizzatore non e perfettamente eÆ iente. Tuttavia, nelle prossime onsiderazioni l'eventuale parziale ineÆ ienza di un erto ltro polarizzatore P non e signi ativa, per ui possiamo n d'ora assumere he P las i passare tutta la lu e polarizzata linearmente lungo il proprio asse, he siamo liberi di identi are on n , e he assorba

ompletamente tutta la lu e polarizzata nella direzione ortogonale a n (si intende he il raggio luminoso in questione in ide verti almente su P ). Inoltre, in un buon ltro polarizzatore e per fas i luminosi non troppo intensi, il ampo elettromagneti o soddisfa an ora alle equazioni lineari di Maxwell proprie dei mezzi ontinui. La linearita di tali equazioni i permette di onsiderare l'azione di P separatamente sulle due omponenti di E , ioe quella parallela a n , E 1 = (E
n)n , e quella ortogonale ad esso, E 2 = E E 1 . Quindi la omponente parallela E 1 passa indenne il ltro, mentre E 2 viene interamente assorbita. Di onseguenza, in un punto al di la di P il ampo elettri o vale E () = E 1 os !t ; ed e polarizzato lungo n . Essendo l'intensita della radiazione luminosa proporzionale al modulo quadro del vettore elettri o, il fas io polarizzato 73

Quanti e onde

he emerge da fattore (5.6)

P ha un'intensita ridotta rispetto al fas io in idente di un jE1 j2 = jE 1j2 = os2  ; jE 1j2 + jE 2j2 E02

essendo  l'angolo formato dalla direzione di polarizzazione del raggio in idente on l'asse del polarizzatore n . Se ondo la des rizione quantome

ani a il raggio luminoso mono romati o e ostituito da fotoni identi i, tutti on energia h e on vettore di polarizzazione " 5. L'intensita del raggio e proporzionale al numero medio di fotoni. Nell'attraversamento del ltro polarizzatore un erto numero di fotoni viene assorbito, provo ando una diminuzione dell'intensita luminosa. Dalla relazione (5.6) dedu iamo quindi he una frazione pari a sin2  di fotoni viene assorbita, mentre una frazione os2  passa indenne. Non solo, tutti i fotoni he passano devono essere polarizzati lungo n . Questa des rizione si appli a an he per intensita in identi os basse da obbligar i a onsiderare he ias un fotone del raggio interagis a on il materiale del ltro P indipendentemente dagli altri fotoni. Quindi ias un fotone o passa attraverso P o viene assorbito da esso (un quanto e per ipotesi indivisibile). E se passa, una volta passato e senz'altro polarizzato lungo n . Questa aermazione e perfettamente veri abile ponendo dopo P un altro ltro polarizzatore P 0 uguale a P e ugualmente orientato. La lu e lo attraversa senza al una riduzione di intensita, ovvero ias un fotone ertamente attraversa indenne P 0 . Mediante il vettore di polarizzazione " possiamo des rivere l'esperimento on il ltro polarizzatore P nel seguente modo: il rapporto j"1 j2=j"j2 , he vale esattamente os2  ; rappresenta la probabilita he il fotone attraversi P . Per un singolo fotone non possiamo fare al una previsione erta sull'esito dell'esperimento. Immaginando he i fotoni in idano su P uno alla volta, se  e diverso da 0 e da =2 un rivelatore posto al di la di P a volte \s atta" e a volte no. D'altra parte, per un grande numero di fotoni possiamo veri are la orrettezza della nostra interpretazione: tenendo onto he i fotoni del raggio in idente sono tutti identi i, se os2  e la probabilita he ias un fotone passi e l'evento he eettivamente si veri a non in uenza in al un modo gli altri fotoni, allora il numero di fotoni he passano, e on esso l'intensita della radiazione emergente, sara mediamente proporzionale a os2  . Dunque un fotone, on numero d'onda k ssato, possiede ulteriori gradi di liberta des ritti dal vettore di polarizzazione " , he e ortogonale a k ed assume valori generalmente omplessi. Il modulo quadro j"j2 non 5Si usa ormai molto piu omunemente E = ~! , dove Plan k ridotta.

74

~

 h=2 e la ostante di

La ve

hia teoria dei quanti

rappresenta una aratteristi a di singolo fotone, fornendo piuttosto una misura del numero di fotoni di un erto tipo presenti. Il tipo di fotoni dipende dal vettore normalizzato "=j"j . Neppure la fase omplessiva di " ha un signi ato si o per il singolo fotone. Infatti, per una ollezione di N fotoni identi i, essa determina soltanto la fase dell'os illazione del ampo elettri o ( ioe l'istante di tempo nel quale la punta del vettore elettri o E passa attraverso un determinato punto dell'ellisse di polarizzazione). Si veri a sperimentalmente he piu e bassa l'intensita della radiazione, piu diÆ ile e la misurazione del ampo elettri o in un dato punto spazio-temporale e quindi piu indeterminata e la sua fase. In altri termini esiste un prin ipio di indeterminazione tra la fase della radiazione luminosa ed il numero di fotoni he essa ontiene, ovvero la sua intensita. Dunque nel aso di un singolo fotone l'indeterminazione sulla fase del ampo elettromagneti o e massima, rendendo si amente irrilevante la fase omplessiva di " . Gli stati di polarizzazione di un singolo fotone sono quindi des ritti da vettori bidimensionali omplessi, normalizzati ed identi ati qualora dieris ano solo per un fattore di fase omplessivo. Si tratta di due gradi di liberta reali. Di questi uno, e ioe il modulo quadro di una delle due

omponenti "1 e "2 , risulta misurabile direttamente mediante l'esperimento on il ltro polarizzatore des ritto sopra. L'altro grado di liberta e la fase relativa tra "1 e "2 , in prati a 1 2 (vedi Eq. (5.5)). Essa determina la forma dell'ellisse di polarizzazione ed e misurabile mediante esperimenti di interferenza otti a on altri fas i di polarizzazione nota. Al giorno d'oggi e possibile eettuare esperimenti raÆnatissimi sui fotoni, sfruttando la grande oerenza e mono romati ita dei raggi laser . Un esempio di tal genere e illustrato, dal punto di vista teori o, nell'App. A.3.

5.1.5. La teoria di Bohr. La me

ani a di Newton-Lagrange-Hamilton si rivela inadeguata a des rivere la si a dell'atomo. All'inizio di questo se olo, l'imponente mole di dati sperimentali riguardante gli spettri di emissione e di assorbimento dei vari elementi da sola sembra imporre la ne essita di un superamento della si a lassi a. In parti olare la natura degli spettri a righe degli elementi allo stato gassoso pone interrogativi he sembrano irrisolubili nell'ambito della visione lassi a della natura. Con questo non si vuole impli are he la teoria lassi a fallis a su tutti i problemi si i alla s ala atomi a, ma he essa, nell'otti a di Einstein ri ordata nell'introduzione, non sia di fatto in grado di fornire una des rizione uni ata e onsistente per tutti i fenomeni osservati. Si tratterebbe ad esempio di giusti are uno stato di equilibrio dinami o tra parti elle ari he (i ostituenti dell'atomo) he nessun modello basato 75

Quanti e onde

sulla elettrodinami a ries e a riprodurre; ari he in interazione elettromagneti a in moto quasiperiodi o intorno al loro entro di massa sono soggette infatti a ontinue a

elerazioni e in base alla elettrodinami a devono irraggiare energia sotto forma di onde elettromagneti he. Cio e in palese ontrasto on l'esistenza stessa di atomi stabili. Si noti tuttavia he non esiste un soluzione esatta nean he per il problema di due ari he in mutua interazione elettromagneti a, se si tengono in onsiderazione tutti i gradi di liberta del ampo; quindi potrebbe restare aperta la possibilita

he eetti an ora non ompresi nel omportamento di ari he in moto a

elerato possano portare a orbite stabili senza irraggiamento. Resta il fatto he la si a lassi a, nell'ambito delle approssimazioni prati abili , non ries e a rendere onto dell'esistenza di stati stazionari per sistemi di parti elle ari he (si veda l'ampia trattazione su [LL60, Ja 75℄). Illustriamo ora rapidamente il tentativo eettuato da Bohr di aggirare questa diÆ olta. Bohr assume il modello di atomo introdotto da Rutherford, se ondo ui l'atomo e ostituito da un nu leo positivo in ui e on entrata la maggior parte della massa, e da elettroni legati al nu leo dalla forza di attrazione elettrostati a, un modello simile a quello del sistema solare. L'ipotesi di Bohr onsiste nell'assumere he vi sia a livello atomi o una regola di selezione he permette alle parti elle di seguire solo al une determinate traiettorie tra tutte quelle previste dalla me

ani a lassi a; la regola di selezione s operta da Bohr e formulata in termini delle variabili d'azione he abbiamo onsiderato al x3.1.1 e pre isamente si assume he a) le uni he traiettorie permesse siano quelle he orrispondono a valori interi delle variabili d'azione in unita della ostante di Plan k, ovvero

Ji =

I

pi dqi = nih ; (i = 1; : : : ; n)

b) gli elettroni possono rimanere stabilmente sulle orbite permesse senza irraggiare, oppure eettuare un salto ad un'altra traiettoria permessa emettendo (o assorbendo) un quanto di radiazione on frequenza if = (Ei Ef )=h (avendo indi ato on Ei l'energia dell'orbita iniziale e on Ef quella nale). La selezione di orbite on valori interi di J=h viene hiamata quantizzazione dei livelli energeti i. Non vi sono ondizioni spe i he per quelle traiettorie a energia positiva he orrispondono a moti aperiodi i. Lo s hema di Bohr e giusti ato solo a posteriori dal su

esso he in ontra nel prevedere lo spettro di emissione dell'atomo di idrogeno, ma e palesemente inadeguato da un punto di vista teori o. Appare molto restrittiva la limitazione onnessa alla separabilita del moto lassi o, uni o aso in 76

La ve

hia teoria dei quanti

ui si possono de nire le variabili d'azione6. Esiste in eetti una base intuitiva alla ondizione di quantizzazione, suggerita da Ehrenfest nel 1914 (si veda [Bor62℄). Se ondo questo punto di vista, se i devono essere grandezze quantizzate he subis ono variazioni dis ontinue solo sotto l'azione di forze impulsive, quali l'urto tra due atomi o tra un atomo e un fotone, tali grandezze devono avere la proprieta di rimanere ostanti del moto sotto variazioni molto lente dei parametri del sistema e questo restringe la s elta agli invarianti adiabati i . Se ondo questo prin ipio per io le ondizioni di Bohr sono del tutto naturali. Non e tuttavia possibile sanare in questo modo il ontrasto on l'elettrodinami a. La teoria di Bohr e nota ome \ve

hia teoria dei quanti" ed e ompletamente superata dalla nuova me

ani a quantisti a, di ui ostituis e un'approssimazione in regime \quasi- lassi o" (vedi il x10.2). Per una trattazione adeguata della spettros opia atomi a rimandiamo al orso di Struttura della Materia [FR95℄. Per tutta la \ve

hia" teoria dei quanti vedere il testo [Bor62℄ he e stato studiato da intere generazioni di si i e onserva an or oggi tutto il suo valore. Problema 5.1-1. Determinare i livelli energeti i permessi dalla ondizione di quantizzazione di Bohr nel aso dell'atomo di idrogeno. Dalla Eq. (3.4) ri aviamo la dipendenza dell'energia dalle variabili d'azione e per io, ponendo ~ = h=2 e k = e2 troviamo

me4 2~2 n2 dove il numero intero positivo n rappresenta la somma dei tre numeri quanti i nr ; n# ; n' (indi hiamo on m la massa dell'elettrone, sorvolando sul fatto he in questa formula dovremmo per maggiore pre isione inserire la massa ridotta). Le frequenze di Bohr nn0 = (En En0 )=h sono allora date dalla formula di Balmer   nn0 = R1 n0 2 n 2 ; dove R1 e nota ome ostante di Rydberg ed ha le dimensioni dell'inverso di una lunghezza (R11  103 A), ed e legata all'energia di ionizzazione dell'idrogeno,

ioe E1 = h R1  13:605eV : Dal legame tra energia e raggio dell'orbita si ha poi he quest'ultimo e dato da

(5.7)

En =

an = n2

~2

me2

:

6In realta questa e una limitazione prati a, piu he di prin ipio; in eetti e possibile appli are on su

esso le ondizioni di quantizzazione a sistemi non separabili imponendo la ondizione di Bohr direttamente sulle orbite periodi he he esistono in generale in numero pari al numero di gradi di liberta se ondo un teorema di Weinstein [Wei73℄; io e tuttavia prati abile solo on l'analisi numeri a e non era proponibile ai tempi di Bohr.

77

Quanti e onde

La s ala di lunghezza naturale e per io il raggio di Bohr a = A. 0:529

~2=me2



Problema 5.1-2. Quali ombinazioni di ostanti fondamentali e; ; ~; m hanno la dimensione di una lunghezza?

C'e innanzitutto da osservare he la ombinazione  = e2 =(~ )  1=137 e adimensionale (vedi il x12.3), e quindi possiamo ostruire una lunghezza usando solo tre delle quattro ostanti. Si trova fa ilmente he se es ludiamo ~ l'uni a possibilita e data da e2  = 2  2:818 10 15m = 2:818 fm ; m

he rappresenta la distanza alla quale l'energia elettrostati a tra due elettroni

oin ide on m 2 ; si trovano poi, dividendo su

essivamente per  , la lunghezza di Compton ed il raggio di Bohr

~

 3:861 10 13m m ~2 a = =2 = 2 : me Come si vede l'unita naturale di lunghezza alla s ala atomi a e quattro ordini di grandezza piu grande dell'unita he si puo ostruire senza fare uso della ostante di Plan k.  = = =

Problema 5.1-3. Se ondo il prin ipio di Pauli in un atomo a molti elettroni due elettroni non possono ondividere lo stesso livello quanti o. Qual e il raggio dell'orbita piu esterna per un atomo on numero atomi o Z?

Al numero quanti o n orrispondono n2 orbite stabili, he sono date dalle partizioni possibili n = nr + l + 1, on nr  0 e quindi l = n' + n# < n; ad ogni valore di l orrispondono poi 2l + 1 valori della ostante del moto p' = ~n';

io impli a he il numero totale di stati disponibili res e ome 2n3 =3, tenendo

onto del raddoppiamento di stati he si ha ammettendo he l'elettrone abbia un momento angolare intrinse o (l'ipotesi di Goudsmit e Uhlenbe k). Quindi per un atomo di numero atomi o Z l'elettrone piu esterno avra numero quanti o n & (3Z=2)1=3 Il raggio aZ dell'atomo sara dato dalla relazione E = Ze2=2aZ = mZ 2e4 =2~2n2 ossia aZ = ~2 n2 =me2Z / Z 1=3 . Questa previsione non tiene

onto della repulsione elettrostati a tra gli elettroni, he essenzialmente tende a s hermare la ari a del nu leo e infatti si trovano sperimentalmente dimensioni

res enti on il numero atomi o (da 0.5 A a 2.5 A, si veda ad es.[FR95℄). Osservazione. Le ondizioni di quantizzazione di Bohr equivalgono

al prin ipio se ondo ui ogni stato permesso o

upa una ella di volume hn nello spazio delle fasi. Nel aso separabile possiamo ragionare in ogni sottospazio di oppie anoni he (p; q). La ondizione J = nh i di e he 78

La ve

hia teoria dei quanti

l'area della porzione di piano A he ha per ontorno la proiezione dell'orbita ha area multipla intera di h, ome dis ende dalla formula integrale di Gauss I Z p dq : dp dq = A

A

In me

ani a quantisti a questo risultato si esprime nel prin ipio di Heisenberg , se ondo ui la misura simultanea di posizione e momento lineare e soggetta ad una limitazione intrinse a di pre isione: il prodotto
q
p non puo essere inferiore a 21 ~ (vedi il x7.3.3). Notiamo he la ondizione di quantizzazione per J' impli a he la

omponente del momento angolare in direzione z he si identi a on la

ostante del moto p' = J' =2 puo assumere soltanto valori interi in unita ~. Per la simmetria di rotazione si sarebbe indotti a on ludere

he la omponente del momento angolare in qualunque direzione deve essere quantizzata allo stesso modo, il he risulta palesemente impossibile da realizzarsi. Dunque o si ha una rottura di simmetria di rotazione o la quantizzazione alla Bohr deve essere modi ata. Vedremo he la me

ani a quantisti a da una soluzione del tutto originale al problema (vedi il ap. 8).

5.1.6. L'esperimento di Stern-Gerla h. La ne essita di spiegare teori amente la quantizzazione del momento angolare in qualunque direzione viene imposta, piu he dal tentativo di Bohr appena illustrato, dai risultati dal famoso ed ormai paradigmati o esperimento di SternGerla h. Un fas io di atomi dotati di momento magneti o  viene fatto passare nella regione di spazio in ui due magneti di forma opportuna determinano un ampo magneti o B non uniforme. Gli atomi si muovano originariamente nella direzione x, mentre B e diretto lungo z e prati amente ostante nel piano xy. Esso varia inve e in direzione z . Essendo 
B l'energia potenziale di a

oppiamento, ogni atomo e soggetto alla forza (5.8) F = r( 
B ) = z Bz ez : z Se assumiamo ome naturale he 
B sia l'uni o termine della Hamiltoniana he rompe la simmetria rotazionale, abbiamo he la omponente z del momento magneti o e una ostante del moto, per ui atomi on diverso z sono soggetti a forze diverse e vengono separati nella direzione z . In un modello atomi o fatto di elettroni orbitanti in modo de nito attorno ad un nu leo molto piu pesante, il momento magneti o e proporzionale al momento angolare J del sistema elettroni o rispetto al nu leo stesso. In un fas io di atomi uguali questi momenti saranno distribuiti in un erto modo, he dipende da ome il fas io stesso e stato preparato. In assenza di 79

Quanti e onde

ragioni per il ontrario, e naturale assumere una distribuzione piu o meno isotropi a, per ui il fas io iniziale, per ipotesi ben ollimato, dovrebbe \aprirsi" in modo piu o meno uniforme. Il risultato tipi o he si osserva e la separazione del fas io in un numero nito, generalmente pi

olo, di sottofas i equispaziati ed an ora ben

ollimati. Questo vuol dire he Jz assume solo un numero dis reto di valori equidistanti negli atomi del fas io iniziale. La osa sorprendente e he questo avviene per ogni s elta dell'asse z nel piano ortogonale alla direzione originaria del fas io, ioe per ogni orientazione dei magneti in quel piano. Supponiamo ora di utilizzare questo esperimento per \ ltrare" gli atomi del fas io, de idendo di utilizzare per un esperimento su

essivo solo uno dei sottofas i in ui e stato separato, di iamo quello orrispondente al valore di Jz piu grande. Sembrerebbe naturale assumere he tutti gli atomi del nuovo fas io abbiano lo stesso ben de nito valore di Jz e quindi di z , per ui dovrebbero omportarsi nello stesso modo attraversando una se onda oppia di magneti di Stern-Gerla h. Si trova he questo e vero solo se i nuovi magneti sono orientati ome i pre edenti. Se inve e essi sono ruotati, ad esempio ad angolo retto, rispetto ai pre edenti, lo stesso fenomeno del primo esperimento si ripete: an he il nuovo fas io si suddivide nello stesso numero di sottofas i ben ollimati. Le lezioni he si traggono sono due: a) Il fenomemo sembra riguardare i singoli atomi, nel senso he il omportamento di un dato atomo on un Jz ssato non e univo amente determinato. b) Il momento angolare degli elettroni rispetto ad un asse arbitrario puo assumere solo un numero dis reto di valori. Ritorneremo in seguito sull'esperimento di Stern-Gerla h alla lu e della teoria quantisti a del momento angolare.

5.2. L'equazione di S hroedinger 5.2.1. Onde materiali. L'idea entrale he sta alla base della me

ani a ondulatoria origina dalla tesi di De Broglie se ondo ui ad ogni

parti ella materiale e asso iata un'onda la ui lunghezza d'onda  e legata al momento lineare dalla relazione h = : p L'idea permette di uni are la trattazione della radiazione se ondo la teoria dei quanti sviluppata da Einstein on la dinami a delle parti elle materiali. Per i quanti di lu e vale infatti la relazione 5.4 a p. 72 da ui segue, se ondo la relazione relativisti a per il fotone E = p e il legame tra 80

L'equazione di S hroedinger

lunghezza d'onda e frequenza, la stessa relazione di De Broglie. L'ipotesi e per io he la stessa dualita onda orpus olo he si manifesta nella lu e (i fotoni si omportano ome onde nei fenomeni di dirazione e interferenza e ome parti elle nell'eetto fotoelettri o e nell'eetto Compton) sia piu generale e si appli hi an he alle parti elle materiali. Consideriamo l'ordine di grandezza della lunghezza d'onda di un elettrone avente giusto l'energia di legame dell'atomo di idrogeno:

=2 =

p

~

=

~2

2mjE j me2

he oin ide on il raggio di Bohr . Come si vede l'ordine di grandezza e quello giusto, il he i onferma di essere nella direzione orretta. Per elettroni non relativisti i , ossia on energia molto pi

ola rispetto a 21 MeV , la formula di De Broglie si puo s rivere  12:3A ; E0 = 1 eV (5.9)  p E=E0 Si noti he la relazione  = h=p ha inve e validita an he per elettroni a energia paragonabile a m 2 , ossia elettroni relativisti i. Esperimenti ondotti nel 1927 da Davisson e Germer mostrano hiaramente he gli elettroni subis ono dirazione esattamente ome previsto dall'ipotesi di De Broglie ( he risale al 1924). Si apre on questi esperimenti una bran a della si a (l'otti a elettroni a) he ostituis e an ora oggi (insieme

on l'otti a neutroni a e on l'otti a a lu e oerente) un fondamentale strumento per l'indagine della struttura della materia. Se un pennello elettroni o viene fatto in idere su di uno s hermo on due fenditure separate da una distanza d dello stesso ordine di grandezza della lunghezza d'onda di De Broglie, e va poi a impressionare una lastra fotogra a posta dietro lo s hermo, quello he si osserva e del tutto analogo alle gure di interferenza he si osservano on lu e mono romati a. La distanza tra le frange di dirazione, nota l'energia del fas io elettroni o, permette di veri are la relazione di De Broglie. Si noti he questa proprieta degli elettroni e in netto ontrasto on il modello orpus olare. Ipotizziamo infatti he la dirazione elettroni a sia dovuta a qual he perturbazione della traiettoria dovuta all'urto ontro i bordi delle fenditure, on onseguente variazione asuale della velo ita: dovremmo allora aspettar i he la gura

he viene a formarsi sulla lastra fotogra a sia la stessa an he qualora las iassimo aperta una sola fenditura per meta del tempo e la se onda fenditura per un tempo uguale. Si ris ontra inve e he in questo aso nella gura di dirazione non si osservano frange di interferenza . La natura del fenomeno e per io del tutto simile a quella dell'interferenza di onde luminose mono romati he. 81

Quanti e onde

Quantunque la si a lassi a i renda intuitivo il on etto di onda, dobbiamo sottolineare he sia per i fotoni he per le parti elle materiali il modello ondulatorio non puo he ontenere una parte della realta si a. L'apparente on itto tra la natura orpus olare e quella ondulatoria resta irrisolto nei lavori pre edenti la me

ani a quantisti a, e se ondo al uni si i ostituis e una diÆ olta an he per quest'ultima. Rimandiamo al

ap. 7 per un a

enno a questa problemati a.

5.2.2. Pa

hetti d'onda. Sviluppiamo ora gli strumenti matemati i ne essari per des rivere adeguatamente la propagazione di onde in un mezzo dispersivo e rendere quantitative le idee introdotte nora riguardo alle onde di De Broglie. Un qualunque fenomeno ondulatorio lineare e des rivibile in termini di una funzione d'onda ottenuta ome sovrapposizione lineare di onde piane (5.10) expfik
x i!(k) tg : Il vettore d'onda k individua la direzione di propagazione dell'onda piana; i piani ortogonali ad esso sono piani di fase ostante. La fase assume lo stesso valore sui piani he distano per multipli della quantita  = 2=jkj,

he viene per io hiamata lunghezza d'onda. La quantita vf = !(k)=jkj si di e velo ita di fase. Il suo signi ato e molto sempli e: se immaginassimo di spostar i in direzione k on velo ita vf osserveremmo una fase ostante. La funzione !(k) aratterizza la dispersione delle onde piane. Per le onde luminose in un mezzo omogeneo e isotropo di indi e di rifrazione n indipendente dalla lunghezza d'onda si ha ! = jkj=n, vf = =n, e quindi non si ha dispersione. Nel aso generale in ui ! sia una funzione non lineare di jkj, si osserva inve e il fenomeno della dispersione, importante in otti a e, ome vedremo, di fondamentale importanza per la me

ani a ondulatoria. E hiaro he le onde piane sono solo una idealizzazione matemati a. Ogni onda reale avra un'estensione nita nello spazio e dovra per io des riversi attraverso una sovrapposizione di onde piane: hiameremo pa

hetto d'onde un'espressione del tipo (5.11)

(x; t) =

Z

(k) expfik
x i!(k)tg d 3 k

dove l'ampiezza (k) sara tipi amente una funzione on entrata intorno ad un valore medio hki = k0 : Le onsiderazioni he svilupperemo nel seguito non dipendono dai dettagli della funzione, ma e piu e onomi o lavorare su una funzione data in forma espli ita. Per ssare le idee onsideriamo per io una funzione gaussiana (k)  expf (k k0 =2 )2 g. Vogliamo mostrare he un pa

hetto d'onda evolve nel tempo in modo tale he il suo entro si muove on una velo ita vg detta \velo ita di 82

L'equazione di S hroedinger

gruppo" pari a jrk !(k)j. Nella formula he de nis e il pa

hetto d'onda approssimiamo l'esponente on il suo sviluppo di Taylor intorno a k0 . Conviene a questo s opo sostituire la variabile di integrazione k ponendo k = k0 +  . Otteniamo os : (x) /

Z

d 3  exp



 2 + ik0
x + i
x i!(k0 +  )t Z









t :  exp fik0
x i!(k0 )tg exp
x ! k0 Come si vede il pa

hetto d'onde si puo approssimare on un'onda piana di vettore d'onda k0 modulata da una gaussiana entrata nel punto x = t!= k0 il he e quanto volevamo dimostrare. Notiamo he la velo ita di gruppo oin ide on la velo ita di fase solo nel aso in ui la frequenza dipenda linearmente dal vettore d'onda, mentre in generale non vi e relazione tra le due. In taluni asi si puo an he avere vf > (ma vg < ) il

he indi a he la velo ita di fase non e in generale osservabile (si veda il Probl. 5.2-1 a p. 90.) Quanto alla identi azione della velo ita di gruppo

on la velo ita di propagazione del segnale portato dall'onda, la osa non e os sempli e (si veda [Bri60℄); a noi interessa tuttavia il fatto he la velo ita di gruppo des rive in modo pre iso la velo ita di propagazione del bari entro del pa

hetto d'onde. Torniamo ora all'idea di De Broglie he onsiste nell'asso iare ad ogni parti ella elementare un'onda se ondo la relazione   h=mv. Seguendo un argomento he risale a Fermi, hiediamo i in quale modo un pa

hetto d'onda possa seguire una traiettoria he appaia ubbidire alla legge del moto di Newton nel limite di pi

ole lunghezze d'onda. Sappiamo he nel

aso di propagazione di onde luminose in questo limite si puo appli are l'approssimazione dell'otti a geometri a he des rive la lu e in termini di raggi soggetti al prin ipio variazionale di Fermat (vedi il x1.3.2) Z ds =0 (5.12) Æ vf (!; x) La velo ita di fase vf = =n dipende in generale dalla frequenza (dispersione) e dalla posizione nello spazio (nel aso generale di un mezzo trasparente non omogeneo). Ci si deve hiedere allora in quali ir ostanze questo prin ipio diventi equivalente a quello (di Maupertuis) he orrisponde alla me

ani a lassi a Z (5.13)

Æ

d 3

 2 + i

p

E V (x) ds = 0

A questo s opo sara suÆ iente ri hiedere he risulti p 1 = f (!) E V (x) vf (!; x) 83

Quanti e onde

per qual he funzione f (!), da determinarsi; aÆn he l'uguaglianza valga in generale, e non soltanto per qual he valore parti olare dell'energia, dovremo inoltre ammettere he esista un legame tra energia e frequenza, E = E (!), an he questa da determinarsi. Ri hiederemo allora he la velo ita di gruppo del pa

hetto d'onda oin ida on la velo ita della parti ella vp legata al valore dell'energia se ondo la me

ani a lassi a. Dalla de nizione si trova   d! 1 d ! 1 vg = = dk d! vf e per io r  p 1 1 mp 1 d  !f (!) E (!) V (x)  =  ; d! vg vp 2 E (!) V (x) da ui segue p  p m=2 !f (! E 0 (!)) 0 =p f (!) + !f (!) E (!) V (x) + p E (!) V (x) 2 E (!) V (x) e in ne p m=2 21 !f (!)E 0 (!) 0 f (!) + !f (!) = : E (!) V (x) Derivando rispetto a xi troviamo he ambo i membri dell'equazione devono annullarsi e per io f 0 (!)=f (!) = 1=! p !f (!)E 0 (!) = 2m :

he si risolve fa ilmente nella forma K f (!) = p! 2m E (!) = ! + E (0) K A questo punto siamo in grado di esprimere an he la velo ita di fase in termini delle grandezze me

ani he: risulta p p 2 2m (5.14) vf = !K E V (x) !  = Kp essendo p il momento lineare. Questa non p e altro he la relazione di De Broglie, sempre he si identi hi K  2m=~; nel ontempo otteniamo an he la relazione di Einstein E = ~! + E (0). Questo argomento mostra he la me

ani a del punto materiale regolata dall'equazione di Newton e equivalente alla des rizione del moto in termini di un pa

hetto d'onda he si propaga in un mezzo avente indi e di rifrazione variabile da 84

L'equazione di S hroedinger punto a punto se la velo ita di fase e legata alla energia me

ani a se ondo la relazione di De Broglie. Si noti he l'analogia tra otti a e me

ani a, nei suoi aspetti formali, era gia ben nota a Hamilton, ma le sue impli azioni si he sono maturate solo on le idee di De Broglie e S hroedinger e naturalmente on le osservazioni sperimentali delle proprieta ondulatorie delle parti elle materiali.

5.2.3. L'equazione d'onda. La on lusione ui siamo giunti nelle pagine pre edenti si puo riformulare aermando he il vuoto si omporta per le onde di De Broglie ome un mezzo dispersivo on indi e di rifrazione pari a p p 2m ~! V (x) : (5.15) n= = 1vf = ~! Se ri ordiamo a questo punto he il prin ipio di Fermat dell'otti a geometri a e ottenuto nel limite di pi

ole lunghezze d'onda dall'equazione di Helmholtz (vedi [Tor53℄) (5.16) 4u + k2 u = 0; k = v! ; f risulta del tutto naturale invo are un'equazione d'onda per le onde materiali nella forma (5.17) 4u + 2m2 (~! V (x)) u = 0 ~

he ris riviamo nella forma de nitiva ~2

4u + V (x)u = Eu 2m

he e nota ome \equazione di S hroedinger per gli stati stazionari"7. L'equazione in questa forma ontiene il parametro E legato alla frequenza; un'equazione he valga per un qualunque pa

hetto d'onde si ottiene assumendo una dipendenza periodi a dal tempo del tipo exp( i!t), il he

omporta u (5.19) !u  i : t Siamo os ondotti all'equazione di S hroedinger (5.18)

(5.20)

i~

 (x; t) ~2 = 4 (x; t) + V (x) (x; t) t 2m

7I prin ipi fondamentali della me

ani a ondulatoria sono enun iati da S hroedin-

ger in una serie di quattro lavori apparsi tutti nei primi mesi del 1926 su Annalen der Physik [S h26℄. Si veda [S h77℄ per la traduzione in inglese.

85

Quanti e onde

Le due equazioni sono equivalenti per (x; t) = exp( iEt=~) u(x). Ci si hiedera quale valore abbia l'argomento he i ha ondotto a ri avare la forma dell'equazione. Posto he le proprieta ondulatorie della materia hanno una solida base sperimentale, il problema onsiste nel risalire ad una equazione d'onda a partire dal omportamento dei pa

hetti d'onda nel limite di pi

ole lunghezze d'onda, dettato dalla me

ani a lassi a. A priori esiste una erta arbitrarieta in questa ri ostruzione, ad esempio si potrebbe immaginare di aggiungere al potenziale V (x) dei termini irrilevanti nel limite lassi o. Tuttavia per ostruire termini he oinvolgano la ostante fondamentale ~ e ne essario disporre di una grandezza di dimensione lunghezza 2 . In ogni problema spe i o si potra disporre di una simile grandezza, ma non in generale. La questione ambia aspetto se ammettiamo he le onde si propaghino in uno spazio dotato di urvatura intrinse a: in tal aso infatti e la geometria dello spazio a fornire la grandezza desiderata, lo s alare Riemanniano R, ed e pertanto ipotizzabile una orrezione al potenziale proporzionale a ~2 R=m he ha le dimensioni si he orrette (vedi ad es. [DeW57, DMO94℄). L'equazione di S hroedinger sara assunta ora ome ipotesi di lavoro e si lavorera in termini analiti i per dedurne le onseguenze piu importanti. Si noti il pe uliare arattere omplesso della funzione d'onda he rende l'equazione radi almente dierente dalla equazione d'onda dell'otti a, in ui i ampi si possono sempre assumere reali. La dierenza tra i due asi (onde materiali e otti a) risiede nella relazione di dispersione rispettivamente a) !(k) = k (otti a) b) !(k) = ~k2 =2m (onde materiali). Il termine k2 dell'equazione stazionaria si puo pertanto identi are nei due asi on a) k2 / !2 b) k2 / ! . Cio ondu e a un'equazione del se ondo ordine nel tempo per l'otti a e del primo ordine per le onde materiali, il he impli a notevoli dierenze sulle proprieta delle soluzioni. Ad esempio, mentre in otti a ondulatoria e ne essaria la onos enza ad un erto istante t0 sia dell'ampiezza dell'onda he della sua derivata temporale, per l'equazione di S hroedinger il dato iniziale suÆ iente per ostruire la soluzione ad ogni istante su

essivo si ridu e alla onos enza della sola (x; t0 ). In io l'equazione di S hroedinger mostra una stretta analogia on l'equazione di diusione

(5.21)

 1 = D4 t 2 86

L'equazione di S hroedinger

ma se ne dierenzia qualitativamente proprio per il arattere omplesso delle soluzioni he ha origine nella unita immaginaria presente nel termine di derivata temporale. Non si tratta di una dierenza puramente formale, ma investe le proprieta si he delle soluzioni delle due equazioni. L'equazione di diusione rappresenta un pro esso irreversibile, ome ad esempio la diusione di alore in un mezzo onduttore. Cio omporta una netta distinzione tra passato e futuro, ossia la "fre

ia di direzione temporale" e ssata. Al ontrario sappiamo he la me

ani a lassi a e des ritta da equazioni reversibili nel tempo: per ogni moto di un sistema esiste una ondizione iniziale he orrisponde al moto per orso in senso inverso temporale (si pensi ad esempio al moto dei pianeti in ui si immagini di invertire esattamente tutte le velo ita8). Cio indu e a pensare he an he l'equazione di S hroedinger sia dotata della proprieta di reversibilita o, ome si di e in gergo, di invarianza per ri essione temporale. In eetti si puo fa ilmente onstatare he la funzione

T (x; t) = (x; t) soddisfa alla stessa equazione ui soddisfa (x; t). Una dis ussione piu pre isa di questa importante proprieta dell'equazione di S hroedinger sara fornita nel ap. 9. Conviene ssare al une denominazioni di uso omune he impiegheremo frequentemente nel seguito. L'equazione di S hroedinger si s rive formalmente  (5.22) i~ = H t dove H  ~2 4=2m + V (x). H e un operatore lineare detto operatore Hamiltoniano o sempli emente l'Hamiltoniano. La funzione he ompare nell'equazione di S hroedinger viene denominata funzione d'onda o, in un ontesto un po' piu generale, vettore di stato. Si noti he appli ando H ad un'onda piana uk = exp(ik
x) si trova  2 2 ~ k



+ V (x) uk 2m ma per la relazione di De Broglie il vettore ~k oin ide on il momento lineare p e per io   2 p + V (x) uk (5.24) Huk = 2m

(5.23)

Huk =

8La presenza di ampi magneti i potra ri hiedere qual osa di piu he questa sempli e operazione.

87

Quanti e onde

dove si ri onos e la forma della Hamiltoniana lassi a. Questo fatto suggeris e un metodo rapido per ottenere l'Hamiltoniano a partire dalla orrispondente funzione lassi a H (pi ; qi ): sara suÆ iente de nire H

ome l'operatore lineare he si ottiene sostituendo ad ogni omponente pi l'operatore dierenziale pi = i~ q i e ioe    i i i (5.25) H (pi ; q ) ! H (pi ; q ) = H i i ; q q i L'operatore q , de nito ome (5.26) qi (x) = xi (x) e apparentemente banale, ma onviene introdurlo per omogeneita ( ome vedremo piu avanti ad ogni grandezza si a osservabile sara asso iato un operatore lineare ). Questa \regola di orrispondenza" e valida se si impiegano oordinate artesiane fq1 ; : : : ; qn g, ma e inappli abile a oordinate

urvilinee. Si trova ad esempio he per oordinate polari si deve porre  (5.27) pr ! i~ 1r r r: An he in oordinate artesiane tuttavia la regola di sostituzione e in generale ambigua: he osa si deve intendere orrispondere alla funzione lassi a qp, he potrebbe omparire ome termine additivo alla Hamiltoniana di un sistema on a

oppiamenti magneti i? A livello di me

ani a lassi a qp e pq sono ovviamente indistinguibili, non os gli operatori qp e pq,

he anzi soddisfano la regola di ommutazione di Heisenberg 9 (5.28) q p p q = i~1

he ostituis e la base della formulazione algebri a della me

ani a quantisti a di Heisenberg, Born, Jordan e Dira 10. Una pres rizione ampiamente adottata e quella di simmetrizzare l'espressione della funzione lassi a prima di appli are la regola di orrispondenza, ma esistono altre pres rizioni altrettanto legittime (si veda l'App. B.8). In realta questo non

ostituis e un serio problema. E del tutto naturale he vi sia una fondamentale ambiguita nel risalire all'Hamiltoniano quantisti o a partire da un suo orrispondente lassi o, os ome non i si puo aspettare he l'otti a geometri a ontenga odi ata in se tutta la si a della propagazione 9Il simbolo 1 sta ad indi are l'operatore unita, tale ioe he 1  per ogni . 10Le regole di ommutazione anoni he in questa forma simboli a sono dovute a Dira [Dir25℄ ed a Heisenberg, Born e Jordan [BHJ25℄ (vedi [MR82℄, vol. 3, ap. i e vol. 4, ap. iv.)

88

L'equazione di S hroedinger

delle onde. C'e da aspettarsi he la me

ani a quantisti a sia intrinse amente piu ri

a di quella lassi a, he pero i serve ome valido punto di partenza. Gli operatori p; q assumono un'importanza fondamentale in me

ani a quantisti a, e vengono denominati operatori anoni i. Una proprieta importante di essi e espressa dal Teorema di Wintner. Gli operatori anoni i non possono essere

entrambi operatori limitati.

Cio impli a he lo spettro di almeno uno degli operatori deve ostituire un insieme illimitato di punti. Per la dimostrazione, sorprendentemente sempli e se si utilizzano gli strumenti elementari dell'analisi funzionale, si vedano ad es. [Put67, Ono84℄. L'uni a proprieta he entra nella dimostrazione e data dal fatto he p; q sono operatori autoaggiunti he soddisfano le regole di ommutazione di Heisenberg. L'altra proprieta ui soddisfano gli operatori anoni i e ostituita dal seguente11 Teorema di Von Neumann. Se due oppie di operatori autoaggiunti (p; q) e (p0 ; q0 ) in L2 (Rn ) soddisfano le regole di ommutazione di Heisenberg, esiste una trasformazione unitaria (5.29) q 0 = U q U y ; p0 = U p U y : Osservazione. Al ne di alleggerire la notazione, ove non i sia peri olo di ambiguita, impiegheremo d'ora innanzi lettere latine q e p per indi are gli operatori anoni i.

Un'appli azione immediata si ha al problema della invarianza di gauge in me

ani a quantisti a. Dalla me

ani a lassi a sappiamo he l'interazione di una ari a on il ampo elettromagneti o si des rive nel formalismo anoni o attraverso la osiddetta sostituzione minimale e (5.30) p ! p A:

An he nell'equazione di S hroedinger e naturale eettuare la medesima sostituzione sugli operatori anoni i. L'Hamiltoniano per un sistema di parti elle di massa m e ari a e sara dato da 2 X ~2  (5.31) p e A(q  ) + V (q  ) :

 2m 11In realta i sono al une ondizioni te ni he da introdurre dell'enun iato del teore-

ma. Si veda piu avanti a pag. 242 e la dimostrazione ompleta, non priva di sottigliezze, in [Put67℄.

89

Quanti e onde

D'altronde e ben noto he il potenziale A ontiene gradi di liberta sovrabbondanti, in quanto lo stato si o del ampo elettromagneti o e determinato soltanto dai ampi E ; B : e possibile infatti eettuare una trasformazione sul potenziale (5.32) A(x) ! A0 (x) = A(x) + r(x) senza he ambi la si a del problema. Dimostreremo allora il seguente Teorema 5.2.1. Gli operatori Hamiltoniani H [A℄ e H [A0 ℄ sono unitariamente equivalenti, ossia esiste una trasformazione unitaria U tale

he H [A0 ℄ = U H [A℄ U y : (Come sara hiaro dalla formulazione generale della me

ani a quantisti a, due Hamiltoniani legati da una trasformazione unitaria des rivono la stessa si a, ed e questo il risultato enun iato dal teorema.) Dimostrazione. Si onsiderino gli operatori p eA= ; p eA0 =

he ompaiono nei due operatori Hamiltoniani. E hiaro he si potra s rivere p eA0 = = p er= eA= = p0 eA= ) p0 = p er= :

Gli operatori p0 e q 0 ( q) formano un insieme di operatori anoni i: per questo e essenziale he il termine aggiuntivo r sia un gradiente, ome e ri hiesto dalla regola di ommutazione anoni a [p0i ; p0j ℄ = 0; si appli a per io il teorema di Von Neumann. Espli itamente poi e immediato

ostruire la trasformazione unitaria U :    e  (5.33) p0 = exp i e  p exp i  ; ~ ~

ome si veri a appli ando la formula (B.1.12) a p. 493 (nel u P aso di pi parti elle la trasformazione di gauge omporta una somma  e (q  )).



L'interazione delle parti elle ari he on il ampo elettromagneti o ostituis e l'esempio piu sempli e di interazione di gauge; se ne trovera una trattazione piu approfondita nel ap. 12. Problema 5.2-1. Appli are la p sostituzione

niana lassi a relativisti a H = S hroedinger orrispondente.

p2 + m2 2

p ! i~r all'Hamilto-

e ri avarne l'equazione di

L'equazione he si ottiene me

ani amente attraverso la sostituzione omporta una radi e quadrata di un operatore dierenziale; a questo si da fa ilmente

90

L'equazione di S hroedinger un signi ato in termini di trasformata di Fourier:

i~ t =

= (2~) 3=2 da ui segue

Z

p

~2r2 + m2 2

d 3 p (p; t) exp(ip
x=~)

i~ t (p; t) = p2 + m2 2  p

Tuttavia quest'equazione, per quanto ben de nita dal punto di vista matemati o, presenta proprieta si he insoddisfa enti (vedi [S h64℄). Si preferis e onsiderare l'equazione he si ottiene derivando una se onda volta rispetto al tempo

~2t2

= 2 ~2 r2 + m2 4

he si puo mettere nella forma manifestamente invariante di Lorentz (5.34)

 



1 2 

2 t

4



+

 m 2

~

= 0:

Si trova os un'equazione he si ridu e all'equazione d'onda per m ! 0 e

he prende il nome di equazione di Klein-Gordon. L'equazione ontiene una

ostante on le dimensioni di una lunghezza, ~=m , he e proprio la lunghezza d'onda Compton della parti ella. Nel aso dell'elettrone questa vale approssimativamente ~ = ~  400 fm = 4  10 13 m ; m m 2 dunque ir a quattro ento volte le dimensioni aratteristi he di un nu leo, he

orrispondono inve e esattamente alla lunghezza d'onda Compton dei mesoni , la ui esistenza fu ipotizzata da Yukawa proprio sulla base di questa equazione d'onda12.

Le regole di ommutazione anoni he (5.28) assumono un signi ato si o alla lu e del teorema generale he illustreremo piu avanti (vedi il x7.3.3). Da esse dis ende infatti he, ome anti ipato nel x5.1.5, esiste un limite assoluto alla pre isione on ui e possibile misurare ontemporaneamente posizione e momento lineare di una parti ella (prin ipio di indeterminazione di Heisenberg, si veda il su

essivo x5.2.10).

12200 MeV fm e un'ottima approssimazione per ~ . Si veda la tabella a pag. 524 per i valori piu pre isi di ~ e m 2 .

91

Quanti e onde

da

Problema 5.2-2. Veri are he le due matri i in nite Q e P de nite 0

p0 B

1 0 ~ .. Q= 2! . 0 .. . 0 p0 B 1 B r B 0 ~ !B B . P =i . 2 B B . B 0  .. . r

B B B B B B B 

p

1 0 p 2

:::

p

1 0 p 2

:::

0 p

0 0 2 0p 0 0 3 0 ... .. .. pn . 1 0. ::: ... 0 0 0 p 2 0p 0 0 3 0 ... ... ... p n 1 0 ::: ...

::: ::: :::

1

::: : : :C C : : :C C .. C C pn : :. :C C A ... ... 1 ::: ::: : : : : : :C C : : : : : :C C .. C C pn : :. :C C A ... ...

soddisfano le regole di ommutazione di Heisenberg; se ondo il teorema di Von Neumann deve per io esistere una trasformazione unitaria he lega (Q; P ) agli operatori anoni i (q; p). Dimostrare inoltre he la matri e (P 2 + !2 Q2 ) e una matri e diagonale on autovalori (2n + 1)~!. Osservazione. Il problema pre edente illustra una via alternativa allo sviluppo della nuova me

ani a. Abbiamo nora seguito il metodo di S hroedinger, la me

ani a ondulatoria; un'altro metodo, piu astratto, e quello della me

ani a delle matri i, sviluppato da Heisenberg, Born e Jordan in [BHJ25℄ (vedi [Hei63, Kem37, MR82℄). In essa si parte dall'assunto he le osservabili si he sono des ritte da matri i e, in parti olare, le variabili di posizione e impulso devono essere rappresentate da matri i \ anoni he", quali (Q; P ). Si deve allo stesso S hroedinger (vedi [S h77℄) la dimostrazione del fatto fondamentale he le due formulazioni sono equivalenti: le matri i di Heisenberg{Born{Jordan sono pre isamente le \matri i{rappresentative" degli operatori dierenziali (q; p) nella base delle autofunzioni dell'Hamiltoniano, se ondo un linguaggio

he introdurremo gradualmente nel seguito (vedi x5.2.5, x5.2.7 e per la trattazione generale il ap. 7). La formulazione generale della me

ani a quantisti a e opera essenzialmente di P. A. M. Dira . 5.2.4. Onde di probabilita. L'idea si a alla base della me

ani a ondulatoria di S hroedinger e dunque molto sempli e. L'origine della quantizzazione dei livelli atomi i e da ri er are nel arattere ondulatorio delle parti elle materiali he fa s he gli stati stazionari di un atomo siano assimilabili ad onde stazionarie di vibrazione elasti a di un mezzo

ontinuo. Resta a questo punto pero da hiarire se questa e solo un'utile 92

L'equazione di S hroedinger

analogia o se al ontrario esista on retamente un mezzo elasti o a livello mi ros opi o. Quest'ultimo punto di vista e hiaramente ina

ettabile per vari motivi: l'idea he una parti ella ari a ome l'elettrone possa essere estesa su distanze della s ala dell' Angstrom o addirittura del mi ron e in netto ontrasto on il fatto he l'elettrone si manifesta sempre ome parti ella puntiforme, senza struttura interna. Nei fenomeni di interferenza he si osservano on elettroni lenti, il fatto ru iale onsiste nella ir ostanza se ondo ui le frange di dirazione sono formate dall'a

umularsi di un grande numero di elettroni sulla lastra fotogra a e i si trova di fronte al problema di rendere onto dei fatti seguenti: a) ogni elettrone da origine a un singolo punto sullo s hermo b) l'a

umularsi di migliaia di elettroni ri ostruis e la gura di dirazione , e in ne

) l'interferenza non puo essere dovuta a interazione tra gli elettroni , in quanto e possibile dosare il fas io elettroni o a un usso tanto debole da potere onsiderare he ogni elettrone arrivi del tutto isolatamente sullo s hermo13. Se la ari a dell'elettrone fosse davvero distribuita in un atomo su distanze dell'ordine del raggio di Bohr resterebbe da spiegare il motivo per ui le varie omponenti ari he di questo uido non interagis ono tra di loro; si dovrebbe ioe tenere onto di una forza repulsiva di autointerazione. Al ontrario il su

esso dell'equazione di S hroedinger nel al olare i livelli atomi i on notevole pre isione es lude un'autointerazione di questo genere. Ci troviamo ora di fronte a quello he puo essere onsiderato il problema entrale nella omprensione della me

ani a ondulatoria: nell'esperienza delle due fenditure dobbiamo allo stesso tempo attribuire all'elettrone la natura di parti ella puntiforme e quella di onda estesa nello spazio . La nuova me

ani a deve on iliare questi due on etti in modo onsistente. Dobbiamo osservare a questo punto he i modelli on ettuali (quello di onda e quello di parti ella) sono ovviamente legati alla nostra esperienza del mondo ma ros opi o; non dovremmo sorprender i

he addentrando i nel mondo atomi o (e ioe s endendo di die i ordini di grandezza nella s ala delle lunghezze e an or di piu nella s ala delle masse) questi modelli possano risultare inadeguati. L'evidenza si a i ostringe allora a introdurre un nuovo on etto di parti ella quantisti a (il quantone, ome viene de nito nell'opera di Levy-Leblond e Balibar [LLB90℄) dotato di proprieta non ri ondu ibili a una modellisti a ma ros opi a . 13La gura 5-2 e ottenuta attraverso una simulazione numeri a; si veda [MMP76℄

per la des rizione dell'esperimento reale. Si veda an he [K+ 84℄ per una ri

a presentazione di fotogra e di interferometria elettroni a. Per una trattazione teori a dell'esperimento si veda il x7.9.1

93

Quanti e onde

a

c

b

d

Figura 5-2. La formazione di frange di interferenza originate o dall'a

umularsi di elettroni su una lastra fotogra a simulata numeri amente; a) 100 parti elle, b) 500 , ) 1000, d) 5000.

A

ettata l'idea he la des rizione della si a alla s ala atomi a ri hieda un nuovo modello, resta da individuare quale signi ato attribuire alla funzione d'onda. Gia po hi mesi dopo la pubbli azione del primo lavoro di S hroedinger tuttavia Max Born [Bor60℄ avanzo l'ipotesi se ondo ui la natura ondulatoria delle parti elle atomi he fosse da interpretare in un modo del tutto rivoluzionario: la funzione d'onda di S hroedinger e da intendere in senso probabilisti o , essa ioe ontiene informazioni statisti he sullo stato del sistema mi ros opi o. Piu pre isamente, la funzione (x; t) = j (x; t)j2 ostituis e la densita di probabilita relativa alla posizione della parti ella; in altre parole, la probabilita he la parti ella sia rivelata in un volume V e data dall'integrale della  esteso a V . La funzione e detta per io l'ampiezza di probabilita. In questa interpretazione del signi ato si o della funzione d'onda sta tutto il arattere rivoluzionario della nuova me

ani a. Ad un esame piu approfondito i si rende onto infatti he la natura lineare dell'equazione di S hroedinger per l'ampiezza di probabilita rende la teoria radi almente dierente da una teoria di dinami a lassi a in presenza di una omponente \sto asti a" o \aleatoria", quali ad esempio le teorie he des rivono il moto browniano. 94

L'equazione di S hroedinger

Vi sono stati numerosi tentativi, an he re enti (vedi ad es.[Nel67℄) per ri uperare un'interpretazione della me

ani a ondulatoria in termini piu tradizionali | la ne essita di una des rizione statisti a delle parti elle elementari sarebbe dovuta ad un ampo subatomi o non osservabile he perturba il movimento delle parti elle in modo del tutto asuale | ma questo tipo di interpretazioni, oltre a non orire una des rizione piu sempli e, nel migliore dei asi riprodu ono gli stessi risultati della me

ani a ondulatoria al prezzo di introdurre elementi non osservabili e on aratteristi he del tutto pe uliari (in un erto senso simili a quelle dell'etere , introdotto quale supporto delle onde elettromagneti he e poi dimostrato del tutto eliminabile dalla teoria). L'interpretazione probabilisti a della funzione d'onda supera di un olpo solo le diÆ olta legate alla ari a estesa e rende onto della natura delle frange di interferenza elettroni a ui abbiamo a

ennato in pre edenza. Nel seguito entreremo gradualmente in ontatto on le onseguenze di questa impostazione della me

ani a ondulatoria, non prive di aspetti talora apparentemente in ontrasto on l'intuizione. Lo sforzo he si ri hiede ad un primo avvi inarsi alla nuova teoria e dupli e, sia on ettuale he te ni o, legato all'a quisizione degli strumenti matemati i ne essari per sviluppare la teoria.

5.2.5. Proprieta matemati he dell'equazione. Prima di approfondire gli aspetti teori i legati all'interpretazione si a dell'equazione di S hroedinger e della funzione d'onda ( ap. 7), esploreremo le prin ipali proprieta dell'equazione dal punto di vista matemati o. L'equazione e innanzitutto lineare, omogenea e del primo ordine del tempo. La linearita omporta he date due soluzioni 1 (x; t) e 2 (x; t) an he una loro arbitraria ombinazione lineare 1 1 + 2 2 rappresenta una soluzione, per qualunque s elta dei parametri omplessi i . Lo spazio di tutte le soluzioni e per io uno spazio lineare ed ogni soluzione e identi abile on un vettore in tale spazio; si puo fa ilmente onstatare he la dimensione di questo spazio e in nita, il he ostituis e una inevitabile sorgente di diÆ olta he saranno da arontare armati della matemati a adeguata (analisi funzionale). Per ogni oppia di vettori nello spazio verra de nito un prodotto s alare (5.35)

h 1j 2i 

Z

d 3x

1 2

he onferis e allo spazio delle soluzioni dell'equazione di S hroedinger una struttura di spazio metri o. Gli spazi funzionali he si onsiderano nelle appli azioni di me

ani a quantisti a sono aratterizzati dalla ulteriore proprieta di ostituire spazi di Hilbert separabili : si tratta di spazi in ui vale il riterio di onvergenza di Cau hy e he ammettono una base numerabile. Per gli elementi di analisi lineare he ostituis ono 95

Quanti e onde

requisito fondamentale per tutta la me

ani a quantisti a, rimandiamo a [BRS93, Ono84℄. Ri ordiamo almeno a questo punto, pero, la notazione di Dira per indi are i vettori in uno spazio di Hilbert. Un qualunque vettore sara rappresentato dal simbolo j i , detto ket. Vettori dierenti saranno distinti inserendo nel simbolo tutto quanto ne essario allo s opo, ad es. jEn i puo rappresentare una soluzione on energia En , oppure jki un'onda piana di numero d'onde k . La omodita della onvenzione si apprezzera nel seguito (si veda ad es. il ap. 8). Ad ogni vettore e asso iato (per il noto teorema di Riesz) un funzionale lineare: questo e indi ato

on il simbolo h j, detto bra. Il valore del funzionale lineare h1j sul vettore j2i si indi a mettendo uno di an o all'altro i due simboli h1j j2i o piu onvenientemente h1j 2i, he suggeris e per io l'interpretazione di h j

ome il oniugato di j i e in modo naturale h1j 2i rappresenta il prodotto s alare tra i due vettori. Altre ombinazioni di bra e ket sono ammissibili; ad es. l'a

ostamento j1i h2j ha un signi ato immediatamente visibile; appli ando questo oggetto a qualunque vettore j3i si ottiene j1i h2j 3i he rappresenta un vettore parallelo a j1i per qualunque j3i; si tratta per io di un operatore lineare di proiezione. Per una base di vettori ortonormale fjni jn = 1; 2; : : :g le relazioni di ompletezza e di ortogonalita assumono una forma molto sempli e nel formalismo di Dira X jni hnj = 1 ; hnj ki = Ænk : n

Si trova ad esempio, sfruttando la relazione di ompletezza, ome il prodotto s alare di due vettori si esprime in termini delle omponenti X X hj i = hj ni hnj i = n n : n

n

Ri ordiamo in ne he valgono le identita h1j 2i = h2j 1i e h1j A j2i = h2j Ay j1i essendo Ay il oniugato Hermitiano dell'operatore lineare A. D'ora in poi indi heremo on (x) la funzione d'onda e on j i il vettore he le orrisponde nella visione piu astratta in termini di spazi lineari, e se ondo ne essita passeremo dall'una all'altra notazione senza preavviso. L'equazione di S hroedinger stazionaria si s rive allora simboli amente (5.36) H jE i = E jE i ; il vettore jE i si di e un autovettore dell'energia appartenente all'autovalore E (la orrispondente funzione d'onda (x) si di e inve e un'autofunzione dell'energia). Un determinato autovalore dell'energia si di e nondegenere se la orrispondente autofunzione e determinata univo amente, 96

L'equazione di S hroedinger

a meno s'intende di una ostante di proporzionalita. L'autovalore dell'energia si dira inve e n-volte degenere allor he ad esso appartengono n autovettori linearmente indipendenti. Impareremo a ollegare questa proprieta alle proprieta di simmetria del sistema si o. Utilizzando la relazione di ompletezza si esprime fa ilmente l'azione di un qualunque operatore lineare A in una data base nel modo seguente:

A jni =

X



X

m

m

jmi hmj A jni Am n jmi ;

dove Am n = hmj A jni ostituis e una matri e in nito{dimensionale he viene denominata la matri e rappresentativa dell'operatore A. Si veri a fa ilmente in base alla de nizione he ad un prodotto di operatori A B viene asso iata la matri e rappresentativa ottenuta mediante il prodotto righe per olonne delle due matri i rappresentative dei due operatori. Si noti he la matri e rappresentativa dell'Hamiltoniano nella base dei suoi autovettori e una matri e diagonale 

0 E H E 00 = E 0 ÆE 0 E 00 ; e in base a questa proprieta la determinazione delle autofunzioni dell'equazione di S hroedinger e equivalente alla diagonalizzazione dell'Hamiltoniano. Se ondo il risultato del Probl. 5.2-2 possiamo on ludere he gli autovalori dell'Hamiltoniano he des rive un os illatore armoni o 21 (P 2 + !2 Q2 ) sono dati da En = (n + 12 )~!, un risultato he ritroveremo nel x6.2 in modo piu sistemati o. Torniamo ora all'equazione di S hroedinger; dal momento he, ome gia a

ennato in pre edenza, una soluzione e individuata univo amente dall'assegnazione della funzione d'onda ad un determinato istante di tempo, lo spazio delle soluzioni sara identi abile on lo spazio delle possibili

ondizioni iniziali f (x; t0 )g. Quali ondizioni dobbiamo imporre alla funzione d'onda aÆn he sia si amente a

ettabile? Non avendone an ora dis usso l'interpretazione si a, sembrerebbe prematuro porre ondizioni sulle , e tuttavia e ne essario almeno ir os rivere l'insieme di possibili stati iniziali: assumeremo he ogni stato iniziale sia aratterizzato da una funzione dierenziabile (C 1 ) e tale he esista l'integrale

h j i

Z

d 3 x (x) (x)

Una tale funzione d'onda si di e lis ia e a quadrato sommabile. Piu in generale si deve ammettere di estendere l'equazione di S hroedinger a uno spazio ostituito da tutte le ( lassi di equivalenza di) su

essioni di 97

Quanti e onde

Cau hy ( 1 ; 2 ; ::: n ; :::). Si ottiene in tal modo uno spazio di Hilbert individuato on il simbolo L2 (R3 ). Tuttavia nel onsiderare l'appli azione di un operatore lineare ome H dovremo in genere limitar i ad un sottospazio opportuno dello spazio di Hilbert, il dominio dell'operatore. Nel

aso dell'operatore he de nis e l'equazione di S hroedinger dovremo assumere he le funzioni d'onda siano dierenziabili on derivate parziali assolutamente ontinue ed in ne si ri hiedera he la funzione H sia a sua volta a quadrato sommabile. Non avremo ne essita di entrare in questi dettagli matemati i troppo di frequente; tuttavia e il aso di sottolineare he talune proprieta elementari dell'equazione di S hroedinger dipendono in modo ru iale dall'appartenenza della funzione d'onda al

orretto dominio dell'operatore Hamiltoniano. Teorema 5.2.2. Il prodotto s alare di due soluzioni dell'equazione di S hroedinger non dipende dal tempo. Dimostrazione. La dimostrazione e del tutto diretta:

d h dt

1

j 2 i = h dtd 1j 2 i + h 1 j dtd 2 i 1 ( hH 1 j 2 i + h 1 jH 2 i) : = i~

(Si noti il ambiamento di segno dovuto al fatto he il prodotto s alare h j i e lineare in  e antilineare in ). Si tratta di mostrare per io he per l'Hamiltoniano vale la proprieta

hH 1j 2 i = h 1 jH 2 i

(5.37)

ossia l'Hamiltoniano deve essere Hermitiano14. Per dimostrare questa identita introdu iamo in via preliminare un volume nito avente super ie di bordo B =  . Il risultato sara ottenuto nel limite in ui

riempie tutto lo spazio (possiamo pensare a in termini di una sfera di raggio R e il limite onsiderato sara R ! 1). La proprieta dis ende da una sempli e appli azione del teorema di Gauss nella forma (5.38)

Z



(u4v

v4

u) d 3 x =

I

(un v vn u) d 2 



avendo indi ato on n la derivata normale e on d 2  l'elemento d'area sulla super ie di ontorno. Si ha per io, tenendo onto della an ellazione 14Sorvoliamo a questo livello sulle dierenze, seppure sostanziali, esistenti tra operatori simmetri i e autoaggiunti.

98

L'equazione di S hroedinger

dei due termini ontenenti il potenziale, ~2

hH 1 j 2 i h 1 jH 2 i = 2m =

ZZ

ZZZ

1

4

2

2

4

1




d 3x



( 1 n

2

2 n 1 ) d

2



e nel limite in ui riempie tutto lo spazio l'integrale di super ie deve tendere a zero. Cio non e in generale vero per ogni oppia di funzioni a quadrato sommabile ma si dimostra valere per le funzioni he appartengono al dominio dell'Hamiltoniano. 

5.2.6. Corrente di probabilita.

to segue ome aso parti olare ( funzione d'onda de nita da

1

Dal teorema 5.2.2 appena dimostra= 2  ), he la norma della

p

k k h j i

(5.39)

e indipendente dal tempo e alla lu e della interpretazione probabilisti a della funzione d'onda potremo sempre porre k k = 1 (diremo allora he la funzione d'onda e normalizzata ). La quantita   j j2 e pertanto una densita onservata nel tempo: in eetti se valutiamo la derivata temporale della funzione  s opriamo he e possibile identi arla on la divergenza di un ampo vettoriale he assume pertanto il ruolo di orrente (piu pre isamente densita di orrente). Si ha infatti, inserendo quanto i e oerto dall'equazione di S hroedinger,

   = + t t  t     ~2 1 ~2 = 4 + V (x) 4 + V (x) i~ 2m 2m (5.40) i~ = ( 4 4 ) 2m i~ r )  div j (x; t) = div( r 2m avendo appli ato una formula elementare di analisi vettoriale se ondo ui (5.41)

div(f1 rf2 ) = rf1
rf2 + f1 4f2:

L'espressione he abbiamo ri avato per la orrente assume una forma intuitiva se sostituiamo alla funzione d'onda la forma (5.42)

(x) =

p

(x) expfiW (x)=~g 99

Quanti e onde

Si ottiene infatti (5.43)

j (x) = Re

n

p m

o

=

~

m

Im f r g

e on un sempli e al olo si trova (5.44) j (x) = rW=m Questa e d'altronde l'espressione he dobbiamo aspettar i tenendo onto

he rW oin ide on il momento lineare (identi ando W on la funzione di Hamilton introdotta nel x2.3.3) e dunque la orrente equivale al prodotto della densita per la velo ita. Si noti he qualunque soluzione dell'equazione di S hroedinger he sia reale, o piu in generale on una fase indipendente da x, avra densita di orrente nulla. Il ampo vettoriale j (x) rappresenta la (densita di) orrente relativa alla densita di probabilita : j rappresenta quindi la orrente di probabilita. . Un'equazione lineare per la densita. La densita  nel aso stazionario soddisfa ad un'equazione lineare he puo essere utilmente appli ata al

al olo di erti integrali. Derivando su

essivamente rispetto a x si ottiene infatti (assumendo reale, ma an he questa ondizione si puo eliminare) d =2 0 dx 0 d2  4m = (V (x) E )  + 2 2 dx2 ~2 d3  8m 4m = (V (x) E ) 0 + 2 V 0 (x)  dx3 ~2 ~ e quindi ~2 000  = (V (x) E ) 0 + 21 V 0 (x)  : (5.45) 8m Ora, del tutto in generale, se una densita soddisfa un'equazione dierenziale lineare, da Rquesta si puo ri avare una relazione di ri orrenza sui momenti hxk i  xk  dx : E suÆ iente integrare per parti piu volte per ottenere (5.46) E E D D E D 2 1 V 0 (x) xk + k (V (x) E ) xk 1 = ~ k (k 1)(k 2) xk 3 ; 2 8m avendo assunto l'annullamento di ogni ontributo al ontorno, ome e il aso per un problema de nito su R. Questa relazione generalizza il teorema del viriale he orrisponde a k = 1: 0  1

(5.47) 2 x V (x) = hE V (x)i : Vedremo un'appli azione di questa formula nel Probl. 6.5-2 a p. 162. 100

L'equazione di S hroedinger Problema 5.2-3. Considerare il problema pre edente nel aso di una parti ella vin olata alla semiretta reale positiva. Dimostrare he in questo

aso i sono ontributi al ontorno e he vale la relazione

0  ~2 (5.48) V (x) = j 0 (0)j2 : 2m Problema 5.2-4. Dimostrare he l'equazione (5.45) e equivalente alla seguente  ~2 000 p d p  + E V (x) (5.49) E V (x)  = 0 : 8m dx 5.2.7. Soluzioni stazionarie. La soluzione dell'equazione di S hroedinger si puo mettere simboli amente nella forma (5.50) (x; t) = exp ( i H t=~) (x; 0) se ammettiamo he la funzione esponenziale sia stata de nita per gli operatori lineari in modo da mantenerne le proprieta formali di ui gode in

ampo omplesso. L'analisi funzionale [Tay58, Nai68, BRS93, Ono84℄ fornis e gli strumenti adatti per tradurre l'espressione formale exp( iHt=~) in una ostruzione matemati amente ben de nita. Questo strumento e quello dello sviluppo spettrale dell'operatore H . Per ogni operatore autoaggiunto esiste una rappresentazione del tipo

H= (5.51)

=

Z

dE^ X

2d (H )

 P^ +

Z

2 (H )

 dE^

dove gli operatori E^ ostituis ono una famiglia spettrale (vedi l'App. B.9) e onviene mettere in evidenza le due omponenti dello spettro: l'insieme dei numeri reali (H ) = d (H ) [  (H ) ostituis e lo spettro dell'operatore H , d ne e la parte dis reta e  quella ontinua. I proiettori P  sono de niti dalla dis ontinuita della famiglia spettrale E^ nei punti dello spettro dis reto. Determinare lo spettro e la famiglia spettrale dell'Hamiltoniano ostituis e il problema entrale nelle appli azioni della me

ani a quantisti a. Vedremo nel seguito quali te ni he sono state sviluppate per risolvere questo problema. Al di fuori di asi molto sempli i e ne essario ri orrere a metodi di approssimazione (vedi ap. 10). Nella prati a, anzi he la forma astratta di E^ , se ne onsidera la rappresentazione in termini di autovettori propri e generalizzati: X X P = j; i h; j ; dE^ = j; i d h; j 

101



Quanti e onde

dove l'indi e  e in generale ne essario per i livelli energeti i degeneri. Anzi he approfondire ora in generale il signi ato di queste formule pro ederemo attraverso esempi espli iti. Spettro dis reto. Consideriamo innanzitutto il problema di determinare lo spettro dis reto. Si tratta di determinare tutti i valori reali E (utilizziamo d'ora in poi il simbolo E per gli autovalori dell'energia) per i quali esistono soluzioni a quadrato sommabile dell'equazione

(5.52)

Hj

i=Ej i

I valori di E si hiamano autovalori dell'energia e le orrispondenti soluzioni vengono denominate autofunzioni dell'energia. Un determinato autovalore dell'energia si di e non-degenere se la orrispondente autofunzione e determinata univo amente, a meno s'intende di una ostante di proporzionalita. L'autovalore dell'energia si dira inve e n-volte degenere allor he esistono n soluzioni linearmente indipendenti. Impareremo a ollegare questa proprieta alle proprieta di simmetria del sistema si o. Il problema della determinazione dello spettro d'energia non e molto diverso, dal punto di vista matemati o, da quello he abbiamo in ontrato nello studio della dinami a lineare dei mezzi ontinui. In quel aso lo spettro e l'insieme delle frequenze dei modi normali. L'esistenza dei livelli energeti i dis reti negli atomi sugger appunto l'idea he i sia un fenomeno ondulatorio al fondamento della si a atomi a. La dierenza he ris ontriamo immediatamente tra l'equazione di S hroedinger e le equazioni lassi he he des rivono mezzi elasti i e data dalla man anza di

ondizioni al ontorno. L'equazione di S hroedinger e de nita in tutto lo spazio R3 e io omporta he non tutti i potenziali V (x) danno luogo ad uno spettro dis reto di energia; d'altra parte la si a atomi a mostra he i sistemi atomi i presentano sia livelli dis reti di energia sia un ontinuo di valori he orrispondono agli stati di ionizzazione. Il su

esso della nuova me

ani a basata sull'equazione di S hroedinger sta proprio della

apa ita di des rivere in un formalismo uni ato entrambe le omponenti dello spettro. Si tenga presente he on una nomen latura derivata dalla si a atomi a, lo stato di energia piu bassa di un qualunque sistema si o viene denominato stato fondamentale, mentre gli stati a energia piu alta sono detti generi amente stati e

itati. Cio allude al fatto he un atomo, he si trova ordinariamente nel suo stato fondamentale, puo essere \e

itato" ad un livello piu alto in seguito ad una interazione on altri atomi, on radiazione elettromagneti a e

. (si veda [FR95℄). 102

L'equazione di S hroedinger Problema 5.2-5. Dimostrare he gli autovalori dell'energia sono reali e le orrispondenti autofunzioni sono ortogonali hE1j E2i = 0 (se E1 6= E2 )

Il arattere reale degli autovalori dis ende immediatamente dalla proprieta H = H y he permette di s rivere hj H j i  h j H ji e pertanto h jH j i = E h j i ; h jH j i = E h j i ; il he impli a he E deve essere reale. Partendo ora dalle due equazioni H j 1 i = E1 j 1 i ; H j 2 i = E2 j 2 i ; si prende il prodotto s alare di entrambi i membri rispettivamente on il se ondo e il primo vettore in modo da ottenere h 2 j H j 1 i = E1 h 2 j 1 i h 1 j H j 2 i = E2 h 1 j 2 i : Si prende in ne la dierenza membro a membro tra la prima equazione e la

oniugata omplessa della se onda, ottenendo: 0 = (E1 E2 ) h 2 j 1 i il he, unitamente a E1 6= E2 , impli a h 2 j 1 i = 0.

Autofunzioni appartenenti allo stesso autovalore dell'energia (stati osiddetti degeneri ) non sono ne essariamente ortogonali. Tuttavia da una qualunque base di autofunzioni degeneri possiamo sempre ostruire (in in niti modi possibili) una base ortogonale appli ando il pro edimento di S hmid. In ogni aso per io esiste una base ortogonale di autofunzioni,

he possiamo an he assumere di lunghezza unitaria. Si di e allora he si e introdotta una base ortonormale di autofunzioni.

Spettro ontinuo. Si avra in generale an he una omponente ontinua dello spettro, he non orrisponde ad autofunzioni in senso stretto. Se E^ e la famiglia spettrale dell'Hamiltoniano, la omponente ontinua dello spettro orrisponde all'insieme di punti in ui la funzione kE^ k e ontinua e strettamente non- ostante per qual he vettore . Una de nizione sempli ata di autofunzione dello spettro ontinuo, he ha il pregio di essere abbastanza intuitiva, e la seguente. Definizione 5.2.1. Si di e he E e un autovalore dell'energia nello spettro ontinuo se a) H = E non ammette soluzioni a quadrato sommabile; b) esiste una su

essione di vettori f n g di norma unitaria tali he lim k(H E ) n k = 0 : n!1

103

Quanti e onde

La su

essione n puo essere identi ata on N (E^+1=2n2 E^ 1=2n2 ) per qual he opportunamente s elto e on N ssato dalla ondizione di normalizzazione. La de nizione si appli a in generale per ogni operatore lineare nello spazio di Hilbert. Ad esempio per gli operatori anoni i troviamo he lo spettro dis reto e vuoto e tutto lo spettro e ostituito dalla omponente ontinua. Problema 5.2-6. Dimostrare he lo spettro dell'operatore q e ostituito da tutto l'asse reale. L'equazione q (x) =  (x) impli a (x ) (x) = 0 il he signi a he la funzione d'onda e nulla quasi dappertutto (e per io e il vettore nullo). Non esistono quindi autofunzioni dello spettro dis reto per q. D'altra parte per ogni reale  si onsideri la su

essione di funzioni ( 0 per jx j > 12 n 2 ; (n = 1; 2; : : :): n (x) = n per jx j < 21 n 2 Si trova immediatamente (ponendo y = x )

k k(q )

n

k2

n

k2

= =

Z 1n 2

1n 2 Z 1n 2 1 2n

2 2 2 2

n2 dy = 1 n2 y2 dy = 14 n

4

e dunque  2  . L'intuizione di e he la su

essione di funzioni rappresenta degli stati in ui il valore della posizione sull'asse reale e sempre piu on entrato intorno a . Problema 5.2-7. Dimostrare he lo spettro dell'operatore

tuito da tutto l'asse reale.

p e osti-

Valgono onsiderazioni identi he a quelle appli ate per l'operatore q; onviene ovviamente lavorare nello spazio di Fourier. Consideriamo per io una su

essione di funzioni d'onda la ui trasformata di Fourier sia data da ( 0 per jp j > 21 n 2 ; (n = 1; 2; : : :): n (p) = n per jp j < 21 n 2

Dato he l'espressione kn k2 assume la stessa forma ome nel problema pre edente nella oordinata momento, si otterranno le medesime on lusioni. Una funzione d'onda la ui trasformata di Fourier e del tipo n , ioe a supporto nito,

ostituis e un'approssimazione si amente ragionevole ad un'onda piana.

Anzi he utilizzare le su

essioni di funzioni a quadrato sommabile (dette an he "auto-pa

hetti-d'onda"), risulta piu agevole introdurre delle autofunzioni generalizzate; questi oggetti non sono vettori nello spazio di Hilbert ma permettono manipolazioni formali molto simili a quelle he si 104

L'equazione di S hroedinger

operano sui vettori di una base ortonormale. La loro appli azione sistemati a risale a Dira [Dir59℄. Supponiamo di normalizzare le funzioni della su

essione de nita nella soluzione del Probl. 5.2-6 in modo dierente: ( 0 per jx j > 21 n 1 (5.53) ( x;  ) = n n per jx j < 21 n 1

e hiameremo la \funzione" de nita dal limite n ! 1 un'autofunzione generalizzata di q. Qual e il prodotto s alare tra due autofunzioni generalizzate? Il prodotto s alare hn; j n; i si al ola fa ilmente nel limite n ! 1: infatti se  6=  per n suÆ ientemente grande le due autofunzioni sono diverse da zero in due intervalli disgiunti e pertanto il loro prodotto s alare si annulla. Dunque si ha (5.54) hj i = 0; per  6=  D'altra parte possiamo fa ilmente al olare l'integrale (omettendo i limiti in quanto si tratta di tutte integrazioni estese all'intero asse reale) Z

d hn; j n; i =

Z

d

Z

dx n2  jx j
L=2 2m ~2 00 (x) + V1 (x) = E (x); jxj < L=2 2m e la soluzione si trova allora on al oli del tutto elementari (si tratta di equazioni lineari a oeÆ ienti ostanti). Il vero problema onsiste nell'identi are le orrette ondizioni di ra

ordo della soluzione tra un intervallo e l'altro. Sono possibili varie ondizioni he orrispondono a una

orretta de nizione matemati a dell'equazione, ma e la si a a dettare quali ondizioni al ontorno siano quelle orrette. Se infatti onsideriamo la dis ontinuita del potenziale ome la s hematizzazione di un potenziale a rapida variazione in un intervallo (L=2 Æ; L=2 + Æ), la stessa equazione

i suggeris e he 0 (L=2 + Æ)

0 (L=2

Æ) = =

Z L=2+Æ

00 dx

L=2 Æ Z 2m L=2+Æ (E ~2 L=2 Æ

V (x)) (x)dx ;

il he mostra he se V (x) si mantiene limitato, al limite Æ ! 0 la derivata della funzione d'onda deve essere ontinua (vedremo piu avanti l'esempio di un salto di potenziale in nito ui orrisponde una 0 dis ontinua). Imporremo per io in tutti i punti di dis ontinuita del potenziale un ra

ordo lis io per la funzione d'onda ( e 0 ontinue). Dobbiamo ora dis utere i vari intervalli possibili per E . Se E < minfV (x)g non si hanno 117

Appli azioni elementari

soluzioni, per ragioni del tutto generali; in questo aso infatti l'operatore p2 =2m + V (q) E e positivo de nito, quindi invertibile e E appartiene all'insieme risolvente1 di H . Consideriamo per io il aso V1 < E < 0. In questo regime la me

ani a lassi a prevede un moto periodi o (la parti ella rimbalza elasti amente tra due pareti). Risolvendo l'equazione troviamo 8 > x < L=2

: D exp( x) ; x > L=2 p

p

dove k = 2m(E V1 )=~;  = 2mE=~. Abbiamo gia imposto he la funzione d'onda non sia divergente a grandi distanze (una soluzione exp(x); x > L=2; seppure matemati amente possibile, non avrebbe senso dal punto di vista si o, in quanto orrisponderebbe ad una funzione d'onda on entrata a distanza in nita dall'origine). Le ondizioni di ontinuita su e 0 danno in totale quattro equazioni lineari a ui assoggettare i oeÆ ienti arbitrari A; B; C; D. Cio porta ad un'equazione algebri a soddisfatta solo per erti valori di E . Troviamo per io una omponente di spettro dis reto. Prima di avventurar i nel al olo, sfruttiamo al meglio le proprieta di simmetria del problema: dal momento he il potenziale e simmetri o (V ( x) = V (x)), e hiaro he da una qualunque soluzione (x) possiamo ottenere un'altra soluzione dell'equazione per ri essione ( x). Ma essendo l'equazione lineare, an he le funzioni 1 s (x) = 2 ( (x) + ( x)) 1 ( x)) a (x) = 2 ( (x) saranno soluzioni e per di piu di parita de nita , ioe rispettivamente simmetri a e antisimmetri a. Nel nostro problema io signi a he possiamo, senza perdere in generalita, onsiderare separatamente le soluzioni simmetri he da quelle antisimmetri he (in altri termini, l'Hamiltoniano e l'operatore di parita P ammettono una base di autofunzioni in omune). Questo fatto sempli a notevolmente il al olo. Infatti si ha

aso simmetri o aso antisimmetri o A os kx A sin kx jxj < L=2 : (x) = C exp( x) C exp( x) x > L=2 C exp(x) C exp(x) x < L=2 L'uni a ondizione da imporre per determinare lo spettro dis reto e pertanto la ontinuita in x = L=2, o, equivalentemente, la ontinuita della 1Dalla diseguaglianza k(H E ) k > (minfV g E )k k segue he il risolvente (H E ) 1 esiste ome operatore limitato, e dunque E non appartiene allo spettro (si veda [BRS93℄).

118

Sistemi a un grado di liberta derivata logaritmi a 0 = in quel punto. Otteniamo in questo modo (

k tan(kL=2) =  aso simmetri o k ot(kL=2) =  aso antisimmetri o

ui deve aggiungersi la relazione he proviene dalla de nizione di k; : k2 + 2 = 2mV1 =~2 : Si vede dunque he dette  = kL=2;  = L=2, il sistema si ridu e a (  tan  =  aso simmetri o  2 + 2 = 2mjV1 j(L=2~)2 ; :  ot  =  aso antisimmetri o La soluzione e evidente dal punto di vista gra o, essendo data dalla intersezione della urva  =  tan  ( =  ot  ) on er hi di raggio dipendente da jV1 j. La Fig. 6-1 mostra hiaramente he per jV1 j molto pi

olo esiste simmetri a. Allor he la p una sola soluzione he risulta essere 1 quantita 2mjV1 j=2 L=2~ raggiunge il valore 2  ompare una soluzione antisimmetri a; all'aumentare della profondita della \bu a di potenziale" il numero di livelli energeti i on energia negativa (stati legati) aumenta in orrispondenza ai valori di soglia2 p 2mjV1 j L=2~ = n=2 : (6.3) Per jV1 j molto grande il valore della  alle intersezioni tende ad assumere il valore n=2 he orrisponde ai livelli di energia n2 2 ~2 En = V1 + : 2mL2

he oin idono on quelli previsti dalla ve

hia teoria dei quanti. Osserviamo he nel limite di profondita in nita le autofunzioni tendono uniformemente a zero al di fuori dell'intervallo jxj < L=2. Infatti dalla ondizione di ontinuita in x = L=2 si ottiene immediatamente (nel

aso simmetri o)  p 2 L= 1 + (=k)2 C = Ae e per io la funzione d'onda nella regione x  L=2 e data da (x) = Ae

(x L=2)



p

1 + (=k)2 :

Ma nel limite V1 ! 1, on E V1 ssato, si ha =k ! 1 e pertanto la funzione d'onda tende a zero dappertutto, tranne he all'interno della bu a di potenziale. Teniamo presente per io he nel aso di una barriera 2Esistono stime generali relative al numero di stati legati in un potenziale. Si veda [LSW76℄ per una rassegna di risultati di questo tipo.

119

Appli azioni elementari

3.5

3

η/π

2.5

2

1.5

1

0.5

0 0

0.5

1

1.5

2

ξ/π

2.5

3

3.5

Figura 6-1. Soluzione gra a dell'equazione agli autoval-

ori per la bu a di potenziale.

di potenziale in nitamente alta si dovranno appli are le ondizioni al ontorno (x) = 0 nel punto di dis ontinuita, mentre la derivata prima della funzione d'onda non e soggetta ad al una ondizione. Problema 6.1-2. Determinare autostati e autofunzioni dell'equazione di S hroedinger per un potenziale della forma 8 > a per b < jxj < a per jxj < b

V (x) = 0 > : V0

on a; b; V0 ostanti positive.

L'interesse di questo esempio onsiste nel fatto he in questo aso le soluzioni deviano sostanzialmente dalle aspettative basate sulla sempli e analisi lassi a della dinami a della parti ella. Considerazioni alla Bohr danno per 0 < V0 < E due possibilita. La parti ella si puo trovareHalla destra o alla sinistra della barriera p

entrale e l'invariante d'azione vale J = pdx = 2(a b) 2mE . Cio farebbe prevedere stati di energia

1 (n + 12 )~ 2m a b

on due autofunzioni linearmente indipendenti orrispondenti ai due moti lassi i possibili. Pro ediamo ora alla soluzione dell'equazione di S hroedinger, fa endo buon uso della simmetria he i permette di er are soluzioni simmetri he oppure

En 



120

2

Sistemi a un grado di liberta antisimmetri he. Siano

p

k = 2mE=~;  =

Si avra

p

2m(V0

E )=~ :

8 >

: B sinh x per x < b, aso antisimmetri o; dove abbiamo utilizzato an he la ondizione al ontorno (a) = 0. La ondizione di ra

ordo in x = b i da poi (

k ot(k(a b)) =

 tanh(b) aso simmetri o :  oth(b) aso antisimmetri o

Datop he k2 + 2 = 2mV0 =~2 onviene sempli are le formule introdu endo  = 2mV0 (a b)=~ e una variabile ! in modo he risulti (a b)k =  sin !; (a b) =  os ! : Si ottiene alla ne l'equazione he determina lo spettro   b os ! ; (6.4) tan ! ot( sin !) = F a b dove F e rispettivamente tanh o oth nei due asi. L'equazione deve essere risolta numeri amente. Tuttavia in al uni asi limite si puo studiare analiti amente. Consideriamo il aso b ! 1 on a b = L ssato. Al limite le due equazioni degenerano in una sola tan ! ot( sin !) = 1 e vi saranno due stati (uno simmetri o e uno antisimmetri o) asintoti amente on la stessa energia. Si parla in questi asi di degenerazione asintoti a. Per b grande ma nito i sono ovviamente delle orrezioni he si possono fa ilmente valutare. Sia $ una soluzione valida per b = 1 e er hiamo una soluzione approssimata del tipo ! = $ + ". Inserendo nell'equazione (6.4) e tenendo onto solo del termine piu importante per b ! 1 si trova: tanh(b os !=L)  1 2e 2b$=L  1 2

oth(b os !=L)  1 + 2e 2b$=L  1 + 2 :

Si ha dunque

1  2  tan($ + ") ot( sin($ + ")) e sviluppando al primo ordine in " si trova in ne  sin(2$) "= : 1 +  os $ Si trova per io he l'autofunzione simmetri a orrisponde ad un'energia piu bassa di quella antisimmetri a e la dierenza di energia (in gergo, il \gap" di energia)

121

Appli azioni elementari

vale approssimativamente ÆE 2Æk = = 2" ot $ E k = 4 os2 $=(1 + L) V E exp( 2b) ; =4 0 V0 (1 + L) dove il valore di E he ompare nell'equazione e quello orrispondente a b = 1. Si noti he l'esponente 2b si puo identi are on la quantita

S=

Z b p

b

2m(V0

E )dx 

Z b

b

jp(E; x)j dx

he rappresenta l'azione di una traiettoria a valori immaginari . Questo e forse l'esempio piu sempli e di un fenomeno molto generale studiato a fondo in tempi relativamente re enti (teoria degli istantoni). Si vedano a questo proposito [Col78, OSC79, CD88℄. Problema 6.1-3. Determinare l'equazione degli autovalori dell'ener-

gia per il potenziale

8 >

: 0 per a < jxj

on a; b; V0 ostanti positive, e dimostrare he an he in questo aso il gap di energia tra lo stato fondamentale e il primo livello e

itato e proporzionale a expf S g, dove la funzione S e stata de nita nel problema pre edente. Problema 6.1-4. Si onsideri una parti ella on nata ad una regione

a < x < a non soggetta a forze. Determinare autovalori ed autofunzioni dell'energia; si appli hi poi la relazione di ri orrenza (5.45) per ottenere i valori di aspettazione hEn j qk jEn i , k intero (tenere onto dei termini al

ontorno nell'integrazione per parti!).

6.1.3. Il aso di una forza ostante. Consideriamo ora il problema di determinare le autofunzioni dell'equazione di S hroedinger per una parti ella soggetta ad un ampo di forze ostante e uniforme nello spazio (la trattazione matemati a e la stessa sia he si tratti del ampo di gravita o di un ampo elettri o). Studieremo pertanto l'equazione di S hroedinger on V (q) = mgq. Dato he il potenziale e lineare in q risulta onveniente adottare la rappresentazione del momento lineare on la sostituzione H (q; p) ! H (i~=p; p); l'equazione si s rive allora: p2 (p) + mg
i~0 (p) = E(p) : 2m 122

Sistemi a un grado di liberta

L'equazione e del primo ordine e si risolve per separazione delle variabili: 0 2mE p2 = ;  2i~m2 g da ui si ottiene   i E p + 2 p3 : (p) = N exp i mg~ 6m g~ Se desideriamo studiare la funzione d'onda nello spazio delle oordinate bisogna valutare la trasformata di Fourier; introdu endo il parametro adimensionale  = p=(2m2 g~)1=3 si ottiene   Z mgx E 3 1 (x) = N d exp i 3  + i : (2mg2 ~2 )1=3 Questa funzione e nota ome funzione di Airy (si veda la Fig. 6-2 a p. 124). Si noti ome a dierenti valori dell'energia orrisponda sempre la stessa forma della soluzione a meno di una traslazione : detta ioe (x) la funzione di riferimento Z  1 d exp ix + i 31  3 ; (x) = 2 l'autofunzione e rappresentata da (6.5)

E (x) = N





 (m2 g=2~2 )1=3 (x E=mg) :

Il omportamento asintoti o per x ! 1 risulta essere 8 1 > 2 > per x ! +1 < p 1=4 expf 3 x3=2 g 2  x (6.6) (x)  2 1 > 3=2 +   > ( x ) per x ! 1: sin :p 3 4  jxj1=4 Si vedano [Pau58, Som64, Ho 71℄ per una trattazione ompleta oppure si tentino di appli are le te ni he dell'App. B.2. Si notera he nella regione x > E=mg he se ondo la me

ani a lassi a e irraggiungibile per la parti ella, la funzione d'onda e monotona de res ente, e tende rapidamente a zero. Nell'altra zona, quella a

essibile se ondo la me

ani a lassi a (x < E=mg), la funzione d'onda ha arattere os illante on una distanza tra zeri su

essivi in a

ordo on la relazione di De Broglie. Problema 6.1-5. Si onsideri il problema del potenziale lineare in ui pero si abbia una barriera repulsiva in nitamente alta in x = 0. Adottando le notazioni del problema pre edente, la soluzione dell'equazione di S hroedinger data dalla Eq. (6.5) deve soddisfare la ondizione E (0) = 0, ovvero    E=(mg2~2 =2)1=3 = 0 :

123

Appli azioni elementari

0.8

0.6

0.4

Ai

0.2

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-20

-15

-10

-5

0

5

x

Figura 6-2. La funzione di Airy.

Se indi hiamo on x1 ; x2 ; : : : gli in niti zeri reali negativi della funzione di Airy, i livelli di energia saranno dati dalla su

essione En = (mg2 ~2 =2)1=3 xn . Una buona approssimazione agli zeri si ottiene appli ando la rappresentazione asintoti a (6.6) he i da

xn  (3(n 1=4)=2) 3 : Si puo veri are fa ilmente he la quantizzazione alla Bohr riprodu e lo stesso risultato, a meno della orrezione nita 1=4 he ri hiede un'analisi piu raÆnata (per maggiori dettagli si veda [Sak90℄). 2

6.2. L'os illatore armoni o Consideriamo ora la soluzione dell'equazione di S hroedinger per un potenziale quadrati o V / q2 , he rappresenta in me

ani a lassi a l'approssimazione di bassa energia per os illazioni stabili. Il sistema e detto \os illatore armoni o" e, nonostante non orrisponda ad al un sistema reale, e alla base di gran parte delle appli azioni sia ome approssimazione di potenziali piu realisti i sia ome base per la trattazione di sistemi a molte parti elle. E per io della massima importanza familiarizzarsi on le te ni he matemati he ne essarie per il suo studio dettagliato. L'equazione di S hroedinger si s rive, hiamando ! la frequenza ~2 00 (x) + 21 m!2 x2 (x) = E (x) : 2m 124

L'os illatore armoni o

Introdu iamo p una oordinata adimensionale sfruttando il fatto he la

ombinazione ~=m! ha le dimensioni di una lunghezza: r

x=

~

m!

:

Sostituendo nell'equazione si ottiene 1 00 1 2 (6.7) 2 ( ) + 2  ( ) = "  ; avendo indi ato on " il rapporto E=~!, he dovra risultare positivo in quanto lo spettro dell'energia, del tutto in generale, e limitato dal di sotto dal minimo valore del potenziale. Tentiamo una soluzione di forma gaussiana ( ) = N expf  2 g : Per sostituzione troviamo
2 1 00 + 1  2 = N 22  2 + 1  2 +  e  2

2

= "N e

 2

:

2

L'equazione e soddisfatta per  = " = 12 . L'autofunzione e diversa da zero dappertutto e questo indi a he si tratta del modo fondamentale (energia minima) in modo del tutto analogo a quanto avviene per le vibrazioni di una orda elasti a in ui il modo normale di frequenza piu bassa e privo di \nodi"3. Per ottenere tutte le altre soluzioni e per dimostrare he abbiamo trovato proprio lo stato fondamentale pro ederemo in modo piu sistemati o.

6.2.1. Operatori di reazione e di anni hilazione.

l'operatore lineare

q  d a = 12 d

Si de nis a



+ ;

he ha ome operatore oniugato Hermitiano

ay =

q  1 2



d + : d

3Il numero di zeri (ne essariamente sempli i) per le autofunzioni dell'energia in un

sistema a un grado di liberta si puo identi are on il numero quanti o della quantizzazione di Bohr. In parti olare lo stato fondamentale e rappresentato da una funzione reale priva di zeri per tutti i sistemi on Hamiltoniano H = 4 + V (x) { si veda [RS78a℄, x XIII.12.

125

Appli azioni elementari

Da un sempli e al olo risulta    d d y 1 + + aa =2 d d !  2   d d = 12 + ; + 2 d d = 12 00 + 12 ( 2 1) (abbiamo indi ato on [A; B ℄  AB BA il ommutatore di due operatori). Dunque l'equazione agli autovalori si puo s rivere nella forma ay a = (" 21 ) : Osserviamo pero he l'operatore ay a e positivo (semi-)de nito : infatti il suo valore d'aspettazione su un arbitrario vettore e dato da h j aya j i = ha j a i  ka k2  0 ; e inoltre il limite inferiore zero e raggiunto solo se a = 0 =)  0 = N expf 12  2 g : Cio impli a he lo stato fondamentale e proprio dato dalla gaussiana gia

onsiderata in pre edenza e " = 21 e l'autovalore piu basso. Questo signi a he il livello fondamentale dell'os illatore armoni o orrisponde ad un'energia E = 21 ~!, he viene denominata energia di punto zero. Osservazione. Il fondamento si o he sta alla base di questa energia intrinse a dell'os illatore sta nel prin ipio di Heisenberg. Si ha infatti

he per un qualunque stato j i (in unita m = ! = 1) h j H j i = 21 h j p2 j i + 21 h j q2 j i = 12 (
2 p +
2 q + h j p j i2 + h j q j i2 )  21 (
2 p +
2 q)  21 (
2p + 14 ~2 =
2p) : Il minimo di quest'ultima espressione si valuta immediatamente onsiderando l'indeterminazione di p ome variabile indipendente e oin ide on 1 2 ~. Gli operatori a; ay soddisfano regole di ommutazione proprie di un'algebra di Lie (vedi l'App. B.1). Troviamo infatti:   d d y 1 +; + = 1 [a ; a ℄ = 2 d d y y y y y [a a ; a ℄ = a [a ; a ℄ = a [ay a ; a℄ = [ay ; a℄a = a : 126

L'os illatore armoni o

Si noti he abbiamo fatto uso di una sempli e identita he viene spesso in so

orso nel al olo di ommutatori: [AB ; C ℄  A[B ; C ℄ + [A ; C ℄B : Vediamo ora ome a partire dallo stato fondamentale, soluzione dell'equazione a 0 = 0, possiamo ostruire tutto lo spettro sfruttando la struttura algebri a. Consideriamo il vettore 1 = ay 0 ; si avra aya 1 = ay aay 0 = ay (ay a + 1) 0 = ay 0  1 : Abbiamo allora ostruito un altro autovettore he soddisfa l'equazione H 1 = 23 ~! 1 : Appli ando piu volte l'operatore ay troviamo poi una su

essione di autovettori appartenenti ad autovalori via via piu alti, la separazione tra i livelli essendo sempre ~!, ome previsto dalla ve

hia teoria dei quanti. Si puo infatti pro edere per ri orrenza nel modo seguente: a) H 0 = 21 ~! 0 b) se H n = En n allora Hay n = (En + ~!)ay n , da ui on ludiamo he lo spettro dell'Hamiltoniano ontiene l'insieme En = ~!(n + 12 ); (n = 0; 1; 2; : : : ) : Al ne di alleggerire la notazione da ogni elemento super uo, si usa indi are on jni l'autovettore normalizzato n . Problema 6.2-1. Determinare per ogni n la ostante Nn tale he jni = Nnayn j0i sia normalizzato. Si appli ano an ora le regole di ommutazione all'espressione 1 = hnj ni = jNn j2 h0j an ayn j0i = jNn j2 h0j an 1 aay ayn 1 j0i = jNn j2 h0j an 1 (ay a + 1)ayn 1 j0i ma l'operatore (ay a + 1) e appli ato ad un suo autovettore on autovalore n e pertanto 1 = njNn j2 h0j an 1 ayn 1 j0i = njNn j2 =jNn 1j2 : Si ha per io jNn j = jNn 1 j=pn = (per ri orrenza) = p1 ; n!

127

Appli azioni elementari

e l'azione di (a; ay ) nella base degli autovettori dell'energia assume la forma parti olarmente sempli e p a jni = n jn 1i (6.8) p ay jni = n + 1 jn + 1i :

Gli operatori (ay ; a) assumono un'importanza notevole negli sviluppi della me

ani a quantisti a; sotto opportune generalizzazioni un'algebra quale quella generata da fH; a; ay ; 1g e alla base della si a dei molti orpi e della teoria dei ampi (vedi il x11.3). Si e oniato un nome parti olare per questi operatori, ay e detto un operatore di reazione (o reatore ) mentre a e detto un operatore di anni hilazione4 (o anni hilatore ). La ragione e ovviamente he l'appli azione di ay ad un autovettore dell'energia aumenta di un quanto ~! l'energia mentre a la diminuis e di un quanto. L'operatore N = aya , in termini del quale l'Hamiltoniano si s rive H = ~!(N + 21 ) , e noto quale \operatore numero", per il fatto ovvio he soddisfa l'equazione N jni = n jni e quindi \ onta" il numero di quanti di uno stato. In termini degli operatori anoni i (q; p) si ha (reinserendo le ostanti si he appropriate) i (p im!q) a= p 2m~! i ay = p (p + im!q) : 2m~! Problema 6.2-2. Determinare le matri i rappresentative degli operatori anoni i nella base degli autostati dell'energia jni e veri are he

oin idono on le matri i in nite introdotte nel Probl. 5.2-2. Problema 6.2-3. Determinare la rappresentazione degli stati jni in termini di funzione d'onda. Se anzi he appli are il metodo algebri o studiamo direttamente l'equazione di S hroedinger dobbiamo ottenere gli autovettori ome funzioni di q. Ri ordiamo la forma adimensionale (6.7). Attraverso la sostituzione = exp(  2 )( ) l'equazione si trasforma in [00 40 + (42  2 2)℄ +  2  = 2" : Per  = 12 si an ellano i termini quadrati i in  e l'equazione diventa del tipo solubile on il metodo di Lapla e: 00 + 20 = (2" 1) : 4Si impiega an he equivalentemente il termine distruttore.

128

L'os illatore armoni o Se ondo il metodo generale, si pone

( ) =

Z

ez F (z )dz

C e si ottiene, dopo un'integrazione per parti,   Z 2 d 2 z z (2zF ) + (z + 2" 1)F dz 2ze F (z ) = 0 : e dz

1 C Si intende he C e un ammino nel ampo omplesso, on estremi 1 ; 2 . L'equazione e soddisfatta se z 2 + 2" 1 d log(2zF ) = dz 2z e inoltre il ontributo agli estremi di C si annulla. Dall'equazione si ottiene fa ilmente 1 F (z ) = z " 2 exp( 14 z 2 ) ; e si dovra rispettare il vin olo

1 2 z 2 " exp( 41 z 2 + z )

1

=0:

Si distinguono due asi. i) " 12 = n = intero. In questo aso possiamo s egliere un ammino hiuso sempli e he ontiene l'origine al suo interno e la soluzione si puo espli itare attraverso la formula integrale di Cau hy: I dz n ( ) = exp( 41 z 2 + z ) n z +1  n  2 / t exp( t + 2t) t=0  n 2  = e exp( (t  )2 ) t t=0 2 n 2 n   =( ) e e :  n Le funzioni n sono per ostruzione dei polinomi, noti ome polinomi di Hermite e usualmente indi ati on il simbolo Hn ( ). Dalla formula possiamo normalizzare questi polinomi in modo he 1 H ( ) X n tn : (6.9) (; t) = exp( t2 + 2t) = n ! n=0 La funzione  e detta la funzione generatri e dei polinomi di Hermite e si puo onvenientemente utilizzare per trattare in modo sinteti o tutta la base dei polinomi, ad es. per dimostrare espli itamente l'ortogonalita delle funzioni 1 2 n ( ) = exp( 2  )Hn ( )

129

Appli azioni elementari

(vedi il Probl. 6.2-4). Abbiamo os ottenuto le funzioni d'onda orrispondenti ai vettori jni. Si potrebbe an he sfruttare in modo sempli e l'algebra degli operatori a; ay per raggiungere rapidamente lo stesso s opo (vedi il Probl. 6.2-5 a p. 130). 1 ii) Se " 21 62 Z, allora la funzione z " 2 e polidroma e per annullare il ontributo al ontorno del ammino C siamo ostretti a spingere 1 e 2 all'in nito dove exp( z 2 =4) si annulla. Se poniamo il taglio della funzione polidroma sulla semiretta positiva il ammino abbra

ia il taglio in senso orario da 1 iÆ a 1+iÆ. Attraverso una traslazione z ! z +2 si trasforma l'integrale nel seguente (C e il nuovo ammino he ir onda il punto di diramazione in z = 2 ) 2 ( ) = e

Z

exp( z 2 =4) dz ; "+ 1 C (z + 2 ) 2 1

he si puo valutare asintoti amente per  ! 1, e ioe   exp( 2 )=(2 )"+ 2 il

he rende la divergente ome exp( 12  2 ) e quindi non a

ettabile ome autofunzione. Problema 6.2-4. Dimostrare la relazione di ortogonalita Z

1

1

d Hn( )Hm ( ) e

Si onsidera l'integrale

G(t; s) 

Z

2

= 0; per n 6= m :

1

d (; t) (; s) ; 1 dove la  e stata determinata nel problema pre edente. Sviluppando in serie si ha XX 1 Z 2 G(t; s) = d Hn ( )Hm ( ) e  tn sm n ! m ! n m =

Z

d expf t2 s2 + 2 (t + s)  2 g

= e2ts

Z

p

d expf ( t s)2 g = e2ts :

dove si e fatto uso dell'Eq. (6.9). A questo punto abbiamo due sviluppi in serie di G dalla serie di Taylor di e2ts , l'altro in termini degli integrali R (t; s), uno fornito 2 Hn Hm exp(  ). Confrontando le singole potenze tn sm si ottiene Z 1 p 2 d Hn ( )Hm ( ) e  =  2n n! Ænm : 1 Problema 6.2-5. Costruire le autofunzioni n ( ) dell'os illatore arp moni o a partire dalla rappresentazione h j ni = h j ayn j0i = n! . 130

L'os illatore armoni o Le autofunzioni sono ottenibili appli ando l'operatore di reazione allo stato fondamentale se ondo la (6.8). Tuttavia il al olo diretto di n  d +  exp( 12  2 ) d non e immediato. Conviene fare ri orso ad una identita he permette di esprimere un operatore della forma \derivata + funzione(x)" in termini piu sempli i: d dF d (6.10) + f (x) = e F (x) eF (x) ; f (x)  : dx dx dx Cio permette infatti di al olare sempli emente una potenza qualunque nella forma  n  n d d expfF (x)g + f (x) = expf F (x)g dx dx in quanto tutti i fattori ontigui eF e e F si an ellano a due a due. Troviamo

os  n 2 n n!p ) 12 e 12 2 d (  ) = (2 e  n d (6.11) p 1 12 = (2n n!  ) 2 e 2  Hn ( ) : La Fig. 6-3 mostra le prime autofunzioni dell'os illatore armoni o in unita naturali (~ = m = ! = 1). mentre la Fig. 6-4 mostra la densita di probabilita per uno stato on numero quanti o elevato. La urva di inviluppo e data sempli emente da
1 n (x) = (2n + 1 x2 ) 2 La spiegazione di questa sempli e approssimazione si avra attraverso la te ni a \WKB" (vedi il x10.2). Problema 6.2-6. Considerare l'Hamiltoniano

H = ay1 a1 + ay2 a2 + ay1 a2 + ay2 a1 : Individuare l'insieme di valori di per ui H e positivo e determinarne lo spettro. Problema 6.2-7. Cal olare lo spettro della Hamiltoniana X H = ~ mn aym an ; mn

dove e una matri e hermitiana a spettro positivo e an (n = 1; 2; :::; N ) sono operatori di anni hilazione mutuamente ommutanti. Attraverso una trasformazione unitaria An = Snm am si puo ri ondurre H alla somma di N os illatori armoni i disa

oppiati. Se !1 ; :::; !N sono gli autovalori positivi di si avra (senza ne essita di eettuare al un al olo) la seguente espressione per gli autovalori di H : X En1 ;:::;nN = ~nj !j :

131

j

Appli azioni elementari

n=30 0.4

0.35

0.3

0.25

0.2

0.15

0.1

0.05

0 −10

−8

−6

−4

−2

0 x

2

4

6

8

10

Figura 6-3. Le autofunzioni dell'energia di ordine piu

basso per l'os illatore armoni o.

6.2.2. Fattorizzazione dell'Hamiltoniano.

Il metodo algebri o he ha permesso di studiare in modo os sempli e lo spettro dell'os illatore armoni o e essenzialmente equivalente alla proprieta puramente analiti a dell'operatore dierenziale d2 =dx2 + x2 di ammettere una fattorizzazione in termini di operatori del primo ordine x  d=dx. Tale fattorizzazione si puo in ontrare in vari altri asi he permettono una soluzione analiti a dell'equazione di S hroedinger. C'e tuttavia un aspetto del problema he non va sottovalutato, pena l'insorgere di imbarazzanti paradossi,

ome mostrato da Klauder (lezioni di S hladming, 1969). Si onsideri l'operatore dierenziale

  (x) 1 = 0 = ; x x

on  2 L2 . Lavorando in via del tutto formale, si trova   Dy = (x) 1 (x) = 0 = ; x x 132 D = (x)

L'os illatore armoni o n=30 0.4

0.35

0.3

0.25

0.2

0.15

0.1

0.05

0 −10

−8

−6

−4

−2

0 x

2

4

6

8

10

Figura 6-4. La densita n = j n (x)j2 per uno stato alta-

mente e

itato dell'os illatore armoni o; e riportata an he la distribuzione di probabilita lassi a  l / 1=jp(E; x)j.

e quindi

2 + 00 = x2 E evidente he K ammette  ome autovettore appartenente all'autovalore zero. Inoltre il fatto he K e fattorizzabile ome DyD in modo analogo all'Hamiltoniano dell'os illatore armoni o puo indur i a on ludere he  rappresenti proprio lo stato fondamentale (da h j DyD j i = jD j2  0). Attenzione pero. Se 0 = e singolare quanto aermato potrebbe essere falso. Si onsideri ad es.  = x expf x2 =2g; si trova fa ilmente 00 = = x2 3 e lo stato fondamentale non e 0 ma 2 ! Il punto e he D e de nito in un dominio he ri hiede una ondizione al ontorno di annullamento in x = 0. In tale dominio K e fattorizzato e positivo de nito ma non e un operatore autoaggiunto. Tuttavia K ammette un'estensione autoaggiunta; per l'estensione non vale la fattorizzazione e ade la on lusione sulla natura positiva dello spettro. La lezione e he manipolazioni formali di operatori singolari sono potenzialmente sorgenti di errori. L'apparire di operatori singolari in un modello si o puo essere il segnale he il problema e mal posto, oppure he si e operata un'e

essiva s hematizzazione (ad es. ari he puntiformi). K := Dy D =

6.2.3. Stati oerenti. Per l'os illatore armoni o e possibile introdurre una base di vettori nello spazio di Hilbert, detti stati oerenti , he 133

Appli azioni elementari

gode della notevole proprieta seguente [S h77℄: ogni vettore e individuato da un punto nello spazio delle fasi lassi o e la sua evoluzione se ondo l'equazione di S hroedinger e des ritta esattamente dalla orbita lassi a, e ioe: (p; q) 7! jp; qi ; e iHt=~ jp; qi / jp(t); q(t)i : Si onos ono po hi sistemi he ondividono questa proprieta dell'os illatore armoni o, e si tratta di sistemi elementari aratterizzati in termini algebri i (una qual he algebra di Lie prende il ruolo dell'algebra degli operatori anoni i). Per una trattazione generale si veda [KS85, Per86℄. Il modo piu sempli e per ostruire la base degli stati oerenti e la seguente: si onsideri uno stato ottenuto dallo stato fondamentale per traslazione (una gaussiana entrata in x = q) 2 m! q (x) = N expf 2~ (x q ) g ; ovvero in termini piu simboli i jqi = eiqp=~ j0i. L'evoluzione temporale sara data da jqit = e iHt=~ eiqp=~ j0i = e iHt=~ eiqp=~ eiHt=~ j0i 1

= e 2 !t expfiq os(!t)p im!q sin(!t)qg j0i : Se si de nis e allora piu in generale (6.12) jq; pi = expfiqp + ipqg j0i ; si trova he l'evoluzione temporale e data sempli emente dalla legge del moto lassi a. Si preferis e spesso utilizzare direttamente gli operatori di reazione e anni hilazione e de nire gli stati

jzi = ezay

za j0i

: Appli hiamo la formula di Baker-Hausdor e otteniamo

jzi = e (6.13)

1 2 y 2 jz j eza eza

j0i

1 1 2X = e 2 jzj (zay)n j0i =n! n=0

1 zn 1 2X p jni : = e 2 jzj n=0 n!

La orrispondenza tra le due p de nizioni (6.12) e (6.13) e data sempli emente da z = (p + im!q)= 2m!~. 134

L'os illatore armoni o Problema 6.2-8. Dimostrare he l'insieme degli stati oerenti forma una base nello spazio di Hilbert nel senso he ogni vettore puo essere espresso ome ombinazione lineare di stati oerenti.

Dalla de nizione, per integrazione su tutto il piano omplesso, si trova fa ilmente la relazione5 Z 1 dz dz jz ihz j = 1 ; 2i

he mostra ome ogni vettore sia esprimibile ome sovrapposizione di stati oerenti Z 1 j i = 2i dz dz jz ihz j i : Si tratta tuttavia di una base non-ortogonale. Infatti si veri a fa ilmente he

j hz j  i j = expf 21 jz  j2 g. La rappresentazione

j i 7! (z)  hzj i e nota ome rappresentazione di Bargmann. Si noti he la funzione (z ) e della forma

1 2 (z ) = e 2 jzj f (z )

on f (z ) analiti a regolare in ogni regione limitata del piano omplesso (una funzione intera ). Infatti il resto N -esimo della serie di Taylor 1 zn X p hnj i f (z ) = n! 0 e maggiorato se ondo la disuguaglianza di Cau hy da 1 X

N

zn



p hnj i  n!

"

1 X N

j hnj i j2

P

1 # 1 [ 1 jz j2n =n!℄ 2 : 2 N

Ora si ha he il primo fattore e minore della norma di j i mentre il se ondo rappresenta il resto della serie esponenziale, he pertanto si puo rendere pi

olo a pia ere s egliendo N suÆ ientemente grande. Le funzioni intere

he ostituis ono lo \spazio di Bargmann" sono aratterizzate da una

res ita all'in nito di tipo esponenziale: 1 1 (6.14) jf (z)j = e 2 jzj2 j hzj i j  e 2 jzj2 k k : Una se onda aratterizzazione, del tutto equivalente, degli stati oerenti e la seguente: 5L'elemento d'area dz dz equivale a 2i dx dy , nel senso del al olo dierenziale esterno di Cartan, essendo z = x + iy .

135

Appli azioni elementari

Teorema 6.2.1. I vettori jz i sono autovettori dell'operatore di an-

ni hilazione

a jz i = z jz i :

La dimostrazione e immediata a partire dalla de nizione (6.13). Problema 6.2-9. Dimostrare he gli operatori di reazione e an-

ni hilazione sono rappresentati nel modo seguente nella base degli stati

oerenti df (z ) a f (z ) = dz ay f (z ) = zf (z ) :

6.2.4. Ordinamento normale alla Wi k.

In numerose appli azioni risulta utile esprimere un operatore in termini di prodotti ordinati di a e ay, in quanto io fa ilita il al olo di elementi di matri e. Un monomio del tipo (ay )n am e detto ordinato normalmente o Wi k-ordinato . Se in un prodotto O di operatori a; ay si portano tutti i fattori a alla destra di ay senza tenere onto dei ommutatori si di e he si onsidera l'ordinamento di Wi k dell'operatore, indi ato on il simbolo : O : . Per onvenzione si pone per l'operatore identita : 1 := 0. (Ad es. : p2 + q2 : = 2ay a). Per sempli ita di notazione nel seguito adottiamo unita in ui ~ = m = ! = 1. Problema 6.2-10. Dimostrare he se X hzj O(ay; a) jzi = nmzn zm si ha

nm

X

O = nm ayn am nm

he rappresenta lo sviluppo di O in monomi Wi k-ordinati. Problema 6.2-11. Dimostrare he vale l'identita

qn = (2i) n : Hn ((ay a)=p2) :  (2i) n : Hn(iq) : :

Cal oliamo la funzione generatri e hz j expf2iqg jz i = hz j expfp2(ay a)g jz i p y p 2 (per la Baker-Hausdor) = e  hz j e 2a e 2a jz i p = expf 2 + 2(z z)= 2g : Si sviluppa ora in serie di potenze di  e si appli a il risultato pre edente. Ad esempio si ha q2 =: q2 : + 12 1 q3 =: q3 : + 23 : q : q4 =: q4 : + 3 : q2 : + 43 1 :

136

L'os illatore armoni o Problema 6.2-12. Cal olare l'elemento di matri e hnj qK jni utiliz-

zando lo sviluppo in monomi Wi k-ordinati. Problema 6.2-13. Appli are l'equazione (5.45) al aso dell'os illatore armoni o e dedurne la seguente relazione di ri orrenza per gli elementi di matri e diagonali di q2k : (k + 1) Jk+1 = (2k + 1)(n + 21 ) Jk + k(k2 41 ) Jk 1 essendo Jk gli elementi di matri e in unita naturali per l'os illatore  m! k Jk  hnj q2k jni ~

e dedurne i valori seguenti J1 = n + 21 J2 = 43 (1 + 2n + 2n2 ) (6.15) J3 = 58 (3 + 8n + 6n2 + 4n3 ) 2 3 4 J4 = 35 16 (3 + 8n + 10n + 4n + 2n ) ::: Problema 6.2-14. Determinare la funzione di Green dell'os illatore armoni o X 1 p21n n! Hn(x) Hn (x0) expf 12 (x2 + x02 )g e i(n+ 2 )t : G(x; x0 ; t) = n Il al olo della serie si puo ri ondurre a proprieta dei polinomi di Hermite (si veda [Pau62℄). Tuttavia e piu sempli e pro edere per via formale. La funzione di Green e data dalla evoluzione temporale di una funzione lo alizzata all'istante iniziale: (q x0 ) Æ(x x0 ) = 0 : Si avra per io e iHt (q x0 ) Æ(x x0 ) = e iHt (q x0 )eiHt e iHt Æ(x x0 ) = 0 : Si trova poi e iHt (q x0 ) eiHt = q os t x0 p sin t e quindi la funzione G(x; x0 ; t) e soluzione dell'equazione    x os t x0 + i sin t G(x; x0 ; t) = 0 ; x ossia x2 os t 2xx0 log G(x; x0 ; t) = i + (x0 ; t) : sin t

137

Appli azioni elementari

La0 funzione  e ssata dal fatto he G e simmetri a in x; x0 e quindi  = ix 2 ot t + (t). Per determinare (t) e in ne suÆ iente imporre he G sia soluzione dell'equazione di S hroedinger e limitarsi a x = x0 = 0, dove risulta piu agevole il al olo. Si trova os: ( ) 2 + x0 2 ) os t 2xx0 ( x 1 exp i : (6.16) G(x; x0 ; t) = p 2 sin t 2i sin t Osservare he in orrispondenza ai valori t = 12  (mod) il nu leo integrale

oin ide on quello di Fourier, il he si omprende fa ilmente in base al fatto he l'evoluzione dell'os illatore a un quarto di periodo orrisponde ad una rotazione in senso orario nel piano (p; q) he realizza la trasformazione anoni a q0 = p; p0 = q e questo fatto si trasporta inalterato in me

ani a quantisti a.

6.3. Spettro ontinuo 6.3.1. Barriere di potenziale ed eetto tunnel. Consideriamo ora l'equazione di S hroedinger per quanto riguarda le proprieta dinami he dello spettro ontinuo. Il problema he aronteremo e quello del moto

on energia positiva di una parti ella in presenza di un potenziale V (x) lo alizzato nello spazio (nullo al di fuori di un intervallo limitato o piu brevemente a supporto ompatto ): 8 per x < a (regione I) > > 0 < 2 V (x) = 2~m U (x) per jxj < a (regione II) > > :

0 per x > a (regione III) La me

ani a lassi a prevede due lassi di movimenti possibili: se l'energia e maggiore del massimo valore del potenziale, la parti ella, inizialmente in moto on velo itaa positiva nella regione I, prosegue nella sua orsa e si trovera nella regione III dopo un erto tempo di volo. In aso ontrario la parti ella rimbalza sulla barriera di potenziale e ritorna nella regione I. Nel aso limite in ui E  max(V ) la parti ella raggiunge il massimo del potenziale in un tempo in nito: si tratta di un'orbita instabile, in quanto una variazione arbitrariamente pi

ola della velo ita iniziale porta a grandi dierenze nella posizione nale. La des rizione quantisti a, ome vedremo ora, e radi almente dierente. Pensiamo ad esempio ad un pa

hetto d'onda he si propaga liberamente nella regione I on momento medio positivo. Il pa

hetto entra in interazione on il potenziale e ogni sua omponente di Fourier ne viene sfasata in modo p dierente, il he porta alla parziale ri essione del pa

hetto. Detto k = 2mE=~, la soluzione e data da porzioni di onda piana 138

Spettro ontinuo

nelle regioni I e III, ra

ordate on ontinuita alla soluzione (x) = uII (x) nella regione II : (6.17)

8 ikx + B e ikx > uII (x) : F eikx + G e ikx

(regione I) (regione II) (regione III)

Le ondizioni di ra

ordo ( ontinuita della funzione e della sua derivata prima in x = a e in x = a) permettono di esprimere univo amente le

ostanti (F; G) in termini di (A; B ) attraverso una relazione lineare he indi heremo on     F =W A G B e hiameremo W la matri e di trasferimento . La soluzione nella regione II potra essere determinata analiti amente o numeri amente, ma al momento la osa non e rilevante. Chiameremo kin (x) la soluzione orrispondente a A = 1; G = 0 e on ink (x) la soluzione orrispondente a A = 0; G = 1: (

in k

=

eikx + (k)e  (k)eikx ;

(

in k

=

ikx ;

 ( k)e ikx ; e ikx + ( k)eikx ;

x< a x>a x< a x>a

Per sovrapposizione lineare di soluzioni di questo tipo potremo ostruire il piu generale pa

hetto d'onde. (x; t) =

Z

(k)

i~k2 t=2m dk in k (x)e

:

Vogliamo mostrare he se limitiamo l'integrale a k positivi la soluzione rappresenta un pa

hetto d'onde he per t molto grande negativo si trova nella regione I in moto verso destra, mentre per t grande positivo il pa

hetto d'onde si de ompone in due omponenti prin ipali, una trasmessa a destra della barriera e una ri essa he ritorna verso la regione I . Per questo fa

iamo ri orso al metodo della fase stazionaria. Dal momento he il pa

hetto deve essere in movimento dobbiamo valutare l'integrale per x / t per individuare la posizione del massimo del pa

hetto. Sia dunque x = vt; sostituendo nell'integrale e prendendo il limite per t ! 1 siamo ondotti a ri er are i punti in ui la fase dell'onda ha derivata nulla rispetto a k. Si trova os: 139

Appli azioni elementari

A

x = vt < 0 x = vt < 0 x = vt > 0

B

~k2t + ikvtg expf i 2m ~k2t ikvtg (k) expf i 2m ~ k2t + ikvtg  (k) expf i 2m

C

D

k = +mv=~ t < 0; v > 0 k = mv=~ t > 0; v < 0 k = +mv=~ t > 0; v > 0

dove nella olonna C e riportato il valore di k per ui la fase risulta stazionaria, e nella D i valori per ui il termine in B interferis e ostruttivamente. Si trova ioe he i termini proporzionali a  e  non rispettano la

ondizione di fase stazionaria per t  0, mentre ostituis ono il termine dominante all'integrale per t  0. Si trova in de nitiva r   2im imx2 (x; t)  exp  ~t 2~t ( per t ! 1 ( mx t~ ) mx mx mx mx ( t~ ) ( t~ ) + ( t~ )  ( t~ ) per t ! +1 Risulta hiaro ora il signi ato dei oeÆ ienti  e  . Per un usso di parti elle di momento k he in idono sulla barriera una per entuale pari a R = j(k)j2 viene ri essa e una per entuale T = j (k)j2 supera la barriera. E naturale per io de nire  (k) ampiezza di trasmissione e (k) ampiezza di ri essione. Problema 6.3-1. Dimostrare l'identita T + R = 1. Si al oli la densita di orrente per la soluzione kin e si tenga onto della equazione di ontinuita. Osservazione. Il pa

hetto d'onde ri esso e quello trasmesso si muovono in genere on velo ita dierenti! Infatti la posizione del massimo dei due pa

hetti e determinata dai prodotti  e  ; se ad esempio  e on entrata su un valore di k = k0 in ui j(k)j e res ente il massimo di jj2 si trovera ad un valore k0r > k0 , e quello di j j2 ad un valore k0t < k0 . Cio non e in ontraddizione on la onservazione dell'energia: si ponga attenzione al fatto he l'energia ineti a media del pa

hetto non e direttamente legata alla velo ita di propagazione del pa

hetto d'onde. Ad esempio un pa

hetto d'onde del tipo / exp( x2 ) (reale) evolve nel tempo mantendendo il massimo in x = 0, ma nondimeno la sua energia

ineti a media non e aatto nulla.

Il fatto ru iale he aratterizza la me

ani a ondulatoria onsiste in questo: il oeÆ iente di trasmissione e in genere diverso da zero an he per valori dell'energia minori del massimo dell'energia potenziale, una 140

Spettro ontinuo situazione in ui se ondo la me

ani a lassi a la parti ella sarebbe sempre ri essa . Questo fenomeno tipi amente quantisti o viene denominato eetto tunnel ed e ampiamente sfruttato nei moderni dispositivi mi roelettroni i. Si noti peraltro he si ha an he il fenomeno re ipro o, se ondo ui il oeÆ iente di ri essione non si annulla ne essariamente per energia superiore al massimo della barriera di potenziale.

6.3.2. Formulazione integrale dell'equazione d'onda. Mostreremo ora ome si puo impostare un al olo approssimato in forma di serie di potenze; questo metodo sara utilizzato, on solo lievi modi he, nella teoria quantisti a dei pro essi d'urto. S riviamo l'equazione di S hroedinger nella forma   2 d 2 +k (x) = (x) dx2 2mV (x) (x) = (x) 2 ~

e risolviamo la prima equazione in modo simile all'equazione di Poisson: trattandosi di un'equazione lineare inomogenea, si tratta di determinare una soluzione parti olare e ombinarla linearmente on la soluzione generale dell'equazione omogenea. Tenendo onto dell'identita (vedi l'App. B.5) d2 jxj d(x) = = 2Æ(x) dx2 dx si veri a he la soluzione parti olare ha la forma Z 1 0 (x) = (2ik) 1 eikjx x j (x0 ) dx0 1 e quindi l'equazione di S hroedinger per gli stati kin e equivalente alla seguente Z 1 2m 0 (6.18) (x) = eikx + (2ik) 1 V (x0 ) eikjx x j (x0 ) dx0 : 2 1 ~ Se il potenziale ha supporto ompatto (di iamo nell'intervallo ( a; a)) si trova allora 8   R a: 1+m ae V (x ) kin (x0 ) dx0 =ik~2 e da ui si identi ano le due ampiezze  e  in termini impli iti attraverso la soluzione. L'equazione integrale (6.18) si puo risolvere ome ogni equazione della forma = 0+K 141

Appli azioni elementari

on il metodo della serie di Neumann: formalmente infatti si puo pro edere

ome segue: (6.19) (1 K ) = 0 (6.20) = (1 + K + K 2 + : : :) 0 ;

he onverge alla soluzione se kK k < 1. Cio i fornis e una formula approssimata per l'ampiezza di trasmissione: Z m a V (x) dx  =1 i 2 k~ a  m 2 Z a Z a V (x)V (y) dx dy expfik(y + jx yj x)g + : : : k ~2 a a La serie os ottenuta e nota ome serie di Born. Tron ata al primo termine essa ostituis e l'approssimazione di Born . Per un al olo espli ito risulta onveniente riformulare la serie direttamente nello spazio dei momenti; io porta ad una formulazione he si estende senza modi he al

aso tridimensionale. Partendo dall'equazione p (p20 p2 ) j i = 2mV (q) j i ; p0 = 2mE  ~k ; e proiettando sulla base delle onde piane, otteniamo hpj (p20 p2) j i = 2m hpj V (q) j i Z  2 2 (p p ) hpj i = 2m dp0 hpj V (q) p0 p0 i : 0

Si ha poi

V (p

 p0 )  hpj V (q) p0 =

il he i da in ne (p20

p2 )

(p) = 2m

Z

Z

dx ix(p p0 ) e V (q) ; 2~

V (p p0) (p0 ) dp0 :

Per ottenere l'equazione analoga alla (6.18) si divide per (p20 p2 ) e si tiene onto dell'identita x Æ(x)  0, he permette di aggiungere un ontributo proporzionale a Æ(p p0 ), he rappresenta la parti ella in idente. Si noti he la divisione per (p20 p2 ) presenta un'ambiguita, in quanto p0 appartiene allo spettro ontinuo di p. Dalla teoria spettrale si sa he il risolvente presenta un taglio nel piano omplesso in orrispondenza dello spettro ontinuo. Se s egliamo la determinazione in ui p0 viene ottenuto

ome limite sull'asse reale per parte immaginaria positiva otteniamo la de nizione orretta he orrisponde agli stati in dell'equazione (6.18): Z p 2m V (p p0) kin (p0) : (6.21) kin (p) = 2~ Æ(p p0 ) + (p0 + i")2 p2 142

Spettro ontinuo

Il nu leo integrale ((p0 + i")2 p2 ) 1 orrisponde a (2ip0 ) 1 exp(ip0 jx yj) nella rappresentazione delle oordinate6, ed e noto in generale ome propagatore. Problema 6.3-2. Dimostrare he l'equazione (6.21) e equivalente alla (6.18) e ri avare l'espressione dell'ampiezza di trasmissione in termini di in k (p).

Integriamo ambo i membri dell'equazione in modo da ottenere Z Z 2m in (x) = eip0 x=~ + dpeipx=~ dp0 V (p p0 ) kin (p0 ) : k (p0 + i")2 p2 L'integrazione in p si esegue agevolmente on il teorema dei residui; per x > 0 il ammino e ostituito dall'intervallo reale ( L; L) hiuso on una semi ir onferenza di raggio L nel semipiano superiore, mentre per x < 0 si deve hiudere il

ammino nel semipiano inferiore. Il risultato e per io 8q R < 2 m ip0 x=~ dp0 V (p0 p0 ) in (p0 ) x>0 k in (x) = eip0 x=~ + q ~ ip0 e R k 0 in (p0 ) x < 0 : 2 m e ip0 x=~ dp0 V ( p 0 p) ~ ip0

k

da ui, di passaggio, otteniamo una formula per l'ampiezza di trasmissione r Z 2 m 0 0 in 0  (p0 ) = 1 + ~ ip0 dp V (p0 p ) k (p ): Sostituendo poi la de nizione di V (p) si riottiene la (6.18). Problema 6.3-3. Cal olare l'ampiezza di trasmissione nel aso di un potenziale a orto raggio d'azione (a ! 0).

Nel limite di raggio d'azione zero l'integrale nell'equazione (6.18) si puo approssimare on il teorema della media: m (x)  eikx + 2 2aV (0) eikjxj : ik~ Introdu endo la quantita  = 2maV =~2 e ponendo x = 0 si ottiene il valore di (0) e in ne i ikjxj e (6.22) (x)  eikx k + i da ui si trova ka k = = : k + i ka + i 2mV a2 =~2 Problema 6.3-4. Cal olare l'ampiezza di trasmissione  per un potenziale ostituito da due barriere di potenziale poste a distanza L, ognuna a orto raggio d'azione. 6Si usa lo stesso termine di propagatore/funzione di Green an he per il nu leo integrale dell'operatore di evoluzione, vedi il x5.2.9.

143

Appli azioni elementari

L'equazione integrale i da in questo aso (x) = eikx i1 (0) eikjxj i2 (L) eikjx Lj ; dove le quantita i sono de nite per ias una barriera ome nel problema pre edente. L'equazione, una volta valutata a x = 0 e x = L, si ridu e ad un sistema lineare nelle due in ognite (0) e (L). L'ampiezza er ata risulta in ne (6.23)

 (k) = 1 i1 (0) i2 (L) e ikL
= (1 + i1 )(1 + i2 ) + 1 2 e2ikL

1

:

Problema 6.3-5. Dimostrare he una doppia barriera simmetri a puo

risultare \trasparente" ad una data energia a patto di alibrare a

uratamente la distanza L. (Si valuti l'ampiezza di ri essione nel problema pre edente on 1 = 2 ). Problema 6.3-6. Risolvere i problemi pre edenti direttamente dall'e-

quazione di S hroedinger in forma dierenziale, utilizzando il potenziale singolare V (x) = Æ(x) e tenendo onto he in tal aso la ondizione di ra

ordo in x = 0 e data da 0 (") 0 ( ") = 2m (0) ; (6.24) ~2

ome si veri a fa ilmente integrando membro a membro l'equazione. La

ostante  e legata alla  dei problemi pre edenti da  = ~2 =m. Problema 6.3-7. Per una barriera di potenziale V (x) sono note le

ampiezze di ri essione e di trasmissione ((k);  (k)). Dis utere l'eetto tunnel per una barriera ostituita da due barriere V (x) poste a distanza L. Si tratta della generalizzazione dei problemi pre edenti. Dalla onos enza della soluzione ( ikx ikx ; x ! 1 in = e + e k ikx e ; x ! +1 si puo ostruire una base di soluzioni ome segue =  kin + kin : (Si veri a he in eetti kin e ink sono linearmente indipendenti per  6= 0, il he e la ondizione generi a per potenziali non-singolari). Passando alla base delle onde piane si puo allora ostruire la soluzione generale nella forma 0=

8 0; l'energia e data da E = ~2 k2 =2m = ~2 k02 =2m, il he si puo veri are on un al olo diretto (la ondizione k0 > 0 equivale a V < 0, ioe V (x) deve essere attrattivo). L'esempio suggeris e per io he esista una pre isa relazione tra gli stati dello spettro ontinuo e quelli legati, e porta alla ongettura he le singolarita polari degli elementi della \matri e S" nel semipiano superiore Im fkg > 0 individuino gli stati legati. Per una trattazione generale di questo argomento si vedano [AR65, New66℄. Problema 6.3-8. Considerare la doppia barriera simmetri a del problema 6.3-4 a p. 143. Studiare le singolarita nel piano omplesso k delle ampiezze (;  ). Dalla Eq. (6.23), inserendo la de nizione di k0 , troviamo k2 = (k ik0 )2 + k02 expf2ikLg le ui singolarita sono da er are nelle radi i del denominatore (la radi e  = 0 e an ellata dall'azzerarsi del numeratore). Ponendo k = i, troviamo le due equazioni, he abbiamo posto in termini di variabili adimensionali: L = k0 L (1  e L) : Si vede fa ilmente he per k0 L > 1 esistono due radi i, mentre per k0 L  1 solo l'equazione on il segno positivo ammette una soluzione. Inoltre per k0 L molto grande le radi i sono bene approssimate da   k0 (1  e k0 L) : Questa situazione e si amente molto intuitiva: grandi valori di L orrispondono a due bu he di potenziale attrattivo separate da una grande distanza. In questo

aso i aspettiamo he la parti ella venga legata in una delle due bu he on un'energia di legame uguale a quella he avrebbe in assenza dell'altra bu a. Tuttavia la parti ella, per eetto tunnel, non puo essere on nata stabilmente in una delle due bu he. Uno stato stazionario puo essere ottenuto distribuendo on eguale probabilita la parti ella nelle due bu he; si ottengono in generale due

146

Spettro ontinuo stati ombinando in modo simmetri o e in modo antisimmetri o le due funzioni d'onda lo alizzate e il termine exp( k0 L) he rappresenta la dierenza di energia tra i due livelli quasi degeneri e palesemente legato all'ampiezza di trasmissione della barriera he separa le due bu he, in base alla formula approssimata he troveremo nel ap. 10.2. Problema 6.3-9. Cal olare il oeÆ iente di trasmissione per una barriera di potenziale del tipo \barriera rettangolare" (

V (x) =

0 V0 > 0

jxj > a jxj  a

Consideriamo innanzitutto la soluzione per E < V0 : la funzione kin ha la forma 8 ikx + e ikx > x< a

: ikx e x>a p p dove k = 2mE=~ e  = 2m(V0 E )=~. Le ondizioni di ra

ordo in x = a

i danno ( ( e ika + eika = Ae a + Bea Aea + Be a = eika ; ika ika a a ik(e e ) = (Ae Be ) (Aea Be a ) = ikeika : Si ri avano A e B dal se ondo sistema e si inseris ono nel primo ad ottenere un sistema lineare nelle due in ognite  e  . Con sempli e algebra si ottiene (2 + k2 ) S e 2ika = 2ik C + (k2 2 ) S 2ike 2ika = 2ik C + (k2 2 ) S dove C = osh(2ka); S = sinh(2ka) : Per il oeÆ iente di trasmissione si trova in parti olare 4k22 T = j j2 = 2 2 : 4k  + (k2 + 2 )2 S 2 Si noti he quando E tende al valore V0 si trova sempli emente T = (1 + (ka)2 ) 1 = (1 + 2mV0 a2 =~2) 1 . Per E > V0 si ottiene il risultato per sempli e

ontinuazione analiti a. Il parametro adimensionale  = 2mV0 a2 =~2 e quello he determina la si a del problema; e evidente he l'eetto tunnel e molto mar ato per   1 mentre per   1 i si ri ondu e alla me

ani a lassi a (vedi la Fig. 6-5 a p. 148). Problema 6.3-10. Si studi l'ampiezza di trasmissione del problema pre edente per E > V0 e V0 < 0. Si veri hi he le singolarita nel piano

omplesso k, orrispondono on gli stati legati trovati all'inizio del x6.1.2. 147

Appli azioni elementari

0.8

0.8

0.6

0.6 T

1

T

1

0.4

0.4

0.2

0.2

0 0

1

2

0 0

3

2

ka

4

6

20

30

ka

0.8

0.8

0.6

0.6 T

1

T

1

0.4

0.4

0.2

0.2

0 0

5

10

0 0

15

10

ka

ka

Figura 6-5. Il oeÆ iente di trasmissione per la barriera

rettangolare nei vari asi 2mV0 a2 =~2 = 1; 2; 5; 10:

6.3.4. Densita degli stati.

Vogliamo ora determinare gli eetti della barriera di potenziale sulla parte ontinua dello spettro dell'energia. A prima vista non i sono variazioni rispetto al aso libero in ui V = 0: lo spettro ontinuo si estende su tutti i valori non negativi dell'energia E . Per osservare degli eetti sui livelli energeti i e ne essario poterli risolvere, ioe \dis retizzarli". Questo si ottiene onsiderando il moto della parti ella ristretto ad una porzione nita, an he se molto piu grande di tutte le altre s ale di lunghezza in questione, della retta reale. Il modo piu sempli e onsiste nell'imporre la seguente ondizione di periodi ita (x + L) = (x)

on l'opportuna ride nizione della norma (6.27)

k k = 2

Z L=2

L=2

j (x)j2 :

Le autofunzioni del momento p = i~d=dx sono le onde piane di periodo L: 2 d i~ eikn x = ~kn eikn x ; kn = n n 2 Z : dx L Nella nuova norma (6.27) esse hanno norma nita pari a L. 148

Spettro ontinuo

Consideriamo ora un intervallo
k grande rispetto alla spaziatura 2=L dei livelli. Il numero
n di livelli in
k vale evidentemente
kL=(2). Nel limite L ! 1 possiamo restringere arbitrariamente
k mantenendo questo numero nito e de nire la densita degli stati dn L (k) = ' : dk 2 Si intende he la grandezza veramente nita e la densita per unita di lunghezza, he vale 1=(2). Nel aso libero la Hamiltoniana vale H = p2 =2m, per ui possiamo ris rivere la densita degli stati relativamente all'energia, ~ (E ), ome (si noti he i sono due livelli di momento per ogni livello di energia) djkj p L = 2m=E ~ (E ) = 2(k) dE 2~ In presenza della barriera di potenziale le autofunzioni di H non sono piu autofunzioni di p, ma possiamo an ora assumere la relazione E = ~2 k 2 =2m, dove k  0  e il numero d'onda he aratterizza una data autofunzione nelle regioni I e III (vedi l'Eq. (6.17)). Ovviamente onsideriamo L molto piu grande di a, il raggio di azione del potenziale. Quindi imponiamo an ora la periodi ita k (x + L) = k (x) ; x < a ; x + L > a ; ovvero F; eikx+ikL + G e ikx ikL = A eikx + B e ikx : Tenendo onto della de nizione della matri e S (Eq. (6.26)) si ottiene allora la relazione       A = eikL F = eikL S A : G B G L'interpretazione si a e immediata: on le ondizioni di periodi ita la parti ella si muove eettivamente su un er hio di ir onferenza L; in un giro attorno al er hio la funzione d'onda ra

oglie il fattore di fase eikL ed in piu subis e lo s attering dalla barriera di potenziale; i due eetti

ombinati assieme riprodu ono la stessa funzione d'onda iniziale dato he un giro intero sul er hio equivale allo spostamento nullo. Otteniamo os una sempli e equazione agli autovalori per la oppia A; G, nella quale e ikL gio a il ruolo di autovalore. Siano ei+ (k) e ei (k) i due autovalori di S (si ri ordi he tale matri e e unitaria). Allora abbiamo due distinte regole di quantizzazione per k ( he per ostruzione e non negativo) kL +  (k) = 2n ; dove gli interi n sono vin olati solo dalla ri hiesta k  0. Ad esempio, se S12 = S21 , allora gli autovettori hanno G = A. Quindi nel limite 149

Appli azioni elementari

di potenziale nullo ( (k) ! 0) riotteniamo la quantizzazione libera on n+ = 0; 1; 2 : : : e n = 1; 2 : : :, mentre le orrispondenti autofunzioni sono

os kx e sin kx. Si tratta sempli emente di una base diversa rispetto alle onde eikx; il fatto he tale base (o un'altra an ora se S12 6= S21 ) sia selezionata nel limite di interazione nulla e un esempio aratteristi o della teoria delle perturbazioni di stati degeneri (eikx in questo aso; vedi x10.1.3). Problema 6.3-11. Si risolva l'Eq. (6.3.4) nel aso del potenziale singolare V (x) = Æ(x). Si osservino gli spostamenti dei livelli rispetto  = 0, nei due asi  > 0 e  < 0. Nel limite l ! 1 l'Eq. (6.3.4) i fornis e la densita degli stati nei due

anali  he diagonalizzano lo s attering L dn  (k) =  = +
 (k) dk 2  (6.28) 1 d
 (k) =  (k) : 2 dk 

L'eetto del potenziale e evidentemente di ordine 1=L rispetto alla densita nel aso libero ed e quindi tras urabile esattamente a L = 1, ome previsto. D'altra parte
 (k) ontiene tutte le informazioni sullo s attering. In parti olare la variazione della densita degli stati serve a mantenere invariato il numero totale degli stati (an he se in nito). Per dimostrarlo, determiniamo innanzitutto una relazione tra tale somma e l'operatore risolvente (H E ) 1 a L = 1, ioe sull'intera retta reale. Per ostruzione l'Hamitoniana H possiede la semiretta E > 0 ome spettro ontinuo, per

ui (H E ) 1 ha tale semiretta ome taglio sul piano omplesso E . La dis ontinuita attraverso il taglio vale allora 1 1 = 2iÆ(H E ) ; H E i H E + i grazie alle note formule di Plemely   1 1 =P  iÆ(x) : x  i x La tra

ia di Æ(H E ) sull'intero spazio di Hilbert rappresenta evidentemente la de nizione naturale di densita degli stati relativamente all'energia. Si tratta di una de nizione puramente formale pero, dato

he la densita degli stati relativa sia al numero d'onda k he all'energia E = ~2 k2 =(2m) diverge ome L (vedi Eq. (6.28)). Cio he esiste nita an he al limite l ! 1 e la variazione dk (6.29)
(E ) = [
+ (k) +
 (k)℄ : dE 150

Spettro ontinuo

Deve quindi valere la relazione, per E reale e positivo, 1 Tr [
G(E + i)
G(E i)℄ ;
(E ) = 2i dove
G(E ) e la variazione dell'operatore risolvente rispetto alla parti ella libera (H0 = p2 =(2m)) 1 1
G(E ) = : H E H0 E Per al olare la tra

ia potremmo per esempio fare uso del propagatore G(x; yjE ) = hxj (H E ) 1 jyi he soddisfa l'equazione inomegenea   ~2 d2 + V (x) E G(x; yjE ) = Æ(x y) : 2m dx2 Quindi abbiamo Z +1 dx [G(x; xjE ) G0 (x; xjE )℄ : Tr
G(E ) = 1 Si noti he la dis ontinuita in E degli elementi di matri e diagonali del propagatore G(x; xjE ) fornis e 2i volte la densita degli stati per unita di lunghezza, he e una quantita nita nel limite L ! 1. Si noti an he

he tutte queste onsiderazioni si estendono senza reali modi he dal aso della parti ella in una dimensione a ontesti molto piu generali. Consideriamo ora l'integrale di
(E ) da 0 a 1. Esso oin ide evidentemente on l'integrale di
G(E ) attorno al taglio in E > 0; ma dato he
G(E ) e una funzione analiti a di E he tende abbastanza rapidamente a zero per jE j ! 1, possiamo deformare il ammino di integrazione no a ridurlo ad un ontorno hiuso, per orso in senso orario, he ra

hiude tutti gli eventuali poli di (H E ) 1 sulla semiretta reale negativa. Tali poli orrispondono proprio agli stati legati di H ed il teorema dei residui

i fornis e immediatamente il risultato Z 1 dE
(E ) =  ; (6.30) 0

dove  e appunto il numero omplessivo di stati legati (in ludendo le eventuali degenerazioni, he, ome sappiamo, non sono possibili in una dimensione, ma potrebbero esser i in piu dimensioni). La relazione (6.30) aerma la onservazione del numero omplessivo degli stati, an he se in nito, nel passaggio dalla propagazione libera a quella nel potenziale V

apa e di formare  stati legati. Ri ordando la relazione (6.28) tra densita degli stati e gli sfasamenti di s attering  (k), otteniamo l'aermazione del teorema di Levinson  = + +  ;  =  (k = 0)  (k = 1) : 151

Appli azioni elementari

Nel aso di potenziali pari, V (x) = V ( x), i due anali di s attering 

orispondono alle autofunzioni pari e dispari, (x) =  (x). Allora + e  sono an h'essi interi e rappresentano il numero di stati legati pari e dispari, rispettivamente. L'estesione del teorema di Levinson ai problemi di s attering on simmetria entrale in tre dimensioni non presenta diÆ olta; in tal aso i anali di s attering orrispondono alla de omposizione in onde sferi he parziali (vedi x13.2). Per una dimostrazione espli ita,

he utilizza le proprieta analiti he degli sfasamenti e l'integrazione per

ontorni in ampo omplesso, si veda ad esempio [GP90℄. Problema 6.3-12. Si determini la forma espli ita della variazione
G del propagatore nel aso del potenziale singolare V (x) = Æ(x), veri ando sia la relazione (6.29) on la densita degli stati al olata a partire dallo sfasamento di s attering (vedi Probl. 6.3-11 a p. 150) he il teorema di Levinson.

6.4. Potenziali periodi i Una delle appli azioni piu importanti della me

ani a ondulatoria riguarda la si a dei solidi; e proprio nello studio delle proprieta magneti he, vibrazionali e di onduzione he la nuova me

ani a permette di des rivere tutta una serie di fenomeni he non trovano nella me

ani a lassi a neppure un linguaggio adeguato. Il problema piu sempli e da ui si puo iniziare lo studio delle proprieta elettroni he nei solidi ristallini e quello s hematizzzato in termini di una parti ella he sia soggetta a un potenziale periodi o. Si tratta di una idealizzazione matemati a, se non altro per he ogni ampione ristallino ha lunghezza nita, tuttavia e un modello piu fa ilmente arontabile analiti amente he non, poniamo, un potenziale he presenti un numero nito di bu he di potenziale regolarmente distanziate. Supponiamo dunque he il potenziale V (x) soddis la ondizione V (x + L) = V (x). Ne segue he, dette u(x); v(x) due soluzioni linearmente indipendenti dell'equazione di S hroedinger, on u(0) = 1; u0 (0) = 0 e v(0) = 0; v0 (0) = 1 , si dovra avere (



u(x + L) = au(x) + bv(x) v(x + L) = u(x) + dv(x) 

e la matri e = a db ha determinante uguale a uno per il teorema di Wronski. Si notera a questo punto he la natura del problema matemati o e esattamente la stessa di quella onsiderata nel x3.2.2. Sulla s orta dei risultati ottenuti allora possiamo on ludere he se il parametro
= u(L) + v0 (L) e in modulo inferiore a 2, il aso di stabilita nel problema me

ani o, le soluzioni saranno quasi-periodi he: potremo individuare 152

Potenziali periodi i

ioe due soluzioni  tali he  (x + L) = eikL  (x)

on k reale; la ondizione j
j < 2 equivale infatti a ri hiedere he la matri e abbia autovalori omplessi di modulo unitario. Se al ontrario j
j > 2, le soluzioni sono esponenzialmente res enti (il aso della risonanza parametri a) e quindi non orrispondono a stati quantisti i. Ora, la matri e e quindi il parametro
ontengono E e pertanto la disuguaglianza individua intervalli di energia permessi e intervalli proibiti. Si di e he lo spettro presenta bande di energia. Il risultato he abbiamo ottenuto e noto ai matemati i ome \teorema di Floquet" (si veda [Ho 71℄ per gli aspetti elementari e [MW66℄ per la teoria generale) e ai si i ome teorema di Blo h. E possibile rendersi onto intuitivamente della formazione delle bande d'energia rifa endo i a un problema gia onsiderato in pre edenza (vedi Probl. 6.3-8 a p. 146). Se abbiamo due bu he di potenziale separate da una distanza L lo stato fondamentale tende a essere degenere per L molto grande; si forma un doppietto di livelli energeti i separati da un gap di ui e responsabile l'eetto tunnel. Ora se le bu he di potenziale sono N a distanza L; 2L; 3L; : : : gli stati si dispongono in multipletti di N livelli he sarebbero degeneri a L ! 1. Per N ! 1 questi multipletti tendono ad addensarsi e formano bande

ontinue di energia. Osservazione. Il gruppo di simmetria di un potenziale periodi o e dato dal gruppo dis reto in nito T = fT n jn 2 Zg formato dalle traslazioni di multipli di L. Il gruppo e abeliano e quindi le sue rappresentazioni unitarie irridu ibili sono monodimensionali, ossia T ! expfig. Deve pertanto essere possibile ostruire una base di autovettori (generalizzati) dell'energia tali he per ogni autovettore si abbia T j i = ei j i : Detto allora k = =L, la funzione (x) expf ikxg risulta essere periodi a, il he ostituis e l'usuale formulazione del teorema di Blo h: le autofunzioni generalizzate dell'equazione di S hroedinger in ampo periodi o sono date da k (x) = expfikxguk (x) ; dove uk (x + L) = uk (x). Problema 6.4-1. Determinare le bande di energia per un potenziale periodi o della forma 1 X
Æ x (n + 21 )L : V (x) =  n= 1 153

Appli azioni elementari

Si tratta di valutare la matri e risolvendo l'equazione di S hroedinger nell'intervallo fondamentale (0; L). Le soluzioni u; v sono date da (

u(x) =

os(kx) per 0 < x < L=2 A os(kx) + B sin(kx)=k per L=2 < x < L

(

v(x) =

p

sin(kx)=k per 0 < x < L=2 C os(kx) + D sin(kx)=k per L=2 < x < L

dove k = 2mE=~. Le ostanti A; B; C; D si determinano imponendo le ondizioni di ra

ordo in x = L=2 (ri ordare l'Eq. (6.24)), e in ne si al ola
= u(L) + v0 (L) = 2 os(kL) + 2m=k~2 sin(kL). Le bande di energia sono allora individuate dagli intervalli in ui os(kL) + m sin(kL) < 1 : k ~2 Un al olo piu rapido si puo impostare nel modo seguente: l'obiettivo e quello di determinare soluzioni quasi periodi he, tali ioe he (x + L) = ! (L) on j!j = 1. Conviene eettuare una traslazione di L=2 in modo he le barriere siano nei punti nL; si puo allora porre (

(x) =

A os kx + B sin kx per 0 < x < L ! (A os k(x L) + B sin k(x L)) per L < x < 2L

su ui imponiamo le ondizioni di ra

ordo in x = L; on al oli immediati si trova   2m k!2 2k os KL + 2 sin KL ! + k = 0

he porta alla medesima on lusione.

~

Problema 6.4-2. Determinare le bande di energia per un potenziale periodi o della forma (

V (x) =

V0 per 0 < x < a = V (x + L) : 0 per a < x < L

Le bande di energia per E < 0 sono date dalla disequazione j
j < 2 , on 1 2
= os ka

p

osh (L a) + 21 (=k k=) sin ka sinh (L a) ;

2mE; ~k = 2m(E + V0 ). La soluzione e mostrata gra amente dove ~ = in Fig. 6-6. Per le appli azioni, si veda [FR95℄, ap. 3.5. p

6.5. Campi di forze entrali 6.5.1. Separazione in oordinate polari. L'equazione di S hroe-

dinger per un ampo di forze entrali si risolve agevolmente in oordinate 154

Campi di forze entrali 2

1.5

1

0.5

∆/2 0 -0.5

-1

-1.5

-2

0

5

10

15

20

E

Figura 6-6. Le bande di energia per il modello piu

sempli e di potenziale periodi o.

polari, in modo analogo alle altre equazioni alle derivate parziali della si a matemati a. Sia V (r) l'energia potenziale. Allora l'equazione si s rive (ri ordando l'espressione dell'operatore di Lapla e (4.7))   2 1   1 1 2 r+ 2 sin # + 2 2 (r; #; ') r r2 r sin # # # r sin # '2 2m + 2 (E V (r)) (r; #; ') = 0 : ~

Le autofunzioni si ottengono separando le variabili, ioe ponendo (r; #; ') = R(r)Y (#; '); l'equazione per la parte angolare e identi a alla prima delle equazioni (4.8), e quindi la soluzione e data dalle armoni he sferi he Ylm(#; ') introdotte nel x4.1.3. Ri ordiamo he, opportunamente normalizzate, le Ylm formano un insieme ortonormale ompleto per le funzioni de nite sulla super ie della sfera (si veda l'Eq. (4.9)). L'equazione radiale assume la forma l(l + 1) 2m 1 (rR(r))00 R (r) + 2 (V (r) E ) R(r) = 0 : 2 r r ~ Il problema si ri ondu e pertanto a quello di una parti ella in un solo grado di liberta soggetta ad un potenziale eÆ a e ~2 l(l + 1) Ve (r; l) = V (r) + ; 2mr2 155

Appli azioni elementari

e on funzione d'onda u(r) = rR(r). Si noti l'analogia on il aso lassi o del x3.4; il signi ato della orrezione entrifuga al potenziale radiale rimane identi o in me

ani a quantisti a: il termine ~2 l(l +1) he prende il posto di `2 oin ide on l'autovalore del (quadrato del) momento angolare. La soluzione dell'equazione radiale ~2 d2 u(r ) + (E Ve (r; l)) u(r) = 0 2m dr2 si aronta on le stesse te ni he introdotte nei apitoli pre edenti. In parti olare se V (r) risulta ostante a tratti la soluzione sara ottenibile in ogni regione di potenziale ostante in termini di funzioni di Bessel sferi he. Il problema matemati o non dieris e da quello in ontrato al ap. 4; tuttavia e da tenere presente he si deve onsiderare la soluzione generale R(r) = Al jl (kr) + Blnl (kr) tranne he nell'intervallo he ha estremo in r = 0 dove nl e singolare (jl (x)  xl ; nl (x)  x l 1 ). Si noti he an he nel aso l = 0, in ui non 'e il termine entrifugo, siamo nondimeno tenuti a porre la ondizione al ontorno u(0) = 0 he e indispensabile per mantenere il arattere autoaggiunto8 dell'operatore (d=dr)2 ristretto alla semiretta r > 0. Problema 6.5-1. Dis utere il problema agli autovalori per una parti ella nel ampo di potenziale entrale V (r) = V0 < 0 per r < R e V  0 altrove. La soluzione e qualitativamente dierente nei due asi E 0. a) E < 0: per r < R si hanno le soluzioni gia note jl (kr); k = 2m(E + V0 )=~, mentre per r > R la soluzione e esprimibile in termini di funzioni di Bessel on argomento immaginario: la soluzione si trova on il metodo di Lapla e ed e la seguente (xB.6.2)   p ezkr l l ;  = 2mE=~ : (r) / (kr) z l (z 1)l+1 z= 1 Ad es. per l = 0 e l = 1 si ha sempli emente ( sin(kr)=kr ; r < R l=0 = exp( r) ; r > R: l=1 =

8 < sin kr

kr os kr ; (kr)2 : (1 + (r) 1 ) exp( r) ;

8L'operatore

rR

:

ir 1 (=r) r he rappresenta il momento radiale non e de nibile

ome operatore autoaggiunto; io e dimostrabile on il metodo degli indi i di difetto [Nai68℄, ma e piu direttamente onseguenza del fatto he non esiste una traslazione unitaria r ! r + a. Al ontrario il momento radiale al quadrato e un operatore autoggiunto, se si impone la ondizione di annullamento in r = 0.

156

Campi di forze entrali La ondizione di ra

ordo in r = R fornis e l'equazione he determina gli autovalori:

kR ot kR 1 = R; (per l = 0); 2 k R os(k R) 2 sin(k R) + k2 R2 sin(k R) = (per l = 1) : 1+R (k R2 os(k R)) + R sin(k R) Si noti he il aso l = 0 e equivalente al aso monodimensionale trattato nel x6.1.2, ristretto alle autofunzioni antisimmetri he: io impli a he esiste un valore di soglia per V0 al di sotto del quale il potenziale non ammette stati legati. Dimostrare he per l > 0 il valore di soglia e an ora maggiore. b) E > 0: questa e la omponente dello spettro ontinuo. Le soluzioni sono date da ( jl (kr); r R 2 R

p

dove ora  = 2mE=~. Le soluzioni he si ottengono imponendo il ra

ordo in r = R rappresentano l'eetto del potenziale sul moto di una parti ella he puo allontanarsi inde nitivamente dal entro. Si tratta propriamente di un pro esso d'urto, he studieremo nel ap. 13. Si noti he per 0 < E < ~2 l(l + 1)=2mR2 il potenziale eÆ a e agis e ome una barriera di potenziale he divide la zona vi ino all'origine da quella in ui la parti ella e essenzialmente libera. In questa situazione se la parti ella e inizialmente nella regione interna puo ltrare all'esterno attraverso l'eetto tunnel e questo ri hiede un erto tempo. Si parla di stati metastabili (o risonanze) per quei valori di energia in orrispondenza ai quali questo tempo di fuga risulta massimo. Vedi la Fig. 6-7 dove si puo osservare

he in orrispondenza a un'energia positiva la funzione d'onda e on entrata in una regione vi ino all'origine, ma non si tratta oviamente di uno stato legato, in quanto lo stato non e normalizzabile.

6.5.2. L'atomo di idrogeno. L'equazione di S hroedinger per un sistema ostituito da due parti elle (protone ed elettrone) si ri ava a partire dalla Hamiltoniana lassi a he des rive il problema dei due orpi p2 e2 p2 ; (6.31) H= n + e 2mn 2me jxn xe j dove i suÆssi n; e si riferis ono a nu leo ed elettrone. Si tratta di una prima s hematizzazione della si a degli atomi idrogenoidi; an he per lo stesso atomo di idrogeno vi sono altre interazioni piu deboli di quella elettrostati a he si potranno in seguito onsiderare ome pi

ole orrezioni. La funzione d'onda sara funzione delle sei variabili xn ; xe , e quindi l'equazione dierenziale he ne deriva sostituendo pn ! i~rn ; pe ! i~re 157

Appli azioni elementari

10 5 0 −5 0

E=0.2 2

4

6

2

4

6

15 10 5 0 −5 0

8

10 r

12

14

16

18

20

10 r

12

14

16

18

20

10 r

12

14

16

18

20

E=0.2325 8

10 5 0 −5 0

E=0.265 2

4

6

8

Figura 6-7. Densita radiali per la \bu a sferi a" del Probl. 6.5-1. Dati del problema: m = ~ = 1, l = 3; V0 = 10; R = 2.

risulterebbe di ardua soluzione, se non fosse he, ome in me

ani a lassi a, si puo sfruttare tutta la simmetria del problema per ridursi, ome per qualunque ampo entrale, ad un problema in un solo grado di liberta. Si tratta innanzitutto di separare il moto del entro di gravita, passando agli operatori anoni i ( ome nel x3.4) P = p n + pe m x + mn xn X= e e me + mn mn pe me pn = mn + me r = x e xn : In termini di questi l'Hamiltoniano diviene sempli emente P 2 2 e2 H= + 2M 2 r dove M = me +mn e la massa totale,  1 = me 1 +mn 1 la massa ridotta, e r  jrj e la distanza tra le due parti elle. L'equazione di S hroedinger risulta ora separabile, ossia possiamo porre (X ; r ) = (X ) (r ) ; 158

Campi di forze entrali

il he porta a due equazioni disa

oppiate. Possiamo pero pro edere piu speditamente ri onos endo il fatto he i gradi di liberta del entro di massa rappresentano una parti ella libera he sara des rivibile on onde piane e a

ui orrisponde un ontributo positivo all'energia pari alla energia ineti a P 2 =2M . Gli altri gradi di liberta he rappresentano il moto relativo di elettrone e nu leo ostituis ono la dinami a interessante. S egliamo per io di metter i nel sistema di riferimento in ui il entro di massa e in quiete: l'equazione da risolvere e quella di S hroedinger in ampo entrale e2 ~2 4 (r ) (r ) = E (r ) 2 r

he si ridu e, dopo avere separato la parte angolare ponendo = Ylm (; )u(r)=r ad un'equazione ordinaria  2  ~2 d2 u e ~2 l(l + 1) + + u = Eu : 2 dr2 r 2r2 Cer heremo le soluzioni orrispondenti a stati legati (E < 0). Introdu iamo innanzitutto variabili adimensionali attraverso le sostituzioni (suggerite dalla formula di Bohr) e2 ~2 r = na ; a = 2 ; n = p e ~ 2E

he i ore l'equazione formalmente piu sempli e
u00 ( ) + 1 + 2n= l(l + 1)= 2 u( ) = 0 ; Osserviamo he a e orrettamente delle dimensioni di una lunghezza e rappresenta la s ala di dimensioni atomi he. Viene denominato raggio di Bohr e vale numeri amente ir a mezzo A (vedi a p. 524 per il valore pre iso). Il parametro n he nella quantizzazione alla Bohr assume valori interi, al momento e un reale positivo arbitrario. La soluzione generale dell'equazione e ottenuta fa ilmente in termini della funzione ipergeometri a on uente, ome mostreremo piu avanti. Un metodo diretto basato sul metodo di Lapla e funziona senza diÆ olta nel aso l = 0: u00 ( ) + (2n  )u( ) = 0 Z
d 2 (z 1) F + nF = 0 u( ) = exp(z )F (z ) dz =) dz C

he ha ome soluzione F (z ) = (1 z )n 1 (1 + z ) n 1 159

Appli azioni elementari

-1

Figura 6-8. Il ammino di integrazione per il al olo di u( ).

da ui, tenendo onto he n e positivo e he a

ettiamo solo soluzioni

he tendono a zero abbastanza rapidamente per  ! 1, otteniamo la soluzione nella forma Z (1 z )n 1 dz u( ) = ez (1 + z )n+1 C e il ammino e da s egliere ome indi ato in Fig. 6-8 (un la

etto he avvolge il taglio [ 1 : : : 1℄). La soluzione tende a zero per  ! 1 almeno ome e  . Rimane pero da soddisfare la ondizione al ontorno di annullamento in  = 0, omune a tutte le equazioni separate in oordinate polari. Questo i ore la ondizione Z (1 z )n 1 dz = 0 : (1 + z )n+1 C L'integrale e al olabile in modo elementare attraverso la trasformazione

onforme 1 z w= 1+z

he mappa il ammino C in un la

etto attorno all'origine: Z Z sin n (1 z )n 1 : dz / wn 1 dw / n +1 (1 + z ) n C C Se ne on lude he le uni he soluzioni he soddisfano la ondizione di annullamento orrispondono a n = 1; 2; 3; : : : 2 N , ome previsto dalla ve

hia teoria dei quanti. Lo spettro dis reto per l = 0 oin ide on quello di Bohr, dunque. Le orrispondenti autofunzioni sono date da una formula espli ita, in quanto per n intero l'integrale si ridu e attraverso la formula integrale di Cau hy a una derivata di ordine n:  n h I i  (1 z )n 1 z (1 z )n 1 j z e = u( ) = e z= 1 : (1 + z )n+1 z E hiaro he la u( ) sara della forma

un ( ) = Ln( )e 160



Campi di forze entrali

dove Ln e un polinomio di grado n. Tornando ora al aso generale (l  0), questo puo essere ri ondotto ad una forma solubile attraverso il metodo di Lapla e attraverso la sostituzione suggerita dallo s hema generale dell'App. B.6.1. u( ) =  l+1 e  f ( );  = 2 : Ne risulta l'equazione f 00 + (2(l + 1)  )f 0 + (n l 1)f = 0 : Si on lude he la soluzione generale dell'equazione radiale per il ampo Coulombiano e data da u( ) =  l+1 e  ( 1 1 F1 (l + 1 n; 2(l + 1); 2 ) + 2 

1 2l



1 F1 ( n l; 2l; 2 ) :

Dovremo subito porre 2 = 0, per la ondizione di annullamento in r = 0, mentre la forma asintoti a della 1 F1 (si veda l'Eq. (B.6.3)) i impone di

an ellare il oeÆ iente del ontributo prin ipale he darebbe una res ita esponenziale alla funzione d'onda. Si trova allora (2(l + 1)) =0: (l + 1 n) Ri ordando he 1= (z ) e una funzione intera on zeri sempli i nei punti z = 0; 1; 2; : : : 2 N , se ne on lude he n = l + 1; l + 2; l + 3; : : : : Troviamo per io he lo spettro degli stati legati dell'atomo d'idrogeno e dato dalla formula di Balmer e4 En = 2~2 n2

he oin ide fortuitamente on la formula he si ottiene appli ando la regola di Bohr nella sua formula piu elementare9. Si noti he per ogni valore di n (detto il numero quanti o prin ipale) esistono n2 stati linearmente indipendenti on la medesima energia; infatti nella formula di Balmer non entra il numero quanti o l he puo assumere tutti i valori l = 0; 1; : : : ; n 1 e per ogni valore di l esistono 2l + 1 stati orrispondenti al numero quanti o m he individua la funzione Ylm (; ); la somma dei primi n 1 numeri dispari da appunto n2 . Questa grossa degenerazione dello spettro dell'atomo di idrogeno e tipi a del potenziale Coulombiano 9Un'altra oin idenza he, ome quella della formula di Rutherford, ha fa ilitato il

ompito dei si i.

161

Appli azioni elementari

e viene rimossa da ontributi aggiuntivi al potenziale, ome vedremo10. Quanto alle autofunzioni, dato he l'ipergeometri a on uente si ridu e a un polinomio se il primo parametro e intero non positivo, la loro forma e parti olarmente sempli e. Appli ando il metodo di Lapla e si trova fa ilmente  n l 1   d ez (1 z )l+n jz=0 : f ( ) = dz Questi polinomi sono identi abili on polinomi di Laguerre, e pre isamente unl ( ) = Nnl  l+1 e  L2nl++1l (2 ) s

(n l 1)! an2 [(n + l)!℄3 (vedi [Ho 71, CS64℄11). La Tab. 6-1 riporta le autofunzioni per gli stati legati per pi

oli valori di n. La Tab. 6-2 riporta la tradizionale

onvenzione degli spettros opi he asso iano gli stati di momento angolare l a una lettera se ondo la su

essione12 s, p, d, f, .... Ad esempio lo stato 1 S orrisponde n = 1; l = 0, 2 P a n = 2; l = 1, et . Le autofunzioni unl (r) sono onvenientemente rappresentate in Ma13 da themati a

Nnl =

CoulombU[x_,n_,l_℄:=Sqrt[Gamma[n-l℄/(n^2*Gamma[n+l+1℄)℄* Exp[-x/n℄*(2 x/n)^(l+1)*LaguerreL[n-l-1,2*l+1,2*x/n℄.

Problema 6.5-2. Cal olare i valori di aspettazione hunl j r n junl i.

Il al olo diretto oinvolge integrali non del tutto elementari (si vedano [CS64, BS57℄). Sipuo pro edere inve e per via ri orsiva. Dalla relazione (5.45), indi ando Ik  rk , si ottiene per V = e2=r + ~2 l(l + 1)=2mr2

k En Ik

2 1 1 + e (2

k ) Ik

2

=

~2 (k

2

1)[k(k 2)=4 l(l + 1)℄Ik

3

:

10Pauli e Fo k hanno mostrato he questa degenerazione non e aatto a

identale, ma e legata ad una parti olare simmetria dell'Hamiltoniano, des ritta dal gruppo delle rotazioni in quattro dimensioni (vedi [Fo 35, BI66, OP72, Ono75℄); ome nel orrispondente problema di me

ani a lassi a questa simmetria e asso iata all'esistenza di ostanti del moto tipi he del potenziale di Coulomb { vedi l'(3.19) 11Si presti attenzione al fatto he esistono onvenzioni dierenti sulla de nizione
di Ln . Quella del Gradshteyn [GR65℄ orrisponde a Ln (x) = n+n  1 F1 ( n;  + 1; x), mentre la onvenzione adottata in molti libri di testo, in luso il presente, orrisponde
a Ln (x) = n! n 1 F1 ( n + ;  + 1; x). 12Per hi avesse uriosita riguardo all'origine dei simboli s; p; : : : ri ordiamo

he questi provengono dalla denominazione sharp, prin ipal, diuse, fundamental,... assegnata alle serie di righe spettrali. 13

Wolfram Resear h [Wol92℄.

162

Campi di forze entrali u10 = 2 r e r u20 =

p1r e 2

r=2 (1

u30 = 3p2 3 r e r=3 (1 u40 = 41 r e r=4 (1

u21 = 2p1 6 r2 e r=2

1 r) 2

u31 = 278p6 r2 e r=3 (1

2 r + 2 r2 ) 3 27 3 1 2 4r + 8r

1 3 192 r )

u41 =

p5=3 16

r2 e r=4 (1

1 r) 6 1 r + 1 r2 ) 4 80

Tabella 6-1. La parte radiale delle autofunzioni dei

livelli piu bassi dell'atomo di idrogeno unl .

numero quanti o l 0 1 2 3 4 5 : : : serie spettros opi a s p d f g h : : : Tabella 6-2. Denominazione dei livelli idrogenoidi.

0.6

0.5

u10

0.4

0.3

u20

0.2

u30 0.1

0 0

5

10

15 r

20

25

30

Figura 6-9. Le densita radiali u2nl per le prime

autofunzioni dell'atomo di idrogeno (onda s).

Conviene introdurre unita atomi he, per ui nel seguito nella espressione per

k r e sottinteso un fattore a k ; dove a e il raggio di Bohr. La relazione di ri orrenza e quindi sempli emente   k 1 k l(l + 1) (k2 1)=4 I k 2 = (2k 1) I k 1 I k: n2

163

Appli azioni elementari 0.2 0.18

u21

0.16 0.14 0.12 u31 0.1 0.08 u41 0.06 0.04 0.02 0 0

5

10

15

20

25 r

30

35

40

45

50

Figura 6-10. Le densita radiali u2nl per le prime

autofunzioni dell'atomo di idrogeno (onda p). 0.12

u32 0.1

0.08 u42 0.06

0.04

u52

0.02

0 0

10

20

30 r

40

50

60

Figura 6-11. Le densita radiali u2nl per le prime

autofunzioni dell'atomo di idrogeno (onda d).

Per innes are la relazione di ri orrenza si tiene onto del teorema del viriale se ondo ui r 1 = 2E = n 2 . Fa

iamo poi ri orso al teorema di FeynmanHelmann (vedi x10.1.2), appli ato al problema radiale: tenendo sso il numero

164

Campi di forze entrali quanti o radiale nr , l'autovalore e dato da E = 1=2 (nr + l + 1)   1 H 2l + 1 2  E : r = = = l (nr + l + 1)3 l 2 Si ha dunque

2 1 r = : (l + 12 ) n3 Dalla relazione di ri orrenza si ha poi, partendo da k = 0, I 2 1 I 3= = l(l + 1) n3 l(l + 21 )(l + 1) 3n2 l(l + 1) I 4= 5 : 2n (l 12 )l(l + 21 )(l + 1)(l + 32 )

 Si noti he r k e de nito solo se k < 2l + 3 .



2

e per io



Problema 6.5-3. Determinare i valori di aspettazione rk per k > 0

appli ando il metodo del problema pre edente.

165

CAPITOLO 7

Lo sviluppo formale della me

ani a quantisti a I fenomeni si i e la relativa des rizione matemati a presentati nei

apitoli pre edenti impongono una revisione radi ale di buona parte dei prin ipi fondamentali della si a. In questo apitolo i o

uperemo proprio di questo, er ando di presentare la struttura formale della me

ani a quantisti a ome risultato di un appro

io di tipo operativo sostenuto da al uni postulati teori i fondamentali. Si tratta ioe di un appro

io assiomati o minimale, dove il riferimento a pre on etti teori i e ridotto al minimo e, laddove inevitabile, e espli itamente di hiarato sotto forma, appunto, di postulati di base. Il risultato e un impianto teori o molto generale della me

ani a quantisti a, per nulla vin olato a priori al mondo dei fenomeni mi ros opi i. In eetti per tutto il apitolo faremo riferimento ad un generi o sistema si o S , senza spe i arne a priori le dimensioni e le aratteristi he. La motivazione per questo e dupli e: da un lato si tratta di appagare la naturale esigenza di sempli ita e universalita dei fondamenti teori i della si a, dall'altro va ri ordato he la pi

olezza del quanto d'azione, la ostante di Plan k ~ , non restringe per forza l'osservabilita degli eetti propriamente quantisti i al dominio del mondo atomi o e subatomi o. Fenomeni ma ros opi i lassi amente inspiegabili, ome la super uidita, la super onduttivita e l'eetto Hall dis reto, hanno ri evuto negli ultimi de enni una spiegazione di tipo puramente quantome

ani o, fornendo un importante esempio di ome i prin ipi fondamentali della me

ani a quantisti a possano superare indenni il passaggio dal mi ro osmo alle s ale dell'esperienza quotidiana. Cio non toglie he proprio questo passaggio an or oggi ostituis a il momento piu diÆ ile della me

ani a quantisti a riguardo la sua a

ettazione ome teoria si a universalmente valida.

7.1. Sistemi si i, stati e osservabili La nozione di sistema si o non puo essere formulata in termini rigorosi, dovendo risultare adattabile alle piu svariate situazioni. Noi de niremo

omunque un sistema si o S ome una porzione dell'universo isolata o soggetta a ben ontrollabili in uenze esterne, sulla quale e possibile

ompiere esperimenti quantitativi. I risultati di tali esperimenti sono le 167

Lo sviluppo formale della me

ani a quantisti a

osservazioni, o misure, la ui pre isione dipende ovviamente dal grado di raÆnatezza degli apparati sperimentali. Per de nizione, l'oggetto delle misurazioni sone le osservabili, ovvero le grandezze si he le ui proprieta e valori aratterizzano il sistema S 1. Piu pre isamente, esiste una nozione operativa di osservabile, he potremmo al limite identi are ome una lasse di equivalenza di esperimenti, ed una nozione matemati a, la quale deve fornire una rappresentazione degli eventi he possono veri arsi ome risultati di quegli esperimenti. In questo paragrafo onsideriamo le osservabili innanzitutto in senso operativo. Ogni elemento oggettivo d'informazione sul sistema si o S dis ende es lusivamente dalle suddette osservazioni ed il omplesso dei risultati sperimentali disponibili sulle osservabili di S de nis e lo stato si o, o stato tout ourt, di S . Tipi amente, tra le osservabili si possono distinguere al une osservabili \fondamentali", la ui natura e proprieta sono suÆ ienti a aratterizzare il sistema in esame, nel senso di ssare interamente l'insieme degli stati possibili di S (una pre isazione su osa eettivamente si intende per osservabili fondamentali verra fornita in seguito, per ora il signi ato letterale e suÆ iente). D'altra parte, in uno spe i o stato, non tutte le osservabili di S , e neppure tutte quelle fondamentali, assumono valori determinati. Una prima, ovvia ragione e he spesso il numero delle osservabili fondamentali di S e troppo grande, ed in uno stato sperimentalmente a

essibile soltanto una parte di esse viene direttamente od indirettamente misurata. Una se onda ragione e dovuta al potere risolutivo degli apparati di misura, he e ne essariamente nito e, ome tale, non permette di determinare il valore esatto di osservabili he possono assumere valori distinti arbitrariamente vi ini. Si pensi alla distribuzione di valori he puo assumere la posizione del bari entro di un oggetto materiale: allo stato attuale delle nostre onos enze, possiamo assumere he sia ontinua. In ne vi possono essere veri e propri impedimenti di prin ipio verso la determinazione dei valori assunti ontemporaneamente da piu osservabili. Quest'ultimo e proprio il aso dei fenomeni quantome

ani i e determina la prin ipale deviazione dal modo di pensare proprio della si a pre-quantisti a, onvenzionalmente indi ata ome \ si a lassi a". Dunque lo stato si o rappresenta una piu o meno on entrata distribuzione di probabilita sullo spazio dei valori he ias una osservabile puo sperimentalmente assumere: la ripetizione N volte dei medesimi esperimenti sul sistema S ripreparato ogni volta in ondizioni identi he (per quanto riguarda quelle sperimentalmente rilevanti), fornis e una sequenza di risultati diversi per le osservabili sotto esame, on una frequenza relativa he riprodu e, nel limite N ! 1 , la distribuzione di probabilita 1Si notera una erta, inevitabile ir olarita dell'argomento: un sistema si o e di fatto de nito dalle osservabili he gli risultano sperimentalmente pertinenti.

168

Sistemi si i, stati e osservabili

he orrisponde allo stato del sistema. E in questo senso probabilisti o

he assegniamo un valore des rittivo e predittivo all'affermazione: \il sistema si o S si trova nello stato  . D'altra parte, non va dimenti ato

he, se onsideriamo un singolo esperimento atto a misurare una erta osservabile A , esso fornira un ben pre iso risultato a (la posizione di un indi atore, un numero su un ontatore digitale, il veri arsi o no di un \ li k" in un ontatore Geiger, et .). L'insieme di tutti i possibili risultati delle osservazioni di A forma il osiddetto spettro di A e le distribuzioni di probabilita di ui sopra sono evidentemente on entrate sugli spettri delle osservabili. In termini matemati amente pre isi quanto appena detto si riassume nella seguente aermazione: se  e lo stato di S , b un arbitrario sottoinsieme di Borel della retta reale ed A un'arbitraria osservabile, allora PrA (bj  ) e la probabilita he il risultato della misurazione di A appartenga a b . Come gia detto, l'interpretazione si a di questa aermazione e he, ripetendo N volte il medesimo esperimento atto a misurare A , empiri amente si osserva N (b) ; PrA (bj  ) = lim N !1 N dove N (b) rappresenta il numero di volte he si veri a un risultato appartenente al sottoinsieme b . In questo senso appare evidente he lo stato  non e altro he una onveniente abbreviazione per indi are l'insieme di tutte le ondizioni rilevanti dell'esperimento. Ovviamente per le probabilita PrA (bj  ) deve valere: (7.1) 0  PrA (bj  )  1 ; PrA (;j  ) = 0 ; PrA (Rj  ) = 1 e, non appena due sottoinsiemi boreliani b1 e b2 sono disgiunti, (7.2) PrA (b1 [ b2 j  ) = PrA (b1 j  ) + PrA (b2 j  ) : E onvenzione diusa introdurre una densita di probabilita pA (aj  ) , a 2 R al posto della pi u pre isa notazione in termini di sottoinsiemi boreliani, s rivendo Z PrA (bj  ) = da pA (aj  ) : b

In sostanza pA (aj  ) da e la probabilita he il risultato dell'esperimento appartenga all'intervallo in nitesimo (a; a + da) . Come funzione di a , pA(aj  ) va allora intesa in senso generalizzato, ioe ome distribuzione. Ad esempio, se ogni ripetizione dell'esperimento da sempre il medesimo risultato a , allora pA (aj  ) = Æ(a a ) , dove Æ(x) e la delta di Dira (vedi App. B.5). Come e noto, una prima aratterizzazione empiri a di queste distribuzioni di probabilita si ottiene al olando, a partire dalla su

essione 169

Lo sviluppo formale della me

ani a quantisti a

a(1) ; a(2) ; : : : ; a(N ) dei risultati sperimentali per l'osservabile A ( on N

he tende idealmente all'in nito), il valor medio o valore di aspettazione di A Z +1 N 1X ( j ) da a pA (a) a = hAi = Nlim !1 N j =1 1 e la deviazione

standard o dispersione o indeterminazione h  i1=2
A = A2 hAi2 r

N  2 1X a(j ) hAi = lim N !1 N j =1 1=2 Z +1 2 ; da (a hAi) pA (a) = 1 dove si e fatto uso della regola generale valida per un funzione f (A) Z +1 da f (a) pA (a) : hf (A)i = 1 In queste ultime espressioni la dipendenza dallo stato  e sottintesa, ioe h
i = h
i e
=
 . Un aso parti olarmente rilevante si ottiene quando identi amente
A = 0 , ioe quando ogni ripetizione dell'esperimento da il medesimo risultato a . Si di e allora he lo stato  del sistema e un autostato dell'osservabile A e a e il orrispondente autovalore. Questo fatto puo veri arsi ovviamente solo se l'autovalore a in questione risulta essere, per ragioni di prin ipio o per evidenza sperimentale, dis reto, ioe separato dal resto dello spettro di A . Non si tratta omunque di una limitazione signi ativa, dato he, per via del potere risolutivo limitato degli apparati di misura, la des rizione operativa di una qualunque osservabile omporta he lo spettro sia sempre interamente dis reto: in eetti A e approssimabile arbitrariamente bene in termini di opportune ollezioni nite di osservabili di otomi he, he assumono il valore 1 oppure 0 (e sono quindi dis rete e limitate) e sono misurate mediante opportuni esperimenti di tipo \si o no" (tipi amente \si" ! 1 e \no" ! 0 ). Si pensi, ad esempio, alle misure di posizione mediante una ollezione di rivelatori spazialmente ordinati, o agli esperimenti sul passaggio di fotoni attraverso ltri polarizzatori, et .. Generalmente, le osservabili he sono oggetto degli esperimenti tipo \si o no" sono delle funzioni aratteristi he di altre osservabili: EA (b) e la funzione aratteristi a dell'osservabile A he vale 1 non appena A assume un valore ompreso nel sottoinsieme boreliano b e vale 0 altrimenti. Si noti he, per de nizione stessa di funzione aratteristi a, per un 170

(7.3)

Sistemi si i, stati e osservabili

qualunque stato  del sistema deve valere (7.4)

PrA (bj  ) = hEA (b)i :

In de nitiva le osservabili, nel senso operativo del termine, sono sempre dotate di spettro dis reto (questo risulta evidente se pensiamo a ome l'informazione sui risultati di un esperimento e memorizzata in un omputer). Le osservabili \ ontinue" rappresentano idealmente un pro esso di limite in ui la suddetta ollezione di osservabili di otomi he diventa in nita. Parimenti, l'informazione sperimentale ri hiesta diventa in nita, e quindi si amente ina

essibile. D'altro lato e hiaro he la dis retizzazione di osservabili idealmente ontinue ontiene un inevitabile fattore di arbitrarieta, he generalmente varia da una situazione sperimentale all'altra. Il suddetto pro esso di limite serve quindi allo s opo di uniformare la nozione matemati a di osservabile, e risulta spesso indispensabile per de nire in modo univo o e on ettualmente e onomi o i modelli teori i. Basti pensare alla grande sempli ita, universalita ed eleganza dei prin ipi di simmetria ed invarianza basati sui gruppi dei movimenti spaziotemporali (si veda al apitolo 9): la loro stessa formulazione ri hiede he

erte osservabili, strettamente legate all'azione di tali gruppi sullo spazio degli stati, abbiano spettro ontinuo. La me

ani a lassi a, os ome brevemente riassunta nella parte I, fornis e una pre isa rappresentazione matemati a per le osservabili e gli stati di un generi o sistema si o S . Ad ogni S viene fatto orrispondere un opportuno spazio delle fasi FS , 2n-dimensionale, dove n e il numero dei gradi di liberta di S . Le osservabili sono rappresentate dalle funzioni a volori reali su FS , il quale e per de nizione dotato di una struttura

anoni a, he onsiste nell'assegnazione delle parentesi di Poisson per ogni oppia di osservabili (vedi x2.2), mentre gli stati sono identi ati on le distribuzioni di probabilita su FS , ovvero le funzioni positive-de nite e normalizzate. Fra le osservabili, gio ano un ruolo fondamentale le oordinate anoni he, ovvero le fq g e le fpg , he tipi amente rappresentano le posizioni ed i momenti del sistema S e/o delle sue parti, ed in termini delle quali tutte le altre osservabili possono venir espresse. Esse sono evidentemente delle osservabili \fondamentali", nel senso indi ato piu sopra. Il formalismo della me

ani a lassi a i permette ora di evidenziarne una proprieta aratteristi a: (q1 ; : : : ; qn ; p1 ; : : : :pn ) ostituis e un insieme irridu ibile di osservabili, nel senso he ogni funzione su FS he ha parentesi di Poisson nulle on tutte le fq g e le fpg e ne essariamente una ostante. Quindi tutte le osservabili non banali sono esprimibili ome funzioni delle fqg e delle fpg . Dunque, se ondo la me

ani a lassi a, ad ogni osservabile A orrisponde una funzione a valori reali A(q; p) (l'uso dello stesso simbolo 171

Lo sviluppo formale della me

ani a quantisti a

sottolinea il fatto he le osservabili sono di fatto identi ate on le funzioni su FS ), mentre ad ogni stato  orrisponde una distribuzione di probabilita % (q; p) , he per de nizione soddisfa a

% (q; p)  0 ;

Z

dn q dn p % (q; p) = 1 :

FS In ne il valor medio di A nello stato  si s rive

hAi =

Z

dn q dn p % (q; p)A(q; p) ;

FS mentre la probabilita PrA (bj  ) segue dalla relazione generale (7.4) utilizzando la funzione aratteristi a EA (b) , he vale 1 su tutti i punti di FS sui quali A assume un valore appartenente a b e vale 0 altrimenti. Nel aso di sistemi si i \sempli i", ioe dotati di un numero pi

olo di osservabili fondamentali (po he oppie (q; p) se ondo la me

ani a lassi a), sembrerebbe ragionevole poter on epire ed eettuare (entro ovvi limiti te nologi i) un insieme ompleto di esperimenti atti a determinare il valore di tutte le osservabili on pre isione grande a pia ere. In altri termini, 8 > 0 , deve esistere uno stato sperimentale  tale he
A <  per qualunque osservabile A . Questo e il punto di vista impli ito nella des rizione dei sistemi si i basata sulla me

ani a lassi a, per la quale gli stati on le suddette aratteristi he sono gli stati puri del sistema si o S . Nel limite ideale di pre isione in nita gli stati puri sono delle distribuzioni di probabilita on entrate in un singolo punto dello spazio delle fasi e sono quindi in orrispondenza biunivo a on i punti di FS . Risulta poi naturale estendere questa visione lassi a della natura an he a sistemi omplessi, per i quali solo stati  non puri, detti an he mis ele statisti he sono sperimentalmente a

essibili. In ogni aso, pur ammettendo l'inevitabile in ompletezza dell'informazione ra

olta in uno stato  si amente realizzabile, il prin ipio sottostante la visione lassi a del mondo e he ogni sistema si o, per quanto omplesso, ad ogni istante deve trovarsi in uno stato puro ben pre iso, nel quale tutte le fq g e le fpg (e quindi tutte le osservabili), posseggono un ben pre iso valore; solo la nostra ignoranza dei dettagli i obbliga a introdurre il on etto di probabilita. Una onseguenza immediata di questa des rizione e he l'atto di \osservare" S , ovvero fare su di esso esperimenti, lo perturba in modo tras urabile o omunque ontrollabile all'interno della stessa rappresentazione lassi a delle osservabili e degli stati. D'altra parte, indipendentemente dalla modellizzazione matemati a

he possiamo assumere per des rivere il sistema S , esiste un on etto strettamente operativo di stato puro: S si trovera in uno stato puro tutte le volte he l'informazione ra

olta in esso e massimale, ovvero quando non risulta possibile determinare sperimentalmente il valore di una ulteriore 172

Sistemi si i, stati e osservabili

osservabile del sistema senza ne essariamente perdere il ontrollo sul valore di una o piu delle osservabili pre edentemente misurate. L'assunzione fondamentale della me

ani a lassi a, suggerita dall'evidenza sperimentale del modo ma ros opi o \ordinario", e he il pro esso di raÆnamento dello stato di S , mediante la misurazione sempre piu pre isa di un numero sempre maggiore di osservabili, si possa portare avanti, almeno in linea di prin ipio, no alla determinazione dei valori assunti da tutte le osservabili del sistema. Lo stato viene os ridotto ad uno stato puro della me

ani a

lassi a, ioe ad un intorno pi

olo a pia ere di un singolo punto di FS . Abbiamo visto nei apitoli pre edenti ome l'evidenza sperimentale su s ale mi ros opi he sia in netto ontrasto on questa visione lassi a. Le relazioni di indeterminazione tra momento e posizione impli ano he e impossibile, per ragioni di prin ipio, determinare on una erta pre isione la posizione di un elettrone senza al ontempo perdere informazione sul momento, o vi eversa. Piu in generale, l'interazione tra S e l'apparato di misura perturba il sistema stesso in un modo non ompletamente ontrollabile, per ui la misurazione di una data osservabile, oltre a ausare l'indeterminazione di altre osservabili, puo fornire dei valori he non sono attribuibili al solo sistema e/o non sono in al una relazione on i valori della medesima osservabile subito dopo la misurazione. Dunque e un fatto sperimentalmente a

ertato he esistono sistemi si i per i quali il pro esso di raÆnamento dello stato si deve ritenere on luso ed il livello di stato puro raggiunto, per ragioni di prin ipio, ben prima he i valori di tutte le osservabili risultino determinati. A questo punto risulta opportuno fare una distinzione di fondo tra due diversi tipi di osservazione, he hiameremo di prima e se onda spe ie, rispettivamente, ed introdurre i on etti operativi di osservabili ompatibili e di preparazione ompleta degli stati del sistema si o S 2. In un esperimento di prima spe ie, o preparazione, si intende misurare, on la maggior a

uratezza prati amente possibile, una o piu osservabili del sistema S , on la ragionevole ertezza he gli stessi valori verrebbero osservati in una ripetizione immediata della misura stessa (mediante il medesimo apparato sperimentale od un altro ad esso equivalente). Possiamo allora aermare he S viene preparato os in uno stato aratterizzato dai quei pre isi valori delle osservabili in questione. Vi eversa, in un esperimento di se onda spe ie, una o piu osservabili vengono misurate mediante operazioni he ne essariamente omportano la perdita parziale o totale dell'informazione sul valore assunto dalle stesse osservabili, subito dopo il ompletamento dell'osservazione. 2Quello he segue e soltanto un brevissimo a

onto di una trattazione generale degli

stati e delle osservabili basata su on etti puramente operativi. Versioni piu omplete e rigorose si trovano in [Jau68, Lud83℄

173

Lo sviluppo formale della me

ani a quantisti a

Consideriamo un sempli e esempio. Una sorgente radioattiva emette parti elle  di energia de nita. Il momento di una data parti ella, e quindi la sua energia, viene determinato osservando la parte iniziale della tra

ia las iata in una amera a bolle, in presenza di un ampo magneti o ostante. La parti ella poi, rilas iando gradualmente la sua energia

ineti a al uido della amera, nis e per essere assorbita dallo stesso. In tal aso, s omparsa ogni tra

ia relativa all'osservabile direttamente misurata, l'osservabile posizione della parti ella, possiamo aermare he il sistema S viene alla ne distrutto. E evidente he l'osservazione appena des ritta ostituis e un esperimento di se onda spe ie, almeno per quanto riguarda il sistema si o S ostituito da una ssata parti ella  . Supponiamo ora di disporre di opportuni apparati di fo alizzazione nelle vi inanze della sorgente, per produrre un fas io ben ollimato di parti elle. Essendo nota l'energia dalla pre edente esperienza on la amera a bolle, ias una parti ella del fas io si trova preparata in uno stato di momento ben de nito (piu orrettamente, in uno stato in ui e noto il valor medio hpj i di ias una omponente del momento e la dispersione relativa
pj = hpj i e molto pi

ola e omunque ulteriormente ridu ibile, in linea di prin ipio, operando opportunamente sulle ondizioni sperimentali). Abbiamo os ottenuto una preparazione. Si noti he non si tratta di una on lusione desunta da un singolo esperimento ompiuto su una singola opia del sistema S . Infatti, abbiamo dovuto fare ta itamente ri orso ad ipotesi fondamentali ome l'identita tra le su

essive parti elle  , e l'invarianza del pro esso di de adimento dal modo di osservazione dello stesso. Questa e la situazione usuale, piu he una e

ezione: nel pro esso di preparazione di un determinato stato interviene generalmente un

omplesso di prin ipi generali, esperienze sperimentali, nozioni teori he (e regole di buon senso). Consideriamo un se ondo esempio: un'onda elettromagneti a (quasi) mono romati a viaggia lungo una sottile guida d'onda (ad esempio una bra otti a, per frequenze di un opportuno intervallo). Cias un fotone ostituente della radiazione possiede un ben de nito momento nella direzione (di iamo z ) della guida, ed e an he ben lo alizzato, ome posizione, nelle due direzioni trasverse. Risulta dunque preparato in uno stato aratterizzato da ben de niti valori di x , y e pz . Inoltre, interponendo opportunamente nella guida un polarizzatore lineare orientato lungo l'asse x , si otterranno fotoni superstiti dotati di ben de niti valori di x , y e pz e della polarizzazione sx lungo l'asse x (in parti olare sx = 1 ). Sappiamo dall'esperienza he non e possibile misurare un'ulteriore osservabile, ad esempio la omponente z della posizione, senza perturbare in modo de nitivo il sistema stesso, perdendo la mono romati ita od addirittura 174

Sistemi si i, stati e osservabili

distruggendo i fotoni rivelati all'altezza z mediante un'opportuna lastra semitrasparente e fotosensibile. Un fotone on ben de niti valori di x , y , pz e sx e dunque ompletamente preparato. Le aratteristi he salienti dell'insieme di osservabili fx; y; pz ; sxg sono due: esse sono tutte mutuamente ompatibili (vedi sotto) e non esiste al una altra osservabile

ompatibile on esse he non sia da esse dipendente ( ioe univo amente ssata in valore non appena le altre lo sono).

7.1.1. Insiemi ompleti di osservabili ompatibili (I). In generale, due osservabili A e B di un generi o sistema si o S si di ono

ompatibili qualora la misurazione di prima spe ie di A non omporti ne essariamente al un aumento dell'indeterminazione sul valore assunto da B , e vi eversa. Possiamo dire he
A e
B risultano statisti amente s orrelati nella ripetizione di tante serie di esperimenti identi i. Questo

on etto di ompatibilita e puramente operativo: esso fa riferimento a pre ise appare

hiature sperimentali. Di fatto, sono le stesse appare

hiature, atte per ipotesi alla misurazione di A e B , ad essere, o non essere, ompatibili. La determinazione della polarizzazione lineare di un fotone non osta ola in al un modo la misurazione del momento del fotone stesso, e vi eversa. Naturalmente le due osservabili A e B possono essere ompatibili in modo banale, ioe sempli emente per he tra loro dipendenti (vale a dire una funzione dell'altra). In questo aso esse possono venir misurate in un uni o esperimento mediante lo stesso apparato sperimentale, per ui nessun problema di in ompatibilita puo manifestarsi. Il aso non banale e quando A e B sono ompatibili pur essendo indipendenti, e questo e quanto qui assumiamo. Si noti inoltre he i on etti di ompatibilita e indipendenza i permettono di pre isare la nozione di osservabili \fondamentali", ssandone delle aratteristi he salienti: le osservabili fondamentali sono tutte tra loro indipendenti e formano un insieme irridu ibile di osservabili, nel senso he ogni altra osservabile

ompatibile on ognuna di esse e ne essariamente un'osservabile banale,

he assume ioe lo stesso valore indipendentemente dallo stato del sistema. Supponiamo ora he esista un'altra osservabile C di S , indipendente da A e B , e ompatibile on entrambe ( A e B sono per ipotesi indipendenti e ompatibili tra loro3). Per misurare an he C assieme ad A e B sara ne essario ompli are ulteriormente l'apparato sperimentale. E

os pure nel aso he si voglia misurare un'eventuale altra osservabile D ,

ompatibile on le tre pre edenti e da esse indipendente. Questo pro esso 3Si osservi he la ompatibilita i permette di dare un signi ato operativo pre iso alla nozione di un'osservabile dipendente, ioe funzione di varie altre osservabili: se A e B sono ompatibili, la relazione funzionale C = f (A; B ) e sus ettibile di veri a sperimentale.

175

Lo sviluppo formale della me

ani a quantisti a

di a

res imento del omplesso delle appare

hiature sperimentali ha ne essariamente un termine: se ondo la me

ani a lassi a il limite e uni o e ssato dall'insieme delle osservabili fondamentali, le fqg e fpg ; se ondo l'esperienza attuale esso dipende inve e dalle osservabili sotto esame e viene raggiunto non appena l'insieme delle osservabili ompatibili risulta

ompleto, nel senso he non risulta possibile individuare altre osservabili

ompatibili on le pre edenti e da esse indipendenti. In altri termini, l'insieme di osservabili ompatibili e ompleto se un qualunque esperimento di prima spe ie, atto a misurare un'ulteriore osservabile indipendente, omporta per ne essita un aumento dell'indeterminazione sul valore assunto da una o piu delle osservabili originarie. Si noti he questa de nizione operativa di ompletezza non e assoluta: nuovi risultati sperimentali possono sempre ri hiedere l'introduzione di nuove osservabili ompatibili on le pre edenti. Dunque una preparazione ompleta orrisponde alla misurazione di prima spe ie di un insieme ompleto di osservabili ompatibili, e ostituis e il raggiungimento del massimo dell'informazione possibile sul sistema S . In altre parole, una preparazione ompleta las ia il sistema in uno stato puro. Quindi, ad ogni insieme ompleto di osservabili ompatibili fA; B; C; : : :g risulta asso iato un sottoinsieme di stati puri biunivo amente individuati dai valori distinti assunti dalle osservabili A; B; C; : : : . Vi eversa, per ogni stato puro  esiste almeno un insieme

ompleto di osservabili ompatibili he assumono quei pre isi valori se e solo se il sistema si trova nello stato  . La novita essenziale rispetto alla visione lassi a onsiste nel fatto he in natura esistono osservabili in ompatibili, e, di onseguenza, esistono moltepli i insiemi ompleti, tra loro in ompatibili, di osservabili ompatibili. A ias uno di questi insiemi

orrisponde un parti olare sottoinsieme di stati puri nei quali erte osservabili di altri insiemi ne essariamente non posseggono valori de niti. E l'unione di tutti questi sottoinsiemi he ostituis e lo spazio degli stati puri destinato a sostituire lo spazio delle fasi FS di lassi a memoria. Ri ordiamo in ne he, essendo le osservabili sempre dis rete, almeno dal punto di vista operativo su ui si basa evidentemente il on etto di preparazione del sistema si o S , l'insieme degli stati puri ottenibili ome preparazioni misurando un ssato insieme ompleto di osservabili ompatibili, e ne essariamente numerabile. Tale numero puo, in linea di prin ipio, essere in nito, an he se ovviamente solo una frazione nita e si amente realizzabile. Fin qui la trattazione e stata del tutto generale e, ome tale, puramente des rittiva. Per ostruire una teoria, o

orre stabilire una pre isa rappresentazione matemati a per stati, stati puri ed osservabili, non he regole he permettano di al olare i possibili risultati degli esperimenti 176

Il prin ipio di sovrapposizione lineare

e le relative frequenze, ovvero di fare delle previsioni quantitative sul sistema si o in esame. Nei prossimi paragra vedremo ome, alla lu e del fondamentale prin ipio di sovrapposizione lineare la me

ani a quantisti a fornis a una risposta in redibilmente eÆ a e ed esauriente a questa domanda prati a4.

7.2. Il prin ipio di sovrapposizione lineare Nella formulazione standard della me

ani a quantisti a, il primo passo

onsiste nella aratterizzazione matemati a dello spazio degli stati puri. Si tratta in sostanza di astrarre una de nizione generale, onsistente on la dis ussione generale appena fatta, a partire dagli esempi ampiamente des ritti nel apitolo pre edente. Conviene qui ri hiamare gli aspetti salienti della des rizione quantome

ani a di due lassi parti olari di fenomeni, onnessi rispettivamente agli stati di polarizzazione dei fotoni ed al omportamento ondulatorio della materia (si ri ordino ad esempio gli esperimenti sulla dirazione ed interferenza degli elettroni). In entrambi i asi la des rizione matemati a si basa sul on etto di vettore di stato, sia esso il vettore di polarizzazione " di un fotone o la funzione d'onda (x ) di un elettrone. Questi sono elementi di uno spazio lineare, ioe possono essere linearmente sovrapposti, ottenendo an ora un vettore di stato. Inoltre essi sono normalizzabili, il

he ovviamente ri hiede he sullo spazio lineare in questione sia de nita una norma. La possibilita di sovrapporre linearmente due vettori di stato, on

oeÆ ienti generalmente omplessi, e di fondamentale importanza e di fatto aratterizza i fenomeni prettamente quantome

ani i, a ausa degli eetti di interferenza. L'aermazione he tale sovrapposizione e sempre possibile ostituis e il prin ipio di sovrapposizione lineare e risulta strettamente onnessa all'interpretazione probabilisti a di oggetti non direttamente osservabili ome i vettori di polarizzazione e le funzioni d'onda: se "1 e "2 sono due vettori di polarizzazione ortonormali orrispondenti a due orientazioni ortogonali di un polarizzatore, allora e suÆ iente ruotare il polarizzatore di un angolo  , per preparare fotoni polarizzati nella direzione intermedia " = "1 os  + "2 sin  ( on probababilita os2  o sin2  a partire da fotoni rispettivamente polarizzati lungo "1 o "2 ). Analogamente, se 1 (x) e 2 (x) rappresentano le funzioni d'onda di un elettrone lo alizzato rispettivamente nelle due regioni disgiunte V1 e V2 , allora 1 1 + 2 2 des rive uno stato nel quale lo stesso elettrone puo 4D'altro anto, la me

ani a quantisti a introdu e on etti astratti os lontani dall'esperienza omune, senza al ontempo rispondere ad al une domande di prin ipio, da las iare molti insoddisfatti, ome dimostrano i settant'anni di tentativi (evidentemente tutti falliti) per un superamento della stessa.

177

Lo sviluppo formale della me

ani a quantisti a

venir osservato sia in V1 ( on probabilita j 1 j2 ) he in V2 ( on probabilita j 2 j2 = 1 j 1 j2 ). E a questo punto he risulta ne essario dotare di un opportuno prodotto s alare lo spazio lineare dei vettori di stato, allo s opo di aratterizzare ome tra loro ortogonali i vettori orrispondenti alle situazioni alternative appena des ritte. Si tratta di fornire una rappresentazione matemati a per l'osservazione empiri a, he e an he esigenza logi a, se ondo la quale un fotone polarizzato lungo "1 non passa mai attraverso un polarizzatore orientato lungo "2 oppure un singolo elettrone non viene lo alizzato simultaneamente in V1 e in V2 . Va tuttavia sottolineato he gli esempi appena itati non impli ano di per se stessi il prin ipio di sovrapposizione lineare, ne tantomeno la natura

omplessa dei oeÆ ienti (in eetti, nel aso parti olare dei vettori di polarizzazione, e sembrato naturale onsiderare una ombinazione lineare

on oeÆ ienti reali). Dato he l'interpretazione probabilisti a ri hiede, nella veri a sperimentale, di onsiderare grandi insiemi statisti i di opie identi he del sistema in esame (ovvero ripetizioni numerose del medesimo esperimento), le due situazioni di ui sopra risultano spiegabili in termini di statisti a puramente lassi a, senza ne essita di ombinare linearmente dei vettori di stato. Cio e dovuto proprio alla aratteristi a di ortogonalita dei due vettori di polarizzazione "1 e "2 e al fatto he le due funzioni d'onda 1 e 2 hanno supporto disgiunto, V1 \ V2 = ;. Ma due vettori di polarizzazione possono non essere ortogonali (ad esempio " e "1 ). Quindi, mediante opportuni esperimenti di separazione e ri ombinazione di fas i di lu e (vedi ad esempio l'App. A.3), possiamo ottenere dei fotoni il ui stato di polarizzazione e des ritto dal vettore

"0 = " + "1 = ( os  + )"1 +  sin "2 ; dove  e sono numeri omplessi. Questi fotoni attraverseranno il polarizzatore orrispondente a "1 on una probabilita j os  + j2 he dipende dalla fase relativa di  e . Come sappiamo, questa dipendenza rappresenta la spiegazione quantome

ani a dei ben noti fenomeni di interferenza della radiazione luminosa. Analogamente, e perfettamente possibile he, durante l'evoluzione temporale, le due funzioni d'onda 1 e 2 sviluppino una sovrapposizione non nulla, pur restando tra loro ortogonali. Allora lo stato des ritto dalla

ombinazione lineare = 1 1 + 2 2 da luogo ai ben noti fenomeni di interferenza, assolutamente inspiegabili in termini di statisti a lassi a e dove la natura omplessa di 1 e 2 gio a un ruolo fondamentale. La densita di probabilita di trovare l'elettrone nel punto x vale

j (x)j2 = j 1 j2 j 1 (x)j2 + j 2 j2 j 2 (x)j2 + 2Re 1 2 1 (x) 2 (x) 178

Il prin ipio di sovrapposizione lineare

e dipende dalla fase relativa tra 1 1 e 2 2 se e solo se 'e sovrapposizione: 1 (x) 2 (x) 6= 0 . Nel aso ontrario in ui i supporti di 1 e 2 restino disgiunti, non e si amente possibile distinguere una ollezione di N elettroni ( N ! 1 ), tutti on funzione = 1 1 + 2 2 , da un'altra in ui N j 1 j2 elettroni sono des ritti da 1 e N j 2 j2 da 2 . Da quanto nora visto, risulta evidente he la fase globale della funzione d'onda, o del vettore di polarizzazione, non des rive al una proprieta osservabile. Non sono quindi i vettori di stato, an he una volta normalizzati, a trovarsi in orrispondenza biunivo a on gli stati puri del sistema si o S , ma le lassi di equivalenza dei vettori normalizzati he dieris ono solo per un fattore di fase. Queste lassi ostituis ono i osiddetti raggi dello spazio vettoriale in questione. In prati a, un raggio si ottiene identi ando tutti i vettori he dieris ono per un arbitrario fattore omplesso (non nullo) di moltipli azione: il modulo di questo fattore viene ssato imponendo la orretta normalizzazione, mentre la fase resta

omunque libera ed inosservabile. Un raggio oin ide quindi on un sottospazio monodimensionale dello spazio vettoriale V in questione, e l'insieme di tutti i raggi di V ostituis e lo spazio proiettivo P = V =C  , dove C  e il gruppo dei numeri omplessi diversi da zero (avendo inteso V de nito sul ampo dei numeri omplessi C ). I vettori di polarizzazione di un fotone formano uno spazio isomorfo allo spazio lineare bidimensionale C 2 , on prodotto s alare ("; "0 ) = "
"0 . C2  e un esempio elementare di spazio di Hilbert [BRS93℄. Le funzioni d'onda di un elettrone, soggette alla sola ondizione di normalizzabilita Z

d3 x j (x)j2 < 1

( on l'integrazione nel senso di Lebesgue), formano an h'esse uno spazio di Hilbert, usualmente denotato L2 (R3 ) , on prodotto s alare (; ) =

Z

d3 x (x) (x) :

L2(R3 ) e uno spazio lineare di dimensione in nita ed e ompleto (nel

senso he ontiene i vettori limite di ogni su

essione di Cau hy), ome ri hiesto dall'appli azione in ondizionata del prin ipio di sovrapposizione lineare. In sostanza, esso e lo spazio di Hilbert piu pi

olo ontenente le funzioni d'onda di singola parti ella os ome introdotte nel ap. 5. Nel aso del generi o sistema si o S , lo spazio di Hilbert dei vettori di stato viene identi ato operativamente a partire da un ssato insieme

ompleto di osservabili ompatibili. A ias una preparazione distinta ottenuta misurando tali osservabili in esperimenti di prima spe ie, orrisponde uno stato puro di S , al quale viene asso iato un raggio di uno spazio vettoriale omplesso HS . HS viene dotato di prodotto s alare 179

Lo sviluppo formale della me

ani a quantisti a

tramite la regola he vettori di raggi orrispondenti a preparazioni distinte sono ortogonali. In assenza di restrizioni sperimentalmente fondate, il prin ipio di sovrapposizione lineare va appli ato in modo in ondizionato, aermando he qualunque ombinazione lineare di vettori (idealmente an he in nita, pur he le somme parziali de nis ano una su

essione di Cau hy) appartiene a HS . Questo signi a he tale ombinazione e an h'essa un vettore di stato, ioe appartiene ad un raggio di HS he orrisponde ad uno stato puro si amente preparabile mediante opportuni esperimenti di prima spe ie. HS risulta per io ompleto ed e uno spazio di Hilbert. Si ri ordi he la ri hiesta di preparabilita per uno stato puro, almeno in linea di prin ipio, e impli ita nella sua de nizione stessa, he e operativa: essa equivale a ri hiedere he per ogni stato puro esiste almeno un insieme ompleto di osservabili ompatibili he hanno quello stato ome autostato. Siamo nalmente in posizione per formulare il postulato I della me

ani a quantisti a, ioe quello he spe i a dal punto di vista matemati o la natura dello spazio degli stati puri di un generi o sistema si o S : Postulato I Gli stati puri di un sistema si o S sono in orrispondenza biunivo a on i raggi di uno spazio di Hilbert, HS , omplesso e separabile. Lo spazio degli stati puri e quindi identi abile on HS =C  . In base alle onsiderazioni fatte nora, la ri hiesta di separabilita per HS si spiega ome segue. Uno spazio di Hilbert e separabile se e solo se ammette una base numerabile [BRS93℄ (quindi uno spazio di Hilbert nito-dimensionale, ome C 2 , e banalmente separabile). D'altra parte, i raggi orrispondenti ai diversi stati puri ottenuti ome preparazioni basate su un ssato insieme ompleto di osservabili ompatibili sono per ipotesi ortogonali in HS . Se teniamo quindi onto he tali preparazioni sono numerabili (vedi la dis ussione al x7.1), numerabili devono an he essere i raggi ortogonali di HS , he e per io separabile. Uno spazio di Hilbert non separabile ontiene degli insiemi non numerabili di vettori ortogonali, i quali des rivono stati puri he non possono essere risolti, ioe distinti gli uni dagli altri, on preparazioni nite ( ioe he oinvolgono un numero nito di operazioni), dato he le preparazioni nite sono numerabili. Dunque un HS non separabile non e sperimentalmente ri ostruibile e non puo far parte di una des rizione oggettiva del sistema si o S . 180

Il prin ipio di sovrapposizione lineare

In sostanza, ri hiedere la separabilita di HS e equivalente a di hiarare l'impossibilita si a di ssare esattamente il valore di osservabili presumibilmente dotate di spettro ontinuo. La pro edura ideale di limite di in nita pre isione (ottenibile determinando i valori assunti da una ollezione in nita di funzioni aratteristi he relative all'osservabile ontinua in questione) deve portare a stati puri si amente non realizzabili e quindi non rappresentabili all'interno di HS . In aso ontrario l'insieme degli stati puri os preparati, he e manifestamente non numerabile, ri hiederebbe per la sua des rizione un insieme non numerabile di vettori di stato ortogonali, ioe un HS non separabile. Tuttavia l'in lusione nel formalismo della me

ani a quantisti a di erti autovettori di osservabili ontinue (i quali non appartengono veramente allo spazio di Hilbert degli stati si i) ore,

ome presto vedremo, indis utibili vantaggi dal punto di vista delle appli azioni prati he ed e ormai d'uso omune. L'importante e non dimenti are

he tali vettori non orrispondono a stati si amente realizzabili. A questo punto onviene an he uniformare la notazione, ri ordando i

osiddetti ket e bra di Dira [Dir59℄ gia introdotti al ap. 5. Denoteremo quindi on j i un generi o vettore, o ket, di HS . La s elta della lettera ri orda la funzione d'onda della me

ani a ondulatoria, ma possiede qui un valore puramente simboli o: un altro vettore di HS sara indi ato on j 0 i o ji o jxyz::i , pur he all'interno di j i sia ontenuto un simbolo diverso. Il prodotto s alare tra due vettori j i e ji si s rive h j i e gode delle ben note proprieta h j 1 1 + 2 2 i = 1 h j  1 i + 2 h j  2 i ; dove 1 e 2 sono arbitrari numeri omplessi, e hj i = h j i : La norma di j i vale quindi p k k= h j i: Ad ogni ket j i e asso iato un vettore duale, o bra h j , he agis e ome funzionale lineare ontinuo su HS attraverso il prodotto s alare: h j : HS ! R ; h j : ji 7 ! h j i ; 8 ji 2 HS : L'appli azione antilineare j i 7! h j esiste ben de nita grazie al teorema di Riesz [BRS93℄. Il formalismo dei bra e dei ket sara esteso an he ai vettori di stato idealizzati he, orrispondendo ad un valore esatto di osservabili ontinue, si trovano al di fuori di HS . Problema 7.2-1. Si veri hi he i raggi di uno spazio di Hilbert bidimensionale, quale quello dei vettori di polarizzazione di un fotone, sono in orrispondenza uno-a-uno on i punti della sfera S 2 . 181

Lo sviluppo formale della me

ani a quantisti a

Data una base j1i e j2i di vettori linearmente indipendenti, per de nizione ogni altro vettore j i si puo s rivere j i = z1 j1i + z2 j2i ;

on z1 e z2 numeri omplessi. Se z1 6= 0 , allora j i e j 1 i = j1i + z j2i ; z = zz2 1 appartengono ad un uni o raggio, univo amente identi ato dal numero omplesso z . Per oprire an he il aso z1 = 0 , assumiamo z2 6= 0 (il aso in ui sia z1 he z2 si annullano orrisponde al vettore nullo e va es luso) e onsiderariamo il vettore j 2 i = w j1i + j2i ; w = zz1 : 2 Evidentemente j i = z2 j 2 i , per ui j 2 i appartiene allo stesso raggio di j i . Se w 6= 0 , allora j i , j 1 i e j 2 i stanno tutti e tre nello stesso raggio, univo amente identi ato da w = z 1 . Dunque lo spazio dei raggi oin ide on il piano

omplesso proiettivo, la osiddetta \sfera di Riemann", he viene usualmente denotato on CP 1 ( 1-dimensional Complex Proje tive spa e). La relazione on la sfera S 2 , identi ata on il luogo dei punti in R3 equidistanti dall'origine ( x21 + x22 + x23 = 1 ), si ottiene attraverso le proiezioni stereogra he, ad esempio quella dal polo nord (0; 0; 1) 1 (x1 ; x2 ; x3 ) = (2 Re z; 2 Im z; 1 jz j2) : 1 + jz j2

7.2.1. Sistemi omposti. Due distinti sistemi si i S e S 0 possono essere ombinati insieme per formare un nuovo sistema si o piu omplesso, he denoteremo on S [S 0 . Questa notazione sottolinea il fatto he

si tratta innanzitutto di una operazione logi a, analoga all'unione di due insiemi astratti. Dal punto di vista delle osservabili, il sistema omposto S [ S 0 e univo amente aratterizzato nel seguente modo: ogni osservabile A di S e un'osservabile an he di S [ S 0 e lo stesso vale per ogni osservabile A0 di S 0 ; inoltre, ome osservabili del sistema omposto, A e A0 sono ompatibili. In parti olare, la sempli e unione di due insiemi ompleti di osservabili ompatibili per S e S 0 fornis e un insieme

ompleto di osservabili ompatibili per S [ S 0 . Quindi, se ondo quanto detto al x7.2, una ollezione ompleta di stati puri di S [ S 0 si ottiene fa endo il prodotto artesiano di analoghe ollezioni di stati puri di S e S 0 . In termini di vettori di stato questo si tradu e nell'affermazione he se fj n i ; n = 1; 2; : : :g e fj n0 i ; n = 1; 2; : : :g sono due basi ortonormali rispettivamente di HS e HS 0 , allora fj m i j n0 i ; m; n = 1; 2; : : :g e una base dello spazio di Hilbert omplessivo HS[S 0 . In ne, assumendo di poter appli are in ondizionatamente il prin ipio di sovrapposizione lineare, 182

Il prin ipio di sovrapposizione lineare

un generi o vettore di stato si amente preparabile del sistema omposto si s rive ome ombinazione lineare della suddetta base

j i =

X

mn

mn j



0 :

mi n

Lo spazio di Hilbert HS[S 0 os ri ostruito oin ide per io on il prodotto tensoriale HS HS 0 dei due spazi iniziali. L'operazione di omposizione di due sistemi si i puo essere ripetuta piu volte, risultando in sistemi molto omplessi a partire da sistemi \sempli i", ioe dotati di po he osservabili fondamentali. Vi eversa, dato un sistema si o piu o meno omplesso, ma omunque aratterizzato da una erta individualita, risulta naturale er are di \de omporlo" in sistemi piu sempli i, fa ilitando os enormemente la determinazione di opportuni insiemi ompleti di osservabili ompatibili, ovvero la ri ostruzione del orretto spazio di Hilbert degli stati puri. La si a \fondamentale" si o

upa proprio del problema di ridurre ogni sistema si o alle sue omponenti piu sempli i possibili: dai sistemi ma ros opi i alle mole ole, quindi agli atomi, poi alle parti elle atomi he, a quelle nu leari e in ne a quelle subnu leari, in una rin orsa he al giorno d'oggi sembra essersi on lusa nel

osiddetto modello standard, almeno per quanto riguarda i ris ontri sperimentali. E tuttavia urioso notare ome, lungo questa strada \riduzionista", la ne essita di integrare nella me

ani a quantisti a i prin ipi della relativita ristretta di Einstein abbia determinato una risi proprio della visione \a parti elle" (an he se soggette alla me

ani a ondulatoria) della materia, a favore di una visione uni ata in termini di ampi quantizzati sia per la materia he per la radiazione. Da questo punto di vista il pro esso riduzionista nis e per non ridurre aatto, dato he un ampo (quantizzato e non) possiede omunque un numero enorme (prati amente in nito) di gradi di liberta e di onseguenza un numero enorme di osservabili fondamentali. Queste onsiderazioni i portano tuttavia ben al di la dello s opo di questo libro, per ui non le approfondiremo ulteriormente. D'altra parte, all'interno della si a non relativisti a risulta quasi sempre suÆ iente l'appro

io riduzionista piu diretto, in base al quale il generi o sistema si o S e omposto da sistemi elementari, generi amente hiamati parti elle, per i quali osservabili fondamentali sono il momento, la posizione e al piu po he altre osservabili dis rete e limitate, quali lo spin e l'isospin (si veda ai app. 8 e 9). Di onseguenza lo spazio di Hilbert di una singola parti ella e isomorfo a L2 (R3 ) o al massimo a L2 (R3 ) C n ,

on n numero intero piuttosto pi

olo, per ui HS risulta isomorfo al prodotto tensoriale di varie opie di L2 (R3 ) e di uno spazio di Hilbert nito-dimensionale. 183

Lo sviluppo formale della me

ani a quantisti a

7.3. Osservabili ed esperimenti in me

ani a quantisti a Consideriamo un esperimento di prima spe ie, atto a misurare una erta osservabile A . Onde evitare ulteriori ompli azioni, assumiamo he A sia una osservabile dis reta, ovvero tale he il suo spettro di possibili valori sperimentali sia dis reto. La dis retizzazione di al une osservabili fondamentali, dotate lassi amente di spettro ontinuo, e proprio una aratteristi a saliente dei fenomeni mi ros opi i he hanno imposto la transizione alla me

ani a quantisti a. Come sappiamo, la nostra s elta non omporta omunque al una reale perdita di generalita: se inizialmente prendiamo in esame una osservabile ontinua, o presunta tale,

ome la omponente x della posizione di una parti ella, possiamo identi are l'osservabile dis reta A nella funzione aratteristi a Ex (b) , he vale 1 se x appartiene al sottoinsieme boreliano b  R e 0 altrimenti. La grandezza x puo quindi essere approssimata dalla ollezione di osservabili di otomi he fAj = Ex (bj )g , dove i sottoinsiemi bj , la ui unione ri opre R , sono tutti disgiunti. Va sempre ri ordato he tali ollezioni di funzioni aratteristi he orrispondono piu a

uratamente agli eettivi apparati sperimentali on ui si intendono misurare osservabili ontinue. Si supponga inoltre he il sistema S si trovi in uno stato tale he il risultato dell'esperimento possa essere predetto on ertezza: l'osservabile A assume senz'altro il valore sperimentale a , ovvero
A = 0 . (Ad esempio, supponiamo he, in base all'evidenza sperimentrale pregressa, un erto oggetto O si trovi senz'altro all'interno di una determinata regione R dello spazio. Questo signi a he l'esperimento di tipo \si o no" denominato \rivelazione di O nella regione R " fornis e sempre \si" ome risultato, assegnando per io il valore 1 all'opportuna funzione

aratteristi a.) Come gia anti ipato al x7.1, in questo aso si di e he il sistema si trova nell'autostato dell'osservabile A orrispondente all'autovalore a . Analogamente, un vettore di stato he de rive un autostato di A si di e autovettore di A . In generale moltepli i autostati orrispondono al medesimo autovalore. Per esempio, nel aso in ui A = Ex (b) , esistono in nite funzioni d'onda ortonormali on supporto ontenuto in b (autovalore 1) o on supporto disgiunto da b (autovalore 0). Esistono molti altri esempi meno \patologi i, ome gli spettri atomi i di assorbimento ed emissione: un determinato livello energeti o orrisponde ad un numero nito di stati puri della spe ie atomi a sotto esame. Nel aso he un solo autostato a sia asso iato all'autovalore a di A , si di e he a e non degenere. In tal aso e evidente he lo stato risulta ompletamente identi ato dall'autovalore a , per ui adotteremo la notazione jai per indi are un qualunque autovettore rappresentativo di a . 184

Osservabili ed esperimenti in me

ani a quantisti a

Sia dunque a un autovalore non degenere dell'osservabile A e jai un orrispondente vettore di stato. Supponiamo inoltre he il sistema S si trovi ad un erto istante in uno stato  des ritto dal generi o vettore j i . Misurando ripetutamente A , ogni volta on S preparato in  , si otterranno in generale diversi risultati, tra i quali il valore a di ui sopra. Dal punto di vista operativo, la frequenza relativa pa di a aratterizza interamente la relazione esistente tra j i e jai . Se ondo la me

ani a quantisti a, tale relazione si s rive j haj i j2 : (7.5) pa = haj ai h j i Si noti he pa  0 per ostruzione, mentre pa  1 grazie alla diseguaglianza di S hwarz. La relazione (7.5) ostituis e un vero e proprio postulato della me

ani a quantisti a. Non abbiamo voluto presentarla

on lo stesso rilievo del Postulato I per ragioni di generalita, da un lato, e minimalita, dall'altro, he diverranno hiare solamente nel prosieguo. La generalizzazione della formula (7.5) al aso di autovalori degeneri non omporta diÆ olta. Se n  1 vettori di stato ja; j i , j = 1; 2; : : : ; n , tra loro linearmente indipendenti, tutti des rivono stati del sistema si o nei quali l'osservabile A vale ertamente a , allora per il prin ipio di sovrapposizione lineare an he una qualunque ombinazione lineare degli stessi des rive un autostato di A orrispondente all'autovalore a . In altri termini, ad a risulta asso iato un intero sottospazio n-dimensionale Va dello spazio di Hilbert HS , e l'intero n prende il nome di moltepli ita dell'autovalore a . Per ostruzione, ogni vettore j i di HS ammette un'uni a de omposizione

j i=





k + j ?i ;

dove la omponente parallela k e una ombinazione lineare dei vettori ja; j i , mentre la omponente j ?i e ortogonale ad essi: h ?j a; j i = 0 . Sia P^a il proiettore ortogonale su Va , ovvero l'operatore lineare de nito dalla relazione  P^a j i = k ; 8 j i 2 HS : Ovviamente P^a2 = P^a . In termini dei vettori ja; j i il proiettore si s rive

P^a =

n n X X j =1 k=1

ja; j i M

1
jk

ha; kj ;

dove Mjk = ha; j j a; ki (per ipotesi M e invertibile). An he a partire da questa espressione e immediato veri are la relazione P^a2 = P^a . Inoltre, poi he Mjk e una matri e hermitiana, M jk = Mkj , risulta evidente he 185

Lo sviluppo formale della me

ani a quantisti a

P^a e un operatore autoaggiunto, P^ay = P^a . La versione dell'espressione (7.5) generalizzata al aso di degenerazione nita si s rive quindi h j P^a j i : (7.6) pa =

h j i

Va sottolineato he questa formula, dovendo rappresentare una probabilita, he e un numero reale per ogni j i 2 HS , ri hiede espressamente

he P^a sia autoaggiunto. Qualora i vettori ja; j i siano stati opportunamente ortonormalizzati, Mjk = Æjk , la stessa probabilita diventa n X j ha; j j i j2 ; pa = j =1

h j i

espressione he generalizza in modo immediato la (7.5). Si noti inoltre

he, in uno spazio di Hilbert separabile, non esiste al un problema per estendere le suddette espressioni al aso in ui n ! 1 . Questa e proprio la situazione, ome abbiamo gia notato, nelle misurazioni delle funzioni

aratteristi he asso iate ad osservabili ontinue. La domanda he sorge naturalmente e quale sia lo stato del sistema, originariamente des ritto da j i , subito dopo un esperimento di prima spe ie in ui e stato osservato il valore a dell'osservabile A . Se ondo Dira [Dir59℄ e ne essario invo are un prin ipio di ontinuita si a, se ondo il quale una ripetizione immediata della stessa misura non puo he dare il medesimo risultato a . Quindi, essendo ora noto on ertezza il risultato dell'esperimento, il sistema deve trovarsi in uno stato des ritto da una ombinazione lineare dei vettori ja; j i . In altri termini, l'eetto della prima misurazione e stato quello di \ridurre" o \pre ipitare" lo stato del sistema da quello originale, des ritto da j i , ad unautostato di A des ritto da un vettore di Va (non ne essariamente k , a meno

he Va sia monodimensionale). Non e fa ile (e forse non e nean he possibile) dare una aratterizzazione in termini si i on reti di questa \pre ipitazione", per svariati motivi. Ad esempio, quanto dura veramente una osservazione? E, onseguentemente, osa vuol dire \immediatamente dopo"? Torneremo brevemente in seguito su questa spinosa e ontroversa questione. Consideriamo ora due autovalori distinti, a e a0 , della medesima osservabile dis reta A , ed i orrispondenti proiettori P^a e P^a0 . La regola fondamentale (7.6) e la ri hiesta he un esperimento di prima spe ie atto a determinare il valore di A dia sempre risultati non ambigui (un fatto peraltro sperimentalmente a

ertato5) impli ano allora he P^a e P^a0 , 5E  sottinteso he l'esperimento in questione deve possedere, dal punto di vista pret-

tamente operativo, un suÆ iente potere risolutivo per distinguere a da a0 ; questo e banalmente vero nel aso delle funzioni aratteristi he, ovvero delle proiezioni ortogonali:

186

Osservabili ed esperimenti in me

ani a quantisti a

ovvero Va e Va0 , sono ortogonali: P^a P^a0 = P^a0 P^a = 0 () h j i = 0 ; 8 j i 2 Va ; 8 ji 2 Va0 : Infatti, se il sistema si trova in uno stato des ritto da un qualunque vettore j i di Va , l'osservazione di A deve dare il risultato a , per ui la probabilita di osservare il valore a0 deve essere nulla: 0 = h j P^a0 j i = kP^a0 k2 ; vale a dire P^a0 j i = 0 , 8 j i 2 Va . Lo stesso ovviamente vale s ambiando i ruoli di a e a0 . Siano ora a1 ; a2 ; : : : tutti i possibili autovalori di A , i quali formano quindi lo spettro (A) di A ( he per ora abbiamo assunto essere dis reto). Siano inoltre P^a1 ; P^a2 ; : : : i orrispettivi proiettori. Poi he (7.7) P^aj P^ak = P^ak P^aj = Æjk P^aj ; otteniamo subito he, 8 j i 2 HS , il vettore X 0 =j i P^aj j i j

e anni hilato da tutti i proiettori: P^aj j 0 i = 0 , 8j . Dalla relazione (7.6) segue allora he j 0 i des rive uno stato del sistema tale he la probabilita di osservare qualunque valore di A vale zero. Ma un esperimento atto ad osservare A deve sempre dare un risultato non ambiguo, per ui ne essariamente j 0 i = 0 , ovvero X (7.8) P^aj = 1 : j

In altri termini, ogni vettore di HS puo essere sviluppato in autovettori di A , i quali formano per io un sottoinsieme ompleto di HS . Le due relazioni (7.7) e (7.8) aratterizzano l'insieme fP^a ; a 2 (A)g ome un insieme ortogonale ompleto di operatori di proiezione. Conviene qui pre isare il signi ato matemati o dell'identita operatoriale (7.8), soprattutto per he la sommatoria e in generale in nita: 8 > 0 e 8 j i 2 HS , esiste un intero N abbastanza grande per ui k(E^N 1) k <  , dove PN E^N = j =1 P^aj e an h'esso un proiettore (grazie alla relazione di ortogonalita (7.7)). Al variare di N si ottiene la osiddetta famiglia spettrale ad esempio, una parti ella o viene lo alizzata in un erto dominio o non viene lo alizzata nello stesso, un fotone o passa o non passa attraverso un polarizzatore. Nel aso di sistemi molto omplessi, possono tuttavia esistere osservabili fondamentali dis rete, il ui spettro non e prati amente risolvibile, nel senso di una determinazione operativa della orrispondente famiglia spettrale. Conviene allora restringere la nostra analisi a sistemi suÆ ientemente sempli i, re uperando quelli omplessi ome ombinazione di tanti sistemi sempli i. Detto in altri termini, appare estremamente arduo rius ire a formulare in termini puramente operazionalisti la des rizione dei sistemi ma ros opi i.

187

Lo sviluppo formale della me

ani a quantisti a

fE^N ; N = 0; 1; 2; : : :g dell'osservabile A , aratterizzata dalle relazioni,

equivalenti alle Eq. (7.7) e (7.8) (7.9) E^N E^N 0 = E^N 0 E^N = E^N ; 8N  N 0 e (7.10) E^0 = 0 ; lim E^N = 1 : N !1 A questo punto possiamo fa ilmente ostruire un operatore lineare he rappresenti l'osservabile A . Si tratta di orrelare matemati amente le due aermazioni \il sistema si trova in uno stato des ritto da un vettore di Va " e \l'osservabile A assume il valore a ". Infatti, l'operatore lineare X X (7.11) A^ = aj P^aj = aP^a j a2(A) possiede ome autovettore in senso matemati o ogni autovettore jai di A , inteso ome vettore di HS rappresentativo di un autostato di A : A^ jai = a jai ; a 2 (A) : In termini dei proiettori P^a , abbiamo X X A^P^a = bP^b P^a = bÆab P^b = aP^a : b2(A) b2(A) Come nel aso della (7.8), an he l'Eq. (7.11) va propriamente intesa: per la ompletezza della famiglia spettrale, un qualunque vettore j i e il limite per N ! 1 della sequenza di Cau hy fE^N j ig ; quindi la (7.11) PN va intesa nel senso he se la su

essione j =1 aj P^aj j i onverge, A j i ne e il limite e j i appartiene al dominio D(A^) dell'operatore A^ . Essendo una ombinazione di operatori autoaggiunti on oeÆ ienti reali, A^ e un operatore autoaggiunto. Dunque ad ogni osservabile (dis reta) A del sistema si o in esame risulta asso iato un operatore autoaggiunto A^ . Il primo esempio di questa orrispondenza e quello banale: le osservabili il ui valore non dipende dallo stato del sistema sono rappresentate in HS da multipli dell'operatore identita 1. Il aso di osservabili dotate di uno spettro interamente o parzialmente

ontinuo, non ri hiede, almeno al livello formale, una trattazione molto piu elaborata. Supponiamo he A possieda uno spettro puramente ontinuo, he denotiamo  (A) . Ad ogni parametro reale a 2  (A) risulta asso iata la funzione aratteristi a E (a) he vale 1 se A assume un valore minore di a e 0 altrimenti. Dato he E (a) e un'osservabile dis reta, ad essa orrisponde, per quanto visto sopra, un operatore autoaggiunto E^ (a) on autovalori 0 ed 1, he possiede tutti i requisiti di un proiettore. La ontinuita dello spettro si tradu e nella ontinuita di E^ (a) , nel senso 188

Osservabili ed esperimenti in me

ani a quantisti a

he hj E^ (a) j i e una funzione ontinua di a per ogni ji e Inoltre, per ostruzione, se a  a0 , abbiamo E^ (a) E^ (a0 ) = E^ (a0 ) E^ (a) = E^ (a) ; mentre ne essariamente ^ lim E^ (a) = 0 ; alim !1 E (a) = 1 : a! 1

j i in HS .

Queste relazioni rappresentano la versione ontinua delle (7.9) e (7.10), per

ui fE^ (a); a 2 Rg ostituis e una famiglia spettrale ompleta, ontinua, di proiettori ortogonali. Ovviamente, se inf  (A) e nito, allora E^ (a) = 0 per a < inf  (A) , mentre E^ (a) = 1 per tutti i a maggiori di un sup  (A) eventualmente nito. Possiamo in ludere nel formalismo an he un'eventuale parte dis reta, dello spettro, he denotiamo d (A) (per ui (A) oin ide on l'unione disgiunta di  (A) e d (A) ), ri hiedendo la sola ontinuita a destra della famiglia spettrale lim E^ (a + ) = E^ (a) ; 8a 2 R ; !0 mentre lim E^ (a ) = E^ (a) P^a ; 8a 2 d (A) ; !0 dove P^a e il proiettore sull'autosottospazio Va asso iato all'autovalore a . In termini della famiglia spettrale fE^ (a); a 2 Rg , la ri ostruzione dell'operatore A^ orrispondente all'osservabile A si s rive ora Z +1 Z X ^ ^ ^ a dE^ (a) ; a dE (a) = (7.12) A= aPa + 1 a2d (A) a2 (A) dove l'integrazione on la misura a valori operatoriali dE^ (a) puo essere rigorosamente de nita [BRS93℄ (vedi an he l'App. B.9). L'espressione (7.12) de nis e allora un operatore autoaggiunto. Tramite la misura dE^ (a) , la nozione di famiglia spettrale puo essere estesa all'insieme B dei sottoinsiemi boreliani della retta reale: ad ogni b 2 B orrisponde l'operatore di proiezione ortogonale

E^A (b) =

Z

b

dE^ (a) ;

il quale fornis e la rappresentazione matemati a dell'osservabile EA (b) , ovvero della funzione aratteristi a dell'osservabile A he vale 1 non appena A assume un valore ompreso in b (si veda al x7.1). Siamo nalmente in posizione per formulare in modo del tutto generale gli altri due fondamentali postulati della me

ani a quantisti a, vale a dire 189

Lo sviluppo formale della me

ani a quantisti a

Postulato II Ogni osservabile A di S e rappresentata da un operatore lineare autoaggiunto A^ su HS . Postulato III Se j i e un vettore di HS rappresentativo del raggio

orrispondente allo stato puro  in ui si trova il sistema S al momento della misurazione dell'osservabile A , allora la probabilita di ottenere un valore ompreso nel sottoinsieme boreliano b e data da h j E^A(b) j i ; (7.13) PrA (bj  ) =

h j i

dove fE^A (b)g ostituis e la famiglia spettrale di A^ . Quest'ultima formula generalizza l'espressione (7.6) al aso in ui l'osservabile A possieda una parte ontinua  (A) dello spettro. Laddove b\ (A) = ; , essa si ridu e alla (7.6), poi he al di fuori di  (A) P la misura ^ ^ dE (a) si on entra sui punti dello spettro dis reto: dE (a) = j Æ(a aj ) P^aj da , a 2=  (A) . In ogni aso appare evidente he le grandezze si he ( ioe quelle onfrontabili on gli esperimenti) del formalismo della me

ani a quantisti a sono, al livello fondamentale, i moduli quadri dei prodotti s alari tra vettori di stato normalizzabili. Si osservera he l'ordine logi o di questi due postulati pro ede in modo opposto rispetto alla dis ussione he li ha introdotti. Tale dis ussione ha fatto uso di una nozione puramente operativa di autovalori ed austostati di una osservabile, ed e partita da una versione parti olare, Eq. (7.5), del Postulato III, per arrivare prima alle famiglie spettrali e poi agli operatori autoaggiunti. Dal punto di vista assiomati o (non he all'atto prati o) il Postulato II deve ovviamente pre edere il terzo. Il postulato I ssa la rappresentazione matemati a degli stati puri, il se ondo quella delle osservabili, mentre il terzo esprime le regole per al olare il risultato degli esperimenti, ovvero la distribuzione di probabilita per i valori sperimentali di ias una osservabile. Tuttavia la possibilita di dedurre la rappresentazione delle osservabili in termini di operatori autoaggiunti, a partire dalla forma (7.5) del postulato III, suggeris e he i tre postulati fondamentali della me

ani a quantisti a non siano veramente indipendenti. In eetti, questa e la onseguenza di un teorema rigoroso, il teorema di Gleason,

he illustreremo piu avanti. Si noti he il postulato III si appli a a tutti gli esperimenti, sia di prima

he di se onda spe ie; una distinzione tra queste due lassi di esperimenti e tuttavia indispensabile per stabilire quale e eettivamente lo stato del 190

Osservabili ed esperimenti in me

ani a quantisti a

sistema al momento di eettuare una osservazione, ovvero quale vettore di stato j i rappresenta la preparazione del sistema e va inserito nella formula delle probabilita (7.13). Dal punto di vista prati o, il potere predittivo della me

ani a quantisti a dipende dal poter identi are a priori l'operatore autoaggiunto orrispondente ad una data osservabile (si veda per esempio il x7.8). In tal

aso, il senso della relazione (7.12) va roves iato: dato l'operatore autoaggiunto A^ su HS , he per ipotesi rappresenta l'osservabile A , il problema

onsiste nel determinare la sua de omposizione spettrale, ovvero la famiglia fE^ (a); a 2 Rg per la quale vale la (7.12). L'esistenza e l'uni ita di tale famiglia per ogni operatore autoaggiunto e garantita dal osiddetto teorema spettrale [Neu55, Sto32℄. Dal postulato III segue allora he i valori sperimentalmente osservabili oin idono on lo spettro in senso matemati o dell'operatore A^ , ovvero on il supporto della misura a valori operatoriali dE^ (a) . In parti olare, se tale supporto e parzialmente o interamente dis reto, os deve essere lo spettro dell'osservabile dal punto di vista sperimentale, spesso in ontrasto on la natura lassi amente

ontinua dell'osservabile stessa. Abbiamo gia in ontrato vari esempi di questo tipo al ap. 5, nei quali l'osservabile in questione e l'energia del sistema S . Ne esamineremo altri nel seguito (vedi ap. 8). Il postulato II aerma he ad ogni osservabile del sistema S orrisponde un operatore autoaggiunto su HS . E naturale ora domandarsi se vale an he il vi eversa, ioe se qualunque operatore autoaggiunto rappresenti una vera e propria osservabile del sistema, nel senso operativo del termine. Nel x7.5 dis uteremo le limitazioni di prin ipio ad una tale possibilita dovute alla presenza eventuale di regole di superselezione sullo spazio degli stati puri. An or prima pero esistono delle severe limitazioni prati he sulla possibilita di individuare l'osservabile, nella nozione operativa della stessa in ui vanno spe i ate le appare

hiature e le pro edure sperimentali, he orrisponde ad un arbitrario operatore autoaggiunto. In tutte le situazioni on rete le osservabili veramente sotto ontrollo, al livello sperimentale, sono po he e oin idono on quelle \fondamentali",

ome posizioni, momenti, momenti angolari ed energie, e relative famiglie spettrali. D'altra parte, l'appli azione in ondizionata del prin ipio di sovrapposizione lineare, aermando he ogni vettore j i di HS des rive uno stato puro di S si amente realizzabile, omporta he l'operatore autoaggiunto j ih j orrisponde ad una osservabile di S , an he se molto diÆ ile, in generale, da identi are espli itamente in termini operativi. Se j i e normalizzato, allora j ih j e un proiettore e orrisponde ad una parti olare funzione aratteristi a (di una o piu osservabili, pur he ompatibili), misurabile mediante una spe i a lasse di esperimenti di tipo \si o no". 191

Lo sviluppo formale della me

ani a quantisti a

La distribuzione di probabilita per i risultati di questi esperimenti viene ssata dal postulato III: se j i , e il vettore di stato normalizzato he des rive lo stato puro  in ui e stato pre edentemente preparato il sistema S , allora la probabilita di osservare il sistema nello stato 0 des ritto dal vettore j 0 i , pure normalizzato, vale

(7.14) Pr( !  0 ) = j 0 i j2 : A questa espressione viene omunemente dato il nome di probabilita di transizione dallo stato des ritto da j i a quello des ritto da j 0i . Va ri ordato pero he essa fa riferimento soltanto al possibile risultato di un esperimento in ui si misura quell'osservabile he possiede j 0 i ome autovettore on autovalore 1 , ed il omplemento ortogonale di j 0 i ome autospazio on autovalore 0 . Al variare dei raggi he ontengono j i e j 0 i in tutto lo spazio proiettivo HS =C  , le probabilita (7.14) rappresentano la totalita del ontenuto si o, ioe sperimentalmente veri abile, dello spazio di Hilbert dei vettori di stato. Il ontenuto si o della me

ani a quantisti a sta dunque nella struttura metri a dello spazio dei raggi HS =C  . La nozione di distanza d(r1 ; r2 ) tra due punti r1 e r2 di HS =C  dis ende naturalmente dall'Eq. (7.14), ad esempio nella forma 2 1=2 j h 1j 2i j d(r1 ; r2 ) = 1 h 1j 1i h 2j 2i ; 

dove j 1 i e j 2 i sono due arbitrari vettori (non-nulli) appartenenti a r1 e r2 , rispettivamente. Problema 7.3-1. Si veri hi he d(r1 ; r2 ) soddisfa alle tre proprieta de nitorie di una funzione distanza, vale a dire d(x; y) = 0 se e solo se x = y , d(x; y) = d(y; x) e d(x; z )  d(x; y) + d(y; z ) . Problema 7.3-2. Nel aso di CP 1 , lo spazio dei raggi di C 2 , la

funzione d(r1 :r2 ) de nis e una distanza sulla sfera S 2 . Qual e la relazione

on la metri a indotta su S 2 dall'usuale immersione x2 + y2 + z 2 = 1 nello spazio Eu lideo R3 ? In de nitiva, dunque, io he viene misurato negli esperimenti e proprio la distanza fra i raggi di HS , la quale quanti a la diversita dei vari stati puri di S .

7.3.1. Valori medi ed indeterminazioni. La probabilita PrA(bj ) di osservare un valore di A ompreso in b oin ide on il valor medio della

orrispondente funzione aratteristi a EA (b) (Eq. (7.4)) PrA (bj  ) = hEA (b)i : 192

Osservabili ed esperimenti in me

ani a quantisti a

Confrontata on il postulato III, questa relazione diventa ^ (7.15) hEA(b)i = h j EA(b) j i

h j i

dove per ipotesi j i des rive lo stato puro  . Data la de omposizione spettrale (7.12) dell'operatore autoaggiunto A^ orrispondente all'osservabile A , dalla (7.15) otteniamo in ne la rappresentazione quantome

ani a dei valori medi per una qualunque osservabile, ioe ^ (7.16) hAi = h j A j i :

h j i

Va sottolineato he aermare la validita di questa espressione per ogni osservabile equivale esattamente all'affermazione del postulato III. La dispersione dei risultati sperimentali attorno al valor medio e aratterizzata dalla deviazione standard, o indeterminazione (vedi (7.3)) p


A = h(A hAi ovvero, in termini di A^ e j i ,

)2

q

i = hA2 i hAi2 ; i1=2

h

h j A^2 j i h j A^ j i2 dove per brevita si e assunto he j i e normalizzato, h j i = 1 . Si
A =

noti he, essendo A^ autoaggiunto,
A oin ide on la norma del vettore (A^ hAi) j i h

i1=2

h j (A^ hAi)2 j i = k(A^ hAi) k ; per ui
A = 0 se e solo se j i e un autovettore di A^ , nel qual aso
A =

il valor medio oin ide on il orrispondente autovalore, he e il risultato

erto dell'esperimento, in a

ordo on la dis ussione del x7.1.

7.3.2. Commutatori ed osservabili ompatibili. Consideriamo ora due osservabili A e B pertinenti al sistema si o S , e supponiamo

he esse siano ompatibili, nel senso dis usso al x7.1.1. Questo signi a

he deve essere possibile preparare il sistema S in uno stato puro in ui sia A he B assumono ertamente un ben pre iso valore, rispettivamente a e b (per sempli are la trattazione, onsideriamo inizialmente il aso di due osservabili dis rete e limitate). In altri termini,
A =
B = 0 e lo stato in questione deve essere des ritto da un autovettore simultaneo di A^ e B^ , he indi heremo on ja; b;  i , dove l'ulteriore indi e  serve a risolvere l'eventuale degenerazione della oppia di autovalori (a; b) . Per l'ipotesi di ompatibilita questo dis orso vale per ogni oppia (a; b) dello spettro ongiunto delle due osservabili. D'altronde, ome sappiamo, sia 193

Lo sviluppo formale della me

ani a quantisti a

gli autovettori di A^ he quelli di B^ formano una base ortogonale dello spazio di Hilbert HS . Quindi A^ e B^ ammettono un insieme ompleto di autovettori omuni, ioe sono diagonalizzabili simultaneamente: (7.17) A^ ja; b;  i = a ja; b;  i ; B^ ja; b;  i = b ja; b;  i : Risulta evidente da queste relazioni he (A^B^ B^ A^) ja; b;  i = 0 Dovendo valere per un insieme ompleto di vettori, questo impli a he il

ommutatore

[A^ ; B^ ℄  A^B^

B^ A^

si annulla identi amente. Vi eversa, supponiamo he due osservabili dis rete A e B siano rapp^ B^ ℄ resentate da due operatori autoaggiunti e limitati he ommutano, [A; ^ = 0 . Allora, se jai e un autovettore di A orrispondente all'autovalore a , an he il vettore B jai lo e: A^B^ jai = B^ A^ jai = aB^ jai : Questo impli a, nel aso in ui a sia un autovalore non degenere, he jai e B^ jai sono proporzionali, ovvero jai e an he autostato di B^ . Piu in generale, supponiamo he jai appartenga ad un autospazio Va di dimensione n  1 , on ja;  i ,  = 1; 2; : : : ; n ome vettori di base. In quanto autovettore di A^ , ogni B^ ja;  i deve appartenere an ora a Va ed essere esprimibile ome ombinazione lineare degli stessi vettori ja;  i ,  = 1; 2; : : : ; n . In altre parole, l'operatore B^ agis e all'interno di ias un autospazio Va , a 2 (A) , senza onnettere fra loro autospazi orrispondenti ad autovalori distinti. Quest'ultimo fatto si esprime di endo he B^ possiede elementi di matri e nulli tra vettori di Va e Va0 , qualora a 6= a0

0 0 a ;  B^ ja;  i = 0 : La diagonalizzazione di B^ non omporta quindi al un mes olamento di autovettori di A^ orrispondenti ad autovalori diversi, e si ridu e ad una riduzione della degenerazione indi izzata da  , ioe alla relazione (7.17). Ma allora
A =
B = 0 per qualunque oppia di valori degli spettri delle due osservabili, he sono per io ompatibili. In de nitiva, abbiamo veri ato he due osservabili (dis rete e limitate) sono ompatibili se e solo se i orrispondenti operatori autoaggiunti ommutano. L'estensione di questa fondamentale proprieta ad osservabili illimitate e/o dotate di spettro ontinuo ri hiede solo un minimo di autela. Il dis orso appena fatto e hiaramente ripetibile per le rispettive funzioni aratteristi he EA (a) e EB (b) e relative famiglie spettrali E^A (a) e E^B (b) , he sono per ostruzione operatori limitati e on spettro dis reto. D'altronde la 194

Osservabili ed esperimenti in me

ani a quantisti a

ompatibilita, nel senso operativo del termine, di A e B e sinonimo della ompatibilita di EA (a) e EB (b) , per ui on ludiamo he A e B sono ompatibili se e solo se le orrispondenti famiglie spettrali ommutano, [E^A (a) ; E^B (b)℄ = 0 . Si noti he questo impli a senz'altro he [A^ ; B^ ℄ si annulla su di un insieme di vettori denso nello spazio di Hilbert HS , mentre il vi eversa non e sempre vero. In ogni aso, l'annullarsi di [E^A (a) ; E^B (b)℄ , imposto dalla ompatibilita, e suÆ iente per dimostrare

he A^ e B^ ammettono una base omune di autovettori ortogonali (da intendersi, se ne essario, nel senso generalizzato del termine). Osservazione. A questo punto possiamo far adere la dierenza di notazione tra la generi a osservabile A e l'operatore autoaggiunto A^ he la rappresenta, omettendo il appu

io ^. Lo stesso termine, osservabile, verra usato per entrambi. Talvolta poi adotteremo l'uso orrente, he non fa distinzione, dal punto di vista linguisti o, tra stati puri (raggi dello spazio di Hilbert) e vettori di stato he li rappresentano. Con la s rittura \dato uno stato j i et ." verra per io inteso \dato un vettore di stato j i rappresentativo di un de nito stato puro et .". Osservabili nei sistemi omposti. In base alla dis ussione del x7.2.1, sappiamo he gli stati puri del sistema omposto S1 [ S2 sono in orrispondenza biunivo a on i raggi dello spazio di Hilbert H1 H2 (per brevita poniamo Hj  HSj ) . Ci poniamo ora il problema di determinare la rappresentazione matemati a delle osservabili di S1 [ S2 a partire da quella delle osservabili di S1 e di S2 . Per de nizione un'osservabile A solo di S1 e an he un'osservabile del sistema omposto ompatibile on tutte le osservabili di S2 . Quindi A, ome operatore su H1 H2 , deve ommutare on tutti gli operatori autoaggiunti he rappresentano osservabili solo di S2 . Assumendo he questi ultimi formino un insieme irridu ibile di operatori su H2 , se ne dedu e he A deve agire ome l'identita su H2 . Simboli amente questo si s rive



= A 1 = A 1 : H1 H1 H2 Analogamente, per una osservabile B solo di S2 si avra

A(1) := A

B (2) Dato he

:= B

H1 H2

=1

B

H2

=1 B :

A(1) B (2) = B (2) A(1) = A B ; possiamo aermare he il prodotto in senso operativo delle due osservabili

ompatibili A(1) e B (2) orrisponde al prodotto diretto o tensoriale A B dei relativi operatori. 195

Lo sviluppo formale della me

ani a quantisti a

7.3.3. Relazioni di intederminazione. Nel aso di due osservabili A e B , tra loro non ommutanti, e possibile fornire un limite inferiore al prodotto delle due indeterminazioni
A
B , se il sistema e stato preparato nello stato des ritto da j i . Infatti, assumendo he j i , A j i e B j i appartengano a D(A) \ D(B ) , si dimostra he
A
B 

jh j [A ; B ℄ j ij : La diseguaglianza (7.18) e nota ome relazione di indeterminazione (generalizzata) e rappresenta l'espressione matemati a del prin ipio di (7.18)

1 2

Heisenberg. Per dimostrarla, si onsiderino gli operatori autoaggiunti A~ = A hAi e B~ = B hB i e la famiglia ad un parametro A~ + iB~ ,  reale. Per la positivita della norma si ottiene 0  k(A~ + iB~ ) k2 = h j (A~ iB~ )(A~ + iB~ ) j i = h j A~2 j i + i h j [A~ ; B~ ℄ j i + 2 h j A~2 j i = (
A)2 + i h j [A ; B ℄ j i + 2 (
B )2 : Si noti he l'operatore i[A ; B ℄ e simmetri o, per ui la forma quadrati a in  ha oeÆ ienti reali. Poi he essa e nonnegativa, il suo dis riminante deve essere nonpositivo, h j i[A ; B ℄ j i2 4(
A)2 (
B )2  0 e la relazione di indeterminazione (7.18) segue immediatamente. Si noti inoltre he entrambi i termini della suddetta disequaglianza si annullano qualora j i sia un autostato di una delle due osservabili. Supponiamo he B j i = b j i . Allora per de nizione
B = 0 , mentre h j [A ; B ℄ j i = b(hAi hAi) = 0 .  importante ri ordare he quanto detto vale se j i Osservazione. E e un autovettore B in senso stretto, non in senso generalizzato, e he

omunque per aermare la relazione (7.18) e ne essario he A j i appartenga al dominio di de nizione di B e vi eversa. In aso ontrario, e fa ile redere di poter trovare dei ontroesempi. Nel aso delle oppia di osservabili anoni amente oniugate, la posizione ed il momemto, su L2(R) , abbiamo i[p ; q℄ = 1 , (~ = 1) , ma ne l'una ne l'altra possiedono autovettori in senso stretto. Se inve e vogliamo onsiderare tale oppia sullo spazio delle funzioni a quadrato sommabile sul er hio, L2 (S 1 ) , nella rappresentazione usuale dove p = id=dx , q = x e x 2 [0; 2) denota l'angolo, allora x (x) non appartiene al dominio di de nizione di p qualora (x) = einx sia autofunzione di p . Quindi il ommutatore [p ; q℄ non risulta de nito sulle autofunzioni di p e non si ottiene al una ontraddizione on l'osservazione he per tali autofunzioni
p = 0 , mentre
q e nito per de nizione. 196

Osservabili ed esperimenti in me

ani a quantisti a Osservazione. Un altro aspetto he onviene sottolineare a proposito delle relazioni di indeterminazione (7.18) riguarda il loro pre iso signi ato operativo. Le grandezze
A e
B fanno riferimento alla dispersione sui valori misurati di A e di B in sequenze di esperimenti identi i e indipendenti. In ognuno di questi esperimenti il sistema viene preparato nello stesso stato, des ritto dal vettore j i , e quindi sottoposto alla misurazione o di A o di B o di i[A ; B ℄ ( omunque non di A e B simultaneamente). Quindi
A e
B non vanno onfusi on le impre isioni proprie di un esperimento in ui si er hi di misurare allo stesso tempo A e B . D'altra parte, in erti asi parti olari risulta eettivamente possibile mettere in relazione il limite inferiore di tali impre isioni on
A
B . Si pensi ad esempio alle argomentazioni addotte originariamente dallo stesso Heisenberg per dedurre il prin ipio di indeterminazione tra posizione e momento [Hei63℄.

7.3.4. Insiemi ompleti di osservabili ompatibili (II). Abbiamo appena visto ome un'osservabile B ompatibile on un'altra data osservabile A serva a ridurre l'eventuale degenerazione degli autovalori di quest'ultima. Si intende he A e B sono osservabili indipendenti, nel senso he un pre iso valore assunto da una non ssa ne essariamente il valore dell'altra. In aso ontrario B sarebbe una funzione di A , e la sua onos enza non aggiungerebbe al una informazione sullo stato del sistema. Il pro esso di riduzione della degenerazione puo evidentemente

ontinuare, prendendo in onsiderazione un'ulteriore osservabile C ompatibile sia on A he on B ed indipendente da esse, e via di seguito. Abbiamo gia dis usso questa situazione al paragrafo 7.1.1 e potremmo ripetere la trattazione parola per parola: ora per osservabili ompatibili intendiamo operatori autoaggiunti e ommutanti, mentre la ri hiesta di indipendenza signi a he nessuna delle osservabili puo venire espressa

ome funzione delle altre (funzioni di operatori ommutanti non sorono di al una ambiguita di ordinamento e quindi orrispondono esattamente alla nozione intuitiva di relazione funzionale tra diversi risultati numeri i di esperimenti). An he la nozione di ompletezza di un dato insieme di osservabili ompatibili ri eve ora una pre isa aratterizzazione matemati a. Il pro esso di raÆnamento della nostra informazione sullo stato del sistema termina quando la degenerazione degli autovalori viene ompletamente rimossa: un insieme A1 ; A2 ; : : : ; An di osservabili ompatibili e

ompleto se e solo se ad un ssata n-upla di autovalori (a1 ; a2 ; : : : ; an )

orrisponde un sottospazio monodimensionale di autovettori. Se ora onsideriamo un'ulteriore osservabile An+1 he ommuta on tutte le pre edenti, essa deve essere diagonale sulla base degli autostati simultanei di A1 ; A2 ; : : : ; An . Nel aso estremo essa puo avere autovalori an+1 tutti 197

Lo sviluppo formale della me

ani a quantisti a

distinti, ma tutte distinte sono per ostruzione an he le n-uple di autovalori (a1 ; a2 ; : : : ; an ) , per ui deve ne essariamente esistere una relazione funzionale all'interno della (n + 1)-upla (a1 ; a2 ; : : : ; an+1 ) . In altri termini, An+1 e una funzione di A1 ; A2 ; : : : ; An . Vi eversa, se i valori sperimentalmente osservati di An+1 non sono al olabili on ertezza, pur sapendo he il sistema e stato preparato nell'uni o stato orrispondente a (a1 ; a2 ; : : : ; an ) , allora
An+1 > 0 , tale stato non e autostato di An+1 e quindi An+1 non puo ommutare on tutte le osservabili pre edenti,

ontrariamente all'ipotesi. Una volta stabilito quale e lo spazio di Hilbert HS adatto per la des rizione di un dato sistema si o S , risultano de niti an he tutti i possibili insiemi ompleti di osservabili ompatibili, nel senso matemati o del termine. In generale pero, soltanto un numero piuttosto ristretto di tali insiemi possiede una interpretazione operativa reale. Basti pensare

he, almeno in linea di prin ipio, esistono moltepli i insiemi di osservabili

ompatibili omposti da una sola osservabile. In eetti, essendo per ipotesi HS separabile, si possono ostruire in niti operatori autoaggiunti dotati di uno spettro dis reto omposto da autovalori non degeneri: e suÆ iente s egliere una base ortonormale arbitraria, gli autovettori, e ssare in modo altrettanto arbitrario una sequenza di numeri reali tutti distinti, da identi are on gli autovalori. Tuttavia, e

ezion fatta per sistemi idealizzati parti olarmente sempli i, si tratta di osservabili solo in senso matemati o, poi he risulta prati amente impossibile individuare le orrispondenti osservabili nel senso operativo del termine. Lo stesso vale an he per la maggior parte degli insiemi ompleti di operatori autoaggiunti. In generale, il numero di osservabili operativamente identi ate di un insieme ompleto e ompatibile dipende, oltre he dalla natura del sistema si o in esame, an he dalle disponibilita sperimentali. Un esempio tipi o e quello dell'elettrone: nei primi anni della me

ani a quantisti a era onvinzione he si trattasse del prototipo del punto materiale quantome

ani o, per il quale le tre omponenti della posizione formassero un insieme ompleto di osservabili ompatibili. Tuttavia l'evidenza sperimentale su

essiva (eetto Zeeman, struttura ne et .) ha ampiamente dimostrato he il sottospazio orrispondente ad un dato valore di (x; y; z ) non e monodimensionale, ma bidimensionale (tale sottospazio va inteso in senso generalizzato, essendo lo spettro della posizione ontinuo). Per ridurre del tutto la degenerazione e quindi ne essaria una ulteriore osservabile, ad esempio la terza omponente Sz dell'operatore di spin S , he non possiede analogo lassi o. Come vedremo in seguito, gli autovalori di Sz sono due sz = ~=2 , e la quadrupla (x; y; z; sz ) individua, in senso generalizzato, un uni o stato puro (almeno allo stato attuale della nostra onos enza sperimentale). Va ri ordato, in ogni aso, he lo spazio 198

Osservabili ed esperimenti in me

ani a quantisti a

di Hilbert HS si intende ri ostruito operativamente, proprio a partire da quello he si ritiene essere, in base all'informazione sperimentale disponibile, un insieme ompleto di osservabili ompatibili (vedi x7.1). Se ondo il postulato I questo spazio e uni o, si

he ogni altro stato puro preparato mediante un diverso insieme di osservabili ompatibili deve essere rappresentato da una ombinazione lineare dei pre edenti vettori. Davanti ad un esperimento i ui risultati non siano esprimibili attraverso l'identi azione dell'opportuno operatore autoaggiunto sullo spazio HS os

ostruito, non he della regola fondamentale espressa dal postulato III, risulta ne essario allargare HS attraverso una o piu nuove osservabili

ompatibili. Osservazioni ongiunte ed algebra delle osservabili. Se ondo la des rizione

lassi a, le osservabili di un sistema si o, in quanto funzioni a valori reali sul orrispondente spazio delle fasi, formano un'algebra ommutativa: se A = A(q; p) e B = B (q; p) , allora A + B e AB sono de nite nel modo naturale, ome moltipli azioni di numeri reali. In eetti, se ondo la me

ani a lassi a tutte le osservabili sono ompatibili, e per osservabili ompatibili non vi sono problemi nel sommare e moltipli are fra loro i risultati di diversi esperimenti, mantenendo s'intende la onsistenza dimensionale rispetto alle unita di misura s elte. Al ontrario, non e per nulla hiaro

ome de nire operativamente le osservabili somma e prodotto di due osservabili A e B tra loro non ompatibili: per de nizione il sistema S non puo mai trovarsi in uno stato in ui sia A he B assumono ben de niti valori, a e b , he possano essere sommati e moltipli ati per ottenere i valori a + b e ab da assegnare alle osservabili somma e prodotto. Piu in generale, non 'e una de nizione operativa univo a, in termini di frequenza relativa dei risultati sperimentali, per la distribuzione di probabilita

ongiunta per due osservabili non ompatibili. D'altra parte, una volta de nita tramite il postulato II la rappresentazione matemati a delle osservabili in termini di operatori autoaggiunti, risulta possibile manipolare algebri amente gli stessi per ottenere nuovi operatori autoaggiunti. Ad esempio, an he se A e B non ommutano, A + B e senz'altro un operatore simmetri o e spesso per no autoaggiunto, e lo stesso di asi per C = f (A) + g(B ) per opportune funzioni f e g a valori reali. E pero evidente he la risoluzione spettrale di C in generale non ha nulla a he vedere on quella di A e di B , se questi non

ommutano, per ui l'interpretazione probabilisti a del postulato III non permette di ollegare operativamente l'osservabile rappresentata da C

on le osservabili A e B . D'altronde, gli esperimenti atti alla misurazione di C sono in generale ompletamente diversi da quelli mediante i quali A e/o B vengono misurati.

199

Lo sviluppo formale della me

ani a quantisti a

Dunque la novita sostanziale della rappresentazione matemati a delle osservabili in me

ani a quantisti a, rispetto alla loro ontroparte lassi a, sta nel fatto he esse non formano piu un algebra ommutativa. Poi he, in generale, gli operatori sullo spazio di Hilbert HS non ommutano ( ioe AB 6= BA ), e hiaro he le relazioni algebri he esistenti tra svariate osservabili al livello lassi o vanno ora reinterpretate. Abbiamo gia in ontrato questo problema, nel apitolo pre edente, per le generi he funzioni delle oordinate q e dei momenti p . Appare ora hiaro he questo e un fenomeno del tutto generale, proprio della struttura formale della me

ani a quantisti a.

7.4. Il formalismo delle matri i di densita

Se ondo il postulato I, ad ogni stato puro  del sistema si o S orrisponde un raggio dello spazio di Hilbert HS , ovvero un insieme di vettori normalizzati he dieris ono solo per un irrilevante fattore di fase. A sua volta un raggio identi a un pre iso sottospazio monodimensionale di HS , ovvero una proiezione ortogonale monodimensionale su HS ( ioe tale he all'autovalore 1 orrisponde un sottospazio monodimensionale). Dunque ogni stato puro  e rappresentato dal proiettore (7.19) %  j ih j ; dove j i e un vettore normalizzato he appartiene al sottospazio monodimensionale orrispondente a  . Si di e he j i e un vettore rappresentativo del raggio % . Va omunque sottolineato he l'espressione (7.19) non dipende dalla fase di j i . A questo punto e hiaro he possiamo far adere la distinzione tra stati puri in senso operativo e loro rappresentazione matemati a, per ui spesso ometteremo il suÆsso  : gli stati puri del sistema sono i raggi di HS , ovvero i proiettori ortogonali monodimensionali su HS . An he il postulato III puo essere riformulato in termini di proiettori, introdu endo l'operazione di tra

ia sugli operatori lineari su HS . Se X e un operatore e fjni ; n = 1; 2; : : :g una base ortonormale di HS , allora gli elementi di matri e di X si s rivono Xmn = hmj X jni e la tra

ia Tr X onsiste nella somma degli elementi diagonali X X (7.20) Tr X = Xnn = hnj X jni : n

n

Si tratta ovviamente di espressioni formali, dato he generalmente la somma ontiene in niti termini e l'esistenza degli stessi elementi di matri e dipende dal dominio di de nizione di X e dalla base s elta. Se Tr X esiste nito, allora X si di e di lasse tra

ia e Tr X non dipende dalla 200

Il formalismo delle matri i di densita

base usata nella de nizione (7.20). Inoltre, dati due operatori X e Y , se X Y e Y X sono di lasse tra

ia, allora Tr X Y = Tr Y X : E evidente he tutti gli stati puri % , e piu in generale tutti i proiettori nito-dimensionali, sono di lasse tra

ia. Inoltre, se j i 2 D(X ) , allora Tr %X = Tr j

ih jX = h jX j i :

Nel linguaggio delle tra

e e dei proiettori, il postulato III aerma he, se % e lo stato puro del sistema S , allora la probabilita di ottenere, ome risultato della misurazione dell'osservabile A , un risultato ompreso nel sottoinsieme boreliano b vale (7.21) PrA (bj  ) = Tr % E^A (b) : In parti olare la probabilita di transizione (7.14) tra due stati puri %1 e %2 si s rive ora Pr(%1 ! %2 ) = Tr %1 %2 = j h

1

j 2 i j2

dove l'ultima espressione vale una volta s elti due vettori rappresentativi degli stati puri %1 e %2 . Dobbiamo ora osservare he gli stati puri, in quanto stati sperimentali

he ra

olgono il massimo di informazione possibile sul sistema, non sono in prati a fa ilmente preparabili. La situazione piu generale e quella in

ui l'informazione ottenuta non e massimale, per ui diversi stati puri sono ompatibili on i risultati di una data ombinazione di esperimenti di prima spe ie. In questo aso dobbiamo fare ri orso ad una des rizione statisti a del sistema, in modo analogo a ome in me

ani a lassi a si introdu e una distribuzione di probabilita sullo spazio delle fasi. Si parla allora di mis ele statisti he al posto degli stati puri. Questa ir ostanza ri hiede una modi a minima nel formalismo appena introdotto. Si supponga he, in base all'informazione ra

olta, lo stato del sistema possa essere des ritto alternativamente dal vettore j 1 i

on probabilita w1 , oppure da j 2 i on probabilita w2 , da j 3 i on probabilita w3 , e via di endo. I vettori fj j i ; j = 1; 2; : : :g si intendono linearmente indipendenti, normalizzati, non ne essariamente ortogonali e possibilmente in niti in numero. Inoltre, per de nizione di probabilita, avremo he X 0  wj  1 ; wj = 1 : j

Possiamo aermare he il sistema si trova on probabilita wj nello stato puro %j = j j ih j j . Allora lo stato del sistema e des ritto dalla 201

Lo sviluppo formale della me

ani a quantisti a

ombinazione lineare onvessa X X (7.22) % = wj %j = j j

j

j i wj h j j

;

he viene solitamente hiamata matri e statisti a o matri e di densita. Si noti he questa ombinazione lineare, on oeÆ ienti nonnegativi, e fatta al livello degli stati %j e non dei vettori di stato j ij . D'altro lato il prin ipio di sovrapposizione lineare aerma he (modulo eventuali regole di superselezione: vedi x7.5) esiste uno stato puro del sistema

orrispondente ad una qualunque ombinazione lineare X (7.23) j i = j j j i ; j

dove i oeÆ ienti j , generalmente omplessi, sono ristretti solo dalla

ondizione he j i sia propriamente normalizzato. Questo stato puro si esprime ome X %~ = j ih j = j i i i j h j j ij

=

X

j

j j j2 %j +

X

i= 6 j

j ii i j h j j

e ertamente non des rive una situazione in ui il sistema si trova in un determinato stato %j on probabilita proporzionale a j j j2 , an he qualora l'eventuale ortogonalita dei vettori j i i renda i j j j2 propriamente normalizzati e quindi uguali alla probabilita quantome

ani a di osservare il sistema nello stato %j . Infatti, a ausa dei termini misti on i 6= j ,

he dipendono da tutte le fasi relative fra i vettori j i i , e sempre possibile osservare degli eetti di interferenza in opportuni esperimenti. E proprio la dipendenza dalle fasi relative, ompletamente assente in (7.22),

he segnala la oerenza quantisti a dello stato puro %~ . Per questa ragione si di e he la ombinazione al livello dei vettori di stato (7.23) rappresenta una sovrapposizione oerente , mentre la ombinazione onvessa al livello degli stati (7.22) rappresenta una sovrapposizione in oerente. In ogni aso, sia he il sistema si trovi in uno stato puro oppure in una mis ela statisti a di stati puri, l'enun iato del postulato III resta invariato (basta omettere la spe i azione \puro") e la formula entrale della me

ani a quantisti a, Eq. (7.21), vale omunque. In parti olare, il valore medio dell'osservabile A si s rive (7.24) hAi = Tr %A ; ovvero X X hAi = wj hAij = wj h j j A j j i : j

202

j

Il formalismo delle matri i di densita

Si noti he l'espressione (7.24) e del tutto generale; infatti, se A oin ide on la funzione aratteristi a di un'altra osservabile A0 su un erto sottoinsieme boreliano, vale a dire on la orrispondente proiezione ortogonale, la (7.24) si ridu e alla de nizione della probabilita di osservare un valore di A0 ompreso in quell'intervallo. Per quanto riguarda la deviazione standard di A nello stato % , abbiamo ora (
A)2 = Tr %(A^ hAi)2 = (
q A)2 + (
l A)2 ; dove X (
q A)2 = wj (
A)2j j

=

X

j

wj h

j j (A

hAij )2 j j i

e la media delle deviazioni quadrati he di origine puramente quantome

ani a, e quindi rappresenta una misura delle uttuazioni oerenti dell'osservabile A , mentre X (
l A)2 = wj (hAij hAi)2 j

e la deviazione quadrati a dei valori medi hAij , he dis ende dalla statisti a puramente lassi a e aratterizza per io le uttuazioni in oerenti di A. Cos ome de nita, la matri e di densita gode di tre proprieta fondamentali, he sono %y = % ; %  0 ; Tr % = 1 : (7.25)

La prima segue dal fatto he % e una ombinazione lineare on oeÆ ienti reali degli operatori autoaggiunti %j . L'uni a sottigliezza sta nel fatto he la somma in (7.22) puo ontenere in niti termini. Tuttavia, per qualunque vettore ji 2 HS , appli ando la diseguaglianza di S hwarz si ottiene subito X X k%k2 = wiwj hj ii h ij j i h j j i  wi wj kk2 = kk2 ; ij

ij

il he dimostra he % e un operatore limitato ( on norma k%k  1 ) e quindi rigorosamente autoaggiunto. La se onda delle proprieta (7.25), e ioe la semipositivita di % , si veri a immediatamente: il valor medio di % in qualunque stato ji e una somma di termini nonnegativi, X hj % ji = wj k hj j i k2 j

203

Lo sviluppo formale della me

ani a quantisti a

In ne la terza proprieta, he aerma la orretta normalizzazione della matri e di densita, si ottiene direttamente dalla formula generale (7.24) ponendo A^ = 1 . Essendo autoaggiunto e limitato, l'operatore % possiede una base ortonormale di autovettori, % juP n i = pn jun i , dove, a ausa delle proprieta (ii) e (iii) deve essere pn  0 e n pn = 1 . In una base di suoi autovettori % si s rive in modo formalmente analogo alla de nizione originale (7.22)

%=

X

n

juni pn hunj :

I proiettori jun ihun j sono pero mutuamente ortogonali, per ui

%2 =

X

n

jnni p2n hunj

da ui appare evidente, essendo pn ompreso fra 0 e 1 , he %  %2 , on il segno di equaglianza valido se e solo se uno dei numeri pn vale 1 e tutti gli altri 0 , ovvero se e solo se % e uno stato puro. Un modo si amente intuitivo di produrre mis ele statisti he e il seguente. Supponiamo he il sistema in esame S si trovi in interazione

on un altro sistema S 0 , per ui lo spazio di Hilbert appropriato per la des rizione del sistema omposto S [S 0 e il prodotto tensoriale HS[S 0 = HS HS 0 , in a

ordo on la dis ussione del x7.1.1. Possiamo an he supporre he lo stato omplessivo sia uno stato puro, j ih j , seppure non noto nella sua interezza. La situazione e analoga a quella he si in ontra nella des rizione lassi a: in assenza di suÆ ienti informazioni, dobbiamo far ri orso ad un appro

io statisti o basato su una distribuzione di probabilita sullo spazio delle fasi F , ma io non toglie he lo spe i o sistema si o in esame o

upi un ben pre iso punto di F , on ben pre isi valori per le fqg e le fpg . Date due basi ortonormali fjj ig e fj0j ig , rispettivamente su HS e HS 0 , possiamo sempre porre X (7.26) j i = ij jii j0j i : ij

D'altro lato otteniamo per il valor medio di un'arbitraria osservabile A di S X X hAi = h j A j i = hij A jj i ik jk ; ij

k

dato he A agis e ome l'identita su HS 0 e la base fj0j ig e per ipotesi ortonormale. Questo risultato si puo ris rivere ome in (7.24), hAi = Tr %A , identi ando ome matri e statisti a su HS X (7.27) % = ji i pij hj j ; ij

204

Il formalismo delle matri i di densita

dove

pij =

X

k

jk ik :

Problema 7.4-1. Si veri hi he, os ome de nito, questo operatore % soddisfa le tre propieta (7.25). Osserviamo dunque he, ntanto he siamo interessati soltanto alle osservabili di S , lo stato puro j ih j del sistema omposto e equivalente alla mis ela statisti a % per S . Questo eetto e dovuto alla nostra ignoranza, ompleta e di hiarata, riguardo alla parte S 0 , sul ui spazio di Hilbert dobbiamo per io prendere la tra

ia. Si tratta di una tra

ia parziale Tr S 0 per quanto riguarda lo spazio di Hilbert omplessivo HS[S 0 : X % = Tr S 0 j ih j  h0j j ih j0j i : j

In generale questa operazione non elimina ompletamente la oerenza quantisti a dello stato puro j ih j , he si manifesta attraverso la presenza di termini misti, on i 6= j , nell'espressione (7.27). Questo e ovviamente dovuto al fatto he la base fjj ig non e in generale una base di autovettori di % . Ne si puo pensare di poterla s egliere tale a priori, ioe prima di prendere la tra

ia parziale su HS 0 . Prima infatti non esiste al uno stato, puro o misto he sia, relativo al solo sistema S , ma solo uno stato puro j i del sistema omplessivo S [ S 0 . Naturalmente, una volta presa la tra

ia parziale su HS 0 ed ottenuta la matri e di densita % su HS , e sempre possibile diagonalizzarla e porla nella forma (7.22). I

oeÆ ienti pjj dei termini diagonali in (7.27),

he sono per ostruzione P P nonnegativi e propriamente normalizzati, j pjj = ij j ij j2 = 1 , prendono il nome di popolazioni degli stati puri jj ihj j , mentre i oeÆ ienti pij , i 6= j , dei termini misti prendono il nome di oerenze residue. Si noti he la diseguaglianza di S hwarz impli a he jpij j2  pii pjj , per ui pii = 0 impli a pij = 0 per tutti i j , ioe stati non popolati non possono dar luogo a fenomeni di interferenza on al un altro stato. Un esempio su questa materia verra dis usso nel x7.7.3. 7.4.1. Il teorema di Gleason. A questo punto risulta naturale domandarsi se le matri i di densita su HS fornis ono la rappresentazione matemati a piu generale possibile della nozione di stato os ome dis ussa dal punto di vista operativo al x7.1. La risposta risulta essere affermativa, grazie all'importante teorema di Gleason, he ora illustreremo (senza dimostrazione). Innanzitutto o

orre ri ordare la de nizione di stato presentata al x7.1: uno stato  del sistema si o S onsiste nell'assegnazione, per ias una osservabile A del sistema, di una misura di probabilita PrA (bj  ) sulla retta reale R , misura he per de nizione deve 205

Lo sviluppo formale della me

ani a quantisti a

soddisfare ai requisiti (7.1) e (7.2). Questa de nizione puo essere riformulata in modo equivalente in termini delle funzioni aratteristi he EA (b) dei sottoinsiemi boreliani di R :  asso ia ad ogni E = EA (b) un numero reale hE i on le proprieta (si noti he EA (;) = 0 e EA (R) = 1 , 8A ) (7.28) 0  hE i  1 ; h0i = 0 ; h1i = 1 e, non appena E e E 0 hanno supporto disgiunto,



 (7.29) E + E 0 = hE i + E 0 : Ri ordiamo ora he, se ondo il postulato II, le osservabili sono rappresentate da operatori autoaggiunti su HS , ovvero he ad ogni funzione

aratteristi a E = EA (b) ( ioe ad ogni esperimento di tipo \si o no") orrisponde una proiezione spettrale6 E^ su un qual he sottospazio di HS . Dunque la rappresentazione matemati a di uno stato  deve essere un funzionale a valori reali h
i sull'insieme di tutte le proiezioni ortogonali su HS on le proprieta equivalenti alle (7.28) e (7.30), vale a dire (7.30) 0  hE^ i  1 ; h0i = 0 ; h1i = 1 e, non appena E^ e E^ 0 sono ortogonali, (7.31) hE^ + E^ 0 i = hE^ i + hE^ 0i :

Il teorema di Gleason aerma he, se dim HS > 2 , allora esiste una ed una sola matri e di densita % , on le proprieta (7.25) tale he hE^ i = Tr % E^ per qualunque proiezione ortogonale E^ in HS . In sostanza, se si tiene

onto he gli stati puri sono parti olari matri i di densita, questo teorema dimostra he la struttura logi a della me

ani a quantisti a e piuttosto rigida: una volta assunti i postulati I e II, l'uni o modo per estrarre dalla teoria le probabilita da onfrontare on gli esperimenti e tramite il postulato III. Possiamo dunque aermare he i postulati I, II e III non sono logi amente indipendenti.

7.5. Regole di superselezione Nell'introduzione al postulato I abbiamo osservato he il prin ipio di sovrapposizione lineare va in ondizionatamente appli ato in assenza di evidenza sperimentale in senso ontrario. Questa pre isazione e ne essaria dato he in natura sono eettivamente osservate delle restrizioni al 6Per maggior hiarezza onviene momentaneamente reintrodurre la notazione he

distingue mediante il appu

io l'operatore autoaggiunto A^ dall'osservabile A he esso rappresenta.

206

Regole di superselezione

prin ipio di sovrapposizione, he prendono il nome di regole di superselezione. Esse orrispondono all'a

ertata impossibilita (almeno sino ad ora) di identi are le osservabili la ui misurazione di prima spe ie permetta di preparare determinati tipi di stati puri. Ad esempio, non e attualmente noto ome preparare stati puri des ritti da ombinazioni lineari di vettori di stato on diversi autovalori della ari a elettri a. Quindi, se e vero he un insieme ompleto di osservabili ompatibili permette, attraverso il prin ipio di sovrapposizione lineare, di ri ostruire lo spazio di Hilbert HS , non e sempre vero he il orrispondente spazio dei raggi HS =C  rappresenti esattamente l'insieme di tutti gli stati puri di S . Per essere vero, e ne essario he per qualunque raggio di HS si possa identi are un insieme ompleto di osservabili ompatibili misurando le quali sia possibile preparare il orrispondente stato puro di S . L'esperienza sperimentale indi a inve e he esistono determinate osservabili Q1 ; Q2 ; : : : , dotate di spettro dis reto, he sono ompatibili on tutte le osservabili di S e quindi fanno parte di tutti gli insiemi ompleti di osservabili ompatibili si amente realizzabili. In altri termini ogni stato puro di S e un autostato di queste osservabili, he prendono il nome di ari he di superselezione, e non esistono stati puri in ui esse non abbiano un valore de nito. Ne segue he ombinazioni lineari di vettori orrispondenti ad autovalori dierenti di Q1 ; Q2 ; : : : non des rivono stati puri di S , dato

he la loro preparazione sarebbe possibile solo tramite osservabili he non

ommutano on le ari he di superselezione. La struttura si amente orretta dello spazio di Hilbert HS risulta allora essere la seguente: HS e suddiviso in settori di superselezione HS(q1;q2;:::) aratterizzati dai diversi autovalori q1; q2; : : : delle ari he Q1, Q2 ; : : : . Mentre all'interno di ias un settore il prin ipio di sovrapposizione lineare vale in maniera in ondizionata, esso non vale tra dierenti settori: se j 1 i e j 2 i appartengono a due diversi settori, allora j i = 1 j i + 2 j 2i non des rive al un nuovo stato puro del sistema S . Infatti i settori di superselezione non sono tra loro omuni anti, nel senso

he non esistono osservabili on elementi di matri e non-nulli tra dierenti settori: h 1 j A j 2 i = 0 , per qualsiasi osservabile A (ovviamente esistono moltepli i operatori autoaggiunti on tali elementi di matri e non-nulli, ma essi non orrispondono ad al una osservabile nel senso operativo del termine). Quindi il valor medio di A , nell'ipoteti o stato puro des ritto da j i = 1 j i + 2 j 2 i , vale (si assumano i vettori normalizzati)

h j A j i = j 1 j2 h 1 j A j 2 i + j 2 j2 h 2 j A j 2 i ;

ioe lo stesso he nello stato misto % = j 1 j2 j 1 ih 1 j + j 1 j2 j 2 ih 2 j . Quindi j ih j non e si amente distinguibile da % e non orrisponde 207

Lo sviluppo formale della me

ani a quantisti a

ad un nuovo stato puro di S . In base a questa osservazione, on ludiamo he diversi settori di superselezione possono essere ombinati solo in oerentemente, ovvero se ondo i prin ipi della statisti a lassi a. Per

ontro, all'interno di ias un settore di superselezione HS(q1 ;q2 ;:::) il prin ipio di sovrapposizione lineare ontinua a valere in modo in ondizionato, determinando la tipi a oerenza quantome

ani a degli stati puri.

208

Rappresentazioni e trasformazioni

7.6. Rappresentazioni e trasformazioni 7.6.1. Funzioni d'onda. Abbiamo pre edentemente visto ome, da-

to un insieme ompleto di osservabili ompatibili, A1 ; A2 ; : : : ; An , i orrispondenti autovalori a1 ; a2 ; : : : ; an servano ome indi i per una base ortonormale dello spazio di Hilbert HS (eventualmente intesa in senso generalizzato). Per abbreviare la notazione, indi hiamo sinteti amente

on l'indi e generalizzato  l'intera ollezione a1 ; a2 ; : : : ; an , e orrispondentemente on ji un generi o vettore della suddetta base ortonormale. L'ortonormalita della base fjig si s rive allora  hj 0 = Æ 0 ; dove il simbolo Æ 0 puo ontenere an he Æ di Dira . La ompletezza di fjig si esprime attraverso la osiddetta risoluzione ompleta dell'identita asso iata alle osservabili A1 ; A2 ; : : : ; An : 1

=

X



jihj ;

dove le sommatorie vanno intese, se ne essario, an he ome integrali. Un generi o vettore j i di HS viene ora espresso ome una ombinazione lineare dei vettori (vettori generalizzati) ji ,

j i=

X



jihj :

I oeÆ ienti hj i di questo sviluppo ostituis ono la funzione d'onda () dello stato puro des ritto da j i nella rappresentazione di HS basata sull'insieme ompleto A1 ; A2 ; : : : ; An . Espli itamente () = (a1 ; a2 ; : : : ; an ) = hj

i:

Si noti he le funzioni d'onda risultano univo amente de nite solo se le fasi relative dei vettori ji sono state ssate una volta per tutte. In parti olare, se soltanto l'insieme A1 ; A2 ; : : : ; An e sotto osservazione, la s elta delle fasi relative e del tutto arbitraria: una ride nizione del tipo

ji ! ei ji determina evidentemente la trasformazione (7.32)

()

!e

i

()

per le funzioni d'onda. Se ondo il postulato III, assumendo j i propriamente normalizzato, j hj i j2 rappresenta la probabilita he, trovandosi il sistema S in uno 209

Lo sviluppo formale della me

ani a quantisti a

stato puro des ritto da j i , la misurazione ontemporanea delle osservabili A1 ; A2 ; : : : ; An dia a1 ; a2 ; : : : ; an ome risultato (naturalmente questa probabilita va intesa ome densita di probabilita nel aso di spettri ontinui). Dunque () rappresenta una ampiezza di probabilita, ovvero un numero omplesso il ui modulo quadrato e una (densita di) probabilita. In parti olare la orretta normalizzazione ri hiede he X



j ()j2 = 1 :

Nell'uso prati o i on etti di vettori di stato e funzioni d'onda sono inter ambiabili. Non va dimenti ato tuttavia he mentre quella di vettore di stato e una nozione astratta, quella di funzione d'onda ri hiede una on reta rappresentazione dello spazio di Hilbert HS basata su un determinato insieme ompleto di osservabili ompatibili. Data una tale rappresentazione, possiamo realizzare espli itamente an he tutti gli operatori lineari su HS , e quindi tutte le osservabili. In effetti, un generi o operatore X risulta univo amente determinato dai suoi elementi di matri e in una qualunque base. Nel aso della base ortonormale fjig questi si s rivono hj X j0 i e l'azione di X sulle funzioni d'onda e data da X  (X )()  hj X j i = hj X 0 0 i 0

=

X

0



hj X 0 (0 ) :

In parti olare, l'azione di una qualunque funzione delle osservabili A1 ; A2 ; : : : ; An he de nis ono la rappresentazione risulta essere puramente moltipli ativa, ioe (f (A1 ; A2 ; : : : ; An ) )() = f () () Per l'ipotesi di ompletezza dell'insieme f A1 ; A2 ; : : : ; An g, le funzioni f (A1 ; A2 ; : : : ; An ) sono le sole osservabili diagonali ( ioe on azione puramente moltipli ativa) nella rappresentazione fjig .

7.6.2. Cambiamenti di base.

Supponiamo ora he gli operatori B1 ; B2 ; : : : ; Bm , per ipotesi non tutti esprimibili ome funzioni di A1 ; A2 ; : : : ; An , formino un altro insieme ompleto di osservabili ompatibili. In

orrispondenza ad essi possiamo quindi onsiderare un'altra rappresentazione dello spazio di Hilbert HS , ovvero un'altra base ortonormale fj ig = fjb1; b2 ; : : : ; bm i ; bj 2 (Bj )g di autovettori, on le relative espressioni per l'ortogonalita e la ompletezza X  h j 0 = Æ 0 ; j i h j = 1 : 210



Rappresentazioni e trasformazioni

Sviluppando un generi o vettore nella nuova base

j i=

X



j i h j i

ed utilizzando la ompletezza della prima base

h j i =

(7.33)

X



fjig , otteniamo

h j i hj i ;

ioe la legge di trasformazione fra le funzioni d'onda ~( ) = h j i e () = hj i delle due rappresentazioni. Si noti he mentre il vettore j i e lo stesso, le forme funzionali delle due funzioni d'onda sono generalmente diverse e vanno per io indi ate on simboli diversi. I prodotti s alari h j i si possono identi are ome gli elementi di una matri e U = fU  g he per ostruzione e unitaria, UU y = U yU = 1 , (dove (U y)  = U = h j i ) dato he X   h j i hj 0 = h j 0 = Æ 0 

X







hj i h j 0 = hj 0 = Æ 0 :

Vi eversa, dato un operatore U unitario su HS ( ioe un operatore lineare he onserva il prodotto s alare: hU j Ui = h j i ; 8 ;  2 HS ), ad esso orrisponde un ambiamento di base, da una base ortonormale fjig alla base, pure ortonormale, fU jig . Si noti he se fjig e una base in senso generalizzato, l'operazione ji ! U ji va opportunamente de nita. Il risultato, in ogni aso, e an ora una base generalizzata. Se inve e fjig e una base in senso stretto, e quindi per de nizione numerabile, allora an he la nuova base fU jig lo e. Tra le due basi, omunque, esiste una orrispondenza biunivo a, per ui la trasformazione generata da U ammette sia una interpretazione attiva he una passiva. Se ondo la visione attiva ambia il vettore mentre le omponenti, he de nis ono la funzione d'onda, restano invariate:

j i=

X



jihj

!Uj i=

X



U jihj :

Se ondo quella passiva il vettore resta inalterato e ambia la funzione d'onda al ambiare della base () = hj i ! hj U y j i = (U 1 )() : D'altra parte, la funzione d'onda del vettore attivamente trasformato vale hj U j i = (U )() ; 211

Lo sviluppo formale della me

ani a quantisti a

per ui le due visioni omportano un'azione opposta (o ontrogradiente l'una dell'altra) al livello di funzioni d'onda. Il formalismo dei bra e dei ket risulta parti olarmente eÆ a e nell'evidenziare questa distinzione, poi he se j i ! U j i allora h j ! h j U y . La domanda he sorge spontanea e se tutte le trasformazioni he ammettono entrambe le interpretazioni, sia attiva he passiva, siano rappresentate da un operatore unitario. Cio he onta, aÆn he entrambe le interpretazioni siano possibili, e he tra le due basi fjig e fj ig sia possibile stabilire una orrispondenza uno-a-uno. In tal aso, ad ogni ji possiamo far orrispondere un parti olare elemento j  i della nuova base fj ig , e quindi de nire un operatore lineare U mediante la relazione (7.34) j  i = U ji : Tale operatore manda vettori ortonormali in vettori ortonormali e, una volta esteso per linearita a tutto HS , risulta unitario. Tuttavia questa

on lusione non e la piu generale possibile, dato he la linearita di U non e una ondizione manifestamente ne essaria. Dopo tutto, io he e veramente misurabile e soltanto il modulo quadrato j hj i j2 del prodotto s alare tra gli elementi delle due basi ortonormali. Quindi l'operatore U avrebbe elementi di matri e nella base fjig , U0 = h  j 0 i , dei quali soltanto il modulo, e non la fase, e eettivamente osservabile. Il prin ipio di sovrapposizione lineare risulta per io preservato dal ambio di rappresentazione, tra quella generata da A1 ; A2 ; : : : ; An e quella generata da B1 ; B2 ; : : : ; Bm , estendendo all'intero HS la orrispondenza ji ! j  i , sia linearmente he antilinearmente. Nel primo aso abbiamo

jihj

!

X

mentre nel se ondo vale X jihj (7.35)

!

X

X









j  i hj i ;

j  i h j i :

Nel primo aso risulta de nito dalla (7.34) un operatore unitario U , mentre nel se ondo U e antiunitario. E fa ile onvin ersi he un operatore antiunitario U si puo sempre s rivere ome prodotto V K di un operatore unitario V per un ssato operatore antiunitario K : ad esempio, dalla relazione (7.35) risulta evidente he K puo essere individuato nell'operatore di oniugazione omplessa relativo alla base fjig :

Kj

i=K

X



jihj =

X



ji hj i :

Se ondo un importante teorema, dovuto a Wigner, le due possibilita appena itate sono esaurienti. Anti ipiamo qui la formulazione piu generale, 212

Rappresentazioni e trasformazioni

he e fatta in termini di trasformazioni di simmetria, e sara ampiamente trattata nel ap. 9: (a) De nizione: una trasformazione di simmetria T e una orrispondenza biunivo a dello spazio proiettivo dei raggi di HS in se stesso he rispetta le eventuali regole di superselezione e preserva i moduli dei prodotti s alari, ovvero la struttura metri a di HS =C  . (b) Teorema (Wigner): Ogni trasformazione di simmetria T e rappresentabile mediante un operatore unitario o antiunitario UT sullo spazio di Hilbert HS . UT risulta univo amente de nito a meno di un fattore di fase. Si noti he in questa formulazione generale non viene fatto espli ito riferimento a ambiamenti di rappresentazione. In prati a, pero, tutte le trasformazioni di simmetria si amente rilevanti sono asso iate a orrispondenze biunivo he, operativamente realizzabili, tra le osservabili di S : dato un insieme ompleto di osservabili ompatibili A1 ; A2 ; : : : ; An esiste una pre isa legge (intesa innanzitutto ome sequenza di operazioni realizzabili in laboratorio), he permette di ostruire a partire da esso un nuovo insieme A01 ; A02 ; : : : ; A0n , on la suddetta trasformazione di simmetria ssata dall'interpretazione attiva del orrispondente ambio di rappresentazione. Tipi amente, le leggi in questione sono de nite dalle simmetrie fondamentali della natura, quali la simmetria per traslazione, per rotazione, per inversione spaziale et . Di esse i o

uperemo in dettaglio nel ap. 9. Quanto detto sinora per i vettori di stato puo essere ripetuto per gli operatori: per stabilire la legge di trasformazione di un operatore X e suÆ iente inserire, negli elementi di matri e di X nella nuova base fj ig , due ompletezze s ritte in termini della ve

hia base fjig  XX   (7.36) h j X 0 = h j i hj X 0 0 0 : 

0

E bene sottolineare he, a questo livello, si tratta soltanto di un ambiamento di rappresentazione: l'operatore X resta invariato e ambiano solo i suoi elementi di matri e, ioe la trasformazione e intesa in senso passivo. Naturalmente, nel aso in ui esista una orrispondenza biunivo a tra i vettori delle due basi fjig e fj ig , an he l'interpretazione attiva e possibile e, ome abbiamo appena visto, sullo spazio di Hilbert HS risulta de nita una trasformazione di simmetria, implementata da un operatore unitario o antiunitario U . In tal aso an he gli operatori possono essere attivamente trasformati se ondo la regola X ! X 0 = U y XU : 213

Lo sviluppo formale della me

ani a quantisti a

Per ostruzione X 0 e quell'operatore he possiede nella ve

hia base fjig gli stessi elementi di matri e (per U unitario), o i oniugati omplessi degli elementi di matri e (per U antiunitario) he possiede X nella nuova base fj ig = fU jig .

7.6.3. Rappresentazioni della posizione e del momento.

Grazie alla nozione di rappresentazione, possiamo ora riprodurre, all'interno della struttura generale della me

ani a quantisti a, il formalismo della me

ani a ondulatoria presentato nel pre edente apitolo. Consideriamo inizialmente, per sempli ita, il aso di un punto materiale quantome

ani o (o \parti ella") ostretto a muoversi in una dimensione. Si tratta dunque del sistema si o S interamente spe i ato da una singola osservabile, la posizione q , la quale possiede per ipotesi l'intera retta reale R ome spettro. Evidentemente q  e una osservabile ontinua, per ui e ne essaria una erta autela nel parlare dei orrispondenti autovalori ed autostati. Come gia piu volte sottolineato, possiamo onsiderare q ome idealmente ottenuta nel limite in nito di pro edure sperimentali ne essariamente nite, e quindi in grado di fornire solo risultati dis reti. Un modo si amente molto intuitivo di pro edere e quello di onsiderare una partizione della retta reale in intervalli ontigui, di ampiezza ostante o variabile, ma omunque non nulla, ed approssimare q on la posizione dis reta, il ui spettro oin ide on gli interi he indi izzano i suddetti intervalli. Per essere on reti, onsideriamo intervalli di ampiezza ostante a , per ui R viene approssimato dal reti olo ordinato monodimensionale di intervalli (na a=2; na + a=2) , on n appartenente all'insieme Z degli interi relativi. Lo stato jnihnj des rive la situazione in ui la parti ella e stata lo alizzata nell'intervallo n-esimo, ed e un autostato della versione dis reta dell'osservabile q he rappresenta la posizione nel reti olo. Il

orrispondente operatore autoaggiunto si s rive quindi 1 X jni na hnj : q= n= 1 Se ondo i prin ipi della me

ani a quantisti a, al variare di n l'insieme dei vettori jni forma una base ortonormale dello spazio di Hilbert dei vettori di stato 1 X 0 jnihnj = 1 ; (7.37) hnj ni = Æn n0 ; n= 1

on le fasi relative tra i vettori jni ssate se ondo una determinata regola da spe i arsi (ogni ambiamento di queste fasi las ia evidentemente invariato l'operatore fondamentale q , ma de nis e una nuova rappresentazione, ollegata alla pre edente da una trasformazione unitaria diagonale: 214

Rappresentazioni e trasformazioni

le fasi relative vanno ssate per pre isare ompletamente la rappresentazione). Si noti he in questo aso HS viene ri ostruito direttamente nella rappresentazione della posizione. Ogni vettore j i si esprime ome sovrapposizione lineare dei vettori jni , 1 X jni hnj i ; j i= n= 1 dove n  hnj i e la orrispondente funzione d'onda. La ondizione di normalizzabilita 1 X j n j2 < 1 n= 1 ed il prodotto s alare 1 X n n hj i = n= 1 mostrano he HS oin ide on `2 , lo spazio di Hilbert delle serie a quadrato sommabile. Per re uperare la des rizione della parti ella sulla retta reale, dobbiamo onsiderare il osiddetto \limite ontinuo", nel quale a ! 0 . Per esempio, possiamo onsiderare una su

essione di reti oli ongruenti ottenuti per dimezzamento ripetuto del passo reti olare: a ! a=2 , per ui dopo s dimezzamenti avremo a = 2 s a0 , on a0 il passo reti olare iniziale. Nelle misure di lunghezza di ogni giorno la base e 10 anzi he 2 , ma il on etto e lo stesso. Il limite s ! 1 ostituis e in ogni aso una idealizzazione, dato il potere risolutivo ne essariamente nito di ogni strumento di misura. D'altro lato tale limite rende possibile una des rizione \universale" del moto quantome

ani o della parti ella, ioe una des rizione svin olata dalla parti olare dis retizzazione s elta, e quindi an he dalle appare

hiature sperimentali eettivamente a disposizione. Nel limite ontinuo la posizione q a quista uno spettro ontinuo dato

he, ponendo x = na , ogni ssato valore di x viene approssimato arbitrariamente bene se a ! 0 e n ! 1 . Per quanto riguarda il limite dello spazio di Hilbert, si onsideri il prodotto s alare: 1 X a(a 1=2 n )(a 1=2 n ) : hj i = n= 1 Con le sostituzioni (piuttosto formali ma intuitivamente ovvie) Z +1 1 X dx : : : ; a 1=2 n ! (x)  hxj i ; a::: ! 1 n= 1 215

Lo sviluppo formale della me

ani a quantisti a

otteniamo

hj i =

Z +1

(x) (x) 1 e ioe l'espressione del prodotto s alare in L2 (R) . Per on ludere rigorosamente he L2 (R) e proprio il limite ontinuo di `2 dovremmo veri are

he la misura sulla retta reale ottenuta quando a ! 0 e proprio quella di Lebesgue. Questo esula pero dai nostri s opi, per ui i limiteremo a onsiderazioni formali. In ogni aso, l'affermazione he `2 ! L2 (R) equivale ad aermare he il generi o vettore normalizzabile j i possiede un limite per a ! 0 , senza bisogno di moltipli arlo per potenze di a . In altri termini, j i e adimensionale. Ma poi he abbiamo appena visto

he la funzione d'onda ri hiede un fattore dimensionale a 1=2 , dobbiamo

on ludere he tale fattore va assegnato agli autovettori della posizione: a ovvero

1=2

n



= a

1=2



hnj j i ! hxj i ;

a 1=2 jni ! jxi : Questo spiega per he jxi non e normalizzabile. Ad esempio, dalla relazione di ortogonalita della base fjnig , ponendo x = na e x0 = n0a , si ottiene   hxj x0 ' a 1 hnj n0 = a 1Æn n0 ! Æ(x x0) ; dove possiamo riguardare l'ultimo passaggio ome una de nizione formale della delta di Dira . E immediato estendere questa trattazione al aso di una parti ella libera di muoversi in D dimensioni. Le osservabili di posizione sono le D

omponenti q1 ; q2 ; : : : ; qn del vettore di posizione q , he possiede quindi

ome spettro lo spazio RD . Quest'ultimo viene inizialmente sostituito dal reti olo ubi o D-dimensionale aZD formato da elle di lato a . Ogni

ella e individuata da una D-upla n = (n1 ; n2 ; : : : ; nD ) 2 ZD di interi relativi, ui orrisponde un vettore jni he des rive lo stato nel quale la parti ella e lo alizzata nella suddetta ella7. Con la notazione vettoriale he abbiamo adottato, la versione D-dimensionale delle relazioni di 7Una realizzazione si a in D = 3 di questa modellizzazione matemati a e fornita

da una amera a lo. Per tale esempio il limite ontinuo des rive la situazione si amente impossibile di una amera a lo in nitamente tta. Ma non e per una amera a lo reale he dobbiamo onsiderare il limite ontinuo, bens per una amera a lo immaginaria da riguardare ome modellizzazione astratta (ed oltre erti limiti arbitraria) dello spazio si o. Ovviamente un'appare

hiatura immaginaria non i permette di fare delle osservazioni reali. D'altro anto, le osservazioni reali delle pi

olissime distanze,

ondotte on l'ausilio degli a

eleratori di parti elle (ed interpretate alla lu e della teoria quantisti a dei ampi), dimostrano he se lo spazio e un reti olo iper ubi o, il passo reti olare a e molto piu pi

olo delle s ale atomi he e subatomi he. Quindi, per la des rizione quantome

ani a di singole parti elle, il limite a ! 0 e piu he ragionevole.

216

Rappresentazioni e trasformazioni

ortonormalita e ompletezza (7.37) si s rive in modo quasi identi o X  jnihnj = 1 ; hnj n0 = Æn(Dn)0 ; D n2Z QD (D) dove Æn n0 = j =1 Ænj n0j . Le versioni D-dimensionali delle altre relazioni sono ovvie per ui eviteremo di riportarle, e

etto he per la relazione tra le funzioni d'onda n sul reti olo e quelle del ontinuo, (x) e la relazione di ortonormalita della base generalizzata fjxig . L'osservazione fondamentale e la seguente: j (x)j2 rappresenta una densita di probabilita, per ui (x) deve avere le stesse dimensioni di x D=2 . Quindi avremo a D=2 n ! (x) e, orrispondentemente,   (7.38) hxj x0 ' a D hnj n0 = a D Æn(Dn)0 ! Æ(D) (x x0) : Osserviamo ora he lo spettro della posizione ontinua q , ovvero RD , possiede un'evidente simmetria sotto traslazioni. Queste ultime sono le trasformazioni di RD in se stesso de nite da (7.39) T (u) : x ! x + u ; u 2 RD : Il reti olo aZD non e invariante sotto una generi a traslazione T (u) , a meno he u non sia esso stesso un vettore di aZD , ovvero u = ra , r 2 ZD . In tal aso (7.40) T (ra) : n ! n + r ; r 2 ZD : Le traslazioni TD = fT (u); u 2 RD g formano un gruppo abeliano (vedi l'App. B.1) on legge di omposizione (7.41) T (u) T (u0 ) = T (u + u0 ) : Lo stesso di asi per il sottogruppo TD a delle traslazioni dis rete fT (r a);

r 2 ZD g

(7.42) T (ra) T (r 0 a) = T ((r + r0 )a) : La notazione TD o TD a rende onto del fatto he, una volta espresso il vettore u ome ombinazione lineare dei versori oordinati e1 = (1; 0; : : : ; 0) , e2 = (0; 1; : : : ; 0); : : : eD = (0; 0; : : : ; 1) , vale a dire u = PD j =1 uj ej , ogni traslazione si s rive ome prodotto di traslazioni lungo gli assi oordinati T (u) = T (u1 e1 ) T (u2 e2 ) : : : T (uD eD ) : E inoltre evidente he TD ome insieme oin ide on lo spazio originale RD : la notazione TD rende solo espli ita la struttura gruppale delle D uple di numeri reali sotto addizione. Lo stesso dis orso vale per TD a e le 217

Lo sviluppo formale della me

ani a quantisti a

D-uple di interi relativi. In parti olare si noti he ogni traslazione dis reta T (ra) in una qualsiasi delle direzioni oordinate si ottiene ome potenza r-esima della traslazione di un passo reti olare a in quella direzione: se r = (r; 0; : : : ; 0) , allora T (r a) = [T (ae1 )℄r . Il aso piu sempli e e quello monodimensionale D = 1 , per il quale la notazione vettoriale e sovrabbondante: per ogni r 2 Z , T (ra) = T (a)r , dove T (a) e la traslazione di un passo reti olare verso destra. D L'azione di TD su RD o di TD a su aZ si estende naturalmente ad un'azione sulle osservabili di posizione q (7.43) T (u) : q ! q + u e l'equivalenza tra le osservabili originarie e quelle trasformate si tradu e in una relazione di simmetria per i rispettivi spazi di Hilbert. Ad esempio T (ra) agis e in modo ovvio su uno stato lo alizzato nella ella n-esima: (7.44) T (ra) : jnihnj ! jT (r a)nihT (r a)nj = jn + rihn + rj e las ia senz'altro invariate le relazioni di ortonormalita della base fjnig :    hT (ra)nj T (ra)n0 = hn + rj n0 + r = Æn(D+)r n0+r = Æn(Dn)0 = hnj n0 : Analoghe relazioni esistono nella versione ontinua, on gli stati idealizzati jxi hxj e le traslazioni ontinue T (u) . In a

ordo on il teorema di Wigner, T (u) e rappresentata da un operatore unitario T^(u) (il aso antiunitario e es luso per he le traslazioni di RD sono onnesse in modo ontinuo alla trasformazione identi a T0 , ui possiamo sempre asso iare l'operatore 1 , he e unitario). Dalla relazione (7.44) e dal fatto he sia jxi he T^(u) sono omunque individuati solo a meno di un fattore di fase, ri aviamo (7.45) jT (u)xi = T^(u) jxi =  (x; u) jx + ui ; dove j (x; u)j = 1 (l'azione di T^(u) si estende poi a tutto HS per linearita). Analogamente, la legge di omposizione delle traslazioni, Eq. (7.41) si tradu e per gli operatori T^(u) nella relazione (7.46) T^(u) T^(u0 ) = !(u; u0 )T^(u + u0 ) ; dove !(u; u0 ) e un altro fattore di fase. Si di e he T^ D = fT^(u); u 2 RD g ostituis e una rappresentazione per raggi o rappresentazione proiettiva del gruppo di simmetria TD aratterizzata dai fattori !(u; u0 ) (vedi ap. 9 e App. B.1). Per quanto riguarda la fase globale degli operatori T^u , essa e ssata dalla naturale ri hiesta T^0 = 1 . Si noti

he nessun problema di fasi esiste nell'azione di T^(u) sulle osservabili: alla relazione (7.43) orrisponde la relazione operatoriale (7.47) T^(u)y q T^(u) = q + u ; 218

Rappresentazioni e trasformazioni

ome si dedu e fa ilmente dalla ri hiesta he le osservabili trasformate abbiano valori medi opportunamente traslati in stati non trasformati. Nel ap. 9 tratteremo in generale il problema delle rappresentazioni proiettive di gruppi di simmetria in me

ani a quantisti a, ed in parti olare del gruppo delle traslazioni. Per il momento i limitiamo a onsiderare la piu sempli e realizzazione degli operatori T^(u) , de nita ostruttivamente dalla loro azione sulla base fjxig (7.48) T^(u) jxi = jx + ui Questo impli a immediatamente T^(u)T^(u0 ) = T^(u + u0 ) : Dunque gli operatori T^(u) soddisfano alla stessa legge di omposizione delle traslazioni astratte e fornis ono per io una rappresentazione vettoriale o rappresentazione in senso stretto delle stesse. Si intende

he analoghe relazioni esistono per le traslazioni dis rete T (ra) e per i vettori di stato jni . D'ora in poi per brevita indi heremo una traslazione e l'operatore he la rappresenta on lo stesso simbolo T (u) ( on u = ra per traslazioni dis rete). Come gia aermato, una volta de nita sugli elementi di base, l'azione di T (u) si estende per linearita a tutto HS . In parti olare possiamo fa ilmente al olare ome T (u) agis e su una arbitraria funzione d'onda (x) : dato he T (u)y = T (u) 1 = T ( u) , abbiamo (7.49)

T (u) : (x)

! (T (u) )(x) = hxj T (u) j i = hT ( u)xj i

= (x u) : Ritornando momentaneamente sul reti olo monodimensionale aZ , osserviamo he l'operatore T (a) e fa ilmente diagonalizzabile. Infatti, per ogni numero omplesso k i vettori X jki / exp(ikna) jni n2Z sono formalmente autovettori di T (a) , on autovalore eika , e quindi di tutti i T (ra) , on autovalore eikra . Tuttavia jki esplode esponenzialmente in una delle due direzioni a meno he k non sia reale, nel qual aso j hnj ki j e ostante. Gli stati jki on k reale sono detti onde piane, ed evidentemente non sono normalizzabili. Essi vanno intesi ome vettori di stato in senso generalizzato. Si osservi an he he k e k + 2q=a de nis ono lo stesso vettore per ogni q 2 Z , per ui possiamo restringere il numero d'onda k alla osiddetta prima zona di Brillouin, vale a dire (7.50) k 2 ( =a; =a℄ : 219

Lo sviluppo formale della me

ani a quantisti a

La s elta fatta e onvenzionale: ad esempio [0; 2=a) o (k0 ; 2=a + k0 ℄ vanno altrettanto bene. L'estensione al aso D-dimensionale e immediata: grazie alla de nizione (7.48), gli operatori T (ra) ommutano e sono diagonali simultaneamente sulle onde piane (7.51)

T (ra) jki = exp(ik
ra) jki ; jki / P

X

n2ZD

exp(ik
na) jni ;

dove k
n  D j =1 kj nj . Esse sono indi izzate dai numeri d'onda k = (k1 ; k2 ; : : : ; kD ) he restringiamo onvenzionalmente alla prima zona di Brillouin: kj 2 ( =a; =a℄ . La non normalizzabilita delle onde piane jki e an ora una volta dovuta ad un pro esso di limite. In nessun esperimento reale e possibile tenere sotto osservazione, alla ri er a della parti ella, una porzione in nita di spazio. Una qualunque appare

hiatura sperimentale possiede una estensione ne essariamente nita, per ui possiamo immaginarla immersa in una regione  grande, ma nita dello spazio, imponendo he la parti ella si trovi senz'altro da qual he parte in  . Se le dimensioni di questa regione sono abbastaza grandi, non potremo mai eettuare esperimenti in grado di distinguere questa situazione da quella in ui lo spazio a

essibile alla parti ella e a priori in nito. Questo i permette an he di s egliere la forma di  e le ondizioni al ontorno nel modo piu onveniente. La s elta tipi a e quella di un iper ubo di lato L , on ondizioni periodi he al ontorno, per ui lati opposti dell'iper ubo sono identi ati. Il vantaggio di questa s elta sta nel mantenimento della simmetria per traslazione. Il pro esso di limite sopra itato onsiste nel onsiderare L ! 1 e prende omunemente il nome di limite infrarosso (il limite ontinuo viene hiamato an he limite ultravioletto), per ragioni he saranno presto hiare. Se a e diverso da zero, ovvero prima del limite ontinuo, la regione  e an ora suddivisa in elle, per ui lo spazio si o risulta di fatto identi ato

on un reti olo iper ubi o D-dimensionale, nito e periodi o. Assumendo

he L sia un multiplo dispari di a , L = (2N + 1)a , restringeremo ogni

omponente nj di n di modo he N  nj  N . Il numero totale di

elle e evidentemente (2N +1)D = (L=a)D : questo e il numero dei vettori della base ortonormale fjnig e oin ide quindi on la dimensionalita dello spazio di Hilbert. Dunque in presenza del uto ultravioletto a e del

uto infrarosso L , HS e nito-dimensionale ed isomorfo a C (2N +1)D . Le traslazioni dis rete T (ra) trasformano an ora il reti olo  in se stesso, ma ne essariamente (7.52)

T (rL) = 1 ; 8r 2 ZD ; 220

Rappresentazioni e trasformazioni

visto he una traslazione di L=a passi reti olari in una qualunque direzione oordinata riporta ogni ella in se stessa. Ad esempio, nel aso monodimensionale D = 1 , dove la relazione T (ra) = T (a)r rende suf iente onsiderare l'azione di T (a) , su stati lo alizzati non sul bordo destro avremo (7.53) T (a) jni = jn + 1i ; N nN 1; mentre per lo stato lo alizzato sul bordo destro dovra valere (7.54) T (a) jN i = j N i : Questa ultima relazione potrebbe sembrare non abbastanza generale, tenendo onto della natura intrinse amente proiettiva delle rappresentazioni in me

ani a quantisti a: l'Eq. (7.52) vale per le traslazioni del reti olo periodi o, mentre per gli operatori unitari he le rappresentano nello spazio di Hilbert varra in generale la forma proiettiva della stessa, he per D = 1 si s rive T (rL) = !1 , j!j = 1 . Di onseguenza l'Eq. (7.54) va modi ata nella (7.55) T (a) jN i = ! j N i : Analoghe relazioni varranno per ias uno dei D sottogruppi di TD orrispondenti alle traslazioni nelle direzioni oordinate, per ui nella versione proiettiva dell'Eq. (7.52) ompaiono D fattori di fase !j = eij , 0  j < 2 : (7.56) T (rL) = exp(i
r)1 Rimandando ai prossimi apitoli la trattazione di esempi rilevanti di rappresentazioni proiettive delle traslazioni su varieta non sempli emente

onnesse, ome e il dominio periodi o  , onsideriamo qui solo il aso proiettivamente banale !j = 1 . Questa s elta rientra nella nostra liberta di approssimare nel modo piu sempli e possibile lo spazio si o in nito on una regione  nita. In parti olare, la relazione T (rL) = 1 impli a per l'azione degli operatori di traslazione sui vettori jni e sulle omponenti qj della posizione  T (r a) jni = n0 ; n0j = nj + rj mod 2N + 1 T (ra) qj T (ra) = qj + ra mod L : In ne la relazione (7.52) per gli operatori T (ra) si tradu e nel seguente vin olo per i loro autovalori exp(iLk
r) = 1 ; il he forza k ad essere reale e della forma 2 k= ; L 221

Lo sviluppo formale della me

ani a quantisti a

dove i j , j = 1; 2; : : : ; D sono interi, he possiamo sempre s egliere se ondo la regola simmetri a N  j  N . Le onde piane, ioe gli autovettori di T (ra) , sono normalizzate dal fattore (2N + 1) D=2 = (a=L)D=2

jki = (a=L)D=2

X

n2

exp(ik
na) jni :

Esse formano una base ortonormale  (7.57) hkj k0 = Æ(D)0 ; kk

per via della ben nota proprieta delle radi i ennesime dell'unita: N X n= N

exp

2in = (2N + 1)Æ 0 : 2N + 1

Nella relazione (7.57) appare una delta di Krone ker in termini dei numeri dis reti ma non interi kj piuttosto he degli interi j , ma il signi ato e lo stesso: essa vale 1 se kj = kj0 e 0 altrimenti. Dunque la diagonalizzazione delle traslazioni i fornis e una nuova base fjkig ortonormale, ovvero de nis e un ambio di rappresentazione,

he prende il nome di trasformazione di Fourier dis reta. La nuova base fj ig des rive evidentemente stati ompletamente delo alizzati, nei quali la parti ella si trova on la stessa probabilita (a=L)D=2 in qualunque

ella. L'ortogonalita tra due diversi stati di questo tipo e dovuta alle diverse fasi dell'ampiezza di probabilita di osservare la parti ella in una data ella. Tale ampiezza oin ide on la matri e unitaria he de nis e la trasformazione, vale a dire on la funzione d'onda di un'onda piana: hnj ki = (a=L)D=2 exp(ik
na) . La relazione tra le funzioni d'onda nelle due rappresentazioni si s rive, in a

ordo on la regola generale (7.33) (7.58)

~k = (a=L)D=2

X

n2

exp( ik
na) n :

Com'e noto, ~k prende il nome di trasformata di Fourier di n . La relazione inversa ( he esprime l'antitrasformata di Fourier n in termini di ~k ) si s rivera quindi (7.59)

n

= (a=L)D=2

X

k2~

222

exp(ik
na) ~k

Rappresentazioni e trasformazioni

dove ~ rappresenta il reti olo duale di  , ovvero la prima zona di Brillouin: nel nostro aso, ioe quello di un reti olo iper ubi o, abbiamo sempli emente ~ = (2=L) 8. In ne, data l'unitarieta della trasformazione di Fourier, abbiamo X X h j i = h j ni hnj i = h j ki hkj i ; n2 k2~ per ui vale la relazione di Plan herel tra n e ~k , X X (7.60) j nj2 = j ~k j2 : n2 k2~ Nel limite infrarosso L ! 1 ( on a ssato), per ottenere un risultato diverso da zero e ne essario moltipli are jki per LD=2 , ovvero ride nire jki : (7.61) jki ! L D=2 jki ; per ui (si onfronti on la versione non normalizzata (7.51))

jki = aD=2

X

n2ZD

exp(ik
na) jni :

Il ris alamento (7.61) evidenzia il fatto he le onde piane non sono normalizzabili su un reti olo in nito. Nel limite L ! 1 il reti olo duale ~ diventa in nitamente tto e viene a oin idere on il dominio pre edentemente introdotto f( =a; =a℄gD (vedi Eq. (7.50)). I vettori fjkig ontinuano omunque a formare una base ortonormale in senso generalizzato:  hkj k0 ' (L=a)D Æ(D)0 ! (2)D Æ(D) (k k0 ) : kk

La delta di Dira Æ(D) (k k0 ) os (formalmente) de nita risulta orrettamente normalizzata dato he Z Z X   dD k hkj k0 = dD k h kj ni hnj k0 ~ ~ n2ZD Z X 0
na i k D e =a dD k e ik
na (7.62) ~  n2ZD  D X 0 2 Æn(D0) = (2)D : = aD eik
na a n2ZD

8La trasformazione di Fourier dis reta e de nita in generale per ogni reti olo ordinato, dato he si basa sull'esistenza di un gruppo transitivo di simmetria (non ne essariamente un gruppo abeliano di traslazioni, vedi l'App. B.1).

223

Lo sviluppo formale della me

ani a quantisti a

Esaminiamo ora gli eetti del limite infrarosso sulla trasformazione di Fourier: in a

ordo on la ride nizione (7.61), poniamo ~k = (a=L)D=2 ~(k) , ottenendo os per l'antitrasformata di Fourier (vedi Eq. (7.59)) (7.63)

aD=2 n= (2)D

X  2 D

k2~

L

exp(ik
na) ~(k)

Z

dD k exp(ik
na) ~(k) ; ~ (2 )D

on la naturale identi azione di 2=L , la distanza tra due valori ontigui di kj , on l'elemento in nitesimo dkj . Analogamente, per la trasformata di Fourier abbiamo ora X ~(k) = aD=2 (7.64) exp( ik
na) n ; D n2Z

ioe lo sviluppo della funzione ~(k) in serie multipla di Fourier. In ne la relazione di Plan herel (7.60) diventa Z D X (7.65) j n j2 = ~ (2d)kD j ~(k)j2 ;  n2ZD

! aD=2

dove si ri ordi he ~ = f( =a; =a℄gD . Quest'ultima relazione evidenzia l'isomor smo tra `2 (ZD) , lo spazio delle serie on D indi i a modulo ~ , lo spazio delle funzioni a modulo quadro quadro sommabile e L2 () integrabile su f( =a; =a℄gD (a loro volta, questi due spazi di Hilbert sono isomor rispettivamente a `2 (Z) D e L2 (R) D ). Dal punto di vista si o stiamo parlando dello stesso spazio di Hilbert HS : i due spazi di

ui sopra orrispondono a due diverse rappresentazioni di HS . Ritorniamo ora sul reti olo nito  e onsideriamo il limite ontinuo a ! 0 on L ssato. In questo limite e  stesso he diventa in nitamente tto e la variabile x = na diventa ontinua, ovvero  ! ( L=2; L=2℄D . An he le traslazioni sono ora ontinue, ma non va dimenti ato he la periodi ita di  impli a he esse agis ono mod L sugli stati lo alizzati e sulle omponenti della posizione. D'altro lato, le traslazioni sono diagonali T (u) jki = exp(ik
u) jki sulle onde piane, he des rivono stati ompletamente delo alizzati. Con la regola pre edentemente trovata, n = aD=2 (x) , dalle relazioni (7.58), (7.59) e (7.60) proprie della trasformazione di Fourier dis reta, otteniamo Z 1 ~ dD x exp( ik
x) (x) ; (7.66) k = D=2 L  224

Rappresentazioni e trasformazioni

mentre, tenuto onto he N = 21 (L=a 1) ! 1 , per ui deve valere ( x 2 R ), X 1 (7.67) (x) = D=2 exp(ik
x) ~k : L k2(2=L)ZD In ne (7.68)

Z



dD x j (x)j2 =

X

k2~

j ~k j2 :

La dualita tra queste ultime relazioni e le relazioni (7.66), (7.67) e (7.68) e manifesta. Nel limite infrarosso L ! 1 on a ssato, lo spazio delle on gurazioni (inteso ome spettro delle osservabili di posizione q ) diventa illimitato ma resta dis reto, mentre lo spazio dei numeri d'onda k diventa

ontinuo ma resta limitato. Quindi possiamo onsiderare onde piane on lunghezze d'onda arbitrariamente grandi, tutte multiple pero di una lunghezza d'onda minima pari a 2a . Nel limite ultravioletto a ! 0 on L nito, vale esattamente il ontrario: esistono lunghezze d'onda omunque pi

ole, ottenute dividendo la lunghezza d'onda massima pari a L (il aso dell'onda piana on k = 0 , ovvero la funzione d'onda ostante, va

onsiderato a parte). Evidentemente questo spiega le due denominazioni, infrarosso ed ultravioletto, omunemente adottate per i due limiti. In entrambi i asi omunque, nella rappresentazione de nita da una base dis reta lo spazio di Hilbert e realizzato ome `2 , mentre nella rappresentazione on base (generalizzata) ontinua esso e realizzato ome un L2(D) , dove D e uno dei due iper ubi  o ~ su ui sono de nite le funzioni d'onda (x) o ~(k) . Come gia pre edentemente aermato, le traslazioni formano un gruppo abeliano a D parametri, on legge di omposizione T (u) T (u0 ) = T (u + u0 ) . In parti olare, per ogni ssato vettore non-nullo u , possiamo

onsiderare il sottogruppo ad un parametro formato dagli elementi della forma g(s) = T (suP) , on s arbitrario numero reale. Ad esempio, se u e un versore, u2  j u2j = 1 , g(s) individua una traslazione di una distanza jsj nella direzione us=jsj . Evidentemente g(s)+ g(s0 ) = g(s + s0 ) e g( s) = g(s) 1 = g(s)y , per ui G = fg(s); s 2 Rg ostituis e un gruppo ad un parametro di operatori unitari sullo spazio di Hilbert HS . Si tratta di un gruppo di operatori ontinuo in senso forte ( ioe, per ogni s , j i 2 HS e  > 0 , esiste un intorno I di s tale he k(U (s0 ) U (s)) k <  per ogni s0 2 I ). Un importante teorema, dovuto a Stone [BRS93℄, aerma in questo aso he l'operatore X de nito da i (7.69) X j i = lim [g(s) 1℄ j i s!0 s 225

Lo sviluppo formale della me

ani a quantisti a

su ogni vettore j i per il quale il suddetto limite esiste in senso forte, e autoaggiunto e genera il gruppo G , ioe g(s) = exp( isX ) . Quest'ultima relazione risulta evidente se si pensa alla ontinuita di G , alla sua legge di

omposizione e alla de nizione (7.69) on j i rimpiazzato da g(s0 ) j i . In ne, tenendo onto della dipendenza delle traslazioni g(s) = T (su) dal vettore u e della legge di omposizione generale T (u) T (u0 ) = T (u + u0 ) , e immediato on ludere he l'operatore X dipende linearmente da u (basta s egliere su

essivamente ome u i versori oordinati). Possiamo quindi porre X = u
p=~ , dove i D operatori p = (p1 ; p2 ; : : : ; pD ) sono autoaggiunti, hanno le dimensioni del momento lineare e generano le traslazioni: (7.70) T (u) = exp( iu
p=~) : In me

ani a lassi a il momento lineare e la funzione generatri e delle traslazioni, intese ome trasformazioni anoni he. Risulta allora naturale identi are p on (l'operatore autoaggiunto he rappresenta) il vettore momento lineare della parti ella. Componendo le relazioni (7.47) e (7.70) si ottiene, tenendo onto della periodi ita di  , (7.71) e iu
p=~ qj eiu
p=~ = qj + uj mod L

he per u in nitesimo (nel qual aso la limitazione mod L non si appli a) si s rive (1 + iu
p=~) qj (1 iu
p=~) = qj + uj ; ovvero   (7.72) qj ; pj 0 = i~Æj j 0 ;

he sono le regole di ommutazione anoni he tra posizione e momento. Si noti he queste relazioni esprimono un risultato lo ale, indipendente dalle

ondizioni al ontorno di periodi ita. Queste si fanno sentire soltanto al momento di esponenziarle per passare dall'Eq. (7.72) all'Eq. (7.71). Se tale esponenziazione e de nita tramite serie di potenze, si ottiene a prima vista una ontraddizione on la (7.71), dato he nessuna limitazione mod L sembra apparire. In realta la de nizione di T (u) = exp( iu
p=~) per serie di potenze e ovviamente limitata ai vettori di stato analiti i, mentre proprio su tali vettori il ommutatore qj ; pj 0 non e aatto de nito. Per onvin ersene basta onsiderare l'espressione espli ita di q e p nella rappresentazione della posizione. Per ostruzione (qj )(x) = xj (x) , mentre per ottenere la rappresentazione di p basta onsiderare l'analoga relazione (7.49) per T (u) . Confrontandola on la de nizione (7.69) si ottiene i 1 u
(p )(x) = slim [ (x su) (x)℄ ; !0 s ~ 226

Rappresentazioni e trasformazioni

vale a dire

 ; xj

he e l'identi azione fondamentale della me

ani a ondulatoria. Il dominio di de nizione di p onsiste evidentemente in tutte le funzioni su  he ammettono derivate parziali in L2 () . Si noti he la periodi ita di  non va assolutamente dimenti ata;  non ha al un bordo e tutti i suoi punti sono equivalenti. Ad esempio, nel aso D = 1 , la s rittura espli ita  = ( L=2; L=2℄ e da onsiderarsi equivalente alla  = (x0 ; x0 + L℄ o  = [x0 ; x0 + L) , dove x0 e un numero arbitrario. In D = 1  puo essere visualizzato ome un er hio di raggio L=2 , in D dimensioni, ome prodotto artesiano di D opie dello stesso. La derivate parziali sono le

omponenti del gradiente su tale spazio, il quale tratta tutti i punti allo stesso modo. Ne segue he se e analiti a in x , essa appartiene al dominio di de nizione delle serie di potenze di pj , ma xj in generale non vi appartiene e quindi il ommutatore [pj ; xj ℄ non risulta de nito su tutto il dominio di funzioni d'onda sul quale vale l'esponenziazione del momento per serie di potenze. Questa sottigliezza naturalmente viene meno nel limite infrarosso L ! 1 . Nella rappresentazione in ui T (u) e diagonale an he p e diagonale, per ui p jki = ~k jki ; (p ~)(k) = ~k ~(k) : Quindi, in presenza del uto infrarosso L , lo spettro del momento oin ide on (2=L)ZD . In de nitiva, possiamo identi are il momento lineare p on l'insieme ompleto di osservabili ompatibili he de nis e la rappresentazione in ui le traslazioni sono diagonali. Tale rappresentazione prende quindi il nome di rappresentazione del momento. Questa terminologia viene omunemente adottata an he sul reti olo ( nito od in nito he sia), ioe in presenza del uto ultravioletto a . In tal aso possiamo de nire p mediante la relazione (7.73) T (ra) = exp( iar
p=~) e la regola he lo spettro di p=~ oin ida on la prima zona di Brillouin ~ (per la quale la s elta piu opportuna, in vista del limite ontinuo, e proprio quella simmetri a n qui adottata, ioe ~ = f( =a; =a℄gD ). La dierenza fondamentale rispetto al aso ontinuo e he l'operatore autoaggiunto p os de nito non e lo ale nella rappresentazione della posizione. Infatti, mentre nel aso ontinuo pj ha elementi di matri e lo ali  hxj pj x0 = i~ x Æ(D) (x x0) ; j 227 pj = i~

Lo sviluppo formale della me

ani a quantisti a

sul reti olo nito  abbiamo (l'eser izio e las iato al lettore)

D Y

X



hnj pj n0 = 2N~+ 1 kj exp[ik
(n n0)a℄ = p(nj n0j ) Ænm n0m ; m=1 k2~ m= 6 j

dove p(0) = 0 mentre, per n 6= 0 , ( 1)n ~ : iL sin(na=L) Nel aso monodimensionale abbiamo, ad esempio

p(n) =

(p )n =

N X n0 = N

p(n n0 ) n0

e tutti i punti del reti olo on orrono alla formazione della nuova funzione d'onda p . L'ultimo passo he i resta di fare e rimuovere il uto rimasto, quello infrarosso L del dominio ubi o ( L=2; L=2℄D  RD , oppure quello ultravioletto a del reti olo in nito ZD . Con le regole sopra itate

ir a le proprieta di s ala delle funzioni d'onda, dalle relazioni (7.64) e (7.63) oppure dalle (7.66) e (7.67) si ottengono allora le formule della trasformazione di Fourier per L2 (RD ) hxj ki = eik
x Z

Z

D

D

hxj i = (x) = (2d)kD hxj ki hkj i = 2dDk ~(k) eik
x Z Z D ~ hkj i = (k) = d x hkj xi hxj i = dD x (x) e ik
x ;

dove gli integrali s'intendono estesi a tutto RD . Lo stesso risultato si esprime formalmente attraverso le relazioni di ortogonalita e ompletezza delle basi generalizzate fjxi ; x 2 RD g e fjki ; k 2 RD g :  hxj x0 = Æ(D) (x

x0 ) ;

Z

dD x jxihxj = 1 Z

dD k jkihkj = 1 : (2)D La diversa normalizzazione per posizioni e momenti segue dalla s elta hxj ki = eik
x al posto della piu simmetri a hxj ki = (2) D=2 eik
x . Essa

orrisponde a normalizzare ad una parti ella il usso uniforme di parti elle des ritto da un'onda piana. Infatti la densita di probabilita  e 228 

hkj k0 = (2)D Æ(D) (x x0) ;

Evoluzione temporale

la orrente di probabilita j (vedi x5.2.6) asso iate alla funzione d'onda k (x) = hxj ki valgono esattamente   ~ (x) = j k (x)j2 = 1 ; j (x) = Im k (x)r k (x) = v ; m dove v = p=m = ~k=m e proprio la velo ita della parti ella.

7.7. Evoluzione temporale La nozione di trasformazione di simmetria gio a un ruolo fondamentale nel ompletamento dell'impianto formale della me

ani a quantisti a, laddove la des rizione \dinami a" del sistema si o S si aggiunge a quella sostanzialmente \ inemati a" o \stati a" de nita dai postulati I, II e III. Si supponga di aver preparato S in un determinato stato % mediante gli opportuni esperimenti di prima spe ie. Prima di eettuare una ulteriore misurazione passa in generale un erto lasso di tempo, in ui il sistema evolve indisturbato. Con questo si intende he S non interagis e

on altri sistemi (nel qual aso parleremo di evoluzione libera) oppure subis e l'in uenza di determinate forze esterne le ui sorgenti per ipotesi non reagis ono in modo osservabile all'interazione on S . Si noti he, al ontrario, una misurazione orrisponde per de nizione al aso in ui tale reazione non puo venir tras urata, in quanto de nis e l'osservazione stessa. Sia dunque t0 la oordinata temporale assegnata all'inizio della suddetta evoluzione indisturbata di S e t > t0 quella he spe i a il momento in ui una nuova osservazione viene eettuata. Ora, se ondo la me

ani a quantisti a tutti i possibili stati puri sono rappresentati dai raggi di un uni o spazio di Hilbert HS , ri ostruito a partire da osservazioni pregresse omunque terminate all'istante t0 . Quindi HS e senz'altro stabile sotto l'evoluzione temporale su

essiva. Inoltre, nella stessa logi a, an he le osservabili di S , nel senso operativo del termine, sono determinate indipendentemente dall'evoluzione temporale del sistema: esse fanno riferimento a pre isi arrangiamenti e pro edure sperimentali he restano generalmente immutate tra un'osservazione e l'altra. Naturalmente e possibile introdurre una dipendenza temporale espli ita an he nelle osservabili, onsiderando arrangiamenti variabili nel tempo, ma omunque non

onnessi all'evoluzione temporale di S . Deve dunque essere possibile rappresentare l'evoluzione temporale indisturbata di S ome un'appli azione di HS in se stesso, ovvero (7.74) j i  j (t0 )i ! j (t)i 2 HS ; P per ogni j i di HS . In parti olare, per lo stato % = j wj j j i h j j avremo X %  %(t0 ) ! %(t) = wj j j (t)i h j (t)j ; j

229

Lo sviluppo formale della me

ani a quantisti a

dove le probabilita wj restano ostanti nel tempo, dato he l'informazione ra

olta sullo stato del sistema non ambia se il sistema evolve indisturbato. D'altro lato questa informazione si esprime on retamente attraverso la possibilita di formulare previsioni su future osservazioni se ondo il postulato III, per ui la onservazione dell'informazione, una volta estesa an he agli stati puri, deve tradursi in una onservazione dei moduli quadri dei prodotti s alari. Queste onsiderazioni servono a giusti are il seguente fondamentale postulato IV, la ui validita risiede omunque nelle innumerevoli onseguenze sperimentalmente veri ate: Postulato IV L'evoluzione temporale indisturbata del sistema si o S dall'istante iniziale t0 a quello nale t e realizzata mediante una trasformazione di simmetria T (t; t0 ) su HS . Dato he T (t0 ; t0 ) oin ide on la trasformazione identi a, la naturale ri hiesta di ontinuita obbliga l'operatore U (t; t0 ) , he se ondo il teorema di Wigner rappresenta T (t; t0 ) , ad essere unitario piuttosto he antiunitario. Dunque abbiamo (7.75) j (t)i = U (t; t0) j (t0 )i per i vettori di stato e (7.76) %(t) = U (t; t0 )%(t0 )U (t; t0 )y per gli stati in generale, dove U (t; t0 )U (t; t0 )y = U (t; t0 )y U (t; t0 ) = 1 e U (t0 ; t0 ) = 1 . Spezzando l'intervallo temporale (t0 ; t) al tempo intermedio t1 e ripetendo l'analisi per gli intervalli (t0 ; ti ) e (t1 ; t) si ottiene la legge di

omposizione degli operatori di evoluzione temporale

U (t; t1 ) U (t1 ; t0 ) = ei(t;t1 ;t0 ) U (t; t0 ) ; dove a priori dobbiamo ammettere un fattore di fase dipendente da entrambi gli intervalli temporali. In altri termini, la famiglia fU (t; t0 )jt; t0 2 R; t  t0 g fornis e una rappresentazione proiettiva delle trasformazioni di simmetria T (t; t0 ) . La naturale ri hiesta di asso iativita per la omposizione di tre operatori di evoluzione omporta pero he (t; t1 ; t0 ) deve avere la forma (l'eser izio e las iato al lettore) (t; t1 ; t0 ) = ~(t; t1 ) + ~(t1 ; t0 ) ~(t; t0 ) : 230

Evoluzione temporale

Quindi, sfruttando il fatto he T (t; t0 ) determina U (t; t0 ) solo a meno di un fattore di fase, possiamo ride nire U (t; t0 ) U (t; t0 ) ! ei~(t;t0 ) U (t; t0 ) ; per ui la legge di omposizione diventa sempli emente (7.77) U (t; t1 ) U (t1 ; t0 ) = U (t; t0 ) : Risulta ora naturale estendere questa relazione a t < t1 ed in parti olare ottenere, ponendo t = t0 U (t0 ; t) = U (t; t0 ) 1 = U (t; t0 )y : In moltissime situazioni on rete la dinami a ui S e soggetto risulta invariante per traslazioni temporali , nel senso he ne le forze (interne ed esterne) agenti su S ne i parametri inemati i propri di S dipendono espli itamente dal tempo. In tal aso deve valere U (t; t0 ) = U (t + ; t0 +  ) per un arbitrario intervallo temporale  , e quindi U (t; t0 ) deve dipendere solo dalla dierenza t t0 dei suoi argomenti. Denotando allora l'operatore di evoluzione on U (t t0 ), la legge di omposizione si ris rive U (t1 )U (t2 ) = U (t1 + t2 ) : Quest'ultima relazione, insieme alla ovvia U (0) = 1 , de nis e la famiglia fU (t); t 2 Rg ome gruppo abeliano ad un parametro. Se questo gruppo e ontinuo in senso forte (vedi paragrafo pre edente) il teorema di Stone aerma he (7.78) U (t; t0 ) = e i(t t0 )H=~ dove H e l'operatore autoaggiunto he genera fU (t); t 2 Rg , ovvero l'operatore Hamiltoniano. Poi he H genera l'evoluzione temporale, il suo spettro viene identi ato on lo spettro energeti o del sistema S : in altri temini, H e l'osservabile energia. Dierenziando rispetto a t la relazione j (t)i = U (t; t0 ) j (t0 )i si ottiene ora l'equazione di S hroedinger d (7.79) i~ j (t)i = H j (t)i ; dt valida per tutti i vettori di stato he appartengono D(H ) , il dominio di de nizione di H . Si noti he poi he H e U (t) ommutano, e suÆ iente

he j i appartenga a D(H ) ad un erto istante aÆn he vi appartenga per sempre. L'equazione di S hroedinger (7.79) e s ritta in forma astratta, senza riferimento al uno alla spe i a rappresentazione di HS . Per stabilire il ontatto on l'equazione di S hroedinger introdotta e studiata nel pre edente apitolo dedi ato allo me

ani a ondulatoria, e suÆ iente 231

Lo sviluppo formale della me

ani a quantisti a

onsiderare ome sistema si o S una singola parti ella e ome rappresentazione quella della posizione. Proiettando quindi l'Eq. (7.79) sui vettori jxi degli stati perfettamente lo alizzati, si ottiene hxj i dtd j (t)i = i dtd hxj (t)i = i t (x; t) da una parte e Z

hxj H j (t)i = (H )(x; t) = dy hxj H jyi hyj (t)i dall'altra. Il problema sta ora nello stabilire la forma espli ita del nu leo integrale hxj H jyi . Il prin ipio di orrispondenza suggeris e he H abbia la stessa forma, ome funzione delle osservabili anoni he (posizioni fqg e momenti fpg ), he possiede in me

ani a lassi a la funzione Hamiltoniana ( he e la generatri e anoni a delle traslazioni temporali). Poi he gli operatori q e p he rappresentano una data oppia anoni a non ommutano, vi sono in generale dei problemi di ordinamento (vedi al ap. 5 e all'App. B.8). Questi sono omunque assenti per Hamiltoniane della forma tipi a H = p2 =2 + V (q) (in opportune unita di misura). Ri ordando he hxj p jyi = i~Æ0 (x y) si osserva he l'operatore Hamiltoniano diventa un operatore dierenziale sulla funzione d'onda (x) e l'equazione di S hroedinger viene riprodotta nella sua forma originale. L'operatore Hamiltoniano puo essere introdotto an he quando l'evoluzione temporale non e invariante per traslazioni dell'origine dei tempi,

ioe quando U (t; t0 ) non dipende solo dalla dierenza t t0 . Pro edendo al livello formale, abbiamo identi amente d (7.80) i~ U (t; t0 ) = H (t)U (t; t0 ) ; dt dove l'operatore Hamiltoniano H (t) si s rive   d (7.81) H (t) = i~ U (t; t0 ) U (t; t0 ) 1 : dt H (t) e formalmente autoaggiunto grazie all'unitarieta di U (t; t0 ) ( UU y = y y y 1 ) d=dt(UU ) = dU=dt U + U dU=dt = 0 ) e non dipende da t0 poi h e 0 0 U (t; t0 ) = U (t; t0 )U (t0 ; t0 ) , on il se ondo fattore t-indipendente e quindi destinato a an ellarsi nella (7.81). Componendo le relazioni (7.80) e (7.75) si ottiene la forma piu generale dell'equazione di S hroedinger d (7.82) i~ j (t)i = H (t) j (t)i ; dt

he omprende il aso di un Hamiltoniano dipendente dal tempo. Nel

aso di stati non ne essariamente puri, si ottiene inve e, dierenziando la 232

Evoluzione temporale

relazione (7.76) ed usando an ora la (7.80) d i~ %(t) = [H (t) ; %(t)℄ : dt In ne l'equazione (7.80) e la ondizione al ontorno U (t0 ; t0 ) = riassumono nella forma integrale Z i t 0 0 dt U (t ; t0 )H (t0 ) ; U (t; t0 ) = 1

1

si

~ t0

la quale viene (sempre formalmente) risolta per iterazione U (t; t0 ) = nlim U (n) (t; t0 ) !1

partendo da U (0) (t; t0 ) = 1 e ponendo. per n  1 , Z i t 0 (n 1) 0 ( n ) U (t; t0 ) = 1 dt U (t ; t0 )H (t0 ) : ~ t0

Si genera in tal modo la serie in nita (7.83) Z Z t1 1  i n Z t X dt1 dt2 : : : U (t; t0 ) = n=1

~

t0

t0

tn 1 t0

dtn H (t1 )H (t2 ) : : : H (tn ) :

Si de nis e il prodotto ronologi amente ordinato (o prodotto T-ordina-

to) di operatori T

H (t1 )H (t2 ) : : : H (tn ) X = (tP 1; tP 2 ; : : : ; tP n )H (tP 1 )H (tP 2 ) : : : H (tP n) ; P 2SN

dove (t1 ; t2 ; : : : ; tn ) denota la generalizzazione a moltepli i argomenti della funzione a gradino (t) = 21 (1 + t=jtj) , ioe (

1 se t1 > t2 > : : : > tn : 0 altrimenti Il termine n-esimo della serie (7.83) si s rive  n Z t Z t Z i 1 t dt1 dt2 : : : dtn T H (t1 )H (t2 ) : : : H (tn ) ~ n! t0 t0 t0   Z i t 0 0 n 1 dt H (t ) : = T n! ~ t0 Otteniamo os per t  t0 , la forma ompatta del osiddetto esponen-

(t1 ; t2 ; : : : ; tn ) =

ziale T-ordinato (7.84)

U (t; t0 ) = T exp



i ~

233

Z t

t0



dt0 H (t0 ) :

Lo sviluppo formale della me

ani a quantisti a

Qualora H (t) ommuti on H (t0 ) , per ogni s elta di t e t0 nell'intervallo [t0 ; t℄ , l'ordinamento temporale e irrilevante ed il simbolo T puo essere omesso. In parti olare, se l'operatore Hamiltoniano non dipende dal tempo, dH (t)=dt = 0 , l'espressione (7.84) si ridu e immediatamente alla (7.78). Abbiamo dunque visto ome l'evoluzione temporale nello spazio di Hilbert dei vettori di stato sia governata dall'equazione di S hroedinger (7.79) o (7.82). All'atto prati o HS e inizialmente ri ostruito in una spe i a rappresentazione, ioe a partire dallo spettro ongiunto di un insieme

ompleto di osservabili ompatibili fAg = A1 ; A2 ; : : : ; An . I orrispondenti autovettori fjig fornis ono un sistema di riferimento ortogonale in HS , rispetto al quale il generi o vettore di stato j (t)i risulta istante per istante individuato dalla funzione d'onda (; t) = hj (t)i . Il sistema di riferimento resta ostante nel tempo, ovvero resta ssato una volta per tutte l'insieme fAg utilizzato per ri ostruire HS . Da questo punto di vista, essendo di fatto fAg arbitrario, possiamo onsiderare tutte le osservabili di S ssate. Le osservabili vanno qui intese in senso operativo, ome ben de nite pro edure sperimentali he, in quanto tali, sono naturalmente de nite a priori. Quindi il \moto" di j (t)i avviene relativamente alle osservabili. Questa visione dell'evoluzione temporale prende il nome di rappresentazione di S hroedinger. E possibile interpretare l'evoluzione temporale nel modo opposto, vale a dire mantenendo ssi i vettori di stato e fa endo \muovere" le osservabili. Dal punto di vista on ettuale, questo signi a spostare sugli stati la valenza operativa, per ui gli stati sono puramente \stati sperimentali", ovvero ssate ollezioni di distribuzioni di probabilita sui risultati degli esperimenti, mentre le osservabili ria quistano un ruolo di variabili dinami he analogo a quello proprio della me

ani a lassi a. Dal punto di vista del formalismo della me

ani a quantisti a, questo passaggio e davvero elementare: all'istante t0 , tutte le informazioni sullo stato %(t0 ) = % del sistema S sono ontenute nell'insieme dei valori medi hAi% = Tr %(t0)A al variare dell'osservabile A . Ad esempio, onsiderando ome A la famiglia spettrale EB (b) di un'altra osservabile, il valor medio hEB (b)i diventa la distribuzione di probabilita per B . Queste informazioni ambiano nel tempo, durante l'evoluzione indisturbata di S , se ondo l'equazione (7.76)

hAi% ! hAi%(t) = Tr %(t)A = Tr U (t; t0)%(t0 )U (t; t0 )yA Ma sfruttando l'invarianza i li a delle tra

ia, si ottiene

hAi%(t) = Tr %(t0)U (t; t0 )yA U (t; t0 ) = Tr %(t0 )A(t)H = hA(t)H i% 234

Evoluzione temporale

dove A(t)H rappresenta l'evoluta temporale di A  A(t0 )H (7.85) A(t)H = U (t; t0 )yA U (t; t0 ) Lo stesso risultato si ottiene nel aso di uno stato puro des ritto dal vettore normalizzato j i h (t)j A j (t)i = h (t0 )j U (t; t0 )yA U (t; t0 ) j (t0 )i = h (t0 )j A(t)H j (t0 )i Questa des rizione dell'evoluzione temporale, aratterizzata da traiettorie del moto per le osservabili sullo sfondo di stati he restano ssi, prende il nome di rappresentazione di Heisenberg. La versione dierenziale della relazione (7.85) si s rive d i~ A(t)H = [A(t)H ; H (t)H ℄ ; dt y dove H (t)H = U (t; t0 ) H (t)U (t; t0 ) = iU (t; t0 )y dU (t; t0 )=dt . Ovviamente H (t) = H (t)H = H nel aso di invarianza per traslazioni temporali. Possiamo generalizzare questa equazione del moto in ludendo il aso in

ui A = A(t) abbia una dipendenza espli ita dal tempo ( ioe indipendente dalla dinami a di S e dovuta ad una de nizione operativa di A eettivamente variabile nel tempo). In tal aso (7.86) A(t)H = U (t; t0 )y A(t)U (t; t0 ) ;

on la versione dierenziale  d i~ A(t)H = [A(t)H ; H (t)H ℄ + i~ A(t)H ; dt t in ui  A(t) (7.87) A(t)H  U (t; t0 )y U (t; t0 ) : t t Nel aso di osservabili senza al una dipendenza espli ita dal tempo si tende omunemente a tralas iare il suÆsso H in A(t)H : 7.7.1. Stati stazionari e ostanti del moto. In me

ani a lassi a un sistema S si di e onservativo qualora la funzione Hamiltoniana non dipenda espli itamente dal tempo. In tal aso l'energia di S e

ostante nel tempo e oin ide on il valore assunto dall'Hamiltoniana in un qualunque punto della traiettoria del moto. L'analoga situazione in me

ani a quantisti a si ottiene quando l'operatore Hamiltoniano H non dipende dal tempo, per ui U (t) = e iHt=~ . Allora la distribuzione di probabilita dell'energia risulta ostante in un generi o stato % , dato he [EH (b) ; U (t)℄ = 0 . In parti olare, se l'energia era esattamente nota ad un erto istante, ioe
H = 0 , il suo valore resta esattamente noto e

ostante per tutto il tempo su

essivo. Come sappiamo, nel aso di stati 235

Lo sviluppo formale della me

ani a quantisti a

puri % = j ih j , la ondizione
H = 0 equivale alla ri hiesta he sia un autovettore di H Hj i=Ej i : Evidentemente allora U (t) j i = e iEt=~ j i

j i

e lo stato % e stazionario: d%=dt = 0 . Lo stesso risultato si ottiene evidentemente nel aso di mis ele statisti he di autostati dell'energia, ovvero quando [H; %℄ = 0 , in a

ordo on l'equazione del moto (7.82). Si noti

he in un sistema onservativo la distribuzione di probabilita dell'energia e ostante indipendentemente dal fatto he lo stato % sia stazionario o meno. Cio he aratterizza gli stati stazionari e he la distribuzione di probabilita di qualunque osservabile ( he non dipende espli itamente dal tempo) e pure ostante, dato he %(t) = %(t0 ) impli a subito he hA(t)i = hA(t0)i . Vi eversa, possiamo hieder i quando una determinata osservabile A possiede una distribuzione di probabilita ostante nel tempo indipendentemente dallo stato del sistema. Assumendo he A non dipenda espli itamente da t e he il sistema sia onservativo, dall'equazione di Heisenberg (7.85) otteniamo subito la ondizione [H ; A℄ = 0 In tal aso A si di e essere una ostante del moto. Si noti he ostanti del moto possono esistere in linea di prin ipio an he per sistemi non onservativi: e ne essario e suÆ iente he A ommuti on H (t) per ogni valore di t . Restando nell'ambito dei sistemi onservativi, osserviamo

he l'insieme di tutte le osservabili he sono ostanti del moto formano un'algebra di Lie reale: se A e B ommutano on H allora an he A + B ( e reali) e un'osservabile e ommuta on H e os pure per i[A; B ℄ , grazie all'identita di Ja obi [A; [B; H ℄℄+[B; [H; A℄℄+[H; [A; B ℄℄ = 0:

7.7.2. Relazione di indeterminazione tra tempo ed energia.

Consideriamo ora un sistema S onservativo, un'osservabile A he non dipende espli itamente dal tempo ed uno stato puro des ritto dal vettore normalizzato j i . La relazione di indeterminazione tra le deviazioni standard di A(t) = eiHt=~ A e iHt=~ e dell'energia E (ovvero dell'Hamiltoniana H ) si s rive (vedi x7.3.3)
A(t)
E 

1 2

j h j [A(t); H (t)℄ j i j : 236

Evoluzione temporale

Fa endo uso dell'equazione di Heisenberg questo diventa ~ d (7.88)
A(t)
E  hA(t)i ; 2 dt dove hA(t)i  h j A(t) j i . Come sappiamo,
A(t) e l'indeterminazione della misura di A(t) nello stato j i , ovvero di A nello stato j (t)i . D'altro lato d hA(t)i =dt e la velo ita on ui si sposta il valore medio di A(t) , per ui la quantita
A(t) (7.89)  (A(t)) = d dt hA(t)i e un tempo aratteristi o dell'evoluzione dell'osservabile A , he fornis e una stima dell'intervallo di tempo ne essario aÆn he il valore medio di A(t) si sposti della quantita
A(t) . Piu grande e  (A(t)) , piu lenta e l'evoluzione della distribuzione di probabilita di A(t) de nita dallo stato j ih j . In parti olare, se A e una ostante del moto, qualunque sia j i il denominatore in (7.89) si annulla e  (A(t)) = 1 . Lo stesso vale se A e generi a ma j i e un vettore di stato stazionario. In ne se j i e un autovettore di A , sia il numeratore he il denominatore in (7.89) si annullano, ma l'interpretazione di  (A(t)) impone an ora he  (A(t)) = 1. Dal punto di vista sperimentale, l'evoluzione temporale indisturbata di un sistema si o S , inizialmente preparato in uno stato puro j ih j , sara tanto piu nemente risolubile mediante la misurazione dell'osservabile A quanto piu pi

olo e  (A(t)) . Supponendo di aver preparato tante

opie di S nel medesimo stato iniziale e di misurare A su un erto numero di opie all'istante t e su un altro numero di opie all'istante t0 > t , verranno osservate dierenze signi ative nelle due distribuzioni di probabilita (nel senso sperimentale di frequenze relative dei dierenti risultati) solo se t0 t e piu grande di  (A(t)) . Quindi i due istanti temporali t0 e t possono essere tanto meglio risolti quanto piu pi

olo e  (A(t)) (naturalmente la misurazione di un'osservabile non e un'operazione istantanea, per ui un limite inferiore alla risolubilita temporale e omunque dato dalla eettiva durata dell'interazione tra il sistema S e l'apparato di misura). Se indi hiamo on
t il limite inferiore di  (A(t)) al variare di A tra tutte le osservabili di S he non dipendono espli itamente dal tempo, vale a dire
t = min  (A(t)) A (si ri ordi he
t dipende an ora dallo stato j ih j e dal tempo t ), dalla relazione (7.88) otteniamo (7.90)


t
E  237

~

2

Lo sviluppo formale della me

ani a quantisti a

he ostituis e la relazione di indeterminazione tra tempo ed energia. E opportuno sottolineare he questa relazione, sebbene formalmente identi a a quella esistente tra posizione e momento (dovuta alle regole di

ommutazione anoni he), non e ad essa assimilabile: il tempo non e un'osservabile del sistema si o S in onsiderazione, ne esiste in generale un operatore autoaggiunto anoni amente oniugato on l'operatore Hamiltoniano il ui spettro sia interpretabile ome la ollezione di tutti gli istanti temporali. Tuttavia, spe ialmente per via della simmetria relativisti a tra spazio e tempo da una parte, e momento lineare ed energia dall'altra (per una singola parti ella, q e t da una parte, e p ed E dall'altra formano dei quadrivettori di Lorentz), la relazione (7.90) viene spesso onsiderata sullo stesso piano di quella tra posizione e momento.

7.7.3. Pro essi stazionari. La relazione di indeterminazione tra tempo ed energia serve a aratterizzare piu pre isamente i pro essi stazionari, nei quali energia e/o materia vengono trasportate su distanze ma ros opi he ad un ritmo ostante nel tempo. Un esempio on reto di tale pro esso e ostituito dalla produzione e diusione, o s attering, di un fas io di parti elle e dalla su

essiva rivelazione delle stesse. Lontano dalla fase di a

ensione e spegnimento, le parti elle sono emesse dalla sorgente, diuse da bersagli o altre appare

hiature ed in ne rivelate da appositi strumenti on un usso ostante nel tempo. La durata omplessiva T di questa fase stabile e molto piu grande dei tempi aratteristi i di emissione, di volo e di assorbimento di una singola parti ella, ed e omunque indipendente dagli stessi. Per fas i di parti elle massive o per radiazione elettromagneti a in oerente e/o di debole intensita, possiamo onsiderare il pro esso ome la ripetizione di un gran numero di volte dello stesso esperimento su una singola parti ella. Risulta quindi naturale des rivere lo stato di una singola parti ella mediante autovettori jE i della Hamiltoniana orrispondenti allo spettro ontinuo. La relazione (7.90) aerma allora he l'indeterminazione
E dell'autovalore E e omunque dell'ordine di ~=T , dato he l'intero intervallo T rappresenta l'indeterminazione temporale sull'evento mi ros opi o iniziale, quello di emissione. Per un generi o pro esso onviene porre E = ~! , assumendo ! > 0 , e denotare on j!;  i gli autovettori dell'energia, dove  rappresenta tutti gli altri numeri quanti i onservati ( he possiamo assumere dis reti; ome esempio si veda lo sviluppo in onde parziali dei pro essi di diusione al x13.2). La presenza di un tempo di durata T , grande ma nito, fa s

he la grandezza 2=T gio hi il ruolo di limite inferiore sulla risoluzione delle frequenze ! , ome evidenziato dalla relazione di ortogonalita dello 238

Evoluzione temporale

spettro ontinuo

Z T=2

dt i(! !0 )t e : 2 T=2  Dunque per T nito gli autostati dell'energia, intesi nel senso operativo del termine, hanno norma nita (7.91) h!;  j !;  i ' 2T : Ora, dovendo rappresentare un pro esso stazionario, la matri e di densita % deve ommutare on la Hamiltoniana H ed essere quindi diagonale sui vettori j!;  i , ovvero XZ

(7.92) %= d! j!;  i w 0 (!) !;  0 : 

h!;  j !0;  0 = Æ 0 Æ(! !0) = Æ 0 Tlim !1

 0

La funzione nonnegativa w (!) rappresenta la dispersione in energia del pro esso nel anale  , e possiede l'interpretazione lassi a di probabilita

he il sistema si o S in esame (una parti ella del fas io, ad esempio) si trovi nello stato puro j!;  ih!;  j . I termini fuori diagonale w 0 (!) ,  6=  0 , non hanno un'interpretazione os diretta: essi ostituis ono, ome vedremo, un esempio di oerenze residue (vedi x7.4). Si noti he % non e propriamente normalizzata, dato he la sua tra

ia vale (vedi Eq. (7.91)) Z T T X d! w (!) = Tr % = 2  2 e diverge nel limite T ! 1 . Va inoltre ri ordato he gli autostati dell'energia sono tipi amente del tutto delo alizzati nello spazio (si pensi ad una parti ella libera des ritta da un'onda piana). E importante sottolineare he, a parte le eventuali oerenze residue relative agli altri numeri quanti i, % des rive il pro esso in termini di una somma in oerente di autostati dell'energia, spazialmente delo alizzati e popolati on probabilita w (!) . A prima vista questa des rizione sembra in ontrasto on l'idea stessa di S ome sistema si o a se stante: se S e una delle parti elle di un fas io la des rizione piu naturale sembrerebbe dover fare uso di un pa

hetto d'onda j i ben lo alizzato, aratteristi o della sorgente in questione, on la dispersione della frequenza nel anale  data dalla probabilita quantome

ani a j h!;  j i j2 . In realta le due des rizioni sono di fatto equivalenti, proprio a ausa della relazione di indeterminazione tra tempo ed energia. Usando sempre il fas io di parti elle ome esempio, nella des rizione in termini di pa

hetti d'onda le parti elle sono emesse dalla sorgente tutte nello stesso stato puro j ih j , ias una in un arbitrario istante t0 dell'intervallo T . Si tratta di uno stato temporalmente delo alizzato. Da un punto di vista formale, al 239

Lo sviluppo formale della me

ani a quantisti a

tempo t > t0 avremmo an ora lo stato puro U (t t0 ) j ih j U (t t0 )y , ma il vero stato %0 del sistema, quello he ra

oglie l'informazione realmente a

essibile, si ottiene mediando sull'istante di emissione t0 : Z XZ 1 T=2 dt0 U (t t0 ) j ih j U (t t0 )y = d! j!;  i h!;  j i  %0 = T T=2  XZ

0

Nel limite T veri a he

d!0

h



j !0;  0 !0 ;  0 e i(! !0 )t 1

Z T=2

T

T=2

dt0 ei(!

!0 )t0

:

! 1 l'integrazione su t0 produ e 2 Æ(! !0) , per ui si

on l'identi azione

%'

T 0 % ; 2 

w 0 (!) = h!;  j i h j !;  0 : In parti olare la probabilita lassi a w (!) he una data parti ella del fas io abbia l'energia ~! nel anale  oin ide on l'espressione quantome

ani a e sono assenti i termini misti on ! 6= !0 , he sono propri della oerenza quantome

ani a. Le uni he eventuali oerenze residue riguardano gli altri numeri quanti i, non piu l'energia9. Nel aso di punti materiali liberi di muoversi in una sola dimensione, il risultato appena ottenuto pone le basi per l'interpretazione operativa delle soluzioni stazionarie e delo alizzate dell'equazione di S hroedinger in presenza di barriere di potenziale, gia studiate al x6.3: esse eettivamente des rivono la frazione di parti elle trasmesse e ri esse in un fas io stazionario. Le stesse onsiderazioni valgono per gli esperimenti di diusione in tre dimensioni he saranno trattati al ap.13.

7.8. Quantizzazione anoni a

Il postulato II aerma he ogni osservabile A del sistema si o S e rappresentata da un operatore autoaggiunto su HS , ma non di e nulla su

ome identi are tale operatore a priori, in una data rappresentazione di HS , senza dover passare attraverso la ri ostruzione operativa espli ita ottenuta misurando opportune probabilita di transizione. An he se in linea di prin ipio la ri ostruzione operativa e suÆ iente ai ni delle predizioni su su

essivi esperimenti he oinvolgano l'osservabile A (questa osservazione riassume l'idea originale di Heisenberg della osiddetta \me

ani a delle matri i" [Hei63℄), dal punto di vista sia prati o he on ettuale e 9Queste oerenze residue sono importanti, ad esempio, per la des rizione dello s attering di fas i polarizzati.

240

Quantizzazione anoni a

molto importante poter disporre di regole per al olare la forma operatoriale espli ita delle osservabili piu rilevanti. Nel aso di osservabili dotate di analogo lassi o, tali regole sono riassunte nella osiddetta quantizzazione anoni a. Le osservabili ostituite dalle oordinate artesiane q1 ; q2 ; : : : ; qn e dai relativi momenti oniugati p1 ; p2 ; : : : ; pn di un sistema si o S sono rappresentate in me

ani a quantisti a da operatori autoaggiunti q1 ; q2 ; : : : ; qn e p1 ; p2 ; : : : ; pn he soddisfano alle regole di

ommutazione anoni he (7.93)

[qj ; qk ℄ = 0 ; [pj ; pk ℄ = 0 ; [qj ; pk ℄ = i~Æjk :

Ad ogni osservabile lassi a A(q1 ; : : : ; qn ; p1 ; : : : ; pn ) orrispondono tutti gli operatori autoaggiunti A^(q1 ; : : : ; qn ; p1 ; : : : ; pn ) tali he A^ = A nel limite formale ~ ! 0 in ui tutte le variabili anoni he ommutano. Varie osservazioni sono ne essarie. Innanzitutto, ri ordiamo he le parentesi di Poisson proprie delle qj e pj si s rivono (7.94) fqj ; qk g = 0 ; fpj ; pk g = 0 ; fqj ; pk g = Æjk ; e per de nizione ssano le p.d.P. di tutte le osservabili lassi he. Analogamente, almeno al livello formale, le regole di ommutazione anoni he (7.93) determinano le parentesi di ommutazione di ogni oppia di operatori A e B he siano funzioni analiti he simultaneamente di tutte le qj e pj ( on ordinamento ssato!). Ci basta infatti veri are ome il

ommutatore possieda le stesse proprieta algebri he delle p.d.P., vale a dire [A ; B ℄ = [B ; A℄ [A + B ; C ℄ = [A ; C ℄ + [B ; C ℄ [AB ; C ℄ = A[B ; C ℄ + [A ; C ℄B [A ; [B ; C ℄℄ + [B ; [C ; A℄℄ + [C ; [A ; B ℄℄ = 0 : Abbiamo quindi la orrispondenza formale tra me

ani a lassi a e me

ani a quantisti a (7.95) fA; B g ! (i~) 1 [A ; B ℄ Per quanto riguarda il signi ato pre iso della relazione di ommutatore tra posizioni e momenti, e opportuno ri hiamare il teorema di Wintner gia enun iato nel x5.2.3, il quale aerma he gli operatori anoni i q; p non possono essere entrambi limitati. (Il fatto he essi non possano essere entrambi rappresentabili da matri i nite r  r e ovvio, in quanto si avrebbe subito la ontraddizione 0 = Tr [q ; p℄ = i~Tr 1 = i~r ). Quindi la relazione [q; ; p℄ = i~1 va propriamente intesa ome valida solo in un sottoinsieme denso di uno spazio di Hilbert in nito-dimensionale. In tal aso esistono moltepli i realizzazioni di oppie anoni he he non sono 241

Lo sviluppo formale della me

ani a quantisti a

sempli i ris alamenti q ! q; p ! p= le une delle altre (si veda l'esempio dis usso in x7.6.3). Il teorema di Von Neumann (vedi an ora al x5.2.3) i assi ura he se lo spazio delle on gurazioni, vale a dire lo spettro delle osservabili di posizione q; , oin ide on Rn , allora ogni rappresentazione irridu ibile delle regole di ommutazione anoni he e equivalente a quella

osiddetta di S hroedinger, vale a dire qj = moltipli azione per qj pj = i~ q ; j de nita sulle funzioni d'onda (q1 ; : : : ; qn ) . Una formulazione piu pre isa di questo risultato, nella quale si evitano le sottigliezze legate alla natura illimitata di q e p , e quella proposta da Weyl. Possiamo limitar i al aso di una sola oppia q; p e sostituire [q ; p℄ = i~1 on le regole di ommutazione anoni he alla Weyl: T (a) T (a0 ) = T (a0 ) T (a) ; V (b) V (b0 ) = V (b0 ) V (b) (7.96) T (a) V (b) = e iab=~ V (b) T (a) : Per ipotesi T (a) e V (b) sono operatori unitari per ogni a; b 2 R e le regole (7.96) valgono su tutto lo spazio di Hilbert. Si dimostra allora he tutte le rappresentazioni irridu ibili delle (7.96) sono equivalenti a quella in ui lo spazio di Hilbert e L2 (Rn ) e (T (a) )(x) = (x a) ; (V (b) )(x) = e ibx=~ (x) : Gli operatori q e p sono quindi re uperati ome generatori (vedi x7.6.3 e soprattutto x9.1.3) di V (b) e T (a) , rispettivamente. q risulta ben de nito su tutti i vettori j i tali he il limite i~ (7.97) lim [V (b) 1℄ j i := q j i b!0 b esiste in senso forte. Analogamente il dominio di p e ostituito dai vettori ji tali he esiste in senso forte il limite i~ (7.98) lim [T (a) 1℄ j i := q j i : a!0 a Com'e noto, questo i permette di identi are T (a) e V (b) on gli esponenziali e iap=~ e e iaq=~ , rispettivamente. Le regole di ommutazione

anoni he per q e p seguono dalle (7.96) nel limite di a e b in nitesimi. Dobbiamo in ne osservare he la portata eettiva delle regole della quantizzazione anoni a sulla ostruzione dell'operatore he rappresenta una generi a osservabile lassi a e in realta molto limitata. La me

ani a quantisti a e una generalizzazione della me

ani a lassi a, per ui possono esistere moltepli i osservabili quantome

ani he he si ridu ono alla 242

Quantizzazione anoni a

stessa osservabile lassi a nel limite formale ~ ! 0 . La quantizzazione

anoni a e non ambigua solo per quanto riguarda le ossevabili di base,

ioe le oordinate artesiane ed i momenti ad esse oniugati. Gia per quanto riguarda la \quantizzazione" di un sistema lassi o in oordinate lagrangiane generi he non vi sono regole a priori generalmente valide. Lo stesso di asi per una generi a osservabile lassi a A(q1 ; : : : ; qn ; p1 ; : : : ; pn ) : vi sono svariate pro edure, tutte a priori egualmente valide, per risolvere il problema dell'ordinamento dovuto al fatto he le qj non ommutano piu on le pj , introdu endo un'ambiguita di base su termini di ordine ~. Nell'App. B.8 sono illustrate al une di queste regole di orrispondenza. La lezione nale e he non esiste in generale un'uni a legge di quantizzazione per tutte le osservabili. Per erte osservabili di fondamentale importanza pero, ome l'energia ed il momento angolare, vi sono argomentazioni basate su prin ipi di simmetria he risultano molto stringenti (vedi al

ap. 9). Dato he questi prin ipi sopravvivono indenni il passaggio dalla me

ani a lassi a alla me

ani a quantisti a, essi fornis ono un punto di riferimento determinante per la quantizzazione. Osservazione. Grazie al teorema di Von Neumann possiamo a buon diritto las iar de nitivamente adere la notazione qj e pj spe i a della me

ani a quantisti a: d'ora in poi indi heremo on qj e pj indistintamente le variabili lassi he e gli operatori quantome

ani i. In parti olare, questo si appli a an he ai vettori posizione xj ed ai vettori momento pj di una ollezione di N parti elle. 7.8.1. Equazioni di Heisenberg-Hamilton. Fa endo riferimento alle equazioni di Heisenberg (7.85) ed alla orrisponenza formale (7.95), si ottengono le seguenti equazioni del moto di Heisenberg-Hamilton per un sistema on oordinate anoni he (qj ; pj ) ed Hamiltoniana H = H (q; p) , H H ; p_ j = (i~) 1 [pj ; H ℄ = : (7.99) q_j = (i~) 1 [qj ; H ℄ = pj qj Non bisogna tuttavia dimenti are he si tratta di equazioni operatoriali, di fatto equivalenti all'equazione di S hroedinger, e he riassumono per io tutte le aratteristi he della me

ani a quantisti a. In erti asi parti olari e possibile approssimare le (7.99) on equazioni ordinarie per i valori medi delle variabili anoni he. Ad esempio, per una parti ella on Hamiltoniana tipi a H = p2 =2m + V (x) , dalle (7.99) otteniamo subito il osiddetto Teorema di Ehrenfest hx_ i = m1 hpi ; hp_ i = hF (x)i : dove F = rV e la forza he agis e sulla parti ella e h
i rappresenta il valor medio in un erto stato j i . Queste equazioni non i permettono 243

Lo sviluppo formale della me

ani a quantisti a

an ora di aermare he i valori medi del momento e della posizioni ubbidis ano alle leggi lassi he del moto, in quanto, in generale hF (x)i 6= F (hxi) . Si noti he la parti ella libera, la parti ella in un ampo ostante e l'os illatore armoni o sono gli uni i esempi dove vale inve e l'equaglianza per ogni j i . Negli altri asi, l'approssimazione p_ ' F (hxi) sara tanto migliore quanto piu le anarmoni ita del potenziale sono pi

ole nella regione di spazio in ui la funzione d'onda hxj i e non tras urabile.

7.9. Preparazioni e misure I postulati I, II, III e IV de nis ono la struttura minimale della me

ani a quantisti a, nella quale il problema della des rizione e degli eetti del pro edimento di misurazione e volutamente ignorato. In eetti, nella versione minimale della me

ani a quantisti a sono ontemplate due

ategorie ben distinte di oggetti: i sistemi si i su ui si eettuano gli esperimenti, he abbiamo indi ato sin qui on il generi o simbolo S , e gli apparati sperimentali on ui si eettuano le osservazioni, he indi heremo qui ol generi o simbolo A . I primi sono des ritti dalla me

ani a quantisti a minimale, in a

ordo on i suddetti postulati. I se ondi sono oggetti per de nizione lassi i, le ui transizioni tra stati ma ros opi i distinti e ben de niti ostituis ono il risultato degli esperimenti. A questi stati ma ros opi i non vengono appli ate le regole della me

ani a quantisti a: l'ago di un indi atore si trova per ipotesi in uno stato on posizione e momento ben de niti, i \ li k" di un ontatore Geiger o si sentono o non si sentono, in una amera a bolle si osservano tra

e ben pre ise, non ma

hie asuali. In modo del tutto generale, dal punto di vista della funzione logi a di A , possiamo des rivere lo stato di un apparato A in termini dell'o

upazione o meno delle elle di memoria di un omputer, usato per memorizzare ed analizzare i risultati di un esperimento: gli stati di questa memoria non sono linearmente sovrapponibili, al ontrario di quelli del sistema si o, le

ui misurazioni hanno tuttavia dato origine a parti olari transizioni nella memoria del omputer. Dato he l'apparato A e omunque esso stesso un sistema si o, os ome la ombinazione S [ A rilevante per des rivere il pro esso di misura, e hiaro he la versione minimale della me

ani a quantisti a non ore una rappresentazione del tutto soddisfa ente del mondo si o. La stessa distinzione tra S ed A , in un determinato esperimento, non e generalmente univo a e ambia radi almente da un esperimento all'altro. Si tratta di una distinzione logi a, an or piu he operativa, he resta inevitabilmente al di fuori della me

ani a quantisti a minimale. D'altronde e la stesso postulato III, os ome sopra formulato, 244

Preparazioni e misure

he presuppone l'esistenza di apparati di misura ome oggetti lassi i, on stati sempre ben de niti ed oggettivamente ri onos ibili. Da questo punto di vista la me

ani a quantisti a minimale e an he epistemologi amente in ompleta: essa ha bisogno della me

ani a lassi a per la sua stessa de nizione. Inoltre, al ontrario della me

ani a

lassi a, la me

ani a quantisti a fa uso di oggetti matemati i, ome i vettori di stato, he non rappresentano quantita direttamente osservabili. Per questa ragione, ogni tentativo di ompletare la me

ani a quantisti a, e/o di formularla su basi indipendenti, deve innanzitutto dare una interpretazione di questa parte non direttamente osservabile; si tratta della ve

hia e tormentata questione: \ he os'e, dal punto vista si o oggettivo, la funzione d'onda?". Si noti he tale questione e del tutto irrilevante se ondo la me

ani a quantisti a minimale. Quest'ultima infatti non fa riferimento a singoli oggetti reali, ma soltanto ai risultati, statisti amente des ritti, di esperimenti eseguiti se ondo pre ise modalita: gli oggetti di tali esperimenti (atomi, elettroni, et .) sono solo impli itamente de niti dalle relative osservabili, intese nel senso operativo del termine10. Al ontrario, una interpretazione di tipo realisti o della me

ani a quantisti a ri hiede he il formalismo matemati o della teoria fa

ia riferimento a sistemi si i oggettivi, onsiderati singolarmente. Questo signi a

he an he la funzione d'onda, sebbene non direttamente osservabile, deve

ostituire una proprieta oggettiva del sistema si o in esame. Come tale essa risulta ostantemente asso iata al sistema ed e quindi ne essario des riverne l'evoluzione an he durante il pro esso di misurazione. Questo

ostituis e il problema della teoria della misura in me

ani a quantisti a, a tutt'oggi fondamentalmente irrisolto. Va omunque ribadito he si tratta di un problema solo per una interpretazione realisti a della me

ani a quantisti a: all'interno della des rizione minimale esso sempli emente non esiste. Supponiamo allora he il sistema S , al momento della misura della generi a osservabile A mediante l'apparato sperimentale A , si trovi nello stato puro % = j ih j ( h j i = 1 ) e he j i non sia un autovettore di A . Se l'esperimento e di prima spe ie ed a e il risultato osservato (si assuma per il momento he (A) sia dis reto e a non degenere), risulta naturale assumere he lo stato del sistema, immediatamente dopo la misurazione, sia l'autostato di A orrispondente all'autovalore a , ioe 10Spingendo al limite questa argomentazione, si arriva piuttosto paradossalmente a negare l'esistenza stessa degli oggetti mi ros opi i: l'uso di on etti quali \mole ole", \atomi" ed in genere \parti elle", sarebbe solo una s or iatoia terminologi a per indi are piu o meno omplesse aratteristi he degli apparati e delle pro edure sperimentali, non he delle relative rappresentazioni e manipolazioni matemati he, fa endo omunque riferimento solo a stati lassi amente des ritti.

245

Lo sviluppo formale della me

ani a quantisti a

%a = jai haj 11. Dopo tutto quanto appena des ritto non e altro he una preparazione ompleta (si veda il x7.1). In un ulteriore esperimento, atto a misurare un'altra generi a osservabile B , dovremo appli are le regole della me

ani a quantisti a, in parti olare il postulato III, fa endo riferimento allo stato %a os preparato. Quindi l'eetto della prima osservazione e stato quello di ambiare lo stato % nello stato %a . Tale pro esso prende omunemente il nome di pre ipitazione o riduzione del pa

hetto d'onda e se ondo le interpretazioni realisti he del formalismo della me

ani a quantisti a esso ostituis e un fenomeno si o oggettivo, da as rivere all'interazione tra il sistema si o S e l'apparato di misura A . E proprio questo il punto in ui si manifesta l'indeterminismo della des rizione quantome

ani a dei fenomeni si i: mentre l'evoluzione di S hroedinger e perfettamente deterministi a, la riduzione del pa

hetto d'onda e intrinse amente a ausale: la onos enza dello stato iniziale % del sistema S non ssa univo amente quale autovalore a verra osservato, per ui ripetizioni dello stesso esperimento fornis ono risultati diversi, indipendentemente dall'a

uratezza sperimentale. A questo punto le versioni realisti he della me

ani a quantisti a si diversi ano, a se onda della des rizione dinami a assunta per l'apparato ma ros opi o A e la sua interazione on il sistema S . Non e questo il luogo per addentrarsi in una temati a omplessa e spinosa ome quella del passaggio, all'interno della me

ani a quantisti a, dal mondo mi ros opi o a quello ma ros opi o (si vedano ad esempio [D'E71, WZ83, Omn94℄). Qui i limitiamo a distinguere tra due linee fondamentalmente distinte. Nella prima si assume he la me

ani a quantisti a fornis a una des rizione ompleta del mondo si o, in lusi gli oggetti ma ros opi i, he sono da onsiderare \sempli emente" ome sistemi omposti da moltissimi oggetti mi ros opi i. Se ondo questa linea di pensiero l'apparato di misura A e ompletamente des ritto da un opportuno spazio di Hilbert HA e la sua dinami a e governata da un'opportuna, sebbene ompli atissima, Hamiltoniana HA , on relativa equazione di S hroedinger, proprio

ome il sistema S sotto esame. La misurazione di una osservabile A di S mediante A ostituis e un parti olare tipo di interazione tra S e A , des ritta da una Hamiltoniana HAS he agis e nel prodotto diretto dei due spazi di Hilbert HAS = HA HS . I risultati dell'esperimento sono leggibili da ambiamenti ma ros opi i dello stato di A indotti da tale interazione. Il fatto he questi siano oggettivamente ben de niti (ina

uratezze sperimentali a parte), senza piu al una tra

ia apparente 11Se ondo Dira questo e un inevitabile prin ipio di ontinuita si a: se lo stesso

esperimento venisse ripetuto subito dopo, il risultato sarebbe ertamente a . Queste

onsiderazioni risultano parti olarmente pregnanti se A e una ostante del moto.

246

Preparazioni e misure

della oerenza quantome

ani a propria dei sistemi mi ros opi i, va attribuito alle parti olari aratteristi he della dinami a dei sistemi ma ros opi i. Questo s hema on ettuale e senz'altro molto attraente, ma va detto he, nonostante moltepli i tentativi piu o meno validi, non ne esiste an ora una formulazione del tutto onvin ente. Si noti an he he in questa otti a non e le ito onsiderare una misurazione ome un pro esso istantaneo, ne assumere he due misurazioni possono essere arbitrariamente vi ine nel tempo. Se ondo l'altra linea di pensiero, la me

ani a quantisti a, almeno os ome presentata sinora, sarebbe fondamentalmete in ompleta, vuoi per he essa tras urerebbe erti gradi di liberta dei sistemi si i (le osiddette variabili nas oste) la ui ompleta onos enza eliminerebbe ogni fattore di indeterminazione, vuoi per he l'equazione di S hroedinger sarebbe solo un'approssimazione lineare di equazioni del moto piu omplesse, apa i di interpolare in modo ontinuo tra il omportamento quantome

ani o degli oggetti mi ros opi i e quello lassi o dei sistemi ma ros opi i. Nel seguito torneremo sulla temati a delle variabili nas oste, in relazione alle fondamentali diseguaglianze di Bell. Per il momento, fa endo ri orso alle matri i densita ed alle famiglie spettrali, possiamo fa ilmente estendere il formalismo della riduzione del pa

hetto d'onda al aso generale di un arbitrario stato iniziale % (puro o misto

he sia) e di un'arbitraria osservabile A . Se % e lo stato del sistema all'istante t0 della misurazione di A mediante un esperimento di prima spe ie, e viene osservato un risultato ompreso nel sottoinsieme boreliano b , lo stato del sistema \immediatamente dopo" vale

%0 =

EA (b)%EA (b) : Tr %EA (b)

Questa espressione appare ovvia, se riguardiamo lo stato %0 ome stato iniziale di un su

essivo esperimento, preparato dalla misurazione di A : lo stato % viene ltrato in base a quanto si e eettivamente veri ato. Infatti %0 e per ostruzione una somma onvessa di autostati di A ed e propriamente normalizzata grazie al denominatore, he oin ide on la probabilita PrA (b) di osservare un valore di A ompreso nel sottoinsieme b (si noti he se PrA (b) non puo annullarsi, poi he per ipotesi viene eettivamente osservato un valore di A ompreso in b ). Se nel su

essivo esperimento viene misurata l'osservabile B all'istante t , la probabilita di osservarne un valore ompreso in b0 si s rive, in base ai postulati III e IV: Tr U (t; t0 )EA (b)%EA (b)U (t; t0 )y EB (b0 ) : PrB (b0 ) = Tr %0 (t)EB (b0 ) = Tr %EA (b) 247

Lo sviluppo formale della me

ani a quantisti a

Ovvero, sfruttando la i li ita della tra

ia, Tr %EA (b)EB(t) (b0 )EA (b) (7.100) PrB (b0 ) = ; Tr %EA (b) dove B (t) = U (t; t0 )y BU (t; t0 )y rappresenta l'osservabile B nella des rizione di Heisenberg. La struttura di questa espressione e quella tipi a di una probabilita ondizionata, nella quale il numeratore va identi ato on la probabilita ongiunta PrAB (b; t0 ; b0 ; t) he nell'esperimento

omplessivo, ostituito dalla preparazione dello stato % ( he in questo esempio onsideriamo terminata all'istante t0 ), dalla misurazione di prima spe ie dell'osservabile A allo stesso tempo t0 , dall'evoluzione indisturbata da t0 a t ed in ne dalla misurazione dell'osservabile B , i risultati per A e per B siano ompresi rispettivamente nei sottoinsiemi boreliani b e b0 . Quali he siano le impli azioni epistemologi he he si vogliano dare alla fondamentale formula (7.100), essa risulta sperimentalmente veri ata. Possiamo quindi riguardare la me

ani a quantisti a minimale, on i suoi quattro fondamentali postulati, ome un paradigma omputativo

apa e di fare previsioni sorprendentemente a

urate su esperimenti lassi amente in omprensibili. Per oloro he si a

ontentano di questo, he non e po o, non i sono problemi on la me

ani a quantisti a minimale, almeno no ad oggi.

7.9.1. L'esperimento delle due fenditure. Nel x5.2.1 abbiamo a

ennato all'esperimento delle due fenditure. Vogliamo ora analizzarlo piu a

uratamente dal punto di vista dei fondamenti della me

ani a quantisti a esposti in questo apitolo. Lo s opo e quello di illustrare al uni aspetti fondamentali della rappresentazione matemati a delle operazioni di preparazione e misura. L'esperimento si divide in tre momenti pre isi. La prima fase, he sembra naturale de nire di preparazione, onsiste nella produzione di un fas io di parti elle massive, ad esempio elettroni; questo fas io e per ipotesi stabile, ben ollimato, quasi mono romati o ed orientato nella direzione z > 0 . Nella se onda fase le parti elle in idono su uno s hermo posto in z = 0 e dotato di due fenditure f+ e f , orientate lungo y e situate in x = d=2 . In ne nella terza fase le parti elle vengono rivelate, tramite un parti olare tipo di interazione, da una lastra fotogra a posta in z = L o da uno strumento analogo. Questa suddivisione e innanzitutto di tipo logi o: noi possiamo onsiderare un esperimento ostituito dalla sola produzione, uno ostituito dalla produzione e rivelazione sulla lastra fotogra a ed in ne l'esperimento ompleto, nel quale lo s hermo viene interposto fra la sorgente e la lastra. Appare naturale ollegare 248

Preparazioni e misure

questa suddivisione logi a on quella temporale: le parti elle sono prima emesse dalla sorgente, quindi interagis ono on lo s hermo ed in ne vengono rivelate sulla lastra. Inoltre e hiaro he la nostra informazione sulla fase di preparazione dis ende da rivelazioni su

essive (la stessa rivelazione fotogra a e/o rivelazioni di altro tipo). Sono proprio queste ultime ad insegnar i he il fas io e omposto da parti elle, ias una delle quali determina una singola ma

hia sulla lastra. Si noti in ne he, nel suo omplesso, l'esperimento e di se onda spe ie (vedi x7.1): esso si on lude on la \distruzione" delle parti elle rivelate tramite le ma

hie sulla lastra. La grandezza si a misurata nell'esperimento e la distribuzione delle ma

hie sulla lastra fotogra a, de nita ome la frazione delle ma

hie in una pi

ola area entrata nel punto (x; y) . Piu pre isamente, dato he il pro esso in questione e di tipo stazionario, nel senso des ritto al x7.7.3, la grandezza misurata e il usso di parti elle attraverso l'areola entrata in (x; y) . Il rapporto tra quest'ultimo ed il usso totale, ioe la densita di usso F (x; y) , oin ide on la probabilita per unita di tempo di rivelare in (x; y) una data, singola parti ella, a patto di onsiderare l'esperimento nel suo omplesso ome la ripetizione di un identi o esperimento \elementare" he oinvolge una sola parti ella alla volta. Questa interpretazione risulta naturale se onsideriamo fas i di debolissima intensita e, in parti olar modo, se teniamo onto he la stessa gura di interferenza si ottiene ri omponendo i risultati di esperimenti parziali ondotti, nelle stesse ondizioni, in tempi e luoghi diversi. La me

ani a quantisti a, attraverso il postulato III, i fornis e un modo per al olare F (x; y) ome valor medio di un'opportuna osservabile J (x; y) in un opportuno stato % he si suppone des rivere una parti ella del fas io: (7.101) F (x; y) = Tr % J (y; z ) : Il primo problema e quindi quello di rappresentare J (x; y) ome operatore autoaggiunto nello spazio di Hilbert della parti ella. Abbiamo J (x; y) = Jz (x; y; L) dove J (x) = 21 (v jxihxj + jxihxj v) ; e v = p=m e l'operatore velo ita. Si tratta della traduzione quantome

ani a diretta della nozione lassi a di orrente per una parti ella: essa e on entrata nella posizione della parti ella ed ivi oin ide on la velo ita. Possiamo veri are subito he, per uno stato puro j ih j , nella rappresentazione della posizione si ottiene h

i

ih j J (x) = m~ Im (x)r k (x)  j (x) ;

he e proprio la orrente di probabilita introdotta in x5.2.6. (7.102)

Tr j

249

Lo sviluppo formale della me

ani a quantisti a

Il se ondo passo onsiste ora nella determinazione di % . Osservazione. Considerando la fase di preparazione, nel senso pre-

iso spe i ato in x7.1, terminata on l'ottenimento del fas io in idente sullo s hermo, stiamo in prati a trattando l'esperimento delle due fenditure ome un problema di s attering (vedi ap. 13), on lo s hermo fa ente le funzioni di potenziale. Potremmo allora riassumere l'interazione di una parti ella on lo s hermo aermando he la porzione di spazio materialmente o

upata dallo stesso risulta piu o meno pre lusa alla parti ella, mentre nella parte di spazio omplementare essa si muove in assenza di forze se ondo l'equazione libera di S hroedinger. Per la pre isione dovremmo spe i are se le parti elle sono assorbite o ri esse dallo s hermo (o se entrambe le eventualita possono veri arsi e on quale ampiezza di probabilita relativa). In funzione di questa pre isazione potremmo allora modellizzare la forma del potenziale orrispondente allo s hermo; ad esempio un potenziale in nitamente repulsivo orrisponde alle ondizioni di ri essione perfetta, mentre un potenziale on una parte immaginaria puo simulare l'assorbimento delle parti elle. Questi aspetti sono rilevanti se vogliamo studiare la probabilita di trasmissione, ri essione ed assorbimento, ma riguardano assai po o la questione he qui i interessa, he

onsiste nel fenomeno di interferenza osservato sulla lastra fotogra a. Evidentemente le parti elle he ontano sono quelle he hanno superato lo s hermo attraversando le fenditure12, per ui possiamo onsiderare terminata la fase di preparazione solo per queste ultime e riferire ad esse lo stato quantome

ani o % . Il pro esso omplessivo, essendo stazionario, e des ritto da una matri e di densita del tipo (7.92). Per quanto vogliamo qui illustrare possiamo tras urare i numeri quanti i  (il he equivale ad assumere he % sia una somma in oerente an he su  , senza oerenze residue). In assenza dello s hermo le autofunzioni hxj !i dell'energia sono proporzionali alle onde piane eikz , on k > 0 e ! = ~k2 =2m . La presenza dello s hermo ambia la dipendenza da z ed introdu e una dipendenza da x e y , ma resta valida la relazione tra ! e k . In de nitiva, dobbiamo risolvere l'equazione libera di S hroedinger agli stati stazionari on energia E = ~2 k2 =2m , ovvero l'equazione di 12Non i si las i onfondere dal linguaggio adottato, he fa liberamente uso di ter-

mini ome quello stesso di \parti ella", o di espressioni ome \muoversi" e \passare attraverso". Esso inevitabilmente suggeris e l'idea di traiettoria, e quindi di un passaggio he avviene attraverso l'una o l'altra delle fenditure. Ma in assenza di rivelatori in grado di segnalar i la presenza di una parti ella in prossimita di una fenditura in un

erto intervallo di tempo, questa on lusione e priva di fondamento: per ipotesi, noi abbiamo rinun iato a rivelare le parti elle se non on la lastra fotogra a.

250

Preparazioni e misure

Helmholtz

(4 + k2 ) = 0 : Si tratta di un problema di dirazione tipi o dell'otti a ondulatoria: al olare l'ampiezza nella porzione di spazio tra lo s hermo e la lastra, sapendo he un'onda piana mono romati a in ide a sinistra sullo s hermo. Le ondizioni al ontorno vanno assegnate sul piano z = 0 (possiamo assumere he lo s hermo sia in prati a illimitato), non he \all'in nito". Sulla porzione di piano si amente o

upata dallo s hermo assumiamo

ondizioni di Neumann, ioe  =z = 0 , mentre sulla porzione di piano orrispondente alle fenditure poniamo  =z = ik , he e il valore ivi assunto dall'onda piana in idente (si tratta di una buona approssimazione per al olare lontano dallo s hermo). \All'in nito" abbiamo la

ondizione di radiazione, la quale ri hiede he de ada almeno ome r 1. Il teorema di Helmholtz-Kir hho-Green dell'otti a ondulatoria fa il resto: la funzione d'onda vale = ++ ; dove Z dx0 dy0 G(x; y; z ; x0 ; y0 ; 0)  (x; y; z ) = i k f

e G e la funzione di Green he soddisfa alle ondizioni di Neumann su tutto il piano z = 0 . Con il onsueto metodo delle immagini si ottiene Z ia k b=2 0 eikR ( x; y; L ) ' ; dy  2 R b=2 dove R2 = (x  d=2)2 + (y y0)2 + L2 ed a e la larghezza delle fenditure,

he possiamo assumere molto piu pi

ola delle altre lunghezze in gio o. Si noti he  non e normalizzabile rispetto alle variabili x e y , dato

he in un pro esso stazionario l'integrale di j  j2 rappresenta omunque il risultato di un esperimento di durata in nita. Al ontrario la densita di usso e normalizzabile, dato he il usso omplessivo attraverso le due fenditure e nito. Introdu iamo allora dei vettori di stato \solo rispetto a (y; z ) " hx; yj i = C0 (x; y; L) ; dove C0 e la ostante di normalizzazione (la stessa per entrambi gli stati) del usso totale Z

J=

F = h j J j i =

C02

Z +1

1

dxdy J (x; y)

dx dy Im 251





  (x; y; L) z  (x; y; L) = 1 :

Lo sviluppo formale della me

ani a quantisti a

Ritornando ora alla determinazione dello stato % , assumiamo per sempli ita il limite di un fas io strettamente mono romati o; la situazione reale orrisponde ad una somma in oerente di situazioni ideali di questo tipo, ma non introdu e modi he sostanziali: se F (x; y; !) e la densita di usso per un fas io mono romati o di frequenza ! = ~k2 =2m , allora

F (x; y) =

Z

d! w(!) F (x; y; !)

(somma in oerente! Vedi Eq. (7.92)) e la densita di usso per un fas io

on dispersione w(!) . Si noti omunque he la dispersione in energia tende a ous are il fenomeno di interferenza. Supponiamo inizialmente he solo una delle due fenditure sia aperta. Allora il sistema, inteso ome una singola parti ella in idente sulla lastra fotogra a, e des ritto dallo stato puro j  ih  j e la densita di usso F (x; y) si al ola ome in (7.102). Se entrambe le fenditure sono aperte, lo stato e an ora puro (7.103) % = j ih j ; j i = 21 j + i + 12 j i ; e dobbiamo sempre appli are la (7.102). Il fattore 1=2 in Eq. (7.103) serve a mantenere la normalizzazione Tr %J = 1 : si noti he an he i termini misti, ontenenti sia j + i he j i , ontribuis ono al usso totale, dato

he Re h + j J j i = h  j J j  i : Il modo piu rapido per veri are questa relazione sfrutta il fatto he, per la onservazione del usso, l'integrale di F (x; y) non puo dipendere da b e puo quindi essere valutato nel limite b ! 0 , ovvero + ! (in realta il limite inferiore di b e la larghezza delle fenditure a, ma nella nostra approssimazione a ! 0 ). La densita di usso F (x; 0) presenta (per x non troppo grandi e kd di ordine 1 ) la lassi a gura di interferenza dovuta alla sovrapposizione

oerente di j + i e j i , os ome qualitativamente des ritto nel x5.2.1. Per L  x; d; b possiamo approssimare ulteriormente  (x; 0; L) ome   ia b k expfik L + (x  d=2)2 =2L g ; (7.104)  (x; 0; L) ' 2L 1 + (x  d=2)2 =2L2 per ui, all'ordine piu basso he mantiene l'integrabilita in y , "

#3=2

  1 + 18 (d=L)2 2 kd x : F (x; 0) ' F (0; 0)

os 2L 1 + (x=L)2 + 18 (d=L)2 Supponiamo ora di avere a disposizione un tipo parti olare di rivelatore R , in grado di segnalare il passaggio di una parti ella in una data regione dello spazio senza assorbirla ne perturbarne il moto in modo apprezzabile. 252

Preparazioni e misure

Queste qualita possono essere veri ate interponendo R tra sorgente e lastra, senza lo s hermo on le fenditure, e onfrontando i risultati (numero omplessivo e distribuzione delle ma

hie) on la situazione in ui il rivelatore e assente. Posizioniamo quindi il rivelatore a ridosso di una delle fenditure, di iamo f+ , tra s hermo e lastra, e ripetiamo l'esperimento (si tratta di una situazione ideale nel aso degli elettroni, dato he la distanza tra le due fenditure, dell'ordine della lunghezza di De Broglie, e generalmente troppo pi

ola per un rivelatore reale; tuttavia esperimenti on ettualmente equivalenti sono possibili on geometrie ed apparati diversi e on parti olari spe ie di parti elle). Se R e eÆ iente, esso \s atta" ir a meta delle volte, nel senso he si veri a una orrelazione tra i \ li ks" del ontatore e meta delle ma

hie. D'altra parte, si osserva he la gura d'interferenza s ompare. La distribuzione delle ma

hie sulla lastra assume ora la forma F (x; y) = 21 [F+ (x; y) + F (x; y)℄ ed e an ora orrettamente normalizzata in quanto des rive sia le ma

hie

orrelate on i \ li ks" sia quelle anti- orrelate. Nella zona di nostro interesse vale l'approssimazione   F (x; 0) ' 12 F (0; 0) 1 + 18 (d=L)2  ( )    (x d=2)2 3=2 (x + d=2)2 3=2 1+ ; + 1+ L2 L2 da onfrontarsi on la (7.104). La me

ani a quantisti a minimale \spiega" il fenomeno nel seguente modo. Con l'introduzione del rivelatore l'esperimento e ambiato e dobbiamo quindi determinare nuovamente lo stato % he utilizzeremo per al olare F (x; y) . Il rivelatore funziona esattamente ome in un esperimento di prima spe ie: esso prepara il sistema (una data parti ella) in uno dei due stati puri j  ih  j , \ ltrando" l'insieme statisti o des ritto da j ih j . Nel linguaggio orrente si di e he esso \ridu e" o \pre ipita" lo stato puro j ih j in una mis ela statisti a j ih j ! 21 j +ih +j + 21 j ih j : Essa des rive due situazioni mutuamente es lusive: la parti ella o passa attraverso f+ , on probabilita 1=2 , o passa attraverso f , sempre on probabilita 1=2 . La piu diretta interpretazione realisti a della me

ani a quantisti a vorrebbe riguardare questa riduzione ome un fenomeno si o vero e proprio he si veri a al momento del passaggio di una data parti ella attraverso il rivelatore R . Esso sarebbe ausato dalle parti olari proprieta del rivelatore stesso ( he quando s atta subis e una transizione di stato ma ros opi a ed irreversibile) e della sua interazione on la parti ella. 253

Lo sviluppo formale della me

ani a quantisti a

Questa interpretazione ha pero svariati difetti. Innanzitutto, lo stesso fenomeno si o dovrebbe veri arsi an he quando, in ir a meta degli eventi \elementari", R non s atta e quindi non avviene al una transizione ma ros opi a ed irreversibile. In se ondo luogo, onsiderando la riduzione

ome una proiezione del vettore di stato da j i alla sua omponente lungo j + i o j i , avremmo a he fare on una transizione non unitaria e quindi non des rivibile all'interno della me

ani a quantisti a. Si noti in parti olare he questa visione ontrasta on l'osservazione sperimentale

he il usso totale delle parti elle e lo stesso on o senza il rivelatore. Esiste una spiegazione a prima vista elementare della questione, apa e di on iliare da un lato il radi ale eetto dell'introduzione di R e dall'altro l'esigenza he esso vada onsiderato alla stregua di un qualsiasi sistema si o, des rivibile in linea di prin ipio all'interno della me

ani a quantisti a. L'idea e la seguente. La aratteristi a fondamentale di R e di interagire on la parti ella S in modo tale da transire ertamente da uno stato j0ih0j ad uno stato j1ih1j , osservabilmente distinto da j0ih0j e quindi ad esso ortogonale. Ora, se la fenditura f e hiusa, lo stato omplessivo del sistema omposto S [ R , rilevante per le misurazioni di jyihyj sulla lastra fotogra a, vale senz'altro j + ih + j j1ih1j . Se f+ e hiusa, allora lo stato omplessivo vale senz'altro j + ih + j j0ih0j (abbiamo ta itamente assunto h0j 0i = h1j 1i = 1 ). In entrambi i asi il rivelatore non ha al un eetto sulle osservazioni di J (x; y) , he e un'osservabile del solo sistema S . Se entrambe le fenditure sono aperte, lo stato di S [ R deve essere, per via del prin ipio di sovrapposizione lineare 1 %= p 2



j + i j1i + j i j0i





h +j h1j + h j h1j :

Si tratta an ora di uno stato puro, nel quale pero esiste una ben pre isa

orrelazione tra il vettore di stato del rivelatore e quello della parti ella. La diversa normalizzazione rispetto all'Eq. (7.103) e dovuta al fatto he j +i j1i e ortogonale a j i j0i . E proprio l'ortogonalita di j0i e j1i a determinare la \riduzione": infatti, dato he J (x; y) agis e ome l'identita rispetto a R , abbiamo

F (x; y) = Tr %J (x; y) = 21 h + j J (x; y) j + i h1j 1i + h j J (x; y) j
+ h j J (x; y) j + i h0j 1i + h + j J (x; y) j i h1j 0i = 12 F+ (y; 0) + 21 F (y; 0)
= Tr 12 j + ih + j + 21 j ih j J (x; y) : 254

i h0j 0i

Preparazioni e misure

Al une osservazioni sono ne essarie per evitare di onsiderare troppo banale questo risultato. Innanzitutto, an he se equivalente alla mis ela statisti a propria della riduzione per quanto riguarda le osservabili del solo S , lo stato % e an ora uno stato puro: esso ontinua a ontenere tutte le

oerenze quantome

ani he he darebbero luogo a fenomeni di interferenza nella misurazione di opportune osservabili non banali an he su R . In se ondo luogo, non e aatto fa ile dimostrare he la transizione he avviene nel rivelatore sia una onseguenza dell'evoluzione quantome

ani a unitaria governata dalla Hamiltoniana omplessiva, he tenga onto dell'interazione tra R e S e delle aratteristi he interne di R . Non e omunque questo il luogo per addentrar i oltre in una temati a diÆ ile e spinosa, dove spesso la si a viene persa di vista a favore della loso a (per approfondimenti si veda per esempio [WZ83℄). Conviene solo notare ome la \spiegazione" appena fornita del me

anismo di riduzione porti ad una visione della natura piuttosto uriosa, dove le interazioni passate on oggetti lontani nel tempo e nello spazio vanno sempre in luse nella des rizione degli eventi attuali: lo s hermo ed il rivelatore potrebbero essere molto lontani dalla lastra fotogra a, rendendo piuttosto misterioso l'utilizzo dello stato omplessivo di S [ R per al olare una probabilita relativa al solo sistema S . Nel prossimo paragrafo esamineremo un'altra straordinaria istanza di questo aspetto intrinsi amente \non-lo ale" della me

ani a quantisti a.

7.9.2. Diseguaglianze di Bell. Consideriamo un sistema si o S

omposto da due sottosistemi S1 e S2 , ed una oppia di strumenti in grado di misurare separatamente osservabili dell'uno o dell'altro sottosistema. Per gli s opi della presentazione non e ne essario fare riferimento a sistemi si i on reti, ma tale s elta rende piu immediata l'esposizione. Parleremo quindi di parti elle dotate di spin 1/2 (vedi al x8.2.2) e di apparati di Stern-Gerla h vedi al x5.1.6). Si noti omunque he non abbiamo aatto bisogno della teoria quantome

ani a del momento angolare per de nire operativamente una parti ella di spin 1/2. Una tale parti ella e sempli emente il orpus olo, per ipotesi dotato di un momento magneti o, di un fas io he viene suddiviso in due da un apparato di Stern-Gerla h; l'osservabile spin (opportunamente normalizzata) vale +1 per tutti i orpus oli di un sottofas io e 1 per quelli dell'altro. Per misurare lo spin di una data parti ella, dobbiamo prepararla in modo he passi attraverso un apparato di Stern-Gerla h e quindi rivelarla su una o l'altra delle due direzioni. Inoltre, ome sappiamo, la stessa situazione si ripropone per ogni orientazione dell'apparato, per ui esiste un'osservabile spin per ogni orientazione. 255

Lo sviluppo formale della me

ani a quantisti a

Torniamo ora al sistema omposto, e denotiamo on a e b , rispettivamente, i versori he individuano le orientazioni dei due apparati. Sia inoltre A l'osservabile \spin di S1 relativa all'orientazione a " ed analogamente B quella di S2 . Si noti he esse sono re ipro amente ompatibili. L'esperimento in questione onsiste nella preparazione ripetuta di S in un erto stato, da una fase di evoluzione indisturbata e di durata variabile e quindi da una misurazione di A e B in regioni di spazio arbitrariamente lontane. Evidentemente la dinami a e le ondizioni sperimentali sono tali per ui la parti ella S1 attraversa un apparato e la parti ella S2 attraversa l'altro in almeno al une delle ripetizioni. Noi siamo interessati in questi asi soltanto e vogliamo studiare le orrelazioni tra l'osservazione di un erto valore per A da una parte e di B dall'altra al variare delle orientazioni a e b . Supponiamo ora he i valori misurati di A e B dipendano, oltre he dalle orientazioni a e b dei magneti, an he da un insieme di parametri,

he ra

ogliamo in un uni o simbolo  , e he rappresentano tutte le ondizioni rilevanti ma ignote dell'esperimento. L'ipotesi fondamentale he vogliamo mettere alla prova e se possono esistere delle funzioni A(a; ) = 1 e B (b; ) = 1 he rappresentano le osservabili A e B . Si tratta

ioe di tentare una des rizione lassi a, deterministi a e lo ale dell'esperimento. In una des rizione non lo ale dovremmo ammettere an he funzioni della forma A(a; b; ) e B (a; b; ) : esse impli herebbero una dipendenza di quanto osservato da una parte dalle s elte fatte dall'altra parte, he potrebbe essere distante anni-lu e. Poi he non sappiamo nulla sui valori assunti dalle variabili nas oste , he possono ambiare da una osservazione all'altra, dobbiamo fare una media su di essi. Sia f () la distribuzione di probabilita, omunque ignota, di  . Allora, per ssate orientazioni, la orrelazione tra A e B si s rive (7.105)

C (a; b) =

Z

d f () A(a; )B (b; ) :

Ora onsideriamo altre due orientazioni a0 ; b0 e al oliamo

C (a; b) C (a; b0 ) = =

Z Z Z



d f () A(a; )B (b; ) A(a; )B (b0 ; )











d f ()A(a; )B (b; ) 1  A(a0 ; )B (b0 ; )

d f ()A(a; )B (b0 ; ) 1  A(a0 ; )B (b; ) : 256

Preparazioni e misure

Dato he jA(a; )j = 1 = jB (b; )j e f () e per de nizione nonnegativa e normalizzata, otteniamo ora Z   0 jC (a; b) C (a; b )j  d f () 1  A(a0; )B (b0; ) + ovvero

Z



d f () 1  A(a0 ; )B (b; )



  = 2  C (a0 ; b0 ) + C (a0 ; b) ;

jC (a; b) C (a; b0)j + jC (a0; b) + C (a0; b0)j  2 : Queste sono note ome diseguaglianze di Bell. Dato he queste dis-

eguaglianze sono state derivate senza fare al un riferimento alla me

ani a quantisti a, non e aatto detto he la me

ani a quantisti a le rispetti. Supponiamo he il sistema S sia una parti ella di spin 0 , nel senso he non venga de essa dall'apparato di Stern-Gerla h, per qualunque orientazione dei magneti. Supponiamo inoltre he S possa \de adere" nella

oppia S1 , S2 di parti elle di spin 1/2. Questo e proprio il pro esso des ritto sopra. Nel ap. 8 vedremo he lo stato di spin 0 ottenuto

omponendo due sistemi di spin 1/2 ha la pre isa espressione
j0; 0i = p1 j+i j i j i j+i ; 2 in termini degli stati ji delle due parti elle S1 e S2 . j+i e lo stato delle parti elle he vengono de esse da una parte, e j i quello delle parti elle de esse dall'altra, da un apparato di Stern-Gerla h orientato in un erto modo. L'orientazione pre isa non onta, dato he j0; 0i des rive uno stato invariante per rotazioni (vedi ap. 8). Cal oliamo ora espli itamente il orrelatore C (a; b) se ondo le regole della me

ani a quantisti a. Le osservabili A e B sono rappresentate rispettivamente dagli operatori a
 e b
 , dove  = (x ; y ; z ) e la terna delle matri i di Pauli he agis ono ome (7.106) x ji = ji ; y ji = i ji e z ji =  ji sugli stati delle parti elle S1 e S2 . L'asse z e per de nizione quello de nito da uno dei due apparati di Stern-Gerla h. La s elta e irrilevante poi he a
 e b
 sono operatori s alari, invarianti per rotazione. Con le regole (7.106) otteniamo subito C (a; b) = h0; 0j a
 a
 j0; 0i = a
b : Ponendo a
b = os  e s egliendo a0 = b e b0 = 2(a
b)b a , per

ui a0
b = 1 , a
b0 = os 2 e a0
b0 = os  , le diseguaglianze di Bell imporrebbero j os  os 2j + j os  + 1j  2 ; 257

Lo sviluppo formale della me

ani a quantisti a

ovvero

2 os  os 2  1 : per qualunque valore di  ompreso tra 0 e =2 . Ma questo e palesemente falso per un intero intervallo entrato in  = =3 . Dunque le diseguaglianze di Bell sono violate dalla me

ani a quantisti a e l'evidenza sperimentale punta de isamente dalla parte della me

ani a quantisti a [ADR82℄. Si noti he le ipotesi sotto le quali le diseguaglianze sono state derivate possono essere ulteriormente \alleggerite". Infatti possiamo an he evitare di assumere il determinismo esatto se ondo il quale le osservabili A e B assumono un valore de nito non appena a , b e  sono ssate. Supponiamo allora he esistano due algoritmi indipendenti di arbitraria natura per al olare i valori medi hAi = A(a; ) e hB i = B (b; ) a partire da una data rappresentazione matemati a delle osservabili A e B . Ad esempio, in una des rizione di tipo lassi o, potremmo separare dall'insieme di tutte le variabili nas oste quelle pertinenti alla sola osservazione di A , he denotiamo brevemente on 1 , e quelle pertinenti alla sola osservazione di B , denotate on 2 ; potremmo quindi introdurre due distribuzioni di probabilita indipendenti f1 (a; 1 ) e f2 (b; 2 ) per il veri arsi di A = +1 o A = 1 e di B = +1 o B = 1 , per ui avremmo Z  A(a; ) = d1 f1 (a; 1 )A(a; 1 ; ) ;

on un'espressione analoga per B . In una des rizione di tipo quantome

ani o avremmo regole diverse per al olare i valori medi, ma in generale la nozione piu intuitiva di lo alita ri hiede omunque he hAi non possa dipendere da b e vi eversa. Dunque l'espressione (7.105) per il orrelatore si generalizza subito alla Z (7.107) C (a; b) = d f () A(a; ) B (b; ) : Ma dato he i valori osservati di A e B sono 1 , i rispettivi valori medi sono numeri on modulo minore o al piu eguale ad uno e la dimostrazione pre edente ontinua a valere senza ne essita di modi he. In on lusione, la nozione di lo alita he sottende alla (7.107) e in

ontrasto on la me

ani a quantisti a: il fatto he i due sistemi si i S1 e S2 fossero un tempo strettamente legati in un sistema omposto S ontinua a far sentire i propri eetti an he quando S1 e S2 sono spazialmente separati a distanze arbitrarie.

258

CAPITOLO 8

Momento angolare La trattazione del momento angolare riveste un ruolo parti olarmente importante nel formalismo della me

ani a quantisti a. In primo luogo essa presenta un ulteriore notevolissimo esempio di due fenomeni tipi i della me

ani a quantisti a: la non ompatibilita di osservabili fondamentali

lassi amente ompatibili, e la dis retizzazione del loro spettro, lassi amente ontinuo. In se ondo luogo erte aratteristi he salienti della me

ani a quantisti a trovano esempi paradigmati i proprio nelle proprieta del momento angolare, grazie alla sempli azione fornita dalla natura dis reta, o addirittura nita, dello spettro di ias una omponente. In ne, an he se non erto per importanza, lo studio del momento angolare, spe ie in relazione on le rotazioni dello spazio si o R3 , ostituis e un esempio fondamentale dello straordinario ruolo svolto in me

ani a quantisti a dalla teoria dei gruppi e delle loro rappresentazioni. Questo aspetto verra trattato in modo generale nel prossimo apitolo, ui rimandiamo an he per ulteriori approfondimenti sulle rotazioni e sul momento angolare.

8.1. Momento angolare orbitale

Se ondo la me

ani a lassi a, un punto materiale lo alizzato in x on momento lineare p possiede un momento angolare orbitale

L=x^p: In eetti, per un punto materiale L oin ide on il momento angolare totale J , inteso ome funzione generatri e delle trasformazioni anoni he (8.1)

orrispondenti alle rotazioni dello spazio si o R3 . Per una ollezione di punti materiali possiamo inve e distinguere tra il momento angolare orbitale dell'intera ollezione, L = X ^ P , dove X e la posizione del

entro di massa e P il momento totale, e il momento angolare interno (8.2)

M=

X

n

(xn

X ) ^ pn :

M oin ide on la somma dei momenti angolari orbitali di ias una

parti ella misurati relativamente al entro di massa del sistema. Per 259

Momento angolare

ostruzione L + M = J . Com'e noto, onsiderazioni analoghe valgono nel aso dei mezzi ontinui e dei ampi, quali quello elettromagneti o e gravitazionale. Consideriamo ora la des rizione quantome

ani a di un singolo punto materiale. Come sappiamo, essa onsiste nel promuovere x e p ,  = (1; 2; 3) = (x; y; z ) , ad operatori autoaggiunti nello spazio di Hilbert degli stati, on regole di ommutazione anoni he [x ; p ℄ = i~ Æ . Sappiamo an he he alle osservabili lassi he, ioe alle funzioni a volori reali A(x; p) vengono a orrispondere, in generale, diversi operatori autoaggiunti, e quindi diverse osservabili quantome

ani he. Questo ostituis e il problema dell'ordinamento gia dis usso nel x5.2.3 e x7.8. Le tre

omponenti del momento angolare orbitale (8.3) L =  x p ovvero Lx = ypz zpy ; Ly = zpx xpz ; Lz = xpy ypx ; non sorono di al un problema di ordinamento, per ui risulta naturale (prin ipio di orrispondenza) identi are in L an he il momento angolare orbitale quantome

ani o. Come vedremo nei prossimi paragra , si tratta di una identi azione naturale in base al ruolo di generatore delle rotazioni rivestito dal momento angolare. Una onseguenza immediata della relazione (8.1) e un nuovo prin ipio di indeterminazione: non e piu possibile attribuire simultaneamente un valore esatto a piu di una omponente di L . Infatti le tre omponenti Lx , Ly e Lz non sono osservabili ompatibili, ma soddisfano alle regole di ommutazione [Lx ; Ly ℄ = i~ Lz ; [Lz ; Lx ℄ = i~ Ly ; [Ly ; Lz ℄ = i~ Lx ;

he possiamo riassumere on isamente nella (8.4) [L ; L ℄ = i~  L ; o, equivalentemente, [a
L ; b
L℄ = i~ (a ^ b)
L ; dove a e b sono arbitrari vettori \ -numero"1. D'altra parte, e fa ile veri are he il modulo quadro di L , vale a dire L2 = L
L = L2x + L2y + L2z ;

ommuta on ias una omponente [L2 ; Lx ℄ = [L2 ; Ly ℄ = [L2 ; Lz ℄ = 0 ; 1Con -numero si intende un numero lassi o, ioe un multiplo dell'operatore identita. Al ontrario un \q-numero" e un operatore non banale sullo spazio di Hilbert.

260

Momento angolare orbitale

ovvero, piu in breve

[L2 ; L℄ = 0 : Di onseguenza L2 ed una delle tra omponenti, di iamo Lz (questa e la s elta standard, ma una qualsiasi ombinazione lineare di Lx , Ly e Lz andrebbe altrettanto bene), possono essere diagonalizzati simultaneamente. Osservazione. Conviene ora adottare le unita di misura in ui ~ = 1 . In altri termini, misuriamo i momenti lineari in unita di ~ [lunghezze℄ 1 , i momenti angolari in unita di ~ e le energie in unita di ~ [tempi℄ 1 . Altre regole di ommutazione rilevanti sono quelle tra L e la oppia

anoni a x , p : [L ; x ℄ = i x ; [L ; p ℄ = i p : Esse impli ano fra l'altro he r2 = x
x e p2 = p
p ommutano on L . Quindi aggiungendo una funzione di p2 e/o di r alla oppia L2 , Lz otteniamo un insieme ompleto di osservabili ompatibili per il singolo punto materiale. Si pensi ad esempio alla Hamiltoniana orrispondente ad un ampo entrale studiata nel ap. 6.5. Espli itamente abbiamo, adottando la onvenzione della somma sugli indi i ripetuti, L2 =   x p x p = (Æ Æ Æ Æ ) x p x p = x p (x p x p ) = r2 p2 (x
p)2 + ix
p : Possiamo quindi porre, nella rappresentazione della posizione, 1 (8.5) p2 = p2r + 2 L2 ; r dove, ome si al ola agevolmente in oordinate sferi he, p2r e il quadrato dell'operatore dierenziale simmetri o 1 r pr = i r r (vedi Eq. (4.7)). Problema 8.1-1. Sempre nella rappresentazione della posizione, in

oordinate sferi he, si veri hi he L  Lx  iLy e Lz diventano gli operatori dierenziali      i' L = e  # + i ot # ' (8.6)  Lz = i : ' 261

Momento angolare

Quindi abbiamo (8.7)

1 L2 = sin2 #

"

 sin # #

2

#

2 + 2 : '

L2 e Lz ontengono solo gli angoli sferi i e non la oordinata radiale r . Al ontrario pr non oinvolge # e ' ma solo r , per ui ommuta on L2 e Lz senza essere una funzione degli stessi. La relazione (8.5) realizza in de nitiva la separazione del problema agli autovalori per la parti ella in un ampo entrale. Problema 8.1-2. Si onsiderino le oordinate proiettive (w; w ) sulla sfera S 2 , legate agli angoli sferi i # e ' dalla relazione w = ei' ot # , w = oniugata omplessa di w . Si veri hi he L e Lz assumono la forma L+ =  w2  ; L =  + w2  ; Lz = w w  dove  = w e  = w . Si veri hino inoltre le regole di ommutazione (8.4), non he la relazione L = Ly+ (N.B.: la misura per l'integrazione di Lebesgue su S 2 non e sempli emente dw dw , ome sarebbe sul piano R2 .)

Come gia sappiamo da x4.1.3 e x6.5.1, gli operatori dierenziali L2 e Lz sono diagonali sulle armoni he sferi he Ylm (#; ') ,

L2 Ylm = l(l + 1)Ylm ; Lz Ylm = mYlm ;

on l = 0; 1; 2; : : : e m = l; l +1; : : : ; l 1; l . Questa parti olare quantizzazione degli autovalori l(l + 1) e m e dovuta alle ondizioni al ontorno

he sembra naturale imporre su Ylm (#; ') per via della natura angolare dei suoi argomenti. Esse sono: regolarita in # = 0 e # =  e periodi ita in ' , Ylm (#; ' + 2) = Ylm (#; ') . Tuttavia queste due ri hieste sono veramente naturali per ampi lassi i, ome quello elettromagneti o e quelli

he des rivono i mezzi materiali ontinui, he sono per ipotesi grandezze si he osservabili. Non e os per la funzione d'onda quantome

ani a , la quale, al ontrario del suo modulo quadro, non possiede una interpretazione si a diretta. Ora j j2 puo benissimo essere regolare in # = 0 e # =  e periodi a in ' (ovvero monodroma in R3 ), senza he la stessa lo sia. Ad esempio le ondizioni di periodi ita a meno di un fattore di fase (o ondizioni di quasiperiodi ita), (r; #; ' +2) = e2i (r; #; ') , garantis ono la periodi ita di j j2 , soddisfano alla naturale ri hiesta he i=' sia autoaggiunto e non sono in on itto on la regolarita in # = 0 e # =  dello stesso j j2 . Ma on tali ondizioni al ontorno lo spettro di i=' non oin ide piu on gli interi relativi. 262

Momento angolare orbitale Problema 8.1-3. Si veri hi he se si ammettessero autofunzioni quasiperiodi he lo spettro di i=' sarebbe della forma fn +  j n 2 Zg (si osservi he ei ' trasforma funzioni d'onda periodi he in funzioni d'onda quasiperiodi he ed agis e ome una traslazione su i=' ).

Tuttavia autofunzioni quasiperiodi he non sono ammissibili in quanto non possono essere simultaneamente autofunzioni di L2 : queste ultime sono infatti date da restrizioni alla super ie della sfera S 2 di funzioni he devono essere dierenziabili in R3 , dato he appartenengono al dominio dell'operatore di Lapla e. Le autofunzioni Ylm di Lz e L2 sono dunque dierenziabili sulla sfera S 2 . Questa ir ostanza risulta meglio evidenziata dalla notazione Ylm = Ylm (^x) , x^ = x=jxj , he d'ora in poi adotteremo. Si osservi he S 2 e una varieta sempli emente onnessa : ogni urva hiusa su S 2 e ontraibile in modo ontinuo ad un singolo punto. Una funzione quasiperiodi a in ' , os ome ogni altra funzione polidroma lungo una

urva hiusa, deve ne essariamente avere delle singolarita tali da porla al di fuori del dominio di de nizione simultaneo di Lz e L2 . L'analisi in

oordinate \singolari" ome quelle sferi he risulta quindi piu intri ata del dovuto. In eetti, per veri are he Lz puo avere solo autovalori interi, possiamo pro edere in modo puramente algebri o, senza far ri orso ad una rappresentazione spe i a. Introdu iamo gli operatori

a1 = 21 [x + py i(y px )℄ a2 = 21 [x py + i(y + px )℄ e i relativi oniugati hermitiani ay1 e ay2 . Essi soddisfano alle usuali regole di ommutazione di reazione-anni hilazione (vedi al x6.2), [aj ; ak ℄ = 0 = [ayj ; ayk ℄ [aj ; ayk ℄ = Æjk ; dove j; k = 1; 2 . Si veri a quindi fa ilmente he

Lz = ay1 a1 ay2 a2 ; ovvero he Lz si puo s rivere ome dierenza di due operatori-numero indipendenti (vedi an ora al x6.2 sull'os illatore armoni o). Se ne dedu e subito he lo spettro di Lz ha la forma m = n1 n2 , on n1 e n2 interi non negativi. Quindi m puo assumere tutti e soli i valori interi,

on degenerazione ontabilmente in nita. 263

Momento angolare

8.2. Rotazioni e momento angolare Lo spazio di Hilbert di un punto materiale sostiene in modo del tutto naturale una rappresentazione del gruppo delle rotazioni (per la nozione generale di gruppo e di rappresentazione vedi App. B.1). Questa aermazione si spiega nel modo seguente. Una rotazione R e una trasformazione x ! x0 dello spazio si o 3 R in se stesso he a) las ia invariate le distanze tra ogni oppia di punti; b) non sposta l'origine delle oordinate artesiane;

) preserva l'orientazione relativa degli assi. La proprieta a) impli a a fortiori he ( ontinua a valere la onvenzione indi i ripetuti = indi i sommati) x0 x0 dx0  dx0  =   dx dx = dx dx ; x x 0 ovvero he R  x =x sono gli elementi di una matri e ortogonale R : RRT = 1 . Nel aso di una trasformazione in nitesima (possibile in quanto l'orientazione relativa degli assi viene onservata), possiamo quindi s rivere x0 ' x +  ; R ' Æ +   ; dove  e una funzione in nitesima di x e  e una abbreviazione di =x . La ondizione di ortogonalita diventa quindi Æ = R R ' (Æ +   )(Æ +   ) = Æ +   +   + O( 2 ) ;

ioe   =   . Ma allora    =    =    = +   = +   =    =    ;

ioe    = 0 , per ui   e quindi R sono delle ostanti. In de nitiva abbiamo dimostrato he le rotazioni hanno la forma analiti a x ! Rx ; (Rx) = R x

on R matri e ortogonale he preserva l'orientazione relativa degli assi, vale a dire det R = 1 . Dato he la omposizione di due rotazioni si tradu e nella moltipli azione delle due matri i orrispondenti, si dedu e in ne he il gruppo delle rotazioni e isomorfo a SO(3) , il gruppo delle matri i ortogonali on determinante unitario. Ogni trasformazione di R3 indu e una trasformazione sulle funzioni de nite su R3 . In parti olare, il modulo quadro della funzione d'onda 264

Rotazioni e momento angolare

del punto materiale, he ome sappiamo rappresenta la densita di probabilita di trovare la parti ella, e una grandezza s alare, nel senso he assume nel punto trasformato lo stesso valore he aveva nel punto originale: x ! x0 =) ! 0 ; j 0 (x0 )j2 = j (x)j2 : Questa proprieta risulta ovvia quando la trasformazione in questione viene

onsiderata nel senso passivo, ioe ome un ambiamento di oordinate he las ia i punti di R3 immobili ma ne ambia la parametrizzazione. (Vi eversa, nella visione attiva il sistema di riferimento resta sso mentre i punti di R3 ruotano attorno ad un determinato asse). Ora, per de nizione, un punto materiale non ha al una struttura interna e risulta interamente

aratterizzato dall'insieme ompleto di osservabili ompatibili ostituito dalle tre omponenti della posizione. Nel aso delle rotazioni otteniamo per io j 0 (Rx)j2 = j (x)j2 : Tuttavia questa relazione non e suÆ iente per de nire la nuova funzione d'onda 0 , dato he non ne ssa la fase. In linea di prin ipio potremmo porre 0 (Rx) = ei (x;R; ) (x) ; (8.8) dove la grandezza reale  potrebbe dipendere dal punto, dalla rotazione e dalla parti olare funzione d'onda. Dobbiamo pero tenere onto he, oltre alla densita di probabilita, la funzione d'onda de nis e an he la orrente di probabilita j = Im [ r ℄ (si veda il x5.2.6 e si ri ordi he ~ = 1 nelle unita attuali). Risulta naturale ri hiedere he j si trasformi ome un vettore sotto rotazioni, ioe ome x : (8.9) j 0 (x0 ) = R j (x) ; 

dove evidentemente j 0 e la orrente de nita da 0 . Se si trasformasse

on il fattore di fase ome nella (8.8), allora  1  j 0  (x0 ) = Im 0 (x0 ) 0  (x0 ) m h n oi 1 = Im e i (x) R  e i (x) m   1 = R j (x) + R Re j (x)j2   :

m L'a

ordo on la ri hiesta (8.9) impone quindi he  non dipenda dal punto:   = 0 . In sostanza, dato he stiamo lavorando nella rappresentazione della posizione in ui p = i , la ondizione appena trovata i permette di appli are la regola della derivata omposta per al olare la 265

Momento angolare

legge di trasformazione del momento, he risulta essere quella propria dei vettori x0 (8.10)  =  0 =) p0 = R p : x Tuttavia  potrebbe an ora dipendere sia da R he da . Non e questa la sede per dis utere oltre tali possibilita, per ui rimandiamo la questione al prossimo apitolo, he e dedi ato alla trattazione generale delle simmetrie in me

ani a quantisti a. Grazie al teorema di Wigner (vedi al x9.1.1) sulla realizzazione delle trasformazioni di simmetria in me

ani a quantisti a, si dimostra allora he risulta sempre possibile ride nire le fasi globali delle funzioni d'onda in modo tale he  (R; ) = 0 per qualunque rotazione R e funzione d'onda . Il fatto he le funzioni d'onda si trasformino se ondo una legge universale, uguale per tutte, garantis e he le rotazioni agis ono linearmente sullo spazio di Hilbert,

1 1 + 2 2 ! 1 10 + 2 20 e onservano i prodotti s alari Z

0 0  = d3 x0 0 (x0 )0 (x0 ) =

Z

d3 x (x)(x)

= h j i : Si tratta ioe di trasformazioni unitarie. In de nitiva, siamo arrivati al seguente fondamentale risultato: ad ogni rotazione R orrisponde la trasformazione ! 0  U (R) , dove l'azione dell'operatore unitario U (R) risulta de nita dalla (8.8) on  = 0 , vale a dire (8.11) (U (R) )(x) = (R 1 x) : Questa orrispondenza R ! U (R) ostituis e la rappresentazione s alare del gruppo SO(3) delle rotazioni. Per veri are he la (8.11) de nis e eettivamente una rappresentazione di SO(3) i basta omporre due trasformazioni: (U (R1 )U (R2 ) )(x) = (U (R2 ) )(R1 1 x) = (R2 1 R1 1 x) = ((R1 R2 ) 1 x) = (U (R1 R2 ) )(x) ; ovvero, dato he e arbitraria, U (R1 ) U (R2 ) = U (R1 R2 ) ; 266

Rotazioni e momento angolare

he e quanto ri hiesto. La denominazione s alare spe i a he si tratta di quella naturalmente sostenuta da oggetti s alari. In eetti, avremmo potuto n dall'inizio assumere la legge di trasformazione (8.11) per le funzioni d'onda del punto materiale, sempli emente ri hiedendo he la stessa, e non solo il suo modulo quadro, sia una funzione s alare sotto rotazioni. Un modo molto rapido di pro edere onsiste nel fare uso dei vettori generalizzati jxi he des rivono gli stati di lo alizzazione idealmente esatta. Risulta allora naturale de nire U (R) tramite l'azione su di essi

U (R) jxi = jR xi :

(8.12)

Un fattore di fase davanti al membro di sinistra, in linea di prin ipio sempre possibile, non potrebbe omunque dipendere da x , in base alla ri hiesta he l'operatore momento p si trasformi ome un vettore (vedi Eq. (8.10)). Potrebbe quindi dipendere solo da R ed essere per io eliminabile da una ride nizione di U (R) . Otteniamo os (U (R) )(x)  hxj U (R) j





i = R 1 x i = (R 1 x)

he e proprio la regola (8.11). In apparenza abbiamo evitato tutto il dis orso pre edente sulla universalita della legge di trasformazione. Di fatto non e os: la de nizione (8.12) di per se non basta per aermare he U (R) e un operatore lineare sullo spazio di Hilbert, dobbiamo ri hiederlo espli itamente

U (R) j

Z

i  d3 x (x) U (R) jxi :

Questa pro edura e senza dubbio onsistente, il problema e l'uni ita, a meno di fattori di fase banali, del risultato (8.11). Il teorema di Wigner, assieme a erte proprieta delle rotazioni he dis uteremo al x9.3.4, i assi ura proprio he qualunque altra realizzazione delle rotazioni sui raggi dello spazio di Hilbert (si ri ordi he solo i raggi hanno un signi ato si o diretto) e equivalente alla (8.11). Esaminiamo ora la onnessione tra rotazioni e momento angolare orbitale. Una rotazione in nitesima per de nizione dieris e po o dalla trasformazione identi a, ovvero si s rive (8.13)

R ' 1 + Æ M

dove Æ e un parametro in nitesimo e M e una matri e antisimmetri a, MT = M . Gli elementi di tale matri e sono quindi della forma M =   , on  le omponenti del trivettore  . Allora, al primo ordine 267

Momento angolare

in Æ , di ottiene (U (R) )(x) ' (x + Æ Mx) ' (x) + Æ M x  (x) = [1 iÆ  L ℄ (x) ; dove L = i  x  sono proprio le omponenti artesiane del momento angolare orbitale. Quindi, data l'arbitrarieta di , deve valere (8.14) U (R) ' 1 iÆ 
L : Si noti he an he R in (8.13) si puo ris rivere in una forma analoga, R ' 1 iÆ 
` ; in termini della terna ` di matri i hermitiane on elementi (8.15) (` ) = i : E fa ile al olare le regole di ommutazione (8.16) [` ; ` ℄ = i ` ;

he sono strutturalmente identi he a quelle soddisfatte da L, Eq. (8.4). Componendo in nite volte la stessa rotazione in nitesima si ottiene una rotazione nita (possiamo identi are Æ on N 1 nel limite N ! 1 ): 


` R()  lim 1 i N !1 N

N

= exp( i
`) :

Per stabilire in modo geometri amente hiaro quale sia la rotazione eettivamente des ritta da R() , introdu iamo il versore n = =jj e l'angolo  = jj . Si trova allora (il al olo e las iato ome eser izio): (8.17) R() x = x os  + n ^ x sin  + (1 os )(n
x) n : Si tratta quindi di una rotazione antioraria di un angolo (per de nizione positivo)  attorno all'asse individuato dal versore n (rotazioni on angoli negativi sono riprodotte ome rotazioni antiorarie attorno all'asse n ). L'espressione (8.18) R()  R(n; ) = exp( i n
`) de nis e n
` ome il generatore delle rotazioni attorno all'asse n . Possiamo ora ripetere la stessa analisi per l'operatore U (n; )  U (R())

he rappresenta R() sullo spazio di Hilbert2. Otteniamo (8.19) U (n; ) = exp( i n
L) 2Dato he lo spazio di Hilbert in questione e in nito-dimensionale, bisogna spe i are il dominio su ui valgono veramente oggetti ome [1 iÆ 
L=N ℄N per N arbitrariamente grandi. Si dimostra omunque he tale dominio e denso nello spazio di Hilbert, per ui il limite N ! 1 de nis e un uni o operatore unitario.

268

Rotazioni e momento angolare

he identi a in n
L , ioe nella omponente del momento angolare orbitale lungo l'asse individuato da n , il generatore delle trasformazioni unitarie sullo spazio di Hilbert di un punto materiale orrispondenti alle rotazioni attorno allo stesso asse. In breve, il vettore L genera le rotazioni di un punto materiale quantome

ani o. Abbiamo dunque veri ato he R e U (R) hanno la stessa forma esponenziale, l'una in funzione delle matri i hermitiane ` e l'altro degli operatori autoaggiunti L . I generatori ` ed i loro rappresentanti sullo spazio di Hilbert, L , soddisfano alle stesse regole di ommutazione, (8.16) e (8.4), rispettivamente. Per al olare tali regole abbiamo fatto uso della forma espli ita di ` (Eq. (8.15)) e di L (Eq. (8.3)), ma dovrebbe ormai essere hiaro he esse sono univo amente ssate dalla struttura gruppale di SO(3) (vedi l'App. B.1). Per veri arlo espli itamente, onsideriamo il osiddetto ommutatore nito C (R1 ; R2 ) = R1 R2 R1 1 R2 1 dove R1 = R(n1 ; 1 ) e R2 = R(n2 ; 2 ) . Sviluppando no al se ondo ordine i vari esponenziali si trova C (R1 ; R2 ) ' 1 1 2 [n1
` ; n2
`℄ : D'altro lato possiamo al olare espli itamente C (R1 ; R2 ) dalla formula (8.17) e trovare, allo stesso ordine in 1 2 : C (R1 ; R2 ) ' 1 i1 2 (n1 ^ n2 )
` : Le regole di ommutazione (8.16) seguono immediatamente. Dunque alla legge di omposizione del gruppo SO(3) orrisponde una pre isa struttura algebri a nello spazio lineare dei generatori (le matri i hermitiane puramente immaginarie he si ottengono ombinando linearmente le tre ` )

aratterizzata da determinate regole di ommutazione he si hiudono sui generatori stessi. Si tratta di una osiddetta algebra di Lie. Data una rappresentazione unitaria R ! U (R) del gruppo SO(3) , si ottiene quindi automati amente una rappresentazione autoaggiunta della sua algebra di Lie, poi he C (U (R1 ); U (R2 )) = U (C (R1 ; R2 )) : Come vedremo, il vi eversa non e sempre vero.

8.2.1. Momento angolare interno.

Consideriamo ora l'estensione della rappresentazione s alare (8.11) ad una ollezione di punti materiali,

aratterizzati dalle oppie anoni he (xj ; pj ) , j = 1; 2; : : : ; N . I singoli momenti angolari orbitali, Lj = xj ^ pj , soddisfano alle regole di

ommutazione [a
Lj ; b
Lk ℄ = i Æjk (a ^ b)
Lj : 269

Momento angolare

Dunque Lj genera gli operatori Uj (R) he ruotano soltanto l'argomento xj della funzione d'onda (x1 ; x2 ; : : : ; xN ) : (Uj (R) )(x1 ; : : : ; xn ) = (x1 ; : : : R 1 xj ; : : : ; xn ) : Si tratta sempre di una rappresentazione unitaria delle rotazioni, ma ertamente non di quella orrispondente alle rotazioni dello spazio si o in

ui si muovono le parti elle. Queste ultime devono ammettere sia una interpretazione attiva he una passiva ed agire quindi simultaneamente su tutti gli argomenti della funzione d'onda, vale a dire (8.20)

(U (R) )(x1 ; x2 ; : : : ; xn ) = (R 1 x1 ; R 1 x2 ; : : : ; R 1 xn ) :

La rappresentazione R ! U (R) e hiaramente fattorizzata nel prodotto diretto delle rappresentazioni sostenute da ias una parti ella:

U (R) = U1 (R) U2 (R) : : : UN (R)

ed e generata dal momento angolare

J=

N X j =1

totale

Lj :

Possiamo an he ripetere le onsiderazioni fatte all'inizio del x8.1, e suddividere la ollezione fLj j = 1; 2; : : : N g nel momento angolare orbitale L dell'intero sistema visto ome un singolo oggetto, e nel momento angolare interno M (vedi Eq. (8.2)). Per ostruzione [L; M ℄ = 0 , L genera le rotazioni del sistema ome se tutte le parti elle fossero on entrate nel

entro di massa e M genera le rotazioni attorno al entro di massa. In ogni aso J = L + M e U (R) = UL (R)UM (R) ; UL (R) = e i
L ; UM (R) = e i
M :

8.2.2. Momento angolare intrinse o: spin.

Nel pre edente paragrafo abbiamo onsiderato la lasse piu ovvia di rappresentazioni quantome

ani he delle rotazioni, partendo dal singolo punto materiale ed estendendo la stessa logi a a piu parti elle s alari, ioe punti materiali des ritti da funzioni d'onda s alari sotto rotazioni. Ripensando pero alla formulazione generale della me

ani a quantisti a, a lungo des ritta nel

ap. 7, risulta naturale prendere in onsiderazione possibilita piu generali. Si tratta omunque di generalizzazioni imposte dall'evidenza sperimentale: esistono sistemi si i assimilabili al punto materiale per i quali le

omponenti della posizione non formano tuttavia un insieme ompleto di osservabili ompatibili. Vi sono ioe dei gradi di liberta \interni" e si pone il problema di stabilire se e ome le rotazioni agis ano su di essi. 270

Rotazioni e momento angolare Osservazione. L'evidenza sperimentale a ui fa

iamo riferimento si ottiene agevolmente on un apparato di Stern-Gerla h (vedi al x5.1.6). Poi he il momento angolare interno M di un atomo, inteso ome momento angolare orbitale relativo al suo entro di massa, e quantizzato per multipli interi di ~, la sua proiezione lungo un asse arbitrario possiede

omunque un numero dispari di autovalori. Di onseguenza un fas io di atomi dotati di momento magneti o dovrebbe essere sempre suddiviso in un numero dispari di sottofas i da un apparato di Stern-Gerla h. Si trovano inve e spe ie atomi he he danno luogo ad un numero pari di suddivisioni, segnalando stati di momento angolare semintero. Dobbiamo quindi ri onos ere l'esistenza di gradi di liberta \interni", sensibili alle rotazioni, in almeno una delle parti elle he ostituis ono gli atomi.

Supponiamo he questi gradi di liberta interni siano dis reti, ioe he esistano una o piu osservabili, on spettro formato da un insieme nito di valori, he insieme alla posizione ostituis ano un insieme ompleto di osservabili ompatibili. Come sappiamo, lo spazio di Hilbert HS di un tale sistema e isomorfo al prodotto diretto L2 (R3 ) V , on V uno spazio lineare n -dimensionale. In altre parole la funzione d'onda e un vettore olonna di n funzioni di L2 (R3 ) . Se ias una di queste omponenti fosse un oggetto s alare, j0 (x0 ) = j (x) , j = 1; 2; : : : ; n , allora si trasformerebbe sotto rotazioni se ondo la legge s alare (8.11). Per la pre isione, la rappresentazione R ! U (R) si ridurrebbe sempli emente alla somma diretta di n opie della rappresentazione s alare. In questo aso i gradi di liberta interni sarebbero invarianti sotto rotazione e non i sarebbe al una novita rispetto alla trattazione del paragrafo pre edente. Per il momento ra

ogliamo generi amente sotto il termine di isospin tutti gli eventuali gradi di liberta interni invarianti sotto rotazione, rimandando al

ap. 9 per ulteriori pre isazioni. Il aso piu interessante si ha quando il vettore olonna subis e una trasformazione lineare sotto la rotazione R , vale a dire 0 (x0 ) = D(R) (x) ; x0 = Rx ; (8.21) dove D(R) e una matri e n  n . Espli itando le omponenti n

0 (x0 ) = X Djk (R) k (x) : j k=1

La ri hiesta he le rotazioni siano trasformazioni di simmetria impli a he D(R) sia una matri e unitaria (vedi al ap. 9 per un'analisi piu dettagliata). In ogni aso, se D(R) e unitaria, allora i prodotti s alari sono onservati dalla trasformazione (8.21). Ponendo ora 0 = U (R) , otteniamo 271

Momento angolare

la legge di trasformazione omplessiva (8.22) (U (R) )(x) = D(R) (R 1 x) ; Dalla omposizione di due rotazioni, (U (R1 )U (R2 ) )(x) = D(R1 ) (U (R2 ) )(R1 1 x) = D(R1 )D(R2 ) (R2 1 R1 1 x) = D(R1 )D(R2 ) ((R1 R2 ) 1 x) otteniamo U (R1 R2 ) = U (R1 R2 ) pur he R ! D(R) sia essa stessa una rappresentazione D(R1 )D(R2 ) = D(R1 R2 ) : Tuttavia questa non e la possibilita piu generale, dato he una rappresentazione proiettiva, , ioe una rappresentazione a meno di un fattore di fase (8.23) D(R1 )D(R2 ) = !(R1 ; R2 )D(R1 R2 ) ; j!(R1 ; R2 )j = 1 ; non e in ontrasto on al un prin ipio della me

ani a quantisti a, non essendo !(R1 ; R2 ) direttamente misurabile. Nel aso del gruppo SO(3) delle rotazioni si dimostra he !(R1 ; R2 ) = 1 (vedi x8.2.4, x8.2.5 e x9.3.4). Introdu iamo ora i generatori Sx , Sy e Sz di R ! D(R) : D(n; )  D(R(n; )) = exp( i n
S ) : Dalla legge di omposizione (8.23) si ottengono le regole di ommutazione [S ; S ℄ = i~  S : Infatti, per ontinuita on il valore !(1; 1) = 1 , il fattore di fase !(R1 ; R2 ) resta uguale a 1 per tutte le R1 e R2 vi ine all'identita, per ui ontinua a valere l'eguaglianza tra C (D(R1 ); D(R2 )) ' 1 1 2 [n1
S ; n1
S ℄ da un lato e D(C (R1 ; R2 )) ' 1 i1 2 (n1 ^ n2 )
S dall'altro. Per quanto riguarda la rappresentazione omplessiva (8.22) abbiamo la legge di omposizione U (R1 )U (R2 ) = !(R1 ; R2 )U (R1 R2 ) ; !(R1 ; R2 )2 = 1 e la forma esponenziale U (n; ) = exp( i n
J ) : dove J =L+S 272

Rotazioni e momento angolare

e evidentemente il momento angolare totale del sistema. Per ontro, il momento angolare S viene denoninato momento angolare intrinse o o spin del sistema (e preferibile riservare la denominazione \momento angolare interno" al momento angolare orbitale attorno al proprio entro di massa di un sistema omposto). Qualora la posizione x ed una delle tre

omponenti di S formino un insieme ompleto di osservabili ompatibili, il sistema in questione fornis e un esempio di parti ella dotata di spin. Vedremo piu avanti (x8.2.5 e x9.3.8) ome aratterizzare formalmente tali sistemi in base a prin ipi primi. Per il momento si deve tenere ben presente he in me

ani a quantisti a lo spin S ed il momento angolare interno M sono on etti distinti. Innanzitutto M 2 ha uno spettro illimitato, mentre S 2 per ipotesi no. Inoltre, ogni omponente di M ha autovalori interi, mentre, ome vedremo in dettaglio piu avanti, le omponenti di S possono avere autovalori seminteri. Questo orrisponde al fatto he M genera omunque una rappresentazione di tipo s alare, on fattori di fase !(R1 ; R2 ) identi amente uguali a 1 , mentre S puo generare an he rappresentazioni proiettivamente non banali. Lo spin e una novita propria della me

ani a quantisti a.

8.2.3. Momento angolare totale. Dagli esempi riportati nei pre edenti paragra , si dedu e la seguente generalizzazione: ogni sistema si o S e ne essariamente immerso nello spazio si o R3 , per ui, in modo piu o meno signi ativo, le rotazioni agis ono su di esso ome trasformazioni di simmetria (vedi il prossimo apitolo per la trattazione generale). Allora su HS risulta de nita (teorema di Wigner) una rappresentazione unitaria di SO(3) , R ! U (R) . Gli operatori U (R) soddifano alla stessa legge di

omposizione delle matri i di SO(3) , al piu modi ata dal fattore di fase !(R1 ; R2 ) = 1 : U (R1 ) U (R2 ) = !(R1 ; R2 )U (R1 R2 ): Questo e suÆ iente per introdurre la terna di generatori J = (J1 ; J2 ; J3 ) = (Jx ; Jy ; Jz ) tramite la formula generale R() = exp( i
`) =) U (R()) = exp( i
J ) ; dove i parametri (1 ; 2 ; 3 ) sono un set di oordinate normali (vedi il x8.2.8 e l'App. B.1) di SO(3) . Si dimostra (teorema di Stone) he i J sono operatori autoaggiunti. L'osservabile momento angolare totale del sistema S viene per de nizione identi ata on il generatore J delle rotazioni. Quindi J deve ubbidire alle regole di ommutazione proprie dell'algebra di Lie di SO(3) , vale a dire (8.24) [J ; J ℄ = i J : 273

Momento angolare

Esse sono equivalenti all'aermazione he J genera una rappresentazione delle rotazioni. L'ulteriore spe i a di momento angolare totale va riservata al generatore della rappresentazione U (R) , he per ipotesi tiene

onto di tutti i gradi di liberta di S sensibili alle rotazioni dello spazio si o R3 .

8.2.4. Rotazioni e gruppo SU(2). La legge di omposizione delle rotazioni ssa univo amente la struttura dell'algebra di Lie dei generatori di una qualunque rappresentazione, ma il vi eversa non e vero, dato he la struttura dell'algebra di Lie rispe

hia solo le proprieta lo ali e non quelle globali del gruppo. Due gruppi di Lie omomor ma distinti hanno la stessa algebra. Queste onsiderazioni si appli ano proprio al aso di SO(3) , he non e sempli emente onnesso. Esiste per io un altro gruppo, indi ato

on SO(3) e denominato ri oprimento universale di SO(3) , he per l'appunto e omomorfo a SO(3) e, essendo per de nizione sempli emente

onnesso, non oin idere on esso. La parametrizzazione sopra introdotta in termini dell'angolo  = jj e del versore n = =jj e parti olarmente adatta per spiegare queste aermazioni. Dato he una rotazione attorno a n on angolo    oin ide on la rotazione di angolo 2    attorno a n , lo spazio dei parametri (la

osiddetta varieta del gruppo) oin ide on la sfera piena jj   nella quale i punti antipodali sulla super ie sono identi ati. Su tale varieta vi sono due lassi di omotopia di urve hiuse: la lasse banale, formata dalle urve ontraibili in modo ontinuo ad un solo punto; e la lasse delle urve non ontraibili he si hiudono solo grazie all'identi azione antipodale. Il ri oprimento universale SO(3) e de nito ome il piu pi

olo gruppo sempli emente onnesso he e omomorfo a SO(3) . Dato he le lassi di omotopia sulla varieta di SO(3) sono solo due, si tratta di un omomor smo due ad uno: in SO(3) vi sono due elementi distinti he orrispondono alla medesima rotazione. In parti olare, l'identi azione delle rotazioni di un angolo  =  attorno a n e n viene rimossa. Questo equivale ad aermare he in SO(3) le rotazioni di un angolo  = 2 non

oin idono on l'identita. Dato he omponendo due urve omotopi amente non banali se ne ottiene una banale, si on lude he una rotazione

on angolo  = 4 oin ide on l'identita an he in SO(3) . La varieta di SO(3) onsiste per io in due sfere piene di raggio  le ui super i vanno identi ate. Si tratta evidentemente di una varieta omeomorfa alla sfera tridimensionale S 3 . Si puo inoltre mostrare he SO(3) , il ri oprimento universale di SO(3) , e isomorfo al gruppo SU (2) delle matri i 2  2 unitarie e unimodulari. Per veri arlo, sfruttiamo il fatto he l'algebra di Lie di SU (2) e formata da tutte le matri i 2  2 hermitiane e s riviamo quindi un generi o 274

Rotazioni e momento angolare

elemento u 2 SU (2) nella forma

u = exp( i
 =2) ;

dove  = (1 ; 2 ; 3 ) = (x ; y ; z ) sono le tre matri i di Pauli (vedi l'App. B.1.4). Le matri i  =2 soddisfano alle regole di ommutazione del momento angolare, grazie all'algebra soddisfatta dalle matri i di Pauli (8.25)

  = Æ

i 

e ostituis ono quindi una rappresentazione 2  2 delle (8.24). Ora, tramite le relazioni (8.25), possiamo al olare (  = jj e n = =jj

ome sopra) u = os( 21 ) i sin( 21 ) n
 e analogamente uy u =  os  + (n ^ s) sin  + n (n
x)(1 os ) (8.26) = R (; n)  ; il he dimostra he SU (2) e una rappresentazione a due valori di SO(3) , on u e u he generano la stessa rotazione sul vettore  (si veda an he l'App. B.1.4, per ulteriori dettagli). Vi eversa, la se onda delle relazioni (8.26) aerma an he he SO(3) e la rappresentazione aggiunta di SU (2) , ioe il gruppo delle trasformazioni lineari indotte dall'azione aggiunta X ! u 1 Xu di SU (2) sulla propria algebra di Lie. Si noti he una rappresentazione a due valori ome la R ! u(R) soddisfa alla legge di omposizione delle rotazioni solo a meno di un fattore 1

u(R1 )u(R2 ) = u(R1 R2 )

In eetti, avendo individuato in SU (2) il gruppo di ri oprimento universale di SO(3) , sarebbe piu appropriato parlare di rappresentazioni di SU (2) , annoverarando tra queste la rappresentazione aggiunta SO(3) , piuttosto he il vi eversa. Per assi urar i he SU (2) sia eettivamente SO(3) dobbiamo pero veri are he SU (2) sia sempli emente onnesso: dato he ogni matri e di SU (2) si s rive in modo uni o nella forma 



u = u0 + iu
 =      = u0 iu3 ; = u2 + iu1 ;

jj2 + j j2 = 1 ;

la varieta di SU (2) e omeomorfa a S 3 he e eettivamente una varieta sempli emente onnessa. 275

Momento angolare

8.2.5. Rappresentazioni irridu ibili. La rappresentazione R ! U (R) sul generi o spazio di Hilbert HS e generalmente ridu ibile. Questo signi a he esiste un sottospazio V di HS he e invariante sotto rotazioni, ioe sotto l'azione dell'insieme di operatori fU (R); R 2 SO(3)g . Tale sottospazio sostiene per io una rappresentazione non banale R ! V (R) \piu pi

ola" di quella originale. Inoltre, ogni rappresentazione unitaria ridu ibile e ompletamente ridu ibile, nel senso he an he il omplemento ortogonale di V , V? , e invariante e sostiene una rappresentazione autonoma delle rotazioni (vedi l'App. B.1). In altri termini, deve esistere una base in HS nella quale la rappresentazione originale R ! U (R) e diagonale a blo

hi: U (R) = V (R)  V?(R) per ogni R 2 SO(3) . A loro volta le due sottorappresentazioni R ! V (R) e R ! V?(R) potrebbero essere an ora ridotte a somme dirette di rappresentazioni an ora piu pi

ole. Il pro esso termina quando si arriva alle omponenti irridu ibili della rappresentazione originale R ! U (R) . Si tratta di un passo assai rilevante, poi he sempli a enormemente il problema della determinazione dello spettro del momento angolare stesso e delle osservabili he si trasformano in modo de nito sotto rotazioni (vedi il x8.2.10). Risulta quindi di fondamentale importanza lassi are tutte le rappresentazioni unitarie irridu ibili delle rotazioni. In altri termini si tratta di determinare tutte le rappresentazioni irridu ibili delle regole di ommutazione (8.24) mediante terne (J1 ; J2 ; J3 ) di operatori autoaggiunti. Osserviamo ora he le regole di ommutazione (8.24) impli ano he 2 J = J
J ommuta on J e quindi on ogni elemento dell'algebra di Lie. Di onseguenza J 2 e un operatore invariante sotto rotazioni e, per il lemma di S hur, deve ridursi ad un multiplo dell'identita in ias una rappresentazione irridu ibile. Funzioni dei generatori di una generi a algebra di Lie dotati di questa proprieta sono detti operatori di Casimir. Nel aso dell'algebra di Lie di SO(3) si veri a fa ilmente he J 2 e l'uni o operatore di Casimir, a meno di funzioni di J 2 stesso. Dunque gli autovalori di J 2 servono per lassi are le rappresentazioni irridu ibili. Inoltre, le regole di ommutazione (8.24) sono tali per ui una qualunque

ombinazione lineare a oeÆ ienti reali di Jx , Jy e Jz ostituis e da sola un insieme ompleto di osservabili ompatibili all'interno di ias una rappresentazione unitaria irridu ibile. Noi adotteremo la s elta onvenzionale, legata ad un dato sistema di riferimento in R3 , di diagonalizzare Jz . Il problema di determinare lo spettro simultaneo di J 2 e Jz viene risolto in modo puramente algebri o, fa endo uso solo delle (8.24) e della proprieta Jy = J . A tale s opo, ris riviamo le regole di ommutazione 276

Rotazioni e momento angolare

nella forma equivalente (8.27) [Jz ; J ℄ = J ; [J+ ; J ℄ = 2Jz dove J = Jx  iJy . Quindi onsideriamo un insieme ortonormale di autovettori simultanei di J 2 e Jz : J 2 jk; mi = k jk; mi Jz jk; mi = m jk; mi ed osserviamo he J+ agis e ome innalzatore dell'autovalore m di Jz : (8.28) Jz J+ jk; mi = J+ (Jz + 1) jk; mi = (m + 1)J+ jk; mi : Analogamente si veri a he J+ agis e ome abbassatore di Jz : (8.29) Jz J jk; mi = J+ (Jz 1) jk; mi = (m 1)J+ jk; mi : Evidentemente Jz , J+ e J = J+y gio ano un ruolo equivalente agli operatori N , a e ay introdotti nella diagonalizzazione dell'os illatore armoni o (vedi ap. 6.2.1). Rispetto a quel problema, pero, nel aso attuale abbiamo una diversa regola di ommutazione tra innalzatore (operatore di reazione) ed abbassatore (operatore di distruzione). Inoltre abbiamo per ipotesi a disposizione un'ulteriore relazione quadrati a tra Jz , J+ e J . Infatti vale l'identita J 2 = 12 (J+ J + J J+ ) + Jz2 = J J+ + Jz + Jz2 (8.30) = J+ J Jz + Jz2 per ui, in parti olare, k = hk; mj J 2 jk; mi = 12 jjJ jk; mi jj2 + 21 jjJ+ jk; mi jj2 + m2 : Quindi k  m2 e devono esistere, per ogni ssato k , due autovalori m< e m> tali he m<  m  m> . Allora ne essariamente (8.31) J jk; m< i = 0 ; J+ jk; m> i = 0 altrimenti la diseguaglianza appena stabilita verrebbe subito violata. Dalla se onda e dalla terza forma della relazione quadrati a (8.30) si ottiene ora J 2 jk; m> i = m> (m> + 1) jk; m> i J 2 jk; m< i = m< (m< 1) jk; m< i vale a dire k = m> (m> + 1) = m< (m< 1)

ioe m> = m<  j ; k = j (j + 1) 277

Momento angolare

on j un numero non negativo. In ne, per via delle relazioni di innalzamento ed abbassamento (8.28) e (8.29), deve ne essariamente esistere un intero non negativo n tale he J+n jk; j i / jk; j i ovvero j + n = j =) j = n=2 : Abbiamo os ottenuto una rappresentazione di (Jx ; Jy ; Jz ) in termini di matri i hermitiane (2j + 1)  (2j + 1) per ogni j ssato. Infatti dalle relazioni (8.28),(8.29) e (8.31) abbiamo he J jj; mi / jj; m  1i (8.32) J+ jj; j i = 0 = J jj; j i dove abbiamo introdotto la nuova notazione jj; mi , al posto di quella iniziale jj (j + 1); mi , per gli autovettori di J 2 e Jz . I fattori di proporzionalita in (8.32) vengono ssati, a meno di una fase, al olando la norma di J jj; mi on l'aiuto delle relazioni quadrati he (8.30): jjJ jj; mi jj2 = hj; mj JJ jj; mi = j (j + 1) m(m  1) : La s elta onvenzionale e quella piu sempli e he i permette di s rivere (8.33) J jj; mi = [j (j + 1) m(m  1)℄1=2 jj; m  1i : Si noti he j (j + 1) m(m  1) = (j  m)(j  m + 1) orrettamente si annulla per m = j . Gli elementi di matri e

(j ) j; m0 J jj; mi = [j (j + 1) m(m  1)℄1=2 Æm0 m1  Dmm 0 (J ) (8.34) 0 ( j ) j; m Jz jj; mi = mÆm0 m  Dmm0 (Jz ) de nis ono la rappresentazione (2j + 1) -dimensionale sopra itata, detta di peso o spin j , he denotiamo generi amente on il simbolo D(j ) . Risulta evidente he si tratta di una rappresentazione irridu ibile, dato he lo spazio lineare (2j + 1) -dimensionale Vj formato da tutte le

ombinazioni lineari dei vettori fjj; mi ; m = j; j +1; : : : ; j 1; j g non

ontiene al un sottospazio invariante sotto l'azione di J e Jz . Vi eversa, una rappresentazione della terna (Jx ; Jy ; Jz ) in ui J 2 non assume un valore de nito j (j + 1) e ne essariamente ridu ibile, in quanto ne Jz ne J , ommutando on J 2 , possono interpolare stati on autovalori di J 2 diversi. In de nitiva, valgono le seguenti aermazioni generali: a) I possibili autovalori dell'operatore di Casimir J 2 sono i numeri razionali della forma j (j + 1) , on j intero o semintero non negativo, ovvero j = 0; 1=2; 1; 3=2; : : : . b) Per ogni j tale he j (j +1) appartiene allo spettro di J 2 , gli autovalori di Jz sono i 2j + 1 numeri m = j; j + 1; : : : ; j 1; j . 278

Rotazioni e momento angolare

) Ogni rappresentazione irridu ibile delle regole di ommutazione (8.24) in termini di matri i hermitiane risulta univo amente aratterizzata dal numero j , intero o semintero non negativo, ed e equivalente alla rappresentazione (2j + 1) -dimensionale de nita dalle relazioni (8.34). Passando dalle matri i hermitiane D(j ) (J ) he rappresentano J ,  = 1; 2; 3 , ai loro esponenziali, si ottiene la rappresentazione unitaria irridu ibile di peso j di SO(3) o, piu pre isamente, del suo ri oprimento universale SU (2) . Denoteremo tale rappresentazione on lo stesso simbolo, vale a dire u ! D(j ) (u) , u 2 SU (2) :

u = exp( i n
 =2) ; D(j ) (u) = exp[ i n
D(j ) (J )℄ : In parti olare D(0) (u) = 1 e la rappresentazione banale, mentre abbiamo

D(1=2) (u) = u ; D(1) (u) = W R(u)W y ; dove W e la matri e unitaria 3  3 he trasforma i generatori ` di SO(3) nella terna D(1) (J ) : (1) Dmm 0 (J ) = Wm ` W m0  :

Problema 8.2-1. Si al oli la forma espli ita delle matri i D (1) (J )

e W.

Nel aso di una rotazione attorno all'asse z , ioe per R (0; 0; ) , avremo 0  i=2 

os  sin  e 0  u= ; R = sin  os  0 e i=2 0 0

= R() ,  = 1

0 0A 1 per quanto riguarda SU (2) e SO(3) , mentre, sfruttando il fatto he D(j ) (Jz ) e diagonale, D(j ) 0 (u) = eim Æmm0 m; m0 non sommati : mm

Quindi, se  !  + 2 , u ! u ; R ! R ; D(j ) (u) ! ( )2j D(j ) (u) ; ovvero D(j ) ( u) = ( )2j D(j ) (u) : Questa relazione vale in generale, per qualunque u 2 SU (2) , dato he le rotazioni attorno ad un asse arbitrario n sono trasformazioni oniugate rispetto a quelle attorno all'asse z : u(; n) = v u(; ez ) v 1 ; 279

Momento angolare

dove v 2 SU (2) orrisponde ad una rotazione he porta ez , il versore dell'asse z , nel generi o versore n ; ad esempio v = u(n ^ ez ; #) se n = (sin # os '; sin # sin '; os #) . Dunque se j e un intero D(j ) ostituis e una rappresentazione in senso stretto di SO(3) , mentre se j e un semintero D(j ) e una rappresentazione in senso stretto di SU (2) ed una rappresentazione a due valori di SO(3) . Con questa pre isazione in mente, possiamo adottare la notazione R ! D(j ) (R) an he per j semintero. Come onseguenza, pero, se per u ! D(j ) (u) possiamo sempre s rivere D(j ) (u1 )D(j ) (u2 ) = D(j ) (u1 u2 ) ; per R ! D(j ) (R) dovremo s rivere

(8.35) D(j ) (R1 )D(j ) (R2 ) = !(R1 ; R2 )D(j ) (R1 R2 ) ;

on !(R1 ; R2 ) = (1)2j . La natura proiettiva, rispetto a SO(3) , delle rappresentazioni on spin semintero e interamente dovuta al fatto he SO(3) non e sempli emente onnesso. I fattori di fase !(R1 ; R2 ) sparis ono passando a SU (2) , per il quale si dimostra he tutte le rappresentazioni sono equivalenti a rappresentazioni strettamente vettoriali, ioe senza fattori di fase proiettivi (vedi x9.3.4). Data la lassi azione delle rappresentazioni irridu ibili di SO(3) , in un sistema si o on reto aratterizzato da uno spazio di Hilbert HS e da una rappresentazione R ! U (R) de nite a priori, si pone ora il fondamentale problema di determinare la de omposizione di U (R) in rappresentazioni irridu ibili. Si tratta ioe di individuare tutti gli stati di peso massimo jj; m = j;  i anni hilati da J+ , on  ome ollezione di tutti gli altri numeri quanti i ne essari per la ompleta identi azione dello stato. Fatto questo, e ri ostruiti i multipletti irridu ibili mediante J , avremo il risultato generale (8.36)

U (R) jj; m;  i =

j X  j; m0 ;  D (j 0)

m0 = j

m m (R) :

8.2.6. Spettro del momento angolare orbitale. Un esempio immediato di quanto appena detto e fornito proprio dal punto materiale, nel qual aso la rappresentazione unitaria R ! U (R) e quella de nita su L2(R3 ) dalla relazione (8.11). In essa L2 e l'operatore di Casimir, per

ui i suoi autovalori devono essere della forma j (j + 1) , on j = n=2 e n intero non negativo. Dato he sappiamo gia (vedi x8.1) he Lz ha tutti gli interi ome spettro, il aso di j semintero va es luso. Dobbiamo inoltre osservare he L agis e soltanto sul sottospazio di L2(R3 ) he si ottiene ignorando la variabile radiale r = jxj . Esso agis e 280

Rotazioni e momento angolare

ioe su L2 (S 2 ) lo spazio di Hilbert delle funzioni a modulo quadro sommabile sulla sfera S 2 ( on la misura invariante per rotazione ereditata dall'immersione di S 2 nello spazio R3 on metri a eu lidea). In altre parole possiamo s rivere L2 (R3 )  L2 (R+ ; r2 dr) L2 (S 2 ) , dove L2 (R+ ; r2 dr) e lo spazio di Hilbert delle funzioni a modulo quadro sommabile sulla semiretta positiva, on misura d(r) = r2 dr (si ri ordi lo Ja obiano nel passaggio dalle oordinate artesiane a quelle sferi he). Evidentemente la de omposizione in rappresentazioni irridu ibili delle rotazioni riguarda soltanto L2(S 2 ) , mentre il numero quanti o radiale, relativo a L2(R+ ; r2dr) , e un esempio di numero quanti o di tipo  . Si noti he L2 e Lz ostituis ono un insieme ompleto di osservabili ompatibili per L2 (S 2 ) . In ne, dalla soluzione dell'equazione dierenziale agli autovalori per L2 , s ritto nella forma (8.7), on ludiamo he tutti i valori interi non negativi dello spin j ompaiono nella de omposizione di L2 (S 2 ) . Abbiamo per io 1 M 2 L2(S )  Vl ; l=1

dove Vl e il sottospazio he ha per base le 2j + 1 armoni he sferi he di peso l , Ylm = Ylm (^x) , e he sostiene la rappresentazione irridu ibile D(l) delle rotazioni. Possiamo ioe porre  (l) Ylm (^x) = hx^ j l; mi ; hl; mj U (R) l0 ; m0 = Æll0 Dmm 0 (R) ; da ui segue (U (R)Ylm )(^x) = hx^ j U (R) jl; mi = Ylm (R 1 x^ ) =

(8.37)

=

l X

m0 = l l X m0 = l





hx^ j l; m0 l; m0 U (R) jl; mi (l) Ylm0 (^x)Dm 0 m (R) :

Problema 8.2-2. Cal olare la relazione esistente tra gli elementi di (l) matri e Dm 0 m (R) delle rappresentazioni irridu ibili e le armoni he sferi he Ylm (^x) . Parametrizziamo ome di onsueto il generi o punto x^ della sfera S 2 in termini degli angoli sferi i, vale a dire x^ = (sin # os '; sin # sin '; os #) . Quindi

onsideriamo la rotazione Rx = R(^x ^ ez ; #) he porta x^ nel versore ez dell'asse z , ovvero Rx 1 ez = x^ . In ne spe ializziamo la legge di trasformazione (8.37) al

aso parti olare

Ylm (^x) = Ylm (Rx

1e ) = z

l X m0 = l

281

(l) Ylm0 (ez )Dm 0 m (Rx ) :

Momento angolare

Ora Ylm (ez ) non puo dipendere dall'angolo ' e deve quindi essere della forma l Æm 0 , dove la ostante l e ssata dalla normalizzazione al valore [(2l + 1)=4℄1=2 . Si ottiene allora 



2l + 1 1=2 (l) D0 m (Rx ) ; 4

he e la relazione er ata. Si noti he il termine a destra e orrettamente invariante sotto la modi a Rx ! R(ez ; )Rx he non ambia la proprieta di ruotare x^ in ez .

Ylm (^x) =

8.2.7. Spin ed eli ita delle parti elle.

Abbiamo de nito in pre edenza ome parti ella dotata di spin un sistema si o per il quale la quadrupla (x; y; z; Sz ) ostituis e un insieme ompleto di osservabili ompatibili. Evidentemente, il solo Sz e suÆ iente per individuare lo stato interno della parti ella se e solo se la rappresentazione interna nitodimensionale D(R) e irridu ibile, ioe D(R) = D(j ) (R) per un erto peso j . In questo aso, al posto di j viene usualmente adoperato il simbolo s , detto spin della parti ella. Esso puo essere intero o semintero. In natura si osservano parti elle elementari on spin s = 0 3, s = 1=2 , s = 1 e s = 2 e non oltre (una \spiegazione teori a" di questa limitazione esiste, an he se ri hiede nozioni he vanno ben oltre lo s opo di questo libro). D'altra parte, ridu endo la nostra attenzione a determinate osservabili, possiamo sempre onsiderare elementari an he parti elle omposte ome i barioni (formati da tre quarks di spin 1=2 e quindi on stati di spin no a 3=2), o i nu lei o gli stessi atomi, nel qual aso il valore dello spin puo essere an he maggiore di 2. Tuttavia non dobbiamo dimenti are he non si tratta piu veramente solo dello spin ma di una somma di diversi spin e di momento angolare interno (ad esempio il momento angolare orbitale degli elettroni attorno al nu leo). L'esempio primo di parti ella elementare on spin 1=2 e l'elettrone, an he se lo spin di un elettrone libero non e realmente osservabile: non risulta signi ativo, ad esempio, un esperimento di tipo Stern-Gerla h

on fas i elettroni i. L'evidenza sperimentale dello spin dell'elettrone, una volta opportunamente mediata dalla teoria, e omunque fuori dis ussione. 3In realta tutte le parti elle relativisti he s alari sinora osservate sono sistemi om-

posti, o stati legati, di altre parti elle dotate di spin s = 1=2 . Ad esempio il pione e formato da un quark e da un antiquark, he sono fermioni (vedi al Cap. 11) di spin 1=2 . Il fatto he queste parti elle s alari si di ano egualmente elementari non e solo un retaggio stori o risalente a quando erano ritenute \indivisibili": i loro ostituenti interagis ono os fortemente da non essere osservabili allo stato libero; in altri termini, non sembra possibile materialmente dividere un pione in quark ed antiquark os ome si divide un atomo di idrogeno in protone ed elettrone o un nu leo pesante in nu lei piu leggeri nel pro esso di ssione.

282

Rotazioni e momento angolare

Parti elle elementari on spin 1 e 2 sono rispettivamente il fotone ed il gravitone, ioe i quanti della radiazione elettromagneti a e della gravitazione. Per i gravitoni pero e le ito nutrire dubbi, dato he la situazione, sia sperimentale he teori a, e tutt'altro he ben de nita. Inoltre, strettamente parlando, l'espressione \spin 1 del fotone" non e del tutto orretta. Ad esempio, essa potrebbe far redere he lo spazio degli stati interni di un fotone sia tridimensionale, mentre sappiamo bene

he un'onda elettromagneti a si puo trovare in solo due stati ortogonali di polarizzazione. Il fatto e he il fotone e una parti ella di massa nulla,

he si muove quindi sempre alla velo ita della lu e e per la quale non e pensabile un'approssimazione non relativisti a. La orretta trattazione dello spin del fotone ri hiede la teoria delle rappresentazioni del gruppo dei movimenti della relativita ristretta (il gruppo di Poin are) ed esula dai nostri s opi attuali. Qui i limiteremo ad introdurre la nozione di eli ita

E = Sjp
jp ;

he per una generi a parti ella dotata di spin orrisponde alla omponente di S lungo la direzione del moto, ioe del momento p. Come tale l'eli ita possiede uno spettro quantizzato in multipli interi o seminteri di ~ . Se la parti ella e massiva, allora esiste una orrispondenza biunivo a tra gli autostati di E e quelli, ad esempio, di Sz , per ui E assume 2s + 1 valori. Se la massa e nulla, inve e, lo spin lungo un asse arbitrario non e de nito e si dimostra he lo spettro di E si ridu e alle due possibilita estreme ~s , orrispondenti a S parallelo o antiparallelo a p .

8.2.8. Relazioni di ortogonalita.

(j ) Gli elementi di matri e Dmm 0 (u) soddisfano a relazioni di ortogonalita analoghe a quelle valide per le armoni he sferi he (4.9). Queste ultime ostituis ono un insieme ortogonale

ompleto sullo spazio di Hilbert L2 (S 2 ) delle funzioni a quadrato sommabile sulla sfera. Nel aso di SU (2) e ne essario prima di tutto de nire il prodotto s alare per funzioni de nite sul gruppo: Z

h 1 j 2 i = d(u) 1 (u) 2(u) : La misura di integrazione d deve essere invariante per rispettare l'evidente omogeneita del gruppo, per ui tutti i punti dello stesso sono equivalenti e vanno \pesati" allo stesso modo. Non possiamo addentrar i oltre in questo argomento, he ri hiede un'introduzione alla teoria dei gruppi ben piu ompleta e dettagliata di quanto oerto in questo e nel prossimo apitolo. Per una su

inta trattazione dell'argomento rimandiamo all'App. B.1.7. 283

Momento angolare

La relazione di ortogonalita si s rive allora Z 82 (j2 ) (j1 ) Æ Æ Æ 0 0 ( u ) = ( u ) D (8.38) d(u) Dm m2 m02 1 m01 2j1 + 1 j1 j2 m1 m2 m1 m2 8.2.9. Rotazioni di 2 . Una rotazione R(n; 2) di un angolo giro attorno ad un asse arbitrario n las ia invariato il sistema si o sotto esame S , qualunque esso sia. Quindi tale rotazione non puo avere al un eetto osservabile e deve indurre una trasformazione unitaria U (2) he las ia invariate tutte le osservabili di S : (8.39) U (2)A U (2)y = A ; 8A : D'altra parte, su stati jj; m;  i on momento angolare de nito, dalla formula generale (8.36) si trova U (2) jj; m;  i = ( )2j jj; m;  i dato he u(n; 2) = 1 e D(j ) ( u) = ( )2j D(j ) ( u) . Quindi U (2) non si ridu e all'identita se lo spazio di Hilbert HS ontiene rappresentazioni irridu ibili sia di peso intero he di peso semintero. Dato he u(4; n) = 1 , una rotazione di due angoli giro deve inve e senz'altro orrispondere all'identita: U (4) = U (2)2 = 1 : Introdu endo i proiettori Q = 21 [1  U (2)℄ ; Q+ + Q = 1 ; Q+ Q = Q Q+ = 0 dalla (8.39) abbiamo allora Q+ A Q = Q A Q+ = 0 ; 8A : Quindi nessuna osservabile puo onnettere stati on spin intero a stati

on spin semintero o vi eversa. Questa e la situazione aratteristi a della presenza di una regola di superselezione (vedi al x7.5): nel nostro aso essa aerma he alla sovrapposizione lineare di vettori di HS on spin sia intero he semintero non orrisponde al uno stato puro si amente realizzabile. Infatti, se an he j i e tale he sia j + i = Q+ j i he j i = Q j i sono nunnulli, il presunto stato puro j ih j non e in al un modo distinguibile dalla mis ela statisti a j + ih + j + j ih j , dato he per ogni osservabile A si trova h j A j i = h +j A j +i + h j A j i : Dunque solo all'interno di ias uno dei due sottospazi oerenti Q+ HS e Q HS vale veramente il prin ipio di sovrapposizione lineare. E fa ile riformulare questa analisi nel linguaggio piu generale delle matri i densita. Se % e un arbitrario stato di S (nel senso he % = %y , 284

Rotazioni e momento angolare

%  0 e Tr % = 1 , vedi (7.22)), allora i \blo

hi misti" %+ = Q+ % Q e % + = Q % Q+ non ontengono al una informazione si a, visto he Tr %+ A = Tr % +A = 0 ; 8A : Possiamo per io fare la s elta piu onveniente, %+ = % + = 0 , ovvero % = %++ + % . Si noti he questa s elta, fatta ad un erto istante iniziale t0 , resta valida per tutti gli altri tempi, dato he la Hamiltoniana, il generatore dell'evoluzione temporale, e essa stessa una osservabile e

ommuta per io on U (2) .

8.2.10. Operatori tensoriali irridu ibili. La posizione, il momento lineare ed il momento angolare orbitale di una parti ella, os ome il momento angolare totale di un generi o sistema S , inteso ome generatore delle rotazioni, sono esempi di operatori vettoriali. Un operatore vettoriale A = (V1 ; V2; V3 ) = (Vx; Vy ; Vz ) , per de nizione si trasforma sotto rotazioni ome il vettore oordinato x , vale a dire (8.40) U (R)y V U (R) = R V ; dove R ! U (R) e la rappresentazione delle rotazioni nello spazio di Hilbert su ui agis e V . Considerando rotazioni in nitesime R ' 1 iÆ 
` , U (R) ' 1 iÆ 
J , dalla (8.40) si ottengono subito le regole di ommutazione di V on il momento angolare totale J : (8.41) [J ; V ℄ = (` ) V = i V ; Problema 8.2-3. Si veri hi le relazione (8.40) a partire dalla (8.41) fa endo uso dello sviluppo in serie della funzione esponenziale, dalla quale si desume la regola generale 1 X eA Be A = Cn (A; B ) : n=0

dove Cn (A; B ) e il ommutatore multiplo: Cn+1 (A; B ) = [a; Cn (A; B )℄ ; C0 (A; B ) = B : (si veda an he l'App. B.1.8). Se passiamo dalle omponenti p artesiane Vx; Vy ; Vz a quelle osiddette sferi he V1 = (Vx  iVy )= 2 , V0 = Vz , possiamo ris rivere le relazioni (8.40) e (8.41) nella forma equivalente X U (R) Vm U (R)y = Vm0 D(1)0 (R) m0 = 1;0;1

[J ; Vm ℄ =

X

m0 = 1;0;1

285

mm

(1) Vm0 Dm 0 m (J ) :

Momento angolare

Generalizzando queste relazioni da D(1) alla rappresentazione irridu ibile di peso arbitrario j si ottiene la seguente de nizione: un insieme lineare di operatori T (j ) , on omponenti sferi he Tm(j ) ; m = j; j +1; : : : ; j , si di e tensoriale irridu ibile di peso j se vale la legge di trasformazione sotto rotazione

U (R) Tm(j ) U (R)y =

(8.42)

j X

m0 = j

(j ) Tm(j0) Dm 0 m (R) ;

o, equivalentemente, sono veri ate le regole di ommutazione on il momento angolare totale [J ; Tm(j ) ℄ =

(8.43)

j X m0 = j

(j ) Tm(j0) Dm 0 m (J ) :

Dalle espressioni (8.34) per gli elementi di matri e di D(j ) (J ) , si ri ava una versione piu espli ita della relazione (8.43): [J ; Tm(j ) ℄ = [(j  m)(j  m + 1)℄1=2 Tm(j) 1 [Jz ; Tm(j ) ℄ = m Tm(j ) : In parti olare per j = 0 si ottiene un operatore s alare, he resta invariato sotto una qualunque rotazione: (8.44) U (R) T (0) U (R)y = T (0) ; mentre per j = 1 si ottiene un operatore vettoriale. Esempi di operatori tensoriali irridu ibili di peso arbitrariamente grande si ottengono fa ilmente a partire da operatori vettoriali le ui omponenti siano mutualmente ompatibili, ome la posizione o ome il momento di una parti ella: ponendo Tm(l) = Slm (V ) ; dove le Slm (x) = jxjl Ylm (^x) sono le osiddette armoni he solide (si noti

he Slm (x) e un polinomio omogeneo di grado l nelle tre omponenti di x ), si trova U (R) T (j ) U (R)y = Slm (U (R) V U (R)y ) m

= Slm (R 1 V ) =

l X

m0 = l

(j ) Slm0 (V )Dm 0 m (R) ;

grazie alle proprieta di trasformazione delle armoni he sferi he. E hiaro

he in questo modo si ottengono solo operatori tensoriali di peso intero. D'altronde si tratta di una limitazione del tutto generale se gli operatori 286

Addizione di momenti angolari

Tm(l) sono le omponenti sferi he di un insieme tensoriale di osservabili, per le quali deve innanzitutto valere 

Tm(l)

y

= ( 1)j

m T (l) m

(si onfronti questa relazione on quella analoga per la oniugazione omplessa delle armoni he sferi he). Infatti sappiamo he ogni osservabile e invariante sotto rotazioni di 2 , vale a dire U (2) Tm(j ) U (2)y = Tm(j ) ;

he e ompatibile on la de nizione (8.42) solo se D(j ) (R(n; 2) = 1 , ovvero per j intero.

8.3. Addizione di momenti angolari

Siano J 1 e J 2 due operatori di momento angolare mutualmente ompatibili, ioe (8.45) [J 1 ; J 2 ℄ = 0 : Ad esempio possiamo onsiderare i momenti angolari orbitali di due punti materiali distinti, oppure il momento angolare totale e lo spin di una parti ella dotata di spin. Grazie alla (8.45), l'operatore somma J = J 1 + J 2 e an h'esso un operatore di momento angolare, ioe soddisfa alle regole di ommutazione (8.24). Quindi J genera una rappresentazione delle rotazioni. Come gia sappiamo, si tratta del prodotto diretto delle due rappresentazioni generate rispettivamente da J 1 e J 2 : U (R) = U1 (R)U2 (R) . Senza perdita di generalita possiamo assumere he U1 (R) e U2 (R) de nis ano due rappresentazioni irridu ibili D(j1 ) e D(j2 ) rispettivamente, vale a dire U1 (R) = D(j1 ) (R) 1 ; U2 (R) = 1 D(j2 ) (R) ; dato he in aso ontrario possiamo sempre de omporle prima in omponenti irridu ibili e onsiderare poi i prodotti diretti omponente per

omponente (vedi oltre). Dunque per ipotesi Ja2 vale ja (ja +1) , a = 1; 2 . La rappresentazione R ! U (R) = D(j1 ) (R) D(j2 ) (R) e ridu ibile e si pone in generale il problema di de omporla in rappresentazioni irridu ibili. Tale problema e equivalente alla determinazione dei possibili autovalori J (J + 1) e dei orrispondenti autovettori del quadrato del momento angolare totale J 2 . Gli operatori U (R) agis ono sullo spazio (2j1 + 1)(2j2 + 1) -dimensionale linearmente generato dagli autovettori simultanei di J1 z e J2 z , ioe jj1 ; m1 i jj2 ; m2 i  jm1 ; m2 i (essendo j1 e j2 ssati ab initio possiamo evitare di espli itarli). Jz = J1 z + J1 z e ovviamente diagonale in questa base, on autovalori M = m1 + m2 . Se rappresentiamo i vettori ortonormali jm1 ; m2 i ome punti di un reti olo 287

Momento angolare

m2 j 1= 2

j 2 = 7/2

M m1 j 1+ j 2 j 1+ j 2

.

.

| j1 . .

.

-1

.

j 2|

Figura 8-1. Addizione di momenti angolari quantisti i.

quadrato, otteniamo lo s hema della gura 8-1. Si vede hiaramente he

ias un autovalore M ha una erta degenerazione: in parti olare, solo l'autovettore jj1 ; j2 i ha l'autovalore M = j1 + j2 , mentre vi sono due autostati on autovalore M = j1 + j2 1 , tre on autovalore M = j1 + j2 2 e os di seguito no a M = jj1 j2 j , ui orrispondono 2 min(j1 ; j2 ) autovettori. Questa degenerazione massima resta ostante mentre M de res e no a M = jj1 j2 j , dopo di he essa diminuis e ome M sin he M = j1 j2 , he e l'autovalore piu pi

olo, e non degenere, di Jz . Evidentemente la degenerazione degli autovalori di Jz orrisponde ai distinti autovalori di J 2 . Denotiamo on WJ il sottospazio linearmente generato dai vettori jm1 ; m2 i on m1 + m2 = J . Esso ontiene tutti gli autovettori di Jz on autovalore M = J . L'operatore di innalzamento J+ = J1 + + J1 + per ostruzione appli a WJ in WJ +1 . Dato he dim WJ +1 = dim WJ 1 per jj1 j2 j  J  j1 + j2 , deve ne essariamente esistere un vettore j i di WJ anni hilato da J+ , J+ j i = 0 . Usando la solita relazione quadrati a J J+ = J 2 Jz (Jz 1) otteniamo subito

he j i e un autovettore di J 2 on autovalore J (J + 1) . Quindi, in base all'analisi generale del x8.2.5, j i e l'autovettore di peso massimo di un multipletto di 2J + 1 autovettori tutti on lo stesso autovalore J (J + 1) di J 2 e on autovalore M di Jz he varia da J a J . Poniamo allora j i = jJ; J i , dove il primo J si riferis e all'autovalore J (J + 1) di J 2 ed il se ondo all'autovalore M = J di Jz . Gli altri vettori del multipletto 288

Addizione di momenti angolari

saranno quindi jJ; M i , J  M  J 1 ed insieme a jJ; J i generano linearmente il sottospazio VJ , jj1 j2 j  J  j1 + j2 , he sostiene la rappresentazione irridu ibile D(J ) di SU (2) . Abbiamo dunque dimostrato

he

D(j1 )



D(j1 )



jM 1 +j2

J =jj1 j2 j

D(J ) :

Come anti ipato, possiamo utilizzare questo risultato per de omporre il prodotto diretto di rappresentazioni ridu ibili, dato he la somma diretta e distributiva rispetto al prodotto diretto. Cos, se al posto di D(j1 ) 0 ( j ) ( j ) avessimo la somma D 1  D 1 , otterremmo


[j1 ℄  [j10 ℄ [j2 ℄  [j1 ℄ [j2 ℄  [j10 ℄ [j2 ℄ ℄ 0

jM 1 +j2

1

0

jM 1 +j2

1

[J ℄A ; [J ℄A   0 J =jj1 j2 j J =jj1 j2 j dove abbiamo introdotto la notazione alternativa [j ℄  D(j ) . Un aso di questo tipo si in ontra nella de omposizione del prodotto diretto di tre rappresentazioni irridu ibili,
[j1 ℄ [j2 ℄ [j3 ℄  [j1 ℄ [j2 ℄ [j3 ℄



(8.46)

jM 1 +j2

0

JM +j3

1

[J 0 ℄A ; J =jj1 j2 j J 0 =jJ j3 j

he e rilevante nell'addizione di tre momenti angolari indipendenti. Si noti

he nella doppia sommatoria diretta in Eq. (8.46), una stessa rappresentazione irridu ibile [J℄ puo omparire piu volte, segnalando la degenerazione  M ) di J 2 e Jz . della oppia di autovalori (J; Problema 8.3-1. Si sviluppino in rappresentazioni irridu ibili i tripli prodotti [ 21 ℄ 3  [ 12 ℄ [ 12 ℄ [ 21 ℄ e [1℄ 3 . 8.3.1. CoeÆ ienti di Clebsh-Gordan. I vettori jm1; m2 i formano per ostruzione una base ortonormale in D(j1 ) D(j1 ) . An he i vettori jJ; M i , una volta normalizzati, formano una base ortonormale nello stesso spazio. Le due basi devono quindi essere ollegate da una trasformazione unitaria: X jm1 ; m2i hm1; m2 j J; M i : (8.47) jJ; M i =



m1 ;m2



I prodotti s alari hm1 ; m2 j J; M i he aratterizzano questa trasformazione si di ono oeÆ ienti di Clebs h-Gordan. La notazione piu appropriata e quella ompleta, hj1 ; m1 ; j2 ; m2 j J; M i (o addirittura la piu pedante 289

Momento angolare

hj1 ; m1; j2 ; m2j j1 ; j2 ; J; M i ) dato he essi variano al variare di j1 e j2 . Si noti he, per de nizione, i oeÆ ienti di Clebs h-Gordan sono diversi da zero solo se m1 + m2 = M , jj1 j2 j  J  jj1 + j2 j e la somma j1 + j2 + J e un intero. Si osservi inoltre he le fasi dei vettori jJ; M i , he sono de niti solamente ome autovettori di erti operatori, non sono a priori ssate. Per quanto riguarda le fasi all'interno di ias un multipletto irridu ibile ( ioe J ssato e solo M variabile), possiamo far ri orso alla onvenzione standard delle rappresentazioni irridu ibili (vedi Eq. (8.33)), mentre restano indeterminate le fasi per M ssato e J variabile. Per ssare an he queste ultime in modo onveniente, ad esempio per ottenere oef ienti di Clebs h-Gordan tutti reali, appli hiamo J+ = J1+ + J2+ alla relazione (8.47) e ontraiamo il risultato on hm1 ; m2 j . Si ottengono os le regole di ri orrenza (8.48) [J (J + 1) M (M + 1)℄1=2 hj1 ; m1 ; j2 ; m2 j J; M + 1i = [j1 (j1 + 1) m1 (m1 1)℄1=2 hj1 ; m1 1; j2 ; m2 j J; M i + [j2 (j2 + 1) m2 (m2 1)℄1=2 hj1 ; m1 ; j2 ; m2 1j J; M i : Analogamente, utilizzando J = J1 + J2 , ri ri ava (8.49) [J (J + 1) M (M 1)℄1=2 hj1 ; m1 ; j2 ; m2 j J; M 1i = [j1 (j1 + 1) m1 (m1 + 1)℄1=2 hj1 ; m1 + 1; j2 ; m2 j J; M i + [j2 (j2 + 1) m2 (m2 + 1)℄1=2 hj1 ; m1 ; j2 ; m2 + 1j J; M i : Quando M = J , le relazioni (8.48) permettono di al olare per iterazione tutti i oeÆ ienti della forma hj1 ; m1 ; j2 ; J m1 j J; J i , a partire da hj1 ; j1 ; j2 ; J j1 j J; J i . Quindi appli ando l'Eq. (8.49), a omin iare da hj1 ; m1 ; j2 ; J m1 j J; J i , si ottengono tutti gli altri oeÆ ienti. Essi risultano tutti reali non appena hj1 ; j1 ; j2 ; J j1 j J; J i e s elto reale per ogni valore di J . Per onvenzione esso viene an he assunto positivo. Come appli azione parti olare delle regole di ri orrenza (8.49) onsideriamo il aso j1 = l e j2 = 1=2 , he per l intero e rilevante nello studio dell'interazione spin-orbita (vedi x12.3). Ponendo J = l + 1=2 (l'altro

aso possibile e J = l 1=2 ) e m2 = 1=2 , nelle (8.49), si ottiene la regola di ri orrenza in M

l; M

1 ; 1 ; 1 J; M 2 2 2

"

+ 12 i = ll ++ M M + 23 290

#1=2





l; M + 21 ; 12 ; 12 J; M + 1i ;

Addizione di momenti angolari

he una volta iterata no a raggiungere il massimo valore di M , impli a (si notino le sempli azioni teles opi he tra numeratori e denominatori) 1 ; 1 ; 1 l + 1 ; M  2 2 2 2 " #1=2 1

l+M + 2 = l; M + 23 ; 12 ; 12 l + 5 l+M + 2 " #1=2

l + M + 21 = l; l; 21 ; 12 l + 12 ; l + 2l + 1



(8.50)

l; M

"

l + M + 21 = 2l + 1

#1=2

1; M 2

+2



1 2

:

Problema 8.3-2. Si veri hi he i oeÆ ienti di Clebs h-Gordan relativi ai asi rimanenti (ovvero J = l + 1=2 , m2 = 1=2 e J = l 1=2 , m2 = 1=2 ) valgono rispettivamente

(8.51)



l; M +

 1 1 1 1 2; 2; 2 l + 2; M =

l; M 

1 1 1 2; 2; 2 l

1; M 2



"

l M + 12 2l + 1

=

"

#1=2

l  M + 12 2l + 1

#1=2

:

Si noti he i quattro oeÆ ienti in questione formano una matri e ortogonale 2  2 per ogni M . Per de nizione essi de nis ono una matri e unitaria; la riduzione a una matri e reale ortogonale e onseguenza della

onvenzione adottata per le fasi. Si tratta di un risultato generale, valido per ogni j1 e j2 . Nel aso in esame, j1 = l e j2 = 1=2 , questo permette di ottenere le (8.51) direttamente dalla (8.50), senza fare piu uso delle regole di ri orrenza. Nel aso piu sempli e le relazioni (8.50) e (8.51) des rivono la omposizione  di due spin 1=2 . Adottando la notazione abbreviata 21 ;  21 = ji per indi are i due vettori di stato di un singolo spin, otteniamo le espressioni per il osiddetto tripletto on spin totale J = 1 j1; 1i = j++i j1; 0i = p1 (j+ i + j +i) ; j1; 1i = j i 2 e per il singoletto on spin totale nullo j0; 0i = p1 (j+ i j +i) : 2 291

Momento angolare

8.3.2. Il teorema di Wigner-E kart. I oeÆ ienti di Clebs h-Gordan possono essere fa ilmente messi in relazione on il prodotto diretto di rappresentazioni unitarie irridu ibili. Infatti abbiamo, per ogni rotazione R, U (R) jJ; M i = da un lato, e

U (R) jj1 ; m1 ; j2 ; m2 i =

J X  J; M 0 D (J )0

M M (R)

M 0= J

X  j1 ; m0 ; j2 ; m0 D (j10 ) (R)D (j20 ) (R) 1 2 m2 m2 m1 m1 m01 ;m02

dall'altro. Utilizzando quindi la relazione (8.47) per jJ; M i e jJ; M 0 i si ottiene X X  j1 ; m0 ; j2 ; m0 D (j10 ) (R)D (j20 ) (R) hj1 ; m1 ; j2 ; m2 j J; M i 1

m1 ;m2 m01 ;m02

=

X X

M 0 m1 ;m2

2

m2 m2

m1 m1



jj1 ; m1; j2 ; m2i hj1 ; m1 ; j2 ; m2 j J; M 0 DM(J )0M (R) ;

da ui segue, eguagliando separatamente i oeÆ ienti dei vettori ortonormali jj1 ; m1 ; j2 ; m2 i X

m1 ;m2

hj1 ; m1 ; j2 ; m2 j J; M i Dm(j101)m1 (R)Dm(j202)m2 (R) =

X

M0





(J ) j1 ; m01 ; j2 ; m02 J; M 0 DM 0 M (R) ;

ovvero, per via della ortonormalita dei oeÆ ienti di Clebs h-Gordan, (8.52) (j2 ) (j1 ) Dm 01 m1 (R)Dm02 m2 (R) XXX

 = j1 ; m0 ; j2 ; m0 J; M 0 D(J )0 (R) hJ; M j j1 ; m1 ; j2 ; m2 i : M0 J

M

1

2

MM

Evidentemente quest'ultima relazione, detta an he serie di Clebs hGordan, esprime espli itamente la de omposizione del prodotto diretto D(j1 ) D(j2 ) in rappresentazioni irridu ibili D(J ) . Si ri ordi he, per de nizione, i oeÆ ienti di Clebs h-Gordan sono diversi da zero solo se m1 + m2 = M , jj1 j2 j  J  jj1 + j2 j e la somma j1 + j2 + J e un intero. Combinando la de omposizione (8.52) on le relazioni di ortogonalita (8.38), si ottiene la segeuente regola per l'integrazione su SU (2) di tre 292

Addizione di momenti angolari

rappresentazioni unitarie irridu ibili: Z

(8.53)

(j1 ) (J ) (j2 ) d(u)DM 0 M (u)Dm01 m1 (u)Dm02 m2 (u)

 82

j1 ; m01 ; j2 ; m02 J; M 0 hJ; M j j1 ; m1 ; j2 ; m2 i : 2J + 1 Questo risultato i permette di dimostrare immediatamente il seguente : Teorema di Wigner-E kart. Sia T (j ) un insieme tensoriale irridu ibile di operatori di spin j e fjJ; M;  ig una base di autostati del momento angolare totale. Allora gli elementi di matri e di Tm(j ) sono proporzionali ai oeÆ ienti di Clebs h-Gordan, ioe (8.54)    hJ; M;  j Tm(j) J 0 ; M 0;  0 = hJ;  jjTm(j) j J 0 ;  0 hJ; M j j; m; J 0 ; M 0 ; dove i fattori di proporzionalita hJ;  jjTm(j ) jjJ 0 ;  0 i prendono il nome di elementi di matri e ridotti e non dipendono da m , M o M 0 . Infatti, dalle proprieta he de nis ono T (j ) e fjJ; M;  ig abbiamo, per un'arbitraria rotazione R ,  hJ; M;  j Tm(j) J 0; M 0 ;  0  = hJ; M;  j U (R)y U (R) Tm(j ) U (R)y U (R) J 0 ; M 0 ;  0 XXX  = hJ; q;  j T (j0) J 0 ; q0;  0 D(J ) (R) D(j0) (R) D(J0 0 ) 0 (R) :

=

q

qM

m

m0 q0

mm

qM

Integrando su R (su u 2 SU (2) per l'esattezza), dalla formula (8.53) ri aviamo subito la tesi del teorema on l'identi azione  XXX

 hJ;  jjTm(j) j J 0 ;  0 = j; m0 ; J 0 ; q0 J; qi hJ; q;  j Tm(j0) J 0 ; q0 ;  0 : m0

q

q0

Evidentemente questa identi azione, he e \auto-referente", di per se stessa non i onsente di sempli are il al olo degli elementi di matri e di T (j ) . La strategia orretta onsiste nel al olare gli elementi di matri e ridotti attraverso lo stesso teorema di Wigner-E kart, fa endo una s elta opportuna di m , M 0 e M . Consideriamo una serie di esempi, omin iando on il aso piu sempli e di un operatore s alare T (0) (vedi (8.44)): in base al teorema di WignerE kart abbiamo   hJ; M;  j T (0) J 0 ; M 0 ;  0 = hJ;  jjT (0) j J 0;  0 ÆJ J 0 ÆM M 0 dato he hJ; M j 0; 0; J 0 ; M 0 i = ÆJ J 0 ÆM M 0 . Quindi, ad esempio   hJ;  jjT (0) j J;  0 = hJ; 0;  j T (0) J; 0;  0 : 293

Momento angolare

Un se ondo esempio e ostituito dalle omponenti sferi he Jm(1) , m = 1; 0; +1 dello stesso momento angolare totale J . In questo aso possiamo s rivere (8.55)











hJ; M;  j Jm(1) J 0; M 0 ;  0 = hJ;  jjJ j J 0;  0 hJ; M j 1; m; J 0 ; M 0 :

Quindi, ponendo q = 0 e ri ordando he (N.B.: J0(1)  Jz )



hJ; M;  j J0(1) J 0 ; M 0;  0 = MÆJ J 0 ÆM M 0 Æ  0 ;

on la s elta piu onveniente M = M 0 = J = J 0 , si ottiene (8.56)





hJ;  jjJ j J 0 ;  0 = [J (J + 1)℄1=2 ÆJ J 0 Æ  0 ;

dove l'uni o oeÆ iente di Clebs h-Gordan he e stato ne essario al olare si ridu e a   J 1=2 hJ; J j 1; 0; J; J i = J + 1 : Naturalmente il risultato nale per gli elementi di matri e di Jm(1) on orda on le formule generali (8.34) valide per tutte le rappresentazioni unitarie irridu ibili delle rotazioni. Il seguente risultato ostituis e un terzo esempio dell'appli azione del teorema di Wigner-E kart: Teorema 8.3.1. Gli elementi di matri e hJ; M;  j V jJ 0 ; M 0 ;  0 i di un generi o operatore vettoriale V tra stati on lo stesso spin J sono proporzionali ai medesimi elementi di matri e del momento angolare totale J. Infatti abbiamo, dalle (8.54), (8.55) e (8.56)









hJ; M;  j Vm J; M 0 ;  0 = hJ;  jjV j J;  0 hJ; M j 1; m; j; M 0 hJ;  jjV jjJ;  i hJ; M;  j J J; M 0 ;  0  : = m

[J (J + 1)℄1=2

Inoltre gli elementi di matri e ridotti hJ;  jjV jjJ;  0 i sono ri ondu ibili agli elementi di matri e, he sono di solito piu fa ili da al olare, dell'operatore s alare

J
V =

X

m

( 1)m J

294

m Vm

:

Addizione di momenti angolari

Espli itamente:









hJ;  jjJ
V j J;  0 = hJ; M;  j J
V J; M;  0 X X 

 = ( 1)m hJ; M;  j J m J 00 ; M 00 ;  00 J 00; M 00 ;  00 Vm J; M;  0 m

 00 J 00 M 00

 = [J (J + 1)℄1=2 hJ;  jjV j J;  0  X X 

( 1)m hJ; M j 1; m; j; M 00 J; M 00 1; m; j; M i :

M 00

m

La doppia sommatoria fra parentesi si al ola sostituendo lo stesso J a V e vale sempli emente 1 , per ui abbiamo il risultato nale  jjJ;  0i hJ; M j J J; M 0  (8.57) hJ; M;  j V J; M 0 ;  0 = hJ;  JjjJ(J
+V 1) In generale l'operatore vettoriale V possiede elementi di matri e nonnulli an he tra stati on spin J e J 0 dierenti ( omunque jJ J 0 j  1 per il teorema di Wigner-E kart). In erti asi parti olari gli uni i elementi di matri e non-nulli sono proprio quelli on jJ J 0 j = 1 , ome nel aso della posizione x e del momento p per il sistema ostituito da un singolo punto materiale. Infatti J
x = J
p = 0 se J = L = x ^ p . x e p sono esempi di vettori polari, mentre J , he evidentemente ha elementi di matri e nonnulli solo per J = J 0 e un vettore assiale. La de nizione generale verra data nel prossimo apitolo in relazione alla trasformazione di parita (vedi x9.5.1); allora l'annullarsi di erti elementi di matri e sara fatta dis endere da erte proprieta di simmetria degli stati e degli operatori. Problema 8.3-3. Dato il prodotto tensoriale D (j1 ) D (j2 ) di due rap-

presentazioni unitarie irridu ibili delle rotazioni, si al olino gli elementi di matri e degli operatori di momento angolare parziale J 1 e J 2 tra autostati del momento angolare totale J = J 1 + J 2 . (N.B.: si tratta di una appli azione diretta della formula generale (8.57).)

8.3.3. Simboli 3-j. Al posto dei oeÆ ienti di Clebs h-Gordan vengono di sovente adoperati altri oeÆ ienti, dotati di maggiori proprieta di simmetria, i osiddetti simboli 3-j. Essi si s rivono (8.58)





j1 j2 j3 = ( p1)j1 j2 m3 hj ; m ; j ; m j j ; m i 1 1 2 2 3 3 m1 m2 m3 2j3 + 1

e sono diversi da zero solo se m1 + m2 + m3 = 0 e j1 ; j2 ; j3 formano i tre lati di un triangolo on perimetro pari ad un intero. I simboli 3-j posseggono le seguenti simmetrie (per brevita indi hiamo on (1; 2; 3) il 295

Momento angolare

simbolo 3-j (8.58)): (8.59) (1; 2; 3) = (3; 1; 2) = (2; 3; 1) (1; 3; 2) = (2; 1; 3) = (3; 2; 1) = ( 1)j1 +j2 +j3 (1; 2; 3) (8.60)   j j j 1 2 3 j1 +j2 +j3 (1; 2; 3) : (8.61) m1 m2 m3 = ( 1) I simboli 3-j possono essere de niti ab initio ome omponenti, a valori reali e dotati delle proprieta di simmetria (8.59), dello s alare ottenuto dal prodotto diretto di tre vettori di stato appartenenti a rappresentazioni irridu ibili on spin j1 , j2 e j3 , ovvero   X j j j 1 2 3 j0; 0i = m1 m2 m3 jj1 ; m1 ; j2 ; m2 ; j3 ; m3 i : m ;m ;m 1

2

3

Quindi essi devono soddisfare all'identita   j1 j2 j3 = m01 m02 m03 =

X

m1 ;m2 ;m3

(j1 ) (j2 ) (j3 ) Dm 01 m1 (R) Dm02 m2 (R) Dm01 m3 (R)

per ogni rotazione R .

296



j1 j2 j3 m1 m2 m3



CAPITOLO 9

Simmetria e invarianza In questo apitolo i proponiamo di illustrare il ruolo fondamentale he rivestono i prin ipi di simmetria e di invarianza nel formalismo generale della me

ani a quantisti a. Abbiamo gia avuto modo di a

ennare al problema nei pre edenti apitoli (ad esempio al x7.6 e x7.6.3) e pro ediamo ora alla trattazione generale. Innanzitutto o

orre fare una distinzione ben pre isa tra i due aspetti della questione: quello he potremmo de nire stati o- inemati o e quello dinami o. Sia ben hiaro he la stessa distinzione sussiste an he in me

ani a lassi a; nella sua formulazione piu generale, quella basata sulla nozione di spazio delle fasi F , le trasformazioni di simmetria al livello stati o- inemati o sono tutte e sole le trasformazioni anoni he, ioe le appli azioni biunivo he di F in se stesso he, preservando la struttura simpletti a di F (ovvero las iando invariate le parentesi di Poisson tra le oordinate anoni he), garantis ono la ovarianza ( ioe l'invarianza in forma) delle equazioni del moto di Hamilton. Questa e la ondizione ne essaria e suÆ iente aÆn he una generi a trasformazione su F possa essere una simmetria della des rizione del moto se ondo la me

ani a

lassi a. In se ondo luogo, si pone la questione di ontrollare le proprieta di trasformazione dell'Hamiltoniana: se essa risulta invariante, allora la trasformazione in questione preserva la dinami a, ovvero permette di

ostruire nuove soluzioni del moto a partire da date soluzioni del moto: si tratta di una simmetria del moto e non solo della des rizione dello stesso. Inoltre, nel aso di gruppi ontinui di trasformazioni, ad ogni simmetria dell'Hamiltoniana ( ioe ad ogni trasformazione di simmetria he las ia invariata l'Hamiltoniana) risulta asso iata una legge di onservazione (vedi al ap. 1). Volendo estendere queste onsiderazioni alla me

ani a quantisti a, la prima questione a ui rispondere riguarda la determinazione di he osa una trasformazione di simmetria deve las iare invariato: si tratta ioe di identi are l'analogo quantisti o della struttura simpletti a dello spazio delle fasi lassi o. Ri ordiamo he, se ondo i prin ipi della me

ani a quantisti a dis ussi nel ap. 7, ad ogni sistema si o S e asso iato uno spazio di Hilbert HS , i ui raggi unitari sono in orrispondenza biunivo a 297

Simmetria e invarianza

on gli stati puri di S . Si rammenti inoltre he HS si intende individuato operativamente: ogni vettore di stato j i in HS e per ipotesi autovettore di un opportuno insieme ompleto di osservabili ompatibili, i ui valori sono per de nizione sperimentalmente misurabili mediante adeguati apparati ed operazioni. In altre parole, ogni raggio di HS puo essere sempre, almeno in linea di prin ipio, \preparato" ome stato iniziale del sistema S (le modi he di queste aermazioni nel aso he esistano regole di superselezione sono las iate al lettore). In ne, tutte le informazioni oggettivamente disponibili sul sistema S , ioe le distribuzioni di probabilita delle varie osservabili, sono ontenute nei moduli quadri dei prodotti s alari fra vettori di stato normalizzati (le osiddette probabilita di transizione), he ome sappiamo dal x7.2 de nis ono la struttura metri a dello spazio proiettivo dei raggi HS =C  .

9.1. Trasformazioni di simmetria La domanda he sorge ora spontanea e la seguente: quanto universale e lo s hema generale appena (molto sommariamente) riassunto, entro il quale viene des ritto il sistema si o S ? La questione e di entrale importanza, poi he fa riferimento alle aratteristi he di oggettivita della des rizione quantome

ani a dei fenomeni si i. In linea di prin ipio, due diversi osservatori alle prese on il medesimo sistema S possono seguire linee

ompletamente diverse per ri ostruire lo spazio degli stati puri di S , ioe studiare dierenti osservabili on dierenti pro edure sperimentali. Una volta a

ertata da entrambi la validita dei postulati fondamentali della me

ani a quantisti a, resta il problema di onfrontare i due insiemi di previsioni teori he e dati sperimentali. Per tale s opo, una volta assunta l'equivalenza dei due osservatori, e ne essario he i due spazi di Hilbert da essi ri ostruiti siano isomor , nel senso di ostituire due rappresentazioni eventualmente diverse dello stesso spazio di Hilbert HS dei vettori di stato, he esista una espli ita orrispondenza tra i due insiemi di osservabili e di stati puri ed in ne he le distribuzioni di probabilita di osservabili

orrispondenti siano le stesse. Diremo allora he le des rizioni dei due osservatori sono legate da una trasformazione di simmetria T . Per quanto appena detto, e tenendo onto della possibilita di regole di superselezione, vale dunque la de nizione Una trasformazione di simmetria T onsiste in una

orrispondenza biunivo a tra i raggi di HS he preserva il modulo quadro dei prodotti s alari e rispetta le regole di superselezione. In dettaglio, questo signi a he: 298

Trasformazioni di simmetria

a) Ad ogni stato puro % orrisponde uno stato puro T % e vi eversa,

ioe ogni stato puro % e l'immagine sotto T di uno stato puro %0 ; in parti olare, se j i e un vettore rappresentativo di % , vale a dire % = j i h j , indi heremo on jT i un vettore rappresentativo di T % . b) Per qualunque oppia di stati puri %1 e %2 le probabilita di transizione sono onservate, Tr T %1 T %2 = j hT 1 j T 2 i j2 = j h 1 j 2 i j2 = Tr %1 %2 ; per ui T si on gura ome una isometria dello spazio proiettivo dei raggi HS =C  ; si noti he una tale isometria e ne essariamente biunivo a: per la disuguaglianza di S hwartz, %1 e %2 oin idono se e solo se Tr %1 %2 = 1 ; quindi se T %1 = T %2 allora 1 = Tr T %1 T %2 = Tr %1 %2 impli a %1 = %2 .

) A raggi appartenenti ad un dato settore di superselezione HS(q1 ;q2 ;:::) (si veda al x7.5) orrispondono raggi appartenenti ad un singolo settore1. In base alla de nizione appena data, le trasformazioni di simmetria formano un gruppo (vedi l'App. B.1): T2 T1 si ottiene mettendo in

orrispondenza se ondo T2 le immagini della prima trasformazione T1 . T = e e la trasformazione identi a, he fa orrispondere ogni raggio di HS a se stesso, e T 1 la trasformazione inversa di T , ovvero la orrispondenza tra raggi letta nel verso opposto. Si noti he una orrispondenza biunivo a tra stati puri impli a una orrispondenza biunivo a tra osservabili e vi eversa, data la relazione di omplementarita tra le due ategorie (si riveda la dis ussione generale del x7.1). In prati a pero, sono solo erte

orrispondenze tra osservabili quelle piu fa ilmente individuate, in base a prin ipi generali di simmetria spazio-temporale e/o a dirette veri he operative (si onsiderino per esempio le proprieta di simmetria e le eventuali degenerazioni negli spettri delle osservabili piu rilevanti). Ne segue

he gran parte delle trasformazioni di simmetria relative ad un dato sistema S non hanno al una interpretazione si a diretta ne al una utilita prati a (lo stesso vale per le trasformazioni anoni he della me

ani a

lassi a). Il problema reale onsiste nell'identi are e aratterizzare il piu

ompletamente possibile tutte quelle trasformazioni tra osservabili la ui interpretazione e hiara e/o la ui esistenza risulta omunque fondamentale per mettere ordine tra la massa di dati a

umulati nelle osservazioni. A tale s opo gio a un ruolo fondamentale, ome vedremo, la struttura gruppale dell'insieme delle trasformazioni di simmetria. 1In aso ontrario i nostri due osservatori non si troverebbero d'a

ordo sulle regole di superselezione, potendo l'uno preparare stati puri he risultano impossibili da preparare per l'altro. Dunque l'immagine sotto T di un settore di superselezione e senz'altro isomorfa al settore originale, an he se non oin ide ne essariamente on esso, ioe T puo non onservare le ari he di superselezione ed i due osservatori non

on ordare sul loro valore.

299

Simmetria e invarianza

Consideriamo ora un sempli e esempio. Si supponga he i due suddetti osservatori siano ollegati dalla traslazione spaziale T (a) , a 2 R3 ,

ioe fa

iano riferimento a due terne di assi oordinati ottenuti l'uno dall'altro mediante lo spostamento rigido a . Osservando lo stesso esperimento, essi attribuiranno al sistema S in esame dierenti stati ome risultati della stessa preparazione, dato he diversa e la loro rappresentazione matemati a delle osservabili di S . Ad esempio, se r :m: e il entro di massa di S per il primo, allora T (a) r :m: = r :m: + a e il entro di massa per il se ondo, e via di endo, on un'analoga, pre isa orrispondenza per tutte le osservabili. Poi he gli stati sono preparati misurando le osservabili, deve esistere una orrispondenza biunivo a an he tra tutti i possibili stati puri assegnati a S dai due osservatori. Supponiamo ora he il primo osservatore sia in grado, mediante opportuni arrangiamenti sperimentali, di preparare alternativamente gli stati ortonormali j 1 ih 1 j e j 2ih 2 j , non he lo stato j ih j , on j i = 1 j 1i + 2 j 2 i e j 1 j2 + j 2 j2 = 1 (si pensi ad esempio alle varie rotazioni del magnete in un esperimento di Stern-Gerla h). L'altro osservatore, he essendo per ipotesi equivalente al primo appli a gli stessi prin ipi generali della me

ani a quantisti a, assegna agli stati preparati i vettori jT (a) 1 i , jT (a) 2 i e jT (a) i = 01 jT (a) 1 i + 02 jT (a) 2 i . In su

essive misure, i due osservatori si troveranno d'a

ordo sui risultati se e solo se jT (a) 1 i e jT (a) 2 i sono ortonormali e j 0j j2 = j j j2 , j = 1; 2 . Dato he j = h j j i ,

0j = hT (a) j j T (a) i , e j i , j j i sono vettori rappresentativi di raggi arbitrari di HS , arriviamo alla ri hiesta he alla traslazione T (a) orrisponda una trasformazione di simmetria dello spazio degli stati puri di S. In questo esempio la trasformazione di simmetria he ollega le due des rizioni quantome

ani he prende origine direttamente da una simmetria dello spazio si o, poi he (almeno per spostamenti a non troppo grandi) appare ovvio assumere he i due osservatori siano eettivamente equivalenti (questo ostituis e un esempio di prin ipio di simmetria). Questa interpretazione della simmetria si di e passiva in quanto il sistema S e uno solo e resta inalterato, mentre la traslazione T (a) ollega diversi osservatori. Si di e inve e attiva l'interpretazione opposta, per la quale vi e un solo osservatore he ontempla due distinti sistemi si i ottenuti l'uno dall'altro per traslazione. Entrambe le visioni sono legittime e si tradu ono in una trasformazione di simmetria del formalismo della me

ani a quantisti a, in base all'assunzione di omogeneita dello spazio si o. E inoltre evidente he le due trasformazioni os ottenute sono una

300

Trasformazioni di simmetria

l'inversa dell'altra, dato he, se lo spazio e davvero omogeneo, traslare insieme osservatore e sistema osservato2 deve tradursi nella trasformazione identi a. Quanto appena detto per le traslazioni suggeris e un'interpretazione attiva di tipo operativo per tutte le trasformazioni di simmetria ollegate a simmetrie spazio-temporali. Si tratta, in sostanza, di eettuare (o immaginare di eettuare) determinate operazioni sugli apparati sperimentali atti a preparare il sistema S in un erto stato. Dopo tali operazioni, gli apparati prepareranno il sistema in uno stato he e legato a quello originale dalla trasformazione di simmetria T he orrisponde alle operazioni fatte.

9.1.1. Il teorema di Wigner.

Se ondo la de nizione presentata nel pre edente paragrafo una trasformazione di simmetria e una isometria dello spazio proiettivo dei raggi he rispetta le eventuali regole di superselezione. Un esempio immediato e fornito da una isometria dello spazio di Hilbert stesso, ioe dall'appli azione j i 7! jU i he onserva i prodotti s alari hU j Ui = h j i : Come e noto, una isometria tra spazi di Hilbert e ne essariamente un'appli azione lineare, per ui possiamo porre jU i = U j i , dove U e un operatore unitario: UU y = U yU = 1 . D'altro lato, se l'appli azione j i 7! jU i non onserva i prodotti s alari, ma li trasforma nei loro omplessi oniugati, ovvero

hU j Ui = hj i = h j i ;

(9.1)

essa de nis e an ora una trasformazione di simmetria. Si dimostra fa ilmente he tale appli azione e antilineare, ioe

1 j

i + 2 j 2i 7! 1 jU 1 i + 2 jU 2i : Possiamo an ora porre jU i = U j i on la regola U j i =  U j i ,

2 C . Insieme on la (9.1) questo de nis e U ome operatore antiuni1

tario. In entrambi i asi si intende an he he U trasforma ias un settore

HS(q1;q2;:::) in se stesso o interamente in un altro settore, rispettando os le regole di superselezione. L'esempio appena riportato e tutt'altro he limitato, dato il seguente

2E  importante in ludere nel omplesso osservatore-osservato, oltre a tutto l'apparato sperimentale ne essario per le osservazioni, an he tutti gli agenti esterni al sistema S he potrebbero in uenzare la preparazione e le varie misure entro l'a

uratezza desiderata. Si pensi ad esempio al ampo gravitazionale ed a quello elettromagneti o.

301

Simmetria e invarianza

Teorema di Wigner. Ogni trasformazione di simmetria T in un dato spazio di Hilbert HS e implementabile mediante una isometria lineare o antilineare UT tra i settori di superselezione di HS ; l'operatore UT risulta univo amente ssato da T a meno di un fattore di fase.

Piu in dettaglio questo signi a he: a) Per ogni raggio % e possibile individuare un vettore rappresentativo j i tale he UT j i e un vettore rappresentativo di T % . b) UT o e unitario o e antiunitario (si intende he dim HS > 1 ).

) Se quanto appena detto vale sia per UT he per UT0 , allora ne essariamente UT0 = ei UT . La dimostrazione di questo teorema, seppure non troppo diÆ ile, e piuttosto lunga e omplessa e non sara qui riportata. Il lettore puo trovare un'e

ellente esposizione in [Bar64℄ Si noti he la trasformazione identi a T = e e senz'altro implementata da un multiplo unimodulare dell'operatore identita 1 , dato he le regole gruppali ee = e e eT = T; 8T es ludono l'alternativa antiunitaria. Per

onvenzione, il suddetto fattore e solitamente ssato uguale a 1 . In sostanza, il teorema di Wigner aerma he le trasformazioni di simmetria sono ambiamenti di base nello spazio di Hilbert dei vettori di stato ( on l'aggiunta della oniugazione omplessa delle oordinate nel aso di una implementazione antiunitaria). Per la pre isione, si tratta sempre di

ambiamenti per i quali e possibile stabilire una orrispondenza uno-a-uno tra la nuova base e quella originaria, tale quindi da ammettere sia una interpretazione attiva he una passiva, nel senso puramente matemati o gia dis usso al x7.6.2. Naturalmente questo e automati amente vero nel aso di basi di vettori propri, dato he tali basi sono numerabili. In parti olare, se HS e n -dimensionale, il gruppo di tutte le possibili trasformazioni di simmetria oin ide on il prodotto diretto di SU (n) , il gruppo delle matri i n  n unitarie e unimodulari, on il gruppo dis reto f1; K g , dove K e la oniugazione omplessa relativa ad una base ssata.

9.1.2. Legge di trasformazione delle osservabili. Consideriamo ora in he modo una trasformazione di simmetria viene implementata al livello delle osservabili o, piu generalmente, degli operatori lineari. Le grandezze he dobbiamo prendere in esame sono i moduli quadri delle ampiezze quantome

ani he, e non le ampiezze stesse ome faremmo inve e per un sempli e ambiamento di base, dato he solo i moduli quadri sono si amente osservabili. Come vedremo pero, il risultato nale non

ambia, onfermando l'interpretazione delle trasformazioni di simmetria

ome riparametrizzazioni unitarie o antiunitarie dello spazio di Hilbert. Assumendo he la trasformazione di simmetria j i ! jT i agis a in senso attivo per i vettori di stato, possiamo de nire l'operatore attivamente 302

Trasformazioni di simmetria

trasformato T X , a partire da un generi o operatore X , nel seguente modo: (9.2) j h j T X ji j2 = j hT j X jT i j2 ; dove j i e ji sono arbitrari vettori di HS . Vi eversa, dal punto di vista passivo, T X andrebbe identi ato on quell'operatore he possiede tra jT i e jT i gli stessi moduli quadri degli elementi di matri e he

ompetono a X tra j i e ji , ovvero j hT j T X jT i j2 = j h j X ji j2 : Risulta evidente he (T X )attiva = (T 1 X )passiva : Dal punto di vista operativo la visione passiva per le osservabili e naturalmente oniugata a quella attiva per gli stati: se una erta operazione di simmetria sugli apparati sperimentali he preparano il sistema S nello stato puro % risulta nella preparazione dello stato T % , mentre gli apparati he eseguono le misurazioni su

essive restano inalterati, allora le osservabili asso iate a questi ultimi vanno trasformate in senso passivo, se ondo T 1 , dato he la stessa operazione di simmetria eseguita su tutti gli apparati, sia di preparazione he di su

essiva misurazione, deve risultare nella trasformazione identi a. Detto questo, per ssare le idee d'ora in poi onsidereremo, an he per le osservabili, la formulazione valida per la visione attiva, he possiamo asso iare alle misurazioni relative alla sola preparazione degli stati (la visione passiva si ottiene in ogni aso tramite la sostituzione T ! T 1 ). Se la trasformazione di simmetria j i ! jT i e implementata dall'operatore unitario UT , ovvero jT i = UT j i , si puo dimostrare he dalla relazione (9.2) segue (l'eser izio e las iato al lettore) (9.3) h j T X ji = hT j X jT i ; a meno di un fattore di fase e quindi TX = Uy X U (9.4) T

T

sempre a meno di un fattore di fase. Si tratta di un fattore di fase relativo uni amente all'operatore X , dato he la (9.4) non dipende dal fattore di fase di UT las iato libero dal teorema di Wigner. In ogni aso risulta naturale porre tale fattore di fase uguale ad 1 per T = e e quindi UT = 1 . Lo stesso vale allora per ogni altra trasformazione di simmetria T . Se inve e l'implementazione di T e antiunitaria, la relazione (9.3) va sostituita on (9.5) h j T X ji = hT j X jT i : 303

Simmetria e invarianza

Ponendo an ora jT i = UT ji , on UT questa volta antiunitario, ed identi ando h j UTy on il bra orrispondente a UT j i , non si riottiene la (9.4), a ausa della residua oniugazione omplessa. Il problema e

he h j UTy non e un vero bra: esso agis e ome funzionale antilineare, e non lineare, su HS , per ui (h j UTy ) j 0 i non oin ide on h j (UTy j 0 i) , rendendo mal de nita l'espressione h j UTy XUT ji . Un sempli e modo per evitare ontraddizioni, ed al ontempo mantenere la notazione dei bra e ket, e di stabilire una volta per tutte he gli operatori antilineari agis ono solo a destra, ioe solo sui ket. Possiamo allora de nire l'operatore aggiunto UTy di un UT antiunitario di modo he   h j U y 0 = h j T 1 0 = hT j 0 i ; T

per ogni oppia j i , j 0 i in HS . Con questa onvenzione, la relazione (9.4) vale quindi in generale. Inoltre, UTy = UT 1 per ostruzione. E pero importante ri ordare he la natura antilineare di un operatore U antiunitario impone pre ise regole nelle manipolazioni algebri he di operatori. Ad esempio, U non ommuta on un -numero  , ma lo ambia nel suo  .

omplesso oniugato: U = U Sfruttando la relazione UT 1 = UT 1 = UTy , la versione passiva della Eq. (9.4) si s rive evidentemente (9.6) T 1X = U X U y : T

T

In ne, un operatore X si di e invariante sotto una trasformazione di simmetria T qualora T X = X . Dalle (9.4) o (9.6) si dedu e quindi he X e invariante se e solo se esso ommuta on UT . Possiamo ora ulteriormente veri are ome il formalismo matemati o della me

ani a quantisti a implementi in modo assai sempli e i on etti di trasformazione di simmetria, sia attiva he passiva. Se jai e un autovettore dell'osservabile A on autovalore a , A jai = a jai (il he equivale a dire he A assume ertamente il valore a nello stato rappresentato da jai ), allora jT ai = UT jai e un autovettore dell'osservabile passivamente trasformata T 1 A = UT AUTy on lo stesso autovalore a : (T 1 A) jT ai = U AU y U jai = U A jai = U a jai T

T T

= aUT jai = a jT ai :

T

T

D'altra parte, se lo spettro di A sostiene una realizzazione della trasformazione T , per ui jT ai des rive un autostato di A on autovalore T a (si pensi ad esempio alle traslazioni spaziali ed all'osservabile posizione), allora l'osservabile attivamente trasformata T A = UTy AUT assume il valore 304

Trasformazioni di simmetria

T a sul vettore originale jai :

(T A) jai = UTy AUT jai = UTy A jT ai = UTy (T a) jT ai  = (T a) UTy jT ai = (T a) T 1 T a = (T a) jai : Con etti operativi si amente tutt'altro he banali sono resi nel formalismo da sempli issimi passaggi algebri i. Questo fornis e un ulteriore sostegno alla orrispondenza tra osservabili e relativi autostati (in senso strettamente operativo) da una parte, ed operatori autoaggiunti e relativi autovettori dall'altra. In parti olare, possiamo ontrollare le proprieta di ovarianza delle equazioni del moto della me

ani a quantisti a sotto una trasformazione di simmetria. Dall'equazione di S hroedinger d i~ j i = H j i dt si ottiene subito, appli ando l'operatore UT ad entrambi i membri,  d  (9.7) i~ 0 = H 0 0 ; dt dove j 0 i = jT i = UT j i e H 0 = T 1 H = UT HUTy . Dunque la nuova equazione di S hroedinger ha la stessa forma di quella originale, he e quanto ri hiesto dalla ovarianza. Si noti he lo stesso risultato si ottiene an he piu in generale, nel aso in ui UT dipenda espli itamente dal tempo: dopo la trasformazione l'equazione di S hroedinger si legge an ora

ome la (9.7), on la nuova Hamiltoniana data da U (9.8) H 0 = UT HUTy + i~ T UTy : t Problema 9.1-1. Si veri hi la ovarianza delle equazioni del moto di Heisenberg per le osservabili sotto trasformazioni di simmetria. Dato he in generale, dal punto di vista prati o, le trasformazioni di simmetria sono individuate da pre ise orrispondenze tra le osservabili (quasi sempre indotte da erte proprieta spazio-temporali), piuttosto he dalle equivalenti orrispondenze tra stati, la legge di trasformazione (9.4) risulta parti olarmente utile per determinare espli itamente UT a partire dall'azione di T sulle osservabili. Possiamo limitar i a onsiderare tale azione su un insieme di osservabili fondamentali fA1 ; A2 ; : : :g , visto he ogni altra osservabile A risulta matemati amente esprimibile in funzione di quelle fondamentali. In eetti, se A = f (A1 ; A2 ; : : :) , allora T A = f (T A1 ; T A2 ; : : :) . Quindi, grazie alla (9.4), abbiamo U y A U = f (U y A U ; U y A U ; : : :) ; T

T

T 1 T

305

T 2 T

Simmetria e invarianza

relazione he spesso si ridu e ad una identita, grazie alla parti olare forma funzionale di f (ad esempio per f algebri a sempli e). Osserviamo ora he l'implementazione (9.4) della trasformazione di simmetria T , una volta onsiderata per un insieme di osservabili fondamentali, ssa UT a meno di un fattore di fase. Se infatti UT e VT implementano entrambi T , avremo T A = U y A U = V yA V j

e quindi

T j T

T j T

Aj = T 1 T Aj = UT VT 1 y Aj UT VT 1 : Dunque UT VT 1 ommuta on tutte le osservabili fondamentali ed e per io un multiplo dell'identita, ovvero VT = ei UT . Per ostruire UT espli itamente, stabilendo tra l'altro la sua natura lineare o antilineare, possiamo far ri orso alle regole di ommutazione tra le osservabili fondamentali, he per de nizione devono funzionalmente

hiudersi sulle stesse Aj e l'identita. Piuttosto he presentare una trattazione in termini generali, ne essariamente piuttosto astratta, i limitiamo qui a riportare la formula generale di partenza, he segue ombinando la regola (9.4) on la possibilita di esprimere T Aj in termini delle A1 ; A2 ; : : : stesse: (9.9) UTy Aj UT = Tj (A1 ; A2 ; : : :) ; dove le Tj sono funzioni solitamente piuttosto sempli i. Per un'analisi dettagliata, preferiamo rimandare ai vari esempi trattati nei prossimi paragra . 



9.1.3. Trasformazioni in nitesimali e generatori. In base al teorema di Wigner, una trasformazione in nitesimale di simmetria, lassi amente realizzata ome trasformazione anoni a in nitesimale, onsiste nel formalismo della me

ani a quantisti a in un operatore unitario he differis e \po o" dall'identita (per de nizione un operatore antiunitario non puo dierire \po o" dall'identita). Per una de nizione pre isa, onsideriamo un parametro in nitesimo  ed un operatore autoaggiunto Q e poniamo (9.10) U = 1 iQ : Si veri a subito he l'operatore U e unitario al primo ordine in  UU y = (1 iQ)(1 + iQ) = 1 + O(2 ) : Ripetendo molte volte una trasformazione in nitesima si ottiene una trasformazione nita: per ogni j i appartenente al dominio di analiti ita di 306

Trasformazioni di simmetria

Q si ottiene





i n Q j i = exp( iQ) j i : lim 1 n!1 n D'altro lato, esiste uni o l'operatore unitario U () he per  reale oin ide on exp( iQ) sul dominio di analiti ita di Q , per ui possiamo porre U () = exp( iQ) : Ovviamente, per  =  , questa relazione riprodu e al primo ordine la de nizione iniziale (9.10). Al variare di  sui reali, U () des rive un sottogruppo ad un parametro, ontinuo in senso forte, di operatori unitari (e quindi di trasformazioni di simmetria), aratterizzato dalla legge di omposizione U (0 )U () = U (0 + ) : L'operatore autoaggiunto Q si di e il generatore di tale sottogruppo. L'inverso di questa ostruzione ostituis e il seguente

Teorema di Stone. Sia fU ()g un sottogruppo a un parametro di operatori unitari ontinuo in senso forte; allora l'operatore Q de nito da

Qj

i = lim i 1 [U () !0

℄j

1

i

su ogni vettore j i per il quale il limite esiste in senso forte, e autoaggiunto e genera il sottogruppo, ioe U () = exp( iQ) .

Abbiamo gia avuto modo di in ontrare questo teorema al x7.7, in relazione all'evoluzione temporale ed alla Hamiltoniana, ed al paragrafo x7.6.3, riguardo alle traslazioni spaziali ed al momento. In questo apitolo esso gio a un ruolo fondamentale e sara d'ora in poi sempre sottinteso. Supponiamo ora he sia a priori de nito, per il sistema S , un sottogruppo ontinuo ad un parametro fT ();  2 Rg di trasformazioni di simmetria. Risulta allora spontaneo domandarsi se tale sottogruppo e sempre implementabile da operatori unitari della forma UT ()  U () = exp( iQ) , he ome sappiamo formano a loro volta un sottogruppo ad un parametro. Il teorema di Wigner e la ontinuita del sottogruppo per  ! 0 i garantis ono l'esistenza di un operatore unitario V () he implementa T () a meno di un fattore di fase. L'indeterminazione su tale fase esiste indipendentemente per ogni  , per ui in generale V () soddisfa alla legge di omposizione del sottogruppo a meno di un fattore di fase, ioe (9.11) V (0 )V () = !(0 ; )V (0 + ) ; 307

Simmetria e invarianza

dove j!(0 ; )j = 1 . Possiamo sempre ssare la fase globale della famiglia fV ()g in modo tale he V (0) = 1 , per ui !(; 0) = !(0; ) = 1 : Quindi, dierenziando la (9.11) rispetto a 0 in 0 = 0 si ottiene dV () = i[Q + f ()℄V () ; d dove Q e il generatore di V () e f () e una funzione reale e ontinua d dV () : log ! ( ;  ) = 0 ; f (  ) = i Q=i d  d =0 L'operatore U ()  Z 

U () = V () exp i

0

d f ()



soddisfa allora all'equazione dU () = iQU () ; d la quale, insieme alla ondizione U (0) = 1 , impli a immediatamente U () = exp( iQ) . In de nitiva, abbiamo appena veri ato he il fattore di fase !(0 ; ) e sempre eliminabile mediante un'opportuna ride nizione delle fasi relative degli operatori unitari he implementano un sottogruppo ad un parametro di trasformazioni di simmetria. Ogni sottogruppo di questo tipo risulta quindi interamente identi ato dal proprio generatore,

he e un operatore autoaggiunto sullo spazio di Hilbert. L'azione di una trasformazione in nitesima sugli operatori lineari si dedu e dalle relazioni (9.4) e (9.10) (1 + iQ) X (1 iQ) = X + i[Q ; X ℄ + O(2 ) : Alla lu e di quanto visto sopra, possiamo ris rivere questa relazione ome d [Q ; X ℄ = i [T ()X ℄ d =0 Quindi l'operatore X e invariante sotto T () se e solo se esso ommuta

on il orrispondente generatore Q .

9.1.4. Sistemi omposti. Consideriamo due sistemi si i S1 e S2 ,

on i relativi spazi di Hilbert H1 e H2 . Come sappiamo, al sistema

omposto S1 [ S2 e asso iato il prodotto diretto H1 H2 (vedi x7.2.1). Si supponga inoltre he per S1 e S2 siano de nite le trasformazioni di simmetria T1 e T2 , implementate rispettivamente dagli operatori U1 e U2 . 308

Trasformazioni di simmetria

Tra i vari stati puri di S1 [ S2 , vi sono quelli he orrispondono a stati puri sia di S1 he di S2 ; evidentemente, questi stati sono des ritti da vettori della forma j i = j 1 i j 2 i . Su tali vettori possiamo de nire l'azione del prodotto esterno T12 = (T1 ; T2 ) delle due trasformazioni, in modo molto naturale, ome (9.12) jT12 i = jT1 1 i jT2 2 i = [U1 j 1 i℄ [U2 j 2i℄ : In eetti l'arbitrarieta della s elta dei vettori rappresentativi dei vari raggi non ausa al un problema, poi he per ipotesi questi stati puri sono fattorizzati: % = %1 %2 ( % = j i h j e %j = j j i h j j , j = 1; 2). Ci poniamo ora il problema di ome estendere T12 a tutto H1 H2 in modo tale he essa sia una trasformazione di simmetria per il sistema

omposto. Per quanto visto nora, e tenendo onto he H1 H2 ammette per de nizione delle basi ortonormali fattorizzate, la ondizione appena ri hiesta sara senza dubbio soddisfatta se T12 viene estesa linearmente o antilinearmente. E tuttavia fa ile onvin ersi he se U1 e U2 sono entrambi unitari l'uni a estensione onsistente e quella lineare, mentre se sono entrambi antiunitari, l'uni a onsistente e l'estensione antilineare; in ne, nessuna delle due estensioni e onsistente se uno dei due operatori e unitario e l'altro e antiunitario. Dalla (9.12) risulta ora evidente he l'operatore U12 he implementa T12 in H1 H2 e il prodotto tensoriale dei due operatori U1 e U2 ,

(9.13) U12 = U1 U2 : Adottando la onvenzione diusa, gia introdotta a pag. 195, di identi are U1 on U1 1 e U2 on 1 U2 , la (9.13) si ris rive piu sempli emente

ome U12 = U1 U2 . Questo risultato si estende in modo ovvio al aso di un numero qualunque di sistemi e relative trasformazioni. Come gia ripetuto, le trasformazioni di simmetria si amente piu signi ative sono quelle he traggono origine da proprieta di simmetria dello spazio-tempo. Supponiamo ora he T1 e T2 siano trasformazioni di simmetria di questo tipo. E evidente allora he la de nizione appena data di trasformazione omposta T12 non orrisponde in generale ad una simmetria spazio-temporale, a meno he T1 e T2 non rappresentino l'azione sugli stati e sulle osservabili di S1 e S2 della stessa trasformazione T . Se questo e eettivamente il aso e se esiste una orrispondenza biunivo a tra le osservabili dei due sistemi, possiamo fare l'identi azione T1 = T2 = T . Consideriamo ad esempio il aso di due parti elle distinguibili, soggette ad una data traslazione: evidentemente T1 = T2 = T = traslazione di spostamento a se eettivamente T1 x1 = x1 + a e T2 x2 = x2 + a ( on le restanti osservabili fondamentali, momenti ed eventuali spin, non modi ate). Piu in generale T1 e T2 possono essere realizzazioni distinte della 309

Simmetria e invarianza

stessa trasformazione T : si pensi ad esempio ad una rotazione sul sistema

omposto da due parti elle di spin diverso. In ogni aso la trasformazione

omposta T12 e an ora una realizzazione della medesima trasformazione T. Conviene adattare opportunamente la notazione: on T (1) , T (2) e (12) T indi hiamo le realizzazioni di T su S1 , S2 e S1 [ S2 , rispettivamente, e s riviamo gli operatori he le rappresentano su H1 , H2 e H1 H2 ome UT(1) , UT(2) e UT(12) (an he i primi due sono intesi ome operatori su H1 H2 , se ondo la solita onvenzione). Abbiamo dunque, in a

ordo on l'Eq. (9.13), (9.14) UT(12) = UT(1) UT(2) ;

he si generalizza immediatamente alle omposizioni di un numero generi o N di sistemi, ovvero (9.15) UT(12:::N ) = UT(1) UT(2) : : : UT(N )

on notazione dal signi ato evidente. Questa ostituis e la regola generale se ondo la quale una ssata trasformazione di simmetria viene estesa a sistemi omposti. Se la trasformazione T e idempotente, T 2 = 1 , l'operatore UT e autoaggiunto e puo rappresentare una osservabile (questo e il aso ad esempio della parita, he dis uteremo in dettaglio piu avanti). Allora la regola (9.15) identi a UT ome un numero quanti o moltipli ativo, poi he i suoi autovalori in un sistema omposto si ottengono

ome prodotto degli autovalori di ias un sistema omponente. Supponiamo ora he T appartenga al sottogruppo ad un parametro di trasformazioni di simmetria fT ()g rappresentato da UT(1)() = exp( iQ1 ) su H1 e da UT(2)() = exp( iQ2 ) su H2 , rispettivamente. La notazione piu orretta sarebbe Q(1) e Q(2) an he per i generatori, per sottolineare il fatto he si tratta di due distinte rappresentazioni del medesimo generatore astratto. Una volta messo in hiaro questo punto, possiamo adottare la notazione piu leggera Q1 e Q2 (un buon ompromesso si ottiene ponendo Q1 = Q(1) 1 e Q2 = 1 Q(2) , il he pre isa esattamente lo spazio di Hilbert su ui i vari operatori agis ono). La rappresentazione del sottogruppo fT ()g per il sistema omposto si s rivera, se ondo la regola (9.14) (1) (2) UT(12) () = UT () UT () = exp [ i (Q1 + Q2 )℄ ;

dato he Q1 e Q2 evidentemente ommutano. Otteniamo os la regola di omposizione dei generatori (9.16) Q(12) = Q1 + Q2 ; 310

Invarianze e leggi di onservazione

he si generalizza immediatamente alla (9.17)

Q(12:::N ) =

N X j =1

Qj

nel aso di una omposizione multipla. Di onseguenza possiamo aermare

he le osservabili he rappresentano nei vari sottosistemi il generatore di un sottogruppo ad un parametro di trasformazioni di simmetria sono dei numeri quanti i additivi. Esempi fondamentali di osservabili di questo tipo sono le omponenti del momento lineare e del momento angolare, he rispettivamnte rappresentano, ome vedremo, i generatori delle traslazioni e delle rotazioni.

9.2. Invarianze e leggi di onservazione Siamo nalmente in posizione per des rivere l'altro fondamentale aspetto delle simmetrie in me

ani a quantisti a, ioe quello he riguarda non gia

ome si manifesta la ovarianza della leggi fondamentali, he ora diamo per s ontato in base alla nozione di trasformazione di simmetria, ma ome si manifestano le proprieta di invarianza della dinami a quantisti a di uno spe i o sistema si o. Innanzitutto notiamo he, tra tutte le trasformazioni di simmetria, per ipotesi (il postulato IV) ne esiste una famiglia spe iale, e ioe quella he orrisponde all'evoluzione temporale T (t; t0 ) , implementata dagli operatori unitari U (t; t0 ) (vedi x7.7). L'evoluzione temporale per de nizione agis e su tutte le aratteristi he del sistema S e quindi an he sulle altre trasformazioni di simmetria. Dal punto di vista degli operatori he le implementano, questo orrisponde al passaggio dalla des rizione di S hroedinger a quella di Heisenberg: nella prima una trasformazione T e vista ome generata da operazioni su S e i relativi apparati di misura, ed e quindi implementata da un ssato operatore UT ; nella se onda T e interpretata innanzitutto ome orrispondenza tra variabili dinami he, e quindi tra osservabili nella des rizione di Heisenberg, ed e per io implementata da UT (t)H = U (t; t0 )y UT U (t; t0 ) : In eetti, volendo estendere la legge di trasformazione delle osservabili fondamentali, Eq. (9.9), alla des rizione di Heisenberg, dovremo far uso di UT (t)H e non di UT : (9.18) UT (t)yH Aj (t)H UT (t)H = Tj (A1 (t)H ; A2 (t)H ; : : :) : Se onsideriamo inve e di eettuare al tempo t la trasformazione T sulle variabili dinami he, avremo UTy Aj (t)H UT = T~j (A1 (t)H ; A2 (t)H ; : : :) ; 311

Simmetria e invarianza

on le funzioni T~j generalmente diverse dalle Tj . Detto in altri termini, una generi a trasformazione di simmetria T non ommuta on l'evoluzione temporale, e quindi evolve an h'essa. Diremo per io he una ssata trasformazione di simmetria T e una invarianza del moto del sistema si o S se essa ommuta on l'evoluzione temporale del sistema stesso. Abbiamo visto he per le osservabili fondamentali questo ri hiede he T~j = Tj . Dal punto di vista degli stati, la ri hiesta di invarianza e he due raggi ollegati dall'evoluzione temporale siano trasformati da T in due raggi ollegati dalla stessa evoluzione temporale. Alternativamente possiamo dire he raggi orrispondenti sotto T all'istante t0 saranno an ora orrispondenti sotto T all'istante t , per ui la orrispondenza sotto T degli stati puri e una aratteristi a ostante del moto. In termini degli operatori UT 3 e U (t; t0 ) he implementano rispettivamente T e l'evoluzione temporale sullo spazio di Hilbert, la ondizione di invarianza si esprime quindi ome segue (9.19) UT U (t; t0 ) = ei U (t; t0 )UT ; dove il fattore di fase e in linea di prin ipio possibile dato he le orrispondenze tra raggi non ne vengono alterate. In ogni aso  = (t; t0 ) deve annullarsi per t = t0 ; inoltre, per le proprieta di U (t; t0 ) , deve essere una funzione antisimmetri a, (t; t0 ) = (t0 ; t) e soddisfare la legge di omposizione (t; t0 ) = (t; t1 ) + (t1 ; t0 ) . Quindi (t; t0 ) = '(t) '(t0 ) . Riletta nella forma UT U (t; t0 )UTy = ei U (t; t0 ) la (9.19) esprime l'invarianza dell'evoluzione temporale sotto T , mentre riletta ome U (t; t0 )y UT U (t; t0 ) = ei UT essa esprime l'invarianza di T sotto l'evoluzione temporale. Risulta an he evidente he le trasformazioni di simmetria he sono an he invarianze del moto formano un sottogruppo. Si noti he il fattore di fase (t; t0 ) = '(t) '(t0 ) puo venir sempre riassorbito in una ride zione di UT , a patto di a

ettare an he implementazioni he dipendono dal tempo della trasformazione T , he inve e da t non dipende aatto. Possiamo omunque fare a meno di una simile eventualita ed assumere UT ssato nel tempo, pro edendo nel seguente modo. Dierenziamo l'Eq. (9.19) rispetto t e fa

iamo uso dell'equazione del moto di U (t; t0 ) (Eq. (7.80)) per ottenere UT H (t)U (t; t0 )UTy = ei [H (t) '_ ℄ U (t; t0 ) ; 3In questo ome in quasi tutti i seguenti paragra , assumeremo ta itamente he

UT sia unitario. Dopo tutto, l'uni a implementazione antiunitaria si amente rilevante e quella dell'inversione temporale, he tratteremo in dettaglio solo alla ne del apitolo.

312

Invarianze e leggi di onservazione

dove '_ = d'=dt e H (t) e la Hamiltoniana, possibilmente dipendente dal tempo. Quindi utilizzando an ora la (9.19), l'ultima relazione si ris rive U H (t) U y = H (t) '_ ; T

la quale impli a an he

T

UTy H (t) UT = H (t) + '_ : Dunque, se '_ 6= 0 , UT agis e ome operatore invertibile di traslazione su H (t) , he deve per io possedere uno spettro illimitato sia superiormente

he inferiormente. Ma i sistemi si amente a

ettabili devono avere una Hamiltoniana H (t) limitata dal di sotto per ogni t , per ui ne essariamente '_ = 0 , ovvero '(t) = ostante e  = 0 . Si noti an he he nel aso di un UT idempotente ( (UT )n = 1 per un qual he intero n > 1 ), dalla (9.19) si ottiene ein = 1 , per ui la ontinuita on il valore 0 a t = t0 impone  = 0 sempre, indipendentemente dallo spettro di H (t) . In de nitiva, tenendo onto dell'uni ita di U (t; t0 ) a partire da H (t) , abbiamo ottenuto il seguente risultato: Teorema 9.2.1. La trasformazione di simmetria T e una invarianza del moto del sistema si o S se e solo se UT ommuta on l'Hamiltoniana H (t) di S : (9.20) [H (t); UT ℄ = 0 ; ovvero se H (t) e invariante sotto la trasformazione T : UTy H (t)UT = H (t) 4. Ne onsegue immediatamente he l'equazione di S hroedinger non e solo ovariante ma an he invariante sotto la trasformazione T in questione. L'equazione trasformata (9.7) e identi a a quella originale. In parti olare questo signi a he se j (t)i e una soluzione dell'equazione di S hroedinger, allora an he j 0 (t)i = UT j (t)i lo e. Supponiamo ora he UT appartenga al sottogruppo ad un parametro generato dall'osservabile Q , ovvero UT = exp( iQ) per un erto valore di  . La ondizione di invarianza (9.20) equivale allora alla relazione  dQ [T ()H (t)℄ = [H (t); Q℄ = i = 0  dt =0

he dimostra he ad ogni sottogruppo ad un parametro di invarianze e asso iata una legge di onservazione, espressa dal fatto he il generatore Q e un'osservabile ostante del moto, ioe una ari a onservata.

i

4Questa on lusione ri hiede una modi a in presenza di invarianza lo ale di gauge (vedi x9.4).

313

Simmetria e invarianza

9.2.1. Trasformazioni dipendenti dal tempo. Nel pre edente paragrafo abbiamo de nito una trasformazione di simmetria ome una invarianza, qualora essa ommuti on l'evoluzione temporale. Abbiamo an he assunto he la trasformazione T in questione fosse ssata una volta per tutte, ioe fosse indipendente dal tempo t . Possiamo ora togliere questa limitazione, onsiderando il aso di una famiglia fT (t)g di trasformazioni di simmetria he dipende espli itamente dal tempo, nel senso he essa

orrisponde ad operazioni su S he variano eettivamente da istante a istante. Si intende he tale dipendenza e ontinua ed e ssata a priori, senza al un riferimento ioe all'evoluzione temporale eettiva del sistema S . Un esempio importante sara onsiderato al x9.3.6. La ondizione di invarianza (9.19) va ora modi ata nella (9.21) UT (t) U (t; t0 ) = ei U (t; t0 )UT (t0 ) : Sfruttando le proprieta di U (t; t0 ) e fa ile veri are he dobbiamo an ora avere  = '(t) '(t0 ) , per ui possiamo riassorbire il fattore di fase ponendo UT (t) = ei'(t) V (t) . Possiamo inoltre assumere he gli operatori V (t) siano unitari, dato he una famiglia antiunitaria si puo sempre ottenere moltipli ando per un ssato operatore antiunitario. S rivendo la (9.21) nella forma (9.22) V (t) = U (t; t0 )V (t0 )U (t; t0 )y appare ora evidente he l'operatore evoluto se ondo Heisenberg, vale a dire V (t)H = U (t; t0 )y V (t)U (t; t0 ) ;

oin ide on V (t0 ) ed e per io ostante nel tempo. D'altra parte, differenziando l'Eq. (9.22) rispetto a t e tenendo onto he H (t) = i[U (t; t0 )=t℄  U (t; t0 )y si ri ava V (t) V (t)y + V (t)H (t)V (t)y = H (t) ; i t

he esprime l'invarianza dell'equazione di S hroedinger sotto T (si vedano le relazioni (9.7) e (9.8)). Se inoltre assumiamo he, per ogni t , V (t) sia un elemento del sottogruppo ad un parametro exp[ iQ(t)℄ , possiamo ris rivere la (9.22) interamente in termini dei generatori ome Q(t) (9.23) [H (t); Q(t)℄ = i : t Abbiamo os ottenuto, da un lato, la legge trasformazione in nitesima della Hamiltoniana (si ri ordi he la dipendenza di Q(t) da t si intende 314

Gruppi di simmetria e di invarianza

ssata a priori) e, dall'altro lato, la legge di onservazione  d Q(t)H = Q(t)H + i[H (t)H ; Q(t)H ℄ = 0 (9.24) dt t per l'osservabile di Heisenberg Q(t)H = U (t; t0 )y Q(t)U (t; t0 ) :

9.3. Gruppi di simmetria e di invarianza Come sappiamo, l'insieme di tutte le trasformazioni di simmetria della des rizione quantome

ani a di un sistema si o S formano un gruppo. Inoltre, quelle parti olari trasformazioni ollegate ad operazioni fattibili in laboratorio ostitus ono in generale vari sottogruppi, e lo stesso vale per le trasformazioni he sono an he invarianze del moto. Inoltre, ome vedremo in seguito, tra le trasformazioni di simmetria si amente rilevanti, soltanto l'inversione temporale viene implementata da un operatore antiunitario. Nella dis ussione he segue possiamo quindi limitar i a onsiderare i sottogruppi formati dalle altre trasformazioni, ui orrispondono operatori unitari. Infatti, omponendo questi ultimi on l'inversione temporale, si ottengono le omponenti non onnesse all'identita he sono rappresentate da operatori antiunitari: le loro proprieta sono omunque ri ondu ibili ai sottogruppi originali ed alla inversione temporale. Per meglio des rivere il aso di un generi o sottogruppo di trasformazioni unitariamente implementabili onviene adottare la notazione propria dei gruppi astratti (vedi App. B.1). Se G e un tale gruppo, diremo he una erta ollezione fT g di trasformazioni di simmetria realizza il gruppo G se esiste un isomor smo tra G e fT g : g 2 G ! T (g) 2 fT g . Quindi, tramite il teorema di Wigner, risulta identi ata una ollezione di operatori unitari sullo spazio di Hilbert he rappresentano il gruppo astratto G a meno di un fattore di fase. Quest'ultima pre isazione e indispensabile proprio per he il teorema di Wigner las ia indeterminata la fase dell'operatore U (g)  UT (g) orrispondente a ias una trasformazione T (g) ; quindi, per una generi a s elta di queste fasi, al prodotto g1 g2 di due elementi g1 e g2 di G viene in generale asso iato un operatore U (g1 g2 ) he dieris e per un fattore di fase dal prodotto U (g1 )U (g2 ) dei due operatori, ioe (9.25) U (g1 g2 ) = !(g1 ; g2 )U (g1 )U (g2 ) dove j!(g1 ; g2 )j = 1 . Queste onsiderazioni sono evidentemente la generalizzazione diretta al aso di un G arbitrario di quanto gia visto al x9.1.3 per i sottogruppi ad un parametro. Nella terminologia matemati a orrente si di e he la famiglia fU (g); g 2 Gg forma una rappresentazione unitaria proiettiva del gruppo G sullo spazio di Hilbert dei vettori di 315

Simmetria e invarianza

stato. Essa si ridu e ad una rappresentazione in senso stretto se e solo se esiste una s elta spe i a dei fattori di fase tale he !(g1 ; g2 ) = 1 per ogni oppia g1 ; g2 2 G . Come vedremo, diversamente dai sottogruppi ad un parametro, per arbitrari G questo non e sempre possibile. Per quanto riguarda il fattore di fase globale di fU (g); g 2 Gg , esso risulta ssato dalla regola he l'elemento neutro di G , ui orrisponde la trasformazione identi a, sia rappresentato dall'operatore identita: U (e) = 1 . Un aso molto rilevante e quando il sottogruppo G e un gruppo di Lie onnesso. Le orrispondenti trasformazioni sono quindi tutte generate da trasformazioni in nitesime su

essive. Consideriamo inoltre un insieme f1 ; 2 ; : : : ; r g di oordinate normali (o parametri anoni i) in un intorno dell'elemento neutro di G (vedi App. B.1). Indi heremo allora on g(1 ; 2 ; : : : ; r ) un generi o elemento di tale intorno e on U (1 ; 2 ; : : : ; r ) l'operatore orrispondente. Si noti he la ontinuita stessa del gruppo impone he U (1 ; 2 ; : : : ; r ) sia unitario piuttosto he antiunitario: all'origine dello spazio parametri o orrisponde l'elemento neutro g(0; : : : ; 0) = e , per ui U (0; : : : ; 0) = 1 . Come sappiamo dal x9.1.3, le fasi relative tra gli operatori U (g) possono essere sempre s elte in modo tale he ias uno dei sottogruppi ad un parametro, per i quali una sola oordinata normale e diversa da zero, venga rappresentato in senso stretto, senza al un fattore di fase:

U (: : : ; j ; : : :) U (: : : ; j ; : : :) = U (: : : ; j + j ; : : :) : Dunque a ias una oordinata normale orrisponde un sottogruppo ad un parametro di operatori unitari, ontinuo in senso forte. Per il teorema di Stone possiamo allora porre

U (: : : ; j ; : : :) = exp




ij Qj ;

dove Qj e l'operatore autoaggiunto he genera il sottogruppo a un parametro orrispondente alla oordinata j . Ripetendo l'analisi per ias uno dei restanti sottogruppi si ottiene l'insieme Q1 ; Q2 ; : : : ; Qr dei generatori della rappresentazione proiettiva orrispondente alle oordinate normali 1 ; 2 ; : : : ; r . Quindi, grazie alla de nizione stessa di oordinate normali, per un generi o elemento del gruppo G avremo (9.26)

U (1 ; 2 ; : : : ; r ) = exp i

r X j =1




j Qj :

Da questa relazione e dalla regola generale (9.4), si dedu e fa ilmente la forma in nitesima per le trasformazioni delle osservabili: se tutte le j 316

Gruppi di simmetria e di invarianza

sono di ordine  e  ! 0 , abbiamo

T (g)A =



1

+i

=A+i

X

j

X

j

 

j Qj + O(2 ) A

1

i

X

j



j Qj + O(2 )

j [Qj ; A℄ + O(2 ) ;

da ui segue immediatamente

 : T ( g ) A j 1 =:::=r =0 Come vedremo piu avanti, questa relazione, una volta appli ata ad un insieme di osservabili fondamentali A1 ; A2 ; : : : , risulta di solito suÆ iente per ssare i generatori Qj ome funzioni delle A1 ; A2 ; : : : , a meno di multipli dell'identita. Consideriamo ora due arbitrari elementi di G , g1 = g(1 ; : : : ; r ) e g2 = g(1 ; : : : ; r ) ed appli hiamo la formula di Baker-Hausdor nella relazione (9.25)

(9.27)

[Qj ; A℄ = i

h

U (g1 )U (g2 ) = exp i

X

j

(j + j )Qj

1 2

j

X

jk

i

j k [Qj ; Qk ℄ + O(3 ) ;

dove abbiamo assunto he i parametri e j siano tutti di ordine  . D'altra parte abbiamo   X U (g1 g2 ) = exp i  j Qj ; j

 1; : : : ;  r .

per opportuni valori Inoltre, tenuto onto he ne essariamente !(g; e) = !(e; g) = 1 , abbiamo  X

!(g1 ; g2 ) = exp i

jk



djk j k + O(3 ) ;

dove le ostanti djk sono antisimmetri he, djk = dkj , poi he per ipotesi !(g; g) = 1 . Dalla relazione (9.25) otteniamo per io [Qj ; Qk ℄ = i

j = j + j +

1 2

X

n

X

n

njk Qn + idjk 1

jkn k n + O(3 ) ;

in termini delle ostanti di struttura njk del gruppo G (vedi App. B.1). Dunque la natura proiettiva della rappresentazione si tradu e al livello dell'algebra di Lie in una osiddetta estensione entrale, ovvero nella

omparsa di -numeri a destra delle regole di ommutazione dei generatori sullo spazio di Hilbert. 317

Simmetria e invarianza

Se !(g1 ; g2 ) = 1 per ogni oppia g1 ; g2 , allora evidentemente djk = 0 . Il vi eversa vale solo se il gruppo in questione e sempli emente onnesso. Nel aso di gruppi di Lie non sempli emente onnessi esistono rappresentazioni tali he djk = 0 , mentre !(g1 ; g2 ) puo assumere un erto numero di valori dis reti (questo e proprio il aso del gruppo SO(3) delle rotazioni studiato nel ap. 8). In quanto segue onsideriamo G sempli emente

onnesso. La ride nizione delle fasi relative degli operatori UT orrisponde ad aggiungere delle ostanti agli operatori Qj

Qj ! Qj + uj =) U (1 ; : : : ; r ) ! exp



i

X

j



uj j U (1 ; : : : ; r )

e determina la seguente trasformazione lineare per le ostanti djk

djk ! djk

X

n

njk un :

Rappresentazioni proiettive le ui ostanti aratteristi he djk sono legate da tale legge di trasformazione si di ono equivalenti. In parti olare, una rappresentazione proiettiva e equivalente ad una rappresentazione Pvettoriale in senso stretto se e solo se le ostanti djk sono della forma n njk un per opportuni uj . Si noti omunque he le ostanti djk non sono in generale tutte linearmente indipendenti, a ausa dei vin oli imposti dall'identita di Ja obi [ [Qi ; Qj ℄; Qk ℄ + [ [Qj ; Qk ℄; Qi ℄ + [ [Qk ; Qi ℄; Qj ℄ = 0 , vale a dire  X

nij dkn + kjk din + kki djn = 0 : (9.28) n

P

Vediamo subito he djk = n njk un rappresenta una famiglia di soluzioni banali di questo vin olo lineare (sempre per via dell'identita di Ja obi soddisfatta P n dalle ostanti di struttura), ome ri hiesto dal fatto he djk = n jk un e equivalente a djk = 0 . In de nitiva, le djk sono le

omponenti di un generi o vettore in uno spazio lineare reale on dimensione  pari al numero di soluzioni antisimmetri he, non equivalenti a zero e linearmente indipendenti, dell'equazione lineare (9.28). Evidentemente 0    21 r(r 1) . Nei prossimi paragra esamineremo piu in dettaglio questo problema nel aso di al uni fondamentali gruppi di simmetria. Qualora le trasformazioni di simmetria di un erto sottogruppo G siano an he delle invarianze del sistema S , ovvero, 8t , (9.29) [H (t) ; U (g)℄ = 0 ; 8g 2 G ; diremo he G e un gruppo di invarianza di S . Se G e un gruppo di Lie, allora avremo an he (9.30) [H (t) ; Q℄ = 0 ; 8Q 2 g ; 318

Gruppi di simmetria e di invarianza

dove g e l'algebra di Lie dei generatori di fU (g); g 2 Gg . g e quindi un'algebra di Lie di ostanti del moto (vedi x7.7.1). I gruppi di simmetria gio ano un ruolo fondamentale in me

ani a quantisti a, senz'altro maggiore he in me

ani a lassi a, data la relazione piu stretta esistente tra gruppi e loro rappresentazioni unitarie irridu ibili in spazi di Hilbert, rispetto a quella esistente tra gruppi e loro realizzazioni anoni he in spazi delle fasi (e la linearita dello spazio di Hilbert, ovvero il prin ipio di sovrapposizione lineare, he risulta parti olarmente vin olante). La nozione di rappresentazione irridu ibile e di entrale importanza. Essa permette di strutturare lo spazio di Hilbert

ome somma diretta (o integrale diretto nel aso di gruppi non ompatti) di rappresentazioni irridu ibili, sempli ando notevolmente il problema della de omposizione spettrale delle osservabili he posseggono de nite proprieta di trasformazione rispetto al gruppo in questione (abbiamo gia avuto modo di illustrare questa idea, per quanto riguarda il gruppo delle rotazioni, nel ap. 8). Questo e vero in parti olare per l'Hamiltoniana, e quindi per la risoluzione dell'equazione di S hroedinger, soprattutto nel

aso di gruppi di simmetria he siano an he gruppi di invarianza. Su questi temi abbiamo visto vari esempi nei apitoli pre edenti; vediamo ora he si tratta di una temati a aratteristi a della me

ani a quantisti a. E an he importante osservare he l'esistenza di ari he onservate asso iate alle invarianze della dinami a fa ilita la determinazione stessa del orretto spazio di Hilbert. In eetti, dal punto di vista puramente operativo, risulta senz'altro piu fa ile preparare un sistema si o in autostati di ostanti del moto, piuttosto he di generi he osservabili he non sono

onservate nel tempo (durante la preparazione e tra preparazione ed osservazione nale passa inevitabilmente del tempo). Queste onsiderazioni hanno un rilievo parti olare nella si a delle parti elle elementari.

9.3.1. Traslazioni spaziali. Abbiamo gia avuto modo in pre edenza di parlare delle traslazioni spaziali e di ome sono implementate nel formalismo della me

ani a quantisti a. Presentiamo ora la trattazione generale e riassuntiva, adottando il punto di vista attivo. Consideriamo quindi un sistema ostituito da un numero arbitrario N di parti elle distinguibili, libere di muoversi in R3 , ovvero di quel sistema si o S interamente aratterizzato dalle 9N osservabili fondamentali he sono le 3 omponenti della posizione xj , del momento oniugato pj e dello spin/isospin sj di ias una parti ella, soggette per ipotesi alle regole di

ommutazione anoni he (vedi x7.8). Le traslazioni in R3 formano un gruppo di Lie abeliano, onnesso e sempli emente onnesso, isomorfo a R3 ome spazio lineare; una traslazione  e individuata da un vettore a , al 319

Simmetria e invarianza

quale risulta quindi asso iato un operatore unitario U (a) su HS , identi ato a meno di un fattore di fase dalle leggi di trasformazione delle osservabili fondamentali: U y (a) xj U (a) = xj + a (9.31) U y(a) pj U (a) = pj U y (a) sj U (a) = sj Queste relazioni sono essenzialmente basate sull'analogia on la me

ani a

lassi a: la posizione di una parti ella e per ipotesi io he trasla, mentre il momento lineare e lo spin, ome momento angolare intrinse o ( ioe relativo al entro di massa della parti ella), o l'isospin, ome grado di liberta interno, sono invarianti sotto traslazione. Dal punto di vista strettamente logi o-operativo, possiamo onsiderare queste proprieta sotto traslazione

ome fa enti parte della de nizione stessa delle osservabili quantome

ani he fondamentali di un sistema di N parti elle distinguibili. In questo senso la struttura omposta di tale sistema gio a un ruolo importante: tra le osservabili di ias una parti ella esiste una naturale orrispondenza

he viene rispettata dall'azione (9.31) delle traslazioni. Combinando le relazioni (9.27) e (9.31), si ottengono le ondizioni ui devono soddisfare i tre generatori Q ,  = 1; 2; 3 di U (a) : [Q ; (xj ) ℄ = iÆ ; [Q ; (pj ) ℄ = [Q ; (sj ) ℄ = 0 : La soluzione e immediata: le Q sono le omponenti artesiane del vettore Q = ~ 1 P + u1 ; dove P e il momento totale del sistema

P=

N X j +1

pj

e u e un vettore ostante arbitrario. Se tuttavia teniamo onto della natura omposta del sistema, vediamo subito he la s elta u = 0 e l'uni a

onsistente on la regola (9.16) e la ri hiesta he il momento generi le traslazioni di una singola parti ella. Come vedremo in seguito, la s elta u = 0 e an he l'uni a ompatibile on le proprieta di trasformazione del generatore Q relative a gruppi di simmetria he ontengono le traslazioni

ome sottogruppo. In ogni aso, la sua eventuale presenza modi a la rappresentazione U (a) solo per un irrilevante fattore di fase, per ui non

'e reale perdita di generalita nel porre u = 0 . Dunque la forma espli ita degli operatori unitari U (a) si s rive

U (a) = expf ia
P =~g 320

Gruppi di simmetria e di invarianza

e, dato he i generatori ommutano (9.32) [P ; P ℄ = 0 essi soddisfano la legge di omposizione U (a)U (b) = U (a + b) ; fornendo una rappresentazione vettoriale in senso stretto del gruppo delle traslazioni. L'assenza di una struttura proiettiva, evidentemente dovuta alla ri hiesta he le traslazioni las ino invariati i momenti anoni amente oniugati alle posizioni, puo sembrare spe i a del sistema S in questione, visto

he la natura abeliana delle traslazioni non impone al un vin olo su una eventuale estensione entrale della (9.32). Al x9.3.5 vedremo inve e he si tratta di una proprieta del tutto generale, una volta he le traslazioni spaziali siano ombinate on le rotazioni per formare il gruppo eu lideo in 3 dimensioni. In ne l'azione degli operatori di traslazione U (a) sulle funzioni d'onda nella rappresentazione della posizione si al ola fa ilmente (U (a) )(x1 ; : : : ; xN ; t) = (x1 a; : : : ; xN a; t) :

9.3.2. Traslazioni temporali. Nel formalismo della me

ani a quantisti a, os ome des ritto sinora, le traslazioni temporali ri hiedono una trattazione a parte, poi he il tempo stesso riveste un ruolo parti olare. La grandezza t he usiamo per parametrizzare il tempo non e una osservabile ome la posizione x di una parti ella e non possiamo quindi pensare di eettuare una traslazione t ! t +  in senso attivo nello stesso modo della relazione (9.31)5. Il signi ato della sostituzione t ! t +  e intrinse amente passivo: essa ollega le oordinate temporali usate da due osservatori i ui orologi non sono sin ronizzati, ma potrebbero esserlo portando l'uno avanti o l'altro indietro. Dal punto di vista attivo t ! t +  non e una traslazione, ma rappresenta l'evoluzione del sistema S in esame da t a t +  (non possiamo spostare S , ad esempio, nel futuro, dobbiamo aspettare he esso evolva nei suoi stati futuri). Come sappiamo dal x7.7, l'evoluzione da t a

5Questa dissimmetria tra spazio e tempo ostituis e un serio impedimento per la sintesi dei prin ipi della me

ani a quantisti a e di quelli della relativita ristretta di Einstein. In eetti tale sintesi e risultata (trionfalmente) possibile nella teoria quantisti a dei ampi, proprio per he in essa viene abbandonato il on etto della posizione di una spe i a parti ella ome osservabile: la oordinata spaziale x viene riportata sullo stesso piano di quella temporale t , in quanto paramentro per la lo alizzazione non gia di un oggetto materiale de nito a priori, ma di fenomeni des rivibili mediante opportune osservabili lo ali he sono funzioni del -numero x . Certamente la trattazione approfondita di questi temi esula dagli s opi di questo libro; altri a

enni sull'argomento si trovano omunque nel x11.3.

321

Simmetria e invarianza

t +  ostituis e per ipotesi (il postulato IV) una trasformazione di simmetria, implementata dall'operatore U (t+; t) . D'altra parte e evidente he i

on etti di evoluzione e traslazione temporale sono strettamente onnessi, per ui l'implementazione unitaria della traslazione t ! t +  deve dis endere da quella dell'evoluzione, ioe da U (t + ; t) . Il punto fondamentale e stabilire qual e l'azione della traslazione t ! t +  sulle osservabili e/o sugli stati del sistema S , non essendo t stesso una osservabile. Per de nire l'azione sulle osservabili la des rizione appropriata e quella di Heisenberg: se A(t)H e l'operatore di Heisenberg orrispondente ad un operatore A di S hroedinger ssato nel tempo, alla traslazione t ! t +  sara asso iata la trasformazione A(t)H ! A0 (t)H = A(t  )H ;

ome ri hiesto dal fatto he A(t)H e una funzione di t (la regola e quella s alare, f 0 (t0 ) = f (t) quando t ! t0 , propria dell'interpretazione passiva). Denotiamo U ( ; t  )H l'operatore he implementa tale trasformazione; abbiamo allora, per ipotesi U ( ; t  )yH A(t)H U ( ; t  )H = A(t  )H ;

he possiamo an he s rivere (9.33) U ( ; t)yH A(t +  )H U ( ; t)H = A(t)H Di onseguenza, in base alla regola di Heisenberg (7.85), A(t)H = U (t; t0 )y A U (t; t0 ) , e a meno del solito fattore di fase, dobbiamo avere U ( ; t)H = U (t + ; t0 )y U (t; t0 ) = U (t; t0 )y U (t; t +  )U (t; t0 ) 

= exp +i

Z t+

t



dt0 H (t0 )H :

Dunque U ( ; t)H e l'operatore di Heisenberg orrispondente non gia a U (t + ; t) , ma al suo inverso U (t; t +  ) , ome ri hiesto dalla natura passiva della traslazione, rispetto a quella attiva dell'evoluzione. Si nota subito

he al variare di  la famiglia fU ( ; t)H g non forma un sottogruppo vero e proprio a ausa della residua dipendenza da t (9.34) U (1 + 2 ; t)H = U (1 ; t + 2 )H U (2 ; t)H : Tuttavia la struttura di questa legge di omposizione e quella giusta: ad una traslazione di 2 al tempo t segue una traslazione di 1 al tempo t + 2 . Si noti he se avessimo de nito l'azione sulle variabili dinami he nel modo opposto, ioe A0H (t)H = A(t +  )H , al posto della (9.34) avremmo ottenuto U (1 + 2 ; t)H = U (2 ; t)H U (1 ; t + 2 )H , on un anti-ordinamento dell'azione degli operatori sugli stati rispetto alle trasformazioni. 322

Gruppi di simmetria e di invarianza

Adottando una terminologia un po' impropria, potremmo de nire la (9.34) una quasi-rappresentazione. Si tenga inoltre presente he nella des rizione di Heisenberg gli stati sono ostanti nel tempo, essendo stati de niti a t = t0 una volta per tutte, e quindi non ontengono al una dipendenza impli ita ne dal parametro  della traslazione ne dall'istante t in ui essa viene eseguita. Questo e quanto risulta naturale ri hiedere allo spazio di Hilbert he sostiene la rappresentazione o quasi-rappresentazione di un gruppo di trasformazioni di simmetria. Nel aso di sistemi

onservativi, per i quali dH=dt = 0 , abbiamo U ( ; t)H = U (t; t +  ) = exp(iH ) , he non dipende piu da t e ostituis e un vero sottogruppo nel parametro di traslazione  , fornendo os una vera e propria rappresentazione delle traslazioni temporali.

9.3.3. Traslazioni spazio-temporali. Consideriamo ora la relazione esistente in generale tra le traslazioni spaziali e quelle temporali. Come operazioni sullo spazio-tempo esse evidentemente ommutano. Come trasformazioni di simmetria sullo spazio di Hilbert esse ommutano se e solo se l'Hamiltoniana e invariante per traslazioni spaziali, ovvero [H (t); P ℄ = 0 , dove P e il momento totale del sistema. Questo signi a he, ad esempio nel aso del sistema di N parti elle, le leggi di trasformazione (9.31) valgono in generale solo per le osservabili fondamentali nella des rizione di S hroedinger, e non per quelle di Heisenberg. Se onsideriamo la posizione x di una parti ella, abbiamo senz'altro U (a)yx U (a) = x + a ; ma l'analoga relazione per la posizione di Heisenberg x(t)H si s rivera in generale (vedi Eq. (9.18)) U (a; t)y x(t) U (a; t) = x(t) + a ; H

H

H

H

dove evidentemente

U (a; t)H = exp( ia
P (t)H =~) : Quindi l'operatore he implementa una traslazione spazio-temporale on parametri (a;  ) si s rive

U (; a; t)H = U ( ; t)H U (a; t)H = U (a; t +  )H U ( ; t)H : In eetti, la sua azione su una generi a osservabile A = A(x; p; s) (per brevita omettiamo gli indi i di parti ella e assumiamo A senza dipendenze espli ite dal tempo) si al ola immediatamente U (; a; t)y A(x; p; s; t +  ) U (; a; t) = A(x + a; p; s; t) ; H

H

323

H

H

Simmetria e invarianza

dove per ostruzione A(x; p; s; t)H = A(q (t)H ; p(t)H ; s(t)H ) . Tale azione

oin ide on quanto ri hiesto per una traslazione spazio-temporale. Tuttavia la ollezione di operatori U (a;  ; t)H non fornis e una rappresentazione del gruppo delle traslazioni spazio-temporali, sempre a ausa dell'espli ita dipendenza da t : tramite le regole (9.33) e (9.34) si al ola U (1 + 2 ; a1 + a2 ; t)H = U (1 ; a1 ; t + 2 )H U (2 ; a2 ; t)H : Se il sistema e onservativo e la sua Hamiltoniana e invariante per traslazioni spaziali, ovvero dH=dt = dP H =dt = 0 , allora U (a;  ; t)H non dipende piu da t e oin ide on l'operatore di S hroedinger

U (; a; t)H = U (; a)  exp[ i(H

a
P )=~℄

In tal aso lo spazio di Hilbert HS supporta una rappresentazione del gruppo abeliano delle traslazioni spazio-temporali. Abbiamo dunque veri ato he la des rizione quantome

ani a del sistema di N parti elle e propriamente ovariante rispetto alle traslazioni nello spazio-tempo, dato he e sempre possibile ostruire i orrispondenti operatori unitari. D'altra parte, la stessa des rizione risulta invariante qualora i suddetti operatori fornis ano una rappresentazione del gruppo delle traslazioni spazio-temporali. La lasse dei sistemi si i per i quali questo si veri a e per de nizione quella dei sistemi isolati o hiusi: e un fatto universalmente a

ettato, al punto di on gurarsi ome un vero e proprio prin ipio, he la pre isa lo alizzazione nello spazio o nel tempo di un sistema si o isolato S non ne possa in uenzare le fondamentali leggi dinami he. Quindi l'Hamiltoniana di S non puo dipendere dalla sua spe i a posizione spaziale o temporale e deve essere invariante sotto traslazioni. In questo aso, e solo in questo aso, il gruppo abeliano delle traslazioni spazio-temporali e eettivamente rappresentato da un gruppo abeliano di operatori unitari sullo spazio di Hilbert. Un modo per veri are direttamente la orrettezza di questo prin ipio

onsiste nel onfrontare le manifestazioni spazialmente e/o temporalmente separate del medesimo fenomeno si o. Il problema, dal punto di vista strettamente logi o, e di ome stabilire he si tratta dello stesso fenomeno si o se si ammette in partenza di poterne osservare manifestazioni distinte. Come noto, la soluzione sta nel on etto di \ ostanti universali della natura". L'identita di fenomeni si i he si veri ano in luoghi e tempi diversi onsiste nel fatto he le leggi dinami he he quei fenomeni governano hanno la stessa dipendenza dalle ostanti universali. Lo spe i o valore di queste ultime non e ssato dalle leggi stesse e potrebbe variare per traslazioni abbastanza grandi (per de nizione esso non puo ambiare per traslazioni dell'ordine delle dimensioni spazio-temporali aratteristi he dei fenomeni propri del sistema sotto osservazione). 324

Gruppi di simmetria e di invarianza

Al momento, i limiti sperimentali sulla variabilita delle ostanti universali sono molto stringenti, deponendo a favore dell'invarianza delle fondamentali leggi dinami he per traslazione, ovvero dell'omogeneita dello spazio-tempo \vuoto" [Wil84℄. Un modo indiretto di veri a dell'invarianza per traslazioni spaziali

onsiste nel ontrollare la pre isione delle leggi di onservazione ad esse asso iate, ioe le leggi di onservazione del momento lineare totale del sistema isolato S . Analogamente, l'invarianza per traslazioni temporali, ovvero l'indipendenza della Hamiltoniana dal tempo, si tradu e nella legge di onservazione dell'energia. Tutte queste leggi di onservazione sono state veri ate sperimentalmente, su s ale spazio-temporali vastamente diverse e on un altissimo livello di a

uratezza, per ui sono oggi universalmente a

ettate.

9.3.4. Rotazioni. Riassumiamo in questo paragrafo la dis ussione sulle rotazioni, gia ampiamente presentata nel ap. 8 dedi ato al momento angolare. Sul generi o vettore x dello spazio si o R3 , la rotazione R agis e se ondo la legge di trasformazione x ! x0 = R x ; dove on Rx si intende il vettore on omponenti R x . I numeri R formano una matri e 3  3 he denotiamo on lo stesso simbolo R ; la matri e R e ortogonale ( RRT = 1 ) ed ha determinante uguale a 1 . Si dimostra quindi he le rotazioni formano un gruppo isomorfo al gruppo di Lie onnesso G = SO(3) delle matri i ortogonali unimodulari. Nella prassi i due gruppi vengono di fatto identi ati. Consideriamo an ora il sistema S formato da N parti elle distinguibili e denotiamo on U (R) l'operatore unitario he implementa la rotazione R . Le proprieta di trasformazione sotto R delle osservabili di S sono ompletamente spe i ate dall'aermazione he le posizioni xj , i momenti oniugati pj e gli spin sj sono dei vettori sotto SO(3) , mentre le osservabili relative ad eventuali gradi di liberta interni, quali l'isospin, sono s alari sotto SO(3) . Terne di osservabili (A1 ; A2 ; A3 ) he formano vettori sotto SO(3) si trasformano ome il generi o vettore di R3 , vale a dire U (R)y A U (R) = R A ovvero U (R)y A U (R) = RA nella piu ompatta notazione vettoriale. Singole osservabili A he sono s alari sotto SO(3) sono inve e invarianti U (R)yA U (R) = A : 325

Simmetria e invarianza

Una parametrizzazione anoni a di SO(3) si ottiene identi ando la terna di oordinate normali (1 ; 2 ; 3 ) on il vettore  di R3 il ui modulo jj e l'angolo  di rotazione antioraria attorno all'asse individuato dal versore n = =jj . L'azione di R = R() sul generi o vettore x si s rive allora Rx = x os  + n ^ x sin  + (1 os )(n
x) n ;

he si ridu e nella forma in nitesima, per  ! 0 Rx = x +  ^ x + O(2 ) : Quindi, se Q = (Q1 ; Q2 ; Q3 ) sono i generatori di fU (R); R 2 SO(3)g relativi a questa parametrizzazione, in a

ordo on la forma generale (9.26) avremo U (R) = exp( i
Q) = exp( i n
Q) ;

on azione in nitesima sulle osservabili vettoriali de nita dalle regole di

ommutazione (vedi Eq. (9.10))  (9.35) [Q ; A ℄ = i  R ()A = i A  =0 D'altro anto, Q ommuta evidentemente on osservabili s alari. Nel nostro sistema di N parti elle le regole di ommutazione (9.35) valgono dunque on il vettore A sostituito da uno qualunque dei vettori xj , pj o sj . Questo impone l'identi azione Q = ~ 1 J + u1 ; dove J e il momento angolare totale del sistema

J =L+S =

N X j =1




xj ^ pj + sj :

In ne, la s elta naturale u = 0 nel aso di una sola parti ella, N = 1 , unita all'additivita dei generatori, impli a u = 0 per ogni N , ome per le traslazioni. Per io (9.36) U (R) = exp( in
J =~) e l'operatore unitario he rappresenta R = R(n; ) , ioe la rotazione antioraria di un angolo  attorno all'asse n . Come sappiamo dall'analisi dettagliata del ap. 8, la rappresentazione R ! U (R)Pe una rappresentazione a due valori di SO(3) : se lo spin totale S = j sj e semintero (ovvero se il sistema ontiene un numero dispari di parti elle on spin semintero), alla stessa rotazione R orrispondono i due operatori unitari distinti U (R) . Lo stesso omomor smo esiste tra SO(3) ed il suo ri oprimento universale SU (2) , per ui la relazione (9.36) de nis e una 326

Gruppi di simmetria e di invarianza

rappresentazione in senso stretto di SU (2) (vedi x8.2.4 e x8.2.5 per i dettagli). Ora, poi he J e esso stesso un vettore sotto SO(3) (9.37) [J ; J ℄ = i J ; sono nulle tutte le ostanti aratteristi he d di una eventuale struttura proiettiva a livello algebri o, per ui la rappresentazione (9.36) di SU (2) ,

he e sempli emente onnesso, e strettamente vettoriale: U (u1 )U (u2 ) = U (u1 u2 ) ; 8u1 ; u2 2 SU (2) : Si tratta in realta di un risultato del tutto generale, dato he il vin olo su d imposto dall'identita di Ja obi, Eq. (9.28), non ammette soluzioni non equivalenti a 0 nel aso dell'algebra di Lie di SU (2) . Infatti l'antisimmetria in  e  da sola obbliga d ad essere proprio della forma equivalente a 0 , e ioe d =  u . Osservazione. Tenendo onto he la residua struttura proiettiva dis reta nelle rappresentazioni a due valori di SO(3) e ssata una volta per tutte da quella della rappresentazione fondamentale R ! u(R) 2 SU (2) , possiamo dimenti ar i degli eventuali fattori di fase proiettivi an he per SO(3) . Nel seguito eviteremo quindi di s riverli espli itamente, pur fa endo riferimento a rotazioni di SO(3) piuttosto he di SU (2) . Per quanto riguarda la questione dell'invarianza sotto rotazioni delle leggi dinami he fondamentali, vale lo stesso dis orso fatto per le traslazioni. Il prin ipio di invarianza sotto rotazioni, o prin ipio di isotropia dello spazio \vuoto", ri hiede he un sistema isolato S sia governato da una Hamiltoniana invariante, la quale ommuta quindi on il momento angolare totale J del sistema stesso. Una veri a diretta della validita di questo prin ipio e fornita dall'indipendenza dall'orientazione di S nello spazio delle ostanti universali, mentre una veri a indiretta si ottiene dalla onservazione, sperimentalmente osservata, del momento angolare totale di S . Nel mondo dei fenomeni mi ros opi i, he sono quelli tipi i della me

ani a quantisti a, la onservazione di J si tradu e in una impressionante serie di regole sulle transizioni di stato he sono permesse per mole ole, atomi e parti elle subatomi he in un gamma vastissima di pro essi elementari. 9.3.5. Il gruppo eu lideo. Il gruppo delle traslazioni spaziali e quello delle rotazioni sono a loro volta sottogruppi del gruppo delle rototraslazioni dello spazio R3 o gruppo eu lideo E (3) . Quest'ultimo e formato dalle seguenti trasformazioni del generi o trivettore (9.38) x ! Rx + a ; per ui possiamo identi are ogni elemento di E (3) on una oppia ordinata (R; a) , ostituita da una rotazione R ed una traslazione a . Dalla 327

Simmetria e invarianza

regola generale (9.38) si dedu e allora la seguente legge di omposizione per E (3) (R1 ; a1 )(R2 ; a2 ) = (R1 R2 ; R1 a2 + a1 ) ;

he de nis e il gruppo eu lideo ome prodotto semidiretto delle rotazioni e delle traslazioni spaziali. In parti olare abbiamo (9.39) (R; a) = (1; a)(R; 0) : Le rappresentazioni di E (3) sullo spazio di Hilbert di un sistema di N parti elle si ottengono ora direttamente da quelle delle rotazioni e traslazioni grazie alla regola (9.39) U (R; a) = U (a)U (R) = exp( ia
P =~) exp( in
J =~) ; dove si intende he R = R(; n) . La legge di omposizione U (R2 ; a2 )U (R1 ; a1 ) = U (R2 R1 ; a2 + R2 a1 ) e soddisfatta grazie al fatto he P e un operatore he si trasforma ome un vettore sotto rotazioni. Questo equivale alle regole di ommutazione (9.40) [J P ℄ = i P ;

he insieme alle relazioni (9.32) e (9.37) de nis ono una rappresentazione dell'algebra di Lie dei generatori di E (3) . Si tratta evidentemente di una rappresentazione vettoriale in senso stretto, dato he le ostanti djk

aratteristi he della struttura proiettiva sono tutte nulle. Come per le sole rotazioni di SU (2) , questo risultato e del tutto generale, dato he si dimostra he se djk 6= 0 , esse sono omunque equivalenti a zero e quindi rimuovibili. Per la sottoalgebra orrispondente alle rotazioni valgono ovviamente le onsiderazioni del paragrafo pre edente basate sull'antisimmetria delle eventuali d . Per le relazioni (9.40) l'argomento e piu

omplesso, dato he l'estensione entrale (9.41) [J ; P ℄ = i P + id 1 non impli a ora immediatamente l'antisimmetria di d , non essendo piu relative ad una sottoalgebra. Tuttavia non dobbiamo dimenti are i vin oli (9.28): per maggiore hiarezza, onviene ripartire dall'origine stessa di tali vin oli, e ioe le identita di Ja obi. Dunque abbiamo senz'altro [ [J ; J ℄ ; P ℄ + [ [P ; J ℄ ; J ℄ + [ [J ; P ℄ ; J ℄ = 0 ; ovvero, fa endo uso delle (9.37) prima e delle (9.41) poi, (  +   +   )P +  d  d  d = 0 : La somma i li a tra parentesi e nulla, dato he non e altro he l'identita di Ja obi per le ostanti di struttura di SO(3) ; una veri a diretta si 328

Gruppi di simmetria e di invarianza

ottiene utilizzando l'identita (9.42)

  = Æ Æ

Æ Æ :

Quindi

 d =  d +  d ; vale a dire, moltipli ando per  , sommando su  e  e usando an ora la (9.42) (9.43)

d + d = d Æ :

In ne, sommando su  =  si ottiene 2d = 3d ; ovvero d = 0 e quindi, dalla (9.43),

d + d = 0 ;

he dimostra l'antisimmetria di d an he per l'estensione entrale (9.41). Allora ne essariamente d =  u , he e equivalente a 0 , in quanto eliminabile on la ride nizione P ! P u . Consideriamo ora la possibilita he le traslazioni spaziali siano rappresentate in modo proiettivo, vale a dire he ompaia una estensione entrale nell'Eq. (9.32) [P ; P ℄ = d0 1 : Come sappiamo, la natura abeliana delle traslazioni non pone vin oli su d0 tramite l'Eq (9.28). Tuttavia, in quanto le traslazioni ostituis ono un sottogruppo non invariante di E (3) , si ottengono delle identita di Ja obi non banali on J . In parti olare abbiamo 0 = [ [P ; P ℄; J ℄ = [ [J P ℄; P ℄ [ [J P ℄; P ℄ = i [P ; P ℄ i [P ; P ℄ =  d0 +  d0 : Quindi, moltipli ando per  e sommando su  e  si ottiene 0 = (Æ Æ Æ Æ )d0 + 2d0 



da ui, tenendo onto he d0 = 0 per antisimmetria, segue subito he d = 00 . Quindi le traslazioni spaziali non ammettono rappresentazioni proiettive di al un tipo una volta in luse ome sottogruppo di E (3) . 329

Simmetria e invarianza

9.3.6. Trasformazioni galileiane. Il gruppo eu lideo e a sua volta un sottogruppo del gruppo delle trasformazioni galileiane, o gruppo di Galilei G(3; 1) , he ostituis e il gruppo di relativita della me

ani a newtoniana. Oltre alle rototraslazioni, esso ontiene le traslazioni temporali, di ui abbiamo gia dis usso, e le trasformazioni galileiane pure (o boost galileiani), he onnettono osservatori in moto rettilineo uniforme l'uno rispetto all'altro. Esse agis ono sul generi o trivettore ome traslazioni dipendenti in modo lineare dal tempo, (9.44) x ! x + vt ; dove v e la velo ita relativa tra i due osservatori. Indi ando on la quadrupla (R; v; a;  ) un generi o elemento di G(3; 1) , abbiamo la legge di trasformazione del punto spazio-temporale (x; t) ! (Rx + vt + a; t +  ) ; da ui segue la legge di omposizione (R1 ; v 1 ; a1 ; 1 )(R2 ; v2 ; a2 ; 2 ) = (R1 R2 ; R1 v2 + v1 ; R1 a2 + v1 2 + a1 ; 1 + 2 ) : Ci poniamo ora il problema di implementare le trasformazioni galileiane nel aso del sistema S di N parti elle. Consideriamo inizialmente i boost (9.44), he rappresentano un importante esempio di trasformazioni

on dipendenza temporale espli ita (vedi x9.2.1). Essi sono evidentemente parametrizzati dal trivettore v ed agis ono an he sul momento di ias una parti ella, pj ! pj + mj v ( mj e la massa della j -esima parti ella), mentre las iano invariati gli spin/isospin. Quindi l'operatore unitario U (v; t)

he implementa il boost on velo ita v deve soddisfare U (v; t)y xj U (v; t) = xj + vt (9.45) U (v ; t)y pj U (v; t) = pj + mj v U (v; t)y sj U (v; t) = sj : A meno del solito fattore di fase la soluzione e U (v; t) = exp[ iv
(tP M X )=~℄ ; P dove M = j mj e la massa totale del sistema e 1 X= M

N X j =1

mj xj

e la posizione del entro di massa. Dunque il trivettore G(t) = tP M X e il generatore delle trasformazioni galileiane pure. Si veri a subito he [G (t) ; G ( t)℄ = 0 ; 330

Gruppi di simmetria e di invarianza per ui U (v; t)U (v 0 ; t) = U (v + v0 ; t) e la rappresentazione e strettamente vettoriale. E di fondamentale importanza non tras urare la dipendenza espli ita di U (v; t) dal tempo t , ne onfonderla on l'evoluzione temporale. Per quanto riguarda la sola dipendenza espli ita, abbiamo
(9.46) U (v; t +  ) = U (v; t) exp i v
P i 21 Mv2  : Quindi, passando alla des rizione di Heisenberg, U (v; t)H = U (t; t0 )y U (v; t) U (t; t0 ) = exp [ iv
G(t)H =~℄ = exp f iv
[tP (t)H M X (t)H ℄ =~g ; otteniamo la traslazione temporale sotto t ! t +  U ( ; t)yH U (v; t +  )H U ( ; t)H (9.47)
= U (v ; t)H exp i v
P (t)H i 21 Mv2  : Insieme ai boost, le trasformazioni eu lideee formano un sottogruppo, i

ui elementi hanno la forma (R; v ; a; 0) = (1; v ; 0; 0)(R; 0; a; 0) ;

orrispondente ad una rototraslazione seguita da un boost. Quindi si puo veri are he la trasformazione indotta sulle osservabili fondamentali e implementata dall'operatore U (g; t) = U (v ; t)U (R; a) ; dove per brevita si e posto g = (R; v ; a; 0) . Si tratta pero di una rappresentazione proiettiva (9.48) U (g1 ; t)U (g2 ; t) = exp ( iM a1
R1 v2 ) U (g1 g2 ; t) ; in orrispondenza del fatto he i generatori dei boost e delle traslazioni spaziali ommutano solo a meno di ostanti aratteristi he d : [P ; G ℄ = iMÆ : Tratteremo piu avanti l'importante questione riguardo alla possibilita o meno di rimuovere questa struttura proiettiva mediante una ride nizione delle fasi relative degli operatori U (g; t) . Tuttavia possiamo n d'ora dubitare di tale possibilita, dato he le ostanti in questione, d = MÆ , traggono direttamente origine dalle regole di ommutazione anoni he tra posizione e momento. Per in ludere an he le traslazioni temporali, dobbiamo passare alla des rizione di Heisenberg. Ponendo an ora g = (R; v; a;  ) , osserviamo

he l'operatore unitario (9.49) U (g; t)H = U ( ; t)H U (v; t)H U (R; a; t)H 331

Simmetria e invarianza

implementa orrettamente g , in quanto soddisfa alla relazione U (g; t)yH A(x; p; s; t +  )H U (g; t)H (9.50) = A(Rx + vt + a; Rp + mv; Rs; t)H ; per ogni osservabile A(x; p; s) ( ome al x9.3.3 per brevita omettiamo gli indi i di parti ella e assumiamo A senza dipendenze espli ite dal tempo). In questa espressione s rappresenta soltanto lo spin di una generi a parti ella; non e ne essario espli itare eventuali osservabili relative a gradi di liberta interni, dato he esse sono per de nizione invarianti sotto movimenti spazio-temporali ome le trasformazioni galileiane. Tenendo onto delle regole (9.47) e (9.34), la legge di omposizione si s rive ora (9.51) U (g1 ; t + 2 )H U (g2 ; t)H = !(g1 ; g2 )U (g1 g2 ; t)H ; dove il fattore di fase vale ( fr. Eq. (9.48))    (9.52) !(g1 ; g2 ) = exp iM 21 v12 2 + (a1 + v1 2 )
(R1 v2 ) : Dunque abbiamo veri ato he ogni trasformazione galileiana e implementabile unitariamente sullo spazio di Hilbert di N parti elle, rispettando per io il prin ipio di simmetria della relativita galileiana. Problema 9.3-1. Si determini l'azione di U (g; t)H (vedi Eq. (9.49)) su una generi a funzione d'onda = (x; t) di una parti ella senza spin. N.B.: per de nizione abbiamo (x; t) = hxj (t)i = hxj U (t; t0 ) j i e (U (g; t)H ) (x; t) = hxj U (g; t)H j (t)i. Problema 9.3-2. Si veri hi he, a parte per un inessenziale fattore di fase, un'onda piana exp[i(p
x Et)℄ resta un'onda piana sotto trasformazioni galileiane, on nuovi p ed E dati da p0 = Rp + M v : E 0 = E + Rp
v + 21 Mv2 : Si tratta evidentemente delle stesse proprieta di trasformazione del momento e dell'energia di una parti ella lassi a di massa M . Tuttavia, il gruppo di Galilei G(3; 1) non e veramente rappresentato in HS da U (g; t)H , a ausa della sua dipendenza temporale, he varia nella (9.51). Questa dipendenza s ompare, se e solo se si appli a il prin ipio di invarianza galileiana, se ondo il quale G(3; 1) deve essere un gruppo di invarianza per i sistemi si i isolati. In tal aso, infatti, tutti i generatori sono ostanti nel tempo G(t)H = G(t0 )H  G ; P (t)H = P (t0 )H  P J (t)H = J (t0 )H  J ; H (t) = H (t0 )  H 332

Gruppi di simmetria e di invarianza

e quindi lo stesso deve valere per U (g; t)H , he ora si s rive (9.53) U (g; t)H = U (g)  eiH e iv
G e ia
P e i n
J Si noti he la dipendenza espli ita dal tempo t del generatore dei boost G(t) = tP M X nella des rizione di S hroedinger, si an ella on l'evoluzione temporale grazie alle equazioni di Heisenberg del moto: infatti una Hamiltoniana per ipotesi invariante sotto trasformazioni galileiane deve soddisfare le regole di ommutazione (vedi x9.2.1, Eq. (9.23))  G(t) = iP [H; G(t)℄ = i t le quali impli ano dall'altro lato (vedi Eq. (9.24)) d G(t)H =  G(t)H + i[H; G(t)H ℄ dt t = eiH (t t0 ) fP + i[H; G(t)℄g e iH (t t0 ) = 0 : Quindi G(t)H = G(t0 )H = t0 P M X e eettivamente la ari a onservata he abbiamo denominato G (da non onfondersi on G(t) , visto

he in realta G = eiH (t t0 ) G(t)e iH (t t0 ) ). In eetti, si

ome per ipotesi [H; P ℄ = 0 , la formula pre edente si ridu e a d i[H; X (t)H ℄ = X (t)H = P =M dt ovvero X (t)H = X (t0 )H + (t t0 )P =M = X + (t t0 )P =M e quindi l'invarianza galileiana impli a he la variabile dinami a asso iata al entro di massa del sistema, ioe X (t)H , si muove di moto quantome

ani o rettilineo uniforme. Problema 9.3-3. Si veri hi espli itamente he l'equazione di S hroedinger di una parti ella libera, vale a dire   4  (x; t) = 0 i + t 2m e invariante per trasformazioni galileiane ! U (g) . Gli operatori unitari (9.53) fornis ono dunque una rappresentazione proiettiva del gruppo di Galileo: (9.54) U (g1 )U (g2 ) = !(g1 ; g2 )U (g1 g2 ) dove per de nizione g1 = (R1 ; v1 ; a1 ; 1 ) ; g2 = (R2 ; v2 ; a2 ; 2 ) ; g1 g2 = (R1 R2 ; R1 v2 + v1 ; R1 a2 + v1 2 + a1 ; 1 + 2 ) : 333

Simmetria e invarianza

a) b)

) d) e)

[P ; P ℄ = 0 f ) [J ; P ℄ = i P [G ; G ℄ = 0 g) [J ; G ℄ = i G [P ; G ℄ = iMÆ h) [J ; J ℄ = i J [H ; P ℄ = 0 i) [H ; G ℄ = iP [H ; J ℄ = 0 Tabella 9-1. Relazioni di ommutazione dei generatori delle trasformazioni galileiane. Questo risultato, insieme alla forma espli ita del fattore di fase !(g1 ; g2 ) , Eq. (9.52), puo essere determinato direttamente a partire dalla (9.53), mediante ripetute appli azioni della regola dell'azione aggiunta (B.1.12) ( ioe eA Be A = B + [A; B ℄ + : : : , vedi Eq. (8.2-3) e (B.1.12)). Si noti

he la traslazione spaziale v1 2 indotta da boost e traslazione temporale viene prodotta per U (g; t) dalla dipendenza espli ita dal tempo di G(t) (vedi Eq. (9.46) e (9.47)), mentre per U (g) essa deriva direttamente dalla regola di ommutazione [H; G℄ = iP . In ne si pone la questione della struttura proiettiva della rappresentazione (9.53): si tratta di un esempio in ui tale struttura non e eliminabile, a meno he M non sia nullo, osa he e si amente impossibile. Per onvin ersene, onviene onsiderare il problema dal punto di vista dell'algebra di Lie dei generatori H , P , G e J . L'insieme ompleto delle relazioni di ommutazione e riportato nella Tab. 9-1. L'uni a relazione di ommutazione on estensione entrale e la relazione ) tra i generatori dei boost e delle traslazioni spaziali, i quali

ommutano al livello dell'algebra di Lie astratta. Questa situazione non e spe i a della rappresentazione (9.53), ma e un fatto generale: per il gruppo di Galilei, la dimensione dello spazio delle soluzioni antisimmetri he, non equivalenti a zero e linearmente indipendenti, dell'equazione lineare (9.28) e esattamente uguale a 1 , per ui ogni rappresentazione proiettiva e equivalente alla (9.53). In eetti, nel x9.3.5 abbiamo gia visto ome le relazioni (a) , (f ) e (h) , relative al sottogruppo E (3) , non ammettano al una estensione entrale non banale. Lo stesso vale evidentemente per le relazioni (b) e (g) he insieme alle (h) de nis ono una se onda sottoalgebra di Lie isomorfa alla pre edente. Per quanto riguarda le relazioni (b) e (d) , he esprimono l'invarianza dell'Hamiltoniana sotto rototraslazioni, dall'identita di Ja obi (9.55) [ [J ; P ℄ ; H ℄ + [ [H ; J ℄ ; P ; ℄ + [ [P ; H ℄ ; J ℄ = 0 ; si ottiene subito [P ; H ℄ = 0 , e analogamente si ri ava [J ; H ℄ = 0 e [G ; H ℄ = iP , sostituendo P prima on J e poi on G nella 334

Gruppi di simmetria e di invarianza

(9.55). In ne onsideriamo l'identita (9.56) [ [J ; P ℄ ; G ℄ + [ [G ; J ℄ ; P ℄ + [ [P ; G ℄ ; J ℄ = 0 ;

he si ridu e a  [P ; G ℄ =  [G ; P ℄ ; ovvero, ontraendo sugli indi i  e  on  , 2[P ; G ℄ = (Æ Æ Æ Æ )[G ; P ℄ = [G ; P ℄ Æ [G ; P ℄ : Per  6=  questa relazione impli a [G ; P ℄ = 0 , mentre per  =  essa impone solo he [P1 ; G1 ℄ = [P2 ; G2 ℄ = [P3 ; G3 ℄ . Dunque abbiamo veri ato he ogni rappresentazione del gruppo di Galilei e ri ondu ile ad una forma in ui i generatori soddisfano alle relazioni di ommutazione della Tab. 9-1, in ui ompare solo la ostante M ome aratteristi a dell'estensione entrale. In parti olare, nel aso della rappresentazione proiettiva sostenuta dallo spazio di Hilbert di N parti elle distinguibili, tale ostante va identi ata on la massa totale del sistema.

9.3.7. Regola di superselezione di Bargmann. Il ruolo della massa totale M di un sistema si o isolato S , quale ostante aratteristi a della struttura proiettiva della orrispondente rappresentazione di G(3; 1) , e alla base della regola di superselezione di Bargmann. Si tratta della regola he impedis e di sovrapporre linearmente vettori di stato appartenenti a rappresentazioni on valori dierenti di M . Infatti, si onsideri la seguente relazione gruppale di G(3; 1) : (9.57) (1; v ; a; 0)(1; v ; a; 0) = (1; 0; 0; 0) = e : In una data rappresentazione, l'operatore unitario orrispondente al prodotto del membro di sinistra non e l'identita ( he rappresenta inve e l'elemento neutro al membro di destra), ma il suo multiplo U = exp(iM a
v)1 . Supponiamo ora he lo spazio di Hilbert HS sia ridu ibile rispetto a G(3; 1) in sottospazi he sostengono rappresentazioni proiettive on valori dierenti di M . Su HS U non agis e piu ome un multiplo dell'identita, dato he, se j 1 i e j 2 i appartengono rispettivamente a due rappresentazioni aratterizzate da M1 e M2 , avremo U (j 1 i + j 2 i) = exp(iM1 a
v) j 1 i + exp(iM2 a
v) j 2 i : Quindi osservabili on elementi di matri e nonnulli tra i settori orrispondenti a M1 e M2 non sono piu invarianti rispetto alla trasformazione identi a, il he e evidentemente un assurdo. Ne onsegue he tali osservabili non possono esistere, per ui i sottospazi on valori dierenti di M 335

Simmetria e invarianza

sono settori di superselezione. In altre parole, l'assunzione he le osservabili si trasformino se ondo il gruppo di Galilei nel passaggio da un sistema di riferimento inerziale all'altro, impli a l'esistenza su HS di una regola di superselezione, on la massa inerziale totale ome ari a di superselezione. Nella realta, il gruppo di Galilei e solo approssimativamente un gruppo di simmetria, per ui an he la regola di superselezione di Bargmann e solo approssimativamente valida. Nei fenomeni he oinvolgono velo ita prossime a quelle della lu e, il gruppo di simmetria e quello di Poin are e la massa inerziale non e piu superselezionata ne ostante del moto.

9.3.8. Parti elle elementari. Nel x9.3.6 abbiamo visto ome sono implementate le trasformazioni di simmetria galileiane nella des rizione quantome

ani a del sistema S ostituito da N parti elle. Evidente-

mente tale sistema risulta de nito a partire dal on etto primario di singola parti ella o, piu pre isamente, di singola parti ella elementare, ioe non de omponibile in altre parti elle. Inoltre, abbiamo an he visto he nel aso di invarianza galileiana, su HS risulta de nita una rappresentazione proiettiva unitaria del gruppo di Galilei G(3; 1) , on asso iate leggi di onservazione per i die i generatori della rappresentazione. Possiamo ora onsiderare la questione da un punto di vista omplementare, se ondo il quale il on etto stesso di parti ella deve essere fondato sul prin ipio di invarianza galileiana6. Come sappiamo, questo prin ipio onsiste nell'aermazione he lo spazio di Hilbert di un sistema si o isolato deve sostenere una rappresentazione unitaria di G(3; 1) . Tipi amente, tale rappresentazione sara ridu ibile, e tanto piu ridu ibile quanto piu omplesso e il sistema si o S in questione e quindi piu numerose le sue osservabili fondamentali. E infatti naturale attender i he tutti i gradi di liberta del sistema he non sono direttamente oinvolti nei movimenti spazio-temporali des ritti dal gruppo di Galilei orrispondano a sottospazi di HS invarianti rispetto all'azione he il gruppo stesso eser ita su HS tramite la sua rappresentazione unitaria. Risulta allora naturale de nire una parti ella elementare libera, se ondo la me

ani a quantisti a nonrelativisti a, ome un sistema si o S il ui spazio di Hilbert HS sostiene una rappresentazione proiettiva unitaria irridu ibile del gruppo di Galilei. Quindi su HS devono essere per ipotesi de niti 10 operatori autoaggiunti le ui relazioni di ommutazione oin idono on quelle della Tab. 9-1, mentre non possono esistere

6Si intende he questa impostazione varra solo per quei fenomeni he oinvolgono velo ita tras urabili rispetto alla velo ita della lu e. In aso ontrario dovremo far ris orso al prin ipio piu generale basato sulla relativita ristretta di Einstein e sul gruppo Poin are. Resta omunque valida l'idea he onsiste nel fare uso del gruppo dei movimenti spazio-temporali (di Galilei o di Poin are) per de nire in modo pre iso il

on etto di parti ella elementare.

336

Gruppi di simmetria e di invarianza

altre osservabili he ommutano on essi (a parte multipli dell'identita). La ostante M aratteristi a dell'uni a estensione entrale possibile serve ora a distinguere diverse rappresentazioni e verra identi ata on la massa della parti ella solo alla ne. Il on etto di irridu ibilita serve dunque a pre isare dal punto di vista matemati o quello di elementarita, he e inve e un on etto di tipo si ooperativo. Nella prati a e il se ondo quello sperimentalmente rilevante, per ui esistono situazioni in ui una parti ella e elementare sotto erti aspetti e omposta sotto altri, in funzione del tipo e della qualita dell'esperimento realmente eettuato. In sostanza, la nozione matemati a di ridu ibilita rispetto al gruppo di Galilei e alla base del modo in ui viene organizzata la struttura della materia nel limite nonrelativisti o. Nell'appro

io \riduzionista", il primo passo onsiste per io nella lassi azione delle parti elle elementari, ovvero nella lassi azione delle rappresentazioni proiettive unitarie irridu ibili del gruppo di Galilei. Si tratta di un problema matemati amente piuttosto omplesso, la ui trattazione dettagliata esula dagli s opi di questo libro. Esiste omunque un'abbondante letteratura sull'argomento, nella quale si dimostra he le rappresentazioni di interesse si o sono aratterizzate da due parametri fondamentali: la massa e lo spin della parti ella. Noi i limiteremo ad una des rizione molto sommaria della pro edura on ui si arriva a ri ostruire la parti ella a partire dai generatori di G(3; 1) . Innanzitutto osserviamo he, assumendo M 6= 0 , gli operatori autoaggiunti 1 2 P L = 1 P ^ G e H0 = M 2M possono sostituire J e H nella Tab. 9-1 in quanto soddisfano alle stesse relazioni di ommutazione. Quindi S  J L e H H0 ommutano

on G , P e H , ed inoltre (9.58) [S ; S ℄ = i S : In se ondo luogo, le relazioni di ommutazione (a) , (b) e ( ) tra P e G sono di tipo anoni o e quindi, se ondo il teorema di Von Neumann, univo amente rappresentabili, a meno di equivalenze unitarie, su L2 (R3 ) . Se identi hiamo questo R3 on lo spazio si o parametrizzato dalla terna x = (x1 ; x2 ; x3 ) su ui sono de nite le trasformazioni galileiane, possiamo introdurre l'osservabile posizione X ome l'operatore di moltipli azione per x . Inoltre possiamo identi are, sempre a meno di trasformazioni unitarie, P e G rispettivamente on i=x e on MX . La s elta per P e dettata dalla ri hiesta he esso generi le traslazioni di x . La s elta per G e quella valida per i osiddetti boost istantanei, he

onnettono sistemi di riferimento inerziali he oin idono a t = 0 e sono 337

Simmetria e invarianza

in moto rettilineo uniforme l'uno rispetto all'altro. In eetti un boost istantaneo las ia invariata la posizione della parti ella, il he ri hiede [G ; X ℄ = 0 e quindi ne essariamente G = M X . Se ora onsideriamo una traslazione temporale on parametro  , vale a dire la trasformazione unitaria de nita da exp(iH ) , otteniamo G =  P M X . In ne, ssando  = t0 , dove t0 e l'istante in ui le des rizioni di S hroedinger e di Heisenberg

oin idono in un dato sistema di riferimento inerziale, otteniamo la forma G = t0 P M X he, ome sappiamo dal x9.3.6, e il generatore dei boost (una ostante del moto!) nella des rizione di Heisenberg. Dato he P e X formano un insieme irridu ibile di operatori su L2(R3 ) , per il lemma di S hur l'operatore S he ommuta on essi e soddisfa alla (9.58) o e identi amente nullo o agis e su gradi di liberta diversi da x . Le regole di ommutazione (9.58) sono quelle delle rotazioni e, ome sappiamo dal ap. 8, le rappresentazioni unitarie irridu ibili delle rotazioni sono interamente aratterizzate dall'autovalore dell'invariante di Casimir, ioe di S 2 . Gli autovalori di S 2 valgono s(s + 1) , on s = 0; 1=2; 1; 3=2; ::: e la rappresentazione on un dato s ha dimensione pari a 2s + 1 . Quindi HS e isomorfo a L2 (R3 ) C 2s+1 ed s prende il nome di spin della parti ella. In ne H H0 , dovendo ommutare on P , X e S deve essere un multiplo dell'identita, sempre per il lemma di S hur. Si noti ora he, assumendo la visione di Heisenberg del moto, possiamo naturalmente de nire l'osservabile velo ita X_ ome dX =dt . D'altronde, dato he per ipotesi H genera le traslazioni temporali, abbiamo (vedi Eq. (9.53)) X (t) = eiH (t t0 ) X (t0 ) e iH (t t0 ) e quindi (9.59) X_ = i[H; X ℄ ;

he riletta alla S hroedinger, ioe a tempo ssato, i fornis e la forma operatoriale di X_ in termini di quella di X e quella di H . Ma H = H0 + -numero per ui

P ; H0 = 12 M X_ 2 ; M

he i permette di identi are M on la massa della parti ella e H0 on l'energia ineti a. Il risultato H = H0 + -numero rende evidentemente X_ =

onto della quali a di libera usata per la parti ella.

9.3.9. Simmetrie interne. Si deve ora osservare he eventuali gradi di liberta \interni" diversi dallo spin devono ne essariamente orrispondere ad osservabili he ommutano on tutti i generatori di G(3; 1) , ad 338

Gruppi di simmetria e di invarianza

e

ezione di H . Risulta di fatto piu appropriato riservare il nome di gradi di liberta interni a questi ultimi: lo spin, trasformandosi sotto rotazioni, non e una vera osservabile interna. L'esempio piu onos iuto di grado di liberta interno e l'isospin. Si tratta della variabile dinami a he distingue tra i due stati di un nu leone: il protone ed il neutrone. Puo sembrare a prima vista arbitrario prendere in onsiderazione l'esistenza stessa dell'isospin: dopo tutto un protone e un protone ed un neutrone e un neutrone. In realta, non solo queste due parti elle hanno aratteristi he os simili da suggererire un legame piu profondo tra di esse, ma esistono pro essi si i nei quali un protone si trasforma in neutrone e vi eversa ( on emissione e/o assorbimento di altre parti elle elementari), e l'evidenza sperimentale dimostra he tali pro essi sono soggetti alle leggi della me

ani a quantisti a. Il punto fondamentale e he le dierenze tra protone e neutrone sono dovute interamente all'interazione elettrodebole. In assenza di quest'ultima essi non sarebbero distinguibili: vi sarebbe una perfetta simmetria interna des ritta dal gruppo SU (2) dell'isospin. In eetti, senza interazione elettromagneti a, an he il on etto di ari a e l'asso iata regola di superselezione verrebbero meno. Possiamo quindi onsiderare la situazione reale ome una \rottura" di questa simmetria, dovuta a termini non isospin-invarianti nella Hamiltoniana he des rive i nu leoni. Non possiamo addentrar i oltre in questa materia (l'isospin non e he l'inizio di una ri

hissima struttura interna del mondo subatomi o), dato

he lo strumento adeguato e la teoria relativisti a dei ampi quantizzati,

he esula dagli s opi di questo libro.

9.3.10. Interazioni minimali.

Consideriamo ora il problema di ome introdurre le interazioni tra parti elle e tra parti elle e ampi esterni entro lo s hema generale basato su G(3; 1) ome gruppo di simmetria/invarianza. In base alla dis ussione del pre edente paragrafo non prenderemo in

onsiderazione gradi di liberta interni di tipo isospin. Per de nizione il sistema omposto da N parti elle si ottiene fa endo il prodotto diretto, sia ome spazio di Hilbert he ome osservabili, di N sistemi ias uno formato da una singola parti ella elementare libera. In tal

aso la regola (9.16) per i generatori di simmetrie nei sistemi omposti, se appli ata senza orrettivi ai generatori di G(3; 1) , impli a he essi sono sempre la somma dei generatori relativi a ias una parti ella. In tal aso diremo he le N parti elle sono libere e quindi, in parti olare, non interagenti. Per introdurre una interazione fra le parti elle dobbiamo per io modi are la forma di uno o piu generatori, mantenendo inalterate, si intende, le relazioni di ommutazione della Tab. 9-1 he assi urano l'invarianza galileiana della dinami a omplessiva. 339

Simmetria e invarianza

Abbiamo visto in pre edenza he P , J e G sono la somma dei

orrispondenti generatori ad una parti ella. Quindi soltanto H viene modi ata dalla presenza dell'interazione. E fa ile onvin ersi he questo rispe

hia il modo in ui noi interpretiamo le trasformazioni galileiane: P , J e G generano sullo spazio di Hilbert l'eetto di operazioni puramente geometri he, he ammettono sia una visione attiva he una passiva. D'altra parte H genera l'eetto di un'operazione realmente de nita solo dal punto di vista passivo, he va interpretata nella visione attiva ome evoluzione dinami a nel tempo; quindi H viene ride nita ome generatore di tale evoluzione e ne risulta opportunamente modi ata. Si onsiderino ad esempio due parti elle di spin s1 e s2 . La forma piu generale dell'Hamiltoniana ompatibile on il prin ipio di invarianza galileiana e data da p2 p2 H = 1 + 2 + V (r; S 2 ) 2m1 2m2 (9.60) P 2 p2 + + V (r; S 2 ) ; = 2M 2 dove  e la massa ridotta (vedi x3.4), V (r; S 2 ) il potenziale di interazione, r = jx1 x2 j la distanza fra le parti elle, P = p1 + p2 il momento totale, p = (m2 p1 m1 p2 )=M il momento relativo e S 2 = jS 1 + S 2 j2 il modulo quadro dello spin totale. Ovviamente S 2 = s1 (s1 +1)+s2(s2 +1)+2S 1
S 2 , per ui V (r; S 2 ) puo sempre venir ris ritto ome funzione del prodotto s alare fra i due operatori di spin. Come sappiamo (vedi x8.2.5) l'operatore S 2 possiede s1 + s2 js1 s2 j + 1 distinti autovalori, e quindi V (r; S 2 ) e di fatto equivalente ad una ollezione di altrettante funzioni di r soltanto. Si noti omunque he l'invarianza galileiana non pone al un vin olo sulla forma di V ome funzione di r . La generalizzazione al aso di N parti elle e piuttosto ovvia: l'invarianza galileiana ssa la dipendenza di H dalle osservabili \ ollettive", quali il momento totale P , il momento angolare totale J e la posizione del entro di massa X . Si ri ordi he X ompare nel generatore dei boost G = t0 P M X . E allora abbastanza fa ile veri are he le relazioni di

ommutazione della Tab. 9-1 impongono per H la forma generale P2 + Hrel ; H= 2M dove Hrel deve ommutare on tutti i generatori di G(3; 1) e quindi an he

on X . L'uni a possibilita e he Hrel non dipenda aatto da P , J e X , ne da osservabili on proprieta di trasformazione non banali sotto G(3; 1) . Nel aso in questione possiamo individuare queste osservabili nelle distanze fra le parti elle, jxi xj j , nei quadrati dei momenti relativi 340

Gruppi di simmetria e di invarianza

mi pj )=(mi + mj ) , nei prodotti s alari fra gli spin S i
S j ed in ne nei gradi di liberta interni di ias una parti ella diversi dallo spin. L'invarianza galileiana non pone al un vin olo sulla dipendenza di Hrel dalle suddette osservabili, per ui argomenti di diversa natura sono ne essari per er are di limitare le moltepli i possibilita7. Innanzitutto possiamo ssare la dipendenza di H dai momenti di ias una parti ella, e quindi quella di Hrel dai momenti relativi, fa endo riferimento al aso di N parti elle libere. In tal aso sappiamo he N p2 X j H = H0  : 2mj j =1 1 (m p 2 j i

Quindi, se l'interazione istantanea tra le parti elle non dipende dalle velo ita relative ma solo dalle posizioni relative e dagli spin, avremo H = H0 + V , dove V non dipende dai momenti. La forma piu sempli e di V ontiene soltanto interazioni a due orpi, e ostituis e la generalizzazione diretta del aso di due parti elle, Eq. (9.60): X H = H0 + V (jxi xj j; S i
S j ) : ij Ben he molto ragionevole, questa s elta non si fonda su al un prin ipio fondamentale in me

ani a quantisti a nonrelativisti a, e trova la sua legittimazione ome teoria eÆ a e he tipi amente emerge nel limite nonrelativisti o dell'interazione elettromagneti a tra ampi quantizzati. Consideriamo ora il aso dell'interazione tra una singola parti ella ed un ampo esterno. Tale ampo e omunque prodotto da altre parti elle \lontane", ma in molti asi e possibile e onveniente ignorare questo fatto assumendo (piu o meno a ragione) he il moto della parti ella sotto esame non determini ambiamenti signi ativi nelle sorgenti del ampo di forze

ui essa risponde. La presenza di un ampo esterno ome oggetto assoluto, ioe non determinato a sua volta da equazioni dinami he del moto, inevitabilmente rompe l'invarianza galileiana. Dato he il ampo esterno e omunque dovuto all'interazione on altre parti elle \lontane", l'uni o generatore he ri hiede modi he e an ora l'Hamiltoniana, he ora non soddisfa piu alle relazioni di ommutazione della Tab. 9-1. Tipi amente, un ampo esterno non uniforme de nis e posizioni e/o direzioni privilegiate nello spazio, per

ui dovremo senz'altro abbandonare l'invarianza eu lidea, vale a dire le relazioni di ommutazione tra H e P e/o tra H e J (le (d) e/o (e) della 7La situazione e ben diversa nel aso relativisti o, vale a dire nella sintesi tra relativita ristretta e me

ani a quantisti a fornita dalla teoria quantisti a dei ampi: sotto ipotesi piuttosto generali, solo po he interazioni fra parti elle elementari risultano possibili.

341

Simmetria e invarianza

tabella). Inoltre, il ampo esterno, e quindi l'Hamiltoniana stessa, possono dipendere espli itamente dal tempo, per via del moto delle sorgenti del

ampo, rompendo os an he l'invarianza per traslazioni temporali. Per maggiore hiarezza, onsideriamo inizialmente il aso in ui tale invarianza si mantiene, per ui H resta la ostante del moto he genera le traslazioni temporali. L'ultima relazione della Tab. 9-1 he ontiene H e la (i) , ovvero [H; G ℄ = iP , ed an he per questa dobbiamo attender i delle modi he in presenza di forze esterne. Si ri ordi he il momento a destra della relazione rispe

hia il fatto he G(t) = tP M X e il generatore di S hroedinger dei boost. Questi ultimi pero, traslando X di vt , non sono piu delle invarianze se le forze esterne non sono ostanti nello spazio. In altri termini, i boost di Galilei non possono essere delle invarianze insieme alle traslazioni temporali, poi he on esse non formano un sottogruppo di G(3; 1) , ma ombinati assieme danno luogo a traslazioni spaziali. Tuttavia, possiamo an ora far valere una sorta di invarianza residua, vale a dire quella per boost istantanei, a t = 0 . Dopo tutto, l'invarianza per traslazioni temporali impli a he l'istante t = 0 non ha nulla di spe iale rispetto agli altri. Come sappiamo, i boost istantanei sono generati da G = M X e, data la loro interpretazione geometri a, devono traslare l'operatore velo ita della parti ella, exp(iv
G) X_ exp( iv
G) = X_ + v ; il he equivale alla ri hiesta [G ; X_  ℄ = iÆ : Quindi l'operatore P M X_ ommuta on G , ovvero (9.61) P M X_ = A(X ; S ) ;

on A arbitraria. La relazione [H; G ℄ = iP , valida nel aso libero, viene dunque sostituita dalle equazioni di Heisenberg per la posizione,

he possiamo s rivere ome (9.62) [H; G ℄ = iM X_  = i[P A (X ; S )℄ : La forma di H risulta ora parzialmente ssata. Infatti una soluzione immediata della (9.62) e data da H0 = jP A(X )j2 =(2M ) , per ui H H0 deve ommutare on X , e quindi 1 jP A(X ; S )j2 + (X ; S ) : (9.63) H= 2M Nel seguito eviteremo di espli itare la dipendenza da S , sottintendendo

he A e  possono essere matri i non banali nello spazio degli stati di spin. Si noti inoltre he i vari operatori nella relazione (9.63) possono 342

Trasformazioni di gauge

essere intesi sia ome operatori di S hroedinger he di Heisenberg, dato

he H e omunque una ostante del moto. Se A e/o  non sono ostanti nel tempo, la derivazione pre edente resta valida riguardando tutti gli operatori oinvolti ome operatori di Heisenberg, dato he le relazioni di

ommutazione utilizzate restano invarianti in forma sotto l'azione dell'operatore di evoluzione U (t; t0 ) . Quindi le versioni piu generali delle (9.61) e (9.63) si s riveranno (9.64) M X_ (t) = P (t) A(X (t); t) (9.65) H (t) = 21 M jX_ (t)j2 + (X (t); t) e restano valide sia nella des rizione di Heisenberg he in quella di S hroedinger, poi he abbiamo, almeno formalmente, U (t; t0 ) A(X (t); t) U (t; t0 )y = A(U (t; t0 )X (t)U (t; t0 )y ; t) e analogamente per  . Il risultato he abbiamo ottenuto e parti olarmente signi ativo nel

aso di una parti ella priva di spin: l'invarianza della dinami a sotto boost istantanei di Galilei ssa la forma generale di H = H (A; ) in termini di un potenziale vettore A = A(x; t) e di un potenziale s alare  = (x; t) . Si tratta proprio dell'a

oppiamento minimale tra una parti ella ari a ed il ampo elettromagneti o, dis usso al livello lassi o al x3.3 ed a quello quantisti o nel ap. 12, an he se l'identi azione di A e  on i potenziali elettromagneti i non e obbligatorio, dato he essi sono funzioni arbitrarie he non devono soddisfare le equazioni di Maxwell (si noti he stiamo ta itamente utilizzando unita in ui e= = 1; ~ = 1).

9.4. Trasformazioni di gauge Consideriamo ora le trasformazioni di simmetria implementate dagli operatori unitari della forma U = exp[ i(X ; t)℄ dove (x; t) e un'arbitraria funzione dello spazio-tempo (eventualmente non banale nello spazio dello spin). Esse vengono denominate trasformazioni di gauge e las iano invariata la posizione X , mentre ambiano il momento P : Uy P U = P r(X ; t) : Quindi l'operatore velo ita X_ = [P A(X ; t)℄=M si trasforma in modo

ovariante, nel senso he Uy X_ U = X_ 0 = [P A0 (X ; t)℄=M

on (9.66) A0 (x; t) = A(x; t) + r(x; t) 343

Simmetria e invarianza

Di onseguenza l'Hamiltoniana (9.64), tenendo onto della dipendenza espli ita dal tempo di U (vedi al x9.1.2, Eq. (9.8)), si trasforma nel seguente modo gauge- ovariante Uy H (A; ) U = H (A0 ; 0 ) dove (9.67) 0 (x; t) = (x; t) + t (x; t) Nel aso in ui (x; t) sia un multiplo dell'identita nello spazio dello spin, le relazioni (9.66) e (9.67) oin idono on le trasformazioni di gauge proprie dei potenziali elettromagneti i. Quindi, se identi hiamo A e  on i potenziali elettromagneti i, dobbiamo on ludere he soltanto le grandezze gauge-invarianti B = r ^ A ; E = r t A ; identi abili rispettivamente nel ampo magneti o ed nel ampo elettri o, sono si amente osservabili. Allora la oppia (A; ) e la oppia (A0 ; 0 ) danno luogo alla stessa dinami a per la parti ella, per ui U implementa non solo una trasformazione di simmetria, ma una vera e propria invarianza. Vi eversa, il prin ipio di invarianza lo ale di gauge [Pau58℄ ri hiede

he la dinami a della parti ella sia invariante rispetto alle trasformazioni di simmetria implementate da U , per qualunque  , ed impone per io

he A0 e 0 siano si amente equivalenti ad A e  , esattamente ome per i potenziali elettromagneti i. Possiamo far risalire questo fondamentale prin ipio alla naturale indeterminazione della fase in me

ani a quantisti a: infatti, per ri ostruire operativamente lo spazio di Hilbert della parti ella, a partire dallo spettro osservato della posizione, ad ogni punto x dello spazio si o viene asso iato un raggio jxihxj (si intende, ome sempre, nel limite ideale e non normalizzabile di lo alizzazioni esatte), e non un vettore jxi . Quest'ultimo risulta quindi individuato solo a meno di un fattore di fase, di iamo exp[ i(x; t)℄ , ui orrisponde evidentemente la trasformazione di simmetria U . Il prin ipio di invarianza lo ale di gauge serve a ssare la forma generale della Hamiltoniana (9.64) (il osiddetto a

oppiamento minimale fra parti ella e ampo elettromagneti o) in modo omplementare all'invarianza per boost galileiani istantanei. Infatti, l'equazione di S hroedinger della parti ella libera, P2 d j i; i j i= dt 2m

he ome sappiamo e univo amente ssata dal prin ipio di invarianza galileiana, nella rappresentazione della posizione ed una volta ssata la 344

Trasformazioni di gauge

rappresentazione per il momento, ad esempio P = ir , si s rive   4  i + (x; t) = 0 : t 2m Essa non e invariante di gauge, ambiando forma sotto la ride nizione della fase da (x; t) a exp[i(x; t)℄ (x; t) . Per renderla invariante, introdu iamo le derivate ovarianti   i ; Dj = iAj Dt = t xj dove per ipotesi A e  si trasformano se ondo le regole (9.66) e (9.67) simultaneamente alla ride nizione ! ei . Allora la nuova equazione ( D2  Dj Dj , on l'usuale onvenzione he indi i ripetuti sono sommati)   D2 (9.68) iDt + (x; t) = 0 2m e gauge-invariante. Evidentemente, la (9.68) e la forma nella rappresentazione della posizione dell'equazione di S hroedinger la ui l'Hamiltoniana e H (A; ) . Sulle trasformazioni di gauge torneremo an ora piu avanti, in o

asione della dis ussione del moto quantome

ani o di una parti ella nel

ampo elettromagneti o (vedi ap. 12). Per il momento on ludiamo on la seguente onsiderazione. L'equivalenza di potenziali A e  sotto trasformazioni di gauge omporta la ne essita di rivedere, in al uni asi parti olari, il on etto di invarianza della dinami a sotto altre trasformazioni di simmetria. Consideriamo ad esempio il aso in ui  = 0 , mentre A e una funzione lineare di x he non dipende dal tempo. Come gia anti ipato nel x3.3 e ome riprenderemo al x12.2, si tratta del ontesto ne essario per des rivere una parti ella in un ampo magneti o ostante. Dunque, per ipotesi abbiamo Aj (x) = ajk xk , dove le ajk sono ostanti arbitrarie. Sfruttando l'equivalenza sotto trasformazioni di gauge, possiamo restringer i al aso in ui ajk + akj = 0 , in quanto (ajk + akj )xk = j (aik xi xk ) e un \puro gauge",

ioe e equivalente ad un potenziale nullo attraverso una trasformazione di gauge. Possiamo allora porre aij = 21 ijk Bk , ovvero A = 21 B ^ x , dove B = r ^ A e un vettore ostante e gauge-invariante. La dinami a sara quindi invariante per traslazioni spaziali, poi he l'uni o oggetto osservabile assoluto, ioe B , e invariante. Tuttavia l'Hamiltoniana (9.63), he ora si s rive 1 jP 21 B ^ X j2 ; H= 2M evidentemente non e invariante per traslazioni, visto he non ommuta

on gli operatori U (a) = exp( ia
P ) he le implementano. Abbiamo 345

Simmetria e invarianza

inve e una invarianza a meno di una trasformazione di gauge U (a)y H U (a) = Uy H U ;

dove (x) = 21 B ^ a
x . Per il prin ipio di invarianza lo ale di gauge questo basta a garantire an he l'invarianza per traslazioni spaziali.

9.5. Simmetrie spazio-temporali dis rete Sinora abbiamo onsiderato esempi on reti di trasformazioni di simmetria e invarianza he ostituis ono dei sottogruppi ontinui. Nei prossimi paragra tratteremo inve e le simmetrie dis rete, ioe non ottenibili mediante ripetizioni moltepli i di trasformazioni in nitesime, he traggono

omunque origine dalla struttura (nonrelativisti a) dello spazio-tempo.

9.5.1. Inversione spaziale. L'inversione spaziale, detta an he trasformazione di parita e denotata on P , onsiste nella ri essione delle oordinate attraverso l'origine del sistema di riferimento artesiano originalmente adottato. Quindi P x = x , per ogni punto x dello spazio si o. Evidentemente P 2 oin ide on la trasformazione identi a, P 2 = e . Inoltre, P si ottiene (in in niti modi) omponendo una rotazione on una ri essione attraverso un piano. Ad esempio (x1 ; x2 ; x3 ) ! ( x1 ; x2 ; x3 ) e un rotazione di 180o attorno all'asse z  x3 e (x1 ; x2 ; x3 ) ! (x1 ; x2 ; x3 )

e una ri essione nel piano xy . Piu in generale, possiamo onsiderare tutte le isometrie dello spazio si o R3 he non spostano l'origine ed invertono l'orientazione relativa degli assi oordinati, vale a dire x ! S x ; S T S = SS T = 1 ; det S = 1 : Tali trasformazioni formano la omponente dis onnessa dall'elemento neutro del gruppo O(3) delle matri i ortogonali 3  3 . La omponente

he ontiene l'elemento neutro, SO(3) , e formata dalle rotazioni trattate pre edentemente al x9.3.4. Quanto appena detto i permette di dare una suggestiva interpretazione operativa all'inversione spaziale: dato un erto apparato sperimentale A atto a preparare il sistema S in un determinato (vettore di) stato j i , l'apparato A0 ostruito, se possibile, in modo da oin idere on l'immagine di A ruotata di 180o attorno ad una data direzione e ri essa in uno spe

hio ortogonale alla direzione stessa, preparera S nello stato jP i . Assumendo he P ostituis a una trasformazione di simmetria per il sistema S , per il teorema di Wigner esistera un operatore unitario o antiunitario UP , de nito a meno di un fattore di fase, tale he jP i = UP j i . Consideriamo ome esempio una singola parti ella elementare priva di spin. In base all'interpretazione operativa di ui sopra, riletta per le 346

Simmetrie spazio-temporali dis rete

osservabili fondamentali X e P , dobbiamo avere (9.69) UPy X UP = X ; UPy P UP = P : Appli ando questa legge di trasformazione alle regole di ommutazione

anoni he, si ottiene UPy iÆ UP = UPy [X ; P ℄UP = [ X ; P ℄ = iÆ il he dimostra he UP e unitario. Appli ando la stessa legge all'operatore di momento angolare orbitale L = X ^ P , si veri a he L e invariante per parita. Operatori vettoriali he, ome X e P , ambiano segno sotto inversione spaziale sono detti vettori polari. Operatori invarianti ome L sono detti vettori assiali. Supponiamo ora he la parti ella abbia spin non-nullo, on asso iato operatore di spin S . La naturale ri hiesta he il momento angolare totale J = L + S si trasformi ome L impone he an he S debba essere invariante, ovvero UPy S UP = S In parti olare, l'eli ita della parti ella E = (S
P )=jP j ambia segno sotto inversione spaziale. Questo fatto, unitamente all'invarianza per rotazioni,

aratterizza l'eli ita ome una grandezza pseudos alare rispetto a O(3) . Una grandezza s alare, oltre ad essere invariante sotto rotazioni, e inve e invariante rispetto all'intero O(3) ; ad esempio P
X , P 2 et . Queste onsiderazioni si estendono nel solito modo al aso di N parti elle distinguibili, on osservabili fondamentali xj , pj e sj , j = 1; 2; : : : N . Avremo (9.70) UPy xj UP = xj ; UPy pj UP = pj ; UPy sj UP = sj : Risulta evidente he UP2 ommuta on un insieme irridu ibile di operatori e quindi e un multiplo dell'identita, in a

ordo on il fatto he P 2 = e . Possiamo sempre ssare il fattore di fase las iato libero dalle (9.70) imponendo he UP2 = 1 . Allora UPy = UP 1 = UP e la parita e un'osservabile. Per sempli ita d'ora in poi s riveremo P al posto di UP . Per ottenere una realizzazione espli ita della parita P onviene ssare la rappresentazione di HS . Ad esempio, in termini delle funzioni d'onda della posizione di una singola parti ella priva di spin, le relazioni (9.69) e P 2 = 1 evidentemente ri hiedono (P )(x) =  ( x) ; dove  = 1 risulta essere un numero quanti o vero e proprio, aratteristi o della parti ella in questione, he prende il nome di parita intrinse a. Essa non va onfusa on la parita orbitale, he e inve e una proprieta delle funzioni d'onda simmetri he, (x) = ( x) , o antisimmetri he, 347

Simmetria e invarianza

(x) = ( x) . Ogni funzione d'onda puo omunque essere sempre separata in una parte simmetri a o pari, 21 (1+ P ) e una antisimmetri a o dispari, 21 (1 P ) . L'unitarieta di P si veri a fa ilmente, ri ordando la forma espli ita del prodotto s alare in L2 (R3 ) . Tra le funzioni d'onda on parita de nita vanno evidenziate le autofunzioni di L2 e Lz , vale a dire le funzioni della forma (9.71) (x) = u(r) Ylm (#; ') ; dove u e una funzione della sola oordinata radiale r = jxj , # e ' sono ome al solito gli angoli sferi i e Ylm e l'armoni a sferi a tale he L2 Ylm = l(l + 1)Ylm e Lz Ylm = mYlm . Sotto l'inversione x ! x , r e invariante mentre # !  # e ' ! ' +  . Quindi, dato he Ylm ( #; ' + ) = ( )l Ylm (#; ') , la funzione d'onda (9.71) des rive un autostato della parita, ioe, per esteso: (9.72) P ju; l; m; i = ( 1)l  ju; l; m; i ; dove Z ju; l; m; i = d3 x u(r)Ylm (#; ') jx; i e, per de nizione,

P jx; i =  j x; i .

Problema 9.5-1. Si veri hi he, in base alla relazione (9.72), gli elementi di matri e hu; l; m; j V ju0 ; l0 ; m0 ; 0 i si annullano se: a) V e polare e l = l0 ,  = 0 oppure l = l0  1 ,  = 0 ; b) V e assiale e l = l0 ,  = 0 oppure l = l0  1 ,  = 0 .

L'in lusione dello spin non omporta variazioni, dato he S ommuta

on P . Altrettanto immediata e l'estensione al aso di piu parti elle: per

ostruzione la parita e un numero quanti o di tipo moltipli ativo (vedi x7.2.1), per ui avremo (9.73) (P )(x1 ; : : : ; xN ) = 1 : : : N ( x1 ; : : : ; xN ) : Problema 9.5-2. Si veri hi he, diversamente dal aso di una singola parti ella, la parita di uno stato di due parti elle senza spin, on momento angolare totale J ben de nito, non risulta interamente determinata dall'autovalore di J .

Problema 9.5-3. Il dipolo elettri o di un sistema Pdi N parti elle

on ari he elettri he ej ; j = 1; : : : ; N si s rive d = j ej xj . Se jE i e uno stato stazionario e hdi = hE j d jE i 6= 0 an he in assenza di ampi elettri i esterni, si di e he il sistema possiede un dipolo elettri o permanente. Si dimostri he ne essariamente hdi = 0 se la Hamiltoniana e invariante sotto parita e l'autovalore E e non degenere. 348

Simmetrie spazio-temporali dis rete

Il ruolo delle parita intrinse he 1 ; : : : ; N puo a prima vista sembrare inutile: la loro presenza si ridu e ad un fattore 1 omplessivo, apparentemente inosservabile e quindi irrilevante. Dopo tutto, esso rientra nell'ambiguita del fattore di fase las iato libero dal teorema di Wigner. Il punto e stabilire se la parita intrinse a di una parti ella rappresenta eettivamente un'osservabile in senso operativo. Se ias un tipo di parti ella e onservato, le parita intrinse he non sono in al un modo osservabili e possiamo dimenti ar ene, ponendo ad esempio  = + per qualunque tipo di parti ella. Se inve e esistono dei pro essi si i dove le parti elle non sono onservate, risulta ne essario onsiderare uno spazio di Hilbert in ui possono venir linearmente sovrapposti vettori di stato he des rivono un dierente numero N di parti elle di ias un tipo spe i o. In tal aso le parita intrinse he non si ridu ono ad un fattore di fase globale, ma intervengono sulle fasi relative tra le omponenti on N diverso di ogni vettore di stato, ausando eetti in linea di prin ipio osservabili. Se le parti elle in questione sono massive e veramente elementari, i suddetti pro essi violano il prin ipio di simmetria galileiana, in quanto non rispettano la regola di superselezione di Bargmann. In tal aso dovremmo onsiderare pro essi strettamente relativisti i, per i quali il formalismo ne essario non e omunque quello della me

ani a quantisti a nonrelativisti a esposto in questo libro. Lo stesso vale per parti elle prive di massa ome i fotoni, la

ui dinami a non rispetta omunque la simmetria galileiana. D'altra parte, ome an he pre edentemente a

ennato, il on etto di parti ella e abbastanza duttile per a

omodare an he in me

ani a quantisti a nonrelativisti a situazioni on rete dove la parita intrinse a gio a un ruolo importante. Si pensi ad esempio a parti elle he sono stati legati di altre parti elle piu fondamentali, ed a pro essi si i nei quali queste ultime si ri ombinano in nuovi stati legati, preservando tuttavia il loro numero per ias un tipo. Evidentemente la parita intrinse a di una parti ella

omposta e ri ondu ibile alla parita orbitale della funzione d'onda he des rive lo stato relativo dei suoi omponenti, ma risulta spesso possibile evitare di des rivere an he la struttura interna delle parti elle omposte, fa endo ri orso a nuovi numeri quanti i ome le parita intrinse he. Infatti, supponiamo he due parti elle di massa m1 e m2 formino uno stato legato des ritto dalla funzione d'onda (x) , dove x = x1 x2 (esempio on reto: elettrone e protone in uno stato de nito dell'atomo di idrogeno). Se l'uni a forza he agis e su ias una parti ella e quella dovuta all'interazione responsabile dello stato legato, la funzione d'onda

omplessiva he soddisfa all'equazione di S hroedinger avra la forma (x1 ; x2 ) = exp(iK
X )(x) ; 349

Simmetria e invarianza

dove X = (m1 + m2 ) 1 (m1 x1 + m2 x2 ) rappresenta, ome al solito, il

entro di massa. Se ora onsideriamo nuove interazioni on altre parti elle e/o on ampi esterni, tali he risulti tras urabile l'eetto ausato sullo stato interno, possiamo assumere per (x1 ; x2 ) la forma (x1 ; x2 ) = (X )(x) Nel aso in ui  abbia parita (orbitale!) de nita  , ioe ( x) = (x) ,  = 1 , l'azione (9.73) di P su si tradu e in un'azione su : (P )(x) =  1 2 (x) per ui la parti ella omposta ha 1 2 ome parita intrinse a. Se es ludiamo di poter mai osservare una struttura interna an he per le due parti elle ostituenti, possiamo porre 1 = 2 = 1 (ogni altra s elta risulta unitariamente equivalente a questa), per ui la parita orbitale della funzione d'onda interna  si manifesta ome parita intrinse a per la funzione d'onda esterna . Si noti he, da questo punto di vista, un pro esso

he determini un ambiamento dello stato interno, on il passaggio da  a 0 , va visto ome un pro esso in ui il numero di parti elle omposte di tipo  diminuis e di una unita, mentre aumenta parimenti il numero di parti elle omposte di tipo 0 . In un pro esso del genere la parita intrinse a  ambia in 0 (assumendo he an he 0 abbia parita orbitale de nita), on eetti generalmente osservabili.

9.5.2. Violazione della parita.

Nei paragra pre edenti abbiamo ripetutamente enun iato vari prin ipi di simmetria e di invarianza, he vengono in ne ra

olti in un uni o prin ipio he fa riferimento al gruppo di Galilei. Ci poniamo ora il medesimo problema riguardo all'inversione spaziale o parita P . La questione si puo formulare os: l'inversione spaziale e una trasformazione di simmetria universale, ioe valida per ogni sistema si o? E ammesso he sia os, la dinami a di un sistema isolato e invariante per inversione spaziale? In altri termini, se H e la Hamiltoniana di un tale sistema, possiamo senz'altro assumere he [H; P ℄ = 0 , omunque ompli ata e/o po o pre isamente nota sia H ? Fino a po hi de enni orsono la risposta aermativa a tutte queste domande era universalmente ri onos iuta ome quella giusta. Un tale onvin imento si basava sull'idea he le leggi fondamentali della natura non potessero distinguere tra \destra" e \sinistra", per ui doveva esistere il pro esso si o \ri esso allo spe

hio" di un qualunque pro esso osservato. Nel 1956 un esperimento basato sul 350

Simmetrie spazio-temporali dis rete

de adimento ha messo in risi questa assunzione, dimostrando he la natura non rispetta la parita8. L'esperimento onsiste nel misurare la orrelazione tra la direzione di polarizzazione di una erta quantita di obalto 60 Co e la direzione di emissione degli elettroni prodotti nel de adimento di ias un nu leo da 60 Co a 60 Ni. Il 60 Co possiede uno spin non-nullo e quindi un momento magneti o he, a temperature abbastanza basse, puo venir orientato in una data direzione mediante un ampo magneti o. Se in un singolo de adimento l'elettrone viene emesso on un momento pe he tra

ia un angolo  on lo spin S del nu leo, nello stesso de adimento \visto allo spe

hio" l'angolo sara   . Quindi, se la parita fosse una trasformazione di simmetria e le leggi fondamentali he regolano il de adimento fossero invarianti per inversione spaziale, ome lo sono per rotazione, allora i due pro essi sarebbero egualmente probabili e la distribuzione degli elettroni sarebbe simmetri a rispetto alla direzione dello spin. Si noti

he, essendo la parita un'osservabile, essa apparirebbe in tal aso ome una ari a (moltipli ativa) onservata. Al ontrario, i risultati dell'esperimento on il obalto, os ome di molti altri esperimenti, dimostrano (attualmente on un errore di una parte su 103 ) he la parita e massimamente violata in tutti i fenomeni he oinvolgono la osiddetta interazione debole, responsabile, fra l'altro, del de adimento del obalto 60 Co. La des rizione \elementare" di questo tipo di de adimento ontempla un neutrone del nu leo he si trasforma in un protone, emettendo un elettrone (raggio ) ed un neutrino. I neutrini sono parti elle elementari parti olarmente elusive, elettri amente neutre, molto probabilmente prive di massa e on eli ita de nita; esse gio ano un ruolo ru iale nelle interazioni deboli, per la des rizione delle quali il modello teori o attualmente piu a

redidato (unitamente all'interazione elettromagneti a e a quella forte) e il osiddetto modello standard. In esso an he il protone ed il neutrone sono parti elle omposte da parti elle piu elementari, i osiddetti quarks, he ompaiono nel modello in svariati tipi insieme ai osiddetti leptoni (elettrone, muone, neutrini et .) ed ai bosoni vettoriali, uno dei quali e il fotone della radiazione elettromagneti a. In questa sede non possiamo erto andare oltre nella spiegazione, se non per osservare he nel modello standard non sono ontemplati i neutrini on eli ita positiva, ma solo quelli on eli ita negativa. In una situazione del genere non e nemmeno possibile onsiderare P ome una trasformazione di simmetria universale. 8Questa rivoluzionaria s operta valse il premio Nobel a C.S. Wu, he guido l'equipe sperimentale, non he a T.D. Lee e C.N. Yang [LY56℄, he predissero il risultato in base a onsiderazioni puramente teori he.

351

Simmetria e invarianza

Dobbiamo infatti ri ordare he una trasformazione di simmetria T stabilis e una orrispondenza biunivo a tra stati puri, e quindi presuppone la possibilita reale di preparare jT i , per qualunque stato iniziale j i del sistema si o in questione; a questa stessa possibilita il modello standard fornis e una risposta negativa: tenuto onto he l'eli ita ambia segno sotto inversione spaziale, se ondo le attuali onos enze sempli emente non sappiamo ome eettivamente realizzare l'apparato sperimentale ri esso A0 atto a preparare dei neutrini on eli ita positiva. Stando os le ose, il problema dell'invarianza sotto parita delle interazioni dei neutrini on altre parti elle e della onservazione o meno di P non si pone nemmeno, nel senso he la risposta e ne essariamente negativa a priori. D'altra parte possiamo assumere un punto di vista meno restrittivo, in ui non si pretende he lo spazio di Hilbert rilevante, ad esempio per il de adimento , sia soltanto quello ri ostruito a partire dalle osservazioni attuali. In tal aso e le ito ontemplare l'esistenza an he di neutrini on eli ita positiva, i quali omunque non intervengono mai nelle interazioni a tutt'oggi onos iute9. Questa s elta ripristina la simmetria on gli altri leptoni e on i quark, he intervengono nel modello standard on entrambe le eli ita. In questo modo an he la parita P ria quista il ruolo di trasformazione di simmetria: an he se non sempre sappiamo ome prepararli, stati on eli ita opposta esistono per ogni tipo di parti ella. E ora legittimo porsi la questione se P e an he una invarianza dell'Hamiltoniana del modello standard. An he se non piu per ragioni di prin ipio, la risposta e omunque negativa: l'evidenza sperimentale impone he [H; P ℄ 6= 0 , e la parita non e onservata. E evidente he, almeno in base alle nostre attuali onos enze, non abbiamo elementi per prediligere l'uno o l'altro dei due punti di vista appena esposti. Il dato sostanziale e he le leggi fondamentali della natura, os

ome le onos iamo, violano la parita in tutta una lasse di fenomeni. Al ontrario, nella lasse di fenomeni elementari an or piu vasta aratterizzata dalle sole interazioni forte ed elettromagneti a, l'invarianza per inversione spaziale e la onseguente onservazione della parita sono fuori dis ussione.

9.5.3. Inversione temporale. Insieme all'inversione spaziale P : x ! x , risulta naturale onsiderare l'inversione temporale T : t ! t .

In realta queste due operazioni sulle oordinate spazio-temporali sono

on ettualmente molto diverse, almeno nel formalismo della me

ani a quantisti a nonrelativisti a di un numero ssato di parti elle. La ragione e quella gia dis ussa al x7.7: diversamente dalla posizione, il tempo non 9Per altro, questi stati di eli ita positiva sono indispensabili per fornire una massa,

omunque pi

ola, ai neutrini.

352

Simmetrie spazio-temporali dis rete

e un'osservabile. Piuttosto he di inversione temporale, dovremmo allora parlare di inversione del moto, ioe di quella operazione sulle osservabili del sistema S he trasforma l'evoluzione verso il futuro in quella verso il passato. Per il sistema di N parti elle, lassi amente questo si ottiene sostituendo alle traiettorie xj (t) nuove traiettorie (T x)j (t) = xj ( t) , e quindi roves iando tutte le velo ita per ogni ssata posizione. Si tratta di una trasformazione di simmetria della me

ani a lassi a. Se inoltre le nuove traiettorie sono an ora soluzioni del moto, allora diremo he la dinami a e invariante per inversione temporale. Queste onsiderazioni lassi he suggeris ono di identi are T , an he nella des rizione quantome

ani a di N parti elle senza spin, on l'operazione xj ! xj , pj ! pj . Assumendo he si tratti eettivamente di una trasformazione di simmetria e denotando ome al solito on UT l'operatore (unitario o antiunitario) he la implementa, per una singola parti ella avremo (9.74) UTy X UT = P ; UTy P UT = P : Inoltre, osservando he il momento angolare orbitale X ^ P ambia segno, in presenza di spin non-nullo la de nizione di UT viene ompletata da (9.75) UTy S UT = S : Appli ando la legge di trasformazione (9.74) alle regole di ommutazione

anoni he, si ottiene UTy iÆ UT = UTy [X ; P ℄ UT = [X ; P ℄ = iÆ ; il he dimostra he UT deve essere antiunitario (vedi x9.1). L'estensione al aso di N parti elle si ottiene nel solito modo, se ondo le regole dei sistemi omposti. La ovarianza dell'equazione di S hroedinger sotto inversione temporale e garantita proprio dalla natura antiunitaria di UT . Infatti, se d (9.76) i j (t)i = H (t) j (t)i ; dt allora d d UT i j (t)i = i UT j (t)i dt dt da un lato, mentre ome al solito UT H (t) j (t)i = UT H (t)UTy UT j (t)i dall'altro; quindi ponendo (9.77) j(T )(t)i = UT j ( t)i ; (T 1 H )(t) = UT H ( t)UTy ; si ottiene d i jT i = (T 1 H ) jT i dt 353

Simmetria e invarianza

ome ri hiesto. In parti olare, se T H = H , la dinami a si di e invariante per inversione temporale. Diversamente dalla parita, ad una tale invarianza dis reta non e asso iata al una legge di onservazione (vedi al prossimo paragrafo). Come per la parita, l'invarianza sotto T stabilis e una orrispondenza dis reta tra soluzioni del moto: se j (t)i e una soluzione dell'equazione di S hroedinger (9.76), allora an he UT j ( t)i lo e. Ci poniamo ora il problema di ostruire una realizzazione espli ita dell'operatore UT in una data rappresentazione dello spazio di Hilbert. Ci limiteremo al aso di una singola parti ella, dato he il aso piu generale di N parti elle si ottiene tramite il prodotto diretto (vedi x7.2.1). Nella rappresentazione della posizione, per una parti ella senza spin, possiamo identi are UT , sempre a meno del solito fattore di fase, on l'operatore K di oniugazione omplessa:

Kj

i=K

Z

d3 x

Z

jxi hxj i = d3 x jxi hxj i :

In parti olare si noti he K 2 = 1 . Quindi, in termini della funzione d'onda (x) = hxj i , avremo (UT )(x) = (x) : In eetti K , he e manifestamente antiunitario, las ia invariato l'operatore di moltipli azione X , in quanto x e per ipotesi reale, mentre

ambia segno a P = ir , in quanto r ha elementi di matri e reali tra i vettori di stato generalizzati jxi . Per quanto riguarda la Hamiltoniana nel ampo esterno de nito dalla oppia A e  (vedix9.3.10), abbiamo evidentemente ( A e  sono reali per de nizione): T H (A; ) = UTy H (A; )UT t! t = H (T A; T ) ; dove (T A)(x; t) = A(x; t) e (T )(x; t) = (x; t) . Si noti he queste sono proprio le leggi di trasformazione sotto inversione temporale dei potenziali elettromagneti i lassi i. In parti olare, la dinami a e invariante se e solo se T A e T dieris ono da A e  per una trasformazione di gauge, ovvero A(x; t) + A(x; t) = r(x; t) ;  (x; t) : (x; t) (x; t) = t Nel aso di potenziali indipendenti dal tempo, l'invarianza sotto T non pone vin oli su (x) , mentre ri hiede he A(x) sia un puro gauge, ioe B = r ^ A = 0. Una volta de nita in una base spe i a, la forma espli ita di UT risulta ssata in ogni altra base tramite le regole generali della me

ani a 354

Simmetrie spazio-temporali dis rete

quantisti a (si noti he la de nizione di K dipende dalla base, per ui UT non si ridurra alla sempli e oniugazione omplessa in altre rappresentazioni). Ad esempio, sugli autovettori del momento abbiamo

UT jki =

Z

d3 x jxi hxj ki = j ki ;

dato he hxj ki = exp(ik
x) . Quindi

UT

Z

Z

j i = d3 k j ki hkj i = d3 p jki h kj i ;

ovvero

(UT ~)(k) = ~( k) ; dove ~ e la trasformata di Fourier di . L'in lusione dello spin ri hiede di modi are l'identi azione UT = K , in quanto gli operatori di spin Sx , Sy e Sz non possono avere tutti e tre elementi di matri e puramente immaginari o puramente reali in al una base ssata. Come sappiamo pero dal x8.2.5, nella base in ui Sz e diagonale possiamo sempre ssare le fasi in modo tale he Sx e Sz abbiano elementi di matri e reali, mentre Sy ha elementi di matri e immaginari puri. Quindi

KSxK = Sx ; KSy K = Sy ; KSz K = Sz : Ponendo allora

UT = Y K ; Y  e iSy (in parti olare Y = iy per spin 1/2) si ottiene subito la (9.75), in quanto (9.78)

Y y Sx Y = Sx ; Y ySy Y = Sy ; Y y Sz Y = Sz :

La forma di UT in ogni altra rappresentazione segue dalle regole solite a partire dalla (9.78). Dalla de nizione stessa di inversione temporale (o in base alle leggi di trasformazione (9.74) e (9.75)), e evidente he UT2 deve ridursi ad un multiplo unimodulare dell'identita: UT2 = ei 1 . D'altronde, per la natura antiunitaria di UT e legge asso iativa, T = UT ei = UT UT2 = UT2 UT = ei UT ; per ui UT2 = 1 . Nel aso della realizzazione espli ita (9.78) valida per la singola parti ella, otteniamo

e

i U

UT2 = Y K Y K = e

iSy e+i( Sy )

355

=e

2iSy

:

Simmetria e invarianza

Ma S ommuta on il momento angolare orbitale L e e 2iLy = 1 , per

ui possiamo porre UT2 = e 2iJy , dove J = L + S . In ne, omponendo moltipli ativamente UT per un sistema di N parti elle, UT2 = e 2iJy P dove J = j (Lj + S j ) e il momento angolare totale. Quindi

UT2 = ( 1)NF 1 dove NF e il numero di fermioni, ovvero parti elle on spin semintero, del sistema si o in esame. Problema 9.5-4. Si dimostri il teorema di Kramer, il quale afferma he se il sistema onservativo S ontiene un numero dispari di parti elle on spin semintero ed e governato da una Hamiltoniana invariante sotto inversione temporale, allora ogni autovalore dell'energia e almeno doppiamente degenere. Gli uni i ingredienti ne essari sono: (i) HUT = UT H ; (ii) UT e antiunitario; (iii) UT2 = 1 . Questo teorema risulta rilevante nella si a atomi a, in quanto impli a he non e sempre possibile rimuovere tutte le degenerazioni dei livelli energeti i dovute all'invarianza per rotazioni, solo fa endo ri orso a ampi elettri i, i quali sono pari sotto T . 9.5.4. Il prin ipio di mi roreversibilita. Nel pre edente paragrafo abbiamo visto ome la ri hiesta di ovarianza dell'equazione di S hroedinger ssi la legge di trasformazione dell'Hamiltoniana sotto inversione temporale (vedi Eq. (9.77)). Nella visione attiva essa assume la forma (9.79) H (t) ! T H (t) = UTy H ( t)UT In eetti, tenuto onto he l'operatore di evoluzione temporale U (t; t0 ) si s rive (x7.7, Eq. (7.84)) U (t; t0 ) = T exp possiamo veri are subito he





T U (t; t0 )  T exp i

i

Z t



t0

Z t

t0



dt0 H (t0 ) 

dt0 T H (t0 ) Z



t = UTy T exp +i dt0 H ( t0 ) UT t0 y = UT U ( t; t0 )UT

om'e naturale attendersi dall'inversione dell'asse dei tempi. 356

Simmetrie spazio-temporali dis rete

La relazione (9.79) suggeris e T H = H ome ondizione di invarianza della dinami a sotto T . Per l'esattezza, la formulazione piu generale di tale ondizione e evidentemente T U (t; t0 ) = ei(t;t0 )U (t; t0 ) dove (t0 ; t0 ) = 1 e (t; t0 ) = (t0 ; t) per ostruzione. Insieme alla legge di omposizione di U (t; t0 ) questo impone (t; t0 ) = ~ (t) ~ (t0 ) . In ne la natura antiunitaria di UT insieme a UT2 = ( 1)NF ri hiede he ~ (t) = ~ ( t) . Ma allora possiamo porre ~ (t) = (t) + ( t) e, an ora grazie all'antilinearita di UT , riassorbire il fattore di fase -dipendente in una inno ua ride nizione di U (t; t0 ) . In de nitiva abbiamo veri ato

he la ri hiesta di invarianza sotto T si ridu e sempre a (9.80) U ( t; t0 ) = UT U (t; t0 ) UTy

he equivale esattamente a UTy H ( t)UT = H (t) . La relazione (9.80) rende evidente he non esiste al una legge di onservazione asso iata all'invarianza per inversione temporale. Infatti U (t; t0 )yUT U (t; t0 ) non e proporzionale a UT . Se il sistema S e onservativo, allora U (t; t0 ) = exp[ i(t t0 )H ℄ = U ( t0 ; t) e la ondizione per una dinami a T -invariante si s rive (9.81) U (t0 ; t) = UT U (t; t0 ) UTy Possiamo allora formulare la ri hiesta di invarianza sotto forma del osiddetto prin ipio di mi roreversibilita; esso aerma he, per un sistema isolato, la probabilita di trovare S nello stato ji al tempo t , se S era stato preparato nello stato j i al tempo t0 , e uguale alla probabilita di trovare S nello stato jT i al tempo t , avendo preparato S nello stato jT i al tempo t0 . In formule: (9.82) j hj U (t; t0 ) j i j2 = j hT j U (t; t0) jT i j2

ome si deriva immediatamente dalla (9.81). Vi eversa, se il prin ipio di mi roreversibilita (9.82) vale per ogni oppia di vettori di stato j i e ji , allora U (t; t0 ) dieris e da UTy U (t0 ; t)UT al piu per un fattore di fase. Essendo UT antiunitario, questo fattore si ridu e a  , e per ontinuita a t = t0 si ridu e in ne a 1 , riprodu endo la (9.81). L'appli azione del prin ipio di mi roreversibilita ai fenomeni di diusione (o s attering) produ e il osiddetto prin ipio del bilan io dettagliato. Senza entrare nei parti olari, he esulano dai nostri s opi presenti, in regime nonrelativisti o possiamo des rivere le ose nei seguenti termini. Lo stato iniziale j i , al tempo t0 ! 1 , des rive per ipotesi le parti elle 1 e 2 , on momenti p1 , p2 e proiezioni dei rispettivi spin m1 e m2 357

Simmetria e invarianza

lungo un dato asse n . Analogamente lo stato nale, al tempo t ! 1 , des rive le parti elle 3 e 4 , on momenti e proiezioni degli spin p3 , m3 , p4 e m4 . Ora, se l'interazione fra le parti elle e invariante per inversione temporale ed inversione spaziale, allora le probabilita di transizione del pro esso diretto e del pro esso inverso oin idono, Pr(p1 ;m1 ; p2 ; m2 ! p3 ; m3 ; p4 ; m4 ) = Pr( p3 ; m3 ; p4 ; m4 ! p1 ; m1 ; p2 ; m2 ) = Pr(p3 ; m3 ; p4 ; m4 ! p1 ; m1 ; p2 ; m2 ) ;

dato he i momenti pj sono dispari sotto T e P , gli operatori di spin S j sono dispari sotto T e pari sotto P ed in ne l'asse n di quantizzazione degli spin e pari sotto T e dispari sotto P . Nel aso he la parita sia violata e/o he le parti elle siano ari he il prin ipio del bilan io dettagliato vale in una versione opportunamente ridotta. In ogni esso fornis e un modo diretto per ontrollare la validita del prin ipio di mi roreversibilita, e quindi l'invarianza per inversione temporale, nel aso delle interazioni fondamentali. Attualmente l'evidenza sperimentale sostiene questo prin ipio, entro errori relativi dell'ordine di 10 3 , per tutti i pro essi governati dalle interazioni forte, elettromagneti a e debole10. Problema 9.5-5. Si dimostri he un sistema governato da una di-

nami a invariante per rotazioni e inversione temporale non puo avere un momento di dipolo elettri o permanente, se la degenerazione dei livelli energeti i e dovuta solamente all'invarianza per rotazione. Per ipotesi la Hamiltoniana ammette un insieme ompleto di autovettori

jE; J; M i on momento angolare totale de nito. Inoltre UT jE; J; M i deve essere proporzionale a jE; J; M i , tramite un fattore di fase, poi he H e J sono

rispettivamente pari e dispari sotto inversione temporale e la degenerazione e per ipotesi dovuta solo al numero quanti o M . Quindi

hE; J; M j J jE; J; M i = hE; J; M j J jE; J; M i : D'altra parte il dipolo elettri o d e pari sotto UT , per ui hE; J; M j d jE; J; M i = hE; J; M j d jE; J; M i : Ma per l'appli azione 8.3.1 del teorema di Wigner-E kart, dobbiamo avere J jjdjjE; J i hE; J; M j d jE; J; M 0 i = h[E; hE; J; M j J jE; J; M 0i ; J (J + 1)℄1=2 10Vi sono tuttavia risultati sperimentali indiretti e ragioni teori he profonde

per ritenere he l'invarianza per inversione temporale sia violata, an he se molto debolmente, dalle interazioni deboli.

358

Simmetrie spazio-temporali dis rete

he insieme alle due pre edenti relazioni forza hE; J; M j d jE; J; M 0 i = 0 . Questo risultato e rilevante in parti olare per le parti elle elementari soggette all'interazione debole, la quale viola la parita e quindi non impedis e a prima vista un dipolo elettri o permanente (vedi Probl. 9.5-3 a p. 348).

359

CAPITOLO 10

Metodi di approssimazione 10.1. Teoria delle perturbazioni Per qualunque problema si o e in generale ne essario ostruire la soluzione per approssimazioni su

essive; una prima s hematizzazione tiene

onto delle interazioni piu rilevanti e sulla base della soluzione del sistema sempli ato si er ano poi di in ludere gli eetti delle altre interazioni. Questo s hema risale alla me

ani a eleste: la dinami a dei pianeti e des ritta dalle orbite di Keplero he tengono onto della sola attrazione del Sole, mentre le mutue attrazioni di pianeti e satelliti possono essere in luse ome orrezioni; ad uno stadio su

essivo si vorra poi tenere onto di altri eetti piu ni, quali quelli prodotti dalla deviazione dalla forma perfettamente sferi a del Sole o dalle orrezioni relativisti he. L'importante per l'analisi di un problema omplesso e rius ire ad individuare la gerar hia di importanza delle varie interazioni in modo da stimare l'ordine di grandezza delle orrezioni. Per un al olo quantitativo si deve sviluppare un algoritmo he permetta di valutare le orrezioni alla pre isione desiderata. La natura lineare delle equazioni della me

ani a quantisti a fa ilita di molto il ompito, rispetto al problema analogo he si deve arontare in me

ani a lassi a, in regime non-lineare; le questioni legate alla stima a priori degli errori inve e ostituis ono un problema assai spinoso. In genere infatti le orrezioni su

essive formano una serie divergente a ui si

er a di dare un signi ato in termini di serie asintoti he (vedi App. B.2). Considereremo anzitutto il problema della determinazione dello spettro dell'Hamiltoniano (teoria delle perturbazioni stazionarie ), problema tipi o per un sistema isolato. Un sistema in interazione on un ampo esterno puo altres porre il problema di un'interazione dipendente dal tempo, nel qual aso gli autostati dell'Hamiltoniano imperturbato (ossia in assenza di interazione on l'esterno) non sono piu stati stazionari e la domanda interessante riguarda la probabilita di transizione da uno stato all'altro. Questo problema e operto dalla teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo.

361

Metodi di approssimazione

10.1.1. Perturbazioni stazionarie.

niano della forma

Consideriamo un Hamilto-

H = H0 + "V; dove H0 rappresenta un erto stadio di approssimazione del problema si o he assumiamo ompletamente risolto, mentre V rappresenta una nuova interazione di ui vogliamo tenere onto; il parametro " puo essere una ostante si a he entra nella des rizione dell'interazione ( ostante di a

oppiamento), oppure e un numero puro introdotto al puro s opo di dierenziare l'interazione V dal resto delle interazioni e he alla ne dovra essere posto uguale a uno. Si assume per io nota la de omposizione spettrale di H0 , e per sempli ita assumiamo he si tratti di spettro dis reto on autovalori non-degeneri. Il aso piu generale verra dis usso piu avanti. Sia dunque E0 l'autovalore di ui vogliamo valutare la orrezione e jE0 i il orrispondente autovettore. Dobbiamo determinare autostato e autovalore dell'Hamiltoniano ompleto H jE" i = E" jE" i tali he per " ! 0 valgano i due limiti1 lim E = E0 ; lim jE" i = jE0 i : "!0 "!0 "

L'ipotesi he si fa a questo punto e la seguente: autovalori ed autovettori di H ammettono uno sviluppo in serie di potenze nel parametro ". L'ipotesi e del tutto ragionevole trattandosi di soluzioni di equazioni dierenziali in

ui " ompare ome parametro, tuttavia la natura della serie di potenze e a priori puramente formale. La onvergenza della serie perturbativa,

ome verranno d'ora in poi denominate le serie di potenze in teoria delle perturbazioni, e da veri are aso per aso, e di norma non si avvera2. An he negli esempi piu sempli i i si trova di fronte a serie divergenti ma he non di meno fornis ono un utilissimo strumento di al olo approssimato in quanto serie asintoti he ( io era ben noto agli astronomi gia alla ne del se olo s orso; la teoria matemati a e sviluppata in [Har91, RS78a℄, e a livello elementare in App. B.2): sotto opportune ondizioni e possibile infatti ri ostruire la funzione dalla sua serie asintoti a. A questo s opo e ne essario pero disporre di un grande numero di oeÆ ienti della serie, il

he non e sempre possibile (vedi Probl. 10.1-1). 1Si tratta di un'ipotesi di lavoro; non e diÆ ile infatti ostruire esempi in ui questi limiti non valgono (fenomeno di Klauder); nei asi noti il potenziale V e singolare (vedi ad es. [Sim73℄ e il Probl. 10.1-2 a p. 366). 2Una ondizione suÆ iente e data dalla ondizione di Kato: la serie perturbativa ha un raggio di onvergenza nito se il potenziale di perturbazione V e limitato relativamente ad H0 , e ioe kV k  akH0 k + bk k; (a < 1) [Kat76, RS78a℄ (vedi Probl. 6 a p. 525).

362

Teoria delle perturbazioni

Nel seguito aronteremo il problema di base, quello ioe di determinare i oeÆ ienti della serie perturbativa. Comin iamo ol de nire gli sviluppi (10.1) jE"i = j0i + " j1 i + "2 j2 i + : : : (10.2) E" = E0 + Æ1 " + Æ2 "2 + : : : dove i oeÆ ienti reali Æk e i vettori j1 i ; j2 i ; : : : sono da determinarsi e sostituiamo il tutto nell'equazione agli autovalori. Identi ando i oeÆ ienti delle varie potenze in " si ottiene, almeno in linea di prin ipio, la soluzione. In realta e preferibile pro edere on un sistema di tipo ri orsivo, in base al quale, nota la soluzione all'ordine n, si ri ava fa ilmente l'ordine n + 1 (e questo d'altronde il modo in ui si imposta di norma il

al olo, dato he per il si o po o importa onos ere la soluzione a un dato ordine "k senza onos ere il ontributo in "k 1 , a priori piu rilevante). La relazione di ri orrenza si determina in questo modo (vedi [Sak90℄): riordiniamo i termini dell'equazione per ottenere (10.3) (H0 E0 ) jE" i = (E" E0 ) jE" i "V jE" i : Prendendo il prodotto s alare dello stato jE0 i on ambo i membri si avra 0 = (E" E0 ) hE0 j E" i " hE0 j V jE" i (avendo sfruttato il fatto he H0 e autoaggiunto) e quindi hE j V jE"i : (10.4) E" E0 = " 0 h E0 j E" i Conviene a questo punto adottare temporaneamente una normalizzazione diversa dal onsueto per l'autovettore jE" i hE0j E"i = 1; una onvenzione he sempli a notevolmente lo sviluppo delle formule. A onti fatti sara ovviamente possibile ssare la normalizzazione onsueta moltipli ando per un fattore di normalizzazione. L'uni a diÆ olta potrebbe provenire nell'eventualita he l'autovettore esatto sia ortogonale a jE0 i, ma io non potra veri arsi per " suÆ ientemente pi

olo. Se inseriamo lo sviluppo in serie (10.1), ed uguagliamo i oeÆ ienti ad ogni ordine in "k otteniamo infatti Æk = hE0 j V jk 1 i (10.5) Riprendiamo ora l'Eq. (10.3); i si hiede se siamo autorizzati ad invertire l'operatore H0 E0 per ottenere jE"i = jE0i + R0(E0 ) (E" E0 "V ) jE"i : L'operatore risolvente R0 (z )  (H0 z 1) 1 e de nito per ogni valore reale o omplesso di z , ad e

ezione dei punti dello spettro di H0 . Tuttavia 363

Metodi di approssimazione

i vettori a ui dobbiamo appli are R(E0 ) sono tutti ortogonali al vettore jE0i e per io l'inversione e legittima. Il al olo del risolvente e ottenibile sempli emente da  jE 0 i R0 (E0 ) E00 = 0 0 E0 E0 R0 (E0 ) jE0 i  0 : Se a questo punto inseriamo gli sviluppi in serie nell'equazione pre edente otteniamo la se onda relazione di ri orrenza 0

(10.6)

jk i = R(E0 ) 

k 1 X j =1

1

Æj jk

ji

V jk

i

1 A

Le Eq. (10.5),(10.6) formano un algoritmo ri orsivo he in linea di prin ipio puo generare i oeÆ ienti della serie perturbativa ad ogni ordine. Il vantaggio di questa impostazione e di permettere una notevole e onomia di al olo; inoltre l'algoritmo e fa ilmente odi abile per un al olo automati o. Problema 10.1-1. Determinare i primi termini della serie perturbativa per lo stato fondamentale dell'Hamiltoniano H = 12 (p2 + q2 ) + "q4 :

Conviene utilizzare gli operatori di reazione-anni hilazione, e quindi ris rivere l'Hamiltoniano nella forma H = ay a + 1 + 1 "(a + ay )4 2

4

(utilizziamo per sempli ita unita di misura in ui ~ = ! = m = 1). In qualunque relazione di ri orrenza bisogna individuare per prima osa gli elementi ostanti (da al olare una volta sola). Nel nostro aso e ovvio he onviene al olare subito il vettore hE0 j V he ompare nella prima relazione di ri orrenza. Si trova, fa endo uso delle relazioni 6.8 a p. 128, 1 V j0i = (a + ay )4 j0i 4 1 = (a + ay )3 j1i 4 p p6 3 2 3 j2i + 2 j4i : = : : : = j0i + 4 2 Per quanto riguarda il risolvente (ay a) 1 , questo agis e sugli autostati di H0 sempli emente os 1 R0 jni = jni ; (n > 0); R0 j0i = 0 : n

364

Teoria delle perturbazioni n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Æn 3=4 21=8 333=16 30885=128 916731=256 65518401=1024 2723294673=2048 1030495099053=32768 54626982511455=65536 6417007431590595=262144 413837985580636167=524288 116344863173284543665=4194304

Tabella 10-1. Sviluppo perturbativo dello stato fondamentale per l'operatore aya + 21 + "q4 .

Si ottiene per io

3 4 p6 p 3 2 j1 i = R0 (0)( V j0i) = 4 j2i 8 j4i 21 Æ2 = h0j V j1 i = : 8 Il al olo si eettua agevolmente utilizzando un programma simboli o quale s hoons hip/form o mathemati a e fornis e la serie di oeÆ ienti riportata in Tab. 10-1. Si nota he i oeÆ ienti Æn tendono a res ere molto rapidamente, piu di quanto sarebbe ri hiesto dalla onvergenza della serie. Bender e Wu ([BW69℄) hanno per primi ri avato un grande numero di oeÆ ienti ( no a Æ75  0:75  10144) e dimostrato l'andamento asintoti o p (10.7) Æn  ( 1)n+1 6=3 3n (n + 12 ) : Disponendo di un elevato numero di oeÆ ienti e pensabile arontare il ompito di \risommare" la serie divergente. La te ni a piu sempli e e ostituita dall'introduzione di approssimanti razionali, noti ome approssimanti di Pade [BGM81℄. L'idea onsiste nel determinare due polinomi P (") e Q(") di grado nP ed nQ ( on N = nP + nQ ), in modo he valga la relazione

Æ1 = h0j V j0i =

N X

P (") + O("N +1 ) : Q ( " ) n=1 La forma razionale P=Q e molto piu essibile di quella rappresentata dai sempli i polinomi. In parti olare e possibile approssimare fedelmente funzioni analiti he

on singolarita. La Tab. 10-2 onfronta il risultato della risommazione della serie perturbativa per l'os illatore anarmoni o on i valori ottenuti per via numeri a Æn "n =

365

Metodi di approssimazione

P

Æ n "n " P=Q Ref.[HM75℄ 0:002 0.50149 0.50148966 0.50148966 0:01 0.507256 0.50725620 0.50725620 0:1 0.565 0.55914633 0.55914633 0:5 0.69617385 0.69617582 1:0 0.80366865 0.80377065 2:0 0.94972612 0.95156847 50: 1.71143505 2.49970877

Tabella 10-2. Risommazione di Pade della serie perturbativa per lo stato fondamentale dell'os illatore anarmoni o .

diretta. Per una vasta trattazione dei problemi onnessi alla risommazione della serie perturbativa in me

ani a quantisti a si veda [Hir82℄. Problema 10.1-2. Un os illatore armoni o e perturbato da un'inte-

razione del tipo V = =x2 ; > 0. Dis utere il limite per ! 0.

La perturbazione e di tipo singolare e non puo trattarsi direttamente on il metodo perturbativo. Per quanto pi

ola sia la ostante , i sara una regione intorno a x = 0 in ui V e arbitrariamente grande. Il punto ru iale e il seguente: la barriera in nita in x = 0 presenta un osta olo insormontabile on ampiezza di penetrazione nulla. La ondizione da imporre sulla funzione d'onda e pertanto (0) = 0 qualunque sia pur he diverso da zero. In questo aso il limite per ! 0 non e dato dall'Hamiltoniano on = 0, bens da un Hamiltoniano di os illatore armoni o on una ondizione di annullamento in x = 0. Lo spettro \imperturbato" e per io ostituito dai soli livelli En = (n + 21 )~! on n dispari (le ui autofunzioni si annullano nell'origine) he risultano doppiamente degeneri. Che l'ampiezza di trasmissione della barriera di potenziale sia nulla si puo arguire dall'approssimazione semi lassi a he da



 exp



Z



jpjdx=~ :

La singolarita di p(E; x) in x = 0 infatti non e integrabile. Il problema e poi risolubile esattamente tenendo onto del fatto he l'equazione di S hroedinger e equivalente all'equazione radiale per un os illatore tridimensionale on momento angolare tale he ~2 l(l + 1) = 2m . Problema 10.1-3. Determinare la orrezione ai primi livelli di energia dell'atomo di idrogeno dovuti ad un ipoteti o momento di dipolo elettri o del nu leo (il limite sperimentale sul momento di dipolo elettri o del protone e dato da j"j < 10 9 e fm ; si vedano i problemi 9.5-3 a p. 348 e 9.5-5 a p. 358). 366

Teoria delle perturbazioni L'eetto sui livelli energeti i e dato da un termine orrettivo e" V = 2 os # r all'energia potenziale. Per il livello fondamentale la orrezione al primo ordine e nulla per simmetria (h os #i = 0). Per valutare la orrezione al se ondo ordine

i serviamo della relazione s

os # Ylm (#; ') =

(l + 1 m)(l + 1 + m) m Yl+1 + (2l + 1)(2l + 3)

s

(l m)(l + m) m Y (2l 1)(2l + 1) l 1

he ostituis e un aso parti olare del teorema di Wigner-E kart, ed e dedu ibile dalla relazione di ri orrenza delle funzioni asso iate di Legendre (2l + 1)xPlm (x) = (l m + 1)Pnm+1 (x) + (n + m)Plm1 (x) : Si avra pertanto 1 j h1; 0j os #=r2 jn; l = 1ij2 1X Æ 2 E1 = 3 n=2 1 n 2

dove esprimiamo tutto in unita atomi he (~ = m = e = 1). La somma si puo valutare numeri amente (Æ2 E1  0:022). Una stima dell'elemento di matri e per grandi valori di n si ottiene appli ando la relazione (vedi ad es. [GR65℄) x p  n x =2 J (2 x) Ln n

he porta alla relazione h10j r 2 jn1i n!1  0:541341 n 3=2

il he mostra he la serie he de nis e Æ2 E1 e rapidamente onvergente. (L'impostazione data alla soluzione assume he il momento di dipolo abbia un'orientazione ssa nello spazio o per lo meno lentamente variabile sulla s ala dei tempi atomi i).

10.1.2. Il teorema di Feynman-Helmann. Una onseguenza immediata della formula he esprime la orrezione perturbativa al primo ordine e il seguente risultato, noto ome teorema di Feynman-Helmann : l'Hamiltoniano H () dipenda parametri amente da una variabile reale  . Siano En () e jn; i autovalori e autovettori di H . Allora vale la relazione n () hn; j dHd() jn; i = dEd : Sara infatti H ( + ") = H () + "dH=d + O("2 ) e in a

ordo on la teoria delle perturbazioni dH () jn; i + O("2 ) : En ( + ") = En () + " hn; j d 367

Metodi di approssimazione

Il risultato si puo ri avare an he senza invo are la teoria delle perturbazioni sempli emente derivando rispetto a  la relazione hn; j H jn; i = En () e tenendo onto he hn; j n; i  1. Problema 10.1-4. Appli ando il teorema di Feynman-Hellman, si ri avino gli elementi di matri e hnj q2 jni e hnj p2 jni per l'os illatore armoni o. Problema 10.1-5. Appli ando il teorema di Feynman-Hellman, si ri avino gli elementi di matri e hnj r 1 jni e hnj r 2 jni per l'atomo di idrogeno. 10.1.3. Teoria delle perturbazioni per livelli degeneri. La teoria sviluppata nella sezione pre edente deve essere modi ata per affrontare il aso di livelli di energia degeneri. Indi hiamo on fjE0 ; i, ( = 1; 2; : : : ; r)g una base ortonormale per il sottospazio di autovettori appartenenti all'autovalore imperturbato E0 . In assenza di perturbazione la base di autovettori e determinata solo a meno di una trasformazione unitaria jE0 ; i = U jE0 ; i . La serie perturbativaPper l'autovettore inizia per io on una ombinazione lineare arbitraria  jE0 ; i e sara la perturbazione a identi are la base orretta3. Le formule pre edenti diventano allora (10.8) (H0 E0 ) j i = (E E0 "V ) j i X X (10.9) j i =  jE0; i + "n jÆ n i n1 X (10.10) E = E0 + "n Æn n1 Prendiamo il prodotto s alare della prima equazione on un generi o autovettore imperturbato e otteniamo X "n Æn hE0 ; j i = " hE0 ; j V j i : n1 Il termine del primo ordine in " i da allora X hE0 ; j V jE0; i  = Æ1 

he ostituis e un'equazione agli autovalori per Æ1 . La orrezione al primo ordine per l'energia si ottiene per io diagonalizzando la matri e della perturbazione ristretta al sottospazio di degenerazione. Assumendo he tutti 3Un esempio di questo fatto si ha in me

ani a del orpo rigido: per una trottola simmetri a (due momenti di inerzia oin identi) gli assi prin ipali di inerzia ortogonali all'asse di simmetria non sono individuati univo amente, ma e suÆ iente una pi

ola deformazione he rompa la simmetria per forzare la s elta univo a degli assi prin ipali.

368

Teoria delle perturbazioni

i valori os ottenuti per Æ1 siano distinti possiamo ri ondur i alla teoria delle perturbazioni non-degeneri per il al olo degli ordini piu alti. Siamo infatti liberi di ride nire H0 nel modo seguente H00 = H0 + 0 V 0 dove 0 e il proiettore ortogonale sul sottospazio di degenerazione. Assumiamo inve e he la degenerazione non sia risolta al primo ordine, ad esempio nel aso he tutti gli elementi di matri e hE0 ; j V jE0 ; i siano nulli. I oeÆ ienti  sono allora an ora indeterminati. Al se ondo ordine si ottiene allora dall'Eq. (10.8)

j i = R0 da ui

X

Æn "n "V X

jÆ1 i = R0V Æ2 =

X





j i+

X

 jE0 ; i

 jE0 ; i

hE0; j V R0V jE0; i ;

dove al solito nell'operatore R0 e sottinteso il proiettore ortogonale al sottospazio appartenente all'autovalore E0 . Quest'ultima equazione determina ad un tempo la orrezione al se ondo ordine e la base di autovettori all'ordine zero. Si onsideri il seguente esempio: l'Hamiltoniano sia rappresentato dalla matri e 0 1 E0 0 "a "b A : H =  0 E0 "a "b E0 +
Il livello degenere E0 non e risolto al primo ordine e si deve pertanto diagonalizzare la matri e 0 10 10 1 1 0 0 0 0 a 0 0 0 0 A 0 V R0 V 0 = 0 1 0A 0 0 b A 0 0 0 0 0 a b 0 0 0
1 0 10 1 0 2 1 0 0 a 1 0 0 a ab 0  0 0 b A 0 1 0A =
1 ab b2 0A a b 0 0 0 0 0 0 0

he ore il risultato ( 0 Æ2 = (a2 + b2 )=
: Si puo fa ilmente veri are questo risultato attraverso un al olo esatto. Qualora an he al se ondo ordine si dovesse avere una degenerazione residua sara ne essario invo are un'equazione analoga a ordini su

essivi. 369

Metodi di approssimazione

Problema 10.1-6. Dimostrare he la orrezione al primo ordine dei livelli energeti i in presenza di un momento di dipolo elettri o del nu leo si annulla e pertanto e ne essario appli are l'equazione se olare al se ondo ordine.

Si tratta di valutare tutti gli elementi di matri e

os # Vnlm;nl0 m0 = hnlmj 2 jnl0m0 i : r Gran parte di questi elementi di matri e si annullano in base ad argomenti basati sulla teoria del momento angolare. Innanzitutto il potenziale ha simmetria assiale e dunque si avra un valore nonnullo solo per m = m0 . Inoltre os # e la

omponente di un vettore o in altri termini e una parti olare armoni a sferi a Ylm

on l = 1; m = 0: io impli a he i momenti angolari l e l0 devono potersi sommare ad un momento angolare uguale a 1 da ui si on lude he si annullano tutti gli elementi di matri e on jl l0j > 1. In ne la parita del prodotto Ylm Ylm 0 os # 0 e ( 1)l+l +1 il he impli a he l e l0 devono avere parita diversa (l'elemento di matri e e rappresentato da un integrale la ui parte angolare Ylm os # Ylm 0 e antisimmetri a per inversione spaziale se l e l0 hanno la stessa parita). Restano per io da valutare gli elementi di matri e Vn l m;n l+1 m ; 0  l  n 2. Si tratta di valutare gli integrali Z 1 dr unl un l+1 0

dove la potenza r2 dell'elemento di volume e stata an ellata dal potenziale di dipolo. Per n = 2; 3 un al olo diretto veri a he l'integrale si annulla. Per n piu grandi il al olo si eettua agevolmente on un programma simboli o quale form o Mathemati a.

10.1.4. Perturbazioni dipendenti dal tempo. La teoria sviluppata nora riguarda il aso di un sistema quantisti o isolato il ui Hamiltoniano presenti in modo naturale una gerar hia di interazioni e he permette per io lo studio della dinami a quantisti a in su

essive fasi di approssimazione. Una strategia analoga puo essere adottata in un aso fondamentalmente dierente, quello di un sistema quantisti o non isolato per il quale l'interazione on altri sistemi si i possa onsiderarsi debole. Si pensi all'esempio di un atomo he venga a trovarsi immerso in un ampo elettromagneti o: in questo aso l'Hamiltoniano risulta esprimibile in una forma simile a quanto onsiderato in pre edenza H = H0 + "V (t) ma in generale si avra he l'interazione dipende espli itamente dal tempo. Il problema tipi o non sara piu allora quello di determinare lo spettro perturbato (lo spettro di energia istante per istante non e di grande utilita, tranne he nel aso di interazioni in regime adiabati o), ma piuttosto interessera onos ere la probabilita he il sistema inizialmente in un 370

Teoria delle perturbazioni

qual he autostato di H0 ompia una transizione ad un autostato qualunque; nell'esempio dell'atomo, la radiazione elettromagneti a puo e

itare l'atomo edendo energia, oppure dise

itarlo assorbendola; ompito della teoria e quello di al olare le ampiezze di probabilita di questo tipo di pro essi. Indi hiamo on j (t)i lo stato del sistema al tempo t, soluzione dell'equazione d i~ j (t)i = H (t) j (t)i dt essendo noto lo stato a un erto tempo t0 . Conviene onsiderare l'operatore di evoluzione temporale U (t; t0 ) in termini del quale j (t)i = U (t; t0 ) j (t0 )i. L'operatore U soddisfa l'equazione

d i~ U (t; t0 ) = H (t) U (t; t0 ) dt e la ondizione iniziale U (t0 ; t0 ) = 1. Dal momento he si vuole tenere

onto della parte dipendente dal tempo quale debole perturbazione, si avra he U dieris e di po o dall'operatore imperturbato

U0 (t t0 ) = expf i(t t0 )H0 =~g : Cio onsiglia di porre U = U0 W , dove W sara un altro operatore unitario he onterra l'eetto della interazione. Sostituendo nell'equazione di evoluzione e prestando attenzione all'ordine degli operatori U0 e W , in generale non ommutanti, si ottiene

d i~ W (t; t0 ) = "U0 (t t0 )y V (t) U0 (t t0 ) W (t; t0 ) : dt P

Cer hiamo una soluzione nella forma W (t; t0 ) = n "n Wn (t; t0 ): dall'equazione pre edente si ottiene una relazione di ri orrenza

d i~ Wn+1 (t; t0 ) = Vint (t; t0 ) Wn (t; t0 ) dt avendo per sempl ita introdotto il simbolo

Vint (t; t0 ) = "U0 (t; t0 )y V (t) U0 (t; t0 ) : Le ondizioni iniziali per gli operatori Wn dis endono da W (t0 ; t0 ) = 1 e ioe Wn (t0 ; t0 ) = 0; n > 0, mentre si avra W0 (t; t0 ) = 1, in quanto io 371

Metodi di approssimazione

orrisponde alla soluzione per " = 0. Si trova allora Z i t W1 (t; t0 ) = Vint (t0 ; t0 ) dt0

W2 (t; t0 ) = W3 (t; t0 ) = :::

~ t0 Z t

i

~ t0 Z t

i

~ t0 Z t

Vint (t0 ; t0 ) W1 (t0 ; t0 ) dt0 Vint (t0 ; t0 ) W2 (t0 ; t0 ) dt0

i Vint (t0 ; t0 ) Wn (t0 ; t0 ) dt0 Wn+1 (t; t0 ) = ~ t0 ::: Se risolviamo la relazione di ri orrenza otteniamo una on gurazione notevole (nota a Volterra nel se olo s orso) he assume la denominazione di serie di Dyson o esponenziale ronologi amente ordinato: Z Z i 2 t t1 W2 (t; t0 ) = ( ) Vint (t1 ; t0 ) Vint (t2 ; t0 ) dt1 dt2 ~

t0 t0 Z t Z t1 Z t2

i W3 (t; t0 ) = ( )3 Vint (t1 ; t0 ) Vint (t2 ; t0 ) Vint (t3 ; t0 ) dt1 dt2 dt3 ~ t0 t0 t0 ::: Per omprendere meglio la struttura di questa ostruzione4, si noti he se fossimo autorizzati a permutare liberamente gli operatori dovremmo trovare un'espressione identi a a   Z i t 0 0 exp Vint (t ; t0 ) dt : ~ t0

Questa e infatti la soluzione nel aso he valga la relazione di ommutazione a tempi arbitrari [Vint (t; t0 ); Vint (t0 ; t0 )℄ = 0, in quanto per operatori ommutanti la funzione esponenziale gode della proprieta dB (t) d expfB (t)g = expfB (t)g : dt dt La soluzione generale rappresenta per io la naturale estensione della funzione esponenziale al aso di operatori non- ommutanti. Si onstata fa ilmente he l'uni a dierenza rispetto all'esponenziale ordinario onsiste nel fatto he nell'integrale multiplo he de nis e Wn(t; t0 ) gli operatori Vint (t; t0 ) ompaiono ordinati ronologi amente, ossia Vint (t; t0 ) si trova a 4Si puo esprimere on isamente la teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo

R

on la identita expfA + B g = expfAg T expf 01 ds e sA B esA g.

372

Teoria delle perturbazioni sinistra di Vint (t0 ; t0 ) per t > t0 . Utilizzando il simbolo di ordinamento

ronologi o introdotto al x7.7 si potra s rivere sempli emente   Z i t Vint (; t0 ) d : W (t; t0 ) = T exp ~ t0

La sempli ita formale di quest'ultima espressione non tragga in inganno; in generale si tratta solo di una s rittura ompatta per lo sviluppo perturbativo. Per ulteriori dettagli di natura matemati a si veda [Mag54℄. Un risultato he si rivela talvolta utile e il seguente T

(t) =

Z t

0

exp

Z t

0



B ( ) d = expf (t)g

B ( ) d +

1 2

Z tZ 

0

0

[B ( ); B ()℄ dd + : : :

dove i puntini stanno per termini he oinvolgono almeno ommutatori doppi. Questa formula permette di valutare in forma hiusa l'esponenziale

ronologi amente ordinato nel aso he gli operatori Vint (t) ommutino a tempi diversi o piu in generale abbiano un ommutatore multiplo dell'identita ( [Vint (t); Vint (s)℄ = (t; s)1 ). In termini degli operatori Wn (t; t0 ) possiamo ora determinare l'ampiezza di transizione da un autostato jni di H0 ad un altro jmi sotto l'azione della perturbazione V (t). Si avra al primo ordine in ":   i An!m (t; t0 ) = hmj U (t; t0 ) jni = exp Em (t t0 ) hmj W (t; t0 ) jni

hmj W (t; t0) jni = Ænm i"=~ = Ænm

i"=~

Z t

t0

exp



i ~

(Em

Z t

t0

~

hmj Vint(t0 ; t0) jni dt0 + O("2 )

En )(t0

t0 )



hmj V (t0) jni dt0 + O("2 ) :

Per ssare le idee, supponiamo he la perturbazione agis a in un intervallo di tempo (0; T ) e si desideri valutare la probabilita di transizione Pn!m (t) per un tempo t > T . Si avra allora Pn!m (t) = Pn!m (T ) = jAn!m (T; 0)j2 dove A e dato dall'equazione pre edente. Se ne dedu e he aÆn he la transizione n ! m abbia un ontributo rilevante gia al primo ordine perturbativo e ne essario he l'elemento di matri e hmj V (t) jni non si annulli e abbia inoltre una forte omponente di Fourier in orrispondenza alla frequenza di Bohr (Em En )=~. Problema 10.1-7. Un os illatore armoni o di frequenza propria ! e massa m, inizialmente nel suo stato fondamentale, e soggetto ad una 373

Metodi di approssimazione

perturbazione della forma V = "f (q; t). Determinare l'ampiezza di transizione ad uno stato e

itato jni nel aso 8 > T; dove K e un intero positivo. Per appli are la formula al primo ordine dobbiamo valutare l'elemento di matri e hnj qK j0i e la trasformata di Fourier Z T

expfin!tg sin !0 t dt :

0

Consideriamo in generale il problema di al olare exp(q) j0i; la omponente di K sara il risultato voluto. Passando agli operatori di reazione e distruzione si trova

q=i

~



2m!

 1 (a ay ) 2

1 2 y y eq j0i = ei(a a ) j0i = e 2  e ia eia j0i

( i)n p jni n! n0 dove abbiamo posto   (~=2m!)1=2. Estraendo il oeÆ iente di K si trova 1

= e2

qK j0i = K !

r

i

~

2

2m!

X

!K [K=2℄ X

m=0

2mm!

( )m jK (K 2m)!

p

2mi

e sono pertanto possibili transizioni allo stato n al primo ordine perturbativo

on n = K; K 2; :::. Resta da valutare la omponente di Fourier, he e data da un integrale elementare, e presenta un massimo pronun iato per la ondizione di risonanza !0 = n!. Problema 10.1-8. Risolvere il problema pre edente nel aso he la p perturbazione sia sempli emente V = 2" f (t) q. Appli are la des rizione di Heisenberg per ottenere il risultato esatto.

Nel aso di un Hamiltoniano rappresentato da una formula quadrati a negli operatori anoni i e sempre onveniente adottare la des rizione di Heisenberg

he porta a equazioni lineari formalmente identi he a quelle di Hamilton per il orrispondente problema lassi o. Nel aso in questione si ha (introdu endo unita in ui m = ~ = ! = 1): da (t) i H = [aH (t); H (t)℄ = aH (t) + "f (t) dt

374

Teoria delle perturbazioni

he ha ome soluzione

aH (t) = a e it + "

Z t

0

0 dt0 f (t0 ) ei(t t) :

Dal momento he a t = 0 lo stato soddisfa l'equazione a j i = 0, riesprimendo a in funzione si aH (t) si avra an he (aH (t) (t)) j i = 0 ; R 0 dove per sempli ita di notazione si e posto (t) = " 0t dt0 f (t0 ) ei(t t) : L'equazione pre edente aerma he lo stato del sistema e uno stato oerente (vedi il x6.2.3) e pertanto la probabilita di trovare il sistema all'n esimo livello dell'os illatore armoni o e sempli emente jj2n exp( j(t)j2 ) ; P0!n (t) = n! e ioe e rappresentata da una distribuzione di Poisson on hni = jj2 j. Si noti

he questo valore medio oin ide on l'energia assorbita dall'os illatore se ondo la me

ani a lassi a (misurata in unita ~!).

Nei pre edenti problemi abbiamo onsiderato due esempi di perturbazioni armoni he , per le quali il potenziale V (t) os illa in modo sinusoidale

on una frequenza ! ssata. Abbiamo ioe, in generale V (t) = Be i!t + B yei!t dove B e un ssato operatore nello spazio di Hilbert. Si tratta di un

aso si amente molto rilevante e adatto ad approfondire l'analisi sulle perturbazioni dipendenti dal tempo. Innanzitutto e bene hiarire he, se onsideriamo la perturbazione armoni a ristretta all'intervallo nito (0; T ) , la orrispondente trasformata di Fourier non e aatto on entrata interamente sulla frequenza nominale ! . Infatti, appli ando direttamente l'approssimazione al primo ordine in " si ottiene, per m 6= n , 1 ei(!mn +!)T 1 ei(!mn !)T + hmj B y jni : An!m (T ) = hmj B jni ~(!mn ! ) ~(!mn + ! ) da dove si vede he la perturbazione puo indurre transizioni an he tra stati

on frequenze di Bohr !mn diverse dalla frequenza nominale ! . E tuttavia evidente he per grandi !T la probabilita di transizione jAn!m (T )j2 ri eve il ontributo dominante da una delle due regioni di risonanza !mn  ! ' 0 . Assumendo ! > 0 , la ondizione !mn ' ! de nis e il regime di assorbimento risonante, in ui il sistema si o in questione assorbe energia dalla perturbazione esterna, ompiendo una transizione ad uno stato nale jmi on energia Em piu alta di quella iniziale; nel aso opposto, vale a dire !mn ' !, si parla inve e di emissione risonante di energia. Va omunque sottolineato he l'appli abilita del primo ordine perturbativo alla situazione di risonanza ri hiede he l'elemento di matri e 375

Metodi di approssimazione

hmj B jni , nel aso di assorbimento, o hmj B y jni , nel aso di emissione,

siano parti olarmente pi

oli rispetto all'energia di risonanza ~!. L'analisi perturbativa dei problemi 10.1-8, e 10.1-9 he sono esattamente risolubili, puo servire a hiarire questo punto. Problema 10.1-9. Una parti ella di spin 1/2 e immersa in un ampo magneti o stati o ed uniforme B0 diretto lungo l'asse z , per ui, in opportune unita, la Hamiltoniana imperturbata si s rive H0 = B0 z . Si

onsideri la perturbazione "V (t) = B1 (x os !t + y sin !t)

orrispondente ad un ampo magneti o rotante nel piano xy on velo ita angolare !. Si risolva il problema esattamente ed al primo ordine in teoria delle perturbazioni, prestando attenzione al fenomeno di risonanza. Nel aso assorbimento risonante possiamo dunque trattenere solo il primo termine dell'ampiezza An!m (T ) , per ui si ottiene 2 jAn!m(T )j2 = j hmj ~B2 jni j fT (! !mn)

in termini della funzione di risonanza (vedi Fig. f10-1 a p. 377)   sin !T=2 2 fT (!) = : !=2 Nel limite T ! 1 , la funzione fT (!) tende alla delta di Dira fT (!) ' 2T Æ(!) ; il he i permette (piuttosto formalmente) di de nire la probabilita di transizione per unita di tempo 2 1 (10.11) R = lim jAn!m (T )j2 = j hmj B jni j2 Æ(~! Em + En ) : T !1 T ~ La natura formale di questa espressione, he vale zero per ogni ! , e

etto he per ! = !mn , dove diverge, e dovuta all'assunzione di uno spettro interamente dis reto per l'energia del sistema. Consideriamo inve e la transizione da un livello dis reto iniziale Ei ad uno nale Ef

he appartenga allo spettro ontinuo. In questo aso dovremo integrare l'espressione (10.11) sulla densita spettrale n(Ef ) , dato he n(E ) dE rappresenta il numero di autostati dell'energia ompresi nell'intervallo in nitesimo (E; E + dE ) . Si ottiene os la elebrata regola d'oro di Fermi 2 R = j hf j B jii j2 n(Ef ) ~ dove si intende he Ef = Ei + ~! . 376

Teoria delle perturbazioni T2

0 −5

−4

−3

−2

−1

0

1

ω

2

3

4

5

Figura 10-1. La funzione fT (!).

Radiazione atomi a.

Una fondamentale appli azione di quanto appena visto si ottiene nel aso della radiazione elettromagneti a degli atomi. Se

onsideriamo energie ~! di tipo atomi o (eV piuttosto he MeV), possiamo restringere la nostra attenzione agli elettroni dell'atomo, tras urando gli eetti della perturbazione sul nu leo. Nel ap. 12 tratteremo in dettaglio il problema dell'interazione tra elettroni e ampo e.m. nel regime nonrelativisti o; per il momento i limitiamo alla osidetta approssimazione di dipolo, he si basa sulle seguenti due onsiderazioni:

a) dato he la velo ita elettroni a v e nonrelativisti a ed il ampo magneti o ha la stessa ampiezza di quello elettri o nella radiazione, gli eetti magneti i sugli elettroni atomi i sono piu pi

oli di quelli elettri i per un fattore v= e possono essere in prima istanza tras urati; b) la variazione del ampo elettri o su distanze della s ala atomi a e tras urabile, dato he frequenze di tipo atomi o orrispondono a lunghezze d'onda elettromagneti he molto maggiori del raggio di Bohr. Quindi possiamo onsiderare l'interazione di ias un elettrone solo on un

ampo elettri o spazialmente uniforme E (t) e s rivere la Hamiltoniana (10.12) H = H0 E (t)
d dove H0 e lo Hamiltoniano imperturbato,

d= e

X

377

j

xj

Metodi di approssimazione

e il momento di dipolo elettri o dell'atomo, xj e l'operatore di posizione del j -esimo elettrone e e e la sua ari a elettri a. Consideriamo ora un'onda elettromagneti a mono romati a di frequenza ! , a

esa solo nell'intervallo (0; T ) , vale a dire 8 > T; Supponiamo inoltre he ! sia tale da indurre solo transizioni tra i livelli atomi i dis reti. Osservazione. Come sappiamo, nel aso di transizioni tra livelli dis reti la trattazione al primo ordine non e molto aÆdabile per grandi !T , poi he la funzione di risonanza fT (!) , non mediata da al una densita di stati, diventa singolare. Un'altra approssimazione, detta dell'onda rotante, risulta piu eÆ a e. Essa onsiste nel ridurre il problema allo spazio di Hilbert bidimensionale relativo ai due livelli energeti i En e Em , trattando assorbimento ed emissione ome pro essi indipendenti. Si pone per io    i!t  0 h m j d
E j n i e E 0 0 n H0 = 0 E ; "V (t) = hnj d
E0 jmi ei!t 0 m Il problema e ora equivalente a quello della risonanza di spin 10.1-9 ed e esattamente risolubile.

L'ampiezza di transizione An!m (T ) ha un omportamento piuttosto

ompli ato in T nel aso di radiazione veramente mono romati a. Al

ontrario, nel aso di radiazione in oerente on una data dispersione in frequenza, la trattazione si sempli a e il primo ordine perturbativo risulta adeguato. Infatti l'in oerenza i permette di sommare le probabilita di transizione piuttosto he le ampiezze (i termini di interferenza si mediano a zero), mentre la dispersione i permette di integrare la funzione di risonanza fT (!) , eliminando la singolarita per T ! 1. Inoltre, se la radiazione non e polarizzata, possiamo mediare sulle direzioni del ampo elettri o E 0 e fare la sostituzione j hmj d
E 0 jni j2 ! 31 E02 d2mn E02 = E 0
E 0 ; d2mn = d2nm = hnj d jmi
hmj d jni : La quantita E02 oin ide on 2u(!) , dove u(!) e il valor medio nel tempo della densita di energia per unita di frequenza ontenuta nella radiazione. In ne, dall'espressione (10.11) e da quella valida per l'emissione 378

Teoria delle perturbazioni

risonante (! ! !), si ri avano le probabilita per unita di tempo di assorbimento, Rn!m , e di emissione, Rm!n , di radiazione alla frequenza !mn = !m !n > 0 42 u(! ) d : 3~2 mn mn L'uguaglianza Rn!m = Rm!n e una veri a del prin ipio del bilan io dettagliato (vedi 9.5.4) he dis ende dall'invarianza per inversione spaziotemporale dell'interazione elettromagneti a della materia. (10.13)

Rn!m = Rm!n =

Emissione spontanea.

Se ondo la trattazione appena presentata, un atomo in uno stato e

itato non de adrebbe mai in assenza di radiazione elettromagneti a esterna. In realta, oltre al fenomeno di de adimento/emissione stimolato da ampi esterni viene osservato an he quello di de adimento/emissione spontaneo. Questo signi a he la stessa Hamiltoniana imperturbata H0 nell'Eq. (10.12) non puo avere i livelli atomi i e

itati

ome autovalori esatti. In eetti, la forma di H0 in termini di nu leo ed elettroni in interazione elettrostati a e gia essa stessa un'approssimazione. In essa vengono tras urati tutti gli eetti relativisti i, ma soprattutto viene ignorata la natura quantome

ani a dello stesso ampo e.m.. Come avremo modo di apprezzare nel ap. 11, la osiddetta se onda quantizzazione promuove il ampo e.m. da -numero a q-numero. In parti olare il

ampo elettri o E ed il potenziale magneti o A ( r^ A = B e il ampo magneti o) sono osservabili anoni amente oniugate, per ui il prin ipio di indeterminazione di Heisenberg proibis e lo stato in ui identi amente E = B = 0. Nello stato fondamentale, in assenza di materia ari a, il

ampo e.m. uttua attorno a E = B = 0, proprio ome la posizione ed il momento del punto materiale quantome

ani o dell'os illatore armoni o

uttuano attorno al valore zero (vedi il x11.3). Queste uttuazioni vengono omunemente denominate \fotoni virtuali" e sono sempre presenti, qualunque sia lo stato del ampo e.m.. Dalle onsiderazioni pre edenti segue he un sistema di parti elle ari he (gli elettroni di un atomo, ad esempio) si trova omunque in interazione

on il ampo e.m., on il quale s ambia ostantemente fotoni virtuali. In termini matemati i potremmo (approssimativamente) des rivere questa situazione in ludendo nella Hamiltoniana omplessiva, oltre alla Hamiltoniana Hat del sistema atomi o, an he la Hamiltoniana He.m. del ampo e.m. libero ed un termine di interazione Hint . Lo stato fondamentale dell'intero sistema, he per de nizione e stabile, non dieris e molto dal prodotto diretto dei due stati fondamentali, dell'atomo e del ampo e.m. presi singolarmente (in altri termini Hint e una perturbazione pi

ola). Ma in ogni aso il prodotto diretto di uno stato atomi o e

itato e dello 379

Metodi di approssimazione

stato fondamentale del ampo e.m. non e un autostato del sistema totale e puo de adere nel prodotto di stati atomi i meno energeti i e stati e

itati del ampo. Questi ultimi des rivono la radiazione emessa spontaneamente dall'atomo. A questo punto della nostra trattazione, la te nologia matemati a ne essaria per al olare le rilevanti ampiezze di probabilita non e stata an ora sviluppata, ne lo sara eettivamente nel prosieguo, dato he essa esula dagli s opi di questo libro (la teoria fondamentale per l'interazione tra materia e radiazione e.m. e una teoria relativisti a e quantisti a di

ampo, nota ome elettrodinami a quantisti a ; si vedano [S h64, BD64, IZ80, Kin90, Wei95℄). Ciononostante e possibile derivare importanti on lusioni sull'emissione spontanea n d'ora, fa endo ri orso al famoso argomento di Einstein del 1917, he si basa uni amente sull'idea di equilibrio statisti o tra materia e radiazione e sul prin ipio del bilan io dettagliato. Consideriamo ome modello quello ideale di orpo nero (vedi 5.1.1),

ostituito da una avita risonante in ui la radiazione e.m. e in equilibrio

on le pareti ad una temperatura T . Gli atomi delle pareti assorbono ed emettono fotoni di ontinuo, in modo tale he il numero N (j ) di atomi nel livello atomi o j resta ostante nel tempo. Consideriamo le transizioni tra due generi i livelli Em > En , per le quali abbiamo al olato le rilevanti probabilita di transizione stimolata per unita di tempo al pre edente paragrafo (Eq. (10.13)). Evidentemente il numero di atomi he transis ono per unita di tempo da !m a !n e pari a N (n) Rn!m , mentre per la transizione opposta tale numero vale N (m) Rm!n . Se assumiamo he vi sia una probabilita nonnulla R m!n di emissione spontanea, l'equilibrio statisti o ri hiede esattamente he

N (m) [Rm!n + R m!n ℄ = N (n) Rn!m : Come sappiamo dalla (Eq. (10.13)), e omunque in base al prin ipio del bilan io dettagliato, Rn!m = Rm!n . Inoltre Rn!m e proporzionale alla densita di energia u(!mn ) della radiazione on frequenza !mn , per ui otteniamo 3~2 N (m) R m!n : u(!mn ) = 4dmn [N (n) N (m)℄ Ora e naturale assumere he all'equilibrio termi o gli atomi siano distribuiti sui livelli in a

ordo on la distribuzione di Boltzmann, vale a dire N (n)=N (m) = exp[(Em En )=kT ℄ = exp( ~!mn =kT ) . Quindi R m!n 3~2 : u(!mn ) = 4dmn exp[(Em En )=kT ℄ 1 380

Approssimazione semi- lassi a

A parte per la normalizzazione, abbiamo ottenuto proprio la distribuzione di Plan k per la radiazione del orpo nero! La normalizzazione dieris e solo per una ombinazione di grandezze mi ros opi he di origine puramente quantome

ani a, he sono per io indipendenti dalla temperatura. Quindi la normalizzazione risulta ssata gia dal onfronto on il limite

lassi o della formula di Plan k, ioe la formula di Rayleigh{Jeans (5.1). Si ottengono os sia il valore della probabilita di emissione spontanea per unita di tempo, 4!3 d2 R m!n = mn3 mn ; ~ sia la formula di Plan k, Eq. (5.2).

10.2. Approssimazione semi- lassi a Consideriamo ora un genere di approssimazione he va sotto il termine \semi- lassi a" o \WKB", dai nomi di Wentzel, Kramers e Brillouin a ui si deve il metodo5. La questione alla base del metodo e la seguente: se i parametri si i he ompaiono nell'equazione di S hroedinger (masse, frequenze, s ale di lunghezza) permettono di ostruire una ostante on le dimensioni di un'azione e se questa risulta molto grande rispetto alla ostante di Plan k dovremmo aspettar i he la si a del problema sia des rivibile in termini di me

ani a lassi a. Formalmente possiamo pro edere trattando ~

ome un parametro di sviluppo in termini del quale er are la soluzione dell'equazione di S hroedinger sotto forma di sviluppo in serie di potenze. Consideriamo l'equazione in un solo grado di liberta ~2 00 + V (x) = E 2m e poniamo (x) = expfi(x)=~g : Si ottiene os per la funzione (x) un'equazione he, pur essendo equivalente a quella originale, si presta ad uno sviluppo in serie di potenze in ~:   d2 d i d = ( x ) dx2 dx ~ dx   i d(x) 2 i d2 (x) = (x) + (x) ~ dx ~ dx2 2m = 2 (V (x) E ) ; ~

5Sarebbe giusto an he ri ordare i nomi di Dira e Feynman, nelle ui opere lo stretto legame tra me

ani a lassi a e quantisti a e illustrato al meglio.

381

Metodi di approssimazione

da ui segue





i~ d2 (x) 1 d(x) 2 : + V (x) E = 2m dx 2m dx2 Si pone ora d(x)=dx = 0 (x) + ~1 (x) + : : :: 1 2m

X

n

!

~n n (x)

+ V (x) E =

X

n

~n

dn (x) : dx

Ordine per ordine in ~ si ottengono allora le relazioni di ri orrenza

20 = 2m(E d 20 1 = i 0 dx d1 2 20 2 + 1 = i dx :::

V (x))

La prima equazione i da subito

0 (x) = p (E; x) essendo p = p(E; x) la funzione he esprime il momento lineare se ondo la me

ani a lassi a, on le due possibili determinazioni della radi e quadrata. Le su

essive equazioni i orono poi p0 1 = 12 i p p00 3p0 2 + 2 = 4p2 8p3 ::: Limitando i all'approssimazione piu sempli e, possiamo ora s rivere  Z 
i 0 1 (x)  exp pdx + 2 ip =p ~

=



1 i exp ~ p(E; x)

p

Z



p(E; x)dx :

I due segni possibili per p(E; x) i permettono di s rivere la soluzione generale nella forma  Z  Z  A A + p(E; x)dx + p exp exp p(E; x)dx : (x)  p p(E; x) p(E; x) 382

Approssimazione semi- lassi a

Per gli stati legati dobbiamo ri hiedere he la funzione d'onda sia reale, il

he impone la s elta A = A+ e quindi  Z x A 0 0 p p(E; x ) dx =~ + Æ : sin wkb (x) = p(E; x) 0 L'approssimazione os ottenuta e nota ome approssimazione semi lassi a o approssimazione WKB (dalle iniziali di Wentzel, Kramers e Brillouin). La presenza di potenze negative di p(E; x) rende singolare la soluzione approssimata in orrispondenza dei punti in ui V (x) = E , he

orrispondono ai punti in ui il moto lassi o inverte la sua direzione. In generale l'approssimazione e a

ettabile se viene soddisfatto il prin ipio se ondo ui la variazione per entuale dell'energia ineti a lassi a sull'ar o di una lunghezza d'onda di De Broglie deve essere molto pi

ola, il he i da   dV (x) 1=3 jdp=dxj  jpj ! jpj  2m~ dx e questo viene ovviamente a adere in un intorno dei punti in ui p(E; x) = 0 ( he orrispondono ai punti in ui il moto della parti ella lassi a inverte di segno). Dato he la validita dell'approssimazione e limitata a regioni s onnesse, sorge il problema di ome ra

ordare tra loro questi \spezzoni" di soluzione. Ci sono vari modi per arontare questo problema; senza pretendere di entrare troppo in dettaglio (si veda ad es.[Kem37℄ per un'ampia trattazione) una possibilita e quella di invo are il prin ipio

he la funzione d'onda sia uniforme: ri hiediamo ioe he dopo un giro lungo un ammino hiuso in ampo omplesso he ontorni il taglio della funzione p(E; x) la funzione p torni alla stessa determinazione; tenendo

onto del fatto he il fattore p ambia segno, io omporta


Z x

0



p(E; x0 ) dx0 =~ = (2n + 1)

he i porta alla ondizione di Bohr-Sommerfeld I

p(E; x) dx = 2~ (n + 21 ); n 2 N :

Un argomento piu diretto si fonda sull'analisi della soluzione nell'intorno dei punti in ui p(E; x) = 0. Sia x = a un punto di inversione lassi a del moto. Se approssimiamo il potenziale intorno ad a on il suo sviluppo di Taylor otteniamo 8 p  A > 0 (a) 2 (x a)3=2 =~ + Æ x > a > 2 mV sin < 3 1=4 (x)  (x Aa0 ) o n p > 2 (a x)3=2 =~ 0 > x a). Se ondo la te ni a generale, onviene analizzare il moto del pa

hetto in termini di soluzioni stazionarie. Seguiremo il metodo gia adottato per l'eetto tunnel. S riviamo quindi l'equazione di S hroedinger stazionaria nella forma (4 + k2 ) k (x) = U (x) k (x) 437

Teoria dell'urto

p

dove abbiamo posto k = jkj = 2mE=~; e U = 2mV=~2 : Trasformiamo ora l'equazione di S hroedinger nella forma di un'equazione integrale (vedi l'Eq. (13.4)) (4 + k2 ) k (x) = (x) (13.1) (x) = U (x) k (x) Nella prima equazione invertiamo l'operatore 4 + k2 introdu endo la funzione di Green Gk (x) ([BRS93℄, ap. 3) he soddisfa l'equazione (13.2) (4 + k2 ) Gk (x) = Æ(x) : L'equazione si risolve in modo elementare introdu endo oordinate polari: assumendo he G dipenda solo da r troviamo   1 d2 2 r + k Gk (r) = 0; per r > 0 r dr2 e dunque otteniamo due soluzioni linearmente indipendenti eikr : (13.3) Gk = 4r (La ostante di normalizzazione e ssata in base alla relazione 4r 1 = 4Æ(r ), nota dalla elettrostati a). Alternativamente si puo pro edere utilizzando l'integrale di Fourier per valutare l'operatore risolvente. Ri ordiamo he dal momento he stiamo studiando lo spettro ontinuo dell'Hamiltoniano, l'operatore risolvente presenta un taglio per ui e ne essario

onsiderare le due determinazioni (4 + k2  i"), he orrispondono alle due soluzioni G. Passando alla trasformata di Fourier troviamo os 0 G~ k (k0 ) = (k2 k 2  i") 1 ; da ui Z 0 eik
x  3 : Gk (x) = (2) d3 k 0 2 0 2 k k  i" Introdu endo un sistema polare nello spazio k0 in modo he l'asse k30 sia nella direzione x, si puo integrare fa ilmente sugli angoli per ottenere Z 1 eik0 r e ik0 r 0  2 Gk (x) = (2) k 2 dk0 0 2 0 2 2ik r (k k  i") 0 Z 1 1 eik0 r 0 dk0 = k ir(2)2 1 k2 k0 2  i" L'integrale si puo ora valutare on il metodo dei residui adottando un

ammino di integrazione ostituito da un segmento R ! +R sull'asse reale, hiuso on una semi ir onferenza di raggio R nel semipiano superiore. Si trova per io il risultato dell'Eq. (13.3), tenendo onto he per il segno + ontribuis e il polo in k0 = k + i", mentre per il segno negativo 438

L'equazione integrale della diusione

ontribuis e il polo in k0 = k i" . Inserendo la funzione di Green Gk nell'equazione (13.1) si ottiene Z eikjx x0 j 1 () 3 0 i k
x U (x0 ) k() (x0 ) dx (13.4) k (x) = e 0 4 jx x j

dove abbiamo tenuto onto he si puo aggiungere alla k una soluzione arbitraria dell'equazione di parti ella libera on energia ssata. E importante realizzare he la struttura astratta dell'equazione integrale he abbiamo os ottenuto e di validita assai generale. Si appli a

ioe ad ogni situazione in ui ad una Hamiltoniana \libera" H0 si aggiunge un'interazione V e gli stati stazionari di diusione soddisfano un'equazione del tipo (13.5) jE i = jE i + G V jE i : E

G+E

= (E H0 + i") 1 e detto il propagatore e l'equazione L'operatore e nota ome equazione di Lippman-S hwinger. Abbiamo gia avuto un esempio di questo formalismo nella trattazione dell'eetto tunnel (vedi x6.3). L'equazione di S hroedinger nella forma integrale presenta il doppio vantaggio di i) in orporare le ondizioni al ontorno sulla soluzione e ii) di ammettere una soluzione per serie (Born). Vediamo on ordine questi due punti.

13.1.1. Sezione d'urto dierenziale. La dierenza tra le due s elte di segno nella funzione di Green G viene alla lu e onsiderando il omportamento asintoti o delle soluzioni per r ! 1. Tenendo onto del raggio d'azione nito del potenziale, si potra approssimare jx x0 j nella (13.4) jx x0 j  r x^
x0; (dove x^ e il vettore unitario in direzione x) da ui Z Z ikr ikx^
x0 eikjx x0 j (+) 0 3 x0 e 0 3 0 ( x )  d U ( x ) U (x0) k(+) (x0) dx k jx x0j r Z 0 0 eikr = d3 x0 e ik
x U (x0 ) k(+) (x0 ) r avendo introdotto il nuovo vettore k0 he ha la direzione di x e lunghezza pari a k. Introdu iamo ora la funzione Z 0 1 d3 xe ik
x U (x) k(+) (x); (13.6) fkk0 = 4 439

Teoria dell'urto

he viene hiamata, per motivi he saranno presto evidenti, l'ampiezza Inserendo nell'equazione abbiamo allora la rappresentazione asintoti a delle soluzioni (+) : ikr (+) ik
x + f 0 e (13.7) ( x )  e kk r : k Troviamo per io he la soluzione (+) nella regione a grandi distanze dal

entro diusore e ostituita da un'onda piana a ui si sovrappone un'onda sferi a, modulata dal fattore f . Per una des rizione dipendente dal tempo di un evento di diusione dovremo ostruire un pa

hetto d'onde Z 2 (x; t) = d3 k (k) (+) (x) e i~k t=2m

di diusione.

k

on (k) on entrata intorno a un dato k0 . Non e diÆ ile appli are lo stesso metodo adottato per lo studio dell'eetto tunnel: per grandi valori di t appli hiamo il metodo della fase stazionaria e troviamo he il termine di onda piana rappresenta il moto del pa

hetto libero; il termine di onda sferi a non da ontributo per t negativo mentre e importante per t positivo e rappresenta un'onda sferi a he si dionde dal entro verso l'esterno on un'ampiezza dipendente da jfkk0 j2 . Naturalmente la stessa analisi si puo appli are alle soluzioni k( ) . Queste portano a stati he per t ! 1 sono ostituiti da un'onda piana sovrapposta ad un'onda di implosione verso il entro mentre per t ! +1 sono rappresentati da un'onda piana

he si propaga in direzione k. Queste soluzioni rappresentano l'inversione temporale delle soluzioni k(+) . Sebbene ammissibile dal punto di vista matemati o, un simile stato e assai arduo da preparare, in quanto e ne essario assi urare la oerenza della funzione d'onda iniziale su una regione ma ros opi a. Per questo motivo si utilizza ordinariamente la base di stati k(+) . Per maggiore pre isione dobbiamo avvertire he l'insieme delle soluzioni k(+) ostituis e una base ompleta per gli stati a energia positiva; per avere una base nello spazio di Hilbert bisogna in ludere gli eventuali stati legati. Un esperimento di diusione ha ome risultato la determinazione del

usso di parti elle in ogni direzione (almeno quella porzione di angolo solido operto da rivelatori). Il numero di parti elle rivelate nell'angolo solido d (#; ') per unita di tempo e proporzionale al usso in idente  tramite un oeÆ iente di proporzionalita d(#; '): dN (#; ') =  d(#; ') : Il rapporto d=d e denominato sezione d'urto dierenziale. Nella des rizione quantisti a d=d ad una data energia si ottiene dalla soluzione k(+) : il usso di parti elle e valutabile in senso probabilisti o quale 440

L'equazione integrale della diusione

usso della orrente di probabilita j = m 1 Re f p g. Consideriamo il rivelatore in posizione (#; ') a distanza L dal entro diusore. La super ie sensibile sara dA = L2
#
', on la normale orientata se ondo x. Il usso di probabilita in ingresso nel rivelatore sara dunque   ~ (+)  (+) : dN = dA Im k m r k

Inserendo l'espressione asintoti a per k(+) e prendendo il limite per L grande si ottiene i ~k h 2 L os # + L Re ff (#; ') eikL( os # 1) g + jf (#; ')j2 : dN =


m Si noti he il primo termine divergente ome L2 e in realta presente an he in assenza di entro di diusione e rappresenta per io il ontributo dell'onda in idente: nella des rizione dipendente dal tempo questo termine e on nato alla dimensione trasversale del fas io in idente e non ontribuis e se non per # = 0. Il se ondo termine rappresenta l'interferenza tra onda in idente e onda diusa; il suo ontributo e tras urabile per via della fase rapidamente os illante exp(ikL os #) he an ora ontribuis e solo intorno alla direzione del fas io. L'ultimo termine rappresenta il genuino ontributo di diusione. Si trova poi he il usso in idente e pre isamente ~k=m. Si ha pertanto d = jf (#; ')j2 ; (13.8) d

il he giusti a il termine di ampiezza di diusione per la funzione f .

13.1.2. Serie di Born.

Il al olo dell'ampiezza di diusione puo essere arontato on il metodo iterativo gia adottato nel aso dell'eetto tunnel (si ri ordi l'Eq. (6.19)). Dall'equazione di Lippman-S hwinger si ottiene formalmente jE +i = (1 G+E V ) 1 jE i : Dalla soluzione per jE +i si ottiene immediatamente l'ampiezza di diusione appli ando la formula (13.6). L'approssimazione di ordine piu basso e ottenuta ponendo jE +i  jE i, da ui segue Z 0 m born d3 x ei(k k )
x V (x) fkk0  2 2~ ossia f born e proporzionale alla trasformata di Fourier del potenziale valutata nel momento trasferito q = k0 k. Problema 13.1-1. Determinare l'approssimazione di Born nel aso del potenziale di Yukawa V = Kr 1 expf rg. 441

Teoria dell'urto

Il al olo della trasformata di Fourier porta on al oli elementari a 2m K f born = 2 2 ~  + jk k0j2 : Si noti he nel limite  ! 0 il potenziale tende a quello di Coulomb; se poniamo nel ontempo K = Z1 Z2 e2 , otteniamo la sezione d'urto
d (2mZ1 Z2 e2 )2 (Z1 Z2 e2 )2  jp p0 j4 = 16E 2 sin 21  4 ; (13.9) d

he e la stessa formula di Rutherford he si ottiene attraverso un al olo di me

ani a lassi a. Problema 13.1-2. S rivere l'equazione di Lippman-S hwinger in ter-

mini della funzione d'onda nello spazio dei momenti. Problema 13.1-3. Determinare l'ampiezza di diusione per il potenziale di Yukawa al se ondo ordine nell'approssimazione di Born (utilizzare la formula di Feynman dell'App. B.7.2). La serie di Born per l'ampiezza di diusione e ottenuta dall'equazione di Lippman-S hwinger attraverso lo sviluppo X (1 G+E V ) 1 = (G+E V )n ; n0

he risulta onvergente se la norma dell'operatore G+E V e inferiore a uno. Il veri arsi di questa ondizione dipende sia da V he da E . Una ondizione di sempli e appli abilit e la seguente (vedi [RS79℄, Teor. XI.43): R a sia V sommabile (kV k1  d3 x jV (x)j < 1) e nella lasse di Rollni k,

ioe Z Z V (x)V (y) kV k2R  d3 x d3 y 2 > 0, e suÆ iente porre h(t) =  per ottenere Z h(b)

dt( ) d ex G(h 1 ( )) d h(a) Z 2 1 X ex an  n d =

f (x) =

1

0

Z

1 X n 2 1 2 x X = ex e nan  n d an  j1 x x 1 e pertanto, integrando su

essivamente per parti, si ottiene lo sviluppo ompleto; nel aso di intervallo in nito si utilizza il Teorema di Watson. Sia f (z ) analiti a regolare, ad e

ezione di un eventuale taglio on punto di diramazione in z = 0, in tutto il er hio jz j < a + Æ e valga lo sviluppo onvergente 1 X f (z ) = am tm=r 1 ; jz j < a

m=1

on r positivo. Si assuma inoltre he per x reale positivo e x > a valga la maggiorazione jf (x)j < Kebx

495

Ausili matemati i

on K e b positivi. Allora vale lo sviluppo asintoti o Z 1 1 X (B.2.3) F (z ) = f (x)e zx dx  am (m=r)z m=r : 0

1

Per la dimostrazione si veda [Cop35℄, x 9.52. Il aso piu interessante di appli azione del metodo di Lapla e e inve e quello in

ui h(t) raggiunge un massimo all'interno di (a : : : b) on h0 (t) = 0; h00 (t0 ) < 0 . In questo aso si pone h(t) = h(t0 ) + 21 h00 (t0 ) 2

relazione he deve essere invertita per ottenere t = ( ) =  + O( 2 ). L'integrale diventa Z 2 1 00 2 eh(t0 )x+ 2 h (t0 )x G( ( )) 0 ( ) dt f (x) = 1

dove

1 =

q

q

[h(a) h(t0 )℄= 12 h00 (t0 ); 2 = + [h(b) h(t0 )℄= 21 h00 (t0 ) :

Per x ! 1 la gaussiana exp( 21 h00 (t0 ) x  2 ) e on entrata intorno a zero e l'integrale si puo estendere a tutto l'asse reale ompiendo un errore piu pi

olo di qualunque potenza negativa di x. Posto jh00 (t0 )j   1 si trova os : Z +1 1 2 f (x)  e 2 x = G( ( )) 0 (t) dt eh(t0 )x 1 r

2 xh ( t ) 0 =e G(t0 ) 1+O x 1 : x P n Se si dispone dello sviluppo in serie per la funzione G( ( )) 0 ( ) = 1 0 an  , si potra derivare lo sviluppo ompleto r

(2n)! 2 X a2n n n =xn x 2 n! avendo appli ato la formula di integrazione gaussiana (B.7.1). Un esempio in

ui questo e fornito dalla funzione di Bessel: R s hema funziona in modo sempli e  I0 (x) =  ex os # d#. Si ha in questo aso h = os # e G  1. Il massimo di h e in # = 0,  = 1 e pertanto #

os # = 1 21  2 =)  = 2 sin 2   1  1 X 2 k d# 1  1 2 =) =p # = 2 sin = 2 d k 4 1  2 =4 0 r r     1 (2k)!( )k 1 1 2 X 2 x k x 2 1+ +::: : I0 (x) ' e x =e x 0 8k k! x 8x k

f (x)  exh(0)

496

Metodi asintoti i B.2.2. La formula di Stirling. Si vuole determinare lo sviluppo asintoti o

della funzione (B.2.4)

di Eulero (vedi il xB.2.7). Z 1 (x) = e ttx 1 dt; ( (n + 1) = n!) : 0

Con un o

hio alla soluzione, onsideriamo il rapporto  x Z 1 Z +1  (x) dt t t e = ex( e ) d = x x x t 0 1  avendo posto t = xe . Segue h( ) =  e =) h0 (0) = 0; h00 (0) = 1  e = 1 21  2   Z 1 x2 d (x) x d : e e 2 xx d La funzione  ( ) si puo invertire on il metodo di Burmann-Lagrange (vedi Probl. B.2-1); si puo tuttavia pro edere on un altro metodo di piu generale appli abilita. Dato he  =  + O( 2 ) in prima approssimazione otteniamo immediatamente r Z 1 x2 2 x x x x (x)  x e e 2 d = x e x p n n 2n. Per ottenere lo sviluppo ompleto si sviluppa

he equivale a n!  n e in serie exp( ) e si ottiene   Z +1 (x) 1 2 1 3 1 n ex x = d exp x x


x : : : : x 2! 3! n! 1 p Sia  = = x ,allora r   Z (x) x n 2 +1 d 12 2 3 p e exp ( 3!px


n!xn=2 1 : : : ) : e = xx x 1 2 Si sviluppano a questo punto tutti gli esponenziali e si ottiene: r Z 1 X 1 d 2 =2 Y  n+2 mn x (x)ex p e = ( n=2 ) =mn ! = 2 xx 2 n=1 mn =0 (n + 2)!x X P( n2 )mn P(n+2)mn ( )P mn Q1 = x m 3 mn !((n + 2)!) n m1 ;m2 ;:::



dove : : : indi a la media sulla distribuzione normale (vedi (B.7.2)), per ui segue r 1 x (x)ex X  x N 2 xx N =0

P m n;mm;:::=2N 1 n>0

2

n

P 2N + m

P

P

( 1) mn [2(N + mn )℄! P Q m : n (N + mn )! 1 n=1 mn ! (n + 2)! n

497

Ausili matemati i

Per ogni N ssato ontribuis ono i valori di m1 ; : : : ; mn ; ::: he ostituis ono una

partizione di 2N . Ad esempio le partizioni di 4 sono date da:

1 + 1 + 1 + 1 (14 ) ! m1 = 4 2 + 1 + 1 (12 ; 2) ! m1 = 2; m2 = 1 2+2 (22 ) ! m2 = 2 3+1 (1; 3) ! m 1 = m3 = 1 4 (4) ! m4 = 1 Questa e la notazione standard per le partizioni e ad essa viene asso iato un gra o, detto diagramma di Young, he rappresenta la partizione in modo gra o on una matri e di elle, ogni riga ontenente un numero pari ad un intero della de omposizione, ad esempio: 4     3   : 2 1 1 1 3 4 () 1 =)   1  All'ordine 1=x ontribuis ono le partizioni di N = 2  ! (12 ) ! m1 = 2 ) 5  24   ! (2) ! m2 = 1 ) 81 1 per un totale di . All'ordine 1=x2 (2N = 4) ontribuis ono: 12

   

m1 = 4

!

+12! = 385=1152 6!264!3!4

   

m1 = 2; m2 = 1

!

10! = 35=64 5!252!3!24!

   

m2 = 2

!

+8! = 35=384 24 4!4!2 2!

   

m1 = m 3 = 1

!

244!3!5!

   

m4 = 1

!

6! = 1=48 3!236!

1 . 288 Problema B.2-1. Si inverta la relazione p  = 2(e 1  )

per un totale di

498

+8!

= 7=48

Metodi asintoti i fa endo uso della formula di Burmann-Lagrange [WW69℄ 







1 d n 1  n : kn  n ; k n  n! d  n  =0 La serie he si ottiene puo essere immediatamente utilizzata per ottenere lo sviluppo di Stirling (ad esempio si ottiene agevolmente il termine su

essivo 139=51840x 3: per questo si suggeris e di utilizzare un programma di elaborazione simboli a; in Mathemati a 6 ad esempio e suÆ iente de nire

=

X

f[z_℄ := z/Sqrt[2*(Exp[z℄-1-z)℄; k[n_℄ := Limit[1/n!*D[f[z℄^n,{z,n-1}℄,z->0℄;

per ottenere rapidamente tutti i oeÆ ienti desiderati. I piu pigri possono poi evitare an he la formula di Lagrange ed usare direttamente InverseSeries.)

B.2.3. Prin ipio della fase stazionaria. Un'altro aso in ui e possibile sviluppare in serie asintoti he una funzione de nita attraverso una rappresentazione integrale e il seguente f (x) =

Z b

a

eixh(t)g(t) dt :

Sia h0 (t0 ) = 0 per t0 interno ad (a; b) e h00 (t0 ) 6= 0. Allora si pone h(t) = h(t0 ) + 21 h00 (t0 ) 2 =) t = ( )   Z 1 i 00 2 f (x)  exp ih(t0 )x + h (t0 ) g( ( )) 0 ( ) d 2 1 s 2 e i=4 (1 + O(x 1 )) : = eih(t0 )x g(t0 ) xh00 (t0 ) La giusti azione dell'estensione dell'intervallo di integrazione a tutto l'asse reale e qui piu sottile he nel aso di Lapla e, in quanto abbiamo a he fare on una funzione expfi 2 g he non tende a zero per  ! 1. Il punto e he il

ontributo fornito all'integrale dai valori di  molto grandi e tras urabile per via della \interferenza distruttiva" dei fattori di fase (vedi [Tor53℄). Come aso parti olare otteniamo Z

ossia

p 2 eit =2" g(t) dt  g(0) 2i" it2 =2" "0

pe

! Æ(t) : 2i" Problema B.2-2. La funzione di Bessel Jn (x)  e de nita dall'integrale Z  1 eix sin # ni# d# : (B.2.5) Jn (x) = 2  6

Wolfram Resear h [Wol92℄

499

Ausili matemati i

Determinare lo sviluppo asintoti o r 2

os (x n=2 =4) + O(x 3=2 ) : (B.2.6) Jn (x)  x Problema B.2-3. Determinare lo sviluppo asintoti o della funzione di Airy , Eq. (6.6), de nita dalla soluzione dell'equazione y00 (x) = x y(x) he tende a zero per x ! +1. Z  1 1 (x) = d exp ix + i 31  3 : 2 1 P n B.2.4. Trasformata di Borel. Se (x) = 1 0 an x e onvergente per jxj < , de niamo la trasformata di Borel 1 a X n n (x) = x ; n ! 0

on raggio di onvergenza in nito. Si trova allora Z 1 Z 1X 1 X an (xt)n e t dt = an xn = (x) : (xt)e t dt = n! 0 0 0 R1 t Dunque l'integrale 0 (xt) e dt oin ide on all'interno del er hio di

onvergenza, ma in generale permette di estendere analiti amente la funzione in una regione piu vasta (questa regione e determinata dalla regione onvessa individuata portando le tangenti al er hio in tutte le singolarita di , vedi [WW69℄). Puo a

adere he questo pro edimento permetta di risommare una serie divergente (asintoti a ). Si onsideri ad esempio X f (x)  n! ( x)n ( he diverge per ogni x 6= 0). La trasformata di Borel e in questo aso Z 1 Z 1 X e t dt (xt)e t dt = (x) = ( x)n = (1 + x) 1 =) 0 0 1 + xt (funzione analiti a on taglio sull'asse reale negativo). B.2.5. Sviluppo di Eulero-M Laurin. Per determinare lo sviluppo asintoti o di una serie si puo talvolta fare ri orso al seguente teorema (EuleroMa Laurin) Teorema B.2.1. Vale lo sviluppo asintoti o Z N N X X B2k f (x)dx + 21 [f (N ) + f (1)℄ + f (n) ' [f (2k 1) (N ) f (2k 1) (1)℄ (2 k )! 1 n=1 k1 dove Bn sono i numeri di Bernoulli de niti dalla funzione generatri e 1 B X x n n = x (B.2.7) ex 1 n ! 0 Per la dimostrazione si veda [WW69℄.

500

Metodi asintoti i Esempi a)

ln n! = (B.2.8)



n X k=1 Z n 1

ln k ln x dx + 21 ln n + 121 n

B2k n2k 1 2k(2k 1) equivalente allo sviluppo di Stirling. b) +

n X 1

1

1




1 360

n

3




1 +:::




1 +:::

  1 B  1 2k 1 n X dx 1 1 2k +2 +1 + n (2 k )! x 1 x 1 1   1 X
B2k k 1 ( ) n 2k 1 + = ln n + 21 1 + n 2 k 1

1 = k

Z n

La serie a se ondo membro e divergente, tuttavia per onsistenza il suo valP ore e dettato da = limn!1 ( n1 k1 ln n)  0:577216 ( ostante di EuleroMas heroni). P1 n Problema B.2-4. Cal olare l'andamento asintoti o di Z ( ) = 0 ne per ! 1 attraverso la formula di Eulero-M Laurin e onfrontarlo on il valore esatto. Problema

B.2-5. Cal olare l'andamento asintoti o di 1 X Z ( ) = n e n ; ( > 0) : 0

Teorema di Hardy-Littlewood.

1). Se allora

1

Z

0 Z L

0

Sia (x) una misura borelliana su [0 +

e txd(x)  At  per t ! 0

d(x) 

A L per L ! +1: (1 +  )

In parti olare, si ha an he he 1 X e tn an  A t  ; per t ! 0 impli a

0

N X 0

an 

A N  per N ( + 1)

501

! +1

Ausili matemati i

Per la dimostrazione si veda [Sim79℄. Ad esempio:  1    1 X d k d kX (1 e t ) e tn = e tn nk = dt dt 0 0

 N X n=1

nk







d k 1 t = k! t k dt k! N k+1 N k+1 = (k + 2) k + 1

1

1

P

Il teorema permette di stimare l'andamento asintoti o di N 0 an per N ! 1 P1 tn noto l'andamento asintoti o di 0 an e per t ! 0. Ad esempio se esiste P P1 "n lim N 0 an =N = han i allora questo oin ide on tlim !0f" 0 e an g. Un appli azione del metodo di sommazione di Borel. Nella formula (B.2.8) he da ln n! ome sviluppo asintoti o in 1=n ompare il termine nito 1 B2k 1 +


+ +::: : (B.2.9) log C  12 360 2k(2k 1) La serie e divergente, ma puo essere sommata on il pro edimento di Borel. La somma dei primi n termini da i seguenti risultati parziali (vedi Fig. B-1): 0.08333, 0.08055, 0.08135, 0.08075, 0.08159, 0.07968, 0.08609, 0.05654, 0.23618, -1.1563, 12.247, -144.6, 2048.5, : : : e si puo dunque ongetturare he log C  0:081 sia una buona approssimazione, in quanto le somme parziali os illano intorno a questo valore prima di omin iare a divergere. Il metodo di Borel onsiste nel risommare la funzione 1 X B2n x2(n 1) f (x)  2 n (2 n 1) 1

attraverso la trasformata di Borel 1 1 B X X B2n x2(n 1) 2n 2(n (x) = = x 2 n (2 n 1) [2( n 1)℄! (2 n )! 1 1   x x 1 1+ = 2 x x e 1 2 Si ha per io Z 1 f (x) = e t (xt) dt e in ne

f (1) =

1)

0

Z

0

1



1 t e 2 t t e 1 t



t dt = 1 1+ 2

(L'integrale si trova su [GR65℄ 8.341.1).

502

1 log(2 )  :0810615::: 2

Metodi asintoti i 2 0.086 1.5

1

0.084

0.5 log(C)

log(C)

0.082 0

0.08 -0.5

0.078

-1

-1.5 0.076 -2

2

4

6

8

10

2

4

n

6

8

10

n

Figura B-1. Le prime somme parziali alla Borel per la

serie divergente (B.2.9) .

P n B.2.6. Sviluppi asintoti i dallo sviluppo di Taylor. Sia f (x) = 1 0 an x ,

on raggio di onvergenza in nito. Si tratta di ottenere lo sviluppo asintoti o f (x)  (x)(1 + 1 =x + 2 =x2 + : : : ) per x ! +1. Un metodo onsiste nel trasformare la serie in una rappresentazione integrale; io e fattibile ad esempio se si dispone di una rappresentazione del tipo Z zn an = (z ) dz n! C in modo he Z 1Z X (xz )n f (x) = (z ) dz = (z )exz dz n! 0 C C a ui poi e possibile appli are il metodo del punto a sella. Problema B.2-6. Determinare lo sviluppo asintoti o per la 1 e de nis e per io una funzione analiti a. Piu in generale, data una su

essione di numeri reali positivi

on limite +1 0 < 1  2  3 


 n 


! +1 :

si de nis e la \funzione-zeta" generalizzata 1 X  (s) = n s ; (Re s > ) : 1

B.2.3. Vale l'identita 1  (s) = (s) dove la funzione (t) e de nita da Teorema

(t) =

Z

1

0

1 X n=1

(t) ts 1 dt;

e n t :

In parti olare per la funzione di Riemann si ha Z 1 s 1 1 t  (s) = dt : (s) 0 et 1 Questa rappresentazione integrale permette di estendere  (s) ad una funzione analiti a in tutto il piano omplesso ad e

ezione del punto s = 1 dove si ha un polo sempli e. Infatti, s elto un reale positivo a, si ha : Z a s 1 Z +1 s 1 1 1 t t  (s) = dt + dt : t (s) 0 e 1 (s) a et 1 Il se ondo integrale e sempre onvergente, dunque de nis e una funzione analiti a regolare. Si ha peraltro per la parte singolare, sviluppando in serie e integrando

506

Metodi asintoti i termine a termine, 1 (s)

Z a

0

Z

a 1 ts 1 dt = ts et 1 (s) 0 Z a 1 ts = (s) 0

2





t

dt et 1 1 B X n n 2 t dt n ! 0 Z a 1 B 1 t X 2n 2n s 2 = + t ) dt t (1 (s) 0 2 1 (2n)! " # 1 B s+2n 1 1 1 as 1 1 as X 2n a = + + (s) (s) s 1 2 s 1 (2n)! s + 2n 1

E immediato on ludere he l'uni o polo he non viene an ellato dallo zero di 1= (s) e pre isamente quello in s = 1 on residuo uguale a uno. Inoltre si ha 1 (s + m)( )m X Bm0 s+m0 1  ( m) = s!limm 0 !(s + m0 1) a (m!) 1 m 0 8 >
:

Una relazione notevole e quella, dovuta a Riemann, he lega  (s) a  (1 s):

 s=2 (s=2) (s) = 

1 s 2





1 s  (1 s) 2

ossia la funzione  s=2 (s=2) (s) e simmetri a intorno al punto 1=2. La dimostrazione della relazione di simmetria e interessante in quanto fa uso di una identita (Ja obi) he ha un signi ato intuitivo (metodo della ri essioni { vedi [Som64℄). Il metodo di Hawking. La funzione  di Riemann (e la sua generalizzazione al aso di una su

essione 1 ; 2 ; : : : ; n ; : : : n ! +1), e alla base di un pro edimento di sommazione di prodotti divergenti [RS71, Haw77℄. Il problema

onsiste nell'estrarre un risultato nito da un prodotto del tipo 1 Y X = n 1

(divergente per he n 9 1) he puo ad esempio rappresentare il determinante di una matri e ad in nite dimensioni on autovalori n . Si introdu e 1 X  (s) = n s 1

507

Ausili matemati i

e si onsidera la quantita

 0 (s) =

1 X 1

(ln n )n s :

Se  (s) e estendibile analiti amente a s = 0, si pone per onvenzione 1 1 X Y 0 ln n =  0 (0) =) n = e  (0) : 1

1

Sia ad esempio da al olare

X= Allora  (s) = Si trova

P1

1

1 Y 1

(n + ) :

(n + ) s   (s;  + 1) (funzione di Riemann generalizzata).

d (s;  + 1) js=0 = ln ( + 1) Æs

1 ln 2 2

da ui 1 Y  (n + ) = exp f  0 (0)g = exp 21 ln 2 ln ( + 1) = 1

p

2 : ( + 1)

Per interpretare il risultato al oliamo il rapporto 1 h   1 n+ i Y Y 1

 1+ e =n = =e ( + 1) n n=1 n=1 n

dove si e fatto uso di una rappresentazione della quale prodotto in nito ( e la

ostante di Eulero-Mas heroni). In de nitiva, il pro edimento della  di Riemann ha inserito al posto giusto i fattori he rendono onvergente il prodotto in nito Q altrimenti divergente (1 + =n). Altro esempio, n = n2 : 1 Y n2 = exp f  0 (0)g 1

 (s) = In generale : 1 Y kn 1

1 X 1

n 2s = R (2s)

 0 (s) = 2R0 (2s)

! k (s) =

X

!  0 (0) = 2R0 (0)

n ks = 1 (ks) =)

Sia da al olare:

D=

1 Y n=1



508

n n



1 Y 1

kn =

1 Y 1

n

!k

:

Sistemi di oordinate ortogonali dove n =n  1 + O(n ha

1 ")

in modo he il prodotto sia onvergente. Allora si

1 dt (e n t e nt ) : t 0 1 1 Lo stesso risultato si ottiene dalla funzione  : X X x (s) = n s ;  (s) = n s Y  ln ( n ) = 0 (0) 0 (0); n Z 1 X  X 1  (s)  (s) = ts 1 e n t e n t dt; (s) 0 Z 0 (s) Z 1 s 1 X  t X  t 1 d n n )dt + ::: t ( e e 0 (s) 0 (s) = (s)2 0 (s) ds Ma (s)  s 1 per s ! 0, dunque Z 1 dt X nt X n t 0 (0) 0 (0) = ( e e ): 0 t AÆn he quest'ultima espressione dia un risultato nito e ne essario he per t ! 0 si abbia 1 1 X X e n t e nt  > t ! 0 >> 0 : N X

ln(n =n ) =

1

N Z X

1

Sia ad esempio n = n2 ; n = n2  + : 1 X 2 1 e (n +)t = e t ( p 12 + : : : ) : 2 t 1 e quindi   1 X p 1 t + O(t) : (e n t e nt ) = (1 e t ) p 12 + : : : = 2 2 t 1 La ontinuazione analiti a a s = 0 e quindi al olabile prendendo il rapporto tra il prodotto divergente e un altro prodotto noto preso ome riferimento (in questo aso orrisponde alla s elta  = 0). Te ni he di questo genere sono appli ate nella teoria dell'integrazione in nito-dimensionale, dove e ne essario dare un signi ato a determinanti di operatori in in nite dimensioni.

B.3. Sistemi di oordinate ortogonali

Un teorema di Staekel aerma he l'equazione di Lapla e 4 = 0 e separabile, e quindi ammette una base di soluzioni fattorizzate, solo in sistemi di oordinate le

ui super i di oordinate ostanti siano famiglie di quadri he onfo ali (o oni he

onfo ali nel aso piano). Questo fatto limita i possibili sistemi di oordinate interessanti a una lista nita (si veda [MS61℄ per un'ampia lassi azione di sistemi di oordinate ortogonali nel piano). Daremo qui di seguito la de nizione di un erto numero di sistemi di oordinate urvilinei on la relativa matri e metri a e la forma he assume l'operatore di Lapla e.

509

Ausili matemati i

i) Coordinate sferi he x = r sin # os ' y = r sin # sin ' z = r os # (r  0; 0  #  ; 0  ' < 2): ds2 = dr2 + r2 d#2 + sin2 # d'2 2 1   1 2 4 = 1r r 2 r + r2 sin # # sin # # + r2 sin2 # '2 : ii) Coordinate ir olari- ilindri he x = r os ' y = r sin ' z=z (r  0; 0  ' < 2): ds2 = dr2 + r2 d'2 + dz 2   2 1 2 r + 2 2+ 2: 4 = 1r r r r ' z iii) Coordinate paraboli he- ilindri he x = 12 (2  2 ) y =  z=z (  0; 1 <  < +1) : ds2 = (2 +  2 )[(d)2 + (d )2 ℄ + (dz )2 :  2 2 2  4 = (2 +  2 ) 1 2 +  2 + z 2 : iv) Coordinate ellitti o- ilindri he x = a osh  os ' y = a osh  sin ' z=z (  0; 0  ' < 2): ds2 = a2 ( osh2  os2 ')[(d)2 + (d')2 ℄ + (dz )2 :  2  2  2 2 2 2 1 4 = a ( osh  os ') 2 + '2 + z 2 :

510

Integrazione formale delle equazioni di Hamilton v) Coordinate sferoidali (prolate ) x = a sinh  sin # os ' y = a sinh  sin # sin ' z = a osh  os # (  0; 0  # < ; 0  ' < 2): ds2 = a2 (sinh2  + sin2 #)[(d)2 + (d#)2 ℄ + +a2 sinh2  sin2 #(d')2 :  2 2 2 2 1 4 = a (sinh  + sin #) 2 + oth   +  2 2  2 (sinh  sin #) 1  : + a +

ot # #2 # '2 vi) Coordinate sferoidali (oblate ) x = a osh  sin # os ' y = a osh  sin # sin ' z = a sinh  os # (  0; 0  # < ; 0  ' < 2): ds2 = a2 ( osh2  sin2 #)[(d)2 + (d#)2 ℄ + +a2 osh2  sin2 #(d')2 :   2  2   2 2 2 1 4 = a ( osh  sin #) 2 + tanh   + #2 + ot # # 2 + a 2 ( osh  sin #) 1 2 : ' vii) Coordinate paraboli he. x =  os  y =  sin  z = 21 (2  2 ); (  0;   0; 0   < 2):

4

ds2 = (2 +  2 )[(d)2 + (d )2 ℄ + 2  2 (d)2 :  2   1 2 1 1 2 = (2 +  2 ) 1 + + + : + 2    2   2  2 2

B.4. Integrazione formale delle equazioni di Hamilton Dalle equazioni di Hamilton segue he ogni funzione delle variabili anoni he f (q; p) soddisfa la relazione df = ff; H g dt

511

Ausili matemati i

Determiniamo ora una soluzione formale di questa equazione, he pur disponendo di s arso valore prati o mette in lu e al une proprieta generali della dinami a Hamiltoniana. Introdu iamo la notazione XH (f )  fH; f g Il simbolo XH rappresenta un operatore dierenziale lineare per P il quale ha senso

onsiderare le potenze XHn e in generale una serie di potenze n n XHn . L'equazione del moto e per io risolta da f (q(t); p(t)) = expf tXH gf (q(0); p(0)) Una dierenza sostanziale tra la funzione esponenziale nel ampo reale o omplesso e laPstessa funzione appli ata a operatori lineari e ostituita dal fatto he la serie n ( t)n XHn non risulta ne essariamente onvergente per ogni t.

B.4-1. Sia H = q2 p. Dimostrare he per ogni valore iniziale q(0); p(0) esiste un raggio di onvergenza nito per la serie esponenziale expf tXH g. Problema B.4-2. Dis utere il moto di un os illatore on frequenza variabile !(t), l'Hamiltoniana essendo H (t) = p2 =2m + m!(t)2q2 =2, i) nel aso adiabati o (jd!=dtj  !2 ); ii) nel aso !(t)2 = !02 + f (t) on jf (t)j  !02 . Problema B.4-3. Estendere la soluzione formale expf tXH g al aso di una Hamiltoniana dipendente dal tempo. Per risolvere l'equazione df=dt = ff; H (t)g e ne essario uno sviluppo formale in un parametro ausiliario  he porremo uguale a uno alla ne del al olo. Sostituiamo ioe H (t) ! H (t) e sviluppiamo la soluzione in potenze di . Si ottiene: X f (q; p) = n fn (q; p) Problema

X

n

n nX o n _  fn (t) =  n fn ; H (t)

il he porta alle relazioni di ri orrenza

fn (t) =

Z t

0

ffn 1 ( ); H ( )gd =

La soluzione e rappresentata da una serie

f ( ) = f (0)

Z t

0

XH ( ) (f (0))d +

Z tZ 

0

0

Z t

0

XH ( ) (fn 1 ( ))d

dd 0 XH ( ) XH ( )0 (f (0)) +




he e ri ondu ibile ad una esponenziale a patto di riordinare simboli amente tutti gli operatori XH (t) in modo he i rispettivi argomenti siano de res enti da sinistra a destra. Poniamo (
XH (t1 ) XH (t2 ) t1 > t2 T XH (t1 ) XH (t2 ) = XH (t2 ) XH (t1 ) t1 < t2 e in generale
T XH (t1 ) XH (t2 )


XH (tn ) = XH (ti1 ) XH (ti2 )


XH (tin )

512

La funzione Æ(x) di Dira dove gli indi i (i1 ;


; in ) individuano quella permutazione di (1;


; n) tale he ti1 > ti2 >


> tin . La soluzione si puo allora esprimere sinteti amente nel modo seguente (B.4.1)



f (t) = T exp



Z t

0

XH ( ) d



f (0)

La formula pre edente si appli a in generale alla soluzione di problemi lineari del tipo

dx(t) = H (t)x(t) dt in parti olare si in ontra questo tipo di ostrutto nella soluzione di problemi di me

ani a quantisti a in ampo esterno dipendente dal tempo (esponenziali T-ordinati , vedi x10.1.4).

B.5. La funzione Æ(x) di Dira La funzione Æ(x) e introdotta da Dira ome analogo ontinuo della Æij di Krone ker. Formalmente di ha (

Æ(x) =

0 per x 6= 0 +1 per x = 0

R in modo tale he " " Æ(x) dx = 1. Una de nizione piu pre isa si da in termini di funzionali lineari. Dato uno spazio di funzioni F sui reali, he assumiano in nitamente dierenziabili e a des res ita rapida all'in nito, de niamo il funzionale lineare Æ(f ) = f (0) . Il funzionale e formalmente identi abile on

Æ(f ) =

Z

dx Æ(x) f (x) ;

on una disinvolta appli azione del teorema della media. La teoria delle distribuzioni insegna a dare un signi ato matemati o pre iso a queste espressioni formali. Ci limitiamo qui a dare un elen o di proprieta della Æ e delle distribuzioni ad essa ollegate, rimandando per una trattazione dettagliata ai testi di matemati a (si vedano [Lig64, BRS93℄ o l'appendi e A su [Mes62℄).

513

Ausili matemati i

a) Rappresentazioni della Æ(x). 1 X

b) Derivate della Æ(x)

Æ(x) = lim L!1

Z L

dk ikx e 2 L  1 1 X

einx 2  n= 1 n= 1   1 x2 2 exp Æ(x) = lim (2  ) !0 2 1 " Æ(x) = "lim  !0 x2 + "2 d(x) x Æ(x) = ; (x) = dx j xj ( d(x) 1 x>0 Æ(x) = ; (x) = dx 0 x 0 dia un valore negativo orrispondente allo stato fondamentale. Si approssimino le formule ottenute nel aso in ui x0 >> a. La probabilita ri hiesta dipende dal tempo t > 0 a ui si eettua la misura dell'energia? Problema 9. Si onsideri una parti ella di massa m (in una dimensione) soggetta ad un potenziale

V (x) = 1 Æ(x x0 ) 2 Æ(x + x0 ) dove 1 ; 2 ; x0 sono ostanti positive assegnate. Determinare gli stati legati della parti ella, in parti olare valutare la dierenza tra i primi due livelli energeti i al limite x0 ! 1 nel aso 1 6= 2 e nel aso 1 = 2 . Problema 10. Si onsideri un atomo di idrogeno in due dimensioni immerso in un ampo magneti o trasversale B . Adottando oordinate polari nel piano (r; ') on momenti oniugati pr ; p' , determinare i livelli energeti i on il metodo di Bohr-Sommerfeld nel limite di ampo debole (si tras uri il termine quadrati o in B ). Problema 11. Si onsideri un os illatore armoni o inizialmente nel suo stato fondamentale, des ritto in opportune unita di misura dall'Hamiltoniano H0 = (p2 + q2)=2. All'istante t = 0 l'os illatore e sottoposto ad una perturbazione esterna he orrisponde ad una Hamiltoniana di interazione HI = q sin !t. Si determini qual'e la probabilita P (E; t) di misurare un'energia E = n +1=2 ad un qualunque istante t > 0. Al tempo t = T = 2=! la perturbazione viene spenta: la probabilita P(E,t) dipende dal tempo per t > T ? Problema 12. Due os illatori armoni i monodimensionali, di massa m e frequenza rispettivamente !1 e !2 , sono a

oppiati tramite il potenziale V = gx1 x2 . Cal olare lo spettro del sistema.

13. Una parti ella di spin ~=2 e momento magneti o ~ = 21 g~~ si trova immersa in un ampo magneti o B~ di direzione ostante os illante nel tempo se ondo la legge B~ = (0; 0; B sin !t). Se lo stato iniziale della parti ella e autostato della omponente x dello spin, al olare la distribuzione di probabilita per tutte le omponenti dello spin in funzione del tempo. Problema

526

Problemi 14. Una parti ella e des ritta dalla Hamiltoniana H = jpj + 21 K jqj2 dove ; K sono ostanti positive. Dis utere la dinami a del sistema se ondo la me

ani a lassi a. Valutare lo spettro del sistema appli ando una p

onveniente approssimazione. (L'operatore jpj si intende de nito dalla funzione p
p). Problema

Problema 15. Valutare la orrezione in teoria delle perturbazioni all'energia dello stato fondamentale dell'atomo di idrogeno dovuta ad una perturbazione del tipo V= 2 r

on > 0 limitandosi al primo ordine in teoria delle perturbazioni. Problema 16. Cal olare lo spettro di energia di un atomo di idrogeno perturbato ome nel problema pre edente senza utilizzare la teoria delle perturbazioni. Problema 17. L'Hamiltoniana di un sistema quantome

ani o a un grado di liberta e data da H = 21m p2 + m2 !2 q2 + q4 dove q; p sono gli operatori anoni i, m; !;  sono ostanti reali positive. Dimostrare, attraverso onsiderazioni dimensionali, he ogni livello dis reto di energia e rappresentabile on l'espressione  ~  En = ~!n m2 !3 dove n e un'opportuna funzione analiti a. Assumendo nota la funzione n ,

al olare i valori di aspettazione hnj q2 jni ; hnj p2 jni ; hnj q4 jni ; essendo jni l'autostato dell'energia appartenente a En (appli are il teorema di Feynman-Helmann). Determinare n (x) al se ondo ordine in teoria delle perturbazioni e appli are il risultato al al olo dei valori d'aspettazione ottenuti in pre edenza. Problema 18. Dis utere il problema agli autovalori per una parti ella di massa m in un grado di liberta soggetta al potenziale

(

V=

 Æ(x); +1;

jxj < a; jxj  a

dove Æ(x) e la distribuzione di Dira , e a;  sono ostanti positive. Dis utere inoltre il limite  ! 1. Problema 19. S rivere la forma pi u generale dello stato fondamentale di un atomo di boro (numero atomi o 5) nell'approssimazione di elettroni indipendenti (si tras uri ioe la repulsione oulombiana degli elettroni).

527

Problemi 20. Un sistema di due parti elle a spin zero si trova nello stato    2 2 jx j 2 jx2 j + x1
x2 (x1 ; x2 ) = N exp 2 1 Si al oli il valore di aspettazione del momento lineare e delle omponenti del momento angolare delle due parti elle. Problema 21. Cal olare la orrezione ai primi due livelli di energia di un atomo di idrogeno dovuti ad un momento di dipolo elettri o " del nu leo. Il

al olo sia eettuato al primo ordine in teoria delle perturbazioni. N.B.: Le funzioni d'onda idrogenoidi normalizzate nlm he interessano sono le seguenti (r espresso in unita atomi he): Problema

100 (r) = 2e

p1 e

r

Y00

r=2 (1 1 r) Y 0 0 2 2 r=2 Y m 1 21m (r) = 2p6 re 1

200 (r)

=

22. Sia H0 = p2 =2m + m!2q2 =2 l'Hamiltoniana di un os illatore armoni o ad un grado p di liberta. Sia V = ay2 a2 una perturbazione, essendo a = (p im!q)= 2m~! l'operatore di anni hilazione. Trovare la dipendenza funzionale di un generi o livello di energia dell'Hamiltoniano H = H0 + V; e

ioe En = (m; ~; !; ); on sempli i onsiderazioni dimensionali. Cal olare la

orrezione al se ondo ordine in teoria delle perturbazioni per l'autovalore e per l'autovettore dello stato fondamentale. Problema 23. Dis utere la dinami a quantisti a di un os illatore armoni o avente massa m e frequenza ! soggetto ad una perturbazione he ne modi a la frequenza in modo tale he si ha 8 > t0

: ! T  t: Se l'os illatore si trova nello stato fondamentale per t < 0, quale sara la probabilita di misurare un'energia (n + 21 )~! ad un tempo su

essivo a T ? Problema 24. Un elettrone  e on nato in una regione ilindri a di lunghezza L e raggio di base R. Il ampo elettri o all'interno del ilindro e nullo; e presente inve e un ampo magneti o di ui si onos e il potenziale   x y ; ;0 A= x2 + y2 x2 + y2 Si determini l'Hamiltoniana dell'elettrone e si dis uta la natura dello spettro. Problema 25. Si dis utano i limiti di appli abilit a della formula   H H [qp; H ℄ = i~ q p q p Problema

528

Problemi suggerita dall'analogia on le parentesi di Poisson. Appli ando la formula al aso H = p2 + V (q) dedurne il teorema del viriale (si sfrutti il fatto he il ommutatore ha elementi di matri e nulli sulla diagonale). Problema 26. Si onsideri un os illatore armoni o isotropo in due gradi di liberta; l'Hamiltoniano e dato in unita opportune da


H = 21 p21 + p22 + x21 + x22 : La generi a trasformazione ortogonale 0 01 0 1 p1 p1 B p0 C B p2 C B 2 C = R B C ; RRt = 1 x01 A x1 A x02 x2 las ia invariante l'Hamiltoniano. Si hiede: R si puo onsiderare una simmetria di H ? (Suggerimento: si ri hieda he R las i invariati an he i ommutatori

anoni i). Problema 27. Si onsideri il problema di una parti ella in un grado di liberta he presenta uno spettro di energia puramente dis reta En . Si assuma valida l'approssimazione semi lassi a e si er hi una espressione approssimata per il potenziale V (x). (Suggerimento: si trovi una interpolazione alla funzione E (J ) = En ; J = n~ e si er hi di ri ostruire V (x) dalla onos enza del periodo di os illazione T (E ) = 2=!(E ); !(E ) = dE=dJ . Se o

orre aiuto, onsultare [LL65℄). Problema 28. Risolvere l'equazione di S hroedinger per il seguente Hamiltoniano (espresso in oordinate polari nel piano) ~2 4 k + 2 : H= 2m r 2m r2 sin2 ' Problema 29. Una parti ella libera di massa m si trova al tempo t = 0 nello stato des ritto dalla funzione d'onda sin kjxj : (x) = N kjxj Determinare il valor medio dell'energia, del momento lineare e del momento angolare. Determinare la funzione d'onda a un tempo qualunque t > 0. Problema 30. Determinare la orrezione ai livelli di energia dell'atomo di idrogeno dovuti al fatto he il protone ha un raggio nito. (Appli are la teoria delle perturbazioni stazionarie al potenziale oulombiano modi ato a orte distanze nell'ipotesi he la ari a sia distribuita on densita ostante in una sfera di raggio r0 molto minore del raggio di Bohr). Problema 31. Qual' e la probabilita di misurare un valore ~=2 per la omponente dello spin dell'elettrone in direzione n se lo stato e un autostato della

omponente dello spin in direzione n0 ? In generale, se il momento angolare totale e (l + 1)~2 , qual'e la probabilita di misurare il valore massimo ~l per la

529

Problemi

omponente del momento angolare in direzione n se lo stato e un autostato della omponente del momento angolare in direzione n0 orrispondente allo stesso valore? Problema 32. L'Hamiltoniano  2 3x2 a2 d + 2 22 H = 21 dx (x + a ) 2 2 1 ammette l'autofunzione 0 = N (x + a ) appartenente all'autovalore zero. Esistono stati a energia negativa? P1 Problema 33. Sia H0 = n=0 En Pn la de omposizione spettrale dell'Hamiltoniano H0 (spettro puramente dis reto). Si onsideri la perturbazione H = H0 + " j i h j , essendo j i un qualunque vettore di norma uno. Dis utere lo spettro di H in generale e ri avare lo sviluppo perturbativo degli autovalori. Dimostrazione. La perturbazione ostituita da un operatore di rango uno, quale e il proiettore su j i, e il aso piu sempli e possibile di perturbazione. Appli ando all'Hamiltoniano la de nizione di determinante estesa al aso di operatori in nito-dimensionali, lo spettro e individuato dalle radi i dell'equazione 0 = det (H0 E 1 + " j i h j)
= det (H0 E 1) det 1 + " j i h j (H0 E 1) 1
= det (H0 E 1) 1 + " h j (H0 E 1) 1 j i X j hnj  i j2 =1+" : n En E Veri are he per " pi

olo si ottiene lo stesso risultato della teoria delle perturbazioni.  Problema 34. Studiare il problema agli autovalori per l'operatore
K = 12 p4 + q4 essendo p e q operatori anoni i e si sono adottate unita in ui ~ = 1. Adottare un'approssimazione he onsiste nel restringere l'operatore al sottospazio generato dai primi N autovettori fjni jn = 0; 1; : : : ; N 1g dell'os illatore armoni o p2 + q2 . Spiegare per quale motivo il problema si puo risolvere separatamente nei sottospazi generati da S = fj4k +  i jk = 0; 1; : : : ; [N=4℄g, per  = 0; 1; 2; 3 : Problema 35. Dal prin ipio di Heisenberg segue he una parti ella on nata in una regione di volume limitato non puo avere energia ineti a media nulla. Spiegare il per he e valutare la pressione media he la parti ella eser ita sulle pareti an he nel suo stato di energia piu basso (temperatura zero!). Problema 36. A e B sono per ipotesi due osservabili dis rete e non ompatibili di un erto sistema si o S . Si supponga inoltre he S possa essere preparato, mediante gli opportuni esperimenti di prima spe ie, in uno stato  nel quale ne A ne B posseggono un valore de nito. Misurando A si ottengono i valori a1 e a2 , on frequenza relativa P rA (aj j ) = pj , j = 1; 2, mentre misurando

530

Problemi B si ottengono i valori b1 e b2 , on frequenza relativa P rB (aj j ) = qj , j = 1; 2. Assumendo he almeno al une delle misurazioni di A e B siano di prima spe ie, possiamo selezionare opportunamente i vari risultati sperimentali, in modo da ottenere delle preparazioni di S negli autostati j di A orrispondenti a aj da una parte, e negli autostati j0 di B orrispondenti a bj dall'altra. In ne si osserva

he B non possiede valori de niti quando S si trova in un autostato di A, per

ui A e B non sono ompatibili. Ci poniamo ora il problema di rappresentare matemati amente la relazione esistente tra  e j e quella esistente tra  e j0 . La MQ da una risposta univo a a questo problema. Quale? Sarebbe univo a la risposta se A e B fossero ompatibili? Problema 37. Utilizzando la formula B.1.12, la formula di Baker Hausdor e la \rappresentazione di interazione" (x10.1.4) dimostrare la seguente identita    G(x; y; t) hxj exp t 21 p2 + V (q) jyi = Z 2   e (x y) =2t 0 hx0 j T e t R01 dV (y+(x y) +(1  )q it p) j0i : = dx (2t)1=2 Si veda [Ono78℄. La formula permette di ri avare lo sviluppo in serie di potenze in t della funzione funzione di Green G, una volta fattorizzato il ontributo \libero" G0 rappresentato dalla gaussiana. R Problema 38. Ri avare una relazione di ri orrenza per integrali della forma dx n k f (x) he generalizzi il risultato della (5.45) (a pag. 100) al aso di due autofunzioni distinte n ; k . Si appli a il metodo del x5.2.6 alla funzione nk = n (x) k (x) , on la dierenza he e ne essario derivare quattro volte per ottenere un'equazione dierenziale autonoma. Si ottiene ~2 hf (iv) i = hf 0V 0i + 2hf 00(V + 1 (En + Ek ))i m!nk2 hf i ; 2 4m dove !nk e la frequenza di Bohr relativa ai due livelli (En Ek )=~ .

531

Bibliogra a [AB59℄ Y. Aharonov and D. Bohm. Phys. Rev. D, 115:485, 1959. [ADR82℄ A. Aspe t, J. Dalibard, and G. Roger. Experimental Test of Bell's Inequalities Using Time-varying Analyzers. Phys. Rev. Lett., 49:1804{1807, 1982. [AM79℄ R. Abraham and J. Marsden. Foundations of Me hani s. Benjamin, New York, 1979. [Aok87℄ H. Aoki. Quantized Hall Ee t. Rep. Progr. Phys., 50:655{730, 1987. [AR65℄ V. De Alfaro and T. Regge. Potential S attering. North-Holland, Amsterdam, 1965. [Arn78℄ V. Arnol0 d. Metodi matemati i della me

ani a lassi a. Editori Riuniti, Roma, 1978. [AS65℄ M. Abramowitz and I. A. Stegun. Handbook of Mathemati al Fun tions. Dover, New York, 1965. [Bar64℄ V. Bargmann. Note on Wigner's Theorem on Symmetry Operations. J. Math. Phys., 5(7):862{868, 1964. [Bat61℄ D. R. Bates. Quantum Theory. A ademi Press, New York, 1961. [BC72℄ C. J. Bradley and A. P. Cra knell. The Mathemati al Theory of Symmetry in Solids. Clarendon Press, Oxford, 1972. [BD64℄ J. D. Bjorken and S. D. Drell. Relativisti Quantum Me hani s. M GrawHill, New York, 1964. [Ber84℄ M. V. Berry. Quantal Phase Fa tors a

ompanying Adiabati Changes. Pro . Roy. So . (London), A392:45{57, 1984. [BGM81℄ G. A. Baker and P. Graves-Morris. Pade Approximants, volume 13 of En y lopedia of Mathemati s and Its Appli ations. Addison-Wesley, Reading, Mass., 1981. [BHJ25℄ M. Born, W. Heisenberg, and P. Jordan. Zeits. f. Physik, 33:879, 1925. [BI66℄ M. Bander and C. Itzykson. Group Theory and the Hydrogen Atom. Rev. Modern Phys., 38(2):330{345, 1966. [BO27℄ M. Born and J. R. Oppenheimer. Ann. d. Physik, 84:457, 1927. [Bor60℄ M. Born. The Me hani s of the Atom. F. Ungar Pub. Co., New York, 1960. [Bor62℄ M. Born. Atomi Physi s. Bla kie and Son Ltd., London, vii edition, 1962. [Bri60℄ L. Brillouin. Wave Propagation and Group Velo ity. A ademi Press, New York, 1960. [BRS93℄ C. Bernardini, O. Ragnis o, and P. M. Santini. Metodi matemati i della si a. La Nuova Italia S ienti a, Roma, 1993. [BS57℄ H. A. Bethe and E. E. Salpeter. Quantum Me hani s of One and TwoEle tron Atoms. Springer-Verlag, Berlin, 1957. [BW69℄ C. M. Bender and T. T. Wu. Anharmoni Os illator. Phys. Rev., 184(5):1231{1260, 1969. 533

Bibliogra a [CCP84℄ P. Caldirola, R. Cirelli, and G. M. Prosperi. Introduzione alla si a teori a. UTET, Milano, 1984. [CD88℄ M. Ciafaloni and C. Destri. Ee tive Potential and Asymmetri Instantons. Il Nuovo Cimento, 99A(4):449{464, 1988. [Col78℄ S. Coleman. The Whys of Subnu lear Physi s. hapter The uses of instantons. A ademi Press, 1978. [Cop35℄ E. T. Copson. An Introdu tion to the Theory of Fun tions of a Complex Variable. Clarendon Press, Oxford, 1935. [CP88℄ T. Chakraborty and P. Pietilainen. The Fra tional Quantum Hall Ee t. Springer-Verlag, Berlin, 1988. [CS60℄ H. C. Corben and P. Stehle. Classi al Me hani s. J. Wiley, New York, 2nd edition, 1960. [CS64℄ E. U. Condon and G. H. Shortley. The Theory of Atomi Spe tra. Cambridge University Press, Cambridge, 1964. [D'E71℄ B. D'Espagnat. Con eptual Foundations of Quantum Me hani s. Benjamin, Menlo Park, Ca., 1971. [DeW57℄ B. S. DeWitt. Dynami al Theory in Curved Spa es, I. Rev. Modern Phys., 29:377, 1957. [Din73℄ R. B. Dingle. Asymptoti Expansions. A ademi Press, New York, 1973. [Dir25℄ P. A. M. Dira . The fundamental Equations of Quantum Me hani s. Pro . Roy. So . (London), A(109):642{653, 1925. [Dir59℄ P. A. M. Dira . The Prin iples of Quantum Me hani s. Clarendon Press, Oxford, 1959. traduzione italiana ediz. Boringhieri, Torino. [DMO94℄ C. Destri, P. Maraner, and E. Onofri. On the De nition of Quantum free Parti le on Curved Manifolds. Il Nuovo Cimento, 107A(2):237{241, 1994. [Edd24℄ A. S. Eddington. The Mathemati al Theory of Relativity. Cambridge University Press, 2nd edition, 1924. [Ein88℄ A. Einstein. Opere S elte. Boringhieri, Torino, 1988. a ura di E. Bellone. [Erd55℄ A. Erdelyi, editor. Higher Tras endental Fun tions, volume I-III (Bateman Manus ript Proje t). M Graw-Hill, New York, 1955. [Erd56℄ A. Erdelyi. Asymptoti Expansions. Dover Publi ations, New York, 1956. [Evg61℄ M. A. Evgrafov. Asymptoti Estimates and Entire Fun tions, volume IV of Russian Tra ts on Advan ed Mathemati s and Physi s. Gordon and Brea h, 1961. [Fer94℄ R. Ferrari. The Quantum Hall Ee t. In M. Bonini, G. Mar hesini, and E. Onofri, editors, Elementary Parti les, Quantum Fields and Statisti al Me hani s, pages 155{201. Universita di Parma, 1994. [Fey72℄ R. P. Feynman. Statisti al Me hani s. W. A. Benjamin, In ., Reading, Mass., 1972. [FH65℄ R. P. Feynman and A. R. Hibbs. Quantum Me hani s and Path Integrals. M Graw-Hill, New York, 1965. [Fo 35℄ V. Fo k. Zur Theorie des Wasserstoatoms. Z. fur Physik, 98:145{154, 1935. [For60℄ A. R. Forsyth. Cal ulus of Variations. Dover, New York, 1960. [FP26℄ E. Fermi and E. Persi o. Il prin ipio delle adiabati he e la nozione di forza viva nella nuova me

ani a quantisti a. Rend. Lin ei, 4(II):452{457, 1926. [FR95℄ R. Fies hi and R. De Renzi. Struttura della materia. La Nuova Italia S ienti a, Roma, 1995. [Gal83℄ G. Gallavotti. The Elements of Me hani s. Springer-Verlag, New York, 1983.

534

Bibliogra a [GO89℄

G. Giavarini and E. Onofri. Generalized Coherent States and Berry's phase. J. Math. Phys., 30(3):659{663, 1989. [Gol50℄ H. Goldstein. Classi al Me hani s. Addison Wesley, Reading, Mass., 1950. [Gol65℄ S. Golden. Lower Bounds for the Helmholtz Fun tion. Phys. Rev. B, B(137):1127, 1965. [Got66℄ K. Gottfried. Quantum Me hani s, volume 1. Benjamin, New York, 1966. [Gou59℄ E. Goursat. Dierential Equations, volume II of A Course in Mathemati al Analysis. Dover, New York, 1959. [Gou64℄ E. Goursat. Integral Equations, Cal ulus of Variations, volume III of A Course in Mathemati al Analysis. Dover, New York, 1964. [GP90℄ A. Galindo and P. Pas ual. Quantum Me hani s, volume I e II of Texts and Monographs in Physi s. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1990. [GR65℄ L. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik. Table of Integrals, Series and Produ ts. A ademi Press, New York, IV edition, 1965. [Gre86℄ D. M. Greenberger. New Te hniques and Ideas in Quantum Measurement Theory. The New York A ademy of S ien e, New York, 1986. [Ham62℄ M. Hamermesh. Group Theory and its Appli ations to Physi al Problems. Addison Wesley, Reading, Mass., 1962. [Har91℄ G. H. Hardy. Divergent Series. Chelsea Pub.Co., New York, 1991. [Haw77℄ S. W. Hawking. Zeta Fun tion Regularization of Path Integrals in Curved Spa es. Commun. Math. Phys., 55:133{148, 1977. [Hei63℄ W. Heisenberg. I Prin ipi si i della teoria dei quanti. Boringhieri, Torino, 1963. [Hir82℄ B. Hirsbrunner. Approximants de Borel. Helv. Phys. A ta, 55:295{329, 1982. [HM75℄ F. T. Hioe and E. W. Montroll. Quantum Theory of Anharmoni Os illators I. J. Math. Phys., 16(9):1945{1955, 1975. [Ho 71℄ H. Ho hstadt. The Fun tions of Mathemati al Physi s. Wiley-Inters ien e, New York, 1971. [Hor92℄ J. Horgan. La loso a dei quanti. Le S ienze, (289):76{85, settembre 1992. [HS64℄ M. Hausner and J. T. S hwartz. Lie Groups Lie Algebras. Gordon and Brea h, New York, 1964. [ID89℄ C. Itzykson and J. M. Droue. Theorie Statistique des Champs. InterEditions, Paris, 1989. [IZ80℄ C. Itzykson and J. B. Zuber. Quantum Field Theory. M Graw-Hill, New York, 1980. [Ja 75℄ J. D. Ja kson. Classi al Ele trodynami s. J. Wiley and Sons, New York, 1975. [Jau68℄ J. M. Jau h. Foundation of Quantum Me hani s. Addison-Wesley, Reading, Mass., 1968. [K+ 84℄ S. Kamefu hi et al., editors. Pro eedings of the third international Symposium, Foundations of Quantum Me hani s in the light of new te hnology. Physi al So iety of Japan, Tokyo, 1984. [Ka 59℄ M. Ka . Probability and Related Problems in Physi al S ien es. Inters ien e, New York, 1959. [Kat76℄ T. Kato. Perturbation Theory for Linear Operators. Springer-Verlag, Berlin, 1976. [Kem37℄ E. C. Kemble. The Fundamental Prin iples of Quantum Me hani s with Elementary Appli ations. Dover, New York, 1937. [Kin90℄ T. Kinoshita. Quantum Ele trodynami s. World S ienti , Singapore, 1990.

535

Bibliogra a [Kir74℄ [Kla88℄ [Kli86℄ [KO89℄ [KS85℄ [Lan66℄ [LCA74℄ [Lee81℄ [Lie76℄ [Lig64℄ [LL60℄ [LL65℄ [LL76℄ [LLB90℄ [LSW76℄ [Lud83℄ [LY56℄ [M+ 90℄ [Ma 77℄ [Mag54℄ [Mer61℄ [Mes62℄ [Miz75℄ [MMP76℄ [MMP77℄ [MR82℄

A. Kirillov. Elements de la Theorie des Representations. MIR, Mos a, 1974. J. R. Klauder. Quantization is Geometry, After All. Ann. of Physi s, 188:120{130, 1988. K. Von Klitzing. The Quantized Hall Ee t. Rev. Modern Phys., 58(3):519{ 531, 1986. J. R. Klauder and E. Onofri. Landau Levels and Geometri Quantization. Int. J.Mod. Phys. A, pages 3939{3949, 1989. J. R. Klauder and B. Skagerstam, editors. Coherent States, Appli ations in Physi s and Mathemati al Physi s. World S ienti , Singapore, 1985. C. Lan zos. The variational Prin iples of Me hani s. University of Toronto Press, Toronto, 1966. T. Levi-Civita and U. Amaldi. Lezioni di Me

ani a Razionale, volume II. Zani helli, Bologna, 1974. T. D. Lee. Parti le Physi s and Introdu tion to Field Theory. Harwood A ademi Publ., London, 1981. E. H. Lieb. The Stability of Matter. Rev. Modern Phys., 48(4):553{569, 1976. M. J. Lighthill. Fourier Analysis and Generalized Fun tions. Cambridge University Press, Cambridge, 1964. L. D. Landau and E. M. Lifshitz. Theorie du Champ. MIR, Mos a, 1960. L. D. Landau and E. M. Lifshitz. Me

ani a. Boringhieri, Torino, 1965. L. D. Landau and E. M. Lifshitz. Me

ani a quantisti a, teoria non relativisti a. Editori Riuniti, Roma, 1976. J. M. Levy-Leblond and F. Balibar. Quanti s. North-Holland, Amsterdam, 1990. E. H. Lieb, B. Simon, and A. S. Wightman, editors. Studies in Mathemati al Physi s, volume Essays in honor of V. Bargmann of Prin eton series in Physi s. Prin eton University Press, Prin eton, N.J., 1976. G. Ludwig. Foundation of Quantum Me hani s, volume I. Springer-Verlag, Berlin, 1983. T. L. Lee and C. N. Yang. Phys. Rev., 104:254, 1956. J. C. Mather et al. A Preliminary Measurement of the Cosmi Mi rowave Ba kground Spe trum by the Cosmi Ba kground Explorer (COBE) Satellite. Astroph. J., 354:L37{L40, 1990. E. Ma h. La Me

ani a nel suo sviluppo stori o- riti o. Bollati Boringhieri, Torino, 1977. traduz. it. a ura di A. D'Elia. W. Magnus. On The Exponential Solution of Dierential Equations for a Linear Operator. Commun. Pure Appl. Math., VII:649{673, 1954. E. Merzba her. Quantum Me hani s. J. Wiley, New York, 1961. A. Messiah. Me anique Quantique. Dunod, Paris, 1962. M. M. Mizrahi. The Weyl orresponden e and Path Integrals. J. Math. Phys., 16:2201{2206, 1975. P. G. Merli, G. F. Missiroli, and G. Pozzi. On the Statisti al Aspe t of Ele tron Interferen e Phenomena. Amer. J. Phys., 44(3):306{307, 1976. G. Matteu

i, G. F. Missiroli, and G. Pozzi. Un'esperienza sul signi ato si o del potenziale vettore (eetto Aharonov-Bohm). Giornale di Fisi a, XVIII(4):264{280, 1977. J. Mehra and H. Re henberg. The Histori al Development of Quantum Theory. Springer-Verlag, New York, 1982.

536

Bibliogra a [MS61℄

P. Moon and D. E. Spen er. Field Theory Handbook. Springer-Verlag, Berlin, 1961. [MSW86℄ J. Moody, A. Shapere, and F. Wil zek. Realizations of Magneti -Monopole Gauge Fields: Diatoms and Spin Pre ession. Phys. Rev. Lett., 56:893{896, 1986. [MW66℄ W. Magnus and S. Winkler. Hill's Equation. Inters ien e Publ., New York, 1966. [Nai68℄ M. A. Naimark. Linear Dierential Operators, volume 2. Frederi Ungar, New York, 1968. [Nel64℄ E. Nelson. Feynman Integrals and the S hroedinger Equation. J. Math. Phys., 5(3):332{343, 1964. [Nel67℄ E. Nelson. Dynami al Theories of Brownian Motion. Prin eton University Press, Prin eton, N.J., 1967. [Neu55℄ J. Von Neumann. Mathemati al Foundations of Quantum Me hani s. Prin eton University Press, Prin eton, N.J., 1955. [New66℄ R. G. Newton. S attering Theory of Waves and Parti les. M Graw-Hill, New York, 1966. [NS79℄ M. Naimark and A. Stern. Theorie des Representations des Groupes. MIR, Mos a, 1979. [NT87℄ M. Newman and R. C. Thompson. Numeri al values of Goldberg's oeÆ ients in the series for log(ex ey ). Math. of Comput., 48(177):265{271, 1987. [Omn94℄ R. Omnes. The Interpretation of Quantum Me hani s. Prin eton University Press, Prin eton, N.J., 1994. [OMT91℄ E. Onofri, P. Maraner, and G. P. Te

hiolli. Spe tral Methods in Computational Quantum Me hani s. Int. J. Comput. Appl. Math., pages 209{219, 1991. [Ono75℄ E. Onofri. Dynami al Quantization of the Kepler Manifold. J. Math. Phys., pages 401{408, 1975. [Ono78℄ E. Onofri. On the high-temperature expansion of the density matrix. Am.J.Phys., 46(4):379{382, 1978. [Ono84℄ E. Onofri. Lezioni sulla Teoria degli Operatori Lineari. Ediz. Zara, Parma, 1984. [OP72℄ E. Onofri and M. Pauri. Dynami al quantization. J. Math. Phys., pages 533{543, 1972. [OSC79℄ D. Olive, S. S iuto, and R. J. Crewther. Instantons in Field Theory. La Rivista del Nuovo Cimento, 2(8):1{117, 1979. [Pai95℄ A. Pais. Einstein e vissuto qui. Bollati Boringhieri, 1995. [Par94℄ Parti le Data Group. Review of Parti le Properties. Phys. Rev. D, 50:1173, 1994. [Pau58℄ W. Pauli. Teoria della relativita. Boringhieri, Torino, 1958. [Pau62℄ W. Pauli. Me

ani a ondulatoria. Boringhieri, Torino, 1962. [Pau64℄ W. Pauli. Otti a e teoria degli elettroni. Boringhieri, Torino, 1964. [Pau95℄ M. Pauri. Spazio e Tempo. volume V, pages 433{464. En i lopedia delle S ienze Fisi he Tre

ani, 1995. [Per36℄ E. Persi o. Fondamenti della Me

ani a Atomi a. Zani helli, Bologna, 1936. [Per60℄ E. Persi o. Introduzione alla si a matemati a. Zani helli, Bologna, 1960. [Per86℄ A. M. Perelomov. Generalized Coherent States and Their Appli ations. Springer-Verlag, Berlin, 1986.

537

Bibliogra a [PFTV86℄ W. H. Press, B. P. Flannery, S. A. Teukolsky, and W. T. Vetterling. Numeri al Re ipes. Cambridge University Press, Cambridge, Ma., 1986. [PG90℄ R. E. Prange and S. M. Girvin. The Quantum Hall Ee t. Springer-Verlag, Berlin, 2nd edition, 1990. [Piz93℄ Guido Pizzella. Fisi a sperimentale del ampo gravitazionale. La Nuova Italia S ienti a, Roma, 1993. [Poe45℄ E. A. Poe. The Pit and the Pendulum. Broadway J., (1), 1845. [PR69℄ Yu. V. Prohorov and Yu. A Rozanov. Probability Theory. Springer Verlag, Berlin, 1969. [Put67℄ C. R. Putnam. Commutation Properties of Hilbert Spa e Operators and related topi s, volume 36 of Erg.d.Math.und i.Grenz. Springer-Verlag, New York, 1967. [Reg80℄ T. Regge. Relativita. In En i lopedia Einaudi, volume XI. Torino, 1980. [Roe91℄ G. Roepstor. Path Integral Approa h to Quantum Physi s. Springer-Verlag, New York, 1991. [Rot92℄ H. J. Rothe. Latti e Gauge Theories, an introdu tion, volume 43 of Le t. Notes in Physi s. World S ienti , Singapore, 1992. [RS71℄ D. Ray and I. M. Singer. Torsion and the Lapla ian on Riemannian manifolds. Adv. in Math., 7:145{210, 1971. [RS78a℄ M. Reed and B. Simon. Methods of Mathemati al Physi s, volume IV. A ademi Press, New York, 1978. [RS78b℄ M. Reed and B. Simon. Methods of Mathemati al Physi s, volume II. A ademi Press, New York, 1978. [RS79℄ M. Reed and B. Simon. Methods of Mathemati al Physi s, volume III. A ademi Press, New York, 1979. [Sak90℄ J. J. Sakurai. Me

ani a Quantisti a Moderna. Zani helli, Bologna, 1990. [S h26℄ E. S hroedinger. Quantisierung als Eigenwertproblem. Ann. d. Physik, 79:361{376, 1926. [S h63℄ L. I. S hi. Me

ani a Quantisti a. Boringhieri, Torino, 1963. [S h64℄ S. S. S hweber. An Introdu tion to Relativisti Quantum Field Theory. Harper and Row, New York, 1964. [S h77℄ E. S hroedinger. Colle ted Papers on Wave Me hani s. Chelsea, New York, 1977. [S h81℄ L. S. S hulman. Te hniques and Appli ations of Path Integration. J.Wiley and Sons, New York, 1981. [Sim73℄ B. Simon. Quadrati forms and Klauder's Phenomenon: a remark on very singular transformations. J. Fun t. Anal., 14(3):295{298, 1973. [Sim79℄ B. Simon. Fun tional Integration and Quantum Physi s. A ademi Press, New York, 1979. [Som64℄ A. Sommerfeld. Partial Dierential Equations in Physi s. A ademi Press, New York, 1964. [Sto32℄ M. H. Stone. Linear Transformations in Hilbert Spa e, volume 15 of Colloquium Publi ations. Ameri an Mathemati al So iety, New York, 1932. [SW64℄ R. Streater and A. S. Whightman. PCT, Spin and Statisti s, and all that. Benjamin, New York, 1964. [SW89℄ A. Shapere and F. Wil zek. Geometri Phases in Physi s. World S ienti , Singapore, 1989. [Sym65℄ K. Symanzik. Proof and Re nement of an Inequality of Feynman. J. Math. Phys., 6(7):1155{1156, 1965.

538

Bibliogra a [T+ 82℄ [Tay58℄ [Tho65℄ [Tor53℄ [Tri70℄ [Tri85℄ [Vil69℄ [Wax54℄ [Wei73℄ [Wei89℄ [Wei95℄ [Wig59℄ [Wil84℄ [WM62℄ [Wol92℄ [WW69℄ [WZ83℄ [WZ84℄ [YM54℄ [Z el73℄

A. Tonomura et al. Observation of Aharonov-Bohm Ee t by Ele tron Holography. Phys. Rev. Lett., 48(21):1443{1446, 1982. A. E. Taylor. Fun tional Analysis. J. Wiley, New York, 1958. C. J. Thompson. Inequality with Appli ations in Statisti al Me hani s. J. Math. Phys., 6(11):1812{1813, 1965. G. Toraldo di Fran ia. Onde Elettromagneti he. Zani helli, Bologna, 1953. F. G. Tri omi. Istituzioni di Analisi Superiore. edam, Padova, 1970. F. G. Tri omi. Integral Equations. Dover Pub.s, New York, 1985. N. Ja. Vilenkin. Fon tions Spe iales et Theorie de la Representation des Groupes. Dunod, Paris, 1969. N. Wax, editor. Sele ted papers on Noise and Sto hasti Pro esses. Dover, New York, 1954. A. Weinstein. Normal Modes for Nonlinear Hamiltonian Systems. Inventiones math., 20:47{57, 1973. S. Weinberg. Testing Quantum Me hani s. Ann. of Physi s, 194:336, 1989. S. Weinberg. The Quantum Theory of Fields, volume I: Foundations. Cambridge University Press, Cambridge, 1995. E. P. Wigner. Group Theory and its appli ation to the Quantum Me hani s of atomi Spe tra. A ademi Press, New York, 1959. C. M. Will. Phys. Rep., 113C:345, 1984. G. H. Weiss and A. A. Maradudin. The Baker-Hausdor Formula and a Problem in Crystal Physi s. J. Math. Phys., 3(4):771{777, 1962. S. Wolfram. Mathemati a. Addison Wesley, New York, 1992. A. T. Whittaker and G. N. Watson. A Course in Mathemati al Analysis. Cambridge University Press, Cambridge, 1969. J. A. Wheeler and W. H. Zurek, editors. Quantum Theory and Measurement. Prin eton University Press, Prin eton, N.J., 1983. F. Wil zek and A. Zee. Appearan e of Gauge Stru tures in Simple Dynami al Systems. Phys. Rev. Lett., 52:2111{2114, 1984. C. N. Yang and R. L. Mills. Conservation of Isotopi Spin and Isotopi Gauge Invarian e. Phys. Rev., 96(1):191{195, 1954. D. P. Z elobenko. Compa t Lie Groups and their Representations, volume 40 of Translations of Mathemati al Monographs. Ameri an Mathemati al So iety, Providen e, R.I., 1973.

539

Indi e analiti o

M , massa del Sole, 524 P (1=x), 514 R , raggio del Sole, 524 SO(3), 480 SU (2), 488 [ ; ℄ ommutatore, 126 F , trasformata di Fourier, 107 (z ), 497, 505 Im , xiv 4, xiv, 57, 509 Re , xiv h j, bra, 96 Æ di Dira , 513 j i, ket, 96 C , xiv N, xiv R, xiv Z, xiv r, xiv , 57 f ; g parentesi di Poisson, 18 ,  A Angstrom, 524

obe, 69 T-ordinamento, 233, 372, 493, 513

funzione di, 123 algebra di Lie, 126, 269, 485 ampiezza di diusione, 440 di probabilita, 94 di ri essione, 140 di trasmissione, 140 analisi armoni a, 483 non- ommutativa, 493 antiunitario operatore, 212 approssimazione adiabati a, 389, 457 di Born-Oppenheimer, 458 di dipolo, 377 metodi di, 361{391 semi- lassi a, 383 WKB, 383 armoni he sferi he, 59, 156, 262 ortogonalita delle, 59 Arnold, 32 assorbimento risonante, 375 atomo di idrogeno , 158{165 autofunzioni generalizzate, 104 autostato, 170 autovalore, 96, 170 non degenere, 97, 184 autovettore, 96, 184 azione, 9 variabili di, 33

Abeliano gruppo, 479 a

oppiamento minimale, 343, 344 spin-orbita, 291, 428 adiabati a approssimazione, 389, 457 adiabati o invariante, 31 teorema, 32, 389 afelio, 48 Airy

Baker-Hausdor formula di, 492 Balmer formula di, 162 bande di energia, 153 541

Indi e analiti o serie di, 292

oerenze residue, 205, 239

ommutatore, 126, 194

ommutatore nito, 269

ompletezza relazioni di, 96

omponenti irridu ibili, 276 Compton eetto, 71 lunghezza d'onda, 71, 524

oniugato Hermitiano, 96

onservativo, 235

onservazione leggi di, 6, 7, 311

ontrovariante

omponente di un vettore, 4

oordinate

ilindri he, 510

urvilinee, 509 ellitti he, 510 paraboli he, 510, 511 polari, 3 sferi he, 509 sferoidali, 511

oordinate normali, 273

orpo nero, 68, 380

orrente densita di, 99 di probabilita, 100

ostante di a

oppiamento, 362 di Boltzmann, 524 di Newton, 524 di Plan k, 524 di Rydberg, 77, 524 di struttura ne, 524

ostanti di struttura, 317

ostanti si he, 524

ovariante

omponente di un vettore, 4

Bargmann rappresentazione di, 135 regola di superselezione, 335 base ortonormale, 103 Bell diseguaglianze di, 257 Berry fase di, 392 Bessel equazione di, 55 funzioni di, 35, 443, 496, 517 funzioni sferi he di, 518 bilan io dettagliato prin ipio del, 357 Blo h teorema di, 153 Bohr magnetone di, 524 raggio di, 524 teoria di, 75 Boltzmann

ostante di, 524 Born interpretazione di, 94 serie di, 142 Born-Oppenheimer approssimazione di, 458 Bose-Einstein, 394 bosoni, 399 bra, 96, 181 Brillouin prima zona di, 219

-numero, 260

anoni a quantizzazione, 241

anoni he

oordinate, 18 regole di ommutazione, 241 trasformazioni, 20, 22

ari a

onservata, 313 eÆ a e, 47 elettroni a, 524 Casimir eetto di, 422 Christoel simboli di, 14 Clebs h-Gordan

oeÆ ienti di, 290

Davisson-Germer esperimento di, 81 De Broglie lunghezza d'onda di, 524 degenerazione asintoti a, 121 dei livelli energeti i, 97, 102 densita, 202 degli stati, 149

542

Indi e analiti o

anoni he, 18 d'Eulero-Lagrange, 9 di Heisenberg-Hamilton, 243 esperimento delle due fenditure, 81, 248 di Davisson-Germer, 81 di Stern-Gerla h, 79 esponenziale T-ordinato, 233, 372, 493, 513 Eulero funzione di, 497, 505 prin ipio di, 10 Eulero-Lagrange equazioni di, 9 prin ipio di, 21

di probabilita, 94 deviazione standard, 170 De Broglie onde di, 83 diagonale a blo

hi, 276 diagonalizzazione, 97 diagrammi di Feynman, 415 di Young, 498 diusione ampiezza di, 440 dipolo approssimazione di, 377 elettri o, 348, 378, 524 magneti o, 524 Dira , 88 funzione Æ di, 513 dispersione, 82, 170 disuguaglianza di Barnes, Bras amp e Lieb, 388 di Young, 16

f.g., 21 famiglia spettrale, 101, 187 fase stazionaria prin ipio della, 499 Fermat prin ipio di, 13, 83 Fermi regola d'oro di, 376 fermioni, 399 Feynman diagrammi di, 415 integrali sui ammini di, 449 Feynman-Ka formula di, 455 ltro polarizzatore, 73 fononi, 393, 416 formula di Baker-Hausdor, 492 di Balmer, 162 di Feynman-Ka , 455 di Lie-Trotter, 493 di Rayleigh-Jeans, 68 fotoni, 70, 422 frequenza di Bohr, 77, 373 di Larmor, 431 funzionali lineari, 513 funzione di Eulero, 497

aratteristi a, 170 di Airy, 123 di Bessel, 517 di Green, 108, 438 di Legendre, 59

eetto Compton, 71 fotoelettri o, 70 tunnel, 141 Ehrenfest ipotesi adiabati a di, 77 teorema di, 243 Einstein, 49, 70, 72, 380 Einstein, onvenzione di, 4 elettrodinami a quantisti a , 380, 425 elettrone

ari a, 524 dipolo elettri o, 524 dipolo magneti o, 524 massa, 524 eli ita, 283 emissione risonante, 375 spontanea, 379 energia di punto zero, 126, 422 equazione di Bessel, 55 di Hamilton-Ja obi, 24 di Klein-Gordon, 91 di Langevin, 455 di Lippman-S hwinger, 439 di S hroedinger, 85 equazioni

543

Indi e analiti o relazioni di, 112, 196 infrarosso, 220 insieme ompleto di osservabili ompatibili, 176 di proiezioni ortogonali, 187 integrale di s ambio, 397 integrali gaussiani, 519 sui ammini, 449 integrali sui ammini, 521 interazione di gauge, 90 di s ambio, 403 interazioni minimali, 339 interferenza, 81, 248 invarianti adiabati i, 31 invarianza galileiana prin ipio di, 332 inversione spaziale, 346 temporale, 352 ipergeometri a on uente, 160, 504, 516 irridu ibile insieme di osservabili, 171, 175 irridu ibili rappresentazioni, 482 isospin, 183, 271, 339 istantoni, 122

di partizione, 388 generatri e, 21, 23 funzione d'onda, 86, 209 Galilei gruppo di , 329{335 gauge invarianza di, 90, 344 trasformazioni di, 343, 425 Gauss integrazione di, 519 generatori, 242, 307, 485 geodeti he, 12 Goudsmit-Uhlenbe k ipotesi di, 78 Green funzione di, 108, 438 gruppi di simmetria, 339 gruppi di simmetria , 315 gruppo, 23 astratto, 479

ontinuo, 484 di Galilei, 330 di Lie, 316 di trasformazioni, 7 eu lideo, 327 simpletti o, 43 gruppo delle rotazioni rappresentazioni del, 488

Ja obi identita di, 29, 485

Hamilton equazioni di, 16 me

ani a di, 15 Hamilton-Ja obi equazione di, 23{30 Hamiltoniana, 17 Hamiltoniano, 87 Heisenberg prin ipio di, 112, 126 rappresentazione di, 235 regole di ommutazione di, 88 Hermite polinomi di, 129 Hilbert spazio di, 179

Keplero leggi di, 47 ket, 96, 181 Kramer teorema di, 356 Lagrange prin ipio di Eulero-, 10 moltipli atori di, 11 Lagrangiana, 3 Laguerre polinomi di, 162 Lamb shift, 430 Landau livelli di, 431 Langevin equazione di, 455 Lapla e

identita di Ja obi, 29, 485 indeterminazione, 170 prin ipio di, 75

544

Indi e analiti o misura a valori operatoriali, 189 teoria della, 167 modi normali, 420 mole ola biatomi a, 465 moltepli ita, 185 moltipli atori di Lagrange, 11 momento

oniugato, 7, 17 lineare, 6 momento angolare interno, 269 intrinse o, 273 orbitale, 259, 260 totale, 270, 273 monopolo

ampo di, 465 moto browniano, 455 equazioni del, 3

metodo di, 494, 495, 515 operatore di, 509 Legendre trasformata di, 15 legge di omposizione, 230, 479 di onservazione, 6, 311 di trasformazione, 211 di Wien, 68 lemma di S hur, 482 di Watson, 495 Levinson teorema di, 152 Lie algebre di, 484 gruppi di, 484 Lie-Trotter formula di, 493 Lieb disuguaglianza di, 388 Liouville teorema di, 19 Lippman-S hwinger equazione di, 439 livelli di Landau, 431 lunghezza d'onda Compton, 71, 91

Newton

ostante di, 524 Noether teorema di, 6 norma della funzione d'onda, 99 Notazioni, xiv nu leo integrale, 107 numero quanti o additivo, 311 moltipli ativo, 310 prin ipale, 162

massa a riposo, 71 di Plan k, 524 ridotta, 159 matri e, 194, 202 densita, 454 elementi ridotti di, 293 metri a, 4 matri i di Pauli, 257, 487 Maupertuis prin ipio di, 10 me

ani a delle matri i, 92 di Hamilton , 15{25 di Lagrange , 3{11 metodo di Weyl, 521 metodo variazionale, 385 mi roreversibilita prin ipio di, 357 minimale a

oppiamento, 343, 344 mis ele statisti he, 172, 201

omomor smo, 480 onda lunghezza d', 82 onde pa

hetto d', 82 equazione delle, 51 onde parziali sviluppo in, 443 onde piane, 219 operatore antiunitario, 212 autoaggiunto, 522 di anni hilazione, 128 di Casimir, 276 di reazione, 128, 407 di distruzione, 407

545

Indi e analiti o di evoluzione temporale, 371 risolvente, 150, 363 s alare, 286 tensoriale irridu ibile, 286 operatore vettoriale, 285 operatori anoni i, 89, 104 ortogonalita relazioni di, 96 os illatore armoni o , 124{138 osservabili, 168

ompatibili, 175 di otomi he, 170

postulati della me

ani a quantisti a, 180, 190, 230 potenziale eÆ a e, 156 preparazione, 173

ompleta, 176 prin ipio d'azione, 10 della fase stazionaria, 499 di orrispondenza, 232 di es lusione, 400 di Heisenberg, 112, 126 di indeterminazione, 75, 91 di indistinguibilita, 395 di invarianza di gauge, 344 di invarianza galileiana, 332 di mi roreversibilita, 357 di Pauli, 78 di sovrapposizione lineare, 177 variazionale , 8{10 probabilita ampiezza di, 94

ongiunta, 248 onde di, 94 problema dell'ordinamento, 243 pro essi diusivi, 455 stazionari, 238 sto asti i, 455 prodotto T-ordinato, 233 diretto, 195 s alare, 95 semidiretto, 328 tensoriale, 183, 195 propagatore, 143, 151 pseudos alare, 347

pa

hetto d'onda, 82 riduzione del, 186 parentesi di Poisson, 18 parita, 346 intrinse a, 347 operatore di, 107 orbitale, 347 violazione della, 350 parte prin ipale se ondo Cau hy, 514 partizione, 498 Pauli matri i di, 257, 487 prin ipio di, 400 perielio, 48 pre essione del, 49 permutazioni, 480 perturbazioni armoni he, 375 dipendenti dal tempo, 370 stazionarie, 362 Plan k

ostante di, 524 massa di, 524 Poin are-Bertrand teorema, 515 Poisson parentesi di, 18, 29, 241 polarizzazione ellitti a, 73 lineare, 73 vettore di, 72 polinomi di Hermite, 129 di Laguerre, 162 popolazioni, 205

quanti, 70 quantizzazione, 76

anoni a, 241 quaternioni, 480 radiazione atomi a, 377 di fondo, 69 radiazione di fondo, 524 raggi, 179 raggio di Bohr, 524

546

Indi e analiti o s attering, 238 S hroedinger equazione di, 85 S hur lemma di, 482 S hwartzs hild raggio di, 524 sempli emente onnessa varieta, 263 separabilita, 26 dello spazio degli stati, 180 serie asintoti a, 362, 493 di Born, 142 di Dyson, 372 perturbativa, 362 sezione d'urto dierenziale, 440 totale, 444 sfasamenti, 152, 443 simboli 3-j, 295 simmetria interna, 339 trasformazione di, 213, 298 simmetrie, 6, 7 simpletti o gruppo, 43 singoletto, 292 sostituzione minimale, 89 sottogruppo, 480 ad un parametro, 307 sovrapposizione

oerente, 202 in oerente, 202 spazio di Hilbert, 179 metri o, 95 proiettivo, 179 spettrale de omposizione, 191, 522 famiglia, 188, 522 teorema, 191 spettri a righe, 75 spettro, 101, 169 spin, 183, 198, 273 spin-orbita a

oppiamento, 291, 428 spinori, 488 stati

di S hwartzs hild, 524 raggio di Bohr, 78, 160 rapporto giromagneti o, 427 rappresentazione, 209 a due valori, 275 aggiunta, 275 d'interazione, 493 del momento, 227 di Bargmann, 135 di Heisenberg, 235 irridu ibile, 276, 319, 482 lineare, 488 numero-di-o

upazione, 410 proiettiva, 218, 272, 315 s alare, 266 unitara, 482 unitaria, 276 vettoriale, 219 rappresentazioni, 480 Rayleigh-Jeans formula di, 68 regole anoni he di (anti-) ommutazione, 408 relazioni di ompletezza, 96 di ortogonalita, 96, 483 ri oprimento universale, 274 ri essione ampiezza di, 140 risoluzione dell'identita, 209 risolvente operatore, 150, 363 risonanza, 375 Ritz metodo di, 386 Rollni k

lasse di, 442 rotazione, 264 in nitesima, 267 rotazioni gruppo delle, 480, 487 Runge-Lenz vettore di, 48 Rutherford, 46 Rydberg

ostante di, 524 s alare, 347 s attering teoria dello , 437{444

547

Indi e analiti o passiva, 300 traslazioni, 217 spaziali, 319 temporali, 231, 321 trasmissione ampiezza di, 140 tripletto, 291 tunnel eetto, 141

oerenti, 134, 375 e

itati, 102 puri, 172 stato, 168 di vuoto, 405 fondamentale, 102 Stirling formula di, 497 Stone teorema di, 307 superselezione, 207 sviluppo spettrale, 101

ultravioletto, 220 unitaria, 211 urti elasti i, 437

teorema, 190 adiabati o, 32, 389 del viriale, 20 di Blo h, 153 di Ehrenfest, 243 di Feynman-Helmann, 367 di Gauss, 98 di Hardy-Littlewood, 501 di Kramer, 356 di Levinson, 152 di Liouville, 19 di Noether, 6 di Poin are-Bertrand, 515 di Stone, 307 di Von Neumann, 89 di Wi k, 520 di Wigner, 301 di Wintner, 89, 241 otti o, 444 spettrale, 191 teoria dei gruppi, 259 dei gruppi , 479 dei gruppi, 299 dei gruppi , 493 di Floquet, 38 tori invarianti, 37 tra

ia, 200 transizione, 192 trasformata di Borel, 500 trasformazione legge di, 211 attiva, 300

oniugata, 279 di gauge, 343 di simmetria, 213, 298 in nitesimale, 22

valor medio, 170 valore di aspettazione, 170 variabili d'azione, 33, 76 nas oste, 247, 256 variazionale metodo, 385 velo ita della lu e, 524 di fase, 82 di gruppo, 83 vettore assiale, 347 di stato, 87, 177 polare, 347 vin oli olonomi, 4 viriale teorema del, 20, 100 Von Neumann teorema di, 89 vuoto stato di, 405 Watson lemma di, 495 Weinstein teorema di, 37 Wi k ordinamento di, 136 teorema di, 520 Wien legge di, 68 Wigner teorema di, 301 Wigner-E kart teorema di, 293

548

Indi e analiti o Wintner teorema di, 89, 241 WKB, 383 Young disuguaglianza di, 16 Yukawa, 91

549

Elen o delle gure 3-1 5-1

5-2

6-1 6-2 6-3 6-4 6-5 6-6 6-7 6-8 6-9 6-10

La traiettoria nello spazio delle fasi per la parti ella he rimbalza elasti amente tra due pareti di ui una e in movimento.

32

La formula di Plan k a T = 2:726 K. Sono riportate in tratto ne e a tratteggio le formule di Wien e di Rayleigh-Jeans. Lo spettro della radiazione di fondo osmi a se ondo le rilevazioni di obe e indistinguibile, su questa s ala del diagramma, dalla formula di Plan k. 69 La formazione di frange di interferenza originate o dall'a

umularsi di elettroni su una lastra fotogra a simulata numeri amente; a) 100 parti elle, b) 500 , ) 1000, d) 5000. 94 Soluzione gra a dell'equazione agli autovalori per la bu a di potenziale. 120 La funzione di Airy. 124 Le autofunzioni dell'energia di ordine piu basso per l'os illatore armoni o. 132 2 La densita n = j n (x)j per uno stato altamente e

itato dell'os illatore armoni o; e riportata an he la distribuzione di probabilita lassi a  l / 1=jp(E; x)j. 133 Il oeÆ iente di trasmissione per la barriera rettangolare nei vari asi 2mV0 a2 = 2 = 1; 2; 5; 10: 148 Le bande di energia per il modello piu sempli e di potenziale periodi o. 155 Densita radiali per la \bu a sferi a" del Probl. 6.5-1. Dati del problema: m = = 1, l = 3; V0 = 10; R = 2. 158 Il ammino di integrazione per il al olo di u( ). 160 2 Le densita radiali unl per le prime autofunzioni dell'atomo di idrogeno (onda s). 163 2 Le densita radiali unl per le prime autofunzioni dell'atomo di idrogeno (onda p). 164

~

~

551

Elen o delle gure u2nl per le prime autofunzioni dell'atomo d). 164

6-11

Le densita radiali di idrogeno (onda

8-1

Addizione di momenti angolari quantisti i.

288

10-1 10-2

La funzione fT (!). Metodo variazionale appli ato all'os illatore anarmoni o.

377 387

12-1

La ondu ibilita Hall xy in unita e2 =h. In as issa la tensione Vg .

434

A-1

S hema dell'apparato sperimentale per l'esperimento di

oin idenza di fotoni.

474

B-1

Le prime somme parziali alla Borel per la serie divergente (B.2.9) . 503

552

Elen o delle tabelle 4-1 4-2

Zeri delle funzioni di Bessel Jm (x). Zeri delle funzioni di Bessel sferi he jl (x).

6-1

La parte radiale delle autofunzioni dei livelli piu bassi dell'atomo di idrogeno unl . Denominazione dei livelli idrogenoidi.

163 163

9-1

Relazioni di ommutazione dei generatori delle trasformazioni galileiane.

334

10-1

Sviluppo perturbativo dello stato fondamentale per l'operatore 365 ay a + 21 + "q4 . Risommazione di Pade della serie perturbativa per lo stato fondamentale dell'os illatore anarmoni o . 366 Cal olo variazionale dello stato fondamentale e del primo stato e

itato per l'os illatore anarmoni o . 387

6-2

10-2 10-3 B-1

Costanti si he utilizzate nel testo.

553

56 60

524