Elementi di Fisica Teorica (UNITEXT) (Italian Edition) 8847004241, 9788847004245

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Collana di Fisica e Astronomia

A cura di: Giorgio Parisi Michele Cini Stefano Forte Massimo Inguscio Guido Montagna Oreste Nicrosini Franco Pacini Luca Peliti Alberto Rotondi

A mia moglie Anna e a mio figlio Massimo

Michele Cini

Elementi di Fisica Teorica

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MICHELE CINI

Dipartimento di Fisica Università di Roma Tor Vergata

Springer-Verlag fa parte di Springer Science+ Business Media springer.com © Springer-Verlag Italia, Milano 2006

ISBN lO 88-470-0424-1 ISBN 13 978-88-470-0424-5

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Prefazione

Questo manuale contiene il corso di Elementi di Fisica Teorica che ho svolto per la Laurea triennale in Scienza dei Materiali, fin dalla sua istituzione all’Universit` a di Roma Tor Vergata. Si tratta di un corso introduttivo di Fisica Teorica che richiede una buona conoscenza a livello universitario di calcolo, meccanica ed elettromagnetismo. Per gli argomenti svolti (meccanica analitica, meccanica statistica, relativit` a ristretta, meccanica quantistica non Relativistica) il corso corrisponde grosso modo al vecchio esame di istituzioni di fisica teorica per fisici, ma ci sono anche differenze tali da giustificare un testo ad hoc. Prima di tutto ho cercato di adattare la tecnica espositiva. Ho preferito evitare (nei limiti del possibile) o di spiegare meglio certi calcoli particolarmente onerosi. Talora `e utile sostituirli con descrizioni di esperimenti pensati o fatti; in tal modo l’esposizione risulta pi` u agevole rispetto a quella tipica di un corso per fisici, non importa se del vecchio o del nuovo ordinamento. Per esempio, presento diversi esempi di interferenza quantistica discutendoli dal punto di vita fisico pur non avendo lo spazio per introdurre formalmente l’integrale sui cammini. Ci` o `e utile perch´e gli studenti non hanno lo stesso curriculum di Fisica classica e nemmeno gli stessi obiettivi di chi vuole fare il fisico puro. Ecco anzi uno degli scopi chiave che mi sono prefisso: motivare e stimolare costantemente l’interesse degli studenti. Gli studenti di Scienza dei Materiali sono particolarmente sensibili al valore pratico della conoscenza; quindi il docente ha buon gioco a mettere in risalto alcune delle numerose applicazioni gi` a in uso e quelle che stanno nascendo dai concetti quantistici, come ad esempio l’entanglement; si convinceranno che non stiamo facendo assolutamente alcuno sfoggio di formalismo fine a se stesso. Senza appesantire l’algebra, vengono presentati certi sviluppi recenti o futuribili delle ricerche in relativit`a e meccanica quantistica, come ad esempio la criptografia, il computer quantistico, il transistor a elettrone singolo e il microscopio a tunnel, che hanno importanza concettuale e grande interesse attuale e potenziale nelle applicazioni.

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Prefazione

Anche se la trattazione `e meno formale rispetto ai tradizionali corsi di Istituzioni di Fisica Teorica, lo scopo `e comunque quello di raggiungere una reale comprensione dei concetti fisici ed una working knowledge, cio`e una capacit`a di risolvere autonomamente problemi. Per raggiungere lo scopo, pur con minore sforzo da parte degli studenti, occorrono degli accorgimenti che agevolano il lettore. Prima di tutto, i passaggi intermedi sono riportati in modo notevolmente pi` u esteso di quanto non si faccia normalmente nei libri; non ci sono sviluppi teorici lasciati come esercizio ma tutto quello che `e importante per la costruzione della teoria `e spiegato esplicitamente; gli esercizi sono tutti svolti in dettaglio; inoltre ho avuto cura di porre in primo piano il significato fisico delle varie quantit` a e la motivazione che sta dietro alle varie trasformazioni matematiche. Ho incluso una appendice con richiami di risultati del’analisi matematica che gli studenti hanno gi` a incontrato, ma probabilmente desiderano consultare per rinfrescare la memoria. Le appendici contengono anche alcuni dei calcoli pi` u lunghi, che potrebbero spezzare il filo logico dell’argomento; gli studenti per` o sono invitati a considerarle parte integrante del testo. Certi strumenti matematici necessari sono sviluppati ed illustrati con esempi di grande interesse per la Fisica. Ho incluso problemi didattici, la maggior parte per quanto ne so originali; sono problemi semplici, che servono a verificare la comprensione della teoria senza soverchi calcoli. Lo studio di questo manuale render` a pi` u accessibili ai nostri studenti interessati i molti ottimi testi pi` u avanzati che sono disponibili per approfondire questa affascinante materia. Per esempio, come ulteriore lettura per la parte quantistica, sar` a utile consultare anche il libro David J. Griffiths, Introduzione alla meccanica quantistica, Casa Editrice Ambrosiana (2005); questo libro contiene anche aspetti pi` u avanzati ed argomenti specifici che gli studenti incontreranno in corsi successivi. Ringrazio il collega Massimo Bianchi, che insegna meccanica quantistica nel Corso di laurea in Fisica, ed il Dr. Stefano Bellucci dei LNF-INFN per aver letto la bozza di questo manuale dandomi molti consigli preziosi.

Michele Cini

Roma Settembre 2005

Indice

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Teorie fisiche, costanti empiriche e formulazioni matematiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Parte I Complementi di Fisica Classica 2

Meccanica analitica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 La F = ma di Galileo e Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Formalismo lagrangiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Integrale di azione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Principio di Minima Azione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Trasformazioni di Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Formulazione Hamiltoniana della meccanica . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Trasformazioni Canoniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Carica puntiforme in un campo elettromagnetico . . . . . 2.4.3 Parentesi di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 7 10 17 18 20 21 24 27 29

3

La delta di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Definizione della δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Ancora sulla δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Volume dell’ipersfera in N dimensioni . . . . . . . . . . . . . .

33 33 36 38

4

Complementi di elettromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Campi e potenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Calcolo di ∇2 ( 1r ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Funzione di Green dell’equazione delle onde . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Potenziali ritardati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Potenziali di Lienard-Wiechert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41 41 42 42 43 43

X

Indice

5

Meccanica statistica ed equilibrio termodinamico . . . . . . . . . . 5.1 Richiami di termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Il corpo nero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Scopo della meccanica statistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Medie di Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Ensemble Microcanonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Entropia del Gas perfetto e paradosso di Gibbs . . . . . . . 5.5 Ensemble Canonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1 Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Distribuzione canonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.1 Distribuzione di Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.2 Gas perfetto e statistica di Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.3 Grandezze termodinamiche nell’insieme canonico . . . . . 5.6.4 Teorema di equipartizione dell’energia . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Insieme grancanonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45 45 52 57 58 60 63 65 65 66 68 68 71 72 76

6

Teoria della Relativit` a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 6.1 Il navilio di Galileo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 6.2 Le equazioni di Maxwell e l’interferometro di Michelson . . . . . . 80 6.3 La teoria di Einstein: esperimenti pensati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 6.3.1 Trasformazione di Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 6.3.2 Composizione delle velocit` a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 6.3.3 Tensori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 6.3.4 Effetto Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 6.3.5 Meccanica relativistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 6.4 Principio di equivalenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 6.5 Una scoperta recente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Parte II Meccanica Quantistica 7

Meccanica quantistica: Perch´ e? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 7.1 Corpuscoli ed onde in Fisica classica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 7.2 Dualismo onda-corpuscolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 7.3 Da dove passa la particella? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 7.3.1 Onda piana e principio di sovrapposizione . . . . . . . . . . . 112 7.3.2 Principio di indeterminazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 7.4 Operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 7.5 Interpretazione di Copenhagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

8

Equazione di Schr¨ odinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 8.1 Equazione per gli stati stazionari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 8.2 Equazione di continuit` a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 8.3 Cenno alle formulazioni di Schr¨ odinger, Heisenberg e Feynman 122

Indice

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XI

Soluzioni in una dimensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 9.1 Buca di potenziale a pareti infinite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 9.2 Particella libera e stati del continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 9.2.1 La normalizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 9.2.2 Velocit` a di fase di un pacchetto d’onde . . . . . . . . . . . . . . 127 9.2.3 Velocit` a di gruppo di un pacchetto d’onde . . . . . . . . . . . 128 9.3 Gradino di potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 9.3.1 Energia sotto soglia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 9.3.2 Energia sopra soglia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 9.3.3 Buca di potenziale finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 9.3.4 Stati del continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 9.4 Potenziale stretto e profondo a δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 9.5 Barriera di potenziale: effetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 9.5.1 Energia sotto soglia: superamento della barriera . . . . . . 134 9.5.2 Effetto tunnel: fenomeni ed applicazioni . . . . . . . . . . . . . 136 9.6 Oscillatore Armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 9.7 Metodo operatoriale per l’oscillatore armonico . . . . . . . . . . . . . . . 143

10 Sui quattro postulati della meccanica quantistica . . . . . . . . . . 147 10.1 Postulato 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 10.1.1 Funzione d’onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 10.1.2 Disuguaglianza di Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 10.1.3 Spazi di Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 10.2 Postulato 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 10.2.1 Matrici, operatori e spazi di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . 149 10.2.2 Operatori Hermitiani e valori medi reali . . . . . . . . . . . . . 149 10.2.3 Spazi ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 10.2.4 Completezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 10.2.5 Commutatori: angolo e momento angolare . . . . . . . . . . . 151 10.2.6 Commutatori: principio di indeterminazione generalizzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 10.2.7 Commutatori: grandezze compatibili . . . . . . . . . . . . . . . . 155 10.2.8 Commutatori: trasformazioni canoniche in meccanica quantistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 10.2.9 Commutatori. 5-Espedienti di calcolo . . . . . . . . . . . . . . . 156 10.2.10 Matrici per l’oscillatore armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 10.2.11 Matrici e modellazioni. LCAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 10.3 Postulato 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 10.3.1 Ragioni per cui il set deve essere completo . . . . . . . . . . . 158 10.3.2 Formalismo discreto e formalismo continuo . . . . . . . . . . . 159 10.3.3 Esempio: il momento angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 10.4 Postulato 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 10.4.1 Dipendenza dal tempo e derivata di un operatore . . . . . 160 10.4.2 Principio di indeterminazione energia-tempo . . . . . . . . . 160

XII

Indice

11 Problemi a tre dimensioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 11.1 Separazione delle variabili in coordinate cartesiane . . . . . . . . . . . 163 11.2 Separazione delle variabili in coordinate sferiche . . . . . . . . . . . . . 165 11.3 Momento angolare in 3 dimensioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 11.3.1 Algebra del momento angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 11.3.2 Matrici del momento angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 11.3.3 Momento angolare in coordinate sferiche . . . . . . . . . . . . . 168 11.3.4 Armoniche Sferiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 11.4 Campo centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 11.5 Stati legati dell’atomo Idrogenoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 11.5.1 Effetto Zeeman normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 11.6 Generatori di Traslazioni e Rotazioni e operatori unitari . . . . . . 179 12 Spin e campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 12.1 Momenti magnetico e angolare in Fisica classica . . . . . . . . . . . . . 181 12.2 Esperimento di Stern-Gerlach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 12.3 Matrici del momento angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 12.3.1 Ogni direzione va bene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 12.3.2 Rotazioni di spin e momento angolare . . . . . . . . . . . . . . . 188 12.3.3 Momento magnetico di spin ed equazione di Pauli . . . . 189 12.4 Somma di momenti angolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 12.5 Applicazione alla criptografia quantistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 12.6 Fase di Pancharatnam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 13 Sistemi di particelle: entanglement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 13.1 Sistemi di due particelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 13.1.1 Atomo di H e Massa Ridotta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 13.2 Particelle ingarbugliate e pararadosso EPR . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 13.3 Bosoni e Fermioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 13.3.1 Principio di Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 13.4 Statistiche Quantistiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 13.4.1 Statistica di Boltzmann con degenerazione . . . . . . . . . . . 210 13.5 Statistica di Bose-Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 13.5.1 Corpo nero e fotoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 13.5.2 Funzione di partizione canonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 13.5.3 Applicazioni a He liquido e Calori specifici dei solidi . . 214 13.6 Statistica di Fermi-Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 13.6.1 Gas di Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 13.7 Cenno al calcolatore quantistico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 14 Teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo . . . . . . . . . 221 14.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 14.1.1 Spettro discreto non degenere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 14.1.2 Caso degenere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 14.2 Perturbazioni dipendenti dal tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

Indice

XIII

15 Metodo variazionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 15.1 Il principio variazionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 15.2 Approssimazioni variazionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

Parte III Appendici 16 Richiamo di risultati utili di Analisi Matematica . . . . . . . . . . . 241 16.1 Numeri complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 16.2 Derivazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 16.2.1 Moltiplicatori di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 16.2.2 Laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 16.3 Integrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 16.3.1 Integrazione per parti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 16.3.2 Derivata sotto il segno di integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 16.3.3 Formula di Stirling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 16.3.4 Trasformate di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 16.4 Equazioni differenziali ordinarie lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 16.4.1 Equazioni differenziali ordinarie lineari omogenee . . . . . 244 16.4.2 Equazioni differenziali ordinarie lineari non omogenee . 245 17 Funzione di Green dell’equazione delle onde . . . . . . . . . . . . . . . 247 18 Una verifica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 19 Trasformazioni a coordinate sferiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 20 Sistema internazionale e sistema di Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 Indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

1 Teorie fisiche, costanti empiriche e formulazioni matematiche

Salv. ` vero che’l sistema Copernicano mette perturbazione nell’universo d’AristoE tile: ma noi trattiamo dell’universo nostro, vero e reale. Quando poi la disparit` a d’essenza tra la Terra e i corpi celesti la vuol quest’autore inferire dall’incorruttibilit` a di quelli e corruttibilit` a di questa,in via d’Aristotile, dalla qual disparit` a concluda il moto dover esser del sole e delle fisse e l’immobilit` a della Terra, va vagando nel paralogismo, supponendo quel che `e in quistione: perch´e Aristotile inferisce l’incorruttibilit` a dei corpi celesti dal moto, del quale si disputa se sia loro o della Terra. Della vanit` a poi di queste retoriche illazioni, se n’`e parlato a bastanza. Da G. Galilei, Dialogo sopra i due massimi sistemi tolemaico e copernicano.

Seguendo il metodo di Galileo, la Fisica Teorica usa la Matematica come linguaggio naturale ed indispensabile per descrivere la realt` a. Sovente i fisici hanno sviluppato in proprio i metodi matematici necessari. Come la Matematica, la Fisica ha una profondit` a di pensiero che `e sconosciuta a filosofi e retori; qui non si tratta di giochi di parole, ma di fatti verificabili, che nessuno pu` o aggiustare a piacimento. Per` o la Fisica Teorica non `e Matematica: ha un suo autonomo metodo di indagine ed `e ad un tempo sottile e concreta. Ci` o che distingue la Fisica `e il fatto che l’esperimento non solo ha sempre l’ultima parola sulle questioni controverse, ma d`a senso a tutto quello che la teoria dice. Anche gli aspetti della teoria che sembrano pi` u astratti hanno un pieno significato operativo ed alla fine comportano delle conseguenze che ognuno pu`o toccare con mano. Cominciamo questo corso con alcune costanti, perch´e la Fisica `e una Scien-

2

1 Teorie fisiche, costanti empiriche e formulazioni matematiche

za quantitativa.1 La tabella ci servir`a per consultazione, ma anche da ulteriore monito per distinguere bene la Fisica Teorica dalla Matematica. Nelle nostre teorie, questi valori entrano come costanti empiriche, e nessuno ancora capisce perch´e abbiano questi valori; tuttavia, cambiandoli, otterremmo mondi del tutto diversi da quello in cui viviamo. Nome

Simbolo

numero di Avogadro NA costante gravitazionale G costante di Boltzmann KB costante Stefan-Boltzmann σ velocit` a della luce c e2 raggio classico dell’ elettrone re = 2mc 2 massa elettrone me massa protone mp massa neutrone mn massa Terra MT costante di Planck h costante di struttura fine costante di struttura fine quanto di flusso elettronvolt momento magnetico protone

e2 h ¯c 2 = 2e0 hc hc e

α= α

eV μp

Valore

` UNITA

6,022169 1023 6,6732 10−11 1,380622 10−23 5,66961 10−8 2,99792458 108 2,819489 10−15 9,109558 10−31 1,672614 10−27 1,674920 10−27 5.976 1024 6,626196 10−34

mol−1 N m2 /Kg 2 J/0 K W/m2 ×0 K 4 m/s m Kg Kg Kg Kg Js

1 137,03602 1 137,03602 −7

numero puro, sistema Gauss numero puro, sistema SI

4 × 10 1,6 10−19 1,4106203 10−26

Gausscm2 J J/T

Tabella 1.1. Alcune costanti della Fisica

La prima costante scoperta (da Newton) e misurata (da Cavendish, nel ’700) `e stata G; poi l’introduzione della velocit` a della luce c durante lo sviluppo dell’elettromagnetismo (equazioni di Maxwell) ha portato dopo un lungo travaglio alla relativit` a; l’introduzione della costante di Boltzmann ha dato l’avvio alla Meccanica Statistica, ed alla comprensione microscopica delle leggi termodinamiche; l’introduzione della costante di Planck ha condotto in 25 anni alla Meccanica Quantistica. L’introduzione di queste grandezze ha segnato le grandi conquiste concettuali che talora vengono chiamate rivoluzioni scientifiche da chi vuol drammatizzare ed anche da chi pretende che la Scienza si contraddica come fanno altri che dibattono di fatti opinabili. Ma la teoria di Einstein non ha affatto confutato Galileo, e la Meccanica Quantistica non ha 1

Qui ed altrove uso sia le unit` a SI (Sistema Internazionale) che quelle di Gauss; il motivo `e che bisogna prendere atto che il pur nobile tentativo di convincere tutti ad usare il Sistema Internazionale `e fallito, e la gente usa questi (ed altri) sistemi in modo intercambiabile; gli studenti non vanno lontano se non imparano ad usarli entrambi ed a fare le conversioni necessarie. L’ultima Appendice contiene le regole principali per farlo.

1 Teorie fisiche, costanti empiriche e formulazioni matematiche

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confutato la Fisica Classica. La Meccanica di Galileo resta in uso tanto nella vita quotidiana che per descrivere i moti di pianeti e stelle, ed `e corretta; ci`o che `e sbagliata `e una sua arbitraria estrapolazione a fenomeni che avvengono in un ambito diversissimo da quello in cui `e stata formulata: i fenomeni di altissima energia, in cui entra la velocit` a della luce c. Altrettanto, la Fisica Classica funziona per moltissime cose, ma non pu`o essere estrapolata a fenomeni in cui entra la costante di Planck. Quindi alcune delle costanti della tabella segnano i criteri di applicabilit` a delle teorie speciali rispetto a quelle ` notevole il fatto che le teorie pi` pi` u generali che le contengono. E u estese non sono delle semplici modificazioni di quelle di cui sono la generalizzazione, ma richiedono un loro formalismo matematico ed un ambito concettuale anch’esso generalizzato. Le teorie speciali restano valide come caso limite di quelle generali, e mantengono un loro ambito di validit` a. La conoscenza del mondo fisico `e fatta di strati successivi, o, se preferiamo, di successive generalizzazioni.2 Come vedremo, nelle innovazioni c’`e sempre una parte profonda della teoria che prosegue senza discontinuit`a. Alcune altre grandezze notevoli, come ad esempio il quanto di flusso magnetico, sono combinazioni delle costanti fondamentali. Certe altre grandezze, come la massa della Terra, non hanno nessun significato fondamentale ma sono importati per altre ovvie ragioni. Paradossalmente, la scienza ha ancora oggi detrattori ed avversari molto attivi. Rimane per` o la massima opera dell’intelligenza umana; l’intelligenza d’altra parte `e di gran lunga la risorsa pi` u preziosa della nostra specie. Gli studenti troveranno alcune notizie storiche di una successione di persone geniali che hanno cambiato la fisica; la fisica poi ha cambiato la nostra visione del mondo ed il mondo stesso in meglio, risolvendo anche un gran numero di problemi concreti ed importanti. Il tutto `e stato fatto essenzialmente col pensiero. Le intuizioni dei grandi sono sconosciute al grosso pubblico, ma danno vera gioia a chi le capisce.

2

Purtroppo in questo piccolo libro che comincia con F = ma non c’`e spazio per gli strati pi` u recenti e complicati (a cominciare dalla meccanica quantistica relativistica e dalla teoria dei campi con le sue innumerevoli applicazioni ai vari domini della fisica dalla teoria dei nuclei e dei solidi alle particelle elementari). Per`o la strada `e quella.

Parte I

Complementi di Fisica Classica

2 Meccanica analitica

Nella formulazione matematica teoria classica troveremo concetti chiave che sono necessari per le sue generalizzazioni (relativit` a, meccanica quantistica, etc.). La Fisica Teorica `e una disciplina vastissima ma profondamente unitaria, e indubbiamente comincia da qui.

2.1 La F = ma di Galileo e Newton Rivoluzionando le dottrine degli antichi, Galileo1 stabil`ı verso l’anno 1600 la legge fondamentale → − − m→ a = F, − che determina l’accelerazione → a di un punto materiale di massa m soggetto → − 2 o nella nota equazione differenziale, ad una forza F . Newton poi la formalizz` l’equazione del moto. In una dimensione, l’equazione di Newton `e 1

2

Galileo Galilei (Pisa 1564- Arcetri 1642) fu il padre della Scienza moderna; professore di Matematica a Pisa dal 1589, si trasfer`ı a Padova e di nuovo a Pisa nel 1611. Costruito il primo telescopio, fu anche il padre dell’Astronomia moderna e scrisse il Sidereus Nuncius nel 1610. L’osservazione dei Pianeti Medicei e delle macchie solari lo mise in odore di eresia. Fond` o la meccanica nei Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze, attinenti alla meccanica ed ai meccanismi locali, Leiden (1636). La pubblicazione all’estero fu dovuta alle persecuzioni che pat`ı in patria da parte della Chiesa; non fin`ı sul rogo, ma agli arresti di Arcetri perch´e fu prudente, accett` o di abiurare, ed ebbe buone conoscenze nella gerarchia cattolica, in primis Papa Urbano VIII Barberini. Isaac Newton (Woolsthorpe 1642-London 1727) fu professore a Cambridge dal 1669 quando aveva gi` a inventato il calcolo, anche se il suo De Methodis Serierum et Fluxionum `e del 1671. L’opera fondamentale per la meccanica `e Philosophiae naturalis principia mathematica, Iussu societatis regiae, London (1687). Successivamente scopr`ı la Legge di Gravitazione Universale, fece ricerche in ottica, e

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2 Meccanica analitica

m

d2 x(t) = Fx dt2

(2.1)

˙ ovvero m¨ x = Fx . In termini dell’impulso px = mx, p˙x = Fx .

(2.2)

Se F `e nota, l’equazione determina la legge oraria x(t) in termini delle condizioni iniziali x(0), x(0). ˙ A quel punto il moto `e esattamente noto in eterno. Le leggi fondamentali della meccanica classica sono queste; il lettore a questo punto pu` o sospettare che il resto del Capitolo sia una serie di esempi di soluzione; invece c’`e una teoria da costruire. Considerevole importanza ha il caso delle forze conservative, che derivano da un potenziale V (x): con ci` o si intende che (sempre in 1 dimensione) Fx = −

dV (x) . dx

(2.3)

Ad esempio, V potrebbe essere il potenziale gravitazionale di Newton, quello elettrostatico, quello di una forza elastica. Lungo una traiettoria x(t), il potenziale diventa una funzione del tempo V (x(t)), con derivata V˙ = dV ˙ dx x. , la legge di Allora, moltiplicando (2.1) per x, ˙ troviamo xm¨ ˙ x − xF ˙ x = dE dt conservazione dell’energia E, che stabilisce che nel corso del tempo E =T +V

(2.4)

rimane costante; in effetti V (x) varia continuamente, lungo la traiettoria, ma ci` o viene compensato dalla variazione dell’energia cinetica T =

m 2 x˙ . 2

L’equazione (2.4) fornisce l’integrale primo del moto E=

m 2 x˙ + V (x); 2

infatti contiene la derivata prima x˙ e la costante E, ed `e molto pi` u trattabile della (2.1). Per un punto materiale in 3 dimensioni, ci sono 3 equazioni per le 3 com→ − − → − − ponenti, F (→ r ) = − ∇V (→ r ), e l’equazione di Newton `e una uguaglianza fra vettori. Per un sistema di N punti materiali ci saranno 3N equazioni da risolvere; queste sono accoppiate per particelle in interazione. Inoltre le equazioni si modificano in modo ovvio, ad esempio l’energia cinetica diventa una somma T =

3 N   mi i

α

2

x˙ 2i,α

invent` o il calcolo delle variazioni. A differenza di Galileo non fu perseguitato, ma altamente onorato nel suo Paese, ricevendo prestigiosi incarichi dal governo.

2.1 La F = ma di Galileo e Newton

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− con i che corre sulle particelle e α sulle componenti di → r i. Per` o per specificare la posizione di un punto materiale possiamo usare ad esempio 3 lunghezze, 2 lunghezze e un angolo o una lunghezza e 2 angoli; allora le equazioni da scrivere saranno differenti. Pi` u in generale, c’`e una equazione per ogni grado di libert` a: si chiamano cos`ı tutte le grandezze che sono necessarie per specificare lo stato istantaneo di un sistema. Poich´e c’`e molto di arbitrario nella scelta del sistema di riferimento ed del tipo di coordinate (cartesiane, sferiche, etc.) esiste una notevole libert` a nell’impostazione del problema. Questa libert`a di scelta ha radici profonde nella struttura matematica della teoria, che la meccanica analitica rivela ed utilizza in modo mirabile, generando potenti metodi di soluzione, come vedremo. Oltre all’energia E, altri integrali del moto possono venire dalla conservazione del momento, e del momento angolare. Possiamo immaginare un sistema con 70 gradi di libert` a, che ha 70 integrali del moto. Un tale sistema `e integrabile, e la soluzione `e ridotta alle quadrature. Per` o ci sono anche sistemi di 70 gradi di libert` a che conservano solo E; quelli semplici sono solo casi limite. Quindi in generale la soluzione non `e facile; i metodi della meccanica analitica sono stati inventati come ausili matematici per scrivere le equazioni in forma tale che fosse poi possibile risolverle. La meccanica analitica consente di applicare con efficacia ed eleganza le leggi di Galileo e Newton a una variet` a di problemi; soprattutto, rivela una struttura matematica sottostante alle equazioni del moto che risulta molto pi` u generale della stessa meccanica classica. Cos`ı la meccanica analitica, a sorpresa, da scienza ausiliaria si `e trasformata in Scienza Fondamentale. La teoria della Relativit` a e la meccanica quantistica sono generalizzazioni della meccanica classica fondate sulla meccanica analitica. I problemi dove compaiono vincoli hanno una difficolt` a extra: le forze non sono tutte note a priori. Per N = 1 punto materiale, ci vogliono 3 equazioni del moto. Ma se il punto compie con velocit`a v un’orbita circolare di raggio R noto, basta un angolo per stabilire dov’`e; le coordinate cartesiane sono inadatte per tale problema, che quindi va riformulato in termini dell’angolo. 2 L’accelerazione centripeta vR `e nota dai corsi elementari perch´e questo `e un caso estremamente semplice. Se un punto `e appeso ad un filo (pendolo sferico) bastano 2 angoli per localizzarlo, e per un pendolo piano basta un angolo solo; in compenso, il problema non assegna la tensione del filo, e quindi parte delle forze `e incognita. Per N = 2 punti indipendenti ci vogliono 6 equazioni del moto. Supponiamo ora di avere un sistema di due masse m1 , m2 vincolate a rimanere a distanza r0 agli estremi di un bastone rigido, ma di massa trascurabile, incernierato all’origine delle coordinate nel baricentro. Un siffatto sistema si chiama rotatore rigido in 3 dimensioni. Si ricorder` a che il baricentro di due masse `e il punto − − r 1 + m2 → r2 → − m1 → R . m1 + m 2

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2 Meccanica analitica

→ − → − − − 1→ In questo problema, R = 0 e quindi → r 1 = −m m2 r 2 . Indicando con r1 , r2 le 1 distanze immutabili delle due masse dall’origine, r1 = m m2 r2 . Inoltre r1 + r2 = m1 r 0 2 r0 r0 , e risulta che r1 = mm1 +m , r = . 2 m1 +m2 2 Come si trovano le equazioni del moto del rotatore rigido? Il sistema ha due gradi di libert` a, e possiamo scegliere gli angoli θ e φ che individuano la massa 1 in coordinate polari. Quindi non occorrono 6 equazioni, ne bastano 2. D’altra parte, per scrivere le 6 equazioni ci vorrebbero le forze agenti sulle due particelle, ma queste sono reazioni vincolari, non note a priori. Prendiamo quindi θ e φ come nuove coordinate ed impariamo a scrivere le equazioni del moto in questi termini. Il metodo generale per scrivere le equazioni del moto `e dovuto a Giuseppe Luigi Lagrange (Torino 1736 - Parigi 1813), grande matematico italo-francese, e (indipendentemente) al grande Euler.3 Ora affronteremo la teoria di EulerLagrange, supponendo che i vincoli siano lisci, cio`e che non facciano lavoro durante il moto.

2.2 Formalismo lagrangiano Vincoli e coordinate lagrangiane N punti materiali in 3 dimensioni sono descritti dalle coordinate cartesiane {x1 , y1 , z1 , x2 . . . zN } ≡ {xiα }, 0 < i ≤ N, 1 ≤ α ≤ 3. Consideriamo il caso importante in cui ci sono dei vincoli, come per esempio quelli che obbligano i punti a muoversi su certe superfici, o a mantenere fisse certe distanze; esempi ovvi sono il piano inclinato ed il pendolo. La forza sulla particella i si pu` o scomporre: → − → − appl → − vinc Fi = Fi + Fi , dove il primo termine applicato `e noto (possiamo pensare a molle, forze gravitazionali, campi elettrici, etc. assegnati dal problema), la reazione vincolare a priori no. Supponiamo che le forze applicate siano conservative, cio`e che derivino da una energia potenziale V {x1 , y1 , z1 , x2 . . . zN } secondo la legge appl =− Fi,α

∂V . ∂xi,α

(2.5)

Il segno − dice che la forza tende a far diminuire l’energia potenziale. Quanto ai vincoli, supponiamo che siano lisci. Questo significa che dato uno → − spostamento infinitesimo della particella i-esima δ R i permesso dai vincoli 3

Leonhard Euler (Basel ( Svizzera) 1707- S.Pietroburgo (Russia) 1783) fu probabilmente il pi` u grande matematico della storia contribuendo a tutti i campi dall’analisi alla geometria. Fra l’altro scrisse il libro Mechanica in cui sono illustrati i suoi risultati sull’argomento qui esposto.

2.2 Formalismo lagrangiano

11

→ − vinc → − Fi · δ R i = 0, cio`e la reazione vincolare `e sempre perpendicolare allo spostamento della particella i e non fa mai lavoro. Il lavoro infinitesimo δL compiuto dalle forze applicate `e dato da → → − − appl → → − − F i · δ Ri ≡ F i · δ R i,

−δV = δL =

i

(2.6)

i

dove la somma `e sui punti materiali; cos`ı  appl Fi,α δxi,α . −δV

(2.7)

i,α

Ma in generale lo spostamento cartesiano {δx1 , δy1 , δz1 , δx2 . . .} ≡ {δxiα } non `e permesso dai vincoli e quindi le coordinate cartesiane non sono le pi` u adatte → − a esprimere lo spostamento infinitesimo δ R i . Conviene passare a coordinate lagrangiane qβ , 1 ≤ β ≤ s adatte ai vincoli, tali cio`e che ogni δqβ sia consentito. Cos`ı potremo ridurci a s < 3N gradi di libert` a indipendenti. Uno spostamento consentito dai vincoli ha componenti cartesiane date da: δxi,α

 ∂xi,α β

∂qβ

δqβ .

(2.8)

Dalla (2.7) dividendo per δqβ otteniamo: −

∂V  appl ∂xi,α Fi,α . ∂qβ ∂qβ

(2.9)

i,α

Per ottenere il lavoro infinitesimo basta esprimere V nelle nuove variabili e differenziare: δV

 ∂V δqβ . ∂qβ

(2.10)

β

In analogia con la (2.5) Qβ = −

∂V ∂qβ

(2.11)

si chiama forza generalizzata. Possiamo esprimere la forza generalizzata Q in termini della forza applicata F appl usando la (2.9): Qβ

 i,α

appl Fi,α

∂xi,α . ∂qβ

(2.12)

12

2 Meccanica analitica

Equazioni di Eulero-Lagrange Vogliamo ora riscrivere le equazioni del moto in termini di coordinate lagrangiane, in modo da avere solo s gradi di libert` a e tener conto automaticamente dei vincoli. Le q come variabili indipendenti Moltiplicando scalarmente

− d→ pi → − (2.13) Fi = dt → − per uno spostamento infinitesimo δ R compatibile coi vincoli, troviamo: −δV =

− →  pi → − − → −  d→ · δ R i =⇒ −δV = F i · δ Ri p˙ i,α δxi,α . dt i i i,α

(2.14)

Il primo membro `e dato dalla (2.10); cambiamo le variabili anche nel secondo termine, usando la (2.8). Viene 

p˙ i,α δxiα =

i,α



 ∂xiα

p˙ i,α

i,α

β

∂qβ

δqβ =



mi x¨i,α

i,α

 ∂xiα β

∂qβ

δqβ ;

scambiando le somme in modo da mettere in evidenza δqβ troviamo −δV =

 β

δqβ



mi x ¨i,α

i,α

∂xiα , ∂qβ

da cui −

 ∂V ∂xiα = mi x ¨i,α . ∂qβ ∂qβ i,α

Ora, le derivate sono rispetto alle variabili lagrangiane, ed il primo membro `e una forza generalizzata. A secondo membro riusciremo a fare la somma sulle componenti cartesiane delle particelle facendo comparire l’energia cinetica. Il termine cinetico x ¨i,α

∂xiα ∂xiα d ∂xi,α d = (x˙ i,α ) − x˙ i,α , ∂qβ dt ∂qβ dt ∂qβ

ovvero, scambiando le derivate nell’ultimo termine, x ¨i,α Cos`ı,

∂xiα d ∂xiα ∂ x˙ i,α (x˙ i,α ) − x˙ i,α . ∂qβ dt ∂qβ ∂qβ

2.2 Formalismo lagrangiano

 i,α

mi [

13

∂xia ∂ d ∂V (xiα ˙ ) − x˙ iα x˙ iα ] = − . dt ∂qβ ∂qβ ∂qβ

Il secondo termine a primo membro `e −



mi x˙ iα

i,α

∂ ∂T x˙ iα = − , ∂qβ ∂qβ

dove T `e l’energia cinetica, e l’equazione del moto si riduce a ∂xia ∂ d  mi (xiα ˙ )=− (T − V ). dt i,α ∂qβ ∂qβ

(2.15)

Il termine in derivata temporale  d ia ˙ ∂x Per mettere in forma adatta il primo termine dt i,α mi (xiα ∂qβ ), non basta essere abili nei passaggi, ma ci vuole una trovata veramente teorica. La derivata temporale `e presa lungo la traiettoria, quindi, dividendo i due membri della (2.8) per dt, x˙ iα =

 ∂xiα β

∂qβ

q˙β ;

ebbene, derivando x˙ iα rispetto alla variabile q˙β si trova che ∂ x˙ iα ∂xiα = . ∂ q˙β ∂qβ Questo permette di far comparire ancora T , perch´e il primo termine a sinistra della (2.15) diventa d  ∂ x˙ia d ∂T mi (x˙iα )= . dt i,α ∂ q˙β dt ∂ q˙β

(2.16)

Bisogna notare che anche le velocit`a sono trattate come variabili indipendenti. dq Questo `e un punto non banale: q˙β = dtβ `e noto se conosciamo qβ ad ogni t, ma va ugualmente trattata come una variabile indipendente da cui dipende T. Sostituendo in (2.15), si ottiene ora d ∂T ∂T ∂V = − . dt ∂ q˙β ∂qβ ∂qβ Allora definendo la lagrangiana L(q, q, ˙ t) = T − V,

14

2 Meccanica analitica

dove abbiamo scritto q per denotare l’insieme delle coordinate, etc.; le equazioni del moto lagrangiane, valide in ogni sistema di coordinate, sono d ∂L ∂L = . dt ∂ q˙β ∂qβ

(2.17)

I momenti generalizzati di un sistema sono definiti da pi =

∂L ∂ q˙i

(2.18)

e sono funzioni delle stesse variabili indipendenti da cui dipende L, quindi pi = pi (q, q, ˙ t),

(2.19)

dove al solito scrivo q, q˙ per indicare la collezione di tutte le coordinate e velocit`a. Se per una coordinata q si verifica ∂L ∂q = 0, la variabile q si dice ciclica e la (2.17) assicura che il momento coniugato si conserva. Se un angolo `e ciclico, si conserva una componente del momento angolare; se x `e ciclico si conserva px e cos`ı via. Se L non dipende esplicitamente dal tempo, `e l’energia che si conserva. Infatti,  ∂L dL  ∂L = q˙α + q¨α dt ∂qα ∂ q˙α α α e viene dL  d ∂L  ∂L d  ∂L = q˙α + q¨α = q˙α , dt dt ∂ q˙β ∂ q˙α dt α ∂ q˙α α α da cui segue la conservazione di  ∂L  q˙α − L = pα q˙α − L = E. ∂ q˙α α α

(2.20)

Abbiamo una grande libert` a di scelta delle coordinate lagrangiane q, e comunque le scegliamo abbiamo la certezza che le equazioni del moto sono corrette. In altri termini, la teoria `e invariante per trasformazioni puntuali a nuove coordinate Q = Q(q, t). Se uno ha una L(q, q, ˙ t) e vuole passare ad una ˙ t), tutto quello che occorre `e esprimere le vecchie variabili in termini L(Q, Q, delle nuove, cio`e, fare un cambiamento di variabili. Problema 1. Trovare la lagrangiana e le equazioni del moto per un oscillatore armonico unidimensionale di massa m e costante k, cio`e, F = −kx.

2.2 Formalismo lagrangiano

15

Soluzione 1.

1 1 mx˙ 2 − kx2 . 2 2 Problema 2. Un pendolo piano ha massa m e lunghezza l; l’accelerazione di gravit` a parallela all’asse verticale z `e g. Scrivere la lagrangiana e l’equazione del moto. L=

˙ l’energia cinetica `e T = 1 ml2 φ˙ 2 . Il lettoSoluzione 2. La velocit`a `e l φ, 2 re pu` o esercitarsi a passare dalla forma cartesiana a questa. Poich´e V = = ml2 φ˙ , mgz = −mgl cos(φ), viene L = 12 ml2 φ˙ 2 + mgl cos(φ). Quindi ∂L ∂ φ˙ ∂L = −mgl sin(φ) e l’equazione del moto `e l φ¨ = −g sin(φ). ∂φ

Problema 3. Un pendolo piano di massa m2 e lunghezza l ha nel punto di sospensione una massa m1 , che pu` o muoversi sull’asse orizzontale x. L’accelerazione di gravit`a parallela all’asse verticale z `e g. Scrivere la lagrangiana. Soluzione 3. Poich´e x2 = x + l sin(φ), z2 = −l cos(φ) e quindi x˙ 2 = x˙ + ˙ z˙2 = l sin(φ)φ, ˙ sostituendo nell’energia cinetica T = 1 [m1 x˙ 2 + l cos(φ)φ, 2 m2 (x˙ 2 + z˙ 2 )] si trova T = 1 (m1 + m2 )x˙ 2 + m2 (l2 φ˙ 2 + 2lx˙ φ˙ cos(φ)) e quindi 2

2

2

2

1 m2 2 ˙ 2 (l φ + 2lx˙ φ˙ cos(φ)) + m2 gl cos(φ). L = (m1 + m2 )x˙ 2 + 2 2 Da qui si ottengono immediatamente le equazioni del moto. z m1

x

φ m2 Fig. 2.1. Pendolo sospeso ad una massa mobile

Problema 4. Oscillatore in caduta libera. In un ascensore in caduta libera (l’accelerazione di gravit`a `e g) c’`e un sistema di coordinate cartesiano (x,y,z) ed un oscillatore armonico unidimensionale di massa m e costante k, cio`e, F = −kz. L’oscillatore parte da z = 0 per t = 0. In quell’istante il sistema cartesiano coincide con uno stazionario (XY Z) ed ha velocit` a nulla. Scrivere lagrangiana, equazione del moto e suo integrale generale nel sistema di riferimento stazionario.

16

2 Meccanica analitica

Soluzione 4. La lagrangiana nel sistema dell’ascensore la conosciamo ed `e L = 21 mz˙ 2 − 12 kz 2 La coordinata verticale dell’origine del sistema in caduta `e − 21 gt2 e quella dell’oscillatore nel sistema stazionario `e Z = z − 12 gt2 . Facendo il cambiamento di coordinate, 1 1 1 1 1 mz˙ 2 − kz 2 = m(Z˙ + gt)2 − k(Z + gt2 )2 , 2 2 2 2 2 l’equazione del moto viene L=

1 m(Z¨ + g) = −k(Z + gt2 ). 2 La soluzione generale `e Z(t)A sin(ωt + ϕ) − 12 gt2 , come `e facile verificare. Problema 5. Il rotatore rigido. Tornando all’esempio del rotatore, ricavare le equazioni del moto. Soluzione 5. la trasformazione di coordinate `e x1 = r1 sin θ cos φ, y1 = r1 sin θ sin φ, z1 = r1 cos θ, m1 x1 e cos`ı via. La lagrangiana coincide con l’energia con x2 = − rr21 x1 = − m 2 cinetica (in notazione ovvia)

T =

1 − − (m1 → v 21 + m2 → v 22 ). 2

Calcoliamo quindi ˙ x˙ 1 = r1 (cos θ cos φθ˙ − sin θ sin φ φ), ˙ ˙ y˙ 1 = r1 (cos θ sin φθ + sin θ cos φφ), ˙ z˙1 = −r1 sin θ θ, − − v 22 r22 (θ˙2 + sin2 θφ˙ 2 ). Quindi, e troviamo → v 21 = x˙ 21 + y˙ 12 + z˙12 r12 (θ˙2 + sin2 θφ˙ 2 ), → T =

1 ˙2 I(θ + sin2 θφ˙ 2 ), 2

dove I = m1 r12 + m2 r22 , prende il nome di momento di inerzia del rotatore. Posto pθ = pφ =

∂L ∂ θ˙ ∂L ∂ φ˙

˙ = I θ, ˙ = I sin2 θφ,

le equazioni del moto sono p˙ θ = Isinθ cos θ φ˙ 2 , p˙ φ = 0.

2.2 Formalismo lagrangiano

17

Problema 6. Un punto materiale di massa m `e vincolato a muoversi lungo x la curva y(x) = L sin( L ) sul piano xy, in assenza di attriti e di gravit` a. Si scrivano lagrangiana L(x, x) ˙ e momento cinetico px . x x )x, ˙ quindi posto c ≡ cos( L ), Soluzione 6. y˙ = cos( L

  1 mx˙ 2 1 + c2 = L 2   da cui il momento cinetico px = ∂L mx˙ 1 + c2 . Poich´e la curva `e ∂ x˙ =  sinusoidale, la massa cambia di 1 + c(x)2 . T =

2.2.1 Integrale di azione Prendiamo un sistema meccanico che nell’intervallo di tempo (t1 , t2 ) va4 da q(t1 ) a q(t2 ). Nella maggior parte dei problemi la conoscenza delle due istantanee q(t1 ) e q(t2 ) permette di ricostruire quello che `e successo. Non sempre `e cos`ı: se le due istantanee mostrano un pendolo in posizione di equilibrio pu` o darsi che ci sia sempre rimasto o che sia passato di l`ı pi` u volte. In genere le condizioni agli estremi t1 e t2 individuano una classe di soluzioni possibili. Tuttavia i moti che non sono compatibili con le equazioni di Eulero-Lagrange sono impossibili.5 A priori, cio`e prima di risolvere il problema del moto, si sa solo che la legge q(t) fisica appartiene ad un insieme E di funzioni q(t) che soddisfano alle stesse condizioni agli estremi; queste leggi orarie si chiamano cammini virtuali. Risolvere le equazioni del moto significa scegliere fra i cammini virtuali q(t) ∈ E quelli fisicamente realizzabili. Ammettiamo ora per comodit` a che ce ne sia uno. La soluzione occupa un posto speciale in E, davvero sorprendente. Per ogni traiettoria q(t), L(q(t), q(t), ˙ t) `e una funzione solo del tempo. A q(t) `e assegnata l’azione S definita da 

t2

S=

dtL(q(t), q(t), ˙ t) t1

ed ha le dimensioni di energia × tempo. L’azione `e un funzionale della legge oraria; questo significa che dipende da tutti gli infiniti valori che q(t) assume. Possiamo considerarla come una funzione con una infinit` a continua di variabili. Ad esempio per un punto materiale libero che si muove con velocit`a costante  t2 (xb −xa )2 m (xb −xa )2 a v = xt2b −x eS= m e −t1 da xa a xb , l’azione fisica ` 2 t1 dt (t2 −t1)2 2 t2 −t1 . Ma c’` una infinit` a di altre leggi orarie x(t), x(t1 ) = xa , x(t2 ) = xb che uno si pu` o inventare, ed a tutte corrisponde un ben definito integrale d’azione. Si noti che: 4 5

Al solito indichiamo con una sola variabile q quella che in genere `e una collezione di s variabili. Vedremo a suo tempo che le cose vanno diversamente in meccanica quantistica.

18

2 Meccanica analitica

- S non dipende dalla scelta delle coordinate lagrangiane usate per descrivere il cammino ma solo dal cammino. Infatti il valore che L assume ad un tempo t non cambia se facciamo una trasformazione puntuale. - Se cambiamo la lagrangiana con la trasformazione L(q, q, ˙ t) → L(q, q, ˙ t) +

d F (q(t), t), dt

cio`e aggiungiamo un a derivata totale, S → S + F (q, t)|tt21 ed il cambiamento dipende dagli estremi di integrazione, ma non dalla traiettoria. Problema 7. Per un oscillatore armonico con massa m e costante di forza k, k L = m ˙ 2 − ω 2 x2 ), dove ω 2 = m . Calcolare S su una traiettoria fisica che 2 (x parte da 0 al tempo 0 ed arriva a X al tempo T . Soluzione 7. Posto x = A sin(ωt), X = A sin(ωT ), L = viene immediatamente: S=

m 2 2 2A ω

cos(2ωt),

m 2 m A ω sin(ωT ) cos(ωT ) = X 2 ωcotg(ωT ). 2 2

2.2.2 Principio di Minima Azione L’azione dipende dalla traiettoria qi (t). Che succede se la cambiamo un po’, senza modificare gli estremi? Potremmo definire vicine due leggi orarie stabilendo che qi (t) e q˙i (t) differiscono di meno dell’un per cento, o dell’un per mille. Insomma, nello spazio a infinite dimensioni delle traiettorie si pu`o pensare di stabilire una metrica. Questo comporta un concetto di continuit`a: pi` u vicine le traiettorie, pi` u S sar` a vicino. Inoltre possiamo definire il concetto di estremo, come ad esempio un massimo o un minimo locale. Un minimo si ha se ogni piccola variazione porta un aumento di S, etc.. Il problema tecnico `e quello di definire rigorosamente una piccola variazione di una data traiettoria. Potremmo variarla definendo una funzione arbitraria (purch´e non troppo cattiva) ηi (t) e ponendo qi (t) → qi (t) + ηi (t), e quindi, in una notazione che mette in evidenza qi , L(qi (t), q˙i (t), t) → L(qi (t) + ηi (t), q˙i (t) + η˙ i (t), t). Siamo interessati anche a variazioni piccole, anche se di forma arbitraria; il modo pi` u semplice di realizzarle `e porre invece qi (t) → qi (t) + αi ηi (t), dove αi `e un parametro che ci permette di regolare la grandezza della variazione. Potremo sempre (purch´e ηi (t) non sia troppo cattiva) prendere αi abbastanza piccolo da tenere piccola la variazione di S. Data una generica q(t), per αi  1 ci si aspetta

2.2 Formalismo lagrangiano

19

S(αi ) − S(0) = δS (1) αi + δS (2) α2i + . . . ; dire che q(t) soddisfa le equazioni del moto equivale al principio variazionale δS (1) =

∂S dαi = 0. ∂αi

Questo significa che se al tempo t1 il sistema ha la configurazione {qi (t1 } e al tempo t2 ha la configurazione {qi (t2 } il cammino che segue per andare dall’una all’altra rende stazionaria l’azione; la correzione di primo ordine si annulla. Si noti che: - vengono confrontati i valori di S lungo tutti i cammini che hanno le configurazioni iniziali e finali prescritte. Il generico cammino pu` o essere rappresentato dalle funzioni qi (t, αi ) = qi (t, 0) + αi ηi (t), dove qi (t, 0) descrive il cammino effettivo, gli αi sono parametri e le ηi (t) sono funzioni arbitrarie che si annullano agli estremi dell’intervallo. - Un principio variazionale `e analogo alla ricerca di un punto stazionario per una funzione di pi` u variabili; la differenza `e che il numero di variabili `e infinito, perch´e S dipende da tutti i valori che L assume lungo la traiettoria. Tutta la Fisica Teorica `e ricca di principi variazionali; ad esempio, l’equazione di Poisson si ottiene imponendo che l’energia del campo elettrico sia stazionaria. - Se cambiamo la lagrangiana con la trasformazione L(q, q, ˙ t) → L(q, q, ˙ t) + d e aggiungiamo una derivata totale, la variazione δS non dt F (q, t), cio` cambia; due lagrangiane che differiscono per una derivata totale sono equivalenti; il valore di F agli estremi non dipende dal cammino. - Abbiamo visto che le q˙ figurano in L come variabili indipendenti. Questo vuol dire che, cambiando cammino, L cambia sia perch´e cambiano le coordinate, sia perch´e cambiano le velocit` a. Tuttavia nel fare la variazione se prendiamo qi (t, αi ) = qi (t) + αi ηi (t), allora prendiamo anche q˙i (t, αi ) = q˙i (t) + αi η˙ i (t). - Il punto stazionario pu` o essere un minimo, ma non sempre `e cos`ı. Prendiamo un punto materiale vincolato a muoversi lungo una circonferenza, con una legge oraria θ(t) e con L = 21 mθ˙2 , tale che θ(0) = θ(1) = 0. L’angolo θ `e ciclico e le equazioni del moto dicono che θ˙ =costante. La legge oraria θ(t) ≡ 0 (particella ferma) rappresenta il minimo di S ed `e certamente un moto fisicamente possibile; ci sono per`o infiniti altri punti stazionari (la particella nel tempo 1 pu` o fare un numero intero di giri). Dimostriamo il principio variazionale. Poich´e  t2 S(αi ) dtL(qi (t) + αi ηi (t), q˙i (t) + αi η˙i (t), t)dt, t1

la condizione di estremo `e

20

2 Meccanica analitica

∂S |α →0 = 0 = ∂αi i



t2

dt( t1

∂L ∂L ηi (t) + η˙i (t)). ∂qi ∂ q˙i

Per far sparire l’incomodo η, ˙ sul quale non abbiamo ipotesi agli estremi, in favore di η, integriamo per parti:  t2  t2 ∂L ∂L d ∂L t2 dt η˙i (t)[ ηi (t)]t1 − dtηi (t) , ∂ q ˙ ∂ q ˙ dt ∂ q˙i i i t1 t1 e cos`ı viene ∂L ∂S =0=[ ηi (t)]tt21 + ∂αi ∂ q˙i





t2

dt t1

d ∂L ∂L . ηi (t) − ηi (t) ∂qi dt ∂ q˙i

(2.21)

Noi stiamo considerando variazioni a estremi fissi, ηi (t) si annulla in t1 e t2 , e quindi   t2 ∂L d ∂L = 0. dtηi (t) − ∂qi dt ∂ q˙i t1 Per l’arbitrariet` a delle ηi seguono le equazioni di Lagrange. I principi variazionali hanno un grande appeal estetico ma sono anche importanti in pratica, come vedremo. Osservazione 1. Se non ci fossimo preoccupati di formulare le equazioni di Newton in modo invariante per cambiamenti di coordinate non avemmo trovato questo risultato, che `e anch’esso indipendente dalla scelta delle q. Osservazione 2. Tornando alla (2.21), notiamo che essa contiene anche un altro risultato, se consideriamo - anzich´e cammini arbitrari con estremi fissi - solo traiettorie fisiche, ma senza fissare l’estremo superiore. Cos`ı troviamo ∂qi come dipende S al variare di ηi (t2 ) = ∂α |0 . Allora l’integrale si annulla per 1 le equazioni del moto, ma δS no (perch´ e la variazione `e nulla solo fra estremi  fissi). Possiamo scrivere δS = i ∂∂L δq (t ) ovvero, i 2 q˙i ∂S = pi . ∂qi

(2.22)

La derivata dell’azione rispetto alla q dell’estremo superiore fornisce la p corrispondente.

2.3 Trasformazioni di Legendre Dobbiamo fare una digressione matematica sulle trasformazioni di Legendre6 che ci saranno utili per capire la formulazione di Hamilton ed in varie altre occasioni. Sia data nel piano una funzione di due variabili f (x, y) che rappresenta qualche grandezza fisica; per un piccolo spostamento nel piano, 6

Adrien Marie Legendre (Parigi 1752, Parigi 1833) accademico delle Scienze e uno dei pi` u grandi matematici della sua epoca; ha studiato funzioni speciali delle quali avremo bisogno.

2.4 Formulazione Hamiltoniana della meccanica

df = udx + vdy, u =

∂f ∂f ,v = . ∂x ∂y

21

(2.23)

Talvolta u `e una grandezza fisica che sappiamo misurare meglio di x, o che ha particolare importanza per qualche motivo (ad esempio, `e conservata durante l’evoluzione del sistema). In tali casi conviene passare ad una nuova descrizione in termini di u eliminando x. Questo `e un cambiamento di variabile indipendente. Uno pu` o pensare di esprimere x in funzione della nuova variabile per mezzo di una funzione x = x(u) e scrivere g(u, y)f (x(u), y). Questa non `e una buona idea, perch´e la dipendenza da x non `e eliminata, ma solo nascosta; inoltre x = x(u) non `e noto a priori e dobbiamo inventare una trasformazione diversa per ogni problema. Legendre ha trovato un metodo semplice e generale, che comporta una modificazione anche della grandezza da studiare. Dobbiamo introdurre una nuova funzione g(u, y) = f (x, y) − ux.

(2.24)

Ora, g `e legata semplicemente a f , ma non dipende affatto da x; infatti, dgdf − udx − xdu = vdy − xdu.

(2.25)

Quindi, abbiamo le relazioni ∂g ∂g = −x, = v. ∂u ∂y

(2.26)

Abbiamo eliminato x come variabile senza perdere nessuna delle informazioni contenute in (2.23)

2.4 Formulazione Hamiltoniana della meccanica La formulazione di William Rowan Hamilton7 (Dublin 1805 - Dublin 1865) fornisce un metodo nuovo di soluzione dei problemi, permette di capire meglio la struttura matematica della teoria e gioca un ruolo essenziale in Relativit` a e meccanica quantistica. Noi qui dovremo tralasciare per semplicit` a alcune delle sue conseguenze pi` u importanti. Possiamo partire da una semplice osservazione. Nei problemi pi` u semplici, − x d→ → − in coordinate cartesiane, c’`e una relazione p = m dt fra impulso e velocit` a, ma in genere, cambiando coordinate lagrangiane o introducendo un potenziale vettore (vedi Sezione 2.4.2) la relazione cambia; momento e velocit`a sono 7

Questo precoce genio Irlandese and` o a 22 anni al Trinity College a spiegare la sua riformulazione della meccanica, e ottenne subito la cattedra. Continu` o per tutta la vita a produrre risultati di altissimo livello; negli ultimi anni lavor`o sui quaternioni, che poi sono in sostanza le matrici dello spin di cui parleremo pi` u avanti.

22

2 Meccanica analitica

grandezze indipendenti, che non hanno una relazione funzionale fissa. Nella formulazione Hamiltoniana si passa a nuove variabili indipendenti, cio`e qi e pi = ∂∂L ˙ L’hamiltoniana del sistema `e definita da q˙i invece di q, q. H(p, q, t) =



pi q˙i − L(q, q, ˙ t).

(2.27)

i

Matematicamente, si tratta di una trasformazione di Legendre (vedi Sezione 2.3), che ha lo scopo di cambiare le variabili indipendenti. Infatti, dalla (2.27) si ha ∂L ∂H = pk − =0 ∂ q˙k ∂ q˙k e la dipendenza dalle velocit`a non c’`e pi` u. Se L non dipende dal tempo esplicitamente, sappiamo dalla (2.20) che H = E lungo una traiettoria effettiva del sistema `e l’energia. In questo senso possiamo affermare che l’hamiltoniana `e l’energia pensata come funzione di q e p. Il principio variazionale di Hamilton pu` o anch’esso esprimersi con p, q variabili indipendenti, ed `e δS = 0, con S nelle nuove variabili,  t2  t2  S= dtL(q, q, ˙ t) dt[ pi q˙i − H(p, q, t)]. (2.28) t1

t1

i

Tuttavia nel fare la variazione c’`e una sottigliezza: q e p si variano indipendentemente (mentre nel formalismo lagrangiano q˙ `e fissato da q). Consideriamo funzioni ηi (t), ξi (t) arbitrarie e indipendenti, ma con estremi fissi ηi (t1 ) = ηi (t2 ) = 0, ξi (t1 ) = ξi (t2 ) = 0,

(2.29)

e variamo con qi (t, αi ) = qi (t, 0) + αi ηi (t), pi (t, αi ) = pi (t, 0) + αi ξi (t). Cos`ı (2.28) diventa   t2  S= dt [pi + αi ξi ] [q˙i + αi η˙ i ] − H(pi + αi ξi , qi + αi ηi , t) . t1

i

Svolgiamo il prodotto trascurando i termini in α2i . Viene: dS = dαi



t2

t1

dt(pi η˙ i + q˙i ξi −

∂H ∂H ηi − ξi ) = ∂qi ∂pi



t2 t1

dt(pi η˙ i −

∂H ∂H ηi + ξi [q˙i − ]). ∂qi ∂pi

Possiamo eliminare η˙ con la solita interazione per parti, utilizzando il fatto che gli estremi sono fissi,

2.4 Formulazione Hamiltoniana della meccanica





t2

dtpi η˙ i pi ηi |tt21 −

t1

ed otteniamo



t2 t1

dt[ηi (−p˙ i −

t2

 dtp˙i ηi = −

t1

23

t2

dtp˙i ηi t1

∂H ∂H ) + ξi (q˙i − )] = 0, ∂qi ∂pi

da cui vengono le equazioni di Hamilton (o equazioni canoniche) p˙ i = −

q˙i =

∂H , ∂qi

∂H . ∂pi

(2.30)

(2.31)

Variabili p, q che soddisfano le (2.30), (2.31) si dicono canonicamente coniugate. Le equazioni canoniche conseguono anche dalle equazioni di Lagrange, tenuto conto della definizione (2.27) dell’Hamiltoniana, purch´e si faccia attenzione a quali sono le variabili indipendenti!  Per L sono q, q, ˙ ma, quando definiamo H con H(p, q, t) = i pi q˙i − L(q, q, ˙ t), nel secondo membro q˙ va pensato riespresso nelle variabili Hamiltoniane che sono p e q, con p che non dipende da q; quindi otteniamo, derivando la (2.27)  ∂ q˙i ∂H ∂L  ∂L ∂ q˙i = pi − − . ∂qk ∂qk ∂qk ∂ q˙i ∂qk i i Il primo termine si elide col terzo, per la definizione di p; resta ∂H ∂L d ∂L − =− = −p˙ k , ∂qk ∂qk dt ∂ q˙k usando le equazioni di Lagrange. Questo verifica la (2.30). D’altra parte, sempre derivando la (2.27),  ∂ q˙i  ∂L ∂ q˙i ∂H = q˙k + pi − , ∂pk ∂pk ∂ q˙i ∂pk i i ma gli ultimi due termini si elidono e resta la (2.31). Lungo una traiettoria fisica, H = H(p(t), q(t), t) dipende dal tempo in modo che dH ∂H = . dt ∂t Infatti, dH ∂H  ∂H ∂H = + ( q˙i + p˙ i ), dt ∂t ∂q ∂pi i i ma la somma `e nulla per le equazioni canoniche. Quindi se H non dipende esplicitamente dal tempo, allora H = E `e una costante del moto.

24

2 Meccanica analitica

2.4.1 Trasformazioni Canoniche Il formalismo lagrangiano permette di scrivere le equazioni con qualsiasi scelta di coordinate q, e questo `e di aiuto nella impostazione e nella soluzione delle equazioni. Si dice che esso gode dell’invarianza per trasformazioni puntuali; per` o una volta scelte le q, le velocit`a sono le derivate e non aggiungono nulla. Il formalismo hamiltoniano sostituisce le s equazioni lagrangiane del secondo ordine con 2s equazioni del primo ordine. Coordinate e momenti sono canonicamente coniugati, e la teoria gode dell’invarianza per trasformazioni canoniche dalle variabili p, q a nuove variabili indipendenti P (p, q, t) e ˜ Q(p, q, t). C’`e una hamiltoniana trasformata H(P, Q, t) e le nuove variabili ˜ Una soludevono anche loro essere canonicamente coniugate, rispetto ad H. zione {q(t), p(t)} delle equazioni del moto viene mandata dalla trasformazione in una traiettoria {Q(t), P (t)} nelle nuove variabili, anch’essa soluzione del` lo stesso moto fisico descritto in due modi le nuove equazioni del moto. E matematicamente diversi. Questa classe di trasformazioni `e ben pi` u generale delle trasformazioni puntuali, ed `e quindi pi` u efficace sia per risolvere le equazioni del moto che per comprendere la struttura della teoria. Questo `e un vantaggio evidente del formalismo hamiltoniano. Dato H(p, q, t), si pone il problema preliminare di come ottenere la trasformazione a nuove variabili {Q(t), P (t)} che descrivano lo stesso cammino fisico o virtuale in modo equivalente. Se chiedessimo che la lagrangiana fosse la stessa, cio`e che fosse   ˜ ˙ i pi q˙i − H(p, q, t) ≡ i Pi Qi − H(P, Q, t), l’azione lungo ogni cammino virtuale sarebbe la stessa; quindi i cammini virtuali con δS = 0 dovrebbero in ambedue le descrizioni obbedire le equazioni del moto che esprimono la condizione variazionale. Questa condizione per`o `e troppo restrittiva. Ci basta che sia, per variazioni ad estremi fissi di ogni cammino virtuale,  t2   t2  ˜ δS = δ dt[ pi q˙i − H]δ dt[ Pi Q˙ i − H]. (2.32) t1

t1

i

i

Infatti noi siamo interessati solo alle variazioni che sono nulle agli estremi di integrazione, per le quali la condizione δS = 0 individua i moti fisicamente possibili. Per queste variazioni, la condizione (2.32) `e automaticamente soddisfatta se i due integrandi differiscono di una derivata totale dF dt , dove F = F (p, q, P, Q, t) prende il nome di funzione generatrice della trasformazione canonica, ed ha le dimensioni di un’azione. Infatti,  t2 dF = δ[F (t2 ) − F (t1 )] = 0. δ dt dt t1 La condizione di canonicit` a `e quindi  i

pi q˙i − H

 i

˜ + dF . Pi Q˙ i − H dt

(2.33)

2.4 Formulazione Hamiltoniana della meccanica

25

In (2.33) l’unica variabile indipendente `e t; p, q sono pensate come funzioni di t lungo un certo cammino, e Q(t), P (t) sono lo stesso cammino nella nuova rappresentazione. Molte scelte di F saranno inutili, ma a volte una scelta astuta pu` o risolvere un problema altrimenti intrattabile. Non `e detto che F = F (p, q, P, Q, t) dipenda effettivamente da tutte quelle variabili. Per esempio, `e utile anche la scelta particolare F = F (q, Q, t) che conduce a 

pi q˙i − H

i



˜+ Pi Q˙ i − H

i

∂F  ∂F ∂F ˙ + [ q˙i + Qi ]. ∂t ∂q ∂Q i i i

(2.34)

Proviamo a soddisfare questa condizione di canonicit` a identicamente; eguagliamo i coefficienti di q˙i con pi =

∂F (q, Q, t) ∂qi

(2.35)

e quelli di di Q˙ i con Pi = −

∂F (q, Q, t) . ∂Qi

(2.36)

La condizione si riduce a ˜ = H + ∂F (q, Q, t) . H ∂t

(2.37)

˜ generalmente non si ottiene da H con un semplice cambiaCome si vede, H ˜ = H solo se la F non mento di variabili, come nel caso della lagrangiana; H dipende dal tempo. Se le equazioni (2.35), (2.36) possono essere risolte per P e Q in termini di p, q, allora possiamo determinare la trasformazione P (p, q, t) e Q(p, q, t) e ˜ quindi anche H. Esempio 1. La funzione generatrice  λi qi Qi F = i

fornisce pi = λi Qi , Pi = −λi qi . Come si vede, non c’`e motivo di continuare a parlare di momenti e coordinate, `e meglio parlare di variabili canonicamente coniugate. (Dimensionalmente pq deve essere una azione, e questo rimane vero; le dimensioni delle coordinate e dei momenti possono cambiare.) Per esempio, un oscillatore armonico viene mandato dalla trasformazione in un oscillatore armonico.

26

2 Meccanica analitica

Problema 8. Sia data l’hamiltoniana 1 H(p, q, t) = αpt + μ(q − αt2 )2 , 2

(2.38)

con α, μ costanti; consideriamola trasformazione canonica che ha la funzione generatrice 1 F (q, Q, t) = Q(q − αt2 ). (2.39) 2 Soluzione 8. Abbiamo 1 ∂F = −αtQ, p = Q, P = −(q − αt2 ), 2 ∂t da cui si trova ˜ H(P, Q, t) = μP 2 . Ogni moto descritto dalla (2.38) `e coniugato ad un moto libero. Esempio 2. Consideriamo F = S(q, P, t) −



Pi Qi .

i

In questo caso `e S che tradizionalmente prende il nome di funzione generatrice. Allora la (2.33) diventa  i



˜ + ∂S Pi Q˙ i − H ∂t i   ∂S ∂S ˙ ˙ ˙ q˙i + Pi − Pi Qi − Qi Pi . + ∂qi ∂Pi i

pi q˙i −H

(2.40)

Eguagliando i coefficienti di q˙i si ottiene: pi =

∂S ∂qi

e questa `e la (2.22); S `e l’azione pensata come funzione delle vecchie coordinate e dei nuovi impulsi nell’estremo superiore. Eguagliando i coefficienti di P˙i ∂S , ∂Pi ˜ = H + ∂S . H ∂t Qi =

Esempio 3. La S = zione identica.



k qk Pk ,

F = S(q, P, t) −

 i

Pi Qi genera la trasforma-

2.4 Formulazione Hamiltoniana della meccanica

27

` data l’hamiltoniana classica Problema 9. E 2 A H(p, q) = vp + + B 2 p4 (q − vt)2 , p dove A, B, v sono costanti. Se ne interpreti il significato fisico con l’ausilio di una trasformazione canonica di funzione generatrice F (q, Q, t) = Soluzione 9. Poich´e p =

∂F ∂q

=

1 Q,

q − vt . Q

∂F P = − ∂Q =

q−vt ∂F Q2 , ∂t

v = −Q , si trova

∂F ˜ = A2 Q2 + B 2 P 2 H(P, Q) = H + ∂t che descrive un oscillatore armonico di pulsazione ω = A e massa m =

1 2B 2 .

2.4.2 Carica puntiforme in un campo elettromagnetico → − Classicamente, l’elettrone in un campo elettrico E e un campo di induzione → − magnetica B `e descritto come un punto materiale di massa m dotato di carica q = −|e|, soggetto alla forza di Lorentz. Nel Sistema Internazionale questa `e → − → − − → − F = q[ E + → v ∧ B ],

(2.41)

dove la notazione `e ovvia; ad esempio, F1 = q[E1 +(v2 B3 −v3 B2 )]. Nel sistema di Gauss8 si scrive → − v → − → − → − ∧ B ]. F = q[ E + c In questa sezione facciamo i calcoli nel Sistema Internazionale. Invece di lavorare con 2 campi (6 componenti) `e meglio esprimere tutto in termini dei → − potenziali A e φ (4 componenti in tutto); il campo magnetico `e → − → − → − B = ∇ ∧ A = (∂2 A3 − ∂3 A2 , ∂3 A1 − ∂1 A3 , ∂1 A2 − ∂2 A1 ), e quello elettrico da → − ∂A → − → − E = − ∇φ − ; ∂t

(2.42)

cos`ı l’equazione del moto diventa 8

questo `e un sistema molto usato nei lavori scientifici, vedi John D. JacksonElettrodinamica Classica, Zanichelli Bologna 1984. Per la conversione al sistema internazionale vedi Appendice 20.

28

2 Meccanica analitica

→ − ∂A → − − − − ¨r = −q → + q→ r˙ ∧ B . m→ ∇φ − q ∂t

(2.43)

Abbiamo dedotto le equazioni lagrangiane sotto l’ipotesi che la forza fosse il gradiente di un potenziale. La forza di Lorentz dipende dalla velocit` a, ma vedremo subito che una lagrangiana esiste anche in questo caso; le (2.43) si ottengono dalla lagrangiana9 1 → − − − − − L(→ r ,→ v , t) = mv 2 − qφ + q → v · A (→ r , t). 2

(2.44)

Stabilito un sistema cartesiano si ottiene  ∂Aj ∂L ∂φ = −q +q x˙ j , ∂xi ∂xi ∂xi j

(2.45)

mentre pi =

∂L = mx˙ i + qAi . ∂ x˙ i

(2.46)

Ora, la derivata temporale del potenziale va presa lungo la traiettoria della particella, e ∂ ∂ ∂ → ∂ − → −˙ + x˙ 2 + x˙ 3 )A. A = ( + x˙ 1 ∂t ∂x1 ∂x2 ∂x3 Sostituendo nelle equazioni di Lagrange, si trova m

 ∂Aj ∂Ai  ∂Ai ∂φ d2 xi + + q[ x˙ j ] = −q +q x˙ j , 2 dt ∂t ∂xj ∂xi ∂xi j j

e quindi ⎡ m¨ xi = q ⎣−

∂φ ∂Ai + − ∂xi ∂t

 j

⎤ x˙ j (

∂Aj ∂Ai ⎦ − ) . ∂xi ∂xj

Si pu` o verificare che espandendo le (2.43) in componenti si ottiene lo stesso risultato. Il fatto che la forza dipenda dalla velocit` a comporta solo che L = T − U , con T = 21 mv 2 e U = U (q, q, ˙ t), e la forza generalizzata, che include tutti i termini che derivano da U Qi = −

∂U d ∂U + ∂qi dt ∂ q˙i

`e quella di Lorentz. Il momento canonicamente coniugato a xi `e 9

Anche se un’altra che differisca da quella di una derivata totale ugualmente valida.

− r ,t) dF (→ dt

`e

2.4 Formulazione Hamiltoniana della meccanica

pi =

29

∂L = mx˙ i + qAi , ∂ q˙i

`e diverso dal momento meccanico pmec ≡ mx˙ i e non `e osservabile, come non lo `e il potenziale. Quindi, l’energia  E = i pi q˙i − L (2.47)  = i [(mx˙ i + qAi )x˙ i − ( 12 mx˙ 2i + q x˙ i · Ai )] + qφ 12 mr˙ 2 + qφ non dipende dal potenziale vettore; l’origine delle energie dipende da quella di φ. Per avere l’hamiltoniana bisogna esprimere questo in termini del momento − canonico → p: H=

1 → → − (− p − q A )2 + qφ. 2m

(2.48)

Questa espressione contiene il potenziale e il momento canonico, che non sono misurabili; per` o l’energia (2.47) `e ben definita (a meno di una costante arbitraria). Dunque, per includere un campo elettromagnetico, la regola `e: → − − − E → E + qφ , → p →→ p − qA. Questa regola (minimal coupling) resta vera in teoria relativistica, quantistica, e quantistica relativistica. Insomma, `e vera sempre. Osservazione 3. Nel sistema di Gauss questa regola diventa q→ − − − E → E + qφ, → p →→ p − A. c 2.4.3 Parentesi di Poisson Data una funzione arbitraria F delle variabili canoniche e del tempo,

∂F  ∂F ∂F F˙ = + q˙i + p˙ i . ∂t ∂qi ∂pi i Se il moto `e canonico, sostituendovi q˙ = ∂F  + F˙ = ∂t i



∂H ∂p , p˙

∂F ∂H ∂F ∂H − ∂qi ∂pi ∂pi ∂qi

= − ∂H ∂q si trova

=

∂F + {F, H} . ∂t

Qui compare la parentesi di Poisson definita da

 ∂A ∂B ∂A ∂B = − {B, A} . {A, B} ≡ − ∂qk ∂pk ∂pk ∂qk k

(2.49)

30

2 Meccanica analitica

Se F non dipende esplicitamente dal tempo e {F, H} = 0, allora F `e una costante del moto. Si verificano facilmente alcune regole la cui importanza sar` a pi` u chiara nella parte del libro nella quale ci occuperemo di meccanica quantistica: {A, costante} = 0;

(2.50)

{A, B + C} = {A, B} + {A, C} ;

(2.51)

{A, BC} = {A, B} C + {A, C} B.

(2.52)

Inoltre, poich´e le p e e q sono variabili indipendenti, e ∂pi = δi,k , ∂pk

∂qi = δi,k , ∂qk

∂pi = 0, ∂qk

`e immediato verificare le cosiddette parentesi fondamentali {qi , pj } = δi,j ,

{qi , qj } = 0,

{pi , pj } = 0.

(2.53)

Supponiamo di fare una trasformazione canonica a nuove variabili P, Q con ˜ Anche P, Q hanno le parentesi fondamentali una hamiltoniana trasformata H. {Qi , Pj }P,Q = δi,j , dove {}P,Q significa che le derivate sono rispetto alle nuove variabili. Si pu` o anzi dimostrare10 che {Qi , Pj }p,q = δi,j , cio`e le parentesi di Poisson sono invarianti per trasformazioni canoniche; quindi le parentesi fondamentali si possono controllare anche usando le vecchie variabili. Questo `e molto importante perch´e permette di controllare agevolmente se una data trasformazione `e canonica, anche senza dover trovare una funzione generatrice. ˜ Nei problemi indipendenti dal tempo si ottiene in tal modo anche H. Esempio 4. Dato l’oscillatore armonico di hamiltoniana H(p, q) =

p2 1 + mω 2 q 2 , 2m 2

una soluzione delle equazioni del moto `e data da  √ 2A sin(ωt), p = mq˙ = 2Amω cos(ωt). q(t) = mω Qui, A `e un parametro che misura l’ampiezza di oscillazione. L’energia `e E = H(p, q) = Aω. Con una trasformazione canonica si pu` o descrivere il sistema con la nuova ˜ hamiltoniana H(A, φ) = Aω, dove φ = ωt; cos`ı le nuove variabili canoniche sono φ, A, con 10

L.D. Landau e E.M. Lif˘ sits, Meccanica (Bollati Boringhieri) Cap.7.

2.4 Formulazione Hamiltoniana della meccanica

31

1 p2 + mωq 2 . 2mω 2 Si verifica che la trasformazione `e canonica con le parentesi di Poisson. tenendo conto che mqω . (2.54) tan(φ) = p A=

Infatti, ∂A = mωq, ∂q

∂A p = , ∂p mω

∂A p = , ∂p mω

∂φ mω/p −mωq/p2 ∂φ = = , 2 ∂q 1 + (mωq/p) ∂p 1 + (mωq/p)2 e risulta {φ, A} =

∂φ ∂A ∂φ ∂A − = 1, ∂q ∂p ∂p ∂q

(2.55)

da cui si capisce che la coordinata `e φ. Le equazioni canoniche sono A˙ = 0, φ˙ = ω.

3 La delta di Dirac

Questo capitolo `e dedicato alla δ di Dirac, che `e il prototipo di funzione generalizzata o distribuzione. Le distribuzioni svolgeranno un ruolo importante in tutto il resto del corso.

3.1 Definizione della δ Cominciamo introducendo la θ di Heavyside ⎧ 1 se x > 0, ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ θ(x) = 12 se x = 0, ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 0 se x < 0, che `e una funzione nel senso usuale anche ne `e discontinua, la funzione a gradino. Con essa possiamo definire una funzione con un picco largo 2α, δα (x) = 

tale che

θ(α2 − x2 ) 2α

∞

−∞

δα (x)dx = 1.

(3.1)

Se adesso dobbiamo calcolare un integrale con una funzione analitica1 φ possiamo affermare che  ∞ lim δα (x)φ(x)dx = φ(0). α→0

1

−∞

Una funzione `e analitica in 0 se si pu` o rappresentare in un intorno dello 0 in serie di Taylor.

34

3 La delta di Dirac

Viene spontaneo scambiare il limite con l’integrazione,e scrivere:  ∞ δ(x)φ(x)dx = φ(0),

(3.2)

−∞

dove

?

δ(x) = lim δα (x), α→0

(3.3)

ma questo `e problematico perch´e non c’`e una funzione ordinaria che possa fungere da limite. C’`e un altro modo equivalente per definire la δ di Dirac,2 cio`e δ(x) ≡

d θ(x), ∀x dx

(3.4)

la δ(x) di nuovo non esiste come funzione ordinaria. Consideriamo una funzione infinitamente derivabile φ(x) e l’integrale  ∞  x0 dxφ(x)θ(x0 − x) = dxφ(x). −∞

−∞

Allora, derivando rispetto all’estremo superiore,  ∞ d dxφ(x)θ(x0 − x) = φ(x0 ). dx0 −∞ Scambiando formalmente derivazione ed integrazione, troviamo che lo scambio `e possibile se  ∞ dxφ(x)δ(x − x0 ) ≡ φ(x0 ). (3.5) −∞

Questo `e un modo alternativo e meno ingenuo di arrivare alla (3.2), partendo dalla definizione (3.4), ed implica  x duδ(u − x0 ) = θ(x − x0 ). −∞

Evidentemente, δ(x−x0 ) = 0 per x = x0 , mentre in x0 diverge. Occorre notare che xδ(x) = 0. ` noto per` E o che scambiare due limiti pu`o indurre in errore. Per esempio, 2

P.A.M. Dirac Born: (Bristol 1902 - 1984 in Tallahassee, Florida, USA) fisico inglese con padre svizzero, scrisse l’equazione relativistica dell’elettrone. Dirac diede contributi fondamentali alla Fisica, ma sempre motivati dal gusto per la bellezza matematica. Fra l’altro, formul` o la teoria del monopolo magnetico, predisse l’esistenza dell’antimateria, propose la funzione δ, la notazione braket, e fece lavori fondamentali sui Gruppi. Vinse il premio Nobel nel 1933.

3.1 Definizione della δ

limξ→0 limλ→0

λ λ2 +ξ 2

= 0,

limλ→0 limξ→0

λ λ2 +ξ 2

= ∞.

35

In particolare non si possono scambiare spensieratamente derivazioni e integrazioni (o pi` u in genere passaggi al limite ed integrazioni). Tuttavia scambiare i limiti pu` o essere molto comodo, e per poterlo fare impunemente si introducono le distribuzioni, che sono funzioni generalizzate.3 Tutte le funzioni ordinarie sono distribuzioni, ma l’inverso non vale. In un senso ben definito, la δ pu` o essere rappresentata come limite di successioni di funzioni δα per α → 0. Il senso `e  ∞ lim dxφ(x)δα (x − x0 ) = φ(x0 ). α→0

−∞

Ci sono molte funzioni semplici, tutte con la propriet`a (3.1) che vengono impiegate come δα alternative a quella gi` a definita ed interscambiabili con essa. Eccone alcune: δα (x) =

α 1 , π x2 + α2

ovvero δα (x) =

1 −1 Im ; π x + iα

anche δα (x) =

 x2 1 √ exp − 2 ; α α π

inoltre δα (x) =

δα (x) =

sin2 ( αx ) 2

π( xα )

;

(3.6)

sin( αx ) ; πx

da quest’ultimo esempio possiamo ricavare anche un’importante rappresentazione integrale della δ. In effetti, 

1 α

1 −α

3

eiqx dq = 2

sin( αx ) = 2πδα (x), x

Questo tipo di generalizzazione produce risultati importanti. Non potendo estrarre le radici di numeri negativi si allarga il campo dei numeri. Per fare operazioni proibite con le funzioni si introducono funzioni generalizzate.

36

3 La delta di Dirac

da cui viene δ(x) =

1 2π



∞

eiqx dq.

(3.7)

−∞

Questo comporta che data una funzione f = f (x) arbitraria e la componente di Fourier  ∞ dx ikx e f (x), F (k) = 2π −∞ consegue  ∞  ∞  ∞ dy iky e f (y) dkF (k)e−ikx = dke−ikx −∞ −∞ −∞ 2π  ∞ dy f (y)2πδ(x − y) = f (x). = 2π −∞ Questo `e appunto il teorema di Fourier. Osservazione 4. La δ `e la trasformata di Fourier di 1; la trasformata inversa `e 1. Poich´e la δ `e diversa da 0 solo in un punto, dato un intervallo (a, b),   b 1, a < x0 < b, dxδ(x − x0 ) = / (a, b). 0, x0 ∈ a

3.2 Ancora sulla δ Dalla rappresentazione (3.7) e dal fatto che la δ `e reale `e chiaro che δ(−x) = δ(x)∗ = δ(x) e la δ `e pari, e quindi se a `e reale, δ(ax) = δ(|a|x); ∞ 1 dxφ(x)δ(ax) = |a| d(|a|x)φ(x)δ(|a|x) = −∞ −∞

∞

ne consegue che quindi

δ(ax) =

φ(0) |a| ,

e

δ(x) . |a|

Sia ora g(x) una funzione con uno zero in x = x0 , rappresentabile in un  dg  intorno con g(x) ≈ dx  (x − x0 ). In quell’intorno, non ci sono altri zeri, e possiamo scrivere

x0

δ(g(x)) = δ

  δ (x − x0 ) dg    , (x − x0 ) =  dg  dx x0  dx 

3.2 Ancora sulla δ

37

espressione che perde senso se la derivata si annulla. Se g(x) ha un insieme dg  numerabile di zeri in x = xα , con g(x) ≈ dx  (x − xα ) nell’intorno di ogni xα

zero, purch´e il secondo membro esista,  δ (x − xα ) . δ(g(x)) = α   dg  dx 

(3.8)

Nello spazio delle distribuzioni occorre generalizzare alcune relazioni che sono familiari per le funzioni ordinarie. Consideriamo l’equazione xf (x) = 1. Se f `e una distribuzione, dal momento che xδ(x) = 0, la soluzione generale `e f (x) = P

1 + Cδ(x), x

C = costante,

dove P prende la parte principale dell’integrale.4 Definiamo anche le derivate della δ. L’effetto di δ  (x) = − si trova integrando per parti  ∞   dxδ (x)φ(x) = − −∞

d δ(x) dx

∞

−∞

dxδ(x)φ (x) = −φ (0).

Iterando si trova l’azione della derivata n-sima,  ∞   dxδ (n) (x)φ(x) = (−1)n φ(n)  −∞

. x=0

La definizione della δ si estende naturalmente allo spazio ordinario con  →  1, − r 0 ∈ Ω, − − d3 rδ (3) (→ r −→ r 0) = − 0, → r0∈ / Ω. Ω In coordinate cartesiane, − − − − δ (3) (→ r −→ r 0 ) ≡ δ(→ r −→ r 0 ) = δ(x − x0 )δ(y − y0 )δ(x − z0 ). 4

La parte principale `e definita da



∞

P −∞

1 φ(x)dx ≡ lim →0 x





−

+ −∞



∞

1 φ(x)dx x

e permette di controllare certi tipi di non convergenze in 0.

38

3 La delta di Dirac

Si possono eseguire trasformazioni introducendo il determinante   di coordinate  ∂(x,y,z)  3 Jacobiano, cos`ı, mentre d x →  ∂(ξ,η,ζ)  dξdηdζ, la δ va divisa per lo stesso Jacobiano:  → − − − − φ( r 0 ) = φ(x0 , y0 , z0 ) = φ(→ r )δ(→ r −→ r 0 )dxdydz diventa − φ(→ r 0 ) = φ(ξ0 , η0 , ζ0 ) ⎫ ⎧  ⎨ δ(ξ − ξ )δ(η − η )δ(ζ − ζ ) ⎬  ∂(x, y, z)  0 0 0 −     = φ(→ r)  ∂(ξ, η, ζ)  dξdηdζ.  ∂(x,y,z)  ⎭ ⎩   ∂(ξ,η,ζ)

Per esempio, in coordinate sferiche si trova δ(r − r0 )δ [cos(θ) − cos(θ0 )] δ(φ − φ0 ) − − δ(→ r −→ r 0) = . r2 Usando la δ `e facile definire la misura di una ipersuperficie in uno spazio a N dimensioni. Consideriamo per esempio il caso N = 2, cio`e il piano xy e supponiamo che una famiglia di curve chiuse sia definita dall’equazione f (x, y) = C. Definiamo allora la misura invariante ω(C) di un membro della famiglia con   d Ω(C), (3.9) ω(C) = dxdyδ(C − f (x, y)) = dC  

dove

dxdyθ(C − f (x, y))

Ω(C) =

(3.10)

`e l’area racchiusa da f = C; in genere ω(C) non coincide con la lunghezza, ma `e comunque una misura, indipendente dal sistema di coordinate. 3.2.1 Volume dell’ipersfera in N dimensioni N Poniamo i x2i = r2 . Per ragioni dimensionali, il volume   ΩN (R) = N dx1 dx2 . . . dxN = dN xθ(R − r) = cN RN i

x2i