Praxis der Differentialgleichungen: Eine Einführung [Reprint 2019 ed.] 9783111507613, 9783111140445

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PRAXIS DER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN Eine

Einführung VON

DR. H O R S T V O N SANDEN o. Professor an der Technischen Hochschule Hannover

M i t 20 A b b i l d u n g e n

W a l t e r de G r u y t e r

& Co.,

Berlin

vormals G. J. Göschen'sehe Verlagshandlung — J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung — Georg Reimer — Karl J. Trübner — Veit & Comp.

19 4 3

A l l e R e c h t e , n a m e n t l i c h das Ü b e r s e t z u n g s r e c h t , Ton d e r V e r l a g s h a n d l u n g v o r b e h a l t e n

Meinen

Söhnen

dem Oberleutnant Dipl.-Ing.

Kurt von Sanden

und dem Leutnant Dietrich von Sanden gewidmet

Archiv-Nr. 121243 Druck von Walter de Gruyter & Co., Berlin W 35 Printed in Germany

Inhaltsverzeichnis A. G e w ö h n l i c h e D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g e n m i t

Anfangswerten.

I. Differentialgleichungen erster Ordnung. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Fragestellung Geometrische Deutung. Isoklinen Zeichnerische Integration Numerisch-tabellarische Integration Analytische Iteration Methode von Runge-Kutta

6 7 10 18 33 34

II. Differentialgleichungen zweiter Ordnung. 1. 2. 3. 4.

Fragestellung und geometrische Deutung Zeichnerische Integration Numerisch-tabellarische Integration Lösung einer Differentialgleichung durch Potenzreihen

36 37 43 50

I I I . Systeme von Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung. 1. Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung 2. Zwei gekoppelte Differentialgleichungen zweiter Ordnung . '.

53 55

B. G e w ö h n l i c h e Differentialgleichungen als Randwertaufgaben. I. Die lineare, homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstantem Beiwert als Randwertaufgabe. 1. Fragestellung bei Randwertaufgaben 2. Eigenwerte und Eigenfunktionen 3. Drei Beispiele: a) Kritische Drehzahlen b) Knicklasten c) Eigenschwingungen einer Saite

58 59 60 61 62

II. Die lineare, homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung mit nicht-konstantem Beiwert. 1. Allgemeines über Eigenwerte und Eigenfunktionen 2. Der Ansatz von Rayleigh 3. Die Iterationsmethode

64 68 72 1*

I nhaltsverzeichnis.

4

I I I . Die lineare, inhomogene Differentialgleichung zweiter O r d n u n g mit Randwerten. 1. 2. 3. 4.

Aufgabe und Lösbarkeit Erzwungene Saitenschwingungen Lösung durch die Greensche Funktion Lösung durch numerisch-tabellarische Integration

79 79 81 84

IV. Die Methode von Ritz zur Behandlung von R a n d w e r t a u f g a b e n . 1. Fragestellung der Variationsrechnung 2. Nutzanwendung auf die Lösung von Randwertaufgaben 3. Die Galerkinsche Form des Ritz-Verfahrens 4. Die Berechnung von Eigenwerten

85 • 88 94 96

V. Ausblick u n d L i t e r a t u r

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Vorwort Dies kleine Buch ist aus der vervielfältigten Niederschrift von Vorlesungen entstanden, die ich an der Technischen Hochschule Hannover gehalten habe. Da die Nachfrage nach diesen Umdrucken in und außerhalb der Hochschule größer wurde, entschloß ich mich zur Herausgabe in Buchform. Nicht ohne Bedenken, denn über Differentialgleichungen gibt es j a zahlreiche vortreffliche Lehrbücher. D a in diesen jedoch hauptsächlich der systematische Aufbau der Theorie dargestellt wird, schien es mir nicht überflüssig zu sein, einmal die praktische Nutzanwendung in den Vordergrund zu stellen und die numerischen Lösungsmethoden zu betonen. Vollständigkeit in dem Sinne, daß zu jeder Aufgabe der Praxis eine Anweisung gegeben wird, nach der dann nur schematisch zu rechnen ist, konnte hier ebensowenig wie auf irgendeinem anderen Gebiet der Praktischen Mathematik erreicht werden, denn jeder Einzelfall erfordert besondere Überlegungen, wobei die Genauigkeit, der Zeitaufwand und die verfügbaren Hilfsmittel zu berücksichtigen sind. Wenn der Leser Interesse für die numerische Behandlung der Differentialgleichungen und eine gewisse Rechengewandtheit bekommt, so ist der Zweck des Buches erfüllt. Bei der Durchrechnung der Beispiele hat mich mein langjähriger Assistent, Oberingenieur Dr. ing. S t o h l e r in dankenswerter Weise unterstützt. Dem Verlag bin ich zu großem Dank verpflichtet, daß er den Druck des Buches trotz mancherlei Schwierigkeiten ermöglicht hat. Hannover, im November 1942.

v. S a n d e n .

A. G e w ö h n l i c h e Differentialgleichungen mit Anfangswerten I. Differentialgleichungen erster Ordnung 1. Fragestellung Es sei f(x, y) eine gegebene Funktion von x und y, die in dem Arbeitsbereich bis auf einzelne Punkte oder Linien stetig sein soll. Eine Differentialgleichung erster Ordnung dy Tx

=

f i x

'y)

stellt dann die Aufgabe, solche Funktionen y = y(x) zu finden, deren Differentialquotient identisch gleich derjenigen Funktion von x ist, die man erhält, wenn man in f(x, y) für y die Funktion y(x) einsetzt, wodurch ja f[x, y(xj\ eine Funktion von x allein wird. Zwei Beispiele: Die Funktion f(x, y) sei a • y/x, worin a eine gegebene Konstante ist. Die Differentialgleichung lautet demgemäß d y _ dx

y_ x

Ihre Lösung ist y = C • x", worin C eine „willkürliche Konstante" bedeutet. Die Differentialgleichung wird nämlich durch diese Funktion befriedigt für beliebige Werte von C. Denn es ist dy -f- = a-C dx

• x"-1 = a

C • xa x

dy

x

ax

y

.

Eine andere Differentialgleichung sei — = & — , worin b eine gegebene Konstante bedeutet. Die Lösung ist y = yC + b • x2, worin C eine willkürliche Konstante ist. Der Leser prüfe die Lösung durch Differenzieren und Einsetzen in die rechte Seite der Differentialgleichung. Was die beiden Beispiele erkennen lassen, gilt ganz allgemein: Daß nämlich die Lösung einer Differentialgleichung erster Ordnung eine willkürliche

Differentialgleichungen erster Ordnung.

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Konstante enthält, die beim Einsetzen der Lösung in die Gleichung herausfällt. Die im nächsten Abschnitt folgende geometrische Deutung der Differentialgleichung wird den Sinn dieser Tatsache deutlich hervortreten lassen.

2. Geometrische Deutung einer Differentialgleichung erster Ordnung. Isoklinen E s sollen x und y rechtwinklige Koordinaten sein, wobei vorläufig die Maßstäbe auf den beiden Koordinatenachsen als gleich angenommen werden. Eine Funktion y = y{x) erscheint dann als Kurve, dy deren Steigung durch den Differentialquotienten — dx angegeben wird (Abb. 1). Ist