Praxis der Differentialgleichungen: Eine Einführung [3. verb. Aufl. Reprint 2019] 9783111507590, 9783111140421

Citation preview

PRAXIS DER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN Eine

Einführung VON

D R . PHIL. H O R S T V O N

SANDEN

o. Professor an der Technischen Hochschule Hannover

Dritte, verbesserte Auflage

M i t 20 A b b i l d u n g e n

W a l t e r de G r u y t e r

& Co.,

Berlin

vormals G. J. Göschen'sehe Verlagshandlung — J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung — Georg Reimer — Karl J. Triibner — Veit & Comp.

1945

A l l e R e c h t e , n a m e n t l i c h das Ü b e r s e t z u n g s r e c h t , von der V e r l a g s h a n d l u n g v o r b e h a l t e n

Meinen

Söhnen

dem Oberleutnant Dipl.-Ing.

Kurt von Sanden

und dem Oberleutnant Dietrich von Sanden gewidmet

Archiv-Nr. 12 1245 Druck von Walter de Gruyter & Co., Berlin W 3& Printed in Germany

Inhaltsverzeichnis A. Gewöhnliche Differentialgleichungen mit A n f a n g s w e r t e n . I. Differentialgleichungen erster Ordnung. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Fragestellung Geometrische Deutung. Isoklinen Zeichnerische Integration Numerisch-tabellarische Integration Analytische Iteration Methode von Runge-Kutta

6 7 10 18 38 38

II. Differentialgleichungen zweiter Ordnung. 1. 2. 3. 4.

Fragestellung und geometrische Deutung Zeichnerische Integration Numerisch-tabellarische Integration Lösung einer Differentialgleichung durch Potenzreihen

40 41 48 55

III. Systeme von Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung. 1. Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung 2. Zwei gekoppelte Differentialgleichungen zweiter Ordnung

58 60

B. Gewöhnliche Differentialgleichungen als Randwertaufgaben. I. Die lineare, homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstantem Beiwert als Randwertaufgabe. 1. Fragestellung bei Randwertaufgaben 2. Eigenwerte und Eigenfunktionen 3. Drei Beispiele: a ) Kritische Drehzahlen b ) Knicklasten c ) Eigenschwingungen einer Saite

62 63 64 65 66

II. Die lineare, homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung mit nicht-konstantem Beiwert. 1. Allgemeines über Eigenwerte und Eigenfunktionen 2. Der Ansatz von Rayleigh 3. Die Iterationsmethode

68 72 76 1*

I nh al tsverzeichnis. III. Die lineare, inhomogene Differentialgleichung zweiter Ordnung mit Randwerten, 1. 2. 3. 4.

Aufgabe und Lösbarkeit Erzwungene Saitenschwingungen Lösung durch die Greensche Funktion Lösung durch numerisch-tabellarische Integration

83 84 86 89

IV. Die Methode von Ritz zur Behandlung von Randwertaufgaben. 1. Fragestellung der Variationsrechnung 2. Nutzanwendung auf die Lösung von Randwertaufgaben 3. Die Galerkinsche Form des Ritz-Verfahrens 4. Die Berechnung von Eigenwerten

90 93 99 101

V. Ausblick und Literatur

105

Vorwort zur ersten Auflage Dies kleine Buch ist aus der vervielfältigten Niederschrift von Vorlesungen entstanden, die ich an der Technischen Hochschule Hannover gehalten habe. Da die Nachfrage nach diesen Umdrucken in und außerhalb der Hochschule größer wurde, entschloß ich mich zur Herausgabe in Buchform. Nicht ohne Bedenken, denn über Differentialgleichungen gibt es ja zahlreiche vortreffliche Lehrbücher. Da in diesen jedoch hauptsächlich der systematische Aufbau der Theorie dargestellt wird, schien es mir nicht überflüssig zu sein, einmal die praktische Nutzanwendung in den Vordergrund zu stellen und die numerischen Lösungsmethoden zu betonen. Vollständigkeit in dem Sinne, daß zu jeder Aufgabe der Praxis eine Anweisung gegeben wird, nach der dann nur schematisch zu rechnen ist, konnte hier ebensowenig wie auf irgendeinem anderen Gebiet der Praktischen Mathematik erreicht werden, denn jeder Einzelfall erfordert besondere Überlegungen, wobei die Genauigkeit, der Zeitaufwand und die verfügbaren Hilfsmittel zu berücksichtigen sind. Wenn der Leser Interesse für die numerische Behandlung der Differentialgleichungen und eine gewisse Rechengewandtheit bekommt, so ist der Zweck des Buches erfüllt. Bei der Durchrechnung der Beispiele hat mich mein langjähriger Assistent, Oberingenieur Dr. ing. S t o h l e r in dankenswerter Weise unterstützt. Dem Verlag bin ich zu großem Dank verpflichtet, daß er den Druck des Buches trotz mancherlei Schwierigkeiten ermöglicht hat. Hannover, im November 1942. v. S a n d e n .

Vorwort zur zweiten Auflage In die zweite Auflage wurde außer einigen Zusätzen eine inzwischen von Dr. S t o h l e r angegebene Vereinfachung der numerisch-tabellarischen Integration gewöhnlicher Differentialgleichungen aufgenommen, die eine er hebliche Arbeitsersparnis bedeutet. Hannover, im Mai 1943. v. S a n d e n .

Vorwort zur dritten Auflage Die dritte Auflage ist bis auf Beseitigung einiger Druckfehler ein unveränderter Abdruck der zweiten Auflage. Hannover, im Oktober 1944. v. S a n d e n .

Ä. Gewöhnliche Differentialgleichungen mit Anfangswerten I. Differentialgleichungen erster Ordnung 1. Fragestellung Es sei f(x, y) eine gegebene Funktion von x und y, die in dem Arbeitsbereich bis auf einzelne Punkte oder Linien stetig sein soll. Eine Differentialgleichung erster Ordnung dy Tx = t ^ y ) stellt dann die Aufgabe, solche Funktionen y = y(x) zu finden, deren Differentialquotient identisch gleich derjenigen Funktion von x ist, die man erhält, wenn man in / ( x , y) für y die Funktion y(x) einsetzt, wodurch ja f[x, y(x)] eine Funktion von x allein wird. Zwei Beispiele: Die Funktion f{x, y) sei a • y/x, worin a eine gegebene Konstante ist. Die Differentialgleichung lautet demgemäß dy_ y_ dx x' Ihre Lösung ist y — C • x", worin C eine „willkürliche Konstante" bedeutet. Die Differentialgleichung wird nämlich durch diese Funktion befriedigt für beliebige Werte von C. Denn es ist dy Cx" = a -C • x'^^a . dx x dy x Eine andere Differentialgleichung sei — = b—, worin b eine gegebene Kondx y stante bedeutet. Die Lösung ist y = ]/C + b • worin C eine willkürliche Konstante ist. Der Leser prüfe die Lösung durch Differenzieren und Einsetzen in die rechte Seite der Differentialgleichung. Was die beiden Beispiele erkennen lassen, gilt ganz allgemein: Daß nämlich die Lösung einer Differentialgleichung erster Ordnung eine willkürliche

Differentialgleichungen erster Ordnung.

7

Konstante enthält, die beim Einsetzen der Lösung in die Gleichung herausfällt. Die im nächsten Abschnitt folgende geometrische Deutung der Differentialgle chung wird den Sinn dieser Tatsache deutlich hervortreten lassen. 2. Geometrische Deutung einer Differentialgleichung erster Ordnung. Isoklinen Es sollen x und y rechtwinklige Koordinaten sein, wobei vorläufig die Maßstäbe auf den beiden Koordinatenachsen als gleich angenommen werden. Eine Funktion y = y { x ) erscheint dann als Kurve, dy deren Steigung durch den Differentialquotienten — dx angegeben wird (Abb. 1). Ist

= 33,0 < sin