Physica status solidi: Volume 5, Number 1 1964 [Reprint 2021 ed.] 9783112495629, 9783112495612

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physica status solidi B o a r d of E d i t o r s P. A I G R A I N , Paris, S. A M E L I N C K X , Mol-Donk, W. D E K E Y S E R , Gent, W. F R A N Z , Münster, P. G Ö R L I C H , Jena, E. G R I L L O T , Paris, R. K A I S C H E W , Sofia, P. T. L A N D S B E R G , Cardiff, L. N É E L , Grenoble, A. P I E K A R A , Poznan, A. S E E G E R , Stuttgart, O. S T A S I W , Berlin, M. S T E E N B E C K , Jena, F. S T Ö C K M A N N , Karlsruhe, G. S Z I G E T I , Budapest, J. T A U C , Praha Editor-in-Chief P. G Ö R L I C H Advisory Board M. B A L K A N S K I , Paris, P. C. B A N B U R Y , Reading, M. B E R N A R D , Paris, W. B R A U E R , Berlin, W. C O C H R A N , Cambridge, R. C O E L H O , Fontenay-aux-Roses, H.-D. D I E T Z E , Aachen, J. D. E S H E L B Y , Birmingham, G. J A C O B S , GeDt, J. J A U M A N N , Köln, E. K L I E R , Praha, E. K R O E N E R , Clausthal-Zellerfeld, M. M A T Y A S , Praha, H. D. M E G A W , Cambridge, T. S. MOSS, Camberley, E. N A G Y , Budapest, E. A. N I E K I S C H , Jülich, L. P A L , Budapest, M. R O D O T , Bellevue/Seine, B. V. R O L L I N , Oxford, H. M. R O S E N B E R G , Oxford, R. V A U T I E R , Bellevue/Seine

Volume 5 196 4

A K A D E M I E

- V E R L A G

•

B E R L I N

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or t o B u c h h a n d l u n g K U N S T U N I )

W I S S E N , E r i c h B i e b e r , 7 S t u t t g a r t S , W i l h e l m s t r . 4 — 6 or t o D e u t s c h e B u c h - E x p o r t u n d - I m p o r t G m b H , L e i p z i g C 1, P o s t s c h l i e ß f a c h

276

Schriftleiter und verantwortlich f ü r den I n h a l t : Professor D r . Dr. h. c. P. G ö r l i c h , Berlin C 2, Neue Schönhauser Str. 20 bzw. J e n a , Humboldtstr. 26. Redaktionskollegium; Dr. S. O b e r l ä n d e r , Dr. E. G u t s c h e , Dr. W. B o r c h a r d t . Anschrift der Schriflleitung: Berlin C 2, Neue Schönhauser Str. 20, Fernruf: 42 67 88. Verlag: Akademie-Verlag G m b H , Berlin W 8, Leipziger Str. 3-4, Fernruf: 2 2 0 4 4 1 , Telex-Nr. 011773, Postscheckkonto: Berlin 35021. — Die Zeitschrift „physica status solidi" erscheint jeweils a m 1. des Monats. Bezugspreis eines Bandes DM 60,—. Bestellnummer dieses Bandes 1068/5. F ü r l 9 6 4 sind 4 Bände vorgesehen. Gesamtherstellung: V E B Druckerei „Thomas M ü n t z e r " Bad Langensalza. — Veröffentlicht unter der Lizenznummer 1310 des Presseamtes beim Vorsitzenden des Ministerrates der Deutschen Demokratischen R e p u b l i k .

Contents 1. Review Articles F . R . KESSLER

D.

GEIST

Page Innere Bandübergänge als Absorptionsmechanismus freier Ladungsträger in Halbleitern (I) Zyklotron- und Elektronenspin-Resonanz in diamagnetisehen Halbleitern

3 217

P . GÖRLICH, H . K A R R A S , G . KOTITZ, a n d R . LEHMANN

Spektroscopic Properties of Activated Laser Crystals (T) . . . .

437

2. Original Papers W . HAUBENREISSEK u n d E . JÄGER

Greensche Funktionen in der Theorie eines einachsig und kubisch anisotropen Ferromagneten

33

P . BTTRCK u n d G . A P E L

A. K.

HEAD

F . HUGHES

Zum Verfestigungsverhalten verunreinigter Zinkeinkristalle . . The Energy of a Screw Dislocation in a Cubic Crystal Comment on (/-Shifts in the Electron Paramagnetic Resonance of F-Centers

47 51 55

W . LANGE, A . HÄSSNER u n d G . MISCHER

Messung der Korngrenzendiffusion von Nickel-63 in Nickel und y-Eissn B . N . DUTTA a n d B .

J.

M.

It.

CHANG

GALLIGAN

G . ELBINGER

M.

BALARIN

63

DAYAL

Lattice Constants and Thermal Expansion of AgCl up to 878 °C bv X-Ray Method The Appearance of Unloading Effects in the Three Stages of Deformation of Single Crystals of Copper Perturbation of the V 2 -Band in Ca-Doped KCl from Plastic and Elastic Deformation Zum Auftreten der magnetischen Kristallanisotropiekonstante K3 in Ferriten mit Spinellstruktur Eine Möglichkeit zur Unterscheidung zwischen der Wirkung fokussierender Stoßketten und der Kanalleitung

73 77 81 87 93

W . MÖHLING, H . P E I B S T u n d L . HILDISCH

G.

DORDA

Lage und Dichte von typischen Baufehlern in dampfphasengezüchteten CdS-Kristallen Observation of Slow States on Germanium Surface by Tunneling at d-c Field Effect

101 107

J . TOURNON e t P . B E R G E J . VOIGT

W.

BRAUER

Thermoluminescence à basse température de cristaux de LiF . . Reaktionskinetische Untersuchungen zum Einfluß von Hafttermspektren auf die Photostrom-Beleuchtungscharakteristiken von photoleitenden Phosphoren Über die Bloch-Darsteller der Elektron-Elektron-Wechselwirkung

117 123 139

J . KOLODZIEJCZAK a n d S . ¿ U K O T Y N S K I

Galvano- and Thermomagnetic Effects in Semiconductors with Non-Spherical and Non-Parabolic Energy Bands

145

IV

Contents Restwiderstandsverhältnis, Durehmesser-Effekt u n d Stromabhängigkeit des Widerstandsverhältnisses von zonengeschmolzenem Wolfram bei tiefen T e m p e r a t u r e n

K . - H . BERTHEL

159

G . JUNGK u n d H . MENNIGER

Zur Messung der Diffusionslänge der Minoritätsträger in Halbleitern . . . Zur Theorie des Kontrastes von elektronenmikroskopisch abgebildeten Gitterfehlern Die Abhängigkeit der Magnetisierungsschwankungen, der Domänenbreite u n d der Dispersion der leichten Richtung von den Schichtparametern einachsiger Permalloyfilme E f f e t s d'anisotropie des constantes élastiques sur les dislocations

M. WILKENS H . HOFFMANN

G.

FONTAINE

B.

VELICKY

dans le T i t a n a t e de B a r y u m dans sa phase ferroélectrique . . . On t h e U l t i m a t e Distribution of I m p u r i t y in t h e Zone Melting Process

S . SCHÄFER, H . ALEXANDER u n d P .

175

187 203 207

HAASEN

Plastische Verformung von Germanium u n d Indiumantimonid im dynamischen Druckversuch J . ARENDS a n d A . J .

169

247

DEKKER

Paramagnetic Crystals

Resonance of F-Centers in Mixed KCl—RbCl 265

H . D . PANDEY a n d B . DAYAL

B r a d b u r n - F ü r t h Equation of S t a t e a n d Thermal Expansion of Face-Centered Metals Raumladungsbegrenzte Photoströme in dünnen Schichten aus hexagonalem Selen

M. POLKE

273 279

J . MALINOWSKI, W . PLATIKANOWA, a n d I . PETKANCIIIN

Photographic Processes on Bi-Doped AgBr Monocrystals . . .

303

M . L . CANUT a n d J . MENDIOLA

Critical Scattering of X - R a y s in N a N 0 2 Zur Theorie bewegter Versetzungen

H . BROSS

313 329

N . KRATOCHVÎLOVÂ a n d B . S E S T Ä K

Slip Propagation over the Grain Boundaries at Plastic Deformation of F e - 3 % Si Alloy

343

W . M A E N H O U T - V A N D E R V O R S T a n d F . VAN C R A E Y N E S T

P . PETRESCU

et

P.

B. H . K a m e e B H . W. S T R E I T W O L F P. S C H I L L E R K . - H . BERTHEL

The Charging of ZnO in Function of Pressure and N a t u r e of Surrounding Gas Kovi.cs Émission exo-électronique des monocristaux électroluminescents de ZnS K TepMojjHHaMHKe raü3eH6eproBcKoro «JieppoMarHeTHKa . Über die Symmetrien beim Gitterproblem Zum mechanischen Relaxationsspektrum in K u p f e r Der spezifische elektrische Widerstand von elektronenstrahlzonengeschmolzenem Wolfram zwischen 1,4 und 27 °K

. . . .

F . FORLANI a n d N . M I N N A J A

E.

VOTAVA

357

367 373 383 391 399

Conduction P h e n o m e n a in Si-Si0 2 -Al Structures

407

Eine neue Methode zur Herstellung verformungsfreier EinkristallZugproben hochschmelzender Metalle u n d einige Ergebnisse über die plastische Deformation von Niob-Einkristallen

421

Contents G.

RICHTER

H . GÖTZ E . PRAVECZKI

Theorie des stationären photomagnetoelektrischen Effektes in InSb Die Anregung von Scherschwingungen im NaC10 3 -Einkristall mit Hilfe eines magnetischen Hochfrequenzfeldes Definition and Use of Ferromagnon Annihilation Operators in the BLOCH-DYSON Theory of Ferromagnons

V 463 477 481

D . MATZ a n d F . GARCIA-MOLINER

Non-Ohmic Transport in Semiconductors in a Magnetic Field . B . DORNER a n d H . S T I L L E R

Frequency Spsct-rum in Solid Methane at 6.5 °K

E . FORTIN a n d F . L . WEICHMAN

Photoconductivity in Ag 2 0

495 511 515

X . S E X E R e t J . TAVERNIER

Phénomènes de transport dans les matériaux à bande non parabolique mais à symétrie sphérique

521

H . M . O T T E , J . D A S H , a n d H . F . SCHAAKE

J.

LITWIN

J . LAGOWSKI

Electron Microscopy and Diffraction of Thin Films: Interpretation and Correlation of Images and Diffraction Patterns . . . X - R a y Examination of the Binary System CdTe-CdSe . . . . Local Changes of the Work Function of Germanium and Silicon due to Dislocations

R . P E R T H E L u n d H . JAHN P . PETRESCU

Über das paramagnetische Verhalten von Mn 3 0 4 und Co 3 0 4 . . Sur quelques phénomènes transitoires présentés par l'émission exo-électronique photostimulée des couches minces de A1 2 0 3 . .

P . KRISPIN a n d W . LUDWIG

M. RÖSLER

Photodielectric Investigations on ZnS Phosphors Zur Theorie des elektrischen Widerstandes ferromagnetischer Metalle bei tiefen Temperaturen

527 551

555 563 569 573 583

R . G E V E R S , P . D E L A V I G N E T T E , H . B L A N K , J . VAN L A N D U Y T , a n d S . AMELINCKX

Electron Microscope Transmission Images of Coherent Domain Boundaries (II)

595

M . B A L K A N S K I e t M . NUSIMOVICI

B. W. W7.

SELLE RUPPEL RUPPEL

Interaction du champ de rayonnement avec les vibrations de réseau aux points critiques de la zone de Brillouin du silicium . Das Abklingen der Lumineszenz von ZnS:Mn bei Anregung im Gebiet der Mn-Eigenabsorption Photospannungen in Photoleitern (I) Photospannungen in Photoleitern (II)

G . L Ü C K a n d R . SIZMANN

B. G I B B S G. SCHOTTKY G.

The Radiation Annealing of Frenkel Defects The Thermodynamics of Creep Deformation Zur Anwendung des Peierlsschen Modells auf schwach gekrümmte Versetzungen

635 649 657 667 683 693 697

3. Short Notes L . STALS a n d J . V A N L A N D U Y T

B . H . OmepHH

Domain Patterns due to Interstitial Impurities in Tantalum . . K 1 K pacHëTy xapaKTepHcraqecKHX TeivmepaTyp BemecTB cjiojKHoro cocTaBa K 5

VI L. GOLD

Contents Splitting of Diffraction Lines

K 9

V . TOPA u n d Ä . SOMLÖ

Über die Farbzentren in NaCl: A g - u n d N a C l : A g + Ca-Kristallen K 13 M. ZAVETOVA

Absorption Edge of ZnSb

K 19

A . MODBZEJEWSKI a n d S. SZABBAS

X - R a y and Neutron Studies of the Lineage Structure in Large Aluminium Single Crystals K 23 H. FRIEDRICH

Temperaturabhängigkeit der spektralen Verteilung der „blauen" Lumineszenz von CdS-Kristallen zwischen 65 und 300 C K

. . . K 27

S. M . DE D E M I C H E L I a n d L . LTTBART

Thermal Etching of Ice in Vacuum

K 57

E . M . D E A C H A V A L , L . L E V I , a n d E . SURASKI

Chemical Etching in Ice Crystals H. HOEFMANN G. DIEMER

K 61

Zur Dickenabhängigkeit der Schwankungen der leichten Richtung in dünnen einachsigen ferromagnetis chen Schichten . . . K 65 Note to the Kiess-Stöckmann Mechanism of Photocurrent Saturation K 69

S. POROWSKI a n d R . R . GALAZKA

Pressure Phase Transition of HgSe

K 71

E . MACHERATTCH, P . M A Y R u n d 0 . VÖHRINCER

Zur Gültigksi t des Cottrell-Stokes'schen Gesetzes bei kfz. Vielkristallen K 73 J. W . MORON

Magnetische Untersuchungen über Relaxationserscheinungen in Fe-Si-C-Legierungen K 77

M . C. E p o H H H , H . H . B H T P H X O B C K H H O

H B. M.

BJ1HHHHH J i e r n p O B a H H H

KypnK

H a 3KCHT0HHLIÖ

CIieKTp

MOHO-

KpHCTajina CdS

K105

L . J. VAN RUYVEN The Position of the Fermi L e v e l at a Hetero-Junction Interface . K109 B. HILCZER J. LASER

Changes in the Ferroelectric Properties of BaTi0 3 Ceramics Caused by Irradiation with Cd-Transmitted Neutrons . . . . K113 Resistometrische Untersuchungen über kohärente Phasengleichgewichte in der Mischungslücke von AL-Zn-Legierungen . . .

.K117

S. LELE and T . R . ANANTHARAMAN

G. B. GIBBS

X - R a y Line Broadening in Cold-Worked Magnesium

K121

Temperature Dependence of Creep Activation Energies . . . .

K125

M . ROSENBERG a n d I . NICOLAE

On the Magnetic Susceptibility of Zn x Mnn_J.01 and Cda.Mn3_:c04 Systems K127

Author Index E. H. S. T. G. J.

M . D E ACHÂVAL ALEXANDER AMELINCKX R . A N ANTH AR AM AN APEL ARENDS

M . BALARIN M . BALKANSKI P . BERGE K . - H . BERTHEL H . BLANK W . BRAVER M .

C.

E P O H H H

K 61 247 595 K121 47 265 93 635 117 159,399 595 139 K 1 0 5

H . BROSS P . BURCK

329 47

M . L . CANUT R . CHANG P . VAN CRAEYNEST

313 81 357

J. B. A. P. G. G. B. B.

DASH DAYAL J . DEKKER DELAVIGNETTE DIEMER DORDA DORNER N . DUTTA

527 73, 273 265 595 K 69 107 511 73

G . ELBINGER

87

G . FONTAINE F . FORLANI E . FORTIN H.FRIEDRIC H

203 407 515 K 27

R . R.

K

GATAZKA

71

J . M . GALLIGAN P . GARCIA-MOLINER D . GEIST R . GEVERS G . B . GIBBS L . GOLD P . GÔKLICH H . GÔTZ

77 495 217 595 693, K 1 2 5 K 9 437 477

P . HAASEN A . HASSNER W . HAUBENREISSER A . K . HEAD B . HILCZER L . HILDISCH H . HOFFMANN P . HUGHES

247 63 33 51 K L 13 101 187, K 6 5 55

E . JÄGER H . JAHN G . JUNGK H . KARRAS B. H. KAMEEB F . R . KESSLER J . KOIODZIEJCZAK G . KOTITZ P . KOVI.CS N . KRATOCHVILOVÄ P . KRISPIN B. M. K Y P H K

33 563 169 437 373 3 145 437 367 343 573 K105

J . LAGOWSKI

J . VAN LANDUYT W . LANGE J . LASEK R . LEHMANN S. LELE L . LEVI J . LITWIN L . LUBART G . LÜCK W . LUDWIG E . MACHERAUCH W . MAENHOUT-VAN DER VORST . J . MALINOWSKI D . MATZ P . MAYR J . MENDIOLA H . MENNIGER N . MINNAJA S. M . DE D E MICHELI G . MISCHER A . MODRZEJEWSKI W . MÖHLING J . W . MORON I . NICOLAE M . NUSIMOVICI

555

595, K 1 63 K L 17 437 K121 K 61 551 K 57 683 573 .

.

K73 357 303 495 K 73 313 169 407 K 57 63 K 23 101 K 77 K127 635

B. H. OMEPHH H . M . OTTE

K 5 527

H . D . PANDEY H . PEIBST R . PERTHEL I . PETKANCHIN P . PETRESCU W . PLATIKANOWA M . POLKE S. POROWSKI E . PRAVECZKI

273 101 563 303 367, 569 303 279 K 71 481

VIII G . RICHTER M . ROSENBERG M . RÖSLER W . RUPPEL L . J . VAN RUYVEN H . F . SCHAAKE S . SCHAPER P . SCHILLER G . SCHOTTKY B . SELLE B . SESTÄK N . SEXER R . SIZMANN Ä . SOMLÖ L . STALS H . STILLER

Author Index 463 K127 583 657, 667 K109 527 247 391 697 649 343 521 683 K 13 K 1 511

H . W . STREITWOLF E . SURASKI S. SZAERAS

383 K 61 K 23

J . TAYERNIER V . TOPA J . TOURNON

521 K 13 117

B. 0. J. E.

207 K 73 123 421

VELICKY VÖHRINGER VOIGT VOTAVA

F . L . WEICIIMAN M . WILKENS H. H. BHTPHXOBCKHÖ

515 175 K105

M . ZAVETOVÄ S. ¿TTKOTYLISKI

K 19 145

plrysica status solidi

VOLUME 5 • N U M B E R 1 . 1964

Contents Review Article

Pagre

F. R. KESSLER

Innere Bandübergänge als Absorptionsmechanismus freier Ladungsträger in Halbleitern (I)

3

Original Papers W . HAUBENREIBBER u n d E . J Ä G E R

Greensche Funktionen in der Theorie eines einachsig und kubisch anisotropen Ferromagneten

P . B U R CK u n d

33

G. APEL

Zum- Verfestigungsverhalten verunreinigter Zinkeinkristalle The Energy of a Screw Dislocation in a Cubic Crystal Comment on p-Shifts in the Electron Paramagnetic Resonance of-F-Centers. .

A. K. HEAD F. HÜGHES

W . LANGE, A . H Ä SMessung S N E R u nder d GKorngrenzendiffusion . MISCHER B . N . DUTTA a n d B .

von Nickel-63 in Nickel und y-Eisen . . . .

R . CHANG G. ELBINGER M. BALARIN

63

DAYAX

Lattice Constants a n d Thermal Expansion of AgCl u p to 878 °C b y X - R a y Method . The Appearance of Unloading Effects in t h e Three Stages of Deformation of Single Crystals of Copper

J . M. GALLICAN

47 51 55

73 77

Perturbation of t h e V,-Band in Ca-Doped KCl from Plastic and Elastic Deformation • Zum Auftreten der magnetischen Kristallanisotropiekonstante K , In Ferriten m i t Spinellstruktur

87

Eine Möglichkeit zur Unterscheidung zwischen der Wirkung fokussierender Stoßketten und der Kanalleitung

93

W . MÖHLING, H . P E I B S T u n d L .

81

HILDISCH

Lage und Dichte von typischen Baufehlern in dampfphasengezüchteten CdSKristallen 101

G. DORDA J . TOURXON

Observation of Slow States on Germanium Surface b y Tunneling at d-c Field Effect 107 et

P . BERGE

J . VOIGT

Thermoluminescence à basse température de cristaux de LiF 117 Reaktionskinetische Untersuchungen zum Einfluß von Hafttermspektren auf die Photostrom-Beleuchtungseharakteristiken von photoleitenden Phosphoren 123

W.BRAUER

Über die Bloch-Darsteller der Elektron-Elektron-Wechselwirkung

J . KOLODZIEJCZAK

K.-H. BF.RTHF.L G. JUNGK u n d

M. WILSENS H. HOFFMANN G. FONTAINE B.VELIOKT

and

139

S . ZUXOTYNSKI

Galvano- and Thermomagnetic Effects in Semiconductors with Non-Spherical and Non-Parabolic Energy Bands 145 Restwiderstandsverhältnis, Durchmesser-Effekt und Stromabhängigkeit des Widerstandsverhältnisses von zonengeschmolzenem Wolfram bei tiefen Temperaturen 159

H . MENNIGER

Zur Messung der Diffusionslänge der Minoritätstrager in Halbleitern

169

Zur Theorie des Kontrastes von elektronenmikroskopisch abgebildeten Gitterfehlern 175 Die Abhängigkeit der Magnetisierungsschwankungen, der Domänenbreite u n d der Dispersion der leichten Richtung von den Schichtparametern einachsiger Permalloyfilme 187 Effets d'anisotropie des constantes élastiques sur les dislocations dans le Titanate de Baryum dans sa phase ferroélectrique 203 On the Ultimate Distribution of I m p u r i t y in the Zone Melting Process

. . . .

207

Short Notes (listed on the last page of the issue) Pre-printed Tltels and Abstracts of Papers to be published in this or In t h e Soviet journal ,,H3nKa Tflepfloro Tejia" (Fizika Tverdogo Tela).

physica status solidi B o a r d of E d i t o r s P. A I G R A I N , Paris, S. A M E L I N C K X , Mol-Donk, W. D E K E Y S E R , Gent, W. F R A N Z , Münster, P. G Ö R L I C H , Jena, E. G R I L L O T , Paris, R. K A I S C H E W , Sofia, P. T. L A N D S B E R G , Cardiff, L. N É E L , Grenoble, A. P I E K A R A , Poznan, A. S E E G E R , Stuttgart, 0 . S T A S I W , Berlin, M. S T E E N B E C K , Jena, F. S T Ö C K M A N N , Karlsruhe, G. S Z I G E T I , Budapest, J . T A U C . Praha Editor-in-Chief P. G Ö R L I C H Advisory Board M. B A L K A N S K I , Paris, P. C. B A N B U R Y , Reading, M. B E R N A R D , Paris, W. B R A U E R , Berlin, W. C O C H R A N , Cambridge, R. C O E L H O , Fontenay-aux-Roses, H.-D. D I E T Z E , Aachen, J . D. E S H E L B Y , Birmingham, G. J A C O B S , Gent, J . J A U M A N N , Köln, E. K L I E R , Praha, E. K R O E N E R , Clausthal-Zellerfeld, M. M A T Y À S , Praha, H. D. M E G A W , Cambridge, T. S. M O S S , Camberley, E. N A G Y , Budapest, E. A. N I E K I S C H , Jülich, L. P A L , Budapest, M. R O D O T , Bellevue/Seine, B. V. R O L L I N , Oxford, H. M. R O S E N B E R G , Oxford, R. Y A U T I E R , Bellevue/Seine

Volume 5 • Number 1 • Pages 1 to 214 and K 1 to K 56 1964

A K A D E M I E - V E R L A G

•

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Review

Article

phys. stat. sol. 5, 3 (1964) Institut für Experimentalphysik

der Universität des Saarlandes,

Saarbrücken

Innere Bandübergänge als Absorptionsmechanismus freier Ladungsträger in Halbleitern (I) Von F . R . KESSLEE

Inhaltsverzeichnis 1.

Einleitung Definition des Absorptionsmechanismus als „Intrabandübergänge" Übersicht und Abgrenzung in bezug auf die übrigen Absorptionsmechanismen von Elektronen („Interbandübergänge" und „Leitungsabsorption") Der historische Ausgangspunkt Übersicht über den Inhalt

2. Theorie

des Absorptionsspektrums

bei

Intrabandübergängen

2.1 Zurückführung des Absorptionskoeffizienten auf quantenmechanische Ersatzoszillatoren anhand des Bändermodells 2.2 Berechnung der Oszillatorendichte 2.3 Berechnung der Besetzungswahrscheinlichkeiten 2.4 Berechnung der Oszillatorenstärken 2.5 Diskussion der vollständigen Formel 2.5.1 Proportionalität zur Dichte freier Ladungsträger 2.5.2 Qualitativer Verlauf des Spektrums 2.5.3 Temperaturabhängigkeit 2.5.4 Größenrelation zur Leitungsabsorption 3. Die „Photoabsorption" messung an freien

als spezielle Ladungsträgern

experimentelle

Technik

zur

Absorptions-

Literatur zu Teil I

1. Einleitung Unter inneren Bandübergängen als Absorptionsmechanismus versteht man durch Lichtquanten angeregte Übergänge von Elektronen zwischen Energiebändern, die sich energetisch überlappen und auf diese Weise gemeinsam beispielsweise das Valenz- oder Leitungsband bilden. Für diese inneren Bandübergänge soll hier der Terminus „Intrabandübergänge" (lat. intra = innerhalb) verwendet werden. Intrabandübergänge stellen einen Absorptionsmechanismus dar, der sich speziell in elektronischen Halbleitern — v o n diesen soll hier ausschließlich die Rede sein — beobachten läßt. Dabei handelt es sich um eine Absorption freier Ladungsträger, die der Dichte der Elektronen im Leitungsband bzw. der Dichte der Löcher im Valenzband proportional ist, also auch mit dieser variiert werden kann. l*

4

F. R. KESSLER

Es ist ohne weiteres verständlich, daß ein derartiger iwirabandübergang innerhalb des Leitungsbandes ausschließlich durch die freien Elektronen ausgeführt wird und deswegen der zugehörige Absorptionskoeffizient proportional zu ihrer Dichte ist. Daß aber die Intrabandabsorption durch Übergänge innerhalb des FaZerezbandes ebenfalls ausschließlich eine Absorption freier Ladungsträger ist, bedarf vielleicht eines besonderen Hinweises: Ein völlig besetztes Valenzband bietet innerhalb seiner selbst keine Möglichkeit der energetischen Anhebung von Elektronen. Erst wenn ein freier Platz (ein Loch) existiert, kann unter Berücksichtigung von Impuls und Energieerhaltung ein Elektron dorthin angehoben werden. Entsprechend der Konzeption des positiven Loches kann man das auch so ausdrücken, d a ß das Loch einen entsprechenden Intrabandübergang „nach unten" macht. Hier ist also der Absorptionskoeffizient proportional zur Zahl der freien Löcher. Entsprechend der Fermi-Verteilung der Löcher nehmen diese LöcherÜbergänge ihren Ausgang vom oberen Valenzbandrand, wobei unter Umständen nur zu berücksichtigen ist, daß der Übergang unmittelbar beim I-Wert des Extremums ausfällt, falls es sich um sogenannte verbotene Übergänge handelt. Damit ergibt sich bereits die Abgrenzung zu den sogenannten „Interbandübergängen" gebundener Elektronen, die mit Hilfe der Lichtquanten aus — am absoluten Nullpunkt völlig — besetzten Bändern über eine verbotene Energielücke hinweg (lat. inter = zwischen) in unbesetzte Bänder erfolgen. Der Interbandübergang vom Valenz- in das Leitungsband setzt bekanntlich mit der Absorptionskante der Fundamentalabsorption ein, sei es als direkter oder indirekter Übergang. Der Interbandübergang ist damit prinzipiell von der Dichte der freien Ladungsträger unbeeinflußt, wenn nicht indirekt, wie z. B . beim InSb, durch entartete und damit erhebliche Auffüllung des Leitungsbandes die energetische Distanz für diesen Übergang vergrößert wird, also eine spektrale Verschiebung der Absorption stattfindet, die ihrerseits mit der Dichte der freien Ladungsträger in einem, meist nicht linearen Zusammenhang steht. Freie Ladungsträger besitzen damit insgesamt zwei Absorptionsmechanismen. Die früher ausschließlich betrachtete „klassische" Absorption ist die „Leitungsabsorption", wie sie von DRUDE [1] bereits im Jahre 1900 für ein im Kristallgitter frei bewegliches Elektronengas berechnet wurde. Dabei erfolgt eine Energieabgabe in der Form von Joulescher Wärme an das Gitter wie beim Gleichstrom oder Wechselstrom. Nur handelt es sich, dem ultraroten Spektralbereich entsprechend, um Frequenzen in der Größenordnung von 10 14 Hz. Da die Stoßzeiten unter bestimmten Voraussetzungen aus der Gleichstrombeweglichkeit übernommen werden können, ist bei der Leitungsabsorption im optischen Bereich nur noch zusätzlich die Massenträgheit der freien Ladungsträger zu berücksichtigen. Die Bindung der Elektronen an das Kristallgitter, d. h. die Quantentheorie der Elektronenbewegung in der Form der Da-Broglie-Wellen in einem periodisch modulierten Potential, kann relativ einfach durch die Verwendung der „effektiven Masse" m* berücksichtigt werden. Gebraucht man anstelle dieser elektrotechnischen Interpretation der „Leitungsabsorption" diejenige mit Hilfe von Photonen und Phononen, so handelt es sich dabei um eine energetische Anhebung von Elektronen innerhalb eines (Unter-)Bandes (d. h. einas zusammenhängenden ^(i)-Verlaufs), eine energetische Anhebung, die also nur unter gleichzsitiger Impulsänderung vollzogen werden kann. Da die Lichtquanten des ultraroten Spsktralbereiches auf Grund ihrer

Innere Bandübergänge als Absorptionsmechanismus freier Ladungsträger (I)

5

großen Wellenlänge g e m ä ß Quanten

=

hß

einen vernachlässigbaren I m p u l s P besitzen, gemessen a n der zur E n e r g i e ä n d e r u n g der Elektronen notwendigen I m p u l s ä n d e r u n g , die u m ca. 4 Z e h n e r p o t e n z e n größer ist (zu einem AE von 1 eV gehört ein AP von großen o r d n u n g s m ä ß i g h • 10 10 ), m u ß der I m p u l s d u r c h Wechselwirkung m i t d e m K r i s t a l l g i t t e r ausgeglichen werden, d. h. d u r c h Phononenemission oder P h o n o n e n a b s o r p t i o n . D a b e i ist umgekehrt meist die Energie d e r P h o n o n e n n e b e n der L i c h t q u a n t e n e n e r g i e zu vernachlässigen. E s h a n d e l t sich bei der Leitungsabsorption (vgl. Fig. 1) also n o t wendigerweise u m einen i n d i r e k t e n Übergang, d. h. u m einen D r e i e r s t o ß zwischen E l e k t r o n , L i c h t q u a n t u n d Schallquant, u n d zwar i n n e r h a l b eines ¿"(^-Verlaufs. 1 ) Beim I n t r a b a n d ü b e r g a n g jedoch h a n d e l t es sich in e r s t e r Linie u m direkte Übergänge zwischen zwei verschiedenen £•(!)-Verläufen, d . h. u m einen Zweierstoß zwischen E l e k t r o n u n d L i c h t q u a n t m i t p r a k t i s c h „ s e n k r e c h t e m " Ü b e r g a n g v o n einem U n t e r - B a n d in ein anderes. Aus der größeren Wahrscheinlichkeit eines Zweierstoßes gegenüber einem Dreierstoß folgt, d a ß der A b s o r p t i o n s q u e r s c h n i t t eines freien L a d u n g s t r ä g e r s auf G r u n d des I n t r a b a n d ü b e r g a n g e s i m S c h w e r p u n k t der Absorption meist größer ist als der auf G r u n d d e r L e i t u n g s a b s o r p t i o n . So wird in vielen Fällen d o r t , wo energetisch, d. h. nach M a ß g a b e der L i c h t q u a n t e n energie, beide Prozesse möglich sind, das A b s o r p t i o n s s p e k t r u m freier Ladungsträger von den direkten I n t r a b a n d ü b e r g ä n g e n beherrscht. Leitungsabsorption

Leitungsband; freie Elektronen •

Fig. 1. Schema zur Veranschaulichung der verschiedenen Übergangsmöglichkeiten im Bändermodell (Leitungsabsorption, Intraband- und Interbandübergänge)

/fli

Valenzband•.'•' •' gebundene Elektronen' freie Löcher'. • "•..'••.'' Impuls kBandübergänge

In der Literatur wird häufig die so definierte „Leitungsabsorption" mit dem Namen Intrabandabsorption bezeichnet. Da auf diese Weise zwei völlig verschiedene Absorptionsmechanismen, nämlich die Zwischenbandübergänge freier Ladungsträger innerhalb des Leitungsbandes bzw. innerhalb des Valenzbandes und die Zwischenbandübergänge gebundener Elektronen über eine verbotene Energieteci-e hinweg, mit dem gleichen Namen „Interbandübergänge" belegt werden, möchte der Verfasser vorschlagen, die oben definierten Bezeichnungen zu verwenden und damit zwischen Leitungsabsorption, Intrabandübergängen und Interbandübergängen eindeutig zu unterscheiden.

6

F . R . KESSLER

Es besteht auch die Möglichkeit indirekter Intrabandübergänge, von Übergängen also, die mit Phononenwechselwirkung zwischen zwei Unter-Bändern erfolgen, z. B. zwischen zwei relativen Minima bzw. Maxima des Leitungsbandes bzw. Valenzbandes. Die Übergangswahrscheinlichkeiten sind in analoger Weise relativ gering. Auch setzt die Phononenabsorption eine entsprechende Phononendichte im Gitter, d. h. eine entsprechende Temperatur, voraus. Falls zum Übergang z. B. zwischen zwei relativen E x t r e m a eine diskrete Impulsdifferenz aufzubringen ist, läßt sich aus dem Energie-Impuls-Zusammenhang der Gitterschwingungen leicht die Debye-Temperatur der notwendigen Phononen und d a m i t die erforderliche Anregungstemperatur angeben. Man k a n n sich dabei unter Umständen auf experimentelle Dispersionskurven der Phononen stützen, denn in jüngster Zeit sind mit Hilfe der Neutronenbeugung die Gitterschwingungszweige gerade der wichtigsten Halbleiter Germanium u n d Silizium experimentell vermessen worden. Fig. 1 zeigt in einem Schema die verschiedenen Übergangsmöglichkeiten im Bändermodell und veranschaulicht damit die Leitungsabsorption und die Gruppe der Intrabandübergänge. Ferner ist f ü r die Interbandübergänge vom Valenz- ins Leitungsband ein direkter u n d ein indirekter Übergang eingezeichnet. Es bleibt zu erwähnen, daß Intrabandübergänge experimentell nur e r f a ß b a r sind, wenn die überbrückte energetische Differenz kleiner ist als die Breite der verbotenen Energielücke zwischen Valenz- u n d Leitungsband. Denn da die Zahl der freien Ladungsträger im Halbleiter stets um viele Größenordnungen kleiner ist als die Zahl der Valenzelektronen, wird eine Intrabandabsorption, die spektral mit einer Interbandabsorption zusammenfällt, stets von dieser völlig überdeckt. Auch erscheint es ausgeschlossen, das Vorhandensein eines Intrabandüberganges etwa an einem Defekt in der Quantenausbeute der Eigen-Photoleitung, die mit dem Interbandübergang verbunden ist, aufzufinden. Intrabandübergänge lassen sich also nur auf der langwelligen Seite der Absorptionskante im sogenannten Durchlässigkeitsbereich der Halbleiter beobachten. Damit bewegt m a n sich, der Energielücke der Halbleiter gemäß, im wesentlichen im ultraroten Spektralbereich, z. B. bei Germanium oberhalb von 2 jj.m. Auf ein durch Intrabandübergänge beherrschtes Absorptionsspektrum stießen zuerst B R I G G S und F L E T C H E R [2] im J a h r e 1952 bei der Vermessung des Absorptionsspektrums von p-leitendem Germanium im Bereich von 2 ¡i.m an a u f w ä r t s (Fig. 2). Die Autoren äußerten bereits die, wie sich nachträglich herausstellte, richtige Vermutung, daß die Erklärung in der S t r u k t u r des Valenzbandes, die in einer energetischen Überlappung von Unter-Bändern besteht, zu suchen sei. Diese Messungen an p-Germanium wurden sehr bald bestätigt [3, 4], wobei der Nachweis, daß es sich wirklich um die Absorption freier Löcher handelt, durch die Proportionalität der Absorption zur Zahl der freien Löcher geführt wurde. Diese Schlußweise ist jedoch bei der Variation der Zahl der freien Löcher durch Dotierung nicht ganz stichhaltig, da es sich bei gleicher Proportionalität prinzipiell auch um einen Absorptionsmechanismus handeln kann, der durch die geladenen Akzeptoren hervorgerufen wird. Da aber injizierte [5, 6] u n d photoelektrisch [7, 8, 9, 10, 11] erzeugte Löcher sowie der Eigenleitungsfall [12] das gleiche Spekt r u m liefern, liegt in dieser Hinsicht kein Fehlschluß vor. Derartige Messungen, bei denen die Löcherdichte ohne die parallel laufende Akzeptordichte variiert wird, wurden jedoch erst später durchgeführt. Wir werden weiter u n t e n auf sie zurückkommen.

7

Innere Bandübergänge als Absorptionsmechanismus freier Ladungsträger (I)

Fig. 2. Der Absorptionsindex k = K -— von 4 n ^-Typ-Germanium mit verschiedenem spez. Widerstand und das Spektrum von Reingermanium zum Vergleich ( N a c h BRIGGS u n d FLETCHER, 1 9 5 2 [2])

7

2

3

4- 5 6 8 10

20

30

Wellenlänge (pm)

Historisch folgte zunächst 1953 aus den Ergebnissen der Zyklotronresonanz am Germanium [13, 14] die Bestätigung der Existenz zweier sich überlappender Valenzbänder verschiedener effektiver Masse mit zusammenfallendem Energiemaximum (Entartung) bei ! = 0. Es sei bemerkt, daß m a n mit Hilfe der Zyklotronresonanz im stationären Zustand der Trägerdichte nur d a n n ein Unter-Band auffinden kann, wenn dessen absolutes E x t r e m u m mit dem Bandrand zusammenfällt, also dort E n t a r t u n g herrscht. Andernfalls, und zwar besonders bei den f ü r das Resonanzexperiment erforderlichen tiefen Temperaturen, ist das Band nicht hinreichend stark genug besetzt. Da diese beiden Valenzbänder zur Deutung des relativ kurzwelligen Absorptionsspektrums nicht ausreichten, nahm KAHN 1955 [15], gestützt auf die theor e t i s c h e n B e r e c h n u n g e n d e s B ä n d e r m o d e l l s v o n HEKMAN u n d CALLAWAY [18]

aus dem J a h r e 1953, ein drittes Valenzband an, für dessen Maximum er rückwärts aus dem Absorptionsspektrum der Löcher einen Abstand von 0,3 eV unter dem B a n d r a n d ermittelte. Nach der Entwicklung der Bänder aus den Atomeigenfunktionen der Elektronen ist dieses dritte Valenzband auch zu erwarten. Fällt es bei einfacherer Rechnung bei f = 0 ebenfalls mit dem Bandrand zusammen, so erhält m a n unter Berücksichtigung der Spin-Bahn-Wechselwirkung f ü r die Elektronen eine entsprechende energetische Absenkung. Diesbezügliche Rechnungen wurden z. B. v o n KANE [17] d u r c h g e f ü h r t .

Fig. 3 zeigt schematisch a n h a n d eines Bändermodellausschnittes bei f = 0 die jetzt dreifache Möglichkeit f ü r Intrabandübergänge u n d die Zuordnung zu dem von KAHN berechneten Absorptionsspektrum der Löcher. Hier sind zunächst nur die direkten Intrabandübergänge berücksichtigt, auf das Auftreten auch der indirekten wird weiter unten hingewiesen. Das Absorptionsspektrum auf Grund der Intrabandübergänge zeigt die F o r m von unsymmetrischen Absorptionsbanden, deren quantitativer Verlauf für die

8

F. R.

KESSLER -

y i

100 50

m*=0.1m

Wellenlänge

20

(ßm)

10

5

2

• 20

^Leitungsbd.

I §

AE Bondlücke

T-30C °K

7

10 5

\

f

—__Volenzbd.

SE

0,3m Obergänge \

7 0 Besetzung

' O.Oim < -

1 red.

Ausbreitungsvektor-

1

S^T I

\

1 7

löJ 100 200

2

j

,

,/Vi

1 \

I 500 10002000 5000 10000 Wellenzahl(ctTi')

»-

F ig. 3. Intrabandübergänge freier Löcher in Germanium a) Bändermodellaussehnitt bei f = 0 mit Einzeichnung der drei direkten Übergänge zwischen den Zweigen des Valenzbandes (schematisch) b) Berechneter Absorptionsquerschnitt in den zugehörigen Absorptionsbanden nach KAHN [15], bezogen auf ein freies Loch unter der Annahme rein parabolischer Bänder

direkten Übergänge berechenbar ist, wobei Experiment und Theorie eine sehr befriedigende Übereinstimmung zeigen. Das folgende 2. Kapitel beschäftigt sich mit dieser theoretischen Berechnung für den einfachsten Fall parabolischer, sphärischer und zentrischer, d. h. mit Extremum bei i = 0 versehener, Bänder. Die Ableitung läßt aber leicht erkennen, wie man im Fall nichtparabolischer, anisotroper und nicht zentrischer Bänder vorzugehen hat, um den Absorptionskoeffizienten zu berechnen, wobei man unter Umständen zu numerischer (Rechenmaschinen-) Rechnung übergehen muß. Das 3. Kapitel skizziert kurz die Methode der „Photoabsorption" als spezielle experimentelle Technik, die Absorption freier Ladungsträger zu vermessen. Diese Technik hat beim Studium der Intrabandübergänge eine gewisse Rolle gespielt, so daß es angebracht erscheint, dazu ein Wort der Erläuterung zu sagen. I m Kapitel 4 werden einige experimentelle Ergebnisse an verschiedenen Halbleitern vorgeführt und diskutiert. Diese Auswahl bemüht sich, einige charakteristische Fälle herauszugreifen, die bestimmte Fragen (z. B . der Kristallstruktur) im Zusammenhang mit den Intrabandübergängen aufwerfen, auf diese Weise Ergänzungen bringen (z. B . p-Banden in InSb bei entarteter Trägerdichte) und zur Aufklärung des Bändermodells des betrachteten Halbleiters beitragen ( z . B . beim Selen). Bei der notwendigen Platzbeschränkung trägt diese, auf jeden Fall interessante Auswahl notwendigerweise einen subjektiven Charakter. Deswegen bringt das 7. Kapitel eine tabellarische Übersicht über das bisher vorliegende gesamte experimentelle Material mit Literaturangaben, wobei Vollständigkeit angestrebt wurde. Um beim Prinzipiellen zu bleiben, bringt jedoch zunächst noch das 5. Kapitel Bemerkungen über den Einfluß der Intrabandübergänge auf Brechungsindex und Reflexionsvermögen und das 6. Kapitel über das Erscheinen von Intrabandübergängen in Emission.

Innere Bandübergänge als Absorptionsmechanismus freier Ladungsträger (I)

9

2. Theorie des Absorptionsspektrums bei Intrabandübergängen 2.1 Zurückführung des Absorptionskoeffizienten Ersatzoszillatoren anhand des

auf quantenmechanische Bändertnodells

Der Absorptionskoeffizient K (m - 1 ) 2 ) gibt die Abnahme der Strahlungsintensität (hier speziell als Intensitätsdic^ie bezogen auf die Fläche 1 m 2 ) in einem homogenen Volumen auf der Strecke d a n : ,

Energie (1)

Er steht mit den optischen Konstanten n u n d k (aus dem komplexen Brechungsindex rt = n — i k) in dem Zusammenhang K =

(2)

"Vakuum

bzw., ausgedrückt mit Hilfe der sogenannten optischen Leitfähigkeit ffopt =

K =

4 n s0 n • k • v ,

°°ptc

;

(3)

c = Vakuumlichtgeschwindigkeit.

(4)

Die optische Leitfähigkeit ist von der Gleichstromleitfähigkeit a 0 zu unterscheiden, da die Leitfähigkeit bei hohen (d. h. optischen) Frequenzen selbst frequenzabhängig wird, wie z. B. aus der Theorie der „Leitungsabsorption" nach D R U D E bekannt ist, die die Massenträgheit der freien Ladungsträger bei hohen Frequenzen berücksichtigt. K e n n t m a n die optischc Leitfähigkeit, so k a n n m a n mit (3) den Absorptionskoeffizienten berechnen, wenn, wie im vorliegenden Fall, der Brechungsindex vom betrachteten Absorptionsmechanismus nicht beeinflußt wird. I m Beobachtungsbereich der Intrabandübergänge hat der Brechungsindex einen nahezu wellenlängenunabhängigen, konstanten Wert. Dieser Sonderfall einer scheinbaren „Entkopplung" von Brechungsindex und Absorption ist f ü r Halbleiter im Durchlässigkeitsbereich (d. h. also bei „schwacher" Absorption) typisch, da der hohe Brechungsindex allein durch die bei höheren Frequenzen liegende Fundamentalabsorption, die mit der Absorptionskante beginnt, bestimmt ist [18]. Die direkte Berechnung der optischen Leitfähigkeit aus elektrischen Strömen oder gemäß (3) über den komplexen Brechungsindex aus der elektrischen Polarisation des Mediums braucht bei der Quantentheorie der Band-Band-Übergänge nicht durchgeführt zu werden. Vielmehr sei hier der Absorptionskoeffizient unter Erinnerung an die Tatsache berechnet, daß er auf Grund seiner Definition (1) im infinitesimalen Bereich =

-

Kdx

(5)

nichts anderes darstellt als den Quotienten aus der pro Sekunde u n d Volumeneinheit absorbierten Energie u n d der pro Flächeneinheit u n d Sekunde in das Volumen einströmenden Energie dl dx

1 I

Energie s m3 Energie s m2

absorbiert i

(6)

2 ) D a alle Rechnungen im MKSA-System durchgeführt werden, h a t hier der Absorptionskoeffizient die Dimension m" 1 . I n der Praxis wird meistens die Angabe in c m - 1 gemacht.

10

F. R.

KESSLER

Es sei bemerkt, daß sich die Formel (4) sofort ergibt, wenn man einsetzt: a) für die pro Sekunde und Volumeneinheit absorbierte Energie Abs = Copt ß 2 = OV.pt Y E l ,

(7)

E2 zeitlicher Mittelwert des Quadrates der Feldstärke, deren Maximalwert bei reiner Sinusform E0 beträgt; b) für die einfallende Intensitätsdichte (Poyntingvektor unter Berücksichtigung der um n verminderten Phasengeschwindigkeit, aber der um n2 erhöhten Energiedichte in dem Medium) I = s0c-n-^El.

(8)

Ferner sei bemerkt, daß der Absorptionskoeffizient, korpuskular aufgefaßt, gleich ist dem Produkt aus dem (differentiellen) Absorptionsquerschnitt q (Wirkungs- oder Stoßquerschnitt) und der Dichte der absorbierenden Teilchen (Stoßpartner) N K = q •N . (9) Die Berechnung des Absorptionskoeffizienten erfolgt quantentheoretisch so, daß man die pro Sekunde und Volumeneinheit absorbierte Energie berechnet. Danach gibt man dann häufig rückwärts über Gleichung (4) eine diesbezüglich äquivalente optische Leitfähigkeit an. Die absorbierte Energie pro Sekunde und Volumeneinheit ist gegeben durch das Produkt aus hv und der entsprechenden Zahl der absorbierten Lichtquanten. Diese ist das Produkt, gebildet aus der Übergangswahrscheinlichkeit W (v) zwischen zwei Energiezuständen im Abstand h v und der Dichte der Energiezustände n(v), bezogen auf den Übergang mit h v. Das Ganze ist ferner mit einem Ausschließungsfaktor zu multiplizieren, der die Besetzungswahrscheinlichkeiten des Ausgangszustandes, aber auch des Endzustandes, und damit das Pauliprinzip berücksichtigt. Erfolgt der Übergang über eine größere energetische Distanz, wie bei den Interbandübergängen, so genügt es, die Ausgangszustände als vollständig besetzt und die Endzustände als völlig frei anzusetzen, da die „Auflockerung" der Fermikante nur in der Größenordnung von k T liegt (bei Zimmertemperatur ca. 1 / 40 eV). Bei den Intrabandübergängen mit kleinen Bandabständen kann jedoch unter Umständen der Endzustand bereits thermisch merklich besetzt sein, und dies ist zu berücksichtigen. Wäre er z. B . vollständig besetzt, so kann wegen des Pauliprinzips kein Übergang stattfinden, die Absorption bleibt Null. Auf der anderen Seite besteht bei endlicher Besetzung des Endzustandes und merklicher Zahl freier Plätze im Ausgangszustand die Möglichkeit der induzierten Emission mit der gleichen Wahrscheinlichkeit. Bei der Bilanz der absorbierten Lichtquanten sind diese emittierten Lichtquanten in Abzug zu bringen. Insgesamt erhält man für die pro Sekunde und Volumeneinheit absorbierte Energie beim Übergang von Band j nach i A{v) = h v • W(v) • n(v) [ff f f - f f f f ] ,

(10)

wobei die Größen stets die Mittelwerte über ein endliches spektrales Intervall v bis (v + d v) darstellen.

Innere Bandübergänge als Absorptionsmechanismus freier Ladungsträger (I)

11

N e b e n d e n bereits oben definierten F u n k t i o n e n b e d e u t e n : f f Besetzungswahrscheinlichkeit der A u s g a n g s z u s t ä n d e im B a n d j m i t Elektronen, (11) f f Besetzungswahrscheinlichkeit der E n d z u s t ä n d e im B a n d i m i t freien Plätzen, (12)

f f Besetzungswahrscheinlichkeit der E n d z u s t ä n d e im B a n d i m i t E l e k t r o n e n , (13) f f Besetzungswahrscheinlichkeit der Ausgangszustände im B a n d j m i t freien Plätzen. (14) Zur Berechnung der spektralen Abhängigkeit der A b s o r p t i o n h a t m a n n e b e n IV(v) u n d n(v) auch die Besetzungswahrscheinlichkeiten als F u n k t i o n v o n hv auszudrücken. Dies wird im folgenden in einzelnen S c h r i t t e n geschehen. Z u n ä c h s t k a n n m a n die Übergangswahrscheinlichkeit W(v) noch d u r c h die sogenannten Oszillatorenstärken ausdrücken u n d ferner von A(v) d i r e k t auf den Absorptionskoeffizienten umrechnen. Die quantenmechanischen Oszillatorenstärken sind definiert d u r c h (vgl. weiter u n t e n : (54) ff.) [1]

-

(15)

D a b e i b e d e u t e t a den E i n h e i t s v e k t o r in R i c h t u n g des elektrischen Feldes der linearpolarisierten elektromagnetischen Welle. Die B e d e u t u n g der Oszillatorenstärke liegt darin, d a ß m i t ihrer Hilfe die quantenmechanischen Dispersions- bzw. Absorptionsformeln auf d e n klassischen Fall reduziert werden k ö n n e n . E i n E l e k t r o n , das an sich Ü b e r g ä n g e in m e h r e r e verschiedene Energiezustände m a c h e n k a n n , dem also m e h r e r e R e s o n a n z f r e q u e n z e n zuzuordnen wären, w i r k t bezüglich eines herausgegriffenen Ü b e r g a n g e s j —s- i n u r m i t der „ S t ä r k e " / o , ; - « ^ 1 • Insgesamt gilt jedoch der S u m m e n s a t z (vgl. weiter unten) E (fo.j^i + il^i i l = i, . . . (alle B a n d n u m m e r n =)= j).

+ ih^i)

= 1>

(16)

W ä h r e n d bezüglich des Brechungsindexes über alle Ü b e r g ä n g e zu s u m m i e r e n ist, d a jede Resonanzstelle einen Beitrag zur Polarisierbarkeit liefert, genügt es f ü r die Absorption, n u r den Ü b e r g a n g zu berücksichtigen, f ü r den die Energiebilanz erfüllt i s t : h Vj^i = E i — E j . (17) U m zu k o n k r e t e n W e r t e n zu gelangen, h a t m a n über d a s s t e t s b e n u t z t e kleine spektrale I n t e r v a l l dv zu m i t t e i n . H a t m a n darin n(v) dv E l e k t r o n e n pro Volumeneinheit, die zu einem Ü b e r g a n g m i t h v bis h{v + dv) fähig sind, u n d ist in diesem I n t e r v a l l deren gemittelte Oszillatorenstärke gleich foj^-i, so ist dies N klassischen Oszillatoren m i t der Resonanzfrequenz v u n d d e r D ä m p f u n g s k o n s t a n ten pro Masse y äquivalent. E s gilt also N

-

— = n(v)j-n foj-M

s

[1]

(18)

(vgl. z. B . FRÖHLICH [19], Seite 111, Gleichung 15). U m Gleichung (10) auf die Oszillatorenstärken / o j - « u m z u f o r m e n (in Z u k u n f t sei der Mittlungsstrich weggelassen), berechnet m a n die pro Sekunde u n d Volumen-

12

F. R.

KESSLER

einheit absorbierte Energie zunächst für klassische Oszillatoren an der Resonanzstelle : (7) ergibt mit (3) den Zusammenhang A(v) = 2nenv

-—

Energie

El2nk

m3 s

(19)

Die Größe 2 n k ergibt sich aus der klassischen Theorie [18], die mit der bekannten Bewegungsleichung (im linearen Ansatz) ä; + a>o x

y x = — E(t)

(20)

beginnt und für 2 n v — co0 , d. h. an der Stelle der Resonanz, zu 2 nk

e2

N

(21)

führt. Setzt man jetzt (18) ein, d. h. geht man auf die Quantentheorie über, so erhält man A(v)j-n

= y Et £ • n(v) foj-^dv) ,

(22)

wobei noch der Ausschließungsfaktor [ff ff — ff ff] aus (10) hinzuzufügen ist. Damit wird gemäß (6) mit (8) der Absorptionskoeffizient für den Übergang j —> i

K[v) [m-1]

= i T ^ ' i n{v) k^i(v) uf ff ~ '

(23)

Die einzelnen Faktoren müssen nun in ihrer Frequenzabhängigkeit ermittelt werden, um das Absorptionsspektrum zu erhalten. Dazu ist es zweckmäßig, die Übergänge zunächst im f-Raum zu lokalisieren, d. h. zu dem h v das zugehörige f zu ermitteln. Diese i-Werte stellen die Verbindung zum Bändermodell her. Auf diese Weise lassen sich aus dem E(l)Verlauf des Bändermodells die gesuchten Größen Oszillatorendichte, Übergangswahrscheinlichkeit und Besetzungswahrscheinlichkeit gewinnen. Die Kenntnis des -E(!)-Verlaufs beschränkt sich praktisch jedoch auf einfache Fälle und besonders auf den Fall, daß die parabolische Näherung für den £'(!)-Verlauf noch verwendet werden kann. Im folgenden wird ein derart einfacher Fall zugrunde gelegt, und zwar zwei parabolische, isotrope, mit Extremum bei f = 0 versehene Bänder, die bei f = 0 einen energetischen Abstand öE besitzen. Die beiden Bänder können also dargestellt werden in der Form ^

= ^Bandrand±2^|i|2,

E2 = ^Bandrand ± ÖE ± ~

z m2

(24) \l\\

(25)

wobei das positive Vorzeichen für zwei Bänder des Leitungsbandes, das negative Vorzeichen für zwei Bänder des Valenzbandes gilt. Das Band mit der Indizierung „ 1 " ist also stets dasjenige, das bei J = 0 den Bandrand bildet. Bei ä E = 0 fallen dort beide Bänder zusammen. Mit Hilfe dieser Zählweise ist es möglich, die Übergänge der Elektronen im Leitungsband und der Löcher im Valenzband mit gleicher Indizierung zu erfassen.

Innere Bandübergänge als Absorptionsmechanismus freier Ladungsträger (I)

13

Die effektiven Massen sind mit dem richtigen Vorzeichen f ü r freie Ladungsträger gemäß ihrer Definition (reduziert auf den isotropen Fall) 1 82E (+ f ü r freie Elektronen im Leitungsband

1 m

ft2

*

8t2

|— f ü r freie Löcher im Valenzband

einzusetzen. F ü r den Zusammenhang zwischen der zum Übergang erforderlichen Lichtquantenenergie ( = Betrag der Energiedifferenz = \E2 — E11) und dem Ausbreitungsvektor ! gilt damit =

|f|\

(27)

wobei m*2 die sogenannte reduzierte effektive Masse ist gemäß der Definition - V = " T - "V •

(28)

Qualitativ kann m a n schon diskutieren, daß die kurzwellige Grenze des Absorptionsspektrums f ü r negative reduzierte effektive Masse, d. h. f ü r m* > m*. bei hv = 6E liegt u n d dies ebenso, wenn m* ein anderes Vorzeichen hat als ml, d. h. wenn m* < 0 ist u n d damit Band 2 einen anderen Krümmungssinn als Band 1 hat. F ü r 0 < m* < m* dagegen gibt dE wegen des positiven Vorzeichens der reduzierten effektiven Masse die langwellige Grenze des Absorptionsspektrums an. 2.2 Berechnung

der

Oszillatorendichte

Die Berechnung der Oszillatorendichte n(v) in Abhängigkeit von der Frequenz, d. h. der Zahl der möglichen Übergänge pro Volumeneinheit mit einer definierten Frequenz v unter Berücksichtigung der zweifach möglichen Spineinstellung, erfolgt mit Hilfe der Zustandsdichte D(E) als Funktion der Energie. F ü r ein parabolisches, isotropes, mit E x t r e m u m bei l = 0 versehenes B a n d besteht der folgende bekannte Zusammenhang: Leitungsband D(E) = 4tz ( - ^ f - ' J 3 " [E - (£iiand f ü r E ^ (£Kand

+

(£Iiand

-

(29)

ÖE),

j3/2

Valenzband D(E) = 4 n für E ^

+ ÖE)]^

__

dR)

__ E ] l ß

(3())

ÖE) .

Die effektiven Massen m*y sind hier mit dem I n d e x D versehen, da es sich dabei u m die „effektive Masse der Zustandsdichte" („density [of states] effective mass") handelt, die nur im Falle eines parabolischen, isotropen u n d zentrischen 3 ) B a n d e s identisch ist mit der effektiven Masse, die bei Beschleunigungsvorgängen maßgebend ist. I s t z . B . das Band zwar parabolisch, aber nicht isotrop u n d liegt das E x t r e m u m bei kx0, ky0, kz0, wird es also dargestellt durch die Gleichung E(!) = E{ f 0 ) + 3

h2 -

kxo)2 | (ky

) Das heißt mit Extremum bei ! = 0.

^yo)2 |

kzo)2

(31)

14

F. R.

KESSLER

wobei die Fläche zweiten Grades E(l) = const auf die Hauptachsen x, y, z transformiert ist, so ergibt sich die effektive Masse der Zustandsdichte rn*, zu [20] m* = (s2 m* • m* • m* ) x ' 3 . (32) Dabei ist s die Zahl der Extrema in der reduzierten Brillouinzone. Für Germanium und Silizium z.B. gelten die folgenden Zahlenwerte [21]: Germanium Für Elektronen im Leitungsband: s = 4 ; s = 1 ; Band 1; Für Elektronen im Valenzband: s = 1 ; Band 2;

w| D = 0,55 m0 rn*AD = — 0,35 m0 m£ 22J = — 0,04 m0

gemittelt über Band 1 und 2 bei thermischer Gleichgewichtsverteilung: = — 0,36 m0 Silizium Für Elektronen im Leitungsband: s = 6; rn|,n Für Elektronen im Valenzband: s = 1; Band 1; m*1D s = l ; Band 2; gemittelt:

= 1,08 m0 = — 0,35 m0 = — 0,156 m0 = — 0,59 m0 .

Nach diesen Ausführungen über die allgemeine Energieabhängigkeit der Zustandsdichte D(E) und unter Hinweis auf die Ableitung dieser Zustandsdichte soll nun die Oszillatorendichte n(v) für den ins Auge gefaßten einfachen Fall berechnet werden. Es sei bemerkt, daß die Oszillatorendichte im doppelten Sinn eine Dichte ist: eine Zahl pro Volumeneinheit und pro Frequenzintervall mit der Dimension [s/m3]. Da die Zustandsdichte im f-Raum eine Konstante ist und unter Berücksichtigung der zweifachen Spineinstellung (x/4 7t3) beträgt, läßt sich die Zahl der Oszillatoren pro Volumeneinheit für das Intervall h v bis h (v + dv) über Gleichung (27) berechnen, indem man das zugehörige „Volumen" im f-Raum (eine Kugelschale vom Volumen 4ji k2 dk) berechnet und mit der (konstanten) Zustandsdichte im f-Raum multipliziert.

darin

Zustandsdichte k-Raum

im

konstant

nj^ilvl-av diskrete

Zustände

Fig. 4. Eindimensionales Schema zur Darstellung der Oszillatorendichte

Innere Bandübergänge als Absorptionsmechanismus freier Ladungsträger (I)

15

Fig. 4 erläutert diesen Zusammenhang in eindimensionaler Darstellung. Durch Kombination der dreidimensionalen Zustandsdichte im i-Raum ^ ^ fc2 dkj mit Gleichung (27) und ihrer Ableitung erhält man nach Division durch dv die Oszillatorendichte in Abhängigkeit von der Frequenz pro Volumeneinheit: n(vh^2

mit

h v S; öE

für

m*2

=

(|hv -

positiv

und

ÖE\)^

h v sj dE

(33)

für

m *2 negativ,

worin die reduzierte effektive (Zustands-) Masse m*2 gemäß der Definition (28) auftritt. 2.3 Berechnung

der

Besetzungswahrscheinlichkeiten

Die Besetzungswahrscheinlichkeit der Bänder wird in ihrer Abhängigkeit von der Energie durch die Fermiverteilung HE) =

;

S Fermienergie

(34)

angegeben, die man, falls keine Entartung vorliegt und stets |( E - 0 \ > k T

(35)

ist, durch die klassische Boltzmannverteilung ersetzen kann. In diesem Fall ist die Besetzungswahrscheinlichkeit des Leitungsbandes mit Elektronen gegeben durch 1 f{E) = e kT . (36) Dies ist ebenso die Besetzungswahrscheinlichkeit des Valenzbandes mit Löchern, denn für die Besetzungswahrscheinlichkeit mit Löchern gilt wegen der Voraussetzung (35) l^-tl 1 - f(E) = e k T . (37) Um die Kenntnis des Ferminiveaus £ zu umgehen, kann man davon Gebrauch machen, daß die Gesamtzahl der Elektronen (bzw. Löcher) im Leitungsband (bzw. Valenzband) gegeben ist durch oo

N

bzw. durch

E

= f D(E) f(E) dE

^Rand

(38)

— oo

NL=

f D(E) f(E) dE .

£

Rand

Die Integrationsgrenzen können dabei statt bis zum anderen Bandrand bis oo bzw. — oo verschoben werden, da stets die Breite des Bandes k T ist. Setzt man Dichtefunktion und Boltzmannverteilung ein, so läßt sich das Integral durch Substitution auf die Form der Eulerschen Gammafunktion bringen und damit lösen. Man erhält ^Rand-f

bzw.

Ne

= Ne-

_ NL = NL-e

e~

kT

(39)

_ ¿"^Kand kT

(40)

16

F. R.

KESSLER

mit NE bzw. Nfj als den sogenannten effektiven Zustandsdichten, die auch in den Konstanten des Massenwirkungsgesetzes auftreten, wenn man die Temperaturabhängigkeit der Zahl der freien Ladungsträger auf diese Weise darstellen will: ^

=

(41)

nl

=

(42)

Damit ist das Ferminiveau aus der Besetzungswahrscheinlichkeit zu eliminieren, und man erhält für die Besetzungswahrscheinlichkeit eines Leitungsbandes mit Elektronen _ (^--gRand) j{E)E

= N

E

bzw. eines Valenzbandes mit Löchern f(E)L = N

(^Eand--®) kT

. ^ - . e

L

(43)

kT

~ -e Ne

.

(44)

Die Besetzungswahrscheinlichkeiten müssen noch auf die Abhängigkeit von h v umgeformt werden. Bleiben wir zunächst beim Leitungsband. Das unterste Band hatte die Nr. 1 und ist als Ausgangszustand für den Elektronenübergang mit j zu bezeichnen. Kombiniert man nun (24) mit (27), so erhält man für die Abhängigkeit der Energie des Bandes von der Lichtquantenenergie des Überganges E1 = Erand

m*

+

(h v -

(45)

ÖE) .

Setzt man dies in f(E)E (43) ein, so erhält man jetzt die gewünschte Frequenzabhängigkeit der Besetzungswahrscheinlichkeit des j-ten Bandes mit Elektronen (vgl. (11) die Definition von f f ) zu _ m'2

/f=1 = ^ J - . NEl

(hv-SE) kT

e

.

(46)

Für die Besetzungswahrscheinlichkeit des Endzustandes (¿-Band, Band 2) mit freien Plätzen kann man näherungsweise den Wert 1 einsetzen, da praktisch die Energiedifferenz der Bänder beim betrachteten Übergang sehr viel größer ist als k T. Wenn ÖE groß ist gegen Je T, trifft dies immer zu; für ÖE = 0 müßte man schon bei hohen Temperaturen oder sehr langen Wellen spektroskopieren, um Abweichungen von dieser Näherung feststellen zu können. Selbst im Band 1, dem untersten Band, ist die BssetzungsWahrscheinlichkeit mit freien Plätzen im nicht entarteten Fall immer noch praktisch = 1. Für das Valenzband ergibt sich analog für die Bssetzungswahrscheinlichkeit des obersten Bandes 1 mit Löchern, zwar dem ^»¿zustand für den Elektronenübergang (an sich gilt dafür die Bezeichnung i), dem Ausgangszustand jedoch für den als Übergang von Löchern aufgefaßten Prozeß: 12

m

/f =

(hv-dE)

.

(47)

Innere Bandübergänge als Absorptionsmechanismus freier Ladungsträger (I)

17

Auch im Valenzband kann in analoger Weise für die Besetzung des /-Zustandes (des untersten Bandes 2) mit Elektronen die Wahrscheinlichkeit 1 eingesetzt werden. Zur Erfassung der induzierten Emission benötigt man, wenn man sich zunächst wieder auf die Betrachtung des Leitungsbandes beschränkt, die Besetzungswahrscheinlichkeiten des Endzustandes (¿-Band) mit Elektronen, während man bei der zu betrachtenden Rückkehr der Elektronen aus diesem ¿-Band in das /-Band dort, wegen der bei Nichtentartung stets noch relativ sehr kleinen Dichte an freien Elektronen, die Besetzungswahrscheinlichkeit des /-Bandes mit freien Plätzen = 1 setzen kann. Die Zahl der freien Elektronen im Band ¿ (Band 2) berechnet sich analog wie die oben beschriebene im Band j. Man hat dazu die i? 2 (f)-Funktion (25) mit der Beziehung zwischen Lichtquantenenergie und Ausbreitungsvektor (27) zu kombinieren und erhält m* E2(V)

=

E1Und

+

ÖE

+

~ ^ ( h v ~

.

ÖE)

(48)

Setzt man dies in die Besetzungswahrscheinlichkeit (43) ein, so erhält man (

fl2

l = NEi4-e~\

ÖE+7^

(hv-ÖE)

Ne2

\

7 1.

(49)

Die reduzierte effektive Masse w*2 ist mit ihrem richtigen Vorzeichen einzusetzen. Der Spektralbereich ist dabei, wie schon angegeben, beschränkt auf für

hv^idE

m*2 positiv,

hv

2 im Leitungsband und für den Löcherübergang 1 —> 2 im Valenzband in gleicher Weise, wobei das der Energielücke am nächsten liegende Band die Nr. 1 erhält und ÖE den Betrag der Energiedifferenz der beiden Bänder bei f = 0 bezeichnet. Bei der Anwendung auf das Valenzband hat man nur den Index E ( = Elektronen) durch den Index L ( = Löcher) zu ersetzen. Die reduzierte effektive Masse ist im übrigen ebenfalls mit ihrem richtigen Vorzeichen einzusetzen. Insgesamt erhält man also die im folgenden zusammengestellten Besetzungswahrscheinlichkeiten :

ff =

N

E

—

NEl

_m*2 / hv — öE\ "mf l IcT ) e

für Absorption ;

(50) (51)

/Î = 1 6E+-^(hv-dE)

/f = fi 2 physioa

=

^ J - e 1

k T

für induzierte Emission.

(52) (53)

18

F . R . KESSLER

Anhand der Formel (52) bestätigt sich die auch anschaulich verständliche Tatsache, daß man die induzierte Emission nicht zu berücksichtigen braucht, wenn 6E^> kT ist, d. h. wenn der Endzustand mit Elektronen bzw. Löchern nur vernachlässigbar bevölkert ist. Bei den in den Besetzungswahrscheinlichkeiten auftretenden Gesamtelektronendichten N e , und N El bzw. in den Löcherdichten N Ll und N Ll ist zu beachten, daß es sich um die Gesamtdichten in dem als Index bezeichneten Band handelt . Meist kennt man jedoch aus makroskopischen Messungen z. B. aus dem Halleffekt nur die totale Elektronendichte bzw. Löcherdichte, in der die Elektronen bzw. Löcher des Bandes 1 und 2 zusammengefaßt sind. Hier muß also zunächst eine Aufschlüsselung vorgenommen werden, d. h. es muß bekannt sein, wie sich die Elektronen bzw. Löcher verhältnismäßig auf die beiden Bänder verteilen. Aus den Absorptionsintensitäten bei der Zyklotronresonanz sind solche Zahlenverhältnisse zu gewinnen. Für Germanium kennt man z. B. N f n : N = 21 : 1; für Silizium lautet das Verhältnis: Nt. :Nr = 5 : 1 . X/j

-Li 2

Diese Aufschlüsselung kommt jedoch nur zwischen zwei Bändern in Frage, bei denen öE < 2 k T ist, andernfalls ist das zweite Band nur vernachlässigbar besetzt . 2.4 Berechnung

der

Oszillatorenstärken

Zur Berechnung der spektralen Abhängigkeit des Absorptionskoeffizienten bedarf es der in Abhängigkeit von v dargestellten Oszillatorenstärke /oj^; für den Übergang aus dem Band j in das Band i. Dabei werden zunächst die Oszillatorenstärken in Abhängigkeit vom Ausbreitungsvektor ! berechnet, der Übergang auf die Lichtfrequenz v erfolgt über Gleichung (27), die für den isotropen Fall den Zusammenhang zwischen der Lichtquantenenergie und dem ,,Ort" im f-Raum angibt. Wie schon unter (15) angegeben, wird die Oszillatorenstärke definitionsgemäß durch das Quadrat des Impulsmatrixelementes pji t f bestimmt [22]: m.hvj^

[1]

-

(54)

Dabei bedeutet a den Einheitsvektor in Richtung des (S-Vektors der elektromagnetischen Welle. Für den (direkten) Übergang aus dem Zustand j in den Zustand i ist Pi i, t = j J f l t grad Ist z.B. der

, dt.

(55)

Vektor linear in »-Richtung polarisiert, so ist

mit (Pj^i, iL = 4 f f ' Sx W d r •

(57)

Das Skalarprodukt Ct-ty,-,! in (54) bedeutet, daß ein derartiger, durch ein Lichtquant ausgelöster Übergang nur dann stattfindet, wenn der 6-Vektor der elektromagnetischen Strahlung zum Elektronenimpuls p,, f im Ausgangszustand,

Innere Bandübergänge als Absorptionsmechanismus freier Ladungsträger (I)

19

d. h. der Bewegungsrichtung des Elektrons im Ausgangszustand, parallel ist, bzw. es wirkt nur die zu © parallele Impulskomponente. Denn der klassische Teilchenimpuls p(f t ist quantentheoretisch gegeben durch pi, 1 = J- J wlt Srad

Vi, Idt •

(58)

Wegen des gemeinsamen grad yiit j hat das Impulsmatrixelement der Übergangswahrscheinlichkeit die gleiche Richtung wie der Teilchenimpuls. Nur bei parallel zum (5-Vektor gerichteter Bewegung kann das Elektron also aus der elektromagnetischen Welle Energie aufnehmen, wobei sich der reduzierte Ausbreitungsvektor bzw. der reduzierte Impuls nicht ändert. Wegen dieser Konstanz des Ausbreitungsvektors bzw. Impulsvektors gelten diese Betrachtungen der Richtungsbindung auch für die induzierte Emission, d. h. bei der Rückkehr des Elektrons aus dem Zustand i in den Zustand j. Deswegen können bei der Energiebilanz zur Berechnung der optischen Leitfähigkeit die induzierten Übergänge mit gleicher Oszillatorenstärke einfach subtrahiert werden. Im Fall eines isotropen Bändermodells sind die drei Komponenten des Vektors grad y) gleich und der Stoff ist auch optisch isotrop. Statt (54) kann man dann schreiben 2

In diesem Fall ist die Oszillatorenstärke unabhängig vom Polarisationszustand der elektromagnetischen Welle. Bei Gleichung (59) handelt es sich um den räumlichen Mittelwert = y (K + ft + fl),

(60)

für den der quantenmechanische Summensatz [19] 2J /oj->; = 1 ,

l — i,...

(alle Bandnummern =j= j)

(61)

gilt. Da man das Impulsmatrixelement nur innerhalb eines relativ kleinen f-Bereiches in der Nähe des Bandrandes beim Extremum von E ( { ) zu kennen braucht — für größere f-Entfernungen vom Extremum aus werden j a die Besetzungswahrscheinlichkeiten verschwindend klein —, kann man die p j i j entwickeln und in erster Näherung darstellen (hier für das Extremum bei f = 0): Pji(f) = PjiW +

Ji^Pü^)

l=o

•!+•••.

(62)

Anhand dieser Entwicklung lassen sich zwei Fälle unterscheiden: 1. „Verbotene" Übergänge Für Pji(0) = 0 ist das Impulsmatrixelement bei f = 0 insgesamt Null und damit auch Oszillatorenstärke und Absorption. Man hat definiert, in diesem Fall von einem „verbotenen" (direkten) Übergang zu sprechen. Für endliche i-Werte tritt wegen des zweiten Summanden jcdoch Absorption auf. Bei isotropen und parabolischen Bändern ist das Impulsmatrixelement dem Betrag des Ausbreitungsvektors proportional, denn es ist in diesem Fall Tk*® 2*

1= 0

= const = B .

(63)

20

F. R.

KESSLEE

Die Oszillatorenstärke für den verbotenen Übergang beträgt also a)2 (64) = 3 m \v. verboten ° '"o " *i-n bzw., auf die Lichtquantenenergie bezogen statt auf f, unter Zuhilfenahme der oben abgeleiteten Beziehung (27)

m

2 m*

4To*2

¡hv-8E\

2. „Erlaubte" Übergänge Für = =j= 0 spricht man von einem „erlaubten" Übergang. Man vernachlässigt dann neben A den zu f proportionalen zweiten Summanden in (62) und erhält auf diese Weise für die Oszillatorenstärke

Pji(0) A

^ - = öm ( 6 6 ) n 3 erlaubt o Die Frage, ob nun das Impulsmatrixelement bei ! = 0 verschwindet oder nicht, wird entschieden durch den räumlichen Symmetriecharakter der ^-Funktion im ^-Zustand und im ¿-Zustand. Nur wenn das Produkt e = K j s r a d Wi, t (67) für f = 0 symmetrisch ist, d. h. wenn gilt Q(t) = ß ( - t) , (68) hat das räumliche Integral, das sich für die pj^i über den ganzen Raum erstreckt einen von Null verschiedenen Wert. Das setzt voraus, daß y>i und y>j auf jeden Fall einen Symmetriecharakter haben, d. h., wenn symmetrisch ist, muß ifj unsymmetrisch sein bzw. umgekehrt. Die ^-Funktionen im periodischen Gitter des Festkörpers sind ganz allgemein vom Typus

ungleichen

y){

{l,t) = u{x)j^l~U\

Wt

(69)

wobei u{l) eine gitterpsriodische Funktion ist, die eine Amplitudenmodulation angibt und auch die Normierungskonstante enthält. Auf diese Weise reduziert sich die Symmetriebetrachtung auf die enthüllende Funktion u{r), denn durch Einsetzen von (69) erhält man für das Impulsmatrixelement i=~j

J

l i g r a ( i ui, idr + hl J u* Uj dt.

u

(70)

Auf Grund der Orthogonalität der ^-Funktion im Band j und i ist («?«,) = 0 ,

(71)

d. h., der zweite Summand in (70) entfällt, und es bleibt i = -j J

lt grad uit i dt .

u

(72)

Die Frage des Symmetriecharakters, d. h. die Frage, ob es sich um „verbotene" Übergänge handelt, muß anhand der speziellen ^-Funktionen geklärt werden, die sich im Leitungsband bzw. Valenzband überlappen und Anlaß zu den Intrabandübergängen geben.

Innere Bandübergänge als Absorptionsmechanismus freier Ladungsträger (I)

21

I n d e m speziellen Fall, d a ß die U n t e r b ä n d e r aus d e n gleichen A t o m e i g e n f u n k tionen (s-, p- oder d-Zustände) e n t s t a n d e n sind u n d E n t a r t u n g h e r r s c h t bzw. diese n u r d u r c h eine s e k u n d ä r e Wechselwirkung (z. B . Spin-Bahn-Wechselwirkung) aufgehoben ist, wird m a n gleiche S y m m e t r i e e i g e n s c h a f t e n u n d d a m i t einen v e r b o t e n e n Ü b e r g a n g a n n e h m e n können. E i n derartiger Fall ist gerade bei den p - B a n d e n des G e r m a n i u m s gegeben. Die Frage, ob der S y m m e t r i e c h a r a k t e r der ^ - F u n k t i o n m i t d e m b e t r e f f e n d e n ¿?(f)-Verlauf i m Bändermodell, der u n t e r U m s t ä n d e n experimentell, z. B. d u r c h Zyklotronresonanz, b e s t i m m b a r ist, in Z u s a m m e n h a n g steht, ist zu b e j a h e n , d e n n q u a n t e n m e c h a n i s c h b e s t e h t bezüglich des klassischen Teilchenimpulses die Gleichheitsrelation: Masse X Gruppengeschwindigkeit = q u a n t e n m e c h a n i s c h e r E r w a r t u n g s w e r t des I m p u l s e s : & =

m

o y V*-®= - i h j f t gradVidT ,

(73)

oder eindimensional: 1 =

8E

•J C «

8

J

tnA\ (74)

Auf G r u n d dieser Beziehung s t e h t die S y m m e t r i e e i g e n s c h a f t der ^ - F u n k t i o n eines E l e k t r o n s m i t d e m Vorzeichen des I n t e g r a l s u n d so m i t der K r ü m m u n g s r i c h t u n g des E ( f j - V e r l a u f s im Z u s a m m e n h a n g . Ob eine Aussage möglich ist, d a ß I n t r a b a n d ü b e r g ä n g e zwischen B ä n d e r n m i t gleichem Vorzeichen der effektiven Masse stets verbotene Ü b e r g ä n g e sind, dagegen Ü b e r g ä n g e zwischen B ä n d e r n m i t ungleichem Vorzeichen der effektiven Masse s t e t s e r l a u b t sind, wäre noch theoretisch zu u n t e r s u c h e n . E i n Vergleich des vorliegenden experimentellen Materials bei Silizium u n d G e r m a n i u m bzw. Selen u n d Tellur scheint diesen Z u s a m m e n h a n g zu bestätigen. Bei den speziellen ^ - F u n k t i o n e n der E l e k t r o n e n in einem Oszillatorpotential (gebundene E l e k t r o n e n ) l ä ß t sich dieser Z u s a m m e n h a n g auch theoretisch verifizieren, i n d e m m a n die b e k a n n t e n E i g e n w e r t - F u n k t i o n e n einsetzt [23]. E i n A n h a l t s p u n k t f ü r die allgemeine Gültigkeit dieses Satzes s t e h t jedoch noch aus. 2.5 Diskussion

2.5.1 Proportionalität

der vollständigen

Formel

zur Dichte freier

Ladungsträger

I m V o r a n g e h e n d e n sind alle F a k t o r e n , die in d e r F o r m e l f ü r den Absorptionskoeffizienten (Gleichung (23)) a u f t r e t e n , b e r e c h n e t w o r d e n . F a ß t m a n die K o n s t a n t e n z u s a m m e n in der A b k ü r z u n g 3 2 R2 P2 1 ß jt3 0 / Q =

^ J ^ n f T h ^ '

(K«DB/2 >

(«)

so e r h ä l t m a n als E n d e r g e b n i s f ü r den verbotenen I n t r a b a n d ü b e r g a n g zwischen d e m B a n d 1 u n d 2, wobei das B a n d 1 das der v e r b o t e n e n Energielücke am nächs t e n liegende ist,

A

l->2 — V • -iVe,L

verboten

mit

(I

hv-6E\)m 1 n v

hv 6E f ü r m*2 positiv, hv SS ÖE f ü r m{a n e g a t i v .

[ hv — öE 1 ' m* l k T )

ÖE+ —¿¿(hr-ÖE) ~ kT

(76)

22

F. R.

KESSLER

In dieser Form ist die Formel sowohl für Elektronen im Leitungs- als auch für Löcher im Valenzband gültig. Für dE kT bleibt der Emissionanteil vernachlässigbar. Für den erlaubten Übergang hat man nur die Konstante B durch A zu ersetzen und gemäß der Oszillatorenstärke für den erlaubten Übergang (vgl. (65) mit (66)) durch 2 • |m*2| • (|hv — dE|) zu dividieren. Als erstes wichtiges Ergebnis ist festzustellen, daß der Absorptionskoeffizient proportional ist zur Zahl der freien Elektronen N E bzw. der freien Löcher N L im Leitungsband bzw. im Valenzband. Es muß hier erwähnt werden, daß diese Proportionalität des Absorptionskoeffizienten zur Dichte der freien Träger streng nur bei parabolischen Bändern gilt, d. h. bei Übergängen zwischen zwei Bändern, die jeweils ausschließlich durch eine effektive Masse beschrieben werden können. Bei nichtparabolischen Bändern hängt die effektive Masse des freien Ladungsträgers davon ab, in welchem energetischen Abstand er sich vom Bandrand befindet. Damit werden die Verhältnisse sehr viel komplizierter. Ist z. B. außerdem die Zustandsdichte, d. h. die effektive Masse am Bandrand, klein und liegt Entartung der Trägerdichte vor, so werden die freien Ladungsträger bei wachsender Dichte gemäß der Fermiverteilung in wachsendem Abstand vom Bandrand „eingebaut" und haben dort dann eine andere effektive Masse als diejenige am Bandrand. Auf diese Weise gelten für die Intrabandübergänge ganz verschiedene reduzierte effektive Massen. Man kann das auch so ausdrücken: Die mittlere, reduzierte effektive Masse einer Gesamtzahl von freien Ladungsträgern ist konzentrationsabhängig.4) Diese Konzentrationsabhängigkeit hebt dann die Proportionalität des Absorptionskoeffizienten zur Trägerdichte auf. 2.5.2 Qualitativer Verlauf des Spektrums Zieht man nur die frequenzabhängigen Faktoren in Betracht, so kann man das Absorptionsspefcirwwi diskutieren. Man erhält für den verbotenen direkten Übergang ÖE+ • - (h v — öE) K,verboten i

kT h v

(77)

mit der bereits bei (76) genannten Beschränkung für h v. Grundsätzlich sind drei Fälle möglich: a) dE = 0 (dann ist stets m*2 positiv), b) 6E ^ 0 (m*2 positiv), c) dE ^ 0 (m*2 negativ). Die Fig. 5 stellt schematisch einen der Fälle dar, nämlich 6E 0 und m*2 positiv. In diesem Falle erstreckt sich die Absorption, bei hv = dE beginnend, zu höheren Frequenzen. Durch die Multiplikation der drei Frequenzgänge Oszillatorendichte, Oszillatorenstärke und Besetzungswahrscheinlichkeit, die in Fig. 5 ebenfalls getrennt eingezeichnet sind, ergibt sich die unsymmetrische Absorptions4 ) Derartige Verhältnisse liegen im »-leitenden InSb vor. Die Abweichung der Absorption, in diesem Falle der Leitungsabsorption, von der Proportionalität zur Trägerdichte kann umgekehrt zur Analyse des JS(!)-Verlaufs verwendet werden [24],

Innere Bandübergänge als Absorptionsmechanismus freier Ladungsträger (I)

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Fig. 5. Die Frequenzabhängigkeiten von Oszillatorendichte, Oszillatorenstärke für verbotene Übergänge und Besetzungswahrscheinlichkeit, die sich zum Spektrum des Absorptionskoeffizienten K ( ) multiplizieren, dargestellt für einen direkten Intrabandubergang bei angegebener parabolischer Bandstruktur. — Bei einem erlaubten Intrabandübergang tritt lediglich an die Stelle der Oszillatorenstärke für den verbotenen Übergang die Oszillatorenstärke für den erlaubten Übergang ( )

bände, die ihr Maximum etwa bei öE + 2kT hat. Die Bande fällt auf der Seite zu dE hin mit einer Halbwertsbreite von etwa kT ab. Diese Schärfe ist insofern wichtig, als man mit ihrer Hilfe bereits beurteilen kann, ob eine gefundene Absorptionsbande direkten Übergängen zuzuordnen ist. Im Silizium z. B. findet man eine sehr viel breitere Bande, die deswegen als ein indirekter Intrabandübergang gedeutet werden muß (vgl. unter Silizium). In Fig. 5 ist der Wert für k T mit 0,1 eV stark vergrößert angenommen, um die Zeichnung übersichtlich zu halten. Im übrigen ist die Darstellung der frequenzabhängigen Faktoren quantitativ mit öE = 0,3 eV und m' : m* = 1 : 3. Bei dE = 0 ist, entsprechend der Zählweise der Bänder, stets m* > m*, d. h. r«*2 positiv, man erhält eine sich über den ganzen Frequenzbereich erstreckende Absorption, die bei hohen Frequenzen exponentiell abfällt. Der Fall von Übergängen mit negativer reduzierter effektiver Masse verläuft ganz analog und bedarf wohl keiner gesonderten Darstellung, die Bande liegt unterhalb von dE und ist gewissermaßen am Wert 6E gespiegelt. Die Spektren der erlaubten Intrabandübergänge erhält man, entsprechend der geänderten Frequenzabhängigkeit der Oszillatorenstärke, nach Division durch \(hv-ÖE)\: m% SE + —i^ (h v-dE) m12 (hv-öE) "»2 (\hv~