Physica status solidi: Volume 5, Number 1 1964 [Reprint 2021 ed.] 9783112472484, 9783112472477

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Contents Review Article

Page

F. R . KESSLER

Innere Bandübergänge als Absorptionsmechanismus freier Ladungsträger in Halbleitern (I)

3

Original Papers W . HAUBENREISSER u n d E . JÄGER

Ore en solle F u n k t i o n e n in der Theorie eines einachsig u n d kubisch anisotropen Ferromagneten

P . BURCK

und

33

G. APEL

Zum Verfestigungsverhalten verunreinigter Zinkeinkristalle

47

A. K . HEAD

The Energy of a Screw Dislocation in a Cubic Crystal

51

F. IIUGIIES

Comment on ff-Shifts in the Electron Paramagnetic Resonance of-F-Centers. .

55

W. B.

LANGE, A . N.

HÄSSNER u n d

. MISCHER Messung derOKorngrenzendiffusion von Nickcl-63 in Nickel u n d -/-Eisen . . . .

DUTTA a n d

B.

G3

DAYAL

Lattice Constants and Thermal Expansion of AgCl u p to 878 °C b y X - R a y Method

73

J . M. GALI.IGAX

The Appearance of Unloading Effects in t h e Three Stages of Deformation of Single Crystals of Copper

77

R . CHANG

P e r t u r b a t i o n of t h e V.-Band in Ca-Doped KCl from Plastic and Elastic Deformation

81

G. EI-BINOER

Z u m A u f t r e t e n der magnetischen Kristallanisotropiekonstante K , in Ferritcn m i t Spinellstruktur

87

M. BALARIN

Eine Möglichkeit zur Unterscheidung zwischen der W i r k u n g fokussierender Stoßketten u n d der Kanalleitung

93

W.

MÖHLING, H . P E I B S T u n d

L.

HILDISCH

Lage u n d Dichte von typischen Baufehlern in dampfphasengezliehteten CdSKristallen 101

G. DORDA

Observation of Slow States on Germanium Surface b v Tunneling at Field Effect

J. T o u n x o x

et

d-c

P . BERGE

Thermoluminescence à basse t e m p é r a t u r e de cristaux de L i F

107 117

J . VOIGT

Reaktionskinetische Untersuchungen zum Einfluß von I l a f t t e r m s p e k t r o n auf die Photostrom-Beleuchtungscharakteristiken von photoleitendcn Phosphoren 123

W . BRADER

Über die Bloch-Darsteller der Elektron-Elektron-Wechselwirkung

J . KOLODZIEJCZAK

K.-II. BERTHET. G.JUNGK

und

M. WILKENS

and

139

S. ZUKOTYNSKI

Galvano- and Thermomagnetic Effects in Semiconductors with Non-Spherical and Non-Parabolic Energy Bands 145 Restwiderstandsverhältnis, Durchmesser-Effekt u n d Stromabhängigkeit des Widerstandsverhältnisses von zonengeschmolzenem Wolfram bei tiefen Temperaturen 159

II. MENNIGER

Zur Messung der Diffusionslänge der Minoritätsträger in Halbleitern

109

H. HOFFMANN

Zur Theorie des K o n t r a s t e s von elektronenmikroskopisch abgebildeten Gitterfehlern 175 Die Abhängigkeit der Magnetisierungsschwankungen, der Domänenbreite u n d der Dispersion der leichten R i c h t u n g von den Schichtparametern einachsiger Permalloyfilme 187

G. FONTAINE

E f f e t s d'anisotropie des constantes élastiques sur les dislocations dans le T i t a n a t e de B a r y u m dans sa phase ferroélectrlque 203

B.VELICKY

On t h e U l t i m a t e Distribution of I m p u r i t y in the Zone Melting Process

. . . .

207

Short Notes (listed on t h e last page of the issue) Pro-printed Titels and Abstracts ol Papers t o be published in this or in t h e Soviet journal „Oiianna Tnepjjoro Te.ia" (Fizika Tverdogo Tela).

physica status solidi B o a r d of E d i t o r s P. A I G R A I N , Paris, S. A M E L I N C K X , Mol-Donk, W. D E K E Y S E R , Gent, W. F R A N Z , Münster, P. G Ö R L I C H , Jena, E. G R I L L O T , Paris, R. K A I S C H E W , Sofia, P. T. L A N D S B E R G , Cardiff, L. N É E L , Grenoble, A. P I E K A R A , Poznan, A. S E E G E R , Stuttgart, O. S T A S I W , Berlin, M. S T E E N B E C K , Jena, F. S T Ö C K M A N N , Karlsruhe, G. S Z I G E T I , Budapest, J . T A U C . Praha Editor-in-Chief P. G Ö R L I C H Advisory Board M. B A L K A N S K I , Paris, P. C. B A N B U R Y , Reading, M. B E R N A R D , Paris, W. B R A U E R , Berlin, W. C O C H R A N , Cambridge, R. C O E L H O , Fontenay-aux-Roses, H.-D. D I E T Z E , Aachen, J . D. E S H E L B Y , Birmingham, G. J A C O B S , Gent, J . J A U M A N N , Köln, E. K L I E R , Praha, E. K R O E N E R , Clausthal-Zellerfeld, M. M A T Y A S , Praha, H. D . M E G A W , Cambridge, T. S. M O S S , Camberley, E. N A G Y , Budapest, E. A. N I E K I S C H , Jülich, L. P A L , Budapest, M. R O D O T , Bellevue/Seine, B . Y . R O L L I N , Oxford, H. M. R O S E N B E R G , Oxford, R. V A U T I E R , Bellevue/Seine

Volume 5 • Number 1 • Pages 1 to 214 and K 1 to K 56 1964

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physica status solidi B o a r d of E d i t o r s P. A I G R A I N , Paris, S. A M E L I N C K X , Mol-Donk, W. D E K E Y S E R , Gent, W. F R A N Z , Münster, P. G Ö R L I C H , Jena, E. G R I L L O T , Paris, R. K A I S C H E W , Sofia, P. T. L A N D S B E R G , Cardiff, L. N É E L , Grenoble, A. P I E K A R A , Poznan, A. S E E G E R , Stuttgart, O. S T A S I W , Berlin, M. S T E E N B E C K , Jena, F. S T Ö C K M A N N , Karlsruhe, G. S Z I G E T I , Budapest, J. T A U C , Praha Editor-in-Chief P. G Ö R L I C H Advisory Board M. B A L K A N S K I , Paris, P. C. B A N B U R Y , Reading, M. B E R N A R D , Paris, W. B R A U E R , Berlin, W. C O C H R A N , Cambridge, R. C O E L H O , Fontenay-aux-Roses, H.-D. D I E T Z E , Aachen, J . D. E S H E L B Y , Birmingham, G. J A C O B S , Gent, J. J A U M A N N , Köln, E. K L I E R , Praha, E. K R O E N E R , Clausthal-Zellerfeld, M. M AT Y Ä S , Praha, H. D. M E G A W , Cambridge, T. S. M O S S , Camberley, E. N A G Y , Budapest, E. A. N I E K I S C H , Jülich, L. P A L , Budapest, M. R O D O T , Bellevue/Seine, B. V. R O L L I N , Oxford, H. M. R O S E N B E R G , Oxford, R. Y A U T I E R , Bellevue/Seine

Volume 4 196 4

A K A D E M I E - V E R L A G - B E R L I N

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Contents 1. Review Articles

rage

M. S U F F C Z Y N S K I Optical Properties of t h e Noble Metals K . X. R. T A Y L O R Field Quenching and E n h a n c e m e n t in ZnS and CdS Phosphors K . HEUER Die paramagnetischen Elektronenresonanzspektren von Ionenkristallen mit einfachem kubischen Gitter

3

207 401

2. Original Papers B.H.Kaiueeß

(J>opMe 3HepreTiwecKoro pacnpe^ejieHHH O ^ I I O ( J ) O H O H I I O ro KorepeHTHoro pacceaiiHH MOHOxpoMaTimecKiix HeiiTpo-

O

31

HOB R . V . COLVIN a n d S . A R A J S

Electrical Resistivity of Polycrystalline Gadolinium f r o m 4 to 375 ° K

37

P . D E V A U X , M . SCHOTT e t M . L A Z E R G E S

Propriétés électroniques de Phtalocyanines (Photoconductivity de la Phtalocyanine de cuivre solide)

43

H . WOLLENBERGER

Bestimmung der Ordnungsenergie von a-Cu-Zn aus kalorischen Messungen

49

F . J . K E D V E S u n d P . DE C H A T E L

Untersuchungen von durch Leerstellen verursachten Thermospannungs- u n d Widerstandsänderungen in Gold

55

L . LEVI, S . M . DE D E M I C H E L I , a n d L . LUBART K . DRITTLER

Thermal Etching on Ice Crystals Modellberechnungen von Röntgen-Bragg-Reflexionen setzungen

63 an Ver71

H . J . S E E M A N N u n d K . SCHORR

Die Stapelfehlerdichte der kubisch flächenzentrierten Metalle im Zusammenhang mit Untersuchungen an R h o d i u m , I r i d i u m , Palladium und P l a t i n

89

W . S C H I L L I N G u n d W . SCHMATZ

Kleinwinkelstreuung an n e u t r o n e n b e s t r a h l t e m K u p f e r

95

R . GERBER u n d G . ELBINGER

H . KIESS

Beitrag zum Studium der einachsigen magnetfeldinduzierten Anisotropie an Mg-Fe-Ferriteinkristallen Gesättigte Photoströme in CdS-Einkristallen

103 107

H . K I E S S u n d F . STÖCKMANN

H . PUFF

E i n neuer Mechanismus zur Sättigung von P h o t o s t r ö m e n . . . . Zur Theorie der Sekundärelektronenemission — Der Transportprozeß (I)

117 125

J . - L . MALGRANGE, G . Q U E N T I N e t J . - M . THUILLIER

Constantes élastiques du tellure entre 100 ° K et 300 ° K . . . .

139

0 . BUCK u n d U . ESSMANN

Über die Bildung von Großwinkelkorngrenzen während der Verf o r m u n g von Metall-Einkristallen

143

F . FRÖHLICH u n d D . SUISKY

Durch bewegte Versetzungen induzierte elektrische E f f e k t e in NaCl- u n d KCl-Kristallen

151

H . R I E G E R , A . SEEGER u n d H . KRONMÜLLER

Verfestigungsverhalten neutronenbestrahlter Metalle (I) . . . .

163

Contents

IV U . ESSMANN u n d A . SEEGEB

Verfestigungsverhalten n e u t r o n e n b e s t r a h l t e r Metalle ( I I ) . R.

CISZEWSKI

. . .

Magnetic S t r u c t u r e of Mn 5 Ge 3 near t h e Curie Point

177 199

K . W . BÖER a n d \V. E . WILHELM

Artificial Initiation of Layer-Like Field Inhomogeneities in CdS Single Crystals

237

E . S I M Ä N E K a n d Z . ¡SROUBEK

L. GOLD

On t h e Theory of t h e d-Electron Covalency in Ionic C r y s t a l s . . .

251

An Empiricism for Establishing t h e Transition T e m p e r a t u r e s of Superconducting Alloys a n d Compounds

201

G . BÜRGER, H . M E I S S N E R , a n d W . SCHILLING

The Influence of t h e I n i t i a l Defect Concentration on t h e Annealing of L o w - T e m p e r a t u r e I r r a d i a t e d Metals

207

G . BÜRGER, H . MEISSNER, a n d W . SCHILLING

Analysis of R a d i a t i o n Annealing Observed during Low Temperat u r e I r r a d i a t i o n with N e u t r o n s a n d H e a v y Charged P a r t i c l e s . .

281

K . H . G . A S H B E E a n d R . E . SMALLMAN

The F r a c t u r e of T i t a n i u m Dioxide Single Crystals with P a r t i c u l a r Reference t o Non-Stoichiometry

289

A . A . I l i t e T a e B , P . K . HVVKKO H K>. H . T o j i o B a i i o B KiiHeTiina peKOMfwHawiH n a p H b i x aecfenTOB (J)peni;ejin j i p n OTfKiire ;ie(J)opMnpoBaiiHbix MeTajuioB

299

F . FORLANI a n d N . MINNAJA

Thickness Influence in Breakdown P h e n o m e n a of Thin DielectricFilms

311

M . BOCEK u n d V . KASKA

Die Orientierungs- u n d T e m p e r a t u r a b h ä n g i g k e i t der Verfestigungskurven von Zinkkristallen

325

M . B O C E K , P . L U K A C u n d M . SVABOVÄ

Zur D e u t u n g der Orientierungsabhängigkeit des Verfestigungsanstiegs in Zinkkristallen

343

B . BURAS a n d J . LECIEJEWICZ

A New Method for N e u t r o n Diffraction Crystal S t r u c t u r e Investigations

349

A . MÖSCHWITZER u n d S . W A G N E R

H . PUFF

K a l t e Emission von D ü n n f i l m k a t o d e n

357

Zur Theorie der Sekundärelektronenemission — Der T r a n s p o r t prozeß (II)

365

R . GEVERS, P . DELAVIGNETTE, H . BLANK, a n d S . AMELINCKX

Electron Microscope Transmission I m a g e s of Coherent Domain Boundaries (I)

383

F . R . STEVENSON a n d H . R . P E I F F E R

Recovery of Defects Following D e f o r m a t i o n of High P u r i t y Cadm i u m at 78 ° K

411

G . SCHOTTKY, A . SEEGER u n d G . SCHMID

Wanderungsenergien u n d Aktivierungsvolumina von Leerstellen in E d e l m e t a l l e n

419

G . SCHOTTKY, A . SEEGER u n d G . SCHMID

Bildungsentropie u n d andere E i g e n s c h a f t e n von Fehlstellen in Metallen

439

Contents J . MERTSCHING

Y

Vergleich der Ultraschalleffekte in piezoelektrischen und einfachen Deformationspotential-Halbleitern

453

G . 0 . T R 0 N S D A L a n d H . SORTTM

Interdiffusion in Cu-Ni, Co-Xi, and Co-Cu C. J E C H

Release of Inert Gas Label from Discharge Treated Solids. .

493 .

.

499

Untersuchungen über die elektrischen und thermoelektrischen Eigenschaften der Modifikationen des metallfreien Phthalocyanins

509

J . CELY

Der Debye-AValler-Faktor für die Diffraktion langsamer Elektronen

521

K . - H . GITXDLACH

Zur Berechnung des thermischen Elektronenstroms durch dünne dielektrische Schichten

527

C. HAMANN u n d M . STARKE

M . C. W I T T E L S , J . 0 . STIEGLER, a n d F . A . SIIERRILL

An Investigation of Transmutation Effects in Crystalline Solids

533

M . W I L K E N S u n d E . HORNBOGEN

H. PUFF

Kontrasterscheinungen an Versetzungspaaren in Nickel-Aluminium-Legierungen mit kohärenter Ausscheidung von geordneten Bereichen

557

Zur Theorie der Sekundärelektronenemission — Der Transportprozeß (III)

509

A . CORCIOVEI a n d A . B A B C E N C O

Effect of Displacement Cascades Produced by Irradiation on Residual Resistivity of Metals

587

Orientation of the M-Center

601

Positive Temperaturkoeffizienten der Lumineszenz und der Leitfähigkeit von ZnS-Einkristallen bei Anregung mit 60 keV-Elektronen

605

P. SVISZT

Investigation of the Photochemical Behaviour of ZnS Single Crystals

631

M.

On the Existence of the Känzig Exhaustion Surface Layer in BaTi0 3

639

r. B p o c c

HH3KOTeMnepaTypHbie CBoiicTBa ie CBoiicTBa ({¡eppoMarneTHKa c npoH3BOJIbHblM enHHOM (II)

661

H . BÖTTGER

Verlustfaktormessungen an Silberhalogeniden mit Zusätzen von Übergangselementen der Eisengruppe

669

D.

L.

DEXTER

W . KLEIN

SCHOIJET

P . GOSAR a n d M . P I N T A R

H 3 0 + Ion Energy Bands in Ice Crystals

675

H . BRUCH, P . GÖRLICH, H . KARRAS u n d R . L E H M A N N

R.

VANSELOW

Zur Diffusion von Gasen in hochreine CaF 2 - und SrF 2 -Kristalle

685

Die Temperform reiner Feldemissionsspitzen aus Platin und ihre Veränderungen durch hohe elektrische Felder

697

3. Short Notes A . CORCIOVEI e t A . B A B C E N C O

L. GOLD

Distribution des vacances produites dans un solide par irradiation

K 1

On the Feasibility of Nb 3 Sn Superconductive Solenoids . . . .

K 5

VI

Contents A . BRAGINSKI a n d J . KULIKOWSKI

K.

MOTZKE

The Magnetic After-Effect Anomaly Near t h e Magnetic Anisotropy Compensation Point K 9 Abhängigkeit der magnetfeldinduzierten Anisotropie in Ni-FeFerriten von der Ni-Konzentration K 13

W . BRAUER u n d H . SCHULZ

Zum Drift-Term der Boltzmann-Gleichung

K 17

E . GUTSCIIE a n d H . LANGE

M.

SCHENK

Field-Induced Shift of the Absorption Edge in CdS K 21 Zur strahleninduzierten Phasenumwandlung von BaTiO :1 . . . . K 25

U . ESSMANN u n d M . W I L K E N S

L. GOLD

Elektronenmikroskopische Kontrastexperimente an Fehlstellenagglomeraten in neutronenbestrahltem K u p f e r K 53 Anomalous Low-Temperature Properties of Metals: Behavior of K 57 t h e Electronic Specific H e a t

I . BURSUC, A . OJOG e t V . TUTOVAN

Contributions ä l'etude de l'aimantation des couches electrolytiques de cobalt K 61 H . SCHARF u n d P . K L I M A N E K

H . HOFFMANN

C. HAMANN

Zur Erholung der Koerzitivfeldstärke von vielkristallinem Eisen nach Kaltverformung K 07 Bestimmung der ferromagnetischen Austauschkonstanten aus der magnetischen Feinstruktur dünner Schichten K 93 Gleichrichtereigenschaften von Phthalocyaninen K 97

M . L . RUDEE a n d R . A. HUGGINS

The Effect of Hydrogen on t h e Stacking F a u l t Probability in Copper . . . .' ' . . K101 H . W . STREITWOLF

M. S. R. CHARI S.

KRUPICKA

Zum analytischen Verhalten der Energien des Blochelektrons in der 1. Brillouin-Zone Kl05 The Lorenz P a r a m e t e r in High-Purity Metals at Helium Temperatures Kill One-Ion Model for t h e Magnetic Anisotropy in the System Mn x Fe 3 _ x 0 4 ' K117

M . ROSENBERG, P . XICOLAU, a n d I . BUNGET

On some Peculiarities of t h e Conduct ion Process i n t h e F e x M n 3 _ x 0 4 System K121 M . ROSENBERG, P . XICOLAU, a n d I . BUNGET

On t h e Anomaly of the Electrical Resistivity in Manganese Ferrite Single Crystals near the Curie Point K125 A . BRAGINSKI a n d J . KULIKOWSKI

.

.

.

On t h e Apparent After-Effect Anomaly near t h e Magnetic Anisotropy Compensation Point K129

Author Index 383 37 289

S. AMELINCKX S. ARAJS K . H . G. ASHBEE

.

.

.

.

H . KARRAS V. KASKA

B. H. K a m e e i i F. J . KEDYES

. . . 587,

A . BABCENCO H . BLANK

. .

M . BOCEK K . \V. BÖER H . BÖTTGER

. .

A . B R AGIN SKI \Y. BRAUER

r . B p o c c (H. Bross) . . . . H . BRUCH 0 . BUCK

. .

I. BUNGET B . BURAS

. .

G . BURGER I . BURSUC

K1 383 . 325, 343 237 669 . K9, K129 K17 . 645, 661 685 143 K121, K125 349 . 267, 281 K61 521 Kill

J . CELY M . S. R , CHARI P.

DE

P . KLIMANEK H . KRONMÜLLER

.

S. KRUPICKA J . KULIKOWSKI .

R . V . COLYIN

. . .

A . CORCIOVEI .

.

.

.

P . DEYAUX D . L. DEXTER K . DRITTLER

199 37 587, K1 383 43 601 71

103 143, 177, K53

G . ELBINGER U . ESSMANN

311 151

F . FORLANI F . FRÖHLICH

.

M . LAZERGES J . LECIEJEWICZ .

.

.

.

.

.

.

R.LEHMANN L . LEYI L . LUBART P . LUKÄC

K . MOTZKE

139 267,281 453 63 311 357 K13

P . NICOLAU

. . • K121, K125

J . - L . MALGRANGE

. . . .

H . MEISSNER .

.

S . M . DE D E M I C H E L I

.

.

.

N . MINNAJA A . MÖSCHWITZER

.

.

.

K61

A . OJOG H . R . PEIFFER

.

.

.

.

M . PINTAR

. .

H. PUFF

R . GEVERS L . GOLD

IO. H . T o j i o B a n o B P . GÖRLICH P . GOSAR K . - H . GUNDLACH E . GUTSCHE

.

.

.

.

103 383 . 261, K 5 , K 5 7 299 685 675 527 K21

M . ROSENBERG

.

.

.

.

M. L. RUDEE H.SCHARF M.SCHENK W . SCHILLING W . SCHMATZ G . SCHMID M . SCHOIJET

C. HAMANN K . HEUER H . HOFFMANN E . HORNBOGEN R . A . HUGGINS G. J E C H

. . . 509, K97 461 K93 557 K101 499

411 675 125,365,569 139

G. QUENTIN H . RIEGER

R . GERBER

K21 43 349 685 63 63 343

H . LANGE

J . MERTSCHING

CHATEL

R . CLSZEWSKI

P . DELAVIGNETTE

H . KIESS W . KLEIN

685 325 . . 31 55 . . . . 107,117 605 K67 . . 163 K117 . . . . . . K9, K129

K . SCHORR M . SCHOTT G . SCHOTTKY H . SCHULZ A,SEEGER H . J . SEEMANN

.

.

.

.

F . A . SIIERRILL

.

.

.

.

163 . . . K121, K125 K101 K67 K25 . . . 95,267,281 95 . . . . 419,439 639 89 43 . . . . 419,439 K17 163,177,419,439 89 533

VILI

Author Index

E. S I M X N E K

251

K. X. R.

R . E . SMALLMAN

289

J.-M. THUILLIER (Ï. 0 . TR0NSDAL

TAYLOR

H . S0RUM

493

Z . SEOUBEK

251

P.

M . STABKE

509

V . TUTOYA N

F . R . STEVENSON

411

J . O . STIEGLER

533

F . STÖCKMANN H . W . STREITWOLF M . SUFFCZYNSKI

117 K105 3

D . ISUISKY

151

M . SVÂBOYA

343

P . SVISZT

631

K.

H Y M N O

R . VANSELOW S. W A G N E R . W . E. WILHELM M. WILKENS M . C. W I T T E L S H . WOLLENBERGKR

A . A . Il,iscTaei!

Review Article phys. stat. sol. 5, 3 (1904) Institut für Experimentalphysik

der Universität des Saarlandes,

Saarbrücken

Innere Bandübergänge als Albsorptionsmechanismus freier Ladungsträger in Halbleitern (I) Von F. R.

KESSLER

Inhaltsverzeichnis 1.

Einleitung Definition des Absorptionsmechanismus als „Intrabandübergänge" Übersicht und Abgrenzung in bezug auf die übrigen Absorptionsmechanismen von Elektronen (,,Interbandübergänge" und „Leitungsabsorption") Der historische Ausgangspunkt Übersicht über den Inhalt

2. Theorie

des Absorptionsspektrums

bei

Intrabandübergiingen

2.1 Zurückführung des Absorptionskoeffizienten auf quantenmechanische Ersatzoszillatoren anhand des Bändermodells 2.2 Berechnung der Oszillatorendichte 2.3 Berechnung der Besetzungswahrscheinlichkeiten 2.4 Berechnung der Oszillatorenstärken 2.5 Diskussion der vollständigen Formel 2.5.1 Proportionalität zur Dichte freier Ladungsträger 2.5.2 Qualitativer Verlauf des Spektrums 2.5.3 Temperaturabhängigkeit 2.5.4 Größenrelation zur Leitungsabsorption 3. Die „Photoabsorption" messung an freien

als spezielle Ladungsträgern

experimentelle

Technik

zur

Absorptions-

Literatur zu Teil I 1. Einleitung U n t e r inneren B a n d ü b e r g ä n g e n als A b s o r p t i o n s m e c h a n i s m u s v e r s t e h t m a n d u r c h L i c h t q u a n t e n a n g e r e g t e Ü b e r g ä n g e v o n E l e k t r o n e n zwischen E n e r g i e b ä n d e r n , die sich e n e r g e t i s c h überlappen u n d auf diese W e i s e g e m e i n s a m beispielsweise d a s Valenz- oder L e i t u n g s b a n d bilden. F ü r diese i n n e r e n B a n d ü b e r g ä n g e soll hier der T e r m i n u s „ I n t r a b a n d ü b e r g ä n g e " (lat. i n t r a = i n n e r h a l b ) verwendet werden. I n t r a b a n d ü b e r g ä n g e stellen einen A b s o r p t i o n s m e c h a n i s m u s d a r , d e r sich speziell in e l e k t r o n i s c h e n H a l b l e i t e r n — v o n diesen soll hier a u s s c h l i e ß l i c h die R e d e sein — b e o b a c h t e n l ä ß t . D a b e i h a n d e l t es sich u m eine A b s o r p t i o n freier Ladungsträger, die d e r D i c h t e d e r E l e k t r o n e n i m L e i t u n g s b a n d bzw. d e r D i c h t e d e r L ö c h e r i m V a l e n z b a n d p r o p o r t i o n a l i s t , also a u c h m i t dieser v a r i i e r t w e r d e n kann. l»

4

F. R. KESSLER

E s ist ohne weiteres verständlich, daß ein derartiger 7?i£rabandübergang innerhalb des Leitungsbandes ausschließlich durch die freien Elektronen ausgeführt wird und deswegen der zugehörige Absorptionskoeffizient proportional zu ihrer Dichte ist. Daß aber die Intrabandabsorption durch Übergänge innerhalb des FaZewabandes ebenfalls ausschließlich eine Absorption freier Ladungsträger ist, bedarf vielleicht eines besonderen Hinweises: Ein völlig besetztes Valenzband bietet innerhalb seiner selbst keine Möglichkeit der energetischen Anhebung von Elektronen. Erst wenn ein freier Platz (ein Loch) existiert, kann unter Berücksichtigung von Impuls und Energieerhaltung ein Elektron dorthin angehoben werden. E n t sprechend der Konzeption des positiven Loches kann man das auch so ausdrücken, daß das Loch einen entsprechenden Intrabandübergang „nach u n t e n " macht. Hier ist also der Absorptionskoeffizient proportional zur Zahl der freien Löcher. Entsprechend der Fermi-Verteilung der Löcher nehmen diese LöcherÜbergänge ihren Ausgang vom oberen Valenzbandrand, wobei unter Umständen nur zu berücksichtigen ist, daß der Übergang unmittelbar beim f-Wert des E x t r e mums ausfällt, falls es sich um sogenannte verbotene Übergänge handelt. Damit ergibt sich bereits die Abgrenzung zu den sogenannten „Interbandübergängen" gebundener Elektronen, die mit Hilfe der Lichtquanten aus — am absoluten Nullpunkt völlig — besetzten Bändern über eine verbotene Energielücke hinweg (lat. inter = zwischen) in unbesetzte Bänder erfolgen. Der Interbandübergang vom Valenz- in das Leitungsband setzt bekanntlich mit der Absorptionskante der Fundamentalabsorption ein, sei es als direkter oder indirekter Übergang. Der Interbandübergang ist damit prinzipiell von der Dichte der freien Ladungsträger unbeeinflußt, wenn nicht indirekt, wie z. B . beim I n S b , durch entartete und damit erhebliche Auffüllung des Leitungsbandes die energetische Distanz für diesen Übergang vergrößert wird, also eine spektrale Verschiebung der Absorption stattfindet, die ihrerseits mit der Dichte der freien Ladungsträger in einem, meist nicht linearen Zusammenhang steht. Freie Ladungsträger besitzen damit insgesamt zwei Absorptionsmechanismen. Die früher ausschließlich betrachtete „klassische" Absorption ist die „Leitungsabsorption", wie sie von DRUDE [1] bereits im J a h r e 1900 für ein im Kristallgitter frei bewegliches Elektronengas berechnet wurde. Dabei erfolgt eine Energieabgabe in der F o r m von Joulescher Wärme an das Gitter wie beim Gleichstrom oder Wechselstrom. Nur handelt es sich, dem ultraroten Spektralbereich entsprechend, um Frequenzen in der Größenordnung von 1 0 U Hz. Da die Stoßzeiten unter bestimmten Voraussetzungen aus der Gleichstrombeweglichkeit übernommen werden können, ist bei der Leitungsabsorption im optischen Bereich nur noch zusätzlich die Massenträgheit der freien Ladungsträger zu berücksichtigen. Die Bindung der Elektronen an das Kristallgitter, d. h. die Quantentheorie der Elektronenbewegung in der F o r m der De-Broglie-Wellen in einem periodisch modulierten Potential, kann relativ einfach durch die Verwendung der „effektiven Masse" m * berücksichtigt werden. Gebraucht man anstelle dieser elektrotechnischen Interpretation der „Leitungsabsorption" diejenige mit Hilfe von Photonen und Phononen, so handelt es sich dabei um eine energetische Anhebung von Elektronen innerhalb eines (Unter-)Bandes (d. h. eines zusammenhängenden ¿J(f)-Verlaufs), eine energetische Anhebung, die also nur unter gleichzaitiger Impulsänderung vollzogen werden kann. Da die Lichtquanten des ultraroten Spektralbereiches auf Grund ihrer

I n n e r e Bandübergänge als Absorptionsmechanismus freiei Ladungsträger (I)

5

großen Wellenlänge gemäß einen vernachlässigbaren Impuls P besitzen, gemessen an der zur Energieänderung der Elektronen notwendigen Impulsänderung, die um ca. 4 Zehnerpotenzen größer ist (zu einem AE von 1 eV gehört ein AP von größenordnungsmäßig h • 10 10 ), muß der Impuls durch Wechselwirkung mit dem Kristallgitter ausgeglichen werden, d. h. durch Phononenemission oder Phononenabsorption. Dabei ist umgekehrt meist die Energie der Phononen neben der Lichtquantenenergie zu vernachlässigen. Es handelt sich bei der Leitungsabsorption (vgl. Fig. 1) also notwendigerweise um einen indirekten Übergang, d . h . um einen Dreierstoß zwischen Elektron, Lichtquant und Schallquant, und zwar innerhalb eines ¿"(^-Verlaufs. 1 ) Beim Intrabandübergang jedoch handelt es sich in erster Linie um direkte Übergänge zwischen zwei verschiedenen E(l)-Verläufen, d. h. um einen Zweierstoß zwischen Elektron und Lichtquant mit praktisch „senkrechtem" Übergang von einem Unter-Band in ein anderes. Aus der größeren Wahrscheinlichkeit eines Zweierstoßes gegenüber einem Dreierstoß folgt, daß der Absorptionsquerschnitt eines freien Ladungsträgers auf Grund des Intrabandüberganges im Schwerpunkt der Absorption meist größer ist als der auf Grund der Leitungsabsorption. So wird in vielen Fällen dort, wo energetisch, d. h. nach Maßgabe der Lichtquantenenergie, beide Prozesse möglich sind, das Absorptionsspektrum freier Ladungsträger von den direkten Intrabandübergängen beherrscht.

Leitung freie EL

F i g . 1. S c h e m a zur Yeransehauliehung der verschiedenen übergangsmöglichkeiten im B ä n d e r m o d e l l (Lcitungsabsorption, I n t r a baild- und Interbandübergänge)

Valenz gebunc freie Löcher'. - '•.•'••.' Impuls k Bandübergänge

I n der L i t e r a t u r wird häufig die so definierte „ L e i t u n g s a b s o r p t i o n " m i t dem Namen Intrabandabsorption bezeichnet. D a auf diese Weise zwei völlig verschiedene Absorptionsmechanismen, nämlich die Zwischenbandübergänge freier Ladungsträger innerhalb des Leitungsbandes bzw. innerhalb des Valenzbandes und die Zwischenbandübergänge gebundener Elektronen über eine verbotene Energiei«c£e hinweg, m i t dem gleichen Namen „ I n t e r bandübergänge" belegt werden, möchte der Verfasser vorschlagen, die oben definierten Bezeichnungen zu verwenden und damit zwischen Leitungsabsorption, Intrabandübergängen und Interbandübergängen eindeutig zu unterscheiden.

6

F . R . KESSLER

Es besteht auch die Möglichkeit indirekter Intrabandübergänge, von Übergängen also, die mit Phononenwechselwirkung zwischen zwei Unter-Bändern erfolgen, z. B. zwischen zwei relativen Minima bzw. Maxima des Leitungsbandes bzw. Valenzbandes. Die Übergangswahrscheinlichkeiten sind in analoger Weise relativ gering. Auch setzt die Phononenabsorption eine entsprechende Phononendichte im Gitter, d. h. eine entsprechende Temperatur, voraus. Falls zum Übergang z. B. zwischen zwei relativen E x t r e m a eine diskrete Impulsdifferenz aufzubringen ist, läßt sich aus dem Energie-Impuls-Zusammenhang der Gitterschwingungen leicht die Dcbye-Temperatur der notwendigen Phononen und damit die erforderliche Anregungstemperatur angeben. Man kann sich dabei unter U m s t ä n d e n auf experimentelle Dispersionskurven der Phononen stützen, denn in jüngster Zeit sind mit Hilfe der Neutronenbeugung die Gitterschwingungszweige gerade der wichtigsten Halbleiter Germanium und Silizium experimentell vermessen worden. Fig. 1 zeigt in einem Schema die verschiedenen Übergangsmöglichkeiten im Bändermodell u n d veranschaulicht damit die Leitungsabsorption u n d die Gruppe der Intrabandübergänge. Ferner ist für die Interbandübergänge vom Valenz- ins Leitungsband ein direkter und ein indirekter Übergang eingezeichnet. Es bleibt zu erwähnen, daß Intrabandübergänge experimentell nur e r f a ß b a r sind, wenn die überbrückte energetische Differenz kleiner ist als die Breite der verbotenen Energielücke zwischen Valenz- und Leitungsband. Denn da die Zahl der freien Ladungsträger im Halbleiter stets um viele Größenordnungen kleiner ist als die Zahl der Valenzelektronen, wird eine Intrabandabsorption, die spektral mit einer Interbandabsorption zusammenfällt, stets von dieser völlig überdeckt. Auch erscheint es ausgeschlossen, das Vorhandensein eines Intrabandüberganges etwa an einem Defekt in der Quantenausbeute der Eigen-Photoleitung, die mit dem Interbandübergang verbunden ist, aufzufinden. Intrabandübergänge lassen sich also nur auf der langwelligen Seite der Absorptionskante im sogenannten Durchlässigkeitsbereich der Halbleiter beobachten. Damit bewegt man sich, der Energielücke der Halbleiter gemäß, im wesentlichen im ultraroten Spektralbereich, z. B. bei Germanium oberhalb von 2 [xm. Auf ein durch Intrabandübergänge beherrschtes Absorptionsspektrum stießen zuerst B R I G G S und F L E T C H E R [2] im J a h r e 1952 bei der Vermessung des Absorptionsspektrums von p-leitendem Germanium im Bereich von 2 ¡im an aufwärts (Fig. 2). Die Autoren äußerten bereits die, wie sich nachträglich herausstellte, richtige Vermutung, daß die Erklärung in der S t r u k t u r des Valenzbandes, die in einer energetischen Überlappung von Unter-Bändern besteht, zu suchen sei. Diese Messungen an ^»-Germanium wurden sehr bald bestätigt [3, 4], wobei der Nachweis, daß es sich wirklich um die Absorption freier Löcher handelt, durch die Proportionalität der Absorption zur Zahl der freien Löcher geführt wurde. Diese Schlußweise ist jedoch bei der Variation der Zahl der freien Löcher durch Dotierung nicht ganz stichhaltig, da es sich bei gleicher Proportionalität prinzipiell auch um einen Absorptionsmechanismus handeln kann, der durch die geladenen Akzeptoren hervorgerufen wird. Da aber injizierte [5, 6] und photoelektrisch [7, 8, 9, 10, 11] erzeugte Löcher sowie der Eigenleitungsfall [12] das gleiche Spekt r u m liefern, liegt in dieser Hinsicht kein Fehlschluß vor. Derartige Messungen, bei denen die Löcherdichte ohne die parallel laufende Akzeptordichte variiert wird, wurden jedoch erst später durchgeführt. Wir werden weiter unten auf sie zurückkommen.

I n n e r e B a n d ü b e r g ä n g e als Absorptionsmechanismus freier L a d u n g s t r ä g e r (I)

Fi«:. 2. D e r A b s o r p t i o n s i n d e x k = K

—-

von

; ; - T y p - G e r m a n i u m m i t v e r s c h i e d e n e m spez. Widerstand und das Spektruni von Keingerman i u m z u m Vergleich ( X a c h BlUGGS u n d FLKTCHKK, 1952 [2])

3

4 5 6 8 10 Wellenlänge tpim!

20

30

—

Historisch folgte zunächst 1953 aus den Ergebnissen der Zyklotronresonanz am Germanium [13, 14] die Bestätigung der Existenz zweier sich überlappender Valenzbänder verschiedener effektiver Masse mit zusammenfallendem Energiemaximum (Entartung) bei ! = 0. Es sei bemerkt, daß man mit Hilfe der Zyklotronresonanz im stationären Zustand der Trägerdichte nur dann ein Unter-Band auffinden kann, wenn dessen absolutes Extremum mit dem Bandrand zusammenfällt, also dort Entartung herrscht. Andernfalls, und zwar besonders bei den für das Resonanzexperiment erforderlichen tiefen Temperaturen, ist das Band nicht hinreichend stark genug besetzt. Da diese beiden Valenzbänder zur Deutung des relativ kurzwelligen Absorptionsspektrums nicht ausreichten, nahm KAHN 1955 [15], gestützt auf die theoretischen Berechnungen des Bändermodells

v o n HERMAN u n d CALLAWAY [18]

aus dem Jahre 1953, ein drittes Valenzband an, für dessen Maximum er rückwärts aus dem Absorptionsspektrum der Löcher einen Abstand von 0,3 eV unter dem Bandrand ermittelte. Nach der Entwicklung der Bänder aus den Atomeigenfunktionen der Elektronen ist dieses dritte Valenzband auch zu erwarten. Fällt es bei einfacherer Rechnung bei f = 0 ebenfalls mit dem Bandrand zusammen, so erhält man unter Berücksichtigung der Spin-Bahn-Wechselwirkung für die Elektronen eine entsprechende energetische Absenkung. Diesbezügliche Rechnungen wurden z. B. v o n KANE [17] d u r c h g e f ü h r t .

Fig. 3 zeigt schematisch anhand eines Bändermodellausschnittes bei 1 = 0 die jetzt dreifache Möglichkeit für Intrabandübergänge und die Zuordnung zu dem von KAHN berechneten Absorptionsspektrum der Löcher. Hier sind zunächst nur die direkten Intrabandübergänge berücksichtigt, auf das Auftreten auch der indirekten wird weiter unten hingewiesen. Das Absorptionsspektrum auf Grund der Intrabandübergänge zeigt die Form von unsymmetrischen Absorptionsbanden, deren quantitativer Verlauf für die

8

F. R.

si

rn"=0.1m

Leitungsbd'.

KESSLER — 100

i 20

50

[

Wellenlänge Ipm} 20 10 5

2 T'300°K

J_

10 AE

f 6E

Bandlücke

j

s \

5 \

JVJT—Valenzbd.

\ 1

Obergänge

n>2 •

f

•5

1

2

1 red.

Ausbreitungsvektor-

l''ig.

100

f\3

3

tan 1 0 Besetzung

1

200

500

10002000 Wel/enzohllcm'V

5000

10000 -

Tntrabandübcrgiingc freier Lücher in Germanium

a) liändermodeiiaussehnitt bei E = 0 mit Kinzeiclinung der drei direkten Übergänge zwischen den Zweigen des Valenzbandes (scheniatisch) b) .Berechneter Absorptionsquerschnitt in den zugehörigen Absorptionsbanden nach KALIX [15], bezogen auf ein freies Loch unter der Annahme rein parabolischer JJänder

direkten Übergänge berechenbar ist, wobei Experiment und Theorie eine sehr befriedigende Übereinstimmung zeigen. Das folgende 2. Kapitel beschäftigt sich mit dieser theoretischen Berechnung für den einfachsten Fall parabolischer, sphärischer und zentrischer, d. h. mit Extremum bei f = 0 versehener, Bänder. Die Ableitung läßt aber leicht erkennen, wie man im Fall nichtparabolischer, anisotroper und nicht zentrischer Bänder vorzugehen hat, um den Absorptionskoeffizienten zu berechnen, wobei man unter Umständen zu numerischer (Rechenmaschinen-) Rechnung übergehen muß. Das 3. Kapitel skizziert kurz die Methode der „Photoabsorption" als spezielle experimentelle Technik, die Absorption freier Ladungsträger zu vermessen. Diese Technik hat beim Studium der Intrabandübcrgänge eine gewisse Rolle gespielt, so daß es angebracht erscheint, dazu ein Wort der Erläuterung zu sagen. I m Kapitel 4 werden einige experimentelle Ergebnisse an verschiedenen Halbleitern vorgeführt und diskutiert . Diese Auswahl bemüht sich, einige charakteristische Fälle herauszugreifen, die bestimmte Fragen (z. B . der Kristallstruktur) im Zusammenhang mit den Intrabandübergängen aufwerfen, auf diese Weise Ergänzungen bringen (z. B . ^-Banden in I n S b bei entarteter Trägerdichte) und zur Aufklärung des Bändermodells des betrachteten Halbleiters beitragen ( z . B . beim Selen). Bei der notwendigen Platzbeschränkung trägt diese, auf jeden Fall interessante Auswahl notwendigerweise einen subjektiven Charakter. Deswegen bringt das 7. Kapitel eine tabellarische Übersicht über das bisher vorliegende gesamte experimentelle Material mit Literaturangaben, wobei Vollständigkeit angestrebt wurde. Um beim Prinzipiellen zu bleiben, bringt jedoch zunächst noch das 5. Kapitel Bemerkungen über den Einfluß der Intrabandübergänge auf Brechungsindex und Reflexionsvermögen und das 6. Kapitel über das Erscheinen von Intrabandübergängen in Emission.

Innere Bandübergänge als Absorptionsmechanismus freier Ladungsträger (I)

9

2. Theorie des Absorptionsspektrums bei Intrabandübergängen 2.1 Zurücliführung des Absorptionskoeffizienten Ersatzoszillatoren anhand des

auf quantenniechanische Bändermodells

Der Absorptionskoeffizient K (m~ x ) 2 ) gibt die Abnahme der Strahlungsintensität (hier speziell als Intensitätsdicftfe bezogen auf die Fläche 1 m 2 ) in einem homogenen Volumen auf der Strecke d a n : Energie s m2

I=I0e-K'1

(1)

E r steht mit den optischen K o n s t a n t e n n u n d k (aus dem komplexen Brechungsindex n = n — i k) in dem Zusammenhang "Vakuum

bzw., ausgedrückt mit Hilfe der sogenannten optischen Leitfähigkeit ffopt = 4 71 e 0 n • k • V ,

K =

°° pt

(3)

c = Vakuumlichtgeschwindigkeit.

;

(4)

Die optische Leitfähigkeit ist von der Gleichstromleitfähigkeit cr0 zu unterscheiden, da die Leitfähigkeit bei hohen (d. h. optischen) Frequenzen selbst frequenzabhängig wird, wie z. B. aus der Theorie der „Leitungsabsorption" nach D R U D E bekannt ist, die die Massenträgheit der freien Ladungsträger bei hohen Frequenzen berücksichtigt. K e n n t m a n die optische Leitfähigkeit, so k a n n m a n mit (3) den Absorptionskoeffizienten berechnen, wenn, wie im vorliegenden Fall, der Brechungsindex vom betrachteten Absorptionsmechanismus nicht beeinflußt wird. I m Beobachtungsbereich der Intrabandübergänge hat der Brechungsindex einen nahezu wellenlängenunabhängigen, konstanten Wert. Dieser Sonderfall einer scheinbaren „ E n t k o p p l u n g " von Brechungsindex und Absorption ist f ü r Halbleiter im Durchlässigkeitsbereich (d. h. also bei „schwacher" Absorption) typisch, da der hohe Brechungsindex allein durch die bei höheren Frequenzen liegende Fundamentalabsorption, die mit der Absorptionskante beginnt, bestimmt ist [18]. Die direkte Berechnung der optischen Leitfähigkeit aus elektrischen Strömen oder gemäß (3) über den komplexen Brechungsindex aus der elektrischen Polarisation des Mediums braucht bei der Quantentheorie der Band-Band-Übergänge nicht durchgeführt zu werden. Vielmehr sei hier der Absorptionskoeffizient unter Erinnerung an die Tatsache berechnet, daß er auf Grund seiner Definition (1) im infinitesimalen Bereich ~

(5)

= — K dx

nichts anderes darstellt als den Quotienten aus der pro Sekunde u n d Volumeneinheit absorbierten Energie und der pro Flächeneinheit und Sekunde in das Volumen einströmenden Energie K

,7T

i

dx

I

Energie Energie

(6)

2 ) Da alle Rechnungen im MKSA-System durchgeführt werden, h a t hier der Absorptionskoeffizient die Dimension m - 1 . In der Praxis wird meistens die Angabe in c m - 1 gemacht.

10

F. R.

KESSLEE

Es sei bemerkt, daß sich die Formel (4) sofort ergibt, wenn m a n einsetzt: a) für die pro Sekunde u n d Volumeneinheit absorbierte Energie A abs = ffopt E2 = ffOI,t — E'l ,

(7)

E 2 zeitlicher Mittelwert des Quadrates der Feldstärke, deren Maximalwert bei reiner Sinusform E 0 b e t r ä g t ; b) f ü r die einfallende Intensitätsdichte (Poyntingvektor unter Berücksichtigung der u m n verminderten Phasengeschwindigkeit, aber der um n2 erhöhten Energiedichte in dem Medium) I = e0c-n-±El.

(8)

Ferner sei bemerkt, daß der Absorptionskoeffizient, korpuskular aufgefaßt, gleich ist dem P r o d u k t aus dem (differentiellen) Absorptionsquerschnitt q (Wirkungs- oder Stoßquerschnitt) und der Dichte der absorbierenden Teilchen (Stoßpartner) N K = q•N . (9) Die Berechnung des Absorptionskoeffizienten erfolgt quantentheoretisch so, daß man die pro Sekunde und Volumeneinheit absorbierte Energie berechnet. Danach gibt man dann häufig rückwärts über Gleichung (4) eine diesbezüglich äquivalente optische Leitfähigkeit an. Die absorbierte Energie pro Sekunde u n d Volumeneinheit ist gegeben durch das P r o d u k t aus hv und der entsprechenden Zahl der absorbierten Lichtquanten. Diese ist das P r o d u k t , gebildet aus der Übergangswahrscheinlichkeit W (v) zwischen zwei Energiezuständen im Abstand h v u n d der Dichte der Energiezustände n(y). bezogen auf den Übergang mit h v. Das Ganze ist ferner mit einem Ausschließungsfaktor zu multiplizieren, der die Besetzungswahrscheinlichkeiten des Ausgangszustandes, aber auch des Endzustandes, u n d damit das Pauliprinzip berücksichtigt. Erfolgt der Übergang über eine größere energetische Distanz, wie bei den Interbandübergängen, so genügt es, die Ausgangszustände als vollständig besetzt u n d die Endzustände als völlig frei anzusetzen, da die „Auflockerung" der Fermikante nur in der Größenordnung von h T liegt (bei Zimmertemperatur ca. 1 / 4 0 eV). Bei den Intrabandübergängen mit kleinen B a n d a b s t ä n d e n k a n n jedoch unter Umständen der E n d z u s t a n d bereits thermisch merklich besetzt sein, und dies ist zu berücksichtigen. Wäre er z. B. vollständig besetzt, so k a n n wegen des Pauliprinzips kein Übergang stattfinden, die Absorption bleibt Null. Auf der anderen Seite besteht bei endlicher Besetzung des Endzustandes u n d merklicher Zahl freier Plätze im Ausgangszustand die Möglichkeit der induzierten Emission mit der gleichen Wahrscheinlichkeit. Bei der Bilanz der absorbierten Lichtquanten sind diese emittierten Lichtquanten in Abzug zu bringen. Insgesamt erhält m a n f ü r die pro Sekunde u n d Volumeneinheit absorbierte Energie beim Übergang von Band j nach i A(v) — hv • W{v) • n(v) [ f f f- - f f f f ] ,

(10)

wobei die Größen stets die Mittelwerte über ein endliches spektrales Intervall v bis (v + d v) darstellen.

Innere Bandübergänge als Absorptionsmechanismus freier Ladungsträger (I)

11

Neben den bereits oben definierten Funktionen bedeuten : ff Besetzungswahrscheinlichkeit der Ausgangszustände im Band j mit Elektronen, (11) ff Besetzungswahrscheinlichkeit der Endzustände im B a n d i mit freien Plätzen, (12) ff Besetzungswahrscheinlichkeit der Endzustände im Band» mit Elektronen, (13) ff Besetzungswahrscheinlichkeit der Ausgangszustände im B a n d j mit freien Plätzen. (14) Zur Berechnung der spektralen Abhängigkeit der Absorption hat man neben W(v) und h(v) auch die Besetzungswahrscheinlichkeiten als Funktion von h v auszudrücken Dies wird im folgenden in einzelnen Schritten geschehen. Zunächst kann man die Übergangswahrscheinlichkeit W(v) noch durch die sogenannten Oszillatorenstärken ausdrücken und ferner von A{v) direkt auf den Absorptionskoeffizienten umrechnen. Die quantenmechanischen Oszillatorenstärken sind definiert durch (vgl. weiter unten: (54) ff.) ,2 [a[1] • (15) m h VjDabei bedeutet a den Einheitsvektor in Richtung des elektrischen Feldes der linearpolarisierten elektromagnetischen Welle. Die Bedeutung der Oszillatorenstärke liegt darin, daß mit ihrer Hilfe die quantenmechanischen Dispersions- bzw. Absorptionsformeln auf den klassischen Fall reduziert werden können. Ein Elektron, das an sich Übergänge in mehrere verschiedene Energiezustände machen kann, dem also mehrere Resonanzfrequenzen zuzuordnen wären, wirkt bezüglich eines herausgegriffenen Überganges j i nur mit der „ S t ä r k e " fo,j-^i < 1 . Insgesamt gilt jedoch der Summensatz (vgl. weiter unten) E

l = i,...

Wo.j^i

+

flj-,1

+

fl.j^i)

=

1 ,

(16)

l

(alle Bandnummern =j= j).

Während bezüglich des Brechungsindexes über alle Übergänge zu summieren ist, da jede Resonanzstelle einen Beitrag zur Polarisierbarkeit liefert, genügt es für die Absorption, nur den Übergang zu berücksichtigen, für den die Energiebilanz erfüllt ist: h v

j

^

i

= E

i

-

E

}

(17)

.

Um zu konkreten Werten zu gelangen, hat man über das stets benutzte kleine spektrale Intervall dv zu mittein. Hat man darin n(v) dv Elektronen pro Volumeneinheit, die zu einem Übergang mit hv bis h(v + dv) fähig sind, und ist in diesem Intervall deren gemittelte Oszillatorenstärke gleich f o j ^ i , so ist dies N klassischen Oszillatoren mit der Resonanzfrequenz v und der Dämpfungskonstanten pro Masse y äquivalent. E s gilt also N

—

7

=

n(v)j-,i

foj-

[1]

(18)

(vgl. z. B . FRÖHLICH [ 1 9 ] , S e i t e 1 1 1 , G l e i c h u n g 1 5 ) .

Um Gleichung (10) auf die Oszillatorenstärken f o j ^ i umzuformen (in Zukunft sei der Mittlungsstrich weggelassen), berechnet man die pro Sekunde und Volumen-

12

F. R.

KESSLER

einheit absorbierte Energie zunächst für klassische Oszillatoren an der Resonanzstelle: (7) ergibt mit (3) den Zusammenhang A (v) =

2

2

ti e0 v • — El

n

Energie

k

(19)

Die Größe 2 n k ergibt sich aus der klassischen Theorie [18], die mit der bekannten Bewcgungsleichung (im linearen Ansatz) x +

x +

-/ x =

—

(20)

E(t)

beginnt und für 2 n v = OJ0 , d. h. an der Stelle der Resonanz, zu 2

nk

=

;2

N

Eq m -2.-11/

(21)

y

führt. Setzt man jetzt (18) ein, d. h. geht man auf die Quantentheorie über, so erhält man =

Mv)j->i

1

E'l

~

• n(v)

foj-n(v)

(22)

,

wobei noch der Ausschließungsfaktor [ff / f — ff f f ] aus (10) hinzuzufügen ist. Damit wird gemäß (6) mit (8) der Absorptionskoeffizient für den Übergang j i K{v)

[m-i]

=

- L • £ n(v) CQ * C • It llv

f

0 J

^ ( v ) [ff ff

-

ff ff] .

(23)

Die einzelnen Faktoren müssen nun in ihrer Frequenzabhängigkeit ermittelt werden, um das Absorptionsspektrum zu erhalten. Dazu ist es zweckmäßig, die Übergänge zunächst im f-Raum zu lokalisieren, d. h. zu dem h v das zugehörige ! zu ermitteln. Diese f-Werte stellen die Verbindung zum Bändermodell her. Auf diese Weise lassen sich aus dem E{1)Verlauf des Bändermodells die gesuchten Größen Oszillatorendichte, Übergangswahrscheinlichkeit und Besetzungswahrscheinlichkeit gewinnen. Die Kenntnis des i?(f)-Verlaufs beschränkt sich praktisch jedoch auf einfache Fälle und besonders auf den Fall, daß die parabolische Näherung für den £'(f)-Verlauf noch verwendet werden kann. I m folgenden wird ein derart einfacher Fall zugrunde gelegt, und zwar zwei parabolische, isotrope, mit Extremum bei ! = 0 versehene Bänder, die bei ! = 0 einen energetischen Abstand dE besitzen. Die beiden Bänder können also dargestellt werden in der F o r m ¿2 = (24) E2

=

Esandrand

±

dE

±

™

|ff

,

(25)

wobei das positive Vorzeichen für zwei Bänder des Leitungsbandes, das negative Vorzeichen für zwei Bänder des Valenzbandes gilt. Das Band mit der Indizierung „ 1 " ist also stets dasjenige, das bei f = 0 den Bandrand bildet. B e i d E = 0 fallen dort beide Bänder zusammen. Mit Hilfe dieser Zählweise ist es möglich, die Übergänge der Elektronen im Leitungsband und der Löcher im Valenzband mit gleicher Indizierung zu erfassen.

Innere Bandübergänge als Absorptionsmechanismus freier Ladungsträger (I)

13

Die effektiven Massen sind mit d e m richtigen Vorzeichen f ü r freie L a d u n g s t r ä g e r gemäß ihrer Definition (reduziert auf den isotropen Fall) 1 8 2 E f + f ü r freie E l e k t r o n e n im L e i t u n g s b a n d

1

h2 dl2

m*

| _ f(j r f r e i e Löcher im V a l e n z b a n d

einzusetzen. F ü r den Z u s a m m e n h a n g zwischen der zum Ü b e r g a n g erforderlichen Lichtquantenenergie ( = B e t r a g der Energiedifferenz = |E 2 — E11) u n d d e m Ausbreit u n g s v e k t o r f gilt d a m i t h2 hv1^ = dE+—~ |!|», (27) z m12 wobei m*,2 die sogenannte reduzierte effektive Masse ist g e m ä ß der Definition TO*2

m*

(28)

m*

Qualitativ k a n n m a n schon diskutieren, d a ß die kurzwellige Grenze des Absorpt i o n s s p e k t r u m s f ü r negative reduzierte effektive Masse, d. h. f ü r m* p- m*. bei hv = dE liegt u n d dies ebenso, wenn m* ein anderes Vorzeichen h a t als m l , d . h. wenn m* < 0 ist u n d d a m i t B a n d 2 einen a n d e r e n K r ü m m u n g s s i n n als Band 1 hat. Für 0 m* m* dagegen gibt dE wegen des positiven Vorzeichens der reduzierten effektiven Masse die langwellige Grenze des A b s o r p t i o n s s p e k t r u m s an. 2.2 Berechnung

der

Oszillatorendichte

Die Berechnung der Oszillatorendichte n(v) in Abhängigkeit von d e r F r e q u e n z , d. h. der Zahl der möglichen Ü b e r g ä n g e pro Volumeneinheit m i t einer d e f i n i e r t e n Frequenz v u n t e r Berücksichtigung der zweifach möglichen Spineinstellung, erfolgt m i t Hilfe der Z u s t a n d s d i c h t e D(E) als F u n k t i o n der Energie. F ü r ein parabolisches, isotropes, m i t E x t r e m u m bei f = 0 versehenes B a n d besteht der folgende b e k a n n t e Z u s a m m e n h a n g :

( (

2 Im* I\3/2

f ü r E ^ (tfnand

+ dE) ,

[E -

(£liand

+ ÖE)fl*

(29)

o i w * | \3/2

für E ^

(ERllnd

-

ÖE) .

1

I

[(^ßand -

ÖE) -

Ef!'1

(30)

Die effektiven Massen ruf) sind hier mit d e m I n d e x D versehen, d a es sich d a b e i u m die „effektive Masse der Z u s t a n d s d i c h t e " („density [of states] effective m a s s " ) handelt, die n u r im Falle eines parabolischen, isotropen u n d zentrischen 3 ) B a n d e s identisch ist m i t der effektiven Masse, die bei Beschleunigungsvorgängen m a ß gebend ist. I s t z. B. das B a n d zwar parabolisch, aber nicht isotrop u n d liegt das E x t r e m u m bei kx0, klJ0, kz0, wird es also dargestellt d u r c h die Gleichung E(i)=E{i0) 3

+

Ä2 (kx ~

&a;o)2 . (ky kyo)2 | {&Z ho)2 •m * nt * m. *

) Das heißt mit Extremum bei ! = 0.

(31)

14

F. R.

KESSLER

wobei die Fläche zweiten Grades E(t) = const auf die Hauptachsen x, y, z transformiert ist, so ergibt sich die effektive Masse der Zustandsdichte zu [20] TO* =

(s 2 m * • m*

• TO*)1'3 .

(32)

Dabei ist s die Zahl der E x t r e m a in der reduzierten Brillouinzone. F ü r Germanium und Silizium z. B. gelten die folgenden Zahlenwerte [21]: Germanium m F ü r Elektronen im Leitungsband: s = 4 ; ED — 0,55 TO0 F ü r Elektronen im Valenzband: s = 1 ; Band 1; m* A D = — 0,35 m 0 •s = 1 ; Band 2; m%2D = — 0,04 TO0

gemittelt über Band 1 und 2 bei thermischer Gleichgewichtsverteilung: m * n — — 0,36 m 0 Silizium mEi> F ü r Elektronen im Leitungsband: s = 6; F ü r Elektronen im Valenzband: 5 = 1 ; Band 1; D s = 1; Band 2; TO| 2 D m gemittelt: LD

= 1,08 to0 = — 0,35 TOq = — 0,156 m, = - 0,59 m 0

Nach diesen Ausführungen über die allgemeine Energieabhängigkeit der Zustandsdichte D(E) und unter Hinweis auf die Ableitung dieser Zustandsdichte soll nun die Oszillatorendichte n{v) für den ins Auge gefaßten einfachen Fall berechnet werden. Es sei bemerkt, daß die Oszillatorendichte im doppelten Sinn eine Dichte ist: eine Zahl pro Volumeneinheit u n d pro Frequenzintervall mit der Dimension [s/m 3 ]. Da die Zustandsdichte im f-Raum eine K o n s t a n t e ist u n d unter Berücksichtigung der zweifachen Spineinstellung (1/4 n 3 ) beträgt, läßt sich die Zahl der Oszillatoren pro Volumeneinheit f ü r das Intervall h v bis h (v + dv) über Gleichung (27) berechnen, indem m a n das zugehörige „Volumen" im I-Raum (eine Kugelschale vom Volumen 4 n k2, dk) berechnet und mit der (konstanten) Zustandsdichte im f-Raum multipliziert.

- T - - P hv

i

_l_r:

h(v+dv)

_i

i iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii Zustandsdichte im k-Raum konstant

darin nj^M-dv diskrete Zustände

l-'ig. 4. E i n d i m e n s i o n a l e s S c h e m a zur D a r s t e l lung d e r O s z i l l a t o r e n d i c h t c

Innere Bandübergänge als Absorptionsmechanismus freier Ladungsträger (I)

15

Fig. 4 erläutert diesen Zusammenhang in eindimensionaler Darstellung. Durch Kombination der dreidimensionalen Zustandsdichte im f-Raum | 2 k 2 dkj mit Gleichung (27) und ihrer Ableitung erhält man nach Division durch dv die Oszillatorendichte in Abhängigkeit von der Frequenz pro Volumeneinheit:

(

2 !m *

J

mit

hv

6E

für

^

m*2 positiv

I \ 3/2

(\hv-ÖE\yi*

j

hv iS dE für

und

(33)

m*,

negativ,

worin die reduzierte effektive (Zustands-) Masse m*., gemäß der Definition (28) auftritt. 2.3 Berechnung

der

Besetzungsicahrscheinlichkeiten

Die Besetzungswahrscheinlichkeit der Bänder wird in ihrer Abhängigkeit von der Energie durch die Fermiverteilung

f{E) =

; kr

C Fermienergie

(34)

, ,

e +1 angegeben, die man, falls keine Entartung vorliegt und stets | (E-0\>kT

(35)

ist, durch die klassische Boltzmannverteilung ersetzen kann. In diesem Fall ist die Besetzungswahrscheinlichkeit des Leitungsbandes mit Elektronen gegeben durch f(E) = e

.

kT

(36)

Dies ist ebenso die Besetzungswahrscheinlichkeit des Valenzbandes mit Löchern, denn für die Besetzungswahrscheinlichkeit mit Löchern gilt wegen der Voraussetzung (35) _\E-i|

1 - f(E) = e kT . (37) Um die Kenntnis des Ferminiveaus £ zu umgehen, kann man davon Gebrauch machen, daß die Gesamtzahl der Elektronen (bzw. Löcher) im Leitungsband (bzw. Valenzband) gegeben ist durch oo

N

e

= / D(E) f(E) dE

(38)

Ii aml — oo

NL = j D(E) f(E) dE . ¿Rand Die Integrationsgrenzen können dabei statt bis zum anderen Bandrand bis oo bzw. — oo verschoben werden, da stets die Breite des Bandes ^ k T ist. Setzt man Dichtefunktion und Boltzmannverteilung ein, so läßt sich das Integral durch Substitution auf die Form der Eulerschen Gammafunktion bringen und damit lösen. Man erhält bzw. durch

N

e

= N

e

bzw.

• e~ ~~ k T

(39)

_ f-^Kand Nl

= NL-e

"T -

(40)

16

F. R . KESSLER

mit Ne bzw. Nl als den sogenannten effektiven Zustandsdichten, die auch in den Konstanten des Massenwirkungsgesetzes auftreten, wenn man die Temperaturabhängigkeit der Zahl der freien Ladungsträger auf diese Weise darstellen will: (41) Nr = 2

¡2 7i \ml„\ k T\3l-2

Damit ist das Fermini veau aus der Besetzungswahrscheinlichkeit zu eliminieren, und man erhält für die Besetzungswahrscheinlichkeit eines Leitungsbandes mit Elektronen (E-.Bj{anrt) m

E

= N

B

~ - e A'jb

bzw. eines Valenzbandes mit Löchern

(43)

kT

_ (^Rancl--6')

f{E)L = NL-~.e

.

tT

(44)

Die Besetzungswahrscheinlichkeiten müssen noch auf die Abhängigkeit von h v umgeformt werden. Bleiben wir zunächst beim Leitungsband. Das unterste Band hatte die Nr. 1 und ist als Ausgangszustand für den Elektronenübergang mit j zu bezeichnen. Kombiniert man nun (24) mit (27), so erhält man für die Abhängigkeit der Energie des Bandes von der Lichtquantenenergie des Überganges III * Ex = Er and + (Ä V - dE) . (45) Setzt man dies in f(E)E (43) ein, so erhält man jetzt die gewünschte Frequenzabhängigkeit der Besetzungswahrscheinlichkeit des j-ten Bandes mit Elektronen (vgl. (11) die Definition von ff) zu m 12 (hv — öE) kT jf^ = N E ~ - e < . (46) NEl Für die Besetzungswahrscheinlichkeit des Endzustandes (¿-Band, Band 2) mit freien Plätzen kann man näherungsweise den Wert 1 einsetzen, da praktisch die Energiedifferenz der Bänder beim betrachteten Übergang sehr viel größer ist als k T. Wenn dE groß ist gegen k T, trifft dies immer zu; für dE = 0 müßte man schon bei hohen Temperaturen oder sehr langen Wellen spektroskopieren, um Abweichungen von dieser Näherung feststellen zu können. Selbst im Band 1, dem untersten Band, ist die Bssetzungswahrscheinlichkeit mit freien Plätzen im nicht entarteten Fall immer noch praktisch = 1. Für das Valenzband ergibt sich analog für die Besetzung«Wahrscheinlichkeit des obersten Bandes 1 mit Löchern, zwar dem Endzustand für den ElektronenÜbergang (an sich gilt dafür die Bezeichnung i), dem Ausgangszustand jedoch für den als Übergang von Löchern aufgefaßten Prozeß: m*l2

f f = NLi-J-.e Nl,

m*'

(hv-öE) kT

.

(47)

Innere Bandübergänge als Absorptionsmeehanismus freier Ladungsträger (I)

17

Auch im Valenzband kann in analoger Weise für die Besetzung des ?-Zustandes (des untersten Bandes 2) mit Elektronen die Wahrscheinlichkeit 1 eingesetzt werden. Zur Erfassung der induzierten Emission benötigt man, wenn man sich zunächst wieder auf die Betrachtung des Leitungsbandes beschränkt, die Besetzungswahrscheinlichkeiten des Endzustandes (¿-Band) mit Elektronen, während man bei der zu betrachtenden Rückkehr der Elektronen aus diesem «-Band in das ¿-Band dort, wegen der bei Niehtentartung stets noch relativ sehr kleinen Dichte an freien Elektronen, die Besetzungswahrscheinlichkeit des /-Bandes mit freien Plätzen = 1 setzen kann. Die Zahl der freien Elektronen im Band i (Band 2) berechnet sich analog wie die oben beschriebene im Band j. Man hat dazu die i? 2 (f)-Funktion (25) mit der Beziehung zwischen Lichtquantenenergie und Ausbreitungsvektor (27) zu kombinieren und erhält E2{V) = ELLIMD

+

+

wi m.2

*

(hv -

ÖE) .

(48)

Setzt man dies in die Besetzungswahrscheinlichkeit (43) ein, so erhält man

/ ÖH+-if m*„(Itv-dE)\ j /f=2

=

Nu, -=— e

^

(49)

Die reduzierte effektive Masse m*2 ist mit ihrem richtigen Vorzeichen einzusetzen. Der Spektralbereich ist dabei, wie schon angegeben, beschränkt auf hv^.

ÖE

für

m*.2 positiv,

hv fS, dE

für

?«*, negativ.

Hier ist wieder statt der Elektronenzustandsindizes j bzw. i die Bandnumerierung 1 bzw. 2 verwendet, denn in dieser Form gelten die Formeln für den Elektronenübergang 1 —y 2 im Leitungsband und für den Löcherübergang 1 ^ 2 im Valenzband in gleicher Weise, wobei das der Energielücke am nächsten liegende Band die Nr. 1 erhält und SE den Betrag der Energiedifferenz der beiden Bänder bei ! = 0 bezeichnet. Bei der Anwendung auf das Valenzband hat man nur den Index E (= Elektronen) durch den Index L ( = Löcher) zu ersetzen. Die reduzierte effektive Masse ist im übrigen ebenfalls mit ihrem richtigen Vorzeichen einzusetzen. Insgesamt erhält man also die im folgenden zusammengestellten Besetzungswahrscheinlichkeiten :

_>»ia I h v — ôE \ für Absorption ;

NEL

(50) (51)

ÔE+ - i f (ft r-äE)

für induzierte Emission.

ft = 1 2 physira

(52) (53)

18

F. R.

KESSLER

A n h a n d der Formel (52) bestätigt sich die auch anschaulich verständliche T a t sache, d a ß m a n die induzierte Emission nicht zu berücksichtigen braucht, wenn ii f hat das Impulsmatrixelement der Übergangswahrscheinlichkeit die gleiche Richtung wie der Teilchenimpuls. N u r bei parallel zum G-Vektor gerichteter Bewegung k a n n das Elektron also aus der elektromagnetischen Welle Energie aufnehmen, wobei sich der reduzierte Ausbreitungsvektor bzw. der reduzierte Impuls nicht ändert. Wegen dieser Konstanz des Ausbreitungsvektors bzw. Impulsvektors gelten diese Betrachtungen der Richtungsbindung auch f ü r die induzierte Emission, d. h. bei der Rückkehr des Elektrons aus dem Zustand i in den Zustand j. Deswegen können bei der Energiebilanz zur Berechnung der optischen Leitfähigkeit die induzierten Übergänge mit gleicher Oszillatorenstärke einfach subtrahiert werden. I m Fall eines isotropen Bändermodells sind die drei K o m p o n e n t e n des Vektors grad ip gleich u n d der Stoff ist auch optisch isotrop. S t a t t (54) k a n n m a n d a n n schreiben , _ 1 2|fo t |» /o,j-i,f — y • [!]• (59) I n diesem Fall ist die Oszillatorenstärke unabhängig vom Polarisationszustand der elektromagnetischen Welle. Bei Gleichung (59) handelt es sich um den räumlichen Mittelwert fo,j^,t

= \(fxo

+ n + n),

(60)

f ü r den der quantenmechanische Summensatz [19] 2J foj^i

= 1>

1 = i, . . . (alle B a n d n u m m e r n =j= j)

(61)

giltDa man das Impulsmatrixelement nur innerhalb eines relativ kleinen f-Bereiches in der Nähe des Bandrandes beim E x t r e m u m von E(t) zu kennen braucht — f ü r größere f-Entfernungen vom E x t r e m u m aus werden ja die Besetzungswahrscheinlichkeiten verschwindend klein —, k a n n m a n die p j i j entwickeln u n d in erster Näherung darstellen (hier für das E x t r e m u m bei 1 = 0): •!+•••. (62) =o Anhand dieser Entwicklung lassen sich zwei Fälle unterscheiden: 1. „Verbotene" Übergänge F ü r Pji(0) = 0 ist das Impulsmatrixelement bei 1 = 0 insgesamt Null und damit auch Oszillatorenstärke und Absorption. Man hat definiert, in diesem Fall von einem „verbotenen" (direkten) Übergang zu sprechen. F ü r endliche f-Werte t r i t t wegen des zweiten Summanden jcdoch Absorption auf. Bei isotropen u n d parabolischen Bändern ist das Impulsmatrixelement dem Betrag des Ausbreitungsvektors proportional, denn es ist in diesem Fall M f) = M °) + 8k Pjitf)

5 * » 2*

t=o

= const = B .

(63)

20

F . R . KESSLER

Die Oszillatorenstärke für den verbotenen Übergang beträgt also /«.;-•.«= , „ , /, ... . - £ 2 - ( f ) 2 verboten ° '"o "

(64)

bzw., auf die Lichtquantenenergie bezogen statt auf f, unter Zuhilfenahme der oben abgeleiteten Beziehung (27) 11

^

verboten

^ '»o

\

*"

/

(65)

2. „Erlaubte" Übergänge Für Pji(0) = i 4= 0 spricht man von einem „erlaubten" Übergang. Man vernachlässigt dann neben A den zu ! proportionalen zweiten Summanden in (62) und erhält auf diese Weise für die Oszillatorenstärke /o,;-f erlaubt

ö "h

n vj~*i .

(66)

Die Frage, ob nun das Impulsmatrixelement bei 1 = 0 verschwindet oder nicht, wird entschieden durch den räumlichen Symmetriecharakter der ^-Funktion im /-Zustand und im ¿-Zustand. Nur wenn das Produkt Q = %*tgrad¥'U

(67)

für 1 = 0 symmetrisch ist, d . h . wenn gilt e(r)=e(-r),

(68)

hat das räumliche Integral, das sich für die pj^j über den ganzen Raum erstreckt einen von Null verschiedenen Wert. Das setzt voraus, daß y>i und )/;, auf jeden Fall einen ungleichen Symmetriecharakter haben, d. h., wenn ipi symmetrisch ist, muß y>j unsymmetrisch sein bzw. umgekehrt. Die ^-Funktionen im periodischen Gitter des Festkörpers sind ganz allgemein vom Typus f i

(X,t)=u(rje'*'" 11',

( 6 9 )

wobei u { x ) eine gitterperiodische Funktion ist, die eine Amplitudenmodulation angibt und auch die Normierungskonstante enthält. Auf diese Weise reduziert sich die Symmetriebetrachtung auf die enthüllende Funktion u ( i ) , denn durch Einsetzen von (69) erhält man für das Impulsmatrixelement I= ~ J

u

j , i grad

j d t + h l J u* Uj d t .

(70)

Auf Grund der Orthogonalität der ^-Funktion im B a n d j und i ist « « , ) = 0,

(71)

d. h., der zweite Summand in (70) entfällt, und es bleibt

Pj^i.t

=

h f u I j,t

grad uit

idt.

(72)

Die Frage des Symmetriecharakters, d. h. die Frage, ob es sich um „verbotene" Übergänge handelt, muß anhand der speziellen ^-Funktionen geklärt werden, die sich im Leitungsband bzw. Valenzband überlappen und Anlaß zu den Intrabandübergängen geben.

Innere Bandübergänge als Absorptionsmechanismus freier Ladungsträger (I)

21

In dem speziellen Fall, daß die Unterbänder aus den gleichen Atomeigenfunktionen (s-, p- oder d-Zustände) entstanden sind und Entartung herrscht bzw. diese nur durch eine sekundäre Wechselwirkung (z. B. Spin-Bahn-Wechselwirkung) aufgehoben ist, wird man gleiche Symmetrieeigenschaften und damit einen verbotenen Übergang annehmen können. Ein derartiger Fall ist gerade bei den p-Banden des Germaniums gegeben. Die Frage, ob der Symmetriecharakter der ^-Funktion mit dem betreffenden 7?(f)-Verlauf im Bändermodell, der unter Umständen experimentell, z. B. durch Zyklotronresonanz, bestimmbar ist, in Zusammenhang steht, ist zu bejahen, denn quantenmechanisch besteht bezüglich des klassischen Teilchenimpulses die Gleichheitsrelation: Masse X Gruppengeschwindigkeit = quantenmechanischer Erwartungswert des Impulses: pi = oder eindimensional:

mo

\ V i E = — ih J y * grad y){ dt, 1 8E

(73)

s

• i C * J (74) V" = m«-hWx=~lhiWi^WidtAuf Grund dieser Beziehung steht die Symmetrieeigenschaft der ^-Funktion eines Elektrons mit dem Vorzeichen des Integrals und so mit der Krümmungsrichtung des i£(f)-Verlaufs im Zusammenhang. Ob eine Aussage möglich ist, daß Intrabandübergänge zwischen Bändern mit gleichem Vorzeichen der effektiven Masse stets verbotene Übergänge sind, dagegen Übergänge zwischen Bändern mit ungleichem Vorzeichen der effektiven Masse stets erlaubt sind, wäre noch theoretisch zu untersuchen. Ein Vergleich des vorliegenden experimentellen Materials bei Silizium und Germanium bzw. Selen und Tellur scheint diesen Zusammenhang zu bestätigen. Bei den speziellen ^-Funktionen der Elektronen in einem Oszillatorpotential (gebundene Elektronen) läßt sich dieser Zusammenhang auch theoretisch verifizieren, indem man die bekannten Eigenwert-Funktionen einsetzt [23], Ein Anhaltspunkt für die allgemeine Gültigkeit dieses Satzes steht jedoch noch aus. 2.5 Diskussion

2.5.1 Proportionalität

der vollständigen

zur Dichte freier

Formel

Ladungsträger

Im Vorangehenden sind alle Faktoren, die in der Formel für den Absorptionskoeffizienten (Gleichung (23)) auftreten, berechnet worden. Faßt man die Konstanten zusammen in der Abkürzung e2 16 7i3 23/2 B2 5 2 Q = e-0 • c • n •' m\ • 3•A~ 5 ~ N (H%|) ' , £ L

(75)

so erhält man als Endergebnis für den verbotenen Intrabandübergang zwischen dem Band 1 und 2, wobei das Band 1 das der verbotenen Energielücke am nächsten liegende ist, "'12 I hv-öE\

kT )

verboten

mit

A

v

hv 2i bE für m*.< positiv, hv ^ ÖE für m*2 negativ.

m2

kT~~~

(76)

22

F. R.

KESSLER

In dieser Form ist die Formel sowohl für Elektronen im Leitungs- als auch für Löcher im Valenzband gültig. Für dE p> kT bleibt der Emissionanteil vernachlässigbar. Für den erlaubten Übergang hat man nur die Konstante B durch A zu ersetzen und gemäß der Oszillatorenstärke für den erlaubten Übergang (vgl. (65) mit (66)) durch 2 • |m*2) • (|hv — 6E\) zu dividieren. Als erstes wichtiges Ergebnis ist festzustellen, daß der Absorptionskoeffizient proportional ist zur Zahl der freien Elektronen NE bzw. der freien Löcher NL im Leitungsband bzw. im Valenzband. Es muß hier erwähnt werden, daß diese Proportionalität des Absorptionskoeffizienten zur Dichte der freien Träger streng nur bei parabolischen Bändern gilt, d. h. bei Übergängen zwischen zwei Bändern, die jeweils ausschließlich durch eine effektive Masse beschrieben werden können. Bei nichtparabolischen Bändern hängt die effektive Masse des freien Ladungsträgers davon ab, in welchem energetischen Abstand er sich vom Bandrand befindet. Damit werden die Verhältnisse sehr viel komplizierter. Ist z. B . außerdem die Zustandsdichte, d. h. die effektive Masse am Bandrand, klein und liegt Entartung der Trägerdichte vor, so werden die freien Ladungsträger bei wachsender Dichte gemäß der Fermiverteilung in wachsendem Abstand vom Bandrand „eingebaut" und haben dort dann eine andere effektive Masse als diejenige am Bandrand. Auf diese Weise gelten für die Intrabandübergänge ganz verschiedene reduzierte effektive Massen. Man kann das auch so ausdrücken: Die mittlere, reduzierte effektive Masse einer Gesamtzahl von freien Ladungsträgern ist konzentrationsabhängig. 4 ) Diese Konzentrationsabhängigkeit hebt dann die Proportionalität des Absorptionskoeffizienten zur Trägerdichte auf. 2.5.2 Qualitativer Verlauf des

Spektrums

Zieht man nur die frequenzabhängigen Faktoren in Betracht, so kann man das Absorptionsspefcirwwi diskutieren. Man erhält für den verbotenen direkten Übergang

K verboten

/

(\hv- (5Ä|)3/2 hv

»12 ¡hv-öE\ mf \i~T~~)

6E+ —i-i (hv-ÖE) ™2 kT

(77)

mit der bereits bei (76) genannten Beschränkung für h v. Grundsätzlich sind drei Fälle möglich: a) dE = 0 (dann ist stets m* 2 positiv), b) dE 0 (m*2 positiv), c) dE ^ 0 (m*2 negativ). Die Fig. 5 stellt schematisch einen der Fälle dar, nämlich bE ^ 0 und iw*2 positiv. In diesem Falle erstreckt sich die Absorption, bei hv = d E beginnend, zu höheren Frequenzen. Durch die Multiplikation der drei Frequenzgänge Oszillatorendichte, Oszillatorenstärke und Besetzungswahrscheinlichkeit, die in Fig. 5 ebenfalls getrennt eingezeichnet sind, ergibt sich die unsymmetrische Absorptions4 ) Derartige Verhältnisse liegen im »-leitenden InSb vor. Die Abweichung der Absorption, in diesem Falle der Leitungsabsorption, von der Proportionalität zur Trägerdichte kann umgekehrt zur Analyse des ¿'(E)-Verlaufs verwendet werden [24].

Innere Bandübergänge als Absorptionsmcchanismus freier Ladungsträger (I)

23

F i g . 5. Die l"'requenzabhängigkeiten von Oszillatorendichte, Oszillatorenstiirke für verbotene Übergänge und B e s e t zungswahrscheinlichkeit, die sich zum S p e k t r u m des Absorptionskoeffizienten K ( ) multiplizieren, dargestellt für einen direkten Intrabandübergang bei angegebener parabolischer B a n d s t r u k t u r . — Bei einem erlaubten I n t r a bandübergang t r i t t lediglich an die Stelle der Oszillatorenstiirke für den verbotenen Übergang die Oszillatorenstiirke für den erlaubten Übergang ( - - - - )

bände, die ihr Maximum etwa bei dE + 2 JcT hat. Die Bande fällt auf der Seite zu dE hin mit einer Halbwertsbreite von etwa IcT ab. Diese Schärfe ist insofern wichtig, als man mit ihrer Hilfe bereits beurteilen kann, ob eine gefundene Absorptionsbande direkten Übergängen zuzuordnen ist. Im Silizium z. B. findet man eine sehr viel breitere Bande, die deswegen als ein indirekter Intrabandübergang gedeutet werden muß (vgl. unter Silizium). In Fig. 5 ist der Wert für k T mit 0,1 eV stark vergrößert angenommen, um die Zeichnung übersichtlich zu halten. Im übrigen ist die Darstellung der frequenzabhängigen Faktoren quantitativ mit öE = 0,3 eV und m* : m* = 1 : 3. Bei dE = 0 ist, entsprechend der Zählweise der Bänder, stets m* > m*, d. h. m*2 positiv, man erhält eine sich über den ganzen Frequenzbereich erstreckende Absorption, die bei hohen Frequenzen exponentiell abfällt. Der Fall von Übergängen mit negativer reduzierter effektiver Masse verläuft ganz analog und bedarf wohl keiner gesonderten Darstellung, die Bande liegt unterhalb von 6E und ist gewissermaßen am Wert bE gespiegelt. Die Spektren der erlaubten Intrabandübergänge erhält man, entsprechend der geänderten Frequenzabhängigkeit der Oszillatorenstärke, nach Division durch |(hv - 6E)\:

K,erlaubt

(\hv-ÖE\)V2 hv

»12 (hv-öK) kT

öE+ —i-i (/I V-ÖE) m2 (78)

Damit werden speziell die Anstiege von h v = dE herkommend flacher. Für SE = 0 behält man für h v gegen 0 einen im wesentlichen exponentiellen Anstieg der Absorption bei.

24

F. R.

KESSLER

I n Fig. 5 ist der spektrale Verlauf der Oszillatorenstärke f ü r einen erlaubten Übergang eingezeichnet, der in einem solchen Fall an die Stelle der Oszillatorenstärke des verbotenen Überganges zu setzen ist. 2.5.3

Temperaturabhängigkeit

Die Absorption steigt überall exponentiell mit der Temperatur an. Die Potenzabhängigkeit T~ 3 ' 2 des vorgesetzten F a k t o r s Q, die in der Temperaturabhängigkeit der effektiven Zustandsdichte enthalten ist (41), bleibt daneben vernachlässigbar. Dies gilt f ü r konstante Trägerzahl, also z. B. im Bereich der erschöpften Fremdleitung. I m Eigenleitungsbereich ist zu berücksichtigen, daß die Trägerdichte selbst nochmals exponentiell mit der Temperatur anwächst . 2.5.4 Größenrelation zur

Leitungsabsorption

Die Formeln (75) u n d (76) enthalten als unbekannte K o n s t a n t e n nur noch die Größe A bzw. B der im allgemeinen nicht bekannten Oszillatorenstärken. Diese Größen sind zwar im Prinzip zugänglich, aber d a f ü r bedarf es der Kenntnis der beteiligten ^-Funktionen. Man geht meist umgekehrt vor u n d bestimmt die Oszillatorenstärken rückwärts aus der experimentellen Absorption. Weiter unten findet sich bei der Besprechung von Tellur eine quantitative Berechnung dazu. Man ermittelt dort eine Oszillatorenstärke von nahezu 1 u n d m u ß daraus auf einen erlaubten direkten Übergang schließen. Der zugehörige Absorptionsquerschnitt eines Loches im Maximum der bei 11 |j.m gelegenen Absorptionsbande ist deswegen auch relativ groß. E r beträgt = 10 A 2 11 [Ain

?max

bei 300 °K

(Tellur).

Bei einem erlaubten direkten Intrabandübergang übertrifft offensichtlich im spektralen Maximum der Absorptionsquerschnitt der Intrabandübergänge den der Leitungsabsorption. Dies ist aber meistens auch bei verbotenen direkten oder indirekten Intrabandübergängen in der Nähe von \hv — dE\ = 2 k T der Fall. Zur quantitativen Angabe einer Größenrelation zwischen beiden Absorptionsquerschnitten kann man entweder die Leitungsabsorption aus anderen Spektralbereichen her extrapolieren oder diese berechnen. Bei der Berechnung der Leitungsabsorption bedient man sich der quantenmechanisch adaptierten Drudeschen Theorie. Auf die speziellen Fragen dieser Theorie soll hier nicht näher eingegangen, vielmehr diesbezüglich auf die zusammenfassende Literatur [18] verwiesen werden. I s t r die Stoßzeit der freien Ladungsträger, so erhält m a n unter den häufig realisierten Voraussetzungen a> x

1

und

hv^> k T

f ü r den Absorptionsquerschnitt der Leitungsabsorption den Wert 1 =

e2 ¿1/2 2

n e0c9

j/jt (k

'

1 * r • m* • n

1

(79)

n Brechungsindex; c Vakuumlichtgeschwindigkeit; MKSA-Einheiten. I n günstigen Fällen ist die Stoßzeit energieunabhängig, so daß man zur Berechnung des Absorptionsquerschnittes im Bereich o i i ^ l den aus der Gleichstromleitfähigkeit bzw. im Bereich co r 1 bestimmten Wert verwenden kann. Bei Silizium und Germanium h a t sich das quantitativ bestätigt. Bei Selen z. B. hängt

Innere Bandübergänge als Absorptionsmechanismus freier Ladungsträger (I)

25

jedoch die Beweglichkeit selbst im Bereich cu t 1 noch stark von der Frequenz ab. Die Frage der Energieunabhängigkeit der Beweglichkeit ist eine Frage des Streumechanismus für die Elektronen bzw. Löcher. Bei unpolarer Streuung, z. B . an akustischen Phononen, ist Energieunabhängigkeit gewährleistet, bei polarer Streuung, z. B . an ionisierten Störstellen oder optischen Gitterschwingungen, jedoch nicht. Deshalb schließt man bei einem quantitativen Vergleich zunächst gern hohe Störstellendichten oder hohe Temperaturen aus. I s t der Bandrand entartet, so hat man zu berücksichtigen, daß mehrere Sorten von Elektronen bzw. Löchern mit verschiedener effektiver Masse und Stoßzeit vorhanden sind. Um den mittleren Absorptionsquerschnitt eines freien Ladungsträgers anzugeben, hat man also bei der Berechnung der Leitungsabsorption eine prozentuale Verteilung der freien Ladungsträger auf die verschiedenen Sorten zu berücksichtigen. Bei Germanium z. B . verteilen sich die freien Löcher im Verhältnis 21 : 1 auf das Band 1 und das Band 2, und es gelten dort die folgenden Werte bei 300 ° K : *

m In

= 0,3 m 0 ,

m*Lt = 0,04 m 0 ,

tLl = 1,16 • 10" 1 3 s ,

xLt=

1,64 • 10" 1 3 s. s )

Man erhält damit (für n = 4) folgende Absorptionsquerschnitte für die Leitungsabsorption der Löcher bei 3,4 ij.ni. d. h. bei der Wellenlänge des Maximums der 1 H > 3 p-Bande qLl = 0,025 A 2 ,

qL„ = 0,133 A 2 ,

und einen mittleren Absorptionsquerschnitt ^

=

+ ¿ 3 / . , = 0,030 A 2 .

Demgegenüber beträgt der Absorptionsquerschnitt der Löcher infolge des 1 —^ 3Intrabandüberganges an dieser Stelle nach B R I G G S und F L E T C H E R [ 2 ] 3; 3 , 4 [im

=

1>5 A

2

.

Damit übertrifft bei ^-leitendem Germanium die Intrabandabsorption an dieser Stelle die Leitungsabsorption um den Faktor 50. I m Eigenleitungsfall tritt zur Leitungsabsorption der Löcher noch die der Elektronen hinzu, und zwar mit einem Absorptionsquerschnitt QS; 3,4 um = 0,037 A 2 berechnet

1 E ; 3 , 4 UM = experimentell

0,031

A2

mit M*E = 0,1 M 0 , (nach

KAISER,

COLLINS

T E = 2,27 • 10" 1 3 s; und

FAN

[3]).

Auch in der Eigenleitung bleibt also bei 3,4 [im die Intrabandabsorption der Löcher um den Faktor 22 größer als die Leitungsabsorption des Elektron-LochPaares und beherrscht damit das Spektrum, obwohl es sich bei den Intrabandübergängen der Löcher im Germanium um verbotene direkte Übergänge handelt. 5 ) Diese Werte basieren auf einer exakten Auswertung von Leitfähigkeits- und Hallkoeffizientmessungen mit Hilfe zweier Löchersorten und den Werten (aus Zyklotronresonanzmessungen bekannt) A r x :A r 2 = 21 und T2:T1 = 1,4.

26

F. R.

KESSLER

Ein analoger Größenvergleich bei Silizium, und zwar bei der Wellenlänge des Maximums der Absorptionsbande der freien Elektronen (vgl. weiter unten) bei 2,5 (i,m und 293 °K, führt zu folgenden Werten: