Partielle Differentialgleichungen in der Mathematischen Physik [Reprint 2021 ed.] 9783112471302, 9783112471296

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S. G. M I C H L I N PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN IN DER MATHEMATISCHEN PHYSIK

MATHEMATISCHE L E H R B Ü C H E R UND MONOGRAPHIEN

HERAUSGEGEBEN VON DER AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN DER DDR Z E N T R A L I N S T I T U T F Ü R M A T H E M A T I K UND M E C H A N I K I. A B T E I L U N G

MATHEMATISCHE L E H R B Ü C H E R BAND 30

P A R T I E L L E DIFFERENTIALGLEICHUNGEN IN DER MATHEMATISCHEN PHYSIK VON

S. G. MICHLIN

AKADEMIE

- VE R L A G 19 7 8

•

BERLIN

S. G. MICHLIN

PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN INDER MATHEMATISCHEN PHYSIK In deutscher Sprache herausgegeben von Prof. Dr. rer. nat. habil. S. P R Ö S S D O R F

Mit 56 Abbildungen

A K A D E M I E - V E R L A G - B E R L I N 19 7 8

Diese Erstveröffentlichung erfolgt in Zusammenarbeit mit dem Autor in deutscher Sprache Deutsche Übersetzung: Dr. sc. BERND SILBERMANN, K a r l - M a r x - S t a d t

Erschienen im Akademie-Verlag, 108 Berlin, Leipziger Stiaße 3 — 4 © Akademie-Verlag Berlin 1978 Lizenznummer: 202 • 100/428/78 Gesamtherstellung: V E B Druckerei „Thomas Müntzer", 582 Bad Langensalza Bestellnummer: 762 372 3 (6311) • LSV 1064 Printed in GDR DDR 6 8 , - M

VORWORT

D a s vorliegende Buch stellt eine Erweiterung voh Vorlesungen dar, die der Verfasser im Laufe der letzten J a h r e vor Mathematikstudenten der Leningrader Universität gehalten hat. Der Verfasser ist der grundsätzlichen Auffassung, d a ß ein Lehrgang über partielle Differentialgleichungen einerseits eng mit den klassischen Gleichungen und Problemen der mathematischen Physik verknüpft sein soll, andererseits aber die Ideen u n d Methoden der Funktionalanalysis in ihm breit genutzt werden müssen. I n h a l t und Aufbau dieses Buches (so scheint es zumindest dem Verfasser) entsprechen dieser Auffassung. I m besonderen erfolgt die Darlegung f ü r Gleichungen mit einer beliebigen Anzahl von Variablen, hauptsächlicher Gegenstand der Untersuchungen sind jedoch die drei klassischen Typen von Gleichungen der mathematischen P h y s i k : die elliptischen, parabolischen und hyperbolischen Gleichungen; dabei werden die wichtigsten Vertreter dieser Gleichungstypen — die LAPLACE-Gleiehung, die Wärmeleitungsgleichung und die Wellengleichung — am stärksten berücksichtigt. D a s Buch besteht aus einer kleinen E i n f ü h r u n g und vier Teilen unterschiedlichen Umfanges. I n der Einführung werden die Aufgaben des Buches formuliert und einige Hinweise über die im Buch gebräuchlichen Begriffe, Bezeichnungen usw. gegeben. Der aus acht Kapiteln bestehende Teil I „Ergänzende Fragen der Analysis" enthält den notwendigen Apparat der Theorie partieller Differentialgleichungen: P a r a m e t e r integrale (Kap. 1); Mittelfunktionen, verallgemeinerte Ableitungen, SoBOLEWsche R ä u m e (Kap. 2 — 4); die Variationsmethode f ü r positiv-definite Probleme (Kap. 5 — 6); Elemente der Theorie singulärer Integrale und singulärer Integralgleichungen (Kap. 7-8). Der Teil I I „Allgemeines über partielle Differentialgleichungen" enthält die Kapitel 9 bis 11. I m Kapitel 9 erfolgt die Klassifizierung der partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung nach Typen, werden Randwertprobleme und das CAUOHYSche Problem formuliert, wird der Begriff der Korrektheit des Problems eingeführt. I m K a p . 10 werden die Charakteristiken und mit ihnen verknüpfte Fragen untersucht sowie die GKEENschen Formeln aufgestellt. I m K a p . 11 wird der Begriff der verallgemeinerten Lösung einer Differentialgleichung eingeführt, werden Elemente der Theorie verallgemeinerter Funktionen dargestellt und die singulären Lösungen der drei wichtigsten Gleichungen der mathematischen Physik — der LAPLAOE-Gleichung, der Wärmeleitungsgleichung und der Wellengleichung — ermittelt. Der dem Umfang nach größte Teil I I I ist den elliptischen Differentialgleichungen gewidmet. Hier bricht der Verfasser mit Traditionen, nach denen es üblich war, das Studium mit den hyperbolischen Gleichungen zu beginnen. Der Grund ist darin zu suchen, daß man parabolische und hyperbolische Differentialgleichungen (zumindest

VI

Vorwort

lokal) als abstrakte gewöhnliche Differentialgleichungen bezüglich der Zeit betrachten kann, die die unbekannte Funktion außerdem unter dem Symbol eines elliptischen Operators enthalten. Daraus leitet der Verfasser ab, daß es günstiger ist, das Studium mit den elliptischen Gleichungen zu beginnen. Teil I I I zerfällt faktisch in zwei Abschnitte: I n den Kap. 12—18 wird die LAPLAOE-Gleichung, in den K a p . 19—21 werden allgemeine elliptische Differentialgleichungen studiert. Wir wenden uns nunmehr ausführlicher dem Inhalt des Teils I I I zu. I m K a p . 12 werden die wichtigsten Eigenschaften harmonischer Funktionen studiert, wird der Potentialbegriff eingeführt und werden die Eigenschaften des Volumenpotentials untersucht; die Ergebnisse des Teils I ermöglichen, letztere Untersuchungen mit der notwendigen Vollständigkeit durchzuführen. I m K a p . 13 werden das DmiCHLETsche und das NEUMANNsehe Problem formuliert, und

es werden die entsprechenden Unitätssätze bewiesen. Ferner werden die P o i s s o N s c h e n Formeln für das Innen- und Außengebiet der Kugel sowie eine Reihe von Folgerungen aus diesen Formeln hergeleitet. Das K a p . 14 ist der Theorie der Kugelfunktionen in Räumen beliebiger Dimension gewidmet. E s wird der Zusammenhang zwischen den Kugelfunktionen und den L E G E N D R E S c h e n und T S C H E B Y S C H E F F s c h e n Polynomen hergestellt. E s werden die wichtigsten Eigenschaften der Kugelfunktionen ermittelt, ihre Vollständigkeit in verschiedenen Metriken wird bewiesen und die Abhängigkeit der Konvergenzgeschwindigkeit der Entwicklung nach Kugelfunktionen von den Differentialeigenschaften der zu entwickelnden Funktion geklärt. I m K a p . 1 5 werden einige einfache Fälle betrachtet, in denen sich das D I B I C H L E T sche und N E U M A N N s e h e Problem elementar lösen lassen. I m K a p . 16 sind die wichtigsten Elemente der Potentialtheorie dargelegt, im K a p . 17 werden die Integralgleichungen hergeleitet und studiert, in die mittels der Potentialtheorie das D n t i C H L E T s c h e und N E U M A N N s e h e Problem überführt werden. E s wird die Integralgleichung aufgestellt, die das D m i C H L E T s c h e Problem für das Außengebiet vollständig löst. Ferner wird eine Reihe von Spezialfällen untersucht. Das K a p . 18 ist der Lösung und der Untersuchung des Problems der Richtungsableitung in der zweidimensionalen Ebene mittels singulärer Integralgleichungen gewidmet ; der Fall einer größeren Anzahl von Variablen wird kurz gestreift. I m K a p . 19 wird die Konstruktion schwacher Lösungen des D n t i C H L E T S c h e n und N E U M A N N s c h e n Problems für eine beliebige selbstadjungierte nicht ausgeartete elliptische Differentialgleichung zweiter Ordnung angegeben, für die diese Probleme positiv-definit sind. Außerdem werden Gleichungen höherer Ordnung und Gleichungssysteme betrachtet. Auf der Grundlage der Theorie verallgemeinerter Funktionen wird die G R E E N s c h e Funktion untersucht. I m K a p . 20 wird das Spektrum des D I R I C H L E T schen und N E U M A N N s c h e n Problems studiert; die erhaltenen Resultate werden zur Konstruktion der Lösung dieser Probleme im Falle einer nicht selbstadjungierten Gleichung zweiter Ordnung benutzt. I m K a p . 21 wird bewiesen, daß die schwachen Lösungen des K a p . 19 unter hinreichend allgemeinen Bedingungen auch starke Lösungen sind. Teil I V (Kap. 2 2 — 2 8 ) ist den nicht stationären Gleichungen gewidmet. Hauptsächlicher Untersuchungsgegenstand sind die Wärmeleitungs- und die Wellengleichung. Die allgemeinen Eigenschaften dieser Gleichungen und ihrer Lösungen werden in den K a p . 2 2 und 2 3 studiert. I m K a p . 2 4 wird für diese Gleichungen mittels der F O U R I E R -

Vorwort

VII

sehen Methode die gemischte Aufgabe gelöst; die Begründung der erhaltenen Lösung wird ausführlich durchgeführt. Das CAtrcHYsche Problem wird im K a p . 25 für die Wärmeleitungsgleichung, im Kap. 26 für die Wellengleichung gelöst und studiert. I n beiden Fällen wird die Lösung auf zwei Wegen erhalten: mittels der FouBiEK-Transformation und mittels der singulären Lösung. Im Kap. 27 wird die Potentialtheorie für nicht stationäre Gleichungen entwickelt; mit ihrer Hilfe wird die gemischte Aufgabe mit inhomogenen Randbedingungen gelöst. Im schwierigeren Fall der Wellengleichung beschränken wir uns auf das Problem für den Halbraum; im Falle der Wärmeleitungsgleichung gelingt es, die Lösung für ziemlich allgemeine Ränder zu erhalten. Im Kap. 28 wird schließlich die Eindeutigkeit und Existenz der Lösung des CAUCHYsehen Problems für die Wellengleichung mit variablen Koeffizienten, die nur von den Koordinaten abhängen, bewiesen ; es wird darauf verwiesen, daß diese Methode auch auf die Wärmeleitungsgleichung anwendbar ist. Bei der Erstellung des vorliegenden Buches hat der Verfasser teilweise sein vorangegangenes Buch „Lehrgang der mathematischen Physik" („Nauka", Moskau 1968)1) benutzt. Der Autor dankt Herrn Prof. V. G. M A Z J A für die wesentliche Hilfe bei der Darlegung der Einbettungssätze für den Grenzexponenten (§§ 7, 8, K a p . 4). Leningrad, Juni 1976

1

) Deutsche Übersetzung: Akademie-Verlag, Berlin 1972.

S. M I C H L I N

INHALTSVERZEICHNIS

Einführung:

1

§ 1. D e r Gegenstand des Lehrganges § 2. Einige Definitionen und Bezeichnungen

1 5

TEIL I

ERGÄNZENDE

FRAGEN

DER

ANALYSIS

Kapitel 1. Parameterintegrale

11

§ § § §

11 14 18 24

1. 2. 3. 4.

Gleichmäßig konvergente I n t e g r a l e Kugelkoordinaten Integraloperatoren m i t schwacher Singularität Integraloperatoren m i t schwacher Singularität (Fortsetzung)

Kapitel 2. Mittelfunktionell

27

§ 1. D e r Mittelungskern § 2. Mittelfunktionen § 3. K o n v e r g e n z der Mittelfunktionen

27 28 29

Kapitel 3. Verallgemeinerte Ableitungen

32

§ § § § §

32 36 38 39

1. 2. 3. 4. 5.

D e r B e g r i f f der verallgemeinerten Ableitung Die einfachsten E i g e n s c h a f t e n der verallgemeinerten Ableitung Grenzwerteigenschaften der verallgemeinerten Ableitungen D e r F a l l einer unabhängigen Veränderlichen U b e r eine E i g e n s c h a f t von F u n k t i o n e n , die eine verallgemeinerte erste A b l e i t u n g besitzen § 6. Ableitungen von I n t e g r a l e n m i t schwacher Singularität

40 42

Kapitel 4. Die S0B0LE\vschen B ä u m e

44

§ § § § §

44 45 49 51 52

1. 2. 3. 4. 5.

Die Definition der SoBOLEWschen R ä u m e Die S 0 B 0 L E w s c h e I n t e g r a l i d e n t i t ä t Einbettungssätze Die Ü b e r t r a g u n g auf allgemeinere Gebiete Äquivalente Normen in W M § 6 . Die Ungleichungen von F R I E D E I C H S und P O I N C A R É § 7. Ü b e r die F o r t s e t z u n g von F u n k t i o n e n § 8. D e r E i n b e t t u n g s s a t z für den Grenzexponenten

58 66

Kapitel 5. Positiv-definite Operatoren

70

§ 1. D e r B e g r i f f des quadratischen F u n k t i o n a i s § 2. Positiv-definite Operatoren

70 71

54

X § § § § § §

Inhaltsverzeichnis 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Der energetische R a u m Das Energiefunktional und sein Minimumproblem Die verallgemeinerte Lösung Über die Separabilität des energetischen Raumes Die Erweiterung eines positiv-definiten Operators Das einfachste Randwertproblem für die gewöhnliche lineare Differentialgleichung § 9. Ein allgemeineres Minimumproblem für das quadratische Funktional . . . . § 10. Der Fall eines nur positiven Operators Kapitel 6. Das Eigenspektrum eines positiv-definiten Operators § 1. § 2. § 3. § 4. § 5. § 6. § 7. § 8. § 9. § 10. §11.

75 81 83 86 88 91 96 98 100

Der Begriff des Eigenspektrums eines Operators 100 Eigenwerte und Eigenelemente eines symmetrischen Operators 101 Das verallgemeinerte Eigenspektrum eines positiv-definiten Operators 102 Die Variationsfassung des Eigenwertproblems 104 Der Satz über den kleinsten Eigenwert 107 Ein Satz über das diskrete Spektrum 109 Die Entwicklung nach dem Eigenspektrum eines positiv-definiten Operators . 111 Das STiraM-LiouviLLEsche Problem 112 Einige Elementarfälle 116 Das Mini-Max-Prinzip 119 Über das Wachstum der Eigenwerte beim STüRM-LiouviLLEschen Problem . . 1 2 2

Kapitel 7. Gleichungen in BANACH-Räumen und eindimensionale singulare Integralgleichungen 124 § § § § § § § §

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Einige Grundbegriffe Die NoETHERschen Sätze Sätze über die Stabilität des Index Das Symbol Das ÜAucHYsche singulare Integral Der CAtrcHYsehe Operator im Raum L 2 { r ) Das Symbol und die Regularisierung des singulären Operators Die Berechnung des Index des singulären Operators

124 125 127 129 131 135 140 141

Kapitel 8. Elemente der Theorie mehrdimensionaler singul&rer Integralgleichungen 144 § 1. Einige Eigenschaften der FoiJKiEE-Transformation § 2. Definition und Existenzbedingungen für das singuläre Integral

144 148

§ 3. D e r S a t z v o n G i b a u d

150

§ 4. Die Fourier-Transformierte des singulären Kerns § 5. Singuläre Integrale in L 2 § 6. Über die Differentiation von Integralen mit schwacher Singularität

154 158 161

TEIL II ALLGEMEINES

ÜBER

PARTIELLE

DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

Kapitel 9. Differentialgleichungen und Randwertaufgaben § § § § §

1. 2. 3. 4. 5.

Der Differentialausdruck und die Differentialgleichung Die Klassifizierung der Differentialgleichungen zweiter Ordnung Randbedingungen und Randwertaufgaben Das CAUOHYsche Problem Existenz-, Eindeutigkeits- und Korrektheitsprobleme bei Randwertaufgaben

167 167 169 172 176 . 178

Inhaltsverzeichnis

XI

Kapitel 10. Charakteristiken. Die kanonische F o r m . Die GREENSchen Formeln . . . .

185

§ 1. T r a n s f o r m a t i o n der unabhängigen Veränderlichen § 2. Charakteristiken. Die Beziehung zwischen den CAUCHYsehen Anfangswerten auf der Charakteristik § 3. T r a n s f o r m a t i o n der Differentialgleichungen zweiter Ordnung auf die kanonische Form § 4. D e r F a l l zweier u n a b h ä n g i g e r Veränderlicher § 5. F o r m a l a d j u n g i e r t e Differentialausdrücke § 6. Die GREENschen F o r m e l n § 7. Differentialausdrücke höherer Ordnung

185 186 189 190 192 193 196

Kapitel 11. Verallgemeinerte Lösungen von Differentialgleichungen

198

§ § § §

198 200 202

1. 2. 3. 4.

L o k a l summierbare verallgemeinerte Lösungen Distributionen und verallgemeinerte F u n k t i o n e n Verallgemeinerte F u n k t i o n e n endlicher Ordnung Verallgemeinerte Lösungen aus der K l a s s e der verallgemeinerten Singuläre Lösungen § 5. Die singuläre L ö s u n g der LAPLACE-Gleichung § 6. Die singulare Lösung der Wärmeleitungsgleichung § 7. Die singulare Lösung der Wellengleichung

Funktionen. 203 204 207 209

TEIL III

GLEICHUNGEN

VOM E L L I P T I S C H E N

TYP

Kapitel 12. LAPLACE-Gleichung und harmonische Funktionen

215

§ 1. Grundbegriffe § 2. V a r i a b l e n s u b s t i t u t i o n im LAPLACE-Operator § 3. Die Integraldarstellung für F u n k t i o n e n der K l a s s e und für h a r m o n i s c h e Funktionen § 4. D e r P o t e n t i a l b e g r i f f § 5. Die E i g e n s c h a f t e n des Volumenpotentials § 6. D e r Mittelwertsatz § 7. D a s Maximumprinzip § 8. Teilräume harmonischer F u n k t i o n e n § 9. Ü b e r t r a g u n g a u f Gleichungen mit variablen Koeffizienten

215 217 221 223 225 228 230 232 235

Kapitel 13. Das DmicHLETSche und das NEUMANNSche Problem

241

§ 1. Aufgabenstellung § 2. U n i t ä t s s ä t z e für die LAPLACE-Gleiohung § 3. Die L ö s u n g des DnticHLETschen P r o b l e m s für die K u g e l

241 242 247

§ 4 . D e r S a t z v o n LIOUVILLE

252

§ 5. D a s DimcHLETsche P r o b l e m für das Außengebiet der K u g e l § 6. Das V e r h a l t e n der Ableitungen einer h a r m o n i s c h e n F u n k t i o n im Unendlichen § 7. H e b b a r e Singularitäten harmonischer F u n k t i o n e n

253 254 255

Kapitel 14. Kugelfunktionen

258

§ § § § § §

1. 2. 3. 4. 5. 6.

D e r B e g r i f f der Kugelfunktionen 258 Die Differentialgleichung der Kugelfunktionen 261 Hilfskonstruktionen und einige Hilfssätze 262 D e r Operator d und seine Potenzen. Die Orthogonalität der K u g e l f u n k t i o n e n . 263 Die E n t w i c k l u n g der singulären L ö s u n g in eine R e i h e von P o l y n o m e n . . . .265 Die Integralgleichung der Kugelfunktionen 268

XII

Inhaltsverzeichnis

§ 7. Die Vollständigkeit des S y s t e m s der K u g e l f u n k t i o n e n § 8. Ü b e r d a s S y m b o l des singulären I n t e g r a l s

270 272

Kapitel 15. Elementare Methoden zur Lösung der Grundprobleme

274

§ § § §

274 278 279 281

1. 2. 3. 4.

Die Das Die Die

DiRiCHLETschen und NEUMANNsehen Probleme f ü r den K r e i s DiBicHLETSche Problem für das Kreisringgebiet A n w e n d u n g der k o n f o r m e n A b b i l d u n g e n A n w e n d u n g der K u g e l f u n k t i o n e n

Kapitel 16. Potentialtheorie

285

§ § § § § § §

285 287 292 293 296 299 301

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

LjAPUNOW-Flächen Der R a u m w i n k e l Der d i r e k t e W e r t des P o t e n t i a l s der Doppelsehicht D a s GAUSSsche I n t e g r a l Die G r e n z w e r t e des P o t e n t i a l s der D o p p e l s c h i c h t Die Stetigkeit des P o t e n t i a l s der einfachen Schicht Die N o r m a l a b l e i t u n g des P o t e n t i a l s der e i n f a c h e n Schicht

Kapitel 17. S i e Integralgleichungen der Fotentialtheorie § § § § § § § § § §

1. Zurückführung der DiRicHLETschen und NEUMANNsehen P r o b l e m e auf Integralgleichungen 306 2. Die DiRicHLETschen und NEUMANNsehen Probleme im H a l b r a u m 308 3. U n t e r s u c h u n g des e r s t e n P a a r e s a d j u n g i e r t e r Gleichungen 309 4. U n t e r s u c h u n g des z w e i t e n P a a r e s a d j u n g i e r t e r Gleichungen 311 5. Die Lösung des DiRicHLETschen Problems für das Außengebiet 313 6. D e r Fall zweier u n a b h ä n g i g e r Veränderlicher 315 7. Die Gleichungen der P o t e n t i a l t h e o r i e f ü r d e n K r e i s 320 8. Über die Korrektheit des DiRicHLETschen Problems 322 9. Über die Korrektheit des äußeren NEUMANNsehen Problems 324 10. Über die Korrektheit des inneren NEUMANNsehen Problems 326

Kapitel 18. Das Problem der Richtungsableitung § § § § §

306

I. 2. 3. 4. 5.

Aufgabenstellung D e r F a l l zweier Variabler. D e r I n d e x des P r o b l e m s Ü b e r die S t e t i g k e i t der L ö s u n g E i n e t w a s einfacherer F a l l D e r F a l l m e h r e r e r Veränderlicher

329 329 330 332 333 337

Kapitel 19. S i e Variationsmethode. Schwache Lösungen

339

§ 1. Das DiRiCHLETSche Problem mit einer homogenen Randbedingung § 2. Der energetische R a u m des DiRicHLETschen Problems § 3. D a s DiRiCHLETSche Problem für die homogene Gleichung § 4. Ü b e r die E x i s t e n z der zweiten A b l e i t u n g e n der s c h w a c h e n L ö s u n g der L A P L A C E Gleichung § 5. Die F o r t s e t z b a r k e i t s b e d i n g u n g . § 6. Die GREENSche Funktion § 7. D a s NEUMANNsche Problem. Der Fall C(x) > 0 § 8. Der F a l l C(x) = 0 § 9. Das NEUMANNsche Problem mit der inhomogenen Randbedingung § 10. Elliptische Differentialgleichungen h ö h e r e r O r d n u n g u n d G l e i c h u n g s s y s t e m e § 1 1 . D a s DiRiCHLETSche P r o b l e m f ü r ein u n b e s c h r ä n k t e s Gebiet

339 343 347 349 351 353 358 360 363 366 368

XIII

Inhaltsverzeichnis Kapitel 20. Das Spektrum des DiRicHLETSchen und des JfEUMANNSchen Problems § 1. § 2. § 3. § 4. §5. § 6. § 7.

. . 371

Ein Einbettungssatz Das Spektrum des DmiCHLETsehen Problems für das beschränkte Gebiet . . . . Einige E l e m e n t a r f ä l l e Die W a c h s t u m s o r d n u n g der Eigenwerte D a s S p e k t r u m des NEUMANNschen P r o b l e m s für ein beschränktes Gebiet . . . . N i c h t selbstadjungierte Gleichungen Das DiRiCHLETsche und das NEUMANNsche P r o b l e m für eine nicht selbstadjungierte Gleichung

371 372 373 375 379 379 382

Kapitel 21. Starke Lösungen

384

§ § § § § §

384 387 388 393 394 396

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Die Lösung der LAPLACE-Gleidiung für das Parallelepiped D a s P r o d u k t der schwachen Lösung m i t einer g l a t t e n F u n k t i o n S t a r k e Lösungen in beliebigen Gebieten I n h o m o g e n e Randbedingungen D e r F a l l eines hinreichend g l a t t e n R a n d e s Elliptische S y s t e m e TEIL IV

NICHT

STATIONÄRE

GLEICHUNGEN

Kapitel 22. Die Wärmeleitungsgleichung

405

§ § § § § §

405 406 408 410 412 413

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Die Wärmeleitungsgleichung und ihre Charakteristiken D a s Maximumprinzip D a s CATJCHysche P r o b l e m und das gemischte P r o b l e m Eindeutigkeitssätze A b s t r a k t e F u n k t i o n e n einer reellen Veränderlichen Die schwache Lösung des gemischten P r o b l e m s

Kapitel 23. Die Wellengleichung

416

§ 1. D e r B e g r i f f der Wellengleichung § 2. D a s gemischte P r o b l e m und seine schwache L ö s u n g § 3. Die Wellengleichung mit k o n s t a n t e n Koeffizienten. D a s CAUCHYsche P r o b l e m . D e r charakteristische K e g e l § 4. D e r Eindeutigkeitssatz für das C A U C H Y s c h e P r o b l e m . Das Abhängigkeitsgebiet § 5. Die Erscheinung der Wellenausbreitung

416 417 420 421 424

Kapitel 24. Die FoimiERSche Methode

426

§ 1. § 2. § 3. § 4. § 5. § 6. § 7. § 8. § 9. § 10.

Die FoTTMEKsche Methode für die Wärmeleitungsgleichung 426 Die B e g r ü n d u n g der Methode 427 Die K o r r e k t h e i t des gemischten Problems für die Wärmeleitungsgleichung . . 4 3 1 Ü b e r die Stabilisierung der Lösung 432 Ü b e r die E x i s t e n z der klassischen Lösung. E i n Spezialfall 434 D e r F a l l des n i c h t selbstadjungierten elliptischen Teils 436 Die FouBiEEsche Methode für die Wellengleichung 439 Die B e g r ü n d u n g der Methode für die homogene Gleichung 441 Die B e g r ü n d u n g der Methode für homogene Anfangsbedingungen 444 Die Saitenschwingungsgleichung. Bedingungen für die E x i s t e n z der klassischen Lösung 445

Kapitel 26. Das CArcHYSche Problem für die Wärmeleitungsgleichung

448

§ 1. Die Herleitung der P o i s s o n s c h e n F o r m e l § 2. E i n e andere Herleitung der PoissoNschen F o r m e l

448 451

Inhaltsverzeichnis

XIV

§ 3. Die Begründung der PoissoNschen Formel § 4. Die unendliche Geschwindigkeit der Wärmeübertragung

454 457

Kapitel 26. Das ÜAUCHYSche Problem für die Wellengleichung

458

§ 1. Die Anwendung der FoirRiER-Transformation § 2. Die Anwendung der singulären Lösung § 3 . Der F a l l einer ungeraden Anzahl von Koordinaten. Die verallgemeinerte HOFFsche Formel § 4. Die hintere Wellenfront § 5. Die Begründung der KmcHHOFFschen Formel § 6. Der Fall einer geraden Anzahl von Koordinaten § 7. Die Saitenschwingungsgleichung § 8. Über die Korrektheit des CAUCHYschen Problems

458 460 KIRCH-

464 466 468 470 472 473

Kapitel 27. Die Potentiale nicht stationärer Gleichungen

474

§ § § § § §

474 477 480 484 489 493

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Wärmepotentiale Die Integralgeichung der gemischten Probleme. Der Fall eines konvexen Randes Der Fall einer LjAPUNOW-Fläche Wellenpotentiale Grenzwertsätze für Wellenpotentiale Gemischte Probleme für den Halbraum

Kapitel 28. Das CArcHYSche Problem für die Wellengleichung mit variablen Koeffizienten 495 § 1. Die energetische Ungleichung und der Eindeutigkeitssatz § 2. Der Existenzsatz § 3. Über das CAUCHYSche Problem für hyperbolische Gleichungen

495 500 504

Literaturverzeichnis

512

Sachverzeichnis

516

EINFÜHRUNG

§ 1. Der Gegenstand des Lehrganges Die Theorie der partiellen Differentialgleichungen entwickelte sich über lange Zeiträume hinweg vornehmlich als Theorie von Gleichungen der mathematischen Physik, die ein Teil der allgemeinen Theorie der partiellen Differentialgleichungen ist. Obwohl in den letzten Jahrzehnten große Erfolge bei der Entwicklung einer allgemeinen Theorie erreicht wurden, nimmt die mathematische Physik bis heute in dieser Theorie einen außerordentlich wichtigen Platz ein. Das vorliegende Buch ist hauptsächlich Fragen gewidmet, die den Problemen der mathematischen Physik näher stehen. Die Bezeichnung „mathematische Physik" selbst weist darauf hin, daß dieser Teil der Theorie der Differentialgleichungen aus der Betrachtung einiger einfacher und wichtiger physikalischer Probleme entstanden ist. Wir wollen einige von ihnen nennen. 1. Die Wellengleichung. Wir nehmen an, daß die Ruhelage einer Saite mit der x-Achse übereinstimmt und die Schwingung derselben in der vertikalen Ebene erfolgt. Auf Grund irgendwelcher Ursachen sei die Saite aus dem Gleichgewichtszustand gebracht worden. Eine solche Ursache kann z. B. ein auf die Saite erfolgter Stoß sein. Dabei ändert die Saite ihre ursprüngliche Form; jeder P u n k t der Saite erfährt einen gewissen Ausschlag. Der Einfachheit halber wollen wir annehmen,

Abb. 1 daß der Ausschlag senkrecht zur x-Achse und ständig in ein und derselben x, w-Ebene erfolgt (s. Abb. 1). Die Ordinate u liefert dann die Abweichung der Saite von der Ruhelage. Offensichtlich ist u eine Funktion zweier Veränderlicher — des Punktes x und der Zeit f . u = u{x, t). Wir setzen voraus, daß die Saite homogen ist, einen konstanten Querschnitt besitzt und daß zur Zeit t > 0 auf die Saite keinerlei äußere K r ä f t e einwirken; außerdem soll die Saite nicht dehnbar sein und keinen Widerstand gegen Biegung besitzen. D a n n kann man zeigen, daß die Funktion u der linearen partiellen Differentialgleichung Ö2M 1 82u 2= öa- a?~dt? genügt.

(1)

2

Einführung

Dabei bedeutet a eine von den physikalischen Eigenschaften der Saite abhängige konstante Größe. Gleichung (1) beschreibt die tatsächlichen Vorgänge genähert und ist nur im Falle kleiner Ausschläge der Saite anwendbar. Sie heißt Wellengleichung mit zwei unabhängigen Veränderlichen oder Saitenschwingungsgleichung. Schwierige physikalische Probleme führen auf Differentialgleichungen, die mit Gleichung (1) eine gewisse Ähnlichkeit besitzen, aber von komplizierterer Gestalt sind.

Abb. l a So werden die Transversalschwingungen einer dünnen Membran, welche in der Ruhelage ein Gebiet der x, y-Ebene einnimmt (s. Abb. l a ) , unter entsprechenden Voraussetzungen durch folgende partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung beschrieben: 02M 0 % 1 ÖaM 0^+0^ = ^ '

« =

eonst-

W

Gleichung (2) heißt Wellengleichung mit drei unabhängigen Veränderlichen oder Membranschwingungsgleichung. Ähnlich wie die Saitenschwingungsgleichung beschreibt auch Gleichung (2) nur kleine Schwingungen der Membran. Die Wellengleichung mit vier unabhängigen Veränderlichen hat die Gestalt 82« äi2

Ö2w +

82w

ä^2 + ä ?

=

1 02W ö2"^'

(3)

Diese Gleichung bestimmt z. B . das Geschwindigkeitsfeld eines schwingenden Gases, wenn man voraussetzt, daß die Geschwindigkeiten der Gasteilchen klein sind und außerdem ein Potential besitzen; letzeres bedeutet, daß eine Funktion u existiert derart, daß für den Geschwindigkeitsvektor v eines Gasteilchens die Beziehung v — grad u gilt. 2. Die Wärmeleitungsgleichung. Wir betrachten einen homogenen festen Körper und stellen uns vor, daß ein gewisser Teil seiner Oberfläche erhitzt wird. Dann entsteht in diesem Körper ein Temperaturfeld, wobei die Temperatur im Körper offensichtlich von Punkt zu Punkt verschieden ist und sich außerdem noch mit der Zeit ändert. Folglich ist die Temperatur u eine Funktion der unabhängigen Veränderlichen x, y, z, t: u = u(x, y, 2, t) . Man kann nun beweisen, daß diese Funktion eine partielle Differentialgleichung der Form 02m 02w ö2« du erfüllt.

§ 1. Der Gegenstand des Lehrganges Der durch den Ausdruck

d2u

d2u +

3

d2u 8s2

definierte Operator heißt gewöhnlich LAPLACE-Operator und wird mit dem Symbol A bezeichnet: c2u cl2u d2u U Qx2 dy2 8z2 ' Gleichung (4) läßt sich somit auch in der Form 8M ~öt M schreiben: Gleichung (4) [oder (4')] heißt Wärmeleitungsgleichung. Sie ist eine lineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung. Diese Gleichung war bereits E U L E R bekannt, sie wird aber häufiger mit dem Namen F O U R I E R in Zusammenhang gebracht. 3. Die Laplace-Gleichung. Betrachtet man den stationären Wärmeleitungsprozeß, dann ist u eine Funktion der Ortskoordinaten und von der Zeit unabhängig: u = u(x, y, z) . Gleichung (4) nimmt jetzt folgende Gestalt an: 82w

82u

82u

oder A« = 0 .

(5')

Gleichung (5) [oder (5')] heißt LAPLACE-Gleichung-, sie stellt eine lineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung dar. In den oben behandelten Beispielen wurden wir immer auf eine lineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung geführt. Mit diesen Gleichungen sind allerdings die Anwendungen der mathematischen Physik keineswegs erschöpft. Für die Anwendungen in der Physik sind viele lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung von Interesse. Nicht selten führen Aufgaben aus der Geometrie und der Physik auf nichtlineare partielle Differentialgleichungen sowie auch auf Systeme von Differentialgleichungen (s. unten). Die oben genannten Differentialgleichungen — die Wellen-, die Wärmeleitungs- und die LAPLACE-Gleichung — entsprechen verschiedenen physikalischen Problemen, sie sind aber auch aus mathematischer Sicht verschieden. Sie sind nämlich Vertreter der drei wichtigsten Typen von partiellen Differentialgleichungen: des hyperbolischen, des parabolischen und des elliptischen Typs. Man muß jedoch betonen, daß mit diesen drei Typen die Mannigfaltigkeit der partiellen Differentialgleichungen nicht erschöpft ist. Über weitere Typen partieller Differentialgleichungen wird später, im Kap. 9, noch kurz einiges ausgeführt werden. In den oben angeführten Beispielen (1)—(5) überstieg die Zahl der unabhängigen Variablen, in Übereinstimmung mit dem physikalischen Sinn des Problems, nicht die Zahl vier; im weiteren werden wir partielle Differentialgleichungen mit einer beliebigen Anzahl von unabhängigen Variablen studieren. 2 Michlin

4

Einführung

Wir nennen noch einige weitere Beispiele von partiellen Differentialgleichungen und von Systemen solcher Gleichungen. 4. Die biharmonische Gleichung A2M = A(Aw) = f{x).

(6)

Für Anwendungen (z. B. in der Elastizitätstheorie) ist die biharmonische Gleichung mit zwei unabhängigen Variablen besonders wichtig; ausführlich geschrieben nimmt sie die Gestalt 8%

8%

84M

an. Eine bestimmte Rolle spielt in den Anwendungen auch die allgemeinere polyharmonische Gleichung A n u = AA ... AM = f(x). (7) n mal

5. Die Schwingungsgleichung eines homogenen isotropen und elastischen Körpers (im dreidimensionalen Fall) hat die Gestalt 82w q — = (i AM + (A + ft) grad div u + f(x, t).

(8)

Hierbei sind u der Vektor der elastischen Verschiebungen, / der Vektor der Volumenkräfte, q die Dichte des elastischen Mediums, A und (i die L A M E S c h e n Konstanten. Wenn durch mj und j = 1, 2, 3, entsprechend die Komponenten der Vektoren u und / bezeichnet werden und mit x1, x2, x3 die cartesischen Koordinaten des Punktes x, so kann man die Gleichung (8) als ein System von drei skalaren Gleichungen 8 2 M,

q-^

80

= fi Au, + (A + ft) — + /,(*, t),

j=

1, 2, 3,

schreiben; hierbei wurde

Q

8M2

ÖM3

dxx dx2 8x3 gesetzt. Wenn u nicht von t abhängt, so erhält man die vektorielle Gleichung der statischen Elastizitätstheorie 1Y U

¡1 AM + (A -F [i) grad div u -F f(x) = 0 ,

(9)

die dem System der drei skalaren Gleichungen 80 p AM, + (A + p) ^ + /,(«) = 0 >

/ = 1, 2, 3,

äquivalent ist. Alle oben aufgezählten Gleichungen und Systeme sind linear. Wir führen noch einige Beispiele von nichtlinearen Gleichungen und von Systemen solcher Gleichungen an. 6. Die Gleichung der minimalen Oberfläche 1

+

/du %

82M

8a;2

8M 8M

82M

2— + 8a; 8y 8x 8y

. 8Mx2

82M

8^ = ° '

(10)

§ 2. Einige Definitionen und Bezeichnungen

5

wobei u die dritte Koordinate des Oberflächenpunktes mit der Abszisse x und der Ordinate y ist. Die nichtlineare Gleichung (10) ist linear bezüglich ihrer höchsten Ableitungen. Derartige Gleichungen werden quasilinear genannt. 7. Die NAviER-STOKESschen Gleichungen Qv

3

of

h=1

8» 1 — + grad p = f(x, t) , 0Xk Q

9p — + div (g • v) = 0 dt

(11)

beschreiben die Bewegung einer Flüssigkeit oder eines Gases. Hierbei ist v der Geschwindigkeitsvektor eines Flüssigkeitsteilchens, das sich zum Zeitpunkt t im Punkt x = (xj, x2, x3) befindet. vt, v2, v3 sind die Komponenten des Vektors v; p bezeichnet den Druck und q die Dichte der Flüssigkeit; v stellt den Zähigkeitskoeffizienten dar, und / ist der Vektor der Massenkräfte, die auf die Flüssigkeit wirken. Die N a v i e r - S t o k e s schen Gleichungen sind quasilinear. 8. Die Gleichungen des ebenen Problems der idealen Plastizitätstheorie: 8axr

8ar„

8a„,

„

6(x, y) d y (8) G

gilt. Als Beispiel betrachten wir das Integral r d f d ^ d c (9)

K

wobei z > 0 gilt und K das Gebiet ist, das durch den unteren Mantel des Doppelkegels £ = z — r, r 2 = {x — |)a + (y — rff und durch die Ebene £ = 0 begrenzt wird (Abb. 2).

Wir setzen voraus, daß die Funktion / auf der Abschließung eines gewissen beschränkten Gebietes G des Halbraumes £ > 0 stetig ist. Sei D eine derartige beschränkte und abgeschlossene Menge des Halbraumes z > 0 im Räume (x, y, z), daß für {x, y,z) € D das entsprechende Gebiet K (Abb. 2) in G enthalten ist. Wir beweisen TJ e G(D). Dazu führen wir neue Variable | = x + z g ( l — t) cos &, rj — y + Z£>(1 — t) sin & , C — zr (10)

14

1. Parameterintegrale

1, 0 rg $ 2n, 0 rg t 0. Somit ist A = — -\ 2a. W i r schätzen das Integral (1) ab und erhalten zunächst & ® u{x)\^N

= N J e

iQiy)^!"

iQiy)^-^

r"-^"!

dy .

(8)

e

W i r setzen M =

Vi =

>

Pa = P •

Offenbar gilt 1 1-1 — 1+ — = 1, und auf das Integral (8) kann die HöLDERsche Vi Pz Pz Ungleichung für drei Faktoren angewandt werden: K«)l ^ n {/

r « < - dyyi* { / 1 e(y)\r dyyi>-v*

d^}1^'.

{/

Der zweite Faktor rechts ist gleich H ö l l p - ' ^ ; •iß1' dritte Faktor kann leicht abgeschätzt werden, wenn G C (r < H) und Formel (2) berücksichtigt wird. I m Resultat erhalten wir |«(x)| ^ Folglich

N \Si\llp'Ha \Ja)llP,

( C ||e||i-w»> J |e(y)|*

gilt i\u{x)\^Asx^C\\q\\%-^\Q(y)\'{ g. G

¡r°*~*dsx\dy, '

yg.

dy[

l1/?

.

C = const.

Hierbei wurde mit d,x das Element des LEBESGUEschen Maßes in Es bezeichnet.

(9)

22

1. Parameterintegrale

In der Ungleichung (9) kann das innere Integral unschwer abgeschätzt werden. Wir wählen die Koordinatenachsen so, daß die s-dimensionale Ebene, in der der Schnitt gs liegt, durch die Gleichung xs+1 = xs+2 = ... = xm = 0 definiert wird. Auf gs gilt r2 = i (xk - yt)> + f yt ^ £ (xt - ykf . k =1 S=«+l k=1 Die letzte Summe bezeichnen wir mitrf; offenbar ist r Si re. Dabei ist aq < s und folglich

f

f

< f

dgX J J - S - C T J =c J y^-oq = J rs~al ' g> 9i r, ••• . £«) > 7= 2, - , m , (12) bestimmt wird, wobei die Funktionen / 4 J auf ihrem Definitionsgebiet stetig differenzierbar sind und das Infimum der Summe X1

A(x) =

£

'D(xk, Xj,, ... , D&,

... , g.)

xu)12

(13)

positiv ist; die Summierung in (13) erstreckt sich über alle möglichen Tupel'von Indizes j1} j 2 , ... , js, von denen jeder die Werte von 1 bis m annimmt.

23

§ 3. Integraloperatoren mit schwacher Singularität

Offenbar genügt es, den Satz für jede der Mengen g ^ zu beweisen, die als abgeschlossen angesehen werden können. Anderenfalls kann jede dieser Mengen durch ihre Abschließung ersetzt und für diese der Satz bewiesen werden. I n einer gewissen Umgebung eines jeden Punktes der Menge g ^ ist wenigstens eine der jAcoßischen Funktionaldeterminanten (13) verschieden von Null; nach dem HEiNE-BoRELschen Uberdeckungssatz kann diese Menge durch eine endliche Anzahl offener Mengen überdeckt werden, wobei auf jeder dieser Mengen eine der jACOBisehen Funktionaldeterminanten (13) verschieden von Null ist. Sei g' eine dieser offenen Mengen. Wir nehmen ferner an, daß die Koordinatenachsen so numeriert sind, daß auf g' die jAcosische Funktionaldeterminante ••• > «s)

D(Xi,

i., - , i . )

mi,

nicht verschwindet. Diese jACOBische Funktionaldeterminante verschwindet auch nicht in einer gewissen Umgebung der Mannigfaltigkeit g'. Mit G1 bezeichnen wir den Durchschnitt dieser Umgebung mit der Menge G, und es sei G2 = G \ Gv I n führen wir neue Koordinaten | x , ... , £ s + 1 ,... , £m so ein, daß sie für j sg s durch die ersten s Gleichungen aus (12) und für j > s durch die Gleichungen = fij(£i>

-

> £«) + £f

(14)

bestimmt werden. Man überprüft leicht, daß für die JAOOBische Funktionaldeterminante dieser Transformation D(x1} x2, ... , xm) Dfo,

... , |m)

Dixj, x2, ••• > »«) =

Dfo,

£2, ...,

gilt und sie deshalb auf G1 nicht verschwindet; wenn der Durchmesser dieser Menge hinreichend klein ist, kann immer angenommen werden, daß die hier eingeführte Transformation eineindeutig ist. Für das Weitere ist es wichtig, daß durch diese Transformation die Menge g' auf eine Menge (T abgebildet wird, die in der Ebene f s + 1 = = 2 = ••• = Im = 0 liegt. Wir bezeichnen noch mit D1 das Bild der Menge G1, das durch die erwähnte Abbildung vermittelt wird. Die Transformation selbst werden wir so schreiben: x = /(£), die inverse Transformation f = F(x). Wir setzen jetzt u(x) = u^x) + u2(x), wobei A(x, y)

/

¿ = 1,2.

Qk

(15)

Gilt x e g' und y e G2, so ist der K e r n A(x, y) r~A beschränkt. Dies liefert h(*)|

CJGj |e(»)| dy ^ cj\Q(y)\ dy = ciiei^ ^ 0'Heiip; G hierbei sind C und C' gewisse Konstanten. Wenn wir diesen Ausdruck über g' in der g-ten Potenz integrieren, ergibt sich / |«,(®)|« dx ^ C"\\q\\1 , Q'

C" = const.

Wir wenden uns nun der Funktion u^x) zu. Sei y = f(rj). Wir setzen || — rj\ = Dann ist J2=

|F(y) -

F(x)| = | J(x) (y ~ z)|;

(16) R.

24

1. Parameterintegrale

hier ist J die jAOOBische Funktionalmatrix der Transformation | = F(x) und x ein gewisser Punkt des Intervalls, das x und y verbindet. Die Matrix J ist auf G1 beschränkt, und deshalb gilt offensichtlich R 5S er, c = const. Die Funktion u^x) kann als Ä(m, «i(«)=

m ) \ j - m ( j f ^ —e(/fo))

J M (17) Di dargestellt werden. Der Zähler des unter dem Integral (17) stehenden Bruches ist beschränkt, und dieses Integral weist eine schwache Singularität auf. Die Mannigfaltigkeit d' ist eine ebene Mannigfaltigkeit, und nach Satz 1.3.2 ergibt sich

ß

h(/(l))|< d|x ... d|s ^ ßl | J | e (f( V ))\r d , J " ' = D(r)u ... ,

I 1 %

^ ßl\

( r

\HP leto)!* dy\ ^ßqM\l,

ßvßi~

const. (18)

Andererseits gilt INIW) = / M*)l? g'

= / l«i(«(D) l? 1M*) dli - dI. ^ ßl / I«x(a;(€))|« df x ... df,; i' d' ß3 = const; (19) OXj die Größe A(x) ist beschränkt, weil die Ableitungen —— stetig und folglich beschränkt sind. Wenn wir die Beziehungen (19) vergleichen, wir st • INI w(18) > ^und Allellp". ßi = c o nfinden Daraus und aus (16) folgt IMU^') ^ ßs\\(>\\p • Nachdem wir diese Ungleichungen über alle g' C g'p und danach über alle i summiert haben, erhalten wir M \ l m ^ ß\\ß\\P, ß= const. (20) Der Satz ist bewiesen. § 4. Integraloperatoren mit schwacher Singularität (Fortsetzung) Satz 1.4.1. Ist Xj) m, so ist der Integraloperator stetig als Operator von LP(G) in Lt(G), wobei gilt ,

mit schwacher

Singularität

voll-

mT>

Bemerkung. Man kann beweisen, daß für Xp' < m der Integraloperator mit schwacher Singularität auch vollstetig als Operator von Lp(G) in Lq(gs) ist, wobei g s C G eine s-dimensionale stückweise glatte Mannigfaltigkeit ist, m — (m — A) p < s m und 1 q < q0; hierbei wird qQ durch die Formel (3.7) bestimmt. Den Beweis kann man in [10], [11] finden.

§ 4. Integraloperatoren mit schwacher Singularität B e w e i s d e s S a t z e s . Sei e eine beliebige positive Zahl und

{

A(x,

25

x , y z G .

Wir setzen

1

'

0

r


h{r) ist stetig für r = h. In der T a t folgt aus Formel (1), daß + 0) = 0 = ioh(h) ist. Andererseits gilt

0)h(h

-h-0

hm r->h

coh(r) =

(oh(r)

-

(ßh{h)

r —

ch

=

'h(r) und ist für beliebiges r stetig. Genauso weist man die Existenz und Stetigkeit der folgenden Ableitungen nach. Die Eigenschaft 1 ist bewiesen. § 2. Mittelfunktionen E s sei Q ein beschränktes Gebiet des Raumes Em und u(y) eine auf Q summierbare Funktion. Wir setzen diese Funktion außerhalb von Q fort, indem wir sie dort gleich Null setzen. E s sei x ein beliebiger Punkt des Raumes Em. Wir setzen uh(x)

=

/ mh(r) a

u{y)

dy

,

(1)

wobei ojh(r) irgendein Mittelungskern ist, der die Eigenschaften 1—3 aus § 1 besitzt. Die Funktion uh heißt Mittelfunktion bezüglich u; die Zahl h heißt Radius der Mittelung. Die Mittelfunktion kann man noch in zwei weiteren Formen darstellen: 1. Beachtet man, daß u(y) = 0 ist für y $ Q, so kann man das Integral (1) auf den gesamten Raum ausdehnen, und dann gilt uh{x)

=

/ coh(r)

u(y)

dy

.

(la)

f'ta

2. Infolge der Eigenschaft 2 des Mittelungskernes braucht man nicht über den gesamten R a u m zu integrieren, sondern nur über die Kugel vom Radius h mit dem Mittelpunkt x: uh{x)

=

f

(oh{r)

u(y)

dy

.

(Ib)

r... cx^

§ 1. Der Begriff der verallgemeinerten Ableitung

33

R(P, Q) bezeichnet einen Ausdruck, der von den Funktionen P, Q und deren Ableitungen bis zur (k — l)-ten Ordnung einschließlich abhängt. diese Funktionen sind E s sei Q ein gewisses Gebiet. Ferner seien u, v e L]0C(Q); folglich auf jedem beliebigen inneren Teilgebiet von Q summierbar. Wir nehmen an, daß für jede Funktion

l.

maßen : Ist x e Q, y e Q, so sei ü(x, r, 0) = u(y)

8r

du 8*- 2 z + ... -l+ V (_i)*-i i - l _~ g^ 8 f i - 2 T --/

Q^-

;

(3)

ist x e Q, y 5 ü, so sei U(x, r, 0) = 0. Wenn wir die Formel (3) differenzieren, erhalten wir 8Z7 Setzt

8*2

, , Qku

man in (3) r = 05 so verschwinden rechts alle Summanden bis auf den ersten: oo U(x, 0, 0) = u(x) t(x, 0, 0) = - u(x) oJ v{x, r, 0) r™-1 dr . (5)

§ 2. Die S0B0LEWsche Integralidentität

47

Integrieren wir (4) nach r in den Grenzen (0, oo) und berücksichtigen die Beziehung (5), so erhalten wir oo u(x)

oc

jv{x,

J

m x

r, 9) r ~ dr =

8 ku

8*z

dr.

Diese I d e n t i t ä t multiplizieren wir mit dem Element dS 1 des Flächeninhaltes der Oberfläche der Einheitskugel und integrieren über diese Sphäre. Wir erhalten u{x) jv(x,

r, 9) dy =

Em

8kz

j

k-i

8k u d?

dy 1*

(6)

Em

Eigenschaft 3 des Mittelungskernes (Kap. 2, § 1) liefert / v(x, r, 9) dy = f v(y) dy = j wa (|t/|) dy = 1 . Em

Em

Em

Rechts in (6) braucht man nicht über Em, sondern nur über Q zu integrieren, und wir e r h a l t e n die Integralidentität

u(x)

von S. L . S o b o l e w :

bkz

dy

oku Qrk

, ,

- f

dy rm-1

(7)

Die Identität (7) untersuchen wir näher. Zunächst zeigen wir, daß das erste Integral in dieser Formel ein Polynom in x ist, dessen Grad k — 1 nicht übersteigt; die Koeffizienten dieses Polynoms sind Integrale von Produkten der Funktion u(y) mit gewissen beschränkten Funktionen, die von y abhängen. Die LEiBNizsche Formel liefert 8*z * 8? = £

. , 8*" 1

* J-1 = £ £

,

, 8*v(y) V + - 1drs—

(8)

wobei c} und CjS gewisse Konstanten sind. Weiterhin gilt S!

9 My) 8rs Aus Qj =

(9)

i«I=«»-

I yj — Xj\ folgt sofort, daß das Produkt r s &* ein Polynom bezüglich der

Koordinaten der P u n k t e x und y ist, dessen Grad s nicht übersteigt. Formel (8) zeigt, dkz daß rm Pk_1(x, y) gilt, wobei x, y) ein Polynom bezüglich der Koordinaten des Punktes x ist, dessen Grad k — 1 nicht übersteigt und dessen Koeffizienten auf Q stetige Funktionen von y sind: V ^ ) ^ ;

M=o

KtC{ü).

Aus Formel (9) ist ersichtlich, daß die Funktionen bjy) linear von den Ableitungen der Funktion v(y) abhängen. Folglich gilt bx(y) = 0 für y $ D.

48

4. Die SoBOLEWsehen R ä u m e

Setzen wir den Ausdruck

in das erste Integral der Formel (7) ein, so ergibt sich akz

f J

«(»)

dy -¿¡¡k =

*-1 £

C J K(V) u{y) dy ,

a

(10)

a

und unsere Behauptung ist bewiesen. Wir wenden uns nun dem zweiten Integral in (7) zu. Analog zur Formel (9) ist 0*u ^J

=ZD*yu{y)

dy

C

woraus sich C

8ku

0«,

.i=t

AJx,y)

ergibt, wobei A (X

" '

y) =

(k-

1)! t(x' r' @)

&

(12)

"

beschränkte Funktionen von x und y sind, die für y § Dx verschwinden und beliebig oft differenzierbar sind, wenn y =j= x ist. Wir verweisen noch darauf, daß die Funktionen Aa als Funktionen von x, r und 0 für jeden Wert dieser Argumente beliebig oft differenzierbar sind. Die Integralbeziehung (7) kann man nunmehr in der Gestalt v(x) =

jfc-i f £ x* bM l«l = 0 J

u(y) dy +

fA (x v) £ D«u{y) dy r l«| =kj

a

a

darstellen oder, wenn die Eigenschaften sichtigt werden, in der Gestalt i-i r u{x) =

£ af M=o DJ

(13)

der Funktionen

b„(y) u(y) dy + £ |>| Dx

bx(y) und Ax(x, y) berück-

ix y\ - ^ é f D^u(y) dy . r

(14)

Wie wir sehen, gestattet die Identität von S . L. S O B O L E W die Darstellung einer Funktion durch ihre Ableitungen der vorgegebenen Ordnung Je und durch ein Polynom, dessen Ordnung k — 1 nicht übersteigt. Die SoBOLEWsche Integralidentität wurde von uns unter der Voraussetzung we C ^ ( Ú ) bewiesen. Man kann ohne Schwierigkeiten nachweisen, daß diese Beziehung sogar für Funktionen aus W^\ü) gilt, wobei p eine beliebige Zahl aus dem Intervall 1 ^ p oo ist. Sei u(x) eine derartige Funktion und uh(x) die entsprechende Mittelfunktion. Für die Funktion uh(x) hat die SoBOLEWsche Integralidentität Gültigkeit, und nach Formel (14) ist «»(*) =

H=o

*

f K(y)^(y)dy+ J D

Z

f ^—fr^Uniy) t

M =kj

Bx

dy ,

(15)

Nach Satz 2.3.3 gilt uh(y) u(y) in der Metrik des Raumes L^ü), dann erst recht in der Metrik von L ^ D ) . Die Integrale der ersten Summe stellen auf L ^ D ) beschränkte Funktionale dar, und deshalb darf man in ihnen unter dem Integralzeichen zum Grenzwert übergehen. Weiterhin gilt nach den Sätzen 2.3.3 und 3.2.1 Dnuh-^Q Dxu in der Metrik von LP(Í2'); hier ist Q' ein beliebiges inneres Teilgebiet von Q. Auf

49

§ 3. Einbettungssätze

Grund des Satzes 1.3.2 sind die Operatoren in (15), deren Argumente die Funktionen sind, beschränkt in L ( Ü ) , dann erst recht in L ( ü ' ) . Deshalb darf man auch hier unter dem Integralzeichen den Grenzübergang vollziehen. Der Punkt x durchlaufe ein gewisses inneres Teilgebiet Q". Dann durchläuft y die Menge Q' = |J Dx, die ebenfalls ein inneres Teilgebiet von Q ist. Wenn wir in (15) Dxu

P

p

xtQ"

für h 0 zum Grenzwert übergehen, finden wir, daß fast überall in Q " die Beziehung (14) für Funktionen aus W^^Q) gültig ist. Da Q " ein beliebiges Teilgebiet ist, gilt die genannte Identität fast überall in Q. Wir vereinbaren, daß in allen Punkten des Gebietes ü , in denen die Integrale (14) konvergieren, die Werte der Funktion u € W^(Q) durch diese Formel gegeben werden. Diese Bedingung ist gleichbedeutend damit, daß wir die Funktion u(x) durch eine ihr äquivalente ersetzen; im Ergebnis erhalten wir, daß die Identität (14) nicht nur fast überall gilt, sondern überall gilt, wo die rechte Seite der genannten Identität erklärt ist. § 3. Einbettungssätze Es seien X und Y zwei BANACH-Räume; mögen alle Elemente des Raumes X auch dem Raum Y angehören. Man sagt dann, daß der Raum X in den Raum Y eingebettet ist. Mit V bezeichnen wir den Operator, der jedem Element u € X dasselbe Element u zuordnet, das nunmehr schon als Element des Raumes Y betrachtet wird. Der Operator F wird Einbettungsoperator des Raumes X in den Raum Y genannt; offenbar ist D(V) = X und R(V) c Y. „Einbettungssätze" werden gewöhnlich Sätze genannt, die die Beschränktheit oder Vollstetigkeit des Einbettungsoperators zum Inhalt haben. Man sagt, daß X beschränkt oder vollstetig in Y eingebettet ist, wenn der entsprechende Einbettungsoperator beschränkt oder vollstetig ist. Im weiteren wird in diesem Paragraphen angenommen, daß Q ein beschränktes Gebiet des Raumes Em darstellt, das bezüglich einer gewissen Kugel sternförmig ist. Satz 4.3.1. Ist pk > m, so ist W^{Q) vollstetig in C(Q) eingebettet. B e w e i s . Sei a(x) eine beliebige Funktion aus Den ersten und zweiten Summanden in der SoBOLEWSchen Integralidentität (2.7) bezeichnen wir entsprechend mit Mj = F j « und u„ = V2u. Der Operator V1 bildet offenbar W^iü) in C(Q) ab; er ist endlichdimensional und die in ihn eingehenden Funktionale sind beschränkt, deshalb ist der Operator V1 vollstetig. Den zweiten Summanden in der Formel (2.7) schreiben wir in der Gestalt (V2u)

(X)

=

u2(x)

=

Z

f

D;u(y)

dy

;

(1)

a

die Konstante £ wählen wir positiv und so klein, daß p{k — e) > m gilt. Wenn wir [ ^ A ^ x , y)] = = 0 setzen, wird der Zähler unter jedem der Integrale (1) stetig in y

Q

x

X ß. Wenn wir X = w — k + e setzen, finden wir Xp' m. Nach Satz 1.3.1 ist u2 e C(Q) und Vs vollstetig als Operator von in C{Q). Mithin ist u = (u1 + u2) 6 € C(ü), und der Raum W^ ist nach Definition in C(ü) eingebettet. Offenbar ist der Einbettungsoperator gleich V = V1 + V2 und somit als Summe zweier vollstetiger Operatoren vollstetig.

50

4. Die SoBOLEWschen R ä u m e

Aus der Vollstetigkeit des Einbettungsoperators folgt seine Beschränktheit: Ist pk > m, so existiert eine Konstante ß derart, daß IMIc^lMI»*

(2)

gilt, hier bedeutet [|-||c die Norm in C(Q). Satz 4.3.2. Es seien pk 2g m und gsC Q eine stückweise glatte s-dimensionale nigfaltigkeit, m — kp < s m. Dann ist TF®(ß) beschränkt in Lq(gs) eingebettet, gilt

Manwobei

(3)

=

Dieser Satz folgt unmittelbar aus der SoBOLEWschen Integralidentität (2.7) und dem Satz 1.3.2: Setzen wir m — k = X, so geht die Ungleichung (3) in die Ungleichung (3.7), K a p . 1, über. Die Beschränktheit des Einbettungsoperators bedeutet die Existenz einer Konstanten ß1 mit IMkto.)

Aus Satz 1.4.1 folgt der Satz 4.3.3. Gilt pk m, und in falls (k — l) p m und 1 m; dann ist die Funktion u(x) auf jedem der abgeschlossenen Gebiete Qj stetig, mithin auch auf ihrer Vereinigung Q. Damit ist bewiesen, daß für pk~> m der Raum in C(Q) eingebettet ist. Wir beweisen die Vollstetigkeit dieser Einbettung. Es sei M eine in der Norm von beschränkte Menge. Dann ist, wie Formel (1.1) unmittelbar zeigt, diese Menge auch für beliebiges j in der Norm des Raumes 5

Michlin

52

4. Die S0B0LEWschen R ä u m e

Wf{Q,) beschränkt. Nach Satz 4.3.1 ist die Einbettung von Wf(Qx) \n 0(0^ vollstetig. Deshalb existiert in M eine Folge {u^}, die auf Q1 gleichmäßig konvergiert. Als Teil der Menge M ist diese Folge in beschränkt; deshalb existiert wiederum nach Satz 4.3.1 eine Teilfolge (die wir mit {u i 2 } bezeichnen) dieser Folge, die auf Ü 2 gleichmäßig konvergiert. Offenbar konvergiert diese neue Folge auch gleichmäßig auf Q^ Indem wir diesen Prozeß fortsetzen, erhalten wir nach einer endlichen Anzahl von Schritten eine Folge { u i n } aus M, die auf jedem der abgeschlossenen Gebiete Qh j = 1, 2, ... , n, gleichmäßig konvergiert. Dann konvergiert diese Folge auch gleichmäßig auf Q. Damit ist die Vollstetigkeit der Einbettung von W^](Q) in C(Q) bewiesen. Wir betrachten einige B e i s p i e l e . Sind u € W{P(Q) und m = 2, so gilt gleichzeitig für beliebiges p: u e LP(Q) und u e L„(dQ). Sind u € W^\ü) und m = 3, so ist u € L6_e(Q) und u 6 i 4 _ £ ( 8 ß ) , Ve > 0. Wenn m = 2 oder m = 3 und u 6 Wf^ß) ist, so gilt u e C(ü); für m = 4 kann in diesem Falle die Stetigkeit der Funktion u nicht behauptet werden, man kann aber zeigen, daß sie in jeder beliebigen Potenz summierbar ist. In allen aufgezählten Beispielen ist jede beliebige Menge von Funktionen, die in der Metrik des Raumes W^\Q) oder beschränkt ist, relativ kompakt in der entsprechenden Metrik von Lq(Q), Lq(aü) oder C(Q). So ist z. B . für m = 3 eine in J F ^ ß ) beschränkte Menge relativ kompakt in L6_S(Q) und in Li_e(dQ). (m — 1) p Für beliebiges m ist die Größe—— p, da kp 1 gilt. Ist u e W^'(U), so (m ~~ ist in jedem Fall u € Lp(dQ). Spezialfälle von Einbettungssätzen sind der Satz 3.4.1 und die aus ihm gewonnene Folgerung. Bemerkung. Berücksichtigt man Satz 4.8.1 (s. unten, § 8), so kann man in den oben betrachteten Beispielen bisweilen darauf verzichten, die Größe e abzuziehen. So folgt für

m = 3 aus u e

die Beziehung u € Lt(ß).

§ 5. Äquivalente Normen in W£*> Es seien £1; ... , ty unabhängige Veränderliche, die beliebige Werte annehmen können, und die Zahl N sei endlich. Wir sagen, daß eine stetige Funktion f(tlt ... , tN) die Eigenschaften der Norm besitzt, wenn a) /( 0 und /(i 1; ... , ty) = 0 dann und nur dann gilt, wenn tt = t2 = ... = tN = 0; b) ... ,XtN) = f(tv . . . , tN); ) f(h + ri> k + *2> — > tu + TJf) ^ fik>

c

...

— > tir) + f{*i> ^ — ,

Satz 4.5.I. 1 ) Es bezeichne N die Anzahl der verschiedenen Monome der Ordnung ig k — 1. Es seien ferner llt ... , lN in der Metrik von beschränkte lineare Funktionale, die außer auf der Null nicht gleichzeitig auf einem Polynom vom Grad ,i der Metrik von beschränkt; nach Satz 4.3.3 ist sie kompakt in L ^ Q ) , und deshalb existiert eine Teilfolge {«„1}, die in L^Q) konvergiert. Es sei v(x) der Grenzwert dieser Teilfolge: | \ v n l — v\ 0. Aus | |v„| \*k 0 folgt | \ D x v n \ \ p 0, |a| = k . Nach Satz 3.3.1 besitzt die Funktion v(x) sämtliche verallgemeinerte Ableitungen der Ordnung k, und alle diese Ableitungen sind gleich Null. Satz 4.3.1 liefert, daß v(x) ein Polynom vom Grad k — 1 ist. Der Beziehung ||D"»bi||p M = k , kann man nunmehr die Gestalt \ \ D x v n l — — D * v \ \ v ^ r £ 0 geben, |a| = k . Zusammen mit der Beziehung ||v„i — ^Töo 0 liefert dies ||i>Bl — v\\Pile 0* Daraus folgt H^llp,* = 1. Andererseits gilt und deshalb

||«»i -

( ß o + ! ) \\vm INI?.* =

Daraus ergibt sich

«ILiiT^O

IMI£* = o •

l i m

n-t-oo

f i ^ v , l 2 v , ... , l

K

v )

= 0 .

Dann ist l{v = l2v = ... = lNv = 0. Weil v ein Polynom vom Grade sS k — 1 ist, muß notwendigerweise v(x) = 0 gelten. Dies widerspricht der Beziehung ||ü||j)i j. = 1. Der Satz ist bewiesen. Bisweilen ist es vorteilhaft, anstatt der Normen (1) und (1.1) gewisse andere miteinander zu vergleichen. Wir führen ein Beispiel an. Im § 1 wurde darauf hingewiesen, daß die Norm (1.1) der Norm (1.1b) äquivalent ist. Aus Satz 4.3.2 folgt ferner, daß IMIp ^ C IMIj>.*> C = const. Hieraus ergibt sich I, +

\ J

\

Z

In Ll«l=i

( D * u ) * y l Z d x y i r

J

)

^

(C

+

1)

llwllp.i

.

54

4 . D i e S0B0LEWSchen R ä u m e

Andererseits ist nach Formel (3.11), Kap. 1, IMk*

= IMIi + ( f [ Z (D«u)Y2 Iß Ll«l=i J

d4llP >

^

|£T

2y>12 dxyn> ^ c [||m|| + r / r z {iruw + \ß/ /L|«|=i r z (d«U) x p J J \ß L|aj =k 1 ) Aus den erhaltenen Beziehungen ergibt sich, daß die Norm M v + {f[£jD*u)*]pl2 der Norm (1.1) äquivalent ist. Nun ist aber Norm äquivalent: f(ilU, hu,..., iNu) + i / \ß Aus den Sätzen dieses Paragraphen folgt, sind.

d*ylp

w

auch die Norm (1) offenbar der folgenden r z (D*u)*yi2 dxi1'*. (5) Li«i=t J J daß die Normen (4) und (5) äquivalent

§ 6. Die Ungleichungen von

FRIEDRICHS

und

POINCARÉ

Es sei Q die Vereinigung von Gebieten, von denen jedes bezüglich einer gewissen Kugel sternförmig ist, und sei u 6 Nach Satz 4.3.4 sind die Ableitungen Dyu, 0 r{0) ^ 2q und im Gebiet G auch \ r(0) ^ r. Deshalb ist ( 2 r ( 0 ) - r)™"1 ^ ^r)™- 1 . Daraus folgt z

/

Si

X

r(0)

f

l/2f 0 gilt. Die Gleichung des Strahles schreiben wir in der Form i = i«» + pt,

I m = 4°) + 1 ,

(11)

wobei ]) = (p-L, p2, ... , pm-i) ein Vektor mit m — 1 Komponenten ist, die für hinreichend kleines 8 beliebig klein sind. Während der Bewegung vom Punkt | nach 8Q nimmt die Größe t zusammen mit | m ab. Wir nehmen an, daß der Strahl (11) den R a n d 8Q im Punkte trifft, der dem Parameterwert t = t' entspricht. Dann gilt

64

4 . D i e SoBOLEWSchen R ä u m e

+ i' — /(£(0) + pt) = 0. E s gelte t" < t'. Mit bezeichnen wir den entsprechenden Punkt auf dem Strahl (11) und berechnen die Größe £

- /(£") = £ = 4

0)

+ +

= - [f -

- W0) - /(!

+ pt") + K')

l0)

k{x) = 0 gilt für k > n und x € ü. Mit uk(x) bezeichnen wir die Fortsetzung der Funktion u(x) in die oben beschriebene Kugel Dk. Wir setzen \uk{x) cpk(x), =

{

x 6 Dk ,

0,

x*Dk.

Offenbar sind die Träger der Funktionen wk{x) kompakt und wk e Sei nun W

(X) =

F

k=1

WK

W^\Em).

(X) .

Es ist klar, daß dieFunktion w(x) einen kompakten Träger besitzt und daß w e Es sei x e ß . Dann gilt uk(x) — u(x) und rt oo w(x) = u(x) X, 0 unter dem Integralzeichen zum Grenzwert übergegangen werden. I n der Tat, es gilt z. B . 1/ PhQh cos ( v , xk) d r - J PQ cos (v, xk) dLT| ^ / \Ph - P\ \Qh\ d r + r r r + / | P | \Qn—

Oben wurde schon ||PÄ — P|| Zi(jr) — 0 und ||Q„ — Q\\Lp,(r) 0 ermittelt. Fernerhin ist die Größe ||P||i^(r) e i n e Konstante und 11Öa11.(-r) konvergiert: ]|Öa| 1^,(7') - > \ \Q\\Lp,(ry Deshalb ist ||0ä||£p,(/') beschränkt. Aus dem Gesagten ist klar, daß der rechte Teil in der Formel (15) gegen Null konvergiert. Analog dazu werden die anderen Integrale in der Formel (14) untersucht. Indem wir in Formel (14) zum Grenzwert übergehen, wird ersichtlich, daß die Formel der partiellen Integration im besonderen ihre Gültigkeit behält, wenn P e und Q € 1 < p < oo, güt.

4. Die SoBOLEWschen Räume

66

Satz 4.7.2. Es seien Q1 und ß 2 Gebiete des Raumes Em, deren Durchschnitt nicht leer ist und für die QQj e 6I(0,1), j = 1, 2, gilt. Sei ferner Q — Q1 u ü2. Wenn die Funktion u(x) fast uberall in ü definiert ist und u e W(x) eine beliebige Funktion der Klasse 9Ji (1) (ß). Mit t'y bezeichnen wir die verallgemeinerte Ableitung 8M

-— in Qi, j = 1, 2. Auf Grund der Sätze 3.1.1 und 3.2.2 stimmen die Funktionen ax{ va und vi2 in Q0 überein. Partielle Integration liefert r d

^-1»'

Daraus folgt 00

\u(x)\

Qu dl, 8|j

(1)

67

§ 8. Der Einbettungssatz für den Grenzexponenten

und

(J ^ CO

r

\l/(m-l)

d | ? J\

du

Wir integrieren bezüglich x1 und erhalten oo l/(m —1) oo j

du

|M(ar)Jm/ d X l ^ I

i/(i»-i)

m

dSi

/

du

8|,

d£, I

d ^ . (2)

Auf den zweiten Faktor rechts wenden wir die HöLDEBSche Ungleichung mit den Exponenten px = = ... = pm_i = m — 1 an: . l/(m —1) , oo oo N l/(m-l) 8M 8M d x ^ 77 81, 81, J=2 — oo — oo

IM /

Dies setzen wir in Formel (2) ein und erhalten die neue Ungleichung oo / oc \l/(m —1) / oo oo j

|w(ir)|m/(,"-1> d ^

g

|

)

8w I

J

\

m

du R

61, ^ — OO — OO

dljdajj

Wir nehmen jetzt an, daß für ein gewisses l die Ungleichung OO OO OO OO J . . .

— oo

x

j

\u(x)\

— oo CO

m

K

m

~

1

1dx

1

...dx, ^

T j l

- OO

— 00 — oo

81,

J

...

j

dx,

• (2a)

\l/(m-l)

d X l ...

X

v, — oo — oo \l/(m-l)

oo CO 8M

n j=l+1'

du

\l/(m — 1)

d x j ... d x

{

(3)

d x j j

gültig ist. Wir zeigen, daß eine analoge Ungleichung auch für l + 1 gilt. Die Ungleichung (3) integrieren wir in den Grenzen ( — oo, oo) bezüglich xl+1. Der Faktor mit der Nummer Z + l im zweiten Produkt rechts hängt nicht von x l + l ab. Wir ziehen ihn deshalb vor das Integralzeichen und ersetzen in ihm das Symbol | i + 1 durch Wir erhalten somit du \u{x)\

m

l

{ m

-1'> dx

x

... d x

t

d x

l + 1

i

i l

X

i

n

du dxj

n 3=1 + 2

, l/(m-l) X

X

VEi

ÖW x

\ l/(m —1)

dzj ... dxt 1

dx,

d X l ... dx;•i+1

'

8S,

[ dzj+i •

ai+i

Auf das zweite Integral rechts wenden wir die HöLDERsche Ungleichung mit den Exponenten px — p2 = ... = pm_l = m — 1 an; im Ergebnis erhalten wir die Un6 Michlin

68

4. Die SoBOLEWschen R ä u m e

gleichung (3) mit l + 1 anstelle von l. Für Z = 1 ist sie richtig (Ungleichung (2 a ) ! ) ; deshalb gilt sie für beliebiges l. Wenn wir in (3) i = to setzen, erhalten wir

j|w(a;)|m/(m-1)dx

)

ll(m-l)

8w

^ J7 |

Em

dxt

"

(4)

In dieser Beziehung ersetzen wir«(a;) durch |w(a;)| (m ~ 1)i '/ (m-i ' ) ; weil TO > p 1 ist, ist die neue Funktion stetig und besitzt beschränkte erste Ableitungen. Mithin sind alle oben durchgeführten Operationen erlaubt und Ungleichung (4) liefert

Mi

(m — \)f lKm-l) m

J\u(x)\ mpKm- p)dx^

m —p

u{x)\ m(p-

1

)Km-p)

'Am

du l/(m-l)\ dXj

TO — 1 ten Potenz und wenden TO V HöLDERsche Ungleichung mit den Exponenten p' = und p a n : Wir betrachten diesen Ausdruck in der

(TO — 1) p 1/m

m — p (TO — 1) p 1/m


1* =

m

mp _ kp'

C = const.

einer (7)

Beweis. Wenn ß ein Multiindex mit \ß\ = k — 1 ist, so gilt Dßu € Die Funktion D^u setzen wir entsprechend Satz 4.7.1 fort und bezeichnen die Fortsetzung mit Vß(z). Diese Funktion verschwindet außerhalb eines gewissen beschränkten Gebietes Q1 3 Q, gehört der Klasse W^\Em) an und genügt der Ungleichung IMI^'oe»,) ^ c\\Dßu\\w$Xß) • Ungleichung (5) liefert I H L * ^ ) ^ C' , £ l l ^ l l « J W ^ C"WVßWw^\Em) ^

C "'il W H ( «p ) • |P|=i-l Für die Ableitungen Dßu, \ß\ < k — 1, stellt der Exponent q* =

(g) TTtp

keinen

Grenzexponenten dar; nach Satz 4.3.2 ist die Ungleichung (8) für alle genannten Multiindizes ß gültig. Wir summieren und erhalten noch eine Ungleichung: Auf Grund des Satzes 4.7.1 setzen wir die Ableitung Dyu mit |y| = k — 2 fort und erhalten analog zu oben ,jyj — £ k II^ML *(ß)1= c au ist. Offenbar ist D(B) C L2(0, oo). Wir beweisen jetzt, daß der auf diese Weise definierte Operator B positiv, jedoch nicht positiv-definit ist. Als erstes zeigen wir, daß D(B) = L2(0, oo) gilt. D a z u genügt es zu beweisen, daß sich f ü r eine beliebige F u n k t i o n q> e L2(0, oo) und f ü r eine beliebige Zahl e > 0 eine F u n k t i o n u e D(B) auffinden läßt derart, daß ||q9 — u\\ ist. D a d a s Integral oo /

0 und N > 0, f ü r die gilt t oo

J < p ° ( x ) d x < j ,

J n.

falls

u)

,. .,„ IMI 2

Wie man leicht sieht, gilt un e D(B). Wir berechnen jetzt die Norm von w„. E s gilt n

oo

||m„|| 2

=

Wir substituieren x = nt:

J u%(x)

dx

0

=

f x 2(n

— x) e

0

dx

.

I Htt.,11» =

n

9

j f i (1 -

o

i) 6

dt.

Das letzte Integral ist eine positive Konstante, die nicht von n abhängt; wir wollen sie mit Cj bezeichnen. Dann ist ||wn||a = CjW,9. Weiterhin gilt oo

(Bun,

un)

n

— j u'^ix)

dx =

o

J

o

(n

— 4a;)2 (n — x ) 4

da;.

Die Substitution x = nt ergibt jetzt I

Somit gilt

{Bun, un) — n 7 J (1 — 0

CjW2 '

und folglich .

(Bu,

inf--,-;

u)

=

c 2 = const.

0 .

§ 3. Der energetische R a u m 1. Mit jedem positiven Operator läßt sich ein gewisser HILBERT-Raum, welchen wir den energetischen Raum des entsprechenden Operators nennen, verknüpfen. H sei ein HiLBERT-Raum und A ein positiver Operator in diesem Raum. Wir konstruieren jetzt einen neuen HiLBERT-Raum, indem wir als Elemente dieses Raumes alle Elemente der Menge D(A) erklären und für dieselben ein neues Skalarprodukt definieren: [u,

v]

A

=

(Au,

v) ,

u, v e D(A)

.

(1)

76

5. Positiv-definite Operatoren

Bekanntlich muß das Skalarprodukt in einem HiLBEBT-Raum folgenden drei Axiomen genügen: A) Die Symmetrie 1 ): Wenn (u, v) das Skalarprodukt der Elemente u und v bedeutet, so muß (u, v) = (V, u) sein. B) Die Linearität: Wenn Aj und A2 Zahlen sind, dann gilt (Aj«! + A2w2, V) = A i K , v) + ¿2(m¡¡, V) .

C) Die Positivität: Es gilt (u, u) ^ 0 , wobei («, u) = 0 dann und nur dann ist, wenn u = 0 gilt (d. h., wenn u das Nullelement des Raumes ist). Wir beweisen jetzt, daß der durch Gleichung (1) definierte Ausdruck [u, v\A den Axiomen A bis C genügt. A) Die Symmetrie. Unter Benutzung der Symmetrie des Operators A sowie des Skalarproduktes im Ausgangsraum H ergibt sich [w, v]A = {Au, v) = (w, Av) — (Av, u) = [v, u\A . B) Die Linearität. Benutzen wir jetzt die Linearität des Operators A, so erhalten wir [A«! + A2w2, V]a = {A(k¡u1 + Á2u2), V) = (XxAUX + X2Au2, V) = = X^Au^, v) + X2(Au2, V) = Ajf«!, v]Ä + X2[u2, V]A . C) Die Positivität. Der Operator A ist positiv. Deshalb gilt [«, u]A = (Au, u) ^ 0. Wenn [u, u]A = 0, so ist (Au, u) = 0; daraus folgt u = 0. Offenbar gilt auch das Umgekehrte : Aus u = 0 folgt (Au, u) — 0 und [u, u]A = 0. Mithin genügt der Ausdruck (1) sämtlichen Axiomen eines Skalarproduktes. Indem wir [u, u]A als Skalarprodukt nehmen, verwandeln wir die Menge D(A) in einen HiLBEBT-Raum. Wenn sich dieser als unvollständig erweist, so vervollständigen wir ihn auf übliche Weise. Den vervollständigten Raum nennen wir energetischen Raum und bezeichnen ihn mit H A . Das neue Skalarprodukt erzeugt eine neue Norm, welche wir durch das Symbol 1kennzeichnen: |«U = (/[«, « b • (2) Wenn u e D(A) ist, dann gilt \u\A = (/(Au, u) , und wenn der betrachtete Operator positiv-definit ist, so ergibt sich auf Grund der Ungleichung der positiven Definitheit ||m||

,

utD(A).

(3)

Die Größen [w, v]A und |u\ A nennen wir entsprechend energetisches Produkt der Elemente u und v bzw. energetische Norm des Elementes u. *) Wir betrachten reelle HiLBEET-Räume.

77

§ 3. Der energetische R a u m

In einigen Fällen, wenn das zu keinem Mißverständnis führen kann, werden wir den Index A in den Bezeichnungen für das energetische Produkt und die energetische Norm weglassen und einfach [u, v\ bzw. \u\ schreiben. Im energetischen Raum H A unterscheiden wir zwischen „alten" Elementen — den Elementen der Menge D(A) — und „neuen" oder „idealen" Elementen, welche durch die Vervollständigung hinzukommen. Aus bekannten Sätzen der Funktionalanalysis ergibt sich nun folgendes: Wenn u ein ideales Element des Raumes H A ist, dann existiert eine Folge alter Elemente {u„}, welche in der energetischen Norm gegen u konvergiert: \u — u„| -» 0 ,

n —»- oo .

Offenbar konvergiert dabei die Folge {u„} in sich in der energetischen Metrik. Die Menge der alten Elemente ist also dicht im energetischen Raum. Satz 5.3.1. Der energetische Raum eines positiv-definiten Operators ist in den Ausgangsraum stetig eingebettet. Beweis. Sei A ein positiv-definiter Operator. Wir zeigen, daß sich zwischen den Elementen des energetischen Raumes H Ä und gewissen Elementen des Ausgangsraumes H eine lineare isomorphe Beziehung herstellen läßt. Dies bedeutet folgendes: 1. Jedem Element u e HA wird ein und nur ein Element u' 6 H zugeordnet; 2. wenn den Elementen u, v e H A die Elemente u , v 6 H entsprechen, dann entspricht der Linearkombination Xu + (iv e HA das Element Xu + /«»' € H; 3. verschiedenen Elementen des Raumes H A entsprechen verschiedene Elemente des Raumes H. Für ein beliebiges Element u des energetischen Raumes läßt sich eine Folge {un} alter Elemente konstruieren derart, daß gilt \un — u\ —> 0 ,

71 —> oo .

Für ein ideales Element wurde nämlich eine solche Möglichkeit bereits oben festgestellt ; ist dagegen u ein altes Element, so genügt es, u„ = u zu setzen. Offensichtlich ist un — um € D(A), und es gilt \un — um\ -» 0 für

7i, m —>• oo .

Wegen der Beziehung (3) zwischen der alten und der neuen Norm ist ||W» — Mm||

~

|Un — Um\ ,

und die Folge {«„} konvergiert in sich im Sinne der alten Norm. Auf Grund der Vollständigkeit des Raumes H existiert dann ein Element u € H derart, daß gilt llM' - w«ll Dieses Element u ordnen wir nun dem Element u € HA zu. Wir beweisen zunächst die Eindeutigkeit des Elementes u . Nehmen wir an, wir würden an Stelle der Folge {«„} C D(A) eine andere Folge {vn} c D(A) wählen, für die ebenfalls |u — vn\ „^.¿j 0 konvergiert. Durch Wiederholung der vorangegangenen Überlegungen gelangen wir zur Existenz eines Elementes v' e H, für das gilt II®' - »«II Wir zeigen, daß u = v ist. Auf Grund der Dreiecksungleichung gilt |«n — vn\ = \(u„ — u) — (v„ — w)| oo erhalten wir ||w' — v'\\ = 0, was zu beweisen war. Den Elementen w1; u2 e HA mögen jetzt die Elementfolgen und { u 2 n ) aus D(A) mit \ui ~

v\

0 ,

u

\u2 - uin|

0

entsprechen. Ferner mögen den Elementen « j und u2 die Elemente u[ und u2 des Raumes H zugeordnet sein. Für die Elemente u[ und u2 gilt dabei ||% — win|| n 0 und ||«2 — u2n\ \ 0. Infolge der Dreiecksungleichung ergibt sich dann

|(AmI + A2w2) — (^i«m + hum)\ = \hiui — «in) + A2(m2 — w2„)| g; ^ 1^11 K ||(AX + A2«2) —

+ ¿2 2«)|| = M

+ N |«2 -

«2»|

0

>

— w) + ¿ 2 («2 ~ «2»)|| u

^ K l ||«i - «im|| + |A2| ||«2 - «¡¡»II

•

Die beiden letzten Beziehungen bedeuten nun gerade, daß dem Element X1u1 -j- X2u2 € € HÄ das Element + X2u'2 € H entspricht. Die Linearität der Zuordnung ist damit bewiesen. Wir beweisen jetzt, daß verschiedenen Elementen ut, u2 € H A auch verschiedene Elemente u[, u2 € H entsprechen. Wir nehmen das Gegenteil an: E s sei u[ = u'2. Wir zeigen, daß dann % = u2gelten muß. Zu diesem Zweck betrachten wir die Differenz ut — u2 = v. Offensichtlich ist v € HA, und da die Zuordnung linear ist, entspricht dem Element v das Nullelement des Raumes H. Mithin existiert eine Folge vn € D(A) derart, daß gilt

IK-o|| = I M — s o ,

I« - «»I

0

•

Es sei tj ein beliebiges Element der Menge D(A). Auf Grund der Stetigkeit des Skalarproduktes gilt [vn, y] ^¿S K rj] . Andererseits ist [vn, y] = (vn> Art) . Wegen vn — ¿j 0 konvergiert (vn, Ar]) — ^ (0, Ar/) = 0, und folglich ist [v, rj] = 0. Die letzte Gleichung bedeutet, daß das Element v in der Metrik des Raumes HA orthogonal zu der in HA dichten Menge D( A ) ist. Dann ist aber v das Nullelement des energetischen Raumes, d. h. « j = u2. Die Existenz einer linearen isomorphen Beziehung, von der am Anfang des Beweises gesprochen wurde, ist somit bewiesen. Wenn wir jedes Element des Raumes H A mit dem ihm entsprechenden Element des Raum'es H identifizieren, finden wir, daß H A in H eingebettet ist: Die Mengen D(A), HA, H sind durch die Beziehung D(A)

c HAcH

(4)

miteinander verknüpft. Die Inklusion D(A) c HA folgt daraus, daß IIA die Vervollständigung von D(A) ist, die Inklusion IIAc H aus dem eben Bewiesenen.

§ 3. Der energetische R a u m

79

Da die Menge D(A) in H dicht ist, bilden die Elemente des energetischen Raumes eines positiv-definiten Operators, wie aus der Beziehung (5) ersichtlich ist, eine im Ausgangsraum dichte Menge. Wir gelangten oben zu der Ungleichung (3), welche die Korrelation der beiden Normen eines Elementes der Menge D(A) herstellt: ueD(A). Wir beweisen jetzt, daß diese Ungleichung für ein beliebiges Element des energetischen Raumes ihre Gültigkeit behält. Sei u € HA. Dann existiert eine Folge von Elementen un e D(A) derart, daß gilt K - n\ — 0 ,

||m« - w|| — £ 0 .

Für die Elemente un gilt die Ungleichung (3): INI Durch Grenzübergang für n erhalten wir

Kl •

oo und Berücksichtigung der Stetigkeit der Norm

IMI^yM,

ueHA;

(5)

dies zeigt die stetige Einbettung von HA in H. Der Satz ist bewiesen. Mit Hilfe der Gleichung (1) führten wir das energetische Produkt [u, v] = (Au, v) ,

u, v € D{A)

ein. Wir beweisen jetzt die Gültigkeit dieser Gleichung für den allgemeineren Fall u e D(A), v e HA. Wenn v e HÄ ist, so existiert eine Folge {i;„} mit rneD(A),

\\vn-v\\^0.

Für die Elemente u und v„ gilt Gleichung (1): [w, v„] = (Au, vn) . Wegen der Stetigkeit des Skalarproduktes ergibt sich [«, vn]

[u, v],

(Au, vn)

(Au, v) .

Durch Vergleich der rechten Seiten erhalten wir nun [u, v] = (Au, v) ,

ue D(A) ,

v e HA .

(6)

Satz 5.3.2. Es sei A ein positiv-definiter Operator im H i l b e r t - A'oum H. Dafür, daß das Element u g H dem energetischen Raum HA angehört, ist notwendig und hinreichend, daß eine Folge un 6 D(A) existiert, für die gilt I « » - « » \ \

U

n

~~ Mll nTS 0 •

(V

Beweis. N o t w e n d i g k e i t . Sei u e HA. Da die Menge D(A) im Raum HA dicht ist, existiert eine Folge un e D(A), n = 1, 2, ... , mit \un — u\A—^0. Als konvergente

80

6. Positiv-definite Operatoren

Folge ist sie in sich konvergent, und wir erhalten die erste der Beziehungen (7). Die zweite Beziehung ergibt sich aus der Ungleichung (3): II«» - «II

K -

H i n l ä n g l i c h k e i t . Es sei jetzt die Bedingung (7) erfüllt. Da der Raum HÄ vollständig ist, existiert ein Element u € HA, für das \un — ü\A 0 gilt. Dann folgt aber aus der isomorphen Zuordnung, die beim Beweis des Satzes 5.3.1 hergestellt wurde, daß.« = ü und somit u e HÄ ist. 2. Als Beispiel wollen wir den energetischen Raum des Operators A aus § 2 auffinden. O Wir zeigen, daß in diesem Fall der Raum H A mengentheoretisch mit 0, 1) übereinstimmt; anders ausgedrückt, H A besteht aus den und nur aus den Funktionen, die folgende Eigenschaften besitzen: 1. Sie sind absolut stetig auf dem Segment [0, 1]; 2. ihre ersten Ableitungen sind auf diesem Segment quadratisch summierbar; 3. diese Funktionen verschwinden in den Punkten x = 0 und x = 1. Wie wir im § 2 gesehen haben, ist l [«> v]a = / u'(x) v'(x) dx, u,ve D(A). o Setzen wir hier v = u, so erhalten wir die Formel für die Norm: i MA = / u'2(x) da;, u € D(A) . (8) o 2.1. Es sei u ein beliebiges Element des Raumes HÄ. Nach dem Satz 5.3.2 ist u e L2(0, 1), und es existiert eine Folge {«„} c D(A) derart, daß gilt ^ o ,

II«» -

Diese Folge konvergiert also gegen das Element u und ist somit erst recht in sich konvergent, d. h. \un-um lis^srO. Da aber un — um€ D(A) ist und für diese Differenz die Formel (8) gilt, konvergiert l / « ( * ) - u'm(x))2 da; 0. o Die letzte Beziehung, der man auch noch die Gestalt IK geben kann, zeigt, daß die Folge der Ableitungen {u'n} in der Metrik des Raumes L2(0, 1) in sich konvergiert. Da der Raum L2(0, 1) vollständig ist, existiert eine Funktion w 6 L 2 (0, 1) derart, daß gilt Die Beziehungen

\u„

-

I"»-«llin?30> II«»-»lls^?0 lassen zusammen mit dem Satz 2.3.1 den Schluß zu, daß die Funktion u(x) eine verallgemeinerte erste Ableitung u'(x) = w(x) besitzt; als Element des Raumes L2(0, 1)

§ 4. Das Energiefunktional und sein Minimumproblem

81

ist diese Ableitung auf dem Segment [0, 1] quadratisch summierbar. Aus dem Satz 2.4.1 folgt nun, daß die Funktion u(x) auf demselben Segment absolut stetig ist. Es bleibt noch zu zeigen, daß u(0) = w(l) = 0 ist. Nach Satz 4.3.1 ist der Raum W^O, 1) stetig in C[0, 1] eingebettet. Deshalb gilt |«(0) - «,(0)| ^ ||m - «„||c ß ||« - «„Iki — 0 (ß = const). Daraus folgt «(0) = 0. Analog wird «(1) = 0 bewiesen. O 2.2. Es sei nun w € W ^ O , 1). Wir beweisen, daß u e HÄ ist. Auf Grund des Satzes 5.3.2 genügt es, die Existenz einer Folge {«„} von Funktionen aus D(A) nachzuweisen, die die Eigenschaften (7) erfüllt. Die Funktion w(a;) besitzt eine Ableitung u'(x) aus L2(0, 1). Wir entwickeln diese in eine FouRiER-Reihe nach Kosinusfunktionen. Das freie Glied tritt in dieser Reihe nicht auf, da i

«„ = / u'(x) dx = «(1) — w(0) = 0 ist. Es gilt somit «' (x) =

ak cos knx , k=1 Die letzte Gleichung integrieren wir in den Grenzen von 0 bis x; da die Reihe im Mittel konvergiert, so läßt sie sich gliederweise integrieren. Unter Berücksichtigung von «(0) = 0 erhalten wir °° ak u(x) = £ bk sin knx mit bk= —. *=i kn Wir konstruieren jetzt die Funktionenfolge n w„(a;) = £ bk sin knx . k=1 Offensichtlich ist «„ e D(A). Infolge der Konvergenz der FouniER-Reihe gilt Zu beweisen ist: |w„ — um\ wir n > m annehmen. Dann ist

II«» - Mll »Töo ® • 0. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit können

u„(x) — um(x) =

n

2J bk sin knx . i = m+l Für das Quadrat der Norm dieser Differenz «„ — um ergibt sich i

|«„ — Mm|2 =

j|,fc =27^»i + l"

— knx ' ^ Ada; = — V- „2 cos — JT yfj |jw||2 und somit |u\A

y0 [w||, u € HÄ. In der Beziehung

(2) setzen wir jetzt u — Gf. Dann gilt / = Au und Daraus folgt

(u, Äu) = (Äu, u) = [Gf, Gfh = \u\\ ^ yl ||tt||> . (Au, u) -¡Hji" ^

und damit

*

(Au, u) „ (Au, u) inf inf V ^ . ueD(I) INI" utD(A) INI* Durch Vergleich der Beziehungen (7) und (9) ergibt sich nun (Au, u) i n f

«aHl)

II 112

llMll

=

(Au, u) inf

«J>W>

II 112 •

INI'

(9)

(10)

Die Lösbarkeit der Gleichung (6) für beliebiges / e H ist lediglich eine andere Formulierung der oben festgestellten Tatsache, daß R(A) = H ist. Wenn nämlich / e H ist, dann ist / e E(A), d. h., es existiert ein Element u0 mit Au0 = f. Die Eindeutigkeit der Lösung ist eine Folgerung der positiven Definitheit des Operators^ (vgl. Satz 5.4.1 und Satz 5.5.1). Aus der Lösbarkeit der Gleichung (6) für beliebiges / e H folgt, daß die verallgemeinerte Lösung dieser Gleichung eine gewöhnliche Lösung ist. Schließlich bemerken wir noch, daß die verallgemeinerte Lösung der Gleichung Au = / die gewöhnliche Lösung der Gleichung Au = / darstellt. Die in diesem Paragraphen beschriebene Erweiterung A des positiv-definiten Operators A ist zuerst von K . F E I E D E I C H S konstruiert worden. Im weiteren nennen wir A die FEiEDEiCHSsc/te Erweiterung des Operators A. Bemerkung. Den Leser, der mit dem Begriff des selbstadjungierten Operators vertraut ist, weisen wir darauf hin, daß die FRlEDRiCHSsehe Erweiterung A des positiv-definiten Operators A die selbstadjungierte Erweiterung dieses Operators darstellt. Den Beweis dieser Behauptung findet man in dem Artikel von K . FRIEDRICHS [14] sowie in dem B u c h des Autors [6], welche im Literaturverzeichnis zum Teil I I aufgeführt sind.

Die Größe yl (siehe Formel (8)) heißt untere Grenze des positiv-definiten Operators A. Wir gelangen somit zu dem folgenden Satz von K . F R I E D E I C H S . Satz 5.7.2. Ein positiv-definiter Operator kann zu einem selbstadjungierten Operator mit derselben unteren Grenze erweitert werden. Satz 5.7.3. Die energetischen Räume eines positiv-definiten Operators und seiner FBiEDRiCHSsc/iew Erweiterung stimmen überein. B e w e i s . Seien A ein positiv-definiter Operator im HiLBEET-Raum H und A die FEiEDEiCHSsehe Erweiterung dieses Operators. Es ist zu beweisen, daß die Räume Ha und H% aus ein und denselben Elementen bestehen und daß ist.

KU = KU >

u0eHA,

(11)

§ 8. Das einfachste Randwertproblem

91

1. Jedes Element aus HA gehört auch zu Hj, und die Normen eines solchen Elementes stimmen in beiden Räumen überein. Diese Behauptung ist für die Elemente aus dem Definitionsgebiet D{A) offensichtlich: Aus w0 e D(A) folgt w0 € D(A) c Hj; dabei gilt = (Au0,u0)= (Au0,u0)= |« 0 ||. Auf Grund des Satzes 5.3.2 bedeutet die Beziehung u0 e Ha die Existenz einer Folge {u„}, un € D(A), mit den Eigenschaften (3.7). Da aber uK, um 6 D{A) ist, gilt un, um 6 D(A) und \un — um\\ = (A{un — um) , un — um) = (A(un — Um), un — um) = \un — umj~ • (12) Somit existiert eine Folge {un}, un e D(A), mit folgenden Eigenschaften: 0

| |«n - «o| | ^

'

K -

U

0

Aa

'

(13)

Aus demselben Satz 5.3.2 folgt nun u0 6 HA. Dabei gilt entsprechend der Definition der idealen Elemente \ U n - U ¿ j O ,

\Un~

und damit KU

=

lim

KU =

lim

u - y 'x

= KU •

n-*oo

2. Wir beweisen jetzt, daß aus der Beziehung u 6 HA die Beziehung u e HA sowie die Gleichung (11) folgen. Wenn u e H2 ist, dann existiert eine Folge {u n }, un € D(A), mit den Eigenschaften (13). Wie wir oben gesehen haben, ist D(A) C HA\ somit ist un € Ha, und nach dem im Abschnitt 1 Bewiesenen gilt |un — Mm|l = |u„ — um\A . Die Eigenschaften (13) gehen also in die Eigenschaften (12) über, d. h. u e HA. Für die Elemente u e HÄ wurde die Gleichung (11) bereits im Abschnitt 1 aufgestellt. Der Satz ist damit bewiesen. Weiter oben haben wir die Formel (3.6) bewiesen: [u, v]A = {Au, v) , u € D(A) , v 6 Ha . Es gilt nun auch die folgende, etwas allgemeinere Formel: [u, v]A = (Äu, v) ,

ut

D(Ä),

V e Ha .

(14)

Wenn nämlich u e D(A) und v 6 HA = Hj ist, dann gilt nach der Formel (3.6) In den Räumen HA und HA auch für die Skalarprodukte:

[u, v]j = {Äu, v) . stimmen die Normen überein. Dann gilt aber dasselbe

K v]2 = \ {\u + v\\ - \u - v\\) = \ {\u + vfA - \u - i f Ä ) = [ oo die linke Seite der letzten Gleichung den Grenzwert |w|2 besitzt. Wir beweisen, daß der Grenzwert der rechten Seite gleich b J

( j o u

+

qu 2)

a

ist. Es gilt

+

2

qu 2)

da;

b I

(pu,f

Nach der

+

2«»)

a

x

( |w„2

-

—

S

( p u

2

CAUCHY-BUNJAKOWSK

b /

d

u' 21

da;

^

] /

Ifl

da;

11/2 f

Wegen ||w*|| —>||w'|| ist gilt somit

u )

-

2

u

2

\

da;

+

/

|ul

-

u

2

\

d x

.

W'||

.

J

In

+ u'\\ / K

11/2

b

\ j ( u '

d x [

2

b K

ischen Ungleichung ist aber

b {u'n +

^ P i f

n

—

u )

da;[

2

J

=

\\un

+

w'||

—

||«n|| + || M '|| e i n e beschränkte Größe, und es -

2

«''IdLr^O.

Analog beweist man die Konvergenz b

/ Iw» -

w2

| da;^asO ,

womit Formel (7) für eine beliebige Funktion aus H A bewiesen ist. Wir zeigen jetzt die Umkehrung: Ist u e W^ (a, b), so gilt u 6 HA. Auf Grund des Satzes 5.3.2 genügt es zu zeigen, daß eine Folge { « „ } , un € D(A), mit den Eigenschaften (3.7) existiert. Um dies zu zeigen, entwickeln wir die Ableitung der Funktion u in eine FouBiER-Reihe nach Kosinusfunktionen: °° u ( x )

=

£ k=l

k i i { x —

a

k

a)

cos —

b

—

a

.

§ 8. Das einfachste Randwertproblem

95

Das absolute Glied tritt hierbei nicht auf, da a0 —

i b — a J a

b r j u'(x)

I

da; =

.

b — a

Mb)

— u(a))

x

= 0

'

ist. Durch gliedweise Integration erhalten wir u(x)

=

°° Zbk

sin

kn{x — a) U

,

W

bk =

ak(b

— a) — . KJL

Als un kann man jetzt die n-te Partialsumme der letzten Reihe wählen. o

Es ist leicht zu beweisen, daß die Normen in HA und b) äquivalent sind. Die Norm in dem letzteren Raum kann entsprechend Formel (6.5), Kap. 4, durch die Beziehung IMII.i = s \ u ( x ) y d x a

definiert werden. Nunmehr folgt aus den Formeln (7) und (*), daß ivo ||«lki ^ M ^ l/^i + (5

ll M ll2,i'

Vi =

m a x

Q(x) '

(9)

gilt, und die Äquivalenz der Normen ist bewiesen. Die verallgemeinerte Lösung u0(x) des Problems (1) —(2) existiert und ist eindeutig; es ist dies die Funktion, welche das Minimum des Energiefunktionais F(u)

= |«|> -

2(w, /)

im energetischen Raum realisiert. Wie Formel (7) zeigt, ist in unserem Fall F(u)

b = / ( p ( x ) w'2 + q(x) v? — 2 f ( x ) u) a

dx;

als Element des energetischen Raumes muß die Funktion u(x) den Bedingungen (2) genügen. Wir klären jetzt, aus welchen Funktionen das Definitionsgebiet D(A) besteht, wobei A die FRiEDBiCHSsche Erweiterung des Operators A ist. Zunächst vermerken wir, daß aus der Formel (7) für die energetische Norm die Formel für das energetische Produkt folgt: b [w, v] = / (pu'v' a

+ quv)

u, v e HA .

Ax\

(10)

Es sei u € D(A). Dann existiert eine solche Funktion / g L2(a, b), die zusammen mit der Funktion u die Beziehung (5.5 a) erfüllt. Mittels der Formel (10) kann letztere in der Gestalt b J pur] a

b dx = f wrj da;; a

w = / — qu ,

geschrieben werden. Offenbar gilt w e L2(a, b). Wir setzen v(x)

X — — / w(t)

dt;

Wrj e HA

(11)

96

5. Positiv-definite Operatoren

die Funktion v(x) ist auf dem Segment [a, 6] absolut stetig, v'(x) = — w(x) und v(a) = 0. Nunmehr gilt b

j wrj dx

>

b

=

— J v'rj

dx

=

—

vrj

b

+

dx

/ vrj'

b

=

da;,

J vrj'

weil rj(a) = rj{b) = 0 ist. Wir setzen dies in (11) ein und erhalten b

J (pu a

— v) 7]' dx

=

nn(x

0 , —

Wählen wir hier speziell rj(x) = s i n — -

Vrj

a)

nn(x b

a) a

—

.

a

, n = 1, 2, ... , so sehen wir, daß die

—

Funktion pu' — v zu den Funktionen cos —r

£ H

, n — 1, 2, ..., orthogonal ist. Dar-

aus folgt pu' = ! ) - ( - c , c = const. Somit erweist sich die Funktion pu als absolut stetig ; sie besitzt fast überall die Ableitung d / dw dx)

=

=

_

^

W

^

=

^

^

_

'

Diese Beziehung belegt, daß, falls u € D(A) und / = Au ist, die Funktion u fast überall der Differentialgleichung (1) genügt. Durch partielle Integration kann man sich leicht von der Gültigkeit der Beziehung f/v'(t)

v(t)

+

c

\

a

überzeugen. Derlntegrand ist im Quadrat summierbar; deshalb ist die Ableitung u'(x) auf dem Segment [a, 6] absolut stetig, und fast überall existiert die zweite Ableitung u"(x) € Lz(a, b). Wir gelangen zu folgendem Schluß: Wenn u g D(A) gilt, so ist u absolut stetig auf [a, 6], u" e L2(a, b) und u(a) — u(b) — 0. Die entgegengesetzte Behauptung ist ebenfalls richtig: Wenn die Funktion u(x) die aufgezählten Eigenschaften besitzt, so gilt u € D(A). I n der Tat, in diesem Fall ist u(x) verallgemeinerte Lösung der Gleichung Au = / mit d / t

[

x

)

=

~

d x \

d«\ p { x )

d i

+ q { x ) u { x )

-

§ 9. Ein allgemeineres Minimumproblem für das quadratische Funktional 1. I m § 4 wurde das Variationsproblem für ein quadratisches Funktional der Gestalt F(u) = (Au, u) - 2(m, /) formuliert. Eine wichtige Besonderheit dieses Funktionais besteht darin, daß sein linearer Anteil 2(w, /) im Ausgangsraum beschränkt ist; im § 5 haben wir diesen Umstand beim Existenzbeweis für die verallgemeinerte Lösung des Variationsproblems benutzt. Hier betrachten wir nun das Minimumproblem f ü r das quadratische Funktional allgemeineren Typs F(u)

=

(Au,

u)

-

21 (u)

,

(1)

§ 9. Ein allgemeineres Minimumproblem

97

wobei A ein positiv-definiter Operator im HILBEKT-Raum H u n d l ein lineares (nicht notwendig beschränktes) Funktional in demselben R a u m ist; der F a k t o r 2 wurde aus rein technischen Gründen eingeführt. F ü h r t man den energetischen R a u m HA des Operators A ein, d a n n k a n n m a n das Funktional (1) in der F o r m F(u) = |w|2 - 2 l ( u ) (2) schreiben u n d als Funktional auffassen, das auf (einigen oder allen) Elementen des energetischen R a u m e s definiert ist. Von Interesse ist n u n der Fall, wenn D(l) — das Definitionsgebiet des Funktionais l — im R a u m HA dicht ist; offenbar gilt D{F) = =

D(l).

Dabei sind folgende zwei Möglichkeiten denkbar. 1.1. Das Funktional l ist nicht beschränkt im energetischen R a u m . I n diesem Fall ist das Funktional F nach unten nicht beschränkt. I n der T a t existiert in diesem Fall eine Folge {«„} mit den Eigenschaften K |

=

1,

\l(vn)\

oo .

Ändert m a n erforderlichenfalls die Vorzeichen bei den Elementen u„, so k a n n m a n erreichen, daß l(un) - > + oo strebt. D a n n gilt aber = 1-

F(u»)

2ZK)

-

oo .

D a s Minimumproblem f ü r das Funktional (2) ist also in diesem Fall gar nicht sinnvoll. 1.2. D a s Funktional l ist im energetischen R a u m beschränkt. D a n n k a n n es auf den ganzen R a u m stetig fortgesetzt werden; damit wird auch das Funktional (2) auf d e n gesamten R a u m H A erweitert. Nach dem Satz von R I E S Z existiert d a n n ein u n d n u r ein Element u0 g HA, das der Beziehung l(u) = [u, w0] genügt. J e t z t ist F(u)

=

|u|>

-

2[u,

M0]

.

Durch Wiederholen derselben Überlegungen wie im § 5 überzeugt m a n sich davon, daß das Element u 0 das Minimum des Funktionais (2) realisiert. W e n n der R a u m H A separabel ist, d a n n läßt sich leicht eine zur Formel (5.11) analoge Formel f ü r die Lösung des Minimumproblems des Funktionais (2) herleiten. E s sei ojn, n — 1, 2, ..., eine im energetischen R a u m vollständige und orthonormierte Folge. D a n n ist oo

«0 = 2" K »

m

n

•

n= l

Setzt m a n in der oben genannten Formel l(u) — [u, w0] f ü r u = u>n, d a n n gilt [w0, a>„] = = [con, w0] = l(co„) u n d folglich oo «0 = Z l ( M n) 0)n • (3) n =1 2. Es sei A der im vorangegangenen Paragraphen betrachtete Operator (siehe Formel (3) und (2) aus § 8); die in diesem Paragraphen angenommenen Voraussetzungen bezüglich der Funktionen p(x) und q(x) sowie bezüglich der Funktionen, welche das Definitionsgebiet des Operators A bilden, behalten wir bei. Wir stellen das Minimumproblem für das quadratische Funktional F(u)

=

\uf

—

2w(c) =

J

a

b (p(x)

+

q(x)

da; — 2 u(c)

,

a < c

< b

,

(4)

5. Positiv-definite Operatoren

98

im energetischen R a u m des Operators A. Das bedeutet im besonderen, daß die Funktion u, von welcher das Funktional (4) abhängt, den Randbedingungen u(a) = u(b) = 0 (5) genügen muß. Wie man leicht sieht, ist das lineare Funktional l(u) = u(c) in der energetischen Metrik beschränkt. In der Tat gilt nach der CAtrcHY-BuNjAKOWSKischen Ungleichung |«(e)|* =

/ u'(x)

dx

—

a)

c f u' 2(x)

q(x)

u 2(x))

dx


p0

b J u' 2(x) a

dx

•

(6)

Die Formel (6) zeigt, daß im vorliegenden Fall das Funktional l beschränkt ist, wobei -i/o — a . . 1/ gilt. Die Lösung unseres Variationsproblems existiert, und auf Grund der '

Po

Formel (3) läßt sich diese in F o r m der Reihe oo

«o(«)

=

Z

0)n{c)

0)n(x)

(7)

»= l darstellen; dabei bedeutet {a> n } ein im R a u m H A vollständiges und orthogonales System. Die Reihe (7) konvergiert in der Metrik des Raumes H A und folglich auch in der Metrik des Raumes L2(a, b). Beispiel. Wir betrachten den Spezialfall p(x) = 1, q(x) = 0; dann ist Au = — diesem Fall bilden die Funktionen mH(x)

=

V2(b

— a) nn

n7t(x

sin —

—

b —

a)

,

a

n

d 2u

x

- . In

1, 2, ... ,

=

ein im energetischen R a u m vollständiges und orthonormiertes System; den Beweis dieser Tatsache überlassen wir dem Leser. Das Minimum des Funktionais

wird durch die Funktion u

b f u' 2 a

x) = o( 0

dz

2 (b

-

— a)

5

n2

2u(e)

,

u(a)

00

1

nn(c

=

u(b)

— a)

sin - r Z —5 n2 b

n=i

— a

=

sin

0

(8)

nn(x

~ zb

— —

a) a

realisiert. Die Summe der letzten Reihe läßt sich leicht bestimmen, indem man z. B . die EuLERsche Gleichung für das Funktional (8) aufstellt und diese löst; dies auszuführen, überlassen wir ebenfalls dem Leser.

§ 10. Der Fall eines nur positiven Operators Einen positiven, aber nicht positiv-definiten Operator nennen wir nur positiv. F ü r einen nur positiven Operator kann der energetische R a u m genauso konstruiert werden, wie dies für den positiv-definiten Operator geschah. Dabei besteht allerdings ein wesentlicher Unterschied : E s läßt sich beweisen, daß es jetzt unter den idealen Elementen des energetischen Raumes stets solche gibt, die nicht zum Ausgangs-HiLBERT-Raum gehören. Wir betrachten z. B . den Operator B , der im § 2 untersucht wurde. Wir erinnern daran, daß dieser durch die Formel Bu

d 2u ^—z dx 2

,

0
(4) wobei A« der Eigenwert ist, der dem Eigenelement un entspricht. Der B e w e i s ist sehr einfach: Wenn man in der Beziehung (2) u = uk, r\ = un, X= setzt, so ergibt sich k =f= n = \. n) n) = [uk, un]A = Xk(ukk,U ,u k = n . Satz 6.3.3. Ein beliebiger Eigenwert eines positiv-definiten Operators kann nicht kleiner als die untere Grenze dieses Operators sein. Beweis. Es sei die untere Grenze des Operators A. Nach Satz 5.7.1. ist die untere Grenze der FniEDBiCHSSchen Erweiterung A des Operators A ebenfalls gleich y\. Wenn X ein Eigenwert und u ein dazugehöriges Eigenelement des Operators A bedeuten (beide im verallgemeinerten Sinne), dann gilt auf Grund der Formel (1.2) und des Satzes 6.3.1 {Au, u) |[tt||, ^ r l (5) Wir bemerken noch, daß man der Formel (1.2) in unserem Fall die Gestalt Mä

"

(6)

=

geben kann. Bei Multiplikation von u mit einer von Null verschiedenen Konstanten ändert sich die rechte Seite der letzten Gleichung nicht. Wir wählen diese Konstante derart, daß das Eigenelement u in der Metrik des Ausgangsraumes normiert ist: ||w|| = 1. Dann ergibt sich für den Eigenwert die folgende, in verschiedener Hinsicht günstigere Formel: M«|i, IHI 2 = ! (?)

§ 4. Die Yariationsfassung des Eigenwertproblems Wir beginnen mit folgender Bemerkung: Wenn y\ die untere Grenze des positivdefiniten Operators ist, dann gilt

«4=0

Wir wollen diese Beziehung beweisen. Wegen D{A) c HA ist •f inf «4=0

M* . TTTi? =

. ,

ini

«4=0

Mi iTTiä" =

. ,

lnf

«4=0

2

Ii na = To •

§ 4. Die Variatiousfassung des Eigenwertproblems

105

Andererseits ist D{A) dicht im Raum H A; für u e H A läßt sich ein Element v e D(A) finden derart, daß gilt: \v — u\A < e und ||® — w|| < e, wobei £ eine beliebig kleine positive Zahl bedeutet. Dann ist aber — \u\A\ < e, | ||«|| — ||w|| | < £. Würde nun für ein gewisses Element u € H A u & / ..2

n«ir

der kleinste verallgemeinerte Eigenwert und u^ das dazugehörige Eigenelement des Operators A. B e w e i s . Da sich der Quotient Ml y

(2)

= W

bei Multiplikation des Elementes u mit einer Konstanten nicht ändert, darf man das Element u als normiert annehmen. Dann gilt W{u) = \u\\,

||«||»=1.

(3)

Wir führen jetzt die Bezeichnung y% = Aj ein. Die untere Grenze wird auf dem Element % angenommen; das bedeutet, daß «iffli, lllCj.ll« = X , \u 1 \=X 1 ist. Wir nehmen ein beliebiges Element r) € H Ä und eine beliebige reelle Zahl a und bilden den Quotienten K + H*

,,,

u IK + H I ' Bei festem rj ist der Ausdruck (4) eine Funktion von a, welche für a = 0 ihr Minimum annimmt. Dann muß aber ihre Ableitung nach a im Punkte