Neue Summationsmethoden und Entwicklungen nach Polynomen [Reprint 2021 ed.] 9783112459386, 9783112459379

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Sitzungsberichte der H e i d e l b e r g e r A k a d e m i e der Wissenschaften Stiftung Heinrich L a n z Mathematisch-naturwissenschaftliche Abteilung ¿ 'i

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J a h r g a n g 1922.

Klasse

A

1. A b h a n d l u n g .

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Neue Summationsmethoden und Entwicklungen nach Polynomen. Alfred Pringsheim zum goldenen Doktorjubiläum (1. März 1922) gewidmet. Von

Oskar Perron in Heidelberg.

Eingegangen am 14. Januar 1922.

B e r l i n und L e i p z i g 1922 Vereinigung wissenschaftlicher Verleger W a l t e r de G r u y t e r & Co. v o r m a l s G. J. G ö s c h e n ' s c h e V e r l a g s h a n d l u n g / J. G u t t e n t a g , V e r l a g s b u c h h a n d l u n g / G e o r g R e i m e r / K a r l J. T r ü b n e r / V e i t & Comp.

Sitzungsberichte der H e i d e l b e r g e r A k a d e m i e der W i s s e n s c h a f t e n Stiftung Heinrich L a n z Mathematisch - naturwissenschaftliche

Klasse

Abteilung A —

J a h r g a n g 1922.

1. A b h a n d l u n g .

=

Neue Summationsmethoden und Entwicklungen nach Polynomen. Alfred Pringsheitn zum goldenen Doktorjubiläuin (1. März 1922) gewidmet. Von

Oskar Perron in Heidelberg.

Eingegangen am 14. Januar 1922.

B e r l i n und L e i p z i g

1922

Vereinigung wissenschaftlicher Yerleger W a l t e r de G r u y t e r & Co. v o r m a l s G. J. Gösclien'sche V e r l a g s h a n d l u n g I J. G u t t e n t a g , V e r l a g s b u c h h a n d l u n g / G e o r g R e i m e r I K a r l J T r ü b n e r / V e i t &Comp.

Neue Summationsmethoden, und Entwicklungen nach Polynomen. §1Die meisten Summationsmethoden für divergente Reihen dienen zugleich dem Zweck, für Potenzreihen die analytische Fortsetzung außerhalb des Konvergenzkreises zu liefern. So wird z. B. durch die BoRELsche exponentielle Summation die Funktion innerhalb des „Summationspolygons" dargestellt. Besonders begehrt sind solche Darstellungen, die im ganzen MITTAG-LEFFLERschen Stern gelten. Wenn außerdem die dabei auftretenden Näherungsfunktionen P o l y n o m e sind, so pflegt man das als einen weiteren Vorteil anzusehen und spricht dann von einer „Entwicklung nach Polynomen". Im folgenden sollen zu den bekannten Darstellungen dieser Art einige neue hinzugefügt werden. Es ist ein in der Literatur schon mehrfach benutzter Gedanke, daß man nur für die Funktion

eine Entwicklung zu kennen braucht,

um dann mit Hilfe der CAUCHVschen Integralformel eine für jede Funktion gültige Entwicklung zu erhalten. In der Tat gilt der Satz 1. Sei (p (x), (pi{x), (p (x), . . . eine F o l g e von F u n k t i o n e n der positiven Veränderlichen x derart, daß die Reihe 0

2

00 2

< p

v=0

v

{ x ) z

v

=

€>(x,0)

a l s F u n k t i o n v o n g e i n e ganze F u n k t i o n i s t . lim X —

0

(x,

g)

-

Sei ferner

- i -

00

g l e i c h m ä ß i g in j e d e m a b g e s c h l o s s e n e n B e r e i c h d e r 0-Ebefle, der keinen P u n k t der Halbgeraden 1 e n t h ä l t . Wenn dann

2 avgv = f(g)

e i n e b e l i e b i g e P o t e n z r e i h e i s t , so s t e l l t d e r 00

X

lim 2 - oo v — 0