Natürlich-sprachliche Quantoren: Modelltheoretische Untersuchungen zu universellen semantischen Beschränkungen 3484302364, 9783484302365

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Linguistische Arbeiten

236

Herausgegeben von Hans Altmann, Herbert E. Brekle, Hans Jürgen Heringer, Christian Rohrer, Heinz Vater und Otmar Werner

Fritz Hamm

Natürlich-sprachliche Quantoren Modelltheoretische Untersuchungen zu universellen semantischen Beschränkungen

Max Niemeyer Verlag Tübingen 1989

Meinen Eltern

CIP-Titelaufnahme der Deutschen Bibliothek Hamm, Fritz : Natürlich-sprachliche Quantoren : modelltheoretische Untersuchungen zu universellen semantischen Beschränkungen / Fritz Hamm. - Tübingen : Niemeyer, 1989 (Linguistische Arbeiten ; 236) NE:GT ISBN 3-484-30236-4

ISSN 0344-6727

© Max Niemeyer Verlag, Tübingen 1989 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Printed in Germany. Druck: Weihert-Druck GmbH, Darmstadt

VORWORT

Die Theorie verallgemeinerter Quantoren scheint mir einer der wenigen Ansätze in der Semantik zu sein, die eine Erklärung bestimmter senantischer Phänomene ermöglichen. bestimmte eine Syntax

So werden etwa aus sehr abstrakten Eigenschaften von Quantoren

empirisch nicht triviale Ergebnisse abgeleitet. Die Methodik weist

gewisse

Ähnlichkeit

zum Vorgehen der Rektions-Bindungs-Theorie in der

auf; allerdings ist hier kein kognitiver Anspruch damit verbunden. Es

handelt sich um klassische Strukturuntersuchungen im Sinne von Montagues Programm. Modifikationen dieses Rahmens wie man sie vor allem in der Situationssemantik, det,

der Diskursrepräsentationstheorie und der Eigenschaftstheorie

fin-

wurden daher nicht berücksichtig. Vermutlich lassen sich die Ergebnisse

der Theorie verallgemeinerter Quantoren relativ problemlos in weniger klassische Ansätze übertragen (vgl. hierzu Cooper (1987)). Besonderen Arbeit

Dank

bestimmt

schulde ich Günther Grewendorf, ohne dessen Drängen diese nicht

geschrieben worden wäre. Ferner bedanke ich mich bei

Juang Goo Kang, Gereon Müller und Wolfgang Sternefeld für ihre Anregungen und ihre tragen

Kritik. Für ihre scharfsinnigen Korrekturen, die wesentlich dazu beigehaben, die Anzahl der Schnitzer in dieser Arbeit zu reduzieren, danke

ich Peter Staudacher und Arnim von Stechow. Es ist klar, daß ich für die verbliebenen Fehler allein verantwortlich bin.

Frankfurt, 1989

Fritz Hamm

VII

INHALT

0. Einleitung

l

1. Die Theorie verallgemeinerter Quantoren: Konservativität

4

1.1 Einstellige natürlich-sprachliche Quantoren

4

1.1.1 Lernbarkeit von Quantorendenotationen

10

1.1.2 Empirische Adäquatheit der Konservativitätsbedingung

15

1.2 Mehrstellige natürlich-sprachliche Quantoren

21

2. Spezielle Eigenschaften von Quantoren

33

2.1 Weitere Beschränkungen für Quantoreninterpretationen

33

2.2 Der Zahlenbaum

37

2.3 Relationale Eigenschaften von Quantoren

42

2 . 4 Monotonie und Negation

55

2.5 Starke Quantoren

67

2.5.1 "there are"-Sätze 2.5.2 Eine Diskurssemantik für "there are"-Sätze

67 73

2.6 Definierbarkeit I.Stufe

78

3. Reduzierbarkeit

92

3.1 Bach-Peters Sätze

92

3.2 Lindström-Quantoren

99

3.3 Reduzierbare versus nicht-reduzierbare Quantoren

104

4. Skopusaebiguität

120

Literatur

129

0. EINLEITUNG

Seit

Richard Montagues

"The Proper Treatment of Quantification in Ordinary

English" (Montague ( 1 9 7 4 ) ) spielen quantifizierende Ausdrücke in der Semantik eine in

zentrale der

Rolle. Der überwiegende Teil der Literatur allerdings, sowohl

modelltheoretisch

Rektions-Bindungstheorie, sich

orientierten Semantik, als auch in jenem Teil der der als logical form bezeichnet wird, beschäftigte

nahezu ausschließlich mit der syntaktischen und semantischen Behandlung

von Skopusambiguitäten der klassischen logischen Quantoren 3 und V. In

den späten siebziger Jahren, besonders aber mit J. Barwise" und R. Coo-

pers

Aufsatz

(1981))

erwachte

denjenigen, stehen

das

die

hier

Ausdrücken chung,

"Generalized Quantifiers and Natural Language" (Barwise/Cooper mit

Interesse an anderen quantifizierenden Ausdrücken als Hilfe der traditionellen Quantoren gebildet werden. Es

allerdings wie

sondern

die

nicht mehr Skopusambiguitäten von quantifizierenden

meisten, viele, wenige usw. im Mittelpunkt der Untersu-

der Versuch, denjenigen Bereich genauer zu charakterisieren,

in dem die semantischen Werte dieser Quantoren liegen. Die grundlegende Idee läßt sich leicht am Beispiel von Montagues Semantik für

Quantoren darstellen. Will man alle und einige nicht synkategorematisch

einführen

wie

in

PTQ, sondern sie als lexikalische Ausdrücke behandeln, so

steht man vor der Aufgabe, entsprechende semantische Werte für sie zu finden. Diese lassen sich mit Hilfe des typisierten Lambdakalküls leicht angeben; alle wird

übersetzt

sind

daher:

als

[ ( ) -» Q ( x ) ] , wobei P und Q Variable des Typs

(analog

für einige). Der Typ des vollständigen Ausdrucks lautet

« e , t > , « e , t > , t » . Das heißt der Quantorenausdruck alle erhält seinen

Wert im Bereich De N Dg = D N P ,

wobei

DCN der

(common

nouns)

semantische und

Bereich

(Denotationsbereich) für Gattungsnamen

DNP der entsprechende Bereich für Nominalphrasen (Terme

bei Montague) ist. Der semantische Wert von alle ist somit eine Funktion, die die

Denotation eines Gattungsnamens auf die Denotation der entsprechenden NP

abbildet; d . h . ein Quantor Q ist eine Funktion mit Definitionsbereich P ( A ) (= DCN) Man

und Wertebereich P P ( A ) (= D N P ) , wobei A die Grundmenge des Modells ist. beachte,

Montagues Analyse

daß

hier

der

System übergangen die

Einfachheit halber der intensionale Aufbau von wird.

Syntaktisch ist mit dieser semantischen

folgende Phrasenstrukturregel

vereinbar: NP —> Q N, wobei hier

unter Q alles zu verstehen ist, das mit einem N kombiniert eine NP ergibt. Die

einfachste

lich-sprachliche den,

Hypothese, daß ganz DQ der semantischen Bereich für natürQuantoren

ist, kann nur dann als berechtigt angesehen wer-

wenn sich nachweisen ließe, daß jedes Element von Dq möglicher Wert ei-

nes natürlich-sprachlichen quantifizierenden Ausdrucks ist. Die folgende einfache Rechnung läßt dies recht unwahrscheinlich erscheinen. Angenommen A enthält nur zwei Elemente: |P(A)|

22 |PP(A)| = ( 2 4 ) 4 = 216 = 65536.

|DQ| = | P P ( A ) | =

2 ·2

2

Generell gilt f ü r | A | = n : |DQ| = | P P ( A ) | = Es

2

4

=2.

scheint intuitiv unplausibel, daß man bei einem Universum von zwei Ele-

menten

mit

65536

tätsargument sind,

die

men.

Quantoren rechnen muß. Obwohl dies ein reines Plausibili-

ist, wird von der Voraussetzung ausgegangen, daß in D« Elemente nicht als Werte für natürlich-sprachliche Ausdrücke in Frage kom-

Die Aufgabe besteht somit darin, diejenige Teilmenge von DQ zu finden -

sie

wird

mit

sprachlichen Menge

bezeichnet -, die die semantischen Werte der natürlich-

Quantoren enthält und sonst nichts. Es ist nicht möglich, diese

einfach

sucht,

DDET

seinen

aufzuzählen,

indem

man für jeden vorgefundenen Quantor ver-

Wert so adäquat wie möglich zu beschreiben. Etwas vereinfacht

formuliert bleiben zwei Möglichkeiten: (i) Man wählt eine bestimmte endliche Menge von Quantoren De als Ausgangspunkt, toren

sowie neue

eine

Menge von Operationen 0, die es erlauben, aus Quan-

Quantoren zu bilden, und konstruiert den Abschluß De' von De

unter 0. De' sollte dann eine echte Teilmenge von DQ sein. (ii)

DQ wird

durch

eine

Klasse von universellen Prinzipien P ein ge-

schränkt. Universell in dem Sinne, daß jeder mögliche natürlich-sprachliche

Quantor einem solchen Prinzip genügen soll. Nicht die Bedeutung ein-

zelner die

lexikalischer

Menge

zeigen

der

Einheiten

soll dadurch beschränkt werden, sondern

möglichen Denotationen einer syntaktischen Kategorie. Zu

ist dann, daß diejenige Teilmenge Dp von Dq, die sich durch diese

Prinzipien aussondern läßt, eine echte Teilmenge von DQ ist. Diese beiden Möglichkeiten

schließen

sich

natürlich nicht aus. Bei einer bestimmten

Wahl von De, 0 und P könnten De' und Dp gleich sein. Durch Überlegungen dieser Art hat sich vor allem eine Eigenschaft extensio-

naler

Quantoren

als zentral erwiesen, die sogenannte Konservativitätseigen-

schaft. Im ersten Kapitel steht diese Eigenschaft im Mittelpunkt der Untersuchung. In Kapitel 2 werden weitere Eigenschaften von Quantoren eingeführt und ihre

Effekte geschildert. Diese beiden Kapitel sind in erster Linie der Dar-

stellung anders

der

Theorie verallgemeinerter

erwähnt

(1986),

staamen

Keenan/Moss

1985a,

die

(1985),

Quantoren

gewidmet.

Sofern nicht

Resultate in diesen Kapiteln aus: Keenan/Stavi van

Benthem

(1984, 1986), Westerstahl (1984,

1986a). Zweifellos ist mit diesen Arbeiten nicht das gesamte Spektrum

der Theorie erfaßt, aber die wichtigsten systematischen Einsichten findet man in

ihnen.

schätzt

Es mag sein, daß der Beitrag von Zwarts hier nicht korrekt einge-

wird.

Leider

ist mir die Arbeit Zwarts (1986) nur auszugsweise be-

kannt . In

Kapitel

Iteration gumente

3 werden Quantoren untersucht, deren Bedeutung nicht durch die

von einfacheren Quantoren erfaßt werden kann. Es werden einige Ardafür

angegeben, daß natürliche Sprachen von genuin nichtfregescher

Quantifikation

Gebrauch machen. Unter der Voraussetzung der Korrektheit die-

ser

ergeben sich Schwierigkeiten mit einer (restriktiven) Version

Argumente

des Kompositionalitätsprinzips. Das

letzte

spektive

Kapitel

ist einem traditionellen Thema unter einer neuen Per-

gewidmet. Es wird gezeigt, daß es bestimmte Eigenschaften von Quan-

toren gibt, die deren Skopusverhalten determinieren. Die These der Arbeit lautet nicht, daß alle NPs im Sinne von Barwise/Cooper semantisch als verallgemeinerte Quantoren zu analysieren sind. Löbner (1987b) hat

gegen diese Auffassung eine Reihe von plausiblen Argumenten vorgebracht.

Allerdings sant

ist die Klasse der NPs, die so analysiert werden können, interes-

und reich genug, um ihre interne semantische Struktur eingehend zu un-

tersuchen. Man beachte ferner, daß von einer Ausnahme in Kap.3 abgesehen kollektive und generische Interpretationen von NPs nicht berücksichtigt werden. In Sinne auch

dieser

Arbeit wird der Ausdruck verallgemeinerter Quantor nicht nur im

von Barwise/Cooper

für

bestimmte NP-Denotationen verwendet, sondern

für die Bedeutungen beliebiger quantifizierender Ausdrücke. Diese Unge-

nauigkeit sollte keine Verwirrung stiften, da aus dem Kontext klar werden sollte, worum es sich jeweils handelt.

1. DIE THEORIE VERALLGEMEINERTER QUANTOREN: KONSERVATIVITAT

1.1 Einstellige natürlich-sprachliche Quantoren

Zuerst wird eine grobe Einteilung der natürlich-sprachlichen (extensionalen) Quantoren (Determinatoren (kurz: Dets)) vorgestellt, die keinerlei theoretischen Anspruch hat, sondern nur einen Hinweis auf den vorläufigen Gegenstandsbereich der Arbeit geben soll. Das "vorläufig" bezieht sich darauf, daß in dieser Einteilung so wichtige Quantoren wie viele und wenige fehlen. Die Liste stammt weitgehend aus Keenan/Stavi (1986). Zur

Notation:

Sprachliche

Ausdrücke werden kursiv notiert, mit alle wird

also der entsprechende QuantorenausdrucA bezeichnet; mit alle dagegen der semantische Wert von alle. Generell bezeichnet Ausdruck den semantische Wert des betreffenden sprachlichen Ausdrucks. (1.1)

Einfache Dets:

alle, jeder, einige, kein, zwei, drei, die meisten, ein paar, der, ... (1.2)

Komplexe Dets:

(a) Adverb + viele; unendlich viele, überabzählbar viele, endlich viele, ... (b) Komparative Dets; mehr als fünf, wenigstens hundert, höchstens hundert, mehr bayrische als schwäbische, ... (c) die (d) der (e)

die + Det; fünf, ... Det + AP; grüne, die fünf dümmsten, einige wenige liberale, ... Partitive Dets;

zwei von fünf, keiner von den f ü n f , ... (f) Proportionale Dets: fünf Prozent von den hundert, zwei fünftel die Hälfte der, ... (g) Approximative Dets: ungefähr zehn, annähernd zehn, ... (h) Beschränkende Dets: genau fünf, zwischen fünf und zehn, weniger als zehn, aber, mehr als f ü n f ,

...

von den zwanzig,

(i) Ausschließende Pets: alle außer zwei, jeder außer Peter, nur die, ... ( j ) Possessive Dets: Peters, Uwes fünf,

...

( k ) Boolesche Kombinationen von Dets: Diese

Klasse

beinhaltet

alle

Kombinationen von Dets Bit und, oder

bzw. nicht. Beispiele sind: nicht jeder, einige, aber nicht alle, weder

der schönste noch der dümaste, einge liberale und alle konserva-

tiven, .. . Es

wird

lige

in diesem Abschnitt vorausgesetzt, daß jeder Quantor als einstel-

Funktion

zu interpretieren ist.

Der allgemeine Fall folgt dann in 1.2.

Gegeben sei ein Modell M = , wobei A die Grundmenge und 3 die entsprechende Interpretationsfunktion bezeichnet. Ferner seien a, b, x, y Teilmengen von A. Ein P(P(A)). Im

Quantor

folgenden

aus

ist,

werden

wie bereits ausgeführt, eine Funktion von P(A) in

(an Beispielen) die semantischen Werte der Quantoren

den angegebenen Quantorenklassen beschrieben. Diese Beschreibungen sind

vorläufig völlig ad hoc. Definition 1.1:

(a) alle(a) = jeder(a) = {x; a

},

(b) einige(a) = ein(a) = {x; |x n a| > 1). Die NP alle Studenten wird demnach wie folgt interpretiert: alle(Studenten) = {x; Studenten }. Der Satz Alle Studenten sind fleißig ist also wahr gdw. fleißig ein Element der NP-Denotation ist,

d.h. wenn gilt: Studenten £

fleißig. Ganz analog berechnet man den Wert von Einige Studenten sind fleißig. Die Definition für ein läßt sich leicht verallgemeinern, um semantische Werte für zwei, drei usw. zu erhalten. Definition 1.2: Sei n eine natürliche Zahl. n ( a ) = { ; | Man

beachte,

daß

diese

Definition

a| > n}.

erlaubt, aus dem Satz Fünf Studenten

trinken Bier auf den Satz Zwei Studenten trinken Bier zu schließen. Definition 1.3; (a) kein(a) = {x; |x n a| = 0}. (b) die meisten(a) = {x; |x n a| > |x \ a|}, dabei bezeichnet x \ a die Differenzmenge von x und a.

(c) der(a) = f{x; a C x}, falls |a| = 1 I 0, sonst Es wäre eigentlich nicht nötig in Definition 1.3 ( a ) , den Quantor kein so zu definieren, da er sich durch eine Mengenoperation aus ein ableiten läßt: kein(a) = Komplement von ein(a) = Komplement von {x; |x n a| > 1} = {x; |x n a| < 1} = {x; |x n a| = 0}. Definition 1.3 (b) liefert sicherlich nur eine Lesart von die meisten. Man kann die meisten auch als mehr als 90% deuten. Die Definition hierfür ist aber nur eine unwesentliche Modifikation von Definition 1.3 ( b ) : die eeisten2(a) = {x; |x n a| > 90%|a|}. Definition 1.3 (c) ist die übliche Russellsche Definition des definiten Artikels. Sie besagt, daß der Satz Der Student schreibt einen Aufsatz genau dann wahr ist, wenn es genau einen Studenten gibt und dieser ein Element der Menge der einen Aufsatz schreibenden Individuen ist; ansonsten ist er falsch. In Definition 1.3 (c) erreicht man dieses Resultat, indem man für |a| i l die ganze Quantorendenotation gleich der leeren Menge setzt, die natürlich nie irgendeine Teilmenge von A als Element enthalten kann. In der nächsten Definition sind Denotationen für komplexe Dets zusammengefaßt. Definition 1.4: (a) unendlich viele(a) = {x; |x n a| > Ho}, wobei fio die kleinste transfinite Kardinalzahl bezeichnet. (b) mehr als fünf(a) = ( ; | a| > 5} (c) die fünf(a) =({x; a E x}, falls |a| = 5 l 0, sonst (d) der grüne(a) =({x; (a n grün) c x}, falls |a n grün) = l ( 0, sonst Im extensionalen Fall wird Adj+N schlicht als der Schnitt von Adj und N interpretiert. (e) zwei von den fünf(a) =f{x; |x n a| > 2}, falls |a| = 5 ( 0, sonst (f) die Hälfte der(a) = {x; |x n a| > $|a|}. (g) ungefähr zehn(a) = {x; (x n a| = 10 ± k%|a|}. (h) genau fünf(a) = { ; | a| = 5}. (i) alle außer zwei(a) = {x; |x n a| = m}, mit m = |a| - 2. (j) Peters(a) = {x; {z € a; Peter besitzt z} £ x}. In Definition 1.4 (j) wird angenommen, daß besitzen als nicht-logische Kon-

stante interpretiert wird. Auch

in Definition 1.4 gibt es einige Beispiele, die nicht explizit hätten

definiert werden müssen, da sie durch Mengenoperationen aus den Definitionen anderer Quantoren ableitbar sind, z.B. genau fünf(a) = fünf(a) n Komplement von

sechs(a)

Andere

= {x; |x n a| > 5} n { ; |

Beispiele

für

a| < 6} = { ; |

a| = 5}.

Boolesche Kombinationen von Dets sind etwa: nicht je-

der(a) = Komplement von jeder(a) = Komplement von {x; a C x} = {x; a £ x} = {x; a n Cx * 0}, wobei Cx das (Mengen-) Komplement von x bezeichnet. Oder: einige

aber

nicht alle(a) = einige(a) n nicht alle(a) = {x;|x n a| > 1} n

{x; a n Cx * 0} = {x; |x n a| > l und |a n Cx| > 1}.

Mit für

diesen

Definitionen

Quantorenausdrücke

setzen,

ohne

werden mehr oder minder ad hoc semantische Werte

angegeben. Dieses Verfahren läßt sich beliebig fort-

dabei allerdings theoretisch interessante Ergebnisse zu produ-

zieren. Es käme nicht mehr heraus als eine unverbindliche Beispielsammlung. Unter darin

der

Voraussetzung,

besteht,

möglichst

daß das Ziel wissenschaftlicher Untersuchungen erklärungskräftige Theorien zu erarbeiten, stellt

sich die Frage, ob sich dieses Chaos nicht systematisieren läßt. Die Idee einer

solchen Systematisierung wurde bereits angedeutet. Man wählt eine einfa-

che, überschaubare Klasse von Quantoren, die Klasse der Generatoren G, und bildet dann den Abschluß von G unter den Booleschen Operationen , U und Komplement. Die auf diese Weise erzeugte Klasse sollte alle natürlich-sprachlichen

Quantoren enthalten und nur diese. Betrachtet man die Situation intu-

itiv, so sollte G diejenigen Quantoren enthalten, die sich nicht durch Boolesche Operationen konstruieren lassen; also etwa alle, einige, aber auch einige grüne, der, Peters. Bereits an diesen Beispielen sieht man, daß G recht heterogen sein wird. Man muß daher versuchen, abstrakte Eigenschaften zu formulieren, die möglichst allen Elementen aus G gemeinsam sind. Definition 1.5: (a) Ein Quantor Q heißt (monoton) wachsend, wenn gilt: falls x C y und (b)

Q ( a ) , dann y

Q(a).

Ein Quantor Q heißt (monoton) fallend, wenn gilt: falls y C x

und x € Q ( a ) , dann y

Q(a).

(c) Ein Quantor Q heißt konservativ, falls gilt: x 6 Q ( y ) gdw. x n y Q ( y ) .

(Für

weitere Differenzierungen von Definition 1.5 ( a ) , (b) vgl. Kap. 2 . 4 )

Konservativitat Funktion

liegen

besagt,

daß nur

determinieren,

Individuen,

die in der Argumentmenge der

ob x ein Element der NP-Denotation ist oder

nicht. Die Definitionen 1.5(a) und 1.5(c) implizieren einander nicht, d.h. es gibt

Quantoren, die nicht wachsend, aber konservativ sind, und es gibt Funk-

tionen in DQ, die wachsend, aber nicht konservativ sind. Z.B. ist kein konservativ, denn n y e kein(y) gdw. |(x n y) n y| = 0 gdw. |x n y| = 0 gdw. kein(y), aber kein ist nicht wachsend, denn 0 € kein(y) für alle y, und 0 C A. Jedoch für y * 0 gilt: A i kein(y). Definition 1.6; G = {Q e DQ; Q ist wachsend und konservativ}. Es ist leicht nachzuweisen, daß alle Quantoren, die bisher erwähnt und nicht durch Boolesche Operationen gebildet wurden, sowohl wachsend, als auch konservativ sind. Wie bereits erwähnt kann kein durch die Boolsche Operation Komplemeatbi Idling aus ein gebildet werden. Um den Booleschen Abschluß von G zu bilden, ist es nötig, zuerst die entsprechenden Operationen näher zu betrachten. Angenommen DE ist eine Menge von Quantoren. ODE bezeichnet den Schnitt aller Elemente aus DE und UDE bezeichnet die Vereinigung aller Elemente aus DE. Sei nun Q e DE, dann bezeichnet ~eincb diejenige Funktion, die eine Menge a auf die Menge {x;

(Cb n a) n

= 0} abbildet. Es ist

leicht nachzuweisen, daß es sich

bei der rechten Seite der Gleichung um eine Boolesche Kombination von Generatoren

handelt. Die Gleichheit nachzuweisen ist allerdings nicht

tri-

vial. Dieses nur,

Resultat

sollte allerdings auch nicht überschätzt werden. Es zeigt

daß die konservativen Quantoren bezüglich eines bestimmten Modells durch

BooIsche

Kombinationen von Generatoren erfaßt werden können; d.h. das Resul-

tat ist nicht unabhängig vom Universum. Wäre es dies, so würde daraus folgen, daß

die

Denotationen von mehr als die Hälfte oder die meisten erster Stufe

definierbar sind. Daß dies nicht der Fall ist, wird in Abschnitt 2.6 gezeigt. Korollar 1.2.1; Für alle Q 6 DDET gilt: (a) Q ist wachsend gdw. Q e G. (b) Q ist

fallend gdw. es Q' e G gibt mit Q = ->Q'.

(c) Q ist weder wachsend noch fallend gdw. Q weder Element aus G noch Komplement eines Elementes aus G ist.

10

Es

wäre

nun

noch nachzuweisen, daß DDET eine echte Teilmenge von Dq

ist.

Dies war ja das ursprüngliche Ziel. Bewiesen wurde dies in Keenan/Stavi (1986). Ein besonders einfacher Beweis stammt von van Benthem (vgl. Thijsse (1985)).

1.1.1 Lernbarkeit von Quantorendenotationen Satz

1.2

kann dazu verwendet werden, die Menge der Generatoren drastisch zu

verkleinern. Interessant ist dies unter dem Gesichtspunkt der Lernbarkeit von Quantorendenotation.

Gibt man sich mit der bisherigen Beschreibung zufrieden

(und

hält

sie für psychologisch relevant), so müßte ein Kind sämtliche Ele-

mente

aus

G lernen, ehe es Regeln, die den Booleschen Operationen entspre-

chen, anwenden und damit systematisch neue Quantoren bilden könnte. Da G nach wie

vor

sehr groß ist,

scheint dies wenig plausibel zu sein. Z . B . würde man

nicht implizit fordern, daß ein Kind für jedes Adjektiv die Kombination einige plus Adj. neu lernt. Es ist daher interessant, sich nach Möglichkeiten umzusehen,

die es gestatten, G zu verkleinern. Satz 1.2 und sein Beweis bieten

eine solche Möglichkeit. Definition

1.8: Eine Funktion R von P ( A ) in P ( A ) heißt restriktiv, falls

gilt: R ( m ) E m für alle m e P ( A ) . Extensionale junge

Adjektive

werden durch restriktive Funktionen interpretiert:

Enten = jung(Enten) = jung n Enten C jung. Falls Q ein Quantor

ist

und

R die Interpretation eines Adjektivs, dann ist QR jenes Element aus DQ,

für

das gilt: für alle m e P ( A ) , Q R ( m ) = Q ( R ( m ) ) ; z.B. ein grüner = ein grü-

ner(a) = e i n ( g ( a ) ) = {x; |g(a) n x| > 1}. Definition 1.9; Sei DE eine Klasse von Quantoren. DE heißt unter Restriktion

abgeschlossen, wenn gilt: falls Q e DE und R eine restriktive Funk-

tion ist,

dann ist QR € DE.

Lemma 1.1; DDET ist unter Restriktion abgeschlossen. Beweis; Wegen Satz 2 ist nur zu zeigen, daß falls Q konservativ ist, QR

konservativ

ist.

auch

Sei also nun Q € DDET und R eine restriktive Funk-

tion,

b e Q R ( a ) gdw. b 6 Q ( R ( a ) ) gdw. b n R ( a ) € Q ( R ( a ) ) , da Q konser-

vativ

ist.

(b n a)

n

Da R ( a ) C a (R ist restriktiv), gilt: b n R ( a ) 6 Q ( R ( a ) ) gdw. R ( a ) e Q ( R ( a ) ) gdw. b n a € Q ( R ( a ) ) , da Q konservativ

ist.

11

Also: bna € QR(a) gdw. b € Q R ( a ) . Definition

1.10:

Jede

Funktion S von P ( A ) in De heißt scrambling-Funk-

tion. Sei

Q

D« und S eine scrambling-Funktion, dann ist

QS dasjenige Element

aus DQ mit der Eigenschaft: QS(a) = ( S ( a ) ) ( a ) für alle a e P ( A ) . Zum Beispiel wurde der definite Artikel durch folgende scrambling-Funktion definiert: alle(a), falls |a| = l derS(a) = ( S ( a ) ) ( a ) = j S(a) = 0, sonst. An

diesem Beispiel sieht man, daß die scrambling-Funktion nur eine Technik

ist,

die

es

scheidungen

erlaubt,

Quantoren in sehr allgemeiner Weise durch Fallunter-

zu definieren.

Weitere Beispiele sind: die zehn, beide, keiner

von den zweien. Definition Funktion.

1.11:

Sei DE eine Klasse von Quantoren und S eine scrambling-

DE ist abgeschlossen unter scrambling, wenn gilt: falls S(a)

DE für alle a

P ( A ) , dann QS

DE.

Lemma 1.2: DDET ist unter scrambling abgeschlossen. Beweis: Klar. Definition 1.12: RG = die Menge aller scrambling- und Restriktionsvarianten von alle. Es ist nun nicht schwierig, Satz 3 zu beweisen. Satz 1.3: DDET = die kleinste Menge DE C D« mit: (a) RG £ DE, und (b) DE ist abgeschlossen unter Beweisidee Q

als

, U und Komplement.

(von Satz 1.3): Zu zeigen ist,

Boolesche

Kombination

daß jede konservative Funktion

von Elementen aus RG darstellbar ist. Man

weiß jedoch bereits aus dem Beweis von Satz 1.2, daß

12

Q =

allezt

U z e P(A)

ist

U b C z b € Q(z)

(alle^b n ->einct>).

bereits eine scrambling- bzw. Restriktionsvariante von alle.

Zu zeigen ist also nur, daß --eincb eine solche Variante ist. Dies ist jedoch einfach. Geht man nun noch einen Schritt weiter und nimmt scrambling und Restriktion zu den Abschlußoperationen hinzu, so folgt aus Satz 1.3, daß DDET durch einen einzigen Quantor zu generieren Korollar

1.3.1;

DDET

ist.

ist

die kleinste Menge DE C DQ, mit der Eigen-

schaft: (a) alle € DE und (b)

DE ist

unter scrambling, Restriktion und n, U sowie Komplement

abgeschlossen. Dieses Ergebnis kann nochmals verschärft werden, da man nur sehr beschränkte Formen von scrambling und Restriktionen benötigt. Aus

Korollar

sowie nur

1.3.1 folgt, daß, falls die Operationen

(beschränkte

Versionen

, U, Komplement,

von) Restriktion und scrambling bekannt sind,

die Denotation von alle gelernt werden muß, um über die Interpretationen

aller extensionaler Quantorenausdrücke zu verfügen. Der

Rest dieses Abschnitts ist einer Spekulation über den Unterschied zwi-

schen

syntaktischem

Deutschen

weiß,

hat Wolfgang Ein

daß

versus

semantischen

Wissen gewidmet. Ein Sprecher des

es etwa zwischen den Sätzen Ein Buch über Noam Chomsky

gekauft und Wolfgang

hat ein Buch über Noam Chomsky gekauft

oder

Buch über Noam Chomsky wurde von Wolfgang gekauft bestimmte syntaktische

Zusammenhänge

gibt.

Die

Tatsache,

daß diese Zusammenhänge existieren, muß

nicht erklärt werden. Im Gegensatz dazu scheint die Existenz semantischer Zusammenhänge lich

zu

für Sprecher einer bestimmten Sprache keinesfalls so offensicht-

sein.

So bemerkt beispielsweise Pafel (1988), daß bei Umfragen die

folgenden Sätze eine und nur eine Lesart haben. (1.3)

(a) Jeder Mann liebt eine Frau,

(b) Immer ist einer in der Kantine. Diese Also

Sätze

etwa

werden immer mit weitem Skopus für den Aliquanter verstanden.

(1.3)(b)

in

dem Sinne, daß zu jedem Zeitpunkt irgendeine Person

13

sich

in der Kantine befindet und nicht in dem Sinne, daß sich eine bestimmte

Person daß

zu jedem Zeitpunkt in der Kantine aufhält. Das heißt natürlich nicht,

man diese Mehrdeutigkeiten nicht erklären könnte, aber sie sind nicht so

unmittelbar

klar

mantischer

wie verschiedene syntaktische Tatsachen. Die Erklärung se-

Zusammenhänge ist in erster Linie eine kombinatorische Angelegen-

heit

und in dieser Hinsicht der Erklärung mathematischer Beweise vergleich-

bar.

Dies fällt bei den angeführten einfachen Beispielen kaum auf, läßt sich

aber

leicht

an

einer

deutschen Version eines Beispiels aus Keenan (1987b)

plausibel machen. ( 1 . 4 ) Günther und Wolfgang erzählten zwei Studenten dieselbe Geschichte. Auch

wenn

sarten

vernachlässigt,

cherweise zwei

man alle kontextuell bedingten Lesarten und alle kolektiven Leist Satz ( 1 . 4 ) in vierfacher Weise mehrdeutig. Übli-

wird man erwarten, daß ( 1 . 4 ) ambig ist,

Studenten

weiten

je nachdem ob der Ausdruck

oder engen Skopus über Günther und Wolfgang hat. Man

betrachte vorerst die Lesart mit weitem Skopus für zwei Studenten. (1.41)

Es

gab

zwei

Studenten, denen Günther und Wolfgang dieselbe Ge-

schichte erzählten. (1.4*) gab,

ist

für

ambig. Er kann zum einen bedeuten, daß es zwei Studenten S, S*

die gilt, daß Günther und Wolfgang dieselbe Geschichte S erzählten

und, daß Günther und Wolfgang dieselbe Geschichte S' erzählten. Daraus folgt nicht, daß S und S' dieselbe Geschichte hörten. Sicherlich hat aber ( 1 . 4 ' ) auch

diese Lesart, die sich grob umschreiben läßt durch: Es gab zwei Studen-

ten

für die gilt, daß die Geschichte, die Günther und Wolfgang den einen er-

zählten,

dieselbe

zählten.

Ähnlich

Geschichte

ist,

die Günther und Wolfgang dem anderen er-

kann man die beiden Lesarten umschreiben, wenn Günther und

Holf'gang weiten Skopus über zwei Studenten haben. Diese zusätzlichen Lesarten hängen Günther

mit

der Semantik von dieselbe zusammen, da zum Beispiel ein Satz wie

und Wolfgang

erzählten zwei Studenten eine Geschichte diese speziel-

len Ambiguitäten nicht aufweist. Es dürfte nicht übermäßig viele Sprecher des Deutschen geben, denen die geschilderten Ambiguitäten und die damit verbundenen

semantischen

zwischen

Zusammenhänge unmittelbar klar sind. Auch der Zusammenhang

den folgenden Satzpaaren wird meistens erst nach einigem Nachdenken

klar, obwohl hier nur Boolsche Operationen involviert sind. ( 1 . 5 ) (a) Jeder Student las weniger als sechs Bücher während der Ferien. ( a 1 ) Kein Student las sechs oder mehr Bücher während der Ferien.

14

(b) Jeder Student außer Fritz las ebenso viele Bücher wie Hans. ( b 1 ) Kein Student außer Fritz las weniger Bücher als Hans. (c) Nicht jeder Student besitzt wenigstens soviele Bücher wie Aufsätze, ( c ' ) Ein Student besitzt mehr Aufsätze als Bücher. Keenans nicht

schwaches

trivialen

transitives

Negationsgesetz (vgl. Kap. 2 . 4 ) erfaßt den

Zusammenhang zwischen diesen Satzpaaren systematisch. Durch

diese Beispiele wird die Bedeutung von Korollar 1.3.1 für Fragen der Lernbarkeit

etwas zweifelhaft. Denn ein kompetenter Sprecher einer bestimmten Spra-

che

scheint

die

Boolschen

scrambling)

nicht

Prinzipien,

die

in

Operationen (ähnliches gilt für Restriktion und

einem

bestimmte

Sinne zu kennen, wie er abstrakte syntaktische seiner

grammatischen Fähigkeiten determinieren,

kennen mag. Dies

läßt

auch Zweifel an dem häufig postulierten engen Zusammenhang zwi-

schen Syntax und Semantik aufkommen. Die folgenden Beispiele sind syntaktisch ausgesprochen einfach, semantisch dagegen recht komplex ( v g l . Kap. 3.3). ( 1 . 6 ) (a) Jeder Student liest ein anderes Buch, (b) Jeder Student liest dasselbe Buch. Wie

Beispiel

( 1 . 4 ) zeigt, können mit Ausdrücken wie in ( 1 . 6 ) äußerst kom-

plexe Skopusphänomene auftreten, ohne daß man dafür argumentieren könnte, den vier

desambiguierten semantischen Strukturen, aus unabhängigen syntaktischen

Gründen vier verschiedene syntaktische Strukturen zuzuordnen. Ein besonders seltsames Beispiel für syntaktische Fähigkeit und semantische Fähigkeit

b z w . Unfähigkeit

Fall

kriegsverletzten

des

findet man in Manin (1977). Manin schildert den Patienten Zasetzky, den Professor Luria 26 Jahre

betreute. Über die erste Sitzung mit Zasetzky schreibt Luria (1972): "Zasetsky zing

lost

meaning:

the ability to interpret the syntactic devices for organi-

'"In

the

school where Dunya studied a woman worker from the

factory

came

to give a report. 1 What did this mean to him? Who gave the re-

port

Dunya

or the factory worker? And where was Dunya studying? Who came

-

from the factory? Where did she speak?"" Zasetzky

selbst bemerkt, daß er Schwierigkeiten mit der Interpretation von

Sätzen wie Ist ein Elephant größer als eine Fliege? bzw. Ist eine Fliege größer phant

als

ein Elephant? hat. Er weiß zwar, daß eine Fliege klein und ein Ele-

groß

ist,

kann aber den Komparativ kleiner bzw. größer nicht deuten.

Zasetzky stellt während seiner Behandlung fest:

15

"Sometimes elephant

I'll

try to make sense out of those simple questions about the

and the

f l y , decide which is right or wrong. I know that when you

rearrange didn't But

the words, the meaning changes. At first I didn't think it did, it

see«

after

words

to make any difference whether or not you rearranged the words. I

thought

(elephant,

different

order.

about it a while I noticed that the sense of the four

fly,

smaller, larger) did change when the words were in a

But

my brain, my memory, can't figure out right away what

the

word smaller (or larger) refers to. So I always have to think about them

for

a

than

while

... . So sometimes ridiculous expressions like a fly is bigger

an elephant seem right to me, and I have to think about it a while Ion-

ger." Erstaunlich simple

an diesem

semantische

syntaktischer

Bericht

ist nicht so sehr, daß Zasetzky eine ganz

Fähigkeit fehlt, während offensichtlich keinerlei Defekt

Fähigkeiten zu beobachten

ist, sondern, daß er über äußerst

komplexe semantische Fähigkeiten verfügt, obwohl ihm vergleichsweise einfache fehlen.

Zasetzky kann seine eigene Unfähigkeit sehr genau analysieren, denkt

über den Zusammenhang von Syntax und Semantik nach und ist hungen

in der Lage Bezie-

zwischen verschiedenen Bedeutungen zu erkennen. Dies widerspricht der

Erwartung,

daß

man über komplexe Fähigkeiten nur auf der Basis einfacherer

verfügt, und es suggeriert, daß das Bild, das Korollar 1.3.1 von der Lernbarkeit

der

Quantorendenotationen gibt, möglicherweise inadäquat ist.

Denn da-

nach lernt man die Denotation eines einfachen Ausdrucks und leitet die Interpretation ab.

komplexer Ausdrücke durch rekursive Anwendung der fünf Operationen

Zasetzkys

Beispiel

läßt

Zweifel aufkommen, ob semantische Fähigkeiten

überhaupt auf Grund rekursiver Prozesse erworben werden. Natürlich Zasetzkys

handelt

es sich bei diesen Ausführungen um reine Spekulationen.

Defekte können sicher auch anders gedeutet werden. Andrerseits ist

aber

die gegebene Interpretation nicht als inkonsistent von der Hand zu wei-

sen.

Wie die richtige Deutung aussieht, dürfte auf Grund unserer bisherigen

Kenntnisse mentaler Prozesse kaum zu entscheiden sein.

1.1.2 Empirische Adäquatheit der Konservativ!tätsbedingung Inwiefern

ist

lichsprachliche

DDET eine adäquate Repräsentation der Denotationen für natürQuantorenbedeutungen? Es ist nicht schwer zu sehen, daß alle

angeführten

Beispiele

konservativ

sind? Betrachtet man nur als einen Quantor, so wäre er wie folgt

zu definieren:

in

DDET

liegen. Gibt es jedoch Quantoren, die nicht

16

Definition 1.13: nur(a) = { ;

C a}.

Lemma 1.3: nur ist nicht konservativ. Beweis:

b

6

Letzteres

nur(a)

ist

gdw. b C a. b n a e nur(a) gdw. b n a C a.

immer der Fall, dagegen gilt nicht immer b C a; nur ist

daher nicht konservativ. (1.7)

(a) Nur Deutsche sind verfressen. (b) Nur Deutsche sind verfressene Deutsche.

Beispiel

(b)

ist

eine Tautologie, nicht dagegen Beispiel ( a ) . Die Rolle,

die nur spielt, ist allerdings nicht so ganz klar. Z . B . kann nur zusammen mit einer vollen NP wieder eine NP bilden, wie in: (1.8)

(a) Nur Peter mag Inge. (b) Nur die Angestellten von Daimler dürfen streiken.

Semantisch also

wäre

überhaupt

nur

kein

in diesem Fall eine Funktion von P ( P ( A ) ) in P ( P ( A ) ) , Det.

Ferner kann nur dazu beitragen, komplexe Dets zu

bilden, wie in: (1.9) Dieser

Nur streikende Angestellte wurden entlassen. Satz

ist

auf dreifache Weise ambig. Man kann ihn einmal verstehen

als

Antwort auf die Frage Welche Angestellten wurden entlassen?, zum anderen

als

Antwort

auf

Welche

Streikenden wurden entlassen?t und zum dritten als

Antwort

auf

nommen,

daß nur als zweistelliger Quantor aufzufassen ist.

enthält

also Material aus Kapitel 1.2. Der Quantor nur ist nun eine Funktion

von

P(A)

Wer wurde entlassen?. Für die folgende Argumentation wird angeDieser Abschnitt

P ( A ) —> P ( A ) . Konservativität für zweistellige Quantoren besagt

(vgl. Definition 1.16 für den allgemeinen Fall): z 6 Q ( x , y ) gdw. z n ( Die

drei

Lesarten

y) 6 Q ( x , y ) .

von ( 1 . 9 ) können durch die Interpretationen nun, nur2

und nur3 von nur ad hoc wie folgt erfaßt werden. ( 1 . 9 ' ) (a) Entlassene e nun(Streikende, Angestellte) = {x; (Angestellte n x) C Streikende} gdw. (Angestellte n Entlassene) C Streikende.

17

(b) Entlassene € nura(Streikende, Angestellte) = { ; (Streikende ) £ Angestellte} gdw. Streikende n Entlassene C Angestellte. ( c ) Entlassene nura(Streikende, Angestellte) = ( ; C (Streikende n Angestellte)} gdw. Entlassene C (Streikende n Angestellte). Von diesen Lesarten sind (a) und (b) konservativ, nicht dagegen ( c ) , denn es ist nicht der Fall, daß Entlassene C (Streikende n Angestellte) genau dann, wenn (Entlassene n (Streikende u Angestellte)) C (Streikende n Angestellte). In

Beispiel

verschiedenen

(1.9')

analysiert man nur als zweistelligen Quantor mit drei

Lesarten. Eine andere Möglichkeit besteht darin, komplexe

ein-

stellige Dets zu benutzen.

( 1 . 9 ' ' ) (a) Entlassene nur streikende(Angestellte) gdw. (Angestellte n Entlassene) £ Streikende. (b) Entlassene 6 nur ... Angestellte(Streikende) gdw. Streikende n Entlassene C Angestellte. Man

beachte,

daß

delt,

da nur ...

eines

Adjektivs

auf

den

Schnitt

es sich bei (b) im strengen Sinne nicht u· ein Det han-

Angestellte hier eine Funktion ist,

die auf die Denotation

angewendet wird. Die dritte Lesart erhält man, wenn man nur von Streikende und Angestellte anwendet. Die ersten beiden

Fälle sind wieder konservativ, der dritte nicht. Auch

die

Beispiele in (1.10) zeigen, daß der Status von nur als Det alles

andere als klar ist. (1.10) (a) Nur zehn Angestellte wurden entlassen, (b) Nur Peters Angestellte wurden entlassen. Satz

(1.10) (a) hat zwei Lesarten. Eine als Antwort auf die Frage Wieviele

Angestellte

wurden entlassen?, und die andere als Antwort auf die Frage Wie-

viele wurden entlassen?. Die Ambiguität läßt sich wie in (1.10') beschreiben.

( 1 . 1 0 ' ) (a) Entlassene e nur zehn(Angestellte) gdw. Entlassene E genau eehn(Angestellte). ( a 1 ) Entlassene nur zehn(Angestellte) gdw. Entlassene genau zehn(Angestellte) und Entlassene C Angestellte. In (a) wäre nur recht passend konservativ, aber in ( a ' ) leider nicht. Darüberhinaus wäre es in diesem Zusammenhang nötig, eine allgemeine Analyse für Ausdrücke der Form Nur Det zu entwickeln. Wie man an Beispiel (a) sieht,

18

ist

im Falle Det = n 6 N (N = die Menge der natürlichen Zahlen) die Ange-

legenheit relativ einfach. Dagegen sind Beispiele der Art ( a * ) komplexer. Des weiteren wäre zu klären, warum bei Nur Det wenige, annähernd zwanzig, zwischen fünf alle, tung

die

und zehn zugelassen sind, andere wie

meisten, alle außer drei dagegen nicht. Dies soll nur eine Andeu-

der

Komplexität sein, die eine adäquate, theoretisch interessante, se-

mantische Analyse des Partikels nur zu bewältigen Noch

bestimmte Dets wie zehn,

komplizierter

Keenan/Stavi

(1986)

sind

hat.

die Quantoren viele und wenige zu behandeln. Bei

werden sie

als intensionale Quantoren betrachtet, und

zwar auf Grund folgender Beispiele: (1.11) (a) For a September weekend many doctors are working. (b)

For

a

September weekend many doctors who assist football teams

are working. Selbst wie

wenn zum "gegenwärtigen Zeitpunkt" die Menge der Ärzte dieselbe ist

die

Menge der Ärzte, die Footballteams betreuen können (a) und (b) ver-

schiedene schaften allen von

Wahrheitswerte

haben,

viele

werden.

man die beiden Mengen und deren Eigen-

nicht nur zu einem bestimmten Zeitpunkt vergleichen muß, sondern an

Septemberwochenenden.

Effekt

da

Dieses Argument für den intensionalen Charakter

und analog wenige ist.etwas problematisch, denn der intensionale

könnte

auch durch den Ausdruck for a September weekend hervorgerufen

Man könnte

for a September weekend in diesem Zusammenhang grob um-

schreiben mit: ( l . l l 1 ) It is unusual that on a September weekend ... Hier rakter

ist

es klar, daß "it is unusual that ..."

des Satzes

verantwortlich ist.

für den intensionalen Cha-

In (1.12) scheint der Satz mit viele

eine extensionale Lesart zu haben wie der mit alle. (1.12) (a) Am 28. September arbeiten alle Ärzte, (b) Am 28. September arbeiten viele Ärzte. Einmal angenommen, daß man viele extensional behandeln kann. Ist dann viele konservativ? nommen

ein

Das folgende Beispiel läßt hier leicht Zweifel entstehen. AngeBücherregal

enthält

fünfzig Bücher. Zwanzig dieser Bücher sind

Werke von Noam Chomsky. Dies ist ungewöhnlich viel. Es ist somit korrekt (bezüglich dieses Regals) zu behaupten:

19

(1.13) (a) Viele Bücher sind Werke von Noam Chomsky. Es

könnte

nun

sein, daß genau zwanzig Bücher Druckfehler enthalten. Dies

ist ungewöhnlich wenig. Die folgende Aussage ist somit falsch. (1.13) (b) Viele Bücher enthalten Druckfehler. Weiterhin könnte es der Fall sein, daß es gerade die Werke von Noam Chomsky sind,

die Druckfehler enthalten, daß also die Menge der Bücher mit Druckfeh-

lern

und die Menge der Bücher, die Noam Chomsky geschrieben hat gleich sind.

Mit

diesen

Annahmen und der Voraussetzung, daß viele konservativ ist, gerät

man

jedoch

in

ein Dilemma. Sei a = die Menge der Bücher im Regal, bi = die

Menge der Bücher mit Druckfehlern (im Regal) und bz = die Menge der Werke von Noam

Chomsky

(im

Regal). Die drei geschilderten Annahmen sehen dann wie in

(1.13') aus: (1.13') (a) bi 6 viele(a). (b) b2 t viele(a). ( c ) a n bi = a n bz.

Wäre

viele nun konservativ, so würde gelten: bi 6 viele(a) gdw. (Konserva-

tivität) bi n a e viele(a) gdw. (wegen ( 1 . 1 3 ' ) ( c ) ) a n bz € viele)a) gdw. (Konservativität) (1.13')(b).

bz e viele(a). Dies ist jedoch ein Widerspruch zur Annahme

Dieses unschöne Ergebnis läßt sich durch die Einführung eines kontextuellen Parameters verhindern. Man kann die Aussage b e viele(a) auch deuten als: Die Häufigkeit

der

bs,

die äs sind, ist größer als eine normale Häufigkeit von

äs.

Definition

1.13:

vielei(a)

= {x; |x n a| > k ' j a j } , wobei k eine Kon-

stante zwischen 0 und l ist. Lemma 1.4: vielei ist konservativ. Beweis: gdw.

y

e

vielei(a)

gdw. |y n a| > k - | a | gdw. |(y n a) n a| > k « | a |

(y n a) s vielei(a).

Die Einführung eines kontextuellen Parameters rettet zwar die Konservativität von viele, erklärt aber nicht viel, da dieser Parameter völlig ad hoc geändert

werden kann. Man kann nun dazu übergehen, die normale Häufigkeit der

20

bs in a kontextunabhängig festzulegen, indem man definiert, daß dies die Häufigkeit bezüglich der Grundmenge A ist. Definition 1.14; vielez(a) = {x; |x n a| > |x|.i|a|}.

M Dann erhält man aber das bereits erwähnte negative Resultat. Lemma 1.5: vielez ist nicht konservativ. Beweis: y 6 vielez (a) gdw. |y n a| > |y.|_i|a|

H

|y n a| 6 vielez(a) gdw. |(y n a) n a| > [v n a|·[a[ A

II

gdw. |y n a| > [y n a| · [a|. N Es folgt zwar aus |y a| > |y.|_i|a|, daß auch |y n a| > |y n a| · |a[. |A| |A| aber nicht umgekehrt. Ein Gegenbeispiel erhält man, wenn man |y n a| = 10, |y| = 100, |a| = 10 und |A| = 100 setzt. Diese Ausführungen zeigen die Komplexität der Quantoren viele und wenige. Ein einfacher zu bewältigendes Beispiel eines nicht-konservativen Quantors, das allerdings zu einer kleinen Erweiterung des formalen Apparats führt, ist •ehr ... als. (1.14) Mehr Juristen &ls Politiker bedauerten den Vorfall. Will man den quantifizierenden Ausdruck in (1.14) als einstellige Funktion analysieren, so bietet sich folgende Lösung an: Definition 1.14: «ehr ... als P(J) = {x; JJ n x| > |P n x | ) . Satz (1.14) soll also wahr werden, wenn die Anzahl der Juristen, die den Vorfall bedauerten, größer ist als die Anzahl der Politiker, die den Vorfall bedauerten. Der Quantor aus Definition (1.14) liefert zwar dieses Ergebnis, ist aber nicht konservativ. Lemma 1.6: mehr ... als P ( J ) ist nicht konservativ.

21

Beweis: (a) y € «ehr ... (b) (y n J)

als P ( J ) gdw.|y n J| > |y n P|.

mehr ...

als P ( J ) gdw. | y n J | > |P n (y n J ) | .

Es gilt zwar (a) —> ( b ) , aber nicht umgekehrt. Auch

intuitiv ist dieses Ergebnis korrekt. Es kann natürlich mehr Juristen

als Juristen, die Politiker sind, geben, die den Vorfall bedauerten ohne, daß es

deshalb

der

Fall sein muß, daß es mehr Juristen als Politiker gibt, die

den Vorfall bedauerten. Ähnliches gilt für Quantoren wie weniger ... nau

so

viele ...

als,

ge-

wie. Woran aber liegt dieser offensichtliche Verstoß gegen

Konservativität? Konservativität besagt, daß nur Individuen, die in der Argumentmenge

der

Funktion liegen, relevant dafür sind, ob eine Menge y Element

der entsprechenden NP-Denotation ist oder nicht. Im beschriebenen Fall ist es nur

die

nicht.

Menge

der Juristen, die entscheidet, ob y 6 «ehr ...

Wie man gesehen

als P ( J ) oder

hat, spielt aber die Menge der Politiker in diesem

Beispiel

eine ähnliche Rolle wie ein Argument. Rein intuitiv sollte sich der

Quantor,

falls

Juristen

und Politiker beziehen. Lemma 1.8 im nächsten Abschnitt zeigt, daß

dies

kein

die

er

Zufall

überhaupt konservativ ist, ist,

sondern daß es prinzipielle Gründe dafür gibt, warum

Denotation von mehr ...

kann.

auf die Vereinigungsmenge der

als keine konservative einstellige Funktion sein

Diese Überlegung führt zu einer Verallgemeinerung der bisher skizzier-

ten Theorie.

1.2 Mehrstellige natürlich-sprachliche Quantoren

Man betrachte folgende NPs. (1.15) (a) Jede Bier- und Weinflasche. (b) Kein Student oder Professor. (c) Mehr als 20 Schüler und Lehrer. (d) Becketts Romane und Theaterstücke. (e) Mehr Polizisten als Demonstranten. (f)

Genau doppelt so viele Romane wie Erzählungen.

(g) Weniger Schüler als Studenten. (h) Mehr Sinfonien als Sonaten oder Quartette. (i) Genau zwei Autoren und drei Kritiker. (j)

Wenigstens drei Pianisten und doppelt so viele Dirigenten.

(k) Die drei Schüler und fünf Lehrer.

22

(1) Borges' herausredende Erzählungen und Gedichte. Am

natürlichsten

annimmt,

sind diese Beispiele semantisch zu analysieren, wenn man

daß es sich dabei um eine Folge von N-Denotationen handelt, die ein

mehrstelliger Quantor auf eine NP-Denotation abbildet; zum Beispiel: Jede, und( Bierflasche, Weinflasche) = Jede Bier- und Weinflasche. Um

diese

Idee

jedoch systematisch ausführen zu können, ist es nötig, die

bisher angegebenen Definitionen entsprechend zu verallgemeinern. Definition 1.15; (a) Ein Quantor ist eine n-stellige Funktion Q" von P ( A ) n in P ( P ( A ) ) . Q«: P ( A ) ( ) x . . x P ( A ) ( -mal) — > P ( P ( A ) ) .

P(A)n (b) Dgn Dqn

ist

= P(P(A))

die Menge der Funktionen, die als Interpretationen für n-stellige

Quantoren in Frage kommen. Es ist klar, daß Den größer als DQ 2nm + i ) Um

genau zu sein: Dqn enthält 2

Elemente, für

ist. 4"

|A| = n. DO dagegen nur 2

Elemente. Die nächste Verallgemeinerung betrifft den Begriff der Konservativität. Definition 1.16: Sei Q: P(A) n — > P ( P ( A ) ) . Q heißt konservativ gdw. für n n

alle

Man

€ P ( A ) und alle m 6 P ( A ) ,

beachte,

zweistelligen

daß Quantor

in

diese

Definition die Intuition, daß sich bei einem

wie mehr . . . als Konservativität auf die Vereinigung

der Argumentmengen bezieht, integriert Lemma

1.6;

mehr

e Q ( m ) gdw. (x n U mi ) € Q ( m ) .

...

ist.

als (interpretiert als zweistellige Funktion) ist

konservativ. Beweis: »ehr ... als(ai,az) = {x; |x n ai| > |x n a z | ) . (a) y € aehr ... als(ai,a2) gdw. |y n ai | > |y n a z | .

(b) y n (ai u ) 6 »ehr ... als(ai,a2) gdw. |y n (ai u a2 ) n ai | > |y n (ai u az ) n az ) | gdw. |y n ai | > |y n az|. Und somit: (a) gdw. ( b ) .

23

Mit dieser intuitiv berechtigten Ver nderung der Definition von Konservativit t erreicht man, da die Quantoren «ehr ... als, weniger ...

als, genau so

viele ... wie usw. konservativ werden. Als recht n tzlich erweist sich Lemma 1.7. Lemma 1.7; Ein Quantor Q: P ( A ) n — > P ( P ( A ) ) ist x, y 6 P ( A ) und alle m 6 P ( A )

n

konservativ gdw. f r alle

gilt: falls x n rai = y n mi f r alle

i ε { l , . . . , n}, dann χ 6 Q ( m ) gdw. y ε Q ( m ) . Beweis: Angenommen, Q ist konservativ, dann gilt: n χ 6 Q ( m ) gdw. χ n Umi € Q ( m ) .

Da

χ

n mi = y n mi f r alle i e { l , . . . , n } , ist

auch χ n Umi = y n Una .

Also: y n Umi ε Q ( m ) . Da Q konservativ ist, folgt χ ε Q ( m ) gdw. y ε Q ( m ) . Angenommen Q hat die folgende Eigenschaft E: F r alle x, y ε Ρ ( Α ) und m ε P ( A ) n , falls x n mi = y n mi , dann χ ε Q ( m ) gdw. y ε Q ( n ) . Zu zeigen: Q ist konservativ. Sei χ ε Q ( m ) . Da f r alle j gilt, da x n mj = (x n U m i ) n mj , folgt aus E, da Sei umgekehrt (x n Umi ) ε Q ( m ) .

(x n Umi ) ε Q ( m ) .

hnlich wie im ersten Schritt folgt,

da x n mj = (x n Umi) n mj aus Ε χ ε Q ( m ) .

Die

Frage

Quantoren

stellt

nicht

sich,

ob man den semantischen Effekt von mehrstelligen

durch eine geschickte Kombination der

blichen einstelligen

Quantoren beschreiben kann. Es wird nun gezeigt, da , unter der Voraussetzung der

Korrektheit

Quantoren

der skizzierten semantischen Analyse, inh rent mehrstellige

existieren, d . h . es ist im allgemeinen nicht m glich, mehrstellige

Quantoren auf einstellige zu reduzieren. Man

betrache

dazu den zweistelligen Quantor Mehr... als. Um zu zeigen, da

•ehr... als nicht als Funktion von P ( A ) in P ( P ( A ) ) (also einstellig) interpretiert

werden

•ehr... als gr und

gen gt

es,

nachzuweisen,

da

der

Wertebereich von

er ist als der jeder einstelligen Funktion. Angenommen |A| = n

P ( A ) ist

•ehr... als wegen

kann,

echt

endlich, gr

also

| P ( A ) l = 2 n , dann sollte der Wertebereich von

er als 2n sein. Denn in diesem Fall kann dieser Quantor

der Eindeutigkeitsbedingung f r Funktionen nicht als einstellige Funk-

tion interpretiert werden.

24

Lemma

1.8; Falls |A| = n > 3 und P ( A ) endlich ist, dann ist der Wertebe-

reich von •ehr...als echt gr

er als 2 n .

Beweis; Sei α e A und X e = {x; 3a(0 C a C C{a}) A χ g mehr...als(a,{a})}. Die

Beweisidee

disjunkt

besteht

darin,

zu zeigen, da

f r α * β 6 A Χα und Xo

1

sind,

und jede der Mengen Xo 2"· -! viele Elemente hat. Es ge-

n gt

dies zu zeigen, da es f r jedes Element α aus A eine Menge Χα gibt,

also

n viele. Alle diese Mengen sind im Wertebereich von Kehr...als ent-

halten,

dieser Wertebereich mindestens η·(2η-1-1) Elemente ent-

d . h . da

halten mu . F r n > 3 ist diese Zahl echt gr 1.

er als 2 n .

Schritt: Sei α * β e A und 0 C a C C{a} f r eine Menge a C A.

Zu

zeigen

f r

alle

Sei

δ

ein

Denn: δ,β

ist, da

mehr...als(a,{a}) nicht in Xo enthalten ist, also, da

b

0 C b C C{ }

mit

Element

mehr...als(a,{a}) * mehr...als(b,{ }).

aus a mit δ Φ α. Es gilt: {δ,β} € mehr...als(a,{α}).

{δ,β) e mehr...als(a,{a}) gdw. |{6, } n a| > |{δ,β} η {α}|. Da * α und δ € a, ist das letzte Glied der Relation 0, das erste hat

dagegen mindestens ein Element. Also gilt die Ungleichung. Ferner gdw.

gilt:

{δ,β} £ mehr...ale(b,{ }). Denn: {δ,β} e mehr...als(b,{ })

|{δ,β} n b| > |{δ,β) π { }|. In diesem Fall enth lt das zweite Glied

der

Relation das Element

ment

enthalten,

, das erste Glied kann aber h chstens ein Ele-

da b C C{ }, β also kein Element aus b sein kann. Die Un-

gleichung kann daher nicht gelten. Also: mehr...als(a,{a}) * mehr...als(b,{ } ) , Schritt: F r jede Menge Xa gilt: | X a | = 2"-1-!. Man zeigt dies, indem

2. man

nachweist,

und

0 C a, b C C{a} mit a i b. Es gibt 2n~1-l viele dieser Mengen, und

zwar

da

mehr...als(a,{a}) ^ mehr...als(b,{a}), wobei a 6 A

je eine f r jede nichttriviale Vereinigung von Elementen aus A, die

von α verschieden sind. Es

bleibt also nur noch die Ungleichheit nachzuweisen. Nehmen wir dazu

an, da

b C a und a Φ b. Sei δ e a\b. Da a C C{a} ist

δ Φ α. Es gilt:

{δ} e mehr...als(a,{a}) gdw. |{6} n a| = l > 0 = |{δ} n {a}|. Aber: {δ} i mehr...ale(b,{a}), denn |{δ} π b| = 0 = |{δ} n α|. Die

Aussage

dieses

Lemmas ist allerdings nicht so stark, wie man auf den

ersten

Blick

glauben

mag, denn es schlie t die M glichkeit nicht aus Mehr

...als

als

Menge

von einstelligen Quantoren aufzufassen, also f r jede CN-

Phrase einen einstelligen Quantor wie in (1.16)(a) oder (b) zu bilden. ( 1 . 1 6 ) (a) Mehr . . . als Lehrer(Sch ler). (b) Mehr Sch ler als(Lehrer).

25

In

(1.16)

handelt es sich bei den Dets un einstellige Funktionen, die wie

in (1.17) zu interpretieren sind. (1.17) (a) Mehr...als Lehrer(a) = {x; |x n a| > |x n Lehrer)}. (b) Mehr Sch ler als(a) = {x; |x n Sch ler) > |x n a|}. Man

beachte

dr cke

Lehrer

Quantor her

da

in ( 1 . 1 7 ) ( a ) bzw. (b) die Denotationen der Aus-

bzw. Sch ler Parameter der Funktion Mehr...als sind, d.h. der

Mehr...als wird als Menge von einstelligen Funktionen behandelt. Da-

wird

diese

jedoch,

diese Analyse durch Lemma 1.8 nicht ausgeschlossen. Allerdings hat

Definition

von Mehr...als neben der Tatsache, da

schen Gesichtspunkten einfach Unsinn ist, Es

steht

die

aus

sie unter syntakti-

einen anderen gewichtigen Nachteil.

unabh ngigen Gr nden fest, da

es sich bei Konservativi tat um

zentrale Eigenschaft nat rlich-sprachlicher extensionaler Quantoren han-

delt.

Definiert man mehr ...als durch eine Menge von Klauseln wie in ( 1 . 1 7 ) ,

so sind alle Elemente dieser Menge nicht konservativ. Lemma

1.9; Falls P ( A ) wenigstens zwei Elemente enth lt,

sind die Quanto-

ren in (1.17) nicht konservativ. Beweis: Seien α ϊ β ε P ( A ) , und angenommen mehr...als Lehrer sei konservativ. rung gdw.

Es

gilt: {a} n {a} = ({a} u {β}) η {a}. Wegen der Charakterisie-

von Konservativit t aus Lemma 1.7 erh lt man: {a} 6 mehr...als θ(α) {α} υ {β} = {a, ) ε mehr...als β ( α ) . Man rechnet leicht nach, da

nicht der Fall sein kann. Denn: {α} ε mehr...als >

0

= |{a} n { }|. Aber: {α,β} i mehr...als

= |{a, } n { Angenommen der

Gleichung

dies

( a ) , da |{α) n {α}| = l

( a ) , da |{α,β) η {α}| = l

}|. mehr Sch ler als(a) sei konservativ. Dann gilt erneut wegen ({a} u { }) n {a} = {a}, da

{α} ε mehr {a,B} als(a) gdw.

{α,β} ε mehr {a, } ale(a). Ersteres gilt nicht, da |{a} n {a, }| = l = |{α) π {α}|.

Dagegen

gilt: {α,β} ε mehr {α,β} als(a), denn: [{α,β} η

{α,β}| = 2 > l =|{α,β} η {α}|. Lemma 1.9 ist damit bewiesen. Nachdem die Existenz inh rent mehrstelliger Quantoren hinreichend begr ndet ist,

wird

nun an Beispielen gezeigt, da

die Theorie einstelliger Quantoren

sich in nat rlicher Weise zur Behandlung mehrstelliger Quantoren verallgemeinern l

t.

(1.18) (a) Jeder Sch ler und Lehrer. (b) Jeder Autor, Student, Lehrer und Sch ler.

26

(c) Einige Autoren oder Lehrer. (d) Alle Autoren, Lehrer oder Schüler. Zu einer möglichst generellen Behandlung von (1. 18) (a) , (b) ist es nötig, den mehrstelligen Quantor jeder... und zu parametrisieren, da er, wie (1.18)(b) zeigt, beliebig viele Argumente haben kann. Dasselbe gilt für die Funktionen einige. . .oder bzw. alle... oder. Dies erreicht man durch folgende Definition (um die Lesbarkeit zu erleichtern, wird eine minimale notationeile Änderung vorgenommen, die aus dem Zusammenhang klar werden sollte): Definition 1.17; Für jedes n e N und m 6 P(A) n n

ist:

(a) jederund.n ( m ) = alleund.n ( m ) = njeder(mi) i=l n

(b) jederoder,n(m) = alleoder.n(m) = Ujeder(mi) i=l i=l n

(c) einigeund.n ( m ) = fleinige(mi) i=l n

(d) einigeoder , n ( m ) = Ueinige(mi)

Definition 1.17 besagt nichts anderes, als daß die mehrstelligen Funktionen komponentenweise als einstellige zu interpretieren sind, d.h. (1.18) (a) Jeder Schüler und Lehrer. wird interpretiert

als:

( 1 . 1 8 ' ) jeder (Schüler) n j eder( Lehrer ) .

Damit wird behauptet, daß (1.18) (a) denselben semantischen Wert hat wie Jeder Schüler und jeder Lehrer. Man erhält also die distributiven Lesarten von (1.18). Es ist noch zu zeigen, daß diese Definition empirisch sinnvoll ist, d.h. man sollte mit ihr und verschiedenen mengentheoretischen Operationen in der Lage sein, eine große Klasse von Quantoren zu beschreiben. Zuerst wird jedoch durch das folgende Lemma gezeigt, daß Definition 1.17 theoretisch sinnvoll

27

ist. Lemma 1.10: Für alle konservativen Funktionen Q gilt: Die Funktionen n

(a) Q u n d . n ( m ) = n Q ( n i ) und i=l n

(b) Q o d e r , n ( m ) = ÖQ(nu) sind konservativ.

Beweis; gilt:

Es wird nur (a) bewiesen. Der Beweis von (b) verläuft analog. Es Für alle a, m a € O Q ( m i ) gdw. a e Q ( m i ) für alle i mit l < i < n.

Wegen der Konservativität von Q ist dies genau dann der Fall, wenn a n DI E Q ( m i ) für l < i < n. Dies gilt gdw. (a n mi) n mi e Q ( n i ) für l < i < n. Und wegen der Konservativität von Q: a n mi 6 Q ( m i ) . Damit

ist

die Aussage (a) bewiesen. Man betrachte nun die Beispiele in (1.19). (1.19) (a) Kein Autor oder Komponist (b) Kein Autor oder kein Komponist (c) Kein Autor und kein Komponist (1.19)(b)

ist

sicherlich

keine Paraphrase von (1.19) ( a ) ; dagegen sollten

(1.19){c) und ( 1 . 1 9 ) ( a ) dasselbe bedeuten. Falls man voraussetzt, daß die Negation

für

bereiten

mehrstellige Quantoren ebenfalls komponentenweise definiert ist,

diese

Beispiele keinerlei Schwierigkeiten. Die Beispiele in (1.19)

werden wie folgt interpretiert: (1.19*) (a) -»(einigeoder, z ) (Autor, Komponist) (b) -»einige (Autor) u -»einige (Komponist) (c) --einige(Autor) n --einiget Komponist) Man und

beachte, (1.19')(c)

daß kein = --einige ist. Nachzuweisen ist nun, daß ( 1 . 1 9 ' ) ( a ) äquivalent

sind.

Daraus

folgt

dann natürlich sofort, daß

( 1 . 1 9 ' ) ( a ) und ( 1 . 1 9 ' ) ( b ) verschiedene semantische Werte haben. (1.20)

( 1 . 1 9 ' ) ( a ) gilt gdw. -(einigeoder.2 ) (Autor, Komponist) (wegen der

Definition von einigeoder.2 und der komponentenweise Definition der Negation)

- einige (Autor) n -«einiget Komponist) gdw. (1.19')(c). Zur

Vollständigkeit

Konservativität

der Argumentation müßte noch nachgewiesen werden, daß

unter

der

komponentenweise

Negationsdefinition

erhalten

bleibt. Dies erfolgt jedoch analog zu Lemma 1.10 und wird deshalb übergangen. Etwas komplizierter ist die Analyse von (1.21). (1.21) Die zwanzig Autoren und Verleger Eine

intuitiv plausible ad hoc Beschreibung des semantischen Wertes dieser

NP liefert die folgende Klausel: (1.21') Die zwanzigund(Autoren, Verleger) = Die zwanzig(Autoren u Verleger), falls (Autoren u Verleger) = 20 und Autoren, Verleger

0.

0, sonst. Es

stellt

theoretisch

sich

hier

jedoch die Frage, ob diese ad hoc Beschreibung sich

rechtfertigen

satzbedingungen scheidungen

wie

läßt.

|Autoren

u

Anders ausgedrückt, kann man beliebige ZuVerleger] = 20 oder beliebige Fallunter-

in die Definition von Quantoren aufnehmen, ohne damit die Klasse

der konservativen Funktionen zu verlassen? In (1.21') wird außerdem die Funktion die zwanzigund auf der Vereinigung ihrer Argumente definiert. Die beiden folgenden

Lemmata

quantifizierende

zeigen,

daß

man beim Definieren semantischer Werte für

Ausdrücke

wie

im einstelligen Fall über genügend Freiheit

verfügt. Lemma

1.11:

Sei

f

( P ( P ( A ) ) . Sei Q: P(A)

eine n

einstellige konservative Funktion von P ( A ) in

--> P ( P ( A ) ) definiert durch: Q ( m ) = f ( U m i ) . Dann

ist Q konservativ. Beweis; a servativ ist,

Q ( m ) gdw. a

f ( U n i ) gdw. (a n U m i )

f ( U m i ) , da f kon-

gdw. (a n Umi) € Q ( m ) .

Lemma 1.12 zeigt, daß die Verallgemeinerung des einstelligen scrambling keine unerwünschten Effekte hat. Damit ist man in der Lage, beliebige n-stellige konservative Funktionen durch Fallunterscheidungen zu definieren. Lemma

1.12:

Sei

S eine Funktion von P ( A ) n in die Menge der n-stelligen

29

Funktionen von P ( A ) n in P ( P ( A ) ) . Sei QS: P(A) n —> P ( P ( A ) )

konservativen

definiert durch QS(m) = [ S ( m ) ] ( m ) . Dann ist QS konservativ. Beweis; a

QS(m) gdw. a

konservativ ist, Eine

[ S ( m ) ] ( m ) gdw. (a n U m i )

gdw. (a n U n i )

[3(·)]( > ) , da S ( m )

QS(n).

weitere Verallgemeinerung der Theorie einstelliger Quantoren betrifft

Modifikatoren wie auf der Messe in (1.22). ( 1 . 2 2 ) ( a ) Mehr Autoren als Verleger auf der Messe. (b) Mehr Autoren auf der Messe als Verleger auf der Messe. (c) Mehr Autoren als [Verleger auf der Messe]. Satz

(1.22)(a)

(1.22)(b)i

ist

ambig.

Er

kann

zum einen

dasselbe

bedeuten

wie

zum anderen denselben senantischen Wert haben wie (1.22)(c). Wel-

che Lesart er erhält, hängt vom Skopus des Modifikators auf der Messe ab. Die Lesart hier

( 1 . 2 2 ) ( c ) zu repräsentieren, stellt kein Problem dar. Es handelt sich einfach

Funktion

um den üblichen einstelligen Fall, d.h. auf der Messe wird als

interpretiert, die N-Denotationen in N-Denotationen abbildet. Also:

Verleger auf der Messe = auf der Messe(Verleger), mit auf der Messe: P ( A ) —> P(A).

Für ( 1 . 2 2 ) ( b ) dagegen ist eine Erweiterung des Apparats nötig. Man defin i e r t ' ähnlich wie in Definition 1.17 mehrstellige Quantoren nun mehrstellige Modifikationsfunktionen komponentenweise. Definition

1.18:

Eine Funktion R von P(A) n in P ( A ) n heißt Modifikations-

funktion, falls gilt: Für alle a i , . . . , a n ( R ( a i ) , . . . , R ( a n ) ) . Eine Modifikationsfunktion

( ) ist R ( a i , . . . , a n ) = heißt restriktiv, falls

gilt: Für alle l < i < n, R ( a i ) C ai. Nun ist ( 1 . 2 2 ) ( a ) leicht so zu analysieren, daß er die Lesart ( 1 . 2 2 ) ( b ) erhält. (1.22*)

mehr...als(auf der Messe(Autoren, Verleger) = mehr...als(auf der

Messe(Autoren), auf der Messe(Verleger)) = Mehr Autoren auf der Messe als Verleger auf der Messe = ( 1 . 2 2 ) ( b ) . Die

Beispiele

•ehr...als,

( 1 . 2 2 ) liefern ein weiteres Argument gegen eine Analyse von

wie sie

in

(1.16)

vorgeschlagen wurde. Konzentrieren w i r uns

30

zuerst auf ( 1 . 1 6 ) ( a ) . Berechnet man den semantischen Wert von (1.23) analog dazu, so erhält man nur die abwegigste Lesart für den Satz Mehr Autoren als Verleger auf der Messe sind wegen der Ansprache verärgert. (1.23) Mehr [Autoren auf der Messe] als Verleger sind wegen der Ansprache verärgert. Die Lesarten, die man aufgrund der NP-Strukturen ( 1 . 2 2 ) ( b ) oder ( 1 . 2 2 ) ( c ) erhielte, sind nun überhaupt nicht ableitbar. Wählt man dagegen den Vorschlag ( 1 . 1 6 ) ( b ) , so ist es zwar möglich, die Lesart ( 1 . 2 2 ) ( c ) aus ( 1 . 2 2 ) ( a ) zu errechnen, für Struktur ( 1 . 2 2 ) ( b ) allerdings erhält man auch mit (1.16)(b) keine adäquate semantische Repräsentation. Man kann natürlich dagegen argumentieren, Modifikatoren auf die angegebene Weise semantisch zu analysieren. Doch ist kaum eine einfachere und plausiblere Analyse von restriktiven Modifikatoren denkbar. Zum Abschluß von Abschnitt 1.2 sei noch auf eine weitere Verallgemeinerung hingewiesen, die sich für die Analyse der Beispiele (1.24) bezahlt macht. (1.24) (b) (c) (d)

(a) Genau zwei Obstler und drei Wodkas. Die zwei Obstler und drei Wodkas. Weniger als zwei Obstler und drei Wodkas. Mehr als zwei Obstler und drei Wodkas.

Diese NPs haben denselben semantischen Wert wie die in ( 1 . 2 4 * ) . (1.24') (b) (c) (d)

(a) Genau zwei Obstler und genau drei Wodkas. Die zwei Obstler und die drei Wodkas. Weniger als zwei Obstler und weniger als drei Wodkas. Mehr als zwei Obstler und mehr als drei Wodkas.

Daher ist es natürlich, für ( 1 . 2 4 ) ( a ) die semantische Repräsentation (1.25) anzunehmen. (1.25) Genauzvei und drei(Obstler, Wodka) = Genauzvei(Obstler) n Genaudrei(Wodka). Man nimmt in ( 1 . 2 5 ) an, daß der zweistellige Quantor Genauzwei und drei als ein Paar von Funktionen, nämlich (Genauzvei, Genaudrei)und zu beschreiben ist. Dies ist allerdings viel zu restriktiv. Im allgemeinen ist es nötig, beliebige n-Tupel zuzulassen, wie die folgenden Beispiele zeigen.

31

( 1 . 2 6 ) (a) Genau zwei Messer, drei Gabeln, fünf Löffel und sieben Gläser, (b) Mehr als zwei Gläser, drei Gabeln oder fünf Messer. Für ( 1 . 2 6 ) ( b ) ist es natürlich nötig, die konjunktive Kombination der Quantoren durch eine adjunktive zu ersetzen. Man definiert daher: Definition

1.19:

Sei

Q

ein

n-Tupel

von Funktionen, mit Qi: P ( A ) —>

l < i < n, dann sind die Funktionen Qund und Qoder von P ( A ) n in

P(P(A})|

P ( P ( A ) ) definiert durch: (a) Q u n d ( m ) = n Q i ( m i ) . (b) Qod.r(m) = U Q i ( m i ) . Wie zu erwarten, gilt das folgende Lemma. Lemma

1.13:

Falls

alle

Funktionen

Qi aus Definition 1.19 konservativ

sind, dann sind auch Qund und Qoder konservativ. Beweis:

Der simple Nachweis wird nur für (1.19)(a) ausgeführt.

(1.19)(b)

ist analog zu beweisen. Angenommen a € Q u n d ( m ) . Dann gilt: a 6 O Q i ( m i ) gdw. a 6 Q i ( m i ) , für le

l

al-

< i < n gdw. a n mi € Q i ( m i ) , für alle l < i < n (da die Qi kon-

servativ sind) gdw. (a n U m i ) e n Q i ( m i ) gdw. (a n Unu) 6 Q u n d ( m ) . Quantoren

dieser

Art

erweisen sich als recht nützlich für die Behandlung

von Beispielen wie in (1.27) versus (1.28). (1.27) Zwei Romane und mehr als doppelt so viele Erzählungen. (1.28)

Zwischen fünf und sieben Romane und mehr als doppelt so viele Er-

zählungen. Bei den Beispielen (1.27) (28) bezieht sich der zweite Quantor gewissermaßen anaphorisch

auf

den ersten. Dabei ist

(1.27) ad hoc relativ einfach zu be-

schreiben,

denn mehr als doppelt so viele heißt in diesem Falle einfach mehr

als

Bei

vier.

(1.28) klappt diese Strategie jeoch nicht mehr, da folgender

Schluß gültig sein sollte. (1.29)

(a) Zwischen fünf und sieben Romane und mehr als doppelt so viele

Erzählungen wurden kritisiert. (b) Es wurden genau sechs Romane kritisiert.

32

Also: (c) Es wurden mehr als zwölf Erzählungen kritisiert. Das gewünschte Ergebnis erhält man mit Definition 1.20. Definition 1.20: Sei Q eine Funktion von P ( A ) in ( P ( P ( A ) ) . Dann ist die zweistellige Funktion (Q, mehr als doppelt so vielejund definiert durch: a 6 (Q, mehr als doppelt so v i e l e ) u n d ( m i , m 2 ) gdw. a 6 Q ( m i ) und ja n m z | > 2 · | a n mi |. Man beachte, daß mit Definition 1.20 beide Fälle ( 1 . 2 7 ) ( 2 8 ) erfaßt sind und der Schluß in ( 1 . 2 9 ) gültig wird, denn aus ( 1 . 2 9 ) ( a ) ( b ) folgt, daß j a n mi| = [kritisieren n Roeanej = 6 und |a n m 2 | = [kritisieren n Erzählungen| > 2 > 6 = 12.

33

2. SPEZIELLE EIGENSCHAFTEN VON QUANTOREN

2.1 Weitere Beschränkungen für Quantoreninterpretationen

In

diese·

Kapitel sollen einstellige Quantoren unter einer veränderten Per-

spektive betrachtet werden. Die neisten Resultate lassen sich aber leicht für den mehrstelligen Fall verallgemeinern. Es sei ein Modell M = gegeben. Eine

einstellige Funktion von P ( A ) in P ( P ( A ) ) läßt sich äquivalent als

stellige Relation auf P ( A ) auffassen, also als Teilmenge von P ( A ) Beispiel {;

ZHei-

( ). Zum

wird aus der Funktion alle(a) = {x; a C x} die Relation alle(a.x) = a

C x}. Bezeichnet man mit QA die Relation, die den Quantor Q in

einer Struktur M mit Grundmenge A interpretiert, so läßt sich festhalten: b 6 Q ( a ) gdw. Q A ( a , b ) . Generell kann man die n-stelligen Funktionen, die in Kapitel 1.2 als Denotationen für quantifizierende Ausdrücke eingeführt wurden, in n+1-stellige

Relationen

überführen.

Wann

immer

es

jedoch zweckmäßig er-

scheint, z . B . wenn die Denotationen der N P ' s für die Argumentation eine wichtige

Rolle

spielen, wird auch in diesem Kapitel wieder die funktionale Per-

spektive eingenommen (vgl. etwa 2 . 4 ) . Bis

jetzt

wurde der Denotationsbereich für quantifizierende Ausdrücke nur

durch eine Bedingung restringiert, die Konservativitätsbedingung, kurz: KONS. Es

werden

tiert,

die

im folgenden

die wichtigsten zusätzlichen Beschränkungen disku-

in der Literatur vorgeschlagen wurden. Zur Darstellung ihrer Ef-

fekte ist es nützlich, Venn-Diagramme heranzuziehen.

A\(a u b)

34

Das

Verhalten

Vereinigung a\b,

eines jeden Quantors ist durch vier disjunkte Mengen, deren

die

gesamte Grundmenge

A ergibt, bestimmt. Diese Mengen sind:

b\a, a n b und A\a u b. Sie bilden eine sogenannte Partition von A.

Genauer

heißt

|a'\b'|, |b\a| sind

die

dies,

falls zwei Strukturen M und N gegeben sind und |a\b|

=

= | b ' \ a ' | , |anb| = | a ' n b ' | sowie |A\aub| = | A ' \ a ' u b ' | , dann

beiden Strukturen isomorph. Den Isomorphismus erhält man durch die

Kombination der Bijektionen zwischen den korrespondierenden Partitionsmengen. Dies gilt auch für den mehrstelligen Fall, wobei sich hier allerdings die Anzahl der Partitionsmengen erhöht. Die Konservativitätsbedingung besagt, daß Q A ( a , b ) gdw. Q A ( a . a n b ) ; d.h., daß die Elemente Bild:

in

b\a

keine

Rolle mehr spielen. Damit erhält man folgendes

A\a

Mit der nächsten Beschränkung wird gefordert, daß die Elemente in A\(a

b)

keine Rolle spielen, daß also die N- und die VP-Denotation sämtliche für das Verhalten des Quantors notwenige Information liefern. Diese Restriktion heißt Extension. EXT: Falls a,b Mit

A S A 1 , dann gilt: Q A ( a , b ) gdw. Q A - ( a , b ) .

EXT werden die Quantoreninterpretationen unabhängig von der Größe der

Grundmenge

des

Modells.

In diesem Sinne besagt EXT, daß Quantorenausdrücke

Konstanten sind. Ein Gegenbeispiel erhält man mit dem Rescher-Quantor QR, der allerdings

nicht

als zweistellige Relation, sondern unrestringiert als ein-

stellige Relation definiert ist. (EXT besagt für diesen einfachen Fall: Falls a C A S A ' , dann gilt QxU) gdw. Q A - U ) . ) QRA(a) gdw. |a| > |A\a|. QR(b) gilt, falls die meisten Individuen in A Elemente

von b sind. Es ist damit klar, daß dieser Quantor nicht unabhängig von

der Größe der Grundmenge sein kann. Ein Gegenbeispiel aus einer anderen Kate-

35

gorie als der der Quantoren ist die Komplementoperation C x ( a ) = A\a. Der Wert dieser Operation ist abhängig von der Größe der Grundmenge A und damit nicht konstant im Sinne von EXT. Durch EXT fällt der Rahmen der Diagramme weg, da natürlich gilt, daß a,b C a u b. Kombiniert man EXT und KONS, so fallen zwei der vier Partitionsmengen weg, und man erhält das folgende Bild:

Das heißt nun, daß Q A ( a , b ) gdw. Q a (a,anb). Es werden im folgenden oft die Klammern um die Argumente, sowie das Komma zwischen den Argumenten von Q weggelassen, falls die eindeutige Lesart nicht gefährdet ist. Ebenso wird, falls aus dem Kontext klar ist, um welche Menge es sich handelt, der Index A bei QA weggelassen. KONS sieht dann so aus: Qab gdw. Qa anb. Die Kombination aus EXT und KONS bewirkt, daß das Verhalten eines Quantors allein aufgrund der N-Denotation bestimmt ist. Es ist leicht nachzuweisen, daß dies für die üblichen Quantoren alle, einige, kein usw. gilt. Als Beispiel wird dies für kein gezeigt. Es gilt: keiiuab gdw. a n b = 0 gdw. keine a a n b . Die nächste Restriktion ( c f . Mostowski (1957)) für die Interpretation von Quantoren besagt, daß nur die Anzahl der Elemente in den betreffenden Mengen - also nur deren Quantität - eine Rolle spielt. QUANT: Für alle Mengen A, A ' , alle Bijektionen a,b £ A gilt: Qxab gdw. QA-ti[a] it[b].

von A nach A" und alle

Ein Spezialfall dieser Restriktion ist das Prinzip PERMatation. PERM:

Für

alle Permutationen

von A und alle a,b £ A gilt: Qxab gdw.

Häufig wird als Restriktion für die semantischen Werte von Quantoren nur PERM angenommen und nicht das stärkere QUANT. Beide Beschränkungen gelten wiederum für die "üblichen" Quantoren. Am Beispiel von einige wird dies in ( 2 . 1 ) genauer ausgeführt.

36

( 2 . 1 ) einige erfüllt QUANT. H i e r f ü r sei A = {1,2,3,4}, A'= { c , d , e , f } , a = {1,2}

und b = {2,3}. Die Bijektion

u ( 2 ) = e, Zu

(4) = f.

( 3 ) = a und

zeigen

ist:

sei wie folgt definiert: n ( l ) = d,

einigexab

gdw. einigeA'ic[a] ic[b]. Es gilt: einigexab

gdw. a n b * 0. Im angegebenen Beispiel ist dies der Fall. Betrachte man nun

ic[a]

{e,a}.

und

it[b];

n[a]

= { n ( l ) , n ( 2 ) } = {d,e}, n[b] = { n ( 2 ) , n ( 3 ) } =

Der Schnitt dieser beiden Mengen ist nicht leer, also gilt: eini-

geA'Ti[a] n [ b ] · Für die Umkehrung benutzt man die Umkehrabbildung stets

definiert

natürlich ten

ist,

da n eine Bijektion ist.

" 1 , die

Dieses Beispiel läßt sich

generalisieren, da für den Nachweis die speziellen Eigenschaf-

der

gewählten Mengen und der gewählten Bijektion keine Rolle spiel-

ten. Aus

QUANT oder PERM folgt, daß nur die Kardinalzahlen der Partitionsmengen

für das Verhalten des Quantors ausschlaggebend sind. Kombiniert man KONS, EXT und

QUANT,

so ergibt sich, daß ein Quantor durch die Menge von Paaren ( x , y )

determiniert Lemma

ist,

wobei

= |a\b|

und y = |anb|.

2.1: Ein Quantor Q erfüllt KONS, EXT und QUANT gdw. Q die folgende

Eigenschaft falls |a\b| Beweis: |a\b|

P hat: Für alle A, A' und alle a,b Z A, sowie a ' , b ' S A' = |a'\b'| und |anb| = | a ' n b ' | , dann Qxab gdw. Q A - a ' b ' .

Sei =

Q ein Quantor für den KONS, EXT und QUANT gelten und seien

|a'\b'|

sowie

gdw.

Qa-a'

a'nb'.

Mit

QAab

gdw. Q A - a ' b * .

|anb|

= | a ' n b ' | . Aus QUANT folgt Qaa anb

EXT QAa anb gdw. Q A - a ' a'nb' und mit KONS

Angenommen P gilt für Q. Dann erfüllt Q QUANT. Seien a,b £ A und en

A' = a

|a\a

1

= a sowie b' = a n b. Damit erhält man wegen P und |a\b|

sei=

n b| = |a'\b'|, sowie |a n b| = (a n (a n b ) | = |a' n b ' | :

QAab

gdw. Q A - a ' b '

gdw. Q a a anb. Daraus folgt, daß Q EXT und KONS er-

füllt. An

dieser

werden

Stelle

sollen,

d.h.

kann

man sich fragen, welche Kardinalitäten zugelassen

wie groß die Grundmenge A sein darf. Ist man in erster

Linie an den mathematischen Eigenschaften von Quantoren interessiert, so läßt sich

dafür

argumentieren, nur

unendliche

Modelle

zuzulassen ( c f . Shelah

( 1 9 7 4 ) ) . Für die meisten linguistischen Belange sind aber gerade diese Modelle uninteressant. Deshalb w i r d häufig das folgende Prinzip angenommen. FIN: Nur endliche Modelle sind

zugelassen.

37

FIN hat allerdings einige unliebsame Konsequenzen für die Logik, denn unter FIN

ist

keine Logik vollständig oder kompakt. Dies folgt aus einen Resultat

von Trahtenbrot ( c f . Trahtenbrot (1950). Einen Beweis von Trahtenbrots Resultat

findet

man in Ebbinghaus/Flum/Thomas (1984), S.162 f f . ) , d.h. man ver-

liert sehr e f f i z i e n t e Methoden zur Durchforstung logischer Strukturen. Falls

FIN zu

den anderen Prinzipien hinzugenommen wird, ergibt sich, daß

man Quantoren äquivalent als Relationen auf der Menge N der natürlichen Zahlen auffassen kann, also als eine Relation QN mit: QN C N

N. Damit hat man die

Möglichkeit, Quantoren auf eine sehr einfache Weise zu repräsentieren.

2.2 Der Zahlenbaum

Falls

die

Restriktionen

KONS, EXT und QUANT bzw. PERM gelten, ist,

reits ausgeführt, ein Quantor vollständig durch die Zahlenpaare y

=

|a

wie be-

= |a\b| und

n b| bestimmt. Die Denotationen der Ausdrücke alle, einige, zwei,

die meisten, mehr als drei erhalten damit semantische Werte wie in ( 2 . 2 ) . (2.2)

(a) alleab gdw.

= 0

(b) zweiab gdw. y = 2 ( c ) die meistenab gdw. y > (d) mindestens dreiab gdw. y > 3 Diese

Verhältnisse lassen sich graphisch in einem sog. Zahlenbaum darstel-

len. (2.3) + y = 0

x + y = l + y = 2

/1,0

0,1\

Spalten

38

Aus

jeder

werden.

Zeile

Jedes

des Baumes kann die Größe des Universums

Zahlenpaar hat als erste Komponente

+ y abgelesen

und als zweite y. ( 2 . 2

( a ) ) besagt nun, daß alle Paare Elemente von alle sind, deren erste Komponente,

also

x, Null ist. Dies sind ( 0 , 0 ) , ( 0 , 1 ) usw. Im Baum also besteht alle

aus dem schraffierten Teil. ( 2 . 4 ) alle:

Für die «eisten und mindestens drei ergibt sich das folgende Muster. ( 2 . 5 ) die meisten:

39

( 2 . 6 ) mindestens drei:

Setzt der

man FIN voraus, so sind die natürlichen Zahlen für die Darstellung

Quantoren

ausreichend; andernfalls muß nach Ho weitergezählt werden.

Mit den transfiniten Kardinalzahlen erhält man auf diese Weise Bäune der folgenden Gestalt ( c f . van Deemter (1985)).

40

(2,7)

Um

die

Darstellung nicht unnötig zu verkomplizieren, wird das Prinzip FIN

akzeptiert. ist

Man beachte jedoch, daß FIN auch empirische Konsequenzen hat. So

z . B . die Denotation für den Ausdruck alle außer endlich viele durch FIN

ausgeschlossen. bedingt viele doch

Die Interpretation von unendlich viele ist dagegen nicht un-

ausgeschlossen, da man unendlich viele als unübersehbar aber endlich deuten könnte. Für alle außer endlich viele klappt diese Strategie je-

nicht,

da

man hierfür den Unterschied zwischen Endlichkeit und Unend-

lichkeit benötigt. Es soll nun kurz die empirische Adäquatheit dieser Darstellung thematisiert werden, PERM)

d.h. ist erfüllen,

quantifizierenden

die

Klasse

der Quantoren, die KONS, EXT und QUANT (bzw.

empirisch signifikant?

Zuerst werden einige Beispiele von

Ausdrücken genannt, die eines oder mehrere der angegebenen

Prinzipien

verletzen. Im Anschluß daran wird erläutert, warum die Klasse der

Quantoren,

die diese Prinzipien erfüllen, trotzdem eine intuitiv interessan-

te Menge bildet. Beispiele, die zu KONS im Widerspruch stehen, wurden bereits

41

in

Kapitel

zu

EXT erhält man durch eine der Lesarten von vieleab, und zwar durch jene,

die

die

l genannt. Betrachten wir nun das Prinzip EXT. Ein Gegenbeispiel

Anzahl der b's bezüglich der Anzahl der Elemente des Universums ab-

schätzt. Also: viele2ab gdw. |a n b| > |b|_._|a|.

Der Nachweis, daß vielez EXT nicht e r f ü l l t , ist trivial. Zum besseren intuitiven

Verständnis

des

Problems sei die semantische Klausel für vielez mit

einer weiteren Lesart dieses Quantors kontrastiert: vieleiab gdw. j a n b| > k'|a|,

mit

0 < k < 1. Diese Lesart besagt, daß die Anzahl der Elemente in a

und

b größer sein soll als ein Bruchteil der Anzahl der Elemente in a; dabei

ist

k eine kontextabhängige Größe. Bei vielez wird diese Konstante durch den

Quotienten |b| vorgegeben, d.h. der Kontext ist hier 1*1 das Modell; sobald dieses fixiert ist,

ist auch k f i x i e r t . Damit ist natür-

lich klar, daß vielea nicht der Beschränkung EXT unterliegen kann. Ferner ist eine dritte mögliche Lesart von viele ein Gegenbeispiel zu EXT, nämlich: vieles ab Man

gdw.

|a n b| > k * | A | .

beachte außerdem, daß der übliche (logische) Aliquanter das für einstel-

lige

Quantoren

damit

ist

dieser

iversums; Argument

modifizierte

ebenso dafür,

Prinzip EXT nicht e r f ü l l t , denn V = {A}, und

Quantor selbstverständlich abhängig von der Größe des Unwie der bereits erwähnte Rescherquantor. Dies ist auch ein natürlich-sprachliche Quantoren als restringierte Quantoren

aufzufassen, denn EXT gilt für die zweistellige Relation alle. Schwerwiegender als die Beispiele gegen EXT sind die gegen QUANT. Die wichtigsten Gegenbeispiele lassen sich in zwei Gruppen gliedern. Zum

einen handelt es sich um Dets mit Adjektiven wie einige rote, alle

beralen,

mehr

schwäbische

als bayrische usw. Die andere Gruppe besteht aus

den Possessiven, wie Schönbergs in Schönbergs Streichquartette. Es ist zu

li-

leicht

sehen, daß etwa alle liberalen die Restriktion QUANT nicht e r f ü l l t . Ange-

nommen,

eine

Bijektion von A auf A würde die Menge der liberalen Individuen

mit

der Menge der konservativen vertauschen, den Rest der Elemente in A aber

auf

sich

abbilden.

Wäre alle liberalen nun quantitativ, so wären die Sätze

Alle liberalen Lehrer prügeln ihre Schüler und Alle konservativen Lehrer prügeln

ihre

Schüler äquivalent. Ein ähnlich unplausibles Ergebnis erhält man,

42

wenn

man die

vor,

die nur die Menge der Romane mit der Menge der Briefe vertauscht. Unter

QUANT

wären

NP Becketts Romane betrachtet. Man stelle sich eine Bijektion dann die Sätze Becketts Romane werden viel gelesen und Becketts

Briefe werden viel gelesen äquivalent. Es

gibt

also

striktionen sen

eine ganze Reihe von Quantoren, die die Kombination der Re-

KONS, EXT und QUANT nicht erfüllen. Trotzdem erhält man mit die-

Beschränkungen eine intuitiv signifikante Klasse, nämlich die Klasse der

logischeni natürlichsprachlichen Quantoren. Diese ist auch unter universellem Gesichtspunkt Quantoren halten

interessant, denn jede natürliche Sprache dürfte die logischen

als wichtige Teilmenge der Klasse ihrer Quantorendenotationen ent-

( f ü r die Anzahl der logischen Quantoren vgl. Thijsse (1985)). Man be-

achte, daß es sich hier um eine Teilklasse von möglichen Interpretationen für Ausdrücke natürlicher Sprachen handelt. So e r f ü l l t ein typisch logisch-mathematischer Quantor wie der sog. Härtig-Quantor H zwar das Prinzip QUANT, nicht jedoch

KONS. Dies sieht man leicht an der folgenden Definition: Hab gdw. |a|

=

|b|. Es ist klar, daß KONS nicht erfüllt ist, denn sonst würde gelten:

=

|b|

gdw. Hab gdw. Ha a n b gdw. |a|

= |a n b|.

QUANT dagegen ist

|a|

tri-

vialerweise erfüllt. Im Zahlenbaum werden damit diejenigen QuantorenInterpretationen graphisch darstellbar, die gewisse logische Kriterien erfüllen. Einige Anwendungen dieses Hilfsmittels enthalten die nächsten Abschnitte.

2.3 Relationale Eigenschaften von Quantoren

Da

man einstellige Quantoren wie gezeigt als zweistellige Relationen auffas-

sen

kann,

ist

alle

nicht

liegt es nahe, Eigenschaften dieser Relationen zu studieren; z . B . transitiv

transitiv.

und nicht

symmetrisch, einige dagegen symmetrisch und

Eine mögliche systematische Frage lautet:

Charakterisieren

diese Eigenschaften die betreffenden Quantoren oder haben auch andere Quantoren diese Eigenschaften? Für den einfachen angegebenen Fall ist die Antwort leicht zu finden. So ist etwa kein ebenfalls symmetrisch und nicht transitiv. Durch diese Eigenschaften ist einige also nicht charakterisiert. Für alle ist die Situation nicht ganz so einfach. Doch ist der folgende Quantor ebenfalls transitiv und nicht symmetrisch: alleiab gdw. |a| > l und a C b. Es handelt sich das

hier um eine Variante von alle, bei der jedoch ausgeschlossen wird, daß erste

Argument

leer ist. Man sieht leicht, daß dies zu verallgemeinern

ist; alle«ab gdw. |a| > n und a £ b. Sämtliche dieser Quantoren sind transitiv und nicht symmetrisch.

43

Eine weitere systematische Fragestellung ist etwa, ob es relationale Eigenschaften gibt, die von keinem Quantor erfüllt werden. Es sieht beispielsweise so aus, als ob es keine asymmetrischen Quantoren gäbe. Ist es möglich, dieses Ergebnis

auf

Grund

der allgemeinen Eigenschaften von Quantoren abzuleiten?

Resultate dieser Art nennt man Nicht-Existenz-Resultate. Die

folgende

Tabelle gibt für die weitere Verfolgung der genannten Frage-

stellungen einen Überblick über wichtige Eigenschaften von Relationen. Tabelle l Eigenschaft

Definition

Transitivität

Qab

Symmetrie

Qab ·* Qba

AntiSymmetrie

Qab

Asymmetrie

Qab -» --Qba

Reflexivität

Qaa

Schwache Reflexivität

Qab - Qbb

einige, wenigstens n

Quasireflexivität

Qab ·* Qaa

einige, die Meisten

Irreflexivität

-•Qaa

Quasiuniversalität

Qaa -» Qab

Linearitat

Qab v Qba v a=b

Zirkularität

Qab A Qbc -» Qca

Euklidizität

Qab A Qac -» Qbc

Als

erstes

Qbc -· Qac

Qba -» a = b

Beispiele alle, allen einige, kein alle

alle, wenigstens die Hälfte

nicht alle kein, nicht alle nicht alle

Resultat wird nun das Fehlen der Beispiele für die Eigenschaft

Asymmetrie erklärt. Dazu benötigt man das folgende Lemma für logische Quantoren.

44

Lemma 2 . 2 ; Falls Qab, dann gibt es ein b' mit: Qab' und Qb'a. Beweis: Dies

Man wählt

ist

b 1 so, daß gilt: |anb| = |b'na| und |a\b|

= |b'\a|.

wegen EXT möglich. Mit Lemma 2.1 erhält man Qb'a, denn |a\b| =

|b'\a| und |anb| = |anb'|. Könnte Qab

man nun für jeden Quantor annehmen, daß es Mengen a,b gibt, für die

gilt,

wäre das erste Nicht-Existenz-Resultat bereits bewiesen, denn mit

Lemma 2.2 würde man stets einen Widerspruch zum Schema Qab -» --Qba erhalten. Es

scheint

harmlos, ein gewisses Mindestmaß an Nichttrivialität von jedem

Quantor zu fordern. Definition

2.1;

Ein Quantor

oder gleich P ( A )

Q ist trivial, falls er entweder leer ist

( ).

NONTRIV: Es gibt wenigstens eine nichtleere Grundmenge A, auf der Q nicht trivial

ist.

Mit dem Postulat NONTRIV folgt nun sofort das Korollar 2.2.1: Korollar 2.2.1: Es gibt keine asymmetrischen Quantoren. Eine

weitere

unmittelbare

Anwendung des Lemmas liefert das Ergebnis, daß

jeder schwachreflexive Quantor quasireflexiv

ist.

Korollar 2 . 2 . 2 : Schwache Reflexivität impliziert Quasireflexivität. Beweis: Angenommen Qab, wobei Q schwach reflexiv ist. Lemma

liefert

ein

b

1

Zu zeigen: Qaa. Das

mit Qb'a. Mit schwacher Reflexivität erhält man:

Qaa. NONTRIV mit

die

scheint ein äußerst harmloses Prinzip zu sein. Trotzdem werden daDenotationen von Ausdrücken wie mehr als zehn und weniger als neun

oder

alle oder nicht alle ausgeschlossen, da diese auf jeder Grundmenge

vial

sind.

Für spätere Ergebnisse ist es sinnvoll, zwei Verschärfungen von

NONTBIV einzuführen. ACT( i v i t y ) : Q ist auf jeder nicht-leeren Grundmenge nicht trivial. VAR(iety):

tri-

Für alle A und alle nichtleeren Teilmengen a von A gibt es

45

b und b' mit: Qab und -Qab

leicht zu sehen, daß dies zu Linearität

->Qba -· a = b gdw. -•("'Qab

--Qba) v a = b gdw.

47

Qab v Qba v a = b (Linearität). Man sieht an diesen Ergebnissen, daß die Eigenschaften Reflexivität und Antisymmetrie einer

bzw. Irreflexivität

etwas

und Linearität extrem restriktiv sind. Mit

aufwendigeren Argumentation wird nun gezeigt, daß Transitivität

allein bereits sehr restriktiv

ist.

Satz 2.3; Falls Q transitiv ist, Beweis:

Angenommen

wobei a n b in haltene

mit Qab, dann gilt: a £ b oder Qa0.

Qab, jedoch b C a und b

a echt enthalten ist.

Es sei nun c eine minimal in a ent-

Menge (c ist minimal in a enthalten, falls gilt: c C a und für

alle b falls b C a, dann c S b . ) mit leere

a. Wegen KONS gilt Qa anb,

Menge

Qac. Zu beweisen ist,

daß c die

ist.

Angenommen dies ist nicht der Fall. Man wählt dann ähnlich wie in Lemma 2.2

eine

Menge

a* mit | a * | = |a| und a' n a = c (dies ist möglich wegen

EXT). Da Qac, gilt auch Qaa'. Für den weiteren Gang der Argumentation

ist

nun das Prinzip QUANT von entscheidender Bedeutung. Man wählt eine Permutation p, die sämtliche Elemente in c und jene, die nicht in a u a* liegen, fest läßt. Die Mengen a\c und a'\c dagegen werden vertauscht. Wegen QUANT gilt:

Qp[a] p[c]. Da p a auf a' abbildet (c bleibt unter p f e s t ) , folgt

auch

Qa'c.

echt

in

Da angenommen wurde, daß c nicht leer ist und ferner, daß c

a' enthalten ist,

ist es möglich, Elemente d bzw. d' aus c bzw.

a'\c zu wählen. Die Permutation p' bildet nun d auf d 1 ab, alle anderen Elemente werden durch p' auf sich selbst abgebildet. Erneut wegen QUANT gilt daher: Q p ' t a 1 ] p ' [ c ] . Da p' a' auf sich selbst abbildet, erhält man: Qa'p'[c],

Aus der

Transitivität von Q und der Tatsache, daß Qaa' sowie

Qa'p'tc],

folgt Qap'[c]. Mit KONS also: Qa anp'[c]. Da nun d 6 a, aber

d t p ' [ c ] und d' 6 p ' [ c ] , aber d' t a, ist a n p ' [ c ] echt in c enthalten. Dies widerspricht jedoch der Minimalität von c. Nimmt man zur Transitivität noch die Eigenschaft Reflexivität hinzu, so erhält

man alle

niert

sowie gewisse Varianten dieses Quantors, die wie folgt defin

sind: alle ab gdw. a C b oder |a|

< n (Man beachte den Unterschied zu

allen). Die

folgenden Ergebnisse demonstrieren nicht nur die N ü t z l i c h k e i t der zah-

lentheoretischen Repräsentation von Quantoren, sondern liefern auch eine Charakterisierung

der

transitiven Quantoren. Der erste Schritt besteht darin,

die Eigenschaft Transitivität im zahlentheoretischen Rahmen auszudrücken. Dazu betrachte man folgendes Diagramm:

48

(2.8)

xa

Die χι ( i = Ι , , . , , β ) sind die Kardinalzahlen der jeweiligen Mengen, also z.B. X4 = |(a\buc)| oder X2 = | ( { a n b ) \ c ) | (mit EXT). Sei Q ein Quantor, also eine zweistellige Relation zwischen Teilmengen von A. Sei QN die diesem Quantor entsprechende zweistellige Relation zwischen nat rlichen Zahlen. Dann ist Q transitiv gdw. gilt: ( 2 . 9 ) F r alle xi, Q N ( x 3 + x 4 , x i + x 2 ) A Q N ( x 2 + x s , x i + x e ) —> Q N ( x 2 + x 4 , χ ι + x a ) , |a\b|,|anb| |b\c|,|bnc| |a\c|,|anc| Also mit Lemma 2.1: Qab Λ Qbc -» Qac. Sei

nun χ = |a\b[, y = |anb| und z = |b\a|. Aus Satz 2.3 erh lt man so-

fort das Korollar 2.3.1: Falls Q transitiv ist, dann gilt: Q N ( x , y ) -» χ = 0 v Q ( x + y , 0 ) , Beweis: in die

Hier handelt es sich nur um eine bersetzung von a S b oder Qa0 zahlentheoretische Schreibweise, denn a £ b gdw. χ = 0 und Qa0

gdw. Q N ( x + y , 0 ) .

49

Die beiden folgenden Lemmata werden für den Beweis von Satz 2.4 benötigt, sind ansonsten aber nur technisch interessant. Lemma 2.4; Falls Q transitiv ist, dann gilt: QN(x+y,0) -» Q N ( x , y ) , bzw. in mengentheoretischer Schreibweise: Qa0 ·* Qab. Beweis: Man setze in ( 2 . 9 ) xi = xz = xe = 0 und xs = X3 + X4. Dann erhält •an: Q N ( x a + X 4 , 0 ) -· Q N ( X 4 , X 3 ) . Wegen der Wahl von x i , X 2 , xs und xs gilt, X3 + X4 = + y = |a|; ferner x« = |a\b| und X3 = |anb|. Also: QN(x+y,0) ·* QN(x,y). Lemma 2.5: Sei Q ein transitiver Quantor. Falls QN(0,x+y) und falls Q N ( u , v ) für u , v mit u * 0 und ferner u+v > x+y, dann Q N ( x , y ) . Beweis; Man setze in ( 2 . 9 ) xa = X4 = 0. Daraus folgt: QN(0,xi+X2) QN(x2+xs, + ) -· Q N ( x 2 , x i ) . Da xi+x2 = x+y und QN(0,x+y) laut Voraussetzung, wäre das Lemma bereits bewiesen, falls gezeigt werden könnte, daß Q N ( x 2 + x s , x i + x 6 ) . Das heißt jedoch, daß man Zahlen w i , wz finden muß, mit wi > und wa £ y. Es wird nun gezeigt, daß u und v so gewählt werden können. Auf Grund der Annahmen des Lemmas können nämlich stets u ' , v' konstruiert werden, mit u' > und v' > y und Q N ( u ' , v ' ) . Daraus folgt, daß man sich diesen Umweg sparen und dieselben Annahmen für u,v machen kann. Es bleibt nun nur noch zu zeigen, wie u' und v' aussehen müssen. Sicherlich kann man wegen der Voraussetzung des Lemmas annehmen, daß * 0. Man setzt nun u' = und v' = u+v-x. Daraus folgt u' > und v 1 > y, da u+v > x+y (nach Voraussetzung). Ferner gilt: u ' + v ' = x+(u+v-x) = u+v. Wegen Korollar 2.3.1 und = u * (J folgt Q N ( u ' + v ' , 0 ) und daraus mit Lemma 2.4 QN(u'.v'). Mit dem folgenden Quantoren.

Satz erhält man eine Charakterisierung der transitiven

Satz 2.4; Q ist transitiv gdw. es Mengen von natürlichen Zahlen X,Y gibt, wobei X y+0. Damit ist

gezeigt, daß für transitive Q die Bedingung von

Satz 2.4 gilt. Mit Satz 2.4 lassen sich die transitiven Quantoren leicht im Zahlenbaum geometrisch veranschaulichen. Aus dem ersten Adjunkt folgt, daß für jede Zahl w =

x+y e X die ganze horizontale Reihe ein Element des Quantors ist.

zweiten

Adjunkt

Aus dem

folgt, daß alle Punkte ( 0 , y ) y e Y der rechten Spalte in QN

liegen. (2.10)

x+y = 2 6 X

yeY

Das

Prinzip

VAB reduziert die transitiven Quantoren drastisch und liefert

zwei prototypische Fälle. Korollar

2.4.1 (VAB):

Die einzigen transitiven Quantoren sind alle und

allei. Beweis; aus

VAB impliziert,

daß nur zwei Möglichkeiten für die Mengen X, Y

Satz 2.4 in Frage kommen.

51

(a) X = 0 und (b)

.

= {0} und

(vgl.

hierzu

Zeile

außer

halb

= =

\{0}.

die Darstellung im Zahlenbau·. Aus VAR folgt, daß in jeder der ersten wenigstens ein Paar ( x , y ) in und ein Paar außer-

des Quantors liegen muß.) Bei (a) handelt es sich dann ÜB alle, und

bei (b) um allei. Das

nächste

Korollar

charakterisiert nun vollständig die transitiven und

reflexiven Quantoren. Korollar

2.4.2:

0

alle ab für n

Die einzigen transitiven und reflexiven Quantoren sind 1. Man beachte, daß alle1ab gdw. alleab.

Beweis: Es ist klar, daß diese Quantoren transitiv und reflexiv sind. Für

die

schaft

Umkehrung

ist die zahlentheoretische Repräsentation der Eigen-

Reflexivität wichtig. Q ist reflexiv gdw. für alle a Qaa gdw. we-

gen Lemma 2.1 und |a\a| Sei

= |0| = 0, sowie |a n a| = a Q N ( 0 , y ) für alle y.

nun Q reflexiv und transitiv und sei n die kleinste Zahl w, für die

QN(w,0)

nicht

gilt.

Diese Zahl existiert wegen Lemma 2.4 und dem Prinzip

NONTRIV. Da Q N ( 0 , x ) für alle x, setzt man die Mengen folgt.

X = { 0 , . . . , n - l } und

,

aus Satz 2.4 wie

= {y; y > n}. Daraus folgt sofort, daß Qab

gdw. alle"ab. In den folgenden Abschnitten werden ein Quantor Q und sein zahlentheoretisches Pendant QN miteinander identifiziert. Qxy kann also auch für Q N ( x , y ) stehen. Es sollte aus dem Zusammenhang klar werden, welche Repräsentation relevant Die

ist. Postulate

Quantoren

die

VAR bzw. ACT haben häufig den Effekt, aus einer Menge von prototypischen

Fälle herauszufiltern, wie die folgenden Bei-

spiele zeigen. Korollar 2 . 4 . 3 (ACT): Der einzige reflexive und transitive Quantor ist alle Beweis:

Angenommen Q = alle™ für ein n > 2. Sei A die Grundmenge eines

Modells

mit |A| = 1. Dann gilt Q = P ( A )

P ( A ) , d.h. Q ist

trivial auf A

im Widerspruch zu ACT. Ein

ähnliches

Resultat erhält man mit Hilfe von ACT für einige. Natürlich

ist einige symmetrisch und quasireflexiv. Mit ACT läßt sich zeigen, daß eini-

52

ge der prototypische Quantor mit diesen Eigenschaften ist. Man benötigt hierfür ein Lemma, das auch unabhängig von Satz 2.5 interessante Informationen über symmetrische Quantoren liefert. Für den Beweis reichen die Prinzipien KONS und EXT. Lemma 2.6; Die folgenden Aussagen sind äquivalent. (a) Q ist symmetrisch. (b) Qab gdw. Qanb anb. Beweis; (a) —> (b) Angenommen Q ist symmetrisch. Qab gdw. (KONS) Qa anb gdw. (Symmetrie) Qanb a gdw. (KONS) Qanb anb. (b) —> (a) klar.

Satz 2.5 Quantor.

(ACT):

einige ist der einzige symmetrische und quasireflexive

Beweis; Sei Q ein beliebiger symmetrischer, quasireflexiver Quantor. Angenommen a n b * 0. Zu zeigen: Qab. Da a n b nicht leer ist, ist auch die Grundmenge A nicht leer. Also gibt es wegen ACT eine Menge m mit Qanb m. Aus der Quasireflexivität von Q folgt Qanb anb, und mit KONS Qanb a. Da Q auch symmetrisch ist, gilt: Qa anb. Daraus folgt schließlich mit KONS Qab. Sei nun Qab und a n b = 0. Es wird gezeigt, daß dies dem Postulat ACT widerspricht. Aus a n b = 0 folgt wegen KONS Qajj. Den Widerspruch zu ACT erhält man, indem man nachweist, daß Quv für beliebige Mengen u,v gilt. Denn in diesem Fall ist Q = P ( A ) P ( A ) und damit trivial. Seien nun u,v Teilmengen von A. Da Q symmetrisch ist, folgt aus Qa0 Q0a. Mit KONS erhält man erstens Q00 und zweitens Q0 unv. Mit Symmetrie: Qunv 0. Weil Q auch quasireflexiv ist, gilt: Qunv unv. Wendet man darauf Lemma 2.6 an, so ergibt sich Quv. Ohne ACT gilt auch hier nur die schwächere Aussage, daß Q symmetrisch und quasireflexiv ist gdw. Q = einigek für k > l ist, wobei einigekab gdw. |anb| > k. Dieser Quantor ist also die Denotation für den Ausdruck wenigstens k. Mit Lemma 2.6 und Satz 2.1 ist es einfach, die Resultate in Korollar 2.1.2 zu zeigen. Korollar 2.1.2; Es existieren keine Quantoren mit den folgenden Eigenschaften: (a) Symmetrie und Transitivität, (b) Symmetrie und Antieuklidizität,

53

(c) Symmetrie und Irreflexivität, (d) Symmetrie und Reflexivitat, (e) Reflexivität und Quasiunversalität. Beweis;

Bewiesen werden nur (a) und ( c ) , denn (b) ist analog zu ( a ) , und

der Rest ist trivial. (a) daß

Angenommen ein Quantor Q ist symmetrisch und transitiv. Man zeigt, Q dann auch euklidisch sein muß, und erhält damit einen Widerspruch

zu

Satz

gilt.

2.1.

Sei

nun Qab

Da Q symmetrisch

ist,

Qac gegeben. Nachzuweisen ist,

daß auch Qbc

folgt aus Qab A Qac sofort Qba

Qac und

mit Transitivität Qbc. (c)

Angenommen Q ist

symmetrisch und irreflexiv. Also: Qab ·* Qba und

-Qba

(Transitivität)

(Asymmetrie)

Qab

Qab

Qbc

Qac

Qbb

Qca

Qbc

(Zirularität)

bewiesenen Nicht-Existenz-Resultate

Asymmetrie,

(Refexivität)

Qab

(schwache Reflexivität) Die

Qaa

zeigen,

(Eudklidizität) daß

die Schlußschemata

Zirkularität und Euklidizität für keine (nichttrivialen) Quanto-

ren gültig sind. Andererseits charakterisieren die Schlußschemata Transitivität

und Reflexivität (modulo einiger Varianten) den Aliquanter. In den ange-

führten Schemata kommt allerdings nur ein Quantor vor. Aus der traditionellen Syllogistik

kennt man jedoch Schlußschemata, in denen mehrere Quantoren eine

54

Rolle spielen; z.B. (2.12) Qiab Qzca Qzcb Dies ist das Schema Datisi und wird von Qi = kein und Qz = alle erfüllt. Eine systematische, logische Fragestellung lautet: Welche Schemata determinieren etwa das Paar von Quantoren , d.h. welche Schemata werden nur von diesen Quantoren erfüllt? Diese Frage läßt sich natürlich für beliebige Tupel von Quantoren < Q i , . . . , Q n > stellen. Ein negatives Teilresultat, das besagt, daß die klassische Syllogistik selbst zu schwach ist, um das Paar zu determinieren, wird in den folgenden Satz festgehalten. Satz 2.6; Die vollständige syllogistische Theorie von alle und einige wird genau durch die Paare alle" und einige" für n > l erfüllt. Erweitert man die Sprache der Syllogistik um Boolesche Kombinationen - also Kombinationen mit , U und Komplement -, so läßt sich zeigen, daß die Quantoren alle und einige sich in der Sprache LBOOLE durch bestimmte Schemata determinieren lassen. Man beachte, daß es in diesem Fall reicht zu zeigen, daß alle determinierbar ist, denn einige ist in LBOOLE durch alle ausdrückbar und ein Quantor Q ist in LBOOLE determinierbar gdw. ->Q-< in LBOOLE determinierbar ist. Sei nun S eine Menge von Schemata, die besagen, daß Q transitiv und reflexiv ist. Wegen Korollar 2.4.2 kann man annehmen, daß Q = alle" ist. Man erweitere nun S zu S' durch das folgende Schema: (2.13) Q--aa

Q--bb -· Q--anb anb.

Q-< ist dabei wie folgt definiert: Q--ab gdw. Qa(A\b) gdw. QaCxb (Diese Art der Quantorennegation wird im nächsten Abschnitt systematisch eingeführt.). Dieses Schema läßt sich wegen der darin verwendeten Boolsehen Operationen nicht in einer rein syllogistischen Sprache ausdrücken läßt. Satz 2.7; S' determiniert alle. Beweis: Es ist klar, daß alle S* erfüllt. Angenommen Q ist ein beliebiger logischer Quantor, der S* erfüllt. Es gilt Q = alle0 für ein n > 1. Da Q auch das zusätzliche Schema erfüllt, gilt ferner: ( | a | < n v a S Ca)

55

( | b | < n v b C Cb) -> (|anb| < n v anb C C ( a n b ) ) . Weil a C Ca usw. stets falsch ist, ist dies äquivalent zu: |a| < n |b| < n - » |anb| < n. Da dies für beliebige Mengen a,b gilt, folgt n = 1.

2.4 Monotonie und Negation

Eine der linguistisch interessantesten Eigenschaften bestiBinter Quantoren ist die Monotonie. Diese Eigenschaft restringiert das Verhalten eines Quantors, wenn seine Argumente vergrößert oder verkleinert werden. Definition 2 . 2 : Ein Quantor Q ist (a) monoton wachsend (in rechten Argument) = MONti falls gilt: Wenn Qab und b C b ' , dann Qab'. (b) monoton fallend (im rechten Argument) = MONJ,, falls gilt: Wenn Qab und b' C b, dann Qab'. (c) monoton wachsend (im linken Argument) = |MON, falls gilt: Wenn Qab und a C a ' , dann Qa'b. (d) monoton fallend (im linken Argument) = J.MON, falls gilt: Wenn Qab und a' C a, dann Qa'b. Beispiele für Quantoren sind: alle, einige, wenigsten k, viele1, die •eisten. MONJ. Quantoren sind: kein, nicht alle, höchstens k. Ferner sind einige, nicht alle 4.MON und alle, kein sowie höchstens k Beispiele für iMON Quantoren. überhaupt kein Monotonieverhalten zeigen dagegen die Quantoren genau ein, alle außer fünf, zwischen drei und zehn und viele 2 . Monotone Quantoren zeigen ein charakteristisches Muster im Zahlenbaum, das häufig dazu benutzt werden kann, aufwendige Argumentationen zu vereinfachen. : Es gilt: Qab und b £ b 1 , dann Qab1 gdw. Qx.y mit = |a\b'| und y = |anb'|. Daraus folgt, daß für jeden Punkt ( x , y ) , der im Quantor liegt, die Punkte in der Fläche oberhalb der Diagonale durch ( x , y ) nach rechts Elemente von Q sind, denn alle Punkte ( x ' , y ' ) mit x 1 < und y' > y gehören zu Q.

56

(2.13)

(x,y) = ( ΐ , ΐ )

MONJ,: Sei Q monoton fallend und b' C b, dann gilt: |a\b'| > |a\b| und janb'|


|anb|. Damit liegt das gesamte Dreieck unterhalb

eines Punktes ( x , y ) 6 Q wieder in Q. (2.15)

iMON: Falls a' C a werden in diesem Fall die Mengen a'\b und a'nb beide kleiner. 6 Q in Q.

Daher liegt jeder Punkt im Viereck oberhalb eines Punktes ( x f y )

57

(2.16)

Vergegenwärtigt man sich das Bild von alle i· Zahlenbaum, so sieht man leicht, daß dieser Quantor doppelt monoton ist, nänlich iMONT· Andere doppelt monotone Quantoren sind einige, wenigstens k, die von Nonotonietyp TMONT sind. Die Determinatoren höchstens k, kein haben dagegen Typ J,MONJ,. Da nicht alle ebenfalls doppelt monoton ist (TMON|), sind alle Quantoren im klassischen Quantorenviereck doppelt monoton. Löbner (1987a) zeigt, daß dieses Viereck auch für die semantischen Werte von Ausdrücken anderen Kategorien eine wichtige Rolle spielt. (2.17) IMONT alle

TMONJ, nicht alle

kein

einige TMONT

Mit den Prinzipien KONS und VAR läßt sich zeigen, daß dies die prototypischen Fälle doppelt monotoner Quantoren sind. Gleichzeitig ist die Argumentation im Beweis von Satz 2.8 eine interessante Demonstration der Stärke von VAR, da dieses Prinzip etwa die Quantoren wenigstens k oder höchstens k ausschließt, also für die Reduktion auf den klassischen Fall verantwortlich ist. Satz 2.8 (KONS.VAR): Die einzigen doppelt monotonen Quantoren sind die Quantoren im klassischen Quantorenviereck. Beweis: Der Beweis wird hier nur für den Fall Q = einige ausgeführt. Für die anderen Quantoren wird entweder analog argumentiert oder das Ergebnis durch Anwendung von Lemma 2.7 abgeleitet. Angenommen Q ist vom Typ TMONT. Zu zeigen: Q = einige. Falls a n b * 0, gibt es wegen VAR eine Menge u mit Qanb u. Wegen gilt: Qanb A; daraus folgt mit KONS Qanb anb. Da Q auch gilt ferner: Qa anb; und mit KONS Qab.

58

Umgekehrt sei Qab mit Q von Typ TMONT gegeben. Es soll gezeigt werden, daß a n b * 0 ist.

Angenommen a n b = 0. Dann erhält man mit KONS; Qab gdw

Qa anb gdw. Qa0. Da Q

ist,

folgt daraus für alle u Qau. Dies wider-

spricht jedoch VAR. Das

nächste

Quantoren

Ergebnis

ihren

zeigt,

Monotonietyp

daß bestimmte relationale Eigenschaften von determinieren. Zur Ableitung dieses Resultats

wird nur Prinzip KONS benötigt. Satz

2.9

(Zwarts):

Alle reflexiven und transitiven Quantoren haben Typ

J.MONT. Beweis;

Zuerst

wird gezeigt, daß Q im linken Argument fallend ist,

4.MON. Falls Qab und a* C a, dann Qa'a', da Q reflexiv ist

also

und wegen KONS

Qa' a'na gdw. Qa'a. Aus der Transitivität von Q folgt: Qa'b. : Seien Q und b C b' gegeben. Wiederum wegen der Reflexivität von Q folgt:

Qbb. Da Q konservativ

ist,

gilt: Qb bnb' gdw. Qbb'. Mit der

Transitivität von Q erhält man schließlich: Qab'. Rechtsmonotonie Verallgemeinerung glische. alle

der entscheidende Begriff in der folgenden empirische

von Ladusaw (1979, 1983) und Fauconnier (1975) für das En-

Man beachte,

gilt:

fallende

ist

daß für einen (rechtsmonoton) wachsenden Quantor wie

Falls b C b ' , dann folgt aus alleab alleab'. Für (rechtsmonoton)

wie kein dagegen gilt: Falls b C b ' , dann folgt aus keinab' keinab.

Ladusaw und Fauconnier nannten deshalb wachsende Quantoren implikationserhaltend,

fallende dagegen implikationsumkehrend. Die Ladusaw Fauconnier Genera-

lisierung ( L F G ) , die die Distribution sogenannter negative polarity items wie any oder ever b e t r i f f t , lautet nun wie folgt. (2.17) negative

LFG: Im Englischen lizensieren implikationsumkehrende Ausdrücke polarity

items in ihrem Skopus; implikationserhaltende dagegen

nicht. Dabei ist ein Ausdruck implikationserhaltend bzw. implikationsumkehrend, falls alle Denotate des Ausdrucks implikationserhaltend bzw. -umkehrend sind. Zum Beipiel erwartet man auf Grund der LFG, daß die Ausdrücke in (2.18) negative polarity items lizensieren. (2.18) at most five, fever than six, none of the five, no student's, no.

59

Wie die Beispiele in (2.19) zeigen t r i f f t dies auch zu. ( 2 . 1 9 ) (a) Fewer than six students answered any question correctly. (b) At most five teachers saw any boys in their class. (c) None of the five boys saw &ny lion in the zoo. (d) No student's friend has ever been to Italy. Vergleicht man dazu wachsende Ausdrücke wie some, every, aost of the, every student's,

so

lizensieren. Ausdrücke

ist

Die

leicht zu sehen, daß diese keine negative polarity items LFG ist nicht nur auf die Kategorie der quantifizierenden

beschränkt, Ausdruck

z.B. ist in der Kategorie der subordinierten Konjunk-

tionen

der

if

implikationsumkehrend,

der

Ausdruck when dagegen

nicht;

bei Präpositionen gilt, daß without implikationsumkehrend ist,

im Ge-

gensatz zu with. Dies erklärt die Beispiele in ( 2 . 2 0 ) . ( 2 . 2 0 ) (a) I f John saw anyone in the garden ... ( a 1 ) * When John saw anyone in the garden ... (b) John solved the problem without any help, ( b ' ) * John solved the problem with any help. Weitere nen ren,

Indizien für die Korrektheit der LFG erhält man, wenn man Negatio-

von Quantoren betrachtet. Am Quantorenviereck läßt sich gut demonstriedaß

zwei Arten von Negation zu unterscheiden sind. Die eine entspricht

der Satznegation, die andere der VP-Negation. Beispielsweise gilt alleab gdw. -•einigea (A\b), denn an(A\b) = 0 gdw. a C b. Ebenso gilt keinab gdw. --einigeab und

nicht

viereck ren.

alleab gdw. einigea ( A \ b ) . Das heißt alle Quantoren im Quantoren-

lassen

sich durch einige und die beiden Arten der Negation definie-

Neben der äußeren Negation definiert man daher die innere Negation oder

VP-Negation

(Man findet

in

Hörn

(1987) eine ausführliche historische und

systematische Diskussion dieser und vergleichbarer Beispiele.). Definition

2.3:

(a)

Die

innere Negation Q-· eines Quantors Q ist:

gdw. Qa (A\b). (b) Der duale Quantor Q* eines Quantors Q ist:

Q~ab gdw. -•(Q-'ab).

In 2.21(b) handelt es sich um die innere Negation des Quantors alle. (2.21) (a) Nicht alle Studenten sind sportlich, (b) Alle Studenten sind nicht sportlich.

Q--ab

60

Die semantische Analyse von (2.21) sieht demnach wie in (2.22) aus. ( 2 . 2 2 ) (a) ->alle(Student,sportlich) gdw. sportlich i Student. (b) alle->( Student, sportlich) gdw. Student C (A\sportlich). Es ist nicht schwer zu sehen, daß Q-· genau dann konservativ ist, wenn Q konservativ ist. Auch die Prinzipien QUANT und EXT werden von Q-· genau dann erfüllt, wenn sie von Q erfüllt werden; d . h . , daß die Klasse der logischen Quantoren unter innerer Negation abgeschlossen ist. Analog gilt diese Aussage für

die

auch

äußere Negation. Daraus folgt nun, daß für jeden logischen Qantor Q

der duale Quantor Q~ ein logischer Quantor ist. Dies ist nicht trivial,

denn für den Fall, daß man die innere Negation wie folgt definiert: Q°ab gdw. Q(A\a)

b,

gilt nicht, daß Q° genau dann konservativ ist, wenn Q konservativ

ist.

Auf Grund

auch

Q° konservativ ist, aber umgekehrt folgt aus Q(A\a) (A\anb) nicht auch

Q(A\a)

b. Für

der Definition ist zwar klar, daß, falls Q konservativ ist, mehrstellige Quantoren kann man analog eine innere von einer

äußeren Konjunktion bzw. eine innere von einer äußeren Adjunktion unterscheiden. In Tabelle 2 sind Beispiele für innere und äußere Negationen, sowie duale Quantoren zusammengefaßt. Tabelle 2 Q

einige

-Q

Q-

kein

nicht alle

Q"

alle

alle

nicht alle

kein

einige

kein

einige

alle

nicht alle

höchstens die

weniger als die

die meisten

wenigstens die

Hälfte höchstens n

ihr als n

alle außer höchstens n

viele

wenige

alle außer einige wenige

unendlich

höchstens

alle außer

61

viele

endlich viele

endlich viele

Das folgende Lemma zeigt, daß das Monotonieverhalten eines Quantors Q das seiner Negationen und danit seiner dualen Quantoren bestimmt. Lemma 2.7; (a) Äußere Negation verändert die Richtung von Rechts- und L i nksmonotoni e. (b) Innere Negation verändert die Richtung von Rechtsmonotonie, erhält aber die Richtung von Linksmonotonie. (c) Die Bildung von Dualen erhält Rechtsmonotonie und verändert Linksmonotonie. Beweis; (a) Angenommen Q sei im rechten Argument monoton wachsend, und im linken monoton fallend. Zu zeigen: Falls -ab*. Da b' C b, gilt: (A\b) C ( A \ b f ) . Daraus und der Tatsache, daß Q im rechten Argument wachsend ist, folgt Qa (A\b') also Q->ab*. Die übrigen Fälle werden wieder analog bewiesen. (c) Dies folgt sofort aus (a) und ( b ) , da Q"ab gdw. ->(Q->ab). Es ist klar, daß dieses Lemma den Beweis von Satz 2.8 vervollständigt. Eine Gemeinsamkeit der beiden Negationen ist, daß sowohl -·-·Q, im Gegensatz zur inneren Negation, denn für genau die Hälfte gilt, daß genau die Hälfteab = genau die Hälfte-ab, da |anb| = |a\b| gdw.|a\(A\b)| = |an(A\b)| gdw. genau die Hälfte-·ab, d.h. die innere Negation besitzt im Gegensatz zur äußeren Negation Fixpunkte. Ferner ist leicht zu sehen, daß --(Q"·) = (-•Q)-· ist, daß man also bei der Definition des dualen Quantors die Klammern nicht benötigt. Lemma 2.7 und die LFG erklärt nun die Unterschiede in Beispiel (2.23). (2.23) (a) No student but John saw any tigers, ( a ' ) *Every student but John saw any tigers.

62

(b) At most half of the boys saw any birds in the garden, (b' ) Less than half of the boys saw any birds in the garden, ( b ' ' ) *Most boys saw any birds in the garden. Fur den Rest dieses Kapitels ist es günstiger die Quantoreninterpretationen unter

der

lich

davon

funktionalen Perspektive zu betrachten. Die Resultate sind natürunabhängig,

doch

läßt sich der Gang der Argumentation leichter

verdeutlichen, wenn man Quantoren und NP-Denotationen als Funktionen betrachtet.

Bisher

sucht. der

wurden nur quantifizierende Ausdrücke in Subjektposition unter-

Für Ausdrücke in Objektposition ist es nötig, den Definitionsbereich

Funktionen, die die entsprechenden NPs interpretieren zu erweitern, denn

üblicherweise sind NP-Denotationen Funktionen mit Definitionsbereich P ( A ) und Wertebereich

{1,0}.

Abbildungen

von P(A

Durch

"type shifting" bildet man aus diesen Funktionen

) in P ( A ) . Dies ist leicht an einem Beispiel einzuse-

hen. In einem Satz wie ( 2 . 2 4 ) Jeder Student liest ein Buch. wird

die Objekt-NP ein Buch als Funktion interpretiert, die die zweistellige

Relation lesen auf die Menge aller Personen abbildet, die wenigstens ein Buch lesen. Um dies knapp auszudrücken ist folgende Definition nützlich. Definition 2.4: (a) Rb bezeichne die Menge aller x, für die R ( b , x ) gilt; also Rb = {x; R ( b , x ) } . (b) R b bezeichne die Menge aller x, für die R ( x , b ) gilt; also R b = {x; R ( x , b ) } . Damit

erhält

die

VP liest ein Buch als Interpretation die folgende Menge

{b; Ein Buch(lesenb) = 1} = {b; Buch n leaenb i %}· Man betrachte nun die Satzpaare in ( 2 . 2 5 ) . ( 2 . 2 5 ) (a) Jeder Student las weniger als zehn Bücher, ( a ' ) Kein Student las mindestens zehn Bücher. (b) Weniger als zwei drittel der Studenten lasen ein Buch, ( b ' ) Mindestens ein drittel der Studenten las kein Buch. (c) Die meisten Studenten lasen weniger als zehn Bücher. (c')

Weniger

als die Hälfte der Studenten lasen wenigstens zehn Bücher.

(d) Alle außer fünf Studenten lasen mehr Aufsätze als Bücher. (d')

Genau

fünf Studenten lasen wenigstens so viele Bücher wie Aufsätze.

63

Die Satzpaare in ( 2 . 2 5 ) sind offensichtlich äquivalent. Dabei handelt es sich bei der Subjekt-NP der Sätze ( 2 . 2 5 ) ( a ' ) - ( d ' ) u· die innere Negation der entsprechenden Subjekt-NPs in ( 2 . 2 5 ) ( a ) - ( d ) , bei den Objekt-NPs dagegen um die äußere Negation. Das heißt, daß sich der Zusammenhang zwischen den Satzpaaren ( 2 . 2 5 ) allgemein wie in ( 2 . 2 6 ) ausdrücken läßt. ( 2 . 2 6 ) Sei R eine zweistellige Relation. Es gilt: NPs(NPo(R)) = ( ~·) (--NPb(R) (Man beachte, daß hier die Begriffe innere und äußere Negation auf NPDenotationen und nicht auf Quantoren angewendet werden. Die Definition dieser Begriffe für diesen Fall erfordert jedoch nur eine triviale Änderung der entsprechenden Klauseln für Quantoren.) Der Beweis von ( 2 . 2 6 ) besteht aus einer einfachen Rechnung. Nach Keenan (1987c) heißt ( 2 . 2 6 ) das schwache transitive Negationsgesetz. Interessant ist, daß, abgesehen von einigen Ausnahmen, ( 2 . 2 6 ) die einzige Äquivalenz dieser Art ist. Die Ausnahmen beziehen sich auf solche NPs, deren Denotation NONTRIV verletzen, also etwa weniger als null Bücher. Ausgeschlossen sind also Funktionen, die stets konstant sind. Der Beweis dieses Resultates ist allerdings etwas aufwendiger. Satz 2.10 (NONTRIV); (Das starke transitive Negationsgesetz) Sei R eine zweistellige Relation und seien F,G und F ' , G ' beliebige NP-Interpretationen, dann gilt: F ( G ( R ) ) = F ' ( G ' ( R ) ) gdw. entweder F = F' und G = G' oder F' = F-· und G' = -G. Beweis; Die Richtung von rechts nach links ist (2.26). Angenommen also F-G = F ' - G ' . Zu zeigen: F = F' und G = G' oder F' = Fund G' = -G. Falls gelten würde, daß aus G(0) = G ' ( 0 ) F' = F und G' = G folgt, wäre Satz 2.10 durch eine einfache Rechnung zu beweisen, denn für den Fall G(0) ¥ G ' ( 0 ) gdw. G ' ( 0 ) = ( - G ) ( 0 ) gilt: F 1 - G ' = F-G = ( -·)·(->6) (nit ( 2 . 2 6 ) ) . Wegen der oben gemachten Annahme folgt nun sofort, daß F' = F-· und G' = --G ist. Es bleibt also diese Annahme zu beweisen. Dies erfolgt durch zwei Lemmata und ein Korollar. Lemma 2.8: Sei H eine NP-Denotation mit H(0) = 0, dann gilt für alle Mengen u: (a) H(u 0) = 0. (b) Falls H ( v ) = l, dann H(u v) = u. Beweis:

(a) H(u

0) = {b; H(z

0) b = 1} = {b; H({a; ( b , a ) 6 (z

0)})}

64

= {b; H ( 0 ) = 1} = 0. (b) H(u χ v) = {b; H(u χ v ) b = 1} = {b; H({a; (b,a) e (u χ ν)}) = 1}. Da H ( v ) = l ist, ist diese Menge gleich u.

Lemma 2.9; Gegeben seien F, G und F ' , G' mit G(0) = G ' ( 0 ) = 0. Es gilt: Falls F«G = F ' - G ' ist, dann F = F' und G = G'. Bewe i s: Im ersten Schritt wird gezeigt, da F = F' ist. Angenommen es gibt eine Menge v mit G ( v ) = G 1 ( v ) = l, d.h. v Φ t. Dann gilt f r alle u wegen Lemma 2 . 8 ( b ) : F ( u ) = F(G(u χ v ) ) = F ' ( G ' ( u χ v ) ) = F ' ( u ) , wieder wegen Lemma 2.8(b). Daraus folgt, da u beliebig war, da F = F'. Angenommen es gibt nun kein v mit G ( v ) = G ' ( v ) = 1. Da NONTRIV vorausgesetzt wird, gibt es Mengen u, w mit G ( u ) = G ' ( w ) = 1. Daraus folgt, da u, w * 0 und wegen der obigen Annahme, da G ( w ) = G ' ( u ) = 0 ist. G bildet also u auf l und w auf 0 ab, G* dagegen w auf l und u auf 0. Sei nun z eine beliebige Menge. Es gilt wegen Lemma 2.8(b) und G ( u ) = 1: F ( z ) = F ( G ( z χ u ) ) . Ferner F(G(z χ u) = F ' ( G ' ( z x u ) ) = F ' ( { b ; G ' ( { a ; (b,a) e (z χ u ) } ) = 1}). Da G ' ( u ) = 0, ist die Menge {b; G'({a; (b,a) € (z χ u ) } ) leer und somit F ( z ) = F ' ( 0 ) · Analog zeigt man, da F ' ( z ) = F ( 0 ) ' , denn F ' ( z ) = F ' { G ' ( z χ w ) ) = F ( G ( z χ w ) ) = F ( 0 ) . Da au erdem F ( 0 ) = F(G(0 χ 0 ) ) = F ' ( G ' ( 0 χ 0 ) ) = F ( 0 ) und z eine beliebige Menge war, folgt F = F'. Im zweiten Schritt wird nun gezeigt, da G = G'. Wegen NONTRIV gibt es Mengen u, v mit F ( u ) # F ( v ) . Angenommen G * G ' ; d . h . , da es eine nichtleere Menge w gibt mit G(w) * G ' ( w ) . Ohne Beschr nkung der Allgemeinheit kann man annehmen, da G ( w ) = l und G ' ( w ) = 0 ist. Es gilt wegen Lemma 2 . 8 ( b ) , G ( w ) = l und der bereits bewiesenen Tatsache, da F = F': F ( u ) = F(G(u χ w ) ) = F ' ( G ' ( u χ w ) ) = F ( G ' ( u χ w ) ) . Weil G ' ( w ) = 0, gilt ferner: F ( G ' ( u χ w ) ) = F ( 0 ) . Mit einer analogen Rechnung erh lt man, da F ( v ) = F ( 0 ) . Also: F{u) = F ( 0 ) = F ( v ) . Dies widerspricht jedoch der Annahme, da F ( u ) * F ( v ) . Also gilt: G = G ' . Korollar 2.9.1: Gegeben seien F,G und F ' , G ' mit G(0) = G ' ( 0 ) = 1. Es gilt: Falls F-G = F ' - G ' ist, dann F = F und G = G ' . Beweis: Wegen ( 2 . 2 6 ) gilt: ( Ρ ^ Μ - Ο ) = F-G = F ' - G ' = ( F ' ^ ) - ( - G ' ) . Da (-G) und (--G 1 ) beide die leere Menge auf 0 abbilden, erh lt man mit Lemma 2.9, da F-· = F'-· und --G = -^G'. Daraus folgt sofort F = F' und G = G'. Es

ist

klar,

da mit diesem Korollar die L cke im Beweis von Satz 2.10 ge-

65

schlössen

ist.

Man beachte, daß das transitive Negationsgesetz nur für solche Lesarten formuliert ist, bei denen die Objekt-NP engen Skopus hat. Eine Verallgemeinerung

diese Gesetzes für Fälle bei denen die Objekt-NP weiten Skopus hat,

jedoch

ist

nicht schwierig. Wie wird die Lesart von ( 2 . 2 4 ) mit weitem Skopus re-

präsentiert? ( 2 . 2 4 ) Jeder Student liest ein Buch. Man

erweitert hierfür den Definitionsbereich der Denotation von Jeder Stu-

dent in der bereits geschilderten Weise, d.h. Jeder Student wird als Funktion interpretiert, senden

die

Studenten

die

zweistellige Relation lesen auf die Menge aller le-

abbildet.

Mit Definition

( 2 . 4 ) ( b ) läßt sich dies wie in

( 2 . 2 7 ) ausdrücken. ( 2 . 2 7 ) Jeder Student (lesen) = (b; Student £ lesen15}. Die

Lesart

mit

weitem Skopus für die Objekt-NP erhält man nun, indem man

die Funktion Ein Buch auf die Menge in ( 2 . 2 7 ) anwendet. Also: (2.28) 1

lesen »} Generell

Ein

Bucht Jeder Student(lesen) = l gdw. Buch n {b; Student C

0. läßt

sich

festhalten,

daß diejenige NP-Denotation engen Skopus

hat,

die

die zweistellige Relation als Argument hat; diejenige, deren Argu-

ment

die

entsprechende Menge

tionsgesetz darauf

läßt

achten,

sich daß

nun

ist,

hat weiten Skopus. Das transitive Nega-

problemlos allgemeiner formulieren; man muß nur

die NP mit engem Skopus das "passende" Argument erhält,

denn die folgenden Fälle können nach Satz 2.10 auftreten. ( 2 . 2 9 ) (a) Fi-Gz = ( F i - ) ' ( - G z ) (b) Gz-Fi = ( G z - M - F i ) (2.30) ist nun die verallgemeinerte Form des transitiven Negationsgesetzes. ( 2 . 3 0 ) Seien F, G, H und K NP-Denotationen, dann gilt: F i - G j = ··

gdw.

j = n und F = H und G = K oder F = H-· und G = --K, wobei i , j , m , n e {1,2}. Es wurden bisher nur zweistellige Relationen betrachtet. Lassen sich ähnliche

Zusammenhänge auch für bitransitive Verben feststellen? Die Beispiele in

66

(2.31)

legen

es

nahe,

daß

in diesem Fall die dualen Quantoren eine Rolle

spielen. (2.31) (a) Alle Lehrer geben allen Schülern ein Buch, ( a ' ) Kein Lehrer gibt einigen Schülern kein Buch. (b) Alle Lehrer geben den meisten Schülern ein Buch. ( b ' ) Kein Lehrer gibt wenigstens der Hälfte der Schüler kein Buch. (c) Alle Lehrer geben vielen Schülern ein Buch. ( c ' ) Kein Lehrer gibt allen außer einigen wenigen Schülern kein Buch. Man beachte, daß die mittlere NP der Beispiele ( a ' ) - ( c ' ) jeweils den dualen

Quantor

aus den äquivalenten Sätzen (a) - (c) enthält (vgl. Tabelle 2).

Das heißt neben den Äquivalenzen, die das transitive Negationsgesetz liefert, ist noch folgende Situation zu beachten. (2.32)

Sei R eine dreistellige Relation und seien F, G, H NP- Denotatio-

nen. Dann gilt: F - G - H = (F-) · ( - G - ) - ( - - H ) Es

ist

ist,

klar,

wie der Definitionsbereich von NP-Denotationen zu erweitern

um dreistellige Relationen analog zu zweistelligen behandeln zu können

(vgl.

Definition

2.4).

Die Methode wird hier nicht allgemein geschildert,

sondern nur kurz an Beispiel ( 2 . 3 1 ) ( a ) erklärt, und zwar in jener Lesart, deren Skopus durch die syntaktische Abfolge der NPs gegeben ist. =

{c;

als:

Sei geben< a ,b>

e geben}. Dann wird der Ausdruck Ein Buch geben interpretiert Ein(Buch)(geben)

=

{; Buch n geben)a}. Abschließend wendet

man auf diese Menge die Funktion Alle Lehrer an und erhält: (2.31)(a)

ist

wahr gdw. die Menge der Lehrer eine Teilmenge der obigen Menge ist,

der

Denotation

von

also

allen Schülern ein Buch geben. Die Interpretationen für

die verschiedenen Skopusvarianten von ( 2 . 3 1 ) ( a ) werden analog zu ( 2 . 2 4 ) abgeleitet,

wobei

bei

dreistelligen Relationen natürlich mehr Möglichkeiten zu

berücksichtigen sind. Der

Beweis von (2.32) besteht wieder aus einer einfachen Rechnung. Die Ne-

gationen setz. (2.32) sind.

von

Faßt auch

F und H folgen dabei bereits aus dem transitiven Negationsge-

man Eigennamen die

als

Äquivalenzen

verallgemeinerte Quantoren auf, so erklärt in ( 2 . 3 3 ) , da Eigennamen zu sich selbst dual

67

(2.33) (a) Alle Lehrer erzählen Hans eine Geschichte, ( a ' ) Kein Lehrer erzählt Hans keine Geschichte, (b) Alle Lehrer erzählen Hans oder Fritz eine Geschichte, ( b ' ) Kein Lehrer erzählt sowohl Hans als auch Fritz keine Geschichte. Die

Beispiele

dung

( 2 . 3 3 ) ( b ) ( b * ) machen klar, daß auch bei Eigennamen die Bil-

von Dualen die ausschlaggebende Regelmäßigkeit ist. Mit ( 2 . 3 2 ) hat man

jedoch

nur die schwache Version eines Negationsgesetzes für dreistellige Re-

lationen; ob die Umkehrung gilt, bleibt offen.

2.5 Starke Quantoren

2.5.1 "there are"-Sätze Man

betrachte

die

Grammatikalitätsunterschiede

in

den folgenden "there

are"-Sätzen. ( 2 . 3 4 ) (a) There are no cigars, ( a * ) *There are all cigars. (b) There are many philosophers who know N.Chomsky. ( b * ) *There are not all philosophers who know N.Chomsky. (c) There are some bottles on the table, ( c ' ) *There are most bottles on the table. Schreibt man die "there are"-Sätze in syntaktisch oberflächlicher Weise wie in

(2.35),

so stellt sich die Frage, welche Quantorenausdrücke für Q einge-

setzt werden dürfen und welche nicht. (2.35) There are Qa. Die folgende Argumentation von Barwise/Cooper (1981) beruht auf einer Klassifizierung

von Quantoren

wird

ein Nichttrivialitätsprinzip für Sätze. Nennt man die Satzinter-

dabei

pretationen NONTRIVS:

trivial,

die

in sogenannte schwache vs. starke. Vorausgesetzt Tautologien

bzw. Kontradiktionen sind, so lautet

NONTBIVS: Sätze werden in nichttrivialer Weise interpretiert.

68

Es

ist

klar,

daß damit die Analyse von Tautologien bzw. Kontradiktionen,

die in Diskursen keineswegs immer eine triviale Rolle spielen, aus der Semantik

in

tion

den Bereich der Pragmatik abgeschoben ist.

Mit der folgenden Defini-

wird nun die für diesen Abschnitt relevante Klasse von Quantoren einge-

führt. Definition stark,

2.5:

(a)

Ein Quantor

Q

(als zweistellige Relation) heißt

falls er entweder reflexiv oder irreflexiv ist.

Reflexive Quanto-

ren nennt man oft positiv stark, irreflexive negativ stark, (b) Alle anderen Quantoren heißen schwach. Geht man nun von der intuitiven Annahme aus, daß der senantische Effekt von "there

are"-Sätzen

Restsatzes

in einer Existenzzuschreibung für die Interpretation des

besteht, so liefert die folgende semantische Analyse dieser Sätze

die richtigen Wahrheitsbedingungen: (2.36)

Sei A die Grundnenge des Modells und Q ein Quantor auf A. Der se-

mantische Wert von There are Qa ist dann: QaA. (2.36) der

besagt,

Grundmenge

daß Q eine zweistellige Relation zwischen einer Teilmenge A und A selbst ist.

Grammatikalitätsunterschiede

Mit diesen Annahmen lassen sich nun die

in (2.34) ableiten. Man beobachtet, daß bei den

gesternten Sätzen an der Stelle von Q jeweils ein starker Quantor steht. Lemma

2.10

liefert

dann zusammen mit NONTRIVS eine Erklärung für die Daten in

(2.34). Lemma 2.10; Sei Q ein starker Quantor. Dann ist QaA entweder eine Tautologie oder eine Kontradiktion. Beweis:

Es

ist

nur

zu

beweisen,

daß

QaA äquivalent zu Qaa ist. Das

Ergebnis folgt dann auf Grund der Annahme, daß Q ein starker Quantor

ist.

Wegen KONS gilt: QaA gdw. Qa anA gdw. Qaa. Falls tiv)

das erste Argument von the die Kardinalität eins hat,

stark,

denn,

in

diesem

ist the (posi-

Fall gilt Va theaa, d.h. the ist reflexiv,

falls |a| = 1. Ändert man die Definition von (positiv)

stark entsprechend ab,

um auch solche Quantoren als stark zu klassifizieren, so erhält man eine mögliche Erklärung für die Ungrammatikalität von Beispiel (2.37) *There is the philosopher who knows K. Gödel.

69

Diese

Änderung

der Definition des Begriffes stark entspricht übrigens dem

Ansatz in (Barwise/Cooper (1981), denn ein Quantor ist hier als partielle Funktion definiert und die Begriffe positiv bzw. negativ stark beziehen sich nur

auf die Argumente des Quantors für die er definiert ist. So ist etwa the

für

Argumente

a, mit |a| # 1 nicht definiert. Für den Fall für den dieser

Quantor definiert

ist, also falls |a| = l ist er gleich alle und damit refle-

xiv. Eine

analoge Argumentation wie für das Beispiel (2.37) erklärt die Gramma-

tikalitätsverteilung in den folgenden deutschen "es gibt"-Sätzen: (2.38) (a) Es gibt keine Blumen. (b) *Es gibt die meisten Blumen. (c) *Es gibt die Blume. Der Nachteil dieses Ansatzes ist, daß er an die semantische Analyse der "es gibf'-Sätze gebunden ist. Damit erhält man keine allgemeine Erklärung für den sogenannten Definitheitseffekt, da dieser auch in anderen Kontexten auftritt,

z.B.: (2.39) (a) Ein Fehler unterlaufen ist dem Hans noch nie. (b) *Der Fehler unterlaufen ist dem Hans noch nie. In

Grewendorf (1989) findet man einen Überblick über syntaktische Theorien

des Definitheitseffektes. Die Schlußfolgerung von Grewendorf lautet, daß es sich bei dem Definitheitseffekt nicht um ein syntaktisches, sondern ein semantisch/pragmatisches von

Phänomen

Barwise/Cooper verwiesen.

gibt"-Sätze

handelt.

Dabei wird auch auf die Erklärung

Zu beachten

ist

allerdings,

daß die "es

mit starken Quantoren völlig grammatisch sind, falls die generi-

sche Lesart im Mittelpunkt steht. (2.40) (a) *Es gibt den Mann. ( a 1 ) Es gibt das Quark. (b) Es gibt die meisten Elementarteilchen. (c) Es gibt nicht alle Elementarteilchen. Das, Daher

nicht alle und die meisten sind nach Barwise/Cooper starke Quantoren. sollten die Sätze in ( 2 . 4 0 ) ( a * ) - ( c ) ebenso ungrammatisch sein wie etwa

(2.38)(b).

Dies ist aber nicht der Fall. Dieses Phänomen beruht wohl auf der

Tatsache, daß man die betreffenden Sätze in ( 2 . 4 0 ) generisch versteht. Keenan

(1987a)

kritisiert diese Analyse mit folgenden Argumenten. Erstens

70

werden bzw.

triviale

Quantoren

wie at least zero, fewer than zero, die positiv

negativ stark sind, vom Vorkommen in "there are"-Sätzen ausgeschlossen.

Keenans Beispiel (2.41) zeigt, daß dies im Allgemeinen zu restriktiv ist. (2.41) Your argument is ingenious, Mr.Jones. It proves among other things that there are fewer than zero perfect numbers. Dazu ist allerdings zu bemerken, daß ein Satz wie There are fewer than zero perfect Daß

numbers bereits durch die Voraussetzung NONTRIVS ausgeschlossen ist.

Tautologien

klar;

und Kontradiktionen

gebraucht werden können ist

ob deren Analyse in den Bereich der Semantik fällt, ist dagegen zumin-

dest

umstritten.

mit

sinnvoll

der

Semantik

wichtigeres

(2.41) wird natürlich ironisch verstanden. Ob Ironie etwas von Sätzen

zu tun, scheint mir zweifelhaft zu sein. Ein

Argument von Keenan besagt, daß Barwise/Cooper zwar eine zutref-

fende

Beobachtung über starke Quantoren machten, diese aber nicht zur Erklä-

rung

der Ungrammatikalität der betreffenden "there are"-Sätze verwendet wer-

den

kann.

Die Beipiele

in ( 2 . 4 2 ) sind alle tautologisch (Man beachte, daß

hier exist in einem rein technischen Sinn interpretiert w i r d ) . ( 2 . 4 2 ) (a) *There is every student. (b) Every student exists (exist = A). (c) Every student is a student. Aber

nur

se/Cooper Damit

ist

(2.42)(a)

ist

ungrammatisch.

denselben semantischen

Dieser

Satz

erhält nach Barwi-

Wert wie der grammatische Satz ( 2 . 4 2 ) ( b ) .

aber die Erklärung der Ungramaatikalität von ( 2 . 4 2 ) ( a ) unhaltbar,

denn man fragt sich natürlich, warum ( 2 . 4 2 ) ( b ) ( c ) dann nicht auch ungrammatisch sind. Ein drittes Argument von Keenan lautet, daß es keine natürliche Verallgemeinerung gibt. versus

Aus diesen

der

stark/schwach Distinktion für mehrstellige Quantoren

Gründen

schlägt er eine Differenzierung in existentielle

nicht-existentielle

Quantoren vor, allerdings nicht um Grammatikali-

tätsunterschiede zu erklären, sondern um zu zeigen, daß existentielle Quantoren in "there are"-Sätzen eine bestimmte Lesart dieser Sätze erzwingen. Definition

2.6; Ein

Quantor Q ist existentiell gdw. für alle a,b C A

gilt: Qab gdw. Qanb A. Lemma 2.11; (a) (Barwise/Cooper) Q ist gilt:

existentiell gdw. für alle a,b C A

Qab gdw. Qanb b. Diese Eigenschaft von Q nennt man Durchschnittei-

genschaft .

71

(b) Q ist existentiell gdw. Q symmetrisch Beweis: (a) Angenonmen Q ist

ist.

existentiell. Dann gilt Qab gdw. Qanb A gdw.

Qanb A n ( ( a n b ) n b ) (wegen KONS) gdw. Qanb (anb)nb gdw. Qanb b (wegen KONS). Der Beweis der Umkehrung verläuft analog. (b) dann

Sei

Q existentiell und es gelte Qab. Wegen Leua 2.6 ist Q genau

symmetrisch,

wenn

gilt: Qab gdw. Qanb anb. Da Q existentiell

folgt Qanb A und mit KONS Qanb anb. Der Beweis der Umkehrung ist Die

Quantoren

einige

und kein

ist,

ähnlich.

sind existentiell, alle, die meisten und

nicht alle dagegen nicht. Zum Beispiel gilt nicht alleab gdw. anCb # 0; aber nicht

alleanb A gdw. (anb)nCA * 0. Die beiden Sätze sind offensichtlich

nicht

äquivalent, denn im letzten Fall handelt es sich um eine Kontradiktion

Man beachte, daß der ebenfalls nicht existentiell ist,

denn deranb A = l gdw.

|anb| = l und anb C A gdw. |anb[ = 1. Keenan nimmt nun folgende Konstituentenstruktur für "there are"-Sätze an. (2.43)

there

are

no

students

here/there in the garden asleep

72

Die NP there hat bei nicht deiktischen Lesarten keinen semantischen Effekt. Die Interpretation von S reduziert sich also auf die der VP. Die semantische Regel hierfür lautet: ( 2 . 4 4 ) Sei VP[there] der Form [be,Q,N,XP] gegeben, dann ist VP[there] = l gdw. Q ( N , X P ) . Falls es keine XP gibt, ist VP[there] = l gdw. Q ( N , A ) . Falls

es sich bei Q ÜB einen existentiellen Quantor handelt erhält «an die

folgende Äquivalenz. (2.45)

Der Satz

No(student,in existentiell

There

is

no

student

in

the

garden

ist wahr gdw.

the garden) gdw. No((student n in the garden),A), da No ist gdw. der Satz No student in the garden exists wahr

ist.

Für nicht existentielle Quantoren gilt dies nicht, da nan hier stets Mengen a, b finden kann, für die Qab und Qanb A nicht äquivalent sind. Keenans Student Every

Behauptung in

also, daß zum Beispiel der Satz There is every

the garden, wenn er überhaupt etwas bedeutet, nicht mit dem Satz

student

alle

lautet

in the garden exists äquivalent ist,

Studenten im Garten sind. Dagegen ist

den

sondern etwa besagt, daß

There is some student in the gar-

mit Some student in the garden exists äquivalent. Dieser Unterschied be-

steht allerdings nicht, falls die XP f e h l t , denn dann ist sowohl für existentielle

wie für nicht existentielle Quantoren VP[there] = l gdw. QaA, da, für

existentielle

Quantoren

QaA gdw. QanA A gdw. QaA gilt. Keenan und Barwi-

se/Cooper kommen in den meisten Fällen zum selben Resultat. Trotzdem sind die Begriffe

stark

gleichbedeutend. stark die

und nicht-existentiell Alle

Quantoren,

und existentiell. beide

schwach,

aber

die

bzw. schwach und existentiell nicht NONTRIV verletzen, sind zum Beispiel

Weniger triviale Beispiele sind vielei und vielez, nicht

existentiell

sind,

da etwa vieleiab gdw.

Janbj > k|a| und somit vieleianb A gdw. |(anb)nA| > k j a n b j gdw. |anb| > k|anb| Die

beiden Bedingungen sind offensichtlich nicht äquivalent. Damit wird nun

aber von Keenan prognostiziert, daß ( 2 . 4 6 ) ( a ) ( b ) äquivalent sind. ( 2 . 4 6 ) (a) There are many flowers, (b) Many flowers exist. Wie der

immer die intuitive Einschätzung dieser Prognose ausfallen mag, bietet Quantor

many für Reenan kein Problem, da er ihn für einen intensionalen

Quantor hält, der ohnehin anders analysiert werden muß. In ( 2 . 4 7 ) ( b ) ( c ) sind alle Quantoren schwach und existentiell. Die Ungramma-

73

tikalität von ( 2 . 4 7 ) ( c ) in der hier wesentlichen Lesart kann daher nicht einfach

durch

die

existentiell die

mit

sind,

ist ( 2 . 4 7 ) ( c ) mit einer Aussage wie Einige

dem Flugzeug

(2.47)(b), wird.

stark/schwach Distinktion erklärt werden. Da alle Quantoren

falls

Innerhalb

(Keiner,Drei)

ankamen,

existieren

(Keine,Drei),

äquivalent; also äquivalent zu

dieser Satz unabhängig von Kontext ( 2 . 4 7 ) ( a ) interpretiert dieses

der

Kontextes wird aber ( 2 . 4 7 ) ( b ) vorwiegend als Einige

Teilnehmer,

die früh ankamen, kamen mit dem Flugzeug an;

d.h. der Definitionsbereich der Quantoren in ( 2 . 4 7 ) ( b ) wird durch den Kontext (2.48)(a) bzw.

modifiziert. Mit einer Erweiterung der Methoden von Barwise/Cooper

Keenan

versucht Johnson (1987), eine diskurssemantische Erklärung

sol-

cher Phänomene zu geben. ( 2 . 4 8 ) ( a ) Every participant arrived early. •\ Some } Three >arrived by plane.

(b) \

None

I J

/

(c) *There arrived

some three

by plane.

none

2.5.2 Eine Diskurssemantik fur "there are"-Satee Voraussetzung are"-Sätze

des

ähnlich

Vorschlags wie

bei

von Johnson ist,

daß die Semantik der "there

Keenan Zugriff zur NP bzw. VP in ( 2 . 4 9 ) wie in

(2.50) hat. (2.49)

There

74

(2.50)

Denn ein Satz der Form There [νρ.··ΝΡ...] soll wahr werden, falls die Denotation der VP ein Element der bez glich einer sogenannten Kontextstruktur interpretierten Subjekts-NP ist. Da f r die Diskurssemantik NP-Interpretationen eine

wichtige Rolle

funktionalen f r

spielen, wird wieder zwischen der relationalen und der

Darstellung der Quantoren gewechselt; je nachdem welcher Ansatz

die Darstellung g nstiger ist. Lemma 2.12 ist ein wichtiges Instrumenta-

rium f r die Diskurssemantik. Lemma a,b

2.12: (a)

Sei Q ein positiv starker Quantor. Dann gilt: F r alle

C A Qanb b. In funktionaler Schreibweise: F r alle a,b C A b e

Q(anb). (b)

Sei Q ein negativ starker Quantor. Dann gilt: F r alle a,b £ A

-•Qanb b. Beweis:

(a)

Da Q positiv stark ist, gilt: Qanb anb. Dies ist

quivalent

mit Qanb (anb)nb. Daraus folgt mit KONS Qanb b. (b) analog. Der

Begriff der Kontextstruktur wird ben tigt, um die kontextuellen Ver n-

derungen von NP-Denotationen darstellen zu k nnen. Definition

2.7:

Eine

Kontextstruktur

σ

ist

ein

Tupel

der

Form

< σ ο , σ ι , σ ζ , . . . , σ η > mit: (a) σι C A f r alle i ε {Ο,...,η}. (b) σο = A. (c) n > 1.

(d)

σο

ist der Hintergrundskontext, σι der neue Kontext f r eine NP

und σ ζ , . . . , σ η sind die alten Kontexte einer NP. Die

Interpretation einer NP relativ zu einer Kontextstruktur σ ΝΡβ l

nun wie folgt festhalten.

t sich

75

Definition

2.8;

Sei NP = Q N und sei

dann ist NP0 = Q(N n wahlindex der NP. Bevor

) , wobei

aus

ist.

Der Index i heißt der Aus-

die systematischen Voraussetzungen von Johnsens Diskurssemantik dar-

gestellt

werden,

stipuliert,

soll sie an Beispiel ( 2 . 4 8 ) exemplifiziert werden. Es wird

daß der

betreffenden

neue Kontext, also

Satzes gegeben ist.

participant

aus ( 2 . 4 8 ) ( a ) bezüglich

Möglichkeiten den

, durch die VP-Interpretation des

Sei nun

= . Die NP Every

wird nach Definition 2.8 wie folgt in-

terpretiert: NPo = Every(participant n zwei

eine Kontextstruktur für die NP,

), mit i 6 {0,1}. Man hat also nun

Index zu wählen. Für i=0 erhält man den klassischen

Fall, die Menge der Teilnehmer als Argument des Quantors; wählt man i = l, so wird

die NP bezüglich des neuen Kontextes arrived early interpretiert. Ange-

nommen

es

gäbe

nun eine Funktion T, die es erlaubt, aus den NP-Interpreta-

tionen die Argumentmengen der jeweiligen Quantoren zu ermitteln; für das hier diskutierte

Beispiel

also:

T(Every participant«) = participant n arrived

early,

dann könnte man die Bildmengen von T als Argumentmengen für die Quan-

toren

in ( 2 . 4 8 ) ( b ) verwenden, womit man die richtige, durch den Kontext ein-

geschränkte

Lesart

(2.51)

der

NP erhielte. Unter welchen Bedingungen eine

solche Funktion existiert zeigt Satz 2.11. (2.51)

Sei

die

Antezedens-NP = Every participant und Q ein Quantor aus

( 2 . 4 8 ) ( b ) . Das Argument von Q ist T(Every participant«). Allgemein lassen sich mit der Funktion T die Kontexte einer Kontextstruktur genauer definieren. Definition falls, ist, (

2.9; =

dann

,

ist

eine

Kontextstruktur für einen Satz S = NP' VP

= VP und falls NP" eine mögliche Antezedens-NP für NP'

gibt

es

i > 2 und eine Kontextstruktur

für N P ' ' mit:

=

" ).

Damit erhält man die korrekte Lesart für ( 2 . 4 8 ) ( b ) sowohl für den Fall, daß kein

Kontext

Allerdings Auswahlindex

vorhanden ist,

hilft frei

als auch für den kontextuell beschränkten Fall.

dieses Vorgehen bei ( 2 . 4 8 ) ( c ) nicht weiter, denn falls der wählbar ist,

erhält man genau dieselben Möglichkeiten wie

für ( 2 . 4 8 ) ( b ) . Zwar folgt wegen Lemma 2.12, daß die stark/schwach Distinktion für die modifizierten NP-Interpretationen ebenso anwendbar ist wie im Normalfall, für

aber die Quantoren in ( 2 . 4 8 ) ( c ) sind eben nicht stark. Wenn man jedoch "there

are"-Sätze als Auswahlindex der NP nur den neuen Kontext zuläßt,

76

so erhält ( 2 . 4 8 ) ( c ) nur die kontextunabhängige Lesart (2.52): ( 2 . 5 2 ) There arrived some by plane ist wahr gdw. arrived by plane 6 8 · ( ) = { ;

arrived by plane} * 0 gdw. arrived by plane

wahlindex dem

der NP l ist.

0, wobei der Aus-

Die Wahl von A als Argument für Some bei fehlen-

N ist natürlich willkürlich und könnte in einer um pragmatische Kom-

ponenten

erweiterten Theorie durch eine kontextuell gegebene Menge X er-

setzt werden (vgl. Westerstahl 1985b). Im

Allgemeinen

lautet

damit die Wahrheitdefinition für "there are"-Sätze

bezüglich einer Kontextstruktur

:

Definition 2.10: Falls S = there [ .·. für S ist, dann ist 3 = 1 gdw. VP 6 bezüglich

l

ist

...] und eine Kontextstruktur , wobei der Auswahlindex der NP

(Für diese Definition benötigt man die syntaktische

Voraussetzung 2.49/50.). Für gdw.

einen

Quantor Q, der die Durchschnittseigenschaft hat, gilt VP 6 Q ( N )

VP € Q(N n VP). Daraus folgt mit Lemma 2.11, daß es für existentielle

Quantoren tiert.

gleichgültig ist,

ob man die NP bezüglich Index 0 oder l interpre-

Im Rest dieses Abschnitts wird gezeigt unter welchen Bedingungen die

Funktion T existiert. Sei

NP = Q(a) e P ( P ( A ) ) . Eine HP ist bezüglich einer Menge u konservativ

gdw. sie die Eigenschaft hat:

Für alle v, v 6 NP gdw. v n u 6 NP. Sei nun TNP

die Menge aller u für die NP konservativ ist, tiv

bezüglich

also TNP = {u; NP ist konserva-

u}. Bei TNP handelt es sich um einen sogenannten Filter, d.h.

es gilt, falls u , v e TNP, dann u n v 6 THP und, falls u 6 TNP u C v, dann auch v e TNP. Dies ist leicht zu sehen. Sei zum Beispiel u 6 TNP und u £ v und a 6 NP. Dies

gilt genau dann, wenn a n u € NP gdw. (a n v) n u 6 NP gdw. a

Q.

Also ist v e T N P . Da nun der Schnitt beliebiger Elemente aus TNP wieder ein Element aus TNP ist, existiert die Funktion T ( N P ) = T ( Q ( a ) ) = n T Q ( a ) . Allgemein gilt T ( Q ( a ) ) C a. Unter welchen Bedingungen gilt die Umkehrung und damit die Eigenschaft,

die

zur Ableitung der kontextuell beschränkten Lesart von ( 2 . 4 8 ) ( b )

verwendet

wurde? Es wird im Folgenden gezeigt, daß für die Umkehrung die Be-

dingungen

PERM

(oder

QUANT) benötigt werden. Die Lemmata 2.13 und 2.14

leichtert den Beweis von Satz

er-

2.11.

Eine NP heißt trivial, falls NP = P ( A ) oder NP = 0. Lemma 2.13: NP ist

trivial gdw. 0 e TNP = {u; NP ist

konservativ bezüg-

77

lieh u}. Beweis: Angenommen NP ist trivial. Sei u eine beliebige Menge. Zwei Fälle sind zu betrachten. (1) NP = P ( A ) , daraus folgt, daß u und u n 0 6 NP. (2) NP = 0, daraus folgt, daß u i NP und u n 0 t NP. Aus (1) und (2) folgt u NP gdw. u n 0 NP. Das heißt 0 TMP. Angenommen 0 e THP. Daraus folgt, daß u NP gdw. u n 0 e NP. Falls also 0 e NP, dann ist jedes u e NP und NP = P(A) und falls 0 i NP ist kein u Element von NP. Also NP = 0. In beiden Fällen ist NP trivial. Lemma 2.14 (PERM oder QUANT): Sei Q: P ( A ) --> P ( P ( A ) ) ein Quantor und seien a,b C A und eine Permutation von A. Es gilt: Falls Q ( a ) konservativ bezüglich b ist, dann ist Q ( i t ( a ) ) konservativ bezüglich ic(b). Beweis: Sei c C A. Zu zeigen: c Q ( n ( a ) ) gdw. c n n ( b ) 6 Q ( n ( a ) ) . c 6 Q ( u ( a ) ) gdw. irMc) Q ( a ) (PERM) gdw. n'Mc) n b € Q ( a ) (Q(a) ist konservativ bezüglich b) gdw. n ( i r M c ) n b) Q ( i t ( a ) ) (PERM) gdw. c n n ( b ) Q(it(a)), da eine Permutation ist. Satz 2.11 (PERM oder QUANT): Sei Q ein Quantor, a C A und Q(a) nicht vial. Dann ist a = T ( T Q < a > ) .

tri-

Beweis: Angenommen a T ( T Q f a ) ) . Es wird gezeigt, daß Q dann PERAf verletzt. Wegen Lemma 2.14 reicht es zu zeigen, daß es Mengen a,b und eine Permutation gibt mit: Q ( a ) ist konservativ bezüglich b und Q ( n ( a ) ) ist nicht konservativ bezüglich n ( b ) . Sei nun c = T ( T o ( a ) ) . Da Q nicht trivial ist folgt aus Lemma 2.13, daß c * 0 und da T ( T e < a ) ) eine echte Teilmenge von a ist, daß a\c * 0. Seien daher w a\c und z e c und sei d = (c\{z})u{w}. Q ( a ) kann bezüglich d nicht konservativ sein. Denn andernfalls wäre d n c = c\{z} ein Element aus T q ( a ) ; ein Ergebnis, das der Minimalität von c widerspricht. Man definiert die Permutation von A durch: {w}, falls {z}, falls {x} sonst

= z =w

78

Ti(a) = a und n ( c ) = d da her

gilt

nur die Elemente w und z aus a vertauscht. Da-

nun, daß Q ( a ) bezüglich c konservativ ist,

aber Q ( i c ( a ) ) = Q(a)

nicht bezüglich it(c) = d. Johnsons Diskurssemantik ist sowohl mit Keenans Ansatz als auch mit dem von Barwise/Cooper

verträglich. Ersteres wurde bereits gezeigt. Für die Verträg-

lichkeit mit Barwise/Cooper beachte man, daß die Wahrheitsdefinition 2.10 für starke Quantoren entweder Tautologien oder Kontradiktionen liefert, denn Lemma

2.12

eine

besagt, daß VP e Q(N n

) = Q(N n VP) für positiv starke Quantoren

Tautologie und für negativ starke Quantoren eine Kontradiktion ist.

Mit

NONTRIVS erhält man dann dieselbe Analyse wie Barwise/Cooper.

2.6 Definierbarkeit 1. Stufe

Dieser Abschnitt steht in keinem Zusammenhang zu dem unmittelbar vorhergehenden,

allerdings spielt die Monotonieeigenschaft aus Abschnitt 2.4 dieses Ka-

pitels eine wichtige Rolle. Zuerst geht es jedoch darum, mit Hilfe eines Theorems von Fraisse zu zeigen, unter welchen Bedingungen verallgemeinerte Quantoren durch Formeln der Prädikatenlogik I.Stufe definiert werden können. Abschnitt 2.6 ist wie folgt untergliedert: Zuerst werden die wichtgsten Definitionen

und Sätze erläutert, die für die folgenden Definierbarkeitsresul-

tate eine Rolle spielen. Dann wird gezeigt, daß ein Quantor genau dann I.Stufe

definierbar

schen auf

Sinn) die

ist,

wenn ein bestimmter Erhaltungssatz (im modelltheoreti-

für ihn gilt. Ferner wird geschildert, wie sich dieses Ergebnis

Darstellung der Quantoren im Zahlenbaum auswirkt. Abschließend wird

der Einfluß der Monotonieeigenschaft sowie einer Abschwächung dieser Restriktion auf Fragen der Definierbarkeit von Quantoren untersucht. Definition 2.11; Ein Quantor Q - als zweistellige Relation zwischen Teilmengen von A - ist I.Stufe definierbar gdw. es einen Satz = ( , b ) der elementaren Logik gibt, wobei a, b die einzigen nichtlogischen Symbole sind und es gilt: Für alle M = mit 3(a) = a S A und 3(b) = b C A Qxab gdw. < A , a , b > ^ 9(a,b). In

Definition

2.11

dienen

Prädikatensymbole a,b. Da in

die Mengen a,b als Deutungen der einstelligen keine anderen nichtlogischen Symbole vorkommen

dürfen, reicht es Strukturen < A , a , b > zu betrachten, in denen nur diese Symbole gedeutet sind.

79

F r

den gesamten Abschnitt ist der Begriff des Quantorenranges f r Formeln

I.Stufe

entscheidend. Er kann als Komplexit tsma

f r Formeln aufgefa t wer-

den, da er angibt, wieviele verschachtelte Quantoren eine Formel enth lt. Quantorenrang QR wird induktiv

Der

ber den Formelaufbau definiert:

Definition 2.12: (a) ΟΕ(Φ) = 0, falls Φ eine atomare Formel

ist.

(b) ΟΚ(-Φ) = ΟΗ(Φ). (c) ΟΗ(Φ Λ θ) = ΟΕ(Φ ν θ) = , dann auch < A ' , a I , b > > f- Qab. Um

e f f i z i e n t anwenden zu k nnen, ist es n tig, einen etwas "operaberlegungen nicht schwierig. Wie gezeigt wurde, h ngt es nur von

Partitionsmengen

den Fall, da net

Qab und

eine

Begriff von η- quivalenz einzuf hren. Dies ist aber aufgrund der

bisherigen den

gdw. es

I.Stu-

anb, a\b, b\a und A\(aub) ab, ob Qxab oder nicht. F r

KONS, QUANT und EXT gelten, sogar nur von anb und a\b. Bezeich-

man zwei Mengen Χ, Υ als η- quivalent, falls entweder gilt |X| = |Y| < n |X|

> n und |Y| > n, so kann man damit einen modifizierten Begriff von

80

η- quivalenz f r Strukturen gewinnen. Definition

2.13:

Eine

Struktur

M = < A , a , b > ist η- quivalent zu einer

>

Struktur M' = < A ' , a | b ' > , falls anb, a\b, ihren

Pendants

in

M'

b\a und A\(aub) η- quivalent zu

sind. Falls KONS, QUANT und EXT gelten, kann man

sich auf anb und a\b beschr nken. Zu

zeigen

quivalenz

ist

allerdings noch, da dieser neu eingef hrte Begriff der n-

auch

das leistet, was der Begriff der η- quivalenz leisten soll,

d.h. folgendes Lemma ist zu beweisen: Lemma

2.15:

Falls

< A , a , b > , < A ' , a ' , b ' > η- quivalent (im neu definierten

Sinn) sind, dann erf llen alle Folgen d , d * mit den entsprechenden Folgengliedern

in

den entsprechenden Partitionsmengen dieselbe Formel I.Stufe

mit Quantorenrang < n. Beweis:

Induktion

ber den Quantorenrang. Die F lle ( a ) , (b) und (c) aus

Definition 2.12 sind klar. (d) Es gen gt,

das Lemma f r V oder 3 zu zeigen. Sei θ = 3χΦ(χ) und ΟΗ(Φ)

= n. Zu zeigen: Falls < A , a , b > ^- θ und < A , a , b > *n+i < A ' , a ' , b ' > , dann < A ' , a ' , b ' > ^- Θ. Angenommen

[-

8[d]

und nicht

>

< A ' , a , b ' > ^ -6[d'],

dies gilt nicht. Dann gibt es Folgen d,d' mit: ^ 6[d] gdw.

f» 3 χ Φ ( χ ) [ α ] gdw. (ohne Beschr nkung der Allgemeinheit) < A , a , b > ^ Φ ^ ) [ α \ α ΐ ] . Aber: < A ' , a ' , b ' > ^ -.3χΦ(χ)[ΰ'] gdw. < A ' , a ' , b ' > |- V x ^ ( x ) [ d ' ]. Speziell:

- a l l e A ' a ' b ' . AlleAab gdw. a C b und < A , a , b > *i < A > , a ' f b > > gdw. (1) |anb| = |a'nb'| < l oder (2) |anb| > l und |a'nb'| > 1. (3)

|a\b| = |a'\b'| < l oder (4) |a\b| > l und |a'\b'| > 1.

Vier Kombinationsmöglichkeiten sind zu überprüfen. Angenommen

(1)

und

(3) sind der Fall. Dann gilt: |anb| = |a'nb'| =

|a\b| = |a'\b'| = 0. Das heißt: a C b gilt trivialerweise und ebenso a1 C b' Also: alleA'a'b'. Es

gelten

sein,

aber

(1)

und

( 4 ) . In diesem Fall kann a keine Teilmenge von b

auch a' ist keine Teilmenge von b'. Es gilt also weder alleAab,

noch alleA'a'b'. Es

gelten (2) und ( 3 ) . Da |a\b| = |a'\b'| = 0, ist sowohl a eine Teil-

menge Es

von b, als auch a' eine Teilmenge von b ' . Damit: allexab und alleA'a'b' gelten (2) und ( 4 ) . Da |a\b| > l und |a'\b'| > l, kann weder a eine

Teilmenge

von b sein, noch a* eine Teilmenge von b'.

Also weder allexab

noch a l l e A ' a ' b * . Analoge Überlegungen zeigen, daß einige, nicht alle, keine und einige, aber nicht

alle

I.Stufe

definierbar.

definierbar sind. Die meisten ist dagegen nicht I.Stufe

Zu zeigen ist, daß die meistenab für kein n E N unter n-Äquiva-

lenz abgeschlossen ist. ( 2 . 5 4 ) Angenommen die meistenab (gdw. |anb| > |a\b|) wäre unter 1-Äquivalenz

abgeschlossen.

Es gelte:

< A , a , b > «i < A ' , a ' , b ' > . Wie in 2.53 sind

vier Fälle zu überprüfen. (1) und ( 2 ) : Da |anb| = |a'nb'| = |a\b| = |a'\b'| = 0 ist, gilt weder janb) > |a\b|, noch |a'nb'| > |a'\b'|. (1) und ( 4 ) : Weder |anb| > |a\b|, noch | a ' n b ' | > |a'\b'|. (2) und ( 3 ) : |anb| > |a\b| und | a ' n b ' | > | a ' \ b ' | . Diese

Fälle

zeigen

also keinen Unterschied. Bei (2) und (4) sieht es

jedoch anders aus. Angenommen |anb| = 5 und |a\b| = 3, dann gilt: |anb| > |a\b|, gilt

also: diese

die

meisteiuab. Sei nun |a'nb'| = 5 und |a'\b'| = 7, dann

Ungleichung

nicht,

also: --die meisteiu'a'b'. Damit ist ge-

zeigt, daß der Quantor die meisten*ab jedenfalls nicht unter 1-Äquivalenz abgeschlossen dern

für

ist. Da sich diese Argumentation nicht nur für n = l, son-

beliebiges

n durchführen

läßt, folgt, daß die meisten nicht

I.Stufe definierbar ist. Mit

derselben

Überlegung zeigt man, daß mehr als die Hälfte nicht I.Stufe

82

definierbar

ist.

Generell kann man diese Idee dazu verwenden t nachzuweisen,

daß praktisch alle Quantoren, die irgendwelche Prozent- oder Teilbeziehungen zwischen den entsprechenden Mengen ausdrücken, wie «ehr als zehn Prozent der oder

weniger als zweidrittel der, nicht I.Stufe definierbar sind. Das prak-

tisch

alle bezieht

sich auf bestimmte Grenzfälle wie null Prozent der oder

einhundert Prozent der, die den klassischen Quantoren kein bzw. alle entsprechen

und damit

natürlich

I.Stufe definierbar sind. Mit diesen Ergebnissen

läßt sich auch nachweisen, daß bestimmte mehrstellige Quantoren nicht I.Stufe definierbar

sind. Betrachte man als Beispiel den Quantor «ehr...als, der als

dreistellige Relation zu interpretieren ist. ( 2 . 5 5 ) mehr...alsabc gdw. |anc| > j b n c j . Wäre dieser Quantor I.Stufe definierbar, so wäre auch «ehr...als(anb)(a\b)A gdw. |(anb)nA| > |(a\b)nA| gdw. |anb| > |a\b| I.Stufe definierbar. Dies kann aber nach ( 2 . 5 4 ) nicht der Fall sein, da |anb| > |a\b| gdw. die eeiatenab. An

diesen

Überlegungen

Beispielen sieht man, wie recht komplizierte modelltheoretische durch

die beschriebene Charakterisierung der Quantoren I.Stufe

auf

elementare

arithmetische

Methoden reduziert werden können. Es wurde in

den

Beispielen stets davon ausgegangen, daß KONS, EXT und QUANT gelten. Auch

ohne diese Voraussetzungen kann die entwickelte Methode angewandt werden, allerdings erhöht sich damit die Zahl der Partitionsnengen, d.h. der kombinatorische ren

Aufwand wird größer. Es ist auch nicht nötig, anzunehmen, daß Quanto-

nur

zweistellige Relationen bezeichnen. Es können n-stellige Relationen

zwischen

Teilmengen

von

A für jedes n 6 N als Denotate zugelassen werden.

Doch auch hier erhöht sich die Anzahl der Partitionsmengen. Wegen der Tatsache, daß Quantoren I.Stufe durch den Begriff der n-Äquivalenz charakterisiert werden können, läßt sich ihre Darstellung im Zahlenbaum leicht a\b

veranschaulichen. Da im Zahlenbaum nur die Kardinalitäten von anb und

eine

Rolle spielen, bleibt der Begriff der

-Äquivalenz auf zwei Kompo-

nenten beschränkt. ( 2 . 5 6 ) < A , a , b > «n < A ' , a ' , b ' > gdw. (1) |anb| = |a'nb'| < n oder (2) |anb| > n und [ a ' n b ' j > n. (3) |a\b| = |a'\b'( < n oder ( 4 ) |a\b| > n und |a'\b'| > n. Welches aufgrund

Muster ergibt sich nun für Quantoren, die I.Stufe definierbar sind der

vier

|a\b| und y = |anb|.

Kombinationsmöglichkeiten

im Zahlenbaum? Sei wieder

=

83

(2.57)

Bis

zu einem Punkt

+ y = 2n ist das Verhalten eines Quantors nicht defi-

nitiv zu beschreiben, d.h. es können beliebige Punkte des Zahlenbaumes innerhalb

bzw. außerhalb des Quantors liegen. Für

(0,0),

(0,1)

= y = 2 können beispielsweise

und (1,1) im Quantor liegen, aber auch ( 0 , 0 ) , (1,0) und (1,1).

Der Quantor kann also im beliebige Richtungen "springen". Ab einem Punkt ( n , n ) dagegen verhält sich der Quantor regelmäßig. Der Punkt ( n , n ) selbst determiniert

wegen

d.h..

falls

des

Dreiecks

liegt,

ist

(2.56)(1)

und

(4) das gesamte darunter liegende Dreieck;

dieser Punkt ein Element des Quantors ist,

sind auch alle Punkte

Elemente des Quantors, und falls dieser Punkt nicht im Quantor kein Element des Dreiecks im Quantor. Ebenso folgt aus ( 2 . 5 6 ) ( 1 )

und (4) bzw. (2) und ( 3 ) , daß die Punkte (n+k,n-k) bzw. (n-k.n+k) das Verhalten aller darunter liegenden Punkte determinieren. ( 2 . 5 8 ) Sei Qab wie folgt d e f i n i e r t : Qab gdw. |a\b| sieht Nur sowie -•Qab

leicht,

> 2 und |anb| = 0. Man

daß dieser Quantor unter 2-Äquivalenz abgeschlossen

für ( 2 . 5 6 ) ( 1 ) und ( 4 ) , also wenn |anb| = |a'nb'| = 0 und |a\b|

ist. > 2

|a'\b'| > 2 gilt Qab und Qa'b'. Für alle anderen Fälle erhält man: und

--Qa'b 1 . Für diesen Quantor ist n also gleich 2. Ab Punkt ( 2 , 2 )

84

ist somit mit dem oben beschriebenen Verhalten zu rechnen. Da dieser Punkt selbst kein Element des Quantors ist, ist auch kein Punkt des folgenden Dreiecks Element von Q:

Der Punkt (n+k,n-k) = (2+1,2-1) ist ebenfalls kein Element des Quantors. Wegen ( 2 . 5 6 ) ( 1 ) und (4) folgt daher, daß alle Punkte ( w , l ) mit w > 3 nicht im Quantor liegen. Ein analoges Ergebnis erhält man für (n-k,n+k) = (2-1,2+1) (Mit ( 2 . 5 6 ) ( 2 ) und ( 3 ) ) . Der Punkt ( 4 , 0 ) dagegen liegt in Q, also auch alle Punkte ( w , 0 ) mit w > 4. Alle, einige, nicht alle, keine und einige, aber nicht alle sind I.Stufe definierbar und zeigen daher im Baum ein regelmäßiges Verhalten.

( 2 . 5 9 ) einige, aber nicht alle

Alle Punkte von einige, aber nicht alle liegen in schraffierten Bereich. Dagegen läßt sich für Quantoren, die nicht I.Stufe definierbar sind, ihr Verhalten nicht durch solche Schemata vorhersagen. Zum Beispiel läßt sich das Bild des Quantor die «eisten nicht in der beschriebenen Weise erfassen.

85

( 2 . 6 0 ) die «eisten

Dieses

Zick-Zack-Muster

ist

nicht

durch

die geschilderten Schemata für

Quantoren 1. Stufe zu erfassen. Westerstahl (1984) hat die Quantoren, die bestimmte seaantische Bedingungen erfüllen,

unter systematischer Verwendung der zahlentheoretischen Quantoren-

repräsentation, syntaktisch, d.h. durch bestimmte Formeln der Prädikatenlogik erster

Stufe, genauer beschrieben. Satz 2.14 charakterisiert in diesem Sinne

syntaktisch die Quantoren, die erster Stufe definierbar sind. Es wird zuerst gezeigt, daß alle linksmonotonen Quantoren erster Stufe definierbar Stufe

sind.

Man beachte, daß der Quantor die meisten, der nicht erster

definierbar

ist,

wachsend noch fallend Satz

2.13:

Stufe

zwar rechtsmonoton wachsend aber weder linksmonoton ist.

Sei Q |MON. Dann ist Q durch einen (universellen) Satz erster

definierbar und zwar durch eine Konjunktion von Sätzen der Form:

= |a\b|

< n oder y = |anb| < k, wobei ein Disjunkt fehlen kann.

Bevor Satz 2.13 bewiesen wird, sei darauf hingewiesen, daß die Version dieses

Satzes

für TMON Quantoren, sofort als Korollar folgt; womit gezeigt

ist,

daß alle linksmonotonen Quantoren erster Stufe definierbar sind. Korollar Satz

2.13.1:

Sei

Q TMON. Dann ist Q durch einen (existentiellen)

erster Stufe definierbar und zwar durch eine Disjunktion von Sätzen

der Form:

= |a\b|

> n und y = |anb| > k, wobei ein Konjunkt fehlen kann.

86

Beweis; Falls Q TMON ist, dann ist

mit Lemma 2.7 (a) (S. 61) -Q |MON. Die

Aussage von Korollar 2.13.1 folgt damit aus Satz 2.13. Beweis (von Satz 2.13): Sei Q J.MON. Wegen NONTRIV gibt es x, y, so daß für alle x,

x' > x und y' > y gilt: --Qx'y'. Dies folgt aus der Tatsache, daß es y

gibt mit --Qxy (NONTRIV)

d.h.,

und Lemma 2.7 ( a ) , denn danach ist --Q TMON;

daß sämtliche Punkte ( x ' , y ' ) , für die sowohl x* > x, als auch y' > y

in Q liegen (vgl. die graphische Darstellung auf S.56). Das folgende Argument zeigt, daß man sogar annehmen kann: Qxy und für alle x' > x und y' > y -•Qx'y'. Sei E = { ( x ' , y ' ) ; V x ' V y ' ( x ' > x A y' > y -» --Qx'y'}. Nun wählt man (x,y)

aus E mit x + y minimal. Der Punkt ( x - l , y ) ist also nicht in E. Dann

folgt

aus

der

Negation

der E definierenden Formel, daß es einen Punkt

( x " , y " ) mit x"> x und y " > y gibt, für den Qx"y" gilt. Da Q |MON ist, gilt damit auch Qxy. Man betrachte nun die Spalten 0, l, 2 , . . . , y , . . . . Für alle i wird eine Funktion k definiert durch: tto, falls es beliebig große x gibt, mit Qxi. max{x; Qxi}, falls dieses Maximum existiert, -l, Da Q iMON

falls es kein x gibt, mit Qxi.

ist,

gelten die Aussagen (a) - (d) (Man vergleiche hierzu

die graphische Darstellung auf S. 5 6 f ) . (a) Falls k ( i ) = Ho, dann ist die ganze Reihe i in Q und k ( j ) = Ko für

alle

j

< i (Die schraffierte Fläche symbolisiert die Menge der

Elemente von Q.)

(b) Falls k ( i ) = n 6 N, dann gilt Qxi für alle x < k ( i ) .

87

k(i) = n

(c) -l

Falls k ( i ) = -l,

bedeutet,

(Die

daß in

schraffierte

dann ist für alle j > i k ( j ) = -l, denn k ( i ) = Reihe i kein Paar ( x , i ) ein Element von Q ist.

Fläche symbolisiert hier die Menge der Punkte, die

nicht in Q liegen.)

(d)

Falls i > j , ist k ( i ) > k ( j ) . Dies ist klar auf Grund der Defi-

nition von k ( i ) . Die eines

Funktion k ( i ) beschreibt also alle Möglichkeiten des Verhaltens XMON Qauntors in Zahlenbaum; es müssen nur die "passenden" Argu-

mente gefunden werden, die es erlauben Q vollständig zu spezifizieren. Wegen NONTRIV existiert aber die kleinste Zahl i für die k ( i ) * Ho. Sei

diese

Zahl io ( w i e oben gezeigt ist io < y+1). Daraus folgt, daß

k(i)

einen

kleinsten

Wert k hat. Sei nun ii die kleinste Zahl i mit

k(i)

= k. Die Zahlen k ( i o ) > k ( i o + l ) > ... > k ( i i ) determinieren dann

88

Q vollständig (Im folgenden Bild sind die Trivialfälle io = 0 und k = -l nicht berücksichtigt).

Mil)

- l

k(io)

Ferner

ist

klar, daß Quantoren dieser Form durch endliche Schnitte

von Quantoren der folgenden Form repräsentiert werden können:

In

der schraffierten Fläche liegen nun aber alle Punkte (x,y) mit

= |a\b| < n oder y = |anb| < k.

89

Damit ist gezeigt, daß alle linksmonotonen Quantoren erster Stufe definierbar sind und zwar alle durch nur zwei Formeltypen, je nachdem, ob der Quantor

TMON oder IMON ist. Mit

einer

kombinatorischen

auch zeigen, nierbar sind.

Variante des Beweises von Satz 2.13 läßt sich

daß die sogenannten linksstetigen Quantoren erster Stufe defi-

Definition 2.14: Ein Quantor Q ist linksstetig gdw. für alle a t a ' S a ' 1 gilt: Wenn Qab und Q a ' ' b dann Qa'b. Die zahlentheoretische Repräsentation sieht demnach wie folgt aus: Für alle x < x' < x 1 ' und alle y < y' < y 1 ' , wenn Qxy und Q x ' ' y ' ' dann Q x ' y ' · Man erhält damit für linksstetige Quantoren ein Muster im Zahlenbaum wie in (2.61). (2.62)

Beispiele

für linksstetige Quantoren sind zwischen zwanzig und dreißig und

genau

zehn. Diese Quantoren lassen sich durch die Konjunktion (i· Zahlenbaum

durch

den

bzw.

Schnitt)

wenigstens

der

zehn

Quantoren wenigstens zwanzig und höchstens dreißig

und höchstens zehn definieren. Dabei ist wenigstens k

TMON und höchstens k J.MON. Dies gilt allgemein; ein Quantor Q ist

linksstetig

gdw, Q die Konjunktion (der Schnitt) eines TMON-Quantors und eines iMON-Quantors

ist.

Da alle

folgt daraus nierbar sind. Es

läßt

linksmonotonen Quantoren erster Stufe definierbar sind,

ebenfalls, daß alle linksstetigen Quantoren erster Stufe defi-

sich aber auch die Umkehrung dieser Aussage nachweisen, d . h . , daß

90

jeder

Quantor erster Stufe eine Boolsche Kombination linksstetiger Quantoren

ist. Satz

2.14 (FIN):

Sei Q ein binärer, logischer Quantor. Dann ist Q erster

Stufe definierbar gdw. Q eine endliche Disjunktion von linksstetigen, binären, logischen Quantoren Beweis: der

ist.

Wegen der Prinzipien KONS, EXT und PERM oder QUANT läßt sich je-

Quantor Q, der in der monadischen Logik erster Stufe definierbar

ist

als boolsche Kombination von Quantoren der folgenden Art darstellen (vgl. Abschnitt 2.1): Q*ab gdw. |a\b|

< n,

2

Q ab gdw. |anb| < n und

Q 3 ab gdw. |a| < n. Q3

ist

eliminierbar,

Form definierbar

da er als Disjunktion von Quantoren der folgenden

ist:

Q l k ab gdw. |a\b|

= i

|anb| = k.

Q3ab gilt nun genau dann, wenn V Q i k ab. i+k , wobei k die Anzahl der Argumente von Q angibt und die ti die Art der Argumente. Zum Beispiel handelt es sich bei t3 = 2 um eine zweistellige Relation, die die dritte Argumentstelle des Quantors einnimmt. Die "üblichen" Quantoren wie alle, einige, kein sind von Typ , d.h. sie sind Funktionen, die Paare von Mengen auf {0,1} abbilden oder aber Klassen von Strukturen der Art < A , a , b > , wobei A die Grundmenge der Struktur ist und a, b die Argumente des Quantors sind. Zum Beispiel ist kein die Klasse der Strukturen mit anb = 0. Durch den Absorptionsoperator erhält man Quantoren des Typs < 2 , 2 > , also Funktionen, die Paare von zweistelligen Relationen auf {0,1} abbilden. Diese Funktionen sind unter bestimmten Bedingungen auf Paare von Quantoren des Typs reduzierbar. Im nächsten Abschnitt wird gezeigt, daß es Quantoren von Typ gibt, die nicht auf Quantoren von Typ reduzierbar sind. In Kapitel 1.2 wurden Quantoren des Typs < ! , . . . , ! > für n Einsen eingeführt und bewiesen, daß es Quantoren des Typs gibt, die nicht auf einen Quantor des Typs reduzierbar sind. Die zu einer Menge von Quantorensymbolen SQ korrespondierende Sprache Lt(SQ) ist wie folgt definiert. Definition 3.1: (a) Die Grundzeichen von Lt(SQ) sind: ( i ) Die Elemente der Menge der Individuenvariablen V x i , X 2 , x a , . . . . ( i i ) Für jedes i 6 dom(t) eine Prädikatenkonstante P 1 , ( i i i ) Das Identitätssymbol =. ( i v ) Die Elemente aus SQ. (b) Die Formeln von Lt(SQ) sind: (i) P 1 ( x i , X 2 , . . . , x i ) für i e dom(t) ist eine Formel.

100

( i i ) x· = Xn ist eine Formel f r beliebige m, n. (iii)

Falls

Q e

SQ von Typ t

=

ist

und falls

0 i , 0 2 , . . . , 0 n Formeln aus Lt(SQ) sind, dann ist Qx.1 ,X2 ,... ,xn(0i ,02 ,... ,0n) eine Formel aus Lt(SQ). Eine

Q-Formel ist eine Formel aus Lt(SQ) und ein Q-Satz eine Q-Formel ohne

freie Variablen. Sei

nun M eine Struktur mit Grundmenge A und g eine Belegung f r die Indi-

viduenvariablen

aus L t ( S Q ) , also eine Funktion von V in A. F r eine Formel 0

aus Lt(SQ) sei: (3.17)

0A.8.*

=

{e E A; M [- 0[g(e/x)], wobei g(e/x) dieselbe Funktion

wie g ist, au er, da Damit

l

t

sich

g(e/x) der Variable χ den Wert e zuordnet.

allgemein

angeben,

wann

eine Formel aus LtSQ in einer

Struktur gilt. Definition

3.2: Sei Φ eine Formel aus Lt(SQ). Die Relation M (— 9[&] (Φ

gilt in M unter der Belegung g) wird rekursiv niert.

ber den Formelaufbau defi-

(a) Sei Φ = Ρ Μ χ ι , . - . , Χ ϊ ) . M f- 9[g] gdw. < g ( x i ) , . . . ,g(xi )> g |Ρ*|. (b) Sei Φ = (x· = x n ) . M |- Φ^] gdw. g(x.) = g ( x n ) . (c) Sei Φ = β κ ι , χ 2 , . . . , χ η ( 0 ι , 0 2 , . . . , 0 η ) . Μ |— Φ^] gdw. < A , 0 i A , g , x l , 0 2 A , g , x 2 , . . . , 0 n A , g , x n ) > 6 Q. Oder: Q ( < 0 i A , g , x l , 0 2 A , g , x 2 , . . . , 0 n A , g , x n ) > ) = l, falls man Q als Funktion deuten will. Die

klassischen

Wahrheitsdefinitionen f r V x ( 0 ( x ) ) und 3 x ( 0 ( x ) ) sehen wegen

Definition 3.2(c) wie in (3.18) aus. (3.18) M ^ V x ( 0 ( x ) ) [ g ] gdw. < Α , 0 Α · β · * > 6 V = gdw. 0*.«,* = A. Oder ^(0*·«.*) = l gdw. 0 A . 8 . X = A. M (- 3 x ( 0 ( x ) ) [ g ] gdw. < A , 0 A - s . * > 6 3 = mit a 5* 0 gdw. 0*.β,χ * j|. Die beiden Quantoren sind also von Typ . Weiter

Beispiele f r Quantoren sind die Strukturen NE und KO der Typen

bzw. < 0 , 0 > , die wie folgt definiert sind: 6 NE gdw. e = 0 und < A , e i , e 2 > e KO gdw. ei = e2 = l (Man beachte, da

bei diesen Definitionen vorausgesetzt

wird, da 0 und l Elemente aus A sind). NE entspricht der Negation und KO der Konjunktion von Formeln, wie man an den Klauseln in (3.19) sieht.

101

(3.19) M |— --0[g] gdw. < ,0 · > e -· = gdw. 0*·« = 0. M

J— (01 02) gdw. < A , 0 i A , g , 0 2 A , g > 6

Damit

ist gezeigt, daß das hier beschriebene System auf jeden Fall so aus-

drucksstark

wie die Logik erster Stufe ist.

Lindström-Quantoren denn

= gdw. 0iA,g = 02A,g = 1.

wesentlich

stärker

Es ist aber leicht zu sehen, daß

sind als die klassischen Quantoren,

die Klasse von Strukturen MEI = { < A , a , b > ; mit |anb| > |a\b|} ist nichts

anderes als die Interpretation von die meisten. In LtSQ erhält dieser Quantor die Repräsentation die meisten(\i,X2) ( 0 1 ( x i ) , 0 2 ( x 2 ) ) , dabei ist die Wahl der Variablen

willkürlich; d.h. man kann diesen Ausdruck auch schreiben als:

aeisten(x,x) ( 0 i ( x ) , 0 2 ( x ) ) , oder einfach als die meisten(x)

die

(0i(x),02(x)).

Auch das sogenannte Henkin-Präfix HE kann als Lindström-Quantor von Typ aufgefaßt

werden.

pränexer

Normalform

Qixi...QnXn

( (

In

der

Prädikatenlogik erster Stufe kann jede Formel in

geschrieben

,...,Xn)).

Bei

werden, d.h. falls

quantorenfrei ist als

einer Formel in pränexer Normalform stehen

also alle Quantoren in einer linearen Folge vor einer quantorenfreien Formel. Henkin

(1961)

verlangt

statt einer linearen Ordnung der Quantoren nur eine

partielle. Damit erhält man partielle oder verzweigende Quantorenpräfixe. Das Henkin-Präfix ist der folgende Spezialfall: Wx

3y^ X

(3.20)

^^(x,y,z,u)

3u''

Wz

Die

s.

Verzweigung soll ausdrücken, daß die Variable y unabhängig von z und u

unabhängig

von x belegt werden kann. Präzisiert wird dies mit Hilfe von Sko-

lemfunktionen,

die

zu

In

ersetzten.

es erlauben Existenzquantoren im Skopus von Aliquanteren (3.21)

wird dieses Verfahren zuerst an linearen Präfixen

illustriert. (3.21) Man betrachte die Formeln der Logik erster Stufe: (a) (b)

Diese Formeln werden mit den Skolemfunktionen f , h geschrieben

als:

( a ' ) 3f3hWxWy ( x , y , f ( x , y ) , h ( x , y ) . (b1) 3f3hvx^(x,f(x),z,h(x,z). An der Anzahl der Argumente der Skolemfunktionen läßt sich ablesen wieviele Vorgänger

von Aliquanteren der ersetzte Existentquantor in der linearen Ord-

nung

ursprünglichen Formel hatte. Es ist nicht schwer nachzuweisen, daß

der

102

in (3.21) (a) und ( a * ) bzw. (b) und ( b 1 ) äquivalent sind. Die für das HenkinPräfix erwähnte "Unabhängigkeit" kann nun wie folgt ausgedrückt werden. (3.22) 3f3hvV5^(x,f(x),z,h(z)). Partielle Abhängigkeiten der Art (3.22) können in der üblichen Prädikatenlogik nicht ausgedrückt werden. Es ist nun leicht zu sehen, wie (3.22) als Lindström-Quantor zu schreiben ist. (3.23) (3.22) gdw. HExyzu 4 K x , y , z , u ) ; dabei wird HE interpretiert als: HE = {< , >; * C A4 und es existieren Funktionen f , h mit dom(f) = dom(h) = A, so daß für alle a,b € A gilt: < a , f ( a ) , b , h ( b ) > *}. In Hintikka (1973) wird dafür argumentiert, daß Sätze wie (3.24) eine Lesart haben wie sie durch das Henkin-Präfix ausgedrückt wird. ( 3 . 2 4 ) Soae relative of each villager and some relative of each townsman hate each other. Yx—3y x X

(3.24')

X ( ( villager(x)*townsman(z)) Vz~- 3u''

-· (reJative(x,y)AreJative(z,u) A(nate(y,u))].

Ob das Henkin-Präfix tatsächlich für die semantische Analyse natürlicher Sprachen benötigt wird ist eine offene Frage. Barwise (1979) versucht zu zeigen, daß (3.24) nur eine Lesart aufweist, die durch eine lineare Kombination von Quantoren erfasst wird. Barwise' logische Repräsentation von (3.24) ist ein gutes Beispiel für ein reduzierbares verzweigendes Präfix: Vx

3ys X

(3.24") Vz

X((v22Ja#er(x)Atorasaan(z)) t ( relative(x,y)*relative(z,u) 3u' A(hate(y,u))].

(3.24") ist logisch äquivalent zu der folgenden Formel mit linearem Präfix; also reduzierbar auf eine Formel erster Stufe. (3.25) VxVz3y3u[(( villager(x)*totfnsman(z))

-* (reJative(x,y))AreJative(z,u) A(Aate(y,u))].

103

Könnte

gezeigt werden, daß das Henkin-Präfix nicht reduzierbar in natürli-

chen Sprachen vorkommt, so wäre damit nachgewiesen, daß natürliche Sprachen extrem ausdrucksstark sind, denn die Semantik des Henkin-Präfixes ist außerordentlich ist

komplex

und

E L ( H E ) , die elementare Logik mit dem Henkin-Präfix,

fast so ausdrucksstark wie die Logik zweiter Stufe (vgl. hierzu Krynicki

/Lachlan

(1979)).

Väänänen

(1977) hat allerdings gezeigt, daß EL(HE) nicht

äquivalent zur vollen Logik zweiter Stufe ist ( v g l . hierzu Nundici (1985)). Zum Abschluß diese Abschnitts sei kurz darauf hingewiesen unter welchen Bedingungen erster

Logiken

Stufe

mit

verallgemeinerten

EL reduzierbar

Quantoren auf die Prädikatenlogik

sind. Lindströms (1969) Charakterisierung der

elementaren Logik gibt solche Restriktionen explizit an. Man

betrachte

dazu die folgenden Versionen des Kompaktheitssatzes und des

Löwenheim-Skolem Theorems: (3.26)

Sei

eine

Teilmenge von ( 3 . 2 7 ) Sei

abzählbare

ein Modell hat, dann hat

und

ein Modell.

eine abzählbare Menge von Q-Sätzen. Falls

mit |A| > Ho, dann hat (3.26)

Menge von Q-Sätzen. Falls jede endliche

(3.27)

ein Modell M hat

ein Modell M' mit | A ' | = Ho.

gelten für EL. Lindströms (erstes) Theorem besagt, daß

auch die Umkehrung gilt, d.h. die Logik EL ist auf Grund dieser Eigenschaften charakterisiert. Satz

3.1;

Sei

L eine

Logik. Falls für L der Kompaktheitssatz und das

Löwenheim-Skolem Theorem gilt, dann ist L = EL. Beweisidee;

Man betrachte

elementaren

Logik

einen

Satz

,

der nicht zu einem Satz der

äquivalent ist. Dann existieren elementar äquivalente

Strukturen M, M' mit:

M ^Mit

Hilfe

werden

aus

und M' (- - . des

Kompaktheitssatzes und des Theorems von Löwenheim/Skolem

diesen

Strukturen

durch ein Zick-Zack-Verfahren isomorphe

Strukturen N, N' gebildet m i t :

N |Dies

und N' (- -- .

ist jedoch ein Widerspruch. Also muß

zu einem Satz von EL äquiva-

104

lent

sein.

Einen ausführlichen Beweis von Lindströns Theorem findet nan

in Flum (1985). Mit

diesen

Präfixes man

Resultat läßt sich leicht zeigen, daß die Senantik des Henkin-

jenseits der der Logik erster Stufe angesiedelt ist.

mittels

des Henkin-Präfixes einen Quantor Qo, der ausdrückt, daß unend-

lich viele Elemente eine gegebene Formel (3.28) Qow Da 3

Dazu definiert

( ) erfüllen.

( ) gdw. 3 [ ( ) A H E x , y , z , u ( ( x = z « y = u)

( ) gilt, falls Qow ( ) ist

( ( ) ·*

( ) A y*v))].

nicht leer. Wegen des ersten Kon j unk t s

im Skopus von HE enthält # eine injektive Funktion, da (x = z «· f ( x ) = h ( z ) ) für

Skolemfunktionen f , h . Aus dem zweiten Konjunkt folgt, daß diese Funktion

nicht

auf

einer

endlichen Menge definiert sein kann» Man betrachte nun die

Satzmenge: (3.29) 3>

= {--Qox(x =

( ), daß

Jede

endliche

Daraus

folgt,

kompakt

) } u {3>nx(x =

);

= 1 , 2 , 3 , . . . }, dabei besagt

mehr als n Elemente enthält. Teilmenge

von

hat

ein Modell,

selbst dagegen nicht.

daß die Erweiterung von EL mit dem Henkin-Präfix EL(HE) nicht

sein kann. Ferner ist diese Logik nicht axiomatisierbar und auch das

Löwenheim-Skolem

Theorem

gilt

nicht

für

EL(HE)

(vgl.

Krynicki/Lachlan

(1979)).

3.3 Reduzierbare versus nicht-reduzierbare Quantoren

In vielen Fällen ist es möglich, Quantoren von komplexen Lindströmtyp auf eine Iteration von Quantoren mit weniger komplexen Typ zu reduzieren, den Quantor

(jeder,ein) des Typs < 2 , 2 > aus Abschnitt 3.1 etwa auf eine Iteration der

Quantoren

jeder, ein von Typ . Man folgt damit der Fregeschen Einsicht,

daß Quantoren aber

sind

Art zwar definierbar sind, die Annahme ihrer Existenz

willkürlich und ad hoc ist.

dafür in

dieser

In diesem Abschnitt werden einige Argumente

vorgestellt, daß die Annahme, es gebe genuin nicht-fregesche Quantoren

natürlichen stärker

Sprachen, als

plausibel

ist.

Die Argumente in diesem Abschnitt

in 3.1, da hier die Irreduzierbarkeit der Quantoren nicht

vom Vorliegen oder Nicht-Vorliegen bestimmter Bedingungsverhältnisse - also quasi syntaktischer Bedingungen - wie bei den Bach-Peters Sätzen abhängig

105

ist.

Außerdem ist die Bedeutung der hier diskutierten Beispiele intuitiv we-

sentlich einfacher zu erfassen als die "überkreuzende" Lesart der Bach-Peters Sätze. Keenan (1987b) analysiert Sätze der folgenden Art durch mehrstellige nicht reduzierbare Quantoren. (3.30) (a) Jeder Gast ißt dasselbe Gericht. (b) Jeder Gast ißt ein anderes Gericht. (c) Wenigstens zwei Gäste essen dasselbe Gericht. (d) Wenigstens zwei Gäste essen verschiedene Gerichte. (e) Die meisten Linguisten lesen denselben Aufsatz von Noam Choesky. (f) Die meisten Linguisten lesen verschiedene Aufsätze von Noam Chomsky. (3.31)

(a)

Eine

gewisse Anzahl von Studenten bewirbt sich um eine viel

kleinere Anzahl von Wohnungen. (b) Drei Lektoren lesen insgesamt zwanzig Bücher. (3.32)

(a)

Die beiden Linguisten unterstützen rivalisierende politische

Parteien. (b) Alle Studenten sprechen ähnliche Dialekte. (3.33) (a) Alle Lehrer geben demselben Schüler dasselbe Buch. (b)

Alle Lehrer geben dasselbe Buch verschiedenen Schülern am selben

Tag in verschiedenen Klassenzimmern. Es geht im folgenden nicht um Lesarten, die vom Kontext abhängen. Zum Beispiel hat der Satz Jeder Linguist liest ein anderes Buch eine kontextuelle Lesart wie Wolfgang ge

liest ein anderes Buch. Die Lesart, die durch mehrstelli-

Quantoren analysiert werden soll, ist die kontextunabhängige. Diese sieht

für das genannte Beispiel wie in ( 3 . 3 4 ) aus. ( 3 . 3 4 ) (Jeder,Versch(l))(Linguist,Buch,lesen) = l gdw. (i) Buch n lesetu i Buch n lesenb, für alle a

b € Linguist.

( i i ) Für alle a e Linguist gilt: (Buch n lesen*| = 1. Der

Quantor

anderes

aus

von

(Jeder,Versch(l)) hat also Lindströmtyp . Der Ausdruck ( 3 . 3 0 ) ( b ) wird als Verseht l) interpretiert. Versch(l) ist dabei

Quantoren wie Versch(2) oder Versch(3) zu unterscheiden, die in der In-

terpretation der folgenden Sätze eine Rolle spielen.

106

(3.35) (a) Jeder Gast ißt zwei verschiedene Gerichte. (b) Jeder Linguist liest drei verschiedene Bücher. Analoges gilt für Selb(n), den semantischen Wert für dasselbe. Allgemein B C A

wird der Quantor ( Jeder, Versch(l)) für n, n C A und eine Relation

wie in (3.36) interpretiert:

(3.36) ( Jeder, Versch(l)) ( m , n, R ) = l gdw. (i) n n Ra * n n Rb, für alle a * b e m. ( i i ) Für alle a € m, |n n R a | = 1. Es

werden

nun kurz die semantischen Klauseln für die Quantoren angegeben,

die

zur Interpretation der Sätze in (3.30) benötigt werden (Diese Liste läßt

sich

natürlich beliebig fortsetzen. ( 3 . 3 7 ) soll nur ein Hinweis auf die all-

gemeine

Interpretationsstrategie

sein).

Alle Quantoren

haben vorerst Typ

(3.37) (a) (Jeder,Selb(l))(m,n,R) = l gdw. ( i ) n n Ra = n n Rb, für alle a * b 6 m. ( i i ) Für alle a e m, |n n R a | = 1. (b) (Wenigstens zwei,Selb(l))(m,n,R) = l gdw. ( i) n n Ra = n n Rb, für wenigstens zwei a * b 6 D ( i i ) wie in (3.37) ( a ) . (c)

Sei

Versch(pl) die Interpretation des Plurals von verschieden wie

er z. B in Satz (3.30) (d) vorkommt. (Wenigstens zwei,Versch(pl))(m,n,R) = l gdw. für wenigstens zwei a * b

m, (n n Ra ) n (n n Rb ) = 0.

(d) (Die meisten, Selb(l)) (m, n, R) = l gdw. (i)

falls

die

Anzahl der a,b mit n n Ra = n n Rb größer ist,

als die Anzahl der a,b mit n n Ra

n Rb.

( i i ) wie in (3.37) ( a ) . (e) Analog für Versch(n) oder Versch(pl). Die für

Beispiele in (3.30) sind damit zu beschreiben. Zu beachten ist, daß es die folgende Argumentation die ( i i ) Klauseln in (3.36) oder (3.37) keine

wesentliche Rolle spielen. Wegen ( 3 . 3 6 ) ( i i ) folgt beispielsweise aus dem Satz

107

Jeder Linguist liest ein anderes Buch, daß jeder Linguist genau ein Buch liest. Falls nan diese starke Folgerung vermeiden möchte, ist es durchaus möglich, statt ( 3 . 3 6 ) ( i i ) die Klausel ( 3 . 3 6 ) ( i i * ) zu schreiben. (3.36) ( U ' ) Für alle a e m |n n R a | > 1. In diesem Sinne spielen die betreffenden ( i i ) Klauseln im Gegensatz zu den (i) Klauseln für die Irreduzierbarkeitsresultate keine Rolle. Die Sätze in (3.31) drücken bestimmte Kardinalitätsbeziehungen aus. Ihre Wahrheitsbedingungen lassen sich durch Quantoren vom Typ leicht angeben (wobei die Semantik von viel in (3.31)(a) ignoriert wird). (3.38) (a) (Eine gewisseAz.kleinereAz) ( m , n , R ) = l gdw. |dorn(R n m n ) | > |ran(R n m n ) | , wobei für eine zweistellige Relation R ran(R) = {b; es gibt a mit ( a , b ) e R} ist. (b) (Drei,insgesamt zwanzig) ( m , n , R ) = l gdw. es gibt drei verschiedene a,b,c € m mit: |n r> (R a u Rb

R c ) | = 20.

Bisher wurden nur Quantoren beschrieben, die unter Isomorphie abgeschlossen sind. Dies t r i f f t für die Beispiele in (3.32) nicht zu und zwar wegen der Adjektive rivalisierende, ähnliche und benachbarte. In Kapitel 2 wurde für den einfachen Fall gezeigt, daß solche Beispiele QUANT oder PERM verletzen. Diese Argumentation läßt sich leicht auf Quantoren mit komplexeren Typen übertragen. Man beachte, daß ( 3 . 3 2 ) ( a ) , auch wenn man die kontextuelle Lesart vernachlässigt, mehrdeutig ist. ( 3 . 3 2 ) ( a ) kann bedeuten, daß jeder der beiden Linguisten zwei oder mehr rivalisierende, politische Parteien unterstützt, daß sie sich also über ihre politischen Vorstellungen nicht so ganz klar sind. Die üblichere Lesart besagt dagegen, daß jeder der beiden Linguisten eine Partei unterstützt, die eine Rivalin der Partei ist, die der andere Linguist unterstützt. Es geht im folgenden nur um diese Lesart. Es gilt sicher, daß rivalisierende Parteien verschiedene Parteien sind aber nicht unbedingt umgekehrt. Diese Differenzierung läßt sich wie in (3.39) ausdrücken, ist aber wiederum für die Irreduzierbarkeitsresultate bedeutungslos. (3.39) (Die beiden,rivalisierenden) ( m , n , R ) = l gdw. (Die beiden,Versch(pl))(m,n,R) = l und für alle a * b 6 m, sowie für alle a* € n n Ra und für alle b' € n n Rb gilt, daß a* ein Rivale von b' ist. Es ist leicht einzusehen, warum es reicht, solange es nur um Fragen der Re-

108

duzierbarkeit falls

geht,

sich auf (Die beiden,VerBch(pl)) zu konzentrieren. Denn

(Die beiden,rivalisierenden) reduzierbar wäre, so wäre dieser Quantor

unabhängig

davon

reduzierbar,

wie der Ausdruck rivalisierend interpretiert

wird. Aber unter bestimmten empirischen Bedingungen können die Ausdrücke verschieden daß

auch

(3.32)(b)

und rivalisierend

gleichbedeutend sein. Daraus würde dann folgen,

(Die beiden,Versen) reduzierbar ist. Ähnlich kann nan für Beispiel argumentieren,

da die

Ausdrücke ähnliche Dialekte und dieselben

Dialekte unter bestimmten Umständen gleichbedeutend sein können. Die Beispiele in (3.33) zeigen, daß es nicht ausreichend ist, nur Quantoren vom

Typ

zu

betrachten.

(3.33)(a) wäre durch einen Quantor von Typ

zu analysieren und ( 3 . 3 3 ) ( b ) . ( 3 . 3 3 ) ( a ) zum Beispiel durch:

durch

eine

Funktion

von Typ

(3.40) (Jeder,Selb(l),Selb(l))(Lehrer,Schüler,Buch,geben) = l gdw. für alle a,a' e Lehrer es b,c gibt mit: b € Schüler, c e Buch, (a,b,c) geben und ( a ' , b , c ) e geben. Auf der Ebene von LF erhält man durch QR für Jeder Linguist liest ein anderes Buch die Struktur: (3.41) (Jeder(\); Man

Linguist(x))

((Ein anderes(y)',

Buch(y))

(x liest y).

könnte nun durch eine Art von Absorptionsoperator eine Struktur her-

stellen, die zur Interpretation (3.34) paßt. (3.35) (Jeder(x),

Ein anderes(y))

(Linguist(x))*(Buch(y))

(x liest y).

Die Interpretation von (3.35) sollte, falls man Syntax und Semantik parallel behandeln w i l l , auf die von (3.41) reduzierbar sein, denn andernfalls wären die Sätze Jeder Linguist liest ein anderes Buch und Jeder Linguist liest ein Buch gänzlich verschieden zu beschreiben. Dafür gibt es aber kaum plausible den

syntaktische Gründe. (3.35) sollte also schlicht überflüssig sein. Mit folgenden Irreduzierbarkeitsresultaten ergeben sich also erneut Probleme

mit dem Kompositionalitätsprinzip. Es

wird vorerst gezeigt, daß (3.34) nicht reduzierbar ist. Dann wird nach-

gewiesen, wird

daß dies

für

alle Beispiele in (3.30) - (3.33) gilt. Zu· Schluß

ein Ergebnis dargestellt, das die Argumentation für logische Quantoren,

die FIN erfüllen, erheblich erleichtert. Definition 3.3: Sei Q ein Quantor des Typs < 1 , 1 , 2 > , Qi und Q2 seien Quan-

109

toren des Typs . Q ist auf Qi und Q2 reduzierbar, falls für alle m, n C A und alle R C A gilt: Q ( m , n , R ) = (Qi ,Qz ) ( m , n , R ) = Qi (n, {a;Q2 ( n , R « ) = l } ) Es ist intuitiv leicht einzusehen, warum ein Quantor wie ( Jeder , Versch ) im Sinne von Definition 3.3 nicht reduzierbar ist. Dieser Quantor kann zwischen Relationen differenzieren, die Qi und Qz gleich behandeln müssen. Angenommen Q = (Jeder, Versch) wäre auf Qi und Qz reduzierbar, dann müßte, wenn m, n gegeben sind, Q2 allein auf Grund der Objekte, zu denen a in Relation R steht, entscheiden, ob ein Objekt a ein Element aus {a; Q z ( n , R a ) = 1 } ist oder nicht. Zum Beispiel kann die Entscheidung von Q2 nicht davon abhängen, ob etwa Ra 4 Rb für ein b * a ist. Gerade dies spielt aber für Q eine wichtige Rolle. Definition 3.4; Sei Q von Typ < l , . . . , l , n > für jedes n-Tupel ( m { l ) , . . . , m ( n ) ) ist Q ( « < i ) , . . . ,·( ) ) von Typ definiert durch:

Ein Spezialfall ist: Q ( A , . . . , A > (R) = Q(A, ... . ,A,R) Lemma 3.2; Für alle Q von Typ und Qi , Q2 von Typ gilt: Q = ( Q i i Q 2 ) gdw. für alle m, n C A Q ( . , n ) = (Qi(.) , Q 2 ( n ) ) . Beweis;

Q ( m , n , R ) = ( Q i , Q 2 > (m, n, R) = Qi(m,{a; Q 2 ( n , R « ) = 1}) = Q i ( . ) ( { a ;

Q 2 ( n ) ( R a ) = 1}) = ( Q l ( . ) , Q 2 ( n ) ) ( R ) = Q ( . , n ) ( R ) .

Daraus folgt nun sofort: Korollar 3.2.1: Falls Q von Typ reduzierbar ist, dann ist für alle m, n Q ( B , n ) reduzierbar. Speziell ist dann Q < A , A > reduzierbar. Man beachte, daß ( Q i , Q 2 ) = (Qi-*,-'Q2) (vgl. Kap. 2 . 4 ) . Daher gilt, daß Q von Typ genau dann reduzierbar ist, wenn es Qi , Q2 von Typ gibt mit: Q = ( Q i , Q 2 > und Q 2 ( J f ) = 0. Denn entweder Q2 oder -^2 bilden 0 auf 0 ab. Die folgenden Lemmata liefern auch unabhängig von den Irreduzierbarkeitsresultaten interessante Informationen über reduzierbare Quantoren. Lemma 3.3: Sei Q von Typ reduzierbar auf ( Q ' , Q ' ) mit Q ' ( 0 ) = 0. Dann ist Q(R) = Q(RQ· ) , wobei

110

R Q ' ( R o ' ) a gleich 1. Falls Q ' ( R a ) = 0, dann ist a kein Element aus d o n ( R o ' ) · Also ist ( R Q - ) a leer. Da Q' die leere Menge auf 0 abbildet, folgt: Q ' ( R e - ) a = 0. Q ' ( R a ) ist somit gleich Q ' ( R Q ' ) a für alle a E A. Lemma 3.4: Sei R eine zweistellige Relation und a E A. Sei Ra = dorn(R) Ra. Sei ferner Q = ( Q * , Q ' ) mit Q ' ( 0 ) = 0, dann gilt für alle a dom(RQ-) Q(R) = Q(Rae-). Beweis: Falls gilt, für alle b e dom(Rae') Q ' { R a e - ) b = l gdw. Q ' ( R f l - ) b = l folgt die Aussage von Lemma 3.4 sofort, denn dann ist wegen Lemma 3.3 Q(R) = Q ( R d - ) und ferner: Q ( R e · ) = ( Q ° , Q ' ) ( R < r ) = Q ' ( i b ; Q ' ( R e ' ) b ) = 1}) = Q'({b; ( i ' ( R a Q - ) b = 1}) = (Q° , Q ' ) (Rao· ) = Q ( R a e · ) . Da Raq· = dom(RQ·) ( R Q ' ) a ist d o m ( R o ' ) = dorn(Rae·) und wegen der Definition von RQ* ist für alle b £ dom(RQ') Q ' ( R q > ) b = 1. Also auch, da a E d o m ( R Q ' ) Q ' ( R « ' ) a = 1. Ferner ist für alle b E dorn (Bat)·) ( R a q > ) b = ( R o ' ) a . Daraus folgt, daß für alle b E dom(Rao') Q ' ( R a 4 ' ) b = l gdw. Q ' ( R Q ' ) b = l. Man beachte, daß alle Elemente aus dom(RaQ') zu denselben Objekten in Beziehung stehen, nämlich zu den Elementen aus ( R Q > ) a . Damit ist klar, daß (Jeder, Versch) kein Quantor sein dürfte für den die Voraussetzungen von Lemma 3.4 gelten. Lemma 3.5: Angenommen Q von Typ hat die folgende Eigenschaft E: (E) VR Q ( R ) = l - 3a3b( a * b E dom(R)

Ra * R b ) .

Dann ist Q nicht |dom(R)| > 2.

reduzierbar,

Beweis:

Q ist reduzierbar auf ( Q ' , Q ' ) mit Q ' ( 0 ) = 0. Sei R

Angenommen

falls Q ( R ) = l für eine Relation R mit

Ill

eine

zweistellige Relation mit |dom(R)| > 2 und Q ( R ) = 1. Dann ist wegen

Lemma 3.3 auch Q ( R q ' ) = 1. Also gibt es wegen (E) aus Lemma 3.5 in d o m ( R q ' ) verschiedene Elemente a,b. Mit Lemma 3.4 ist auch Q(Rao') = 1. Aber wie im Beweis von Lemma 3.4 gezeigt, ist für alle b,c E dom(Raa·) (RaQ')b = ( R a o ' ) c = ( R Q ' ) a . Dies ist ein Widerspruch zur Voraussetzung von Lemma 3.5. Also ist Q nicht reduzierbar. Es ist.

ist nun nicht schwierig zu zeigen, daß (Jeder,Versch) nicht reduzierbar

Korollar 3.5.1: (Jeder,Versch(l)) von Typ ist nicht reduzierbar. Beweis: Wegen Korollar 3.2.1 reicht es zu zeigen, daß (Jeder,Ver8ch(l))(A,A) nicht reduzierbar ist. ( J e d e r , V e r s c h ( l ) ) ( A , A ) ( R ) = l gdw. (i) A n Ra * A n Rb für alle a * b € A. ( i i ) Für alle a 6 A |A n R a | = 1. Aus (i) folgt, daß dom(R) = A und, daß für alle a,b E A Ra * Rb. Es muß nachgewiesen werden, daß die Bedingungen von Lemma 3.5 erfüllt werden können; d.h. es muß eine Relation gefunden werden mit |dom(R)| > 2 und es muß gelten: falls (Jeder,Versch(l))(A,A)(R) = l, dann gibt es a »t b € dom(R) mit Ra * Rb. Da dom(R) = A ist die erste Bedingung für alle A mit mindestens zwei Elementen erfüllt. Die zweite Bedingung gilt zum Beispiel für die Relation Id = {(a,a); a 6 A}. Also ist wegen Lemma 3.5 (Jeder,Versch(1)) nicht reduzierbar. Man sieht an dieser Argumentation, daß die Bedingung ( i i ) keine Rolle für die Irreduzierbarkeit von (Jeder,Versch(l)) spielt. Durch ähnliche Anwendungen von Lemma 3.5 kann gezeigt werden, daß alle Quantoren aus ( 3 . 3 0 ) ( b ) ( d ) ( f ) und ( 3 . 3 2 ) ( a ) nicht reduzierbar sind. Für ( 3 . 3 2 ) ( a ) muß dabei allerdings vorausgesetzt werden, daß rivalisierend und verschieden gleich interpretiert werden. Für die entsprechenden Sätze mit dem Ausdruck dasselbe kann Lemma 3.5 nicht direkt benutzt werden, um die Irreduzierbarkeit der Quantoren zu zeigen. Man kann jedoch Lemma 3.5 anwenden, falls der erste Quantor ist, wie in: (3.36) Weniger als sechs Linguisten lesen denselben Aufsatz. Denn

(Weniger

als

sechs,Selb(l))(A,A)(R)

ist wahr, falls es weniger als

112

sechs

voneinander verschiedene

Elemente

aus A gibt mit Ra = Rb = Rc ... .

Wählt man eine Grundmenge mit mehr als sechs Elementen, so kann die Bedingung von Lemma 3.5 e r f ü l l t werden. Ahnlich argumentiert man für die Fälle Kein, Keine zwei, Höchstens zwanzig usw.. (3.37}(a)

Jeder Gast ißt dieselben Gerichte.

1

( a ) Wenigstens zwei Gäste essen verschiedene Gerichte. Der

Quantor

kann

(3.37)(a)

ist die Negation des Quantors in ( 3 . 3 7 ) ( b ) . Es

durch eine direkte Anwendung von Lemma 3.5 analog zu Korollar 3.5.1 ge-

zeigt

werden,

tionen daß

in

daß (Wenigstens zwei,Versch) irreduzibel ist.

Falls die Nega-

von nicht reduzierbaren Quantoren nicht reduzierbar sind, folgt dann,

auch (Jeder,Selb(pl)) irreduzibel ist.

Leicht zu zeigen ist das folgende

Lemma. Lemma

3.6:

Seien

Q°

und Q'

beide

von

Typ oder < 1 > . Dann

ist

1

-(Q'.Q ) = (-Q*,Q'). Beweis:

Seien

die Quantoren von Typ . Dann gilt: - " ( Q " , Q ' ) ( m , n , R ) =

- ( ( Q ' . Q ' X e . n . R ) ) = M Q ° ( m , { a ; Q ' ( n . R a ) = 1})) = - Q ° ( m , { a ; Q ' ( n . R a ) = 1}) = hQ°,Q')(n>,n,R). Analog wird argumentiert, falls beide Quantoren von Typ sind. Daraus

folgt nun sofort als Korollar, daß ein Quantor genau dann reduzier-

bar ist,

wenn seine Negation reduzierbar

Korollar

3.6.1: Sei Q von Typ < 1 , 1 , 2 > oder von Typ < 2 > . Q ist

reduzierbar, wenn --Q reduzierbar ist. Beweis:

ist

I

genau dann

Die Umkehrung wird analog bewiesen.

Sei Q reduzierbar auf ( Q ° , Q ' ) . Dann ist

wegen Lemma 3.6. Also ist Es

ist.

--Q = - - ( Q ' . Q ' } = ( - • Q ' i Q ' )

I

- ran(R). Sei A eine Grundmenge mit wenigstens drei Elementen. Angenommen Q ist auf ( Q ° , Q ' ) mit Q'(ii) = 0 reduzierbar. Da Q(0) = 0 gilt wie im Beweis von Korollar 3.7.1 Q°(0) = 0. Für alle zweielementigen Mengen n ist Q ' ( n ) = l, denn, falls R = A n ist Q ( R ) = l aber für Q ' ( n ) = 0 ist ( Q ° , Q ' ) ( R ) = Q'({a; Q ' ( R a ) = 1}) = Q'({a; Q ' ( n ) = 1}) = Q ' ( U ) = 0. Sei S die Relation { (bi ,bi ) , (bz ,bi ), (bi ,b2 ), (bs.bi )}. Es gilt Q(S) = l, da |dom(S)| = 3 und |ran(S)| = |{bi,b2}| = 2. Sei n = {b2,b4}. Dann ist S b Vn = { ( b 2 , b i ) , ( b 3 , b i ) , ( b i , b 2 ) , ( b i , b 4 ) } . Q(S b l /n) ist 0, da bi bl |dom(S /n)| = |ran(S /n}| = 3. Aber, da Q ' ( r a n ( S ) ) = Q ' ( n ) ist ( Q ' , Q ' ) ( S b l / n ) wegen Lemma 3.7 gleich 1. Also kann Q nicht auf ( Q ° , Q ' ) reduzierbar sein. Mit dem entwickelten formalen Apparat ist es also möglich, die Unreduzierbarkeit aller Beispiele am Beginn dieses Abschnitts zu zeigen. Eine andere Möglichkeit, diese Sätze zu interpretieren, wäre verschieden und dasselbe als Operatoren höherer Stufe zu deuten, die auf den üblichen Iterationen von Quantoren des Typs definiert sind. Vielleicht könnte damit das erwähnte Problem mit dem Kompositionalitätsprinzip umgangen werden. Wie die intuitive Rechtfertigung dieses Vorschlags aussieht und vor allem welche formalen Probleme damit verbunden sind, ist mir allerdings unklar. Keenan (1987b) diskutiert eine Möglichkeit, die Quantoren von Typ auf eine bestimmte Klasse von verzweigenden Quantoren zu limitieren. Seien Q' und Q' von Typ , m, n C A und R C A A.

(3.39)

Westerstahl (1987) gibt ein allgemeines Interpretationsverfahren für verzweigende Quantoren dieser Art an. Ein Quantor von Typ ist verzweigend, falls es Quantoren Q",Q' von Typ gibt, so daß für alle m, n, R Q ( m , n , R ) wie in (3.39) interpretiert wird. Keenan weist nach, daß die Funktionen ( Jeder, Versch(l)) und ( Jeder , Selb(l)) nicht verzweigend sind. Damit können diese Quantoren auch nicht auf die Klasse der Quantoren der Art (3.39) reduziert werden. Dies heißt allerdings nicht, daß es keine verzweigenden Quantoren gibt auf die zum Beispiel ( Jeder, Verach(l)) reduzierbar ist. Das Henkin-Präf ix etwa erlaubt, den Satz Jeder Linguist liest ein anderes Buch

115

wie folgt auszudrücken.

3v3v(Linguist(v) A ßucA(w)) A (3.40)

Vx --- 3 ^ (Linguist(x)

A Buch(y) -· Jesen(x,y))]

(3.40) drückt aus, daß lesen eine injektive Funktion zwischen der Menge der Linguisteil es

also

und der Menge der Bücher enthält (vgl. (3.28) aus Kap. 3 . 2 ) , daß wenigstens

soviele Bücher wie Linguisten gibt. Dies entspricht der

Definition ( 3 . 4 ) . Zum Schluß dieses Abschnitts wird gezeigt, daß sich unter bestimmten Bedingungen,

die

Argumentationen, die zum Nachweis der Irreduz ierbarkeit der ge-

nannten

Quantoren

führten,

stark

vereinfachen

lassen

(vgl. van Benthem

(1988)). Die erste Bedingung verlangt, daß alle Quantoren eine bestimmte Form von

PERM

logische mit

erfüllen

müssen. Es wird also ein Irreduzierbarkeitskriterium für

Quantoren angegeben. Zum zweiten wird gefordert, daß nur Strukturen

endlicher

Grundmenge betrachtet werden müssen, daß also FIN gilt. Wegen

Korollar 3.2.1 reicht es, die folgenden Ergebnisse nur für Quantoren des Typs nachzuweisen. Sei

eine

Permutation

von

A. Man definiert

auf Paaren ( a , b ) 6 A

durch: rc(a,b) = ( n ( a ) , n ( b ) ) . Ein Quantor von Typ ist logisch, falls gilt: PERM2:

Sei

eine Permutation von A und Q ein Quantor des Typs < 2 > . Für

alle zweistelligen Relationen R gilt: Q ( R ) = l gdw. Q ( n ( R ) ) = 1. Für Mengen

Q von sind,

Typ oder ist dann

dies zu PERM äquivalent; d.h. falls m, n

besagt n ( m ) = n, daß m und n gleiche Kardinal i tat haben.

Definition 3.6 gibt die für die Reduz ierbarkeit von Quantoren verantwortliche Eigenschaft an. Definition 3.6: (a) Seien R und S zweistellige Relationen. R = S gdw. für alle a € A, |Ra| = |Sa|. (b) Ein Quantor heißt rechtsorientiert, falls er unter = abgeschlossen ist. Lemma

3.8:

Sei Q ein Quantor von Typ für den PERM gilt. Falls Q auf

Q°, Q' von Typ reduzierbar ist, ist Q rechtsorientiert. Beweis:

Gegeben

seien

R,

S m i t : R = S. Dann gilt: Q ( R ) = ( Q ' , Q ' ) ( R ) =

116

Q°({a;

Q'(Ra)

=

Q°({a; sen.

Q'(Sa)

= 1}) = ( Q ' , Q ' ) ( S ) = Q ( S ) . Also ist

Mit

1})

= Q ° ( U ; Q'(Sa) = 1}), wegen R s S und PERM. Und: Q unter = abgeschlos-

der Umkehrung von Lemma 3.8 hätte man ein Reduzierbarkeitsresultat zur

Verfügung,

das die folgenden Beispiele Bit sogenannten resumptiven Quantoren

erklären würde. (3.41) (a) Keiner liebt keinen. (b) Alle lieben alle. Eine mögliche semantische Klausel für (3. 41) (a) besagt, daß kein Paar (a,b) ein

Element von lieben ist

(analog für ( 3 . 4 1 ) ( b ) ) . Keine der durch Iteration

Strukturen ist dazu äquivalent, denn (kein, kein) = (kein*1,·1 kein) =

erzeugten

(jeder, ein).

Andererseits

ist die Funktion Q die eine zweistellige Relation

auf l abbildet genau dann, wenn kein Paar ( a , b ) ein Element der Relation

ist,

rechtsorientiert. Das heißt Q(R) = l genau dann, wenn für alle a € A Ra = 0. Falls

nun

für

alle a e A Ra = Sa = |f, dann gilt auch Q(S) = 1. Also ist Q

rechtsorientiert. Man kann zwar für ( 3 . 4 1 ) ( a ) keine Reduktion durch Iteration von

kein

finden,

aber es gibt eine Reduktion mit anderen Quantoren von Typ

( 3 . 4 2 ) KEIN(R) = l gdw. (kein, ein) (R) . (3.42) dann,

besagt, daß es für kein a ein b gibt mit ( a , b ) 6 R. Dies gilt genau

wenn kein Paar ein Element von R ist.

Der folgende Satz zeigt, daß die

Voraussetzungen von Lemma 3.8 nicht nur eine notwendige, sondern auch eine hinreichende Bedingung für die Reduzierbarke it von Q beinhalten. Satz

3.2

(FIN):

Sei Q ein Quantor von Typ für den PERM2 gilt. Dann

ist Q reduzierbar gdw. Q rechtsorientiert Beweis: ein

Sei

ist.

Q ein logischer, rechtsorientierter Quantor, |A| = n und Qi

Quantor von Typ mit: Q i ( m ) = l gdw. |m| = i. Dann gilt: Q ( R ) = l

gdw. A ( Q n U ) . Q j ) ( R ) = l, wobei Q n < j ) ( { a ; Q j ( R a ) = 1}) = Q n ( j ) ( { a ; |R a | = j}) = | {a; |Ra| = j}| = n ( j ) . Diese Gleichheit gilt wegen FIN und PEBM2. Zu =

zeigen ist,

falls für S gilt, daß (Qn< j > ,Qj ) (S) = l, dann auch Q ( S )

1. Wenn für S diese Konjunktion gilt, dann ist die Sa-Verteilung von S

dieselbe n(j)-viele

wie

die

Ra -Verteilung

von

R. Zum Beispiel gibt es für genau

Elemente aus dom(R) bzw. dom(S) j-viele R- bzw. S-Nachfolger,

117

n(j)-viele

Elemente aus dom(R) bzw. dom(S) j-viele R- bzw. S-Nachfolger,

also Elemente aus r a n ( R ) b z w . r a n ( S ) . Man definiert nun die Permutation von A dadurch, daß man die n ( j ) a, die j S-Nachfolger haben, auf diejenigen a' abbildet, die j R-Nachfolger haben. Dies ist möglich, da die betreffenden

Mengen dieselbe Kardinalität haben. Dann gilt: Für alle a E A

|Ra| = |rt[S] a |, also R s n[S], Ferner, da Q ( R ) = l und Q rechtsorientiert ist

Q ( n [ S ] ) = 1. Außerdem gibt es eine Permutation n' mit: S =

'[ [8]].

Da für Q PERM2 g i l t , folgt daraus Q(S) = 1. Mit diesem Resultat ist die Irreduzierbarkeit von Q = (Jeder,Versch) leicht nachzuweisen.

Man muß dazu

nur

Relationen R, S finden mit R = S, für

die

gilt, daß die eine eine injektive Funktion enthält, die andere dagegen nicht. Sei

hierzu R = { ( a , a ) , ( a , c ) , ( b , b ) , ( c , c ) } . R enthält die Identitätsfunktion,

die natürlich injektiv ist. ist

Sei nun S = { ( a , a ) , ( a , b ) , ( b , c ) , ( c , c ) } . Für alle

|Rjt| = |Sx|, also R s S. Zum Beispiel ist

( R a | = |{a,c}| = 2 = |{a,b}( =

|Sa|. Man kann aber wegen der Werte für b und c in S keine injektive Funktion wie in R finden (vgl. Bild ( 3 . 4 3 ) ) . ( 3 . 4 3 ) (a) R:

O G-

(b) S:

Es

ist bemerkenswert, daß für dieses Resultat das Prinzip KONS keine Rolle

spielt. Q(m,n,((m tiv ist.

Ein

Quantor

Q von Typ < 1 , 1 , 2 > ist konservativ, falls Q ( n , n , R ) gdw.

n) n R ) ) . Es ist leicht zu sehen, daß (Jeder,Verech(l)) konservaFalls es einen Quantor gibt, der reduzierbar ist,

aber nicht konser-

vativ, so ist der folgenden Satz bewiesen. Satz

3.3: Konservativität und Reduzierbarkeit sind voneinander unabhängig.

118

Die -Variante des Härtig-Quantors H ( H ( m , n ) = l gdw. |m| = | n | ) , die wie folgt definiert ist (H, H) ( m , n, R ) = H ( m , { a ; H ( n , R a ) = 1}), ist reduzierbar und nicht konservativ. Dies folgt einfach aus der Nicht-Konservativität von H

(vgl. Kap. 2 . 2 ) . Auch durch das

wenn die

man die

Anzahl

der Quantoren von Typ betrachtet, die

Konservativitätsbedingung

Ergebnis

nicht

so

ausgeschlossen werden, zeigt sich, daß

signifikant ist, wie im Fall der Quantoren des Typs

. Falls n die Anzahl der Elemente in A ist, so hat der Definitionsbe-

in') reich von Funktionen des Typs < 1 , 1 , 2 >

2" · 2

n

· 2

viele Elemente; d.h. es

2 ( 2 n t (n .n) )

gibt 2

viele Funktionen dieses Typs. Für n = 2 ergibt sich bei-

spielsweise

. Durch Die Konservati v itätseigenschaf t wird zwar diese Zahl

verringert, es bleiben aber, falls n = 2 ist, immer noch 2 49 Funk-

drastisch tionen

2

256

dieses Typs. Diese Zahl ist nach wie vor derart grotesk hoch, daß die

Annahme,

Konservativität sei die einzige allgemeine Beschränkung, höchst un-

plausibel erscheint. Bewiesen wird dieses Resultat durch eine Modifikation der Beweistechnik aus Keenan/Stavi

(1986).

Es wird nachgewiesen, daß die Klasse der konservativen

Funktionen des Typs eine atomlose boolsche Algebra bilden. Für solche Algebren der

gilt, daß sie 2k viele Elemente haben, wobei k die Anzahl der Atome

Algebra ist. Es ist also nur noch nötig die Anzahl der Atome der Algebra

zu bestimmen. Die Atome der Algebra sind die folgenden Funktionen q e , n , R . (3.44)

Für

alle m, n S A und R C m

dann, wenn ( m , n ) = ( u , v ) und R = (u Es

n, ist q B , n , R ( u , v, S) gleich l genau )

S ist.

ist klar, daß man für verschiedene Tripel der Form ( m , n, R) verschiedene

Funktionen

qm.n.R

erhält.

Die Anzahl dieser Tripel ergibt somit die Anzahl

der Atome der Algebra. Es gibt /n\ —

n!

viele Teilmengen von A mit i Elementen. Das heißt

(i) ü ( n - i)! die Anzahl der Paare ( m , n) mit |m| = i und |n| = j beträgt: /n\ /n\

Die

Anzahl

der Relationen R mit R C m

n,

|m| = i und |n| = j ist

2 i J . Die

Zahl der Tripel ( m , n, R) mit |m| = i und |n| = j ist daher: /nWn\ 2 i i . Die

W U Gesamtzahl der Atome erhält nan nun, indem man die Summe der i , j von 0

bis n bildet. Die Zahl k ist dann:

119

i=n

(3.45)

j=n

k= Σ Σ Μ Μ i=0 j=0 \ i J l j ]

2U
2. Auf Mengen mit mehr als zwei Elementen kann Q nicht gleichzeitig Ein und Jeder sein. Angenommen es gilt Fall (1). Zu zeigen ist nur, daß für alle m,n 6 D ( Q ° ) bzw. D ( Q ' ) mit |m| > 2 und |n| > 2, Q° = Ein auf m und Q' = Ein auf n ist. Angenommen also m' € D ( Q ' ) mit | m * | > 2. Dann gilt Fall (1) für m' und n, da Fall (4) nicht gelten kann. Also ist Q* = Ein auf m * . Ebenso wird für n' 6 D ( Q ' ) mit |n'| > 2 argumentiert. Also gilt Fall (1) für alle m ' , n ' 6 D ( Q ' ) bzw. D ( Q ' ) mit | m ' | > 2 und |n'| > 2. Fall (4) wird analog bewiesen, wobei hier die Voraussetzung wichtig ist, daß die Elemente aus D ( Q ' ) und D ( Q ' ) nicht leer sind. Aus (b) folgt ( a ) . Angenommen es gilt (b) und beide Quantoren sind gleich Ein auf ihren Bereichen. Seien m,n * ff und R gegeben. Zu zeigen: Q ' ( m , { a ; Q ' ( n , R a ) = ! } ) = l gdw. Q ' ( n , { a ; Q ° ( n , R « ) = ! } ) = 1. Falls m € D(Q') und n D ( Q ' ) gilt die Äquivalenz. Angenommen m i D ( Q ' ) . Dann ist die linke Seite der Äquivalenz falsch. Falls n i D ( Q ' ) , ist auch die rechte Seite falsch und die Äquivalenz gilt wieder. Angenommen also n € D ( Q ' ) . Da Q' nicht trivial und ist, ist Q ' ( n , f J ) gleich 0. Weil m i D ( Q ° ) , a ist die Menge {a; Q ' ( m , R ) = 1} leer. Damit ist Q ' ( n , { a ; Q ' ( m , R a ) = 1}) gleich 0. Die Äquivalenz gilt also auch in diesem Fall. Analog wird argumentiert, falls m e D ( Q ° ) und n t D ( Q ' ) ist. Westerstahl zeigt außerdem, daß man die Einschränkung auf die Bereiche der Quantoren vernachlässigen kann, falls man van Benthems Restriktion PLUS voraussetzt.

127

PLUS: Falls Q ( m , n ) = l und a,b f. m

n, dann ist entweder Q(mu{a},n) = l

oder Q(m,nu{b}) = l (vgl. van Benthen (1986)). Das

letzte

Resultat dieses Kapitels gibt eine partielle Erklärung für das

gänzlich verschiedene Verhalten von MON|-Quantoren im Gegensatz zu MONT-Quantoren im Zusammenhang mit Skopusfragen. Satz 4.6: Sei Q* ein logischer Quantor und es gelte für ein m Q ° ( m , 0 ) =

l

und Q ° ( m , m )

Beweis:

Der

Beweis

angenommen, Sei

R =

Q*(m,0)

daß

es

m

=

= 0. Ferner sei Q' ein logischer Quantor. Dann gilt:

w.

l,

wird in zwei Schritten geführt. Für den ersten wird n und w C n gibt mit Q ' ( n , w ) = 0 und Q ' ( n , n \ w ) = 0. Die

folgt

Menge

{a; Q ' ( n , R a ) = 1 } ist

dann gleich 0. Da

daraus, daß auch Q * ( m , { a ; Q ' ( n , R a ) = 1}) gleich l

ist. Aus der Voraussetzung, daß Q ' ( m , m ) = 0 folgt aber, daß die Menge der E n mit Q ' ( m , R a ) = l gleich n\w ist. Daher ist Q ' ( n , { a ; Q ' ( m , R » ) = l»

a

gleich 0. Angenommen =

l

oder

diesen

für alle nicht leeren Mengen n, für alle w C n gilt Q ' ( n , w ) Q ' ( n , n \ w ) = 1. Der zweite Schritt des Beweises besteht darin,

Fall

(Q'(n,w)

auf

=

l v

-•Q'"'(n,n\w) (vgl.

Schritt

l

zurückzuführen.

Q ' ( n , n \ w ) = 1) äquivalent ist

= 1).

Ferner

Man beachte

zuerst, daß

v

zu (-•Q'' (n,w) = l v

gilt, daß Q'~ logisch ist, da Q' logisch ist

Kap. 2. 2 ) . Man wähle nun n 1

% und w' C n' mit | w ' | = | n ' \ w ' | . Da

Q'- logisch ist gilt: Q ' " ( n ' , w ' ) = l gdw. Q ' * ( n ' ,n'\w' ) = 1. Daraus folgt nun: Q ' ^ n ' . w ' ) = l

Q ' ~ ( n ' , n ' \ w ' ) = 1. Wie man leicht nachrechnet ist

Q"*(m,fl)

= l und Q " ~ ( m , m ) = 0. Beispielsweise Q ' ~ ( m , m ) = ->Q'(a,A\m). Da

Q°(m,m)

0 ist, ist Q ' ( m , A \ m ) gleich 1. Also Q * ~ ( m , m ) = 0. Das heißt nun,

daß

man wie

Q'~(n',Ra) junkt ist

=

in

Fall

l

eine

Relation

R finden

kann mit Q * ~ ( m , { a ;

1}) = l und Q ' ~ ( n ' , { a ; Q * ~ ( m , R > ) = 1}) = 0. Das erste Kon-

äquivalent zu: Q ' ( m , { a ; Q' (n* , (A\Ra) ) = 1}) = 0. Das zweite zu:

Q ' ( n ' , { a ; Q * ( m , ( A \ R a ) ) = 1}) = 1. Damit ist Satz 4.6 bewiesen. Die meisten MON^-Quantoren erfüllen die Vorausstzung von Satz 4.6. In diesen Fällen

ist

also

beispielsweise, (höchstens ge

immer mit Skopusambiguitäten zu rechnen. Aus Satz 4.6 folgt daß

es

für höchsten k keinen logischen Quantor Q gibt m i t :

k,Q) «· (Q, höchstens k ) . Es ist nur nötig zu zeigen, daß es eine Men-

m gibt, mit höchstens k ( m , 0 ) = l und höchstens k ( m , m ) = 0. Man wähle eine

Menge m mit k+1 Elementen. Dann ist

Im n 01 < k, also höchstens k ( m , 0 ) = l und

128

k > lm n m | , also höchstens k(m,m) = 0. Aus Satz 4.6 folgt auch, daß man Q nicht gleich höchstens k setzen kann. Der Quantor höchstens k ist also in van Benthems Sinn nicht selbstkomeutierend. Der Nachweis hierfür durch Satz 4.6 ist wesentlich einfacher als der in van Benthem (1988).

129

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