Mathematics 10 [10]

Citation preview

MATHEMATICS

‫وزارت ﻣعارف‬

Grade 10

r

r

1398

‫سرود ملی‬ ‫دا وطن افغانســـتـــان دى‬

‫دا عــــزت د هـــر افـغـان دى‬

‫کور د سول‪ ３‬کور د تورې‬

‫هر بچی ي‪ ３‬قهرمـــــان دى‬

‫دا وطن د ټولـــو کـور دى‬

‫د بـــــلـوڅـــــــو د ازبـکــــــــو‬

‫د پښـــتــون او هـــــزاره وو‬

‫د تـــرکـمنـــــــو د تـــاجـکــــــو‬

‫ورســـره عرب‪ ،‬گوجــر دي‬

‫پــاميــريـــان‪ ،‬نـورســـتانيــــان‬

‫براهوي دي‪ ،‬قزلباش دي‬

‫هـــم ايمـــاق‪ ،‬هم پشـه ‪４‬ان‬

‫دا هيــــــواد به تل ځلي‪８‬ي‬

‫لـکـه لـمــر پـر شـــنـه آســـمـان‬

‫په ســـينــه ک‪ ３‬د آســـيـــا به‬

‫لـکــــه زړه وي جـــاويــــــدان‬

‫نوم د حق مـــو دى رهبـــر‬

‫وايـــو اهلل اکبر وايو اهلل اکبر‬

‫رﻳاضی‬ ‫صﻨف‬ ‫دﻫﻢ‬ ‫‪1398‬‬ ‫ﻫـ ‪ .‬ش‪.‬‬

‫اﻟﻒ‬

‫مشخصات‌ تاب‬ ‫‪------------------------------------------------------------------------------------‬‬‫مضمون ‌ر اض‬ ‫مؤلفان ‌ روه‌مؤلفان‌ تاب‌ها ‌درس ‌د ار نت‌ر اض ات‬ ‫و راستاران ‌اعضا ‌د ار نت‌و راستار ‌و‌ا د ت‌زبان‌در‬ ‫صنف ‌دهم‬ ‫زبان‌م‬

‫‌در‬

‫ان شاف‌دهنده ‌ر است‌عموم ‌ان شاف‌نصاب‌تعل م ‌و‌تال ف‌ تب‌درس‬ ‫نا‬

‫‌ر است‌ارتباط‌و‌آ اه ‌عامه‌وزارت‌معارف‬

‫سال‌ ا ‌‬

‫‌هجر ‌شمس‬

‫م ان‌ ا ‌ ابل‬ ‫ا ‌خانه ‌‌‬ ‫ا ل‌آدرس ‌‌‪‌[email protected]‬‬ ‫‪------------------------------------------------------------------------------------‬‬‫حق‌طبع ‌توز ع‌و‌فروش‌ تاب‌ها ‌درس ‌برا ‌وزارت‌معارف‌جمهور ‌اس م ‌افغانستان‌‬ ‫محفوظ‌است ‌خر د‌و‌فروش‌آن‌در‌بازار‌ممنوع‌بوده‌و‌با‌متخلفان‌برخورد‌قانون ‌صورت‌‬ ‫م ‌ د‬ ‫ب‬

‫پﻴام وزﻳر معارف‬

‫اﻗرأ باسﻢ ربﻚ‬ ‫سپاس و حﻤد بﻴﻜران آﻓرﻳدﮔار ﻳﻜتاﻳﻰ را ﻛﻪ بر ﻣا ﻫستﻰ بخشﻴد و ﻣا را از ﻧﻌﻤت بزرگ‬ ‫خﻮاﻧدن و ﻧﻮشتﻦ برخﻮردار ساخت‪ ،‬و درود بﻰپاﻳان بر رسﻮل خاتﻢ‪ -‬حضرت ﻣحﻤد‬ ‫ﻣصﻄﻔﻰ ﻛﻪ ﻧخستﻴﻦ پﻴام اﻟﻬﻰ بر اﻳشان «خﻮاﻧدن» است‪.‬‬ ‫چﻨاﻧچﻪ بر ﻫﻤﻪﮔان ﻫﻮﻳداست‪ ،‬سال ‪ 1397‬خﻮرشﻴدى‪ ،‬بﻪ ﻧام سال ﻣﻌارف ﻣسﻤﻰ ﮔردﻳد‪.‬‬ ‫بدﻳﻦ ﻣﻠحﻮظ ﻧﻈام تﻌﻠﻴﻢ و تربﻴت در ﻛشﻮر ﻋزﻳز ﻣا شاﻫد تحﻮﻻت و تﻐﻴﻴرات بﻨﻴادﻳﻨﻰ در‬ ‫ﻋرصﻪﻫاى ﻣختﻠﻒ خﻮاﻫد بﻮد؛ ﻣﻌﻠﻢ‪ ،‬ﻣتﻌﻠﻢ‪ ،‬ﻛتاب‪ ،‬ﻣﻜتب‪ ،‬اداره و شﻮراﻫاى واﻟدﻳﻦ‪ ،‬از‬ ‫ﻋﻨاصر ششﮔاﻧﻪ و اساسﻰ ﻧﻈام ﻣﻌارف اﻓﻐاﻧستان بﻪ شﻤار ﻣﻰروﻧد ﻛﻪ در تﻮسﻌﻪ و اﻧﻜشاف‬ ‫آﻣﻮزش و پرورش ﻛشﻮر ﻧﻘش ﻣﻬﻤﻰ را اﻳﻔا ﻣﻰﻧﻤاﻳﻨد‪ .‬در چﻨﻴﻦ برﻫﻪ سرﻧﻮشتساز‪ ،‬رﻫبرى‬ ‫و خاﻧﻮادة بزرگ ﻣﻌارف اﻓﻐاﻧستان‪ ،‬ﻣتﻌﻬد بﻪ اﻳجاد تحﻮل بﻨﻴادى در روﻧد رشد و تﻮسﻌﻪ ﻧﻈام‬ ‫ﻣﻌاصر تﻌﻠﻴﻢ و تربﻴت ﻛشﻮر ﻣﻰباشد‪.‬‬ ‫از ﻫﻤﻴﻦرو‪ ،‬اصﻼح و اﻧﻜشاف ﻧصاب تﻌﻠﻴﻤﻰ از اوﻟﻮﻳتﻫاى ﻣﻬﻢ وزارت ﻣﻌارف پﻨداشتﻪ‬ ‫ﻣﻰشﻮد‪ .‬در ﻫﻤﻴﻦ راستا‪ ،‬تﻮجﻪ بﻪ ﻛﻴﻔﻴت‪ ،‬ﻣحتﻮا و ﻓراﻳﻨد تﻮزﻳﻊ ﻛتابﻫاى درسﻰ در ﻣﻜاتب‪،‬‬ ‫ﻣدارس و ساﻳر ﻧﻬادﻫاى تﻌﻠﻴﻤﻰ دوﻟتﻰ و خصﻮصﻰ در صدر برﻧاﻣﻪﻫاى وزارت ﻣﻌارف ﻗرار‬ ‫دارد‪ .‬ﻣا باور دارﻳﻢ‪ ،‬بدون داشتﻦ ﻛتاب درسﻰ باﻛﻴﻔﻴت‪ ،‬بﻪ اﻫداف پاﻳدار تﻌﻠﻴﻤﻰ در ﻛشﻮر‬ ‫دست ﻧخﻮاﻫﻴﻢ ﻳاﻓت‪.‬‬ ‫براى دستﻴابﻰ بﻪ اﻫداف ذﻛرشده و ﻧﻴﻞ بﻪ ﻳﻚ ﻧﻈام آﻣﻮزشﻰ ﻛارآﻣد‪ ،‬از آﻣﻮزﮔاران و‬ ‫ﻣدرسان دﻟسﻮز و ﻣدﻳران ﻓرﻫﻴختﻪ بﻪﻋﻨﻮان تربﻴت ﻛﻨﻨدهﮔان ﻧسﻞ آﻳﻨده‪ ،‬در سراسر ﻛشﻮر‬ ‫احتراﻣاﻧﻪ تﻘاضا ﻣﻰﮔردد تا در روﻧد آﻣﻮزش اﻳﻦ ﻛتاب درسﻰ و اﻧتﻘال ﻣحتﻮاى آن بﻪ ﻓرزﻧدان‬ ‫ﻋزﻳز ﻣا‪ ،‬از ﻫر ﻧﻮع تﻼشﻰ درﻳﻎ ﻧﻮرزﻳده و در تربﻴت و پرورش ﻧسﻞ ﻓﻌال و آﮔاه با ارزشﻫاى‬ ‫دﻳﻨﻰ‪ ،‬ﻣﻠﻰ و تﻔﻜر اﻧتﻘادى بﻜﻮشﻨد‪ .‬ﻫر روز ﻋﻼوه بر تجدﻳد تﻌﻬد و حس ﻣسؤوﻟﻴت پذﻳرى‪،‬‬ ‫با اﻳﻦ ﻧﻴت تدرﻳس راآﻏاز ﻛﻨﻨد‪ ،‬ﻛﻪ در آﻳﻨدة ﻧزدﻳﻚ شاﮔردان ﻋزﻳز‪ ،‬شﻬروﻧدان ﻣؤثر‪،‬‬ ‫ﻣتﻤدن و ﻣﻌﻤاران اﻓﻐاﻧستان تﻮسﻌﻪ ﻳاﻓتﻪ و شﻜﻮﻓا خﻮاﻫﻨد شد‪.‬‬ ‫ﻫﻤچﻨﻴﻦ از داﻧش آﻣﻮزان خﻮب و دوست داشتﻨﻰ بﻪ ﻣثابﻪ ارزشﻤﻨدترﻳﻦ سرﻣاﻳﻪﻫاى ﻓرداى‬ ‫ﻛشﻮر ﻣﻰخﻮاﻫﻢ تا از ﻓرصتﻫا ﻏاﻓﻞ ﻧبﻮده و در ﻛﻤال ادب‪ ،‬احترام و اﻟبتﻪ ﻛﻨجﻜاوى ﻋﻠﻤﻰ از‬ ‫درس ﻣﻌﻠﻤان ﮔراﻣﻰ استﻔادة بﻬتر ﻛﻨﻨد و خﻮشﻪ چﻴﻦ داﻧش و ﻋﻠﻢ استادان ﮔراﻣﻰ خﻮد باشﻨد‪.‬‬ ‫در پاﻳان‪ ،‬از تﻤام ﻛارشﻨاسان آﻣﻮزشﻰ‪ ،‬داﻧشﻤﻨدان تﻌﻠﻴﻢ و تربﻴت و ﻫﻤﻜاران ﻓﻨﻰ بخش ﻧصاب‬ ‫تﻌﻠﻴﻤﻰ ﻛشﻮر ﻛﻪ در تﻬﻴﻪ و تدوﻳﻦ اﻳﻦ ﻛتاب درسﻰ ﻣجداﻧﻪ شباﻧﻪ روز تﻼش ﻧﻤﻮدﻧد‪ ،‬ابراز‬ ‫ﻗدرداﻧﻰ ﻛرده و از بارﮔاه اﻟﻬﻰ براى آنﻫا در اﻳﻦ راه ﻣﻘدس و اﻧسانساز ﻣﻮﻓﻘﻴت استدﻋا دارم‪.‬‬ ‫با آرزوى دستﻴابﻰ بﻪ ﻳﻚ ﻧﻈام ﻣﻌارف ﻣﻌﻴارى و تﻮسﻌﻪ ﻳاﻓتﻪ‪ ،‬و ﻧﻴﻞ بﻪ ﻳﻚ اﻓﻐاﻧستان آباد و‬ ‫ﻣترﻗﻰ داراى شﻬروﻧدان آزاد‪ ،‬آﮔاه و ﻣرﻓﻪ‪.‬‬ ‫دﻛتﻮر ﻣحﻤد ﻣﻴروﻳس بﻠخﻰ‬ ‫وزﻳر ﻣﻌارف‬

‫ج‬

‫عﻨﻮان‬

‫فﻬرست‬

‫صفحﻪ‬

‫فصل اول‪ :‬پولﻴنوم‪3 ............................................................................................‬‬ ‫اﻓادهﻫاى اﻟجبرى‪ ،‬اﻗسام پﻮﻟﻴﻨﻮم و درجﺔ آن‪ ،‬ﻗﻴﻤت و ﻣجﻤﻮع ضراﻳب ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم‬ ‫ﻋﻤﻠﻴﻪﻫاى چﻬارﮔاﻧﺔ پﻮﻟﻴﻨﻮم‬ ‫ﻗضﻴﺔ باﻗﻴﻤاﻧده‪ ،‬ﻗضﻴﺔ ﻓﻜتﻮر و تﻘسﻴﻢ ترﻛﻴبﻰ‬ ‫خﻼصﺔ ﻓصﻞ و تﻤرﻳﻦ‬ ‫فصل دوم‪ :‬رابطه‪53 ..............................................................................................‬‬ ‫جﻮرهﻫاى ﻣرتب و ﻣستﻮى ﻛارتﻴزﻳﻨﻰ‬ ‫حاصﻞضرب ﻛارتﻴزﻳﻨﻰ و ﮔراف آن‬ ‫رابﻄﻪ و ﻣﻌﻜﻮس ﻳﻚ رابﻄﻪ‬ ‫رابﻄﺔ ﻣﻌادل‬ ‫خﻼصﺔ ﻓصﻞ و تﻤرﻳﻦ ﻓصﻞ‬ ‫فصل سوم‪ :‬تابع‪69.................................................................................................‬‬ ‫روشﻫاى ﻧﻮشتﻦ و ﻗﻴﻤت ﻳﻚ تابﻊ‪ ،‬ﻧاحﻴﺔ تﻌرﻳﻒ و تشخﻴص ﻳﻚ تابﻊ از روى ﮔراف‬ ‫بﻌضﻰ تﻮابﻊ خاص و ﮔرافﻫاى آنﻫا‬ ‫تﻮابﻊ ﻣتزاﻳد و ﻣتﻨاﻗص‪ ،‬تﻮابﻊ جﻔت و تاق‬ ‫اﻧتﻘال ﮔرافﻫا (اﻧتﻘال ﻋﻤﻮدى‪ ،‬اﻧتﻘال اﻓﻘﻰ و ترﻛﻴب اﻧتﻘال ﻋﻤﻮدى و اﻓﻘﻰ)‬ ‫ﻋﻤﻠﻴﻪﻫاى تﻮابﻊ‬ ‫ترﻛﻴب تﻮابﻊ‪ ،‬تابﻊ ﻣﻌﻜﻮس‪ ،‬تابﻊ ﻳﻚ بﻪ ﻳﻚ و ﮔراف تابﻊ و ﻣﻌﻜﻮس آن‬ ‫تﻮابﻊ پﻮﻟﻴﻨﻮﻣﻰ (تابﻊ درجﻪ ﻳﻚ‪ ،‬تابﻊ درجﻪ دوم) و ﮔرافﻫاى آن‬ ‫تﻮابﻊ ﻧاﻃﻖ ﻳا تﻮابﻊ ﻧسبتﻰ و ﮔراف آنﻫا (ﻣجاﻧبﻫاى ﻋﻤﻮدى‪ ،‬اﻓﻘﻰ و ﻣاﻳﻞ)‬ ‫خﻼصﺔ ﻓصﻞ و تﻤرﻳﻦ ﻓصﻞ‬ ‫فصل چﻬارم‪ :‬توابع مثلثاتﻰ‪149..............................................................................‬‬ ‫زاوﻳﻪ و واحدﻫاى اﻧدازهﮔﻴرى ﻳﻚ زاوﻳﻪ‬ ‫حاﻟت ﻣﻌﻴارى ﻳﻚ زاوﻳﻪ و زواﻳاى ﻛﻮترﻣﻴﻨﻞ‬ ‫تﻮابﻊ ﻣثﻠثاتﻰ و ﻧسبتﻫاى ﻣثﻠثاتﻰ بﻌضﻰ زواﻳاى خاص‬ ‫ارتباط بﻴﻦ ﻧسبتﻫاى ﻣثﻠثاتﻰ ﻳﻚ زاوﻳﻪ حاده با زواﻳاى دﻳﮕر‬ ‫‪o‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪o o‬‬ ‫ﻧسبتﻫاى ﻣثﻠثاتﻰ زاوﻳﻪﻫاى ‪ 270 ,180 ,90 ,0‬و ‪360o‬‬

‫رابﻄﻪ بﻴﻦ تﻮابﻊ ﻣثﻠثاتﻰ زواﻳاﻳﻰ ﻛﻪ ﻧسبت بﻪ ﻫﻢ رابﻄﺔ خاصﻰ دارﻧد‬ ‫ﮔرافﻫاى تﻮابﻊ ﻣثﻠثاتﻰ‬ ‫خﻼصﺔ ﻓصﻞ و تﻤرﻳﻦ ﻓصﻞ‬ ‫فصل پنجم‪ :‬تطبﻴقات مثلثات‪223.............................................................................‬‬ ‫ﻗﻮاﻧﻴﻦ ﻧسبتﻫاى ﻣثﻠثاتﻰ زواﻳاى ﻣرﻛب‬ ‫ﻧسبتﻫاى ﻣثﻠثاتﻰ ﻣجﻤﻮع و تﻔاضﻞ دو زاوﻳﻪ‬ ‫ﻧسبتﻫاى ﻣثﻠثاتﻰ دوچﻨد و سﻪچﻨد ﻳﻚ زاوﻳﻪ از جﻨس زاوﻳﻪ‬

‫د‬

‫صفحﻪ‬

‫فﻬرست‬ ‫تبدﻳﻞ ﻣجﻤﻮع ﻳا تﻔاضﻞ ﻧسبتﻫاى ﻣثﻠثاتﻰ زواﻳا بﻪ شﻜﻞ حاصﻞضرب‬ ‫تبدﻳﻞ حاصﻞضرب ﻧسبتﻫاى ﻣثﻠثاتﻰ زواﻳا بﻪ ﻣجﻤﻮع و ﻳا تﻔاضﻞ‬ ‫ﻃﻮل ﻗﻮس‪ ،‬ﻗﻄاع ﻳﻚ داﻳره و ﻣساحت ﻗﻄاع‪ ،‬ﻗﻄﻌﺔ داﻳره و ﻣساحت ﻗﻄﻌﺔ داﻳره‬ ‫ﻣساحت ﻣثﻠث از جﻨس دو ضﻠﻊ و زاوﻳﻪ بﻴﻦ اﻳﻦ دو ضﻠﻊ‬ ‫ﻣساحت ﻣثﻠث از روى سﻪ ضﻠﻊ ﻣثﻠث (ﻓﻮرﻣﻮل ﻫﻴرون)‬ ‫شﻌاع داﻳرة ﻣحﻴﻄﻰ و ﻣحاﻃﻰ ﻳﻚ ﻣثﻠث‬ ‫خﻼصﺔ ﻓصﻞ و تﻤرﻳﻦ ﻓصﻞ‬ ‫فصل ششم‪ :‬اعداد مختلط‪277...................................................................‬‬ ‫اﻋداد ﻣﻮﻫﻮﻣﻰ و ﻋﻤﻠﻴﻪﻫاى چﻬارﮔاﻧﺔ اﻋداد ﻣﻮﻫﻮﻣﻰ‬ ‫جﻤﻊ و تﻔرﻳﻖ اﻋداد ﻣختﻠﻂ‬ ‫ضرب اﻋداد ﻣختﻠﻂ‪ ،‬ﻣزدوج و ﻣﻌﻜﻮس ضربﻰ ﻳﻚ ﻋدد ﻣختﻠﻂ‬ ‫تﻘسﻴﻢ اﻋداد ﻣختﻠﻂ‬ ‫حﻞ ﻣﻌادﻟﻪﻫاى درجﻪدوم ﻳﻚ ﻣجﻬﻮﻟﻪ در ساحﺔ اﻋداد ﻣختﻠﻂ‬ ‫خﻼصﺔ ﻓصﻞ و تﻤرﻳﻦ ﻓصﻞ‬ ‫فصل ﻫفتم‪ :‬ﻫندسﺔ تحلﻴلﻰ‪305...............................................................‬‬ ‫سﻴستﻢ ﻛﻤﻴات وضﻌﻴﻪ و ﻓاصﻠﻪ بﻴﻦ دو ﻧﻘﻄﻪ‬ ‫درﻳاﻓت ﻛﻤﻴات وضﻌﻴﺔ ﻧﻘﻄﻪﻳﻰﻛﻪ ﻳﻚ ﻗﻄﻌﻪ خﻂ را بﻪ ﻳﻚﻧسبت تﻘسﻴﻢ ﻣﻰﻛﻨد‬ ‫ﻣﻴﻞ ﻳﻚ خﻂ ﻣستﻘﻴﻢ‬ ‫ﻣﻌادﻟﺔ ﻳﻚ خﻂ ﻣستﻘﻴﻢ(ﻣﻌادﻟﺔ ﻣﻌﻴارى ﻳﻚ خﻂ ﻣستﻘﻴﻢ‪ ،‬ﻣﻌادﻟﺔ خﻂ ﻣستﻘﻴﻤﻰ ﻛﻪ ﻣﻴﻞ و‬ ‫ﻳﻚ ﻧﻘﻄﺔ آن ﻣﻌﻠﻮم باشد‪ ،‬دو ﻧﻘﻄﺔ آن ﻣﻌﻠﻮم باشد‪ ،‬ﻣﻌادﻟﺔ خﻄﻰ ﻛﻪ تﻘاﻃﻊ آن با ﻣحﻮرﻫا‬ ‫ﻣﻌﻠﻮم باشد‪ ،‬ﻣﻌادﻟﺔ ﻧﻮرﻣال و ﻣﻌادﻟﺔ ﻋﻤﻮﻣﻰ ﻳﻚ خﻂ ﻣستﻘﻴﻢ)‬ ‫تبدﻳﻞ ﻣﻌادﻟﺔ ﻋﻤﻮﻣﻰ ﻳﻚ خﻂ ﻣستﻘﻴﻢ بﻪ اشﻜال دﻳﮕر ﻣﻌادﻻت خﻂ ﻣستﻘﻴﻢ‬ ‫ﻓاصﻠﺔ ﻳﻚ ﻧﻘﻄﻪ از ﻳﻚ خﻂ ﻣستﻘﻴﻢ‬ ‫داﻳره و ﻣﻌادﻟﺔ داﻳره‪ ،‬حاﻻت ﻳﻚ خﻂ ﻣستﻘﻴﻢ با داﻳره‬ ‫ﻣﻌادﻟﺔ ﻣﻤاس و ﻃﻮل ﻣﻤاس‬ ‫درﻳاﻓت ﻣساحت ﻣثﻠث در صﻮرتﻰ ﻛﻪ ﻛﻤﻴات وضﻌﻴﺔ سﻪ رأس آن ﻣﻌﻠﻮم باشد‬ ‫خﻼصﺔ ﻓصﻞ و تﻤرﻳﻦ ﻓصﻞ‬ ‫فصل ﻫشتم‪ :‬احصائﻴه‪359..........................................................................‬‬ ‫ﮔراف چﻨدضﻠﻌﻰ ﻛثرت‪ ،‬ﮔراف ساﻗﻪ و برگ‪ ،‬چاركﻫا و ﮔراف صﻨدوﻗچﻪﻳﻰ‬ ‫ﻣﻘاﻳسﺔ شاخصﻫاى ﻣرﻛزى تﻮسﻂ ﻣﻨحﻨﻰ ﻧارﻣﻞ‪ ،‬اﻧحراف چاركﻫا‬ ‫وارﻳاﻧس و اﻧحراف ﻣﻌﻴارى‬ ‫خﻼصﺔ ﻓصﻞ و تﻤرﻳﻦ ﻓصﻞ‬ ‫فصل نﻬم‪ :‬منطق (رﻳاضﻰ)‪391..................................................................‬‬ ‫استدﻻل درك شﻬﻮدى‪ ،‬استدﻻل تﻤثﻴﻠﻰ ﻳا ﻗﻴاسﻰ‪ ،‬استدﻻل استﻘراﻳﻰ‪ ،‬استﻘراى رﻳاضﻰ‬ ‫استدﻻل استﻨتاجﻰ‪ ،‬استدﻻل ﻣثال ﻧﻘض‪ ،‬برﻫان خﻠﻒ ﻳا ثبﻮت ﻏﻴرﻣستﻘﻴﻢ‬ ‫ﻣﻨﻄﻖ رﻳاضﻰ و استﻨتاج بﻴان‬ ‫خﻼصﺔ ﻓصﻞ و تﻤرﻳﻦ ﻓصﻞ‬

‫ح‬

‫فصل اول‬ )Polynome(‫پﻮلﻴﻨﻮم‬ )Polynomial( ‫ﻳا‬

‫افادهﻫای الجبری‬ ‫(‪)Algebraic Expressions‬‬ ‫آﻳا ﻣﻰتﻮاﻧﻴد بﮕﻮﻳﻴد ﻛــﻪ از اﻓادهﻫاى اﻟجبرى‬ ‫‪x4 1‬‬ ‫‪y y2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪y‬‬ ‫و‬ ‫‪y‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x2 x‬‬

‫‪x3 +‬‬

‫ﻛدامﻳﻚ اﻓــادة اﻟجبرى ﻧاﻃﻖ و ﻛدامﻳﻚ ﻏﻴر‬ ‫ﻧاﻃﻖ ﻣﻰباشد؟‬

‫ﻣتحﻮل و ثابت(‪ :)variable and constant‬ﻣتحﻮل‪ ،‬ﻳﻚ سﻤبﻮل است ﻛﻪ بﻪ جاى‬ ‫ﻫر ﻋﻨﺼر ﻳﻚ ست ﻏﻴر خاﻟﻰ وﺿﻊ ﻣﻰشﻮد؛ ﻳا ﻳﻚ حرﻓﻰ استﻛﻪ ﻧشان دﻫﻨدة ﻗﻴﻤت ﻫاى‬ ‫ﻣتﻐﻴر ﻣﻰباشد؛ ﻃﻮر ﻣثال‪ :‬اﮔر }‪ x 10‬و ‪ A = {x / x IN‬باشد‪.‬‬ ‫‪ x‬ﻣﻰتﻮاﻧد در ست‪ A‬ﻗﻴﻤتﻫاى اﻋداد ﻃبﻴﻌﻰ از ﻳﻚ اﻟﻰ‪ 10‬را بﮕﻴرد‪ x .‬را ﻣتحﻮل‬ ‫(‪ )Variable‬ﻣﻰﮔﻮﻳﻨد‪ .‬ﻣتحﻮﻟﻴﻦ بﻪ ﺻﻮرت ﻋﻤﻮم تﻮسﻂ حرفﻫاى ﻛﻮچﻚ زبان اﻧﮕﻠﻴسﻰ‬ ‫‪ z , y , x‬و ﻏﻴره ﻧشان داده ﻣﻰشﻮﻧد‪.‬‬ ‫ﻗﻴﻤت ﻳﻚ ﻋدد تﻐﻴﻴر ﻧﻤﻰﻛﻨد؛ ﻃﻮر ﻣثال‪ :‬ﻋدد ‪ 4‬ﻫﻴچﮔاه با ‪ 5‬ﻳا ‪ 3‬وﻳا با ﻛدام ﻋدد دﻳﮕرى‬ ‫ﻣساوى شده ﻧﻤﻰتﻮاﻧد‪ ،‬پس تﻤام اﻋداد حﻘﻴﻘﻰ‪ ،‬ثابتﻫا(‪ )Constants‬ﻣﻲ باشﻨد‪.‬‬ ‫ﻋﻼوه از اﻋداد حﻘﻴﻘﻰ‪ ،‬حرفﻫاى زبان اﻧﮕﻠﻴسﻰ‪ ،‬ﻣثﻞ ‪ a , b c ...‬و ﻏﻴره بﻪ ﻋﻮض ثابتﻫا ﻧﻴز‬ ‫استﻌﻤال ﻣﻰﮔردﻧد‪.‬‬ ‫افادة الجبرى(‪ :)Algebraic Expression‬اﻓادة اﻟجبرى آن است ﻛﻪ از ﻳﻚ ثابت ﻳا‬ ‫ﻳﻚ ﻣتحﻮل و ﻳا از ترﻛﻴب ثابتﻫا و ﻣتحﻮلﻫا تشﻜﻴﻞ شده باشد‪.‬‬ ‫در ﻣثالﻫاى زﻳر اﻓادهﻫاى اﻟجبرى را ﻣشاﻫده ﻛﻨﻴد‪:‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪،5 x‬‬ ‫‪t2‬‬

‫‪ 12 ، 12 ، x ، x 2 x + 1 ، 3x ، 4x + 5 +‬و ﻏﻴره‪.‬‬

‫‪1‬‬ ‫ﻛﻪ در اﻓادة اﻟجبرى ‪ 3x 2‬ﻋدد ‪ 3‬را ﺿرﻳب (‪ )Coefficient‬ﻣﻰﮔﻮﻳﻨد‪ .‬در اﻓادة ‪y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫و در اﻓادة ‪ x‬ﻋدد ﻳﻚ ﺿرﻳب ﻣﻰباشد‪ 3x 5 y 5 ،‬و ‪ 15x 5 y 5‬حدود ﻣشابﻪ‬ ‫ﻋدد‬ ‫‪2‬‬

‫(‪ )Liketerms‬ﻣﻰباشﻨد ﻛﻪ ﻣتحﻮﻟﻴﻦ ﻣشابﻪ‪ ،‬داراى تﻮانﻫاى ﻣساوى بﻮده؛ اﻣا ﺿرﻳبﻫاى‬ ‫ﻋددى آنﻫا باﻫﻢ ﻓرق دارﻧد‪.‬‬

‫‪3‬‬

‫اقسام افادهﻫاى الجبرى‪ :‬اﻓادهﻫاى اﻟجبرى بﻪ سﻪ ﻗسﻢ اﻧد‪:‬‬ ‫‪ .1‬افادهﻫاى الجبرى پﻮلﻴﻨﻮﻣﻰ(‪:)Polynomial algebraic expressions‬‬ ‫پﻮلﻴﻨﻮم‪ :‬اﻓادة اﻟجبرى ﻳﻚ ﻳا چﻨد حده ﻛﻪ تﻮانﻫاى حرفﻫاىشان در ست اﻋداد ﻣﻜﻤﻞ‬ ‫شاﻣﻞ باشﻨد‪ ،‬پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻧاﻣﻴده ﻣﻰشﻮد‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 12 ، x 1 ، 2 x 2 + x 1 ، x 3 x + 1‬پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻣﻰباشﻨد‪ ،‬اﻣا ‪+ x ، x 2 + x 1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪ x 3 + x + 2‬پﻮﻟﻴﻨﻮمﻫا ﻧﻤﻰباشﻨد‪.‬‬ ‫‪x‬‬

‫و‬

‫ﻳا ﻣشخﺼات پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻋبارت اﻧد از‪:‬‬ ‫تﻮان تﻤام ﻣتحﻮﻟﻴﻦ اﻋداد ﻣﻜﻤﻞ باشﻨد‬ ‫در ﻣخرج ﻣتحﻮل ﻧداشتﻪ باشد‪.‬‬ ‫ﻣتحﻮل‪ ،‬زﻳر جذر ﻧباشد‪.‬‬ ‫ﻣثال‪ :1‬در اﻓادهﻫاي اﻟجبرى داده شده زﻳر ﻛدام ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم و ﻳﻚ ﻛدام ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻧﻤﻰ‬ ‫باشد؟‬ ‫‪, a ) 2x‬‬

‫‪,‬‬

‫‪b) 2 x‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪x3‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪f )8p 2 + p 2 .2 , e) x 3 + x 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫حل‪ a , h :‬و ‪ i‬پﻮﻟﻴﻨﻮمﻫا ﻫستﻨد‪ ،‬اﻣا ‪ f , e , d , c , b‬و ‪ g‬پﻮﻟﻴﻨﻮمﻫا ﻧﻴستﻨد‪.‬‬ ‫‪g )9 x 2‬‬

‫‪,‬‬

‫‪, h )88‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪y2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‪, d ) x , c‬‬

‫‪i)6a 2 4a‬‬

‫بﻪ ﻳاد داشتﻪ باشﻴد ﻛﻪ ﻫر پﻮﻟﻴﻨﻮم‪ ،‬ﻳﻚ اﻓادة اﻟجبرى ﻧاﻃﻖ ﻣﻰباشد؛ اﻣا ﻫر اﻓادة اﻟجبرى ﻧاﻃﻖ‪،‬‬ ‫‪y y‬‬ ‫پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻧﻤﻰباشد؛ ﻃﻮر ﻣثال‪+ + y 3 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪ x 3 +‬ﻳﻚ اﻓادة اﻟجبرى ﻧاﻃﻖ است‪ ،‬اﻣا پﻮﻟﻴﻨﻮم‬

‫ﻧﻴست‪.‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ 12‬ﻧﻴز ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم است‪ ،‬زﻳرا ﻛﻪ ‪ 12 = 12x‬است ﺻﻔر ﻧﻴز در‪ ،‬ست اﻋداد ﻣﻜﻤﻞ شاﻣﻞ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻣﻰباشد‪ ،‬اﻣا ‪ 5 x‬و ‪ 3‬پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻧﻴستﻨد؛ زﻳرا ‪ 5 x = 5 x 2‬و ‪ 3 = 5 x 3‬ﻛﻪ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬

‫و‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪+ x2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪e) x‬‬

‫در ست اﻋداد ﻣﻜﻤﻞ شاﻣﻞ ﻧﻴستﻨد‪.‬‬ ‫ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم تﻮسﻂ ﻳﻚ حرف ﻣثﻞ ‪ P‬ﻧشان داده ﻣﻰشﻮد؛ شﻜﻞ ﻋﻤﻮﻣﻰ ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻛﻪ از‬ ‫ﻳﻚ حرف (ﻣتحﻮل) تشﻜﻴﻞ شده باشد ﻃﻮر زﻳر ﻣﻰباشد‪،‬ﻛﻪ بﻪﻧام شﻜﻞ ﻣﻌﻴارىﻳاد ﻣﻰشﻮد‪:‬‬ ‫‪+ ... + a 1x + a 0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪+ a n 2x n‬‬

‫‪1‬‬

‫‪P( x ) = a n x n + a n 1x n‬‬

‫‪ n‬ﻳﻚ ﻋدد ﻣﻜﻤﻞ و ﺿراﻳب ‪ a1 , a 2 ,...a n 1 , an‬اﻋداد حﻘﻴﻘﻰاﻧد؛ اﮔر ‪0‬‬

‫‪ an‬باشد؛ پس‬

‫‪ n‬درجﺔ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻣﻰباشد‪.‬‬ ‫فعالﻴت‬ ‫‪3 5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫در اﻓادهﻫاى اﻟجبرى ‪+ + 6 , x , , 8x 3 , 8x 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪ 2x 3 x 2 ,‬و ‪ 8 x‬ﻛدام‬

‫ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم وﻛدامﻳﻚپﻮﻟﻴﻨﻮم ﻧﻤﻰباشد؟‬ ‫ﻣثال‪ :2‬در پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪، a2 = 1 ، a n = 5 ، n = 3 ، P( x ) = 5x 3 + x 2 x + 12‬‬ ‫‪ a1 = 1‬و ‪ a 0 = 12‬ﻣﻲباشد و در پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ ، a1 = 0 ، a n = 11 ، n = 2 ، 11x 2 1‬و‬ ‫‪ a0 = 1‬ﻣﻰباشد‪.‬‬ ‫‪ .2‬افادة الجبري ﻧاطق (‪ :)Rational algebraic expression‬اﮔر بتﻮاﻧﻴﻢ ﻳﻚ‬ ‫‪p‬‬ ‫اﻓادة اﻟجبرى را بﻪ شﻜﻞ‬ ‫‪q‬‬

‫)‪ (q 0‬بﻨﻮﻳسﻴﻢ ﻃﻮرى ﻛﻪ ‪ p‬و ‪ q‬پﻮﻟﻴﻨﻮمﻫا باشﻨد اﻳﻦﮔﻮﻧﻪ‬

‫‪1‬‬ ‫اﻓادة اﻟجبرى را اﻓادة اﻟجبرىﻧاﻃﻖ ﻣﻰﮔﻮﻳﻨد؛ ﻃﻮر ﻣثال‪ :‬اﻓادة‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x4 1‬‬ ‫بﻪ شﻜﻞ‬ ‫‪x2‬‬

‫‪ x 2‬ﻛﻪ ﻳﻚ ﻣتحﻮل دارد‬

‫ﻧﻴز ﻣﻰتﻮاﻧﻴﻢ بﻨﻮﻳسﻴﻢ ﻛﻪﻳﻚ اﻓادة اﻟجبرى ﻧاﻃﻖ ﻣﻰباشد؛ چﻮن ﻣخرج ﻫر‬

‫اﻓادة اﻟجبرى ﻣﻰتﻮاﻧد ﻋدد ﻳﻚ باشد؛ پس )‪ ( x 2 1‬ﻧﻴز ﻳﻚ اﻓادة اﻟجبرى ﻧاﻃﻖ ﻣﻰباشد زﻳرا‬ ‫‪x2 1‬‬ ‫ﻛﻪ ‪= x 2 1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪5‬‬

‫ﻣﻰباشد‪.‬‬

‫‪ .3‬افادة الجبرى غﻴر ﻧاطق(‪ :)Irrational algebraic expression‬ﻋبارت از‬ ‫اﻓادة اﻟجبرى است ﻛﻪ آنرا بﻪ شﻜﻞ خارجﻗسﻤت دو پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻧﻮشتﻪ ﻛرده ﻧﻤﻰتﻮاﻧﻴﻢ؛ ﻃﻮر‬ ‫ﻣثال‪، xy :‬‬

‫‪1‬‬

‫و ‪y2 +1‬‬

‫‪x +5‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻣثالﻫاى اﻓادهﻫاى اﻟجبرى ﻏﻴرﻧاﻃﻖ ﻣﻰباشﻨد‪.‬‬

‫ﻳﻚ اﻓادة اﻟجبرى اﻣﻜان دارد ﻧاﻃﻖ‪ ،‬ﻏﻴرﻧاﻃﻖ و ﻳا پﻮﻟﻴﻨﻮم باشد‪ .‬پﻮﻟﻴﻨﻮم اﻓادة اﻟجبرى ﻳﻚ ﻳا‬ ‫چﻨد حدهﻳﻰ است ﻛﻪ تﻮانﻫاى حرفﻫا آن در ست اﻋداد ﻣﻜﻤﻞ شاﻣﻞ باشﻨد‪.‬‬

‫تمرﻳن‬

‫‪ .1‬در اﻓادهﻫاى اﻟجبرى زﻳر‪ ،‬ﻛدامﻳﻚ اﻓادة اﻟجبرى ﻧاﻃﻖ‪ ،‬ﻏﻴر ﻧاﻃﻖ و ﻳا پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻣﻰباشد؟‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3x 2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪m+3‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪xy‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x+‬‬

‫‪ 3x 2 +‬و ‪13‬‬

‫‪ .2‬در اﻓادهﻫاى اﻟجبري زﻳر‪ ،‬ﻛدامﻳﻚ‪ ،‬پﻮﻟﻴﻨﻮم و ﻛدامﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻧﻤﻰباشد؟‬ ‫‪xy‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪,‬‬

‫‪3x 2 +‬‬

‫‪8 x‬‬

‫‪,‬‬

‫‪1 3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪20a 3 b + 28ab 4 ,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪x‬‬

‫‪3x‬‬

‫‪,‬‬

‫‪0.03‬‬

‫‪8‬‬

‫‪8x‬‬

‫‪,‬‬

‫‪ .3‬در پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ a1 , a2 , a3 , an ، Px 4 ax 3 + bx 2 + cx + d‬و ‪ a0‬را ﻧشان دﻫﻴد‪.‬‬ ‫‪ .4‬در پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪2 x 2 1‬‬

‫‪x3‬‬ ‫‪2‬‬

‫= )‪ a1 , a 2 , a3 ، P( x‬و ‪ a0‬را ﻧشان دﻫﻴد‪.‬‬

‫‪6‬‬

‫‪,‬‬

‫اقسام پﻮلﻴﻨﻮم و درجﺔ آن‪:‬‬

‫آﻳا ﻣﻰتﻮاﻧﻴد بﮕﻮﻳﻴد ﻛﻪ درجﺔ پﻮﻟﻴﻨﻮمﻫاى‬ ‫‪ 12 y 5 x 3 + x 4 y 3 12x 3 x 2 x‬و‬ ‫‪ 12‬چﻨد ﻣﻰباشد؟‬

‫ﻣﻮﻧﻮم ﻋدد ﻳا ﻳﻚ ﻣتحﻮل ﻳا حاﺻﻞ ﺿرب ﻳﻚ ﻋدد و ﻳﻚ ﻳا چﻨدﻳﻦ ﻣتحﻮل ﻣﻰباشد‪.‬‬ ‫‪ 3 x‬ﻳا ‪ 16x‬ﻣﻮﻧﻮم ﻳا (‪)Monomial‬ﻳﻚ اﻓادة اﻟجبري ﻳﻚحده است و ‪ x 4‬ﻳا ‪ab y‬‬

‫ﻳﻚ اﻓادة اﻟجبرى دو حده(‪)Binome‬ﻳا(‪ )Binomial‬و ‪ 2 x 3 x 1‬اﻓادة اﻟجبرى سﻪ حده‬

‫‪1‬‬ ‫(‪ )Trinomial‬ﻣﻲباشد و اﻓادة اﻟجبرى ‪+ 1‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪2x‬‬

‫بﻪ ﻧام ﻣﻮﻟتﻴﻨﻮم(‪)Multinomial‬‬

‫ﻳاد ﻣﻲشﻮد‪ .‬ﻣﻮﻧﻮمﻫا در ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم بﻪ ﻧام حدود پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻳاد ﻣﻰشﻮد و ﻫر ﻣﻮﻧﻮم ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم‬ ‫ﻣﻰباشد‪.‬‬ ‫بﻌﻀﻰ اوﻗات پﻮﻟﻴﻨﻮم از ﻳﻚ‪ ،‬دو‪ ،‬سﻪ و ﻳا چﻨدﻳﻦ ﻣتحﻮل تشﻜﻴﻞ شده ﻣﻰباشد‪ .‬پﻮﻟﻴﻨﻮم‬ ‫‪ 2x 3 8x 2 + 7 x + 11‬داراى ﻳﻚ ﻣتحﻮل‪ ،‬پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ 2 x 3 3 y‬داراى دو ﻣتحﻮل و پﻮﻟﻴﻨﻮم‬ ‫‪ x + y + z‬داراى سﻪ ﻣتحﻮل ﻣﻰباشد ﻛﻪ در جدول زﻳر ﻧشان داده شده است‪.‬‬ ‫ﻣتحﻮل‬

‫ﻣﻮﻧﻮم (ﻳﻚ حده)‬

‫باﻳﻨﻮم (دو حده)‬

‫ترﻳﻨﻮم (سﻪ حده)‬

‫ﻳﻚ ﻣتحﻮل‬

‫‪5x 3‬‬

‫‪5y2 + 3y‬‬

‫‪3x 2 + 2 x 4‬‬

‫دو ﻣتحﻮل‬

‫‪7x2 y‬‬

‫‪7x2 4 y3‬‬

‫‪6 x 2 + 5x 3 y 2‬‬

‫سﻪ ﻣتحﻮل‬

‫‪4xyz 2‬‬

‫‪8a 2b + 4c‬‬

‫‪5‬‬ ‫ﻳادداشت‪ :‬ﻣتﻮجﻪ باﻳد بﻮد ﻛﻪ ‪, 2 xy‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪7‬‬

‫‪z 5a‬‬

‫‪3a 2b 2 + 6c 2‬‬

‫و ‪ y 3‬ﻫر ﻳﻚ ﻣﻮﻧﻮم ﻧﻤﻰباشد‪.‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫در اﻓادهﻫاى اﻟجبرى ‪ 3x ، 15 ، 2 x y ، ax 2 + bx + c‬و ‪ 4 x 2 4 y‬ﻣﻮﻧﻮم‪ ،‬باﻳﻨﻮم‬ ‫و ترﻳﻨﻮم را ﻧشان دﻫﻴد‪.‬‬ ‫درجﺔ ﻳک پﻮلﻴﻨﻮم(‪ :)Degree of a Polynome‬اﮔر پﻮﻟﻴﻨﻮم از ﻳﻚ حرف تشﻜﻴﻞ‬ ‫شده باشد‪ ،‬بزرﮔترﻳﻦ تﻮان اﻳﻦ حرف ﻋبارت از درجﺔ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻣﻰباشد؛ ﻃﻮر ﻣثال‪ :‬درجﺔ‬ ‫پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪x 3 + 2 x + 1 + x 5‬‬

‫ﻋبارت از ‪ 5‬ﻣﻰباشد‪ .‬اﮔر پﻮﻟﻴﻨﻮم از چﻨد حرف (ﻣتحﻮل)‬

‫تشﻜﻴﻞ شده باشد درجﺔ ﻣﻮﻧﻮﻣﻰ ﻛﻪ تﻮان بزرﮔتر دارد ﻋبارت از درجﺔ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻣﻰباشد؛‬ ‫ﻃﻮر ﻣثال‪ :‬درجﺔ پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪5xy5 + x 3 y‬‬

‫‪3‬‬

‫‪ 2x 2 y‬ﻋبارت از ( ‪ ) 1 + 5 = 6‬ﻣﻰباشد و اﻳﻦ‬

‫پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻧﻈر بﻪ ‪ x‬درجﺔ سﻮم و ﻧﻈر بﻪ ‪ y‬درجﺔ پﻨجﻢ ﻣﻰباشد؛ اﮔر درجﺔ ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻋدد‬ ‫‪ 1‬باشد پﻮﻟﻴﻨﻮم را پﻮﻟﻴﻨﻮم خﻄﻰ (‪ )Liner Polynome‬و اﮔر درجﺔ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻋدد ‪ 2‬باشد‬ ‫پﻮﻟﻴﻨﻮم را پﻮﻟﻴﻨﻮم درجﻪ دوم (‪ )Quadratic Polynome‬ﻣﻰﮔﻮﻳﻨد و اﮔر درجﺔ پﻮﻟﻴﻨﻮم‬ ‫ﻋدد ‪ 3‬باشد بﻪ ﻧام پﻮﻟﻴﻨﻮم درجﻪ سﻮم (‪ )Cubic Polynomial‬و ﻫﻢ ﻣﻮﻧﻮم ‪ 3x 2‬درجﺔ‬ ‫دوم‪ ،‬و درجﺔﻣﻮﻧﻮم ‪ 3x 2 y 3‬ﻋبارت از ‪ 5‬و درجﺔ ﻣﻮﻧﻮم ‪ 12‬ﺻﻔر ﻣﻰباشد‪ .‬اﻳﻦﮔﻮﻧﻪ پﻮﻟﻴﻨﻮم‬ ‫را پﻮﻟﻴﻨﻮم ثابت ﻣﻰﮔﻮﻳﻨد؛ زﻳرا ‪. 12 = 12x 0‬‬ ‫پﻮلﻴﻨﻮم ثابت‪ :‬پﻮﻟﻴﻨﻮﻣﻰ است ﻛﻪ درجﺔ آن ﺻﻔر باشد ﻳا بﻪ ﻋبارت دﻳﮕر‪ ،‬پﻮﻟﻴﻨﻮﻣﻰ است‬ ‫ﻛﻪ ﺿراﻳب تﻤام ﻣتحﻮﻟﻴﻦ آن ﺻﻔر باشد‪.‬‬ ‫ﻣثال‪ :1‬اﮔر ‪ (2m 4) x 2 + (5 n ) x + 13‬ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم ثابت باشد ﻗﻴﻤتﻫاى ‪ m‬و ‪n‬‬ ‫را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫حل‪ :‬چﻮن ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم ثابت ﻣﻰباشد؛ پس ﺿرﻳب ﻫر حد ﻣتحﻮل ﺻﻔر ﻣﻰباشد‪.‬‬ ‫‪5 n=0‬‬ ‫‪n =5‬‬

‫‪2m 4 = 0‬‬ ‫‪2m = 4‬‬ ‫‪m=2‬‬

‫پﻮلﻴﻨﻮم صفرى(‪ :)Zero Polynome‬اﮔر حد ثابت پﻮﻟﻴﻨﻮم ثابت ﺻﻔرباشد اﻳﻦﮔﻮﻧﻪ‬ ‫پﻮﻟﻴﻨﻮم بﻪ ﻧام پﻮﻟﻴﻨﻮم ﺻﻔرى ﻳاد ﻣﻰشﻮد؛ ﻃﻮر ﻣثال‪ ، P( x) = 0 :‬درجﺔ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﺻﻔرى‬ ‫تﻌرﻳﻒ ﻧشده است‪.‬‬

‫‪8‬‬

‫ﻣثال‪ :2‬ﻗﻴﻤت‪ a‬را درﻳابﻴد اﮔر )‪ (b 4) x 3 (2c + 6) x + (a b + c‬ﻳﻚپﻮﻟﻴﻨﻮم ﺻﻔرى‬ ‫باشد‪.‬‬ ‫حل‪ :‬در پﻮﻟﻴﻨﻮم ﺻﻔرى ﻫر حد ﺻﻔر ﻣﻰباشد؛ پس‪:‬‬ ‫‪a b+c =0‬‬

‫‪2c + 6 = 0‬‬

‫‪b 4=0‬‬

‫‪a 4 3=0‬‬

‫‪2c = 6‬‬

‫‪b= 4‬‬

‫‪a=7‬‬

‫‪c= 3‬‬

‫ﻣثال‪:3‬درجﻪﻫاىپﻮﻟﻴﻨﻮمﻫاى‪x 2 y 3، P( x) = x 2 1 + 3 x 5‬‬

‫‪ g ( x ) = 2 xy 2‬و‪h( x) = 3‬‬

‫را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫حل‪ :‬درجﺔ پﻮﻟﻴﻨﻮم )‪ P(x‬ﻋبارت از ‪ 5‬است و درجﺔ پﻮﻟﻴﻨﻮم )‪ g (x‬ﻧﻴز ‪ (n = 5) 5‬ﻣﻰباشد‪،‬‬ ‫اﻣا درجﺔ پﻮﻟﻴﻨﻮم )‪ h(x‬ﺻﻔر ﻣﻰباشد‪.‬‬ ‫فعالﻴت‬ ‫درجﺔ ﻫر پﻮﻟﻴﻨﻮم و درجﺔ اﻳﻦ پﻮﻟﻴﻨﻮمﻫا را ﻧﻈر بﻪ ﻫر حرف تﻌﻴﻴﻦ ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫‪2m 3n 2 3mn3 mn‬‬

‫‪15 ,‬‬

‫‪x 1 ,‬‬

‫‪x 2 x 3 + 2 x + 5x 5 ,‬‬

‫پﻮلﻴﻨﻮم ﻣکﻤل و ﻧاقص‪ :‬پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻣﻜﻤﻞ پﻮﻟﻴﻨﻮﻣﻰ است ﻛﻪ تﻤام حدود آن از بزرﮔترﻳﻦ‬ ‫تﻮان ﻣتحﻮل تا ﻋدد ثابت ﻣﻮجﻮد باشد‪.‬‬ ‫پﻮﻟﻴﻨﻮمﻫاى ‪ x 1 , x 3 + 1 + 2 x x 2‬و ‪ 51‬پﻮﻟﻴﻨﻮمﻫاى ﻣﻜﻤﻞ اﻧد‪ ،‬اﻣا پﻮﻟﻴﻨﻮمﻫاى ‪ x 2 1‬و‬ ‫‪ x 3 + x + 1‬پﻮﻟﻴﻨﻮمﻫاى ﻧاﻗص ﻣﻰباشﻨد‪ .‬ﻣا ﻣﻰتﻮاﻧﻴﻢ ﻛﻪ پﻮﻟﻴﻨﻮمﻫاى ﻧاﻗص را بﻪ شﻜﻞ پﻮﻟﻴﻨﻮمﻫاى‬ ‫ﻣﻜﻤﻞ بﻨﻮﻳسﻴﻢ؛ ﻣاﻧﻨد‪ x 2 1 = x 2 + 0 x 1 :‬و ‪x 3 + x 1 = x 3 + 0 x 2 + x 1‬‬

‫پﻮلﻴﻨﻮمﻫاى ﻣﻨظﻢ و غﻴرﻣﻨظﻢ‪ :‬پﻮﻟﻴﻨﻮمﻫاى ‪2 x 3 3 x 2 + 4 x 1‬‬

‫ﻳا ‪ 11 + 12x + 13x 2 x 3‬پﻮﻟﻴﻨﻮمﻫاى ﻣﻨﻈﻢاﻧد؛ اﻣا پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ 3x 4 x + 1 + x 3 + x 2‬ﻳﻚ‬ ‫پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻏﻴرﻣﻨﻈﻢ ﻣﻰباشد ﻛﻪ ﻣﻰتﻮاﻧﻴﻢ ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻏﻴرﻣﻨﻈﻢ را بﻪ شﻜﻞ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻣﻨﻈﻢ بﻨﻮﻳسﻴﻢ؛‬ ‫ﻃﻮر ﻣثال اﻳﻦ پﻮﻟﻴﻨﻮم را ﻣﻰ تﻮاﻧﻴﻢ بﻪ دو ﻃرﻳﻖ بﻪ شﻜﻞ ﻣﻨﻈﻢ بﻨﻮﻳسﻴﻢ‪:‬‬ ‫‪ 3x 4 + x 3 + x 2 x + 1‬ﻳا ‪1 x + x 2 + x3 + 3 x 4‬‬

‫‪9‬‬

‫پﻮلﻴﻨﻮمﻫاى ﻧزولﻰ و صعﻮدى‬ ‫(‪:)Descending and ascending Polynomes‬‬ ‫اﮔر ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم از بزرﮔترﻳﻦ تﻮان ﻳﻚ ﻣتحﻮل بﻪ ﻃرف ﻛﻮچﻜترﻳﻦ تﻮان ترتﻴب شده باشد‬ ‫ﻧزوﻟﻰ و اﮔر از ﻛﻮچﻜترﻳﻦ بﻪ بزرﮔترﻳﻦ تﻮان ترتﻴب شده باشد ترتﻴب ﺻﻌﻮدى ﻣﻰﮔﻮﻳﻨد‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻃﻮر ﻣثال‪ :‬پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ x + 3x + x + x + 1‬بﻪ شﻜﻞ ﻧزوﻟﻰ و پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪1 + x + x 2 + 3x 3 + x 4‬‬ ‫بﻪ شﻜﻞ ﺻﻌﻮدى ترتﻴب شده است‪.‬‬ ‫اﮔر ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم از دو ﻳا چﻨد حرف تشﻜﻴﻞ شده باشد ﻣا ﻣﻰتﻮاﻧﻴﻢ ﻛﻪ پﻮﻟﻴﻨﻮم را ﻧﻈر بﻪ ﻫر حرف‬ ‫بﻪ شﻜﻞ ﺻﻌﻮدى ﻳا ﻧزوﻟﻰ ترتﻴب ﻧﻤاﻳﻴﻢ‪ ،‬ﻃﻮرىﻛﻪ پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪x 3 y + 3x 2 y 2 + 2 xy3 5 y 4‬‬ ‫ﻧﻈر بﻪ ‪ x‬بﻪ ﻃﻮر ﻧزوﻟﻰ و ﻧﻈر بﻪ ‪ y‬بﻪ ﻃﻮر ﺻﻌﻮدى ترتﻴب شده است‪.‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫پﻮﻟﻴﻨﻮمﻫاى زﻳر را بﻪ شﻜﻞ ﺻﻌﻮدى ترتﻴب ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫‪4 x 5 + 6 x 2 + 8 x 3 , 2 y 2 4 y + 3 3 y 4 + y 3 , 2a 3 5 + 4a 4 + a 5 + 3a 2 + a‬‬

‫ﻣثال‪ :4‬پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ P( y) = 4xy 4 3x 3 y 2 + 2x 2 y 3 + x 4 + y 5‬را ﻧﻈر بﻪ ‪ y‬بﻪ شﻜﻞ ﺻﻌﻮدى‬ ‫بﻨﻮﻳسﻴد‪.‬‬ ‫حل‬ ‫‪P( y) = x 4 3x 3 y 2 + 2x 2 y3 + 4xy 4 + y5‬‬ ‫پﻮلﻴﻨﻮمﻫاى ﻣعادل‪ :‬پﻮﻟﻴﻨﻮمﻫاﻳﻲ اﻧد ﻛﻪ داراى ﻳﻚ ﻣتحﻮل بﻮده و ﺿراﻳب حدود ﻣشابﻪ‬ ‫آنﻫا باﻫﻢ ﻣساوى باشﻨد‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻣثال‪ :5‬اﮔر پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ x + 3x + 2‬با پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ m( x 1) + n ( x 1) + P‬ﻣﻌادل باشد‪،‬‬ ‫ﻗﻴﻤتﻫاى ‪ n , m‬و ‪ p‬را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫حل‬ ‫‪m( x 2 2 x + 1) + nx n + p = x 2 + 3x + 2‬‬ ‫‪mx 2 2mx + m + nx n + p = x 2 + 3x + 2‬‬ ‫‪mx 2 + ( 2m + n ) x + (m n + p) = 1x 2 + 3x + 2‬‬

‫‪10‬‬

‫در ﻧتﻴجﻪ‪:‬‬

‫‪n =5‬‬ ‫‪p=6‬‬

‫‪m =1‬‬ ‫‪2m + n = 3‬‬ ‫‪m n+p=2‬‬

‫پﻮلﻴﻨﻮمﻫاى ﻣتجاﻧس( ‪ :)Hemogence Polynoms‬اﮔر درجﻪﻫاى تﻤام حدودﻳﻚ‬ ‫پﻮﻟﻴﻨﻮم باﻫﻢ ﻣساوى باشﻨد پﻮﻟﻴﻨﻮم را ﻣتجاﻧس ﻣﻰﮔﻮﻳﻨد؛ ﻃﻮرﻣثال‪ 2 x 2 + y 2 z 2 :‬ﻳﻚ‬ ‫پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻣتجاﻧس ﻣﻰباشﻨد‪.‬‬ ‫ﻣثال‪ :6‬اﮔر پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ 3x 2 y + 5 x m z 7 y n 3 z 2‬ﻣتجاﻧس باشد ﻗﻴﻤتﻫاى ‪ m‬و ‪ n‬را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫حل‬ ‫‪n 3 + 2 = m +1‬‬ ‫‪n 1 = m +1‬‬

‫‪m +1 = 2 +1‬‬ ‫‪m=2‬‬

‫‪n 1 = 2 +1‬‬ ‫‪n=4‬‬

‫پﻮﻟﻴﻨﻮمﻫاﻳﻰﻛﻪ از ﻳﻚ حرف (ﻣتحﻮل) تشﻜﻴﻞ شده باشﻨد بزرﮔترﻳﻦ تﻮان اﻳﻦ حرف درجﺔپﻮﻟﻴﻨﻮم‬ ‫ﻣﻰباشد و اﮔر پﻮﻟﻴﻨﻮم از چﻨد حرف تشﻜﻴﻞ شده باشد درجﺔ ﻣﻮﻧﻮﻣﻰ ﻛﻪ بزرﮔترﻳﻦ تﻮان را دارا‬ ‫ﻣﻰباشد ﻋبارت از درجﺔ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻣﻰباشد و پﻮﻟﻴﻨﻮمﻫاﻳﻲ ﻛﻪ داراى ﻳﻚ ﻣتحﻮل بﻮده و ﺿراﻳب‬ ‫حدود ﻣشابﻪ آنﻫا باﻫﻢ ﻣساوى باشﻨد بﻪ ﻧام پﻮﻟﻴﻨﻮمﻫاى ﻣﻌادل ﻳاد ﻣﻰشﻮﻧد و اﮔر درجﻪﻫاى تﻤام‬ ‫حدود ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم باﻫﻢ ﻣساوى باشﻨد بﻪ ﻧام پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻣتجاﻧس ﻳاد ﻣﻰشﻮد‪.‬‬

‫‪11‬‬

‫تمرﻳن‬ ‫‪ .1‬در اﻓادهﻫاى زﻳر ﻣﻮﻧﻮم‪ ،‬باﻳﻨﻮم و ترﻳﻨﻮم را ﻧشان دﻫﻴد و ﻧﻴز درجﻪﻫاى آنﻫا را‬ ‫درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪x 1‬‬

‫‪,‬‬

‫‪12‬‬

‫‪,‬‬

‫‪x2 y + 4‬‬

‫‪,‬‬

‫‪12x‬‬

‫‪,‬‬

‫‪1 2 5‬‬ ‫‪x y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x x2 x3‬‬

‫‪ .2‬در پﻮﻟﻴﻨﻮمﻫاى زﻳر پﻮﻟﻴﻨﻮمﻫاى ﻣﻜﻤﻞ و ﻧاﻗص را ﻧشان دﻫﻴد و پﻮﻟﻴﻨﻮمﻫاى ﻧاﻗص را‬ ‫بﻪ شﻜﻞ پﻮﻟﻴﻨﻮمﻫاى ﻣﻜﻤﻞ بﻨﻮﻳسﻴد‪.‬‬ ‫‪x2 1 ,‬‬ ‫‪x3 + x 1‬‬

‫‪,‬‬

‫‪x +1 ,‬‬ ‫‪15‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪x‬‬

‫‪2x 2 2x 2‬‬

‫‪ .3‬اول درجﺔ ﻫر پﻮﻟﻴﻨﻮم را ﻛﻪ در زﻳر داده شده است درﻳابﻴد و بﻌد بﻪ شﻜﻞ ﻧزوﻟﻰ‬ ‫ترتﻴب ﻧﻤاﻳﻴد‪.‬‬ ‫‪4 x 5 + 6 x 2 + 8x 3‬‬ ‫‪4 y + 3 3y 4 + y 3‬‬ ‫‪x5+ x‬‬

‫‪2y2‬‬

‫‪1 x 3 + x 2 + 2x 4‬‬

‫‪ .4‬اﮔر ‪ P( x 1) 2 + n ( x + 3) + c = 2x 2 x + 22‬باشد ﻗﻴﻤتﻫاى ‪ n , p‬و ‪ c‬را‬ ‫درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪ .5‬ﻗﻴﻤتﻫاى ‪ b , a‬و ‪ c‬را درﻳابﻴد؛ اﮔر‪P( x) = 7 x 4 (2a 3) x 3 + 5 x (c 3) :‬‬ ‫و ‪ Q( x) = (3b + 4) x 4 + 2 x 3 + 5 x‬پﻮﻟﻴﻨﻮمﻫاى ﻣﻌادل باشﻨد‪.‬‬ ‫‪ .6‬اﮔر ‪ 5xy 2 + 8x p z 3y m 3 z 2‬ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻣتجاﻧس باشد‪ ،‬ﻗﻴﻤتﻫاى ‪ m‬و ‪ p‬را‬ ‫ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد‪.‬‬

‫‪12‬‬

‫درﻳافت قﻴﻤت و ﻣجﻤﻮع‬ ‫ضراﻳب ﻳک پﻮلﻴﻨﻮم‬ ‫آﻳا ﻣﻰتﻮاﻧﻴد بﮕﻮﻳﻴد ﻛﻪ براى ‪x = 1‬‬

‫ﻗﻴﻤت پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪x 1‬‬

‫‪x2‬‬

‫‪P( x) = x 3‬‬

‫ﻳﻌﻨﻰ ? = )‪ P( 1‬چﻨد ﻣﻰشﻮد؟‬

‫اﮔر در ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم بﻪ ﻋﻮض ﻣتحﻮل ﻳﻚ ﻋدد حﻘﻴﻘﻰ (ﻗﻴﻤت خاص ﻣتحﻮل) وﺿﻊ ﻛﻨﻴﻢ ﻳﻚ‬ ‫ﻋدد حﻘﻴﻘﻰ بﻪدست ﻣﻰآﻳد ﻛﻪ ﻫﻤﻴﻦ ﻋدد حﻘﻴﻘﻰ ﻗﻴﻤت اﻳﻦ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻣﻰباشد‪ .‬براى ‪x = 2‬‬ ‫ﻗﻴﻤت پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ P( x) = 3x + 2‬ﻋبارت از ‪ P(2) = 3 2 + 2 = 8‬ﻣﻰباشد‪.‬‬ ‫ﻣثال‪ :1‬در پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ P( x) = 2 x 2 7 x + 1‬ﻗﻴﻤتﻫاى )‪ P( 1) ، P(5‬و )‪ P(0‬را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫حل‬ ‫‪P(5) = 2 52 7(5) + 1 = 50 35 + 1 = 51 35 = 16‬‬

‫‪P ( 0) = 1‬‬ ‫‪P( 1) = 2( 1) 2 7( 1) + 1 = 2 + 7 + 1 = 10‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫)‪ P( 1) ، P(0‬و )‪ P(1‬پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ P( x) = x 5 x 3 x 1‬را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻣثال‪ :2‬اﮔر ‪ P( x ) = 16x 3 8x 2 +‬باشد )‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫حل‬

‫‪13‬‬

‫(‪ P‬را درﻳابﻴد‪.‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫(‪) = 16( ) 3 8( ) 2 + = 16‬‬ ‫‪) 8( ) +‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪64‬‬ ‫‪16 4‬‬ ‫‪1 1 3‬‬ ‫‪1 2+3‬‬ ‫‪3+3 0‬‬ ‫=‬ ‫= ‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪= =0‬‬ ‫‪4 2 4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫(‪P‬‬

‫ﻣثال‪ :3‬ﻃﻮرى ﻛﻪ ﻣﻰداﻧﻴد ﻣحﻴﻂ (‪ )Circumference‬داﻳره از ﻓﻮرﻣﻮل ‪C = 2 r‬‬ ‫‪22‬‬ ‫بﻪدست ﻣﻰآﻳد‪ ،‬اﮔر‬ ‫‪7‬‬

‫=‬

‫و ‪ r‬شﻌاع داﻳره باشد‪.‬‬

‫در ﺻﻮرتﻰ ﻛﻪ شﻌاع داﻳره ‪ r = 3 1 cm‬باشد‪ ،‬ﻣحﻴﻂ اﻳﻦ داﻳره (‪ )C‬را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫حل‬ ‫‪22 7‬‬ ‫‪. cm = 22cm‬‬ ‫‪7 2‬‬

‫‪C = 2 r = 2.‬‬

‫ﻣثال‪ :4‬اﮔر ‪ b, a‬و ‪ c‬ﻃﻮل اﺿﻼع ﻣثﻠث و ‪ p‬ﻧﺼﻒ ﻣحﻴﻂ ﻣثﻠث باشد‪ ،‬ﻳﻌﻨﻲ‬ ‫‪a+b+c‬‬ ‫‪2‬‬

‫= ‪ p‬ﻣساحت ﻣثﻠث از ﻓﻮرﻣﻮل )‪ S = p(p a )(p b)(p c‬بﻪ دست‬

‫ﻣﻰ آﻳد‪.‬‬ ‫اﮔر ﻃﻮل اﺿﻼع ﻣثﻠث ‪ b = 12cm , a = 9cm‬و ‪ c = 15cm‬باشد ﻣساحت اﻳﻦ ﻣثﻠث را‬ ‫درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫حل‬

‫‪a + b + c 9 + 12 + 15 36‬‬ ‫=‪p‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪= 18cm‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‪S = p(p a )(p b)(p c) = 18(18 9)(18 12)(18 15‬‬ ‫‪= 18 9 6 3 = 2 9 9 2 3 3 = 2 2 32 9 2 = 2 3 9 = 54cm 2‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫حجﻢ استﻮاﻧﻪ از ﻓﻮرﻣﻮل ‪ V = r 2 h‬بﻪ دست ﻣﻰآﻳد ﻛﻪ ‪ V‬حجﻢ استﻮاﻧﻪ‪ r ،‬شﻌاع ﻗاﻋده و‬ ‫‪ h‬ارتﻔاع استﻮاﻧﻪ ﻣﻰباشد‪ .‬اﮔر ‪ r = 5cm‬و ‪ h = 21cm‬باشد حجﻢ اﻳﻦ استﻮاﻧﻪ را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫ﻣجﻤﻮع ضراﻳب ﻳک پﻮلﻴﻨﻮم‪ :‬اﮔر ‪p( x ) = a n x n + a n 1x n 1 + ... + a 1x + a 0‬‬

‫باشد ﻣجﻤﻮع ﺿراﻳب پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ an + an 1 + ... + a1 + a0‬ﻣﻰباشد‪.‬‬ ‫ﻣثال‪ :5‬ﻣجﻤﻮع ﺿراﻳب پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ p( x) = 2 x3 + 5 x 2 3x + 1‬را درﻳابﻴد‪.‬‬

‫‪14‬‬

‫حل‪ p (1) :‬را در ﻣﻰﻳابﻴﻢ‪P(1) = 2 13 + 5 12 3 1 + 1 = 2 + 5 3 + 1 = 5 :‬‬

‫اﮔر ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم از چﻨد حرف تشﻜﻴﻞ شده باشد بﻪ ﻋﻮض ﻫر حرف ﻋدد(‪ )1‬را وﺿﻊ‬ ‫ﻣﻰﻛﻨﻴﻢ؛ ﻃﻮر ﻣثال‪ :‬براى درﻳاﻓت ﻣجﻤﻮع ﺿراﻳب ‪x 4 + 4 x 3 y + 6 x 2 y 2 + 4 xy 3 + y 4‬‬

‫بﻪ ﻋﻮض ‪ x‬و ‪ y‬ﻋدد ﻳﻚ را وﺿﻊ ﻣﻰﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬ ‫‪14 + 4 13 1 + 6 12 12 + 4 1 13 + 14 = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16‬‬ ‫ﻣثال‪ :6‬ﻣجﻤﻮع ﺿراﻳب ‪ ( x 3 y ) 4‬را درﻳابﻴد‪.‬‬

‫حل‬ ‫‪(1 3 1) 4 = (1 3) 4 = ( 2) 4 = 16‬‬

‫ﻣثال‪ :7‬ﻣجﻤﻮع ﺿراﻳب ‪ (7 x 2 5x 1) 600 (2x 3 1)17 ( x + 2) 4‬را بﻪ دست آورﻳد‪.‬‬ ‫حل‬

‫‪(1) (3) = 81‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪17‬‬

‫‪600‬‬

‫)‪1) (1 + 2) = (1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪17‬‬

‫‪3‬‬

‫‪(2 1‬‬

‫‪600‬‬

‫)‪5 1 1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪(7 1‬‬

‫ﻣثال‪ :8‬اﮔر شﻌاع اﻳﻦ تﻮپ ‪ 6cm‬باشد حجﻢ اﻳﻦ تﻮپ را درﻳابﻴد‪.‬‬

‫حل‬ ‫‪4 3 4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫= ‪r‬‬ ‫= ‪(6cm) 3‬‬ ‫‪(216cm 3 ) = 288 cm 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫=‪V‬‬

‫اﮔر در ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم(‪ P)x‬ﻋﻮض ‪ x‬ﻗﻴﻤت داده شده را وﺿﻊ ﻛﻨﻴﻢ‪ ،‬ﻗﻴﻤت پﻮﻟﻴﻨﻮم بﻪ دست‬ ‫ﻣﻰآﻳد‪.‬‬ ‫اﮔر در ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻋﻮض حرف (ﻣتحﻮل) ﻋدد (ﻳﻚ) وﺿﻊ شﻮد ﻣجﻤﻮع ﺿراﻳب پﻮﻟﻴﻨﻮم‬ ‫بﻪ دست ﻣﻰآﻳد‪.‬‬

‫‪15‬‬

‫تمرﻳن‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ .1‬اﮔر پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ p( x) = x 4 x 3 x 2 x 1‬باشد‪ p( 1) ،‬و ) (‪ p‬را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪ .2‬اﮔر در پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ p( x ) = kx 3 x 2 + 3x 1‬ﻗﻴﻤت ‪ p(2) = 17‬باشد‪ ،‬ﻗﻴﻤت ‪ k‬را‬ ‫درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪ .3‬اﮔر ﻣجﻤﻮع ﺿراﻳب ‪ mx2 2x + 1‬ﻋبارت از ‪ 18‬باشد‪ ،‬ﻗﻴﻤت ‪ m‬را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ .4‬ﻗﻴﻤت پﻮﻟﻴﻨﻮم‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .5‬در پﻮﻟﻴﻨﻮمﻫاى ‪4 x + 4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ p( x) = x 2‬را براى‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪A = x2‬‬

‫= ‪ x‬درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪C = x + 3x 4 6 x 3‬‬

‫‪B = 4 x 3 + 10 x 2‬‬

‫و ‪ D = x 2 + 4 x 4‬براى ‪ x = 4‬ﻗﻴﻤت ﻛدام پﻮﻟﻴﻨﻮم از ﻋدد ‪ 100‬زﻳاد ﻣﻰباشد؟‬ ‫‪c) A‬‬

‫‪d) B‬‬

‫‪a) C‬‬

‫‪b) D‬‬

‫‪ .6‬در پﻮﻟﻴﻨﻮمﻫاى زﻳر براى ‪ x = 5‬ﻛدام پﻮﻟﻴﻨﻮم بزرﮔترﻳﻦ ﻗﻴﻤت را دارا ﻣﻰباشد؟‬ ‫‪a ) x 2 2x + 6‬‬ ‫‪b) 3x 4 + 6 x + 12‬‬ ‫‪c) x 3 40 x 300‬‬ ‫‪d ) x 5 120 x 4 + 10‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ .7‬اﮔر ‪ p( x) = x 4 x 3 x 2 x 1‬باشد‪ p( ) ، p(0) ، p( 1) ،‬و ) ‪ p( 1‬را‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪ .8‬براى ‪ x = 2‬ﻗﻴﻤت پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ 1 x 4 + 1 x 3 + 3 x 2 + 5 x + 7‬را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪8‬‬

‫‪8‬‬

‫‪8‬‬

‫‪4‬‬

‫‪16‬‬

‫عﻤلﻴﻪﻫاى چﻬارگاﻧﺔ پﻮلﻴﻨﻮمﻫا‬ ‫اﮔر ﻫر ﺿﻠﻊ ﻣربﻊ ‪ 3w 4‬و ﻫر ﺿﻠﻊ‬ ‫ﻣثﻠث ﻣتساوى اﻻﺿﻼع ‪ w + 2‬باشد ﻳﻚ‬ ‫اﻓادة اﻟجبرى را بﻨﻮﻳسﻴد ﻛﻪ ﻣحﻴﻂ ﻫر دو‬ ‫شﻜﻞ را ﻧشان دﻫد‪.‬‬ ‫اﮔر ‪ A = 8 x 2 2 x + 3‬و ‪B = 9 x 5‬‬ ‫باشد ‪ A + B‬و ‪ A B‬را درﻳابﻴد‪.‬‬

‫‪W+2‬‬

‫‪3W-4‬‬

‫‪ -1‬عﻤلﻴﺔ جﻤع‪ :‬حدود ﻣشابﻪ (‪ )Like terms‬باﻫﻢ جﻤﻊ و ﻧﻴز حدود ﻣشابﻪ ﻳﻜﻰ از دﻳﮕرى‬ ‫تﻔرﻳﻖ ﻣﻰشﻮد ﻛﻪ اﻳﻦ ﻫر دو ﻋﻤﻠﻴﻪ بﻪ ﺻﻮرت اﻓﻘﻰ و ﻋﻤﻮدى اﻧجام شده ﻣﻰتﻮاﻧد‪.‬‬ ‫ﻣثال‪ :1‬اﮔر ‪ A = 3cd 2 2cd + 5‬و ‪ B = 9cd 7cd 2 5‬باشد ‪ A + B‬را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫حل‬

‫)‪A + B = ( 3cd 2 2cd + 5) + (9cd 7cd 2 5‬‬

‫‪= 3cd 2 2cd + 5 + 9cd 7cd 2 5 = 10cd 2 + 7cd‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫اﮔر ‪ B = 2ab 2 + 3a 2 , A = ab 2 + 3a‬و ‪ C = 2a + 4‬باشد ﻣجﻤﻮع اﻳﻦ سﻪ‬ ‫پﻮﻟﻴﻨﻮم را درﻳابﻴد‪(A + B + C = ?) .‬‬ ‫ﻣثال‪ A + B + C :2‬را درﻳابﻴد اﮔر‪:‬‬ ‫‪ B = 3x 5 2x 2 , A = 1 + 2x + 3x 2‬و ‪ C = x 2 5 x + 4‬و ﻧﻴز اﮔر‬ ‫‪ B = a 3b 2 2a 2 b 3 + 4b 4 , A = a 4 b 2a 3b 2 3a 2 b 3 4c 2b‬و‬ ‫‪ C = a 4 b + a 3b 2 2c‬باشد‪.‬‬ ‫حل‪ :‬در اول پﻮﻟﻴﻨﻮمﻫا را بﻪ شﻜﻞ ﻣﻨﻈﻢ ﻣﻰﻧﻮﻳسﻴﻢ و بﻌد حدود ﻣشابﻪ را باﻫﻢ جﻤﻊ ﻣﻰﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬

‫‪17‬‬

‫‪4c 2b‬‬ ‫‪+ 4b 4‬‬

‫‪a 4 b 2 a 3b 2 3a 2 b 3‬‬

‫‪3x 2 + 2 x + 1‬‬

‫‪a 3 b 2 2a 2 b 3‬‬

‫‪2 x 2 + 3x 5‬‬

‫‪+ a 4 b + a 3b 2‬‬

‫‪2c‬‬ ‫‪6c + 2 b 4‬‬

‫‪5a 2 b 3‬‬

‫‪x 2 5x + 4‬‬

‫‪2a 4 b‬‬

‫‪+‬‬

‫‪2x 2‬‬

‫‪ -2‬عﻤلﻴﺔ تفرﻳق‪ :‬در ﻋﻤﻠﻴﺔ تﻔرﻳﻖ ﻣﻌﻜﻮس جﻤﻌﻰ ﻣﻔروق را با ﻣﻔروق ﻣﻨﻪ جﻤﻊ ﻣﻰﻛﻨﻴﻢ ﻳا‬ ‫بﻪ ﻋبارت دﻳﮕر‪ ،‬ﻋﻼﻣﻪﻫاى ﻣﻔروق را تﻐﻴﻴر ﻣﻰدﻫﻴﻢ و با ﻣﻔروق ﻣﻨﻪ جﻤﻊ ﻣﻰﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬ ‫ﻣثال‪ :1‬پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ B‬را از پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ A‬تﻔرﻳﻖ ﻧﻤاﻳﻴد اﮔر ‪A = x 3 + x 2 + x 7‬‬

‫و ‪ B = x 3 + x 2 + 4x + 3‬باشد و ﻧﻴز اﮔر ‪ A = 2b 2 2c 2 2d 2 2e 2‬و‬ ‫‪ B = b 2 3c 2 3d 2 3e 2 f 2‬باشد‪.‬‬ ‫حل‬ ‫‪2e 2‬‬

‫‪2d 2‬‬

‫‪3d 2 m 3e 2 m f 2‬‬

‫‪A = 2b 2‬‬

‫‪2c 2‬‬ ‫‪m‬‬

‫‪3c 2‬‬

‫‪m‬‬

‫‪A = x3 + x2 + x 7‬‬

‫‪B =+ b 2‬‬

‫‪B = m x 3 ± x 2 ± 4x ± 3‬‬

‫‪A B = b2 + c2 + d 2 + e2 + f 2‬‬

‫ﻳا‬

‫=‪A B‬‬

‫‪3x 10‬‬

‫)‪x + x + x 7 ( x + x + 4 x + 3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪4x 3‬‬

‫‪x2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪= x3 + x2 + x 7 + x3‬‬ ‫‪= 3x 10‬‬

‫باﻳد بﻪ ﻳاد داشتﻪ باشﻴﻢ ﻛﻪ ﻏرض ساده ساختﻦ ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم حدود ﻣشابﻪ (‪ )Like terms‬را‬ ‫باﻫﻢ جﻤﻊ و ﻳا از ﻳﻜدﻳﮕر تﻔرﻳﻖ ﻣﻰﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬ ‫بﻪ ﻃﻮر ﻣثال‪:‬‬ ‫‪a) x 2 + 6x 4 8 + 9x 2 + 2x 4 6x 2 = 8x 4 + 4x 2 8‬‬ ‫‪b) 3x x 1 + 3 2x = 2‬‬ ‫‪c) 2x 2 x x 2 x 2 = x 2 2x 2‬‬ ‫‪d) 6xy xy x y + 2x = 5xy + x y‬‬ ‫‪e) mn 4 + mn 5 = 2mn 9‬‬

‫‪18‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫در پﻮﻟﻴﻨﻮمﻫاى زﻳر حدود ﻣشابﻪ(‪ )Like terms‬را ﻧشان دﻫﻴد‪.‬‬ ‫‪t + 5t 2 6t 2 + 6t 3‬‬

‫‪9rs 2r 2s 2 + 4r 2s 2 + 3rs 7‬‬

‫‪3p 4p 2 + 6p + 10p 2‬‬

‫‪2fg + f 2 g fg 2 2fg + 3f 2 g + 5fg 2‬‬

‫ﻣثال‪ :2‬با پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ a 4 + 2a 3 b 3ab 3 + a 2 b 2‬ﻛدام پﻮﻟﻴﻨﻮم را جﻤﻊ ﻛﻨﻴﻢ تا حاﺻﻞ جﻤﻊ‬ ‫‪ 2a 4 3a 3 b 3ab 3 b 4 + a 2 b 2‬شﻮد؟‬ ‫حل‬

‫‪2a 4 3a 3 b + a 2 b 2 3ab 3 b 4‬‬ ‫‪a 4 ± 2a 3 b ± a 2 b 2 m 3ab 3‬‬ ‫‪b4‬‬

‫فعالﻴت‬

‫‪a 4 5a 3 b‬‬

‫ﻣجﻤﻮع پﻮﻟﻴﻨﻮمﻫاى ‪ 4 x + 6 2 x 2‬و ‪ 3x 2 x 3 3‬را از ﻣجﻤﻮع پﻮﻟﻴﻨﻮمﻫاى‬ ‫‪ x 3 + x 2 2 x‬و ‪ 2 x 3 + 3x 7‬تﻔرﻳﻖ ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫ﻣثال‪ :3‬تﻔرﻳﻖ ﻛﻨﻴد‪.‬‬

‫‪5‬‬

‫‪505y‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪404xy‬‬

‫‪2‬‬

‫‪101x y‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪202x y 303x y‬‬

‫‪- 101x 4 y m 303x 3 y 2 ± 101x 2 y 3 m 404xy 4 ± 505 y 5‬‬ ‫‪1010y5‬‬

‫‪101x 4 y‬‬

‫‪202x 2 y 3‬‬

‫‪3ax 5bx 8cx 11dx‬‬ ‫‪± 3ax m 5bx m 8cx m 11dx‬‬ ‫‪0‬‬

‫ﻣثال‪ :4‬حدود ﻣشابﻪ (‪ )Like terms‬را باﻫﻢ جﻤﻊ و ساده ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫‪8 10 + x 7 + x = 2x 9‬‬

‫‪2k + 4‬‬

‫‪20 k k 10 6 k 2 = k 2‬‬

‫‪ab + a b a = ab b‬‬

‫‪2‬‬ ‫= ‪+‬‬

‫‪19‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫‪y 2 1 + y 2 1 = 2y 2‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪b+2=0‬‬

‫‪2 + b 4b 3 + b 2 + b 2‬‬

‫‪4b 3 2b 2‬‬

‫‪x 2 5x 2x 2 + 5 = x 2 5x + 5‬‬

‫باﻳد بﻪ ﻳاد داشتﻪ باشﻴﻢ ﻛﻪ اﮔر ‪ Q, P‬و ‪ R‬پﻮﻟﻴﻨﻮمﻫا باشﻨد؛ پس‪:‬‬ ‫(خاﺻﻴت تبدﻳﻠﻰ ﻋﻤﻠﻴﺔ جﻤﻊ)‪P + Q = Q + P .......................‬‬ ‫(خاﺻﻴت اتحادى ﻋﻤﻠﻴﺔ جﻤﻊ)‪P + (Q + R) = (P + Q) + R ......‬‬ ‫(خاﺻﻴت تﻮزﻳﻌﻰ ﺿرب‪ ،‬باﻻى جﻤﻊ)‪P(Q + R) = PQ + PR .............‬‬ ‫‪(Q + R)P = QP + RP‬‬ ‫ﻳا‪:‬‬ ‫در ﻋﻤﻠﻴﻪﻫاى جﻤﻊ و تﻔرﻳﻖ پﻮﻟﻴﻨﻮمﻫا حدود ﻣشابﻪ باﻫﻢ جﻤﻊ و ﻳا از ﻳﻜدﻳﮕر تﻔرﻳﻖ ﻣﻰشﻮﻧد‪.‬‬ ‫در ﻋﻤﻠﻴﺔ جﻤﻊ پﻮﻟﻴﻨﻮمﻫا خاﺻﻴتﻫاى تبدﻳﻠﻰ و اتحادى ﺻدق ﻣﻰﻛﻨد و در ﻋﻤﻠﻴﺔ تﻔرﻳﻖ‬ ‫ﻣﻌﻜﻮس جﻤﻌﻰ ﻣﻔروق با ﻣﻔروقﻣﻨﻪ جﻤﻊ ﻣﻰشﻮد و خاﺻﻴت تﻮزﻳﻌﻰ ﺿرب باﻻى جﻤﻊ‬ ‫پﻮﻟﻴﻨﻮمﻫا ﻧﻴز ﺻدق ﻣﻰﻛﻨد‪.‬‬

‫تمرﻳن‬ ‫‪ .1‬ﻣجﻤﻮﻋﺔ دو پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ x 2 + 2 x y 2‬است اﮔر ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ x 2 2xy + 3‬باشد‪ ،‬پﻮﻟﻴﻨﻮم‬ ‫دﻳﮕرى را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .2‬پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ 3x + 5x + 2x x + 1‬را از پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ 4 x + 2 x + x x + 1‬تﻔرﻳﻖ‬ ‫ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫‪ .3‬از پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ ، a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3‬پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3‬را تﻔرﻳﻖ ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .4‬اﮔر ‪ B = a + 2a + 5 , A = a + 2a 6a + 7‬و ‪C = 2a 3 a 2 + 2a 8‬‬ ‫باشد ﻣجﻤﻮﻋﺔ اﻳﻦ سﻪ پﻮﻟﻴﻨﻮم را درﻳابﻴد‪) A + B + C = ? ( .‬‬ ‫‪ .5‬حاﺻﻞ جﻤﻊ اﻓادة )‪ (ab 2 + 3a ) + (2ab 2 + 3a 2) + (2a + 4‬ﻣساوى است بﻪ‪:‬‬ ‫‪c)3ab2 + 8a + 2‬‬

‫‪ .6‬جﻤﻊ ﻛﻨﻴد‪:‬‬

‫‪b)3ab2 + 8a‬‬ ‫)‪2) + (1 + 6ab‬‬

‫‪2‬‬

‫‪a ) 3ab2 + 8a + 2‬‬

‫‪5ab) + ( 3ab + a‬‬

‫‪2‬‬

‫‪(3a b + 2a‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ .7‬اﮔر دو ﻃﻴاره از ﻳﻚ ﻣﻴدان ﻫﻮاﻳﻰ در جﻬت ﻣﻘابﻞ ﻫﻤدﻳﮕر پرواز ﻛﻨﻨد‪ ،‬در ﺻﻮرتﻰﻛﻪ ‪2‬‬ ‫ساﻋت بﻌد ﻓاﺻﻠﺔ ﻳﻚ ﻃﻴاره از ﻣﻴدان ﻫﻮاﻳﻰ ‪ x 2 + 2 x + 400‬ﻣﻴﻞ و ﻓاﺻﻠﺔ ﻃﻴارة دﻳﮕر از‬ ‫ﻫﻤﻴﻦ ﻣﻴدان ﻫﻮاﻳﻰ ‪ 3x 2 50 x + 100‬ﻣﻴﻞ باشد ﻓاﺻﻠﻪ بﻴﻦ اﻳﻦ دو ﻃﻴاره را درﻳابﻴد‪.‬‬

‫‪20‬‬

‫ضرب پﻮلﻴﻨﻮمﻫا‬

‫حجﻢ ﻣﻜﻌبﻰ را درﻳابﻴد ﻛﻪ ﻫر ﺿﻠﻊ آن‬ ‫)‪ ( x + 1‬ساﻧتﻰ ﻣتر باشد‪.‬‬

‫‪x+1‬‬

‫ضرب ﻣﻮﻧﻮم در ﻣﻮﻧﻮم‪ :‬اﮔر ﻣﻮﻧﻮم ‪ 3r 2 s 3‬را در ﻣﻮﻧﻮم ‪ 5r 4 s 5‬ﺿرب ﻛﻨﻴﻢ‬ ‫حاﺻﻞﺿرب آن ‪ (3r 2s 3 )(5r 4s 5 ) = 15r 6s8‬ﻣﻰشﻮد‪.‬‬ ‫فعالﻴت‬ ‫حاﺻﻞ ﺿرب ) ‪ ( 1 x )( x ) , (7 x 2 y)( 3x 4 yz8‬و )‪ ( 30a 2 b)( 5ab‬را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪3‬‬

‫ﻣثال‪ :1‬حاﺻﻞ ﺿربﻣﻮﻧﻮمﻫاى زﻳر را بﻪ دست آورﻳد‪:‬‬

‫‪1 2 1 2 16 1 16‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫= ) () ( = ) ( )‪(4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4 4 16‬‬ ‫‪( 2a)3 ( 2a) 2 = 32a 5‬‬

‫‪( 5y a )(5y) = 25y a +1‬‬ ‫‪( 4s 2 t 2 )(2st 3 ) = 8s 3 t 5‬‬ ‫‪a 2x ( 2a) = 2a 2x +1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a)( a) = a 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪( 0.1)( 0.1)( 0.1) = 0.001‬‬

‫‪x(x m ) = x m +1 = x1+ m‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪125 3 3‬‬ ‫= )‪( mn)( mn)( mn‬‬ ‫‪mn‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪( a b )( a) = a b +1 = a1+ b‬‬

‫(‬

‫‪(0.01p)(0.01p) = 0.0001p 2‬‬

‫‪( mn)( mn 2 ) = m 2 n 3‬‬

‫‪(0.1x 2 )(0.1x 2 ) = 0.01x 4‬‬

‫ضرب ﻣﻮﻧﻮم در پﻮلﻴﻨﻮم‬ ‫ﻣثال‪ :2‬حاﺻﻞ ﺿرب زﻳر را درﻳابﻴد‪.‬‬

‫‪(2m 2 n 3 )(1 4mn 4 ) = 2m 2 n 3 8m 3 n 7‬‬

‫‪x 3 (x x 2 y 4 ) = x 4 x 5 y 4‬‬

‫‪3b(5b4 8b + 12) = 15b5 + 24b 2 36b‬‬ ‫‪4s 2 t 2 (5s 2 t + 6st 2s 2 t 2 ) = 20s 4 t 3 24s3 t 3 + 8s 4 t 4‬‬

‫‪21‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫حجﻢ ﻣﻜﻌبﻲ را درﻳابﻴد ﻛﻪ ﻃﻮل آن ‪ ، 2 x‬ﻋرض آن ‪ x‬و ارتﻔاع آن ‪ x + 2‬باشد‪.‬‬ ‫ضرب پﻮلﻴﻨﻮم در پﻮلﻴﻨﻮم‬ ‫ﻣثال‪)a( :3‬حاﺻﻞ ﺿرب )‪ ( x 4)( x 5‬را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫حل‪( x 4)( x 5) = x 2 5x 4 x + 20 = x 2 9 x + 20 :‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4x‬‬ ‫‪20‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪5x‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪b) (a + b)(a + b)(a + b) = (a + b)(a 2 + 2ab + b 2 ) = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3‬‬

‫‪ :c‬اﮔر ‪ P( x) = x3 + 2 x‬و ‪ Q( x) = 2 x 2 x + 1‬باشد‪ P( x ) Q( x ) ،‬را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫)‪P( x ) Q( x ) = ( x 3 + 2 x ) (2 x 2 x + 1‬‬ ‫‪= x 3 2x 2 + x 3 ( x ) + x 3 1 + 2x 2x 2 + 2x ( x ) + 2x 1‬‬ ‫‪x 4 + 5x 3 2 x 2 + 2 x‬‬

‫‪x 4 + x 3 + 4x 3 2x 2 + 2x = 2x 5‬‬

‫‪= 2x 5‬‬

‫‪22‬‬

‫ﻣثال‪ :4‬اﻓادهﻫاي زﻳر را بﻪ ﻛﻤﻚ ﻣﻄابﻘتﻫاى ‪ a 3 + b 3‬و ‪ a 3 b 3‬باﻫﻢ ﺿرب ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫حل‬ ‫] ‪x m y n + y 2 n ) = ( x m + y n )[(x m ) 2 ( x m )( y n ) + ( y n ) 2‬‬

‫‪a ) ( x m + y n )( x 2 m‬‬

‫‪= ( x m ) 3 + ( y n ) 3 = x 3m + y 3n‬‬ ‫)‪xy + y‬‬ ‫)‪xy + y‬‬

‫‪y )( x + y )( x + xy + y)( x‬‬ ‫‪y )( x + xy + y)( x + y )( x‬‬

‫‪( x‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪=( x‬‬

‫‪= [( x )3 ( y )3 ][( x )3 + ( y )3 ] = [( x ) 3 ] 2 [( y ) 3 ] 2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪= (x 2 ) 2 ( y 2 ) 2 = x 3 y3‬‬

‫بﻪ ﻳاد داشتﻪ باشﻴد اﮔر ‪ Q , P‬و ‪ R‬پﻮﻟﻴﻨﻮمﻫا باشﻨد‪:‬‬ ‫(خاﺻﻴت تبدﻳﻠﻰ ﺿرب) ‪P Q = Q P‬‬ ‫(خاﺻﻴت اتحادى ﺿرب) ‪P (Q R) = (P Q) R‬‬ ‫فعالﻴت‬ ‫اﮔر ‪ P( x ) = 2x 2 x 1‬و ‪ Q( x) = 4 x 8‬باشد خاﺻﻴتﻫاى تبدﻳﻠﻰ و اتحادى ﺿرب‬ ‫را در آنﻫا بررسﻰ ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫در جدول زﻳر ﻣساحت(‪ )Area‬اشﻜال ﻫﻨدسﻰ را درﻳابﻴد‪:‬‬ ‫ﻣساحت‬

‫ﻃﻮل داده شده‬

‫‪ n 2 + n 20‬ﻃﻮل آن ‪ n + 5‬و ﻋرض آن ‪n 4‬‬

‫‪6 y 2 + 3y 3‬‬

‫ﻃﻮل آن ‪ 3 y + 3‬و ﻋرض آن ‪2 y 1‬‬

‫‪5 2‬‬ ‫‪b + 2b 5‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ b 3‬ﻗاﻋدة آن ‪ 2b 5‬و ارتﻔاع آن ‪b 2 + 2‬‬

‫ﻣستﻄﻴﻞ‬ ‫ﻣستﻄﻴﻞ‬ ‫ﻣثﻠث‬

‫‪ m 2 + 26m + 169‬ﻫر ﺿﻠﻊ آن ‪ m + 13‬ﻣﻰباشد‬

‫ﻣربﻊ‬

‫ﻫر ﺿﻠﻊ آن ‪ 2 g 4‬ﻣﻰباشد‬

‫ﻣربﻊ‬

‫‪4g 2 16g + 16‬‬

‫)‪ (9c 2 + 12c + 4‬شﻌاع آن ‪ 3c + 2‬ﻣﻰباشد‬

‫‪23‬‬

‫اشﻜال ﻫﻨدسﻰ‬

‫داﻳره‬

‫فعالﻴت‬

‫حاﺻﻞﺿرب‬

‫)‪ab bc ac‬‬

‫‪ (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2‬را درﻳابﻴد‪.‬‬

‫سؤال‪ :‬چﻬار سﻤت ﻳﻚ حﻮض ﻣستﻄﻴﻞ شﻜﻞ‪ ،‬راه سﻤﻨت شدة‬ ‫حﻮض ﻣﻰباشد ﻛﻪ ﻋرض راه ‪ x‬ﻣتر و ﻃﻮل و ﻋرض حﻮض بﻪ ترتﻴب‬ ‫‪ 50m‬و ‪ 25m‬ﻣﻰباشد ﻣساحت راه را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫حل‪ :‬ﻣساحت ﻣجﻤﻮﻋﻰ راه و حﻮض‬ ‫‪A = (25 + 2 x )(50 + 2 x ) = 1250 + 150x + 4 x 2‬‬ ‫ﻣساحت حﻮض‪(25m)(50m) = 1250m 2 :‬‬ ‫پس ﻣساحت راه‪1250 + 150x + 4 x 2 1250 = 4 x 2 + 150x :‬‬

‫ﻣﻰباشد‪.‬‬ ‫در ﺿرب پﻮﻟﻴﻨﻮمﻫا ﻣﻰتﻮان ﻣﻮﻧﻮم را در ﻣﻮﻧﻮم‪ ،‬ﻣﻮﻧﻮم را در پﻮﻟﻴﻨﻮم و ﻳا پﻮﻟﻴﻨﻮم را در پﻮﻟﻴﻨﻮم‬ ‫با ﻫﻢ ﺿرب ﻛرد و در ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺿرب خاﺻﻴتﻫاى تبدﻳﻠﻰ‪ ،‬اتحادى و خاﺻﻴت تﻮزﻳﻌﻰ ﺿرب‬ ‫باﻻى جﻤﻊ ﻧﻴز ﺻدق ﻣﻰﻛﻨد‪.‬‬

‫تمرﻳن‬ ‫‪ .1‬ﺿرب ﻛﻨﻴد‪(4 x 2 y 2 z)( 5xy 3 z 2 ) :‬‬

‫)‪2 xy(2 x 2 + 2 y 2 2‬‬

‫‪,‬‬

‫‪ .2‬ارتﻔاع ﻳﻚ بﻜس ‪ x‬اﻧچ‪ ،‬ﻃﻮل آن )‪ ( x + 1‬اﻧچ و ﻋرض آن ‪ 2 x 4‬ﻣﻰباشد‪ ،‬اﮔر‬ ‫ارتﻔاع بﻜس ‪ 3‬اﻧچ باشد حجﻢ اﻳﻦ بﻜس ﻣساوى است بﻪ‪:‬‬ ‫‪20 in 3‬‬

‫‪ .3‬حاﺻﻞﺿرب‬

‫‪p‬‬

‫)‪d‬‬

‫‪48 in 3‬‬

‫)‪c‬‬

‫‪b) 24 in 3‬‬

‫‪a ) 40 in 3‬‬

‫‪p‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪ ( a q ) p q ( a r ) q r ( a p ) r‬ﻣساوى است بﻪ‪:‬‬

‫ﻫر سﻪ درست ﻧﻴستﻨد ) ‪d‬‬

‫‪a‬‬

‫‪a‬‬

‫‪a‬‬

‫ﺻﻔر )‪c‬‬

‫‪b) 1‬‬

‫‪a )1‬‬

‫‪24‬‬

‫تقسﻴﻢ پﻮلﻴﻨﻮم بر ﻣﻮﻧﻮم‬ ‫آﻳا حاﺻﻞ تﻘسﻴﻢ‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a , 3mn ,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪mn‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪14x 5‬‬ ‫‪na‬‬ ‫و‬ ‫‪2x 2‬‬ ‫‪nb‬‬

‫‪2‬‬

‫‪,‬‬

‫‪4m‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬

‫را بﻪ دست آورده‬

‫ﻣﻰتﻮاﻧﻴد؛ (اﮔر تﻤام ﻣخرجﻫا خﻼف ﺻﻔر باشﻨد)؟‬ ‫تقسﻴﻢ ﻣﻮﻧﻮم بر ﻣﻮﻧﻮم(‪:)Dividing monomial by monomial‬‬ ‫ﻣثال‪ :1‬تﻘسﻴﻢ ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫‪5 5 7‬‬ ‫‪9 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪36a b c‬‬ ‫‪6x y‬‬ ‫‪3 3‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪na‬‬ ‫‪4 4‬‬ ‫‪2 x‬‬ ‫‪= 3ab c ,‬‬ ‫‪= x y ,‬‬ ‫‪=a‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪= na b‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6 2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪12a bc‬‬ ‫‪4x y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪n‬‬ ‫تقسﻴﻢ پﻮلﻴﻨﻮم بر ﻣﻮﻧﻮم‪:‬‬ ‫‪7x 2‬‬ ‫‪= x 2 + 5x 7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪(x 2‬‬

‫)‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪9‬‬

‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫‪x y 4x y‬‬ ‫‪= x 5 y xy5 4 y8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x y‬‬

‫‪(x 3 y‬‬ ‫)‪0‬‬

‫‪( x + 5x‬‬

‫‪x + 5x 7 x 2 x 4 5x 3‬‬ ‫‪= 2+ 2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬

‫ﻣثال‪ :2‬تﻘسﻴﻢ ﻛﻨﻴد‪:‬‬ ‫)‪0‬‬

‫‪7x ) ÷ x‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪8‬‬

‫‪x y‬‬

‫‪r 6 s 2 r 5 s 4 r 3s 4‬‬ ‫‪= r 4s r 3 4rs 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪rs‬‬

‫‪( r 2s‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫حاﺻﻞ تﻘسﻴﻢ را بﻪ دست آورﻳد(ﻣخرجﻫا خﻼف ﺻﻔر اﻧد)‬ ‫‪10b 3c 7‬‬ ‫‪6b 2 c 7‬‬

‫‪25‬‬

‫‪c:‬‬

‫‪x2‬‬ ‫‪1 y 1‬‬ ‫÷‬

‫‪x2‬‬ ‫‪y2‬‬

‫‪b:‬‬

‫‪27 x 6 y13 18x12 y8‬‬ ‫‪9x 3 y8‬‬

‫‪a:‬‬

‫تقسﻴﻢ پﻮلﻴﻨﻮم بر پﻮلﻴﻨﻮم‪ :‬وﻗتﻰﻛﻪ ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم را باﻻي پﻮﻟﻴﻨﻮم دﻳﮕر تﻘسﻴﻢ ﻣﻰﻧﻤاﻳﻴﻢ‬ ‫ﻣﻘسﻮم(‪ )Dividend‬و ﻣﻘسﻮم ﻋﻠﻴﻪ (‪ )Divisor‬ﻫر دو باﻳد بﻪ ﻃﻮر ﻣﻨﻈﻢ ترتﻴب شﻮﻧد‪.‬‬ ‫ﻣثال‪ :3‬حاﺻﻞ تﻘسﻴﻢ ) ‪ (13x + 2x 4 + 12 + 3x 3 4x 2 ) ÷ (3 + x 2 2x‬را بﻪ دست‬ ‫آورﻳد‪.‬‬ ‫‪2x + 3‬‬

‫‪x2‬‬

‫‪2x 4 + 3x 3 4x 2 + 13x + 12‬‬ ‫‪± 2x 4 m 4x 3 ± 6x 2‬‬

‫‪2x 2 + 7x + 4‬‬

‫‪7x 3 10 x 2 + 13x‬‬ ‫‪± 7x 3 m 14x 2 ± 21x‬‬ ‫‪4x 2 8x + 12‬‬ ‫‪± 4x 2 m 8x ± 12‬‬ ‫‪0‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫حاﺻﻞ تﻘسﻴﻢ )‪ (a 5 + b 5 ) ÷ (a + b‬را بﻪ دست آورﻳد‪.‬‬

‫ﻣثال‪ :4‬حاﺻﻞ تﻘسﻴﻢ )‪ ( x 3 19x 30) ÷ ( x + 3‬را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫حل‬ ‫‪x+3‬‬

‫‪19 x 30‬‬

‫‪x3‬‬

‫‪_ x 3 ± 3x 2‬‬

‫‪x 2 3x 10‬‬

‫‪3x 2 19 x‬‬ ‫‪m 3x 2 m 9 x‬‬ ‫‪10 x 30‬‬ ‫‪m 10 x m 30‬‬ ‫‪0‬‬

‫ﻣثال‪ :5‬با پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ 4x 3 10x 2 + 12x + 6‬ﻛدام ﻋدد جﻤﻊ شﻮد تا بر( ‪ ) 2 x + 1‬پﻮره تﻘسﻴﻢ‬ ‫شﻮد؟‬

‫‪26‬‬

‫حل‬

‫‪10x + 12x + 6‬‬

‫‪2x + 1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2x 2 6x + 9‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4x‬‬

‫‪_4x 3 ± 2x 2‬‬ ‫‪12x 2 + 12x‬‬ ‫‪m 12x 2 m 6x‬‬ ‫‪18x + 6‬‬ ‫‪_ 18x ± 9‬‬ ‫‪3‬‬

‫در ﻧتﻴجﻪ‪ ،‬اﮔر با پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻓﻮق ﻋدد ‪ 3‬جﻤﻊ شﻮد بﻪ )‪ (2 x + 1‬پﻮره تﻘسﻴﻢ ﻣﻰشﻮد‪ ،‬ﻣتﻮجﻪ باﻳد‬ ‫بﻮد ﻛﻪ ﻋﻤﻠﻴﺔ تﻘسﻴﻢ را تا وﻗتﻰ اداﻣﻪ ﻣﻰدﻫﻴﻢ ﻛﻪ باﻗﻰﻣاﻧده ﺻﻔر و ﻳا درجﺔ باﻗﻰﻣاﻧده از درجﺔ‬ ‫ﻣﻘسﻮمﻋﻠﻴﻪ بﻪ اﻧدازة ﻳﻚ ﻛﻢ باشد‪.‬‬ ‫فعالﻴت‬ ‫حاﺻﻞﺿرب دو پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ 6 y 3 11y 2 + 6 y 1‬ﻣﻰباشد‪ .‬اﮔر ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪3 y 2 4 y + 1‬‬

‫باشد پﻮﻟﻴﻨﻮم دﻳﮕرى را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫ﻣثال‪ :6‬بﻪ ﻛدام ﻗﻴﻤت ‪ x‬پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ 12x 4 + 3x 3 13x 2 + x + 5‬بر ‪ 3x 2 1‬پﻮره تﻘسﻴﻢ‬ ‫ﻣﻰشﻮد‪.‬‬ ‫حل‬ ‫‪3x 2 1‬‬

‫‪12x 4 + 3x 3 13x 2 + x + 5‬‬

‫‪4x 2 + x 3‬‬

‫‪_12x 4‬‬

‫‪m 4x 2‬‬ ‫‪3x 3 9x 2 + x‬‬

‫‪_ 3x 3‬‬

‫‪mx‬‬ ‫‪2x + 2 = 0‬‬

‫‪9x 2 + 2x + 5‬‬

‫‪2x = 2‬‬

‫‪±3‬‬

‫‪x= 1‬‬

‫‪2x + 2‬‬

‫پس براى ‪ x = 1‬پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻓﻮق بر ‪ 3x 2 1‬پﻮره تﻘسﻴﻢ ﻣﻰشﻮد‪.‬‬

‫‪27‬‬

‫‪m 9x 2‬‬

‫در تﻘسﻴﻢ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻣﻲتﻮاﻧﻴﻢ ﻣﻮﻧﻮم را بر ﻣﻮﻧﻮم‪ ،‬پﻮﻟﻴﻨﻮم را بر ﻣﻮﻧﻮم و ﻳا پﻮﻟﻴﻨﻮم را بر پﻮﻟﻴﻨﻮم‬ ‫تﻘسﻴﻢ ﻛﻨﻴﻢ‪ ،‬ﻃﻮري ﻛﻪ ﻣﻘسﻮم و ﻣﻘسﻮمﻋﻠﻴﻪ بﻪ ﻃﻮر ﻧزوﻟﻰ ترتﻴب ﮔردد و ﻋﻤﻠﻴﺔ تﻘسﻴﻢ تا‬ ‫وﻗتﻰ اداﻣﻪ داده ﻣﻲشﻮد ﻛﻪ درجﺔ باﻗﻴﻤاﻧده بﻪ اﻧدازة ﻳﻚ از درجﺔ ﻣﻘسﻮمﻋﻠﻴﻪ ﻛﻢ باشد‪.‬‬

‫تمرﻳن‬ ‫‪ .1‬بﻪ ﻛدام ﻗﻴﻤت‪ P‬پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ 3x 3 7 x 2 9 x + p‬بر ‪ x 13‬پﻮره تﻘسﻴﻢ ﻣﻰشﻮد؟‬ ‫‪ .2‬خارجﻗسﻤتﻫا را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫)‪(a 3 + b 3 + c3 3abc) ÷ (a + b + c‬‬ ‫)‪( x 2 + x 6) ÷ ( x 2‬‬ ‫)‪y 5 ) ÷ ( x y‬‬

‫‪(x 5‬‬

‫‪j5 k 2 3 j8 k 4‬‬ ‫‪2 j4 k‬‬ ‫‪12 x 5 + 9 x 4 + 15x 2‬‬ ‫‪3x 3‬‬ ‫‪27a 6 b13 18a 12 b8‬‬ ‫‪9a 3 b8‬‬ ‫) ‪( x 3 a 3 ) ÷ ( x 2 ax + a 2‬‬ ‫)‪(9 x 4 + 2 x 2 + 7 x + 2) ÷ (3x + 2‬‬ ‫)‪(8x 3 + 27 y 3 ) ÷ (2 x + 3y‬‬ ‫)‪(7 x 12 + 2 x 4 8x 3 x 2 ) ÷ (2 x 2 + 5‬‬

‫‪28‬‬

‫قضﻴﺔ باقﻰﻣاﻧده‬ ‫(‪)Remainder Theorem‬‬ ‫آﻳا بدون اﻧجام دادن ﻋﻤﻠﻴﺔ تﻘسﻴﻢ ﻣﻰتﻮاﻧﻴد‬ ‫بﮕﻮﻳﻴد ﻛﻪ اﮔر پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪x 3 6 x 2 x 6‬‬ ‫بر ‪ x 4‬تﻘسﻴﻢ ﮔردد باﻗﻰﻣاﻧده چﻨد‬ ‫خﻮاﻫد بﻮد؟‬ ‫باقی‬

‫اﮔر پﻮﻟﻴﻨﻮم )‪ P(x‬بر ‪ x a‬تﻘسﻴﻢ شﻮد باﻗﻰﻣاﻧده ﻣساوى با ) ‪ P(a‬ﻣﻰشﻮد ﻳا ) ‪R = P(a‬‬

‫ﻣثال‪ :1‬اﮔر پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ P( x ) = 2x 2 + 3x + 4‬باﻻي ( ‪ ) x + 3‬تﻘسﻴﻢ شﻮد باﻗﻰﻣاﻧده‬ ‫(‪ )Remainder‬با )‪ P( 3‬ﻣساوى است‪.‬‬ ‫حل‪P( 3) = 2( 3) 2 + 3( 3) + 4 = 13 :‬‬

‫حال اﻣتحان ﻣﻰﻛﻨﻴﻢ وﻋﻠﻤﻴﺔ تﻘسﻴﻢ را اﻧجام ﻣﻰدﻫﻴﻢ‪:‬‬

‫‪x +3‬‬

‫‪2 x + 3x + 4‬‬

‫‪2x 3‬‬

‫‪_ 2x 2 ± 6x‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3x + 4‬‬ ‫‪m 3x m 9‬‬ ‫‪13‬‬

‫قضﻴﻪ‪ :‬اﮔر پﻮﻟﻴﻨﻮم )‪ P(x‬را باﻻي )‪ ( x a‬تﻘسﻴﻢ ﻛﻨﻴﻢ باﻗﻰﻣاﻧده )‪ R = P(a‬ﻣﻰباشد‪.‬‬ ‫ثبﻮت‪ :‬اﮔر خارج ﻗسﻤت تﻘسﻴﻢ )‪ P(x‬بر )‪ Q(x) ، ( x a‬و باﻗﻰﻣاﻧده ‪ R‬باشد دارﻳﻢ‬ ‫ﻛﻪ‪:‬‬ ‫‪x a=0‬‬ ‫‪x=a‬‬

‫‪P(x) = Q(x)(x a) + R‬‬

‫‪P(a) = Q(a)(a a) + R‬‬ ‫‪P(a) = R‬‬

‫ﻣثال‪ :2‬اﮔر پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ 2 x 3 x 2 7‬باﻻي )‪ ( x 2‬تﻘسﻴﻢ شﻮد باﻗﻰﻣاﻧده چﻨد خﻮاﻫد بﻮد؟‬

‫‪29‬‬

‫حل‬

‫‪7 = 16 4 7 = 5‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪( 2‬‬

‫‪3‬‬

‫)‪P(2) = 2(2‬‬ ‫‪R =5‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫تﻮسﻂ ﻗﻀﻴﺔ ﻓﻮق باﻗﻰﻣاﻧده را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫اﮔر ‪ x 3 x 2 226 x + 1410‬باﻻي )‪ ( x + 17‬تﻘسﻴﻢ شﻮد‪.‬‬ ‫اﮔر ‪ x 3 2x 2 + 3x + 5‬باﻻي )‪ ( x 4‬تﻘسﻴﻢ شﻮد‪.‬‬ ‫اﮔر ‪ x 3 + 18x 2 + 164x + 199‬باﻻي )‪ ( x + 8‬تﻘسﻴﻢ شﻮد‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻣثال‪ :3‬اﮔر پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ 5 x 2 + x 9‬باﻻي ) ‪ ( x +‬تﻘسﻴﻢ شﻮد‪ .‬بدون اﻧجام ﻋﻤﻠﻴﺔ تﻘسﻴﻢ‬ ‫بﮕﻮﻳﻴد ﻛﻪ باﻗﻰﻣاﻧده چﻨد خﻮاﻫد بﻮد؟‬ ‫حل‬ ‫‪1‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x+‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪) = 5( ) 2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪5 1‬‬ ‫‪5 2 36‬‬ ‫‪33‬‬ ‫) (‪= 5‬‬ ‫=‬ ‫=‪9‬‬ ‫=‪9‬‬ ‫‪4 2‬‬ ‫‪4 2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫(‪P‬‬

‫ﻣثال‪ :4‬اﮔر پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ P( y) = 10 y 3 + 7 y 2 y 11‬را باﻻي )‪ (2 y + 1‬تﻘسﻴﻢ ﻛﻨﻴﻢبدون‬ ‫اﻧجام دادن ﻋﻤﻠﻴﺔ تﻘسﻴﻢ باﻗﻰﻣاﻧده را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫حل‬ ‫‪2y = 1‬‬

‫‪2y + 1 = 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‪y‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪) + 7( ) 2 ( ) 11‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪) + 7( ) +‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4 2‬‬ ‫‪5 + 7 + 2 44‬‬ ‫‪40‬‬ ‫= ‪11‬‬ ‫=‬ ‫‪= 10‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫(‪) = 10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(‪P( ) = 10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5 7 1‬‬ ‫=‬ ‫‪+ +‬‬ ‫‪4 4 2‬‬ ‫‪R = 10‬‬

‫(‪P‬‬

‫‪30‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫باﻗﻰﻣاﻧدة سؤال ﻣثال ‪ 4‬را تﻮسﻂ اﻧجامدادن ﻋﻤﻠﻴﺔ تﻘسﻴﻢ درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫ﻣثال‪ :5‬اﮔر پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ 4x 4 + 12x 3 13x 2 33x + 18‬بر )‪ ( x + 4‬تﻘسﻴﻢ ﮔردد‬ ‫باﻗﻰﻣاﻧده را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫حل‬

‫‪P( 4) = 4( 4) 4 + 12( 4) 3 13( 4) 2 33( 4) + 18‬‬

‫‪= 1024 768 208 + 132 + 18 = 1174 976 = 198‬‬

‫حال ﻋﻤﻠﻴﺔ تﻘسﻴﻢ را اﻧجام ﻣﻰدﻫﻴﻢ‪:‬‬ ‫‪x+4‬‬

‫‪4x 4 + 12x 3 13x 2 33x + 18‬‬ ‫‪- 4x 4 ± 16x 3‬‬

‫‪4x 3 4x 2 + 3x 45‬‬

‫‪4x 3 13x 2‬‬ ‫‪m 4x 3 m 16x 2‬‬ ‫‪+ 3x 2 33x‬‬ ‫‪± 3x 2 ± 12x‬‬ ‫‪45x + 18‬‬ ‫‪m 45x m 180‬‬ ‫‪198‬‬

‫اﮔر پﻮﻟﻴﻨﻮم (‪ P)x‬را باﻻي (‪ ) x-a‬تﻘسﻴﻢ ﻛﻨﻴﻢ بدون اﻧجام ﻋﻤﻠﻴﺔ تﻘسﻴﻢ تﻮسﻂ ﻗﻀﻴﺔ باﻗﻰﻣاﻧده‬ ‫(‪ )Remainder Theorem‬باﻗﻰﻣاﻧدة ﻋﻤﻠﻴﺔ تﻘسﻴﻢ را درﻳاﻓت ﻛرده ﻣﻰتﻮاﻧﻴﻢ ﻛﻪ‬ ‫باﻗﻰﻣاﻧده(‪ )R‬با (‪ P)a‬ﻣساوى ﻣﻰباشد‪.‬‬

‫‪31‬‬

‫تمرﻳن‬ ‫‪ .1‬بﻪ ﻛﻤﻚ ﻗﻀﻴﺔ(‪ )Remainder theorem‬باﻗﻰﻣاﻧده را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬

‫‪p + 20) ÷ (p‬‬

‫‪(6 p 3 + 2 p 2‬‬

‫)‪y 6) ÷ ( y 1.6‬‬

‫‪(4 y 2‬‬

‫)‪x 2 + 4 x + 1) ÷ ( x 3‬‬

‫‪(5x 3‬‬

‫)‪(6 x 2 + 15) ÷ (4 x + 9‬‬

‫‪ .2‬اﮔر پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ 5x 3 k 2 x 2 + 3k x 6‬بر ( ‪ ) x + 2‬تﻘسﻴﻢ شﻮد بﻪ ﻛﻤﻚ ﻗﻀﻴﺔ باﻗﻰﻣاﻧده‬ ‫بﮕﻮﻳﻴد ﻛﻪ بﻪ ﻛدام ﻗﻴﻤت ‪ k‬باﻗﻰﻣاﻧده ‪ 44‬خﻮاﻫد شد؟‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ .3‬اﮔر پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ 2k 2 y 4 ky 2 + 1‬باﻻي )‬ ‫‪2‬‬

‫‪ ( y‬تﻘسﻴﻢ شﻮد بﻪ ﻛدام ﻗﻴﻤت ‪ k‬ﻋدد ‪2‬‬

‫باﻗﻰ ﻣﻰﻣاﻧد؟‬

‫‪ .4‬اﮔر پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ m 2 x 4 10x 2 + 2‬باﻻي )‪ ( x 1‬تﻘسﻴﻢ شﻮد بﻪ ﻛدام ﻗﻴﻤت‪ m‬باﻗﻰﻣاﻧدة‬ ‫آن ‪ 17‬ﻣﻰشﻮد؟‬

‫‪32‬‬

‫قضﻴﺔ فکتﻮر‬ ‫(‪)The Factor Theorem‬‬ ‫آﻳا )‪ ( x 1‬ﻳﻚ ﻓﻜتﻮر پﻮﻟﻴﻨﻮم‬ ‫‪ P( x) = x 3 4 x 2 + x + 2‬است؟‬

‫)‪( x + 1) ÷ ( x + 1‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫]‪P( 1) =[( 1 ) +1‬‬ ‫‪= 1+1 = 0‬‬

‫اﮔر در پﻮﻟﻴﻨﻮم )‪= P(a) = 0 ، P(x‬شﻮد؛ پس ‪ x a‬ﻳﻚ ﻓﻜتﻮر اﻳﻦ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻣﻰباشد‪.‬‬ ‫ثبﻮت‪ :‬بﻪ اساس ﻗﻀﻴﺔ باﻗﻴﻤاﻧده )‪ R = P(a‬است‪ ،‬اﮔر پﻮﻟﻴﻨﻮم )‪ P(x‬باﻻي )‪ ( x a‬تﻘسﻴﻢ‬ ‫شﻮد و خارجﻗسﻤت آن )‪ Q(x‬باشد دارﻳﻢﻛﻪ‪ P(x) = Q(x)(x a) + R :‬اﮔر ‪R = 0‬‬ ‫باشد؛ پس‪P(x) = Q(x)(x a) :‬‬

‫ﻣشاﻫده ﻣﻰشﻮدﻛﻪ )‪ ( x a‬ﻳﻚ ﻓﻜتﻮر پﻮﻟﻴﻨﻮم )‪ P(x‬ﻣﻰباشد و ﻳا اﮔر )‪ ( x a‬ﻳﻚ ﻓﻜتﻮر‬ ‫پﻮﻟﻴﻨﻮم )‪ P(x‬باشد؛ پس ‪ P(a) = 0‬است‪.‬‬ ‫ﻣثال‪ :1‬بﻪ اساس ﻗﻀﻴﺔ ﻓﻜتﻮر ﻧشان دﻫﻴد ﻛﻪ )‪ ( x 2‬ﻳﻚ ﻓﻜتﻮر پﻮﻟﻴﻨﻮم‬ ‫‪ P( x ) = x 3 + 3x 2 + 4x 28‬ﻣﻰباشد‪.‬‬ ‫حل‬ ‫‪x 2=0‬‬

‫‪x=2‬‬

‫‪P(x) = x 3 + 3x 2 + 4x 28‬‬

‫‪P(2) = 23 + 3(2) 2 + 4 2 28 = 8 + 3(4) + 8 28 = 0‬‬

‫چﻮن ‪ R‬ﻳا ‪ P(2) = 0‬است؛ پس )‪ ( x 2‬ﻳﻚ ﻓﻜتﻮر پﻮﻟﻴﻨﻮم )‪ P(x‬ﻣﻰباشد‪.‬‬ ‫فعالﻴت‬ ‫بدون اجراى ﻋﻤﻠﻴﺔ تﻘسﻴﻢ بﻪ ﻛﻤﻚ ﻗﻀﻴﺔ ﻓﻜتﻮر ﻧشان دﻫﻴد ﻛﻪ ‪ x 1‬ﻳﻚ ﻓﻜتﻮر‬ ‫‪ P( x ) = 2x 3 13x 2 + 26x 15‬ﻣﻰباشد‪.‬‬ ‫ﻣثال‪ :2‬بﻪ ﻛﻤﻚ ﻗﻀﻴﺔ ﻓﻜتﻮر ﻧشان دﻫﻴدﻛﻪ( ‪ ) x 2‬ﻳﻚ ﻓﻜتﻮر پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪P( x ) = x 5 32‬‬ ‫ﻣﻰباشد‪.‬‬

‫‪33‬‬

‫حل‬ ‫‪32‬‬

‫‪5‬‬

‫‪P(x) = x‬‬

‫‪P(2) = 25 32 = 32 32 = 0‬‬

‫چﻮن ‪ R = P(2) = 0‬است؛ پس )‪ ( x 2‬ﻳﻚ ﻓﻜتﻮر پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ x 5 32‬ﻣﻰباشد‪.‬‬ ‫ﻣثال‪ :3‬آﻳا )‪ ( x + 1‬ﻳﻚ ﻓﻜتﻮر پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ P( x ) = 2x 3 + 5x 2 + 7 x + 4‬ﻣﻰباشد؟‬ ‫حل‪P( 1) = 2( 1)3 + 5( 1)2 + 7( 1) + 4 = 2 + 5 7 + 4 = 0 :‬‬

‫چﻮن ‪ R‬ﻳا )‪ P( 1‬ﻣساوى بﻪ ﺻﻔر است؛ پس )‪ ( x 1‬ﻳﻚ ﻓﻜتﻮر اﻳﻦ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻣﻰباشد‪.‬‬ ‫ﻣثال‪ :4‬بﻪ ﻛدام ﻗﻴﻤت ‪ ( x 1) ، k‬ﻳﻚ ﻓﻜتﻮر پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪P( x ) = 2 x 4 3x 3 x 2k‬‬

‫ﻣﻰباشد؟‬ ‫حل‬

‫‪P(1) = 2(1) 4 3(1) 3 1 2k = 2 3 1 2k = 2 2k‬‬ ‫‪2 2k = 0‬‬ ‫‪2k = 2‬‬ ‫‪k= 1‬‬

‫چﻮن براى ‪ k = 1‬باﻗﻴﻤاﻧده ﺻﻔر ﻣﻰشﻮد‪ ،‬در ﻧتﻴحﻪ ‪ x 1‬ﻳﻚ ﻓﻜتﻮر اﻳﻦ پﻮﻟﻴﻨﻮم‬ ‫ﻣﻰباشد‪.‬‬ ‫فعالﻴت‬ ‫تﻮسﻂ ﻗﻀﻴﺔ ﻓﻜتﻮر ﻧشان دﻫﻴد ﻛﻪ آﻳا دو حدهﻫاى (باﻳﻨﻮمﻫا) ﻃرف چپ‪ ،‬ﻓﻜتﻮرﻫاى‬ ‫پﻮﻟﻴﻨﻮمﻫاى ﻣربﻮط ﻣﻰباشد و ﻳا خﻴر؟‬ ‫)‪(y + 5) : (y3 + 125‬‬

‫)‪(x 6) : (x 6 36x 3 + 1296‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪) : (x 3‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫)‪(x + 2) : (x 5 + 32‬‬

‫‪1‬‬ ‫)‪(x + ) : (20x 3 + 7x + 6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪(x 0.1) : (10x 3 11x 2 + 1‬‬

‫‪(x‬‬

‫ﻣعکﻮس قضﻴﺔ فکتﻮر (‪)Converse of Factor Theorem‬‬ ‫اﮔر )‪ ( x a‬ﻳﻚ ﻓﻜتﻮر پﻮﻟﻴﻨﻮم )‪ P(x‬باشد؛ پس‪ P(a) = 0 :‬است و ﻋدد ‪ a‬ﻳﻚ جذر‬ ‫(‪ )Root‬ﻣﻌادﻟﺔ پﻮﻟﻴﻨﻮﻣﻰ ‪ P( x) = 0‬ﻣﻰباشد‪.‬‬

‫‪34‬‬

‫ﻣثال‪ :1‬اﮔر )‪ ( x 2‬ﻳﻚ ﻓﻜتﻮر پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ P( x ) = x 3 6x 2 + 11x 6‬باشد‪ ،‬ﻧشان دﻫﻴد‬ ‫ﻛﻪ ‪ P(2) = 0‬است و ﻋدد ‪ 2‬ﻳﻚ جذر ﻣﻌادﻟﻪ ‪ x 3 6x 2 + 11x 6 = 0‬ﻣﻰباشد‪.‬‬ ‫حل‪ :‬اﮔر ﻋدد ‪ 2‬ﻳﻚ جذر ﻣﻌادﻟﺔ ‪ x 3 6x 2 + 11x 6 = 0‬باشد؛ پس‪ ( x 2) :‬ﻳﻚ‬ ‫ﻓﻜتﻮر اﻳﻦ پﻮﻟﻴﻨﻮم است و ‪ P(2) = 0‬ﻣﻰباشد‪.‬‬ ‫‪P(2) = 23 6(2) 2 + 11(2) 6 = 8 24 + 22 6 = 0‬‬ ‫ﻣثال‪ :2‬اﮔرﻋدد ‪ -2‬ﻳﻚ جذر ﻣﻌادﻟﺔ ‪ x 3 + 4x 2 + kx + 8 = 0‬باشد ﻗﻴﻤت ‪ k‬را درﻳابﻴد‪.‬‬

‫حل‬

‫‪( 2) + 4( 2) + k ( 2) + 8 = 0‬‬ ‫‪8 + 16 + k ( 2) + 8 = 0‬‬ ‫‪2k = 8 + 8 16‬‬ ‫‪k =8‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫ﻣثال‪ :3‬ﻧشان دﻫﻴد ﻛﻪ ﻋدد ‪ 3‬ﻳﻚ جذر ﻣﻌادﻟﺔ پﻮﻟﻴﻨﻮﻣﻰ ‪x 3 6 x 2 + 5x + 12 = 0‬‬

‫ﻣﻰباشد‪.‬‬ ‫حل‬

‫‪(3)3 6(3) 2 + 5(3) + 12 = 0‬‬ ‫‪27 54 + 15 + 12 = 0‬‬ ‫‪54 54 = 0‬‬ ‫‪0=0‬‬

‫ﻣشاﻫده ﻣﻰشﻮد ﻛﻪ ﻋدد ‪ 3‬ﻳﻚ جذر اﻳﻦ ﻣﻌادﻟﺔ پﻮﻟﻴﻨﻮﻣﻰ ﻣﻰباشد‪.‬‬ ‫فعالﻴت‬ ‫ﻧشان دﻫﻴد ﻛﻪ ﻋدد ‪ 2‬ﻳﻚ جذر ﻣﻌادﻟﺔ ‪ x 3 4x 2 + 5x 2 = 0‬ﻣﻰباشد‪.‬‬ ‫ﻣثال ‪ :4‬بﻪ ﻛدام ﻗﻴﻤت ‪ k‬ﻋدد ‪ 3‬ﻳﻚ جذر ﻣﻌادﻟﺔ ‪2 x 4 6 x 3 7 x 2 + kx 15 = 0‬‬

‫ﻣﻰباشد؟‬ ‫حل‬

‫‪2(3) 4 6(3)3 7(3) 2 + 3k 15 = 2(81) 6(27) 7(9) + 3k 15 = 0‬‬ ‫‪162 162 63 + 3k 15 = 0‬‬ ‫‪3k = 15 + 63 + 162 162 = 78‬‬ ‫‪3k = 78‬‬ ‫‪k = 26‬‬

‫‪35‬‬

‫اﮔر (‪ )x-a‬ﻳﻚ ﻓﻜتﻮر پﻮﻟﻴﻨﻮم (‪ P)x‬باشد‪ ،‬پس‪ P)a(=0‬است‪ ،‬و اﮔر در پﻮﻟﻴﻨﻮم (‪،P)x‬‬ ‫‪ P)a(=0‬شﻮد‪ )x-a( ،‬ﻳﻚ ﻓﻜتﻮر پﻮﻟﻴﻨﻮم (‪ P)x‬ﻣﻰباشد‪.‬‬

‫تمرﻳن‬ ‫‪ - 1‬بﻪ ﻛدام ﻗﻴﻤت ‪ ( x 2) , k‬ﻳﻚ ﻓﻜتﻮر پﻮﻟﻴﻨﻮم‬ ‫‪ P( x ) = 2x 4 x 3 + kx 2 + kx 12‬ﻣﻰباشد؟‬ ‫‪ - 2‬آﻳا )‪ ( x + 3‬ﻳﻚ ﻓﻜتﻮر پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ P( x ) = x 5 x 3 + 27x 2 27‬ﻣﻰباشد؟‬ ‫‪ - 3‬تﻮسﻂ ﻗﻀﻴﺔ ﻓﻜتﻮر ﻧشان دﻫﻴد ﻛﻪ )‪ ( x + 7‬ﻳﻚ ﻓﻜتﻮر پﻮﻟﻴﻨﻮم‬ ‫‪ P( x ) = x 3 + 8x 2 + 8x + 7‬ﻣﻰباشد‪.‬‬ ‫‪ - 4‬بدون اﻧجام ﻋﻤﻠﻴﺔ تﻘسﻴﻢ ﻧشان دﻫﻴد ﻛﻪ آﻳا )‪ ( y 7‬ﻳﻚ ﻓﻜتﻮر پﻮﻟﻴﻨﻮم‬ ‫‪ P( y) = y 4 + 2 y 3 6 y 2 14 y 7‬ﻣﻰباشد؟‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ - 5‬ﻧشان دﻫﻴد ﻛﻪ آﻳا ) ‪ (m +‬ﻳﻚ ﻓﻜتﻮر پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ P( x ) = 2m 2 + 4m 2‬ﻣﻰباشد؟‬ ‫‪ -6‬بﻪ ﻛﻤﻚ ﻗﻀﻴﺔ ﻓﻜتﻮر پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ x 3 + x 2 10 x + 8‬را تجزﻳﻪ ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫‪ -7‬اﮔر )‪ ( x 1‬و )‪ ( x + 1‬ﻓﻜتﻮرﻫاى پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ P( x ) = x 3 + ax 2 + bx + 2‬باشﻨد‪،‬‬ ‫ﻗﻴﻤتﻫاى ‪ a‬و ‪ b‬را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 8‬بﻪ ﻛدام ﻗﻴﻤت ‪ ( x 5) ، k‬ﻳﻚ ﻓﻜتﻮر پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪Q( x ) = x 3 5x 2 16x + k‬‬

‫ﻣﻰباشد؟‬ ‫‪ - 9‬بﻪ ﻛدام ﻗﻴﻤت‪ k‬ﻋدد )‪ ( 1‬ﻳﻚ جذر ﻣﻌادﻟﺔ پﻮﻟﻴﻨﻮﻣﻰ ‪x 3 9 x 2 + 14 x + k = 0‬‬

‫ﻣﻰباشد؟‬

‫‪36‬‬

‫تقسﻴﻢ ترکﻴبﻰ‬ ‫(‪)Synthetic Division‬‬ ‫آﻳا بدون اﻧجام ﻋﻤﻠﻴﺔ تﻘسﻴﻢ‪ ،‬خارج ﻗسﻤت‬ ‫و باﻗﻰﻣاﻧده را ﻣﻰتﻮان درﻳاﻓت ﻛرد؟‬ ‫اﮔر پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪P( x ) = 2 x + 3x 3 x 2 5‬‬ ‫باﻻى )‪ ( x 2‬تﻘسﻴﻢ شﻮد‪.‬‬

‫براى تﻘسﻴﻢ پﻮﻟﻴﻨﻮم )‪ P(x‬باﻻى )‪ ، ( x a‬تﻘسﻴﻢ ترﻛﻴبﻰ (‪ )Horner's Method‬ﻳﻚ‬ ‫ﻃرﻳﻘﻪ ﻛﻮتاه ﻣﻰباشد ﻛﻪ بﻪ ﻃﻮر ﻋﻤﻮم براى اﻳﻦ اﻫداف از آن ﻛار ﮔرﻓتﻪ ﻣﻰشﻮد‪.‬‬ ‫‪ - 1‬ﻳاﻓتﻦ ﻗﻴﻤت پﻮﻟﻴﻨﻮم براى ﻗﻴﻤتﻫاى ﻣختﻠﻒ‪. x‬‬ ‫‪ - 2‬براى ﻳاﻓتﻦ جذر ﻧاﻃﻖ ﻣﻌادﻟﺔ ‪. P( x ) = 0‬‬ ‫‪ - 3‬براى تجزﻳﺔ اﻓادهﻫاى اﻟجبرى‪.‬‬ ‫ﻣثال‪ :1‬اﮔر پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ P( x ) = 4 x 4 + 12x 3 13x 2 33x + 18‬را باﻻى )‪( x + 4‬‬ ‫تﻘسﻴﻢ ﻧﻤاﻳﻴﻢ‪ ،‬بدون اﻧجام ﻋﻤﻠﻴﺔ تﻘسﻴﻢ تﻮسﻂ تﻘسﻴﻢ ترﻛﻴبﻰ خارجﻗسﻤت (‪ )Quotient‬و‬ ‫باﻗﻰﻣاﻧده (‪ )Remainder‬را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫حل‬ ‫‪x+4=0‬‬ ‫‪x= 4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪18‬‬ ‫‪180‬‬

‫‪33‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪13‬‬ ‫‪16‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪16‬‬

‫‪ 4‬سﻄر اول‬ ‫سﻄر دوم‬

‫‪198‬‬

‫‪45‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪ 4‬سﻄر سﻮم‬

‫خارجﻗسﻤت ‪ 4x 3 4x 2 + 3x 45‬و باﻗﻰ ﻣاﻧده ‪ 198‬ﻣﻰباشد بﻪ اﻳﻦ ﻣﻔﻬﻮم ﻛﻪ‪:‬‬

‫‪P( x ) = ( x + 4)(4 x 3 4 x 2 + 3x 45) + 198‬‬

‫ﻋﻤﻠﻴﺔ ﻓﻮق را در ﻗدمﻫاى زﻳر ﻧشان داده ﻣﻰتﻮاﻧﻴﻢ‪ :‬اﻋداد سﻄر اول ﺿرﻳبﻫاى ﻣﻘسﻮم ﻣﻰباشﻨد‬ ‫ﻛﻪ ﻧﻈر بﻪ تﻮان ‪ x‬بﻪ ﻃﻮر ﻧزوﻟﻰ ترتﻴب شدهاﻧد‪.‬‬ ‫‪ .1‬ﻋدد ‪ 4‬از سﻄر اول بﻪ سﻄر سﻮم پاﻳﻴﻦ شده است‪.‬‬

‫‪37‬‬

‫‪ .2‬ﻋدد ‪ 4‬در (‪ )-4‬ﺿرب شده ﻛﻪ (‪ )-16‬ﻣﻰشﻮد و(‪ )-16‬در سﻄر دوم زﻳر ﻋدد ‪ 12‬ﻧﻮشتﻪ‬ ‫شده است‪.‬‬ ‫‪ .3‬حاﺻﻞجﻤﻊ اﻋداد ‪ 12‬و (‪ )-16‬را ﻛﻪ (‪ )-4‬ﻣﻰشﻮد در سﻄر سﻮم ﻣﻰﻧﻮﻳسﻴﻢ‪.‬‬ ‫‪ .4‬ﻋدد (‪ )-4‬را در (‪ )-4‬ﺿرب ﻛﻪ ‪ 16‬ﻣﻰشﻮد و در سﻄر دوم زﻳر ﻋدد ‪ -13‬ﻧﻮشتﻪشده‬ ‫است‪.‬‬ ‫‪ .5‬حاﺻﻞجﻤﻊ اﻋداد ‪ 16‬و (‪ )-13‬ﻛﻪ ‪ 3‬ﻣﻰشﻮد در سﻄر سﻮم ﻧﻮشتﻪ شده است‪.‬‬ ‫‪ .6‬حاﺻﻞﺿرب ‪ 3‬و (‪ )-4‬ﻛﻪ (‪ )-12‬ﻣﻰشﻮد در سﻄر دوم زﻳر ﻋدد ‪ -33‬ﻧﻮشتﻪ شده است‪.‬‬ ‫‪ .7‬حاﺻﻞجﻤﻊ(‪ )-33‬و (‪ )-12‬را ﻛﻪ ‪ -45‬ﻣﻰشﻮد در سﻄر سﻮم ﻧﻮشتﻪ شده است‪.‬‬ ‫‪ .8‬حاﺻﻞﺿرب(‪ )-45‬و (‪ )-4‬ﻛﻪ ‪ 180‬ﻣﻰشﻮد در سﻄر دوم زﻳر ﻋدد ‪ 18‬ﻧﻮشتﻪ شده‬ ‫است‪.‬‬ ‫‪ .9‬حاﺻﻞجﻤﻊ ‪ 180‬و ‪ 18‬ﻛﻪ ‪ 198‬ﻣﻰشﻮد در سﻄر سﻮم ﻗرار ﮔرﻓتﻪ ﻛﻪ‪ 198 ،‬باﻗﻰﻣاﻧده و‬ ‫‪ 4x 3 4x 2 + 3x 45‬خارج ﻗسﻤت ﻣﻰباشد‪.‬‬ ‫‪ R = 198‬و ‪Q( x ) = 4 x 3 4 x 2 + 3x 45‬‬ ‫‪P( x ) = (4 x 3 4 x 2 + 3x 45)(x + 4) + 198‬‬

‫باﻗﻰﻣاﻧده ‪( +‬خارج ﻗسﻤت)‪( x‬ﻣﻘسﻮم ﻋﻠﻴﻪ)= ﻣﻘسﻮم‬ ‫فعالﻴت‬ ‫تﻮسﻂ اﻧجام ﻋﻤﻠﻴﺔ تﻘسﻴﻢ خارج ﻗسﻤت و باﻗﻰﻣاﻧدة سؤال ﻓﻮق را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫ﻣثال‪ :2‬تﻮسﻂ تﻘسﻴﻢ ترﻛﻴبﻰ و اﻧجام ﻋﻤﻠﻴﺔ تﻘسﻴﻢ خارجﻗسﻤت و باﻗﻰﻣاﻧده ﻋﻤﻠﻴﻪ تﻘسﻴﻢ‬ ‫)‪ (4x 4 5x 2 + 2x 3) ÷ ( x 2‬را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫بﻪ ﻳاد داشتﻪ باشﻴد ﻋﻮض ﺿرﻳبﻫاى حدودىﻛﻪ وجﻮد ﻧدارد ﺻﻔر ﻣﻰﻧﻮﻳسﻴﻢ ﻳا بﻪ ﻋبارت‬ ‫دﻳﮕر‪ ،‬پﻮﻟﻴﻨﻮم را بﻪ شﻜﻞ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻣﻜﻤﻞ بﻪ ﻃﻮر ﻧزوﻟﻰ ترتﻴب ﻣﻰﻧﻤاﻳﻴﻢ‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪48‬‬

‫‪22‬‬

‫‪16‬‬

‫‪8‬‬

‫‪24‬‬

‫‪11‬‬

‫‪8‬‬

‫‪45‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫حاﻻ ﻋﻤﻠﻴﺔ تﻘسﻴﻢ را اﻧجام ﻣﻰدﻫﻴﻢ‪.‬‬

‫‪38‬‬

‫‪5x 2 + 2x 3‬‬

‫‪x 2‬‬

‫‪4x 4‬‬

‫‪4x 3 + 8x 2 + 11x + 24‬‬

‫‪4x 4 m 8x 3‬‬ ‫‪8x 3‬‬

‫‪5x 2‬‬

‫‪8x 3 m 16x 2‬‬ ‫‪11x 2 + 2x‬‬ ‫‪11x 2 m 22x‬‬ ‫‪24x 3‬‬ ‫‪24x m 48‬‬ ‫خارج ﻗسﻤت ‪4 x 3 + 8x 2 + 11x + 24‬‬ ‫و باﻗﻰﻣاﻧده ‪ 45‬ﻣﻰباشد‪.‬‬

‫‪45‬‬

‫ﻣثال‪ :3‬تﻮسﻂ تﻘسﻴﻢ ترﻛﻴبﻰ خارج ﻗسﻤت و باﻗﻰﻣاﻧده‬ ‫)‪ ( x 5 x 3 + 27 x 2 28) ÷ ( x + 3‬را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫حل‪28 = x 5 0 x 4 x 3 + 27 x 2 + 0 x 28 :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x +3= 0‬‬ ‫‪x= 3‬‬

‫‪x 5 x 3 + 27 x 2‬‬

‫‪28‬‬

‫‪0‬‬

‫‪27‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪27‬‬

‫‪9‬‬

‫‪24‬‬

‫‪9‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪9‬‬

‫‪3‬‬

‫‪8‬‬

‫‪1‬‬

‫خارج ﻗسﻤت ‪ x 4 3x 3 + 8x 2 + 3x 9‬و باﻗﻰﻣاﻧده )‪ ( 1‬ﻣﻰباشد‪.‬‬ ‫ﻣثال ‪ :4‬تﻮسﻂ تﻘسﻴﻢ ترﻛﻴبﻰ خارجﻗسﻤت و باﻗﻰﻣاﻧده را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫)‪2 t + 14) ÷ (2 t 3‬‬

‫‪7t 2‬‬

‫‪(2t 3‬‬

‫حل‬

‫‪2t 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪=t‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‪t‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪39‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪14‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪7‬‬

‫‪2‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ 2t 2 4t 8‬خارج ﻗسﻤت ﻧﻴست؛ بﻠﻜﻪ خارجﻗسﻤت )‪ (t 2 2t 4‬ﻣﻰباشد‪.‬‬ ‫ﻣثال ‪ :5‬تﻮسﻂ تﻘسﻴﻢ ترﻛﻴبﻰ (‪ )Synthetic division‬خارج ﻗسﻤت(‪ )quotient‬و‬ ‫باﻗﻰﻣاﻧده (‪ )remainder‬را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫)‪(4V 3 2V 2 + 5) ÷ (V 5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪450‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪90‬‬

‫‪455‬‬

‫‪90‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪20‬‬

‫‪4‬‬

‫‪18‬‬

‫پس ‪ Q( x ) = 4v 2 + 18v + 90‬و ‪ R = 455‬ﻣﻰباشد‪.‬‬ ‫فعالﻴت‬ ‫تﻮسﻂ تﻘسﻴﻢ ترﻛﻴبﻰ‪ ،‬باﻗﻰﻣاﻧده و خارجﻗسﻤت را درﻳابﻴد‪.‬‬

‫)‪( x 5 + 6 x 3 5x 4 + 5x 15) ÷ ( x 3‬‬

‫براى تﻘسﻴﻢ پﻮﻟﻴﻨﻮم (‪ P)x‬باﻻى (‪ ) x-a‬ﻣﻘسﻮم را بﻪ شﻜﻞ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻣﻜﻤﻞ بﻪ ﻃﻮر ﻧزوﻟﻰ ترتﻴب‬ ‫ﻣﻰدﻫﻴﻢ و بدون اجراى ﻋﻤﻠﻴﺔ تﻘسﻴﻢ‪ ،‬تﻮسﻂ تﻘسﻴﻢ ترﻛﻴبﻰ خارج ﻗسﻤت و باﻗﻰﻣاﻧده را بﻪ‬ ‫دست ﻣﻰآورﻳﻢ ﻛﻪ درجﺔ خارجﻗسﻤت بﻪ اﻧدازة ﻳﻚ‪ ،‬از درجﺔ ﻣﻘسﻮمﻋﻠﻴﻪ ﻛﻢ ﻣﻰباشد‪.‬‬

‫تمرﻳن‬ ‫‪ -1‬تﻮسﻂ تﻘسﻴﻢ ترﻛﻴبﻰ‪ ،‬خارجﻗسﻤت و باﻗﻰﻣاﻧده را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫)‪(2 x 3 7 x 2 2 x + 12) ÷ (2 x 3‬‬

‫)‪(10x 2 + 2 x + 1) ÷ ( x + 1‬‬

‫)‪(6 x 2 + 15) ÷ (4 x + 9‬‬

‫)‪(5x 3 3x + 7) ÷ ( x + 4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬

‫‪(6p 3 + 2p 2 p + 20) ÷ (p‬‬

‫‪ -2‬تﻮسﻂ تﻘسﻴﻢ ترﻛﻴبﻰ باﻗﻰﻣاﻧده و خارجﻗسﻤتﻫا را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫)‪(4 x 3 2 x 2 + 5) ÷ ( x 5‬‬

‫‪,‬‬

‫)‪9) ÷ ( y 3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪17 y‬‬

‫‪5‬‬

‫‪(y‬‬

‫)‪( x 3 + 8x 2 + 8x + 7) ÷ ( x + 7‬‬

‫‪40‬‬

‫درﻳافت فکتﻮر و قﻴﻤت‬ ‫پﻮلﻴﻨﻮم تﻮسط تقسﻴﻢ ترکﻴبﻰ‬ ‫آﻳا بﻪ ﻛﻤﻚ تﻘسﻴﻢ ترﻛﻴبﻰ ﻣﻰتﻮاﻧﻴد‬ ‫بﮕﻮﻳﻴد ﻛﻪ )‪ ( x + 3‬ﻳﻚ ﻓﻜتﻮر پﻮﻟﻴﻨﻮم‬ ‫‪ x 3 + 9x 2 + 27 x + 27‬ﻣﻰ باشد؟‬

‫ﻣثال‪ :1‬تﻮسﻂ تﻘسﻴﻢ ترﻛﻴبﻰ ﻧشان دﻫﻴد ﻛﻪ )‪ ( x 1‬ﻳﻚ ﻓﻜتﻮر پﻮﻟﻴﻨﻮم‬ ‫‪ P( x ) = 2x 4 x 3 x 2 + x 1‬ﻣﻰباشد‪.‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫چﻮن ‪ R = 0‬است؛ پس )‪ ( x 1‬ﻳﻚ ﻓﻜتﻮر اﻳﻦ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻣﻰباشد‪.‬‬ ‫و ﻳا اﻳﻦﻛﻪ‪:‬‬

‫)‪2 x 4 x 3 x 2 + x 1 = ( x 1)(2 x 3 + x 2 + 1‬‬

‫و ﻳا تﻮسﻂ ﻗﻀﻴﻪ باﻗﻰﻣاﻧده‪:‬‬ ‫‪P(1) = 2 14 13 12 + 1 1 = 2 1 1 + 1 1 = 0‬‬

‫ﻣثال‪ :2‬آﻳا )‪ ( x + 10‬ﻳﻚ ﻓﻜتﻮر پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ x 3 + 3x 2 150‬ﻣﻰباشد و ﻳا خﻴر؟‬ ‫‪10‬‬

‫چﻮن ‪ R = 850‬ﻣﻰباشد )‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪150‬‬

‫‪0‬‬

‫‪700‬‬

‫‪70‬‬

‫‪10‬‬

‫‪850‬‬

‫‪70‬‬

‫‪7‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪ ، ( R‬پس )‪ ( x + 10‬ﻓﻜتﻮر پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪x 3 + 3 x 2 150‬‬

‫ﻧﻤﻰباشد‪.‬‬ ‫ﻣثال‪ :3‬ﻗﻴﻤت پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ P( x ) = 3x 3 12x 2 + 25 + 5x‬را براى ‪ x = 2‬تﻮسﻂ تﻘسﻴﻢ‬

‫‪41‬‬

‫ترﻛﻴبﻰ درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫حل‪ :‬در اول پﻮﻟﻴﻨﻮم )‪ P(x‬را بﻪ ﻃﻮر ﻧزوﻟﻰ ترتﻴب ﻣﻰﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬ ‫‪P( x ) = 3x 3 12 x 2 + 5x + 25‬‬ ‫‪25 2‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪11‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫در ﻧتﻴجﻪ ‪ P(2) = 11‬ﻣﻰباشد‪.‬‬ ‫فعالﻴت‬ ‫تﻮسﻂ تﻘسﻴﻢ ترﻛﻴبﻰ ﻗﻴﻤت پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ P( x ) = x 3 x 2 + 10x + 5‬را براى ‪ x = 1‬و‬ ‫‪ x = 3‬درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫ﻣثال‪ :4‬تﻮسﻂ تﻘسﻴﻢ ترﻛﻴبﻰ ﻧشان دﻫﻴد ﻛﻪ )‪ (r 4‬ﻳﻚ ﻓﻜتﻮر ‪ r 4 256‬ﻣﻰباشد‪.‬‬ ‫‪256 = r 4 + 0 r 3 + 0 r 2 + 0 r 256‬‬

‫حل‬

‫‪r4‬‬

‫‪r 4=0‬‬ ‫‪r=4‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪256‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪256‬‬

‫‪64‬‬

‫‪16‬‬

‫‪4‬‬

‫‪0‬‬

‫‪64‬‬

‫‪16‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪Q( x ) = r 3 + 4r 2 + 16r + 64‬‬ ‫‪R=0‬‬

‫درﻧتﻴجﻪ )‪ (r 4‬ﻳﻚ ﻓﻜتﻮر ‪ r 4 256‬ﻣﻰباشد‪.‬‬ ‫درﻳافت جذرﻫاى ﻣعادلﻪ تﻮسط تقسﻴﻢ ترکﻴبﻰ‬ ‫ﻣثال‪ :5‬اﮔر ﻋدد (‪ )1‬ﻳﻚ جذر ﻣﻌادﻟﺔ ‪ x + 4 x + x 6 = 0‬باشد جذرﻫاى دﻳﮕر اﻳﻦ‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪42‬‬

‫ﻣﻌادﻟﻪ را تﻮسﻂ تﻘسﻴﻢ ترﻛﻴبﻰ درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫حل‬ ‫‪1‬‬

‫خارجﻗسﻤت ‪ x 2 + 5 x + 6‬ﻣﻰباشد‪.‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫)‪x 3 + 4 x 2 + x 6 = ( x 1)( x 2 + 5x + 6‬‬ ‫‪x 2 + 5x + 6 = 0‬‬ ‫‪( x + 3)( x + 2) = 0‬‬ ‫‪x= 3‬‬ ‫‪x= 2‬‬

‫دو جذر دﻳﮕر اﻳﻦ ﻣﻌادﻟﻪ ‪ 2‬و ‪ 3‬ﻣﻰباشﻨد‪.‬‬ ‫تﻮسﻂ تﻘسﻴﻢ ترﻛﻴبﻰ ﻣﻰتﻮان ﻓﻜتﻮر و ﻗﻴﻤت ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم و ﻧﻴز جذر ﻳﻚ ﻣﻌادﻟﺔ پﻮﻟﻴﻨﻮﻣﻰ را‬ ‫درﻳاﻓت ﻛرد‪ .‬اﮔر پﻮﻟﻴﻨﻮم (‪ P)x‬را باﻻى (‪ )x-a‬تﻘسﻴﻢ ﻧﻤاﻳﻴﻢ و (‪ )R=0‬باشد‪ ) x-a(،‬ﻳﻚ‬ ‫ﻓﻜتﻮر پﻮﻟﻴﻨﻮم (‪ P)x‬است و ﻋدد (‪ )a‬جذر ﻣﻌادﻟﺔ پﻮﻟﻴﻨﻮﻣﻰ‪ P)x(=0‬ﻣﻰباشد‪.‬‬

‫تمرﻳن‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ -1‬تﻮسﻂ تﻘسﻴﻢ ترﻛﻴبﻰ ﻧشان دﻫﻴد ﻛﻪ ) ‪ ( x +‬ﻳﻚ ﻓﻜتﻮر پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ 20x 3 + 7 x + 6‬و‬ ‫)‪ ( x + 1‬ﻳﻚ ﻓﻜتﻮر پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ x 4 2x 2 + x + 2‬ﻣﻰباشد‪.‬‬ ‫‪ -2‬آﻳا )‪ ( x 0,1‬ﻳﻚ ﻓﻜتﻮر پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ 10x 3 11x 2 + 1‬ﻣﻰباشد؟ چرا؟‬ ‫‪ -3‬تﻮسﻂ تﻘسﻴﻢ ترﻛﻴبﻰ ﻗﻴﻤت پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ 6 y 6 y 2 + y 3‬را براى ‪ y = 6‬درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪ -4‬اﮔر ﻋدد (‪ )1‬ﻳﻚ جذر ﻣﻌادﻟﺔ ‪ x 3 + x 2 10x + 8 = 0‬باشد جذرﻫا دﻳﮕر اﻳﻦ ﻣﻌادﻟﻪ‬ ‫را تﻮسﻂ تﻘسﻴﻢ ترﻛﻴبﻰ درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪ -5‬اﮔر ﻋدد( ‪ )-2‬ﻳﻚ جذر ﻣﻌادﻟﺔ ‪ x 3 + 4x 2 + kx + 8 = 0‬باشد بﻪ ﻛﻤﻚ تﻘسﻴﻢ‬ ‫ترﻛﻴبﻰ ﻗﻴﻤت ‪ k‬را درﻳابﻴد‪.‬‬

‫‪43‬‬

‫خﻼصﺔ فصل‬ ‫اﻓادة اﻟجبرى بﻪ سﻪ ﻧﻮع ﻣﻰباشد‪ ،‬اﻓادة اﻟجبرى ﻧاﻃﻖ‪ ،‬اﻓادة اﻟجبرى ﻏﻴر ﻧاﻃﻖ و اﻓادة‬ ‫اﻟجبرى پﻮﻟﻴﻨﻮﻣﻰ‪ .‬ﻣﻮﻧﻮم ﻋدد‪ ،‬ﻳﻚ ﻣتحﻮلﻳاحاﺻﻞﺿرب ﻳﻚ ﻋدد و ﻳﻚ ﻳا چﻨدﻳﻦ ﻣتحﻮل‬ ‫ﻣﻰباشد‪.‬‬ ‫حدودى ﻛﻪ ﻣتحﻮﻟﻴﻦ و درجﻪﻫاىشان ﻋﻴﻦ چﻴز باشﻨد حدود ﻣشابﻪ (‪ )Like terms‬ﻧاﻣﻴده‬ ‫ﻣﻰشﻮﻧد؛ ﻣثﻞ‪ 3x 2 :‬و ‪ 5x 2‬ﻳا ‪ 4 x 2 y 2‬و ‪ 6 x 2 y 2‬حدود ﻣشابﻪاﻧد‪.‬‬ ‫پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻋبارت از اﻓادة اﻟجبرى ﻳﻚ ﻳا چﻨده حده ﻣﻰباشدﻛﻪ تﻮانﻫاى حرفﻫاشان در‬ ‫ست اﻋداد ﻣﻜﻤﻞ شاﻣﻞ باشﻨد‪.‬‬ ‫درجﺔ ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮﻣﻰ ﻛﻪ از ﻳﻚ حرف (ﻣتحﻮل) تشﻜﻴﻞ شده باشد ﻋبارت از بزرﮔترﻳﻦ تﻮان‬ ‫اﻳﻦ حرف ﻣﻰباشد و اﮔر پﻮﻟﻴﻨﻮم از چﻨد حرف تشﻜﻴﻞ شده باشد درجﺔ ﻣﻮﻧﻮﻣﻰ ﻛﻪ بزرﮔترﻳﻦ‬ ‫تﻮان را داراست ﻋبارت از درجﺔ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻣﻰباشد‪.‬‬ ‫بﻪ ﻓﻜتﻮر ﻋددى (‪ )Numerical Factor‬ﻳﻚ حد‪ ،‬ﺿرﻳب ﻣﻰﮔﻮﻳﻨد؛ ﻃﻮر ﻣثال‪ :‬در‬ ‫‪ 3x 2‬ﻋدد ‪ 3‬ﺿرﻳب ‪ x 2‬ﻣﻰباشد‪.‬‬ ‫تﻤام اﻋداد ثابت پﻮﻟﻴﻨﻮمﻫا اﻧد ﻛﻪ بﻪ ﻧام پﻮﻟﻴﻨﻮمﻫاى ثابت ﻳاد ﻣﻰشﻮﻧد ﻛﻪ درجﺔ پﻮﻟﻴﻨﻮمﻫاى‬ ‫ثابت ﺻﻔر است‪ ،‬اﻣا درجﺔ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﺻﻔرى تﻌرﻳﻒ ﻧشده است‪.‬‬ ‫پﻮﻟﻴﻨﻮمﻫاﻳﻰ ﻛﻪ داراى ﻳﻚ ﻣتحﻮل باشد و ﺿراﻳب حدود ﻣشابﻪ آنﻫا با ﻫﻢ ﻣساوى باشﻨد‪،‬‬ ‫بﻪ ﻧام پﻮﻟﻴﻨﻮمﻫاى ﻣﻌادل ﻳاد ﻣﻰشﻮﻧد‪.‬‬ ‫ﻗﻴﻤت ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻋددى است ﻛﻪ در ﻧتﻴجﺔ وﺿﻊﻛردن ﻗﻴﻤت داده شده ﻣتحﻮل در‬ ‫پﻮﻟﻴﻨﻮم بﻪ دست ﻣﻰآﻳد‪.‬‬ ‫اﮔر ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم از بزرﮔترﻳﻦ تﻮان ﻣتحﻮل تا ﻋدد ثابت تﻤام حدود را داشتﻪ باشد بﻪ ﻧام‬ ‫پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻣﻜﻤﻞ و اﮔر ﻳﻚ ﻳا چﻨد حد ﻧداشتﻪ باشد بﻪ ﻧام پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻧاﻗص ﻳاد ﻣﻰشﻮد‪.‬‬ ‫اﮔر ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم از ﻛﻮچﻜترﻳﻦ تﻮان ﻣتحﻮل تا بزرﮔترﻳﻦ تﻮان ﻣتحﻮل ترتﻴب شﻮد‪ ،‬پﻮﻟﻴﻨﻮم‬ ‫ﻣﻨﻈﻢ ﺻﻌﻮدى و اﮔر از بزرﮔترﻳﻦ تﻮان ﻣتحﻮل تا ﻛﻮچﻜترﻳﻦ تﻮان ترتﻴب شﻮد بﻪ ﻧام پﻮﻟﻴﻨﻮم‬ ‫ﻣﻨﻈﻢ ﻧزوﻟﻰ ﻳاد ﻣﻰشﻮد‪.‬‬ ‫در ﻋﻤﻠﻴﺔ جﻤﻊ پﻮﻟﻴﻨﻮمﻫا‪ ،‬حدود ﻣشابﻪ (‪ )Like terms‬با ﻫﻢ جﻤﻊ و در ﻋﻤﻠﻴﺔ تﻔرﻳﻖ‬

‫‪44‬‬

‫ﻋﻼﻣﺔ ﻣﻔروق تﻐﻴﻴر ﻣﻰﻛﻨد و ﻣتباﻗﻰ ﻣراحﻞ ﻣثﻞ ﻋﻤﻠﻴﺔ جﻤﻊ‪ ،‬بﻪ اﻧجام رساﻧده ﻣﻰشﻮد‪.‬‬ ‫(ﻣﻌﻜﻮس جﻤﻌﻰ ﻣﻔروق با ﻣﻔروقﻣﻨﻪ جﻤﻊ ﻣﻰشﻮد)‪.‬‬ ‫در ﻋﻤﻠﻴﻪﻫاى جﻤﻊ و ﺿرب پﻮﻟﻴﻨﻮمﻫا خاﺻﻴتﻫاى تبدﻳﻠﻰ و اتحادى و ﻧﻴزخاﺻﻴت تﻮزﻳﻌﻰ‬ ‫ﺿرب باﻻى جﻤﻊ ﺻدق ﻣﻰﻛﻨد‪.‬‬ ‫در ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺿرب پﻮﻟﻴﻨﻮمﻫا ﻣﻰتﻮاﻧﻴﻢ ﻣﻮﻧﻮم را در ﻣﻮﻧﻮم‪ ،‬ﻣﻮﻧﻮم را در پﻮﻟﻴﻨﻮم و ﻳا پﻮﻟﻴﻨﻮم‬ ‫را در پﻮﻟﻴﻨﻮم ﺿرب ﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬ ‫بﻪ ﻫﻤﻴﻦ ترتﻴب در ﻋﻤﻠﻴﺔ تﻘسﻴﻢ پﻮﻟﻴﻨﻮمﻫا‪ ،‬ﻣﻰتﻮاﻧﻴﻢ ﻣﻮﻧﻮم را بر ﻣﻮﻧﻮم‪ ،‬پﻮﻟﻴﻨﻮم را بر ﻣﻮﻧﻮم‬ ‫و ﻳا پﻮﻟﻴﻨﻮم را بر پﻮﻟﻴﻨﻮم تﻘسﻴﻢ ﻧﻤاﻳﻴﻢ‪.‬‬ ‫اﮔر پﻮﻟﻴﻨﻮم )‪ P(x‬باﻻى ) ‪ ( x a‬تﻘسﻴﻢ شﻮد بﻪ اساس ﻗﻀﻴﺔ باﻗﻰﻣاﻧده‪ ،‬باﻗﻰ با ) ‪P(a‬‬

‫ﻣساوى ﻣﻰباشد‪.‬‬ ‫اﮔر پﻮﻟﻴﻨﻮم )‪ P(x‬باﻻى )‪ ( x a‬تﻘسﻴﻢ شﻮد و باﻗﻰﻣاﻧده ﺻﻔر شﻮد‪ ( x a) ،‬ﻳﻚ ﻓﻜتﻮر‬ ‫پﻮﻟﻨﻴﻮم )‪ P(x‬ﻣﻰباشد‪.‬‬ ‫بﻪ اساس ﻣﻌﻜﻮس ﻗﻀﻴﺔ ﻓﻜتﻮر‪ ،‬اﮔر )‪ ( x c‬ﻳﻚ ﻓﻜتﻮر پﻮﻟﻴﻨﻮم ) ‪ M( x‬باشد؛ پس‬ ‫‪ P(c) = 0‬است و ﻋدد ‪ c‬جذر ﻣﻌادﻟﻪ پﻮﻟﻴﻨﻮﻣﻰ ‪ M ( x) = 0‬ﻣﻰباشد‪.‬‬ ‫تﻮسﻂ تﻘسﻴﻢ ترﻛﻴبﻰ ﻣﻰتﻮان پﻮﻟﻴﻨﻮم )‪ P(x‬را باﻻى )‪ ( x a‬تﻘسﻴﻢ ﻧﻤﻮد‪ ،‬خارجﻗسﻤت‬ ‫و باﻗﻰﻣاﻧده را بﻪ دست آورد و ﻧﻴز تﻮسﻂ تﻘسﻴﻢ ترﻛﻴبﻰ در ﻳﻚ ﻗﻴﻤت داده شده ﻣتحﻮل‪،‬‬ ‫ﻗﻴﻤت پﻮﻟﻴﻨﻮم )‪ P(x‬را ﻧﻴز درﻳاﻓت ﻛرده ﻣﻰتﻮاﻧﻴﻢ‪.‬‬ ‫تﻮسﻂ تﻘسﻴﻢ ترﻛﻴبﻰ جذرﻫا ﻣﻌادﻟﺔ پﻮﻟﻴﻨﻮﻣﻰ ‪ P( x) = 0‬را ﻣﻰتﻮان درﻳاﻓت ﻛرد‪.‬‬ ‫تﻮسﻂ ﻗﻀﻴﺔ باﻗﻰﻣاﻧده ﻣﻰتﻮاﻧﻴﻢ اﻓادهﻫاى اﻟجبرى را ﻧﻴز تجزﻳﻪ ﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬

‫‪45‬‬

‫تﻤرﻳﻦ فصل‬ ‫‪ - 1‬ﻗﻴﻤت ‪ k‬را درﻳابﻴد در ﺻﻮرتﻰ ﻛﻪ‪:‬‬ ‫‪ :a‬اﮔر )‪ ( x + 5‬ﻳﻚ ﻓﻜتﻮر پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ P( x ) = x 3 + kx + 125‬باشد‪.‬‬ ‫‪ :b‬اﮔر )‪ ( x 1‬ﻳﻚ ﻓﻜتﻮر پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ Q( x ) = 2x 4 3x 3 x 2k‬باشد‪.‬‬ ‫‪ :c‬اﮔر )‪ ( x 2‬ﻳﻚ ﻓﻜتﻮر پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ P( x ) = x 3 + 3x 2 x + k‬باشد‪.‬‬ ‫‪ - 2‬تﻮسﻂ تﻘسﻴﻢ ترﻛﻴبﻰ خارجﻗسﻤت (‪ )Quotient‬و باﻗﻰﻣاﻧده (‪ )Remainder‬را در‬ ‫ﻳابﻴد‪.‬‬

‫)‪6 x + 3x 4) ÷ ( x + 4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪, (5x‬‬

‫‪(10 x 2 31x + 24) ÷ ( x‬‬

‫)‪3x 28) ÷ ( x + 4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪( x + 4x + x‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪(30 x 3 20 x 2 100 x + 1000) ÷ ( x 10) ,‬‬

‫‪ - 3‬تﻮسﻂ ﻗﻀﻴﺔ ﻓﻜتﻮر ﻧشان دﻫﻴد ﻛﻪ )‪ ( x 1‬ﻳﻚ ﻓﻜتﻮر پﻮﻟﻴﻨﻮم‬ ‫‪ P( x ) = x 3 4x 2 + x + 2‬ﻣﻰباشد‪.‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪ - 4‬تﻮسﻂ ﻗﻀﻴﺔ ﻓﻜتﻮر ﻧشان دﻫﻴد ﻛﻪ )‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪ ( x‬ﻳﻚ ﻓﻜتﻮر پﻮﻟﻴﻨﻮم‬ ‫‪8‬‬

‫‪P( x ) = x 3‬‬

‫ﻣﻰباشد‪.‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪ - 5‬اﮔر‬ ‫‪2‬‬

‫= ‪ x‬باشد ﻗﻴﻤت پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ P( x) = 5 x 2 + x 9‬را تﻮسﻂ تﻘسﻴﻢ ترﻛﻴبﻰ‬

‫درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 6‬اﮔر ‪ x = 3‬باشد ﻗﻴﻤت پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ k ( x) = 2 x 3 3x 2 + 4 x + 1‬را تﻮسﻂ تﻘسﻴﻢ ترﻛﻴبﻰ‬ ‫درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 7‬تﻮسﻂ تﻘسﻴﻢ ترﻛﻴبﻰ ﻧشان دﻫﻴد ﻛﻪ ﻋدد ‪ 3‬ﻳﻚ جذر ﻣﻌادﻟﺔ پﻮﻟﻴﻨﻮﻣﻰ‬ ‫‪ x 3 3x 2 + x 3 = 0‬ﻣﻰباشد‪.‬‬ ‫‪ - 8‬تﻮسﻂ ﻗﻀﻴﺔ ﻓﻜتﻮر ﻧشان دﻫﻴد ﻛﻪ اﻋداد ‪ 1‬و ‪ 2‬جذرﻫاى ﻣﻌادﻟﻪ ‪x 4 5 x 2 + 4 = 0‬‬

‫ﻣﻰباشﻨد‪.‬‬ ‫‪ - 9‬ﻗﻴﻤت ‪ k‬را تﻮسﻂ تﻘسﻴﻢ ترﻛﻴبﻰ درﻳابﻴد در ﺻﻮرتﻰ ﻛﻪ )‪ ( x + 3‬ﻳﻚ ﻓﻜتﻮر پﻮﻟﻴﻨﻮم‬ ‫‪ P( x ) = 3x 3 + kx 2 22x + 24‬باشد‪.‬‬

‫‪46‬‬

‫‪ - 10‬تﻮسﻂ تﻘسﻴﻢ ترﻛﻴبﻰ خارج ﻗسﻤت و باﻗﻰﻣاﻧده را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫)‪x 2 14 x + 11) ÷ ( x 4‬‬

‫‪(x 3‬‬

‫)‪5x + 2 x 3) ÷ ( x 2‬‬

‫)‪(5x 3 3x + 7) ÷ ( x + 4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪(4x‬‬

‫)‪(7 x 4 + 41x 2 6) ÷ ( x + 6‬‬

‫‪ - 11‬ﻗﻴﻤتﻫاى ‪ b‬و ‪ c‬را در ﺻﻮرتﻰ درﻳابﻴد ﻛﻪ‪ :‬اﮔر پﻮﻟﻴﻨﻮم‬ ‫‪ P( x ) = x 4 + 6x 3 20x 2 + bx + c‬را بر ‪ x 2 3x + 2‬تﻘسﻴﻢ ﻛﻨﻴﻢ و باﻗﻴﻤاﻧد ﺻﻔر شﻮد‪.‬‬ ‫‪ - 12‬ﻗﻴﻤت ‪ m‬را درﻳابﻴد‪ ،‬در ﺻﻮرتﻰ ﻛﻪ‪ :‬اﮔر پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪k ( x ) = 2 x 3 + 5x 2 mx + 4‬‬

‫باﻻى )‪ ( x 2 + 2x 1‬تﻘسﻴﻢ شﻮد باﻗﻰﻣاﻧده ﺻﻔر شﻮد‪.‬‬ ‫‪ - 13‬اﮔر ‪ k = 3a ( x 1) 2 a ( x 1) 4‬و ‪ L = 16 + b( x 1) 3b( x 1) 2‬باشد‬ ‫‪ Kb + La‬را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 14‬بﻪ ﻛدام ﻗﻴﻤت ‪ x‬پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ P( x ) = 12x 4 + 3x 3 13x 2 + x + 5‬باﻻى‬ ‫)‪ (3x 2 1‬پﻮره ﻗابﻞ تﻘسﻴﻢ ﻣﻰباشد؟‬ ‫‪ - 15‬بﻪ ﻛدام ﻗﻴﻤت ‪ P‬پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ K ( x ) = 3x 3 7 x 2 9x + P‬باﻻى )‪ ( x 13‬پﻮره ﻗابﻞ‬ ‫تﻘسﻴﻢ ﻣﻰباشد؟‬ ‫‪ - 16‬اﮔر پﻮﻟﻴﻨﻮم‪ P( x ) = 2x 3 x 2 + 3x 1‬باﻻى )‪ (2 x + 1‬تﻘسﻴﻢ ﮔردد بدون اﻧجام‬ ‫دادن ﻋﻤﻠﻴﺔ تﻘسﻴﻢ ﻣﻰتﻮاﻧﻴد بﮕﻮﻳﻴد ﻛﻪ باﻗﻰﻣاﻧده چﻨد خﻮاﻫد بﻮد؟‬

‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪c) 3‬‬ ‫)‪d‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ - 17‬ﻗﻴﻤت ‪ m‬را‪ ،‬در ﺻﻮرتﻰ درﻳابﻴدﻛﻪ‪ :‬اﮔر پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ P( x) = 5 x 2 + 6 x 7‬بر‬ ‫)‪b‬‬

‫)‪ ( x + m‬تﻘسﻴﻢ شﻮد باﻗﻰﻣاﻧده (‪ )1‬باشد‪.‬‬ ‫‪ a‬و ‪ b‬درست اﻧد ) ‪d‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪c) 4‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪a) 3‬‬

‫‪a )2‬‬

‫‪ - 18‬اﮔرپﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ P( x ) = x 3 + 3x 2 5x 8‬باﻻى )‪ ( x + 3‬تﻘسﻢ ﮔردد بدون اﻧجام دادن‬ ‫ﻋﻤﻠﻴﺔ تﻘسﻴﻢ بﮕﻮﻳﻴد ﻛﻪ با ﻗﻰﻣاﻧده چﻨد ﻣﻰباشد؟‬ ‫‪d )7‬‬

‫‪c) 23‬‬

‫‪b) 13‬‬

‫ﺻﻔر(‪a‬‬

‫‪ - 19‬اﮔر ‪ y = 3 , x = 4‬و ‪ z = 2‬باشد‪ ،‬ﻗﻴﻤت اﻓادهﻫاى اﻟجبرى زﻳر را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪1 2 1 2‬‬ ‫‪y + Z‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪b : x2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪a : x 2 yz + zxy 2 + 3xyz 2‬‬

‫‪ - 20‬تﻮسﻂ تﻘسﻴﻢ ترﻛﻴبﻰ‪ ،‬ﻗﻴﻤتﻫاى پﻮﻟﻴﻨﻮمﻫاى زﻳر را براى ﻗﻴﻤتﻫاى داده شده ‪x‬‬

‫‪47‬‬

‫درﻳابﻴد‪:‬‬

‫‪x=2‬‬

‫‪,‬‬

‫‪2x + 5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪P( x ) = 2 x + 3x‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪, x= 1‬‬

‫‪P( x ) = 3x 3 + 4 x 2 5x + 6‬‬

‫‪,‬‬

‫‪P ( x ) = 2 x 4 5x 3 + 4 x 1‬‬

‫‪x =1‬‬

‫‪P( x ) = 4 x + 6 x + x + x 3 , x = 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪ - 21‬ﻳﻚ‪،‬ﻳﻚ جذر ﻣﻌادﻻت زﻳر داده شدهاﻧد‪ .‬تﻮسﻂ تﻘسﻴﻢ ترﻛﻴبﻰ‪ ،‬جذرﻫاى دﻳﮕر اﻳﻦ‬ ‫ﻣﻌادﻟﻪﻫا را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد‪.‬‬

‫‪x 3 3x 2 + x 3 = 0‬‬

‫ﻳﻚ جذر آن (‪ )3‬ﻣﻰباشد‪.‬‬ ‫ﻳﻚ جذر آن (‪ )-1‬ﻣﻰباشد‪.‬‬ ‫ﻳﻚ جذر آن (‪ )-1‬ﻣﻰباشد‪.‬‬ ‫ﻳﻚ جذر آن (‪ )-1‬ﻣﻰباشد‪.‬‬

‫‪x 3 5x 2 + 7 x + 13 = 0‬‬ ‫‪x 4 5x 2 + 4 = 0‬‬ ‫‪x 3 9 x 2 11x 4 = 0‬‬

‫‪x4‬‬

‫‪ - 22‬اﮔر ‪ P( x) = 0‬باشد درجﺔ پﻮﻟﻴﻨﻮم )‪ P(x‬چﻨد است؟‬ ‫تﻌرﻳﻒ ﻧشده است (‪d‬‬

‫‪b( -1‬‬

‫ﺻﻔر(‪c‬‬

‫‪a( 1‬‬

‫‪ - 23‬از ﻣساحت ﻣستﻄﻴﻠﻰ ﻛﻪ ابﻌاد آن )‪ ( x + 5‬و )‪ ( x + 2‬ﻣﻰباشد ﻣساحت ﻣستﻄﻴﻞ را‬ ‫تﻔرﻳﻖ ﻛﻨﻴد ﻛﻪ ابﻌاد آن )‪ ( x + 3‬و )‪ ( x + 1‬باشﻨد‪.‬‬ ‫‪ - 24‬اﮔر )‪ A = p(p a )(p b)(p c‬و ‪ c = 12 , b = 5 , a = 13‬و‬ ‫‪a+b+c‬‬ ‫‪2‬‬

‫= ‪ p‬باشد ﻗﻴﻤت ‪ A‬را درﻳابﻴد‪.‬‬

‫‪ - 25‬اﮔر ‪ ( x 1) 3‬و ‪ x 3 + ax 2 + bx + c‬پﻮﻟﻴﻨﻮمﻫاى ﻣﻌادل باشﻨد ﻗﻴﻤت ‪ b‬ﻣساوي است‬ ‫بﻪ‪:‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪d) 1‬‬

‫‪ - 26‬حاﺻﻞ اﻓادة )‬

‫‪a 1‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪a 1‬‬

‫)‪d‬‬

‫)‪c‬‬

‫‪a +1‬‬ ‫‪) (a‬‬ ‫‪a 1‬‬ ‫‪a 2‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪b) 3‬‬

‫‪a) 1‬‬

‫÷ ‪ (a‬ﻣساوى است بﻪ‪:‬‬

‫)‪c‬‬

‫)‪b) a (a 2‬‬

‫)‪a ) a (a + 1‬‬

‫‪48‬‬

‫‪ - 27‬حاﺻﻞﺿرب )‪y )(x + y‬‬

‫‪y‬‬

‫‪d) x y‬‬

‫‪ ( x + y )( x‬ﻣساوى است بﻪ‪:‬‬ ‫‪b) x 2 + y 2‬‬

‫‪c) 2 x 2‬‬

‫‪y2‬‬

‫‪a) x 2‬‬

‫‪ - 28‬پﻮﻟﻴﻨﻮمﻫاى زﻳر را بﻪ ﻃﻮر ﻧزوﻟﻰ (‪ )Descending Order‬ترتﻴب و ﻧﻴز درجﻪﻫاى‬ ‫آﻧﻬا را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد‪:‬‬ ‫‪x 2 + xy 2 z 3 x 5‬‬

‫‪c) 3‬‬

‫‪5 x 2 + 3x 5 + 9‬‬

‫)‪b‬‬

‫)‪a‬‬

‫)‪e‬‬ ‫‪4x + 2x x + 7‬‬ ‫‪ - 29‬در پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ Q( x) = x 2 + 3x 5‬ﻗﻴﻤت )‪ Q( 1‬ﻣساوى است بﻪ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪P( x ) = 0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪d) 1‬‬

‫‪b) 7‬‬

‫‪c) 1‬‬

‫)‪d‬‬ ‫‪a) 7‬‬

‫‪ - 30‬اﮔر ‪ P( x) = x 2 2 x + 3‬و ‪ Q( x) = 2 x 2 + 3 x 1‬باشد ﻗﻴﻤت اﻓادهﻫاى زﻳر را‬ ‫درﻳابﻴد‪:‬‬

‫)‪P(1) Q( 1‬‬

‫)‪P ( 0) + Q ( 0‬‬ ‫) ‪[P( x ) + Q( x )] + p( x‬‬

‫) ‪P ( x ) Q( x‬‬ ‫) ‪P( x ) P( x‬‬

‫‪ - 31‬پﻮﻟﻴﻨﻮمﻫاى زﻳر را ﻧﻈر بﻪ ‪ y‬بﻪ ﻃﻮر ﻧزوﻟﻰ ترتﻴب ﻧﻤاﻳﻴد‪:‬‬

‫‪4 x 2 y 3xy 2 + x 3 + y 3‬‬

‫‪4 xy 3 3x 3 y + 2 x 2 y 2 + x 4 + y 4‬‬

‫‪ - 32‬در اﻓادهﻫاى اﻟجبرى زﻳر‪ ،‬پﻮﻟﻴﻨﻮمﻫا‪ ،‬اﻓادهﻫاى ﻧاﻃﻖ و ﻏﻴرﻧاﻃﻖ اﻟجبرى را ﻧشان دﻫﻴد‪.‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪2x‬‬

‫‪,‬‬

‫‪13‬‬

‫‪,‬‬

‫‪3x 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪y2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y2‬‬ ‫‪ - 33‬حاﺻﻞ اﻓادة )‪ (1 + 2x + 3x 2 ) + (3x 5 2x 2 ) + ( x 2 5x + 4‬ﻣساوى است‬ ‫‪,‬‬

‫‪x‬‬

‫بﻪ‪:‬‬ ‫‪d) 2‬‬ ‫‪ - 34‬حاﺻﻞﺿرب دو اﻓادة اﻟجبرى ) ‪3abc‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪ (a + b + c‬ﻣﻰباشد؛ اﮔر ﻳﻚ اﻓادةاﻟجبرى‬

‫)‪ (a + b + c‬باشد اﻓادة دﻳﮕرى را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد‪.‬‬

‫‪49‬‬

‫)‪c‬‬

‫ﺻﻔر‬

‫)‪b‬‬

‫‪a) 1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪ - 35‬خارجﻗسﻤتﻫا را درﻳابﻴد‪.‬‬

‫) ‪(a 3 + b 3 ) ÷ (a + b‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪1‬‬

‫) ‪(a 5 b 5 ) ÷ (a b‬‬

‫‪13x + x + 5) ÷ (3x‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪(12 x + 3x‬‬

‫)‪(4 x 3 10 x 2 + 12 x + 6) ÷ (2 x + 1‬‬

‫‪ma‬‬ ‫‪mb‬‬

‫‪ - 36‬ﺿرب ﻛﻨﻴد‪.‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪xa 2‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪( x + )( x +‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪(m 2n )(2m n 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪(2 mn)(2 mn)(2 mn‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‪(a 2 x 2)(a 2 x 2‬‬ ‫)‪(e x + 1)(e x 1‬‬ ‫) ‪(0.1x 2 )(0.1x 2 )(0.1x 2‬‬

‫‪ - 37‬اﻓادهﻫاى زﻳر را ساده و جﻤﻊ ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫‪(a 1) + 1 (a 1) 3‬‬

‫‪(10mn m) (m 2 + m) + m 2‬‬ ‫])‪[ 4(a b) 5] + [(2a + b) (a b‬‬

‫)‪( y 2 1) + ( y 2 1‬‬

‫)‪10( x + 1) ( x + 1) 3( x + 2‬‬

‫])‪10 [ { ( x 2 1) + 5} x ( x 2‬‬ ‫‪mn 4 + mn 5‬‬

‫‪ - 38‬درجﻪ ﻛدام ﻣﻮﻧﻮم (ﻳﻚ حده) داده شدة زﻳر ﺻﻔر ﻣﻰ باشد؟‬ ‫‪2‬‬

‫)‪c‬‬

‫‪2 x‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪a) x‬‬

‫‪50‬‬

‫فصل دوم‬ ‫رابطه‬

s1 s2 sn

s

s1 s2

x

sn

s

=

(s1,s2 ) (s 2 ,s2 ) (s n ,sn )

R

‫جورههای مرتب و‬ ‫مستوی کارتيزينی‬

‫جﻮرة ﻣرتــب (‪ )a,b‬در ﻛدام صﻮرت با‬ ‫جﻮرة ﻣرتب (‪ )c,d‬ﻣساوى شده ﻣﻰتﻮاﻧد؟‬ ‫آﻳــا جﻮرة ﻣرتــب (‪ )a,b‬با جﻮرة ﻣرتب‬ ‫(‪ )b,a‬ﻣساوي ﻣﻲ باشﻨد؟‬

‫‪O‬‬

‫اﮔر ‪ a‬و‪ b‬ﻋﻨاصر ﻳﻚ ست و ﻳا ﻋﻨاصر ستﻫاى ﻣختﻠﻒ باشﻨد و ‪ a‬را ﻋﻨﺼر اوﻟﻰ و ‪ b‬را ﻋﻨﺼر‬ ‫دوﻣﻰ ﻗبﻮل ﻛﻨﻴﻢ در اﻳﻦ صﻮرت (‪ )a,b‬را جﻮرة ﻣرتب ﻣﻰﮔﻮﻳﻨد و (‪ )b,a‬ﻧﻴز ﻳﻚ جﻮرة‬ ‫ﻣرتب ﻣﻰباشد ﻛﻪ ) ‪ (a , b) (b, a‬است‪ ،‬در صﻮرتﻰ دو جﻮرة ﻣرتب (‪ )a,b‬و(‪)c,d‬ﻣساوى‬ ‫شده ﻣﻰتﻮاﻧﻨد ﻛﻪ ‪ a=c‬و ‪ b=d‬باشد‪.‬‬ ‫ﻣثال‪ :1‬اﮔر )‪ ( x 2 , y + 1) = (1,3‬باشد‪ ،‬ﻗﻴﻤتﻫاى ‪ x‬و ‪ y‬را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫حﻞ‬ ‫‪x 2 =1‬‬ ‫‪x =3‬‬

‫‪y +1 = 3‬‬ ‫‪y=2‬‬

‫فعاﻟﻴت‬ ‫اﮔر )‪ (a + 1,2b 3) = (0, 1‬باشد ﻗﻴﻤتﻫاى ‪ a‬و ‪ b‬را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫ﻣستﻮى‌ﻛارتﻴزﻳﻨﻰ(‪)Cartesian Plane‬‬ ‫دو خﻂ ﻋﻤﻮدى و اﻓﻘﻰ را رسﻢ ﻛﻨﻴد و ﻧﻘﻄﺔ تﻘاﻃﻊ آنﻫا را بﻪ ﻧام ﻣبدأ (‪ )Origin‬بﻨاﻣﻴد‪ ،‬خﻂ‬ ‫اﻓﻘﻰ را ﻣحﻮر ‪ X‬و خﻂ ﻋﻤﻮدى را ﻣحﻮر ‪ Y‬ﻣﻰﮔﻮﻳﻨد‪.‬‬ ‫ﻣحﻮر ‪ X‬را بﻪ ‪ X'OX‬و ﻣحﻮر ‪ Y‬را بﻪ ‪ Y'OY‬ﻧشان دﻫﻴد‪.‬‬ ‫ﻣستﻮﻳﻰ ﻛﻪ در آن اﻳﻦ ﻣحﻮرﻫا واﻗﻊ اﻧد بﻪ ﻧام ﻣستﻮى ﻛارتﻴزﻳﻨﻰ ﻳاد ﻣﻰشﻮد‪.‬‬ ‫ﻫر دو ﻣحﻮر‪ ،‬ﻣستﻮى را بﻪ چﻬار حﺼﺔ ﻣساوى تﻘسﻴﻢ ﻣﻰﻛﻨد ﻛﻪ ﻫر حﺼﺔ آن را ربﻊ (‪)Quadrant‬‬

‫‪53‬‬

‫ﻣﻰﮔﻮﻳﻨد ﻛﻪ بﻪ خﻼف حرﻛت ﻋﻘربﺔ ساﻋت (‪ )Anti clockwise‬بﻪ ترتﻴب ﻋبارت از ربﻊ اول‪،‬‬ ‫دوم‪ ،‬سﻮم و چﻬارم ﻣﻰباشﻨد‪ ،‬ﻃﻮرى ﻛﻪ در شﻜﻞ ﻣشاﻫده ﻣﻰشﻮد‪.‬‬

‫ربﻊ‬ ‫ربﻊ‬

‫ربﻊ‬ ‫ربﻊ‬

‫ﻣﻮﻗﻌﻴت ﻧﻘﻄﺔ ‪ P‬در اﻳﻦ ﻣستﻮى تﻮسﻂ جﻮرة ﻣرتب اﻋدادحﻘﻴﻘﻰ (‪ )x,y‬ﻃﻮرى ﻧشان داده‬ ‫ﻣﻰشﻮد ﻛﻪ ‪ x‬ﻓاصﻠﺔ اﻓﻘﻰ ﻧﻘﻄﺔ ‪ P‬از ﻣحﻮر ‪ Y‬بﻮده‪ ،‬در صﻮرتﻰ ﻛﻪ ‪ y‬ﻓاصﻠﺔ ﻋﻤﻮدى ﻧﻘﻄﺔ ‪P‬‬ ‫از ﻣحﻮر ‪ X‬ﻣﻰباشد‪.‬‬

‫‪O‬‬ ‫اﮔر ﻧﻘﻄﺔ ‪ P‬بﻪ ﻃرف راست ﻣحﻮر ‪ y‬واﻗﻊ باشد ﻗﻴﻤت ‪ ،x‬ﻣثبت و اﮔر بﻪ ﻃرف چپ ﻣحﻮر ‪Y‬‬ ‫واﻗﻊ باشد ﻗﻴﻤت ‪ x‬ﻣﻨﻔﻰ ﻣﻰباشد؛ اﮔر ﻧﻘﻄﺔ ‪ P‬بﻪ روى ﻣحﻮر ‪ Y‬واﻗﻊ باشد ‪ x = 0‬ﻣﻰباشد‪.‬‬ ‫ﻫﻤچﻨﻴﻦ اﮔر ﻧﻘﻄﺔ ‪ P‬باﻻتر ﻣحﻮر ‪ X‬واﻗﻊ باشد ﻗﻴﻤت ‪ y‬ﻣثبت و اﮔر پاﻳﻴﻦتر از ﻣحﻮر ‪ X‬واﻗﻊ‬ ‫باشد ﻗﻴﻤت ‪ y‬ﻣﻨﻔﻰ (‪ )y 4‬مﻰ‌باشد‪‌،‬پس‌درمعادلة‌اول‌وضع‌مﻰ‌شود‌دارﻳم‌که‪‌:‬‬ ‫‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ ‪‌ f ( 5) = 2( 5) + 3 = 10 + 3 = 7‬‬ ‫چون‌عدد‌‪‌8‬بﻴن‌‪‌4‬و‌‪‌10‬مﻰ‌باشد‌‪‌،4‌>‌8‌>‌10‬پس‌در‌معادلة‌دوم‌وضع‌مﻰ‌شود‪‌،‬دارﻳم‌‬ ‫که‪:‬‬ ‫‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ ‪‌ f (8) = 82 1 = 64 1 = 63‬‬ ‫ناحﻴة‌تعرﻳف‌‪‌f‬در‌معادلة‌اول‌ ) ‪, 4‬‬

‫‪89‬‬

‫( ‌و‌درمعادلة‌دوم‌]‪‌ [4 , 10‬مﻰ‌باشد‪.‬‬

‫پس‌ناحﻴة‌تعرﻳف‌تابع‌‪‌f‬عبارت‌از‌]‪, 10‬‬

‫( ‌مﻰ‌باشد‪.‬‬

‫فعاﻟﻴت‬ ‫اگر‪‌:‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪x + 15 : 0 x < 60‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‌‬ ‫‪1‬‬ ‫‌‬ ‫‪x 8 : 60 x 90‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‬

‫= ) ‪g( x‬‬

‫‌باشد‌نشان‌دهﻴد‪‌:‬که‌ ‪‌‌ g(80) = 8‬و‌ ‪‌‌ g(30) = 9.5‬مﻰ‌باشد‪‌.‬‬ ‫گراف تابع چﻨد ﻣعادﻟﻪﻳﻰ ( ‪) Graph of function defined piecewise‬‬ ‫ﻣثال‪‌:2‬ناحﻴة‌تعرﻳف‪‌،‬ناحﻴة‌قﻴمت‌هاى‌تابع‌ )‪ f (x‬را‌درﻳابﻴد‌و‌گراف‌آن‌را‌نﻴز‌رسم‌کنﻴد‪‌.‬‬ ‫اگر‪:‬‬ ‫‪x :0 x 1‬‬ ‫‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‪x 1: 1 < x 2‬‬

‫= )‪f (x‬‬

‫حل‪‌:‬ناحﻴة‌تعرﻳف‌معادلة‌اول‌ ]‪ [0,1‬و‌از‌معادلة‌دوم‌ ]‪‌ (1,2‬مﻰ‌باشد‬ ‫در‌نتﻴجه‪‌،‬ناحﻴة‌تعرﻳف‌ )‪ f (x‬عبارت‌از‌ ]‪‌‌ [0,2‬مﻰ‌باشد‪‌.‬‬ ‫غرض‌ترسﻴم‌گراف‪‌،‬گراف‌هر‌دو‌قسمت‌را‌ترسﻴم‌مﻰ‌نماﻳﻴم‌طورى‌که‪:‬‬

‫‪90‬‬

‫‪y = f ( x) = x 1‬‬

‫‪y = f (x) = x‬‬

‫‪x‬‬ ‫)‪f (x‬‬

‫‪‌ x‬‬ ‫‪0 0.5‌ 0.8 1‬‬ ‫‪y = f(x) 0 0.5 0.8 1‬‬

‫‪1,1 1, 5 1, 8‬‬ ‫‪0 ,1 0 , 5 0 , 8‬‬

‫درنتﻴجه‌دو‌خط‌مستقﻴم‌به‌دست‌مﻰ‌آﻳد‌که‌هر‌دو‌گراف‌تابع‌ )‪ f (x‬مﻰ‌باشد‪‌.‬‬ ‫فعاﻟﻴت‬ ‫‪x : 0 x 4‬‬ ‫‪x 1 : 0 1‬و‌ ‪‌‌‌ y < 1‬‬ ‫تابع عﻼﻣﻪ(‪ ‌:)sign function‬که‌ با(‪ ‌sgn)x‬نشان‌ داده‌ مﻰ‌شود‌ ﻳک‌ مثال‌ تابع‌ چند‌‬ ‫معادله‌ﻳﻰ‌مﻰ‌باشد‌که‌طور‌ذﻳل‌تعرﻳف‌شده‌است‪:‬‬

‫‪91‬‬

‫‪1 : x>0‬‬ ‫‪0 : x=0‬‬ ‫‪1 : x f ( x2‬‬ ‫مﻰ‌شود‪.‬‬ ‫‪ –‌3‬در‌ﻳک‌تابع‌اگر‌ ‪‌‌ x1 < x2‬باشد‌در‌نتﻴجه‌ ) ‪‌‌ f ( x1 ) = f ( x2‬شود‪‌،‬اﻳن‌تابع‌نه‌متناقص‌‬ ‫است‌و‌نه‌متزاﻳد‪‌‌.‬طورى‌که‌در‌شکل‌واضح‌مشاهده‌مﻰ‌شود‌اﻳن‌تابع‌ﻳک‌تابع‌ثابت‌‬ ‫مﻰ‌باشد‪‌.‬‬ ‫ﻣثال‪ :‬گراف‌تابع ‪‌ f ( x) = x 2‬و ‪‌‌ f ( x) = x 2‬در‌کدام‌انتروال‌ها‌متزاﻳد‌و‌در‌کدام‌‬ ‫انتروال‌ها‌متناقص‌مﻰ‌باشد؟‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪93‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪f (x) = x‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0 1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪f ( x) = x 0 1‬‬

‫‪1< 2‬‬ ‫)‪f ( 1) > f (2‬‬ ‫‪1> 4‬‬

‫مشاهده‌مﻰ‌شود‌که‌تابع ‪‌ f ( x) = x 2‬در‌انتروال )‪, 0‬‬ ‫متزاﻳد‌مﻰ‌باشد‪‌،‬اما‌تابع‌ ‪‌ f ( x) = x 2‬در‌انتروال‌ )‪, 0‬‬

‫‪1< 2‬‬ ‫)‪f ( 1) < f (2‬‬ ‫‪1< 4‬‬

‫( ‌متناقص‌و‌در‌انتروال‌ ) ‪‌ (0 ,‬‬ ‫( متزاﻳد‌و‌در‌انتروال‌ ) ‪‌ (0 ,‬‬

‫متناقص‌مﻰ‌باشد‪‌.‬‬ ‫فعاﻟﻴت‬ ‫در‌اشکال‌داده‌شده‌در‌‬ ‫کدام‌انتروال‌گراف‌تابع‌‬ ‫متزاﻳد‌و‌در‌کدام‌انتروال‌‬ ‫متناقص‌مﻰ‌باشد‌و‌کدام‌‬ ‫گراف‌نه‌متزاﻳد‌و‌نه‌‬ ‫متناقص‌مﻰ‌باشد؟‬ ‫تﻮابع جفت و تاق(‪)Even and odd functions‬‬ ‫‪‌-‌1‬تابع‌ )‪‌ f (x‬ﻳک‌تابع‌جفت‌مﻰ‌باشد؛‌اگر‪‌ f ( x) = f ( x) ‌:‬باشد‌بدﻳن‌معنﻰ‌اگر‌در‌‬ ‫تابع ‪‌ x‬را‌به‌ ‪‌‌ x‬عوض‌کنﻴم‌درقﻴمت‌تابع‌تغﻴﻴر‌وارد‌نمﻰ‌شود‪‌.‬‬ ‫‪‌-‌2‬تابع )‪‌ f (x‬ﻳک‌تابع‌تاق‌مﻰ‌باشد؛‌اگر‪‌‌ f ( x) = f ( x) ‌:‬باشد‪‌،‬ﻳعنﻰ‌اگر‌درتابع‌ ‪‌ x‬‬ ‫را‌به‌ ‪‌‌ x‬عوض‌کنﻴم‌قﻴمت‌تابع‌منفﻰ‌مﻰ‌شود‪‌.‬‬

‫‪94‬‬

‫ﻣثال‪‌:1‬در‌توابع ‪ f ( x) = x 2‬و ‪‌ f ( x ) = x 3‬کدام‌‬ ‫تابع‌جفت‌و‌کدام‌تابع‌تاق‌مﻰ‌باشد؟‬ ‫حل‪‌:‬در‌هر‌دو‌تابع ‪‌‌ x‬را ‪‌ x‬عوض‌مﻰ‌کنﻴم‪‌.‬‬ ‫‪f ( x ) = ( x ) 3 = ( x )( x )( x ) = x 3‬‬

‫پس‌تابع‌ ‪‌ f ( x) = x 3‬ﻳک‌تابع‌تاق‌مﻰ‌باشد‪‌،‬‬ ‫زﻳرا‌ )‪‌‌ f ( x) = f ( x‬مﻰ‌شود‪‌‌.‬مثل‌‬ ‫‪f(2)= 8‬‬

‫= ) ‪ f ( 2‬و ‪f ( x) = x 2‬‬

‫و‌در‌تابع‌‌ ‪‌ f ( x) = x 2‬دارﻳم‌که‪‌‌:‬‬ ‫‪f ( x ) = ( x ) 2 = ( x )( x ) = x 2‬‬

‫پس‌تابع‌ ‪‌ f ( x) = x 2‬ﻳک‌تابع‌جفت‌مﻰ‌باشد‪‌‌،‬زﻳرا‌‬ ‫)‪‌ f ( x) = f ( x‬است‪f ( 2) = f (2) = 4 .‬‬

‫مشاهده‌مﻰ‌شودکه‌گراف‌توابع‌جفت‌نظر‌به‌محور‌‪‌Y‬‬ ‫و‌گراف‌توابع‌تاق‌نظر‌به‌مبدأ‌کمﻴات‌وضعﻴه‌متناظر‌‬ ‫مﻰ‌باشند‪.‬‬

‫ﻣثال‪‌:2‬در‌توابع‌ ‪‌ f ( x) = x 2 4‬و‌‬ ‫‪‌ g ( x) = x 2 + 3x + 2‬کدام‌ﻳک‌جفت‌و‌کدام‌‬ ‫ﻳک‌تابع‌تاق‌مﻰ‌باشد؟‬ ‫حل‪‌ f ( x) = ( x) 2 4 = x 2 4 = f ( x) :‬‬ ‫پس‌اﻳن‌تابع‌جفت‌مﻰ‌باشد‪‌.‬‬ ‫و‌درشکل‌نﻴز‌مشاهده‌مﻰ‌شود‌که‌در‌دو‌نقطه‌‌ )‪‌ (3 , 5‬‬ ‫و‌ )‪‌ ( 3 , 5‬براى‌ ‪‌ x = 3‬و‌ ‪‌ x = 3‬قﻴمت‌تابع‌باهم‌‬ ‫مساوى‌است‌که‌عبارت‌از‌عدد‌‪‌‌5‬مﻰ‌باشد‪‌،‬ﻳعنﻰ‌‬

‫‪95‬‬

‫‪ f ( 3) = f (3) = 5‬همچنﻴن‌در‌ ‪‌‌ x = 2‬و‌ ‪‌‌ x = 2‬قﻴمت‌تابع‌باهم‌مساوى‌است‌که‌صفر‌‬ ‫مﻰ‌باشد‪‌.‬در‌نتﻴجه‌تابع‌جفت‌مﻰ‌باشد‪‌.‬‬ ‫‪‌ g( x ) = ( x ) 2 + 3( x ) + 2 = x 2 3x + 2‬که‌اﻳن‌تابع‌نه‌جفت‌است‌و‌نه‌تاق‪.‬‬ ‫ﻣثال‪ :3‬اگر‌‪‌f‬از‌اعداد‌حقﻴقﻰ‌به‌اعداد‌حقﻴقﻰ‌ﻳک‌تابع‌تاق‌باشد‪‌.‬قﻴمت‌‪‌k‬رادرﻳابﻴد‌طورى‌‬ ‫که‪‌‌ f ( 2) = k + 5 :‬و‌ ‪‌ f (2) = 2k + 3‬باشد‪‌.‬‬ ‫حل‪ :‬چون‌‪‌f‬ﻳک‌تابع‌تاق‌مﻰ‌باشد‪‌.‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫)‪f (2‬‬ ‫)‪(2k + 3‬‬ ‫‪2k 3‬‬

‫‌(نظر‌به‌تعرﻳف‌تابع‌تاق)‬

‫‌‬

‫= )‪f ( x‬‬ ‫= )‪f ( 2‬‬ ‫= ‪k +5‬‬ ‫= ‪k +5‬‬ ‫‪3k = 8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫=‪k‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‌‬

‫اگر‌درتابع‌ )‪‌ x1 < x2 ‌‌،‌ f (x‬باشد‌ونتﻴجه‌شود‌که‌ ) ‪‌‌ f ( x1 ) < f ( x2‬است‌تابع‌متزاﻳد‌و‌اگر‌‬ ‫‪‌‌ x1 < x2‬باشد‌و‌درنتﻴجه‌ ) ‪‌‌ f ( x1 ) > f ( x2‬شود‌تابع‌متناقص‌وهم‌اگر‌ )‪‌ f ( x) = f ( x‬‬ ‫باشد‌تابع‌ )‪‌‌ f (x‬جفت‌و‌اگر‌ ) ‪‌‌ f ( x ) = f ( x‬شود‌تابع‌ )‪‌‌ f (x‬تاق‌مﻰ‌باشد‪‌.‬‬ ‫گراف‌توابع‌جفت‌نظر‌به‌محور‌‪‌Y‬و‌گراف‌توابع‌تاق‌نظر‌به‌مبداء‌کمﻴات‌وضعﻴه‌متناظر‌‬ ‫مﻰ‌باشند‪.‬‬

‫تﻤرﻳﻦ‬ ‫‪‌-‌1‬کدام‌ﻳک‌از‌توابع‌زﻳر‌متزاﻳد‪‌،‬متناقص‌و‌کدام‌ﻳک‌نه‌متزاﻳد‌و‌نه‌متناقص‌مﻰ‌باشد؟‬ ‫‪x4‬‬

‫‪f ( x) = x 2‬‬

‫‪,‬‬

‫‪f ( x) = x 2 + x‬‬

‫‪,‬‬

‫‪f ( x) = x 3 + x‬‬

‫‌‬

‫‪‌-‌2‬کدام‌ﻳک‌از‌توابع‌زﻳر‌داده‌شده‪‌،‬جفت‌و‌کدام‌ﻳک‌تاق‌مﻰ‌باشد؟‌‬ ‫‪f ( x) = x 5‬‬

‫‪,‬‬

‫‪f ( x) = x 4‬‬

‫‪,‬‬

‫| ‪f ( x) =| x‬‬

‫‪,‬‬

‫‪f ( x) = x‬‬

‫‪96‬‬

‫اﻧتقال (‪ )Translation‬گرافﻫا‬

‫آﻳا‌‌مﻰ‌توانﻴد‌بگوﻳﻴد‌که‌گراف‌هاى‌داده‌‬ ‫شده‌باهم‌چه‌رابطه‌دارند؟‬

‫فعاﻟﻴت‬ ‫گراف‌تابع‌ ‪‌‌ f ( x) = x 2‬را‌رسم‌کنﻴد‪‌.‬‬ ‫گراف‌تابع‌ ‪‌‌ f ( x ) = x 2 + 4‬را‌رسم‌کنﻴد‪.‬‬ ‫گراف‌تابع‌‌ ‪‌ f ( x) = x 2 4‬را‌رسم‌کنﻴد‪.‬‬ ‫بگوﻳﻴد‌که‌اﻳن‌گراف‌ها‌باهم‌چه‌رابطه‌دارند؟‬ ‫اگرگراف ‪ ‌ f ( x) = x 2‬را‌ رسم‌ نماﻳﻴم‌ چطور‌ مﻰ‌توانﻴم‌ که‌ از‌ انتقال‌ گراف ‪‌ f ( x) = x 2‬‬ ‫گراف‌ تابع ‪ f ( x) = x 2 4‬را‌ رسم‌ نماﻳﻴم‪ ‌.‬براى‌ هر‌ نقطة ) ‪ ‌ ( x , y‬گراف ‪ ‌ y = x 2‬نقطه‌‬ ‫مربوط )‪‌ ( x , y 4‬باﻻى‌گراف‌ ‪‌ y = x 2 4‬قرار‌دارد‪‌،‬پس‌هر‌نقطة‌گراف ‪‌‌ y = x 2‬به‌‬ ‫اندازة‌‪‌4‬واحد‌به‌طرف‌پاﻳﻴن‌انتقال‌مﻰ‌کند‌تا‌گراف ‪‌ y = x 2 4‬به‌دست‌آﻳد‌طورى‌که‌‬

‫‪97‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫| ‪f ( x ) =| x‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪0 1 2 3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪f (x) = 0 1 2 3‬‬

‫‪1 2‬‬

‫‪f ( x ) =| x | +4‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪0 1‬‬

‫درشکل‌مشاهده‌مﻰ‌شود‪‌.‬اﻳن‌انتقال‌به‌نام‌انتقال‌عمودى‌‬ ‫‪f (x) = 4 5 5 6 6‬‬ ‫ﻳاد‌مﻰ‌شود‪‌.‬‬ ‫انتقال‌به‌‪‌2‬قسم‌است‌انتقال‌عمودى‌و‌انتقال‌افقﻰ‪‌:‬‬ ‫‪y = f (x) = x‬‬ ‫‪y = f ( x) = x‬‬ ‫‌‬ ‫‌‬ ‫‪ ‌:)Vertical‬انتقال‌‬ ‫عﻤﻮدى‌‬ ‫(‪x Translation‬‬ ‫‪ x‬اﻧتقال ‪1‬‬ ‫‪0 0.5 0.8‬‬ ‫‪1,1‬‬ ‫‌باشد‪‌.‬‬ ‫ﻰ‬ ‫عمودى‌ﻳا‌به‌طرف‌باﻻ‌و‌ﻳا‌به‌طرف‌پاﻳﻴن‌م‬ ‫‪f‬‬ ‫‪(x‬‬ ‫)‬ ‫‪y = f(x) 0 0.5 0.8 1‬‬ ‫‪0 ,1‬‬ ‫هرگاه‌ ‪‌‌ c > 0‬باشد‪‌.‬‬ ‫‪‌:1‬اگر‌گراف‌تابع‌ ) ‪‌ y = f ( x‬به‌اندازة‌عدد‌‪‌c‬به‌طرف‌‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1 2 4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫باﻻ‌انتقال‌شده‌باشد‪‌.‬گراف ‪‌ y = f ( x) + c‬به‌دست‌‬ ‫‪f ( x) 2 3 5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫مﻰ‌آﻳد‪‌.‬‬ ‫‪‌:2‬اگر‌گراف‌تابع ) ‪‌ y = f ( x‬به‌اندازة‌عدد‌‪‌c‬به‌طرف‌‬ ‫پاﻳﻴن‌ انتقال‌ شده‌ باشد‌ گراف ‪ ‌ y = f ( x) c‬به‌ دست‌‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪0 1 1 2‬‬ ‫م‪x‬ﻰ‌آﻳد‪2 .‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻣثال‪‌:1‬گراف‌توابع‌ ‪‌ 0y = 1x 2 +12‬و‪‌‌ yf =( xx)2= x32‬با‌گراف‌تابع ‪ y = x 2‬چه‌رابطه‌دارد؟‌هر‌‬ ‫‪f (x) = x 2 0‬‬ ‫‪4 4‬‬ ‫سه‌گراف‌را‌در‌عﻴن‌سﻴستم‌کمﻴات‌وضعﻴه‌رسم‌نماﻳﻴد‪.‬‬

‫‪1< 2‬‬

‫> )‪f ( 1‬‬

‫‪1> 4‬‬

‫حل‪‌:‬اگر‌گراف‌تابع ‪1 < 2 y = x 2‬‬ ‫‌را‌به‌اندازة‌(‪‌)2‬واحد‌به‌طرف‌باﻻ‌انتقال‌دهﻴم‌گراف‌تابع‌‬ ‫)‪f ( 1) < f (2‬‬

‫‪‌ y = x 2 + 2‬به‌دست‌مﻰ‌آﻳد‌و‌اگر‌گراف‌تابع‌ ‪‌ y = x 2‬را‌به‌اندازة‌(‪‌)‌3‬واحد‌به‌طرف‌‬ ‫‪1< 4‬‬

‫پاﻳﻴن‌انتقال‌دهﻴم‌گراف‌تابع‌ ‪‌‌ y = x 2 3‬به‌دست‌مﻰ‌آﻳد‪‌.‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫=‪x‬‬ ‫‪y=x‬‬ ‫‪y = x2 + 2‬‬ ‫‪y = x2 3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫ﻳا‌انتقال‌عمودى‌را‌اﻳن‌طور‌نﻴز‌مﻰ‌توان‌تعرﻳف‌کرد‪:‬‬ ‫اگر‌درگراف‌تابع‌به‌عوض‌ ‪‌‌y – a‌‌، y‬وضع‌شود‌که‌‪‌a‬ﻳک‌عدد‌ثابت‌مﻰ‌باشد‪‌،‬اگر‌‪a>0‬‬

‫‪98‬‬

‫باشد‪‌،‬گراف‌طور‌عمودى‌به‌اندازة‌‌ | ‪‌ | a‬به‌طرف‌باﻻ‌انتقال‌مﻰ‌کند‌و‌اگر‌ ‪‌‌ a < 0‬باشد‌به‌‬ ‫اندازه‌ | ‪‌ | a‬طور‌عمودى‌طرف‌پاﻳﻴن‌انتقال‌مﻰ‌کند‪‌.‬‬ ‫ﻣثال‪‌:2‬از‌انتقال‌گراف ‪‌ y = x 2‬گراف‌هاى‌توابع ‪‌ y = x 2 + 4‌ y = x 2 2 , y = x 2 + 2‬‬ ‫و‌ ‪‌‌ y = x 2 4‬را‌در‌عﻴن‌سﻴستم‌کمﻴات‌وضعﻴه‌رسم‌وبا‌همدﻳگر‌مقاﻳسه‌کنﻴد‪‌‌.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y = x2 2 y = x 4‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪y = x2 + 2 y = x + 4‬‬

‫‪y = x2‬‬

‫‪x‬‬

‫‪y‬‬

‫‪x‬‬

‫‪y‬‬

‫‪x‬‬

‫‪y‬‬

‫‪x‬‬

‫‪4‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪4‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪±1‬‬ ‫‪±2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪±1‬‬ ‫‪±2‬‬

‫‪y‬‬

‫‪0‬‬

‫‪x‬‬

‫‪y‬‬

‫‪±1 5‬‬ ‫‪±2 8‬‬

‫‪±1 3‬‬ ‫‪±2 6‬‬

‫‪±1 1‬‬ ‫‪±2 4‬‬

‫‪0‬‬

‫اﻧتقال افقﻰ‪) Horizontal Translation( :‬‬ ‫اگر‌درگراف‌تابع‌به‌عوض‌ ‪‌‌x – b‌‌، x‬وضع‌شود‌که‌‪‌b‬ﻳک‌عدد‌ثابت‌است‌گراف‌تابع‌‬ ‫به‌اندازة‌ | ‪‌‌ | b‬طور‌افقﻰ‌انتقال‌مﻰ‌کند‪‌.‬اگر ‪‌ b > 0‬باشد‌گراف‌به‌طرف‌راست‌و‌اگر‌‬ ‫‪‌‌ b < 0‬باشد‌گراف‌به‌طرف‌چپ‌انتقال‌مﻰ‌کند‪‌.‬‬ ‫ﻣثال‪‌:3‬از‌انتقال‌گراف‌ ‪‌ y = x 2‬گرا‌ف‌توابع‌ ‪‌ y = ( x + 2) 2‬و ‪‌‌ y = ( x 3) 2‬را‌رسم‌‬ ‫کنﻴد‪‌.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫حل‪‌:‬طورى‌که‌درشکل‌مشاهده‌مﻰ‌شود‌‪‌،‬اگر‌گراف‌تابع‌ ‪‌‌ y = x‬به‌اندازة‌‪‌2‬واحد‌‬

‫‪99‬‬

‫به‌ طرف‌ چپ‌ انتقال‌ داده‌ شود‌ گراف ‪ ‌ ‌ y = ( x + 2) 2‬به‌ دست‌ مﻰ‌آﻳد‪ ‌.‬اگر‌ گراف‌‬ ‫‪‌ y = x 2‬به‌اندازة‌‪‌3‬واحد‌به‌طرف‌راست‌انتقال‌داده‌شود‌گراف‌تابع‌ ‪‌ y = ( x 3)2‬‬ ‫به‌دست‌مﻰ‌آﻳد‌طورى‌که‌در‌شکل‌نﻴز‌مشاهده‌مﻰ‌شود‪‌.‬‬ ‫‪....‬‬ ‫‪....‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪....‬‬ ‫‪....‬‬

‫‪2 0‬‬ ‫‪0 4‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪y = ( x + 2) 2‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪3 4 2 5 1‬‬ ‫‪0 1 1 4 4‬‬

‫=‪x‬‬ ‫‪y = ( x 3) 2‬‬

‫‪0‬‬

‫فعاﻟﻴت‬ ‫از‌انتقال‌گراف‌تابع‌ | ‪‌‌ f ( x) =| x‬گراف‌توابع‌ | ‪‌‌ g ( x) =| x + 2‬و‌ | ‪‌‌ h( x) =| x 3‬را‌‬ ‫در‌عﻴن‌سﻴستم‌کمﻴات‌وضعﻴه‌رسم‌کنﻴد‪‌.‬‬ ‫ترکﻴب اﻧتقال عﻤﻮدى و افقﻰ‬ ‫(‪)Combining Horizontal and Vertical shifts‬‬ ‫ﻣثال‪‌:4‬گراف‌توابع‌ ‪‌‌ g( x ) = ( x + 1) 2‬و‌ ‪‌‌‌ h( x) = ( x + 1) 2 3‬را‌رسم‌کنﻴد‪‌.‬‬ ‫حل‪ :‬در‌اول‌گراف‌تابع ‪‌‌ f ( x) = x 2‬را‌رسم‌مﻰ‌نماﻳﻴم‌که‌به‌نام‌گراف‌معﻴارى‌تابع‌درجه‌‬ ‫دوم‌ﻳاد‌مﻰ‌شود‪‌.‬حال‌به‌روى‌گراف‌سه‌نقطه‌ )‪‌‌ (2 , 4) , (0 , 0‬و‌ )‪‌‌ ( 2 , 4‬را‌مشخص‌‬ ‫مﻰ‌نماﻳﻴم‪‌.‬‬

‫بعد‌گراف‌تابع‌ ‪‌‌ g ( x) = ( x + 1) 2‬را‌رسم‌مﻰ‌نماﻳﻴم‪‌،‬با‌ناحﻴة‌تعرﻳف‌تابع‌ ‪‌ f ( x) = x 2‬‬

‫‪100‬‬

‫عدد‌(‪‌)1‬را‌جمع‌مﻰ‌نماﻳﻴم‌تا‌گراف‌ ‪‌‌ f ( x) = x 2‬به‌اندزة‌ﻳک‌واحد‌به‌طرف‌چپ‌‬ ‫انتقال‌شود‌که‌درشکل‌دوم‌نشان‌داده‌شده‌است‪‌.‬‬ ‫سپس‪‌،‬براى‌ترسﻴم‌گراف‌‌ ‪‌ f ( x) = ( x + 1) 2 3‬گراف‌شکل‌دوم‌را‌به‌اندازة‌‪‌3‬واحد‌به‌‬ ‫طور‌عمودى‌به‌طرف‌پاﻳﻴن‌انتقال‌مﻰ‌کند‌که‌گراف‌آن‌درشکل‌سوم‌نشان‌داده‌شده‌است‪‌‌‌‌‌‌.‬‬ ‫‪f ( x ) = ( x + 1) 2 3‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f (x) 1 1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪g ( x ) = ( x + 1) 2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪f (x) 0 4‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪f (x) = x 2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪0 2‬‬ ‫‪f (x) 0 4‬‬

‫ﻣثال‪ :5‬از‌انتقال‌گراف‌تابع‌ | ‪‌‌ y =| x‬گراف‌تابع‌ ‪‌‌‌ y =| x + 3 | +2‬را‌رسم‌کنﻴد‪.‬‬ ‫‪3 3 2‬‬ ‫‪3 3 2‬‬ ‫‪2 8 7‬‬

‫‪101‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫| ‪y =| x‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪y =| x + 3 | +2 5 6‬‬

‫اﻧتقال بﻪ (‪ )2‬ﻧﻮع ﻣﻰباشد (عﻤﻮدى و افقﻰ )‬ ‫انتقال‌عمودى‪‌:‬هرگاه‌‪‌c‬ﻳک‌عدد‌مثبت‌باشد‪‌.‬‬

‫‪‌-‌1‬اگر‌گراف‌تابع‌ )‪‌‌ y = f (x‬به‌اندازة‌‪‌c‬واحد‌به‌شکل‌عمودى‌به‌طرف‌باﻻ‌انتقال‌‬ ‫شود‌گراف‌تابع‌ ‪‌‌ y = f ( x) + c‬به‌دست‌مﻰ‌آﻳد‪‌.‬‬ ‫‪‌-‌2‬اگر‌گراف‌تابع‌ )‪‌‌ y = f (x‬به‌اندازة‌‪‌c‬واحد‌به‌گونة‌عمودى‌به‌طرف‌پاﻳﻴن‌انتقال‌‬ ‫شود‪‌.‬گراف‌تابع‌ ‪‌‌ y = f ( x) c‬به‌دست‌مﻰ‌آﻳد‪‌.‬‬ ‫‌انتقال‌افقﻰ‪‌:‬هرگاه‌‪‌c‬ﻳک‌عدد‌مثبت‌باشد‪‌.‬‬ ‫‪‌-‌1‬اگر‌گراف‌تابع‌ )‪‌‌ y = f (x‬به‌اندازة‌‪‌c‬واحد‌به‌طرف‌چپ‌انتقال‌داده‌شود‌گراف‌‬ ‫تابع‌ )‪‌‌ y = f ( x + c‬به‌دست‌مﻰ‌آﻳد‪.‬‬

‫‪‌-‌2‬اگر‌گراف‌تابع‌ )‪‌‌ y = f (x‬به‌اندازة‌‪‌c‬واحد‌به‌طرف‌راست‌انتقال‌شود‌گراف‌‬ ‫تابع‌ )‪‌‌ y = f ( x c‬به‌دست‌مﻰ‌آﻳد‪‌.‬‬ ‫تﻤرﻳﻦ‬ ‫‪‌-‌1‬از‌انتقال‌گراف‌تابع‌ ‪‌‌ y = x 2‬گراف‌هاى‌توابع‌زﻳر‌را‌رسم‌کنﻴد‪‌:‬‬ ‫‪g( x ) = ( x 2) 2‬‬

‫‪g( x ) = x 2 1‬‬

‫‪g( x ) = x 2 2‬‬

‫‪‌-‌2‬گراف‌تابع ‪‌ f ( x) = x‬را‌رسم‌کنﻴد‌و‌از‌انتقال‌آن‌گراف‌هاى‌توابع‌‬ ‫‪‌‌ f ( x ) = x + 2‬و‌‌ ‪‌ f ( x ) = x + 2‬را‌رسم‌کنﻴد‪‌.‬‬ ‫‪‌-‌3‬گراف‌تابع‌ | ‪‌‌ f ( x) =| x‬را‌رسم‌کنﻴد‌و‌از‌انتقال‌اﻳن‌گراف‌‪‌،‬گراف‌هاى‌توابع‌‬ ‫‪‌‌ g( x ) =| x + 4 | , g( x ) =| x | +4‬و‌ ‪‌ h ( x ) = x 4‬را‌رسم‌کنﻴد‪.‬‬ ‫‪‌-‌4‬از‌انتقال‌گراف‌تابع ‪، f ( x) = x3‬گراف‌هاى‌توابع‌ ‪‌ g ( x) = x3 3‬و‌‌‬ ‫‪‌ g ( x) = ( x 3) 3‬را‌رسم‌کنﻴد‪‌.‬‬

‫‪102‬‬

‫عﻤﻠﻴﻪﻫاى تﻮابع‬

‌ g( x ) = 2x + 11 ‫ ‌و‬f ( x) = x + 2 ‌‫اگر‬ ‌‫( ‌را‬f g ) ( x ) ‫( و‬f + g)( x ) .‫باشد‬ ‫درﻳافت‌کرده‌مﻰتوانﻴد؟‬

.‫عملﻴه‌هاى‌چهارگانة‌توابع‌طور‌ذﻳل‌تعرﻳف‌شده‌اند‬ (f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x )

g )( x ) = f ( x ) g ( x ) f f (x) (g( x ) (f g )( x ) = f ( x ) . g ( x ) ( )( x ) = g g( x ) dom (f + g )( x ) = dom f I dom g (f

0)

dom (f g )( x ) = dom f I dom g dom (f g )( x ) = dom f I dom g f

‌ dom ( g )( x ) = dom f I dom g

{ x / g( x ) = 0 }

‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌

‌‫( ‌را‌درﻳابﻴد‌و‌نﻴز‬f + g)( x ) ‌،‫ ‌‌باشد‬g ( x) = x 2 4 ‌‫ ‌و‬f ( x) = 2 x + 1 ‌‫‌اگر‬:1‫ﻣثال‬ .‫( را‌تعﻴﻴن‌کنﻴد‬f + g)( x ) ‌‫ساحة‌تعرﻳف‌تابع‬ ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ ‫حل‬ (f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x )

(f + g )( x ) = (2 x + 1) + ( x 2 4) = 2 x 3 + x 2 = x 2 + 2 x 3 ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ dom g = IR dom f = IR ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ dom(f + g )( x ) = IR I IR = IR ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌

‌ (f + g)(3) ‌‫( ‌‌و‬f + g)(x ) ‌.‫ ‌‌‌باشد‬g ( x) = 4 x + 5 ‌‫ ‌و‬f ( x) = x 2 3 ‌‌‫‌اگر‬:2‫ﻣثال‬ ‌.‫را‌درﻳابﻴد‬

103

‫حل‬

(f + g )( x ) = ( x 2 3) + (4 x + 5) = x 2 + 4 x + 2 (f + g )(3) = 32 + 4(3) + 2 = 9 + 12 + 2 = 23

‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌

dom g = IR dom f = IR ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ ‌ dom(f + g)(x ) = IR I IR = IR ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌

‫فعاﻟﻴت‬ ‌.‫( ‌را‌درﻳابﻴد‬f + g )( 4) ‫( ‌و‬f + g)( x ) ‫ ‌باشد‬g ( x) = 2 x + 7 ‫ ‌و‬f ( x ) = 3x 2 + 4x 1‫اگر‬ ‌.‫ ‌باشد‬g ( x) = x 2 + x 2 ‌‌‫ ‌و‬f ( x) = 2 x 1 ‫‌اگر‬:3‫ﻣثال‬ ‌‫ ( ‌را‌درﻳابﻴد‌و‌ناحﻴه‌هاى‌تعرﻳف‌اﻳن‌توابع‌را‌نﻴز‬f )( x ),‫و‬, (f g)( x ) (f g)( x ) ، g

.‫تعﻴﻴن‌کنﻴد‬ ‫حل‬ (f g ) x = (2 x 1) ( x 2 + x 2) = 2 x 1 x 2 dom(f g )( x ) = IR I IR = IR

x + 2 = x2 + x +1

‌‌‌‌‌‌ ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ .‫ ‌مﻰ‌باشد‬dom g = IR ‫ ‌و‬dom f = IR ‌‫چون‬ dom(f g )( x ) = IR I IR = IR ‌ f 2x 1 2x 1 ‌ ( )x = 2 = g x + x 2 ( x + 2)( x 1) ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ f

(f g ) x = (2 x 1)( x 2 + x 2) = 2 x 3 + x 2 5x + 2

f dom( )(x ) = {x IR / x g

dom( )( x ) = IR I IR {x / g ( x ) = 0} g ‌‌‌ 2 ‫ و‬x 1 }‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌

‫فعاﻟﻴت‬ ‌‫( ‌‌را‬f g)( x )

104

f (f g )( x ) ( )( x ) ‌،‫ ‌‌باشند‬g ( x) = x 2 1 ‌‫ ‌‌و‬f ( x) = x 5 ‌‫اگر‬ g ‌.‫درﻳابﻴد‬

(f

‌.‫ ‌‌باشد‬g ( x) = x 1 ‌‫ ‌‌و‬f ( x) = x + 3 ‌‫‌اگر‬:4‫ﻣثال‬ ‌.‫ ( ‌‌را‌درﻳابﻴد‬f )(x ) ‫( و‬f g)( x ))‌، (f g)(x ) g ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‫حل‬

g ) ( x) = f ( x) g ( x) = x + 3 ( x 1) = x + 3 x + 1 = 4

( f g ) ( x) = f ( x) g ( x) = ( x + 3)( x 1) = x 2 + 2 x 3

‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ ‌‫‌هر‌عدد‌حقﻴقﻰ‌را‌گرفته‬x(‌‫ ‌تمام‌اعداد‌حقﻴقﻰ‌شامل‌مﻰ‌باشند‬f (x) ‫چون‌در‌ناحﻴة‌تابع‬ ‌ dom g = IR ‌‫ ‌به‌همﻴن‌ترتﻴب‬dom f = IR ‫مﻰ‌تواند)‌ﻳا‬

f f (x) x + 3 ( )( x ) = = g g( x ) x 1 f dom( )( x ) = IR {} 1 g ‌

x 1 dom (f g )( x ) = IR I IR = IR ‌‌‌‌‌ dom(f g) ( x ) = IR I IR = IR ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌

‌ dom( f )( x ) = {x IR / x 1}‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‫ﻳا‬ g ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ f dom( )( x ) = ( g

‌‫ ‌و‬f g f

, 1) U (1, ) ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‫ﻳا‬

g , f + g ‫ ‌‌باشد‬g ( x) = 3 + x ‌‫ ‌و‬f ( x) = 4 x ‌‌‫‌اگر‬:5‫ﻣثال‬ f ‌.‫‌را‌درﻳابﻴد‌و‌ناحﻴة‌تعرﻳف‌آن‌ها‌را‌تعﻴﻴن‌کنﻴد‬ g

‫حل‬ (f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x ) = 4 x + 3 + x (f

g )( x ) = f ( x ) g ( x ) = 4 x

3+ x

(f g )( x ) = f ( x ) g ( x ) = ( 4 x ) ( 3 + x ) = (4 x )(3 + x ) = 12 + x x 2 f f (x) ( )( x ) = = g g( x )

‌ dom f : {4 x

4 x 4 x = 3+ x 3+ x ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ 0 , x 4} ‫( ﻳا‬ , 4] ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌

‌‌‌‌‌‌‌‌

105

‫‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌)‬

‫‌‬ ‫‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‬ ‫‌‬

‫]‪,4] I [ 3, ) = [ 3,4‬‬

‫‪3,‬‬

‫[‬

‫ﻳا }‪3‬‬

‫‪0, x‬‬

‫‪dom g : {x / 3 + x‬‬

‫(‬

‫‌که‌ ]‪‌ [ 3 , 4‬ناحﻴة‌تعرﻳف‌توابع‌ ‪‌‌‌ f g , f + g‬و‌ ‪‌‌ f g‬مﻰ‌باشد‪‌.‬‬

‫‪f‬‬ ‫‪f‬‬ ‫) ‪‌ dom( )(x‬چون‌ ‪‌ g ( 3) = 0‬مﻰ‌باشد‪‌،‬پس‪‌ Dom = ( 3 , 4] ‌:‬مﻰ‌باشد‪‌.‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‌‬

‫حاصلضرب تابع با عدد ثابت‬ ‫اگر‌‪‌c‬ﻳک‌عدد‌ثابت‌و‌‪‌f‬ﻳک‌تابع‌باشد‪‌،‬پس‌حاصل‌ضرب‌آن‌عبارت‌است‌از‪:‬‬ ‫‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ ) ‪‌ (c f )( x ) = c f ( x‬‬ ‫ﻣثال‪ :6‬اگر‌ ‪‌ f ( x ) = x 3 x + 2‬و‌‌ ‪‌ c = 5‬باشد‪‌‌.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‌(5 f )( x ) = 5 f ( x ) = 5( x x + 2) = 5x 5x + 10‬‬

‫‌‌‌‌‌‌‌‌‬

‫تﻤرﻳﻦ‬ ‫توابع‌زﻳر‌را‌در‌نظر‌بگﻴرﻳد‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪‌ (f g)( x ) , (f g)( x ) , (f + g)( x ) ‌‌‌‌-‌1‬و‌‌ ) ‪‌ ( )(x‬را‌درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪‌-‌‌2‬ناحﻴة‌تعرﻳف‌آن‌ها‌را‌تعﻴﻴن‌کنﻴد‪‌.‬‬ ‫‪b : f ( x) = x 5 g ( x) = 3 x 2‬‬

‫‪g ( x) = x 1‬‬

‫‪g ( x) = x 5‬‬

‫‪d : f ( x) = x‬‬

‫‪g ( x) = x + 1‬‬

‫‪g ( x) = x 2 1‬‬

‫‪f : f ( x) = 3 x‬‬

‫‪g ( x) = x 1‬‬

‫‪a : f ( x) = 2 x + 3‬‬ ‫‪x 3‬‬

‫‪c : f ( x) = 2 x 2‬‬

‫‪e : f ( x) = x + 4‬‬

‫‪106‬‬

‫ترکﻴب تﻮابع ﻳا تﻮابع ﻣرکب‬ ‫‪composition of functions‬‬ ‫‪or composite functions‬‬

‫فعاﻟﻴت‬ ‫اگر‌ ‪‌ f ( x) = x 2 2‬و‌ ‪‌ g ( x) = x + 3‬باشد‪ ( f o g ) ( x) ‌.‬و ) ‪‌ (g o f ) ( x‬را‌درﻳابﻴد‪‌.‬‬ ‫در‌کدام‌حالت‌ ) ‪‌ (f o g)( x ) = (g o f ) ( x‬مﻰ‌باشد‪‌.‬‬ ‫) ‪ (f o f ) ( x‬و ) ‪ (g o g) ( x‬را‌درﻳابﻴد‪‌.‬‬

‫اگر‌‪‌f‬و‌‪‌g‬توابع‌از‌‪‌x‬باشند‪‌،‬ترکﻴب‌‪‌f‬با‌‪‌g‬را‌به‌اﻳن‌شکل‌ ) ‪ ( f o g‬ﻳا‌ ) )‪‌ f (g (x‬نشان‌‬

‫مﻰ‌دهند])‪‌ ( f o g ) ( x) = f (g ( x) ) = f [g ( x‬ناحﻴة‌تعرﻳف ) ‪ ( f o g ) ( x‬عبارت‌از‌‪‌x‬است‌‬ ‫که‌در‌ناحﻴة‌تعرﻳف‌‪‌g‬و‌ )‪‌‌ g (x‬درناحﻴة‌تعرﻳف‌‪‌f‬شامل‌باشد‪‌.‬‬ ‫ﻳا‌ناحﻴة‌تعرﻳف‌(‪dom g , g ( x ) dom f } :‌)f o g‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪IR / x‬‬

‫‪Dom (fog ) x = {x‬‬

‫‪ x‬در‌ناحﻴة‌تعرﻳف‌‪‌g‬شامل‌باشد‌‬

‫‪‌-‌2‬طورى‌که‌ )‪‌ g (x‬درناحﻴة‌تعرﻳف‌‪‌f‬شامل‌باشد‪‌.‬‬ ‫درشکل‌فوق‌تابع ) ‪‌ (f o g)(x‬توسط‌دو‌ماشﻴن‌نشان‌داده‌شده‌است‪‌.‬در‌ماشﻴن‌اول‌ورودى‌‬ ‫‪‌x‌،‬و‌(‪‌)out put‬عبارت‌از ) ‪‌ g( x‬مﻲ‌باشد‪‌.‬در‌ماشﻴن‌دوم(‪‌)input‬عبارت‌از‌‬ ‫) ‪x (input‬‬ ‫) ‪‌ g( x‬مﻰ‌باشد‌و‌(‪‌)Out put‬عبارت‌از‌ ) ‪‌ (fog )(x‬مﻰ‌باشد‪‌.‬اگر )‪‌ g (x‬در‌ناحﻴة‌تعرﻳف‌‬ ‫‪‌f‬شامل‌نباشد‪‌،‬پس‌در‌ماشﻴن‌دوم(‌‪‌)‌f‬داخل‌شده‌نمﻰ‌تواند‪.‬‬ ‫‌‬

‫‪107‬‬

‫ﻣثال‪‌:1‬اگر ‪‌ f ( x) = x 2 1‬و‌ ‪‌‌ g ( x) = 3x‬باشد‪‌ (f o g) ( x ) .‬و ) ‪‌ (g o f ) ( x‬را‌درﻳابﻴد‪‌.‬‬ ‫‌‬ ‫‪(f o g )( x ) = f (g ( x ) ) = f (3x ) = (3x ) 2 1 = 9 x 2 1‬‬ ‫‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪g‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪f‬‬ ‫()‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪g‬‬ ‫(‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪g‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‌‬ ‫‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‬ ‫مشاهده‌مﻰ‌شودکه‪:‬‬ ‫) ‪(f o g ) ( x ) (g o f ) ( x‬‬ ‫‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‌‬ ‫‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‬ ‫ﻣثال‪‌:2‬اگر‌‌ ‪‌ f ( x) = 3x 4‬و‌ ‪‌‌ g ( x) = x 2 + 6‬باشد ) ‪‌ (f o g )( x‬و ) ‪‌ (g o f )(x‬را‌‬ ‫درﻳابﻴد‪‌.‬‬ ‫حل‪‌:‬درحقﻴقت‌در ) ‪‌ (fog)(x‬تابع‌ )‪‌ g (x‬عوض‌(‪‌)Domain‬ﻳا‌‪‌x‬در‌تابع‌‪‌f‬وضع‌مﻰ‌شود‪.‬‬ ‫‌‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪f (g ( x ) ) = f ( x + 6 ) = 3( x + 6) 4 = 3x + 18 4 = 3x + 14‬‬

‫‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ ‪g(f ( x ) ) = (g o f ) ( x ) = g (3x 4) = (3x 4) 2 + 6 = 9 x 2 24 x + 22‬‬

‫واضح‌است‌که‌ناحﻴة‌تعرﻳف ) ‪ (f o g) ( x‬و ) ‪‌ (g o f )(x‬ست‌تمام‌اعداد‌حقﻴقﻰ‌مﻰ‌باشند‪‌.‬‬ ‫فعاﻟﻴت‬ ‫اگر‌ ‪‌‌ f ( x) = x + 6‬و‌ ‪‌‌‌ g ( x) = x 6‬باشد‌نشان‌دهﻴد‌که‌‌ ) ‪‌ (f o g )( x ) = (g o f )( x‬‬ ‫مﻰ‌باشد‪‌.‬‬ ‫ﻣثال‪‌:3‬اگر‌ ‪ g ( x) = 1 x‬و‌ ‪‌‌ f ( x) = x‬باشد‪‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ ‌.‬‬ ‫‌‌و‌‪‌‌gof‬را‌به‌دست‌‬ ‫در‌قدم‌اول‌ناحﻴة‌تعرﻳف‌توابع‌‪‌f o g‬و‌‪‌g o f‬را‌درﻳابﻴد‪‌.‬بعد‌ ‪f , f o g‬‬ ‫آورﻳد‪‌.‬‬

‫حل‪‌:‬ناحﻴة‌تعرﻳف‌‪‌f‬عبارت‌از‪) ‌:‬‬

‫‪‌ [0 ,‬و‌ناحﻴة‌تعرﻳف‌تابع‌‪‌g‬ست‌تمام‌اعداد‌حقﻴقﻰ‌‬

‫) ‪ ( ,‬مﻰ‌باشد‪.‬‬ ‫) ‪‌ Domf = [0,‬‬ ‫ﻳا‪Domg = ( , ) ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌:‬‬ ‫ﻳا‪‌ D om(f o g) = {x / x domg , g( x ) dom f }‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌:‬‬

‫‪108‬‬

‫‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌]‪,1‬‬

‫] ‪IR} = (0 ,‬‬

‫( =‪x 1‬‬ ‫‪0, x‬‬

‫‪1‬‬

‫‪x‬‬

‫‪0} ,‬‬

‫‪Dom(fog) = {x / x IR , 1 x‬‬

‫‪Dom (g o f ) = {x / x dom f , f ( x ) dom g} = {x / x‬‬ ‫‪(f o g ) ( x ) = f (1 x ) = 1 x‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪(g o f )(x ) = g ( x ) = 1‬‬

‫براى‌وضاحت‌بهتر‌ناحﻴة‌تعرﻳف‌تابع‌مرکب‌شکل‌زﻳر‌را‌مشاهده‌کنﻴد‪‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌:‬‬ ‫‌‌‌‌‌‌‌‌‬

‫ﻣثال‪ ‌:4‬اگر ‪ h( x) = 3x 2 + 1‬باشد‪ ‌:‬به‌ دو‌ طرﻳق‌ نشان‌ دهﻴد‌ که‌ تابع )‪ ‌ h(x‬از‌ ترکﻴب‌‬ ‫کدام‌دوتابع‌به‌دست‌آمده‌است؟‬ ‫حل‪‌:‬تابع )‪‌ h(x‬را‌مﻰ‌توان‌به‌شکل‌ترکﻴب‌دو‌تابع ) ‪ (g o f )(x‬و )‪ ( Jok )( x‬نوشت‪.‬‬ ‫طورى‌که‪‌ f ( x) = 3x 2 + 1 :‬و‌ ‪‌‌ g ( x) = x‬باشد‪‌.‬‬ ‫‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ ‪‌ (g o f )( x ) = g(f ( x ) ) = g(3x 2 + 1) = 3x 2 + 1‬‬ ‫به‌همﻴن‌ترتﻴب‌تابع )‪‌ h(x‬را‌مﻰ‌توان‌به‌شکل‌ترکﻴب‌دو‌تابع‌(‪‌)jok()x‬بنوﻳسﻴم‪‌.‬‬ ‫طورى‌که‪‌ j ( x) = x + 1 ‌‌:‬و‌ ‪‌‌ k ( x) = 3x 2‬باشد‌‌‬ ‫‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ ‪( j o k )( x ) = j(k ( x ) ) = j(3x 2 ) = 3x 2 + 1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻣثال‪‌:5‬اگر‌‬ ‫‪x+2‬‬ ‫) ) ‪(f o f )(2) , f (f ( x‬‬

‫= ) ‪2 ), f ( x‬‬

‫‪ (x‬باشد‪‌.‬‬

‫) ‪ (f o f o f )(x‬را‌درﻳابﻴد‪‌.‬‬

‫حل‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x+2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫= ‪(f o f )( x ) = x + 2 = x + 2‬‬ ‫‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ =‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x + 2x + 4 x + 2 3x + 4 3x + 4‬‬ ‫‪+2‬‬ ‫‪x+2‬‬ ‫‪x+2‬‬

‫‪109‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫= =‬ ‫‪3 2 + 4 10 5‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪3x + 4‬‬

‫= )‪(f o f )(2‬‬

‫= ) ‪(f o f ) ( x‬‬

‫? = )‪(f o f )(2‬‬ ‫= ) ‪(f o f o f )( x‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x+2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x+2‬‬ ‫‪x+2‬‬ ‫=‬ ‫= ‪= x+2‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪3x + 4 x + 8 x + 2 7 x + 8 7 x + 8‬‬ ‫‪)+4‬‬ ‫(‪3‬‬ ‫‪+4‬‬ ‫‪x+2‬‬ ‫‪x+2‬‬ ‫‪x+2‬‬

‫فعاﻟﻴت‬ ‫اگر‌ ‪ f ( x) = x 2 2‬و ‪‌ g ( x) = x + 3‬باشد‌ ) ‪‌، (g o f )( x ) , (f o g )( x‬‬ ‫)‪‌‌ (f o g)(3) (g o f )( 2‬را‌درﻳابﻴد‪‌.‬‬

‫تﻤرﻳﻦ‬ ‫‪‌-‌1‬اگر‌ ‪‌‌ f ( x) = 3x + 2‬و‌‌ ‪‌ g ( x) = x 3‬باشد‪‌:‬‬ ‫‪g‬‬ ‫) ‪( )(x‬‬ ‫‪f‬‬

‫‪,‬‬

‫‪(f g )(x ) ,‬‬

‫) ‪(g f )(x‬‬

‫‪,‬‬

‫) ‪(f g )(x‬‬

‫‪,‬‬

‫) ‪(f + g )(x‬‬

‫را‌درﻳابﻴد‌و‌نﻴز‌ناحﻴة‌تعرﻳف‌آن‌ها‌را‌تعﻴﻴن‌کنﻴد‪‌.‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪‌-‌2‬اگر‌ ‪‌‌ f ( x) = x 2 3‬و‌ ‪‌‌‌ g ( x) = x 3‬باشد ) ‪ ( )( x ) , (f g)( x‬و ) ‪‌ ( )( x‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪f‬‬ ‫را‌معلوم‌کنﻴد‪‌.‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪ ‌- ‌3‬اگر ‪ ‌ f ( x) = x 2 + 1‬و‌ = )‪ ‌ ‌ h( x) = 4 x 2 , g ( x‬و‌ ‪‌ k ( x) = 3x + 4‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪h‬‬ ‫باشد‌ناحﻴه‌هاى‌تعرﻳف‌توابع‌ ) ‪ (h k )( x ) , ( )( x ) , (f g)( x‬و ) ‪‌ ( )(x‬را‌درﻳابﻴد‪‌.‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪‌-‌4‬اگر‌ ‪‌‌ g ( x) = x 2 , f ( x) = 3x 2‬باشد‌‌ )‪‌ (g o f )(3‬و )‪‌ (f o g )(1‬را‌درﻳابﻴد‪‌.‬‬ ‫‪‌-‌5‬اگر‌ ‪‌‌ f ( x) = x‬و‌ ‪‌ g ( x) = 2 x‬باشد‌ ‪g o f , f o g‬‬

‫‪‌‌ f o f‬را‌درﻳابﻴد‪‌.‬‬

‫‪x‬‬

‫= ) ‪ g( x ) = x10 , f ( x‬و ‪ ‌ h( x) = x + 3‬باشد ) ‪ ‌ (f o g o h )( x‬را‌‬ ‫‪ ‌- ‌6‬اگر‌‬ ‫‪x +1‬‬ ‫‌‬ ‫درﻳابﻴد‪‌.‬‬

‫‪110‬‬

‫تابع ﻣعکﻮس‬ ‫(‪)Inverse Function‬‬

‫فعاﻟﻴت‬

‫‌‬

‫درشکل‌بﻴن‌دو‌تابع‌کدام‌رابطه‌وجود‌دارد؟‬ ‫آﻳا‌معکوس‌هر‌تابع‪‌،‬ﻳک‌تابع‌مﻰ‌باشد؟‬ ‫اگر‌معکوس‌ﻳک‌تابع‌نﻴز‌ﻳک‌تابع‌باشد‪‌.‬اﻳن‌گونه‌تابع‌را‌به‌کدام‌نام‌ﻳاد‌مﻰ‌کنند؟‬

‫اگر‌})‪ f = {(1, 2) (3 , 5) (6 ,7‬و‌})‪‌ g = {(2 ,1) (5 , 3) (7 , 6‬باشد‪‌،‬آﻳا‌تابع‌‪‌g‬معکوس‌‬ ‫تابع‌‪‌f‬مﻰ‌باشد‌ﻳاخﻴر؟‌چرا؟‌‬ ‫اگر ) ‪‌ (f o g)(x ) = (g o f )(x‬باشد‪‌،‬آﻳا‌تابع‌‪‌g‬معکوس‌تابع‌‪‌f‬مﻰ‌باشد؟‬ ‫در‌تصوﻳر‌فوق‌ﻳک‌ترمامﻴتر‌را‌مشاهده‌مﻰ‌کنﻴد‌و‌مﻰ‌دانﻴم‌که‌بﻴن‌درجه‌هاى‌حرارت‌سانتﻰ‌‬ ‫‪9‬‬

‫گرﻳد‌و‌فارنهاﻳت‌رابطه ‪‌ f = c + 32‬وجود‌دارد‌اگر‌اﻳن‌معادله‌براى‌(‪‌)c‬حل‌شود‌دارﻳم‌‬ ‫‪5‬‬ ‫که‪‌‌:‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪f = c + 32 f 32 = c + 32 32‬‬ ‫‌‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5 9‬‬ ‫)‪(f 32) = ( c‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9 5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪c = (f 32‬‬ ‫‪9‬‬

‫‌‬ ‫‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‬ ‫تابع‌‪‌c‬تابع‌معکوس‌تابع‌‪‌f‬مﻰ‌باشد‪‌.‬معکوس‌ﻳک‌رابطه ) ‪‌ ( x , y‬عبارت‌از‪‌ ( y , x) :‬مﻰ‌باشد‌‬ ‫که‌ناحﻴة‌تعرﻳف‌تابع‌معکوس‌عبارت‌از‌ناحﻴة‌قﻴمت‌هاى‌تابع‌و‌ناحﻴة‌قﻴمت‌هاى‌ﻳک‌تابع‌‬ ‫معکوس‌عبارت‌از‌ناحﻴة‌تعرﻳف‌تابع‌مﻰ‌باشد‪‌.‬‬

‫‪111‬‬

‫‪= dom f‬‬

‫‪1‬‬

‫‪‌‌ Range f‬و‌ ‪= Range f‬‬

‫‪1‬‬ ‫داده‌مﻰ‌شود‪‌‌.‬متوجه‌باشﻴد‌که‪‌‌:‬‬ ‫)‪f (x‬‬

‫‪‌‌ domain f‬معکوس‌تابع‌ ‪‌‌ f‬به‌ ‪‌ f 1‬نشان‌‬

‫‪1‬‬

‫) ‪(f 1 ( x‬‬

‫ﻣثال‪‌:1‬اگر‌تابع‌ })‪‌ f ( x ) = {(1,5)(3,7)(8, 10‬باشد‪‌.‬‬ ‫پس‌})‪‌ f 1 ( x ) = {(5 ,1) (7 , 3) ( 10 , 8‬مﻰ‌باشد‪:‬‬

‫‪(7 ) = 3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪f‬‬

‫‪1‬‬

‫‪f‬‬

‫‪1‬‬

‫‪f‬‬

‫‪(5) = 1‬‬

‫‪( 10) = 8‬‬

‫‪f (3) = 7‬‬ ‫‪f (1) = 5‬‬ ‫‪f (8) = 10‬‬

‫‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‬

‫مﻰ‌باشد؛‌پس ) ‪‌ f 1 ( x‬نﻴز‌ﻳک‌تابع‌مﻰ‌باشد‪‌،‬اما‌اگر‌})‪‌ f ( x) = {(1, 2 ) (3 , 2) (4 , 5‬باشد؛‌‬

‫})‪‌ f 1 ( x) = {(2 ,1) (2 , 3) (5 , 4‬مﻰ‌باشد‪‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌.‬‬

‫‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‬

‫مشاهده‌مﻰ‌شودکه‌ ) ‪‌ f 1 ( x‬ﻳک‌تابع‌نﻴست‪‌،‬زﻳرا‌که‌براى ‪‌ x = 2‬دو‌تصوﻳر‌مختلف‌در‌‬ ‫(‪‌)Range‬وجود‌دارد‪‌ f (2) = 3 ‌‌.‬و‌‪‌‌ f (2) = 1‬مﻰ‌باشد؛‌پس‌معکوس‌هر‌تابع‪‌،‬تابع‌نمﻰ‌باشد‌‬ ‫ﻳا‌به‌عبارت‌دﻳگر‪‌،‬هر‌تابع‌معکوس‌پذﻳر‌نمﻰ‌باشد‪‌.‬‬ ‫هرگاه‌در‌ﻳک‌تابع‌که‌به‌شکل‌جوره‌هاى‌مرتب‌داده‌شده‌باشد‌جاهاى‌عناصر‌اولﻰ‌و‌دومﻰ‌‬ ‫باهمدﻳگر‌عوض‌شود‌رابطه‌ﻳﻰ‌که‌به‌دست‌مﻰ‌آﻳد‌عبارت‌از‌معکوس‌تابع‌اولﻰ‌مﻰ‌باشد‪‌،‬‬ ‫تابعﻰ‌که‌معکوس‌آن‌نﻴز‌ﻳک‌تابع‌باشد‌گفته‌مﻰ‌شود‌که‌تابع‌معکوس‌پذﻳر‌است‪.‬‬ ‫ﻣثال‪ :2‬آﻳا‌توابع‌‪‌f‬و‌‪‌g‬که‌طور‌زﻳر‌به‌شکل‌جوره‌هاى‌مرتب‌داده‌شده‌اند‪‌.‬معکوس‌پذﻳر‌‬ ‫مﻰ‌باشند؟‬ ‫‌‌‌‌‌})‪‌ f = {(1, 2 ) , ( 2 , 3) , ( 3 ,1) , ( 0 , 1)} g = {(2 , 4) , (3 ,1) , ( 0 , 2) , (5 ,1‬‬ ‫حل‪‌:‬اگر‌جاهاى‌عناصر‌اولﻰ‌و‌دومﻰ‌جوره‌هاى‌مرتب‌را‌باهمدﻳگر‌تبدﻳل‌نماﻳﻴم‌دارﻳم‌که‪‌:‬‬

‫})‪= {(2 ,1) , ( 3 , 2) , (1, 3) , ( 1, 0‬‬

‫مشاهده‌ مﻰ‌شود‌ که‌‬ ‫جوره‌هاى‌مرتب‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪f‬‬

‫‪ ‌ f‬ﻳا‌ معکوس‌ تابع‌ ‪ ‌f‬نﻴز‌ ﻳک‌ تابع‌ مﻰ‌باشد‪ ‌،‬زﻳرا‌ که‌ عناصر‌ اولﻰ‌‬

‫‪‌ f‬تکرار‌نشده‌اند‌و‌})‪g 1 = {(4 , 2) , (1, 3) , ( 2 , 0) , (1, 5‬‬

‫مشاهده‌مﻰ‌شود‌که ‪ g 1‬ﻳا‌معکوس‌تابع‌‪‌،‌g‬تابع‌نﻴست؛‌زﻳرا‌که‌براى‌ ‪‌ x = 1‬دو‌قﻴمت‌‪‌3‬و‌‬ ‫‪‌5‬وجود‌دارد‪‌،‬پس‌تابع‌‪‌g‬معکوس‌پذﻳر‌نﻴست‪‌.‬‬

‫‪112‬‬

‫خﻼصه‌اﻳن‌که‌چون‌‪‌f‬تابع‌ﻳک‌به‌ﻳک‌بوده‪‌،‬درنتﻴجه‌معکوس‌پذﻳر‌است‪‌.‬و‌چون‌تابع‌‪‌g‬ﻳک‌‬ ‫به‌ﻳک‌نبوده‌معکوس‌پذﻳر‌نمﻰ‌باشد‪‌.‬‬ ‫ﻧتﻴجﻪ‪ :‬تنها‌معکوس‌تابع‌ﻳک‌به‌ﻳک‌‪‌،‬ﻳک‌تابع‌مﻰ‌باشد‪‌.‬‬ ‫تابع ﻳک بﻪ ﻳک(‪) one – to – one function‬‬ ‫ﻳک‌ تابع )‪ ‌ f (x‬تابع‌ ﻳک‌ به‌ ﻳک‌ مﻰ‌باشد‪ ‌،‬اگر‌ ‪x2‬‬

‫‪ ‌ x1‬باشد‌ درنتﻴجه ) ‪‌ f ( x1 ) f ( x2‬‬

‫شود‪.‬‬ ‫ﻳا‪‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ a b f (a) f (b) :‬‬ ‫و‌اگر‪‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ a = b f (a) = f (b) ‌:‬‬ ‫اگر‌ﻳک‌تابع‪‌،‬تابع‌ﻳک‌به‌ﻳک‌باشد‌در‌آن‌صورت‌معکوس‌آن‌نﻴز‌ﻳک‌تابع‌مﻰ‌باشد‪‌.‬‬ ‫ﻣثال‪‌:3‬اگر ‪ f ( x ) = 4x + 12‬و ‪‌ g( x ) = 25 x 2‬باشد‌نشان‌دهﻴد‌که‌کدام‌ﻳک‌از‌اﻳن‌‬ ‫توابع‪‌،‬تابع‌ﻳک‌به‌ﻳک‌مﻰ‌باشد‪‌.‬‬ ‫حل‪‌:‬اگر ‪‌ a b‬باشد‪ 4a + 12 4b + 12 ‌.‬مﻰ‌باشد‪‌.‬‬ ‫پس‌تابع )‪‌ f (x‬تابع‌ﻳک‌به‌ﻳک‌مﻰ‌باشد‪.‬‬ ‫طور‌مثال‪‌:‬اگر ‪‌ x = 2‬باشد‪‌ f (2) = 4(2) + 12 = 8 + 12 = 4 ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌:‬‬ ‫اگر‌ ‪‌‌‌ x = 3‬باشد‌‌‌‬ ‫‪f (3) = 4(3) + 12 = 12 + 12 = 0‬‬ ‫‌‬ ‫) ‪f (a ) f ( b‬‬ ‫‪4 0‬‬

‫‪a b‬‬ ‫‪2 3‬‬

‫‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‬ ‫پس‌تابع‌ )‪‌‌ f (x‬تابع‌ﻳک‌به‌ﻳک‌مﻰ‌باشد‪‌.‬و‌در‌ ‪‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ g( x ) = 25 x‬‬ ‫اگر‌ ‪‌ x = 3‬باشد‪‌ g(3) = 25 9 = 16 = 4 ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌.‬‬ ‫اگر‌ ‪‌ x = 3‬باشد‪‌ g( 3) = 25 9 = 16 = 4 ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌.‬‬ ‫)‪‌ f (3) = f ( 3‬اما‌ ‪‌‌‌‌‌ 3 3‬‬ ‫پس‌تابع‌ )‪‌‌ g (x‬تابع‌ﻳک‌به‌ﻳک‌نمﻰ‌باشد‪‌.‬‬ ‫‪2‬‬

‫فعاﻟﻴت‬ ‫اگر‌ ‪‌ f ( x ) = 3x + 8‬و ‪‌ g ( x) = x 2‬باشد‌نشان‌دهﻴد‌که‌کدام‌ﻳک‌از‌توابع‪‌،‬تابع‌ﻳک‌به‌ﻳک‌‬ ‫مﻰ‌باشد‌و‌کدام‌ﻳک‌از‌آن‌ها‌تابع‌ﻳک‌به‌ﻳک‌نﻴست؟‌چرا؟‬

‫‪113‬‬

‫تشخﻴص تابع ﻳک بﻪ ﻳک از روى گراف‬ ‫اگر‌خط‌افقﻰ‌موازى‌با‌محور‌‪‌x‬گراف‌تابع‌را‌درﻳک‌نقطه‌قطع‌کند‌اﻳن‌تابع‪‌،‬تابع‌ﻳک‌‬ ‫به‌ﻳک‌است‌و‌اگر‌خط‌افقﻰ‌گراف‌تابع‌را‌در‌اضافه‌تر‌از‌ﻳک‌نقطه‌قطع‌کند‌اﻳن‌گراف‪‌،‬‬ ‫گراف‌تابع‌ﻳک‌به‌ﻳک‌نﻴست‪.‬‬ ‫ﻣثال‪ :4‬در‌اشکال‌داده‌شده‌مشاهده‌مﻰ‌شود‌که‌خط‌موازى‌با‌محور‌‪‌x‬گراف‌تابع‌اولﻰ‌را‌‬ ‫درﻳک‌نقطه‌و‌گراف‌تابع‌دومﻰ‌را‌در‌دو‌نقطه‌قطع‌کرده‌است؛‌پس‌تابع‌اولﻰ‪‌،‬تابع‌ﻳک‌به‌‬ ‫ﻳک‌بوده‪‌،‬اما‌تابع‌دومﻰ‌تابع‌ﻳک‌به‌ﻳک‌نمﻰ‌باشد‪‌.‬‬ ‫در‌ﻳک‌نقطه‌قطع‌کرده‌است‬

‫در‌دو‌نقطه‌قطع‌کرده‌است‬

‫تعرﻳف تابع ﻣعکﻮس‪‌:‬اگر‌‪‌f‬ﻳک‌تابع‌ﻳک‌به‌ﻳک‌باشد‌که‌ناحﻴة‌تعرﻳف‌آن‌‪‌x‬و‌ناحﻴة‌‬ ‫قﻴمت‌هاى‌آن‌‪‌y‬باشـد‪‌،‬پس‌تابع‌‪‌g‬درصورتﻰ‌معکوس‌تابع‌‪‌f‬مﻰ‌باشـد‌که‌ناحﻴــة‌تعرﻳف‪‌،g‬‬ ‫‪‌y‬باشد‌و‌ناحﻴة‌قﻴمت‌هاى‌آن‌‪‌x‬باشد‌وﻳا‌ﻳک‌تابع‌‪‌g‬درصورتﻰ‌معکوس‌تابع‌‪‌f‬مﻰ‌باشد‌‬ ‫که‌اگر‪‌:‬‬ ‫‪(f o g )( x ) = x‬‬ ‫‌‬ ‫‪(g o f )( x ) = x‬‬

‫‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ ‪‌ (f o g)( x ) = (g o f )( x ) = x‬‬ ‫ﻣثال‪‌:5‬اگر ‪‌ f ( x) = 3x + 2‬باشد‌معکوس‌تابع )‪‌ f (x‬ﻳا‌‌ )‪‌ f 1 ( x‬را‌درﻳابﻴد‪‌.‬‬ ‫حل‬ ‫‌‬ ‫‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‬

‫‪y = f ( x ) = 3x + 2‬‬ ‫‪x = 3y + 2‬‬ ‫‪3y = x 2‬‬

‫‪x 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪114 1‬‬ ‫‪x 2 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪= x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f (f ( x )) = f (f ( x )) = x‬‬ ‫=‪y‬‬

‫‪y = f ( x ) = 3x + 2‬‬ ‫‪x = 3y + 2‬‬ ‫‪3y = x 2‬‬ ‫‪x 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x 2 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= )‪f 1 (x‬‬ ‫‪= x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f (f ( x )) = f (f ( x )) = x‬‬ ‫=‪y‬‬

‫‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‬ ‫اﻳن‌مثال‌به‌طور‌خﻼصه‌در‌شکل‌نﻴز‌نشان‌داده‌شده‌‬ ‫است‪‌.‬‬ ‫‪x 2‬‬ ‫و‌از‌طرف‌دﻳگر‪‌،‬اگر )‪‌ f 1 ( x‬را‌به‬ ‫‪3‬‬

‫= ) ‪‌ g( x‬‬

‫نشان‌دهﻴم‬

‫‪‌ (f o g )( x ) = (g o f )( x ) = x‬مﻰ‌باشد‪‌.‬زﻳرا‌که‪‌ :‬‬ ‫‌‬ ‫‪x 2‬‬ ‫‪)+2 = x 2+2 = x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3x + 2 2 3x‬‬ ‫‌‬ ‫= ) ‪(g o f )( x‬‬ ‫=‬ ‫‪=x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‌‬ ‫‌‬ ‫(‪(f o g )( x ) = 3‬‬

‫ﻳا‌ ‪( f ( x) )= x‬‬

‫‪1‬‬

‫)‬

‫(‬

‫‪‌ f‬و‌‌ ‪f f 1 ( x) = x‬‬

‫ﻣثال‪‌:6‬اگر ‪‌ f ( x) = x 3 + 1‬باشد )‪‌ f 1 ( x‬و‌اگر‌ ‪‌ g ( x) = x 2‬باشد‌ )‪‌ g 1 ( x‬را‌درﻳابﻴد‪‌.‬‬ ‫حل‬ ‫‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‬ ‫‪y=3 x 1‬‬

‫‪y3 = x 1‬‬

‫‪y = x3 +1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‌‌‌‌ x = y + 1‬‬

‫‌اگر‌‪‌y‬را‌به‌ )‪‌‌ f 1 ( x‬نشان‌دهﻴم؛‌پس‪‌:‬‬ ‫‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ ‪f 1 ( x ) = 3 x 1‬‬

‫‪y = x2‬‬

‫‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ ‪x = ± y‬‬ ‫‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ ‪‌ g 1 ( x) = ± x‬ﻳا‌ ‪y = ± x‬‬

‫‪115‬‬

‫‪‌ g( x ) = x 2‬‬

‫مشاهده‌مﻰ‌شود‌که‌‌ )‪‌ g 1 ( x‬ﻳک‌تابع‌نمﻰ‌باشد‪‌،‬زﻳرا‌اگر‌ ‪‌‌ x = 2‬وﻳا‌ ‪‌‌ x = 2‬باشد‌‬ ‫‪‌ g ( 2) = 4‬و ‪‌ g (2) = 4‬مﻰ‌شود‌شکل‌را‌مشاهده‌کنﻴد‪‌،‬پس ) ‪‌ g( x‬ﻳک‌تابع‌معکوس‌‬ ‫پذﻳر‌نمﻲ‌باشد‪.‬‬ ‫ﻣثال‪‌:7‬براى‌کدام‌قﻴمت‌‪‌x‬تابع ‪‌ f ( x) = 5 x 2‬با‌تابع‌معکوس‌خود‌مساوى‌مﻰ‌شود؟‬ ‫‪x = 5y 2‬‬ ‫حل‪‌:‬اگر‌ ‪‌‌ y = 5 x 2‬باشد‌معکوس‌آن‌‌ ‪5 y = x + 2‬‬ ‫‪x+2‬‬ ‫‪x+2‬‬ ‫= )‪f 1 (x‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ ‪5‬‬ ‫‪x+2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= 5x 2‬‬ ‫‪24 x = 12‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ ‪2‬‬ ‫‪‌‌‌ 5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫به‌قﻴمت‌ = ‪‌‌ x‬تابع‌ )‪‌‌ f (x‬با‌تابع‌معکوس‌خود‌مساوى‌مﻰ‌شود‪‌.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻣثال‪‌:8‬نشان‌دهﻴد‌که‌توابع‌ ‪‌ f ( x) = 7 x 2‬و‌ ‪‌ g ( x) = x +‬معکوس‌ﻳکدﻳگر‌اند‪.‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫حل‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(f o g )( x ) = f (g ( x )) = f ( x + ) = 7( x + ) 2 = x‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(g o f )( x ) = f (g ( x )) = g (7 x 2) = (7 x 2) + = x‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‬ ‫=‪y‬‬

‫پس ) ‪ f ( x‬و )‪‌ g (x‬معکوس‌ﻳکدﻳگر‌اند‌از‌اﻳنجا‌نتﻴجه‌گرفته‌مﻰ‌شود‌که‌ترکﻴب‌تابع‌و‌تابع‌‬ ‫معکوس‌آن‌تابع‌عﻴنﻴت‌) ‪‌‌ (f ( x ) = x‬مﻰ‌باشد‪‌.‬‬

‫فعاﻟﻴت‬ ‫‪2x +1‬‬ ‫اگر‌‬ ‫‪x 2‬‬

‫= )‪‌ f ( x‬باشد‌ )‪‌ f 1 ( x‬را‌درﻳابﻴد‌و‌نﻴز‌نشان‌دهﻴد‌ ‪‌‌ (f o f 1 )(x ) = x‬‬

‫مﻰ‌باشد‪‌‌.‬‬ ‫گراف تابع و گراف تابع ﻣعکﻮس آن‬ ‫‪1‬‬

‫در‌بﻴن‌گراف‌تابع‌ﻳک‌به‌ﻳک‌ )‪‌ f (x‬و‌گراف‌تابع‌معکوس‌آن‌ )) ‪‌ (f ( x‬ﻳک‌رابطه‌‬

‫‪116‬‬

‫وجود‌دارد‪‌،‬زﻳرا‌اگر‌ )‪‌‌ (a , b‬ﻳک‌نقطه‌باﻻى‌گراف‌ )‪‌‌ f (x‬باشد‌ ) ‪‌ (b , a‬ﻳک‌نقطه‌باﻻى‌‬ ‫گراف‌تابع‌‌ )‪‌ f 1 ( x‬مﻰ‌باشد‪‌.‬که‌نقاط‌ )‪‌‌ (a , b‬و‌ )‪‌‌ (b , a‬نظر‌به‌خط‌ ‪‌ y = x‬متناظر‌‬ ‫مﻰ‌باشند‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫ﻣثال‪‌:9‬اگر‌ ‪‌ f ( x) = 3x 2‬باشد‌واضح‌است‌که‌ ‪‌ f 1 ( x) = x +‬تابع‌معکوس‌‪‌f‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫مﻰ‌باشد‪‌.‬گراف‌هر‌دو‌تابع‌را‌درعﻴن‌سﻴستم‌کمﻴات‌وضعﻴه‌رسم‌نماﻳﻴد‌و‌مقاﻳسه‌کنﻴد‌که‌‬ ‫گراف‌ها‌نظر‌به‌خط‌ ‪‌‌ y = x‬متناظر‌مﻰ‌باشند‪.‬‬ ‫‪y=x‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪2 1 4‬‬ ‫‪2 1 4‬‬ ‫‪1 2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪x‬‬ ‫)‪f ( x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪f ( x‬‬

‫مشاهده‌مﻰ‌شود‌که‌گراف‌هر‌دو‌تابع‌نظر‌به‌خط‌مستقﻴم‌ ‪‌ y = x‬متناظر‌مﻰ‌باشند‪.‬‬ ‫ﻣثال‪ :10‬اگر‌ )‪‌‌ f (x‬داراى‌جوره‌هاى‌مرتب‌‬ ‫)‪‌ ( 1, 0) , ( 3 , 2‬و‌‌ )‪‌ (4 , 2‬باشد‪‌،‬گراف‌‬ ‫)‪‌‌ f 1 ( x‬و‌ )‪‌‌ f (x‬را‌درعﻴن‌سﻴستم‌کمﻴات‌‬ ‫وضعﻴه‌رسم‌کنﻴد‌و‌نشان‌دهﻴد‌که‌هر‌دو‌گراف‌‬ ‫نظر‌به‌خط‌ ‪‌ y = x‬متناظر‌مﻰ‌باشند‪.‬‬ ‫مشاهده‌ مﻰ‌شود‌ که‌ گراف‌هاى‌ ) ‪ ‌ ‌ f ( x‬و‌‬ ‫) ‪‌ f 1 ( x‬نظر‌به‌خط‌‪‌y=x‬متناظر‌مﻰ‌باشند‪.‬‬

‫‪117‬‬

‫‪1‬‬

‫معکوس‌تابع‌ﻳک‌به‌ﻳک‌نﻴز‌ﻳک‌تابع‌مﻰ‌باشد‪.‬‬ ‫خط‌موازى‌با‌محور‌‪(‌x‬خط‌افقﻰ)‌گراف‌تابع‌ﻳک‌به‌ﻳک‌را‌درﻳک‌نقطه‌قطع‌‬ ‫مﻰ‌کند‪‌.‬‬ ‫براى‌درﻳافت‌معکوس‌ )‪‌ y = f (x‬معادلة‌تابع‌را‌براى‌‪‌x‬حل‌مﻰ‌نماﻳﻴم‪‌،‬بعد‌‪‌x‬را‌به‌‪‌y‬و‌‪‌y‬‬ ‫را‌به‌‪‌x‬تبدﻳل‌مﻰ‌کنﻴم‪‌.‬تابع‌به‌دست‌آمده‌ )‪‌ y = f 1 ( x‬تابع‌معکوس‌ )‪‌ f (x‬مﻰ‌باشد‪‌.‬‬ ‫گراف‌تابع‌ )‪‌ f (x‬و‌گراف‌تابع‌معکوس‌ )‪‌‌ f (x‬نظر‌به‌خط‌‌ ‪‌ y = x‬متناظر‌‌مﻰ‌باشد‪‌.‬‬ ‫)‪ dom f ( x) = Range f 1 ( x‬و‌ )‪‌ Range f ( x) = dom f 1 ( x‬مﻰ‌باشد‪.‬‬

‫تﻤرﻳﻦ‬ ‫‪‌-‌1‬معکوس‌توابع‌زﻳر‌را‌درﻳابﻴد‌و‌بگوﻳﻴد‌که‌معکوس‌کدام‌تابع‌نﻴز‌ﻳک‌تابع‌مﻰ‌باشد؟‌‬ ‫})‪f = {( 1,0), ( 2,1), (4,3), (3,4)} h = {(1,4), (2,3), (4,1‬‬ ‫})‪g = {(1,2), (2,3), (3,2), (4,1)} k = {(3,0), (2, 1), (1,2), (0,1), ( 1,2‬‬

‫‪ –‌2‬معکوس‌هر‌ﻳک‌از‌توابع‌ذﻳل‌را‌درﻳابﻴد‌وصحت‌جواب‌خود‌را‌با‌ ‪‌ f (f 1 ( x ) = x‬‬ ‫امتحان‌کنﻴد‪‌.‬‬ ‫‪f (x) = x + 3‬‬ ‫‪f ( x ) = 2x‬‬ ‫‪f ( x ) = 2x + 3‬‬ ‫‌‬ ‫‪1‬‬ ‫‌‬ ‫‪f (x) = x 3 + 2‬‬ ‫‪f ( x ) = ( x + 2) 3‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‌‬ ‫‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‬ ‫‪ –‌3‬گراف‌هاى‌توابع‌ذﻳل‌را‌رسم‌کنﻴد‌وتوسط‌خط‌موازى‌با‌محور‌‪(‌x‬خط‌افقﻰ)‌نشان‌‬ ‫دهﻴد‌که‌معکوس‌آن‌نﻴز‌ﻳک‌تابع‌مﻰ‌باشد‪‌.‬‬ ‫‪7 2x‬‬ ‫‪5‬‬

‫= )‪g ( x‬‬

‫‪f ( x) = 1 x 2‬‬

‫‪ –‌4‬کدام‌ﻳک‌از‌توابع‌ذﻳل‌تابع‌ﻳک‌به‌ﻳک‌مﻰ‌باشد؟‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x+2‬‬

‫=‪y‬‬

‫‪y=9‬‬

‫‪y = ( x 2) 2‬‬

‫‪y=6 x‬‬

‫‪y = 4x 5‬‬

‫‪118‬‬

‫تﻮابع پﻮﻟﻴﻨﻮﻣﻲ‬

‫آﻳا‌مﻰ‌دانﻴد‌که‌تابع‌درجه‌ﻳک‌را‌چرا‌تابع‌‬ ‫خطﻰ‌مﻰ‌گوﻳند؟‬ ‫آﻳا‌گراف‌تابع‌درجه‌ﻳک‪‌،‬ﻳک‌خط‌مستقﻴم‌‬ ‫مﻰ‌باشد؟‬

‫‪o‬‬

‫پولﻴنوم‌ها‌را‌در‌فصل‌اول‌مطالعه‌کرده‌اﻳد‪‌.‬پولﻴنومﻰ‌که‌از‌ﻳک‌حرف‌(متحول)‌تشکﻴل‌شده‌‬ ‫باشد‌به‌نام‌تابع‌پولﻴنومﻰ‌ﻳاد‌مﻰ‌شود‪.‬‬ ‫تابع خطﻰ (‪ )Linear function‬ﻳا تابع درجﻪ ﻳک‬ ‫تابع‌پولﻴنومﻰ‌است‌که‌درجة‌آن‌ﻳک‌باشد‪.‬‬ ‫‌شکل‌عمومﻰ‌تابع‌درجه‌ﻳک‌(تابع‌خطﻰ)‌ ‪‌ f ( x ) = ax + b‬مﻰ‌باشد‌که‌ ‪‌ a 0‬و‌‪‌a ,‌b‬‬ ‫اعداد‌حقﻴقﻰ‌باشند‪‌.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫به‌طور‌مثال‪‌ f ( x ) = 2x , f ( x ) = x 1 , f ( x ) = 3x + 4 ‌:‬و‌ ‪ f ( x) = x‬توابع‌خطﻰ‌اند‪‌.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‌‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻣثال‪ :1‬گراف‌تابع‌ ‪‌ f ( x ) = x 3‬را‌رسم‌کنﻴد‌ونقاط‌تقاطع‌گراف‌را‌با‌محور‌هاى‌‪‌X‬‬ ‫‪4‬‬ ‫و‌‪‌Y‬درﻳابﻴد‪‌.‬‬ ‫نقطة‌ تقاطع‌ گراف‌ با‌ محور‌ ‪ ‌X‬عبارت‌‬ ‫از‌ )‪ ‌(4,0‬و‌ با‌ محور‌ ‪ ‌Y‬نقطه‌ )‪‌ (0 , 3‬‬ ‫مﻰ‌باشد‪ ‌.‬مشاهده‌ مﻰ‌شود‌ که‌ گراف‌ تابع‌‬ ‫درجه‌ﻳک‪‌،‬ﻳک‌خط‌مستقﻴم‌مﻰ‌باشد‌از‌اﻳن‌‬ ‫‪0‬‬ ‫سبب‌تابع‪‌،‬درجه‌ﻳک‌را‌به‌نام‌تابع‌خطﻰ‌نﻴز‌‬ ‫ﻳاد‌مﻰ‌کنند‪‌.‬براى‌ترسﻴم‌گراف‌تابع‌خطﻰ‌‬ ‫کافﻰ‌ است‌ که‌ نقاط‌ تقاطع‌ گراف‌ را‌ با‌‬ ‫‪3‬‬ ‫‪f (x) = x 3‬‬ ‫محور‌هاى‌‪‌X‬و‌‪‌‌Y‬به‌دست‌آورﻳم‌و‌خط‌‬ ‫‪4‬‬ ‫مستقﻴم‌را‌رسم‌نماﻳﻴم‪‌،‬طوري‌که‌در‌شکل‌مشاهده‌مﻲ‌شود‪.‬‬

‫‪119‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪x= 8 4‬‬ ‫‪f (x) 3 0‬‬

‫فعاﻟﻴت‬ ‫گراف‌تابع‌ ‪‌‌ y = f ( x) = x + 1‬و‌ ‪‌‌ y = x 1‬را‌رسم‌کنﻴد‌وکمﻴات‌وضعﻴة‌نقاط‌تقاطع‌‬ ‫گراف‌با‌محور‌هاى‌‪‌X‬و‌‪‌‌Y‬را‌درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫ﻣثال‪ :2‬گراف‌تابع‌خطﻰ‌ ‪‌‌ f ( x) = x + 2‬را‌رسم‌کنﻴد‪.‬‬ ‫حل‪ :‬در‌نقطة‌تقاطع‌گراف‌با‌محور‌ ‪‌ Y‬قﻴمت‌‪‌x‬صفر‌مﻰ‌باشد‌(‌‪‌)x =‌0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫پس‪‌ f (0) = (0) + 2 = 2 ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌:‬‬ ‫نقطة‌تقاطع‌گراف‌با‌محور‌‪‌Y‬عبارت‌از‌)‪ (0,2‬مﻰ‌باشد‪‌.‬‬

‫و‌درنقطة‌تقاطع‌گراف‌با‌محور‌‪‌X‬قﻴمت‌‪‌y‬ﻳا‌(‪‌f)x‬صفر‌مﻰ‌باشد‌)‪‌ ( f ( x) = 0‬درنتﻴجه‪:‬‬ ‫‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‬ ‫‪x= 3‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪x+2‬‬ ‫‪3‬‬

‫=‪0‬‬

‫پس‌نقطة‌تقاطع‌گراف‌با‌محور‌‪‌X‬عبارت‌از‌ )‪‌ ( 3 , 0‬مﻰ‌باشد‪.‬‬ ‫با‌ وصل‌ کردن‌ دو‌ نقطه‌ )‪ ‌ (0 , 2‬و )‪ ‌ ( 3 , 0‬مﻰ‌توانﻴم‌ خط‌ مستقﻴم‌ را‌ رسم‌ نماﻳﻴم‌ وهم‌‬ ‫مﻰ‌توانﻴم‌چند‌نقطة‌دﻳگر‌گراف‌تابع‌را‌درﻳابﻴم‌که‌باﻻى‌همﻴن‌خط‌مستقﻴم‌قرار‌دارند‪.‬‬ ‫‪6 ...‬‬ ‫‪2 ...‬‬

‫‪3 6‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0 3‬‬

‫=‪x‬‬

‫‪f (x) = 2 4‬‬

‫‪0‬‬

‫‪120‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬

‫تابع درجﻪ دوم (‪ )Quadratic Function‬و گراف آن‬ ‫اﻳن‌گراف‌ها‌از‌کدام‌نوع‌تابع‌اند؟‌‬

‫اﻳن‌دو‌گراف‌با‌هم‌چه‌فرق‌دارند؟‬ ‫درتوابع ‪‌‌ k ( x ) = x , h ( x ) = x + 3x , g( x ) = x + 1, f ( x ) = x 2 + 7 x + 12‬‬ ‫‌و ‪‌ r ( x) = 2 x 1‬کدام‌ﻳک‌از‌آن‌ها‌تابع‌درجه‌دوم‌نمﻰ‌باشد‪.‬‬ ‫ﻳک‌تابع‌پولﻴنومﻰ‌درجه‌ﻳک‌به‌نام‌تابع‌درجه‌ﻳک‌ﻳا‌تابع‌خطﻲ‌(‪‌)Liner function‬ﻳاد‌‬ ‫مﻰ‌شود‪‌.‬تابع‌پولﻴنومﻲ‌درجه‌دوم‌به‌نام‌تابع‌درجه‌دوم‌ﻳاد‌مﻰ‌گردد‪‌.‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫فعاﻟﻴت‬ ‫گراف‌تابع‌درجه‌دوم‌را‌به‌چه‌نام‌ﻳاد‌مﻰ‌کنند؟‬ ‫محور‌تناظر‌گراف‌تابع‌درجه‌دوم‌کدام‌خط‌مﻰ‌باشد؟‬ ‫دهن‌گراف‌تابع‌درجه‌دوم‌چه‌وقت‌به‌طرف‌باﻻ‌و‌چه‌وقت‌به‌طرف‌پاﻳﻴن‌باز‌مﻰ‌شود؟‬ ‫رأس‌گراف‌تابع‌درجه‌دوم‌در‌کدام‌حالت‌اصغرى‌(‪‌)Minimum‬و‌در‌کدام‌حالت‌‬ ‫اعظمﻰ‌(‪‌)Maximum‬مﻰ‌باشد؟‬ ‫آﻳا‌کمﻴات‌وضعﻴة‌نقطة‌رأس‌تابع‌درجه‌دوم‌را‌درﻳافت‌کرده‌مﻰ‌توانﻴد؟‬ ‫درکدام‌حالت‌گراف‌تابع‌محور‌هاى‌‪‌X‬و‌‪‌Y‬را‌قطع‌کرده‌مﻰ‌تواند؟‬ ‫آﻳا‌کمﻴات‌وضعﻴة‌نقاط‌تقاطع‌گراف‌تابع‌درجه‌دوم‌را‌با‌محور‌هاى‌‪‌X‬و‌‪‌Y‬درﻳافت‌‬ ‫کرده‌مﻰ‌توانﻴد؟‬

‫‪121‬‬

‫‪ f ( x ) = ax 2 + bx + c‬شکل‌عمومﻰ‌تابع‌درجه‌دوم‌مﻰ‌باشد‌که‌در‌آ‌ن ‪‌ b , a‬و‌ ‪‌ c‬اعداد‌‬ ‫حقﻴقﻰ‌و‌ ‪‌‌ a 0‬است‪‌.‬‬ ‫گراف تابع درجﻪ دوم‬ ‫ساده‌ترﻳن‌تابع‌درجه‌دوم ‪‌ f ( x) = y = x 2‬که‌ ‪‌ a = 1‬‬ ‫و‌ ‪‌ b = c = 0‬مﻰ‌باشد‪‌.‬اگر‌چند‌قﻴمت‌براى‌‪‌x‬داده‌‬ ‫شود‌و‌قﻴمت‌هاى‌مربوط‌تابع‌ﻳا‌‪‌y‬به‌دست‌آورده‌شود‌‬ ‫گراف‌ آن‌ رسم‌ شده‌ مﻰ‌تواند‪ ‌.‬طورى‌ که‌ درشکل‌‬ ‫مشاهده‌مﻰ‌شود‪‌‌‌‌‌‌.‬‬ ‫گراف‌تابع‌درجه‌دوم‌به‌نام‌پارابوﻻ‌(‪‌)parabola‬‬ ‫ﻳاد‌مﻰ‌شود‪.‬‬ ‫که‌اﻳن‌گراف‌نظر‌به‌محور‌‪‌y‬متناظر‌مﻰ‌باشد‪‌.‬خطﻰ‌‬ ‫که‌از‌رأس‌پارابوﻻ‌بگذرد‌و‌با‌محور‌‪‌y‬موازى‌باشد‌به‌‬

‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪x 0 1 2‬‬ ‫‪y 0 1 4‬‬

‫‪6 ...‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2 ...‬‬

‫‪6‬‬

‫نام‌محور‌تناظر‌ﻳاد‌مﻰ‌شود‌که‌در‌اﻳن‌گراف‌محور‌‪‌Y‬‬ ‫‪g ( x) = 2 x 2‬‬ ‫‌‪0 1 -1 2‌ -2‬‬ ‫‌کند‌به‌نام‌رأس‌‬ ‫محور‌تناظر‌پارابوﻻ‌مﻰ‌باشد‪‌.‬نقطه‌ﻳﻰ‬ ‫ﻰ‪x‬‬ ‫‌که‌در‌آن‌محور‌تناظر‌پارابوﻻ‌را‌قطع‌م=‬ ‫‪8 8‬‬

‫(‪‌)Vertex‬پارابوﻻ‌ﻳاد‌مﻰ‌شود‪‌.‬‬

‫‪0 2 2‬‬

‫= ) ‪g(x‬‬

‫ﻰ‪f ( x‬‬ ‫‪‌a‬باشد‌دهن‌پارابوﻻ‌به‌طرف‌باﻻ‌و‌رأس‌نقطة‌اصغرى‌پارابوﻻ‌م= )‬ ‫‪x‬‬ ‫‌باشد‪‌‌.‬گراف‌تابع‌‬ ‫اگر‌‪> 0‬‬ ‫‪2‬‬

‫‌‪0‌ 1‌ -1‌ 2‌ -2‬‬ ‫متزاﻳد‌است‪x =‌ .‬‬ ‫‪ y = x 2‬در‌انتروال‌ )‪‌ ( ,0‬متناقص‌و‌در‌انتروال ) ‪(0,‬‬ ‫ﻣثال‪‌:1‬گراف‌ ‪‌‌ y = x 2‬را‌رسم‌کنﻴد‪f (x) = 0 1‌ 1‌ 4‌ 4‌ ‌.‬‬

‫‪4 5 3 6 2 ...‬‬ ‫‪4 ...‬‬

‫‪0 1 1 4‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫‌طرف‌پاﻳﻴن‌است‪‌،‬زﻳرا‌که‌‌‪‌a < 0‬‬ ‫حل‪:‬دهن‌پارابوﻻ‌به‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪f (x) = x 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫مﻰ‌باشد‪‌.‬گراف‌در‌انتروال )‪( , 0‬‬ ‫‌متزاﻳد‌و‌در‌انتروال‌‬ ‫‪‌0 ‌1 -‌1 x‌2= -‌82 4 0‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪0 3‬‬ ‫‪3 6‬‬ ‫=‪‌x‬‬ ‫) ‪‌‌ (0,‬متناقص‌مﻰ‌باشد‌و‌رأس‌نقطة‌اعظمﻰ‌پارابول‌‬ ‫‪3‬‬ ‫‪f (x) = 2 4 0 6‬‬ ‫‪h ( x ) = 0 1 1 f ( x2) 32 0‬‬ ‫مﻰ‌باشد‪.‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫= ) ‪h( x‬‬

‫‪6 ...‬‬ ‫‪2 ...‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪x 4 5 3 6‬‬ ‫‪y 0 1 1 4‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2 3‬‬ ‫‪0 5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪3 0‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪x 0‬‬ ‫‪y 0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪x‬‬

‫‪4...‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1 122‬‬ ‫‪1 2 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪2 3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫فعاﻟﻴت‬ ‫گراف‌تابع‌ ‪‌‌ y = x 2 + 4‬را‌رسم‌کنﻴد‪‌.‬‬ ‫‪1‬‬

‫ﻣثال‪ :2‬گراف‌توابع‌ ‪‌ g( x ) = 2x 2 , f ( x ) = x 2‬و‌ ‪‌ h( x) = x 2‬را‌درعﻴن‌سﻴستم‌کمﻴات‌‬ ‫‪2‬‬ ‫وضعﻴه‌ترسﻴم‌نماﻳﻴد‌و‌گراف‌ها‌را‌با‌هم‌مقاﻳسه‌کنﻴد‪‌.‬‬ ‫‪g ( x) = 2 x 2‬‬ ‫‌‪0 1 -1 2‌ -2‬‬ ‫‪8 8‬‬

‫‪0 2 2‬‬

‫=‪x‬‬ ‫= ) ‪g(x‬‬

‫‪f ( x) = x 2‬‬ ‫‌‪0‌ 1‌ -1‌ 2‌ -2‬‬ ‫‌= ‪x‬‬ ‫‌‪4‌ 4‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‌0 ‌1 -‌1 ‌2 -‌2‬‬ ‫=‪‌x‬‬ ‫‪h(x) = 0 1 1 2 2‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫= ) ‪h( x‬‬

‫‪0‬‬

‫ﻣثال‪‌:3‬گراف‌تابع‌ ‪4‬‬

‫‌‪0 1‌ 1‬‬

‫= )‪f (x‬‬

‫‪2‬‬

‫‪‌‌ y = x‬را‌رسم‌کنﻴد‪.‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪2 3‬‬ ‫‪0 5‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪3 0‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬

‫که‌درحقﻴقت‌گراف‌ ‪‌‌ y = x 2‬چهار‌واحد‌به‌طرف‌‬ ‫پاﻳﻴن‌انتقال‌مﻰ‌ﻳابد‪.‬‬

‫ﻣثال‪ :4‬گراف‌ ‪‌‌ y = ( x 4) 2‬را‌رسم‌کنﻴد‪‌.‬‬ ‫حل‪ :‬اگر‌چند‌قﻴمت‌براى‌‪‌x‬داده‌شود‌وقﻴمت‌هاى‌مربوط‌‪‌y‬آن‌به‌دست‌آورده‌شود‪‌.‬‬

‫‪123‬‬

‫گراف‌تابع‌رسم‌مﻰ‌شود؛‌طور‌زﻳر‪‌:‬‬ ‫‪4 5 3 6 2 ...‬‬ ‫‪4 ...‬‬

‫‪x‬‬

‫‪y 0 1 1 4‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬

‫مشاهده‌مﻰ‌شود‌که‌گراف‌در‌انتروال )‪, 4‬‬

‫(‌‬

‫متناقص‌و‌در‌انتروال‌ ) ‪‌ (4 ,‬متزاﻳد‌مﻰ‌باشد‪‌.‬‬ ‫از‌شکل‌مشاهده‌مﻰ‌شود‌که‌گراف ‪‌ y = x 2‬به‌اندازة‌‬ ‫‪‌4‬واحد‌طور‌افقﻰ‌به‌طرف‌راست‌انتقال‌کرده‌‌است‪‌،‬‬ ‫رأس‌پارابوﻻ‌نقطة‌)‪‌(4 ,0‬ومحور‌تناظر‌گراف‌خط‌مستقﻴم ‪‌x = 4‬مﻰ‌باشد‪.‬‬ ‫‪x=4‬‬

‫ﻣثال‪‌:5‬گراف‌تابع‌‌ ‪‌‌ y = ( x + 3) 2 + 1‬‬ ‫را‌ترسﻴم‌کنﻴد‪‌‌.‬‬ ‫گراف‌ ‪‌‌ y = x 2‬سه‌واحد‌به‌طرف‌چپ‌‬ ‫و‌ﻳک‌واحد‌به‌طور‌عمودى‌به‌طرف‌‬ ‫باﻻ‌انتقال‌شده‌است‌و‌نقطه‌رأس‌پارابوﻻ‌‬ ‫)‪‌ ( 3 ,1‬است‌که‌بلندترﻳن‌نقطة‌پارابوﻻ‌‬ ‫(نقطه‌اعظمﻰ)‌مﻰ‌باشد‪‌‌.‬محور‌تناظر‌‬ ‫پارابوﻻ‌ ‪‌ x = 3‬مﻰ‌باشد‪‌.‬که‌درشکل‌نﻴز‌‬ ‫مشاهده‌مﻰ‌شود‪‌.‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬

‫فعاﻟﻴت‬ ‫گراف‌هاى‌توابع‌ ‪‌‌ y = 3x 2 y = 3x 2‬را‌رسم‌کنﻴد‪.‬‬ ‫ﻧقاط تقاطع گراف با ﻣحﻮرﻫاى ‪ X‬و ‪ :Y‬براى‌آسانﻰ‌ترسﻴم‌ﻳک‌پارابول‌مﻰ‌توانﻴم‌که‌‬ ‫نقاط‌تقاطع‌پارابوﻻ‌را‌با‌محورهاى‌‪‌X‬و‌‪‌Y‬درﻳابﻴم‌(درصورتﻰ‌که‌تقاطع‌با‌محور‌‪‌X‬داشته‌‬ ‫باشد)‌براى‌درﻳافت‌نقطة‌تقاطع‌گراف‌با‌محور‌‪‌Y‬در‌معادلة ‪‌x=0‌ y = ax 2 + bx + c‬وضع‌‬

‫‪124‬‬

‫مﻰ‌شود‪‌.‬در‌نتﻴجه‌‪‌y=c‬مﻰ‌شود‌و‌براى‌درﻳافت‌نقاط‌تقاطع‌با‌محور‌‪‌X‬درمعادله‌‪‌‌y=0‬وضع‌‬ ‫مﻰ‌شود‪‌،‬پس‌دارﻳم‌که‪‌:‬‬

‫‪y = ax + bx + c‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪0 = ax 2 + bx + c‬‬ ‫‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ ‪ax 2 + bx + c = 0‬‬

‫ﻳک‌معادلة‌درجه‌دوم‌مﻰ‌باشد‌و‌چون‌مﻰ‌دانﻴد‌که‌جذر‌هاى‌اﻳن‌معادله‌عبارت‌اند‌از‪‌‌:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ x = b ± b 4ac‬مﻰ‌باشند‪‌.‬‬

‫‪2a‬‬

‫مﻰ‌دانﻴد‌که‌جذر‌هاى‌اﻳن‌معادله‌در‌صورتﻰ‌اعداد‌حقﻴقﻰ‌مﻰ‌باشند‌که ‪ b 2 4ac 0‬باشد‪.‬‬ ‫‌اگر ‪ b 2 4ac < 0‬باشد‌گراف‌محور‌‪‌X‬را‌قطع‌نمﻰ‌کند‌ﻳا‌به‌طور‌خلص‌درجدول‌زﻳر‌‬ ‫مشاهده‌کنﻴد‪‌.‬گراف‌تابع‌ ‪0) ‌‌‌ y = ax 2 + bx + c‬‬

‫‪(a‬‬

‫‪a‬‬

‫گراف‌تابع‌درجه‌دوم‌محور‌‪ X‬را‌در‌دو‌نقطه‌قطع‌مﻰ‌کند‌در‌صورتﻰ‌که‌‬ ‫‪ b 2 4ac > 0‬باشد‪.‬‬

‫‪b‬‬

‫محور‌‪ X‬را‌درﻳک‌نقطه‌قطع‌مﻰ‌کند‌درصورتﻰ‌که‌ ‪ b 2 4ac = 0‬باشد‪.‬‬

‫‪c‬‬

‫محور‌‪ X‬را‌قطع‌نمﻰ‌کند‌درصورتﻰ‌که ‪ b 2 4ac < 0‬باشد‪.‬‬

‫درﻳافت کﻤﻴات وضعﻴﺔ ﻧقطﺔ رأس پارابﻮﻻ‪ :‬توسط‌طرﻳقة‌تکمﻴل‌مربع‌مﻰ‌توان‌کمﻴات‌‬ ‫وضعﻴه‌رأس‌پارابوﻻ‌را‌درﻳافت‌کرد‪.‬‬

‫‪b2‬‬ ‫‪+c‬‬ ‫‪4a 2‬‬

‫‪b‬‬ ‫‪x) + c‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪( )2 + c = a (x + )2‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪b2‬‬ ‫‪+c‬‬ ‫‪4a‬‬

‫‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‬

‫‪125‬‬

‫‪y = ax 2 + bx + c = a ( x 2 +‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪x + ( )2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪2a‬‬

‫‪y = a (x 2 +‬‬

‫‪b 2‬‬ ‫‪b2‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪) a ( 2 ) + c = a (x + )2‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪4a‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪4ac b‬‬ ‫‪y = a (x + )2 +‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪4a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪f (x) = a (x h‬‬ ‫‪+k‬‬ ‫‪= a (x +‬‬

‫‪b 4ac b 2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫پس‪‌،‬کمﻴات‌وضعﻴة‌رأس‌پارابوﻻ )‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪4a‬‬

‫( ‌وﻳا‌ ) ‪‌ ( h , k‬مﻰ‌باشند؛‌چون‌محور‌‬

‫‪b‬‬ ‫تناظر‌از‌نقطة‌رأس‌‌پارابوﻻ‌مﻰ‌گذرد‪‌،‬معادلة‌محور‌تناظر‬ ‫‪2a‬‬ ‫رأس‌اصغرى‌(‪‌)Minimum‬و‌اگر‌ ‪‌ a < 0‬باشد‌رأس‌اعظمﻰ‌(‪‌)Maximum‬مﻰ‌باشد‪‌.‬‬

‫= ‪‌ x‬است‌اگر ‪‌ a > 0‬باشد‌‬

‫ﻣثال‪ :6‬گراف‌تابع ‪‌‌ f ( x ) = 2x 2 + 4x + 5‬را‌رسم‌کنﻴد‪‌.‬‬ ‫‪‌-‌1‬نقطة‌تقاطع‌با‌محور‌‪‌X‬را‌به‌دست‌مﻰ‌آورﻳم‪‌،‬چون‌ ‪ b = 4 , a = 2‬و ‪c = 5‬‬

‫‌مﻰ‌باشد‪‌‌.‬‬ ‫‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ ‪4 2 5 = 24 < 0‬‬

‫‪= b2‬‬

‫‪4ac = 4 2‬‬

‫پس‌گراف‪‌،‬محور‌‪‌x‬را‌قطع‌نمﻰ‌کند‪‌،‬زﻳرا‌‌ ‪‌ < 0‬مﻰ‌باشد‪‌.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‌باشد‪f ( x )‌.‬‬ ‫‪‌-‌2‬نقطة‌تقاطع‌گراف‌را‌با‌محور‌‪‌Y‬به‌دست‌مﻰ‌آورﻳم‪‌،‬در‌اﻳن‌حالت‌ ‪‌ x3= 0‬م‪x‬ﻰ =‬

‫درتابع ‪ y = ax 2 + bx + c‬درصورتﻰ‌که‌ ‪‌ x = 0‬شود‌ ‪‌‌ y = c‬مﻰ‌گردد ) ‪4 ( 0 , c‬‬ ‫‌نقطه‌تقاطع‌‬ ‫‪x 0 1 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x= 8 4 0‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪0 3 2 3 6‬‬ ‫‪6 ...‬‬ ‫‌باشد‪‌.‬‬ ‫ﻰ‬ ‫گراف‌با‌محور‌‪‌y‬م‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫‪0‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪y 0 1 4 1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪f (x) 3 0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪f (x) = 2 4 0 6‬‬ ‫‪2 ...‬‬ ‫که‌در‌اﻳن‌مثال‌ ) ‪‌ ( 0 , 5‬نقطة‌تقاطع‌گراف‌با‌محور‌‬ ‫‪g ( x) = 2 x 2‬‬ ‫‪‌Y‬مﻰ‌باشد‪‌.‬‬ ‫ ‪0 1‬‬‫‪x 0 1‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‪x‬‬

‫‪ –‌3‬کمﻴات‌وضعﻴة‌رأس‌پارابوﻻ‌عبارت‌اند‌از‪‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌:‬‬

‫‪g(x ) = 0 2 2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪= 1‬‬ ‫‪f ( x) = x 2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ ‌‪0‌ 1‬‬‫‪25 5 3 4 26 40‬‬ ‫‌= ‪16 24 x‬‬ ‫= ‪= 2 ...‬‬ ‫‪=3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8 f (x) = 0 1‌ 1‬‬ ‫‪14 21 4 4 ...‬‬

‫‪b‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4ac3 b x 44‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪ (-1 , 3) 1‬کمﻴات‌وضعﻴة‌رأس‌پارابوﻻ‌مﻰ‌باشد‌و‌‬ ‫‪h( x ) = x 2‬‬ ‫رأس‌اصغرى‌است‪‌،‬زﻳرا‌که‌ ‪‌ a > 0‬مﻰ‌باشد‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪‌1‬‬

‫‪‌0‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫=‪‌x‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪ –‌4‬معادلة‌محور‌تناظر‌‌ ‪= 1‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪4‬‬ ‫= )‪h(x‬‬ ‫معادلة‌محور‌تناظر‌گراف‌ ‪‌‌ x = 1‬مﻰ‌باشد‪.‬‬

‫=‪x‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫=‪2 y 3‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪3 0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪5‬‬

‫= ‪3 ‌‌‌‌ x‬‬

‫‪3‬‬

‫غرض‌ترسﻴم‌گراف‌مﻰ‌توانﻴم‌چند‌نقطة‌دﻳگر‌‬ ‫گراف‌را‌نﻴز‌درﻳابﻴم‪‌.‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1 2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪y 0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪4‬‬

‫‪x‬‬

‫‪3‬‬

‫‪y‬‬

‫‪1‬‬

‫‪f ( x ) = 2x 2 + 4x + 5‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 0‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪5 11 11‬‬

‫= )‪f (x‬‬

‫‪3‬‬

‫}‪Dom f = IR {0} = IR \ {0‬‬ ‫‪4...‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪... 4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪x‬‬

‫‪126‬‬

‫‪f ( x ) ...‬‬

‫ﻣثال‪ :7‬گراف‌تابع‌ ‪‌‌ y = 3x 2 2x + 1‬را‌رسم‌کنﻴد‪‌‌.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x) + 1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪y = 3( x 2 +‬‬

‫‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‬ ‫مربع‌نصف‌ضرﻳب‌‪‌x‬را‌هم‌جمع‌و‌هم‌تفرﻳق‌مﻰ‌نماﻳﻴم‪‌.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y = 3 x 2 + x + ( )2 ( )2 + 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪) + 1 = 3 x 2 + x + ( )2 +‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫(‪3‬‬

‫‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y = 3 x 2 + x + ( )2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‌ y = 3( x + 1 ) 2 + 4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫در‌نتﻴجه‌‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪‌ x + = 0 x‬مﻰ‌شود‪‌.‬و‌‬ ‫زﻳرا‌که‪‌‌:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1 4‬‬ ‫) ‪‌‌ ( ,‬کمﻴات‌وضعﻴة‌رأس‌مﻰ‌باشد؛‌چون‌‬ ‫‪3 3‬‬ ‫‪‌ a < 0‬است‪‌،‬پس‌رأس‌پارابوﻻ‌نقطة‌اعظمﻰ‌آن‌‬

‫= ‪‌‌ x‬معادلة‌محور‌تناظر‌بوده‪‌،‬‬

‫مﻰ‌باشد‪.‬‬ ‫ﻳادداشت‪‌:‬اگر‌تابع‌درجه‌دوم‌به‌شکل‌‬ ‫‪‌‌ y k = a( x h) 2‬ﻳا‌‌ ‪‌ y = a( x h) 2 + k‬‬ ‫آورده‌شود‪‌ x = h ‌.‬معادلة‌محور‌تناظر‌و‌‌‬ ‫) ‪‌ (h , k‬کمﻴات‌وضعﻴه‌رأس‌مﻰ‌باشند‪.‬‬ ‫‪0) ، f ( x ) = ax + b‬‬

‫‌شکل‌عمومﻰ‌تابع‌درجه‌ﻳک‌ﻳا‌تابع‌خطﻰ‌مﻰ‌باشد‌و‬ ‫‪x (a‬‬

‫‌ ‪ ‌ a 0 , f ( x) = y = ax 2 + bx + c‬شکل‌عمومﻰ‌تابع‌درجه‌دوم‌بوده‌که‌گراف‌تابع‌‬ ‫درجه‌دوم‌را‌به‌نام‌پارابوﻻ‌(‪‌)parabola‬ﻳاد‌مﻰ‌کنند‪‌.‬اگر ‪‌ a > 0‬باشد‌رأس‌اصغرى‌و‌‬ ‫‪b 4ac b 2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫اگر‌ ‪‌ a < 0‬باشد‌رأس‌اعظمﻰ‌مﻰ‌باشد‪) .‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪4a‬‬

‫‪127‬‬

‫( ‌کمﻴات‌وضعﻴة‌رأس‌پارابوﻻ‌‬

‫‪b‬‬

‫= ‪ x‬معادلة‌محور‌تناظر‌پارابوﻻ‌مﻰ‌باشد‪.‬اگر‌ ‪‌ = b 2 4ac > 0‬باشد‪‌،‬پارابوﻻ‌‬ ‫و‌‌‬ ‫‪2a‬‬ ‫‌‬ ‫محور‌‪‌X‬را‌در‌دونقطه‌و‌اگر‌ ‪‌ = 0‬باشد‪‌،‬پارابوﻻ‌محور‌‪‌X‬را‌درﻳک‌نقطه‌قطع‌مﻰ‌کند‌و‌‬ ‫اگر‌ ‪‌ < 0‬باشد‌پارابوﻻ‌محور‌‪‌X‬را‌قطع‌کرده‌نمﻰ‌تواند‪‌.‬‬

‫تﻤرﻳﻦ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‌-‌1‬گراف‌ ‪x + 3‬‬ ‫‪2‬‬

‫= )‪‌‌ h( x‬را‌رسم‌کنﻴد‪‌.‬‬

‫‪ –‌2‬گراف‌هاى‌توابع‌ ‪‌‌ g ( x) = 2 x + 1‬و‌‌ ‪‌ g ( x) = 2 x 1‬را‌درعﻴن‌سﻴستم‌کمﻴات‌‬ ‫وضعﻴه‌رسم‌و‌باهم‌مقاﻳسه‌کنﻴد‪‌‌.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ –3‬گراف‌هاى‌توابع ‪‌ f ( x) = x 2 , f ( x) = 3 x 2 , f ( x) = 2 x 2 ‌ , f ( x) = x 2‬‬ ‫‪1‬‬

‫و‌‌ ‪ f ( x) = x 2‬را‌در‌عﻴن‌سﻴستم‌کمﻴات‌وضعﻴة‌رسم‌و‌باهمدﻳگر‌مقاﻳسه‌کنﻴد‪‌.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‌‬ ‫‪ –‌4‬معادله‌هاى‌محور‌هاى‌تناظر‌گراف‌توابع‌زﻳر‌را‌درﻳابﻴد‪‌.‬‬ ‫‪f ( x ) = 3x 2 2 x + 6‬‬

‫‪f ( x ) = x 2 12x + 30‬‬

‫‪f ( x ) = x 2 + 8x + 13‬‬

‫‪ – ‌5‬گراف‌هاى‌ توابع ‪ ‌ g ( x) = ( x + 1) 2 , f ( x) = ( x 2) 2‬و‌ ‪ ‌ h( x) = ( x 3) 2‬را‌‬ ‫رسم‌کنﻴد‌و‌بگوﻳﻴد‌که‌با‌گراف‌ ‪‌‌ f ( x) = x 2‬چه‌ارتباط‌دارند؟‬ ‫‪ –‌6‬کمﻴات‌وضعﻴة‌رأس‌گراف‌تابع‌‌ ‪‌ y = x 2 1‬عبارت‌اند‌از‪:‬‬ ‫)‪‌a :‌‌‌ ( 1 ,1) ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌b:‌ (1, 1) ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌c:‌ (0 , 1) ‌‌‌‌‌‌‌‌‌d :‌‌ (0 , 1‬‬ ‫‪ –‌7‬کمﻴات‌وضعﻴة‌رأس‌تابع‌‌ ‪‌‌ y = ( x 1) 2 2‬عبارت‌اند‌از‪:‬‬ ‫‌ )‪a :‌‌ (1 , 1) ‌‌‌‌‌‌‌‌‌b:‌ ( 1, 2) ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌c:‌ ( 1, 2) ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌d :‌ (1, 2‬‬

‫‪128‬‬

‫تﻮابع ﻧاطق ﻳا تﻮابع ﻧسبتﻰ‬ ‫(‪)Rational Functions‬‬ ‫اﻳن‌شکل‪‌،‬مربوط‌به‌گراف‌هاى‌کدام‌تابع‌‬ ‫مﻰ‌باشد؟‌‬

‫فعاﻟﻴت‬ ‫آﻳا‌معادلة‌مجانب‌عمودى‌تابع‌ناطق‌را‌درﻳافت‌کرده‌مﻰ‌توانﻴد؟‬ ‫آﻳا‌در‌ناحﻴة‌تعرﻳف‌هر‌تابع‌ناطق‪‌،‬ست‌تمام‌اعداد‌حقﻴقﻰ‌شامل‌شده‌مﻰ‌توانند؟‬ ‫آﻳا‌مجانب‌افقﻰ‌ﻳک‌تابع‌ناطق‌را‌درﻳافت‌کرده‌مﻰ‌توانﻴد؟‬ ‫آﻳا‌هر‌تابع‌ناطق‌داراى‌مجانب‌عمودى‌مﻰ‌باشد؟‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫تابع‌ناطق‌عبارت‌از‌تابعﻰ‌است‌که‌از‌خارج‌قسمت‌دو‌تابع‌پولﻴنومﻰ‌تشکﻴل‌شده‌باشد‪‌.‬اگر‌‬ ‫)‪p( x‬‬ ‫)‪g ( x‬‬

‫= )‪ f ( x‬باشد‪‌ f (x) ‌ ( g( x ) 0)،‬را‌تابع‌ناطق‌مﻰ‌گوﻳند؛‌درصورتﻰ‌که )‪‌ p(x‬و‌‬

‫)‪‌ g (x‬پولﻴنوم‌ها‌باشند‪‌‌‌.‬‬ ‫ناحﻴة‌تعرﻳف‌تابع‌ناطق‌ست‌تمام‌اعداد‌حقﻴقﻰ‌مﻰ‌باشد‪‌.‬بدون‌آن‌قﻴمت‌هاى‌‪‌x‬که‌در‌آن‌‬ ‫مخرج‌تابع‌ناطق‌مساوى‌به‌صفر‌مﻰ‌شود‪‌.‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪x3 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪,‬‬ ‫‪h‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫‌طور‌ مثال‪ ‌:‬توابع‌ = ) ‪, f ( x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x x 6‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬

‫‌و‌ ‪ P( x) = 2 x 2 3‬توابع‌ناطق‌اند‪‌‌.‬‬

‫‪129‬‬

‫= ) ‪‌ g ( x) = 3 ‌، ‌ g( x‬‬

‫فعاﻟﻴت‬ ‫‪x 1‬‬ ‫آﻳا‌‬ ‫‪x+2‬‬

‫= )‪‌‌ k ( x‬ﻳک‌تابع‌ناطق‌مﻰ‌باشد؟‌چرا؟‌‬

‫درﻳافت ﻧاحﻴﺔ تعرﻳف ﻳک تابع ﻧاطق‬ ‫(‪)Finding Domain of Rational function‬‬ ‫ﻣثال‪‌‌:1‬ناحﻴة‌تعرﻳف‌هرﻳک‌از‌توابع‌ناطق‌ذﻳل‌را‌درﻳابﻴد‪:‬‬ ‫‪x+3‬‬ ‫‪x2 + 9‬‬

‫= ) ‪h( x‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪x2 9‬‬ ‫‪‌ g ( x) = 2‬و‌‬ ‫‪x 3‬‬ ‫‪x 9‬‬

‫‪,‬‬

‫= )‪‌‌ f ( x‬‬

‫حل‪‌:‬در‌تابع )‪‌ f (x‬مخرج‌تابع‌به‌ ‪‌ x = 3‬صفر‌مﻰ‌شود؛‌پس‌عدد‌(‪‌)3‬درناحﻴة‌تعرﻳف‌تابع‌‬ ‫ناطق‌ )‪‌ f (x‬شامل‌نﻴست‪‌.‬ﻳا‪‌‌‌‌‌‌‌‌ Dom f ( x ) = {x / x IR , x 3 }:‬‬ ‫درتابع‌ )‪‌‌‌ g (x‬به‌‌ ‪‌ x = 3‬ﻳا‌ ‪‌‌ x = 3‬مخرج‌تابع‌صفر‌مﻰ‌شود‌‪‌،‬درنتﻴجه‌اعداد‌‪‌3‬و‌‪‌-3‬در‌‬ ‫ناحﻴة‌تعرﻳف‌‌ )‪‌ g (x‬شامل‌نﻴست‪‌.‬‬ ‫‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌} ‪‌ Dom g( x ) = {x / x IR , x 3 , x 3‬‬ ‫چون‌مخرج‌تابع )‪‌ h(x‬به‌هﻴچ‌قﻴمت‌‪‌x‬صفر‌نمﻰ‌شود؛‌پس‌ناحﻴة‌تعرﻳف )‪‌ h(x‬ست‌تمام‌‬ ‫اعداد‌حقﻴقﻰ‌مﻰ‌باشند‪‌.‬‬ ‫( = ) ‪‌ Dom h ( x‬ﻳا‌ ‪Dom h ( x ) = IR‬‬ ‫) ‪,‬‬ ‫فعاﻟﻴت‬ ‫ناحﻴة‌تعرﻳف‌توابع‌ناطق‌ذﻳل‌را‌درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪x +5‬‬ ‫‪x 2 + 25‬‬

‫= )‪h(x‬‬

‫‪,‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪25‬‬

‫‪2‬‬

‫‪x‬‬

‫= ) ‪g( x‬‬

‫‪x 2 25‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪x 5‬‬

‫= ) ‪‌‌ f ( x‬‬

‫‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‬ ‫ﻣثال‪ :2‬ناحﻴة‌تعرﻳف‌و‌ناحﻴة‌قﻴمت‌هاى‌توابع‌ناطق‌ذﻳل‌را‌درﻳابﻴد‪‌.‬‬

‫‪130‬‬

‫‪x 3‬‬ ‫‪x +5‬‬

‫= ) ‪, g( x‬‬

‫‪x +3‬‬ ‫‪x 4‬‬

‫= )‪f (x‬‬

‫‌‬

‫حل‪‌:‬ناحﻴة‌تعرﻳف )‪‌ f (x‬تمام‌اعداد‌حقﻴقﻰ‌بدون‌عدد‌‪ 4‬مﻰ‌باشند‪‌.‬‬ ‫‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‬ ‫}‪dom f ( x ) = IR {4} = IR \ {4‬‬ ‫‪xy x = 4 y + 3‬‬ ‫‪( y 1) x = 4 y + 3‬‬

‫‪x +3‬‬ ‫‪x 4‬‬

‫‪y ( x 4) = x + 3‬‬ ‫‪4y + 3‬‬ ‫‪y 1‬‬

‫‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‬

‫=‪x‬‬

‫= )‪y = f (x‬‬

‫‪x y 4y = x + 3‬‬

‫}‪ IR {1‬ﻳا‌}‪‌ Range f ( x ) = IR \ {1‬‬ ‫ناحﻴة‌تعرﻳف‌تابع‌(‪‌،g)x‬تمام‌اعداد‌حقﻴقﻰ‌بدون‌(‪‌)-5‬مﻲ‌باشد‪.‬‬ ‫‪‌ {x IR / x‬ﻳا }‪dom g ( x ) = IR { 5‬‬ ‫}‪5‬‬ ‫‪xy + 5 y = x 3‬‬

‫‪x 3‬‬ ‫‪x +5‬‬

‫‪y( x + 5) = x 3‬‬

‫}‪ {y IR / y 1‬ﻳا }‪Range g ( x ) = IR {1‬‬

‫‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‬ ‫فعاﻟﻴت‬

‫= ‪g( x ) = y‬‬

‫‪5y 3‬‬ ‫‪y 1‬‬

‫=‪x‬‬

‫‌ناحﻴة‌تعرﻳف‌وناحﻴة‌قﻴمت‌هاى‌توابع‌زﻳر‌را‌درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪x +1 ,‬‬ ‫‪4x 1 ,‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‌‌‌‌‌‌‌‌‬ ‫= )‪k(x‬‬ ‫= )‪r(x‬‬ ‫= ) ‪m( x‬‬ ‫‪3x 2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2 x‬‬

‫‪1 ,‬‬ ‫‪x3‬‬

‫= )‪h(x‬‬

‫گراف تابع ﻧاطق (‪)Graphing Rational function‬‬ ‫‪1‬‬

‫ﻣثال‪‌:3‬گراف‌تابع‌‌ = )‪‌ f ( x‬را‌ترسﻴم‌کنﻴد‪‌.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫حل‪ :‬چون‌به‌ ‪‌ x = 0‬مخرج‌تابع‌صفر‌مﻰ‌شود؛‌پس‌صفر‌در‌ناحﻴة‌تعرﻳف‌تابع‌ )‪‌ f (x‬‬ ‫شامل‌نمﻰ‌باشد‪‌‌‌‌ dom f = IR {0} ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌.‬‬ ‫‌‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 1‬‬

‫‪131‬‬

‫‪4...‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1 2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2 1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪... 4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪x‬‬

‫‪f ( x ) ...‬‬

‫‪-1‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‌‪1‬‬ ‫‌‪1‬‬

‫‌‪1‬‬ ‫‌‪1‬‬ ‫‌‪1‬‬ ‫‌‪1‬‬

‫‌‪‌1 -‬‬ ‫‌‪‌1 -‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪2 2‬‬

‫‪f ( x) = x‬‬ ‫‌‪0‬‬ ‫‌= ‪x‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‌‪0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‌‬ ‫‪...‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪f (x) = 0‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪f (x) = 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪h( x) = 1 x 22‬‬ ‫‪h( x ) = 2 x‬‬ ‫‪2‌0‬‬ ‫‪‌ x = ‌0‬‬ ‫=‪‌x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪h‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫=)‬ ‫حال‌وضعﻴت‌تابع‬ ‫‪h ( x ) = 00‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪6 2‬‬ ‫‪6 2‬‬ ‫‪4 4‬‬ ‫‪4 4‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫= )‪‌ f ( x‬را‌مطالعه‌مﻰ‌کنﻴم‪‌،‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬

‫چون‌ ‪ ‌x=0‬درناحﻴة‌ تعرﻳف‌ تابع‌ شامل‌ نمﻰ‌باشد‪‌،‬‬

‫‪0.1‬‬ ‫‪0.1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪0.01‬‬ ‫‪0.01‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪100‬‬

‫‪0.5‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‬ ‫‪‌x:‌b‬از‌طرف‌راست‌به‌صفر‌تقرب‌مﻰ‌کند‪‌.‬‬ ‫‪0.001 0.01 0.1 0.5 1...‬‬ ‫‪0.001 0.01 0.1 0.5 1...‬‬ ‫‌‬ ‫‪1...‬‬ ‫‪1...‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪100‬‬ ‫‪100‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪... 1‬‬ ‫‪x 1 ... 1‬‬ ‫‪f ( x ) = 1 ... 1‬‬ ‫‪f ( x ) = x ... 1‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪f ( x ) 1000‬‬ ‫‪f ( x ) 1000‬‬

‫‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‬ ‫ﻣجاﻧب عﻤﻮدى (‪)Vertical Asymptotes‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪f ( x ) = 2 x 22 + 4 x + 5‬‬ ‫‪f ( x ) = 2x + 4x + 5‬‬ ‫براى‌ترسﻴم‌گراف‌اﻳن‌تابع‌به‌‪‌x‬قﻴمت‌هاﻳﻰ‌داده‌‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 0 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 0 1‬‬ ‫مﻰ‌شود‌ که‌ از‌ هردو‌ طرف‌ به‌ صفر‌ نزدﻳک‌ شود‌ ‪3‬‬ ‫‪f (x) = 3‬‬ ‫‪5 5 11 11‬‬ ‫‪f (x) = 3‬‬ ‫(تقرب‌کند)‪‌.‬اگر‌‪‌x‬از‌طرف‌چپ‌به‌صفر‌نزدﻳک‌ ‪5 5 11 11‬‬ ‫}‪Dom f = IR {0} = IR \ {0‬‬ ‫‌تقرب‌‬ ‫شود ) ‪‌ ( x 0‬قﻴمت‌تابع‌به‌‬ ‫}‪Dom f = IR {0} = IR \ {0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪... 4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‌و‌اگر‌‪‌x‬از‌طرف‌راست‌به‌ ‪1‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫مﻰ‌کند‪1 1 1f ( x2) 3 4‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪... 4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫قﻴمت‌تابع‌به‌ ‪1 ‌ +2‬‬ ‫‪3 4...‬‬ ‫‪4‬‬ ‫صفر‌نزدﻳک‌شود‌‪3 ( x2 10 + )2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 1 1‬‬ ‫‪f ( x ) ... 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‌کند‌) ‪3 (2f (x1) 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‌‌جدول‌زﻳر‌را‌مشاهده‌کنﻴد‪1 ‌.‬‬ ‫‪1 1 ...‬‬ ‫‪f ( x ) ... 4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫تقرب‌م‪4‬ﻰ ‪3 2 1 2 3‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 3 4‬‬ ‫‪‌x:‌a‬از‌طرف‌چپ‌به‌صفر‌تقرب‌مﻰ‌کند‪‌.‬‬ ‫‪0.001‬‬ ‫‪x 0‬‬ ‫‪0.001‬‬ ‫‪x 0‬‬ ‫) ‪1000 f ( x‬‬ ‫) ‪1000 f ( x‬‬

‫‪4 5‬‬ ‫‪4 51‬‬ ‫‪3 21‬‬ ‫‪3 23‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪0++‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪f (x) = 1‬‬ ‫‪f (x) = x‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 1 2 4‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1 0‬‬ ‫‪1 3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫هرگاه‌در‌ﻳک‌تابع‌ناطق )‪1 2 2 4f ( x) = px( x‬‬ ‫‪1 0‬‬ ‫‪1 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫که‌صورت‌و‌مخرج‌فکتور‌مشترک‌نداشته‌باشند‌و‌‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3 5‬‬ ‫‪f g( x( )x) 1‬‬ ‫‪2 4 8‬‬ ‫‪y = f ( x) 0 4 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3 5‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 4 3‬‬ ‫‪y = f ( x) 0 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‌مجانب‌عمودى‌تابع )‪‌ f (x‬مﻰ‌باشد‌که‌‬ ‫‌باشد‌خط ‪x = a‬‬ ‫‪ p(a ) 0‬باشد؛‌اگر ‪g (a ) = 0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫موازى‌با‌محور‌‪‌y‬است‌تعداد‌مجانب‌هاى‌عمودى‌مساوى‌به‌جذر‌هاى‌مخرج‌مﻰ‌باشند‪‌.‬‬ ‫‪‌ x‬درنتﻴجه ‪+‬‬

‫ﻳا‌به‌عباره‌دﻳگر‪‌،‬اگر ‪a‬‬ ‫‪‌ x = a‬مجانب‌عمودى‌تابع‌مﻰ‌باشد‪.‬‬

‫) ‪‌ f ( x‬ﻳا‌‬

‫) ‪‌، f ( x‬پس‌خط‌عمودى‬

‫) ‪‌ x a f ( x‬پس‌‪‌x=a‬مجانب‌عمودى‌تابع‌مﻰ‌باشد‪‌x‌.‬هر‌قدر‌که‌به‌‬ ‫ﻳا‌اگر‬ ‫قﻴمت‌‪‌a‬نزدﻳک‌شود‌گراف‌تابع‪‌،‬خط‌مستقﻴم‌ ‪‌ x = a‬راقطع‌کرده‌نمﻰ‌تواند‪.‬‬

‫‪132‬‬

‫زﻳرا‌که‌عدد‌‪‌a‬درناحﻴة‌تعرﻳف‌تابع‌ )‪‌ f (x‬شامل‌نمﻰ‌باشد؛‌‌طور‌مثال‌درناحﻴة‌تعرﻳف‌تابع‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬

‫= )‪‌ f ( x‬صفر‌شامل‌نمﻰ‌باشد؛‌پس‌ ‪‌‌ x = 0‬ﻳا‌محور‌‪‌Y‬مجانب‌عمودى‌تابع‌ = )‪‌ f ( x‬‬

‫مﻰ‌باشد‪‌.‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫ﻣثال‪‌:4‬مجانب‌هاى‌عمودى‌توابع‌‬ ‫‪x 3‬‬ ‫‪x +5‬‬ ‫‪ h ( x ) = 2‬را‌درﻳابﻴد‪‌.‬‬ ‫‪x + 25‬‬

‫= )‪, f (x‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪25‬‬

‫‪2‬‬

‫‪x‬‬

‫= ) ‪ g( x‬و‬

‫حل‬ ‫‪‌-‌1‬غرض‌ﻳافتن‌مجانب‌عمودى‌تابع‌ )‪‌ f (x‬آن‌قمﻴت‌‪‌x‬را‌که‌مخرج‌تابع‌را‌صفر‌مﻲ‌کند‌‬ ‫به‌دست‌مﻰ‌آورﻳم؛‌پس‌عدد‌‪‌3‬در‌ساحة‌تعرﻳف‌تابع‌ )‪‌ f (x‬شامل‌نمﻰ‌باشد‪.‬‬ ‫‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ }‪‌ domf ( x ) = {x / x IR , x 3‬‬ ‫خط‌مستقﻴم‌‪‌x=3‬مجانب‌عمودى‌تابع‌ )‪‌ f (x‬مﻰ‌باشد‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‌-2‬‬ ‫= ) ‪g( x‬‬ ‫=‬ ‫)‪x 2 25 ( x 5)( x + 5‬‬ ‫‪x 5=0 x =5‬‬ ‫‪‌x +5 = 0 x = 5‬‬ ‫‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‬

‫به‌قﻴمت‌ ‪‌ x = 5‬و ‪‌ x = 5‬مخرج‌تابع‌ )‪‌‌ g (x‬صفر‌مﻰ‌شود؛‌پس‌اعداد‌ ‪‌‌ x = 5‬و‌‌ ‪‌ x = 5‬‬ ‫در‌ساحة‌تعرﻳف‌تابع‌ )‪‌ g (x‬شامل‌نمﻰ‌باشند‪.‬‬ ‫‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ }‪‌ dom g( x ) = {x / x IR , x 5 , x 5‬‬ ‫خطوط ‪‌ x = 5‬و‌‌ ‪‌ x = 5‬مجانب‌هاى‌عمودى‌تابع‌‌ )‪‌ g (x‬مﻰ‌باشند‪.‬‬ ‫‪x +5‬‬ ‫‪‌-‌3‬چون‌با‌هﻴچ‌قﻴمت‌‪‌x‬مخرج‌تابع‌‬ ‫‪x 2 + 25‬‬

‫= ) ‪‌‌ h ( x‬صفر‌نمﻲ‌شود‪‌،‬ﻳا‌اﻳن‌تابع‌مجانب‌‬

‫عمودي‌ندارد‌ﻳا‌ساحة‌تعرﻳف‌اﻳن‌تابع‌تمام‌اعداد‌حقﻴقﻲ‌مﻲ‌باشند‪.‬‬ ‫ﻣجاﻧب افقﻰ (‪) Horizontal Asymptote‬‬ ‫هرگاه‌در‌ﻳک‌تابع‌ناطق‌صورت‌و‌مخرج‌هم‌درجه‌باشند‪‌،‬واضح‌است‌که‌خارج‌قسمت‌‬

‫‪133‬‬

‫‪6 ...‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪y 0 1 4‬‬

‫‪2 ...‬‬

‫‪3 6‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0 3‬‬

‫‪8 8‬‬

‫=‪x‬‬

‫‪f (x) = 2 4‬‬

‫‪g ( x) = 2 x 2‬‬ ‫ ‌‪0 1 -1 2‬‬‫=‪x‬‬ ‫‪0 2 2‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬

‫= ) ‪g(x‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪x= 8 4‬‬ ‫‪f (x) 3 0‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪x 0‬‬ ‫‪y 0‬‬

‫ﻳک‌عدد‌ثابت‌مﻰ‌باشد‪‌.‬اگر‌اﻳن‌عدد‌ثابت‌‪‌b‬باشد؛‌پس‌خط‌افقﻰ ‪‌ y = b‬مجانب‌افقﻰ‌تابع‌‬ ‫‪f ( x) = x‬‬ ‫ ‌‪0‌ 1‌ -1‌ 2‬‬‫بوده‌که‌اﻳن‌خط‪‌،‬خود‌محور‌‪‌X‬وﻳا‌موازى‌با‌محور‌‪‌X‬مﻰ‌باشد‪‌‌.‬درحقﻴقت‌عدد‌‪‌b‬عبارت‌‬ ‫‌= ‪x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪3 x 4 5 3 6 2 ...‬‬ ‫‌هاى‌صورت‌و‌مخرج‌مﻰ‌باشد‌و‌ﻳا‌صورت‌را‌باﻻى‌مخرج‌‬ ‫از‌نسبت‌ضراﻳب‌بلندترﻳن‌توا‪4‬ن ‪y 0 1 1 4‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪f (x) = 0 1‌ 1‌ 4‌ 4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 0 0 5 5‬‬ ‫تقسﻴم‌مﻰ‌کنﻴم‪‌.‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2x2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‌‌ f ( x) = 2‬عبارت‌از‌خط‌ ‪‌‌ y1= 2‬مﻰ‪‌5‬باشد‪4‌.‬‬ ‫طورمثال‪‌:‬مجانب‌افقﻰ‌تابع‌‬ ‫‪‌0 ‌1 -‌1 ‌2‬‬ ‫=‪‌x‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪y 1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫مجانب‌افقﻰ‌را‌اﻳن‌طور‌تعرﻳف‌مﻰ‌نماﻳﻴم‪.‬‬ ‫‪h(x) = 0 1 1 2‬‬ ‫‪‌ x‬و‌درنتﻴجه ‪‌، f ( x ) b‬پس‌خط‌ ‪‌ y = b‬مجانب‌افقﻰ‌تابع )‪‌ f (x‬‬ ‫‪ x‬ﻳا‬ ‫‪ 2 2‬اگر‬ ‫‌باشد‪f ( x ) = 2‌.‬‬ ‫‌مجانب‌افقﻰ‌تابع‌م‪4‬ﻰ‪x 2 +‬‬ ‫‪x+5‬‬ ‫| ‪‌ | x‬درنتﻴجه ‪‌ y b‬خط‌مستقﻴم ‪y = b‬‬ ‫مﻰ‌باشد‌ﻳا‌اگر‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 0 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪f (x) = 3‬‬ ‫‪5 5 11 11‬‬ ‫= )‪‌‌ f ( x‬را‌ترسﻴم‌کنﻴد‪‌.‬‬ ‫ﻣثال‪‌:5‬گراف‌تابع‌‬ ‫‪x 1‬‬ ‫حل‬ ‫}‪Dom f = IR {0} = IR \ {0‬‬ ‫‪‌:X‬درنقطة‌تقاطع‌گراف‌با‌محور‌(‪‌)X‬قﻴمت‌‪‌‌ f ( x ) = 0‬‬ ‫)‪, (x‬‬ ‫‪ - 1‬تقاطع گراف با ﻣحﻮر‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪... 4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 2 3 4...‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3 2‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪0=1‬‬ ‫مﻰ‬ ‫‌شود‌درنتﻴجه‌دارﻳم‌که‪1 2 x 1= 0 x = 0 ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌:‬‬ ‫‪1 1 1‬‬ ‫‪f ( x ) ... x 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3 2 1‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 3 4‬‬ ‫= ) ‪h( x‬‬

‫گراف‌تابع‌محور‌‪‌X‬را‌درنقطة‌)‪‌(0,0‬قطع‌مﻲ‌کند‪.‬‬

‫‪0.1 2 00.010 0.001‬‬ ‫‪x 0‬‬ ‫=‬ ‫‪ – 2‬ﻧقطﺔ تقاطع گراف با ﻣحﻮر ‪= 0 ‌:Y‬‬ ‫) ‪10 0 1100 1 1000 f ( x‬‬

‫‪0.5‬‬

‫‪x‬‬

‫‪... 1‬‬

‫‌نقطة‌‬ ‫= )‪‌، f (0‬پس‌نقطة )‪1 (0 , 0‬‬

‫‪... 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫تقاطع‌گراف‌با‌محور‌‪‌X‬و‌‪‌Y‬مﻰ‌باشد‌ﻳا‌گراف‌اﻳن‌تابع‌از‌مبداء‌کمﻴات‌وضعﻴه‌مﻰ‌گذرد‪x.‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬

‫= )‪f (x‬‬

‫=‪x 10‬‬ ‫‌باشد‌اﻳن‌خط‌را‌ترسﻴم‌‪x‬‬ ‫‪0+‬‬ ‫‌‌م‪.‬ﻰ‪x 0‬‬ ‫‪001‬‬ ‫‪‌-‌3‬معادلة‌مجانب‌عمودى‌تابع‌عبارت‌از‌‪.010 0.x1 = 10.‬‬ ‫‪5 1...‬‬ ‫‪1‬‬ ‫کنﻴد‪‌.‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪f ( x ) 1000 100 10 2 1...‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‌-‌4‬مجانب‌افقﻰ‌گراف‌تابع‌ ‪‌‌ = 2‬پس‌ ‪‌ y = f ( x) = 2‬مجانب‌افقﻰ‌تابع‌مﻰ‌باشد‌يا‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‌مجانب‌افقﻰ‌را‌نﻴز‌‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 4‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1 0 x 11 3 x4 15‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 1‬ترسﻴم‌کنﻴد‪‌.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3 5 3 2‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 4‬‬ ‫‪y = f ( x) 0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫کمﻴات‌وضعﻴة‌چند‌نقطة‌دﻳگر‌را‌نﻴز‌‬ ‫‪–‌5 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫معلوم‌مﻰ‌کنﻴم؛‌طورمثال‌‪:‬‬

‫‪134‬‬

‫نقاط‌تقاطع‌با‌محور‌ها‌را‌تعﻴﻴن‌مﻰ‌کنﻴم‪‌.‬مجانب‌ها‌را‌رسم‌نموده‪‌،‬بعد‌گراف‌تابع‌را‌رسم‌‬ ‫مﻰ‌کنﻴم‪‌،‬طورى‌که‌درشکل‌مشاهده‌مﻰ‌شود‪‌.‬‬ ‫‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ ‪2 x‬‬ ‫‪x 1‬‬

‫= )‪f (x‬‬

‫فعاﻟﻴت‬ ‫‪3x‬‬ ‫گراف‌تابع‌‬ ‫‪x 2‬‬

‫= )‪‌‌ f ( x‬را‌ترسﻴم‌کنﻴد‪‌.‬‬ ‫‪x+2‬‬

‫= )‪‌‌ f ( x‬را‌ترسﻴم‌نماﻳﻴد‌مجانب‌افقﻰ‌و‌عمودى‌تابع‌را‌درﻳابﻴد‪‌.‬‬ ‫ﻣثال‪‌:6‬گراف‌تابع‌‬ ‫‪x 2‬‬ ‫حل‪‌:‬معادله‌هاى‌مجانب‌هاى‌عمودى‌و‌افقﻰ‌عبارت‌اند‌از‪‌:‬‬ ‫‪‌‌-‌1‬معادله‌مجانب‌عمودى‪‌‌ x = 2 ‌:‬‬ ‫‪‌‌-‌2‬معادله‌مجانب‌افقﻰ‪‌ f ( x) = y = 1 ‌‌:‬‬ ‫‪‌‌-‌3‬تقاطع‌با‌محور‌‪‌:Y‬باﻳد‌‪‌x=0‬شود‪‌.‬در‌نتﻴجه‌ ‪‌‌ f ( x ) = 1‬مﻲ‌شود‪‌،‬گراف‌محور‌‪Y‬‬ ‫را‌در‌نقطة‌ )‪‌ (0, 1‬قطع‌مﻲ‌کند‪.‬‬ ‫‪‌‌-‌4‬تقاطع‌با‌محور‌‪‌:X‬باﻳد‌‪‌f)x(=0‬شود‌در‌نتﻴجه‌‬ ‫‪x+2=0‬‬ ‫‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ ‪x = 2‬‬

‫در‌نقطة‌)‪‌(-2,0‬گراف‌محور‌‪‌X‬را‌قطع‌مﻲ‌کند‪.‬‬

‫‪135‬‬

‫‌‬

‫‪1000‬‬

‫)‪f (x‬‬

‫‪10‬‬

‫‪100‬‬

‫‪01 0.01 0.1 0.5 1...‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1...‬‬

‫‪100‬‬

‫‪10‬‬

‫‪‌-‌5‬براى‌آسانﻰ‌ترسﻴم‌گراف‪‌،‬قﻴمت‌هاى‌هر‌شاخة‌تابع‌را‌درجدول‌ذﻳل‌مشاهده‌کنﻴد‪‌.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪3 4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3 5 3 2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪2 4‬‬

‫‪x‬‬ ‫)‪f (x‬‬

‫(‪)1,-3‬‬

‫‪x+2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫اگر‌صورت‌بر‌مخرج‌تقسﻴم‌گردد‌‬ ‫‪= 1+‬‬ ‫‪x 2‬‬ ‫‪x 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫درحقﻴقت‌گراف‌تابع‌ = )‪‌ f ( x‬به‌اندازة‌ﻳک‌واحد‌به‌طرف‌باﻻ‌و‌به‌اندازة‌‪‌2‬واحد‌به‌‬ ‫‪x‬‬ ‫طرف‌راست‌انتقال‌شده‌است‌و‌ ‪‌y=‌ f ( x ) = 1‬مجانب‌افقﻰ‌تابع‌مﻰ‌باشد‪.‬‬

‫‪‌‌‌.‬‬

‫ﻣجاﻧب ﻣاﻳل‪)slant or Oblique asymptote( :‬‬ ‫هرگاه‌درجة‌صورت‌ﻳک‌تابع‌ناطق‌از‌درجة‌مخرج‌به‌اندازة‌ﻳک‪‌،‬اضافه‌ترباشد‌واضح‌است‌‬ ‫که‌تابع‌مجانب‌افقﻰ‌نداشته‌و‌در‌اﻳن‌صورت‌تابع‌مجانب‌ماﻳل‌دارد‪‌.‬‬ ‫‪x2 +1‬‬ ‫ﻣثال‪‌:7‬گراف‌تابع‌‬ ‫‪x 1‬‬

‫= )‪‌ f ( x‬را‌ترسﻴم‌کنﻴد‪‌.‬‬

‫حل‬ ‫‪‌-‌1‬براى‌ﻳافتن‌مجانب‌ماﻳل‪‌،‬صورت‌را‌بر‌مخرج‌تقسﻴم‌مﻰ‌نماﻳﻴم‌دارﻳم‌که‪‌:‬‬ ‫‪x2 +1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= x +1+‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ ‪x 1‬‬

‫= )‪‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ f ( x‬‬

‫‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌مجانب‌ماﻳل‬ ‫اگر | ‪ ‌ | x‬هر‌ چه‌ بزرگتر‌ شود‬

‫‪2‬‬ ‫‪x 1‬‬

‫‌ به‌ صفر‌ نزدﻳک‌ مﻰ‌شود‪ ‌.‬درنتﻴجه‪ ‌،‬گراف‌ به‌ خط‌‬

‫‪‌ y = f ( x) = x + 1‬نزدﻳک‌مﻰ‌شود‌که‌همﻴن‌خط‌‪‌ y = x + 1‬عبارت‌از‌مجانب‌ماﻳل‌تابع‌‬

‫‪136‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2 4‬‬

‫‪00‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫)‪‌‌ f (x‬مﻰ‌باشد‪‌.‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ f (0) = 0 + 1 +‬گراف‌محور‌‪‌Y‬را‌در‌‬ ‫‪ – 2‬نقطة‌تقاطع‌با‌محور‪= 1 2 = 1 ‌‌:Y‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‌‬ ‫نقطه‌ )‪‌‌ (0 , 1‬قطع‌مﻰ‌کند‪‌.‬‬ ‫‪‌-‌3‬واضح‌است‌که‌گراف‌محور‌‪‌X‬را‌قطع‌کرده‌نمﻰ‌تواند‪‌،‬زﻳرا‌که‌ ‪‌ x = 1‬مﻰ‌شود‪.‬‬ ‫‪ –‌4‬مجانب‌عمودى‌‬ ‫‪x=1‬‬ ‫‪‌‌ x 1 = 0‬‬ ‫‪x =1‬‬ ‫‪ –‌5‬واضح‌است‌که‌مجانب‌افقﻰ‌ندارد‪.‬‬ ‫‪ – ‌6‬چند‌ قﻴمت‌ دﻳگرى‌ را‌ نﻴز‌ به‌ دست‌‬ ‫مﻰ‌آورﻳم‌وگراف‌تابع‌را‌رسم‌مﻰ‌نماﻳﻴم‪.‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2.5‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪2 3 5‬‬ ‫‪f ( x ) 5 5 6.5‬‬

‫‪x2 +1 1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‌‌ f x( x) = 0‬را‌‬ ‫ﻣثال‪‌:8‬گراف‌تابع‌‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫رسم‌کنﻴد‪2 8.5‌.‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ –‌1‬مجانب‌عمودى‌تابع ‪‌ x = 2‬مﻰ‌باشد‪‌،‬زﻳرا‌که‪x = 2 ‌‌:‬‬

‫‪x 2=0‬‬

‫‪x2 +1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‌‌‌‬ ‫‪‌ x 2 + 1 ‌-‌2‬بر ‪‌‌ x 2‬تقسﻴم‌مﻰ‌کنﻴم‌دارﻳم‌که‪‌:‬‬ ‫‪= x+2+‬‬ ‫‪x 2‬‬ ‫‪x 2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‌ به‌ صفر‌ نزدﻳک‌ مﻰ‌شود‌ و‌ گراف‌ تابع‌ به‌ خط‌ ‪‌ y = x + 2‬‬ ‫اگر‌ ‪ ‌ x‬بزرگ‌ شود‬ ‫‪x 2‬‬ ‫نزدﻳک‌مﻰ‌شود‪‌،‬که‌‌ ‪‌ y = x + 2‬مجانب‌ماﻳل‌اﻳن‌تابع‌مﻰ‌باشد‪‌.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ –‌3‬تقاطع‌گراف‌با‌محور ‪‌ Y‬عبارت‌از‌‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0 +1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= )‪f (0‬‬ ‫=‬ ‫‪0 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪137‬‬

‫‌مﻰ‌باشد‪‌،‬زﻳرا‌اگر‌ ‪‌ x = 0‬شود‌‬

‫‪‌-‌4‬گراف‌با‌محور‌‪‌X‬تقاطع‌ندارد‪‌،‬زﻳرا‌که‌اگر‌‌ ‪‌ f ( x) = 0‬شود‪‌‌،‬پس‪‌:‬‬ ‫«که‌در‌اعداد‌حقﻴقﻰ‌تعرﻳف‌نشده‌است»‌ ‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2.5‬‬

‫=‪x‬‬

‫‪x2 +1 = 0‬‬

‫‪x2 +1‬‬ ‫= ‪‌‌‌‌‌‌ 0‬‬ ‫‪x 2‬‬

‫با‌رسم‌کردن‌مجانب‌ها‌و‌توسط‌تعﻴﻴن‌‌نقطة‌تقاطع‌با‌محور‌‪‌y‬و‌چند‌نقطة‌دﻳگر‌تابع‪‌،‬مﻰ‌توان‌‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2 3 5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫گراف‌تابع‌را‌رسم‌کرد‪‌.‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪f ( x ) 5 5 6.5‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2 8.5‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x‬‬ ‫)‪f (x‬‬

‫)‪P( x‬‬ ‫اگر‌در‌تابع‬ ‫)‪g ( x‬‬ ‫‪ –‌1‬اگر ‪‌‌ m < n‬باشد‌محور‌‪‌X‬مجانب‌افقﻰ‌مﻰ‌باشد‪‌.‬‬

‫= )‪‌ f ( x‬اعداد‌‪‌n،‌m‬به‌ترتﻴب‌درجه‌هاى‌صورت‌و‌مخرج‌باشند‪‌،‬پس‪‌:‬‬

‫‪ –‌2‬اگر ‪‌ m = n‬باشد‌ ‪‌ y = b‬مجانب‌افقﻰ‌مﻰ‌باشد‪‌b‌.‬عبارت‌ از‌نسبت‌ضراﻳب‌حدود‌‬ ‫‪a n a n x n + ... + a 0‬‬ ‫درجه‌هاى‌‪‌m‬و‌‪‌n‬مﻰ‌باشد‌ﻳا‌اگر‌‬ ‫= (‪0 )، fy‬‬ ‫= )‪x‬‬ ‫‪b n b n x n + ... + b 0‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪‌ (b n‬باشد‌ ‪y = n‬‬ ‫‪bn‬‬

‫)‪0‬‬

‫عبارت‌از‌مجانب‌افقﻰ‌تابع(‪‌f)x‬مﻲ‌باشد‪.‬‬ ‫‪ –‌3‬اگر ‪‌ m > n‬باشد‌گراف‌مجانب‌افقﻰ‌ندارد‪‌.‬‬ ‫‪ –‌4‬اگر‌درجة‌صورت‌به‌اندازة‌ﻳک‌اضافه‌تر‌از‌درجة‌مخرج‌باشد‪‌،‬گراف‌تابع‌مجانب‌ماﻳل‌‬ ‫دارد‌که‌در‌بﻰ‌نهاﻳت‌با‌گراف‌موازى‌مﻰ‌شود‪‌‌.‬‬ ‫ﻳک‌تابع‌ناطق‌مﻰ‌تواند‌ﻳک‌ﻳا‌چند‌مجانب‌عمودى‌را‌دارا‌باشد‪‌،‬درحالﻰ‌که‌ﻳک‌مجانب‌‬ ‫افقﻰ‌ﻳا‌ماﻳل‌داشته‌مﻰ‌باشد‪‌.‬‬

‫‪138‬‬

‫‪(b n‬‬

‫تﻤرﻳﻦ‬ ‫‪3x 2‬‬ ‫‪ –‌1‬مجانب‌هاى‌عمودى‌و‌افقﻰ‌تابع‌‬ ‫‪x2 4‬‬ ‫‪x4‬‬ ‫‪ –‌2‬آﻳا‌تابع‌‬ ‫‪x2 +1‬‬

‫= )‪‌‌ f ( x‬را‌درﻳابﻴد‪‌.‬‬

‫= )‪ f ( x‬مجانب‌عمودى‌دارد؟‌چرا؟‬

‫‪ –‌3‬ناحﻴة‌تعرﻳف‌توابع‌داده‌شدة‌ذﻳل‌را‌درﻳابﻴد‌و‌نﻴز‌معادله‌هاى‌مجانب‌هاى‌عمودى‌آن‌ها‌‬ ‫را‌بنوﻳسﻴد‪.‬‬ ‫‪5x‬‬ ‫‪3x 2‬‬ ‫‪x+7‬‬ ‫‪x+7‬‬ ‫= ) ‪, g(x‬‬ ‫‪, h(x) = 2‬‬ ‫‪, k(x) = 2‬‬ ‫‪x 4‬‬ ‫)‪( x 5)( x + 4‬‬ ‫‪x 49‬‬ ‫‌‌‌‌‌‌ ‪x + 49‬‬

‫= )‪f (x‬‬

‫‌‬

‫‪ –‌4‬مجانب‌هاى‌عمودى‌توابع‌ذﻳل‌(‌اگر‌داشته‌باشد)‌را‌درﻳابﻴد‪‌.‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪x +3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‌‬ ‫= ) ‪, g( x‬‬ ‫= )‪, h (x‬‬ ‫‪, k(x) = 2‬‬ ‫‪x+4‬‬ ‫)‪x ( x + 4‬‬ ‫)‪x ( x + 4‬‬ ‫‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ ‪x + 4‬‬

‫‪ –‌5‬گراف‌توابع‌ناطق‌زﻳر‌را‌رسم‌کنﻴد‪‌.‬‬

‫‪2x‬‬ ‫= )‪g ( x‬‬ ‫‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ ‪x 4‬‬

‫= )‪f (x‬‬

‫‌‬

‫‪4x‬‬ ‫= )‪f ( x‬‬ ‫‪x 2‬‬

‫‪3x + 1‬‬ ‫‪‌-‌6‬مجانب‌افقﻰ‌تابع‌‬ ‫‪x 3‬‬ ‫‪a: y=2‬‬ ‫‪b: y = 3‬‬ ‫‪c: y = 2‬‬ ‫‪d:‬‬ ‫‪y= 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ) ‪ ‌ ‌ ‌ f ( x‬را‌ رسم‌ کنﻴد‌ و‌ با‌ گراف‌ تابع‌‬ ‫= ) ‪ f ( x‬و‌‬ ‫‪ ‌- ‌7‬گراف‌ توابع‌‬ ‫‌ ‪x+2‬‬ ‫‪x+2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ) ‪‌‌ f ( x‬مقاﻳسه‌کنﻴد‪.‬‬ ‫‪x‬‬

‫= ) ‪‌‌ f ( x‬عبارت‌است‌از‪:‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪‌-‌8‬مجانب‌ماﻳل‌تابع ‪‌‌ x‬را‌درﻳابﻴد‪.‬‬

‫‪x 1‬‬

‫‪139‬‬

‫خﻼصﺔ فصل‬ ‫تابع‌در‌بﻴن‌دو‌ست‌ﻳک‌رابطة‌ﻳا‌قاعده‌مﻰ‌باشد‪‌،‬طورى‌که‌هر‌عنصر‌ست‌اولﻰ‌محض‌‬ ‫با‌ﻳک‌عنصر‌ست‌دومﻰ‌ارتباط‌داشته‌باشد‪‌.‬ست‌اولﻰ‌به‌نام‌ناحﻴة‌تعرﻳف‌(‪‌)Domain‬‬ ‫و‌ست‌دومﻰ‌به‌نام‌(‪‌)Ragne‬ﻳاد‌مﻰ‌شود‌ﻳا‌تابع‌ست‌جوره‌هاى‌مرتب‌مﻰ‌باشد‌که‌عناصر‌‬ ‫اولﻰ‌آن‌تکرار‌نشده‌باشند‪.‬‬ ‫روش‌ارائة‌ﻳک‌تابع‌ )‪‌ y = f (x‬مﻰ‌باشد‪‌،‬براى‌ﻳافتن‌قﻴمت‌ﻳک‌تابع‪‌،‬در‌ﻳک‌نقطه‌قﻴمت‌‬ ‫داده‌شده‌‪‌x‬را‌در‌معادلة‌تابع‌وضع‌مﻰ‌نماﻳﻴم‪‌،‬قﻴمت‌تابع‌در‌همان‌نقطه‌به‌دست‌مﻰ‌آﻳد‪‌.‬ﻳک‌‬ ‫معادله‌وقتﻰ‌نشان‌دهندة‌ﻳک‌تابع‌مﻰ‌باشد‌که‌براى‌هر‌‪‌‌x‬ﻳک‌‪‌y‬وجود‌داشته‌باشد‪.‬‬ ‫درناحﻴة‌تعرﻳف‌(‪‌)Domain‬ﻳک‌تابع‌اعدادى‌شامل‌مﻰ‌باشند‌که‌تابع‌در‌آن‌تعرﻳف‌‬ ‫شده‌باشد‌ﻳا‌قﻴمت‌تابع‌ﻳک‌عدد‌حقﻴقﻰ‌باشد‪‌.‬گراف‌ﻳک‌تابع‌در‌مستوي‌‪‌XY‬ست‌نقاط‌‬ ‫‪‌S‬مﻲ‌باشند‪‌،‬طوري‌که‌ } )‪‌ S = { ( x, y ) | y = f ( x‬که‌‪‌x‬در‌ناحﻴة‌تعرﻳف‌تابع‌شامل‌باشد‪‌.‬‬ ‫اگر‌خط‌موازى‌با‌محور‌‪‌y‬گراف‌را‌محض‌درﻳک‌نقطه‌قطع‌کند‌گراف‪‌،‬گراف‌ﻳک‌تابع‌‬ ‫مﻰ‌باشد‪‌.‬‬ ‫‪‌ f ( x) = c‬تابع‌ثابت‪‌ f ( x ) = ax + b ‌‌،‬تابع‌خطﻰ )‪ f ( x ) = x (a 0‬تابع‌عﻴنﻴت‌و‬ ‫| ‪‌ f ( x) =| x‬تابع‌قﻴمت‌مطلقه‌مﻰ‌باشد‌که‌ناحﻴة‌تعرﻳف‌آن‌اعداد‌حقﻴقﻰ‌و‌ناحﻴة‌قﻴمت‌هاى‌‬ ‫آن‌صفر‌و‌اعداد‌مثبت‌حقﻴقﻰ‌مﻰ‌باشند‪.‬‬ ‫تابع‌عﻼمه‌اﻳن‌طور‌تعرﻳف‌شده‌است‌‬ ‫‌‬

‫‪1: x > 0‬‬ ‫‪0 :x = 0‬‬ ‫‪1: x < 0‬‬

‫= ) ‪sgn(x‬‬

‫‪IR‬‬

‫‪f : IR‬‬

‫‌‬

‫ناحﻴة‌تعرﻳف‌اﻳن‌تابع‪‌،‬ست‌اعداد‌حقﻴقﻰ‌و‌ناحﻴة‌قﻴمت‌هاى‌آن‌}‪‌‌ { 1, 0 ,1‬مﻰ‌باشد‪‌.‬‬ ‫‪ a 0 , y = ax 2 + bx + c‬شکل‌عمومﻰ‌تابع‌درجه‌دوم‌بوده‌که‌گراف‌تابع‌درجه‌دوم‌‬ ‫را‌به‌نام‌پارابوﻻ‌(‌‪‌)‌parabola‬ﻳاد‌مﻰ‌کنند‪‌.‬اگر‌ ‪‌ a > 0‬باشد‌رأس‌اصغرى‌و‌اگر‌ ‪‌ a < 0‬‬ ‫‪b 4ac b 2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫باشد‌رأس‌پارابوﻻ‌نقطة‌اعظمﻰ‌گراف‌مﻰ‌باشد‪) .‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪4a‬‬

‫( ‌کمﻴات‌وضعﻴة‌رأس‌‬

‫‪140‬‬

‫‪b‬‬ ‫پارا‌بوﻻ‪‌،‬‬ ‫‪2a‬‬

‫= ‪‌ x‬معادلة‌محور‌تناظر‌پارابوﻻ‌مﻰ‌باشد؛‌اگر‌ ‪‌ = b 2 4ac > 0‬باشد‌‬

‫پارابوﻻ‌محور‌‪‌X‬را‌در‌دو‌نقطه‪‌،‬اگر‌ ‪‌‌ = 0‬باشد‪‌،‬پارابوﻻ‌محور‌‪‌X‬را‌در‌ﻳک‌نقطه‌قطع‌‬

‫مﻰ‌کند‌و‌اگر‌‌ ‪‌ < 0‬باشد‌پارابوﻻ‌محور‌‪‌X‬را‌قطع‌کرده‌نمﻰ‌تواند‪‌.‬‬ ‫اگر‌درتابع‌ )‪‌ x1 < x2 ، f (x‬باشد‌ونتﻴجه‌شود‌که‌ ) ‪‌‌ f ( x1 ) < f ( x2‬شود‌تابع‌متزاﻳد‌و‌‬

‫اگر‌ ‪‌‌ x1 < x2‬باشد‌و‌درنتﻴجه‌ ) ‪‌ f ( x1 ) > f ( x2‬شود‌تابع‌متناقص‪‌.‬اگر‌ )‪‌ f ( x) = f ( x‬‬ ‫باشد‌تابع‌ )‪‌‌ f (x‬جفت‌و‌اگر‌ ) ‪‌‌ f ( x ) = f ( x‬شود‌تابع‌ )‪‌‌ f (x‬تاق‌مﻰ‌باشد‪‌.‬‬ ‫انتقال‌به‌(‪‌)2‬نوع‌مﻰ‌باشد‌(‌انتقال‌عمودى‌و‌انتقال‌افقﻰ‌)‌‬ ‫اﻧتقال عﻤﻮدى‪ :‬هرگاه‌‪‌c‬ﻳک‌عدد‌مثبت‌باشد‪‌.‬‬ ‫اگر‌گراف‌تابع‌ )‪‌‌ y = f (x‬به‌اندازة‌‪‌c‬واحد‌طور‌عمود‌به‌طرف‌باﻻ‌انتقال‌شود‌گراف‌تابع‌‬ ‫‪‌‌ y = f ( x) + c‬به‌دست‌مﻰ‌آﻳد‪‌.‬‬ ‫اگر‌گراف‌تابع‌ )‪‌‌ y = f (x‬به‌اندازة‌‪‌c‬واحد‌طور‌عمودى‌به‌طرف‌پاﻳﻴن‌انتقال‌شود‪‌،‬گراف‌‬ ‫تابع‌‌ ‪‌ y = f ( x) c‬به‌دست‌مﻰ‌آﻳد‪‌.‬‬ ‫اﻧتقال افقﻰ‪‌:‬هرگاه‌‪‌c‬ﻳک‌عدد‌مثبت‌باشد‪‌.‬‬ ‫اگر‌گراف‌تابع‌ )‪‌‌‌ y = f (x‬به‌اندازة‌‪‌c‬واحد‌به‌طرف‌چپ‌انتقال‌داده‌شود‪‌،‬گراف‌تابع‬ ‫)‪‌ y = f ( x + c‬به‌دست‌مﻰ‌آﻳد‪.‬‬ ‫اگر‌ گراف‌ تابع )‪ ‌ y = f (x‬به‌ اندازة‌ ‪ ‌c‬واحد‌ به‌ طرف‌ راست‌ انتقال‌ شود‪ ‌،‬گراف‌ تابع‌ به‌‬ ‫)‪‌ y = f ( x c‬دست‌مﻰ‌آﻳد‪‌.‬‬ ‫عملﻴه‌هاى‌توابع‌طور‌زﻳر‌تعرﻳف‌شده‌اند‪:‬‬ ‫) ‪g )( x ) = f ( x ) g ( x‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫) ‪(g( x‬‬ ‫) ‪(f g )( x ) = f ( x ) . g ( x‬‬ ‫= ) ‪( )( x‬‬ ‫‪g‬‬ ‫) ‪g( x‬‬ ‫‪dom (f + g )( x ) = dom f I dom g‬‬ ‫‪dom (f g )( x ) = dom f I dom g‬‬ ‫‪(f‬‬

‫)‪0‬‬

‫‌‬ ‫‌‬ ‫‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‬ ‫‌‌‬ ‫} ‪{ x / g( x ) = 0‬‬ ‫‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‬ ‫} ‪g ( x ) dom f‬‬

‫‪141‬‬

‫}‪f ( x ) dom g‬‬

‫) ‪(f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x‬‬

‫‪dom (f g )( x ) = dom f I dom g‬‬

‫‪,‬‬

‫‪f‬‬ ‫‪dom ( )( x ) = dom f I dom g‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪Dom (f o g )( x ) = {x / x domg‬‬

‫‪Dom (g o f )( x ) = {x / x dom f ,‬‬

‫‪f‬‬ ‫} ‪{ x / g( x ) = 0‬‬ ‫‪dom ( )( x ) = dom f I dom g‬‬ ‫ناحﻴة‌تعرﻳف‌توابع‌مرکب‪:‬‬ ‫‪g‬‬ ‫} ‪Dom (f o g )( x ) = {x / x domg , g ( x ) dom f‬‬ ‫‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ }‪Dom (g o f )( x ) = {x / x dom f , f ( x ) dom g‬‬

‫معکوس‌تابع‌ﻳک‌به‌ﻳک‌نﻴز‌ﻳک‌تابع‌مﻰ‌باشد‪.‬‬ ‫خط‌موازى‌با‌محور‌‪(‌x‬خط‌افقﻰ)‌گراف‌تابع‌ﻳک‌به‌ﻳک‌را‌درﻳک‌نقطه‌قطع‬ ‫‌مﻰ‌کند‪‌.‬‬ ‫براى‌درﻳافت‌معکوس‌تابع‌ﻳک‌به‌ﻳک‌ )‪‌‌ y = f (x‬معادله‌را‌براى‌‪‌x‬حل‌مﻰ‌نماﻳﻴم‪‌،‬‬ ‫‌‌تابع‌معکوس‌ )‪‌ f (x‬‬ ‫بعد‌‪‌x‬را‌به‌‪‌y‬و‌‪‌y‬را‌به‌‪‌x‬تبدﻳل‌مﻰ‌کنﻴم‪‌.‬تابع‌به‌دست‌آمده‌ )‪y = f 1 ( x‬‬ ‫مﻰ‌باشد‪‌.‬‬ ‫‌گراف‌تابع‌ )‪‌‌ f (x‬و‌گراف‌تابع‌معکوس‌ )‪‌ f (x‬نظر‌به‌خط‌‪‌y=x‬متناظر‌ﻳکدﻳگر‬ ‫‌مﻰ‌باشند‪‌.‬‬ ‫)‪P( x‬‬ ‫اگر‌در‌تابع‌ناطق‬ ‫)‪g ( x‬‬

‫= )‪‌ f ( x‬اعداد‌‪‌m‬و‌‪‌n‬به‌ترتﻴب‌درجه‌هاى‌صورت‌و‌مخرج‌‬

‫باشند؛‌پس‪‌:‬‬ ‫‪ –‌1‬اگر‌ ‪‌‌ m < n‬باشد‌محور‌‪‌X‬مجانب‌افقﻰ‌مﻰ‌باشد‪‌.‬‬ ‫‪ –‌2‬اگر‌ ‪‌‌ m = n‬باشد‌ ‪‌‌ y = b‬مجانب‌افقﻰ‌بوده‌و‌‪‌b‬عبارت‌از‌نسبت‌ضراﻳب‌حدود‌‬ ‫‪a n x n + ... + a 0‬‬ ‫درجه‌هاى‌‪‌m‬و‌‪‌n‬مﻰ‌باشد‌ﻳا‌اگر‌‬ ‫‪b n x n + ... + b 0‬‬

‫= ) ‪‌‌ f ( x‬باشد )‪0‬‬

‫‪an‬‬ ‫‪(b n‬‬ ‫‪bn‬‬

‫=‪‌ y‬‬

‫عبارت‌از‌مجانب‌افقﻰ‌تابع(‪‌f)x‬مﻲ‌باشد‪.‬‬ ‫‪ –‌3‬اگر‌ ‪‌‌ m > n‬باشد‌مجانب‌افقﻰ‌ندارد‪‌.‬‬ ‫‪ –‌4‬اگر‌درجة‌صورت‌به‌اندازة‌ﻳک‌اضافه‌تر‌از‌درجة‌مخرج‌باشد‪‌،‬گراف‌مجانب‌ماﻳل‌‬ ‫دارد‪‌.‬‬ ‫ﻳک‌تابع‌ناطق‌مﻰ‌تواند‌ﻳک‌ﻳا‌چند‌مجانب‌عمودى‌را‌دارا‌باشند‪‌،‬در‌حالﻰ‌که‌ﻳک‌مجانب‌‬ ‫افقﻰ‌ﻳا‌ماﻳل‌داشته‌مﻰ‌باشد‪‌.‬‬ ‫‌‬

‫‪142‬‬

‫تﻤرﻳﻦ فصل‬ ‫‪‌-‌1‬کدام‌ﻳک‌از‌ست‌هاى‌جوره‌هاى‌مرتب‌زﻳر‌تابع‌را‌نشان‌مﻰ‌دهد؟‌ناحﻴه‌هاى‌تعرﻳف‌و‌‬ ‫قﻴمت‌هاى‌آن‌ها‌را‌تعﻴﻴن‌کنﻴد‪.‬‬ ‫})‪{(1,2), (3,4), (5,5‬‬

‫‪1‬‬

‫})‪{(3,4), (3,5), (4,4), (4,5‬‬

‫‪2‬‬

‫})‪{( 3, 3), ( 2, 2), ( 1, 1), (0,0‬‬

‫‪3‬‬

‫})‪{(1,4), (1,5), (1,6‬‬

‫‪4‬‬

‫‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‬

‫‪‌-‌2‬اگر‌ ‪‌ g( x ) = x 2 + 2x + 3‬باشد‌ )‪‌‌ g( x ) , g( 1‬و‌ )‪‌‌ g( x + 5‬را‌درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪‌-‌3‬اگر‌ ‪‌‌ h ( x ) = x 4 + x 2 + 1‬باشد‌ )‪‌‌ h ( x ), h ( 1) , h (2‬و‌‌ ) ‪‌ h (3a‬را‌درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪‌-‌4‬ناحﻴة‌تعرﻳف‌توابع‌ذﻳل‌را‌درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‌‬ ‫‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪1< x 0‬باﺷد داﻳرة حﻘﻴﻘﻰ وجﻮد دارد‪.‬‬ ‫اﮔر ‪ g 2 + f 2 c = 0‬باﺷد داﻳره‪ ،‬ﻧﻘﻄﻮى اﺳت‪.‬‬ ‫اﮔر ‪ g 2 + f 2 c < 0‬باﺷد داﻳره‪ ،‬ﻣجازى اﺳت (وجﻮد ﻧدارد)‬ ‫و ﻳا اﮔر در ﻣﻌادﻟﺔ ‪x 2 + y 2 2hx 2ky + h 2 + k 2 r 2 = 0‬‬ ‫‪2k = b ، 2h = a‬‬

‫و ‪r2 = c‬‬

‫‪ h 2 + k 2‬ﻗرار داده ﺷﻮد دارﻳﻢ ﻛﻪ‪:‬‬

‫‪ x + y 2 + ax + by + c = 0‬اﻳﻦ ﻣﻌادﻟﺔ ﻋﻤﻮﻣﻰ ﻳﻚ داﻳره ﻧﻴز ﻣﻰباﺷد‪.‬‬ ‫بﻌﻀﻰ اوﻗات‪ ،‬ﻣﻌادﻟﺔ ﻋﻤﻮﻣﻰ ﻳﻚ داﻳره را بﻪ ﺷﻜﻞ ‪Ax 2 + By 2 + Dx + Ey F = 0‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻧﻴز ﻧﺸان ﻣﻰدﻫﻨد در ﺻﻮرتﻰ ﻛﻪ ‪ A = B‬و ﻫﻢﻋﻼﻣﻪ باﺷﻨد‪.‬‬

‫‪338‬‬

‫حاﻻت خاص‬ ‫‪ - 1‬اﮔــر در ﻣﻌادﻟــﺔ داﻳره ‪ ( x h ) 2 + ( y k ) 2 = r 2‬ﻗﻴﻤت ‪ h = 0‬باﺷــد‪ ،‬ﻣرﻛز داﻳره‬ ‫باﻻى ﻣحﻮر ‪ Y‬واﻗﻊ اﺳت و ﺷﻜﻞ ﻣﻌادﻟﺔ داﻳره ‪ x 2 + ( y k ) 2 = r 2‬ﻣﻰباﺷد‪.‬‬ ‫‪ - 2‬اﮔــر ‪ k = 0‬باﺷــد ﻣرﻛــز داﻳــره بــاﻻى ﻣحــﻮر ‪ X‬واﻗــﻊ اﺳــت و ﻣﻌادﻟــﺔ داﻳــره‬ ‫‪ ( x h) 2 + y 2 = r 2‬ﻣﻰباﺷد‪.‬‬ ‫‪ - 3‬اﮔر ‪ k = r‬باﺷد داﻳره با ﻣحﻮر ‪ X‬ﻣﻤاس بﻮده و ﻣﻌادﻟﺔ داﻳره‪( x h) 2 + ( y r ) 2 = r 2 ،‬‬ ‫ﻣﻰباﺷد‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ - 4‬اﮔر ‪ h = r‬باﺷد داﻳره با ﻣحﻮر ‪ Y‬ﻣﻤاس بﻮده و ﻣﻌادﻟﺔ داﻳره‪( x r ) + ( y k ) = r ،‬‬ ‫ﻣﻰباﺷد‪.‬‬ ‫‪ - 5‬ﻳــﻚ داﻳره در آن ﺻﻮرت از ﻣبدأى ﻛﻤﻴات وﺿﻌﻴﻪ ﻣﻰﮔذرد ﻛﻪ رابﻄﺔ ‪h 2 + k 2 = r 2‬‬ ‫را ﺻدق ﻛﻨد‪.‬‬ ‫‪ - 6‬ﻳــﻚ داﻳره در آن ﺻــﻮرت باﻻى ﻣحﻮرﻫاى ‪ X‬و ‪ Y‬ﻣﻤاس ﻣﻰباﺷــد ﻛﻪ ﻣﻌادﻟﺔ آن بﻪ‬ ‫ﺷﻜﻞ‪ ( x r ) 2 + ( y r ) 2 = r 2 ،‬باﺷد‪.‬‬ ‫مثال ‪ :2‬ﻣرﻛز داﻳرة ‪ x 2 + ( y 5) 2 = 10‬باﻻى ﻣحﻮر ‪ Y‬ﻗرار دارد‪.‬‬ ‫داﻳرة ‪ ( x 1) 2 + ( y 5) 2 = 25‬باﻣحﻮر ‪ X‬ﻣﻤاس ﻣﻰباﺷد‪.‬‬ ‫ﻣرﻛز داﻳرة ‪ ( x + 3) 2 + y 2 = 9‬باﻻى ﻣحﻮر ‪ X‬ﻗرار دارد‪.‬‬ ‫فعالﻴت‬ ‫در ﺷﻜﻞ ﻧﺸان دﻫﻴد ﻛﻪ در ﻣثال دوم ﻣرﻛز داﻳرة اوﻟﻰ باﻻى ﻣحﻮر‪ Y‬ﻗرار دارد‪ ،‬داﻳرة دوﻣﻰ‬ ‫با ﻣحﻮر ‪ X‬ﻣﻤاس ﻣﻰباﺷد و ﻣرﻛز داﻳرة دوﻣﻰ باﻻى ﻣحﻮر ‪ X‬ﻗرار دارد‪.‬‬ ‫مثال‪ :3‬ﻣﻌادﻟﺔ ﻋﻤﻮﻣﻰ و ﻣﻌﻴارى داﻳرهﻳﻰ را بﻨﻮﻳﺴﻴد ﻛﻪ‬ ‫ﻛﻤﻴات وﺿﻌﻴﺔ ﻣرﻛز آن )‪ ( 2,3‬و ﺷــﻌاع آن ‪ 6‬واحد‬ ‫باﺷد و ﻧﻴز اﻳﻦ داﻳره را رﺳﻢ ﻛﻨﻴد‪:‬‬ ‫‪( x + 2) 2 + ( y 3) 2 = 6 2‬‬

‫ﻣﻌادﻟﺔ ﻣﻌﻴارى داﻳره‬ ‫ﻣﻌادﻟﺔ ﻋﻤﻮﻣﻰداﻳره ‪x 2 + y 2 + 4 x 6 y 23 = 0‬‬

‫‪339‬‬

‫مثال‪ :4‬ﻧﺸان دﻫﻴد ﻛﻪ ‪ 5x 2 + 5y 2 + 24 x + 36 y + 10 = 0‬ﻣﻌادﻟﺔ ﻳﻚ داﻳره بﻮده و‬ ‫ﻧﻴز ﻛﻤﻴات وﺿﻌﻴﺔ ﻣرﻛز و ﻃﻮل ﺷﻌاع آن را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫حل‪ :‬ﻫردو ﻃرف ﻣﻌادﻟﻪ را بر ‪ 5‬تﻘﺴﻴﻢ ﻣﻰﻧﻤاﻳﻴﻢ دارﻳﻢ ﻛﻪ‪:‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪x+ y+2=0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪18‬‬ ‫‪12‬‬ ‫ﻛﻪ‪، g = :‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪12 18‬‬ ‫( = ) ‪( g, f‬‬ ‫‪,‬‬ ‫(ﻣرﻛز داﻳره) )‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪144 324‬‬ ‫‪418‬‬ ‫‪418‬‬ ‫ﺷﻌاع داﻳره‪:‬‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫=‪c‬‬ ‫=‪2‬‬ ‫‪25 25‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪x 2 + y2 +‬‬

‫= ‪ f‬و ‪ c = 2‬ﻣﻰباﺷد‪.‬‬

‫‪r = g2 + f 2‬‬

‫مثـال ‪ :5‬ﻣﻌادﻟــﺔ داﻳرهﻳــﻰ را درﻳابﻴد ﻛﻪ با داﻳــرة ‪ x 2 + y 2 8 x + 4 = 0‬ﻣتحداﻟﻤرﻛز‬ ‫(‪ )Concentric‬بــﻮده و با خﻂ ‪ x + 2 y + 6 = 0‬ﻣﻤاس‬ ‫باﺷد‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫حل‪ :‬ﻣرﻛز داﻳرة ‪x + y 8 x + 4 = 0‬‬ ‫ﻋبارت از ) ‪ C1 ( g, f‬بﻮده ﻛﻪ در ﻣﻌادﻟﻪ‬ ‫‪: x 2 + y 2 + 2gx + 2fy + c = 0‬‬ ‫‪g=4‬‬

‫‪g= 4‬‬ ‫‪f =0‬‬

‫‪2g = 8‬‬ ‫‪2f = 0‬‬

‫ﻧﻘﻄﺔ )‪ C1 (4,0‬ﻣرﻛز آن داﻳره ﻧﻴز ﻣﻰباﺷد ﻛﻪ ﻣﻌادﻟﺔ آن ﻣﻄﻠﻮب اﺳت‪.‬‬ ‫ﻛﻤﻴات وﺿﻌﻴﺔ ‪ C1‬را در ﻣﻌادﻟﻪ ‪ ( x h) 2 + ( y k ) 2 = r 2‬وﺿﻊ ﻣﻰﻧﻤاﻳﻴﻢ‪:‬‬ ‫‪( x 4) 2 + ( y 0) 2 = r 2‬‬

‫براى اﻳﻦﻛﻪ ﺷﻌاع داﻳره ‪ C2‬را درﻳابﻴﻢ‪ ،‬چﻮن داﻳره با خﻂ ﻣﺴتﻘﻴﻢ ‪ x + 2 y + 6 = 0‬ﻣﻤاس‬ ‫اﺳت‪ ،‬پس ﻓاﺻﻠﺔ ﻧﻘﻄﺔ )‪ (4,0‬از اﻳﻦ خﻂ ﻣﺴتﻘﻴﻢ ﻋبارت از ﺷﻌاع داﻳره ﻣﻰباﺷد‪.‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪10‬‬ ‫= ‪ r 2‬ﻳا‬ ‫‪= 20‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬

‫=‬

‫‪4(1) + 2(0) + 6‬‬ ‫‪12 + 2 2‬‬

‫=‪d=r‬‬

‫‪340‬‬

‫پس ﻣﻌادﻟﺔ داﻳرة ﻣﻄﻠﻮب ‪ ( x 4) 2 + y 2 = 20‬ﻳا ‪ x 2 + y 2 8 x 4 = 0‬ﻣﻰباﺷد‪.‬‬ ‫مثـال‪ :6‬ﻣﻌادﻟﺔ داﻳرهﻳــﻰ را درﻳابﻴد ﻛﻪ از ﻧﻘاط )‪ B(6,5‬و )‪ A(4,1‬ﻣﻰﮔــذرد و ﻣرﻛز آن‬ ‫باﻻى خﻂ ﻣﺴتﻘﻴﻢ ‪ 4x + y 16 = 0‬واﻗﻊ باﺷد‪.‬‬ ‫حل‪ :‬اﮔر ﻣرﻛز داﻳره ) ‪ C(h, k‬باﺷد‪ ،‬ﻣﻌادﻟﺔ داﻳره ﻋبارت از‪:‬‬ ‫‪ ( x h ) 2 + ( y k ) 2 = r 2‬ﻣﻰباﺷد‪ ،‬چﻮن ﻣرﻛز داﻳره باﻻى خﻂ ﻣﺴتﻘﻴﻢ‬ ‫‪ 4x + y 16 = 0‬ﻗرار دارد‪ ،‬پس ‪ 4h + k = 16‬اﺳت ‪ ( x h ) 2 + ( y k ) 2 = r 2‬و‬ ‫‪ AC = BC‬و ‪ AC 2 = BC 2‬ﻣﻰباﺷد‪.‬‬ ‫‪(h 4) 2 + (k 1) 2 = (h 6) 2 + (k 5) 2‬‬ ‫‪4h + 8k = 44‬‬ ‫‪± 4h ± k = ±16‬‬ ‫‪7 k = 28‬‬ ‫‪k=4‬‬

‫‪h =3‬‬

‫‪r = (3 4) + (4 1) 2 = 10‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x 2 + y 2 6 x 8 y + 15 = 0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪( x 3) 2 + ( y 4) 2 = 10‬‬

‫ﻛﻪ ﻣﻌادﻟﺔ ﻋﻤﻮﻣﻰ داﻳره ﻣﻄﻠﻮب ﻣﻰباﺷد‪.‬‬ ‫فعالﻴت‬ ‫ﻣﻌادﻟﺔ داﻳرهﻳﻰ را درﻳابﻴد ﻛﻪ از ﻧﻘاط )‪ (0,0‬و )‪ (2,0‬ﻣﻰﮔذرد و با خﻂ ﻣﺴتﻘﻴﻢ ‪y 1 = 0‬‬

‫ﻣﻤاس باﺷد‪.‬‬ ‫مثال‪ :7‬ﻛﻤﻴات وﺿﻌﻴﺔ ﻣرﻛز و ﻃﻮل ﺷﻌاع داﻳره‪ x 2 + y 2 4x + 4 y 9 = 0‬را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫حل‬ ‫‪4x + 4 y 9 = 0‬‬

‫‪x 2 + y2‬‬

‫‪4x + y 2 + 4 y 9 = 0‬‬ ‫‪2 9=0‬‬

‫‪4x + ( 22 ) ( 22 ) + y 2 + 4 y + 22‬‬

‫‪2‬‬

‫‪x‬‬

‫‪x2‬‬

‫‪( x 2) + ( y + 2) = 17‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪341‬‬

‫‪2‬‬

‫پس ﻣرﻛز داﻳره )‪ (2, 2‬و ﺷﻌاع داﻳره ‪ r = 17‬ﻣﻰباﺷد‪.‬‬ ‫ﻣﻌادﻟﺔ داﻳرهﻳﻰ ﻛﻪ ﻣرﻛز آن در ﻣبدأى ﻛﻤﻴات وﺿﻌﻴﻪ واﻗﻊ باﺷد ﻋبارت از ‪x 2 + y 2 = r 2‬‬ ‫و اﮔر ﻣرﻛز آن در ﻣبدأى ﻛﻤﻴات وﺿﻌﻴﻪ واﻗﻊ ﻧباﺷد و ﻛﻤﻴات وﺿﻌﻴﺔ ﻣرﻛز داﻳره ) ‪(h, k‬‬

‫باﺷد ﻣﻌادﻟﺔ آن ‪ ( x h ) 2 + ( y k ) 2 = r 2‬ﻳا ‪x 2 + y 2 + 2gx + 2fy + c = 0‬‬ ‫و ﻳا ‪ x 2 + y 2 + ax + by + c = 0‬ﻣﻰباﺷﻨد‪.‬‬

‫تﻤرﻳﻦ‬ ‫‪ - 1‬ﻣﻌادﻟﺔ داﻳرهﻳﻰ را درﻳابﻴد ﻛﻪ اﮔر‪:‬‬ ‫‪ )a‬ﻣختﺼات ﻣرﻛز آن )‪ (5, 2‬و ‪ r = 4‬باﺷد‪.‬‬ ‫‪ )b‬ﻣختﺼات ﻣرﻛز آن ) ‪ ( 2, 3 3‬و ﺷﻌاع آن ‪ r = 2 2‬باﺷد‪.‬‬ ‫‪ )c‬ﻣختﺼات ﻣرﻛز آن )‪ (0,0‬و از ﻧﻘﻄﺔ )‪ (1,2‬بﮕذرد‪.‬‬ ‫‪ )d‬ﻣختﺼات ﻣرﻛزآن )‪ (0,0‬و از ﻧﻘﻄﺔ )‪ ( 3, 4‬بﮕذرد‪.‬‬ ‫‪ )e‬ﻣختﺼات ﻣرﻛز آن )‪ (8, 6‬و از ﻣبدأ ﻛﻤﻴات وﺿﻌﻴﻪ بﮕذرد‪.‬‬ ‫‪ - 2‬ﻧخﺴت ﻧﺸان دﻫﻴد ﻛﻪ ﻣﻌادﻻت داده ﺷدة زﻳر‪ ،‬ﻣﻌادﻟﻪﻫاى داﻳره ﻣﻰباﺷﻨد بﻌد ﻛﻤﻴات‬ ‫وﺿﻌﻴﺔ ﻣرﻛز و ﻃﻮل ﺷﻌاع ﻫرﻳﻚ از آنﻫا را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪5x 2 + 5 y 2 + 14x + 12 y = 0‬‬

‫‪x 2 + y 2 + 12x 10 y = 0‬‬

‫‪3x 2 + 3 y 2 2 x + 4 y 1 = 0‬‬

‫‪x 2 + y 2 6 x + 4 y + 13 = 0‬‬ ‫‪a ( x 2 + y 2 ) + 2gx + 2fy + c = 0‬‬

‫‪342‬‬

‫حاﻻت ﻳک خط مستقﻴم با داﻳره‬

‫آﻳا ﻣﻰتﻮاﻧﻴد بﮕﻮﻳﻴد ﻛﻪ خﻂ ﻣﺴتﻘﻴﻢ‬ ‫‪ 3x 4 y + 20 = 0‬داﻳرة ‪x 2 + y 2 = 25‬‬ ‫را در چﻨد ﻧﻘﻄﻪ ﻗﻄﻊ ﻣﻰﻛﻨد؟‬

‫ﻣﻌادﻟﺔ داﻳرة ‪ x 2 + y 2 + ax + by + c = 0‬را در ﻧﻈر ﻣﻰﮔﻴرﻳﻢ‪ .‬حاﻻت ﻳﻚ خﻂ ﻣﺴــتﻘﻴﻢ‬ ‫را بــا داﻳرة ﻣذﻛﻮر ﻣﻮرد ﻣﻄاﻟﻌﻪ ﻗرار ﻣﻰدﻫﻴﻢ ﻛﻪ آﻳا خﻂ ﻣﺴــتﻘﻴﻢ‪ ،‬داﻳره را در دو ﻧﻘﻄﻪ ﻗﻄﻊ‬ ‫ﻣﻰﻛﻨد‪ ،‬خﻂ با داﻳره ﻣﻤاس ﻣﻰباﺷد و ﻳا اﻳﻦﻛﻪ خﻂ ﻣﺴتﻘﻴﻢ‪ ،‬داﻳره را ﻫﻴچ ﻗﻄﻊ ﻧﻤﻰﻛﻨد‪.‬‬ ‫ﻗﻴﻤت ‪ x‬و ﻳا‪ y‬را از ﻣﻌادﻟﺔ خﻂ ﻣﺴــتﻘﻴﻢ بﻪ دﺳــت آورده‪ ،‬در ﻣﻌادﻟﺔ داﻳره وﺿﻊ ﻣﻰﻧﻤاﻳﻴﻢ در‬ ‫اﻳﻦﺻﻮرت ﻣﻌادﻟﺔ درجﻪ دوم ﻳﻚ ﻣجﻬﻮﻟﻪ بﻪ دﺳت ﻣﻰآﻳد‪.‬‬ ‫‪ )1‬اﮔــر در اﻳﻦ ﻣﻌادﻟﻪ ‪ = b 2 4ac > 0‬باﺷــد خﻂ ﻣﺴــتﻘﻴﻢ داﻳــره را در دو ﻧﻘﻄﻪ ﻗﻄﻊ‬ ‫ﻣﻰﻛﻨد‪.‬‬ ‫‪ )2‬اﮔر ‪ = b 2 4ac = 0‬باﺷد خﻂ ﻣﺴتﻘﻴﻢ با داﻳره ﻣﻤاس ﻣﻰباﺷد‪.‬‬ ‫‪ )3‬و اﮔر ‪ = b 2 4ac < 0‬باﺷد خﻂ ﻣﺴتﻘﻴﻢ داﻳره را ﻗﻄﻊ ﻧﻤﻰﻛﻨد‪.‬‬ ‫مثال‪ :1‬آﻳا خﻂ ﻣﺴتﻘﻴﻢ ‪ 2 x = y + 7‬داﻳرة ‪ x 2 + y 2 8x 2 y + 12 = 0‬را ﻗﻄﻊ‬ ‫ﻣﻰﻛﻨد؟ ﻛﻤﻴات وﺿﻌﻴﺔ ﻧﻘاط تﻘاﻃﻊ را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫حل‪ :‬از ﻣﻌادﻟﺔ خﻂ ﻣﺴتﻘﻴﻢ ‪ y = 2 x 7‬ﻗﻴﻤت ‪ y‬را در ﻣﻌادﻟﺔ داﻳره وﺿﻊ ﻣﻰﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬ ‫‪x 2 + (2 x 7) 2 8x 2(2 x 7) + 12 = 0‬‬ ‫‪5x 2 40x + 75 = 0‬‬ ‫ﻳا ‪x 2 8x + 15 = 0‬‬

‫‪= b 2 4ac = ( 8) 2 4 15 = 64 60 = 4 > 0‬‬

‫پس خﻂ ﻣﺴتﻘﻴﻢ داﻳره را در دو ﻧﻘﻄﻪ ﻗﻄﻊ ﻣﻰﻛﻨد ﻛﻪ ﻛﻤﻴات وﺿﻌﻴﺔ ﻧﻘاط تﻘاﻃﻊ ﻋبارت اﻧد از‪:‬‬

‫‪343‬‬

‫‪b ± b 2 4ac 8 ± 4‬‬ ‫=‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x1 = 5 , x 2 = 3‬‬

‫=‪x‬‬

‫براى ﻳاﻓتﻦ ﻗﻴﻤت ‪ y‬ﻗﻴﻤتﻫاى ‪ x1 = 5‬و ‪ x2 = 3‬را در ﻣﻌادﻟﺔ خﻂ ﻣﺴــتﻘﻴﻢ وﺿﻊ ﻣﻰﻛﻨﻴﻢ‬ ‫دارﻳﻢ ﻛﻪ‪:‬‬ ‫‪7 =2 5 7=3‬‬

‫‪y1 = 2 x1‬‬

‫‪y 2 = 2x 2 7 = 2 3 7 = 1‬‬

‫پس اﻳﻦ خﻂ ﻣﺴتﻘﻴﻢ داﻳره را در ﻧﻘاط )‪ (3, 1‬و )‪ (5,3‬ﻗﻄﻊ ﻣﻰﻛﻨد‪.‬‬ ‫مثال‪ :2‬آﻳا خﻂ ﻣﺴتﻘﻴﻢ ‪ x + 3 y 5 = 0‬با داﻳرة ‪ x 2 + y 2 2 x + 4 y 5 = 0‬ﻣﻤاس‬ ‫ﻣﻰباﺷد ﻳا خﻴر؟‬ ‫حل‪ :‬از ﻣﻌادﻟﺔ خﻂ ﻣﺴتﻘﻴﻢ ‪ x = 5 3 y‬ﻗﻴﻤت ‪ x‬را در ﻣﻌادﻟﺔ داﻳره وﺿﻊ ﻣﻰﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬ ‫‪(5 3 y ) 2 + y 2 2(5 3 y ) + 4 y 5 = 0‬‬ ‫‪y2 2 y +1 = 0‬‬ ‫و ‪= ( 2) 2 4 1 = 0‬‬

‫پس اﻳﻦ خﻂ ﻣﺴتﻘﻴﻢ با داﻳره ﻣﻤاس ﻣﻰباﺷد‪ .‬ﻛﻤﻴات وﺿﻌﻴﺔ ﻧﻘﻄﺔ‬

‫تﻤاس ﻋبارت اﻧد از‪:‬‬

‫‪2± 0‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x = 5 3 1= 2‬‬ ‫=‪y‬‬

‫پس خﻂ ﻣﺴتﻘﻴﻢ در ﻧﻘﻄﺔ )‪ (2,1‬با داﻳره ﻣﻤاس ﻣﻰباﺷد‪.‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫آﻳا خﻂ ﻣﺴتﻘﻴﻢ ‪ x y + 1 = 0‬با داﻳرة ‪ x 2 + y 2 5 = 0‬ﻣﻤاس اﺳت؟ ﻳا داﻳره را در دو‬ ‫ﻧﻘﻄﻪ ﻗﻄﻊ ﻣﻰﻛﻨد؟ و ﻳا اﻳﻦ ﻛﻪ داﻳره را ﻫﻴچ ﻗﻄﻊ ﻧﻤﻰﻛﻨد؟‬

‫‪344‬‬

‫معادلﺔ مماس و طول مماس‬

‫آﻳا ﻣﻌادﻟﺔ خﻄﻰ را درﻳاﻓت ﻛرده‬ ‫ﻣﻰتﻮاﻧﻴد ﻛﻪ در ﻧﻘﻄﺔ )‪ P( 3, 2‬با داﻳره‬ ‫‪ x 2 + y 2 = 13‬ﻣﻤاس باﺷد؟‬

‫اﮔر ﻳﻚ خﻂ ﻣﺴــتﻘﻴﻢ با داﻳرهﻳﻰ ﻛﻪ ﻣرﻛز آن ) ‪ C (h, k‬و در ﻧﻘﻄﻪ ) ‪ P1 ( x1 , y1‬با داﻳره‬ ‫ﻣﻤاس باﺷد‪ ،‬پس ﻣﻴﻞ ﺷﻌاع ﻣﺴاوى اﺳت بﻪ‪k y1 :‬‬ ‫‪h x1‬‬

‫=‪m‬‬

‫چﻮن ﺷﻌاع در ﻧﻘﻄﺔ تﻤاس بر ﻣﻤاس ﻋﻤﻮد ﻣﻰباﺷد‪ ،‬ﻣﻴﻞ ﻣﻤاس ﻣﺴاوى اﺳت بﻪ ‪h x1‬‬ ‫‪k y1‬‬ ‫اﺳت و ﻣﻴﻞ آن ‪h x1‬‬ ‫چﻮن ﻳﻚ ﻧﻘﻄﺔ خﻂ ﻣﺴتﻘﻴﻢ ) ‪P1 ( x1 , y1‬‬ ‫‪k y1‬‬

‫ﻣﻰباﺷد‪.‬‬

‫ﻧﻈر بﻪ ﻣﻌادﻟﺔ خﻂ ﻣﺴتﻘﻴﻢ ) ‪ y y1 = m( x x1‬دارﻳﻢ ﻛﻪ‪:‬‬ ‫‪h x1‬‬ ‫) ‪( x x1‬‬ ‫‪k y1‬‬

‫= ‪y1‬‬

‫‪y‬‬

‫اﻳﻦ ﻣﻌادﻟﻪ ﻋبارت از ﻣﻌادﻟﺔ ﻣﻤاس ﻣﻰباﺷد ﻛﻪ در ﻧﻘﻄﺔ ) ‪ P1 ( x1 , y1‬با داﻳره ﻣﻤاس اﺳت‪.‬‬ ‫و اﮔر ﻣرﻛز داﻳره در ﻣبدأى ﻛﻤﻴات وﺿﻌﻴﺔ واﻗﻊ باﺷــد در آن ﺻﻮرت ‪ h = k = 0‬اﺳــت و‬ ‫ﻣﻌادﻟﺔ ﻣﻤاس اﻳﻦ ﺷﻜﻞ را بﻪ خﻮد ﻣﻰﮔﻴرد‪.‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫) ‪( x x1‬‬ ‫‪y1‬‬

‫= ‪y1‬‬

‫‪y‬‬

‫ﻳا ‪yy1 + xx1 = x12 + y12‬‬

‫چﻮن ‪ x12 + y12 = r 2‬ﻣﻰباﺷد‪ ،‬پس ‪ yy1 + xx1 = r 2‬ﻣﻌادﻟﺔ ﻣﻤاس ﻣﻰباﺷد‪.‬‬

‫‪345‬‬

‫مثـال‪ :1‬ﻣﻌادﻟﺔ خﻂ ﻣﺴــتﻘﻴﻤﻰ را درﻳابﻴد ﻛﻪ‬ ‫در ﻧﻘﻄﻪ )‪ (3,4‬با داﻳره ‪ x 2 + y 2 = 25‬ﻣﻤاس‬ ‫باﺷد‪.‬‬ ‫حـل‪ :‬چﻮن ﻣرﻛــز داﻳره در ﻣبــدأى ﻛﻤﻴات‬ ‫وﺿﻌﻴﻪ واﻗﻊ ﻣﻰباﺷد‪y 4 + x 3 = 25 .‬‬ ‫پس ﻣﻌادﻟﺔ ﻣﻤاس ﻋبارت از ‪3x + 4 y = 25‬‬ ‫و ﻳا ‪ 3x + 4 y 25 = 0‬ﻣﻰباﺷد‪.‬‬

‫مثال‪ :2‬ﻣﻌادﻟﺔ خﻂ ﻣﺴتﻘﻴﻤﻰرا درﻳابﻴد ﻛﻪ در ﻧﻘﻄﻪ )‪ P(3,5‬با داﻳرهﻳﻰ ﻛﻪ ﻣرﻛز آن )‪(1,2‬‬

‫اﺳت ﻣﻤاس باﺷد‪.‬‬ ‫‪k=2‬‬ ‫‪y1 = 5‬‬

‫‪h =1‬‬ ‫‪x1 = 3‬‬

‫‪h x1‬‬ ‫) ‪( x x1‬‬ ‫‪k y1‬‬

‫= ‪y y1‬‬

‫‪1 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪2 5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪( x 3‬‬ ‫=‪y 5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2 x + 3y = 21‬‬ ‫=‪m‬‬

‫‪2 x + 3y 21 = 0‬‬

‫ﻳا‪:‬‬

‫طول مماس‬ ‫اﮔــر از ﻧﻘﻄﺔ ) ‪ P1 (x1 , y1‬ﻛــﻪ در خارج از داﻳره ‪ (x h) + (y k) = r‬واﻗﻊ باﺷــد‪.‬‬ ‫ﻣﻤاس ‪ P1T‬بﻪ اﻳﻦ داﻳره ﻣثﻞ ﺷﻜﻞ رﺳﻢ ﺷﻮد و ﻧﻘﻄﺔ تﻤاس (‪ )T‬را بﻪ ﻣرﻛز داﻳره (‪ )C‬وﺻﻞ‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫ﻣﻰﻛﻨﻴﻢ‪ .‬در ﻣثﻠث ﻗاﻳﻢاﻟزاوﻳﻪ ‪ P1 T C‬بﻪ اﺳاس ﻗﻀﻴﺔ ﻓﻴثاﻏﻮرث دارﻳﻢ ﻛﻪ‪:‬‬ ‫‪(P1 C) 2 = (P1 T ) 2 + (CT) 2‬‬

‫‪346‬‬

‫‪(P1 T) 2 = (P1 C) 2 (CT)2‬‬

‫ﻳا‪:‬‬

‫از ﻃرف دﻳﮕر‪ (P1 C) 2 = (x1 h) 2 + (y1 k) 2 :‬و ‪ CT = r‬ﻣﻰباﺷد‪ ،‬پس ﻃﻮل ﻣﻤاس‬ ‫ﻣﺴاوى اﺳت بﻪ‪P1T = ( x1 h) 2 + ( y1 k ) 2 r 2 :‬‬

‫بﻪ ﻳاد داﺷــتﻪ باﺷــﻴد براى ﻳاﻓتﻦ ﻃﻮل ﻓاﺻﻠﻪ از ﻳﻚ ﻧﻘﻄﺔ خارج داﻳره بﻪ اﻣتداد ﻣﻤاس ﻛﻔاﻳت‬ ‫ﻣﻰﻛﻨد ﻛﻪ ﻗﻴﻤتﻫاى ‪ x‬و ‪ y‬ﻧﻘﻄﻪ را در ﻣﻌادﻟﺔ داﻳره وﺿﻊ ﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫مثـال‪ :3‬ﻃﻮل ﻣﻤــاس را از ﻧﻘﻄﺔ )‪ ( 5,10‬بر داﻳره ‪5x + 5 y + 14x + 12 y 10 = 0‬‬ ‫درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪12‬‬ ‫حل‪ :‬ﻣﻌادﻟﺔ را بﻪ ﻋدد ‪ 5‬تﻘﺴﻴﻢ ﻣﻰﻛﻨﻴﻢ دارﻳﻢ ﻛﻪ‪x 2 + y 2 + x + y 2 = 0 :‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪ = ( 5) 2 + (10) 2 14 + 24 2 = 133‬ﻃﻮل ﻣﻤاس‬ ‫فعالﻴت‬ ‫ﻃﻮل ﻣﻤاس را ﻛﻪ از ﻧﻘﻄﺔ )‪ P( 2,2‬بر داﻳرة ‪ x 2 + y 2 6x + 8y = 0‬رﺳــﻢ ﺷــده باﺷد‬ ‫درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫با وﺿﻊ ﻛردن ﻳﻚ ﻣجﻬﻮل از ﻣﻌادﻟﺔ خﻂ ﻣﺴــتﻘﻴﻢ در ﻣﻌادﻟﺔ داﻳره‪ ،‬ﻳﻚ ﻣﻌادﻟﺔ ﻳﻚ ﻣجﻬﻮﻟﻪ‬ ‫درجﻪ دوم بﻪ دﺳت ﻣﻰآﻳد‪ .‬اﮔر در اﻳﻦ ﻣﻌادﻟﻪ ‪ > 0‬باﺷد خﻂ ﻣﺴتﻘﻴﻢ داﻳره را در دو ﻧﻘﻄﻪ‬ ‫ﻗﻄﻊ ﻣﻰﻛﻨد‪ .‬اﮔر ‪ = 0‬باﺷــد خﻂ ﻣﺴتﻘﻴﻢ با داﻳره ﻣﻤاس و اﮔر ‪ < 0‬خﻂ ﻣﺴتﻘﻴﻢ داﻳره‬ ‫را ﻗﻄﻊ ﻧﻤﻰﻛﻨد‪.‬‬

‫‪347‬‬

‫ﻣﻌادﻟﺔ خﻂ ﻣﺴتﻘﻴﻤﻰ ﻛﻪ در ﻧﻘﻄﺔ ) ‪ P1 ( x1 , y1‬بر داﻳرهﻳﻰ ﻛﻪ ﻣرﻛز آن ) ‪ (h, k‬اﺳت ﻣﻤاس‬ ‫باﺷد ﻋبارت اﺳت از‪:‬‬ ‫‪h x1‬‬ ‫) ‪( x x1‬‬ ‫‪k y1‬‬

‫= ‪y y1‬‬

‫اﮔــر ﻣرﻛز داﻳره در ﻣبدأى ﻛﻤﻴات وﺿﻌﻴﻪ باﺷــد ﻣﻌادﻟﺔ ﻣﻤاس ‪ yy1 + xx1 = x1 + y1‬ﻳا‬ ‫‪ yy1 + xx1 = r 2‬ﻣﻰباﺷد و ﻃﻮل ﻣﻤاس ‪ PT‬از ﻳﻚ ﻧﻘﻄﻪ )‪ P( x, y‬خارج داﻳره ﻛﻪ ﻣرﻛز‬ ‫داﻳره ) ‪ (h, k‬باﺷد‪ ،‬ﻣﺴاوى اﺳت بﻪ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪PT = ( x h ) 2 + ( y k ) 2 r 2‬‬

‫تﻤرﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬حاﻻت خﻄﻮط ﻣﺴــتﻘﻴﻢ را با داﻳرهﻫاﻳﻰ ﻛﻪ ﻣﻌادﻟﻪﻫاى آنﻫا در زﻳر داده ﺷــدهاﻧد بررﺳﻰ‬ ‫ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫ﻣﻌادﻟﻪﻫاى خﻄﻮط ﻣﺴتﻘﻴﻢ‬

‫ﻣﻌادﻟﻪﻫاى داﻳره‬

‫‪3x 2 y + 3 = 0‬‬

‫‪x 2 + y 2 4x y 3 = 0‬‬

‫‪x y 1= 0‬‬

‫‪2( x 2 + y 2 ) 3x + 2 y 6 = 0‬‬

‫‪5x y = 1‬‬

‫‪x 2 + y2‬‬

‫‪x 9 y + 14 = 0‬‬

‫‪ -2‬ﻣﻌادﻟﺔ خﻂ ﻣﺴتﻘﻴﻢ را درﻳابﻴد ﻛﻪ در ﻧﻘﻄﺔ )‪ (2, 3‬با داﻳرة ‪x 2 + y 2 2 x + 4 y + 3 = 0‬‬

‫ﻣﻤاس باﺷد‪.‬‬ ‫‪ -3‬ﻃﻮل ﻣﻤاس راﻛﻪ از ﻧﻘﻄﺔ )‪ ( 5,4‬بﻪ داﻳرة ‪10x + 15y 131 = 0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ 5x + 5y‬رﺳﻢ‬ ‫‪2‬‬

‫ﺷده درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪ -4‬ﻃﻮل ﻣﻤاس را ﻛﻪ از ﻧﻘﻄﺔ )‪ ( 2, 5‬بﻪ داﻳرة ‪ x + y + 8x 5y = 7‬ترﺳــﻴﻢ ﺷــده‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫باﺷد درﻳابﻴد‪.‬‬

‫‪348‬‬

‫درﻳافت مساحت مثلث در صورتﻰ‬ ‫کﻪ کمﻴات وضعﻴﻪ رأسﻫاى آن‬ ‫داده شده باشد‪.‬‬ ‫آﻳا ﻣﺴــاحت ﻣثﻠثﻰ را ﻣﻰتﻮاﻧﻴد درﻳابﻴد ﻛﻪ‬ ‫رأسﻫــاى آن )‪ (3,2) ، ( 3,6‬و )‪(6,0‬‬

‫باﺷﻨد؟‬

‫اﮔر ‪ P2 ، P1‬و ‪ P3‬رأسﻫاى ﻣثﻠث باﺷــد ﻃﻮرى ﻛﻪ در ﺷﻜﻞ ﻣﺸاﻫده ﻣﻰﺷﻮد باﻻى ﻣحﻮر‬ ‫‪ X‬ﺳﻪ خﻂ ﻋﻤﻮد ‪ P2 C ، P1 A‬و ‪ P3 B‬را رﺳﻢ ﻧﻤاﻳﻴد‪.‬‬ ‫(ﻣﺴاحت ذوزﻧﻘﻪ ‪ + P3 BCP2‬ﻣﺴاحت ذوزﻧﻘﻪ ‪=) P1 ABP3‬ﻣﺴاحت ﻣثﻠث ‪P1 P2 P3‬‬ ‫ﻣﺴاحت ذوزﻧﻘﻪ ‪P1 ACP2‬‬

‫چــﻮن ﻣﻰداﻧﻴﻢ ﻛﻪ ﻣﺴــاحت ذوزﻧﻘﻪ (ﻧﺼﻒ ﻣجﻤــﻮع دو ﺿﻠﻊ ﻣﻮازى) (ﻓاﺻﻠــﻪ بﻴﻦ دو ﺿﻠﻊ‬ ‫ﻣﻮازى) ﻣﻰباﺷد پس‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪( P1 A + P3 B ) ( AB ) + ( P3 B + P2 C )( BC‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫= ﻣﺴاحت ﻣثﻠث ‪P1P2 P3‬‬

‫‪1‬‬ ‫) ‪( P1A + P2 C )( AC‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫]) ‪= [( y1 + y 3 )( x 3 x1 )] + [( y 3 + y 2 )( x 2 x 3‬‬ ‫]) ‪[( y1 + y 2 )( x 2 x1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= ( x 3 y1 + x 3 y 3 x1 y1 x1 y 3 + x 2 y 3 + x 2 y 2 x 3 y 3 x 3 y 2 x 2 y1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪x 2 y 2 + x1 y1 + x1 y 2‬‬ ‫]) ‪y 3 ) + x 2 ( y 3 y1 ) + x 3 ( y1 y 2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪= [ x1 ( y 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫مثال‪ :‬اﮔر )‪ B(5, 6) ، A(4, 5‬و )‪ C (3,1‬رأسﻫاى ﻳﻚ ﻣثﻠث باﺷــﻨد ﻣﺴاحت اﻳﻦ ﻣثﻠث‬

‫‪349‬‬

‫را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫حل‪x1 = 4 , y1 = 5 , x 2 = 5 , y 2 = 6 x 3 = 3 y 3 = 1 :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫]) ‪[x1 (y 2 y3 )+ x 2 (y3 y1 )+ x 3 (y1 y 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫]) ‪= [4( 6 1)+ 5(1 + 5)+ 3( 5 + 6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪= ( 28 + 30 + 3) = 5 = = 2.5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫= ﻣﺴاحت ﻣثﻠث ‪ABC‬‬

‫ﻣﺴــاحت ﻳــﻚ ﻣثﻠــث ‪ P1 P 2 P3‬ﻛــﻪ رأسﻫــاى آن ) ‪ P2 ( x 2 , y 2 ) ، P1 ( x1 , y1‬و‬ ‫) ‪ P3 ( x 3 , y 3‬باﺷﻨد از ﻓﻮرﻣﻮل ]) ‪y 2‬‬

‫‪y1 ) + x 3 ( y1‬‬

‫بدﺳت ﻣﻰآﻳد‪.‬‬

‫‪y3 ) + x 2 ( y3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪[ x1 ( y 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫تﻤرﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬ﻣﺴاحت ﻣثﻠثﻰ را درﻳابﻴد ﻛﻪ رأسﻫاى آن )‪ B(8,6) ، A(0,0‬و )‪ C(12,4‬باﺷد‪.‬‬ ‫‪ -2‬ﻣﺴاحت ﻣثﻠثﻰ را درﻳابﻴد ﻛﻪ رأسﻫاى آن )‪ B( 4,0) ، A(4,0‬و )‪ C(0,3‬باﺷد‪.‬‬ ‫‪ -3‬ﻣﺴاحت چﻬارﺿﻠﻌﻰﻳﻰ را درﻳابﻴد ﻛﻪ رأسﻫاى آن )‪C (8,6) ، B(6,2) ، A(1,0‬‬

‫و )‪ D(2,4‬باﺷد‪.‬‬

‫‪350‬‬

‫خﻼصﺔ فصل‬ ‫در ﻣﺴتﻮى ﻛﻤﻴات وﺿﻌﻴﺔ ﻧﻘاﻃﻰ ﻛﻪ باﻻى ﻣحﻮر ‪ X‬واﻗﻊ اﻧد ﻣختﺼﺔ ‪ y‬آنﻫا ﺻﻔر و ﻧﻘاﻃﻰ‬ ‫ﻛﻪ باﻻى ﻣحﻮر ‪ Y‬ﻗرار دارﻧد ﻣختﺼﺔ ‪ x‬آنﻫا ﺻﻔر ﻣﻰباﺷﻨد‪.‬‬ ‫ﻓاﺻﻠﻪ بﻴﻦ دو ﻧﻘﻄﻪ ) ‪ P( x1 , y1‬و ) ‪ Q( x2 , y2‬از ﻓﻮرﻣﻮل‬ ‫‪ d = ( x 2 x1 ) 2 + ( y 2 y1 ) 2‬بﻪ دﺳت ﻣﻰآﻳد‪.‬‬ ‫ﻛﻤﻴات وﺿﻌﻴﺔ ﻧﻘﻄﺔ ‪ p‬ﻛﻪ ﻗﻄﻌﻪ خﻂ ‪ P1 P2‬را بﻪ ﻧﺴبت ‪ r‬تﻘﺴﻴﻢ ﻣﻰﻛﻨد‪ ،‬ﻋبارت اﻧد از‪:‬‬ ‫‪ry 2 + y1‬‬ ‫‪1+ r‬‬ ‫‪y1 + y 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫=‪y‬‬ ‫=‪y‬‬

‫‪rx 2 + x1‬‬ ‫‪1+ r‬‬

‫= ‪ x‬وﻛﻤﻴات وﺿﻌﻴﺔ ﻧﻘﻄﺔ وﺳﻄﻰ خﻂ ‪ P1 P2‬ﻋبارت اﻧد از‪:‬‬

‫‪ x = x1 + x 2‬ﻣﻰباﺷد‪ .‬اﮔر ﻧﻘﻄﺔ ‪ p‬ﻗﻄﻌﻪ خﻂ ‪ P1 P2‬را داخ ً‬ ‫ﻼ بﻪ ﻳﻚ‬ ‫‪2‬‬

‫ﻧﺴبت ‪ r‬تﻘﺴﻴﻢ ﻛﻨد‪ r‬ﻣثبت واﮔر خارجاً تﻘﺴﻴﻢ ﻛﻨد ‪ r‬ﻣﻨﻔﻰ ﻣﻰباﺷد‪.‬‬ ‫ﻣﻴﻞ ﻳﻚ خﻂ ﻣﺴــتﻘﻴﻢ ﻛﻪ از دو ﻧﻘﻄــﻪ ) ‪ P1 ( x1 , y1‬و ) ‪ P2 ( x2 , y2‬ﻣﻰﮔذرد از ﻓﻮرﻣﻮل‬ ‫‪ m = y 2 y1 = y1 y 2‬بﻪ دﺳت ﻣﻰآﻳد‪.‬‬

‫‪x2‬‬

‫‪x1‬‬

‫‪x1‬‬

‫‪x2‬‬

‫ﻣﻴﻞ ﻣحﻮر ‪ X‬و خﻄﻮﻃﻰ ﻛﻪ با ﻣحﻮر ‪ X‬ﻣﻮازى باﺷــﻨد‪ ،‬ﺻﻔر و ﻣﻴﻞ ﻣحﻮر ‪ Y‬و خﻄﻮﻃﻰ ﻛﻪ‬ ‫ﻣﻮازى با ﻣحﻮر ‪ Y‬باﺷﻨد تﻌرﻳﻒ ﻧﺸده اﺳت‪ .‬اﮔر زاوﻳﺔ ﻣﻴﻞ ﻳﻚ خﻂ ﻣﺴتﻘﻴﻢ حاده باﺷد ﻣﻴﻞ‬ ‫آن ﻣثبت و اﮔر ﻣﻨﻔرجﻪ باﺷد ﻣﻴﻞ آن ﻣﻨﻔﻰ ﻣﻰباﺷد‪.‬‬ ‫ﻣﻌادﻟــﺔ خــﻂ ﻣﺴــتﻘﻴﻢ ﻛــﻪ ﻣﻴﻞ و ﻧﻘﻄــﺔ تﻘاﻃــﻊ آن با ﻣحــﻮر ‪ y‬ﻣﻌﻠﻮم باﺷــد ﻋبارت از‬ ‫‪ y = mx + b‬ﻣﻰباﺷد‪.‬‬ ‫ﻣﻌادﻟﺔ خﻂ ﻣﺴتﻘﻴﻢ ﻛﻪ ﻣﻴﻞ و ﻳﻚ ﻧﻘﻄﺔ آن ﻣﻌﻠﻮم باﺷد ) ‪ y y1 = m( x x1‬اﺳت‪.‬‬ ‫ﻣﻌادﻟــﺔ خــﻂ ﻣﺴــتﻘﻴﻤﻰ ﻛــﻪ دو ﻧﻘﻄــﺔ آن ﻣﻌﻠﻮم باﺷــد ) ‪x1‬‬ ‫‪y y1 y 2 y1‬‬ ‫=‬ ‫‪x x1 x 2 x1‬‬ ‫‪x y‬‬ ‫‪ + = 1‬ﻣﻰباﺷد‪.‬‬ ‫‪a b‬‬

‫و ﻣﻌادﻟــﺔ خــﻂ ﻣﺴــتﻘﻴﻤﻰ ﻛﻪ تﻘاﻃــﻊ آن بــا ﻣحﻮرﻫا ﻣﻌﻠﻮم باﺷــد‪.‬‬

‫ﻣﻌادﻟﺔ ﻧﻮرﻣال ﻳﻚ خﻂ ﻣﺴتﻘﻴﻢ ﻋبارت از ‪p = 0‬‬

‫‪351‬‬

‫‪y1‬‬ ‫‪(x‬‬ ‫‪x1‬‬

‫‪y2‬‬ ‫‪x2‬‬

‫= ‪ y y1‬ﻳا‬

‫‪ x cos + y sin‬و ﻣﻌادﻟﺔ ﻋﻤﻮﻣﻰ‬

‫ﻳﻚ خﻂ ﻣﺴتﻘﻴﻢ ﻋبارت از ‪ ax + by + c = 0‬ﻣﻰباﺷد‪.‬‬ ‫ﻓاﺻﻠﺔ ﻧﻘﻄﺔ ) ‪ P ( x1 , y1‬از ﻳﻚ خﻂ ﻣﺴتﻘﻴﻢ از ﻓﻮرﻣﻮل ‪P‬‬

‫و ﻳا‬

‫‪ax1 + by1 + c‬‬ ‫‪± a 2 + b2‬‬

‫‪d = x cos + y sin‬‬

‫= ‪ d‬بﻪ دﺳت ﻣﻰآﻳد‪.‬‬

‫ﻣﻌادﻟﺔ داﻳرهﻳﻰ ﻛﻪ ﻣرﻛز آن در ﻣبدأى ﻛﻤﻴات وﺿﻌﻴﻪ واﻗﻊ باﺷد ﻋبارت از ‪x 2 + y 2 = r 2‬‬ ‫اﮔر ﻣرﻛز آن در ﻣبدأى ﻛﻤﻴات وﺿﻌﻴﻪ واﻗﻊ ﻧباﺷد و ﻛﻤﻴات وﺿﻌﻴﻪ ﻣرﻛز داﻳره ) ‪ (h, k‬باﺷد‬ ‫ﻣﻌادﻟﺔ آن ‪( x h ) 2 + ( y k ) 2 = r 2‬‬ ‫ﻳا ‪ x 2 + y 2 + 2gx + 2fy + c = 0‬و ﻳا ‪ x 2 + y 2 + ax + by + c = 0‬ﻣﻰباﺷد‪.‬‬

‫بــا وﺿﻊ ﻛردن ﻳــﻚ ﻣجﻬﻮل از ﻣﻌادﻟﺔ خﻂ ﻣﺴــتﻘﻴﻢ در ﻣﻌادﻟﺔ داﻳــره‪ ،‬ﻳﻚ ﻣﻌادﻟﺔ ﻳﻚ‬ ‫ﻣجﻬﻮﻟﻪ درجﻪ دوم بﻪ دﺳــت ﻣﻰآﻳد‪ .‬اﮔر در اﻳﻦ ﻣﻌادﻟﻪ ‪ > 0‬باﺷــد خﻂ ﻣﺴتﻘﻴﻢ داﻳره را‬ ‫در دو ﻧﻘﻄﻪ ﻗﻄﻊ ﻣﻰﻛﻨد؛ اﮔر ‪ = 0‬باﺷــد خﻂ با داﻳرة ﻣﻤاس و اﮔر ‪ < 0‬خﻂ داﻳره را‬ ‫ﻗﻄﻊ ﻧﻤﻰﻛﻨد‪.‬‬ ‫ﻣﻌادﻟﺔ خﻂ ﻣﺴــتﻘﻴﻤﻰ ﻛﻪ در ﻧﻘﻄﺔ ) ‪ P1 ( x1 , y1‬بر داﻳرهﻳﻰ ﻛﻪ ﻣرﻛز آن ) ‪ (h, k‬اﺳــت‬ ‫‪h x1‬‬ ‫ﻣﻤاس باﺷد ﻋبارت اﺳت از‪( x x1 ) :‬‬ ‫‪k y1‬‬

‫= ‪y1‬‬

‫‪y‬‬

‫اﮔــر ﻣرﻛز داﻳره در ﻣبــدأى ﻛﻤﻴات وﺿﻌﻴﻪ باﺷــد ﻣﻌادﻟﺔ ﻣﻤاس ‪ yy1 + xx1 = x12 + y12‬ﻳا‬ ‫‪ yy1 + xx1 = r 2‬ﻣﻰباﺷــد و ﻃﻮل ﻣﻤاس ‪ PT‬از ﻳــﻚ ﻧﻘﻄﺔ ) ‪ P( x1 , y1‬خارج داﻳره ﻛﻪ‬ ‫ﻣرﻛز داﻳره ) ‪ (h, k‬باﺷد‪ ،‬ﻣﺴاوى اﺳت بﻪ ‪PT = ( x h ) 2 + ( y k ) 2 r 2 :‬‬

‫ﻣﺴــاحت ﻳــﻚ ﻣثﻠــث ‪ P1 P 2 P3‬ﻛــﻪ رأسﻫــاى آن ) ‪ P2 ( x2 , y2 ) ، P1 ( x1 , y1‬و‬ ‫) ‪ P3 ( x3 , y3‬باﺷــﻨد از ﻓﻮرﻣﻮل ]) ‪y 2‬‬

‫دﺳت ﻣﻰآﻳد‪.‬‬

‫‪y1 ) + x 3 ( y1‬‬

‫‪y3 ) + x 2 ( y3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪[ x1 ( y 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫بﻪ‬

‫‪352‬‬

‫تمرﻳن فصل‬ ‫‪ - 1‬ﻓاﺻﻠــﻪ بﻴﻦ ﻫر جﻮره ﻧﻘاط داده ﺷــدة زﻳر را درﻳابﻴد و ﻧﻴــز ﻛﻤﻴات وﺿﻌﻴﺔ ﻧﻘاط تﻨﺼﻴﻒ‬ ‫خﻂﻫاﻳﻰ را ﻛﻪ از اﻳﻦ دو ﻧﻘﻄﻪ‪ A‬و‪ B‬ﻣﻰﮔذرد‪ ،‬درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫)‪B(2, 1‬‬

‫‪A( 8,3) ,‬‬

‫‪A(3,1) , B( 2, 4) ,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪) , B( 3 5 ,5‬‬ ‫‪3‬‬

‫(‪A‬‬

‫‪5,‬‬

‫‪ - 2‬اﮔــر )‪ B(0,2) ، A( 3 , 1‬و )‪ C (h, 2‬رأسﻫــاى ﻳﻚ ﻣثﻠث ﻗاﻳﻢاﻟزاوﻳﻪ باﺷــدو‬ ‫‪ A = 90°‬باﺷد ﻗﻴﻤت )‪ (h‬را در ﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪- 3‬ﻛﻤﻴات وﺿﻌﻴﺔ ﻧﻘﻄﺔ ‪ p‬را ﻃﻮرى درﻳابﻴد ﻛﻪ خﻄﻰ را ﻛﻪ از ﻧﻘاط )‪ A(1,4‬و )‪B (5,6‬‬ ‫‪AP‬‬ ‫ﻣﻰﮔذرد بﻪ ﻧﺴبت ‪= 2‬‬ ‫‪PB‬‬

‫تﻘﺴﻴﻢ ﻛﻨد‪.‬‬

‫‪ - 4‬ﻣﻌادﻟﺔ خﻂ ﻣﺴتﻘﻴﻤﻰ را درﻳابﻴد ﻛﻪ ﻣﻴﻞ آن )‪ ( 2‬و ﻣحﻮر ‪ Y‬را در ‪ 3‬ﻗﻄﻊ ﻛﻨد‪.‬‬ ‫‪ - 5‬ﻣﻴﻞ خﻄﻮط ‪ x = 7‬و ‪7‬‬

‫‪ - 6‬ﻣﻴﻞ ﻣحﻮر ‪ Y‬ﻣﺴاوى اﺳت بﻪ‪:‬‬ ‫تﻌرﻳﻒ ﻧﺸده اﺳت ) ‪d‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ - 7‬ﻣﻴﻞ ﻳﻚ خﻂ ﻣﺴــتﻘﻴﻢ‬ ‫‪3‬‬

‫= ‪ y‬را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪c) 0‬‬

‫‪b) 1‬‬

‫‪1‬‬

‫)‪a‬‬

‫= ‪ m‬ﻣﻰباﺷــد‪ .‬ﻣﻴﻞ خﻄﻰﻛﻪ ﻋﻤﻮد بر اﻳﻦ خﻂ ﻣﺴتﻘﻴﻢ باﺷد‬

‫ﻣﺴاوى اﺳت بﻪ‪:‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‪d‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‪c‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫)‪a‬‬

‫‪ - 8‬ﻣﻴﻞ خﻄﻮط ﻣﺴتﻘﻴﻤﻰ را درﻳابﻴد ﻛﻪ از ﻫر جﻮره ﻧﻘاط داده ﺷدة زﻳر ﻣﻰﮔذرد‪.‬‬ ‫)‪ (5,11‬و )‪( 2,4‬‬ ‫)‪ (2,7‬و )‪(3, 2‬‬ ‫)‪ (4,8‬و )‪(4,6‬‬ ‫‪ - 9‬خﻄﻮط ﻣﺴتﻘﻴﻢ ‪ 4 x y + 2 = 0‬و ‪ 12x 3y + 1 = 0‬باﻫﻢ‪:‬‬ ‫ﻣﻮازى اﻧد (‪a‬‬ ‫ﻧﻪ ﻣﻮازى اﻧد و ﻧﻪ ﻋﻤﻮد (‪ c‬ﻋﻤﻮد اﻧد (‪b‬‬ ‫‪ - 10‬ﻓاﺻﻠﺔ بﻴﻦ خﻂ ﻣﺴــتﻘﻴﻢ ‪ 3x 4 y + 3 = 0‬و خﻂ ﻣﺴــتﻘﻴﻢ ‪ 3x 4 y + 7 = 0‬را‬ ‫درﻳابﻴد‪.‬‬

‫‪353‬‬

‫‪ - 11‬ﻣﻌادﻟــﺔ خــﻂ ﻣﺴــتﻘﻴﻤﻰ را درﻳابﻴد ﻛــﻪ از ﻧﻘﻄﺔ )‪ ( 4,7‬ﻣﻰﮔذرد و با خﻂ ﻣﺴــتﻘﻴﻢ‬ ‫‪ 2 x 7 y + 4 = 0‬ﻣﻮازى باﺷد‪.‬‬ ‫‪ - 12‬ﻓاﺻﻠﺔ ﻧﻘﻄﺔ )‪ P(6, 1‬از خﻂ ﻣﺴتﻘﻴﻢ ‪ 6 x 4 y + 9 = 0‬را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪- 13‬ﻛﻤﻴات وﺿﻌﻴﺔ ﻧﻘﻄﺔ ‪ p‬را درﻳابﻴد ﻛﻪ خﻂ ﻣﺴتﻘﻴﻢ ‪ P1 P2‬را ﻛﻪ از ﻧﻘاط )‪P1 (2, 5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫و )‪ P2 (6,3‬ﻣﻰﮔذرد داخ ً‬ ‫ﻼ بﻪ ﻧﺴبت‬ ‫‪4‬‬

‫تﻘﺴﻴﻢ ﻛﻨد‪.‬‬

‫‪ - 14‬ﻣﻌادﻟﻪﻫاى خﻄﻮط ﻣﺴتﻘﻴﻢ زﻳر را بﻪ ﺷﻜﻞ ﻧﻮرﻣال آن تبدﻳﻞ ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫‪2 x 3y + 6 = 0‬‬

‫‪2x + 5y 2 = 0‬‬

‫‪ - 15‬ﻣﻴﻞ خﻂ ﻣﺴتﻘﻴﻤﻰ ﻛﻪ از ﻧﻘاط )‪ (4,0‬و )‪ ( 4,0‬ﻣﻰﮔذرد ﻣﺴاوى اﺳت بﻪ‪:‬‬ ‫‪b) 1‬‬ ‫‪c) 0‬‬ ‫تﻌرﻳﻒ ﻧﺸده ) ‪d‬‬

‫‪a) 1‬‬

‫‪ - 16‬ﻣﻌادﻟﺔ خﻂ ﻣﺴــتﻘﻴﻤﻰ را درﻳابﻴد ﻛﻪ ﻃﻮل ﻧﻮرﻣال آن ‪ 10‬واحد بﻮده و ﻧﻮرﻣال با جﻬت‬ ‫ﻣثبت ﻣحﻮر ‪ X‬زاوﻳﻪ ‪ 30°‬را بﺴازد‪.‬‬ ‫‪ - 17‬ﻣﺴــاحت ﻣثﻠثــﻰ را درﻳابﻴــد ﻛﻪ رأسﻫــاى ﻣثﻠث )‪ B( 1,1) ، A(2,3‬و )‪C (4, 5‬‬ ‫باﺷﻨد‪.‬‬ ‫‪ - 18‬ﻣﺴــاحت ﻣثﻠثﻰ ﻛﻪ رأسﻫاى آن )‪ B(2, 3) ، A(1,4‬و )‪ C(3, 10‬باﺷــﻨد ﻣﺴاوى‬ ‫اﺳت بﻪ‪:‬‬ ‫ﻫﻴچﻜدام ) ‪d‬‬

‫‪c) 0‬‬

‫‪b) 2‬‬

‫‪a )1‬‬

‫‪ - 19‬ﻛﻤﻴات وﺿﻌﻴﺔ ﻧﻘاط تﻘاﻃﻊ خﻂ ﻣﺴتﻘﻴﻢ ‪ x + 2 y = 6‬با داﻳره‬ ‫‪2 y 39 = 0‬‬

‫‪2x‬‬

‫‪ x 2 + y 2‬را درﻳابﻴد‪.‬‬

‫‪ - 20‬ﻣﻌادﻟﺔ داﻳرهﻳﻰ را بﻨﻮﻳﺴﻴد ﻛﻪ از ﻧﻘاط )‪ B(2, 1) , A(1,1‬و )‪C (3, 2‬‬

‫ﻣﻰﮔذرد‪.‬‬ ‫‪ - 21‬ﻣﻌادﻟﻪ داﻳره ﻳﻰ را بﻨﻮﻳﺴــﻴد ﻛﻪ از ﻧﻘاط )‪ B(0,1) ، A(3, 1‬ﻣﻰﮔذرد و ﻣرﻛز آن بﻪ‬ ‫روى خﻂ ‪ 4 x 3 y 3 = 0‬واﻗﻊ باﺷد‪.‬‬ ‫‪ - 22‬ﻛﻤﻴــات وﺿﻌﻴــﺔ ﻣرﻛــز و ﻃــﻮل ﺷــﻌاع داﻳرهﻳــﻲ را درﻳابﻴــد ﻛــﻪ ﻣﻌادﻟــﺔ آن‬ ‫‪ 4x 2 + 4 y 2 8x + 12 y 25 = 0‬باﺷد‪.‬‬

‫‪354‬‬

‫‪ - 23‬ﻣﻌادﻟﺔ داﻳرهﻳﻲ را درﻳابﻴد ﻛﻪ از ﻧﻘاط )‪ A(4,1‬و )‪ B(6,5‬بﮕذرد و ﻣرﻛز آن روى خﻂ‬ ‫‪ 4 x + y 16 = 0‬واﻗﻊ باﺷد‪.‬‬ ‫‪ - 24‬اﮔر رأسﻫاى ﻳﻚ ﻣثﻠث )‪ B( 3,5) ، A(5, 6‬و )‪ C ( 1,2‬باﺷﻨد اﻳﻦ ﻣثﻠث‪:‬‬ ‫ﻣختﻠﻒ اﻻﺿﻼع ﻣﻰباﺷد (‪ c‬ﻣتﺴاوىاﻟﺴاﻗﻴﻦ ﻣﻰباﺷد (‪ b‬ﻣتﺴاوى اﻻﺿﻼع ﻣﻰباﺷد(‪a‬‬ ‫‪ - 25‬اﮔــر ﻣختﺼــات رأسﻫاى ﻳــﻚ ﻣثﻠث بﻪ ترتﻴب )‪ (4,10) ، (5,4‬و )‪ (7,8‬باﺷــد اﻳﻦ‬ ‫ﻣثﻠث‪:‬‬ ‫ﻣختﻠﻒ اﻻﺿﻼع ﻣﻰباﺷد (‪ c‬ﻣتﺴاوىاﻟﺴاﻗﻴﻦ ﻣﻰباﺷد (‪ b‬ﻣتﺴاوى اﻻﺿﻼع ﻣﻰباﺷد(‪a‬‬ ‫‪ - 26‬اﮔر )‪ P( 8,4‬و )‪ Q(2, 1‬باﺷد‪ ،‬ﻣختﺼات ﻧﻘﻄﻪ ‪ A‬را درﻳابﻴد ﻛﻪ اﮔر ﻧﻘﻄﺔ ‪ A‬خﻂ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ PQ‬را داخ ً‬ ‫ﻼ و خارجاً بﻪ ﻧﺴبت تﻘﺴﻴﻢ ﻛﻨد‪.‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪ - 27‬ﻧﻘاط تﻘاﻃﻊ خﻂ ﻣﺴتﻘﻴﻢ ‪ x y + 1 = 0‬با داﻳرهﻳﻰ ‪ x 2 + y 2 = 5‬را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 28‬اﮔر خﻂ ﻣﺴــتﻘﻴﻢ ‪ x + ay 5 = 0‬بر داﻳره ‪ x 2 + y 2 2x + 4 y = 0‬ﻣﻤاس باﺷد‬ ‫ﻗﻴﻤت ‪ a‬را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 29‬ﻣﻌادﻟــﺔ داﻳرهﻳﻰ را ﻛﻪ از ﻧﻘاط )‪ (0,0‬و )‪ (2,0‬ﻣﻰﮔذرد و با خﻂ ‪ y 1 = 0‬ﻣﻤاس‬ ‫باﺷد ﻋبارت اﺳت از‪:‬‬ ‫‪b) x 2 + y 2 2 x = 0‬‬

‫‪c) x 2 + y 2 + 2 x = 0‬‬

‫‪a ) x 2 + y 2 4x = 0‬‬

‫‪ - 30‬داﻳرهﻳﻰﻛﻪ ﻣﻌادﻟﺔ آن ‪ x 2 + y 2 6x + 4 y + 14 = 0‬باﺷد‪.‬‬ ‫ﻣﻮﻫﻮﻣﻰ اﺳت (‪c‬‬

‫ﻧﻘﻄﻮى اﺳت (‪b‬‬

‫حﻘﻴﻘﻰ اﺳت(‪a‬‬

‫‪ - 31‬داﻳرهﻳﻰﻛﻪ ﻣﻌادﻟﺔ آن ‪ x 2 + y 2 + 2 x 4 y + 5 = 0‬باﺷد‪.‬‬ ‫حﻘﻴﻘﻰ اﺳت(‪c‬‬

‫ﻧﻘﻄﻮى اﺳت (‪b‬‬

‫ﻣﻮﻫﻮﻣﻰ اﺳت (‪a‬‬

‫‪ - 32‬ﻓاﺻﻠــﺔ بﻴﻦ ﻧﻘاط )‪ A(4, 3‬و )‪ B( 2, 5‬و ﻧﻴز ﻛﻤﻴــات وﺿﻌﻴﺔ ﻧﻘﻄﻪ تﻨﺼﻴﻒ خﻂ‬ ‫ﻣﺴتﻘﻴﻢ ‪ AB‬را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 33‬اﮔر رأسﻫاى ﻳﻚ ﻣثﻠث )‪ B(3, 5) ، A( 6,3‬و )‪ C ( 1,5‬باﺷــد ﻧﺸان دﻫﻴدﻛﻪ‬ ‫اﻳﻦ ﻣثﻠث ﻗاﻳﻢاﻟزاوﻳﻪ ﻣﻰ باﺷد‪.‬‬ ‫‪ - 34‬ﻧﺸــان دﻫﻴدﻛﻪ )‪ C (0, b) ، B(a,0) ، A(0,0‬و )‪ D(a, b‬رأسﻫاى ﻳﻚ ﻣﺴــتﻄﻴﻞ‬ ‫اﻧد و ﻧﻴز ﻧﺸان دﻫﻴد ﻛﻪ ﻃﻮل ﻗﻄرﻫاى ﻣﺴتﻄﻴﻞ باﻫﻢ ﻣﺴاوى ﻣﻰباﺷﻨد‪.‬‬

‫‪355‬‬

‫‪ - 35‬ﻧﺸــان دﻫﻴــد ﻛﻪ ﻧﻘاط )‪ B(6,2) ، A(3,1‬و )‪ C (9,3‬روى ﻳﻚ خﻂ ﻣﺴــتﻘﻴﻢ واﻗﻊ‬ ‫اﻧد‪.‬‬ ‫‪ - 36‬ﻣﻌادﻟﻪﻫاى خﻄﻮط ﻣﺴتﻘﻴﻤﻰ را درﻳابﻴد ﻛﻪ از ﻫر جﻮره ﻧﻘاط داده ﺷده زﻳر‬ ‫ﻣﻰﮔذرد‪:‬‬ ‫)‪(8,15‬‬ ‫)‪(3, 4‬‬

‫)‪(1,2‬‬ ‫)‪(3,5‬‬ ‫)‪(2, 1) ( 2, 1‬‬

‫)‪( 2,0‬‬

‫)‪(5,0‬‬

‫)‪(0,2‬‬

‫)‪(5,8‬‬ ‫)‪( 1, 3‬‬ ‫)‪(0,3‬‬

‫‪ - 37‬ﻣﻌادﻟﺔ خﻂ ﻣﺴتﻘﻴﻢ ﻛﻪ از ﻧﻘاط )‪ (5,8‬و )‪ ( 1,10‬ﻣﻰﮔذرد ﻋبارت اﺳت از‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x+9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪b: y‬‬ ‫‪+9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪29‬‬ ‫= ‪c: y‬‬ ‫‪x+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪a: y‬‬

‫ﻫر ﺳﻪ درﺳت اﻧد‬

‫‪d:‬‬

‫‪356‬‬

‫فصل هشتم‬ ‫احصاييه‬

‫گراف چند ضلعى کثرت‬ ‫(‪)Frequency Polygon graph‬‬

‫‪Y‬‬

‫شکل مقابل را در نظر بگﻴرﻳد‪ .‬آﻳا مﻰتوانﻴد‬ ‫مســاحت زﻳر منحنﻰ داده شــده را محاسبه‬ ‫کنﻴد؟‬

‫‪X‬‬

‫‪0‬‬

‫آﻳــا گفتــه مﻰتوانﻴد که مســاحت زﻳر اﻳن‬ ‫منحنﻰ مساوى به چﻴست؟‬

‫ﻓﻌاﻟﻴت‬ ‫جدول کثرت زﻳر را در نظر بگﻴرﻳد‪:‬‬ ‫کثرت ‪f i‬‬

‫مرکز دستهها ‪xi‬‬

‫دستهها‬

‫‪3‬‬

‫‪11.5‬‬

‫‪10-13‬‬

‫‪6‬‬

‫‪14.5‬‬

‫‪13-16‬‬

‫‪7‬‬

‫‪17.5‬‬

‫‪16-19‬‬

‫‪4‬‬

‫‪20.5‬‬

‫‪19-22‬‬

‫مرکز هر دسته را به عنوان مختصۀ اول و کثرت مربوطۀ آن را به عنوان مختصۀ دوم در نظر‬ ‫گرفته به صورت جورههاى مرتب بنوﻳسﻴد‪.‬‬ ‫موقعﻴت اﻳن جورههاى مرتب را در ﻳک سﻴستم کمﻴات وضعﻴۀ قاﻳم مشخص کنﻴد‪.‬‬ ‫نقاطﻰ که از اﻳن جورههاى مرتب در مستوى حاصل مﻰشود با هم وصل کنﻴد‪.‬‬ ‫آﻳا مﻰتوانﻴد مساحت زﻳر اﻳن گراف را محاسبه کنﻴد؟‬ ‫به دو سر گراف نقاط )‪ (8.5 , 0‬و (‪ )38.5,0‬را روى محور ‪ x‬عﻼوه نماﻳﻴد‪ ،‬گراف حاصل‬ ‫شده را با گراف مستطﻴلﻰ جدول کثرت داده شده ﻳکجا رسم کنﻴد و مساحت مستطﻴلها را‬ ‫به مساحت زﻳر منحنﻰ مقاﻳسه نماﻳﻴد‪.‬‬

‫‪359‬‬

‫در گراف چند ضلعﻰ‪ ،‬مرکز هر دسته روى محور افقﻰ و کثرت مطلق ﻳا کثرت نسبﻰ هر ﻳک‬ ‫از دستهها روى محور عمودى نشان داده مﻰشود‪ .‬در مقابل با مرکز هر دسته و کثرت آن‬ ‫ﻳک نقطه در مستوى مشخص مﻰگردد که عرض آن مرکز دسته و طول آن برابر با کثرت‬ ‫آن دسته است‪ .‬به تعداد دستههاى جدول در مستوى سﻴستم مختصات نقطه به وجود مﻰآﻳد‪.‬‬ ‫اگر به نقاط مذکور دو نقطۀ اختﻴارى دﻳگر )‪ ( x1 c , 0‬و )‪ ( xn + c , 0‬را در اول و آخر‬ ‫دستهها اضافه کنﻴم‪ ،‬طورىکه ‪ c‬وسعت هر صنف (سرحد باﻻى منفﻰ سرحد پاﻳﻴنﻰ صنف)‬ ‫است از اتصال اﻳن نقاط به ﻳکدﻳگر‪ ،‬ﻳک گراف حاصل مﻰشود که آن را گراف چند‬ ‫ضلعﻰ کثرت مﻰنامند‪.‬‬ ‫ﻣثال‪ :‬گرافهاى مستطﻴلﻰ (هستوگرام) و چند ضلعﻰ دﻳتاى (‪)Data‬جدول زﻳر را رسم کنﻴد‪.‬‬ ‫‪31-36‬‬

‫‪26-31‬‬

‫‪21-26‬‬

‫‪11-16 16-21‬‬

‫‪ = CL‬حدود دستهها‬

‫‪2‬‬

‫‪7‬‬

‫‪8‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪ = f i‬کثرت مطلق‬

‫‪33.5‬‬

‫‪28.5‬‬

‫‪23.5‬‬

‫‪18.5‬‬

‫‪13.5‬‬

‫‪ = X i‬مرکز دستهها‬

‫چون مﻰدانﻴم که وسعت دستهها ‪ c = 5‬است‪ ،‬بنابراﻳن براى به دست آوردن نقاط اختﻴارى‬ ‫دارﻳم‪:‬‬ ‫)‪( x1 5 , 0) = (13.5 5 , 0) = (8.5 , 0‬‬ ‫)‪( x n + 5 , 0) = (33.5 + 5 , 0) = (38.5 , 0‬‬

‫با عﻼوه نمودن نقاط )‪ (8.5 ,0‬و )‪ (38.5 , 0‬گراف را ترسﻴم مﻰکنﻴم‪.‬‬

‫گراف چند ضلعﻰ کثرت‬

‫‪360‬‬

‫نماﻳش گراف مستطﻴلﻰ و چند ضلعﻰ کثرت با هم‪:‬‬

‫از گراف باﻻ دﻳده مﻰشود که‪:‬‬ ‫ هر ﻳک از رأسهاى گراف چند ضلعﻰ کثرت در نقاط مابﻴنﻰ ضلع باﻻﻳﻰ ﻳک مستطﻴل‬‫مربوط به جدول کثرت مورد مطالعه قرار دارد‪.‬‬ ‫ مساحت سطح زﻳر گراف چند ضلعﻰ کثرت و مساحت گراف مستطﻴلﻰ با هم برابر است‪.‬‬‫‪ -‬گراف چند ضلعﻰ کثرت نسبﻰ بﻴشتر براى دﻳتا (‪ )data‬پﻴوسته ﻳا متصل به کار مﻰرود‪.‬‬

‫‪361‬‬

‫تمرين‬ ‫اندازۀ قد ‪ 24‬نفر شاگرد صنف نهم و دهم (برحسب سانتﻰ متر)قرار زﻳر داده شده است‪:‬‬ ‫‪118‬‬ ‫‪123‬‬ ‫‪135‬‬ ‫‪126‬‬

‫‪148‬‬ ‫‪133‬‬ ‫‪126‬‬ ‫‪141‬‬

‫‪128‬‬ ‫‪123‬‬ ‫‪144‬‬ ‫‪153‬‬

‫‪136‬‬ ‫‪115‬‬ ‫‪122‬‬ ‫‪117‬‬

‫‪107‬‬ ‫‪129‬‬ ‫‪128‬‬ ‫‪98‬‬

‫‪138‬‬ ‫‪142‬‬ ‫‪121‬‬ ‫‪152‬‬

‫براى دﻳتاى (‪ )data‬فوق ﻳک جدول کثرت تنظﻴم نموده‪ ،‬دﻳتا(‪ )data‬را در شش دسته‪،‬‬ ‫دستهبندى کنﻴد‪ .‬براى نماﻳش اﻳن دﻳتا (‪)data‬چه نوع گراف مناسب است؟ گراف چند‬ ‫ضلعﻰ کثرت را رسم کنﻴد‪.‬‬

‫‪362‬‬

‫ﮔراف ساﻗﻪ و برگ‬ ‫ما در دنﻴاى از اعداد زندهگﻰ مﻰکنﻴم‪،‬‬ ‫هرشخص به عنوان عضوى ازجامعۀ کشور‬ ‫خود‪ ،‬ﻳک شمارۀ مخصوصﻰ به خود‬ ‫داردکه به اندازۀ دﻳگرمشخصاتش مهم‬ ‫است؛ آﻳا گفته مﻰتوانﻴد آن شماره چﻴست؟‬ ‫آﻳا شما هم شمارۀ خود را مي دانﻴد؟‬

‫ﻓﻌاﻟﻴت‬ ‫اندازۀ قد ‪ 20‬نوزاد که به طور تصادفﻰ (برحسب سانتﻰ متر) انتخاب گردﻳده در جدول‬ ‫زﻳر داده شده است‪:‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪46‬‬ ‫‪47‬‬ ‫‪43‬‬ ‫‪49‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪42‬‬ ‫‪46‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪43‬‬ ‫‪43‬‬ ‫‪43‬‬ ‫‪48‬‬ ‫‪49‬‬ ‫‪47‬‬ ‫‪49‬‬ ‫‪48‬‬ ‫‪49‬‬ ‫‪47‬‬ ‫‪45‬‬ ‫دﻳتاى (‪)data‬باﻻ را از کوچک به بزرگ مرتب کنﻴد‪.‬‬ ‫ دﻳده مﻰشود که در تمام اﻳن اعداد رقم ‪ 4‬مشترک است‪ ،‬مﻰتوان اﻳن ارقام را به صورت‬‫زﻳر نوشت‪:‬‬ ‫)‪40 + (0,2,3,3,3,3,5,5,5,6,6,7,7,7,8,8,9,9,9,9‬‬

‫ارقام ‪ 0‬الﻰ ‪ 9‬هر ﻳک چند مرتبه تکرار شده است؟‬ ‫‪ -‬ارقام باﻻ را به شکل زﻳر مينوﻳسﻴم‪:‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪9‬‬

‫‪9‬‬

‫‪9‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪363‬‬

‫‪4‬‬

‫اگر شکل اعداد باﻻ را به زاوﻳۀ ‪ 90‬درجه به طرف چپ دوران دهﻴد‪ ،‬اﻳن شکل مشابه به‬ ‫کدام نوع گراف است؟‬ ‫دﻳتا(‪ )data‬به طور معمول به صورت اعداد مﻰباشد‪ ،‬از اﻳن اعداد طورى که در فعالﻴت باﻻ‬ ‫مشاهده گردﻳد مﻰتوان گرافﻰ را تشکﻴل داد که اﻳن گراف را به نام گراف ساقه و برگ ﻳاد‬ ‫‪o‬‬ ‫مﻰکنند‪ .‬اگر اﻳن گراف را به زاوﻳۀ ‪ 9 0‬به طرف چپ دوران دهﻴم گراف مﻴلهﻳﻰ تشکﻴل مﻰگردد‪.‬‬ ‫به طور نمونه اگر دﻳتا (‪ )data‬بﻴن صفر الﻰ ‪ 100‬قرار داشته باشند‪ ،‬مﻰتوان مقدار مانند ‪37‬‬ ‫را به ساقۀ ‪ 3‬و برگ‪ 7‬تقسﻴم کرد‪.‬‬ ‫گراف ساقه و برگ براى دﻳتا (‪ )data‬که تفاوت کوچکترﻳن وبزرگترﻳن دﻳتا (‪ )data‬از نظر‬ ‫تعداد رقمها اندک باشد‪ ،‬مناسب است‪.‬‬ ‫ﻣثال‪ :1‬در ﻳک کتابفروشﻰ از ‪ 20‬نوع کتاب که تعداد هر کدام در جدول زﻳر تذکر داده‬ ‫شده است موجود است‪ ،‬گراف ساقه و برگ را براى اﻳن دﻳتا (‪ )data‬ترسﻴم کنﻴد‪.‬‬ ‫‪39‬‬ ‫‪65‬‬

‫‪39‬‬ ‫‪58‬‬

‫‪38‬‬ ‫‪57‬‬

‫‪38‬‬ ‫‪52‬‬

‫‪28‬‬ ‫‪46‬‬

‫‪27‬‬ ‫‪46‬‬

‫‪23‬‬ ‫‪45‬‬

‫‪15‬‬ ‫‪44‬‬

‫‪11‬‬ ‫‪41‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪40‬‬

‫حﻞ‪ :‬واضح است که ارقام اول طرف چپ دﻳتا (‪ )Data‬اعداد‪ 5،4،3،2،1‬و ‪ 6‬هستند که اﻳن‬ ‫مقادﻳر را براى ساقه در نظر مﻰگﻴرﻳم‪ ،‬اما دﻳتاى مربوط به هر شاخه را در جلو آن مﻰنوﻳسﻴم که‬ ‫گراف به صورت زﻳر حاصل مﻰشود‪:‬‬

‫‪5‬برگ‪1 0 1‬ساقه‬ ‫‪2 3 7 8‬‬ ‫‪3 8 8 9 9‬‬ ‫‪4 0 1 4 5 6 6‬‬ ‫‪5 2 7 8‬‬ ‫‪6 5‬‬

‫اگر صفحۀ کتاب را به اندازۀ ‪( 90°‬خﻼف حرکت عقربۀ ساعت) دوران دهﻴم گراف‬ ‫به شکل گراف مﻴلهﻳﻰ تبدﻳل مﻰشود که مﻰتوان به صورت زﻳر نوشت‪:‬‬

‫‪364‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪9 5‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪3 5 8 9 4 8‬‬ ‫‪2 1 7 8 1 7‬‬

‫کثرت‬

‫‪6‬‬

‫‪6‬‬

‫‪1 0 3 8 0 2 5‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6‬‬

‫ﻣثال‪ :2‬در ﻳک امتحان رﻳاضﻰ نتاﻳج زﻳر از شاگردان ﻳک صنف به دست آمده‬ ‫است‪ ،‬گراف ساقه و برگ را براى اﻳن دﻳتا ترسﻴم نماﻳﻴد‪.‬‬ ‫‪25 45 46 50 50 50 55 55 55 55‬‬ ‫‪55 57 58 58 60 60 62 65 67 72‬‬

‫حﻞ‪ :‬در اﻳنجا براى تشکﻴل ساقهها از رقم دهها و براى تشکﻴل برگها از رقم ﻳکها‬ ‫استفاده مﻰکنﻴم‪:‬‬ ‫ساقه‬

‫برگ‬

‫‪2 5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4 5 6‬‬ ‫‪0 0 0 5 5 5 5 5 7 8 8‬‬ ‫‪0 0 2 5 7‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪365‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬

‫تمرين‬ ‫‪ - 1‬براى دﻳتاى (‪ )Data‬زﻳر گراف ساقه و برگ را رسم کنﻴد‪.‬‬ ‫‪11.7 8.4 9.1 6.8 12.5‬‬

‫‪10.9‬‬

‫‪8 .3‬‬

‫‪7.9‬‬

‫‪11.3‬‬

‫‪12‬‬

‫‪7 .8‬‬

‫‪11.2‬‬

‫‪6 .8‬‬

‫‪13‬‬

‫‪8 .4‬‬

‫تﻮجﻪ‪ :‬به خاطر نماﻳش گراف ساقه و برگ عدد ‪ 8.3‬را به صورت ‪ 083‬عدد ‪ 11.2‬را به‬ ‫صورت ‪ 112‬و‪ 12‬عدد را به صورت ‪ 120‬مينوﻳسﻴم‪.‬‬

‫‪366‬‬

‫چاركﻫا‬

‫در شکل مقابل اگر اﻳن جامعه از مردم را‬ ‫نظر به طول قدشان به چهار حصۀ مساوى‬ ‫تقسﻴم نماﻳﻴد هر حصۀ آن نماﻳندهگﻰ از چه‬ ‫مﻰکند؟‬

‫ﻓﻌاﻟﻴت‬ ‫شکل مقابل مستطﻴلﻰ است که توسط خطوط ‪ Q 2 ،, Q1‬و ‪ Q 3‬به چهارحصۀ مساوى تقسﻴم‬ ‫شده است‪.‬‬ ‫چند فيصد از مساحت مستطﻴل زﻳر خط ‪ Q1‬و چند‬ ‫فيصد مساحت آن باﻻى خط ‪ Q1‬قرار دارد؟‬ ‫چند فيصد از مساحت مستطﻴل زﻳر خط ‪ Q2‬و چند‬ ‫فيصد باﻻى خط ‪ Q2‬قرار دارد؟‬ ‫چند فيصد مساحت مستطﻴل زﻳر خط ‪ Q3‬و چند‬ ‫فيصد باﻻى خط ‪ Q3‬قرار دارد؟‬ ‫اعدادى که دﻳتاى (‪)data‬مرتب را به چهار قسمت مساوى تقسﻴم مﻰکنند آنها را چارکهاى‬ ‫اول‪ ،‬دوم و سوم مﻰنامند و با ‪ Q 2 , Q1‬و ‪ Q 3‬نشان مﻰدهند‪.‬‬ ‫چارک اول‪ ،‬مقدارى است که ‪ 25%‬دﻳتاى (‪)data‬جامعه پاﻳﻴنتر ازآن و ‪ 75%‬باﻻتر از‬ ‫آن قرار مﻰگﻴرند‪.‬‬ ‫چارک دوم‪ ،‬مقدارى است که ‪ 50%‬دﻳتاى (‪)data‬جامعه پاﻳﻴنتر از آن و ‪ 50%‬دﻳتا‬ ‫(‪ )data‬باﻻتر از آن قرار مﻰگﻴرند‪.‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪%‬‬ ‫دﻳتا‬ ‫چارک سوم‪ ،‬مقدارى است که ‪ 75%‬دﻳتاى (‪ )data‬جامعه پاﻳﻴنتر از آن و‬ ‫(‪ )data‬باﻻتر از آن واقع مي شوند‪.‬‬

‫‪367‬‬

‫اگر دﻳتا (‪ )data‬را به صورت صعودى مرتب کنﻴم مﻴانۀ دﻳتا (‪ )data‬مساوى به ‪ Q2‬و مﻴانۀ‬ ‫نﻴمۀ اول دﻳتا (‪ )data‬مساوى به ‪ Q1‬و مﻴانۀ نﻴمۀ دوم دﻳتا (‪ )data‬مساوى به ‪ Q3‬است‪.‬‬ ‫در وقت محاسبۀ چارکها‪ ،‬مراحل زﻳر را در نظر بگﻴرﻳد‪:‬‬ ‫دﻳتا(‪ )data‬را به طور صعودي مرتب کنﻴد‪.‬‬ ‫دﻳتاى مرتب شده را از ‪ 1‬تا ‪ n‬شمارهگذارى کنﻴد‪.‬‬ ‫محل ‪ P‬ام ( ‪ ) P =1, 2, 3‬را با استفاده از رابطۀ زﻳر به دست مﻰآﻳد‪:‬‬ ‫‪P n 1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬

‫= ‪C QP‬‬

‫با استفاده از محل چارک‪ ،‬مقدار چارک را تعﻴﻴن نماﻳﻴد‪.‬‬ ‫ﻣثال‪ :‬فرض کنﻴد دﻳتاى (‪ )data‬ﻳا مشاهدات به دست آمده قرار زﻳر داده شده است‪:‬‬ ‫‪140‬‬

‫‪100‬‬

‫‪80‬‬

‫‪120‬‬

‫ محل چارک اول وسوم را محاسبه کنﻴد‪.‬‬‫ مقادﻳر چارک اول و سوم را به دست آورﻳد‪.‬‬‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫شمارۀ دﻳتا ‪6 :‬‬ ‫دﻳتا ‪100 120 140 :‬‬ ‫محل چارک اول و سوم عبارت است از‪:‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪90‬‬

‫‪90‬‬

‫‪85‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪80‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪85‬‬

‫‪16 1‬‬ ‫‪+ =2‬‬ ‫‪4 2‬‬ ‫‪3 6 1‬‬ ‫=‬ ‫‪+ =5‬‬ ‫‪4 2‬‬

‫= ‪C Q1‬‬ ‫‪C Q3‬‬

‫مقدار چارکهاى اول و سوم عبارت اند از‪:‬‬ ‫‪Q1 = 85‬‬

‫‪Q 3 = 120‬‬

‫تمرين‬ ‫فرض کنﻴد دﻳتاى (‪ )data‬به دست آمده قرار زﻳر داده شده باشند‪:‬‬ ‫‪85‬‬

‫‪140‬‬

‫‪160‬‬

‫‪120‬‬

‫‪80‬‬

‫‪90‬‬

‫‪100‬‬

‫چارک اول و سوم را به دست آورﻳد‪.‬‬ ‫اعداد‪ ،‬قبل از مﻴانه را بنوﻳسﻴد‪.‬‬ ‫اعداد بعد از مﻴانه را به دست آورﻳد‪.‬‬

‫‪368‬‬

‫ﮔراف صﻨدوﻗچﻪﻳﻰ‬ ‫از چهار کنج ﻳک تخته کاغذ‪ ،‬چهار مربع‬ ‫کوچک که هر ضلع آن ‪ 5‬سانتﻰ متر طول‬ ‫دارد جدا کنﻴد و اﻳن برﻳدهگﻰها را به طرف‬ ‫باﻻ قات کنﻴد‪ ،‬شکلﻰ که به دست‬ ‫مﻰآﻳد مشابه به چﻴست؟‬

‫ﻓﻌاﻟﻴت‬ ‫تعداد مرﻳضانﻰ که در ﻳک شفاخانه در طي ‪ 17‬روز مراجعه نمودهاند‪ ،‬قرار زﻳر ثبت شده‬ ‫اند‪:‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪19‬‬ ‫مﻴانه را پﻴدا کنﻴد‪.‬‬ ‫اعدادىکه در نﻴمۀ قبل از مﻴانه قرار دارند را بنوﻳسﻴد‪.‬‬ ‫براى اﻳن اعداد مﻴانه را پﻴدا کنﻴد‪.‬‬ ‫اعدادىکه در نﻴمۀ بعد از مﻴانه قرار دارند را بنوﻳسﻴد‪.‬‬ ‫براى اﻳن اعداد مﻴانه را درﻳافت کنﻴد‪.‬‬ ‫چارک دوم ﻳا ‪ Q 2‬به کدام عدد مطابقت مﻰکند؟‬ ‫ﮔراف صﻨدوﻗچﻪﻳﻰ (ﮔراف جﻌبﻪﻳﻰ)‪ :‬گراف تصوﻳرى است که پراکندهگﻰ دﻳتا‬ ‫(‪ )Data‬را نسبت به گرافهاى دﻳگر بهتر نشان مﻰدهد‪ .‬اﻳن گراف‪ ،‬دﻳتاى (‪ )Data‬را بر‬ ‫اساس مقادﻳر زﻳر نماﻳش مﻰدهند‪.‬‬ ‫ب) چارک اول‬ ‫الف) کمترﻳن دﻳتا‬ ‫هـ) بﻴشترﻳن دﻳتا‬ ‫د) چارک سوم‬ ‫ج) مﻴانه‬ ‫گراف صندوقچهﻳﻰ نشان دهندۀ چارکها‪ ،‬حداقل و حداکثر دﻳتا است‪.‬‬

‫‪369‬‬

‫‪Q3‬‬

‫بﻴشترﻳن مقدار‬

‫‪Q1‬‬

‫‪md= Q 2‬‬

‫کمترﻳن مقدار‬

‫مراحل تهﻴۀ گراف صندوقچهﻳﻰ را مﻰتوان به طور زﻳر شرح داد‪:‬‬ ‫الف) کوچکترﻳن دﻳتا (‪)Data‬را پﻴدا کنﻴد‪ .‬ب) بﻴشترﻳن دﻳتا (‪ )Data‬را پﻴدا کنﻴد‪.‬‬ ‫د) چارک اول را درﻳافت کنﻴد‪.‬‬ ‫ج) مﻴانه را پﻴدا کنﻴد‪.‬‬ ‫و) گراف را رسم کنﻴد‪.‬‬ ‫هـ ) چارک سوم را پﻴدا کنﻴد‬ ‫ﻣثال‪ :‬اگر تعداد تصادفات ترافﻴکﻰ ﻳک شهر طﻰ ‪ 15‬روز قرار زﻳر داده شده باشد‪ ،‬گراف‬ ‫صندوقچهﻳﻰ آن را رسم کنﻴد‪.‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪16 34‬‬ ‫‪41‬‬ ‫‪43‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪31 19‬‬ ‫حﻞ‪ :‬دﻳتاى (‪ )Data‬فوق را مرتب ميکنﻴم‪.‬‬ ‫‪10 12 14 15 16 18 19 23 25 27 31 32 34 41 43‬‬

‫بنابر اﻳن‪:‬‬ ‫کمترﻳن دﻳتا = ‪10‬‬ ‫مﻴانه = ‪23‬‬ ‫چارک سوم = ‪32 = Q 3‬‬

‫بﻴشترﻳن دﻳتا= ‪43‬‬

‫چارک اول = ‪15 = Q1‬‬

‫چارک سوم‬

‫مﻴانه‬

‫چارک اول‬

‫بﻴشترﻳن مقدار‬

‫‪43‬‬

‫‪32‬‬

‫‪23‬‬

‫‪15‬‬

‫کمترﻳن مقدار‬

‫‪10‬‬

‫گراف باﻻ گراف صندوقچهﻳﻰ است که ‪ 50%‬دﻳتا (‪ )Data‬در داخل صندوق (بﻴن چارک‬ ‫اول و سوم) قرار دارد‪ 25% .‬دﻳتا (‪ )Data‬در بﻴن ‪ 10‬الﻰ ‪ 15‬و ‪ 25%‬دﻳتا (‪ )Data‬بﻴن‬ ‫‪ 32‬الﻰ ‪ 43‬قرار دارند‪.‬‬

‫‪370‬‬

‫ﻣﻘاﻳسﺔ شاخصﻫاى ﻣرﻛزى‬ ‫تﻮسط ﻣﻨحﻨﻰ ﻧارﻣﻞ( ‪) Normal‬‬ ‫آﻳا مﻰتوان توسط منحنﻰ نارمل‬ ‫شاخصهاى مرکزى را به دست بﻴاورﻳم؟‬

‫? = ‪mod‬‬ ‫? = ‪med‬‬ ‫?= ‪x‬‬ ‫منحنﻰﻳﻰ که در زﻳر مشاهده مﻰکنﻴد از جمله منحنﻰهاى معروف در احصاﻳﻴه است که اکثر‬ ‫پدﻳدههاى طبﻴعﻰ را مﻰتوان توسط آن نماﻳش داد‪ ،‬اﻳن منحنﻰ ﻳک منحنﻰ متناظر و مشابه به‬ ‫ﻳک زنگ مﻰباشد‪.‬‬ ‫آﻳا موقعﻴت شاخصهاى مرکزى (اوسط‪ ،‬مﻴانه و مود) را در اﻳن منحنﻰ مﻰتوانﻴد مشخص‬ ‫کنﻴد؟‬

‫ﻓﻌاﻟﻴت‬ ‫ اگر در ﻳک صنف تمامﻰ شاگردان نمرات خوبﻰ بگﻴرند‪:‬‬‫آﻳا فکر مﻰکنﻴد که اوسط نمرات آنها هم خوب است؟‬ ‫آﻳا باﻻ بودن اوسط نمرات نشان دهندۀ وضع خوب صنف است؟‬ ‫ براى آن که وضع صنف را بتوانﻴم خوب ارزﻳابﻰ کنﻴم باﻳد نصف صنف نمرۀ خوب اخذ‬‫نماﻳد‪.‬‬ ‫آن نمره‪ ،‬چه نمرهﻳﻰ است که نمرۀ نصف شاگردان صنف از آن بﻴشتر است؟‬ ‫اگر مﻴانه خﻴلﻰ از اوسط کوچکتر باشد تعبﻴر آن چﻴست؟‬ ‫اگر مﻴانه‪ ،‬خﻴلﻰ بزرگتر از اوسط باشد‪ ،‬تعبﻴر آن چﻴست؟‬

‫‪371‬‬

‫از مفاهﻴم فعالﻴت باﻻ و متناظر بودن منحنﻰ نارمل نتﻴجه مﻰشود که موقعﻴت مﻴانه و اوسط در‬ ‫منحنﻰ نارمل ﻳکسان مﻰباشد و چون منحنﻰ نارمل نقطۀ اعظمﻰ دارد‪ ،‬بنابراﻳن موقعﻴت مود‬ ‫آن نﻴز‪ ،‬برابر اوسط و مﻴانه است‪ ،‬ﻳعنﻰ‪:‬‬

‫‪X = mod = md‬‬

‫اگر منحنﻰ نارمل متناظر نباشد در اﻳن صورت دارﻳم که‪:‬‬ ‫)‪(a‬‬

‫)‪(b‬‬

‫‪mod < med < x‬‬

‫‪x < med < mod‬‬

‫ اگر اوسط و مﻴانه مساوى باشند‪ ،‬تعداد دﻳتاﻳﻰ (‪ )Data‬که قبل و بعد از اوسط و مﻴانه قرار‬‫دارند‪ ،‬مساوى مﻰباشند‪.‬‬ ‫اگر اوسط در سمت چپ مﻴانه واقع باشد‪ ،‬تعداد دﻳتاﻳﻰ (‪ )Data‬که در سمت راست اوسط‬ ‫قرار دارند بﻴشتر از تعداد دﻳتاﻳﻰ (‪ )Data‬اندکه در سمت چپ اوسط قرار دارند؛ مانند شکل‬ ‫)‪ .(a‬اگر اوسط در سمت راست مﻴانه واقع باشد‪ ،‬تعداد دﻳتاﻳﻰ (‪ )Data‬که در سمت راست‬ ‫اوسط قرار دارند؛ کمتر از تعداد دﻳتاﻳﻰ (‪ )Data‬اند که در سمت چپ اوسط قرار گرفتهاند‪.‬‬ ‫مانند شکل )‪(b‬‬ ‫‪f‬‬ ‫ﻣثال‪ :‬در گراف زﻳر‪ ،‬اوسط و مﻴانه را درﻳافت کنﻴد‪.‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪8‬‬

‫‪7‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪372‬‬

‫حﻞ‬

‫‪ = med = 4 + 5 = 9 = 4.5‬مﻴانه‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ = x = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7 + a 8‬اوسط‬ ‫‪a+a+a+a+a+a+a+a‬‬

‫‪36 a‬‬ ‫‪= 4.5‬‬ ‫‪8a‬‬

‫=‪x‬‬

‫ﻣثال‪ :‬در گراف زﻳر‪ ،‬محل تقرﻳبﻰ مود را‪ ،‬بدون محاسبه مشخص نماﻳﻴد‪:‬‬ ‫حﻞ‬

‫‪373‬‬

‫تمرين‬ ‫‪ - 1‬با توجه به گراف صندوقچهﻳﻰ‪ ،‬سؤالهاى زﻳر را جواب دهﻴد‪:‬‬

‫‪12‬‬

‫‪11‬‬

‫‪10‬‬

‫‪9‬‬

‫‪8‬‬

‫‪7‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫در گراف باﻻ‪ ،‬مﻴانه چند است؟‬ ‫چارک اول در اﻳن دﻳتا (‪ )Data‬عدد ‪ 8‬است‪ ،‬اﻳن عدد نشان دهندۀ چﻴست؟‬ ‫ربع سوم (چارک سوم) چند است؟ اﻳن عدد نشان دهندۀ چﻴست؟‬ ‫موجودﻳت مﻴانه در سمت چپ صندوق‪ ،‬نشان دهندۀ چﻴست؟‬ ‫بلندتر بودن ترادف سمت چپ نسبت به ترادف سمت راست نشان دهندۀ چﻴست؟‬ ‫‪ - 2‬سن بازىکنان تﻴم ملﻰ فوتبال ﻳک کشور‪ ،‬به شرح زﻳر است‪:‬‬ ‫‪26‬‬

‫‪25‬‬ ‫‪26‬‬

‫‪22‬‬ ‫‪31‬‬

‫‪23‬‬ ‫‪33‬‬

‫‪18‬‬ ‫‪25‬‬

‫‪31‬‬ ‫‪25‬‬

‫‪19‬‬ ‫‪29‬‬

‫‪26‬‬ ‫‪23‬‬

‫‪24‬‬ ‫‪27‬‬

‫‪25‬‬ ‫‪25‬‬

‫کدام نتﻴجهگﻴرى زﻳر‪ ،‬درست است؟‬ ‫تعداد بازىکنانﻰ که سن آنها باﻻتر از اوسط است بﻴشتر است‪.‬‬ ‫تعداد بازىکنانﻰ که سن آنها باﻻتر از مﻴانه است بﻴشتر است‪.‬‬ ‫تعداد بازىکنانﻰ که سن آنها کم تر از اوسط است بﻴشتر است‪.‬‬ ‫تعداد بازىکنانﻰ که سن آنها بﻴشتر از اوسط است با تعداد بازيکنانﻰ که سن آنها کمتر‬ ‫از اوسط است برابر است‪.‬‬

‫‪374‬‬

‫اﻧحراف چاركﻫا‬ ‫اگر دامنۀ تغﻴﻴرات احصاﻳﻴوي ﻳک‬ ‫جامعه بزرگ باشد‪ ،‬آﻳا فکر مﻰکنﻴد که‬ ‫ساحۀ تحول دﻳتا (‪ )Data‬مﻰتواند تعبﻴر‬ ‫نامناسب از جامعه را ارائه کند؟‬

‫ﻓﻌاﻟﻴت‬ ‫تعداد بازدﻳدکنندهگان از ﻳک موزﻳم در ‪ 12‬روز کارى قرار آتﻰ است‪:‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7 6 5 9 10 6 15 11‬‬ ‫ساحۀ تحول اﻳن دﻳتا (‪ )Data‬را درﻳافت کنﻴد‪.‬‬ ‫دﻳتاﻳﻰ (‪ )Data‬باﻻ در حالت عموم بﻴن کدام دو عدد پراکنده شده است؟‬ ‫ﻳک چهارم حصۀ دﻳتا (‪ )Data‬را از باﻻ و پاﻳﻴن حذف کنﻴد و بعد ساحۀ تحول دﻳتاﻳﻰ‬ ‫(‪)Data‬باقﻴمانده را درﻳافت کنﻴد‪.‬‬ ‫اﻳن دو ساحۀ تحول به دست آمده را باهم مقاﻳسه نماﻳﻴد‪ ،‬کدامﻳک پراکندهگﻰ بﻴشتر را‬ ‫نشان مﻰدهد؟‬ ‫ساحۀ تحول در بعضﻰ مواقع به علت موجودﻳت دو مقدار خﻴلﻰ کوچک و خﻴلﻰ بزرگ‬ ‫در جامعه ممکن است‪ .‬تعبﻴرهاى نامناسب از جامعه را ارائه کند‪ ،‬بنابراﻳن در اﻳن مواقع از‬ ‫شاخص دﻳگرى به نام انحراف چارکها که بتواند ساحۀ تحول جامعه را بهتر مشخص نماﻳد‬ ‫استفاده مﻰنماﻳﻴم‪.‬‬ ‫اگر ‪ Q1‬و ‪ Q 3‬به ترتﻴب چارک اول و سوم مجموعهﻳﻰ از دﻳتا (‪ )Data‬باشند انحراف‬ ‫چارکها را به (‪ )Q‬نماﻳش داده و قرار زﻳر تعرﻳف مﻰکنند‪:‬‬ ‫‪Q1‬‬

‫‪Q = Q3‬‬

‫انحراف چارکها‪ ،‬ﻳکﻰ از شاخصهاى نشان دهندۀ پراکندهگﻰ دﻳتا (‪)Data‬است‪ ،‬زﻳرا از‬ ‫روى تعرﻳف چارک اول و سوم بر مﻰآﻳد که ‪ 50%‬جامعه در فاصلۀ ‪ Q3 Q1‬قرار دارند‪.‬‬ ‫هر قدر اﻳن فاصله کوچکتر باشد‪ ،‬دﻳتا (‪ )Data‬جمعتر و به عبارت دﻳگر‪ ،‬پراکندهگﻰ‬

‫‪375‬‬

‫آنها کمتر است‪.‬‬ ‫گاهﻰ انحراف چارکها را به صورت‪:‬‬ ‫‪Q1‬‬ ‫‪2‬‬

‫نﻴز تعرﻳف مﻰکنند و آن را نﻴمدامنه چارک مﻰنامند‪.‬‬ ‫ﻣثال‪ :‬انحراف چارکهاى اعداد زﻳر را به دست آورﻳد‪:‬‬ ‫‪36‬‬

‫‪20‬‬

‫‪22‬‬

‫‪22‬‬

‫‪23‬‬

‫‪24‬‬

‫‪Q3‬‬

‫‪31‬‬

‫‪25‬‬

‫‪29‬‬

‫‪30‬‬

‫=‪Q‬‬

‫‪35‬‬

‫حﻞ‪ :‬نخست اعداد را به طور صعودى ترتﻴب مﻰکنﻴم و شمارهگذارى مﻰنماﻳﻴم‪:‬‬ ‫‪31 35 36‬‬

‫‪30‬‬

‫‪29‬‬

‫‪25‬‬

‫‪24‬‬

‫‪23‬‬

‫‪22‬‬

‫‪22‬‬

‫‪20‬‬

‫‪9‬‬

‫‪8‬‬

‫‪7‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪11‬‬

‫‪10‬‬

‫‪P n 1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3 11 1 33 1 33 + 2 35‬‬ ‫=‬ ‫= ‪+ = +‬‬ ‫=‬ ‫‪= 8.75‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2 4 2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫= ‪CQn‬‬

‫‪Q 3 = 30.75‬‬

‫پس از اﻳنجا‪:‬‬ ‫همچنان‬

‫‪C Q3‬‬

‫‪1 11 1 11 1 11 + 2 13‬‬ ‫= ‪+ = +‬‬ ‫‪= = 3.25‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2 4 2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫= ‪C Q1‬‬

‫‪Q1 = 22.25‬‬

‫پس از اﻳنجا‪:‬‬ ‫بنابرآن‪ ،‬چارکهاى اول و سوم به ترتﻴب عبارت اند از‪ 22.25 :‬و ‪ 30.75‬؛ پس‪:‬‬

‫‪Q = Q 3 Q1 = 30.75 22.25 = 8.5‬‬

‫تمرين‬ ‫‪ -1‬ساحۀ تحول‪ ،‬انحراف چارکها و مود دﻳتاى (‪ )Data‬زﻳر را تعﻴﻴن کنﻴد و بگوﻳﻴد که‬ ‫تراکم دﻳتا (‪ )Data‬در کدام ساحه زﻳادتر است؟‬ ‫‪5‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪ -2‬ساحۀ تحول وانحراف چارکهاى‪ ،‬دﻳتاى زﻳر را درﻳافت نموده وسپس با ساحۀ تحول و‬ ‫انحراف ربعي سؤال اول مقاﻳسه کنﻴد‪.‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪29‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪22‬‬

‫‪376‬‬

‫وارﻳاﻧس (‪)Variance‬‬ ‫اگر شما شنا را خوب بلد نباشﻴد و بخواهﻴد‬ ‫در ﻳک حوضﻰ که عمق آن در بسﻴارى‬ ‫نقاط آن ﻳکسان نﻴست آببازى نماﻳﻴد‪.‬‬ ‫براى اﻳنکه اطمﻴنان حاصل کنﻴد در وقت‬ ‫شنا در خطر نخواهﻴد بود چه اطﻼعاتﻰ را‬ ‫ﻻزم دارﻳد؟‬

‫ﻓﻌاﻟﻴت‬ ‫اگر در ﻳک حوض آببازى‪ ،‬ﻳک ساحه آن ‪ 1.5‬متر و ساحه دﻳگر آن ‪ 2.5‬متر عمق داشته‬ ‫باشد‪:‬‬ ‫اوسط عمق اﻳن دو ساحه حوض را درﻳافت کنﻴد‪.‬‬ ‫مربعهاى انحرافهاى دو دﻳتا را از اوسط حسابي تعﻴﻴن کنﻴد‪.‬‬ ‫مجموع مربعهاى انحرافهاى دو دﻳتا را به دست آورﻳد‪.‬‬ ‫مجموع دﻳتاى (‪ )Data‬فوق را بر تعداد اعضاى مجموع آن تقسﻴم کنﻴد‪.‬‬ ‫براى محاسبه وارﻳانس دﻳتاى (‪ x1 , x 2 , ... , x n )Data‬مراحل زﻳر را درنظر بگﻴرﻳد‪:‬‬ ‫ اوسط دﻳتا (‪ )Data‬را درﻳافت کنﻴد‪ ،‬ﻳعنﻰ‪:‬‬‫‪n‬‬

‫‪xi‬‬

‫‪i =1‬‬

‫‪n‬‬

‫=‪x‬‬

‫ مجموع مربعهاى انحرافها‪ ،‬ﻳعنﻰ‪:‬‬‫‪x)2‬‬

‫‪... + ( x n‬‬

‫‪x ) 2 = ( x1 x ) 2 + ( x 2 x ) 2 +‬‬

‫‪(x i‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪i =1‬‬

‫را به دست آرﻳد‪.‬‬ ‫ مجموع فوق را بر تعداد اعضاى مجموعه‪ n ،‬تقسﻴم نموده و مساوى به ‪ S‬نشان مﻰدهﻴم؛‬‫ﻳعنﻰ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪377‬‬

‫‪x) 2‬‬

‫‪( x1 x) 2 + ( x2‬‬

‫‪x ) 2 + . . . + ( xn‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪x) 2‬‬ ‫=‬

‫‪n‬‬

‫‪(xi‬‬

‫= ‪S‬‬

‫‪i =1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪n‬‬

‫در اﻳنجا ‪ S 2‬را به نام وارﻳانس ﻳاد مﻰکنند‪ .‬وارﻳانس عبارت از اوسط جذر مربع انحرافها‬ ‫از اوسط است‪.‬‬ ‫تﻮجﻪ‪ :‬برخﻰ اوقات براى محاسبه وارﻳانس از فرمول زﻳر نﻴز استفاده مﻰنماﻳند‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x2‬‬

‫‪n‬‬

‫‪xi‬‬

‫= ‪S2‬‬

‫‪i =1‬‬

‫‪n‬‬

‫ثبوت‪ :‬فرمول فوق را مﻰتوان قرار زﻳر به دست آورد‪.‬‬ ‫چون مﻰدانﻴم که‪:‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪x i = nx‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪n‬‬

‫‪x‬‬

‫‪i =1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪+‬‬

‫‪2 xix‬‬

‫‪2‬‬

‫‪i =1‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪xx2‬‬

‫‪n‬‬

‫‪2‬‬

‫‪n‬‬

‫‪xi‬‬

‫‪i =1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪xxi i‬‬

‫=‬

‫) ‪2 xix + x2‬‬

‫‪nn‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪i =1‬‬ ‫‪22xx xx++xx2 == i =1‬‬ ‫‪nn‬‬

‫‪2‬‬

‫‪n‬‬

‫‪(x i‬‬

‫‪i =1‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪xxi i‬‬

‫‪nn‬‬ ‫‪22‬‬

‫‪n‬‬

‫=‬

‫=‪x‬‬

‫‪n‬‬

‫‪i =1‬‬

‫‪x)2‬‬

‫‪xxi i‬‬

‫‪xi‬‬

‫‪i =1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪(x i‬‬

‫= ‪S2‬‬

‫‪i =1‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪nn‬‬

‫‪nn‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪xxii‬‬

‫‪nnxx = i =1i‬‬ ‫‪i =1‬‬ ‫‪22xx i =1 ++‬‬ ‫=‬ ‫‪nn‬‬ ‫‪nn‬‬ ‫‪nn‬‬

‫‪ii==11‬‬

‫‪n‬‬

‫=‬

‫ﻣثال‪ :‬وارﻳانس دﻳتاى (‪ )data‬زﻳر را با استفاده از هر دو فرمول حساب کنﻴد‪.‬‬ ‫‪99‬‬

‫‪77‬‬

‫‪66‬‬

‫‪55‬‬

‫‪((xixi xx))22‬‬

‫الف) از فرمول‬

‫‪5‬‬

‫‪11‬‬

‫‪5‬‬

‫‪SS22== i =i1=1‬‬ ‫‪55‬‬

‫‪1+ 5 + 6 + 7 + 9‬‬ ‫‪= 5.6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪(1 5.6) 2 + (5 5.6) 2 + (6 5.6) 2 + (7 5.6) 2 + (9 5.6) 2‬‬ ‫= ‪S2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪( 4.6) + ( 0.6) + (0.4) + (1.4) 2 + (3.4) 2‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1.96 + 11.56 35.2‬‬ ‫= ‪378‬‬ ‫=‬ ‫‪= 7.04‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‪x‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪( 4.6) + ( 0.6) + (0.4) + (1.4) 2 + (3.4) 2‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪21.16 + 0.36 + 0.16 + 1.96 + 11.56 35.2‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪= 7.04‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫ب) از فرمول‬ ‫‪2‬‬

‫‪192‬‬ ‫‪(5 6) 2 = 38.4 31.36 = 7.04‬‬ ‫‪5‬‬

‫= ‪x2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪xi‬‬

‫‪i =1‬‬

‫= ‪S‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x + x 2 + x3 + x 4 + x5‬‬ ‫‪S2 = 1‬‬ ‫‪5‬‬

‫ﻳادداشت‪ :‬اگر دﻳتاى (‪ )data‬دستهبندى شده با مرکز دستههاى ‪ x1 , x 2 , ..., x n‬و با‬ ‫کثرتهاى ‪ f1 , f 2, ... , f n‬داده شده باشند‪ ،‬براى محاسبه وارﻳانس بهتر است از فرمول زﻳر‬ ‫استفاده شود‪:‬‬ ‫‪x) 2‬‬

‫‪f i ( xi‬‬ ‫‪N‬‬

‫طورى که ‪f i‬‬

‫‪n‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪i =1‬‬

‫‪x) 2‬‬

‫‪f i ( xi‬‬

‫=‬ ‫‪fi‬‬

‫‪n‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪i =1‬‬

‫= ‪S2‬‬

‫‪i =1‬‬

‫=‪N‬‬

‫‪i =1‬‬

‫تﻮجﻪ‪ :‬تعﻴﻴن واحد وارﻳانس مشکل است‪ ،‬طبق معمول کمﻴت مطلق (ثابت) آن را مورد‬ ‫عمل قرار مﻰدهند؛ اما بعضﻰ اوقات واحد وارﻳانس را از نوع مربع واحد متحول آن حساب‬ ‫مﻰکنند‪.‬‬

‫‪379‬‬

‫تمرين‬ ‫تعداد ساعاتﻰ را که شاگردان در طول ﻳک هفته به ورزش اختصاص داده اند‪ ،‬در زﻳر آمده است‪:‬‬ ‫‪3 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫وارﻳانس اﻳن دﻳتا (‪ )data‬را حساب کنﻴد‪.‬‬

‫‪380‬‬

‫اﻧحراف ﻣﻌﻴاري‬ ‫اگر ‪ S‬جذر وارﻳانس و ‪ x‬اوسط دﻳتا باشند‬ ‫شکل مقابل توضﻴح چه نوع شاخص را بﻴان‬ ‫مﻰکند؟‬

‫ﻓﻌاﻟﻴت‬ ‫اگر ‪ S 2‬وارﻳانس دﻳتاى (‪ x1 , x 2 , ..., x n )Data‬باشد‪ ،‬فکر مﻰکنﻴد که آﻳا واحد ‪ S2‬و ‪S‬‬

‫باهم تفاوت دارند؟‬ ‫فرض کنﻴد زمان تسلﻴمدهﻰ کاﻻهاﻳﻰ که در ﻳک هفتۀ خاص به ﻳک کارخانه فرماﻳش داده‬ ‫شده با شاخصهاﻳﻰ؛ مانند‪ :‬انحراف‪ ،‬قﻴمت مطلق انحراف و مربع انحرافها در جدول زﻳر‬ ‫داده شده است‪ ،‬طورىکه‪:‬‬

‫‪8 + 9 + 6 + 4 + 8 35‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪=7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬

‫مربع انحرافها قﻴمت مطلق انحراف‬ ‫‪x) 2‬‬

‫‪381‬‬

‫‪( xi‬‬

‫‪x‬‬

‫‪xi‬‬

‫انحراف‬ ‫‪x‬‬

‫‪xi‬‬

‫‪x‬‬

‫‪xi‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪i =1‬‬

‫‪n‬‬

‫=‪x‬‬

‫زمان تحوﻳل به روز‬ ‫‪xi‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪7‬‬

‫‪8‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪7‬‬

‫‪9‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪7‬‬

‫‪6‬‬

‫‪9‬‬

‫‪3‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪7‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪7‬‬

‫‪8‬‬

‫اوسط زمان تحوﻳل دﻳتاى (‪()Data‬فرماﻳشات) را درﻳافت کنﻴد‪.‬‬ ‫اوسط قﻴمت مطلق انحرافها و ﻳا به طور خﻼصه انحراف اوسط(‪ )AD‬را حساب کنﻴد‪.‬‬ ‫وارﻳانس زمان تحوﻳل کاﻻها را به دست آورﻳد‪.‬‬ ‫جذر مربع وارﻳانس را محاسبه کنﻴد‪.‬‬ ‫واحد جذر وارﻳانس را با واحد وارﻳانس مقاﻳسه کنﻴد‪.‬‬ ‫از فرمول وارﻳانس آموختﻴد که عمل توانرسانﻰ نه تنها مقﻴاس اندازهگﻴرى وارﻳانس را شامل‬ ‫اشکاﻻت مﻰکند‪ ،‬بلکه انحرافها را نﻴز بزرگ نشان مﻰدهد‪.‬‬ ‫براى اﻳن که بتوانﻴم اﻳن سوى تفاهم را از بﻴن ببرﻳم‪ ،‬ﻻزم است تا جذر مربع وارﻳانس را به‬ ‫دست آورﻳم و اﻳن جذر وارﻳانس شاخص پراکندهگﻰ دﻳگرى را به نام انحراف معﻴاري ﻳا‬ ‫پراکندهگﻰ مطلق معرفﻰ مﻰنماﻳد‪.‬‬ ‫انحراف معﻴاري که با سمبول ‪ s‬نشان داده مﻰشود‪ ،‬برابر به جذر مربع وارﻳانس است؛ ﻳعنﻰ‪:‬‬

‫‪)2‬‬

‫‪xi‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪i =1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪2‬‬

‫‪xi‬‬

‫(‬

‫‪n‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫= ‪x‬‬

‫‪i =1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪xi‬‬

‫‪n‬‬

‫‪2‬‬

‫=‬

‫‪i =1‬‬

‫‪n‬‬

‫)‪(x i x‬‬

‫‪n‬‬

‫=‪S‬‬

‫‪i =1‬‬

‫‪n‬‬

‫واحد انحراف معﻴارى ﻳا پراکندهگﻰ مطلق همان واحد متحول است‪.‬‬ ‫رابطۀ اخﻴر را مﻰتوان طور ذﻳل ثبوت نمود‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫) ‪2 x xi + x 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪xi ) 2‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫‪( xi‬‬

‫‪i =1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2nx 2 + nx‬‬

‫= ‪x )2‬‬

‫‪n‬‬

‫‪xi‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪i =1‬‬

‫‪( xi‬‬

‫‪i =1‬‬ ‫‪n‬‬

‫= ‪x2‬‬

‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪n‬‬

‫‪i =1‬‬

‫‪xi +‬‬

‫‪( xi‬‬

‫‪i =1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫‪2x‬‬

‫‪2‬‬

‫‪i =1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪xi‬‬

‫‪i =1‬‬

‫= ‪S2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬

‫=‬

‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫(‬ ‫‪i =1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫‪x )2‬‬

‫‪n‬‬

‫‪2‬‬

‫‪n‬‬

‫‪xi‬‬

‫‪i =1‬‬

‫‪xi‬‬

‫‪1‬‬ ‫= ‪n ( i =1 ) 2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪)2‬‬

‫‪xi‬‬

‫‪i =1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪2‬‬

‫(‬

‫‪2‬‬

‫‪n‬‬

‫‪xi‬‬

‫‪i =1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬

‫=‬

‫‪2‬‬

‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫‪xi‬‬

‫‪i =1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪nx‬‬

‫=‪S‬‬

‫‪2‬‬

‫‪xi‬‬ ‫)‬

‫‪i =1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫(‬

‫‪n‬‬

‫‪xi‬‬

‫‪i =1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬

‫=‬

‫‪n‬‬

‫‪xi‬‬

‫‪i =1‬‬

‫‪n‬‬

‫= ‪S‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪382‬‬

‫ﻣثال‪ :‬درجۀ حرارت بدن ‪ 5‬مرﻳض در زﻳر داده شده است‪:‬‬ ‫‪41‬‬

‫‪40‬‬

‫‪39‬‬

‫‪38‬‬

‫‪39‬‬

‫انحراف معﻴاري آن را حساب کنﻴد‪.‬‬ ‫حﻞ‬ ‫‪38 + 39 + 39 + 40 + 41 197‬‬ ‫=‬ ‫‪= 39.4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬

‫=‬

‫‪xi‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪i =1‬‬

‫‪n‬‬

‫=‪x‬‬

‫‪(38 39.4) 2 + (39 39.4) 2 + (39 39.4) 2 + (40 39.4) 2 + (41 39.4) 2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪( 1.4) + ( 0.4) + ( 0.4) + (0.6) 2 + (1.6) 2‬‬ ‫= ‪S2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1.96 + 0.16 + 0.16 + 0.36 + 2.56 5.2‬‬ ‫= ‪S2‬‬ ‫=‬ ‫‪= 1.04‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪S = 1.04 = 1.01980‬‬ ‫= ‪S2‬‬

‫تﻮجﻪ‪ :‬انحراف معﻴاري در ﻳک جدول کثرت‪ ،‬به صورت تقرﻳبﻰ از فرمول زﻳر به دست‬ ‫مﻰآﻳد‪.‬‬ ‫‪x2‬‬

‫‪f i x i2‬‬ ‫‪fi‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪i =1‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪i =1‬‬

‫‪(x)2‬‬

‫‪fi (x i‬‬

‫=‬ ‫‪fi‬‬

‫‪n‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪i =1‬‬

‫=‪S‬‬

‫‪i =1‬‬

‫در اﻳنجا ‪ x‬اوسط دﻳتا (‪ xi ،)data‬مرکز دستهها و ‪ f i‬کثرت دستههاست‪.‬‬

‫تمرين‬ ‫تعداد ساعتهاﻳﻰ را که چهار دستگاه تلوﻳزﻳون دربارۀ معارف برنامه پخش مﻰکنند‪ ،‬در زﻳر‬ ‫داده شده است‪ .‬انحراف معﻴاري دﻳتا (‪ )Data‬را حساب کنﻴد‪.‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪383‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫خﻼصﺔ ﻓصﻞ‬ ‫ﮔراف چﻨدضﻠﻌﻰ ﻛثرت‪ :‬جورههاى مرتب نقاطﻰ را که عرض آنها‪ ،‬مرکز دستهها‬ ‫و طول آنها برابر کثرت همان دسته باشد با هم وصل مﻰکنﻴم گراف چند ضلعﻰ کثرت به‬ ‫وجود مﻰآﻳد‪ ،‬در گراف چند ضلعﻰ کثرت دو نقطه با کثرت صفر به ابتدا و انتهاى دستهها‬ ‫اضافه مﻰشود تا گراف چند ضلعﻰ کثرت به محور‪ x‬متصل شود‪.‬‬ ‫ﮔراف ساﻗﻪ و برگ‪ :‬براى رسم گراف ساقه و برگ از اعدادى استفاده مﻰشود دﻳتاى‬ ‫(‪ )Data‬احصاﻳﻴوى را به صورت اعداد در آورده و سپس از اﻳن اعداد گراف ساقه و برگ‬ ‫را تشکﻴل مﻰدهﻴم‪ .‬اﻳن گراف براى دﻳتاى (‪ )Data‬که تفاوت کوچکترﻳن و بزرگترﻳن دﻳتا‬ ‫از نظر تعداد رقمها اندک باشد‪ ،‬مناسب است‪.‬‬ ‫چارك‪ :‬عددى که جامعۀ مرتب را به دو قسمت مساوى تقسﻴم مﻰکند‪ ،‬مﻴانه نامﻴده‬ ‫مﻰشود‪ .‬حال اعدادى را در نظر بگﻴرﻳد که جامعۀ مرتب را به چهار قسمت مساوى تقسﻴم‬ ‫مﻰکنند‪ .‬اﻳن اعداد را با ‪ Q 2 ، Q1‬و ‪ Q 3‬نشان مﻰدهند و آنها را به ترتﻴب چارکهاى اول‬ ‫تا سوم مﻰنامند‪ .‬واضح است که ‪ Q2‬مﻴانه است‪.‬‬ ‫ﮔراف صﻨدوﻗچﻪﻳﻰ ﻳا ﮔراف جﻌبﻪﻳﻰ‪ :‬از اﻳن گراف براى دﻳتاى (‪ )Data‬که به هم‬ ‫نزدﻳک هستند دﻳتاى (‪ )Data‬که در اطراف اوسط متمرکز اند و ﻳا در اطراف بﻴشترﻳن دﻳتا‬ ‫و ﻳا کمترﻳن دﻳتا متمرکز اند استفاده مﻰشود‪ .‬اﻳن گراف ﻳک گراف تصوﻳرى است که دﻳتا‬ ‫(‪ )Data‬را بر اساس کمترﻳن دﻳتا‪ ،‬بﻴشترﻳن دﻳتا‪ ،‬مﻴانه‪ ،‬چارک اول و چارک سوم نماﻳش‬ ‫مﻰدهند‪.‬‬ ‫ﻣﻘاﻳسﺔ شاخصﻫاى ﻣرﻛزى تﻮسط ﻣﻨحﻨﻰ ﻧارﻣﻞ‪ :‬وقتﻰ که مﻰخواهﻴم شاخصهاى‬ ‫مرکزى (اوسط‪ ،‬مﻴانه و مود) را با استفاده ازمنحنﻰﻳﻰ نارمل مقاﻳسه نماﻳﻴم در اﻳنصورت‪،‬‬ ‫اگر منحنﻰ نارمل متناظر باشد‪ ،‬اوسط‪ ،‬مﻴانه و مود با هم برابرند‪ ،‬اگر منحنﻰ نارمل متناظر‬ ‫نباشد شاخصهاى مرکزى قﻴمتها را نظر به موقعﻴتﻰ که به طرف سمت چپ و راست‬ ‫منحنﻰ دارند اختﻴار مﻰکنند‪.‬‬ ‫اﻧحراف چاركﻫا‪ :‬اگر ‪ Q1‬و ‪ Q 3‬به ترتﻴب چارکهاى اول و سوم مجموعهﻳﻰ از دﻳتا‬ ‫(‪ )Data‬باشند‪ ،‬انحراف چارکها را مﻰتوان به صورت زﻳر نوشت‪:‬‬ ‫‪Q = Q 3 Q1‬‬

‫از تعرﻳف باﻻ واضح است که ‪ 50%‬جامعه در فاصله ‪ Q3 Q1‬قرار دارند‪ .‬هر قدر اﻳن‬ ‫فاصله کوچکتر باشد‪ .‬دﻳتا (‪ )Data‬متراکمتر و پراکندهگﻰ آنها کمتر است‪.‬‬

‫‪384‬‬

‫وارﻳاﻧس‪ :‬شاخصهاى پراکندهگﻰ‪ ،‬اندازههاﻳﻰ هستند که وضع پراکندهگﻰ دﻳتا (‪)Data‬‬ ‫را نسبت به ﻳکدﻳگر و نسبت به اوسط مشخص مﻰکنند‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫وارﻳانس ﻳکﻰ از مهمترﻳن شاخصهاى پراکندهگﻰ است که با ‪ S‬نشان داده مﻰشود و از‬ ‫رابطۀ زﻳر به دست مﻰآﻳد‪:‬‬ ‫‪x)2‬‬

‫‪(x i‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫‪i =1‬‬

‫=‬

‫‪x)2‬‬

‫‪x ) 2 + ... + ( x n‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪( x1 x ) 2 + ( x 2‬‬

‫= ‪S2‬‬

‫و محاسبۀ وارﻳانس از جدول کثرت‪ ،‬توسط فرمول زﻳر به دست مﻰآﻳد‪:‬‬ ‫‪x)2‬‬

‫‪fi (x i‬‬

‫( ‪ xi‬مرکز دستهها)‬ ‫‪fi‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪i =1‬‬

‫‪n‬‬

‫= ‪S2‬‬

‫‪i =1‬‬

‫اﻧحراف ﻣﻌﻴاري‪ :‬جذر مربع وارﻳانس را با ‪ S‬نشان مﻰدهند و آن را انحراف معﻴارى‬ ‫مﻰگوﻳند‪.‬‬ ‫‪x)2‬‬

‫‪(x i‬‬

‫‪n‬‬

‫=‪S‬‬

‫‪i =1‬‬

‫‪n‬‬

‫محاسبۀ انحراف معﻴاري از جدول کثرت توسط فرمول زﻳر به دست مﻰآﻳد‪:‬‬ ‫‪x)2‬‬

‫( ‪ xi‬مرکز دستهها)‬

‫‪fi (x i‬‬ ‫‪fi‬‬

‫‪385‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪i =1‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪i =1‬‬

‫=‪S‬‬

‫تﻤرﻳﻦ ﻓصﻞ‬ ‫‪ -1‬گراف زﻳر‪ ،‬نشان دهندۀ توزﻳع سرعت باد در ‪ 19‬روز است‪ .‬با استفاده از اطﻼعات داده‬ ‫شده در گراف‪ ،‬گراف چند ضلعﻰ کثرت را براى سرعت باد رسم کنﻴد‪.‬‬ ‫اگر حداقل سرعت باد براى راندن ﻳک قاﻳق بادى ‪ 5‬کﻴلومتر فﻰ ساعت ﻻزم باشد‪ ،‬چند روز‬ ‫براى راندن قاﻳق بادى مناسب است؟‬ ‫چرا در اﻳن مسأله‪ ،‬گراف چند ضلعﻰ کثرت‪ ،‬مناسبتر از گراف مستطﻴلﻰ است؟‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫زمان (روز)‬

‫کﻴلومتر در ساعت‬

‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ -2‬گراف چند ضلعﻰ کثرت گرافﻰ است که‪ . . .‬روى محور افقﻰ و ‪ . . .‬روى محور‬ ‫عمودى نشان داده مﻰشود‪.‬‬ ‫ب) کثرت نسبﻰ‪ -‬مرکز دستهها‬ ‫الف) مرکز دستهها‪ -‬کثرت نسبﻰ‬ ‫د) مرکز دسته – کثرت مطلق‬ ‫ج) حدود دستهها‪ -‬کثرت مطلق‬ ‫‪ -3‬گراف ساقه و برگ داده شده است‪:‬‬ ‫ساقه‬ ‫برگ‬ ‫ دﻳتاى موجود در اﻳن گراف را بنوﻳسﻴد‪.‬‬‫‪1‬‬ ‫‪0 3 3 4‬‬ ‫‪0 2 4 8 8‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪ -4‬از دوران کدام گراف به اندازۀ ‪( 90o‬خﻼف حرکت عقربه ساعت) گراف مﻴلهﻳﻰ حاصل‬ ‫مﻰشود‪.‬‬ ‫د) داﻳروى‬ ‫ج) چند ضلعﻰ کثرت‬ ‫ب) مستطﻴلﻰ‬ ‫الف) ساقه و برگ‬ ‫‪ -5‬گراف زﻳر‪ ،‬نمرات امتحان صنفﻰ سه صنف‪ :‬الف‪ ،‬ب و ج را در امتحان رﻳاضﻰ نشان مﻰدهد‪.‬‬

‫‪386‬‬

‫باتوجه به گراف داده شده سؤالهاى زﻳر را پاسخ دهﻴد‪:‬‬ ‫‪40‬‬

‫‪39‬‬

‫‪37‬‬

‫‪38‬‬

‫‪36‬‬

‫‪35‬‬

‫‪34‬‬

‫‪33‬‬

‫‪32‬‬

‫‪31‬‬

‫‪30‬‬

‫صنف الف‬ ‫صنف ب‬ ‫صنف ج‬ ‫کدام صنف بﻴشترﻳن ساحۀ تحول را دارد؟‬ ‫مﻴانۀ نمرات کدام صنف از همه بﻴشتر است؟ مﻴانۀ نمرات کدام صنف از همه کمتر‬ ‫است؟‬ ‫پراکندهگﻰ نمرات کدام صنف بﻴشتر از همه است؟‬ ‫اﻳن سه صنف را با توجه به نمراتﻰ که در امتحان اخذ نمودهاند از ضعﻴفترﻳن به قوىترﻳن‬ ‫مرتب کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ -6‬در گراف زﻳر‪ ،‬مقدار ‪ a‬کدام ﻳک از مفاهﻴم زﻳرا را وانمود مﻰسازد‪:‬‬ ‫د) مود‬ ‫ج) چارک سوم‬ ‫ب) اوسط‬ ‫الف) مﻴانه‬

‫‪ - 7‬دو کارخانۀ تولﻴد کنندۀ مواد غذاﻳﻰ ‪ A‬و ‪ B‬بسکﻴت را در بستهبندى ‪ 48‬گرامﻰ به‬ ‫فروش مﻰرسانند‪.‬‬ ‫پنج بسته بسکﻴت به صورت تصادفﻰ از ﻳک فروشگاه مواد غذاﻳﻰ از دو محصول انتخاب‬ ‫شود و تمام وزن بستهها به دقت اندازهگﻴرى شوند‪ .‬نتﻴجه زﻳر به دست آمد‪:‬‬ ‫‪47.96‬‬

‫‪47.84‬‬

‫‪47.96‬‬

‫‪48.32‬‬

‫‪48.08‬‬

‫‪A:‬‬

‫‪49‬‬

‫‪49.08‬‬

‫‪48.88‬‬

‫‪48.84‬‬

‫‪49.16‬‬

‫‪B:‬‬

‫کدام کارخانۀ بسکﻴت‪ ،‬بﻴشترﻳن بستهها را مﻰفروشد؟ براى به دست آوردن حل سؤال‬ ‫از چه شاخصﻰ استفاده مﻰکنﻴد؟‬

‫‪387‬‬

‫کدام کارخانهها در توزﻳع بسکﻴت ﻳکسان عمل کردهاند؟‬ ‫‪ - 8‬اگر ساحۀ تحول‪ ،‬برابر به صفر باشد‪ ،‬در بارۀ دﻳتا (‪ )Data‬چه نتﻴجهﻳﻰ مﻰگﻴرﻳد؟‬ ‫‪ - 9‬تعداد ساعاتﻰ را که شاگردان در طول ﻳک هفته به ورزش اختصاص دادهاند در زﻳر‬ ‫داده شده است‪:‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪7‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫وارﻳانس اﻳن دﻳتا (‪ )Data‬را حساب کنﻴد‪.‬‬ ‫‪ -10‬در جدول زﻳر وارﻳانس را محاسبه کنﻴد‪.‬‬ ‫‪25 35 45‬‬ ‫‪10 25 15‬‬

‫‪xi‬‬ ‫‪fi‬‬

‫‪388‬‬

‫فصل نهم‬ ‫منطق رياضی‬

‫استـــدﻻل درک شهودی‪:‬‬ ‫مــردم در قرنﻫــاى متمــادى به اﻳــن باور‬ ‫بودند که زمﻴن ﻫموار و ســتارهﻫا به دور آن‬ ‫مﻰچرخند‪.‬‬ ‫آﻳا از کرهوى بودن زمﻴن درکﻰ دارﻳد؟‬ ‫آﻳا خورشــﻴد به دور زمﻴن و ﻳا زمﻴن به دور‬ ‫خورشﻴد مﻰچرخد؟‬

‫تعریف‪ :‬فﻬم غرﻳزهوى ﻳا احساسﻰ که به وسﻴلﺔ آن صحت و ﻳا حقﻴقت ﻳک موضوع و‬ ‫ﻳا ﻳک مفﻬوم را بدون استدﻻل قبول مﻰکنﻴم عبارت از درک شﻬودى بوده که در مواقع‬ ‫مختلف زمان‪ ،‬مﻰتواند از ﻫم متفاوت باشد‪.‬‬ ‫فعاليت‬ ‫روى خط مستقﻴم دو نقطﺔ ‪ A‬و ‪ B‬را قرار شکل زﻳر در نظر بگﻴرﻳد‪:‬‬

‫ﻳک نفر مﻰخواﻫد از نقطﺔ ‪ A‬به نقطﺔ ‪ B‬روى خط داده شده برود حتمﻰاست که در نقطﺔ‬ ‫‪( A1‬نقطه وسطﻰ قطعه خط ‪ )AB‬توقف نماﻳد و براى رسﻴدن به نقطﺔ ‪ B‬بار دﻳگر در نقطه‬ ‫‪( A 2‬نقطه وسطﻰ قطعه خط ‪ ) A1B‬توقف نماﻳد‪ ،‬و به ﻫمﻴن ترتﻴب ادامه بدﻫد‪ ،‬به سؤالﻫاى‬ ‫زﻳر پاسخ دﻫﻴد‪:‬‬ ‫ آﻳا به گونﺔ فوق توقف در نقطﺔ وسطﻰ‪ ،‬بﻴن دو نقطه روى خطﻰ که در شکل باﻻ نشان داده‬‫شده است پاﻳان دارد؟‬ ‫ اگر اﻳن مسأله تا اخﻴر رعاﻳت گردد شخص مورد نظر به نقطﺔ ‪ B‬خواﻫد رسﻴد؟‬‫ اگر نفر مذکور توقف ننماﻳد و ﻳا ﻫم از راه بازنگردد‪ ،‬نه تنﻬا به نقطﺔ ‪ B‬خواﻫد رسﻴد؛ بلکه‬‫از آن عبور خواﻫد کرد؛ بنابراﻳن بﻴن واقعﻴت اﻳن مسأله و درک شﻬودىتان چه اختﻼفﻰ‬

‫‪391‬‬

‫وجود دارد؟‬ ‫از فعالﻴت باﻻ نتﻴجﺔ زﻳر را به دست مﻰآورﻳم‪:‬‬ ‫نتيجه‪ :‬نتﻴجهگﻴرى‪ ،‬حاصل از درک شﻬودى‪ ،‬نمﻰتواند ﻫمواره نتﻴجهگﻴرى صحﻴح را به‬ ‫دنبال داشته باشد؛ اما مﻰتواند پاﻳهگذار احکام و قضاﻳاى درست باشد‪.‬‬ ‫از مثالﻰ که در فعالﻴت باﻻ از آن استفاده نمودﻳم و ﻳا مثالﻫاى ﻫم مانند آن به معناى اﻳن نﻴست‬ ‫که استدﻻل درک شﻬودى گمراه کننده بوده؛ بلکه برعکس در بسﻴارى حالتﻫا استدﻻل‬ ‫درک شﻬودى باعث تﻼش و پﻴگﻴرى حل مسأله و اﻳجاد انگﻴزهﻳﻰ مﻰباشد که باعث طرح‬ ‫پرسشﻫاى جدﻳدترى مﻰگردد‪.‬‬ ‫مثال‪ :1‬با استدﻻل درک شﻬودى به سﻬولت مﻰتوان حکم کرد که دو خط موازى ﻳکدﻳگر‬ ‫را قطع نمﻰکنند‪ ،‬بپذﻳرﻳم‪.‬‬ ‫چون در پذﻳرش اﻳن مســأله‪ ،‬اســتدﻻلﻰ به کار نرفته و در واقع ﻳک احســاس اســت که بر‬ ‫اســاس آن اﻳن حکم صورت مﻰپذﻳرد‪ .‬اﻳــن گونه نتﻴجهگﻴرى را به نام درک شــﻬودى ﻳاد‬ ‫مﻰنماﻳﻴم‪.‬‬ ‫مثال‪ :2‬ﻳک نقطه در خارج داﻳرهﻳﻰ به قطر ‪ 4‬واحد قرار دارد‪ ،‬براى مطالعﺔ فاصلﺔ آن از‬ ‫مرکز داﻳره که بﻴشتر از ‪ 2‬واحد است نمﻰتوان گفت که استدﻻل مذکور ﻳک درک شﻬودى‬ ‫است؛ زﻳرا براى وضاحت مسأله ﻻزم است تا استدﻻل نماﻳﻴم چون فاصلﺔ مرکز داﻳره از محﻴط‬ ‫آن ‪ 2‬واحد بوده و نقطه در خارج محﻴط قرار دارد؛ بنابراﻳن فاصلﺔ نقطه از مرکز داﻳره بزرگتر‬ ‫از ‪ 2‬واحد مﻰباشد؛ ﻳعنﻰ با در نظرداشت ﻳک دانش و ﻳا احساس غرﻳزهوى بدون استدﻻل‬ ‫نمﻰتوانﻴم مسأله را درک و صحت آن را قبول نماﻳﻴم‪.‬‬

‫تمرين‬ ‫‪ -1‬کوتاهترﻳن فاصله بﻴن دو نقطه عبارت از خط مستقﻴم است‪ ،‬آﻳا درک اﻳن مسأله ﻳک‬ ‫درک شﻬودى است؟ چگونه استدﻻل مﻰکنﻴد؟‬ ‫‪ -2‬کدام ﻳک از احکام زﻳر با روش استدﻻل شﻬودى قابل درک است؟‬ ‫‪ -a‬زواﻳاى مقابل ﻳک متوازى اﻻضﻼع مساوىاند‪.‬‬ ‫‪ -b‬در لوزى‪ ،‬اقطار عمود و ناصف ﻳکدﻳگر ﻫستند‪.‬‬ ‫‪ -c‬در ﻳک مثلث قاﻳمالزاوﻳه وتر از ﻫر ﻳک دو ضلع دﻳگر بزرگتر است‪.‬‬

‫‪392‬‬

‫استدالل تمثيلﻰ یا قياسﻰ‬

‫بگو در بﻴن دستان من چﻴست؟ تقرﻳباً گرد‬ ‫است‪ ،‬رنگش سفﻴد است در بﻴن سفﻴدى‬ ‫چﻴزى زرد است‪.‬‬

‫ﻳک استاد منطق مﻰخواست استدﻻل قﻴاسﻰ شاگردش را امتحان نماﻳد‪ ،‬رو به طرف او نمود‬ ‫و گفت‪:‬‬ ‫مﻴدانﻰ قﻴاس و ﻳا تمثﻴل‪ ،‬پلﻰ براى رسﻴدن به حقﻴقت است و در جرﻳان درس آموختﻴم که‬ ‫استدﻻل تمثﻴلﻰ ما را به حقﻴقت نزدﻳک مﻰکند؛ اما ﻫمﻴشه خود ﻳک حقﻴقت ناب نﻴست‪.‬‬ ‫استاد در حالﻰ که در مشتﻫاى گرهخوردة خود تخم مرغﻰ را پنﻬان نموده بود از شاگرد‬ ‫خود پرسﻴد‪:‬‬ ‫ً‬ ‫ بگو در بﻴن دستان من چﻴست؟ تقرﻳبا گرد است‪ ،‬رنگش سفﻴد است در بﻴن سفﻴدى چﻴزى‬‫زرد است‪.‬‬ ‫شاگرد که تازه از ﻳک مزرعﺔ زراعتﻰ برگشته بود بعد از فکر عمﻴق رو به طرف معلم نموده‬ ‫گفت‪:‬‬ ‫‪ -‬استاد فکر مﻰکنم در بﻴن شلغم پوستشده‪ ،‬زردک قرار دارد‪.‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫ﻳافتن شباﻫت بﻴن دو پدﻳده و نتﻴجهگﻴرى ﻳکسان در بارة آنﻫا را استدﻻل تمثﻴلﻰ ﻳا قﻴاسﻰ‬ ‫مﻰنامند‪.‬‬ ‫فعاليت‬ ‫ﻳک معلم‪ ،‬ﻳک شاگرد بازىگوش را که درس را اخﻼل مﻰنمود از صنف خارج کرد‪ .‬در‬ ‫بﻴرون صنف ناگﻬان شاگرد مذکور ﻳک ﻫمصنفﻰ خود را دﻳد که او نﻴز از صنف بﻴرون‬ ‫آمده است‪ .‬با در نظرداشت تعرﻳف فوق کدام ﻳک از ارتباطات زﻳر ﻳک استدﻻل تمثﻴلﻰ ﻳا‬ ‫قﻴاسﻰ است؟‬

‫‪393‬‬

‫ شاگرد دومﻰ ﻫنگام درس ﻫوا خورى مﻰکرد‪.‬‬‫ او نﻴز بازىگوشﻰ کرده است‪.‬‬‫ مرﻳض است‪ ،‬نمﻰخواﻫد در صنف بماند‪.‬‬‫از تعرﻳف و فعالﻴت شاگردان نتﻴجه زﻳر را به دست مﻰآورﻳم‪:‬‬ ‫نتيجه‪ :‬قﻴاس و ﻳا تمثﻴل در حقﻴقت نوعﻰ ﻳافتن تشابه بﻴن مفاﻫﻴم گوناگون است‪ ،‬بنابراﻳن‬ ‫تمثﻴلﻫا مﻰتوانند در اﻳجاد ﻳک زمﻴنﺔ شﻬودى براى درک بسﻴارى از مفاﻫﻴم ﻳا قضاﻳاى‬ ‫رﻳاضﻰ به کار روند‪.‬‬ ‫استدﻻل تمثﻴلﻰ به حﻴث ﻳک ثبوت حساب نمﻰشود؛ اما زمﻴنه ساز آن است‪.‬‬ ‫مثال‪ : 1‬مثل عامﻴانﺔ «مارگزﻳده از رﻳسمان ابلق مﻰترسد» ﻳک استدﻻل قﻴاسﻰ است؛ زﻳرا‬ ‫رﻳسمان ابلق با مار مقاﻳسه شده است و بﻴن آنﻫا شباﻫتﻰ دﻳده شده است‪.‬‬ ‫مثال‪ :2‬از تمثﻴل و ﻳا قﻴاس براى درک اﻳن حقﻴقت که حاصلضرب منفﻰ ضرب منفﻰ ﻳک‬ ‫عدد مثبت و حاصلضرب منفﻰ ضرب مثبت‪ ،‬ﻳک عدد منفﻰ است استفاده مﻰکنﻴم‪:‬‬ ‫ﻫرگاه ﻻﻳق بودن ﻳک شاگرد را مثبت (‪ )+‬و ناﻻﻳق بودن او را منفﻰ (‪ )-‬در نظر بگﻴرﻳم و‬ ‫حاصل آن دو عمل‪ ،‬ﻳعنﻰ براى است (‪ )+‬و براى نﻴست (‪ )-‬را در نظر گرفته‪ ،‬آنﻫا را ترکﻴب‬ ‫نماﻳﻴم در نتﻴجه دارﻳم‪:‬‬ ‫ﻻﻳق نﻴست = منفﻰ‬ ‫‪،‬‬ ‫ﻻﻳق است = مثبت‬ ‫(‪+ = )+( )+‬‬ ‫ناﻻﻳق است = منفﻰ‬ ‫(‪)-‬‬

‫(‪= )+‬‬

‫‪-‬‬

‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬

‫(‪)+‬‬ ‫ناﻻﻳق‬

‫‪،‬‬

‫(‪)-‬‬

‫(‪- = )-‬‬ ‫نﻴست = مثبت‬ ‫(‪= )-‬‬

‫‪+‬‬

‫تمرين‬ ‫‪ - 1‬بﻴان‪« :‬سالﻰ که نﻴکو است از بﻬارش پﻴداست» چگونه به ﻳک استدﻻل زﻳر دﻻلت‬ ‫مﻰکند‪:‬‬ ‫‪ -a‬استدﻻل درک شﻬودى‬ ‫‪ -b‬استدﻻل قﻴاسﻰ‬ ‫‪ -c‬ﻫﻴچگونه استدﻻل در آن وجود ندارد‬ ‫‪ -2‬توسط استدﻻل قﻴاسﻰ در کدام ﻳک از مثلثﻫا با استفاده از قضﻴﺔ فﻴثاغورث نتﻴجﺔ زﻳر‬ ‫اثبات شده مﻰتواند‪:‬‬ ‫‪=1‬‬

‫‪+ cos 2‬‬

‫‪sin 2‬‬

‫‪394‬‬

‫استدالل استقرایﻰ‬ ‫ﻳک شاگرد در اولﻴن امتحان صنفﻰ ‪100‬‬ ‫نمره مﻰگﻴرد‪ .‬شاگرد مذکور در امتحان‬ ‫دوم و سوم نﻴز موفق به گرفتن ‪ 100‬نمره‬ ‫مﻰشود‪.‬‬ ‫در امتحان نﻬاﻳﻰ چه نتﻴجهگﻴرى مﻰکنﻴد؟‬ ‫شاگرد مذکور به گرفتن چند نمره موفق‬ ‫خواﻫد شد؟‬

‫فعاليت‬ ‫حاصلجمع اعداد تاق متوالﻰ طبﻴعﻰ را در نظر مﻰگﻴرﻳم‪ .‬براى اﻳن کار از عدد ‪ 1‬آغاز نموده‬ ‫خانهﻫاى خالﻰ را پر نماﻳﻴد‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‪1+3‬‬ ‫) (=‬ ‫=‪1+3+5‬‬ ‫‪= ( )2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‬

‫‪)2‬‬

‫(=‬

‫(=‬

‫=‪1+3+5+7‬‬ ‫=‪1+3+5+7+9‬‬

‫با توجه با مسائل فوق مﻰبﻴنﻴم که تمام حاصلجمعﻫا مساوى به مربع کامل تعداد اعداد طبﻴعﻰ‬ ‫است‪.‬‬ ‫ آﻳا مﻰتوانﻴم نتﻴجه بگﻴرﻳم که ﻫمﻴشه حاصلجمع اعداد تاق متوالﻰ مساوى به مربع تعداد‬‫اعداد طبﻴعﻰ متوالﻰ مﻰباشد؟‬ ‫ سعﻰ نماﻳﻴد فورمول حاصلجمع ‪ n‬عدد تاق متوالﻰ را به دست آورﻳد‪.‬‬‫از انجام فعالﻴت فوق نتﻴجﺔ زﻳر به دست مﻰآﻳد‪.‬‬ ‫نتيجه‪ :‬استدﻻل استقراﻳﻰ عبارت از روش نتﻴجهگﻴرى کلﻰ بر مبناى مجموعﺔ محدودى از‬ ‫مشاﻫدات است‪ .‬در واقع تعمﻴم دادن خاصﻴتﻰ در مورد ﻳک نمونﺔ کوچک به نمونﺔ بزرگ‬ ‫است‪.‬‬

‫‪395‬‬

‫مثال‪" :1‬مشت نمونﺔ خروار است" به استدﻻل استقراﻳﻰ اشاره مﻰکند؛ زﻳرا در اﻳن مثال از‬ ‫ﻳک نمونﺔ کوچک‪ ،‬نﻴتجهگﻴرى مشخصﻰ در مورد کل مجموعه گرفته مﻰشود‪ .‬در واقع بر‬ ‫پاﻳﺔ تعداد محدودى از مشاﻫدات از مسأله نتﻴجهگﻴرى شده است؛ بنابراﻳن استدﻻل استقراﻳﻰ‬ ‫به کار گرفته شده است‪.‬‬ ‫مثال‪ :2‬ﻳک شاگرد به طور اتفاقﻰ در چندﻳن مرحله‪ ،‬سه عدد متوالﻰ را با ﻫم ضرب نموده‬ ‫مﻼحظه مﻰکند که نتﻴجﺔ حاصله مضرب ‪ 6‬است‪ .‬از انجام اﻳن عمل نتﻴجهگﻴرى مﻰکند که‪:‬‬ ‫" حاصلضرب ﻫر سه عدد متوالﻰ‪ ،‬مضرب ‪ 6‬است"‬ ‫شاگرد مذکور چه استدﻻلﻰ به کار برده است؟‬ ‫د‪ :‬ﻫﻴچکدام‬ ‫ج‪ :‬استقراﻳﻰ‬ ‫ب‪ :‬قﻴاسﻰ‬ ‫الف‪ :‬شﻬودى‬ ‫حل‪ :‬استدﻻل استقراﻳﻰ‬

‫تمرين‬ ‫‪ -1‬روش نتﻴجهگﻴرى کلﻰ بر مبناى مجموعﺔ محدود از مشاﻫدات چگونه ﻳک استدﻻل است؟‬ ‫الف) استدﻻل قﻴاسﻰ ﻳا تمثﻴلﻰ‬ ‫ب) استدﻻل استقراﻳﻰ‬ ‫ج) استدﻻل درک شﻬودى‬ ‫‪ -2‬با دقت به ترتﻴب اعداد‪ ،‬خانهﻫاى خالﻰ زﻳر را تکمﻴل نماﻳﻴد‪:‬‬ ‫=‪1×8+1‬‬ ‫=‪12×8+2‬‬ ‫=‪123×8+3‬‬ ‫=‪1234×8+4‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪ )a‬حل سؤال شماره ‪ 2‬را در نظر گرفته آﻳا گفته مﻰتوانﻴد که ترتﻴب فوق مﻰتواند تا‬ ‫بﻰنﻬاﻳت ادامه ﻳابد؟‬ ‫‪ )b‬بدون محاسبه با توجه به تمرﻳنات باﻻ اعدادى را که در تساوىﻫاى زﻳر صدق مﻰکند‬ ‫حدس بزنﻴد‪:‬‬ ‫=‪12345×8+5‬‬ ‫=‪123456×8+6‬‬

‫‪396‬‬

‫استقراى ریاضﻰ‬ ‫بازى دو مينو‬ ‫آﻳا کدام وقت بازى دومﻴنو را‬ ‫انجام داده اﻳد؟‬

‫مﻰدانﻴد که در بازى دومﻴنو با افتادن خشت اولﻰ روى خشت دومﻰ که کنار ﻫم قرار‬ ‫دارند به ترتﻴب افتادن خشت دومﻰ باﻻى سومﻰ‪ ،‬سومﻰ‪ ...‬تا آخر ﻳکﻰ پﻰ دﻳگرى به زمﻴن‬ ‫مﻰافتند‪ ،‬اﻳن افتادنﻫاى خشتﻫا ﻳکﻰ پﻰ دﻳگرى که قرار شکل باﻻ به فاصلهﻫاى مناسب و‬ ‫مساوى از ﻫم قرار گرفتهاند براى عﻼقهمندان تصوﻳر جالبﻰ به نماﻳش مﻰگذارد‪.‬‬ ‫مﻼحظه مﻰنماﻳﻴم که با افتادن خشتﻰ که در موقعﻴت ‪ k‬ام قرار دارد باعث چپه شدن ﻳا افتادن‬ ‫خشت بعدى ( ‪-) k + 1‬ام مﻰگردد‪.‬‬ ‫حال اگر عمل افتادن خشتﻫا از شمارة مشخص آغاز شود‪ ،‬از آن به بعد خشتﻫا ﻳکﻰ پﻰ‬ ‫دﻳگرى‪ ،‬ﻳعنﻰ ﻫمﺔ دومﻴنوﻫا باﻻى ﻫم مﻰافتند و به اﻳن ترتﻴب ﻫمه دومﻴنوﻫا روى زمﻴن قرار‬ ‫مﻰگﻴرند‪.‬‬ ‫فعاليت‬ ‫مﻰدانﻴم که ‪ 100=1+8+27+64‬بوده که اگر آنﻫا را به شکل مربعﻫا و ﻳا مکعبﻫا در‬ ‫آورﻳم مﻰتوانﻴم به شکل زﻳر نﻴز بنوﻳسﻴم‪:‬‬ ‫‪13 + 23 + 33 + 43 = 10 2‬‬

‫ آﻳا ﻫمﻴشه مجموع مکعبﻫاى اعداد طبﻴعﻰ متوالﻰ مساوى به مجموع مربع تعداد آنﻫا‬‫است؟‬ ‫ آﻳا مﻰتوانﻴد حالت عمومﻰترى را براى مسألﺔ فوق ارائه نماﻳﻴد؟ به خاطر درﻳافت جواب به‬‫سؤال فوق جدول را تکمﻴل کنﻴد‪:‬‬

‫‪397‬‬

‫مربع مجموع اعداد‬

‫مجموع مکعبﻫا مکعبﻫاى اعداد طبﻴعﻰ متوالﻰ تعداد اعداد متوالﻰ‬

‫‪13‬‬

‫‪1‬‬

‫‪13 + 23‬‬

‫‪2‬‬

‫‪13 + 23 + 33‬‬

‫‪3‬‬

‫‪10 2‬‬

‫‪13 + 23 + 33 + 43‬‬

‫‪4‬‬

‫)‪n (n + 1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪13 + 23 + 33 + ... + n 3‬‬

‫‪n‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪36‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪n (n + 1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ -‬صحت فورمول‬

‫را براى مجموع مکعبﻫاى اعداد طبﻴعﻰ متوالﻰ در برابر‬

‫اعداد ‪ n = 4 n = 3 , n = 2 , n = 1‬امتحان کنﻴد‪.‬‬ ‫ حال اگر مجموع مکعبﻫاى ‪ n‬عدد طبﻴعﻰ متوالﻰ را نظر به فورمول فوق قبول کنﻴم؛ ﻳعنﻰ‬‫اگر‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‪n (n + 1‬‬ ‫‪2‬‬

‫= ‪13 + 23 + 33 + ... + n 3‬‬

‫باشد‪ ،‬ادعا را براى ‪ n + 1‬عدد متوالﻰ ثبوت کنﻴد؛ ﻳعنﻰ نشان دﻫﻴد که‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‪(n + 1)(n + 2‬‬ ‫= )‪1 + 2 + 3 + ... + n + (n + 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫از انجام فعالﻴت فوق نتﻴجﺔ زﻳر را به دست مﻰآورﻳم‪:‬‬ ‫نتيجه‪ :‬ﻫرگاه ) ‪ P(n‬حکمﻰ دربارة اعداد طبﻴعﻰ ‪ n‬داده شده باشد با مطالعﺔ حکم در برابر‬ ‫‪ n = 1‬ﻳعنﻰ اگر )‪ P(1‬درست باشد و در قدم دوم ما از درستﻰ ) ‪ ، P(k‬درستﻰ )‪P(k + 1‬‬ ‫را به حﻴث نتﻴجه درست به دست آورﻳم‪ ،‬در اﻳن صورت‪ ،‬ادعاى ) ‪ P(n‬براى ﻫر عدد طبﻴعﻰ‬ ‫‪ n‬نﻴز درست مﻰباشد‪.‬‬ ‫مثال‪ :1‬نشان دﻫﻴد که ‪ P(n ) = 4 2 n 1‬براى ﻫر عدد طبﻴعﻰ ‪ n‬قابل تقسﻴم بر ‪ 5‬است؟‬ ‫حل‪ :‬ادعا براى ‪ n = 1‬درست است؛ زﻳرا‪:‬‬

‫‪P(1) = 4 2 1 1 = 4 2 1 = 16 1 = 15‬‬ ‫دﻳده مﻰشود که ‪ P(1) = 15‬قابل تقسﻴم بر ‪ 5‬است‪.‬‬

‫‪,‬‬

‫‪n =1‬‬

‫‪398‬‬

‫براى عدد طبﻴعﻰ ‪ k‬قبول مﻰکنﻴم که ادعاى فوق صدق مﻰکند‪ ،‬ﻳعنﻰ‪P(k ) = 4 2 k 1 :‬‬

‫قابل تقسﻴم به ‪ 5‬است‪ ،‬بنابراﻳن چون قابل تقسﻴم به ‪ 5‬است؛ مﻰتوانﻴم آن را به شکل زﻳر‬ ‫بنوﻳسﻴم‪:‬‬ ‫)*(‪P(k ) = 4 2 k 1 = 5r .......................‬‬

‫مﻰخواﻫﻴم نشان دﻫﻴم که بر ‪ n = k + 1‬نﻴز ادعاى مذکور درست است؛ بنابراﻳن دارﻳم‪:‬‬ ‫)**(‪P(k + 1) = 4 2 ( k +1) 1............‬‬ ‫اطراف رابطﺔ (*) را ضرب ‪ 42‬نموده دارﻳم‪:‬‬

‫‪n = k +1‬‬

‫‪,‬‬

‫‪4 2 (4 2 k 1) = 5r 4 2‬‬ ‫) ‪4 2 ( k +1) 1 = 15 + 16 (5r‬‬

‫‪4 2 = 5r 16‬‬

‫‪42k +2‬‬

‫) ‪4 2 ( k +1) 1 = 5(3 + 16r‬‬

‫طرف راست رابطﺔ فوق ) ‪ 5 (3 + 16r‬نشان مﻰدﻫد که طرف چپ مساوات قابل تقسﻴم به‬ ‫‪ 5‬است‪.‬‬ ‫رابطﺔ اخﻴر نشان مﻰدﻫد که ‪ P(k + 1) = 4 2( k +1) 1‬نﻴز به ‪ 5‬قابل تقسﻴم است‪ .‬چون از‬ ‫صحت (‪ p(k‬ما صحت )‪ P(k + 1‬را نتﻴجه گرفتﻴم‪ ،‬بنابراﻳن نظر به اصل استقراى رﻳاضﻰ‬ ‫ادعاى ) ‪ P(n‬در برابر ﻫر عدد طبﻴعﻰ ‪ n‬نﻴز درست مﻰباشد‪.‬‬ ‫یادداشت‪ :‬در اثبات احکام رﻳاضﻰ به کمک استقراى رﻳاضﻰ ابتدا )‪ P(1‬را به دست‬ ‫مﻰآورﻳم؛ سپس ) ‪ P(k‬را به عنوان حکم استقراﻳﻰ در نظر گرفته و به اﻳن ترتﻴب از فرضﻴه‪،‬‬ ‫حکم را ثابت مﻰنماﻳﻴم‪.‬‬ ‫مثال‪ :2‬با استفاده از استقراى رﻳاضﻰ ثبوت کنﻴد که رابطﺔ زﻳر براى ﻫر عدد طبﻴعﻰ ‪n‬‬ ‫درست است‪:‬‬ ‫)‪n (n + 1)(n + 2‬‬ ‫‪3‬‬

‫= )‪1× 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + ... + n (n + 1‬‬

‫حل‪ :‬براي صحت رابطﺔ فوق در برابر ‪ n = 1‬دارﻳم‪:‬‬ ‫‪1(1 + 1)(1 + 2) 1× 2 × 3‬‬ ‫=‬ ‫‪=2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫= ‪P(1) = 1× 2‬‬

‫‪,‬‬

‫‪n =1‬‬

‫‪2=2‬‬

‫بنابراﻳن‪ ،‬رابطه در برابر ‪ n = 1‬صحﻴح بوده‪ ،‬حال اگر براى ‪ n = k‬صحت آن را قبول‬ ‫نماﻳﻴم‪ .‬مسأله را براى ‪ n = k + 1‬به اثبات مﻰرسانﻴم؛ بنابراﻳن دارﻳم‪:‬‬

‫‪399‬‬

‫)‪k (k + 1)(k + 2‬‬ ‫‪3‬‬

‫= )‪n = k , P(k ) = 1× 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + ... + k × (k + 1‬‬

‫فرضية استقرا‬ ‫با فرض رابطﺔ باﻻ براى ) ‪ P(n‬با درنظرداشت ‪ n = k + 1‬مﻰخواﻫﻴم صحت رابطه را نشان‬ ‫دﻫﻴم؛ بنابراﻳن دارﻳم‪:‬‬ ‫)‪n = k + 1, P(k + 1) = 1× 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + ... + (k + 1)(k + 2‬‬ ‫)‪(k + 1)(k + 2)(k + 3‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬

‫حکم استقرا‬ ‫با در نظرداشت فرضﻴﺔ استقرا دارﻳم‪:‬‬ ‫)‪P(k + 1) = [1× 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + ... + k (k + 1)]+ (k + 1)(k + 2‬‬ ‫)‪k (k + 1)(k + 2‬‬ ‫)‪k (k + 1)(k + 2) + 3(k + 1)(k + 2‬‬ ‫=‬ ‫= )‪+ (k + 1)(k + 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪(k + 1)(k + 2)(k + 3‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪(k + 1)(k + 2)(k + 3‬‬ ‫= )‪1× 2 + 2 × 3 + ... + (k + 1)(k + 2‬‬ ‫‪3‬‬

‫بنابراﻳن‪ ،‬رابطه براى ‪ n = k + 1‬نﻴز درست بوده و بدﻳن ترتﻴب رابطﺔ ) ‪ P(n‬در برابر ﻫر ‪n‬‬ ‫از اعداد طبﻴعﻰ صحت مﻰباشد‪.‬‬

‫تمرين‬ ‫‪ - 1‬توسط استقراى رﻳاضﻰ نشان دﻫﻴد که براى ﻫر عدد طبﻴعﻰ ‪ n‬دارﻳم‪:‬‬ ‫‪ - 2‬توسط استقراى رﻳاضﻰ نشان دﻫﻴد که‪:‬‬

‫)‪n (n + 1)( 2n + 1‬‬ ‫‪6‬‬

‫)‪(i‬‬

‫‪2 + 6 + 10 + ... + (4n 2) = 2n 2‬‬

‫)‪(ii‬‬

‫‪1 + 3 + 5 + ... + (2n 1) = n 2‬‬

‫= ‪12 + 22 + ... + n 2‬‬

‫‪400‬‬

‫استدالل استنتاجﻰ‬ ‫آﻳا مﻰتوانﻴم بدون روشنﻰ در تارﻳکﻰ شب‬ ‫اشﻴا را مشاﻫده و از ﻫم تفکﻴک نماﻳﻴم؟‬

‫فعاليت‬ ‫سه ست مختلف اعداد طبﻴعﻰ را که ﻫر کدام آن داراى سه عدد اختﻴارى طبﻴعﻰ متوالﻰ باشد‬ ‫بنوﻳسﻴد‪.‬‬ ‫ حاصلضرب عناصر ﻫر ست را جداگانه به دست آورﻳد‪.‬‬‫ آﻳا مﻰتوانﻴم بگوﻳﻴم که حاصلضربﻫاى مذکور‪:‬‬‫(‪ :)I‬قابل تقسﻴم برعدد ‪ 2‬اند؟ چرا؟‬ ‫(‪ :)II‬قابل تقسﻴم بر عدد ‪ 3‬اند؟ چرا؟‬ ‫ آﻳا گفته مﻰتوانﻴم که حاصلضرب سه عدد صحﻴح متوالﻰ‪ ،‬ﻫمﻴشه بر عدد ‪ 6‬قابل تقسﻴم‬‫اند؟ چرا؟‬ ‫ قابلﻴت تقسﻴم بر ‪ 6‬حاصلضرب سه عدد متوالﻰ را چرا به اﻳن صورت پذﻳرفتﻴم‪.‬‬‫از انجام فعالﻴت فوق نتﻴجﺔ زﻳر را به دست مﻰآورﻳم‪:‬‬ ‫نتيجه‪ :‬با استفاده از حقاﻳقﻰ که درستﻰ آن را در قدم نخست پذﻳرفتﻴم‪ ،‬نتﻴجﺔ عمومﻰترى‬ ‫را به دست آورده که به نام استدﻻل استنتاجﻰ ﻳا روش نتﻴجهگﻴرى ﻳاد مﻰگردد‪ .‬به عبارت‬ ‫دﻳگر‪ ،‬استدﻻل استنتاجﻰ روش نتﻴجهگﻴرى با استفاده از حقاﻳقﻰ است که درستﻰ آنﻫا را‬ ‫ثبوت و ﻳا پذﻳرفته باشﻴم‪.‬‬

‫‪401‬‬

‫وقتﻰ از استدﻻل استنتاجﻰ استفاده مﻰکنﻴم‪ ،‬مطمﻴن ﻫستﻴم که نتﻴجه‪ ،‬ﻫمﻴشه درست است‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬با سرگرمﻰ تمام به قدمﻫاى جدول زﻳر دقت نموده که چگونه ما بازى با اعدادى که‬ ‫درستﻰ و حقﻴقت ﻫر مرحله را مﻰپذﻳرﻳم به مرحلﺔ دﻳگرى قدم گذاشته و نتﻴجه را به دست‬ ‫مﻰآورﻳم‪.‬‬ ‫قابل تذکر مﻰدانﻴم در جدول‪ ،‬عدد به صورت اختﻴارى انتخاب گردﻳده و شما مﻰتوانﻴد به‬ ‫عوض آن ﻫر عدد اختﻴارى دﻳگرى را که دلتان مﻰخواﻫد انتخاب نماﻳﻴد‪ .‬مﻼحظه کنﻴد که‬ ‫نتﻴجه براى ﻫمه اعداد ﻳکسان است‪.‬‬ ‫ﻳک عدد را به صورت اختﻴارى انتخاب کنﻴد‪.‬‬

‫‪4‬‬

‫‪7‬‬

‫‪12‬‬

‫به عدد مذکور عدد ‪ 5‬را اضافه کنﻴد‪.‬‬

‫‪9‬‬

‫‪12‬‬

‫‪17‬‬

‫نتﻴجه را دو چند نماﻳﻴد‪.‬‬

‫‪24 18‬‬

‫‪34‬‬

‫‪14‬‬

‫‪20‬‬

‫‪30‬‬

‫‪7‬‬

‫‪10‬‬

‫‪15‬‬

‫از نتﻴجﺔ حاصله عدد ‪ 4‬را کم نماﻳﻴد‪.‬‬ ‫عدد را به ‪ 2‬تقسﻴم نماﻳﻴد‪.‬‬ ‫عددى را که در اول انتخاب کرده بودﻳد از عدد کم کنﻴد‪.‬‬

‫‪3 3‬‬

‫‪3‬‬

‫نکتﺔ اساسﻰ که به نظر مﻰخورد اﻳن است که ما در حقﻴقت بر مبناى عباراتﻰ که درستﻰ آنﻫا‬ ‫را قبول کردهاﻳم‪ ،‬نتﻴجﺔ بعدى را به دست آوردﻳم‪.‬‬ ‫اﻳن مسأله ما را مطمﻴن مﻰسازد که با انتخاب ﻫر عدد اختﻴارى نتﻴجه ﻫمﻴشه ﻳکسان و مساوى‬ ‫به ‪ 3‬مﻰباشد‪.‬‬

‫تمرين‬ ‫‪ - 1‬نشان دﻫﻴد که حاصلجمع دو عدد تاق ﻫمﻴشه جفت است‪.‬‬ ‫‪ - 2‬ثابت کنﻴد که ﻫر عدد صحﻴح تاق به صورت ‪ 2k + 1‬است‪.‬‬ ‫‪ - 3‬در بﻴن ‪ 9‬عدد سکﺔ طﻼﻳﻰ ﻳکﻰ آن تقلبﻰ است که وزن آن از سکهﻫاى دﻳگر کمتر‬ ‫است‪ .‬چگونه مﻰتوان با دوبار وزن کردن توسط ﻳک ترازوى دو پلهﻳﻰ بدون استفاده از‬ ‫اوزان دﻳگر سکﺔ تقلبﻰ را درﻳافت نماﻳﻴم؟‬

‫‪402‬‬

‫استدالل مثال نقض‬ ‫مشت نمونﺔ خروار است‪.‬‬ ‫اگر نمونﺔ کوچک ﻳک جنس بﻲکﻴفﻴت‬ ‫باشد‪ ،‬آﻳا مﻰتوان ادعا کرد که کتلﺔ بزرگ‬ ‫آن داراى کﻴفﻴت عالﻰ است؟‬

‫فعاليت‬ ‫بسﻴارى از اعداد طبﻴعﻰ را مﻰتوان به صورت حاصلجمع اعداد متوالﻰ بنوﻳسﻴم‪:‬‬ ‫طور مثال‪:‬‬ ‫‪9 = 2+3+ 4‬‬ ‫ خانهﻫاى خالﻰ را با در نظرداشت مثال فوق تکمﻴل کنﻴد‪:‬‬‫‪+4+5‬‬ ‫‪+7‬‬ ‫‪+14‬‬

‫‪+2 +‬‬

‫=‪15‬‬

‫‪+5+‬‬

‫=‬

‫‪+‬‬

‫‪= 12 +‬‬

‫‪74=17+‬‬ ‫‪+19+‬‬ ‫ آﻳا مﻰتوانﻴم ﻫر عدد طبﻴعﻰ را به شکل حاصلجمع اعداد متوالﻰ ارائه نماﻳﻴم؟‬‫ اگر جوابتان منفﻰ باشد مثال بدﻫﻴد‪.‬‬‫از انجام فعالﻴت فوق نتﻴجﺔ زﻳر را به دست مﻰآورﻳم‪:‬‬ ‫نتيجه‪ :‬ﻫرگاه با مثالﻰ نشان دﻫﻴم که نتﻴجهگﻴرى کلﻰ نادرست و ﻳا غلط است‪ ،‬نادرستﻰ ادعا‬ ‫را نشان داد که به نام مثال نقض ﻳاد مﻰگردد‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬براى اثبات مسأله کافﻰ است نشان دﻫﻴم که اعداد ‪ x‬و ‪ y‬وجود دارد که غﻴر ناطق‬ ‫بوده؛ اما مجموع آنﻫا ‪ x+y‬ناطق است‪.‬‬

‫‪403‬‬

‫براى اﻳن منظور ﻫرگاه دو عدد ‪ x = 1 + 2‬و ‪2‬‬

‫‪ y = 1‬را انتخاب نماﻳﻴم دارﻳم‪:‬‬

‫‪2) = 1+1 = 2‬‬

‫‪x + y = (1 + 2 ) + (1‬‬

‫دﻳده مﻰشود که حاصلجمع آنﻫا مساوى به عدد ‪ 2‬ﻳک عدد ناطق بوده؛ در حالﻰ که ‪ x‬و‬ ‫‪ y‬اعداد غﻴرناطق مﻰباشند؛ بنابراﻳن ادعا کرده نمﻰتوانﻴم که مجموع دو عدد غﻴرناطق ﻫمﻴشه‬ ‫ﻳک عدد غﻴرناطق مﻰباشد‪.‬‬

‫تمرين‬ ‫‪ -1‬با استفاده از مثال نقض نشان دﻫﻴد که "مربع ﻫر عدد حقﻴقﻰ از مکعب آن کوچکتر‬ ‫است"‪.‬‬ ‫‪ -2‬براى کدام بﻴان زﻳر مثال نقض وجود ندارد‪:‬‬ ‫‪ )a‬مجموع دو عدد ناطق‪ ،‬عدد ناطق است‪.‬‬ ‫‪ )b‬مربع ﻫر عدد مثبت‪ ،‬بزرگتر از خود عدد است‪.‬‬ ‫‪ )c‬دو زاوﻳه که اضﻼع متناظرشان موازى است‪ ،‬با ﻫم برابر اند‪.‬‬ ‫‪ )d‬مجموع دو عدد تاق‪ ،‬عدد جفت است‪.‬‬ ‫‪ )e‬حاصلضرب دو عدد غﻴرناطق‪ ،‬عدد غﻴرناطق نﻴست‪.‬‬

‫‪404‬‬

‫برهان خلف یا ثبوت غيرمستقيم‬ ‫اگر مربع ﻳک عدد جفت باشد‪ ،‬آﻳا خود عدد‬ ‫جفت است ﻳا تاق؟‬ ‫آﻳا مﻰتوانﻴم به صورت عموم ادعا نماﻳﻴم که‬ ‫اگر مربع ﻳک عدد جفت باشد خود عدد نﻴز‬ ‫ﻳک عدد جفت است؟‬ ‫اگر نشان دﻫﻴم که خود عدد تاق نﻴست‪ ،‬چه‬ ‫نتﻴجه مﻰگﻴرﻳد؟‬

‫فعاليت‬ ‫مثلث ‪ ABC‬را قرار شکل زﻳر در نظر بگﻴرﻳد‪:‬‬

‫ ناصف زاوﻳه ‪ A‬را ترسﻴم کنﻴد‪.‬‬‫ اگر ‪ BD CD‬باشد‪ ،‬اضﻼع ‪ AB‬و ‪ AC‬با ﻫم چه رابطه دارند؟‬‫ ﻫرگاه فرض نماﻳﻴم که ‪ BD CD‬بود؛ اما ‪ AB = AC‬است‪ ،‬اﻳن مسالﺔ ما را به کدام‬‫نتﻴجه مﻰرساند؟‬ ‫از فعالﻴت باﻻ نتﻴجﺔ زﻳر به دست مﻰآﻳد‪:‬‬ ‫نتيجه‪ :‬ﻫرگاه با فرضﻴه ﻳا قبولﻰ عکس ادعاى ﻳک قضﻴه ﻳا مسأله‪ ،‬به نتﻴجﺔ خﻼف فرضﻴه‬ ‫برسﻴم‪ ،‬در اﻳن صورت‪ ،‬فرض ما درست بوده که خﻼف آن درست است‪ ،‬اﻳنگونه استدﻻل‬ ‫را به نام برﻫان خلف و ﻳا ثبوت غﻴرمستقﻴم مﻰنامند‪.‬‬

‫‪405‬‬

‫یادداشت‪ :‬به خاطر بسپارﻳد که براى استفاده از برﻫان خلف ﻳا ثبوت غﻴرمستقﻴم گامﻫاى‬ ‫زﻳر را در نظر مﻰگﻴرﻳم‪:‬‬ ‫قدم اول‪ :‬فرض مﻰکنﻴم ادعاى مطلوب درست نباشد‪.‬‬ ‫قدم دوم‪ :‬نشان مﻰدﻫﻴم که اﻳن فرض نتﻴجهﻳﻰ به دست مﻰدﻫد که حقاﻳق دانسته شده را‬ ‫نقض مﻰکند‪.‬‬ ‫قدم سوم‪ :‬حال که نتﻴجه به ﻳک تناقض رسﻴده است‪ ،‬معلوم مﻰشود که فرضﻴه قدم اول‬ ‫نادرست بوده‪ ،‬بنابراﻳن مطلب باﻳد درست باشد‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬نشان دﻫﻴد که اگر ‪ n2‬ﻳک عدد جفت طبﻴعﻰ باشد عدد ‪ n‬نﻴز جفت است؟‬ ‫حل‪ :‬به خاطر ثبوت مسأله فرض مﻰنماﻳﻴم که با وجود جفت بودن ‪ n2‬عدد ‪ n‬ﻳک عدد‬ ‫تاق است؛ پس مﻰتوان آن را به شکل ‪ n = 2k + 1‬بنوﻳسﻴم؛ در حالﻰ که ‪ k‬ﻳک عدد تام‬ ‫است‪ ،‬در نتﻴجه براى مربع عدد مذکور دارﻳم‪:‬‬ ‫‪n 2 = (2k + 1) 2 = 4k 2 + 4k + 1 = 4(k 2 + k ) + 1‬‬ ‫‪n 2 = 4(k 2 + k ) + 1‬‬

‫رابطﺔ باﻻ نشان مﻰدﻫد که ‪ n2‬ﻳک عدد تاق است‪ .‬درحالﻰ که خﻼف فرضﻴه بوده و در‬ ‫نتﻴجه فرضﻴه گرفته شده در باﻻ براى اﻳنکه ‪ n‬ﻳک عدد تاق است نادرست بوده و به اﻳن‬ ‫نتﻴجه مﻰرسﻴم که ‪ n‬نﻴز ﻳک عدد جفت مﻰباشد؛ زﻳرا فرض تاق بودن آن‪ ،‬ما را به اﻳن نتﻴجه‬ ‫مﻰرساند که ‪ n2‬نﻴز باﻳد تاق باشد‪.‬‬

‫تمرين‬ ‫نشان دﻫﻴد که ‪ 3‬ﻳک عدد غﻴرناطق است‪.‬‬

‫‪406‬‬

‫منطق ریاضﻰ و استنتاج‬ ‫بيــان‬ ‫شنﻴدن خبرى از ﻫمصنفﻰ پﻬلوىتان چه‬ ‫نتﻴجه خواﻫد داشت؟‬ ‫آﻳا خبر درست است و ﻳا نادرست؟‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫ﻳک جملﺔ خبرى به نام بﻴان ﻳاد مﻰگردد‪ ،‬ﻫرگاه نتﻴجﺔ آن درست و ﻳا نا درست بﻴنجامد‪.‬‬ ‫فعاليت‬ ‫جملهﻫاى زﻳر را در نظر گرفته مشخص نماﻳﻴد که کدامﻳک آنﻫا ﻳک بﻴان و کدامﻳک آنﻫا‬ ‫نمﻰتواند ﻳک بﻴان باشد‪ .‬نتﻴجﺔ منطقﻰ آنﻫا چﻴست؟‬ ‫‪ )i‬امروز باران نمﻰبارد‪.‬‬ ‫‪ )ii‬آﻳا امروز باران نمﻰبارد؟‬ ‫‪ )iii‬باران ببار‪.‬‬ ‫‪ )iv‬چه باران شدﻳد مﻰبارد!‬ ‫از فعالﻴت فوق نتﻴجﺔ زﻳر به دست مﻰآﻳد‪:‬‬ ‫نتيجه‪:‬‬ ‫‪ - 1‬ﻫر جمله نمﻰتواند ﻳک بﻴان باشد‪ .‬ﻳک جمله مﻰتواند پرسشﻰ‪ ،‬امرى‪ ،‬تعجبﻰ و ﻳا خبرى‬ ‫باشد‪.‬‬ ‫‪ - 2‬ﻫر جملﺔ خبرى درست ﻳا نادرست است‪.‬‬ ‫یادداشت‪ :‬اگر ﻳک بﻴان را ‪ P‬بنامﻴم؛ در اﻳن صورت‪ ،‬طرز نوشتﺔ ‪ P T‬براى بﻴان درست‬ ‫و ‪ P F‬براى بﻴان نادرست استعمال مﻰگردد‪.‬‬

‫‪407‬‬

‫برعﻼوه ‪ ~P‬نفﻰ بﻴان ‪ P‬مﻰباشد‪.‬‬ ‫جدولﻰ که در آن ارزﻳابﻰ ﻳک بﻴان صورت گرفته باشد‪ ،‬به نام جدول صحت ﻳاد مﻰشود‪.‬‬ ‫بنابراﻳن براى ﻫر بﻴان ‪ P‬دارﻳم‪:‬‬ ‫‪P ~P‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬

‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬

‫« ترتﻴب نماﻳﻴد‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬جدول صحت را براى بﻴان‪« ،‬مسکا شاگرد صنف دﻫم است = ‪P‬‬ ‫حل‪ :‬به خاطر ارزﻳابﻰ بﻴان فوق مﻰدانﻴم که بﻴان مذکور درست و ﻳا نادرست است‪.‬‬ ‫اگر بﻴان درست باشد در اﻳن صورت مﻰتوانﻴم بنوﻳسﻴم‪ P T :‬و ‪ ~ P F‬مﻰباشد‪.‬‬ ‫بنابراﻳن‪ ،‬حالت نفﻰ بﻴان ‪ P‬عبارت از« ‪ P‬نادرست است» بوده‪ ،‬ﻳعنﻰ‪ ~ P F :‬مﻰباشد‪ .‬اﻳن‬ ‫بﻴان به معناى اﻳن است که بﻴان مسکا شاگرد صنف دﻫم نﻴست‪ ،‬ﻳعنﻰ ‪ P‬نادرست است‪.‬‬ ‫اگر ‪ P F‬باشد در اﻳن صورت ‪ ~ P = T‬بوده و بدﻳنترتﻴب جواب فوق را مﻰتوانﻴم در‬ ‫جدول صحت زﻳر مشاﻫده نماﻳﻴم‪:‬‬ ‫‪P ~P‬‬ ‫‪T F‬‬ ‫‪F T‬‬

‫ترکيب بيانها‬ ‫اگر دو بﻴان ‪ p‬و ‪ q‬داده شده باشند‪ ،‬در اﻳن صورت‪:‬‬ ‫‪ - 1‬ترکﻴب ‪ p q‬به نام ترکﻴب عطفﻰ و ﻳا ((و) منطقﻰ) بﻴانات ‪ p‬و ‪ q‬ﻳاد مﻰگردد‪.‬‬ ‫عﻼمت " " به معناى "و" به کار گرفته شده است‪.‬‬ ‫‪ - 2‬ترکﻴب ‪ p q‬به نام ترکﻴب فصلﻰ ﻳا (ﻳاى منطقﻰ) بﻴانات ‪ p‬و ‪ q‬ﻳاد مﻰگردد‪ ،‬عﻼمت‬ ‫' ' ' ' به معناى «ﻳا» به کار برده شده است‪.‬‬ ‫‪ - 3‬ترکﻴب ‪ p q‬به نام ترکﻴب مشروط و ﻳا " اگر ‪ p‬پس‪ q‬خوانده شده" ﻳاد گردﻳده و‬ ‫نشان مﻰدﻫد که ‪ P‬اساس ترکﻴب شرطﻰ مﻰباشد که ‪ q‬از ‪ p‬آن نتﻴجه‬ ‫عﻼمت‬ ‫مﻰشود‪.‬‬ ‫‪ - 4‬ترکﻴب ‪ p q‬به نام ترکﻴبمشروط دوطرفه و ﻳا " ‪ p‬اگر و تنﻬا اگر و ‪ q‬خوانده شده"‬ ‫ﻳاد مﻰگردد‪ .‬و عﻼمت " " نشان مﻰدﻫد که اگر ‪ p‬اساس ترکﻴب شرطﻰ باشد ‪ q‬از آن‬

‫‪408‬‬

‫نتﻴجه گردﻳده واگر ‪ q‬اساس ترکﻴب شرطﻰ باشد ‪ p‬از آن نتﻴجه مﻰگردد‪.‬‬ ‫به اﻳن ترتﻴب ترکﻴب «اگر و تنﻬا اگر» بﻴانﻫاى ‪ p‬و ‪ q‬را در جدول صحت زﻳر مﻼحظه‬ ‫مﻰنماﻳﻴم‪:‬‬

‫‪p q p q pvq p q p‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬

‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬

‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬

‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬

‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬

‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬

‫‪T‬‬

‫‪T‬‬

‫‪F‬‬

‫‪F‬‬

‫‪F‬‬

‫‪F‬‬

‫مثال‪ :1‬ﻫرگاه بﻴان )‪ P (2 + 4 = 6‬و (مربع عددى که منفﻰ باشد) ‪ q‬داده شده باشد‪،‬‬ ‫نتﻴجﺔ بﻴانﻫاى ‪ ~ (p q) ، p q ، p q ، ~ q ، ~ P ،p ،q‬و )‪ ~ ( p q‬را درﻳافت‬ ‫کنﻴد‪.‬‬ ‫حل‪ :‬با دقت به بﻴانﻫاى فوق ارزش بﻴانﻫاى فوق عبارت اند از‪:‬‬ ‫)‪p q ~ ( p q) ~ ( p q‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬

‫مثال‪ :2‬با تشکﻴل جدول صحت نشان دﻫﻴد که ) ‪q‬‬

‫‪p q‬‬ ‫‪F‬‬

‫‪~ p ~q‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬

‫‪q‬‬ ‫‪F‬‬

‫‪p‬‬ ‫‪T‬‬

‫‪ P ( p‬ﻫمﻴشه درست است‪:‬‬

‫حل‬ ‫)‪q‬‬

‫‪q‬‬

‫‪p‬‬

‫‪p (p‬‬ ‫‪T‬‬

‫‪T‬‬

‫‪T‬‬

‫‪T‬‬

‫‪T‬‬

‫‪F‬‬

‫‪F‬‬

‫‪T‬‬

‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬

‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬

‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬

‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬

‫از جدول صحت در ستون آخرى مشاﻫده مﻰنماﻳﻴم که بﻴان ) ‪q‬‬

‫است‪.‬‬

‫‪409‬‬

‫‪p‬‬

‫‪q‬‬

‫‪ p ( p‬ﻫمﻴشه درست‬

‫تمرين‬ ‫‪ - 1‬با تشکﻴل جدول صحت نشان دﻫﻴد که بﻴان ) ‪q ) ~ (~ p q‬‬

‫است‪( .‬توجه کنﻴد که ‪ p‬و ‪ ~p‬مستقل از ﻫم نﻴستند)‪.‬‬ ‫‪ - 2‬باتشکﻴل جدول صحت نشان دﻫﻴد که ارزش بﻴانﻫاى ) ‪q‬‬ ‫مساوى اند ﻳا خﻴر؛ ﻳعنﻰ‪:‬‬

‫‪ ( p‬ﻫمﻴشه نادرست‬

‫‪ (p‬و )‪ ~ ( p q‬با ﻫم‬ ‫)‪q ~ ( p q‬‬

‫‪p‬‬

‫خﻼصة فصل‬ ‫استدالل ریاضي‪ :‬شﻴوه ﻳا روشﻲ که به وسﻴلﺔ آن وضاحت ﻳا صحت ﻳک بﻴان رﻳاضﻰ‬ ‫حاصل مﻰشود به نام استدﻻل رﻳاضﻰ ﻳاد مﻰگردد‪.‬‬ ‫درک شهودى‪ :‬فﻬم غرﻳزهوى ﻳا احساسﻰ که به وسﻴلﺔ آن صحت ﻳا حقﻴقت ﻳک موضوع‬ ‫و ﻳا ﻳک مفﻬوم رﻳاضﻰ را بدون استدﻻل قبول مﻰنماﻳﻴم عبارت از درک شﻬودى بوده و در‬ ‫مواقع مختلف زمان از ﻫم متفاوت است‪.‬‬ ‫استدالل تمثيلﻰ یا قياسﻰ‪ :‬ﻳافتن شباﻫت بﻴن دو پدﻳده و نتﻴجهگﻴرى ﻳکسان در بارة‬ ‫آنﻫا را به نام استدﻻل تمثﻴلﻰ ﻳا قﻴاسﻰ ﻳاد مﻰنماﻳند‪.‬‬ ‫استدالل استقرایﻰ‪ :‬روشﻰ که از آن نتﻴجهگﻴرى کلﻰ بر مبناى مجموعﺔ محدود از‬ ‫مشاﻫدات‪ ،‬ﻳعنﻰ از جزء به کل بهدست مﻰآﻳد به نام استدﻻل استقراﻳﻰ ﻳاد مﻰگردد‪.‬‬ ‫استدالل استقرایﻰ ریاضﻰ‪ :‬ﻫرگاه (‪ P)n‬حکمﻲ دربارة اعداد طبﻴعﻰ ‪ n‬داده شده باشد‬ ‫با مطالعﺔ حکم در برابر ‪ n=1‬ﻳعنﻰ اگر)‪ P(1‬درست باشد و در قدم دوم از درستﻰ(‪P)n+1‬‬ ‫درستﻰ بﻴان (‪ P)n‬نتﻴجه گردد‪ .‬در اﻳن صورت بﻴان(‪ P)n‬براي ﻫر عدد طبﻴعﻰ ‪ n‬درست بوده‬ ‫و به نام استدﻻل استقراﻳﻰ رﻳاضﻰ ﻳاد مﻰگردد‪.‬‬ ‫استدالل استنتاجﻰ‪ :‬با استفاده از آنعده حقاﻳقﻰ که درستﻰ آن در آغاز پذﻳرفته شده‬ ‫باشد‪ ،‬نﻴتجﺔ عمومﻰترى به دست آورده شود به نام استدﻻل استنتاجﻰ ﻳا روش نتﻴجهگﻴرى‬ ‫ﻳاد مﻰگردد‪ .‬به عبارت دﻳگر ‪ ،‬نتﻴجهگﻴرى از حقاﻳق پذﻳرفته شده و آشکارا که درستﻰ آن‬ ‫را ثبوت و ﻳا ﻫم پذﻳرفته باشﻴم‪.‬‬

‫‪410‬‬

‫استدالل مثال نقض‪ :‬ﻫرگاه با مثالﻰ نشان دﻫﻴم که نتﻴجهگﻴرى کلﻰ نادرست است‪ .‬در‬ ‫اﻳن صورت به صورت کل نادرستﻰ ادعا را نشان داده و به نام استدﻻل مثال نقض ﻳا نفﻰ ﻳاد‬ ‫مﻰگردد‪.‬‬ ‫برهان خلف و یا ثبوت غيرمستقيم‪ :‬ﻫرگاه با فرضﻴه ﻳا قبول ﻳک قضﻴهﻳﻰ به عکس بﻴان‬ ‫ﻳا ادعاى ﻳک قضﻴه برسﻴم در اﻳن صورت‪ ،‬فرضﻴه نادرست بوده و خﻼف آن صحت است‪.‬‬ ‫اﻳنگونه استدﻻل را به نام برﻫان خلف ﻳا ثبوت غﻴرمستقﻴم ﻳاد مﻰنماﻳﻴم‪.‬‬ ‫بيان‪ :‬ﻳک جملﺔ خبرى که نتﻴجه آن درست و ﻳا نادرست باشد به نام بﻴان ﻳاد مﻰگردد‪.‬‬ ‫جملهﻳﻰ که نتﻴجﺔ آن درست و ﻳا نادرست نﻴست بﻴان نﻴست‪.‬‬ ‫ترکيب بيانها‪ :‬اگر دو بﻴان ‪ p‬و ‪ q‬داده شده باشند در اﻳن صورت‪:‬‬ ‫‪ -1‬توسط "و" عﻼمت منطقﻰ " " بﻴان ‪ p q‬عبارت از ترکﻴب بﻴانات ‪ p‬و ‪ q‬بوده که به‬ ‫شکل بﻴان ‪ p‬و ‪ q‬خوانده مﻰشود‪.‬‬ ‫‪ -2‬توسط "ﻳا" و ﻳا عﻼمت منطقﻰ " " بﻴان ‪ p q‬عبارت از ترکﻴب بﻴانات ‪ p‬و ‪ q‬بوده‬ ‫که به شکل بﻴان ‪ p‬ﻳا ‪ q‬خوانده مﻰشود‪.‬‬ ‫‪" -3‬اگر پس" وﻳا عﻼمت منطقﻰ "‬

‫" بﻴان ‪q‬‬

‫‪ p‬ﻳک بﻴان مشروط بﻴانات ‪ p‬و ‪ q‬بوده‬

‫که به شکل "اگر ‪ p‬پس ‪ q‬خوانده مﻰشود در اﻳن صورت عﻼمت‬

‫نشان مﻰدﻫد که ‪p‬‬

‫ﻳک اساس ترکﻴب شرطﻰ براى آن که ‪ q‬از آن نتﻴجه شود مﻰباشد‪.‬‬ ‫‪" -4‬اگر و تنﻬا اگر" و ﻳا عﻼمت منطقﻰ "‬ ‫و ‪ q‬بوده که بﻴان ‪q‬‬

‫‪411‬‬

‫" ﻳک ترکﻴب مشروط بﻴان دوطرفه بﻴانات ‪p‬‬

‫‪ p‬به صورت ‪ p‬اگر و تنﻬا اگر ‪ q‬مﻲ باشد‪.‬‬

‫تمرین فصل‬ ‫‪ - 1‬کدام ﻳک از جوابﻫاى زﻳر به نظر شما درست است؟‬ ‫الف) ﻳکﻰ از مشکﻼت روش استقراﻳﻰ عبارت از وجود خطاﻫا در مشاﻫدات است‪.‬‬ ‫ب) ﻳکﻰ از روشﻫاى قوى استدﻻل رﻳاضﻰ روش استقراﻳﻰ مﻰباشد‪.‬‬ ‫ج) محدود بودن تعداد مشاﻫدات ﻳکﻰ از اشکاﻻت روش استقراى رﻳاضﻰ است‪.‬‬ ‫د) جواب الف وج درست اند‪.‬‬ ‫‪ - 2‬کدامﻳک از جوابﻫاى زﻳر نادرست است‪:‬‬ ‫استدﻻل استقراﻳﻰ‬ ‫الف) ﻳکﻰ از روشﻫاى بسﻴار قوى مسائل رﻳاضﻰ است‬ ‫ب) ما را به احتمال وجود قانونمندى کلﻰ در مسائل رﻫنماﻳﻰ مﻰکند‪.‬‬ ‫ج) ﻳکﻰ از روشﻫاى حل مساﻳل غﻴر رﻳاضﻰ است‪.‬‬ ‫د) ﻳکﻰ از روشﻫاى حل مساﻳل رﻳاضﻰ نﻴست‪.‬‬ ‫‪ - 3‬کدامﻳک از جوابﻫا زﻳر در مورد شﻬود درست است؟‬ ‫الف) استفاده از شﻬود براى ﻳک نتﻴجهگﻴرى صددرصد درست است‪.‬‬ ‫ب) با استفاده از شﻬود نمﻰتوان با اطمﻴنان گفت که نتﻴجهگﻴرى صددرصد است‪.‬‬ ‫ج) شﻬود براى درک بﻬتر رﻳاضﻴات است‪.‬‬ ‫د) با استفاده از شﻬود حدسﻫاى قطعﻰ ﻫمراه با استدﻻل حتمﻰ براى ثبوت مﻰتوان زد‪.‬‬ ‫‪ - 4‬کدام ﻳک از جوابﻫاى زﻳر نادرست است‪:‬‬ ‫الف) استدﻻل استقراﻳﻰ از جزء به کل رسﻴدن است‪.‬‬ ‫ب) استدﻻل استقراﻳﻰ از کل به جزء رسﻴدن است‪.‬‬ ‫ج) از استدﻻل استقراﻳﻰ نمﻰتوان به عنوان اثبات دقﻴق رﻳاضﻰ استفاده کرد‪.‬‬ ‫د) استدﻻل استقراﻳﻰ نتﻴجهگﻴرى کلﻰ برمبناى مجموعهاى از مشاﻫدات محدود است‪.‬‬ ‫‪ - 5‬بر اساس استدﻻل استنتاجﻰ کدام ﻳک از جوابﻫاى زﻳر نادرست است؟‬ ‫الف) اگر برف ببارد زمﻴن مرطوب مﻰشود‪ ،‬زمﻴن مرطوب است‪ .‬بنابراﻳن‪ ،‬برف بارﻳده است‪.‬‬ ‫ب) تمام فارغان ﻳک مکتب‪ ،‬با کمپﻴوتر آشنا و رﻳاضﻰ را خوب مﻰدانند‪ .‬ضمﻴر از مکتب‬

‫‪412‬‬

‫مذکور فارغ شده است‪ .‬بنابراﻳن‪ ،‬ضمﻴر با کمپﻴوتر خوب آشنا و خوب رﻳاضﻰ مﻰداند‪.‬‬ ‫ج) اگر چﻬار ضلعﻰ مربع باشد‪ .‬ﻫر دو قطر آن با ﻫم عمود اند‪ ،‬دو قطر ﻳک چﻬارضلعﻰ باﻻى‬ ‫ﻫم عمود اند‪ .‬بنابراﻳن‪ ،‬چﻬار ضلع مذکور مربع است‪.‬‬ ‫د) مثلث متساوى الساقﻴن دو ضلع با ﻫم برابر دارد‪ ،‬ﻫر مثلث با سه ضلع برابر‬ ‫متساوىاﻻضﻼع است‪ .‬بنابراﻳن‪ ،‬ﻫر مثلث متساوىاﻻضﻼع متساوى‪ ،‬متساوىالساقﻴن است‪.‬‬ ‫‪ - 6‬با استفاده از استدﻻل قﻴاسﻰ نشان دﻫﻴد که براى ﻫر زاوﻳﺔ حقﻴقﻰ‬

‫صورت مﻰگﻴرد‪:‬‬

‫‪+ cos2 = 1‬‬ ‫‪ - 7‬با استدﻻل استقراﻳﻰ نشان دﻫﻴد که حاصلجمع ‪ n‬عدد تاق متوالﻰ مساوى ‪ n 2‬است‪.‬‬

‫‪sin 2‬‬

‫‪ - 8‬با استدﻻل استقراى رﻳاضﻰ نشان دﻫﻴد که براى ﻫر عدد طبﻴعﻰ ‪ n‬مساوات ذﻳل تحقق‬ ‫)‪n (n + 1‬‬ ‫‪2‬‬

‫مﻰﻳابد‪.‬‬

‫= ‪1 + 2 + 3 + ... + n‬‬

‫‪ - 9‬با استدﻻل استنتاجﻰ ثبوت نماﻳﻴد که حاصلجمع دو عدد جفت ﻫمﻴشه جفت است‪.‬‬ ‫‪ - 10‬با ﻳک مثال نشان دﻫﻴد که افادة ‪ 2n + 3‬براى ﻫر عدد طبﻴعﻰ ﻫمﻴشه ﻳک عدد اولﻴه‬ ‫نﻴست‪.‬‬ ‫‪ - 11‬با استدﻻل برﻫانخلف نشان دﻫﻴد که اگر ‪ n‬ﻳک عدد طبﻴعﻰ ثابت و اختﻴارى و‬ ‫برعﻼوه ‪ n 2‬تاق باشد؛ پس ‪ n‬نﻴز تاق مﻰباشد‪.‬‬ ‫‪ - 12‬جدول صحت را براى بﻴان مرکب «باران مﻰبارد و ابر نﻴست‪ ،‬پس باران نمﻰبارد»‬ ‫تشکﻴل نماﻳﻴد‪ .‬در صورتﻰ که بﻴان‬

‫= « باران مﻰبارد»‬

‫= «ابر است‪ » .‬نامگذارى شده‬

‫باشد؟ عدد ‪ 1‬را براى صحﻴح و ‪ o‬را براى غلط به کار ببرﻳد‪.‬‬

‫‪413‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬