290 103 19MB
Pashto Pages [420]
MATHEMATICS Grade 10
r
r
ملي سرود دا وطن افغانســـتـــان دى
دا عــــزت د هـــر افـغـان دى
کور د سول 3کور د تورې
هر بچی ي 3قهرمـــــان دى
دا وطن د ټولـــو کـور دى
د بـــــلـوڅـــــــو د ازبـکــــــــو
د پ+ـــتــون او هـــــزاره وو
د تـــرکـمنـــــــو د تـــاجـکــــــو
ورســـره عرب ،گوجــر دي
پــاميــريـــان ،نـورســـتانيــــان
براهوي دي ،قزلباش دي
هـــم ايمـــاق ،هم پشـه 4ان
دا هيــــــواد به تل ځلي8ي
لـکـه لـمــر پـر شـــنـه آســـمـان
په ســـينــه ک 3د آســـيـــا به
لـکــــه زړه وي جـــاويــــــدان
نوم د حق مـــو دى رهبـــر
وايـــو اهلل اکبر وايو اهلل اکبر
رياضي لسم !ول/ی 1398 ﻫـ .ش.
الف
د تاب ان ت او
---------------------------------------------------مضمون ر ا
مؤلف ن د تعل مي نصاب د ر اض اتو ديپار نت د در
تابونو مؤلف
ا يټ وون ي د پ تو ب د اډيټ د پار نت غ ي ټول
دم
لسم
به پ تو
ان شاف ور وون
خ روون
د اپ ال د اپ ا اپخونه
بر نال
د تعل مي نصاب د پراخت ا او در
تابونو د تأل ف لو ر است
د پوهن وزارت د اړ و او عامه پوهاوي ر است هجري شم ابل ته [email protected]
---------------------------------------------------تابونو د چاپ و ش او پلورلو حق د افغانستان اس مي جمهور ت د پوهن د در پلورل او پ رودل منع دي له غ وون و ه وزارت ه محفوظ د په بازار قانو
ب
چلند
ي
د
ن د ز ر غام
اقرأ باسم رب مو ته ي وند راب ل او د لوست ش ر ه ا وو د لو او ب ون خدا او لي له نعمت خه ي برخمن ي يو او د الله تعال ر وروست غم محمد اله لوم ن غام ورته لوستل و درود وايو مصطف هجري ريز ال د وهن د ال ه نامه ونومول شو ولو ته اره ده رن ه زده وون له د امله به د ران ه واد وونيز نظام د ورو بدلونونو شاهد وي وون اداره او د والدينو شورا ان د ه واد د وهنيز نظام ش و بنس يز عنا تاب وون د ه واد د وون او روزن ه راختيا او رمختيا مهم رول لري ه داس بلل ي ي مهم وخت د افغانستان د وهن وزارت د م تابه مقام د ه واد ه وونيز نظام د ود او راخت ا ه لور بنس يزو بدلونونو ته من د له همد امله د وونيز نصاب اص ح او راختيا د وهن وزارت له مهمو لوم يتوبونو خه دي وونيزو تأسيساتو د در تابونو همدارن ه ه وون يو مدرسو او ولو دولت او خصو ا لري مو ه د باور يو محتوا يفيت او توز ع ته املرنه د وهن وزارت د ارو ه د با يفيته در تابونو له شتون رته د وون او روزن اسا اهدافو ته رس دل نشو وونيز نظام د رامن ته ولو ل اره د راتلون نسل ورتنيو موخو ته د رس دو او د اغ زنا د روزون و ه تو ه د ه واد له ولو ز ه سواندو وون و استادانو او مسل مديرانو خه تابونو ه تدريس او د محتوا ه د ه واد ب يانو ته د د در ه درناوي هيله وم هي ول ه ه او هاند ونه س موي او د يوه فعال او ه دين م او انتقادي ل دولو و ي هره ور د من ه نوي ولو او د زيار او و تف ر سمبال نسل ه روزنه ران زده وون به د نن ور ه ه د نيت لوست ل ي مسؤوليت ه در سبا د يوه رمختل افغانستان مع ران او د ولن متمدن او ور اوس دون وي د ه واد ارز تنا ه ان ه ده غو تنه لرم و له همدا راز له خو و زده وون و خه و او فعالو ونوالو ه ه روسه د هر فرصت خه ه ورته ي او د زده تو ه او وون و ته ه درناوي ه له تدر س خه ه او اغ زنا ه استفاده و ي د وون او روزن له ولو وهانو او د وونيز نصاب له مسل هم ارانو خه ها دي دون هل ل د د تاب ه لي لو او متو ولو ي نه ست له دربار خه دو ته ه د س ي ل او انسان جو وون مننه وم او د لو خدا بريا غوا م ه د معياري او رمختل وونيز نظام او د داس ودان افغانستان ه ه له و ي خ لوا وه او سو اله وي د وهن وزير د تور محمد م ويس بلخ
ج
فهرست
عنوان
مخ
لوم7ی 'پر کی (پولﻴنوم) ٣ ............................................................................
اﻟجبري افادې ،د پﻮﻟﻴﻨﻮم درجﻪ او د پﻮﻟﻴﻨﻮم ډوﻟﻮﻧﻪ ،د پﻮﻟﻴﻨﻮم د ﻗﻴﻤت او پﻮﻟﻴﻨﻮم دضرﻳبﻮﻧﻮ د ﻣجﻤﻮعی پﻴدا کﻮل ،د پﻮﻟﻴﻨﻮم 'ﻠﻮر -ﻮﻧﻲ عﻤﻠﻴ3 د باﻗﻲ ﻣاﻧده ﻗضﻴﻪ ،فک"ﻮر ﻗضﻴﻪ او ترکﻴبﻲ و4ش د 'پرکﻲ ﻟﻨ6ﻳز او پﻮ*تﻨ3 دويم 'پرکی :رابطه٥٣................................................................................
ﻣرتب 3جﻮړې او کارتﻴز ﻳﻨﻲ ﻣستﻮي ،د کارتﻴزﻳﻨﻲ ضرب حاصﻞ ا و -راف ﻳ3 رابطﻪ او ﻣعکﻮسﻪ رابطﻪ. ﻣعادﻟﻪ رابطﻪ. د 'پر کﻲ ﻟﻨ6ﻳز او پﻮ*تﻨ3 دريم 'پرکی :تابع٦٩...................................................................................
د تابع دﻟﻴکﻠﻮ طرﻳﻘﻪ او دﻳﻮې تابع د ﻗﻴﻤت پﻴدا کﻮل ،د تابع د تعرﻳف د ساح 3پﻴدا کﻮل ،د ﻳﻮې تابع -راف او د -راف ﻟﻪ ﻣخ3 د ﻳﻮې تابع پ5ژﻧدﻧﻪ ،د -راف ﻟﻪ ﻣخ 3د ﻳﻮې تابع د تعرﻳف او د ﻗﻴﻤتﻮﻧﻮ د ﻧاحﻴﻮ او د تابع ﻗﻴﻤتﻮﻧﻮ پﻴدا کﻮل$ ،ﻴﻨ 3خاص 3تابع -اﻧ 3او -رافﻮﻧﻪ ﻳ.3ﻣتزاﻳدې او ﻣتﻨاﻗص 3تابع -اﻧ ،3جفت 3او طاﻗ 3تابع -اﻧ3 د -رافﻮﻧﻮ اﻧتﻘال (عﻤﻮدي اﻧتﻘال ،افﻘﻲ اﻧتﻘال او دعﻤﻮدي او افﻘﻲ اﻧتﻘاﻟﻮﻧﻮ ترکﻴب ،د تابع -اﻧﻮ عﻤﻠﻴ3 د تابع -اﻧﻮ ترکﻴب ،ﻣعکﻮسﻪ تابع ،ﻳﻮ پﻪ ﻳﻮ تابع ،د تابع او د ﻫغ 3د ﻣعکﻮسﻲ تابع -راف ،پﻮﻟﻴﻨﻮﻣﻲ تابع -اﻧ( 3ﻟﻮﻣ7ۍ او دوﻳﻤﻪ درجﻪ تابع/اﻧﻲ) او -رافﻮﻧﻪ ﻳ3 ﻧاطﻘی تابع -اﻧ 3او -راف ﻳ( 3عﻤﻮدې ،افﻘﻲ او ﻣاﻳﻞ ﻣجاﻧبﻮﻧﻪ) د 'پرکﻲ ﻟﻨ6ﻳز او پﻮ*تﻨ3 'لورم 'پرکی :مثلثاتي تابع -ان١٤٩.............................................................3
زاوﻳﻪ او د زاوﻳ 3د اﻧدازه کﻮﻟﻮ واحدوﻧﻪ ،دﻳﻮې زاوﻳ 3ﻣعﻴاري حاﻟت او کﻮ!ر ﻣﻴﻨﻞ زاوﻳ3 ﻣثﻠثاتﻲ تابع -اﻧ 3او د $ﻴﻨﻮ خاصﻮ زاوﻳﻮ ﻣثﻠثاتﻲ ﻧسبتﻮﻧﻪ د 270 ° ,180 ° ,90 ° ,0°او 360زاوﻳﻮ ﻣثﻠثاتﻲ ﻧستﻮﻧﻪ د ﻳﻮې حاده زاوﻳ 3او ﻧﻮرو زاوﻳﻮ د ﻣثﻠثاتﻲ ﻧسبتﻮﻧﻮ پﻪ ﻣﻨ #ک 3اړﻳک3 د ﻣثﻠثاتﻲ تابع -اﻧﻮ -راف د 'پرکﻲ ﻟﻨ6ﻳز او پﻮ*تﻨ3 °
پن%م 'پرکی :د مثلثاتو تطبﻴقات۲۲٣................................................................
د ﻣرکبﻮ زاوﻳﻮ د ﻣثﻠثاتﻲ ﻧسبتﻮﻧﻪ ،د دوو زاوﻳﻮ د ﻣجﻤﻮع 3او تفاضﻞ ﻣثﻠثاتﻲ فﻮرﻣﻮﻟﻮﻧﻪ د زاوﻳ 3د ﻣثﻠثاتﻲ ﻧسبتﻮﻧﻮ ﻟﻪ ﻣخ 3د 2او 3زاوﻳﻮ د ﻣثﻠثاتﻲ ﻧسبتﻮﻧﻮ پﻴداکﻮل ،د زاوﻳﻮ د ﻣثﻠثاتﻲ ﻧسبتﻮﻧﻮ د ﻣجﻤﻮع 3او تفاضﻞ بدﻟﻮل ،د زاوﻳﻮ د ﻣثﻠثاتﻲ ﻧسبتﻮﻧﻮ د ضرب د حاصﻞ پﻪ شکﻞ،
د
عنوان
فهرست
مخ
د زاوﻳﻮ د ﻣثﻠثاتﻲ ﻧسبتﻮﻧﻮ د ضرب د حاصﻞ بدﻟﻮل پﻪ جﻤع ﻳا ﻳ 3پﻪ تفاضﻞ باﻧدې ،د ﻗﻮس اوږ دواﻟی ،د ﻳﻮې داﻳرې ﻗطاع او ﻣساحت ﻳ ،3د داﻳرې ﻗطعﻪ او ﻣساحت ،د ﻣثﻠث ﻣساحت د دوو ضﻠعﻮ او ددې دوو ضﻠعﻮ ترﻣﻨ #د زاوﻳ 3ﻟﻪ جﻨسﻪ ،د ﻣثﻠث ﻣساحت د ﻣثﻠث د درﻳﻮ ضﻠعﻮﻟﻪ جﻨسﻪ ( د ﻫﻴرون فﻮرﻣﻮل) د ﻳﻮه ﻣثﻠث د ﻣحﻴطﻲ او ﻣحاطﻲ داﻳرو شعاع -اﻧ3 د 'پرکﻲ ﻟﻨ6ﻳز او پﻮ *تﻨ3 شپ8م 'پرکی :مختلط عددونه ۲٧٧.........................................................
ﻣﻮﻫﻮﻣﻲ عددوﻧﻪ او د ﻣﻮﻫﻮﻣﻲ عددوﻧﻮ 'ﻠﻮر-ﻮﻧ 3عﻤﻠﻴ3 د ﻣختﻠطﻮ عددوﻧﻮ د جﻤع 3او تفرﻳﻖ عﻤﻠﻴ3 د ﻣختﻠطﻮ عددوﻧﻮ ضرب ،د ﻳﻮ ﻣختﻠط عدد ﻣزدوج ،د ﻣختﻠط عدد ضربﻲ ﻣعکﻮس د ﻣختﻠطﻮ عددوﻧﻮ و4ش د ﻣختﻠطﻮ عددوﻧﻮ پﻪ ساحﻪ ک 3ددوﻳﻤ 3درج 3ﻳﻮ ﻣجﻬﻮﻟﻪ ﻣعادﻟﻮ حﻞ د 'پرکی ﻟﻨ6ﻳز او پﻮ*تﻨ3 اووم 'پرکی تحلﻴلي هندسه ٣۰٥............................................................
د وضعﻴﻪ کﻤﻴاتﻮ سﻴستﻢ او د دوو ﻧﻘطﻮ ترﻣﻨ #فاصﻠﻪ د ﻫغ 3ﻧﻘط 3د وضعﻴﻪ کﻤﻴاتﻮ پﻴداکﻮل چ 3ﻳﻮ ﻗطعﻪ خط پﻪ ﻳﻮه ﻧسبت باﻧدې و4شﻲ د ﻳﻮه ﻣستﻘﻴﻢ خط ﻣﻴﻞ د ﻳﻮه ﻣستﻘﻴﻢ خط ﻣعادﻟﻪ ( د ﻳﻮ ﻣستﻘﻴﻢ خط ﻣعﻴاري ﻣعادﻟﻪ ،دﻫغﻪ ﻣستﻘﻴﻢ خط ﻣعادﻟﻪ چ3 ﻣﻴﻞ او ﻳﻮه ﻧﻘطﻪ ﻳ 3ﻣعﻠﻮﻣﻪ وي ،دوې ﻧﻘطﻲ ﻳ 3ﻣعﻠﻮﻣ 3وي .ﻟﻪ ﻣحﻮروﻧﻮ سره ﻳ 3د تﻘاطع ﻧﻘط3 ﻣعﻠﻮﻣ 3وي ،د ﻣستﻘﻴﻢ خط ﻧﻮرﻣال ﻣعادﻟﻪ او د ﻣستﻘﻴﻢ خط عﻤﻮﻣﻲ ﻣعادﻟﻪ) د ﻳﻮه ﻣستﻘﻴﻢ خط د عﻤﻮﻣﻲ ﻣعادﻟ 3بدﻟﻮل ،د ﻣستﻘﻴﻢ خط د ﻣعادﻟﻮ پﻪ ﻧﻮرو شکﻠﻮﻧﻮ باﻧدې. د ﻳﻮې ﻧﻘط 3فاصﻠﻪ ﻟﻪ ﻳﻮه ﻣستﻘﻴﻢ خط 'خﻪ ،د دوو ﻣﻮازي خطﻮﻧﻮ تر ﻣﻨ #فاصﻠﻪ داﻳره او د داﻳرې ﻣعادﻟﻪ ،د ﻳﻮه ﻣستﻘﻴﻢ خط حاﻟتﻮﻧﻪ ﻟﻪ ﻳﻮې داﻳرې سره ،د ﻣﻤاس ﻣعادﻟﻪ او د ﻣﻤاس اوږدواﻟی د ﻣثﻠث د ﻣساحت پﻴداکﻮل چ 3د راسﻮﻧﻮ و ضعﻴﻪ کﻤﻴات ﻳ 3ﻣعﻠﻮم وي. د 'پرکﻲ ﻟﻨ6ﻳز او پﻮ*تﻨ3 اتم 'پرکی احصائﻴه٣٥٩.......................................................................
د فرﻳکﻮﻧسﻲ 'ﻮ ضﻠعﻲ -راف ،د ساﻗ 3او پا- 31راف ،ربعﻲ ('ﻠﻮرﻣ ،)3صﻨدوﻗچﻪ ﻳﻲ -راف، د ﻧارﻣﻞ ﻣﻨحﻨﻲ د ﻣرکزي !اکﻮوﻧکﻮ پرتﻠﻪ کﻮل ،ربعﻲ اﻧحراف ،وارﻳاﻧس ،ﻣعﻴاري اﻧحراف، د 'پرکﻲ ﻟﻨ6ﻳز او پﻮ*تﻨ3 نهم 'پرکی د رياضي منطق٣٩١..............................................................
د شﻬﻮدي درک استدﻻل ،تﻤثﻴﻠﻲ استدﻻل ،استﻘراﻳﻲ استدﻻل ،د رﻳاضﻲ د استﻘرا استدﻻل، استﻨتاجﻲ استدﻻل ،د ﻣثال د ﻧفﻲ کﻮﻟﻮ استدﻻل ،غﻴر ﻣستﻘﻴﻢ ثبﻮت ،د رﻳاضﻲ ﻣﻨطﻖ او د بﻴان استﻨتاج ،د 'پرکﻲ ﻟﻨ6ﻳز او پﻮ*تﻨ3
هـ
لوم7ى 'پرکی پولﻴنوم پﻮﻟﻴﻨﻮم()Polynome ﻳا ()Polynomial
الجبري افادې ()Algebraic Expressions ايـــــــا ويــــــالى شــئ چــې پــه y2 +1
y y2 + او + y 3 x2 x
x4 1 x2
،
x 3 +الجبري
افادو کې کومــه يوه ناطقه اوکومه يوه غير ناطقه الجبري افاده ده؟
متحول او ثابت ( :)variable and constantمتحﻮل ﻳﻮ سمبﻮل ( )Symbolدى چې د يوه غير خالي سټ د هر عنصر په ځاى وضع کې8ي.يا يو تورې چې قيمتونه يې تغير کوي د مثال په
ډول که } x 10او A = {x / x INوي. نﻮ د Aپه سټ کې xله يوه څخه تر 10پورې د طبيعي عددونو قيمتونه اخيستالى شي ، x .ته متحول( )Variableوايي .عموماً متحولونه د انګليسي ژبې د کوچنيو تورو ،لکه z , y , x :او نورو په واسطه ښودل کې8ي. د يوه عدد قيمت تغير نه کوي ،لکه :د 4عدد هيڅکله له 5ﻳا 3او يا کوم بل عدد سره مساوي کېدای نه شي ،نو ټول حقيقي عددونه ثابت ( )Constantsدي. د حقيقي عددونو سربيره د انګليسي ژبې توري ،لکه a , b c ... :او نور هم د ثابتو پر ځاى کارول کې8ي. الجبري افاده ( :)Algebraic Expressionکېدای شي الجبري افاده له يوه ثابت ،يو متحول او يا د ثابتو او متحولونو له ترکيب څخه جوړه شوې وي .د الجبري افادو الندې مثالونه وګورئ. 15 ،5 x t2
3
12 ، 12 ، x ، x 2 x + 1 ، 3x ، 4x + 5 +او داسې نور.
1 پﻪ 3x 2الجبري افاده کې 3تﻪ ضرﻳب ( )Coefficientوايي .پﻪ y 2 او پﻪ xکې ( )1ضريب دى 3x 5 y 5 .او 15x 5 y 5مشابﻪ حدونﻪ ( )Liketermsدي چې 1 کې د 2
عدد
مشابه متحولونه او مساوي توانونه لري ،خو عددي ضريبونه يې سره توپير لري. د الجبري افادو ډولونه :الجبري افادې په درو ډولونو دي. -1پولﻴنومﻲ الجبري افادې ()Polynomial algebraic expressions پولﻴنوم :هغه يوه يا څو حده الجبري افاده چې د تورو توانونه يې د مکملو عددونو په سټ کې شامل وي ،پولينوم نومې8ي او 12 ، x 1 ، 2 x 2 + x 1 ، x 3 x + 1پولينومونه دي ،خو 1 y + x ، x 2 + x 1او 2 x x
x 3 + x +پولينومونه نه دي يا د پولينوم مشخصې دا دي:
د ټولو متحولونو توانونه يې مکمل عددونه وي. په مخرج کې متحول ونه لري. متحول تر جذر الندې نه وي.
لوم7ى مثال :په الندې راک7ل شوو الجبري افادو کې کوم يو پولينوم او کوم يو يې پولينوم نه دي؟ , a ) 2x
b) 2 x
,
2 x3
1 y2
1 2
), d ) x , c
+ x2
3
e) x
7 f )8p 2 + p 2 .2 x2 حل h, a :او iپولينومونه دي ،خو f , e , d , c , bاو gپولينومونه ،نه دي .په ياد ولرئ چې هر g )9 x 2
,
, h )88
i)6a 2 4a
پولينوم ،يوه ناطقه الجبري افاده ده ،خو هره ناطقه الجبري افاده پولينوم نه دى .د مثال په ډول: y y + + y3 2 x x
x 3 +يوه ناطقه الجبري افاده ده ،خو پولينوم نه دى.
12هم يو پولنيوم دی ،ځکه چې 12 = 12x 0 :دی او صفر هم د مکملو عددونو په سټ کې شامل 1 5 5 1 دى ،خو 5 xاو 3پولينومونه نه دي ،ځکه 3 = 5 x 3 ، 5 x = 5 x 2چې x x 2
او 3
4
د مکملو عددونو په سټ کې شامل نه دي. پولينوم د يو توري په واسطه ،لکه P :ښودل کې8ي ،يو پولينوم چې له يو متحول څخه جوړ شوى وي عمومي شکل يې په الندې ډول دى چې د معياري شکل په نامه يادې8ي. + ... + a 1x + a 0
2
+ a n 2x n
1
P( x ) = a n x n + a n 1x n
nيو مکمل عدد او a 1 , a 2 ...a n 1 , a nضريبونه دي چې حقيقي عددونه دي .که 0
anوي،
نﻮ nد پولينوم درجه ده. ﻓعاﻟﻴت 3 5 1 لﻪ + + 6 , x , , 8x 3 , 8x 2 2 x x x
2x 3 x 2 ,او 8 xالجبري افادو څخه کومه
يوه يې پولينوم دى او کومه يوه پولينوم نه دى؟ دوﻳم مثال :د P( x ) = 5x 3 + x 2 x + 12په پولينوم کېa 2 = 1 ، a n = 5 ، n = 3 ،
a1 = 1و a 0 = 12دى .او د 11x 2 1په پولينوم کې ، a1 = 0 ، a n = 11 ، n = 2 ،او a0 = 1دى. -2ناطقه الجبري افاده (:)Rational algebraic expression p که يوه الجبري افاده د q
) (q 0په شکل وليکالى شو چې pا و qپولينومونه وي .داسې
1 الجبري افادې ته ناطقه الجبري افاده وايي .د مثال په ډول x2
4 x 2چې د x 2 1په شکل يې
x
هم ليکالى شو چې يو متحول لري يوه ناطقه الجبري افاده ده .څرنګه چې هرې الجبري افادې ته يو x2 1 2 مخرج ورکوالى شو ،نو ) ( x 1هم يوه ناطقه الجبري افاده ده ،ځکه چې = x 2 1 1 دى.
5
-3غﻴر ناطقه الجبري افاده (:)Irrational algebraic expression داسې يوې الجبري افادې ته چې د دوو پولينومونو د خارج قسمت په بڼه يې نه شو ليکالى ،غير ناطقه الجبري افاده ده ،لکه، xy :
1 x +5 2
او y 2 + 1
د غير ناطقو الجبري افادو مثالونه دي.
يوه الجبري افاده کېدای شي چې ناطقه ،غير ناطقه او يا پولينومي الجبري افاده وي .پولينوم هغه يو يا څو حده الجبري افاده ده چې د تورو توانونه يې د مکملو عددونو په سټ کې شامل وي.
پو*تن3 -1په الندې الجبري افادو کې کومه يوه ناطقه ،غير ناطقه او پولينومي الجبري افاده ده؟ 1 x
1 , 2
3x 2 , 2
x
1 m+3 x+ , , x 6
xy , 3x +او 13 2 2
-2په الندې الجبري افادو کې کومه يوه يې يو پولينوم او کومه يوه يې پولينوم نه دى؟ xy 2 x2 5
1 , x
3x 2 +
8 x
20a 3b + 28ab 4 , ,
8
8x
,
3x
, ,
x
1 3 x 7
0.03
.3د Px 4 ax 3 + bx 2 + cx + dپه پولينوم کې a1 , a2 , a3 , an ،او a0وښياست. .4د 2 x 2 1
x3 = ) P( xپه پولينوم کې a1 , a 2 , a3 ،او a0وښياست. 2
6
د پولﻴنوم درجه او د پولﻴنوم ډولونه آﻳا وﻳﻼى شئ چې د : x
x2
12 y 5 x 3 + x 4 y 3 12x 3او
12د پولينومونو درجې څو دي؟
مونوم عدد ،يو متحول يا د يو عدد او يو يا څو متحولينو د ضرب حاصل دی. 3xﻳا 16xته مونوم يا (( )Monomialيو حده)الجبري افاده وايي x 4 .ﻳا ab yته باينوم ( )Binomeﻳا (( )Binomialدوه حده) الجبري افاده وايي او د 2 x 3 x 1الجبري 1 افاده ترينوم (( )Trinomialدرې حده) الجبري افاده ده او + 1 y
2x
الجبري افادې ته
مولټينوم ( )Multinomialوايي .په يوه پولينوم کې مونومونه د پولينوم د حدونو په نامه يادې8ي او
هر مونوم يو پولينوم دی. ځينې وختونه پولينوم له يو ،دوه ،درې او څو متحولونو څخه جوړ شوى وي. د 2x 3 8x 2 + 7 x + 11پولينوم د يو متحول 2 x 3 3 y ،پولينوم د دوه متحولونو او x + y + zد دريو متحولونو لرونکى پولينوم دى چې په الندې جدول کې ښودل شوي دي. متحﻮل
مونوم (يو حده)
باينوم (دوه حده)
ترينوم (درې حده)
ﻳﻮ متحﻮل
5x 3
5y2 + 3y
3x 2 + 2 x 4
دوه متحولونه
7x2 y
7x2 4 y3
6 x 2 + 5x 3 y 2
درې متحولونه
4xyz 2
8a 2b + 4c
5 ﻳادونه :بايد پام مو وي چې , 2 xy x
7
z 5a
او y 3هريو يې مونوم نه دی.
3a 2b 2 + 6c 2
ﻓعاﻟﻴت د 3 x ، 15 ، 2 x y ، ax 2 + bx + c
او 4 x 2 4 yالجبري افادو کې مونوم ،باينوم او
ترينوم وښياست. د ﻳوه پولﻴنوم درجه ( :)Degree of a Polynomeکه پولينوم له يوه توري څخه جوړ شوى وي ،د هغه توري لوړ توان د پولينوم درجه ده ،لکه :د x 3 + 2 x + 1 + x 5
د پولينوم درجه
5ده .که پولينوم له ډېرو تورو څخه جوړ شوى وي ،د زيات توان لرونکي مونوم درجه د پولينوم درجه ده ،لکه :د 5xy5 + x 3 y
3
2 x 2 yد پولينوم درجه 6ده ) 1 + 5 = 6 ( ،او دا پولينوم نظر x
ته دريمه درجه او نظر yته پنځمه درجه پولينوم دى .که د يوه پولينوم درجه يوه وي ،خطي پولينوم ( )Liner Polynomeاو که د پولينوم درجه دوه وي ،دويمه درجه پولينوم (Quadratic )Polynomeاو که درجه يې درې وي ،دريمه درجه پولينوم ( )Cubic Polynomialورته وايي .او هم د 3x 2مونوم دويمه درجه ،د 3x 2 y 3مونوم درجه 5او د 12مونوم درجه صفرده. داسې پولينوم ته ثابت پولينوم وايي ،ځکه چې 12 = 12x 0
ثابت پولﻴنوم :هغه پولينوم دى چې درجه يې صفر وي.يا هغه پولينوم دى چې د ټولو متحولونو ضريبونه يې صفر وي. لوم7ى مثال :د mاو nقيمتونه پيدا ک7ئ ،که (2m 4) x 2 + (5 n ) x + 13يو ثابت پولينوم وي. حل :څرنگه چې دا يو ثابت پولينوم دى ،نو د هر حد د متحول ضريب يې صفر دى. نو:
5 n=0 n =5
2m 4 = 0 2m = 4 m=2
صفري پولﻴنوم( :)Zero Polynomeکه د ثابت پولينوم ثابت حد صفر وي ،داسې پولينوم ته صفري پولينوم وايي ،لکه ، P( x) = 0 :د صفري پولينوم درجه تعريف شوې نه ده.
8
دوﻳم مثال :د aقيمت پيدا ک7ئ که چېرې )(b 4) x 3 (2c + 6) x + (a b + c
يوصفري پولينوم وي. حل :په صفري پولينوم کې هر حد صفر وي ،نو: a b+c =0
2c + 6 = 0
b 4=0
a 4 3=0
2c = 6
b= 4
a=7
c= 3
درﻳم مثال :د g( x ) = 2xy 2 x 2 y 3 ، P( x) = x 2 1 + 3x 5او h( x) = 3د پولينومونو درجې پيدا ک7ئ. حل :د ) P (xد پولينوم درجه 5د ) g (xد پولينوم درجه هم 5ده (n = 5) ،خو د )h(x
د پولينوم درجه صفر ده. ﻓعاﻟﻴت د هر پولينوم درجه څو ده؟ او هم د دې پولينومونو درجې نظر هر توري ته پيدا ک7ئ. x 1 , 15 , 2m 3 n 2 3mn 3 mn
x 3 + 2 x + 5x 5 ,
x2
مکمل او ناقص پولﻴنومونه :مکمل پولينوم هغه پولينوم دی چې له لوړ توان څخه تر ثابت عدد پورې ټول حدونه ولري x 2
x 1 , x 3 + 1 + 2 xاو 51مکمل پولينومونه دي ،خو x 2 1
او x 3 + x + 1ناقص پولينومونه دي .موږ کوالى شو دا ناقص پولينومونه د مکملو پولينومو په شکل وليکو ،لکه x 2 1 = x 2 + 0 x 1 :او x 3 + x 1 = x 3 + 0 x 2 + x 1
منظم او غﻴر منظم پولﻴنومونه :د 2 x 3 3x 2 + 4 x 1ﻳا 11 + 12x + 13x 2 x 3
پولينومونه منظم ،خو د 3x 4 x + 1 + x 3 + x 2پولينوم يو غير
منظم پولينوم دى .کوالى شو چې يو غير منظم پولينوم د منظم پولينوم په شکل وليکو ،لکه: همدا پولينوم په دوه ډوله د منظم پولينوم په شکل ليکالى شو 3x 4 + x 3 + x 2 x + 1 .ﻳا 1 x + x 2 + x3 + 3x 4
9
نزولﻲ او صعودي پولﻴنومونه (:)Descending and ascending Polynomes که يو پولينوم د متحول له لوړ توان څخه ټيټ توان ته ترتيب شوى وي ،نزولي او که له ټيټ توان څخه لوړ توان ته ترتيب شوى وي ،صعودي ترتيب ورته وايي. د مثال په ډول x 4 + 3x 3 + x 2 + x + 1
په نزولي ترتيب او د 1 + x + x 2 + 3x 3 + x 4پولينوم په
صعودي ترتيب ليکل شوى دى. که يو پولينوم له دوو يا څو تورو څخه جوړ شوى وي ،نو موږ کوالى شو نظر هر توري ته يې په صعودي يا نزولي ډول ترتيب ک7و ،لکه :د x 3 y + 3x 2 y 2 + 2xy3 5y 4پولينوم نظر xته په نزولي ډول او نظر yته په صعودي ډول ترتيب شوى دى. ﻓعاﻟﻴت دا پولينومونه په صعودي ډول ترتيب ک7ئ: 4 x 5 + 6 x 2 + 8x 3 , 2 y 2 4 y + 3 3y 4 + y3 , 2a 3 5 + 4a 4 + a 5 + 3a 2 + a
'لورم مثال :د P( y) = 4xy 4 3x 3 y 2 + 2x 2 y 3 + x 4 + y 5پﻮلﻴنﻮم نظر yتﻪ پﻪ صع د ترتﻴب ولﻴکئ: حل
P( y) = x 4 3x 3 y 2 + 2 x 2 y3 + 4 xy 4 + y5
معادل پولﻴنومونه :هغه پولينومونه دي چې يو متحول ولري او د مشابه حدونو ضريبونه يې سره مساوي وي. پن%م مثال :که د x 2 + 3x + 2او m( x 1) 2 + n ( x 1) + Pپولينومونه سره معادل وي ،د n , mاو pقيمتونه پيدا ک7ئ. حل
m( x 2 2 x + 1) + nx n + p = x 2 + 3x + 2 mx 2 2mx + m + nx n + p = x 2 + 3x + 2 mx 2 + ( 2m + n ) x + (m n + p) = 1x 2 + 3x + 2
10
په نتيجه کې: n =5 p=6
m =1 2m + n = 3 m n+p=2
متجانس پولﻴنومونه ( :)Hemogence Polynomesچې د ټولو حدونو توانونه يې سره مساوي وي ،لکه :د 2 x 2 + y 2 z 2يو متجانس پولينوم دی. شپ8م مثال :که د 3x 2 y + 5 x m z 7 y n 3 z 2پولينوم متجانس وي ،د mاو nقيمتونه پيدا ک7ئ. حل: n 3 + 2 = m +1 n 1 = m +1
m +1 = 2 +1 m=2
n 1 = 2 +1 n=4
که پولينوم له يوه توري څخه جوړ شوى وي ،د دې توري لوړ توان د پولينوم درجه ده او که پولينوم له ډېرو تورو څخه جوړ شوى وي ،د لوړ توان لرونکي مونوم درجه د دې پولينوم درجه ده .هغه پولينومونه چې يو متحول ولري او د مشابه حدونو ضريبونه يې سره مساوي وي ،د معادلو پولينومونو په نامه يادې8ي او هغه پولينوم چې د ټولو حدونو توانونه يې سره مساوي وي ،متجانس پولينوم دى.
11
پو*تن3 -1په الندې افادو کې مونوم ،باينوم او ترينوم وښياست او درجې يې پيدا ک7ئ. x 1
,
12
,
x2 y + 4
,
12x
,
1 2 5 x y 2 x x2 x3
-2په الندې پولينومونو کې مکمل او ناقص پولينومونه وښياست او بيا ناقص پولينومونه د مکملو پولنيومونو په شکل وليکئ. x2 1 , x3 + x 1
,
x +1 , 15
,
x
,
2x 2 2x 2
-3لوم7ى د الندې پولينومونو درجې پيدا ک7ئ او بيا يې په نزولي ډول ترتيب ک7ئ. 4 x 5 + 6 x 2 + 8x 3 4 y + 3 3y 4 + y 3 x5 + x
2y2
1 x 3 + x 2 + 2x 4
-4کﻪ P( x 1) 2 + n ( x + 3) + c = 2x 2 x + 22وي د n , pاو cقيمتونه پيدا ک7ئ.
-5د b , aاو cقيمتونه پيدا ک7ئ که ) P( x) = 7 x 4 (2a 3) x 3 + 5 x (c 3او Q( x) = (3b + 4) x 4 + 2 x 3 + 5 xمعادل پولينومونه وي.
-6کﻪ 5xy 2 + 8x p z 3y m 3 z 2يو متجانس پولينوم وي ،د mاو pقيمتونه پيدا ک7ئ.
12
د پولﻴنوم د قﻴمت او د پولﻴنوم د ضرﻳبونو د مجموع 3پﻴدا کول آﻳا وﻳﻼى شئ د x = 1لپاره د P( x) = x 3 x 2 x 1پولينوم قيمت څو دى؟ يا ? = )P( 1
که په يوه پولينوم کې د متحول پر ځاى يو حقيقي عدد (د متحول خاص قيمت) وضع ک7و ،يو حقيقي عدد په الس راځي چې دا حقيقي عدد ددې پولينوم قيمت دى .د x = 2لپاره د P( x) = 3 x + 2
پﻮلﻴنﻮم قﻴمت P(2) = 3 2 + 2 = 8دى. لوم7ى مثال:د P( x) = 2 x 2 7 x + 1پﻮلﻴنﻮم قﻴمتﻮنﻪ د ) P( 1) ، P(5او ) P(0لپاره پيدا ک7ئ. حل: 7(5) + 1 = 50 35 + 1 = 51 35 = 16
2
P(5) = 2 5 P ( 0) = 1
P( 1) = 2( 1) 2 7( 1) + 1 = 2 + 7 + 1 = 10
ﻓعاﻟﻴت د P( x) = x 5 x 3 x 1پﻮلﻴنﻮم لپاره ) P( 1) ، P(0او ) P(1پيدا ک7ئ. 1 3 دوﻳم مثال :که P( x ) = 16x 3 8x 2 +وي ،نو ) 4 4
( Pپيدا ک7ئ.
حل:
1 1 1 3 1 1 3 (P( ) = 16( ) 3 8( ) 2 + = 16 ) 8( ) + 4 4 4 4 64 16 4 1 1 3 1 2+3 3+3 0 = = + = = =0 4 2 4 4 4 4
13
درﻳم مثال :لکه :څرنگه چې پوهې8ئ د دايرې محيط ( )Circumferenceد 22 C = 2 rله فورمول څخه الس ته راځي چې که چېرې 7 r = 3 1 cmوي ،نو د دې دايرې محيط ( )Cپيدا ک7ئ. حل 2
=
او د دايرې شعاع
22 7 cm = 22cm 7 2 'لورم مثال :که b, aاو cد مثلث د ضلعو اوږدوالى او pد مثلث د محيط نيمايي وي يعنې C=2 r=2
a+b+c 2
= ، pد مثلث مساحت د دې فورمول په واسطه الس ته راځي. )S = p(p a )(p b)(p c
که په يوه مثلث کې د ضلعو اوږدوالى b = 12cm , a = 9cmاو c = 15cmوي ،ددې مثلث مساحت پيدا ک7ئ. حل
a + b + c 9 + 12 + 15 36 = = = 18cm 2 2 2
=p
)S = p(p a )(p b)(p c) = 18(18 9)(18 12)(18 15 = 18 9 6 3 = 2 9 9 2 3 3 = 2 2 32 9 2 = 2 3 9 = 54cm 2
ﻓعاﻟﻴت د استوانې حجم د V = r 2 hله فورمول څخه الس ته راځي چې Vد استوانې حجم r ،د قاعدې شعاع او hد استوانې لوړوالى دى .که د يوې استوانې r = 5cmاو h = 21cmوي ،ددې استوانې حجم پيدا ک7ئ. د پولﻴنوم د ضرﻳبونو د مجموع 3پﻴدا کول: که p( x ) = a n x n + a n 1x n 1 + ... + a1x + a 0وي ،د ضريبونو مجموعه يې an + an 1 + ... + a1 + a0ده. پن%م مثال :د p( x) = 2 x3 + 5 x 2 3x + 1پولينوم د ضريبونو مجموعه په الس راوړئ.
14
حل p (1) :پﻴدا کﻮوP(1) = 2 13 + 5 12 3 1 + 1 = 2 + 5 3 + 1 = 5 :
که پولينوم له څو تورو څخه جوړ شوى وي ،د هر توري پر ځاى يو ( )1وضع کوو ،لکه :د x 4 + 4x 3 y + 6x 2 y 2 + 4xy 3 + y 4د ضريبونو د مجموعې د پيدا کولو لپاره د xاو yپر ځاى يو ( )1وضع کوو: 14 + 4 13 1 + 6 12 12 + 4 1 13 + 14 = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 شپ8م مثال :د ( x 3 y ) 4د ضريبونو مجموعه پيدا ک7ئ.
حل:
4
(1 3 1) = (1 3) = ( 2) = 16 4
4
اووم مثال :د (7 x 2 5x 1) 600 (2x 3 1)17 ( x + 2) 4د ضريبونو مجموعه په الس راوړئ. حل: (1) (3) = 81 4
17
600
)1) (1 + 2) = (1 4
17
3
(2 1
600
)5 1 1
2
(7 1
اتم مثال :که ددې توپ شعاع 6cmوي ،ددې توپ حجم پيدا ک7ئ.
حل: 4 3 4 4 = r = (6cm) 3 (216cm 3 ) = 288 cm 3 3 3 3
=V
د xد راک7ل شوي قيمت لپاره د ) P(xپه پولينوم کې د xپر ځاى راک7ل شوى قيمت وضع کوو، د پولينوم قيمت په الس راځي که په يوه پولينوم کې د تورې (متحول) پر ځای يو وضع شي د پولينوم د ضريبونو مجموعه په الس راځي.
15
پو*تن3 1 2 .2د p( x ) = kx 3 x 2 + 3x 1په پولينوم کې که p(2) = 17وي د kقيمت پيدا ک7ئ.
.1کﻪ p( x) = x 4 x 3 x 2 x 1وي ) p( 1او ) ( pپيدا ک7ئ. .3کﻪ د mx2 2x + 1د ضريبونو مجموعه 18وي د mقيمت پيدا ک7ئ. 1 1 1 x = xلپاره د .4د 2 2 2 .5د 4 x + 4
A = x2
1 2
p( x) = x 2پولينوم قيمت پيدا ک7ئ. C = x + 3x 4 6x 3او
B = 4 x 3 + 10 x 2
D = x 2 + 4 x 4په پولينومونو کې د x = 4لپاره د کوم پولينوم قيمت له 100څخه زيات دى؟ d) B
c) A
b) D
a) C
.6په الندې پولينومونو کې د x = 5لپاره د کوم پولينوم قيمت تر ټولو زيات دى؟ a ) x 2 2x + 6 b) 3x 4 + 6 x + 12 c) x 3 40 x 300 d ) x 5 120 x 4 + 10 1 .7کﻪ p( x) = x 4 x 3 x 2 x 1وي p( ) ، p(0) ، p( 1) ،او ) p( 1پيدا ک7ئ. 2
2
.8د x = 2لپاره د 1 x 4 + 1 x 3 + 3 x 2 + 5 x + 7پولينوم قيمت پيدا ک7ئ. 8
8
8
8
4
16
د پولﻴنوم 'لور-ونﻲ عملﻴ3 که د مربع هره ضلع 3w 4او د متساوي االضالع مثلث هره ضلع w + 2وي ،يوه الجبري افاده وليکئ چې د دواړو شکلونو محيط ښکاره ک7ي. کﻪ A = 8 x 2 2 x + 3او B = 9 x 5
W+2
3W-4
وي A + B ،او A Bپيدا ک7ئ.
1د جمع 3عملﻴه :مشابه حدونه ()Like termsيو له بل سره جمع کې8ي او هم مشابه حدونه يو له بله تفريق کې8ي ،دا دواړه عمليې په افقي او عمودي ډول سر ته رسيدالى شي. لوم7ى مثال :که A = 3cd 2 2cd + 5او B = 9cd 7cd 2 5وي A + Bپيدا ک7ئ. حل: )A + B = ( 3cd 2 2cd + 5) + (9cd 7cd 2 5 = 3cd 2 2cd + 5 + 9cd 7cd 2 5 = 10cd 2 + 7cd
ﻓعاﻟﻴت کﻪ B = 2ab 2 + 3a 2 , A = ab 2 + 3aاو C = 2a + 4وي ،د دې درې واړو پولينومونو د جمعې حاصل پيدا ک7ئ(A + B + C = ?) .
دوﻳم مثال :جمع يې ک7ئ کهB = 3x 5 2 x 2 , A = 1 + 2 x + 3x 2 :
او C = x 2 5 x + 4او ﻫم کﻪ B = a 3b 2 2a 2 b 3 + 4b 4 , A = a 4 b 2a 3b 2 3a 2 b 3 4c 2bاو C = a 4 b + a 3b 2 2cوي. حل :لوم7ى پولينومونه په منظم ډول ليکو او بيا مشابه حدونه سره جمع کوو.
17
4c 2 b + 4b 4
a 4 b 2 a 3b 2 3a 2 b 3
3x 2 + 2 x + 1
a 3 b 2 2a 2 b 3
2 x 2 + 3x 5
+ a 4 b + a 3b 2
2c 6c + 2b 4
5a 2 b 3
x 2 5x + 4
2a 4 b
+
2x 2
-2د تفرﻳق عملﻴه :د تفريق په عمليه کې د مفروق جمعې معکوس له مفروق منه سره جمع کوو .يا په بل عبارت د مفروق عالمې تغيروو او له مفروق منه سره يې جمع کوو. لوم7ى مثال :د Bپﻮلﻴنﻮم د Aله پولينوم څخه تفريق ک7ئ ،که A = x 3 + x 2 + x 7
او B = x 3 + x 2 + 4x + 3وي او ﻫم کﻪ A = 2b 2 2c 2 2d 2 2e 2او B = b 2 3c 2 3d 2 3e 2 f 2وي. حل: 2e 2
2d 2
3d 2 m 3e 2 m f 2
2c 2 m
3c 2
m
A = 2b 2
A = x3 + x2 + x 7
B =+ b 2
B = m x 3 ± x 2 ± 4x ± 3
A B = b2 + c2 + d 2 + e2 + f 2
ﻳا
=A B
3x 10
)x + x + x 7 ( x + x + 4 x + 3 2
4x 3
x2
3
2
3
= x3 + x2 + x 7 + x3 = 3x 10
بايد په ياد ولرو چې د يو پولينوم د ساده کولو لپاره مشابه حدونه ( )Like termsسره جمع يا تفريقوو .د مثال په ډول a) x 2 + 6x 4 8 + 9x 2 + 2x 4 6x 2 = 8x 4 + 4x 2 8 b) 3x x 1 + 3 2x = 2 c) 2x 2 x x 2 x 2 = x 2 2x 2 d) 6xy xy x y + 2x = 5xy + x y e) mn 4 + mn 5 = 2mn 9
18
ﻓعاﻟﻴت په الندې پولينومونو کې مشابه حدونه ( )Like termsوښياست. t + 5t 2 6t 2 + 6t 3
9rs 2r 2s 2 + 4r 2s 2 + 3rs 7
3p 4p 2 + 6p + 10p 2
2fg + f 2 g fg 2 2fg + 3f 2 g + 5fg 2
دوﻳم مثال :د a 4 + 2a 3 b 3ab 3 + a 2 b 2له پولينوم سره کوم پولينوم جمع ک7و چې د جمعې حاصل يې 2a 4 3a 3 b 3ab 3 b 4 + a 2 b 2شي؟ حل: 2a 4 3a 3 b + a 2 b 2 3ab 3 b 4 a 4 ± 2a 3 b ± a 2 b 2 m 3ab 3 b4
ﻓعاﻟﻴت 2 د 4 x + 6 2 xاو x 3 3
a 4 5a 3 b
3 x 2پولينومونو مجموعه د x 3 + x 2 2 xاو 2 x 3 + 3 x 7
پولينومونو له مجموعې څخه تفريق ک7ئ.
درﻳم مثال :تفريق يې ک7ئ. 5
505y
4
404xy
3
2
101x y
2
3
4
202x y 303x y
- 101x 4 y m 303x 3 y 2 ± 101x 2 y 3 m 404xy 4 ± 505 y 5 1010y5
101x 4 y
202x 2 y 3
3ax 5bx 8cx 11dx
± 3ax m 5bx m 8cx m 11dx 0
'لورم مثال :مشابه حدونه ( )Like termsسره جمع او ساده يې ک7ئ. 8 10 + x 7 + x = 2x 9 ab + a b a = ab b
19
2k + 4
20 k k 10 6 k 2 = k 2 2
y 2 1 + y 2 1 = 2y 2
ab b
2
ab a b a b+2=0
2
1 y
1 2y
2 + b 4b + b + b 2
5x + 5
3
2
2
y 3
2b
5x 2x + 5 = x 2
4b 2
x
بايد په ياد ولرو چې که Q, Pاو Rپولينومونه وي ،نو (د جمعې د عمليې تبديلي خاصيت)P + Q = Q + P ....................... (د جمعې د عمليې اتحادي خاصيت)P + (Q + R) = (P + Q) + R ...... (د ضرب توزيعي خاصيت پر جمع باندې)P(Q + R) = PQ + PR ......... ﻳا (Q + R)P = QP + RP د پولينومونو د جمعې او تفريق په عمليو کې مشابه حدونه سره جمع او يا يو له بله تفريق کې8ي د پولينومونو د جمعې په عمليه کې د تبديلي او اتحادي خاصيتونه صدق کوي او د تفريق په عمليه کې د مفروق جمعې معکوس له مفروق منه سره جمع کې8ي او د ضرب توزيعي قانون پر جمع باندې په پولينومونو کې هم صدق کوي.
پو*تن3 .1د دوو پولينومونو مجموعه x 2 + 2 x y 2ده ،کﻪ ﻳﻮ پﻮلﻴنﻮم x 2 2xy + 3وي ،بل پولينوم پيدا ک7ئ. .2د 3x 4 + 5x 3 + 2x 2 x + 1پﻮلﻴنﻮم لﻪ 4 x 4 + 2 x 2 + x 3 x + 1پولينوم څخه تفريق ک7ئ. .3د ، a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3پولينوم څخه د a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3پولينوم تفريق ک7ئ. 3 3 2 .4کﻪ B = a + 2a + 5 , A = a + 2a 6a + 7او C = 2a 3 a 2 + 2a 8وي ددې درې واړو پولينومونو مجموعه پيدا ک7ئ) A + B + C = ? ( . .5د ) (ab 2 + 3a ) + (2ab 2 + 3a 2) + (2a + 4افادې د جمعې حاصل مساوي دى ،په: c)3ab2 + 8a + 2
.6جمع يې ک7ئ.
b)3ab2 + 8a )2) + (1 + 6ab
2
a ) 3ab2 + 8a + 2
5ab) + ( 3ab + a
2
(3a b + 2a 2
2
.7که دوه الوتکې له يوه هوايي ډګر څخه يو د بل مخالف لورې ته والوزي ،که 2ساعتونه وروسته د يوې الوتکې واټن له هوايي ډګر څخه x 2 + 2 x + 400ميله وي او دبلې الوتکې واټن له هوايي ډګر څخه 3x 2 50 x + 100ميله وي ،ددې دواړو الوتکو تر منځ واټن(فاصله) پيدا ک7ئ.
20
د پولﻴنومونو ضرب د هغه مکعب حجم به څومره وي چې هره ضلع يې ) ( x + 1سانتي متره وي؟
د مونوم ضرب په مونوم ک :3که د 3r 2 s 3مﻮنﻮم د 5r 4 s 5په مونوم کې ضرب ک7و ،د ضرب حاصل يې (3r 2s 3 )(5r 4s 5 ) = 15r 6s8کې8ي. ﻓعاﻟﻴت د ) ( 1 x )( x ) , (7 x 2 y)( 3x 4 yz8او ) ( 30a 2 b)( 5abسره ضرب ک7ئ. 3
لوم7ى مثال :د الندې مونومونو د ضرب حاصل پيدا ک7ئ. 1 2 1 2 16 1 16 =1 = ) () ( = ) ( )(4 4 2 4 4 16 ( 2a)3 ( 2a) 2 = 32a 5
( 5y a )(5y) = 25y a +1 ( 4s 2 t 2 )(2st 3 ) = 8s 3 t 5 a 2x ( 2a) = 2a 2x +1 1 1 1 a)( a) = a 2 2 2 4 ( 0.1)( 0.1)( 0.1) = 0.001
x(x m ) = x m +1 = x1+ m 5 5 5 125 3 3 = )( mn)( mn)( mn mn 2 2 2 8 ( a b )( a) = a b +1 = a1+ b
(
(0.01p)(0.01p) = 0.0001p 2
( mn)( mn 2 ) = m 2 n 3
(0.1x 2 )(0.1x 2 ) = 0.01x 4
د مونوم ضرب په پولﻴنوم ک:3 دوﻳم مثال :د ضرب الندې حاصل الس ته راوړئ. (2m 2 n 3 )(1 4mn 4 ) = 2m 2 n 3 8m 3 n 7
4
5
x y
4
x (x x y ) = x 4
2
3
3b(5b4 8b + 12) = 15b5 + 24b 2 36b 4s 2 t 2 (5s 2 t + 6st 2s 2 t 2 ) = 20s 4 t 3 24s3 t 3 + 8s 4 t 4
21
ﻓعاﻟﻴت د هغه مکعب حجم پيداک7ئ چې اوږدوالى يې ، 2 x ،سور يې xاو لوړوالى يې x + 2وي. د پولﻴنوم ضرب په پولﻴنوم ک:3 درﻳم مثال :a :د ) ( x 4)( x 5د ضرب حاصل الس ته راوړئ. حل( x 4)( x 5) = x 2 5x 4 x + 20 = x 2 9 x + 20 : 4 4x 20
x x2 5x
x 5
b) (a + b)(a + b)(a + b) = (a + b)(a 2 + 2ab + b 2 ) = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
:cکﻪ P( x) = x3 + 2 xاو Q( x) = 2 x 2 x + 1وي P( x ) Q( x ) .پيدا ک7ئ. )P( x ) Q( x ) = ( x 3 + 2 x ) (2 x 2 x + 1 = x 3 2x 2 + x 3 ( x ) + x 3 1 + 2x 2x 2 + 2x ( x ) + 2x 1 2x 2 + 2x
x 4 + 5x 3
2x 2 + 2x = 2x 5
x 4 + x 3 + 4x 3
= 2x 5
22
'لورم مثال :الندې افادې د a 3 + b 3او a 3 b 3مطابقتونو په مرسته ضرب ک7ئ. حل ] ) ( x )( y ) + ( y n 2
m
n
) x y + y ) = ( x + y )[(x
m 2
m
n
n
2n
m
2m
a ) ( x + y )( x m
n
= ( x ) + ( y ) = x 3m + y 3n n 3
)xy + y )xy + y
m 3
y )( x + y )( x + xy + y)( x
( x
y )( x + xy + y)( x + y )( x
)b
=( x
= [( x )3 ( y )3 ][( x )3 + ( y )3 ] = [( x ) 3 ] 2 [( y ) 3 ] 2 3 2 2
( y ) = x 3 y3
3 2 2
) = (x
په ياد ولرئ چې که Q , Pاو Rپولينومونه وي (د ضرب د تبدﻳلﻲ خاصﻴت) P Q = Q P (د ضرب اتحادي خاصﻴت) P (Q R) = (P Q) R ﻓعاﻟﻴت کﻪ P( x ) = 2x 2 x 1او Q( x) = 4 x 8وي ،د ضرب د تبديل 9او اتحادي خاصيتونه په کې وڅې7ئ. په الندې جدول کې د هندسي شکلونو مساحت ( )Areaپيدا ک7ئ. مساحت راک 7شوى اوږدوالى n 2 + n 20اوږدوالى يې n + 5اوسور يې n 4
6 y 2 + 3y 3 5 2 b + 2b 5 2
اوږدوالى يې 3 y + 3اوسور يې 2 y 1 b 3قاعده يې 2b 5او لوړوالى يې b 2 + 2
مستطﻴل مستطﻴل مثلث
m 2 + 26m + 169هره ضلع يې ، m + 13ده
مربع
هره ضلع يې 2 g 4ده
مربع
4g 2 16g + 16
) (9c 2 + 12c + 4شعاع يې 3c + 2ده
23
هند
ش ل ن
داﻳره
ﻓعاﻟﻴت د
)ab bc ac
(a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2د ضرب حاصل په الس راوړئ.
پو*تنه :د يوه حوض څلورو خواوو ته له سمنټو څخه پخه شوې الره ده ،که د دې الرې سور xمتره وي او د حوض اوږدوالى او سور په ترتيب سره 50mاو 25mوي د الرې مساحت معلوم ک7ئ. حل :د الرې او حوض مجموعي مساحت A = (25 + 2 x )(50 + 2 x ) = 1250 + 150x + 4 x 2 د حوض مساحت(25m)(50m) = 1250m 2 :
د الرې مساحت 1250 + 150x + 4x 2 1250 = 4x 2 + 150x :د پولينومونو په ضرب کې کېدای شي ،مونوم په مونوم کې ،مونوم په پولينوم کې او يا پولينوم په پولينوم کې ضرب ک7و او د ضرب په عمليه کې د تبديل ،9اتحادي او د ضرب توزيعي خاصيت په جمع باندې هم صدق کوي.
پو*تن3 .1ضرب يې ک7ئ(4 x 2 y 2 z)( 5xy 3 z 2 ) :
,
)2 xy(2 x 2 + 2 y 2 2
.2يو بکس چې لوړوالى يې xانچه ،اوږدوالى يې ) ( x + 1او سور يې 2 x 4انچه دى ،که لوړوالى يې 3انچه وي ،د دې بکس حجم مساوي دى ،په: d ) 20 in 3
.3د
p
b) 24 in 3
c) 48 in 3
40 in 3
)a
p q r ( a q ) p q ( a r ) q r ( a p ) rد ضرب حاصل مساوي دى ،په:
a
درې واړه سم نه دي ) d
a
a
صفر )c
b) 1
a )1
24
د پولﻴنوم و4ش پر مونوم آيا د 1 2 a , 3mn , 1 mn b
x2 x
14x 5 na د او 2x 2 nb
2
,
4m n n
د وېش حاصل په الس
راوړالى شئ؟(هيڅ يو مخرج له صفر سره مساوي نه دی). د مونوم و4ش پر مونوم (:)Dividing monomial by monomial
لوم7ى مثال :ويې وېشئ: b
na = na b n
x
,
36a 5 b 5c 7 6x 9 y3 3 3 4 4 = 3ab c , = x y , 12a 4 bc3 4x 6 y 2 2
a2 = a2 x a
د پولﻴنوم و4ش پر مونوم: 2
)0
7x 2 = x 2 + 5x 7 2 x
(x 2
7x ) ÷ x 2
3
( x + 5x 4
x + 5x 7 x 2 x 4 5x 3 = 2+ 2 x2 x x 4
3
دوﻳم مثال :ويې وېشئ. 9
x y 4x y = x 5 y xy5 4 y8 3 x y
(x 3 y
)0 )0
3
6
4
2
ﻓعاﻟﻴت د وېش حاصل په الس راوړئ( .مخرجونه خالف د صفر دي) 10b 3c 7 c: 2 7 6b c
25
x y
r 6 s 2 r 5 s 4 r 3s 4 = r 4s r 3 4rs 3 2 rs
( r 2s
x2 ÷ 1 y 1
8
x2 y2
b:
27 x 6 y13 18x12 y8 a: 9x 3 y8
د پولﻴنوم و4ش پر پولﻴنوم :څه وخت چې يو پولينوم پر بل پولينوم وېشو ،مقسوم ( )Dividendاو مقسوم عليه ( )Divisorدواړه بايد په منظم ډول ترتيب شي. درﻳم مثال :د ) (13x + 2x 4 + 12 + 3x 3 4x 2 ) ÷ (3 + x 2 2xد وېش حاصل په الس راوړئ. 2x + 3
2x 4 + 3x 3 4x 2 + 13x + 12
x2
± 2x 4 m 4x 3 ± 6x 2
2x 2 + 7x + 4
7x 3 10 x 2 + 13x ± 7x 3 m 14x 2 ± 21x 4x 2 8x + 12 ± 4x 2 m 8x ± 12 0
ﻓعاﻟﻴت د ) (a 5 + b 5 ) ÷ (a + bد وېش حاصل په الس راوړئ. 'لورم مثال :د وېش حاصل يې پيدا ک7ئ ). ( x 3 19x 30) ÷ ( x + 3 حل: x +3 3x 10
3
19x 30 2
2
x
x
_x ± 3x 3
3x 2 19x m 3x 2 m 9x 10x 30 m 10x m 30 0
پن%م مثال :د 4x 3 10x 2 + 12x + 6له پولينوم سره کوم عدد جمع ک7و چې په ( ) 2 x + 1 پوره ووېشل شي؟
26
حل 10x + 12x + 6
2x + 1
2
2x 2 6x + 9
3
4x
_4x 3 ± 2x 2 12x 2 + 12x m 12x 2 m 6x 18x + 6 _ 18x ± 9 3
په نتيجه کې که له پورتني پولينوم سره 3جمع ک7و ،نو په ) (2 x + 1پوره د وېشلو وړ دى. بايد پام مو وي ،د وېش عمليې ته به تر هغو پورې دوام ورکوو چې پاتې(باقي مانده) صفر او يا د باقي مانده درجه د مقسوم عليه له درجې څخه د يو په ا ندازه کمه شي. ﻓعاﻟﻴت د دوو پولينومونو د ضرب حاصل 6 y 3 11y 2 + 6 y 1دى .که يو پولينوم 3 y 2 4 y + 1
وي ،بل پولينوم پيدا ک7ئ. شپ8م مثال :د xپه کوم قيمت 12x 4 + 3x 3 13x 2 + x + 5پﻮلﻴنﻮم پر 3x 2 1باندې پوره وېشل کې8ي؟ حل 1
2
3x
13x + x + 5 2
4x + x 3
2
2
2x + 2 = 0 2x = 2 x= 1
4
m 4x
_ 3x 3
m
9x 2 + 2x + 5 ±3 2x + 2
نﻮ د x = 1لپاره پورتنى پولينوم پر 3x 2 1پوره وېشل کې8ي.
27
12 x + 3x
3x 3 9 x 2 +
x x
3
4
m 9x 2
_ 12 x
د پولينومونو په وېش کې کېدای شي چې مونوم پر مونوم ،پولينوم پر مونوم او يا پولينوم پر پولينوم ووېشو .لوم7ى بايد مقسوم او مقسوم عليه په نزولي ډول ترتيب شي او د وېش عمليې ته تر هغه پورې دوام ورکوو ،تر څو د پاتې (باقي) درجه د مقسوم عليه له درجې څخه د يو په اندازه کمه شي.
پو*تن3 .1د Pپﻪ کﻮم قﻴمت 3x 3 7 x 2 9 x + pپﻮلﻴنﻮم پر x 13پوره وېشل کې8ي؟ .2د وېش حاصل يې پيدا ک7ئ. )(a 3 + b 3 + c3 3abc) ÷ (a + b + c )( x 2 + x 6) ÷ ( x 2 )y 5 ) ÷ ( x y
(x 5
j5 k 2 3 j8 k 4 2 j4 k 12 x 5 + 9 x 4 + 15x 2 3x 3 27a 6 b13 18a 12 b8 9a 3 b8 ) ( x 3 a 3 ) ÷ ( x 2 ax + a 2 )(9 x 4 + 2 x 2 + 7 x + 2) ÷ (3x + 2 )(8x 3 + 27 y 3 ) ÷ (2 x + 3y
)(7 x 12 + 2 x 4 8x 3 x 2 ) ÷ (2 x 2 + 5
28
د باقﻲ مانده قضﻴه ()Remainder Theorem آيا د وېش د عمليې له سرته رسولو پرته ويالى شئ چې که د x 3 6x 2 x 6پﻮلﻴنﻮم پﻪ x 4ووېشو پاتې(باقي) به څو وي؟ پاتې
کﻪ د ) P(xپﻮلﻴنﻮم پﻪ x aووېشل شي باقي (پاتې) د ) P(aسره مساوي ده .يا ) R = P (a
لوم7ى مثال :که د P( x ) = 2x 2 + 3x + 4پﻮلﻴنﻮم پر ( ) x + 3ووېشل شي ،نو باقي ( )Remainderلﻪ ) P( 3سره مساوي ده. P( 3) = 2( 3) 2 + 3( 3) + 4 = 13
حل: اوس يې ازمايو او د وېش عمليه سرته رسوو.
x +3
2 x + 3x + 4
2x 3
_ 2x 2 ± 6x
2
3x + 4 m 3x m 9 13
قضﻴه :که د ) P(xپﻮلﻴنﻮم پﻪ ) ( x aووېشو ،نو باقي يا پاتې ) R = P(aده. ثبوت :که د ) P(xپﻮلﻴنﻮم پﻪ ) ، ( x aووېشو او خارج قسمت ) Q(xاو پاتې Rوي ،نو لرو چې: x a=0 x=a
P(x) = Q(x)(x a) + R P(a) = Q(a)(a a) + R P(a) = R
دوﻳم مثال :که د 2 x 3 x 2 7پﻮلﻴنﻮم پر ) ( x 2ووېشل شي ،پاتې به څو وي؟
29
حل: 7 = 16 4 7 = 5
2
)( 2
3
)P(2) = 2(2 R =5
ﻓعاﻟﻴت د پورتن 9قضيې په مرسته يې پاتې(باقي مانده) پيدا ک7ئ. کﻪ x 2 226 x + 1410
x 3پر )( x + 17
کﻪ x 3 2 x 2 + 3x + 5پر )( x 4
شل
شل
کﻪ x 3 + 18x 2 + 164x + 199پر )( x + 8
شل
1 2
درﻳم مثال :کﻪ د 5 x 2 + x 9پﻮلﻴنﻮم پر ) ( x +ووېشل شي ،د وېش د عمليې له سرته رسولو څخه پرته وواياست چې څو پاتې کې8ي؟ حل 1 =0 2 1 =x 2
x+
1 1 1 ) = 5( ) 2 9 2 2 2 1 1 5 1 5 2 36 33 ) (= 5 = =9 =9 4 2 4 2 4 4
(P
'لورم مثال :که د P( y) = 10 y 3 + 7 y 2 y 11پﻮلﻴنﻮم پر ) (2 y + 1ووېشو ،د وېش د عمليې له سرته رسولو پرته يې پاتې(باقي) پيدا ک7ئ. حل 2y = 1
1 3 1 1 2y + 1 = 0 ) + 7( ) 2 ( ) 11 2 2 2 1 =y 1 1 1 2 ) + 7( ) + 11 8 4 2 5 + 7 + 2 44 40 = 11 = = 10 4 4
1 () = 10 2 1 (P( ) = 10 2 5 7 1 = + + 4 4 2 R = 10
(P
30
ﻓعاﻟﻴت د 4مثال په پوښتنه کې د وېش عمليه سرته ورسوئ او باقي يې په الس راوړئ. پن%م مثال :که د 4x 4 + 12x 3 13x 2 33x + 18پولينوم پر ) ( x + 4ووېشل شي، باقي يې پيدا ک7ئ. حل: 33( 4) + 18
2
)13( 4
3
)P( 4) = 4( 4) + 12( 4 4
= 1024 768 208 + 132 + 18 = 1174 976 = 198
اوس د وېش عمليه سرته رسوو. x+4
4x 4 + 12x 3 13x 2 33x + 18 - 4x 4 ± 16x 3
4x 3 4x 2 + 3x 45
4x 3 13x 2 m 4x 3 m 16x 2 + 3x 2 33x ± 3x 2 ± 12x 45x + 18 m 45x m 180 198
که د ( P)xپولينوم پر ( P)x-aووېشل شي ،د وېش د عمليې له سر ته رسوولو پرته يې د باقي مانده قضيې ()Remainder Theoremپه مرسته باقي پيدا کوالى شو چې باقي مانده ( )Rلﻪ ()a Pسره مساوي ده.
31
پو*تن3 .1د باقي مانده قضيې ( )Remainder theoremپه مرسته يې باقي (پاتې) پيدا ک7ئ. 1 ) 2
(6 p 3 + 2 p 2
p + 20) ÷ (p
)y 6) ÷ ( y 1.6
(4 y 2
x 2 + 4 x + 1) ÷ ( x 3) ,
,
(5x 3
)(6 x 2 + 15) ÷ (4 x + 9
.2د باقي مانده قضيې په مرسته وواياست چې د kپه کوم قيمت د 5x 3 k 2 x 2 + 3k x 6
پﻮلﻴنﻮم پر ( ) x + 2ووېشل شي ،تر څو 44باقي شي؟ 1 .3د kپه کوم قيمت که د 2k 2 y 4 ky 2 + 1پولينوم ،پر ) 2
شي؟ .4که چېرې 10x + 2 به څو وي؟ 2
4
2
m xپﻮلﻴنﻮم پر )( x 1
( yووېشل شي ،ترڅو 2باقي
ش ا باق 17
،د mقيمت
32
د فک"ور قضﻴه ()The Factor Theorem )( x 5 + 1) ÷ ( x + 1 آﻳا ) ( x 1د P( x) = x 3 4 x 2 + x + 2
پولينوم يو فکټور دى؟
]P( 1) = [ ( 1) + 1 = 1+1 = 0 5
شي ،نو x aددې پولينوم يو کﻪ د ) P(xپﻮلﻴنﻮم پر ) ( x aووېشل شي او = P(a ) = 0 فکټور دى. ثبوت :د باقي مانده قضيې په اساس ) R = P(aدى ،نو که د ) P(xپﻮلﻴنﻮم پر ) ( x aووېشل شي او د وېش حاصل(خارج قسمت) يې ) Q(xوي ،نو لرو چېP(x) = Q(x)(x a) + R : کﻪ R = 0وي ،نوP(x) = Q(x)(x a) :
ليدل کې8ي چې ) ( x aد ) P(xپولينوم يو فکټور دى .او يا که ) ( x aد ) P(xد پولينوم يو فکټور وي ،نو P(a) = 0دى. لوم7ى مثال :وښياست چې ) ( x 2د P( x ) = x + 3x + 4x 28د پولينوم يو فکټور دى. 2
3
حل x 2=0 x=2
P(x) = x + 3x + 4x 28 2
3
P(2) = 2 + 3(2) + 4 2 28 = 8 + 3(4) + 8 28 = 0 2
3
څرنګه چې Rﻳا P(2) = 0دى ،نو ) ( x 2د ) P(xد پولينوم يو فکټور دى. ﻓعاﻟﻴت د وېش د عمليې له سرته رسولو پرته ،د فکټور د قضيې په مرسته وښياست چې x 1د P( x ) = 2x 3 13x 2 + 26x 15پولينوم يو فکټور دى. دوﻳم مثال :د فکټور د قضيې په مرسته وښياست چې( ) x 2د P( x ) = x 5 32پولينوم يو فکټور دى.
33
حل 32
5
P(x) = x
P(2) = 25 32 = 32 32 = 0
څرنګه چې R = P(2) = 0ده ،نو ) ( x 2د x 5 32پولينوم يو فکټور دى. درﻳم مثال :وښياست چې ) ( x + 1د P( x ) = 2x 3 + 5x 2 + 7 x + 4پولينوم يو فکټور دى. حلP( 1) = 2( 1)3 + 5( 1)2 + 7( 1) + 4 = 2 + 5 7 + 4 = 0 :
څرنګه چې Rﻳا ) P( 1له صفر سره مساوي دى ،نو ) ( x 1د دې پولينوم يو فکټور دى. 'لورم مثال :د kپه کوم قيمت ( x 1) ،د P( x ) = 2x 4 3x 3 x 2kپولينوم يو فکټور دى؟ حل 1 2k = 2 3 1 2k = 2 2k
3
)3(1
د k = 1لپاره باقي مانده صفر کې8ي ،نو x 1د دې پولينوم يو فکټور دی.
)P(1) = 2(1 2 2k = 0
4
2k = 2 k= 1
ﻓعاﻟﻴت د فکټور د قضيې په مرسته وښياست چې آيا د کيڼې خوا دوه حدې (باينومونه) د اړوندو پولينومونو فکټورونه دي او که نه؟ )(y + 5) : (y3 + 125
)(x 6) : (x 6 36x 3 + 1296
1 1 ) : (x 3 ) 2 8 )(x + 2) : (x 5 + 32
1 )(x + ) : (20x 3 + 7x + 6 2 )(x 0.1) : (10x 3 11x 2 + 1
(x
د فک"ور د قضﻴ 3معکوس (:)Converse of Factor Theorem کﻪ ) ( x aد ) P(xپولينوم يو فکټور وي ،نو P(a ) = 0دى او د aعدد P ( x) = 0
پولينومي معادلې يو جذر ( )Rootدى. لوم7ى مثال :که ) ( x 2د P( x ) = x 3 6x 2 + 11x 6پولينوم يو فکټور وي ،نو
34
وښياست چې P(2) = 0دى او 2د x 3 6x 2 + 11x 6 = 0معادلې يو جذر دى. حل :کﻪ 2د x 3 6x 2 + 11x 6 = 0معادلې يو جذر وي ،نو ) ( x 2ددې پولينوم يو فکټور دى P(2) = 0دى. 6(2) + 11(2) 6 = 8 24 + 22 6 = 0
3
2
P ( 2) = 2
دوﻳم مثال :که -2د x 3 + 4x 2 + kx + 8 = 0معادلې يو جذر وي ،د kقيمت پيدا ک7ئ. حل: ( 2) + 4( 2) + k ( 2) + 8 = 0 8 + 16 + k ( 2) + 8 = 0 2k = 8 + 8 16 k =8 3
2
درﻳم مثال :وښياست چې 3د x 3 6x 2 + 5x + 12 = 0پولينومي معادلې يو جذر دى. حل: (3) 6(3) + 5(3) + 12 = 0 27 54 + 15 + 12 = 0 54 54 = 0 0=0 3
2
نو ليدل کې8ي چې 3ددې پولينومي معادلې يو جذر دى. ﻓعاﻟﻴت وښياست چې 2د x 3 4x 2 + 5x 2 = 0معادلې يوجذر دى. 'لورم مثال :د kد کوم قيمت لپاره 3د 2x 4 6x 3 7 x 2 + kx 15 = 0معادلې يو جذر دى؟ حل: 2(3) 6(3) 7(3) + 3k 15 = 2(81) 6(27) 7(9) + 3k 15 = 0 162 162 63 + 3k 15 = 0 2
3
4
3k = 15 + 63 + 162 162 = 78 3k = 78 k = 26
35
کﻪ ( )x-aد ) P(xپولينوم يو فکټور وي ،نو P(a) = 0دى او کﻪ د ) P(xپه پولينوم کې P(a) = 0شﻲ نﻮ ) ( x aد ) P(xپولينوم يو فکټور دى.
پو*تن3 - 1د kد کﻮم قﻴمت لپاره ) ( x 2د P( x ) = 2x 4 x 3 + kx 2 + kx 12پولينوم يو فکټور دى؟ - 2آﻳا ) ( x + 3د P( x ) = x 5 x 3 + 27x 2 27پولينوم يو فکټور دى؟ - 3د فکټور د قضيې په مرسته وښياست چې ) ( x + 7د P( x ) = x 3 + 8x 2 + 8x + 7د پولينوم يو فکټور دى ،که نه؟ - 4د وېش د عمليې د سرته رسولو پرته وښياست چې آيا ) ( y 7د P( y) = y 4 + 2 y 3 6 y 2 14 y 7پولينوم يو فکټور دى که نه؟ 1 2 3 -6د x + x 2 10 x + 8پولينوم د فکټور د قضيې په مرسته تجزيه ک7ئ.
- 5وښياست چې آيا ) (m +د P( x ) = 2m 2 + 4m 2پولينوم يو فکټور دى که نه؟ -7کﻪ ) ( x 1او ) ( x + 1د P( x ) = x 3 + ax 2 + bx + 2د پولينوم فکټورونه وي ،د aاو bقيمتونه پيدا ک7ئ. - 8د ، kد کﻮم قﻴمت لپاره ) ( x 5د Q( x ) = x 3 5x 2 16x + kپولينوم يو فکټور دى؟ - 9د kد کﻮم قﻴمت لپاره ) ، ( 1د x 3 9x 2 + 14 x + k = 0پولينومي معادلې يو جذر دى؟
36
ترکﻴبﻲ و4ش ()Synthetic Division آيا د وېش عمليې له سرته رسولو پرته ،د وېش حاصل او باقي پيدا کوالى شئ. که د P( x ) = 2x + 3x 3 x 2 5پﻮلﻴنﻮم پر ) ( x 2ووېشل شي؟
د ) P(xپﻮلﻴنﻮم پر ) ، ( x aد وېشلو لپاره ترکيبي وېش ( )Horner's Methodيوه لن6ه طريقه ده چې په عمومي ډول د دې هدفونو لپاره ترې کار اخيستل کې8ي. - 1د xد مختلفو قيمتونو لپاره د ) P(xپولينوم د قيمت پيدا کول. - 2د P( x ) = 0معادلې د ناطق جذر د پيدا کولو لپاره. - 3د الجبري افادو د تجزيې لپاره. لوم7ى مثال :که د P( x ) = 4x 4 + 12x 3 13x 2 33x + 18پﻮلﻴنﻮم پر ) ( x + 4باندې ووېشو د وېش د عمليې له سرته رسولو پرته د ترکيبي وېش (تقسيم) په مرسته يې د وېش حاصل ( )Quotientاو باقﻲ مانده ( )Remainderپيدا ک7ئ. حل: x+4=0 x= 4
4
18 180
33 12
13 16
12 16
4لوم7ى کرښه دويمه کرښه
198
45
3
4
4دريمه کرښه
چې د وېش حاصل (خارج قسمت) يې 4x 3 4x 2 + 3x 45او پاتي يا باقي مانده يې 198 ده ،په دې معنا چېP( x ) = ( x + 4)(4 x 3 4 x 2 + 3x 45) + 198 : پورتن 9عمليه په الندې پ7اوونو کې ښودالى شو. د لوم7ى کرښې عددونه د مقسوم ضريبونه دي چې نظر د xتوان ته په نزولي ډول ترتيب شوي دي. .1د 4عدد له لوم7ۍ کرښې څخه دريمې کرښې ته راښکته شوی دی.
37
4 .2پﻪ ( )-4کې ضرب شوى دى چې ( )-16کې8ي او ( )-16د 12د عدد الندې په دويمه کرښه کې ليکل شوى دى. .3د 12او ( )-16د جمعې حاصل چې ( )-4کې8ي ،په دريمه کرښه کې ليکو. .4د( )-4عدد پﻪ ( )-4کې ضربوو چې 16کې8ي او د ( )- 13الندې يې په دويمه کرښه کې ليکو. .5د 16او ( )-13د جمعې حاصل چې 3کې8ي ،په دريمه کرښه کې ليکل شوى دى. .6د 3او ()-4د ضرب حاصل چې ( )-12کې8ي ،د ( )-33الندې په دويمه کرښه کې ليکل شوى دى. .7د( )-33او ( )-12د جمعې حاصل چې ( )- 45کې8ي ،په دريمه کرښه کې ليکو. .8د( )-45او ( )-4د ضرب حاصل چې 180کې8ي ،تر 18الندې په دويمه کرښه ليکل شوى دى. .9د 180او 18د جمعې حاصل 198په دريمه کرښه کې دى198 ،باقﻲ مانده دى او 4x 3 4x 2 + 3x 45د وېش حاصل دى. R = 198او Q( x ) = 4 x 3 4 x 2 + 3x 45 P( x ) = (4 x 3 4 x 2 + 3x 45)(x + 4) + 198
پاتې ( +د وېش حاصل)( xمقسوم عليه)= مقسوم ﻓعاﻟﻴت د وېش عمليې د سرته رسولو په مرسته د پورتن 9پوښتنې د وېش حاصل او باقي مانده پيدا ک7ئ. دوﻳم مثال :د ترکيبي وېش او د وېش د عمليې د سرته رسولو په مرسته يې د وېش حاصل او باقي مانده پيدا ک7ئ. )(4 x 4 5x 2 + 2 x 3) ÷ ( x 2
په ياد ولرئ کوم حدونه چې موجود نه وي ،د هغوى د ضريبونو پر ځاى صفر ليکو يا په بل عبارت پولينوم د مکمل پولينوم په شکل په نزولي ډول ترتيبوو. 2
3 48 45
2 22
5 16
0 8
4
24
11
8
4
38
اوس د وېش عمليه سرته رسوو: 5x 2 + 2x 3
x 2
4x 4
4x 3 + 8x 2 + 11x + 24
4x 4 m 8x 3 8x 3
5x 2
8x 3 m 16x 2 11x 2 + 2x 11x 2 m 22x 24x 3 24x m 48
د وېش حاصل 4 x 3 + 8x 2 + 11x + 24 او باقي ) (45ده.
45
درﻳم مثال ( x 5 x 3 + 27 x 2 28) ÷ ( x + 3) :د ترکيبي وېش په مرسته يې د وېش حاصل او پاتې(باقي) پيدا ک7ئ. حلx 5 x 3 + 27 x 2 28 = x 5 0 x 4 x 3 + 27 x 2 + 0 x 28 : 1 27 0 28 3
x +3= 0
27
x= 3
1
9 9
24 3
0
9 8
1
3 1
3
د وېش حاصل(خارج قسمت) يې x 4 3x 3 + 8 x 2 + 3x 9او پاتې(باقي مانده) عبارت له ) ( 1څخه دی. 'لورم مثال :د ) (2t 3 7 t 2 2t + 14) ÷ (2t 3د وېش حاصل(خارج قسمت) او پاتې (باقې) پيدا ک7ئ. حل: 2t 3 3 =t 2 2 3 t =0 2 3 =t 2
39
3 2
14
2
12
6
2
8
7
2
3 4
2
نو 2t 2 4t 8د وېش حاصل نه دى ،بلکې د وېش حاصل ) (t 2 2t 4دى( .مقسوم او مقسوم عليه دواړه په 2وېشل شوي دي). پن%م مثال :د ترکيبي وېش( )Synthetic divisionپه مرسته د وېش حاصل()quotient او پاتې يې ( )remainderپيدا ک7ئ. )(4V 3 2V 2 + 5) ÷ (V 5
5 450 5
0 90
455
90
4
2 20
4
18
نﻮ Q( x ) = 4v 2 + 18v + 90او R = 455ده. ﻓعاﻟﻴت د ترکيبي وېش په مرسته يې د وېش حاصل او پاتې پيدا ک7ئ. )5x + 5x 15) ÷ ( x 3 4
3
( x + 6x 5
که د ( P)xپولينوم پر ( )x-aباندې ووېشو ،نو مقسوم د مکمل نزولي پولينوم په شکل ترتيبوو او د ترکيبي وېش په مرسته يې د وېش د عمليې له سرته رسولو پرته د وېش حاصل او باقي مانده الس ته راوړالى شو چې د وېش د حاصل درجه د يوه په اندازه د مقسوم عليه له درجې څخه کمه ده.
پو*تن3 -1د ترکيبي وېش په مرسته يې د وېش حاصل او باقي مانده پيدا ک7ئ. )(2 x 3 7 x 2 2 x + 12) ÷ (2 x 3
)(10x 2 + 2 x + 1) ÷ ( x + 1
)(6 x 2 + 15) ÷ (4 x + 9
)(5x 3 3x + 7) ÷ ( x + 4 1 ) 2
(6p 3 + 2p 2 p + 20) ÷ (p
-2د ترکيبي وېش په مرسته يې پاتې (باقي مانده) او د وېش حاصل پيدا ک7ئ. )(4 x 3 2 x 2 + 5) ÷ ( x 5
,
)( y 5 17 y 3 9) ÷ ( y 3 )( x 3 + 8x 2 + 8x + 7) ÷ ( x + 7
40
د ترکﻴبﻲ و4ش په مرسته د پولﻴنوم د فک"ور او د پولﻴنوم د قﻴمت پﻴدا کول آيا د ترکيبي وېش په مرسته ويالى شئ چې ) ( x + 3د x 3 + 9x 2 + 27 x + 27د پولينوم يو فکټور دى؟
لوم7ى مثال :د ترکيبي وېش په مرسته وښياست چې ) ( x 1د P( x ) = 2x 4 x 3 x 2 + x 1پولينوم يو فکټور دى. 1
1 1
1 0
1 1
1 2
2
0
1
0
1
2
څرنګه چې R = 0دى ،نﻮ ) ( x 1ددې پولينوم يو فکټور دى .يا دا چې: )2 x 4 x 3 x 2 + x 1 = ( x 1)(2 x 3 + x 2 + 1
يا د باقي مانده قضيې په مرسته: P(1) = 2 14 13 12 + 1 1 = 2 1 1 + 1 1 = 0
دوﻳم مثال :آﻳا ) (x + 10د x 3 + 3x 2 150پولينوم يو فکټور دى او که نه؟ 10
150 700
0 70
3 10
1
850
70
7
1
څرنګه چې R = 850دى ) ، ( R 0نﻮ ) ( x + 10د x 3 + 3x 2 150پولينوم فکټور نه دى. درﻳم مثال :کﻪ P( x ) = 3x 3 12x 2 + 25 + 5xوي ،د x = 2لپاره د ترکيبي وېش په مرسته ددې پولينوم قيمت پيدا ک7ئ.
41
حل :لوم7ى پولينوم په نزولي ډول ترتيبوو. 12 x + 5x + 25 2
2
3
P( x ) = 3x
25
5
12
3
14 11
12 7
6 6
3
نﻮ P(2) = 11 :دى. ﻓعاﻟﻴت د ترکيبي وېش په مرسته د P( x ) = x 3 x 2 + 10x + 5پولينوم قيمت د x = 1او x = 3
لپاره پيدا ک7ئ. 'لورم مثال :د ترکيبي وېش په مرسته وښياست چې ) (r 4د r 4 256يو فکټور دى. 256 = r 4 + 0 r 3 + 0 r 2 + 0 r 256
r4
حل: r 4=0 r=4
4
256
0
0
0
256
64
16
4
0
64
16
4
1 1
Q( x ) = r 3 + 4r 2 + 16r + 64 R=0
نﻮ ) (r 4د r 4 256يو فکټور دى. د ترکﻴبﻲ و4ش په مرسته د ﻳوې معادل 3د جذرونو پﻴدا کول: پن%م مثال :که د ( )1عدد د x 3 + 4 x 2 + x 6 = 0معادلې يو جذر وي ،د ترکيبي وېش په مرسته يې نور جذرونه پيدا ک7ئ.
42
حل: 1
نو د وېش حاصل يې x 2 + 5 x + 6دى.
6
1
4
6
5
1
0
6
5
1 1
)x 3 + 4 x 2 + x 6 = ( x 1)( x 2 + 5x + 6 x 2 + 5x + 6 = 0 ( x + 3)( x + 2) = 0 x= 2
x= 3
د دې معادلې دوه نور جذرونه 2ا و 3دي. د ترکيبي وېش په مرسته د پولينوم فکټور ،د پولينوم قيمت او د پولينومي معادلې جذر پيدا کوالى شو ،که چېرې د ) P(xپولينوم په ) ( x aووېشو او ) ( R = 0وي ،نﻮ ) ( x aد دې پولينوم يو فکټور دى او د ) (aعدد د P( x) = 0پولينومي معادلې يو جذر دى.
پو*تن3 1 2
-1د ترکيبي وېش په مرسته وښياست چې ) ( x +د 20x 3 + 7 x + 6پولينوم يوفکټور دى او ) ( x + 1د x 4 2x 2 + x + 2پولينوم يو فکټور دى. -2آﻳا ) ( x 0,1د 10x 3 11x 2 + 1د پولينوم يو فکټور دى؟ ولې؟ -3د ترکيبي وېش په مرسته د 6 y 6 y 2 + y 3پﻮلﻴنﻮم قﻴمت د y = 6لپاره پيدا ک7ئ. -4کﻪ ( )1د x 3 + x 2 10x + 8 = 0معادلې يو جذر وي ،د ترکيبي وېش په مرسته يې نور جذرونه پيدا ک7ئ. -5کﻪ د ( )-2عدد د x 3 + 4x 2 + kx + 8 = 0معادلې يو جذر وي ،د ترکيبي وېش په مرسته د kقيمت پيدا ک7ئ؟
43
د 'پرکﻲ لن6ﻳز الجبري افادې په درې ډوله دي(ناطقه الجبري افاده ،غير ناطقه الجبري افاده ،پولينومي الجبري افاده). هغه حدونه چې متحولونه او درجې يې سره مساوي وي ،مشابه حدونه ( )Like termsنومې8ي، لکه 3x 2 :او 5x 2ﻳا 4 x 2 y 2او 6 x 2 y 2مشابﻪ حدونﻪ دي. پولينوم هغه يو يا څو حده الجبري افاده ده چې د حروفو توانونه يې د مکملو عددونو په سټ کې شامل وي. د يوه پولينوم درجه چې له يوه توري (متحول) څخه جوړ شوی وي ،د هغه توري له لوړ توان څخه عبارت ده او که له يوه څخه د زياتو تورو څخه جوړ شوی وي ،د زيات توان لرونکي مونوم درجه ددې پولينوم درجه ده. د يوه حد عددي فکټور ( )Numerical Factorته ضريب وايي ،لکه :په 3x 2کې 3د x 2ضريب دى. ټول ثابت عددونه پولينومونه دي چې ثابت پولينومونه نومې8ي او درجه يې صفر ده ،د صفري پولينوم درجه تعريف شوې نه ده. هغه پولينومونه چې يو متحول ولري او د مشابه حدونو ضريبونه يې سره مساوي وي ،د معادلو پولينومونو په نوم يادې8ي. د متحول په راک 7شوي قيمت کې د يوه پولينوم قيمت هغه عدد دى چې په پولينوم کې د متحول د راک7ل شوي قيمت له وضع کېدو څخه په الس راځي. هغه پولينومونه چې د متحول له لوړ توان څخه تر ثابت عدده پورې ،ټول حدونه په کې موجود وي ،مکمل پولينوم او که يو يا څو حدونه ،ونه لري ،د ناقص پولينوم په نوم يادې8ي. که د يوه پولينوم متحول له ټيټ توان څخه تر لوړ توان پورې ترتيب شي ،منظم صعودي او که له لوړ توان څخه تر ټيټ توان پورې ترتيب شي ،منظم نزولي پولينوم نومې8ي. د پولينوم د جمعې په عمليه کې مشابه حدونه ( )Like termsيو له بل سره جمع کې8ي ،د تفريق
44
په عمليه کې د مفروق عالمې ته تغير ورکوو او نوره عمليه د جمعې د عمليې په شان سرته رسول کې8ي (د مفروق جمعي معکوس له مفروق منه سره جمع کې8ي. د پولينومونو د جمعې او ضرب په عمليو کې د تبديلي او اتحادي خاصيتونه او هم د ضرب توزيعي خاصيت پر جمع باندې صدق کوي. د ضرب په عمليه کې کوالى شو ،مونوم په مونوم کې ،مونوم په پولينوم کې او يا پولينوم په پولينوم کې ضرب ک7و. په همدې ډول کوالى شو ،د وېش په عمليه کې مونوم پر مونوم ،پولينوم پر مونوم يا پولينوم پر پولينوم باندې ووېشو. کﻪ د ) P(xپولينوم پر ) ( x aووېشو د باقي مانده قضيې په اساس پاتې(باقي) له ) P(aسره مساوي ده. کﻪ د ) P(xپولينوم پر ) ( x aووېشو او باقﻲ صفر شي ،نﻮ ) ( x aد ) P(xد پولينوم يو فکټور دى. د فکټور د معکوسې قضيې په اساس که ) ( x cد ) M ( xپولينوم يو فکټور وي ،نو P(c) = 0
او د cعدد د M ( x) = 0پولينومي معادلې يو جذر دى. د ترکيبي وېش په مرسته کوالى شو چې که ) P(xپﻮلﻴنﻮم پر ) ( x aووېشو ،د وېش حاصل او باقي الس ته راوړو او هم د ترکيبي وېش په مرسته د متحول په راک 7شوي قيمت کې د ) P(xد پﻮلﻴنﻮم قﻴمت پﻴدا کﻮﻻى شﻮ. د ترکيبي وېش په مرسته P( x) = 0د پولينومي معادلېجذرونه پيدا کوالى شو. د باقي مانده قضيې په مرسته الجبري افاده هم تجزيه کوالى شو.
45
د 'پرکﻲ پو*تن:3 - 1د kقيمت په داسې حال کې پيدا ک7ئ چې: :aکﻪ ) ( x + 5د P( x ) = x 3 + kx + 125پولينوم يو فکټور وي. :bکﻪ ) ( x 1د Q( x ) = 2x 4 3x 3 x 2kپولينوم يو فکټور وي. :cکﻪ ) ( x 2د P( x ) = x 3 + 3x 2 x + kپولينوم يو فکټور وي. - 2د ترکيبي وېش په مرسته يې د وېش حاصل ( )Quotientاو پاتې ( )Remainderپيدا ک7ئ. ), (5x 4 6 x 2 + 3x 4) ÷ ( x + 4 3 ) 2
(10 x 2 31x + 24) ÷ ( x
)( x 5 + 4 x 4 + x 2 3x 28) ÷ ( x + 4
(30 x 3 20 x 2 100 x + 1000) ÷ ( x 10) ,
- 3د فکټور د قضيې په مرسته وښياست چې ) ( x 1د P( x ) = x 3 4x 2 + x + 2د پولينوم يو فکټور دى. ) 1 (x 1 د - 4د فکټور د قضيې په مرسته وښياست چې 2 8
P( x ) = x 3پولينوم يو فکټور
دى.
1 - 5د ترکيبي وېش په مرسته د 2
= xلپاره د P( x) = 5 x 2 + x 9پولينوم قيمت پيدا
ک7ئ.
- 6د ترکيبي وېش په مرسته د x = 3لپاره د 3 x + 4 x + 1 2
3
k ( x) = 2 xپولينوم قيمت
پيدا ک7ئ. - 7د ترکيبي وېش په مرسته وښياست چې د 3عدد د x 3 3x 2 + x 3 = 0پولينومي معادلې يو حل (جذر) دى. - 8د فکټور د قضيې په مرسته وښياست چې د 1ا و 2عددونﻪ د x 4 5 x 2 + 4 = 0معادلې حلونه (جذرونه) دي. - 9د ترکيبي وېش په مرسته د kقيمت پيدا ک7ئ چې که ) ( x + 3د P( x ) = 3x 3 + kx 2 22x + 24پولينوم يو فکټور وي. - 10د ترکيبي وېش په مرسته يې د وېش حاصل او باقي پيدا ک7ئ.
46
(x 3
)(4 x 4 5x 2 + 2 x 3) ÷ ( x 2
)x 2 14 x + 11) ÷ ( x 4
)(5x 3 3x + 7) ÷ ( x + 4
)(7 x 4 + 41x 2 6) ÷ ( x + 6
- 11د bاو cقيمتونه په داسې حال کې پيدا ک7ئ چې که د P( x ) = x 4 + 6 x 3 20 x 2 + bx + c
پولينوم پر x 2 3x + 2ووېشو ،باقي صفر شي. - 12د mقيمت په داسې حال کې پيدا ک7ئ چې که د k ( x ) = 2 x 3 + 5x 2 mx + 4
پﻮلﻴنﻮم پر ) ( x 2 + 2x 1ووېشو او باقي صفر شي. - 13کﻪ k = 3a ( x 1) 2 a ( x 1) 4او L = 16 + b( x 1) 3b( x 1) 2وي Kb + Laپيدا ک7ئ. - 14د xپﻪ کﻮم قﻴمت د P( x ) = 12 x 4 + 3x 3 13x 2 + x + 5پﻮلﻴنﻮم پر )(3 x 2 1
پوره وېشل کې8ي؟ - 15د Pد کﻮم قﻴمت لپاره د K ( x ) = 3x 3 7 x 2 9x + Pپﻮلﻴنﻮم پر ) ( x 13پوره د وېشلو وړ دى؟ - 16کﻪ د P( x ) = 2x 3 x 2 + 3x 1پﻮلﻴنﻮم پر ) (2 x + 1ووېشل شي ،د وېش د عمليې د سرته رسولو پرته ويالى شئ چې پاتې (باقي مانده) به څومره وي؟ 7 2
)d
3 2
c) 3
a) 3
)b
- 17د mقيمت به څو وي ،که د P( x) = 5 x 2 + 6 x 7پﻮلﻴنﻮم پر ) ( x + mووېشل شي تر څو باقي مانده ( )1شي؟ aاو bسم دي ) d
c) 4
4 5
)b
a )2
- 18کﻪ د P( x ) = x 3 + 3x 2 5x 8پﻮلﻴنﻮم ،پر ) ( x + 3ووېشل شي د وېش د عمليې له سرته رسولو پرته وواياست چې باقي څومره ده؟ صفر(a b) 13 c) 23 d )7 - 19که چېرې y = 3 , x = 4او z = 2وي ،د الندې الجبري افادو قيمت پيدا ک7ئ.
47
1 b : x2 2
1 2 1 2 y + Z 3 4
a : x 2 yz + zxy 2 + 3xyz 2
- 20د xد راک7ل شوو قيمتونو لپاره د ترکيبي وېش په مرسته د الندې پولينومو قيمتونه پيدا ک7ئ. ,
P( x ) = 2 x 3 + 3x 2 2 x + 5
, x= 1
2
x=2
P( x ) = 3x + 4 x
3
P( x ) = 2 x
x =1
5x + 6
5x + 4 x 1
,
3
4
P( x ) = 4 x + 6 x + x + x 3 , x = 2 2
3
4
- 21د الندې معادلو يو ،يو جذر راک7ل شوى دى ،د ترکيبي وېش په مرسته يې نور جذرونه پيدا ک7ئ. x 3 3x 2 + x 3 = 0
يو جذر يې ( )3دى.
x 3 5x 2 + 7 x + 13 = 0
يو جذر يې ( )-1دى.
x 4 5x 2 + 4 = 0
يو جذر يې ( )-1دى.
x 4 x 3 9x 2 11x 4 = 0يو جذر يې ( )-1دى. - 22کﻪ P( x) = 0وي ،د دې پولينوم درجه څو ده؟ تعريف شوې نه دی (d
b( -1
صفر(c
a( 1
- 23د هغه مستطيل له مساحت څخه چې بعدونه يې ) ( x + 5او ) ( x + 2وي ،د هغه مستطيل مساحت تفريق ک7ئ چې بعدونه يې ) ( x + 3او ) ( x + 1وي. - 24کﻪ ) A = p(p a )(p b)(p cاو c = 12 , b = 5 , a = 13او a+b+c 2
= pوي ،د Aقيمت پيدا ک7ئ.
- 25کﻪ ( x 1) 3او x 3 + ax 2 + bx + cمعادل پولينومونه وي ،د bقيمت مساوي دى په: d) 1
- 26د )
2 a 1
3
a +1 ) (a a 1
)c
b) 3
a) 1
÷ (aافادې حاصل مساوي دى په:
48
a 1 a
a 2 a
)d
- 27د )y )(x + y
)c
)a ) a (a + 1
)b) a (a 2
( x + y )( xد ضرب حاصل مساوي دى په: y
d) x y
b) x 2 + y 2
c) 2 x 2
y2
a) x 2
- 28الندې پولينومونه په نزولي ډول ( )Descending Orderترتيب او هم وواياست چې درجې يې څو دي؟ c) 3
x 2 + xy 2 z 3 x 5
5 x 2 + 3x 5 + 9
)b
پولينوم4کې ) Q(e)1مساوي دى ،پهP( x ) = 0: - 29د x Qx( x)+=7x 2 + 3 x 5پهx + 2 2
3
b) 7
)a )d a) 7
c) 1 d) 1 - 30کﻪ P( x) = x 2 2 x + 3او Q( x) = 2 x + 3 x 1وي ،د الندې افادو قيمتونه پيدا 2
ک7ئ. )P(1) Q( 1
)P ( 0) + Q ( 0 ) [P( x ) + Q( x )] + p( x
) P ( x ) Q( x ) P( x ) P( x
- 31الندې پولينومونه نظر yته په نزولي ډول ترتيب ک7ئ. 4 x 2 y 3xy 2 + x 3 + y 3
4 xy 3 3x 3 y + 2 x 2 y 2 + x 4 + y 4
- 32په الندې الجبري افادو کې پولينومونه ،ناطقې الجبري افادې او غير ناطقې الجبري افادې په نښه ک7ئ. 1 y2
0
,
y2
,
1 x
2x
,
x
,
13 3x 2 2
- 33د ) (1 + 2x + 3x 2 ) + (3x 5 2x 2 ) + ( x 2 5x + 4افادې حاصل مساوي دى په: a) 1 صفر )b c) 1 d) 2 - 34د دوو الجبري افادو د ضرب حاصل ) (a 3 + b 3 + c3 3abcدى .که يوه افاده يې ) (a + b + cوي ،بله افاده پيدا ک7ئ.
49
- 35د وېش حاصل يې پيدا ک7ئ.
) (a 3 + b 3 ) ÷ (a + b
2
)1
) (a 5 b 5 ) ÷ (a b a mma b mmb
- 36ضرب يې ک7ئ.
13x + x + 5) ÷ (3x 2
3
(12 x + 3x 4
)(4 x 3 10 x 2 + 12 x + 6) ÷ (2 x + 1 xa 2 xa 2 x x
1 1 1 1 ) ( x + )( x + 4 2 2 4 2 2 2 ) (m 2n )(2m n 2 1 1 1 )(2 mn)(2 mn)(2 mn 2 2 2
)(a 2 x 2)(a 2 x 2 )(e x + 1)(e x 1 ) (0.1x 2 )(0.1x 2 )(0.1x 2
- 37لوم7ى الندې افادې ساده او بيا يې جمع ک7ئ. (a 1) + 1 (a 1) 3
(10mn m) (m 2 + m) + m 2 ])[ 4(a b) 5] + [(2a + b) (a b
)( y 2 1) + ( y 2 1
)10( x + 1) ( x + 1) 3( x + 2
])10 [ { ( x 2 1) + 5} x ( x 2 mn 4 + mn 5
- 38د کومې الندينې راک7ل شوې يو حده درجه صفر ده؟ 2
)c
2 x
)b
a) x
50
دوﻳم 'پرکﻰ رابﻄه
s1 s2 sn
s
s1 s2
x
sn
s
=
(s1,s2 ) (s 2 ,s2 ) (s n ,sn )
R
مرتب 3جوړې او کارتﻴزﻳنﻲ مﺴتوي
د ( )a,bمرتبــه جوړه پــه کوم حالت کې د ( )c,dلــه مرتبې جوړې ســره مســاوي کېدای شي؟ أيــا د ( )a,bمرتبه جــوړه د ( )b,aله مرتبې جوړې سره مساوي ده؟
O
که aاو bد يوه سټ او يا د مختلفو سټونو عناصر وي او aته لوم7نى عنصر او bته دويم عنصر ووايو ،نو ()a,bته مرتبه جوړه وايي او ( )b,aهم يو مرتبه جوړه ده ،خو ) (a , b) (b, aد )(a, b مرتبه جوړه په هغه صورت کې د ) (c, dله مرتبې جوړې سره مساوى کېدای شي چې a=cاو b=dوي. لوم7ى مثال :کﻪ ) ( x 2 , y + 1) = (1,3وي د xاو yقﻴمتﻮنﻪ پﻴدا ک7ئ. حل x 2 =1 x =3
y +1 = 3 y=2
ﻓعاﻟﻴت که ) (a + 1, 2b 3) = (0, 1وي ،د aاو bقيمتونه پيدا ک7ئ. کارتﻴزﻳنﻲ مﺴتوي )(Cartesian Plane دوه ،عمود او افقي خطونه رسم ک7ئ او د تـقاطع ټکي ته يې مبدآ ( )Originوايي ،افقي خط ته د Xمحور او عمود خط ته د Yمحور وايي. د Xمحورپه X'OXاو د Yمحور په Y'OYسره وښيئ ،هغه مستوي چې دا محورونه په کې واقع دي د کارتيزيني مستوي په نامه يادې8ي. دواړه محورونه مستوي په څلورو برخو وېشي چې هرې برخې ته يې ربع (ناحيه)()Quadrant
53
وايي ،د ساعت د عقربي د حرکت په مخالف جﻬت ( )Anti clockwiseپه ترتيب سره لوم7ن9 دويمه ،دريمه او څلورمه ربع ده ،لکه :څنگه چې په شکل کې ليدل کې8ي.
ربع
ربع
ربع
ربع
په دې مستوي کې د Pدنقطې موقعيت د ( )x,yد حقيقي عددونو د مرتبې جوړي په واسط داسې ښودل کې8ي چې د Pد نقطې افقي فاصله د Yله محور څخه xاو د Pد نقطې عمودي فاصله د xله محور څخه yده.
o
که د Pنقطه د Yد محورښي خواته واقع وي ،د xقيمت مثبت دی او که د Yد محور کيڼي خواته واقع وي ،د xقيمت منفي دی او که د Pنقطه د Yپر محور پرته وي x = 0د .
همدارنگه که د Pنقطه د Xله محور څخه پورته واقع وي، د yقيمت مثبت او که د Xله محور څخه الندې واقع وي
د yقيمت منفي دی (y < 0) .او که د pنقطه د Xپر
o
محور پرته وي y = 0 ،کې8ي ،په لن 6ډول په شکل کې ښودل شوي دي
54
چې xاو yته کارتيزيني مختصات ) (Cartesion Coordinatesوايي چې په ) P( x, yکې لوم7ن 9عنصر xته فاصله ( )abscissaاو دويم عنصر yته ترتيب()Ordinateوايي چې د مختصاتو مبدا ) (0,0ده ،څرﮔنده ده چې د حقيقي عددونو ) ( x, yد هرې مرتبې جوړې لپاره په مستوي کې يوه نقطه او د مستوي د هرې نقطې لپاره د حقيقي عددونو يوه جوړه شته دی. دوﻳم مثال :د ) N(5,0), T(0,2) , K ( 2,4) , P( 3, 5او ) M ( 6,0نقطې د وضعيه کمياتو په مستوي کې وټاکئ.
o
درﻳم مثال :د هرې نقطې لپاره چې په الندې شکل کې ښودل شوي دي ،اړونده مرتبه جوړه وليکئ.
o
ﻓعاﻟﻴت د ) (2,0) , (2,1) , ( 2, 1) , ( 1,2) , (2, 1او ) (0,1نقطې دوضعيه کمياتو په سيستم کې وټاکئ.
55
پو*تن3 - 1که د Pد نقطي فاصله مثبت او ترتيب يې منفي وي ،د Pنقطه په کومه ربع کې واقع ده؟ - 2که د يوه شکل څلور رآسونه ) C( 3, 3) , B( 3,3) , A(3,3او ) D(3, 3وي ،دا کوم ډول هندسي شکل دی؟ - 3د وضعيه کمياتو په مستوي کې هغه مثلث چې رآسونه يې ) B(0,2) , A(2,0او ) C(0,0وي رسم ک7ئ او وواياست چې د اکوم ډول مثلث دی؟ - 4د ) P3 (1,5) , P2 ( 3,2) , P1 (2, 3نقطې د وضعيه کمياتو په سيستم کې وټاکئ. - 5وواياست چې الندې مرتبې جوړي په کومه ربع کې واقع دي؟ )( 5,1
,
)(1,5
)(4, 5 1 )( ,2 2
,
)( 4, 6 1 )( , 2 2 1 1 ) (2 , 2 4 )(0, 1
)(2,0
, ,
56
د کارتﻴزنﻲ ضرب حاصل او -راف ﻳ3 أيا په مخامﺦ شکل کې A × Bښودالی شئ؟
ﻓعاﻟﻴت که } A{1,2,3او { B=}4,5وي: A × Bپيدا ک7ئ. د A × Bد عناصرو شمېر پيدا ک7ئ. آيا A × B = B × Aدى؟ آيا A × Aاو B× Bپيدا کوالئ شئ؟ که Aاو Bدوه غير خالي سټونه وي (A × B) ،په الندې ډول تعريف شوي دي: }y B
A
A × B = {( x , y) x
په دې معنا چې د Aاو Bد ضرب حاصل ) (A × Bداسې يوسټ دی چې عناصر يې د ()x,y د هغه مرتبو جوړوسټ دى چې xد Aد سټ او yد Bد سټ عنصروي ،که A Bوي نو: A × B B × Aدي که د Aد سټ د عنصرونو شمېر mاو د Bدسټ د عنصرونو شمېر n وي ،د A × Bد عناصرو شمېر له ) (m × nڅخه عبارت دی. لوم7ى مثال :که } A = {0,1,2او } B = {3,4وي B × A, A × Bاو A × Aپيدا ک7ئ. حل })A × B = {0,1,2} × {3,4} = {(0,3), (0,4), (1,3)(1,4), (2,3), (2,4 })B × A = {3,4} × {0,1,2} = {(3,0), (3,1), (3,2)(4,0), (4,1), (4,2 })A × A = {0,1,2} ×{0,1,2} = {(0,0), (0,1), (0,2)(1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), (2,2
57
ﻓعاﻟﻴت که } A = { 4, 1,0او } B = {1,4وي A × A , A × Bاو B× Bپيدا ک7ئ. دوﻳم مثال :که } IN = {1,2,3...او } L = {0وي ،نو IN × Lپيدا ک7ئ. حل: }IN × L = {(1,0), (2,0), (3,0), (4,0)...} = {( x,0) / x IN درﻳم مثال :که } IN = {1,2,3...او } W = {0,1,2,3...وي W × Nپيدا ک7ئ. حل } W × IN = {(0,1), (0,2), (0,3),..., (1,1), (1,2), (1,3),..., (2,1), (2,2),..., }= {( x , y) / x w y IN
د کارتﻴزنﻲ حاصل ضرب ﮔراف)Graph of Cartesian Product( : کوالی شو چې د کارتيزني ضرب حاصل د وضعيه کمياتو په مستوي کې هم وښودالی شو. 'لورم مثال :که } A = {1,2,3او } B = {4,5وي A × Bپيدا ک7ئ او د وضعيه کمياتو په مستوي کې يې وښياست. حل
})A × B = {(1,4), (1,5), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5
o
د Xپرمحور د 1,2,3عددونه او د Yپر محور د 4او 5عددونه ټاکو له 2,1او 3څخه عمود خطونه او له 4او 5څخه افقي خطونه رسموو ،ددې دواړو خطونو د تقاطع نقطې د A × Bمرتبې جوړې ښکاره کوي.
58
پن%م مثال :که } A = {1,2او } B = {2,3,4وي A × Bاو B × Aپيدا ک7ئ او په شکل کې ېې وښياست. })A × B = {1,2} × {2,3,4} = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4 })B × A = {2,3,4} × {1,2} = {( 2,1), (2,2), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2
o
o
A×B
B× A
شپ8م مثال :که }] A = {x / x IR , 0 x 3 = [0,3او }] B = {y / y IR , 0 y 2 = [0,2وي A × Bپه شکل کې يې وښياست. حل
}A × B = {( x , y) / 0 x 3 0 y 2
o
ﻓعاﻟﻴت که چېرې } A = {1,2او } B = {3,4وي A × Bپيدا او په شکل کې يې وښياست.
59
پو*تن3 - 1که:
}A = { 1,1,3 }A = { 1,1 وي A × Bپيدا او په شکل کې يې وښياست.
}i ) B = {2,4 }ii ) B = {2,3
- 2د لوم7ۍ پوښتنې د سټونو لپاره B × Aپيدا او په شکل کې يې وښياست. - 3که } A = {1,2,3وی A × Aپيدا ک7ئ. - 4که } A = {2,4,6او } B = {1,3,5وی A × A , B × A , A × Bاو B× Bپيدا ک7ئ
60
رابﻄه ()Relation عطااﷲ د عزت اﷲ ورور دی (عطا اﷲ Rعزت اﷲ) ورورولي هم يوه رابطه ده.
يوسټ چې د شيانو او مفﻬومونو له مرتبو جوړو څخه جوړ شوی وي ،له يوې رابطې څخه عبارت دى .يا که Aاو Bدوه غير خالي سټونه ( )non empty setsوي ،نو د A × Bهرفرعي سټ له Aڅخه په Bکې يوه رابطه ده ،که (a , b) Rوي ،ويل کې8ي چې aله bسره رابطه لري او د ( )aRbپه شکل ليکل کې8ي. که Rله Aڅخه په Bکې يوه رابطه وي ،نو A × B
Rده او که Rد A × Aيو فرعي سټ
وي ،نو Rپه Aکې يوه رابطه ده. لوم7ى مثال :که } A = {x, yاو ) B = (1,2وي A × B ،پيدا ک7ئ ،او له Aڅخه په Bکې څلور رابطې وليکئ. حل })A × B = {( x ,1), ( x ,2), ( y,1), ( y,2 })R 1 = {( x ,1), ( x ,2 })R 2 = {( y,1 })R 3 = {( y,2 })R 4 = {( x ,1), ( y,1
چې د A × Bد عناصرو شمېر څلور او د A × Bد ټولو فرعي سټونو شمېر 2 4 = 16دی ،نو له Aڅخه په Bکې د ټولو رابطو شمېر 16دي. دوﻳم مثال :که } A = {1,3,5,...19چې د Aد سټ د عناصرو شمېر 10دى او }B = {2,4,6
وي چې د Bد عناصرو شمېر ) (3دی ،د A × Bد عناصرو شمېر(ټولې مرتبې جوړې)
61
10 × 3 = 30دي او له Aڅخه په Bکې د ټولو رابطو شمېر 230دی. پام مووي چې :او A × Bهم په فرعي سټونو کې شامل دی. درﻳم مثال :که } A = {1,2,3او } B = {a , bوي له Aڅخه په Bکې ( )3رابطې وليکئ. حل:
})A × B = {(1, a ), (1, b), (2, a ), (2, b), (3, a ), (3, b
درې رابطې عبارت دي له: })R 1 = {(1, a ), (1, b), (2, a ), (3, a ), (3, b })R 2 = {(1, b), (2, a ), (3, a ), (3, b }) R 3 = {(2, a ), (2, b), (3, a
ﻓعاﻟﻴت که }) R = {( x, y ) / x + y = 5په } A = {1,2,3,4کې يوه رابطه وي ،د Rعناصر وليکئ. 'لورم مثال :که } R = {( x, y) / x y = 2په } A = {1,2,3,4کې يوه رابطه وي ،د R عناصر وليکئ. حل R = {(3,1), (4,2)} :ده. د رابﻄ 3د تعرﻳﻒ ساحه ( )Domainاو د قﻴمتونو ساحه ( )Rangeﻳ:3 پوهې8و چې که Rله Aڅخه په Bکې يوه رابطه وي ،نو A × B
Rده ،په دې معنا چې Rيو
سټ دی چې عناصر يې د ( )x,yمرتبې جوړې دي چې x Aاو y Bده. د Rد تعريف ساحه د مرتبو جوړو لوم7ني عناصر دي چې په Dom Rسره ښودل کې8ي .همدارنگه د Rد قيمتونو ساحه ( )Rangeد مرتبو جوړو دويمي عناصر دي ،په Range Rسره ښودل کې8ي. لوم7ى مثال :که} A = {1,2او} B = {x, yوي او Rله Aڅخه په Bکې يوه رابطه وي ،لوم7ى د دې رابطې عناصر ولېکئ ،بيا د رابطې د تعريف ساحه ( )Dom Rاو د قيمتونو ساحه ( )Range Rيې وليکئ.
62
حل
})R = {(1, x ), (2, x ), (1, y), (2, y }RangeR = {x , y
}DomR = {1,2
دوﻳم مثال :که د } R = {( x, y) / x 2 + y 2 = 13رابطه د } A = { 3, 2,1,2,3په سټ کې تعريف شوي وي ،لوم7ى د ( )Rعناصر د مرتبو جوړو په شکل وليکئ ) Dom R( ،او( ) RangeR پيدا ک7ئ او بيا يې ﮔراف رسم ک7ئ. })R = {( 3, 2), ( 3,2), ( 2, 3), ( 2,3), (2, 3), (2,3), (3, 2), (3,2 }Dom R = { 3, 2,2,3 }Range R = { 3, 2,2,3
ﻓعاﻟﻴت که } R = {( x, y) / y = 2xوي او د Rد تعريف ناحيه } {0,4,8وي ،د Rد قيمتونو ناحيه معلومه ک7ئ. معکوسه رابﻄه ()Inverse of a Relation که Rله Aڅخه په Bکې يوه رابطه وي ،د Rمعکوس چې په
1
Rسره ښودل کې8ي او له
} R 1 = {( y, x) ( x, y ) Rڅخه عبارت ده: 1
( y, x ) R
( x , y) R
د Rدتعريف ساحه د R 1د قيمتونو ساحه او د R 1د تعريف ساحه د Rد قيمتونو له ساحې څخه عبارت ده. مثال :که }) R = {(1,2)(2,3)(3,4د طبيعي عددونو په سټ کې يوه رابطه وي ،د Rد رابطې معکوسه رابطه يا R 1پيدا ک7ئ. 1 })R = {( 2,1)(3,2)(4,3 حل:
63
معادله رابﻄه ( :)Equivalent Relationد Rرابطه د Aپه سټ کې يوه معادله رابطه ده ،که درې الندنې خاصيتونه ولري: -1انعکاسي خاصيت ( :)Reflexive Propertyد xد هر عنصر x Aلپاره ( x , x ) R وي يا ( x , x ) R
x A
-2تناﻇري خاصيت ( :) :)Symmetric Propertyکه( )x,yپه Rکې شامله وي ،نو ( )y,xهم په Rکې شامله وي يا( y, x ) R :
( x , y) R
- 3انتقالي خاصيت (:)Transitive Propertyکه ( x , y) Rاو هم ( y, z) R
وي په نتيجه کې ( )x,zمرتبه جوړه هم په Rکې شامله وي يا: ( x , z) R
( x , y) R ( y, z) R
مثال :د مساوات رابطه د حقيقي عددونو په سټ کې يوه معادله رابطه ده: -1په حقيقي عددونو کې د هر xلپاره x=xدى( 5=5 ،انعکاسي خاصيت) -2د هر x, y IRلپاره که x=yوي ،نو y=xده(تناﻇري خاصيت) -3د هر x , y, z IRلپاره که x = yاو y=zوي په نتيجه کې x=zدی(انتقالي خاصيت)
پو*تن3 -1که } B = {0,4,6} A = {1,2وي. له Aڅخه په Bکې درې رابطې وليکئ. له Bڅخه په Aکې څلور رابطې وليکئ. په Aکې څلور رابطې وليکئ. -2که } A = {1,2,3,4او } B = {1,3,5وي او } ، R = {( x, y) y < xله Aڅخه په Bکې يوه رابطه وي ،د Rعناصر وليکئ. -3که } R = {( x, y) y + 1 = 2x 2د طبيعي عددونو په سټ کې يوه رابطه وي او د تعريف ساحه ېې ټول طبيعي عددونو وي ،د قيمتونو ساحه ( )Rangeيې پيدا ک7ئ.
64
د'پرک 3لن6ﻳز ) : (a , bچې دليکلو ترتيب په کې اهميت لري ،مرتبه جوړه نومې8ي چې aته لوم7ن 9مختصه او bته دويمه مختصه وايي ،په عمومﯽ ډول ) (a , b) (b, a د ) (a , bاو ) (c, dدوه مرتبې جوړي په داسې حال کې سره مساوي دي چې a = cاو b = dوي.
د کارتﻴزﻳنﻲ ضرب حاصل :د Aاو Bدسټونو کارتيزيني ضرب چې په A× Bسره ښودل کې8ي په دې ډول تعريف شوي دیA × B = {( x , y) | x A y B} : که د Aسټ د عناصرو شمېر په mاو د Bد سټ د عناصرو شمېر په nسره وښايو ،د A× Bد عناصر شمېر m × nدی. کوالی شوچې د Aاو ،Bدسټونو ضرب ) (A × Bد وضعيه کمياتو په مستوي کې وښايو. رابﻄه :د A× Bهر فرعي سټ له Aڅخه په Bکې د Rيوه رابطه ده. R A × Bاو که R A × Aوي ،نو په دې صورت کې Rپه Aکې يوه رابطه ده. xR y
( x , y) R
که د Aسټ د عناصرو شمېر په nسره وښايو ،د Aد فرعي سټونو شمېر 2nدی. که د Aسټ د عناصرو شمېر په mاو د Bدسټ د عناصرو شمېر په nسره وښايو له Aڅخه په Bکې د رابطو شمېر 2mxnدی که Rله Aڅخه په Bکې يوه رابطه وي ،د Rد تعريف ساحه ( ) DomRد مرتبو جوړو ساحه ) (RangeRيې دمرتبو جوړو د دويمو عناصرو سټ دلوم7نيو عناصرو سټ او د قيمتونو R دی. 1 معکوسه رابﻄه :که Rله Aڅخه په Bکې يوه رابطه وي ،د Rمعکوسه رابطه په Rسره ښودل کې8ي چې: }R. 1 = {( y, x ) ( x , y) R 1
( y, x ) R
( x , y) R
ښکاره خبره ده چې R 1د تعريف ساحه د Rدقيمتونو له ساحې سره او د R 1دقيمتونو ساحه د Rد تعريف له ساحې سره مساوي ده. معادله رابﻄه R :د Aپه سټ کې يوه معادله رابطه ده که چېرې الندې درې خاصيتونه ولري. -3انتقالي خاصيت. -1انعکاسي خاصيت -2 .تناﻇري خاصيت.
65
د'پرک 3پو*تن3 -1که } A = {1,3,5او } B = {2,4,6وي B × A, A × Bاو A× Aپيدا ک7ئ.. -2که } A = {1,2,3او } B = {0,1وي A× Bپه شکل کې وښياست. -3که ) ( x 2 y,2x + y ) = (3,1وي د xاو yقيمتونه پيدا ک7ئ. -4په } A = {1,3,5کې د Rرابطه داسې په الس راوړئ چې Rد مساوات رابطه وي. -5که } A = {a , bوي د A2عناصر وليکئ. -6که د} R = {( x, y) y = x 2رابطه د حقيقي عددونو په سټ کې تعريف شوي وي د Rرابطې ﮔراف رسم ک7ئ. -7که} R = {( x, y) y 2 = xرابطه د حقيقي عددونو په سټ کې تعريف شوي وي د Rد رابطې ﮔراف رسم ک7ئ. -8که }) R = {(1, 1), (2, 2)(3, 3وي د R 1د تعريف او قيمتونو ساحې وټاکئ. -9که }) R = {(1,2)(1,3)(1,4)(1,5وي د Rاو
1
Rد تعريف او قيمتونو ساحې وټاکئ.
-10که } A = {3,6,12او } B = { 1,0وي په Aکې د رابطو شمېر او له Aڅخه په Bکې درابطو شمېر پيدا ک7ئ. -11که د ) (4a + 1,2b + aاو ) (5,3a 4bدوه مرتبي جوړي سره مساوي وي د aاو b قيمتونه پيدا ک7ئ. -12که } A = {a , b, cاو } B = {x, yوي A× Bاو B × Aپيدا ک7ئ.
66
درﻳم 'پرکی تابﻊ
ﺗاﺑﻊ ()function أيا تابع او رابطه يو له بله سره توپير لري؟
ﻓعاﻟﻴت أيا هره تابع يوه رابطه ده او هره رابطه يوه تابع ده ؟ أيا د م رتبو جوړو هر سټ يوه تابع ده؟ أيا کوالى شئ چې يوې تابع ته د يو ماشين په شان فکر وک7ئ؟ د لوم7ي ځل لپاره د تابع مفﻬوم د يوه الماني رياضي پوه ليبنز ( (1716 1646) ،)Leibnizله خوا معرفي شوه. تابع يوه رابطه يا يوه قاعده ده چې يو کميت ته د بل کميت سره اړيکه ورکوي ،د تابع د مفﻬوم د ښه پوهيدو لپاره الندې مثالونه تر غور الندې ونيسئ. - 1د يوې م ربع مساحت ( )Aد م ربع په ضلعې ( )xپورې اړه لري .هغه معادله چې د م ربع مساحت 2 ته د م ربع په ضلعې پورې اړيکه ورکوي له A = xڅخه عبارت ده . x 1 2 3 4 5 . . .د مربع ضلع 1 4 9 16 25 . . .
Aد مربع مساحت
يا په بل عبارت د م ربع مساحت د م ربع د ضلعې تابع دى يا ) A = f ( x
- 2د ن7ۍ د نفوسو شمېر ( )pپه وخت ( )tپورې اړه لري ،لکه :څ رنګه چې په الندې جدول کې ليدل کې8ي په تق ريبي ډول د ن7ۍ د نفوسو شمېر د ميليون په حساب ښودل شوی دی. 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000
کال ( ) t
1650 1750 1860 2070 2300 2560 3040 3710 4450 5280 6080نفﻮس پﻪ مﻴلﻴﻮن () p
69
ليدل کې8ي چې نفوس ( )Populationيا Pد وخت ( )tتابع ده يا ) p = f (t
- 3د دايرې مساحت ( ، )Aد دايرې په شعاع ( )rپورې اړه لري( ) A = r 2 - 4د کرې حجم ) (Vد کرې په شعاع ( )rپورې اړه لري چې د V = 4 r 3د معادلې په واسطﻪ 3 ښودل کې8ي. له پورتنيو مثالونو څخه دا نتيجه اخيستل کې8ي چې د تابع په مفﻬوم کې اړيکه مرکزي حيثيت لري د مثال په ډول د هر انسان عمر له يوه عدد سره اړيکه لري ،په يوه مغازه کې هر جنس له يوه ټاکلي قيمت سره اړيکه لري ،هر موټر د يوې ټاکلې شمېرې ج وازسېر پورې اړه لري او د هر عدد مکعب، يو عدد دى ). (23 = 8 , 33 = 27 په پورتنيو مثالونو کې ليدل کې8ي چې مساحت ( ،)Aنفوس ( )Pاوحجم ( )Vد م ربع ضلعې (،)x وخت ( )tاو د کرې شعاع ( )rتابع دي چې مساحت ،نفوس او حجم هر يوه ته م ربوط (مقيد) متحول ( )dependent Variableاو د م ربع ضلعې ،د کرې شعاع او د وخت کميتونو ته ازاد متحول يا مستقل متحول ( )Independent Variableوايي کوالى شو چې تابع داسې تع ريف ک7و:
ﺗﻌﺮﻳﻒ تابع د دوو سټونو تر منځ يوه داسې رابطه يا قاعده ده چې د لوم 7ني سټ هر عنصر ي وازې او ي وازې د دويم سټ له يو عنصر سره اړيکه ولري چې لوم 7ن 9سټ د تع ريف د ناحيې ( )Domainاو دويم سټ د قيمتونو د ناحيې ( )Rangeپه نوم يادې8ي.
يا تابع د هغه م رتبو جوړو سټ دى چې لوم 7ني عناصر يې تکرار شوي نه وي. که }) S = {(1, 4 )(2 , 3) (3 , 2 )(4 , 3 )(5 , 4وي ،نو د Sرابطه د يوې تابع ښودونکي ده ،ځکه چې د م رتبو جوړو لوم 7ني عناصر يې تکرار شوي نه دي. }Domain(s) = {1,2,3,4,5 }Range(s) = {2,3,4
70
ﻓعاﻟﻴت که}) T = {(1, 4 ), (2 , 3), (3 , 2 ), (2 , 4 ), (1, 5وي آيا Tيوه تابع ښيي؟ لوم7ى مثال :په الندې جدولونو کې کوم يو ،يوه تابع ښکاره کوي؟ (ﺟدول )І (ﺟدول ) ІІ (ﺟدول ) ІІІ Domain Range Domain Range Domain Range د عدد مکﻌب (عدد) د عدد م ربع (عدد) (د عدد م ربع ﺟﺬر) (عدد)
Іاو ІІجدولونه تابع ښکاره کوي ،ليکن ІІІجدول تابع نه ښکاره کوي ،ځکه چې د لوم 7ن 9سټ يا ( )Domainيو عنصر د دويم سټ ( )Rangeله دوو عنصرو سره اړيکه لري ،يا په بل عبارت د م رتبو جوړو لوم 7ني عناصر تکرار شوي دي چې م رتبې جوړي يې : ) (9 , 3), (9 , 3), (0 , 0), (4 , 2), (4 , 2), (1 , 1), (1 , 1دي او يا دا چې د لوم 7ن9 سټ د يو عنصر لپاره په دويم سټ کې دوه تصويرونه ( )Imagesموجود دي ،ډېره ښه به دا وي چې يوې تابع ته د يو ماشين فکر وک7و ،کوم شکل چې د څپرکې په لوم7ۍ مﺦ کې راک7ل شوى دى ،خام مواد يا ورودي ( )inputيا Domainاو خروجي outputيا ) f ( xد Rangeپه نامه يادې8ي. که Aاو Bد حقيقي عددونو سټونه وي له Aڅخه Bته هره تابع د حقيقي تابع په نامه يادې8ي .پام مو وي چې Range codomain :دی. دوﻳم مثال :که }) f = {( 5 , 3m) , ( 5 , 2m 10) , (1, 2د يوې تابع ښودونکي وي ،د mقيمت پيدا ک7ئ. حل :څ رنګه چې 5 = 5دي ،نو بايد 3m = 2m 10سره وي ،په نتيجه کې m = 10 کې8ي په دې معنا ددې لپاره چې fيوه تابع وي ،بايد m = 10وي. درﻳم مثال :له الندېنيو دياګرامونو څخه کوم يو يې يوه تابع ښيي؟ )(a
71
)(c
)(b
حل :د aاو bدياګرامونه تابع ښيي ،ليکن د cدياګرام د يوې تابع ښودونکى نه دى. تابع د Xاو Yد دوو سټونو ترمنځ يوه داسې رابطه ده چې د xد سټ يا ( )Domainهر عنصر يوازې د Yد سټ ( )Rangeد يو عنصر سره اړيکه لري چې Xته ازاد متحول او Yته مقيد (م ربوط) متحول وايي يا تابع د هغه م رتبو جوړو سټ دى چې لوم 7ني عناصر يې تکرار شوي نه وي.
پو*تن3
- 1د مخامﺦ جدولونو څخه کوم يو يې د تابع ښودونکﯽ دی؟
- 2د الندې م رتبو جوړو له سټونو څخه کومه يوه يې يوه تابع ښيي؟ د تع ريف ساحه ()Domain او د قيمتونو ساحه ( ) Rangeيې تعين ک7ئ.
}){(2 , 4) , (3 , 6 ) , (4 , 8) , (5 ,10 }){( 1, 4) , (0 , 3) , (1, 2) , (2 ,1 }){(10 , 10) , (5 , 5 ) , (0 , 0 ) , (5 , 5) , (10 ,10 }){( 10 ,10) , ( 5 , 5 ) , (0 , 0 ) , (5 , 5) , (10 ,10 }){(0 ,11) , (1,1) , (2 ,1) , (3 , 2) , (4 , 2) , (5 , 2 }){(1,1) , (2 ,1) , (3 ,1) , (1, 2) , (2 , 2) , (3 , 2
1 2 3 4 5 6
72
د تابﻊ د لﻴکلو طرﻳقه او د ﻳوې تابﻊ د قﻴمت پﻴدا کول څه وخت يوه معادله د يوې تابع ښکارندويه ده؟ يوه رابطه څه وخت يوه تابع ښيي؟ يو جدول څه وخت يوه تابع ښيي؟
د لوم7ى ځل لپاره سويسي رياضي پوه اوﻳﻮلر ( )Euler( )1783 -1707دا عبارت چې yد x تابع ده ،د ( y = f )xمساوات په شکل وښوده چې ( f )xد xلپاره د yيا ( f)xد تابع قيمت دى. که fله Aڅخه Bته يوه تابع وي ،په الندې ډول ښودل کې8ي چې B
ﻳا
f :A
)y = f (x
په شکل کې xله ( )inputاو ( f)xله ( )outputڅخه عبارت دی ،تابع ګانې د h,g,fاو نورو تورو په واسطه ښودل کې8ي. تابع عموما َ په 4ط ريقو ښودل کې8ي. - 1د عبارتونو (جملو) په واسطه ()Verbally - 2د يوه جدول په واسطه يا عددي ()Numerically - 3مشاهده وي :د ګراف په واسطه ()Visually - 4د يو واضﺢ فورمول يا معادلې په واسطه يا په الجبري ډول ()Algebraically ﻓعاﻟﻴت که ( f)xاو ( g)xپه جدولونو کې په الندې ډول راک7ل شوي وي ،د xپه راک7ل شوو قيمتونو کې ددې تابع ګانو قيمت پيدا ک7ئ .يا په بل عبارت د تابع د تع ريف ساحه ( )Domainدرک7ل شوي ده ،د تابع اړونده قيمتونه ( )Rangeيې پيدا ک7ئ.
73
g ( x) = x 3 1 2
=x
2 4
? =)g(x
? ?
0 -1 1
?
? ?
1 x 4 2 -1 -2 0
? ?
= )f (x
=x
? =)f(x
لوم7ى مثال :که f ( x) = x 2 + 3x 2وي ) f ( 3) , f (0) , f (2او ) f (aپيدا ک7ئ. حل: د تابع قﻴمتﻮنﻪ تابع ) f ( x ) = x 2 + 3x 2 (Ruleد تﻌرﻳﻒ ساحﻪ 8 2 2 a 2 + 3a 2
f ( 2) = 2 2 + 3 2 2 = 4 + 6 2 f ( 0) = 0 2 + 3 0 2 = 2 f ( 3) = ( 3) 2 + 3( 3) 2 = 9 9 2 f (a ) = a 2 + 3a 2
2 0 3 a
ﻳا f (2) = 8 , f (0) = 2 , f ( 3) = 2 , f (a) = a 2 + 3a 2
دوﻳم مثال :که f ( x ) = x 2 + 3x + 5وي f ( x + 3) , f ( x ) ،او ) f (2پيدا ک7ئ. حل f (2) = 2 2 + 3 2 + 5 = 4 + 6 + 5 = 15 f ( x + 3) = ( x + 3) 2 + 3( x + 3) + 5 = x 2 + 6 x + 9 + 3x + 9 + 5 = x 2 + 9 x + 23 f ( x ) = ( x ) 2 + 3( x ) + 5 = x 2 3x + 5
ﻓعاﻟﻴت که g ( x) = x 2 2 x + 7وي ), g ( x + 4) , g ( xاو) ) g( 5پيدا ک7ئ. درﻳم مثال :که h( x) = 3 2 xاو f ( x) = 2 x + 6وي ) h (6) ، f ( 1او))) f ( 1) + f (3
پيدا ک7ئ.
74
حل:
f ( 1) = 2( 1) + 6 = 2 + 6 = 4 h (6) = 3 2 6 = 3 12 = 9 f ( 1) + f (3) = 4 + 2 3 + 6 = 4 + 12 = 16
'لورم مثال :که f ( x ) = ax 2 bx + 1او f (3) = 10, f (1) = 0وي د aاو bقيمتونه پيدا ک7ئ. حل: 0 = a b +1
10 = 9a 3b + 1 ,
10 = 9a 3b + 1 0 = _ 3a m 3b ± 3 10 = 18 3b + 1
10 = 6a 2
3b = 19 10 3b = 9
12 = 6a a=2
b=3
پن%م مثال :له الندېنيو معادلو څخه کومه يوه يې يوه تابع ښيي؟ b : x2 + y2 = 4
x2 + y = 4
a:
حل :هغه وخت يوه معادله يوه تابع ښيي چې د xد هر قيمت لپاره د yيو قيمت موجود شي. y = 4 x2
x2 + y = 4
a:
د xد هر قيمت لپاره yيو قيمت لري ،د مثال په ډول که x = 1وي ، y = 4 12 = 3 ،نو y = 4 x 2يوه تابع ده. y = ± 4 x2
x2 + y2 = 4
b:
د xد يوه قيمت لپاره yدوه قيمتونه لري ،نو yيوه تابع نه ده. د مثال په ډول که x = 1وي y = ± 3 ،ﻳا ) 3
تکرار شوي دي.
75
(1 , 3 )(1 ,چې لوم 7ني عناصر يې
ﻓعاﻟﻴت وښياست چې د y x 2 = 1او د y = 2
3 xمعادلې د تابع ښودونکي دي او د x 2 + y 2 = 4
مﻌادلﻪ د يوې تابع ښودونکي نه ده. يوه تابع د ) y = f (xپه شکل ليکل کې8ي ،د تابع د قيمت د پيدا کولو لپاره د xقيمت د تابع په معادله کې وضع کوو ،د تابع قيمت په الس راځي او يوه معادله هغه وخت د يوې تابع ښکارندويه وي چې د هر xلپاره يو yوجود ولري.
پو*تن3 –1که g ( x) = x 2 + x 2او f ( x) = 2 x 2 + 3 x 1وی )g( 2) , f ( 3) , g(2) g( 3 )f (0) g ( 2 او )f ( 3
پيدا ک7ئ.
– 2که f ( x) = x 2 xاو g ( x) = x + 4وي gf (0) , f ( 2) .او ) f ( x 1پيدا ک7ئ. –3که g ( x) = 3 xاو h( x) = 1 + 4 xوي ) h ( 3) , h (16او ) g ( 4پيدا ک7ئ. 15 -4 x 3
= ) g ( x ) = l6 + 3x x 2 , f ( xاو h ( x ) = 25 x 2وي )g ( 7) , f (6
او ) f (0) + g (4) h( 3پيدا ک7ئ. – 5که g( x ) = x + 40 2وي ) g(0) , g(4) , g(5) , g(12او ) g ( 2پيدا ک7ئ. – 6آيا د x 2 + xy = 1معادله يوه تابع ښيي؟
76
د ﻳوې تابﻊ د تعرﻳﻒ د ساح 3پﻴدا کول أيا کېداى شي چې د هرې تابع د تعريف ساحه ټول حقيقي عددونه وي؟
s
ا
ﻳا
ﻓعاﻟﻴت د xکوم قيمتونه دتابع د تعريف په ساحه کې شامل وي؟ د
f ( x) = 1تابع د تعريف ساحه وټاکئ.
x 4
أيا g ( x) = 3 xتابع د تعريف په ساحه کې x = 4شامل دی؟ د يوې تابع د تعريف په ساحه ( )Domainکې د xټول هغه قيمتونه شامل وي چې تابع په هغه قيمتونو کې تعريف شوي وي يا د تابع قيمت يو حقيقي عدد وي. لوم7ى مثال :د الندې تابع ګانو د تعريف ساحه ( )Domainوټاکئ. 6x 9
2
x
= )(x
h(x) = x 2 7x R ( x ) = 3x + 12
1
= )f (x
x 3 g( x ) = x
حل: د
f ( x ) = 1تابع په x = 3کې تعريف شوي نه ده ،ځکه چې x = 3لپاره د تابع مخرج
x 3
صفر کې8ي يا د x = 3لپاره د تابع قيمت يو حقيقي عدد نه دى نو: }3
Dom f = {x IR / x
د g ( x) = xپه تابع کې ددې لپاره چې د تابع قيمت يو حقيقي عدد ()Real number
77
وي ،بايد x 0وي ،نو }IR / x 0
Dom g = {xيا )
dom g = [0 ,
h( x) = x 2 7 xپه تابع کې ،څرنګه چې د xد هر قيمت لپاره د ) h(xتابع تعريف شوي ده ،نو( :د حقيقي عددونو سټ) )
( = Dom h = IR
,
6x 6x د k ( x) = 2ﻳا )( x 3)( x + 3 x 9
= ) k ( xتابع د تﻌرﻳﻒ ساحﻪ عبارت ده لﻪ:
}3
3, x
Dom k ( x) = {x
IR / x
د R ( x ) = 3x + 12په تابع کې بايد 3x + 12 0وي ،نو 4
) 4} = [ 4,
xکې8ي.
IR / x
Dom R = {x
ﻓعاﻟﻴت د الندې تابع ګانو د تعريف ساحه ( ) Domainپيدا ک7ئ. h ( x ) = 9 x 27
,
5x x 49 2
f ( x ) = x 2 + 3x 17 ,
= ) g( x
دوﻳم مثال :د y = x 3د تابع د تعريف ساحه پيدا ک7ئ. x 3
x 3 0
) Dom y = {x IR / x 3} = [3 ,
درﻳم مثال :د الندې تابع ګانو د تعريف ساحه پيدا ک7ئ. ] [2,ﻳا }2 ) ,4) U (4,
Dom f = {x / x
( ﻳا }{4
يا د سټ په شکل:
dom g = IR
}4
) , 1] U [3 ,
f (x) = x 2 2x + 3 x 4
= )g ( x
dom g = {x IR / x
h ( x ) = x 2 2x 3 3 Dom h = {x / x ( ﻳا} x 3ﻳا}1
78
د ﻳوې تابﻊ -راف او د -راف له مﺨ 3د ﻳوې تابﻊ پﻴﮋندنه
)(Graph of a function and vertical line test په راک7ل شوو شکلونو کې کوم ګراف د يوې تابع ګراف دى؟
o
o
o
o
ﻓعاﻟﻴت د yله محور سره يو موازي خط رسم ک7ئ. وګورئ چې دا خط د تابع ګراف په څو نقطو کې قطع کوي؟ که دا خط ګراف په يوه نقطه کې قطع ک7ي أيا دا ګراف به د يوې تابع ګراف وي؟ که دا خط ،ګراف له يوې نقطې څخه په زياتو نقطو کې قطع ک7ي أيا دا ګراف به د يوې تابع ګراف وي؟ که( f)xيوه حقيقي تابع وي ،د ( f)xد تابع ګراف د (( )x , f)xد هغه مرتبو جوړو سټ دى چې د (y=f)x په معادله کې صدق وک7ي. يا د يوې تابع ﮔراف د XOYد مستوي د هغو نقطو سټ دى چې }) { (x , y ) / y = f ( xصدق ک7ي او ) x dom f (xوي.
79
±x1 1y ±02 40
±x1 ±02
y3 62
±x1 5y ±02 84
±x1 ±02
y1 22
±x1 ±02
y3 04
±1 1 ±2 4
±1 3 ±2 6
±1 5
±1 ±2
1
±1 ±2
3
±2 8
2
0
1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000
.ئ7ک رسم2560 ګراف3040 تابع3710 y = 4450 f ( x) =5280 2 x +6080 1 د:ي مثال7لوم 1650 1750 1860 2070 2300 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000
input x 0 input 2x 02
1650 1750 1860 2070 2300 2560 3040 3710 4450 5280 6080
تابع
output
مرتبې جوړې
2x + 1 2(0) + 1
y = f (x) 1 output
( x , y) (0,1)
22(2x)++11 y = 5f ( x ) 22((02))++11 13
((x2,,5y)) ( (20,,1)3)
x f ( x)
0
1 2 2 1 4
x f 1 ( x)
0 1 2 x x 2 2(2) + 1 5 (2,5) 1 f ( x) f ( x) 2 1 4 2 2( 2) + 1 3 ( 2, 3) f ( x ) = x 2 + 1 .ئ7تابع ګانو ګراف رسم ک 2 y = 1 اوf ( x) = x + 1 د:دوﻳم مثال x 3 2 1 0 1 2 3
f ( x ) 10 2 5 2 f (x) = x + 1 x 3 2 1 f ( x ) 10 5 2 3 f (x) = x ( مرتبو جوړو په نظر3 ,10) , x 2 1 0
1 2 5 10 0 1 2 3 1 2 5 10
( 2 , 5) , ( 1 , 2) , (0 ,1) , (1, 2) , (2 , 5) , (3 , 10) د 1 2
yf = ( xf)(=x )x 3 8 2 1 0 1 8 ff (( 33)) == (( 33))2 ++11== 99++11==10 10 x 2 1 0 1 2 ff (( 22)) == (( 22))22 ++11== 44++11== 55 y = f (x) 8 1 0 1 8 ff (( 11)) == (( 11))22 ++11==11++11== 22 2 ff((00)) == 002 ++11== 00++11==11
2 ff((11)) ==112 ++11== 22 2 ff((22)) == 222 ++11== 55
2 10 ff((33)) == 332 ++11==10 Domff ::(( ,, )) Dom Dom f =f (: [1, , )) Range Range f : [1, ) Range f = (1, )
80
.ئ7د تعريف او د قيمتونو ساحې يې هم پيدا ک :حل
:ئ7کې نيولو سره د تابع ګراف رسم ک
يا
2 1 0
1
2 1 0
1
f (x) = 1
مرتبه جوړه
Input Output x
)y = f (x
)( x , y
2
)( 2 , 1
1
)(0 , 1
1
0
)(3 , 1
1
3
Dom y = IR Range y = 1
ﻓعاﻟﻴت
د f ( x) = x 2 4تابع ﮔراف رسم ک7ئ. درﻳم مثال :د y = f ( x) = x 3تابع ګراف رسم ک7ئ. f (x) = x 3 x
2
1
2 1 0
8
1
y = f (x) 8 1 0
که يو عمودي خط (د yله محور سره موازي) يو ګراف يوازې په يوه نقطه کې قطع ک7ي ،نو دا ګراف د يوې تابع ګراف دى او که له يوې نقطې څخه يې په زياتو نقطو کې
قطع ک7ي ،نو دا ګراف د يوې تابع ګراف نه دى.
81
'لورم مثال :په الندې راک7ل شوو ګرافونو کې ليدل کې8ي چې bاو cد تابع ګانو ګرافونه دي، ځکه چې عمود خط يې ګرافونه په يوه نقطه کې قطع ک7ي دي ،ليکن د aاو dګرافونه د تابع ګرافونه نه دي ،ځکه چې عمودي خط ګرافونه له يوې څخه په زياتو نقطو (دوو نقطو) کې قطع ک7ي دي يا د يوه xلپاره د yيا ) f ( xدوه قيمتونه وجود لري ،نو د aاو dګرافونه د تابع ګرافونه نه دي.
د تابع د تعريف په ناحيه domainکې هغه عددونه شامل وي چې تابع په کې تعريف شوي وي يا د تابع قيمت يو حقيقي عدد وي .د يوې تابع ګراف د XOYپه مستوي کې د Sد نقطو سټ دى ،په دې ډول چې }) S = {( x, y ) | y = f ( xچې xد تابع د تعريف په ساحه کې شامل وي ،که د y له محور سره موازي خط ګراف يوازې په يوه نقطه کې قطع ک7ي ،دا ګراف د يوې تابع ګراف دى.
پو*تن3 - 1د الندې تابع ګانو د تعريف ساحې ( )Domainsپيدا ک7ئ. h(x) = x 2 4 3 = )h(x x 4 4 h(x) = 2 x + 11x + 24
g( x ) = 2x 5
f (x) = x 2 9
| g ( x ) =| x 3
f (x) = x + 1
2 )( x + 3)( x 7
= ) g( x
7x x 16 3 f (x) = 2 x +4 2
= )f (x
- 2د f ( x) = x 2او f ( x) = x 2د تابع ګانو ګرافونه رسم ک7ئ. - 3د g ( x) = 2 x 1تابع ګراف رسم ک7ئ که x = 3 , 2 , 1 , 0 , 1, 2 , 3 ,وي. - 4د x = y 2 2ګراف رسم ک7ئ او أيا دا د يوې تابع ګراف دى؟ ولې؟
82
د -راف له مﺨ 3د ﻳوې تابﻊ د تعرﻳﻒ او د قمﻴمتونو د ناحﻴو او د تابﻊ د قﻴمتونو پﻴدا کول:
أيا د توابعو په الندېنيو راک7ل شوو ګرافونو کې د تابع د تعريف ساحه ( )Domainاو د قيمتونو ساحه ( )Rangeيې ټاکالى شئ؟
ﻓعاﻟﻴت شکل وګورئ الندېنيو پوښتنو ته ځواب ورک7ئ: د شکل له مخې د fتابع د تعريف او قيمتونو ساحه پيدا ک7ئ. أيا د – 4عدد د fد تابع د قيمتونو په ساحه کې شامل
0
دى؟ ولې؟ أيا د – 3عدد د fد تعريف په ساحه کې شامل دى؟ ولې؟ أيا د 6عدد د fد تعريف په ساحه کې شامل دى؟
83
-
ليدل کې8ي چې f ( 1) = 2او f (1) = 4دي او هم د شکل له مخې د تابع د تعريف ساحه له -3څخه تر 6پورې ده ،ليکن 3 dom f
او ، 6 dom fنو ]dom f = ( 3 , 6
او په همدې ډول د ( f)xتابع د قيمتونو ساحه ( )Rangeله -4څخه تر 4پورې ده ،خو 4 Range fنو ]. Range f = ( 4 , 4 لوم7ى مثال :په راک7ل شوو شکلونو کې د تابع ګانو د تعريف او د قيمتونو ساحې پيداک7ئ.
o () 1
()2 حل:
د لوم7ي شکل په ﮔراف کې د تعريف ساحه د 1او 6تر منځ ټول حقيقي عددونه دي او د قيمتونو ساحه يې د 2او 4تر منځ ټول حقيقي عددونه دي يا6 :
1 xاو 4
y
2
د ( )2شکل په ګراف کې 2 x 10يا ]Dom = [2 , 10 1 y 8يا ]Range = [1 , 8
دوﻳم مثال :الندې شکل په پام کې ونيسئ. )f ( 2
= 0f (3) ,او ) f (5پيدا ک7ئ.
د Xاو Yله محورونو سره د ګراف د تقاطع د نقطو وضعيه کميات پيدا ک7ئ. حل :څرنګه چې د Xله محور سره د ګراف د تقاطع په ټکي کې y = 0وي ،نو f (3) = 0 , f ( 2) = 0
او f (5) = 0دي ،نو ګراف د
Xمحور د
د Yله محور سره د تقاطع ټکﯽ
0 د Xله محور سره د تقاطع ټکي
84
) (3 , 0) , ( 2 , 0او ) (5 , 0په نقطو کې قطع کوي. څرنګه چې د yله محور سره د ګراف د تقاطع په ټکې کې x = 0دی ، f (0) = 3نو ګراف د y محور د ) (0 , 3په نقطه کې قطع کوي. درﻳم مثال :په الندې شکل کې د fتابع Domainاو Rangeپيدا ک7ئ ( f )3او ( f )6هم
په الس راوړئ.
حل :ليدل کې8ي چې د تعريف ساحه يې له - 3څخه تر 6پورې ده ،خو - 3د تعريف په ساحه کې شامل نه دى. ]3 , 6
(
ﻳا Domain f ( x) = 3 < x 6
او د قيمتونو ساحه يې Range f ( x ) = 5 y < 4 :يا ) f (6) = 3 ، [ 5 , 4او f (3) = 5ده.
85
پو*تن3 په راک7ل شوو شکلونو کې:
()1
()2
()3 -aد تابع د تعريف ساحه -bد تابع د قيمتونو ساحه -cد Xله محور سره د ﮔراف د تقاطع ټکي -dد Yله محور سره د تقاطع ټکي او په دريم شکل کې د تابع غوښتل شوي قيمتونه پيدا ک7ئ.
86
$ﻴن 3ﺧاص 3تابﻊ -ان 3او -رافونه ﻳ3 د هغو تابع ګانو نومونه واخلى چې ګرافونه يې راک7ل شوي دي
توابع ډېر ډولونه لري چې ځينې خاصې تابع ګانې ترڅې7نې الندې نيسو: ثابته تابع ،د عينيت تابع ،د مطلقه قيمت تابع ،څو معادله يي تابع او د عالمې تابع
ﻓعاﻟﻴت ثابتي تابع ته ولې ثابته تابع وايي؟ أيا د عينيت تابع د تعريف او د قيمتونو ساحې سره مساوي وي؟ أيا د مطلقه قيمت د تابع د قميتونو ساحه منفي قيمتونه اخېستالى شي؟
87
ثابته تابﻊ ()Constant Function که xاو yد حقيقي عددونو سټونه وي ،د y
f : xيا f ( x) = yپه تابع کې که yله يوه ثابت عدد
سره مساوي وي يا y = f ( x) = cچې ( )cيو ثابت عدد دى ،نو yد ثابتې تابع په نوم يادې8ي. د مثال په ډول f ( x) = 3 , f ( x) = 2 :او f ( x) = 2او داسې نورې ثابتې تابع ګانې دي. لوم7ى مثال, f ( x) = 2 :او f (f x( )x)== 22تابع ګانو ګرافونه رسم ک7ئ. 3
2
f (x) = 2 =x 1
2
2
= )f (x
f (x) = 2 3 2
3 1
. .
1 1
2 2
1 2
3 2
2 2
2 0 0 4
x y = ( x + 2) 2
3 4 2 5 1 0 1 1 4 4
=x y = ( x 3) 2
1 2
3
=x = )f (x
2
2
1 2
2
2 ... 2 ...
0
2 3 2 3
1 1
1 1
2
f (x) = x x= 0 1 2 f (x) = 0 1 2
0 | f ( x ) =| x =x 0 1 2 3 f (x) = 0 1 2 3
په دې معنا چې په ثابته تابع کې د تعريف د ساحې د هر عنصر تصوير همغه ثابت عدد دى. عنصر( fته له هر|= ) x ساحې| x د عﻴنﻴت تابﻊ ) :(Identity functionهغه تابع ده چې د تعريف د +4
)f (x
=x )f (x
2 6
خپل ځان سره ارتباط ورک7ي2يا= f ( xf) (=x )xد =x يادې8ي1. نامه 2 تابع په 3 عينيت د 1 2
3 2 2 ک7ئy. رسم= ff ګراف))((xx تابع== x 2 مثال:د 2 f (2x) =2xد 1
1, 5 1, 8 0,5 0,8 1 2 1
2 ... 2 ...
2 3 2 3
1
1 1
| f ( x ) =| x =x 0 1 2 3 f (x) = 0 1 2 3
2 2 14 2 4 2
6
6
1 2
x 1,1 f (xf )( x ) =0x,1 x= 0 f (x) = 0
5
= )=f (fx()x xx =y
x 0 0.5 0.8 1 y = f(x) 0 0.5 0.8 1 4 5
x f ( x0) =| x1 | +4 1 f ( x ) = x 2x 0 = 10 1 1
f (x) = 4 5 1< 2
1 2 5 6
=x 0 1 f (x) = 4 5
2 3
3 4
2 4
1 2
1 2 1 4
x 1 2 4 f ( x) 2 3 5
88
0 1 x 2 f ( x) = x 0 1
1< 2
د مﻄلقه قﻴمت تابﻊ ()Absolute value function د مطلقه قميت تابع | f ( x) =| xپه الندې ډول تعريف شوى ده: x , x 0 x , x 4دى ،نو په لوم7ى معادله کې وضع کې8ي ،لرو چې: f ( 5) = 2( 5) + 3 = 10 + 3 = 7
او څرنګه چې د 8عدد د 4او 10ترمنځ واقع دى ، 4> 8>10نو په دويمه معادله کې وضع کې8ي لرو چې: 1 = 64 1 = 63
د fتابع د تعريف ساحه په لوم7ۍ معادله کې ) , 4
89
2
f (8) = 8
( او په دويمه معادله کې ] [4 , 10ده ،نو د
fد تعريف ساحه د ], 10
(
څخه عبارت ده.
ﻓعاﻟﻴت 11 x + 15 : 0 x < 60 60 که چېرې 1 x 8 : 60 x 90 5
= ) g( xوي،
وښياست چې g (80) = 8او g (30) = 9.5دى. د 'و معادله ﻳ 3تابﻊ -راف ()Graph of function defined piecewise دوﻳم مثال :د ( f )xتابع د تعريف او قيمتونو ساحې پيدا او ګراف يې هم رسم ک7ئ که: x :0 x 1 2
x 1: 1 < x
= ) f ( xوي.
حل :د لوم7ى معادلې د تعريف ساحه ] [0,1او د دويمې معادلې د تعريف ساحه ] (1,2ده چې په نتيجه کې د ( f )xد تعريف ساحه ] [0,2ده. د ګراف د رسمولو لپاره ،د دواړو برخو ګراف رسموو په دې ډول:
90
y = f ( x) = x 1
y = f (x) = x
x )f (x
x 0 0.5 0.8 1 y = f(x) 0 0.5 0.8 1
1,1 1, 5 1, 8 0 ,1 0 , 5 0 , 8
په نتيجه کې دوه مستقيم خطونه په الس راځي چې دواړه د ( f )xتابع ګراف دى. ﻓعاﻟﻴت x 0 x 4 که: x 1 0 1او y < 1
د عﻼم 3تابﻊ ( :)Sign Functionد عالمې تابع چې په( sgn )xسره ښودل کې8ي د څو معادله يې تابع يو مثال دى چې په الندې ډول تعريف شوي ده:
91
1 : x>0 0 : x=0 1 : x f ( x2
شي. – 3که x1 < x2وي او په نتيجه کې ) f ( x1 ) = f ( x2شي دا تابع نه متناقصه ده او نه متزايده. لکه :څرنګه چې په شکل کې ليدل کې8ي دا يوه ثابته تابع ده. مثال :د f ( x) = x 2او f ( x) = x 2د تابع ګانو ګراف په کومو انټروالونو کې متزايد او په کومو انټروالو کې متناقص دى؟ 2 4
93
2 4
1 1
1 1
0 0
x 2
f (x) = x
2 4
1 2 4
1
0 1 x 2 f ( x) = x 0 1
1< 2 )f ( 1) > f (2 1> 4
1< 2 )f ( 1) < f (2 1< 4
ليدل کې8ي چې د f ( x) = x 2تابع د ) ( , 0په انټروال کې متناقصه او د ) (0 ,په انټروال کې متزايده ده ،ليکن د f ( x) = x 2تابع په ) ( ,0انټروال کې متزايده او د ) (0 ,په انټروال کې متناقصه ده. ﻓعاﻟﻴت
په راک7ل شوو شکلونو کې د تابع ګراف په کومو انټروالونو کې متزايد په کومو کې متناقص دی ،کوم ګراف نه متزايد او نه متناقص دى؟ جفتﻲ او طاقﻲ تابﻊ -ان:(Even and Odd Functions) 3 -1د ) f (xتابع يوه جفته تابع ده که چېرې ) f ( x) = f ( xوي ،په دې معنا که په تابع کې د xپر ځاى –xعوض ک7و ،د تابع په قيمت کې تغير رانه شي. -2د ) f (xتابع يوه طاقه تابع ده که چېرې ) f ( x) = f ( xوي يا دا چې که په تابع کې د
94
xپر ځاى –xعوض ک7و ،د تابع قيمت منفي شي. لوم7ى مثال :د f ( x) = x 2او f ( x) = x 3په
تابع ګانو کې کومه تابع جفته او کومه يوه طاقه ده؟ حل :په دواړو تابع ګانو کې د xپر ځاى – xعوض کوو: f ( x) = ( x) 3 = ( x)( x)( x) = x 3
نو د f ( x) = x 3تابع يوه طاقه تابع ده، ځکه چې ) f ( x) = f ( xکې8ي لکه: f ( 2 ) = f ( 2 ) = 8او د f ( x) = x 2په تابع کې لرو چې: f ( x) = ( x) 2 = ( x)( x) = x 2 نو f ( x) = x 2يو جفته تابع ده ،ځکه چې
) f ( x) = f ( xکې8ي لکهf ( 2) = f (2) = 4 :
ليدل کې8ي چې د جفتو تابع ګانو ګرافونه نظر د Yمحور ته او د طاقو تابع ګانو ګرافونه نظر د وضعيه کمياتو مبدا ته سره متناﻇر دي.
دوﻳم مثال :د f ( x) = x 2 4او g ( x) = x 2 + 3x + 2په تابع ګانو کې کومه يوه جفته او کومه يوه طاقه ده؟ حل: )4 = f ( x
2
4=x
2
)f ( x) = ( x
نو دا تابع جفته ده ،په شکل کې هم ليدل کې8ي ،دوه نقطې د ( )3,5او ( )–3,5تابع د x = 3او x = 3
لپاره د تابع قيمت سره مساوي دى چې د ( )5عدد دى.
95
يعنېf ( 3) = f (3) = 5 :
همدارنګه د x = 2او x = 2لپاره د تابع قيمت سره مساوي دى چې صفر دى ،نو په نتيجه کې تابع جفته ده. g ( x) = ( x) 2 + 3( x) + 2 = x 2 3 x + 2
چې دا تابع نه جفته او نه طاقه ده. درﻳم مثال :که fله حقيقي عددونو څخه حقيقي عددونو ته يوه طاقه تابع وي او
f ( 2) = k + 5او f (2) = 2k + 3وي ،د kقيمت پيدا ک7ئ. حل :څرنګه چې fيوه طاقه تابع ده ،نوf ( x) = f ( x) :
د طاقې تابع د تعريف په اساس:
)f ( 2) = f (2
)k + 5 = (2k + 3 k + 5 = 2k 3 3k = 8 8 =k 3
که د ) f (xپه تابع کې x1 < x2وي او په نتيجه کې ) f ( x1 ) < f ( x2شي تابع متزايده او که x1 < x2وي او ) f ( x1 ) > f ( x2شي ،تابع متناقصه ده که ) f ( x) = f ( xوي تابع جفته او که ) f ( x ) = f ( xشي تابع طاقه ده د جفتو تابع ګانو ګراف نظر د Yمحور ته او د طاقو تابع ګانو ګراف نظر د وضعيه کمياتو مبدآ ته سره متناﻇر دي.
پو*تن3 -1د الندېنيو تابع ګانو څخه کومه يوه يې متزايده ،کومه يوه يې متناقصه او کومه يوه نه متزايده او نه متناقصه ده؟ x4
f ( x) = x 2
,
f ( x) = x 2 + x
,
f ( x) = x 3 + x
-2د الندېنيو راک7ل شوو تابع ګانو څخه کومه يوه جفته او کومه يوه طاقه ده؟ | f ( x) =| x
,
f ( x) = x
f ( x) = x 5
,
f ( x) = x 4
96
د -رافونو انتقال ()Translation أيا کوالى شئ چې ووايئ راک7ل شوي ګرافونه يو له بله سره څه اړيکه لري؟
ﻓعاﻟﻴت د f ( x) = x 2تابع ګراف رسم ک7ئ. د f ( x) = x 2 + 4تابع ګراف رسم ک7ئ. د f ( x) = x 2 4تابع ګراف رسم ک7ئ. وواياست چې پورتني ګرافونه يو له بله سره څه ډول اړيکه لري؟ که د f ( x) = x 2ګراف رسم ک7و ،څنګه کوالى شو د f ( x) = x 2د ګراف له انتقال څخه د f ( x) = x 2 4تابع ګراف رسم ک7و؟ د y = x 2د ګراف د ) ( x , yد هرې نقطې لپاره د ) ( x , y 4اړونده نقطه د y = x 2 4 په ګراف واقع ده ،نو د y = x 2تابع ګراف هره نقطه د 4واحدو په اندازه ښکته خواته انتقال کوي تر څو د y = x 2 4ګراف الس ته راشي ،لکه :څنګه چې په شکل کې ليدل کې8ي ،دا انتقال
97
د عمودي انتقال ( )Vertical Translationپه نوم يادې8ي. انتقال په دوه ډوله دى :عمودي انتقال او افقي انتقال.
-1عمودي انتقال (:)Vertical Translation عمودي انتقال پورته او يا ښکته خواته وي. که c > 0وي: :1که د ) y = f (xد تابع ګراف د cپه اندازه پورته خواته انتقال شوی وي ،نو د y = f ( x) + cګراف الس ته راځي. :2که د ) y = f (xد تابع ګراف د cپه اندازه ښکته خواته انتقال شوی وي ،نو د y = f ( x) cګراف الس ته راځي. لوم7ى مثال :د y = x 2 + 2او y = x 2 3تابع ګانو
ګرافونه د y = x 2تابع له ګراف سره څرنګه اړيکه لري؟ درې واړه ګرافونه د وضعيه کمياتو په عين سيستم کې رسم ک7ئ. حل :د y = x 2تابع ګراف د ( )2واحدو په اندازه پورته خواته انتقالوو ،ترڅو د y = x 2 + 2د تابع ګراف په الس راشي او که د y = x 2تابع ګراف د ( )3واحدو په اندازه ښکته خواته نقل ک7و، د y = x 2 3تابع ګراف الس ته راځي: 1 1 3
2 4 6
1 1 3
0 0 2
=x y = x2 y = x2 + 2
2
1
2
3
y = x2 3
0
يا عمودي انتقال داسې هم تعريفوالى شو: که د تابع په ګراف کې د yپر ځاى y – aوضع ک7و داسې چې aيو ثابت عدد دى ،نو ګراف د | | aپه اندازه په عمودي ډول انتقال کوي که a > 0وي ،انتقال په عمودي ډول پورته خواته او که a < 0وي ﮔراف د aپه اندازه په عمودي ډول ښکته خواته انتقال کوي.
98
3 1 3
)f ( x ) = ( x + 1 x 1 3 f (x) 1 1
)g ( x ) = ( x + 1 x 1 1 f (x) 0 4
3 4
f (x) = x x 0 2 f (x) 0 4
2 4
x 0 1 1 2 3 3 2 ﮔراف له 3انتقاله 2 دوﻳم مثال :د y = x 2تابع3 2 څخه د ، y y==x| 2x | 2 , y0= x12 + 21 وضعيه 6 ګرافونه د 4 ګانو 3 y = x 2 + 4او 8 y 7= x 2 4تابع 2 سيستم=| x عين | + 3 کمياتو 5په +2 کې yرسم او يو
له بله سره يې پرتله ک7ئ. 2 y = x2 2 y = x 4
y
2 y = x2 + 2 y = x + 4
x
4
0
y 2
x 0
3 0
±1 ±2
1
±1 ±2
2
y = x2
y
x
y
x
y
x
4
0
2
0
0
0
±1 3 ±2 6
±1 5 ±2 8
±1 1 ±2 4
1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 1650 1750 1860 2070 2300 2560 3040 3710 4450 5280 6080
x f (x 1
0
1 2 2 1 4
x )f ( x
)( x , y )(0,1
output )y = f (x 1
2x + 1 2(0) + 01
)(2,5
5
2(2) + 1
)( 2, 3
2( 2) + 1
3
input x 0 2 2
افقﻲ انتقال(Horizontal Translation) : عدد fدى .د تابع ګراف د | | b چې2 b+يو= x ثابت) ( x که د تابع په ګراف کې د xپر ځاى x bوضع شي 1 ګراف ښي 3 وي 2 په اندازه په افقي ډول انتقال3کوي 2،که 1 b0> 01 خواته او که b < 0 xوي ،ګراف کيڼې
1 2 5 10
5
2
f ( x ) 10
خواته انتقال کوي. درﻳم مثال :د y = x 2ﮔرا ف له انتقال څخه د ) y = ( x + 2او ) y = ( x 3ګرافونه 2
2
رسم ک7ئ. تابع= ) x حل :لکه څنګه چې په شکل کې ليدل کې8ي که د x y = x 2 ګراف( fد 2واحدو په اندازه کېڼې 3
99
x
2
1
2 1 0
8
1
y = f (x) 8 1 0
خواته انتقال ک7و ،د y = ( x + 2) 2ګراف الس ته راځي ،که د y = x 2ګراف 3واحده ښي خواته انتقال ک7و ،د y = ( x 3) 2د تابع ګراف ال س ته راځي ،لکه :څنګه چې په شکل
کې هم ليدل کې8ي. .... ....
4 4 .... ....
2 0 0 4
x y = ( x + 2) 2
3 1
1 1
3 4 2 5 1 0 1 1 4 4
=x y = ( x 3) 2
ﻓعاﻟﻴت
د | f ( x) =| xتابع ګراف له انتقال څخه د | g ( x) =| x + 2او | h( x) =| x 3تابع ګانو ګرافونه د وضعيه کمياتو په عين سيستم کې رسم ک7ئ. د عمودي او افقﻲ انتقالونو ترکﻴﺐ: )(Combining Horizontal and Vertical Shifts 'لورم مثال :د g( x ) = ( x + 1) 2او h( x) = ( x + 1) 2 3د تابع ګانو ګرافونه رسم ک7ئ. حل :لوم7ى د f ( x) = x 2تابع ګراف رسموو چې د دويمې درجې تابع د معياري ګراف په نامه يادې8ي لوم7ى د ګراف پر مﺦ د ) (2 , 4) , (0 , 0او ) ( 2 , 4درې نقطې ټاکو.
100
بيا د g ( x) = ( x + 1) 2تابع ګراف رسموو چې د f ( x) = x 2د تعريف له ساحې سره د ()1 عدد جمع کوو ،ترڅو چې د f ( x) = x 2ګراف کيڼې خواته د يو واحد په اندازه نقل شي ،په دويم شکل کې ښودل شوى دى .په پاى کې د f ( x) = ( x + 1) 2 3تابع ﮔراف د رسمولو لپاره د دويم شکل ګراف د 3واحدونو په اندازه په عمودي ډول ښکته خواته انتقالوو چې ګراف يې په دريم شکل کې ښودل شوى دى: f ( x ) = ( x + 1) 2 3 x 1 3 1 f (x) 1 1 3
g ( x ) = ( x + 1) 2 x 1 1 3 f (x) 0 4 4
2 4
f (x) = x 2 x 0 2 f (x) 0 4
پن%م مثال :د | y =| xتابع ﮔراف له انتقال کولو څخه د y =| x + 3 | +2تابع ګراف رسم ک7ئ. 3 3 2 3 3 2 2 8 7
101
2 2 3
1 1 4
x 0 1 | y =| x 0 1 y =| x + 3 | +2 5 6
انتقال په ( )2ډول دى( ،عمودي او افقي) عمودي انتقال :که cيو مثبت عدد وي. -1که چېرې د ) y = f (xتابع ګراف د cواحدونو په اندازه په عمودي ډول پورته خواته انتقال شي ،د y = f ( x) + cتابع ګراف الس ته راځي. -2که د ) y = f (xتابع ګراف د cواحدونو په اندازه په عمودي ډول ښکته خواته انتقال شي د y = f ( x) cتابع ګراف الس ته راځي. افقﻲ انتقال :که cيو مثبت عدد وي. -1که د ) y = f (xتابع ګراف د cواحدونو په اندازه کيڼې خواته انتقال شي ،د )y = f ( x + c
ګراف الس ته راځي. -2که د ) y = f (xتابع ګراف د cواحدونو په اندازه ښي خواته انتقال شي ،د )y = f ( x c
د تابع ګراف الس ته راځي.
پو*تن3 -1د y = x 2تابع ګراف له انتقال څخه د الندېنيو تابع ګانو ګرافونه رسم ک7ئ. g( x ) = ( x 2) 2
,
g( x ) = x 2 1
g( x ) = x 2 2 ,
-2د f ( x) = xتابع ﮔراف رسم ک7ئ او ددې له انتقال څخه د f ( x) = x + 2او f ( x) = x + 2تابع ګانو ګرافونه رسم ک7ئ. -3د | f ( x) =| xتابع ګراف رسم ک7ئ او ددې ګراف له انتقال څخه د g ( x) =| x + 4 | , g ( x) =| x | +4او | h( x) =| x 4تابع ګانو ګرافونه رسم ک7ئ. -4د f ( x) = x 3تابع ګراف له انتقال څخه د g ( x) = x 3 3او g ( x) = ( x 3)3تابع ګانو ګرافونه رسم ک7ئ.
102
3انو عملﻴ- د تابﻊ (Operations on functions) g ( x) = 2 x + 11 اوf ( x) = x + 2 که
( پيداf
g )( x) ( اوf + g )( x) وي
کوالی شﯽ؟
:د تابع ګانو څلورګونې عمليې په الندې ډول تعريف شوي دي (f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x )
(f
g )( x ) = f ( x ) g ( x )
f f (x) ( )( x ) = g g( x ) dom (f + g )( x ) = dom f I dom g (f g )( x ) = f ( x ) . g ( x )
dom (f
(g( x )
0)
g )( x ) = dom f I dom g
dom (f g )( x ) = dom f I dom g f dom ( )( x ) = dom f I dom g g
{ x / g( x ) = 0 }
ئ او هم7 ( پيدا کf + g ) ( x) ، ويg ( x) = x 2 4 اوf ( x) = 2 x + 1 که:ى مثال7لوم .د دې تابع د تعريف ساحه په الس راوړئ :حل ( f + g )( x) = f ( x) + g ( x) ( f + g )( x) = (2 x + 1) + ( x 2 4) = 2 x 3 + x 2 = x 2 + 2 x 3 اوdom f = IR dom g = IR dom( f + g )( x) = IR I IR = IR ( f + g )(3) ( اوf + g)(x ) ، ويg ( x) = 4 x + 5 اوf ( x) = x 2 3 که:دوﻳم مثال
.ئ7پيدا ک
103
:حل
(f + g )( x ) = ( x 2 3) + (4 x + 5) = x 2 + 4 x + 2 (f + g )(3) = 32 + 4(3) + 2 = 9 + 12 + 2 = 23
dom g = IR dom f = IR dom(f + g )( x ) = IR I IR = IR
ﻓعاﻟﻴت ( پيداf + g )(4) ( اوf + g )( x) ، ويg ( x) = 2 x + 7 اوf ( x) = 3x 2 + 4 x 1 که .ئ7ک او , (f g )( x ) (f g )( x ) ، ويg ( x) = x 2 + x 2 اوf ( x) = 2 x 1 که:درﻳم مثال f g
.ئ او د تعريف ساحې يې هم وټاکئ7 () ( پيدا کx ) (f
g )( x) = (2 x 1) ( x 2 + x 2) = 2 x 1 x 2
حل x + 2 = x2 + x +1
dom g = IR اوdom f = IR څرنګه چې
dom ( f
g )( x) = IR I IR = IR
( f g )( x) = (2 x 1)( x 2 + x 2) = 2 x 3 + x 2 5 x + 2 dom( f g )( x) = IR I IR = IR f 2x 1 2x 1 ( )( x) = 2 = g x + x 2 ( x + 2)( x 1) f dom( )( x ) = IR I IR {x / g ( x ) = 0} g
f dom( )(x ) = {x IR / x g
2 اوx 1 }
ﻓعاﻟﻴت ( پيداf
f g )( x) ( اوf g )( x) ، ( )( x) نو، ويg ( x) = x 2 1 اوf ( x) = x 5 که g
.ئ7ک
104
( اوf g ) ( x) , ( f g )( x) ، ويg ( x) = x 1 اوf ( x) = x + 3 که:'لورم مثال .ئ7 ( پيدا کf )( x) g
:حل
(f
g ) ( x) = f ( x) g ( x) = x + 3 ( x 1) = x + 3 x + 1 = 4
( f g ) ( x) = f ( x) g ( x) = ( x + 3)( x 1) = x 2 + 2 x 3
هر حقيقي عددx ( د تعريف په ساحه کې ټول حقيقي عددونه شامل ديf (x) څرنګه چې د dom g = IR : په همدې ډولdom f = IR اخيستالى شي) يا f f ( x) x + 3 ( )( x) = = g g ( x) x 1 f dom( )( x) = IR {} 1 g
( x 1)
dom ( f g )( x) = IR I IR = IR dom( f g ) ( x) = IR I IR = IR
f dom( )( x) = {x IR / x 1} g f dom( )( x) = ( , 1) U (1, ) g
يا يا
g , f + g ، ويg ( x) = 3 + x اوf ( x) = 4 x که:م مثال%پن f . ) يې وټاکئDomain ( ئ او د تعريف ناحيه7پيدا ک g (f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x ) = 4 x + 3 + x :حل
اوf g f
(f
g )( x ) = f ( x ) g ( x ) = 4 x
3+ x
(f g )( x ) = f ( x ) g ( x ) = ( 4 x ) ( 3 + x ) = (4 x )(3 + x ) = 12 + x x 2 f f (x) ( )( x ) = = g g( x )
dom f : {4 x
4 x = 3+ x
0,x
4} ( ﻳا
4 x 3+ x
, 4]
105
)
چې ]3 , 4
[
3,
[
ﻳا }3
0, x
dom g : {x / 3 + x
[ =)
, 4] I [ 3 ,
]3 , 4
د f g , f + gاو f gد تابع ګانو د تعريف ساحه ده.
f f د domد تعريف په ناحيه کې څرنګه چې g ( 3) = 0دى ،نو= ( 3 , 4] : g g
(
Dom
له ثابت عدد سره د تابﻊ د ضرب حاصل
که cيو ثابت عدد او fيوه تابع وي ،نو حاصل ضرب يې عبارت دى له: )(c f )( x) = c f ( x
شپ8م مثال :که f ( x) = x 2 x + 2او c = 5وي. x + 2) = 5 x 3 5 x + 10
(5 f )( x) = 5 f ( x) = 5( x 3
پو*تن3 الندې تابع ګانې په پام کې ونيسئ . ( f g )( x) , ( f g )( x) , ( f + g )( x) - 1او ( f ) xپيدا ک7ئ. g -2د تعريف ناحيې يې وټاکئ. , , , g ( x) = x 1 b : f ( x) = x 5 g ( x) = 3 x 2 , , ,
g ( x) = x 5
d : f ( x) = x
g ( x) = x + 1
, g ( x) = x 1 , f : f ( x) = 3 x , g ( x) = x 2 1
a : f ( x) = 2 x + 3 x 3
c : f ( x) = 2 x 2
e : f ( x) = x + 4
106
د تابﻊ -انو ترکﻴﺐ ﻳا مرکب 3تابﻊ -ان3 composition of functions or composite functions
ﻓعاﻟﻴت که f ( x) = x 2 2او g ( x) = x + 3وي ( f o g ) ( x) ،او ) ( g o f ) ( xپيدا ک7ئ. په کوم حالت کې ) ( f o g )( x) = ( g o f ) ( xوي. ) ( f o f ) ( xاو ) ( g o g ) ( xپيدا ک7ئ. که چېرې fاو gد xتابع ګانې وي د fترکيب له gسره د ) ( f o g )(xيا ) ) f (g (xسره ښودل کې8ي ])( f o g ) ( x) = f (g ( x) ) = f [g ( x
د ) ( f o g ) ( xد تعريف ساحه عبارت له xڅخه ده چې xد gد تعريف په ساحه کې او )g (x
د fد تعريف په ساحه کې شامل وي. يا :د ( )f o gتعريف ساحهdom g , g ( x ) dom f } :
IR / x
Dom (fog ) x = {x
-1چې xد gد تعريف په ساحه کې شامل وي. g (x) -2د fد تعريف په ساحه کې شامل وي. په پورتني شکل کې ) ( f o g )( xتابع د دوو ماشينو په واسطه ښودل شوي ده چې په لوم7ى ماشين کې ورودي )in put( ، xدى او خروجي ( )outputيې ( g)xده ،په دويم ماشين کې()input يې ) g (xاو ( )outputيې ) ( fog)( xدى .که ( g)xد fد تعريف په ساحه کې شامل نه وي ،نو په دويم ماشين ( )fکې داخليدالى نه شي.
107
لوم7ی مثال :که f ( x) = x 2 1او g ( x) = 3xوي ) ( f o g ) ( xاو ) ( g o f ) ( xپيدا ک7ئ. حل:
(f o g )( x ) = f (g ( x ) ) = f (3x ) = (3x ) 2 1 = 9 x 2 1 (g o f )( x ) = g ((f ( x ) ) = g ( x 2 1) = 3( x 2 1) = 3x 2 3
ليدل کې8ي چې:
) (f o g ) ( x ) (g o f ) ( x 9 x 2 1 3x 2 3
دوﻳم مثال :که f ( x) = 3 x 4او g ( x) = x 2 + 6وي ) ( f o g )( xاو )( g o f )( x
پيدا ک7ئ. حل :په حقيقت کې په ) ( f o g ) ( xکې د ) g (xتابع د fپه تابع کې د ( )Domainيا xځاى نيسي f (g ( x ) ) = f ( x 2 + 6 ) = 3( x 2 + 6) 4 = 3x 2 + 18 4 = 3x 2 + 14
g(f ( x ) ) = (g o f ) ( x ) = g (3x 4) = (3x 4) 2 + 6 = 9 x 2 24 x + 22
ښکاره خبره ده چې د ) ( f o g ) ( xاو ) ( g o f )(xد تعريف ساحه ټول حقيقي عددونه دي. ﻓعاﻟﻴت که f ( x) = x + 6او g ( x) = x 6وي ،وښياست چې )( f o g )( x) = ( g o f )( x
دى. درﻳم مثال :که g ( x) = 1 xاو f ( x) = xوي: لوم7ى د fogاو gofد تعريف ساحې پيدا ک7ئ ،بيا , f o gاو gof fپه الس راوړئ.
حل :د fتابع د تعريف ساحه ) دي. ﻳا: ﻳا:
[0 ,او د gتابع د تعريف ساحه ټول حقيقي عددونه ) , ) ,
( = Domg
(
) Domf = [0,
} D om(f o g ) = {x / x domg , g ( x ) dom f
108
( =x 1
],1 ] IR} = (0 ,
0, x
1
x
0} ,
Dom(fog) = {x / x IR , 1 x
Dom (g o f ) = {x / x dom f , f ( x ) dom g} = {x / x (f o g ) ( x ) = f (1 x ) = 1 x x
(g o f )(x ) = g ( x ) = 1
د مرکبو تابع ګانو د تعريف د ساحې د ال روښانتيا لپاره الندې شکل وګورئ. د fogد تعريف ناحيه
د fogد قيمتونو ناحيه د fد قيمتونو ناحيه
د fد تعريف ناحيه د gد قيمتونو ناحيه
د gد تعريف ناحيه
'لورم مثال:که h( x) = 3x 2 + 1وي ،په دوو طريقو سره وښياست چې د ) h(xتابع د کومو دوو تابع ګانو له ترکيب څخه په الس راغلي ده؟ حل :د ) h(xتابع کوالى شو د ) ( g o f )(xاو ( )jok()xدوو تابع ګانو د ترکيب په شکل وليکو. په دې ډول که f ( x) = 3x 2 + 1 :او g ( x) = xوي. ( g o f )( x) = g ( f ( x) ) = g (3 x 2 + 1) = 3 x 2 + 1
په همدې ډول کوالى شو د ) h(xتابع د ( )jok()xد دوو تابع ګانو د ترکيب په شکل وليکو .په دې ډول چې j ( x) = x + 1 :او k ( x) = 3x 2وي. ( j o k )( x) = j (k ( x) ) = j (3 x 2 ) = 3 x 2 + 1
x پن%م مثال:که x+2
= )2) ، f ( x
( xوي ( f o f )(2) f ( f ( x)) ،او )( fo fo f )( x
پيدا ک7ئ. حل:
109
x x x x+2 x = (f o f )( x ) = x + 2 = x + 2 = x x + 2x + 4 x + 2 3x + 4 3x + 4 +2 x+2 x+2
x 3x + 4
2 2 1 = = 3 2 + 4 10 5 x x x x+2 x+2 = x+2 = (fofof )(x ) = 3x + 4 x + 8 3x x +4 3( )+4 x+2 x+2 x+2 x x+2 x = = x + 2 7x + 8 7x + 8 (fof )(2) = ? (fof )(x ) =
(fof )(2) =
ﻓعاﻟﻴت ( g o f )( 2) , ( g o f )( x) , ( f o g )( x) ، ويg ( x) = x + 3 اوf ( x) = x 2 2 که .ئ7 ( پيدا کfog)(3) او
3پو*تن : ويg ( x) = x 3 اوf ( x) = 3x + 2 که-1 ( پيدا او د تعريف ساحېf + g )( x) , ( f
g )( x) , ( g
g f )( x) , ( f g )( x) , ( )( x) f
.يې هم وټاکئ ( پيداg )( x) ( اوf )( x) , ( f g )( x) ، ويg ( x) = x 3 اوf ( x) = x 2 3 که-2 f
g
.ئ7ک د، ويk ( x) = 3x + 4 اوh( x) = 4 x 2 , g ( x) = 1 , f ( x) = x 2 + 1 که-3 x f h .ئ7 () ( تابع ګانو د تعريف ساحې پيدا کx) ( اوh k )( x ) , ( )( x ) , (f g)( x ) g k 2 .ئ7 ( پيدا کf o g )(1) ( اوg o f )(3) ويg ( x) = x , f ( x) = 3x 2 که-4 .ئ7 پيدا کf o f اوg o f
f o g ، ويg ( x) = 2 x اوf ( x) = x که-5
.ئ7 ( پيدا کf o goh)( x) ويh( x) = x + 3 اوg ( x) = x10 , f ( x) =
110
x که-6 x +1
معکوسه تابﻊ )(Inverse Function
ﻓعاﻟﻴت په شکل کې د دواړو تابع ګانو ترمنځ کومه اړيکه شتون لري؟ أيا د هرې تابع معکوس ،هم يوه تابع وي؟ که د يوې تابع معکوس هم يوه تابع وي ،داسې تابع په څه نامه يادې8ي؟ که }) f = {(1, 2) (3 , 5) (6 ,7او }) g = {(2 ,1) (5 , 3) (7 , 6وي أيا د gتابع د fمعکوسه تابع ده او که نه؟ ولې؟ که ) ( f o g )(x) = ( g o f )(xوي ،أيا gد fتابع معکوسه تابع ده؟ په پورتني شکل کې يو ټرماميټر ليدل کې8ي او پوهې8و چې د سانتي ګري 6او فارنﻬايټ د تودوخې د درجو ترمنځ د f = 9 c + 32اړيکه شته دى ،که دا معادله د ( )cله پاره حل شي لرو چې: 5
د cتابع د fمعکوسه تابع ده.
9 9 f = c + 32 f 32 = c + 32 32 5 5 5 5 9 )(f 32) = ( c 9 9 5 5 )c = (f 32 9
د ) ( x , yرابطې معکوس له ) ( y , xڅخه عبارت ده چې د معکوسې تابع د تعريف ساحه د تابع
111
د قيمتونو د ساحې او د معکوسې تابع د قيمتونو ساحه ،د تابع د تعريف له ساحې څخه عبارت ده. 1 Range f = dom fاو = Range f د fد تابع معکوس په f 1ښودل کې8ي ،پام مو وي چې: 1
domain f
1 )f ( x
)( x
1
(f
لوم7ى مثال :که }) f ( x ) = {(1,5)(3,7)(8, 10وي. نو}) f 1 ( x ) = {(5 ,1) (7 , 3) ( 10 , 8ده .ځکه چې: (7 ) = 3
1
f
f (3) = 7
1
f
f (1) = 5
1
f
f (8) = 10
(5) = 1
( 10) = 8
نو ) f 1 ( xهم يوه تابع ده. خو که }) f ( x) = {(1, 2 ) (3 , 2) (4 , 5وي f 1 ( x) = {(2 ,1) (2 , 3) (5 , 4)} ،ده. ليدل کې8ي چې ) f 1 ( xيوه تابع نه ده ،ځکه د x = 2لپاره دوه مختلف تصويرونه په ()Range کې وجود لري f (2) = 1 .او . f (2) = 3 نو د هرې تابع معکوس يوه تابع نه وي ،يا په بل عبارت هره تابع معکوس منونکي نه وي. څه وخت چې يوه تابع د مرتبو جوړو په شکل راک7ل شوي وي ،که د لوم7يو او دويمو عناصر ځايونه يې يو تر بله تبديل ک7و ،هغه رابطه چې السته راځي ،د لوم7ن 9تابع معکوسه ده ،هغه تابع چې معکوس يې هم تابع وي ،نو تابع معکوس منونکي ده. دوﻳم مثال :أيا د fاو gتابع ګانې چې په الندې ډول د مرتبو جوړو په شکل راک7ل شوي دي معکوس منونکي دي که نه؟ })f = {(1, 2 ) , ( 2 , 3) , ( 3 ,1) , ( 0 , 1)} g = {(2 , 4) , (3 ,1) , ( 0 , 2) , (5 ,1
حل :که د مرتبو جوړو د لوم7نيو او دويمو عناصرو ځايونه يو تر بله تبديل شي ،نو لرو چې: })= {(2 ,1) , ( 3 , 2) , (1, 3) , ( 1, 0
ليدل کې8ي چې
1
fيا د fتابع معکوس هم يوه تابع ده ،ځکه چې د
1
1
f
fد مرتبو جوړو لوم7نى
عناصر تکرار شوي نه دي .او })g 1 = {(4 , 2) , (1, 3) , ( 2 , 0) , (1, 5
112
ليدل کې8ي چې g 1يا د ) g (xمعکوس تابع نه ده ،ځکه د x = 1لپاره دوه قيمتونه د 3او 5 وجود لري ،نو د gتابع معکوس منونکى تابع نه ده. په لن 6ډول څرنګه چې fيو په يو تابع ده ،نو معکوس منونکي هم ده او د gتابع چې يو په يو تابع نه ده ،نو معکوس منونکي هم نه ده. نتﻴجه :يوازې د يو په يو تابع معکوس هم يوه تابع وي. ﻳو په ﻳو تابﻊ )(one-to-one function د ) f (xتابع يوه يو په يو تابع ده که چېرې x2 يا f (b) :
x1وي او په نتيجه کې ) f ( x1 ) f ( x2شي.
a bاو که )f (a ) = f (b
)f (a
a=b
که يوه تابع يو په يو وي ،نو معکوس يې هم يوه تابع ده. درﻳم مثال :که f ( x) = 4 x + 12او g ( x) = 25 x 2وي ،وښياست چې کومه يوه له دې تابع ګانو څخه يو په يو تابع ده؟ حل:که b
aوي4b + 12 ،
نو ) f (xيوه يو په يوتابع ده. د مثال په ډول :که x = 2وي: که x = 3وي:
4a + 12دى. f (2) = 4(2) + 12 = 8 + 12 = 4
f (3) = 4(3) + 12 = 12 + 12 = 0 ) a b f (a ) f ( b 0
4
2 3
نو ) f (xيو په يو تابع ده .او g ( x) = 25 x 2لپاره: که x = 3وي. g (3) = 25 9 = 16 = 4 که x = 3وي. g ( 3) = 25 9 = 16 = 4 ) f (3) = f ( 3لېکن 3
3نو ) g (xيو په يو تابع نه ده.
ﻓعاﻟﻴت که f ( x) = 3x + 8او g ( x) = x 2وي ،وښياست چې کومه يوه تابع يو په يو تابع ده او کومه يوه تابع يو په يو تابع نه ده؟ ولې؟
113
د -راف له مﺨ 3د ﻳو په ﻳو تابﻊ پﻴﮋندنه :که يو افقي خط چې د xله محور سره موازي وي د تابع ګراف په يوه نقطه کې قطع ک7ي ،دا يو په يو تابع ده ،که افقي خط د تابع ګراف له يوې نقطې څخه په زياتو نقطو کې قطع ک7ي ،نو دا ګراف د يو په يو تابع ګراف نه دى. 'لورم مثال :په راک7ل شوو شکلونو کې ليدل کې8ي چې د xله محور سره موازي خط لوم7ن 9تابع ګراف په يوه نقطه کې او د دويمي تابع ګراف يې په دوو نقطو کې قطع ک7ی دی ،نو لوم7ن 9تابع يو په يو تابع ده ،خو دويمه تابع يو په يو تابع نه ده. په دوو نقطو کې يې قطع ک7ي ده
په يوه نقطه کې يې قطع ک7ي ده
د معکوسﻲ تابﻊ تعرﻳﻒ :که fيوه يو په يو تابع وي چې د تعريف ساحه يې xاو د قيمتونو ساحه يې yده ،نو د gتابع د fد تابع معکوسه تابع ده ،که د gد تعريف ساحه yاو د قيمتونو ساحه يې xوي او يا د gتابع په هغه صورت کې د fد تابع معکوسه ده که چېرې: (f o g )( x ) = x (g o f )( x ) = x (f o g )( x ) = (g o f )( x ) = x
پن%م مثال :که f ( x) = 3x + 2وي ،د ) f (xد تابع معکوسه تابع ) f 1 ( xپيدا ک7ئ. حل:
y = f ( x) = 3x + 2 x = 3y + 2 3y = x 2 x 2 =y 3 114 1 x 2 1 2 = )f ( x = x 3 3 3 1 1 f ( f ( x)) = f ( f ( x)) = x
y = f ( x) = 3x + 2 x = 3y + 2 3y = x 2 x 2 =y 3 x 2 1 2 = )f 1 ( x = x 3 3 3 1 1 f ( f ( x)) = f ( f ( x)) = x
دا مثال په لن 6ډول په شکل کې هم ښودل شوی دی. x 2 له بلې خوا که ) f 1 ( xپه 3 شي ( f o g )( x) = ( g o f )( x) = x ،دى.
= ) g( xسره وښودل
ځکه چې: x 2 )+2 = x 2+2 = x 3 3x + 2 2 3x = )( g o f )( x = =x 3 3 fاو f (f 1 ( x) )= x
(( f o g )( x) = 3
يا( f ( x) ) = x :
1
وي f 1f( x1)( xاو که g ( x) = x 2وي ) g 1 ( xپيدا ک7ئ. شپ8م مثال :که ) , f ( x) = x 3 + 1 حل:
y = x3 + 1
y=3 x 1
x = y3 +1
y3 = x 1
که yپه ) f 1 ( xسره وښيو ،نو f 1 ( x) = 3 x 1
x=± y
y = x2
g( x ) = x 2
xپر yاو yپر xبدلوو. g 1 ( x) = ± x
يا y = ± x
ليدل کې8ي چې ) g 1 ( xيوه تابع نه ده ،ځکه چې که x = 2
او يا x = 2وي g ( 2) = 4 ،او g (2) = 4کې8ي شکل وګورئ نو د ( g)xتابع معکوس پذيره نه ده.
115
اووم مثال :د xد کوم قميت لپاره د f ( x) = 5 x 2تابع له خپل معکوس سره مساوي کې8ي؟ حل :که y = 5 x 2وي ،نو معکوس يې 5y = x + 2 x+2 = )f 1 ( x 5 24 x = 12
x = 5y 2 x+2 =y 5 x+2 = 5x 2 5 1 =x 2
نو د x = 1په قيمت سره د ) f (xتابع له خپلې معکوسې تابع سره مساوي کې8ي.
2 1 2 اتم مثال :وښياست چې د f ( x) = 7 x 2او g ( x) = x +تابعګاني يو د بل معکوسې 7 7
تابع ګانې دي. حل:
1 2 1 2 (f o g )( x ) = f (g ( x )) = f ( x + ) = 7( x + ) 2 = x 7 7 7 7 1 2 (g o f )( x ) = f (g ( x )) = g (7 x 2) = (7 x 2) + = x 7 7
نو د ) f (xاو ) g (xتابع ګانې يو د بل معکوسي تابعګاني دي ،نو نتيجه کې8ي چې د تابع او د تابع د معکوسې تابع ترکيب د عينيت ) ( f ( x) = xتابع ده. ﻓعاﻟﻴت 2x +1 که x 2
= ) f ( xوي f 1 ( x) ،پيدا ک7ئ او هم وښياست چې ( f o f 1 )(x) = xکې8ي.
د تابﻊ او دﻫﻐ 3د معکوسﻲ تابﻊ -راف :د ) f (xد يو په يو تابع او د هغې د معکوسى تابع ) f 1 ( xد ګرافونو ترمنځ يوه رابطه موجوده ده ،ځکه که چېرې ) (a , bد ) f (xتابع د ګراف پر مﺦ يوه نقطه وي ،نو د ) (b , aنقطه د ) f 1 ( xتابع د ګراف پرمﺦ واقع ده چې ) (a , bاو )(b , a نقطې له نظره د y = xخط ته سره متناﻇرې دي.
116
نﻬم مثال :که f ( x) = 3x 2وي ،نو ښکاره ده چې f 1 ( x) = 1 x + 2د ) f (xمعکوسه 3
3
تابع ده .د دواړو تابع ګانو ګرافونه د وضعيه کمياتو په عين سيستم کې رسم او يو له بله سره يې پرتله ک7ئ چې ګرافونه نظر د y = xخط ته سره متناﻇر دي. y=x 0
1 2 2 1 4
2 1 4 0 1 2
x )f ( x x )f ( x 1
ليدل کې8ي چې د دواړو تابع ګانو ګرافونه نظر د y = xخط ته سره متناﻇر دي. لﺴم مثال :که ) f (xد ) ( 1, 0) , ( 3 , 2او ) (4 , 2مرتبو جوړو لرونکي وي د ) f (xاو ) f 1 ( xد تابع ګانو ګرافونه د وضعيه کمياتو په عين سيستم کې رسم ک7ي او وښياست چې دواړه ګرافونه نظر د y = xخط ته سره متناﻇر دي.
117
ليدل کې8ي چې د ( f )xاو ) f 1 ( xتابع ګانو ګرافونه نظر د y=xخط ته سره متناﻇر دي. د يو په يو تابع معکوس هم يوه تابع ده. د Xله محور سره موازي خط (افقي خط) د يو په يو تابع ګراف په يوه نقطه کې قطع کوي. د ) y = f (xتابع د معکوس د پيدا کولو لپاره د تابع معادله د xلپاره حلوو ،بيا xپر yاو y پر xبدلوو په الس راغلى تابع ) y = f 1 ( xده چې د ) f (xد تابع معکوسه تابع ده. د ) f (xد تابع او د ) f (xد معکوسې تابع ګرافونه نظر د y = xخط ته سره متناﻇر دي. ) dom f ( x) = Range f 1 ( xاو ) Range f ( x) = dom f 1 ( xدي.
پو*تن3 -1د الندېنيو تابع ګانو معکوس پيدا ک7ئ او ووايئ چې د کومې تابع معکوس هم يوه تابع ده؟ })f = {( 1,0), ( 2,1), (4,3), (3,4)} h = {(1,4), (2,3), (4,1 })g = {(1,2), (2,3), (3,2), (4,1)} k = {(3,0), (2, 1), (1,2), (0,1), ( 1,2 – 2د الندېنيو هرې يوې تابع معکوسه تابع پيدا ک7ئ او د خپل ځواب صحت د f (f 1 ( x )) = x
سره وازمايئ.
f ( x) = 2 x + 3 1 = )f ( x x
f ( x) = 2 x
f ( x) = x + 3
f ( x ) = ( x + 2) 3
f ( x) = x 3 + 2
– 3د الندېنيو تابع ګانو ګرافونه رسم ک7ئ او د Xله محور سره د موازي خط (افقي خط) په واسطه وښياست چې ددوى معکوس هم يوه تابع ده. – 4له الندېنيو تابع ګانو څخه کومه يوه يو په يو تابع ده. 1 x+2
=y
y=9
7 2x 5
y = ( x 2) 2
= )g ( x
f ( x) = 1 x 2
y=6 x
y = 4x 5
118
پولﻴنومﻲ تابﻊ -ان3 أيا پوهې8ي چې لوم7ى درجې تابع ته ولې خطي تابع وايي؟ أيا د لوم7ى درجې تابع ګراف يو مستقيم خط دى؟
o
پولينومونه مو په لوم7ي فصل کې تر څې7نې الندې ونيول .هغه پولينوم چې له يوه تورې (متحول) څخه جوړ شوې وي د پولينومي تابع په نامه يادې8ي. ﺧﻄﻲ تابﻊ ) (Liner functionﻳا لوم7ۍ درجه تابﻊ
هغه پولينومي تابع ده چې درجه يې يوه وي ،د لوم7ی درجې تابع عمومي شکل f ( x) = ax + b
دی چې a 0او a , bحقيقي عددونه دي. 1 د مثال په ډول f ( x) = 2 x , f ( x) = x 1 , f ( x) = 3x + 4 :او f ( x) = xخطي تابع 2 ګانې دي.
3 لوم7ى مثال :د f ( x) = x 3تابع ګراف رسم ک7ئ او د Xاو Yله محورونو سره د ګراف 4
د تقاطع نقطې پيداک7ئ.
3 x 3 4 x= 8 4 0 f (x) 3 0 3
= )f (x
0
د Xله محور سره دګراف د تقاطع نقطه ( )4 ,0او د Yله محور سره د ګراف د تقاطع نقطه )(0, 3
ده.
119
ليدل کې8ي چې د لوم7ۍ درجې تابع ګراف يو مستقيم خط دى او له همدې سببه ورته خطي تابع هم وايي ،د خطي تابع د ګراف د رسمولو لپاره همدومره کافي ده چې د Xاو Yله محورونو سره يې د تقاطع ټکې پيدا ک7و او مستقيم خط رسم ک7و ،لکه :چې په شکل کې ليدل کې8ي. ﻓعاﻟﻴت د y = f ( x) = x + 1او y = x 1تابع ګانو ګراف رسم او د Xاو Yله محورنو سره يې د تقاطع د نقطو وضعيه کميات هم پيدا ک7ئ. 2 3
دوﻳم مثال:د f ( x) = x + 2خطي تابع ګراف رسم ک7ئ. حل :د Yله محور سره د ګراف د تقاطع په نقطه کې ) ( x = 0دى ،نو: 2 (0) + 2 = 2 3
نو د Yله محور سره د ګراف د تقاطع نقطه ( )0 ,2ده.
= )f (0
او د Xله محور سره د ګراف د تقاطع په نقطه کې د yيا ( f )xقيمت صفر دى ( f ( x) = 0 x= 3
نو د Xله محور سره د ګراف د تقاطع ټکى ) ( 3 , 0دى.
2 x+2 3
=0
د ) (0 , 2او ) ( 3 , 0نقطې يو له بله سره نښلوو او مستقيم خط رسموو او هم کوالى شو چې د ګراف يو څو نورې نقطې وټاکو چې پر همدې مستقيم خط باندې پرتې دي.
6 ...
0
2 ...
3 6 6
0
0 3
=x
f (x) = 2 4
120
0 3
دوﻳمه درجه تابﻊ ) (Quadratic Functionاو -راف ﻳ:3
دا ګرافونه د کوم ډول تابع ګرافونه دي؟
دا دواړه ګرافونه سره څه توپير لري؟ له k ( x) = x 2 , h( x) = x 2 + 3x , g ( x) = x 2 + 1, f ( x) = x 2 + 7 x + 12او r ( x) = 2 x 1څخه کومه يوه يې دويمه درجه تابع نه ده؟ هغه پولينومي تابع چې درجه يې يوه وي ،لوم7ى درجه يا د خطي تابع ( )Liner Functionپه نامه يادې8ي او که د پولينومي تابع درجه ( )2وي ،د دويمي درجې تابع په نوم يادې8ي. ﻓعاﻟﻴت د دويمې درجې تابع ګراف په کوم نوم يادې8ي؟ د دويمې درجې تابع د ګراف د تناﻇر محور کوم خط دى؟ د دويمې درجې تابع ګراف څه وخت پورته خواته او کوم وخت ښکته خواته خالصې8ي؟ د دويمې درجې تابع د ﮔراف رآس په کوم وخت کې اصغري ( )Minimumاو په کوم وخت کې اعظمي ( )Maximumدی؟ أيا د دويمې درجې تابع ګراف د رآس د نقطې وضعيه کميات پيدا کوالى شي؟ په کوم حالت کې د دويمې درجې تابع ګراف د Xاو Yمحورونه قطع کوالى شي؟ أيا د Xاو Yله محورونو سره د دويمې درجې تابع د ګراف د تقاطع د نقطو وضعيه کميات پيدا
121
کوالى شئ؟ د دويمې درجې تابع عمومي شکل f ( x) = ax 2 + bx + c
دى چې a ، bاو cحقيقي عددونه او a 0دی. د دوﻳم 3درج 3تابﻊ -راف :ترټولو ساده دويمه درجه تابع 2 د f ( x) = y = xتابع ده چې a = 1او b = c = 0
که xته يو څو قيمتونه ورک7ل شي د تابع يا yاړونده قيمتونه الس ته راوړالی شو ،ګراف يې رسم کېدای شي لکه :څنګه چې په شکل کې ليدل کې8ي. دويمې درجې تابع ګراف د پارابوال ( )Parabolaپه نوم يادې8ي چې دا ګراف نظر د yمحور ته متناﻇر دى ،هغه خط
2 4
1 1
x 0 1 2 y 0 1 4
6 ...
6
2 ...
6
چې د پارابول له رآس څخه تېر شي او د yله محور سره
g ( x) = 2 x 2 ګراف د تناﻇر محور دى. ددې-تابع1د 0 موازي وي ،د تناﻇر د محور په نامه يادې8ي چې د 2 -y2 محور 1 =x
(x)Vertexپه(gنامه يادې8ي .که هغه نقطه چې د تناﻇر محور په کې ګراف قطع کوي ،د پارابول د رآس )= 0 2 2 8 8 دى د y = x 2د اصغريf ( x a 0وي. په هغه صورت کې د Xمحور په يوه نقطه کې قطع کوي چې 4ac = 0
c
په هغه صورت کې د Xمحور قطع کوالى نه شي چى b 2 4ac < 0وي.
b 2وي.
د پارابوﻻ د رأس د نقﻄ 3د وضعﻴه کمﻴاتو پﻴدا کول: د تکميل مربع په طريقه هم کوالى شو چې د پارابول د رآس د نقطې وضعيه کميات پيدا ک7و. b x) + c a b ( )2 + c 2a b2 +c 4a
y = ax 2 + bx + c = a ( x 2 + b b x + ( )2 a 2a
b2 b 2 b2 b + c = a ( x + ) a ( ) + c = a( x + ) 2 2 2 4a 2a 4a 2a
y = a (x2 +
b 2 ) 2a
= a (x +
b 2 4ac b 2 ) + 2a 4a 2 f ( x ) = a ( x h) + k y = a( x +
125
b 4ac b 2 , د پارابوال د رآس د ټکي وضعيه کميات ) ( او يا ) ( h , kدي او څرنګه چې 2a 4a د تناﻇر محور د پارابوال له رآس څخه تېري8ي ،نو x = bد تناﻇر د محور معادله ده. 2a که چېرې a > 0وي ،رآس اصغري ( )Minimumاو که a < 0وي ،رآس اعظمي
( )Maximumدى. شپ8م مثال :د f ( x) = 2 x 2 + 4 x + 5تابع ګراف رسم ک7ئ. -1د Xله محور سره د تقاطع ټکي پيدا کوو .څرنګه چې b = 4 , a = 2او c = 5دى. = b 2 4ac = 4 2 4 2 5 = 24 < 0دا چې < 0ده نو ګراف د Xمحور نه قطع کوي. 3
= )f (x
x 3 -2د Yله محور سره د ګراف د تقاطع ټکي پيدا کوو په دې حالت کې x = 0دى4 . x 0 1 2 1 2 x= 8 4 0 =x 0 3 3 6 6 ... د y = ax 2 + bx + cپه تابع کې که x = 0شي y = cکې8ي ،نو ) ( 0 , cد Yله محور سره د ﮔراف y 0 1 4 1 4 f (x) 3 0 3 f ( x ) = 2 4 0 6 2 2 ... د تقاطع نقطه دهf (0) = 2 0 + 4 0 + 5 = 5 . 2 ) = 2 xنو( xپه gدې مثال کې ) ( 0 , 5د yله محور سره د تقاطع 0 1x 0 1 1 2 2 =x
0 2 2
1 1
1
1 2
= ) g(x
– 3د رآس د نقطې وضعيه کميات عبارت دي له:
1
f ( x) = x 4 4 = = 1 =x 0 =x 2 42 5 43 6 2 ... 0 1 1 2 2 3 2 04 21 51 44 440... 16 24f (x) = 0 4 3 =3 0 0 y5 = = = =3 4 2 8 8 1 h( x ) = x 2 ( )–1,3د پارابوال د رآس د نقطې وضعيه کميات دي او 2 3 2 4 5 1 رآس اصغري دى ،ځکه چې a > 0دى. 0 =x b 4 1 0 0 3 3 =x = (–x 4د hتناﻇر د محور معادله = 1 )= 0 2a 4 د ګراف د تناﻇر د محور معادله x = 1ده ،د 2 f ( x ) = 2x + 4x + 5 ګراف د رسمولو لپاره کوالى شو د ګراف يو څو =x 1 2 0 1 3 2
1 -
نقطه ده.
4
4
1
y 0
b = 23a x 2 4ac 5 by 4a
نورې نقطې هم پيدا ک7و:
5
5 11 11
x y
x y
= )f (x
3
}Dom f = IR {0} = IR \ {0 4...
3
1 ... 4
1 3
1 1 2 2 1 2 1 2
1 3
1 4
1 2
1
2
3
... 4
3
4
2
1
1 2
1 3
1 4
126 x
f ( x ) ...
اووم مثال :د y = 3x 2 2 x + 1تابع ګراف رسم ک7ئ.
2 x) + 1 3
د xد ضريب نيمايي مربع جمع او هم تفريقوو.
y = 3( x 2 +
2 1 1 x + ( )2 ( )2 + 1 3 3 3 1 2 1 4 ) + 1 = 3 ( x2 + x + ( )2 + 9 3 3 3
1 په نتيجه کې 3 1 چې : =x 3
(3
y = 3 x2 +
2 1 x + ( )2 3 3 1 4 y = 3( x + ) 2 + 3 3
y = 3 x2 +
= xد تناﻇر د محور معادله ده ،ځکه x + 1 = 0او ) ( 1 , 4د
3 3 3 رآس د ټکي وضعيه کميات دي او څرنګه چې a < 0
دى ،نو د پارابوال رآس اعظمي دى. ﻳاددونه :که دويمه درجه تابع د y k = a ( x h) 2 2 يا y = a ( x h) + kپه شکل وليکل شي x = h
د تناﻇر د محور معادله او ) (h , kد رآس د نقطې وضعيه کميات دي. , (a 0) f ( x) = ax + bدxلوم7ی درجې يا خطي تابع عمومي شکل دی. او (a 0)0 , y = ax 2 + bx + cد دويمي درجې معادلې عمومي شکل دى. د دويمي درجې تابع ګراف ته پارابول ( )Parabolaوايي که a > 0وي ،رآس اصغري او که a < 0 2 وه ،رآس اعظمي دى ( b , 4ac b ) .د پارابوال د رآس وضعيه کميات او x = bد پارابول 2a 2a 4a د تناﻇر د محور معادله ده .که = b 2 4ac > 0پارابوال د Xمحور په دوو نقطو کې او که = 0 نو پارابوال د xمحور په يوه نقطه کې قطع کوي او که < 0
127
وي ،پارابوال د Xمحور قطع کوالی نه شي.
پو*تن3 - 1د h( x) = 3 x + 3د تابع ګراف رسم ک7ئ. 2
– 2د g ( x) = 2 x + 1او g ( x) = 2 x 1تابع ګانو ګرافونه د وضعيه کمياتو په عين سيستم کې رسم او سره پرتله يې ک7ئ. 1 1 – 3د f ( x) = x 2 , f ( x) = 3 x 2 , f ( x) = 2 x 2 , f ( x ) = x 2او f ( x) = x 2 3 2
تابع ګانو ګرافونه د وضعيه کمياتو په عين سيستم کې رسم ک7ئ او يو له بله سره يې پرتله ک7ئ – 4د الندې تابع ګانو د ګراف د تناﻇر محور معادلې پيدا ک7ئ. f ( x) = 3x 2 2 x + 6
f ( x) = x 2 12 x + 30 ,
f ( x) = x 2 + 8 x + 13 ,
– 5د g ( x) = ( x + 1) 2 , f ( x) = ( x 2) 2او h( x) = ( x 3) 2تابع ګانو ګرافونه رسم ک7ئ او وواياست چې د f ( x) = x 2له ګراف سره څه اړيکه لري؟ – 6د y = x 2 1تابع د ګراف د راس وضعيه کميات عبارت دي له: )d : (0 , 1
)c: (0 , 1
)b: (1, 1
)a : ( 1 ,1
– 7د y = ( x 1) 2 2تابع د ګراف د راس وضعيه کميات عبارت دي له: )d : (1, 2
)c: ( 1, 2
)b: ( 1, 2
) a : (1 , 1
128
ناطق 3ﻳا نﺴبتﻲ تابﻊ -ان3 )(Rational functions دا شکل د کوم ډول تابع ګانو ګرافونه دي؟
ﻓعاﻟﻴت أيا د ناطقې تابع د عمودي مجانب معادله پيدا کوالى شئ ؟ أيا د هرې ناطقې تابع د تعريف په ساحه کې ټول حقيقي عددونه شامليدالى شي؟ أيا د يوې ناطقې تابع افقي مجانب پيدا کوالى شئ؟ أيا هره ناطقه تابع عمودي مجانب لري؟
ﺗﻌﺮﻳﻒ ناطقه تابع هغه تابع ده چې د دوو پولينومي تابع ګانو له خارج قسمت څخه جوړه شوي وي که ) g ( x) 0 ، f ( x) = p( xوي ،په داسې حال کې چې ) p(xاو ) g (xپولينومونه وي ،نو )g ( x
) f (xيوه ناطقه تابع ده. د ناطقــې تابــع د تعريــف ســاحه ټــول حقيقــي عددونه دي ،پرتــه د xلــه هغو قميتونــو څخه چې x3 1 , x
د ناطقــې تابــع مخــرج پــرې صفــر کېــ8ي ،د مثال پــه ډول1 : x x 1 g ( x) = 3 , g ( x) = 2او P( x) = 2 x 2 3ناطقې تابع ګانې دي. x x 6 = )f ( x
ﻓعاﻟﻴت x 1 أيا x+2
129
= ) k ( xيوه ناطقه تابع ده؟ ولې ؟
= ) h( x
د ناطق 3تابﻊ د تعرﻳﻒ د ساح 3پﻴدا کول )(Finding Domain of Rational function لوم7ى مثال :د الندېنيوناطقو تابع ګانو د هرې يوې د تعريف ساحه پيدا ک7ئ. x+3 x2 + 9
= ) h( x
x
,
2
9
x
x2 9 , x 3
= )g ( x
= )f ( x
حل :د ) f (xپه تابع کې د x = 3لپاره د تابع مخرج صفر کې8ي ،نو د 3عدد د ) f (xد ناطقې تابع د تعريف په ساحه کې شامل نه دى ياDom f ( x) = {x / x IR , x 3 }:
د ) g (xپه تابع کې که چېرې x = 3يا x = 3شي ،نو مخرج يې صفر کې8ي ،نو د 3او - 3 عددونه د ) g (xد تابع د تعريف په ساحه کې شامل نه دي. }3
3 , x
IR , x
Dom g ( x) = {x / x
څرنګه چې د ) h(xتابع مخرج د xپه هيڅ قيمت نه صفر کې8ي ،نو د ) h(xتابع د تعريف ساحه ټول حقيقي عددونه دي. )
,
( = ) Dom h( xيا Dom h( x) = IR
ﻓعاﻟﻴت د الندېنيو ناطقو تابع ګانو د تعريف ساحې تعين ک7ئ. x+5 x 2 + 25
= ) h( x
,
x 25
2
x
= )g ( x
x 2 25 , x 5
= )f ( x
دوﻳم مثال :د الندېنيو ناطقو تابع ګانو د تعريف او قيمتونو ساحي پيدا ک7ئ. x 3 x+5
= )g ( x
x+3 x 4
= )f ( x
حل :د ( f)xتابع د تعريف ساحه پرته له ()4څخه ټول حقيقي عددونه دي.
130
ا }dom f ( x) = IR \ {4 }IR {4 x+3 = )y = f ( x y ( x 4) = x + 3 x 4 4 y+ 4y + 3 xy 4 y = x + 3 =x y 1 } IR {1يا }Range f ( x) = IR \ {1
xy x = 4 y + 3 ( y 1) x = 4 y + 3
د ( g )xتابع د تعريف ساحه ټول حقيقي عددونه دي ،پرته له ( ) 5څخه: {x IR / xﻳا }dom g ( x ) = IR { 5 }5 xy + 5 y = x 3
x 3 x +5
y( x + 5) = x 3
= g( x ) = y
} {y IR / y 1ﻳا }Range g ( x ) = IR {1
5y 3 y 1
=x
ﻓعاﻟﻴت د الندې راک7ل شوو ناطقو تابع ګانو د تعريف او قيمتونو ساحې پيدا ک7ئ. x 3x 2
= ) m( x
4x 1 , 2 x
= )r ( x
,
x +1 3
= )k ( x
1 x3
,
= ) h( x
د ناطق 3تابﻊ د -راف رسمول ):(Graphing Rational function درﻳم مثال :د f ( x) = 1تابع ګراف رسم ک7ئ. x
حل :که x = 0شي ،نو د تابع مخرج صفر کې8ي ،صفر د ) f (xد تابع د تعريف په ساحه کې شامل نه دى. }Dom f = IR {0 4...
3
1 ... 4
1 3
131
1 1 2 2 1 2 1 2
1 3
1 4
1 2
1
2
3
... 4
3
4
2
1
1 2
1 3
1 4
x
f ( x ) ...
= ) f ( x) =gx(2x =f 0(x) 1 =x 2 ... =x 34 ...6 2 ... f (x) = 0 1 1 4 4 ... = )f (x 1 h( x ) = x 2 = )2h(x 1 x = 0 1اوس د = )f ( x x h ( x ) = 0x =1 چې څرنګه x=0 h ( x ) =2
4 3 6 14 45 0 1
5 x1 y
4
1
0
1
1 2 2 3 3 x 4 30 31 0 10 2 5 25 3 y 30 4 3 3 0 0 5 5
1
0
4x y
3 2 4 5 1 کوو: د تابع وضعيت مطالعه 1 1 x 0 3 0 2 34 35 y 1 0 0 د ) f (xتابع د تعريف په 3ناحيه 3
x y
x y
کې شامل نه دى ،ددې تابع د ګراف د رسمولو لپاره x
4... 1 ... 4
f ( x ) = 2x 2 + 4x + 5 2 صفر x = f ( x1) = 22x +0 4 x1+ 5 ته داسې قيمتونه ورکوو چې له دواړو خواوو څخه 3 2 011 ته نﮋدې شي (تقرب وک7ي) ،که xله کيڼې 3خوا 1 څخه f ( x ) = x3= 5 1 5 11 f (x) = 3 قيمت 5 5 11 صفر ته نﮋدې شي ) ( x 0د تابع 11 }Dom f = IR {0} = IR \ {0 ) ( f (xاو که xله ښي خوا ته ن8دې کې8ي ) }Dom f = IR {0} = IR \ {0 1 1 1 +1 قيمت x ... 4 3 2 صفر ته12نﮋدى11کې8ي ( x 1 0 )1 ،د تابع 1 څخه 3 4... 2 4 3 2 x وګورئ... 4 . 3 الندې 2 )1 ( f (x 1 2 جدول کوي تقرب ته ) 3 21 1 +1 3 1 1 1 2 4 f ( x ) ... صفر ته 4 x1 :a...1له کېڼې خوا1څخه3 2 نﮋدې کې8ي1 21 1 1 2. f ( x )4 ... 3 1 2 4 3 22 13 4 4 3 2 2 3 x
... 1 0.5 0.1 0.01 0.001 x 0 1 x ... 1 0.5 0.1 0.01 0.001 x 0 = )f (x ... 11 2 10 100 ) 1000 f ( x = ) fx( x ... 1 2 10 100 ) 1000 f ( x x نﮋدې0کې8ي. x 0+ x 0.001 0.01 صفر0.ته .1 څخه5 1 x : bله ښي خوا ... 1 x 0+ x 0.001 0.01 0.1 0.5 1... = )f (x f ( x ) 1000 100 10 2 1... 1 = ) fx( x f ( x ) 1000 100 10 2 1... x
4 5 13 32 1 3 53
(Vertical عمودي مجانﺐ )Asymptotes 1 2 14 0 2 1 x 1 0 1 3 صورت او0 چې2 2 0که په1يوه ناطقهx1تابع ) f ( x2) = 4p( xکې 1 مخرج يې xمشترک فکټور ،ونه لري او 4 8 11 3 5 )f (x 14 2 4 2 y = f ( x) 0 ) g ( x) f (3x 8 1 1 23 4 y = f ( x)3 0 3 p(a ) 0وي ،که g (a3) = 0شي ،نو د 3 x = aخط د ) f (xد تابع عمودي مجانب دى چې x
د yله محور سره موازي دی .د عمودي مجانبونو شمېر د مخرج د جذرونو له شمېر سره مساوي دي xپه نتيجه کې +
يا په بل عبارت که a
) f ( xيا
) ، f (xنو د x = aعمودي
خط ددې تابع عمودي مجانب دى يا که: | )| f ( x
a
xنو x = aد تابع عمودي مجانب دى.
132
xهر څومره چې د aقيمت ته نﮋدې شي ،خو د تابع ګراف د x = aمستقيم خط قطع کوالى نه شي ،ځکه چې د aعدد د تابع دتعريف په ساحه کې شامل نه دی ،لکه :د f ( x) = 1تابع x
د تعريف په ساحه کې صفر شامل نه دی ،نو x = 0يا د Yمحور د f ( x) = 1تابع عمودي x
مجانب دى. x+5 2x 'لورم مثال :د , hgf((x(xx)))=== x22 + 5 ،, f ( x) = 2 xاو 2 25 x + 25 xxx + 325 x 3
= ) h( xتابع ګانو عمودي
مجانبونه پيدا ک7ئ. حل: - 1د ( f)xتابع د عمودي مجانب د پيدا کولو لپاره د xهغه قيمت پيدا کوو چې د ( f)xتابع مخرج پرې صفر کې8ي .نو د 3عدد د ) f (xد تابع د تعريف په ساحه کې شامل نه دى. }3
نو د x = 3خط د ( f)xتابع عمودي مجانب دى. -2
domf ( x) = {x / x
IR , x
x )( x 5)( x + 5
=
x
25 x=5 x= 5
2
= )g ( x
x x 5=0 x+5 = 0
د x=5او x = 5لپاره د ( g)xتابع مخرج صفر کې8ي ،نو د 5او - 5عددونه د ( g)xد تابع د تعريف په ساحه کې شامل نه دي. }5 , x 5
IR , x
dom g ( x) = {x /
نو د ) g (xد تابع عمودي مجانبونه د x = 5او x = 5خطونه دي.
x+5 - 3څرنګه چې د xپه هر قيمت د x 2 + 25
= ) h( xتابع مخرج نه صفر کې8ي ،نو عمودي
مجانب نه لري يا ددې تابع د تعريف ساحه ټول حقيقي عددونه دي. افقی مجانﺐ )(Horizontal Asymptote که په يوه ناطقه تابع کې د صورت او مخرج درجې سره مساوي وي ،نو ښکاره خبره ده چې دوېش
133
6 ... 4
y 0 1 4
1
2 ...
3 6 6
=x
0 3
0
g ( x) = 2 x 2 0 1 -1 =x 0 2 2
3
f (x) = 2 4 2 4
= ) g(x
2 4
f (x) 3 0
1 1
x 0 y 0
1 1
(خارج قسمت) به يو ثابت عدد وي ،که دې ثابت عدد ته bووايو ،نو د y = bافقي خط حاصل( f x) = x 2 0 1 -1 خط يا5د x 4X ددې =تابع xافقي مجانب...دى2چې6دا 3 موازي خط1دى چې0 محور سره1 2 محور او يا 3د Xله2 3 صورت او1 1 عدد د4 4 حقيقت fکې د ... b 0 1 1په = )(x عبارت دى4او څخه 3 نسبت 3 ضريبونو له0 0 مخرج د0لو وyتوانونو5د 5
x y
1 صورتhپر مخرج وېشو. x 2يا = )( x
1 -1
2د مثال په ډول د 2 x 2 دى4 . f ( x) = 2د تابع افقي مجانب د 1y = 2خط 5 0 =x x 1 0 3 3 افقي مجانب داسې تعريفوو: h(x) = 0 xاو په نتيجه کې f ( x) bنو y = bمستقيم خط د ( f)xتابع افقي xيا که
2 0
1 2
1 2
2
5 1 3 5 3 2 3
3 1
دىf (. مجانب ) x افقي = 2 x 2 ددې +تابع+ 4 x | | xاو ، y bنو y = bمستقيم خط 5 مجانب دى او يا که =x 1 2 0 1 3 2x = ) f ( xتابع ګراف رسم ک7ئ. پن%م مثال :د x 1 f (x) = 3 5 5 11 11
حل:
}Dom f = IR {0} = IR \ {0
- 1د Xله محور سره د -راف د تقاطﻊ نقﻄه :د Xله محور سره د تقاطع په نقطه کې
1 1 1 1 نتيجه کې لرو چې... 4 0 =3 2 x 2 2 x1= 0 x = 0 : کې8ي2 ،په 1 3 f4(...x) = 0 2 4 3 2 x 1 1 1 1 1 1 کې قطع 1کوي. f ( x ) ... نو د تابع...ګراف د Xمحور1په 3x =20يا د ) (0,40په2نقطه 1 4 32 0 2 0 2 3 4 نقﻄه: تقاطﻊ د -راف د سره - 2د Yله محور = )f (0 = =0 0 1 1 ددې تابع x عبارت ... بل 1 کوي يا په0.5 نقطه0.کې قطع0.1 (00.,001په 01 x Y نو ګراف د Xاو 0 ګراف د محورونه د )0 1 = )f (x ... 1 2 10 100 1000 وضيعه کمياتو له مبدآ ) x څخه( fتېري8ي. x x
- 3د تابع د عمودي مجانب معادلهx = 1 : 0.001 0.01 0.1 0.5 1... 2 افقي مجانب 1دى ،يا y = f ( x100د تابع مجانب 2= 2 1دی، - 4د تابع د ګراف افقي 10نو ) = 2 = )f (x f ( x ) 1000 ... 1 x 2x = 2 + 2افقي مجانب يې هم رسم ک7ئ. x 1 x 1
x 1 = 0دى دا خط رسم +ک7ئ. x
x
0
- 5د ګراف يو څو نورې نقطې هم پيدا کوو ،لکه:
0
3 4
1
0 1
1 1 3
x )f (x
2 4 8 3
1 2
2 4
1 1
2 4 3
0
x
y = f ( x) 0
134
x y
له محورونو سره د تقاطع نقطې ټاکو ،د تابع مجانبونه رسموو او بيا يې ګراف ،لکه :څنګه چې په 2x شکل کې ليدل کې8ي ،رسموو. x 1
= )f (x
ﻓعاﻟﻴت 3x د x 2
= ) f ( xتابع ګراف رسم ک7ئ.
شپ8م مثال :د f ( x) = x + 2د تابع افقي او عمودي مجانبونه پيدا ک7ئ او ګراف يې رسم x 2 ک7ئ. حل :د عمودي او افقي مجانبونو معادلې عبارت دي له: - 1د عمودي مجانب معادله x = 2
- 2د افقي مجانب معادله f ( x) = y = 1
- 3د Yله محور سره تقاطع: که x = 0شي ،نو f ( x) = 1دي ،ګراف د Yمحور په ) (0, 1کې قطع کوي. - 4د Xله محور سره تقاطع f ( x) = 0شي ،نو:
نو د ) ( 2,0په نقطه کې ګراف د Xمحور قطع کوي.
135
x+2=0 x= 2
)f (x
1000
10
100
01 0.01 0.1 0.5 1... 2
1...
100
10
- 5ددې لپاره چې ګراف په اسانه ډول رسم شي ،په الندې جدول کې د ګراف د هرې څانګې قيمتونه وګورئ. 2 0
3 4
1
5 1 3 5 3 2 3
0 1
1 1 3
2 4
x )f (x
x+2 که صورت پر مخرج ووېشو 4 = 1+ x 2 x 2 په حقيقت کې د f ( x) = 1تابع ګراف د يو واحد په اندازه پورته خواته او د ( )2واحدونو په اندازه x ښي خواته ا نتقال شوى دی او y= f ( x ) = 1د تابع افقي مجانب دی.
ماﻳل مجانﺐ(slant or Oblique asymptote) : څه وخت چې د يوې ناطقې تابع د صورت درجه د يو په اندازه د مخرج له درجې څخه زياته وي ښکاره خبره ده چې تابع افقي مجانب نه لري په دې حالت کې تابع مايل مجانب لري. 2 اووم مثال :د f ( x) = x + 1تابع ګراف رسم ک7ئ.
حل:
x 1
- 1د مايل مجانب د پيدا کولو لپاره صورت پر مخرج وېشو ،نو لرو چې: x2 +1 2 = x +1+ x 1 x 1
= )f ( x
مايل مجانب که | | xهر څومره لوى شي
2 x 1
صفر ته نﮋدي کې8ي ،نو په نتيجه کې ګراف د y = f ( x) = x + 1
مستقيم خط ته نﮋدې کې8ي چې همدا د y = x + 1خط د ) f (xتابع مايل مجانب دى.
136
8 3
1 2
2 4
00
1
1
– 2د Yله محور سره يې د تقاطع نقطه: =1 2 = 1
ګراف د ) (0, 1په نقطه کې د Yمحور قطع کوي. - 3ښکاره خبره ده چې ګراف د Xمحور قطع
0 1
f (0) = 0 + 1 +
x=1
= xکې8ي.
کوالى نه شي ،ځکه چې 1
2
- 4عمودي مجانب يې x =1
x 1 = 0دى.
- 5ښکاره ده چې افقي مجانب نه لري.
ماﻳل مﺠانب
- 6يو څو نورې نقطې پيدا کوو او د تابع ګراف رسموو: 3 2.5
1 1
x 2 3 5 f ( x ) 5 5 6.5
1x 2 + 14
0
عمﻮدى مﺠانب
x
ګراف رسم ک7ئ. اتم مثال :د f ( 1x) = 2 8.5تابع )f (x x 2 2
- 1د تابع عمودي مجانب د x = 2خط دى ،ځکه چې x = 2
x 2=0
x2 +1 2پر ) ( x 2وېشو لرو چې5 : = x+2+ x +1- 2 x 2 x 2 که xلوى شي 5صفر ته ن8دې کې8ي او د تابع ګراف د y = x + 2خط ته نﮋدې کې8ي x 2
چې y = x + 2خط ددې تابع مايل مجانب دى. 1 – 3د Yله محور سره تقاطع 2
1 ده ،ځکه که x = 0شي 2
0 +1 = 0 2
= )f (0
شي ،نوx 2 + 1 : – 4ګراف د Xله محور سره تقاطع نه لري ،ځکه چې که f ( x) = 0 =0 x 2
137
(چې په حقيقي عددونو کې تعريف شوى نه دى ) 1 3 2.5
=x
x2 +1 = 0
x2 +1 x 2
=0
رسمولو2او د xYله محور سره د تقاطع ټکى او څو نورو قيمتونو په مرسته د تابع ګراف د 1مجانبونو5په 3 شوf ( x ) 5 5 . رسموالى6.5 1 4
1
2 8.5
0 1 2
x )f (x
)P( x که )g ( x – 1که m < nوي د xمحور افقي مجانب دى.
= ) f ( xپه تابع کې په ترتيب سره mاو nد صورت او مخرج درجې وي نو:
– 2که m = nوي y = bد تابع افقي مجانب دى چې bد mاو nد درجو حدونو د ضريبونو a a x n + ... + a 0 نسبت دى يا که چېرې = (0 )، fy x ) =n n n b n b n x + ... + b 0
افقي مجانب دى.
(b nوي ،نو ) y = anد(bnf)x(0تابع bn
– 3که m > nوي ،نو افقي مجانب نه لري. – 4که د صورت درجه د يو په اندازه د مخرج له درجې څخه زياته وي ،نو د تابع ګراف مايل مجانب لري چې په بې نﻬايت کې له ګراف سره موازي کې8ي ،يوه ناطقه تابع يو يا څو عمودي مجانبونه درلودالى شي ،خو يو افقي يا مايل مجانب به لري.
138
پو*تن3 3x 2 –1د x2 4 x4 f ( x) = 2تابع عمودي مجانب لري؟ ولې؟ – 2أيا د x +1
= ) f ( xتابع افقي او عمودي مجانبونه پيدا ک7ئ.
– 3د الندې راک7ل شوو تابع ګانو د تعريف ساحې پيدا ک7ئ او د عمودي مجانبونو معادلې يې وليکئ. 5x 3x 2 x+7 x+7 = ), g ( x , h( x ) = 2 , k ( x) = 2 x 4 )( x 5)( x + 4 x 49 x + 49
= )f ( x
– 4له الندې تابع ګانو څخه کومه يوه چې عمودي مجانب ولري ،پيدا يې ک7ئ. x+3 )x( x + 4 x k ( x) = 2 x +4 = )g ( x
x x+4 x = )h ( x )x( x + 4 = )f ( x
, ,
– 5د الندې ناطقو تابع ګانو ګرافونه رسم ک7ئ. 2x x 4
= )g ( x
,
4x x 2
= )f ( x
- 6د f ( x) = 3x + 1تابع افقي مجانب عبارت دى له: x 3
y=3
b:
y=2
a:
y= 3
d:
y= 2
c:
1 1 = ) f ( xاو f ( x) = 3تابع ګانو ګرافونه رسم ک7ئ او د -7د x x+2 x+2
له ګراف سره يې پرتله ک7ئ. x2 -8د x 1
139
= ) f ( xتابع مايل مجانب پيدا ک7ئ.
= ) f ( xد تابع
د 'پرکﻲ لن6ﻳز تابع د دوو سټونو تر منځ داسې يوه رابطه يا قاعده ( )Ruleده چې د لوم7ني سټ هر عنصر يوازې او يوازې د دويم سټ له يو عنصر سره اړيکه ولري .لوم7ني سټ ته د تابع د تعريف ساحه ( )Domainاو دويم سټ ته د قيمتونو ساحه( ) Rangeوايي يا تابع د هغو مرتبو جوړو سټ دى چې لوم7ني عناصر يې تکرار شوي نه وي. يوه تابع د ) y = f (xپه شکل ليکل کې8ي ،په يوه نقطه کې د تابع د قيمت د پيدا کولو لپاره د xراک7ل شوى قيمت د تابع په معادله کې وضع کوو ،د تابع قيمت په هغه نقطه کې په الس راځي او يوه معادله هغه وخت د يوې تابع ښودونکﯽ وي چې د هر xلپاره يو yوجود ولري. د يوې تابع د تعريف په ساحه ( )Domainکې هغه عددونه شامل وي چې تابع په کې تعريف شوي وي يا د تابع قيمت يو حقيقي عدد وي .د يوې تابع ګراف د XOYپه مستوي کې د Sد هغو نقطو سټ دى په دې ډول چې }) S = {( x, y ) | y = f ( xاو xد تابع د تعريف په ساحه کې شامل وي ،که د yله محور سره موازي خط ګراف يوازې په يوه نقطه کې قطع ک7ي ،دا ګراف د يوې تابع ګراف دى. f ( x) = cثابته تابع f ( x) = ax + b ،خطي تابع f ( x) = x , (a 0) ،د عينيت تابع او | f ( x) =| xد مطلقه قيمت تابع ده چې د تعريف ساحه يې ټول حقيقي عددونه او د قيمتونو ساحه يې صفر او مثبت حقيقي عددونه دي. د عالمې تابع دا ډول تعريف شوي ده: 1: x > 0 0 :x = 0 1: x < 0
= ) sgn(x
IR
f : IR
ددې تابع د تعريف ساحه ټول حقيقي عددونه او د قيمتونو ساحه يې } { 1, 0 ,1ده. د دويمي درجې تابع عمومي شکل (a 0) y = ax 2 + bx + cد ى او د دويمي درجې تابع ګراف ته پارابوال ( )parabolaوايي که a > 0وي ،رآس اصغري او که a < 0وي ،رآس اعظمي
b 4ac b 2 b ( د پارابوال د رآس وضعيه کميات او , دى) . 2a 4a 2a
= xد پارابول د تناﻇر د
140
محور معادله ده .که = b 2 4ac > 0
پارابوال د Xمحور په دوو نقطو کې او که ، = 0نو
پارابوال د xمحور په يوه نقطه کې قطع کوي او که ، < 0وي پارابول د xمحور نه قطع کوي. که د ) f (xپه تابع کې x1 < x2وي او په نتيجه کې ) f ( x1 ) < f ( x2شي ،تابع متزايده ،که x1 < x2وي او ) f ( x1 ) > f ( x2شي ،تابع متناقصه ده او هم که ) f ( x) = f ( xوي ،تابع جفته او که ) f ( x) = f ( xشي ،تابع طاقه ده. انتقال په ( )2ډوله دى ( عمودي او افقي انتقال ) عمودي انتقال :که cيو مثبت عدد وي. که د ) y = f (xتابع ګراف د cواحدونو په اندازه په عمودي ډول پورته خواته انتقال شي د y = f ( x) + cتابع ګراف الس ته راځي. که د ) y = f (xتابع ګراف د cواحدونو په اندازه په عمودي ډول ښکته خواته انتقال شي ،د y = f ( x) cتابع ګراف الس ته راځي. افقﻲ انتقال :که cيو مثبت عدد وي. که د ) y = f (xتابع ګراف د cواحدونو په اندازه کيڼې خواته انتقال شي ،د )y = f ( x + c
ګراف الس ته راځي. که د ) y = f (xتابع ګراف د cواحدونو په اندازه ښي خواته انتقال شي ،د )y = f ( x c
تابع ګراف الس ته راځي. د تابع ګانو عمليې په الندې ډول تعريف شوي دي: ) g )( x ) = f ( x ) g ( x )0
) (g ( x
(f
) (f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x
f )f (x = ) ( )( x g ) g( x
) (f g )( x ) = f ( x ) g ( x dom(f + g )( x ) = dom f I dom g dom(f g )( x ) = dom f I dom g
dom(f g )( x ) = dom f I dom g
f }dom( )( x ) = dom f I dom g {x / g ( x ) = 0 g
141
د مرکبو تابع ﮔانو د تعريف ساحه: } Dom( fog )( x) = {x / x domg , g ( x) domf }Dom( gof )( x) = {x / x domf , f ( x) domg
د يو په يو تابع معکوس هم يوه تابع ده. د Xله محور سره موازي خط (افقي خط) د يو په يو تابع ګراف په يوه نقطه کې قطع کوي. د ) y = f (xيو په يو تابع د معکوس د پيدا کولو لپاره معادله د xلپاره حلوو ،بيا xپر yاو y پر xبدلوو په الس راغلى تابع )= f 1 ( xدهyچې د ) f (xد تابع معکوسه تابع ده .د ( f)xاو د ( f)xد معکوسې تابع ﮔرافونه نظر د y=xخط ته سره متناﻇر دي. )P( x که د )g ( x
= ) f ( xپه ناطقه تابع کې په ترتيب سره mاو nعددونه د صورت او مخرج
درجې وي ،نو: – 1که m < nوي ،د Xمحور افقي مجانب دى. – 2که m = nوي y = b ،د تابع افقي مجانب دى چې bد mاو nدرجو لرونکو حدونو د
n ضريبونو نسبت دى يا که چېرې f ( x ) = a n x n + ... + a 0وي0) ، b n x + ... + b 0
( f )xد تابع افقي مجانب دى.
(b nنو y = anد bn
– 3که m > nوي ،نو افقي مجانب نه لري. – 4که د صورت درجه د يو په اندازه د ( f)xد مخرج له درجې څخه زياته وي ،نو تابع مايل مجانب لري. يوه ناطقه تابع يو يا څو عمودي مجانبونه درلودالى شي ،خو يو افقي يا مايل مجانب به لري.
142
د 'پرکﻲ پو*تن3 - 1د الندېنيو مرتبو جوړو له سټونو څخه کوم يو يې د يوې تابع ښودونکي دی؟ د تعريف او د قيمتونو ساحې يې پيدا ک7ئ. }){(1,2), (3,4), (5,5 }){(3,4), (3,5), (4,4), (4,5 }){( 3, 3), ( 2, 2), ( 1, 1), (0,0
1 2 3
}){(1,4), (1,5), (1,6
4
- 2که g ( x) = x 2 + 2 x + 3وي g ( x) , g ( 1) ،او ) g ( x + 5پيدا ک7ئ. - 3که h( x) = x 4 + x 2 + 1وي h( x), h( 1) , h(2) ،او ) h(3aپيدا ک7ئ. - 4د الندېنيو تابع ګانو دتعريف ساحې پيدا ک7ئ. 1
f ( x ) = 2x
f ( x ) = ( x 3) 2 2 f (x) = 2 x 4
f ( x ) = 16 x 2 3 x + 25 f ( x ) = 2x
f ( x ) = x 2 4x 5 x1 1< x 0وي دايره حقيقي ده. که g 2 + f 2 c = 0دايره نقطوي ده. که g 2 + f 2 c < 0دايره مجازي ده( .دايره وجود نه لري) او يا که د x 2 + y 2 2hx 2ky + h 2 + k 2 r 2 = 0 په معادله کې 2k = b ، 2h = a
او r 2 = c
h 2 + k 2عوض ک7و لرو چې
x 2 + y 2 + ax + by + c = 0چــې دا هم د دايرې عمومــي معادله ده ،ځينــې وختونه د دايرې عمومي معادله داسې هم ښودل کې8ي. Ax 2 + By 2 + Dx + Ey F = 0پــه دې ډول چــې A = Bاو هــم عالمــه وي ،نو دا هم ددايرې عمومي معادله ده.
338
ﺧاص حالتونه: - 1که د ( x h ) 2 + ( y k ) 2 = r 2د دايرې په معادله کې h = 0وي ،نو د دايرې مرکز د Y پر محور پروت دى او د دايرې معادله دا شکل x 2 + ( y k ) 2 = r 2غوره کوي. - 2او کــه k = 0وي ،د دايــرې مرکــز د Xپرمحــور پــروت دى او د دايــرې معادلــه دا: ( x h) 2 + y 2 = r 2ده. - 3که k = rوي ،دايره د Xپر محور مماس ده او د دايرې معادله ( x h) 2 + ( y r ) 2 = r 2
ده. - 4او که h = rوي ،دايره د Yپر محور مماس ده او د دايرې معادله ( x r ) + ( y k ) = r 2
2
2
ده. - 5يوه دايره هغه وخت د وضعيه کمياتو له مبدا څخه تېرې8ي چې د h 2 + k 2 = r 2رابطه صدق ک7ي. - 6يوه دايره هغه وخت د Xاو Yپر محورونو مماس ده چى معادله يې دا ( x r ) 2 + ( y r ) 2 = r 2
شکل ولري. دوﻳم مثال :د x + ( y 5) = 10دايرې مرکز د Yپر محور پروت دى. د ( x 1) 2 + ( y 5) 2 = 25دايره د Xله محور سره مماس ده. 2
2
د ( x + 3) 2 + y 2 = 9د دايرې مرکز د Xپر محور پروت دی. ﻓعاﻟﻴت په شکل کې وښياست چې د دويم مثال ،د لوم7ى دايرې مرکز د Yپر محور پروت دى ،دويمه دايره د Xله محور سره مماس ده او د دويمې دايرې مرکز د Xپر محور واقع دی. درﻳم مثــال :د هغې دايرې عمومي او معياري معادلې پيدا ک7ئ چې د مرکز وضعيه کميات يې ) ( 2, 3او شــعاع يې 6واحده وي او هم دا دايره رسم ک7ئ. (د دايرې معياري معادله) ( x + 2) 2 + ( y 3) 2 = 6 2
339
(د دايرې عمومي معادله) x + y + 4 x 6 y 23 = 0 'لورم مثال :وښياست چې 5x 2 + 5y 2 + 24 x + 36 y + 10 = 0ديوې دايرې معادله ده 2
2
او هم ددې دايرې د مرکز وضعيه کميات او د شعاع اوږدوالى پيدا ک7ئ. حل :د معادلې دواړه خواوې پر 5وېشو ،نو لرو چې:
24 36 x +y + x+ y+2=0 5 5 2
18 12 چې = ، g 5 5 12 18 ( = ) ( g, f , د دايرې مرکز ) 5 5 144 324 418 418 او د دايرې شعاع: + = =c =2 25 25 25 5
2
= fاو c = 2دى.
r = g2 + f 2
پن%م مثال :د هغې دايرې معادله پيدا ک7ئ چې د x 2 + y 2 8 x + 4 = 0له دايرې سره متحد المرکز ( )Concntericوي او د x + 2 y + 6 = 0له مستقيم خط سره مماس وي. حل :د x 2 + y 2 8 x + 4 = 0دايرې مرکز ) C1 ( g, f
دى. x 2 + y 2 + 2gx + 2fy + c = 0
g=4
g= 4
2g = 8 2f = 0
f =0 د ) C1 (4,0نقطــه د هغې دايرې مرکز هم دى چې غواړو معادله يې
پيــدا ک7و ،نو د C1وضعيه کميات د ( x h) 2 + ( y k ) 2 = r 2په معادله کې وضع کوو ،لرو ( x 4) 2 + ( y 0) 2 = r 2 چې: ددې لپاره چې د C2ددايري شعاع پيدا ک7و ،نو څرنگه چې دايره د x + 2 y + 6 = 0له مستقيم خط سره مماس ده .نو د ) (4,0د نقطې فاصله له دې مستقيم خط څخه د دايرې شعاع ده 100 = 20 5
= r2
يا
10 5
=
4(1) + 2(0) + 6 12 + 2 2
=d=r
340
2 2 نو ددې دايرې معادله عبارت ده له ( x 4) + y = 20 :يا x 2 + y 2 8 x 4 = 0
شپ8م مثال :د هغې دايرې معادله پيدا ک7ئ چې د ) B(6,5او ) A(4,1له نقطو څخه تېرې8ي او مرکز يې د 4x + y 16 = 0پر مستقيم خط پروت وي. حل :که د ايرې مرکز ) C(h, kوي ،نو د دايرې معادله ( x h ) 2 + ( y k ) 2 = r 2ده ،څرنگه چى مرکز يې د 4x + y 16 = 0پر مستقيم خط واقع دى ،نو 4h + k = 16دى. 2 2 2 2 ( x h ) + ( y k ) = rاو AC = BCاو AC = BC 2
(h 4) 2 + (k 1) 2 = (h 6) 2 + (k 5) 2 4h + 8k = 44 ± 4h ± k = ±16 7 k = 28 k=4
h =3
r 2 = (3 4) 2 + (4 1) 2 = 10 x 2 + y 2 6 x 8 y + 15 = 0
( x 3) 2 + ( y 4) 2 = 10
چې دا د غوښتل شوې دايرې عمومي معادله ده. ﻓعاﻟﻴت د هغې دايرې معادله پيدا ک7ئ چې د ) (0,0او ) (2,0له نقطو څخه تېرې8ي او د y 1 = 0له خط سره مماس وي. اووم مثال :د هغې دايرې د مرکز وضعيه کميات او د شعاع اوږدوالﯽ پيدا ک7ئ چې معادله يې x 2 + y 2 4x + 4 y 9 = 0
حل:
4x + 4 y 9 = 0 2 9=0
x 2 + y2
4x + y 2 + 4 y 9 = 0
x2
4x + ( 22 ) ( 22 ) + y 2 + 4 y + 22
x2
( x 2) + ( y + 2) = 17 2
341
2
نو مرکز يې ) (2 2او شعاع يې r = 17
د هغې دايرې معادله چې مرکز يې د وضعيه کمياتو په مبدا کې واقع وي له x 2 + y 2 = r 2څخه عبارت ده او که مرکز يې د وضعيه کمياتو په مبدأ کې واقع نه وي او ) (h, kيې مرکز وي :معادله يې ( x h ) 2 + ( y k ) 2 = r 2ﻳا x 2 + y 2 + 2gx + 2fy + c = 0
او ﻳا x 2 + y 2 + ax + by + c = 0ده.
پو*تن3 - 1د هغې دايرې معادله پيدا ک7ئ چې: :aد مرکز مختصات يې ) (5, 2او r = 4وي :bد مرکز مختصات يې ) ( 2, 3 3اوشعاع يې r = 2 2وي. :cمرکز يې ) (0,0اود ) (1,2له نقطې څخه تېرې8ي. :dد مرکز مختصات يې ) (0,0او د ) ( 3, 4له نقطې څخه تېرې8ي. :eد مرکز مختصات يې ) (8, 6او د وضعيه کمياتو له مبدا څخه تېرې8ي - 2لوم7ی وښياست چې الندې راک7ل شوى معادلې د دايرې معادلې دي ،بيا يې د مرکز وضعيه کميات او د شعاع اوږدوالى پيدا ک7ئ. 5x + 5 y + 14x + 12 y = 0
,
x + y + 12x 10 y = 0
3x 2 + 3 y 2 2 x + 4 y 1 = 0
,
x 2 + y 2 6 x + 4 y + 13 = 0
2
2
2
2
a ( x 2 + y 2 ) + 2gx + 2fy + c = 0
342
د ﻳو مﺴتقﻴم ﺧﻂ حالتونه له ﻳوې داﻳرې سره:
کوالى شئ چې وواياست د 3x 4 y + 20 = 0
مســتقيم خط د x 2 + y 2 = 25دايره په څو نقطو کې قطع کوي؟
د x 2 + y 2 + ax + by + c = 0دايــرې معادله په پام کې نيســو او غواړو چې د يو مســتقيم خط حالت له دايرې ســره وڅې7و چې أيا دا مســتقيم خط دايره په دوو نقطو کې قطع کوي ،يا مستقيم خط پر دايره مماس دى او يا دا چې مستقيم خط دايره نه قطع کوي. د xاو يا yقيمت د مســتقيم خط له معادلې څخه په الس راوړو او د دايرې په معادله کې يې وضع کوو .يوه دويمه درجه يو مجﻬوله معادله په الس راځي. )1که په دې معادله کې = b 2 4ac > 0
وي ،مســتقيم خط دايره په دوو نقطو کې قطع
کوي. )2که = b 2 4ac = 0 )3او که = b 2 4ac < 0
وي مستقيم خط له دايرې سره مماس دى. مستقيم خط دايره نه قطع کوي.
لوم7ى مثال :أيا د 2 x = y + 7مستقيم خط د x 2 + y 2 8x 2 y + 12 = 0دايره قطع کوي؟ د تقاطع د نقطو وضعيه کميات يې پيدا ک7ئ. حل :د مستقيم خط له معادلې څخه y = 2 x 7ده چې د yدا قيمت د دايرې په معادله کې وضع کوو. x 2 + (2 x 7) 2 8x 2(2 x 7) + 12 = 0 5x 2 40x + 75 = 0 ﻳا x 2 8x + 15 = 0
343
= b 2 4ac = ( 8) 2 4 15 = 64 60 = 4 > 0
نو دا مستقيم خط دايره په دوو نقطو کې قطع کوي او د تقاطع د نقطو وضعيه کميات يې عبارت دي له: b ± b 2 4ac 8 ± 4 = 2a 2 x1 = 5 , x 2 = 3
=x
د yقيمت د پيدا کولو لپاره د x1 = 5او x2 = 3قيمتونه د مستقيم خط په معادله کې وضع کوو ،نو لرو چې: 7 =2 5 7=3
y1 = 2 x1
y 2 = 2x 2 7 = 2 3 7 = 1
نو دا خط دايره د ) (3, 1او ) (5,3په نقطو کې قطع کوي. دوﻳم مثال :أيا د x + 3 y 5 = 0مستقيم خط د x 2 + y 2 2 x + 4 y 5 = 0لﻪ دايرې سره مماس دى که نه؟ حل :د مستقيم خط له معادلې څخه لرو چې x = 5 3 yدى ،د xدا قيمت د دايرې په معادله کې وضع کوو: (5 3 y ) 2 + y 2 2(5 3 y ) + 4 y 5 = 0 y2 2 y +1 = 0
او = ( 2) 2 4 1 = 0نو دا مســتقيم خط له دايرې ســره مماس دى او د تماس د نقطې وضعيه کميات يې عبارت دي له: 2± 0 =1 2 x = 5 3 1= 2 =y
نو مستقيم خط د ) (2,1په نقطه کې پر دايره مماس دى. ﻓعاﻟﻴت
أيا د x y + 1 = 0مستقيم خط د x 2 + y 2 5 = 0له دايرې سره مماس دى ،که دايره په دوو نقطو کې قطع کوي او يا دا چې دايره نه قطع کوي؟
344
د مماس معادله او د مماس اوږدوالﻰ
أيا د هغه مماس معادله پيدا کوالى شــى چې د ) P( 3, 2په نقطه کې د x 2 + y 2 = 13
په دايره مماس وي؟
کــه يو مســتقيم خط پر هغــه دايره چې مرکز يې ) C (h, kاو د ) p1 ( x1 , y1پــه نقطه کې پر دايره k y1 مماس وي ،نو د شعاع ميل مساوي دى په: h x1
=m
h x1 او څرنگه چې شعاع د تماس په نقطه کې پر مماس عمود ده ،نو د مماس ميل له k y1
سره
مساوي دى.
h x1 څرنگه چې د مستقيم خط يوه نقطه ) P1 ( x1 , y1او ميل يې k y1 د مستقيم خط د ) y y1 = m( x x1معادلې په نظر کې نيولو سره لرو چې:
دى.
h x1 ) ( x x1 k y1
= y1
y
چې دا د هغه مماس معادله ده چې د ) P1 ( x1 , y1په نقطه کې پر دايره مماس دى. او کــه د دايــرې مرکــز د وضعيه کمياتو په مبدا کې وي ،نو پــه دې حالت کې h = k = 0دى او د مماس معادله دا شکل اختياروي. x1 ) ( x x1 y1
= y1
y
يا
yy1 + xx1 = x12 + y12
څرنگه چې ، x12 + y12 = r 2نو د مماس معادله yy1 + xx1 = r 2ده.
345
لوم7ى مثال :د هغه مستقيم خط معادله پيدا ک7ئ چې د ) (3,4په نقطه کې د x 2 + y 2 = 25
پر دايره مماس وي: حل :څرنگه چې د دايرې مرکز د وضعيه کمياتو په مبدا کې دى ،نوy 4 + x 3 = 25 : نو د مماس معادله عبارت ده له3x + 4 y = 25 :
او يا . 3x + 4 y 25 = 0 دوﻳم مثال :د هغه مستقيم خط معادله پيدا ک7ئ چې د ) P(3,5په نقطه کې پر هغې دايرې مماس دي چې مرکز يې ) (1,2دى. k=2 y1 = 5
h =1 x1 = 3
h x1 ) ( x x1 k y1
= y y1
1 3 2 = 2 5 3 2 )( x 3 =y 5 3 2 x + 3y = 21 =m
يا:
2 x + 3y 21 = 0
د مماس اوږدوالﻰ که د ) P1 (x1 , y1له نقطې څخه چې له دايرې د باندې واقع ده ،د (x h) 2 + (y k) 2 = r 2
پر دايره د . P1Tمماس د شکل په شان رسم شي ،د ( )Tد تماس نقطه د دايرې له مرکز ( )Cسره ونښلوو ،دفيثاغورث د قضيې په اساس د P1 T Cپه قايمه زاويه مثلث کې لرو چې: (P1 C) 2 = (P1 T ) 2 + (CT) 2
346
يا
(P1 T) 2 = (P1 C) 2 (CT)2
له بلې خوا (P1 C) 2 = (x1 h) 2 + (y1 k) 2 :او CT = rنو د مماس اوږدوالى مساوي دى پهP1T = ( x1 h) 2 + ( y1 k ) 2 r 2 :
پــه ياد ولرئ چــې د مماس په امتداد د مماس د اوږدوالى د پيــدا کولو لپاره د دايرې له کومې خارجي نقطې څخه د xاو yقيمتونه د دايرې په معادله کې وضع کوو. درﻳم مثال :د ) ( 5,10له نقطې څخه د 5x 2 + 5y 2 + 14x + 12 y 10 = 0پر دايره د مماس اوږدوالى پيدا ک7ئ. 14 12 حل :د معادلى دواړه خواوې پر 5وېشو ،نو لرو چېx + y 2 = 0 : 5 5
x 2 + y2 +
= ( 5) 2 + (10) 2 14 + 24 2 = 133د مماس اوږدوالى ﻓعاﻟﻴت د هغه مماس اوږدوالى پيدا ک7ئ چې د ) P( 2,2له نقطې څخه د x 2 + y 2 6 x + 8 y = 0
پر دايره باندې مماس وي. د دايــرې پــه معادله کې د مســتقيم خط د يو مجﻬول په وضع کولو ســره ،يــوه دويمه درجه يو مجﻬولــه معادله په الس راځي ،که په دې معادله کې > 0
347
وي ،مســتقيم خط دايره په دوو
نقطــو کــې قطع کوي او که = 0
وي خط پر دايره مماس دى او که < 0
وي ،مســتقيم
خط دايره نه قطع کوي. د هغــه مســتقيم خط معادله چــې د ) P1 ( x1 , y1په نقطه کــې پر هغه دايره چــې مرکز يې ) (h, kدى مماس وي ،عبارت ده له: h x1 ) ( x x1 k y1
= y y1
که د دايرې مرکز د وضعيه کمياتو په مبدا کې وي ،نو د مماس معادلهyy1 + xx1 = x12 + y12 : يا yy1 + xx1 = r 2ده ،د مماس اوږدوالى د ) P( x, yله نقطې څخه چې د دايرې د باندې
واقع ده او د دايرې مرکز ) (h, kدى مساوى ده په: PT = ( x h ) 2 + ( y k ) 2 r 2
پو*تن3 - 1د الندې مســتقيو خطونو حالتونه له دايرو ســره چې معادلې يې په الندې ډول راک7ل شــوي دي وڅې7ئ. د مستقيمو خطونو معادلې
د دايرو معادلې
3x 2 y + 3 = 0
x 2 + y 2 4x y 3 = 0
x y 1= 0
2( x 2 + y 2 ) 3x + 2 y 6 = 0
5x y = 1
x +y
x 9 y + 14 = 0
2
2
2-د هغه مستقيم خط معادله پيدا ک7ئ چې په ) (2, 3نقطه کې د x 2 + y 2 2 x + 4 y + 3 = 0
له دايرې سره مماس وي. - 3د هغه مماس اوږدوالى پيدا ک7ئ چې د ) ( 5,4له نقطې څخه د 5x 2 + 5y 2 10x + 15y 131 = 0پر دايره مماس رسم شوى وي -4د هغه مماس اوږدوالى پيدا ک7ئ چې د ) ( 2, 5له نقطې څخه د x 2 + y 2 + 8 x + 5 y = 7
پر دايره مماس رسم شوى وي.
348
د مثلﺚ د مﺴاحت پﻴدا کول ﭼ 3د راسونو وضعﻴه کمﻴات ﻳ 3معلوم وي: أيــا د هغــه مثلــث مســاحت پيدا کوالى شــئ چې رآســونه يې ) (3,2) ، ( 3,6او )(6,0 وي؟
که P2 ، P1او P3لکه چې په شکل کې ليدل کې8ي د يوه مثلث راسونه وي .د Xپر محور P1 A
P2 C ،او P3 Bدرې عمود خطونه رسم ک7ئ. + P3 BCP2ذوذنقې مساحت P1 ABP3 +ذوذنقې مساحت = د P1 P2 P3مثلث مساحت د ذونقې مساحت P1 ACP2
لکه څرنگه چې پوهې8و: د ذوذنقې مساحت = (د موازي ضلعو د نيمايې مجموعه) × (د موازې ضلعو ترمنځ فاصله) نو: 1 2
1 2
) = ( P1 A + P3 B ) ( AB ) + ( P3 B + P2 C )( BCد P1P2 P3مثلث مساحت
] ) x1
2 2 1 )| (| P1 A | + | P2C |)(| AC 2 1 1 1 = [ ( y1 + y 3 ) ( x 3 x1 ) ]+ [ ( y 3 + y 2 ) ( x 2 x 3 ) ] [ ( y1 + y 2 ) ( x 2 2 2 2 1 = ( x 3 y1 + x 3 y3 x1y1 x1y3 + x 2 y 3 + x 2 y 2 2 ) x 3 y3 x 3 y 2 x 2 y1 x 2 y 2 + x1y1 + x1y 2 ] ) y1 ) + x 3 ( y1 y 2
349
y3 ) + x 2 ( y3
1 [ x1 ( y 2 2
=
مثال :که چېرې ) B(5, 6) ، A(4, 5او ) C (3,1د يوه مثلث راسونه وي ،ددې مثلث مساحت پيدا ک7ئ. حلx1 = 4 , y1 = 5 , x 2 = 5 , y 2 = 6 x 3 = 3 y 3 = 1 :
]) = 1 [ x1 ( y 2 y3 ) + x 2 ( y3 y1 ) + x 3 ( y1 y 2د ABCمثلث مساحت 2 2
1 ] )[ 4 ( 6 1) + 5 (1 + 5) + 3( 5 + 6 2 1 1 5 = ( 28 + 30 + 3) = 5 = = 2.5 2 2 2 =
که د P1 P 2 P3مثلث رآسونه ) P2 ( x 2 , y 2 ) ، P1 ( x1 , y1او ) P3 ( x 3 , y 3وي ،نﻮ 1
د مثلث مســﺂحت د ]) [ x1 ( y 2 y 3 ) + x 2 ( y 3 y1 ) + x 3 ( y1 y 2له فورمول څخه 2 په الس راځي. پو*تن3 - 1د هغه مثلث مساحت پيدا ک7ئ چې رآسونه يې ) B(8,6) ، A(0,0او ) C(12,4وي. - 2کــه د يــوه مثلث رآســونه ) B( 4,0) ، A (4, 0او ) C (0, 3وي ،ددې مثلث مســاحت پيدا ک7ئ. - 3د هغــه څلور ضلعي مســاحت پيــدا ک7ئ چې رآســونه يې ) C (8,6) ، B(6,2) ، A(1,0او ) D(2,4وي.
350
د 'پرکﻲ لن6ﻳز:
د وضعيه کمياتو په مستوي کې هغه نقطې چې د Xپر محور پرتې دي ،د yمختصه يې صفر او کومې نقطې چې د Yپر محور پرتې دي د xمختصه يې صفر ده د ) P ( x1 , y1او ) Q( x2 , y2د دوو نقطو تر منځ فاصله د y1 ) 2
d = ( x 2 x1 ) 2 + ( y 2
له فورمول څخه په الس راځي. د pد نقطــې وضعيــه کميــات چې د P1 P2قطعه خط د rپه نســبت وېشــي عبارت دي له: ry 2 + y1 1+ r
rx 2 + x1 1+ r
=y
= xاو د P1 P2د قطعه خط د تنصيف د نقطې وضعيه کميات
عبارت دي له: y1 + y 2 2
x + x2 ال د rپه نســبت ووېشي نو x = 1که د pنقطه د P1 P2خط داخ ً
=y
2
rمثبت اوکه خارجا ً يې و وېشى ،نو rمنفي دى. د يــو مســتقيم خــط ميــل چــې د ) P1 ( x1 , y1او ) P2 ( x2 , y2لــه نقطــو څخــه تېرې8ي د
y2 x2
y2 x2
y1 y1 = x1 x1
= mلــه فورمــول څخه په الس راځــي د Xد محــور او د هغو خطونو
ميــل چــې د Xله محور ســره موازي وي صفــر او د Yد محور او د هغو خطونــو ميل چې د Yله محور ســره موازى وي ،تعريف شــوي نه دي .که د يوه مســتقيم خط د ميل زاويه حاده وي ،ميل يې مثبت او که منفرجه وي ميل يې منفي دى. د هغې مســتقيم خط معادله چې ميل او د Yله محور ســره يې تقاطع معلومه وي ،عبارت ده له: . y = mx + b د هغــه مســتقيم خــط معادلــه چــې ميــل او يــوه نقطــه يــى معلومــه وي ،عبــارت ده لــه: ) x1
y1 = m( x
y
د هغه مستقيم خط معادله چې دوې نقطې يې معلومې وي عبارت ده له: ) x1
351
y1 (x x1
y2 x2
= y1
y1 yاويا x1
y y1 y 2 = x x1 x 2
او د هغه مســتقيم خط معادله چې
x y له محورونو سره يې د تقاطع نقطې معلومې وي+ = 1 : a b x cos + y sinاو د مســتقيم خط عمومي د يــوه مســتقيم خط نورمال معادله p = 0
ده.
معادله ax + by + c = 0ده. د ) P ( x1 , y1د نقطې فاصله له يوه مستقيم خط څخه د P
يا د
ax1 + by1 + c ± a 2 + b2
d = x cos + y sinاو
= dله فورمول څخه په الس راځي.
د هغــې دايــرې معادله چــې مرکز يې د وضعيه کمياتو په مبــدا کې واقع وي له x 2 + y 2 = r 2
څخــه عبــارت ده او که مرکز يې د وضعيه کمياتو پــه مبدا کې واقع نه وي او ) (h, kيې مرکز وي، معادله يې( x h ) 2 + ( y k ) 2 = r 2 :
يا x 2 + y 2 + 2gx + 2fy + c = 0او يا x 2 + y 2 + ax + by + c = 0
د دايرې په معادله کې د مستقيم خط د يو مجﻬول په وضع کولو سره ،يوه دويمه درجه يو مجﻬوله معادلــه په الس راځي ،که په دې معادله کې > 0 کوي او که = 0
وي ،مســتقيم خــط دايره په دوو نقطو کې قطع
وي خط پر دايره مماس دى او که < 0
وي ،خط دايره نه قطع کوي.
د هغه مستقيم خط معادله چې د ) P1 ( x1 , y1په نقطه کې پر هغه دايره چې مرکز يې ) (h, k h x1 = y y1 دى مماس وي عبارت ده له( x x1 ) : k y1
او که د دايرې مرکز د وضعيه کمياتو په مبدا کې وي ،نو د مماس معادله يې:
yy1 + xx1 = x12 + y12يا yy1 + xx1 = r 2ده او د PTمماس اوږدوالى د ) P( x1 , y1له نقطې څخه چې له دايرې د باندې واقع ده او مرکز يې ) (h, kدى ،مساوي ده په: PT = ( x h ) 2 + ( y k ) 2 r 2 که د يوه مثلث رآســونه ) P2 ( x2 , y2 ) ، P1 ( x1 , y1او ) P3 ( x3 , y3وي ،نو P1 P 2 P3 1 د مثلث مســاحت د ]) [ x1 ( y 2 y 3 ) + x 2 ( y 3 y1 ) + x 3 ( y1 y 2له فورمول څخه په 2
الس راځي.
352
د 'پرکﻲ پو*تن:3
- 1د الندې هرې جوړې نقطو ترمنځ فاصله پيدا ک7ئ او همدرانگه ددې مســتقيمو خطونو د تنصيف د نقطو وضعيه کميات پيدا ک7ئ چې د Aاو Bله دوو نقطو څخه تېرې8ي. )A(3,1) , B ( 2, 4
)A( 8,3) , B(2, 1
1 )) , B( 3 5 ,5 3
5,
(A
- 2کــه ) B(0,2) ، A( 3 , 1او ) C (h, 2د يــوه قايــم الزاويه مثلث راســونه وي او د A = 90°وي ،د ) (hقيمت پيدا ک7ئ. - 3د pد نقطــې وضعيــه کميــات پيدا ک7ئ ،په داســې حال کې هغه مســتقيم خط چې د ) A(1,4او ) B(5,6له نقطو څخه تېرې8ي د AP = 2په نسبت و وېشي. PB
- 4د هغه مستقيم خط معادله پيدا ک7ئ چې ميل يې ) ( 2او د Yمحور په 3کې قطع ک7ي. - 5د x = 7او y = 7د خطونو ميل پيدا ک7ئ. - 6د yد محور ميل مساوي دی په: a) 1 b) 1 c) 0 تعريف شوی نه دی ) d 2 - 7د يوه مستقيم خط ميل = mدى ،د هغه خط ميل چې پر دې خط عمود وي ،مساوي دى په: 3 2
3
)d
3 )c 2
2 3
)b
2 )a 3
- 8د هغو مستقيمو خطونو ميل پيدا ک7ئ چې د الندې راک7ل شوو نقطو له جوړو څخه تېرې8ي. ) (5,11او )( 2,4 ) (2,7او )(3, 2 ) (4,8او )(4,6 - 9د 4 x y + 2 = 0او 12x 3y + 1 = 0مستقيم خطونه: موازي دي (a نه موازي او نه عمود دي ( cعمود دي (b - 10د 3x 4 y + 3 = 0او 3x 4 y + 7 = 0مستقيمو خطونو ترمنځ فاصله پيداک7ئ. - 11د هغــه مســتقيم خــط معادلــه پيــدا کــ7ئ چــې د ) ( 4,7لــه نقطــې تېر شــي او د 2 x 7 y + 4 = 0له مستقيم خط سره موازي وي.
353
- 12د ) P(6, 1نقطې فاصله د 6 x 4 y + 9 = 0له مستقيم خط څخه پيدا ک7ئ. - 13د pد نقطې وضعيه کميات په داسې حال کې پيدا ک7ئ چې P1 P2مستقيم خط چې د ) P1 (2, 5او ) P2 (6,3له نقطو څخه تېرې8ي د 3په نسبت ووېشئ. 4
- 14د الندې مستقيمو خطونو معادلې نورمال شکل ته واړوئ. 2 x 3y + 6 = 0
2x + 5y 2 = 0
- 15د هغــه مســتقيم خــط ميل چې د ) (4,0او ) ( 4,0له نقطو څخه تېرې8ي مســاوي دى په: a) 1 b) 1 c) 0 تعريف شوي نه دی ) d - 16د هغه مســتقيم خط معادله پيدا ک7ئ چې د نورمال اوږدوالى يې 10واحده او نورمال خط يې د Xمحور له مثبت جﻬت سره د 30°زاويه جوړوي. - 17د هغه مثلث مساحت پيدا ک7ئ چې راسونه يې ) B( 1,1) ، A(2,3او ) C (4, 5وي. - 18د هغه مثلث مساحت چې رآسونه يې ) B(2, 3) ، A(1,4او ) C(3, 10دي مساوى دى په: a )1 b) 2 c) 0 هېڅ يو ) d - 19د x + 2 y = 6د مستقيم خط د تقاطع نقطې د x 2 + y 2 2 x 2 y 39 = 0 له دايرې سره پيدا ک7ئ. - 20د هغــې دايــرې معادله پيدا ک7ى چې د ) B(2, 1) , A(1,1او ) C (3, 2له نقطو څخه تېرې8ي. - 21د هغــې دايــرې معادله پيدا ک7ئ چې د ) A(3, 1او ) B(0,1له نقطو څخه تېرې8ي او مرکز يې د 4 x 3 y 3 = 0پر مستقيم خط واقع وي. - 22د 4x 2 + 4 y 2 8x + 12 y 25 = 0دايــرې د مرکــز وضعيــه کميــات او د شــعاع اوږدوالى يې پيداک7ئ. - 23د هغــې دايرې معادله پيــدا ک7ى چې د ) A(4,1او ) B(6,5له نقطو څخه تېرې8ي او مرکز يې د 4 x + y 16 = 0پر مستقيم خط باندې واقع وي.
354
- 24که د يوه مثلث رآسونه ) B( 3,5) ، A(5, 6او ) C ( 1,2وي ،دا مثلث: متساوى االضالع دى (a متساوى الساقين دى (b مختلف االضالع دى (c - 25که د يوه مثلث رآسونه په ترتيب سره ) (4,10) ، (5,4او ) (7,8وي دا مثلث: متساوي االضالع دی (a مختلف االضالع دی ( cمتساوي الساقين دی (b - 26کــه ) P( 8,4او ) Q(2, 1وي د Aد نقطــې مختصات پيدا ک7ئ که د Aنقطه د 2 په نسبت و وېشي. ال او خارجا ً د PQخط داخ ً 3 - 27د x y + 1 = 0مســتقيم خــط د تقاطــع نقطې له x 2 + y 2 = 5دايرې ســره پيدا ک7ئ. - 28کــه د x + ay 5 = 0مســتقيم خط د x 2 + y 2 2x + 4 y = 0پــر دايره مماس وي ،د aقيمت پيدا ک7ئ. - 29د هغې دايرې معادله چې د ) (0,0او ) (2,0له نقطو څخه تېرې8ي او د y 1 = 0له مستقيم خط سره مماس وي ،عبارت ده له: c) x 2 + y 2 + 2 x = 0
b) x 2 + y 2 2 x = 0
a ) x 2 + y 2 4x = 0
- 30هغه دايره چې معادله يې x 2 + y 2 6x + 4 y + 14 = 0ده: موهومي ده )c نقطوي ده (b حقيقي ده ) a - 31هغه دايره چې معادله يې x 2 + y 2 + 2 x 4 y + 5 = 0 حقيقي ده (c نقطوي ده (b موهومي ده (a - 32کــه ) A(4, 3او ) B( 2, 5وي د Aاو Bد نقطــو ترمنځ فاصله پيدا ک7ئ او هم د ABد خط د تنصيف نقطې وضعيه کميات پيدا ک7ئ. - 33کــه د يوه مثلث رآســونه ) B(3, 5) ، A( 6,3او ) C ( 1,5وي ،وښياســت چې دا مثلث قايم الزاويه مثلث دى. - 34وښياست چې ) C (0, b) ، B(a,0) ، A(0,0او ) D(a, bد يو مستطيل رآسونه دي او هم وښياست چې د مستطيل د قطرونو اوږدوالى سره مساوي دى. - 35وښياست چې ) B(6,2) ، A(3,1او ) C (9,3نقطې پر يوه مستقيم خط واقع دي.
355
- 36د هغــه مســتقيمو خطونــو معادلې پيدا ک7ئ چــې د الندې هروجوړو لــه نقطو څخه تېرې8ي. )(8,15 )(3, 4 )( 2,0
)(3,5
)(1,2
)(2, 1) ( 2, 1 )(5,0 )(0,2
)(5,8 )( 1, 3 )(0,3
- 37د هغــه مســتقيم خط معادله چې د ) (5,8او ) ( 1,10له نقطو څخــه تېرې8ي عبارت ده له: 1 2 x+9 3 3 x 2 = b: y +9 3 3 1 29 = c: y x+ 3 3 = a: y
درې واړه سم دي
d:
356
'پرکی اتم 'پرکﻲ احﺼاﺋﻴه
د فرﻳکونﺴﻲ 'و ضلعﻲ ﮔراف ()Frequency Polygon graph
Y
مخامﺦ شکل په پام کې ونيسئ ،آيا کوالى شئ د راک7ل شوي منحني الندې مساحت پيدا ک7ئ؟
X
0
آيا ويالی شــئ چى تر منحني الندې مساحت له څه شي سره برابر دى؟
ﻓعاﻟﻴت د فريکونسيو مخامﺦ جدول په نظر کې ونيسئ. ﻓرﻳکﻮنسﻲ د کﻼس (صنﻒ)مرکﺰ
کﻼسﻮنﻪ
3
11.5
10-13
6
14.5
13-16
7
17.5
16-19
4
20.5
19-22
د هر کالس (صنف) مرکز د لوم7ى مختصې او اړونده فريکونسي يې د دويمې مختصې په حيث د مرتبو جوړو په شکل په نظر کې ونيسئ. ددې مرتبو جوړو موقعيت د قايمو وضعيه کمياتو په سيستم کې وټاکئ. هغه نقطې چې په مستوي کې له دې مرتبو جوړو څخه په الس راځي ،سره ونښلوئ. آيا کوالى شئ چې ددې ﮔراف الندې مساحت پيدا ک7ئ؟ د Xپر محور د ﮔراف دواړو خواوو ته ( )8.5,0او ( )38.5,0نقطې زياتې ک7ئ .په الس راغلى ﮔراف د فريکونسي جدول له مستطيلي ﮔراف سره يوځاى رسم ک7ئ او د مستطيلونو مساحت د منحني الندې مساحت سره پرتله ک7ئ. په څو ضلعي ﮔراف کې د هر کالس مرکز پر افقي محور اود هر کالس مطلقه فريکونسي يا نسبي
359
فريکونسي پر عمودې محور ښودل کې8ي ،د کالس مرکز (منځني نقطه) او د کالس د فريکونسيو په مقابل کې په مستوي کې يوه نقطه ټاکل کې8ي چې عرض يې د کالس مرکز او اوږدوالى يې د هماغه کالس له فريکونسيو سره برابر دى ،د جدول د کالسونو په شمېر په مستوي کې په هماغه اندازه نقطې په الس راځي .که د کالسونو په اول او اخر کې دوي نورې د ) ( x1 c , 0) , ( xn + c , 0اختياري نقطې زياتې ک7ئ ،څرنگه چې cد هر کالس وسعت دی يعنې ( پاسني سرحد منفي د هماغه صنف الندينﯽ سرحد) چې ددې نقطو له نښلولو څخه يو ﮔراف په الس راځي چې د فريکونسي څو ضلعي ﮔراف نومي8ي. مثال :د الندې جدول د ډيتا ( )Dataمستطيلي (هستوګرام) او د فريکونسيو څو ضلعي ﮔرافونه يې رسم ک7ئ. 31-36
26-31
2
7
33.5
28.5
21-26 8 23.5
16-21 5 18.5
11-16
= CLد کالسونو حدود
3
= f iمطلقه فريکونسي
13.5
= X iد کالسونو مرکز
پوهې8و چې c = 5ده ،ددې لپاره چې دوه اختياري نقطې په الس راوړو ،نو: )( x1 5 , 0) = (13.5 5 , 0) = (8.5 , 0 )( xn + 5 , 0) = (33.5 + 5 , 0) = (38.5 , 0
ددې نقطو ) (8.5 ,0او ) (38.5 , 0په اضافه کولو سره ګراف رسموو:
د فريکونسي څو ضلعي ﮔراف
360
مستطيلي ﮔراف د فريکونسي څو ضلعي ﮔراف سره:
له پورتني ﮔراف څخه ليدل کي8ې چې: د فريکونسيو څو ضلعي ﮔراف راسونه تر مطالعې الندې دفريکونسيو له جدول د اړونده مستطيلد پورتنى ضلعې منځني نقطه سره واقع دي. د فريکونسيو څو ضلعي ﮔراف د الندې سطحې مساحت د مستطيلي ﮔراف له مساحت سره برابردى. -د نسبي فريکونسيو څو ضلعي ﮔرافونه زيات د متصلو ډيتاوو ( ) Dataله پاره کارول کې8ي.
361
پو*تن3
- 1د نﻬم اولسم ټولگيو د 24زده کوونکو د تنې لوړوالى د سانتي متر په حساب په الندې ډول راک7ل شوی دی. 118 123 135 126
148 133 126 141
128 123 144 153
136 115 122 117
107 129 128 98
138 142 121 152
د پورتن 9ډيتا ( )Dataلپاره د فريکونسي يو جدول ترتيب ک7ئ.ډيتا ( )Dataپه شپ8و طبقو ووېشئ ،ددې ډيتا ( )Dataد ښودلو لپاره کوم ډول ﮔراف ښه دى ،د فريکونسيو څو ضلعي ﮔراف رسم ک7ئ.
362
د ساق 3او پا 31ﮔراف
موږ د عددونو په ن7ۍ کې ژوند کوو ،هر تن د خپل هيواد د ټولنې د يو غ7ى په حيث يوه خاصه شمېره لري چې د نورو مشخصو په شان د اهميت وړ ده .آيا ويالى شئ چې دا شمېره څه شﯽ ده؟ او آيا تاسو هم خپله شمېره پيﮋنئ؟
ﻓعاﻟﻴت په الندې جدول کې د سانتي متر په حساب د 20نويو پيدا شوو ماشومانو د تنې لوړوالى چې په تصادفي ډول انتخاب شوی دی ،راک7ل شوى دی. 47 48
45 43
46 43
43 49 40 42 46 45 43 49 47 49 48 49 47 45 پورتن 9ډيتا ( )Dataله کوچني عدد څخه لوى عدد ته ترتيب ک7ئ. ليدل کې8ي چې په دې ټولو عددونو کې د 4رقم مشترک دى ،کوالى شو چې دا رقمونه په الندېډول وليکو. )40 + (0,2,3,3,3,3,5,5,5,6,6,7,7,7,8,8,9,9,9,9
له 0تر 9پورې رقمونه هر يو رقم څو وارې تکرار شوی دی. پورتني رقمونه په الندې شکل ليکو. 3
3 5
3 5 6 7 8
0 2 3 5 6 7 8
9
9
9
7 9
363
4
که د عددونو پورتنى شکل د 90oزاويې په اندازه کيڼې خوا ته دوران ورک7ئ ،دا شکل له کوم ډول ﮔراف سره مشابه دى؟ ډيتا عموما َ د عددونو په شکل وي .له دې عددونو څخه څرنگه چې په پورتني فعاليت کې وليدل شول ،کوالى شو ،ﮔراف يې جوړ ک7و چې دا ﮔراف د ساقې او پا1ې د ﮔراف په نامه يادې8ي. او که دې ګراف ته د 90oزاويې په اندازه کيڼې خواته دوران ورک7و ،ميله يي ګراف الس ته راځي. د مثال په ډول که ډيتا د صفر او 100ترمنځ وي ،کوالی شو ،لکه :د 37عدد 3په ساقه او ( )7د پا1ې په حيث وليکو. د ساقې او پا1ې ﮔراف د هغو ډيتا ( )Dataلپاره چې تر ټولو لوى او تر ټولوکوچنى ډيتا ( )Dataترمنځ توپير يې ل 8وي ،مناسب دى. لوم7ی مثال :د کتابونو په يو پلورنځي کې 20ډوله کتابونه چې هر ډول شمېر يې په الندې جدول کې راک7ل شوی دى ،ددې ډيتا ( )Dataد ساقې او پا1ې ﮔراف رسم ک7ئ. 39 65
39 58
38 57
38 52
28 46
27 46
23 45
11 41
15 44
10 40
ﺣﻞ :ښکاره ده چې د ډيتا ( )Dataد کيڼې خوا اولني عددونه 5.4.3.2.1او 6دي .چې دا عددونه د ساقې لپاره په نظر کې نيسو .او د هرې څانگې اړونده ډيتا ورته ددې عددونو مخکې ليکو چې په الندې ډول الس ته راځي.
پا1ې 5 8 9 9 4 5 6 6
ساقه 1 7 8 1
0 3 8 0
1 2 3 4
5 2 7 8 6 5
364
6
6
6
5
9 5
4
3 5 8 9 4 8 2 1 7 8 1 7
ﻓرﻳکﻮنسﻲ
که د کتاب مﺦ ته د ساعت د ستنې حرکت په مخالفه خوا کې د 90oزاويې په اندازه دوران ورک7و. دا ګراف د ميله يي ﮔراف په شکل بدلې8ي چې په الندې ډول يې ليکالى شو.
1 0 3 8 0 2 5 1 2 3 4 5 6
دوﻳم مثال :د رياضي په يوه امتحان کې الندې نتيجې له زده کوونکو څخه پالس راغلي دي ،ددې ډيتا لپاره د ساقې او پا1ې ګراف رسم ک7ئ. 25 45 46 50 50 50 55 55 55 55 55 57 58 58 60 60 62 65 67 72
حل :د ساقې د رسم لپاره له لسيزو رقمونو او د پا1ې د ترسيم لپاره له يوويزو رقمونو ځخه استفاده کوو:
پا1ې
ساقﻪ 2 5
365
5 6 0 0 0 5 5 5 5 5 7 8 8 0 0 2 5 7
3 4 5 6
2
7
پو*تن3
-1د الندې ډيتا ( )Dataلپاره د ساقې اوپا1ې ﮔراف رسم ک7ئ. 11.7 8.4 9.1 6.8 12.5
10.9
8 .3
7.9
11.3
12
7.8
11.2
6.8
13
8 .4
پاملرنه :د ساقې او پا1ې د ﮔراف د ښودلو لپاره د 8.3عدد د 83په شکل او د 11.2عدد د 112په شکل او د 12عدد د 120په شکل ليکو.
366
ربع'( 3لورم)3
په مخامﺦ شکل کې که دا د خلکو ټولنه نظر د دوی د تنې د لوړوالي په نسبت په څلورو مساوي برخو و وېشل شي ،هره برخه يې په کوم نامه يادوي ؟
ﻓعاﻟﻴت مخامﺦ شکل يو مستطيل دى چې د Q2 ,Q1او Q3خطونو په واسطه په څلورو مساوي برخو وېشل شوی دی. د مستطيل د مساحت څو فيصده مساحت د Q1د خط الندې ،څو فيصده مساحت د Q1د خط له پاسه واقع دی؟ دمستطيل څو فيصده مساحت د Q2تر خط الندې او څوفيصده مساحت د Q2د خط له پاسه دی؟ د مستطيل څو فيصده مساحت د Q3تر خط الندې او څو فيصده مساحت د Q3د خط له پاسه دى؟ هغه عددونه چې ترتيب شوي ډيتا په څلورو مساوي برخو وېشي ،دغه عددونو ته لوم7ۍ ربع ،دويمه ربعه او دريمه ربع وايي او په Q 2 , Q1او Q3سره ښودل کې8ي. لوم7ۍ ربع هغه مقدار دى چې 25%ډيتا له هغې الندې او 75%ډيتا له هغې پورته واقع وي. دويمه ربع هغه مقدار دى چې 50%ډيتا له هغې الندې او 50%ډيتا له هغې پورته واقع وي. دريمه ربع هغه مقدار دى چې 75%ډيتا ترې الندې او 25%ډيتا يې له پاسه واقع وي. که ډيتا ( )Dataپه صعودي ډول ترتيب ک7و ،د ډيتا ( )Dataميانه د Q2سره مساوي لوم7ن 9نيمايي ډيتا ( )Dataميانه له Q1سره مساوي او همدارنگه د دويمې نيمايي ميانه له Q3سره مساوي ده. د ربعو د پيدا کولو په وخت کې الندې پ7اونه په پام کې ونيسئ.
367
ډيتا ( )Dataپه صعودي ډول ترتيب ک7ئ. ترتيب شوى ډيتا ته له ( )1څخه تر nپورې شمېره (کوډ) ورک7ئ. د Pام موقعيت ( ) P =1, 2, 3دالندې رابطې په مرسته په الس راځي.
P n 1 + 4 2
= C QP
د ربعې د موقعيت په اساس ،د ربعې مقدار وټاکئ. مثال :فرض ک7ئ په الس راغلي ډيتا (مشاهدي) په الندې ډول راک7ل شوي وي. 140
100
120
د لوم7ى او دريمې ربعې ځايونه وټاکئ. د لوم7ى او دريمې ربعې مقدارونه پالس راوړئ. 4 5 د ډيتا شمېره6 : ډيتا 100 120 140 : د لوم7ۍ او دريمې ربعې ځايونه عبارت دي له:
80
3 90
90
85
1 80
2 85
16 1 + =2 4 2 3 6 1 = + =5 4 2
= C Q1 C Q3
نو د لوم7ۍ او دريمې ،ربعې مقدارونه مساوي دي په: Q1 = 85
Q 3 = 120
پو*تن3 فرض ک7ئ په الس راغلي ډيتا په الندې ډول راک7ل شوي وي. 85
140
160
120
80
90
100
لوم7ۍ او دريمه ربعې (څلورمې) پيدا ک7ئ. له ميانې تر مخه عددونه وليکئ. له ميانې وروسته عددونه په الس راوړئ.
368
صندوقﭽه ﻳ 3ﮔراف
د يوې تختې کاغذ له څلورو کنجونو څخه څلور مربعګانې چې هره ضلع يې 5cmوي ،جال ک7ئ ،بيا د کاغذ څن6ې له پورته خواڅخه قات ک7ئ. کوم شکل چې په الس راځي ،له څه شي سره ورته والى لري؟
ﻓعاﻟﻴت د هغه ناروغانو شمېر چې د 17ورځو ،په موده کې يوه روغتون ته راغلي دي ،په الندې ډول ثبت شوي دي. 11 10 15 23 14 27 16 17 24 28 13 31 31 18 25 26 19 ميانه يې پيدا ک7ئ. هغه عددونه وليکي چې د ميانې تر مخې نيمايي کې پراته دي. ددې عددونو لپاره ميانه پيدا کرئ. هغه عددونه وليکئ چې د ميانې په وروسته نيمايي کې پراته دي. ددې عددونو لپاره ميانه پيدا ک7ئ. دويمه ربع (څلورمه) يا Q2کوم عدد دى؟ صندوقﭽه ﻳ 3ﻳا جعبه ﻳﻲ ﮔراف :دا يو داسې تصويري ﮔراف دى چې د ډيتا ( )Dataتيت والى د نورو ﮔرافونو په نسبت ښه روښانه کوي ،د ا ﮔراف د الندېنيو اندازو پر بنياد د ډيتا ()Data ﮔراف ښکاره کوي. الف) تر ټولو کوچن 9ډيتا د) دريمه ربع
ب) لوم7ن 9ربع (څلورمه)
ج) ميانه
هـ) تر ټولو لويه ډيتا
صندوقچه يې ﮔراف د ربعو او له زيات نه زيات او کم تر کمه ډيتا ( )Dataښودونکﯽ دى.
369
Q3
تر ټولو زيات مﻘدار
Q1
md= Q 2
تر ټولو ل 8مقدار
کوالى شو د صندوقچه يې ﮔراف د رسمولو پ7اوونه په الندې ډول وليکو: الف) تر ټولو کوچن 9ډيتا پيدا ک7ئ.
ب) تر ټولو لويه ډيتا پيدا ک7ئ
ج) ميانه پيدا ک7ئ
د) لوم7ۍ ربع پيدا ک7ئ
هـ) دريمه ربع پيدا ک7ئ
و) ﮔراف رسم ک7ئ.
ﻣﺜال :که په يو ښار کې د 15ورځو په موده کې د ترافيکي پيښو شمېر په الندې ډول راک7ل شوي وي ،صندوقچه يې ﮔراف يې رسم ک7ئ. 14 27 16 34 18 25 31 19
23 32
10 41
15 43
12
حل :پورتنى ډيتا په ترتيب ليکو. 10 12 14 15 16 18 19 23 25 27 31 32 34 41 43 تر ټولو لويه ډيتا= 43
نو :تر ټولو کوچنى ډيتا = 10 ميانه = 23
لوم7ى ربع = 15 = Q1
دريمه ،ربع
مﻴانﻪ
دريمه ربعه = 32 = Q 3
لوم7ى ربع
ترټولو لويه ډيتا
43
32
23
15
تر ټولو کوچنى ډيتا
10
پورتنى ﮔراف صندوقچه يې ﮔراف دى چې 50%ډيتا دصندوق په داخل کې (د لوم7ى ،دريمې او ربعې ترمنځ) پرتې دي 25% ،يې 10او 15ترمنځ او 25%ډيتا د 32او 43ترمنځ پرته ده.
370
د نارمل منحنﻲ د مرکزي !اکوونکو پرتله کول أيا کوالی شو چې د نارمل منحني په مرسته مرکزي ټاکوونکﯽ پالس راوړو؟
? = mod ? = med ?= x
الندې کوم منحني چې وينئ ،په احصاﺋيه کې يوله مشﻬورو منحني ﮔانو څخه دی ،کوالى شو چې زياتې طبيعي پيښې ددې منحني په مرسته وښايو .نارمل منحني يو متناﻇره منحني دی چې د يوه زنﮓ په شان شکل لري. آيا د اوسط ،ميانې او موډ د مرکزي ټاکوونکو ځايونه په دې منحني کې ښودالى شئ؟
ﻓعاﻟﻴت که په يوه ټولگي کې ټول زده کوونکي ښې نمرې واخلي: آﻳا څه فکر کوئ چې ددوى د نمرو اوسط هم ښه دى؟ آيا د اوسط لوړوالﯽ د ټولگي د تعليمي وضعي پر ښه والي داللت کوي؟ ددې لپاره چې د ټولگي وضع ښه ارزيابي ک7ی ،نيم ټولگﯽ بايد ښې نمرې واخلي. هغه کومه نمره ده چې د نيمايي ټولگي د زده کوونکو نمرې له هغې زياتې وي؟
371
که ميانه له اوسط څخه ډېره کوچن 9وي ،له دې څخه څه شﯽ په الس راځي؟ که ميانه له اوسط څخه ډېره لويه وي ،له دې څخه څه شﯽ په الس راځي؟ د پورتني فعاليت او د منحني له متناﻇر والي څخه نتيجه په الس راځي چې د ميانې او اوسط ځاى په نارمل منحني کې يو دى او څرنگه چې نارمل منحني اعظمي نقطه لري ،نو له همدې سببه د موډ ځاى هم له اوسط او ميانې سره مساوي دى يعنې:
X = mod = md
که نارمل منحني ،متناﻇره نه وي ،په دې حالت کې لرو چې: )(b
)(a
x < med < mod
mod < med < x
که چېرې اوسط او ميانه سره مساوي وي ،له اوسط او ميانې څخه تر مخه او له اوسط او ميانې څخهوروسته ډيتاګانې سره مساوي دي. که اوسط د ميانې کيڼې خوا ته پروت وي ،د هغو ډيتا شمېر چې د اوسط ښې خواته پرتي دي ،د هغوډيتا ( )Dataله شمېر څخه چې د اوسط کيڼې خواته پرتې دي ،زيات دى ،لکه :د aبه شکل کې. که اوسط د ميانې ښې خواته پروت وي ،د هغه ډيتا ( )Dataشمېر چې د اوسط ښي خواته پرتېدي ،د هغه ډيتاوو ( )Dataله شمېر څخه چې د اوسط کيڼې خوا ته پرتې دي ،ل 8دي.
372
لکه د bبه شکل کې مثال :په الندې ﮔراف کې اوسط او ميانه پيدا ک7ئ. f
x
ﺣﻞ:
a 8
7
6
5
4
3
2
1
= مﻴانﻪ
4+5 9 = = 4.5 = اوسﻂ 2 2 a 1+ a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7 + a 8 =x a+a+a+a+a+a+a+a 36 a =x = 4.5 8a = med
مثال :په الندې ګراف کې د موډ تقريبي قيمت پرته له محاسبې په ګوته ک7ئ.
ﺣﻞ:
373
پو*تن3 -1دالندې صندوقچه يې ﮔراف په نظر کې نيولو سره الندې اړوندو پوښتنو ته ځوابونه ورک7ئ.
12
11
10
9
8
7
6
5
3
4
2
1
0
په پورتني ﮔراف کې ميانه څومره ده؟ په دې ډيتا کې لوم7ن ،9ربع د 8عدد دى ،دا عدد ،څه شﯽ ښيي؟ دريمه ربع څو ده؟ دا عدد ،د څه شي ښودونکﯽ ده؟ دا چې ميانه د صندوق کيڼې خواته ده ،د څه شي ښکارندويه دی؟ داچې د کيڼې خوا د عددونو شمېر نظر ښې خوا ته زيات دى دا زياتوالى د څه ښکاره کوونکﯽ دى؟ -2د يوه هېواد د فوټبال ملي ټيم د لوبغاړو عمرونه په الندې ډول دي. 26
25
22
23
18
31
19
26
24
25
26
31
33
25
25
29
23
27
25
د الندې نتيجو څخه کومه يوه سمه ده؟ د هغو لوبغاړو شمېر چې عمرونه يې له اوسط څخه لوړ وي ،ډېر دي. د هغو لوبغاړو شمېر چې عمرونه يې له ميانې څخه لوړ وي ،ډېر دي. د هغو لوبغاړو شمېر چې عمرونه يې له اوسط څخه ښکته وي ،ډېر دي. د هغو لوبغاړو شمېر چى عمرونه يې له اوسط څخه ډېر وي د هغه لوبغاړو له شمېر سره مساوي دى چې عمرونه يې له اوسط څخه ل 8دي.
374
ربعﻲ انحراف که د يوې ټولنې د احصاﺋيوي تغيراتو لمن لويه وي ،أيا فکر کوئ چې د ډيتا د تحول ساحه به له ټولنې څخه نامناسبه پايله وړاندې ک7ي؟
ﻓعاﻟﻴت له يو موزيم څخه د ليدونکو شمېر په 12ورځو کې په الندې ډول دى. 0 1 2 8 7 6 5 9 10 6 15 11
ددې ډيتا ( )Dataد تحول ساحه پالس راوړئ. په عمومي ډول پورتن 9ډيتاوې د کومو دوو عددونو ترمنځ تيت شوي دي؟ يو په څلورمه برخه ډيتا له پورته اوښکته خوا څخه حذف ک7ئ او بيا د پاتې ډيتا ( )Dataد تحول ساحه پيدا ک7ئ. دا د تحول دوه ساحې چې په الس راغلي دي ،يو له بله سره يې پرتله ک7ئ ،کومه يو ه يې ډېر تيت والي ښيي؟ په ځينو وختونو کې د تحول ساحه د دوو ډېرو کوچنيو او يا ډېرو لويو مقدارونو له سببه ،نامناسبه تعبيرونه له ټولنې څخه موږ ته په الس راکوي. نو له دې امله د نورو ټاکونکو څخه چې د ربعو د انحراف په نامه يادې8ي ،ﮔټه اخيستل کې8ي ،تر څو د ټولنې د تحول ساحه په ښه ډول وټاکي. که Q1او Q3
په ترتيب سره د ډيتا د سټ ،لوم7ۍ ربع او دريمه ربع وي ،نو د ربعو انحراف په ) (Q
سره ښودل کې8ي او په الندې ډول تعريف شوي دي.
Q1
Q = Q3
ربعي انحراف يو له هغو ټاکونکو څخه دی چې د ډيتا ( )Dataتيت والې ښکاره کوي. داسې چې د لوم7ى او دريمې ربعې له تعريف څخه پوهې8و چې 50%ټولنه د Q3 Q1په فاصله کې پرته ده .په هره اندازه چې دا فاصله ل8ه وي ،ډيتا سره نﮋدې دي ،يا په بل عبارت د هغوى
375
تيت والې ل 8دى. Q3
Q1
= Qپه شکل تعريفوي او دې ته د ربعو
ځېنې وختونه د ربعو (څلورمو) انحراف د نيمايې لمن وايي. ﻣﺜال :دالندې عددونو د ربعو (څلورمو) انحراف پيدا ک7ئ. 2
36 35 29 30 31 25 24 23 22 22 20
ﺣﻞ :لوم7ی عددونه په صعودي ډول ترتيب کوو او بيا ورته يوه شمېره ټاکو: 31 35 36 9 10 11
30 8
29 7
25 6
24 5
23 4
22 3
22 2
P n 1 + 4 2 3 11 1 33 1 33 + 2 35 = = + = + = = 8.75 4 2 4 2 4 4
20 1
= CQn
Q3 = 30.75
نوله دې ځايه: همدارنګه:
C Q3
1 11 1 11 1 11 + 2 13 = + = + = = 3.25 4 2 4 2 4 4 Q1 = 22.25 = CQ1
نوله دې ځايه: د لوم7نى او دريمې ،ربعې قيمتونه په ترتيب سره 22.25او 30.75دي نو:
Q = Q 3 Q1 = 30.75 22.25 = 8.5
پو*تن3 - 1د الندې ډيتا د تحول ساحه ،د ربعو (څلورمو) انحراف او موډ پيدا ک7ئ او وواياست چې د ډيتا ﮔڼوالى په کومه ساحه کې ډېر دى. 5 11 12 14 15 15 16 17 30 - 2د الندې ډيتا د تحول ساحه او د څلورمو انحراف پيدا او د لوم7ی پوښتنې د تحول د ساحې او د څلورومو د انحراف سره يې پرتله يې ک7ئ. 27 24 21 29 28 26 23 22
376
وارﻳاﻧﺲ ()variance که ستاسو المبو ښه زده نه وي او وغواړى چې په داسې ډن 6کې والمبئ چې ژور والى يې په ټولو برخو کې يو شان نه وي .ددې لپاره چې په ډاډه زړه والمبئ ،کوم معلومات بايد ولرئ؟
ﻓعاﻟﻴت که د لمبا په يو ډن 6کې د يوځاى ژوروالى 1.5متره او دبل ځاى ژوروالى يې 2.5متره وي. ددې ډن 6د دواړوو ځايونو د ژوروالي اوسط پيدا ک7ئ. ددې دوو ډيتاوو د انحرافونو مربع له حسابي اوسط څخه پيدا ک7ئ. ددې دوو ډيتاوو د انحرافو د مربعگانو مجموعه پيدا ک7ئ. د پورتنيو ډيتاو ( )Dataمجموعه د مجموعې د غ7و پر شمېر و وېشئ. د x1 , x2 , ... , xnډيتا د واريانس د پيدا کولو لپاره الندې پ7اوونه په نظر کې ونيسئ. د ډيتا اوسط پيدا ک7ئ يعنې:n
xi
i =1
n
=x
د انحرافونو د مربعگانو مجموعه يعنې:x)2
... + ( x n
x ) 2 = ( x1 x ) 2 + ( x 2 x ) 2 +
(x i
n i =1
په الس راوړئ. پورتن 9مجموعه د مجموعې د غ7و پر شمېر ) (nو وېشئ او په sيې وښيي:2
x) 2
377
x ) 2 + . . . + ( xn n
( x1 x) 2 + ( x2
x) 2 =
(xi n
n i =1
= S2
چې دلته S 2د واريانس په نامه يادې8ي .واريانس برابر دی د انحرافونو د مربع اوسط له اوسط څخه. پاملرنه :ځينې وختونه واريانس د پيدا کولو لپاره له دې الندې فورمول څخه هم ﮔټه اخلي. 2
x2
n
xi
= S2
i =1
n
ثبوت :پورتنې فورمول کوالى شو ،په الندې ډول الس ته راوړو. n
پوهې8و چې : 2
n
x
i =1
n
+
x i = nx
2 xix
x2
n
2
i =1
n
xi
i =1
n
) 2 xix + x
=
n
2
xi
2
nxi
x2
n
2
i =n1
= 2x x + x 2
i =1
= 2x x + x 2
n
2
n
(x i
2
i =1
n 2
xi
2
nxi
in
i =1
n
n
xi
i =1
n
(x i
)x n
i =1
2
nx = n2 nx 2 x i =1 + = n n +
= S 2
n i =1n
n xi
=x
n
=
n 2
xi
i =1
2x
2
xi
n i =1n
n xi
i =1
n
= =
ﻣﺜال :د الندې ډيتا ( )Dataوريانس د دواړو فورمولونو په مرسته پيدا ک7ئ. 9
7
5
6 ( xi x ) 2
الﻒ :د
7
5 2
i =1
5
1
9
6
5
1
5
) ( xi x = S2له فورمول څخه څرنګه چې i = 1,2,3,4,5 2 i =1 = S 5
1+ 5 + 6 + 7 + 9 = 5. 6 5 (1 5.6) 2 + (5 5.6) 2 + (6 5.6) 2 + (7 5.6) 2 + (9 5.6) 2 = S2 5 2 2 2 ( 4.6) + ( 0.6) + (0.4) + (1.4) 2 + (3.4) 2 = 5 21.16 + 0.36 + 0.16 + 1.96 + 11.56 35.2 = = 7.04 = 378 5 5 =x
5 ( 4.6) + ( 0.6) + (0.4) + (1.4) 2 + (3.4) 2 = 5 21.16 + 0.36 + 0.16 + 1.96 + 11.56 35.2 = = = 7.04 5 55 2 xi 2 ب :له دې فورمول x S 2 = i =1څخه هم کولﯽ شو چې همدا قيمت په الس راوړو 5 2 2 2 2 2 2 x + x2 + x3 + x4 + x5 192 S2 = 1 = x (5.6) 2 5 5 = 38.4 31.36 = 7.04 2
2
2
ﻳادوﻧﻪ :که ډيټا په ګروپونو (کالسوونو) کې ترتيب شوي وي او د کالسونو مرکزونه x1 , x2 , ..., xn
او f1 , f 2, ..., f nفريکونسي هم راک7ل شوي وي .په دې حالت کې د واريانس د پيدا کولو لپاره له الندې فورمول څخه کار واخلو:
x) 2
f i ( xi N
داسې چې f i
n
n i =1
x) 2
f i ( xi
= fi
n
n i =1
= S2
i =1
= Nدی.
i =1
د واريانس د واحد ټاکل مشکل دي .په عمومي ډول په عمل کې مطلقه قيمت يې نيول کې8ي ،ځېنې وخت د متحول د واحد مربع د واريانس د واحد په حيث ﮔڼل کې8ي.
379
پو*تن3 د هغو ساعتونو شمېر چې زده کوونکو په يوه اون 9کې د لوبو کولو لپاره ټاکلي دي ،په الندې ډول راک7ل شوي دي. 3 2 1 4 3 2 2 ددې ډيتا ( )Dataوريانس پيدا ک7ئ.
380
معﻴاري انحراف که Sدوريانس جذر xدډيتا اوسط وي مخامﺦ شکل کوم ډول ټاکونکﯽ توضيﺢ کوي؟
ﻓعاﻟﻴت کﻪ S2د x1 , x2 , ..., xnډيټا واريانس وي .أيا څه فکر کوئ چې د S2او Sواحدونه سره څه توپير لري؟ فرض ک7ئ چې په يوه اون 9کې يوې کارخانې ته د توکو د فرمايشونو د تسليم 9وخت له ځېنو ټاکونکو سره ،لکه :انحراف ،د انحراف مطلقه قيمت د انحرافو مربع په الندې جدول کې راک7ل شوى وي ،څرنګه چې: 8 + 9 + 6 + 4 + 8 35 = =7 5 5
د انحرافونو مربع دانحراف مطلقه قيمت
1
1
1
7
8
4
2
2
7
9
1
1
-1
7
6
9
3
-3
7
4
1
1
1
7
8
( xi
x
xi
x
=x
ورک7ې وخت په ورځ xi
xi
i =1
n
x
x) 2
381
انحراف
=
xi
5
د ډيتا (جامو) د ورک7ي د وخت اوسط پيدا ک7ئ. د انحرافو د مطلقه قيمت اوسط يا په لن 6ډول د انحراف اوسط ) (ADپيدا ک7ئ. د توکو د ورک7ې وخت واريانس پيدا ک7ئ. د واريانس مربع جذر محاسبه ک7ئ. د واريانس د مربع جذر واحد د واريانس له واحد سره پرتله ک7ئ. د واريانس له فورمول څخه مو زده ک7ل چې په توان وړلو سره نه يوازې داچې د واريانس اندازه کولو مقياس له شﮏ سره مخامﺦ کوي ،بلکې انحرافونه هم لوی ښيي. ددې لپاره چې دا ستونزې له مينځه يوسو ،په کار ده چې د وريانس مربع جذر په الس راوړو. د واريانس جذر د ډيتا ( )Dataد تيت والي ،يو بل ټاکوونکى د معياري انحراف يا مطلق تيت والي په نوم را پيﮋني. معيارى انحراف چې د Sپه سمبول ښودل کې8ي ،د واريانس له مربع جذر سره مساوي دى. په دې معنا: )2
xi
n i =1
n
2
n
xi
(
2 2
= x
i =1
n
xi
n
=
i =1
n
(x i x)2
n
=S
i =1
n
د معيارى انحراف يا د مطلق تيت والې واحد هم هغه د متحول واحد دى. پورتن 9رابطه په الندې ډول ثبوت کې8ي: 2
) 2 x xi + x 2 2
xi ) 2 n
n
( xi
i =1 2
2nx 2 + nx
= x )2
n
xi
1 n
i =1
( xi
i =1 n
= x2
1 n
i =1
=
xi +
( xi
i =1
n
n
2x
2
i =1
n
xi
i =1
= S2 1 n
=
n
n
( i =1
1 n
n
x )2
n
2
n
xi
i =1
xi
1 = n ( i =1 ) 2 n n n
)2
xi
i =1
n
2
(
2
n
xi
i =1
1 n
=
2
n
n
xi
i =1
n
nx
=S
2
xi )
i =1
n
2
2
(
n
xi
i =1
1 n
=
n
xi
i =1
n
= S 2
382
ﻣﺜال :د 5ناروغانو د بدن د حرارت درجې په الندې ډول راک7ل شوي دي. 41
معياري انحراف يې پيدا ک7ئ حل:
40
39
39
xi
38 n
38 + 39 + 39 + 40 + 41 197 = = 39.4 n 5 5 (38 39.4) 2 + (39 39.4) 2 + (39 39.4) 2 + (40 39.4) 2 + (41 39.4) 2 = S2 5 2 2 2 ( 1.4) + ( 0.4) + ( 0.4) + (0.6) 2 + (1.6) 2 = S2 5 1.96 + 0.16 + 0.16 + 0.36 + 2.56 5.2 = S2 = = 1.04 5 5 S = 1.04 = 1.01980 =
i =1
=x
پاﻣﻠﺮﻧﻪ :د فريکونسيو له جدول څخه ،معياري انحراف په تقريبي ډول په الندې ډول په الس راځي: f i x i2
x2
fi
n i =1 n
(x)2
fi (x i
= fi
i =1
n
n i =1
=S
i =1
چې xد ډيتا ،اوسﻂ xi ،د کﻼس مرکﺰ او f iد کالس فريکونسي ښيي.
پو*تن3 د څلورو ټلويزوني سټيشنونو د ښوونې او روزنې د پروﮔرامونو د خپرولو د ساعتونو شمېر په الندې ډول راک7ل شوی دی ،د ډيتا معياري انحراف پيدا ک7ئ. 5
383
4
3
1
'پرکﻰ لن6ﻳز د فرﻳکونﺴﻲ 'و ضلعﻲ ﮔراف:د هغو مرتبو جوړو نقطې چې عرض يې د کالس مرکز او اوږدوالى يې د هماغه کالس له فريکونسي سره مساوي دى ،يوه له بلې سره ونښلوو ،د فريکونسي څو ضلعي ﮔراف په الس راځي ،د فريکونسي په څو ضلعي ﮔراف کې دوې نورې اختياري نقطې د صفر په فريکونسي د کالسونو (ﮔروپونو) په لوم7ۍ او اخيرنى برخه کې ډېروو ،تر څو د فريکونسي څو ضلعي ﮔراف له محور سره ونښلوي. د ساق 3او پا 31ﮔراف :د ساقې او پا1ې د ﮔراف د رسمولو لپاره له عددونو څخه ﮔټه اخيستل کې8ي .احصاﺋيوی ډيتا د عددونو په شکل راوړو ،بيا له دې عددونو څخه د ساقې او پا1ې ﮔراف رسموو .دا ډول ﮔراف د هغو ډيتا ( )Dataلپاره چې د رقمونو د شمېر له مخې تر ټولو لوى او کوچنى رقم تر منځ توپير ل 8وي ،مناسب دى. ربع :3هغه عدد چې مرتبه جامعه په دوو مساوی برخو ووېشي ،د ميانې په نوم يادې8ي .اوس هغه عددونه په نظر کې ونيسئ چې مرتبه جامعه په څلورو مساوي برخو وېشي ،دا عددونه په Q 2 , Q1 او Q 3سره ښودل کې8ي ،دې عددونو ته په ترتيب سره لوم7ۍ ربع ،دويمه ربع او د دريمه ربع وايي. ښکاره ده چې Q2ميانه ده. صندوقﭽه ﻳ 3ﻳا جعبه ﻳ 3ﮔراف :له دې ګراف څخه د هغې ډيتا ( )Dataلپاره چې سره نﮋدې دي يا هغه ډيتاوې چې د اوسط پر شاوخوا راټولې شوي دي او يا هم هغه ډيتا چې ترټولو لويو يا ترټولو کوچنيو ډيتاګانو پرشاوخوا راټولې شوي وي ،ﮔټه اخيستل کې8ي ،داﮔراف يو تصويرې ﮔراف دى چې ترټولو لو ې ډيتا ،ترټولو کوچنى ډيتا ،ميانې ،لوم7ى ربعې او دريمې ربعې په اساس ښکاره کوي. د نارمل منحنﻲ په بنﻴاد د مرکزي !اکونکو پرتله کول :څه وخت چې وغواړو مرکزي ټاکونکي (اوسط ،ميانه ،او موډ) له نارمل منحنې څخه په ﮔټه اخيستنې سره پرتله ک7و :په دې حالت کې که نارمل منحني متناﻇر وي ،نو اوسط ،ميانه او موډ سره مساوي دي .که نارمل منحني متناﻇر نه وي ،نو مرکزي ټاکونکي نظرخپل موقعيت ته د منحني ښې خوا يا کيڼې خواته قيمتونه اخلي. ربعﻲ انحراف :که Q1او Q 3په ترتيب سره د ډيتا ( )Dataلوم7ى ربع او دريمه ربع وي، کوالى شوو چې د څلورمو (ربعې) انحراف ) (Qپه الندې ډول وليکو Q = Q 3 Q1
له پورتني تعريف څخه ښکارى چې 50%ټولنه د Q3 Q1په فاصله کې پرته ده .په هره اندازه
384
چې دا فاصله ل8ه وي ،ډيتا ﮔڼې دي او د ډيتا تيت والى ل 8دى. وارﻳانس :د تيت والى ټاکونکي هغه مقدارونه دي چې د ډيتا ( )Dataد تيت والى حالت نسبت يوبل ته او نسبت يې اوسط ته ټاکي. 2 واريانس د ټيټ والي له ټاکونکو څخه يو مﻬم ټاکونکى دى چې په Sسره ښودل کې8ي او له الندې رابطې څخه په الس راځي: x)2
(x i
n i =1
n
=
2
)x
( x1 x ) + ( x 2
x ) + ... + ( x n n
2
2
= S2
د واريانس پيدا کول د فريکونسي په جدول کې له دې فورمول څخه په الس راځي: x)2
fi (x i
( xiدکالس مرکز دى) fi
n
n i =1
= S2
i =1
معﻴاري انحراف :د واريانس مربع جذر په Sښيي چې معياري انحراف ورته وايي: x)2
(x i
n i =1
n
=S
د معياري انحراف پيدا کول د فريکونسي له جدول څخه د الندې فورمول څخه په الس راځي:
x)2
( xiدکالس مرکز دى)
fi (x i fi
385
n i =1
n i =1
=S
د 'پرکﻲ پو*تن3 - 1الندې ﮔراف د باد سرعت په 19ورځو کې ښکاره کوي ،په ﮔراف کې د راک7ل شوو اطالعاتو پر بنسټ د باد سرعت لپاره د فريکونسي څو ضلعي ﮔراف رسم ک7ئ. که چېرې يوې کشت 9ته د حرکت لپاره ل 8تر ل8ه په يوه ساعت کې 5کيلو متره د باد سرعت ته اړتيا وي ،نو څو ورځې د کشت 9د حرکت کولو لپاره مناسبې دي؟ په دې پوښتنه کې ولې د فريکونسي څو ضلعي ﮔراف ،نظر مستطيلي ﮔراف ته مناسب دى؟
6
5
4
3
وخت (ورځ)
کﻴلﻮمترپر ساعت
6 5 4 3 2 1
2
- 2د فريکونسي څو ضلعي ﮔراف هغه ګراف دی چې ............په افقي محور او .........د عمودي محور پر مﺦ ښودل کې8ي. الف) د کالسونو مرکز ،نسبي فريکونسي
ب) نسبي فريکونسي ،د کالسونو مرکز
ج) د کالسونو حدود ،مطلقه فريکونسي
د) د کالس مرکز ،مطلقه فريکونسي
- 3دساقې او پا1ې ﮔراف راک7ل شوی دى: له دې ګراف څخه په الس راغلي ډيتا وليکئ.پا1ې
ساقه
0 3 3 4 0 2 4 8 8
1 2
2
3
- 4کوم ﮔراف ته د 90oپه اندازه (د ساعت د عقربې د حرکت په مخالف لوري ته) دوران ورک7و، تر څو ميله يي ﮔراف الس ته راشي.
386
ب) مستطيلي ګراف
الف) د ساقې او پا1ې ګراف
د) دايروى ګراف
ج) د فريکونسي د څو ضلعي ګراف
:5الندې ﮔراف د الف،ب او ج د دريو ټولگيو د رياضي ازموينې نمرې ښکاره کوي ،ﮔراف ته په پاملرنې سره الندې پوښتنو ته ځواب ورک7ئ. 40
39
38
37
35
36
34
33
32
31
30
د الف ټولگى د ب ټولگى د ج ټولگى د کوم ټولگي د تحول ساحه زياته ده؟ د کوم ټولگي د نمرو ميانه تر ټولو زياته ده؟ او د کوم ټولگي د نمرو ميانه تر ټولو ل8ه ده؟ د کوم ټولگي د نمرو تيت والى تر ټولو ډېر دى. ددې دريو ټولگيو د ازموينې نمری له کمزوري څخه د قوي په لور ترتيب ک7ئ. : 6په ﮔراف کې د aمقدار عبارت دی له: الف) ميانه
387
ب) اوسط
ج) دريمه ربع
د) موډ
:7د غذايې موادو د توليد دوه فابريکې د Aاو Bپه نامه ،د 48ﮔرامو په قطيو کې بسکيت خرڅوي. په تصادفي ډول د دواړو فابريکو د بسکيت له قطيو څخه 5قطي ټاکل شوي دي او په پوره غور سره يې وزنونه معلوم شوي دي چې په الندې ډول دي. 47.96
47.84
47.96
48.32
48.08
A:
49
49.08
48.88
48.84
49.16
B:
په قطيو کې کومه فابريکه زيات بسکيت خرڅوي؟ د پوښتنې د حل لپاره له کوم ټاکونکي څخه استفاده کوي؟ د بسکيت په وېشلو کې کومې فابريکې يو شان عمل ک7ى دى؟ :8که د ډيتا د تحول ساحه صفر وي .د ډيتا په برخه کې څه نتيجه اخلئ؟ : 9د هغه ساعتونو شمېر چې زده کوونکو په يوه اون 9کې د لوبو لپاره ټاکلې دي ،په الندې ډول راک7ل شوي دي. 9
7
5
1
ددې ډيتا ( )Dataورايانس پيدا ک7ئ. :10په الندې جدول کې واريانس پيدا ک7ئ. 25 35 45
xi
10 25 15
fi
388
نﻬم 'پرکی د رﻳاضﻲ منﻄق
د شﻬودي درک استدﻻل: پخوا تر ډېــر و پي7يو پورې خلکو فکر کاوه چې ځمکه هواره ده او ستوري د ځمکې پر شاوخوا څرخي8ي. آيا پوهې8ي چې ځمکه کروي ده؟ آيا لمر دځمکې پر شــاوخوا او که ځمکه د لمر پرشاوخوا څرخي8ي؟
تعرﻳﻒ :هغه طبيعي يا حسي پوهه چې دهغې په مرسته ديوې موضوع سموالى يا حقيقت او يا يو مفﻬوم پر ته له استدالله قبلوو ،له شﻬودى درک څخه عبارت دی چې کيدلى شي ،دوخت په مختلفو مرحلو کې يوله بله سره توپير ولري. ﻓعاﻟﻴت د الندې شکل په نظر کﯽ نيولو سره د مستقيم خط پر مﺦ د Aاو Bدوې نقطې په پام کې ونيسئ. يو س7ی غواړي چې ددې مستقيم خط پر مﺦ د Aله نقطې څخه د Bنقطې ته الړشي چې د AB
د قطعه خط منځنﯽ نقطه A1کې توقف وک7ي او بل وار چې د A1نقطې ته رسيدلي دی ،ددې لپاره چې د Bنقطې ته ورسې8ي ،بياد A 2په نقطه (د A1 Bد قطعه خط دتنصيف نقطه) کې توقف وک7ي ،که په همدې ډول دوام ورک7ي ،نو الندې پوښتنو ته ځوابونه ورک7ئ: آيا په پورته ډول چې د خط پر مﺦ د هرو دوو نقطو په منځنى نقطه کې توقف وک7ي ،پای لرى؟ که په همدې ډول تر پايه دوام ورک7ي ،دا س7ی به د Bنقطې ته ورسې8ي؟ که دا س7ی توقف و نه ک7ي او يا له الرې بيرته راونه ګرځي ،نو نه يوازې چې د Bنقطې ته بهورسې8ي ،بلکې ترې تېر به هم شي .په دې اساس ددې مسلﺌې د واقعيت او ستاسو د شﻬودي درک ترمنځ څه توپير شته؟
391
له پورتني فعاليت څخه الندې نتيجه الس ته راځي: نتﻴجه :د شﻬودي درک نتيجه هر وخت صحيﺢ نه وي ،خو کېدای شي چې د قضيو دحل لپاره يو ښه بنسټ وي. له هغه مثال څخه چې په پورتني فعاليت کې مو ترې استفاده وک7ه او ياداسې نور مثالونه دا ددې په معنا نه دي چې دشﻬودي درک استدالل ﮔمراه کوونکى دى ،بلکې بر عکس په زياتو حالتونوکې دشﻬودي درک استدالل د مسلﺆ دحل ،د انگيزې د پيداکولو او د نورو سوالونو د طرح کولو سبب ﮔرځي. لوم7ى مثال :د شﻬودي درک په استدالل سره په اسان 9سره حکم کوالی شو چې دوه موازي خطونه يو بل نه قطع کوي. څرنگه چې ددې مسلې په قبلولو کې استدالل په کار وړل شوى نه دى ،په واقعيت يو احساس دى چې پر اساس يې داحکم منل کې8ي ،نو دا ډول نتيجه اخيستنه دشﻬودي درک په نامه يادوو. دوﻳم مثال :که يوه نقطه د داسې دايرې د باندې پرته وي چې قطر يې 4واحده وي .ددې نقطې د فاصلې د مطالعه کولو لپاره چې له 2واحده څخه زياته ده ،نه شو ويالى چې دا استدالل يو شﻬودي درک دى ،ځکه دمسلﺌې د وضاحت لپاره الزمه ده چې استدالل وک7و .څرنگه چې د دايرې د مرکز فاصله له محيط څخه 2واحد ده .نقطه د دايرې د باندې واقع ده ،نوله دې امله د دايرې له مرکز څخه د نقطې فاصله د 2واحده څخه لويه ده .يعنې پرته له استدالل څخه د طبيعي پوهې او يا غريزه يې احساس په واسطه نه شو کوالى ،مسﺌله درک او صحت يې قبول ک7و.
پو*تن3 -1د دوو نقطو ترمنځ لن6ه فاصله له يوه مستقيم خط څخه عبارت ده ،أيا ددې مسﺌلې درک کول يو شﻬودي درک دی؟ څرنگه استدالل کوئ؟ -2له الندې حکمونو څخه کوم يو يې د شﻬودي استدالل په طريقه د درک وړدى؟ -aديوې متوازي االضالع مقابلې زاويې سره مساوي دي. -bد لوزي (معين) قطرونه يو پر بل عمود او يوبل نيمايي کوي. -cپه يوه قايم الزاويه مثلث کې و تر ،له هرو دوو ضلعو څخه لوى دى.
392
تمثﻴلﻲ ﻳا ﮔمانﻲ استدﻻل ووايه زما په السونو کې څه شى دی؟ تقريبا ً ﮔرد دى ،رنﮓ يې سپين دى او دسپينو په منځ کې يو ژي 7شى دى؟
د منطق يوه ښوونکي غوښتل چې دخپل يوه زده کوونکي قياسي استدالل وازمايي ،خپل مﺦ يې هغه ته ورواړوه او ورته ويې ويل: پوهې8ئ چې ﮔمان او يا تمثيل حقيقت ته د رسيدو پل دى .د لوست په جريان کې مو زده ک7ل چې تمثيلي استدالل موږ حقيقت ته نﮋدې کوي ،ليکن هر وخت سوچه حقيقت نه دى. ښوونکي په داسې حال کې چې په خپلو السونوکې يې د چرﮔې هگ 9پټه ک7ي وه ،له زده کوونکي وپوښتل :ووايه زما په السونو کې څه شى دی؟ تقريباً ﮔرد دى ،رنﮓ يې سپين دى او دسپينو په منځ کې يو ژي 7شى دى. زده کوونکى چې په همدې وخت کې له زراعتى فارم نه راغلى و ،له ژور فکر کولو وروسته يې ښوونکى ته مﺦ ورواړوه او ويې ويل: استاده فکر کوم چې دسپين شوي شلغم(ټيپر) په منځ کې ﮔازره ده.
ﺗﻌﺮﻳﻒ د دوو پېښو ترمنځ د ورته والي پيداکول او دهغوى په باره کې د يوشان نتيجې اخيستلوته تمثيلي يا قياسي (ﮔماني) استدالل وايي. ﻓعاﻟﻴت يوه ښوونکى يو شوخ زده کوونکى چې لوست يې اخاللوه ،له ټولگي څخه وويست .دټولگي د باندې يې د خپل ټولگي بل زده کوونکى وليده چې هغه هم له ټولگي څخه د باندې و تلى دى .دپورتني تعريف په نظر کې نيولو سره له الندې اړيکو څخه کوم يو يې يو تمثيلي يا قياسي استدالل دی. -دويم زده کوونکي د لوست په وخت کې تفريﺢ کوي.
393
دويم زده کوونکي هم شوخي ک7ي ده. ناروغه دى ،نه غواړي چې په ټولگى کې واوسي.له تعريف او د زده کوونکو له فعاليت څخه الندې نتيجه په الس راځي: نتﻴجه :قياس يا تمثيل په حقيقت کې د مختلفو مفﻬومونو په منځ کې د ورته والي پيداکول دي .له دې سببه تمثيلونه کېدای شي ،د ډېرو مفﻬومونو يا درياضي د قضيو د درک کولو لپاره شﻬودي زمينه پيداک7ي .تمثيلي استدالل د ثبوت په حيث نه شمارل کې8ي ،بلکې د ثبوت لپاره زمينه برابروي. لوم7ى مثال :په عامه ژ به(مارخوړلى له برگ پ7ي څخه ډارې8ي) دا يو قياسي استدالل دی ،ځکه چې برگ پ7ى له مار سره پر تله شوى دى او د هغوى په منځ کې ورته والى ليدل شوى دى. دوﻳم مثال :له تمثيلي استدالل څخه په ګټه ،ددې حقيقت درکول چې د دوو منفي عددونو حاصل ضرب مثبت عدد او د يو منفي او يو مثبت عدد حاصل ضرب منفي عدد دی ،داسﯽ په الس راوړو: ال ددې حقيقت د درک کولو لپاره چې که چېرې د يوه زده کوونکي لياقت د ( )+په عالمه او نا مث ً اليق والى د ( )-په عالمې سره په پام کې ونيسو او ددې دواړو عملونو د حاصل د(دى) لپاره ( )+او (نه دى) لپاره ( )-په پام کې ونيسو ،له تمثيل او يا قياس څخه ﮔټه اخلو او که دوى سره ترکيب ک7و په نتيجه کې لروچې: اليق
دی = مثبت
،
اليق
(+ = )+( )+ نااليق دی = منفي
، ،
()+ نااليق
(- = )- نه دی = مثبت
-
،
()-
+
()-
(= )+
نه دی = منفي
(= )-
پو*تن3 - 1دا بيان چې( بختور کال د هغه کال له پسرلي نه معلومي8ي )،په الندې کوم استدالل باندې داللت کوي. -aشﻬودي درک استدالل. -cهيڅ ډول استدالل په کې نشته دى. -bقياسي استدالل. -2د قياسي استدالل په مرسته په کوم مثلث کې د فيثاغورث د قضې په اساس الندې نتيجه ثبوت کېدالی شي: =1
+ cos 2
sin 2
394
استقراﻳ 3استدﻻل: يو زده کوونکى په لوم7نى صنفي ازموينه کې 100نمرې اخلي او په دويم او دريم صنفي ازموينو کې هم 100نمرې اخلي. په اخرن 9ازموينه کې څه نتيجه اخيستالى شئ چې دا زده کوونکى به څونمرې واخلي؟
ﻓعاﻟﻴت د مسلسلو طاقو طبيعي عددونو د جمعې حاصل په پام کې نيسو ،ددې کار لپاره له يو 1له عدد څخه پيل وک7ئ او تش ځايونه ډک ک7ئ. 2 =1+3 ) (= =1+3+5 = ( )2 2 )
)2
(=
(=
=1+3+5+7 =1+3+5+7+9
پورتنيو پوښتنو ته په پاملرنې سره ليدل کې8ي چې د طاقو طبيعي عددونو د جمعې حاصل د طبيعي عددونو د شمېر له پوره مربع سره مساوي دى. آيا کوالى شو نتيجه واخلو چې هر وخت د طاقو مسلسلو عددونو د جمعې حاصل ددې عددونود شمېر له مربع سره مساوي دى؟ کوښ) وک7ئ له nطاقو مسلسلو عددونو د جمعې د حاصل لپاره فورمول په الس راوړئ.دپورتني فعاليت د سرته رسولو په اساس الندې نتيجه په الس راځي. نتﻴجه :استقرايي استدالل د يو شمېر مشاهد و پر بنسټ د عمومي نتيجې اخيستنې طريقه ده .په حقيقت کې يوې کوچنى نمونې ته په لويه نمونه عموميت ورکول دي. لوم7ى مثال ( :موټ 9د خروار نمونه ده) داخبره استقرايي استدالل ته اشاره کوي ،ځکه په دې مثال
395
کې له يوې کوچن 9نمونې څخه د کل نتيجه اخيستل کې8ي ،په حقيقت کې له مسﺌلې څخه د يوشمېر مشاهد و پر بنسټ نتيجه اخيستل شوي ده ،نو له استقرايي استدالل څخه کار اخېستل شوى دى. دوﻳم مثال :يو زده کوونکى په اتفاقي ډول په څومرحلو کې درې مسلسل عددونه سره ضرب ک7ل او ويې ليدل چې د ضرب حاصل د 6عدد مضرب دى .له دې کار څخه نتيجه اخلي چې ( د هر دروو مسلسلو عددونو د ضرب حاصل د 6عدد مﻀرب دى) نوموړې زده کوونکي کوم استدالل ک7ي دي. د :هېڅ يو ج :استقرايي استدالل ب :قياسي (ﮔماني) الف :شﻬودي استدالل حل :استﻘراﻳﻲ استدﻻل
پو*تن3 -1هغه طريقه چې د يوه محدوده شمېر ډيټا پر اساس ترينه عمومي نتيجه اخيستل کې8ي ،څرنگه يو استدالل دى. ب :استقرايي استدالل الف :قياسي يا تمثيلي استدالل ج :د شﻬودي درک استدالل - 2د عددونو ترتيب ته په پاملرنې سره الندې تش ځايونه ډک ک7ئ: =1×8+1 =12×8+2 =123×8+3 =1234×8+4 -3 )aد دويمې پوښتنې حل ته په پام سره کېدای شي چې د عددونو پورتني ترتيب ته تر بې نﻬايت پورې دوام ورک7ي؟ )bد محاسبه کولو پرته او د پورتنيو پوښتنو په پاملرنې سره اټکل ک7ئ چې کوم عددونه د الندې پوښتنو په تش ځايونو کې را تالی شي: =12345×8+5 =123456×8+6
396
درﻳاضﻲ د استقرا استدﻻل د دوو مﻴنو لوبه : أيا تاسوکله د دوو مينو لو به تر سره ک7ې ده؟
پوهې8ئ چې د دوو مينو په لوبه کې د لوم7ى خښتې لويدل ،د دويمې خښتې پرمﺦ چې يوه دبلې څنﮓ ته پرته وي ،په ترتيب سره لوم7ن 9پر دويمه ،دويمه پر دريمه ...تر پا يه پورې پر مځکه ولوې8ي، داد خښتو يو پر بله لوېدل چې د پورته شکل په شان په مساوي فاصلو يو دبل څنﮓ ته پريوزې ،د عالقه مندانو لپاره يو په زړه پورې تصوير ښکاره کوي. ليدل کې8ي چې د kام خښتې لويدل د k + 1ام د خښتې دلوېدلو سبب ﮔرځي ،اوس نو که د خښتو لوېدل له يوې ټاکلي شمېرې څخه پيل شي ،له هغې څخه وروسته خښتې يو پر له پسې راولي8ي او ټولې خښتې د ځمکې مﺦ نيسي.
ﻓعاﻟﻴت پوهې8ئ چې 100=1+8+27+64دى ،که دا عددونه د مکعبونو د مجموعې په شکل په الندې ډول وليکو: 13 + 23 + 33 + 43 = 10 2
آيا هر وخت د مسلسلو طبيعي عددونو د مکعبونو مجموعه د عددونو د مجموعې له مربع سرهمساوي ده؟ آيا کوالى شئ د پورتن 9پوښتنې د حل لپاره يوه عمومي طريقه وواياست ،د پورتن 9پوښتنې دځواب لپاره الندې جدول ډک ک7ئ.
397
د عددونو د مجموعې مربع
د مﻌکبﻮنﻮ مﺠمﻮعﻪ
د متوالي طبيعي عددونو معکبونه
13
1
13 + 2 3
2
13 + 2 3 + 33
3
13 + 2 3 + 33 + 4 3
4
12 36
10 2 2
)n (n + 1 2
د
ا
دد ن ش
13 + 2 3 + 33 + ... + n 3
n
د n = 3 ، n = 2 ، n = 1او n = 4د طبيعي مسلسلو عددونو د مکعبونو د مجموعې2
لپاره د
)n (n + 1 2
فورمول سموالﯽ وازمايئ.
اوس که د nمسلسلو طبيعي عددونو لپاره پورتنى فورمول قبول ک7و يعنې که:2
)n (n + 1 2
= 13 + 23 + 33 + ... + n 3
وي ،نو د n + 1د مسلسلو طبيعي عددونو لپاره يې ثبوت ک7ئ يا داچې وښياست: 2
)(n + 1)(n + 2 2
= 13 + 23 + 33 + ... + n 3 + (n + 1) 3
د پورتني فعاليت له سرته رسولو څخه الندې نتيجه الس ته راځي. ﻧﺘﻴﺠﻪ :که چېرې ) P(nد nطبيعي عددونو په برخه کې يو حکم راک7ل شوى وي ،که د n = 1 لپاره ) P(1صحيﺢ وي ،په دويم پ 7او کې که د ) P(kله سموالي څخه ) P(k + 1په الس راشي، نو دا ادعا د ) P(nد هر nطبيعﯽ عدد لپاره هم سمه ده. لوم7ى مثال :وښياست چې P(n ) = 4 2 n 1د هر طبيعي عدد لپاره پر 5د وېش وړ دى. حل :د n = 1لپاره سمه ده ځکه چې: P(1) = 4 2 1 1 = 4 2 1 = 16 1 = 15 ليدل کې8ي چې P(1) = 15پر 5د وېش وړ دى.
,
n =1
قبلوو چې د kطبيعي عدد لپاره پورتنى ادعا سمه ده يعنې P(k ) = 4 2 k 1 :پر 5د وېش وړ
398
دى. څرنگه چې پر 5د وېش وړ دى ،نو کوالى شو په الندې ډول يې وليکو )*(P(k ) = 4 2 k 1 = 5r .......................
غواړو وښايو چې د n = k + 1لپاره دا ادعا سمه ده ،نو لروچې: )**(P(k + 1) = 4 2 ( k +1) 1............ د (*) د رابطې دواړه خواوې په 42کې ضربوو.
n = k +1
,
4 2 (4 2 k 1) = 5r 4 2 ) 4 2 ( k +1) 1 = 15 + 16 (5r
4 2 = 5r 16
42k +2
) 4 2 ( k +1) 1 = 5(3 + 16r
د پورتني مساوات له ښي خوا ) 5 (3 + 16rڅخه ښکاري چې د مساوات کيڼه خوا پر 5د وېش وړ ده. نو اخرني مساوات ښکاره کوي چې P(k + 1) = 4 2( k +1) 1ﻫم پر 5دوېش وړ دى ،څرنگه چې د ) P(kله سموالي څخه د ) P(k + 1سموالي نتيجه شوه ،نو د رياضي د استقرا د اصل
په اساس پورتنى ادعا ) P(nد هر طبيعي عدد ( )nلپاره سمه ده. ﻳادوﻧﻪ :د رياضي د استقرا په مرسته د رياضي د حکمونو د ثبوتولو لپاره لوم7ى ) P(1په الس راوړو ،بيا ) P(kد استقرا د حکم په حيث په پام کې نيسو او په همدې ترتيب له فرضيې څخه حکم ثبوتوو. دوﻳﻢ ﻣﺜال :د رياضي د استقرأ په مرسته ثبوت ک7ئ چې الندې رابطه د هرطبيعي عدد nلپاره سمه ده: )n (n + 1)(n + 2 3
= )1× 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + ... + n (n + 1
ﺣﻞ :په پورتنى رابطه کې د n = 1لپاره لرو چې: 1(1 + 1)(1 + 2) 1× 2 × 3 = =2 3 3
= P(1) = 1× 2
,
n =1
2=2 نود n = 1لپاره پورتنى رابطه سمه ده ،که د n = kلپاره يې سمه قبوله ک7و ،نو د n = k + 1
لپاره يې داسې ثبوتوو ،لروچې:
399
)k (k + 1)(k + 2 3
= )n = k , P(k ) = 1× 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + ... + k × (k + 1
داﺳﺘﻘﺮا ﻓﺮﺿﻴﻪ: د ) P(kپه فرضولو سره ) P(nرابطه د n = k + 1په نظر کې نيولو سره د رابطې سموالﯽ ښکاره ک7و ،نو لروچې: )n = k + 1, P(k + 1) = 1× 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + ... + (k + 1)(k + 2 )(k + 1)(k + 2)(k + 3 = 3
د اﺳﺘﻘﺮا ﺣﻜﻢ: د استقرا د فرضيې په نظر کې نيولو سره لروچې: )P(k + 1) = [1× 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + ... + k (k + 1)]+ (k + 1)(k + 2 )k (k + 1)(k + 2 )k (k + 1)(k + 2) + 3(k + 1)(k + 2 = = )+ (k + 1)(k + 2 3 3 )(k + 1)(k + 2)(k + 3 = 3 )(k + 1)(k + 2)(k + 3 = )1× 2 + 2 × 3 + ... + (k + 1)(k + 2 3 دا رابطه د n = k + 1لپاره سمه ده ،نو په دې ډول د ) P (nرابطه د هر طبيعي عدد )(n
لپاره سمه ده. پو*تن3 - 1د رياضي د استقرا په مرسته وښياست چې د هر طبيعي عدد nلپاره لروچې: - 2د رياضي د استقرا په مرسته وښياست چې :
)n (n + 1)( 2n + 1 6
)(i
2 + 6 + 10 + ... + (4n 2) = 2n 2
)(ii
1 + 3 + 5 + ... + (2n 1) = n
2
= 12 + 22 + ... + n 2
400
اﺳﺘﻨﺘاﺟﻰ(ﻧﺘﻴﺠﻮي) اﺳﺘﺪﻻل: آيا کوالى شو د شپې په تياره کې له ر1ا څخه پرته شيان ووينو؟
ﻓعاﻟﻴت درې مختلف داسې سټونه وليکئ چې د هر سټ عناصر درې اختياري مسلسل طبيعي عددونه وي. د هرسټ د عناصرو د ضرب حاصل جال ،جال په الس راوړئ. آيا ويالى شو چې دا د ضرب حاصلونه:( :)Iپر 2د وېش وړ دي؟ ولې؟ ( :)IIپر 3د وېش وړ دي؟ ولې؟ آيا ويالى شو چې د دريو مسلسلو طبيعي عددونو د ضرب حاصل هروخت پر 6د وېش وړ دي؟ولې؟ د دريو مسلسلو طبيعي عددونو د ضرب حاصل موولى پر 6د وېش وړ قبول ک7و ،د پورتني فعاليتله سرته رسولو څخه الندې نتيجه الس ته راځي. نتﻴجه :داسې طريقې ته چې د حقايقو سموالى يې په لوم7ى پ7او کې ومنو او عمومي نتيجه ترې الس ته راوړو ،استنتاجي استدالل يا د نتيجې اخيستنې طريقه ورته وايي يا په بل عبارت استنتاجي استدالل هغه طريقه ده چې سموالى مو ثبوت ک7ی يا منلﯽ وي. څه وخت چې له استنتاجي استدالل څخه استفاده کوو ،ډاډمن يو چې نتيجه يې هر وخت سمه ده.
401
لوم7ى مثال :د الندې جدول پ7اونو ته په دقت سره وګورئ موږ څرنگه له عددونو سره چې د هر پ7اوحقيقت او سموالﯽ منو ،بل پ7اوته ځو او نتيجه په الس راوړو. د يادونې وړ ده چې په جدول کې په اختياري ډول عدد ټاﻛل شوی دی ،تاسوکوالى شئ چې ددې عدد پرځاى بل هر عدد چې موغوښتﯽ وي ،وټاکئ ،وﮔورئ چې د هر عدد لپاره نتيجه يوشان ده. يو عدد په خپله خوښه وټاکئ.
4
7
12
له لوم7ي عدد سره 5جمع ک7ئ.
9
12
17
اوس يې دوه برابره ک7ئ.
18
24
34
له حاصل څخه د 4عدد کم ک7ئ.
14
20
30
پر 2يې ووېشئ.
7
10
15
هغه عدد چې لوم7ى موټاکلى و ،له عدد څخه کم ک7ئ.
3
3
3
اساسي خبره داده چې موږ په حقيقت کې د هغه عبارت پر بنسټ چې سموالى يې موږ قبول ک7ى دى ،بله نتيجه الس ته راوړو ،دا مسله موږ ډاډ من کوي چې دهر اختياري عدد په ټاکلو سره نتيجه هر وخت يوشان له 3سره مساوي ده.
پو*تن3 - 1ښکاره ک7ئ چې د دوو طاقو عددونو د جمعې حاصل هر وخت يو جفت عدد دى. - 2ثبوت ک7ئ چې هر صحيﺢ طاق عدد د 2k + 1پﻪ شکل دى. - 3د سرو زرو په 9سکوکې يوه تقلبي ده چې له نورو سکو څخه يې وزن کم دى. څرنگه کوالى شو چې د نورو وزنونو څخه د استفادې کولو پرته د پله يي ترازو په واسطه له دوه واره تللو سره تقلبي سکه پالس راوړو؟
402
د مثال د نفﻲ کولو استدﻻل: يوموټى د خروار نمونه ده. که د يوجنس يوه کوچنى نمونه بې کيفيته وي. يا کوالى شو ادعا وک7و چې ددې جنس لويه کتله ښه کيفيت لري؟
ﻓعاﻟﻴت کوالى شو ،ډېر طبيعي عددونه د مسلسلو عددونو د جمعې د حاصل په ډول وليکو ،لکه: 9 = 2+3+ 4
پورتني مثال ته په پاملرنې سره الندې تش ځايو نه ډک ک7ئ؟+4+5
+2
=15
+7
+5+
=
+14
+
= 12 +
74=17+ +19+ آيا کوالى شو چې هر طبيعي عدد د مسلسلو عددونو د جمعې د حاصل په شکل وليکو؟ که چېرې ځواب مو (نه) وي ،نومثال يې ووياست.د پورتني فعاليت له سرته رسولوڅخه الندې نتيجه الس ته راځي. نتﻴجه :کله چې له مثال سره وښايو چې عمومي نتيجه سمه نه ده او د ادعا ناسموالى ښکاره ک7و دې ته د مثال د نفي کولو استدالل وايي. مثال :د مسلﺌې د ثبوت لپاره همدو مره کافي ده چې وښايو چې د xاو yدوه غير ناطق عددونه
403
ليکن ددوى د جمعې حاصل x+yيو ناطق عدد دى. ددې لپاره که د x = 1 + 2او 2
y = 1وټاکو ،لروچې: 2) = 1+1 = 2
x + y = (1 + 2 ) + (1
ليدل کې8ي چې ددې دواړو عددونو د جمعې حاصل د 2عدد دى چې يوناطق عدد دى ،په داسې حال کې چې xاو yغير ناطق (ﮔنﮓ) عددونه دي ،نو دا ادعا نه شو کوالى چې د دووغير ناطقو عددونو د جمعې حاصل هر وخت يو غير ناطق عدد دى.
پو*تن3 -1د مثال د نفي کولو په استدالل سره وښياست چې( د هر مثبت حقيقي عدد مربع دعدد له مکعب څخه کوچن 9ده) -2دالندې کوم يو بيان لپاره د نفي مثال و جود نه لري؟ )aد دوو ناطقو عددونو مجموعه يو ناطق عدد دى. )bد هر مثبت عدد مربع له عدد څخه لويه ده. )cدوې زاويې چې متناﻇرې ضلعي يې سره موازي وي ،دا دوې زاويې سره مساوي هم دي. )dد دوو طاقو عددونو مجموعه يو جفت عدد دى. )eد دوو غير ناطقو عددونو د ِضرب حاصل ،غير ناطق عدد نه دى.
404
د ﺧﻠﻒ ﺑﺮﻫان ﻳا ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺛﺒﻮت: که د يوه عدد مربع جفت وي آيا خپله عدد جفت دى که طاق؟ آيا کوالى شو چې دا ادعا وک7و ،که د هر عدد مربع جفته وي ،خپله عدد جفت دى؟ که وښايو چې خپله عدد طاق نه دى ،څه نتيجه اخلئ ؟
ﻓعاﻟﻴت د ABCمثلث د الندې شکل په شان په پام کې ونيسئ:
د Aد زاويې ناصف رسم ک7ئ. که BD CDوي ،نو د ABاو ACضلعې سره څه اړيکه لري؟ که فرض ک7و چې که BD CDو ي ،خو AB ACدى ،دا مسﺌله موږ کومې نتيجې تهرسوي؟ نتﻴجه :که د خپلې ادعا د عکس په فرضولو او ياد قبلولو په نتيجه کې د فرض شوي ادعا خالف ته ورسې8و ،نو په دې حالت کې زموږ فرض شوى ادعا سمه ده ،دا ډول استدالل د غير مستقيم ثبوت (برهان خلف) په نامه يادې8ي.
405
ﻳادونه :په ياد ولرئ څه وخت چې له غير مستقيم ثبوت څخه ﮔټه اخلو ،الندې پ7اوونه په پام کې نيسو: لوم7ى پ7او :فرضوو چې مطلوبه ادعا سمه نه ده. دويم پ7او :ښکاره کوو چې دا فرض د اسې نتيجه په الس راکوي چې پيﮋندل شوي حقيقتونه نفي کوي. دريم پ7او :اوس چې نتيجه نفي شوي ده ،نومعلومه خبره ده چې د لوم7ى پ7او فرض سم نه دى ،نو مطلوب سم دى. مثال :وښياست که n2يو جفت طبعي عدد وي ،نو nهم جفت دى؟ ددې مسلﺌې د ثبوت لپاره فرضوو ،سره ددې چې n2جفت دی ،خو nيو طاق عدد دى ،نو کوالى شو چې nد n = 2k + 1په شکل وليکو ،په داسې حال کې چې kيو تام عدد دى ،نو ددې n 2 = (2k + 1) 2 = 4k 2 + 4k + 1 = 4(k 2 + k ) + 1 عدد مربع مساوي ده په: n 2 = 4(k 2 + k ) + 1
پورتني مساوات ښکاره کوي چې n2يو طاق عدد دى چې دا د فرض خالف ده ،نو په نتيجه کې دا فرض چې nيو طاق عدد دى ،ناسمه ده او دې نتيجې ته رسې8و چې nهم يو جفت عدد دى ،ځکه دا فرض چې nطاق عدد دى ،موږ دې نتېجې ته ورسولو چې n2هم طاق عدد دی
پو*تنه وښياست چې 3يو غير ناطق عدد دى.
406
د رﻳاﺿﻰ ﻣﻨﻄﻖ او دﺑﻴان اﺳﺘﻨﺘاج له څنﮓ ملگرى څخه د يو خبر اوريدل به څه نتيجه ولري؟ آيا خبر سم دى که ناسم؟
ﺗﻌﺮﻳﻒ يوې خبري جملې ته بيان وايي چې نتيجه يې په سموالي يا ناسم والي پاى ته ورسې8ي.
ﻓعاﻟﻴت الندې جملې په پام کې ونيسئ او وښياست چې له هغو څخه کومه يوه يې بيان او کومه يوه يې بيان نه دى او منطقي نتيجه يې څه ده؟ نن ورځ باران نه اوري. )i )iiآيا نن ورځ باران نه اوري؟ )iiiبارانه اووره.. )ivڅه زيات باران اوري! له پورتني فعاليت څخه الندې نتيجه الس ته راځي. نتﻴجه: - 1هره جمله نه شى کېدای چې بيان وي .يوه جمله کيدای شي يوه حکمي ،تعجبي پوښتنه او يا يو خبر وي. - 2هره خبري جمله سمه يا ناسمه ده. ﻳادونه :که يو بيان ته Pووايو ،د سم بيان د ليکلو طريقه P Tاو د ناسم بيان د ليکلو طريقه
407
P Fدی ،سر بيره پر دې ~Pد Pد بيان نفي ښيي. هغه جدول ته چې د يو بيان ارزيابي په کې صورت نيسي ،د صحت د جدول په نامه يادې8ي ،نو د Pد هربيان لپاره لروچې: P ~P T F F T
مثال :د (مسکا د لسم ټولگي زده کوونکې ده = )Pبيان لپاره د صحت جدول ترتيب ک7ئ. حل :د پورتني بيان د ارزياب 9لپاره پوهې8و چې نو موړى بيان سم او يا ناسم دى. که بيان سم وي ،نو کوالى شو چې وليکو P Tاو ~ P Fدى. نو د Pد بيان د نفي حالت عبارت دى له » Pسم نه دى« يعنې ~ P F :دى .دا بيان د دې په معنا دى چې مسکا د لسم ټولگي زده کوونکي نه ده ،يعنې Pناسم دى. که P Fوي ،نو په دې حالت کې ~ P = Tدى .د پورتني ځواب صحت په الندې جدول کې ﮔورو: P ~P T F F T
د بﻴانونو ترکﻴﺐ که د pاو qدوه بيانونه را ک7شوي وي ،په دې حالت کې: - 1د p qترکيب د pاو qد بيانونو د عطفي ترکيب يا ( منطقي " او" ) په نامه يادې8ي ،د " " عالمه د (او) په معنا په کار وړل شوي ده. - 2د p qترکيب د pاو qد بيانونو د فصلي ترکيب (منطقي " يا ") په نامه يادې8ي ،د ' ' ' ' عالمه د (يا) په معنا په کار وړل شوي ده. عالمه - 3د p qد مشروط ترکيب او يا د (که pنو qويل کې8ي) په نامه يادې8ي ،د ښکاره کوي چې pد شرطي ترکيب اساس چې qترې نتيجه کې8ي. - 4د p qد دوو خواوو د شرطي ترکيب په نامه او يا د (که او يوازی که) په نامه يادې8ي. ) عالمه ښکاره کوي چې که pد شرطي ترکيب اساس وي qترې نتيجه کې8ي او که q د( دشرطي ترکيب اساس وي p ،ترې نتيجه کې8ي .په دې ډول د pد بيانونو او (که اويوازې که) ترکيب الندې د صحت په جدول کې ﮔورو:
408
p q p q pvq p q p q T T T T T T F F
F T
T T
F F
F T
T F
T
T
F
F
F
F
لوم7ی مثال :که چېرې ) P (2 + 4 = 6او (دمنفي عدد مربع) qبيانونه راک7ل شوي وي د ~ (p q) ، p q ، p q ، ~ q ، ~ P ،p ،qاو ) ~ ( p qد بيانونو نتيجې پالس راوړی. حل :پورتنيو بيانونو ته په توجه سره ددې بيانونو ارزښت عبارت دى له: )p q ~ ( p q) ~ ( p q F
T
T
p q F
~ p ~q F
T
دوﻳﻢ ﻣﺜال :د سموالي (صحت) دجدول په تر تيبولو سره ښکاره ک7ئ چې د ) q
q
p
F
T
P (p
بيان هر وخت سم دى. ﺣﻞ: )q
د سموالي دجدول په اخيرني ستون کې وينو چې د ) q
409
q
p
p (p
p
q
T T
T F
T F
T T
T
T
T
F
T
T
F
F
p ( pبيان هر وخت سم دى.
پو*تن3 - 1د صحت د جدول په تر تيبولو سره وښياست چې د ) q ) ~ (~ p q
( pبيان هر
وخت سم دى -متوجه اوسئ چې pاو ~ pيوله بله مستقل نه دی. - 2د صحت د جدول په جوړولو سره وښياست چې د ) (p qاو د ) ~ ( p qد بيانونو ارزښت سره مساوي دى يعنې: )q ~ ( p q
p
د فﺼل لن6ﻳز د رﻳاضﻲ استدﻻل:
هغه طريقه چې د هغې په واسطه د رياضي د يوبيان سموالﯽ په الس راځي ،د رياضي د استدالل په نامه يادې8ي. شﻬودى درک:
هغه طبيعي يا حسي پوهه چې د هغې په مرسته ديوې موضوع سموالى يا حقيقت او يا يو مفﻬوم پرته له استدالله قبلوو ،له شﻬودي درک څخه عبارت ده چې د وخت په مختلفو مرحلوکې يوله بله سره توپير لري. تمثﻴلﻲ ﻳا قﻴاسﻲ استدﻻل:
د دوو پيښو تر منځ د ورته والى پيداکول او د هغوى په باره کې يوشان نتيجې اخيستلو ته تمثيلي يا قياسي استدالل وايي. استقراﻳﻰ استدﻻل:
هغه طريقه چې د يو شمېر مشاهد و پر اساس ور څخه عمومي نتيجه اخيستل کې8ي يعنې د جز نه کل په الس راځي د استقرايي استدالل په نامه يادې8ي. د رﻳاضﻲ د استقرا استدﻻل:
که چېرې ( P)nد nد طبيعي عددونو په برخه کې يو حکم راک7ل شوی وي ،که د n=1لپاره ( P)1سم وي او په دويم پ7اوکې د ) p(kله سموالي څخه د ) p(k + 1سموالﯽ په الس
راشي ،نو د ) p(nبيان د هر طبيعي عدد ) (nلپاره سم دی او درياضي د استقرا د استدالل په نامه يادې8ي.
410
نتﻴجوي استدﻻل:
له هغه حقيقتونو څخه په ﮔټه اخيستنه چې صحيﺢ والى يې په پيل کې منل شوى وي ،عمومي نتيجه الس ته راوړل شي ،د استنتاجي استدالل يا د نتيجې اخيستنې د طريقې په نامه يادې8ي. يا په بل عبارت هغه طريقه ده چې سم والى مو ثبوت يا قبول ک7ى وي. د نفﻰ مثال استدﻻل:
کله چې له مثال سره وښايو چې عمومي نتيجه سمه نه ده او د ادعا ناسموالى په عمومي ډول ښکاره ک7و ،دې ته د مثال د نفي کولو استدالل وايي. غﻴر مﺴقﻴم ثبوت:
که د خپلې ادعا يا قضيې د عکس په فرضولو يا قبلولو د فرض شوي ادعا خالف ته ورسې8و ،نو په دې حالت کې فرضيه ناسمه او خالف يې سم دى .دې ډول استدالل ته غيرمستقيم ثبوت (برهان خلف) وايي. بﻴان : يوې خبرې جملې ته چې نتيجه يې سمه يا ناسمه وي ،د بيان په نامه يادې8ي ،يوه جمله چې نتيجه يې سمه اويا ناسمه نه وي ،بيان نه دى. د ﺑﻴاﻧﻮﻧﻮ ﺗﺮﻛﻴﺐ: که د pاو qدوه بيانونه راک7ل شوي وي ،په دي حالت کې: -1د p qترکيب د pاو qدوه بيانونه د عطفي ترکيب يا (منطقي "او") په نامه يادې8ي.
چې د pاو qد بيان په شکل ويل کې8ي. -2د p qترکيب د pاو qد بيانونو د فصلي ترکيب (منطقى " يا ") په نامه يادې8ي ،د ) ( عالمه د (يا) په معنا په کار وړل شوي ده. ( -3که چېرې نو) او يا د " " منطقي عالمه د p qد pاو qمشروط بيان دى ،که pنو عالمه ښکاره کوی چې pد شرطي ترکيب اساس دى ،ددې لپاره چې qله qويل کې8ي ،د هغې نتيجه شي. -4که يوازې که يا دا " " منطقي عالمه د pاو qد بيانونو دوو خواوو شرطي ترکيب دى چې د ( pکه اويوازې که ) qدى.
411
د فﺼل پو*تن3 - 1له الندې ځوابونو څخه ستاسو په نظر کوم يو سم دى؟ الف -په مشاهداتو کې خطا د استقرايي طريقې له ستونزو څخه يوه ستونزه ده. ب -د رياضي د استدالل له قوي طريقو څخه يوه هم استقرايي طريقه ده. ج -د رياضي په استقرايي طريقې کې يوه ستونزه د مشاهداتو کموالى دى. د -د الف او ج ځوابونه سم دي. - 2له الندې ځوابونو څخه کوم يو يې سم نه دى؟ استقرايي استدالل الف -د رياضي له مسﺂلو څخه يوه قوي طريقه ده. ب -د مسﺂلو په برخه کې موږ ته د عمومي قوانينو الرښوونه کوي. ج -دمسﺂلو دحل لپاره له رياضي پرته يوه طريقه ده. د – دمسﺂلو د حلولو لپاره د رياضي طريقه نه ده. - 3د شﻬود په برخه کې له الندې ځوابونو څخه کوم يو يې سم (صحيﺢ) دى؟ الف -دداسې نتيجې د اخيستنې لپاره چې سل په سلو کې سمه ده. ب -له شﻬود څخه په ﮔټه اخيستنه پر ډاډ سره نه شووويالى چې نتيجه سل په سلو کې سمه ده. ج شﻬود د رياضي د ښه درک کولو لپاره دى. د :له شﻬود څخه په ﮔټه اخيستنه ،کوالى شو د ثبوت لپاره قطعي ﮔمان له حتمي استدالل سره وک7و. - 4له الندې ځوابونو څخه کوم يو يې سم نه دى؟ الف :استقرايې استدالل له جز څخه کل ته رسيدل دي. ب :استقرايې استدالل له کل څخه جز ته رسيدل دي. ج :له استقرايې استدالل څخه نه شو کوالى چې د رياضي د دقيق ثبوت لپاره ﮔټه واخلو. د :استقرايې استدالل ديو شمېر مشاهد و پر اساس يوه کلي نتيجه ده. - 5د استنتاجي استدالل پر اساس له الندې ځوابونو څخه کوم يو يې سم نه دی؟ الف :که واوره اوري ځمکه نمجنه کې8ي ،ځمکه نمجنه ده ،نو واوره وريدلي ده. ب :د يوه ښوونځي ټول فارغان له کمپيوتر سره بلد او په رياضي ښه پوهې8ي ،ضمير چې له همدې ښوونځي څخه فارغ شوی دى .نو له کمپيوټر سره ښه بلد او په رياضي ښه پوهې8ي. ج :که يوه څلور ضلعي مربع وي ،نو قطرونه يې يو پربل عمود دي ،که د څلور ضلعي قطرونه يو پر بل عمود وي ،نو دا څلور ضلعي مربع ده.
412
د :که د يوه مثلث دوې ضلعې سره مساوي وي ،متساوي الساقين مثلث دى او که د مثلث درې ضلعې سره مساوي وي ،متساوي االضالع مثلث دى ،نو هر متساوي االضالع مثلث ،متساوي الساقين مثلث دي. 2 2 - 6د قياسي استدالل په واسطه وښياست د هرې زاويې لپاره sin + cos = 1ده. 2 - 7د استقرايي استدالل په واسطه وښياست چې د nمسلسلو تاقو طبيعي عددونو مجموعه له n سره مساوي ده. - 8له استقرايي استدالل سره وښياست چې د هر طبيعي عدد nلپاره الندې مساوات سم دى. )n (n + 1 2
= 1 + 2 + 3 + ... + n
- 9د استنتاجي استدالل په اساس ثبوت ک7ئ چې د دوو جفتو عددونو د جمعې حاصل هر وخت جفت عدد دى؟ n - 10لﻪ يوه مثال سره وښياست چې د 2 + 3افاده د هر طبيعي عدد لپاره هر وخت لوم7نى عدد نه دى. - 11د غير مستقيم ثبوت د استدالل په واسطه وښياست که nيو طبيعي اختيارى عدد وى او هم n 2طاق وي ،نو nهم طاق دى. - 12د (باران اوري او وريځ نشته دى ،نو باران نه اوري) د ترکيبي بيانونو لپاره د صحت جدول جوړ ک7ئ ،په داسى حال کې که ( = باران اوري)) او ((وريځ ده = )) سره وښايو )1( .عدد د سم اود ( )0عدد د ناسم لپاره په کار يوسي.
413
1
1
0 1
1 0
0
0