Mathematics 10 [10]

Citation preview

‫د لسﻢ ！ﻮل‪／‬ﻲ‬

‫رﻳاضﻲ‬ ‫د دﻳﻨﻲ ﻣدارسﻮ لپاره‬

‫‪1398‬‬ ‫ﻫـ ‪ .‬ش‪.‬‬

‫الف‬

‫ﻣؤلف‪:‬‬ ‫پوهنﻴار عبﻴداﷲ صافﻰ د تعلﻴمﻲ نصاب د پراختﻴا او د درسﻲ کتابونو د رﻳاضﻴاتو متخصص‬

‫علﻤﻲ او ﻣسلکﻲ اﻳ‪６‬ﻳ＀‪:‬‬ ‫ حبيب اهلل راحل د تعليمي نصاب د پراختيا په رياست کې د پوهنې وزارت سالکار‪.‬‬‫‪ -‬پوهنيار عبيداهلل صافى د تعليمي نصاب د پراختيا د رياضياتو متخصص‬

‫د ژب‪ ３‬اﻳ‪６‬ﻳ＀‪:‬‬ ‫محمد قاسم هيله من د تعليمي نصاب د پراختيا د رياست علمي او مسلکي غ‪７‬ي‪.‬‬

‫دﻳﻨﻲ‪ ،‬سﻴاسﻲ او فرﻫﻨگﻲ کﻤ‪５‬تﻪ‪:‬‬ ‫ حبيب اهلل راحل د تعليمي نصاب د پراختيا په رياست کې د پوهنې ورزارت سالکار‪.‬‬‫‪ -‬محمد آصف کوچی د اسالمي زده ک‪７‬و د ډيپارتمنت متخصص‬

‫‌إشراف‬ ‫‪ -‬دکتور شير علي ظريفي د تعليمي نصاب د پراختيا د پروژې رئيس‪.‬‬

‫ب‬

‫ج‬

‫بسم اﷲ الرحمﻦ الرحﻴم‬

‫د‬

‫د پﻮﻫﻨ‪ ３‬د وزﻳر پﻴغام‬ ‫الحمد هلل رب العالمين والصلوة والس م علی رسوله محمد و علی آله و أصحابه أجمعين‪ ،‬أما بعد‪:‬‬ ‫تعليمې نصاب د ښوونې او روزنې د نظام بنسټ جوړوي او د هيواد د اوسنيو او راتلونکو نسلونو په علمي‪،‬‬ ‫فکري او سلوکي ودې او پراختيا کې بنسټيزه او ارزښتمنه ون‪６‬ه لري‪.‬‬ ‫تعليمي نصاب بايد د وخت په ت‪５‬رېدو او د ژوندانه په ب‪５‬الب‪５‬لو ډګرونو کې له بدلون او پرمختګ او د ټولنې له اړتياوو‬ ‫سره سم‪ ،‬د مضمون او محتوا او د معلوماتو د ورک‪７‬ې د الرو چارو له مخې‪ ،‬بدلون او پراختيا ومومي‪.‬‬ ‫د تعليمي نصاب په ډګر کې د اسالمي زده ک‪７‬و د نصاب بيا کتنې او پراختيا ته جدي اړتيا ليدل ک‪５‬ده؛ ځکه له‬ ‫يوې خوا بايد د ديني مدرسو فارغان د ټولنې د معنوي مخکښانو په توګه د معارف د هڅو د پوره پام وړ وګرځي‬ ‫او له بلې خوا د ديني مدرسو په نصاب کې د اسالم د سپ‪５‬څلي دين عقايد‪ ،‬احکام او الرښوونې راغلې دي‬ ‫چې د انساني ژوند د ټولو اړخونو بشپ‪ ７‬نظام او قانون او د ن‪７‬ۍ د خالق او پرودګار د وروستني پيغام په توګه د‬ ‫قيامت تر ورځې پورې‪ ،‬د بشريت د الرښوونې دنده سرته رسوي‪.‬‬ ‫د اسالمي امت عالمانو د تاريخ په اوږدو کې د اسالمي معارف او تعليماتو د سيستم په رامنځته کولو‪ ،‬پراختيا‬ ‫او ب‪６‬اينه‪ ،‬په ت‪５‬ره بيا د اسالمي ن‪７‬ۍ د علمي مرکزونو او مؤسسو د تعليمي نصاب په تدريجي وده کې‪ ،‬خپله‬ ‫دنده سرته رسولې ده‪.‬‬ ‫د اسالمي علومو تاريخ ته کره کتنه‪ ،‬دا څرګندوي چې د ديني مدرسو او علمي مرکزونو نصاب تل د اسالم د‬ ‫تلپاتې او ثابتو احکامو پر بنسټ‪ ،‬د ټولنې له اړتياوو سره سم‪ ،‬هر وخت او هر ځای پراختيا موندلې ده‪.‬‬ ‫زموږ گران هيواد افغانستان د علمي ځالنده تاريخ په درلودلو سره د علم او پوهې زانګو او د وخت لوی علمي‬ ‫مرکز وو چې د اسالمي ستر تمدن په جوړښت کې يې مهمه ون‪６‬ه درلوده‪ .‬د علم او ثقافت په مختلفو ډګرونو‪،‬‬ ‫په ځانگ‪７‬ې توگه د عقايدو‪ ،‬تفسير‪ ،‬حديث‪ ،‬فقهې او د فقهې د اصولو په څ‪５‬ر په شرعي علومو کې د زرګونو‬ ‫پوهانو او عالمانو موجوديت‪ ،‬زموږ ددې وينا پخلی کوي‪.‬‬ ‫په اوسني عصر کې د اسالمي ويښتابه له پراختيا سره سم زموږ په ه‪５‬واد کې اسالمي زده ک‪７‬و د کميت او‬ ‫کيفيت له مخې زيات بدلون موندلی او د ه‪５‬واد کوچنيان او ځوانان په ډېره مينه او ليوالتيا د اسالمي زده ک‪７‬و‬ ‫مرکزونو او مدرسو ته مخه کوي‪.‬‬ ‫د افغانستان د اسالمي جمهوريت د پوهنې وزارت د خپل مسؤوليت او دندې له مخې د ه‪５‬واد له اساسي‬ ‫قانون سره سم د اسالمي زده ک‪７‬و د کيفي او کمي پراختيا او په هغې کې د اسالمي زده ک‪７‬و د نصاب په اړه د‬ ‫پام وړ ګامونه پورته ک‪７‬ي دي‪.‬‬ ‫په دې ل‪ ７‬کې د پوهنې وزارت‪ ،‬د ه‪５‬واد د ډاډ وړ تجربه لرونکو عالمانو‪ ،‬استادانو او متخصصانوڅخه په بلنه د‬ ‫ديني مدرسو د تعليمي نصاب‪ ،‬د ال ښه کولو لپاره‪ ،‬مروج کتابونه‪ ،‬د متنونو د شرحې او توضيح او د فعاليتونو‪،‬‬ ‫ارزونو او تمرينونو په ورزياتولو د درسي کتابونو له نويو معيارونو سره سم چمتو ک‪７‬ل‪.‬‬ ‫هيله من يم‪ ،‬د پوهنې وزارت دا هڅې‪ ،‬په افغانستان کې د اسالمي زده ک‪７‬و د ال پراختيا او ب‪６‬اينې او د لوی‬ ‫خدای جل جالله د رضا د ترالسه کولو المل شي‪.‬‬ ‫وباهلل التوفيق‬ ‫دکتور محمد ميرويس بلخي‬ ‫د پوهنې وزير‬

‫ﻣقدﻣﻪ‬ ‫قدرﻣﻨﻮ استاداﻧﻮ او ‪－‬راﻧﻮ زده کﻮوﻧکﻮ‪،‬‬

‫رياضي چې د طبيعي علومو ژبه ده‪ ،‬د طبيعت قوانين د فورمولونو په شکل وړاندې کوي او په‬ ‫عددونو او مقدارونو پورې اړوند مسايل د حساب په ژبه بيانوي‪.‬‬ ‫وګ‪７‬ي په خپل ورځني ژوند کې دى علم ته اړتيا لري‪ ،‬د ساينسي علومو لپاره د ِکلِي حيثيت‬ ‫لري‪ ،‬د طبيعت زيات قوانين د رياضي د علم په ژبه بيان‪８５‬ي‪ ،‬د رياضي علم ته د شرعي مسايلو په‬ ‫حلولو کې هم اړتيا ده‪ ،‬د ميراث د ويش‪ ،‬د ځمکو د وېش په مهال د هغو د مساحت پ‪５‬ژندل‪ ،‬د‬ ‫شريکانو د ون‪６‬ې پ‪５‬ژندل او په داسې نورو ډېرو برخو کې له رياضي څخه کار اخيستل ک‪８５‬ي‪.‬‬ ‫نو د دې لپاره چې زمون‪ ８‬د ديني مدرسو فارغان اړينې وړتياوې ولري‪ ،‬د ژوند ورځني مسايل‬ ‫چې په رياضي پورې اړوند وي حل ک‪７‬اى شي‪ ،‬د ميراث‪ ،‬مشارکت‪ ،‬تنزيل‪ ،‬تخفيف‪ ،‬نسبت‪،‬‬ ‫تناسب‪ ،‬د مالونو د وېش په مسايلو او د ساينسي مضامينو په محتوا وپوه‪８５‬ي‪ ،‬د افغانستان د‬ ‫اسالمي جمهوريت د پوهنې وزارت د تعليمي نصاب د پراختيا عمومي رياست‪ ،‬د رياضي اړين‬ ‫مسايل د ديني مدرسو په نصاب کې ځای په ځای ک‪７‬ل‪.‬‬ ‫په دې توګه د دې برخې د زده کوونکو بنسټيزو اړتياوو ته په پام‪ ،‬راتلونکي تخصص او په تعليمي‬ ‫پالن کې د رياضي د مضمون لپاره ټاکل شوي وخت ته په پاملرنې د رياضي د علم هغه اړوند‬ ‫او ضروري مسايل د نصاب ليکنې د معاصر فن په نظر کې نيولو سره په آسانو او اغيزمنو طريقو‬ ‫تاليف ک‪７‬ل‪ ،‬تر څو د ديني مدرسو فارغان د ديني علومو تر څنګ ځينې اړين دنيوي علوم هم‬ ‫زده ک‪７‬ي‪ ،‬ظرفيتونه يې لوړ شي او په ټولنه کې د فعال ګټور او اغ‪５‬زمن رول لوبولو لپاره وړتياوې‬ ‫تر السه ک‪７‬ي‪.‬‬ ‫واهلل ولى التوفيق‬

‫ﻫـ‬

‫فﻬرست‬

‫ﻣخ‬

‫لومړی‌څپرکی‪‌:‬نسبتي‌عددونه‬ ‫د عددونو سيستم‪٣......................................................................‬‬ ‫د نسبتي عددونو د جمعې او تفريق عمليې‪٧ ...........................................‬‬ ‫د نسبتي عددونو د ضرب او وېش عمليې‪١١ ...........................................‬‬ ‫د ورځني ژوند د مسايلو په حلولو کې د کسرونو د استعمال ځايونه‪١٧..................‬‬ ‫قوسونه او د افادو ساده کول ‪٢٣.........................................................‬‬ ‫د نسبتي عددونو د طاقت قوانين‪٢٧ ....................................................‬‬ ‫د عدد د ليکلو علمي طريقه ‪٣٣ .......................................................‬‬ ‫د څپرکي مهم ټکي ‪٣٦................................................................‬‬ ‫د څپرکي پوښتنې‪٣٨ ...................................................................‬‬

‫و‬

‫فﻬرست‬

‫ﻣخ‬

‫دويم‌څپرکي‪‌:‬پولينوم‬ ‫الجبري افادې‪٤٣ .......................................................................‬‬ ‫د پولينوم ډولونه او درجه يې‪٤٧ ........................................................‬‬ ‫د يو پولينوم د قيمت پيدا کول‪٥٣ .......................................................‬‬ ‫د پولينومونو څلورګونې عمليې‪٥٦ .....................................................‬‬ ‫د پولينومونو د ضرب علميه‪٦١ .........................................................‬‬ ‫د پولينومونو د وېش علميه‪٦٥ .........................................................‬‬ ‫مطابقتونه‪ :‬د ( ‪ (a + b) 2‬او ‪ ) (a b) 2‬مطابقتونه ‪٦٧.................................‬‬ ‫د ‪ (a + b)(a b) = a 2 b 2‬مطابقت‪٧٣............................................‬‬ ‫تجزيه‪٧٧ ...............................................................................‬‬ ‫د هغه الجبري افادو تجزيه چې د ‪ a 2 b 2‬شکل ولري‪٨١ ..........................‬‬ ‫د څپرکي مهم ټکي ‪٨٣................................................................‬‬ ‫د څپرکي پوښتنې‪٨٦ ...................................................................‬‬

‫ز‬

‫لﻮم‪７‬ی ＇پرکی‬ ‫نسبتﻲ عددونﻪ‬ ‫(‪)Rational Numbers‬‬

x

=

‫د عددوﻧﻮ سﻴستم‬ ‫‪System of numbers‬‬

‫حقﻴقﻰ عددوﻧﻪ‬ ‫ﻧسبتﻰ عددوﻧﻪ‬

‫ايا د ‪ 0. 3‬عدد‪ ،‬نسبتي عدد دى؟‬

‫غﻴر ﻧسبتﻰ عددوﻧﻪ‬

‫تام عددوﻧﻪ عام کسروﻧﻪ‬ ‫ﻣکﻤل عددوﻧﻪ ﻣﻨفﻰ عددوﻧﻪ‬ ‫صفر طبﻴعﻰ عددوﻧﻪ‬

‫په پخوا زمانو کې د انسانانو ژوند ډ‪４‬ر ساده و‪ .‬شپنو به خپل پسونه د وړوکاڼو په واسطه شم‪５‬رل او کله‬ ‫چې به يې خپلې رمې د څ‪ ７‬ځايونو ته بيولې او ب‪５‬رته به يې راوستلې د وړو کاڼو په واسطه به يې ورک‬ ‫شوي پسونه معلومول‪.‬‬ ‫په پخوا زمانو کې انسانانو د ‪ 1،2،3،4...‬عددونو پر ځاى|‪ ...||||،|||،||،‬عالمې‬ ‫استمالولې‪ .‬پخوانيو مصريانو څه ناڅه ‪ 5000‬کاله له ميالد دمخه د شم‪５‬رلو لپاره د السونو د لسو‬ ‫ګوتو څخه کار اخيست‪ ،‬په دې معنا چې د (‪ )10‬په قاعده سيستم يې درلود د عالمه يې د (‪)10‬‬ ‫او د عالمه يې د (‪ )100‬لپاره په کار وړله‪ .‬هر څومره چې به اړتيا وه يوه عالمه به په تکراري ډول‬ ‫ليکل ک‪５‬ده‪ ،‬د مثال په ډول د (‪ )13‬عدد يې )||| ( په شکل او د (‪ )324‬عدد به يې || ‪ 999‬په‬ ‫شکل ليکه او دا عدد يې په الندې ډول ترتيبوه‪:‬‬

‫||‬

‫‪1+1+1+1+10+10+100+100+100‬‬ ‫د مختلفو ه‪５‬وادونو خلکو ځانته د عددونو ب‪５‬الب‪５‬ل سيستمونه ټاکلي وو‪ ،‬چې دا سيستمونه د پرمختللي‬ ‫ټولنې لپاره د قبول وړ نه وو‪ ،‬له همدې کبله دا سيستمونه رد شول او د عددونو د ليکلو يو واحد‬ ‫سيستم يې رامنځ ته ک‪７‬ه‪.‬‬ ‫‪- 1‬د طبﻴعﻲ عددونﻮ س＀‪ :‬چې د عددونو د شم‪５‬رلو د سټ (‪ )Count numbers‬په نامه‬ ‫هم ياد‪８４‬ي او داسې ښودل ک‪８５‬ي‪IN = {1,2,3,4,5...} :‬‬ ‫خو د ‪ x + 2 = 2‬معادله د طبيعي عددونو په سټ کې حل نه لري ‪ ، x = 2 2 = 0‬څرنګه چې‬ ‫په طبيعي عددنونو کې صفر نشته دی نو له دې امله بل سټ ته اړتيا پيدا شوه‪.‬‬ ‫‪ - 2‬د مکملﻮ عددونﻮ س＀(‪ :)Whole numbers‬چې له }‪ w = {0,1,2,3,4,5...‬څخه‬ ‫عبارت دى‪ ،‬خو په دې سټ کې هم د ‪ x + 3 = 0‬معادله حل نه لري‪ ،‬ځکه چې ‪ x=-3‬ک‪８５‬ي‪.‬‬

‫‪3‬‬

‫‪ - 3‬د تامﻮ عددونﻮ س＀ ﻳا }‪ Z = {... 2, 1,0,1,2...‬د ‪ 2x + 1 = 2‬معادله د تامو عددونو‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫په سټ کې حل نه لري‪ ،‬ځکه چې = ‪ x‬ک‪８５‬ي‪.‬چې‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫د= ‪x‬‬ ‫تامو عددونو په ست کې وجود نه لري‪.‬‬

‫‪ - 4‬د نسبتی (ناطقﻮ) عددونﻮ س＀‪ :‬پوه‪８５‬و چې نسبتي عدد هغه عدد دى چې د ‪( p‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪ q 0‬او ‪ p‬او ‪ q‬تام عددونه دي) په شکل وليکل شي‪ .‬د مثال په ډول ‪ 4,3,7, 16 ,‬او نور‬ ‫نسبتي عددونه دي‪ ،‬ځکه چې ‪4‬‬ ‫‪1‬‬

‫= ‪16 = 4‬‬

‫‪-a‬ﻫغﻪ اعشاري کسرونﻪ چ‪ ３‬اعشاري رقمﻮنﻪ ﻳ‪ ３‬ختم‪８５‬ي(‪ :)Terminating decimals‬يا‬ ‫د اعشاري رقمونو شم‪５‬ر يې معلوم وي لکه د ‪،100000.41237895 ،0.0000415 ،202.04‬‬ ‫د هغه کسرونو مثالونه دي چې اعشاري رقمونه يې پاى ته رس‪８５‬ي‪.‬‬ ‫‪- b‬متﻮالﻲ اعشاري کسرونﻪ (‪ :)Recurring Decimal Fractions‬هغه اعشاري‬ ‫کسرونه دي چې يو يا څو اعشاري رقمونه يې تکرار‪８４‬ي‪ ،‬د مثال په ډول‪:‬‬ ‫‪0.3 6 , 4.123 , 0.23, 2. 3‬‬

‫دا اعشاري کسرونه د عام کسر په شکل ليکل ک‪５‬داى شي‪ ،‬نو هر متوالي اعشاري کسر يو نسبتي عدد‬ ‫دى‪.‬‬ ‫لﻮم‪７‬ى مثال‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= 0. 2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪= 0.571428‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪= 0.81‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪= 0.583‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪36 18 9‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪100 50 25‬‬ ‫‪36 12 4‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫= ‪0.36‬‬ ‫‪99 33 11‬‬ ‫‪33 11‬‬ ‫=‬ ‫= ‪0. 3 6‬‬ ‫‪90 30‬‬ ‫‪123 41‬‬ ‫=‬ ‫= ‪0.123‬‬ ‫‪999 333‬‬ ‫‪25 1‬‬ ‫=‬ ‫= ‪0.25‬‬ ‫‪100 4‬‬ ‫‪3 1‬‬ ‫= = ‪0.333...‬‬ ‫‪9 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪0.142857142857...‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫= ‪0.36‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫النديني عددونه د اعشاري متوالي کسرونو په شکل وليکئ‪.‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪18‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪11‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪27‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪29‬‬ ‫‪33‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪24‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪22‬‬

‫‪- 5‬غﻴر نسبتﻲ ﻳا ُ‪－‬ﻨ‪ ，‬عددونﻪ (‪ :)Irrational numbers‬هغه عددونه دي چې د عام‬ ‫کسر په شکل ليکل ک‪５‬داى نشي يا په بل عبارت د ‪ p‬په شکل نه ليکل ک‪８５‬ي چې ( ‪ p‬او ‪ q‬اتام‬ ‫‪q‬‬ ‫عددونه او ‪0‬‬

‫‪5 7‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪ q‬دى) لکه ‪, 3 , 2‬‬ ‫‪16 5‬‬

‫او داسې نور‪.‬‬

‫هغه اعشاري کسرونه چې اعشاري رقمونه يې نه ختم‪８５‬ي او نه تکرار‪８４‬ي غيرنسبتي عددونه دي‪ ،‬لکه‪:‬‬ ‫‪0.01001000100001 ,...7.3205080,…1.709975947 ,…,3.141592654‬‬ ‫چې دا عدد د ‪ = 3.1415926535897...‬په نامه يادي‪８‬ي‪.‬‬

‫د دايرې محيط‬

‫=‬

‫د دايرې د قطر اوږوالى‬ ‫‪ - 6‬د حقﻴقﻲ عددونﻮ س＀‪ :‬هغه سټ دی چې د نسبتي عددونو (‪ )Q‬او غير نسبتي عددونو‬ ‫('‪ )Q‬له اتحاد څخه جوړ شوى وي‪Q U Q' = IR :‬‬ ‫‪ - 7‬د مختلطﻮ عددونﻮ س＀‪ :‬د ‪ x 2 + 1 = 0‬معادله د حقيقي عددونو په سټ کې حل نه‬

‫لري‪ ،‬خو د مختلطو عددونو په سټ کې حل لري‪ .‬يا منفي عددونه د حقيقي عددونو په سټ کې‬ ‫مربع جذر نه لري چې د جذر درجه يې جفته وي‪.‬‬ ‫عددونه د مختلطو عددونو په سټ کې دويم جذر لري‪.‬‬ ‫‪36 , 64 ,‬‬ ‫د مثال په توګه‪16 :‬‬ ‫(‪ )a+bi‬د د يو مختلط عدد عمومي شکل دی چې ‪ a‬او‪ b‬حقيقي عددونه او ‪ 1 = i‬دى‪.‬‬ ‫دوﻳم مثال‪ :‬په الندينيو عددونو کې‪ ،‬نسبتي‪ ،‬غير نسبتي او حقيقي عددونه وښيي‪.‬‬ ‫‪17‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪10‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪56.85‬‬

‫‪3‬‬

‫حل‬ ‫‪ 3‬غير نسبتي‪ ،‬حقيقي عدد دى‪.‬‬ ‫‪ 56.85‬هغه اعشاري کسر دى چې اعشاري رقمونه يې ختم‪８５‬ي‪ ،‬نو نسبتي عدد دى‪.‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 10‬غير نسبتي عدد دى‪.‬‬

‫مکمل عدد‪ ،‬تام عدد‪ ،‬نسبتي عدد‪ ،‬حقيقي عدد دى‪.‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫تعريف شوی نه دی‪ ،‬نو حقيقي عدد هم نه دى‪.‬‬

‫‪17‬‬

‫نسبتي عدد دى‪.‬‬ ‫حقيقي عدد نه دى‪.‬‬ ‫فعالﻴت‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫د ‪ 2‬او‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪ 2‬حقيقي عددونو ترمنځ څو نسبتي عددونه شته دى؟‬

‫تمرﻳن‬ ‫‪ - 1‬په الندينيو عددونو کې کوم عدد‪ ،‬نسبتي‪ ،‬غير نسبتي او يا حقيقي عدد نه دى؟‬ ‫‪72‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪25‬‬

‫‪16‬‬ ‫‪25‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪36‬‬

‫‪ - 2‬النديني نسبتي عددونه د اعشاري کسر په شکل وليکئ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪11‬‬

‫‪6‬‬

‫د نسبتﻲ عددونﻮ د جمع‪ ３‬او‬ ‫تفرﻳق عملﻴ‪３‬‬ ‫ايا ‪ 3 + 3 = 6 = 3‬عمليه په شکل کې‬ ‫‪4‬‬

‫‪8‬‬

‫‪8‬‬

‫تطبيقوالى شئ‪.‬‬

‫‪8‬‬

‫تاسو د نسبتي عددونو له څلورګونو عمليو سره په اووم ټولګي کې اشنا شوي ياست‪ ،‬د تکرار او د ښه‬ ‫وضاحت لپاره په لن‪ ６‬ډول ځ‪５‬نې مثالونه راوړو‪:‬‬ ‫لﻮم‪７‬ى مثال‪:‬‬ ‫‪3 4 3+ 4 7‬‬ ‫= ‪+‬‬ ‫‪= =1‬‬ ‫‪7 7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8 ( 2) 8 ( 2) 8 + 2 10‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪11 11‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪3 2‬‬ ‫?= ‪+‬‬ ‫‪4 5‬‬ ‫‪3 5 15‬‬ ‫‪2 4 8‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪,‬‬ ‫‪4 5 20‬‬ ‫‪5 4 20‬‬ ‫‪15 8 15 + 8 23‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪20 20‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪20‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫الندې نسبتي عددونه جمع او تفريق ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪7‬‬

‫‪d) 7‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪c) 3 + 7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪5 5‬‬ ‫‪6 9‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪5 1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪6 3‬‬

‫)‪a‬‬

‫دوﻳم مثال‪ :‬د ‪ 2 1‬د تفريق حاصل په شکل کې ګورئ‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫درﻳم مثال‬ ‫‪6 ( 25) 6 25‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪= 1‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪19 19 19‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1 84 36 + 7 91 36 55 11‬‬ ‫(‪+‬‬ ‫‪)+‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪35 60‬‬ ‫‪420‬‬ ‫‪420‬‬ ‫‪420 84‬‬ ‫‪3 5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪3 + ( 5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪= 1‬‬ ‫‪8 8 8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫＇لﻮرم مثال‪ :‬که چيرې ‪ t = 2‬وي‪ ،‬د ‪ + t‬قيمت پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬

‫حل‬

‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1 21‬‬ ‫‪1 + 21 20 5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪+2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪= =2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8 8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪11‬‬ ‫وي‪ ،‬بل عدد پيدا‬ ‫ده‪ ،‬که يو عدد‬ ‫پﻨ‪％‬م مثال‪ :‬د دوو نسبتي عددونو مجموعه‬ ‫‪7‬‬ ‫‪21‬‬

‫ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‬

‫‪11 2 17‬‬ ‫= ‪x= +‬‬ ‫‪21 7 21‬‬

‫شپ‪８‬م مثال‬

‫‪2 11‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪7 21‬‬

‫‪2 11‬‬ ‫= ) (‪x+‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪21‬‬

‫‪2 1 10 + 3 13‬‬ ‫= ‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪3 5‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 17‬‬ ‫‪7 34 35‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ) (‪3 +( 3 ) = +‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪1‬‬ ‫= ‪ n‬وي د ‪ n 11‬قيمت پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫اووم مثال‪ :‬که‬

‫حل‬

‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪8‬‬

‫‪1 11‬‬ ‫‪16 33‬‬ ‫‪49‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪= 1‬‬ ‫‪3 16‬‬ ‫‪48‬‬ ‫‪48‬‬ ‫‪48‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 12 28 36 + 140 176‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪2 +9 = +‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪= 11‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3 5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪15‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫‪1‬‬ ‫‪11‬‬ ‫? = ‪11‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪15‬‬

‫‪15‬‬

‫نﻮټ‪ :‬معادل کسرونه په شکل کې وګورئ‪:‬‬ ‫‪0.50 = 0.0500‬‬

‫‪0.75 = 0.750‬‬

‫‪1.25 = 1.250‬‬

‫‪0.50 = 0.500‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪0.25 = 0.250‬‬

‫‪0.25 = 0.250‬‬

‫‪9‬‬

‫‪1.25 = 1.250‬‬

‫‪0.75 = 0.750‬‬

‫پو＊تن‪３‬‬ ‫‪ - 1‬جمع او تفريق يې ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‬ ‫‪4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫)‬ ‫‪12‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‬ ‫‪10‬‬ ‫‪9‬‬ ‫)‬ ‫‪16‬‬ ‫‪11‬‬ ‫)‬ ‫‪16‬‬

‫‪3‬‬ ‫(‪+‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(‪+‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪7‬‬ ‫(‪+‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪15‬‬ ‫(‪+‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪13‬‬ ‫(‬ ‫‪24‬‬

‫‪8 3‬‬ ‫‪11 11‬‬

‫)‪b‬‬ ‫)‪d‬‬

‫‪0.9 + 2.5‬‬

‫)‪c‬‬

‫)‪f‬‬

‫‪1.7 + 3.6‬‬

‫)‪e‬‬

‫)‪h‬‬

‫‪4 + 1.3‬‬

‫)‪g‬‬

‫‪31 5‬‬ ‫‪45 9‬‬

‫)‪j‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪ - 2‬د ‪ 3‬له نسبتي عدد څخه کوم عدد تفريق شي چې د تفريق حاصل‬ ‫‪17‬‬ ‫‪11‬‬

‫‪ - 3‬ساده يې ک‪７‬ئ‪:‬‬

‫‪5 2‬‬ ‫‪ - 4‬د او‬ ‫‪6 3‬‬

‫‪2‬‬ ‫د جمعې حاصل د‬ ‫‪9‬‬

‫)‪i‬‬

‫شي؟‬

‫‪2 1 1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪21 9 12‬‬ ‫‪7‬‬ ‫او‬ ‫‪18‬‬

‫)‪a‬‬

‫‪1 8‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3 7‬‬

‫د جمعې له حاصل څخه تفريق ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪10‬‬

‫د نسبتﻲ عددونﻮ د ضرب او و‪４‬ش‬ ‫عملﻴ‪３‬‬ ‫ايا د ‪ 3‬او ‪ 2‬نسبتي عددونو د ضرب‬ ‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫حاصل په شکل کې تطبيقوالى شئ؟‬

‫‪2 6 2 12‬‬ ‫= ) (‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪=4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪52‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ) (‪4(2 ) = 4‬‬ ‫‪= 10‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬

‫لﻮم‪７‬ى مثال‪ :‬په الندې شکل کې د ‪ 3 2‬د ضرب د حاصل ساده شکل وګورئ‪.‬‬ ‫‪5 3‬‬

‫دوﻳم مثال‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ) ()‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5 10‬‬ ‫‪5 12‬‬ ‫‪60‬‬ ‫(‬ ‫=)‬ ‫‪= 1‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪2 7‬‬ ‫‪20 7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(6 )( ) = ( )( ) = = 2‬‬ ‫‪3 20‬‬ ‫‪3 20‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪( 2.5)( 8) = 20‬‬ ‫‪0.07(4.6) = 0.322‬‬ ‫(‬

‫‪2‬‬ ‫درﻳم مثال‪ :‬که‬ ‫‪3‬‬

‫‪11‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫= ‪ t‬وي‪ ،‬د ‪ 5 t‬قيمت پيدا ک‪７‬ئ‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪11 2‬‬ ‫‪22 11‬‬ ‫‪2‬‬ ‫( = ) () ‪( 5‬‬ ‫= ) ()‬ ‫‪= =3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫‪1‬‬ ‫که ‪ t = 8‬وي‪ ،‬د ‪5 t‬‬ ‫‪2‬‬

‫قيمت پيدا ک‪７‬ئ‬

‫＇لﻮرم مثال‪:‬‬

‫‪(100)(0.1) = 10‬‬ ‫‪(10)(0.1) = 1‬‬ ‫‪(100)(0.01) = 1‬‬

‫‪(1000)(0.001) = 1‬‬ ‫‪(0.1)(0.1)(0.1) = 0.001‬‬

‫‪(10000)(0.0001) = 1‬‬

‫‪(0.3) (0.03) = 0.009‬‬

‫د نسبتﻲ عددونﻮ د و‪４‬ش عملﻴﻪ‪ :‬د يوه نسبتي عدد د ضرب حاصل د هماغه عدد له ضربي‬ ‫معکوس سره د (‪ )1‬عدد دى‪.‬‬ ‫د ضرب حاصل‬

‫‪3 4‬‬ ‫‪( ) =1‬‬ ‫‪4 3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪12‬‬ ‫(‬ ‫()‬ ‫‪) =1‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6( ) = 1‬‬ ‫‪6‬‬

‫ضربﻲ ﻣعکﻮس‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬

‫عدد‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪12‬‬

‫پﻨ‪％‬م مثال‪:‬‬ ‫‪7 2 7 3 21 7‬‬ ‫= ÷‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪12 3 12 2 24 8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪13 4 13 1 13‬‬ ‫= ) ( = ÷ = ‪3 ÷4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4 1 4 4 16‬‬

‫فعالﻴت‬

‫? = ‪2.92 ÷ 0.4‬‬

‫شپ‪８‬م مثال‪:‬‬ ‫‪100 ÷ 0.1 = 1000 = 103‬‬ ‫‪1000 ÷ 0.01 = 100000 = 105‬‬ ‫‪10000 ÷ 0.001 = 10000000 = 107‬‬ ‫‪0 .1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪= 0.01 = 10 2‬‬ ‫‪10 100‬‬ ‫‪0.01‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪0.01 ÷ 10‬‬ ‫=‬ ‫‪= 0.001 = 10‬‬ ‫‪10 1000‬‬ ‫= ‪0.1 ÷ 10‬‬

‫‪3‬‬

‫اووم مثال‪ :‬که چيرې ‪ n = 0.24‬وي‪ ،‬د ‪ 7.2‬قيمت پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫که ‪ m = 7‬وي‪ ،‬د‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪7.2 720‬‬ ‫=‬ ‫‪= 30‬‬ ‫‪0.24 24‬‬

‫÷ ‪ m‬قيمت پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪1 3 15 8 120‬‬ ‫= ÷ ‪7‬‬ ‫=‬ ‫‪= 20‬‬ ‫‪2 8 2 3‬‬ ‫‪6‬‬

‫د نسبتﻲ عددونﻮ خاصﻴتﻮنﻪ‪:‬‬ ‫د نسبتﻲ عددونﻮ د جمع‪ ３‬د عملﻴ‪ ３‬خاصﻴتﻮنﻪ‪:‬‬ ‫‪3 5‬‬ ‫او‬ ‫‪ - 1‬د بست‪／‬ﻰ خاصﻴت‪:‬‬ ‫‪7 2‬‬

‫‪13‬‬

‫نسبتي عددونه دي‪:‬‬

‫‪5 3 35 + 6 41‬‬ ‫= ‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪2 7‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪14‬‬

‫‪41‬‬ ‫‪14‬‬

‫هم يو نسبتي عدد دى‪.‬‬

‫‪ - 2‬د تبدﻳل‪ ９‬خاصﻴت‪:‬‬

‫‪- 3‬اتحادي خاصﻴت‪:‬‬

‫‪- 4‬صفر د جمعې په عمليه کې د عينيت عنصر دی‪.‬‬

‫‪2 4 4 2‬‬ ‫‪+ = +‬‬ ‫‪3 5 5 3‬‬ ‫‪22 22‬‬ ‫=‬ ‫‪15 15‬‬ ‫‪2 3 1 2 3 1‬‬ ‫) ‪( + )+ = +( +‬‬ ‫‪3 4 2 3 4 2‬‬ ‫‪23 23‬‬ ‫=‬ ‫‪12 12‬‬

‫‪3 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪0+ = +0‬‬ ‫‪4 4‬‬ ‫‪4‬‬

‫د نسبتﻲ عددونﻮ د ضرب د عملﻴ‪ ３‬خاصﻴتﻮنﻪ‪:‬‬ ‫‪- 1‬نسبتي عددونه د ضرب د عمليې الندې هم بسته دي‪.‬‬ ‫‪5 3‬‬ ‫د مثال په ډول‪ :‬او دوه نسبتي عددونه دي ‪ 3 5 = 15‬چې ‪ 15‬هم يو نسبتي عدد‬ ‫‪7 4‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪4 7 28‬‬ ‫دى‪.‬‬ ‫‪ - 2‬د نسبتي عددونو د ضرب د عمليې د تبديل‪ ９‬خاصيت‪:‬‬

‫‪2 4 4 2‬‬ ‫=‬ ‫‪3 5 5 3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫=‬ ‫‪15 15‬‬

‫‪ - 3‬د نسبتي عددونو د ضرب د عمليې اتحادي خاصيت‪:‬‬

‫‪2 3 5 2 3 5‬‬ ‫(‬ ‫( = )‬ ‫)‬ ‫‪3 4 6 3 4 6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪12 12‬‬

‫‪ - 4‬د ضرب توزيعي خاصيت پر جمع باندې‪:‬‬

‫‪14‬‬

‫‪1 2 3‬‬ ‫‪1 2 1 3‬‬ ‫=) ‪( +‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2 3 4‬‬ ‫‪2 3 2 4‬‬ ‫‪1 17‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪( )= +‬‬ ‫‪2 12‬‬ ‫‪6 8‬‬ ‫‪17 17‬‬ ‫=‬ ‫‪24 24‬‬

‫‪ - 5‬د ضرب په عمليه کې (‪ )1‬عدد د عينيت عنصر دى‪:‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪3 3‬‬ ‫= ‪1=1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4 4‬‬

‫پو＊تن‪３‬‬ ‫‪ - 1‬ضرب يې ک‪７‬ئ‪:‬‬

‫)‪i‬‬

‫)‪h ) 0.15(2.8‬‬

‫‪1 4‬‬ ‫) (‬ ‫‪3 7‬‬ ‫‪5 11‬‬ ‫)‪d‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪12 6‬‬ ‫)‪g) 7.3( 5‬‬

‫‪2 5‬‬ ‫) ( ‪c) 6‬‬ ‫‪5 9‬‬

‫)‪l‬‬

‫)‪4.7( 3‬‬

‫)‪k‬‬

‫)‪j) 0.5(7.3‬‬

‫)‪o‬‬

‫‪1 11‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪2 2‬‬

‫)‪n‬‬

‫)‪f ) 0.04(3.6‬‬ ‫)‪0.08(5.2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫) ‪4(1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫)‪2.9( 3‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ - 2‬که‬ ‫= ‪,x‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪15‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪3 7‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪8 10‬‬

‫)‪b‬‬

‫)‪3.1( 4‬‬

‫)‪e‬‬

‫)‪a‬‬

‫‪1‬‬ ‫) ‪7(3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪0.02(5.9‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫)‪m‬‬ ‫)‪p‬‬

‫= ‪ x = 2 , x = 4 , x‬او ‪ x = 6‬وي‪،‬د ‪ 2 x‬قيمت پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪ - 3‬ويې و‪４‬شئ‪:‬‬ ‫‪c) 3.72 ÷ 0.3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪b) 2 ÷ 3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪f ) 14.08 ÷ 0.8‬‬

‫‪e) 3.46 ÷ 0.9‬‬

‫‪i) 1 ÷ 0.1‬‬ ‫‪l) 3.6864 ÷ 0.64‬‬ ‫‪o) 144 ÷ 12‬‬

‫‪h ) 24 ÷ 0.75‬‬ ‫‪k ) 7.86 ÷ 0.006‬‬ ‫‪n ) 0.1 ÷ 0.01‬‬

‫‪r ) 0.144 ÷ 1.2‬‬ ‫‪u ) 0.256 ÷ 0.16‬‬ ‫‪x ) 0.00000256 ÷ 16‬‬

‫‪q ) 144 ÷ 1.2‬‬ ‫‪t ) 2.56 ÷ 1.6‬‬ ‫‪w ) 256000 ÷ 0.16‬‬

‫‪ - 4‬د دوو نسبتي عددونو د ضرب حاصل ‪12‬‬ ‫‪39‬‬

‫‪2 5‬‬ ‫÷‬ ‫‪3 6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪d‬‬ ‫‪÷6‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪g ) 11.128 ÷ 0.52‬‬ ‫‪j) 10 ÷ 0.01‬‬ ‫‪m) 0.1 ÷ 100‬‬ ‫)‪a‬‬

‫‪p) 1.44 ÷ 1.2‬‬ ‫‪s) 14.4 ÷ 0.12‬‬ ‫‪v) 0.00256 ÷ 1.6‬‬ ‫‪y) 256 ÷ 0.0016‬‬

‫‪4‬‬ ‫دی‪ ،‬که يو نسبتي عدد‬ ‫‪3‬‬

‫وي بل عدد يې پيدا‬

‫ک‪７‬ئ‬ ‫‪ - 5‬د ‪ 0.1‬نسبتي عدد پر کوم عدد وو‪４‬شل شي چې د و‪４‬ش حاصل يې ‪ 100‬شي؟‬ ‫‪ - 6‬د ‪ 0.01‬نسبتي عدد په کوم عدد وو‪４‬شل شي چې د و‪４‬ش حاصل يې ‪ 10000‬شي؟‬

‫‪16‬‬

‫د ور‪＄‬ﻨﻲ ژوند د مسائلﻮ پﻪ حلﻮلﻮ‬ ‫ک‪ ３‬د کسرونﻮ د استعمال ‪＄‬اﻳﻮنﻪ‪:‬‬ ‫د کوم عدد ‪ 0.5‬برخه د ‪ 128‬له عدد سره‬ ‫مساوي ده؟‬

‫‪2‬‬ ‫لﻮم‪７‬ي مثال‪ :‬په يوه ازموينه کې د ‪ 111‬زده کوونکو‬ ‫‪3‬‬

‫برخه بريالي شوي دي‪ ،‬د برياليو او پاتې‬

‫زده کوونکو شم‪５‬ر معلوم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬

‫‪2 222‬‬ ‫=‬ ‫بريالي زده کوونکي‪= 74 :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫پاتې زده کووونکي‪111 74 = 37 :‬‬

‫×‪111‬‬

‫دوﻳم مثال‪ :‬د ‪ 3335‬د عدد ‪ 3‬برخه څو ک‪８５‬ي؟‬ ‫‪5‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3335 × = 2001‬‬ ‫‪5‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫‪3‬‬ ‫د کوم عدد‬ ‫‪5‬‬

‫برخه ‪ 2001‬ک‪８５‬ي؟‬

‫درﻳم مثال‪ :‬د کوم عدد ‪ 2‬برخه ‪ 74‬ک‪８５‬ي؟‬ ‫‪3‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪= 74 × = 111‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫＇لﻮرم مثال‪ :‬يو لرګي چې ‪ 12m‬اوږدوالى لري که‬ ‫‪4‬‬

‫وي‪ ،‬په دې نقطه کې د حوض ژوروالى معلوم ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪17‬‬

‫÷ ‪74‬‬

‫برخه يې په يوه حوض کې ډوب شوي‬

‫حل‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫پﻨ‪％‬م مثال‪ :‬د احمد د پانگې‬ ‫‪5‬‬

‫‪3 36‬‬ ‫=‬ ‫‪= 9m‬‬ ‫‪4 4‬‬

‫× ‪12‬‬

‫برخه ‪ 81000‬ده‪ ،‬د احمد پانګه معلومه ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫حل‪:‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪5 405000‬‬ ‫= × ‪81000 ÷ = 81000‬‬ ‫‪= 135000‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫د کوم عدد ‪ 0.01‬برخه د ‪ 1000‬عدد ک‪８５‬ي‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫برخه د رياضي په مضمون کې‬ ‫شپ‪８‬م مثال‪ :‬په يوه ښوونځي کې د زده کوونکو‬ ‫‪8‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪1‬‬ ‫برخه يې د فزيک په مضمون کې پاتې شوي دي‪ ،‬که د ښوونځي د‬ ‫بيولوژي په مضمون کې او‬ ‫‪5‬‬ ‫برياليو زده کوونکو شم‪５‬ر ‪ 230‬تنه وي‪ ،‬ددې ښوونځى د ټولو زده کوونکو شم‪５‬ر معلوم ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫برخه‪ ،‬د‬

‫حل‪ :‬د مخرجونو کوچنی مشترک مخرج يا کوچنى مشترک مضرب مساوي دى په‪:‬‬ ‫‪1 1 1 4 + 5 + 8 17‬‬ ‫= ‪+ +‬‬ ‫=‬ ‫‪10 8 5‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪40‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2 10‬‬ ‫‪5 5‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪17 40 17 23‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪40‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪40‬‬

‫‪23‬‬ ‫د ښوونځي د زده کوونکو‬ ‫‪40‬‬

‫‪1‬‬

‫برخه ‪ 230‬تنه دى چې بريالي شوي دي‪ ،‬نو د ښوونځي د ټولو زده‬

‫کوونکو شم‪５‬ر مساوي دى په‪:‬‬ ‫‪230 230 40‬‬ ‫=‬ ‫‪= 400‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪40‬‬

‫=‪x‬‬

‫‪23‬‬ ‫‪= 230‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪1= x‬‬

‫‪1‬‬ ‫اووم مثال‪ :‬احمد ‪ 36‬ليتره شيدې درلودلې‪ ،‬که ددې شيدو ‪ 1‬برخه يې محمود‪،‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪12‬‬

‫برخه‬

‫‪18‬‬

‫يې قاسم او ‪ 1‬برخه يې زلمى ته ورک‪７‬ې وي او پاتې شيدې يې يو ليتر په ‪ 18‬افغانيو په يوه دوکاندار‬ ‫‪6‬‬

‫پلورلې وي‪ ،‬دوکاندار څو افغان‪ ９‬احمد ته ورک‪７‬ي دي‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫د احمد برخه ليتره ‪= 3‬‬ ‫‪12‬‬

‫× ‪36‬‬

‫‪1‬‬ ‫د محمود برخه ليتره ‪= 4‬‬ ‫‪9‬‬

‫× ‪36‬‬

‫‪1‬‬ ‫د زلمی برخه ليتره ‪= 6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3 + 4 + 6 = 13‬‬ ‫‪36 13 = 23‬‬ ‫‪23 × 18 = 414‬‬ ‫× ‪36‬‬

‫نو دوکاندار ‪ 414‬افغان‪９‬احمد ته ورک‪７‬ي دي‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫اتم مثال‪ :‬احمد د يوې ځمکې برخه او محمود يې‬ ‫‪8‬‬ ‫‪12‬‬ ‫قاسم په ‪ 31200‬اافغانيو اخيستې وي د احمد او محمود د ځمکو قيمت معلوم ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫برخه اخيستې ده که پاتې شوې ځمکه‬

‫حل‪:‬‬ ‫‪3 5 9 + 10 19‬‬ ‫= ‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪8 12‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪19 24 19 5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪24‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪24‬‬ ‫په دې معنا چې ددې ځمکې ‪ 5‬برخه قاسم اخيستې ده‪ ،‬چې قيمت يې ‪ 31200‬افغان‪ ９‬دی‪،‬‬ ‫‪24‬‬

‫نو د ټولې ځمکې قيمت مساوي دی په‪.‬‬

‫‪31200 1 31200 24‬‬ ‫=‬ ‫‪= 149760‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪24‬‬

‫=‪x‬‬

‫‪3120‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪1‬‬

‫د احمد د ځمکې قيمت‪:‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪149760 × = 56160‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪19‬‬

‫‪5‬‬ ‫د محمود د ځمکې قيمت‪= 62400 :‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪5‬‬ ‫× ‪149760‬‬ ‫د قاسم د ځمکې قيمت‪= 31200 :‬‬ ‫‪24‬‬

‫× ‪149760‬‬

‫نﻬم مثال‪ :‬په يوې الوتکه کې ‪ 350‬مسافر سپاره دي که ددې مسافرو ‪ 0.2‬برخه ځوانان او د پاتې‬ ‫مسافرو ‪ 0.25‬برخه ماشومان او د پاتې مسافرو ‪ 0.6‬برخه سپين ږيري او پاتې مسافر ښځې وي د‬ ‫ښځو شم‪５‬ر معلوم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫ځوانان‪350 × 0.2 = 70 :‬‬ ‫‪350 70 = 280‬‬ ‫ماشومان‪280 × 0.25 = 70 :‬‬ ‫‪280 70 = 210‬‬ ‫سپين ږيري‪210 × 0.6 = 126 :‬‬ ‫د ښځو شم‪５‬ر‪210 126 = 84 :‬‬

‫لسم مثال‪ :‬د يوه کل‪ ９‬نفوس ‪ 32000‬تنه دى‪ ،‬که ‪ 0.4‬برخه يې سواد لرونکي وي د سواد لرونکو‬ ‫او بې سواده کسانو شم‪５‬ر معلوم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫باسواد‪32000 × 0.4 = 12800 :‬‬ ‫بی سواد‪32000 12800 = 19200 :‬‬ ‫ﻳﻮولسم مثال‪ :‬د کوم عدد ‪ 0.2‬برخه د‪ 111‬عدد دى؟‬ ‫‪111 1110‬‬ ‫=‬ ‫‪= 555‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪2‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫‪3‬‬ ‫د کوم عدد‬ ‫‪4‬‬

‫برخه ‪ 12‬کي‪８‬ي؟ او د کوم عدد ‪ 0.1‬برخه د ‪ 857‬عدد ک‪８５‬ي؟‬

‫د اعشاري کسر اړول پﻪ فﻴصد او د فﻴصد تبدﻳلﻮل پﻪ اعشار کسر باندې‪:‬‬ ‫‪0.24 = 24%‬‬ ‫‪0.005 = 0.5%‬‬

‫‪0.36 ×100 = 36%‬‬ ‫‪0.1×100 = 10%‬‬ ‫‪1.2 × 100 = 120%‬‬ ‫‪2.01× 100 = 201%‬‬

‫‪20‬‬

‫لﻮم‪７‬ى مثال‪ 0.1% , 80% , 20% , 2% :‬او ‪ 0.02%‬په اعشاري کسر واړوئ‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= 0.02‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪= 0.2‬‬ ‫= ‪20%‬‬ ‫‪100 10‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪8‬‬ ‫=‬ ‫‪= 0.8‬‬ ‫= ‪80%‬‬ ‫‪100 10‬‬ ‫‪0.1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪= 0.001‬‬ ‫= ‪0.1%‬‬ ‫‪100 1000‬‬ ‫‪0.02‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪= 0.0002‬‬ ‫= ‪0.02%‬‬ ‫‪100 10000‬‬ ‫= ‪2%‬‬

‫دوﻳم مثال‪ :‬که احمد د خپل معاش ‪ 0.3‬برخه د کور په کرايه کې ورک‪７‬ې وي احمد د خپل معاش‬ ‫څو فيصده د کور په کرايه کې ورک‪７‬ي دی؟‬ ‫‪0.3 ×100 = 30%‬‬

‫په نتيجه کې احمد د خپل معاش ‪ 30%‬د کور په کرايه کې ورک‪７‬ى ده‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫درﻳم مثال‪ :‬که يوه بزګر د خپلې ځمکې په‬ ‫‪4‬‬

‫برخه کې غنم او په پاتې ځمکه کې يې جوار کرلي‬

‫وي‪ ،‬معلوم ک‪７‬ئ چې بزګر د ځمکې په څو فيصده کې غنم او په څو فيصده کې جوار کرلي دي؟‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪3 × 25 75‬‬ ‫=‬ ‫عنم‪= 75% :‬‬ ‫‪100‬‬

‫‪4 × 25‬‬

‫جوار‪100 75 = 25% :‬‬

‫‪21‬‬

‫پو＊تن‪３‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ - 1‬احمد ‪ 500‬افغان‪ ９‬درلودلې‪ ،‬که په لوم‪７‬ۍ ورځ يې‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫برخه او په دريمه ورځ يې د پاتې روپو برخه مصرف ک‪７‬ې وي اوس احمد څو افغان‪ ９‬لري؟‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬

‫برخه‪ ،‬په دويمه ورځ يې د پاتې روپو‬

‫‪ - 2‬په يوه ښار کې ‪ 250000‬کسان ژوند کوي‪ ،‬که ‪ 0.15‬برخه يې پر ليک او لوست پوه وي د هغه‬ ‫کسانو شم‪５‬ر معلوم ک‪７‬ئ‪ ،‬چې پر ليک او لوست نه پوهي‪８‬ي‪.‬‬ ‫‪ - 3‬د ‪ 8.7 ×106‬د عدد ‪ 0.00001‬برخه څو ک‪８５‬ي؟‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ - 4‬احمد ‪ 72‬کتابچې درلودلې‪ ،‬که ددې کتابچو‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫برخه زلمی ته ورک‪７‬ې وي‪ ،‬د زلمي د کتابچو شم‪５‬ر پيدا ک‪７‬ئ؟‬ ‫‪5‬‬

‫برخه يې محمود ته او محمود د خپلو کتابچو‬

‫‪ - 5‬د ‪ A‬او ‪ B‬د دوو ښارونو ترمنځ فاصله‪ 36km ,‬ده‪ ،‬که احمد ددې فاصلې ‪ 7‬برخه د بايسکل‬ ‫‪9‬‬

‫‪3‬‬ ‫په واسطه او د پاتې فاصلې‬ ‫‪4‬‬

‫برخه يې پياده وهلې وي‪ ،‬اوس د احمد او د ‪ B‬ښار ترمنځ فاصله‬

‫څومره ده؟‬

‫‪22‬‬

‫قﻮسﻮنﻪ او د افادو ساده کﻮل‬ ‫کوالى شئ چې ووايئ د‬ ‫‪1 7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1 ÷ (5‬‬ ‫) ‪4‬‬ ‫‪3 8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪42‬‬

‫حاصل څو ک‪８５‬ي؟‬

‫‪3‬‬ ‫) ‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫=‬

‫په رياضياتو کې( ) کوچنی قوس‪ {} ،‬منځن‪ ９‬قوس او ] [‬ ‫لوم‪７‬ى ( ) بيا }{ او په پاى کې ] [ خالص‪８５‬ي‪.‬‬

‫‪1 7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 ÷ (5‬‬ ‫‪3 8‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪2‬‬

‫لوى قوس استعمال‪８５‬ي‪ ،‬چې تر ټولو‬

‫لﻮم‪７‬ى مثال‪ :‬ساده يې ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1 7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1 ÷ (5‬‬ ‫) ‪4‬‬ ‫‪3 8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬

‫‪7 15 11 19‬‬ ‫)‬ ‫(÷‬ ‫‪3 8‬‬ ‫‪2 4‬‬

‫‪41‬‬ ‫‪7‬‬

‫=‬

‫‪7 15 4‬‬ ‫‪3 8 3‬‬

‫‪7 15 3‬‬ ‫÷‬ ‫‪3 8 4‬‬

‫‪41‬‬ ‫‪7‬‬

‫=‬

‫‪41 35 246 245 1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪7 6‬‬ ‫‪42‬‬ ‫‪42‬‬

‫=‬

‫‪7 15 22 19‬‬ ‫÷‬ ‫‪3 8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪7 5‬‬ ‫‪3 2‬‬

‫‪41‬‬ ‫‪7‬‬

‫=‬

‫‪41‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪41‬‬ ‫‪7‬‬

‫=‬

‫‪2‬‬

‫دوﻳم مثال‪ :‬ساده يې ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1 ÷ 3 ÷ 1 1 + (3‬‬ ‫) ‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪8 8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪11 28 9 10 11 31‬‬ ‫÷‬ ‫÷‬ ‫(‪+‬‬ ‫)‬ ‫‪6‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪8 9‬‬ ‫‪3 12‬‬

‫=‬

‫‪11 28 5 13‬‬ ‫÷‬ ‫‪÷ +‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪4 12‬‬

‫=‬

‫‪11 28 15 + 13‬‬ ‫÷‬ ‫÷‬ ‫‪6‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪23‬‬

‫=‬

‫‪5‬‬

‫‪11 28 28‬‬ ‫‪11 28 12‬‬ ‫÷‬ ‫÷‬ ‫÷ =‬ ‫‪6‬‬ ‫‪9 12‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪9 28‬‬ ‫‪11 4 11 3 33 11‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ÷ =‬ ‫=‬ ‫‪= =1‬‬ ‫‪6 3 6 4 24 8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫=‬

‫درﻳم مثال‪ :‬ساده يې ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫]})‪0.4[1.45 {0.37 ÷ (1.35 + 3.25 2.75‬‬ ‫]})‪= 0.4[1.45 {0.37 ÷ (4.60 2.75‬‬ ‫]}‪= 0.4[1.45 {0.37 ÷ 1.85‬‬ ‫‪= 0.4[1.45 0.2] = (0.4)(1.25) = 0.5‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫ساده يې ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫]})‪(4.02 + 2.39 3.75‬‬

‫‪[3.07 {5.269‬‬

‫‪5.321‬‬

‫ځواب‪:‬‬ ‫(‪)4.859‬‬

‫＇لﻮرم مثال‪:‬‬

‫}) ‪(7a 4a‬‬ ‫‪(3a )}= 5a 3a = 2a‬‬

‫‪{6a‬‬ ‫‪{6a‬‬

‫‪5a‬‬ ‫‪= 5a‬‬

‫که قوسونه موجود نه وي او په افاده کې دوه او يا له دوو څخه زياتې اساسي عمليې موجود وي‪ ،‬د‬ ‫و‪４‬ش‪ ،‬ضرب‪ ،‬جمعې او تفريق عمليې په ترتيب سره له کيڼ لوري څخه وښي لوري ته سرته رس‪８５‬ي‬ ‫چې دا ترتيب د(‪)DMAS‬په نامه ياد‪８４‬ي؛ د مثال په توګه‪:‬‬ ‫‪18 + 6 5 × 2 + 11 3 = 18 + 6 10 + 11 3‬‬ ‫‪= 18 + 6 + 11 10 3 = 35 13 = 22‬‬ ‫‪48 ÷ 16 × 3 = 3 × 3 = 9‬‬

‫که دا افاده قوس هم ولري ‪ 48 ÷ (16 × 3) = 48 ÷ 48 = 1‬ک‪８５‬ي‪.‬‬ ‫په عمومي توګه که په افاده کې قوسونه هم وي د(‪ )BODMAS‬په تريب ساده ک‪８５‬ي‪B ،‬‬ ‫له ‪(Brackets‬قوس)‪ O ،‬د ‪(Operation‬عمليه)‪ D ،‬د ‪(Division‬تقسيم)‪ M ،‬له‬

‫‪24‬‬

‫‪(Multiplication‬ضرب)‪ A ،‬له ‪(Addition‬جمع) او ‪ S‬له ‪(Subtraction‬تفريق)‬ ‫څخه اخيستل شوي دي‪.‬‬ ‫مثالﻮنﻪ‪ :‬ساده يې ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫‪a ) 144 ÷ 8 × 6 = 18 × 6 = 108‬‬ ‫‪b) 25 42 ÷ 7 × 2 + 45 ÷ 3 × 5 5 × 9 ÷ 3 × 2‬‬ ‫‪25 6 × 2 + 15 × 5 5 × 3 × 2 = 25 12 + 75 30‬‬ ‫‪(25 + 75) (12 + 30) = 100 42 = 58‬‬

‫]‪c) 12 ÷ 3[ 4 + 8{ 3 + 2( 7 + 10) + 3(8 2)} 1‬‬ ‫]‪12 ÷ 3[ 4 + 8{ 3 + 2 × 3 + 3 × 6} 1‬‬ ‫]‪12 ÷ 3[ 4 + 8{ 3 + 6 + 18} 1‬‬ ‫]‪12 ÷ 3[ 4 + 8{24 3} 1‬‬ ‫]‪12 ÷ 3[ 4 + 8 21 1‬‬ ‫]‪12 ÷ 3[168 5‬‬ ‫‪12 ÷ 3 163‬‬ ‫‪4 163 = 652‬‬

‫‪25‬‬

‫پو＊تن‪３‬‬

‫ساده يې ک‪７‬ئ‪:‬‬

‫? =]}‪1.18 ÷ [3.45 {1.21 ÷ (5.69 3.27‬‬ ‫? =]})‪0.42 ÷ [8.35 {1.5(1.9 + 3.4‬‬

‫)‪a‬‬ ‫)‪b‬‬

‫]})‪5.321 [3.071 {5.269 (4.02 + 2.39 3.75‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪2 ) (5‬‬ ‫?=) ‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 7‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1 +‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫?= ‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4 8‬‬ ‫‪16 4‬‬ ‫‪25 ÷ 5 × 3 + 4‬‬ ‫‪319 + 40 ÷ 8‬‬ ‫‪4 [ 5 + { 4 + ( 5 + 4) 5}+ 4] 5‬‬

‫)‪c‬‬ ‫)‪d‬‬ ‫)‪e‬‬ ‫)‪f‬‬ ‫)‪g‬‬ ‫)‪h‬‬

‫‪26‬‬

‫د نسبتﻲ عددونﻮ د طاقت‬ ‫قﻮانﻴن(کﻪ تﻮانﻮنﻪ مثبت عددونﻪ‬ ‫وي)‬ ‫‪ ( 3 ) 4‬څو ک‪８５‬ي؟‬

‫‪5 5‬‬ ‫‪3125‬‬ ‫= ) (‬ ‫‪7‬‬ ‫‪16807‬‬

‫‪4‬‬

‫لﻮم‪７‬ى قانﻮن‪ :‬که ‪ a‬يو نسبتي عدد او ‪ n,m‬تام مثبت عددونه وي‪ ،‬نو ‪a m × a n = a m+n‬‬

‫لﻮم‪７‬ی مثال‪:‬‬ ‫‪3 3 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪= ( ) 2+5 = ( ) 7‬‬ ‫‪4 4 4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1 2 + 3+ 5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫‪= ( )10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3 3 3‬‬ ‫‪4 4 4‬‬ ‫‪1 5‬‬ ‫(= )‬ ‫‪2‬‬

‫‪3 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪( ) 2 ( )5‬‬ ‫‪4 4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫( ‪( ) 2 ( )3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫دوﻳم قانﻮن‪ :‬که ‪ a‬د صفر خالف يو نسبتى عدد او ‪ n,m‬تام مثبت عددونه او ‪ m