281 66 12MB
Persian / Farsi (Dari) Pages [96]
10 x x
ﮐﺘﺎب ﻫﺎى درﺳﻰ ﻣﺘﻌﻠﻖ ﺑﻪ وزارت ﻣﻌﺎرف ﺑﻮده، ﺧﺮﯾﺪ و ﻓﺮوش آن ﻣﻤﻨﻮع اﺳﺖ. [email protected]
1398
ﺟﻤﻬﻮرى اﺳﻼﻣﻰ اﻓﻐﺎﻧﺴﺘﺎن وزارت ﻣﻌﺎرف رﯾﺎﺳﺖ ﻋﻤﻮﻣﻰ اﻧﮑﺸﺎف ﻧﺼﺎب ﺗﻌﻠﯿﻤﯽ
رﻳاضی صﻨﻒ دﻫﻢ براى ﻣدارس دﻳﻨﻰ
1398 ﻫـ .ش.
اﻟﻒ
ﻣؤﻟﻒ پﻮﻫﻨﻴار عبﻴداﷲ صافﻰ ﻣتخصص رﻳاضﻴات پروژة اﻧﻜشاف ﻧصاب تعﻠﻴﻤﻰ و تأﻟﻴف ﻛتب درسﻲ
اﻳدﻳت عﻠﻤﻰ و ﻣسﻠﻜﻰ حبﻴب اﷲ راحﻞ ﻣﺸاور وزارت ﻣﻌارف در رﻳاﺳت اﻧﻜﺸاف ﻧﺼاب تﻌﻠﻴﻤﻰ. پﻮﻫﻨﻴار عبﻴداﷲ صافﻰ ﻣتخصص رﻳاضﻴات پروژة اﻧﻜشاف ﻧصاب تعﻠﻴﻤﻰ اﻳدﻳت زباﻧﻰ ﻣعاون سرﻣﻮﻟف عبداﻟرزاق ﻛﻮﻫستاﻧﻰ ﻣدﻳر دﻳپارتﻤﻨت ادﻳتﻮران ﻛﻤﻴتﺔ دﻳﻨﻰ ،سﻴاسﻰ و ﻓرﻫﻨﮕﻰ حبﻴب اﷲ راحﻞ ﻣﺸاور وزارت ﻣﻌارف در رﻳاﺳت اﻧﻜﺸاف ﻧﺼاب تﻌﻠﻴﻤﻰ ﻣحﻤد آﺻﻒ ﻛﻮچﻰ ﻣتخﺼﺺ دﻳپارتﻤﻨت تﻌﻠﻴﻤات اﺳﻼﻣﻰ
إشراف دﻛتﻮر ﺷﻴر ﻋﻠﻰ ﻇرﻳﻔﻰ رئﻴس پروژة اﻧﻜﺸاف ﻧﺼاب تﻌﻠﻴﻤﻰ.
ب
ج
بسﻢ اﷲ اﻟرحﻤﻦ اﻟرحﻴﻢ
د
پﻴام وزﻳر ﻣعارف اﻟحﻤدﷲ رب اﻟﻌاﻟﻤﻴﻦ واﻟﺼﻼة واﻟﺴﻼم ﻋﻠﻰ رﺳﻮﻟﻪ ﻣحﻤد وﻋﻠﻰ آﻟﻪ وأﺻحابﻪ أجﻤﻌﻴﻦ ،أﻣا بﻌد: ﻧﺼاب تﻌﻠﻴﻤﻲ ﻣﻌارف ،اﺳاس ﻧﻈام تﻌﻠﻴﻢ و تربﻴﻪ را تﺸﻜﻴﻞ داده و در رﺷد و تﻮﺳﻌﺔ ﻋﻠﻤﻰ ،ﻓﻜرى و ﺳﻠﻮﻛﻰ ﻧﺴﻠﻬاى اﻣروز و ﻓرداى ﻛﺸﻮر ﻧﻘﺶ بﻨﻴادى و ﺳرﻧﻮﺷت ﺳاز دارد. ﻧﺼاب تﻌﻠﻴﻤﻰ با ﮔذﺷت زﻣان ،تحﻮل و پﻴﺸرﻓت در ﻋرﺻﻪ ﻫاى ﻣختﻠﻒ زﻧده ﮔﻰ ،ﻣﻄابﻖ با ﻧﻴازﻫاى جاﻣﻌﻪ، باﻳد ﻫﻢ از ﻧﻈر ﻣﻀﻤﻮن و ﻣحتﻮا و ﻫﻢ از ﻧﻈر ﺷﻴﻮه و روش ﻋرﺿﺔ ﻣﻌﻠﻮﻣات ،تﻄﻮر و اﻧﻜﺸاف ﻧﻤاﻳد. ﻳﻜﻰ از ﻋرﺻﻪ ﻫاى ﻧﺼاب تﻌﻠﻴﻤﻰ ﻛﻪ ﻣﻮرد تﻮجﻪ جدى براى تجدﻳد ﻧﻈر و بﻬبﻮد ﻣﻰ باﺷد ،ﻧﺼاب تﻌﻠﻴﻤات اﺳﻼﻣﻰ اﺳت؛ زﻳرا از ﻳﻚ جاﻧب ،ﻓارﻏان ﻣدارس دﻳﻨﻰ بﻪ حﻴث پﻴﺸﻮاﻳان ﻣﻌﻨﻮى جاﻣﻌﻪ ،باﻳد ﻣحﻮر تﻼﺷﻬاى ﻣﻌارف ﻗرار ﮔﻴرﻧد و از ﺳﻮى دﻳﮕر ﻧﺼاب تﻌﻠﻴﻤات اﺳﻼﻣﻰ ﺷاﻣﻞ ﻋﻘاﻳد ،احﻜام و ﻫداﻳات دﻳﻦ ﻣبﻴﻦ اﺳﻼم اﺳت ﻛﻪ بﻪ حﻴث ﻧﻈام و ﻗاﻧﻮن ﻣﻜﻤﻞ ،تﻤام ابﻌاد زﻧده ﮔﻰ اﻧﺴان ﻫا را در بر ﮔرﻓتﻪ و بﻪ ﻋﻨﻮان آخرﻳﻦ پﻴام خاﻟﻖ و پروردﮔار جﻬان تا روز ﻗﻴاﻣت ،رﺳاﻟت رﻫﻨﻤاﻳﻰ و ﻫداﻳت بﺸرﻳت را اﻧجام ﻣﻰ دﻫد. ﻋﻠﻤاى اﻣت اﺳﻼﻣﻰ در ﻃﻮل تارﻳخ ﻧﻘﺶ ﻣﻬﻤﻰ را در اﻳجاد ،تﻮﺳﻌﻪ و ﻏﻨاﻣﻨدى ﺳﻴﺴتﻢ تﻌﻠﻴﻤات و ﻣﻌارف اﺳﻼﻣﻰ ﻣخﺼﻮﺻاً اﻧﻜﺸاف تدرﻳجﻰ ﻧﺼاب تﻌﻠﻴﻤﻰ ﻣراﻛز و ﻣؤﺳﺴات ﻋﻠﻤﻰ جﻬان اﺳﻼم ،اﻳﻔاﻛرده اﻧد. ﻣﻄاﻟﻌﺔ دﻗﻴﻖ در ﺳﻴر تﻄﻮر تارﻳخﻰ ﻋﻠﻮم و ﻣﻌارف اﺳﻼﻣﻰ در جﻬان ﻧﺸان ﻣﻴدﻫد ﻛﻪ ﻧﺼاب تﻌﻠﻴﻤﻰ ﻣدارس و ﻣراﻛز ﻋﻠﻤﻰ ﻣا ،ﻫﻤﻮاره بﻨا بر ﺿرورت ﻫاى جاﻣﻌﻪ و در تﻄابﻖ با احﻜام ثابت و پا بر جاى دﻳﻦ اﺳﻼم ،ﻛﻪ براى ﻫﻤﺔ اﻧﺴاﻧﻬا در ﻫﻤﺔ زﻣاﻧﻬا و ﻣﻜاﻧﻬا ﻣﻰ باﺷد ،تﻮﺳﻌﻪ ﻳاﻓتﻪ اﺳت. ﻛﺸﻮر ﻋزﻳز ﻣا اﻓﻐاﻧﺴتان با ﺳابﻘﺔ درخﺸان ﻋﻠﻤﻰ ،روزﮔارى ﻣﻬد ﻋﻠﻢ و داﻧﺶ و جاﻳﮕاه بزرﮔترﻳﻦ ﻣراﻛز ﻋﻠﻤﻰ ﻋﺼر بﻮده و در ﺷﻜﻞ ﮔﻴرى تﻤدن بزرگ اﺳﻼﻣﻰ ﻧﻘﺶ ﻋﻈﻴﻤﻰ داﺷتﻪ اﺳت ،وجﻮد ﻫزاران داﻧﺸﻤﻨد و ﻋاﻟﻢ در ﻋرﺻﻪ ﻫاى ﻣختﻠﻒ ﻋﻠﻢ و ﻓرﻫﻨﮓ ﻣخﺼﻮﺻاً در ﻋﻠﻮم ﺷرﻋﻰ؛ ﻣاﻧﻨد :ﻋﻘاﻳد ،تﻔﺴﻴر ،حدﻳث ،ﻓﻘﻪ، اﺻﻮل ﻓﻘﻪ و ﻏﻴره ،ﮔﻮاه واﺿح آﻧچﻪ ﮔﻔتﻪ ﺷد ﻣﻰ باﺷد. ﻫﻤزﻣان با رﺷد بﻴدارى اﺳﻼﻣﻰ در ﻋﺼر حاﺿر ،تﻌﻠﻴﻤات اﺳﻼﻣﻰ در ﻛﺸﻮر ﻣا ﺷاﻫد تحﻮل ﻛﻤﻰ و ﻛﻴﻔﻰ بﻮده و اﻃﻔال و جﻮاﻧان ﻛﺸﻮر ﻣا با ﺷﻮق و رﻏبت ﻓراوان بﻪ ﻃرف ﻣدارس و ﻣراﻛز تﻌﻠﻴﻤات اﺳﻼﻣﻰ رو ﻣﻰ آورﻧد. وزارت ﻣﻌارف جﻤﻬﻮرى اﺳﻼﻣﻰ اﻓﻐاﻧﺴتان بر اﺳاس ﻣﺴؤوﻟﻴت ورﺳاﻟت خﻮﻳﺶ ،در ﻣﻄابﻘت با احﻜام ﻗاﻧﻮن اﺳاﺳﻰ ﻛﺸﻮر ،بﻪ ﻣﻨﻈﻮر رﺷد و تﻮﺳﻌﺔ ﻛﻤﻰ و ﻛﻴﻔﻰ تﻌﻠﻴﻤات اﺳﻼﻣﻰ و از جﻤﻠﻪ ﻧﺼاب آن ،اﻗداﻣات ﻗابﻞ تﻮجﻪ ﻧﻤﻮده اﺳت. در اﻳﻦ راﺳتا وزارت ﻣﻌارف با دﻋﻮت از ﻋﻠﻤاء ،اﺳتادان و ﻣتخﺼﺼان باتجربﻪ و ﻗابﻞ اﻋتﻤاد ﻛﺸﻮر ،بﻪ بﻬبﻮد و اﻧﻜﺸاف ﻧﺼاب تﻌﻠﻴﻤﻰ پرداختﻪ و ﻛتابﻬاى راﻳج ﻣدارس تﻌﻠﻴﻤات اﺳﻼﻣﻰ را با ﺷرح و تﻮﺿﻴح ﻣتﻮن ،جا بﻪ جا ﺳاختﻦ ﻓﻌاﻟﻴتﻬا ،ارزﻳابﻰ و تﻤرﻳﻨﻬا با ﻣﻌﻴارﻫاى ﻛتب درﺳﻰ ﻋﻴار ﺳاخت. اﻣﻴدوارم اﻳﻦ تﻼﺷﻬاى ﻗابﻞ تﻤجﻴد ﻋﻠﻤاء و ﻣتخﺼﺼان وزارت ﻣﻌارف ،در بﻬبﻮد و اﻧﻜﺸاف ﻫر چﻪ بﻴﺸتر تﻌﻠﻴﻤات اﺳﻼﻣﻰ در اﻓﻐاﻧﺴتان ﻋزﻳز ﻣﻔﻴد واﻗﻊ ﺷده وﺳبب ﻛﺴب رﺿاى خداوﻧد ﻣتﻌال ﻗرار ﮔﻴرد. وباﷲ اﻟتﻮﻓﻴﻖ دﻛتﻮر ﻣحﻤد ﻣﻴروﻳس بﻠخﻰ وزﻳر ﻣﻌارف
ﻣﻘدﻣﻪ استادان عاﻟﻴﻘدر و شاﮔردان ﮔراﻣﻰ، رﻳاﺿﻰ زبان ﻋﻠﻮم ﻃبﻴﻌﻰ اﺳت و ﻗﻮاﻧﻴﻨﻲ را ﻛﻪ خداوﻧد در ﻃبﻴﻌت حاﻛﻢ ﺳاختﻪ ﻓﻮرﻣﻮل بﻨدى ﻣﻰ ﻛﻨد ﻫﻤچﻨان ﻣﺴائﻞ ﻣربﻮط بﻪ اﻋداد و ﻣﻘادﻳر را بﻪ زبان حﺴاب ارائﻪ ﻣﻰ ﻧﻤاﻳد. اﻧﺴان ﻫا در زﻧده ﮔﻰ روز ﻣره بﻪ ﻋﻠﻢ رﻳاﺿﻰ احتﻴاج دارﻧد ،اﻳﻦ ﻋﻠﻢ براى ﺳاﻳﻨس حﻴثﻴت ﻛﻠﻴد را دارد ،زﻳرا ﻛﻪ اﻛثر ﻗﻮاﻧﻴﻦ ﻃبﻴﻌت بﻪ زبان رﻳاﺿﻰ بﻴان ﻣﻰ ﺷﻮد و در ﻣﺴائﻞ ﺷرﻋﻰ ﻧﻴز بﻪ ﻋﻠﻢ رﻳاﺿﻰ ﺿرورت ﻣﻰ باﺷد ،در تﻘﺴﻴﻢ ﻣﻴراث ،تﻘﺴﻴﻢ زﻣﻴﻦ و درﻳاﻓت ﻣﺴاحت آن، تﻌﻴﻴﻦ حﻘﻮق ﺷرﻛا ،تﻌﻴﻴﻦ زﻛات و ﻏﻴره ﻣﻮارد ،از ﻋﻠﻢ رﻳاﺿﻰ اﺳتﻔاده ﺻﻮرت ﻣﻰ ﮔﻴرد. براى اﻳﻨﻜﻪ ﻓارﻏان ﻣدارس ﻋﻠﻮم ﺷرﻋﻰ ﻗابﻠﻴت ﻫاى ﺿرورى را آﻣﻮختﻪ ،ﻣﺴائﻞ روزﻣرة زﻧده ﮔﻰ ﻣربﻮط رﻳاﺿﻰ را حﻞ ﻛرده بتﻮاﻧﻨد و ﻣﺴائﻞ؛ ﻣاﻧﻨد :ﻣﻴراث ،ﻣﺸارﻛت ،تﻘﺴﻴﻤات اﻣﻮال و ﻣحتﻮاى ﻣﻀاﻣﻴﻦ ﺳاﻳﻨﺴﻰ را بﻔﻬﻤﻨد ،رﻳاﺳت ﻋﻤﻮﻣﻰ اﻧﻜﺸاف ﻧﺼاب تﻌﻠﻴﻤﻰ وزارت ﻣﻌارف جﻤﻬﻮرى اﺳﻼﻣﻰ اﻓﻐاﻧﺴتان ﻣﺴائﻞ ﺿرورى رﻳاﺿﻰ را در ﻧﺼاب تﻌﻠﻴﻤﻰ ﻣدارس جابﻪ جا ﻧﻤﻮد. بﻪ ﮔﻮﻧﻪ ﻳﻰ ﻛﻪ ﺿرورت ﻫاى اﺳاﺳﻰ ﺷاﮔردان ﻣدارس ﺷرﻋﻰ ،تخﺼﺺ آﻳﻨده اﻳﺸان و ﺳاﻋات تﻌﻴﻴﻦ ﺷده در پﻼن تﻌﻠﻴﻤﻰ براى ﻣﻀﻤﻮن رﻳاﺿﻰ را در ﻧﻈر ﮔرﻓتﻪ و ﻣﺴائﻞ ﺿرورى اﻳﻦ ﻋﻠﻢ را با درﻧﻈرداﺷت ﻓﻦ ﻣﻌاﺻر ﻧﺼاب ﻧﻮﻳﺴﻰ بر ﻣﻴتﻮد آﺳان و ﻣؤثر تأﻟﻴﻒ ﻧﻤﻮد ،تا ﻓارﻏان ﻣدارس ﺷرﻋﻰ در پﻬﻠﻮى ﻋﻠﻮم دﻳﻨﻰ بﻌﻀﻰ ﻋﻠﻮم ﺿرورى دﻧﻴﻮى را ﻧﻴز ﻓرا ﮔﻴرﻧد، ﻇرﻓﻴت ﻫاى ﺷان بﻠﻨد برود و ﻧﻘﺶ ﻣؤثر و ﻣثﻤر را در جاﻣﻌﻪ بازى ﻧﻤاﻳﻨد. و اﷲ وﻟﻰ اﻟتﻮﻓﻴﻖ
ﻫـ
ﻓصﻞ اول :اعداد ﻧسبتﻰ: ﺳﻴﺴتﻢ اﻋداد3.................................................................................................. ﻋﻤﻠﻴﻪ ﻫاى جﻤﻊ و تﻔرﻳﻖ اﻋداد ﻧﺴبتﻰ7 ............................................................ ﻋﻤﻠﻴﻪ ﻫاى ﺿرب و تﻘﺴﻴﻢ اﻋداد ﻧﺴبتﻰ11 ........................................................ ﻣﻮارد اﺳتﻌﻤال ﻛﺴﻮر در حﻞ ﻣﺴاﻳﻞ روزﻣرة زﻧده ﮔﻰ17.................................. ﻗﻮس ﻫا و ﺳاده ﺳاختﻦ اﻓاده ﻫا 23................................................................... ﻗﻮاﻧﻴﻦ ﻃاﻗت اﻋداد ﻧﺴبتﻰ27 ............................................................................ روش ﻋﻠﻤﻰ ﻋدد ﻧﻮﻳﺴﻰ33 ............................................................................. ﻧﻜات ﻣﻬﻢ ﻓﺼﻞ 36......................................................................................... تﻤرﻳﻦ ﻓﺼﻞ38 ...............................................................................................
و
ﻓصﻞ دوم :پﻮﻟﻴﻨﻮم اﻓاده ﻫاى اﻟجبرى39 ....................................................................................... اﻗﺴام پﻮﻟﻴﻨﻮم و درجﺔ آن43 ............................................................................ درﻳاﻓت ﻗﻴﻤت ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم49 ......................................................................... ﻋﻤﻠﻴﻪ ﻫاى چﻬارﮔاﻧﺔ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫا53 ................................................................... ﺿرب پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫا57 ......................................................................................... تﻘﺴﻴﻢ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫا61 ......................................................................................... ﻣﻄابﻘت ﻫا ( (a + b) 2و 63............................................................. ) (a b) 2 ﻣﻄابﻘت 69............................................................ (a + b)(a b) = a 2 b 2 تجزﻳﻪ73 ........................................................................................................ تجزﻳﻪ اﻓاده ﻫاى اﻟجبرى ﻛﻪ ﺷﻜﻞ a 2 b 2را داﺷتﻪ باﺷﻨد77 .......................... ﻧﻜات ﻣﻬﻢ ﻓﺼﻞ 80......................................................................................... تﻤرﻳﻦ ﻓﺼﻞ82 ...............................................................................................
ز
فصل اول اعداد ﻧسبتﻰ ()Rational Numbers
x
=
سﻴستم اعداد System of numbers
اعداد حقﻴقﻰ اعداد ﻧسبتﻰ
آﻳا 0. 3ﻋدد ﻧﺴبتﻰ است؟
اعداد غﻴر ﻧسبتﻰ
اعداد تام کسﻮر عام اعداد مکمل اعداد مﻨفﻰ صفر اعداد طبﻴعﻰ
در زﻣان ﻫاى ﻗدﻳﻢ ،زﻧده ﮔﻰ اﻧﺴان ﻫا بﺴﻴار ساده و بﺴﻴﻂ بﻮده ،چﻮپان ﻫا ،ﮔﻮسﻔﻨدان خﻮﻳﺶ را وﻗتﻰ ﻛﻪ بﻪ چراﮔاه ﻣﻰ بردﻧد و ﻣﻰ آوردﻧد با ﻣجﻤﻮﻋﺔ سﻨﮕچﻞ ﻫا ﻣﻘاﻳﺴﻪ ﻣﻰ ﻛردﻧد ،ﻛﻪ بﻪ اﻳﻦ ترتﻴب حﻴﻮاﻧات ﮔﻢ ﺷده را ﻣﻌﻠﻮم ﻣﻰ ﻛردﻧد. در زﻣان ﻫاى ﻗدﻳﻢ اﻧﺴان ﻫا بﻪ ﻋﻮض اﻋداد 1،2،3،4...سﻤبﻮل ﻫاى| ...||||،|||،||،را استﻌﻤال ﻣﻰ ﻛردﻧد.ﻣﺼرى ﻫا تﻘرﻳبا 5000سال ﻗبﻞ از ﻣﻴﻼد براى ﺷﻤارش ،ده اﻧﮕﺸت دست را استﻌﻤال ﻣﻰ ﻛردﻧد ﻳﻌﻨﻰ سﻴﺴتﻤﻰ بﻪ ﻗاﻋدة ( )10داﺷت .ﻋﻼﻣﺔ را براى ( )10و ﻋﻼﻣﺔ را براى ( )100بﻪ ﻛار ﻣﻰ بردﻧد .بﻪ ﻫر اﻧدازه ﻳﻰ ﻛﻪ ﺿرورت ﻣﻰ بﻮد ﻳﻚ سﻤبﻮل ﻃﻮر تﻜرارى ﻧﻮﺷتﻪ ﻣﻰ ﺷد؛ ﻃﻮر ﻣثال :ﻋدد ( )13را بﻪ ﺷﻜﻞ )||| ( و ﻋدد ( )324را بﻪ ﺷﻜﻞ || 999ﻣﻰ ﻧﻮﺷت ،و اﻳﻦ ﻋدد را بﻪ ﺷﻜﻞ ذﻳﻞ ترتﻴب ﻣﻰ ﻛردﻧد: || 1+1+1+1+10+10+100+100+100 ﻣردم ﻛﺸﻮر ﻫاى ﻣختﻠﻒ براى خﻮد سﻴﺴتﻢ ﻫاى ﻣختﻠﻒ اﻋداد را اختراع ﻛرده بﻮدﻧد .ﻛﻪ اﻳﻦ سﻴﺴتﻢ ﻫا براى جاﻣﻌﺔ پﻴﺸرﻓتﻪ ﻗابﻞ ﻗبﻮل ﻧبﻮد؛ بﻨابرآن اﻳﻦ سﻴﺴتﻢ ﻫاى ﻣختﻠﻒ رد ﺷدﻧد و سﻴﺴتﻢ واحد ﻋدد ﻧﻮﻳﺴﻰ بﻪ وجﻮد آﻣد. - 1ست اعداد طبﻴعﻰ ﻛﻪ بﻪ ﻧام ست اﻋداد ﺷﻤارش ( )Count numbersﻧﻴز ﻳاد ﻣﻰ ﺷﻮد و اﻳﻦ ﻃﻮر ﻧﺸان داده ﻣﻰ ﺷﻮدIN = {1,2,3,4,5...} : اﻣا ﻣﻌادﻟﻪ x + 2 = 2در ست اﻋداد ﻃبﻴﻌﻰ حﻞ ﻧدارد ، x = 2 2 = 0چﻮن در ست اﻋداد ﻃبﻴﻌﻰ ﺻﻔر وجﻮد ﻧدارد ،بﻨابرآن بﻪ ست دﻳﮕرى ﺿرورت احﺴاس ﺷد. - 2ست اعداد مکمل()Whole numbersﻛﻪ ﻋبارت از } w = {0,1,2,3,4,5...ﻣﻰ باﺷد؛ اﻣا در ا ﻳﻦ ست ﻣﺴاوات x + 3 = 0حﻞ ﻧدارد ،زﻳرا x=-3ﻣﻴﺸﻮد.
3
- 3ست اعداد تام ﻳا } Z = {... 2, 1,0,1,2...ﻣﺴاوات 2x + 1 = 2در ست اﻋداد 1 تام حﻞ ﻧدارد زﻳرا ﻛﻪ = xﻣﻰ ﺷﻮد و 1در ست اﻋداد تام وجﻮد ﻧدارد. 2
2
- 4ست اعداد ﻧسبتﻰ (ﻧاطق) :ﻣﻰ داﻧﻴﻢ ﻛﻪ ﻋدد ﻧاﻃﻖ ﻋددﻳﺴت ﻛﻪ بﻪ ﺷﻜﻞ pﻛﻪ q 2 3
( q 0و pو qاﻋداد تام اﻧد) ﻧﻮﺷتﻪ ﺷﻮد .ﻣاﻧﻨد 4,3,7, 16 ,وﻏﻴره اﻋداد ﻧﺴبتﻰ اﻧد زﻳرا 4 1
= 16 = 4
- aکسرﻫاى اعشارى مختﻮم ( :)Terminating decimalsﻛﺴﻮر اﻋﺸارى ﻛﻪ تﻌداد ارﻗام اﻋﺸارى آن ﻣﻌﻴﻦ باﺷد بﻪ ﻧام ﻛﺴﻮر اﻋﺸارى ﻣختﻮم ﻳاد ﻣﻰ ﺷﻮد ﻛﻪ،202.04 ،100000.41237895 ،0.0000415ﻣثال ﻫاى ﻛﺴﻮر اﻋﺸارى ﻣختﻮم ﻣﻰ باﺷﻨد. - bکسرﻫاى اعشارى متﻮالﻰ ( :)Recurring Decimal Fractionsﻋبارت از ﻛﺴر ﻫاى اﻋﺸارى اﻧد ﻛﻪ ﻳﻚ ﻳا چﻨد رﻗﻢ آن تﻜرار ﻣﻰ ﺷﻮد؛ ﻃﻮر ﻣثال: 0.3 6 , 4.123 , 0.23, 2. 3
اﻳﻦ ﻛﺴر ﻫاى اﻋﺸارى ﻧﻴز بﻪ ﺷﻜﻞ ﻛﺴر ﻋام ﻧﻮﺷتﻪ ﺷده ﻣﻰ تﻮاﻧد پس ﻫر ﻛﺴر اﻋﺸارى ﻣتﻮاﻟﻰ ﻧﻴز ﻳﻚ ﻋدد ﻧاﻃﻖ ﻣﻰ باﺷد. مثال اول: 2 = 0. 2 9 4 = 0.571428 7 9 = 0.81 11 7 = 0.583 12
36 18 9 = = 100 50 25 36 12 4 = = = 0.36 99 33 11 33 11 = = 0. 3 6 90 30 123 41 = = 0.123 999 333 25 1 = = 0.25 100 4 3 1 = = 0.333... 9 3 1 = 0.142857142857... 4 7 = 0.36
فعالﻴت اﻋداد زﻳر را بﻪ ﺷﻜﻞ ﻛﺴر ﻫاى اﻋﺸارى ﻣتﻮاﻟﻰ بﻨﻮﻳﺴﻴد: 17 18
10 13 29 33
4 15 9 11
5 6 13 24
5 11 13 27
2 3 5 22
- 5اعداد غﻴرﻧسبتﻰ ﻳا اعداد گﻨگ ( :)Irrational numbersاﻋدادى ﻛﻪ بﻪ ﺷﻜﻞ ﻛﺴر ﻋام ﻧﻮﺷتﻪ ﺷده ﻧتﻮاﻧﻨد و ﻳا بﻪ ﻋبارت دﻳﮕر ﻛﻪ بﻪ ﺷﻜﻞ pدرآورده ﻧﺸﻮد ( pو q qاﻋداد تام و q 0ﻣﻰ باﺷد) ﻣثﻞ 5 , 7 , 3 , 2و ﻏﻴره. 5
16
ﻛﺴرﻫاى اﻋﺸارﻳﻰ ﻛﻪ ارﻗام اﻋﺸارى آن ﻫا ﻧﻪ ختﻢ ﻣﻰ ﺷﻮد و ﻧﻪ تﻜرار ﻣﻰ ﺷﻮد اﻋداد ﻏﻴرﻧﺴبتﻰ اﻧد ﻣاﻧﻨد0.01001000100001 ,...7.3205080,…1.709975947 ,…,3.141592654 :
ﻛﻪ اﻳﻦ ﻋدد بﻪ ﻧام = 3.14159...
ﻳاد ﻣﻰ ﺷﻮد.
ﻣحﻴﻂ داﻳره ﻃﻮل ﻗﻄر داﻳره
=
- 6ست اعداد حقﻴقﻰ :از اتحاد اﻋداد ﻧﺴبتﻰ ( )Qو اﻋداد ﻏﻴر ﻧﺴبتﻰ (' )Qتﺸﻜﻴﻞ ﻣﻰ ﺷﻮدQ U Q' = IR .
- 7ست اعداد مختلط :ﻣﻌادﻟﺔ x 2 + 1 = 0در ست اﻋداد حﻘﻴﻘﻰ حﻞ ﻧدارد؛ اﻣا در ست اﻋداد ﻣختﻠﻂ حﻞ دارد .ﻳا اﻋداد ﻣﻨﻔﻰ در ست اﻋداد حﻘﻴﻘﻰ ﻛﻪ درجﺔ جذر آن جﻔت و ﻏﻴره ﻛﻪ در ست اﻋداد 36 , 64 , باﺷد ،جذر ﻧدارد .ﻃﻮر ﻣثال :اﻋداد 16 ﻣختﻠﻂ داراى جذر دوم ﻣﻰ باﺷد. ﺷﻜﻞ ﻋﻤﻮﻣﻰ ﻳﻚ ﻋدد ﻣختﻠﻂ( )a+biﻣﻰ باﺷد ﻛﻪ aو bاﻋداد حﻘﻴﻘﻰ و 1 = iﻣﻰ باﺷد. مثال دوم :در اﻋداد زﻳر اﻋداد ﻧﺴبتﻰ ،ﻏﻴر ﻧﺴتبﻰ و اﻋداد حﻘﻴﻘﻰ را ﻧﺸان دﻫﻴد: 17
5
1 4
3 0
10
9 3
56.85
3
حل 3ﻋدد ﻏﻴر ﻧﺴبتﻰ ،ﻋدد حﻘﻴﻘﻰ ﻣﻰ باﺷد. 56.85
ﻳﻚ ﻛﺴر اﻋﺸارى ﻣختﻮم و در ﻧتﻴجﻪ ﻋدد ﻧﺴبتﻰ و ﻋدد حﻘﻴﻘﻰ ﻣﻰ باﺷد.
9 3 10ﻋدد ﻏﻴر ﻧﺴبتﻰ ﻣﻰ باﺷد.
ﻋدد ﻣﻜﻤﻞ ،ﻋدد تام ،ﻋدد ﻧﺴبتﻰ ،ﻋدد حﻘﻴﻘﻰ ﻣﻰ باﺷد.
3 0 1 4
تﻌرﻳﻒ ﻧﻪ ﺷده ،پس ﻋدد حﻘﻴﻘﻰ ﻧﻴز ﻧﻤﻰ باﺷد.
17
ﻋدد ﻧﺴبتﻰ است. ﻋدد حﻘﻴﻘﻰ ﻧﻴﺴت. فعالﻴت
2 1 بﻴﻦ اﻋداد حﻘﻴﻘﻰ 2و 3 3
2چﻨد ﻋدد حﻘﻴﻘﻰ وجﻮد دارد؟
تمرﻳن - 1در اﻋداد زﻳر ﻛدام ﻋدد ﻧﺴبتﻰ ،ﻏﻴر ﻧﺴبتﻰ و ﻳا ﻋدد حﻘﻴﻘﻰ ﻧﻴﺴت: 72
4 25
16 25
4
2 0 0
4 36
- 2اﻋداد ﻧﺴبتﻰ زﻳر را بﻪ ﺷﻜﻞ ﻛﺴر اﻋﺸارى بﻨﻮﻳﺴﻴد: 1 3
1 4
3 8
7 12
2 9
4 7
9 11
6
عملﻴﻪ ﻫاي جمع و تفرﻳق اعداد ﻧسبتﻲ آﻳا ﻋﻤﻠﻴﻪ 3 + 3 = 6 = 3را در ﺷﻜﻞ 4
8
8
8
تﻄبﻴﻖ ﻛرده ﻣﻰ تﻮاﻧﻴد؟
ﺷﻤا با ﻋﻤﻠﻴﻪ ﻫاي چﻬارﮔاﻧﺔ اﻋداد ﻧﺴبتﻰ در ﺻﻨﻒ 7آﺷﻨا ﺷده اﻳد ﻏرض تﻜرار و وﺿاحت بﻄﻮر ﻣختﺼر بﻌﻀﻰ از ﻣثال ﻫا را ﻳادآورى ﻣﻰ ﻧﻤائﻴﻢ. مثال اول: 3 4 3+ 4 7 = + = =1 7 7 7 7 8 ( 2) 8 ( 2) 8 + 2 10 = = = 11 11 11 11 11 3 2 ?= + 4 5 3 5 15 2 4 8 = = , 4 5 20 5 4 20 15 8 15 + 8 23 3 + = = =1 20 20 20 20 20
فعالﻴت اﻋداد ﻧﺴبتﻰ زﻳر را جﻤﻊ و تﻔرﻳﻖ ﻧﻤاﻳﻴد: 1 3 2 10 4
7
d) 7
1 4 c) 3 + 7 2 5
5 5 6 9
)b
5 1 + 6 3
)a
مثال دوم :حاﺻﻞ تﻔرﻳﻖ 2 1را در ﺷﻜﻞ ﻣﺸاﻫده ﻛﻨﻴد. 2
مثال سﻮم
3
6 ( 25) 6 25 19 + = = = 1 19 19 19 19 19 1 3 1 84 36 + 7 91 36 55 11 (+ )+ = = = = 5 35 60 420 420 420 84 3 5 3 5 )3 + ( 5 8 = + = = = 1 8 8 8 8 8 8
1 5 مثال چﻬارم :اﮔر t = 2باﺷد ،ﻗﻴﻤت + t 8 8
را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد.
حل
1 5 1 21 1 + 21 20 5 1 = +2 + = = = =2 8 8 8 8 8 8 2 2 2 11 باﺷد ﻋدد دﻳﮕرى ﻣﻰ باﺷد ،اﮔر ﻳﻚ ﻋدد مثال پﻨجم :ﻣجﻤﻮع دو ﻋدد ﻧﺴبتﻰ 7 21
را درﻳابﻴد. حل
مثال ششم:
11 2 17 = + 21 7 21
=x
2 11 = 7 21
x
2 11 =) 7 21
(x+
2 1 10 + 3 13 = + = 3 5 15 15 2 1 17 7 34 35 1 = ) (3 +( 3 ) = + = 5 2 5 2 10 10
1 = nباﺷد ﻗﻴﻤت n 11را درﻳابﻴد. مثال ﻫفتم :اﮔر 3 6 حل
8
1 11 16 33 49 1 = = = 1 3 16 48 48 48 2 1 12 28 36 + 140 176 11 2 +9 = + = = = 11 5 3 5 3 15 15 15 .
فعالﻴت 1 11 ? = 11 2 15
15
ﻧﻮت :ﻛﺴﻮر ﻣﻌادل را در اﺷﻜال ذﻳﻞ ﻣﺸاﻫده ﻛﻨﻴد: 0.50 = 0.0500
0.75 = 0.750
1.25 = 1.250
0.50 = 0.500 2 1 = 4 2
0.25 = 0.250
0.25 = 0.250
9
1.25 = 1.250
0.75 = 0.750
تمرﻳن - 1جﻤﻊ و تﻔرﻳﻖ ﻛﻨﻴد. 3 ) 4 7 ) 12 3 ) 10 9 ) 16 11 ) 16
3 (+ 4 1 (+ 12 7 (+ 10 15 (+ 16 13 ( 24
8 3 11 11
)b )d
0.9 + 2.5
)c
)f
1.7 + 3.6
)e
)h
4 + 1.3
)g
31 5 45 9
)j
2 - 2از ﻋدد ﻧﺴبتﻰ 3ﻛدام ﻋدد تﻔرﻳﻖ ﺷﻮد ﻛﻪ ﻣﺴاوى بﻪ 17 11
- 3ساده سازﻳد:
5 2 - 4حاﺻﻞ جﻤﻊ و 6 3
7 و 18
)i
ﺷﻮد؟
2 1 1 + 21 9 12
2 را از حاﺻﻞ جﻤﻊ 9
)a
1 8 + 3 7
تﻔرﻳﻖ ﻛﻨﻴد.
10
عملﻴﺔ ﻫاى ضرب و تقسﻴم اعداد ﻧسبتﻰ آﻳا حاﺻﻞ ﺿرب دو ﻋدد ﻧﺴبتﻰ 3و 2 5 3
را در ﺷﻜﻞ تﻄبﻴﻖ ﻛرده ﻣﻴتﻮاﻧﻴد؟
2 6 2 12 = ) (6 = =4 3 3 3 3 13 52 2 = ) (4(2 ) = 4 = 10 5 5 5 5 مثال اول :در ﺷﻜﻞ ذﻳﻞ ﺷﻜﻞ سادة حاﺻﻞ ﺿرب 3 2را ﻣﺸاﻫده ﻛﻨﻴد. 5 3
مثال دوم:
2 مثال سﻮم :اﮔر 3
11
1 3 3 = ) () ( 2 5 10 5 12 60 ( =) = 1 12 5 60 2 7 20 7 7 1 (6 )( ) = ( )( ) = = 2 3 20 3 20 3 3 ( 2.5)( 8) = 20 0.07(4.6) = 0.322 1 2
= tباﺷد ﻗﻴﻤت 5 tرا ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد.
1 2 11 2 22 11 2 ( = ) () ( 5 = ) () = =3 2 3 2 3 6 3 3
فعالﻴت 1 اﮔر t = 8باﺷد ﻗﻴﻤت 5 t 2
را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد.
مثال چﻬارم:
(100)(0.1) = 10 (10)(0.1) = 1 (100)(0.01) = 1
(1000)(0.001) = 1 (0.1)(0.1)(0.1) = 0.001
(10000)(0.0001) = 1
(0.3) (0.03) = 0.009
عملﻴﺔ تقسﻴم اعداد ﻧسبتﻰ :حاﺻﻞ ﺿرب ﻋدد ﻧﺴبتﻰ با ﻣﻌﻜﻮس ﺿربﻰ آن ﻣﺴاوى بﻪ ( )1ﻣﻰ باﺷد. حاصل ضرب
معکﻮس ضربﻰ
عدد
3 4 ( ) =1 4 3 5 12 ( () ) =1 12 5 1 6( ) = 1 6
3 4 5 12 1 6
4 3 12 5 6
12
مثال پﻨجم:
7 2 7 3 21 7 = ÷ = = 12 3 12 2 24 8 1 13 4 13 1 13 = ) ( = ÷ = 3 ÷4 4 4 1 4 4 16
فعالﻴت
? = 2.92 ÷ 0.4
مثال ششم: 100 ÷ 0.1 = 1000 = 103 1000 ÷ 0.01 = 100000 = 105 10000 ÷ 0.001 = 10000000 = 107 0 .1 1 = = 0.01 = 10 2 10 100 0.01 1 = 0.01 ÷ 10 = = 0.001 = 10 3 10 1000 مثال ﻫفتم :اﮔر n = 0.24باﺷد ﻗﻴﻤت 7.2را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد. n 7.2 720 = = 30 0.24 24 = 0.1 ÷ 10
3 1 اﮔر m = 7باﺷد ﻗﻴﻤت 8 2
÷ mرا ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد.
1 3 15 8 120 = ÷ 7 = = 20 2 8 2 3 6
خﻮاص اعداد ﻧسبتﻰ خﻮاص عملﻴﺔ جمع اعداد ﻧسبتﻰ: 3 5 و - 1خاصﻴت بستﻪ گﻰ: 7 2
13
دو ﻋدد ﻧﺴبتﻰ ﻣﻰ باﺷد:
5 3 35 + 6 41 = + = 2 7 14 14
41 ﻛﻪ 14
ﻧﻴز ﻳﻚ ﻋدد ﻧﺴبتﻰ ﻣﻰ باﺷد.
- 2خاصﻴت تبدﻳلﻰ:
2 4 4 2 + = + 3 5 5 3 22 22 = 15 15
- 3خاصﻴت اتحادى:
2 3 1 2 3 1 ) ( + )+ = +( + 3 4 2 3 4 2 23 23 = 12 12
- 4صفر در عملﻴﺔ جمع عﻨصر عﻴﻨﻴت مﻰ باشد.
3 3 3 = 0+ = +0 4 4 4
خﻮاص عملﻴﺔ ضرب اعداد ﻧسبتﻰ: - 1اﻋداد ﻧﺴبتﻰ تحت ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺿرب ﻧﻴز بﺴتﻪ ﻣﻰ باﺷد. 5 3 ﻃﻮر ﻣثال :و دو ﻋدد ﻧﺴبتﻰ است و 3 5 = 15ﻛﻪ 15ﻧﻴز ﻳﻚ ﻋدد ﻧﺴبتﻰ ﻣﻰ 4
7
28
باﺷد. - 2خاﺻﻴت تبدﻳﻠﻰ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺿرب اﻋداد ﻧﺴبتﻰ:
- 3خاﺻﻴت اتحادى ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺿرب اﻋداد ﻧﺴبتﻰ:
4 7
28
2 4 4 2 = 3 5 5 3 8 8 = 15 15 2 3 5 2 3 5 ( = ) ) 3 4 6 3 4 6 5 5 = 12 12
(
14
- 4خاﺻﻴت تﻮزﻳﻌﻰ ﺿرب باﻻى جﻤﻊ اﻋداد ﻧﺴبتﻰ:
1 2 3 1 2 1 3 =) ( + + 2 3 4 2 3 2 4 1 17 2 3 ( )= + 2 12 6 8 17 17 = 24 24
- 5ﻋدد ( )1در ﻋﻤﻠﻴﻪ ﺿرب ﻋﻨﺼر ﻋﻴﻨﻴت ﻣﻰ باﺷد:
3 3 3 = 1=1 4 4 4
تمرﻳن - 1ﺿرب ﻛﻨﻴد:
)i
)h ) 0.15(2.8
1 4 ) ( 3 7 5 11 )d ( ) 12 6 )g) 7.3( 5
2 5 ) ( c) 6 5 9
)l
)4.7( 3
)k
)j) 0.5(7.3
)o
1 11 ( ) 2 2
)n
)f ) 0.04(3.6 )0.08(5.2 5 ) 4(1 8 )2.9( 3
3 7 ( ) 8 10
)b
)3.1( 4
)e
3 7 3 - 2ﻗﻴﻤت 2 xرا ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد ،ﻛﻪ اﮔر = ,x 9 8 4
x = 6باﺷد.
15
)a
1 ) 7(3 5 )0.02(5.9 1 3
= x = 2 , x = 4, xو
)m )p
- 3تﻘﺴﻴﻢ ﻛﻨد: c) 3.72 ÷ 0.3
1 2 b) 2 ÷ 3 4 5
f ) 14.08 ÷ 0.8
e) 3.46 ÷ 0.9
i) 1 ÷ 0.1 l) 3.6864 ÷ 0.64 o) 144 ÷ 12 r ) 0.144 ÷ 1.2
h ) 24 ÷ 0.75 k ) 7.86 ÷ 0.006 n ) 0.1 ÷ 0.01 q ) 144 ÷ 1.2
u ) 0.256 ÷ 0.16 x ) 0.00000256 ÷ 16
t ) 2.56 ÷ 1.6 w ) 256000 ÷ 0.16
- 4اﮔر حاﺻﻞ ﺿرب دو ﻋدد ﻧﺴبتﻰ 12 39
2 5 ÷ 3 6 5 )d ÷6 9 g ) 11.128 ÷ 0.52 j) 10 ÷ 0.01 m) 0.1 ÷ 100 p) 1.44 ÷ 1.2 )a
s) 14.4 ÷ 0.12 v) 0.00256 ÷ 1.6 y) 256 ÷ 0.0016
4 باﺷد ،اﮔر ﻳﻜﻰ از آن ﻋدد 3
باﺷد ،ﻋدد
دﻳﮕرى را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد. - 5ﻋدد ﻧﺴبتﻰ 0.1بﻪ ﻛدام ﻋدد تﻘﺴﻴﻢ ﮔردد ،تا حاﺻﻞ تﻘﺴﻴﻢ ﻋدد 100ﺷﻮد؟ - 6ﻋدد ﻧﺴبتﻰ 0.01بر ﻛدام ﻋدد تﻘﺴﻴﻢ ﮔردد ،تا حاﺻﻞ تﻘﺴﻴﻢ 10000ﺷﻮد؟
16
مﻮارد استعمال کسﻮر در حل مسائل روزمرة زﻧده گﻰ 0.5حﺼﻪ ﻛدام ﻋدد ﻣﺴاوى بﻪ ﻋدد 128
ﻣﻰ ﺷﻮد؟
2 3
مثال دوم :در ﻳﻚ اﻣتحان حﺼﻪ 111ﺷاﮔرد ﻛاﻣﻴاب ﮔردﻳده اﻧد تﻌداد ﺷاﮔردان ﻛاﻣﻴاب و ﻧاﻛام را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد. حل:
2 222 = ﺷاﮔردان ﻛاﻣﻴاب= 74 : 3 3 ﺷاﮔردان ﻧاﻛام111 74 = 37 :
×111
مثال دوم 3 :حﺼﺔ ﻋدد 3335چﻨد ﻣﻰ ﺷﻮد؟ 5 حل
3 3335 × = 2001 5
فعالﻴت 3 5
حﺼﺔ ﻛدام ﻋدد 2001ﻣﻰ ﺷﻮد؟
مثال سﻮم 2 :حﺼﺔ ﻛدام ﻋدد 74ﻣﻰ ﺷﻮد؟ 3 حل: 3 مثال چﻬارم :ﻳﻚ چﻮب 12mﻃﻮل دارد اﮔر 4
ﻋﻤﻖ حﻮض را در اﻳﻦ ﻧﻘﻄﻪ ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد.
17
2 3 = 74 × = 111 3 2
÷ 74
حﺼﺔ آن در ﻳﻚ حﻮض ﻏرق ﺷﻮد
حل: 3 مثال پﻨجم: 5
3 36 = = 9m 4 4
× 12
حﺼﺔ سرﻣاﻳﺔ احﻤد 81000ﻣﻰ باﺷد ،ﻣﻘدار پﻮل احﻤد را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد.
حل:
3 5 405000 = × 81000 ÷ = 81000 = 135000 5 3 3
فعالﻴت 0.01حﺼﻪ ﻛدام ﻋدد 1000ﻣﻰ ﺷﻮد. 1 1 حﺼﺔ ﺷاﮔردان در ﻣﻀﻤﻮن رﻳاﺿﻰ مثال ششم :در ﻳﻚ ﻣﻜتب 8 10 1 ﻣﻀﻤﻮن بﻴﻮﻟﻮژى و حﺼﺔ آﻧﻬا در ﻣﻀﻤﻮن ﻓزﻳﻚ ﻧاﻛام ﺷده اﻧد. 5
حﺼﺔ آﻧﻬا در
اﮔر تﻌداد ﺷاﮔرداﻧﻴﻜﻪ ﻛاﻣﻴاب ﮔردﻳده اﻧد 230ﻧﻔر باﺷﻨد تﻌداد ﻣجﻤﻮﻋﻰ ﺷاﮔردان اﻳﻦ ﻣﻜتب را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد. 5 5 1
1 1 1 4 + 5 + 8 17 = + + = 10 8 5 40 40
2 10 5 5 1
8 4 4
17 40 17 23 = = 40 40 40
23 40
1
حﺼﺔ ﺷاﮔردان ﻣﻜتب ﻛاﻣﻴاب ﮔردﻳده اﻧد ﻛﻪ 230ﻧﻔر ﻣﻰ باﺷد پس تﻌدد داخﻠﺔ
ﻣﻜتب ﻣﺴاوى است بﻪ: 230 230 40 = = 400 23 23 40
=x
23 = 230 40 1= x
1 مثال ﻫفتم :احﻤد 36ﻟﻴتر ﺷﻴر داﺷت ،اﮔر 1حﺼﺔ اﻳﻦ ﺷﻴر را بﻪ ﻣحﻤﻮد، 9 12
حﺼﺔ
18
آن را بﻪ ﻗاسﻢ و 1حﺼﺔ آن را بﻪ زﻟﻤﻰ داده باﺷد و ﺷﻴر باﻗﻴﻤاﻧده را از ﻗرار ﻓﻰ ﻟﻴتر 18 6
اﻓﻐاﻧﻰ باﻻى ﻳﻚ دوﻛاﻧدار ﻓروختﻪ باﺷد ﻣﻘدار پﻮﻟﻰ ﻛﻪ دوﻛاﻧدار تادﻳﻪ ﻛرده ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد. حﻞ: 1 حﺼﺔ احﻤد بﻪ ﻟﻴتر = 3 12
× 36
1 حﺼﺔ ﻣحﻤﻮد بﻪ ﻟﻴتر = 4 9
× 36
1 حﺼﺔ زﻟﻤﻰ بﻪ ﻟﻴتر = 6 6 3 + 4 + 6 = 13 36 13 = 23 23 × 18 = 414 × 36
ﻣﻘدار پﻮﻟﻰ ﻛﻪ دوﻛاﻧدار تادﻳﻪ ﻛرده است ﻋبارت از 414اﻓﻐاﻧﻰ ﻣﻴباﺷد. 3 5 مثال ﻫشتم :اﮔر احﻤد حﺼﺔ ﻳﻚ زﻣﻴﻦ و ﻣحﻤﻮد 8 12 زﻣﻴﻦ ﻣتباﻗﻰ را ﻗاسﻢ بﻪ ﻣبﻠﻎ 31200اﻓﻐاﻧﻰ خرﻳده است .ﻗﻴﻤت ﻫاى زﻣﻴﻦ احﻤد و ﻣحﻤﻮد
حﺼﺔ اﻳﻦ زﻣﻴﻦ را خرﻳده باﺷﻨد و
را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد. حل:
3 5 9 + 10 19 = + = 8 12 24 24 19 24 19 5 1 = = 24 24 24 ﻳﻌﻨﻰ 5حﺼﺔ اﻳﻦ زﻣﻴﻦ را ﻗاسﻢ خرﻳده است ﻛﻪ ﻗﻴﻤت آن 31200ﻣﻰ باﺷد .درﻧتﻴجﻪ 24
ﻗﻴﻤت ﻣجﻤﻮﻋﻰ زﻣﻴﻦ ﻣﺴاوى است بﻪ: اﻓﻐاﻧﻰ 31200 1 31200 24 = = 149760 5 5 24 3 ﻗﻴﻤت زﻣﻴﻦ احﻤد اﻓﻐاﻧﻰ 149760 × = 56160 8
19
=x
31200 3120 x
5 24 1
5 ﻗﻴﻤت زﻣﻴﻦ ﻣحﻤﻮد اﻓﻐاﻧﻰ = 62400 12 5 × 149760 ﻗﻴﻤت زﻣﻴﻦ ﻗاسﻢ اﻓﻐاﻧﻰ = 31200 24
× 149760
مثال ﻧﻬم :در ﻳﻚ ﻃﻴاره 350ﻧﻔر ﻣﺴاﻓر ﻣﻰ باﺷﻨد اﮔر 0.2حﺼﺔ آن ﻫا جﻮاﻧان و 0.25 حﺼﺔ ﻣﺴاﻓرﻳﻦ ﻣتباﻗﻰ اﻃﻔال و 0.6حﺼﺔ ﻣﺴاﻓر اﻳﻦ ﻣتباﻗﻰ رﻳﺶ سﻔﻴدان و ﻣﺴاﻓر باﻗﻴﻤاﻧده
زن ﻫا باﺷﻨد تﻌداد زن ﻫا را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد. حﻞ:
جﻮاﻧان350 × 0.2 = 70 : 350 70 = 280 اﻃﻔال280 × 0.25 = 70 : 280 70 = 210 رﻳﺶ سﻔﻴدان210 × 0.6 = 126 : تﻌداد زﻧﻬا210 126 = 84 : مثال دﻫم :ﻧﻔﻮس ﻳﻚ ﻗرﻳﻪ 32000ﻧﻔر است اﮔر 0.4حﺼﺔ آﻧﻬا باسﻮاد باﺷد تﻌداد
باسﻮاد و بﻰ سﻮاد را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد.
باسﻮاد32000 × 0.4 = 12800 : بﻰ سﻮاد32000 12800 = 19200 :
مثال ﻳازدﻫم 0.2 :حﺼﺔ ﻛدام ﻋدد 111ﻣﻰ ﺷﻮد.
111 1110 = = 555 0.2 2
فعالﻴت 3 4
حﺼﺔ ﻛدام ﻋدد 12ﻣﻰ ﺷﻮد و 0.1حﺼﺔ ﻛدام ﻋدد 857ﻣﻰ ﺷﻮد.
تبدﻳل کسر اعشار بﻪ فﻴصد و فﻴصد بﻪ کسر اعشار: 0.24 = 24% 0.005 = 0.5%
0.36 ×100 = 36% 0.1×100 = 10% 1.2 × 100 = 120% 2.01× 100 = 201%
مثال اول 0.1% , 80% , 20% , 2% :و 0.02%را بﻪ ﻛﺴر اﻋﺸار تبدﻳﻞ ﻛﻨﻴد.
20
2 = 0.02 100 20 2 = = 0.2 = 20% 100 10 80 8 = = 0.8 = 80% 100 10 0.1 1 = = 0.001 = 0.1% 100 1000 0.02 2 = = 0.0002 = 0.02% 100 10000 = 2%
مثال دوم :اﮔر احﻤد 0.3حﺼﺔ ﻣﻌاش خﻮد را در ﻛراﻳﺔ خاﻧﻪ داده باﺷد .آﻳا چﻨد ﻓﻴﺼد ﻣﻌاش خﻮر را در ﻛراﻳﻪ خاﻧﻪ داده است؟ 0.3 ×100 = 30%
در ﻧتﻴجﻪ احﻤد 30%ﻣﻌاش خﻮد را در ﻛراﻳﻪ خاﻧﻪ داده است. 3 مثال سﻮم :اﮔر ﻳﻚ دﻫﻘان 4
حﺼﺔ زﻣﻴﻦ خﻮد را ﮔﻨدم و ﻣتباﻗﻰ زﻣﻴﻦ را جﻮارى ﻛﺸت
ﻛرده باﺷد .آﻳا چﻨد ﻓﻴﺼد زﻣﻴﻦ را ﮔﻨدم و چﻨد ﻓﻴﺼد را جﻮارى ﻛﺸت ﻛرده است؟ حل: 3 × 25 75 = ﮔﻨدم= 75% : 100
4 × 25
جﻮارى100 75 = 25% :
21
تمرﻳن 1 1 - 1احﻤد 500اﻓﻐاﻧﻰ دارد ،اﮔر روز اول حﺼﻪ ،روز دوم 2 5 3 روز سﻮم حﺼﺔ پﻮل ﻣتباﻗﻰ را ﻣﺼرف ﻛرده باﺷد ،حاﻻ احﻤد چﻨد اﻓﻐاﻧﻰ دارد؟ 5
حﺼﺔ پﻮل ﻣتباﻗﻰ را
- 2در ﻳﻚ ﺷﻬر 250000ﻧﻔر زﻧده ﮔﻰ ﻣﻰ ﻛﻨد .اﮔر 0.15حﺼﺔ آن ﻫا باسﻮاد باﺷد تﻌداد بﻰ سﻮاد را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد. 0.00001 - 3حﺼﺔ ﻋدد 8.7 ×106چﻨد ﻣﻰ ﺷﻮد؟ 3 5 - 4احﻤد 72جﻠد ﻛتابچﻪ داﺷت اﮔر حﺼﺔ آن را بﻪ ﻣحﻤﻮد و ﻣحﻤﻮد 9 5
حﺼﺔ ﻛتابچﻪ
ﻫاى خﻮد را بﻪ زﻟﻤﻰ داده باﺷد ،تﻌداد ﻛتابچﻪ ﻫاى زﻟﻤﻰ را درﻳابﻴد. - 5ﻓاﺻﻠﻪ بﻴﻦ دو ﺷﻬر Aو 36km , Bاست اﮔر احﻤد 7حﺼﺔ اﻳﻦ ﻓاﺻﻠﻪ را تﻮسﻂ 9
3 باﻳﺴﻜﻞ و 4
حﺼﺔ ﻓاﺻﻠﺔ باﻗﻴﻤاﻧده را پﻴاده ﻃﻰ ﻛرده باﺷد ،حاﻻً ﻓاﺻﻠﻪ بﻴﻦ احﻤد و ﺷﻬر B
چﻘدر است؟
22
قﻮس ﻫا و ساده ساختﻦ افاده ﻫا ﻣﻴتﻮاﻧﻴد بﮕﻮﻳﻴد ﻛﻪ حاﺻﻞ 1 7 1 3 1 ÷ (5 ) 4 3 8 2 4
6 7
2
5
1 42
چﻨد ﻣﻰ ﺷﻮد؟
3 ) 4 4
=
1 7 1 1 ÷ (5 3 8 2
6 7
2
در رﻳاﺿﻴات( ) بﻪ حﻴث ﻗﻮس ﻛﻮچﻚ {} ،بﻪ حﻴث ﻗﻮس ﻣتﻮسﻂ و ] [ بزرگ استﻌﻤال ﻣﻰ ﺷﻮد؛ ﻛﻪ ﻧخﺴت از ﻫﻤﻪ( ) سپس }{ و در اخﻴر ] [ رﻓﻊ ﻣﻰ ﺷﻮد.
بﻪ حﻴث ﻗﻮس
مثال اول :ساده ﻛﻨﻴد. 6 7
5
1 7 1 3 1 ÷ (5 ) 4 3 8 2 4 =
7 15 11 19 ) (÷ 3 8 2 4
41 7
=
7 15 4 3 8 3
7 15 3 ÷ 3 8 4
41 7
=
41 35 246 245 1 = = 7 6 42 42
=
7 15 22 19 ÷ 3 8 4 7 5 3 2
41 7
=
41 7
41 7
=
2
مثال دوم :ساده ﻛﻨﻴد. 5 1 1 1 2 7 1 ÷ 3 ÷ 1 1 + (3 ) 2 6 9 8 8 3 12 11 28 9 10 11 31 ÷ ÷ (+ ) 6 9 8 9 3 12
=
11 28 5 13 ÷ ÷ + 6 9 4 12
=
11 28 15 + 13 ÷ ÷ 6 9 12
23
=
5
11 28 28 11 28 12 ÷ ÷ ÷ = 6 9 12 6 9 28 11 4 11 3 33 11 3 = ÷ = = = =1 6 3 6 4 24 8 8 =
مثال سﻮم :ساده ﻛﻨﻴد.
]})0.4[1.45 {0.37 ÷ (1.35 + 3.25 2.75 ]})= 0.4[1.45 {0.37 ÷ (4.60 2.75 ]}= 0.4[1.45 {0.37 ÷ 1.85 = 0.4[1.45 0.2] = (0.4)(1.25) = 0.5
فعالﻴت ساده ﻛﻨﻴد.
]})(4.02 + 2.39 3.75
[3.07 {5.269
جﻮاب:
5.321 ()4.859
مثال چﻬارم:
}) (7a 4a (3a )}= 5a 3a = 2a
{6a {6a
5a = 5a
اﮔر ﻗﻮس ﻫا وجﻮد ﻧداﺷتﻪ باﺷﻨد و در اﻓاده دو ﻳا اﺿاﻓﻪ تر از دو ﻋﻤﻠﻴﺔ اساسﻰ ﻣﻮجﻮد باﺷد ﻋﻤﻠﻴﻪ ﻫا بﻪ ترتﻴب تﻘﺴﻴﻢ ،ﺿرب ،جﻤﻊ و تﻔرﻳﻖ از چپ بﻪ راست اﻧجام ﻣﻰ ﺷﻮﻧد اﻳﻦ ترتﻴب بﻪ ﻧام( )DMASﻧاﻣﻴده ﻣﻰ ﺷﻮد؛ ﻃﻮر ﻣثال:
18 + 6 5 × 2 + 11 3 = 18 + 6 10 + 11 3 = 18 + 6 + 11 10 3 = 35 13 = 22
48 ÷ 16 × 3 = 3 × 3 = 9 و اﮔر اﻳﻦ اﻓاده داراى ﻗﻮس باﺷد 48 ÷ (16 × 3) = 48 ÷ 48 = 1 :ﻣﻰ ﺷﻮد.
بﻪ ﺻﻮرت ﻋﻤﻮم اﮔر در اﻓاده ﻗﻮس ﻫا ﻧﻴز وجﻮد داﺷتﻪ باﺷد بﻪ ترتﻴب( )BODMASساده ﻣﻰ ﺷﻮدﻛﻪ Bاز (Bracketsﻗﻮس) و Oاز (Operationﻋﻤﻠﻴﻪ) D ،از Division
24
(تﻘﺴﻴﻢ) M ،از (Multiplicationﺿرب) A ،از (Additionجﻤﻊ) و Sاز ( Subtractionتﻔرﻳﻖ) اخذ ﺷده است. مثالﻬا :ساده ﻛﻨﻴد:
a ) 144 ÷ 8 × 6 = 18 × 6 = 108 b) 25 42 ÷ 7 × 2 + 45 ÷ 3 × 5 5 × 9 ÷ 3 × 2 25 6 × 2 + 15 × 5 5 × 3 × 2 = 25 12 + 75 30 (25 + 75) (12 + 30) = 100 42 = 58
]c) 12 ÷ 3[ 4 + 8{ 3 + 2( 7 + 10) + 3(8 2)} 1 ]12 ÷ 3[ 4 + 8{ 3 + 2 × 3 + 3 × 6} 1 ]12 ÷ 3[ 4 + 8{ 3 + 6 + 18} 1 ]12 ÷ 3[ 4 + 8{24 3} 1 ]12 ÷ 3[ 4 + 8 21 1 ]12 ÷ 3[168 5 12 ÷ 3 163 4 163 = 652
25
تمرﻳن
ساده ﻛﻨﻴد:
? =]}1.18 ÷ [3.45 {1.21 ÷ (5.69 3.27 ? =]})0.42 ÷ [8.35 {1.5(1.9 + 3.4
)a )b
]})5.321 [3.071 {5.269 (4.02 + 2.39 3.75 5 1 5 4 2 4 (3 2 ) (5 ?=) 4 6 3 6 9 3 1 1 7 9 3 4 1 + (3 ?= 1 2 4 8 16 4 25 ÷ 5 × 3 + 4
)c
)f
319 + 40 ÷ 8 4 [ 5 + { 4 + ( 5 + 4) 5}+ 4] 5
)g )h
)d )e
26
قﻮاﻧﻴﻦ طاقت اعداد ﻧسبتﻰ(در صﻮرتﻰ کﻪ تﻮان ﻫا اعداد مثبت باشﻨد) ( 3 ) 4چﻨد ﻣﻰ ﺷﻮد؟ 4
5 5 3125 = ) ( 7 16807
قاﻧﻮن اول :اﮔر aﻋدد ﻧﺴبتﻰ و n,mاﻋداد ﻣثبت تام باﺷﻨدa m × a n = a m+n : مثال اول:
3 3 3 3 3 = ( ) 2+5 = ( ) 7 4 4 4 4 4 1 2 + 3+ 5 1 ) = ( )10 2 2
3 3 3 4 4 4 1 5 (= ) 2
3 3 3 = ( ) 2 ( )5 4 4 4 1 1 ( ( ) 2 ( )3 2 2
قاﻧﻮن دوم :اﮔر aﻋدد ﻧﺴبتﻰ خﻼف ﺻﻔر باﺷد و n,mاﻋداد تام ﻣثبت و m>nباﺷد: n
مثال دوم:
am a ÷ a = n = am a n
m
43 4 4 4 = = 43 2 = 4 42 4 4 ( 3) 4 = ( 3) 4 2 = ( 3) 2 = 9 = ( 3) 4 ÷ ( 3) 2 2 )( 3 2 2 2 2 2 2 2 8 = ) () () ( = ( )8 ÷ ( )5 = ( )8 5 = ( )3 9 9 9 9 9 9 9 729 = 43 ÷ 4 2
فعالﻴت 3 3 ? = ( )3 ( ) 2 5 5
27
قاﻧﻮن سﻮم :اﮔر aﻋدد ﻧﺴبتﻰ خﻼف ﺻﻔر و n,mاﻋداد تام ﻣثبت و n>mباﺷد: am an
مثال سﻮم:
=
1 m
an
= am ÷ an
32 3 3 1 1 1 1 = = == 52 = 3 5 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 27 1 729 = 125 125 729
1 = 5 ( )3 9
5 2 ) 1 = 9 5 5 ( )5 ( )5 9 9
(
=
قاﻧﻮن چﻬارم :اﮔر aو bاﻋداد ﻧﺴبتﻰ و mﻋدد تام ﻣثبت باﺷد:
= 32 ÷ 35
2
m
)b = (ab m
m
a
مثال چﻬارم:
1 5 5 1 1 = ( )4 ( )4 = ( )4 = ( )4 3 20 60 12 (12) 4
قاﻧﻮن پﻨجم :اﮔر aﻳﻚ ﻋدد ﻧﺴبتﻰ و n,mاﻋداد تام ﻣثبت باﺷﻨد.
mn
(a ) = a m n
مثال:5
(2 2 ) 3 = 43 = 64
فعالﻴت 2
( 1 )3را ساده ﻛﻨﻴد. 3
قﻮاﻧﻴﻦ طاقت وقتﻰ کﻪ تﻮان ﻫا اعداد تام مﻨفﻰ و ﻳا صفر باشﻨد: ﻣﺸاﻫده ﺷد ﻛﻪ ﻣﻌﻜﻮس ﺿربﻰ ﻋدد ﻧﺴبتﻰ pﻋبارت از qﻣﻴباﺷد و ﻳا ﻣﻌﻜﻮس ﺿربﻰ p ﻋدد q
p q
q
p
بﻪ ﺷﻜﻞ ( ) 1ﻧﺸان داده ﻣﻰ ﺷﻮد؛ پس:
28
3 1 1 = ) 1 3
( = ( 3) 1
1 بﻪ ﺻﻮرت ﻋﻤﻮم اﮔر xﻳﻚ ﻋدد ﻧﺴبتﻰ خﻼف ﺻﻔر باﺷد x
p q =( )1 q p 4 1 = 4 1 =( ) 1 1 4
= x 1است 4 2ﻣﻌﻜﻮس
ﺿربﻰ 4 2و 7 3ﻣﻌﻜﻮس ﺿربﻰ 7 3ﻣﻰ باﺷد باﻵخره x nﻣﻌﻜﻮس ﺿربﻰ x nﻣﻰ باﺷد. 1 xn
=
n
x
قاﻧﻮن اول :اﮔر xﻳﻚ ﻋدد ﻧﺴبتﻰ خﻼف ﺻﻔر و nﻳﻚ ﻋدد تام ﻣثبت باﺷد؛ پس x n 1 ﻣﻌﻜﻮس ﺿربﻰ x nﻣﻰ باﺷد ) ( x n = n x مثال اول :ﻣﻌﻜﻮس ﻫاى ﺿربﻰ اﻋداد ﻧﺴبتﻰ ( 31) 5 , (11) 4را درﻳابﻴد. 41 13 11 ﻣﻌﻜﻮس ﺿربﻰ (11) 4ﻋبارت از ( ) 4ﻣﻰ باﺷد. 13 13
و ﻣﻌﻜﻮس ﺿربﻰ
5
31 5 31 ( ﻋبارت از ) ) 41 41
( ﻣﻰ باﺷد.
قاﻧﻮن دوم :اﮔر aﻳﻚ ﻋدد ﻧﺴبتﻰ خﻼف ﺻﻔر و n,mاﻋداد تام ﻣثبت و ﻳا ﻣﻨﻔﻰ باﺷد. a m × a n = a m+n
مثال دوم: = 4 2 = 16
7
1 49 (4 )(4 ) = (4 )( 7 ) = 7 = 49 4 4 9
7
9
2 ( )6 2 2 8 2 6 2 3 2 6 1 = ) = 5 = ( )6 3 = ( )3 ( ) (= ) ( ) ( 2 5 5 125 5 5 5 ( 2 )3 ( )3 5 5
فعالﻴت
2 2 2 ? = ( ) 3 ( )8 ( ) 5 5 5 5
29
مثال سﻮم: 7 2 49 = ) 9 81 5 8 5 5 مثال چﻬارم :ﻧﺸان دﻫﻴد ﻛﻪ = ) ÷ ( )6 3 3 3
حل:
7 5 7 7 ( = ) ÷ ( )3 = ( )5 3 9 9 9 5 ( ( )15ﻣﻰ باﺷد. 3
5 6 5 5 5 5 ) = ( )15 8 ÷ ( ) 6 = ( ) 7 ÷ ( ) 6 3 3 3 3 3 5 5 = = ( )7 6 3 3
(÷
5 15 5 ) ( ) 3 3
8
(
(
قاﻧﻮن سﻮم :اﮔر aﻳﻚ ﻋدد ﻧﺴبتﻰ خﻼف ﺻﻔر و n,mاﻋداد تام ﻣثبت ﻳا ﻣﻨﻔﻰ باﺷﻨد: n
n
مثال پﻨجم:
am ÷ an = am
1 1 = = 81 1 4 1 ) ( 3 81
=
4
ﻳا
1 ) = (a m )(a n ) = a m n a
= 22 = 4 1 ) 3
(=
2
n
m
a = am an
( am ÷ an = am
3+ 5
2 3 ÷2 5 = 2
52 ÷ 5 1 = 52+1 = 53 = 125 1 1 1 ( ) 2 ÷ ( )2 = ( ) 2 3 3 3
فعالﻴت 1 3 1 ? = ) ÷ ( )3 4 4
(
قاﻧﻮن چﻬارم :اﮔر aﻳﻚ ﻋدد ﻧﺴبتﻰ و n,mاﻋداد تام ﻣثبت ﻳا ﻣﻨﻔﻰ باﺷﻨد ،پس: (a m ) n = a mn
30
مثال:6 3
4 6 ) 3 7 3 4 712 7 ) = 12 = ( )12 3 5 5 5
(=
4
(= 53 ) 73
2
4
5 ( )3 7
(=
3 = ( )6 7
فعالﻴت
3 ) ( 4
3 2
5
?=
3
3 ) ( 7
4 ) ( 5
قاﻧﻮن پﻨجم a 0 = 1 :ﻣﻰ باﺷد (اﮔر aﻳﻚ ﻋدد ﻧﺴبتﻰ خﻼف ﺻﻔر باﺷد) پس: = a0
n
(a )(a ) = a n n
n
درحاﻟﻰ ﻛﻪ aﻳﻚ ﻋدد ﻧﺴبتﻰ ﻣثبت ﻳا ﻣﻨﻔﻰ باﺷد ،ﻫﻤچﻨﻴﻦ:
1 (a n )(a n ) = (a n )( n ) = 1 a
a0 = 1
ﻫﻤچﻨﻴﻦ(ab) m = (a m )(b m ) :
قاﻧﻮن ششم :اﮔر aو bاﻋداد ﻧﺴبتﻰ خﻼف ﺻﻔر و mﻋدد تام باﺷد. وﻗتﻰ ﻛﻪ mﻳﻚ ﻋدد تام ﻣثبت باﺷد؛ پس m = nﻛﻪ ﻳﻚ ﻋدد تام ﻣثبت ﻣﻴباﺷد. = (a m )(b) m
اﮔر m = 0باﺷد
n
1 1 1 )= ( n )( n ) = (a n )(b n )(ab a b m=0
b =1 0
n
)(ab) m = (ab
=
a =1 ,
(ab) = 1 ,
0
0
مثال ﻫفتم:
1 1 1 = تﻮان جﻔت = 2 2 2 2 ) ( 2x ( 2) x 4x 1 1 1 1 تﻮان ﻃاق = = = 3 3 3 3 ) ( 2x ( 2) x 8x 8x 3
31
=
2
) ( 2x
= ( 2x ) 3
تمرﻳن . ساده ﻛﻨﻴد- 1 2 3 a ) ( ) 2 ( )3 5 2 1 2 1 c) ( ) ÷ ( ) 2 9 3
2 4 ) ( 3 1 d) ( ) 4 ( 2
2 2 e) ( ) 2 ( ) 3 3 3
2 f ) ( )4 3
3 3 ) 4 1 3 ) 2
b) (
5
5 g) ( )3 7 2 3 3 i) ( ) 3 ( ) 5 ÷ ( ) 2 3 2 2
5 4 5 3 7 2 ) ( ) ( ) 7 7 5 5 15 j) ( ) 1 + 10 1 + ( ) 1 3 7 h) (
1
2 k) 8 ( ) 1 3 1 m) ( 4 2 ) 3 ( ) 2 ÷ 8 2
2
1
l) 3
n)
1 7 5 ) (3 ) 3 1 ( ) 3 (2 7 ) 2
(
2 5 =? -2 a)
1 10
a ) 8100000
32
b)
1 32
b) 0.000081
c)
1 32
c) 810000
d)
1 10 8.1×10 5 = ? - 3
d ) 0.0000081
روش علمﻰ عدد ﻧﻮﻳسﻰ Scien ic N a i n ﻛتﻠﺔ زﻣﻴﻦ 5980000000000000000000 تﻦ ﻣترﻳﻚ ﻣﻰ باﺷد اﻳا اﻳﻦ ﻋدد را بﻪ روش ﻋﻠﻤﻰ ﻋدد ﻧﻮﻳﺴﻰ ﻣﻴتﻮان ﻧﻮﺷت؟
1.2 = 0.12 × 10 = 0.012 × 10 2 = 0.0012 × 103 = 0.00012 × 10 4 = ... 3
= 1200 ×10
2
12 × 10 1 = 120 × 10
ﻳﻚ ﻋدد را با استﻔاده از روش ﻋدد ﻧﻮﻳﺴﻰ بﻪ ﺷﻜﻞ K ×10nﻃﻮرى ﻛﻪ 1 K < 10و n ﻳﻚ ﻋدد تام ﻣﻰ باﺷد. مثال اول: اﻋداد روش ﻋﻠﻤﻰ ﻋدد ﻧﻮﻳﺴﻰ
33
8.75 ×105
=
875000
8.75 ×10 4
=
87500
8.75 ×103
=
8750
8.75 ×10 2
=
875
8.75 ×101
=
87.5
8.75 ×10 0
=
8.75
1
8.75 ×10
=
0.875
2
8.75 ×10
=
0.0875
3
8.75 × 10
= 0.00875
4
8.75 ×10
= 0.000875
ﻧتﻴجﻪ ﻣﻰ ﺷﻮد ﻛﻪ: - 1اﮔر ﻋدد داده ﺷده بزرﮔتر ﻳا ﻣﺴاوى بﻪ 10باﺷد تﻮان ) (10ﻋدد تام ﻣثبت ﻣﻰ باﺷد. ﻣاﻧﻨد56.8 = 5.68 × 101 : - 2اﮔر ﻋدد داده ﺷده بزرﮔتر ﻳا ﻣﺴاوى بﻪ ﻳﻚ و ﻛﻮچﻜتر از ) (10باﺷد تﻮان ) (10ﺻﻔر است .ﻣاﻧﻨد5.68 = 5.68 × 100 : - 3اﮔر ﻋدد داده ﺷده ﻛﻮچﻜتر از ) (1باﺷد تﻮان ) (10ﻋدد تام ﻣﻨﻔﻰ ﻣﻰ باﺷد. ﻣاﻧﻨد0.568 = 5.68 × 10 1 : مثال دوم :اﻋداد ذﻳﻞ را بﻪ روش ﻋﻠﻤﻰ ﻋدد ﻧﻮﻳﺴﻰ بﻨﻮﻳﺴﻴد. 5370000 = 5.370000 ×10 6 = 5.37 ×10 6 89573850123 = 8.9573850123 ×1010 1
0.98392051 = 9.8392051 ×10 11
0.00000000002 = 2 ×10
8.53427501 = 8.53427501 ×10 0 63.52893 = 6.352893 ×101 1
= 8.253 ×10
4
= 8.523 ×103 ×10
4
8253 ×10
فعالﻴت اﻋداد ذﻳﻞ را بﻪ روش ﻋﻠﻤﻰ ﻋدد ﻧﻮﻳﺴﻰ بﻨﻮﻳﺴﻴد. c) 23.567
b) 10.0101
f ) 823.97 ×1043
e) 23
a ) 0.0012 18
d ) 22.52 ×10
مثال سﻮم :ﻓاﺻﻠﺔ اوسﻂ زﻣﻴﻦ از آﻓتاب 1.5 ×108 kmﻣﻰ باﺷد اﮔر سرﻋت آﻓتاب 3 ×105 km / secباﺷد وﻗت تﻘرﻳبﻰ بر حﺴب ساﻋت ) (hrرا ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد ،ﻛﻪ ﺷﻌاع آﻓتاب در آن وﻗت بﻪ زﻣﻴﻦ ﻣﻴرسد جﻮاب خﻮد را بﻪ روش ﻋﻠﻤﻰ ﻋدد ﻧﻮﻳﺴﻰ بﻨﻮﻳﺴﻴد. حل:
d 1.5 × 10 10 10 = = sec = sec sec = 500 sec = 5 × 10 2 sec 5 v 3 × 10 2 2 1hr = 60 × 60 sec = 3600 sec = 3.6 × 103 sec 3
8 5
8
=t
34
5 ×10 2 50 5 =h = h = 0.139h = 1.39 ×10 1 hr 3 3.6 ×10 36 × 10 36
= 5 × 10 2 sec
تمرﻳن - 1اﻋدد ذﻳﻞ را بﻪ روش ﻋﻠﻤﻰ ﻋدد ﻧﻮﻳﺴﻰ بﻨﻮﻳﺴﻴد. b) 23456392×100 d) 23.01×103
9 5
a ) 346 ×10
c) 0.001×10
f ) 35.8
e) 0.4342 ×10 19
h ) 94.1×105
g) 935 ×104 i) 0.00035×1011
- 2اﻋداد ذﻳﻞ را بﻪ روش ﻋﻠﻤﻰ ﻋدد ﻧﻮﻳﺴﻰ بﻨﻮﻳﺴﻴد: سرﻋت ﻧﻮر در خﻼ 299792.5km / secﻣﻰ باﺷد. اوسﻂ ﻓاﺻﻠﺔ آﻓتاب از زﻣﻴﻦ 150000000kmﻣﻰ باﺷد. اوسﻂ ﻛتﻠﺔ زﻣﻴﻦ 5980000000000000000000تﻦ ﻣترﻳﻚ ﻣﻰ باﺷد. ﻓاﺻﻠﺔ تﻘرﻳبﻰ ﻣﻬتاب از زﻣﻴﻦ 380000kmاست. ﻗﻄر ﻳﻚ اتﻮم 0.000000015cmﻣﻰ باﺷد. 1 ﻣﻰ باﺷد. ﻳﻚ ﻣاﻳﻜرون m 1000000
35
ﻧکات مﻬم فصل p اﻋدادﻳﻜﻪ بﻪ ﺷﻜﻞ q باﺷﻨد.
) p (، q 0و qاﻋداد تام اﻧد) ﻧﻮﺷتﻪ ﺷده بتﻮاﻧﻨد اﻋداد ﻧﺴبتﻰ ﻣﻰ
ﻛﺴﻮر اﻋﺸارى ﻣتﻮاﻟﻰ و ﻛﺴﻮر اﻋﺸارى ﻣختﻮم اﻋداد ﻧﺴبتﻰ(ﻧاﻃﻖ) اﻧد. ﻗﻮاﻧﻴﻦ ﻃاﻗت :اﮔر aو bاﻋداد حﻘﻴﻘﻰ خﻼف ﺻﻔر و mو nاﻋداد تام باﺷﻨد ،پس: c) (a m ) n = a mn 1 am
=
m
c) a
am = am n n a a n an e) ( ) = n b b
a ) a m a n = a m+n
)b
d) (ab) n = a n b n
اﮔر aو bدو ﻋدد ﻧﺴبتﻰ (ﻧاﻃﻖ) باﺷد a + b , a bو abاﻋداد ﻧﺴبتﻰ (ﻧاﻃﻖ) اﻧد. a ÷ bﻋدد ﻧﺴبتﻰ (ﻧاﻃﻖ) است ﻛﻪ ) (b 0باﺷد. a + b = b + aو ab = baﻣﻰ باﺷد. a b b aاﮔر ) (a bباﺷد. a ÷ b b ÷ cاﮔر a bو a 0و b 0باﺷد. اﮔر aﻳﻚ ﻋدد ﻧﺴبتﻰ( ﻧاﻃﻖ) باﺷد؛ پس: a +0 = 0+a = a a × 0 = 0× a = 0 a ÷1 1 ÷ a
براي ﻫر سﻪ ﻋدد ﻧﺴبتﻰ (ﻧاﻃﻖ) b, aو cدارﻳﻢ ﻛﻪ: )(a + b ) + c = a + ( b + c )(a × b ) × c = a × ( b × c
) (a ÷ b) ÷ c a ÷ (b ÷ cاﮔر c 1باﺷد.
a × ( b + c) = a × b + a × c
) (a b) ÷ c = (a ÷ c) (b ÷ c) (b ÷ cاﮔر c 0باﺷد. p ﻣﻌﻜﻮس ﺿربﻲ ﻋدد ﻧﺴبتﻰ( ﻧاﻃﻖ) q
)0
q (qﻋبارت از p
) ( p 0ﻣﻰ باﺷد.
36
p اﮔر q q p
= aﻳﻚ ﻋدد ﻧﺴبتﻰ باﺷد؛ پس ﻣﻌﻜﻮس ﺿربﻰ aبا a 1ﻧﺸان داده ﻣﻰ ﺷﻮد و
= a 1ﻣﻰ باﺷد.
اﮔر aﻳﻚ ﻋدد ﻧﺴبتﻰ(ﻧاﻃﻖ) خﻼف ﺻﻔر باﺷد؛ پس (a 1 ) 1 = aاست. ﺻﻔر ﻣﻌﻜﻮس ﺿربﻰ ﻧدارد. 1
(ab) 1 = a 1b
بﻴﻦ دو ﻋدد ﻧﺴبتﻰ(ﻧاﻃﻖ) ،بﻰ ﻧﻬاﻳت اﻋداد ﻧﺴبتﻰ(ﻧاﻃﻖ) وجﻮد دارﻧد. اﻋداد بزرﮔتر و اﻋداد ﻛﻮچﻜتر را بﻪ ﺷﻜﻞ k ×10 nﻧﻮﺷتﻪ ﻛرده ﻣﻰ تﻮاﻧﻴﻢ ﻃﻮرى ﻛﻪ 1 k < 10ﻛﻪ اﻳﻦ روش را بﻪ ﻧام روش ﻋﻠﻤﻰ ﻋدد ﻧﻮﻳﺴﻰ ﻳاد ﻣﻰ ﻛﻨﻨد. اﮔر b, aو cاﻋداد ﻧﺴبتﻰ(ﻧاﻃﻖ) باﺷﻨد: a ÷b b÷a )(a ÷ b ) ÷ c a ÷ ( b ÷ c )a ÷ ( b + c) (a ÷ b ) + (a ÷ c )(a ÷ b ) (a ÷ c
)a ÷ ( b c
در ساده ساختﻦ اﻓاده ﻫا ،در ﻗدم ﻧخﺴت( ) سپس{ } و در اخﻴر ] [ رﻓﻊ ﻣﻰ ﺷﻮد. ﻋﻤﻠﻴﻪ ﻫاى اساسﻰ از ﻃرف چپ بﻪ ترتﻴب تﻘﺴﻴﻢ ،ﺿرب ،جﻤﻊ و تﻔرﻳﻖ اﻧجام ﻣﻰ ﺷﻮﻧد.
37
تمرﻳﻨات فصل -1ساده ﻛﻨﻴد:
8 9
7 5 17 +( )+ +2 4 6 20 2 11 3 1 ) d) + ( ) + + 3 15 20 5 )b
a ) 10 +
1 3 3 ) (+ + 6 14 7 1 8 2 1 1 + + 3 7 21 9 12
f ) 0.01 0.75 + 2.25 1.1 + 12
)c )e
-2ﻛﺴرﻫاى ذﻳﻞ را بﻪ ﺷﻜﻞ ﻛﺴر اﻋﺸارى بﻨﻮﻳﺴﻴد: 5 12
,
1 8
,
3 5
,
7 8
33 , 20
2 5 2 , , , 3 6 11
-3جﻤﻊ ﻛﻨﻴد: 3 3 ) (+ 4 4 1 7 )d (+ ) 12 12
)b
3 -4اﮔر x = 1باﺷد ﻗﻴﻤت + x 5
3.4 + 1.8
)a
0.9 + 2.5
)c
1.7 + 3.6
)e
را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد.
-5در ﻣﺴاوات ﻫاى زﻳر ﻫر خاﺻﻴت اﻋداد ﻧﺴبتﻰ (ﻧاﻃﻖ) را در ﻣﻘابﻞ آن بﻨﻮﻳﺴﻴد: 3 2 2 3 × = × 4 5 5 4 3 1 1 3 1 1 ) × ( = ) × ( )d 5 2 7 5 2 7 2 2 2 = f) +0 = 0+ 3 3 3 )b
9 5 5 9 + = + 11 7 7 11 1 1 1 1 c) 2 + ( + ) = ( 2 + ) + 2 3 2 3 2 1 1 2 1 2 1 ( = ) e) ( + ()+ ) 3 4 5 3 4 3 5 )a
-6ساده ﻛﻨﻴد: ]})c) 4[28 ÷ { 8 + 3(5 7
-7ﻧﺸان دﻫﻴد ﻛﻪ:
b) ( 8) × ( 5) ÷ 5 5
a ) 220 64 ÷ 2
3 1 3 1 ) ( + )( + 4 2 4 5
3 1 1 (+ ) 4 2 5
38
-8ﺿرب ﻛﻨﻴد:
)b) 500 × (0.01 2 3 8 4 )d 8 4 2 3 )f ) ( 0.25)( 0.25 -9اﮔر n = 0.24باﺷد ﻗﻴﻤت 7.2را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد. n -10تﻘﺴﻴﻢ ﻛﻨﻴد: b) 10.86 ÷ 0.6 d) 0.1 ÷ 0.0001
)a ) (0.5)( 0.5)( 0.5 c) 2000× 0.001 )e) (1.6)(1.6
a ) 11.128 ÷ 0.52 c) 0.1 ÷ 0.01
-11ساده سازﻳد: 2 3 4 1 1 ) ÷ ( ) 2 ( )3 ÷ ( ) 2 3 5 5 5 2 d) ( ) 2 5
( )b
3
f ) (81) 2
3 9 5 ( )4 ÷ ( )2 ÷ ( )2 2 4 6 1 c) ( ) 1 4 1 e) ( ) 3 3 )a
-12اﻋداد ذﻳﻞ را بﻪ روش ﻋﻠﻤﻰ ﻋدد ﻧﻮﻳﺴﻰ بﻨﻮﻳﺴﻴد: c) 52.8 × 1011 f ) 6.456 11
b) 0.9839
a ) 0.00000002
e) 0.00512
d ) 0.00001
h ) 411.5 ×10
g ) 73.89
-13ﻋدد ﻧﺴبتﻲ ﻛﻪ ﺻﻮرت آن 32 + 23و ﻣخرج ان 32 + 22باﺷد ﻋبارت است از: 17 31 0.12 ﻣﺴاوى است بﻪ: -14ﻋدد ﻧﺴبتﻰ 12 1 1 10 )b )c )d 1 100 1 -15ﻋدد ﻧﺴبتﻰ 13ﻣﺴاوى است بﻪ: 11 b) 1.1 8 c) 1.18 ﻫﻴچ ﻛدام )d -16ﻗﻴﻤت 8.597 × 26.523 + 3.477 × 8.597ﻣﺴاوى است بﻪ: )d
39
15 13
)c
12 31
)b
17 13
)a
1 10
)a
a ) 11. 8
c) 256.91
d) 257.91
a ) 256.19
b) 257.19
2 3
-17ﻋدد [( )3 ]4ﻣﺴاوى است بﻪ:
-18
-19
1
7
2
2 d) ( )34 3
5 ) 7
2 c) ( ) 7 3
( ﻣﺴاوى است بﻪ: 5 7
)d
27 5 27 (÷ ) ) 31 31 27 ) 31
7 5
2 b) ( )12 3 5 7
)c
2 a ) ( )81 3 7 5
)b
)a
( ﻣﺴاوى است بﻪ:
( )d
27 2 ) 31
( )c
12
27 ) 31
( )b
12
27 ) 31
( )a
-20در اﻋداد ﻧﺴبتﻰ زﻳر ،ﻛدام ﻋدد ﻛﺴر ﻣختﻮم اﻋﺸارى را ﻧﺸان ﻧﻤﻰ دﻫد؟ 1 40
1 25
)d
)c
1 12
)b
-21ﻛدام ﻳﻚ از اﻋداد زﻳر ﻋدد ﻧﺴبتﻰ ﻧﻴﺴت؟ d) 7.9 1 -22ﻋدد 8 d) 45%
b) 2.020020002 c) 2.52
1 16 2 3
)a
)a
ﻣﺴاوى است بﻪ: c) 12.5%
4 -23ﻋدد 5 d) 45%
b) 125%
a ) 0.125%
ﻣﺴاوى است بﻪ: c) 50%
b) 80%
a ) 40%
-24ﻋدد 0.05ﻣﺴاوى است بﻪ: d) 5%
c) 50%
b) 0.05%
a ) 0.5%
40
فصل دوم )Polynome(پﻮلﻴﻨﻮم )Polynomial( ﻳا
افاده های الجبری ()Algebraic Expressions
آﻳــا ﻣﻰ تﻮاﻧﻴد بﮕﻮﻳﻴد ﻛﻪ از اﻓاده ﻫاى اﻟجبرى x4 1 y y2 3 2 + + y و y + 1 ، x2 x2 x
x3 +
ﻛدام ﻳﻚ اﻓادة اﻟجبرى ﻧاﻃﻖ و ﻛدام ﻳﻚ اﻓادة ﻏﻴرﻧاﻃﻖ ﻣﻰ باشد؟
متحﻮل و ثابت( :)variable and constantﻣتحﻮل ﻳﻚ سﻤبﻮل است ﻛﻪ بﻪ جاى ﻫر ﻋﻨﺼر ﻳﻚ ست ﻏﻴر خاﻟﻰ وﺿﻊ ﻣﻰ شﻮد؛ ﻃﻮر ﻣثال :اﮔر } x 10و A = {x / x IN باشد. xﻣﻰ تﻮاﻧد در ست Aﻗﻴﻤت ﻫاى اﻋداد ﻃبﻴﻌﻰ از ﻳﻚ اﻟﻰ 10را بﮕﻴرد x .را ﻣتحﻮل ( )Variableﻣﻰ ﮔﻮﻳﻨد .ﻣتحﻮﻟﻴﻦ بﻪ ﺻﻮرت ﻋﻤﻮم تﻮسﻂ حروف ﻛﻮچﻚ زبان اﻧﮕﻠﻴسﻰ z , y , xو ﻏﻴره ﻧشان داده ﻣﻰ شﻮﻧد. ﻗﻴﻤت ﻳﻚ ﻋدد تﻐﻴﻴر ﻧﻤﻰ ﻛﻨد؛ بﻪ ﻃﻮر ﻣثال :ﻋدد 4ﻫﻴچﮕاه با 5ﻳا 3وﻳا با ﻛدام ﻋدد دﻳﮕرى ﻣساوى شده ﻧﻤﻰ تﻮاﻧد ،پس تﻤام اﻋداد حﻘﻴﻘﻰ ،ثابت ﻫا( )Constantsﻣﻲ باشﻨد. ﻋﻼوه از اﻋداد حﻘﻴﻘﻰ ،حروف زبان اﻧﮕﻠﻴسﻰ ﻣثﻞ a,b,c...و ﻏﻴره بﻪ ﻋﻮض ثابت ﻫا ﻧﻴز استﻌﻤال ﻣﻴﮕردﻧد. افادة الجبرى( :)Algebraic Expressionاﻓادة اﻟجبرى آﻧست ﻛﻪ از ﻳﻚ ثابت ﻳا ﻳﻚ ﻣتحﻮل و ﻳا از ترﻛﻴب ثﻮابت و ﻣتحﻮل ﻫا تشﻜﻴﻞ شده باشد. در ﻣثال ﻫاى زﻳر اﻓاده ﻫاى اﻟجبرى را ﻣشاﻫده ﻛﻨﻴد: 15 ،5 x t2
12 ، 12 ، x ، x 2 x + 1 ، 3x ، 4x + 5 +و ﻏﻴره.
1 ﻛﻪ در اﻓادة اﻟجبرى 3x 2ﻋدد 3را ﺿرﻳب ( )Coefficientﻣﻴﮕﻮﻳﻨد .در اﻓادة y 2 1 و در اﻓادة xﻋدد ﻳﻚ ﺿرﻳب ﻣﻰ باشد 3x 5 y 5 ،و 15x 5 y 5حدود ﻣشابﻪ ﻋدد 2
( )Liketermsﻣﻰ باشﻨد ،ﻛﻪ ﻣتحﻮﻟﻴﻦ ﻣشابﻪ ،داراى تﻮان ﻫاى ﻣساوى بﻮده؛ اﻣا ﺿرﻳب ﻫاى ﻋددى آن ﻫا باﻫﻢ ﻓرق دارﻧد.
43
اقسام افاده ﻫاى الجبرى :اﻓاده ﻫاى اﻟجبرى بﻪ سﻪ ﻗسﻢ اﻧد: .1افاده ﻫاى الجبرى پﻮلﻴﻨﻮمﻰ(:)Polynomial algebraic expressions پﻮلﻴﻨﻮم :اﻓادة اﻟجبرى ﻳﻚ ﻳا چﻨد حده ﻛﻪ تﻮان ﻫاى ﻣتحﻮل شان در ست اﻋداد ﻣﻜﻤﻞ شاﻣﻞ باشﻨد ،پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻧاﻣﻴده ﻣﻰ شﻮد. 1 12 ، x 1 ، 2 x 2 + x 1 ، x 3 x + 1و ﻏﻴره پﻮﻟﻴﻨﻮم اﻧد ،اﻣا + x ، x 2 + x 1 x y x 3 + x + 2پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻧﻤﻰ باشﻨد. x
ﻳا
ﻣشخﺼات پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻋبارت اﻧد از: تﻮان تﻤام ﻣتحﻮﻟﻴﻦ اﻋداد ﻣﻜﻤﻞ باشد در ﻣخرج ﻣتحﻮل ﻧداشتﻪ باشد. ﻣتحﻮل زﻳر جذر ﻧباشد. مثال اول :در اﻓاده ﻫاي , a ) 2 x
b) 2 x
,
2 x3
1 y2
1
), d ) x 2 , c
+ x2
3
7 f )8p 2 + p 2 .2 , e) x 3 + x 2 x2 a , hو iپﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫا ﻫستﻨد؛ اﻣا f , e , d , c , bو gپﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫا ﻧﻴستﻨد. g )9 x 2
,
, h )88
i)6a 2 4a
بﻪ ﻳاد داشتﻪ باشﻴد ﻛﻪ ﻫر پﻮﻟﻴﻨﻮم ،ﻳﻚ اﻓادة اﻟجبرى ﻧاﻃﻖ ﻣﻰ باشد؛ اﻣا ﻫر اﻓادة اﻟجبرى ﻧاﻃﻖ، y y پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻧﻤﻰ باشد؛ بﻪ ﻃﻮر ﻣثال+ + y 3 : 2 x x
x 3 +ﻳﻚ اﻓادة اﻟجبرى ﻧاﻃﻖ است ،ﻟﻴﻜﻦ
پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻧﻴست. 0 12ﻧﻴز ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم است ،زﻳرا ﻛﻪ 12 = 12xاست ﺻﻔر ﻧﻴز در ست اﻋداد ﻣﻜﻤﻞ شاﻣﻞ 1 5 5 1 ﻣﻰ باشد؛ اﻣا 5 xو 3پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻧﻴست؛ زﻳرا 5 x = 5 x 2و 3 = 5 x 3ﻛﻪ x x 2
و3
در ست اﻋداد ﻣﻜﻤﻞ شاﻣﻞ ﻧﻤﻰ باشد. ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم تﻮسﻂ ﻳﻚ حرف ﻣثﻞ Pﻧشان داده ﻣﻰ شﻮد؛ شﻜﻞ ﻋﻤﻮﻣﻰ ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻛﻪ از
44
e) x
ﻳﻚ حرف (ﻣتحﻮل) تشﻜﻴﻞ شده باشد ﻃﻮر زﻳر ﻣﻰ باشد: + ... + a 1x + a 0
2
+ a n 2x n
1
P( x ) = a n x n + a n 1x n
nﻳﻚ ﻋدد ﻣﻜﻤﻞ و ﺿراﻳب a1 , a 2 ,...a n 1 , anاﻋداد حﻘﻴﻘﻰ اﻧد؛ اﮔر 0
anباشد؛
پس nدرجﺔ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻣﻰ باشد. فعالﻴت در اﻓاده ﻫاى اﻟجبرى 8
8x 2 ,
2x 3 x 2 , x , 1 , 8x 3 ,و 8 xﻛدام ﻳﻚ x
پﻮﻟﻴﻨﻮم و ﻛدام ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻧﻤﻰ باشد؟ مثال دوم :در پﻮﻟﻴﻨﻮم a2 = 1 ، a n = 5 ، n = 3 ، P( x ) = 5x 3 + x 2 x + 12
a1 = 1 ،و a 0 = 12ﻣﻲ باشد و در پﻮﻟﻴﻨﻮم ، a1 = 0 ، a n = 11 ، n = 2 ، 11x 2 1 و a0 = 1ﻣﻰ باشد. .2افادة الجبري ﻧاطق ( :)Rational algebraic expressionاﮔر بتﻮاﻧﻴﻢ ﻛﻪ p ﻳﻚ اﻓادة اﻟجبرى را بﻪ شﻜﻞ q
) (q 0بﻨﻮﻳسﻴﻢ ﻃﻮرى ﻛﻪ pو qپﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫا باشﻨد اﻳﻦ
1 ﮔﻮﻧﻪ اﻓادة اﻟجبرى را اﻓادة اﻟجبرى ﻧاﻃﻖ ﻣﻰ ﮔﻮﻳﻨد ،بﻪ ﻃﻮر ﻣثال :اﻓادة x2
x 2ﻛﻪ ﻳﻚ
x4 1 ﻣﻴتﻮاﻧﻴﻢ بﻨﻮﻳسﻴﻢ و ﻳﻚ اﻓادة اﻟجبرى ﻧاﻃﻖ ﻣﻰ باشد؛ چﻮن ﻣتحﻮل دارد بﻪ شﻜﻞ x2 2 ﻣخرج ﻫر اﻓادة اﻟجبرى ﻣﻴتﻮاﻧد ﻋدد ﻳﻚ باشد؛ پس ) ( x 1ﻧﻴز ﻳﻚ اﻓادة اﻟجبرى ﻧاﻃﻖ x2 1 ﻣﻰ باشد. ﻣﻰ باشد؛ زﻳرا ﻛﻪ = x 2 1 1
.3افادة غﻴر ﻧاطق( :)Irrational algebraic expressionﻋبارت از اﻓادة اﻟجبرى است ﻛﻪ آن را بﻪ شﻜﻞ خارج ﻗسﻤت دو پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻧﻮشتﻪ ﻛرده ﻧﻤﻴتﻮاﻧﻴﻢ؛ ﻃﻮر ﻣثال، xy :
45
1 x2 + 5
و y +1 2
ﻣثال ﻫاى اﻓاده ﻫاى اﻟجبرى ﻏﻴرﻧاﻃﻖ ﻣﻰ باشﻨد.
ﻳﻚ اﻓادة اﻟجبرى اﻣﻜان دارد ﻧاﻃﻖ ،ﻏﻴرﻧاﻃﻖ و ﻳا پﻮﻟﻴﻨﻮم باشد .پﻮﻟﻴﻨﻮم اﻓادة اﻟجبرى ﻳﻚ ﻳا چﻨد حده ﻳﻰ است ﻛﻪ تﻮان ﻫاى ﻣتحﻮل و ﻳا ﻣتحﻮﻟﻴﻦ آن در ست اﻋداد ﻣﻜﻤﻞ شاﻣﻞ باشﻨد.
تمرين
.1از اﻓاده ﻫاى اﻟجبرى زﻳر ﻛدام ﻳﻚ اﻓادة اﻟجبرى ﻧاﻃﻖ ،ﻏﻴر ﻧاﻃﻖ و ﻳا پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻣﻰ باشد؟ 1 x
1 , 2
3x 2 , 2
x
1 m+3 , , x 6
xy , 2
x+
3x 2 +و 13
.2در اﻓاده ﻫاى اﻟجبري زﻳر ﻛدام ﻳﻚ ،پﻮﻟﻴﻨﻮم و ﻛدام ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻧﻤﻰ باشد؟ xy 2 x2 5
1 x
,
3x 2 +
8 x
,
1 3 x 7
20a 3 b + 28ab 4 ,
,
x
3x
,
0.03
8
8x
,
,
3x
8x 8 ,
.3در پﻮﻟﻴﻨﻮم a1 , a2 , a3 , an ، Px 4 ax 3 + bx 2 + cx + dو a0را ﻧشان دﻫﻴد. .4در پﻮﻟﻴﻨﻮم 2 x 2 1
x3 = ) a1 , a 2 , a3 ، P( xو a0را ﻧشان دﻫﻴد. 2
46
اقسام پﻮلﻴﻨﻮم و درجﺔ آن:
آﻳا ﻣﻰ تﻮاﻧﻴد بﮕﻮﻳﻴد ﻛﻪ درجﺔ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاى 12 y 5 x 3 + x 4 y 3، 12x 3، x 2 xو 12چﻨد ﻣﻰ باشد؟
3xﻳا 16xﻣﻮﻧﻮم ﻳا ()Monomialﻳﻚ اﻓاده اﻟجبري ﻳﻚ حده است و x 4ﻳا ab yﻳﻚ اﻓادة اﻟجبرى دو حده( )Binomeﻳا ( )Binomialو 2 x 3 x 1اﻓادة 1 اﻟجبرى سﻪ حده ( )Trinomialﻣﻲ باشد و اﻓادة اﻟجبرى + 1 y
2x
بﻪ ﻧام ﻣﻮﻟتﻴﻨﻮم
( )Multinomialﻳاد ﻣﻲ شﻮد. بﻌﻀﻰ اوﻗات پﻮﻟﻴﻨﻮم از ﻳﻚ ،دو ،سﻪ و ﻳا چﻨدﻳﻦ ﻣتحﻮل تشﻜﻴﻞ شده ﻣﻰ باشد .پﻮﻟﻴﻨﻮم 2x 3 8x 2 + 7 x + 11داراى ﻳﻚ ﻣتحﻮل ،پﻮﻟﻴﻨﻮم 2 x 3 3 yداراى دو ﻣتحﻮل و پﻮﻟﻴﻨﻮم x + y + zداراى سﻪ ﻣتحﻮل ﻣﻰ باشد ﻛﻪ در جدول زﻳر ﻧشان داده شده است: ﻣتحﻮل
ﻣﻮﻧﻮم (ﻳﻚ حده)
باﻳﻨﻮم (دو حده)
ترﻳﻨﻮم (سﻪ حده)
ﻳﻚ ﻣتحﻮل
5x 3
5y2 + 3y
3x 2 + 2 x 4
دو ﻣتحﻮل
7x2 y
7x2 4 y3
6 x 2 + 5x 3 y 2
سﻪ ﻣتحﻮل
4xyz 2
8a 2b + 4c
z 5a
3a 2b 2 + 6c 2
فعالﻴت در اﻓاده ﻫاى اﻟجبرى 3x ، 15 ، 2 x y ، ax 2 + bx + cو 4 x 2 4 yﻣﻮﻧﻮم ،باﻳﻨﻮم و ترﻳﻨﻮم را ﻧشان دﻫﻴد.
47
درجﺔ ﻳک پﻮلﻴﻨﻮم( :)Degree of a Polynomeاﮔر پﻮﻟﻴﻨﻮم از ﻳﻚ حرف تشﻜﻴﻞ شده باشد ،بزرﮔترﻳﻦ تﻮان اﻳﻦ حرف ﻋبارت از درجﺔ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻣﻰ باشد؛ ﻃﻮر ﻣثال :درجﺔ پﻮﻟﻴﻨﻮم x 3 + 2 x + 1 + x 5
ﻋبارت از 5ﻣﻰ باشد .اﮔر پﻮﻟﻴﻨﻮم از چﻨد حرف (ﻣتحﻮل)
تشﻜﻴﻞ شده باشد درجﺔ ﻣﻮﻧﻮﻣﻰ ﻛﻪ تﻮان بزرﮔتر دارد؛ ﻋبارت از :درجﺔ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻣﻰ باشد؛ ﻣث ً ﻼ درجﺔ پﻮﻟﻴﻨﻮم 2x 2 y 5xy5 + x 3 yﻋبارت از ( ) 1 + 5 = 6است و اﻳﻦ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻧﻈر 3
بﻪ xدرجﻪ سﻮم و ﻧﻈر بﻪ yدرجﻪ پﻨجﻢ ﻣﻰ باشد؛ اﮔر درجﻪ ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻋدد 1باشد پﻮﻟﻴﻨﻮم را پﻮﻟﻴﻨﻮم خﻄﻰ ( )Liner Polynomeو اﮔر درجﻪ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻋدد 2باشد پﻮﻟﻴﻨﻮم را پﻮﻟﻴﻨﻮم درجﻪ دوم ( )Quadratic Polynomeﻣﻰ ﮔﻮﻳﻨد و اﮔر درجﻪ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻋدد 3 باشد بﻪ ﻧام پﻮﻟﻴﻨﻮم درجﻪ سﻮم ( )Cubic Polynomialو ﻫﻢ ﻣﻮﻧﻮم 3x 2درجﺔ دوم ،و درجﺔﻣﻮﻧﻮم 3x 2 y 3ﻋبارت از 5و درجﺔ ﻣﻮﻧﻮم 12ﺻﻔر ﻣﻰ باشد ،اﻳﻦ ﮔﻮﻧﻪ پﻮﻟﻴﻨﻮم را پﻮﻟﻴﻨﻮم ثابت ﻣﻰ ﮔﻮﻳﻨد؛ زﻳرا . 12 = 12x 0 پﻮلﻴﻨﻮم ثابت :پﻮﻟﻴﻨﻮﻣﻰ است ﻛﻪ درجﺔ آن ﺻﻔر باشد ﻳا بﻪ ﻋبارت دﻳﮕر پﻮﻟﻴﻨﻮﻣﻰ است ﻛﻪ ﺿراﻳب تﻤام ﻣتحﻮﻟﻴﻦ آن ﺻﻔر باشد. مثال اول :اﮔر (2m 4) x 2 + (5 n ) x + 13ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم ثابت باشد ﻗﻴﻤت ﻫاى m و nرا درﻳابﻴد. حل :چﻮن پﻮﻟﻴﻨﻮم داده شده ثابت ﻣﻰ باشد؛ پس ﺿرﻳب ﻫر حد ﻣتحﻮل ﺻﻔر است. 5 n=0 n =5
2m 4 = 0 2m = 4 m=2
پﻮلﻴﻨﻮم صفرى( :)Zero Polynomeاﮔر حد ثابت پﻮﻟﻴﻨﻮم ثابت ﺻﻔرباشد اﻳﻦ ﮔﻮﻧﻪ پﻮﻟﻴﻨﻮم بﻪ ﻧام پﻮﻟﻴﻨﻮم ﺻﻔرى ﻳاد ﻣﻰ شﻮد؛ بﻪ ﻃﻮر ﻣثال ، P( x) = 0 :درجﺔ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﺻﻔرى تﻌرﻳﻒ ﻧشده است. 3 مثال دوم :ﻗﻴﻤت aرا درﻳابﻴد اﮔر ) (b 4) x (2c + 6) x + (a b + cﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﺻﻔرى باشد. حل :در پﻮﻟﻴﻨﻮم ﺻﻔرى ﻫر حد ﺻﻔر ﻣﻰ باشد؛ پس:
48
a b+c =0 a 4 3=0
2c + 6 = 0 2c = 6
a=7
c= 3
b 4=0 b= 4
مثال سﻮم :درجﺔ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاى g( x ) = 2xy 2 x 2 y 3 ، P( x) = x 2 1 + 3x 5و h( x) = 3را درﻳابﻴد. حل :درجﺔ پﻮﻟﻴﻨﻮم ) P(xﻋبارت از 5است و درجﺔ پﻮﻟﻴﻨﻮم ) g (xﻧﻴز (n = 5) ، 5ﻣﻰ باشد ،اﻣا درجﺔ پﻮﻟﻴﻨﻮم ) h(xﺻﻔر ﻣﻰ باشد. فعالﻴت :aدرجﺔ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاى زﻳر را تﻌﻴﻴﻦ ﻛﻨﻴد: 2m 3n 2 3mn3 mn
15 ,
x 1 ,
x 2 x 3 + 2 x + 5x 5 ,
: bدرجﺔ اﻳﻦ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫا را ﻧﻈر بﻪ ﻫر ﻣتحﻮل تﻌﻴﻴﻦ ﻛﻨﻴد: 2m 3n 2 3mn3 mn
15 ,
x 1 ,
x 2 x 3 + 2 x + 5x 5 ,
پﻮلﻴﻨﻮم مکمل و ﻧاقص :پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻣﻜﻤﻞ پﻮﻟﻴﻨﻮﻣﻰ است ﻛﻪ تﻤام حدود آن از بزرﮔترﻳﻦ تﻮان ﻣتحﻮل تا ﻋدد ثابت ﻣﻮجﻮد باشد. پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاى x 1 , x 3 + 1 + 2 x x 2و 51پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاى ﻣﻜﻤﻞ ،اﻣا پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاى x 2 1و x 3 + x + 1پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاى ﻧاﻗﺺ ﻣﻰ باشﻨد ﻣا ﻣﻰ تﻮاﻧﻴﻢ ﻛﻪ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاى ﻧاﻗﺺ را بﻪ شﻜﻞ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاى ﻣﻜﻤﻞ بﻨﻮﻳسﻴﻢ؛ ﻣاﻧﻨد x 2 1 = x 2 + 0.x 1 :و x3 + x 1 = x3 + 0.x 2 + x 1 پﻮلﻴﻨﻮم ﻫاى مﻨظم و غﻴر مﻨظم :پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاى 2 x 3 3 x 2 + 4 x 1
و 11 + 12x + 13x 2 x 3پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاى ﻣﻨﻈﻢ ،اﻣا پﻮﻟﻴﻨﻮم 3x 4 x + 1 + x 3 + x 2ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻏﻴر ﻣﻨﻈﻢ ﻣﻰ باشد ،ﻛﻪ ﻣﻰ تﻮاﻧﻴﻢ ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻏﻴر ﻣﻨﻈﻢ را بﻪ شﻜﻞ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻣﻨﻈﻢ بﻨﻮﻳسﻴﻢ؛ بﻪ ﻃﻮر ﻣثال 3x 4 + x 3 + x 2 x + 1ﻳا 1 x + x 2 + x3 + 3x 4پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاى ﻣﻨﻈﻢ اﻧد.
49
پﻮلﻴﻨﻮم ﻫاى ﻧزولﻰ و صعﻮدى (:)Descending and ascending Polynomes اﮔر ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم از بزرﮔترﻳﻦ تﻮان ﻳﻚ ﻣتحﻮل بﻪ ﻃرف ﻛﻮچﻜترﻳﻦ تﻮان ترتﻴب شده باشد ﻧزوﻟﻰ و اﮔر از ﻛﻮچﻜترﻳﻦ بﻪ بزرﮔترﻳﻦ تﻮان ترتﻴب شده باشد ترتﻴب ﺻﻌﻮدى ﻣﻰ ﮔﻮﻳﻨد. 4 3 2 ﻃﻮر ﻣثال :پﻮﻟﻴﻨﻮم x + 3x + x + x + 1بﻪ شﻜﻞ ﻧزوﻟﻰ و پﻮﻟﻴﻨﻮم 1 + x + x 2 + 3x 2 + x 4 بﻪ شﻜﻞ ﺻﻌﻮدى ترتﻴب شده است. اﮔر ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم از دو ﻳا چﻨد ﻣتحﻮل تشﻜﻴﻞ شده باشد ،ﻣﻰ تﻮاﻧﻴﻢ ﻛﻪ پﻮﻟﻴﻨﻮم را ﻧﻈر بﻪ ﻫر حرف بﻪ شﻜﻞ ﺻﻌﻮدى ﻳا ﻧزوﻟﻰ ترتﻴب ﻧﻤاﻳﻴﻢ ،ﻃﻮرﻳﻜﻪ پﻮﻟﻴﻨﻮم x 3 y + 3x 2 y 2 + 2 xy3 5 y 4 ﻧﻈر بﻪ xبﻪ ﻃﻮر ﻧزوﻟﻰ و ﻧﻈر بﻪ yبﻪ ﻃﻮر ﺻﻌﻮدى ترتﻴب شده است.
فعالﻴت پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاى زﻳر را بﻪ شﻜﻞ ﺻﻌﻮدى ترتﻴب ﻛﻨﻴد: 4 x 5 + 6 x 2 + 8 x 3 , 2 y 2 4 y + 3 3 y 4 + y 3 , 2a 3 5 + 4a 4 + a 5 + 3a 2 + a
مثال چﻬارم :پﻮﻟﻴﻨﻮم P( y) = 4xy 4 3x 3 y 2 + 2x 2 y 3 + x 4 + y 5را ﻧﻈر بﻪ yبﻪ شﻜﻞ ﺻﻌﻮدى بﻨﻮﻳسﻴد. حل: P( y) = x 4 3x 3 y 2 + 2x 2 y3 + 4xy 4 + y5 پﻮلﻴﻨﻮم ﻫاى معادل :پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاﻳﻲ اﻧد ﻛﻪ داراى ﻳﻚ ﻣتحﻮل بﻮده و ﺿراﻳب حدود ﻣشابﻪ آن ﻫا باﻫﻢ ﻣساوى باشﻨد. 2 2 مثال :5اﮔر پﻮﻟﻴﻨﻮم x + 3x + 2با پﻮﻟﻴﻨﻮم m( x 1) + n ( x 1) + Pﻣﻌادل باشد، ﻗﻴﻤت ﻫاى n , mو pرا درﻳابﻴد. حل: m( x 2 2 x + 1) + nx n + p = x 2 + 3x + 2 mx 2 2mx + m + nx n + p = x 2 + 3x + 2 mx 2 + ( 2m + n ) x + (m n + p) = 1x 2 + 3x + 2
50
در ﻧتﻴجﻪ:
n =5
m =1 2m + n = 3
p=6
m n+p=2
پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاﻳﻰ ﻛﻪ از ﻳﻚ ﻣتحﻮل تشﻜﻴﻞ شده باشﻨد بزرﮔترﻳﻦ تﻮان اﻳﻦ حرف درجﻪ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻣﻰ باشد و اﮔر پﻮﻟﻴﻨﻮم از چﻨد حرف تشﻜﻴﻞ شده باشد درجﺔ ﻣﻮﻧﻮﻣﻰ ﻛﻪ بزرﮔترﻳﻦ تﻮان را دارا باشد ﻋبارت از درجﺔ پﻮﻟﻴﻨﻮم است ،و پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاﻳﻲ ﻛﻪ داراى ﻳﻚ ﻣتحﻮل بﻮده و ﺿرﻳب ﻫاى حدود ﻣشابﻪ آن ﻫا باﻫﻢ ﻣساوى باشﻨد بﻪ ﻧام پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاى ﻣﻌادل ﻳاد ﻣﻰ شﻮﻧد.
51
تمرين .1در اﻓاده ﻫاى زﻳر ﻣﻮﻧﻮم ،باﻳﻨﻮم و ترﻳﻨﻮم را ﻧشان دﻫﻴد و ﻧﻴز درجﻪ ﻫاى آن ﻫا را درﻳابﻴد. x 1
,
12
,
x2 y + 4
,
12x
,
1 2 5 x y 2 x x2 x3
.2در پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاى زﻳر پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاى ﻣﻜﻤﻞ و ﻧاﻗﺺ را ﻧشان دﻫﻴد و پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاى ﻧاﻗﺺ را بﻪ شﻜﻞ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاى ﻣﻜﻤﻞ بﻨﻮﻳسﻴد. x2 1 , x3 + x 1
,
x +1 , 15
,
,
x
2x 2 2x 2
.3اول درجﺔ ﻫر پﻮﻟﻴﻨﻮم را ﻛﻪ در زﻳر داده شده است درﻳابﻴد و بﻌد بﻪ شﻜﻞ ﻧزوﻟﻰ ترتﻴب ﻧﻤاﻳﻴد. 4 x 5 + 6 x 2 + 8x 3 4 y + 3 3y 4 + y 3 x5+ x
2y2
1 x 3 + x 2 + 2x 4
.4اﮔر P( x 1) 2 + n ( x + 3) + c = 2x 2 x + 22باشد ﻗﻴﻤت ﻫاى n , pو cرا درﻳابﻴد. .5ﻗﻴﻤت ﻫاى b , aو cرا درﻳابﻴد؛ اﮔرP( x) = 7 x 4 (2a 3) x 3 + 5 x (c 3) : و Q( x) = (3b + 4) x 4 + 2 x 3 + 5 xپﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاى ﻣﻌادل باشﻨد.
52
درﻳافت قﻴمت پﻮلﻴﻨﻮم آﻳا ﻣﻰ تﻮاﻧﻴد بﮕﻮﻳﻴد ﻛﻪ براى x = 1
ﻗﻴﻤت پﻮﻟﻴﻨﻮم x 1
x2
P( x) = x 3
ﻳﻌﻨﻰ ? = ) P( 1چﻨد ﻣﻰ شﻮد؟
اﮔر در ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم بﻪ ﻋﻮض ﻣتحﻮل ﻳﻚ ﻋدد حﻘﻴﻘﻰ را وﺿﻊ ﻛﻨﻴﻢ ﻳﻚ ﻋدد حﻘﻴﻘﻰ بﻪ دست ﻣﻰ آﻳد ﻛﻪ ﻫﻤﻴﻦ ﻋدد حﻘﻴﻘﻰ ﻗﻴﻤت اﻳﻦ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻣﻰ باشد .براى x = 2ﻗﻴﻤت پﻮﻟﻴﻨﻮم P( x) = 3x + 2ﻋبارت از P(2) = 3 2 + 2 = 8ﻣﻰ باشد. مثال اول P( 1) ، P(5) :و ) P(0پﻮﻟﻴﻨﻮم P( x) = 2 x 2 7 x + 1را درﻳابﻴد. حل:
P(5) = 2 52 7(5) + 1 = 50 35 + 1 = 51 35 = 16 P ( 0) = 1 P( 1) = 2( 1) 2 7( 1) + 1 = 2 + 7 + 1 = 10
فعالﻴت ) P( 1) ، P(0و ) P(1پﻮﻟﻴﻨﻮم P( x) = x 5 x 3 x 1را درﻳابﻴد. 1 3 مثال دوم :اﮔر P( x ) = 16x 3 8x 2 +باشد ) 4 4
حل
53
( Pرا درﻳابﻴد.
1 1 1 3 1 1 3 () = 16( ) 3 8( ) 2 + = 16 ) 8( ) + 4 4 4 4 64 16 4 1 1 3 1 2+3 3+3 0 = = + = = =0 4 2 4 4 4 4
(P
مثال سﻮم :ﻃﻮرى ﻛﻪ ﻣﻴداﻧﻴد ﻣحﻴﻂ داﻳره ()Circumferenceاز ﻓﻮرﻣﻮل C = 2 r 22 بﻪ دست ﻣﻰ آﻳد ،اﮔر 7
=
و rشﻌاع داﻳره باشد.
در ﺻﻮرتﻰ ﻛﻪ شﻌاع داﻳره r = 3 1 cmباشد ،ﻣحﻴﻂ اﻳﻦ داﻳره ( )Cرا درﻳابﻴد. 2 حل: 22 7 . cm = 22cm 7 2 مثال چﻬارم :اﮔر b, aو cﻃﻮل اﺿﻼع ﻣثﻠث و pﻧﺼﻒ ﻣحﻴﻂ ﻣثﻠث باشد ﻳﻌﻨﻲ
C = 2 r = 2.
a+b+c 2
= pﻣساحت ﻣثﻠث از ﻓﻮرﻣﻮل ) S = p(p a )(p b)(p cبﻪ دست
ﻣﻰ آﻳد. اﮔر ﻃﻮل اﺿﻼع ﻣثﻠث b = 12cm , a = 9cmو c = 15cmباشد ﻣساحت اﻳﻦ ﻣثﻠث را درﻳابﻴد. حل:
a + b + c 9 + 12 + 15 36 =p = = = 18cm 2 2 2
)S = p(p a )(p b)(p c) = 18(18 9)(18 12)(18 15 = 18 9 6 3 = 2 9 9 2 3 3 = 2 2 32 9 2 = 2 3 9 = 54cm 2
فعالﻴت حجﻢ استﻮاﻧﻪ از ﻓﻮرﻣﻮل V = r 2 hبﻪ دست ﻣﻰ آﻳد ﻛﻪ Vحجﻢ استﻮاﻧﻪ r ،شﻌاع ﻗاﻋده و hارتﻔاع استﻮاﻧﻪ ﻣﻰ باشد .اﮔر r = 5cmو h = 21cmباشد حجﻢ استﻮاﻧﻪ را درﻳابﻴد. مثال پﻨجم :اﮔر شﻌاع اﻳﻦ تﻮپ 6cmباشد حجﻢ اﻳﻦ تﻮپ را درﻳابﻴد.
54
حل: 4 3 4 4 = r = (6cm) 3 (216cm 3 ) = 288 cm 3 3 3 3
=V
اﮔر در ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم( P)xﻋﻮض xﻗﻴﻤت داده شده را وﺿﻊ ﻛﻨﻴﻢ ،ﻗﻴﻤت پﻮﻟﻴﻨﻮم بﻪ دست ﻣﻰ آﻳد.
55
تمرين 1 2
.1اﮔر پﻮﻟﻴﻨﻮم p( x) = x 4 x 3 x 2 x 1باشد p( 1) ،و ) ( pرا درﻳابﻴد. .2اﮔر در پﻮﻟﻴﻨﻮم p( x ) = kx 3 x 2 + 3x 1ﻗﻴﻤت p(2) = 17باشد ﻗﻴﻤت kرا درﻳابﻴد. 1 1 x .3ﻗﻴﻤت پﻮﻟﻴﻨﻮم 2 2
1 1 p( x) = x 2را براى 2 2
.4در پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاى 4 x + 4
C = x + 3x 4 6 x 3 ، B = 4 x 3 + 10 x 2 ، A = x 2
= xدرﻳابﻴد.
و D = x 2 + 4 x 4براى x = 4ﻗﻴﻤت ﻛدام پﻮﻟﻴﻨﻮم از ﻋدد 100زﻳاد ﻣﻰ باشد؟ d) B
c) A
a) C
b) D
.5در پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاى زﻳر براى x = 5ﻛدام پﻮﻟﻴﻨﻮم بزرﮔترﻳﻦ ﻗﻴﻤت را دارا ﻣﻰ باشد؟ a ) x 2 2x + 6 b) 3x 4 + 6 x + 12 c) x 3 40 x 300 d ) x 5 120 x 4 + 10 1 .6اﮔر p( x) = x 4 x 3 x 2 x 1باشد p( ) ، p(0) ، p( 1) ،و ) p( 1را 2
2
درﻳابﻴد.
56
عملﻴﻪ ﻫاى چﻬار گاﻧﺔ پﻮلﻴﻨﻮم ﻫا اﮔر ﻫر ﺿﻠﻊ ﻣربﻊ 3w 4و ﻫر ﺿﻠﻊ ﻣثﻠث ﻣتساوى اﻻﺿﻼع w + 2باشد ﻳﻚ اﻓادة اﻟجبرى را بﻨﻮﻳسﻴد ﻛﻪ ﻣحﻴﻂ ﻫر دو شﻜﻞ را ﻧشان دﻫد. اﮔر A = 8 x 2 2 x + 3و B = 9 x 5 باشد A + Bو A Bرا درﻳابﻴد.
W+2
3W-4
-1عملﻴﺔ جمع :حدود ﻣشابﻪ ( )Like termsباﻫﻢ جﻤﻊ و ﻧﻴز حدود ﻣشابﻪ ﻳﻜﻰ از دﻳﮕرى تﻔرﻳﻖ ﻣﻰ شﻮد ﻛﻪ اﻳﻦ ﻫر دو ﻋﻤﻠﻴﻪ بﻪ ﺻﻮرت اﻓﻘﻰ و ﻋﻤﻮدى اﻧجام شده ﻣﻰ تﻮاﻧد مثال :1اﮔر A = 3cd 2 2cd + 5و B = 9cd 7cd 2 5باشد A + Bرا درﻳابﻴد. حل:
)A + B = ( 3cd 2 2cd + 5) + (9cd 7cd 2 5
= 3cd 2 2cd + 5 + 9cd 7cd 2 5 = 10cd 2 + 7cd
فعالﻴت اﮔر B = 2ab 2 + 3a 2 , A = ab 2 + 3aو C = 2a + 4باشد ﻣجﻤﻮع اﻳﻦ سﻪ پﻮﻟﻴﻨﻮم را درﻳابﻴد(A + B + C = ?) . مثال دوم A + B + C :را درﻳابﻴد اﮔر: B = 3x 5 2x 2 , A = 1 + 2x + 3x 2و C = x 2 5 x + 4و ﻧﻴز اﮔر B = a 3b 2 2a 2 b 3 + 4b 4 , A = a 4 b 2a 3b 2 3a 2 b 3 4c 2bو C = a 4 b + a 3b 2 2cباشد. حل :در اول پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫا را بﻪ شﻜﻞ ﻣﻨﻈﻢ ﻣﻰ ﻧﻮﻳسﻴﻢ و بﻌد حدود ﻣشابﻪ را باﻫﻢ جﻤﻊ ﻣﻰ ﻛﻨﻴﻢ:
57
4c 2 b + 4b 4
a 4 b 2 a 3b 2 3a 2 b 3
3x 2 + 2 x + 1
a 3 b 2 2a 2 b 3
2 x 2 + 3x 5
+ a 4 b + a 3b 2
2c 6c + 2 b 4
5a 2 b 3
x 2 5x + 4
2a 4 b
+
2x 2
-2عملﻴﺔ تفرﻳق :در ﻋﻤﻠﻴﺔ تﻔرﻳﻖ ﻣﻌﻜﻮس جﻤﻌﻰ ﻣﻔروق را با ﻣﻔروق ﻣﻨﻪ جﻤﻊ ﻣﻰ ﻛﻨﻴﻢ ﻳا بﻪ ﻋبارت دﻳﮕر ﻋﻼﻣﻪ ﻫاى ﻣﻔروق را تﻐﻴﻴر ﻣﻰ دﻫﻴﻢ. مثال اول :پﻮﻟﻴﻨﻮم Bرا از پﻮﻟﻴﻨﻮم Aتﻔرﻳﻖ ﻧﻤاﻳﻴد اﮔر A = x 3 + x 2 + x 7
و B = x 3 + x 2 + 4x + 3باشد و ﻧﻴز اﮔر A = 2b 2 2c 2 2d 2 2e 2و B = b 2 3c 2 3d 2 3e 2 f 2باشد. حل: 2e 2
2d 2
3d 2 m 3e 2 m f 2
A = 2b 2
2c 2 m
3c 2
m
A = x3 + x2 + x 7
B = b2
B = m x 3 ± x 2 ± 4x ± 3
A B = b2 + c2 + d 2 + e2 + f 2
ﻳا
3x 10
=A B
)x + x + x 7 ( x + x + 4 x + 3 2
4x 3
x2
3
2
3
= x3 + x2 + x 7 + x3 = 3x 10
باﻳد بﻪ ﻳاد داشتﻪ باشﻴﻢ ﻛﻪ ﻏرض ساده ساختﻦ ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم حدود ﻣشابﻪ( )Like termsرا باﻫﻢ جﻤﻊ و ﻳا از ﻳﻜدﻳﮕر تﻔرﻳﻖ ﻣﻰ ﻛﻨﻴﻢ. بﻪ ﻃﻮر ﻣثال:
a) x 2 + 6x 4 8 + 9x 2 + 2x 4 6x 2 = 8x 4 + 4x 2 8 b) 3x x 1 + 3 2x = 2 c) 2x 2 x x 2 x 2 = x 2 2x 2 d) 6xy xy x y + 2x = 5xy + x y e) mn 4 + mn 5 = 2mn 9
58
فعالﻴت در پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاى زﻳر حدود ﻣشابﻪ( )Like termsرا ﻧشان دﻫﻴد. t + 5t 2 6t 2 + 6t 3
9rs 2r 2s 2 + 4r 2s 2 + 3rs 7
3p 4p 2 + 6p + 10p 2
2fg + f 2 g fg 2 2fg + 3f 2 g + 5fg 2
مثال دوم :با پﻮﻟﻴﻨﻮم a 4 + 2a 3 b 3ab 3 + a 2 b 2ﻛدام پﻮﻟﻴﻨﻮم را جﻤﻊ ﻛﻨﻴﻢ تا حاﺻﻞ جﻤﻊ 2a 4 3a 3 b 3ab 3 b 4 + a 2 b 2شﻮد؟ حل:
2a 4 3a 3 b + a 2 b 2 3ab 3 b 4 a 4 ± 2a 3 b ± a 2 b 2 m 3ab 3 b4
فعالﻴت
a 4 5a 3 b
ﻣجﻤﻮع پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاى 4 x + 6 2 x 2و 3x 2 x 3 3را از ﻣجﻤﻮع پﻮﻟﻴﻨﻮﻣﻬاى x 3 + x 2 2 xو 2 x 3 + 3x 7تﻔرﻳﻖ ﻛﻨﻴد. مثال سﻮم :تﻔرﻳﻖ ﻛﻨﻴد.
5
505y
4
404xy
3
2
101x y
2
4
3
202x y 303x y
- 101x 4 y m 303x 3 y 2 ± 101x 2 y 3 m 404xy 4 ± 505 y 5 1010y5
101x 4 y
202x 2 y 3
3ax 5bx 8cx 11dx 3ax m 5bx m 8cx m 11dx 0
مثال چﻬارم :حدود ﻣشابﻪ ( )Like termsرا باﻫﻢ جﻤﻊ و ساده ﻛﻨﻴد. 8 10 + x 7 + x = 2x 9
2k + 4
20 k k 10 6 k 2 = k 2
ab + a b a = ab b
2 b+2=0
59
2
y 2 1 + y 2 1 = 2y 2
2 + b 4b + b + b 2
3
2
2b
3
4b
2 + b 4b 3 + b 2 + b 2
b+2=0
4b 3 2b 2
x 2 5x 2x 2 + 5 = x 2 5x + 5
باﻳد بﻪ ﻳاد داشتﻪ باشﻴﻢ ﻛﻪ اﮔر Q, Pو Rپﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫا باشﻨد؛ پس: (خاﺻﻴت تبدﻳﻠﻰ ﻋﻤﻠﻴﺔ جﻤﻊ)P + Q = Q + P ....................... (خاﺻﻴت اتحادى ﻋﻤﻠﻴﺔ جﻤﻊ)P + (Q + R) = (P + Q) + R ...... (خاﺻﻴت تﻮزﻳﻌﻰ ﺿرب باﻻى جﻤﻊ)P(Q + R) = PQ + PR ............. (Q + R)P = QP + RP ﻳا: در ﻋﻤﻠﻴﻪ ﻫاى جﻤﻊ و تﻔرﻳﻖ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫا حدود ﻣشابﻪ باﻫﻢ جﻤﻊ و ﻳا از ﻳﻜدﻳﮕر تﻔرﻳﻖ ﻣﻰ شﻮﻧد .در ﻋﻤﻠﻴﺔ جﻤﻊ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاخاﺻﻴت ﻫاى تبدﻳﻠﻰ و اتحادى ﺻدق ﻣﻰ ﻛﻨد و در ﻋﻤﻠﻴﺔ تﻔرﻳﻖ ﻣﻌﻜﻮس جﻤﻌﻰ ﻣﻔروق با ﻣﻔروق ﻣﻨﻪ جﻤﻊ ﻣﻰ شﻮد و خاﺻﻴت تﻮزﻳﻌﻰ ﺿرب باﻻى جﻤﻊ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫا ﻧﻴز ﺻدق ﻣﻰ ﻛﻨد.
تمرين .1ﻣجﻤﻮﻋﺔ دو پﻮﻟﻴﻨﻮم x 2 + 2 x y 2است اﮔر ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم x 2 2xy + 3باشد ،پﻮﻟﻴﻨﻮم دﻳﮕرى را درﻳابﻴد. 4 2 3 4 3 2 .2پﻮﻟﻴﻨﻮم 3x + 5x + 2x x + 1را از پﻮﻟﻴﻨﻮم 4 x + 2 x + x x + 1تﻔرﻳﻖ ﻛﻨﻴد. .3از پﻮﻟﻴﻨﻮم ، a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3پﻮﻟﻴﻨﻮم a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3را تﻔرﻳﻖ ﻛﻨﻴد. 3 3 2 .4اﮔر B = a + 2a + 5 , A = a + 2a 6a + 7و C = 2a 3 a 2 + 2a 8 باشد ﻣجﻤﻮﻋﺔ اﻳﻦ سﻪ پﻮﻟﻴﻨﻮم را درﻳابﻴد) A + B + C = ? ( . .5حاﺻﻞ جﻤﻊ اﻓاده ) (ab 2 + 3a ) + (2ab 2 + 3a 2) + (2a + 4ﻣساوى است بﻪ: c)3ab2 + 8a + 2
.6جﻤﻊ ﻛﻨﻴد:
)2) + (1 + 6ab
b)3ab2 + 8a 2
5ab) + ( 3ab + a
2
a ) 3ab2 + 8a + 2
(3a b + 2a 2
2
.7اﮔر دو ﻃﻴاره از ﻳﻚ ﻣﻴدان ﻫﻮاﻳﻰ در جﻬت ﻣﻘابﻞ ﻫﻤدﻳﮕر پرواز ﻛﻨﻨد ،در ﺻﻮرتﻰ ﻛﻪ 2ساﻋت بﻌد ﻓاﺻﻠﺔ ﻳﻚ ﻃﻴاره از ﻣﻴدان ﻫﻮاﻳﻰ x 2 + 2 x + 400ﻣﻴﻞ و ﻓاﺻﻠﺔ ﻃﻴارة دﻳﮕر از ﻫﻤﻴﻦ ﻣﻴدان ﻫﻮاﻳﻰ 3x 2 50 x + 100ﻣﻴﻞ باشد ﻓاﺻﻠﻪ بﻴﻦ اﻳﻦ دو ﻃﻴاره را درﻳابﻴد.
60
ضرب پﻮلﻴﻨﻮم ﻫا
حجﻢ ﻣﻜﻌبﻰ را درﻳابﻴد ﻛﻪ ﻫر ﺿﻠﻊ آن ) ( x + 1ساﻧتﻰ ﻣتر باشد.
x+1
ضرب مﻮﻧﻮم در مﻮﻧﻮم :اﮔر ﻣﻮﻧﻮم 3r 2 s 3را در ﻣﻮﻧﻮم 5r 4 s 5ﺿرب ﻛﻨﻴﻢ حاﺻﻞ ﺿرب آن (3r 2s 3 )(5r 4s 5 ) = 15r 6s8ﻣﻰ شﻮد. فعالﻴت حاﺻﻞ ﺿرب ) ( 1 x )( x ) , (7 x 2 y)( 3x 4 yz8و ) ( 30a 2 b)( 5abرا درﻳابﻴد. 3
مثال اول :حاﺻﻞ ﺿرب ﻫاى زﻳر را بﻪ دست آورﻳد: ( 5y a )(5y) = 25y a +1
1 2 1 2 16 1 16 =1 = ) () ( = ) ( )(4 4 2 4 4 16 ( 2a)3 ( 2a) 2 = 32a 5
a 2x ( 2a) = 2a 2x +1 1 1 1 ( a)( a) = a 2 2 2 4 ( 0.1)( 0.1)( 0.1) = 0.001
x(x m ) = x m +1 = x1+ m 5 5 5 125 3 3 = )( mn)( mn)( mn mn 2 2 2 8 ( a b )( a) = a b +1 = a1+ b
( 4s 2 t 2 )(2st 3 ) = 8s 3 t 5
(0.01p)(0.01p) = 0.0001p 2
( mn)( mn 2 ) = m 2 n 3
(0.1x 2 )(0.1x 2 ) = 0.01x 4
ضرب مﻮﻧﻮم در پﻮلﻴﻨﻮم: مثال دوم :حاﺻﻞ ﺿرب ﻫاى زﻳر را درﻳابﻴد.
(2m 2 n 3 )(1 4mn 4 ) = 2m 2 n 3 8m 3 n 7
x 3 (x x 2 y 4 ) = x 4 x 5 y 4
3b(5b4 8b + 12) = 15b5 + 24b 2 36b 4s 2 t 2 (5s 2 t + 6st 2s 2 t 2 ) = 20s 4 t 3 24s3 t 3 + 8s 4 t 4
61
فعالﻴت حجﻢ ﻣﻜﻌبﻲ را درﻳابﻴد ﻛﻪ ﻃﻮل آن ، 2 xﻋرض آن xو ارتﻔاع آن x + 2باشد. ضرب پﻮلﻴﻨﻮم در پﻮلﻴﻨﻮم مثال سﻮم)a( :حاﺻﻞ ﺿرب ) ( x 4)( x 5را درﻳابﻴد. حل( x 4)( x 5) = x 2 5x 4 x + 20 = x 2 9 x + 20 : 4 4x 20
x 2
x 5x
x 5
b) (a + b)(a + b)(a + b) = (a + b)(a 2 + 2ab + b 2 ) = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
:cاﮔر P( x) = x3 + 2 xو Q( x) = 2 x 2 x + 1باشد. )P( x ) Q( x ) = ( x 3 + 2 x ) (2 x 2 x + 1 = x 3 2x 2 + x 3 ( x ) + x 3 1 + 2x 2x 2 + 2x ( x ) + 2x 1 x 4 + 5x 3 2 x 2 + 2 x
x 4 + x 3 + 4x 3 2x 2 + 2x = 2x 5
= 2x 5
62
بﻪ ﻳاد داشتﻪ باشﻴد اﮔر Q , Pو Rپﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫا باشﻨد: (خاﺻﻴت تبدﻳﻠﻰ ﺿرب) P Q = Q P (خاﺻﻴت اتحادى ﺿرب) P (Q R) = (P Q) R فعالﻴت اﮔر P( x ) = 2x 2 x 1و Q( x) = 4 x 8باشد خاﺻﻴت ﻫاى تبدﻳﻠﻰ و اتحادى ﺿرب را در آن ﻫا بررسﻰ ﻛﻨﻴد. در جدول زﻳر ﻣساحت( )Areaاشﻜال ﻫﻨدسﻰ را درﻳابﻴد. ﻃﻮل داده شده
ﻣساحت
n 2 + n 20ﻃﻮل آن ، n + 5و ﻋرض آن n 4
6 y 2 + 3y 3
ﻃﻮل آن ، 3 y + 3و ﻋرض آن 2 y 1
5 2 b + 2b 5 2
b 3ﻗاﻋدة آن ، 2b 5و ارتﻔاع آن b 2 + 2
اشﻜال ﻫﻨدسﻰ ﻣستﻄﻴﻞ ﻣستﻄﻴﻞ ﻣثﻠث
m 2 + 26m + 169ﻫر ﺿﻠﻊ آن ، m + 13ﻣﻰ باشد
ﻣربﻊ
ﻫر ﺿﻠﻊ آن 2 g 4ﻣﻰ باشد
ﻣربﻊ
4g 2 16g + 16
) (9c 2 + 12c + 4شﻌاع آن 3c + 2ﻣﻰ باشد
داﻳره
فعالﻴت حاﺻﻞ ﺿرب
)ab bc ac
(a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2را درﻳابﻴد.
سؤال :پﻴاده روﻫاى چﻬار سﻤت ﻳﻚ حﻮض ﻣستﻄﻴﻞ شﻜﻞ ،سﻤﻨت شده است ﻛﻪ ﻋرض آن xﻣتر و ﻃﻮل و ﻋرض حﻮض بﻪ ترتﻴب 50mو 25mﻣﻰ باشد ﻣساحت پﻴاده رو را درﻳابﻴد. حل :ﻣساحت ﻣجﻤﻮﻋﻰ پﻴاده رو و حﻮض A = (25 + 2 x )(50 + 2 x ) = 1250 + 150x + 4 x 2
63
ﻣساحت حﻮض: پس ﻣساحت راه:
2
1250 = 4 x + 150x 2
2
(25m)(50m) = 1250m
1250 + 150x + 4xﻣﻰ باشد.
در ﺿرب پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫا ﻣﻴتﻮان ﻣﻮﻧﻮم را در ﻣﻮﻧﻮم ،ﻣﻮﻧﻮم را در پﻮﻟﻴﻨﻮم و ﻳا پﻮﻟﻴﻨﻮم را در پﻮﻟﻴﻨﻮم با ﻫﻢ ﺿرب ﻛرد و در ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺿرب خاﺻﻴت ﻫاى تبدﻳﻠﻰ ،اتحادى و خاﺻﻴت تﻮزﻳﻌﻰ ﺿرب باﻻى جﻤﻊ ﻧﻴز ﺻدق ﻣﻰ ﻛﻨد.
تمرين .1ﺿرب ﻛﻨﻴد(4 x 2 y 2 z)( 5xy 3 z 2 ) :
,
)2 xy(2 x 2 + 2 y 2 2
.2ارتﻔاع ﻳﻚ بﻜس xاﻧچ ،ﻃﻮل آن ) ( x + 1اﻧچ و ﻋرض آن 2 x 4اﻧچ ﻣﻰ باشد ،اﮔر ارتﻔاع بﻜس 3اﻧچ باشد حجﻢ اﻳﻦ بﻜس ﻣساوى است بﻪ: 20 in 3
)d
48 in 3
)c
b) 24 in 3
a ) 40 in 3
64
تقسﻴم پﻮلﻴﻨﻮم بر مﻮﻧﻮم آﻳا حاﺻﻞ تﻘسﻴﻢ x2 x
1 2 a , 3mn , 1 mn b
14x 5 na و 2x 2 nb
2
,
4m n n
را بﻪ دست آورده
ﻣﻰ تﻮاﻧﻴد؟ (اﮔر تﻤام ﻣخرج ﻫا خﻼف ﺻﻔر باشﻨد)؟ تقسﻴم مﻮﻧﻮم بر مﻮﻧﻮم(:)Dividing monomial by monomial مثال دوم :تﻘسﻴﻢ ﻛﻨﻴد. 5 5 7 9 3 2 36a b c 6x y 3 3 a na 4 4 2 x = 3ab c , = x y , =a , = na b 4 3 6 2 x b 12a bc 4x y 2 a n تقسﻴم پﻮلﻴﻨﻮم بر مﻮﻧﻮم: 7x 2 = x 2 + 5x 7 2 x
(x 2
)0
2
3
9
3
6
4
x y 4x y = x 5 y xy5 4 y8 3 x y
(x 3 y )0
( x + 5x
x + 5x 7 x 2 x 4 5x 3 = 2+ 2 x2 x x
مثال دوم :تﻘسﻴﻢ ﻛﻨﻴد: )0
7x ) ÷ x 2
3
4
4
2
8
x y
r 6 s 2 r 5 s 4 r 3s 4 = r 4s r 3 4rs 3 2 rs
( r 2s
فعالﻴت حاﺻﻞ تﻘسﻴﻢ را بﻪ دست آورﻳد(ﻣخرج ﻫا خﻼف ﺻﻔر اﻧد) 10b 3c 7 6b 2 c 7
65
c:
x2 1 y 1 ÷
x2 y2
b:
27 x 6 y13 18x12 y8 9x 3 y8
a:
تقسﻴم پﻮلﻴﻨﻮم بر پﻮلﻴﻨﻮم :وﻗتﻰ ﻛﻪ ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم را باﻻي پﻮﻟﻴﻨﻮم دﻳﮕر تﻘسﻴﻢ ﻣﻰ ﻧﻤاﻳﻴﻢ ﻣﻘسﻮم( )Dividendو ﻣﻘسﻮم ﻋﻠﻴﻪ ( )Divisorﻫر دو باﻳد بﻪ ﻃﻮر ﻣﻨﻈﻢ ترتﻴب شﻮﻧد. مثال سﻮم :حاﺻﻞ تﻘسﻴﻢ ) (13x + 2x 4 + 12 + 3x 3 4x 2 ) ÷ (3 + x 2 2xرا بﻪ دست آرﻳد. x2
2x 4 + 3x 3 4x 2 + 13x + 12
2x + 3
2x 2 + 7x + 4
- 2x 4 m 4x 3 ± 6x 2 7x 3 10 x 2 + 13x _ 7x 3 + 14x 2 ± 21x 4x 2 8x + 12 4x 2 m 8x ± 12
فعالﻴت
0
حاﺻﻞ ﺿرب دو پﻮﻟﻴﻨﻮم 6 y 3 11y 2 + 6 y 1ﻣﻰ باشد .اﮔر ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم 3 y 2 4 y + 1باشد پﻮﻟﻴﻨﻮم دﻳﮕرى را درﻳابﻴد. در تﻘسﻴﻢ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻣﻲ تﻮاﻧﻴﻢ ﻣﻮﻧﻮم را بر ﻣﻮﻧﻮم ،پﻮﻟﻴﻨﻮم را بر ﻣﻮﻧﻮم و ﻳا پﻮﻟﻴﻨﻮم را بر پﻮﻟﻴﻨﻮم تﻘسﻴﻢ ﻛﻨﻴﻢ ﻃﻮري ﻛﻪ ﻣﻘسﻮم و ﻣﻘسﻮم ﻋﻠﻴﻪ بﻪ ﻃﻮر ﻧزوﻟﻰ ترتﻴب ﮔردد و ﻋﻤﻠﻴﺔ تﻘسﻴﻢ تا وﻗتﻰ اداﻣﻪ داده ﻣﻲ شﻮد ﻛﻪ درجﺔ باﻗﻴﻤاﻧده بﻪ اﻧدازة ﻳﻚ از درجﻪ ﻣﻘسﻮم ﻋﻠﻴﻪ ﻛﻢ باشد.
تمرين .1بﻪ ﻛدام ﻗﻴﻤت Pپﻮﻟﻴﻨﻮم 3x 3 7 x 2 9 x + pبر x 13پﻮره تﻘسﻴﻢ ﻣﻰ شﻮد؟ .2خارج ﻗسﻤت ﻫا را درﻳابﻴد. 12 x 5 + 9 x 4 + 15x 2 3x 3 27a 6 b13 18a 12 b8 9a 3 b8
)3abc) ÷ (a + b + c
3
(a + b + c 3
3
)( x + x 6) ÷ ( x 2 2
)y 5 ) ÷ ( x y
(x 5
j5 k 2 3 j8 k 4 2 j4 k 12 x 5 + 9 x 4 + 15x 2
66
مطابقت ﻫا (حاصل ضرب ﻫاى خاص)
ab
اﮔر x + 1 = 3باشد آﻳا ﻗﻴﻤت 1 x x2
x2 +
a + b a2
a +
b
ab
b
را ﻣﻌﻠﻮم ﻛرده ﻣﻰ تﻮاﻧﻴد؟ 2
ﻃﻮرى ﻛﻪ ﻗب ً ﻼ ﻣشاﻫده ﮔردﻳد تﻮاﻧستﻴﻢ ﻛﻪ حاﺻﻞ ﺿرب دو ﻳا اﺿاﻓﻪ تر از دو اﻓاده اﻟجبرى را بﻪ دست آورﻳﻢ. تﻮسﻂ ﻣﻄابﻘت ﻫا ،حاﺻﻞ ﺿرب اﻓاده ﻫاى خاص را بﻪ آساﻧﻰ بﻪ دست آورده ﻣﻰ تﻮاﻧﻴﻢ و ﻧﻴز تﻮسﻂ ﻣﻄابﻘت ﻫا ،اﻓاده ﻫاى اﻟجبرى را تجزﻳﻪ ﻛرده ﻣﻰ تﻮاﻧﻴﻢ. -1
(a + b) 2 = (a + b)(a + b) = a 2 + 2ab + b 2
ثبﻮت: a+b a+b a 2 + ab + ab + b 2 a 2 + 2ab + b 2
مثال اول (2a + 3b) 2 :را اﻧﻜشاف دﻫﻴد. حل: (2a + 3b) 2 = (2a ) 2 + 2(2a )(3b) + (3b) 2 = 4a 2 + 12ab + 9b 2
67
فعالﻴت (4m + p) 2را اﻧﻜشاف دﻫﻴد. مثال دوم (2x + 3y) 2 + ( x + 2 y) 2 :را ساده ﻛﻨﻴد. حل: (2 x + 3y) 2 + ( x + 2 y) 2 = (2 x ) 2 + 2(2 x )(3y) + (3y) 2 + x 2 + 4 xy + (4 y) 2 = 4 x 2 + 12 xy + 9 y 2 + x 2 + 4 xy + 4 y 2 = 5x 2 + 16 xy + 13y 2
مثال سﻮم :اﮔر a + b = 5و ab = 6باشد ﻗﻴﻤت a 2 + b 2را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد. حل: a+b=5 (a + b ) 2 = 5 2 a 2 + 2ab + b 2 = 25 a 2 + 2(6) + b 2 = 25 a 2 + b 2 = 25 12 a 2 + b 2 = 13 1 مثال چﻬارم :اﮔر x + 1 = 3باشد ،ﻗﻤﻴت 2 x x
حل:
x 2 +را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد. 1 x+ =3 x 1 ( x + ) 2 = (3) 2 x 1 1 x 2 + 2 x + ( )2 = 9 x x 1 x2 + 2 + 2 = 9 x 1
68
1 =9 2 x2 1 x2 + 2 = 7 x
x2 +
.( را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد101) 2 تﻮسﻂ ﻣﻄابﻘت ﻗﻤﻴت:مثال پﻨجم (101) 2 = (100 + 1) 2 = (100) 2 + 2(100)(1) + (1) 2 = 10000 + 200 + 1 = 10201
-2
(a b) 2 = (a b)(a b) = a 2 2ab + b 2
:ثبﻮت
a a -b a2 b(a-b)
b(a-b)
a-b
a
a b a b a2
ab ab + b 2
2
a2
b
2ab + b 2
.( را اﻧﻜشاف دﻫﻴد3x 4 y) 2 :مثال اول :حل (3x 4 y) 2 = (3x ) 2 2(3x )(4 y) + (4 y) 2 = 9 x 2 24 xy + 16 y 2
( 2 x 3 y ) 2 + (7 x 4 y ) 2
.( را ساده ﻛﻨﻴد2x 3y) 2 + (7 x 4 y) 2 :مثال دوم :حل
= (2 x ) 2 2(2 x )(3y) + (3y) 2 + (7 x ) 2 2(7 x )(4 y) + (4 y) 2 = 4 x 2 12 xy + 9 y 2 + 49 x 2 56 xy + 16 y 2 = 53x 2 68xy + 25 y 2
69
فعالﻴت
(2a 5b) 2را اﻧﻜشاف دﻫﻴد. مثال سﻮم :اﮔر a b = 12و ab = 35باشد ﻗﻴﻤت a 2 + b 2را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد. حل: a b = 12 (a b) 2 = (12) 2 a 2 2ab + b 2 = 144 a 2 2(35) + b 2 = 144 a 2 + b 2 = 144 + 70 = 214
مثال چﻬارم :اﮔر ab = 10و a 2 + b 2 = 29باشد ،ﻗﻤﻴت a bرا ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد. حل: (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 = a 2 + b 2 2ab = 29 2(10) = 9 ( a b ) 2 = 32 (a b ) = 3
فعالﻴت (1 2x ) 2را اﻧﻜشاف دﻫﻴد. 1 مثال پﻨجم :اﮔر = 8 x
حل:
1 xباشد ،ﻗﻤﻴت x2
x 2 +را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد.
70
1 =8 x 1 2 (x ) = (8) 2 x 1 1 x 2 2 x + ( ) 2 = 64 x x 1 x 2 + 2 = 64 + 2 = 66 x x
مثال ششم :تﻮسﻂ ﻣﻄابﻘت ﻗﻤﻴت (99) 2را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد. حل: (99) 2 = (100 1) 2 = (100) 2 2(100)(1) + (1) 2 = 10000 200 + 1 = 9801 y 2 مثال ﻫفتم) : x
حل:
x y
( را اﻧﻜشاف دﻫﻴد. x y y 2 x y 2 ) = ( )2 2 ) (+ y x x y x y2 x2
71
2+
x2 y2
=
x ( y
تمرين
- 1اﻧﻜشاف دﻫﻴد: (3a + 1) 2
(2xy + 3z) 2
(2a 3) 2
1 2 (3x ) y
- 2تﻮسﻂ ﻣﻄابﻘت ﻗﻴﻤت ﻫاى (97) 2 , (998) 2 , (1005) 2 , (76) 2 , (301) 2را درﻳابﻴد. - 3اﮔر xy = 24و x y = 2باشد ،ﻗﻴﻤت x 2 + y 2را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد. - 4اﮔر a + b = 7و a 2 + b 2 = 29باشد ﻗﻴﻤت abرا ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد.
72
(a + b)(a b) = a 2 b 2 -3 ? = )(2 x + y)(2 x y
ثبﻮت: a+b a b a 2 + ab ab b 2 a 2 b2
مثال اول (3x + 4 y)(3x 4 y) :را ساده سازﻳد.
حل:
(4 y) 2 = 9x 2 16 y 2
(3x + 4 y)(3x 4 y) = (3x ) 2
مثال دوم :تﻮسﻂ ﻣﻄابﻘت حاﺻﻞ ﺿر ب 105× 95را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد.
حل:
(5) = 10000 25 = 9975 2
2
)105 × 95 = (100 + 5)(100 5) = (100
فعالﻴت تﻮسﻂ ﻣﻄابﻘت حاﺻﻞ ﺿرب 97 ×103را بﻪ دست آورﻳد.
73
مثال سﻮم :اﮔر a b = 6و a 2 b 2 = 54باشد ﻗﻴﻤت a + bرا درﻳابﻴد.
حل: (a + b)(a b) = a 2 b 2 6(a + b) = 54 54 =a+b =9 6
-4
(ax + b)(cx + d ) = acx 2 + (ad + bc) x + bd
ﻳا در حاﻟت خاص: ( x + a )( x + b) = x 2 + (a + b) + ab
ax + b cx + d acx 2 + bcx + adx + bd acx 2 + bcx + adx + bd acx 2 + (bc + ad) x + bd acx 2 + (ad + bc) x + bd
مثال اول :تﻮسﻂ ﻣﻄابﻘت حاﺻﻞ ﺿرب ) (2 x + 3)(3x + 1را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد.
حل: (2 x + 3)(3x + 1) = (2 × 3) x 2 + (2 × 1 + 3 × 3) x + 3 × 1 = 6 x 2 + 11x + 3
مثال دوم :تﻮسﻂ ﻣﻄابﻘت حاﺻﻞ ﺿرب ) (2a + 3)(5a 1را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد.
حل:
74
)(2a + 3)(5a 1) = (2 × 5)a 2 + [(2)( 1) + (3)(5)]a + 3( 1 = 10a 2 + ( 2 + 15)a 3 = 10a 2 + 13a 3
فعالﻴت تﻮسﻂ ﻣﻄابﻘت حاﺻﻞ ﺿرب ) (4x 2b)(3x + bرا ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد.
مثال سﻮم :تﻮسﻂ ﻣﻄابﻘت حاﺻﻞ ﺿرب ﻫاى زﻳر را درﻳابﻴد: x x )y ()( + y 2 2 )(0.1x + 0.2 y)(0.1x 0.2 y
حل:
b:
2
x x x x y2 = y) = ( ) 2 y 2 ()( + y 4 2 2 2 (0.1x + 0.2 y)(0.1x 0.2 y) = (0.1x ) 2 (0.2 y) 2 = 0.01x 2 0.04 y 2
75
a:
a: b:
تمرين - 1تﻮسﻂ ﻣﻄابﻘت ،حاﺻﻞ ﺿرب ﻫاى زﻳر را درﻳابﻴد: ) (2 x 2 + 3y 2 )(2 x 2 3y 2 )(2 x + 1)(3x + 1 ) (9 x 2 + 16 y 2 )(9 x 2 16 y 2 - 2اﮔر a + b = 8و b 2 = 6
- 3اﮔر x + y = 5و y 2 = 100
)( x + 2 y)( x 2 y 1 1 ( x + )( x ) x x )(6 x 2 + 5)(3x 2 + 2
a 2باشد ،ﻗﻴﻤت a bرا ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد. x 2باشد ،ﻗﻴﻤت x yرا ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد.
76
تجزﻳﻪ factoring or factorization +
3
x
آﻳا ﻧشان داده ﻣﻰ تﻮاﻧﻴد ﻛﻪ
ﻣﻰ باشد؟
3x 6
x
2x
x+2
)x 2 + 5x + 6 = ( x + 3)( x + 2
2
ﻣﻰ داﻧﻴﻢ ﻛﻪ 15 = 3 5ﻣﻰ باشدﻛﻪ 3و 5اجزأى ﺿربﻰ ﻋدد 15ﻣﻰ باشﻨد. تجزﻳﻪ افاده ﻫاى الجبرى مثال اول:
، x 2 = x xپس اجزأى ﺿربﻰ x 2ﻋبارت از xو xﻣﻰ باشد .اجزأى ﺿربﻰ 3xyz
ﻋبارت از 3,x,yو zﻣﻰ باشﻨد.
4x 2 yz = 2 2 x x y zﻛﻪ 2,2, x, x, y, zاجزاى ﺿربﻰ اﻓادة 4x yzﻣﻰ باشد. مثال دوم: 2
)x 2 + 4 x = x ( x + 4
xو 4+xاجزأى ﺿربﻰ x 2 + 4xﻣﻰ باشد. مثال سﻮم:
( x + 2)( x + 3) = x 2 + 5x + 6 )x 2 + 5x + 6 = ( x + 2)( x + 3
پس x + 2 :و x + 3ﻋبارت از اجزأى ﺿربﻰ اﻓادة x 2 + 5x + 6ﻣﻰ باشد. -1تجزﻳﻪ اﻓاده ﻫاى اﻟجبرى ﻛﻪ بﻪ شﻜﻞ ka + kb + kcباشد.
)ka + kb + kc = k (a + b + c
ﻫﻤچﻨﻴﻦ:
)ka kb + kc = k (a b + c )ka + kb kc = k (a + b c
77
)ka + kb kc = k (a + b c
مثال چﻬارم :اﻓاده ﻫاى زﻳر را تجزﻳﻪ ﻛﻨﻴد.
)6 x + 4 y + 8z = 2(3x + 2 y + 4z
)x 2 + 2 x = x ( x + 2 )2 x 2 y + 3xy = xy(2 x + 3
مثال پﻨجم 5a 2 b 2 + 15ab 3 + 5b 4 :را تجزﻳﻪ ﻛﻨﻴد. حﻞ: ) 5a 2 b 2 + 15ab 3 + 5b 4 = 5b 2 (a 2 + 3ab + b 2
فعالﻴت اﻓاده ﻫاى اﻟجبرى x 2 + 3x ، bm+amو 4x 2 y 2 + 3xyرا تجزﻳﻪ ﻛﻨﻴد.
-2تجزﻳﻪ اﻓاده ﻫاى اﻟجبرى ﻛﻪ شﻜﻞ a 2 ± 2ab + b 2را داشتﻪ باشﻨد. ﻣﻴداﻧﻴﻢ ﻛﻪ:
)a 2 + 2ab + b 2 = (a + b)(a + b )a 2 2ab + b 2 = (a b)(a b
مثال اول :اﻓاده a 2 + 2a + 1را تجزﻳﻪ ﻛﻨﻴد. حل:
2
)a + 2a + 1 = (a ) + 2(a )(1) + (1) = (a + 1 )= (a + 1)(a + 1 2
2
2
مثال دوم :اﻓاده 4x 2 + 12 xy + 9 y 2را تجزﻳﻪ ﻛﻨﻴد. حل:
4 x 2 + 12 xy + 9 y 2 = (2 x ) 2 + 2(2 x )(3y) + (3y) 2 = (2 x + 3y) 2 )= (2 x + 3y)( 2 x + 3y
78
مثال سﻮم :اﻓاده 16 x 2 40 xy + 25 y 2را تجزﻳﻪ ﻛﻨﻴد. حل: 16 x 2 40 xy + 25 y 2 = (4 x ) 2 2(4 x )(5 y) + (5 y) 2 )= (4 x 5 y) 2 = (4 x 5 y)(4 x 5 y
مثال چﻬارم :اﻓاده 9x 2 + 54xy + 81y 2را تجزﻳﻪ ﻛﻨﻴد. حل: 9 x 2 + 54xy + 81y 2 = (3x ) 2 + 2(3x )(9 y) + (9 y) 2 )= (3x + 9 y) 2 = (3x + 9 y)(3x + 9 y 2 2 مثال پﻨجم x 2 + 2 + y 2 :را تجزﻳﻪ ﻛﻨﻴد.
حل:
x
y
2
2
x y x y y 2 x y x + 2 + 2 = ( )2 + 2 + ( ) = ( + )2 2 y x y x x y x y x y x y ) = ( + )( + y x y x
فعالﻴت اﻓاده x 2 + 6xy + 9 y 2را تجزﻳﻪ ﻛﻨﻴد.
79
تمرين
.تجزﻳﻪ ﻛﻨﻴد
80
10x 3 y + 15x 2 y 2 + 25xy3
6 x 3 + 5x 2 + 2 x
3x 2 + 6
9 x 2 + 24xy + 16y 2
1 4x 2 y2 2+ 2 x
4x 2 2 +
9 x 2 48xy + 64y 2
x2 y2
a 2 x 2 6abxy + 9b 2 y 2
-3تجزﻳﻪ افاده ﻫاى الجبرى کﻪ شکل a 2 b 2را داشتﻪ با شﻨد.
= 81m 2 36n 2 ) (9 x 6n )(9 x + 6n
آﻳا اﻓاده 9 y 2 100را تجزﻳﻪ ﻛرده ﻣﻰ تﻮاﻧﻴد؟
چﻮن ﻣﻰ داﻧﻴﻢ ﻛﻪ (a b)(a + b) = a 2 b 2 مثال اول :اﻓاده 9x 2 16 y 2را تجزﻳﻪ ﻛﻨﻴد.
حل:
)(4 y) = (3x 4 y)(3x + 4 y 2
1 مثال دوم :اﻓاده x2
2
) 16 y = (3x 2
2
9x
x 2را تجزﻳﻪ ﻛﻨﻴد.
حل:
1 1 = (x)2 ( )2 = (x 2 x x
1 1 ) )( x + x x
x2
مثال سﻮم :اﻓاده a 4 b 4را تجزﻳﻪ ﻛﻨﻴد. حل:
) b )(a + b 2
2
2
2
( b ) = (a 2 2
) b = (a
2 2
4
4
a
) = (a b)(a + b)(a + b 2
فعالﻴت اﻓاده 9x 2 64را تجزﻳﻪ ﻛﻨﻴد. -4تجزﻳﻪ اﻓاده ﻫاى ﻛﻪ شﻜﻞ ax 2 + bx + cرا داشتﻪ باشد. مثال اول :اﻓاده x 2 + 5x + 6را تجزﻳﻪ ﻛﻨﻴد. حل:
81
2
)x 2 + 5x + 6 = x 2 + 3x + 2 x + 6 = x ( x + 3) + 2( x + 3 )= ( x + 2)( x + 3
مثال دوم :اﻓادة x 2 5x + 6را تجزﻳﻪ ﻛﻨﻴد. حل:
)3x 2 x + 6 = x ( x 3) + 2( x 3 )= ( x 2)( x 3
2
5x + 6 = x
2
x
مثال سﻮم :اﻓادة x 2 + 7 x + 10را تجزﻳﻪ ﻛﻨﻴد. حﻞ:
)x + 7 x + 10 = x + 2 x + 5x + 10 = x ( x + 2) + 5( x + 2 )= ( x + 2)( x + 5 2
2
فعالﻴت اﻓاده x 2 + 2x 15را تجزﻳﻪ ﻛﻨﻴد.
مثال چﻬارم :اﻓادة 2x 2 + 11x + 14را تجزﻳﻪ ﻛﻨﻴد. حل:
)2 x + 11x + 14 = 2 x + 4 x + 7 x + 14 = 2 x ( x + 2) + 7( x + 2 )= (2 x + 7)( x + 2 2
2
مثال پﻨجم :اﻓادة 12 x 2 + 7 x 10را تجزﻳﻪ ﻛﻨﻴد. حﻞ:
(15)( 8) = 120 15 8 = 7 )12 x 2 + 7 x 10 = 12 x 2 + 15x 8x 10 = 3x (4 x + 5) 2(4 x + 5 )= (3x 2)(4 x + 5
مثال ششم :اﻓاده 6x 2 4x 2را تجزﻳﻪ ﻛﻨﻴد.
82
6x
2
:حل
4x 2 = 6x 6x + 2x 2 = 6 x ( x 1) + 2( x 1) = (6 x + 2)( x 1) 2
تمرين x
2
y
2
18x 2 50 y 2
x
2
25
81a
1 16 y 4
x8
x + 4x + 3
x + 9 x + 20
x 2 + 15x + 54
y 2 + 15y + 56
b 2 7 b + 12
x 2 3x 180
3x 2 + 14x 5
8x 2 + 2 x 3
3a 2 a 4
3y 2
2
2
2
25b
2
. تجزﻳﻪ ﻛﻨﻴد-1
y8
. تجزﻳﻪ ﻛﻨﻴد-2
y 10
83
خﻼصﺔ فصل اﻓادة اﻟجبرى بﻪ سﻪ ﻧﻮع ﻣﻴباشد ،اﻓادة اﻟجبرى ﻧاﻃﻖ ،اﻓادة اﻟجبرى ﻏﻴر ﻧاﻃﻖ و اﻓاده اﻟجبرى پﻮﻟﻴﻨﻮﻣﻰ. حدودى ﻛﻪ ﻣتحﻮﻟﻴﻦ و درجﻪ ﻫاى شان ﻋﻴﻦ چﻴز باشﻨد حدود ﻣشابﻪ ()Like terms ﻧاﻣﻴده ﻣﻰ شﻮﻧد .ﻣثﻞ 3x 2و 5x 2ﻳا 4 x 2 y 2و 6 x 2 y 2حدود ﻣشابﻪ اﻧد. پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻋبارت از اﻓادة اﻟجبرى ﻳﻚ ﻳا چﻨد حده ﻣﻰ باشد ﻛﻪ تﻮان ﻫاى حروف شان در ست اﻋداد ﻣﻜﻤﻞ شاﻣﻞ باشﻨد. درجﺔ ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮﻣﻰ ﻛﻪ از ﻳﻚ حرف (ﻣتحﻮل) تشﻜﻴﻞ شده باشد ﻋبارت از بزرﮔترﻳﻦ تﻮان اﻳﻦ حرف ﻣﻰ باشد و اﮔر پﻮﻟﻴﻨﻮم از چﻨد حرف تشﻜﻴﻞ شده باشد درجﺔ ﻣﻮﻧﻮﻣﻰ ﻛﻪ بزرﮔترﻳﻦ تﻮان را داراست ﻋبارت از درجﺔ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻣﻰ باشد. بﻪ ﻓﻜتﻮر ﻋددى ( )Numerical Factorﻳﻚ حد ،ﺿرﻳب ﻣﻰ ﮔﻮﻳﻨد؛ ﻃﻮر ﻣثال :در 3x 2ﻋدد 3ﺿرﻳب x 2ﻣﻰ باشد. تﻤام اﻋداد ثابت پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫا اﻧد ﻛﻪ بﻪ ﻧام پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاى ثابت ﻳاد ﻣﻰ شﻮﻧد ،ﻛﻪ درجﺔ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاى ثابت ﺻﻔر است ،اﻣا درجﺔ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﺻﻔرى تﻌرﻳﻒ ﻧاشده است. پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاﻳﻰ ﻛﻪ داراى ﻳﻚ ﻣتحﻮل باشد و ﺿراﻳب حدود ﻣشابﻪ آن ﻫا با ﻫﻢ ﻣساوى باشﻨد ،بﻪ ﻧام پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاى ﻣﻌادل ﻳا د ﻣﻰ شﻮﻧد. ﻗﻴﻤت ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻋددى است ،ﻛﻪ در ﻧتﻴجﺔ وﺿﻊ ﻛردن ﻗﻴﻤت داده شده ﻣتحﻮل در پﻮﻟﻴﻨﻮم بﻪ دست ﻣﻰ آﻳد. اﮔر ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم از بزرﮔترﻳﻦ تﻮان ﻣتحﻮل تا ﻋدد ثابت تﻤام حدود را داشتﻪ باشد بﻪ ﻧام پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻣﻜﻤﻞ و اﮔر ﻳﻚ ﻳا چﻨد حد ﻧداشتﻪ باشد بﻪ ﻧام پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻧاﻗﺺ ﻳاد ﻣﻰ شﻮد. اﮔر ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم از ﻛﻮچﻜترﻳﻦ تﻮان ﻣتحﻮل تا بزرﮔترﻳﻦ تﻮان ﻣتحﻮل ترتﻴب شﻮد ،پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻣﻨﻈﻢ ﺻﻌﻮدى و اﮔر از بزرﮔترﻳﻦ تﻮان ﻣتحﻮل تا ﻛﻮچﻜترﻳﻦ تﻮان ترتﻴب شﻮد بﻪ ﻧام پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻣﻨﻈﻢ ﻧزوﻟﻰ ﻳاد ﻣﻰ شﻮد. در ﻋﻤﻠﻴﺔ جﻤﻊ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫا ،حدود ﻣشابﻪ ( )Like termsبا ﻫﻢ جﻤﻊ و در ﻋﻤﻠﻴﺔ تﻔرﻳﻖ ﻋﻼﻣﺔ ﻣﻔروق تﻐﻴﻴر ﻣﻰ ﻛﻨد و ﻣتباﻗﻰ ﻣراحﻞ ﻣثﻞ ﻋﻤﻠﻴﺔ جﻤﻊ ،اﻧجام ﻣﻰ شﻮد( .ﻣﻌﻜﻮس
84
جﻤﻌﻰ ﻣﻔروق با ﻣﻔروق ﻣﻨﻪ جﻤﻊ ﻣﻰ شﻮد). در ﻋﻤﻠﻴﻪ ﻫاى جﻤﻊ و ﺿرب پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫا خاﺻﻴت ﻫاى تبدﻳﻠﻰ و اتحادى و ﻧﻴز خاﺻﻴت تﻮزﻳﻌﻰ ﺿرب باﻻى جﻤﻊ ﺻدق ﻣﻰ ﻛﻨد. در ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺿرب پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫا ﻣﻰ تﻮاﻧﻴﻢ ﻣﻮﻧﻮم را در ﻣﻮﻧﻮم ،ﻣﻮﻧﻮم را در پﻮﻟﻴﻨﻮم و ﻳا پﻮﻟﻴﻨﻮم را در پﻮﻟﻴﻨﻮم ﺿرب ﻛﻨﻴﻢ. بﻪ ﻫﻤﻴﻦ ترتﻴب در ﻋﻤﻠﻴﺔ تﻘسﻴﻢ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫا ،ﻣﻴتﻮاﻧﻴﻢ ﻣﻮﻧﻮم را بر ﻣﻮﻧﻮم ،پﻮﻟﻴﻨﻮم را بر ﻣﻮﻧﻮم و ﻳا پﻮﻟﻴﻨﻮم را بر پﻮﻟﻴﻨﻮم تﻘسﻴﻢ ﻧﻤاﻳﻴﻢ. (a + b) 2 = (a + b)(a + b) = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = (a b)(a b) = a 2 2ab + b 2
)a 2 b 2 = (a b)(a + b (ax + b)(cx + d ) = acx 2 + (ad + bc) x + bd
85
تمرﻳﻦ فصل - 1اﮔر k = 3a ( x 1) 2 a ( x 1) 4و L = 16 + b( x 1) 3b( x 1) 2باشد Kb + Laرا درﻳابﻴد. - 2بﻪ ﻛدام ﻗﻴﻤت xپﻮﻟﻴﻨﻮم P( x ) = 12 x 4 + 3x 3 13x 2 + x + 5باﻻى )(3 x 2 1
پﻮره ﻗابﻞ تﻘسﻴﻢ ﻣﻰ باشد؟ - 3بﻪ ﻛدام ﻗﻴﻤت Pپﻮﻟﻴﻨﻮم K ( x ) = 3x 3 7 x 2 9x + Pباﻻى ) ( x 13پﻮره ﻗابﻞ تﻘسﻴﻢ ﻣﻰ باشد؟ - 4اﮔر y = 3 , x = 4و z = 2باشد ،ﻗﻴﻤت اﻓاده ﻫاى اﻟجبرى زﻳر را درﻳابﻴد. 1 b : x2 2
1 2 1 2 y + Z 3 4
a : x 2 yz + zxy 2 + 3xyz 2
- 5اﮔر P( x) = 0باشد درجﺔ پﻮﻟﻴﻨﻮم ) P(xچﻨد است؟ تﻌرﻳﻒ ﻧاشده است (d
b( -1
ﺻﻔر(c
a( 1
- 6از ﻣساحت ﻣستﻄﻴﻠﻰ ﻛﻪ ابﻌاد آن ) ( x + 5و ) ( x + 2ﻣﻰ باشد ﻣساحت ﻣستﻄﻴﻞ را تﻔرﻳﻖ ﻛﻨﻴد ﻛﻪ ابﻌاد آن ) ( x + 3و ) ( x + 1باشﻨد. - 7اﮔر ) A = p(p a )(p b)(p cو c = 12 , b = 5 , a = 13و
a+b+c 2 - 8اﮔر ( x 1) 3و x 3 + ax 2 + bx + cپﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاى ﻣﻌادل باشﻨد ﻗﻴﻤت bﻣساوي است
= pباشد ﻗﻴﻤت Aرا درﻳابﻴد.
بﻪ: d) 1
- 9حاﺻﻞ اﻓادة ) a 1 a
3
2 a 1 )d
a +1 ) (a a 1 a 2 )c a
b) 3
÷ (aﻣساوى است بﻪ:
- 10حاﺻﻞ ﺿرب )y )(x + y
d) x y
)c
a) 1
y
)b) a (a 2
)a ) a (a + 1
( x + y )( xﻣساوى است بﻪ: c) 2 x 2
b) x 2 + y 2
y2
a) x 2
86
- 11پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاى زﻳر را بﻪ ﻃﻮر ﻧزوﻟﻰ ( )Descending Orderترتﻴب و ﻧﻴز درجﻪ ﻫاى آﻧﻬا را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد: x 2 + xy 2 z 3 x 5
c) 3
5x 2 + 3x 5 + 9
)b
)a
P( x ) = 0
)e 4x + 2x 3 x 2 + 7 - 12در پﻮﻟﻴﻨﻮم Q( x) = x 2 + 3x 5ﻗﻴﻤت ) Q( 1ﻣساوى است بﻪ: d) 1
b) 7
c) 1
)d a) 7
- 13اﮔر P( x) = x 2 2 x + 3و Q( x) = 2 x 2 + 3 x 1باشد ﻗﻴﻤت اﻓاده ﻫاى زﻳر را ) P ( x ) Q( x )P ( 0) + Q ( 0 درﻳابﻴدP(1) Q( 1) : ) [P( x ) + Q( x )] + p( x
) P( x ) P( x
- 14پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاى زﻳر را ﻧﻈر بﻪ yبﻪ ﻃﻮر ﻧزوﻟﻰ ترتﻴب ﻧﻤاﻳﻴد. 4 x 2 y 3xy 2 + x 3 + y 3
4 xy 3 3x 3 y + 2 x 2 y 2 + x 4 + y 4
- 15در اﻓاده ﻫاى اﻟجبرى زﻳر ،پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫا ،اﻓاده ﻫاى ﻧاﻃﻖ و ﻏﻴرﻧاﻃﻖ اﻟجبرى را ﻧشان دﻫﻴد. 1 y2
0
,
y2
,
1 x
2x
,
x
,
13 3x 2 2
- 16حاﺻﻞ اﻓادة ) (1 + 2x + 3x 2 ) + (3x 5 2x 2 ) + ( x 2 5x + 4ﻣساوى است بﻪ: a) 1 ﺻﻔر )b c) 1 d) 2 - 17حاﺻﻞ ﺿرب دو اﻓادة اﻟجبرى ) (a 3 + b 3 + c3 3abcﻣﻰ باشد .اﮔر ﻳﻚ اﻓادة اﻟجبرى ) (a + b + cباشد اﻓادة دﻳﮕرى را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد. - 18خارج ﻗسﻤت ﻫا را درﻳابﻴد.
87
) (a 3 + b 3 ) ÷ (a + b
)(12 x 4 + 3x 3 13x 2 + x + 5) ÷ (3x 2 1
) (a 5 b 5 ) ÷ (a b
)(4 x 3 10 x 2 + 12 x + 6) ÷ (2 x + 1
ma mb
- 19ﺿرب ﻛﻨﻴد.
xa 2 x
1 1 1 1 ) ( x + )( x + 4 2 2 4 2 2 2 ) (m 2n )(2m n 2
)(a 2 x 2)(a 2 x 2 )(e x + 1)(e x 1
1 1 1 )(2 mn)(2 mn)(2 mn 2 2 2
) (0.1x 2 )(0.1x 2 )(0.1x 2
- 20اﻓاده ﻫاى زﻳر را ساده و جﻤﻊ ﻛﻨﻴد. (a 1) + 1 (a 1) 3
(10mn m) (m 2 + m) + m 2 ])[ 4(a b) 5] + [(2a + b) (a b
)( y 2 1) + ( y 2 1
)10( x + 1) ( x + 1) 3( x + 2
])10 [ { ( x 2 1) + 5} x ( x 2 mn 4 + mn 5
- 21تجزﻳﻪ ﻛﻨﻴد.
x + 5x 24
,
a + 9a + 8
,
a 2c 2 16c 2d 2
,
a 2 36
,
9 y 2 81
13n 26n 3 + 39n 5
,
12a 3 8a 2 + 4a
2
2
x 12
2
x
- 22اﮔر a 2 b 2 = 4و a b = 8باشد ﻗﻴﻤت a+bرا ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد. - 23تﻮسﻂ ﻣﻄابﻘت ﻫا ﻗﻤﻴت ﻫاى ) (95) 2 , (105) 2 , (99) 2 , (104 × 96), (34 × 26را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد. - 24اﻧﻜشاف دﻫﻴد.
2
)(2 x + 5
(3a 8) 2 (7a 5) 2
88