Mathematics 10 [10]

Citation preview

‫‪10‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬

‫ﮐﺘﺎب ﻫﺎى درﺳﻰ ﻣﺘﻌﻠﻖ ﺑﻪ وزارت ﻣﻌﺎرف ﺑﻮده‪،‬‬ ‫ﺧﺮﯾﺪ و ﻓﺮوش آن ﻣﻤﻨﻮع اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪[email protected]‬‬

‫‪1398‬‬

‫ﺟﻤﻬﻮرى اﺳﻼﻣﻰ اﻓﻐﺎﻧﺴﺘﺎن‬ ‫وزارت ﻣﻌﺎرف‬ ‫رﯾﺎﺳﺖ ﻋﻤﻮﻣﻰ اﻧﮑﺸﺎف ﻧﺼﺎب ﺗﻌﻠﯿﻤﯽ‬

‫رﻳاضی‬ ‫صﻨﻒ دﻫﻢ‬ ‫براى ﻣدارس دﻳﻨﻰ‬

‫‪1398‬‬ ‫ﻫـ ‪ .‬ش‪.‬‬

‫اﻟﻒ‬

‫ﻣؤﻟﻒ‬ ‫پﻮﻫﻨﻴار عبﻴداﷲ صافﻰ ﻣتخصص رﻳاضﻴات پروژة اﻧﻜشاف ﻧصاب تعﻠﻴﻤﻰ و تأﻟﻴف ﻛتب درسﻲ‬

‫اﻳدﻳت عﻠﻤﻰ و ﻣسﻠﻜﻰ‬ ‫حبﻴب اﷲ راحﻞ ﻣﺸاور وزارت ﻣﻌارف در رﻳاﺳت اﻧﻜﺸاف ﻧﺼاب تﻌﻠﻴﻤﻰ‪.‬‬ ‫پﻮﻫﻨﻴار عبﻴداﷲ صافﻰ ﻣتخصص رﻳاضﻴات پروژة اﻧﻜشاف ﻧصاب تعﻠﻴﻤﻰ‬ ‫اﻳدﻳت زباﻧﻰ‬ ‫ﻣعاون سرﻣﻮﻟف عبداﻟرزاق ﻛﻮﻫستاﻧﻰ ﻣدﻳر دﻳپارتﻤﻨت ادﻳتﻮران‬ ‫ﻛﻤﻴتﺔ دﻳﻨﻰ‪ ،‬سﻴاسﻰ و ﻓرﻫﻨﮕﻰ‬ ‫حبﻴب اﷲ راحﻞ ﻣﺸاور وزارت ﻣﻌارف در رﻳاﺳت اﻧﻜﺸاف ﻧﺼاب تﻌﻠﻴﻤﻰ‬ ‫ﻣحﻤد آﺻﻒ ﻛﻮچﻰ ﻣتخﺼﺺ دﻳپارتﻤﻨت تﻌﻠﻴﻤات اﺳﻼﻣﻰ‬

‫إشراف‬ ‫دﻛتﻮر ﺷﻴر ﻋﻠﻰ ﻇرﻳﻔﻰ رئﻴس پروژة اﻧﻜﺸاف ﻧﺼاب تﻌﻠﻴﻤﻰ‪.‬‬

‫ب‬

‫ج‬

‫بسﻢ اﷲ اﻟرحﻤﻦ اﻟرحﻴﻢ‬

‫د‬

‫پﻴام وزﻳر ﻣعارف‬ ‫اﻟحﻤدﷲ رب اﻟﻌاﻟﻤﻴﻦ واﻟﺼﻼة واﻟﺴﻼم ﻋﻠﻰ رﺳﻮﻟﻪ ﻣحﻤد وﻋﻠﻰ آﻟﻪ وأﺻحابﻪ أجﻤﻌﻴﻦ‪ ،‬أﻣا بﻌد‪:‬‬ ‫ﻧﺼاب تﻌﻠﻴﻤﻲ ﻣﻌارف‪ ،‬اﺳاس ﻧﻈام تﻌﻠﻴﻢ و تربﻴﻪ را تﺸﻜﻴﻞ داده و در رﺷد و تﻮﺳﻌﺔ ﻋﻠﻤﻰ‪ ،‬ﻓﻜرى و ﺳﻠﻮﻛﻰ‬ ‫ﻧﺴﻠﻬاى اﻣروز و ﻓرداى ﻛﺸﻮر ﻧﻘﺶ بﻨﻴادى و ﺳرﻧﻮﺷت ﺳاز دارد‪.‬‬ ‫ﻧﺼاب تﻌﻠﻴﻤﻰ با ﮔذﺷت زﻣان‪ ،‬تحﻮل و پﻴﺸرﻓت در ﻋرﺻﻪ ﻫاى ﻣختﻠﻒ زﻧده ﮔﻰ‪ ،‬ﻣﻄابﻖ با ﻧﻴازﻫاى جاﻣﻌﻪ‪،‬‬ ‫باﻳد ﻫﻢ از ﻧﻈر ﻣﻀﻤﻮن و ﻣحتﻮا و ﻫﻢ از ﻧﻈر ﺷﻴﻮه و روش ﻋرﺿﺔ ﻣﻌﻠﻮﻣات‪ ،‬تﻄﻮر و اﻧﻜﺸاف ﻧﻤاﻳد‪.‬‬ ‫ﻳﻜﻰ از ﻋرﺻﻪ ﻫاى ﻧﺼاب تﻌﻠﻴﻤﻰ ﻛﻪ ﻣﻮرد تﻮجﻪ جدى براى تجدﻳد ﻧﻈر و بﻬبﻮد ﻣﻰ باﺷد‪ ،‬ﻧﺼاب تﻌﻠﻴﻤات‬ ‫اﺳﻼﻣﻰ اﺳت؛ زﻳرا از ﻳﻚ جاﻧب‪ ،‬ﻓارﻏان ﻣدارس دﻳﻨﻰ بﻪ حﻴث پﻴﺸﻮاﻳان ﻣﻌﻨﻮى جاﻣﻌﻪ‪ ،‬باﻳد ﻣحﻮر تﻼﺷﻬاى‬ ‫ﻣﻌارف ﻗرار ﮔﻴرﻧد و از ﺳﻮى دﻳﮕر ﻧﺼاب تﻌﻠﻴﻤات اﺳﻼﻣﻰ ﺷاﻣﻞ ﻋﻘاﻳد‪ ،‬احﻜام و ﻫداﻳات دﻳﻦ ﻣبﻴﻦ اﺳﻼم‬ ‫اﺳت ﻛﻪ بﻪ حﻴث ﻧﻈام و ﻗاﻧﻮن ﻣﻜﻤﻞ‪ ،‬تﻤام ابﻌاد زﻧده ﮔﻰ اﻧﺴان ﻫا را در بر ﮔرﻓتﻪ و بﻪ ﻋﻨﻮان آخرﻳﻦ پﻴام‬ ‫خاﻟﻖ و پروردﮔار جﻬان تا روز ﻗﻴاﻣت‪ ،‬رﺳاﻟت رﻫﻨﻤاﻳﻰ و ﻫداﻳت بﺸرﻳت را اﻧجام ﻣﻰ دﻫد‪.‬‬ ‫ﻋﻠﻤاى اﻣت اﺳﻼﻣﻰ در ﻃﻮل تارﻳخ ﻧﻘﺶ ﻣﻬﻤﻰ را در اﻳجاد‪ ،‬تﻮﺳﻌﻪ و ﻏﻨاﻣﻨدى ﺳﻴﺴتﻢ تﻌﻠﻴﻤات و ﻣﻌارف‬ ‫اﺳﻼﻣﻰ ﻣخﺼﻮﺻاً اﻧﻜﺸاف تدرﻳجﻰ ﻧﺼاب تﻌﻠﻴﻤﻰ ﻣراﻛز و ﻣؤﺳﺴات ﻋﻠﻤﻰ جﻬان اﺳﻼم‪ ،‬اﻳﻔاﻛرده اﻧد‪.‬‬ ‫ﻣﻄاﻟﻌﺔ دﻗﻴﻖ در ﺳﻴر تﻄﻮر تارﻳخﻰ ﻋﻠﻮم و ﻣﻌارف اﺳﻼﻣﻰ در جﻬان ﻧﺸان ﻣﻴدﻫد ﻛﻪ ﻧﺼاب تﻌﻠﻴﻤﻰ ﻣدارس و‬ ‫ﻣراﻛز ﻋﻠﻤﻰ ﻣا‪ ،‬ﻫﻤﻮاره بﻨا بر ﺿرورت ﻫاى جاﻣﻌﻪ و در تﻄابﻖ با احﻜام ثابت و پا بر جاى دﻳﻦ اﺳﻼم‪ ،‬ﻛﻪ براى‬ ‫ﻫﻤﺔ اﻧﺴاﻧﻬا در ﻫﻤﺔ زﻣاﻧﻬا و ﻣﻜاﻧﻬا ﻣﻰ باﺷد‪ ،‬تﻮﺳﻌﻪ ﻳاﻓتﻪ اﺳت‪.‬‬ ‫ﻛﺸﻮر ﻋزﻳز ﻣا اﻓﻐاﻧﺴتان با ﺳابﻘﺔ درخﺸان ﻋﻠﻤﻰ‪ ،‬روزﮔارى ﻣﻬد ﻋﻠﻢ و داﻧﺶ و جاﻳﮕاه بزرﮔترﻳﻦ ﻣراﻛز‬ ‫ﻋﻠﻤﻰ ﻋﺼر بﻮده و در ﺷﻜﻞ ﮔﻴرى تﻤدن بزرگ اﺳﻼﻣﻰ ﻧﻘﺶ ﻋﻈﻴﻤﻰ داﺷتﻪ اﺳت‪ ،‬وجﻮد ﻫزاران داﻧﺸﻤﻨد‬ ‫و ﻋاﻟﻢ در ﻋرﺻﻪ ﻫاى ﻣختﻠﻒ ﻋﻠﻢ و ﻓرﻫﻨﮓ ﻣخﺼﻮﺻاً در ﻋﻠﻮم ﺷرﻋﻰ؛ ﻣاﻧﻨد‪ :‬ﻋﻘاﻳد‪ ،‬تﻔﺴﻴر‪ ،‬حدﻳث‪ ،‬ﻓﻘﻪ‪،‬‬ ‫اﺻﻮل ﻓﻘﻪ و ﻏﻴره‪ ،‬ﮔﻮاه واﺿح آﻧچﻪ ﮔﻔتﻪ ﺷد ﻣﻰ باﺷد‪.‬‬ ‫ﻫﻤزﻣان با رﺷد بﻴدارى اﺳﻼﻣﻰ در ﻋﺼر حاﺿر‪ ،‬تﻌﻠﻴﻤات اﺳﻼﻣﻰ در ﻛﺸﻮر ﻣا ﺷاﻫد تحﻮل ﻛﻤﻰ و ﻛﻴﻔﻰ بﻮده‬ ‫و اﻃﻔال و جﻮاﻧان ﻛﺸﻮر ﻣا با ﺷﻮق و رﻏبت ﻓراوان بﻪ ﻃرف ﻣدارس و ﻣراﻛز تﻌﻠﻴﻤات اﺳﻼﻣﻰ رو ﻣﻰ آورﻧد‪.‬‬ ‫وزارت ﻣﻌارف جﻤﻬﻮرى اﺳﻼﻣﻰ اﻓﻐاﻧﺴتان بر اﺳاس ﻣﺴؤوﻟﻴت ورﺳاﻟت خﻮﻳﺶ‪ ،‬در ﻣﻄابﻘت با احﻜام ﻗاﻧﻮن‬ ‫اﺳاﺳﻰ ﻛﺸﻮر‪ ،‬بﻪ ﻣﻨﻈﻮر رﺷد و تﻮﺳﻌﺔ ﻛﻤﻰ و ﻛﻴﻔﻰ تﻌﻠﻴﻤات اﺳﻼﻣﻰ و از جﻤﻠﻪ ﻧﺼاب آن‪ ،‬اﻗداﻣات ﻗابﻞ تﻮجﻪ‬ ‫ﻧﻤﻮده اﺳت‪.‬‬ ‫در اﻳﻦ راﺳتا وزارت ﻣﻌارف با دﻋﻮت از ﻋﻠﻤاء‪ ،‬اﺳتادان و ﻣتخﺼﺼان باتجربﻪ و ﻗابﻞ اﻋتﻤاد ﻛﺸﻮر‪ ،‬بﻪ بﻬبﻮد‬ ‫و اﻧﻜﺸاف ﻧﺼاب تﻌﻠﻴﻤﻰ پرداختﻪ و ﻛتابﻬاى راﻳج ﻣدارس تﻌﻠﻴﻤات اﺳﻼﻣﻰ را با ﺷرح و تﻮﺿﻴح ﻣتﻮن‪ ،‬جا‬ ‫بﻪ جا ﺳاختﻦ ﻓﻌاﻟﻴتﻬا‪ ،‬ارزﻳابﻰ و تﻤرﻳﻨﻬا با ﻣﻌﻴارﻫاى ﻛتب درﺳﻰ ﻋﻴار ﺳاخت‪.‬‬ ‫اﻣﻴدوارم اﻳﻦ تﻼﺷﻬاى ﻗابﻞ تﻤجﻴد ﻋﻠﻤاء و ﻣتخﺼﺼان وزارت ﻣﻌارف‪ ،‬در بﻬبﻮد و اﻧﻜﺸاف ﻫر چﻪ بﻴﺸتر‬ ‫تﻌﻠﻴﻤات اﺳﻼﻣﻰ در اﻓﻐاﻧﺴتان ﻋزﻳز ﻣﻔﻴد واﻗﻊ ﺷده وﺳبب ﻛﺴب رﺿاى خداوﻧد ﻣتﻌال ﻗرار ﮔﻴرد‪.‬‬ ‫وباﷲ اﻟتﻮﻓﻴﻖ‬ ‫دﻛتﻮر ﻣحﻤد ﻣﻴروﻳس بﻠخﻰ‬ ‫وزﻳر ﻣﻌارف‬

‫ﻣﻘدﻣﻪ‬ ‫استادان عاﻟﻴﻘدر و شاﮔردان ﮔراﻣﻰ‪،‬‬ ‫رﻳاﺿﻰ زبان ﻋﻠﻮم ﻃبﻴﻌﻰ اﺳت و ﻗﻮاﻧﻴﻨﻲ را ﻛﻪ خداوﻧد در ﻃبﻴﻌت حاﻛﻢ ﺳاختﻪ ﻓﻮرﻣﻮل‬ ‫بﻨدى ﻣﻰ ﻛﻨد ﻫﻤچﻨان ﻣﺴائﻞ ﻣربﻮط بﻪ اﻋداد و ﻣﻘادﻳر را بﻪ زبان حﺴاب ارائﻪ ﻣﻰ ﻧﻤاﻳد‪.‬‬ ‫اﻧﺴان ﻫا در زﻧده ﮔﻰ روز ﻣره بﻪ ﻋﻠﻢ رﻳاﺿﻰ احتﻴاج دارﻧد‪ ،‬اﻳﻦ ﻋﻠﻢ براى ﺳاﻳﻨس حﻴثﻴت‬ ‫ﻛﻠﻴد را دارد‪ ،‬زﻳرا ﻛﻪ اﻛثر ﻗﻮاﻧﻴﻦ ﻃبﻴﻌت بﻪ زبان رﻳاﺿﻰ بﻴان ﻣﻰ ﺷﻮد و در ﻣﺴائﻞ ﺷرﻋﻰ‬ ‫ﻧﻴز بﻪ ﻋﻠﻢ رﻳاﺿﻰ ﺿرورت ﻣﻰ باﺷد‪ ،‬در تﻘﺴﻴﻢ ﻣﻴراث‪ ،‬تﻘﺴﻴﻢ زﻣﻴﻦ و درﻳاﻓت ﻣﺴاحت آن‪،‬‬ ‫تﻌﻴﻴﻦ حﻘﻮق ﺷرﻛا‪ ،‬تﻌﻴﻴﻦ زﻛات و ﻏﻴره ﻣﻮارد‪ ،‬از ﻋﻠﻢ رﻳاﺿﻰ اﺳتﻔاده ﺻﻮرت ﻣﻰ ﮔﻴرد‪.‬‬ ‫براى اﻳﻨﻜﻪ ﻓارﻏان ﻣدارس ﻋﻠﻮم ﺷرﻋﻰ ﻗابﻠﻴت ﻫاى ﺿرورى را آﻣﻮختﻪ‪ ،‬ﻣﺴائﻞ روزﻣرة‬ ‫زﻧده ﮔﻰ ﻣربﻮط رﻳاﺿﻰ را حﻞ ﻛرده بتﻮاﻧﻨد و ﻣﺴائﻞ؛ ﻣاﻧﻨد‪ :‬ﻣﻴراث‪ ،‬ﻣﺸارﻛت‪ ،‬تﻘﺴﻴﻤات‬ ‫اﻣﻮال و ﻣحتﻮاى ﻣﻀاﻣﻴﻦ ﺳاﻳﻨﺴﻰ را بﻔﻬﻤﻨد‪ ،‬رﻳاﺳت ﻋﻤﻮﻣﻰ اﻧﻜﺸاف ﻧﺼاب تﻌﻠﻴﻤﻰ وزارت‬ ‫ﻣﻌارف جﻤﻬﻮرى اﺳﻼﻣﻰ اﻓﻐاﻧﺴتان ﻣﺴائﻞ ﺿرورى رﻳاﺿﻰ را در ﻧﺼاب تﻌﻠﻴﻤﻰ ﻣدارس‬ ‫جابﻪ جا ﻧﻤﻮد‪.‬‬ ‫بﻪ ﮔﻮﻧﻪ ﻳﻰ ﻛﻪ ﺿرورت ﻫاى اﺳاﺳﻰ ﺷاﮔردان ﻣدارس ﺷرﻋﻰ‪ ،‬تخﺼﺺ آﻳﻨده اﻳﺸان و‬ ‫ﺳاﻋات تﻌﻴﻴﻦ ﺷده در پﻼن تﻌﻠﻴﻤﻰ براى ﻣﻀﻤﻮن رﻳاﺿﻰ را در ﻧﻈر ﮔرﻓتﻪ و ﻣﺴائﻞ ﺿرورى‬ ‫اﻳﻦ ﻋﻠﻢ را با درﻧﻈرداﺷت ﻓﻦ ﻣﻌاﺻر ﻧﺼاب ﻧﻮﻳﺴﻰ بر ﻣﻴتﻮد آﺳان و ﻣؤثر تأﻟﻴﻒ ﻧﻤﻮد‪ ،‬تا‬ ‫ﻓارﻏان ﻣدارس ﺷرﻋﻰ در پﻬﻠﻮى ﻋﻠﻮم دﻳﻨﻰ بﻌﻀﻰ ﻋﻠﻮم ﺿرورى دﻧﻴﻮى را ﻧﻴز ﻓرا ﮔﻴرﻧد‪،‬‬ ‫ﻇرﻓﻴت ﻫاى ﺷان بﻠﻨد برود و ﻧﻘﺶ ﻣؤثر و ﻣثﻤر را در جاﻣﻌﻪ بازى ﻧﻤاﻳﻨد‪.‬‬ ‫و اﷲ وﻟﻰ اﻟتﻮﻓﻴﻖ‬

‫ﻫـ‬

‫ﻓصﻞ اول‪ :‬اعداد ﻧسبتﻰ‪:‬‬ ‫ﺳﻴﺴتﻢ اﻋداد‪3..................................................................................................‬‬ ‫ﻋﻤﻠﻴﻪ ﻫاى جﻤﻊ و تﻔرﻳﻖ اﻋداد ﻧﺴبتﻰ‪7 ............................................................‬‬ ‫ﻋﻤﻠﻴﻪ ﻫاى ﺿرب و تﻘﺴﻴﻢ اﻋداد ﻧﺴبتﻰ‪11 ........................................................‬‬ ‫ﻣﻮارد اﺳتﻌﻤال ﻛﺴﻮر در حﻞ ﻣﺴاﻳﻞ روزﻣرة زﻧده ﮔﻰ‪17..................................‬‬ ‫ﻗﻮس ﻫا و ﺳاده ﺳاختﻦ اﻓاده ﻫا ‪23...................................................................‬‬ ‫ﻗﻮاﻧﻴﻦ ﻃاﻗت اﻋداد ﻧﺴبتﻰ‪27 ............................................................................‬‬ ‫روش ﻋﻠﻤﻰ ﻋدد ﻧﻮﻳﺴﻰ‪33 .............................................................................‬‬ ‫ﻧﻜات ﻣﻬﻢ ﻓﺼﻞ ‪36.........................................................................................‬‬ ‫تﻤرﻳﻦ ﻓﺼﻞ‪38 ...............................................................................................‬‬

‫و‬

‫ﻓصﻞ دوم‪ :‬پﻮﻟﻴﻨﻮم‬ ‫اﻓاده ﻫاى اﻟجبرى‪39 .......................................................................................‬‬ ‫اﻗﺴام پﻮﻟﻴﻨﻮم و درجﺔ آن‪43 ............................................................................‬‬ ‫درﻳاﻓت ﻗﻴﻤت ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم‪49 .........................................................................‬‬ ‫ﻋﻤﻠﻴﻪ ﻫاى چﻬارﮔاﻧﺔ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫا‪53 ...................................................................‬‬ ‫ﺿرب پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫا‪57 .........................................................................................‬‬ ‫تﻘﺴﻴﻢ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫا‪61 .........................................................................................‬‬ ‫ﻣﻄابﻘت ﻫا ( ‪ (a + b) 2‬و ‪63............................................................. ) (a b) 2‬‬ ‫ﻣﻄابﻘت ‪69............................................................ (a + b)(a b) = a 2 b 2‬‬ ‫تجزﻳﻪ‪73 ........................................................................................................‬‬ ‫تجزﻳﻪ اﻓاده ﻫاى اﻟجبرى ﻛﻪ ﺷﻜﻞ ‪ a 2 b 2‬را داﺷتﻪ باﺷﻨد‪77 ..........................‬‬ ‫ﻧﻜات ﻣﻬﻢ ﻓﺼﻞ ‪80.........................................................................................‬‬ ‫تﻤرﻳﻦ ﻓﺼﻞ‪82 ...............................................................................................‬‬

‫ز‬

‫فصل اول‬ ‫اعداد ﻧسبتﻰ‬ ‫(‪)Rational Numbers‬‬

x

=

‫سﻴستم اعداد‬ ‫‪System of numbers‬‬

‫اعداد حقﻴقﻰ‬ ‫اعداد ﻧسبتﻰ‬

‫آﻳا ‪ 0. 3‬ﻋدد ﻧﺴبتﻰ است؟‬

‫اعداد غﻴر ﻧسبتﻰ‬

‫اعداد تام کسﻮر عام‬ ‫اعداد مکمل اعداد مﻨفﻰ‬ ‫صفر اعداد طبﻴعﻰ‬

‫در زﻣان ﻫاى ﻗدﻳﻢ‪ ،‬زﻧده ﮔﻰ اﻧﺴان ﻫا بﺴﻴار ساده و بﺴﻴﻂ بﻮده‪ ،‬چﻮپان ﻫا‪ ،‬ﮔﻮسﻔﻨدان خﻮﻳﺶ‬ ‫را وﻗتﻰ ﻛﻪ بﻪ چراﮔاه ﻣﻰ بردﻧد و ﻣﻰ آوردﻧد با ﻣجﻤﻮﻋﺔ سﻨﮕچﻞ ﻫا ﻣﻘاﻳﺴﻪ ﻣﻰ ﻛردﻧد‪ ،‬ﻛﻪ‬ ‫بﻪ اﻳﻦ ترتﻴب حﻴﻮاﻧات ﮔﻢ ﺷده را ﻣﻌﻠﻮم ﻣﻰ ﻛردﻧد‪.‬‬ ‫در زﻣان ﻫاى ﻗدﻳﻢ اﻧﺴان ﻫا بﻪ ﻋﻮض اﻋداد ‪ 1،2،3،4...‬سﻤبﻮل ﻫاى|‪ ...||||،|||،||،‬را استﻌﻤال‬ ‫ﻣﻰ ﻛردﻧد‪.‬ﻣﺼرى ﻫا تﻘرﻳبا ‪ 5000‬سال ﻗبﻞ از ﻣﻴﻼد براى ﺷﻤارش‪ ،‬ده اﻧﮕﺸت دست را‬ ‫استﻌﻤال ﻣﻰ ﻛردﻧد ﻳﻌﻨﻰ سﻴﺴتﻤﻰ بﻪ ﻗاﻋدة (‪ )10‬داﺷت‪ .‬ﻋﻼﻣﺔ را براى (‪ )10‬و ﻋﻼﻣﺔ‬ ‫را براى (‪ )100‬بﻪ ﻛار ﻣﻰ بردﻧد‪ .‬بﻪ ﻫر اﻧدازه ﻳﻰ ﻛﻪ ﺿرورت ﻣﻰ بﻮد ﻳﻚ سﻤبﻮل ﻃﻮر‬ ‫تﻜرارى ﻧﻮﺷتﻪ ﻣﻰ ﺷد؛ ﻃﻮر ﻣثال‪ :‬ﻋدد (‪ )13‬را بﻪ ﺷﻜﻞ )||| ( و ﻋدد (‪ )324‬را بﻪ ﺷﻜﻞ‬ ‫|| ‪ 999‬ﻣﻰ ﻧﻮﺷت‪ ،‬و اﻳﻦ ﻋدد را بﻪ ﺷﻜﻞ ذﻳﻞ ترتﻴب ﻣﻰ ﻛردﻧد‪:‬‬ ‫||‬ ‫‪1+1+1+1+10+10+100+100+100‬‬ ‫ﻣردم ﻛﺸﻮر ﻫاى ﻣختﻠﻒ براى خﻮد سﻴﺴتﻢ ﻫاى ﻣختﻠﻒ اﻋداد را اختراع ﻛرده بﻮدﻧد‪ .‬ﻛﻪ‬ ‫اﻳﻦ سﻴﺴتﻢ ﻫا براى جاﻣﻌﺔ پﻴﺸرﻓتﻪ ﻗابﻞ ﻗبﻮل ﻧبﻮد؛ بﻨابرآن اﻳﻦ سﻴﺴتﻢ ﻫاى ﻣختﻠﻒ رد ﺷدﻧد‬ ‫و سﻴﺴتﻢ واحد ﻋدد ﻧﻮﻳﺴﻰ بﻪ وجﻮد آﻣد‪.‬‬ ‫‪ - 1‬ست اعداد طبﻴعﻰ ﻛﻪ بﻪ ﻧام ست اﻋداد ﺷﻤارش (‪ )Count numbers‬ﻧﻴز ﻳاد ﻣﻰ‬ ‫ﺷﻮد و اﻳﻦ ﻃﻮر ﻧﺸان داده ﻣﻰ ﺷﻮد‪IN = {1,2,3,4,5...} :‬‬ ‫اﻣا ﻣﻌادﻟﻪ ‪ x + 2 = 2‬در ست اﻋداد ﻃبﻴﻌﻰ حﻞ ﻧدارد ‪ ، x = 2 2 = 0‬چﻮن در ست اﻋداد‬ ‫ﻃبﻴﻌﻰ ﺻﻔر وجﻮد ﻧدارد‪ ،‬بﻨابرآن بﻪ ست دﻳﮕرى ﺿرورت احﺴاس ﺷد‪.‬‬ ‫‪ - 2‬ست اعداد مکمل(‪)Whole numbers‬ﻛﻪ ﻋبارت از }‪ w = {0,1,2,3,4,5...‬ﻣﻰ‬ ‫باﺷد؛ اﻣا در ا ﻳﻦ ست ﻣﺴاوات ‪ x + 3 = 0‬حﻞ ﻧدارد‪ ،‬زﻳرا ‪ x=-3‬ﻣﻴﺸﻮد‪.‬‬

‫‪3‬‬

‫‪ - 3‬ست اعداد تام ﻳا }‪ Z = {... 2, 1,0,1,2...‬ﻣﺴاوات ‪ 2x + 1 = 2‬در ست اﻋداد‬ ‫‪1‬‬ ‫تام حﻞ ﻧدارد زﻳرا ﻛﻪ = ‪ x‬ﻣﻰ ﺷﻮد و ‪ 1‬در ست اﻋداد تام وجﻮد ﻧدارد‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ - 4‬ست اعداد ﻧسبتﻰ (ﻧاطق)‪ :‬ﻣﻰ داﻧﻴﻢ ﻛﻪ ﻋدد ﻧاﻃﻖ ﻋددﻳﺴت ﻛﻪ بﻪ ﺷﻜﻞ ‪ p‬ﻛﻪ‬ ‫‪q‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫( ‪ q 0‬و ‪ p‬و ‪ q‬اﻋداد تام اﻧد) ﻧﻮﺷتﻪ ﺷﻮد‪ .‬ﻣاﻧﻨد ‪ 4,3,7, 16 ,‬وﻏﻴره اﻋداد ﻧﺴبتﻰ اﻧد‬ ‫زﻳرا ‪4‬‬ ‫‪1‬‬

‫= ‪16 = 4‬‬

‫‪ - a‬کسرﻫاى اعشارى مختﻮم (‪ :)Terminating decimals‬ﻛﺴﻮر اﻋﺸارى ﻛﻪ‬ ‫تﻌداد ارﻗام اﻋﺸارى آن ﻣﻌﻴﻦ باﺷد بﻪ ﻧام ﻛﺴﻮر اﻋﺸارى ﻣختﻮم ﻳاد ﻣﻰ ﺷﻮد ﻛﻪ‪،202.04‬‬ ‫‪ ،100000.41237895 ،0.0000415‬ﻣثال ﻫاى ﻛﺴﻮر اﻋﺸارى ﻣختﻮم ﻣﻰ باﺷﻨد‪.‬‬ ‫‪ - b‬کسرﻫاى اعشارى متﻮالﻰ (‪ :)Recurring Decimal Fractions‬ﻋبارت از‬ ‫ﻛﺴر ﻫاى اﻋﺸارى اﻧد ﻛﻪ ﻳﻚ ﻳا چﻨد رﻗﻢ آن تﻜرار ﻣﻰ ﺷﻮد؛ ﻃﻮر ﻣثال‪:‬‬ ‫‪0.3 6 , 4.123 , 0.23, 2. 3‬‬

‫اﻳﻦ ﻛﺴر ﻫاى اﻋﺸارى ﻧﻴز بﻪ ﺷﻜﻞ ﻛﺴر ﻋام ﻧﻮﺷتﻪ ﺷده ﻣﻰ تﻮاﻧد پس ﻫر ﻛﺴر اﻋﺸارى‬ ‫ﻣتﻮاﻟﻰ ﻧﻴز ﻳﻚ ﻋدد ﻧاﻃﻖ ﻣﻰ باﺷد‪.‬‬ ‫مثال اول‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= 0. 2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪= 0.571428‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪= 0.81‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪= 0.583‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪36 18 9‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪100 50 25‬‬ ‫‪36 12 4‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫= ‪0.36‬‬ ‫‪99 33 11‬‬ ‫‪33 11‬‬ ‫=‬ ‫= ‪0. 3 6‬‬ ‫‪90 30‬‬ ‫‪123 41‬‬ ‫=‬ ‫= ‪0.123‬‬ ‫‪999 333‬‬ ‫‪25 1‬‬ ‫=‬ ‫= ‪0.25‬‬ ‫‪100 4‬‬ ‫‪3 1‬‬ ‫= = ‪0.333...‬‬ ‫‪9 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪0.142857142857...‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫= ‪0.36‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫اﻋداد زﻳر را بﻪ ﺷﻜﻞ ﻛﺴر ﻫاى اﻋﺸارى ﻣتﻮاﻟﻰ بﻨﻮﻳﺴﻴد‪:‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪18‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪29‬‬ ‫‪33‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪11‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪24‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪27‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪22‬‬

‫‪ - 5‬اعداد غﻴرﻧسبتﻰ ﻳا اعداد گﻨگ (‪ :)Irrational numbers‬اﻋدادى ﻛﻪ بﻪ‬ ‫ﺷﻜﻞ ﻛﺴر ﻋام ﻧﻮﺷتﻪ ﺷده ﻧتﻮاﻧﻨد و ﻳا بﻪ ﻋبارت دﻳﮕر ﻛﻪ بﻪ ﺷﻜﻞ ‪ p‬درآورده ﻧﺸﻮد ( ‪ p‬و‬ ‫‪q‬‬ ‫‪ q‬اﻋداد تام و ‪ q 0‬ﻣﻰ باﺷد) ﻣثﻞ ‪ 5 , 7 , 3 , 2‬و ﻏﻴره‪.‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪16‬‬

‫ﻛﺴرﻫاى اﻋﺸارﻳﻰ ﻛﻪ ارﻗام اﻋﺸارى آن ﻫا ﻧﻪ ختﻢ ﻣﻰ ﺷﻮد و ﻧﻪ تﻜرار ﻣﻰ ﺷﻮد اﻋداد ﻏﻴرﻧﺴبتﻰ اﻧد‬ ‫ﻣاﻧﻨد‪0.01001000100001 ,...7.3205080,…1.709975947 ,…,3.141592654 :‬‬

‫ﻛﻪ اﻳﻦ ﻋدد بﻪ ﻧام ‪= 3.14159...‬‬

‫ﻳاد ﻣﻰ ﺷﻮد‪.‬‬

‫ﻣحﻴﻂ داﻳره‬ ‫ﻃﻮل ﻗﻄر داﻳره‬

‫=‬

‫‪ - 6‬ست اعداد حقﻴقﻰ‪ :‬از اتحاد اﻋداد ﻧﺴبتﻰ (‪ )Q‬و اﻋداد ﻏﻴر ﻧﺴبتﻰ ('‪ )Q‬تﺸﻜﻴﻞ ﻣﻰ‬ ‫ﺷﻮد‪Q U Q' = IR .‬‬

‫‪ - 7‬ست اعداد مختلط‪ :‬ﻣﻌادﻟﺔ ‪ x 2 + 1 = 0‬در ست اﻋداد حﻘﻴﻘﻰ حﻞ ﻧدارد؛ اﻣا در‬ ‫ست اﻋداد ﻣختﻠﻂ حﻞ دارد‪ .‬ﻳا اﻋداد ﻣﻨﻔﻰ در ست اﻋداد حﻘﻴﻘﻰ ﻛﻪ درجﺔ جذر آن جﻔت‬ ‫و ﻏﻴره ﻛﻪ در ست اﻋداد‬ ‫‪36 , 64 ,‬‬ ‫باﺷد‪ ،‬جذر ﻧدارد‪ .‬ﻃﻮر ﻣثال‪ :‬اﻋداد ‪16‬‬ ‫ﻣختﻠﻂ داراى جذر دوم ﻣﻰ باﺷد‪.‬‬ ‫ﺷﻜﻞ ﻋﻤﻮﻣﻰ ﻳﻚ ﻋدد ﻣختﻠﻂ(‪ )a+bi‬ﻣﻰ باﺷد ﻛﻪ ‪ a‬و‪ b‬اﻋداد حﻘﻴﻘﻰ و ‪ 1 = i‬ﻣﻰ باﺷد‪.‬‬ ‫مثال دوم‪ :‬در اﻋداد زﻳر اﻋداد ﻧﺴبتﻰ‪ ،‬ﻏﻴر ﻧﺴتبﻰ و اﻋداد حﻘﻴﻘﻰ را ﻧﺸان دﻫﻴد‪:‬‬ ‫‪17‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪10‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪56.85‬‬

‫‪3‬‬

‫حل‬ ‫‪ 3‬ﻋدد ﻏﻴر ﻧﺴبتﻰ‪ ،‬ﻋدد حﻘﻴﻘﻰ ﻣﻰ باﺷد‪.‬‬ ‫‪56.85‬‬

‫ﻳﻚ ﻛﺴر اﻋﺸارى ﻣختﻮم و در ﻧتﻴجﻪ ﻋدد ﻧﺴبتﻰ و ﻋدد حﻘﻴﻘﻰ ﻣﻰ باﺷد‪.‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 10‬ﻋدد ﻏﻴر ﻧﺴبتﻰ ﻣﻰ باﺷد‪.‬‬

‫ﻋدد ﻣﻜﻤﻞ‪ ،‬ﻋدد تام‪ ،‬ﻋدد ﻧﺴبتﻰ‪ ،‬ﻋدد حﻘﻴﻘﻰ ﻣﻰ باﺷد‪.‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫تﻌرﻳﻒ ﻧﻪ ﺷده‪ ،‬پس ﻋدد حﻘﻴﻘﻰ ﻧﻴز ﻧﻤﻰ باﺷد‪.‬‬

‫‪17‬‬

‫ﻋدد ﻧﺴبتﻰ است‪.‬‬ ‫ﻋدد حﻘﻴﻘﻰ ﻧﻴﺴت‪.‬‬ ‫فعالﻴت‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫بﻴﻦ اﻋداد حﻘﻴﻘﻰ ‪ 2‬و‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪ 2‬چﻨد ﻋدد حﻘﻴﻘﻰ وجﻮد دارد؟‬

‫تمرﻳن‬ ‫‪ - 1‬در اﻋداد زﻳر ﻛدام ﻋدد ﻧﺴبتﻰ‪ ،‬ﻏﻴر ﻧﺴبتﻰ و ﻳا ﻋدد حﻘﻴﻘﻰ ﻧﻴﺴت‪:‬‬ ‫‪72‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪25‬‬

‫‪16‬‬ ‫‪25‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪36‬‬

‫‪ - 2‬اﻋداد ﻧﺴبتﻰ زﻳر را بﻪ ﺷﻜﻞ ﻛﺴر اﻋﺸارى بﻨﻮﻳﺴﻴد‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪11‬‬

‫‪6‬‬

‫عملﻴﻪ ﻫاي جمع و تفرﻳق اعداد‬ ‫ﻧسبتﻲ‬ ‫آﻳا ﻋﻤﻠﻴﻪ ‪ 3 + 3 = 6 = 3‬را در ﺷﻜﻞ‬ ‫‪4‬‬

‫‪8‬‬

‫‪8‬‬

‫‪8‬‬

‫تﻄبﻴﻖ ﻛرده ﻣﻰ تﻮاﻧﻴد؟‬

‫ﺷﻤا با ﻋﻤﻠﻴﻪ ﻫاي چﻬارﮔاﻧﺔ اﻋداد ﻧﺴبتﻰ در ﺻﻨﻒ ‪ 7‬آﺷﻨا ﺷده اﻳد ﻏرض تﻜرار و وﺿاحت‬ ‫بﻄﻮر ﻣختﺼر بﻌﻀﻰ از ﻣثال ﻫا را ﻳادآورى ﻣﻰ ﻧﻤائﻴﻢ‪.‬‬ ‫مثال اول‪:‬‬ ‫‪3 4 3+ 4 7‬‬ ‫= ‪+‬‬ ‫‪= =1‬‬ ‫‪7 7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8 ( 2) 8 ( 2) 8 + 2 10‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪11 11‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪3 2‬‬ ‫?= ‪+‬‬ ‫‪4 5‬‬ ‫‪3 5 15‬‬ ‫‪2 4 8‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪,‬‬ ‫‪4 5 20‬‬ ‫‪5 4 20‬‬ ‫‪15 8 15 + 8 23‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪20 20‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪20‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫اﻋداد ﻧﺴبتﻰ زﻳر را جﻤﻊ و تﻔرﻳﻖ ﻧﻤاﻳﻴد‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪7‬‬

‫‪d) 7‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪c) 3 + 7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪5 5‬‬ ‫‪6 9‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪5 1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪6 3‬‬

‫)‪a‬‬

‫مثال دوم‪ :‬حاﺻﻞ تﻔرﻳﻖ ‪ 2 1‬را در ﺷﻜﻞ ﻣﺸاﻫده ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫مثال سﻮم‬

‫‪3‬‬

‫‪6 ( 25) 6 25‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪= 1‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪19 19 19‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1 84 36 + 7 91 36 55 11‬‬ ‫(‪+‬‬ ‫‪)+‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪35 60‬‬ ‫‪420‬‬ ‫‪420‬‬ ‫‪420 84‬‬ ‫‪3 5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪3 + ( 5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪= 1‬‬ ‫‪8 8 8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫مثال چﻬارم‪ :‬اﮔر ‪ t = 2‬باﺷد‪ ،‬ﻗﻴﻤت ‪+ t‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬

‫را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد‪.‬‬

‫حل‬

‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1 21‬‬ ‫‪1 + 21 20 5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪+2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪= =2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8 8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪11‬‬ ‫باﺷد ﻋدد دﻳﮕرى‬ ‫ﻣﻰ باﺷد‪ ،‬اﮔر ﻳﻚ ﻋدد‬ ‫مثال پﻨجم‪ :‬ﻣجﻤﻮع دو ﻋدد ﻧﺴبتﻰ‬ ‫‪7‬‬ ‫‪21‬‬

‫را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫حل‬

‫مثال ششم‪:‬‬

‫‪11 2 17‬‬ ‫= ‪+‬‬ ‫‪21 7 21‬‬

‫=‪x‬‬

‫‪2 11‬‬ ‫=‬ ‫‪7 21‬‬

‫‪x‬‬

‫‪2 11‬‬ ‫=)‬ ‫‪7‬‬ ‫‪21‬‬

‫(‪x+‬‬

‫‪2 1 10 + 3 13‬‬ ‫= ‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪3 5‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 17‬‬ ‫‪7 34 35‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ) (‪3 +( 3 ) = +‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪1‬‬ ‫= ‪ n‬باﺷد ﻗﻴﻤت ‪ n 11‬را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫مثال ﻫفتم‪ :‬اﮔر‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫حل‬

‫‪8‬‬

‫‪1 11‬‬ ‫‪16 33‬‬ ‫‪49‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪= 1‬‬ ‫‪3 16‬‬ ‫‪48‬‬ ‫‪48‬‬ ‫‪48‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 12 28 36 + 140 176‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪2 +9 = +‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪= 11‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3 5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪15 .‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫‪1‬‬ ‫‪11‬‬ ‫? = ‪11‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪15‬‬

‫‪15‬‬

‫ﻧﻮت‪ :‬ﻛﺴﻮر ﻣﻌادل را در اﺷﻜال ذﻳﻞ ﻣﺸاﻫده ﻛﻨﻴد‪:‬‬ ‫‪0.50 = 0.0500‬‬

‫‪0.75 = 0.750‬‬

‫‪1.25 = 1.250‬‬

‫‪0.50 = 0.500‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪0.25 = 0.250‬‬

‫‪0.25 = 0.250‬‬

‫‪9‬‬

‫‪1.25 = 1.250‬‬

‫‪0.75 = 0.750‬‬

‫تمرﻳن‬ ‫‪ - 1‬جﻤﻊ و تﻔرﻳﻖ ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‬ ‫‪4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫)‬ ‫‪12‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‬ ‫‪10‬‬ ‫‪9‬‬ ‫)‬ ‫‪16‬‬ ‫‪11‬‬ ‫)‬ ‫‪16‬‬

‫‪3‬‬ ‫(‪+‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(‪+‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪7‬‬ ‫(‪+‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪15‬‬ ‫(‪+‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪13‬‬ ‫(‬ ‫‪24‬‬

‫‪8 3‬‬ ‫‪11 11‬‬

‫)‪b‬‬ ‫)‪d‬‬

‫‪0.9 + 2.5‬‬

‫)‪c‬‬

‫)‪f‬‬

‫‪1.7 + 3.6‬‬

‫)‪e‬‬

‫)‪h‬‬

‫‪4 + 1.3‬‬

‫)‪g‬‬

‫‪31 5‬‬ ‫‪45 9‬‬

‫)‪j‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪ - 2‬از ﻋدد ﻧﺴبتﻰ ‪ 3‬ﻛدام ﻋدد تﻔرﻳﻖ ﺷﻮد ﻛﻪ ﻣﺴاوى بﻪ‬ ‫‪17‬‬ ‫‪11‬‬

‫‪ - 3‬ساده سازﻳد‪:‬‬

‫‪5 2‬‬ ‫‪ - 4‬حاﺻﻞ جﻤﻊ و‬ ‫‪6 3‬‬

‫‪7‬‬ ‫و‬ ‫‪18‬‬

‫)‪i‬‬

‫ﺷﻮد؟‬

‫‪2 1 1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪21 9 12‬‬

‫‪2‬‬ ‫را از حاﺻﻞ جﻤﻊ‬ ‫‪9‬‬

‫)‪a‬‬

‫‪1 8‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3 7‬‬

‫تﻔرﻳﻖ ﻛﻨﻴد‪.‬‬

‫‪10‬‬

‫عملﻴﺔ ﻫاى ضرب و تقسﻴم اعداد‬ ‫ﻧسبتﻰ‬ ‫آﻳا حاﺻﻞ ﺿرب دو ﻋدد ﻧﺴبتﻰ ‪ 3‬و ‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬

‫را در ﺷﻜﻞ تﻄبﻴﻖ ﻛرده ﻣﻴتﻮاﻧﻴد؟‬

‫‪2 6 2 12‬‬ ‫= ) (‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪=4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪52‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ) (‪4(2 ) = 4‬‬ ‫‪= 10‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫مثال اول‪ :‬در ﺷﻜﻞ ذﻳﻞ ﺷﻜﻞ سادة حاﺻﻞ ﺿرب ‪ 3 2‬را ﻣﺸاﻫده ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫‪5 3‬‬

‫مثال دوم‪:‬‬

‫‪2‬‬ ‫مثال سﻮم ‪ :‬اﮔر‬ ‫‪3‬‬

‫‪11‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ) () (‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5 10‬‬ ‫‪5 12‬‬ ‫‪60‬‬ ‫(‬ ‫=)‬ ‫‪= 1‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪2 7‬‬ ‫‪20 7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(6 )( ) = ( )( ) = = 2‬‬ ‫‪3 20‬‬ ‫‪3 20‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪( 2.5)( 8) = 20‬‬ ‫‪0.07(4.6) = 0.322‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫= ‪ t‬باﺷد ﻗﻴﻤت ‪ 5 t‬را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد‪.‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪11 2‬‬ ‫‪22 11‬‬ ‫‪2‬‬ ‫( = ) () ‪( 5‬‬ ‫= ) ()‬ ‫‪= =3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫‪1‬‬ ‫اﮔر ‪ t = 8‬باﺷد ﻗﻴﻤت ‪5 t‬‬ ‫‪2‬‬

‫را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد‪.‬‬

‫مثال چﻬارم‪:‬‬

‫‪(100)(0.1) = 10‬‬ ‫‪(10)(0.1) = 1‬‬ ‫‪(100)(0.01) = 1‬‬

‫‪(1000)(0.001) = 1‬‬ ‫‪(0.1)(0.1)(0.1) = 0.001‬‬

‫‪(10000)(0.0001) = 1‬‬

‫‪(0.3) (0.03) = 0.009‬‬

‫عملﻴﺔ تقسﻴم اعداد ﻧسبتﻰ‪ :‬حاﺻﻞ ﺿرب ﻋدد ﻧﺴبتﻰ با ﻣﻌﻜﻮس ﺿربﻰ آن ﻣﺴاوى بﻪ‬ ‫(‪ )1‬ﻣﻰ باﺷد‪.‬‬ ‫حاصل ضرب‬

‫معکﻮس ضربﻰ‬

‫عدد‬

‫‪3 4‬‬ ‫‪( ) =1‬‬ ‫‪4 3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪12‬‬ ‫(‬ ‫()‬ ‫‪) =1‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6( ) = 1‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪12‬‬

‫مثال پﻨجم‪:‬‬

‫‪7 2 7 3 21 7‬‬ ‫= ÷‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪12 3 12 2 24 8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪13 4 13 1 13‬‬ ‫= ) ( = ÷ = ‪3 ÷4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4 1 4 4 16‬‬

‫فعالﻴت‬

‫? = ‪2.92 ÷ 0.4‬‬

‫مثال ششم‪:‬‬ ‫‪100 ÷ 0.1 = 1000 = 103‬‬ ‫‪1000 ÷ 0.01 = 100000 = 105‬‬ ‫‪10000 ÷ 0.001 = 10000000 = 107‬‬ ‫‪0 .1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪= 0.01 = 10 2‬‬ ‫‪10 100‬‬ ‫‪0.01‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪0.01 ÷ 10‬‬ ‫=‬ ‫‪= 0.001 = 10 3‬‬ ‫‪10 1000‬‬ ‫مثال ﻫفتم‪ :‬اﮔر ‪ n = 0.24‬باﺷد ﻗﻴﻤت ‪ 7.2‬را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪7.2 720‬‬ ‫=‬ ‫‪= 30‬‬ ‫‪0.24 24‬‬ ‫= ‪0.1 ÷ 10‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫اﮔر ‪ m = 7‬باﺷد ﻗﻴﻤت‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬

‫÷ ‪ m‬را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد‪.‬‬

‫‪1 3 15 8 120‬‬ ‫= ÷ ‪7‬‬ ‫=‬ ‫‪= 20‬‬ ‫‪2 8 2 3‬‬ ‫‪6‬‬

‫خﻮاص اعداد ﻧسبتﻰ‬ ‫خﻮاص عملﻴﺔ جمع اعداد ﻧسبتﻰ‪:‬‬ ‫‪3 5‬‬ ‫و‬ ‫‪ - 1‬خاصﻴت بستﻪ گﻰ‪:‬‬ ‫‪7 2‬‬

‫‪13‬‬

‫دو ﻋدد ﻧﺴبتﻰ ﻣﻰ باﺷد‪:‬‬

‫‪5 3 35 + 6 41‬‬ ‫= ‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪2 7‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪14‬‬

‫‪41‬‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫‪14‬‬

‫ﻧﻴز ﻳﻚ ﻋدد ﻧﺴبتﻰ ﻣﻰ باﺷد‪.‬‬

‫‪ - 2‬خاصﻴت تبدﻳلﻰ‪:‬‬

‫‪2 4 4 2‬‬ ‫‪+ = +‬‬ ‫‪3 5 5 3‬‬ ‫‪22 22‬‬ ‫=‬ ‫‪15 15‬‬

‫‪ - 3‬خاصﻴت اتحادى‪:‬‬

‫‪2 3 1 2 3 1‬‬ ‫) ‪( + )+ = +( +‬‬ ‫‪3 4 2 3 4 2‬‬ ‫‪23 23‬‬ ‫=‬ ‫‪12 12‬‬

‫‪ - 4‬صفر در عملﻴﺔ جمع عﻨصر عﻴﻨﻴت مﻰ باشد‪.‬‬

‫‪3 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪0+ = +0‬‬ ‫‪4 4‬‬ ‫‪4‬‬

‫خﻮاص عملﻴﺔ ضرب اعداد ﻧسبتﻰ‪:‬‬ ‫‪ - 1‬اﻋداد ﻧﺴبتﻰ تحت ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺿرب ﻧﻴز بﺴتﻪ ﻣﻰ باﺷد‪.‬‬ ‫‪5 3‬‬ ‫ﻃﻮر ﻣثال‪ :‬و دو ﻋدد ﻧﺴبتﻰ است و ‪ 3 5 = 15‬ﻛﻪ ‪ 15‬ﻧﻴز ﻳﻚ ﻋدد ﻧﺴبتﻰ ﻣﻰ‬ ‫‪4‬‬

‫‪7‬‬

‫‪28‬‬

‫باﺷد‪.‬‬ ‫‪ - 2‬خاﺻﻴت تبدﻳﻠﻰ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺿرب اﻋداد ﻧﺴبتﻰ‪:‬‬

‫‪ - 3‬خاﺻﻴت اتحادى ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺿرب اﻋداد ﻧﺴبتﻰ‪:‬‬

‫‪4 7‬‬

‫‪28‬‬

‫‪2 4 4 2‬‬ ‫=‬ ‫‪3 5 5 3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫=‬ ‫‪15 15‬‬ ‫‪2 3 5 2 3 5‬‬ ‫( = )‬ ‫)‬ ‫‪3 4 6 3 4 6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪12 12‬‬

‫(‬

‫‪14‬‬

‫‪ - 4‬خاﺻﻴت تﻮزﻳﻌﻰ ﺿرب باﻻى جﻤﻊ اﻋداد ﻧﺴبتﻰ‪:‬‬

‫‪1 2 3‬‬ ‫‪1 2 1 3‬‬ ‫=) ‪( +‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2 3 4‬‬ ‫‪2 3 2 4‬‬ ‫‪1 17‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪( )= +‬‬ ‫‪2 12‬‬ ‫‪6 8‬‬ ‫‪17 17‬‬ ‫=‬ ‫‪24 24‬‬

‫‪ - 5‬ﻋدد (‪ )1‬در ﻋﻤﻠﻴﻪ ﺿرب ﻋﻨﺼر ﻋﻴﻨﻴت ﻣﻰ باﺷد‪:‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪3 3‬‬ ‫= ‪1=1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4 4‬‬

‫تمرﻳن‬ ‫‪ - 1‬ﺿرب ﻛﻨﻴد‪:‬‬

‫)‪i‬‬

‫)‪h ) 0.15(2.8‬‬

‫‪1 4‬‬ ‫) (‬ ‫‪3 7‬‬ ‫‪5 11‬‬ ‫)‪d‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪12 6‬‬ ‫)‪g) 7.3( 5‬‬

‫‪2 5‬‬ ‫) ( ‪c) 6‬‬ ‫‪5 9‬‬

‫)‪l‬‬

‫)‪4.7( 3‬‬

‫)‪k‬‬

‫)‪j) 0.5(7.3‬‬

‫)‪o‬‬

‫‪1 11‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪2 2‬‬

‫)‪n‬‬

‫)‪f ) 0.04(3.6‬‬ ‫)‪0.08(5.2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫) ‪4(1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫)‪2.9( 3‬‬

‫‪3 7‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪8 10‬‬

‫)‪b‬‬

‫)‪3.1( 4‬‬

‫)‪e‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ - 2‬ﻗﻴﻤت ‪ 2 x‬را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد‪ ،‬ﻛﻪ اﮔر‬ ‫= ‪,x‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪ x = 6‬باﺷد‪.‬‬

‫‪15‬‬

‫)‪a‬‬

‫‪1‬‬ ‫) ‪7(3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪0.02(5.9‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫= ‪ x = 2 , x = 4, x‬و‬

‫)‪m‬‬ ‫)‪p‬‬

‫‪ - 3‬تﻘﺴﻴﻢ ﻛﻨد‪:‬‬ ‫‪c) 3.72 ÷ 0.3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪b) 2 ÷ 3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪f ) 14.08 ÷ 0.8‬‬

‫‪e) 3.46 ÷ 0.9‬‬

‫‪i) 1 ÷ 0.1‬‬ ‫‪l) 3.6864 ÷ 0.64‬‬ ‫‪o) 144 ÷ 12‬‬ ‫‪r ) 0.144 ÷ 1.2‬‬

‫‪h ) 24 ÷ 0.75‬‬ ‫‪k ) 7.86 ÷ 0.006‬‬ ‫‪n ) 0.1 ÷ 0.01‬‬ ‫‪q ) 144 ÷ 1.2‬‬

‫‪u ) 0.256 ÷ 0.16‬‬ ‫‪x ) 0.00000256 ÷ 16‬‬

‫‪t ) 2.56 ÷ 1.6‬‬ ‫‪w ) 256000 ÷ 0.16‬‬

‫‪ - 4‬اﮔر حاﺻﻞ ﺿرب دو ﻋدد ﻧﺴبتﻰ ‪12‬‬ ‫‪39‬‬

‫‪2 5‬‬ ‫÷‬ ‫‪3 6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪d‬‬ ‫‪÷6‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪g ) 11.128 ÷ 0.52‬‬ ‫‪j) 10 ÷ 0.01‬‬ ‫‪m) 0.1 ÷ 100‬‬ ‫‪p) 1.44 ÷ 1.2‬‬ ‫)‪a‬‬

‫‪s) 14.4 ÷ 0.12‬‬ ‫‪v) 0.00256 ÷ 1.6‬‬ ‫‪y) 256 ÷ 0.0016‬‬

‫‪4‬‬ ‫باﺷد‪ ،‬اﮔر ﻳﻜﻰ از آن ﻋدد‬ ‫‪3‬‬

‫باﺷد‪ ،‬ﻋدد‬

‫دﻳﮕرى را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 5‬ﻋدد ﻧﺴبتﻰ ‪ 0.1‬بﻪ ﻛدام ﻋدد تﻘﺴﻴﻢ ﮔردد‪ ،‬تا حاﺻﻞ تﻘﺴﻴﻢ ﻋدد ‪ 100‬ﺷﻮد؟‬ ‫‪ - 6‬ﻋدد ﻧﺴبتﻰ ‪ 0.01‬بر ﻛدام ﻋدد تﻘﺴﻴﻢ ﮔردد‪ ،‬تا حاﺻﻞ تﻘﺴﻴﻢ ‪ 10000‬ﺷﻮد؟‬

‫‪16‬‬

‫مﻮارد استعمال کسﻮر در حل‬ ‫مسائل روزمرة زﻧده گﻰ‬ ‫‪ 0.5‬حﺼﻪ ﻛدام ﻋدد ﻣﺴاوى بﻪ ﻋدد ‪128‬‬

‫ﻣﻰ ﺷﻮد؟‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫مثال دوم‪ :‬در ﻳﻚ اﻣتحان حﺼﻪ ‪ 111‬ﺷاﮔرد ﻛاﻣﻴاب ﮔردﻳده اﻧد تﻌداد ﺷاﮔردان‬ ‫ﻛاﻣﻴاب و ﻧاﻛام را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬

‫‪2 222‬‬ ‫=‬ ‫ﺷاﮔردان ﻛاﻣﻴاب‪= 74 :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺷاﮔردان ﻧاﻛام‪111 74 = 37 :‬‬

‫×‪111‬‬

‫مثال دوم‪ 3 :‬حﺼﺔ ﻋدد ‪ 3335‬چﻨد ﻣﻰ ﺷﻮد؟‬ ‫‪5‬‬ ‫حل‬

‫‪3‬‬ ‫‪3335 × = 2001‬‬ ‫‪5‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬

‫حﺼﺔ ﻛدام ﻋدد ‪ 2001‬ﻣﻰ ﺷﻮد؟‬

‫مثال سﻮم‪ 2 :‬حﺼﺔ ﻛدام ﻋدد ‪ 74‬ﻣﻰ ﺷﻮد؟‬ ‫‪3‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫مثال چﻬارم‪ :‬ﻳﻚ چﻮب ‪ 12m‬ﻃﻮل دارد اﮔر‬ ‫‪4‬‬

‫ﻋﻤﻖ حﻮض را در اﻳﻦ ﻧﻘﻄﻪ ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد‪.‬‬

‫‪17‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪= 74 × = 111‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫÷ ‪74‬‬

‫حﺼﺔ آن در ﻳﻚ حﻮض ﻏرق ﺷﻮد‬

‫حل‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫مثال پﻨجم‪:‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪3 36‬‬ ‫=‬ ‫‪= 9m‬‬ ‫‪4 4‬‬

‫× ‪12‬‬

‫حﺼﺔ سرﻣاﻳﺔ احﻤد ‪ 81000‬ﻣﻰ باﺷد‪ ،‬ﻣﻘدار پﻮل احﻤد را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد‪.‬‬

‫حل‪:‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪5 405000‬‬ ‫= × ‪81000 ÷ = 81000‬‬ ‫‪= 135000‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫‪ 0.01‬حﺼﻪ ﻛدام ﻋدد ‪ 1000‬ﻣﻰ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫حﺼﺔ ﺷاﮔردان در ﻣﻀﻤﻮن رﻳاﺿﻰ‬ ‫مثال ششم‪ :‬در ﻳﻚ ﻣﻜتب‬ ‫‪8‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻣﻀﻤﻮن بﻴﻮﻟﻮژى و حﺼﺔ آﻧﻬا در ﻣﻀﻤﻮن ﻓزﻳﻚ ﻧاﻛام ﺷده اﻧد‪.‬‬ ‫‪5‬‬

‫حﺼﺔ آﻧﻬا در‬

‫اﮔر تﻌداد ﺷاﮔرداﻧﻴﻜﻪ ﻛاﻣﻴاب ﮔردﻳده اﻧد ‪ 230‬ﻧﻔر باﺷﻨد تﻌداد ﻣجﻤﻮﻋﻰ ﺷاﮔردان اﻳﻦ‬ ‫ﻣﻜتب را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1 1 1 4 + 5 + 8 17‬‬ ‫= ‪+ +‬‬ ‫=‬ ‫‪10 8 5‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪40‬‬

‫‪2 10‬‬ ‫‪5 5‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪17 40 17 23‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪40‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪40‬‬

‫‪23‬‬ ‫‪40‬‬

‫‪1‬‬

‫حﺼﺔ ﺷاﮔردان ﻣﻜتب ﻛاﻣﻴاب ﮔردﻳده اﻧد ﻛﻪ ‪ 230‬ﻧﻔر ﻣﻰ باﺷد پس تﻌدد داخﻠﺔ‬

‫ﻣﻜتب ﻣﺴاوى است بﻪ‪:‬‬ ‫‪230 230 40‬‬ ‫=‬ ‫‪= 400‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪40‬‬

‫=‪x‬‬

‫‪23‬‬ ‫‪= 230‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪1= x‬‬

‫‪1‬‬ ‫مثال ﻫفتم‪ :‬احﻤد ‪ 36‬ﻟﻴتر ﺷﻴر داﺷت‪ ،‬اﮔر ‪ 1‬حﺼﺔ اﻳﻦ ﺷﻴر را بﻪ ﻣحﻤﻮد‪،‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪12‬‬

‫حﺼﺔ‬

‫‪18‬‬

‫آن را بﻪ ﻗاسﻢ و ‪ 1‬حﺼﺔ آن را بﻪ زﻟﻤﻰ داده باﺷد و ﺷﻴر باﻗﻴﻤاﻧده را از ﻗرار ﻓﻰ ﻟﻴتر ‪18‬‬ ‫‪6‬‬

‫اﻓﻐاﻧﻰ باﻻى ﻳﻚ دوﻛاﻧدار ﻓروختﻪ باﺷد ﻣﻘدار پﻮﻟﻰ ﻛﻪ دوﻛاﻧدار تادﻳﻪ ﻛرده ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫حﻞ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫حﺼﺔ احﻤد بﻪ ﻟﻴتر ‪= 3‬‬ ‫‪12‬‬

‫× ‪36‬‬

‫‪1‬‬ ‫حﺼﺔ ﻣحﻤﻮد بﻪ ﻟﻴتر ‪= 4‬‬ ‫‪9‬‬

‫× ‪36‬‬

‫‪1‬‬ ‫حﺼﺔ زﻟﻤﻰ بﻪ ﻟﻴتر ‪= 6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3 + 4 + 6 = 13‬‬ ‫‪36 13 = 23‬‬ ‫‪23 × 18 = 414‬‬ ‫× ‪36‬‬

‫ﻣﻘدار پﻮﻟﻰ ﻛﻪ دوﻛاﻧدار تادﻳﻪ ﻛرده است ﻋبارت از ‪ 414‬اﻓﻐاﻧﻰ ﻣﻴباﺷد‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫مثال ﻫشتم‪ :‬اﮔر احﻤد حﺼﺔ ﻳﻚ زﻣﻴﻦ و ﻣحﻤﻮد‬ ‫‪8‬‬ ‫‪12‬‬ ‫زﻣﻴﻦ ﻣتباﻗﻰ را ﻗاسﻢ بﻪ ﻣبﻠﻎ ‪ 31200‬اﻓﻐاﻧﻰ خرﻳده است‪ .‬ﻗﻴﻤت ﻫاى زﻣﻴﻦ احﻤد و ﻣحﻤﻮد‬

‫حﺼﺔ اﻳﻦ زﻣﻴﻦ را خرﻳده باﺷﻨد و‬

‫را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬

‫‪3 5 9 + 10 19‬‬ ‫= ‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪8 12‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪19 24 19 5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪24‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪24‬‬ ‫ﻳﻌﻨﻰ ‪ 5‬حﺼﺔ اﻳﻦ زﻣﻴﻦ را ﻗاسﻢ خرﻳده است ﻛﻪ ﻗﻴﻤت آن ‪ 31200‬ﻣﻰ باﺷد‪ .‬درﻧتﻴجﻪ‬ ‫‪24‬‬

‫ﻗﻴﻤت ﻣجﻤﻮﻋﻰ زﻣﻴﻦ ﻣﺴاوى است بﻪ‪:‬‬ ‫اﻓﻐاﻧﻰ‬ ‫‪31200 1 31200 24‬‬ ‫=‬ ‫‪= 149760‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻗﻴﻤت زﻣﻴﻦ احﻤد اﻓﻐاﻧﻰ ‪149760 × = 56160‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪19‬‬

‫=‪x‬‬

‫‪31200‬‬ ‫‪3120‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪5‬‬ ‫ﻗﻴﻤت زﻣﻴﻦ ﻣحﻤﻮد اﻓﻐاﻧﻰ ‪= 62400‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪5‬‬ ‫× ‪149760‬‬ ‫ﻗﻴﻤت زﻣﻴﻦ ﻗاسﻢ اﻓﻐاﻧﻰ ‪= 31200‬‬ ‫‪24‬‬

‫× ‪149760‬‬

‫مثال ﻧﻬم‪ :‬در ﻳﻚ ﻃﻴاره ‪ 350‬ﻧﻔر ﻣﺴاﻓر ﻣﻰ باﺷﻨد اﮔر ‪ 0.2‬حﺼﺔ آن ﻫا جﻮاﻧان و ‪0.25‬‬ ‫حﺼﺔ ﻣﺴاﻓرﻳﻦ ﻣتباﻗﻰ اﻃﻔال و ‪ 0.6‬حﺼﺔ ﻣﺴاﻓر اﻳﻦ ﻣتباﻗﻰ رﻳﺶ سﻔﻴدان و ﻣﺴاﻓر باﻗﻴﻤاﻧده‬

‫زن ﻫا باﺷﻨد تﻌداد زن ﻫا را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫حﻞ‪:‬‬

‫جﻮاﻧان‪350 × 0.2 = 70 :‬‬ ‫‪350 70 = 280‬‬ ‫اﻃﻔال‪280 × 0.25 = 70 :‬‬ ‫‪280 70 = 210‬‬ ‫رﻳﺶ سﻔﻴدان‪210 × 0.6 = 126 :‬‬ ‫تﻌداد زﻧﻬا‪210 126 = 84 :‬‬ ‫مثال دﻫم‪ :‬ﻧﻔﻮس ﻳﻚ ﻗرﻳﻪ ‪ 32000‬ﻧﻔر است اﮔر ‪ 0.4‬حﺼﺔ آﻧﻬا باسﻮاد باﺷد تﻌداد‬

‫باسﻮاد و بﻰ سﻮاد را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد‪.‬‬

‫باسﻮاد‪32000 × 0.4 = 12800 :‬‬ ‫بﻰ سﻮاد‪32000 12800 = 19200 :‬‬

‫مثال ﻳازدﻫم‪ 0.2 :‬حﺼﺔ ﻛدام ﻋدد‪ 111‬ﻣﻰ ﺷﻮد‪.‬‬

‫‪111 1110‬‬ ‫=‬ ‫‪= 555‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪2‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫حﺼﺔ ﻛدام ﻋدد ‪ 12‬ﻣﻰ ﺷﻮد و ‪ 0.1‬حﺼﺔ ﻛدام ﻋدد ‪ 857‬ﻣﻰ ﺷﻮد‪.‬‬

‫تبدﻳل کسر اعشار بﻪ فﻴصد و فﻴصد بﻪ کسر اعشار‪:‬‬ ‫‪0.24 = 24%‬‬ ‫‪0.005 = 0.5%‬‬

‫‪0.36 ×100 = 36%‬‬ ‫‪0.1×100 = 10%‬‬ ‫‪1.2 × 100 = 120%‬‬ ‫‪2.01× 100 = 201%‬‬

‫مثال اول‪ 0.1% , 80% , 20% , 2% :‬و ‪ 0.02%‬را بﻪ ﻛﺴر اﻋﺸار تبدﻳﻞ ﻛﻨﻴد‪.‬‬

‫‪20‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪= 0.02‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪= 0.2‬‬ ‫= ‪20%‬‬ ‫‪100 10‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪8‬‬ ‫=‬ ‫‪= 0.8‬‬ ‫= ‪80%‬‬ ‫‪100 10‬‬ ‫‪0.1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪= 0.001‬‬ ‫= ‪0.1%‬‬ ‫‪100 1000‬‬ ‫‪0.02‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪= 0.0002‬‬ ‫= ‪0.02%‬‬ ‫‪100 10000‬‬ ‫= ‪2%‬‬

‫مثال دوم‪ :‬اﮔر احﻤد ‪ 0.3‬حﺼﺔ ﻣﻌاش خﻮد را در ﻛراﻳﺔ خاﻧﻪ داده باﺷد‪ .‬آﻳا چﻨد ﻓﻴﺼد‬ ‫ﻣﻌاش خﻮر را در ﻛراﻳﻪ خاﻧﻪ داده است؟‬ ‫‪0.3 ×100 = 30%‬‬

‫در ﻧتﻴجﻪ احﻤد ‪ 30%‬ﻣﻌاش خﻮد را در ﻛراﻳﻪ خاﻧﻪ داده است‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫مثال سﻮم‪ :‬اﮔر ﻳﻚ دﻫﻘان‬ ‫‪4‬‬

‫حﺼﺔ زﻣﻴﻦ خﻮد را ﮔﻨدم و ﻣتباﻗﻰ زﻣﻴﻦ را جﻮارى ﻛﺸت‬

‫ﻛرده باﺷد‪ .‬آﻳا چﻨد ﻓﻴﺼد زﻣﻴﻦ را ﮔﻨدم و چﻨد ﻓﻴﺼد را جﻮارى ﻛﺸت ﻛرده است؟‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪3 × 25 75‬‬ ‫=‬ ‫ﮔﻨدم‪= 75% :‬‬ ‫‪100‬‬

‫‪4 × 25‬‬

‫جﻮارى‪100 75 = 25% :‬‬

‫‪21‬‬

‫تمرﻳن‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ - 1‬احﻤد ‪ 500‬اﻓﻐاﻧﻰ دارد‪ ،‬اﮔر روز اول حﺼﻪ‪ ،‬روز دوم‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫روز سﻮم حﺼﺔ پﻮل ﻣتباﻗﻰ را ﻣﺼرف ﻛرده باﺷد‪ ،‬حاﻻ احﻤد چﻨد اﻓﻐاﻧﻰ دارد؟‬ ‫‪5‬‬

‫حﺼﺔ پﻮل ﻣتباﻗﻰ را‬

‫‪ - 2‬در ﻳﻚ ﺷﻬر ‪ 250000‬ﻧﻔر زﻧده ﮔﻰ ﻣﻰ ﻛﻨد‪ .‬اﮔر ‪ 0.15‬حﺼﺔ آن ﻫا باسﻮاد باﺷد‬ ‫تﻌداد بﻰ سﻮاد را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫‪ 0.00001 - 3‬حﺼﺔ ﻋدد ‪ 8.7 ×106‬چﻨد ﻣﻰ ﺷﻮد؟‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ - 4‬احﻤد ‪ 72‬جﻠد ﻛتابچﻪ داﺷت اﮔر حﺼﺔ آن را بﻪ ﻣحﻤﻮد و ﻣحﻤﻮد‬ ‫‪9‬‬ ‫‪5‬‬

‫حﺼﺔ ﻛتابچﻪ‬

‫ﻫاى خﻮد را بﻪ زﻟﻤﻰ داده باﺷد‪ ،‬تﻌداد ﻛتابچﻪ ﻫاى زﻟﻤﻰ را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 5‬ﻓاﺻﻠﻪ بﻴﻦ دو ﺷﻬر ‪ A‬و ‪ 36km , B‬است اﮔر احﻤد ‪ 7‬حﺼﺔ اﻳﻦ ﻓاﺻﻠﻪ را تﻮسﻂ‬ ‫‪9‬‬

‫‪3‬‬ ‫باﻳﺴﻜﻞ و‬ ‫‪4‬‬

‫حﺼﺔ ﻓاﺻﻠﺔ باﻗﻴﻤاﻧده را پﻴاده ﻃﻰ ﻛرده باﺷد‪ ،‬حاﻻً ﻓاﺻﻠﻪ بﻴﻦ احﻤد و ﺷﻬر ‪B‬‬

‫چﻘدر است؟‬

‫‪22‬‬

‫قﻮس ﻫا و ساده ساختﻦ افاده ﻫا‬ ‫ﻣﻴتﻮاﻧﻴد بﮕﻮﻳﻴد ﻛﻪ حاﺻﻞ‬ ‫‪1 7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1 ÷ (5‬‬ ‫) ‪4‬‬ ‫‪3 8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪42‬‬

‫چﻨد ﻣﻰ ﺷﻮد؟‬

‫‪3‬‬ ‫) ‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫=‬

‫‪1 7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 ÷ (5‬‬ ‫‪3 8‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪2‬‬

‫در رﻳاﺿﻴات( ) بﻪ حﻴث ﻗﻮس ﻛﻮچﻚ‪ {} ،‬بﻪ حﻴث ﻗﻮس ﻣتﻮسﻂ و ] [‬ ‫بزرگ استﻌﻤال ﻣﻰ ﺷﻮد؛ ﻛﻪ ﻧخﺴت از ﻫﻤﻪ( ) سپس }{ و در اخﻴر ] [ رﻓﻊ ﻣﻰ ﺷﻮد‪.‬‬

‫بﻪ حﻴث ﻗﻮس‬

‫مثال اول‪ :‬ساده ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1 7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1 ÷ (5‬‬ ‫) ‪4‬‬ ‫‪3 8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬

‫‪7 15 11 19‬‬ ‫)‬ ‫(÷‬ ‫‪3 8‬‬ ‫‪2 4‬‬

‫‪41‬‬ ‫‪7‬‬

‫=‬

‫‪7 15 4‬‬ ‫‪3 8 3‬‬

‫‪7 15 3‬‬ ‫÷‬ ‫‪3 8 4‬‬

‫‪41‬‬ ‫‪7‬‬

‫=‬

‫‪41 35 246 245 1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪7 6‬‬ ‫‪42‬‬ ‫‪42‬‬

‫=‬

‫‪7 15 22 19‬‬ ‫÷‬ ‫‪3 8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪7 5‬‬ ‫‪3 2‬‬

‫‪41‬‬ ‫‪7‬‬

‫=‬

‫‪41‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪41‬‬ ‫‪7‬‬

‫=‬

‫‪2‬‬

‫مثال دوم‪ :‬ساده ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1 ÷ 3 ÷ 1 1 + (3‬‬ ‫) ‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪8 8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪11 28 9 10 11 31‬‬ ‫÷‬ ‫÷‬ ‫(‪+‬‬ ‫)‬ ‫‪6‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪8 9‬‬ ‫‪3 12‬‬

‫=‬

‫‪11 28 5 13‬‬ ‫÷‬ ‫‪÷ +‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪4 12‬‬

‫=‬

‫‪11 28 15 + 13‬‬ ‫÷‬ ‫÷‬ ‫‪6‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪23‬‬

‫=‬

‫‪5‬‬

‫‪11 28 28‬‬ ‫‪11 28 12‬‬ ‫÷‬ ‫÷‬ ‫÷ =‬ ‫‪6‬‬ ‫‪9 12‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪9 28‬‬ ‫‪11 4 11 3 33 11‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ÷ =‬ ‫=‬ ‫‪= =1‬‬ ‫‪6 3 6 4 24 8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫=‬

‫مثال سﻮم‪ :‬ساده ﻛﻨﻴد‪.‬‬

‫]})‪0.4[1.45 {0.37 ÷ (1.35 + 3.25 2.75‬‬ ‫]})‪= 0.4[1.45 {0.37 ÷ (4.60 2.75‬‬ ‫]}‪= 0.4[1.45 {0.37 ÷ 1.85‬‬ ‫‪= 0.4[1.45 0.2] = (0.4)(1.25) = 0.5‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫ساده ﻛﻨﻴد‪.‬‬

‫]})‪(4.02 + 2.39 3.75‬‬

‫‪[3.07 {5.269‬‬

‫جﻮاب‪:‬‬

‫‪5.321‬‬ ‫(‪)4.859‬‬

‫مثال چﻬارم‪:‬‬

‫}) ‪(7a 4a‬‬ ‫‪(3a )}= 5a 3a = 2a‬‬

‫‪{6a‬‬ ‫‪{6a‬‬

‫‪5a‬‬ ‫‪= 5a‬‬

‫اﮔر ﻗﻮس ﻫا وجﻮد ﻧداﺷتﻪ باﺷﻨد و در اﻓاده دو ﻳا اﺿاﻓﻪ تر از دو ﻋﻤﻠﻴﺔ اساسﻰ ﻣﻮجﻮد باﺷد‬ ‫ﻋﻤﻠﻴﻪ ﻫا بﻪ ترتﻴب تﻘﺴﻴﻢ‪ ،‬ﺿرب‪ ،‬جﻤﻊ و تﻔرﻳﻖ از چپ بﻪ راست اﻧجام ﻣﻰ ﺷﻮﻧد اﻳﻦ ترتﻴب‬ ‫بﻪ ﻧام(‪ )DMAS‬ﻧاﻣﻴده ﻣﻰ ﺷﻮد؛ ﻃﻮر ﻣثال‪:‬‬

‫‪18 + 6 5 × 2 + 11 3 = 18 + 6 10 + 11 3‬‬ ‫‪= 18 + 6 + 11 10 3 = 35 13 = 22‬‬

‫‪48 ÷ 16 × 3 = 3 × 3 = 9‬‬ ‫و اﮔر اﻳﻦ اﻓاده داراى ﻗﻮس باﺷد‪ 48 ÷ (16 × 3) = 48 ÷ 48 = 1 :‬ﻣﻰ ﺷﻮد‪.‬‬

‫بﻪ ﺻﻮرت ﻋﻤﻮم اﮔر در اﻓاده ﻗﻮس ﻫا ﻧﻴز وجﻮد داﺷتﻪ باﺷد بﻪ ترتﻴب(‪ )BODMAS‬ساده‬ ‫ﻣﻰ ﺷﻮدﻛﻪ ‪ B‬از ‪(Brackets‬ﻗﻮس) و ‪ O‬از ‪(Operation‬ﻋﻤﻠﻴﻪ)‪ D ،‬از ‪Division‬‬

‫‪24‬‬

‫(تﻘﺴﻴﻢ)‪ M ،‬از ‪(Multiplication‬ﺿرب)‪ A ،‬از ‪(Addition‬جﻤﻊ) و ‪ S‬از‬ ‫‪( Subtraction‬تﻔرﻳﻖ) اخذ ﺷده است‪.‬‬ ‫مثالﻬا‪ :‬ساده ﻛﻨﻴد‪:‬‬

‫‪a ) 144 ÷ 8 × 6 = 18 × 6 = 108‬‬ ‫‪b) 25 42 ÷ 7 × 2 + 45 ÷ 3 × 5 5 × 9 ÷ 3 × 2‬‬ ‫‪25 6 × 2 + 15 × 5 5 × 3 × 2 = 25 12 + 75 30‬‬ ‫‪(25 + 75) (12 + 30) = 100 42 = 58‬‬

‫]‪c) 12 ÷ 3[ 4 + 8{ 3 + 2( 7 + 10) + 3(8 2)} 1‬‬ ‫]‪12 ÷ 3[ 4 + 8{ 3 + 2 × 3 + 3 × 6} 1‬‬ ‫]‪12 ÷ 3[ 4 + 8{ 3 + 6 + 18} 1‬‬ ‫]‪12 ÷ 3[ 4 + 8{24 3} 1‬‬ ‫]‪12 ÷ 3[ 4 + 8 21 1‬‬ ‫]‪12 ÷ 3[168 5‬‬ ‫‪12 ÷ 3 163‬‬ ‫‪4 163 = 652‬‬

‫‪25‬‬

‫تمرﻳن‬

‫ساده ﻛﻨﻴد‪:‬‬

‫? =]}‪1.18 ÷ [3.45 {1.21 ÷ (5.69 3.27‬‬ ‫? =]})‪0.42 ÷ [8.35 {1.5(1.9 + 3.4‬‬

‫)‪a‬‬ ‫)‪b‬‬

‫]})‪5.321 [3.071 {5.269 (4.02 + 2.39 3.75‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪2 ) (5‬‬ ‫?=) ‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 7‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1 +‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫?= ‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4 8‬‬ ‫‪16 4‬‬ ‫‪25 ÷ 5 × 3 + 4‬‬

‫)‪c‬‬

‫)‪f‬‬

‫‪319 + 40 ÷ 8‬‬ ‫‪4 [ 5 + { 4 + ( 5 + 4) 5}+ 4] 5‬‬

‫)‪g‬‬ ‫)‪h‬‬

‫)‪d‬‬ ‫)‪e‬‬

‫‪26‬‬

‫قﻮاﻧﻴﻦ طاقت اعداد ﻧسبتﻰ(در‬ ‫صﻮرتﻰ کﻪ تﻮان ﻫا اعداد مثبت‬ ‫باشﻨد)‬ ‫‪ ( 3 ) 4‬چﻨد ﻣﻰ ﺷﻮد؟‬ ‫‪4‬‬

‫‪5 5‬‬ ‫‪3125‬‬ ‫= ) (‬ ‫‪7‬‬ ‫‪16807‬‬

‫قاﻧﻮن اول‪ :‬اﮔر ‪ a‬ﻋدد ﻧﺴبتﻰ و ‪ n,m‬اﻋداد ﻣثبت تام باﺷﻨد‪a m × a n = a m+n :‬‬ ‫مثال اول‪:‬‬

‫‪3 3 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪= ( ) 2+5 = ( ) 7‬‬ ‫‪4 4 4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1 2 + 3+ 5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫‪= ( )10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3 3 3‬‬ ‫‪4 4 4‬‬ ‫‪1 5‬‬ ‫(= )‬ ‫‪2‬‬

‫‪3 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪( ) 2 ( )5‬‬ ‫‪4 4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫( ‪( ) 2 ( )3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫قاﻧﻮن دوم‪ :‬اﮔر ‪ a‬ﻋدد ﻧﺴبتﻰ خﻼف ﺻﻔر باﺷد و ‪ n,m‬اﻋداد تام ﻣثبت و‪ m>n‬باﺷد‪:‬‬ ‫‪n‬‬

‫مثال دوم‪:‬‬

‫‪am‬‬ ‫‪a ÷ a = n = am‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪m‬‬

‫‪43 4 4 4‬‬ ‫=‬ ‫‪= 43 2 = 4‬‬ ‫‪42‬‬ ‫‪4 4‬‬ ‫‪( 3) 4‬‬ ‫‪= ( 3) 4 2 = ( 3) 2 = 9‬‬ ‫= ‪( 3) 4 ÷ ( 3) 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪( 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫= ) () () ( = ‪( )8 ÷ ( )5 = ( )8 5 = ( )3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪729‬‬ ‫= ‪43 ÷ 4 2‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫‪3 3‬‬ ‫? = ‪( )3 ( ) 2‬‬ ‫‪5 5‬‬

‫‪27‬‬

‫قاﻧﻮن سﻮم‪ :‬اﮔر ‪ a‬ﻋدد ﻧﺴبتﻰ خﻼف ﺻﻔر و ‪ n,m‬اﻋداد تام ﻣثبت و ‪ n>m‬باﺷد‪:‬‬ ‫‪am‬‬ ‫‪an‬‬

‫مثال سﻮم‪:‬‬

‫=‬

‫‪1‬‬ ‫‪m‬‬

‫‪an‬‬

‫= ‪am ÷ an‬‬

‫‪32‬‬ ‫‪3 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‪= 52 = 3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 3 3 3 3 3 3 3 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪729‬‬ ‫=‬ ‫‪125‬‬ ‫‪125‬‬ ‫‪729‬‬

‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪( )3‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪5 2‬‬ ‫)‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪9‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪( )5 ( )5‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬

‫(‬

‫=‬

‫قاﻧﻮن چﻬارم‪ :‬اﮔر ‪ a‬و ‪ b‬اﻋداد ﻧﺴبتﻰ و ‪ m‬ﻋدد تام ﻣثبت باﺷد‪:‬‬

‫= ‪32 ÷ 35‬‬

‫‪2‬‬

‫‪m‬‬

‫)‪b = (ab‬‬ ‫‪m‬‬

‫‪m‬‬

‫‪a‬‬

‫مثال چﻬارم‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪( )4 ( )4 = ( )4 = ( )4‬‬ ‫‪3 20‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪(12) 4‬‬

‫قاﻧﻮن پﻨجم‪ :‬اﮔر‪ a‬ﻳﻚ ﻋدد ﻧﺴبتﻰ و ‪ n,m‬اﻋداد تام ﻣثبت باﺷﻨد‪.‬‬

‫‪mn‬‬

‫‪(a ) = a‬‬ ‫‪m n‬‬

‫مثال‪:5‬‬

‫‪(2 2 ) 3 = 43 = 64‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫‪2‬‬

‫‪ ( 1 )3‬را ساده ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫‪3‬‬

‫قﻮاﻧﻴﻦ طاقت وقتﻰ کﻪ تﻮان ﻫا اعداد تام مﻨفﻰ و ﻳا صفر باشﻨد‪:‬‬ ‫ﻣﺸاﻫده ﺷد ﻛﻪ ﻣﻌﻜﻮس ﺿربﻰ ﻋدد ﻧﺴبتﻰ ‪ p‬ﻋبارت از ‪ q‬ﻣﻴباﺷد و ﻳا ﻣﻌﻜﻮس ﺿربﻰ‬ ‫‪p‬‬ ‫ﻋدد‬ ‫‪q‬‬

‫‪p‬‬ ‫‪q‬‬

‫‪q‬‬

‫‪p‬‬

‫بﻪ ﺷﻜﻞ ‪ ( ) 1‬ﻧﺸان داده ﻣﻰ ﺷﻮد؛ پس‪:‬‬

‫‪28‬‬

‫‪3 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= )‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫( = ‪( 3) 1‬‬

‫‪1‬‬ ‫بﻪ ﺻﻮرت ﻋﻤﻮم اﮔر ‪ x‬ﻳﻚ ﻋدد ﻧﺴبتﻰ خﻼف ﺻﻔر باﺷد‬ ‫‪x‬‬

‫‪p‬‬ ‫‪q‬‬ ‫=‪( )1‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪4 1 =( ) 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫= ‪ x 1‬است ‪ 4 2‬ﻣﻌﻜﻮس‬

‫ﺿربﻰ ‪ 4 2‬و ‪ 7 3‬ﻣﻌﻜﻮس ﺿربﻰ ‪ 7 3‬ﻣﻰ باﺷد باﻵخره ‪ x n‬ﻣﻌﻜﻮس ﺿربﻰ ‪ x n‬ﻣﻰ باﺷد‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪xn‬‬

‫=‬

‫‪n‬‬

‫‪x‬‬

‫قاﻧﻮن اول‪ :‬اﮔر ‪ x‬ﻳﻚ ﻋدد ﻧﺴبتﻰ خﻼف ﺻﻔر و ‪ n‬ﻳﻚ ﻋدد تام ﻣثبت باﺷد؛ پس ‪x n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻣﻌﻜﻮس ﺿربﻰ ‪ x n‬ﻣﻰ باﺷد ) ‪( x n = n‬‬ ‫‪x‬‬ ‫مثال اول‪ :‬ﻣﻌﻜﻮس ﻫاى ﺿربﻰ اﻋداد ﻧﺴبتﻰ ‪ ( 31) 5 , (11) 4‬را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪41‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪11‬‬ ‫ﻣﻌﻜﻮس ﺿربﻰ ‪ (11) 4‬ﻋبارت از ‪ ( ) 4‬ﻣﻰ باﺷد‪.‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪13‬‬

‫و ﻣﻌﻜﻮس ﺿربﻰ‬

‫‪5‬‬

‫‪31 5‬‬ ‫‪31‬‬ ‫( ﻋبارت از )‬ ‫)‬ ‫‪41‬‬ ‫‪41‬‬

‫( ﻣﻰ باﺷد‪.‬‬

‫قاﻧﻮن دوم‪ :‬اﮔر ‪ a‬ﻳﻚ ﻋدد ﻧﺴبتﻰ خﻼف ﺻﻔر و ‪ n,m‬اﻋداد تام ﻣثبت و ﻳا ﻣﻨﻔﻰ باﺷد‪.‬‬ ‫‪a m × a n = a m+n‬‬

‫مثال دوم‪:‬‬ ‫‪= 4 2 = 16‬‬

‫‪7‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪49‬‬ ‫‪(4 )(4 ) = (4 )( 7 ) = 7 = 49‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪7‬‬

‫‪9‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪( )6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2 6 2 3‬‬ ‫‪2 6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪) = 5 = ( )6 3 = ( )3‬‬ ‫( ) (= ) ( ) (‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪125‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5 ( 2 )3‬‬ ‫‪( )3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬

‫فعالﻴت‬

‫‪2‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫? = ‪( ) 3 ( )8 ( ) 5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5 5‬‬

‫‪29‬‬

‫مثال سﻮم‪:‬‬ ‫‪7 2 49‬‬ ‫= )‬ ‫‪9‬‬ ‫‪81‬‬ ‫‪5 8‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫مثال چﻬارم‪ :‬ﻧﺸان دﻫﻴد ﻛﻪ‬ ‫= ‪) ÷ ( )6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫حل‪:‬‬

‫‪7 5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫( = ‪) ÷ ( )3 = ( )5 3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪5‬‬ ‫( ‪ ( )15‬ﻣﻰ باﺷد‪.‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪5 6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪) = ( )15 8 ÷ ( ) 6 = ( ) 7 ÷ ( ) 6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫= ‪= ( )7 6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫(÷‬

‫‪5 15 5‬‬ ‫) ( )‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪8‬‬

‫(‬

‫(‬

‫قاﻧﻮن سﻮم‪ :‬اﮔر ‪ a‬ﻳﻚ ﻋدد ﻧﺴبتﻰ خﻼف ﺻﻔر و ‪ n,m‬اﻋداد تام ﻣثبت ﻳا ﻣﻨﻔﻰ باﺷﻨد‪:‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫مثال پﻨجم‪:‬‬

‫‪am ÷ an = am‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪= 81‬‬ ‫‪1 4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) (‬ ‫‪3‬‬ ‫‪81‬‬

‫=‬

‫‪4‬‬

‫ﻳا‬

‫‪1‬‬ ‫‪) = (a m )(a n ) = a m‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪= 22 = 4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫‪3‬‬

‫(=‬

‫‪2‬‬

‫‪n‬‬

‫‪m‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪= am‬‬ ‫‪an‬‬

‫( ‪am ÷ an = am‬‬

‫‪3+ 5‬‬

‫‪2 3 ÷2 5 = 2‬‬

‫‪52 ÷ 5 1 = 52+1 = 53 = 125‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪( ) 2 ÷ ( )2 = ( ) 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫‪1 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫? = ‪) ÷ ( )3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫(‬

‫قاﻧﻮن چﻬارم‪ :‬اﮔر‪ a‬ﻳﻚ ﻋدد ﻧﺴبتﻰ و ‪ n,m‬اﻋداد تام ﻣثبت ﻳا ﻣﻨﻔﻰ باﺷﻨد‪ ،‬پس‪:‬‬ ‫‪(a m ) n = a mn‬‬

‫‪30‬‬

‫مثال‪:6‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪4 6‬‬ ‫)‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7 3 4 712‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪) = 12 = ( )12‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬

‫(=‬

‫‪4‬‬

‫(=‬ ‫‪53‬‬ ‫)‬ ‫‪73‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪( )3‬‬ ‫‪7‬‬

‫(=‬

‫‪3‬‬ ‫‪= ( )6‬‬ ‫‪7‬‬

‫فعالﻴت‬

‫‪3‬‬ ‫) (‬ ‫‪4‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫?=‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬ ‫) (‬ ‫‪7‬‬

‫‪4‬‬ ‫) (‬ ‫‪5‬‬

‫قاﻧﻮن پﻨجم‪ a 0 = 1 :‬ﻣﻰ باﺷد (اﮔر ‪ a‬ﻳﻚ ﻋدد ﻧﺴبتﻰ خﻼف ﺻﻔر باﺷد) پس‪:‬‬ ‫‪= a0‬‬

‫‪n‬‬

‫‪(a )(a ) = a n‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫درحاﻟﻰ ﻛﻪ ‪ a‬ﻳﻚ ﻋدد ﻧﺴبتﻰ ﻣثبت ﻳا ﻣﻨﻔﻰ باﺷد‪ ،‬ﻫﻤچﻨﻴﻦ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪(a n )(a n ) = (a n )( n ) = 1‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪a0 = 1‬‬

‫ﻫﻤچﻨﻴﻦ‪(ab) m = (a m )(b m ) :‬‬

‫قاﻧﻮن ششم‪ :‬اﮔر ‪ a‬و ‪ b‬اﻋداد ﻧﺴبتﻰ خﻼف ﺻﻔر و ‪ m‬ﻋدد تام باﺷد‪.‬‬ ‫وﻗتﻰ ﻛﻪ ‪ m‬ﻳﻚ ﻋدد تام ﻣثبت باﺷد؛ پس ‪ m = n‬ﻛﻪ ﻳﻚ ﻋدد تام ﻣثبت ﻣﻴباﺷد‪.‬‬ ‫‪= (a m )(b) m‬‬

‫اﮔر ‪ m = 0‬باﺷد‬

‫‪n‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫)‪= ( n )( n ) = (a n )(b‬‬ ‫‪n‬‬ ‫)‪(ab‬‬ ‫‪a b‬‬ ‫‪m=0‬‬

‫‪b =1‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪n‬‬

‫)‪(ab) m = (ab‬‬

‫=‬

‫‪a =1 ,‬‬

‫‪(ab) = 1 ,‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫مثال ﻫفتم‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫تﻮان جﻔت ‪= 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫) ‪( 2x‬‬ ‫‪( 2) x‬‬ ‫‪4x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫تﻮان ﻃاق‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫) ‪( 2x‬‬ ‫‪( 2) x‬‬ ‫‪8x‬‬ ‫‪8x 3‬‬

‫‪31‬‬

‫=‬

‫‪2‬‬

‫) ‪( 2x‬‬

‫= ‪( 2x ) 3‬‬

‫تمرﻳن‬ .‫ ساده ﻛﻨﻴد‬- 1 2 3 a ) ( ) 2 ( )3 5 2 1 2 1 c) ( ) ÷ ( ) 2 9 3

2 4 ) ( 3 1 d) ( ) 4 ( 2

2 2 e) ( ) 2 ( ) 3 3 3

2 f ) ( )4 3

3 3 ) 4 1 3 ) 2

b) (

5

5 g) ( )3 7 2 3 3 i) ( ) 3 ( ) 5 ÷ ( ) 2 3 2 2

5 4 5 3 7 2 ) ( ) ( ) 7 7 5 5 15 j) ( ) 1 + 10 1 + ( ) 1 3 7 h) (

1

2 k) 8 ( ) 1 3 1 m) ( 4 2 ) 3 ( ) 2 ÷ 8 2

2

1

l) 3

n)

1 7 5 ) (3 ) 3 1 ( ) 3 (2 7 ) 2

(

2 5 =? -2 a)

1 10

a ) 8100000

32

b)

1 32

b) 0.000081

c)

1 32

c) 810000

d)

1 10 8.1×10 5 = ? - 3

d ) 0.0000081

‫روش علمﻰ عدد ﻧﻮﻳسﻰ‬ ‫‪Scien ic N a i n‬‬ ‫ﻛتﻠﺔ زﻣﻴﻦ ‪5980000000000000000000‬‬ ‫تﻦ ﻣترﻳﻚ ﻣﻰ باﺷد اﻳا اﻳﻦ ﻋدد را بﻪ روش‬ ‫ﻋﻠﻤﻰ ﻋدد ﻧﻮﻳﺴﻰ ﻣﻴتﻮان ﻧﻮﺷت؟‬

‫‪1.2 = 0.12 × 10 = 0.012 × 10 2‬‬ ‫‪= 0.0012 × 103 = 0.00012 × 10 4 = ...‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪= 1200 ×10‬‬

‫‪2‬‬

‫‪12 × 10 1 = 120 × 10‬‬

‫ﻳﻚ ﻋدد را با استﻔاده از روش ﻋدد ﻧﻮﻳﺴﻰ بﻪ ﺷﻜﻞ ‪ K ×10n‬ﻃﻮرى ﻛﻪ ‪ 1 K < 10‬و ‪n‬‬ ‫ﻳﻚ ﻋدد تام ﻣﻰ باﺷد‪.‬‬ ‫مثال اول‪:‬‬ ‫اﻋداد‬ ‫روش ﻋﻠﻤﻰ ﻋدد ﻧﻮﻳﺴﻰ‬

‫‪33‬‬

‫‪8.75 ×105‬‬

‫=‬

‫‪875000‬‬

‫‪8.75 ×10 4‬‬

‫=‬

‫‪87500‬‬

‫‪8.75 ×103‬‬

‫=‬

‫‪8750‬‬

‫‪8.75 ×10 2‬‬

‫=‬

‫‪875‬‬

‫‪8.75 ×101‬‬

‫=‬

‫‪87.5‬‬

‫‪8.75 ×10 0‬‬

‫=‬

‫‪8.75‬‬

‫‪1‬‬

‫‪8.75 ×10‬‬

‫=‬

‫‪0.875‬‬

‫‪2‬‬

‫‪8.75 ×10‬‬

‫=‬

‫‪0.0875‬‬

‫‪3‬‬

‫‪8.75 × 10‬‬

‫= ‪0.00875‬‬

‫‪4‬‬

‫‪8.75 ×10‬‬

‫= ‪0.000875‬‬

‫ﻧتﻴجﻪ ﻣﻰ ﺷﻮد ﻛﻪ‪:‬‬ ‫‪ - 1‬اﮔر ﻋدد داده ﺷده بزرﮔتر ﻳا ﻣﺴاوى بﻪ ‪ 10‬باﺷد تﻮان )‪ (10‬ﻋدد تام ﻣثبت ﻣﻰ باﺷد‪.‬‬ ‫ﻣاﻧﻨد‪56.8 = 5.68 × 101 :‬‬ ‫‪ - 2‬اﮔر ﻋدد داده ﺷده بزرﮔتر ﻳا ﻣﺴاوى بﻪ ﻳﻚ و ﻛﻮچﻜتر از )‪ (10‬باﺷد تﻮان )‪ (10‬ﺻﻔر‬ ‫است‪ .‬ﻣاﻧﻨد‪5.68 = 5.68 × 100 :‬‬ ‫‪ - 3‬اﮔر ﻋدد داده ﺷده ﻛﻮچﻜتر از )‪ (1‬باﺷد تﻮان )‪ (10‬ﻋدد تام ﻣﻨﻔﻰ ﻣﻰ باﺷد‪.‬‬ ‫ﻣاﻧﻨد‪0.568 = 5.68 × 10 1 :‬‬ ‫مثال دوم‪ :‬اﻋداد ذﻳﻞ را بﻪ روش ﻋﻠﻤﻰ ﻋدد ﻧﻮﻳﺴﻰ بﻨﻮﻳﺴﻴد‪.‬‬ ‫‪5370000 = 5.370000 ×10 6 = 5.37 ×10 6‬‬ ‫‪89573850123 = 8.9573850123 ×1010‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪0.98392051 = 9.8392051 ×10‬‬ ‫‪11‬‬

‫‪0.00000000002 = 2 ×10‬‬

‫‪8.53427501 = 8.53427501 ×10 0‬‬ ‫‪63.52893 = 6.352893 ×101‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪= 8.253 ×10‬‬

‫‪4‬‬

‫‪= 8.523 ×103 ×10‬‬

‫‪4‬‬

‫‪8253 ×10‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫اﻋداد ذﻳﻞ را بﻪ روش ﻋﻠﻤﻰ ﻋدد ﻧﻮﻳﺴﻰ بﻨﻮﻳﺴﻴد‪.‬‬ ‫‪c) 23.567‬‬

‫‪b) 10.0101‬‬

‫‪f ) 823.97 ×1043‬‬

‫‪e) 23‬‬

‫‪a ) 0.0012‬‬ ‫‪18‬‬

‫‪d ) 22.52 ×10‬‬

‫مثال سﻮم‪ :‬ﻓاﺻﻠﺔ اوسﻂ زﻣﻴﻦ از آﻓتاب ‪ 1.5 ×108 km‬ﻣﻰ باﺷد اﮔر سرﻋت آﻓتاب‬ ‫‪ 3 ×105 km / sec‬باﺷد وﻗت تﻘرﻳبﻰ بر حﺴب ساﻋت ) ‪ (hr‬را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد‪ ،‬ﻛﻪ ﺷﻌاع‬ ‫آﻓتاب در آن وﻗت بﻪ زﻣﻴﻦ ﻣﻴرسد جﻮاب خﻮد را بﻪ روش ﻋﻠﻤﻰ ﻋدد ﻧﻮﻳﺴﻰ بﻨﻮﻳﺴﻴد‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬

‫‪d 1.5 × 10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫=‬ ‫= ‪sec‬‬ ‫= ‪sec‬‬ ‫‪sec = 500 sec = 5 × 10 2 sec‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪v 3 × 10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1hr = 60 × 60 sec = 3600 sec = 3.6 × 103 sec‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪8 5‬‬

‫‪8‬‬

‫=‪t‬‬

‫‪34‬‬

‫‪5 ×10 2‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‪h‬‬ ‫‪= h = 0.139h = 1.39 ×10 1 hr‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3.6 ×10‬‬ ‫‪36 × 10 36‬‬

‫= ‪5 × 10 2 sec‬‬

‫تمرﻳن‬ ‫‪ - 1‬اﻋدد ذﻳﻞ را بﻪ روش ﻋﻠﻤﻰ ﻋدد ﻧﻮﻳﺴﻰ بﻨﻮﻳﺴﻴد‪.‬‬ ‫‪b) 23456392×100‬‬ ‫‪d) 23.01×103‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪a ) 346 ×10‬‬

‫‪c) 0.001×10‬‬

‫‪f ) 35.8‬‬

‫‪e) 0.4342 ×10 19‬‬

‫‪h ) 94.1×105‬‬

‫‪g) 935 ×104‬‬ ‫‪i) 0.00035×1011‬‬

‫‪ - 2‬اﻋداد ذﻳﻞ را بﻪ روش ﻋﻠﻤﻰ ﻋدد ﻧﻮﻳﺴﻰ بﻨﻮﻳﺴﻴد‪:‬‬ ‫سرﻋت ﻧﻮر در خﻼ ‪ 299792.5km / sec‬ﻣﻰ باﺷد‪.‬‬ ‫اوسﻂ ﻓاﺻﻠﺔ آﻓتاب از زﻣﻴﻦ ‪ 150000000km‬ﻣﻰ باﺷد‪.‬‬ ‫اوسﻂ ﻛتﻠﺔ زﻣﻴﻦ ‪ 5980000000000000000000‬تﻦ ﻣترﻳﻚ ﻣﻰ باﺷد‪.‬‬ ‫ﻓاﺻﻠﺔ تﻘرﻳبﻰ ﻣﻬتاب از زﻣﻴﻦ ‪ 380000km‬است‪.‬‬ ‫ﻗﻄر ﻳﻚ اتﻮم ‪ 0.000000015cm‬ﻣﻰ باﺷد‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻣﻰ باﺷد‪.‬‬ ‫ﻳﻚ ﻣاﻳﻜرون ‪m‬‬ ‫‪1000000‬‬

‫‪35‬‬

‫ﻧکات مﻬم فصل‬ ‫‪p‬‬ ‫اﻋدادﻳﻜﻪ بﻪ ﺷﻜﻞ‬ ‫‪q‬‬ ‫باﺷﻨد‪.‬‬

‫)‪ p (، q 0‬و ‪ q‬اﻋداد تام اﻧد) ﻧﻮﺷتﻪ ﺷده بتﻮاﻧﻨد اﻋداد ﻧﺴبتﻰ ﻣﻰ‬

‫ﻛﺴﻮر اﻋﺸارى ﻣتﻮاﻟﻰ و ﻛﺴﻮر اﻋﺸارى ﻣختﻮم اﻋداد ﻧﺴبتﻰ(ﻧاﻃﻖ) اﻧد‪.‬‬ ‫ﻗﻮاﻧﻴﻦ ﻃاﻗت‪ :‬اﮔر ‪ a‬و ‪ b‬اﻋداد حﻘﻴﻘﻰ خﻼف ﺻﻔر و ‪ m‬و ‪ n‬اﻋداد تام باﺷﻨد‪ ،‬پس‪:‬‬ ‫‪c) (a m ) n = a mn‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪am‬‬

‫=‬

‫‪m‬‬

‫‪c) a‬‬

‫‪am‬‬ ‫‪= am n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a n an‬‬ ‫‪e) ( ) = n‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪a ) a m a n = a m+n‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪d) (ab) n = a n b n‬‬

‫اﮔر ‪ a‬و ‪ b‬دو ﻋدد ﻧﺴبتﻰ (ﻧاﻃﻖ) باﺷد ‪ a + b , a b‬و ‪ ab‬اﻋداد ﻧﺴبتﻰ (ﻧاﻃﻖ) اﻧد‪.‬‬ ‫‪ a ÷ b‬ﻋدد ﻧﺴبتﻰ (ﻧاﻃﻖ) است ﻛﻪ )‪ (b 0‬باﺷد‪.‬‬ ‫‪ a + b = b + a‬و ‪ ab = ba‬ﻣﻰ باﺷد‪.‬‬ ‫‪ a b b a‬اﮔر )‪ (a b‬باﺷد‪.‬‬ ‫‪ a ÷ b b ÷ c‬اﮔر ‪ a b‬و ‪ a 0‬و ‪ b 0‬باﺷد‪.‬‬ ‫اﮔر‪ a‬ﻳﻚ ﻋدد ﻧﺴبتﻰ( ﻧاﻃﻖ) باﺷد؛ پس‪:‬‬ ‫‪a +0 = 0+a = a‬‬ ‫‪a × 0 = 0× a = 0‬‬ ‫‪a ÷1 1 ÷ a‬‬

‫براي ﻫر سﻪ ﻋدد ﻧﺴبتﻰ (ﻧاﻃﻖ) ‪ b, a‬و‪ c‬دارﻳﻢ ﻛﻪ‪:‬‬ ‫)‪(a + b ) + c = a + ( b + c‬‬ ‫)‪(a × b ) × c = a × ( b × c‬‬

‫)‪ (a ÷ b) ÷ c a ÷ (b ÷ c‬اﮔر ‪ c 1‬باﺷد‪.‬‬

‫‪a × ( b + c) = a × b + a × c‬‬

‫)‪ (a b) ÷ c = (a ÷ c) (b ÷ c) (b ÷ c‬اﮔر ‪ c 0‬باﺷد‪.‬‬ ‫‪p‬‬ ‫ﻣﻌﻜﻮس ﺿربﻲ ﻋدد ﻧﺴبتﻰ( ﻧاﻃﻖ)‬ ‫‪q‬‬

‫)‪0‬‬

‫‪q‬‬ ‫‪ (q‬ﻋبارت از‬ ‫‪p‬‬

‫)‪ ( p 0‬ﻣﻰ باﺷد‪.‬‬

‫‪36‬‬

‫‪p‬‬ ‫اﮔر‬ ‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪p‬‬

‫= ‪ a‬ﻳﻚ ﻋدد ﻧﺴبتﻰ باﺷد؛ پس ﻣﻌﻜﻮس ﺿربﻰ ‪ a‬با ‪ a 1‬ﻧﺸان داده ﻣﻰ ﺷﻮد و‬

‫= ‪ a 1‬ﻣﻰ باﺷد‪.‬‬

‫اﮔر ‪ a‬ﻳﻚ ﻋدد ﻧﺴبتﻰ(ﻧاﻃﻖ) خﻼف ﺻﻔر باﺷد؛ پس ‪ (a 1 ) 1 = a‬است‪.‬‬ ‫ﺻﻔر ﻣﻌﻜﻮس ﺿربﻰ ﻧدارد‪.‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪(ab) 1 = a 1b‬‬

‫بﻴﻦ دو ﻋدد ﻧﺴبتﻰ(ﻧاﻃﻖ)‪ ،‬بﻰ ﻧﻬاﻳت اﻋداد ﻧﺴبتﻰ(ﻧاﻃﻖ) وجﻮد دارﻧد‪.‬‬ ‫اﻋداد بزرﮔتر و اﻋداد ﻛﻮچﻜتر را بﻪ ﺷﻜﻞ ‪ k ×10 n‬ﻧﻮﺷتﻪ ﻛرده ﻣﻰ تﻮاﻧﻴﻢ ﻃﻮرى ﻛﻪ‬ ‫‪ 1 k < 10‬ﻛﻪ اﻳﻦ روش را بﻪ ﻧام روش ﻋﻠﻤﻰ ﻋدد ﻧﻮﻳﺴﻰ ﻳاد ﻣﻰ ﻛﻨﻨد‪.‬‬ ‫اﮔر ‪ b, a‬و ‪ c‬اﻋداد ﻧﺴبتﻰ(ﻧاﻃﻖ) باﺷﻨد‪:‬‬ ‫‪a ÷b b÷a‬‬ ‫)‪(a ÷ b ) ÷ c a ÷ ( b ÷ c‬‬ ‫)‪a ÷ ( b + c) (a ÷ b ) + (a ÷ c‬‬ ‫)‪(a ÷ b ) (a ÷ c‬‬

‫)‪a ÷ ( b c‬‬

‫در ساده ساختﻦ اﻓاده ﻫا‪ ،‬در ﻗدم ﻧخﺴت( ) سپس{ } و در اخﻴر ] [ رﻓﻊ ﻣﻰ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫ﻋﻤﻠﻴﻪ ﻫاى اساسﻰ از ﻃرف چپ بﻪ ترتﻴب تﻘﺴﻴﻢ‪ ،‬ﺿرب‪ ،‬جﻤﻊ و تﻔرﻳﻖ اﻧجام ﻣﻰ ﺷﻮﻧد‪.‬‬

‫‪37‬‬

‫تمرﻳﻨات فصل‬ ‫‪ -1‬ساده ﻛﻨﻴد‪:‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪5 17‬‬ ‫‪+( )+ +2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪2 11‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪d) + ( ) + +‬‬ ‫‪3 15 20‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪b‬‬

‫‪a ) 10 +‬‬

‫‪1 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫) (‪+ +‬‬ ‫‪6 14‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1 8 2 1 1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3 7 21 9 12‬‬

‫‪f ) 0.01 0.75 + 2.25 1.1 + 12‬‬

‫)‪c‬‬ ‫)‪e‬‬

‫‪ -2‬ﻛﺴرﻫاى ذﻳﻞ را بﻪ ﺷﻜﻞ ﻛﺴر اﻋﺸارى بﻨﻮﻳﺴﻴد‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪,‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪,‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪,‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪33‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪20‬‬

‫‪2 5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪3 6‬‬ ‫‪11‬‬

‫‪ -3‬جﻤﻊ ﻛﻨﻴد‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫) (‪+‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪7‬‬ ‫)‪d‬‬ ‫(‪+‬‬ ‫)‬ ‫‪12‬‬ ‫‪12‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪ -4‬اﮔر ‪ x = 1‬باﺷد ﻗﻴﻤت ‪+ x‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪3.4 + 1.8‬‬

‫)‪a‬‬

‫‪0.9 + 2.5‬‬

‫)‪c‬‬

‫‪1.7 + 3.6‬‬

‫)‪e‬‬

‫را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد‪.‬‬

‫‪ -5‬در ﻣﺴاوات ﻫاى زﻳر ﻫر خاﺻﻴت اﻋداد ﻧﺴبتﻰ (ﻧاﻃﻖ) را در ﻣﻘابﻞ آن بﻨﻮﻳﺴﻴد‪:‬‬ ‫‪3 2 2 3‬‬ ‫× = ×‬ ‫‪4 5 5 4‬‬ ‫‪3 1 1‬‬ ‫‪3 1 1‬‬ ‫) × ( = ) × ( )‪d‬‬ ‫‪5 2 7‬‬ ‫‪5 2 7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫= ‪f) +0 = 0+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 3‬‬ ‫)‪b‬‬

‫‪9 5 5 9‬‬ ‫‪+ = +‬‬ ‫‪11 7 7 11‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪c) 2 + ( + ) = ( 2 + ) +‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪2 1 1‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫( = ) ‪e) ( +‬‬ ‫(‪)+‬‬ ‫)‬ ‫‪3 4 5‬‬ ‫‪3 4‬‬ ‫‪3 5‬‬ ‫)‪a‬‬

‫‪ -6‬ساده ﻛﻨﻴد‪:‬‬ ‫]})‪c) 4[28 ÷ { 8 + 3(5 7‬‬

‫‪ -7‬ﻧﺸان دﻫﻴد ﻛﻪ‪:‬‬

‫‪b) ( 8) × ( 5) ÷ 5 5‬‬

‫‪a ) 220 64 ÷ 2‬‬

‫‪3 1 3 1‬‬ ‫) ‪( + )( +‬‬ ‫‪4 2 4 5‬‬

‫‪3 1 1‬‬ ‫(‪+‬‬ ‫)‬ ‫‪4 2 5‬‬

‫‪38‬‬

‫‪ -8‬ﺿرب ﻛﻨﻴد‪:‬‬

‫)‪b) 500 × (0.01‬‬ ‫‪2 3 8 4‬‬ ‫)‪d‬‬ ‫‪8 4 2 3‬‬ ‫)‪f ) ( 0.25)( 0.25‬‬ ‫‪ -9‬اﮔر ‪ n = 0.24‬باﺷد ﻗﻴﻤت ‪ 7.2‬را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ -10‬تﻘﺴﻴﻢ ﻛﻨﻴد‪:‬‬ ‫‪b) 10.86 ÷ 0.6‬‬ ‫‪d) 0.1 ÷ 0.0001‬‬

‫)‪a ) (0.5)( 0.5)( 0.5‬‬ ‫‪c) 2000× 0.001‬‬ ‫)‪e) (1.6)(1.6‬‬

‫‪a ) 11.128 ÷ 0.52‬‬ ‫‪c) 0.1 ÷ 0.01‬‬

‫‪ -11‬ساده سازﻳد‪:‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪) ÷ ( ) 2 ( )3 ÷ ( ) 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪d) ( ) 2‬‬ ‫‪5‬‬

‫( )‪b‬‬

‫‪3‬‬

‫‪f ) (81) 2‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪( )4 ÷ ( )2 ÷ ( )2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪c) ( ) 1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪e) ( ) 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪a‬‬

‫‪ -12‬اﻋداد ذﻳﻞ را بﻪ روش ﻋﻠﻤﻰ ﻋدد ﻧﻮﻳﺴﻰ بﻨﻮﻳﺴﻴد‪:‬‬ ‫‪c) 52.8 × 1011‬‬ ‫‪f ) 6.456‬‬ ‫‪11‬‬

‫‪b) 0.9839‬‬

‫‪a ) 0.00000002‬‬

‫‪e) 0.00512‬‬

‫‪d ) 0.00001‬‬

‫‪h ) 411.5 ×10‬‬

‫‪g ) 73.89‬‬

‫‪ -13‬ﻋدد ﻧﺴبتﻲ ﻛﻪ ﺻﻮرت آن ‪ 32 + 23‬و ﻣخرج ان ‪ 32 + 22‬باﺷد ﻋبارت است از‪:‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪0.12‬‬ ‫ﻣﺴاوى است بﻪ‪:‬‬ ‫‪ -14‬ﻋدد ﻧﺴبتﻰ‬ ‫‪12‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫)‪b‬‬ ‫)‪c‬‬ ‫)‪d‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ -15‬ﻋدد ﻧﺴبتﻰ ‪ 13‬ﻣﺴاوى است بﻪ‪:‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪b) 1.1 8‬‬ ‫‪c) 1.18‬‬ ‫ﻫﻴچ ﻛدام )‪d‬‬ ‫‪ -16‬ﻗﻴﻤت ‪ 8.597 × 26.523 + 3.477 × 8.597‬ﻣﺴاوى است بﻪ‪:‬‬ ‫)‪d‬‬

‫‪39‬‬

‫‪15‬‬ ‫‪13‬‬

‫)‪c‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪31‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪17‬‬ ‫‪13‬‬

‫)‪a‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪10‬‬

‫)‪a‬‬

‫‪a ) 11. 8‬‬

‫‪c) 256.91‬‬

‫‪d) 257.91‬‬

‫‪a ) 256.19‬‬

‫‪b) 257.19‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪-17‬ﻋدد ‪ [( )3 ]4‬ﻣﺴاوى است بﻪ‪:‬‬

‫‪-18‬‬

‫‪-19‬‬

‫‪1‬‬

‫‪7‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪d) ( )34‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪5‬‬ ‫)‬ ‫‪7‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪c) ( ) 7‬‬ ‫‪3‬‬

‫( ﻣﺴاوى است بﻪ‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬

‫)‪d‬‬

‫‪27 5‬‬ ‫‪27‬‬ ‫(÷ )‬ ‫)‬ ‫‪31‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪27‬‬ ‫)‬ ‫‪31‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪b) ( )12‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬

‫)‪c‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪a ) ( )81‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪5‬‬

‫)‪b‬‬

‫)‪a‬‬

‫( ﻣﺴاوى است بﻪ‪:‬‬

‫( )‪d‬‬

‫‪27 2‬‬ ‫)‬ ‫‪31‬‬

‫( )‪c‬‬

‫‪12‬‬

‫‪27‬‬ ‫)‬ ‫‪31‬‬

‫( )‪b‬‬

‫‪12‬‬

‫‪27‬‬ ‫)‬ ‫‪31‬‬

‫( )‪a‬‬

‫‪ -20‬در اﻋداد ﻧﺴبتﻰ زﻳر‪ ،‬ﻛدام ﻋدد ﻛﺴر ﻣختﻮم اﻋﺸارى را ﻧﺸان ﻧﻤﻰ دﻫد؟‬ ‫‪1‬‬ ‫‪40‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪25‬‬

‫)‪d‬‬

‫)‪c‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪12‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪ -21‬ﻛدام ﻳﻚ از اﻋداد زﻳر ﻋدد ﻧﺴبتﻰ ﻧﻴﺴت؟‬ ‫‪d) 7.9‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ -22‬ﻋدد‬ ‫‪8‬‬ ‫‪d) 45%‬‬

‫‪b) 2.020020002 c) 2.52‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫)‪a‬‬

‫)‪a‬‬

‫ﻣﺴاوى است بﻪ‪:‬‬ ‫‪c) 12.5%‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪ -23‬ﻋدد‬ ‫‪5‬‬ ‫‪d) 45%‬‬

‫‪b) 125%‬‬

‫‪a ) 0.125%‬‬

‫ﻣﺴاوى است بﻪ‪:‬‬ ‫‪c) 50%‬‬

‫‪b) 80%‬‬

‫‪a ) 40%‬‬

‫‪ -24‬ﻋدد ‪ 0.05‬ﻣﺴاوى است بﻪ‪:‬‬ ‫‪d) 5%‬‬

‫‪c) 50%‬‬

‫‪b) 0.05%‬‬

‫‪a ) 0.5%‬‬

‫‪40‬‬

‫فصل دوم‬ )Polynome(‫پﻮلﻴﻨﻮم‬ )Polynomial( ‫ﻳا‬

‫افاده های الجبری‬ ‫(‪)Algebraic Expressions‬‬

‫آﻳــا ﻣﻰ تﻮاﻧﻴد بﮕﻮﻳﻴد ﻛﻪ از اﻓاده ﻫاى اﻟجبرى‬ ‫‪x4 1‬‬ ‫‪y y2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪y‬‬ ‫و‬ ‫‪y‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x2 x‬‬

‫‪x3 +‬‬

‫ﻛدام ﻳﻚ اﻓادة اﻟجبرى ﻧاﻃﻖ و ﻛدام ﻳﻚ اﻓادة‬ ‫ﻏﻴرﻧاﻃﻖ ﻣﻰ باشد؟‬

‫متحﻮل و ثابت(‪ :)variable and constant‬ﻣتحﻮل ﻳﻚ سﻤبﻮل است ﻛﻪ بﻪ جاى‬ ‫ﻫر ﻋﻨﺼر ﻳﻚ ست ﻏﻴر خاﻟﻰ وﺿﻊ ﻣﻰ شﻮد؛ ﻃﻮر ﻣثال‪ :‬اﮔر }‪ x 10‬و ‪A = {x / x IN‬‬ ‫باشد‪.‬‬ ‫‪ x‬ﻣﻰ تﻮاﻧد در ست ‪ A‬ﻗﻴﻤت ﻫاى اﻋداد ﻃبﻴﻌﻰ از ﻳﻚ اﻟﻰ‪ 10‬را بﮕﻴرد‪ x .‬را ﻣتحﻮل‬ ‫(‪ )Variable‬ﻣﻰ ﮔﻮﻳﻨد‪ .‬ﻣتحﻮﻟﻴﻦ بﻪ ﺻﻮرت ﻋﻤﻮم تﻮسﻂ حروف ﻛﻮچﻚ زبان اﻧﮕﻠﻴسﻰ‬ ‫‪ z , y , x‬و ﻏﻴره ﻧشان داده ﻣﻰ شﻮﻧد‪.‬‬ ‫ﻗﻴﻤت ﻳﻚ ﻋدد تﻐﻴﻴر ﻧﻤﻰ ﻛﻨد؛ بﻪ ﻃﻮر ﻣثال‪ :‬ﻋدد ‪ 4‬ﻫﻴچﮕاه با ‪ 5‬ﻳا ‪ 3‬وﻳا با ﻛدام ﻋدد‬ ‫دﻳﮕرى ﻣساوى شده ﻧﻤﻰ تﻮاﻧد‪ ،‬پس تﻤام اﻋداد حﻘﻴﻘﻰ‪ ،‬ثابت ﻫا(‪ )Constants‬ﻣﻲ باشﻨد‪.‬‬ ‫ﻋﻼوه از اﻋداد حﻘﻴﻘﻰ‪ ،‬حروف زبان اﻧﮕﻠﻴسﻰ ﻣثﻞ‪ a,b,c...‬و ﻏﻴره بﻪ ﻋﻮض ثابت ﻫا ﻧﻴز‬ ‫استﻌﻤال ﻣﻴﮕردﻧد‪.‬‬ ‫افادة الجبرى(‪ :)Algebraic Expression‬اﻓادة اﻟجبرى آﻧست ﻛﻪ از ﻳﻚ ثابت ﻳا‬ ‫ﻳﻚ ﻣتحﻮل و ﻳا از ترﻛﻴب ثﻮابت و ﻣتحﻮل ﻫا تشﻜﻴﻞ شده باشد‪.‬‬ ‫در ﻣثال ﻫاى زﻳر اﻓاده ﻫاى اﻟجبرى را ﻣشاﻫده ﻛﻨﻴد‪:‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪،5 x‬‬ ‫‪t2‬‬

‫‪ 12 ، 12 ، x ، x 2 x + 1 ، 3x ، 4x + 5 +‬و ﻏﻴره‪.‬‬

‫‪1‬‬ ‫ﻛﻪ در اﻓادة اﻟجبرى ‪ 3x 2‬ﻋدد ‪ 3‬را ﺿرﻳب (‪ )Coefficient‬ﻣﻴﮕﻮﻳﻨد‪ .‬در اﻓادة ‪y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫و در اﻓادة ‪ x‬ﻋدد ﻳﻚ ﺿرﻳب ﻣﻰ باشد‪ 3x 5 y 5 ،‬و ‪ 15x 5 y 5‬حدود ﻣشابﻪ‬ ‫ﻋدد‬ ‫‪2‬‬

‫(‪ )Liketerms‬ﻣﻰ باشﻨد‪ ،‬ﻛﻪ ﻣتحﻮﻟﻴﻦ ﻣشابﻪ‪ ،‬داراى تﻮان ﻫاى ﻣساوى بﻮده؛ اﻣا ﺿرﻳب ﻫاى‬ ‫ﻋددى آن ﻫا باﻫﻢ ﻓرق دارﻧد‪.‬‬

‫‪43‬‬

‫اقسام افاده ﻫاى الجبرى‪ :‬اﻓاده ﻫاى اﻟجبرى بﻪ سﻪ ﻗسﻢ اﻧد‪:‬‬ ‫‪ .1‬افاده ﻫاى الجبرى پﻮلﻴﻨﻮمﻰ(‪:)Polynomial algebraic expressions‬‬ ‫پﻮلﻴﻨﻮم‪ :‬اﻓادة اﻟجبرى ﻳﻚ ﻳا چﻨد حده ﻛﻪ تﻮان ﻫاى ﻣتحﻮل شان در ست اﻋداد ﻣﻜﻤﻞ‬ ‫شاﻣﻞ باشﻨد‪ ،‬پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻧاﻣﻴده ﻣﻰ شﻮد‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 12 ، x 1 ، 2 x 2 + x 1 ، x 3 x + 1‬و ﻏﻴره پﻮﻟﻴﻨﻮم اﻧد‪ ،‬اﻣا ‪+ x ، x 2 + x 1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪ x 3 + x + 2‬پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻧﻤﻰ باشﻨد‪.‬‬ ‫‪x‬‬

‫ﻳا‬

‫ﻣشخﺼات پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻋبارت اﻧد از‪:‬‬ ‫تﻮان تﻤام ﻣتحﻮﻟﻴﻦ اﻋداد ﻣﻜﻤﻞ باشد‬ ‫در ﻣخرج ﻣتحﻮل ﻧداشتﻪ باشد‪.‬‬ ‫ﻣتحﻮل زﻳر جذر ﻧباشد‪.‬‬ ‫مثال اول‪ :‬در اﻓاده ﻫاي ‪, a ) 2 x‬‬

‫‪b) 2 x‬‬

‫‪,‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪x3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪y2‬‬

‫‪1‬‬

‫)‪, d ) x 2 , c‬‬

‫‪+ x2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪f )8p 2 + p 2 .2 , e) x 3 + x 2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪ a , h‬و ‪ i‬پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫا ﻫستﻨد؛ اﻣا ‪ f , e , d , c , b‬و ‪ g‬پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫا ﻧﻴستﻨد‪.‬‬ ‫‪g )9 x 2‬‬

‫‪,‬‬

‫‪, h )88‬‬

‫‪i)6a 2 4a‬‬

‫بﻪ ﻳاد داشتﻪ باشﻴد ﻛﻪ ﻫر پﻮﻟﻴﻨﻮم‪ ،‬ﻳﻚ اﻓادة اﻟجبرى ﻧاﻃﻖ ﻣﻰ باشد؛ اﻣا ﻫر اﻓادة اﻟجبرى ﻧاﻃﻖ‪،‬‬ ‫‪y y‬‬ ‫پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻧﻤﻰ باشد؛ بﻪ ﻃﻮر ﻣثال‪+ + y 3 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪ x 3 +‬ﻳﻚ اﻓادة اﻟجبرى ﻧاﻃﻖ است‪ ،‬ﻟﻴﻜﻦ‬

‫پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻧﻴست‪.‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪12‬ﻧﻴز ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم است‪ ،‬زﻳرا ﻛﻪ ‪ 12 = 12x‬است ﺻﻔر ﻧﻴز در ست اﻋداد ﻣﻜﻤﻞ شاﻣﻞ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻣﻰ باشد؛ اﻣا ‪ 5 x‬و ‪ 3‬پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻧﻴست؛ زﻳرا ‪ 5 x = 5 x 2‬و ‪ 3 = 5 x 3‬ﻛﻪ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬

‫و‪3‬‬

‫در ست اﻋداد ﻣﻜﻤﻞ شاﻣﻞ ﻧﻤﻰ باشد‪.‬‬ ‫ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم تﻮسﻂ ﻳﻚ حرف ﻣثﻞ ‪ P‬ﻧشان داده ﻣﻰ شﻮد؛ شﻜﻞ ﻋﻤﻮﻣﻰ ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻛﻪ از‬

‫‪44‬‬

‫‪e) x‬‬

‫ﻳﻚ حرف (ﻣتحﻮل) تشﻜﻴﻞ شده باشد ﻃﻮر زﻳر ﻣﻰ باشد‪:‬‬ ‫‪+ ... + a 1x + a 0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪+ a n 2x n‬‬

‫‪1‬‬

‫‪P( x ) = a n x n + a n 1x n‬‬

‫‪n‬ﻳﻚ ﻋدد ﻣﻜﻤﻞ و ﺿراﻳب ‪ a1 , a 2 ,...a n 1 , an‬اﻋداد حﻘﻴﻘﻰ اﻧد؛ اﮔر ‪0‬‬

‫‪ an‬باشد؛‬

‫پس ‪ n‬درجﺔ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻣﻰ باشد‪.‬‬ ‫فعالﻴت‬ ‫در اﻓاده ﻫاى اﻟجبرى ‪8‬‬

‫‪8x 2 ,‬‬

‫‪ 2x 3 x 2 , x , 1 , 8x 3 ,‬و ‪ 8 x‬ﻛدام ﻳﻚ‬ ‫‪x‬‬

‫پﻮﻟﻴﻨﻮم و ﻛدام ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻧﻤﻰ باشد؟‬ ‫مثال دوم‪ :‬در پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪a2 = 1 ، a n = 5 ، n = 3 ، P( x ) = 5x 3 + x 2 x + 12‬‬

‫‪ a1 = 1 ،‬و ‪ a 0 = 12‬ﻣﻲ باشد و در پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪، a1 = 0 ، a n = 11 ، n = 2 ، 11x 2 1‬‬ ‫و ‪ a0 = 1‬ﻣﻰ باشد‪.‬‬ ‫‪ .2‬افادة الجبري ﻧاطق (‪ :)Rational algebraic expression‬اﮔر بتﻮاﻧﻴﻢ ﻛﻪ‬ ‫‪p‬‬ ‫ﻳﻚ اﻓادة اﻟجبرى را بﻪ شﻜﻞ‬ ‫‪q‬‬

‫)‪ (q 0‬بﻨﻮﻳسﻴﻢ ﻃﻮرى ﻛﻪ ‪ p‬و ‪ q‬پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫا باشﻨد اﻳﻦ‬

‫‪1‬‬ ‫ﮔﻮﻧﻪ اﻓادة اﻟجبرى را اﻓادة اﻟجبرى ﻧاﻃﻖ ﻣﻰ ﮔﻮﻳﻨد‪ ،‬بﻪ ﻃﻮر ﻣثال‪ :‬اﻓادة‬ ‫‪x2‬‬

‫‪ x 2‬ﻛﻪ ﻳﻚ‬

‫‪x4 1‬‬ ‫ﻣﻴتﻮاﻧﻴﻢ بﻨﻮﻳسﻴﻢ و ﻳﻚ اﻓادة اﻟجبرى ﻧاﻃﻖ ﻣﻰ باشد؛ چﻮن‬ ‫ﻣتحﻮل دارد بﻪ شﻜﻞ‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻣخرج ﻫر اﻓادة اﻟجبرى ﻣﻴتﻮاﻧد ﻋدد ﻳﻚ باشد؛ پس )‪ ( x 1‬ﻧﻴز ﻳﻚ اﻓادة اﻟجبرى ﻧاﻃﻖ‬ ‫‪x2 1‬‬ ‫ﻣﻰ باشد‪.‬‬ ‫ﻣﻰ باشد؛ زﻳرا ﻛﻪ ‪= x 2 1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪ .3‬افادة غﻴر ﻧاطق(‪ :)Irrational algebraic expression‬ﻋبارت از اﻓادة اﻟجبرى‬ ‫است ﻛﻪ آن را بﻪ شﻜﻞ خارج ﻗسﻤت دو پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻧﻮشتﻪ ﻛرده ﻧﻤﻴتﻮاﻧﻴﻢ؛ ﻃﻮر ﻣثال‪، xy :‬‬

‫‪45‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪x2 + 5‬‬

‫و ‪y +1‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻣثال ﻫاى اﻓاده ﻫاى اﻟجبرى ﻏﻴرﻧاﻃﻖ ﻣﻰ باشﻨد‪.‬‬

‫ﻳﻚ اﻓادة اﻟجبرى اﻣﻜان دارد ﻧاﻃﻖ‪ ،‬ﻏﻴرﻧاﻃﻖ و ﻳا پﻮﻟﻴﻨﻮم باشد‪ .‬پﻮﻟﻴﻨﻮم اﻓادة اﻟجبرى ﻳﻚ ﻳا‬ ‫چﻨد حده ﻳﻰ است ﻛﻪ تﻮان ﻫاى ﻣتحﻮل و ﻳا ﻣتحﻮﻟﻴﻦ آن در ست اﻋداد ﻣﻜﻤﻞ شاﻣﻞ باشﻨد‪.‬‬

‫تمرين‬

‫‪ .1‬از اﻓاده ﻫاى اﻟجبرى زﻳر ﻛدام ﻳﻚ اﻓادة اﻟجبرى ﻧاﻃﻖ‪ ،‬ﻏﻴر ﻧاﻃﻖ و ﻳا پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻣﻰ باشد؟‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3x 2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪m+3‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪xy‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x+‬‬

‫‪ 3x 2 +‬و ‪13‬‬

‫‪ .2‬در اﻓاده ﻫاى اﻟجبري زﻳر ﻛدام ﻳﻚ‪ ،‬پﻮﻟﻴﻨﻮم و ﻛدام ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻧﻤﻰ باشد؟‬ ‫‪xy‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪,‬‬

‫‪3x 2 +‬‬

‫‪8 x‬‬

‫‪,‬‬

‫‪1 3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪20a 3 b + 28ab 4 ,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪x‬‬

‫‪3x‬‬

‫‪,‬‬

‫‪0.03‬‬

‫‪8‬‬

‫‪8x‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪3x‬‬

‫‪8x 8 ,‬‬

‫‪ .3‬در پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ a1 , a2 , a3 , an ، Px 4 ax 3 + bx 2 + cx + d‬و ‪ a0‬را ﻧشان دﻫﻴد‪.‬‬ ‫‪ .4‬در پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪2 x 2 1‬‬

‫‪x3‬‬ ‫= )‪ a1 , a 2 , a3 ، P( x‬و ‪ a0‬را ﻧشان دﻫﻴد‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪46‬‬

‫اقسام پﻮلﻴﻨﻮم و درجﺔ آن‪:‬‬

‫آﻳا ﻣﻰ تﻮاﻧﻴد بﮕﻮﻳﻴد ﻛﻪ درجﺔ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاى‬ ‫‪ 12 y 5 x 3 + x 4 y 3، 12x 3، x 2 x‬و‬ ‫‪ 12‬چﻨد ﻣﻰ باشد؟‬

‫‪ 3x‬ﻳا ‪ 16x‬ﻣﻮﻧﻮم ﻳا (‪)Monomial‬ﻳﻚ اﻓاده اﻟجبري ﻳﻚ حده است و ‪ x 4‬ﻳا‬ ‫‪ ab y‬ﻳﻚ اﻓادة اﻟجبرى دو حده(‪ )Binome‬ﻳا (‪ )Binomial‬و ‪ 2 x 3 x 1‬اﻓادة‬ ‫‪1‬‬ ‫اﻟجبرى سﻪ حده (‪ )Trinomial‬ﻣﻲ باشد و اﻓادة اﻟجبرى ‪+ 1‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪2x‬‬

‫بﻪ ﻧام ﻣﻮﻟتﻴﻨﻮم‬

‫(‪ )Multinomial‬ﻳاد ﻣﻲ شﻮد‪.‬‬ ‫بﻌﻀﻰ اوﻗات پﻮﻟﻴﻨﻮم از ﻳﻚ‪ ،‬دو‪ ،‬سﻪ و ﻳا چﻨدﻳﻦ ﻣتحﻮل تشﻜﻴﻞ شده ﻣﻰ باشد‪ .‬پﻮﻟﻴﻨﻮم‬ ‫‪ 2x 3 8x 2 + 7 x + 11‬داراى ﻳﻚ ﻣتحﻮل‪ ،‬پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ 2 x 3 3 y‬داراى دو ﻣتحﻮل و پﻮﻟﻴﻨﻮم‬ ‫‪ x + y + z‬داراى سﻪ ﻣتحﻮل ﻣﻰ باشد ﻛﻪ در جدول زﻳر ﻧشان داده شده است‪:‬‬ ‫ﻣتحﻮل‬

‫ﻣﻮﻧﻮم (ﻳﻚ حده)‬

‫باﻳﻨﻮم (دو حده)‬

‫ترﻳﻨﻮم (سﻪ حده)‬

‫ﻳﻚ ﻣتحﻮل‬

‫‪5x 3‬‬

‫‪5y2 + 3y‬‬

‫‪3x 2 + 2 x 4‬‬

‫دو ﻣتحﻮل‬

‫‪7x2 y‬‬

‫‪7x2 4 y3‬‬

‫‪6 x 2 + 5x 3 y 2‬‬

‫سﻪ ﻣتحﻮل‬

‫‪4xyz 2‬‬

‫‪8a 2b + 4c‬‬

‫‪z 5a‬‬

‫‪3a 2b 2 + 6c 2‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫در اﻓاده ﻫاى اﻟجبرى ‪ 3x ، 15 ، 2 x y ، ax 2 + bx + c‬و ‪ 4 x 2 4 y‬ﻣﻮﻧﻮم‪ ،‬باﻳﻨﻮم‬ ‫و ترﻳﻨﻮم را ﻧشان دﻫﻴد‪.‬‬

‫‪47‬‬

‫درجﺔ ﻳک پﻮلﻴﻨﻮم(‪ :)Degree of a Polynome‬اﮔر پﻮﻟﻴﻨﻮم از ﻳﻚ حرف تشﻜﻴﻞ‬ ‫شده باشد‪ ،‬بزرﮔترﻳﻦ تﻮان اﻳﻦ حرف ﻋبارت از درجﺔ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻣﻰ باشد؛ ﻃﻮر ﻣثال‪ :‬درجﺔ‬ ‫پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪x 3 + 2 x + 1 + x 5‬‬

‫ﻋبارت از ‪ 5‬ﻣﻰ باشد‪ .‬اﮔر پﻮﻟﻴﻨﻮم از چﻨد حرف (ﻣتحﻮل)‬

‫تشﻜﻴﻞ شده باشد درجﺔ ﻣﻮﻧﻮﻣﻰ ﻛﻪ تﻮان بزرﮔتر دارد؛ ﻋبارت از‪ :‬درجﺔ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻣﻰ باشد؛‬ ‫ﻣث ً‬ ‫ﻼ درجﺔ پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ 2x 2 y 5xy5 + x 3 y‬ﻋبارت از ( ‪ ) 1 + 5 = 6‬است و اﻳﻦ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻧﻈر‬ ‫‪3‬‬

‫بﻪ ‪ x‬درجﻪ سﻮم و ﻧﻈر بﻪ ‪ y‬درجﻪ پﻨجﻢ ﻣﻰ باشد؛ اﮔر درجﻪ ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻋدد ‪ 1‬باشد‬ ‫پﻮﻟﻴﻨﻮم را پﻮﻟﻴﻨﻮم خﻄﻰ (‪ )Liner Polynome‬و اﮔر درجﻪ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻋدد ‪ 2‬باشد پﻮﻟﻴﻨﻮم‬ ‫را پﻮﻟﻴﻨﻮم درجﻪ دوم (‪ )Quadratic Polynome‬ﻣﻰ ﮔﻮﻳﻨد و اﮔر درجﻪ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻋدد ‪3‬‬ ‫باشد بﻪ ﻧام پﻮﻟﻴﻨﻮم درجﻪ سﻮم (‪ )Cubic Polynomial‬و ﻫﻢ ﻣﻮﻧﻮم ‪ 3x 2‬درجﺔ دوم‪ ،‬و‬ ‫درجﺔﻣﻮﻧﻮم ‪ 3x 2 y 3‬ﻋبارت از ‪ 5‬و درجﺔ ﻣﻮﻧﻮم ‪ 12‬ﺻﻔر ﻣﻰ باشد‪ ،‬اﻳﻦ ﮔﻮﻧﻪ پﻮﻟﻴﻨﻮم را‬ ‫پﻮﻟﻴﻨﻮم ثابت ﻣﻰ ﮔﻮﻳﻨد؛ زﻳرا ‪. 12 = 12x 0‬‬ ‫پﻮلﻴﻨﻮم ثابت‪ :‬پﻮﻟﻴﻨﻮﻣﻰ است ﻛﻪ درجﺔ آن ﺻﻔر باشد ﻳا بﻪ ﻋبارت دﻳﮕر پﻮﻟﻴﻨﻮﻣﻰ است ﻛﻪ‬ ‫ﺿراﻳب تﻤام ﻣتحﻮﻟﻴﻦ آن ﺻﻔر باشد‪.‬‬ ‫مثال اول‪ :‬اﮔر ‪ (2m 4) x 2 + (5 n ) x + 13‬ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم ثابت باشد ﻗﻴﻤت ﻫاى ‪m‬‬ ‫و ‪ n‬را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫حل‪ :‬چﻮن پﻮﻟﻴﻨﻮم داده شده ثابت ﻣﻰ باشد؛ پس ﺿرﻳب ﻫر حد ﻣتحﻮل ﺻﻔر است‪.‬‬ ‫‪5 n=0‬‬ ‫‪n =5‬‬

‫‪2m 4 = 0‬‬ ‫‪2m = 4‬‬ ‫‪m=2‬‬

‫پﻮلﻴﻨﻮم صفرى(‪ :)Zero Polynome‬اﮔر حد ثابت پﻮﻟﻴﻨﻮم ثابت ﺻﻔرباشد اﻳﻦ ﮔﻮﻧﻪ‬ ‫پﻮﻟﻴﻨﻮم بﻪ ﻧام پﻮﻟﻴﻨﻮم ﺻﻔرى ﻳاد ﻣﻰ شﻮد؛ بﻪ ﻃﻮر ﻣثال‪ ، P( x) = 0 :‬درجﺔ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﺻﻔرى‬ ‫تﻌرﻳﻒ ﻧشده است‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫مثال دوم‪ :‬ﻗﻴﻤت ‪ a‬را درﻳابﻴد اﮔر )‪ (b 4) x (2c + 6) x + (a b + c‬ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم‬ ‫ﺻﻔرى باشد‪.‬‬ ‫حل‪ :‬در پﻮﻟﻴﻨﻮم ﺻﻔرى ﻫر حد ﺻﻔر ﻣﻰ باشد؛ پس‪:‬‬

‫‪48‬‬

‫‪a b+c =0‬‬ ‫‪a 4 3=0‬‬

‫‪2c + 6 = 0‬‬ ‫‪2c = 6‬‬

‫‪a=7‬‬

‫‪c= 3‬‬

‫‪b 4=0‬‬ ‫‪b= 4‬‬

‫مثال سﻮم‪ :‬درجﺔ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاى ‪ g( x ) = 2xy 2 x 2 y 3 ، P( x) = x 2 1 + 3x 5‬و‬ ‫‪ h( x) = 3‬را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫حل‪ :‬درجﺔ پﻮﻟﻴﻨﻮم )‪ P(x‬ﻋبارت از ‪ 5‬است و درجﺔ پﻮﻟﻴﻨﻮم )‪ g (x‬ﻧﻴز ‪ (n = 5) ، 5‬ﻣﻰ‬ ‫باشد‪ ،‬اﻣا درجﺔ پﻮﻟﻴﻨﻮم )‪ h(x‬ﺻﻔر ﻣﻰ باشد‪.‬‬ ‫فعالﻴت‬ ‫‪ :a‬درجﺔ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاى زﻳر را تﻌﻴﻴﻦ ﻛﻨﻴد‪:‬‬ ‫‪2m 3n 2 3mn3 mn‬‬

‫‪15 ,‬‬

‫‪x 1 ,‬‬

‫‪x 2 x 3 + 2 x + 5x 5 ,‬‬

‫‪ : b‬درجﺔ اﻳﻦ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫا را ﻧﻈر بﻪ ﻫر ﻣتحﻮل تﻌﻴﻴﻦ ﻛﻨﻴد‪:‬‬ ‫‪2m 3n 2 3mn3 mn‬‬

‫‪15 ,‬‬

‫‪x 1 ,‬‬

‫‪x 2 x 3 + 2 x + 5x 5 ,‬‬

‫پﻮلﻴﻨﻮم مکمل و ﻧاقص‪ :‬پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻣﻜﻤﻞ پﻮﻟﻴﻨﻮﻣﻰ است ﻛﻪ تﻤام حدود آن از بزرﮔترﻳﻦ‬ ‫تﻮان ﻣتحﻮل تا ﻋدد ثابت ﻣﻮجﻮد باشد‪.‬‬ ‫پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاى ‪ x 1 , x 3 + 1 + 2 x x 2‬و ‪ 51‬پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاى ﻣﻜﻤﻞ‪ ،‬اﻣا پﻮﻟﻴﻨﻮم‬ ‫ﻫاى ‪ x 2 1‬و ‪ x 3 + x + 1‬پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاى ﻧاﻗﺺ ﻣﻰ باشﻨد ﻣا ﻣﻰ تﻮاﻧﻴﻢ ﻛﻪ پﻮﻟﻴﻨﻮم‬ ‫ﻫاى ﻧاﻗﺺ را بﻪ شﻜﻞ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاى ﻣﻜﻤﻞ بﻨﻮﻳسﻴﻢ؛ ﻣاﻧﻨد‪ x 2 1 = x 2 + 0.x 1 :‬و‬ ‫‪x3 + x 1 = x3 + 0.x 2 + x 1‬‬ ‫پﻮلﻴﻨﻮم ﻫاى مﻨظم و غﻴر مﻨظم‪ :‬پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاى ‪2 x 3 3 x 2 + 4 x 1‬‬

‫و ‪ 11 + 12x + 13x 2 x 3‬پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاى ﻣﻨﻈﻢ‪ ،‬اﻣا پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ 3x 4 x + 1 + x 3 + x 2‬ﻳﻚ‬ ‫پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻏﻴر ﻣﻨﻈﻢ ﻣﻰ باشد‪ ،‬ﻛﻪ ﻣﻰ تﻮاﻧﻴﻢ ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻏﻴر ﻣﻨﻈﻢ را بﻪ شﻜﻞ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻣﻨﻈﻢ‬ ‫بﻨﻮﻳسﻴﻢ؛ بﻪ ﻃﻮر ﻣثال‪ 3x 4 + x 3 + x 2 x + 1‬ﻳا ‪ 1 x + x 2 + x3 + 3x 4‬پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاى ﻣﻨﻈﻢ‬ ‫اﻧد‪.‬‬

‫‪49‬‬

‫پﻮلﻴﻨﻮم ﻫاى ﻧزولﻰ و صعﻮدى‬ ‫(‪:)Descending and ascending Polynomes‬‬ ‫اﮔر ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم از بزرﮔترﻳﻦ تﻮان ﻳﻚ ﻣتحﻮل بﻪ ﻃرف ﻛﻮچﻜترﻳﻦ تﻮان ترتﻴب شده باشد‬ ‫ﻧزوﻟﻰ و اﮔر از ﻛﻮچﻜترﻳﻦ بﻪ بزرﮔترﻳﻦ تﻮان ترتﻴب شده باشد ترتﻴب ﺻﻌﻮدى ﻣﻰ ﮔﻮﻳﻨد‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻃﻮر ﻣثال‪ :‬پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ x + 3x + x + x + 1‬بﻪ شﻜﻞ ﻧزوﻟﻰ و پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪1 + x + x 2 + 3x 2 + x 4‬‬ ‫بﻪ شﻜﻞ ﺻﻌﻮدى ترتﻴب شده است‪.‬‬ ‫اﮔر ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم از دو ﻳا چﻨد ﻣتحﻮل تشﻜﻴﻞ شده باشد‪ ،‬ﻣﻰ تﻮاﻧﻴﻢ ﻛﻪ پﻮﻟﻴﻨﻮم را ﻧﻈر بﻪ ﻫر حرف‬ ‫بﻪ شﻜﻞ ﺻﻌﻮدى ﻳا ﻧزوﻟﻰ ترتﻴب ﻧﻤاﻳﻴﻢ‪ ،‬ﻃﻮرﻳﻜﻪ پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪x 3 y + 3x 2 y 2 + 2 xy3 5 y 4‬‬ ‫ﻧﻈر بﻪ ‪ x‬بﻪ ﻃﻮر ﻧزوﻟﻰ و ﻧﻈر بﻪ ‪ y‬بﻪ ﻃﻮر ﺻﻌﻮدى ترتﻴب شده است‪.‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاى زﻳر را بﻪ شﻜﻞ ﺻﻌﻮدى ترتﻴب ﻛﻨﻴد‪:‬‬ ‫‪4 x 5 + 6 x 2 + 8 x 3 , 2 y 2 4 y + 3 3 y 4 + y 3 , 2a 3 5 + 4a 4 + a 5 + 3a 2 + a‬‬

‫مثال چﻬارم‪ :‬پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ P( y) = 4xy 4 3x 3 y 2 + 2x 2 y 3 + x 4 + y 5‬را ﻧﻈر بﻪ ‪ y‬بﻪ شﻜﻞ‬ ‫ﺻﻌﻮدى بﻨﻮﻳسﻴد‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪P( y) = x 4 3x 3 y 2 + 2x 2 y3 + 4xy 4 + y5‬‬ ‫پﻮلﻴﻨﻮم ﻫاى معادل‪ :‬پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاﻳﻲ اﻧد ﻛﻪ داراى ﻳﻚ ﻣتحﻮل بﻮده و ﺿراﻳب حدود ﻣشابﻪ‬ ‫آن ﻫا باﻫﻢ ﻣساوى باشﻨد‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫مثال‪ :5‬اﮔر پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ x + 3x + 2‬با پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ m( x 1) + n ( x 1) + P‬ﻣﻌادل باشد‪،‬‬ ‫ﻗﻴﻤت ﻫاى ‪ n , m‬و ‪ p‬را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪m( x 2 2 x + 1) + nx n + p = x 2 + 3x + 2‬‬ ‫‪mx 2 2mx + m + nx n + p = x 2 + 3x + 2‬‬ ‫‪mx 2 + ( 2m + n ) x + (m n + p) = 1x 2 + 3x + 2‬‬

‫‪50‬‬

‫در ﻧتﻴجﻪ‪:‬‬

‫‪n =5‬‬

‫‪m =1‬‬ ‫‪2m + n = 3‬‬

‫‪p=6‬‬

‫‪m n+p=2‬‬

‫پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاﻳﻰ ﻛﻪ از ﻳﻚ ﻣتحﻮل تشﻜﻴﻞ شده باشﻨد بزرﮔترﻳﻦ تﻮان اﻳﻦ حرف درجﻪ پﻮﻟﻴﻨﻮم‬ ‫ﻣﻰ باشد و اﮔر پﻮﻟﻴﻨﻮم از چﻨد حرف تشﻜﻴﻞ شده باشد درجﺔ ﻣﻮﻧﻮﻣﻰ ﻛﻪ بزرﮔترﻳﻦ تﻮان را‬ ‫دارا باشد ﻋبارت از درجﺔ پﻮﻟﻴﻨﻮم است‪ ،‬و پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاﻳﻲ ﻛﻪ داراى ﻳﻚ ﻣتحﻮل بﻮده و ﺿرﻳب‬ ‫ﻫاى حدود ﻣشابﻪ آن ﻫا باﻫﻢ ﻣساوى باشﻨد بﻪ ﻧام پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاى ﻣﻌادل ﻳاد ﻣﻰ شﻮﻧد‪.‬‬

‫‪51‬‬

‫تمرين‬ ‫‪ .1‬در اﻓاده ﻫاى زﻳر ﻣﻮﻧﻮم‪ ،‬باﻳﻨﻮم و ترﻳﻨﻮم را ﻧشان دﻫﻴد و ﻧﻴز درجﻪ ﻫاى آن ﻫا را‬ ‫درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪x 1‬‬

‫‪,‬‬

‫‪12‬‬

‫‪,‬‬

‫‪x2 y + 4‬‬

‫‪,‬‬

‫‪12x‬‬

‫‪,‬‬

‫‪1 2 5‬‬ ‫‪x y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x x2 x3‬‬

‫‪ .2‬در پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاى زﻳر پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاى ﻣﻜﻤﻞ و ﻧاﻗﺺ را ﻧشان دﻫﻴد و پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاى ﻧاﻗﺺ‬ ‫را بﻪ شﻜﻞ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاى ﻣﻜﻤﻞ بﻨﻮﻳسﻴد‪.‬‬ ‫‪x2 1 ,‬‬ ‫‪x3 + x 1‬‬

‫‪,‬‬

‫‪x +1 ,‬‬ ‫‪15‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪x‬‬

‫‪2x 2 2x 2‬‬

‫‪ .3‬اول درجﺔ ﻫر پﻮﻟﻴﻨﻮم را ﻛﻪ در زﻳر داده شده است درﻳابﻴد و بﻌد بﻪ شﻜﻞ ﻧزوﻟﻰ‬ ‫ترتﻴب ﻧﻤاﻳﻴد‪.‬‬ ‫‪4 x 5 + 6 x 2 + 8x 3‬‬ ‫‪4 y + 3 3y 4 + y 3‬‬ ‫‪x5+ x‬‬

‫‪2y2‬‬

‫‪1 x 3 + x 2 + 2x 4‬‬

‫‪ .4‬اﮔر ‪ P( x 1) 2 + n ( x + 3) + c = 2x 2 x + 22‬باشد ﻗﻴﻤت ﻫاى ‪ n , p‬و ‪ c‬را‬ ‫درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪ .5‬ﻗﻴﻤت ﻫاى ‪ b , a‬و ‪ c‬را درﻳابﻴد؛ اﮔر‪P( x) = 7 x 4 (2a 3) x 3 + 5 x (c 3) :‬‬ ‫و ‪ Q( x) = (3b + 4) x 4 + 2 x 3 + 5 x‬پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاى ﻣﻌادل باشﻨد‪.‬‬

‫‪52‬‬

‫درﻳافت قﻴمت پﻮلﻴﻨﻮم‬ ‫آﻳا ﻣﻰ تﻮاﻧﻴد بﮕﻮﻳﻴد ﻛﻪ براى ‪x = 1‬‬

‫ﻗﻴﻤت پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪x 1‬‬

‫‪x2‬‬

‫‪P( x) = x 3‬‬

‫ﻳﻌﻨﻰ ? = )‪ P( 1‬چﻨد ﻣﻰ شﻮد؟‬

‫اﮔر در ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم بﻪ ﻋﻮض ﻣتحﻮل ﻳﻚ ﻋدد حﻘﻴﻘﻰ را وﺿﻊ ﻛﻨﻴﻢ ﻳﻚ ﻋدد حﻘﻴﻘﻰ بﻪ‬ ‫دست ﻣﻰ آﻳد ﻛﻪ ﻫﻤﻴﻦ ﻋدد حﻘﻴﻘﻰ ﻗﻴﻤت اﻳﻦ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻣﻰ باشد‪ .‬براى ‪ x = 2‬ﻗﻴﻤت پﻮﻟﻴﻨﻮم‬ ‫‪ P( x) = 3x + 2‬ﻋبارت از ‪ P(2) = 3 2 + 2 = 8‬ﻣﻰ باشد‪.‬‬ ‫مثال اول‪ P( 1) ، P(5) :‬و )‪ P(0‬پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ P( x) = 2 x 2 7 x + 1‬را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬

‫‪P(5) = 2 52 7(5) + 1 = 50 35 + 1 = 51 35 = 16‬‬ ‫‪P ( 0) = 1‬‬ ‫‪P( 1) = 2( 1) 2 7( 1) + 1 = 2 + 7 + 1 = 10‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫)‪ P( 1) ، P(0‬و )‪ P(1‬پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ P( x) = x 5 x 3 x 1‬را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫مثال دوم‪ :‬اﮔر ‪ P( x ) = 16x 3 8x 2 +‬باشد )‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫حل‬

‫‪53‬‬

‫(‪ P‬را درﻳابﻴد‪.‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫(‪) = 16( ) 3 8( ) 2 + = 16‬‬ ‫‪) 8( ) +‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪64‬‬ ‫‪16 4‬‬ ‫‪1 1 3‬‬ ‫‪1 2+3‬‬ ‫‪3+3 0‬‬ ‫=‬ ‫= ‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪= =0‬‬ ‫‪4 2 4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫(‪P‬‬

‫مثال سﻮم‪ :‬ﻃﻮرى ﻛﻪ ﻣﻴداﻧﻴد ﻣحﻴﻂ داﻳره (‪)Circumference‬از ﻓﻮرﻣﻮل ‪C = 2 r‬‬ ‫‪22‬‬ ‫بﻪ دست ﻣﻰ آﻳد‪ ،‬اﮔر‬ ‫‪7‬‬

‫=‬

‫و ‪ r‬شﻌاع داﻳره باشد‪.‬‬

‫در ﺻﻮرتﻰ ﻛﻪ شﻌاع داﻳره ‪ r = 3 1 cm‬باشد‪ ،‬ﻣحﻴﻂ اﻳﻦ داﻳره (‪ )C‬را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪22 7‬‬ ‫‪. cm = 22cm‬‬ ‫‪7 2‬‬ ‫مثال چﻬارم‪ :‬اﮔر ‪ b, a‬و ‪ c‬ﻃﻮل اﺿﻼع ﻣثﻠث و ‪ p‬ﻧﺼﻒ ﻣحﻴﻂ ﻣثﻠث باشد ﻳﻌﻨﻲ‬

‫‪C = 2 r = 2.‬‬

‫‪a+b+c‬‬ ‫‪2‬‬

‫= ‪ p‬ﻣساحت ﻣثﻠث از ﻓﻮرﻣﻮل )‪ S = p(p a )(p b)(p c‬بﻪ دست‬

‫ﻣﻰ آﻳد‪.‬‬ ‫اﮔر ﻃﻮل اﺿﻼع ﻣثﻠث ‪ b = 12cm , a = 9cm‬و ‪ c = 15cm‬باشد ﻣساحت اﻳﻦ ﻣثﻠث را‬ ‫درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬

‫‪a + b + c 9 + 12 + 15 36‬‬ ‫=‪p‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪= 18cm‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‪S = p(p a )(p b)(p c) = 18(18 9)(18 12)(18 15‬‬ ‫‪= 18 9 6 3 = 2 9 9 2 3 3 = 2 2 32 9 2 = 2 3 9 = 54cm 2‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫حجﻢ استﻮاﻧﻪ از ﻓﻮرﻣﻮل ‪ V = r 2 h‬بﻪ دست ﻣﻰ آﻳد ﻛﻪ ‪ V‬حجﻢ استﻮاﻧﻪ‪ r ،‬شﻌاع ﻗاﻋده‬ ‫و ‪ h‬ارتﻔاع استﻮاﻧﻪ ﻣﻰ باشد‪ .‬اﮔر ‪ r = 5cm‬و ‪ h = 21cm‬باشد حجﻢ استﻮاﻧﻪ را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫مثال پﻨجم‪ :‬اﮔر شﻌاع اﻳﻦ تﻮپ ‪ 6cm‬باشد حجﻢ اﻳﻦ تﻮپ را درﻳابﻴد‪.‬‬

‫‪54‬‬

‫حل‪:‬‬ ‫‪4 3 4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫= ‪r‬‬ ‫= ‪(6cm) 3‬‬ ‫‪(216cm 3 ) = 288 cm 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫=‪V‬‬

‫اﮔر در ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم(‪ P)x‬ﻋﻮض ‪ x‬ﻗﻴﻤت داده شده را وﺿﻊ ﻛﻨﻴﻢ‪ ،‬ﻗﻴﻤت پﻮﻟﻴﻨﻮم بﻪ دست‬ ‫ﻣﻰ آﻳد‪.‬‬

‫‪55‬‬

‫تمرين‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ .1‬اﮔر پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ p( x) = x 4 x 3 x 2 x 1‬باشد‪ p( 1) ،‬و ) (‪ p‬را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪ .2‬اﮔر در پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ p( x ) = kx 3 x 2 + 3x 1‬ﻗﻴﻤت ‪ p(2) = 17‬باشد ﻗﻴﻤت ‪ k‬را‬ ‫درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ .3‬ﻗﻴﻤت پﻮﻟﻴﻨﻮم‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ p( x) = x 2‬را براى‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ .4‬در پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاى ‪4 x + 4‬‬

‫‪C = x + 3x 4 6 x 3 ، B = 4 x 3 + 10 x 2 ، A = x 2‬‬

‫= ‪ x‬درﻳابﻴد‪.‬‬

‫و ‪ D = x 2 + 4 x 4‬براى ‪ x = 4‬ﻗﻴﻤت ﻛدام پﻮﻟﻴﻨﻮم از ﻋدد ‪ 100‬زﻳاد ﻣﻰ باشد؟‬ ‫‪d) B‬‬

‫‪c) A‬‬

‫‪a) C‬‬

‫‪b) D‬‬

‫‪ .5‬در پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاى زﻳر براى ‪ x = 5‬ﻛدام پﻮﻟﻴﻨﻮم بزرﮔترﻳﻦ ﻗﻴﻤت را دارا ﻣﻰ باشد؟‬ ‫‪a ) x 2 2x + 6‬‬ ‫‪b) 3x 4 + 6 x + 12‬‬ ‫‪c) x 3 40 x 300‬‬ ‫‪d ) x 5 120 x 4 + 10‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ .6‬اﮔر ‪ p( x) = x 4 x 3 x 2 x 1‬باشد‪ p( ) ، p(0) ، p( 1) ،‬و ) ‪ p( 1‬را‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫درﻳابﻴد‪.‬‬

‫‪56‬‬

‫عملﻴﻪ ﻫاى چﻬار گاﻧﺔ پﻮلﻴﻨﻮم ﻫا‬ ‫اﮔر ﻫر ﺿﻠﻊ ﻣربﻊ ‪ 3w 4‬و ﻫر ﺿﻠﻊ‬ ‫ﻣثﻠث ﻣتساوى اﻻﺿﻼع ‪ w + 2‬باشد ﻳﻚ‬ ‫اﻓادة اﻟجبرى را بﻨﻮﻳسﻴد ﻛﻪ ﻣحﻴﻂ ﻫر دو‬ ‫شﻜﻞ را ﻧشان دﻫد‪.‬‬ ‫اﮔر ‪ A = 8 x 2 2 x + 3‬و ‪B = 9 x 5‬‬ ‫باشد ‪ A + B‬و ‪ A B‬را درﻳابﻴد‪.‬‬

‫‪W+2‬‬

‫‪3W-4‬‬

‫‪ -1‬عملﻴﺔ جمع‪ :‬حدود ﻣشابﻪ (‪ )Like terms‬باﻫﻢ جﻤﻊ و ﻧﻴز حدود ﻣشابﻪ ﻳﻜﻰ از‬ ‫دﻳﮕرى تﻔرﻳﻖ ﻣﻰ شﻮد ﻛﻪ اﻳﻦ ﻫر دو ﻋﻤﻠﻴﻪ بﻪ ﺻﻮرت اﻓﻘﻰ و ﻋﻤﻮدى اﻧجام شده ﻣﻰ تﻮاﻧد‬ ‫مثال‪ :1‬اﮔر ‪ A = 3cd 2 2cd + 5‬و ‪ B = 9cd 7cd 2 5‬باشد ‪ A + B‬را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬

‫)‪A + B = ( 3cd 2 2cd + 5) + (9cd 7cd 2 5‬‬

‫‪= 3cd 2 2cd + 5 + 9cd 7cd 2 5 = 10cd 2 + 7cd‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫اﮔر ‪ B = 2ab 2 + 3a 2 , A = ab 2 + 3a‬و ‪ C = 2a + 4‬باشد ﻣجﻤﻮع اﻳﻦ سﻪ‬ ‫پﻮﻟﻴﻨﻮم را درﻳابﻴد‪(A + B + C = ?) .‬‬ ‫مثال دوم‪ A + B + C :‬را درﻳابﻴد اﮔر‪:‬‬ ‫‪ B = 3x 5 2x 2 , A = 1 + 2x + 3x 2‬و ‪ C = x 2 5 x + 4‬و ﻧﻴز اﮔر‬ ‫‪ B = a 3b 2 2a 2 b 3 + 4b 4 , A = a 4 b 2a 3b 2 3a 2 b 3 4c 2b‬و‬ ‫‪ C = a 4 b + a 3b 2 2c‬باشد‪.‬‬ ‫حل‪ :‬در اول پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫا را بﻪ شﻜﻞ ﻣﻨﻈﻢ ﻣﻰ ﻧﻮﻳسﻴﻢ و بﻌد حدود ﻣشابﻪ را باﻫﻢ جﻤﻊ‬ ‫ﻣﻰ ﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬

‫‪57‬‬

‫‪4c 2 b‬‬ ‫‪+ 4b 4‬‬

‫‪a 4 b 2 a 3b 2 3a 2 b 3‬‬

‫‪3x 2 + 2 x + 1‬‬

‫‪a 3 b 2 2a 2 b 3‬‬

‫‪2 x 2 + 3x 5‬‬

‫‪+ a 4 b + a 3b 2‬‬

‫‪2c‬‬ ‫‪6c + 2 b 4‬‬

‫‪5a 2 b 3‬‬

‫‪x 2 5x + 4‬‬

‫‪2a 4 b‬‬

‫‪+‬‬

‫‪2x 2‬‬

‫‪ -2‬عملﻴﺔ تفرﻳق‪ :‬در ﻋﻤﻠﻴﺔ تﻔرﻳﻖ ﻣﻌﻜﻮس جﻤﻌﻰ ﻣﻔروق را با ﻣﻔروق ﻣﻨﻪ جﻤﻊ ﻣﻰ ﻛﻨﻴﻢ‬ ‫ﻳا بﻪ ﻋبارت دﻳﮕر ﻋﻼﻣﻪ ﻫاى ﻣﻔروق را تﻐﻴﻴر ﻣﻰ دﻫﻴﻢ‪.‬‬ ‫مثال اول‪ :‬پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ B‬را از پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ A‬تﻔرﻳﻖ ﻧﻤاﻳﻴد اﮔر ‪A = x 3 + x 2 + x 7‬‬

‫و ‪ B = x 3 + x 2 + 4x + 3‬باشد و ﻧﻴز اﮔر ‪ A = 2b 2 2c 2 2d 2 2e 2‬و‬ ‫‪ B = b 2 3c 2 3d 2 3e 2 f 2‬باشد‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪2e 2‬‬

‫‪2d 2‬‬

‫‪3d 2 m 3e 2 m f 2‬‬

‫‪A = 2b 2‬‬

‫‪2c 2‬‬ ‫‪m‬‬

‫‪3c 2‬‬

‫‪m‬‬

‫‪A = x3 + x2 + x 7‬‬

‫‪B = b2‬‬

‫‪B = m x 3 ± x 2 ± 4x ± 3‬‬

‫‪A B = b2 + c2 + d 2 + e2 + f 2‬‬

‫ﻳا‬

‫‪3x 10‬‬

‫=‪A B‬‬

‫)‪x + x + x 7 ( x + x + 4 x + 3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪4x 3‬‬

‫‪x2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪= x3 + x2 + x 7 + x3‬‬ ‫‪= 3x 10‬‬

‫باﻳد بﻪ ﻳاد داشتﻪ باشﻴﻢ ﻛﻪ ﻏرض ساده ساختﻦ ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم حدود ﻣشابﻪ(‪ )Like terms‬را‬ ‫باﻫﻢ جﻤﻊ و ﻳا از ﻳﻜدﻳﮕر تﻔرﻳﻖ ﻣﻰ ﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬ ‫بﻪ ﻃﻮر ﻣثال‪:‬‬

‫‪a) x 2 + 6x 4 8 + 9x 2 + 2x 4 6x 2 = 8x 4 + 4x 2 8‬‬ ‫‪b) 3x x 1 + 3 2x = 2‬‬ ‫‪c) 2x 2 x x 2 x 2 = x 2 2x 2‬‬ ‫‪d) 6xy xy x y + 2x = 5xy + x y‬‬ ‫‪e) mn 4 + mn 5 = 2mn 9‬‬

‫‪58‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫در پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاى زﻳر حدود ﻣشابﻪ(‪ )Like terms‬را ﻧشان دﻫﻴد‪.‬‬ ‫‪t + 5t 2 6t 2 + 6t 3‬‬

‫‪9rs 2r 2s 2 + 4r 2s 2 + 3rs 7‬‬

‫‪3p 4p 2 + 6p + 10p 2‬‬

‫‪2fg + f 2 g fg 2 2fg + 3f 2 g + 5fg 2‬‬

‫مثال دوم‪ :‬با پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ a 4 + 2a 3 b 3ab 3 + a 2 b 2‬ﻛدام پﻮﻟﻴﻨﻮم را جﻤﻊ ﻛﻨﻴﻢ تا حاﺻﻞ‬ ‫جﻤﻊ ‪ 2a 4 3a 3 b 3ab 3 b 4 + a 2 b 2‬شﻮد؟‬ ‫حل‪:‬‬

‫‪2a 4 3a 3 b + a 2 b 2 3ab 3 b 4‬‬ ‫‪a 4 ± 2a 3 b ± a 2 b 2 m 3ab 3‬‬ ‫‪b4‬‬

‫فعالﻴت‬

‫‪a 4 5a 3 b‬‬

‫ﻣجﻤﻮع پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاى ‪ 4 x + 6 2 x 2‬و ‪ 3x 2 x 3 3‬را از ﻣجﻤﻮع پﻮﻟﻴﻨﻮﻣﻬاى‬ ‫‪ x 3 + x 2 2 x‬و ‪ 2 x 3 + 3x 7‬تﻔرﻳﻖ ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫مثال سﻮم‪ :‬تﻔرﻳﻖ ﻛﻨﻴد‪.‬‬

‫‪5‬‬

‫‪505y‬‬

‫‪4‬‬

‫‪404xy‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪101x y‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪202x y 303x y‬‬

‫‪- 101x 4 y m 303x 3 y 2 ± 101x 2 y 3 m 404xy 4 ± 505 y 5‬‬ ‫‪1010y5‬‬

‫‪101x 4 y‬‬

‫‪202x 2 y 3‬‬

‫‪3ax 5bx 8cx 11dx‬‬ ‫‪3ax m 5bx m 8cx m 11dx‬‬ ‫‪0‬‬

‫مثال چﻬارم‪ :‬حدود ﻣشابﻪ (‪ )Like terms‬را باﻫﻢ جﻤﻊ و ساده ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫‪8 10 + x 7 + x = 2x 9‬‬

‫‪2k + 4‬‬

‫‪20 k k 10 6 k 2 = k 2‬‬

‫‪ab + a b a = ab b‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪b+2=0‬‬

‫‪59‬‬

‫‪2‬‬

‫‪y 2 1 + y 2 1 = 2y 2‬‬

‫‪2 + b 4b + b + b‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2b‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4b‬‬

‫‪2 + b 4b 3 + b 2 + b 2‬‬

‫‪b+2=0‬‬

‫‪4b 3 2b 2‬‬

‫‪x 2 5x 2x 2 + 5 = x 2 5x + 5‬‬

‫باﻳد بﻪ ﻳاد داشتﻪ باشﻴﻢ ﻛﻪ اﮔر ‪ Q, P‬و ‪ R‬پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫا باشﻨد؛ پس‪:‬‬ ‫(خاﺻﻴت تبدﻳﻠﻰ ﻋﻤﻠﻴﺔ جﻤﻊ)‪P + Q = Q + P .......................‬‬ ‫(خاﺻﻴت اتحادى ﻋﻤﻠﻴﺔ جﻤﻊ)‪P + (Q + R) = (P + Q) + R ......‬‬ ‫(خاﺻﻴت تﻮزﻳﻌﻰ ﺿرب باﻻى جﻤﻊ)‪P(Q + R) = PQ + PR .............‬‬ ‫‪(Q + R)P = QP + RP‬‬ ‫ﻳا‪:‬‬ ‫در ﻋﻤﻠﻴﻪ ﻫاى جﻤﻊ و تﻔرﻳﻖ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫا حدود ﻣشابﻪ باﻫﻢ جﻤﻊ و ﻳا از ﻳﻜدﻳﮕر تﻔرﻳﻖ‬ ‫ﻣﻰ شﻮﻧد‪ .‬در ﻋﻤﻠﻴﺔ جﻤﻊ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاخاﺻﻴت ﻫاى تبدﻳﻠﻰ و اتحادى ﺻدق ﻣﻰ ﻛﻨد و در‬ ‫ﻋﻤﻠﻴﺔ تﻔرﻳﻖ ﻣﻌﻜﻮس جﻤﻌﻰ ﻣﻔروق با ﻣﻔروق ﻣﻨﻪ جﻤﻊ ﻣﻰ شﻮد و خاﺻﻴت تﻮزﻳﻌﻰ ﺿرب‬ ‫باﻻى جﻤﻊ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫا ﻧﻴز ﺻدق ﻣﻰ ﻛﻨد‪.‬‬

‫تمرين‬ ‫‪ .1‬ﻣجﻤﻮﻋﺔ دو پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ x 2 + 2 x y 2‬است اﮔر ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ x 2 2xy + 3‬باشد‪ ،‬پﻮﻟﻴﻨﻮم‬ ‫دﻳﮕرى را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .2‬پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ 3x + 5x + 2x x + 1‬را از پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ 4 x + 2 x + x x + 1‬تﻔرﻳﻖ‬ ‫ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫‪ .3‬از پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ ، a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3‬پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3‬را تﻔرﻳﻖ ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .4‬اﮔر ‪ B = a + 2a + 5 , A = a + 2a 6a + 7‬و ‪C = 2a 3 a 2 + 2a 8‬‬ ‫باشد ﻣجﻤﻮﻋﺔ اﻳﻦ سﻪ پﻮﻟﻴﻨﻮم را درﻳابﻴد‪) A + B + C = ? ( .‬‬ ‫‪ .5‬حاﺻﻞ جﻤﻊ اﻓاده )‪ (ab 2 + 3a ) + (2ab 2 + 3a 2) + (2a + 4‬ﻣساوى است بﻪ‪:‬‬ ‫‪c)3ab2 + 8a + 2‬‬

‫‪ .6‬جﻤﻊ ﻛﻨﻴد‪:‬‬

‫)‪2) + (1 + 6ab‬‬

‫‪b)3ab2 + 8a‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪5ab) + ( 3ab + a‬‬

‫‪2‬‬

‫‪a ) 3ab2 + 8a + 2‬‬

‫‪(3a b + 2a‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ .7‬اﮔر دو ﻃﻴاره از ﻳﻚ ﻣﻴدان ﻫﻮاﻳﻰ در جﻬت ﻣﻘابﻞ ﻫﻤدﻳﮕر پرواز ﻛﻨﻨد‪ ،‬در ﺻﻮرتﻰ ﻛﻪ‬ ‫‪ 2‬ساﻋت بﻌد ﻓاﺻﻠﺔ ﻳﻚ ﻃﻴاره از ﻣﻴدان ﻫﻮاﻳﻰ ‪ x 2 + 2 x + 400‬ﻣﻴﻞ و ﻓاﺻﻠﺔ ﻃﻴارة دﻳﮕر‬ ‫از ﻫﻤﻴﻦ ﻣﻴدان ﻫﻮاﻳﻰ ‪ 3x 2 50 x + 100‬ﻣﻴﻞ باشد ﻓاﺻﻠﻪ بﻴﻦ اﻳﻦ دو ﻃﻴاره را درﻳابﻴد‪.‬‬

‫‪60‬‬

‫ضرب پﻮلﻴﻨﻮم ﻫا‬

‫حجﻢ ﻣﻜﻌبﻰ را درﻳابﻴد ﻛﻪ ﻫر ﺿﻠﻊ آن‬ ‫)‪ ( x + 1‬ساﻧتﻰ ﻣتر باشد‪.‬‬

‫‪x+1‬‬

‫ضرب مﻮﻧﻮم در مﻮﻧﻮم‪ :‬اﮔر ﻣﻮﻧﻮم ‪ 3r 2 s 3‬را در ﻣﻮﻧﻮم ‪ 5r 4 s 5‬ﺿرب ﻛﻨﻴﻢ حاﺻﻞ‬ ‫ﺿرب آن ‪ (3r 2s 3 )(5r 4s 5 ) = 15r 6s8‬ﻣﻰ شﻮد‪.‬‬ ‫فعالﻴت‬ ‫حاﺻﻞ ﺿرب ) ‪ ( 1 x )( x ) , (7 x 2 y)( 3x 4 yz8‬و )‪ ( 30a 2 b)( 5ab‬را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪3‬‬

‫مثال اول‪ :‬حاﺻﻞ ﺿرب ﻫاى زﻳر را بﻪ دست آورﻳد‪:‬‬ ‫‪( 5y a )(5y) = 25y a +1‬‬

‫‪1 2 1 2 16 1 16‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫= ) () ( = ) ( )‪(4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4 4 16‬‬ ‫‪( 2a)3 ( 2a) 2 = 32a 5‬‬

‫‪a 2x ( 2a) = 2a 2x +1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(‬ ‫‪a)( a) = a 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪( 0.1)( 0.1)( 0.1) = 0.001‬‬

‫‪x(x m ) = x m +1 = x1+ m‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪125 3 3‬‬ ‫= )‪( mn)( mn)( mn‬‬ ‫‪mn‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪( a b )( a) = a b +1 = a1+ b‬‬

‫‪( 4s 2 t 2 )(2st 3 ) = 8s 3 t 5‬‬

‫‪(0.01p)(0.01p) = 0.0001p 2‬‬

‫‪( mn)( mn 2 ) = m 2 n 3‬‬

‫‪(0.1x 2 )(0.1x 2 ) = 0.01x 4‬‬

‫ضرب مﻮﻧﻮم در پﻮلﻴﻨﻮم‪:‬‬ ‫مثال دوم‪ :‬حاﺻﻞ ﺿرب ﻫاى زﻳر را درﻳابﻴد‪.‬‬

‫‪(2m 2 n 3 )(1 4mn 4 ) = 2m 2 n 3 8m 3 n 7‬‬

‫‪x 3 (x x 2 y 4 ) = x 4 x 5 y 4‬‬

‫‪3b(5b4 8b + 12) = 15b5 + 24b 2 36b‬‬ ‫‪4s 2 t 2 (5s 2 t + 6st 2s 2 t 2 ) = 20s 4 t 3 24s3 t 3 + 8s 4 t 4‬‬

‫‪61‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫حجﻢ ﻣﻜﻌبﻲ را درﻳابﻴد ﻛﻪ ﻃﻮل آن ‪ ، 2 x‬ﻋرض آن ‪ x‬و ارتﻔاع آن ‪ x + 2‬باشد‪.‬‬ ‫ضرب پﻮلﻴﻨﻮم در پﻮلﻴﻨﻮم‬ ‫مثال سﻮم‪)a( :‬حاﺻﻞ ﺿرب )‪ ( x 4)( x 5‬را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫حل‪( x 4)( x 5) = x 2 5x 4 x + 20 = x 2 9 x + 20 :‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4x‬‬ ‫‪20‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪5x‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪b) (a + b)(a + b)(a + b) = (a + b)(a 2 + 2ab + b 2 ) = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3‬‬

‫‪ :c‬اﮔر ‪ P( x) = x3 + 2 x‬و ‪ Q( x) = 2 x 2 x + 1‬باشد‪.‬‬ ‫)‪P( x ) Q( x ) = ( x 3 + 2 x ) (2 x 2 x + 1‬‬ ‫‪= x 3 2x 2 + x 3 ( x ) + x 3 1 + 2x 2x 2 + 2x ( x ) + 2x 1‬‬ ‫‪x 4 + 5x 3 2 x 2 + 2 x‬‬

‫‪x 4 + x 3 + 4x 3 2x 2 + 2x = 2x 5‬‬

‫‪= 2x 5‬‬

‫‪62‬‬

‫بﻪ ﻳاد داشتﻪ باشﻴد اﮔر ‪ Q , P‬و ‪ R‬پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫا باشﻨد‪:‬‬ ‫(خاﺻﻴت تبدﻳﻠﻰ ﺿرب) ‪P Q = Q P‬‬ ‫(خاﺻﻴت اتحادى ﺿرب) ‪P (Q R) = (P Q) R‬‬ ‫فعالﻴت‬ ‫اﮔر ‪ P( x ) = 2x 2 x 1‬و ‪ Q( x) = 4 x 8‬باشد خاﺻﻴت ﻫاى تبدﻳﻠﻰ و اتحادى‬ ‫ﺿرب را در آن ﻫا بررسﻰ ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫در جدول زﻳر ﻣساحت(‪ )Area‬اشﻜال ﻫﻨدسﻰ را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫ﻃﻮل داده شده‬

‫ﻣساحت‬

‫‪ n 2 + n 20‬ﻃﻮل آن ‪ ، n + 5‬و ﻋرض آن ‪n 4‬‬

‫‪6 y 2 + 3y 3‬‬

‫ﻃﻮل آن ‪ ، 3 y + 3‬و ﻋرض آن ‪2 y 1‬‬

‫‪5 2‬‬ ‫‪b + 2b 5‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ b 3‬ﻗاﻋدة آن ‪ ، 2b 5‬و ارتﻔاع آن ‪b 2 + 2‬‬

‫اشﻜال ﻫﻨدسﻰ‬ ‫ﻣستﻄﻴﻞ‬ ‫ﻣستﻄﻴﻞ‬ ‫ﻣثﻠث‬

‫‪ m 2 + 26m + 169‬ﻫر ﺿﻠﻊ آن ‪ ، m + 13‬ﻣﻰ باشد‬

‫ﻣربﻊ‬

‫ﻫر ﺿﻠﻊ آن ‪ 2 g 4‬ﻣﻰ باشد‬

‫ﻣربﻊ‬

‫‪4g 2 16g + 16‬‬

‫)‪ (9c 2 + 12c + 4‬شﻌاع آن ‪ 3c + 2‬ﻣﻰ باشد‬

‫داﻳره‬

‫فعالﻴت‬ ‫حاﺻﻞ ﺿرب‬

‫)‪ab bc ac‬‬

‫‪ (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2‬را درﻳابﻴد‪.‬‬

‫سؤال‪ :‬پﻴاده روﻫاى چﻬار سﻤت ﻳﻚ حﻮض ﻣستﻄﻴﻞ شﻜﻞ‪ ،‬سﻤﻨت شده است ﻛﻪ ﻋرض آن‬ ‫‪ x‬ﻣتر و ﻃﻮل و ﻋرض حﻮض بﻪ ترتﻴب ‪ 50m‬و ‪ 25m‬ﻣﻰ باشد ﻣساحت پﻴاده رو را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫حل‪ :‬ﻣساحت ﻣجﻤﻮﻋﻰ پﻴاده رو و حﻮض‬ ‫‪A = (25 + 2 x )(50 + 2 x ) = 1250 + 150x + 4 x 2‬‬

‫‪63‬‬

‫ﻣساحت حﻮض‪:‬‬ ‫پس ﻣساحت راه‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1250 = 4 x + 150x‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪(25m)(50m) = 1250m‬‬

‫‪ 1250 + 150x + 4x‬ﻣﻰ باشد‪.‬‬

‫در ﺿرب پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫا ﻣﻴتﻮان ﻣﻮﻧﻮم را در ﻣﻮﻧﻮم‪ ،‬ﻣﻮﻧﻮم را در پﻮﻟﻴﻨﻮم و ﻳا‬ ‫پﻮﻟﻴﻨﻮم را در پﻮﻟﻴﻨﻮم با ﻫﻢ ﺿرب ﻛرد و در ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺿرب خاﺻﻴت ﻫاى تبدﻳﻠﻰ‪ ،‬اتحادى و‬ ‫خاﺻﻴت تﻮزﻳﻌﻰ ﺿرب باﻻى جﻤﻊ ﻧﻴز ﺻدق ﻣﻰ ﻛﻨد‪.‬‬

‫تمرين‬ ‫‪ .1‬ﺿرب ﻛﻨﻴد‪(4 x 2 y 2 z)( 5xy 3 z 2 ) :‬‬

‫‪,‬‬

‫)‪2 xy(2 x 2 + 2 y 2 2‬‬

‫‪ .2‬ارتﻔاع ﻳﻚ بﻜس ‪ x‬اﻧچ‪ ،‬ﻃﻮل آن )‪ ( x + 1‬اﻧچ و ﻋرض آن ‪ 2 x 4‬اﻧچ ﻣﻰ باشد‪ ،‬اﮔر‬ ‫ارتﻔاع بﻜس ‪ 3‬اﻧچ باشد حجﻢ اﻳﻦ بﻜس ﻣساوى است بﻪ‪:‬‬ ‫‪20 in 3‬‬

‫)‪d‬‬

‫‪48 in 3‬‬

‫)‪c‬‬

‫‪b) 24 in 3‬‬

‫‪a ) 40 in 3‬‬

‫‪64‬‬

‫تقسﻴم پﻮلﻴﻨﻮم بر مﻮﻧﻮم‬ ‫آﻳا حاﺻﻞ تﻘسﻴﻢ‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a , 3mn ,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪mn‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪14x 5‬‬ ‫‪na‬‬ ‫و‬ ‫‪2x 2‬‬ ‫‪nb‬‬

‫‪2‬‬

‫‪,‬‬

‫‪4m‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬

‫را بﻪ دست آورده‬

‫ﻣﻰ تﻮاﻧﻴد؟ (اﮔر تﻤام ﻣخرج ﻫا خﻼف ﺻﻔر باشﻨد)؟‬ ‫تقسﻴم مﻮﻧﻮم بر مﻮﻧﻮم(‪:)Dividing monomial by monomial‬‬ ‫مثال دوم‪ :‬تﻘسﻴﻢ ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫‪5 5 7‬‬ ‫‪9 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪36a b c‬‬ ‫‪6x y‬‬ ‫‪3 3‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪na‬‬ ‫‪4 4‬‬ ‫‪2 x‬‬ ‫‪= 3ab c ,‬‬ ‫‪= x y ,‬‬ ‫‪=a‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪= na b‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6 2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪12a bc‬‬ ‫‪4x y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪n‬‬ ‫تقسﻴم پﻮلﻴﻨﻮم بر مﻮﻧﻮم‪:‬‬ ‫‪7x 2‬‬ ‫‪= x 2 + 5x 7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪(x 2‬‬

‫)‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪9‬‬

‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫‪x y 4x y‬‬ ‫‪= x 5 y xy5 4 y8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x y‬‬

‫‪(x 3 y‬‬ ‫)‪0‬‬

‫‪( x + 5x‬‬

‫‪x + 5x 7 x 2 x 4 5x 3‬‬ ‫‪= 2+ 2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬

‫مثال دوم‪ :‬تﻘسﻴﻢ ﻛﻨﻴد‪:‬‬ ‫)‪0‬‬

‫‪7x ) ÷ x‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪8‬‬

‫‪x y‬‬

‫‪r 6 s 2 r 5 s 4 r 3s 4‬‬ ‫‪= r 4s r 3 4rs 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪rs‬‬

‫‪( r 2s‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫حاﺻﻞ تﻘسﻴﻢ را بﻪ دست آورﻳد(ﻣخرج ﻫا خﻼف ﺻﻔر اﻧد)‬ ‫‪10b 3c 7‬‬ ‫‪6b 2 c 7‬‬

‫‪65‬‬

‫‪c:‬‬

‫‪x2‬‬ ‫‪1 y 1‬‬ ‫÷‬

‫‪x2‬‬ ‫‪y2‬‬

‫‪b:‬‬

‫‪27 x 6 y13 18x12 y8‬‬ ‫‪9x 3 y8‬‬

‫‪a:‬‬

‫تقسﻴم پﻮلﻴﻨﻮم بر پﻮلﻴﻨﻮم‪ :‬وﻗتﻰ ﻛﻪ ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم را باﻻي پﻮﻟﻴﻨﻮم دﻳﮕر تﻘسﻴﻢ ﻣﻰ ﻧﻤاﻳﻴﻢ‬ ‫ﻣﻘسﻮم(‪ )Dividend‬و ﻣﻘسﻮم ﻋﻠﻴﻪ (‪ )Divisor‬ﻫر دو باﻳد بﻪ ﻃﻮر ﻣﻨﻈﻢ ترتﻴب شﻮﻧد‪.‬‬ ‫مثال سﻮم‪ :‬حاﺻﻞ تﻘسﻴﻢ ) ‪ (13x + 2x 4 + 12 + 3x 3 4x 2 ) ÷ (3 + x 2 2x‬را بﻪ‬ ‫دست آرﻳد‪.‬‬ ‫‪x2‬‬

‫‪2x 4 + 3x 3 4x 2 + 13x + 12‬‬

‫‪2x + 3‬‬

‫‪2x 2 + 7x + 4‬‬

‫‪- 2x 4 m 4x 3 ± 6x 2‬‬ ‫‪7x 3 10 x 2 + 13x‬‬ ‫‪_ 7x 3 + 14x 2 ± 21x‬‬ ‫‪4x 2 8x + 12‬‬ ‫‪4x 2 m 8x ± 12‬‬

‫فعالﻴت‬

‫‪0‬‬

‫حاﺻﻞ ﺿرب دو پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ 6 y 3 11y 2 + 6 y 1‬ﻣﻰ باشد‪ .‬اﮔر ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم‬ ‫‪ 3 y 2 4 y + 1‬باشد پﻮﻟﻴﻨﻮم دﻳﮕرى را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫در تﻘسﻴﻢ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻣﻲ تﻮاﻧﻴﻢ ﻣﻮﻧﻮم را بر ﻣﻮﻧﻮم‪ ،‬پﻮﻟﻴﻨﻮم را بر ﻣﻮﻧﻮم و ﻳا پﻮﻟﻴﻨﻮم را بر پﻮﻟﻴﻨﻮم‬ ‫تﻘسﻴﻢ ﻛﻨﻴﻢ ﻃﻮري ﻛﻪ ﻣﻘسﻮم و ﻣﻘسﻮم ﻋﻠﻴﻪ بﻪ ﻃﻮر ﻧزوﻟﻰ ترتﻴب ﮔردد و ﻋﻤﻠﻴﺔ تﻘسﻴﻢ تا‬ ‫وﻗتﻰ اداﻣﻪ داده ﻣﻲ شﻮد ﻛﻪ درجﺔ باﻗﻴﻤاﻧده بﻪ اﻧدازة ﻳﻚ از درجﻪ ﻣﻘسﻮم ﻋﻠﻴﻪ ﻛﻢ باشد‪.‬‬

‫تمرين‬ ‫‪ .1‬بﻪ ﻛدام ﻗﻴﻤت‪ P‬پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ 3x 3 7 x 2 9 x + p‬بر ‪ x 13‬پﻮره تﻘسﻴﻢ ﻣﻰ شﻮد؟‬ ‫‪ .2‬خارج ﻗسﻤت ﻫا را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪12 x 5 + 9 x 4 + 15x 2‬‬ ‫‪3x 3‬‬ ‫‪27a 6 b13 18a 12 b8‬‬ ‫‪9a 3 b8‬‬

‫)‪3abc) ÷ (a + b + c‬‬

‫‪3‬‬

‫‪(a + b + c‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫)‪( x + x 6) ÷ ( x 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‪y 5 ) ÷ ( x y‬‬

‫‪(x 5‬‬

‫‪j5 k 2 3 j8 k 4‬‬ ‫‪2 j4 k‬‬ ‫‪12 x 5 + 9 x 4 + 15x 2‬‬

‫‪66‬‬

‫مطابقت ﻫا‬ ‫(حاصل ضرب ﻫاى خاص)‬

‫‪ab‬‬

‫اﮔر ‪ x + 1 = 3‬باشد آﻳا ﻗﻴﻤت ‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x2‬‬

‫‪x2 +‬‬

‫‪a + b‬‬ ‫‪a2‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪b‬‬

‫‪ab‬‬

‫‪b‬‬

‫را ﻣﻌﻠﻮم ﻛرده ﻣﻰ تﻮاﻧﻴد؟‬ ‫‪2‬‬

‫ﻃﻮرى ﻛﻪ ﻗب ً‬ ‫ﻼ ﻣشاﻫده ﮔردﻳد تﻮاﻧستﻴﻢ ﻛﻪ حاﺻﻞ ﺿرب دو ﻳا اﺿاﻓﻪ تر از دو اﻓاده اﻟجبرى‬ ‫را بﻪ دست آورﻳﻢ‪.‬‬ ‫تﻮسﻂ ﻣﻄابﻘت ﻫا‪ ،‬حاﺻﻞ ﺿرب اﻓاده ﻫاى خاص را بﻪ آساﻧﻰ بﻪ دست آورده ﻣﻰ تﻮاﻧﻴﻢ و‬ ‫ﻧﻴز تﻮسﻂ ﻣﻄابﻘت ﻫا‪ ،‬اﻓاده ﻫاى اﻟجبرى را تجزﻳﻪ ﻛرده ﻣﻰ تﻮاﻧﻴﻢ‪.‬‬ ‫‪-1‬‬

‫‪(a + b) 2 = (a + b)(a + b) = a 2 + 2ab + b 2‬‬

‫ثبﻮت‪:‬‬ ‫‪a+b‬‬ ‫‪a+b‬‬ ‫‪a 2 + ab‬‬ ‫‪+ ab + b 2‬‬ ‫‪a 2 + 2ab + b 2‬‬

‫مثال اول‪ (2a + 3b) 2 :‬را اﻧﻜشاف دﻫﻴد‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪(2a + 3b) 2 = (2a ) 2 + 2(2a )(3b) + (3b) 2‬‬ ‫‪= 4a 2 + 12ab + 9b 2‬‬

‫‪67‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫‪ (4m + p) 2‬را اﻧﻜشاف دﻫﻴد‪.‬‬ ‫مثال دوم‪ (2x + 3y) 2 + ( x + 2 y) 2 :‬را ساده ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪(2 x + 3y) 2 + ( x + 2 y) 2 = (2 x ) 2 + 2(2 x )(3y) + (3y) 2 + x 2 + 4 xy + (4 y) 2‬‬ ‫‪= 4 x 2 + 12 xy + 9 y 2 + x 2 + 4 xy + 4 y 2‬‬ ‫‪= 5x 2 + 16 xy + 13y 2‬‬

‫مثال سﻮم‪ :‬اﮔر ‪ a + b = 5‬و ‪ ab = 6‬باشد ﻗﻴﻤت ‪ a 2 + b 2‬را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪a+b=5‬‬ ‫‪(a + b ) 2 = 5 2‬‬ ‫‪a 2 + 2ab + b 2 = 25‬‬ ‫‪a 2 + 2(6) + b 2 = 25‬‬ ‫‪a 2 + b 2 = 25 12‬‬ ‫‪a 2 + b 2 = 13‬‬ ‫‪1‬‬ ‫مثال چﻬارم‪ :‬اﮔر ‪ x + 1 = 3‬باشد‪ ،‬ﻗﻤﻴت‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬

‫حل‪:‬‬

‫‪ x 2 +‬را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x+ =3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪( x + ) 2 = (3) 2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪x 2 + 2 x + ( )2 = 9‬‬ ‫‪x x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x2 + 2 + 2 = 9‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪68‬‬

1 =9 2 x2 1 x2 + 2 = 7 x

x2 +

.‫( را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد‬101) 2 ‫ تﻮسﻂ ﻣﻄابﻘت ﻗﻤﻴت‬:‫مثال پﻨجم‬ (101) 2 = (100 + 1) 2 = (100) 2 + 2(100)(1) + (1) 2 = 10000 + 200 + 1 = 10201

-2

(a b) 2 = (a b)(a b) = a 2 2ab + b 2

:‫ثبﻮت‬

a a -b a2 b(a-b)

b(a-b)

a-b

a

a b a b a2

ab ab + b 2

2

a2

b

2ab + b 2

.‫( را اﻧﻜشاف دﻫﻴد‬3x 4 y) 2 :‫مثال اول‬ :‫حل‬ (3x 4 y) 2 = (3x ) 2 2(3x )(4 y) + (4 y) 2 = 9 x 2 24 xy + 16 y 2

( 2 x 3 y ) 2 + (7 x 4 y ) 2

.‫( را ساده ﻛﻨﻴد‬2x 3y) 2 + (7 x 4 y) 2 :‫مثال دوم‬ :‫حل‬

= (2 x ) 2 2(2 x )(3y) + (3y) 2 + (7 x ) 2 2(7 x )(4 y) + (4 y) 2 = 4 x 2 12 xy + 9 y 2 + 49 x 2 56 xy + 16 y 2 = 53x 2 68xy + 25 y 2

69

‫فعالﻴت‬

‫‪ (2a 5b) 2‬را اﻧﻜشاف دﻫﻴد‪.‬‬ ‫مثال سﻮم‪ :‬اﮔر ‪ a b = 12‬و ‪ ab = 35‬باشد ﻗﻴﻤت ‪ a 2 + b 2‬را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪a b = 12‬‬ ‫‪(a b) 2 = (12) 2‬‬ ‫‪a 2 2ab + b 2 = 144‬‬ ‫‪a 2 2(35) + b 2 = 144‬‬ ‫‪a 2 + b 2 = 144 + 70 = 214‬‬

‫مثال چﻬارم‪ :‬اﮔر ‪ ab = 10‬و ‪ a 2 + b 2 = 29‬باشد‪ ،‬ﻗﻤﻴت ‪ a b‬را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪(a b) 2 = a 2 2ab + b 2‬‬ ‫‪= a 2 + b 2 2ab‬‬ ‫‪= 29 2(10) = 9‬‬ ‫‪( a b ) 2 = 32‬‬ ‫‪(a b ) = 3‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫‪ (1 2x ) 2‬را اﻧﻜشاف دﻫﻴد‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫مثال پﻨجم‪ :‬اﮔر ‪= 8‬‬ ‫‪x‬‬

‫حل‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪ x‬باشد‪ ،‬ﻗﻤﻴت‬ ‫‪x2‬‬

‫‪ x 2 +‬را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد‪.‬‬

‫‪70‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪=8‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪(x‬‬ ‫‪) = (8) 2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪x 2 2 x + ( ) 2 = 64‬‬ ‫‪x x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x 2 + 2 = 64 + 2 = 66‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬

‫مثال ششم‪ :‬تﻮسﻂ ﻣﻄابﻘت ﻗﻤﻴت ‪ (99) 2‬را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪(99) 2 = (100 1) 2 = (100) 2 2(100)(1) + (1) 2‬‬ ‫‪= 10000 200 + 1 = 9801‬‬ ‫‪y 2‬‬ ‫مثال ﻫفتم‪) :‬‬ ‫‪x‬‬

‫حل‪:‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬

‫( را اﻧﻜشاف دﻫﻴد‪.‬‬ ‫‪x y y 2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y 2‬‬ ‫‪) = ( )2 2‬‬ ‫) (‪+‬‬ ‫‪y x x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y2‬‬ ‫‪x2‬‬

‫‪71‬‬

‫‪2+‬‬

‫‪x2‬‬ ‫‪y2‬‬

‫=‬

‫‪x‬‬ ‫(‬ ‫‪y‬‬

‫تمرين‬

‫‪ - 1‬اﻧﻜشاف دﻫﻴد‪:‬‬ ‫‪(3a + 1) 2‬‬

‫‪(2xy + 3z) 2‬‬

‫‪(2a 3) 2‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪(3x‬‬ ‫)‬ ‫‪y‬‬

‫‪ - 2‬تﻮسﻂ ﻣﻄابﻘت ﻗﻴﻤت ﻫاى ‪ (97) 2 , (998) 2 , (1005) 2 , (76) 2 , (301) 2‬را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 3‬اﮔر ‪ xy = 24‬و ‪ x y = 2‬باشد‪ ،‬ﻗﻴﻤت ‪ x 2 + y 2‬را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 4‬اﮔر ‪ a + b = 7‬و ‪ a 2 + b 2 = 29‬باشد ﻗﻴﻤت ‪ ab‬را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد‪.‬‬

‫‪72‬‬

‫‪(a + b)(a b) = a 2 b 2 -3‬‬ ‫? = )‪(2 x + y)(2 x y‬‬

‫ثبﻮت‪:‬‬ ‫‪a+b‬‬ ‫‪a b‬‬ ‫‪a 2 + ab‬‬ ‫‪ab b 2‬‬ ‫‪a 2 b2‬‬

‫مثال اول‪ (3x + 4 y)(3x 4 y) :‬را ساده سازﻳد‪.‬‬

‫حل‪:‬‬

‫‪(4 y) 2 = 9x 2 16 y 2‬‬

‫‪(3x + 4 y)(3x 4 y) = (3x ) 2‬‬

‫مثال دوم‪ :‬تﻮسﻂ ﻣﻄابﻘت حاﺻﻞ ﺿر ب ‪ 105× 95‬را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد‪.‬‬

‫حل‪:‬‬

‫‪(5) = 10000 25 = 9975‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪105 × 95 = (100 + 5)(100 5) = (100‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫تﻮسﻂ ﻣﻄابﻘت حاﺻﻞ ﺿرب ‪ 97 ×103‬را بﻪ دست آورﻳد‪.‬‬

‫‪73‬‬

‫مثال سﻮم‪ :‬اﮔر ‪ a b = 6‬و ‪ a 2 b 2 = 54‬باشد ﻗﻴﻤت ‪ a + b‬را درﻳابﻴد‪.‬‬

‫حل‪:‬‬ ‫‪(a + b)(a b) = a 2 b 2‬‬ ‫‪6(a + b) = 54‬‬ ‫‪54‬‬ ‫=‪a+b‬‬ ‫‪=9‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪-4‬‬

‫‪(ax + b)(cx + d ) = acx 2 + (ad + bc) x + bd‬‬

‫ﻳا در حاﻟت خاص‪:‬‬ ‫‪( x + a )( x + b) = x 2 + (a + b) + ab‬‬

‫‪ax + b‬‬ ‫‪cx + d‬‬ ‫‪acx 2 + bcx‬‬ ‫‪+ adx + bd‬‬ ‫‪acx 2 + bcx + adx + bd‬‬ ‫‪acx 2 + (bc + ad) x + bd‬‬ ‫‪acx 2 + (ad + bc) x + bd‬‬

‫مثال اول‪ :‬تﻮسﻂ ﻣﻄابﻘت حاﺻﻞ ﺿرب )‪ (2 x + 3)(3x + 1‬را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد‪.‬‬

‫حل‪:‬‬ ‫‪(2 x + 3)(3x + 1) = (2 × 3) x 2 + (2 × 1 + 3 × 3) x + 3 × 1‬‬ ‫‪= 6 x 2 + 11x + 3‬‬

‫مثال دوم‪ :‬تﻮسﻂ ﻣﻄابﻘت حاﺻﻞ ﺿرب )‪ (2a + 3)(5a 1‬را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد‪.‬‬

‫حل‪:‬‬

‫‪74‬‬

‫)‪(2a + 3)(5a 1) = (2 × 5)a 2 + [(2)( 1) + (3)(5)]a + 3( 1‬‬ ‫‪= 10a 2 + ( 2 + 15)a 3‬‬ ‫‪= 10a 2 + 13a 3‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫تﻮسﻂ ﻣﻄابﻘت حاﺻﻞ ﺿرب )‪ (4x 2b)(3x + b‬را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد‪.‬‬

‫مثال سﻮم‪ :‬تﻮسﻂ ﻣﻄابﻘت حاﺻﻞ ﺿرب ﻫاى زﻳر را درﻳابﻴد‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪y‬‬ ‫()‪( + y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪(0.1x + 0.2 y)(0.1x 0.2 y‬‬

‫حل‪:‬‬

‫‪b:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y2‬‬ ‫= ‪y) = ( ) 2 y 2‬‬ ‫()‪( + y‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(0.1x + 0.2 y)(0.1x 0.2 y) = (0.1x ) 2 (0.2 y) 2 = 0.01x 2 0.04 y 2‬‬

‫‪75‬‬

‫‪a:‬‬

‫‪a:‬‬ ‫‪b:‬‬

‫تمرين‬ ‫‪ - 1‬تﻮسﻂ ﻣﻄابﻘت‪ ،‬حاﺻﻞ ﺿرب ﻫاى زﻳر را درﻳابﻴد‪:‬‬ ‫) ‪(2 x 2 + 3y 2 )(2 x 2 3y 2‬‬ ‫)‪(2 x + 1)(3x + 1‬‬ ‫) ‪(9 x 2 + 16 y 2 )(9 x 2 16 y 2‬‬ ‫‪ - 2‬اﮔر ‪ a + b = 8‬و ‪b 2 = 6‬‬

‫‪ - 3‬اﮔر ‪ x + y = 5‬و ‪y 2 = 100‬‬

‫)‪( x + 2 y)( x 2 y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪( x + )( x‬‬ ‫)‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪(6 x 2 + 5)(3x 2 + 2‬‬

‫‪ a 2‬باشد‪ ،‬ﻗﻴﻤت ‪ a b‬را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫‪ x 2‬باشد‪ ،‬ﻗﻴﻤت ‪ x y‬را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد‪.‬‬

‫‪76‬‬

‫تجزﻳﻪ‬ ‫‪factoring or factorization‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪3‬‬

‫‪x‬‬

‫آﻳا ﻧشان داده ﻣﻰ تﻮاﻧﻴد ﻛﻪ‬

‫ﻣﻰ باشد؟‬

‫‪3x‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪x‬‬

‫‪2x‬‬

‫‪x+2‬‬

‫)‪x 2 + 5x + 6 = ( x + 3)( x + 2‬‬

‫‪2‬‬

‫ﻣﻰ داﻧﻴﻢ ﻛﻪ ‪ 15 = 3 5‬ﻣﻰ باشدﻛﻪ ‪ 3‬و ‪ 5‬اجزأى ﺿربﻰ ﻋدد ‪ 15‬ﻣﻰ باشﻨد‪.‬‬ ‫تجزﻳﻪ افاده ﻫاى الجبرى‬ ‫مثال اول‪:‬‬

‫‪ ، x 2 = x x‬پس اجزأى ﺿربﻰ ‪ x 2‬ﻋبارت از ‪x‬و ‪ x‬ﻣﻰ باشد‪ .‬اجزأى ﺿربﻰ ‪3xyz‬‬

‫ﻋبارت از ‪ 3,x,y‬و ‪ z‬ﻣﻰ باشﻨد‪.‬‬

‫‪ 4x 2 yz = 2 2 x x y z‬ﻛﻪ ‪ 2,2, x, x, y, z‬اجزاى ﺿربﻰ اﻓادة ‪ 4x yz‬ﻣﻰ باشد‪.‬‬ ‫مثال دوم‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‪x 2 + 4 x = x ( x + 4‬‬

‫‪ x‬و ‪ 4+x‬اجزأى ﺿربﻰ ‪ x 2 + 4x‬ﻣﻰ باشد‪.‬‬ ‫مثال سﻮم‪:‬‬

‫‪( x + 2)( x + 3) = x 2 + 5x + 6‬‬ ‫)‪x 2 + 5x + 6 = ( x + 2)( x + 3‬‬

‫پس‪ x + 2 :‬و ‪ x + 3‬ﻋبارت از اجزأى ﺿربﻰ اﻓادة ‪ x 2 + 5x + 6‬ﻣﻰ باشد‪.‬‬ ‫‪ -1‬تجزﻳﻪ اﻓاده ﻫاى اﻟجبرى ﻛﻪ بﻪ شﻜﻞ ‪ ka + kb + kc‬باشد‪.‬‬

‫)‪ka + kb + kc = k (a + b + c‬‬

‫ﻫﻤچﻨﻴﻦ‪:‬‬

‫)‪ka kb + kc = k (a b + c‬‬ ‫)‪ka + kb kc = k (a + b c‬‬

‫‪77‬‬

‫)‪ka + kb kc = k (a + b c‬‬

‫مثال چﻬارم‪ :‬اﻓاده ﻫاى زﻳر را تجزﻳﻪ ﻛﻨﻴد‪.‬‬

‫)‪6 x + 4 y + 8z = 2(3x + 2 y + 4z‬‬

‫)‪x 2 + 2 x = x ( x + 2‬‬ ‫)‪2 x 2 y + 3xy = xy(2 x + 3‬‬

‫مثال پﻨجم‪ 5a 2 b 2 + 15ab 3 + 5b 4 :‬را تجزﻳﻪ ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫حﻞ‪:‬‬ ‫) ‪5a 2 b 2 + 15ab 3 + 5b 4 = 5b 2 (a 2 + 3ab + b 2‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫اﻓاده ﻫاى اﻟجبرى ‪ x 2 + 3x ، bm+am‬و ‪ 4x 2 y 2 + 3xy‬را تجزﻳﻪ ﻛﻨﻴد‪.‬‬

‫‪ -2‬تجزﻳﻪ اﻓاده ﻫاى اﻟجبرى ﻛﻪ شﻜﻞ ‪ a 2 ± 2ab + b 2‬را داشتﻪ باشﻨد‪.‬‬ ‫ﻣﻴداﻧﻴﻢ ﻛﻪ‪:‬‬

‫)‪a 2 + 2ab + b 2 = (a + b)(a + b‬‬ ‫)‪a 2 2ab + b 2 = (a b)(a b‬‬

‫مثال اول‪ :‬اﻓاده ‪ a 2 + 2a + 1‬را تجزﻳﻪ ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪a + 2a + 1 = (a ) + 2(a )(1) + (1) = (a + 1‬‬ ‫)‪= (a + 1)(a + 1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫مثال دوم‪ :‬اﻓاده ‪ 4x 2 + 12 xy + 9 y 2‬را تجزﻳﻪ ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬

‫‪4 x 2 + 12 xy + 9 y 2 = (2 x ) 2 + 2(2 x )(3y) + (3y) 2 = (2 x + 3y) 2‬‬ ‫)‪= (2 x + 3y)( 2 x + 3y‬‬

‫‪78‬‬

‫مثال سﻮم‪ :‬اﻓاده ‪ 16 x 2 40 xy + 25 y 2‬را تجزﻳﻪ ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪16 x 2 40 xy + 25 y 2 = (4 x ) 2 2(4 x )(5 y) + (5 y) 2‬‬ ‫)‪= (4 x 5 y) 2 = (4 x 5 y)(4 x 5 y‬‬

‫مثال چﻬارم‪ :‬اﻓاده ‪ 9x 2 + 54xy + 81y 2‬را تجزﻳﻪ ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪9 x 2 + 54xy + 81y 2 = (3x ) 2 + 2(3x )(9 y) + (9 y) 2‬‬ ‫)‪= (3x + 9 y) 2 = (3x + 9 y)(3x + 9 y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫مثال پﻨجم‪ x 2 + 2 + y 2 :‬را تجزﻳﻪ ﻛﻨﻴد‪.‬‬

‫حل‪:‬‬

‫‪x‬‬

‫‪y‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪x y‬‬ ‫‪x y y 2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+ 2 + 2 = ( )2 + 2‬‬ ‫‪+ ( ) = ( + )2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y x‬‬ ‫‪y x x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x y x y‬‬ ‫) ‪= ( + )( +‬‬ ‫‪y x y x‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫اﻓاده ‪ x 2 + 6xy + 9 y 2‬را تجزﻳﻪ ﻛﻨﻴد‪.‬‬

‫‪79‬‬

‫تمرين‬

.‫تجزﻳﻪ ﻛﻨﻴد‬

80

10x 3 y + 15x 2 y 2 + 25xy3

6 x 3 + 5x 2 + 2 x

3x 2 + 6

9 x 2 + 24xy + 16y 2

1 4x 2 y2 2+ 2 x

4x 2 2 +

9 x 2 48xy + 64y 2

x2 y2

a 2 x 2 6abxy + 9b 2 y 2

‫‪ -3‬تجزﻳﻪ افاده ﻫاى الجبرى کﻪ‬ ‫شکل ‪ a 2 b 2‬را داشتﻪ با شﻨد‪.‬‬

‫= ‪81m 2 36n 2‬‬ ‫) ‪(9 x 6n )(9 x + 6n‬‬

‫آﻳا اﻓاده ‪ 9 y 2 100‬را تجزﻳﻪ ﻛرده ﻣﻰ‬ ‫تﻮاﻧﻴد؟‬

‫چﻮن ﻣﻰ داﻧﻴﻢ ﻛﻪ ‪(a b)(a + b) = a 2 b 2‬‬ ‫مثال اول‪ :‬اﻓاده ‪ 9x 2 16 y 2‬را تجزﻳﻪ ﻛﻨﻴد‪.‬‬

‫حل‪:‬‬

‫)‪(4 y) = (3x 4 y)(3x + 4 y‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫مثال دوم‪ :‬اﻓاده‬ ‫‪x2‬‬

‫‪2‬‬

‫) ‪16 y = (3x‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪9x‬‬

‫‪ x 2‬را تجزﻳﻪ ﻛﻨﻴد‪.‬‬

‫حل‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= (x)2 ( )2 = (x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪)( x +‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪x2‬‬

‫مثال سﻮم‪ :‬اﻓاده ‪ a 4 b 4‬را تجزﻳﻪ ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬

‫) ‪b )(a + b‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪( b ) = (a‬‬ ‫‪2 2‬‬

‫) ‪b = (a‬‬

‫‪2 2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪a‬‬

‫) ‪= (a b)(a + b)(a + b‬‬ ‫‪2‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫اﻓاده ‪ 9x 2 64‬را تجزﻳﻪ ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫‪ -4‬تجزﻳﻪ اﻓاده ﻫاى ﻛﻪ شﻜﻞ ‪ ax 2 + bx + c‬را داشتﻪ باشد‪.‬‬ ‫مثال اول‪ :‬اﻓاده ‪ x 2 + 5x + 6‬را تجزﻳﻪ ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬

‫‪81‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪x 2 + 5x + 6 = x 2 + 3x + 2 x + 6 = x ( x + 3) + 2( x + 3‬‬ ‫)‪= ( x + 2)( x + 3‬‬

‫مثال دوم‪ :‬اﻓادة ‪ x 2 5x + 6‬را تجزﻳﻪ ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬

‫)‪3x 2 x + 6 = x ( x 3) + 2( x 3‬‬ ‫)‪= ( x 2)( x 3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5x + 6 = x‬‬

‫‪2‬‬

‫‪x‬‬

‫مثال سﻮم‪ :‬اﻓادة ‪ x 2 + 7 x + 10‬را تجزﻳﻪ ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫حﻞ‪:‬‬

‫)‪x + 7 x + 10 = x + 2 x + 5x + 10 = x ( x + 2) + 5( x + 2‬‬ ‫)‪= ( x + 2)( x + 5‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫فعالﻴت‬ ‫اﻓاده ‪ x 2 + 2x 15‬را تجزﻳﻪ ﻛﻨﻴد‪.‬‬

‫مثال چﻬارم‪ :‬اﻓادة ‪ 2x 2 + 11x + 14‬را تجزﻳﻪ ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬

‫)‪2 x + 11x + 14 = 2 x + 4 x + 7 x + 14 = 2 x ( x + 2) + 7( x + 2‬‬ ‫)‪= (2 x + 7)( x + 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫مثال پﻨجم‪ :‬اﻓادة ‪ 12 x 2 + 7 x 10‬را تجزﻳﻪ ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫حﻞ‪:‬‬

‫‪(15)( 8) = 120‬‬ ‫‪15 8 = 7‬‬ ‫)‪12 x 2 + 7 x 10 = 12 x 2 + 15x 8x 10 = 3x (4 x + 5) 2(4 x + 5‬‬ ‫)‪= (3x 2)(4 x + 5‬‬

‫مثال ششم‪ :‬اﻓاده ‪ 6x 2 4x 2‬را تجزﻳﻪ ﻛﻨﻴد‪.‬‬

‫‪82‬‬

6x

2

:‫حل‬

4x 2 = 6x 6x + 2x 2 = 6 x ( x 1) + 2( x 1) = (6 x + 2)( x 1) 2

‫تمرين‬ x

2

y

2

18x 2 50 y 2

x

2

25

81a

1 16 y 4

x8

x + 4x + 3

x + 9 x + 20

x 2 + 15x + 54

y 2 + 15y + 56

b 2 7 b + 12

x 2 3x 180

3x 2 + 14x 5

8x 2 + 2 x 3

3a 2 a 4

3y 2

2

2

2

25b

2

.‫ تجزﻳﻪ ﻛﻨﻴد‬-1

y8

.‫ تجزﻳﻪ ﻛﻨﻴد‬-2

y 10

83

‫خﻼصﺔ فصل‬ ‫اﻓادة اﻟجبرى بﻪ سﻪ ﻧﻮع ﻣﻴباشد‪ ،‬اﻓادة اﻟجبرى ﻧاﻃﻖ‪ ،‬اﻓادة اﻟجبرى ﻏﻴر ﻧاﻃﻖ و اﻓاده اﻟجبرى‬ ‫پﻮﻟﻴﻨﻮﻣﻰ‪.‬‬ ‫حدودى ﻛﻪ ﻣتحﻮﻟﻴﻦ و درجﻪ ﻫاى شان ﻋﻴﻦ چﻴز باشﻨد حدود ﻣشابﻪ (‪)Like terms‬‬ ‫ﻧاﻣﻴده ﻣﻰ شﻮﻧد‪ .‬ﻣثﻞ ‪ 3x 2‬و ‪ 5x 2‬ﻳا ‪ 4 x 2 y 2‬و ‪ 6 x 2 y 2‬حدود ﻣشابﻪ اﻧد‪.‬‬ ‫پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻋبارت از اﻓادة اﻟجبرى ﻳﻚ ﻳا چﻨد حده ﻣﻰ باشد ﻛﻪ تﻮان ﻫاى حروف شان در‬ ‫ست اﻋداد ﻣﻜﻤﻞ شاﻣﻞ باشﻨد‪.‬‬ ‫درجﺔ ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮﻣﻰ ﻛﻪ از ﻳﻚ حرف (ﻣتحﻮل) تشﻜﻴﻞ شده باشد ﻋبارت از بزرﮔترﻳﻦ‬ ‫تﻮان اﻳﻦ حرف ﻣﻰ باشد و اﮔر پﻮﻟﻴﻨﻮم از چﻨد حرف تشﻜﻴﻞ شده باشد درجﺔ ﻣﻮﻧﻮﻣﻰ ﻛﻪ‬ ‫بزرﮔترﻳﻦ تﻮان را داراست ﻋبارت از درجﺔ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻣﻰ باشد‪.‬‬ ‫بﻪ ﻓﻜتﻮر ﻋددى (‪ )Numerical Factor‬ﻳﻚ حد‪ ،‬ﺿرﻳب ﻣﻰ ﮔﻮﻳﻨد؛ ﻃﻮر ﻣثال‪ :‬در‬ ‫‪ 3x 2‬ﻋدد ‪ 3‬ﺿرﻳب ‪ x 2‬ﻣﻰ باشد‪.‬‬ ‫تﻤام اﻋداد ثابت پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫا اﻧد ﻛﻪ بﻪ ﻧام پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاى ثابت ﻳاد ﻣﻰ شﻮﻧد‪ ،‬ﻛﻪ درجﺔ پﻮﻟﻴﻨﻮم‬ ‫ﻫاى ثابت ﺻﻔر است‪ ،‬اﻣا درجﺔ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﺻﻔرى تﻌرﻳﻒ ﻧاشده است‪.‬‬ ‫پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاﻳﻰ ﻛﻪ داراى ﻳﻚ ﻣتحﻮل باشد و ﺿراﻳب حدود ﻣشابﻪ آن ﻫا با ﻫﻢ ﻣساوى‬ ‫باشﻨد‪ ،‬بﻪ ﻧام پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاى ﻣﻌادل ﻳا د ﻣﻰ شﻮﻧد‪.‬‬ ‫ﻗﻴﻤت ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻋددى است‪ ،‬ﻛﻪ در ﻧتﻴجﺔ وﺿﻊ ﻛردن ﻗﻴﻤت داده شده ﻣتحﻮل در‬ ‫پﻮﻟﻴﻨﻮم بﻪ دست ﻣﻰ آﻳد‪.‬‬ ‫اﮔر ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم از بزرﮔترﻳﻦ تﻮان ﻣتحﻮل تا ﻋدد ثابت تﻤام حدود را داشتﻪ باشد بﻪ ﻧام‬ ‫پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻣﻜﻤﻞ و اﮔر ﻳﻚ ﻳا چﻨد حد ﻧداشتﻪ باشد بﻪ ﻧام پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻧاﻗﺺ ﻳاد ﻣﻰ شﻮد‪.‬‬ ‫اﮔر ﻳﻚ پﻮﻟﻴﻨﻮم از ﻛﻮچﻜترﻳﻦ تﻮان ﻣتحﻮل تا بزرﮔترﻳﻦ تﻮان ﻣتحﻮل ترتﻴب شﻮد‪ ،‬پﻮﻟﻴﻨﻮم‬ ‫ﻣﻨﻈﻢ ﺻﻌﻮدى و اﮔر از بزرﮔترﻳﻦ تﻮان ﻣتحﻮل تا ﻛﻮچﻜترﻳﻦ تﻮان ترتﻴب شﻮد بﻪ ﻧام پﻮﻟﻴﻨﻮم‬ ‫ﻣﻨﻈﻢ ﻧزوﻟﻰ ﻳاد ﻣﻰ شﻮد‪.‬‬ ‫در ﻋﻤﻠﻴﺔ جﻤﻊ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫا‪ ،‬حدود ﻣشابﻪ (‪ )Like terms‬با ﻫﻢ جﻤﻊ و در ﻋﻤﻠﻴﺔ تﻔرﻳﻖ‬ ‫ﻋﻼﻣﺔ ﻣﻔروق تﻐﻴﻴر ﻣﻰ ﻛﻨد و ﻣتباﻗﻰ ﻣراحﻞ ﻣثﻞ ﻋﻤﻠﻴﺔ جﻤﻊ‪ ،‬اﻧجام ﻣﻰ شﻮد‪( .‬ﻣﻌﻜﻮس‬

‫‪84‬‬

‫جﻤﻌﻰ ﻣﻔروق با ﻣﻔروق ﻣﻨﻪ جﻤﻊ ﻣﻰ شﻮد)‪.‬‬ ‫در ﻋﻤﻠﻴﻪ ﻫاى جﻤﻊ و ﺿرب پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫا خاﺻﻴت ﻫاى تبدﻳﻠﻰ و اتحادى و ﻧﻴز خاﺻﻴت‬ ‫تﻮزﻳﻌﻰ ﺿرب باﻻى جﻤﻊ ﺻدق ﻣﻰ ﻛﻨد‪.‬‬ ‫در ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺿرب پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫا ﻣﻰ تﻮاﻧﻴﻢ ﻣﻮﻧﻮم را در ﻣﻮﻧﻮم‪ ،‬ﻣﻮﻧﻮم را در پﻮﻟﻴﻨﻮم و ﻳا پﻮﻟﻴﻨﻮم‬ ‫را در پﻮﻟﻴﻨﻮم ﺿرب ﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬ ‫بﻪ ﻫﻤﻴﻦ ترتﻴب در ﻋﻤﻠﻴﺔ تﻘسﻴﻢ پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫا‪ ،‬ﻣﻴتﻮاﻧﻴﻢ ﻣﻮﻧﻮم را بر ﻣﻮﻧﻮم‪ ،‬پﻮﻟﻴﻨﻮم را بر ﻣﻮﻧﻮم‬ ‫و ﻳا پﻮﻟﻴﻨﻮم را بر پﻮﻟﻴﻨﻮم تﻘسﻴﻢ ﻧﻤاﻳﻴﻢ‪.‬‬ ‫‪(a + b) 2 = (a + b)(a + b) = a 2 + 2ab + b 2‬‬ ‫‪(a b) 2 = (a b)(a b) = a 2 2ab + b 2‬‬

‫)‪a 2 b 2 = (a b)(a + b‬‬ ‫‪(ax + b)(cx + d ) = acx 2 + (ad + bc) x + bd‬‬

‫‪85‬‬

‫تمرﻳﻦ فصل‬ ‫‪ - 1‬اﮔر ‪ k = 3a ( x 1) 2 a ( x 1) 4‬و ‪ L = 16 + b( x 1) 3b( x 1) 2‬باشد‬ ‫‪ Kb + La‬را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 2‬بﻪ ﻛدام ﻗﻴﻤت ‪ x‬پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ P( x ) = 12 x 4 + 3x 3 13x 2 + x + 5‬باﻻى )‪(3 x 2 1‬‬

‫پﻮره ﻗابﻞ تﻘسﻴﻢ ﻣﻰ باشد؟‬ ‫‪ - 3‬بﻪ ﻛدام ﻗﻴﻤت ‪ P‬پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ K ( x ) = 3x 3 7 x 2 9x + P‬باﻻى )‪ ( x 13‬پﻮره ﻗابﻞ‬ ‫تﻘسﻴﻢ ﻣﻰ باشد؟‬ ‫‪ - 4‬اﮔر ‪ y = 3 , x = 4‬و ‪ z = 2‬باشد‪ ،‬ﻗﻴﻤت اﻓاده ﻫاى اﻟجبرى زﻳر را درﻳابﻴد‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪b : x2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1 2 1 2‬‬ ‫‪y + Z‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪a : x 2 yz + zxy 2 + 3xyz 2‬‬

‫‪ - 5‬اﮔر ‪ P( x) = 0‬باشد درجﺔ پﻮﻟﻴﻨﻮم )‪ P(x‬چﻨد است؟‬ ‫تﻌرﻳﻒ ﻧاشده است (‪d‬‬

‫‪b( -1‬‬

‫ﺻﻔر(‪c‬‬

‫‪a( 1‬‬

‫‪ - 6‬از ﻣساحت ﻣستﻄﻴﻠﻰ ﻛﻪ ابﻌاد آن )‪ ( x + 5‬و )‪ ( x + 2‬ﻣﻰ باشد ﻣساحت ﻣستﻄﻴﻞ را‬ ‫تﻔرﻳﻖ ﻛﻨﻴد ﻛﻪ ابﻌاد آن )‪ ( x + 3‬و )‪ ( x + 1‬باشﻨد‪.‬‬ ‫‪ - 7‬اﮔر )‪ A = p(p a )(p b)(p c‬و ‪ c = 12 , b = 5 , a = 13‬و‬

‫‪a+b+c‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ - 8‬اﮔر ‪ ( x 1) 3‬و ‪ x 3 + ax 2 + bx + c‬پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاى ﻣﻌادل باشﻨد ﻗﻴﻤت ‪ b‬ﻣساوي است‬

‫= ‪ p‬باشد ﻗﻴﻤت ‪ A‬را درﻳابﻴد‪.‬‬

‫بﻪ‪:‬‬ ‫‪d) 1‬‬

‫‪ - 9‬حاﺻﻞ اﻓادة )‬ ‫‪a 1‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪a 1‬‬ ‫)‪d‬‬

‫‪a +1‬‬ ‫‪) (a‬‬ ‫‪a 1‬‬ ‫‪a 2‬‬ ‫)‪c‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪b) 3‬‬

‫÷ ‪ (a‬ﻣساوى است بﻪ‪:‬‬

‫‪ - 10‬حاﺻﻞ ﺿرب )‪y )(x + y‬‬

‫‪d) x y‬‬

‫)‪c‬‬

‫‪a) 1‬‬

‫‪y‬‬

‫)‪b) a (a 2‬‬

‫)‪a ) a (a + 1‬‬

‫‪ ( x + y )( x‬ﻣساوى است بﻪ‪:‬‬ ‫‪c) 2 x 2‬‬

‫‪b) x 2 + y 2‬‬

‫‪y2‬‬

‫‪a) x 2‬‬

‫‪86‬‬

‫‪ - 11‬پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاى زﻳر را بﻪ ﻃﻮر ﻧزوﻟﻰ (‪ )Descending Order‬ترتﻴب و ﻧﻴز درجﻪ‬ ‫ﻫاى آﻧﻬا را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد‪:‬‬ ‫‪x 2 + xy 2 z 3 x 5‬‬

‫‪c) 3‬‬

‫‪5x 2 + 3x 5 + 9‬‬

‫)‪b‬‬

‫)‪a‬‬

‫‪P( x ) = 0‬‬

‫)‪e‬‬ ‫‪4x + 2x 3 x 2 + 7‬‬ ‫‪ - 12‬در پﻮﻟﻴﻨﻮم ‪ Q( x) = x 2 + 3x 5‬ﻗﻴﻤت )‪ Q( 1‬ﻣساوى است بﻪ‪:‬‬ ‫‪d) 1‬‬

‫‪b) 7‬‬

‫‪c) 1‬‬

‫)‪d‬‬ ‫‪a) 7‬‬

‫‪ - 13‬اﮔر ‪ P( x) = x 2 2 x + 3‬و ‪ Q( x) = 2 x 2 + 3 x 1‬باشد ﻗﻴﻤت اﻓاده ﻫاى زﻳر را‬ ‫) ‪P ( x ) Q( x‬‬ ‫)‪P ( 0) + Q ( 0‬‬ ‫درﻳابﻴد‪P(1) Q( 1) :‬‬ ‫) ‪[P( x ) + Q( x )] + p( x‬‬

‫) ‪P( x ) P( x‬‬

‫‪ - 14‬پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫاى زﻳر را ﻧﻈر بﻪ ‪ y‬بﻪ ﻃﻮر ﻧزوﻟﻰ ترتﻴب ﻧﻤاﻳﻴد‪.‬‬ ‫‪4 x 2 y 3xy 2 + x 3 + y 3‬‬

‫‪4 xy 3 3x 3 y + 2 x 2 y 2 + x 4 + y 4‬‬

‫‪ - 15‬در اﻓاده ﻫاى اﻟجبرى زﻳر‪ ،‬پﻮﻟﻴﻨﻮم ﻫا‪ ،‬اﻓاده ﻫاى ﻧاﻃﻖ و ﻏﻴرﻧاﻃﻖ اﻟجبرى را ﻧشان‬ ‫دﻫﻴد‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪,‬‬

‫‪y2‬‬

‫‪,‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪2x‬‬

‫‪,‬‬

‫‪x‬‬

‫‪,‬‬

‫‪13‬‬ ‫‪3x 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ - 16‬حاﺻﻞ اﻓادة )‪ (1 + 2x + 3x 2 ) + (3x 5 2x 2 ) + ( x 2 5x + 4‬ﻣساوى است‬ ‫بﻪ‪:‬‬ ‫‪a) 1‬‬ ‫ﺻﻔر )‪b‬‬ ‫‪c) 1‬‬ ‫‪d) 2‬‬ ‫‪ - 17‬حاﺻﻞ ﺿرب دو اﻓادة اﻟجبرى ) ‪ (a 3 + b 3 + c3 3abc‬ﻣﻰ باشد‪ .‬اﮔر ﻳﻚ اﻓادة‬ ‫اﻟجبرى )‪ (a + b + c‬باشد اﻓادة دﻳﮕرى را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 18‬خارج ﻗسﻤت ﻫا را درﻳابﻴد‪.‬‬

‫‪87‬‬

‫) ‪(a 3 + b 3 ) ÷ (a + b‬‬

‫)‪(12 x 4 + 3x 3 13x 2 + x + 5) ÷ (3x 2 1‬‬

‫) ‪(a 5 b 5 ) ÷ (a b‬‬

‫)‪(4 x 3 10 x 2 + 12 x + 6) ÷ (2 x + 1‬‬

‫‪ma‬‬ ‫‪mb‬‬

‫‪ - 19‬ﺿرب ﻛﻨﻴد‪.‬‬

‫‪xa 2‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪( x + )( x +‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪(m 2n )(2m n 2‬‬

‫)‪(a 2 x 2)(a 2 x 2‬‬ ‫)‪(e x + 1)(e x 1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪(2 mn)(2 mn)(2 mn‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫) ‪(0.1x 2 )(0.1x 2 )(0.1x 2‬‬

‫‪ - 20‬اﻓاده ﻫاى زﻳر را ساده و جﻤﻊ ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫‪(a 1) + 1 (a 1) 3‬‬

‫‪(10mn m) (m 2 + m) + m 2‬‬ ‫])‪[ 4(a b) 5] + [(2a + b) (a b‬‬

‫)‪( y 2 1) + ( y 2 1‬‬

‫)‪10( x + 1) ( x + 1) 3( x + 2‬‬

‫])‪10 [ { ( x 2 1) + 5} x ( x 2‬‬ ‫‪mn 4 + mn 5‬‬

‫‪ - 21‬تجزﻳﻪ ﻛﻨﻴد‪.‬‬

‫‪x + 5x 24‬‬

‫‪,‬‬

‫‪a + 9a + 8‬‬

‫‪,‬‬

‫‪a 2c 2 16c 2d 2‬‬

‫‪,‬‬

‫‪a 2 36‬‬

‫‪,‬‬

‫‪9 y 2 81‬‬

‫‪13n 26n 3 + 39n 5‬‬

‫‪,‬‬

‫‪12a 3 8a 2 + 4a‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪x 12‬‬

‫‪2‬‬

‫‪x‬‬

‫‪ - 22‬اﮔر ‪ a 2 b 2 = 4‬و ‪ a b = 8‬باشد ﻗﻴﻤت ‪ a+b‬را ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 23‬تﻮسﻂ ﻣﻄابﻘت ﻫا ﻗﻤﻴت ﻫاى )‪ (95) 2 , (105) 2 , (99) 2 , (104 × 96), (34 × 26‬را‬ ‫ﻣﻌﻠﻮم ﻛﻨﻴد‪.‬‬ ‫‪ - 24‬اﻧﻜشاف دﻫﻴد‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪(2 x + 5‬‬

‫‪(3a 8) 2‬‬ ‫‪(7a 5) 2‬‬

‫‪88‬‬