Mathematics 10 [10]

Citation preview

MATHEMATICS Grade 10

r

r

‫ملي سرود‬ ‫دا وطن افغانســـتـــان دى‬

‫دا عــــزت د هـــر افـغـان دى‬

‫کور د سول‪ ３‬کور د تورې‬

‫هر بچی ي‪ ３‬قهرمـــــان دى‬

‫دا وطن د ټولـــو کـور دى‬

‫د بـــــلـوڅـــــــو د ازبـکــــــــو‬

‫د پ‪＋‬ـــتــون او هـــــزاره وو‬

‫د تـــرکـمنـــــــو د تـــاجـکــــــو‬

‫ورســـره عرب‪ ،‬گوجــر دي‬

‫پــاميــريـــان‪ ،‬نـورســـتانيــــان‬

‫براهوي دي‪ ،‬قزلباش دي‬

‫هـــم ايمـــاق‪ ،‬هم پشـه ‪４‬ان‬

‫دا هيــــــواد به تل ځلي‪８‬ي‬

‫لـکـه لـمــر پـر شـــنـه آســـمـان‬

‫په ســـينــه ک‪ ３‬د آســـيـــا به‬

‫لـکــــه زړه وي جـــاويــــــدان‬

‫نوم د حق مـــو دى رهبـــر‬

‫وايـــو اهلل اکبر وايو اهلل اکبر‬

‫رياضي‬ ‫لسم‬ ‫！ول‪／‬ی‬ ‫‪1398‬‬ ‫ﻫـ ‪ .‬ش‪.‬‬

‫الف‬

‫د تاب ان ت او‬

‫‪---------------------------------------------------‬‬‫مضمون ر ا‬

‫مؤلف ن د تعل مي نصاب د ر اض اتو ديپار نت د در‬

‫تابونو مؤلف‬

‫ا يټ وون ي د پ تو ب د اډيټ د پار نت غ ي‬ ‫ټول‬

‫دم‬

‫لسم‬

‫به پ تو‬

‫ان شاف ور وون‬

‫خ روون‬

‫د اپ ال‬ ‫د اپ ا‬ ‫اپخونه‬

‫بر نال‬

‫د تعل مي نصاب د پراخت ا او در‬

‫تابونو د تأل ف لو ر است‬

‫د پوهن وزارت د اړ و او عامه پوهاوي ر است‬ ‫هجري شم‬ ‫ابل‬ ‫ته ‪[email protected]‬‬

‫‪---------------------------------------------------‬‬‫تابونو د چاپ و ش او پلورلو حق د افغانستان اس مي جمهور ت د پوهن‬ ‫د در‬ ‫پلورل او پ رودل منع دي له غ وون و ه‬ ‫وزارت ه محفوظ د په بازار‬ ‫قانو‬

‫ب‬

‫چلند‬

‫ي‬

‫د‬

‫ن د ز ر غام‬

‫اقرأ باسم رب‬ ‫مو ته ي وند راب ل او د لوست‬ ‫ش ر ه ا وو‬ ‫د لو او ب ون خدا‬ ‫او لي له نعمت خه ي برخمن ي يو او د الله تعال ر وروست غم محمد‬ ‫اله لوم ن غام ورته لوستل و درود وايو‬ ‫مصطف‬ ‫هجري ريز ال د وهن د ال ه نامه ونومول شو‬ ‫ولو ته اره ده‬ ‫رن ه‬ ‫زده وون‬ ‫له د امله به د ران ه واد وونيز نظام د ورو بدلونونو شاهد وي وون‬ ‫اداره او د والدينو شورا ان د ه واد د وهنيز نظام ش و بنس يز عنا‬ ‫تاب وون‬ ‫د ه واد د وون او روزن ه راختيا او رمختيا مهم رول لري ه داس‬ ‫بلل ي ي‬ ‫مهم وخت د افغانستان د وهن وزارت د م تابه مقام د ه واد ه وونيز نظام د‬ ‫ود او راخت ا ه لور بنس يزو بدلونونو ته من د‬ ‫له همد امله د وونيز نصاب اص ح او راختيا د وهن وزارت له مهمو لوم يتوبونو خه دي‬ ‫وونيزو تأسيساتو د در تابونو‬ ‫همدارن ه ه وون يو مدرسو او ولو دولت او خصو‬ ‫ا لري مو ه د باور يو‬ ‫محتوا يفيت او توز ع ته املرنه د وهن وزارت د ارو ه‬ ‫د با يفيته در تابونو له شتون رته د وون او روزن اسا اهدافو ته رس دل نشو‬ ‫وونيز نظام د رامن ته ولو ل اره د راتلون نسل‬ ‫ورتنيو موخو ته د رس دو او د اغ زنا‬ ‫د روزون و ه تو ه د ه واد له ولو ز ه سواندو وون و استادانو او مسل مديرانو خه‬ ‫تابونو ه تدريس او د محتوا ه‬ ‫د ه واد ب يانو ته د د در‬ ‫ه درناوي هيله وم‬ ‫هي ول ه ه او هاند ونه س موي او د يوه فعال او ه دين م او انتقادي‬ ‫ل دولو‬ ‫و ي هره ور د من ه نوي ولو او د‬ ‫زيار او و‬ ‫تف ر سمبال نسل ه روزنه‬ ‫ران زده وون به‬ ‫د نن ور‬ ‫ه ه د نيت لوست ل ي‬ ‫مسؤوليت ه در‬ ‫سبا د يوه رمختل افغانستان مع ران او د ولن متمدن او ور اوس دون وي‬ ‫د ه واد ارز تنا ه ان ه ده غو تنه لرم و له‬ ‫همدا راز له خو و زده وون و خه‬ ‫و او فعالو ونوالو ه‬ ‫ه روسه د‬ ‫هر فرصت خه ه ورته ي او د زده‬ ‫تو ه او وون و ته ه درناوي ه له تدر س خه ه او اغ زنا ه استفاده و ي‬ ‫د وون او روزن له ولو وهانو او د وونيز نصاب له مسل هم ارانو خه‬ ‫ها‬ ‫دي‬ ‫دون هل ل‬ ‫د د تاب ه لي لو او متو ولو ي نه ست‬ ‫له دربار خه دو ته ه د س ي ل او انسان جو وون‬ ‫مننه وم او د لو خدا‬ ‫بريا غوا م‬ ‫ه‬ ‫د معياري او رمختل وونيز نظام او د داس ودان افغانستان ه ه له و ي خ لوا‬ ‫وه او سو اله وي‬ ‫د وهن وزير‬ ‫د تور محمد م ويس بلخ‬

‫ج‬

‫فهرست‬

‫عنوان‬

‫مخ‬

‫لوم‪７‬ی ＇پر کی (پولﻴنوم) ‪٣ ............................................................................‬‬

‫اﻟجبري افادې‪ ،‬د پﻮﻟﻴﻨﻮم درجﻪ او د پﻮﻟﻴﻨﻮم ډوﻟﻮﻧﻪ‪ ،‬د پﻮﻟﻴﻨﻮم د ﻗﻴﻤت او پﻮﻟﻴﻨﻮم دضرﻳبﻮﻧﻮ د ﻣجﻤﻮعی‬ ‫پﻴدا کﻮل‪ ،‬د پﻮﻟﻴﻨﻮم ＇ﻠﻮر ‪－‬ﻮﻧﻲ عﻤﻠﻴ‪３‬‬ ‫د باﻗﻲ ﻣاﻧده ﻗضﻴﻪ‪ ،‬فک＂ﻮر ﻗضﻴﻪ او ترکﻴبﻲ و‪４‬ش‬ ‫د ＇پرکﻲ ﻟﻨ‪６‬ﻳز او پﻮ＊تﻨ‪３‬‬ ‫دويم ＇پرکی‪ :‬رابطه‪٥٣................................................................................‬‬

‫ﻣرتب‪ ３‬جﻮړې او کارتﻴز ﻳﻨﻲ ﻣستﻮي‪ ،‬د کارتﻴزﻳﻨﻲ ضرب حاصﻞ ا و ‪－‬راف ﻳ‪３‬‬ ‫رابطﻪ او ﻣعکﻮسﻪ رابطﻪ‪.‬‬ ‫ﻣعادﻟﻪ رابطﻪ‪.‬‬ ‫د ＇پر کﻲ ﻟﻨ‪６‬ﻳز او پﻮ＊تﻨ‪３‬‬ ‫دريم ＇پرکی ‪ :‬تابع‪٦٩...................................................................................‬‬

‫د تابع دﻟﻴکﻠﻮ طرﻳﻘﻪ او دﻳﻮې تابع د ﻗﻴﻤت پﻴدا کﻮل‪ ،‬د تابع د تعرﻳف د ساح‪ ３‬پﻴدا کﻮل‪ ،‬د ﻳﻮې تابع‬ ‫‪－‬راف او د ‪－‬راف ﻟﻪ ﻣخ‪３‬‬ ‫د ﻳﻮې تابع پ‪５‬ژﻧدﻧﻪ‪ ،‬د ‪－‬راف ﻟﻪ ﻣخ‪ ３‬د ﻳﻮې تابع د تعرﻳف او د ﻗﻴﻤتﻮﻧﻮ د ﻧاحﻴﻮ او د تابع ﻗﻴﻤتﻮﻧﻮ پﻴدا‬ ‫کﻮل‪＄ ،‬ﻴﻨ‪ ３‬خاص‪ ３‬تابع ‪－‬اﻧ‪ ３‬او ‪－‬رافﻮﻧﻪ ﻳ‪.３‬ﻣتزاﻳدې او ﻣتﻨاﻗص‪ ３‬تابع ‪－‬اﻧ‪ ،３‬جفت‪ ３‬او طاﻗ‪ ３‬تابع ‪－‬اﻧ‪３‬‬ ‫د ‪－‬رافﻮﻧﻮ اﻧتﻘال (عﻤﻮدي اﻧتﻘال‪ ،‬افﻘﻲ اﻧتﻘال او دعﻤﻮدي او افﻘﻲ اﻧتﻘاﻟﻮﻧﻮ ترکﻴب‪ ،‬د تابع ‪－‬اﻧﻮ عﻤﻠﻴ‪３‬‬ ‫د تابع ‪－‬اﻧﻮ ترکﻴب‪ ،‬ﻣعکﻮسﻪ تابع‪ ،‬ﻳﻮ پﻪ ﻳﻮ تابع‪ ،‬د تابع او د ﻫغ‪ ３‬د ﻣعکﻮسﻲ تابع ‪－‬راف‪ ،‬پﻮﻟﻴﻨﻮﻣﻲ تابع‬ ‫‪－‬اﻧ‪( ３‬ﻟﻮﻣ‪７‬ۍ او دوﻳﻤﻪ درجﻪ تابع‪／‬اﻧﻲ) او ‪－‬رافﻮﻧﻪ ﻳ‪３‬‬ ‫ﻧاطﻘی تابع ‪－‬اﻧ‪ ３‬او ‪－‬راف ﻳ‪( ３‬عﻤﻮدې‪ ،‬افﻘﻲ او ﻣاﻳﻞ ﻣجاﻧبﻮﻧﻪ)‬ ‫د ＇پرکﻲ ﻟﻨ‪６‬ﻳز او پﻮ＊تﻨ‪３‬‬ ‫＇لورم ＇پرکی‪ :‬مثلثاتي تابع ‪－‬ان‪١٤٩.............................................................３‬‬

‫زاوﻳﻪ او د زاوﻳ‪ ３‬د اﻧدازه کﻮﻟﻮ واحدوﻧﻪ‪ ،‬دﻳﻮې زاوﻳ‪ ３‬ﻣعﻴاري حاﻟت او کﻮ！ر ﻣﻴﻨﻞ زاوﻳ‪３‬‬ ‫ﻣثﻠثاتﻲ تابع ‪－‬اﻧ‪ ３‬او د ‪＄‬ﻴﻨﻮ خاصﻮ زاوﻳﻮ ﻣثﻠثاتﻲ ﻧسبتﻮﻧﻪ‬ ‫د ‪ 270 ° ,180 ° ,90 ° ,0°‬او ‪ 360‬زاوﻳﻮ ﻣثﻠثاتﻲ ﻧستﻮﻧﻪ‬ ‫د ﻳﻮې حاده زاوﻳ‪ ３‬او ﻧﻮرو زاوﻳﻮ د ﻣثﻠثاتﻲ ﻧسبتﻮﻧﻮ پﻪ ﻣﻨ‪ ＃‬ک‪ ３‬اړﻳک‪３‬‬ ‫د ﻣثﻠثاتﻲ تابع ‪－‬اﻧﻮ ‪－‬راف‬ ‫د ＇پرکﻲ ﻟﻨ‪６‬ﻳز او پﻮ＊تﻨ‪３‬‬ ‫‪°‬‬

‫پن‪％‬م ＇پرکی‪ :‬د مثلثاتو تطبﻴقات‪۲۲٣................................................................‬‬

‫د ﻣرکبﻮ زاوﻳﻮ د ﻣثﻠثاتﻲ ﻧسبتﻮﻧﻪ‪ ،‬د دوو زاوﻳﻮ د ﻣجﻤﻮع‪ ３‬او تفاضﻞ ﻣثﻠثاتﻲ فﻮرﻣﻮﻟﻮﻧﻪ‬ ‫د زاوﻳ‪ ３‬د ﻣثﻠثاتﻲ ﻧسبتﻮﻧﻮ ﻟﻪ ﻣخ‪ ３‬د ‪ 2‬او ‪ 3‬زاوﻳﻮ د ﻣثﻠثاتﻲ ﻧسبتﻮﻧﻮ پﻴداکﻮل‪ ،‬د زاوﻳﻮ د‬ ‫ﻣثﻠثاتﻲ ﻧسبتﻮﻧﻮ د ﻣجﻤﻮع‪ ３‬او تفاضﻞ بدﻟﻮل‪ ،‬د زاوﻳﻮ د ﻣثﻠثاتﻲ ﻧسبتﻮﻧﻮ د ضرب د حاصﻞ پﻪ شکﻞ‪،‬‬

‫د‬

‫عنوان‬

‫فهرست‬

‫مخ‬

‫د زاوﻳﻮ د ﻣثﻠثاتﻲ ﻧسبتﻮﻧﻮ د ضرب د حاصﻞ بدﻟﻮل پﻪ جﻤع ﻳا ﻳ‪ ３‬پﻪ تفاضﻞ باﻧدې‪ ،‬د ﻗﻮس اوږ‬ ‫دواﻟی‪ ،‬د ﻳﻮې داﻳرې ﻗطاع او ﻣساحت ﻳ‪ ،３‬د داﻳرې ﻗطعﻪ او ﻣساحت‪ ،‬د ﻣثﻠث ﻣساحت د دوو‬ ‫ضﻠعﻮ او ددې دوو ضﻠعﻮ ترﻣﻨ‪ ＃‬د زاوﻳ‪ ３‬ﻟﻪ جﻨسﻪ‪ ،‬د ﻣثﻠث ﻣساحت د ﻣثﻠث د درﻳﻮ ضﻠعﻮﻟﻪ‬ ‫جﻨسﻪ ( د ﻫﻴرون فﻮرﻣﻮل) د ﻳﻮه ﻣثﻠث د ﻣحﻴطﻲ او ﻣحاطﻲ داﻳرو شعاع ‪－‬اﻧ‪３‬‬ ‫د ＇پرکﻲ ﻟﻨ‪６‬ﻳز او پﻮ ＊تﻨ‪３‬‬ ‫شپ‪８‬م ＇پرکی‪ :‬مختلط عددونه ‪۲٧٧.........................................................‬‬

‫ﻣﻮﻫﻮﻣﻲ عددوﻧﻪ او د ﻣﻮﻫﻮﻣﻲ عددوﻧﻮ ＇ﻠﻮر‪－‬ﻮﻧ‪ ３‬عﻤﻠﻴ‪３‬‬ ‫د ﻣختﻠطﻮ عددوﻧﻮ د جﻤع‪ ３‬او تفرﻳﻖ عﻤﻠﻴ‪３‬‬ ‫د ﻣختﻠطﻮ عددوﻧﻮ ضرب‪ ،‬د ﻳﻮ ﻣختﻠط عدد ﻣزدوج‪ ،‬د ﻣختﻠط عدد ضربﻲ ﻣعکﻮس‬ ‫د ﻣختﻠطﻮ عددوﻧﻮ و‪４‬ش‬ ‫د ﻣختﻠطﻮ عددوﻧﻮ پﻪ ساحﻪ ک‪ ３‬ددوﻳﻤ‪ ３‬درج‪ ３‬ﻳﻮ ﻣجﻬﻮﻟﻪ ﻣعادﻟﻮ حﻞ‬ ‫د ＇پرکی ﻟﻨ‪６‬ﻳز او پﻮ＊تﻨ‪３‬‬ ‫اووم ＇پرکی تحلﻴلي هندسه ‪٣۰٥............................................................‬‬

‫د وضعﻴﻪ کﻤﻴاتﻮ سﻴستﻢ او د دوو ﻧﻘطﻮ ترﻣﻨ‪ ＃‬فاصﻠﻪ‬ ‫د ﻫغ‪ ３‬ﻧﻘط‪ ３‬د وضعﻴﻪ کﻤﻴاتﻮ پﻴداکﻮل چ‪ ３‬ﻳﻮ ﻗطعﻪ خط پﻪ ﻳﻮه ﻧسبت باﻧدې و‪４‬شﻲ‬ ‫د ﻳﻮه ﻣستﻘﻴﻢ خط ﻣﻴﻞ‬ ‫د ﻳﻮه ﻣستﻘﻴﻢ خط ﻣعادﻟﻪ ( د ﻳﻮ ﻣستﻘﻴﻢ خط ﻣعﻴاري ﻣعادﻟﻪ‪ ،‬دﻫغﻪ ﻣستﻘﻴﻢ خط ﻣعادﻟﻪ چ‪３‬‬ ‫ﻣﻴﻞ او ﻳﻮه ﻧﻘطﻪ ﻳ‪ ３‬ﻣعﻠﻮﻣﻪ وي‪ ،‬دوې ﻧﻘطﻲ ﻳ‪ ３‬ﻣعﻠﻮﻣ‪ ３‬وي‪ .‬ﻟﻪ ﻣحﻮروﻧﻮ سره ﻳ‪ ３‬د تﻘاطع ﻧﻘط‪３‬‬ ‫ﻣعﻠﻮﻣ‪ ３‬وي‪ ،‬د ﻣستﻘﻴﻢ خط ﻧﻮرﻣال ﻣعادﻟﻪ او د ﻣستﻘﻴﻢ خط عﻤﻮﻣﻲ ﻣعادﻟﻪ)‬ ‫د ﻳﻮه ﻣستﻘﻴﻢ خط د عﻤﻮﻣﻲ ﻣعادﻟ‪ ３‬بدﻟﻮل‪ ،‬د ﻣستﻘﻴﻢ خط د ﻣعادﻟﻮ پﻪ ﻧﻮرو شکﻠﻮﻧﻮ باﻧدې‪.‬‬ ‫د ﻳﻮې ﻧﻘط‪ ３‬فاصﻠﻪ ﻟﻪ ﻳﻮه ﻣستﻘﻴﻢ خط ＇خﻪ‪ ،‬د دوو ﻣﻮازي خطﻮﻧﻮ تر ﻣﻨ‪ ＃‬فاصﻠﻪ‬ ‫داﻳره او د داﻳرې ﻣعادﻟﻪ‪ ،‬د ﻳﻮه ﻣستﻘﻴﻢ خط حاﻟتﻮﻧﻪ ﻟﻪ ﻳﻮې داﻳرې سره‪ ،‬د ﻣﻤاس ﻣعادﻟﻪ او د‬ ‫ﻣﻤاس اوږدواﻟی‬ ‫د ﻣثﻠث د ﻣساحت پﻴداکﻮل چ‪ ３‬د راسﻮﻧﻮ و ضعﻴﻪ کﻤﻴات ﻳ‪ ３‬ﻣعﻠﻮم وي‪.‬‬ ‫د ＇پرکﻲ ﻟﻨ‪６‬ﻳز او پﻮ＊تﻨ‪３‬‬ ‫اتم ＇پرکی احصائﻴه‪٣٥٩.......................................................................‬‬

‫د فرﻳکﻮﻧسﻲ ＇ﻮ ضﻠعﻲ ‪－‬راف‪ ،‬د ساﻗ‪ ３‬او پا‪－ ３１‬راف‪ ،‬ربعﻲ (＇ﻠﻮرﻣ‪ ،)３‬صﻨدوﻗچﻪ ﻳﻲ ‪－‬راف‪،‬‬ ‫د ﻧارﻣﻞ ﻣﻨحﻨﻲ د ﻣرکزي ！اکﻮوﻧکﻮ پرتﻠﻪ کﻮل‪ ،‬ربعﻲ اﻧحراف‪ ،‬وارﻳاﻧس‪ ،‬ﻣعﻴاري اﻧحراف‪،‬‬ ‫د ＇پرکﻲ ﻟﻨ‪６‬ﻳز او پﻮ＊تﻨ‪３‬‬ ‫نهم ＇پرکی د رياضي منطق‪٣٩١..............................................................‬‬

‫د شﻬﻮدي درک استدﻻل‪ ،‬تﻤثﻴﻠﻲ استدﻻل‪ ،‬استﻘراﻳﻲ استدﻻل‪ ،‬د رﻳاضﻲ د استﻘرا استدﻻل‪،‬‬ ‫استﻨتاجﻲ استدﻻل‪ ،‬د ﻣثال د ﻧفﻲ کﻮﻟﻮ استدﻻل‪ ،‬غﻴر ﻣستﻘﻴﻢ ثبﻮت‪ ،‬د رﻳاضﻲ ﻣﻨطﻖ او د بﻴان‬ ‫استﻨتاج‪ ،‬د ＇پرکﻲ ﻟﻨ‪６‬ﻳز او پﻮ＊تﻨ‪３‬‬

‫هـ‬

‫لوم‪７‬ى ＇پرکی‬ ‫پولﻴنوم‬ ‫پﻮﻟﻴﻨﻮم(‪)Polynome‬‬ ‫ﻳا (‪)Polynomial‬‬

‫الجبري افادې‬ ‫(‪)Algebraic Expressions‬‬ ‫ايـــــــا ويــــــالى شــئ چــې پــه‬ ‫‪y2 +1‬‬

‫‪y y2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫او ‪+ y 3‬‬ ‫‪x2 x‬‬

‫‪x4 1‬‬ ‫‪x2‬‬

‫‪،‬‬

‫‪ x 3 +‬الجبري‬

‫افادو کې کومــه يوه ناطقه اوکومه يوه غير ناطقه‬ ‫الجبري افاده ده؟‬

‫متحول او ثابت (‪ :)variable and constant‬متحﻮل ﻳﻮ سمبﻮل (‪ )Symbol‬دى چې‬ ‫د يوه غير خالي سټ د هر عنصر په ځاى وضع کې‪８‬ي‪.‬يا يو تورې چې قيمتونه يې تغير کوي د مثال په‬

‫ډول که }‪ x 10‬او ‪ A = {x / x IN‬وي‪.‬‬ ‫نﻮ د ‪ A‬په سټ کې ‪ x‬له يوه څخه تر ‪ 10‬پورې د طبيعي عددونو قيمتونه اخيستالى شي‪ ، x .‬ته‬ ‫متحول(‪ )Variable‬وايي‪ .‬عموماً متحولونه د انګليسي ژبې د کوچنيو تورو‪ ،‬لکه‪ z , y , x :‬او‬ ‫نورو په واسطه ښودل کې‪８‬ي‪.‬‬ ‫د يوه عدد قيمت تغير نه کوي‪ ،‬لکه‪ :‬د ‪ 4‬عدد هيڅکله له ‪ 5‬ﻳا ‪ 3‬او يا کوم بل عدد سره مساوي‬ ‫کېدای نه شي‪ ،‬نو ټول حقيقي عددونه ثابت (‪ )Constants‬دي‪.‬‬ ‫د حقيقي عددونو سربيره د انګليسي ژبې توري‪ ،‬لکه‪ a , b c ... :‬او نور هم د ثابتو پر ځاى کارول‬ ‫کې‪８‬ي‪.‬‬ ‫الجبري افاده (‪ :)Algebraic Expression‬کېدای شي الجبري افاده له يوه ثابت‪ ،‬يو‬ ‫متحول او يا د ثابتو او متحولونو له ترکيب څخه جوړه شوې وي‪ .‬د الجبري افادو الندې مثالونه‬ ‫وګورئ‪.‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪،5 x‬‬ ‫‪t2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪ 12 ، 12 ، x ، x 2 x + 1 ، 3x ، 4x + 5 +‬او داسې نور‪.‬‬

‫‪1‬‬ ‫پﻪ ‪ 3x 2‬الجبري افاده کې ‪ 3‬تﻪ ضرﻳب (‪ )Coefficient‬وايي‪ .‬پﻪ ‪y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫او پﻪ ‪ x‬کې (‪ )1‬ضريب دى‪ 3x 5 y 5 .‬او ‪ 15x 5 y 5‬مشابﻪ حدونﻪ (‪ )Liketerms‬دي چې‬ ‫‪1‬‬ ‫کې د‬ ‫‪2‬‬

‫عدد‬

‫مشابه متحولونه او مساوي توانونه لري‪ ،‬خو عددي ضريبونه يې سره توپير لري‪.‬‬ ‫د الجبري افادو ډولونه‪ :‬الجبري افادې په درو ډولونو دي‪.‬‬ ‫‪ -1‬پولﻴنومﻲ الجبري افادې (‪)Polynomial algebraic expressions‬‬ ‫پولﻴنوم‪ :‬هغه يوه يا څو حده الجبري افاده چې د تورو توانونه يې د مکملو عددونو په سټ کې‬ ‫شامل وي‪ ،‬پولينوم نومې‪８‬ي او ‪ 12 ، x 1 ، 2 x 2 + x 1 ، x 3 x + 1‬پولينومونه دي‪ ،‬خو‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪ + x ، x 2 + x 1‬او‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪ x 3 + x +‬پولينومونه نه دي يا د پولينوم مشخصې دا دي‪:‬‬

‫د ټولو متحولونو توانونه يې مکمل عددونه وي‪.‬‬ ‫په مخرج کې متحول ونه لري‪.‬‬ ‫متحول تر جذر الندې نه وي‪.‬‬

‫لوم‪７‬ى مثال‪ :‬په الندې راک‪７‬ل شوو الجبري افادو کې کوم يو پولينوم او کوم يو يې پولينوم نه‬ ‫دي؟‬ ‫‪, a ) 2x‬‬

‫‪b) 2 x‬‬

‫‪,‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪x3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪y2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‪, d ) x , c‬‬

‫‪+ x2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪e) x‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪f )8p 2 + p 2 .2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫حل‪ h, a :‬او ‪ i‬پولينومونه دي‪ ،‬خو ‪ f , e , d , c , b‬او ‪ g‬پولينومونه‪ ،‬نه دي‪ .‬په ياد ولرئ چې هر‬ ‫‪g )9 x 2‬‬

‫‪,‬‬

‫‪, h )88‬‬

‫‪i)6a 2 4a‬‬

‫پولينوم‪ ،‬يوه ناطقه الجبري افاده ده‪ ،‬خو هره ناطقه الجبري افاده پولينوم نه دى‪ .‬د مثال په ډول‪:‬‬ ‫‪y y‬‬ ‫‪+ + y3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪ x 3 +‬يوه ناطقه الجبري افاده ده‪ ،‬خو پولينوم نه دى‪.‬‬

‫‪ 12‬هم يو پولنيوم دی‪ ،‬ځکه چې‪ 12 = 12x 0 :‬دی او صفر هم د مکملو عددونو په سټ کې شامل‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫دى‪ ،‬خو ‪ 5 x‬او ‪ 3‬پولينومونه نه دي‪ ،‬ځکه ‪ 3 = 5 x 3 ، 5 x = 5 x 2‬چې‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬

‫او ‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫د مکملو عددونو په سټ کې شامل نه دي‪.‬‬ ‫پولينوم د يو توري په واسطه‪ ،‬لکه‪ P :‬ښودل کې‪８‬ي‪ ،‬يو پولينوم چې له يو متحول څخه جوړ شوى وي‬ ‫عمومي شکل يې په الندې ډول دى چې د معياري شکل په نامه يادې‪８‬ي‪.‬‬ ‫‪+ ... + a 1x + a 0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪+ a n 2x n‬‬

‫‪1‬‬

‫‪P( x ) = a n x n + a n 1x n‬‬

‫‪ n‬يو مکمل عدد او ‪ a 1 , a 2 ...a n 1 , a n‬ضريبونه دي چې حقيقي عددونه دي‪ .‬که ‪0‬‬

‫‪ an‬وي‪،‬‬

‫نﻮ ‪ n‬د پولينوم درجه ده‪.‬‬ ‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫‪3 5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫لﻪ ‪+ + 6 , x , , 8x 3 , 8x 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪ 2x 3 x 2 ,‬او ‪ 8 x‬الجبري افادو څخه کومه‬

‫يوه يې پولينوم دى او کومه يوه پولينوم نه دى؟‬ ‫دوﻳم مثال‪ :‬د ‪ P( x ) = 5x 3 + x 2 x + 12‬په پولينوم کې‪a 2 = 1 ، a n = 5 ، n = 3 ،‬‬

‫‪ a1 = 1‬و ‪ a 0 = 12‬دى‪ .‬او د ‪ 11x 2 1‬په پولينوم کې‪ ، a1 = 0 ، a n = 11 ، n = 2 ،‬او‬ ‫‪ a0 = 1‬دى‪.‬‬ ‫‪ -2‬ناطقه الجبري افاده (‪:)Rational algebraic expression‬‬ ‫‪p‬‬ ‫که يوه الجبري افاده د‬ ‫‪q‬‬

‫)‪ (q 0‬په شکل وليکالى شو چې ‪ p‬ا و ‪ q‬پولينومونه وي‪ .‬داسې‬

‫‪1‬‬ ‫الجبري افادې ته ناطقه الجبري افاده وايي‪ .‬د مثال په ډول‬ ‫‪x2‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪ x 2‬چې د ‪ x 2 1‬په شکل يې‬

‫‪x‬‬

‫هم ليکالى شو چې يو متحول لري يوه ناطقه الجبري افاده ده‪ .‬څرنګه چې هرې الجبري افادې ته يو‬ ‫‪x2 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫مخرج ورکوالى شو‪ ،‬نو )‪ ( x 1‬هم يوه ناطقه الجبري افاده ده‪ ،‬ځکه چې ‪= x 2 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫دى‪.‬‬

‫‪5‬‬

‫‪ -3‬غﻴر ناطقه الجبري افاده (‪:)Irrational algebraic expression‬‬ ‫داسې يوې الجبري افادې ته چې د دوو پولينومونو د خارج قسمت په بڼه يې نه شو ليکالى‪ ،‬غير ناطقه‬ ‫الجبري افاده ده‪ ،‬لکه‪، xy :‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪x +5‬‬ ‫‪2‬‬

‫او ‪y 2 + 1‬‬

‫د غير ناطقو الجبري افادو مثالونه دي‪.‬‬

‫يوه الجبري افاده کېدای شي چې ناطقه‪ ،‬غير ناطقه او يا پولينومي الجبري افاده وي‪ .‬پولينوم هغه يو يا‬ ‫څو حده الجبري افاده ده چې د تورو توانونه يې د مکملو عددونو په سټ کې شامل وي‪.‬‬

‫پو＊تن‪３‬‬ ‫‪ -1‬په الندې الجبري افادو کې کومه يوه ناطقه‪ ،‬غير ناطقه او پولينومي الجبري افاده ده؟‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3x 2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪m+3‬‬ ‫‪x+‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪xy‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪ 3x +‬او ‪13‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ -2‬په الندې الجبري افادو کې کومه يوه يې يو پولينوم او کومه يوه يې پولينوم نه دى؟‬ ‫‪xy‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪3x 2 +‬‬

‫‪8 x‬‬

‫‪20a 3b + 28ab 4 ,‬‬ ‫‪,‬‬

‫‪8‬‬

‫‪8x‬‬

‫‪,‬‬

‫‪3x‬‬

‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬

‫‪x‬‬

‫‪1 3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪0.03‬‬

‫‪ .3‬د ‪ Px 4 ax 3 + bx 2 + cx + d‬په پولينوم کې‪ a1 , a2 , a3 , an ،‬او ‪ a0‬وښياست‪.‬‬ ‫‪ .4‬د ‪2 x 2 1‬‬

‫‪x3‬‬ ‫= )‪ P( x‬په پولينوم کې‪ a1 , a 2 , a3 ،‬او ‪ a0‬وښياست‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪6‬‬

‫د پولﻴنوم درجه او د پولﻴنوم‬ ‫ډولونه‬ ‫آﻳا وﻳﻼى شئ چې د ‪:‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪x2‬‬

‫‪ 12 y 5 x 3 + x 4 y 3 12x 3‬او‬

‫‪ 12‬د پولينومونو درجې څو دي؟‬

‫مونوم عدد‪ ،‬يو متحول يا د يو عدد او يو يا څو متحولينو د ضرب حاصل دی‪.‬‬ ‫‪ 3x‬ﻳا ‪ 16x‬ته مونوم يا (‪( )Monomial‬يو حده)الجبري افاده وايي‪ x 4 .‬ﻳا ‪ ab y‬ته‬ ‫باينوم (‪ )Binome‬ﻳا (‪( )Binomial‬دوه حده) الجبري افاده وايي او د ‪ 2 x 3 x 1‬الجبري‬ ‫‪1‬‬ ‫افاده ترينوم (‪( )Trinomial‬درې حده) الجبري افاده ده او ‪+ 1‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪2x‬‬

‫الجبري افادې ته‬

‫مولټينوم (‪ )Multinomial‬وايي‪ .‬په يوه پولينوم کې مونومونه د پولينوم د حدونو په نامه يادې‪８‬ي او‬

‫هر مونوم يو پولينوم دی‪.‬‬ ‫ځينې وختونه پولينوم له يو‪ ،‬دوه‪ ،‬درې او څو متحولونو څخه جوړ شوى وي‪.‬‬ ‫د ‪ 2x 3 8x 2 + 7 x + 11‬پولينوم د يو متحول‪ 2 x 3 3 y ،‬پولينوم د دوه متحولونو او‬ ‫‪ x + y + z‬د دريو متحولونو لرونکى پولينوم دى چې په الندې جدول کې ښودل شوي دي‪.‬‬ ‫متحﻮل‬

‫مونوم (يو حده)‬

‫باينوم (دوه حده)‬

‫ترينوم (درې حده)‬

‫ﻳﻮ متحﻮل‬

‫‪5x 3‬‬

‫‪5y2 + 3y‬‬

‫‪3x 2 + 2 x 4‬‬

‫دوه متحولونه‬

‫‪7x2 y‬‬

‫‪7x2 4 y3‬‬

‫‪6 x 2 + 5x 3 y 2‬‬

‫درې متحولونه‬

‫‪4xyz 2‬‬

‫‪8a 2b + 4c‬‬

‫‪5‬‬ ‫ﻳادونه‪ :‬بايد پام مو وي چې ‪, 2 xy‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪7‬‬

‫‪z 5a‬‬

‫او ‪ y 3‬هريو يې مونوم نه دی‪.‬‬

‫‪3a 2b 2 + 6c 2‬‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫د ‪3 x ، 15 ، 2 x y ، ax 2 + bx + c‬‬

‫او ‪ 4 x 2 4 y‬الجبري افادو کې مونوم‪ ،‬باينوم او‬

‫ترينوم وښياست‪.‬‬ ‫د ﻳوه پولﻴنوم درجه (‪ :)Degree of a Polynome‬که پولينوم له يوه توري څخه جوړ‬ ‫شوى وي‪ ،‬د هغه توري لوړ توان د پولينوم درجه ده‪ ،‬لکه‪ :‬د ‪x 3 + 2 x + 1 + x 5‬‬

‫د پولينوم درجه‬

‫‪ 5‬ده‪ .‬که پولينوم له ډېرو تورو څخه جوړ شوى وي‪ ،‬د زيات توان لرونکي مونوم درجه د پولينوم درجه‬ ‫ده‪ ،‬لکه‪ :‬د ‪5xy5 + x 3 y‬‬

‫‪3‬‬

‫‪ 2 x 2 y‬د پولينوم درجه ‪ 6‬ده‪ ) 1 + 5 = 6 ( ،‬او دا پولينوم نظر ‪x‬‬

‫ته دريمه درجه او نظر ‪ y‬ته پنځمه درجه پولينوم دى‪ .‬که د يوه پولينوم درجه يوه وي‪ ،‬خطي پولينوم‬ ‫(‪ )Liner Polynome‬او که د پولينوم درجه دوه وي‪ ،‬دويمه درجه پولينوم (‪Quadratic‬‬ ‫‪ )Polynome‬او که درجه يې درې وي‪ ،‬دريمه درجه پولينوم (‪ )Cubic Polynomial‬ورته‬ ‫وايي‪ .‬او هم د ‪ 3x 2‬مونوم دويمه درجه‪ ،‬د ‪ 3x 2 y 3‬مونوم درجه ‪ 5‬او د ‪ 12‬مونوم درجه صفرده‪.‬‬ ‫داسې پولينوم ته ثابت پولينوم وايي‪ ،‬ځکه چې ‪12 = 12x 0‬‬

‫ثابت پولﻴنوم‪ :‬هغه پولينوم دى چې درجه يې صفر وي‪.‬يا هغه پولينوم دى چې د ټولو متحولونو‬ ‫ضريبونه يې صفر وي‪.‬‬ ‫لوم‪７‬ى مثال‪ :‬د ‪ m‬او ‪ n‬قيمتونه پيدا ک‪７‬ئ‪ ،‬که ‪ (2m 4) x 2 + (5 n ) x + 13‬يو ثابت‬ ‫پولينوم وي‪.‬‬ ‫حل‪ :‬څرنگه چې دا يو ثابت پولينوم دى‪ ،‬نو د هر حد د متحول ضريب يې صفر دى‪.‬‬ ‫نو‪:‬‬

‫‪5 n=0‬‬ ‫‪n =5‬‬

‫‪2m 4 = 0‬‬ ‫‪2m = 4‬‬ ‫‪m=2‬‬

‫صفري پولﻴنوم(‪ :)Zero Polynome‬که د ثابت پولينوم ثابت حد صفر وي‪ ،‬داسې پولينوم ته‬ ‫صفري پولينوم وايي‪ ،‬لکه‪ ، P( x) = 0 :‬د صفري پولينوم درجه تعريف شوې نه ده‪.‬‬

‫‪8‬‬

‫دوﻳم مثال‪ :‬د ‪ a‬قيمت پيدا ک‪７‬ئ که چېرې )‪(b 4) x 3 (2c + 6) x + (a b + c‬‬

‫يوصفري پولينوم وي‪.‬‬ ‫حل‪ :‬په صفري پولينوم کې هر حد صفر وي‪ ،‬نو‪:‬‬ ‫‪a b+c =0‬‬

‫‪2c + 6 = 0‬‬

‫‪b 4=0‬‬

‫‪a 4 3=0‬‬

‫‪2c = 6‬‬

‫‪b= 4‬‬

‫‪a=7‬‬

‫‪c= 3‬‬

‫درﻳم مثال‪ :‬د ‪ g( x ) = 2xy 2 x 2 y 3 ، P( x) = x 2 1 + 3x 5‬او ‪ h( x) = 3‬د‬ ‫پولينومونو درجې پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪ :‬د )‪ P (x‬د پولينوم درجه ‪ 5‬د )‪ g (x‬د پولينوم درجه هم ‪ 5‬ده ‪ (n = 5) ،‬خو د )‪h(x‬‬

‫د پولينوم درجه صفر ده‪.‬‬ ‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫د هر پولينوم درجه څو ده؟ او هم د دې پولينومونو درجې نظر هر توري ته پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪x 1 , 15 , 2m 3 n 2 3mn 3 mn‬‬

‫‪x 3 + 2 x + 5x 5 ,‬‬

‫‪x2‬‬

‫مکمل او ناقص پولﻴنومونه‪ :‬مکمل پولينوم هغه پولينوم دی چې له لوړ توان څخه تر ثابت عدد‬ ‫پورې ټول حدونه ولري ‪x 2‬‬

‫‪ x 1 , x 3 + 1 + 2 x‬او ‪ 51‬مکمل پولينومونه دي‪ ،‬خو ‪x 2 1‬‬

‫او ‪ x 3 + x + 1‬ناقص پولينومونه دي‪ .‬موږ کوالى شو دا ناقص پولينومونه د مکملو پولينومو په شکل‬ ‫وليکو‪ ،‬لکه‪ x 2 1 = x 2 + 0 x 1 :‬او ‪x 3 + x 1 = x 3 + 0 x 2 + x 1‬‬

‫منظم او غﻴر منظم پولﻴنومونه‪ :‬د ‪ 2 x 3 3x 2 + 4 x 1‬ﻳا‬ ‫‪11 + 12x + 13x 2 x 3‬‬

‫پولينومونه منظم‪ ،‬خو د ‪ 3x 4 x + 1 + x 3 + x 2‬پولينوم يو غير‬

‫منظم پولينوم دى‪ .‬کوالى شو چې يو غير منظم پولينوم د منظم پولينوم په شکل وليکو‪ ،‬لکه‪:‬‬ ‫همدا پولينوم په دوه ډوله د منظم پولينوم په شکل ليکالى شو‪ 3x 4 + x 3 + x 2 x + 1 .‬ﻳا‬ ‫‪1 x + x 2 + x3 + 3x 4‬‬

‫‪9‬‬

‫نزولﻲ او صعودي پولﻴنومونه‬ ‫(‪:)Descending and ascending Polynomes‬‬ ‫که يو پولينوم د متحول له لوړ توان څخه ټيټ توان ته ترتيب شوى وي‪ ،‬نزولي او که له ټيټ توان څخه‬ ‫لوړ توان ته ترتيب شوى وي‪ ،‬صعودي ترتيب ورته وايي‪.‬‬ ‫د مثال په ډول ‪x 4 + 3x 3 + x 2 + x + 1‬‬

‫په نزولي ترتيب او د ‪ 1 + x + x 2 + 3x 3 + x 4‬پولينوم په‬

‫صعودي ترتيب ليکل شوى دى‪.‬‬ ‫که يو پولينوم له دوو يا څو تورو څخه جوړ شوى وي‪ ،‬نو موږ کوالى شو نظر هر توري ته يې په‬ ‫صعودي يا نزولي ډول ترتيب ک‪７‬و‪ ،‬لکه‪ :‬د ‪ x 3 y + 3x 2 y 2 + 2xy3 5y 4‬پولينوم نظر ‪ x‬ته په‬ ‫نزولي ډول او نظر ‪ y‬ته په صعودي ډول ترتيب شوى دى‪.‬‬ ‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫دا پولينومونه په صعودي ډول ترتيب ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫‪4 x 5 + 6 x 2 + 8x 3 , 2 y 2 4 y + 3 3y 4 + y3 , 2a 3 5 + 4a 4 + a 5 + 3a 2 + a‬‬

‫＇لورم مثال‪ :‬د ‪ P( y) = 4xy 4 3x 3 y 2 + 2x 2 y 3 + x 4 + y 5‬پﻮلﻴنﻮم نظر ‪ y‬تﻪ پﻪ‬ ‫صع د ترتﻴب ولﻴکئ‪:‬‬ ‫حل‬

‫‪P( y) = x 4 3x 3 y 2 + 2 x 2 y3 + 4 xy 4 + y5‬‬

‫معادل پولﻴنومونه‪ :‬هغه پولينومونه دي چې يو متحول ولري او د مشابه حدونو ضريبونه يې سره‬ ‫مساوي وي‪.‬‬ ‫پن‪％‬م مثال‪ :‬که د ‪ x 2 + 3x + 2‬او ‪ m( x 1) 2 + n ( x 1) + P‬پولينومونه سره معادل وي‪ ،‬د‬ ‫‪ n , m‬او ‪ p‬قيمتونه پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‬

‫‪m( x 2 2 x + 1) + nx n + p = x 2 + 3x + 2‬‬ ‫‪mx 2 2mx + m + nx n + p = x 2 + 3x + 2‬‬ ‫‪mx 2 + ( 2m + n ) x + (m n + p) = 1x 2 + 3x + 2‬‬

‫‪10‬‬

‫په نتيجه کې‪:‬‬ ‫‪n =5‬‬ ‫‪p=6‬‬

‫‪m =1‬‬ ‫‪2m + n = 3‬‬ ‫‪m n+p=2‬‬

‫متجانس پولﻴنومونه (‪ :)Hemogence Polynomes‬چې د ټولو حدونو توانونه يې سره‬ ‫مساوي وي‪ ،‬لکه‪ :‬د ‪ 2 x 2 + y 2 z 2‬يو متجانس پولينوم دی‪.‬‬ ‫شپ‪８‬م مثال‪ :‬که د ‪ 3x 2 y + 5 x m z 7 y n 3 z 2‬پولينوم متجانس وي‪ ،‬د ‪ m‬او ‪ n‬قيمتونه پيدا‬ ‫ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪n 3 + 2 = m +1‬‬ ‫‪n 1 = m +1‬‬

‫‪m +1 = 2 +1‬‬ ‫‪m=2‬‬

‫‪n 1 = 2 +1‬‬ ‫‪n=4‬‬

‫که پولينوم له يوه توري څخه جوړ شوى وي‪ ،‬د دې توري لوړ توان د پولينوم درجه ده او که پولينوم‬ ‫له ډېرو تورو څخه جوړ شوى وي‪ ،‬د لوړ توان لرونکي مونوم درجه د دې پولينوم درجه ده‪ .‬هغه‬ ‫پولينومونه چې يو متحول ولري او د مشابه حدونو ضريبونه يې سره مساوي وي‪ ،‬د معادلو پولينومونو‬ ‫په نامه يادې‪８‬ي او هغه پولينوم چې د ټولو حدونو توانونه يې سره مساوي وي‪ ،‬متجانس پولينوم دى‪.‬‬

‫‪11‬‬

‫پو＊تن‪３‬‬ ‫‪ -1‬په الندې افادو کې مونوم‪ ،‬باينوم او ترينوم وښياست او درجې يې پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪x 1‬‬

‫‪,‬‬

‫‪12‬‬

‫‪,‬‬

‫‪x2 y + 4‬‬

‫‪,‬‬

‫‪12x‬‬

‫‪,‬‬

‫‪1 2 5‬‬ ‫‪x y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x x2 x3‬‬

‫‪ -2‬په الندې پولينومونو کې مکمل او ناقص پولينومونه وښياست او بيا ناقص پولينومونه د مکملو‬ ‫پولنيومونو په شکل وليکئ‪.‬‬ ‫‪x2 1 ,‬‬ ‫‪x3 + x 1‬‬

‫‪,‬‬

‫‪x +1 ,‬‬ ‫‪15‬‬

‫‪,‬‬

‫‪x‬‬

‫‪,‬‬

‫‪2x 2 2x 2‬‬

‫‪ -3‬لوم‪７‬ى د الندې پولينومونو درجې پيدا ک‪７‬ئ او بيا يې په نزولي ډول ترتيب ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪4 x 5 + 6 x 2 + 8x 3‬‬ ‫‪4 y + 3 3y 4 + y 3‬‬ ‫‪x5 + x‬‬

‫‪2y2‬‬

‫‪1 x 3 + x 2 + 2x 4‬‬

‫‪ -4‬کﻪ ‪ P( x 1) 2 + n ( x + 3) + c = 2x 2 x + 22‬وي د ‪ n , p‬او‪ c‬قيمتونه پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪ -5‬د ‪ b , a‬او ‪ c‬قيمتونه پيدا ک‪７‬ئ که )‪ P( x) = 7 x 4 (2a 3) x 3 + 5 x (c 3‬او‬ ‫‪ Q( x) = (3b + 4) x 4 + 2 x 3 + 5 x‬معادل پولينومونه وي‪.‬‬

‫‪ -6‬کﻪ ‪ 5xy 2 + 8x p z 3y m 3 z 2‬يو متجانس پولينوم وي‪ ،‬د ‪ m‬او ‪ p‬قيمتونه پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪12‬‬

‫د پولﻴنوم د قﻴمت او د پولﻴنوم د‬ ‫ضرﻳبونو د مجموع‪ ３‬پﻴدا کول‬ ‫آﻳا وﻳﻼى شئ د ‪ x = 1‬لپاره د‬ ‫‪ P( x) = x 3 x 2 x 1‬پولينوم قيمت‬ ‫څو دى؟ يا ? = )‪P( 1‬‬

‫که په يوه پولينوم کې د متحول پر ځاى يو حقيقي عدد (د متحول خاص قيمت) وضع ک‪７‬و‪ ،‬يو حقيقي‬ ‫عدد په الس راځي چې دا حقيقي عدد ددې پولينوم قيمت دى‪ .‬د ‪ x = 2‬لپاره د ‪P( x) = 3 x + 2‬‬

‫پﻮلﻴنﻮم قﻴمت ‪ P(2) = 3 2 + 2 = 8‬دى‪.‬‬ ‫لوم‪７‬ى مثال‪:‬د ‪ P( x) = 2 x 2 7 x + 1‬پﻮلﻴنﻮم قﻴمتﻮنﻪ د )‪ P( 1) ، P(5‬او )‪ P(0‬لپاره پيدا‬ ‫ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪7(5) + 1 = 50 35 + 1 = 51 35 = 16‬‬

‫‪2‬‬

‫‪P(5) = 2 5‬‬ ‫‪P ( 0) = 1‬‬

‫‪P( 1) = 2( 1) 2 7( 1) + 1 = 2 + 7 + 1 = 10‬‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫د ‪ P( x) = x 5 x 3 x 1‬پﻮلﻴنﻮم لپاره )‪ P( 1) ، P(0‬او )‪ P(1‬پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫دوﻳم مثال‪ :‬که ‪ P( x ) = 16x 3 8x 2 +‬وي‪ ،‬نو )‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫(‪ P‬پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫حل‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫(‪P( ) = 16( ) 3 8( ) 2 + = 16‬‬ ‫‪) 8( ) +‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪64‬‬ ‫‪16 4‬‬ ‫‪1 1 3‬‬ ‫‪1 2+3‬‬ ‫‪3+3 0‬‬ ‫=‬ ‫= ‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪= =0‬‬ ‫‪4 2 4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪13‬‬

‫درﻳم مثال‪ :‬لکه‪ :‬څرنگه چې پوهې‪８‬ئ د دايرې محيط (‪ )Circumference‬د‬ ‫‪22‬‬ ‫‪ C = 2 r‬له فورمول څخه الس ته راځي چې که چېرې‬ ‫‪7‬‬ ‫‪ r = 3 1 cm‬وي‪ ،‬نو د دې دايرې محيط (‪ )C‬پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل ‪2‬‬

‫=‬

‫او د دايرې شعاع‬

‫‪22 7‬‬ ‫‪cm = 22cm‬‬ ‫‪7 2‬‬ ‫＇لورم مثال‪ :‬که ‪ b, a‬او ‪ c‬د مثلث د ضلعو اوږدوالى او ‪ p‬د مثلث د محيط نيمايي وي يعنې‬ ‫‪C=2 r=2‬‬

‫‪a+b+c‬‬ ‫‪2‬‬

‫= ‪ ، p‬د مثلث مساحت د دې فورمول په واسطه الس ته راځي‪.‬‬ ‫)‪S = p(p a )(p b)(p c‬‬

‫که په يوه مثلث کې د ضلعو اوږدوالى ‪ b = 12cm , a = 9cm‬او ‪ c = 15cm‬وي‪ ،‬ددې مثلث‬ ‫مساحت پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‬

‫‪a + b + c 9 + 12 + 15 36‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪= 18cm‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫=‪p‬‬

‫)‪S = p(p a )(p b)(p c) = 18(18 9)(18 12)(18 15‬‬ ‫‪= 18 9 6 3 = 2 9 9 2 3 3 = 2 2 32 9 2 = 2 3 9 = 54cm 2‬‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫د استوانې حجم د ‪ V = r 2 h‬له فورمول څخه الس ته راځي چې ‪ V‬د استوانې حجم ‪ r ،‬د‬ ‫قاعدې شعاع او ‪ h‬د استوانې لوړوالى دى‪ .‬که د يوې استوانې ‪ r = 5cm‬او ‪ h = 21cm‬وي‪ ،‬ددې‬ ‫استوانې حجم پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د پولﻴنوم د ضرﻳبونو د مجموع‪ ３‬پﻴدا کول‪:‬‬ ‫که ‪ p( x ) = a n x n + a n 1x n 1 + ... + a1x + a 0‬وي‪ ،‬د ضريبونو مجموعه يې‬ ‫‪ an + an 1 + ... + a1 + a0‬ده‪.‬‬ ‫پن‪％‬م مثال‪ :‬د ‪ p( x) = 2 x3 + 5 x 2 3x + 1‬پولينوم د ضريبونو مجموعه په الس راوړئ‪.‬‬

‫‪14‬‬

‫حل‪ p (1) :‬پﻴدا کﻮو‪P(1) = 2 13 + 5 12 3 1 + 1 = 2 + 5 3 + 1 = 5 :‬‬

‫که پولينوم له څو تورو څخه جوړ شوى وي‪ ،‬د هر توري پر ځاى يو (‪ )1‬وضع کوو‪ ،‬لکه‪ :‬د‬ ‫‪ x 4 + 4x 3 y + 6x 2 y 2 + 4xy 3 + y 4‬د ضريبونو د مجموعې د پيدا کولو لپاره د ‪ x‬او ‪ y‬پر‬ ‫ځاى يو (‪ )1‬وضع کوو‪:‬‬ ‫‪14 + 4 13 1 + 6 12 12 + 4 1 13 + 14 = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16‬‬ ‫شپ‪８‬م مثال‪ :‬د ‪ ( x 3 y ) 4‬د ضريبونو مجموعه پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫حل‪:‬‬

‫‪4‬‬

‫‪(1 3 1) = (1 3) = ( 2) = 16‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫اووم مثال‪ :‬د ‪ (7 x 2 5x 1) 600 (2x 3 1)17 ( x + 2) 4‬د ضريبونو مجموعه په الس‬ ‫راوړئ‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪(1) (3) = 81‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪17‬‬

‫‪600‬‬

‫)‪1) (1 + 2) = (1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪17‬‬

‫‪3‬‬

‫‪(2 1‬‬

‫‪600‬‬

‫)‪5 1 1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪(7 1‬‬

‫اتم مثال‪ :‬که ددې توپ شعاع ‪ 6cm‬وي‪ ،‬ددې توپ حجم پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫حل‪:‬‬ ‫‪4 3 4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫= ‪r‬‬ ‫= ‪(6cm) 3‬‬ ‫‪(216cm 3 ) = 288 cm 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫=‪V‬‬

‫د ‪ x‬د راک‪７‬ل شوي قيمت لپاره د )‪ P(x‬په پولينوم کې د ‪ x‬پر ځاى راک‪７‬ل شوى قيمت وضع کوو‪،‬‬ ‫د پولينوم قيمت په الس راځي که په يوه پولينوم کې د تورې (متحول) پر ځای يو وضع شي د پولينوم‬ ‫د ضريبونو مجموعه په الس راځي‪.‬‬

‫‪15‬‬

‫پو＊تن‪３‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .2‬د ‪ p( x ) = kx 3 x 2 + 3x 1‬په پولينوم کې که ‪ p(2) = 17‬وي د ‪ k‬قيمت پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪ .1‬کﻪ ‪ p( x) = x 4 x 3 x 2 x 1‬وي )‪ p( 1‬او ) (‪ p‬پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ .3‬کﻪ د ‪ mx2 2x + 1‬د ضريبونو مجموعه ‪ 18‬وي د ‪ m‬قيمت پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫= ‪ x‬لپاره د‬ ‫‪ .4‬د‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .5‬د ‪4 x + 4‬‬

‫‪A = x2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ p( x) = x 2‬پولينوم قيمت پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ C = x + 3x 4 6x 3‬او‬

‫‪B = 4 x 3 + 10 x 2‬‬

‫‪ D = x 2 + 4 x 4‬په پولينومونو کې د ‪ x = 4‬لپاره د کوم پولينوم قيمت له ‪ 100‬څخه زيات‬ ‫دى؟‬ ‫‪d) B‬‬

‫‪c) A‬‬

‫‪b) D‬‬

‫‪a) C‬‬

‫‪ .6‬په الندې پولينومونو کې د ‪ x = 5‬لپاره د کوم پولينوم قيمت تر ټولو زيات دى؟‬ ‫‪a ) x 2 2x + 6‬‬ ‫‪b) 3x 4 + 6 x + 12‬‬ ‫‪c) x 3 40 x 300‬‬ ‫‪d ) x 5 120 x 4 + 10‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ .7‬کﻪ ‪ p( x) = x 4 x 3 x 2 x 1‬وي‪ p( ) ، p(0) ، p( 1) ،‬او ) ‪ p( 1‬پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ .8‬د ‪ x = 2‬لپاره د ‪ 1 x 4 + 1 x 3 + 3 x 2 + 5 x + 7‬پولينوم قيمت پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪8‬‬

‫‪8‬‬

‫‪8‬‬

‫‪4‬‬

‫‪16‬‬

‫د پولﻴنوم ＇لور‪－‬ونﻲ عملﻴ‪３‬‬ ‫که د مربع هره ضلع ‪ 3w 4‬او د متساوي‬ ‫االضالع مثلث هره ضلع ‪ w + 2‬وي‪ ،‬يوه‬ ‫الجبري افاده وليکئ چې د دواړو شکلونو‬ ‫محيط ښکاره ک‪７‬ي‪.‬‬ ‫کﻪ ‪ A = 8 x 2 2 x + 3‬او ‪B = 9 x 5‬‬

‫‪W+2‬‬

‫‪3W-4‬‬

‫وي‪ A + B ،‬او ‪ A B‬پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪ 1‬د جمع‪ ３‬عملﻴه‪ :‬مشابه حدونه (‪)Like terms‬يو له بل سره جمع کې‪８‬ي او هم مشابه حدونه‬ ‫يو له بله تفريق کې‪８‬ي‪ ،‬دا دواړه عمليې په افقي او عمودي ډول سر ته رسيدالى شي‪.‬‬ ‫لوم‪７‬ى مثال‪ :‬که ‪ A = 3cd 2 2cd + 5‬او ‪ B = 9cd 7cd 2 5‬وي ‪ A + B‬پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫)‪A + B = ( 3cd 2 2cd + 5) + (9cd 7cd 2 5‬‬ ‫‪= 3cd 2 2cd + 5 + 9cd 7cd 2 5 = 10cd 2 + 7cd‬‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫کﻪ ‪ B = 2ab 2 + 3a 2 , A = ab 2 + 3a‬او ‪ C = 2a + 4‬وي‪ ،‬د دې درې واړو‬ ‫پولينومونو د جمعې حاصل پيدا ک‪７‬ئ‪(A + B + C = ?) .‬‬

‫دوﻳم مثال‪ :‬جمع يې ک‪７‬ئ که‪B = 3x 5 2 x 2 , A = 1 + 2 x + 3x 2 :‬‬

‫او ‪ C = x 2 5 x + 4‬او ﻫم کﻪ‬ ‫‪ B = a 3b 2 2a 2 b 3 + 4b 4 , A = a 4 b 2a 3b 2 3a 2 b 3 4c 2b‬او‬ ‫‪ C = a 4 b + a 3b 2 2c‬وي‪.‬‬ ‫حل‪ :‬لوم‪７‬ى پولينومونه په منظم ډول ليکو او بيا مشابه حدونه سره جمع کوو‪.‬‬

‫‪17‬‬

‫‪4c 2 b‬‬ ‫‪+ 4b 4‬‬

‫‪a 4 b 2 a 3b 2 3a 2 b 3‬‬

‫‪3x 2 + 2 x + 1‬‬

‫‪a 3 b 2 2a 2 b 3‬‬

‫‪2 x 2 + 3x 5‬‬

‫‪+ a 4 b + a 3b 2‬‬

‫‪2c‬‬ ‫‪6c + 2b 4‬‬

‫‪5a 2 b 3‬‬

‫‪x 2 5x + 4‬‬

‫‪2a 4 b‬‬

‫‪+‬‬

‫‪2x 2‬‬

‫‪ -2‬د تفرﻳق عملﻴه‪ :‬د تفريق په عمليه کې د مفروق جمعې معکوس له مفروق منه سره جمع‬ ‫کوو‪ .‬يا په بل عبارت د مفروق عالمې تغيروو او له مفروق منه سره يې جمع کوو‪.‬‬ ‫لوم‪７‬ى مثال‪ :‬د ‪ B‬پﻮلﻴنﻮم د‪ A‬له پولينوم څخه تفريق ک‪７‬ئ‪ ،‬که ‪A = x 3 + x 2 + x 7‬‬

‫او ‪ B = x 3 + x 2 + 4x + 3‬وي او ﻫم کﻪ ‪ A = 2b 2 2c 2 2d 2 2e 2‬او‬ ‫‪ B = b 2 3c 2 3d 2 3e 2 f 2‬وي‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪2e 2‬‬

‫‪2d 2‬‬

‫‪3d 2 m 3e 2 m f 2‬‬

‫‪2c 2‬‬ ‫‪m‬‬

‫‪3c 2‬‬

‫‪m‬‬

‫‪A = 2b 2‬‬

‫‪A = x3 + x2 + x 7‬‬

‫‪B =+ b 2‬‬

‫‪B = m x 3 ± x 2 ± 4x ± 3‬‬

‫‪A B = b2 + c2 + d 2 + e2 + f 2‬‬

‫ﻳا‬

‫=‪A B‬‬

‫‪3x 10‬‬

‫)‪x + x + x 7 ( x + x + 4 x + 3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪4x 3‬‬

‫‪x2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪= x3 + x2 + x 7 + x3‬‬ ‫‪= 3x 10‬‬

‫بايد په ياد ولرو چې د يو پولينوم د ساده کولو لپاره مشابه حدونه (‪ )Like terms‬سره جمع يا‬ ‫تفريقوو‪ .‬د مثال په ډول‬ ‫‪a) x 2 + 6x 4 8 + 9x 2 + 2x 4 6x 2 = 8x 4 + 4x 2 8‬‬ ‫‪b) 3x x 1 + 3 2x = 2‬‬ ‫‪c) 2x 2 x x 2 x 2 = x 2 2x 2‬‬ ‫‪d) 6xy xy x y + 2x = 5xy + x y‬‬ ‫‪e) mn 4 + mn 5 = 2mn 9‬‬

‫‪18‬‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫په الندې پولينومونو کې مشابه حدونه (‪ )Like terms‬وښياست‪.‬‬ ‫‪t + 5t 2 6t 2 + 6t 3‬‬

‫‪9rs 2r 2s 2 + 4r 2s 2 + 3rs 7‬‬

‫‪3p 4p 2 + 6p + 10p 2‬‬

‫‪2fg + f 2 g fg 2 2fg + 3f 2 g + 5fg 2‬‬

‫دوﻳم مثال‪ :‬د ‪ a 4 + 2a 3 b 3ab 3 + a 2 b 2‬له پولينوم سره کوم پولينوم جمع ک‪７‬و چې د جمعې‬ ‫حاصل يې ‪ 2a 4 3a 3 b 3ab 3 b 4 + a 2 b 2‬شي؟‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪2a 4 3a 3 b + a 2 b 2 3ab 3 b 4‬‬ ‫‪a 4 ± 2a 3 b ± a 2 b 2 m 3ab 3‬‬ ‫‪b4‬‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫‪2‬‬ ‫د ‪ 4 x + 6 2 x‬او ‪x 3 3‬‬

‫‪a 4 5a 3 b‬‬

‫‪ 3 x 2‬پولينومونو مجموعه د ‪ x 3 + x 2 2 x‬او ‪2 x 3 + 3 x 7‬‬

‫پولينومونو له مجموعې څخه تفريق ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫درﻳم مثال‪ :‬تفريق يې ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪505y‬‬

‫‪4‬‬

‫‪404xy‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪101x y‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪202x y 303x y‬‬

‫‪- 101x 4 y m 303x 3 y 2 ± 101x 2 y 3 m 404xy 4 ± 505 y 5‬‬ ‫‪1010y5‬‬

‫‪101x 4 y‬‬

‫‪202x 2 y 3‬‬

‫‪3ax 5bx 8cx 11dx‬‬

‫‪± 3ax m 5bx m 8cx m 11dx‬‬ ‫‪0‬‬

‫＇لورم مثال‪ :‬مشابه حدونه (‪ )Like terms‬سره جمع او ساده يې ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪8 10 + x 7 + x = 2x 9‬‬ ‫‪ab + a b a = ab b‬‬

‫‪19‬‬

‫‪2k + 4‬‬

‫‪20 k k 10 6 k 2 = k 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪y 2 1 + y 2 1 = 2y 2‬‬

‫‪ab b‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ab a b a‬‬ ‫‪b+2=0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1 y‬‬

‫‪1 2y‬‬

‫‪2 + b 4b + b + b‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪5x + 5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪2b‬‬

‫‪5x 2x + 5 = x‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪4b‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x‬‬

‫بايد په ياد ولرو چې که ‪ Q, P‬او ‪ R‬پولينومونه وي‪ ،‬نو‬ ‫(د جمعې د عمليې تبديلي خاصيت)‪P + Q = Q + P .......................‬‬ ‫(د جمعې د عمليې اتحادي خاصيت)‪P + (Q + R) = (P + Q) + R ......‬‬ ‫(د ضرب توزيعي خاصيت پر جمع باندې)‪P(Q + R) = PQ + PR .........‬‬ ‫ﻳا‬ ‫‪(Q + R)P = QP + RP‬‬ ‫د پولينومونو د جمعې او تفريق په عمليو کې مشابه حدونه سره جمع او يا يو له بله تفريق کې‪８‬ي د‬ ‫پولينومونو د جمعې په عمليه کې د تبديلي او اتحادي خاصيتونه صدق کوي او د تفريق په عمليه کې‬ ‫د مفروق جمعې معکوس له مفروق منه سره جمع کې‪８‬ي او د ضرب توزيعي قانون پر جمع باندې په‬ ‫پولينومونو کې هم صدق کوي‪.‬‬

‫پو＊تن‪３‬‬ ‫‪ .1‬د دوو پولينومونو مجموعه ‪ x 2 + 2 x y 2‬ده‪ ،‬کﻪ ﻳﻮ پﻮلﻴنﻮم ‪ x 2 2xy + 3‬وي‪ ،‬بل‬ ‫پولينوم پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ .2‬د ‪ 3x 4 + 5x 3 + 2x 2 x + 1‬پﻮلﻴنﻮم لﻪ ‪ 4 x 4 + 2 x 2 + x 3 x + 1‬پولينوم څخه تفريق‬ ‫ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ .3‬د ‪، a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3‬پولينوم څخه د ‪ a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3‬پولينوم تفريق ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .4‬کﻪ ‪ B = a + 2a + 5 , A = a + 2a 6a + 7‬او ‪ C = 2a 3 a 2 + 2a 8‬وي‬ ‫ددې درې واړو پولينومونو مجموعه پيدا ک‪７‬ئ‪) A + B + C = ? ( .‬‬ ‫‪ .5‬د )‪ (ab 2 + 3a ) + (2ab 2 + 3a 2) + (2a + 4‬افادې د جمعې حاصل مساوي دى‪ ،‬په‪:‬‬ ‫‪c)3ab2 + 8a + 2‬‬

‫‪ .6‬جمع يې ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪b)3ab2 + 8a‬‬ ‫)‪2) + (1 + 6ab‬‬

‫‪2‬‬

‫‪a ) 3ab2 + 8a + 2‬‬

‫‪5ab) + ( 3ab + a‬‬

‫‪2‬‬

‫‪(3a b + 2a‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪.7‬که دوه الوتکې له يوه هوايي ډګر څخه يو د بل مخالف لورې ته والوزي‪ ،‬که ‪ 2‬ساعتونه وروسته د‬ ‫يوې الوتکې واټن له هوايي ډګر څخه ‪ x 2 + 2 x + 400‬ميله وي او دبلې الوتکې واټن له هوايي ډګر‬ ‫څخه ‪ 3x 2 50 x + 100‬ميله وي‪ ،‬ددې دواړو الوتکو تر منځ واټن(فاصله) پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪20‬‬

‫د پولﻴنومونو ضرب‬ ‫د هغه مکعب حجم به څومره وي چې هره‬ ‫ضلع يې )‪ ( x + 1‬سانتي متره وي؟‬

‫د مونوم ضرب په مونوم ک‪ :３‬که د ‪ 3r 2 s 3‬مﻮنﻮم د ‪ 5r 4 s 5‬په مونوم کې ضرب ک‪７‬و‪ ،‬د‬ ‫ضرب حاصل يې ‪ (3r 2s 3 )(5r 4s 5 ) = 15r 6s8‬کې‪８‬ي‪.‬‬ ‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫د ) ‪ ( 1 x )( x ) , (7 x 2 y)( 3x 4 yz8‬او )‪ ( 30a 2 b)( 5ab‬سره ضرب ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪3‬‬

‫لوم‪７‬ى مثال‪ :‬د الندې مونومونو د ضرب حاصل پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪1 2 1 2 16 1 16‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫= ) () ( = ) ( )‪(4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4 4 16‬‬ ‫‪( 2a)3 ( 2a) 2 = 32a 5‬‬

‫‪( 5y a )(5y) = 25y a +1‬‬ ‫‪( 4s 2 t 2 )(2st 3 ) = 8s 3 t 5‬‬ ‫‪a 2x ( 2a) = 2a 2x +1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a)( a) = a 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪( 0.1)( 0.1)( 0.1) = 0.001‬‬

‫‪x(x m ) = x m +1 = x1+ m‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪125 3 3‬‬ ‫= )‪( mn)( mn)( mn‬‬ ‫‪mn‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪( a b )( a) = a b +1 = a1+ b‬‬

‫(‬

‫‪(0.01p)(0.01p) = 0.0001p 2‬‬

‫‪( mn)( mn 2 ) = m 2 n 3‬‬

‫‪(0.1x 2 )(0.1x 2 ) = 0.01x 4‬‬

‫د مونوم ضرب په پولﻴنوم ک‪:３‬‬ ‫دوﻳم مثال‪ :‬د ضرب الندې حاصل الس ته راوړئ‪.‬‬ ‫‪(2m 2 n 3 )(1 4mn 4 ) = 2m 2 n 3 8m 3 n 7‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪x y‬‬

‫‪4‬‬

‫‪x (x x y ) = x‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3b(5b4 8b + 12) = 15b5 + 24b 2 36b‬‬ ‫‪4s 2 t 2 (5s 2 t + 6st 2s 2 t 2 ) = 20s 4 t 3 24s3 t 3 + 8s 4 t 4‬‬

‫‪21‬‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫د هغه مکعب حجم پيداک‪７‬ئ چې اوږدوالى يې‪ ، 2 x ،‬سور يې ‪ x‬او لوړوالى يې ‪ x + 2‬وي‪.‬‬ ‫د پولﻴنوم ضرب په پولﻴنوم ک‪:３‬‬ ‫درﻳم مثال‪ :a :‬د )‪ ( x 4)( x 5‬د ضرب حاصل الس ته راوړئ‪.‬‬ ‫حل‪( x 4)( x 5) = x 2 5x 4 x + 20 = x 2 9 x + 20 :‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4x‬‬ ‫‪20‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪5x‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪b) (a + b)(a + b)(a + b) = (a + b)(a 2 + 2ab + b 2 ) = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3‬‬

‫‪ :c‬کﻪ ‪ P( x) = x3 + 2 x‬او ‪ Q( x) = 2 x 2 x + 1‬وي‪ P( x ) Q( x ) .‬پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫)‪P( x ) Q( x ) = ( x 3 + 2 x ) (2 x 2 x + 1‬‬ ‫‪= x 3 2x 2 + x 3 ( x ) + x 3 1 + 2x 2x 2 + 2x ( x ) + 2x 1‬‬ ‫‪2x 2 + 2x‬‬

‫‪x 4 + 5x 3‬‬

‫‪2x 2 + 2x = 2x 5‬‬

‫‪x 4 + x 3 + 4x 3‬‬

‫‪= 2x 5‬‬

‫‪22‬‬

‫＇لورم مثال‪ :‬الندې افادې د ‪ a 3 + b 3‬او ‪ a 3 b 3‬مطابقتونو په مرسته ضرب ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‬ ‫] ) ‪( x )( y ) + ( y‬‬ ‫‪n 2‬‬

‫‪m‬‬

‫‪n‬‬

‫) ‪x y + y ) = ( x + y )[(x‬‬

‫‪m 2‬‬

‫‪m‬‬

‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫‪2n‬‬

‫‪m‬‬

‫‪2m‬‬

‫‪a ) ( x + y )( x‬‬ ‫‪m‬‬

‫‪n‬‬

‫‪= ( x ) + ( y ) = x 3m + y 3n‬‬ ‫‪n 3‬‬

‫)‪xy + y‬‬ ‫)‪xy + y‬‬

‫‪m 3‬‬

‫‪y )( x + y )( x + xy + y)( x‬‬

‫‪( x‬‬

‫‪y )( x + xy + y)( x + y )( x‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪=( x‬‬

‫‪= [( x )3 ( y )3 ][( x )3 + ( y )3 ] = [( x ) 3 ] 2 [( y ) 3 ] 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2 2‬‬

‫‪( y ) = x 3 y3‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2 2‬‬

‫) ‪= (x‬‬

‫په ياد ولرئ چې که ‪ Q , P‬او ‪ R‬پولينومونه وي‬ ‫(د ضرب د تبدﻳلﻲ خاصﻴت) ‪P Q = Q P‬‬ ‫(د ضرب اتحادي خاصﻴت) ‪P (Q R) = (P Q) R‬‬ ‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫کﻪ ‪ P( x ) = 2x 2 x 1‬او ‪ Q( x) = 4 x 8‬وي‪ ،‬د ضرب د تبديل‪ ９‬او اتحادي خاصيتونه‬ ‫په کې وڅې‪７‬ئ‪.‬‬ ‫په الندې جدول کې د هندسي شکلونو مساحت (‪ )Area‬پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫مساحت‬ ‫راک‪ ７‬شوى اوږدوالى‬ ‫‪ n 2 + n 20‬اوږدوالى يې ‪ n + 5‬اوسور يې ‪n 4‬‬

‫‪6 y 2 + 3y 3‬‬ ‫‪5 2‬‬ ‫‪b + 2b 5‬‬ ‫‪2‬‬

‫اوږدوالى يې ‪ 3 y + 3‬اوسور يې ‪2 y 1‬‬ ‫‪ b 3‬قاعده يې ‪ 2b 5‬او لوړوالى يې ‪b 2 + 2‬‬

‫مستطﻴل‬ ‫مستطﻴل‬ ‫مثلث‬

‫‪ m 2 + 26m + 169‬هره ضلع يې ‪ ، m + 13‬ده‬

‫مربع‬

‫هره ضلع يې ‪ 2 g 4‬ده‬

‫مربع‬

‫‪4g 2 16g + 16‬‬

‫)‪ (9c 2 + 12c + 4‬شعاع يې ‪ 3c + 2‬ده‬

‫‪23‬‬

‫هند‬

‫ش ل ن‬

‫داﻳره‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫د‬

‫)‪ab bc ac‬‬

‫‪ (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2‬د ضرب حاصل په الس راوړئ‪.‬‬

‫پو＊تنه‪ :‬د يوه حوض څلورو خواوو ته له سمنټو څخه پخه شوې الره‬ ‫ده‪ ،‬که د دې الرې سور ‪ x‬متره وي او د حوض اوږدوالى او سور په ترتيب‬ ‫سره ‪ 50m‬او ‪ 25m‬وي د الرې مساحت معلوم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪ :‬د الرې او حوض مجموعي مساحت‬ ‫‪A = (25 + 2 x )(50 + 2 x ) = 1250 + 150x + 4 x 2‬‬ ‫د حوض مساحت‪(25m)(50m) = 1250m 2 :‬‬

‫د الرې مساحت‪ 1250 + 150x + 4x 2 1250 = 4x 2 + 150x :‬د‬ ‫پولينومونو په ضرب کې کېدای شي‪ ،‬مونوم په مونوم کې‪ ،‬مونوم په پولينوم کې او يا پولينوم په پولينوم‬ ‫کې ضرب ک‪７‬و او د ضرب په عمليه کې د تبديل‪ ،９‬اتحادي او د ضرب توزيعي خاصيت په جمع‬ ‫باندې هم صدق کوي‪.‬‬

‫پو＊تن‪３‬‬ ‫‪.1‬ضرب يې ک‪７‬ئ‪(4 x 2 y 2 z)( 5xy 3 z 2 ) :‬‬

‫‪,‬‬

‫)‪2 xy(2 x 2 + 2 y 2 2‬‬

‫‪ .2‬يو بکس چې لوړوالى يې ‪ x‬انچه‪ ،‬اوږدوالى يې )‪ ( x + 1‬او سور يې ‪ 2 x 4‬انچه دى‪ ،‬که‬ ‫لوړوالى يې ‪ 3‬انچه وي‪ ،‬د دې بکس حجم مساوي دى‪ ،‬په‪:‬‬ ‫‪d ) 20 in 3‬‬

‫‪ .3‬د‬

‫‪p‬‬

‫‪b) 24 in 3‬‬

‫‪c) 48 in 3‬‬

‫‪40 in 3‬‬

‫)‪a‬‬

‫‪p‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪ ( a q ) p q ( a r ) q r ( a p ) r‬د ضرب حاصل مساوي دى‪ ،‬په‪:‬‬

‫‪a‬‬

‫درې واړه سم نه دي ) ‪d‬‬

‫‪a‬‬

‫‪a‬‬

‫صفر )‪c‬‬

‫‪b) 1‬‬

‫‪a )1‬‬

‫‪24‬‬

‫د پولﻴنوم و‪４‬ش پر مونوم‬ ‫آيا د‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a , 3mn ,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪mn‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪x2‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪14x 5‬‬ ‫‪na‬‬ ‫د‬ ‫او‬ ‫‪2x 2‬‬ ‫‪nb‬‬

‫‪2‬‬

‫‪,‬‬

‫‪4m‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬

‫د وېش حاصل په الس‬

‫راوړالى شئ؟(هيڅ يو مخرج له صفر سره مساوي نه دی)‪.‬‬ ‫د مونوم و‪４‬ش پر مونوم (‪:)Dividing monomial by monomial‬‬

‫لوم‪７‬ى مثال‪ :‬ويې وېشئ‪:‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪na‬‬ ‫‪= na‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪x‬‬

‫‪,‬‬

‫‪36a 5 b 5c 7‬‬ ‫‪6x 9 y3 3 3‬‬ ‫‪4 4‬‬ ‫‪= 3ab c ,‬‬ ‫‪= x y ,‬‬ ‫‪12a 4 bc3‬‬ ‫‪4x 6 y 2 2‬‬

‫‪a2‬‬ ‫‪= a2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪a‬‬

‫د پولﻴنوم و‪４‬ش پر مونوم‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‪0‬‬

‫‪7x 2‬‬ ‫‪= x 2 + 5x 7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪(x 2‬‬

‫‪7x ) ÷ x‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪( x + 5x‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪x + 5x 7 x 2 x 4 5x 3‬‬ ‫‪= 2+ 2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫دوﻳم مثال‪ :‬ويې وېشئ‪.‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪x y 4x y‬‬ ‫‪= x 5 y xy5 4 y8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x y‬‬

‫‪(x 3 y‬‬

‫)‪0‬‬ ‫)‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫د وېش حاصل په الس راوړئ‪( .‬مخرجونه خالف د صفر دي)‬ ‫‪10b 3c 7‬‬ ‫‪c: 2 7‬‬ ‫‪6b c‬‬

‫‪25‬‬

‫‪x y‬‬

‫‪r 6 s 2 r 5 s 4 r 3s 4‬‬ ‫‪= r 4s r 3 4rs 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪rs‬‬

‫‪( r 2s‬‬

‫‪x2‬‬ ‫÷‬ ‫‪1 y 1‬‬

‫‪8‬‬

‫‪x2‬‬ ‫‪y2‬‬

‫‪b:‬‬

‫‪27 x 6 y13 18x12 y8‬‬ ‫‪a:‬‬ ‫‪9x 3 y8‬‬

‫د پولﻴنوم و‪４‬ش پر پولﻴنوم‪ :‬څه وخت چې يو پولينوم پر بل پولينوم وېشو‪ ،‬مقسوم‬ ‫(‪ )Dividend‬او مقسوم عليه (‪ )Divisor‬دواړه بايد په منظم ډول ترتيب شي‪.‬‬ ‫درﻳم مثال‪ :‬د ) ‪ (13x + 2x 4 + 12 + 3x 3 4x 2 ) ÷ (3 + x 2 2x‬د وېش حاصل په‬ ‫الس راوړئ‪.‬‬ ‫‪2x + 3‬‬

‫‪2x 4 + 3x 3 4x 2 + 13x + 12‬‬

‫‪x2‬‬

‫‪± 2x 4 m 4x 3 ± 6x 2‬‬

‫‪2x 2 + 7x + 4‬‬

‫‪7x 3 10 x 2 + 13x‬‬ ‫‪± 7x 3 m 14x 2 ± 21x‬‬ ‫‪4x 2 8x + 12‬‬ ‫‪± 4x 2 m 8x ± 12‬‬ ‫‪0‬‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫د )‪ (a 5 + b 5 ) ÷ (a + b‬د وېش حاصل په الس راوړئ‪.‬‬ ‫＇لورم مثال‪ :‬د وېش حاصل يې پيدا ک‪７‬ئ )‪. ( x 3 19x 30) ÷ ( x + 3‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪x +3‬‬ ‫‪3x 10‬‬

‫‪3‬‬

‫‪19x 30‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪x‬‬

‫‪x‬‬

‫‪_x ± 3x‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪3x 2 19x‬‬ ‫‪m 3x 2 m 9x‬‬ ‫‪10x 30‬‬ ‫‪m 10x m 30‬‬ ‫‪0‬‬

‫پن‪％‬م مثال‪ :‬د ‪ 4x 3 10x 2 + 12x + 6‬له پولينوم سره کوم عدد جمع ک‪７‬و چې په ( ‪) 2 x + 1‬‬ ‫پوره ووېشل شي؟‬

‫‪26‬‬

‫حل‬ ‫‪10x + 12x + 6‬‬

‫‪2x + 1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2x 2 6x + 9‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4x‬‬

‫‪_4x 3 ± 2x 2‬‬ ‫‪12x 2 + 12x‬‬ ‫‪m 12x 2 m 6x‬‬ ‫‪18x + 6‬‬ ‫‪_ 18x ± 9‬‬ ‫‪3‬‬

‫په نتيجه کې که له پورتني پولينوم سره ‪ 3‬جمع ک‪７‬و‪ ،‬نو په )‪ (2 x + 1‬پوره د وېشلو وړ دى‪.‬‬ ‫بايد پام مو وي‪ ،‬د وېش عمليې ته به تر هغو پورې دوام ورکوو چې پاتې(باقي مانده) صفر او يا د باقي‬ ‫مانده درجه د مقسوم عليه له درجې څخه د يو په ا ندازه کمه شي‪.‬‬ ‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫د دوو پولينومونو د ضرب حاصل ‪ 6 y 3 11y 2 + 6 y 1‬دى‪ .‬که يو پولينوم ‪3 y 2 4 y + 1‬‬

‫وي‪ ،‬بل پولينوم پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫شپ‪８‬م مثال‪ :‬د ‪ x‬په کوم قيمت ‪ 12x 4 + 3x 3 13x 2 + x + 5‬پﻮلﻴنﻮم پر ‪ 3x 2 1‬باندې‬ ‫پوره وېشل کې‪８‬ي؟‬ ‫حل‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3x‬‬

‫‪13x + x + 5‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪4x + x 3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2x + 2 = 0‬‬ ‫‪2x = 2‬‬ ‫‪x= 1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪m 4x‬‬

‫‪_ 3x 3‬‬

‫‪m‬‬

‫‪9x 2 + 2x + 5‬‬ ‫‪±3‬‬ ‫‪2x + 2‬‬

‫نﻮ د ‪ x = 1‬لپاره پورتنى پولينوم پر ‪ 3x 2 1‬پوره وېشل کې‪８‬ي‪.‬‬

‫‪27‬‬

‫‪12 x + 3x‬‬

‫‪3x 3 9 x 2 +‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪m 9x 2‬‬

‫‪_ 12 x‬‬

‫د پولينومونو په وېش کې کېدای شي چې مونوم پر مونوم‪ ،‬پولينوم پر مونوم او يا پولينوم پر پولينوم‬ ‫ووېشو‪ .‬لوم‪７‬ى بايد مقسوم او مقسوم عليه په نزولي ډول ترتيب شي او د وېش عمليې ته تر هغه پورې‬ ‫دوام ورکوو‪ ،‬تر څو د پاتې (باقي) درجه د مقسوم عليه له درجې څخه د يو په اندازه کمه شي‪.‬‬

‫پو＊تن‪３‬‬ ‫‪ .1‬د‪ P‬پﻪ کﻮم قﻴمت ‪ 3x 3 7 x 2 9 x + p‬پﻮلﻴنﻮم پر ‪ x 13‬پوره وېشل کې‪８‬ي؟‬ ‫‪ .2‬د وېش حاصل يې پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫)‪(a 3 + b 3 + c3 3abc) ÷ (a + b + c‬‬ ‫)‪( x 2 + x 6) ÷ ( x 2‬‬ ‫)‪y 5 ) ÷ ( x y‬‬

‫‪(x 5‬‬

‫‪j5 k 2 3 j8 k 4‬‬ ‫‪2 j4 k‬‬ ‫‪12 x 5 + 9 x 4 + 15x 2‬‬ ‫‪3x 3‬‬ ‫‪27a 6 b13 18a 12 b8‬‬ ‫‪9a 3 b8‬‬ ‫) ‪( x 3 a 3 ) ÷ ( x 2 ax + a 2‬‬ ‫)‪(9 x 4 + 2 x 2 + 7 x + 2) ÷ (3x + 2‬‬ ‫)‪(8x 3 + 27 y 3 ) ÷ (2 x + 3y‬‬

‫)‪(7 x 12 + 2 x 4 8x 3 x 2 ) ÷ (2 x 2 + 5‬‬

‫‪28‬‬

‫د باقﻲ مانده قضﻴه‬ ‫(‪)Remainder Theorem‬‬ ‫آيا د وېش د عمليې له سرته رسولو پرته ويالى‬ ‫شئ چې که د ‪ x 3 6x 2 x 6‬پﻮلﻴنﻮم پﻪ‬ ‫‪ x 4‬ووېشو پاتې(باقي) به څو وي؟‬ ‫پاتې‬

‫کﻪ د )‪ P(x‬پﻮلﻴنﻮم پﻪ ‪ x a‬ووېشل شي باقي (پاتې) د ) ‪ P(a‬سره مساوي ده‪ .‬يا ) ‪R = P (a‬‬

‫لوم‪７‬ى مثال‪ :‬که د ‪ P( x ) = 2x 2 + 3x + 4‬پﻮلﻴنﻮم پر ( ‪ ) x + 3‬ووېشل شي‪ ،‬نو باقي‬ ‫(‪ )Remainder‬لﻪ )‪ P( 3‬سره مساوي ده‪.‬‬ ‫‪P( 3) = 2( 3) 2 + 3( 3) + 4 = 13‬‬

‫حل‪:‬‬ ‫اوس يې ازمايو او د وېش عمليه سرته رسوو‪.‬‬

‫‪x +3‬‬

‫‪2 x + 3x + 4‬‬

‫‪2x 3‬‬

‫‪_ 2x 2 ± 6x‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3x + 4‬‬ ‫‪m 3x m 9‬‬ ‫‪13‬‬

‫قضﻴه‪ :‬که د )‪ P(x‬پﻮلﻴنﻮم پﻪ )‪ ( x a‬ووېشو‪ ،‬نو باقي يا پاتې )‪ R = P(a‬ده‪.‬‬ ‫ثبوت‪ :‬که د )‪ P(x‬پﻮلﻴنﻮم پﻪ )‪ ، ( x a‬ووېشو او خارج قسمت )‪ Q(x‬او پاتې ‪ R‬وي‪ ،‬نو لرو‬ ‫چې‪:‬‬ ‫‪x a=0‬‬ ‫‪x=a‬‬

‫‪P(x) = Q(x)(x a) + R‬‬ ‫‪P(a) = Q(a)(a a) + R‬‬ ‫‪P(a) = R‬‬

‫دوﻳم مثال‪ :‬که د ‪ 2 x 3 x 2 7‬پﻮلﻴنﻮم پر )‪ ( x 2‬ووېشل شي‪ ،‬پاتې به څو وي؟‬

‫‪29‬‬

‫حل‪:‬‬ ‫‪7 = 16 4 7 = 5‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪( 2‬‬

‫‪3‬‬

‫)‪P(2) = 2(2‬‬ ‫‪R =5‬‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫د پورتن‪ ９‬قضيې په مرسته يې پاتې(باقي مانده) پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫کﻪ ‪x 2 226 x + 1410‬‬

‫‪ x 3‬پر )‪( x + 17‬‬

‫کﻪ ‪ x 3 2 x 2 + 3x + 5‬پر )‪( x 4‬‬

‫شل‬

‫شل‬

‫کﻪ ‪ x 3 + 18x 2 + 164x + 199‬پر )‪( x + 8‬‬

‫شل‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫درﻳم مثال‪ :‬کﻪ د ‪ 5 x 2 + x 9‬پﻮلﻴنﻮم پر ) ‪ ( x +‬ووېشل شي‪ ،‬د وېش د عمليې له سرته‬ ‫رسولو څخه پرته وواياست چې څو پاتې کې‪８‬ي؟‬ ‫حل‬ ‫‪1‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x+‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪) = 5( ) 2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪5 1‬‬ ‫‪5 2 36‬‬ ‫‪33‬‬ ‫) (‪= 5‬‬ ‫=‬ ‫=‪9‬‬ ‫=‪9‬‬ ‫‪4 2‬‬ ‫‪4 2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫(‪P‬‬

‫＇لورم مثال‪ :‬که د ‪ P( y) = 10 y 3 + 7 y 2 y 11‬پﻮلﻴنﻮم پر )‪ (2 y + 1‬ووېشو‪ ،‬د وېش‬ ‫د عمليې له سرته رسولو پرته يې پاتې(باقي) پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‬ ‫‪2y = 1‬‬

‫‪1 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2y + 1 = 0‬‬ ‫‪) + 7( ) 2 ( ) 11‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‪y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪) + 7( ) +‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4 2‬‬ ‫‪5 + 7 + 2 44‬‬ ‫‪40‬‬ ‫= ‪11‬‬ ‫=‬ ‫‪= 10‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫(‪) = 10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(‪P( ) = 10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5 7 1‬‬ ‫=‬ ‫‪+ +‬‬ ‫‪4 4 2‬‬ ‫‪R = 10‬‬

‫(‪P‬‬

‫‪30‬‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫د ‪ 4‬مثال په پوښتنه کې د وېش عمليه سرته ورسوئ او باقي يې په الس راوړئ‪.‬‬ ‫پن‪％‬م مثال‪ :‬که د ‪ 4x 4 + 12x 3 13x 2 33x + 18‬پولينوم پر )‪ ( x + 4‬ووېشل شي‪،‬‬ ‫باقي يې پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪33( 4) + 18‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪13( 4‬‬

‫‪3‬‬

‫)‪P( 4) = 4( 4) + 12( 4‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪= 1024 768 208 + 132 + 18 = 1174 976 = 198‬‬

‫اوس د وېش عمليه سرته رسوو‪.‬‬ ‫‪x+4‬‬

‫‪4x 4 + 12x 3 13x 2 33x + 18‬‬ ‫‪- 4x 4 ± 16x 3‬‬

‫‪4x 3 4x 2 + 3x 45‬‬

‫‪4x 3 13x 2‬‬ ‫‪m 4x 3 m 16x 2‬‬ ‫‪+ 3x 2 33x‬‬ ‫‪± 3x 2 ± 12x‬‬ ‫‪45x + 18‬‬ ‫‪m 45x m 180‬‬ ‫‪198‬‬

‫که د (‪ P)x‬پولينوم پر (‪ P)x-a‬ووېشل شي‪ ،‬د وېش د عمليې له سر ته رسوولو پرته يې د باقي مانده‬ ‫قضيې (‪)Remainder Theorem‬په مرسته باقي پيدا کوالى شو چې باقي مانده (‪ )R‬لﻪ (‪)a‬‬ ‫‪ P‬سره مساوي ده‪.‬‬

‫‪31‬‬

‫پو＊تن‪３‬‬ ‫‪.1‬د باقي مانده قضيې (‪ )Remainder theorem‬په مرسته يې باقي (پاتې) پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬

‫‪(6 p 3 + 2 p 2‬‬

‫‪p + 20) ÷ (p‬‬

‫)‪y 6) ÷ ( y 1.6‬‬

‫‪(4 y 2‬‬

‫‪x 2 + 4 x + 1) ÷ ( x 3) ,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪(5x 3‬‬

‫)‪(6 x 2 + 15) ÷ (4 x + 9‬‬

‫‪ .2‬د باقي مانده قضيې په مرسته وواياست چې د ‪ k‬په کوم قيمت د ‪5x 3 k 2 x 2 + 3k x 6‬‬

‫پﻮلﻴنﻮم پر ( ‪ ) x + 2‬ووېشل شي‪ ،‬تر څو ‪ 44‬باقي شي؟‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ .3‬د ‪ k‬په کوم قيمت که د ‪ 2k 2 y 4 ky 2 + 1‬پولينوم‪ ،‬پر )‬ ‫‪2‬‬

‫شي؟‬ ‫‪ .4‬که چېرې ‪10x + 2‬‬ ‫به څو وي؟‬ ‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ m x‬پﻮلﻴنﻮم پر )‪( x 1‬‬

‫‪ ( y‬ووېشل شي‪ ،‬ترڅو ‪ 2‬باقي‬

‫ش ا باق ‪17‬‬

‫‪ ،‬د ‪ m‬قيمت‬

‫‪32‬‬

‫د فک＂ور قضﻴه‬ ‫(‪)The Factor Theorem‬‬ ‫)‪( x 5 + 1) ÷ ( x + 1‬‬ ‫آﻳا )‪ ( x 1‬د ‪P( x) = x 3 4 x 2 + x + 2‬‬

‫پولينوم يو فکټور دى؟‬

‫]‪P( 1) = [ ( 1) + 1‬‬ ‫‪= 1+1 = 0‬‬ ‫‪5‬‬

‫شي‪ ،‬نو ‪ x a‬ددې پولينوم يو‬ ‫کﻪ د )‪ P(x‬پﻮلﻴنﻮم پر ) ‪ ( x a‬ووېشل شي او ‪= P(a ) = 0‬‬ ‫فکټور دى‪.‬‬ ‫ثبوت‪ :‬د باقي مانده قضيې په اساس )‪ R = P(a‬دى‪ ،‬نو که د )‪ P(x‬پﻮلﻴنﻮم پر )‪ ( x a‬ووېشل‬ ‫شي او د وېش حاصل(خارج قسمت) يې )‪ Q(x‬وي‪ ،‬نو لرو چې‪P(x) = Q(x)(x a) + R :‬‬ ‫کﻪ ‪ R = 0‬وي‪ ،‬نو‪P(x) = Q(x)(x a) :‬‬

‫ليدل کې‪８‬ي چې )‪ ( x a‬د )‪ P(x‬پولينوم يو فکټور دى‪ .‬او يا که )‪ ( x a‬د )‪ P(x‬د پولينوم يو‬ ‫فکټور وي‪ ،‬نو ‪ P(a) = 0‬دى‪.‬‬ ‫لوم‪７‬ى مثال‪ :‬وښياست چې )‪ ( x 2‬د ‪ P( x ) = x + 3x + 4x 28‬د پولينوم يو فکټور‬ ‫دى‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫حل‬ ‫‪x 2=0‬‬ ‫‪x=2‬‬

‫‪P(x) = x + 3x + 4x 28‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪P(2) = 2 + 3(2) + 4 2 28 = 8 + 3(4) + 8 28 = 0‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫څرنګه چې ‪ R‬ﻳا ‪ P(2) = 0‬دى‪ ،‬نو )‪ ( x 2‬د )‪ P(x‬د پولينوم يو فکټور دى‪.‬‬ ‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫د وېش د عمليې له سرته رسولو پرته‪ ،‬د فکټور د قضيې په مرسته وښياست چې ‪ x 1‬د‬ ‫‪ P( x ) = 2x 3 13x 2 + 26x 15‬پولينوم يو فکټور دى‪.‬‬ ‫دوﻳم مثال‪ :‬د فکټور د قضيې په مرسته وښياست چې( ‪ ) x 2‬د ‪ P( x ) = x 5 32‬پولينوم‬ ‫يو فکټور دى‪.‬‬

‫‪33‬‬

‫حل‬ ‫‪32‬‬

‫‪5‬‬

‫‪P(x) = x‬‬

‫‪P(2) = 25 32 = 32 32 = 0‬‬

‫څرنګه چې ‪ R = P(2) = 0‬ده‪ ،‬نو )‪ ( x 2‬د ‪ x 5 32‬پولينوم يو فکټور دى‪.‬‬ ‫درﻳم مثال‪ :‬وښياست چې )‪ ( x + 1‬د ‪ P( x ) = 2x 3 + 5x 2 + 7 x + 4‬پولينوم يو فکټور دى‪.‬‬ ‫حل‪P( 1) = 2( 1)3 + 5( 1)2 + 7( 1) + 4 = 2 + 5 7 + 4 = 0 :‬‬

‫څرنګه چې ‪ R‬ﻳا )‪ P( 1‬له صفر سره مساوي دى‪ ،‬نو )‪ ( x 1‬د دې پولينوم يو فکټور دى‪.‬‬ ‫＇لورم مثال‪ :‬د ‪ k‬په کوم قيمت‪ ( x 1) ،‬د ‪ P( x ) = 2x 4 3x 3 x 2k‬پولينوم يو‬ ‫فکټور دى؟‬ ‫حل‬ ‫‪1 2k = 2 3 1 2k = 2 2k‬‬

‫‪3‬‬

‫)‪3(1‬‬

‫د ‪ k = 1‬لپاره باقي مانده صفر کې‪８‬ي‪ ،‬نو ‪ x 1‬د دې پولينوم يو فکټور دی‪.‬‬

‫)‪P(1) = 2(1‬‬ ‫‪2 2k = 0‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2k = 2‬‬ ‫‪k= 1‬‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫د فکټور د قضيې په مرسته وښياست چې آيا د کيڼې خوا دوه حدې (باينومونه) د اړوندو پولينومونو‬ ‫فکټورونه دي او که نه؟‬ ‫)‪(y + 5) : (y3 + 125‬‬

‫)‪(x 6) : (x 6 36x 3 + 1296‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪) : (x 3‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫)‪(x + 2) : (x 5 + 32‬‬

‫‪1‬‬ ‫)‪(x + ) : (20x 3 + 7x + 6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪(x 0.1) : (10x 3 11x 2 + 1‬‬

‫‪(x‬‬

‫د فک＂ور د قضﻴ‪ ３‬معکوس (‪:)Converse of Factor Theorem‬‬ ‫کﻪ ) ‪ ( x a‬د )‪ P(x‬پولينوم يو فکټور وي‪ ،‬نو ‪ P(a ) = 0‬دى او د ‪ a‬عدد ‪P ( x) = 0‬‬

‫پولينومي معادلې يو جذر (‪ )Root‬دى‪.‬‬ ‫لوم‪７‬ى مثال‪ :‬که )‪ ( x 2‬د ‪ P( x ) = x 3 6x 2 + 11x 6‬پولينوم يو فکټور وي‪ ،‬نو‬

‫‪34‬‬

‫وښياست چې ‪ P(2) = 0‬دى او ‪ 2‬د ‪ x 3 6x 2 + 11x 6 = 0‬معادلې يو جذر دى‪.‬‬ ‫حل‪ :‬کﻪ ‪ 2‬د ‪ x 3 6x 2 + 11x 6 = 0‬معادلې يو جذر وي‪ ،‬نو )‪ ( x 2‬ددې پولينوم يو‬ ‫فکټور دى ‪ P(2) = 0‬دى‪.‬‬ ‫‪6(2) + 11(2) 6 = 8 24 + 22 6 = 0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪P ( 2) = 2‬‬

‫دوﻳم مثال‪ :‬که ‪ -2‬د ‪ x 3 + 4x 2 + kx + 8 = 0‬معادلې يو جذر وي‪ ،‬د ‪ k‬قيمت پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪( 2) + 4( 2) + k ( 2) + 8 = 0‬‬ ‫‪8 + 16 + k ( 2) + 8 = 0‬‬ ‫‪2k = 8 + 8 16‬‬ ‫‪k =8‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫درﻳم مثال‪ :‬وښياست چې ‪ 3‬د ‪ x 3 6x 2 + 5x + 12 = 0‬پولينومي معادلې يو جذر دى‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪(3) 6(3) + 5(3) + 12 = 0‬‬ ‫‪27 54 + 15 + 12 = 0‬‬ ‫‪54 54 = 0‬‬ ‫‪0=0‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫نو ليدل کې‪８‬ي چې ‪ 3‬ددې پولينومي معادلې يو جذر دى‪.‬‬ ‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫وښياست چې ‪ 2‬د ‪ x 3 4x 2 + 5x 2 = 0‬معادلې يوجذر دى‪.‬‬ ‫＇لورم مثال‪ :‬د ‪ k‬د کوم قيمت لپاره ‪ 3‬د ‪ 2x 4 6x 3 7 x 2 + kx 15 = 0‬معادلې يو‬ ‫جذر دى؟‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪2(3) 6(3) 7(3) + 3k 15 = 2(81) 6(27) 7(9) + 3k 15 = 0‬‬ ‫‪162 162 63 + 3k 15 = 0‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3k = 15 + 63 + 162 162 = 78‬‬ ‫‪3k = 78‬‬ ‫‪k = 26‬‬

‫‪35‬‬

‫کﻪ (‪ )x-a‬د )‪ P(x‬پولينوم يو فکټور وي‪ ،‬نو ‪ P(a) = 0‬دى او کﻪ د )‪ P(x‬په پولينوم کې‬ ‫‪ P(a) = 0‬شﻲ نﻮ )‪ ( x a‬د )‪ P(x‬پولينوم يو فکټور دى‪.‬‬

‫پو＊تن‪３‬‬ ‫‪ - 1‬د ‪ k‬د کﻮم قﻴمت لپاره )‪ ( x 2‬د ‪ P( x ) = 2x 4 x 3 + kx 2 + kx 12‬پولينوم يو‬ ‫فکټور دى؟‬ ‫‪ - 2‬آﻳا )‪ ( x + 3‬د ‪ P( x ) = x 5 x 3 + 27x 2 27‬پولينوم يو فکټور دى؟‬ ‫‪ - 3‬د فکټور د قضيې په مرسته وښياست چې )‪ ( x + 7‬د‪ P( x ) = x 3 + 8x 2 + 8x + 7‬د پولينوم‬ ‫يو فکټور دى‪ ،‬که نه؟‬ ‫‪- 4‬د وېش د عمليې د سرته رسولو پرته وښياست چې آيا )‪ ( y 7‬د‬ ‫‪ P( y) = y 4 + 2 y 3 6 y 2 14 y 7‬پولينوم يو فکټور دى که نه؟‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ -6‬د ‪ x + x 2 10 x + 8‬پولينوم د فکټور د قضيې په مرسته تجزيه ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪- 5‬وښياست چې آيا ) ‪ (m +‬د ‪ P( x ) = 2m 2 + 4m 2‬پولينوم يو فکټور دى که نه؟‬ ‫‪ -7‬کﻪ )‪ ( x 1‬او )‪ ( x + 1‬د ‪ P( x ) = x 3 + ax 2 + bx + 2‬د پولينوم فکټورونه وي‪ ،‬د ‪ a‬او‬ ‫‪ b‬قيمتونه پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪- 8‬د ‪ ، k‬د کﻮم قﻴمت لپاره )‪ ( x 5‬د ‪ Q( x ) = x 3 5x 2 16x + k‬پولينوم يو فکټور‬ ‫دى؟‬ ‫‪ - 9‬د ‪ k‬د کﻮم قﻴمت لپاره )‪ ، ( 1‬د ‪ x 3 9x 2 + 14 x + k = 0‬پولينومي معادلې يو جذر‬ ‫دى؟‬

‫‪36‬‬

‫ترکﻴبﻲ و‪４‬ش‬ ‫(‪)Synthetic Division‬‬ ‫آيا د وېش عمليې له سرته رسولو پرته‪ ،‬د وېش‬ ‫حاصل او باقي پيدا کوالى شئ‪.‬‬ ‫که د ‪ P( x ) = 2x + 3x 3 x 2 5‬پﻮلﻴنﻮم‬ ‫پر )‪ ( x 2‬ووېشل شي؟‬

‫د )‪ P(x‬پﻮلﻴنﻮم پر )‪ ، ( x a‬د وېشلو لپاره ترکيبي وېش (‪ )Horner's Method‬يوه لن‪６‬ه‬ ‫طريقه ده چې په عمومي ډول د دې هدفونو لپاره ترې کار اخيستل کې‪８‬ي‪.‬‬ ‫‪ - 1‬د‪ x‬د مختلفو قيمتونو لپاره د )‪ P(x‬پولينوم د قيمت پيدا کول‪.‬‬ ‫‪ - 2‬د ‪ P( x ) = 0‬معادلې د ناطق جذر د پيدا کولو لپاره‪.‬‬ ‫‪ - 3‬د الجبري افادو د تجزيې لپاره‪.‬‬ ‫لوم‪７‬ى مثال‪ :‬که د ‪ P( x ) = 4x 4 + 12x 3 13x 2 33x + 18‬پﻮلﻴنﻮم پر )‪ ( x + 4‬باندې‬ ‫ووېشو د وېش د عمليې له سرته رسولو پرته د ترکيبي وېش (تقسيم) په مرسته يې د وېش حاصل‬ ‫(‪ )Quotient‬او باقﻲ مانده (‪ )Remainder‬پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪x+4=0‬‬ ‫‪x= 4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪18‬‬ ‫‪180‬‬

‫‪33‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪13‬‬ ‫‪16‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪16‬‬

‫‪ 4‬لوم‪７‬ى کرښه‬ ‫دويمه کرښه‬

‫‪198‬‬

‫‪45‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪ 4‬دريمه کرښه‬

‫چې د وېش حاصل (خارج قسمت) يې ‪ 4x 3 4x 2 + 3x 45‬او پاتي يا باقي مانده يې ‪198‬‬ ‫ده‪ ،‬په دې معنا چې‪P( x ) = ( x + 4)(4 x 3 4 x 2 + 3x 45) + 198 :‬‬ ‫پورتن‪ ９‬عمليه په الندې پ‪７‬اوونو کې ښودالى شو‪.‬‬ ‫د لوم‪７‬ى کرښې عددونه د مقسوم ضريبونه دي چې نظر د ‪ x‬توان ته په نزولي ډول ترتيب شوي دي‪.‬‬ ‫‪ .1‬د ‪ 4‬عدد له لوم‪７‬ۍ کرښې څخه دريمې کرښې ته راښکته شوی دی‪.‬‬

‫‪37‬‬

‫‪ 4 .2‬پﻪ (‪ )-4‬کې ضرب شوى دى چې (‪ )-16‬کې‪８‬ي او (‪ )-16‬د ‪ 12‬د عدد الندې په‬ ‫دويمه کرښه کې ليکل شوى دى‪.‬‬ ‫‪ .3‬د ‪ 12‬او (‪ )-16‬د جمعې حاصل چې (‪ )-4‬کې‪８‬ي‪ ،‬په دريمه کرښه کې ليکو‪.‬‬ ‫‪ .4‬د(‪ )-4‬عدد پﻪ (‪ )-4‬کې ضربوو چې ‪ 16‬کې‪８‬ي او د (‪ )- 13‬الندې يې په دويمه کرښه‬ ‫کې ليکو‪.‬‬ ‫‪.5‬د‪ 16‬او (‪ )-13‬د جمعې حاصل چې ‪ 3‬کې‪８‬ي‪ ،‬په دريمه کرښه کې ليکل شوى دى‪.‬‬ ‫‪ .6‬د ‪ 3‬او (‪)-4‬د ضرب حاصل چې (‪ )-12‬کې‪８‬ي‪ ،‬د (‪ )-33‬الندې په دويمه کرښه کې‬ ‫ليکل شوى دى‪.‬‬ ‫‪ .7‬د(‪ )-33‬او (‪ )-12‬د جمعې حاصل چې ( ‪ )- 45‬کې‪８‬ي‪ ،‬په دريمه کرښه کې ليکو‪.‬‬ ‫‪ .8‬د(‪ )-45‬او (‪ )-4‬د ضرب حاصل چې ‪ 180‬کې‪８‬ي‪ ،‬تر ‪ 18‬الندې په دويمه کرښه ليکل‬ ‫شوى دى‪.‬‬ ‫‪ .9‬د‪ 180‬او ‪ 18‬د جمعې حاصل ‪ 198‬په دريمه کرښه کې دى‪198 ،‬باقﻲ مانده دى او‬ ‫‪ 4x 3 4x 2 + 3x 45‬د وېش حاصل دى‪.‬‬ ‫‪ R = 198‬او ‪Q( x ) = 4 x 3 4 x 2 + 3x 45‬‬ ‫‪P( x ) = (4 x 3 4 x 2 + 3x 45)(x + 4) + 198‬‬

‫پاتې ‪( +‬د وېش حاصل)‪( x‬مقسوم عليه)= مقسوم‬ ‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫د وېش عمليې د سرته رسولو په مرسته د پورتن‪ ９‬پوښتنې د وېش حاصل او باقي مانده پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫دوﻳم مثال‪ :‬د ترکيبي وېش او د وېش د عمليې د سرته رسولو په مرسته يې د وېش حاصل او باقي‬ ‫مانده پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫)‪(4 x 4 5x 2 + 2 x 3) ÷ ( x 2‬‬

‫په ياد ولرئ کوم حدونه چې موجود نه وي‪ ،‬د هغوى د ضريبونو پر ځاى صفر ليکو يا په بل عبارت‬ ‫پولينوم د مکمل پولينوم په شکل په نزولي ډول ترتيبوو‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪48‬‬ ‫‪45‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪22‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪16‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪4‬‬

‫‪24‬‬

‫‪11‬‬

‫‪8‬‬

‫‪4‬‬

‫‪38‬‬

‫اوس د وېش عمليه سرته رسوو‪:‬‬ ‫‪5x 2 + 2x 3‬‬

‫‪x 2‬‬

‫‪4x 4‬‬

‫‪4x 3 + 8x 2 + 11x + 24‬‬

‫‪4x 4 m 8x 3‬‬ ‫‪8x 3‬‬

‫‪5x 2‬‬

‫‪8x 3 m 16x 2‬‬ ‫‪11x 2 + 2x‬‬ ‫‪11x 2 m 22x‬‬ ‫‪24x 3‬‬ ‫‪24x m 48‬‬

‫د وېش حاصل ‪4 x 3 + 8x 2 + 11x + 24‬‬ ‫او باقي )‪ (45‬ده‪.‬‬

‫‪45‬‬

‫درﻳم مثال‪ ( x 5 x 3 + 27 x 2 28) ÷ ( x + 3) :‬د ترکيبي وېش په مرسته يې د وېش حاصل‬ ‫او پاتې(باقي) پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪x 5 x 3 + 27 x 2 28 = x 5 0 x 4 x 3 + 27 x 2 + 0 x 28 :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪x +3= 0‬‬

‫‪27‬‬

‫‪x= 3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪24‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫د وېش حاصل(خارج قسمت) يې ‪ x 4 3x 3 + 8 x 2 + 3x 9‬او پاتې(باقي مانده) عبارت له‬ ‫)‪ ( 1‬څخه دی‪.‬‬ ‫＇لورم مثال‪ :‬د )‪ (2t 3 7 t 2 2t + 14) ÷ (2t 3‬د وېش حاصل(خارج قسمت) او پاتې‬ ‫(باقې) پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪2t 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪=t‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‪t‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪39‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪14‬‬

‫‪2‬‬

‫‪12‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪8‬‬

‫‪7‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫نو ‪ 2t 2 4t 8‬د وېش حاصل نه دى‪ ،‬بلکې د وېش حاصل )‪ (t 2 2t 4‬دى‪( .‬مقسوم او‬ ‫مقسوم عليه دواړه په ‪ 2‬وېشل شوي دي)‪.‬‬ ‫پن‪％‬م مثال‪ :‬د ترکيبي وېش(‪ )Synthetic division‬په مرسته د وېش حاصل(‪)quotient‬‬ ‫او پاتې يې (‪ )remainder‬پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫)‪(4V 3 2V 2 + 5) ÷ (V 5‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪450 5‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪90‬‬

‫‪455‬‬

‫‪90‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪20‬‬

‫‪4‬‬

‫‪18‬‬

‫نﻮ ‪ Q( x ) = 4v 2 + 18v + 90‬او ‪ R = 455‬ده‪.‬‬ ‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫د ترکيبي وېش په مرسته يې د وېش حاصل او پاتې پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫)‪5x + 5x 15) ÷ ( x 3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪( x + 6x‬‬ ‫‪5‬‬

‫که د (‪ P)x‬پولينوم پر (‪ )x-a‬باندې ووېشو‪ ،‬نو مقسوم د مکمل نزولي پولينوم په شکل ترتيبوو او د‬ ‫ترکيبي وېش په مرسته يې د وېش د عمليې له سرته رسولو پرته د وېش حاصل او باقي مانده الس ته‬ ‫راوړالى شو چې د وېش د حاصل درجه د يوه په اندازه د مقسوم عليه له درجې څخه کمه ده‪.‬‬

‫پو＊تن‪３‬‬ ‫‪ -1‬د ترکيبي وېش په مرسته يې د وېش حاصل او باقي مانده پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫)‪(2 x 3 7 x 2 2 x + 12) ÷ (2 x 3‬‬

‫)‪(10x 2 + 2 x + 1) ÷ ( x + 1‬‬

‫)‪(6 x 2 + 15) ÷ (4 x + 9‬‬

‫)‪(5x 3 3x + 7) ÷ ( x + 4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬

‫‪(6p 3 + 2p 2 p + 20) ÷ (p‬‬

‫‪ -2‬د ترکيبي وېش په مرسته يې پاتې (باقي مانده) او د وېش حاصل پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫)‪(4 x 3 2 x 2 + 5) ÷ ( x 5‬‬

‫‪,‬‬

‫)‪( y 5 17 y 3 9) ÷ ( y 3‬‬ ‫)‪( x 3 + 8x 2 + 8x + 7) ÷ ( x + 7‬‬

‫‪40‬‬

‫د ترکﻴبﻲ و‪４‬ش په مرسته د‬ ‫پولﻴنوم د فک＂ور او د پولﻴنوم د‬ ‫قﻴمت پﻴدا کول‬ ‫آيا د ترکيبي وېش په مرسته ويالى شئ چې‬ ‫)‪ ( x + 3‬د ‪ x 3 + 9x 2 + 27 x + 27‬د‬ ‫پولينوم يو فکټور دى؟‬

‫لوم‪７‬ى مثال‪ :‬د ترکيبي وېش په مرسته وښياست چې )‪ ( x 1‬د‬ ‫‪ P( x ) = 2x 4 x 3 x 2 + x 1‬پولينوم يو فکټور دى‪.‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫څرنګه چې ‪ R = 0‬دى‪ ،‬نﻮ )‪ ( x 1‬ددې پولينوم يو فکټور دى‪ .‬يا دا چې‪:‬‬ ‫)‪2 x 4 x 3 x 2 + x 1 = ( x 1)(2 x 3 + x 2 + 1‬‬

‫يا د باقي مانده قضيې په مرسته‪:‬‬ ‫‪P(1) = 2 14 13 12 + 1 1 = 2 1 1 + 1 1 = 0‬‬

‫دوﻳم مثال‪ :‬آﻳا )‪ (x + 10‬د ‪ x 3 + 3x 2 150‬پولينوم يو فکټور دى او که نه؟‬ ‫‪10‬‬

‫‪150‬‬ ‫‪700‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪70‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪1‬‬

‫‪850‬‬

‫‪70‬‬

‫‪7‬‬

‫‪1‬‬

‫څرنګه چې ‪ R = 850‬دى )‪ ، ( R 0‬نﻮ )‪ ( x + 10‬د ‪ x 3 + 3x 2 150‬پولينوم فکټور نه دى‪.‬‬ ‫درﻳم مثال‪ :‬کﻪ ‪ P( x ) = 3x 3 12x 2 + 25 + 5x‬وي‪ ،‬د ‪ x = 2‬لپاره د ترکيبي وېش په‬ ‫مرسته ددې پولينوم قيمت پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪41‬‬

‫حل‪ :‬لوم‪７‬ى پولينوم په نزولي ډول ترتيبوو‪.‬‬ ‫‪12 x + 5x + 25‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪P( x ) = 3x‬‬

‫‪25‬‬

‫‪5‬‬

‫‪12‬‬

‫‪3‬‬

‫‪14‬‬ ‫‪11‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪3‬‬

‫نﻮ‪ P(2) = 11 :‬دى‪.‬‬ ‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫د ترکيبي وېش په مرسته د ‪ P( x ) = x 3 x 2 + 10x + 5‬پولينوم قيمت د ‪ x = 1‬او ‪x = 3‬‬

‫لپاره پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫＇لورم مثال‪ :‬د ترکيبي وېش په مرسته وښياست چې )‪ (r 4‬د ‪ r 4 256‬يو فکټور دى‪.‬‬ ‫‪256 = r 4 + 0 r 3 + 0 r 2 + 0 r 256‬‬

‫‪r4‬‬

‫حل‪:‬‬ ‫‪r 4=0‬‬ ‫‪r=4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪256‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪256‬‬

‫‪64‬‬

‫‪16‬‬

‫‪4‬‬

‫‪0‬‬

‫‪64‬‬

‫‪16‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪Q( x ) = r 3 + 4r 2 + 16r + 64‬‬ ‫‪R=0‬‬

‫نﻮ )‪ (r 4‬د ‪ r 4 256‬يو فکټور دى‪.‬‬ ‫د ترکﻴبﻲ و‪４‬ش په مرسته د ﻳوې معادل‪ ３‬د جذرونو پﻴدا کول‪:‬‬ ‫پن‪％‬م مثال‪ :‬که د (‪ )1‬عدد د ‪ x 3 + 4 x 2 + x 6 = 0‬معادلې يو جذر وي‪ ،‬د ترکيبي وېش په‬ ‫مرسته يې نور جذرونه پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪42‬‬

‫حل‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫نو د وېش حاصل يې ‪ x 2 + 5 x + 6‬دى‪.‬‬

‫‪6‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫)‪x 3 + 4 x 2 + x 6 = ( x 1)( x 2 + 5x + 6‬‬ ‫‪x 2 + 5x + 6 = 0‬‬ ‫‪( x + 3)( x + 2) = 0‬‬ ‫‪x= 2‬‬

‫‪x= 3‬‬

‫د دې معادلې دوه نور جذرونه ‪ 2‬ا و ‪ 3‬دي‪.‬‬ ‫د ترکيبي وېش په مرسته د پولينوم فکټور‪ ،‬د پولينوم قيمت او د پولينومي معادلې جذر پيدا کوالى‬ ‫شو‪ ،‬که چېرې د )‪ P(x‬پولينوم په )‪ ( x a‬ووېشو او )‪ ( R = 0‬وي‪ ،‬نﻮ )‪ ( x a‬د دې پولينوم‬ ‫يو فکټور دى او د )‪ (a‬عدد د ‪ P( x) = 0‬پولينومي معادلې يو جذر دى‪.‬‬

‫پو＊تن‪３‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ -1‬د ترکيبي وېش په مرسته وښياست چې ) ‪ ( x +‬د ‪ 20x 3 + 7 x + 6‬پولينوم يوفکټور دى‬ ‫او )‪ ( x + 1‬د ‪ x 4 2x 2 + x + 2‬پولينوم يو فکټور دى‪.‬‬ ‫‪ -2‬آﻳا )‪ ( x 0,1‬د ‪ 10x 3 11x 2 + 1‬د پولينوم يو فکټور دى؟ ولې؟‬ ‫‪ -3‬د ترکيبي وېش په مرسته د ‪ 6 y 6 y 2 + y 3‬پﻮلﻴنﻮم قﻴمت د ‪ y = 6‬لپاره پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪-4‬کﻪ (‪ )1‬د ‪ x 3 + x 2 10x + 8 = 0‬معادلې يو جذر وي‪ ،‬د ترکيبي وېش په مرسته يې نور‬ ‫جذرونه پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -5‬کﻪ د ( ‪ )-2‬عدد د ‪ x 3 + 4x 2 + kx + 8 = 0‬معادلې يو جذر وي‪ ،‬د ترکيبي وېش په مرسته‬ ‫د ‪ k‬قيمت پيدا ک‪７‬ئ؟‬

‫‪43‬‬

‫د ＇پرکﻲ لن‪６‬ﻳز‬ ‫الجبري افادې په درې ډوله دي(ناطقه الجبري افاده‪ ،‬غير ناطقه الجبري افاده‪ ،‬پولينومي الجبري‬ ‫افاده)‪.‬‬ ‫هغه حدونه چې متحولونه او درجې يې سره مساوي وي‪ ،‬مشابه حدونه (‪ )Like terms‬نومې‪８‬ي‪،‬‬ ‫لکه‪ 3x 2 :‬او ‪ 5x 2‬ﻳا ‪ 4 x 2 y 2‬او ‪ 6 x 2 y 2‬مشابﻪ حدونﻪ دي‪.‬‬ ‫پولينوم هغه يو يا څو حده الجبري افاده ده چې د حروفو توانونه يې د مکملو عددونو په سټ کې‬ ‫شامل وي‪.‬‬ ‫د يوه پولينوم درجه چې له يوه توري (متحول) څخه جوړ شوی وي‪ ،‬د هغه توري له لوړ توان څخه‬ ‫عبارت ده او که له يوه څخه د زياتو تورو څخه جوړ شوی وي‪ ،‬د زيات توان لرونکي مونوم درجه‬ ‫ددې پولينوم درجه ده‪.‬‬ ‫د يوه حد عددي فکټور (‪ )Numerical Factor‬ته ضريب وايي‪ ،‬لکه‪ :‬په ‪ 3x 2‬کې ‪ 3‬د‬ ‫‪ x 2‬ضريب دى‪.‬‬ ‫ټول ثابت عددونه پولينومونه دي چې ثابت پولينومونه نومې‪８‬ي او درجه يې صفر ده‪ ،‬د صفري‬ ‫پولينوم درجه تعريف شوې نه ده‪.‬‬ ‫هغه پولينومونه چې يو متحول ولري او د مشابه حدونو ضريبونه يې سره مساوي وي‪ ،‬د معادلو‬ ‫پولينومونو په نوم يادې‪８‬ي‪.‬‬ ‫د متحول په راک‪ ７‬شوي قيمت کې د يوه پولينوم قيمت هغه عدد دى چې په پولينوم کې د متحول د‬ ‫راک‪７‬ل شوي قيمت له وضع کېدو څخه په الس راځي‪.‬‬ ‫هغه پولينومونه چې د متحول له لوړ توان څخه تر ثابت عدده پورې‪ ،‬ټول حدونه په کې موجود‬ ‫وي‪ ،‬مکمل پولينوم او که يو يا څو حدونه‪ ،‬ونه لري‪ ،‬د ناقص پولينوم په نوم يادې‪８‬ي‪.‬‬ ‫که د يوه پولينوم متحول له ټيټ توان څخه تر لوړ توان پورې ترتيب شي‪ ،‬منظم صعودي او که له‬ ‫لوړ توان څخه تر ټيټ توان پورې ترتيب شي‪ ،‬منظم نزولي پولينوم نومې‪８‬ي‪.‬‬ ‫د پولينوم د جمعې په عمليه کې مشابه حدونه (‪ )Like terms‬يو له بل سره جمع کې‪８‬ي‪ ،‬د تفريق‬

‫‪44‬‬

‫په عمليه کې د مفروق عالمې ته تغير ورکوو او نوره عمليه د جمعې د عمليې په شان سرته رسول‬ ‫کې‪８‬ي (د مفروق جمعي معکوس له مفروق منه سره جمع کې‪８‬ي‪.‬‬ ‫د پولينومونو د جمعې او ضرب په عمليو کې د تبديلي او اتحادي خاصيتونه او هم د ضرب توزيعي‬ ‫خاصيت پر جمع باندې صدق کوي‪.‬‬ ‫د ضرب په عمليه کې کوالى شو‪ ،‬مونوم په مونوم کې‪ ،‬مونوم په پولينوم کې او يا پولينوم په پولينوم‬ ‫کې ضرب ک‪７‬و‪.‬‬ ‫په همدې ډول کوالى شو‪ ،‬د وېش په عمليه کې مونوم پر مونوم‪ ،‬پولينوم پر مونوم يا پولينوم پر‬ ‫پولينوم باندې ووېشو‪.‬‬ ‫کﻪ د )‪ P(x‬پولينوم پر )‪ ( x a‬ووېشو د باقي مانده قضيې په اساس پاتې(باقي) له ) ‪ P(a‬سره‬ ‫مساوي ده‪.‬‬ ‫کﻪ د )‪ P(x‬پولينوم پر )‪ ( x a‬ووېشو او باقﻲ صفر شي‪ ،‬نﻮ )‪ ( x a‬د )‪ P(x‬د پولينوم يو‬ ‫فکټور دى‪.‬‬ ‫د فکټور د معکوسې قضيې په اساس که )‪ ( x c‬د ) ‪ M ( x‬پولينوم يو فکټور وي‪ ،‬نو ‪P(c) = 0‬‬

‫او د ‪ c‬عدد د ‪ M ( x) = 0‬پولينومي معادلې يو جذر دى‪.‬‬ ‫د ترکيبي وېش په مرسته کوالى شو چې که )‪ P(x‬پﻮلﻴنﻮم پر )‪ ( x a‬ووېشو‪ ،‬د وېش حاصل‬ ‫او باقي الس ته راوړو او هم د ترکيبي وېش په مرسته د متحول په راک‪ ７‬شوي قيمت کې د )‪ P(x‬د‬ ‫پﻮلﻴنﻮم قﻴمت پﻴدا کﻮﻻى شﻮ‪.‬‬ ‫د ترکيبي وېش په مرسته ‪ P( x) = 0‬د پولينومي معادلېجذرونه پيدا کوالى شو‪.‬‬ ‫د باقي مانده قضيې په مرسته الجبري افاده هم تجزيه کوالى شو‪.‬‬

‫‪45‬‬

‫د ＇پرکﻲ پو＊تن‪:３‬‬ ‫‪- 1‬د ‪ k‬قيمت په داسې حال کې پيدا ک‪７‬ئ چې‪:‬‬ ‫‪ :a‬کﻪ )‪ ( x + 5‬د ‪ P( x ) = x 3 + kx + 125‬پولينوم يو فکټور وي‪.‬‬ ‫‪ :b‬کﻪ )‪ ( x 1‬د ‪ Q( x ) = 2x 4 3x 3 x 2k‬پولينوم يو فکټور وي‪.‬‬ ‫‪ :c‬کﻪ )‪ ( x 2‬د ‪ P( x ) = x 3 + 3x 2 x + k‬پولينوم يو فکټور وي‪.‬‬ ‫‪ - 2‬د ترکيبي وېش په مرسته يې د وېش حاصل (‪ )Quotient‬او پاتې (‪ )Remainder‬پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫)‪, (5x 4 6 x 2 + 3x 4) ÷ ( x + 4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬

‫‪(10 x 2 31x + 24) ÷ ( x‬‬

‫)‪( x 5 + 4 x 4 + x 2 3x 28) ÷ ( x + 4‬‬

‫‪(30 x 3 20 x 2 100 x + 1000) ÷ ( x 10) ,‬‬

‫‪ - 3‬د فکټور د قضيې په مرسته وښياست چې )‪ ( x 1‬د ‪ P( x ) = x 3 4x 2 + x + 2‬د‬ ‫پولينوم يو فکټور دى‪.‬‬ ‫) ‪1 (x 1‬‬ ‫د‬ ‫‪ - 4‬د فکټور د قضيې په مرسته وښياست چې‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪ P( x ) = x 3‬پولينوم يو فکټور‬

‫دى‪.‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪ - 5‬د ترکيبي وېش په مرسته د‬ ‫‪2‬‬

‫= ‪ x‬لپاره د ‪ P( x) = 5 x 2 + x 9‬پولينوم قيمت پيدا‬

‫ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪ - 6‬د ترکيبي وېش په مرسته د ‪ x = 3‬لپاره د ‪3 x + 4 x + 1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪ k ( x) = 2 x‬پولينوم قيمت‬

‫پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪- 7‬د ترکيبي وېش په مرسته وښياست چې د ‪ 3‬عدد د ‪ x 3 3x 2 + x 3 = 0‬پولينومي‬ ‫معادلې يو حل (جذر) دى‪.‬‬ ‫‪ - 8‬د فکټور د قضيې په مرسته وښياست چې د ‪ 1‬ا و ‪ 2‬عددونﻪ د ‪ x 4 5 x 2 + 4 = 0‬معادلې‬ ‫حلونه (جذرونه) دي‪.‬‬ ‫‪ - 9‬د ترکيبي وېش په مرسته د ‪ k‬قيمت پيدا ک‪７‬ئ چې که )‪ ( x + 3‬د‬ ‫‪ P( x ) = 3x 3 + kx 2 22x + 24‬پولينوم يو فکټور وي‪.‬‬ ‫‪ - 10‬د ترکيبي وېش په مرسته يې د وېش حاصل او باقي پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪46‬‬

‫‪(x 3‬‬

‫)‪(4 x 4 5x 2 + 2 x 3) ÷ ( x 2‬‬

‫)‪x 2 14 x + 11) ÷ ( x 4‬‬

‫)‪(5x 3 3x + 7) ÷ ( x + 4‬‬

‫)‪(7 x 4 + 41x 2 6) ÷ ( x + 6‬‬

‫‪ - 11‬د ‪ b‬او ‪ c‬قيمتونه په داسې حال کې پيدا ک‪７‬ئ چې که د ‪P( x ) = x 4 + 6 x 3 20 x 2 + bx + c‬‬

‫پولينوم پر ‪ x 2 3x + 2‬ووېشو‪ ،‬باقي صفر شي‪.‬‬ ‫‪ - 12‬د ‪ m‬قيمت په داسې حال کې پيدا ک‪７‬ئ چې که د ‪k ( x ) = 2 x 3 + 5x 2 mx + 4‬‬

‫پﻮلﻴنﻮم پر )‪ ( x 2 + 2x 1‬ووېشو او باقي صفر شي‪.‬‬ ‫‪ - 13‬کﻪ ‪ k = 3a ( x 1) 2 a ( x 1) 4‬او ‪ L = 16 + b( x 1) 3b( x 1) 2‬وي‬ ‫‪ Kb + La‬پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ - 14‬د ‪ x‬پﻪ کﻮم قﻴمت د ‪ P( x ) = 12 x 4 + 3x 3 13x 2 + x + 5‬پﻮلﻴنﻮم پر )‪(3 x 2 1‬‬

‫پوره وېشل کې‪８‬ي؟‬ ‫‪ - 15‬د ‪ P‬د کﻮم قﻴمت لپاره د ‪ K ( x ) = 3x 3 7 x 2 9x + P‬پﻮلﻴنﻮم پر )‪ ( x 13‬پوره‬ ‫د وېشلو وړ دى؟‬ ‫‪ - 16‬کﻪ د‪ P( x ) = 2x 3 x 2 + 3x 1‬پﻮلﻴنﻮم پر )‪ (2 x + 1‬ووېشل شي‪ ،‬د وېش د عمليې‬ ‫د سرته رسولو پرته ويالى شئ چې پاتې (باقي مانده) به څومره وي؟‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‪d‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪c) 3‬‬

‫‪a) 3‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪ - 17‬د ‪ m‬قيمت به څو وي‪ ،‬که د ‪ P( x) = 5 x 2 + 6 x 7‬پﻮلﻴنﻮم پر )‪ ( x + m‬ووېشل شي‬ ‫تر څو باقي مانده (‪ )1‬شي؟‬ ‫‪ a‬او ‪ b‬سم دي ) ‪d‬‬

‫‪c) 4‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪a )2‬‬

‫‪- 18‬کﻪ د ‪ P( x ) = x 3 + 3x 2 5x 8‬پﻮلﻴنﻮم‪ ،‬پر )‪ ( x + 3‬ووېشل شي د وېش د عمليې‬ ‫له سرته رسولو پرته وواياست چې باقي څومره ده؟‬ ‫صفر(‪a‬‬ ‫‪b) 13‬‬ ‫‪c) 23‬‬ ‫‪d )7‬‬ ‫‪- 19‬که چېرې ‪ y = 3 , x = 4‬او ‪ z = 2‬وي‪ ،‬د الندې الجبري افادو قيمت پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪47‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪b : x2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1 2 1 2‬‬ ‫‪y + Z‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪a : x 2 yz + zxy 2 + 3xyz 2‬‬

‫‪ - 20‬د ‪ x‬د راک‪７‬ل شوو قيمتونو لپاره د ترکيبي وېش په مرسته د الندې پولينومو قيمتونه پيدا‬ ‫ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪,‬‬

‫‪P( x ) = 2 x 3 + 3x 2 2 x + 5‬‬

‫‪, x= 1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪x=2‬‬

‫‪P( x ) = 3x + 4 x‬‬

‫‪3‬‬

‫‪P( x ) = 2 x‬‬

‫‪x =1‬‬

‫‪5x + 6‬‬

‫‪5x + 4 x 1‬‬

‫‪,‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪P( x ) = 4 x + 6 x + x + x 3 , x = 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪ - 21‬د الندې معادلو يو‪ ،‬يو جذر راک‪７‬ل شوى دى‪ ،‬د ترکيبي وېش په مرسته يې نور جذرونه پيدا‬ ‫ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪x 3 3x 2 + x 3 = 0‬‬

‫يو جذر يې (‪ )3‬دى‪.‬‬

‫‪x 3 5x 2 + 7 x + 13 = 0‬‬

‫يو جذر يې (‪ )-1‬دى‪.‬‬

‫‪x 4 5x 2 + 4 = 0‬‬

‫يو جذر يې (‪ )-1‬دى‪.‬‬

‫‪ x 4 x 3 9x 2 11x 4 = 0‬يو جذر يې (‪ )-1‬دى‪.‬‬ ‫‪- 22‬کﻪ ‪ P( x) = 0‬وي‪ ،‬د دې پولينوم درجه څو ده؟‬ ‫تعريف شوې نه دی (‪d‬‬

‫‪b( -1‬‬

‫صفر(‪c‬‬

‫‪a( 1‬‬

‫‪- 23‬د هغه مستطيل له مساحت څخه چې بعدونه يې )‪ ( x + 5‬او )‪ ( x + 2‬وي‪ ،‬د هغه مستطيل‬ ‫مساحت تفريق ک‪７‬ئ چې بعدونه يې )‪ ( x + 3‬او )‪ ( x + 1‬وي‪.‬‬ ‫‪ - 24‬کﻪ )‪ A = p(p a )(p b)(p c‬او ‪ c = 12 , b = 5 , a = 13‬او‬ ‫‪a+b+c‬‬ ‫‪2‬‬

‫= ‪ p‬وي‪ ،‬د ‪ A‬قيمت پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪- 25‬کﻪ ‪ ( x 1) 3‬او ‪ x 3 + ax 2 + bx + c‬معادل پولينومونه وي‪ ،‬د ‪ b‬قيمت مساوي دى په‪:‬‬ ‫‪d) 1‬‬

‫‪ - 26‬د )‬

‫‪2‬‬ ‫‪a 1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪a +1‬‬ ‫‪) (a‬‬ ‫‪a 1‬‬

‫)‪c‬‬

‫‪b) 3‬‬

‫‪a) 1‬‬

‫÷ ‪ (a‬افادې حاصل مساوي دى په‪:‬‬

‫‪48‬‬

‫‪a 1‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪a 2‬‬ ‫‪a‬‬

‫)‪d‬‬

‫‪ - 27‬د )‪y )(x + y‬‬

‫)‪c‬‬

‫)‪a ) a (a + 1‬‬

‫)‪b) a (a 2‬‬

‫‪ ( x + y )( x‬د ضرب حاصل مساوي دى په‪:‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪d) x y‬‬

‫‪b) x 2 + y 2‬‬

‫‪c) 2 x 2‬‬

‫‪y2‬‬

‫‪a) x 2‬‬

‫‪- 28‬الندې پولينومونه په نزولي ډول (‪ )Descending Order‬ترتيب او هم وواياست چې‬ ‫درجې يې څو دي؟‬ ‫‪c) 3‬‬

‫‪x 2 + xy 2 z 3 x 5‬‬

‫‪5 x 2 + 3x 5 + 9‬‬

‫)‪b‬‬

‫پولينوم‪4‬کې )‪ Q(e)1‬مساوي دى‪ ،‬په‪P( x ) = 0:‬‬ ‫‪ - 29‬د ‪x Qx( x)+=7x 2 + 3 x 5‬په‪x + 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪b) 7‬‬

‫)‪a‬‬ ‫)‪d‬‬ ‫‪a) 7‬‬

‫‪c) 1‬‬ ‫‪d) 1‬‬ ‫‪- 30‬کﻪ ‪ P( x) = x 2 2 x + 3‬او ‪ Q( x) = 2 x + 3 x 1‬وي‪ ،‬د الندې افادو قيمتونه پيدا‬ ‫‪2‬‬

‫ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫)‪P(1) Q( 1‬‬

‫)‪P ( 0) + Q ( 0‬‬ ‫) ‪[P( x ) + Q( x )] + p( x‬‬

‫) ‪P ( x ) Q( x‬‬ ‫) ‪P( x ) P( x‬‬

‫‪- 31‬الندې پولينومونه نظر ‪ y‬ته په نزولي ډول ترتيب ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪4 x 2 y 3xy 2 + x 3 + y 3‬‬

‫‪4 xy 3 3x 3 y + 2 x 2 y 2 + x 4 + y 4‬‬

‫‪ - 32‬په الندې الجبري افادو کې پولينومونه‪ ،‬ناطقې الجبري افادې او غير ناطقې الجبري افادې په‬ ‫نښه ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪,‬‬

‫‪y2‬‬

‫‪,‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪2x‬‬

‫‪,‬‬

‫‪x‬‬

‫‪,‬‬

‫‪13‬‬ ‫‪3x 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ - 33‬د )‪ (1 + 2x + 3x 2 ) + (3x 5 2x 2 ) + ( x 2 5x + 4‬افادې حاصل مساوي دى‬ ‫په‪:‬‬ ‫‪a) 1‬‬ ‫صفر )‪b‬‬ ‫‪c) 1‬‬ ‫‪d) 2‬‬ ‫‪ - 34‬د دوو الجبري افادو د ضرب حاصل ) ‪ (a 3 + b 3 + c3 3abc‬دى‪ .‬که يوه افاده يې‬ ‫)‪ (a + b + c‬وي‪ ،‬بله افاده پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪49‬‬

‫‪ - 35‬د وېش حاصل يې پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫) ‪(a 3 + b 3 ) ÷ (a + b‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪1‬‬

‫) ‪(a 5 b 5 ) ÷ (a b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪mma‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪mmb‬‬

‫‪ - 36‬ضرب يې ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪13x + x + 5) ÷ (3x‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪(12 x + 3x‬‬ ‫‪4‬‬

‫)‪(4 x 3 10 x 2 + 12 x + 6) ÷ (2 x + 1‬‬ ‫‪xa 2‬‬ ‫‪xa 2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪( x + )( x +‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪(m 2n )(2m n 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪(2 mn)(2 mn)(2 mn‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‪(a 2 x 2)(a 2 x 2‬‬ ‫)‪(e x + 1)(e x 1‬‬ ‫) ‪(0.1x 2 )(0.1x 2 )(0.1x 2‬‬

‫‪ - 37‬لوم‪７‬ى الندې افادې ساده او بيا يې جمع ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪(a 1) + 1 (a 1) 3‬‬

‫‪(10mn m) (m 2 + m) + m 2‬‬ ‫])‪[ 4(a b) 5] + [(2a + b) (a b‬‬

‫)‪( y 2 1) + ( y 2 1‬‬

‫)‪10( x + 1) ( x + 1) 3( x + 2‬‬

‫])‪10 [ { ( x 2 1) + 5} x ( x 2‬‬ ‫‪mn 4 + mn 5‬‬

‫‪ - 38‬د کومې الندينې راک‪７‬ل شوې يو حده درجه صفر ده؟‬ ‫‪2‬‬

‫)‪c‬‬

‫‪2 x‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪a) x‬‬

‫‪50‬‬

‫دوﻳم ＇پرکﻰ‬ ‫رابﻄه‬

s1 s2 sn

s

s1 s2

x

sn

s

=

(s1,s2 ) (s 2 ,s2 ) (s n ,sn )

R

‫مرتب‪ ３‬جوړې او کارتﻴزﻳنﻲ مﺴتوي‬

‫د (‪ )a,b‬مرتبــه جوړه پــه کوم حالت کې د‬ ‫(‪ )c,d‬لــه مرتبې جوړې ســره مســاوي کېدای‬ ‫شي؟‬ ‫أيــا د (‪ )a,b‬مرتبه جــوړه د (‪ )b,a‬له مرتبې‬ ‫جوړې سره مساوي ده؟‬

‫‪O‬‬

‫که ‪ a‬او‪ b‬د يوه سټ او يا د مختلفو سټونو عناصر وي او ‪ a‬ته لوم‪７‬نى عنصر او ‪ b‬ته دويم عنصر‬ ‫ووايو‪ ،‬نو (‪)a,b‬ته مرتبه جوړه وايي او (‪ )b,a‬هم يو مرتبه جوړه ده‪ ،‬خو ) ‪ (a , b) (b, a‬د )‪(a, b‬‬ ‫مرتبه جوړه په هغه صورت کې د ) ‪ (c, d‬له مرتبې جوړې سره مساوى کېدای شي چې ‪ a=c‬او‬ ‫‪ b=d‬وي‪.‬‬ ‫لوم‪７‬ى مثال‪ :‬کﻪ )‪ ( x 2 , y + 1) = (1,3‬وي د ‪ x‬او ‪ y‬قﻴمتﻮنﻪ پﻴدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‬ ‫‪x 2 =1‬‬ ‫‪x =3‬‬

‫‪y +1 = 3‬‬ ‫‪y=2‬‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫که )‪ (a + 1, 2b 3) = (0, 1‬وي‪ ،‬د ‪ a‬او ‪ b‬قيمتونه پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫کارتﻴزﻳنﻲ مﺴتوي )‪(Cartesian Plane‬‬ ‫دوه‪ ،‬عمود او افقي خطونه رسم ک‪７‬ئ او د تـقاطع ټکي ته يې مبدآ (‪ )Origin‬وايي‪ ،‬افقي خط ته د‬ ‫‪ X‬محور او عمود خط ته د ‪ Y‬محور وايي‪.‬‬ ‫د ‪ X‬محورپه ‪ X'OX‬او د ‪ Y‬محور په ‪ Y'OY‬سره وښيئ‪ ،‬هغه مستوي چې دا محورونه په کې‬ ‫واقع دي د کارتيزيني مستوي په نامه يادې‪８‬ي‪.‬‬ ‫دواړه محورونه مستوي په څلورو برخو وېشي چې هرې برخې ته يې ربع (ناحيه)(‪)Quadrant‬‬

‫‪53‬‬

‫وايي‪ ،‬د ساعت د عقربي د حرکت په مخالف جﻬت (‪ )Anti clockwise‬په ترتيب سره لوم‪７‬ن‪９‬‬ ‫دويمه‪ ،‬دريمه او څلورمه ربع ده‪ ،‬لکه‪ :‬څنگه چې په شکل کې ليدل کې‪８‬ي‪.‬‬

‫ربع‬

‫ربع‬

‫ربع‬

‫ربع‬

‫په دې مستوي کې د ‪ P‬دنقطې موقعيت د (‪ )x,y‬د حقيقي عددونو د مرتبې جوړي په واسط داسې‬ ‫ښودل کې‪８‬ي چې د‪ P‬د نقطې افقي فاصله د ‪ Y‬له محور څخه ‪ x‬او د ‪ P‬د نقطې عمودي فاصله د‬ ‫‪ x‬له محور څخه ‪ y‬ده‪.‬‬

‫‪o‬‬

‫که د ‪ P‬نقطه د ‪ Y‬د محورښي خواته واقع وي‪ ،‬د ‪ x‬قيمت مثبت دی او که د ‪ Y‬د محور کيڼي خواته‬ ‫واقع وي‪ ،‬د ‪ x‬قيمت منفي دی او که د ‪ P‬نقطه د ‪ Y‬پر محور‬ ‫پرته وي ‪ x = 0‬د ‪.‬‬

‫همدارنگه که د ‪ P‬نقطه د ‪ X‬له محور څخه پورته واقع وي‪،‬‬ ‫د ‪ y‬قيمت مثبت او که د ‪ X‬له محور څخه الندې واقع وي‬

‫د ‪ y‬قيمت منفي دی‪ (y < 0) .‬او که د ‪ p‬نقطه د ‪ X‬پر‬

‫‪o‬‬

‫محور پرته وي‪ y = 0 ،‬کې‪８‬ي‪ ،‬په لن‪ ６‬ډول په شکل کې‬ ‫ښودل شوي دي‬

‫‪54‬‬

‫چې ‪ x‬او ‪ y‬ته کارتيزيني مختصات )‪ (Cartesion Coordinates‬وايي چې په )‪ P( x, y‬کې‬ ‫لوم‪７‬ن‪ ９‬عنصر ‪ x‬ته فاصله (‪ )abscissa‬او دويم عنصر ‪ y‬ته ترتيب(‪)Ordinate‬وايي چې د‬ ‫مختصاتو مبدا )‪ (0,0‬ده‪ ،‬څرﮔنده ده چې د حقيقي عددونو )‪ ( x, y‬د هرې مرتبې جوړې لپاره په‬ ‫مستوي کې يوه نقطه او د مستوي د هرې نقطې لپاره د حقيقي عددونو يوه جوړه شته دی‪.‬‬ ‫دوﻳم مثال‪ :‬د )‪ N(5,0), T(0,2) , K ( 2,4) , P( 3, 5‬او )‪ M ( 6,0‬نقطې د وضعيه‬ ‫کمياتو په مستوي کې وټاکئ‪.‬‬

‫‪o‬‬

‫درﻳم مثال‪ :‬د هرې نقطې لپاره چې په الندې شکل کې ښودل شوي دي‪ ،‬اړونده مرتبه جوړه‬ ‫وليکئ‪.‬‬

‫‪o‬‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫د )‪ (2,0) , (2,1) , ( 2, 1) , ( 1,2) , (2, 1‬او )‪ (0,1‬نقطې دوضعيه کمياتو په سيستم کې‬ ‫وټاکئ‪.‬‬

‫‪55‬‬

‫پو＊تن‪３‬‬ ‫‪ - 1‬که د ‪ P‬د نقطي فاصله مثبت او ترتيب يې منفي وي‪ ،‬د ‪ P‬نقطه په کومه ربع کې واقع ده؟‬ ‫‪- 2‬که د يوه شکل څلور رآسونه )‪ C( 3, 3) , B( 3,3) , A(3,3‬او )‪ D(3, 3‬وي‪ ،‬دا کوم ډول‬ ‫هندسي شکل دی؟‬ ‫‪ - 3‬د وضعيه کمياتو په مستوي کې هغه مثلث چې رآسونه يې )‪ B(0,2) , A(2,0‬او )‪ C(0,0‬وي‬ ‫رسم ک‪７‬ئ او وواياست چې د اکوم ډول مثلث دی؟‬ ‫‪ - 4‬د )‪ P3 (1,5) , P2 ( 3,2) , P1 (2, 3‬نقطې د وضعيه کمياتو په سيستم کې وټاکئ‪.‬‬ ‫‪ - 5‬وواياست چې الندې مرتبې جوړي په کومه ربع کې واقع دي؟‬ ‫)‪( 5,1‬‬

‫‪,‬‬

‫)‪(1,5‬‬

‫)‪(4, 5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪( ,2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪,‬‬

‫)‪( 4, 6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪( , 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫) ‪(2 ,‬‬ ‫‪2 4‬‬ ‫)‪(0, 1‬‬

‫)‪(2,0‬‬

‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬

‫‪56‬‬

‫د کارتﻴزنﻲ ضرب حاصل او‬ ‫‪－‬راف ﻳ‪３‬‬ ‫أيا په مخامﺦ شکل کې ‪ A × B‬ښودالی‬ ‫شئ؟‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫که }‪ A{1,2,3‬او {‪ B=}4,5‬وي‪:‬‬ ‫‪ A × B‬پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د ‪ A × B‬د عناصرو شمېر پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫آيا ‪ A × B = B × A‬دى؟‬ ‫آيا ‪ A × A‬او ‪ B× B‬پيدا کوالئ شئ؟‬ ‫که ‪ A‬او ‪ B‬دوه غير خالي سټونه وي‪ (A × B) ،‬په الندې ډول تعريف شوي دي‪:‬‬ ‫}‪y B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪A × B = {( x , y) x‬‬

‫په دې معنا چې د ‪ A‬او ‪ B‬د ضرب حاصل )‪ (A × B‬داسې يوسټ دی چې عناصر يې د (‪)x,y‬‬ ‫د هغه مرتبو جوړوسټ دى چې ‪ x‬د ‪ A‬د سټ او ‪ y‬د ‪ B‬د سټ عنصروي‪ ،‬که ‪ A B‬وي نو‪:‬‬ ‫‪ A × B B × A‬دي که د ‪ A‬د سټ د عنصرونو شمېر ‪ m‬او د ‪ B‬دسټ د عنصرونو شمېر ‪n‬‬ ‫وي‪ ،‬د ‪ A × B‬د عناصرو شمېر له ) ‪ (m × n‬څخه عبارت دی‪.‬‬ ‫لوم‪７‬ى مثال‪ :‬که }‪ A = {0,1,2‬او }‪ B = {3,4‬وي ‪ B × A, A × B‬او ‪ A × A‬پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‬ ‫})‪A × B = {0,1,2} × {3,4} = {(0,3), (0,4), (1,3)(1,4), (2,3), (2,4‬‬ ‫})‪B × A = {3,4} × {0,1,2} = {(3,0), (3,1), (3,2)(4,0), (4,1), (4,2‬‬ ‫})‪A × A = {0,1,2} ×{0,1,2} = {(0,0), (0,1), (0,2)(1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), (2,2‬‬

‫‪57‬‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫که }‪ A = { 4, 1,0‬او }‪ B = {1,4‬وي ‪ A × A , A × B‬او ‪ B× B‬پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫دوﻳم مثال‪ :‬که }‪ IN = {1,2,3...‬او }‪ L = {0‬وي‪ ،‬نو ‪ IN × L‬پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫}‪IN × L = {(1,0), (2,0), (3,0), (4,0)...} = {( x,0) / x IN‬‬ ‫درﻳم مثال‪ :‬که }‪ IN = {1,2,3...‬او }‪ W = {0,1,2,3...‬وي ‪ W × N‬پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‬ ‫} ‪W × IN = {(0,1), (0,2), (0,3),..., (1,1), (1,2), (1,3),..., (2,1), (2,2),...,‬‬ ‫}‪= {( x , y) / x w y IN‬‬

‫د کارتﻴزنﻲ حاصل ضرب ﮔراف‪)Graph of Cartesian Product( :‬‬ ‫کوالی شو چې د کارتيزني ضرب حاصل د وضعيه کمياتو په مستوي کې هم وښودالی شو‪.‬‬ ‫＇لورم مثال‪ :‬که }‪ A = {1,2,3‬او }‪ B = {4,5‬وي ‪ A × B‬پيدا ک‪７‬ئ او د وضعيه کمياتو په‬ ‫مستوي کې يې وښياست‪.‬‬ ‫حل‬

‫})‪A × B = {(1,4), (1,5), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5‬‬

‫‪o‬‬

‫د ‪ X‬پرمحور د ‪ 1,2,3‬عددونه او د ‪ Y‬پر محور د ‪ 4‬او ‪ 5‬عددونه ټاکو له ‪ 2,1‬او‪ 3‬څخه عمود‬ ‫خطونه او له ‪ 4‬او ‪ 5‬څخه افقي خطونه رسموو‪ ،‬ددې دواړو خطونو د تقاطع نقطې د ‪ A × B‬مرتبې‬ ‫جوړې ښکاره کوي‪.‬‬

‫‪58‬‬

‫پن‪％‬م مثال‪ :‬که }‪ A = {1,2‬او }‪ B = {2,3,4‬وي ‪ A × B‬او ‪ B × A‬پيدا ک‪７‬ئ او په شکل کې‬ ‫ېې وښياست‪.‬‬ ‫})‪A × B = {1,2} × {2,3,4} = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4‬‬ ‫})‪B × A = {2,3,4} × {1,2} = {( 2,1), (2,2), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2‬‬

‫‪o‬‬

‫‪o‬‬

‫‪A×B‬‬

‫‪B× A‬‬

‫شپ‪８‬م مثال‪ :‬که }]‪ A = {x / x IR , 0 x 3 = [0,3‬او‬ ‫}]‪ B = {y / y IR , 0 y 2 = [0,2‬وي ‪ A × B‬په شکل کې يې وښياست‪.‬‬ ‫حل‬

‫}‪A × B = {( x , y) / 0 x 3 0 y 2‬‬

‫‪o‬‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫که چېرې }‪ A = {1,2‬او }‪ B = {3,4‬وي ‪ A × B‬پيدا او په شکل کې يې وښياست‪.‬‬

‫‪59‬‬

‫پو＊تن‪３‬‬ ‫‪ - 1‬که‪:‬‬

‫}‪A = { 1,1,3‬‬ ‫}‪A = { 1,1‬‬ ‫وي ‪ A × B‬پيدا او په شکل کې يې وښياست‪.‬‬

‫}‪i ) B = {2,4‬‬ ‫}‪ii ) B = {2,3‬‬

‫‪ - 2‬د لوم‪７‬ۍ پوښتنې د سټونو لپاره ‪ B × A‬پيدا او په شکل کې يې وښياست‪.‬‬ ‫‪ - 3‬که }‪ A = {1,2,3‬وی ‪ A × A‬پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ - 4‬که }‪ A = {2,4,6‬او }‪ B = {1,3,5‬وی ‪ A × A , B × A , A × B‬او ‪ B× B‬پيدا ک‪７‬ئ‬

‫‪60‬‬

‫رابﻄه‬ ‫(‪)Relation‬‬ ‫عطااﷲ د عزت اﷲ ورور دی‬ ‫(عطا اﷲ ‪ R‬عزت اﷲ)‬ ‫ورورولي هم يوه رابطه ده‪.‬‬

‫يوسټ چې د شيانو او مفﻬومونو له مرتبو جوړو څخه جوړ شوی وي‪ ،‬له يوې رابطې څخه عبارت‬ ‫دى‪ .‬يا که ‪ A‬او ‪ B‬دوه غير خالي سټونه (‪ )non empty sets‬وي‪ ،‬نو د ‪ A × B‬هرفرعي سټ‬ ‫له ‪ A‬څخه په ‪ B‬کې يوه رابطه ده‪ ،‬که ‪ (a , b) R‬وي‪ ،‬ويل کې‪８‬ي چې ‪ a‬له ‪ b‬سره رابطه لري او‬ ‫د (‪ )aRb‬په شکل ليکل کې‪８‬ي‪.‬‬ ‫که ‪ R‬له‪ A‬څخه په ‪ B‬کې يوه رابطه وي‪ ،‬نو ‪A × B‬‬

‫‪ R‬ده او که ‪ R‬د ‪ A × A‬يو فرعي سټ‬

‫وي‪ ،‬نو ‪ R‬په ‪ A‬کې يوه رابطه ده‪.‬‬ ‫لوم‪７‬ى مثال‪ :‬که }‪ A = {x, y‬او )‪ B = (1,2‬وي‪ A × B ،‬پيدا ک‪７‬ئ‪ ،‬او له‪ A‬څخه په ‪ B‬کې‬ ‫څلور رابطې وليکئ‪.‬‬ ‫حل‬ ‫})‪A × B = {( x ,1), ( x ,2), ( y,1), ( y,2‬‬ ‫})‪R 1 = {( x ,1), ( x ,2‬‬ ‫})‪R 2 = {( y,1‬‬ ‫})‪R 3 = {( y,2‬‬ ‫})‪R 4 = {( x ,1), ( y,1‬‬

‫چې د ‪ A × B‬د عناصرو شمېر څلور او د ‪ A × B‬د ټولو فرعي سټونو شمېر ‪ 2 4 = 16‬دی‪ ،‬نو له‬ ‫‪ A‬څخه په ‪ B‬کې د ټولو رابطو شمېر ‪ 16‬دي‪.‬‬ ‫دوﻳم مثال‪ :‬که }‪ A = {1,3,5,...19‬چې د ‪ A‬د سټ د عناصرو شمېر ‪ 10‬دى او }‪B = {2,4,6‬‬

‫وي چې د ‪ B‬د عناصرو شمېر )‪ (3‬دی‪ ،‬د ‪ A × B‬د عناصرو شمېر(ټولې مرتبې جوړې)‬

‫‪61‬‬

‫‪ 10 × 3 = 30‬دي او له ‪ A‬څخه په ‪ B‬کې د ټولو رابطو شمېر ‪ 230‬دی‪.‬‬ ‫پام مووي چې‪ :‬او ‪ A × B‬هم په فرعي سټونو کې شامل دی‪.‬‬ ‫درﻳم مثال‪ :‬که }‪ A = {1,2,3‬او }‪ B = {a , b‬وي له ‪ A‬څخه په ‪ B‬کې (‪ )3‬رابطې وليکئ‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬

‫})‪A × B = {(1, a ), (1, b), (2, a ), (2, b), (3, a ), (3, b‬‬

‫درې رابطې عبارت دي له‪:‬‬ ‫})‪R 1 = {(1, a ), (1, b), (2, a ), (3, a ), (3, b‬‬ ‫})‪R 2 = {(1, b), (2, a ), (3, a ), (3, b‬‬ ‫}) ‪R 3 = {(2, a ), (2, b), (3, a‬‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫که })‪ R = {( x, y ) / x + y = 5‬په }‪ A = {1,2,3,4‬کې يوه رابطه وي‪ ،‬د ‪ R‬عناصر وليکئ‪.‬‬ ‫＇لورم مثال‪ :‬که }‪ R = {( x, y) / x y = 2‬په }‪ A = {1,2,3,4‬کې يوه رابطه وي‪ ،‬د ‪R‬‬ ‫عناصر وليکئ‪.‬‬ ‫حل‪ R = {(3,1), (4,2)} :‬ده‪.‬‬ ‫د رابﻄ‪ ３‬د تعرﻳﻒ ساحه (‪ )Domain‬او د قﻴمتونو ساحه (‪ )Range‬ﻳ‪:３‬‬ ‫پوهې‪８‬و چې که ‪ R‬له‪ A‬څخه په ‪ B‬کې يوه رابطه وي‪ ،‬نو ‪A × B‬‬

‫‪ R‬ده‪ ،‬په دې معنا چې ‪ R‬يو‬

‫سټ دی چې عناصر يې د (‪ )x,y‬مرتبې جوړې دي چې ‪ x A‬او ‪ y B‬ده‪.‬‬ ‫د ‪ R‬د تعريف ساحه د مرتبو جوړو لوم‪７‬ني عناصر دي چې په ‪ Dom R‬سره ښودل کې‪８‬ي‪ .‬همدارنگه‬ ‫د ‪ R‬د قيمتونو ساحه (‪ )Range‬د مرتبو جوړو دويمي عناصر دي‪ ،‬په ‪ Range R‬سره ښودل‬ ‫کې‪８‬ي‪.‬‬ ‫لوم‪７‬ى مثال‪ :‬که}‪ A = {1,2‬او}‪ B = {x, y‬وي او ‪ R‬له ‪A‬څخه په ‪ B‬کې يوه رابطه وي‪ ،‬لوم‪７‬ى د دې‬ ‫رابطې عناصر ولېکئ‪ ،‬بيا د رابطې د تعريف ساحه (‪ )Dom R‬او د قيمتونو ساحه (‪ )Range R‬يې وليکئ‪.‬‬

‫‪62‬‬

‫حل‬

‫})‪R = {(1, x ), (2, x ), (1, y), (2, y‬‬ ‫}‪RangeR = {x , y‬‬

‫}‪DomR = {1,2‬‬

‫دوﻳم مثال‪ :‬که د }‪ R = {( x, y) / x 2 + y 2 = 13‬رابطه د }‪ A = { 3, 2,1,2,3‬په سټ کې‬ ‫تعريف شوي وي‪ ،‬لوم‪７‬ى د (‪ )R‬عناصر د مرتبو جوړو په شکل وليکئ‪ ) Dom R( ،‬او( ‪) RangeR‬‬ ‫پيدا ک‪７‬ئ او بيا يې ﮔراف رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫})‪R = {( 3, 2), ( 3,2), ( 2, 3), ( 2,3), (2, 3), (2,3), (3, 2), (3,2‬‬ ‫}‪Dom R = { 3, 2,2,3‬‬ ‫}‪Range R = { 3, 2,2,3‬‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫که }‪ R = {( x, y) / y = 2x‬وي او د ‪ R‬د تعريف ناحيه }‪ {0,4,8‬وي‪ ،‬د ‪ R‬د قيمتونو ناحيه‬ ‫معلومه ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫معکوسه رابﻄه (‪)Inverse of a Relation‬‬ ‫که ‪ R‬له ‪ A‬څخه په ‪ B‬کې يوه رابطه وي‪ ،‬د ‪ R‬معکوس چې په‬

‫‪1‬‬

‫‪ R‬سره ښودل کې‪８‬ي او له‬

‫}‪ R 1 = {( y, x) ( x, y ) R‬څخه عبارت ده‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪( y, x ) R‬‬

‫‪( x , y) R‬‬

‫د ‪ R‬دتعريف ساحه د ‪ R 1‬د قيمتونو ساحه او د ‪ R 1‬د تعريف ساحه د ‪ R‬د قيمتونو له ساحې څخه‬ ‫عبارت ده‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬که })‪ R = {(1,2)(2,3)(3,4‬د طبيعي عددونو په سټ کې يوه رابطه وي‪ ،‬د ‪ R‬د رابطې‬ ‫معکوسه رابطه يا ‪ R 1‬پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫})‪R = {( 2,1)(3,2)(4,3‬‬ ‫حل‪:‬‬

‫‪63‬‬

‫معادله رابﻄه (‪ :)Equivalent Relation‬د ‪ R‬رابطه د ‪ A‬په سټ کې يوه معادله رابطه‬ ‫ده‪ ،‬که درې الندنې خاصيتونه ولري‪:‬‬ ‫‪ -1‬انعکاسي خاصيت (‪ :)Reflexive Property‬د ‪ x‬د هر عنصر ‪ x A‬لپاره ‪( x , x ) R‬‬ ‫وي يا ‪( x , x ) R‬‬

‫‪x A‬‬

‫‪ -2‬تناﻇري خاصيت (‪ :) :)Symmetric Property‬که(‪ )x,y‬په ‪ R‬کې شامله وي‪ ،‬نو‬ ‫(‪ )y,x‬هم په ‪ R‬کې شامله وي يا‪( y, x ) R :‬‬

‫‪( x , y) R‬‬

‫‪ - 3‬انتقالي خاصيت (‪:)Transitive Property‬که ‪ ( x , y) R‬او هم ‪( y, z) R‬‬

‫وي په نتيجه کې (‪ )x,z‬مرتبه جوړه هم په ‪ R‬کې شامله وي يا‪:‬‬ ‫‪( x , z) R‬‬

‫‪( x , y) R ( y, z) R‬‬

‫مثال‪ :‬د مساوات رابطه د حقيقي عددونو په سټ کې يوه معادله رابطه ده‪:‬‬ ‫‪ -1‬په حقيقي عددونو کې د هر‪ x‬لپاره ‪ x=x‬دى‪( 5=5 ،‬انعکاسي خاصيت)‬ ‫‪ -2‬د هر ‪ x, y IR‬لپاره که ‪ x=y‬وي‪ ،‬نو ‪ y=x‬ده(تناﻇري خاصيت)‬ ‫‪ -3‬د هر ‪ x , y, z IR‬لپاره که ‪ x = y‬او ‪ y=z‬وي په نتيجه کې ‪ x=z‬دی(انتقالي خاصيت)‬

‫پو＊تن‪３‬‬ ‫‪ -1‬که }‪ B = {0,4,6} A = {1,2‬وي‪.‬‬ ‫له ‪ A‬څخه په‪ B‬کې درې رابطې وليکئ‪.‬‬ ‫له ‪ B‬څخه په ‪ A‬کې څلور رابطې وليکئ‪.‬‬ ‫په ‪ A‬کې څلور رابطې وليکئ‪.‬‬ ‫‪ -2‬که }‪ A = {1,2,3,4‬او }‪ B = {1,3,5‬وي او }‪ ، R = {( x, y) y < x‬له ‪ A‬څخه په ‪ B‬کې‬ ‫يوه رابطه وي‪ ،‬د ‪ R‬عناصر وليکئ‪.‬‬ ‫‪ -3‬که } ‪ R = {( x, y) y + 1 = 2x 2‬د طبيعي عددونو په سټ کې يوه رابطه وي او د تعريف ساحه‬ ‫ېې ټول طبيعي عددونو وي‪ ،‬د قيمتونو ساحه (‪ )Range‬يې پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪64‬‬

‫د＇پرک‪ ３‬لن‪６‬ﻳز‬ ‫)‪ : (a , b‬چې دليکلو ترتيب په کې اهميت لري‪ ،‬مرتبه جوړه نومې‪８‬ي چې ‪ a‬ته لوم‪７‬ن‪ ９‬مختصه‬ ‫او ‪ b‬ته دويمه مختصه وايي‪ ،‬په عمومﯽ ډول ) ‪(a , b) (b, a‬‬ ‫د )‪ (a , b‬او )‪ (c, d‬دوه مرتبې جوړي په داسې حال کې سره مساوي دي چې ‪ a = c‬او‬ ‫‪ b = d‬وي‪.‬‬

‫د کارتﻴزﻳنﻲ ضرب حاصل‪ :‬د ‪ A‬او ‪ B‬دسټونو کارتيزيني ضرب چې په ‪ A× B‬سره ښودل‬ ‫کې‪８‬ي په دې ډول تعريف شوي دی‪A × B = {( x , y) | x A y B} :‬‬ ‫که د ‪ A‬سټ د عناصرو شمېر په ‪ m‬او د ‪ B‬د سټ د عناصرو شمېر په ‪ n‬سره وښايو‪ ،‬د‬ ‫‪ A× B‬د عناصر شمېر ‪ m × n‬دی‪.‬‬ ‫کوالی شوچې د ‪ A‬او‪ ،B‬دسټونو ضرب )‪ (A × B‬د وضعيه کمياتو په مستوي کې وښايو‪.‬‬ ‫رابﻄه‪ :‬د ‪ A× B‬هر فرعي سټ له ‪ A‬څخه په ‪ B‬کې د ‪ R‬يوه رابطه ده‪.‬‬ ‫‪ R A × B‬او که ‪ R A × A‬وي‪ ،‬نو په دې صورت کې ‪ R‬په ‪ A‬کې يوه رابطه ده‪.‬‬ ‫‪xR y‬‬

‫‪( x , y) R‬‬

‫که د ‪ A‬سټ د عناصرو شمېر په ‪ n‬سره وښايو‪ ،‬د ‪ A‬د فرعي سټونو شمېر ‪ 2n‬دی‪.‬‬ ‫که د ‪ A‬سټ د عناصرو شمېر په ‪ m‬او د ‪ B‬دسټ د عناصرو شمېر په ‪ n‬سره وښايو له ‪ A‬څخه‬ ‫په ‪ B‬کې د رابطو شمېر ‪ 2mxn‬دی‬ ‫که ‪ R‬له ‪ A‬څخه په ‪ B‬کې يوه رابطه وي‪ ،‬د ‪ R‬د تعريف ساحه ( ‪ ) DomR‬د مرتبو جوړو‬ ‫ساحه ) ‪ (RangeR‬يې دمرتبو جوړو د دويمو عناصرو سټ‬ ‫دلوم‪７‬نيو عناصرو سټ او د قيمتونو ‪R‬‬ ‫دی‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫معکوسه رابﻄه‪ :‬که ‪ R‬له ‪ A‬څخه په‪ B‬کې يوه رابطه وي‪ ،‬د ‪ R‬معکوسه رابطه په ‪ R‬سره‬ ‫ښودل کې‪８‬ي چې‪:‬‬ ‫}‪R. 1 = {( y, x ) ( x , y) R‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪( y, x ) R‬‬

‫‪( x , y) R‬‬

‫ښکاره خبره ده چې ‪ R 1‬د تعريف ساحه د ‪ R‬دقيمتونو له ساحې سره او د ‪ R 1‬دقيمتونو ساحه‬ ‫د ‪ R‬د تعريف له ساحې سره مساوي ده‪.‬‬ ‫معادله رابﻄه‪ R :‬د ‪ A‬په سټ کې يوه معادله رابطه ده که چېرې الندې درې خاصيتونه ولري‪.‬‬ ‫‪ -3‬انتقالي خاصيت‪.‬‬ ‫‪ -1‬انعکاسي خاصيت‪ -2 .‬تناﻇري خاصيت‪.‬‬

‫‪65‬‬

‫د＇پرک‪ ３‬پو＊تن‪３‬‬ ‫‪ -1‬که }‪ A = {1,3,5‬او }‪ B = {2,4,6‬وي ‪ B × A, A × B‬او ‪ A× A‬پيدا ک‪７‬ئ‪..‬‬ ‫‪ -2‬که }‪ A = {1,2,3‬او }‪ B = {0,1‬وي ‪ A× B‬په شکل کې وښياست‪.‬‬ ‫‪ -3‬که )‪ ( x 2 y,2x + y ) = (3,1‬وي د ‪ x‬او ‪ y‬قيمتونه پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -4‬په }‪ A = {1,3,5‬کې د ‪ R‬رابطه داسې په الس راوړئ چې ‪ R‬د مساوات رابطه وي‪.‬‬ ‫‪ -5‬که }‪ A = {a , b‬وي د ‪ A2‬عناصر وليکئ‪.‬‬ ‫‪ -6‬که د} ‪ R = {( x, y) y = x 2‬رابطه د حقيقي عددونو په سټ کې تعريف شوي وي د ‪ R‬رابطې‬ ‫ﮔراف رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -7‬که}‪ R = {( x, y) y 2 = x‬رابطه د حقيقي عددونو په سټ کې تعريف شوي وي د ‪ R‬د‬ ‫رابطې ﮔراف رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -8‬که })‪ R = {(1, 1), (2, 2)(3, 3‬وي د ‪ R 1‬د تعريف او قيمتونو ساحې وټاکئ‪.‬‬ ‫‪ -9‬که })‪ R = {(1,2)(1,3)(1,4)(1,5‬وي د‪ R‬او‬

‫‪1‬‬

‫‪ R‬د تعريف او قيمتونو ساحې وټاکئ‪.‬‬

‫‪ -10‬که }‪ A = {3,6,12‬او }‪ B = { 1,0‬وي په ‪ A‬کې د رابطو شمېر او له ‪ A‬څخه په ‪ B‬کې‬ ‫درابطو شمېر پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -11‬که د ) ‪ (4a + 1,2b + a‬او ) ‪ (5,3a 4b‬دوه مرتبي جوړي سره مساوي وي د ‪ a‬او ‪b‬‬ ‫قيمتونه پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -12‬که }‪ A = {a , b, c‬او }‪ B = {x, y‬وي ‪ A× B‬او ‪ B × A‬پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪66‬‬

‫درﻳم ＇پرکی‬ ‫تابﻊ‬

‫ﺗاﺑﻊ (‪)function‬‬ ‫أيا تابع او رابطه يو له بله سره توپير لري؟‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫أيا هره تابع يوه رابطه ده او هره رابطه يوه تابع ده ؟‬ ‫أيا د م رتبو جوړو هر سټ يوه تابع ده؟‬ ‫أيا کوالى شئ چې يوې تابع ته د يو ماشين په شان فکر وک‪７‬ئ؟‬ ‫د لوم‪７‬ي ځل لپاره د تابع مفﻬوم د يوه الماني رياضي پوه ليبنز (‪ (1716 1646) ،)Leibniz‬له‬ ‫خوا معرفي شوه‪.‬‬ ‫تابع يوه رابطه يا يوه قاعده ده چې يو کميت ته د بل کميت سره اړيکه ورکوي‪ ،‬د تابع د مفﻬوم د ښه‬ ‫پوهيدو لپاره الندې مثالونه تر غور الندې ونيسئ‪.‬‬ ‫‪ - 1‬د يوې م ربع مساحت (‪ )A‬د م ربع په ضلعې (‪ )x‬پورې اړه لري‪ .‬هغه معادله چې د م ربع مساحت‬ ‫‪2‬‬ ‫ته د م ربع په ضلعې پورې اړيکه ورکوي له ‪ A = x‬څخه عبارت ده ‪.‬‬ ‫‪ x 1 2 3 4 5 . . .‬د مربع ضلع‬ ‫‪1 4 9 16 25 . . .‬‬

‫‪ A‬د مربع مساحت‬

‫يا په بل عبارت د م ربع مساحت د م ربع د ضلعې تابع دى يا ) ‪A = f ( x‬‬

‫‪ - 2‬د ن‪７‬ۍ د نفوسو شمېر (‪ )p‬په وخت (‪ )t‬پورې اړه لري‪ ،‬لکه‪ :‬څ رنګه چې په الندې جدول کې‬ ‫ليدل کې‪８‬ي په تق ريبي ډول د ن‪７‬ۍ د نفوسو شمېر د ميليون په حساب ښودل شوی دی‪.‬‬ ‫‪1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000‬‬

‫کال ( ‪) t‬‬

‫‪ 1650 1750 1860 2070 2300 2560 3040 3710 4450 5280 6080‬نفﻮس پﻪ مﻴلﻴﻮن (‪) p‬‬

‫‪69‬‬

‫ليدل کې‪８‬ي چې نفوس (‪ )Population‬يا ‪ P‬د وخت (‪ )t‬تابع ده يا ) ‪p = f (t‬‬

‫‪ - 3‬د دايرې مساحت (‪ ، )A‬د دايرې په شعاع (‪ )r‬پورې اړه لري( ‪) A = r 2‬‬ ‫‪ - 4‬د کرې حجم ) ‪ (V‬د کرې په شعاع (‪ )r‬پورې اړه لري چې د ‪ V = 4 r 3‬د معادلې په واسطﻪ‬ ‫‪3‬‬ ‫ښودل کې‪８‬ي‪.‬‬ ‫له پورتنيو مثالونو څخه دا نتيجه اخيستل کې‪８‬ي چې د تابع په مفﻬوم کې اړيکه مرکزي حيثيت لري‬ ‫د مثال په ډول د هر انسان عمر له يوه عدد سره اړيکه لري‪ ،‬په يوه مغازه کې هر جنس له يوه ټاکلي‬ ‫قيمت سره اړيکه لري‪ ،‬هر موټر د يوې ټاکلې شمېرې ج وازسېر پورې اړه لري او د هر عدد مکعب‪،‬‬ ‫يو عدد دى )‪. (23 = 8 , 33 = 27‬‬ ‫په پورتنيو مثالونو کې ليدل کې‪８‬ي چې مساحت (‪ ،)A‬نفوس (‪ )P‬اوحجم (‪ )V‬د م ربع ضلعې (‪،)x‬‬ ‫وخت (‪ )t‬او د کرې شعاع (‪ )r‬تابع دي چې مساحت‪ ،‬نفوس او حجم هر يوه ته م ربوط (مقيد) متحول‬ ‫(‪ )dependent Variable‬او د م ربع ضلعې‪ ،‬د کرې شعاع او د وخت کميتونو ته ازاد متحول يا‬ ‫مستقل متحول (‪ )Independent Variable‬وايي کوالى شو چې تابع داسې تع ريف ک‪７‬و‪:‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫تابع د دوو سټونو تر منځ يوه داسې رابطه يا قاعده ده چې د لوم ‪７‬ني سټ هر عنصر ي وازې او ي وازې د‬ ‫دويم سټ له يو عنصر سره اړيکه ولري چې لوم ‪７‬ن‪ ９‬سټ د تع ريف د ناحيې (‪ )Domain‬او دويم‬ ‫سټ د قيمتونو د ناحيې (‪ )Range‬په نوم يادې‪８‬ي‪.‬‬

‫يا تابع د هغه م رتبو جوړو سټ دى چې لوم ‪７‬ني عناصر يې تکرار شوي نه وي‪.‬‬ ‫که }) ‪ S = {(1, 4 )(2 , 3) (3 , 2 )(4 , 3 )(5 , 4‬وي‪ ،‬نو د ‪ S‬رابطه د يوې تابع ښودونکي ده‪ ،‬ځکه‬ ‫چې د م رتبو جوړو لوم ‪７‬ني عناصر يې تکرار شوي نه دي‪.‬‬ ‫}‪Domain(s) = {1,2,3,4,5‬‬ ‫}‪Range(s) = {2,3,4‬‬

‫‪70‬‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫که}) ‪ T = {(1, 4 ), (2 , 3), (3 , 2 ), (2 , 4 ), (1, 5‬وي آيا ‪ T‬يوه تابع ښيي؟‬ ‫لوم‪７‬ى مثال‪ :‬په الندې جدولونو کې کوم يو‪ ،‬يوه تابع ښکاره کوي؟‬ ‫(ﺟدول ‪)І‬‬ ‫(ﺟدول ‪) ІІ‬‬ ‫(ﺟدول ‪) ІІІ‬‬ ‫‪Domain Range‬‬ ‫‪Domain Range‬‬ ‫‪Domain Range‬‬ ‫د عدد مکﻌب (عدد)‬ ‫د عدد م ربع (عدد)‬ ‫(د عدد م ربع ﺟﺬر) (عدد)‬

‫‪ І‬او ‪ ІІ‬جدولونه تابع ښکاره کوي‪ ،‬ليکن ‪ ІІІ‬جدول تابع نه ښکاره کوي‪ ،‬ځکه چې د لوم ‪７‬ن‪ ９‬سټ‬ ‫يا (‪ )Domain‬يو عنصر د دويم سټ (‪ )Range‬له دوو عنصرو سره اړيکه لري‪ ،‬يا په بل عبارت‬ ‫د م رتبو جوړو لوم ‪７‬ني عناصر تکرار شوي دي چې م رتبې جوړي يې ‪:‬‬ ‫)‪ (9 , 3), (9 , 3), (0 , 0), (4 , 2), (4 , 2), (1 , 1), (1 , 1‬دي او يا دا چې د لوم ‪７‬ن‪９‬‬ ‫سټ د يو عنصر لپاره په دويم سټ کې دوه تصويرونه (‪ )Images‬موجود دي‪ ،‬ډېره ښه به دا وي چې‬ ‫يوې تابع ته د يو ماشين فکر وک‪７‬و‪ ،‬کوم شکل چې د څپرکې په لوم‪７‬ۍ مﺦ کې راک‪７‬ل شوى دى‪ ،‬خام‬ ‫مواد يا ورودي (‪ )input‬يا ‪ Domain‬او خروجي ‪ output‬يا ) ‪ f ( x‬د ‪ Range‬په نامه يادې‪８‬ي‪.‬‬ ‫که ‪ A‬او ‪ B‬د حقيقي عددونو سټونه وي له ‪ A‬څخه ‪ B‬ته هره تابع د حقيقي تابع په نامه يادې‪８‬ي‪ .‬پام‬ ‫مو وي چې ‪ Range codomain :‬دی‪.‬‬ ‫دوﻳم مثال‪ :‬که })‪ f = {( 5 , 3m) , ( 5 , 2m 10) , (1, 2‬د يوې تابع ښودونکي وي‪ ،‬د‬ ‫‪ m‬قيمت پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪ :‬څ رنګه چې ‪ 5 = 5‬دي‪ ،‬نو بايد ‪ 3m = 2m 10‬سره وي‪ ،‬په نتيجه کې ‪m = 10‬‬ ‫کې‪８‬ي په دې معنا ددې لپاره چې ‪ f‬يوه تابع وي‪ ،‬بايد‬ ‫‪ m = 10‬وي‪.‬‬ ‫درﻳم مثال‪ :‬له الندېنيو دياګرامونو څخه کوم يو يې يوه‬ ‫تابع ښيي؟‬ ‫)‪(a‬‬

‫‪71‬‬

‫)‪(c‬‬

‫)‪(b‬‬

‫حل‪ :‬د ‪ a‬او ‪ b‬دياګرامونه تابع ښيي‪ ،‬ليکن د ‪ c‬دياګرام د يوې تابع ښودونکى نه دى‪.‬‬ ‫تابع د ‪ X‬او ‪ Y‬د دوو سټونو ترمنځ يوه داسې رابطه ده چې د ‪ x‬د سټ يا (‪ )Domain‬هر عنصر‬ ‫يوازې د ‪ Y‬د سټ (‪ )Range‬د يو عنصر سره اړيکه لري چې ‪ X‬ته ازاد متحول او ‪ Y‬ته مقيد (م ربوط)‬ ‫متحول وايي يا تابع د هغه م رتبو جوړو سټ دى چې لوم ‪７‬ني عناصر يې تکرار شوي نه وي‪.‬‬

‫پو＊تن‪３‬‬

‫‪ - 1‬د مخامﺦ جدولونو څخه کوم يو يې‬ ‫د تابع ښودونکﯽ دی؟‬

‫‪ - 2‬د الندې م رتبو جوړو له سټونو څخه کومه يوه يې يوه تابع ښيي؟ د تع ريف ساحه (‪)Domain‬‬ ‫او د قيمتونو ساحه ( ‪ ) Range‬يې تعين ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫})‪{(2 , 4) , (3 , 6 ) , (4 , 8) , (5 ,10‬‬ ‫})‪{( 1, 4) , (0 , 3) , (1, 2) , (2 ,1‬‬ ‫})‪{(10 , 10) , (5 , 5 ) , (0 , 0 ) , (5 , 5) , (10 ,10‬‬ ‫})‪{( 10 ,10) , ( 5 , 5 ) , (0 , 0 ) , (5 , 5) , (10 ,10‬‬ ‫})‪{(0 ,11) , (1,1) , (2 ,1) , (3 , 2) , (4 , 2) , (5 , 2‬‬ ‫})‪{(1,1) , (2 ,1) , (3 ,1) , (1, 2) , (2 , 2) , (3 , 2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪72‬‬

‫د تابﻊ د لﻴکلو طرﻳقه او د ﻳوې‬ ‫تابﻊ د قﻴمت پﻴدا کول‬ ‫څه وخت يوه معادله د يوې تابع ښکارندويه‬ ‫ده؟‬ ‫يوه رابطه څه وخت يوه تابع ښيي؟‬ ‫يو جدول څه وخت يوه تابع ښيي؟‬

‫د لوم‪７‬ى ځل لپاره سويسي رياضي پوه اوﻳﻮلر (‪ )Euler( )1783 -1707‬دا عبارت چې ‪ y‬د ‪x‬‬ ‫تابع ده‪ ،‬د (‪ y = f )x‬مساوات په شکل وښوده چې (‪ f )x‬د ‪ x‬لپاره د ‪ y‬يا (‪ f)x‬د تابع قيمت دى‪.‬‬ ‫که ‪ f‬له ‪ A‬څخه ‪ B‬ته يوه تابع وي‪ ،‬په الندې ډول ښودل کې‪８‬ي چې‬ ‫‪B‬‬

‫ﻳا‬

‫‪f :A‬‬

‫)‪y = f (x‬‬

‫په شکل کې ‪ x‬له (‪ )input‬او (‪ f)x‬له (‪ )output‬څخه عبارت دی‪ ،‬تابع ګانې د ‪ h,g,f‬او نورو‬ ‫تورو په واسطه ښودل کې‪８‬ي‪.‬‬ ‫تابع عموما َ په ‪ 4‬ط ريقو ښودل کې‪８‬ي‪.‬‬ ‫‪ - 1‬د عبارتونو (جملو) په واسطه (‪)Verbally‬‬ ‫‪ - 2‬د يوه جدول په واسطه يا عددي (‪)Numerically‬‬ ‫‪ - 3‬مشاهده وي‪ :‬د ګراف په واسطه (‪)Visually‬‬ ‫‪ - 4‬د يو واضﺢ فورمول يا معادلې په واسطه يا په الجبري ډول (‪)Algebraically‬‬ ‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫که (‪ f)x‬او (‪ g)x‬په جدولونو کې په الندې ډول راک‪７‬ل شوي وي‪ ،‬د ‪ x‬په راک‪７‬ل شوو قيمتونو کې ددې‬ ‫تابع ګانو قيمت پيدا ک‪７‬ئ‪ .‬يا په بل عبارت د تابع د تع ريف ساحه (‪ )Domain‬درک‪７‬ل شوي ده‪ ،‬د‬ ‫تابع اړونده قيمتونه (‪ )Range‬يې پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪73‬‬

‫‪g ( x) = x 3 1‬‬ ‫‪2‬‬

‫=‪x‬‬

‫‪2 4‬‬

‫? =)‪g(x‬‬

‫? ?‬

‫‪0 -1 1‬‬

‫?‬

‫? ?‬

‫‪1‬‬ ‫‪x 4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-1 -2 0‬‬

‫? ?‬

‫= )‪f (x‬‬

‫=‪x‬‬

‫? =)‪f(x‬‬

‫لوم‪７‬ى مثال‪ :‬که ‪ f ( x) = x 2 + 3x 2‬وي )‪ f ( 3) , f (0) , f (2‬او )‪ f (a‬پيدا‬ ‫ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫د تابع قﻴمتﻮنﻪ‬ ‫تابع )‪ f ( x ) = x 2 + 3x 2 (Rule‬د تﻌرﻳﻒ ساحﻪ‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a 2 + 3a 2‬‬

‫‪f ( 2) = 2 2 + 3 2 2 = 4 + 6 2‬‬ ‫‪f ( 0) = 0 2 + 3 0 2 = 2‬‬ ‫‪f ( 3) = ( 3) 2 + 3( 3) 2 = 9 9 2‬‬ ‫‪f (a ) = a 2 + 3a 2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪a‬‬

‫ﻳا ‪f (2) = 8 , f (0) = 2 , f ( 3) = 2 , f (a) = a 2 + 3a 2‬‬

‫دوﻳم مثال‪ :‬که ‪ f ( x ) = x 2 + 3x + 5‬وي‪ f ( x + 3) , f ( x ) ،‬او )‪ f (2‬پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‬ ‫‪f (2) = 2 2 + 3 2 + 5 = 4 + 6 + 5 = 15‬‬ ‫‪f ( x + 3) = ( x + 3) 2 + 3( x + 3) + 5 = x 2 + 6 x + 9 + 3x + 9 + 5 = x 2 + 9 x + 23‬‬ ‫‪f ( x ) = ( x ) 2 + 3( x ) + 5 = x 2 3x + 5‬‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫که ‪ g ( x) = x 2 2 x + 7‬وي )‪, g ( x + 4) , g ( x‬او) )‪ g( 5‬پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫درﻳم مثال‪ :‬که ‪ h( x) = 3 2 x‬او ‪ f ( x) = 2 x + 6‬وي )‪ h (6) ، f ( 1‬او))‪) f ( 1) + f (3‬‬

‫پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪74‬‬

‫حل‪:‬‬

‫‪f ( 1) = 2( 1) + 6 = 2 + 6 = 4‬‬ ‫‪h (6) = 3 2 6 = 3 12 = 9‬‬ ‫‪f ( 1) + f (3) = 4 + 2 3 + 6 = 4 + 12 = 16‬‬

‫＇لورم مثال‪ :‬که ‪ f ( x ) = ax 2 bx + 1‬او ‪ f (3) = 10, f (1) = 0‬وي د ‪ a‬او ‪ b‬قيمتونه پيدا‬ ‫ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪0 = a b +1‬‬

‫‪10 = 9a 3b + 1 ,‬‬

‫‪10 = 9a 3b + 1‬‬ ‫‪0 = _ 3a m 3b ± 3‬‬ ‫‪10 = 18 3b + 1‬‬

‫‪10 = 6a 2‬‬

‫‪3b = 19 10‬‬ ‫‪3b = 9‬‬

‫‪12 = 6a‬‬ ‫‪a=2‬‬

‫‪b=3‬‬

‫پن‪％‬م مثال‪ :‬له الندېنيو معادلو څخه کومه يوه يې يوه تابع ښيي؟‬ ‫‪b : x2 + y2 = 4‬‬

‫‪x2 + y = 4‬‬

‫‪a:‬‬

‫حل‪ :‬هغه وخت يوه معادله يوه تابع ښيي چې د ‪ x‬د هر قيمت لپاره د ‪ y‬يو قيمت موجود شي‪.‬‬ ‫‪y = 4 x2‬‬

‫‪x2 + y = 4‬‬

‫‪a:‬‬

‫د ‪ x‬د هر قيمت لپاره ‪ y‬يو قيمت لري‪ ،‬د مثال په ډول که ‪ x = 1‬وي‪ ، y = 4 12 = 3 ،‬نو‬ ‫‪ y = 4 x 2‬يوه تابع ده‪.‬‬ ‫‪y = ± 4 x2‬‬

‫‪x2 + y2 = 4‬‬

‫‪b:‬‬

‫د ‪ x‬د يوه قيمت لپاره ‪ y‬دوه قيمتونه لري‪ ،‬نو ‪ y‬يوه تابع نه ده‪.‬‬ ‫د مثال په ډول که ‪ x = 1‬وي‪ y = ± 3 ،‬ﻳا ) ‪3‬‬

‫تکرار شوي دي‪.‬‬

‫‪75‬‬

‫‪ (1 , 3 )(1 ,‬چې لوم ‪７‬ني عناصر يې‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫وښياست چې د ‪ y x 2 = 1‬او د ‪y = 2‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪ x‬معادلې د تابع ښودونکي دي او د ‪x 2 + y 2 = 4‬‬

‫مﻌادلﻪ د يوې تابع ښودونکي نه ده‪.‬‬ ‫يوه تابع د )‪ y = f (x‬په شکل ليکل کې‪８‬ي‪ ،‬د تابع د قيمت د پيدا کولو لپاره د ‪ x‬قيمت د تابع په‬ ‫معادله کې وضع کوو‪ ،‬د تابع قيمت په الس راځي او يوه معادله هغه وخت د يوې تابع ښکارندويه وي‬ ‫چې د هر ‪ x‬لپاره يو ‪ y‬وجود ولري‪.‬‬

‫پو＊تن‪３‬‬ ‫‪ –1‬که ‪ g ( x) = x 2 + x 2‬او ‪ f ( x) = 2 x 2 + 3 x 1‬وی )‪g( 2) , f ( 3) , g(2) g( 3‬‬ ‫)‪f (0) g ( 2‬‬ ‫او‬ ‫)‪f ( 3‬‬

‫پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪ – 2‬که ‪ f ( x) = x 2 x‬او ‪ g ( x) = x + 4‬وي‪ gf (0) , f ( 2) .‬او )‪ f ( x 1‬پيدا‬ ‫ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ –3‬که ‪ g ( x) = 3 x‬او ‪ h( x) = 1 + 4 x‬وي )‪ h ( 3) , h (16‬او )‪ g ( 4‬پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪x 3‬‬

‫= ) ‪ g ( x ) = l6 + 3x x 2 , f ( x‬او ‪ h ( x ) = 25 x 2‬وي )‪g ( 7) , f (6‬‬

‫او )‪ f (0) + g (4) h( 3‬پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ – 5‬که ‪ g( x ) = x + 40 2‬وي )‪ g(0) , g(4) , g(5) , g(12‬او )‪ g ( 2‬پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ – 6‬آيا د ‪ x 2 + xy = 1‬معادله يوه تابع ښيي؟‬

‫‪76‬‬

‫د ﻳوې تابﻊ د تعرﻳﻒ د ساح‪ ３‬پﻴدا‬ ‫کول‬ ‫أيا کېداى شي چې د هرې تابع د تعريف‬ ‫ساحه ټول حقيقي عددونه وي؟‬

‫‪s‬‬

‫ا‬

‫ﻳا‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫د ‪ x‬کوم قيمتونه دتابع د تعريف په ساحه کې شامل وي؟‬ ‫د‬

‫‪ f ( x) = 1‬تابع د تعريف ساحه وټاکئ‪.‬‬

‫‪x 4‬‬

‫أيا ‪ g ( x) = 3 x‬تابع د تعريف په ساحه کې ‪ x = 4‬شامل دی؟‬ ‫د يوې تابع د تعريف په ساحه (‪ )Domain‬کې د ‪ x‬ټول هغه قيمتونه شامل وي چې تابع په هغه‬ ‫قيمتونو کې تعريف شوي وي يا د تابع قيمت يو حقيقي عدد وي‪.‬‬ ‫لوم‪７‬ى مثال‪ :‬د الندې تابع ګانو د تعريف ساحه (‪ )Domain‬وټاکئ‪.‬‬ ‫‪6x‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪2‬‬

‫‪x‬‬

‫= )‪(x‬‬

‫‪h(x) = x 2 7x‬‬ ‫‪R ( x ) = 3x + 12‬‬

‫‪1‬‬

‫= )‪f (x‬‬

‫‪x 3‬‬ ‫‪g( x ) = x‬‬

‫حل‪:‬‬ ‫د‬

‫‪ f ( x ) = 1‬تابع په ‪ x = 3‬کې تعريف شوي نه ده‪ ،‬ځکه چې ‪ x = 3‬لپاره د تابع مخرج‬

‫‪x 3‬‬

‫صفر کې‪８‬ي يا د ‪ x = 3‬لپاره د تابع قيمت يو حقيقي عدد نه دى نو‪:‬‬ ‫}‪3‬‬

‫‪Dom f = {x IR / x‬‬

‫د ‪ g ( x) = x‬په تابع کې ددې لپاره چې د تابع قيمت يو حقيقي عدد (‪)Real number‬‬

‫‪77‬‬

‫وي‪ ،‬بايد ‪ x 0‬وي‪ ،‬نو }‪IR / x 0‬‬

‫‪ Dom g = {x‬يا )‬

‫‪dom g = [0 ,‬‬

‫‪ h( x) = x 2 7 x‬په تابع کې‪ ،‬څرنګه چې د ‪ x‬د هر قيمت لپاره د )‪ h(x‬تابع تعريف شوي‬ ‫ده‪ ،‬نو‪( :‬د حقيقي عددونو سټ) )‬

‫( = ‪Dom h = IR‬‬

‫‪,‬‬

‫‪6x‬‬ ‫‪6x‬‬ ‫د ‪ k ( x) = 2‬ﻳا‬ ‫)‪( x 3)( x + 3‬‬ ‫‪x 9‬‬

‫= ) ‪ k ( x‬تابع د تﻌرﻳﻒ ساحﻪ عبارت ده لﻪ‪:‬‬

‫}‪3‬‬

‫‪3, x‬‬

‫‪Dom k ( x) = {x‬‬

‫‪IR / x‬‬

‫د ‪ R ( x ) = 3x + 12‬په تابع کې بايد ‪ 3x + 12 0‬وي‪ ،‬نو ‪4‬‬

‫) ‪4} = [ 4,‬‬

‫‪ x‬کې‪８‬ي‪.‬‬

‫‪IR / x‬‬

‫‪Dom R = {x‬‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫د الندې تابع ګانو د تعريف ساحه (‪ ) Domain‬پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪h ( x ) = 9 x 27‬‬

‫‪,‬‬

‫‪5x‬‬ ‫‪x 49‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪f ( x ) = x 2 + 3x 17 ,‬‬

‫= ) ‪g( x‬‬

‫دوﻳم مثال‪ :‬د ‪ y = x 3‬د تابع د تعريف ساحه پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪x 3‬‬

‫‪x 3 0‬‬

‫) ‪Dom y = {x IR / x 3} = [3 ,‬‬

‫درﻳم مثال‪ :‬د الندې تابع ګانو د تعريف ساحه پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫] ‪ [2,‬ﻳا }‪2‬‬ ‫) ‪,4) U (4,‬‬

‫‪Dom f = {x / x‬‬

‫( ﻳا }‪{4‬‬

‫يا د سټ په شکل‪:‬‬

‫‪dom g = IR‬‬

‫}‪4‬‬

‫) ‪, 1] U [3 ,‬‬

‫‪f (x) = x 2‬‬ ‫‪2x + 3‬‬ ‫‪x 4‬‬

‫= )‪g ( x‬‬

‫‪dom g = {x IR / x‬‬

‫‪h ( x ) = x 2 2x 3‬‬ ‫‪3 Dom h = {x / x‬‬ ‫( ﻳا} ‪ x 3‬ﻳا}‪1‬‬

‫‪78‬‬

‫د ﻳوې تابﻊ ‪－‬راف او د ‪－‬راف له مﺨ‪ ３‬د ﻳوې تابﻊ پﻴﮋندنه‬

‫)‪(Graph of a function and vertical line test‬‬ ‫په راک‪７‬ل شوو شکلونو کې کوم ګراف د يوې تابع ګراف دى؟‬

‫‪o‬‬

‫‪o‬‬

‫‪o‬‬

‫‪o‬‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫د ‪ y‬له محور سره يو موازي خط رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫وګورئ چې دا خط د تابع ګراف په څو نقطو کې قطع کوي؟‬ ‫که دا خط ګراف په يوه نقطه کې قطع ک‪７‬ي أيا دا ګراف به د يوې تابع ګراف وي؟‬ ‫که دا خط‪ ،‬ګراف له يوې نقطې څخه په زياتو نقطو کې قطع ک‪７‬ي أيا دا ګراف به د يوې تابع ګراف وي؟‬ ‫که(‪ f)x‬يوه حقيقي تابع وي‪ ،‬د (‪ f)x‬د تابع ګراف د ((‪ )x , f)x‬د هغه مرتبو جوړو سټ دى چې د (‪y=f)x‬‬ ‫په معادله کې صدق وک‪７‬ي‪.‬‬ ‫يا د يوې تابع ﮔراف د ‪ XOY‬د مستوي د هغو نقطو سټ دى چې }) ‪ { (x , y ) / y = f ( x‬صدق ک‪７‬ي‬ ‫او )‪ x dom f (x‬وي‪.‬‬

‫‪79‬‬

±x1 1y ±02 40

±x1 ±02

y3 62

±x1 5y ±02 84

±x1 ±02

y1 22

±x1 ±02

y3 04

±1 1 ±2 4

±1 3 ±2 6

±1 5

±1 ±2

1

±1 ±2

3

±2 8

2

0

1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000

.‫ئ‬７‫ک‬ ‫رسم‬2560 ‫ګراف‬3040 ‫ تابع‬3710 y = 4450 f ( x) =5280 2 x +6080 1 ‫ د‬:‫ي مثال‬７‫لوم‬ 1650 1750 1860 2070 2300 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000

input x 0 input 2x 02

1650 1750 1860 2070 2300 2560 3040 3710 4450 5280 6080

‫تابع‬

output

‫مرتبې جوړې‬

2x + 1 2(0) + 1

y = f (x) 1 output

( x , y) (0,1)

22(2x)++11 y = 5f ( x ) 22((02))++11 13

((x2,,5y)) ( (20,,1)3)

x f ( x)

0

1 2 2 1 4

x f 1 ( x)

0 1 2 x x 2 2(2) + 1 5 (2,5) 1 f ( x) f ( x) 2 1 4 2 2( 2) + 1 3 ( 2, 3) f ( x ) = x 2 + 1 .‫ئ‬７‫تابع ګانو ګراف رسم ک‬ 2 y = 1 ‫ او‬f ( x) = x + 1 ‫ د‬:‫دوﻳم مثال‬ x 3 2 1 0 1 2 3

f ( x ) 10 2 5 2 f (x) = x + 1 x 3 2 1 f ( x ) 10 5 2 3 f (x) = x ‫ ( مرتبو جوړو په نظر‬3 ,10) , x 2 1 0

1 2 5 10 0 1 2 3 1 2 5 10

( 2 , 5) , ( 1 , 2) , (0 ,1) , (1, 2) , (2 , 5) , (3 , 10) ‫د‬ 1 2

yf = ( xf)(=x )x 3 8 2 1 0 1 8 ff (( 33)) == (( 33))2 ++11== 99++11==10 10 x 2 1 0 1 2 ff (( 22)) == (( 22))22 ++11== 44++11== 55 y = f (x) 8 1 0 1 8 ff (( 11)) == (( 11))22 ++11==11++11== 22 2 ff((00)) == 002 ++11== 00++11==11

2 ff((11)) ==112 ++11== 22 2 ff((22)) == 222 ++11== 55

2 10 ff((33)) == 332 ++11==10 Domff ::(( ,, )) Dom Dom f =f (: [1, , )) Range Range f : [1, ) Range f = (1, )

80

.‫ئ‬７‫د تعريف او د قيمتونو ساحې يې هم پيدا ک‬ :‫حل‬

:‫ئ‬７‫کې نيولو سره د تابع ګراف رسم ک‬

‫يا‬

2 1 0

1

2 1 0

1

‫‪f (x) = 1‬‬

‫مرتبه جوړه‬

‫‪Input Output‬‬ ‫‪x‬‬

‫)‪y = f (x‬‬

‫)‪( x , y‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪( 2 , 1‬‬

‫‪1‬‬

‫)‪(0 , 1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫)‪(3 , 1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪Dom y = IR‬‬ ‫‪Range y = 1‬‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬

‫د ‪ f ( x) = x 2 4‬تابع ﮔراف رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫درﻳم مثال‪ :‬د ‪ y = f ( x) = x 3‬تابع ګراف رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪f (x) = x 3‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2 1 0‬‬

‫‪8‬‬

‫‪1‬‬

‫‪y = f (x) 8 1 0‬‬

‫که يو عمودي خط (د ‪ y‬له محور سره موازي) يو ګراف‬ ‫يوازې په يوه نقطه کې قطع ک‪７‬ي‪ ،‬نو دا ګراف د يوې تابع‬ ‫ګراف دى او که له يوې نقطې څخه يې په زياتو نقطو کې‬

‫قطع ک‪７‬ي‪ ،‬نو دا ګراف د يوې تابع ګراف نه دى‪.‬‬

‫‪81‬‬

‫＇لورم مثال‪ :‬په الندې راک‪７‬ل شوو ګرافونو کې ليدل کې‪８‬ي چې ‪ b‬او ‪ c‬د تابع ګانو ګرافونه دي‪،‬‬ ‫ځکه چې عمود خط يې ګرافونه په يوه نقطه کې قطع ک‪７‬ي دي‪ ،‬ليکن د ‪ a‬او ‪ d‬ګرافونه د تابع ګرافونه‬ ‫نه دي‪ ،‬ځکه چې عمودي خط ګرافونه له يوې څخه په زياتو نقطو (دوو نقطو) کې قطع ک‪７‬ي دي يا د‬ ‫يوه ‪ x‬لپاره د ‪ y‬يا ) ‪ f ( x‬دوه قيمتونه وجود لري‪ ،‬نو د ‪ a‬او ‪ d‬ګرافونه د تابع ګرافونه نه دي‪.‬‬

‫د تابع د تعريف په ناحيه ‪ domain‬کې هغه عددونه شامل وي چې تابع په کې تعريف شوي وي يا د‬ ‫تابع قيمت يو حقيقي عدد وي‪ .‬د يوې تابع ګراف د ‪ XOY‬په مستوي کې د ‪ S‬د نقطو سټ دى‪ ،‬په‬ ‫دې ډول چې })‪ S = {( x, y ) | y = f ( x‬چې ‪ x‬د تابع د تعريف په ساحه کې شامل وي‪ ،‬که د ‪y‬‬ ‫له محور سره موازي خط ګراف يوازې په يوه نقطه کې قطع ک‪７‬ي‪ ،‬دا ګراف د يوې تابع ګراف دى‪.‬‬

‫پو＊تن‪３‬‬ ‫‪ - 1‬د الندې تابع ګانو د تعريف ساحې (‪ )Domains‬پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪h(x) = x 2 4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= )‪h(x‬‬ ‫‪x 4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪h(x) = 2‬‬ ‫‪x + 11x + 24‬‬

‫‪g( x ) = 2x 5‬‬

‫‪f (x) = x 2 9‬‬

‫| ‪g ( x ) =| x 3‬‬

‫‪f (x) = x + 1‬‬

‫‪2‬‬ ‫)‪( x + 3)( x 7‬‬

‫= ) ‪g( x‬‬

‫‪7x‬‬ ‫‪x 16‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪f (x) = 2‬‬ ‫‪x +4‬‬ ‫‪2‬‬

‫= )‪f (x‬‬

‫‪ - 2‬د ‪ f ( x) = x 2‬او ‪ f ( x) = x 2‬د تابع ګانو ګرافونه رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ - 3‬د ‪ g ( x) = 2 x 1‬تابع ګراف رسم ک‪７‬ئ که ‪ x = 3 , 2 , 1 , 0 , 1, 2 , 3 ,‬وي‪.‬‬ ‫‪ - 4‬د ‪ x = y 2 2‬ګراف رسم ک‪７‬ئ او أيا دا د يوې تابع ګراف دى؟ ولې؟‬

‫‪82‬‬

‫د ‪－‬راف له مﺨ‪ ３‬د ﻳوې تابﻊ د‬ ‫تعرﻳﻒ او د قمﻴمتونو د ناحﻴو او د‬ ‫تابﻊ د قﻴمتونو پﻴدا کول‪:‬‬

‫أيا د توابعو په الندېنيو راک‪７‬ل شوو ګرافونو کې د تابع د تعريف ساحه (‪ )Domain‬او د قيمتونو‬ ‫ساحه (‪ )Range‬يې ټاکالى شئ؟‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫شکل وګورئ الندېنيو پوښتنو ته ځواب ورک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫د شکل له مخې د ‪ f‬تابع د تعريف او قيمتونو ساحه‬ ‫پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫أيا د ‪ – 4‬عدد د ‪ f‬د تابع د قيمتونو په ساحه کې شامل‬

‫‪0‬‬

‫دى؟ ولې؟‬ ‫أيا د ‪ – 3‬عدد د ‪ f‬د تعريف په ساحه کې شامل دى؟ ولې؟‬ ‫أيا د ‪ 6‬عدد د ‪ f‬د تعريف په ساحه کې شامل دى؟‬

‫‪83‬‬

‫‪-‬‬

‫ليدل کې‪８‬ي چې ‪ f ( 1) = 2‬او ‪ f (1) = 4‬دي او هم د شکل له مخې د تابع د تعريف ساحه‬ ‫له ‪ -3‬څخه تر ‪ 6‬پورې ده‪ ،‬ليکن ‪3 dom f‬‬

‫او ‪ ، 6 dom f‬نو ]‪dom f = ( 3 , 6‬‬

‫او په همدې ډول د (‪ f)x‬تابع د قيمتونو ساحه (‪ )Range‬له ‪ -4‬څخه تر ‪ 4‬پورې ده‪ ،‬خو‬ ‫‪ 4 Range f‬نو ]‪. Range f = ( 4 , 4‬‬ ‫لوم‪７‬ى مثال‪ :‬په راک‪７‬ل شوو شکلونو کې د تابع ګانو د تعريف او د قيمتونو ساحې پيداک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪o‬‬ ‫(‪) 1‬‬

‫(‪)2‬‬ ‫حل‪:‬‬

‫د لوم‪７‬ي شکل په ﮔراف کې د تعريف ساحه د ‪ 1‬او ‪ 6‬تر منځ ټول حقيقي عددونه دي او د قيمتونو‬ ‫ساحه يې د ‪ 2‬او ‪ 4‬تر منځ ټول حقيقي عددونه دي يا‪6 :‬‬

‫‪ 1 x‬او ‪4‬‬

‫‪y‬‬

‫‪2‬‬

‫د (‪ )2‬شکل په ګراف کې ‪ 2 x 10‬يا ]‪Dom = [2 , 10‬‬ ‫‪ 1 y 8‬يا ]‪Range = [1 , 8‬‬

‫دوﻳم مثال‪ :‬الندې شکل په پام کې ونيسئ‪.‬‬ ‫)‪f ( 2‬‬

‫‪= 0f (3) ,‬او )‪ f (5‬پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫د ‪ X‬او ‪ Y‬له محورونو سره د ګراف د تقاطع د‬ ‫نقطو وضعيه کميات پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪ :‬څرنګه چې د ‪ X‬له محور سره د ګراف د تقاطع په‬ ‫ټکي کې ‪ y = 0‬وي‪ ،‬نو ‪f (3) = 0 , f ( 2) = 0‬‬

‫او ‪ f (5) = 0‬دي‪ ،‬نو ګراف د‬

‫‪ X‬محور د‬

‫د ‪ Y‬له محور سره د تقاطع ټکﯽ‬

‫‪0‬‬ ‫د ‪ X‬له محور سره د تقاطع ټکي‬

‫‪84‬‬

‫)‪ (3 , 0) , ( 2 , 0‬او )‪ (5 , 0‬په نقطو کې قطع کوي‪.‬‬ ‫څرنګه چې د ‪ y‬له محور سره د ګراف د تقاطع په ټکې کې ‪ x = 0‬دی ‪ ، f (0) = 3‬نو ګراف د ‪y‬‬ ‫محور د )‪ (0 , 3‬په نقطه کې قطع کوي‪.‬‬ ‫درﻳم مثال‪ :‬په الندې شکل کې د ‪ f‬تابع ‪ Domain‬او ‪ Range‬پيدا ک‪７‬ئ (‪ f )3‬او (‪ f )6‬هم‬

‫په الس راوړئ‪.‬‬

‫حل‪ :‬ليدل کې‪８‬ي چې د تعريف ساحه يې له ‪ - 3‬څخه تر ‪ 6‬پورې ده‪ ،‬خو ‪ - 3‬د تعريف په ساحه‬ ‫کې شامل نه دى‪.‬‬ ‫]‪3 , 6‬‬

‫(‬

‫ﻳا ‪Domain f ( x) = 3 < x 6‬‬

‫او د قيمتونو ساحه يې‪ Range f ( x ) = 5 y < 4 :‬يا )‪ f (6) = 3 ، [ 5 , 4‬او‬ ‫‪ f (3) = 5‬ده‪.‬‬

‫‪85‬‬

‫پو＊تن‪３‬‬ ‫په راک‪７‬ل شوو شکلونو کې‪:‬‬

‫(‪)1‬‬

‫(‪)2‬‬

‫(‪)3‬‬ ‫‪ -a‬د تابع د تعريف ساحه‬ ‫‪ -b‬د تابع د قيمتونو ساحه‬ ‫‪ -c‬د ‪ X‬له محور سره د ﮔراف د تقاطع ټکي‬ ‫‪ -d‬د ‪ Y‬له محور سره د تقاطع ټکي او په دريم شکل کې د تابع غوښتل شوي قيمتونه پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪86‬‬

‫‪＄‬ﻴن‪ ３‬ﺧاص‪ ３‬تابﻊ ‪－‬ان‪ ３‬او‬ ‫‪－‬رافونه ﻳ‪３‬‬ ‫د هغو تابع ګانو نومونه واخلى چې ګرافونه يې‬ ‫راک‪７‬ل شوي دي‬

‫توابع ډېر ډولونه لري چې ځينې خاصې تابع ګانې ترڅې‪７‬نې الندې نيسو‪:‬‬ ‫ثابته تابع‪ ،‬د عينيت تابع‪ ،‬د مطلقه قيمت تابع‪ ،‬څو معادله يي تابع او د عالمې تابع‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫ثابتي تابع ته ولې ثابته تابع وايي؟‬ ‫أيا د عينيت تابع د تعريف او د قيمتونو ساحې سره مساوي وي؟‬ ‫أيا د مطلقه قيمت د تابع د قميتونو ساحه منفي قيمتونه اخېستالى شي؟‬

‫‪87‬‬

‫ثابته تابﻊ (‪)Constant Function‬‬ ‫که ‪ x‬او ‪ y‬د حقيقي عددونو سټونه وي‪ ،‬د ‪y‬‬

‫‪ f : x‬يا ‪ f ( x) = y‬په تابع کې که ‪ y‬له يوه ثابت عدد‬

‫سره مساوي وي يا ‪ y = f ( x) = c‬چې (‪ )c‬يو ثابت عدد دى‪ ،‬نو ‪ y‬د ثابتې تابع په نوم يادې‪８‬ي‪.‬‬ ‫د مثال په ډول‪ f ( x) = 3 , f ( x) = 2 :‬او ‪ f ( x) = 2‬او داسې نورې ثابتې تابع ګانې دي‪.‬‬ ‫لوم‪７‬ى مثال‪, f ( x) = 2 :‬او‪ f (f x( )x)== 22‬تابع ګانو ګرافونه رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪f (x) = 2‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫= )‪f (x‬‬

‫‪f (x) = 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2 0‬‬ ‫‪0 4‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪y = ( x + 2) 2‬‬

‫‪3 4 2 5 1‬‬ ‫‪0 1 1 4 4‬‬

‫=‪x‬‬ ‫‪y = ( x 3) 2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫=‪x‬‬ ‫= )‪f (x‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2 ...‬‬ ‫‪2 ...‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2 3‬‬ ‫‪2 3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪f (x) = x‬‬ ‫‪x= 0 1 2‬‬ ‫‪f (x) = 0 1 2‬‬

‫‪0‬‬ ‫| ‪f ( x ) =| x‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪0 1 2 3‬‬ ‫‪f (x) = 0 1 2 3‬‬

‫په دې معنا چې په ثابته تابع کې د تعريف د ساحې د هر عنصر تصوير همغه ثابت عدد دى‪.‬‬ ‫عنصر( ‪f‬ته له‬ ‫هر|= ) ‪x‬‬ ‫ساحې| ‪x‬‬ ‫د عﻴنﻴت تابﻊ )‪ :(Identity function‬هغه تابع ده چې د تعريف د ‪+4‬‬

‫)‪f (x‬‬

‫=‪x‬‬ ‫)‪f (x‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬

‫خپل ځان سره ارتباط ورک‪７‬ي‪2‬يا= ‪ f ( xf) (=x )x‬د‬ ‫=‪x‬‬ ‫يادې‪８‬ي‪1.‬‬ ‫نامه ‪2‬‬ ‫تابع په ‪3‬‬ ‫عينيت د ‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ک‪７‬ئ‪y.‬‬ ‫رسم‪= ff‬‬ ‫ګراف))‪((xx‬‬ ‫تابع‪== x 2‬‬ ‫مثال‪:‬د ‪2 f (2x) =2x‬د ‪1‬‬

‫‪1, 5 1, 8‬‬ ‫‪0,5 0,8‬‬ ‫‪1 2 1‬‬

‫‪2 ...‬‬ ‫‪2 ...‬‬

‫‪2 3‬‬ ‫‪2 3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫| ‪f ( x ) =| x‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪0 1 2 3‬‬ ‫‪f (x) = 0 1 2 3‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪14 2 4 2‬‬

‫‪6‬‬

‫‪6‬‬

‫‪1 2‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪1,1‬‬ ‫‪f (xf )( x ) =0x,1‬‬ ‫‪x= 0‬‬ ‫‪f (x) = 0‬‬

‫‪5‬‬

‫= )=‪f (fx()x‬‬ ‫‪xx‬‬ ‫=‪y‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪0 0.5 0.8 1‬‬ ‫‪y = f(x) 0 0.5 0.8 1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪f ( x0) =| x1 | +4 1‬‬ ‫‪f ( x ) = x 2x 0‬‬ ‫‪= 10 1 1‬‬

‫‪f (x) = 4 5‬‬ ‫‪1< 2‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪5 6‬‬

‫=‪x‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪f (x) = 4 5‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪1 4‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪1 2 4‬‬ ‫‪f ( x) 2 3 5‬‬

‫‪88‬‬

‫‪0 1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪f ( x) = x 0 1‬‬

‫‪1< 2‬‬

‫د مﻄلقه قﻴمت تابﻊ (‪)Absolute value function‬‬ ‫د مطلقه قميت تابع | ‪ f ( x) =| x‬په الندې ډول تعريف شوى ده‪:‬‬ ‫‪x , x 0‬‬ ‫‪x , x 4‬دى‪ ،‬نو په لوم‪７‬ى معادله کې وضع کې‪８‬ي‪ ،‬لرو چې‪:‬‬ ‫‪f ( 5) = 2( 5) + 3 = 10 + 3 = 7‬‬

‫او څرنګه چې د ‪ 8‬عدد د ‪ 4‬او ‪ 10‬ترمنځ واقع دى ‪ ، 4> 8>10‬نو په دويمه معادله کې وضع‬ ‫کې‪８‬ي لرو چې‪:‬‬ ‫‪1 = 64 1 = 63‬‬

‫د ‪ f‬تابع د تعريف ساحه په لوم‪７‬ۍ معادله کې ) ‪, 4‬‬

‫‪89‬‬

‫‪2‬‬

‫‪f (8) = 8‬‬

‫( او په دويمه معادله کې ]‪ [4 , 10‬ده‪ ،‬نو د‬

‫‪ f‬د تعريف ساحه د ]‪, 10‬‬

‫(‬

‫څخه عبارت ده‪.‬‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫‪11‬‬ ‫‪x + 15 : 0 x < 60‬‬ ‫‪60‬‬ ‫که چېرې‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x 8 : 60 x 90‬‬ ‫‪5‬‬

‫= ) ‪ g( x‬وي‪،‬‬

‫وښياست چې ‪ g (80) = 8‬او ‪ g (30) = 9.5‬دى‪.‬‬ ‫د ＇و معادله ﻳ‪ ３‬تابﻊ ‪－‬راف (‪)Graph of function defined piecewise‬‬ ‫دوﻳم مثال‪ :‬د (‪ f )x‬تابع د تعريف او قيمتونو ساحې پيدا او ګراف يې هم رسم ک‪７‬ئ که‪:‬‬ ‫‪x :0 x 1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x 1: 1 < x‬‬

‫= ) ‪ f ( x‬وي‪.‬‬

‫حل‪ :‬د لوم‪７‬ى معادلې د تعريف ساحه ]‪ [0,1‬او د دويمې معادلې د تعريف ساحه ]‪ (1,2‬ده چې په‬ ‫نتيجه کې د (‪ f )x‬د تعريف ساحه ]‪ [0,2‬ده‪.‬‬ ‫د ګراف د رسمولو لپاره‪ ،‬د دواړو برخو ګراف رسموو په دې ډول‪:‬‬

‫‪90‬‬

‫‪y = f ( x) = x 1‬‬

‫‪y = f (x) = x‬‬

‫‪x‬‬ ‫)‪f (x‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪0 0.5 0.8 1‬‬ ‫‪y = f(x) 0 0.5 0.8 1‬‬

‫‪1,1 1, 5 1, 8‬‬ ‫‪0 ,1 0 , 5 0 , 8‬‬

‫په نتيجه کې دوه مستقيم خطونه په الس راځي چې دواړه د (‪ f )x‬تابع ګراف دى‪.‬‬ ‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫‪x 0 x 4‬‬ ‫که‪:‬‬ ‫‪x 1 0 1‬او ‪y < 1‬‬

‫د عﻼم‪ ３‬تابﻊ (‪ :)Sign Function‬د عالمې تابع چې په(‪ sgn )x‬سره ښودل کې‪８‬ي‬ ‫د څو معادله يې تابع يو مثال دى چې په الندې ډول تعريف شوي ده‪:‬‬

‫‪91‬‬

‫‪1 : x>0‬‬ ‫‪0 : x=0‬‬ ‫‪1 : x f ( x2‬‬

‫شي‪.‬‬ ‫‪ – 3‬که ‪ x1 < x2‬وي او په نتيجه کې ) ‪ f ( x1 ) = f ( x2‬شي دا تابع نه متناقصه ده او نه متزايده‪.‬‬ ‫لکه‪ :‬څرنګه چې په شکل کې ليدل کې‪８‬ي دا يوه ثابته تابع ده‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬د ‪ f ( x) = x 2‬او ‪ f ( x) = x 2‬د تابع ګانو ګراف په کومو انټروالونو کې متزايد او په‬ ‫کومو انټروالو کې متناقص دى؟‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪93‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪f (x) = x‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0 1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪f ( x) = x 0 1‬‬

‫‪1< 2‬‬ ‫)‪f ( 1) > f (2‬‬ ‫‪1> 4‬‬

‫‪1< 2‬‬ ‫)‪f ( 1) < f (2‬‬ ‫‪1< 4‬‬

‫ليدل کې‪８‬ي چې د ‪ f ( x) = x 2‬تابع د )‪ ( , 0‬په انټروال کې متناقصه او د ) ‪ (0 ,‬په انټروال‬ ‫کې متزايده ده‪ ،‬ليکن د ‪ f ( x) = x 2‬تابع په )‪ ( ,0‬انټروال کې متزايده او د ) ‪ (0 ,‬په‬ ‫انټروال کې متناقصه ده‪.‬‬ ‫ﻓعاﻟﻴت‬

‫په راک‪７‬ل شوو شکلونو کې د‬ ‫تابع ګراف په کومو انټروالونو‬ ‫کې متزايد په کومو کې‬ ‫متناقص دی‪ ،‬کوم ګراف نه‬ ‫متزايد او نه متناقص دى؟‬ ‫جفتﻲ او طاقﻲ تابﻊ ‪－‬ان‪:(Even and Odd Functions) ３‬‬ ‫‪ -1‬د )‪ f (x‬تابع يوه جفته تابع ده که چېرې )‪ f ( x) = f ( x‬وي‪ ،‬په دې معنا که په تابع کې‬ ‫د ‪ x‬پر ځاى ‪ –x‬عوض ک‪７‬و‪ ،‬د تابع په قيمت کې تغير رانه شي‪.‬‬ ‫‪ -2‬د )‪ f (x‬تابع يوه طاقه تابع ده که چېرې )‪ f ( x) = f ( x‬وي يا دا چې که په تابع کې د‬

‫‪94‬‬

‫‪ x‬پر ځاى ‪ –x‬عوض ک‪７‬و‪ ،‬د تابع قيمت منفي شي‪.‬‬ ‫لوم‪７‬ى مثال‪ :‬د ‪ f ( x) = x 2‬او ‪ f ( x) = x 3‬په‬

‫تابع ګانو کې کومه تابع جفته او کومه يوه طاقه ده؟‬ ‫حل‪ :‬په دواړو تابع ګانو کې‬ ‫د ‪ x‬پر ځاى ‪ – x‬عوض کوو‪:‬‬ ‫‪f ( x) = ( x) 3 = ( x)( x)( x) = x 3‬‬

‫نو د ‪ f ( x) = x 3‬تابع يوه طاقه تابع ده‪،‬‬ ‫ځکه چې )‪ f ( x) = f ( x‬کې‪８‬ي لکه‪:‬‬ ‫‪ f ( 2 ) = f ( 2 ) = 8‬او د ‪ f ( x) = x 2‬په‬ ‫تابع کې لرو چې‪:‬‬ ‫‪f ( x) = ( x) 2 = ( x)( x) = x 2‬‬ ‫نو ‪ f ( x) = x 2‬يو جفته تابع ده‪ ،‬ځکه چې‬

‫)‪ f ( x) = f ( x‬کې‪８‬ي لکه‪f ( 2) = f (2) = 4 :‬‬

‫ليدل کې‪８‬ي چې د جفتو تابع ګانو ګرافونه نظر د ‪ Y‬محور ته‬ ‫او د طاقو تابع ګانو ګرافونه نظر د وضعيه کمياتو مبدا ته سره‬ ‫متناﻇر دي‪.‬‬

‫دوﻳم مثال‪ :‬د ‪ f ( x) = x 2 4‬او‬ ‫‪ g ( x) = x 2 + 3x + 2‬په تابع ګانو کې کومه يوه‬ ‫جفته او کومه يوه طاقه ده؟‬ ‫حل‪:‬‬ ‫)‪4 = f ( x‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4=x‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪f ( x) = ( x‬‬

‫نو دا تابع جفته ده‪ ،‬په شکل کې هم ليدل کې‪８‬ي‪ ،‬دوه‬ ‫نقطې د (‪ )3,5‬او (‪ )–3,5‬تابع د ‪ x = 3‬او ‪x = 3‬‬

‫لپاره د تابع قيمت سره مساوي دى چې د (‪ )5‬عدد دى‪.‬‬

‫‪95‬‬

‫يعنې‪f ( 3) = f (3) = 5 :‬‬

‫همدارنګه د ‪ x = 2‬او ‪ x = 2‬لپاره د تابع قيمت سره مساوي دى چې صفر دى‪ ،‬نو په نتيجه کې‬ ‫تابع جفته ده‪.‬‬ ‫‪g ( x) = ( x) 2 + 3( x) + 2 = x 2 3 x + 2‬‬

‫چې دا تابع نه جفته او نه طاقه ده‪.‬‬ ‫درﻳم مثال‪ :‬که ‪ f‬له حقيقي عددونو څخه حقيقي عددونو ته يوه طاقه تابع وي او‬

‫‪ f ( 2) = k + 5‬او ‪ f (2) = 2k + 3‬وي‪ ،‬د ‪ k‬قيمت پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪ :‬څرنګه چې ‪ f‬يوه طاقه تابع ده‪ ،‬نو‪f ( x) = f ( x) :‬‬

‫د طاقې تابع د تعريف په اساس‪:‬‬

‫)‪f ( 2) = f (2‬‬

‫)‪k + 5 = (2k + 3‬‬ ‫‪k + 5 = 2k 3‬‬ ‫‪3k = 8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫=‪k‬‬ ‫‪3‬‬

‫که د )‪ f (x‬په تابع کې ‪ x1 < x2‬وي او په نتيجه کې ) ‪ f ( x1 ) < f ( x2‬شي تابع متزايده او که‬ ‫‪ x1 < x2‬وي او ) ‪ f ( x1 ) > f ( x2‬شي‪ ،‬تابع متناقصه ده که )‪ f ( x) = f ( x‬وي تابع جفته او‬ ‫که ) ‪ f ( x ) = f ( x‬شي تابع طاقه ده د جفتو تابع ګانو ګراف نظر د ‪ Y‬محور ته او د طاقو تابع ګانو‬ ‫ګراف نظر د وضعيه کمياتو مبدآ ته سره متناﻇر دي‪.‬‬

‫پو＊تن‪３‬‬ ‫‪ -1‬د الندېنيو تابع ګانو څخه کومه يوه يې متزايده‪ ،‬کومه يوه يې متناقصه او کومه يوه نه متزايده‬ ‫او نه متناقصه ده؟‬ ‫‪x4‬‬

‫‪f ( x) = x 2‬‬

‫‪,‬‬

‫‪f ( x) = x 2 + x‬‬

‫‪,‬‬

‫‪f ( x) = x 3 + x‬‬

‫‪ -2‬د الندېنيو راک‪７‬ل شوو تابع ګانو څخه کومه يوه جفته او کومه يوه طاقه ده؟‬ ‫| ‪f ( x) =| x‬‬

‫‪,‬‬

‫‪f ( x) = x‬‬

‫‪f ( x) = x 5‬‬

‫‪,‬‬

‫‪f ( x) = x 4‬‬

‫‪96‬‬

‫د ‪－‬رافونو انتقال (‪)Translation‬‬ ‫أيا کوالى شئ چې ووايئ راک‪７‬ل شوي ګرافونه‬ ‫يو له بله سره څه اړيکه لري؟‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫د ‪ f ( x) = x 2‬تابع ګراف رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د ‪ f ( x) = x 2 + 4‬تابع ګراف رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د ‪ f ( x) = x 2 4‬تابع ګراف رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫وواياست چې پورتني ګرافونه يو له بله سره څه ډول اړيکه لري؟‬ ‫که د ‪ f ( x) = x 2‬ګراف رسم ک‪７‬و‪ ،‬څنګه کوالى شو د ‪ f ( x) = x 2‬د ګراف له انتقال څخه د‬ ‫‪ f ( x) = x 2 4‬تابع ګراف رسم ک‪７‬و؟‬ ‫د ‪ y = x 2‬د ګراف د ) ‪ ( x , y‬د هرې نقطې لپاره د )‪ ( x , y 4‬اړونده نقطه د ‪y = x 2 4‬‬ ‫په ګراف واقع ده‪ ،‬نو د ‪ y = x 2‬تابع ګراف هره نقطه د ‪ 4‬واحدو په اندازه ښکته خواته انتقال کوي‬ ‫تر څو د ‪ y = x 2 4‬ګراف الس ته راشي‪ ،‬لکه‪ :‬څنګه چې په شکل کې ليدل کې‪８‬ي‪ ،‬دا انتقال‬

‫‪97‬‬

‫د عمودي انتقال (‪ )Vertical Translation‬په نوم يادې‪８‬ي‪.‬‬ ‫انتقال په دوه ډوله دى‪ :‬عمودي انتقال او افقي انتقال‪.‬‬

‫‪ -1‬عمودي انتقال (‪:)Vertical Translation‬‬ ‫عمودي انتقال پورته او يا ښکته خواته وي‪.‬‬ ‫که ‪ c > 0‬وي‪:‬‬ ‫‪ :1‬که د )‪ y = f (x‬د تابع ګراف د ‪ c‬په اندازه پورته خواته‬ ‫انتقال شوی وي‪ ،‬نو د ‪ y = f ( x) + c‬ګراف الس ته راځي‪.‬‬ ‫‪ :2‬که د )‪ y = f (x‬د تابع ګراف د ‪ c‬په اندازه ښکته خواته‬ ‫انتقال شوی وي‪ ،‬نو د ‪ y = f ( x) c‬ګراف الس ته راځي‪.‬‬ ‫لوم‪７‬ى مثال‪ :‬د ‪ y = x 2 + 2‬او ‪ y = x 2 3‬تابع ګانو‬

‫ګرافونه د ‪ y = x 2‬تابع له ګراف سره څرنګه اړيکه لري؟ درې واړه ګرافونه د وضعيه کمياتو‬ ‫په عين سيستم کې رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪ :‬د ‪ y = x 2‬تابع ګراف د (‪ )2‬واحدو په اندازه پورته خواته انتقالوو‪ ،‬ترڅو د ‪ y = x 2 + 2‬د‬ ‫تابع ګراف په الس راشي او که د ‪ y = x 2‬تابع ګراف د (‪ )3‬واحدو په اندازه ښکته خواته نقل ک‪７‬و‪،‬‬ ‫د ‪ y = x 2 3‬تابع ګراف الس ته راځي‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬

‫=‪x‬‬ ‫‪y = x2‬‬ ‫‪y = x2 + 2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪y = x2 3‬‬

‫‪0‬‬

‫يا عمودي انتقال داسې هم تعريفوالى شو‪:‬‬ ‫که د تابع په ګراف کې د ‪ y‬پر ځاى ‪ y – a‬وضع ک‪７‬و داسې چې ‪ a‬يو ثابت عدد دى‪ ،‬نو ګراف د‬ ‫| ‪ | a‬په اندازه په عمودي ډول انتقال کوي که ‪ a > 0‬وي‪ ،‬انتقال په عمودي ډول پورته خواته او که‬ ‫‪ a < 0‬وي ﮔراف د ‪ a‬په اندازه په عمودي ډول ښکته خواته انتقال کوي‪.‬‬

‫‪98‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫)‪f ( x ) = ( x + 1‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪f (x) 1 1‬‬

‫)‪g ( x ) = ( x + 1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪f (x) 0 4‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪f (x) = x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪0 2‬‬ ‫‪f (x) 0 4‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3 3 2‬‬ ‫ﮔراف له ‪3‬انتقاله ‪2‬‬ ‫دوﻳم مثال‪ :‬د ‪ y = x 2‬تابع‪3 2‬‬ ‫څخه د ‪، y y==x| 2x | 2 , y0= x12 + 21‬‬ ‫وضعيه ‪6‬‬ ‫ګرافونه د ‪4‬‬ ‫ګانو ‪3‬‬ ‫‪ y = x 2 + 4‬او ‪8 y 7= x 2 4‬تابع ‪2‬‬ ‫سيستم‪=| x‬‬ ‫عين | ‪+ 3‬‬ ‫کمياتو‪ 5‬په ‪+2‬‬ ‫کې ‪y‬رسم او يو‬

‫له بله سره يې پرتله ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y = x2 2 y = x 4‬‬

‫‪y‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪y = x2 + 2 y = x + 4‬‬

‫‪x‬‬

‫‪4‬‬

‫‪0‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪±1‬‬ ‫‪±2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪±1‬‬ ‫‪±2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪y = x2‬‬

‫‪y‬‬

‫‪x‬‬

‫‪y‬‬

‫‪x‬‬

‫‪y‬‬

‫‪x‬‬

‫‪4‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪±1 3‬‬ ‫‪±2 6‬‬

‫‪±1 5‬‬ ‫‪±2 8‬‬

‫‪±1 1‬‬ ‫‪±2 4‬‬

‫‪1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000‬‬ ‫‪1650 1750 1860 2070 2300 2560 3040 3710 4450 5280 6080‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪f (x‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪2 1 4‬‬

‫‪x‬‬ ‫)‪f ( x‬‬

‫)‪( x , y‬‬ ‫)‪(0,1‬‬

‫‪output‬‬ ‫)‪y = f (x‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2x + 1‬‬ ‫‪2(0) + 01‬‬

‫)‪(2,5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2(2) + 1‬‬

‫)‪( 2, 3‬‬

‫‪2( 2) + 1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪input‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫افقﻲ انتقال‪(Horizontal Translation) :‬‬ ‫عدد‪ f‬دى‪ .‬د تابع ګراف د | ‪| b‬‬ ‫چې‪2 b+‬يو‪= x‬‬ ‫ثابت) ‪( x‬‬ ‫که د تابع په ګراف کې د ‪ x‬پر ځاى ‪ x b‬وضع شي ‪1‬‬ ‫ګراف ښي ‪3‬‬ ‫وي ‪2‬‬ ‫په اندازه په افقي ډول انتقال‪3‬کوي‪ 2،‬که ‪1 b0> 01‬‬ ‫خواته او که‪ b < 0 x‬وي‪ ،‬ګراف کيڼې‬

‫‪1 2 5 10‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪f ( x ) 10‬‬

‫خواته انتقال کوي‪.‬‬ ‫درﻳم مثال‪ :‬د ‪ y = x 2‬ﮔرا ف له انتقال څخه د )‪ y = ( x + 2‬او )‪ y = ( x 3‬ګرافونه‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫تابع= ) ‪x‬‬ ‫حل‪ :‬لکه څنګه چې په شکل کې ليدل کې‪８‬ي که د ‪x y = x 2‬‬ ‫ګراف( ‪f‬د ‪ 2‬واحدو په اندازه کېڼې‬ ‫‪3‬‬

‫‪99‬‬

‫‪x‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2 1 0‬‬

‫‪8‬‬

‫‪1‬‬

‫‪y = f (x) 8 1 0‬‬

‫خواته انتقال ک‪７‬و‪ ،‬د ‪ y = ( x + 2) 2‬ګراف الس ته راځي‪ ،‬که د ‪ y = x 2‬ګراف ‪ 3‬واحده ښي‬ ‫خواته انتقال ک‪７‬و‪ ،‬د ‪ y = ( x 3) 2‬د تابع ګراف ال س ته راځي‪ ،‬لکه‪ :‬څنګه چې په شکل‬

‫کې هم ليدل کې‪８‬ي‪.‬‬ ‫‪....‬‬ ‫‪....‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪....‬‬ ‫‪....‬‬

‫‪2 0‬‬ ‫‪0 4‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪y = ( x + 2) 2‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪3 4 2 5 1‬‬ ‫‪0 1 1 4 4‬‬

‫=‪x‬‬ ‫‪y = ( x 3) 2‬‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬

‫د | ‪ f ( x) =| x‬تابع ګراف له انتقال څخه د | ‪ g ( x) =| x + 2‬او | ‪ h( x) =| x 3‬تابع ګانو‬ ‫ګرافونه د وضعيه کمياتو په عين سيستم کې رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د عمودي او افقﻲ انتقالونو ترکﻴﺐ‪:‬‬ ‫)‪(Combining Horizontal and Vertical Shifts‬‬ ‫＇لورم مثال‪ :‬د ‪ g( x ) = ( x + 1) 2‬او ‪ h( x) = ( x + 1) 2 3‬د تابع ګانو ګرافونه رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪ :‬لوم‪７‬ى د ‪ f ( x) = x 2‬تابع ګراف رسموو چې د دويمې درجې تابع د معياري ګراف په نامه‬ ‫يادې‪８‬ي لوم‪７‬ى د ګراف پر مﺦ د )‪ (2 , 4) , (0 , 0‬او )‪ ( 2 , 4‬درې نقطې ټاکو‪.‬‬

‫‪100‬‬

‫بيا د ‪ g ( x) = ( x + 1) 2‬تابع ګراف رسموو چې د ‪ f ( x) = x 2‬د تعريف له ساحې سره د (‪)1‬‬ ‫عدد جمع کوو‪ ،‬ترڅو چې د ‪ f ( x) = x 2‬ګراف کيڼې خواته د يو واحد په اندازه نقل شي‪ ،‬په‬ ‫دويم شکل کې ښودل شوى دى‪ .‬په پاى کې د ‪ f ( x) = ( x + 1) 2 3‬تابع ﮔراف د رسمولو لپاره د‬ ‫دويم شکل ګراف د ‪ 3‬واحدونو په اندازه په عمودي ډول ښکته خواته انتقالوو چې ګراف يې په دريم‬ ‫شکل کې ښودل شوى دى‪:‬‬ ‫‪f ( x ) = ( x + 1) 2 3‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f (x) 1 1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪g ( x ) = ( x + 1) 2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪f (x) 0 4‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪f (x) = x 2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪0 2‬‬ ‫‪f (x) 0 4‬‬

‫پن‪％‬م مثال‪ :‬د | ‪ y =| x‬تابع ﮔراف له انتقال کولو څخه د ‪ y =| x + 3 | +2‬تابع ګراف رسم‬ ‫ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪3 3 2‬‬ ‫‪3 3 2‬‬ ‫‪2 8 7‬‬

‫‪101‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫| ‪y =| x‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪y =| x + 3 | +2 5 6‬‬

‫انتقال په (‪ )2‬ډول دى‪( ،‬عمودي او افقي)‬ ‫عمودي انتقال‪ :‬که ‪ c‬يو مثبت عدد وي‪.‬‬ ‫‪ -1‬که چېرې د )‪ y = f (x‬تابع ګراف د ‪ c‬واحدونو په اندازه په عمودي ډول پورته خواته انتقال‬ ‫شي‪ ،‬د ‪ y = f ( x) + c‬تابع ګراف الس ته راځي‪.‬‬ ‫‪ -2‬که د )‪ y = f (x‬تابع ګراف د ‪ c‬واحدونو په اندازه په عمودي ډول ښکته خواته انتقال شي د‬ ‫‪ y = f ( x) c‬تابع ګراف الس ته راځي‪.‬‬ ‫افقﻲ انتقال‪ :‬که ‪ c‬يو مثبت عدد وي‪.‬‬ ‫‪ -1‬که د )‪ y = f (x‬تابع ګراف د ‪ c‬واحدونو په اندازه کيڼې خواته انتقال شي‪ ،‬د )‪y = f ( x + c‬‬

‫ګراف الس ته راځي‪.‬‬ ‫‪ -2‬که د )‪ y = f (x‬تابع ګراف د ‪ c‬واحدونو په اندازه ښي خواته انتقال شي‪ ،‬د )‪y = f ( x c‬‬

‫د تابع ګراف الس ته راځي‪.‬‬

‫پو＊تن‪３‬‬ ‫‪ -1‬د ‪ y = x 2‬تابع ګراف له انتقال څخه د الندېنيو تابع ګانو ګرافونه رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪g( x ) = ( x 2) 2‬‬

‫‪,‬‬

‫‪g( x ) = x 2 1‬‬

‫‪g( x ) = x 2 2 ,‬‬

‫‪ -2‬د ‪ f ( x) = x‬تابع ﮔراف رسم ک‪７‬ئ او ددې له انتقال څخه د ‪ f ( x) = x + 2‬او‬ ‫‪ f ( x) = x + 2‬تابع ګانو ګرافونه رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -3‬د | ‪ f ( x) =| x‬تابع ګراف رسم ک‪７‬ئ او ددې ګراف له انتقال څخه د‬ ‫‪ g ( x) =| x + 4 | , g ( x) =| x | +4‬او | ‪ h( x) =| x 4‬تابع ګانو ګرافونه رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -4‬د ‪ f ( x) = x 3‬تابع ګراف له انتقال څخه د ‪ g ( x) = x 3 3‬او ‪ g ( x) = ( x 3)3‬تابع‬ ‫ګانو ګرافونه رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪102‬‬

３‫انو عملﻴ‬－ ‫د تابﻊ‬ (Operations on functions) g ( x) = 2 x + 11 ‫ او‬f ( x) = x + 2 ‫که‬

‫ ( پيدا‬f

g )( x) ‫ ( او‬f + g )( x) ‫وي‬

‫کوالی شﯽ؟‬

:‫د تابع ګانو څلورګونې عمليې په الندې ډول تعريف شوي دي‬ (f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x )

(f

g )( x ) = f ( x ) g ( x )

f f (x) ( )( x ) = g g( x ) dom (f + g )( x ) = dom f I dom g (f g )( x ) = f ( x ) . g ( x )

dom (f

(g( x )

0)

g )( x ) = dom f I dom g

dom (f g )( x ) = dom f I dom g f dom ( )( x ) = dom f I dom g g

{ x / g( x ) = 0 }

‫ئ او هم‬７‫ ( پيدا ک‬f + g ) ( x) ،‫ وي‬g ( x) = x 2 4 ‫ او‬f ( x) = 2 x + 1 ‫ که‬:‫ى مثال‬７‫لوم‬ .‫د دې تابع د تعريف ساحه په الس راوړئ‬ :‫حل‬ ( f + g )( x) = f ( x) + g ( x) ( f + g )( x) = (2 x + 1) + ( x 2 4) = 2 x 3 + x 2 = x 2 + 2 x 3 ‫ او‬dom f = IR dom g = IR dom( f + g )( x) = IR I IR = IR ( f + g )(3) ‫( او‬f + g)(x ) ،‫ وي‬g ( x) = 4 x + 5 ‫ او‬f ( x) = x 2 3 ‫ که‬:‫دوﻳم مثال‬

.‫ئ‬７‫پيدا ک‬

103

:‫حل‬

(f + g )( x ) = ( x 2 3) + (4 x + 5) = x 2 + 4 x + 2 (f + g )(3) = 32 + 4(3) + 2 = 9 + 12 + 2 = 23

dom g = IR dom f = IR dom(f + g )( x ) = IR I IR = IR

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫ ( پيدا‬f + g )(4) ‫ ( او‬f + g )( x) ،‫ وي‬g ( x) = 2 x + 7 ‫ او‬f ( x) = 3x 2 + 4 x 1 ‫که‬ .‫ئ‬７‫ک‬ ‫او‬ , (f g )( x ) (f g )( x ) ،‫ وي‬g ( x) = x 2 + x 2 ‫ او‬f ( x) = 2 x 1 ‫ که‬:‫درﻳم مثال‬ f g

.‫ئ او د تعريف ساحې يې هم وټاکئ‬７‫ () ( پيدا ک‬x ) (f

g )( x) = (2 x 1) ( x 2 + x 2) = 2 x 1 x 2

‫حل‬ x + 2 = x2 + x +1

dom g = IR ‫ او‬dom f = IR ‫څرنګه چې‬

dom ( f

g )( x) = IR I IR = IR

( f g )( x) = (2 x 1)( x 2 + x 2) = 2 x 3 + x 2 5 x + 2 dom( f g )( x) = IR I IR = IR f 2x 1 2x 1 ( )( x) = 2 = g x + x 2 ( x + 2)( x 1) f dom( )( x ) = IR I IR {x / g ( x ) = 0} g

f dom( )(x ) = {x IR / x g

2 ‫ او‬x 1 }

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫ ( پيدا‬f

f g )( x) ‫ ( او‬f g )( x) ، ( )( x) ‫ نو‬،‫ وي‬g ( x) = x 2 1 ‫ او‬f ( x) = x 5 ‫که‬ g

.‫ئ‬７‫ک‬

104

‫ ( او‬f g ) ( x) , ( f g )( x) ،‫ وي‬g ( x) = x 1 ‫ او‬f ( x) = x + 3 ‫ که‬:‫＇لورم مثال‬ .‫ئ‬７‫ ( پيدا ک‬f )( x) g

:‫حل‬

(f

g ) ( x) = f ( x) g ( x) = x + 3 ( x 1) = x + 3 x + 1 = 4

( f g ) ( x) = f ( x) g ( x) = ( x + 3)( x 1) = x 2 + 2 x 3

‫ هر حقيقي عدد‬x ( ‫ د تعريف په ساحه کې ټول حقيقي عددونه شامل دي‬f (x) ‫څرنګه چې د‬ dom g = IR :‫ په همدې ډول‬dom f = IR ‫اخيستالى شي) يا‬ f f ( x) x + 3 ( )( x) = = g g ( x) x 1 f dom( )( x) = IR {} 1 g

( x 1)

dom ( f g )( x) = IR I IR = IR dom( f g ) ( x) = IR I IR = IR

f dom( )( x) = {x IR / x 1} g f dom( )( x) = ( , 1) U (1, ) g

‫يا‬ ‫يا‬

g , f + g ،‫ وي‬g ( x) = 3 + x ‫ او‬f ( x) = 4 x ‫ که‬:‫م مثال‬％‫پن‬ f .‫ ) يې وټاکئ‬Domain ( ‫ئ او د تعريف ناحيه‬７‫پيدا ک‬ g (f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x ) = 4 x + 3 + x :‫حل‬

‫ او‬f g f

(f

g )( x ) = f ( x ) g ( x ) = 4 x

3+ x

(f g )( x ) = f ( x ) g ( x ) = ( 4 x ) ( 3 + x ) = (4 x )(3 + x ) = 12 + x x 2 f f (x) ( )( x ) = = g g( x )

dom f : {4 x

4 x = 3+ x

0,x

4} ‫( ﻳا‬

4 x 3+ x

, 4]

105

‫)‬

‫چې ]‪3 , 4‬‬

‫[‬

‫‪3,‬‬

‫[‬

‫ﻳا }‪3‬‬

‫‪0, x‬‬

‫‪dom g : {x / 3 + x‬‬

‫[ =)‬

‫‪, 4] I [ 3 ,‬‬

‫]‪3 , 4‬‬

‫د ‪ f g , f + g‬او ‪ f g‬د تابع ګانو د تعريف ساحه ده‪.‬‬

‫‪f‬‬ ‫‪f‬‬ ‫د ‪ dom‬د تعريف په ناحيه کې څرنګه چې ‪ g ( 3) = 0‬دى‪ ،‬نو‪= ( 3 , 4] :‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪g‬‬

‫(‬

‫‪Dom‬‬

‫له ثابت عدد سره د تابﻊ د ضرب حاصل‬

‫که ‪ c‬يو ثابت عدد او ‪ f‬يوه تابع وي‪ ،‬نو حاصل ضرب يې عبارت دى له‪:‬‬ ‫)‪(c f )( x) = c f ( x‬‬

‫شپ‪８‬م مثال‪ :‬که ‪ f ( x) = x 2 x + 2‬او ‪ c = 5‬وي‪.‬‬ ‫‪x + 2) = 5 x 3 5 x + 10‬‬

‫‪(5 f )( x) = 5 f ( x) = 5( x 3‬‬

‫پو＊تن‪３‬‬ ‫الندې تابع ګانې په پام کې ونيسئ ‪.‬‬ ‫‪ ( f g )( x) , ( f g )( x) , ( f + g )( x) - 1‬او ‪ ( f ) x‬پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪ -2‬د تعريف ناحيې يې وټاکئ‪.‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪g ( x) = x 1‬‬ ‫‪b : f ( x) = x 5 g ( x) = 3 x 2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬

‫‪g ( x) = x 5‬‬

‫‪d : f ( x) = x‬‬

‫‪g ( x) = x + 1‬‬

‫‪, g ( x) = x 1 , f : f ( x) = 3 x , g ( x) = x 2 1‬‬

‫‪a : f ( x) = 2 x + 3‬‬ ‫‪x 3‬‬

‫‪c : f ( x) = 2 x 2‬‬

‫‪e : f ( x) = x + 4‬‬

‫‪106‬‬

‫د تابﻊ ‪－‬انو ترکﻴﺐ ﻳا مرکب‪ ３‬تابﻊ ‪－‬ان‪３‬‬ ‫‪composition of functions or‬‬ ‫‪composite functions‬‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫که ‪ f ( x) = x 2 2‬او ‪ g ( x) = x + 3‬وي‪ ( f o g ) ( x) ،‬او )‪ ( g o f ) ( x‬پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫په کوم حالت کې )‪ ( f o g )( x) = ( g o f ) ( x‬وي‪.‬‬ ‫)‪ ( f o f ) ( x‬او )‪ ( g o g ) ( x‬پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫که چېرې ‪ f‬او ‪ g‬د ‪ x‬تابع ګانې وي د ‪ f‬ترکيب له ‪ g‬سره د )‪ ( f o g )(x‬يا ) )‪ f (g (x‬سره ښودل‬ ‫کې‪８‬ي ])‪( f o g ) ( x) = f (g ( x) ) = f [g ( x‬‬

‫د )‪ ( f o g ) ( x‬د تعريف ساحه عبارت له ‪ x‬څخه ده چې ‪ x‬د ‪ g‬د تعريف په ساحه کې او )‪g (x‬‬

‫د ‪ f‬د تعريف په ساحه کې شامل وي‪.‬‬ ‫يا‪ :‬د (‪ )f o g‬تعريف ساحه‪dom g , g ( x ) dom f } :‬‬

‫‪IR / x‬‬

‫‪Dom (fog ) x = {x‬‬

‫‪ -1‬چې ‪ x‬د ‪ g‬د تعريف په ساحه کې شامل وي‪.‬‬ ‫‪ g (x) -2‬د ‪ f‬د تعريف په ساحه کې شامل وي‪.‬‬ ‫په پورتني شکل کې )‪ ( f o g )( x‬تابع د دوو ماشينو په واسطه ښودل شوي ده چې په لوم‪７‬ى ماشين‬ ‫کې ورودي ‪ )in put( ، x‬دى او خروجي (‪ )output‬يې (‪ g)x‬ده‪ ،‬په دويم ماشين کې(‪)input‬‬ ‫يې )‪ g (x‬او (‪ )output‬يې )‪ ( fog)( x‬دى‪ .‬که‬ ‫(‪ g)x‬د ‪ f‬د تعريف په ساحه کې شامل نه وي‪ ،‬نو په‬ ‫دويم ماشين (‪ )f‬کې داخليدالى نه شي‪.‬‬

‫‪107‬‬

‫لوم‪７‬ی مثال‪ :‬که ‪ f ( x) = x 2 1‬او ‪ g ( x) = 3x‬وي )‪ ( f o g ) ( x‬او )‪ ( g o f ) ( x‬پيدا‬ ‫ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬

‫‪(f o g )( x ) = f (g ( x ) ) = f (3x ) = (3x ) 2 1 = 9 x 2 1‬‬ ‫‪(g o f )( x ) = g ((f ( x ) ) = g ( x 2 1) = 3( x 2 1) = 3x 2 3‬‬

‫ليدل کې‪８‬ي چې‪:‬‬

‫) ‪(f o g ) ( x ) (g o f ) ( x‬‬ ‫‪9 x 2 1 3x 2 3‬‬

‫دوﻳم مثال‪ :‬که ‪ f ( x) = 3 x 4‬او ‪ g ( x) = x 2 + 6‬وي )‪ ( f o g )( x‬او )‪( g o f )( x‬‬

‫پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪ :‬په حقيقت کې په )‪ ( f o g ) ( x‬کې د )‪ g (x‬تابع د ‪ f‬په تابع کې د (‪ )Domain‬يا ‪ x‬ځاى‬ ‫نيسي‬ ‫‪f (g ( x ) ) = f ( x 2 + 6 ) = 3( x 2 + 6) 4 = 3x 2 + 18 4 = 3x 2 + 14‬‬

‫‪g(f ( x ) ) = (g o f ) ( x ) = g (3x 4) = (3x 4) 2 + 6 = 9 x 2 24 x + 22‬‬

‫ښکاره خبره ده چې د )‪ ( f o g ) ( x‬او )‪ ( g o f )(x‬د تعريف ساحه ټول حقيقي عددونه دي‪.‬‬ ‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫که ‪ f ( x) = x + 6‬او ‪ g ( x) = x 6‬وي‪ ،‬وښياست چې )‪( f o g )( x) = ( g o f )( x‬‬

‫دى‪.‬‬ ‫درﻳم مثال‪ :‬که ‪ g ( x) = 1 x‬او ‪ f ( x) = x‬وي‪:‬‬ ‫لوم‪７‬ى د ‪ fog‬او ‪ gof‬د تعريف ساحې پيدا ک‪７‬ئ‪ ،‬بيا ‪, f o g‬او‪ gof f‬په الس راوړئ‪.‬‬

‫حل‪ :‬د ‪ f‬تابع د تعريف ساحه )‬ ‫دي‪.‬‬ ‫ﻳا‪:‬‬ ‫ﻳا‪:‬‬

‫‪ [0 ,‬او د ‪ g‬تابع د تعريف ساحه ټول حقيقي عددونه ) ‪,‬‬ ‫) ‪,‬‬

‫( = ‪Domg‬‬

‫(‬

‫) ‪Domf = [0,‬‬

‫} ‪D om(f o g ) = {x / x domg , g ( x ) dom f‬‬

‫‪108‬‬

‫( =‪x 1‬‬

‫]‪,1‬‬ ‫] ‪IR} = (0 ,‬‬

‫‪0, x‬‬

‫‪1‬‬

‫‪x‬‬

‫‪0} ,‬‬

‫‪Dom(fog) = {x / x IR , 1 x‬‬

‫‪Dom (g o f ) = {x / x dom f , f ( x ) dom g} = {x / x‬‬ ‫‪(f o g ) ( x ) = f (1 x ) = 1 x‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪(g o f )(x ) = g ( x ) = 1‬‬

‫د مرکبو تابع ګانو د تعريف د ساحې د ال روښانتيا لپاره الندې شکل وګورئ‪.‬‬ ‫د ‪ fog‬د تعريف ناحيه‬

‫د ‪ fog‬د قيمتونو ناحيه‬ ‫د ‪ f‬د قيمتونو ناحيه‬

‫د ‪ f‬د تعريف ناحيه د ‪ g‬د قيمتونو ناحيه‬

‫د ‪ g‬د تعريف ناحيه‬

‫＇لورم مثال‪:‬که ‪ h( x) = 3x 2 + 1‬وي‪ ،‬په دوو طريقو سره وښياست چې د )‪ h(x‬تابع د کومو‬ ‫دوو تابع ګانو له ترکيب څخه په الس راغلي ده؟‬ ‫حل‪ :‬د )‪ h(x‬تابع کوالى شو د )‪ ( g o f )(x‬او (‪ )jok()x‬دوو تابع ګانو د ترکيب په شکل وليکو‪.‬‬ ‫په دې ډول که‪ f ( x) = 3x 2 + 1 :‬او ‪ g ( x) = x‬وي‪.‬‬ ‫‪( g o f )( x) = g ( f ( x) ) = g (3 x 2 + 1) = 3 x 2 + 1‬‬

‫په همدې ډول کوالى شو د )‪ h(x‬تابع د (‪ )jok()x‬د دوو تابع ګانو د ترکيب په شکل وليکو‪ .‬په دې‬ ‫ډول چې‪ j ( x) = x + 1 :‬او ‪ k ( x) = 3x 2‬وي‪.‬‬ ‫‪( j o k )( x) = j (k ( x) ) = j (3 x 2 ) = 3 x 2 + 1‬‬

‫‪x‬‬ ‫پن‪％‬م مثال‪:‬که‬ ‫‪x+2‬‬

‫= )‪2) ، f ( x‬‬

‫‪ ( x‬وي‪ ( f o f )(2) f ( f ( x)) ،‬او )‪( fo fo f )( x‬‬

‫پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬

‫‪109‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x+2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫= ‪(f o f )( x ) = x + 2 = x + 2‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x + 2x + 4 x + 2 3x + 4 3x + 4‬‬ ‫‪+2‬‬ ‫‪x+2‬‬ ‫‪x+2‬‬

x 3x + 4

2 2 1 = = 3 2 + 4 10 5 x x x x+2 x+2 = x+2 = (fofof )(x ) = 3x + 4 x + 8 3x x +4 3( )+4 x+2 x+2 x+2 x x+2 x = = x + 2 7x + 8 7x + 8 (fof )(2) = ? (fof )(x ) =

(fof )(2) =

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ( g o f )( 2) , ( g o f )( x) , ( f o g )( x) ،‫ وي‬g ( x) = x + 3 ‫ او‬f ( x) = x 2 2 ‫که‬ .‫ئ‬７‫ ( پيدا ک‬fog)(3) ‫او‬

３‫پو＊تن‬ :‫ وي‬g ( x) = x 3 ‫ او‬f ( x) = 3x + 2 ‫ که‬-1 ‫ ( پيدا او د تعريف ساحې‬f + g )( x) , ( f

g )( x) , ( g

g f )( x) , ( f g )( x) , ( )( x) f

.‫يې هم وټاکئ‬ ‫ ( پيدا‬g )( x) ‫ ( او‬f )( x) , ( f g )( x) ،‫ وي‬g ( x) = x 3 ‫ او‬f ( x) = x 2 3 ‫ که‬-2 f

g

.‫ئ‬７‫ک‬ ‫ د‬،‫ وي‬k ( x) = 3x + 4 ‫ او‬h( x) = 4 x 2 , g ( x) = 1 , f ( x) = x 2 + 1 ‫ که‬-3 x f h .‫ئ‬７‫ () ( تابع ګانو د تعريف ساحې پيدا ک‬x) ‫( او‬h k )( x ) , ( )( x ) , (f g)( x ) g k 2 .‫ئ‬７‫ ( پيدا ک‬f o g )(1) ‫ ( او‬g o f )(3) ‫ وي‬g ( x) = x , f ( x) = 3x 2 ‫ که‬-4 .‫ئ‬７‫ پيدا ک‬f o f ‫ او‬g o f

f o g ،‫ وي‬g ( x) = 2 x ‫ او‬f ( x) = x ‫ که‬-5

.‫ئ‬７‫ ( پيدا ک‬f o goh)( x) ‫ وي‬h( x) = x + 3 ‫ او‬g ( x) = x10 , f ( x) =

110

x ‫ که‬-6 x +1

‫معکوسه تابﻊ )‪(Inverse Function‬‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫په شکل کې د دواړو تابع ګانو ترمنځ کومه اړيکه شتون لري؟‬ ‫أيا د هرې تابع معکوس‪ ،‬هم يوه تابع وي؟‬ ‫که د يوې تابع معکوس هم يوه تابع وي‪ ،‬داسې تابع په څه نامه يادې‪８‬ي؟‬ ‫که })‪ f = {(1, 2) (3 , 5) (6 ,7‬او })‪ g = {(2 ,1) (5 , 3) (7 , 6‬وي أيا د ‪ g‬تابع د ‪ f‬معکوسه‬ ‫تابع ده او که نه؟ ولې؟‬ ‫که )‪ ( f o g )(x) = ( g o f )(x‬وي‪ ،‬أيا ‪ g‬د ‪ f‬تابع معکوسه تابع ده؟‬ ‫په پورتني شکل کې يو ټرماميټر ليدل کې‪８‬ي او پوهې‪８‬و چې د سانتي ګري‪ ６‬او فارنﻬايټ د تودوخې د‬ ‫درجو ترمنځ د ‪ f = 9 c + 32‬اړيکه شته دى‪ ،‬که دا معادله د (‪ )c‬له پاره حل شي لرو چې‪:‬‬ ‫‪5‬‬

‫د ‪ c‬تابع د ‪ f‬معکوسه تابع ده‪.‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪f = c + 32 f 32 = c + 32 32‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5 9‬‬ ‫)‪(f 32) = ( c‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9 5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪c = (f 32‬‬ ‫‪9‬‬

‫د ) ‪ ( x , y‬رابطې معکوس له )‪ ( y , x‬څخه عبارت ده چې د معکوسې تابع د تعريف ساحه د تابع‬

‫‪111‬‬

‫د قيمتونو د ساحې او د معکوسې تابع د قيمتونو ساحه‪ ،‬د تابع د تعريف له ساحې څخه عبارت ده‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ Range f = dom f‬او ‪= Range f‬‬ ‫د ‪ f‬د تابع معکوس په ‪ f 1‬ښودل کې‪８‬ي‪ ،‬پام مو وي چې‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪domain f‬‬

‫‪1‬‬ ‫)‪f ( x‬‬

‫)‪( x‬‬

‫‪1‬‬

‫‪(f‬‬

‫لوم‪７‬ى مثال‪ :‬که })‪ f ( x ) = {(1,5)(3,7)(8, 10‬وي‪.‬‬ ‫نو})‪ f 1 ( x ) = {(5 ,1) (7 , 3) ( 10 , 8‬ده‪ .‬ځکه چې‪:‬‬ ‫‪(7 ) = 3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪f‬‬

‫‪f (3) = 7‬‬

‫‪1‬‬

‫‪f‬‬

‫‪f (1) = 5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪f‬‬

‫‪f (8) = 10‬‬

‫‪(5) = 1‬‬

‫‪( 10) = 8‬‬

‫نو )‪ f 1 ( x‬هم يوه تابع ده‪.‬‬ ‫خو که })‪ f ( x) = {(1, 2 ) (3 , 2) (4 , 5‬وي‪ f 1 ( x) = {(2 ,1) (2 , 3) (5 , 4)} ،‬ده‪.‬‬ ‫ليدل کې‪８‬ي چې )‪ f 1 ( x‬يوه تابع نه ده‪ ،‬ځکه د ‪ x = 2‬لپاره دوه مختلف تصويرونه په (‪)Range‬‬ ‫کې وجود لري‪ f (2) = 1 .‬او ‪. f (2) = 3‬‬ ‫نو د هرې تابع معکوس يوه تابع نه وي‪ ،‬يا په بل عبارت هره تابع معکوس منونکي نه وي‪.‬‬ ‫څه وخت چې يوه تابع د مرتبو جوړو په شکل راک‪７‬ل شوي وي‪ ،‬که د لوم‪７‬يو او دويمو عناصر ځايونه‬ ‫يې يو تر بله تبديل ک‪７‬و‪ ،‬هغه رابطه چې السته راځي‪ ،‬د لوم‪７‬ن‪ ９‬تابع معکوسه ده‪ ،‬هغه تابع چې‬ ‫معکوس يې هم تابع وي‪ ،‬نو تابع معکوس منونکي ده‪.‬‬ ‫دوﻳم مثال‪ :‬أيا د ‪ f‬او ‪ g‬تابع ګانې چې په الندې ډول د مرتبو جوړو په شکل راک‪７‬ل شوي دي‬ ‫معکوس منونکي دي که نه؟‬ ‫})‪f = {(1, 2 ) , ( 2 , 3) , ( 3 ,1) , ( 0 , 1)} g = {(2 , 4) , (3 ,1) , ( 0 , 2) , (5 ,1‬‬

‫حل‪ :‬که د مرتبو جوړو د لوم‪７‬نيو او دويمو عناصرو ځايونه يو تر بله تبديل شي‪ ،‬نو لرو چې‪:‬‬ ‫})‪= {(2 ,1) , ( 3 , 2) , (1, 3) , ( 1, 0‬‬

‫ليدل کې‪８‬ي چې‬

‫‪1‬‬

‫‪ f‬يا د ‪ f‬تابع معکوس هم يوه تابع ده‪ ،‬ځکه چې د‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪f‬‬

‫‪ f‬د مرتبو جوړو لوم‪７‬نى‬

‫عناصر تکرار شوي نه دي‪ .‬او })‪g 1 = {(4 , 2) , (1, 3) , ( 2 , 0) , (1, 5‬‬

‫‪112‬‬

‫ليدل کې‪８‬ي چې ‪ g 1‬يا د )‪ g (x‬معکوس تابع نه ده‪ ،‬ځکه د ‪ x = 1‬لپاره دوه قيمتونه د ‪ 3‬او ‪5‬‬ ‫وجود لري‪ ،‬نو د ‪ g‬تابع معکوس منونکى تابع نه ده‪.‬‬ ‫په لن‪ ６‬ډول څرنګه چې ‪ f‬يو په يو تابع ده‪ ،‬نو معکوس منونکي هم ده او د ‪ g‬تابع چې يو په يو تابع نه‬ ‫ده‪ ،‬نو معکوس منونکي هم نه ده‪.‬‬ ‫نتﻴجه‪ :‬يوازې د يو په يو تابع معکوس هم يوه تابع وي‪.‬‬ ‫ﻳو په ﻳو تابﻊ )‪(one-to-one function‬‬ ‫د )‪ f (x‬تابع يوه يو په يو تابع ده که چېرې ‪x2‬‬ ‫يا ‪f (b) :‬‬

‫‪ x1‬وي او په نتيجه کې ) ‪ f ( x1 ) f ( x2‬شي‪.‬‬

‫‪ a b‬او که )‪f (a ) = f (b‬‬

‫)‪f (a‬‬

‫‪a=b‬‬

‫که يوه تابع يو په يو وي‪ ،‬نو معکوس يې هم يوه تابع ده‪.‬‬ ‫درﻳم مثال‪ :‬که ‪ f ( x) = 4 x + 12‬او ‪ g ( x) = 25 x 2‬وي‪ ،‬وښياست چې کومه يوه له‬ ‫دې تابع ګانو څخه يو په يو تابع ده؟‬ ‫حل‪:‬که ‪b‬‬

‫‪ a‬وي‪4b + 12 ،‬‬

‫نو )‪ f (x‬يوه يو په يوتابع ده‪.‬‬ ‫د مثال په ډول‪ :‬که ‪ x = 2‬وي‪:‬‬ ‫که ‪ x = 3‬وي‪:‬‬

‫‪ 4a + 12‬دى‪.‬‬ ‫‪f (2) = 4(2) + 12 = 8 + 12 = 4‬‬

‫‪f (3) = 4(3) + 12 = 12 + 12 = 0‬‬ ‫) ‪a b f (a ) f ( b‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2 3‬‬

‫نو )‪ f (x‬يو په يو تابع ده‪ .‬او ‪ g ( x) = 25 x 2‬لپاره‪:‬‬ ‫که ‪ x = 3‬وي‪.‬‬ ‫‪g (3) = 25 9 = 16 = 4‬‬ ‫که ‪ x = 3‬وي‪.‬‬ ‫‪g ( 3) = 25 9 = 16 = 4‬‬ ‫)‪ f (3) = f ( 3‬لېکن ‪3‬‬

‫‪ 3‬نو )‪ g (x‬يو په يو تابع نه ده‪.‬‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫که ‪ f ( x) = 3x + 8‬او ‪ g ( x) = x 2‬وي‪ ،‬وښياست چې کومه يوه تابع يو په يو تابع ده او کومه يوه‬ ‫تابع يو په يو تابع نه ده؟ ولې؟‬

‫‪113‬‬

‫د ‪－‬راف له مﺨ‪ ３‬د ﻳو په ﻳو تابﻊ پﻴﮋندنه‪ :‬که يو افقي خط چې د ‪ x‬له محور سره موازي وي د‬ ‫تابع ګراف په يوه نقطه کې قطع ک‪７‬ي‪ ،‬دا يو په يو تابع ده‪ ،‬که افقي خط د تابع ګراف له يوې نقطې څخه‬ ‫په زياتو نقطو کې قطع ک‪７‬ي‪ ،‬نو دا ګراف د يو په يو تابع ګراف نه دى‪.‬‬ ‫＇لورم مثال‪ :‬په راک‪７‬ل شوو شکلونو کې ليدل کې‪８‬ي چې د ‪ x‬له محور سره موازي خط لوم‪７‬ن‪ ９‬تابع‬ ‫ګراف په يوه نقطه کې او د دويمي تابع ګراف يې په دوو نقطو کې قطع ک‪７‬ی دی‪ ،‬نو لوم‪７‬ن‪ ９‬تابع يو په‬ ‫يو تابع ده‪ ،‬خو دويمه تابع يو په يو تابع نه ده‪.‬‬ ‫په دوو نقطو کې يې قطع ک‪７‬ي ده‬

‫په يوه نقطه کې يې قطع ک‪７‬ي ده‬

‫د معکوسﻲ تابﻊ تعرﻳﻒ‪ :‬که ‪ f‬يوه يو په يو تابع وي چې د تعريف ساحه يې ‪ x‬او د قيمتونو ساحه يې‬ ‫‪ y‬ده‪ ،‬نو د ‪ g‬تابع د ‪ f‬د تابع معکوسه تابع ده‪ ،‬که د ‪ g‬د تعريف ساحه ‪ y‬او د قيمتونو ساحه يې ‪ x‬وي‬ ‫او يا د ‪ g‬تابع په هغه صورت کې د ‪ f‬د تابع معکوسه ده که چېرې‪:‬‬ ‫‪(f o g )( x ) = x‬‬ ‫‪(g o f )( x ) = x‬‬ ‫‪(f o g )( x ) = (g o f )( x ) = x‬‬

‫پن‪％‬م مثال‪ :‬که ‪ f ( x) = 3x + 2‬وي‪ ،‬د )‪ f (x‬د تابع معکوسه تابع )‪ f 1 ( x‬پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬

‫‪y = f ( x) = 3x + 2‬‬ ‫‪x = 3y + 2‬‬ ‫‪3y = x 2‬‬ ‫‪x 2‬‬ ‫=‪y‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪114 1 x 2 1 2‬‬ ‫= )‪f ( x‬‬ ‫‪= x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f ( f ( x)) = f ( f ( x)) = x‬‬

‫‪y = f ( x) = 3x + 2‬‬ ‫‪x = 3y + 2‬‬ ‫‪3y = x 2‬‬ ‫‪x 2‬‬ ‫=‪y‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x 2 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= )‪f 1 ( x‬‬ ‫‪= x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f ( f ( x)) = f ( f ( x)) = x‬‬

‫دا مثال په لن‪ ６‬ډول په شکل کې هم ښودل شوی دی‪.‬‬ ‫‪x 2‬‬ ‫له بلې خوا که )‪ f 1 ( x‬په‬ ‫‪3‬‬ ‫شي‪ ( f o g )( x) = ( g o f )( x) = x ،‬دى‪.‬‬

‫= ) ‪ g( x‬سره وښودل‬

‫ځکه چې‪:‬‬ ‫‪x 2‬‬ ‫‪)+2 = x 2+2 = x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3x + 2 2 3x‬‬ ‫= )‪( g o f )( x‬‬ ‫=‬ ‫‪=x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ f‬او ‪f (f 1 ( x) )= x‬‬

‫(‪( f o g )( x) = 3‬‬

‫يا‪( f ( x) ) = x :‬‬

‫‪1‬‬

‫وي‪ f 1f( x1)( x‬او که ‪ g ( x) = x 2‬وي )‪ g 1 ( x‬پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫شپ‪８‬م مثال‪ :‬که ‪) , f ( x) = x 3 + 1‬‬ ‫حل‪:‬‬

‫‪y = x3 + 1‬‬

‫‪y=3 x 1‬‬

‫‪x = y3 +1‬‬

‫‪y3 = x 1‬‬

‫که ‪ y‬په )‪ f 1 ( x‬سره وښيو‪ ،‬نو ‪f 1 ( x) = 3 x 1‬‬

‫‪x=± y‬‬

‫‪y = x2‬‬

‫‪g( x ) = x 2‬‬

‫‪ x‬پر ‪ y‬او ‪ y‬پر ‪ x‬بدلوو‪.‬‬ ‫‪g 1 ( x) = ± x‬‬

‫يا ‪y = ± x‬‬

‫ليدل کې‪８‬ي چې )‪ g 1 ( x‬يوه تابع نه ده‪ ،‬ځکه چې که ‪x = 2‬‬

‫او يا ‪ x = 2‬وي‪ g ( 2) = 4 ،‬او ‪ g (2) = 4‬کې‪８‬ي شکل‬ ‫وګورئ نو د (‪ g)x‬تابع معکوس پذيره نه ده‪.‬‬

‫‪115‬‬

‫اووم مثال‪ :‬د ‪ x‬د کوم قميت لپاره د ‪ f ( x) = 5 x 2‬تابع له خپل معکوس سره مساوي کې‪８‬ي؟‬ ‫حل‪ :‬که ‪ y = 5 x 2‬وي‪ ،‬نو معکوس يې‬ ‫‪5y = x + 2‬‬ ‫‪x+2‬‬ ‫= )‪f 1 ( x‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪24 x = 12‬‬

‫‪x = 5y 2‬‬ ‫‪x+2‬‬ ‫=‪y‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪x+2‬‬ ‫‪= 5x 2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪2‬‬

‫نو د ‪ x = 1‬په قيمت سره د )‪ f (x‬تابع له خپلې معکوسې تابع سره مساوي کې‪８‬ي‪.‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اتم مثال‪ :‬وښياست چې د ‪ f ( x) = 7 x 2‬او ‪ g ( x) = x +‬تابعګاني يو د بل معکوسې‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬

‫تابع ګانې دي‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(f o g )( x ) = f (g ( x )) = f ( x + ) = 7( x + ) 2 = x‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(g o f )( x ) = f (g ( x )) = g (7 x 2) = (7 x 2) + = x‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬

‫نو د )‪ f (x‬او )‪ g (x‬تابع ګانې يو د بل معکوسي تابعګاني دي‪ ،‬نو نتيجه کې‪８‬ي چې د تابع او د تابع‬ ‫د معکوسې تابع ترکيب د عينيت ) ‪ ( f ( x) = x‬تابع ده‪.‬‬ ‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫‪2x +1‬‬ ‫که‬ ‫‪x 2‬‬

‫= )‪ f ( x‬وي‪ f 1 ( x) ،‬پيدا ک‪７‬ئ او هم وښياست چې ‪ ( f o f 1 )(x) = x‬کې‪８‬ي‪.‬‬

‫د تابﻊ او دﻫﻐ‪ ３‬د معکوسﻲ تابﻊ ‪－‬راف‪ :‬د )‪ f (x‬د يو په يو تابع او د هغې د معکوسى تابع‬ ‫)‪ f 1 ( x‬د ګرافونو ترمنځ يوه رابطه موجوده ده‪ ،‬ځکه که چېرې )‪ (a , b‬د )‪ f (x‬تابع د ګراف پر‬ ‫مﺦ يوه نقطه وي‪ ،‬نو د )‪ (b , a‬نقطه د )‪ f 1 ( x‬تابع د ګراف پرمﺦ واقع ده چې )‪ (a , b‬او )‪(b , a‬‬ ‫نقطې له نظره د ‪ y = x‬خط ته سره متناﻇرې دي‪.‬‬

‫‪116‬‬

‫نﻬم مثال‪ :‬که ‪ f ( x) = 3x 2‬وي‪ ،‬نو ښکاره ده چې ‪ f 1 ( x) = 1 x + 2‬د )‪ f (x‬معکوسه‬ ‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫تابع ده‪ .‬د دواړو تابع ګانو ګرافونه د وضعيه کمياتو په عين سيستم کې رسم او يو له بله سره يې پرتله‬ ‫ک‪７‬ئ چې ګرافونه نظر د ‪ y = x‬خط ته سره متناﻇر دي‪.‬‬ ‫‪y=x‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪2 1 4‬‬

‫‪2 1 4‬‬ ‫‪0 1 2‬‬

‫‪x‬‬ ‫)‪f ( x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪f ( x‬‬ ‫‪1‬‬

‫ليدل کې‪８‬ي چې د دواړو تابع ګانو ګرافونه نظر د ‪ y = x‬خط ته سره متناﻇر دي‪.‬‬ ‫لﺴم مثال‪ :‬که )‪ f (x‬د )‪ ( 1, 0) , ( 3 , 2‬او )‪ (4 , 2‬مرتبو جوړو لرونکي وي د )‪ f (x‬او‬ ‫)‪ f 1 ( x‬د تابع ګانو ګرافونه د وضعيه کمياتو په عين سيستم کې رسم ک‪７‬ي او وښياست چې دواړه‬ ‫ګرافونه نظر د ‪ y = x‬خط ته سره متناﻇر دي‪.‬‬

‫‪117‬‬

‫ليدل کې‪８‬ي چې د (‪ f )x‬او )‪ f 1 ( x‬تابع ګانو ګرافونه نظر د ‪ y=x‬خط ته سره متناﻇر دي‪.‬‬ ‫د يو په يو تابع معکوس هم يوه تابع ده‪.‬‬ ‫د ‪ X‬له محور سره موازي خط (افقي خط) د يو په يو تابع ګراف په يوه نقطه کې قطع کوي‪.‬‬ ‫د )‪ y = f (x‬تابع د معکوس د پيدا کولو لپاره د تابع معادله د ‪ x‬لپاره حلوو‪ ،‬بيا ‪ x‬پر ‪ y‬او ‪y‬‬ ‫پر ‪ x‬بدلوو په الس راغلى تابع )‪ y = f 1 ( x‬ده چې د )‪ f (x‬د تابع معکوسه تابع ده‪.‬‬ ‫د )‪ f (x‬د تابع او د )‪ f (x‬د معکوسې تابع ګرافونه نظر د ‪ y = x‬خط ته سره متناﻇر دي‪.‬‬ ‫)‪ dom f ( x) = Range f 1 ( x‬او )‪ Range f ( x) = dom f 1 ( x‬دي‪.‬‬

‫پو＊تن‪３‬‬ ‫‪ -1‬د الندېنيو تابع ګانو معکوس پيدا ک‪７‬ئ او ووايئ چې د کومې تابع معکوس هم يوه تابع ده؟‬ ‫})‪f = {( 1,0), ( 2,1), (4,3), (3,4)} h = {(1,4), (2,3), (4,1‬‬ ‫})‪g = {(1,2), (2,3), (3,2), (4,1)} k = {(3,0), (2, 1), (1,2), (0,1), ( 1,2‬‬ ‫‪ – 2‬د الندېنيو هرې يوې تابع معکوسه تابع پيدا ک‪７‬ئ او د خپل ځواب صحت د ‪f (f 1 ( x )) = x‬‬

‫سره وازمايئ‪.‬‬

‫‪f ( x) = 2 x + 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= )‪f ( x‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪f ( x) = 2 x‬‬

‫‪f ( x) = x + 3‬‬

‫‪f ( x ) = ( x + 2) 3‬‬

‫‪f ( x) = x 3 + 2‬‬

‫‪ – 3‬د الندېنيو تابع ګانو ګرافونه رسم ک‪７‬ئ او د ‪ X‬له محور سره د موازي خط (افقي خط) په واسطه‬ ‫وښياست چې ددوى معکوس هم يوه تابع ده‪.‬‬ ‫‪ – 4‬له الندېنيو تابع ګانو څخه کومه يوه يو په يو تابع ده‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x+2‬‬

‫=‪y‬‬

‫‪y=9‬‬

‫‪7 2x‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪y = ( x 2) 2‬‬

‫= )‪g ( x‬‬

‫‪f ( x) = 1 x 2‬‬

‫‪y=6 x‬‬

‫‪y = 4x 5‬‬

‫‪118‬‬

‫پولﻴنومﻲ تابﻊ ‪－‬ان‪３‬‬ ‫أيا پوهې‪８‬ي چې لوم‪７‬ى درجې تابع ته ولې‬ ‫خطي تابع وايي؟‬ ‫أيا د لوم‪７‬ى درجې تابع ګراف يو مستقيم خط‬ ‫دى؟‬

‫‪o‬‬

‫پولينومونه مو په لوم‪７‬ي فصل کې تر څې‪７‬نې الندې ونيول‪ .‬هغه پولينوم چې له يوه تورې (متحول)‬ ‫څخه جوړ شوې وي د پولينومي تابع په نامه يادې‪８‬ي‪.‬‬ ‫ﺧﻄﻲ تابﻊ )‪ (Liner function‬ﻳا لوم‪７‬ۍ درجه تابﻊ‬

‫هغه پولينومي تابع ده چې درجه يې يوه وي‪ ،‬د لوم‪７‬ی درجې تابع عمومي شکل ‪f ( x) = ax + b‬‬

‫دی چې ‪ a 0‬او ‪ a , b‬حقيقي عددونه دي‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫د مثال په ډول‪ f ( x) = 2 x , f ( x) = x 1 , f ( x) = 3x + 4 :‬او ‪ f ( x) = x‬خطي تابع‬ ‫‪2‬‬ ‫ګانې دي‪.‬‬

‫‪3‬‬ ‫لوم‪７‬ى مثال‪ :‬د ‪ f ( x) = x 3‬تابع ګراف رسم ک‪７‬ئ او د ‪ X‬او ‪ Y‬له محورونو سره د ګراف‬ ‫‪4‬‬

‫د تقاطع نقطې پيداک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪x 3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪x= 8 4 0‬‬ ‫‪f (x) 3 0‬‬ ‫‪3‬‬

‫= )‪f (x‬‬

‫‪0‬‬

‫د ‪ X‬له محور سره دګراف د تقاطع نقطه (‪ )4 ,0‬او د ‪ Y‬له محور سره د ګراف د تقاطع نقطه )‪(0, 3‬‬

‫ده‪.‬‬

‫‪119‬‬

‫ليدل کې‪８‬ي چې د لوم‪７‬ۍ درجې تابع ګراف يو مستقيم خط دى او له همدې سببه ورته خطي تابع هم‬ ‫وايي‪ ،‬د خطي تابع د ګراف د رسمولو لپاره همدومره کافي ده چې د ‪ X‬او ‪ Y‬له محورونو سره يې د‬ ‫تقاطع ټکې پيدا ک‪７‬و او مستقيم خط رسم ک‪７‬و‪ ،‬لکه‪ :‬چې په شکل کې ليدل کې‪８‬ي‪.‬‬ ‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫د ‪ y = f ( x) = x + 1‬او ‪ y = x 1‬تابع ګانو ګراف رسم او د ‪ X‬او ‪ Y‬له محورنو سره يې د‬ ‫تقاطع د نقطو وضعيه کميات هم پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫دوﻳم مثال‪:‬د ‪ f ( x) = x + 2‬خطي تابع ګراف رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪ :‬د ‪ Y‬له محور سره د ګراف د تقاطع په نقطه کې )‪ ( x = 0‬دى‪ ،‬نو‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(0) + 2 = 2‬‬ ‫‪3‬‬

‫نو د ‪ Y‬له محور سره د ګراف د تقاطع نقطه (‪ )0 ,2‬ده‪.‬‬

‫= )‪f (0‬‬

‫او د ‪ X‬له محور سره د ګراف د تقاطع په نقطه کې د ‪ y‬يا (‪ f )x‬قيمت صفر دى ‪( f ( x) = 0‬‬ ‫‪x= 3‬‬

‫نو د ‪ X‬له محور سره د ګراف د تقاطع ټکى )‪ ( 3 , 0‬دى‪.‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪x+2‬‬ ‫‪3‬‬

‫=‪0‬‬

‫د )‪ (0 , 2‬او )‪ ( 3 , 0‬نقطې يو له بله سره نښلوو او مستقيم خط رسموو او هم کوالى شو چې‬ ‫د ګراف يو څو نورې نقطې وټاکو چې پر همدې مستقيم خط باندې پرتې دي‪.‬‬

‫‪6 ...‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2 ...‬‬

‫‪3 6‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0 3‬‬

‫=‪x‬‬

‫‪f (x) = 2 4‬‬

‫‪120‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬

‫دوﻳمه درجه تابﻊ )‪ (Quadratic Function‬او ‪－‬راف ﻳ‪:３‬‬

‫دا ګرافونه د کوم ډول تابع ګرافونه دي؟‬

‫دا دواړه ګرافونه سره څه توپير لري؟‬ ‫له ‪ k ( x) = x 2 , h( x) = x 2 + 3x , g ( x) = x 2 + 1, f ( x) = x 2 + 7 x + 12‬او‬ ‫‪ r ( x) = 2 x 1‬څخه کومه يوه يې دويمه درجه تابع نه ده؟‬ ‫هغه پولينومي تابع چې درجه يې يوه وي‪ ،‬لوم‪７‬ى درجه يا د خطي تابع (‪ )Liner Function‬په نامه‬ ‫يادې‪８‬ي او که د پولينومي تابع درجه (‪ )2‬وي‪ ،‬د دويمي درجې تابع په نوم يادې‪８‬ي‪.‬‬ ‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫د دويمې درجې تابع ګراف په کوم نوم يادې‪８‬ي؟‬ ‫د دويمې درجې تابع د ګراف د تناﻇر محور کوم خط دى؟‬ ‫د دويمې درجې تابع ګراف څه وخت پورته خواته او کوم وخت ښکته خواته خالصې‪８‬ي؟‬ ‫د دويمې درجې تابع د ﮔراف رآس په کوم وخت کې اصغري (‪ )Minimum‬او په کوم وخت‬ ‫کې اعظمي (‪ )Maximum‬دی؟‬ ‫أيا د دويمې درجې تابع ګراف د رآس د نقطې وضعيه کميات پيدا کوالى شي؟‬ ‫په کوم حالت کې د دويمې درجې تابع ګراف د ‪ X‬او ‪ Y‬محورونه قطع کوالى شي؟‬ ‫أيا د ‪ X‬او ‪ Y‬له محورونو سره د دويمې درجې تابع د ګراف د تقاطع د نقطو وضعيه کميات پيدا‬

‫‪121‬‬

‫کوالى شئ؟‬ ‫د دويمې درجې تابع عمومي شکل ‪f ( x) = ax 2 + bx + c‬‬

‫دى چې ‪ a ، b‬او ‪ c‬حقيقي عددونه او ‪ a 0‬دی‪.‬‬ ‫د دوﻳم‪ ３‬درج‪ ３‬تابﻊ ‪－‬راف‪ :‬ترټولو ساده دويمه درجه تابع‬ ‫‪2‬‬ ‫د ‪ f ( x) = y = x‬تابع ده چې ‪ a = 1‬او ‪b = c = 0‬‬

‫که ‪ x‬ته يو څو قيمتونه ورک‪７‬ل شي د تابع يا ‪ y‬اړونده قيمتونه‬ ‫الس ته راوړالی شو‪ ،‬ګراف يې رسم کېدای شي لکه‪ :‬څنګه‬ ‫چې په شکل کې ليدل کې‪８‬ي‪.‬‬ ‫دويمې درجې تابع ګراف د پارابوال (‪ )Parabola‬په نوم‬ ‫يادې‪８‬ي چې دا ګراف نظر د ‪ y‬محور ته متناﻇر دى‪ ،‬هغه خط‬

‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪x 0 1 2‬‬ ‫‪y 0 1 4‬‬

‫‪6 ...‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2 ...‬‬

‫‪6‬‬

‫چې د پارابول له رآس څخه تېر شي او د ‪ y‬له محور سره‬

‫‪g ( x) = 2 x 2‬‬ ‫ګراف د تناﻇر محور دى‪.‬‬ ‫ددې‪-‬تابع‪1‬د ‪0‬‬ ‫موازي وي‪ ،‬د تناﻇر د محور په نامه يادې‪８‬ي چې د ‪2 -y2‬‬ ‫محور ‪1‬‬ ‫=‪x‬‬

‫(‪x)Vertex‬په(‪g‬نامه يادې‪８‬ي‪ .‬که‬ ‫هغه نقطه چې د تناﻇر محور په کې ګراف قطع کوي‪ ،‬د پارابول د رآس‬ ‫‪)= 0 2 2 8 8‬‬ ‫دى د ‪ y = x 2‬د‬ ‫اصغري‪f ( x‬‬ ‫‪ a 0‬وي‪.‬‬ ‫په هغه صورت کې د ‪ X‬محور په يوه نقطه کې قطع کوي چې ‪4ac = 0‬‬

‫‪c‬‬

‫په هغه صورت کې د ‪ X‬محور قطع کوالى نه شي چى ‪ b 2 4ac < 0‬وي‪.‬‬

‫‪ b 2‬وي‪.‬‬

‫د پارابوﻻ د رأس د نقﻄ‪ ３‬د وضعﻴه کمﻴاتو پﻴدا کول‪:‬‬ ‫د تکميل مربع په طريقه هم کوالى شو چې د پارابول د رآس د نقطې وضعيه کميات پيدا ک‪７‬و‪.‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪x) + c‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪( )2 + c‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪b2‬‬ ‫‪+c‬‬ ‫‪4a‬‬

‫‪y = ax 2 + bx + c = a ( x 2 +‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪x + ( )2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪2a‬‬

‫‪b2‬‬ ‫‪b 2‬‬ ‫‪b2‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪c‬‬ ‫=‬ ‫‪a‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‬ ‫‪a‬‬ ‫(‬ ‫‪) + c = a( x + ) 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4a‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪4a‬‬ ‫‪2a‬‬

‫‪y = a (x2 +‬‬

‫‪b 2‬‬ ‫)‬ ‫‪2a‬‬

‫‪= a (x +‬‬

‫‪b 2 4ac b 2‬‬ ‫‪) +‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪4a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪f ( x ) = a ( x h) + k‬‬ ‫‪y = a( x +‬‬

‫‪125‬‬

‫‪b 4ac b 2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫د پارابوال د رآس د ټکي وضعيه کميات )‬ ‫( او يا ) ‪ ( h , k‬دي او څرنګه چې‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪4a‬‬ ‫د تناﻇر محور د پارابوال له رآس څخه تېري‪８‬ي‪ ،‬نو ‪ x = b‬د تناﻇر د محور معادله ده‪.‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫که چېرې ‪ a > 0‬وي‪ ،‬رآس اصغري (‪ )Minimum‬او که ‪ a < 0‬وي‪ ،‬رآس اعظمي‬

‫(‪ )Maximum‬دى‪.‬‬ ‫شپ‪８‬م مثال‪ :‬د ‪ f ( x) = 2 x 2 + 4 x + 5‬تابع ګراف رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -1‬د ‪ X‬له محور سره د تقاطع ټکي پيدا کوو‪ .‬څرنګه چې ‪ b = 4 , a = 2‬او ‪ c = 5‬دى‪.‬‬ ‫‪ = b 2 4ac = 4 2 4 2 5 = 24 < 0‬دا چې ‪ < 0‬ده نو ګراف د ‪ X‬محور نه قطع‬ ‫کوي‪.‬‬ ‫‪3‬‬

‫= )‪f (x‬‬

‫‪x 3‬‬ ‫‪ -2‬د ‪ Y‬له محور سره د ګراف د تقاطع ټکي پيدا کوو په دې حالت کې ‪ x = 0‬دى‪4 .‬‬ ‫‪x 0 1 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x= 8 4 0‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪0 3‬‬ ‫‪3 6‬‬ ‫‪6 ...‬‬ ‫د ‪ y = ax 2 + bx + c‬په تابع کې که ‪ x = 0‬شي ‪ y = c‬کې‪８‬ي‪ ،‬نو ) ‪ ( 0 , c‬د ‪ Y‬له محور سره د ﮔراف‬ ‫‪y 0 1 4 1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪f (x) 3 0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪f ( x ) = 2 4 0 6 2 2 ...‬‬ ‫د تقاطع نقطه ده‪f (0) = 2 0 + 4 0 + 5 = 5 .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪) = 2 x‬نو‪( x‬په ‪g‬دې مثال کې ) ‪ ( 0 , 5‬د ‪ y‬له محور سره د تقاطع‬ ‫ ‪0 1‬‬‫‪x 0 1‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‪x‬‬

‫‪0 2 2‬‬

‫‪1 1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫= ) ‪g(x‬‬

‫‪ – 3‬د رآس د نقطې وضعيه کميات عبارت دي له‪:‬‬

‫‪1‬‬

‫‪f ( x) = x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪= 1‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪2 42 5 43 6 2 ...‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪04 21 51 44 440... 16 24f (x) = 0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‪3 0 0 y5‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪=3‬‬ ‫‪4 2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪h( x ) = x 2‬‬ ‫(‪ )–1,3‬د پارابوال د رآس د نقطې وضعيه کميات دي او‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫رآس اصغري دى‪ ،‬ځکه چې ‪ a > 0‬دى‪.‬‬ ‫‪0‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪ (–x 4‬د‪ h‬تناﻇر د محور معادله ‪= 1‬‬ ‫‪)= 0‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪4‬‬ ‫د ګراف د تناﻇر د محور معادله ‪ x = 1‬ده‪ ،‬د‬ ‫‪2‬‬ ‫‪f ( x ) = 2x + 4x + 5‬‬ ‫ګراف د رسمولو لپاره کوالى شو د ګراف يو څو‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 0 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1 -‬‬

‫نقطه ده‪.‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪y 0‬‬

‫‪b‬‬ ‫=‬ ‫‪23a x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4ac‬‬ ‫‪5 by‬‬ ‫‪4a‬‬

‫نورې نقطې هم پيدا ک‪７‬و‪:‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5 11 11‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬

‫= )‪f (x‬‬

‫‪3‬‬

‫}‪Dom f = IR {0} = IR \ {0‬‬ ‫‪4...‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪... 4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪126 x‬‬

‫‪f ( x ) ...‬‬

‫اووم مثال‪ :‬د ‪ y = 3x 2 2 x + 1‬تابع ګراف رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪x) + 1‬‬ ‫‪3‬‬

‫د ‪ x‬د ضريب نيمايي مربع جمع او هم تفريقوو‪.‬‬

‫‪y = 3( x 2 +‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x + ( )2 ( )2 + 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪) + 1 = 3 ( x2 + x + ( )2 +‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫په نتيجه کې‬ ‫‪3 1‬‬ ‫چې ‪:‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪3‬‬

‫(‪3‬‬

‫‪y = 3 x2 +‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x + ( )2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪y = 3( x + ) 2 +‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪y = 3 x2 +‬‬

‫= ‪ x‬د تناﻇر د محور معادله ده‪ ،‬ځکه‬ ‫‪ x + 1 = 0‬او ) ‪ ( 1 , 4‬د‬

‫‪3 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫رآس د ټکي وضعيه کميات دي او څرنګه چې ‪a < 0‬‬

‫دى‪ ،‬نو د پارابوال رآس اعظمي دى‪.‬‬ ‫ﻳاددونه‪ :‬که دويمه درجه تابع د ‪y k = a ( x h) 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫يا ‪ y = a ( x h) + k‬په شکل وليکل شي ‪x = h‬‬

‫د تناﻇر د محور معادله او ) ‪ (h , k‬د رآس د نقطې وضعيه‬ ‫کميات دي‪.‬‬ ‫‪ , (a 0) f ( x) = ax + b‬د‪x‬لوم‪７‬ی درجې يا خطي‬ ‫تابع عمومي شکل دی‪.‬‬ ‫او ‪ (a 0)0 , y = ax 2 + bx + c‬د دويمي درجې معادلې عمومي شکل دى‪.‬‬ ‫د دويمي درجې تابع ګراف ته پارابول (‪ )Parabola‬وايي که ‪ a > 0‬وي‪ ،‬رآس اصغري او که ‪a < 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫وه‪ ،‬رآس اعظمي دى‪ ( b , 4ac b ) .‬د پارابوال د رآس وضعيه کميات او ‪ x = b‬د پارابول‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪4a‬‬ ‫د تناﻇر د محور معادله ده‪ .‬که ‪ = b 2 4ac > 0‬پارابوال د ‪ X‬محور په دوو نقطو کې او که ‪= 0‬‬ ‫نو پارابوال د ‪ x‬محور په يوه نقطه کې قطع کوي او که ‪< 0‬‬

‫‪127‬‬

‫وي‪ ،‬پارابوال د ‪ X‬محور قطع کوالی نه شي‪.‬‬

‫پو＊تن‪３‬‬ ‫‪ - 1‬د ‪ h( x) = 3 x + 3‬د تابع ګراف رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ – 2‬د ‪ g ( x) = 2 x + 1‬او ‪ g ( x) = 2 x 1‬تابع ګانو ګرافونه د وضعيه کمياتو په عين سيستم‬ ‫کې رسم او سره پرتله يې ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ – 3‬د ‪ f ( x) = x 2 , f ( x) = 3 x 2 , f ( x) = 2 x 2 , f ( x ) = x 2‬او ‪f ( x) = x 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫تابع ګانو ګرافونه د وضعيه کمياتو په عين سيستم کې رسم ک‪７‬ئ او يو له بله سره يې پرتله ک‪７‬ئ‬ ‫‪ – 4‬د الندې تابع ګانو د ګراف د تناﻇر محور معادلې پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪f ( x) = 3x 2 2 x + 6‬‬

‫‪f ( x) = x 2 12 x + 30 ,‬‬

‫‪f ( x) = x 2 + 8 x + 13 ,‬‬

‫‪ – 5‬د ‪ g ( x) = ( x + 1) 2 , f ( x) = ( x 2) 2‬او ‪ h( x) = ( x 3) 2‬تابع ګانو ګرافونه رسم‬ ‫ک‪７‬ئ او وواياست چې د ‪ f ( x) = x 2‬له ګراف سره څه اړيکه لري؟‬ ‫‪ – 6‬د ‪ y = x 2 1‬تابع د ګراف د راس وضعيه کميات عبارت دي له‪:‬‬ ‫)‪d : (0 , 1‬‬

‫)‪c: (0 , 1‬‬

‫)‪b: (1, 1‬‬

‫)‪a : ( 1 ,1‬‬

‫‪ – 7‬د ‪ y = ( x 1) 2 2‬تابع د ګراف د راس وضعيه کميات عبارت دي له‪:‬‬ ‫)‪d : (1, 2‬‬

‫)‪c: ( 1, 2‬‬

‫)‪b: ( 1, 2‬‬

‫) ‪a : (1 , 1‬‬

‫‪128‬‬

‫ناطق‪ ３‬ﻳا نﺴبتﻲ تابﻊ ‪－‬ان‪３‬‬ ‫)‪(Rational functions‬‬ ‫دا شکل د کوم ډول تابع ګانو ګرافونه دي؟‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫أيا د ناطقې تابع د عمودي مجانب معادله پيدا کوالى شئ ؟‬ ‫أيا د هرې ناطقې تابع د تعريف په ساحه کې ټول حقيقي عددونه شامليدالى شي؟‬ ‫أيا د يوې ناطقې تابع افقي مجانب پيدا کوالى شئ؟‬ ‫أيا هره ناطقه تابع عمودي مجانب لري؟‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫ناطقه تابع هغه تابع ده چې د دوو پولينومي تابع ګانو له خارج قسمت څخه جوړه شوي وي که‬ ‫)‪ g ( x) 0 ، f ( x) = p( x‬وي‪ ،‬په داسې حال کې چې )‪ p(x‬او )‪ g (x‬پولينومونه وي‪ ،‬نو‬ ‫)‪g ( x‬‬

‫)‪ f (x‬يوه ناطقه تابع ده‪.‬‬ ‫د ناطقــې تابــع د تعريــف ســاحه ټــول حقيقــي عددونه دي‪ ،‬پرتــه د ‪ x‬لــه هغو قميتونــو څخه چې‬ ‫‪x3 1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪x‬‬

‫د ناطقــې تابــع مخــرج پــرې صفــر کېــ‪８‬ي‪ ،‬د مثال پــه ډول‪1 :‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪ g ( x) = 3 , g ( x) = 2‬او ‪ P( x) = 2 x 2 3‬ناطقې تابع ګانې دي‪.‬‬ ‫‪x x 6‬‬ ‫= )‪f ( x‬‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫‪x 1‬‬ ‫أيا‬ ‫‪x+2‬‬

‫‪129‬‬

‫= )‪ k ( x‬يوه ناطقه تابع ده؟ ولې ؟‬

‫= ) ‪h( x‬‬

‫د ناطق‪ ３‬تابﻊ د تعرﻳﻒ د ساح‪ ３‬پﻴدا کول‬ ‫)‪(Finding Domain of Rational function‬‬ ‫لوم‪７‬ى مثال‪ :‬د الندېنيوناطقو تابع ګانو د هرې يوې د تعريف ساحه پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪x+3‬‬ ‫‪x2 + 9‬‬

‫= ) ‪h( x‬‬

‫‪x‬‬

‫‪,‬‬

‫‪2‬‬

‫‪9‬‬

‫‪x‬‬

‫‪x2 9‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪x 3‬‬

‫= )‪g ( x‬‬

‫= )‪f ( x‬‬

‫حل‪ :‬د )‪ f (x‬په تابع کې د ‪ x = 3‬لپاره د تابع مخرج صفر کې‪８‬ي‪ ،‬نو د ‪ 3‬عدد د )‪ f (x‬د ناطقې‬ ‫تابع د تعريف په ساحه کې شامل نه دى يا‪Dom f ( x) = {x / x IR , x 3 }:‬‬

‫د )‪ g (x‬په تابع کې که چېرې ‪ x = 3‬يا ‪ x = 3‬شي‪ ،‬نو مخرج يې صفر کې‪８‬ي‪ ،‬نو د ‪ 3‬او ‪- 3‬‬ ‫عددونه د )‪ g (x‬د تابع د تعريف په ساحه کې شامل نه دي‪.‬‬ ‫}‪3‬‬

‫‪3 , x‬‬

‫‪IR , x‬‬

‫‪Dom g ( x) = {x / x‬‬

‫څرنګه چې د )‪ h(x‬تابع مخرج د ‪ x‬په هيڅ قيمت نه صفر کې‪８‬ي‪ ،‬نو د )‪ h(x‬تابع د تعريف ساحه‬ ‫ټول حقيقي عددونه دي‪.‬‬ ‫)‬

‫‪,‬‬

‫( = )‪ Dom h( x‬يا ‪Dom h( x) = IR‬‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫د الندېنيو ناطقو تابع ګانو د تعريف ساحې تعين ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪x+5‬‬ ‫‪x 2 + 25‬‬

‫= ) ‪h( x‬‬

‫‪,‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪25‬‬

‫‪2‬‬

‫‪x‬‬

‫= )‪g ( x‬‬

‫‪x 2 25‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪x 5‬‬

‫= )‪f ( x‬‬

‫دوﻳم مثال‪ :‬د الندېنيو ناطقو تابع ګانو د تعريف او قيمتونو ساحي پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪x 3‬‬ ‫‪x+5‬‬

‫= )‪g ( x‬‬

‫‪x+3‬‬ ‫‪x 4‬‬

‫= )‪f ( x‬‬

‫حل‪ :‬د (‪ f)x‬تابع د تعريف ساحه پرته له (‪)4‬څخه ټول حقيقي عددونه دي‪.‬‬

‫‪130‬‬

‫ا }‪dom f ( x) = IR \ {4‬‬ ‫}‪IR {4‬‬ ‫‪x+3‬‬ ‫= )‪y = f ( x‬‬ ‫‪y ( x 4) = x + 3‬‬ ‫‪x 4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪y+‬‬ ‫‪4y + 3‬‬ ‫‪xy 4 y = x + 3‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪y 1‬‬ ‫}‪ IR {1‬يا }‪Range f ( x) = IR \ {1‬‬

‫‪xy x = 4 y + 3‬‬ ‫‪( y 1) x = 4 y + 3‬‬

‫د (‪ g )x‬تابع د تعريف ساحه ټول حقيقي عددونه دي‪ ،‬پرته له ( ‪ ) 5‬څخه‪:‬‬ ‫‪ {x IR / x‬ﻳا }‪dom g ( x ) = IR { 5‬‬ ‫}‪5‬‬ ‫‪xy + 5 y = x 3‬‬

‫‪x 3‬‬ ‫‪x +5‬‬

‫‪y( x + 5) = x 3‬‬

‫= ‪g( x ) = y‬‬

‫}‪ {y IR / y 1‬ﻳا }‪Range g ( x ) = IR {1‬‬

‫‪5y 3‬‬ ‫‪y 1‬‬

‫=‪x‬‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫د الندې راک‪７‬ل شوو ناطقو تابع ګانو د تعريف او قيمتونو ساحې پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3x 2‬‬

‫= ) ‪m( x‬‬

‫‪4x 1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪2 x‬‬

‫= )‪r ( x‬‬

‫‪,‬‬

‫‪x +1‬‬ ‫‪3‬‬

‫= )‪k ( x‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪x3‬‬

‫‪,‬‬

‫= ) ‪h( x‬‬

‫د ناطق‪ ３‬تابﻊ د ‪－‬راف رسمول )‪:(Graphing Rational function‬‬ ‫درﻳم مثال‪ :‬د ‪ f ( x) = 1‬تابع ګراف رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪x‬‬

‫حل‪ :‬که ‪ x = 0‬شي‪ ،‬نو د تابع مخرج صفر کې‪８‬ي‪ ،‬صفر د )‪ f (x‬د تابع د تعريف په ساحه کې‬ ‫شامل نه دى‪.‬‬ ‫}‪Dom f = IR {0‬‬ ‫‪4...‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪131‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪... 4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪x‬‬

‫‪f ( x ) ...‬‬

‫= ) ‪f ( x) =gx(2x‬‬ ‫=‪f 0(x) 1‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪2 ...‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪34 ...6 2 ...‬‬ ‫‪f (x) = 0 1‬‬ ‫‪1 4 4 ...‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪h( x ) = x 2‬‬ ‫= )‪2h(x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ x = 0 1‬اوس د = )‪f ( x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪h ( x ) = 0x =1‬‬ ‫چې‬ ‫څرنګه‬ ‫‪x=0‬‬ ‫‪h ( x ) =2‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪3 6‬‬ ‫‪14 45‬‬ ‫‪0 1‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪3 x 4‬‬ ‫‪30 31 0 10 2 5 25 3 y 30‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 0 0 5 5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪4x‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫کوو‪:‬‬ ‫د تابع وضعيت مطالعه ‪1‬‬ ‫‪1 x 0 3 0 2 34 35‬‬ ‫‪y 1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫د )‪ f (x‬تابع د تعريف په‪ 3‬ناحيه ‪3‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬

‫کې شامل نه دى‪ ،‬ددې تابع د ګراف د رسمولو لپاره ‪x‬‬

‫‪4...‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪f ( x ) = 2x 2 + 4x + 5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫صفر ‪x = f ( x1) = 22x +0 4 x1+ 5‬‬ ‫ته داسې قيمتونه ورکوو چې له دواړو خواوو څخه ‪3‬‬ ‫‪2 011‬‬ ‫ته نﮋدې شي (تقرب وک‪７‬ي)‪ ،‬که ‪ x‬له کيڼې‪ 3‬خوا ‪1‬‬ ‫څخه‬ ‫‪f ( x ) = x3= 5 1 5 11‬‬ ‫‪f (x) = 3‬‬ ‫قيمت ‪5 5 11‬‬ ‫صفر ته نﮋدې شي ) ‪ ( x 0‬د تابع ‪11‬‬ ‫}‪Dom f = IR {0} = IR \ {0‬‬ ‫)‪ ( f (x‬او که ‪ x‬له ښي خوا‬ ‫ته ن‪８‬دې کې‪８‬ي )‬ ‫}‪Dom f = IR {0} = IR \ {0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫قيمت‬ ‫‪x‬‬ ‫‪... 4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫صفر ته‪12‬نﮋدى‪11‬کې‪８‬ي‪ ( x 1 0 )1 ،‬د تابع ‪1‬‬ ‫څخه ‪3‬‬ ‫‪4...‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫وګورئ‪... 4 .‬‬ ‫‪3‬‬ ‫الندې ‪2‬‬ ‫)‪1 ( f (x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫جدول‬ ‫کوي‬ ‫تقرب‬ ‫ته‬ ‫‪) 3 21 1 +1 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪f ( x ) ...‬‬ ‫صفر ته ‪4‬‬ ‫‪ x1 :a...1‬له کېڼې خوا‪1‬څخه‪3 2‬‬ ‫نﮋدې کې‪８‬ي‪1 21 1 1 2.‬‬ ‫‪f ( x )4 ... 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3 22 13 4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪... 1‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪0.1‬‬ ‫‪0.01‬‬ ‫‪0.001‬‬ ‫‪x 0‬‬ ‫‪1 x‬‬ ‫‪... 1‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪0.1‬‬ ‫‪0.01‬‬ ‫‪0.001‬‬ ‫‪x 0‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪... 11‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪100‬‬ ‫) ‪1000 f ( x‬‬ ‫= ) ‪fx( x‬‬ ‫‪... 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪100‬‬ ‫) ‪1000 f ( x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫نﮋدې‪0‬کې‪８‬ي‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪0+‬‬ ‫‪x 0.001 0.01‬‬ ‫صفر‪0.‬ته ‪.1‬‬ ‫څخه‪5 1‬‬ ‫‪ x : b‬له ښي خوا ‪...‬‬ ‫‪1 x‬‬ ‫‪0+‬‬ ‫‪x 0.001 0.01 0.1 0.5 1...‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪) 1000 100 10 2 1...‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ) ‪fx( x‬‬ ‫‪f ( x ) 1000 100 10 2 1...‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪4 5‬‬ ‫‪13 32 1‬‬ ‫‪3 53‬‬

‫‪(Vertical‬‬ ‫عمودي مجانﺐ )‪Asymptotes‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 14‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1 0‬‬ ‫‪1 3‬‬ ‫صورت او‪0‬‬ ‫چې‪2 2‬‬ ‫‪0‬که په‪1‬يوه ناطقه‪x1‬تابع )‪ f ( x2) = 4p( x‬کې ‪1‬‬ ‫مخرج يې‪ x‬مشترک فکټور‪ ،‬ونه لري او‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪11 3 5‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪14 2 4 2‬‬ ‫‪y = f ( x) 0‬‬ ‫) ‪g ( x) f (3x‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪23 4‬‬ ‫‪y = f ( x)3 0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ p(a ) 0‬وي‪ ،‬که ‪ g (a3) = 0‬شي‪ ،‬نو د ‪3 x = a‬خط د )‪ f (x‬د تابع عمودي مجانب دى چې‬ ‫‪x‬‬

‫د ‪ y‬له محور سره موازي دی‪ .‬د عمودي مجانبونو شمېر د مخرج د جذرونو له شمېر سره مساوي دي‬ ‫‪ x‬په نتيجه کې ‪+‬‬

‫يا په بل عبارت که ‪a‬‬

‫) ‪ f ( x‬يا‬

‫)‪ ، f (x‬نو د ‪ x = a‬عمودي‬

‫خط ددې تابع عمودي مجانب دى يا که‪:‬‬ ‫| )‪| f ( x‬‬

‫‪a‬‬

‫‪ x‬نو ‪ x = a‬د تابع عمودي مجانب دى‪.‬‬

‫‪132‬‬

‫‪ x‬هر څومره چې د ‪ a‬قيمت ته نﮋدې شي‪ ،‬خو د تابع ګراف د ‪ x = a‬مستقيم خط قطع کوالى‬ ‫نه شي‪ ،‬ځکه چې د ‪ a‬عدد د تابع دتعريف په ساحه کې شامل نه دی‪ ،‬لکه‪ :‬د ‪ f ( x) = 1‬تابع‬ ‫‪x‬‬

‫د تعريف په ساحه کې صفر شامل نه دی‪ ،‬نو ‪ x = 0‬يا د ‪ Y‬محور د ‪ f ( x) = 1‬تابع عمودي‬ ‫‪x‬‬

‫مجانب دى‪.‬‬ ‫‪x+5‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫＇لورم مثال‪ :‬د ‪, hgf((x(xx)))=== x22 + 5 ،, f ( x) = 2 x‬او‬ ‫‪2‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪x + 25‬‬ ‫‪xxx + 325‬‬ ‫‪x 3‬‬

‫= )‪ h( x‬تابع ګانو عمودي‬

‫مجانبونه پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪ - 1‬د (‪ f)x‬تابع د عمودي مجانب د پيدا کولو لپاره د ‪ x‬هغه قيمت پيدا کوو چې د (‪ f)x‬تابع مخرج‬ ‫پرې صفر کې‪８‬ي‪ .‬نو د ‪ 3‬عدد د )‪ f (x‬د تابع د تعريف په ساحه کې شامل نه دى‪.‬‬ ‫}‪3‬‬

‫نو د ‪ x = 3‬خط د (‪ f)x‬تابع عمودي مجانب دى‪.‬‬ ‫‪-2‬‬

‫‪domf ( x) = {x / x‬‬

‫‪IR , x‬‬

‫‪x‬‬ ‫)‪( x 5)( x + 5‬‬

‫=‬

‫‪x‬‬

‫‪25‬‬ ‫‪x=5‬‬ ‫‪x= 5‬‬

‫‪2‬‬

‫= )‪g ( x‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪x 5=0‬‬ ‫‪x+5 = 0‬‬

‫د ‪ x=5‬او ‪ x = 5‬لپاره د (‪ g)x‬تابع مخرج صفر کې‪８‬ي‪ ،‬نو د ‪ 5‬او ‪ - 5‬عددونه د (‪ g)x‬د تابع د‬ ‫تعريف په ساحه کې شامل نه دي‪.‬‬ ‫}‪5 , x 5‬‬

‫‪IR , x‬‬

‫‪dom g ( x) = {x /‬‬

‫نو د )‪ g (x‬د تابع عمودي مجانبونه د ‪ x = 5‬او ‪ x = 5‬خطونه دي‪.‬‬

‫‪x+5‬‬ ‫‪ - 3‬څرنګه چې د ‪ x‬په هر قيمت د‬ ‫‪x 2 + 25‬‬

‫= )‪ h( x‬تابع مخرج نه صفر کې‪８‬ي‪ ،‬نو عمودي‬

‫مجانب نه لري يا ددې تابع د تعريف ساحه ټول حقيقي عددونه دي‪.‬‬ ‫افقی مجانﺐ )‪(Horizontal Asymptote‬‬ ‫که په يوه ناطقه تابع کې د صورت او مخرج درجې سره مساوي وي‪ ،‬نو ښکاره خبره ده چې دوېش‬

‫‪133‬‬

‫‪6 ...‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪y 0 1 4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2 ...‬‬

‫‪3 6‬‬ ‫‪6‬‬

‫=‪x‬‬

‫‪0 3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪g ( x) = 2 x 2‬‬ ‫‪0 1 -1‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪0 2 2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪f (x) = 2 4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬

‫= ) ‪g(x‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪f (x) 3 0‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪x 0‬‬ ‫‪y 0‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫(خارج قسمت) به يو ثابت عدد وي‪ ،‬که دې ثابت عدد ته ‪ b‬ووايو‪ ،‬نو د ‪ y = b‬افقي خط‬ ‫حاصل( ‪f‬‬ ‫‪x) = x 2‬‬ ‫‪0 1 -1‬‬ ‫خط يا‪5‬د ‪x 4X‬‬ ‫ددې =تابع‪ x‬افقي مجانب‪...‬دى‪2‬چې‪6‬دا ‪3‬‬ ‫موازي خط‪1‬دى چې‪0‬‬ ‫محور سره‪1 2‬‬ ‫محور او يا‪ 3‬د ‪ X‬له‪2 3‬‬ ‫صورت او‪1 1‬‬ ‫عدد د‪4 4‬‬ ‫حقيقت‪ f‬کې د ‪... b‬‬ ‫‪ 0 1 1‬په = )‪(x‬‬ ‫عبارت دى‪4‬او‬ ‫څخه ‪3‬‬ ‫نسبت ‪3‬‬ ‫ضريبونو له‪0 0‬‬ ‫مخرج د‪0‬لو و‪y‬توانونو‪5‬د ‪5‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪1‬‬ ‫صورت‪h‬پر مخرج وېشو‪.‬‬ ‫‪ x 2‬يا = )‪( x‬‬

‫‪1 -1‬‬

‫‪2‬د مثال په ډول د ‪2 x 2‬‬ ‫دى‪4 .‬‬ ‫‪ f ( x) = 2‬د تابع افقي مجانب د ‪ 1y = 2‬خط ‪5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫افقي مجانب داسې تعريفوو‪:‬‬ ‫‪h(x) = 0‬‬ ‫‪ x‬او په نتيجه کې ‪ f ( x) b‬نو ‪ y = b‬مستقيم خط د (‪ f)x‬تابع افقي‬ ‫‪ x‬يا‬ ‫که‬

‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3 5 3 2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬

‫دى‪f (.‬‬ ‫مجانب ) ‪x‬‬ ‫افقي ‪= 2 x 2‬‬ ‫ددې ‪+‬تابع‪+ 4 x‬‬ ‫| ‪ | x‬او ‪ ، y b‬نو ‪ y = b‬مستقيم خط ‪5‬‬ ‫مجانب دى او يا که‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 0 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫= )‪ f ( x‬تابع ګراف رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫پن‪％‬م مثال‪ :‬د‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪f (x) = 3‬‬ ‫‪5 5 11 11‬‬

‫حل‪:‬‬

‫}‪Dom f = IR {0} = IR \ {0‬‬

‫‪ - 1‬د ‪ X‬له محور سره د ‪－‬راف د تقاطﻊ نقﻄه‪ :‬د ‪ X‬له محور سره د تقاطع په نقطه کې‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫نتيجه کې لرو چې‪... 4 0 =3 2 x 2 2 x1= 0 x = 0 :‬‬ ‫کې‪８‬ي‪2 ،‬په ‪1‬‬ ‫‪3 f4(...x) = 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3 2‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 1 1‬‬ ‫کې قطع ‪1‬کوي‪.‬‬ ‫‪f ( x ) ...‬‬ ‫نو د تابع‪...‬ګراف د ‪ X‬محور‪1‬په ‪ 3x =20‬يا د )‪ (0,40‬په‪2‬نقطه ‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪32 0 2 0‬‬ ‫‪2 3 4‬‬ ‫نقﻄه‪:‬‬ ‫تقاطﻊ‬ ‫د‬ ‫‪－‬راف‬ ‫د‬ ‫سره‬ ‫‪ - 2‬د ‪ Y‬له محور‬ ‫= )‪f (0‬‬ ‫=‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ددې تابع ‪x‬‬ ‫عبارت ‪...‬‬ ‫بل ‪1‬‬ ‫کوي يا په‪0.5‬‬ ‫نقطه‪0.‬کې قطع‪0.1‬‬ ‫‪ (00.,001‬په ‪01‬‬ ‫‪x Y‬‬ ‫نو ګراف د ‪ X‬او ‪0‬‬ ‫ګراف د‬ ‫محورونه د )‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪... 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫وضيعه کمياتو له مبدآ ) ‪x‬‬ ‫څخه( ‪f‬تېري‪８‬ي‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪ - 3‬د تابع د عمودي مجانب معادله‪x = 1 :‬‬ ‫‪0.001 0.01 0.1 0.5 1...‬‬ ‫‪2‬‬ ‫افقي مجانب ‪1‬دى‪ ،‬يا‬ ‫‪ y = f ( x100‬د تابع‬ ‫مجانب‪ 2= 2 1‬دی‪،‬‬ ‫‪ - 4‬د تابع د ګراف افقي‬ ‫‪10‬نو ‪) = 2‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪f ( x ) 1000‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ 2x = 2 + 2‬افقي مجانب يې هم رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪x 1‬‬

‫‪ x 1 = 0‬دى دا خط رسم ‪+‬ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪x‬‬

‫‪0‬‬

‫‪ - 5‬د ګراف يو څو نورې نقطې هم پيدا کوو‪ ،‬لکه‪:‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3 4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪x‬‬ ‫)‪f (x‬‬

‫‪2 4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2 4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪x‬‬

‫‪y = f ( x) 0‬‬

‫‪134‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬

‫له محورونو سره د تقاطع نقطې ټاکو‪ ،‬د تابع مجانبونه رسموو او بيا يې ګراف‪ ،‬لکه‪ :‬څنګه چې په‬ ‫‪2x‬‬ ‫شکل کې ليدل کې‪８‬ي‪ ،‬رسموو‪.‬‬ ‫‪x 1‬‬

‫= )‪f (x‬‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫‪3x‬‬ ‫د‬ ‫‪x 2‬‬

‫= )‪ f ( x‬تابع ګراف رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫شپ‪８‬م مثال‪ :‬د ‪ f ( x) = x + 2‬د تابع افقي او عمودي مجانبونه پيدا ک‪７‬ئ او ګراف يې رسم‬ ‫‪x 2‬‬ ‫ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪ :‬د عمودي او افقي مجانبونو معادلې عبارت دي له‪:‬‬ ‫‪ - 1‬د عمودي مجانب معادله ‪x = 2‬‬

‫‪ - 2‬د افقي مجانب معادله ‪f ( x) = y = 1‬‬

‫‪ - 3‬د ‪ Y‬له محور سره تقاطع‪:‬‬ ‫که ‪ x = 0‬شي‪ ،‬نو ‪ f ( x) = 1‬دي‪ ،‬ګراف د ‪ Y‬محور په )‪ (0, 1‬کې قطع کوي‪.‬‬ ‫‪ - 4‬د ‪ X‬له محور سره تقاطع ‪ f ( x) = 0‬شي‪ ،‬نو‪:‬‬

‫نو د )‪ ( 2,0‬په نقطه کې ګراف د ‪ X‬محور قطع کوي‪.‬‬

‫‪135‬‬

‫‪x+2=0‬‬ ‫‪x= 2‬‬

‫)‪f (x‬‬

‫‪1000‬‬

‫‪10‬‬

‫‪100‬‬

‫‪01 0.01 0.1 0.5 1...‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1...‬‬

‫‪100‬‬

‫‪10‬‬

‫‪ - 5‬ددې لپاره چې ګراف په اسانه ډول رسم شي‪ ،‬په الندې جدول کې د ګراف د هرې څانګې‬ ‫قيمتونه وګورئ‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪3 4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3 5 3 2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪2 4‬‬

‫‪x‬‬ ‫)‪f (x‬‬

‫‪x+2‬‬ ‫که صورت پر مخرج ووېشو ‪4‬‬ ‫‪= 1+‬‬ ‫‪x 2‬‬ ‫‪x 2‬‬ ‫په حقيقت کې د ‪ f ( x) = 1‬تابع ګراف د يو واحد په اندازه پورته خواته او د (‪ )2‬واحدونو په اندازه‬ ‫‪x‬‬ ‫ښي خواته ا نتقال شوى دی او ‪ y= f ( x ) = 1‬د تابع افقي مجانب دی‪.‬‬

‫ماﻳل مجانﺐ‪(slant or Oblique asymptote) :‬‬ ‫څه وخت چې د يوې ناطقې تابع د صورت درجه د يو په اندازه د مخرج له درجې څخه زياته وي‬ ‫ښکاره خبره ده چې تابع افقي مجانب نه لري په دې حالت کې تابع مايل مجانب لري‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اووم مثال‪ :‬د ‪ f ( x) = x + 1‬تابع ګراف رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫حل‪:‬‬

‫‪x 1‬‬

‫‪ - 1‬د مايل مجانب د پيدا کولو لپاره صورت پر مخرج وېشو‪ ،‬نو لرو چې‪:‬‬ ‫‪x2 +1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= x +1+‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪x 1‬‬

‫= )‪f ( x‬‬

‫مايل مجانب‬ ‫که | ‪ | x‬هر څومره لوى شي‬

‫‪2‬‬ ‫‪x 1‬‬

‫صفر ته نﮋدي کې‪８‬ي‪ ،‬نو په نتيجه کې ګراف د ‪y = f ( x) = x + 1‬‬

‫مستقيم خط ته نﮋدې کې‪８‬ي چې همدا د ‪ y = x + 1‬خط د )‪ f (x‬تابع مايل مجانب دى‪.‬‬

‫‪136‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2 4‬‬

‫‪00‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ – 2‬د ‪ Y‬له محور سره يې د تقاطع نقطه‪:‬‬ ‫‪=1 2 = 1‬‬

‫ګراف د )‪ (0, 1‬په نقطه کې د ‪ Y‬محور قطع کوي‪.‬‬ ‫‪ - 3‬ښکاره خبره ده چې ګراف د ‪ X‬محور قطع‬

‫‪0 1‬‬

‫‪f (0) = 0 + 1 +‬‬

‫‪x=1‬‬

‫= ‪ x‬کې‪８‬ي‪.‬‬

‫کوالى نه شي‪ ،‬ځکه چې ‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ - 4‬عمودي مجانب يې‬ ‫‪x =1‬‬

‫‪ x 1 = 0‬دى‪.‬‬

‫‪ - 5‬ښکاره ده چې افقي مجانب نه لري‪.‬‬

‫ماﻳل مﺠانب‬

‫‪ - 6‬يو څو نورې نقطې پيدا کوو او د تابع ګراف‬ ‫رسموو‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2.5‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪2 3 5‬‬ ‫‪f ( x ) 5 5 6.5‬‬

‫‪1x 2 + 14‬‬

‫‪0‬‬

‫عمﻮدى مﺠانب‬

‫‪x‬‬

‫ګراف رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫اتم مثال‪ :‬د‪ f ( 1x) = 2 8.5‬تابع‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪x 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ - 1‬د تابع عمودي مجانب د ‪ x = 2‬خط دى‪ ،‬ځکه چې ‪x = 2‬‬

‫‪x 2=0‬‬

‫‪x2 +1‬‬ ‫‪ 2‬پر )‪ ( x 2‬وېشو لرو چې‪5 :‬‬ ‫‪= x+2+‬‬ ‫‪x +1- 2‬‬ ‫‪x 2‬‬ ‫‪x 2‬‬ ‫که ‪ x‬لوى شي ‪ 5‬صفر ته ن‪８‬دې کې‪８‬ي او د تابع ګراف د ‪ y = x + 2‬خط ته نﮋدې کې‪８‬ي‬ ‫‪x 2‬‬

‫چې ‪ y = x + 2‬خط ددې تابع مايل مجانب دى‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ – 3‬د‪ Y‬له محور سره تقاطع‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫ده‪ ،‬ځکه که ‪ x = 0‬شي‬ ‫‪2‬‬

‫‪0 +1‬‬ ‫=‬ ‫‪0 2‬‬

‫= )‪f (0‬‬

‫شي‪ ،‬نو‪x 2 + 1 :‬‬ ‫‪ – 4‬ګراف د ‪ X‬له محور سره تقاطع نه لري‪ ،‬ځکه چې که ‪f ( x) = 0‬‬ ‫=‪0‬‬ ‫‪x 2‬‬

‫‪137‬‬

‫(چې په حقيقي عددونو کې تعريف شوى نه دى ) ‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2.5‬‬

‫=‪x‬‬

‫‪x2 +1 = 0‬‬

‫‪x2 +1‬‬ ‫‪x 2‬‬

‫=‪0‬‬

‫رسمولو‪2‬او د ‪xY‬له محور سره د تقاطع ټکى او څو نورو قيمتونو په مرسته د تابع ګراف‬ ‫د ‪1‬مجانبونو‪5‬په ‪3‬‬ ‫شو‪f ( x ) 5 5 .‬‬ ‫رسموالى‪6.5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2 8.5‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x‬‬ ‫)‪f (x‬‬

‫)‪P( x‬‬ ‫که‬ ‫)‪g ( x‬‬ ‫‪ – 1‬که ‪ m < n‬وي د ‪ x‬محور افقي مجانب دى‪.‬‬

‫= )‪ f ( x‬په تابع کې په ترتيب سره ‪ m‬او ‪ n‬د صورت او مخرج درجې وي نو‪:‬‬

‫‪ – 2‬که ‪ m = n‬وي ‪ y = b‬د تابع افقي مجانب دى چې ‪ b‬د ‪ m‬او ‪ n‬د درجو حدونو د ضريبونو‬ ‫‪a a x n + ... + a 0‬‬ ‫نسبت دى يا که چېرې‬ ‫= (‪0 )، fy‬‬ ‫‪x ) =n n n‬‬ ‫‪b n b n x + ... + b 0‬‬

‫افقي مجانب دى‪.‬‬

‫‪ (b n‬وي‪ ،‬نو ‪) y = an‬د‪(bnf)x(0‬تابع‬ ‫‪bn‬‬

‫‪– 3‬که ‪ m > n‬وي‪ ،‬نو افقي مجانب نه لري‪.‬‬ ‫‪ – 4‬که د صورت درجه د يو په اندازه د مخرج له درجې څخه زياته وي‪ ،‬نو د تابع ګراف مايل مجانب‬ ‫لري چې په بې نﻬايت کې له ګراف سره موازي کې‪８‬ي‪ ،‬يوه ناطقه تابع يو يا څو عمودي مجانبونه‬ ‫درلودالى شي‪ ،‬خو يو افقي يا مايل مجانب به لري‪.‬‬

‫‪138‬‬

‫پو＊تن‪３‬‬ ‫‪3x 2‬‬ ‫‪–1‬د‬ ‫‪x2 4‬‬ ‫‪x4‬‬ ‫‪ f ( x) = 2‬تابع عمودي مجانب لري؟ ولې؟‬ ‫‪ – 2‬أيا د‬ ‫‪x +1‬‬

‫= )‪ f ( x‬تابع افقي او عمودي مجانبونه پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪ – 3‬د الندې راک‪７‬ل شوو تابع ګانو د تعريف ساحې پيدا ک‪７‬ئ او د عمودي مجانبونو معادلې يې‬ ‫وليکئ‪.‬‬ ‫‪5x‬‬ ‫‪3x 2‬‬ ‫‪x+7‬‬ ‫‪x+7‬‬ ‫= )‪, g ( x‬‬ ‫‪, h( x ) = 2‬‬ ‫‪, k ( x) = 2‬‬ ‫‪x 4‬‬ ‫)‪( x 5)( x + 4‬‬ ‫‪x 49‬‬ ‫‪x + 49‬‬

‫= )‪f ( x‬‬

‫‪ – 4‬له الندې تابع ګانو څخه کومه يوه چې عمودي مجانب ولري‪ ،‬پيدا يې ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪x+3‬‬ ‫)‪x( x + 4‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪k ( x) = 2‬‬ ‫‪x +4‬‬ ‫= )‪g ( x‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪x+4‬‬ ‫‪x‬‬ ‫= )‪h ( x‬‬ ‫)‪x( x + 4‬‬ ‫= )‪f ( x‬‬

‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬

‫‪ – 5‬د الندې ناطقو تابع ګانو ګرافونه رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪x 4‬‬

‫= )‪g ( x‬‬

‫‪,‬‬

‫‪4x‬‬ ‫‪x 2‬‬

‫= )‪f ( x‬‬

‫‪ - 6‬د ‪ f ( x) = 3x + 1‬تابع افقي مجانب عبارت دى له‪:‬‬ ‫‪x 3‬‬

‫‪y=3‬‬

‫‪b:‬‬

‫‪y=2‬‬

‫‪a:‬‬

‫‪y= 3‬‬

‫‪d:‬‬

‫‪y= 2‬‬

‫‪c:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= )‪ f ( x‬او ‪ f ( x) = 3‬تابع ګانو ګرافونه رسم ک‪７‬ئ او د‬ ‫‪-7‬د‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x+2‬‬ ‫‪x+2‬‬

‫له ګراف سره يې پرتله ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪-8‬د‬ ‫‪x 1‬‬

‫‪139‬‬

‫= ) ‪ f ( x‬تابع مايل مجانب پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫= )‪ f ( x‬د تابع‬

‫د ＇پرکﻲ لن‪６‬ﻳز‬ ‫تابع د دوو سټونو تر منځ داسې يوه رابطه يا قاعده (‪ )Rule‬ده چې د لوم‪７‬ني سټ هر عنصر‬ ‫يوازې او يوازې د دويم سټ له يو عنصر سره اړيکه ولري‪ .‬لوم‪７‬ني سټ ته د تابع د تعريف ساحه‬ ‫(‪ )Domain‬او دويم سټ ته د قيمتونو ساحه( ‪ ) Range‬وايي يا تابع د هغو مرتبو جوړو سټ دى‬ ‫چې لوم‪７‬ني عناصر يې تکرار شوي نه وي‪.‬‬ ‫يوه تابع د )‪ y = f (x‬په شکل ليکل کې‪８‬ي‪ ،‬په يوه نقطه کې د تابع د قيمت د پيدا کولو لپاره د‬ ‫‪ x‬راک‪７‬ل شوى قيمت د تابع په معادله کې وضع کوو‪ ،‬د تابع قيمت په هغه نقطه کې په الس راځي‬ ‫او يوه معادله هغه وخت د يوې تابع ښودونکﯽ وي چې د هر ‪ x‬لپاره يو ‪ y‬وجود ولري‪.‬‬ ‫د يوې تابع د تعريف په ساحه (‪ )Domain‬کې هغه عددونه شامل وي چې تابع په کې تعريف‬ ‫شوي وي يا د تابع قيمت يو حقيقي عدد وي‪ .‬د يوې تابع ګراف د ‪ XOY‬په مستوي کې د ‪ S‬د‬ ‫هغو نقطو سټ دى په دې ډول چې })‪ S = {( x, y ) | y = f ( x‬او ‪ x‬د تابع د تعريف په ساحه‬ ‫کې شامل وي‪ ،‬که د ‪ y‬له محور سره موازي خط ګراف يوازې په يوه نقطه کې قطع ک‪７‬ي‪ ،‬دا ګراف‬ ‫د يوې تابع ګراف دى‪.‬‬ ‫‪ f ( x) = c‬ثابته تابع‪ f ( x) = ax + b ،‬خطي تابع‪ f ( x) = x , (a 0) ،‬د عينيت تابع‬ ‫او | ‪ f ( x) =| x‬د مطلقه قيمت تابع ده چې د تعريف ساحه يې ټول حقيقي عددونه او د قيمتونو‬ ‫ساحه يې صفر او مثبت حقيقي عددونه دي‪.‬‬ ‫د عالمې تابع دا ډول تعريف شوي ده‪:‬‬ ‫‪1: x > 0‬‬ ‫‪0 :x = 0‬‬ ‫‪1: x < 0‬‬

‫= ) ‪sgn(x‬‬

‫‪IR‬‬

‫‪f : IR‬‬

‫ددې تابع د تعريف ساحه ټول حقيقي عددونه او د قيمتونو ساحه يې }‪ { 1, 0 ,1‬ده‪.‬‬ ‫د دويمي درجې تابع عمومي شکل ‪ (a 0) y = ax 2 + bx + c‬د ى او د دويمي درجې تابع‬ ‫ګراف ته پارابوال (‪ )parabola‬وايي که ‪ a > 0‬وي‪ ،‬رآس اصغري او که ‪ a < 0‬وي‪ ،‬رآس اعظمي‬

‫‪b 4ac b 2‬‬ ‫‪b‬‬ ‫( د پارابوال د رآس وضعيه کميات او‬ ‫‪,‬‬ ‫دى‪) .‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪4a‬‬ ‫‪2a‬‬

‫= ‪ x‬د پارابول د تناﻇر د‬

‫‪140‬‬

‫محور معادله ده‪ .‬که ‪= b 2 4ac > 0‬‬

‫پارابوال د ‪ X‬محور په دوو نقطو کې او که ‪ ، = 0‬نو‬

‫پارابوال د ‪ x‬محور په يوه نقطه کې قطع کوي او که ‪ ، < 0‬وي پارابول د ‪ x‬محور نه قطع کوي‪.‬‬ ‫که د )‪ f (x‬په تابع کې ‪ x1 < x2‬وي او په نتيجه کې ) ‪ f ( x1 ) < f ( x2‬شي‪ ،‬تابع متزايده‪ ،‬که‬ ‫‪ x1 < x2‬وي او ) ‪ f ( x1 ) > f ( x2‬شي‪ ،‬تابع متناقصه ده او هم که )‪ f ( x) = f ( x‬وي‪ ،‬تابع‬ ‫جفته او که )‪ f ( x) = f ( x‬شي‪ ،‬تابع طاقه ده‪.‬‬ ‫انتقال په (‪ )2‬ډوله دى ( عمودي او افقي انتقال )‬ ‫عمودي انتقال‪ :‬که ‪ c‬يو مثبت عدد وي‪.‬‬ ‫که د )‪ y = f (x‬تابع ګراف د ‪ c‬واحدونو په اندازه په عمودي ډول پورته خواته انتقال شي د‬ ‫‪ y = f ( x) + c‬تابع ګراف الس ته راځي‪.‬‬ ‫که د )‪ y = f (x‬تابع ګراف د ‪ c‬واحدونو په اندازه په عمودي ډول ښکته خواته انتقال شي‪ ،‬د‬ ‫‪ y = f ( x) c‬تابع ګراف الس ته راځي‪.‬‬ ‫افقﻲ انتقال‪ :‬که ‪ c‬يو مثبت عدد وي‪.‬‬ ‫که د )‪ y = f (x‬تابع ګراف د ‪ c‬واحدونو په اندازه کيڼې خواته انتقال شي‪ ،‬د )‪y = f ( x + c‬‬

‫ګراف الس ته راځي‪.‬‬ ‫که د )‪ y = f (x‬تابع ګراف د ‪ c‬واحدونو په اندازه ښي خواته انتقال شي‪ ،‬د )‪y = f ( x c‬‬

‫تابع ګراف الس ته راځي‪.‬‬ ‫د تابع ګانو عمليې په الندې ډول تعريف شوي دي‪:‬‬ ‫) ‪g )( x ) = f ( x ) g ( x‬‬ ‫)‪0‬‬

‫) ‪(g ( x‬‬

‫‪(f‬‬

‫) ‪(f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x‬‬

‫‪f‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫= ) ‪( )( x‬‬ ‫‪g‬‬ ‫) ‪g( x‬‬

‫) ‪(f g )( x ) = f ( x ) g ( x‬‬ ‫‪dom(f + g )( x ) = dom f I dom g‬‬ ‫‪dom(f g )( x ) = dom f I dom g‬‬

‫‪dom(f g )( x ) = dom f I dom g‬‬

‫‪f‬‬ ‫}‪dom( )( x ) = dom f I dom g {x / g ( x ) = 0‬‬ ‫‪g‬‬

‫‪141‬‬

‫د مرکبو تابع ﮔانو د تعريف ساحه‪:‬‬ ‫} ‪Dom( fog )( x) = {x / x domg , g ( x) domf‬‬ ‫}‪Dom( gof )( x) = {x / x domf , f ( x) domg‬‬

‫د يو په يو تابع معکوس هم يوه تابع ده‪.‬‬ ‫د ‪ X‬له محور سره موازي خط (افقي خط) د يو په يو تابع ګراف په يوه نقطه کې قطع کوي‪.‬‬ ‫د )‪ y = f (x‬يو په يو تابع د معکوس د پيدا کولو لپاره معادله د ‪ x‬لپاره حلوو‪ ،‬بيا ‪ x‬پر ‪ y‬او ‪y‬‬ ‫پر ‪ x‬بدلوو په الس راغلى تابع )‪= f 1 ( x‬ده‪y‬چې د )‪ f (x‬د تابع معکوسه تابع ده‪ .‬د (‪ f)x‬او د‬ ‫(‪ f)x‬د معکوسې تابع ﮔرافونه نظر د ‪ y=x‬خط ته سره متناﻇر دي‪.‬‬ ‫)‪P( x‬‬ ‫که د‬ ‫)‪g ( x‬‬

‫= )‪ f ( x‬په ناطقه تابع کې په ترتيب سره ‪ m‬او ‪ n‬عددونه د صورت او مخرج‬

‫درجې وي‪ ،‬نو‪:‬‬ ‫‪ – 1‬که ‪ m < n‬وي‪ ،‬د ‪ X‬محور افقي مجانب دى‪.‬‬ ‫‪ – 2‬که ‪ m = n‬وي‪ y = b ،‬د تابع افقي مجانب دى چې ‪ b‬د ‪ m‬او ‪ n‬درجو لرونکو حدونو د‬

‫‪n‬‬ ‫ضريبونو نسبت دى يا که چېرې ‪ f ( x ) = a n x n + ... + a 0‬وي‪0) ،‬‬ ‫‪b n x + ... + b 0‬‬

‫(‪ f )x‬د تابع افقي مجانب دى‪.‬‬

‫‪ (b n‬نو ‪ y = an‬د‬ ‫‪bn‬‬

‫‪– 3‬که ‪ m > n‬وي‪ ،‬نو افقي مجانب نه لري‪.‬‬ ‫‪ – 4‬که د صورت درجه د يو په اندازه د (‪ f)x‬د مخرج له درجې څخه زياته وي‪ ،‬نو تابع مايل مجانب‬ ‫لري‪.‬‬ ‫يوه ناطقه تابع يو يا څو عمودي مجانبونه درلودالى شي‪ ،‬خو يو افقي يا مايل مجانب به لري‪.‬‬

‫‪142‬‬

‫د ＇پرکﻲ پو＊تن‪３‬‬ ‫‪- 1‬د الندېنيو مرتبو جوړو له سټونو څخه کوم يو يې د يوې تابع ښودونکي دی؟ د تعريف او د قيمتونو‬ ‫ساحې يې پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫})‪{(1,2), (3,4), (5,5‬‬ ‫})‪{(3,4), (3,5), (4,4), (4,5‬‬ ‫})‪{( 3, 3), ( 2, 2), ( 1, 1), (0,0‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫})‪{(1,4), (1,5), (1,6‬‬

‫‪4‬‬

‫‪ - 2‬که ‪ g ( x) = x 2 + 2 x + 3‬وي‪ g ( x) , g ( 1) ،‬او )‪ g ( x + 5‬پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ - 3‬که ‪ h( x) = x 4 + x 2 + 1‬وي‪ h( x), h( 1) , h(2) ،‬او )‪ h(3a‬پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ - 4‬د الندېنيو تابع ګانو دتعريف ساحې پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪f ( x ) = 2x‬‬

‫‪f ( x ) = ( x 3) 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪f (x) = 2‬‬ ‫‪x 4‬‬

‫‪f ( x ) = 16 x 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x + 25‬‬ ‫‪f ( x ) = 2x‬‬

‫‪f ( x ) = x 2 4x 5‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪1< x 0‬وي دايره حقيقي ده‪.‬‬ ‫که ‪ g 2 + f 2 c = 0‬دايره نقطوي ده‪.‬‬ ‫که ‪ g 2 + f 2 c < 0‬دايره مجازي ده‪( .‬دايره وجود نه لري)‬ ‫او يا که د ‪x 2 + y 2 2hx 2ky + h 2 + k 2 r 2 = 0‬‬ ‫په معادله کې ‪2k = b ، 2h = a‬‬

‫او ‪r 2 = c‬‬

‫‪ h 2 + k 2‬عوض ک‪７‬و لرو چې‬

‫‪ x 2 + y 2 + ax + by + c = 0‬چــې دا هم د دايرې عمومــي معادله ده‪ ،‬ځينــې وختونه د دايرې‬ ‫عمومي معادله داسې هم ښودل کې‪８‬ي‪.‬‬ ‫‪ Ax 2 + By 2 + Dx + Ey F = 0‬پــه دې ډول چــې ‪ A = B‬او هــم عالمــه وي‪ ،‬نو دا هم‬ ‫ددايرې عمومي معادله ده‪.‬‬

‫‪338‬‬

‫ﺧاص حالتونه‪:‬‬ ‫‪- 1‬که د ‪ ( x h ) 2 + ( y k ) 2 = r 2‬د دايرې په معادله کې ‪ h = 0‬وي‪ ،‬نو د دايرې مرکز د ‪Y‬‬ ‫پر محور پروت دى او د دايرې معادله دا شکل ‪ x 2 + ( y k ) 2 = r 2‬غوره کوي‪.‬‬ ‫‪ - 2‬او کــه ‪ k = 0‬وي‪ ،‬د دايــرې مرکــز د ‪ X‬پرمحــور پــروت دى او د دايــرې معادلــه دا‪:‬‬ ‫‪ ( x h) 2 + y 2 = r 2‬ده‪.‬‬ ‫‪ - 3‬که ‪ k = r‬وي‪ ،‬دايره د ‪ X‬پر محور مماس ده او د دايرې معادله ‪( x h) 2 + ( y r ) 2 = r 2‬‬

‫ده‪.‬‬ ‫‪ - 4‬او که ‪ h = r‬وي‪ ،‬دايره د ‪ Y‬پر محور مماس ده او د دايرې معادله ‪( x r ) + ( y k ) = r‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫ده‪.‬‬ ‫‪ - 5‬يوه دايره هغه وخت د وضعيه کمياتو له مبدا څخه تېرې‪８‬ي چې د ‪ h 2 + k 2 = r 2‬رابطه صدق‬ ‫ک‪７‬ي‪.‬‬ ‫‪- 6‬يوه دايره هغه وخت د ‪ X‬او ‪ Y‬پر محورونو مماس ده چى معادله يې دا ‪( x r ) 2 + ( y r ) 2 = r 2‬‬

‫شکل ولري‪.‬‬ ‫دوﻳم مثال‪ :‬د ‪ x + ( y 5) = 10‬دايرې مرکز د ‪ Y‬پر محور پروت دى‪.‬‬ ‫د ‪ ( x 1) 2 + ( y 5) 2 = 25‬دايره د ‪ X‬له محور سره مماس ده‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫د ‪ ( x + 3) 2 + y 2 = 9‬د دايرې مرکز د ‪ X‬پر محور پروت دی‪.‬‬ ‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫په شکل کې وښياست چې د دويم مثال‪ ،‬د لوم‪７‬ى دايرې مرکز د ‪ Y‬پر محور پروت دى‪ ،‬دويمه دايره‬ ‫د ‪ X‬له محور سره مماس ده او د دويمې دايرې مرکز د ‪ X‬پر محور واقع دی‪.‬‬ ‫درﻳم مثــال‪ :‬د هغې دايرې عمومي او معياري معادلې پيدا‬ ‫ک‪７‬ئ چې د مرکز وضعيه کميات يې )‪ ( 2, 3‬او شــعاع يې‬ ‫‪ 6‬واحده وي او هم دا دايره رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫(د دايرې معياري معادله)‬ ‫‪( x + 2) 2 + ( y 3) 2 = 6 2‬‬

‫‪339‬‬

‫(د دايرې عمومي معادله)‬ ‫‪x + y + 4 x 6 y 23 = 0‬‬ ‫＇لورم مثال‪ :‬وښياست چې ‪ 5x 2 + 5y 2 + 24 x + 36 y + 10 = 0‬ديوې دايرې معادله ده‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫او هم ددې دايرې د مرکز وضعيه کميات او د شعاع اوږدوالى پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪ :‬د معادلې دواړه خواوې پر ‪ 5‬وېشو‪ ،‬نو لرو چې‪:‬‬

‫‪24‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪x +y + x+ y+2=0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪18‬‬ ‫‪12‬‬ ‫چې = ‪، g‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪12 18‬‬ ‫( = ) ‪( g, f‬‬ ‫‪,‬‬ ‫د دايرې مرکز )‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪144 324‬‬ ‫‪418‬‬ ‫‪418‬‬ ‫او د دايرې شعاع‪:‬‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫=‪c‬‬ ‫=‪2‬‬ ‫‪25 25‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫= ‪ f‬او ‪ c = 2‬دى‪.‬‬

‫‪r = g2 + f 2‬‬

‫پن‪％‬م مثال‪ :‬د هغې دايرې معادله پيدا ک‪７‬ئ چې د ‪ x 2 + y 2 8 x + 4 = 0‬له دايرې سره‬ ‫متحد المرکز (‪ )Concnteric‬وي او د ‪ x + 2 y + 6 = 0‬له مستقيم خط سره مماس وي‪.‬‬ ‫حل‪ :‬د ‪ x 2 + y 2 8 x + 4 = 0‬دايرې مرکز ) ‪C1 ( g, f‬‬

‫دى‪.‬‬ ‫‪x 2 + y 2 + 2gx + 2fy + c = 0‬‬

‫‪g=4‬‬

‫‪g= 4‬‬

‫‪2g = 8‬‬ ‫‪2f = 0‬‬

‫‪f =0‬‬ ‫د )‪ C1 (4,0‬نقطــه د هغې دايرې مرکز هم دى چې غواړو معادله يې‬

‫پيــدا ک‪７‬و‪ ،‬نو د ‪ C1‬وضعيه کميات د ‪ ( x h) 2 + ( y k ) 2 = r 2‬په معادله کې وضع کوو‪ ،‬لرو‬ ‫‪( x 4) 2 + ( y 0) 2 = r 2‬‬ ‫چې‪:‬‬ ‫ددې لپاره چې د ‪ C2‬ددايري شعاع پيدا ک‪７‬و‪ ،‬نو څرنگه چې دايره د ‪ x + 2 y + 6 = 0‬له مستقيم‬ ‫خط سره مماس ده‪ .‬نو د )‪ (4,0‬د نقطې فاصله له دې مستقيم خط څخه د دايرې شعاع ده‬ ‫‪100‬‬ ‫‪= 20‬‬ ‫‪5‬‬

‫= ‪r2‬‬

‫يا‬

‫‪10‬‬ ‫‪5‬‬

‫=‬

‫‪4(1) + 2(0) + 6‬‬ ‫‪12 + 2 2‬‬

‫=‪d=r‬‬

‫‪340‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫نو ددې دايرې معادله عبارت ده له‪ ( x 4) + y = 20 :‬يا ‪x 2 + y 2 8 x 4 = 0‬‬

‫شپ‪８‬م مثال‪ :‬د هغې دايرې معادله پيدا ک‪７‬ئ چې د )‪ B(6,5‬او )‪ A(4,1‬له نقطو څخه تېرې‪８‬ي او‬ ‫مرکز يې د ‪ 4x + y 16 = 0‬پر مستقيم خط پروت وي‪.‬‬ ‫حل‪ :‬که د ايرې مرکز ) ‪ C(h, k‬وي‪ ،‬نو د دايرې معادله ‪ ( x h ) 2 + ( y k ) 2 = r 2‬ده‪ ،‬څرنگه‬ ‫چى مرکز يې د ‪ 4x + y 16 = 0‬پر مستقيم خط واقع دى‪ ،‬نو ‪ 4h + k = 16‬دى‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ( x h ) + ( y k ) = r‬او ‪ AC = BC‬او ‪AC = BC‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪(h 4) 2 + (k 1) 2 = (h 6) 2 + (k 5) 2‬‬ ‫‪4h + 8k = 44‬‬ ‫‪± 4h ± k = ±16‬‬ ‫‪7 k = 28‬‬ ‫‪k=4‬‬

‫‪h =3‬‬

‫‪r 2 = (3 4) 2 + (4 1) 2 = 10‬‬ ‫‪x 2 + y 2 6 x 8 y + 15 = 0‬‬

‫‪( x 3) 2 + ( y 4) 2 = 10‬‬

‫چې دا د غوښتل شوې دايرې عمومي معادله ده‪.‬‬ ‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫د هغې دايرې معادله پيدا ک‪７‬ئ چې د )‪ (0,0‬او )‪ (2,0‬له نقطو څخه تېرې‪８‬ي او د ‪ y 1 = 0‬له‬ ‫خط سره مماس وي‪.‬‬ ‫اووم مثال‪ :‬د هغې دايرې د مرکز وضعيه کميات او د شعاع اوږدوالﯽ پيدا ک‪７‬ئ چې معادله يې‬ ‫‪x 2 + y 2 4x + 4 y 9 = 0‬‬

‫حل‪:‬‬

‫‪4x + 4 y 9 = 0‬‬ ‫‪2 9=0‬‬

‫‪x 2 + y2‬‬

‫‪4x + y 2 + 4 y 9 = 0‬‬

‫‪x2‬‬

‫‪4x + ( 22 ) ( 22 ) + y 2 + 4 y + 22‬‬

‫‪x2‬‬

‫‪( x 2) + ( y + 2) = 17‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪341‬‬

‫‪2‬‬

‫نو مرکز يې )‪ (2 2‬او شعاع يې ‪r = 17‬‬

‫د هغې دايرې معادله چې مرکز يې د وضعيه کمياتو په مبدا کې واقع وي له ‪ x 2 + y 2 = r 2‬څخه‬ ‫عبارت ده او که مرکز يې د وضعيه کمياتو په مبدأ کې واقع نه وي او ) ‪ (h, k‬يې مرکز وي‪ :‬معادله‬ ‫يې ‪ ( x h ) 2 + ( y k ) 2 = r 2‬ﻳا ‪x 2 + y 2 + 2gx + 2fy + c = 0‬‬

‫او ﻳا ‪ x 2 + y 2 + ax + by + c = 0‬ده‪.‬‬

‫پو＊تن‪３‬‬ ‫‪ - 1‬د هغې دايرې معادله پيدا ک‪７‬ئ چې‪:‬‬ ‫‪ :a‬د مرکز مختصات يې )‪ (5, 2‬او ‪ r = 4‬وي‬ ‫‪ :b‬د مرکز مختصات يې ) ‪ ( 2, 3 3‬اوشعاع يې ‪ r = 2 2‬وي‪.‬‬ ‫‪ :c‬مرکز يې )‪ (0,0‬اود )‪ (1,2‬له نقطې څخه تېرې‪８‬ي‪.‬‬ ‫‪ :d‬د مرکز مختصات يې )‪ (0,0‬او د )‪ ( 3, 4‬له نقطې څخه تېرې‪８‬ي‪.‬‬ ‫‪ :e‬د مرکز مختصات يې )‪ (8, 6‬او د وضعيه کمياتو له مبدا څخه تېرې‪８‬ي‬ ‫‪ - 2‬لوم‪７‬ی وښياست چې الندې راک‪７‬ل شوى معادلې د دايرې معادلې دي‪ ،‬بيا يې د مرکز وضعيه‬ ‫کميات او د شعاع اوږدوالى پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪5x + 5 y + 14x + 12 y = 0‬‬

‫‪,‬‬

‫‪x + y + 12x 10 y = 0‬‬

‫‪3x 2 + 3 y 2 2 x + 4 y 1 = 0‬‬

‫‪,‬‬

‫‪x 2 + y 2 6 x + 4 y + 13 = 0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪a ( x 2 + y 2 ) + 2gx + 2fy + c = 0‬‬

‫‪342‬‬

‫د ﻳو مﺴتقﻴم ﺧﻂ حالتونه له ﻳوې‬ ‫داﻳرې سره‪:‬‬

‫کوالى شئ چې وواياست د ‪3x 4 y + 20 = 0‬‬

‫مســتقيم خط د ‪ x 2 + y 2 = 25‬دايره په څو‬ ‫نقطو کې قطع کوي؟‬

‫د ‪ x 2 + y 2 + ax + by + c = 0‬دايــرې معادله په پام کې نيســو او غواړو چې د يو مســتقيم‬ ‫خط حالت له دايرې ســره وڅې‪７‬و چې أيا دا مســتقيم خط دايره په دوو نقطو کې قطع کوي‪ ،‬يا‬ ‫مستقيم خط پر دايره مماس دى او يا دا چې مستقيم خط دايره نه قطع کوي‪.‬‬ ‫د ‪ x‬او يا ‪ y‬قيمت د مســتقيم خط له معادلې څخه په الس راوړو او د دايرې په معادله کې يې‬ ‫وضع کوو‪ .‬يوه دويمه درجه يو مجﻬوله معادله په الس راځي‪.‬‬ ‫‪ )1‬که په دې معادله کې ‪= b 2 4ac > 0‬‬

‫وي‪ ،‬مســتقيم خط دايره په دوو نقطو کې قطع‬

‫کوي‪.‬‬ ‫‪ )2‬که ‪= b 2 4ac = 0‬‬ ‫‪ )3‬او که ‪= b 2 4ac < 0‬‬

‫وي مستقيم خط له دايرې سره مماس دى‪.‬‬ ‫مستقيم خط دايره نه قطع کوي‪.‬‬

‫لوم‪７‬ى مثال‪ :‬أيا د ‪ 2 x = y + 7‬مستقيم خط د ‪ x 2 + y 2 8x 2 y + 12 = 0‬دايره‬ ‫قطع کوي؟ د تقاطع د نقطو وضعيه کميات يې پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪ :‬د مستقيم خط له معادلې څخه ‪ y = 2 x 7‬ده چې د ‪ y‬دا قيمت د دايرې په معادله‬ ‫کې وضع کوو‪.‬‬ ‫‪x 2 + (2 x 7) 2 8x 2(2 x 7) + 12 = 0‬‬ ‫‪5x 2 40x + 75 = 0‬‬ ‫ﻳا ‪x 2 8x + 15 = 0‬‬

‫‪343‬‬

‫‪= b 2 4ac = ( 8) 2 4 15 = 64 60 = 4 > 0‬‬

‫نو دا مستقيم خط دايره په دوو نقطو کې قطع کوي او د تقاطع د نقطو وضعيه کميات يې عبارت‬ ‫دي له‪:‬‬ ‫‪b ± b 2 4ac 8 ± 4‬‬ ‫=‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x1 = 5 , x 2 = 3‬‬

‫=‪x‬‬

‫د ‪ y‬قيمت د پيدا کولو لپاره د ‪ x1 = 5‬او ‪ x2 = 3‬قيمتونه د مستقيم خط په معادله کې وضع‬ ‫کوو‪ ،‬نو لرو چې‪:‬‬ ‫‪7 =2 5 7=3‬‬

‫‪y1 = 2 x1‬‬

‫‪y 2 = 2x 2 7 = 2 3 7 = 1‬‬

‫نو دا خط دايره د )‪ (3, 1‬او )‪ (5,3‬په نقطو کې قطع کوي‪.‬‬ ‫دوﻳم مثال‪ :‬أيا د ‪ x + 3 y 5 = 0‬مستقيم خط د ‪ x 2 + y 2 2 x + 4 y 5 = 0‬لﻪ‬ ‫دايرې سره مماس دى که نه؟‬ ‫حل‪ :‬د مستقيم خط له معادلې څخه لرو چې ‪ x = 5 3 y‬دى‪ ،‬د ‪ x‬دا قيمت د دايرې په‬ ‫معادله کې وضع کوو‪:‬‬ ‫‪(5 3 y ) 2 + y 2 2(5 3 y ) + 4 y 5 = 0‬‬ ‫‪y2 2 y +1 = 0‬‬

‫او ‪ = ( 2) 2 4 1 = 0‬نو دا مســتقيم خط له دايرې ســره مماس دى او د تماس د نقطې‬ ‫وضعيه کميات يې عبارت دي له‪:‬‬ ‫‪2± 0‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x = 5 3 1= 2‬‬ ‫=‪y‬‬

‫نو مستقيم خط د )‪ (2,1‬په نقطه کې پر دايره مماس دى‪.‬‬ ‫ﻓعاﻟﻴت‬

‫أيا د ‪ x y + 1 = 0‬مستقيم خط د ‪ x 2 + y 2 5 = 0‬له دايرې سره مماس دى‪ ،‬که دايره‬ ‫په دوو نقطو کې قطع کوي او يا دا چې دايره نه قطع کوي؟‬

‫‪344‬‬

‫د مماس معادله او د مماس اوږدوالﻰ‬

‫أيا د هغه مماس معادله پيدا کوالى شــى چې د‬ ‫)‪ P( 3, 2‬په نقطه کې د ‪x 2 + y 2 = 13‬‬

‫په دايره مماس وي؟‬

‫کــه يو مســتقيم خط پر هغــه دايره چې مرکز يې ) ‪ C (h, k‬او د ) ‪ p1 ( x1 , y1‬پــه نقطه کې پر دايره‬ ‫‪k y1‬‬ ‫مماس وي‪ ،‬نو د شعاع ميل مساوي دى په‪:‬‬ ‫‪h x1‬‬

‫=‪m‬‬

‫‪h x1‬‬ ‫او څرنگه چې شعاع د تماس په نقطه کې پر مماس عمود ده‪ ،‬نو د مماس ميل له‬ ‫‪k y1‬‬

‫سره‬

‫مساوي دى‪.‬‬

‫‪h x1‬‬ ‫څرنگه چې د مستقيم خط يوه نقطه ) ‪ P1 ( x1 , y1‬او ميل يې‬ ‫‪k y1‬‬ ‫د مستقيم خط د ) ‪ y y1 = m( x x1‬معادلې په نظر کې نيولو سره لرو چې‪:‬‬

‫دى‪.‬‬

‫‪h x1‬‬ ‫) ‪( x x1‬‬ ‫‪k y1‬‬

‫= ‪y1‬‬

‫‪y‬‬

‫چې دا د هغه مماس معادله ده چې د ) ‪ P1 ( x1 , y1‬په نقطه کې پر دايره مماس دى‪.‬‬ ‫او کــه د دايــرې مرکــز د وضعيه کمياتو په مبدا کې وي‪ ،‬نو پــه دې حالت کې ‪ h = k = 0‬دى او د‬ ‫مماس معادله دا شکل اختياروي‪.‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫) ‪( x x1‬‬ ‫‪y1‬‬

‫= ‪y1‬‬

‫‪y‬‬

‫يا‬

‫‪yy1 + xx1 = x12 + y12‬‬

‫څرنگه چې ‪ ، x12 + y12 = r 2‬نو د مماس معادله ‪ yy1 + xx1 = r 2‬ده‪.‬‬

‫‪345‬‬

‫لوم‪７‬ى مثال‪ :‬د هغه مستقيم خط معادله پيدا‬ ‫ک‪７‬ئ چې د )‪ (3,4‬په نقطه کې د ‪x 2 + y 2 = 25‬‬

‫پر دايره مماس وي‪:‬‬ ‫حل‪ :‬څرنگه چې د دايرې مرکز د وضعيه کمياتو‬ ‫په مبدا کې دى‪ ،‬نو‪y 4 + x 3 = 25 :‬‬ ‫نو د مماس معادله عبارت ده له‪3x + 4 y = 25 :‬‬

‫او يا ‪. 3x + 4 y 25 = 0‬‬ ‫دوﻳم مثال‪ :‬د هغه مستقيم خط معادله پيدا ک‪７‬ئ چې د )‪ P(3,5‬په نقطه کې پر هغې دايرې مماس‬ ‫دي چې مرکز يې )‪ (1,2‬دى‪.‬‬ ‫‪k=2‬‬ ‫‪y1 = 5‬‬

‫‪h =1‬‬ ‫‪x1 = 3‬‬

‫‪h x1‬‬ ‫) ‪( x x1‬‬ ‫‪k y1‬‬

‫= ‪y y1‬‬

‫‪1 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪2 5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪( x 3‬‬ ‫=‪y 5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2 x + 3y = 21‬‬ ‫=‪m‬‬

‫يا‪:‬‬

‫‪2 x + 3y 21 = 0‬‬

‫د مماس اوږدوالﻰ‬ ‫که د ) ‪ P1 (x1 , y1‬له نقطې څخه چې له دايرې د باندې واقع ده‪ ،‬د ‪(x h) 2 + (y k) 2 = r 2‬‬

‫پر دايره د ‪ . P1T‬مماس د شکل په شان رسم شي‪ ،‬د (‪ )T‬د تماس نقطه د دايرې له مرکز (‪ )C‬سره‬ ‫ونښلوو‪ ،‬دفيثاغورث د قضيې په اساس د ‪ P1 T C‬په قايمه زاويه مثلث کې لرو چې‪:‬‬ ‫‪(P1 C) 2 = (P1 T ) 2 + (CT) 2‬‬

‫‪346‬‬

‫يا‬

‫‪(P1 T) 2 = (P1 C) 2 (CT)2‬‬

‫له بلې خوا‪ (P1 C) 2 = (x1 h) 2 + (y1 k) 2 :‬او ‪ CT = r‬نو د مماس اوږدوالى مساوي‬ ‫دى په‪P1T = ( x1 h) 2 + ( y1 k ) 2 r 2 :‬‬

‫پــه ياد ولرئ چــې د مماس په امتداد د مماس د اوږدوالى د پيــدا کولو لپاره د دايرې له کومې‬ ‫خارجي نقطې څخه د ‪ x‬او ‪ y‬قيمتونه د دايرې په معادله کې وضع کوو‪.‬‬ ‫درﻳم مثال‪ :‬د )‪ ( 5,10‬له نقطې څخه د ‪ 5x 2 + 5y 2 + 14x + 12 y 10 = 0‬پر دايره د‬ ‫مماس اوږدوالى پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪12‬‬ ‫حل‪ :‬د معادلى دواړه خواوې پر ‪ 5‬وېشو‪ ،‬نو لرو چې‪x + y 2 = 0 :‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪x 2 + y2 +‬‬

‫‪ = ( 5) 2 + (10) 2 14 + 24 2 = 133‬د مماس اوږدوالى‬ ‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫د هغه مماس اوږدوالى پيدا ک‪７‬ئ چې د )‪ P( 2,2‬له نقطې څخه د ‪x 2 + y 2 6 x + 8 y = 0‬‬

‫پر دايره باندې مماس وي‪.‬‬ ‫د دايــرې پــه معادله کې د مســتقيم خط د يو مجﻬول په وضع کولو ســره‪ ،‬يــوه دويمه درجه يو‬ ‫مجﻬولــه معادله په الس راځي‪ ،‬که په دې معادله کې ‪> 0‬‬

‫‪347‬‬

‫وي‪ ،‬مســتقيم خط دايره په دوو‬

‫نقطــو کــې قطع کوي او که ‪= 0‬‬

‫وي خط پر دايره مماس دى او که ‪< 0‬‬

‫وي‪ ،‬مســتقيم‬

‫خط دايره نه قطع کوي‪.‬‬ ‫د هغــه مســتقيم خط معادله چــې د ) ‪ P1 ( x1 , y1‬په نقطه کــې پر هغه دايره چــې مرکز يې‬ ‫) ‪ (h, k‬دى مماس وي‪ ،‬عبارت ده له‪:‬‬ ‫‪h x1‬‬ ‫) ‪( x x1‬‬ ‫‪k y1‬‬

‫= ‪y y1‬‬

‫که د دايرې مرکز د وضعيه کمياتو په مبدا کې وي‪ ،‬نو د مماس معادله‪yy1 + xx1 = x12 + y12 :‬‬ ‫يا ‪ yy1 + xx1 = r 2‬ده‪ ،‬د مماس اوږدوالى د )‪ P( x, y‬له نقطې څخه چې د دايرې د باندې‬

‫واقع ده او د دايرې مرکز ) ‪ (h, k‬دى مساوى ده په‪:‬‬ ‫‪PT = ( x h ) 2 + ( y k ) 2 r 2‬‬

‫پو＊تن‪３‬‬ ‫‪ - 1‬د الندې مســتقيو خطونو حالتونه له دايرو ســره چې معادلې يې په الندې ډول راک‪７‬ل شــوي دي‬ ‫وڅې‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د مستقيمو خطونو معادلې‬

‫د دايرو معادلې‬

‫‪3x 2 y + 3 = 0‬‬

‫‪x 2 + y 2 4x y 3 = 0‬‬

‫‪x y 1= 0‬‬

‫‪2( x 2 + y 2 ) 3x + 2 y 6 = 0‬‬

‫‪5x y = 1‬‬

‫‪x +y‬‬

‫‪x 9 y + 14 = 0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2-‬د هغه مستقيم خط معادله پيدا ک‪７‬ئ چې په )‪ (2, 3‬نقطه کې د ‪x 2 + y 2 2 x + 4 y + 3 = 0‬‬

‫له دايرې سره مماس وي‪.‬‬ ‫‪ - 3‬د هغه مماس اوږدوالى پيدا ک‪７‬ئ چې د )‪ ( 5,4‬له نقطې څخه د‬ ‫‪ 5x 2 + 5y 2 10x + 15y 131 = 0‬پر دايره مماس رسم شوى وي‬ ‫‪-4‬د هغه مماس اوږدوالى پيدا ک‪７‬ئ چې د )‪ ( 2, 5‬له نقطې څخه د ‪x 2 + y 2 + 8 x + 5 y = 7‬‬

‫پر دايره مماس رسم شوى وي‪.‬‬

‫‪348‬‬

‫د مثلﺚ د مﺴاحت پﻴدا کول ﭼ‪ ３‬د‬ ‫راسونو وضعﻴه کمﻴات ﻳ‪ ３‬معلوم وي‪:‬‬ ‫أيــا د هغــه مثلــث مســاحت پيدا کوالى شــئ‬ ‫چې رآســونه يې )‪ (3,2) ، ( 3,6‬او )‪(6,0‬‬ ‫وي؟‬

‫که ‪ P2 ، P1‬او ‪ P3‬لکه چې په شکل کې ليدل کې‪８‬ي د يوه مثلث راسونه وي‪ .‬د ‪ X‬پر محور ‪P1 A‬‬

‫‪ P2 C ،‬او ‪ P3 B‬درې عمود خطونه رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪+ P3 BCP2‬ذوذنقې مساحت‪ P1 ABP3 +‬ذوذنقې مساحت = د ‪ P1 P2 P3‬مثلث مساحت‬ ‫د ذونقې مساحت ‪P1 ACP2‬‬

‫لکه څرنگه چې پوهې‪８‬و‪:‬‬ ‫د ذوذنقې مساحت = (د موازي ضلعو د نيمايې مجموعه) × (د موازې ضلعو ترمنځ فاصله)‬ ‫نو‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫) ‪ = ( P1 A + P3 B ) ( AB ) + ( P3 B + P2 C )( BC‬د ‪ P1P2 P3‬مثلث مساحت‬

‫] ) ‪x1‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)| ‪(| P1 A | + | P2C |)(| AC‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= [ ( y1 + y 3 ) ( x 3 x1 ) ]+ [ ( y 3 + y 2 ) ( x 2 x 3 ) ] [ ( y1 + y 2 ) ( x 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= ( x 3 y1 + x 3 y3 x1y1 x1y3 + x 2 y 3 + x 2 y 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪x 3 y3 x 3 y 2 x 2 y1 x 2 y 2 + x1y1 + x1y 2‬‬ ‫] ) ‪y1 ) + x 3 ( y1 y 2‬‬

‫‪349‬‬

‫‪y3 ) + x 2 ( y3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪[ x1 ( y 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫=‬

‫مثال‪ :‬که چېرې )‪ B(5, 6) ، A(4, 5‬او )‪ C (3,1‬د يوه مثلث راسونه وي‪ ،‬ددې مثلث‬ ‫مساحت پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪x1 = 4 , y1 = 5 , x 2 = 5 , y 2 = 6 x 3 = 3 y 3 = 1 :‬‬

‫]) ‪ = 1 [ x1 ( y 2 y3 ) + x 2 ( y3 y1 ) + x 3 ( y1 y 2‬د ‪ ABC‬مثلث مساحت‬ ‫‪2 2‬‬

‫‪1‬‬ ‫] )‪[ 4 ( 6 1) + 5 (1 + 5) + 3( 5 + 6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪= ( 28 + 30 + 3) = 5 = = 2.5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬

‫که د ‪ P1 P 2 P3‬مثلث رآسونه ) ‪ P2 ( x 2 , y 2 ) ، P1 ( x1 , y1‬او ) ‪ P3 ( x 3 , y 3‬وي‪ ،‬نﻮ‬ ‫‪1‬‬

‫د مثلث مســﺂحت د ]) ‪ [ x1 ( y 2 y 3 ) + x 2 ( y 3 y1 ) + x 3 ( y1 y 2‬له فورمول څخه‬ ‫‪2‬‬ ‫په الس راځي‪.‬‬ ‫پو＊تن‪３‬‬ ‫‪ - 1‬د هغه مثلث مساحت پيدا ک‪７‬ئ چې رآسونه يې )‪ B(8,6) ، A(0,0‬او )‪ C(12,4‬وي‪.‬‬ ‫‪ - 2‬کــه د يــوه مثلث رآســونه )‪ B( 4,0) ، A (4, 0‬او )‪ C (0, 3‬وي‪ ،‬ددې مثلث مســاحت پيدا‬ ‫ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ - 3‬د هغــه څلور ضلعي مســاحت پيــدا ک‪７‬ئ چې رآســونه يې )‪ C (8,6) ، B(6,2) ، A(1,0‬او‬ ‫)‪ D(2,4‬وي‪.‬‬

‫‪350‬‬

‫د ＇پرکﻲ لن‪６‬ﻳز‪:‬‬

‫د وضعيه کمياتو په مستوي کې هغه نقطې چې د ‪ X‬پر محور پرتې دي‪ ،‬د ‪ y‬مختصه يې صفر او‬ ‫کومې نقطې چې د ‪ Y‬پر محور پرتې دي د ‪ x‬مختصه يې صفر ده‬ ‫د ) ‪ P ( x1 , y1‬او ) ‪ Q( x2 , y2‬د دوو نقطو تر منځ فاصله د ‪y1 ) 2‬‬

‫‪d = ( x 2 x1 ) 2 + ( y 2‬‬

‫له فورمول څخه په الس راځي‪.‬‬ ‫د ‪ p‬د نقطــې وضعيــه کميــات چې د ‪ P1 P2‬قطعه خط د ‪ r‬په نســبت وېشــي عبارت دي له‪:‬‬ ‫‪ry 2 + y1‬‬ ‫‪1+ r‬‬

‫‪rx 2 + x1‬‬ ‫‪1+ r‬‬

‫=‪y‬‬

‫= ‪ x‬او د ‪ P1 P2‬د قطعه خط د تنصيف د نقطې وضعيه کميات‬

‫عبارت دي له‪:‬‬ ‫‪y1 + y 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x + x2‬‬ ‫ال د ‪ r‬په نســبت ووېشي نو‬ ‫‪ x = 1‬که د ‪ p‬نقطه د ‪ P1 P2‬خط داخ ً‬

‫=‪y‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ r‬مثبت اوکه خارجا ً يې و وېشى‪ ،‬نو ‪ r‬منفي دى‪.‬‬ ‫د يــو مســتقيم خــط ميــل چــې د ) ‪ P1 ( x1 , y1‬او ) ‪ P2 ( x2 , y2‬لــه نقطــو څخــه تېرې‪８‬ي د‬

‫‪y2‬‬ ‫‪x2‬‬

‫‪y2‬‬ ‫‪x2‬‬

‫‪y1 y1‬‬ ‫=‬ ‫‪x1 x1‬‬

‫= ‪ m‬لــه فورمــول څخه په الس راځــي د ‪ X‬د محــور او د هغو خطونو‬

‫ميــل چــې د ‪ X‬له محور ســره موازي وي صفــر او د ‪ Y‬د محور او د هغو خطونــو ميل چې د ‪ Y‬له‬ ‫محور ســره موازى وي‪ ،‬تعريف شــوي نه دي‪ .‬که د يوه مســتقيم خط د ميل زاويه حاده وي‪ ،‬ميل يې‬ ‫مثبت او که منفرجه وي ميل يې منفي دى‪.‬‬ ‫د هغې مســتقيم خط معادله چې ميل او د ‪ Y‬له محور ســره يې تقاطع معلومه وي‪ ،‬عبارت ده له‪:‬‬ ‫‪. y = mx + b‬‬ ‫د هغــه مســتقيم خــط معادلــه چــې ميــل او يــوه نقطــه يــى معلومــه وي‪ ،‬عبــارت ده لــه‪:‬‬ ‫) ‪x1‬‬

‫‪y1 = m( x‬‬

‫‪y‬‬

‫د هغه مستقيم خط معادله چې دوې نقطې يې معلومې وي عبارت ده له‪:‬‬ ‫) ‪x1‬‬

‫‪351‬‬

‫‪y1‬‬ ‫‪(x‬‬ ‫‪x1‬‬

‫‪y2‬‬ ‫‪x2‬‬

‫= ‪y1‬‬

‫‪y1‬‬ ‫‪ y‬اويا‬ ‫‪x1‬‬

‫‪y y1 y 2‬‬ ‫=‬ ‫‪x x1 x 2‬‬

‫او د هغه مســتقيم خط معادله چې‬

‫‪x y‬‬ ‫له محورونو سره يې د تقاطع نقطې معلومې وي‪+ = 1 :‬‬ ‫‪a b‬‬ ‫‪ x cos + y sin‬او د مســتقيم خط عمومي‬ ‫د يــوه مســتقيم خط نورمال معادله ‪p = 0‬‬

‫ده‪.‬‬

‫معادله ‪ ax + by + c = 0‬ده‪.‬‬ ‫د ) ‪ P ( x1 , y1‬د نقطې فاصله له يوه مستقيم خط څخه د ‪P‬‬

‫يا د‬

‫‪ax1 + by1 + c‬‬ ‫‪± a 2 + b2‬‬

‫‪ d = x cos + y sin‬او‬

‫= ‪ d‬له فورمول څخه په الس راځي‪.‬‬

‫د هغــې دايــرې معادله چــې مرکز يې د وضعيه کمياتو په مبــدا کې واقع وي له ‪x 2 + y 2 = r 2‬‬

‫څخــه عبــارت ده او که مرکز يې د وضعيه کمياتو پــه مبدا کې واقع نه وي او ) ‪ (h, k‬يې مرکز وي‪،‬‬ ‫معادله يې‪( x h ) 2 + ( y k ) 2 = r 2 :‬‬

‫يا ‪ x 2 + y 2 + 2gx + 2fy + c = 0‬او يا ‪x 2 + y 2 + ax + by + c = 0‬‬

‫د دايرې په معادله کې د مستقيم خط د يو مجﻬول په وضع کولو سره‪ ،‬يوه دويمه درجه يو مجﻬوله‬ ‫معادلــه په الس راځي‪ ،‬که په دې معادله کې ‪> 0‬‬ ‫کوي او که ‪= 0‬‬

‫وي‪ ،‬مســتقيم خــط دايره په دوو نقطو کې قطع‬

‫وي خط پر دايره مماس دى او که ‪< 0‬‬

‫وي‪ ،‬خط دايره نه قطع کوي‪.‬‬

‫د هغه مستقيم خط معادله چې د ) ‪ P1 ( x1 , y1‬په نقطه کې پر هغه دايره چې مرکز يې ) ‪(h, k‬‬ ‫‪h x1‬‬ ‫= ‪y y1‬‬ ‫دى مماس وي عبارت ده له‪( x x1 ) :‬‬ ‫‪k y1‬‬

‫او که د دايرې مرکز د وضعيه کمياتو په مبدا کې وي‪ ،‬نو د مماس معادله يې‪:‬‬

‫‪ yy1 + xx1 = x12 + y12‬يا ‪ yy1 + xx1 = r 2‬ده او د ‪ PT‬مماس اوږدوالى د ) ‪ P( x1 , y1‬له‬ ‫نقطې څخه چې له دايرې د باندې واقع ده او مرکز يې ) ‪ (h, k‬دى‪ ،‬مساوي ده په‪:‬‬ ‫‪PT = ( x h ) 2 + ( y k ) 2 r 2‬‬ ‫که د يوه مثلث رآســونه ) ‪ P2 ( x2 , y2 ) ، P1 ( x1 , y1‬او ) ‪ P3 ( x3 , y3‬وي‪ ،‬نو ‪P1 P 2 P3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫د مثلث مســاحت د ]) ‪ [ x1 ( y 2 y 3 ) + x 2 ( y 3 y1 ) + x 3 ( y1 y 2‬له فورمول څخه په‬ ‫‪2‬‬

‫الس راځي‪.‬‬

‫‪352‬‬

‫د ＇پرکﻲ پو＊تن‪:３‬‬

‫‪- 1‬د الندې هرې جوړې نقطو ترمنځ فاصله پيدا ک‪７‬ئ او همدرانگه ددې مســتقيمو خطونو د‬ ‫تنصيف د نقطو وضعيه کميات پيدا ک‪７‬ئ چې د ‪ A‬او ‪ B‬له دوو نقطو څخه تېرې‪８‬ي‪.‬‬ ‫)‪A(3,1) , B ( 2, 4‬‬

‫)‪A( 8,3) , B(2, 1‬‬

‫‪1‬‬ ‫)‪) , B( 3 5 ,5‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪5,‬‬

‫(‪A‬‬

‫‪ - 2‬کــه )‪ B(0,2) ، A( 3 , 1‬او )‪ C (h, 2‬د يــوه قايــم الزاويه مثلث راســونه وي او د‬ ‫‪ A = 90°‬وي‪ ،‬د )‪ (h‬قيمت پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ - 3‬د ‪ p‬د نقطــې وضعيــه کميــات پيدا ک‪７‬ئ‪ ،‬په داســې حال کې هغه مســتقيم خط چې د‬ ‫)‪ A(1,4‬او )‪ B(5,6‬له نقطو څخه تېرې‪８‬ي د ‪ AP = 2‬په نسبت و وېشي‪.‬‬ ‫‪PB‬‬

‫‪ - 4‬د هغه مستقيم خط معادله پيدا ک‪７‬ئ چې ميل يې )‪ ( 2‬او د ‪ Y‬محور په ‪ 3‬کې قطع ک‪７‬ي‪.‬‬ ‫‪ - 5‬د ‪ x = 7‬او ‪ y = 7‬د خطونو ميل پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ - 6‬د ‪ y‬د محور ميل مساوي دی په‪:‬‬ ‫‪a) 1‬‬ ‫‪b) 1‬‬ ‫‪c) 0‬‬ ‫تعريف شوی نه دی ) ‪d‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ - 7‬د يوه مستقيم خط ميل = ‪ m‬دى‪ ،‬د هغه خط ميل چې پر دې خط عمود وي‪ ،‬مساوي دى په‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫)‪d‬‬

‫‪3‬‬ ‫)‪c‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪2‬‬ ‫)‪a‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪- 8‬د هغو مستقيمو خطونو ميل پيدا ک‪７‬ئ چې د الندې راک‪７‬ل شوو نقطو له جوړو څخه تېرې‪８‬ي‪.‬‬ ‫)‪ (5,11‬او )‪( 2,4‬‬ ‫)‪ (2,7‬او )‪(3, 2‬‬ ‫)‪ (4,8‬او )‪(4,6‬‬ ‫‪ - 9‬د ‪ 4 x y + 2 = 0‬او ‪ 12x 3y + 1 = 0‬مستقيم خطونه‪:‬‬ ‫موازي دي (‪a‬‬ ‫نه موازي او نه عمود دي (‪ c‬عمود دي (‪b‬‬ ‫‪ - 10‬د ‪ 3x 4 y + 3 = 0‬او ‪ 3x 4 y + 7 = 0‬مستقيمو خطونو ترمنځ فاصله پيداک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ - 11‬د هغــه مســتقيم خــط معادلــه پيــدا کــ‪７‬ئ چــې د )‪ ( 4,7‬لــه نقطــې تېر شــي او د‬ ‫‪ 2 x 7 y + 4 = 0‬له مستقيم خط سره موازي وي‪.‬‬

‫‪353‬‬

‫‪ - 12‬د )‪ P(6, 1‬نقطې فاصله د ‪ 6 x 4 y + 9 = 0‬له مستقيم خط څخه پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ - 13‬د ‪ p‬د نقطې وضعيه کميات په داسې حال کې پيدا ک‪７‬ئ چې ‪ P1 P2‬مستقيم خط چې‬ ‫د )‪ P1 (2, 5‬او )‪ P2 (6,3‬له نقطو څخه تېرې‪８‬ي د ‪ 3‬په نسبت ووېشئ‪.‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪ - 14‬د الندې مستقيمو خطونو معادلې نورمال شکل ته واړوئ‪.‬‬ ‫‪2 x 3y + 6 = 0‬‬

‫‪2x + 5y 2 = 0‬‬

‫‪ - 15‬د هغــه مســتقيم خــط ميل چې د )‪ (4,0‬او )‪ ( 4,0‬له نقطو څخه تېرې‪８‬ي مســاوي دى‬ ‫په‪:‬‬ ‫‪a) 1‬‬ ‫‪b) 1‬‬ ‫‪c) 0‬‬ ‫تعريف شوي نه دی ) ‪d‬‬ ‫‪ - 16‬د هغه مســتقيم خط معادله پيدا ک‪７‬ئ چې د نورمال اوږدوالى يې ‪ 10‬واحده او نورمال‬ ‫خط يې د ‪ X‬محور له مثبت جﻬت سره د ‪ 30°‬زاويه جوړوي‪.‬‬ ‫‪ - 17‬د هغه مثلث مساحت پيدا ک‪７‬ئ چې راسونه يې )‪ B( 1,1) ، A(2,3‬او )‪ C (4, 5‬وي‪.‬‬ ‫‪ - 18‬د هغه مثلث مساحت چې رآسونه يې )‪ B(2, 3) ، A(1,4‬او )‪ C(3, 10‬دي مساوى‬ ‫دى په‪:‬‬ ‫‪a )1‬‬ ‫‪b) 2‬‬ ‫‪c) 0‬‬ ‫هېڅ يو ) ‪d‬‬ ‫‪ - 19‬د ‪ x + 2 y = 6‬د مستقيم خط د تقاطع نقطې د ‪x 2 + y 2 2 x 2 y 39 = 0‬‬ ‫له دايرې سره پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ - 20‬د هغــې دايــرې معادله پيدا ک‪７‬ى چې د )‪ B(2, 1) , A(1,1‬او )‪ C (3, 2‬له نقطو څخه‬ ‫تېرې‪８‬ي‪.‬‬ ‫‪ - 21‬د هغــې دايــرې معادله پيدا ک‪７‬ئ چې د )‪ A(3, 1‬او )‪ B(0,1‬له نقطو څخه تېرې‪８‬ي او‬ ‫مرکز يې د ‪ 4 x 3 y 3 = 0‬پر مستقيم خط واقع وي‪.‬‬ ‫‪ - 22‬د ‪ 4x 2 + 4 y 2 8x + 12 y 25 = 0‬دايــرې د مرکــز وضعيــه کميــات او د شــعاع‬ ‫اوږدوالى يې پيداک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ - 23‬د هغــې دايرې معادله پيــدا ک‪７‬ى چې د )‪ A(4,1‬او )‪ B(6,5‬له نقطو څخه تېرې‪８‬ي او‬ ‫مرکز يې د ‪ 4 x + y 16 = 0‬پر مستقيم خط باندې واقع وي‪.‬‬

‫‪354‬‬

‫‪ - 24‬که د يوه مثلث رآسونه )‪ B( 3,5) ، A(5, 6‬او )‪ C ( 1,2‬وي‪ ،‬دا مثلث‪:‬‬ ‫متساوى االضالع دى (‪a‬‬ ‫متساوى الساقين دى (‪b‬‬ ‫مختلف االضالع دى (‪c‬‬ ‫‪ - 25‬که د يوه مثلث رآسونه په ترتيب سره )‪ (4,10) ، (5,4‬او )‪ (7,8‬وي دا مثلث‪:‬‬ ‫متساوي االضالع دی (‪a‬‬ ‫مختلف االضالع دی (‪ c‬متساوي الساقين دی (‪b‬‬ ‫‪ - 26‬کــه )‪ P( 8,4‬او )‪ Q(2, 1‬وي د ‪ A‬د نقطــې مختصات پيدا ک‪７‬ئ که د ‪ A‬نقطه د‬ ‫‪2‬‬ ‫په نسبت و وېشي‪.‬‬ ‫ال او خارجا ً د‬ ‫‪ PQ‬خط داخ ً‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ - 27‬د ‪ x y + 1 = 0‬مســتقيم خــط د تقاطــع نقطې له ‪ x 2 + y 2 = 5‬دايرې ســره پيدا‬ ‫ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ - 28‬کــه د ‪ x + ay 5 = 0‬مســتقيم خط د ‪ x 2 + y 2 2x + 4 y = 0‬پــر دايره مماس‬ ‫وي‪ ،‬د ‪ a‬قيمت پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ - 29‬د هغې دايرې معادله چې د )‪ (0,0‬او )‪ (2,0‬له نقطو څخه تېرې‪８‬ي او د ‪ y 1 = 0‬له‬ ‫مستقيم خط سره مماس وي‪ ،‬عبارت ده له‪:‬‬ ‫‪c) x 2 + y 2 + 2 x = 0‬‬

‫‪b) x 2 + y 2 2 x = 0‬‬

‫‪a ) x 2 + y 2 4x = 0‬‬

‫‪ - 30‬هغه دايره چې معادله يې ‪ x 2 + y 2 6x + 4 y + 14 = 0‬ده‪:‬‬ ‫موهومي ده )‪c‬‬ ‫نقطوي ده (‪b‬‬ ‫حقيقي ده ) ‪a‬‬ ‫‪ - 31‬هغه دايره چې معادله يې ‪x 2 + y 2 + 2 x 4 y + 5 = 0‬‬ ‫حقيقي ده (‪c‬‬ ‫نقطوي ده (‪b‬‬ ‫موهومي ده (‪a‬‬ ‫‪ - 32‬کــه )‪ A(4, 3‬او )‪ B( 2, 5‬وي د ‪ A‬او ‪ B‬د نقطــو ترمنځ فاصله پيدا ک‪７‬ئ او هم د‬ ‫‪ AB‬د خط د تنصيف نقطې وضعيه کميات پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪- 33‬کــه د يوه مثلث رآســونه )‪ B(3, 5) ، A( 6,3‬او )‪ C ( 1,5‬وي‪ ،‬وښياســت چې دا‬ ‫مثلث قايم الزاويه مثلث دى‪.‬‬ ‫‪ - 34‬وښياست چې )‪ C (0, b) ، B(a,0) ، A(0,0‬او )‪ D(a, b‬د يو مستطيل رآسونه دي‬ ‫او هم وښياست چې د مستطيل د قطرونو اوږدوالى سره مساوي دى‪.‬‬ ‫‪ - 35‬وښياست چې )‪ B(6,2) ، A(3,1‬او )‪ C (9,3‬نقطې پر يوه مستقيم خط واقع دي‪.‬‬

‫‪355‬‬

‫‪ - 36‬د هغــه مســتقيمو خطونــو معادلې پيدا ک‪７‬ئ چــې د الندې هروجوړو لــه نقطو څخه‬ ‫تېرې‪８‬ي‪.‬‬ ‫)‪(8,15‬‬ ‫)‪(3, 4‬‬ ‫)‪( 2,0‬‬

‫)‪(3,5‬‬

‫)‪(1,2‬‬

‫)‪(2, 1) ( 2, 1‬‬ ‫)‪(5,0‬‬ ‫)‪(0,2‬‬

‫)‪(5,8‬‬ ‫)‪( 1, 3‬‬ ‫)‪(0,3‬‬

‫‪ - 37‬د هغــه مســتقيم خط معادله چې د )‪ (5,8‬او )‪ ( 1,10‬له نقطو څخــه تېرې‪８‬ي عبارت ده‬ ‫له‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x+9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪b: y‬‬ ‫‪+9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪29‬‬ ‫= ‪c: y‬‬ ‫‪x+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪a: y‬‬

‫درې واړه سم دي‬

‫‪d:‬‬

‫‪356‬‬

‫＇پرکی‬ ‫اتم ＇پرکﻲ‬ ‫احﺼاﺋﻴه‬

‫د فرﻳکونﺴﻲ ＇و ضلعﻲ ﮔراف‬ ‫(‪)Frequency Polygon graph‬‬

‫‪Y‬‬

‫مخامﺦ شکل په پام کې ونيسئ‪ ،‬آيا کوالى شئ د‬ ‫راک‪７‬ل شوي منحني الندې مساحت پيدا ک‪７‬ئ؟‬

‫‪X‬‬

‫‪0‬‬

‫آيا ويالی شــئ چى تر منحني الندې مساحت له‬ ‫څه شي سره برابر دى؟‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫د فريکونسيو مخامﺦ جدول په نظر کې ونيسئ‪.‬‬ ‫ﻓرﻳکﻮنسﻲ د کﻼس (صنﻒ)مرکﺰ‬

‫کﻼسﻮنﻪ‬

‫‪3‬‬

‫‪11.5‬‬

‫‪10-13‬‬

‫‪6‬‬

‫‪14.5‬‬

‫‪13-16‬‬

‫‪7‬‬

‫‪17.5‬‬

‫‪16-19‬‬

‫‪4‬‬

‫‪20.5‬‬

‫‪19-22‬‬

‫د هر کالس (صنف) مرکز د لوم‪７‬ى مختصې او اړونده فريکونسي يې د دويمې مختصې په حيث‬ ‫د مرتبو جوړو په شکل په نظر کې ونيسئ‪.‬‬ ‫ددې مرتبو جوړو موقعيت د قايمو وضعيه کمياتو په سيستم کې وټاکئ‪.‬‬ ‫هغه نقطې چې په مستوي کې له دې مرتبو جوړو څخه په الس راځي‪ ،‬سره ونښلوئ‪.‬‬ ‫آيا کوالى شئ چې ددې ﮔراف الندې مساحت پيدا ک‪７‬ئ؟‬ ‫د ‪ X‬پر محور د ﮔراف دواړو خواوو ته (‪ )8.5,0‬او (‪ )38.5,0‬نقطې زياتې ک‪７‬ئ‪ .‬په الس راغلى‬ ‫ﮔراف د فريکونسي جدول له مستطيلي ﮔراف سره يوځاى رسم ک‪７‬ئ او د مستطيلونو مساحت د‬ ‫منحني الندې مساحت سره پرتله ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫په څو ضلعي ﮔراف کې د هر کالس مرکز پر افقي محور اود هر کالس مطلقه فريکونسي يا نسبي‬

‫‪359‬‬

‫فريکونسي پر عمودې محور ښودل کې‪８‬ي‪ ،‬د کالس مرکز (منځني نقطه) او د کالس د فريکونسيو په‬ ‫مقابل کې په مستوي کې يوه نقطه ټاکل کې‪８‬ي چې عرض يې د کالس مرکز او اوږدوالى يې د هماغه‬ ‫کالس له فريکونسيو سره برابر دى‪ ،‬د جدول د کالسونو په شمېر په مستوي کې په هماغه اندازه نقطې‬ ‫په الس راځي‪ .‬که د کالسونو په اول او اخر کې دوي نورې د )‪ ( x1 c , 0) , ( xn + c , 0‬اختياري‬ ‫نقطې زياتې ک‪７‬ئ‪ ،‬څرنگه چې ‪ c‬د هر کالس وسعت دی يعنې ( پاسني سرحد منفي د هماغه‬ ‫صنف الندينﯽ سرحد) چې ددې نقطو له نښلولو څخه يو ﮔراف په الس راځي چې د فريکونسي‬ ‫څو ضلعي ﮔراف نومي‪８‬ي‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬د الندې جدول د ډيتا (‪ )Data‬مستطيلي (هستوګرام) او د فريکونسيو څو ضلعي ﮔرافونه‬ ‫يې رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪31-36‬‬

‫‪26-31‬‬

‫‪2‬‬

‫‪7‬‬

‫‪33.5‬‬

‫‪28.5‬‬

‫‪21-26‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪23.5‬‬

‫‪16-21‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪18.5‬‬

‫‪11-16‬‬

‫‪ = CL‬د کالسونو حدود‬

‫‪3‬‬

‫‪ = f i‬مطلقه فريکونسي‬

‫‪13.5‬‬

‫‪ = X i‬د کالسونو مرکز‬

‫پوهې‪８‬و چې ‪ c = 5‬ده‪ ،‬ددې لپاره چې دوه اختياري نقطې په الس راوړو‪ ،‬نو‪:‬‬ ‫)‪( x1 5 , 0) = (13.5 5 , 0) = (8.5 , 0‬‬ ‫)‪( xn + 5 , 0) = (33.5 + 5 , 0) = (38.5 , 0‬‬

‫ددې نقطو )‪ (8.5 ,0‬او )‪ (38.5 , 0‬په اضافه کولو سره ګراف رسموو‪:‬‬

‫د فريکونسي څو ضلعي ﮔراف‬

‫‪360‬‬

‫مستطيلي ﮔراف د فريکونسي څو ضلعي ﮔراف سره‪:‬‬

‫له پورتني ﮔراف څخه ليدل کي‪８‬ې چې‪:‬‬ ‫ د فريکونسيو څو ضلعي ﮔراف راسونه تر مطالعې الندې دفريکونسيو له جدول د اړونده مستطيل‬‫د پورتنى ضلعې منځني نقطه سره واقع دي‪.‬‬ ‫ د فريکونسيو څو ضلعي ﮔراف د الندې سطحې مساحت د مستطيلي ﮔراف له مساحت سره برابر‬‫دى‪.‬‬ ‫‪ -‬د نسبي فريکونسيو څو ضلعي ﮔرافونه زيات د متصلو ډيتاوو ( ‪ ) Data‬له پاره کارول کې‪８‬ي‪.‬‬

‫‪361‬‬

‫پو＊تن‪３‬‬

‫‪ - 1‬د نﻬم اولسم ټولگيو د ‪ 24‬زده کوونکو د تنې لوړوالى د سانتي متر په حساب په الندې ډول‬ ‫راک‪７‬ل شوی دی‪.‬‬ ‫‪118‬‬ ‫‪123‬‬ ‫‪135‬‬ ‫‪126‬‬

‫‪148‬‬ ‫‪133‬‬ ‫‪126‬‬ ‫‪141‬‬

‫‪128‬‬ ‫‪123‬‬ ‫‪144‬‬ ‫‪153‬‬

‫‪136‬‬ ‫‪115‬‬ ‫‪122‬‬ ‫‪117‬‬

‫‪107‬‬ ‫‪129‬‬ ‫‪128‬‬ ‫‪98‬‬

‫‪138‬‬ ‫‪142‬‬ ‫‪121‬‬ ‫‪152‬‬

‫د پورتن‪ ９‬ډيتا (‪ )Data‬لپاره د فريکونسي يو جدول ترتيب ک‪７‬ئ‪.‬ډيتا (‪ )Data‬په شپ‪８‬و طبقو‬ ‫ووېشئ‪ ،‬ددې ډيتا (‪ )Data‬د ښودلو لپاره کوم ډول ﮔراف ښه دى‪ ،‬د فريکونسيو څو ضلعي‬ ‫ﮔراف رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪362‬‬

‫د ساق‪ ３‬او پا‪ ３１‬ﮔراف‬

‫موږ د عددونو په ن‪７‬ۍ کې ژوند کوو‪ ،‬هر تن‬ ‫د خپل هيواد د ټولنې د يو غ‪７‬ى په حيث يوه‬ ‫خاصه شمېره لري چې د نورو مشخصو په شان د‬ ‫اهميت وړ ده‪ .‬آيا ويالى شئ چې دا شمېره څه‬ ‫شﯽ ده؟ او آيا تاسو هم خپله شمېره پيﮋنئ؟‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫په الندې جدول کې د سانتي متر په حساب د ‪ 20‬نويو پيدا شوو ماشومانو د تنې لوړوالى چې په‬ ‫تصادفي ډول انتخاب شوی دی‪ ،‬راک‪７‬ل شوى دی‪.‬‬ ‫‪47‬‬ ‫‪48‬‬

‫‪45‬‬ ‫‪43‬‬

‫‪46‬‬ ‫‪43‬‬

‫‪43‬‬ ‫‪49‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪42‬‬ ‫‪46‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪43‬‬ ‫‪49‬‬ ‫‪47‬‬ ‫‪49‬‬ ‫‪48‬‬ ‫‪49‬‬ ‫‪47‬‬ ‫‪45‬‬ ‫پورتن‪ ９‬ډيتا ( ‪ )Data‬له کوچني عدد څخه لوى عدد ته ترتيب ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫ ليدل کې‪８‬ي چې په دې ټولو عددونو کې د ‪ 4‬رقم مشترک دى‪ ،‬کوالى شو چې دا رقمونه په الندې‬‫ډول وليکو‪.‬‬ ‫)‪40 + (0,2,3,3,3,3,5,5,5,6,6,7,7,7,8,8,9,9,9,9‬‬

‫له ‪ 0‬تر ‪ 9‬پورې رقمونه هر يو رقم څو وارې تکرار شوی دی‪.‬‬ ‫پورتني رقمونه په الندې شکل ليکو‪.‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪9‬‬

‫‪9‬‬

‫‪9‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪363‬‬

‫‪4‬‬

‫که د عددونو پورتنى شکل د ‪ 90o‬زاويې په اندازه کيڼې خوا ته دوران ورک‪７‬ئ‪ ،‬دا شکل له کوم‬ ‫ډول ﮔراف سره مشابه دى؟‬ ‫ډيتا عموما َ د عددونو په شکل وي‪ .‬له دې عددونو څخه څرنگه چې په پورتني فعاليت کې وليدل‬ ‫شول‪ ،‬کوالى شو‪ ،‬ﮔراف يې جوړ ک‪７‬و چې دا ﮔراف د ساقې او پا‪１‬ې د ﮔراف په نامه يادې‪８‬ي‪.‬‬ ‫او که دې ګراف ته د ‪ 90o‬زاويې په اندازه کيڼې خواته دوران ورک‪７‬و‪ ،‬ميله يي ګراف الس ته راځي‪.‬‬ ‫د مثال په ډول که ډيتا د صفر او ‪ 100‬ترمنځ وي‪ ،‬کوالی شو‪ ،‬لکه‪ :‬د ‪ 37‬عدد ‪ 3‬په ساقه او (‪ )7‬د‬ ‫پا‪１‬ې په حيث وليکو‪.‬‬ ‫د ساقې او پا‪１‬ې ﮔراف د هغو ډيتا (‪ )Data‬لپاره چې تر ټولو لوى او تر ټولوکوچنى ډيتا (‪ )Data‬ترمنځ‬ ‫توپير يې ل‪ ８‬وي‪ ،‬مناسب دى‪.‬‬ ‫لوم‪７‬ی مثال‪ :‬د کتابونو په يو پلورنځي کې ‪ 20‬ډوله کتابونه چې هر ډول شمېر يې په الندې جدول‬ ‫کې راک‪７‬ل شوی دى‪ ،‬ددې ډيتا (‪ )Data‬د ساقې او پا‪１‬ې ﮔراف رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪39‬‬ ‫‪65‬‬

‫‪39‬‬ ‫‪58‬‬

‫‪38‬‬ ‫‪57‬‬

‫‪38‬‬ ‫‪52‬‬

‫‪28‬‬ ‫‪46‬‬

‫‪27‬‬ ‫‪46‬‬

‫‪23‬‬ ‫‪45‬‬

‫‪11‬‬ ‫‪41‬‬

‫‪15‬‬ ‫‪44‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪40‬‬

‫ﺣﻞ‪ :‬ښکاره ده چې د ډيتا ( ‪ )Data‬د کيڼې خوا اولني عددونه ‪ 5.4.3.2.1‬او ‪ 6‬دي‪ .‬چې دا‬ ‫عددونه د ساقې لپاره په نظر کې نيسو‪ .‬او د هرې څانگې اړونده ډيتا ورته ددې عددونو مخکې ليکو‬ ‫چې په الندې ډول الس ته راځي‪.‬‬

‫پا‪１‬ې‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9 9‬‬ ‫‪4 5 6 6‬‬

‫ساقه‬ ‫‪1‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪5 2 7 8‬‬ ‫‪6 5‬‬

‫‪364‬‬

‫‪6‬‬

‫‪6‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪9 5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3 5 8 9 4 8‬‬ ‫‪2 1 7 8 1 7‬‬

‫ﻓرﻳکﻮنسﻲ‬

‫که د کتاب مﺦ ته د ساعت د ستنې حرکت په مخالفه خوا کې د ‪ 90o‬زاويې په اندازه دوران ورک‪７‬و‪.‬‬ ‫دا ګراف د ميله يي ﮔراف په شکل بدلې‪８‬ي چې په الندې ډول يې ليکالى شو‪.‬‬

‫‪1 0 3 8 0 2 5‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6‬‬

‫دوﻳم مثال‪ :‬د رياضي په يوه امتحان کې الندې نتيجې له زده کوونکو څخه پالس راغلي دي‪ ،‬ددې‬ ‫ډيتا لپاره د ساقې او پا‪１‬ې ګراف رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪25 45 46 50 50 50 55 55 55 55‬‬ ‫‪55 57 58 58 60 60 62 65 67 72‬‬

‫حل‪ :‬د ساقې د رسم لپاره له لسيزو رقمونو او د پا‪１‬ې د ترسيم لپاره له يوويزو رقمونو ځخه استفاده‬ ‫کوو‪:‬‬

‫پا‪１‬ې‬

‫ساقﻪ‬ ‫‪2 5‬‬

‫‪365‬‬

‫‪5 6‬‬ ‫‪0 0 0 5 5 5 5 5 7 8 8‬‬ ‫‪0 0 2 5 7‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪7‬‬

‫پو＊تن‪３‬‬

‫‪ -1‬د الندې ډيتا ( ‪ )Data‬لپاره د ساقې اوپا‪１‬ې ﮔراف رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪11.7 8.4 9.1 6.8 12.5‬‬

‫‪10.9‬‬

‫‪8 .3‬‬

‫‪7.9‬‬

‫‪11.3‬‬

‫‪12‬‬

‫‪7.8‬‬

‫‪11.2‬‬

‫‪6.8‬‬

‫‪13‬‬

‫‪8 .4‬‬

‫پاملرنه‪ :‬د ساقې او پا‪１‬ې د ﮔراف د ښودلو لپاره د ‪ 8.3‬عدد د ‪ 83‬په شکل او د ‪ 11.2‬عدد د‬ ‫‪ 112‬په شکل او د ‪ 12‬عدد د ‪ 120‬په شکل ليکو‪.‬‬

‫‪366‬‬

‫ربع‪＇( ３‬لورم‪)３‬‬

‫په مخامﺦ شکل کې که دا د خلکو ټولنه نظر د‬ ‫دوی د تنې د لوړوالي په نسبت په څلورو مساوي‬ ‫برخو و وېشل شي‪ ،‬هره برخه يې په کوم نامه‬ ‫يادوي ؟‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫مخامﺦ شکل يو مستطيل دى چې د ‪ Q2 ,Q1‬او ‪ Q3‬خطونو په واسطه په څلورو مساوي برخو وېشل‬ ‫شوی دی‪.‬‬ ‫د مستطيل د مساحت څو فيصده مساحت د ‪ Q1‬د‬ ‫خط الندې‪ ،‬څو فيصده مساحت د ‪ Q1‬د خط له پاسه واقع‬ ‫دی؟‬ ‫دمستطيل څو فيصده مساحت د ‪ Q2‬تر خط الندې او‬ ‫څوفيصده مساحت د ‪ Q2‬د خط له پاسه دی؟‬ ‫د مستطيل څو فيصده مساحت د ‪ Q3‬تر خط الندې او څو فيصده مساحت د ‪ Q3‬د خط له‬ ‫پاسه دى؟‬ ‫هغه عددونه چې ترتيب شوي ډيتا په څلورو مساوي برخو وېشي‪ ،‬دغه عددونو ته لوم‪７‬ۍ ربع‪ ،‬دويمه‬ ‫ربعه او دريمه ربع وايي او په ‪ Q 2 , Q1‬او ‪ Q3‬سره ښودل کې‪８‬ي‪.‬‬ ‫لوم‪７‬ۍ ربع هغه مقدار دى چې ‪ 25%‬ډيتا له هغې الندې او ‪ 75%‬ډيتا له هغې پورته واقع وي‪.‬‬ ‫دويمه ربع هغه مقدار دى چې ‪ 50%‬ډيتا له هغې الندې او ‪ 50%‬ډيتا له هغې پورته واقع وي‪.‬‬ ‫دريمه ربع هغه مقدار دى چې ‪ 75%‬ډيتا ترې الندې او ‪ 25%‬ډيتا يې له پاسه واقع وي‪.‬‬ ‫که ډيتا ( ‪)Data‬په صعودي ډول ترتيب ک‪７‬و‪ ،‬د ډيتا ( ‪)Data‬ميانه د ‪ Q2‬سره مساوي لوم‪７‬ن‪ ９‬نيمايي‬ ‫ډيتا (‪ )Data‬ميانه له ‪ Q1‬سره مساوي او همدارنگه د دويمې نيمايي ميانه له ‪ Q3‬سره مساوي ده‪.‬‬ ‫د ربعو د پيدا کولو په وخت کې الندې پ‪７‬اونه په پام کې ونيسئ‪.‬‬

‫‪367‬‬

‫ډيتا ( ‪)Data‬په صعودي ډول ترتيب ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫ترتيب شوى ډيتا ته له (‪ )1‬څخه تر ‪ n‬پورې شمېره (کوډ) ورک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د ‪ P‬ام موقعيت ( ‪ ) P =1, 2, 3‬دالندې رابطې په مرسته په الس راځي‪.‬‬

‫‪P n 1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬

‫= ‪C QP‬‬

‫د ربعې د موقعيت په اساس‪ ،‬د ربعې مقدار وټاکئ‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬فرض ک‪７‬ئ په الس راغلي ډيتا (مشاهدي) په الندې ډول راک‪７‬ل شوي وي‪.‬‬ ‫‪140‬‬

‫‪100‬‬

‫‪120‬‬

‫د لوم‪７‬ى او دريمې ربعې ځايونه وټاکئ‪.‬‬ ‫د لوم‪７‬ى او دريمې ربعې مقدارونه پالس راوړئ‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫د ډيتا شمېره‪6 :‬‬ ‫ډيتا ‪100 120 140 :‬‬ ‫د لوم‪７‬ۍ او دريمې ربعې ځايونه عبارت دي له‪:‬‬

‫‪80‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪90‬‬

‫‪90‬‬

‫‪85‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪80‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪85‬‬

‫‪16 1‬‬ ‫‪+ =2‬‬ ‫‪4 2‬‬ ‫‪3 6 1‬‬ ‫=‬ ‫‪+ =5‬‬ ‫‪4 2‬‬

‫= ‪C Q1‬‬ ‫‪C Q3‬‬

‫نو د لوم‪７‬ۍ او دريمې‪ ،‬ربعې مقدارونه مساوي دي په‪:‬‬ ‫‪Q1 = 85‬‬

‫‪Q 3 = 120‬‬

‫پو＊تن‪３‬‬ ‫فرض ک‪７‬ئ په الس راغلي ډيتا په الندې ډول راک‪７‬ل شوي وي‪.‬‬ ‫‪85‬‬

‫‪140‬‬

‫‪160‬‬

‫‪120‬‬

‫‪80‬‬

‫‪90‬‬

‫‪100‬‬

‫لوم‪７‬ۍ او دريمه ربعې (څلورمې) پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫له ميانې تر مخه عددونه وليکئ‪.‬‬ ‫له ميانې وروسته عددونه په الس راوړئ‪.‬‬

‫‪368‬‬

‫صندوقﭽه ﻳ‪ ３‬ﮔراف‬

‫د يوې تختې کاغذ له څلورو کنجونو څخه څلور‬ ‫مربعګانې چې هره ضلع يې ‪ 5cm‬وي‪ ،‬جال‬ ‫ک‪７‬ئ‪ ،‬بيا د کاغذ څن‪６‬ې له پورته خواڅخه قات‬ ‫ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫کوم شکل چې په الس راځي‪ ،‬له څه شي سره‬ ‫ورته والى لري؟‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫د هغه ناروغانو شمېر چې د ‪ 17‬ورځو‪ ،‬په موده کې يوه روغتون ته راغلي دي‪ ،‬په الندې ډول ثبت‬ ‫شوي دي‪.‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪19‬‬ ‫ميانه يې پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫هغه عددونه وليکي چې د ميانې تر مخې نيمايي کې پراته دي‪.‬‬ ‫ددې عددونو لپاره ميانه پيدا کرئ‪.‬‬ ‫هغه عددونه وليکئ چې د ميانې په وروسته نيمايي کې پراته دي‪.‬‬ ‫ددې عددونو لپاره ميانه پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫دويمه ربع (څلورمه) يا ‪ Q2‬کوم عدد دى؟‬ ‫صندوقﭽه ﻳ‪ ３‬ﻳا جعبه ﻳﻲ ﮔراف‪ :‬دا يو داسې تصويري ﮔراف دى چې د ډيتا ( ‪ )Data‬تيت‬ ‫والى د نورو ﮔرافونو په نسبت ښه روښانه کوي‪ ،‬د ا ﮔراف د الندېنيو اندازو پر بنياد د ډيتا (‪)Data‬‬ ‫ﮔراف ښکاره کوي‪.‬‬ ‫الف) تر ټولو کوچن‪ ９‬ډيتا‬ ‫د) دريمه ربع‬

‫ب) لوم‪７‬ن‪ ９‬ربع (څلورمه)‬

‫ج) ميانه‬

‫هـ) تر ټولو لويه ډيتا‬

‫صندوقچه يې ﮔراف د ربعو او له زيات نه زيات او کم تر کمه ډيتا ( ‪ )Data‬ښودونکﯽ دى‪.‬‬

‫‪369‬‬

‫‪Q3‬‬

‫تر ټولو زيات مﻘدار‬

‫‪Q1‬‬

‫‪md= Q 2‬‬

‫تر ټولو ل‪ ８‬مقدار‬

‫کوالى شو د صندوقچه يې ﮔراف د رسمولو پ‪７‬اوونه په الندې ډول وليکو‪:‬‬ ‫الف) تر ټولو کوچن‪ ９‬ډيتا پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫ب) تر ټولو لويه ډيتا پيدا ک‪７‬ئ‬

‫ج) ميانه پيدا ک‪７‬ئ‬

‫د) لوم‪７‬ۍ ربع پيدا ک‪７‬ئ‬

‫هـ) دريمه ربع پيدا ک‪７‬ئ‬

‫و) ﮔراف رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫ﻣﺜال‪ :‬که په يو ښار کې د ‪ 15‬ورځو په موده کې د ترافيکي پيښو شمېر په الندې ډول راک‪７‬ل شوي‬ ‫وي‪ ،‬صندوقچه يې ﮔراف يې رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪16 34‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪31 19‬‬

‫‪23‬‬ ‫‪32‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪41‬‬

‫‪15‬‬ ‫‪43‬‬

‫‪12‬‬

‫حل‪ :‬پورتنى ډيتا په ترتيب ليکو‪.‬‬ ‫‪10 12 14 15 16 18 19 23 25 27 31 32 34 41 43‬‬ ‫تر ټولو لويه ډيتا= ‪43‬‬

‫نو‪ :‬تر ټولو کوچنى ډيتا = ‪10‬‬ ‫ميانه = ‪23‬‬

‫لوم‪７‬ى ربع = ‪15 = Q1‬‬

‫دريمه‪ ،‬ربع‬

‫مﻴانﻪ‬

‫دريمه ربعه = ‪32 = Q 3‬‬

‫لوم‪７‬ى ربع‬

‫ترټولو لويه ډيتا‬

‫‪43‬‬

‫‪32‬‬

‫‪23‬‬

‫‪15‬‬

‫تر ټولو کوچنى ډيتا‬

‫‪10‬‬

‫پورتنى ﮔراف صندوقچه يې ﮔراف دى چې ‪ 50%‬ډيتا دصندوق په داخل کې (د لوم‪７‬ى‪ ،‬دريمې او‬ ‫ربعې ترمنځ) پرتې دي‪ 25% ،‬يې ‪ 10‬او ‪ 15‬ترمنځ او ‪ 25%‬ډيتا د ‪ 32‬او ‪ 43‬ترمنځ پرته ده‪.‬‬

‫‪370‬‬

‫د نارمل منحنﻲ د مرکزي‬ ‫！اکوونکو پرتله کول‬ ‫أيا کوالی شو چې د نارمل منحني په مرسته‬ ‫مرکزي ټاکوونکﯽ پالس راوړو؟‬

‫? = ‪mod‬‬ ‫? = ‪med‬‬ ‫?= ‪x‬‬

‫الندې کوم منحني چې وينئ‪ ،‬په احصاﺋيه کې يوله مشﻬورو منحني ﮔانو څخه دی‪ ،‬کوالى شو چې‬ ‫زياتې طبيعي پيښې ددې منحني په مرسته وښايو‪ .‬نارمل منحني يو متناﻇره منحني دی چې د يوه زنﮓ‬ ‫په شان شکل لري‪.‬‬ ‫آيا د اوسط‪ ،‬ميانې او موډ د مرکزي ټاکوونکو ځايونه په دې منحني کې ښودالى شئ؟‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫که په يوه ټولگي کې ټول زده کوونکي ښې نمرې واخلي‪:‬‬ ‫آﻳا څه فکر کوئ چې ددوى د نمرو اوسط هم ښه دى؟‬ ‫آيا د اوسط لوړوالﯽ د ټولگي د تعليمي وضعي پر ښه والي داللت کوي؟‬ ‫ددې لپاره چې د ټولگي وضع ښه ارزيابي ک‪７‬ی‪ ،‬نيم ټولگﯽ بايد ښې نمرې واخلي‪.‬‬ ‫هغه کومه نمره ده چې د نيمايي ټولگي د زده کوونکو نمرې له هغې زياتې وي؟‬

‫‪371‬‬

‫که ميانه له اوسط څخه ډېره کوچن‪ ９‬وي‪ ،‬له دې څخه څه شﯽ په الس راځي؟‬ ‫که ميانه له اوسط څخه ډېره لويه وي‪ ،‬له دې څخه څه شﯽ په الس راځي؟‬ ‫د پورتني فعاليت او د منحني له متناﻇر والي څخه نتيجه په الس راځي چې د ميانې او اوسط ځاى‬ ‫په نارمل منحني کې يو دى او څرنگه چې نارمل منحني اعظمي نقطه لري‪ ،‬نو له همدې سببه د موډ‬ ‫ځاى هم له اوسط او ميانې سره مساوي دى يعنې‪:‬‬

‫‪X = mod = md‬‬

‫که نارمل منحني‪ ،‬متناﻇره نه وي‪ ،‬په دې حالت کې لرو چې‪:‬‬ ‫)‪(b‬‬

‫)‪(a‬‬

‫‪x < med < mod‬‬

‫‪mod < med < x‬‬

‫ که چېرې اوسط او ميانه سره مساوي وي‪ ،‬له اوسط او ميانې څخه تر مخه او له اوسط او ميانې څخه‬‫وروسته ډيتاګانې سره مساوي دي‪.‬‬ ‫که اوسط د ميانې کيڼې خوا ته پروت وي‪ ،‬د هغو ډيتا شمېر چې د اوسط ښې خواته پرتي دي‪ ،‬د هغو‬‫ډيتا ( ‪ )Data‬له شمېر څخه چې د اوسط کيڼې خواته پرتې دي‪ ،‬زيات دى‪ ،‬لکه‪ :‬د ‪ a‬به شکل کې‪.‬‬ ‫که اوسط د ميانې ښې خواته پروت وي‪ ،‬د هغه ډيتا ( ‪ )Data‬شمېر چې د اوسط ښي خواته پرتې‬‫دي‪ ،‬د هغه ډيتاوو ( ‪ )Data‬له شمېر څخه چې د اوسط کيڼې خوا ته پرتې دي‪ ،‬ل‪ ８‬دي‪.‬‬

‫‪372‬‬

‫لکه د ‪ b‬به شکل کې‬ ‫مثال‪ :‬په الندې ﮔراف کې اوسط او ميانه پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪f‬‬

‫‪x‬‬

‫ﺣﻞ‪:‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪7‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫= مﻴانﻪ‬

‫‪4+5 9‬‬ ‫‪= = 4.5‬‬ ‫= اوسﻂ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a 1+ a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7 + a 8‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪a+a+a+a+a+a+a+a‬‬ ‫‪36 a‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪= 4.5‬‬ ‫‪8a‬‬ ‫= ‪med‬‬

‫مثال‪ :‬په الندې ګراف کې د موډ تقريبي قيمت پرته له محاسبې په ګوته ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫ﺣﻞ‪:‬‬

‫‪373‬‬

‫پو＊تن‪３‬‬ ‫‪ -1‬دالندې صندوقچه يې ﮔراف په نظر کې نيولو سره الندې اړوندو پوښتنو ته ځوابونه ورک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪12‬‬

‫‪11‬‬

‫‪10‬‬

‫‪9‬‬

‫‪8‬‬

‫‪7‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫په پورتني ﮔراف کې ميانه څومره ده؟‬ ‫په دې ډيتا کې لوم‪７‬ن‪ ،９‬ربع د ‪ 8‬عدد دى‪ ،‬دا عدد‪ ،‬څه شﯽ ښيي؟‬ ‫دريمه ربع څو ده؟ دا عدد‪ ،‬د څه شي ښودونکﯽ ده؟‬ ‫دا چې ميانه د صندوق کيڼې خواته ده‪ ،‬د څه شي ښکارندويه دی؟‬ ‫داچې د کيڼې خوا د عددونو شمېر نظر ښې خوا ته زيات دى دا زياتوالى د څه ښکاره کوونکﯽ‬ ‫دى؟‬ ‫‪ -2‬د يوه هېواد د فوټبال ملي ټيم د لوبغاړو عمرونه په الندې ډول دي‪.‬‬ ‫‪26‬‬

‫‪25‬‬

‫‪22‬‬

‫‪23‬‬

‫‪18‬‬

‫‪31‬‬

‫‪19‬‬

‫‪26‬‬

‫‪24‬‬

‫‪25‬‬

‫‪26‬‬

‫‪31‬‬

‫‪33‬‬

‫‪25‬‬

‫‪25‬‬

‫‪29‬‬

‫‪23‬‬

‫‪27‬‬

‫‪25‬‬

‫د الندې نتيجو څخه کومه يوه سمه ده؟‬ ‫د هغو لوبغاړو شمېر چې عمرونه يې له اوسط څخه لوړ وي‪ ،‬ډېر دي‪.‬‬ ‫د هغو لوبغاړو شمېر چې عمرونه يې له ميانې څخه لوړ وي‪ ،‬ډېر دي‪.‬‬ ‫د هغو لوبغاړو شمېر چې عمرونه يې له اوسط څخه ښکته وي‪ ،‬ډېر دي‪.‬‬ ‫د هغو لوبغاړو شمېر چى عمرونه يې له اوسط څخه ډېر وي د هغه لوبغاړو له شمېر سره مساوي‬ ‫دى چې عمرونه يې له اوسط څخه ل‪ ８‬دي‪.‬‬

‫‪374‬‬

‫ربعﻲ انحراف‬ ‫که د يوې ټولنې د احصاﺋيوي تغيراتو لمن لويه‬ ‫وي‪ ،‬أيا فکر کوئ چې د ډيتا د تحول ساحه‬ ‫به له ټولنې څخه نامناسبه پايله وړاندې ک‪７‬ي؟‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫له يو موزيم څخه د ليدونکو شمېر په ‪ 12‬ورځو کې په الندې ډول دى‪.‬‬ ‫‪0 1 2 8 7 6 5 9 10 6 15 11‬‬

‫ددې ډيتا ( ‪ )Data‬د تحول ساحه پالس راوړئ‪.‬‬ ‫په عمومي ډول پورتن‪ ９‬ډيتاوې د کومو دوو عددونو ترمنځ تيت شوي دي؟‬ ‫يو په څلورمه برخه ډيتا له پورته اوښکته خوا څخه حذف ک‪７‬ئ او بيا د پاتې ډيتا (‪ )Data‬د‬ ‫تحول ساحه پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫دا د تحول دوه ساحې چې په الس راغلي دي‪ ،‬يو له بله سره يې پرتله ک‪７‬ئ‪ ،‬کومه يو ه يې ډېر‬ ‫تيت والي ښيي؟‬ ‫په ځينو وختونو کې د تحول ساحه د دوو ډېرو کوچنيو او يا ډېرو لويو مقدارونو له سببه‪ ،‬نامناسبه‬ ‫تعبيرونه له ټولنې څخه موږ ته په الس راکوي‪.‬‬ ‫نو له دې امله د نورو ټاکونکو څخه چې د ربعو د انحراف په نامه يادې‪８‬ي‪ ،‬ﮔټه اخيستل کې‪８‬ي‪ ،‬تر څو‬ ‫د ټولنې د تحول ساحه په ښه ډول وټاکي‪.‬‬ ‫که ‪ Q1‬او ‪Q3‬‬

‫په ترتيب سره د ډيتا د سټ‪ ،‬لوم‪７‬ۍ ربع او دريمه ربع وي‪ ،‬نو د ربعو انحراف په ) ‪(Q‬‬

‫سره ښودل کې‪８‬ي او په الندې ډول تعريف شوي دي‪.‬‬

‫‪Q1‬‬

‫‪Q = Q3‬‬

‫ربعي انحراف يو له هغو ټاکونکو څخه دی چې د ډيتا ( ‪ )Data‬تيت والې ښکاره کوي‪.‬‬ ‫داسې چې د لوم‪７‬ى او دريمې ربعې له تعريف څخه پوهې‪８‬و چې ‪ 50%‬ټولنه د ‪ Q3 Q1‬په‬ ‫فاصله کې پرته ده‪ .‬په هره اندازه چې دا فاصله ل‪８‬ه وي‪ ،‬ډيتا سره نﮋدې دي‪ ،‬يا په بل عبارت د هغوى‬

‫‪375‬‬

‫تيت والې ل‪ ８‬دى‪.‬‬ ‫‪Q3‬‬

‫‪Q1‬‬

‫= ‪ Q‬په شکل تعريفوي او دې ته د ربعو‬

‫ځېنې وختونه د ربعو (څلورمو) انحراف د‬ ‫نيمايې لمن وايي‪.‬‬ ‫ﻣﺜال‪ :‬دالندې عددونو د ربعو (څلورمو) انحراف پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪36 35 29 30 31 25 24 23 22 22 20‬‬

‫ﺣﻞ‪ :‬لوم‪７‬ی عددونه په صعودي ډول ترتيب کوو او بيا ورته يوه شمېره ټاکو‪:‬‬ ‫‪31 35 36‬‬ ‫‪9 10 11‬‬

‫‪30‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪29‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪25‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪24‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪23‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪22‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪22‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪P n 1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3 11 1 33 1 33 + 2 35‬‬ ‫=‬ ‫= ‪+ = +‬‬ ‫=‬ ‫‪= 8.75‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2 4 2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪20‬‬ ‫‪1‬‬

‫= ‪CQn‬‬

‫‪Q3 = 30.75‬‬

‫نوله دې ځايه‪:‬‬ ‫همدارنګه‪:‬‬

‫‪C Q3‬‬

‫‪1 11 1 11 1 11 + 2 13‬‬ ‫= ‪+ = +‬‬ ‫=‬ ‫‪= 3.25‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2 4 2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪Q1 = 22.25‬‬ ‫= ‪CQ1‬‬

‫نوله دې ځايه‪:‬‬ ‫د لوم‪７‬نى او دريمې‪ ،‬ربعې قيمتونه‬ ‫په ترتيب سره ‪ 22.25‬او ‪ 30.75‬دي نو‪:‬‬

‫‪Q = Q 3 Q1 = 30.75 22.25 = 8.5‬‬

‫پو＊تن‪３‬‬ ‫‪ - 1‬د الندې ډيتا د تحول ساحه‪ ،‬د ربعو (څلورمو) انحراف او موډ پيدا ک‪７‬ئ او وواياست چې د ډيتا‬ ‫ﮔڼوالى په کومه ساحه کې ډېر دى‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪16 17‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪ - 2‬د الندې ډيتا د تحول ساحه او د څلورمو انحراف پيدا او د لوم‪７‬ی پوښتنې د تحول د ساحې او‬ ‫د څلورومو د انحراف سره يې پرتله يې ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪27 24‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪29‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪22‬‬

‫‪376‬‬

‫وارﻳاﻧﺲ (‪)variance‬‬ ‫که ستاسو المبو ښه زده نه وي او وغواړى چې په‬ ‫داسې ډن‪ ６‬کې والمبئ چې ژور والى يې په ټولو‬ ‫برخو کې يو شان نه وي‪ .‬ددې لپاره چې په ډاډه‬ ‫زړه والمبئ‪ ،‬کوم معلومات بايد ولرئ؟‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫که د لمبا په يو ډن‪ ６‬کې د يوځاى ژوروالى ‪ 1.5‬متره او دبل ځاى ژوروالى يې ‪ 2.5‬متره وي‪.‬‬ ‫ددې ډن‪ ６‬د دواړوو ځايونو د ژوروالي اوسط پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫ددې دوو ډيتاوو د انحرافونو مربع له حسابي اوسط څخه پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫ددې دوو ډيتاوو د انحرافو د مربعگانو مجموعه پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د پورتنيو ډيتاو (‪ )Data‬مجموعه د مجموعې د غ‪７‬و پر شمېر و وېشئ‪.‬‬ ‫د ‪ x1 , x2 , ... , xn‬ډيتا د واريانس د پيدا کولو لپاره الندې پ‪７‬اوونه په نظر کې ونيسئ‪.‬‬ ‫ د ډيتا اوسط پيدا ک‪７‬ئ يعنې‪:‬‬‫‪n‬‬

‫‪xi‬‬

‫‪i =1‬‬

‫‪n‬‬

‫=‪x‬‬

‫ د انحرافونو د مربعگانو مجموعه يعنې‪:‬‬‫‪x)2‬‬

‫‪... + ( x n‬‬

‫‪x ) 2 = ( x1 x ) 2 + ( x 2 x ) 2 +‬‬

‫‪(x i‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪i =1‬‬

‫په الس راوړئ‪.‬‬ ‫پورتن‪ ９‬مجموعه د مجموعې د غ‪７‬و پر شمېر ) ‪ (n‬و وېشئ او په ‪ s‬يې وښيي‪:‬‬‫‪2‬‬

‫‪x) 2‬‬

‫‪377‬‬

‫‪x ) 2 + . . . + ( xn‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪( x1 x) 2 + ( x2‬‬

‫‪x) 2‬‬ ‫=‬

‫‪(xi‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪i =1‬‬

‫= ‪S2‬‬

‫چې دلته ‪ S 2‬د واريانس په نامه يادې‪８‬ي‪ .‬واريانس برابر دی د انحرافونو د مربع اوسط له اوسط څخه‪.‬‬ ‫پاملرنه‪ :‬ځينې وختونه واريانس د پيدا کولو لپاره له دې الندې فورمول څخه هم ﮔټه اخلي‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x2‬‬

‫‪n‬‬

‫‪xi‬‬

‫= ‪S2‬‬

‫‪i =1‬‬

‫‪n‬‬

‫ثبوت‪ :‬پورتنې فورمول کوالى شو‪ ،‬په الندې ډول الس ته راوړو‪.‬‬ ‫‪n‬‬

‫پوهې‪８‬و چې ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪n‬‬

‫‪x‬‬

‫‪i =1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪+‬‬

‫‪x i = nx‬‬

‫‪2 xix‬‬

‫‪x2‬‬

‫‪n‬‬

‫‪2‬‬

‫‪i =1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪xi‬‬

‫‪i =1‬‬

‫‪n‬‬

‫) ‪2 xix + x‬‬

‫=‬

‫‪n‬‬

‫‪2‬‬

‫‪xi‬‬

‫‪2‬‬

‫‪nxi‬‬

‫‪x2‬‬

‫‪n‬‬

‫‪2‬‬

‫‪i =n1‬‬

‫= ‪2x x + x 2‬‬

‫‪i =1‬‬

‫= ‪2x x + x 2‬‬

‫‪n‬‬

‫‪2‬‬

‫‪n‬‬

‫‪(x i‬‬

‫‪2‬‬

‫‪i =1‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪xi‬‬

‫‪2‬‬

‫‪nxi‬‬

‫‪in‬‬

‫‪i =1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫‪xi‬‬

‫‪i =1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪(x i‬‬

‫)‪x‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪i =1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪nx‬‬ ‫=‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪nx‬‬ ‫‪2 x i =1 +‬‬ ‫=‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪+‬‬

‫= ‪S‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪i =1n‬‬

‫‪n xi‬‬

‫=‪x‬‬

‫‪n‬‬

‫=‬

‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪xi‬‬

‫‪i =1‬‬

‫‪2x‬‬

‫‪2‬‬

‫‪xi‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪i =1n‬‬

‫‪n xi‬‬

‫‪i =1‬‬

‫‪n‬‬

‫=‬ ‫=‬

‫ﻣﺜال‪ :‬د الندې ډيتا ( ‪ )Data‬وريانس د دواړو فورمولونو په مرسته پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪7‬‬

‫‪5‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪( xi x ) 2‬‬

‫الﻒ‪ :‬د‬

‫‪7‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪i =1‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪9‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪5‬‬

‫) ‪( xi x‬‬ ‫= ‪ S2‬له فورمول څخه څرنګه چې ‪i = 1,2,3,4,5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪i =1‬‬ ‫= ‪S‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪1+ 5 + 6 + 7 + 9‬‬ ‫‪= 5. 6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪(1 5.6) 2 + (5 5.6) 2 + (6 5.6) 2 + (7 5.6) 2 + (9 5.6) 2‬‬ ‫= ‪S2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪( 4.6) + ( 0.6) + (0.4) + (1.4) 2 + (3.4) 2‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪21.16 + 0.36 + 0.16 + 1.96 + 11.56 35.2‬‬ ‫=‬ ‫‪= 7.04‬‬ ‫= ‪378‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‪x‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪( 4.6) + ( 0.6) + (0.4) + (1.4) 2 + (3.4) 2‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪21.16 + 0.36 + 0.16 + 1.96 + 11.56 35.2‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪= 7.04‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪55‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪xi‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ب‪ :‬له دې فورمول ‪x‬‬ ‫‪ S 2 = i =1‬څخه هم کولﯽ شو چې همدا قيمت په الس راوړو‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x + x2 + x3 + x4 + x5‬‬ ‫‪192‬‬ ‫‪S2 = 1‬‬ ‫= ‪x‬‬ ‫‪(5.6) 2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪= 38.4 31.36 = 7.04‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫ﻳادوﻧﻪ‪ :‬که ډيټا په ګروپونو (کالسوونو) کې ترتيب شوي وي او د کالسونو مرکزونه ‪x1 , x2 , ..., xn‬‬

‫او ‪ f1 , f 2, ..., f n‬فريکونسي هم راک‪７‬ل شوي وي‪ .‬په دې حالت کې د واريانس د پيدا کولو لپاره له‬ ‫الندې فورمول څخه کار واخلو‪:‬‬

‫‪x) 2‬‬

‫‪f i ( xi‬‬ ‫‪N‬‬

‫داسې چې ‪f i‬‬

‫‪n‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪i =1‬‬

‫‪x) 2‬‬

‫‪f i ( xi‬‬

‫=‬ ‫‪fi‬‬

‫‪n‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪i =1‬‬

‫= ‪S2‬‬

‫‪i =1‬‬

‫= ‪ N‬دی‪.‬‬

‫‪i =1‬‬

‫د واريانس د واحد ټاکل مشکل دي‪ .‬په عمومي ډول په عمل کې مطلقه قيمت يې نيول کې‪８‬ي‪ ،‬ځېنې‬ ‫وخت د متحول د واحد مربع د واريانس د واحد په حيث ﮔڼل کې‪８‬ي‪.‬‬

‫‪379‬‬

‫پو＊تن‪３‬‬ ‫د هغو ساعتونو شمېر چې زده کوونکو په يوه اون‪ ９‬کې د لوبو کولو لپاره ټاکلي دي‪ ،‬په الندې ډول‬ ‫راک‪７‬ل شوي دي‪.‬‬ ‫‪3 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ددې ډيتا ( ‪ )Data‬وريانس پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪380‬‬

‫معﻴاري انحراف‬ ‫که ‪ S‬دوريانس جذر ‪ x‬دډيتا اوسط وي‬ ‫مخامﺦ شکل کوم ډول ټاکونکﯽ توضيﺢ کوي؟‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫کﻪ ‪ S2‬د ‪ x1 , x2 , ..., xn‬ډيټا واريانس وي‪ .‬أيا څه فکر کوئ چې د ‪ S2‬او ‪ S‬واحدونه سره څه‬ ‫توپير لري؟ فرض ک‪７‬ئ چې په يوه اون‪ ９‬کې يوې کارخانې ته د توکو د فرمايشونو د تسليم‪ ９‬وخت‬ ‫له ځېنو ټاکونکو سره‪ ،‬لکه‪ :‬انحراف‪ ،‬د انحراف مطلقه قيمت د انحرافو مربع په الندې جدول کې‬ ‫راک‪７‬ل شوى وي‪ ،‬څرنګه چې‪:‬‬ ‫‪8 + 9 + 6 + 4 + 8 35‬‬ ‫=‬ ‫‪=7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬

‫د انحرافونو مربع دانحراف مطلقه قيمت‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪7‬‬

‫‪8‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪7‬‬

‫‪9‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪7‬‬

‫‪6‬‬

‫‪9‬‬

‫‪3‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪7‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪7‬‬

‫‪8‬‬

‫‪( xi‬‬

‫‪x‬‬

‫‪xi‬‬

‫‪x‬‬

‫=‪x‬‬

‫ورک‪７‬ې وخت په ورځ‬ ‫‪xi‬‬

‫‪xi‬‬

‫‪i =1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪x‬‬

‫‪x) 2‬‬

‫‪381‬‬

‫انحراف‬

‫=‬

‫‪xi‬‬

‫‪5‬‬

‫د ډيتا (جامو) د ورک‪７‬ي د وخت اوسط پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د انحرافو د مطلقه قيمت اوسط يا په لن‪ ６‬ډول د انحراف اوسط )‪ (AD‬پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د توکو د ورک‪７‬ې وخت واريانس پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د واريانس مربع جذر محاسبه ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د واريانس د مربع جذر واحد د واريانس له واحد سره پرتله ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د واريانس له فورمول څخه مو زده ک‪７‬ل چې په توان وړلو سره نه يوازې داچې د واريانس اندازه کولو‬ ‫مقياس له شﮏ سره مخامﺦ کوي‪ ،‬بلکې انحرافونه هم لوی ښيي‪.‬‬ ‫ددې لپاره چې دا ستونزې له مينځه يوسو‪ ،‬په کار ده چې د وريانس مربع جذر په الس راوړو‪.‬‬ ‫د واريانس جذر د ډيتا ( ‪ )Data‬د تيت والي‪ ،‬يو بل ټاکوونکى د معياري انحراف يا مطلق تيت والي‬ ‫په نوم را پيﮋني‪.‬‬ ‫معيارى انحراف چې د ‪ S‬په سمبول ښودل کې‪８‬ي‪ ،‬د واريانس له مربع جذر سره مساوي دى‪.‬‬ ‫په دې معنا‪:‬‬ ‫‪)2‬‬

‫‪xi‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪i =1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪2‬‬

‫‪n‬‬

‫‪xi‬‬

‫(‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫= ‪x‬‬

‫‪i =1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪xi‬‬

‫‪n‬‬

‫=‬

‫‪i =1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪(x i x)2‬‬

‫‪n‬‬

‫=‪S‬‬

‫‪i =1‬‬

‫‪n‬‬

‫د معيارى انحراف يا د مطلق تيت والې واحد هم هغه د متحول واحد دى‪.‬‬ ‫پورتن‪ ９‬رابطه په الندې ډول ثبوت کې‪８‬ي‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫) ‪2 x xi + x 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪xi ) 2‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫‪( xi‬‬

‫‪i =1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2nx 2 + nx‬‬

‫= ‪x )2‬‬

‫‪n‬‬

‫‪xi‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪i =1‬‬

‫‪( xi‬‬

‫‪i =1‬‬ ‫‪n‬‬

‫= ‪x2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪i =1‬‬

‫=‬

‫‪xi +‬‬

‫‪( xi‬‬

‫‪i =1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫‪2x‬‬

‫‪2‬‬

‫‪i =1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪xi‬‬

‫‪i =1‬‬

‫= ‪S2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬

‫=‬

‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫(‬ ‫‪i =1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫‪x )2‬‬

‫‪n‬‬

‫‪2‬‬

‫‪n‬‬

‫‪xi‬‬

‫‪i =1‬‬

‫‪xi‬‬

‫‪1‬‬ ‫= ‪n ( i =1 ) 2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪)2‬‬

‫‪xi‬‬

‫‪i =1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪2‬‬

‫(‬

‫‪2‬‬

‫‪n‬‬

‫‪xi‬‬

‫‪i =1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬

‫=‬

‫‪2‬‬

‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫‪xi‬‬

‫‪i =1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪nx‬‬

‫=‪S‬‬

‫‪2‬‬

‫‪xi‬‬ ‫)‬

‫‪i =1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫(‬

‫‪n‬‬

‫‪xi‬‬

‫‪i =1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬

‫=‬

‫‪n‬‬

‫‪xi‬‬

‫‪i =1‬‬

‫‪n‬‬

‫= ‪S‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪382‬‬

‫ﻣﺜال‪ :‬د ‪ 5‬ناروغانو د بدن د حرارت درجې په الندې ډول راک‪７‬ل شوي دي‪.‬‬ ‫‪41‬‬

‫معياري انحراف يې پيدا ک‪７‬ئ‬ ‫حل‪:‬‬

‫‪40‬‬

‫‪39‬‬

‫‪39‬‬

‫‪xi‬‬

‫‪38‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪38 + 39 + 39 + 40 + 41 197‬‬ ‫=‬ ‫‪= 39.4‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪(38 39.4) 2 + (39 39.4) 2 + (39 39.4) 2 + (40 39.4) 2 + (41 39.4) 2‬‬ ‫= ‪S2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪( 1.4) + ( 0.4) + ( 0.4) + (0.6) 2 + (1.6) 2‬‬ ‫= ‪S2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1.96 + 0.16 + 0.16 + 0.36 + 2.56 5.2‬‬ ‫= ‪S2‬‬ ‫=‬ ‫‪= 1.04‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪S = 1.04 = 1.01980‬‬ ‫=‬

‫‪i =1‬‬

‫=‪x‬‬

‫پاﻣﻠﺮﻧﻪ‪ :‬د فريکونسيو له جدول څخه‪ ،‬معياري انحراف په تقريبي ډول په الندې ډول په الس راځي‪:‬‬ ‫‪f i x i2‬‬

‫‪x2‬‬

‫‪fi‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪i =1‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪(x)2‬‬

‫‪fi (x i‬‬

‫=‬ ‫‪fi‬‬

‫‪i =1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪i =1‬‬

‫=‪S‬‬

‫‪i =1‬‬

‫چې ‪ x‬د ډيتا‪ ،‬اوسﻂ‪ xi ،‬د کﻼس مرکﺰ او ‪ f i‬د کالس فريکونسي ښيي‪.‬‬

‫پو＊تن‪３‬‬ ‫د څلورو ټلويزوني سټيشنونو د ښوونې او روزنې د پروﮔرامونو د خپرولو د ساعتونو شمېر په الندې‬ ‫ډول راک‪７‬ل شوی دی‪ ،‬د ډيتا معياري انحراف پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪383‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫＇پرکﻰ لن‪６‬ﻳز‬ ‫د فرﻳکونﺴﻲ ＇و ضلعﻲ ﮔراف‪:‬د هغو مرتبو جوړو نقطې چې عرض يې د کالس مرکز او‬ ‫اوږدوالى يې د هماغه کالس له فريکونسي سره مساوي دى‪ ،‬يوه له بلې سره ونښلوو‪ ،‬د فريکونسي‬ ‫څو ضلعي ﮔراف په الس راځي‪ ،‬د فريکونسي په څو ضلعي ﮔراف کې دوې نورې اختياري نقطې د‬ ‫صفر په فريکونسي د کالسونو (ﮔروپونو) په لوم‪７‬ۍ او اخيرنى برخه کې ډېروو‪ ،‬تر څو د فريکونسي‬ ‫څو ضلعي ﮔراف له محور سره ونښلوي‪.‬‬ ‫د ساق‪ ３‬او پا‪ ３１‬ﮔراف‪ :‬د ساقې او پا‪１‬ې د ﮔراف د رسمولو لپاره له عددونو څخه ﮔټه اخيستل‬ ‫کې‪８‬ي‪ .‬احصاﺋيوی ډيتا د عددونو په شکل راوړو‪ ،‬بيا له دې عددونو څخه د ساقې او پا‪１‬ې ﮔراف‬ ‫رسموو‪ .‬دا ډول ﮔراف د هغو ډيتا ( ‪ )Data‬لپاره چې د رقمونو د شمېر له مخې تر ټولو لوى او‬ ‫کوچنى رقم تر منځ توپير ل‪ ８‬وي‪ ،‬مناسب دى‪.‬‬ ‫ربع‪ :３‬هغه عدد چې مرتبه جامعه په دوو مساوی برخو ووېشي‪ ،‬د ميانې په نوم يادې‪８‬ي‪ .‬اوس هغه‬ ‫عددونه په نظر کې ونيسئ چې مرتبه جامعه په څلورو مساوي برخو وېشي‪ ،‬دا عددونه په ‪Q 2 , Q1‬‬ ‫او ‪ Q 3‬سره ښودل کې‪８‬ي‪ ،‬دې عددونو ته په ترتيب سره لوم‪７‬ۍ ربع‪ ،‬دويمه ربع او د دريمه ربع وايي‪.‬‬ ‫ښکاره ده چې ‪ Q2‬ميانه ده‪.‬‬ ‫صندوقﭽه ﻳ‪ ３‬ﻳا جعبه ﻳ‪ ３‬ﮔراف‪ :‬له دې ګراف څخه د هغې ډيتا ( ‪ )Data‬لپاره چې سره‬ ‫نﮋدې دي يا هغه ډيتاوې چې د اوسط پر شاوخوا راټولې شوي دي او يا هم هغه ډيتا چې ترټولو لويو‬ ‫يا ترټولو کوچنيو ډيتاګانو پرشاوخوا راټولې شوي وي‪ ،‬ﮔټه اخيستل کې‪８‬ي‪ ،‬داﮔراف يو تصويرې ﮔراف‬ ‫دى چې ترټولو لو ې ډيتا‪ ،‬ترټولو کوچنى ډيتا‪ ،‬ميانې‪ ،‬لوم‪７‬ى ربعې او دريمې ربعې په اساس ښکاره‬ ‫کوي‪.‬‬ ‫د نارمل منحنﻲ په بنﻴاد د مرکزي ！اکونکو پرتله کول‪ :‬څه وخت چې وغواړو مرکزي‬ ‫ټاکونکي (اوسط‪ ،‬ميانه‪ ،‬او موډ) له نارمل منحنې څخه په ﮔټه اخيستنې سره پرتله ک‪７‬و‪ :‬په دې حالت‬ ‫کې که نارمل منحني متناﻇر وي‪ ،‬نو اوسط‪ ،‬ميانه او موډ سره مساوي دي‪ .‬که نارمل منحني متناﻇر نه‬ ‫وي‪ ،‬نو مرکزي ټاکونکي نظرخپل موقعيت ته د منحني ښې خوا يا کيڼې خواته قيمتونه اخلي‪.‬‬ ‫ربعﻲ انحراف‪ :‬که ‪ Q1‬او ‪ Q 3‬په ترتيب سره د ډيتا ( ‪)Data‬لوم‪７‬ى ربع او دريمه ربع وي‪،‬‬ ‫کوالى شوو چې د څلورمو (ربعې) انحراف ) ‪ (Q‬په الندې ډول وليکو‬ ‫‪Q = Q 3 Q1‬‬

‫له پورتني تعريف څخه ښکارى چې ‪ 50%‬ټولنه د ‪ Q3 Q1‬په فاصله کې پرته ده‪ .‬په هره اندازه‬

‫‪384‬‬

‫چې دا فاصله ل‪８‬ه وي‪ ،‬ډيتا ﮔڼې دي او د ډيتا تيت والى ل‪ ８‬دى‪.‬‬ ‫وارﻳانس‪ :‬د تيت والى ټاکونکي هغه مقدارونه دي چې د ډيتا ( ‪ )Data‬د تيت والى حالت نسبت‬ ‫يوبل ته او نسبت يې اوسط ته ټاکي‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫واريانس د ټيټ والي له ټاکونکو څخه يو مﻬم ټاکونکى دى چې په ‪ S‬سره ښودل کې‪８‬ي او له الندې‬ ‫رابطې څخه په الس راځي‪:‬‬ ‫‪x)2‬‬

‫‪(x i‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪i =1‬‬

‫‪n‬‬

‫=‬

‫‪2‬‬

‫)‪x‬‬

‫‪( x1 x ) + ( x 2‬‬

‫‪x ) + ... + ( x n‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫= ‪S2‬‬

‫د واريانس پيدا کول د فريکونسي په جدول کې له دې فورمول څخه په الس راځي‪:‬‬ ‫‪x)2‬‬

‫‪fi (x i‬‬

‫( ‪ xi‬دکالس مرکز دى)‬ ‫‪fi‬‬

‫‪n‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪i =1‬‬

‫= ‪S2‬‬

‫‪i =1‬‬

‫معﻴاري انحراف‪ :‬د واريانس مربع جذر په ‪ S‬ښيي چې معياري انحراف ورته وايي‪:‬‬ ‫‪x)2‬‬

‫‪(x i‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪i =1‬‬

‫‪n‬‬

‫=‪S‬‬

‫د معياري انحراف پيدا کول د فريکونسي له جدول څخه د الندې فورمول څخه په الس راځي‪:‬‬

‫‪x)2‬‬

‫( ‪ xi‬دکالس مرکز دى)‬

‫‪fi (x i‬‬ ‫‪fi‬‬

‫‪385‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪i =1‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪i =1‬‬

‫=‪S‬‬

‫د ＇پرکﻲ پو＊تن‪３‬‬ ‫‪ - 1‬الندې ﮔراف د باد سرعت په ‪ 19‬ورځو کې ښکاره کوي‪ ،‬په ﮔراف کې د راک‪７‬ل شوو اطالعاتو‬ ‫پر بنسټ د باد سرعت لپاره د فريکونسي څو ضلعي ﮔراف رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫که چېرې يوې کشت‪ ９‬ته د حرکت لپاره ل‪ ８‬تر ل‪８‬ه په يوه ساعت کې ‪ 5‬کيلو متره د باد سرعت ته اړتيا‬ ‫وي‪ ،‬نو څو ورځې د کشت‪ ９‬د حرکت کولو لپاره مناسبې دي؟‬ ‫په دې پوښتنه کې ولې د فريکونسي څو ضلعي ﮔراف‪ ،‬نظر مستطيلي ﮔراف ته مناسب دى؟‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫وخت (ورځ)‬

‫کﻴلﻮمترپر ساعت‬

‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ - 2‬د فريکونسي څو ضلعي ﮔراف هغه ګراف دی چې ‪ ............‬په افقي محور او ‪ .........‬د‬ ‫عمودي محور پر مﺦ ښودل کې‪８‬ي‪.‬‬ ‫الف) د کالسونو مرکز‪ ،‬نسبي فريکونسي‬

‫ب) نسبي فريکونسي‪ ،‬د کالسونو مرکز‬

‫ج) د کالسونو حدود‪ ،‬مطلقه فريکونسي‬

‫د) د کالس مرکز‪ ،‬مطلقه فريکونسي‬

‫‪ - 3‬دساقې او پا‪１‬ې ﮔراف راک‪７‬ل شوی دى‪:‬‬ ‫ له دې ګراف څخه په الس راغلي ډيتا وليکئ‪.‬‬‫پا‪１‬ې‬

‫ساقه‬

‫‪0 3 3 4‬‬ ‫‪0 2 4 8 8‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪ - 4‬کوم ﮔراف ته د ‪ 90o‬په اندازه (د ساعت د عقربې د حرکت په مخالف لوري ته) دوران ورک‪７‬و‪،‬‬ ‫تر څو ميله يي ﮔراف الس ته راشي‪.‬‬

‫‪386‬‬

‫ب) مستطيلي ګراف‬

‫الف) د ساقې او پا‪１‬ې ګراف‬

‫د) دايروى ګراف‬

‫ج) د فريکونسي د څو ضلعي ګراف‬

‫‪ :5‬الندې ﮔراف د الف‪،‬ب او ج د دريو ټولگيو د رياضي ازموينې نمرې ښکاره کوي‪ ،‬ﮔراف ته‬ ‫په پاملرنې سره الندې پوښتنو ته ځواب ورک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪40‬‬

‫‪39‬‬

‫‪38‬‬

‫‪37‬‬

‫‪35‬‬

‫‪36‬‬

‫‪34‬‬

‫‪33‬‬

‫‪32‬‬

‫‪31‬‬

‫‪30‬‬

‫د الف ټولگى‬ ‫د ب ټولگى‬ ‫د ج ټولگى‬ ‫د کوم ټولگي د تحول ساحه زياته ده؟‬ ‫د کوم ټولگي د نمرو ميانه تر ټولو زياته ده؟ او د کوم ټولگي د نمرو ميانه تر ټولو ل‪８‬ه ده؟‬ ‫د کوم ټولگي د نمرو تيت والى تر ټولو ډېر دى‪.‬‬ ‫ددې دريو ټولگيو د ازموينې نمری له کمزوري څخه د قوي په لور ترتيب ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ : 6‬په ﮔراف کې د ‪ a‬مقدار عبارت دی له‪:‬‬ ‫الف) ميانه‬

‫‪387‬‬

‫ب) اوسط‬

‫ج) دريمه ربع‬

‫د) موډ‬

‫‪ :7‬د غذايې موادو د توليد دوه فابريکې د ‪ A‬او ‪ B‬په نامه‪ ،‬د ‪ 48‬ﮔرامو په قطيو کې بسکيت‬ ‫خرڅوي‪.‬‬ ‫په تصادفي ډول د دواړو فابريکو د بسکيت له قطيو څخه ‪ 5‬قطي ټاکل شوي دي او په پوره غور‬ ‫سره يې وزنونه معلوم شوي دي چې په الندې ډول دي‪.‬‬ ‫‪47.96‬‬

‫‪47.84‬‬

‫‪47.96‬‬

‫‪48.32‬‬

‫‪48.08‬‬

‫‪A:‬‬

‫‪49‬‬

‫‪49.08‬‬

‫‪48.88‬‬

‫‪48.84‬‬

‫‪49.16‬‬

‫‪B:‬‬

‫په قطيو کې کومه فابريکه زيات بسکيت خرڅوي؟ د پوښتنې د حل لپاره له کوم ټاکونکي څخه‬ ‫استفاده کوي؟‬ ‫د بسکيت په وېشلو کې کومې فابريکې يو شان عمل ک‪７‬ى دى؟‬ ‫‪ :8‬که د ډيتا د تحول ساحه صفر وي‪ .‬د ډيتا په برخه کې څه نتيجه اخلئ؟‬ ‫‪ : 9‬د هغه ساعتونو شمېر چې زده کوونکو په يوه اون‪ ９‬کې د لوبو لپاره ټاکلې دي‪ ،‬په الندې ډول‬ ‫راک‪７‬ل شوي دي‪.‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪7‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫ددې ډيتا (‪ )Data‬ورايانس پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ :10‬په الندې جدول کې واريانس پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪25 35 45‬‬

‫‪xi‬‬

‫‪10 25 15‬‬

‫‪fi‬‬

‫‪388‬‬

‫نﻬم ＇پرکی‬ ‫د رﻳاضﻲ منﻄق‬

‫د شﻬودي درک استدﻻل‪:‬‬ ‫پخوا تر ډېــر و پي‪７‬يو پورې خلکو فکر کاوه چې‬ ‫ځمکه هواره ده او ستوري د ځمکې پر شاوخوا‬ ‫څرخي‪８‬ي‪.‬‬ ‫آيا پوهې‪８‬ي چې ځمکه کروي ده؟‬ ‫آيا لمر دځمکې پر شــاوخوا او که ځمکه د لمر‬ ‫پرشاوخوا څرخي‪８‬ي؟‬

‫تعرﻳﻒ‪ :‬هغه طبيعي يا حسي پوهه چې دهغې په مرسته ديوې موضوع سموالى يا حقيقت او يا يو‬ ‫مفﻬوم پر ته له استدالله قبلوو‪ ،‬له شﻬودى درک څخه عبارت دی چې کيدلى شي‪ ،‬دوخت په مختلفو‬ ‫مرحلو کې يوله بله سره توپير ولري‪.‬‬ ‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫د الندې شکل په نظر کﯽ نيولو سره د مستقيم خط پر مﺦ د ‪ A‬او ‪ B‬دوې نقطې په پام کې‬ ‫ونيسئ‪.‬‬ ‫يو س‪７‬ی غواړي چې ددې مستقيم خط پر مﺦ د ‪ A‬له نقطې څخه د ‪ B‬نقطې ته الړشي چې د ‪AB‬‬

‫د قطعه خط منځنﯽ نقطه ‪ A1‬کې توقف وک‪７‬ي او بل وار چې د ‪ A1‬نقطې ته رسيدلي دی‪ ،‬ددې‬ ‫لپاره چې د ‪ B‬نقطې ته ورسې‪８‬ي‪ ،‬بياد ‪ A 2‬په نقطه (د ‪ A1 B‬د قطعه خط دتنصيف نقطه) کې توقف‬ ‫وک‪７‬ي‪ ،‬که په همدې ډول دوام ورک‪７‬ي‪ ،‬نو الندې پوښتنو ته ځوابونه ورک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫ آيا په پورته ډول چې د خط پر مﺦ د هرو دوو نقطو په منځنى نقطه کې توقف وک‪７‬ي‪ ،‬پای لرى؟‬‫ که په همدې ډول تر پايه دوام ورک‪７‬ي‪ ،‬دا س‪７‬ی به د ‪ B‬نقطې ته ورسې‪８‬ي؟‬‫ که دا س‪７‬ی توقف و نه ک‪７‬ي او يا له الرې بيرته راونه ګرځي‪ ،‬نو نه يوازې چې د ‪ B‬نقطې ته به‬‫ورسې‪８‬ي‪ ،‬بلکې ترې تېر به هم شي‪ .‬په دې اساس ددې مسلﺌې د واقعيت او ستاسو د شﻬودي درک‬ ‫ترمنځ څه توپير شته؟‬

‫‪391‬‬

‫له پورتني فعاليت څخه الندې نتيجه الس ته راځي‪:‬‬ ‫نتﻴجه‪ :‬د شﻬودي درک نتيجه هر وخت صحيﺢ نه وي‪ ،‬خو کېدای شي چې د قضيو دحل لپاره يو‬ ‫ښه بنسټ وي‪.‬‬ ‫له هغه مثال څخه چې په پورتني فعاليت کې مو ترې استفاده وک‪７‬ه او ياداسې نور مثالونه دا ددې په معنا‬ ‫نه دي چې دشﻬودي درک استدالل ﮔمراه کوونکى دى‪ ،‬بلکې بر عکس په زياتو حالتونوکې دشﻬودي‬ ‫درک استدالل د مسلﺆ دحل‪ ،‬د انگيزې د پيداکولو او د نورو سوالونو د طرح کولو سبب ﮔرځي‪.‬‬ ‫لوم‪７‬ى مثال‪ :‬د شﻬودي درک په استدالل سره په اسان‪ ９‬سره حکم کوالی شو چې دوه موازي‬ ‫خطونه يو بل نه قطع کوي‪.‬‬ ‫څرنگه چې ددې مسلې په قبلولو کې استدالل په کار وړل شوى نه دى‪ ،‬په واقعيت يو احساس دى‬ ‫چې پر اساس يې داحکم منل کې‪８‬ي‪ ،‬نو دا ډول نتيجه اخيستنه دشﻬودي درک په نامه يادوو‪.‬‬ ‫دوﻳم مثال‪ :‬که يوه نقطه د داسې دايرې د باندې پرته وي چې قطر يې ‪ 4‬واحده وي‪ .‬ددې نقطې د‬ ‫فاصلې د مطالعه کولو لپاره چې له ‪ 2‬واحده څخه زياته ده‪ ،‬نه شو ويالى چې دا استدالل يو شﻬودي‬ ‫درک دى‪ ،‬ځکه دمسلﺌې د وضاحت لپاره الزمه ده چې استدالل وک‪７‬و‪ .‬څرنگه چې د دايرې د مرکز‬ ‫فاصله له محيط څخه ‪ 2‬واحد ده‪ .‬نقطه د دايرې د باندې واقع ده‪ ،‬نوله دې امله د دايرې له مرکز څخه‬ ‫د نقطې فاصله د ‪ 2‬واحده څخه لويه ده‪ .‬يعنې پرته له استدالل څخه د طبيعي پوهې او يا غريزه يې‬ ‫احساس په واسطه نه شو کوالى‪ ،‬مسﺌله درک او صحت يې قبول ک‪７‬و‪.‬‬

‫پو＊تن‪３‬‬ ‫‪ -1‬د دوو نقطو ترمنځ لن‪６‬ه فاصله له يوه مستقيم خط څخه عبارت ده‪ ،‬أيا ددې مسﺌلې درک کول يو‬ ‫شﻬودي درک دی؟ څرنگه استدالل کوئ؟‬ ‫‪ -2‬له الندې حکمونو څخه کوم يو يې د شﻬودي استدالل په طريقه د درک وړدى؟‬ ‫‪ -a‬ديوې متوازي االضالع مقابلې زاويې سره مساوي دي‪.‬‬ ‫‪ -b‬د لوزي (معين) قطرونه يو پر بل عمود او يوبل نيمايي کوي‪.‬‬ ‫‪ -c‬په يوه قايم الزاويه مثلث کې و تر‪ ،‬له هرو دوو ضلعو څخه لوى دى‪.‬‬

‫‪392‬‬

‫تمثﻴلﻲ ﻳا ﮔمانﻲ استدﻻل‬ ‫ووايه زما په السونو کې څه شى دی؟ تقريبا ً‬ ‫ﮔرد دى‪ ،‬رنﮓ يې سپين دى او دسپينو په منځ‬ ‫کې يو ژي‪ ７‬شى دى؟‬

‫د منطق يوه ښوونکي غوښتل چې دخپل يوه زده کوونکي قياسي استدالل وازمايي‪ ،‬خپل مﺦ يې هغه‬ ‫ته ورواړوه او ورته ويې ويل‪:‬‬ ‫پوهې‪８‬ئ چې ﮔمان او يا تمثيل حقيقت ته د رسيدو پل دى‪ .‬د لوست په جريان کې مو زده ک‪７‬ل چې‬ ‫تمثيلي استدالل موږ حقيقت ته نﮋدې کوي‪ ،‬ليکن هر وخت سوچه حقيقت نه دى‪.‬‬ ‫ښوونکي په داسې حال کې چې په خپلو السونوکې يې د چرﮔې هگ‪ ９‬پټه ک‪７‬ي وه‪ ،‬له زده کوونکي‬ ‫وپوښتل‪ :‬ووايه زما په السونو کې څه شى دی؟ تقريباً ﮔرد دى‪ ،‬رنﮓ يې سپين دى او دسپينو په منځ‬ ‫کې يو ژي‪ ７‬شى دى‪.‬‬ ‫زده کوونکى چې په همدې وخت کې له زراعتى فارم نه راغلى و‪ ،‬له ژور فکر کولو وروسته يې‬ ‫ښوونکى ته مﺦ ورواړوه او ويې ويل‪:‬‬ ‫استاده فکر کوم چې دسپين شوي شلغم(ټيپر) په منځ کې ﮔازره ده‪.‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫د دوو پېښو ترمنځ د ورته والي پيداکول او دهغوى په باره کې د يوشان نتيجې اخيستلوته تمثيلي يا‬ ‫قياسي (ﮔماني) استدالل وايي‪.‬‬ ‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫يوه ښوونکى يو شوخ زده کوونکى چې لوست يې اخاللوه‪ ،‬له ټولگي څخه وويست‪ .‬دټولگي د باندې‬ ‫يې د خپل ټولگي بل زده کوونکى وليده چې هغه هم له ټولگي څخه د باندې و تلى دى‪ .‬دپورتني‬ ‫تعريف په نظر کې نيولو سره له الندې اړيکو څخه کوم يو يې يو تمثيلي يا قياسي استدالل دی‪.‬‬ ‫‪ -‬دويم زده کوونکي د لوست په وخت کې تفريﺢ کوي‪.‬‬

‫‪393‬‬

‫ دويم زده کوونکي هم شوخي ک‪７‬ي ده‪.‬‬‫ ناروغه دى‪ ،‬نه غواړي چې په ټولگى کې واوسي‪.‬‬‫له تعريف او د زده کوونکو له فعاليت څخه الندې نتيجه په الس راځي‪:‬‬ ‫نتﻴجه‪ :‬قياس يا تمثيل په حقيقت کې د مختلفو مفﻬومونو په منځ کې د ورته والي پيداکول دي‪ .‬له‬ ‫دې سببه تمثيلونه کېدای شي‪ ،‬د ډېرو مفﻬومونو يا درياضي د قضيو د درک کولو لپاره شﻬودي زمينه‬ ‫پيداک‪７‬ي‪ .‬تمثيلي استدالل د ثبوت په حيث نه شمارل کې‪８‬ي‪ ،‬بلکې د ثبوت لپاره زمينه برابروي‪.‬‬ ‫لوم‪７‬ى مثال‪ :‬په عامه ژ به(مارخوړلى له برگ پ‪７‬ي څخه ډارې‪８‬ي) دا يو قياسي استدالل دی‪ ،‬ځکه‬ ‫چې برگ پ‪７‬ى له مار سره پر تله شوى دى او د هغوى په منځ کې ورته والى ليدل شوى دى‪.‬‬ ‫دوﻳم مثال‪ :‬له تمثيلي استدالل څخه په ګټه‪ ،‬ددې حقيقت درکول چې د دوو منفي عددونو حاصل‬ ‫ضرب مثبت عدد او د يو منفي او يو مثبت عدد حاصل ضرب منفي عدد دی‪ ،‬داسﯽ په الس راوړو‪:‬‬ ‫ال ددې حقيقت د درک کولو لپاره چې که چېرې د يوه زده کوونکي لياقت د (‪ )+‬په عالمه او نا‬ ‫مث ً‬ ‫اليق والى د (‪ )-‬په عالمې سره په پام کې ونيسو او ددې دواړو عملونو د حاصل د(دى) لپاره (‪ )+‬او‬ ‫(نه دى) لپاره (‪ )-‬په پام کې ونيسو‪ ،‬له تمثيل او يا قياس څخه ﮔټه اخلو او که دوى سره ترکيب ک‪７‬و‬ ‫په نتيجه کې لروچې‪:‬‬ ‫اليق‬

‫دی = مثبت‬

‫‪،‬‬

‫اليق‬

‫(‪+ = )+( )+‬‬ ‫نااليق دی = منفي‬

‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬

‫(‪)+‬‬ ‫نااليق‬

‫(‪- = )-‬‬ ‫نه دی = مثبت‬

‫‪-‬‬

‫‪،‬‬

‫(‪)-‬‬

‫‪+‬‬

‫(‪)-‬‬

‫(‪= )+‬‬

‫نه دی = منفي‬

‫(‪= )-‬‬

‫پو＊تن‪３‬‬ ‫‪ - 1‬دا بيان چې( بختور کال د هغه کال له پسرلي نه معلومي‪８‬ي‪ )،‬په الندې کوم استدالل باندې داللت‬ ‫کوي‪.‬‬ ‫‪ -a‬شﻬودي درک استدالل‪.‬‬ ‫‪ -c‬هيڅ ډول استدالل په کې نشته دى‪.‬‬ ‫‪ -b‬قياسي استدالل‪.‬‬ ‫‪ -2‬د قياسي استدالل په مرسته په کوم مثلث کې د فيثاغورث د قضې په اساس الندې نتيجه ثبوت‬ ‫کېدالی شي‪:‬‬ ‫‪=1‬‬

‫‪+ cos 2‬‬

‫‪sin 2‬‬

‫‪394‬‬

‫استقراﻳ‪ ３‬استدﻻل‪:‬‬ ‫يو زده کوونکى په لوم‪７‬نى صنفي ازموينه کې‬ ‫‪ 100‬نمرې اخلي او په دويم او دريم صنفي‬ ‫ازموينو کې هم ‪ 100‬نمرې اخلي‪.‬‬ ‫په اخرن‪ ９‬ازموينه کې څه نتيجه اخيستالى‬ ‫شئ چې دا زده کوونکى به څونمرې‬ ‫واخلي؟‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫د مسلسلو طاقو طبيعي عددونو د جمعې حاصل په پام کې نيسو‪ ،‬ددې کار لپاره له يو ‪ 1‬له عدد څخه‬ ‫پيل وک‪７‬ئ او تش ځايونه ډک ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‪1+3‬‬ ‫) (=‬ ‫=‪1+3+5‬‬ ‫‪= ( )2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‬

‫‪)2‬‬

‫(=‬

‫(=‬

‫=‪1+3+5+7‬‬ ‫=‪1+3+5+7+9‬‬

‫پورتنيو پوښتنو ته په پاملرنې سره ليدل کې‪８‬ي چې د طاقو طبيعي عددونو د جمعې حاصل د طبيعي‬ ‫عددونو د شمېر له پوره مربع سره مساوي دى‪.‬‬ ‫ آيا کوالى شو نتيجه واخلو چې هر وخت د طاقو مسلسلو عددونو د جمعې حاصل ددې عددونو‬‫د شمېر له مربع سره مساوي دى؟‬ ‫ کوښ） وک‪７‬ئ له ‪ n‬طاقو مسلسلو عددونو د جمعې د حاصل لپاره فورمول په الس راوړئ‪.‬‬‫دپورتني فعاليت د سرته رسولو په اساس الندې نتيجه په الس راځي‪.‬‬ ‫نتﻴجه‪ :‬استقرايي استدالل د يو شمېر مشاهد و پر بنسټ د عمومي نتيجې اخيستنې طريقه ده‪ .‬په‬ ‫حقيقت کې يوې کوچنى نمونې ته په لويه نمونه عموميت ورکول دي‪.‬‬ ‫لوم‪７‬ى مثال‪ ( :‬موټ‪ ９‬د خروار نمونه ده) داخبره استقرايي استدالل ته اشاره کوي‪ ،‬ځکه په دې مثال‬

‫‪395‬‬

‫کې له يوې کوچن‪ ９‬نمونې څخه د کل نتيجه اخيستل کې‪８‬ي‪ ،‬په حقيقت کې له مسﺌلې څخه د يوشمېر‬ ‫مشاهد و پر بنسټ نتيجه اخيستل شوي ده‪ ،‬نو له استقرايي استدالل څخه کار اخېستل شوى دى‪.‬‬ ‫دوﻳم مثال‪ :‬يو زده کوونکى په اتفاقي ډول په څومرحلو کې درې مسلسل عددونه سره ضرب ک‪７‬ل‬ ‫او ويې ليدل چې د ضرب حاصل د ‪ 6‬عدد مضرب دى‪ .‬له دې کار څخه نتيجه اخلي چې ( د هر‬ ‫دروو مسلسلو عددونو د ضرب حاصل د ‪ 6‬عدد مﻀرب دى)‬ ‫نوموړې زده کوونکي کوم استدالل ک‪７‬ي دي‪.‬‬ ‫د‪ :‬هېڅ يو‬ ‫ج‪ :‬استقرايي استدالل‬ ‫ب‪ :‬قياسي (ﮔماني)‬ ‫الف‪ :‬شﻬودي استدالل‬ ‫حل‪ :‬استﻘراﻳﻲ استدﻻل‬

‫پو＊تن‪３‬‬ ‫‪ -1‬هغه طريقه چې د يوه محدوده شمېر ډيټا پر اساس ترينه عمومي نتيجه اخيستل کې‪８‬ي‪ ،‬څرنگه‬ ‫يو استدالل دى‪.‬‬ ‫ب‪ :‬استقرايي استدالل‬ ‫الف‪ :‬قياسي يا تمثيلي استدالل‬ ‫ج‪ :‬د شﻬودي درک استدالل‬ ‫‪ - 2‬د عددونو ترتيب ته په پاملرنې سره الندې تش ځايونه ډک ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫=‪1×8+1‬‬ ‫=‪12×8+2‬‬ ‫=‪123×8+3‬‬ ‫=‪1234×8+4‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪ )a‬د دويمې پوښتنې حل ته په پام سره کېدای شي چې د عددونو پورتني ترتيب ته تر بې نﻬايت پورې‬ ‫دوام ورک‪７‬ي؟‬ ‫‪ )b‬د محاسبه کولو پرته او د پورتنيو پوښتنو په پاملرنې سره اټکل ک‪７‬ئ چې کوم عددونه د الندې‬ ‫پوښتنو په تش ځايونو کې را تالی شي‪:‬‬ ‫=‪12345×8+5‬‬ ‫=‪123456×8+6‬‬

‫‪396‬‬

‫درﻳاضﻲ د استقرا استدﻻل‬ ‫د دوو مﻴنو لوبه ‪:‬‬ ‫أيا تاسوکله د دوو مينو لو به تر‬ ‫سره ک‪７‬ې ده؟‬

‫پوهې‪８‬ئ چې د دوو مينو په لوبه کې د لوم‪７‬ى خښتې لويدل‪ ،‬د دويمې خښتې پرمﺦ چې يوه دبلې‬ ‫څنﮓ ته پرته وي‪ ،‬په ترتيب سره لوم‪７‬ن‪ ９‬پر دويمه‪ ،‬دويمه پر دريمه‪ ...‬تر پا يه پورې پر مځکه ولوې‪８‬ي‪،‬‬ ‫داد خښتو يو پر بله لوېدل چې د پورته شکل په شان په مساوي فاصلو يو دبل څنﮓ ته پريوزې‪ ،‬د‬ ‫عالقه مندانو لپاره يو په زړه پورې تصوير ښکاره کوي‪.‬‬ ‫ليدل کې‪８‬ي چې د ‪ k‬ام خښتې لويدل د ‪ k + 1‬ام د خښتې دلوېدلو سبب ﮔرځي‪ ،‬اوس نو که‬ ‫د خښتو لوېدل له يوې ټاکلي شمېرې څخه پيل شي‪ ،‬له هغې څخه وروسته خښتې يو پر له پسې‬ ‫راولي‪８‬ي او ټولې خښتې د ځمکې مﺦ نيسي‪.‬‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫پوهې‪８‬ئ چې ‪ 100=1+8+27+64‬دى‪ ،‬که دا عددونه د مکعبونو د مجموعې په شکل په الندې‬ ‫ډول وليکو‪:‬‬ ‫‪13 + 23 + 33 + 43 = 10 2‬‬

‫ آيا هر وخت د مسلسلو طبيعي عددونو د مکعبونو مجموعه د عددونو د مجموعې له مربع سره‬‫مساوي ده؟‬ ‫ آيا کوالى شئ د پورتن‪ ９‬پوښتنې د حل لپاره يوه عمومي طريقه وواياست‪ ،‬د پورتن‪ ９‬پوښتنې د‬‫ځواب لپاره الندې جدول ډک ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪397‬‬

‫د عددونو د مجموعې مربع‬

‫د مﻌکبﻮنﻮ مﺠمﻮعﻪ‬

‫د متوالي طبيعي عددونو معکبونه‬

‫‪13‬‬

‫‪1‬‬

‫‪13 + 2 3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪13 + 2 3 + 33‬‬

‫‪3‬‬

‫‪13 + 2 3 + 33 + 4 3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪36‬‬

‫‪10 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‪n (n + 1‬‬ ‫‪2‬‬

‫د‬

‫ا‬

‫دد ن ش‬

‫‪13 + 2 3 + 33 + ... + n 3‬‬

‫‪n‬‬

‫ د ‪ n = 3 ، n = 2 ، n = 1‬او ‪ n = 4‬د طبيعي مسلسلو عددونو د مکعبونو د مجموعې‬‫‪2‬‬

‫لپاره د‬

‫)‪n (n + 1‬‬ ‫‪2‬‬

‫فورمول سموالﯽ وازمايئ‪.‬‬

‫ اوس که د ‪ n‬مسلسلو طبيعي عددونو لپاره پورتنى فورمول قبول ک‪７‬و يعنې که‪:‬‬‫‪2‬‬

‫)‪n (n + 1‬‬ ‫‪2‬‬

‫= ‪13 + 23 + 33 + ... + n 3‬‬

‫وي‪ ،‬نو د ‪ n + 1‬د مسلسلو طبيعي عددونو لپاره يې ثبوت ک‪７‬ئ يا داچې وښياست‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‪(n + 1)(n + 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫= ‪13 + 23 + 33 + ... + n 3 + (n + 1) 3‬‬

‫د پورتني فعاليت له سرته رسولو څخه الندې نتيجه الس ته راځي‪.‬‬ ‫ﻧﺘﻴﺠﻪ‪ :‬که چېرې ) ‪ P(n‬د ‪ n‬طبيعي عددونو په برخه کې يو حکم راک‪７‬ل شوى وي‪ ،‬که د ‪n = 1‬‬ ‫لپاره )‪ P(1‬صحيﺢ وي‪ ،‬په دويم پ‪ ７‬او کې که د ) ‪ P(k‬له سموالي څخه )‪ P(k + 1‬په الس راشي‪،‬‬ ‫نو دا ادعا د ) ‪ P(n‬د هر ‪ n‬طبيعﯽ عدد لپاره هم سمه ده‪.‬‬ ‫لوم‪７‬ى مثال‪ :‬وښياست چې ‪ P(n ) = 4 2 n 1‬د هر طبيعي عدد لپاره پر ‪ 5‬د وېش وړ دى‪.‬‬ ‫حل‪ :‬د ‪ n = 1‬لپاره سمه ده ځکه چې‪:‬‬ ‫‪P(1) = 4 2 1 1 = 4 2 1 = 16 1 = 15‬‬ ‫ليدل کې‪８‬ي چې ‪ P(1) = 15‬پر ‪ 5‬د وېش وړ دى‪.‬‬

‫‪,‬‬

‫‪n =1‬‬

‫قبلوو چې د ‪ k‬طبيعي عدد لپاره پورتنى ادعا سمه ده يعنې‪ P(k ) = 4 2 k 1 :‬پر‪ 5‬د وېش وړ‬

‫‪398‬‬

‫دى‪.‬‬ ‫څرنگه چې پر ‪ 5‬د وېش وړ دى‪ ،‬نو کوالى شو په الندې ډول يې وليکو‬ ‫)*(‪P(k ) = 4 2 k 1 = 5r .......................‬‬

‫غواړو وښايو چې د ‪ n = k + 1‬لپاره دا ادعا سمه ده‪ ،‬نو لروچې‪:‬‬ ‫)**(‪P(k + 1) = 4 2 ( k +1) 1............‬‬ ‫د (*) د رابطې دواړه خواوې په ‪ 42‬کې ضربوو‪.‬‬

‫‪n = k +1‬‬

‫‪,‬‬

‫‪4 2 (4 2 k 1) = 5r 4 2‬‬ ‫) ‪4 2 ( k +1) 1 = 15 + 16 (5r‬‬

‫‪4 2 = 5r 16‬‬

‫‪42k +2‬‬

‫) ‪4 2 ( k +1) 1 = 5(3 + 16r‬‬

‫د پورتني مساوات له ښي خوا ) ‪ 5 (3 + 16r‬څخه ښکاري چې د مساوات کيڼه خوا پر ‪ 5‬د وېش‬ ‫وړ ده‪.‬‬ ‫نو اخرني مساوات ښکاره کوي چې ‪ P(k + 1) = 4 2( k +1) 1‬ﻫم پر ‪ 5‬دوېش وړ دى‪ ،‬څرنگه‬ ‫چې د ) ‪ P(k‬له سموالي څخه د )‪ P(k + 1‬سموالي نتيجه شوه‪ ،‬نو د رياضي د استقرا د اصل‬

‫په اساس پورتنى ادعا )‪ P(n‬د هر طبيعي عدد (‪ )n‬لپاره سمه ده‪.‬‬ ‫ﻳادوﻧﻪ‪ :‬د رياضي د استقرا په مرسته د رياضي د حکمونو د ثبوتولو لپاره لوم‪７‬ى )‪ P(1‬په الس‬ ‫راوړو‪ ،‬بيا ) ‪ P(k‬د استقرا د حکم په حيث په پام کې نيسو او په همدې ترتيب له فرضيې څخه‬ ‫حکم ثبوتوو‪.‬‬ ‫دوﻳﻢ ﻣﺜال‪ :‬د رياضي د استقرأ په مرسته ثبوت ک‪７‬ئ چې الندې رابطه د هرطبيعي عدد ‪ n‬لپاره‬ ‫سمه ده‪:‬‬ ‫)‪n (n + 1)(n + 2‬‬ ‫‪3‬‬

‫= )‪1× 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + ... + n (n + 1‬‬

‫ﺣﻞ‪ :‬په پورتنى رابطه کې د ‪ n = 1‬لپاره لرو چې‪:‬‬ ‫‪1(1 + 1)(1 + 2) 1× 2 × 3‬‬ ‫=‬ ‫‪=2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫= ‪P(1) = 1× 2‬‬

‫‪,‬‬

‫‪n =1‬‬

‫‪2=2‬‬ ‫نود ‪ n = 1‬لپاره پورتنى رابطه سمه ده‪ ،‬که د ‪ n = k‬لپاره يې سمه قبوله ک‪７‬و‪ ،‬نو د ‪n = k + 1‬‬

‫لپاره يې داسې ثبوتوو‪ ،‬لروچې‪:‬‬

‫‪399‬‬

‫)‪k (k + 1)(k + 2‬‬ ‫‪3‬‬

‫= )‪n = k , P(k ) = 1× 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + ... + k × (k + 1‬‬

‫داﺳﺘﻘﺮا ﻓﺮﺿﻴﻪ‪:‬‬ ‫د ) ‪ P(k‬په فرضولو سره )‪ P(n‬رابطه د ‪ n = k + 1‬په نظر کې نيولو سره د رابطې سموالﯽ‬ ‫ښکاره ک‪７‬و‪ ،‬نو لروچې‪:‬‬ ‫)‪n = k + 1, P(k + 1) = 1× 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + ... + (k + 1)(k + 2‬‬ ‫)‪(k + 1)(k + 2)(k + 3‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬

‫د اﺳﺘﻘﺮا ﺣﻜﻢ‪:‬‬ ‫د استقرا د فرضيې په نظر کې نيولو سره لروچې‪:‬‬ ‫)‪P(k + 1) = [1× 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + ... + k (k + 1)]+ (k + 1)(k + 2‬‬ ‫)‪k (k + 1)(k + 2‬‬ ‫)‪k (k + 1)(k + 2) + 3(k + 1)(k + 2‬‬ ‫=‬ ‫= )‪+ (k + 1)(k + 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪(k + 1)(k + 2)(k + 3‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪(k + 1)(k + 2)(k + 3‬‬ ‫= )‪1× 2 + 2 × 3 + ... + (k + 1)(k + 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫دا رابطه د ‪ n = k + 1‬لپاره سمه ده‪ ،‬نو په دې ډول د )‪ P (n‬رابطه د هر طبيعي عدد )‪(n‬‬

‫لپاره سمه ده‪.‬‬ ‫پو＊تن‪３‬‬ ‫‪ - 1‬د رياضي د استقرا په مرسته وښياست چې د هر طبيعي عدد ‪ n‬لپاره لروچې‪:‬‬ ‫‪ - 2‬د رياضي د استقرا په مرسته وښياست چې ‪:‬‬

‫)‪n (n + 1)( 2n + 1‬‬ ‫‪6‬‬

‫)‪(i‬‬

‫‪2 + 6 + 10 + ... + (4n 2) = 2n 2‬‬

‫)‪(ii‬‬

‫‪1 + 3 + 5 + ... + (2n 1) = n‬‬

‫‪2‬‬

‫= ‪12 + 22 + ... + n 2‬‬

‫‪400‬‬

‫اﺳﺘﻨﺘاﺟﻰ(ﻧﺘﻴﺠﻮي) اﺳﺘﺪﻻل‪:‬‬ ‫آيا کوالى شو د شپې په تياره کې له ر‪１‬ا څخه پرته‬ ‫شيان ووينو؟‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫درې مختلف داسې سټونه وليکئ چې د هر سټ عناصر درې اختياري مسلسل طبيعي عددونه وي‪.‬‬ ‫ د هرسټ د عناصرو د ضرب حاصل جال‪ ،‬جال په الس راوړئ‪.‬‬‫ آيا ويالى شو چې دا د ضرب حاصلونه‪:‬‬‫(‪ :)I‬پر‪ 2‬د وېش وړ دي؟ ولې؟‬ ‫(‪ :)II‬پر ‪ 3‬د وېش وړ دي؟ ولې؟‬ ‫ آيا ويالى شو چې د دريو مسلسلو طبيعي عددونو د ضرب حاصل هروخت پر ‪ 6‬د وېش وړ دي؟‬‫ولې؟‬ ‫ د دريو مسلسلو طبيعي عددونو د ضرب حاصل موولى پر ‪ 6‬د وېش وړ قبول ک‪７‬و‪ ،‬د پورتني فعاليت‬‫له سرته رسولو څخه الندې نتيجه الس ته راځي‪.‬‬ ‫نتﻴجه‪ :‬داسې طريقې ته چې د حقايقو سموالى يې په لوم‪７‬ى پ‪７‬او کې ومنو او عمومي نتيجه ترې‬ ‫الس ته راوړو‪ ،‬استنتاجي استدالل يا د نتيجې اخيستنې طريقه ورته وايي يا په بل عبارت استنتاجي‬ ‫استدالل هغه طريقه ده چې سموالى مو ثبوت ک‪７‬ی يا منلﯽ وي‪.‬‬ ‫څه وخت چې له استنتاجي استدالل څخه استفاده کوو‪ ،‬ډاډمن يو چې نتيجه يې هر وخت سمه‬ ‫ده‪.‬‬

‫‪401‬‬

‫لوم‪７‬ى مثال‪ :‬د الندې جدول پ‪７‬اونو ته په دقت سره وګورئ موږ څرنگه له عددونو سره چې د هر‬ ‫پ‪７‬اوحقيقت او سموالﯽ منو‪ ،‬بل پ‪７‬اوته ځو او نتيجه په الس راوړو‪.‬‬ ‫د يادونې وړ ده چې په جدول کې په اختياري ډول عدد ټاﻛل شوی دی‪ ،‬تاسوکوالى شئ چې ددې‬ ‫عدد پرځاى بل هر عدد چې موغوښتﯽ وي‪ ،‬وټاکئ‪ ،‬وﮔورئ چې د هر عدد لپاره نتيجه يوشان ده‪.‬‬ ‫يو عدد په خپله خوښه وټاکئ‪.‬‬

‫‪4‬‬

‫‪7‬‬

‫‪12‬‬

‫له لوم‪７‬ي عدد سره ‪ 5‬جمع ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪9‬‬

‫‪12‬‬

‫‪17‬‬

‫اوس يې دوه برابره ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪18‬‬

‫‪24‬‬

‫‪34‬‬

‫له حاصل څخه د ‪ 4‬عدد کم ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪14‬‬

‫‪20‬‬

‫‪30‬‬

‫پر ‪ 2‬يې ووېشئ‪.‬‬

‫‪7‬‬

‫‪10‬‬

‫‪15‬‬

‫هغه عدد چې لوم‪７‬ى موټاکلى و‪ ،‬له عدد څخه کم ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫اساسي خبره داده چې موږ په حقيقت کې د هغه عبارت پر بنسټ چې سموالى يې موږ قبول ک‪７‬ى‬ ‫دى‪ ،‬بله نتيجه الس ته راوړو‪ ،‬دا مسله موږ ډاډ من کوي چې دهر اختياري عدد په ټاکلو سره نتيجه‬ ‫هر وخت يوشان له ‪ 3‬سره مساوي ده‪.‬‬

‫پو＊تن‪３‬‬ ‫‪ - 1‬ښکاره ک‪７‬ئ چې د دوو طاقو عددونو د جمعې حاصل هر وخت يو جفت عدد دى‪.‬‬ ‫‪ - 2‬ثبوت ک‪７‬ئ چې هر صحيﺢ طاق عدد د ‪ 2k + 1‬پﻪ شکل دى‪.‬‬ ‫‪ - 3‬د سرو زرو په ‪ 9‬سکوکې يوه تقلبي ده چې له نورو سکو څخه يې وزن کم دى‪.‬‬ ‫څرنگه کوالى شو چې د نورو وزنونو څخه د استفادې کولو پرته د پله يي ترازو په واسطه له دوه واره‬ ‫تللو سره تقلبي سکه پالس راوړو؟‬

‫‪402‬‬

‫د مثال د نفﻲ کولو استدﻻل‪:‬‬ ‫يوموټى د خروار نمونه ده‪.‬‬ ‫که د يوجنس يوه کوچنى نمونه بې کيفيته وي‪.‬‬ ‫يا کوالى شو ادعا وک‪７‬و چې ددې جنس لويه‬ ‫کتله ښه کيفيت لري؟‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫کوالى شو‪ ،‬ډېر طبيعي عددونه د مسلسلو عددونو د جمعې د حاصل په ډول وليکو‪ ،‬لکه‪:‬‬ ‫‪9 = 2+3+ 4‬‬

‫ پورتني مثال ته په پاملرنې سره الندې تش ځايو نه ډک ک‪７‬ئ؟‬‫‪+4+5‬‬

‫‪+2‬‬

‫=‪15‬‬

‫‪+7‬‬

‫‪+5+‬‬

‫=‬

‫‪+14‬‬

‫‪+‬‬

‫‪= 12 +‬‬

‫‪74=17+‬‬ ‫‪+19+‬‬ ‫ آيا کوالى شو چې هر طبيعي عدد د مسلسلو عددونو د جمعې د حاصل په شکل وليکو؟‬‫ که چېرې ځواب مو (نه) وي‪ ،‬نومثال يې ووياست‪.‬‬‫د پورتني فعاليت له سرته رسولوڅخه الندې نتيجه الس ته راځي‪.‬‬ ‫نتﻴجه‪ :‬کله چې له مثال سره وښايو چې عمومي نتيجه سمه نه ده او د ادعا ناسموالى ښکاره ک‪７‬و دې‬ ‫ته د مثال د نفي کولو استدالل وايي‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬د مسلﺌې د ثبوت لپاره همدو مره کافي ده چې وښايو چې د ‪ x‬او ‪ y‬دوه غير ناطق عددونه‬

‫‪403‬‬

‫ليکن ددوى د جمعې حاصل ‪ x+y‬يو ناطق عدد دى‪.‬‬ ‫ددې لپاره که د ‪ x = 1 + 2‬او ‪2‬‬

‫‪ y = 1‬وټاکو‪ ،‬لروچې‪:‬‬ ‫‪2) = 1+1 = 2‬‬

‫‪x + y = (1 + 2 ) + (1‬‬

‫ليدل کې‪８‬ي چې ددې دواړو عددونو د جمعې حاصل د ‪ 2‬عدد دى چې يوناطق عدد دى‪ ،‬په داسې‬ ‫حال کې چې ‪ x‬او ‪ y‬غير ناطق (ﮔنﮓ) عددونه دي‪ ،‬نو دا ادعا نه شو کوالى چې د دووغير ناطقو‬ ‫عددونو د جمعې حاصل هر وخت يو غير ناطق عدد دى‪.‬‬

‫پو＊تن‪３‬‬ ‫‪ -1‬د مثال د نفي کولو په استدالل سره وښياست چې( د هر مثبت حقيقي عدد مربع دعدد له مکعب‬ ‫څخه کوچن‪ ９‬ده)‬ ‫‪ -2‬دالندې کوم يو بيان لپاره د نفي مثال و جود نه لري؟‬ ‫‪ )a‬د دوو ناطقو عددونو مجموعه يو ناطق عدد دى‪.‬‬ ‫‪ )b‬د هر مثبت عدد مربع له عدد څخه لويه ده‪.‬‬ ‫‪ )c‬دوې زاويې چې متناﻇرې ضلعي يې سره موازي وي‪ ،‬دا دوې زاويې سره مساوي هم‬ ‫دي‪.‬‬ ‫‪ )d‬د دوو طاقو عددونو مجموعه يو جفت عدد دى‪.‬‬ ‫‪ )e‬د دوو غير ناطقو عددونو د ِضرب حاصل‪ ،‬غير ناطق عدد نه دى‪.‬‬

‫‪404‬‬

‫د ﺧﻠﻒ ﺑﺮﻫان ﻳا ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫ﺛﺒﻮت‪:‬‬ ‫که د يوه عدد مربع جفت وي آيا خپله عدد‬ ‫جفت دى که طاق؟‬ ‫آيا کوالى شو چې دا ادعا وک‪７‬و‪ ،‬که د هر عدد‬ ‫مربع جفته وي‪ ،‬خپله عدد جفت دى؟‬ ‫که وښايو چې خپله عدد طاق نه دى‪ ،‬څه نتيجه‬ ‫اخلئ ؟‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫د ‪ ABC‬مثلث د الندې شکل په شان په پام کې ونيسئ‪:‬‬

‫ د ‪ A‬د زاويې ناصف رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬‫ که ‪ BD CD‬وي‪ ،‬نو د ‪ AB‬او ‪ AC‬ضلعې سره څه اړيکه لري؟‬‫ که فرض ک‪７‬و چې که ‪ BD CD‬و ي‪ ،‬خو ‪ AB AC‬دى‪ ،‬دا مسﺌله موږ کومې نتيجې ته‬‫رسوي؟‬ ‫نتﻴجه‪ :‬که د خپلې ادعا د عکس په فرضولو او ياد قبلولو په نتيجه کې د فرض شوي ادعا خالف ته‬ ‫ورسې‪８‬و‪ ،‬نو په دې حالت کې زموږ فرض شوى ادعا سمه ده‪ ،‬دا ډول استدالل د غير مستقيم ثبوت‬ ‫(برهان خلف) په نامه يادې‪８‬ي‪.‬‬

‫‪405‬‬

‫ﻳادونه‪ :‬په ياد ولرئ څه وخت چې له غير مستقيم ثبوت څخه ﮔټه اخلو‪ ،‬الندې پ‪７‬اوونه په پام کې‬ ‫نيسو‪:‬‬ ‫لوم‪７‬ى پ‪７‬او‪ :‬فرضوو چې مطلوبه ادعا سمه نه ده‪.‬‬ ‫دويم پ‪７‬او‪ :‬ښکاره کوو چې دا فرض د اسې نتيجه په الس راکوي چې پيﮋندل شوي حقيقتونه نفي‬ ‫کوي‪.‬‬ ‫دريم پ‪７‬او‪ :‬اوس چې نتيجه نفي شوي ده‪ ،‬نومعلومه خبره ده چې د لوم‪７‬ى پ‪７‬او فرض سم نه دى‪ ،‬نو‬ ‫مطلوب سم دى‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬وښياست که ‪ n2‬يو جفت طبعي عدد وي‪ ،‬نو ‪ n‬هم جفت دى؟‬ ‫ددې مسلﺌې د ثبوت لپاره فرضوو‪ ،‬سره ددې چې ‪ n2‬جفت دی‪ ،‬خو ‪ n‬يو طاق عدد دى‪ ،‬نو کوالى‬ ‫شو چې ‪ n‬د ‪ n = 2k + 1‬په شکل وليکو‪ ،‬په داسې حال کې چې ‪ k‬يو تام عدد دى‪ ،‬نو ددې‬ ‫‪n 2 = (2k + 1) 2 = 4k 2 + 4k + 1 = 4(k 2 + k ) + 1‬‬ ‫عدد مربع مساوي ده په‪:‬‬ ‫‪n 2 = 4(k 2 + k ) + 1‬‬

‫پورتني مساوات ښکاره کوي چې ‪ n2‬يو طاق عدد دى چې دا د فرض خالف ده‪ ،‬نو په نتيجه کې دا‬ ‫فرض چې ‪ n‬يو طاق عدد دى‪ ،‬ناسمه ده او دې نتيجې ته رسې‪８‬و چې ‪ n‬هم يو جفت عدد دى‪ ،‬ځکه‬ ‫دا فرض چې ‪ n‬طاق عدد دى‪ ،‬موږ دې نتېجې ته ورسولو چې ‪ n2‬هم طاق عدد دی‬

‫پو＊تنه‬ ‫وښياست چې ‪ 3‬يو غير ناطق عدد دى‪.‬‬

‫‪406‬‬

‫د رﻳاﺿﻰ ﻣﻨﻄﻖ او دﺑﻴان اﺳﺘﻨﺘاج‬ ‫له څنﮓ ملگرى څخه د يو خبر اوريدل به څه‬ ‫نتيجه ولري؟‬ ‫آيا خبر سم دى که ناسم؟‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫يوې خبري جملې ته بيان وايي چې نتيجه يې په سموالي يا ناسم والي پاى ته ورسې‪８‬ي‪.‬‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫الندې جملې په پام کې ونيسئ او وښياست چې له هغو څخه کومه يوه يې بيان او کومه يوه يې بيان‬ ‫نه دى او منطقي نتيجه يې څه ده؟‬ ‫نن ورځ باران نه اوري‪.‬‬ ‫‪)i‬‬ ‫‪ )ii‬آيا نن ورځ باران نه اوري؟‬ ‫‪ )iii‬بارانه اووره‪..‬‬ ‫‪ )iv‬څه زيات باران اوري!‬ ‫له پورتني فعاليت څخه الندې نتيجه الس ته راځي‪.‬‬ ‫نتﻴجه‪:‬‬ ‫‪ - 1‬هره جمله نه شى کېدای چې بيان وي‪ .‬يوه جمله کيدای شي يوه حکمي‪ ،‬تعجبي پوښتنه او يا‬ ‫يو خبر وي‪.‬‬ ‫‪ - 2‬هره خبري جمله سمه يا ناسمه ده‪.‬‬ ‫ﻳادونه‪ :‬که يو بيان ته ‪ P‬ووايو‪ ،‬د سم بيان د ليکلو طريقه ‪ P T‬او د ناسم بيان د ليکلو طريقه‬

‫‪407‬‬

‫‪ P F‬دی‪ ،‬سر بيره پر دې ‪ ~P‬د ‪ P‬د بيان نفي ښيي‪.‬‬ ‫هغه جدول ته چې د يو بيان ارزيابي په کې صورت نيسي‪ ،‬د صحت د جدول په نامه يادې‪８‬ي‪ ،‬نو د‬ ‫‪ P‬د هربيان لپاره لروچې‪:‬‬ ‫‪P ~P‬‬ ‫‪T F‬‬ ‫‪F T‬‬

‫مثال‪ :‬د (مسکا د لسم ټولگي زده کوونکې ده =‪ )P‬بيان لپاره د صحت جدول ترتيب ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪ :‬د پورتني بيان د ارزياب‪ ９‬لپاره پوهې‪８‬و چې نو موړى بيان سم او يا ناسم دى‪.‬‬ ‫که بيان سم وي‪ ،‬نو کوالى شو چې وليکو ‪ P T‬او ‪ ~ P F‬دى‪.‬‬ ‫نو د ‪ P‬د بيان د نفي حالت عبارت دى له » ‪ P‬سم نه دى« يعنې ‪ ~ P F :‬دى‪ .‬دا بيان د دې‬ ‫په معنا دى چې مسکا د لسم ټولگي زده کوونکي نه ده‪ ،‬يعنې ‪ P‬ناسم دى‪.‬‬ ‫که ‪ P F‬وي‪ ،‬نو په دې حالت کې ‪ ~ P = T‬دى‪ .‬د پورتني ځواب صحت په الندې جدول کې‬ ‫ﮔورو‪:‬‬ ‫‪P ~P‬‬ ‫‪T F‬‬ ‫‪F T‬‬

‫د بﻴانونو ترکﻴﺐ‬ ‫که د ‪ p‬او ‪ q‬دوه بيانونه را ک‪７‬شوي وي‪ ،‬په دې حالت کې‪:‬‬ ‫‪ - 1‬د ‪ p q‬ترکيب د ‪ p‬او ‪ q‬د بيانونو د عطفي ترکيب يا ( منطقي " او" ) په نامه يادې‪８‬ي‪ ،‬د " "‬ ‫عالمه د (او) په معنا په کار وړل شوي ده‪.‬‬ ‫‪- 2‬د ‪ p q‬ترکيب د ‪ p‬او ‪ q‬د بيانونو د فصلي ترکيب (منطقي " يا ") په نامه يادې‪８‬ي‪ ،‬د ' ' ' '‬ ‫عالمه د (يا) په معنا په کار وړل شوي ده‪.‬‬ ‫عالمه‬ ‫‪ - 3‬د ‪ p q‬د مشروط ترکيب او يا د (که ‪ p‬نو ‪ q‬ويل کې‪８‬ي) په نامه يادې‪８‬ي‪ ،‬د‬ ‫ښکاره کوي چې ‪ p‬د شرطي ترکيب اساس چې ‪ q‬ترې نتيجه کې‪８‬ي‪.‬‬ ‫‪ - 4‬د ‪ p q‬د دوو خواوو د شرطي ترکيب په نامه او يا د (که او يوازی که) په نامه يادې‪８‬ي‪.‬‬ ‫) عالمه ښکاره کوي چې که ‪ p‬د شرطي ترکيب اساس وي ‪ q‬ترې نتيجه کې‪８‬ي او که ‪q‬‬ ‫د(‬ ‫دشرطي ترکيب اساس وي‪ p ،‬ترې نتيجه کې‪８‬ي‪ .‬په دې ډول د ‪ p‬د بيانونو او (که اويوازې که)‬ ‫ترکيب الندې د صحت په جدول کې ﮔورو‪:‬‬

‫‪408‬‬

‫‪p q p q pvq p q p‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬

‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬

‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬

‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬

‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬

‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬

‫‪T‬‬

‫‪T‬‬

‫‪F‬‬

‫‪F‬‬

‫‪F‬‬

‫‪F‬‬

‫لوم‪７‬ی مثال‪ :‬که چېرې )‪ P (2 + 4 = 6‬او (دمنفي عدد مربع) ‪ q‬بيانونه راک‪７‬ل شوي‬ ‫وي د ‪ ~ (p q) ، p q ، p q ، ~ q ، ~ P ،p ،q‬او )‪ ~ ( p q‬د بيانونو نتيجې پالس‬ ‫راوړی‪.‬‬ ‫حل‪ :‬پورتنيو بيانونو ته په توجه سره ددې بيانونو ارزښت عبارت دى له‪:‬‬ ‫)‪p q ~ ( p q) ~ ( p q‬‬ ‫‪F‬‬

‫‪T‬‬

‫‪T‬‬

‫‪p q‬‬ ‫‪F‬‬

‫‪~ p ~q‬‬ ‫‪F‬‬

‫‪T‬‬

‫دوﻳﻢ ﻣﺜال‪ :‬د سموالي (صحت) دجدول په تر تيبولو سره ښکاره ک‪７‬ئ چې د ) ‪q‬‬

‫‪q‬‬

‫‪p‬‬

‫‪F‬‬

‫‪T‬‬

‫‪P (p‬‬

‫بيان هر وخت سم دى‪.‬‬ ‫ﺣﻞ‪:‬‬ ‫)‪q‬‬

‫د سموالي دجدول په اخيرني ستون کې وينو چې د ) ‪q‬‬

‫‪409‬‬

‫‪q‬‬

‫‪p‬‬

‫‪p (p‬‬

‫‪p‬‬

‫‪q‬‬

‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬

‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬

‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬

‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬

‫‪T‬‬

‫‪T‬‬

‫‪T‬‬

‫‪F‬‬

‫‪T‬‬

‫‪T‬‬

‫‪F‬‬

‫‪F‬‬

‫‪ p ( p‬بيان هر وخت سم دى‪.‬‬

‫پو＊تن‪３‬‬ ‫‪ - 1‬د صحت د جدول په تر تيبولو سره وښياست چې د ) ‪q ) ~ (~ p q‬‬

‫‪ ( p‬بيان هر‬

‫وخت سم دى‪ -‬متوجه اوسئ چې ‪ p‬او ‪ ~ p‬يوله بله مستقل نه دی‪.‬‬ ‫‪ - 2‬د صحت د جدول په جوړولو سره وښياست چې د )‪ (p q‬او د )‪ ~ ( p q‬د بيانونو‬ ‫ارزښت سره مساوي دى يعنې‪:‬‬ ‫)‪q ~ ( p q‬‬

‫‪p‬‬

‫د فﺼل لن‪６‬ﻳز‬ ‫د رﻳاضﻲ استدﻻل‪:‬‬

‫هغه طريقه چې د هغې په واسطه د رياضي د يوبيان سموالﯽ په الس راځي‪ ،‬د رياضي د استدالل په‬ ‫نامه يادې‪８‬ي‪.‬‬ ‫شﻬودى درک‪:‬‬

‫هغه طبيعي يا حسي پوهه چې د هغې په مرسته ديوې موضوع سموالى يا حقيقت او يا يو مفﻬوم پرته‬ ‫له استدالله قبلوو‪ ،‬له شﻬودي درک څخه عبارت ده چې د وخت په مختلفو مرحلوکې يوله بله سره‬ ‫توپير لري‪.‬‬ ‫تمثﻴلﻲ ﻳا قﻴاسﻲ استدﻻل‪:‬‬

‫د دوو پيښو تر منځ د ورته والى پيداکول او د هغوى په باره کې يوشان نتيجې اخيستلو ته تمثيلي يا‬ ‫قياسي استدالل وايي‪.‬‬ ‫استقراﻳﻰ استدﻻل‪:‬‬

‫هغه طريقه چې د يو شمېر مشاهد و پر اساس ور څخه عمومي نتيجه اخيستل کې‪８‬ي يعنې د جز نه‬ ‫کل په الس راځي د استقرايي استدالل په نامه يادې‪８‬ي‪.‬‬ ‫د رﻳاضﻲ د استقرا استدﻻل‪:‬‬

‫که چېرې (‪ P)n‬د ‪ n‬د طبيعي عددونو په برخه کې يو حکم راک‪７‬ل شوی وي‪ ،‬که د ‪ n=1‬لپاره‬ ‫(‪ P)1‬سم وي او په دويم پ‪７‬اوکې د ) ‪ p(k‬له سموالي څخه د )‪ p(k + 1‬سموالﯽ په الس‬

‫راشي‪ ،‬نو د )‪ p(n‬بيان د هر طبيعي عدد )‪ (n‬لپاره سم دی او درياضي د استقرا د استدالل‬ ‫په نامه يادې‪８‬ي‪.‬‬

‫‪410‬‬

‫نتﻴجوي استدﻻل‪:‬‬

‫له هغه حقيقتونو څخه په ﮔټه اخيستنه چې صحيﺢ والى يې په پيل کې منل شوى وي‪ ،‬عمومي نتيجه‬ ‫الس ته راوړل شي‪ ،‬د استنتاجي استدالل يا د نتيجې اخيستنې د طريقې په نامه يادې‪８‬ي‪.‬‬ ‫يا په بل عبارت هغه طريقه ده چې سم والى مو ثبوت يا قبول ک‪７‬ى وي‪.‬‬ ‫د نفﻰ مثال استدﻻل‪:‬‬

‫کله چې له مثال سره وښايو چې عمومي نتيجه سمه نه ده او د ادعا ناسموالى په عمومي ډول ښکاره‬ ‫ک‪７‬و‪ ،‬دې ته د مثال د نفي کولو استدالل وايي‪.‬‬ ‫غﻴر مﺴقﻴم ثبوت‪:‬‬

‫که د خپلې ادعا يا قضيې د عکس په فرضولو يا قبلولو د فرض شوي ادعا خالف ته ورسې‪８‬و‪ ،‬نو په‬ ‫دې حالت کې فرضيه ناسمه او خالف يې سم دى‪ .‬دې ډول استدالل ته غيرمستقيم ثبوت (برهان‬ ‫خلف) وايي‪.‬‬ ‫بﻴان ‪:‬‬ ‫يوې خبرې جملې ته چې نتيجه يې سمه يا ناسمه وي‪ ،‬د بيان په نامه يادې‪８‬ي‪ ،‬يوه جمله چې نتيجه يې‬ ‫سمه اويا ناسمه نه وي‪ ،‬بيان نه دى‪.‬‬ ‫د ﺑﻴاﻧﻮﻧﻮ ﺗﺮﻛﻴﺐ‪:‬‬ ‫که د ‪ p‬او ‪ q‬دوه بيانونه راک‪７‬ل شوي وي‪ ،‬په دي حالت کې‪:‬‬ ‫‪ -1‬د ‪ p q‬ترکيب د ‪ p‬او ‪ q‬دوه بيانونه د عطفي ترکيب يا (منطقي "او") په نامه يادې‪８‬ي‪.‬‬

‫چې د ‪ p‬او ‪ q‬د بيان په شکل ويل کې‪８‬ي‪.‬‬ ‫‪ -2‬د ‪ p q‬ترکيب د ‪ p‬او ‪ q‬د بيانونو د فصلي ترکيب (منطقى " يا ") په نامه يادې‪８‬ي‪ ،‬د‬ ‫) ( عالمه د (يا) په معنا په کار وړل شوي ده‪.‬‬ ‫‪( -3‬که چېرې نو) او يا د " " منطقي عالمه د ‪ p q‬د ‪ p‬او ‪ q‬مشروط بيان دى‪ ،‬که ‪ p‬نو‬ ‫عالمه ښکاره کوی چې ‪ p‬د شرطي ترکيب اساس دى‪ ،‬ددې لپاره چې ‪ q‬له‬ ‫‪ q‬ويل کې‪８‬ي‪ ،‬د‬ ‫هغې نتيجه شي‪.‬‬ ‫‪ -4‬که يوازې که يا دا " " منطقي عالمه د ‪ p‬او ‪ q‬د بيانونو دوو خواوو شرطي ترکيب دى چې د‬ ‫( ‪ p‬که اويوازې که ‪ ) q‬دى‪.‬‬

‫‪411‬‬

‫د فﺼل پو＊تن‪３‬‬ ‫‪ - 1‬له الندې ځوابونو څخه ستاسو په نظر کوم يو سم دى؟‬ ‫الف‪ -‬په مشاهداتو کې خطا د استقرايي طريقې له ستونزو څخه يوه ستونزه ده‪.‬‬ ‫ب‪ -‬د رياضي د استدالل له قوي طريقو څخه يوه هم استقرايي طريقه ده‪.‬‬ ‫ج‪ -‬د رياضي په استقرايي طريقې کې يوه ستونزه د مشاهداتو کموالى دى‪.‬‬ ‫د‪ -‬د الف او ج ځوابونه سم دي‪.‬‬ ‫‪ - 2‬له الندې ځوابونو څخه کوم يو يې سم نه دى؟‬ ‫استقرايي استدالل‬ ‫الف‪ -‬د رياضي له مسﺂلو څخه يوه قوي طريقه ده‪.‬‬ ‫ب‪ -‬د مسﺂلو په برخه کې موږ ته د عمومي قوانينو الرښوونه کوي‪.‬‬ ‫ج‪ -‬دمسﺂلو دحل لپاره له رياضي پرته يوه طريقه ده‪.‬‬ ‫د – دمسﺂلو د حلولو لپاره د رياضي طريقه نه ده‪.‬‬ ‫‪ - 3‬د شﻬود په برخه کې له الندې ځوابونو څخه کوم يو يې سم (صحيﺢ) دى؟‬ ‫الف‪ -‬دداسې نتيجې د اخيستنې لپاره چې سل په سلو کې سمه ده‪.‬‬ ‫ب‪ -‬له شﻬود څخه په ﮔټه اخيستنه پر ډاډ سره نه شووويالى چې نتيجه سل په سلو کې سمه ده‪.‬‬ ‫ج شﻬود د رياضي د ښه درک کولو لپاره دى‪.‬‬ ‫د‪ :‬له شﻬود څخه په ﮔټه اخيستنه‪ ،‬کوالى شو د ثبوت لپاره قطعي ﮔمان له حتمي استدالل سره‬ ‫وک‪７‬و‪.‬‬ ‫‪ - 4‬له الندې ځوابونو څخه کوم يو يې سم نه دى؟‬ ‫الف‪ :‬استقرايې استدالل له جز څخه کل ته رسيدل دي‪.‬‬ ‫ب‪ :‬استقرايې استدالل له کل څخه جز ته رسيدل دي‪.‬‬ ‫ج‪ :‬له استقرايې استدالل څخه نه شو کوالى چې د رياضي د دقيق ثبوت لپاره ﮔټه واخلو‪.‬‬ ‫د‪ :‬استقرايې استدالل ديو شمېر مشاهد و پر اساس يوه کلي نتيجه ده‪.‬‬ ‫‪ - 5‬د استنتاجي استدالل پر اساس له الندې ځوابونو څخه کوم يو يې سم نه دی؟‬ ‫الف‪ :‬که واوره اوري ځمکه نمجنه کې‪８‬ي‪ ،‬ځمکه نمجنه ده‪ ،‬نو واوره وريدلي ده‪.‬‬ ‫ب‪ :‬د يوه ښوونځي ټول فارغان له کمپيوتر سره بلد او په رياضي ښه پوهې‪８‬ي‪ ،‬ضمير چې له‬ ‫همدې ښوونځي څخه فارغ شوی دى‪ .‬نو له کمپيوټر سره ښه بلد او په رياضي ښه پوهې‪８‬ي‪.‬‬ ‫ج‪ :‬که يوه څلور ضلعي مربع وي‪ ،‬نو قطرونه يې يو پربل عمود دي‪ ،‬که د څلور ضلعي قطرونه يو‬ ‫پر بل عمود وي‪ ،‬نو دا څلور ضلعي مربع ده‪.‬‬

‫‪412‬‬

‫د‪ :‬که د يوه مثلث دوې ضلعې سره مساوي وي‪ ،‬متساوي الساقين مثلث دى او که د مثلث درې‬ ‫ضلعې سره مساوي وي‪ ،‬متساوي االضالع مثلث دى‪ ،‬نو هر متساوي االضالع مثلث‪ ،‬متساوي‬ ‫الساقين مثلث دي‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ - 6‬د قياسي استدالل په واسطه وښياست د هرې زاويې لپاره ‪ sin + cos = 1‬ده‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ - 7‬د استقرايي استدالل په واسطه وښياست چې د ‪ n‬مسلسلو تاقو طبيعي عددونو مجموعه له ‪n‬‬ ‫سره مساوي ده‪.‬‬ ‫‪ - 8‬له استقرايي استدالل سره وښياست چې د هر طبيعي عدد ‪ n‬لپاره الندې مساوات سم دى‪.‬‬ ‫)‪n (n + 1‬‬ ‫‪2‬‬

‫= ‪1 + 2 + 3 + ... + n‬‬

‫‪ - 9‬د استنتاجي استدالل په اساس ثبوت ک‪７‬ئ چې د دوو جفتو عددونو د جمعې حاصل هر وخت‬ ‫جفت عدد دى؟‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ - 10‬لﻪ يوه مثال سره وښياست چې د ‪ 2 + 3‬افاده د هر طبيعي عدد لپاره هر وخت لوم‪７‬نى عدد‬ ‫نه دى‪.‬‬ ‫‪ - 11‬د غير مستقيم ثبوت د استدالل په واسطه وښياست که ‪ n‬يو طبيعي اختيارى عدد وى او هم‬ ‫‪ n 2‬طاق وي‪ ،‬نو ‪n‬هم طاق دى‪.‬‬ ‫‪ - 12‬د (باران اوري او وريځ نشته دى‪ ،‬نو باران نه اوري) د ترکيبي بيانونو لپاره د صحت جدول جوړ‬ ‫ک‪７‬ئ‪ ،‬په داسى حال کې که‬ ‫( = باران اوري)) او ((وريځ ده = )) سره وښايو‪ )1( .‬عدد د سم اود (‪ )0‬عدد د ناسم لپاره‬ ‫په کار يوسي‪.‬‬

‫‪413‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬