Lehrbuch der Theoretischen Physik - Band I - Mechanik [I, 13 ed.] 3055000633, 3055000641

Citation preview

JI. ~. Jlaanay H E. M. JIHepmHIJ;· MeXaHHKa Erschienen im Verlag NAUKA, Moskau 1988 Übersetzt aus dem Russischen von Doz. Dr. Hardwin Jungclaussen, Dresden

Ges.-ISBN 3-05-500063-3 Bd. I-ISBN 3-05-500064-1

Erschienen im Akademie-Verlag Berlin, Leipziger Straße 3---4, Berlin, DDR-1086 © Akademie-Verlag Berlin 1976 Lizenznummer: 202 ·100/448/90 Printed in the German Democratic Republic Gesamtherstellung: VEB Druckerei "Thomas Müntzer", Bad Langensalza, 5820 LSV 1114 Bestellnummer: 760 201 7 (5436jI) 02200

INHALTSVERZEICHNIS

Kapitel I.

Bewegungsgleichungen . . . . . . § 1. Verallgemeinerte Koordinaten.

1

§ 2. Das Prinzip der kleinsten Wirkung. § 3. Das GALILElsche Relativitätsprinzip.

2 5

§ 4. Die LAGRANGE-Funktiondes freien Massenpunktes

Kapitel II.

I

10

Erhaltungssätze

16

§ 6. Energie . § 7. Impuls . .

16 18 20 22 26

KapitelIII. Integration der Bewegungsgleichungen § 11. Eindimensionale Bewegung. . . . . . . . . . . . . . . . § 12. Bestimmung der potentiellen Energie aus der Schwingungsdauer § 13. Reduzierte Masse . . . .

30 30 33 34

§ 14. Bewegung im Zentralfeld . § 15. Das KEpLER-Problem .

36

Zusammenstoß von Teilchen

49

§ 16. Zerfall von Teilchen .

49 53 57 63

42

§ 17. Elastischer Stoß. . . § 18. Streuung von Teilchen § 19. Die RUTHERFoRDsche Formel § 20. Streuung unter kleinen Winkeln.

Kapitel V.

,...

§ 5. Die LAGRANGE-Funktioneines Systems von Massenpunkten

§ 8. Schwerpunkt § 9. Drehimpuls. § 10. Mechanische Ähnlichkeit

Kapitel IV.

1

67

Kleine Schwingungen

70

§ 21. Freie eindimensionale Schwingungen .

70 74 79 86 90 94 97

§ 22. Erzwungene Schwingungen. . . . . § 23. Schwingungen von Systemen mit mehreren Freiheitsgraden § 24. Schwingungen von Molekülen. . . . . . . . . . . . . § 25. Gedämpfte Schwingungen

. . . . . . . . . . . . . .

§ 26. Erzwungene Schwingungen bei Anwesenheit von Reibung § 27. Parametrische Resonanz . . . . . . . . . . . . . . .

VIII

Inhaltsverzeichnis § 28. Anharmonische Schwingungen. . . . . . . . § 29. Resonanz im Fall nichtlinearer Schwingungen § 30. Bewegung im schnell oszillierenden Feld

117

Kapitel VI. Bewegung des starren Körpers § 31. § 32. § 33. § 34. § 35. § 36. § 37. § 38. § 39.

Winkelgeschwindigkeit. Trägheitstensor . . . . Drehimpuls des starren Körpers. Die Bewegungsgleichungen des starren Körpers Die Etrr.nnschen Winkel . . Die EULERSchen Gleichungen Der unsymmetrische Kreisel. Berührung starrer Körper. . Bewegung in einem beschleunigten Bezugssystem

Kapitel VII. Die kanonischen Gleichungen. . . . § 40. § 41. § 42. § 43. § 44. § 45. § 46. § 47. § 48. § 49. § 50. § 51. § 52.

103 106 113

J17 120 129 131 134 140 142 150 155 161

Die HAMILTONschen Gleichungen. 161 Die ROUTHsche Funktion. . . . 164 166 Die Porssoxschen Klammern . . Die Wirkung als Funktion der Koordinaten . 170 Das Prinzip von MAUPERTIUS . 173 Kanonische Transformationen. . . . . . . 176 LIOUVILLEscher Satz . . . . . . . . . . . 179 Die HAMILTON-JAcoBlsche Differentialgleichung 181 Separation der Variablen. 184 190 Adiabatische Invarianten. . . . . . . . . . Kanonische Variable . . . . . . . . . . . 193 Die Genauigkeit der Erhaltung der adiabatischen Invarianten. 196 Bedingt-periodische Bewegung . . . . 199

(1908 -1968)

205

Verzeichnis der Arbeiten von L. D. LANDAU.

224

Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

228

Anhang:

LEW DAVIDOWITCH LANDAU

Hinweis auf Bezeichnungen:

Andere Autoren verwenden als Bezeichnung für die potentielle Energie (hier Cf) den Buchstaben V, den Drehimpuls (hier M) den Buchstaben L, das Drehmoment (hier K) den Buchstaben D oder M. Der Herausgeber

I

BEWEGUNGSGLEICHUNGEN

§l.

Verallgemeinerte Koordinaten

Einer der Grundbegriffe der Mechanik ist der Begriff des Massenpunktes. I ) Unter dieser Bezeichnung versteht man einen Körper, dessen Ausmaße man bei der Beschreibung seiner Bewegung vernachlässigen kann. Natürlich hängt die Möglichkeit einer solchen Vernachlässigung von den konkreten Bedingungen der Aufgabe ab. So kann man z. B. die Planeten als Massenpunkte annehmen, wenn man ihre Bewegung um die Sonne untersucht, dagegen freilich nicht, wenn man ihre tägliche Drehung betrachtet. Die Lage eines Massenpunktes im Raum wird durch seinen Radiusvektor r beschrieben, dessen Komponenten mit den kartesischen Koordinaten x, y, z zusammenfallen. Die Ableitung von r nach der Zeit t

v

=

dl' dt

heißt Geschwindigkeit, die zweite Ableitung

d2".

dt 2

Beschleunigung des Punktes.

Im folgenden werden wir oft die Differentiation nach der Zeit wie üblich durch einen Punkt über dem Buchstaben bezeichnen: v = r. Zur Bestimmung der Lage eines Systems von N Massenpunkten im Raum müssen N Radiusvektoren gegeben sein, d. h. 3 N Koordinaten. Allgemein versteht man unter der Zahl der Freiheitsgrade eines Systems die Anzahl der unabhängigen Größen, deren Angabe für die eindeutige Bestimmung der Lage des Systems notwendig ist; im vorliegenden Falle ist diese Zahl gleich 3 N. Diese Größen müssen nicht unbedingt kartesische Koordinaten sein; je nach den Bedingungen der Aufgabe kann die Wahl anderer Koordinaten vorteilhafter sein. Wenn die Gesamtheit irgendwelcher Größen qv q2' ... , q, die Lage eines Systems (mit s Freiheitsgraden) völlig charakterisiert, so nennt man diese Größen verallgemeinerte Koordinaten und die Ableitungen qi verallgemeinerte Geschwindigkeiten. Die Angabe der verallgemeinerten Koordinaten bestimmt jedoch noch nicht den "mechanischen Zustand" eines Systems in einem gegebenen Zeitpunkt, d. h., sie gestattet noch nicht, die Lage des Systems in zukünftigen Zeitpunkten vorherzusagen. Bei gegebenen Koordinaten kann das System belie1) Statt "Massenpunkt" werden wir oft"Teilchen" sagen.

v §21.

KLEINE SCHWINGUNGEN

Freie eindimensionale Schwingungen

Ein sehr verbreiteter Bewegungstyp mechanischer Systeme sind die sogenannten kleinen Schwingungen, die ein System um einen stabilen Gleichgewichtszustand herum ausführt. Wir beginnen die Betrachtung solcher Bewegungen mit dem einfachsten Fall, daß nämlich das System nur einen einzigen Freiheitsgrad besitzt. Im stabilen Gleichgewicht hat das System eine Lage, in der die potentielle Energie U(q) ein Minimum besitzt; eine Auslenkung aus dieser Lage führt zum Auftreten einer Kraft - dU [dq, die das System in die Ausgangslage zurückzieht. Wir bezeichnen den zum Minimum von U gehörenden Wert der verallgemeinerten Koordinaten q mit qo' Bei kleinen Ablenkungen aus der Gleichgewichtslage genügt es, bei der Entwicklung der Differenz U(q) - U(qo) nach Potenzen von q - qo nur das erste nicht verschwindende Glied zu berücksichtigen. Das ist im allgemeinen das Glied zweiter Ordnung U(q) -

U(qo) ,...,

2k

(q - qO)2 ,

k ist ein positiver Koeffizient (und gleich der zweiten Ableitung U"(q) an der Stelle q = qo)' Im folgenden normieren wir die potentielle Energie derart, daß U(qo) = 0 wird, und führen die Bezeichnung x=q-qo

(21,1)

für die Auslenkung der Koordinate von ihrem Gleichgewichtswert ein. Damit wird U(x)

k x2

= 2'

(21,2)

Die kinetische Energie des Systems mit einem Freiheitsgrad hat im allgemeinen Fall die Form 1 . a(q) q2 2

-

= -1 a(q) x'2 . 2

In der betrachteten Näherung genügt es, die Funktion a(q) einfach durch ihren Wert an der Stelle q = qo zu ersetzen. Wenn wir der Kürze halber die Bezeichnung-) a(qo) = m 1) Es sei jedoch betont, daß die Größe m nur dann mit der Masse zusammenfällt, wenn x die kartesische Koordinate des Teilchens ist!

VI

BEWEGUNG DES STARREN KÖRPERS

§31.

Winkelgeschwindigkeit

Den starren Körper kann man in der Mechanik als ein System von Massenpunkten definieren, deren Abstände voneinander unveränderlich sind. Systeme, die tatsächlich in der Natur vorkommen, erfüllen diese Bedingung natürlich nur näherungsweise. Die meisten starren Körper ändern aber unter gewöhnlichen Bedingungen ihre Formen und Ausmaße so wenig, daß wir diese Änderungen durchaus vernachlässigen können, wenn wir die Bewegungsgesetze des als Ganzes betrachteten starren Körpers untersuchen. In den folgenden Darlegungen werden wir den starren Körper oft als eine diskrete Gesamtheit von Massenpunkten darstellen; dadurch erreicht man eine gewisse Vereinfachung der Ableitungen. Das widerspricht jedoch in keiner Weise dem Umstand, daß man in Wirklichkeit den starren Körper in der Mechanik als ein Kontinuum ansehen kann, dessen innere Struktur gar nicht interessiert. Der Übergang von den z Summen über diskrete Punkte zu den Formeln des Kontinuums geschieht einfach dadurch, daß man die Masse des Teilchens durch die Masse o dV ersetzt, die im Volumenelement dV eingeschlossen ist (e ist die Dichte), und über das ganze Volumen des Körpers integriert. Zur Beschreibung der Bewegung des starren Körpers führen wir zwei Ko.J----------y ordinatensysteme ein; ein "ruhendes", d. h. ein Inertialsystem X YZ und ein X bewegliches System mit den Koordi- Abb. 35 naten Xl = X, X 2 = y, X 3 = z, das mit dem Körper starr verbunden sein soll und an allen seinen Bewegungen teilnimmt. Den Nullpunkt des bewegten Koordinatensystems legt man zweckmäßigerweise in den Schwerpunkt des Körpers. Die Lage des starren Körpers bezüglich des ruhenden Koordinatensystems ist durch die Angabe der Lage des bewegten Systems vollständig bestimmt. Der Radiusvektor R möge zum Nullpunkt des bewegten Systems führen

Ergänzungen zur 13. Auflage

S. 108: Fußnote Neuere Bücher, in denen nichtlineare Schwingungen sehr ausführlich behandelt werden, sind z. B.: A. H. NAYFEH, Introduction to Perturbation Techniques, sowie A. H. NAYFEH und D. T. MOOK, NonlinearOscillations, beide 1. Wiley & Sons, New York, 1981 (1993) bzw. 1979 (1995). (Anm. d. Herausg.)

S. 198: Fußnote 3) Einen ausführlichen Beweis für die aufgestellten Behauptungen wie auch eine Berechnung des Proportionalitätsfaktors in der Formel (51,6) kann man in dem Artikel A. A. Sluzkin, Z. eksper. teor. fiz. 45, 978 (1963) finden.

S. 199: Aufgabe 2 2. Ein Teilchen führt in einem Potentialtopf Schwingungen aus. Man bestimme die Änderung seiner Energie unter Einfluß der Reibungskraft IR = - ai für kleine Werte von a. Lösung: Wir mitteln (25,13) über eine Schwingungsperiode, vernachlässigen dabei in erster Näherung die Dämpfung der Schwingung und erhalten so

J.X2 T

-;a -dE m = - a X2 = - -T

o

dt

= - -Ta

#.

x dx

2lr a =-mT

-

I (E) .

Dabei sind I (E) die adiabatische Invariante und m die Teilchenmasse. Drücken wir die Schwingungsdauer T gemäß (49,8) durch I aus, so ergibt sich d!.. dE dE dt

= _ a I. m

Nach Integration erhalten wir -

I (E)

a

= I (Eo) e

--(

m

(1)

.

Formel (1) drückt indirekt die Abhängigkeit E (t) aus. Für den harmonischen Oszillator geht (1) a

in (25,5) über. Diese Lösung gilt nur für ;; T « 1.