Lehrbuch der Theoretischen Physik - Band IV - Quantenelektrodynamik [IV, 7 ed.] 3055000633, 3055000684

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L. D. LANDAU· E. M. LIFSCHITZ

LEHRBUCH DER THEORETISCHEN PHYSIK in zehn Bänden In deutscher Sprache herausgegeben von Prof. Dr. habil. PAUL ZIESCHE Technische Universität Dresden

Band IV

QUANTENELEKTRODYNAMIK

w. B. BERESTETZKI . E. M. LIFSCHITZ L. P. PITAJEWSKI

QUANTENELEI(TRODYNAMII( In deutscher Sprache herausgegeben von Prof. Dr. sc. ADOLF KüHNEL Universität Leipzig

7., berichtigte Auflage Mit 25 Abbildungen

AKADEMI:g VEHLAG

Titel der Originalausgabe: KBaHToBaH 3J1eKTp0.l1:lmaMHKa erschienen im Verlag Nauka, Moskau © 1989 Verlag Nauka (3. Auflage) Autoren: W. B. Berestetzki L. D. Landau E. M. Lifschitz L. P. Pitajewski

Herausgeber: Prof. Dr. sc. Adolf Kühnel Universität Leipzig, Sektion Physik Augustusplatz 10 0-7031 Leipzig, BR Deutschland

Deutschsprachige Ausgaben: 1. Auflage 1970(Bd. IVa), 1973 (Bd. IVb) 2. Auflage 1971 (Bd. IVa), 1975 (Bd. IVb)

3. Auflage 1975/77 (Bd. IVa) 4. Auflage 1980

5. Auflage 1986 6. Auflage 1989 7. Auflage 1991

Lektorat: Dipl.-Phys. Ursula Heilmann Übersetzer: Prof. Dr. sc. Adolf Kühnel Manuskriptbearbeitung: Dipl.-Phys. Renate Gelbrich Herstellerische Betreuung: Christine Fromm

CIP-Titelaufnahme der Deutschen Bibliothek Lehrbuch der theoretischen Physik: in 10 Bänden / L. D. Landau; E. M. Lifschitz. In dt. Sprache hrsg. von Paul Ziesche. - Berlin : Akademie-Ver!. Einheitssacht. : Teoreticeskaja fizika (dt.)

ISBN 3-05-500063-3 NE: Landau, Lev D.; Lifsic, Evgenij M.; Ziesche, Paul [Hrsg.]; EST Bd. 4. Beresteckij, Vladimir B.: Quantenelektrodynamik. - 7., berichtigte Aufl. - 1991 Beresteckij, Vladimir B.: Quantenelektrodynamik / W. B. Berestetzki ; E. M. Lifschitz ; L. P. Pitajewski. In dt. Sprache hrsg. von Adolf Kühne!. [Übers.: Adolf Kühnel]. - 7., berichtigte Aufl. - Berlin: Akademie-Ver!., 1991 (Lehrbuch der theoretischen Physik; Bd. 4) Einheitssacht.: Kvantovaja elektrodinamika (dt.)

ISBN 3-05-500068-4 NE: LifSic, Evgenij M.; Pitaevskij, Lev P.: Ges. - ISBN 3-05-500063-3 Bd. IV - ISBN 3-05-500068-4

© Akademie Verlag GmbH, Berlin 1991 Erschienen in der Akademie Verlag GmbH, 0-1086 Berlin (Federal Republic of Germany), Leipziger Str. 3 - 4 Gedruckt auf säurefreiem Papier Alle Rechte, insbesondere die der Übersetzung in andere Sprachen, vorbehalten. Kein Teil dieses Buches darf ohne schriftliche Genehmigung des Verlages in irgendeiner Form - durch Photokopie, Mikroverfilmung oder irgendein anderes Verfahren - reproduziert oder in eine von Maschinen, insbesondere von Datenverarbeitungsmaschinen, verwendbare Sprache übertragen oder übersetzt werden. Die Wiedergabe von Warenbezeichnungen, Handelsnamen oder sonstigen Kennzeichen in diesem Buch berechtigt nicht zu der Annahme, daß diese von jedermann frei benutzt werden dürfen. Vielmehr kann es sich auch dann um eingetragene Warenzeichen oder sonstige gesetzlich geschützte Kennzeichen handeln, wenn sie nicht eigens als solche markiert sind.

Satz, Druck und Bindung: Druckhaus "Thomas Müntzer" GmbH, 0-5820 Bad Langensalza Bestellnummer: 5436/IV Printed in the Federal Republic of Germany

VORWORT ZUR VIERTEN DEUTSCHEN AUFLAGE

Die relativistische Quantentheorie ist gegenwärtig bei weitem noch keine abgeschlossene Theorie; selbst die physikalischen Prinzipien, auf denen diese Theorie aufbaut, sind noch nicht völlig ergründet. Diese Feststellungen treffen in besonderem Maße auf die Theorie der starken und der schwachen Wechselwirkungen zu. Dem ursprünglichen Vorhaben von L. D. LANDAU entsprechend, sollen in diesem Lehrbuch nur diejenigen theoretischen Ergebnisse dargestellt werden, die mit einem vernünftigen Grad an Zuverlässigkeit als gesichert erscheinen und in ein bestimmtes System eingeordnet werden können. Mit anderen Worten, die Darstellung sollte sich nicht zu dicht an die" vorderste Front" der Theoretischen Physik heranwagen. Es ist ganz natürlich, daß man sich bei einem derartigen Vorhaben im wesentlichen auf die Quantenelektrodynamik beschränken muß. Bei der Behandlung der konkreten Anwendungen der Theorie haben wir uns nicht das Ziel gestellt, die Vielzahl der einschlägigen Effekte vollständig zu erfassen; wir haben uns auf die grundlegenden Effekte beschränkt und zusätzlich einige Hinweise auf Originalarbeiten gegeben, in denen weitergehende Untersuchungen zu finden sind. Bei der Wiedergabe der meist sehr umfangreichen Rechnungen haben wir oft einige Zwischenformeln weggelassen, aber wir haben uns immer bemüht, alle nichttrivialen methodischen Gesichtspunkte darzustellen. In diesem Zusammenhang muß man beachten, daß in diesem Band gegenüber den anderen Bänden dieses Lehrbuches ein höheres Nivf:}au des Lesers vorausgesetzt wird. Dieser Band ist ohne die direkte Beteiligung unseres Lehrers L. D. LANDAU geschrieben worden. Wir haben uns jedoch bemüht, uns immer von demselben Geist und demselben Verhältnis zur Theoretischen Physik leiten zu lassen, das er uns gelehrt hat und das er auch in den anderen Bänden dieses Lehrbuches eingenommen hat. Wir haben uns häufig selbst gefragt, wie sich wohl DAU zu dieser oder jener Frage stellen würde, und wir haben uns bemüht, so zu antworten, wie es uns die jahrelange Gemeinsamkeit mit ihm eingegeben hat.

In dieser Auflage sind die beiden Teile, in denen dieser Band in früheren Auflagen herausgegeben worden ist, zu einem Buch vereinigt worden. Wir haben es dabei für zweckmäßig erachtet (gemäß der oben formulierten allgemeinen Ziel,stellung), eine gewisse Kürzung vorzunehmen und einige fragmentarische Abschnitte über die Theorie der starken und der schwachen Wechselwirkungen wegzulassen. Gleichzeitig haben wir das Kapitel über die Elektrodynamik der Hadronen etwas erweitert und auch an einigen anderen Stellen geringfügige Änderungen vorgenommen. November 1976

w. B. BERESTETZKI

E. M.

LIFSCHITZ

L. P. PITAJEWSKI

VORWORT DER HERAUSGEBER ZUR DEUTSCHEN AUSGABE

Der vorliegende Band des "Lehrbuches für Theoretische Physik" befaßt sich mit der Quantenelektrodynamik, dem weitgehend abgesicherten Gebiet der relativistischen Quantentheorie. Einige der dargestellten Ergebnisse liegen in diesem Buch erstmalig in deutscher Sprache vor. Die Art des zu vermittelnden Stoffes bedingt eine anspruchsvollere Darstellung als in den anderen Bänden dieses Lehrbuches, mitunter müssen recht formale Abschnitte vorbereitend für die physikalische Anwendung eingestreut werden. Andererseits sind oft längere Zwischen rechnungen, die die Darstellung unnötig schwerfällig werden ließen, nicht wiedergegeben, und der interessierte Leser wird die betreffenden Rechnungen entweder selbst ausführen oder zur zitierten Originalliteratur greifen. Die vorliegende 7. deutsche Auflage der Quantenelektrodynamik wurde nach der 3. russischen Auflage dieses Buches vorbereitet. Die dort enthaltenen Korrekturen und Veränderungen sind in dieser deutschen Auflage berücksichtigt worden. Die vorgenommenen Änderungen gegenüber der 6. deutschen Auflage sind, abgesehen von den neu eingeführten Formelsymbolen, geringfügig. Frau Diplom-Physiker U. Nitzsche sei an dieser Stelle für eine gründliche Durchsicht der vorangegangenen deutschen Auflage auf Druckfehler gedankt. Ebenso gilt unser Dank Herrn Prof. L. P. Pitajewski für seine Unterstützung bei der Vorbereitung dieser neuen Auflage. Die erfreuliche Zusammenarbeit mit Herrn Prof. E. M. Lifschitz bei der Herausgabe früherer deutscher Auflagen behalten wir in dankbarer Erinnerung. Dresden und Leipzig 1990

P. Ziesche

A. Kühnel

INHALTSVERZEICHNIS

XIII

Einige Bezeichnungen Einleitung.

§ KapitelL

1. Unschärferelationen im relativistischen Bereich

5

Das Photon § § § § § § § §

2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Quantisierung des freien elektromagnetischen Feldes Photonen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eichinvarianz . . . . . . . . . . . . . . . . Das elektromagnetische Feld in der Quantentheorie. Drehimpuls und Parität eines Photons Kugelwellen für Photonen . . Polarisation eines Photons . . Ein System aus zwei Photonen

10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

Die Wellengleichung für Teilchen mit dem .:spin 0 Teilchen und Antiteilchen . . . . Streng neutrale Teilchen . . . . . . . . . . . Die Transformationen C, P und T . . . . . . Die Wellengleichung für ein Teilchen mit dem Spin 1 Die Wellengleichung für Teilchen mit höheren ganzzahligen Spins Zustände eines Teilchens mit bestimmter Spiralität . . . . . .

Kapitel IH. Fermionen

§ § § § § § § § § § § § §

17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29.

5 10 12 14 15 18 23 28 32

Kapitel H. Bosonen

§ § § § § § §

1

32 36 40 42 48 52 53

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4-Spinoren Zusammenhang zwischen Spinoren und 4-Vektoren. Spiegelung Von Spinoren Die DIRAc-Gleichung in Spinorschreibweise Symmetrische Form der DmAc-Gleichung Die Algebra der DmAc-Matrizen Ebene Wellen Kugelwellen Zusammenhang zwischen Spin und Statistik Ladungskonjugation und Zeitumkehr für Spinoren Innere Symmetrie von Teilchen und Antiteilchen Bilineare Formen Die Polarisationsmatrix

59 61 64 69 71 76 79 82 86 88 93 95 99

x

Inhaltsverzeichnis § 30. Zweikomponentige Fermionen . . . . . . . . . . .

.

§ 31. Die Wellengleichung für ein Teilchen mit dem Spin 3/2

Kapitel IV. Ein Teilchen in einem äußeren Feld

Kapitel V.

107 110

llO 114 117 119 124 130 132

Die DIRAc-Gleichung für ein Elektron in einem äußeren Feld Entwicklung nach Potenzen von l/c Feinstrukturniveaus des WasserstoffatoI1l.s Bewegung im kugelsynunetrischen Feld Bewegung im COULoMB-Feld . . . . . . Streuung an einem kugelsymmetrischen Feld Streuung im ultrarelativistischen Fall . . . Das System der Wellenfunktionen zum kontinuierlichen Spektrum für die Streuung am COULOMB-Feld . . . . . . . . . . . . § 40. Ein Elektron im. Feld einer ebenen elektromagnetischen Welle § 41. Bewegung eines Spins in einem äußeren Feld . § 42. Neutronenstreuung an einem elektrischen Feld

134 137 140 146

Strahlung

148

§ § § § § § § § § § § §

43. 44, 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54.

148 150 153 155 159 161 169 173 176 179 184

§ § § §

55. 56. 57. 58.

§ § § § § § § §

32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39.

104

Der Operator für die elektromagnetische Wechselwirkung. Emission und Absorption Dipolstrah lung Elektrische Multipolstrahlung Magnetische Multipolstrahlung Winkelverteilung und Polarisation der Strahlung Strahlung von Atomen. Elektrische Strahlung Strahlung von Atomen. Magnetische Strahlung Strahlung von Atomen. ZEEMAN- und STARK-Effekt Strahlung von Atomen. Das Wasserstoffatom . Strahlung zweiatorniger Moleküle. Elektronenspektren Strahlung zweiatomiger Moleküle. Schwingungs- und Rotationsspektren Strahlung von Kernen Photoeffekt. Nichtrelativistischer Fall Photoeffekt. Relativistischer Fall Photodesintegration des Deuterons

Kapitel VI. Streuung von Licht § § § § §

59. 60. 61. 62. 63.

Kapitel VII. Die Streumatrix § § § § § § § §

64. 65. 66. 67. 68. 69. 70. 71.

..........

Der Streutensor ........ Streuung an beliebig orientierten Systemen Streuung an Molekülen . . . . . . Natürliche Breite von Spektrallinien Resonanzfluoreszenz . . . . . .

Die Streuamplitude . Reaktionen mit polarisierten Teilchen Kinematische Invariant"en . Physikalische Bereiche. . . . . . . Partialwellenentwicklung ..... Symmetrie der Streuamplituden zu bestiInmten Spiralzuständen Invariante Amplituden U nitaritätsbedingung

190 191 194 198 202 206 206 215 221 225 228 231 231 236 239 241 246 249 255 259

Inhaltsverzeichnis Kapitel VIII. Invariante Störungstheorie § § § § § § § §

72. 73. 74. 75. 76. 77. 78. 79.

80. 81. 82. 83. 84. 85.

Streuung eines Elektrons an einem äußeren Feld Streuung von Elektronen und Positronen an einem Elektron Ionisierungsverluste schneller Teilchen Die BREITsche Gleichung ..... Positronium . . . . . . . . . . . Wechselwirkung von Atomen über große Entfernungen.

Kapitel X. Wechselwirkung von Elektronen mit Photonen § 86. Streuung eines Photons an einem Elektron § 87. Streuung eines Photons an einem Elektron. Polarisationseffekte § 88. Vernichtung eines Elektronenpaares unter Erzeugung zweier § § § §

89. 90. 91. 92.

§

93.

§ § § §

94. 95. 96. 97.

§ § § §

98. 99. 100. 101.

Photonen. . . . . . . . . . Vernichtung von Positronium. Bremsstrahlung im Magnetfeld Paarbildung durch ein Photon in einem Magnetfeld. Bremsstrahlung eines Elektrons beim Stoß mit' einem Kern. Nichtrelativistischer Fall .......... Bremsstrahlung eines Elektrons beim Stoß mit einem Kern. Relativistischer Fall . . . . . . . . . . . . . Paarerzeugung durch ein Photon im Kernfeld . . Exakte Theorie der Paarerzeugung im ultrarelativistischen Fall Exakte Theorie der Bremsstrahlung in. ultrarelativistischen Fall Bremsstrahlung bei einem Elektron-Elektron-Stoß 1m ultrarelativistischen Fall . . . . . . . . . Emission weicher Photonen bei Stößen . Die Methode der äquivalenten Photonen Paarerzeugung bei Stößen . . . . . . Emission eines Photons durch ein Elektron im Feld einer intensiven elektromagnetischen Welle.

Kapitel XI. Exakte Propagatoren und Eckteile § § § § § § § § §

264

Zeitgeordnetes Produkt 264 FEYNMAN~Diagramme für die Streuung von Elektronen. . . .. 267 FEYNMAN-Diagramme für die Streuung eines Photons 273 Der Elektronenpropagator . . . . . . . 276 Der Photonenpropagator. . . . . . . . 280 Allgemeine Regeln zur Diagramrntechnik 284 Crossing-Invarianz. 291 Virtuelle Teilchen . . . 292

Kapitel IX. Wechselwirkung von Elektronen § § § § § §

XI

102. Feldoperatoren im HEISENBERG -Bild 103. Der exakte Photonenpropagator 104 .•;oie Selbstenergiefunktion für ein Photon. 105. Der exakte Elektronenpropagator 106. Der Vertexoperator . 107. Die DysoN-Gleichung . . . . . 108. Die WARD-Identität . . . . . . 109. Der Elektronenpropagator zu äußerem Feld 110. Die physikalischen Renormierungsbedingungen

297 297 301 309 315 322 325 331 331 336 344 348 352 362 364 375 385 388 394 401 405 412 418 423 429 429 431 43·7 441 44.i, 447 449 453 458

XII

Inhaltsverzeichnis

§ 111. Die analytischen Eigenschaften des Photonenpropagators § 112. Die Regularisierung von FEYNMAN-Integralen Kapitel XII. Strahlungskorrekturen

.............

§ 113. Berechnung des Polarisationsoperators . . . . § 114. Strahlungskorrekturen zum CouLoMBschen Gesetz § 115. Berechnung des Imaginärteiles des Polarisationsoperators über ein FEYNMAN-Integral . . . . . . . . . . . . . . . § 116. Die elektromagnetischen Formfaktoren eines Elektrons § 117. Berechnung der Formfaktoren für ein Elektron § 118. Das anomale magnetische Moment eines Elektrons. . § 119. Berechnung des Massenoperators . . . . . . . . . § 120. Die Emission weicher Photonen mit von Null verschiedener Masse § 121. Die Streuung eines Elektrons an einem äußeren Feld in zweiter BORNscher Näherung . . . . > • • • • • • • • • • • • § 122. Strahlungskorrekturen zur Streuung eines Elektrons an einem äußeren Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 123. Verschiebung der Atomniveaus infolge Strahlungskorrekturen . . § 124. Verschiebung der Niveaus mesischer Atome infolge Strahlungskorrekturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 125. Die relativistische Gleichung für gebundene Zustände. § 126. Doppeldispersionsrelationen . . . . . . . . . . . § 127. Photon-Photon-Streuung ........... § 128. Kohärente Streuung eines Photons an einem Kernfeld . § 129. Strahlungskorrekturen zu den Gleichungen für das elektromagnetische Feld. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 130. Der Zerfall eines Photons im Magnetfeld . . . . . . . . § 131. Berechnung von Integralen über vierdimensionale Bereiche Kapitel XIII. Asymptotische Formeln für die Quantenelektrodynamik

§ 132. Das asymptotische Verhalten des Photonenpropagators für große Impulse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 133. Der Zusammenhang zwischen "nackten" und wahren Ladungen. § 134. Das asymptotische Verhalten der Streuamplituden bei großen Energien..' . . . . . . . . . . . § 135. Abtrennung der doppelt logarithmischen Glieder im Vertexoperator . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . " § 136. Die doppelt logarithmische Asymptote des Vertexoperators . § 137. Die doppelt logarithmische Asymptote für die Amplitude der Elektron-Müon-Streuung Kapitel XIV. Elektrodynamik der Hadronen

§ 138. § 139. § 140. § 141.

Elektromagnetische Formfaktoren der Hadronen Elastische Elektron-Hadron-Streuung . . . . . Ein Satz für die Bremsstrahlung im niederenergetischen Bereich Ein Satz für die Photon-Hadron-Streuung im niederenergetischen Bereich . . . . . . . . . . . . . . § 142. Die Multipolmomente aer Hadronen. . . . . . . . . . . . . § 143. Inelastische Elektron-Hadron-Streuung . . . . . . . . . . . § 144. Die Umwandlung eines Elektron-Positron-Paares in Hadronen und die hadronische Vakuumpolarisation Sachverzeichnis .

463 46-7 471 471 474 477 482 485 489 492 497 502 507 511 517 519 525 532 539 541 550 557 562 562 566 568 573 579 581

588 588 593 596 599 602 606 609 611

EINIGE BEZEICHNUNGEN

Vierdimensionale Bezeichnungen Vierdimensionale Tensorindizes werden mit griechischen Buchstaben Ä, p" 'V, ... bezeichnet und nehmen die Werte 0, 1, 2, 3 an. Es wird die 4-Metrik mit der Signatur (+ - - -) verwendet. Der metrische Tensor ist gllv (goo = 1, gn = g22 = g33 = -1). Die Komponenten eines 4-Vektors werden in folgender Weise angegeben: all ==(aO, a). Zur Vereinfachung der Schreibweise von Formeln wird der Index der Komponenten von 4-Vektoren häufig weggelassen. I) Skalarprodukte von 4-Vektoren werden dabei einfach als (ab) oder ab geschrieben: ab = allb ll = aobo - ab. Der vierdimensionale Ortsvektor ist XII = (t, r), das vierdimensionale Volumenelement ist d 4x. Der Operator für die Differentiation nach den 4-Koordinaten ist all = ajaxll • Der antisymmetrische 4-Einheitstensor ist eTtllv(J mit e0123 = -eOl23 = + l. Die vierdimensionale (j-Funktion ist (j(4)(a) = (j(ao) (j(a).

Dreidimensionale Bezeichnungen Für die dreidimenionalen Tensorindizes werden lateinische Buchstaben verwendet: i, k, l, ... ; sie nehmen die Werte X, y, z an. Dreidimensionale Vektoren werden als halbfett-kursive Buchstaben gesetzt oder griechische Buchstaben mit Pfeil. Das dreidimensionale Volumenelement ist d 3x.

Operatoren Operatoren werden mit Buchstaben mit einem "Dach" bezeichnet. 2 ) Die Kommutatoren oder Antikommutatoren zweier Operatoren sind

{f, g} ± =

=jg + gf. 1) Diese Schreibweise ist in der heutigen Literatur weit verbreitet. Dieser Kompromiß zwischen den Vorräten an Buchstaben und den Erford_ernissen der Physik erfordert natürlich vom Leser besondere Aufmerksamkeit. 2) Zur Vereinfachung der Schreibweise wird aber über den Spinmatrizen das Dach weggelassen. Auch über den Bezeichnungen für die Operatoren in Matrixelementen wird das Dach nicht mitgeschrieben.

XIV

Einige Bezeichnungen A

Der transponierte Operator ist f. Der adjungierte (hermitesch konjugierte)

A

Oper~tor

istf+.

Der Operator für die Ladungskonjugation ist C~) Der Operator einer räumlichen Spieg~lung ist P.I) Der Operator für die Zeitumkehr ist T. Für das Symbol des zeitgeordneten Produkts wird der Buchstabe T verwendet.

Matrixelemente

F

Das Matrixelement des Operators für den übergang aus dem Anfangszustand i in den Endzustandf ist F fi oder .

Eine solche Beschreibung des Feldes ist in ihrem Wesen relativistisch invariant, weil sie auf den invarianten MAxwELLschen Gleichungen basiert. Diese Invarianz ist aber nicht explizit zu sehen - vor allem deshalb nicht, weil räumliche Koordinaten und Zeit in dieser Beschreibung äußerst unsymmetrisch enthalten sind. In der relativistischen Theorie ist es zweckmäßig, einer Beschreibung auch äußerlich eine invariante Gestalt zu geben. Zu diesem Zweck muß man das sogenannte HEISENBERG-Bild verwenden, in dem die explizite Zeitabhängigkeit auf die Operatoren selbst übertragen wird (s. III, § 13). Zeit und Koordinaten gehen dann in die Ausdrücke für die Feldoperatoren gleichberechtigt ein, und ein Zustand des Systems f/> hängt allein von den Besetzungszahlen ab. " Der Übergang zum HEISENBERG-Bild erfolgt für den Operator A einfach, indem man in jedem Summanden in (2,17) die Faktoren e ikr durch ei(kr-wt) ersetzt, d. h., man hat unter A klX die zeitabhängigen Funktionen

A krx

_e(_ 1 1) ;m- vj(j+

y~m> = [nyfe>J 3m 3m y(l) nY ;m 1m,

\l Y Vn 1m,

,

P -- (-1);',

P = (_1);+1 . " P- (-1); .

(7,4)

Für den Vektor ist die Parität P angegeben worden. Die vektoriellen Kugelfunktionen der drei verschiedenen Arten sind orthogonal zueinander, Y}:J, ist longitudinal, YJ~ und sind transversal bezüglich n. Die Vektorkugelfunktionen können durch die skalaren Kugelfunktionen ausgedrückt werden. Dabei wird Y}:!> durch Kugelfunktionen einer einzigen Ordnung l = j dargestellt, Y)~ und YJ~ enthalten Kugelfunktionen der Ordnungen l = j + 1. Dieser Sachverhalt ist von vornherein zu erkennen: Man braucht nur die in (7,4) angegebenen Paritäten der Vektorkugelfunktionen mit-der Parität (_1)1+1 des Vektorfeldes zu vergleichen, dessen Parität durch die Ordnung der auftretenden Kugelfunktionen bestimmt wird. Die Vektorkugelfunktionen der drei Arten sind orthogonal zueinander und nach der Vorschrift

yJ:)

J

Y lmYlm' do = bjj'b mm , (7,5) normiert. Für die Vektoren Y//J ist das auf Grund der Normierungsvorschrift für die Kugelfunktionen Y1m sofort zu sehen. Für die Vektoren Yj:J ist das Normierungsintegral

j(j

~

I)J Vn

YtmV"l'j-m' do

=

~ j(j ~

I)J

Y1-m,L1"Y tm do,

.und infolge von L1n Y 1m = -j(j + 1) Y tm gelangen wir zu (7,5). Auf dasselbe Integral führt auch die Normierung der Vektoren YJ::!>. Man kann auch ohne die obige direkte Verifizierung der Gleichungen (7,1), allein auf Grund allgemeiner überlegungen über die Transformationseigenschaften der Funktionen, zu den Vektorkugelfunktionen (7,4) gelangen. Solche überlegungen haben uns im vorangegangenen Paragraphen zu dem Schluß geführt, daß eine Vektorfunktion der Gestalt ncp zum Drehimpuls f gehört, wenn j die Ordnung der in cp enthaltenen Kugelfunktionen ist. Setzt man einfach cp = Y 1m , dann entspricht die Funktion ncp auch dem bestimmten Wert m für die Projektion des Drehimpulses. Wir kommen auf diese Weise sofort zu den Vektorkugelfunktionen YJ~. Die überlegungen von § 6 über die Transformationseigenschaften bleiben aber unverändert gültig, wenn man den Faktor n im Produkt ncp durch den Vektor Vn oder [n\jnJ ersetzt; auf diese Weise erhalten wir die Vektorkugelfunktionen der beiden anderen Arten. Wir wenden uns jetzt wieder den Wellenfunktionen eines Photons zu. Für ein elektrisches Photon (Ej) muß der Vektor A(k) die Parität (--":1); haben. Die Vektorkugelfunktionen Yj:J und Y}:J haben diese Parität, aber nur der erste Vektor erfüllt die Transversalitätsbedingung. Für ein magnetisches Photon (Mj) muß der Vektor A(k) die Parität (-1 );+1 haben; nur die Vektorkugelfunktion YJ:::> hat diese Parität. Die Wellenfunktionen eines Photons mit einem bestimmten Drehimpuls j und der Drehimpulsprojektion m (und der Energie co) sind demnach Aw;m(k)

4n 2

= 3j2b(l k l co

co) Y 1m (n) .

(7,6)

21

§ 7. Kugelwellen für Photonen

Als Yjm hat man Yj~ ofer Yj:;:) für ein Photon vom elektrischen bzw. magnetischen Typ zu verwenden. Der feste Energiewert wird durch den Faktor (j(lkl - w) berücksichtigt. Die Funktionen (6,6) sind nach der Vorschrift

=

_1_JwW'A!Tm'(k) Awjm(k) d 3 k

(2n)4

w (j(w' - w) (jjj'(jmm'

(7,7)

normiert. Für die Wellenfunktionen in der Ortsda,rstellung ist die Vorschrift (7,7) der Bedingung l )

~J{E!'j'm,(r) Ewjm(r) + H!Tm,(r) Hwjm(r)} d

3

4n

x

=

W (j(w' - w) (jjj'(jmm'

(7,8)

äquivalent. Tatsächlich hat das Integral auf der linken Seite der Gleichung, in Potentialen ausgedrückt, die Gestalt

~ JA!'j'm,(r) Awjm(r) w'w d x . 2n 3

I

Hier hat man einzusetzen: 3

Awjm(r) = JAwjm(k) e

ikr

d k (2n)3

A!'j'm,(r~=JA!'j'm'(k') e-ik'r

3

(7,9)

d k' .

(2n)3

Danach ergibt die Integration über d 3x die (j-Funktionen (2n)3 (j(k' - k), die bei der Integration über d 3k verbraucht wird, und das Integral erhält die Gestalt (7,7). Bisher haben wir immer die transversale Eichung der Potentiale mit dem skalaren Potential (/> = 0 verwendet. Bei verschiedenen Anwendungsfällen kann es aber zweckmäßiger sein, andere Eichungen der Kugelwelle zu benutzen. In der Impulsdarstellung sind folgende Transformationen der Potentiale zugelassen: A ~A

+ nl(k) ,

(/> ~ (/>

+ f(k)

(7,9)

mit einer beliebigen Funktion f(k). Wir wählen diese Funktion im vorliegenden Fall so, daß die neuen Potentiale durch dieselben Kugelfunktionen ausgedrückt werden und daß sie wie vorher eine bestimmte Parität haben. Für ein elektrisches Photon beschränken diese Bedingungen die Wahl der Potentiale auf die folgenden Funktionen: 2

(e) (k ) 4n A wjm - W 3/ 2 n.(e)

k

'Pwjm( ,)

=

4n

~( Ik I -

u

w) (y(e) jm

+ Cn

y

1m),

I

(7,10)

2

W3 / 2 (j(lk\) - w) CY,m

mit einer beliebigen Konstante C. Für ein magnetisches Photon würde ein solcher Zusatz zu A(m)(k) zu einer unbestimmten Parität Anlaß geben, und daher ist unter den gleichen Bedingungen die Wahl (7,6) eindeutig. Die Wahrscheinlichkeit dafür, ein Photon mit einem bestimmten Drehimpuls und bestimmter Parität, das sich in n-Richtung im Raumwink-el do bewegt, festzustellen, 1) Diese Bedingung ist von derselben Art wie (2,22). Das Auftreten des Faktors c5(w' -

w) auf der rechten Seite der Gleichung hängt damit zusammen, daß ein Feld (Kugelwelle) im ganzen unendlichen Raum betrachtet wird und nicht in einem endlichen Volumen V = 1.

22

Kapitel I. Das Photon

ist nach (3,5) und (7,6) w(n) do = IYj~(n)12 do. (7,11) Wir haben den Ausdruck für ein E-Photon aufgeschrieben. Wegen IYj~)12 = IYj~12 ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung w(n) für die Photonen beider Arten gleich. Das Betragsquadrat IYJ~12 hängt nicht vom Winkel cp ab (die Faktoren e±imtp in den Kugelfunktionen heben sich weg). Die Wahrscheinlichkeitsverteilung w(n) ist deshalb symmetrisch bezüglich der z-Achse. Da ferner jede Vektorkugelfunktion eil)e bestimmte Parität hat, sind ihre Betragsquadrate bei Spiegelungen gerade Funktionen, d. h., sie ändern sich nicht, wenn man 8 -)- n - 8 ersetzt. Die Funktion w( 8) wird demnach bei der Entwicklung nach LEGENDREschen Polynomen nur Polynome gerader Ordnungen enthalten. Zur Berechnung der Koeffizienten in dieser Entwicklung sind Integrale über Produkte dreier Kugelfunktionen auszurechnen, und anschließend ist über die Komponenten zu summieren. Beide Rechenschritte werden mit Hilfe der Formeln aus III, § 107 -108 ausgeführt und ergeben folgendes Resultat: (2' 1)2 00 w(8) = (_1)m+1 ' J L (4n + 1)

+

4n

n=O

2n) (j

2n) {i.

j q' Pzn(eos6). (7,12) 0 m-m 0 7 J 2'11 J Schließlich geben wir noch die Komponenten der Vektorkugelfunktionen, ausgedrückt durch skalare Kugelfunktionen, an. Dazu benutzen wir die "sphärischen Komponenten" eines Vektors, wie sie in III, § 107 definiert sind; die Komponenten JA des Vektors f sind X (j j o 0

Jo

= iJz,

1+1 ~

-

y~ (fx + il,) ,

(7,13)

Führt man die "Einheitsvektoren der zirkularen Polarisation" e(-l) =

~(e(X)

- ie(Y»)

Y2 ein (e(x,y,z) sind die Einheitsvektoren in j =

1: (-I)l- Af_ Ae(A),

X-,

(7,14)

y- bzw. z-Richtung), dann ist

=

JA = (_1)1-,1. je(-A).

je()').

(7,15)

,1.

Die sphärischen Komponenten der Vektorkugelfunktionen werden mit Hilfe der 3j-Symbole folgendermaßen durch die Kugelfunktionen ausgedrückt: ( _1)i+ m+ A+ 1(y(e») Jm I.

=_lr:(j+l fJ m +}.

.+ l~J' +1( j - ~ V.J --r.l 'In + /I.

(_1)H"'+'+1 (Yj:::I),

( __ 1)i+

m

+!.+1

~

- Y2j

+

j)yi+Lm+i.

_}.1

1 ('"

-rn

f,

-:(i-+}.1 m

1

-}.

j) Y

111 +1.

,

}",) Yj,"'+i.'

}m)

-111

-1,

-111

~Ä _~

(Yj~,h ~ Yi + 1 (~ : ~ ~;. + 1/J

j ) Yj

1 -}.

i

Y j +1,m+i,

- 1 ,m+/.

(7,16)

23

§ 8. Polarisation eines Photons

Diese Formeln werden in folgender Weise hergeleitet: Alle Vektorkugelfunktionen haben die Gestalt Y1m = aY1m mit einem der drei Vektoren (7,3) als a. Daher ist Y 1m =

I (lm'l a Ijm) Y 1m" 1m'

und das Problem ist auf die Berechnung der Matrixelemente der Vektoren a mit den Eigenfunktionen des Bahndrehimpulses zurückgeführt. Nach III, (107,6) haben wir (lm'l a;.ljm)

=

. m,( i( _I)Jmax-

l

1

-m' Ä.

j) (lll a IIJ). ,

m

wobei jmax die größere der beiden Zahlen l und j ist. Wir brauchen daher nur die von Null verschiedenen reduzierten Matrixelemente (lll a Ilj) zu kennen. Für diese gelten die Formeln

Ill) = (lll n III - 1)* (lll \7 n III - 1) = i (l - 1) Vi , (l - 111 \7n IIl) = i(l + 1) Vl, (l - 111 n

(lll [n\7nJ Ill) = i Vl(l § 8.

= iVl,

(7,17)

+ 1) (2l + 1) .

Polarisation eines Photons

Der Polarisationsvektor e spielt für das Photon die Rolle der "SpinfunktionH (mit denselben Einschränkungen, die in § 6 bezüglich des Begriffes des Photonenspins gemacht worden sind). Die verschiedenen möglichen Polarisationen eines Photons unterscheiden sich nicht von den möglichen Polarisationsarten einer klassischen elektromagnetischen Welle (s.II, § 48). Eine beliebige Polarisation e kann als überlagerung zweier irgendwie gewählter, zueinander orthogonaler Polarisationen e(l) und e(2) dargestellt werden (e(l)e(2). =0). In der Zerlegung e =

ele(~)

+ e2e(2)

(8,1)

bestimmten die Betragsquadrate der Koeffizienten el und e2 die Wahrscheinlichkeiten, daß das Photon die Polarisation e(l) oder e(2) hat. Als e(l) und e(2) kann man zwei aufeinander senkrechte lineare Polarisationen wählen. Man kann aber auch eine beliebige Polarisation in zwei zirkulare Polarisationen mit entgegengesetzten Drehsinn zerlegen. Die Vektoren für rechts- und linkszirkulare Polarisation bezeichnen wir mit e( +1) bzw. e( -I). In einem Koordinatensystem ErJ; mit der '-Achse in der Bewegungsrichtung des Photons n = k/w sind. e(+I)

=

-

V2i

(e

m

+ ie(1j») ,

(8,2)

Die Möglichkeit, daß ein Photon (bei gegebenem Impuls) zwei verschiedene Polarisationen haben kann, bedeutet mit anderen Worten, daß jeder Impulseigenwert zweifach entartet ist. Dieser Sachverhalt hängt eng mit der Eigenschaft zusammen, daß die Photonenmasse Null ist.

24

Kapitel 1. Das Photon

Für ein frei bewegtes Teilchen mit von Null verschiedener :Masse gibt es immer ein Ruhsystem. Gerade in diesem Bezugssystem zeigen sich die eigentlichen Symmetrieeigenschaften des Teilchens selbst. Dabei muß man die Symmetrie bezüglich aller möglichen Drehungen um ein Zentrum betrachten. Das Charakteristikum für die Symmetrieeigenschaften eines Teilchens bezüglich dieser Gruppe ist der Spin 8, der die Vielfachheit der Entartung bestimmt (die Zahl 28 + 1 der untereinander transformierten verschiedenen Wellenfunktionen). Insbesondere gehört zu einem Teilchen mit einer vektoriellen (dreikomponentigen) Wellenfunktion der Spin l. Für ein Teilchen mit der :Masse Null gibt es kein Ruhsystem, - in einem beliebigen Bezugssystem bewegt es sich mit Lichtgeschwindigkeit. Für ein solches Teilchen existiert immer eine ausgezeichnete Raumrichtung - die Richtung des Impulsvektors 1~ ('-Achse). In diesem Fall gibt es natürlich keine Symmetrie bezüglich der ganzen dreidimensionalen Drehgruppe, man kann nur von einer Axialsymmetrie um die ausgezeichnete Richtung sprechen. Bei axialer Symmetrie wird nur die Spiralität (oder Helizität) eines Teilchens - die Projektion des Drehimpulses auf die '-Achse - erhalten; wir bezeichnen l ) die Spiralität mit .1. Fordert man ferner Symmetrie bezüglich der Spiegelungen an Ebenen, die die '-Achse enthalten, dann werden die Zustände mit verschiedenen Vorzeichen von .1 miteinander entartet sein; für .1 = 0 werden wir folglich eine zweifache Entartung haben. 2 ) Ein Photonenzustand mit einem bestimmten Impuls entspricht einem dieser zweifach entarteten Zustände. Die "Spinfunktion" für diesen Zustand ist der Vektor e in der ~17-Ebene. Die beiden Komponenten dieses Vektors transformieren sich bei allen Drehungen um die '-Achse und bei den Spiegelungen an Ebenen, die diese Achse enthalten, untereinander. Die verschiedenen Polarisationen eines Photons stehen in einem ganz bestimmten Verhältnis zu den möglichen Werten für die Spiralität. :Man kann die entsprechende Beziehung aus den Formeln 111, (57,9) für den Zusammenhang der Komponenten der vektoriellen Wellenfunktion mit den Komponenten des dazu äquivalenten Spinors zweiter Stufe herleiten. 3 ) Den Projektionen .1 = +1 oder -1 entsprechen Vektoren e, für die nur eine Komponente e~ - iel'J bzw. e~ + ie'YJ von Null verschieden ist, d. h. e = e(+l) bzw. e(-l). :Mit anderen Worten, .die Werte .1 = +1 und -1 gehören zu einem rechts- bzw. linkszirkular polarisierten Photon (in § 16 wird dieses Ergebnis durch direkte Berechnung der Eigenfunktionen des Operators für die Spinprojektion hergeleitet ). Die Projektion des Drehimpulses eines Photons auf die Bewegungsrichtung kann also nur zwei Werte (±1) haben; der Wert 0 ist unmöglich. Ein Zustand eines Photons mit bestimmtem Impuls und bestimmter Polarisation ist ein reiner Zustand (im Sinne von 111, § 14). Er wird durch eine Wellenfunktion beschrieben und entspricht einer vollständigen quantenmechanischen Beschreibung des Zustandes eines Teilchens (Photons). Es sind auch "gemischte" Photonenzustände 1) Im Unterschied zur Projektion 111 des Drehimpulses auf eine bestimmte Haumrichtung (z-Richtung), um die es im vorangegangeneIl Paragraphen ging. 2) Wir erinnern daran, naß man auf diese \\'eise die ElektrOllentpl'lne eines zweiatomigen Moleküls klassifiziert (IIL § 7~). 3) Den Komponenten ner \Vellenfunktion als \Vahrscheinliehkpitsamplituden für die \·erschiedenen Werte der Drehimpulsprojektioll eines Teilchen (UIl1 die es hier geht) entsprechen die kontra\·arianten Spinorkomponenten.

§ 8. Polarisation eines Photons

25

möglich, die einer weniger vollständigen Beschreibung entsprechen und nicht durch eine Wellenfunktion, sondern nur durch eine Dichtematrix gekennzeichnet werden. Wir wollen einen bezüglich der Polarisation gemischten Photonenzustand mit einem bestimmten Impuls k betrachten. In einem solchen Zustand (er wird als teilwei8e polari8iert bezeichnet) existiert eine "Ortsfunktion " .1) Die Polarisationsmatrix (Dichtematrix) für ein Photon ist ein Tensor zweiter Stufe (!tx{J in einer Ebene senkrecht zum Vektor n (e1J- Ebene, die Indizes IX und ßnehmen nur zwei Werte an). Dieser Tensor ist hermitesch, Qtx{J

=

(8,3)

(!:a.,

und nach der Vorschrift (8,4) normiert. Auf Grund von (8~3) sind die Diagonalelemente (!ll und (!22 reell, nach der Bedingung (8,4) wird eines durch das andere bestimmt. Die Komponente (!12 ist komplex, (!21 = (!i2' Insgesamt wird also diese Dichternatrix durch drei reelle Parameter bestimmt. Bei bekannter Polarisationsmatrix kann man die Wahrscheinlichkeit einer beliebigen Polarisation e für ein Photon berechnen. Diese Wahrscheinlichkeit wird durch die "Projektion" des Tensors (!11.{J auf die Richtung des Vektors e bestimmt, d. h. durch die Größe (8,5)

(!11.{Je!e{J •

Die Komponenten (!ll und (!22 geben somit die Wahrscheinlichkeiten für die linearen Polarisationen in ~- bzw. 1J-Richtung an. Die Projektion auf die Vektoren (8,2) ergibt die Wahrscheinlichkeiten für die beiden zirkularen Polarisationen: (8,6)

Die Eigenschaften des Tensors (!tx{J bezüglich seiner Gestalt und seiner Natur stimmen mit den Eigenschaften des Tensors J tx{J überein, der in der klassischen Theorie teilweise polarisiertes Licht beschreibt (s. 11, § 50). Wir wollen hier einige dieser Eigenschaften ins Gedächtnis zurückrufen. Für einen reinen Zustand mit einer bestimmten Polarisation e reduziert sich der Tensor (!tx{J auf das Produkt der Komponenten von e: (8,7)

Dabei ist die Determinante I(!tx{J1 = O. Im entgegengesetzten Fall eines unpolarisierten Photons sind alle Polarisationsrichtungen gleich wahrscheinlich, d. h. (8,8) mit l(!tx{J1 = 1/4. Im allgemeinen beschreibt man die teilweise Polarisation zweckmäßig mit Hilfe der drei reellen SToKEsschen Parameter ~l' 2 und ';3. 2 ) Mit diesen Parametern sieht die.

e

]) In der nichtrelativistischen Theorie haben wir in IU, § 59 eine ähnliche Matrix für ein Elektron behandelt. 2) Man darf die Bezeichnung der Parameter nicht mit der Bezeichnung der ';-Achse verwechseln!

26

Kapitel I. Das Photon

Dichtematrix folgendermaßen aus: _

(}(l.fJ -

(1EI ++ iEE 3

I

2"

2

iE2) 1 - E3 •

EI -

(8,9)

Alle drei Parameter nehmen Werte zwischen -1 und +1 an. Im unpolarisierten Zustand ist EI = E2 = E3 = 0, für ein vollständig polarisiertes Photon gilt Ei E~ Ei =1. Der Parameter E3 gibt die lineare Polarisation in E- oder 1]-Richtung an; die Wahrscheinlichkeit, daß das Photon in diesen Richtungen linear polarisiert ist, ist (1 E3 )/2 bzw. (1 - E3 )/2. Die Werte E3 = +1 oder -1 entsprechen daher der vollständigen Polarisation in diesen Richtungen. Der Parameter EI beschreibt die lineare Polarisation in Richtungen, die mit der E-Achse die Winkel q; = n/4 bzw. q; = -n/4 bilden. Die Wahrscheinlichkeit, daß das Photon in diesen Richtungen linear polarisiert ist, ist (1 EI )/2 bzw. (1 - EI )/2; man kann sich davon leicht überzeugen, indem man den Tensor (!(l.fJ auf die Richtungen e = (1, +1)/Y2 projiziert. Schließlich ist der Parameter E2 ein Maß für die zirkulare Polarisation. Nach (8,6) ist die Wahrscheinlichkeit, daß das Photon rechts- oder linkszirkular polarisiert ist, gleich (1 E2 )/2 bzw. (1 - E2 )/2. Da die beiden Polarisationen den Spiralitäten A = + 1 entsprechen, ist klar, daß E2 im allgemeinen der Mittelwert der Spiralität eines Photons ist. Für einen reinen Zustand mit der Polarisation eist

+ + +

+

+

E2 = i[ee*] n .

(8,10)

YEi +

Wir erinnern daran (s. 11, § 50), daß die Größen E2 und Ei gegenüber LORENTZ~ Transformationen invariant sind. Wir werden im folgenden noch auf die Frage stoßen, wie sich die SToKEssehen Para~ meter bei einer Zeitumkehr verhalten. Es ist leicht zu sehen, daß sie bei einer solchen Transformation invariant sind. Diese Eigenschaft hängt offensichtlich nicht von der Art des Pölarisationszustandes ab, und man kann sich am Fall eines reinen Zustandes von der Richtigkeit dieser Aussage überzeugen. In der Quantenmechanik entspricht der Zeitumkehr der übergang von der Wellenfunktion zur konjugiert komplexen Funktion (111, § 18). Für eine polarisierte Welle bedeutet dasl )

k -+ -k,

e -+ -e*.

(8,11)

Bei dieser Transformation blejbt der symmetrische Teil der Dichtematrix

t

(e(l.e~

+ efJe!)

unverändert, somit ändern sich auch die Parameter EI und E3 selbst nicht. Die Invarianz des Parameters E2 bei derselben Transformation ist (8,10) zu entnehmen; sie ist auch aus dem Sinn von ~2 als Mittelwert der Spiralität evident. Tatsächlich ist die Spiralität die Projektion des Drehimpulses j auf die Richtung n, d. h. das Produkt jn. Bei einer Zeitumkehr ändern beide Vektoren ihr Vorzeichen. 1) Die zusätzliche Vorzeichenänderung von e hängt damit zusammen, daß das V ektor~ potential des elektromagnetischen Feldes bei einer Zeitumkehr sein Vorzeichen wechselt. Das skalare Potential ändert sein Vorzeichen nicht, deshalb bedeutet eine- Zeitumkehr für den 4- Vektor e die Transformation

(eo, e) -

(e~, - e *) .

(8,110.)

§ 8. Polarisation eines Photons

27

Bei späteren Rechnungen werden wir die Dichtematrix für ein Photon in vierdimensionaler Form benötigen, d. h. als 4-Tensor (lf.l v' Für ein polarisiertes Photon, das durch den 4-Vektor ef.l beschrieben wird, wird dieser Tensor natürlicherweise als (8,12) definiert. Wenn die dreidimensional transversale Eichung e = (0, e) benutzt wird und eine der räumlichen Koordinatenachsen in n-Richtung zeigt, dann stimmen die von Null verschiedenen Komponenten dieses 4-Tensors mit (8,7) überein. Für ein unpolarisiertes Photon haben wir in dreidimensional transversaler Eichung den Tensor (lf.l v mit den Komponenten (lik

t (b

=

ik -

(lOi =

nink) ,

(liO

= (loo =

0

(8,13)

(wenn eine Achse mit der n-Richtung übereinstimmt, kommen wir zu (8,8) zurück). Die unmittelbare Verwendung des Tensors (lf.lV in dieser dreidimensionalen Gestalt wäre jedoch unbequem. Wir können aber eine Eichtransformation ausführen. Für die Dichtematrix ist das eine Transformation der Gestalt (lf.lV -+(lf.lV

+

+

Xf.lk v

(8,14)

XVkf.l

mit beliebigen Funktionen Xw Wir setzen 1

Xo= - - , 4w

und erhalten statt (8,13) den einfachen vierdimensionalen Ausdruck (lf.lV

=

t

-

(8,15)

gf.lV •

Die vierdimensionale Darstellung der Dichtematrix für ein teilweise polarisiertes Photon ist leicht zu erhalten, indem man zunächst den zweidimensionalen Tensor (8,9) in dreidimensionale Form bringt: (lik

~ (ep)e~l) + e~2)e~2») + ~1 (ep)e~2) + e~2)e~l))

=

2

_

2

i~2 (e(1)e(2) 2 11.;

_

e(2)e(1») '1

'I.;

+ ~32

(e(l)e(l) _ 1

k

e(2)e(2») ~

k

•

e(1) und e(2) sind dabei die Einheitsvektoren in ~- bzw. 1]-Richtung. Die erforderliche Verallgemeinerung wird erreicht, indem man diese 3-Vektoren durch die raumartigen reellen 4-Einheitsvektoren e(l) und e(2) ersetzt, die aufeinander und auf dem 4-Impuls k des Photons senkrec ht stehen: e(1)2 = e(2)2 = -1, } e(1)e(2) e(l)k

=

= 0, e(2)k

(8,16)

=

0.

In einem speziellen Bezugssystem sind e(1) = (0, e(l)) und e(2) = (0, e(2»). Auf diese Weise gewinnen wir die vierdimensionale Dichtematrix für ein Photon: n

I:;: f.lV

=

~ (e(1)e(1) 2 f.l'

+

e(2)e(2») f.l v

+ ~~2

(e(1)e(2)

tt.

+

e(2)e(1») f.l v

(8,17)

28

KapitelL Das Photon

Wie man die 4-Vektoren e(l) und e(2) tatsächlich wählen wird, hängt von den konkreten Bedingungen eines bestimmten Problems ab. Man muß beachten, daß die Bedingungen (8,16) die Wahl von e(l) und e(2) nicht eindeutig bestimmen. Wenn irgendein 4-Vektor e", diese Bedingungen erfüllt, dann genügt ihnen auch ein beliebiger 4-Vektor der Gestalt e", + Xk", (weil k 2 = 0 ist). Diese Nichteindeutigkeit hängt damit zusammen, daß die Dichtematrix wegen der Eichtransformationen nicht eindeutig ist. Der erste Summand in (8,17) entspricht einem unpolarisierten Zustand. Deshalb könnte man ihn nach (8,15) durch - t Y/1-lI ersetzen. Dieser Austausch wäre wieder einer gewissen Eichtransformation äquivalent. Beim Umgang mit 4-Tensoren der Gestalt (8,17), die nach zwei unabhangigen 4-Vektoren zerlegt sind, ist folgendes formale Vorgehen angebracht. Man schreibt den Tensor (8,17) in der Form 2

'2/1-11 =

E

e(ab)e~a)e~b)

a,o=l

und stellt die Koeffizienten

(e(ll)

= '2

e(21)

e(ao)

als zweireihige Matrix dar:

e(12») • e(22)

Wie jede hermitesche zweireihige Matrix kann man diese nach vier unabhängigen zweireihigen Matrizen - den PAULI-Matrizen (J'x, (J''lI' (J'z und der Einheitsmatrix 1 entwickeln. Diese Zerlegung hat die Gestalt (8,18) Davon kann man sich einfach durch direkten Vergleich mit (8,17) unter Verwendung der bekannten Ausdrücke für die PAULI-Matrizen (18,5) überzeugen (die Zusammenfassung der drei Größen ~1' ~2 und ~3 zu einem "Vektor" ; hat natürlich rein formalen Charakter und dient nur zur Vereinfachung der Schreibweise). Aufgabe Man schreibe die Dichtematrix für ein Photon in der Darstellung auf, in der die Koordinaten-"Achsen" die "zirkularen" Einheitsvektoren (8,2) sind! Lösung. Die Komponenten des Tensors (2~ß in den neuen Achsen ((X, sich durch Projektion des Tensors (8, 9) auf die Einheitsvektoren (8,2): 0'

-

.. 11 -

§ 9.

n e( +l)*e( +1) r:::IXß IX ß •

, (21-1 =

ß = ± 1) ergeben

(+l)*e(-l) (2IXße lX ß

Ein System aus zwei Photonen

Durch ähnliche überlegungen wie in § 6 kann man die Zahl der möglichen Zustände auch für den komplizierteren Fall eines Systems aus zwei Photonen abzählen (L. D. LANDAu,1948).

§ 9. Ein System aus zwei Photonen

29

Wir werden die Photonen im Massenmittelpunktsystem betrachten; die Impulse der Photonen sind k l = -k2 = k. l ) Man kann die Wellenfunktion für ein System zweier Photonen (in der Impulsdarstellung) als dreidimensionalen Tensor zweiter Stufe Aik(n) darstellen, Aik(n) wird als Bilinearform aus den Komponenten der vektoriellen Wellenfunktionen der beiden Photonen gebildet. Ein Tensorindex entspricht einem Photon (n ist der Einheitsvektor in k-Richtung). Die Transversalität der einzelnen Photonen bedingt, daß der Tensor A ik orthogonal zum Vektor n ist:

Aun,

=

0,

A,kn, = 0 .

(9,1)

Vertauscht man die beiden Photonen miteinander, so werden die Tensorindizes von Ai!;: miteinander vertauscht, und n wechselt sein Vorzeichen. Da die Photonen der BOSE-Statistik gehorchen, gilt (9,2)

A ik ( -n) = Aki(n) .

Der Tensor A ik ist im allgemeinen nicht symmetrisch in seinen Indizes. Wir zerlegen ihn in einen symmetrischen (Sik) und einen antisymmetrischen (aik) Anteil: A ik = Sik + aik. Die Beziehung (9,2) (und auch die Orthogonalitätsbedingungen (9,1)) muß offensichtlich für jeden einzelnen Anteil erfüllt sein, und wir erhalten (9,3) (9,4)

Sik( -n) = sik(n) , aik( -n)

=

-aik(n) •

Eine Spiegelung des Koordinatensystems ändert an sich das Vorzeichen der Komponenten eines Tensors zweiter Stufe nicht, sie ändert aber das Vorzeichen von n. Deshalb ist aus (9,3) zu entnehmen, daß die Wellenfunktion Sik bei einer Spiegelung symmetrisch ist, d. h., sie gehört zu geraden Zuständen des Photonensystems; die Wellenfunktion aik gehört zu ungeraden Zuständen. Ein antisymmetL'ischer Tensor zweiter Stufe ist einem Axialvektor a äquivalent (dual). Die Vektorkomponenten werden gemäß ai = eikZakZ durch die Tensorkomponenten ausgedrückt, wobei eikl der antisymmetrische Einheitstensor ist (s. II, § 6). Die Orthogonalität des Tensors akl zum Vektor n bedeutet, daß die Vektoren a und n parallel sind. 2 ) Man kann daher a = ncp(n) mit einem Skalar cp schreiben. Na,ch (9,4) muß a( -n) = -a(n) sein, daher ist

t

cp( -n) = cp(n) .

Diese Gleichung besagt, daß der Skalar cp linear aus Kugelfunktionen nur gerader Ordnungen L (einschließlich der Ordnung Null) aufgebaut werden kann. Wir sehen, daß der antisymmetrische Tensor aik in seinen Transformationseigenschaften (bei Drehungen) einem Skalar äquivalent ist (s. die Anmerkung 1 auf S. 17). Wir ordnen dem letzten den "Spin" 0 zu und finden, daß der Drehimpuls des Zustandes J = L ist. Der Tensor aik entspricht also ungeraden Zuständen des Photonensystems mit geradzahligem Drehimpuls J. 1) Ein solches Bezugssystem existiert immer bis auf den Fall zweier parallel zueinander gleichsinnig bewegter Photonen. Der Gesamtimpuls k 1 k 2 und die Gesamtenergie C01 co2

+

+

solcher Photonen sind durch dieselbe Beziehung miteinander verknüpft wie die entsprechenden Größen eines Photons, daher kann es auch kein Bezugssystem geben, in dem ~ k 2 = 0 wäre. 2) Wir haben aik = eikla" und die Orthogonalitätsbedingung liefert

+

aiknk = eikZaZnk = [na]i = 0 .

30

Kapitell. Das Photon

Wir wenden uns jetzt dem symmetrischen Tensor Si1c zu. Da er bei einem V orzeichenwechsel von n unverändert bleibt, gehört er zu geraden Zuständen des Photonensystems. Daraus folgt, daß alle Komponenten Si1c durch Kugelfunktionen gerader Ordnung L (einschließlich L = 0) ausgedrückt werden. Ein beliebiger symmetrischer Tensor zweiter Stufe Si1c kann bekanntlich auf einen Skalar und einen symmetrischen Tensor (S~k) mit der Spur Null (S~i = 0) zurückgeführt werden. Dem Skalar Sii wird der "Spin" 0 zugeordnet, und deshalb ist der Drehimpuls der zugehörigen Zustände J = L, d. h. geradzahlig. Dem Tensor S:k entspricht der "Spin" 2 (s. III, § 57). Addieren wir nach den Regeln des Vektormodells diesen "Spin" zum geradzahligen "Bahndrehimpuls" L, dann finden wir für gegebenes geradzahliges J =F 0 drei mögliche Zustände (mit L = J ± 2, J) und für ungerades J =F 1 zwei Zustände (mit L = J ± 1). Ausnahmen bilden J = 0 mit einem Zustand (L = 2) und J = 1 mit einem Zustand (L = 2). Bei diesen Abzählungen ist noch nicht berücksichtigt worden, daß der Tensor Si1c senkrecht zum Vektor n ist. Daher ist von der erhaltenen Zahl der Zustände noch die Zahl der Zustände abzuziehen, denen ein symmetrischer Tensor zweiter Stufe "parallel" zum Vektor n entspricht. Einen solchen Tensor (wir bezeichnen ihn mit s;~) kann man in der Gestalt

s:~ = nible

+ nlebi

mit einem gewissen Vektor b darstellen. Entsprechend (9,3) muß dieser Vektor die Bedingung b( -n) = -b(n) erfüllen. Der für die "überflüssigen" Zustände verantwortliche Tensor s~~ ist also einem ungeraden Vektor äquivalent. Dieser Vektor muß folglich durch Kugelfunktionen nur ungerader Ordnungen L ausgedrückt werden. Einem Vektor entspricht der "Spin" 1. Wir finden schließlich für jeden geradzahligen Drehimpuls J =F 0 zwei mögliche Zustände (mit L = J 1) und für jedes ungeradzahlige J einen Zustand (mit L = J). Ein Spezialfall ist J = 0 mit einem Zustand (L = 1). Wir stellen die erhaltenen Ergebnisse in der folgenden Tabelle zusammen, die die Zahl der möglichen geraden und ungeraden Zustände eines Systems aus zwei Photonen (mit dem Gesamtimpuls Null) für die verschiedenen Werte des Gesamtdrehimpulses J angibt:

+

J

0 1 2k 2k

+1

Gerade Zustände

Ungerade Zustände

1

1

2 1

1

(9,5)

(k ist eine positive ganze Zahl verschieden von Nun). Wir sehen, daß es für ungerade J keine ungeraden Zustände gibt, der Wert J = 1 kann überhaupt nicht vorkommen. I ) Die Wellenfunktion A ile eines Systems aus zwei Photonen bestimmt die Korrelation der Pola9sationen. Die Wahrscheinlichkeit, daß beide Photonen gleichzeitig bestimmte PolarIsationen haben, ist proportional zu

Aileetie~k • 1) Ein andere Art, zu diesen Ergebnissen zu golangen, findet man in Aufgabe I zu § 69.

§ 9. Ein System aus zwei Photonen

31

Mit anderen Worten, falls die Polarisation e1 eines Photons vorgegeben ist, dann ist die Polarisation e 2 des anderen Photons proportional zu (9,6) Für ungerade Zustände des Systems stimmt Tensor aik überein, dabei ist

e 2et oc aueetietk

AUe

mit dem antisymmetrischen

0,

=

d. h., die Polarisationen der beiden Photonen stehen senkrecht aufeinander. Für lineare Polarisation bedeutet das, daß die Polarisationsrichtungen senkrecht aufeinander stehen; zirkulare Polarisationen haben entgegengesetzten Drehsinn. Der gerade Zustand mit J = 0 wird durch einen symmetrischen Tensor beschrieben, der sich auf einen Skalar reduziert: 8ik

=

const . (b ik

-

nink) •

Wir erhalten daher aus (9,6) e 1 = e~. Bei linearer Polarisation- bedeutet das parallele Polarisationsrichtungen, bei zirkularer Polarisation wiederum entgegengesetzten Dreh~ sinn. Der letztere Sachverhalt ist von vornherein klar: ]'ür J = 0 muß die$umme der Drehimpulsprojektionen auf ein und dieselbe Richtung k in jedem Fall Null sein (die Projektionen auf die entgegengesetzten Richtungen ~ und k 2 , d. h. die Spiralitäten, sind dabei gleich).

11

BOSONEN

§ 10.

Die Wellengleichung für Teilchen mit dem Spin 0

In Kapitel I haben wir gezeigt, auf welche Weise man ein freies elektromagnetisches Feld quantentheoretisch beschreiben kann. Dabei sind wir von den bekannten Eigenschaften des Feldes im klassischen Grenzfall ausgegangen, und wir haben uns auf die Vorstellungen der üblichen Quantenmechanik gestützt. Die so erhaltene Beschreibung des Feldes als Photonensystem enthält viele Züge, die auch auf die relativistische Beschreibung von Teilchen in der Quantentheorie übertragen werden können. Das elektromagnetische Feld ist ein System mit unendlich vielen Freiheitsgraden. Es existiert kein Erhaltungssatz für die Teilchenzahl (Photonenzahl), und unter den möglichen Zuständen gibt es Zustände mit beliebigen Teilchenzahlen. 1 ) In einer relativistischen Theorie müssen auch Systeme beliebiger Teilchen im allgemeinen diese Eigenschaft haben. Die Erhaltung der Teilchenzahl in der nichtrelativistischen Theorie hängt mit dem Erhaltungssatz für die Masse zusammen: Die Summe der Teilchenmassen (Ruhrnassen) ändert sich bei einer Wechselwirkung nicht; die Erhaltung der Gesamtmasse, sagen wir in einem Elektronensystem, bedeutet aber auch, daß die Teilchenzahl unveränderlich ist. In der relativistischen Mechanik gibt es keinen Erhaltungssatz für die Masse, es muß nur die Gesamtenergie eines Systems erhalten bleiben (die die Ruhenergien der Teilchen mit einschließt). Deshalb braucht die Teilchenzahl·nicht mehr erhalten zu bleiben, und jede relativistische Theorie für Teilchen muß eine Theorie mit unendlich viele'n Freiheitsgraden sein. Eine solche Theorie wird mit anderen Worten den Charakter einer Feldtheorie annehmen. Der zur Beschreibung von Systemen mit veränderlicher Teilchenzahl adäquate mathematische Apparat ist der Apparat der zweiten Quantisierung (IH, § 64, 65). Bei der quantentheoretischen Beschreibung des elektromagnetischen Feldes übernimmt das 4-Potential A die Rolle des Operators der zweiten Quantisierung. Es wird durch die (ortsabhängigen) Wellenfunktionen der einzelnen Teilchen (Photonen) und die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für die Photonen ausgedrückt. Bei der Beschreibung eines Systems von Teilchen spielt der Operator 'IjJ für die quantisierte Wellenfunktion eine ähnliche Rolle. Um diesen Operator zu konstruieren, müssen wir zuerst die Gestalt der Wellenfunktion für ein freies Teilchen und der Gleichung kennen, der diese Funktion zu genügen hat. Es muß hervorgehoben werden, .daß der Feldbegriff für freie Teilchen nur eine Hilfsgröße ist. Reale Teilchen stehen miteinander in Wechselwirkung, und die Aufgabe der Theorie besteht im Studium dieser Wechselwirkungen. Jede Wechselwirkung läßt 1) Selbstverständlich ändert sich die Photonenzahl tatsächlich nur bei Wechselwirkungs-

prozessen.

§ 10. Die Wellengleichung für Teilchen mit dem Spin 0

33

sich aber auf einen Stoß zurückführen, vor und nach dem Stoß kann man ein System als eine Gesamtheit freier Teilchen ansehen. In § 1 ist gesagt worden, daß die freien Teilchen die einzig meßbaren Objekte sind. Wir benutzen daher die Felder für die freien Teilchen als Mittel zur Beschreibung der Anfangs- und Endzustände. Wir beginnen die relativistische Beschreibung freier Teilchen roit dem Fall von Teilchen mit dem Spin 0. Da dieser Fall mathematisch relativ einfach ist, können die Grundideen und die charakteristischen Züge einer solchen Beschreibung deutlich hera usgear beitet werden. Der Zustand eines freien Teilchens (ohne Spin) kann allein durch die Angabe seines Impulses p vollständig bestimmt werden. Dabei wird die Energie e des Teilchens!) durch e2 = p2 m 2 (m ist die Masse des Teilchens) gegeben, oder in vierdimensionaler Form

+

p2

=

m2

(10,1)

•

Bekanntlich hängen die Erhaltungssätze für Impuls und Energie mit der Homogenität von Raum und Zeit zusammen, d. h. mit der Symmetrie bei einer beliebigen Parallelverschiebung des vierdimensionalen Koordinatensystems. In der quantentheoretischen Beschreibung verlangt diese Symmetrieforderung, daß die Wellenfunktion eines Teilchens mit einem bestimmten 4-Impuls bei einer derartigen Transformation der vierdimensionalen Koordinaten nur mit einem Phasenfaktor multipliziert werden darf (mit einem Faktor vom Betrag 1). Diese Forderung erfüllt nur eine Exponentialfunktion mit einem in den 4-Koor- -p), so nimmt dieser Operator die Gestalt {jJ(t, -r) an. Bezeichnet man mit ipp(t, r) den Operator, in dem die Transformation (13,3) ausgeführt worden ist, dann erhält man die Gleichung

+

~p(t, r)

± 1p(t,

=

(13,5)

-r) .

Die Transformation (13,3) zeigt ein ganz natürliches Verhalten: Eine Spiegelung ändert das Vorzeichen des polaren Vektors p, so daß die Teilchen mit dem Impuls p durch die Teilchen mit dem Impuls -p ersetzt werden. In (13,3) transformieren sich die Operatoren ap und bp entweder beide mit dem oberen oder beide mit dem unteren Vorzeichen. Im Apparat der zweiten Quantisierung ist das der Ausdruck dafür, daß die inneren Paritäten von Teilchen und Antiteilchen (mit Spin 0) gleich sind. Diese Gleichheit ist an sich unmittelbar evident, weil Teilchen und Antiteilchen (mit Spin 0) durch dieselben (skalaren oder pseudoskalaren) Wellenfunktionen beschrieben werden. Der 'IjJ-Operator (13,4) weist eine Symmetrie auch bei einer Transformation auf, die in der nichtrelativistischen Theorie kein Analogon hat; diese Transformation heißt Ladungskonjugation und wird mit dem Symbol 0 bezeichnet: Wenn man alle Operatoren p und bp miteinander vertauscht,

a

0:

a -+ b

p ,

p

bp

---?>-

a p

(13,6)

(d. h., man vertauscht Teilchen und Antiteilchen gegeneinander), dann geht ip in den "ladungskonjugierten" Operator {jJ0 über, und es gilt

1jp(t, r)

=

{jJ+(t, r) .

(13,7)

Diese Gleichung ist der Ausdruck für die Symmetrie, derentwegen die Begriffe Teilchen und Antiteilchen in die Theorie eingeführt worden sind. In der Definition der Ladungskonjugation ist eine unwesentliche formale Willkür enthalten. Das Wesen der Transformation ändert sich nicht, wenn man in die Definition (13,6) einen beliebigen Phasenfaktor aufnimmt:

Dann wäre und eine zweimalige Ausführung dieser Transformation ergibt wie vorher die Identität ({jJ ---?>-{jJ). Alle diese Definitionen sind aber äquivalent zueinander. Da die Eigenschaften der 'IjJ-Operatoren bei der Multiplikation mit einem Phasenfaktor unverändert bleiben (s. das Ende des vorigen Paragraphen), können wir einfach ip in ip eilx / 2 umbenennen und kommen so zur Definition der Ladungskonjugation in der Form (13,6) und (13,7) zurück. Die Ladungskonjugation ersetzt ein Teilchen durch das dazu nicht identische Antiteilchen, deshalb bringt sie im allgemeinen keine neuen Charakteristika für Teilchen oder Teilchensysteme hervor. Eine Ausnahme sind in diesem Sinne Systeme aus gleich vielen Teilchen und Antiteilchen. Der Operator (; überführt ein solches System in sich. Deswegen existieren in diesem Fall Eigenzustände von 0 mit den Eigenwerten 0 = ±1 (denn es ist 02 = 1). Zur Beschreibung der Ladungssymmetrie kann man dabei Teilchen und Antiteilchen

§ 13. Die Transformationen 0, P und T

45

als zwei verschiedene "Ladungszustände" eines Teilchens ansehen; die beiden Zustände unterscheiden sich in der Ladungsquantenzahl Q = ±l. Die Wellenfunktion eines Systems wird als Produkt aus Bahn- und "Ladungs"-Funktionen dargestellt und muß bei der gleichzeitigen Vertauschung aller Veränderlichen (für Ort und Ladung) eines beliebigen Teilchenpaares symmetrisch sein. Die Symmetrie der "Ladungs"-Funktion bestimmt die Ladungsparität eines Bystems (s. die Aufgabe).1) Der Begriff der Ladungsparität, der sich in natürlicher Weise für "streng neutrale" Systeme ergibt, muß daher auch für streng neutrale "elementare" Teilchen sinnvoll sein. Im Apparat der zweiten Quantisierung wird dieser Begriff durch die Gleichung

;po = + 1P

(13,8)

beschrieben; die Vorzeichen + und - entsprechen Teilchen mit gerader bzw. ungerader Ladungsparität. In § 11 ist erwähnt worden, daß die relativistische Invarianz auch die Invarianz gegenüber einer 4-Spiegelung einschließt. Für den Operator eines (im Sinne von 4Drehungen) skalaren Feldes muß daher für eine solche Transformation

1P(t, r) --+ 1P( -t, -r) immer mit dem Vorzeichen

+

auf der rechten Seite gelten. Die Umwandlung von

1P(t, r) in 1P( -t, -r) wird durch eine Transformation der Operatoren ap und bp erreicht, indem in (13,4) die Koeffizienten von e -ipx und e ipx vertauscht werden, d. h. durch die Substitution (13,9) Beim Ersetzen der a-Operatoren durch die b-Operatoren werden Teilchen und Antiteilchen miteinander vertauscht. In einer relativistischen Theorie ergibt sich, wie wir sehen, ganz natürlich die Forderung nach Invarianz gegenüber einer Transformation, bei der gleichzeitig mit der räumlichen Spiegelung (P) und der Zeitumkehr (T) auch die Ladungskonjugation (0) ausgeführt wird; diese Aussage wird als OPT-Theorem bezeichnet. 2 ) In diesem Zusammenhang ist es angebracht, folgendes hervorzuheben: Obwohl die hier und in § 11, 12 angestellten Überlegungen eine natürliche Weiterentwicklung der gewöhnlichen Quantenmechanik und der klassischen Relativitätstheorie sind, gehen die gewonnenen Ergebnisse sowohl in der Form (1J'-Operatoren, die gleichzeitige Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für Teilchen enthalten) als auch im Wesen (Teilchen und Antiteilchen) über den Rahmen dieser Theorien hinaus. Diese Ergebnisse sind daher keine rein logische Notwendigkeit. Sie enthalten neue physikalische Prinzipien, für deren Richtigkeit allein die Erfahrung das Kriterium ist. Mit der Bezeichnung 1jJOPT(t, r) für den Operator (13,4) nach der Transformation (13,9) bekommen wir 1jJOPT(t, r) =

1jJ( -t,

-r) .

(13,10)

o. Das beschriebene Verfahren kann unmittelbar auch auf andere Fälle verallgemeinert werden; s. die Aufgabe zu § 27. 2) Das OPT-Theorem ist von SCHWINGER (J. SCHWINGER, 1953), LÜDERS (G. LÜDERS, 1954) und PA ULI (\V. PA ULI, 1955) formuliert worden.

1) Bei diesen Überlegungen denken wir an ein Teilchen mit dem Spin

46

Kapitel 11. Bosonen

Formulieren wir auf diese Weise die 4-Spiegelung als Transformation (13,9), so gewinnen wir damit auch die Formulierung der Zeitumkehr für den 1p-Operator: Zusammen mit der Transformation OP (kombinierte Spiegelung) muß sie (13,9) ergeben. Unter Benutzung der Definitionen (13,3) und (13,6) finden wir daher (13,11) (die Vorzeichen + entsprechen denselben Vorzeichen in (13,3)). Der Sinn dieser Transformation ist vollkommen klar: Die Zeit umkehr führt nicht nur die Bewegung mit dem Impuls p in die Bewegung mit dem Impuls -p über, sondern sie vertauscht auch Anfangs- und Endzustände in den Matrixelementen ; deshalb werden die Vernichtungsoperatoren für Teilchen mit den Impulsenp durch die Erzeugungsoperatoren für Teilchen mit den Impulsen -p ersetzt. Wir führen in (13,4) die Substitution (13,11) aus, benennen die Summationsvariablen um (p ---+ -p) und finden l )

ipT(t, r)

=

+ ip+( -t, r) .

(13,12)

Diese Gleichung ähnelt der üblichen Regel für die Zeitumkehr in der Quantenmechanik: Wenn ein Zustand durch die Wellenfunktion 1p(t, r) beschrieben wird, dann wird der durch Zeitumkehr daraus hervorgehende Zustand durch die Funktion "1'*( -t, r) beschrieben. Der Übergang zur konjugiert komplexen Funktion wird dadurch verursacht, daß man die durch die Vorzeichenänderung von t verletzte "richtige" Zeitabhängigkeit wiederherstellen muß (E. P. WIGNER, 1932). Da die Transformation T (und damit auch OPT) Anfangs- und Endzustände vertauscht, haben die Begriffe Eigenzustände und Eigenwerte für diese Transformation keinen Sinn. Sie ergeben deshalb keine neuen Charakteristika für die Teilchen selbst. Die Folgerungen, die man aus ihnen für Streuprozesse ableiten kann, werden in § 69 und 71 besprochen werden. "'Wir wollen sehen, wie sich der 4-Stromvektor jfl (12;8) bei den Transformationen 0, P und T ändert. Die Transformation (13,2) ergibt zusammen mit der Substitution (ao, ad ---+ (ao, -ai) ,..

P:

A A l " -

(j°,ik7" ---+ (j0, -ik

(13,13)

-7" ,

wie es für einen echten 4-Vektor sein muß. Die Transformation (13,7) gäbe einfach

O·. (-:0 J,j.-:-) t,7" -+ (':'o~) -J, -J t,7"

,

(13,14)

wenn die Operatoren ip und ip+ vertauschbar wären. Die Nichtvertauschbarkeit dieser Operatoren resultiert jedoch allein aus der Nichtvertauschbarkeit von p und (oder bp und b:) mit gleichen p. Auf Grund der Vertauschungsregeln (11,4) liefert die Vertauschung dieser Operatoren lediglich von den Besetzungszahlen unabhängige Terme, d. h. vom Zustand des Feldes unabhängige Terme. Wir lassen diese Terme (wie in (11,5) und (11,6)) als unwesentlich weg und gelangen wieder zur Regel (13,14), die einen einfachen Sinn hat: Die Ladungskonjugation ersetzt die Teilchen durch die Antiteilchen und ändert somit das Vorzeichen aller Komponenten des 4-Stromes.

a

a:

1) Würde man die T-Operation unabhängig von den anderen Transformationen definieren,

dann ergäbe sich dieselbe Willkür in der Wahl des Phasenfaktors wie für die C-Operation. Die Forderung nach CTP-Symmetrie läßt nur in einer Transformation, C oder T, eine freie Wahl des Phasenfaktors zu.

47

§ 13. Die Transformationen C, P und T

Die Zeit umkehr vertauscht Anfangs- und Endzustände ; bei der Anwendung auf ein Operatorprodukt vertauscht sie daher die Reihenfolge der Faktoren, zum Beispiel (ip+ aßip)T

=

(aßip)T (ip+)T .

In unserem Fall ist dieser Umstand aber unwesentlich; denn infolge der Vertausch~ barkeit der 1p-Operatoren (in obigem Sinne) wirkt .. sich die Rückkehr zur ursprünglichen Reihenfolge der Faktoren im Ergebnis nicht aus. Ferner denken wir daran, daß bei der Zeitumkehr (a o, ai ) -+ (-a o, ai ) übergeht, und finden als Transformationsvorschrift für den Strom A

A

T: (j°,j)t,1' -+(j0, -j)-t,1"

(13,15)

A

Der dreidimensionale Vektor j ändert sein Vorzeichen in Korrespondenz zur klassischen Bedeutung dieser Größe. Schließlich haben wir bei der Transformation OPT A

A A r . -

OPT: (j°,j)t,1' ~ (_jO, -j)-t,-1' (13,16) in Übereinstimmung mit der Bedeutung dieser Operation als 4-Spiegelung. Da die 4-Spiegelung auf eine Drehung des 4-Koordinatensystems zurückzuführen ist, existieren bezüglich dieser Spiegelung keine zwei Arten (echte und Pseudo-) 4-Tensoren beliebiger Stufe, das wollen wir an dieser Stelle unterstreichen. Bisher haben wir die Teilchen immer als frei angesehen. Die Quantenzahlen für die Parität erhalten aber erst bei der Behandlung von wechselwirkenden Teilchen einen realen Sinn. Dann bedingen sie bestimmte Auswahlregeln, die diese oder jene Prozesse verbieten oder erlauben. Einen solchen Sinn können aber nur erhaltene Größen haben - die Eigenwerte von Operatoren, die mit dem HAMILToN-Operator für die wechselwirkenden Teilchen vertauschbar sind. Auf Grund der relativistischen Invarianz muß jedenfalls der Operator für die 0 PTTransformation mit dem HAMILTON-Operator vertauschbar sein. Die Erfahrung lehrt, daß elektromagnetische und starke Wechselwirkung gegenüber den Transformationen o und P für sich (und damit auch gegenüber T) invariant sind; die entsprechenden Quantenzahlen für die Parität bleiben bei diesen Wechselwirkungen erhalten. Bei schwachen Wechselwirkungen werden diese Erhaltungssätze verletzt. I ) Wir greifen ein wenig vor und bemerken, daß der Operator für die Wechselwirkung geladener Teilchen mit einem elektromagnetischen Feld das Produkt aus den 4-Vek-

A

toren (Operatoren) und j ist. Da die Ladungskonjugation das Vorzeichen von j ändert, folgt aus der Invarianz der elektromagnetischen Wechselwirkung gegenüber dieser Transformation, daß sie auch das Vorzeichen von haben, mit anderen Worten, eine ungerade Ladungsparität.

A ändert.

Die Photonen

A

Das angegebene Verhalten der Operatoren entspricht den Eigenschaften des 4-Potentials in der klassischen Theorie. Tatsächlich folgt aus den Transformationen

P:

(Ao,A)-+(-Ao,-A\1" (A o, A) -+ (A o, -Ak -1' ,

OTP:

(Ao,A) ~(-Ao, -A)-t,-1'

0:

A

A

-----

A

A

A

A

A

A

1) Die Idee von einer möglichen Nichterhaltung der Parität bei schwachen Wechselwirkungen ist zuerst von LEE und YANG ausgesprochen worden (T. D. LEE und C.N.YANG, 1956). Bereits früher hat DIRAC (1949) allgemein den Gedanken geäußert, daß die P- und die T-Invarianz der physikalischen Gesetze nicht zwangsläufig ist.

48

KapitelII. Bosonen

für die Zeit umkehr

T:

(Ao, A) -+ (Ao, -A) -t,t' •

Das entspricht der klassischen Transformationsvorschrif.t für die Potentiale des elektromagnetischen Feldes bei einer Zeitumkehr. Die Forderung nach OPT-Invarianz bedeutet keinerlei Einschränkungen für die Teilchen selbst. Sie ergibt aber einen bestimmten Zusammenhang zwischen den Eigenschaften von Teilchen und Antiteilchen. Dazu gehört vor allem die Gleichheit der Massen von Teilchen und Antiteilchen; das ist bereits aus der in § 11 erläuterten Verknüpfung von 4-Spiegelung und dem eigentlichen Ursprung des Begriffes von Teilchen und Antiteilchen zu erkennen. Ferner folgt aus der OPT-Invarianz, daß sich die Proportionalitätsfaktoren der Vektoren für elektrisches und magnetisches Moment und Spinvektor von Teilchen und Antiteilchen nur im Vorzeichen unterscheiden. Tatsächlich wechselt das magnetische Moment bei 0- und T-Transformationen sein Vorzeichen und ist (als Axialvektor) P-invariant. Die OPT-Transformation, die ein Teilchen in das Antiteilchen transformiert, ändert dagegen das Vorzeichen des magnetischen Momentes nicht; der Spinvektor wechselt sein Vorzeichen. Dasselbe gilt auch für das elektrische Moment, das bei einer Zeitumkehr unverändert bleibt und bei einer O-Transformation und auch bei einer räumlichen Spiegelung (als polarer Vektor) sein Vorzeichen wechselt. Die Forderungen nach P- oder T-Invarianz (wenn sie erfüllt werden) bringen schon Einschränkungen für die Eigenschaften der einzelnen Teilchen selbst mit sich: Sie verbieten, daß die Teilchen elektrische Dipolmomente haben; denn der einzige Vektor, den man für ein ruhendes Elementarteilchen aus den zugehörigen 1J'-Operatoren bilden kann, ist der Spinvektor. Dieser Vektor hat gerade P- und ungerade TParität; er kann daher nur mit einem magnetischen, aber nicht mit einem elektrischen Moment verknüpft werden. Für dieses Verbot genügt es, entweder die P- oder die TInvarianz zu verlangen. Aufgabe Man bestimme Ladungsparität und Parität für ein System aus zwei Teilchen mit dem Spin

o (Teilchen und Antiteilchen) und dem Bahndrehimpuls l der Relativbewegung ! Lösung. Die Vertauschung der Teilchenorte ist einer Spiegelung (am Massenmittelpunkt) äquivalent, und die Bahnfunktion wird daher mit (_1)1 multipliziert; die Vertauschung der Ladungsvariablen ist der Ladungskonjugation äquivalent und multipliziert den "Ladungs"-Faktor in der Wellenfunktion mit dem gesuchten Aus der Bedingung O( _1)1 = 1 finden wir

C:

o=

(-1)1.

Die Parität P des Systems ist das Produkt aus Bahnparität und innerer Parität der beiden Teilchen. Da die inneren Paritäten von Teilchen und Antiteilchen gleich sind, ist P in diesem Fall gleich der Bahnparität : P = (-1)'.

§ 14.

Die Wellengleichung für ein Teilchen mit dem Spin 1

Ein Teilchen mit dem Spin 1 wird in seinem Ruhsystem durch eine dreikomponentige ",TelIenfunktion beschrieben - durch einen dreidimensionalen Vektor (man nennt ein solches Teilchen häufig Vektorteilchen). Aus vierdimensionaler Sicht können diese

§ 14. Die Wellengleichung für ein Teilchen mit dem Spin 1

49

drei Komponenten die drei räumlichen Komponenten eines (raumartigen) 4-Vektors oder eines antisymmetrischen 4-Tensors zweiter Stufe 'ljJfl v sein, für die im Ruhsystem die zeitliche ('ljJ0) und die räumlichen ('ljJik) Komponenten verschwinden.!) Die Wellengleichung stellt einen differentiellen Zusammenhang zwischen den Größen 'ljJfl und 'ljJfl V her und wird durch Beziehungen gegeben, die wir in der Gestalt

'ljJfl

(14,1 ) •

2

A

~m 'ljJfl = pV'ljJ'IV

(14,2)

p

und = ia schreiben (A. PROCA, 1936). Wir wenden auf beide Seiten der Gleichung (14,2) den Operator pfl an und erhalten (infolge der Antisymmetrie von 'ljJflV) pfl'ljJfl

= 0.

(14,3)

Man kann 'ljJflv aus (14,1-2) eliminieren, indem man die erste Gleichung in die zweite einsetzt. Unter Beachtung von (14.3) bekommen wir (14,4) Hieraus ist wiederum zu ersehen (vgl. § 10), daß m die Masse des Teilchens ist. Ein freies Teilchen mit dem Spin 1 kann also durch einen 4-Vektor 'ljJfl beschrieben werden, dessen Komponenten die Gleichung zweiter Ordnung (14,4) und die Nebenbedingung (14,3) erfüllen. Durch die Nebenbedingung wird aus 'ljJfl der Teil eliminiert, der dem Spin 0 entspricht. Im Ruhsystem hängt 'ljJfl nicht von den räumlichen Koordinaten ab, und es ist p°'ljJo = O. Da gleichzeitig p°'ljJo = m'ljJo gilt, sehen wir, daß im Ruhsystem 'ljJo = 0 ist, wie es sein muß. Zusammen mit 'ljJo verschwindet auch 'ljJik. Ein Teilchen mit dem Spin 1 kann verschiedene innere Parität haben, je nachdem, ob 'ljJfl ein echter oder ein Pseudovektor ist. Im ersten Fall ist

und im zweiten P'ljJfl

=

(_'ljJ0, 'ljJi) .

Die Gleichungep (14,1) und (14,2) können aus einem Variationsprinzip mit der LAGRANGE-Dichte L =

t 'ljJflv'ljJflV*

--

t 'ljJflV*(a,t'ljJv -

a,,'ljJfl) -

t 'ljJflV(afl'ljJ: -

av'ljJ~)

+ m 2'ljJfl'ljJfl* (14,5)

abgeleitet werden. Darin spielen 'ljJp, 'ljJ~, 'ljJflv und 'ljJ~v die Rolle der unabhängigen verallgemeinerten Koordinaten. 2 ) Zur Berechnung des Energie-Impuls-Tensors ist die Formel (10,11) im vorliegenden Fall nicht ganz zweckmäßig, weil sie einen unsymmetrischen Tensor ergeben würde, 1) Wir greifen ein wenig vor und bemerken, daß ein 4-Vektor tp fl und ein 4- Tensor tpVfl zusammen vierdimensionalen Spinoren zweiter Stufe ~cxß, 'YJÖtP und ccxjJ entsprechen, wobei ~cxß und 'YJÖtß symmetrische Spinoren sind, die bei einer Spiegelung wechselseitig ineinander übergehen (§ 19). 2) Würden wir nur bezüglich tpu variieren (und gleich tpfl" nach (14,1) durch tpfl ausgedrückt annehmen), dann müßte die' Gleichung (14,3) unabhängig vom Variationsprinzip als Nebenbedingung eingeführt werden. ;-,

Landau/Lifschitz, Bd. IV

50

Kapitel 11. Bosonen

der anschließend noch symmetrisiert werden müßte. Stattdessen kann man die Formel 1

a a Y- g L axA ag,Äp."

,/-

"2 T p." Y-g

=

-

+

a y -g L agp."

(14,6)

benutzen. Darin wird vorausgesetzt, daß L die Gestalt wie in beliebigen krummlinigen Koordinaten hat (s. 11, § 94). Wenn L nur die Komponenten des metrischen Tensors selbst (aber keine Ableitungen davon) enthält, dann vereinfacht sich die Formel zu

T

_ 2 a y-g L p."- y_g agp."

=

aL 2 agp." - gp."L

(wir erinnern an d In g = -gp." dgP."). In der Formel (14,6) wird nicht nach den Größen 1pp. und 1pp." differenziert. Bei der Anwendung dieser Formel muß man diese Größen ni-cht unbedingt als unabhängig voneinander ansehen. Man kann sofort den Zusammenhang (14,1) benutzen und die LAGRANGE-Dichte (14,5) in die Form (14,7) bringen, dann ist

T p." -- -1pp.;.1p";.* - 1pp.;.1p., *;.

+ m 2( 1pp.1p" * + 1p,,1pp. * ) + gp." ("21p.'.Q1p 1 Äe*

-

* ;.) • m 21p;.1p (14,8)

Die· Energiedichte wird durch den positiv definiten Ausdruck

T oo = t 1pu;1pi'k + 1poi1p~i + m2(1po1p~ gegeben. Der erhaltene 4-Vektor der Stromdichte ist jp.

= i( ~"*1pp

-

+ 1pi1pf)

~"1p~) •

(14,9)

(14,10)

Man kann ihn nach Formel (12,12) berechnen, indem man die LAGRANGE-Dichte (14,5) n~ch den Ableitungen ap.1p" differenziert. Speziell ist

jO

=

i(1p0k*1pk _ 1p0k1pt)

keine positiv definite Größe. Eine ebene Welle, die im Volumen V _

1pp. -

1 y2e

,/_ up. e

-ipz

(14,11)

=

1 auf ein Teilchen normiert ist, ist

,

(14,12~

u p ist dabei der 4-Einheitsvektor für die Polarisation; er erfüllt (auf Grund von (14,13)) die vierdimensionale Transversalitätsbedingung

UJI' = o.

(14,13)

Setzen wir die Funktion (14,12) in (14,9) und (14,11) ein, so erhalten wir tatsächlich

Anders als ein Photon hat ein Vektorteilchen mit vQnNull verschiedener Masse drei unabhängige Polarisationsrichtungen. Die zugehörigen Amplituden sind in (16,21) zu finden.

51

§ 14. Die Wellengleichung für ein Teilchen mit dem Spin 1

Die Polarisationsmatrix für teilweise polarisierte Vektorteilchen wird so definiert, daß sie für einen reinen Zustand gleich dem Produkt

uf-lu~

(}f-l" =

ist (analog zu (8,7) für Photonen). Nach (14,12) und (14,13) erfüllt sie die Bedingungen pf-l(}f-l"

= 0,

(}~

= -1 .

(14,14)

Für völlig unpolarisierte Teilchen muß (}f-l" die Gestalt (}f-l" = ag/~" berechnen die Koeffizienten a und baus (14,14) und erhalten

-"31 ( gf-l"

(}f-l" =

-

PIlP,,) m2 •

+ bpf-lp" haben.

Wir

(14,15)

Die Quantisierung eines Vektorfeldes erfolgt ganz analog wie im skalaren Fall, und wir brauchen nicht alle Überlegungen zp wiederholen. Die 'ljJ-Operatoren für ein Vektorfeld haben die Gestalt

(14,16)

wobei der Index (X die drei unabhängigen Polarisationen bezeichnet. Da der Ausdruck (14,9) für T oo positiv definit und jO in (14,11) indefinit ist, muß die Quantisierung wie im skalaren Fall mit BosE-Vertauschungsregeln vorgenommen werden. Es besteht eine enge Verbindung zwischen den Eigenschaften des streng neutralen Vektorfeldes und des elektromagnetischen Feldes. Das neutr~)e Vektorfeld wird durch den hermiteschen 1p-Operator {J, T

= ..:...~ 1/_1_({; U(ol) e- ipx po. f-l

f-l

pol

r2e

+ c+pol U(ol)* eipX ) f-l

(14,17)

beschrieben. Der LAGRANGE-Operator für dieses Feld ist

i -

l

4

'" "'IlV _ l "'IlV(a·'" _ 1pf-l"1p 2 1p f-ltp"

a '" ) ,,1pf-l

+

1

2

"'f-l m 2'" 1pf-l1p

•

(14 , 18)

Dem elektromagnetischen Feld entspricht der Fall m = O. Dabei wird der 4-Vektor zum 4-Potential Af-l und der 4-Tensor 1p/-l" zum Feldstärketensor Ff-l", der mit dem Potential über die Definition (14,1) zusammenhängt. Aus der Gleichung (14,2) wird a"1pf-l" = 0, das entspricht dem zweiten Paar der MAxwELLschen Gleichungen. Daraus folgt nicht mehr die Bedingung (14,3), die auf diese Weise nicht mehr zwangsläufig ist. Da die Nebenbedingung fehlt, braucht man 1pf-l und 1pf-l" im LAGRANGE-Operator nicht mehr als unabhängige "Koordinaten" anzusehen, und der LAGRANGE-Operator (14,18) reduziert sich auf

1pf-l

(14,19) in Korrespondenz zu dem bekannten klassischen Ausdruck für die LAGRANGE-Dichte des elektromagnetischen Feldes. Dieser LAGRANGE-Operator ist mit dem Tensor 1pf-l" invariant gegenüber einer beliebigen Eichtransformation der "Potentiale" 1pf-l •. Dieser Sachverhalt hängt offensichtlich mit der Masse Null zusammen; der LAGRANGEOperator (14,18) hat diese Eigenschaft wegen des Termes m 21pf-l1pf-l nicht. 5·

52

Kapitell!. Bosonen

§ 15.

Die Wellengleichung für Teilchen mit höheren ganzzahligen Spins

Die Wellengleichungen (14,3), (14,4) folgen unmittelbar aus der Vorgabe von Masse und Spin. Die praktische Verwendung der l . AGRANGE-Dichte dient daher weniger der Herleitung dieser Gleichungen als vielmehr der Ableitung von Ausdrücken für Energie, Impuls und Ladung des Feldes. Wie schon bemerkt wurde, kann inan zu diesem Zweck statt (14,5) den Ausdruck (14,7) benutzen. (14,7) kann man weiter umformen. Unter Verwendung von (14,1) bringen wir (14,7) in die Gestalt L

= -

(a/-ltp~) (a/-ltpV)

=

(a/-ltp~) (a/-ltpV)

-

+ (avtp!) (a/-ltpV) + m 2tp/-ltp/-l* + m 2tp!tp/-l + av(tp! a/-ltpV) -

tp!a/-lavtpv •

Der letzte Summand verschwindet infolge von (14,3), der vorletzte ist eine totale Ableitung. 'Vir lassen diese weg und bekommen die LAGRANGE-Dichte (a/ltp~) (a/-ltpV)

L' = -

+ m 2tp!tp/-l .

(15,1)

Sie hat dieselbe Struktur wie die LAGRANGE-Dichte (10,9) für ein Teilchen mit dem Spin 0, nur ist der Skalar tp durch den 4-Vektor tp/l ersetzt, und das gesamte Vorzeichen ist anders. Dieser Vorzeichenwechsel wird dadurch bedingt, daß tp/-l ein raumartiger Vektor mit tp/-ltp/-l* 0 ist, während für ein skalares Teilchen '1ptp* 0 ist. Wir berechnen den 4-Energie-Impuls-Tensor und den 4-Stromvektor aus der LAGRANGE-Dichte (15,1) und erhalten Ausdrücke derselben Gestalt wie (10,12) und (10,18) für ein skalares Feld:

>


g für l < l' gilt, und für l > l' gilt f l' wird analog behandelt, und das Ergebnis ist für l < l': f oc r l , für l > l': f oc r l - 8 ,

124

Kapitel IV. Ein Teilchen in einem äußeren Feld

§ 36.

Bewegung im COULoMB-Feld

Wir beginnen das Studium der Eigenschaften der Bewegung in dem äußerst wichtigen Fall des COULoMB-Feldes mit der Untersuchung des Verhaltens der Wellenfunktionen bei kleinen Abständen. Der Bestimmtheit halber werden wir von einem anziehenden Feld sprechen: U = -Z()(,jr.1) Für kleine r kann man in den Gleichungen (35,5) die Glieder mit 8 m weglassen, und es wird x Z()(, (fr)' + -fr - - gr = 0 , r r

±

x (gr)' - - gr r

+ Z()(, -r fr =

0.

Beide Funktionenfr und gr sind in jeder dieser Gleichungen gleichberechtigt enthalten. Wir setzen daher für beide gleiche Potenzen von r an: fr = arY , gr = brY • Damit gehen wir in die Gleichungen ein und finden a(r

+ x)

aZ()(,

- bZ()(, = 0 ,

+ b(r -

x)

=

0,

und weiter (36,1)




b) Kontinuierliches Spektrum (s m). Es ist nicht notwendig, die Wellengleichung für die Zustände des kontinuierlichen Spektrums neu zu lösen. Die Wellenfunktionen für diesen Fall ergeben sich aus den Funktionen zum diskreten Spektrum durch die Substitution1 )

ym -

Y

s~ - i s -

m,

1 --?-

-

ip,

-n,

.ZcXs --?-y -

't-

P

(36,12)'

ym -

(wegen der Vorzeichenwahl bei der analytischen Fortsetzung der Wurzel s s. 111, § 128). Die Normierung der Funktionen muß jedoch erneut vorgenommen werden.1) Weiter bedeutet

p in diesem Paragraphen Ipl =

ye

2

-

m2

•

128

Kapitel IV. Ein Teilchen in einem äußeren Feld

Wir führen in (36,11) die angegebene Substitution aus und stellen die Funktionen! und g in der Gestalt

!}

~c + m

=

~

g

Vc -

}. A' e ipr (2pr)Y-!

m

X [ei; F(y

- iv, 2y + 1, -2ipr)

+ e- i; F(y + 1 -

iv, 2y + 1, -2ipr)]

dar; A' ist der neue Normierungsfaktor, und es sind die Bezeichnungen ZIXc

y - iv e -2i ,,=----'------~ e

v=-,

(36,13)

.m c

p

,,-w-

eingeführt worden (die Größe ~ ist reell, weil y2 Nach der bekannten Formel F(IX, ß, z)

=

+ (ZIXcjp)2 = ,,2 + (ZIXmjp)2 ist).

e Z F(ß - IX, ß, -z)

(s. III, (d, 10)) haben wir

F(y

+1

-

iv, 2y

+ 1, -2ipr) =

+ iv, 2y + 1, 2ipr)

e- 2iprF(y

=

e- 2iPrF*(y - iv, 2y

+ 1,

-2ipr) ,

demnach sind

~} =

2iA'

y. ±m (2p r)r-

1

:

iv, 2y + 1,

{ei(P'Hl F(y -

-2iPr)}. (36,14)

Der Normierungsfaktor A' wird aus dem Vergleich des asymptotischen Ausdrucks für diese Funktion mit der allgemeinen Formel (35,7) für eine normierte Kugelwelle bestimmt. Wir schreiben sofort den auf diese Weise resultierenden Ausdruck für die Wellenfunktionen des kontinuierlichen Spektrums auf (und verifizieren ihn später)!) :

!}

2 2/ 3

=

g

Vm + c

X :

+ +

c e1tv/2 Ir(y 1 iv)1 (2pr)Y r(2y + 1) r

{ei(pr+;)

F(y - iv, 2y

+ 1,

-2iP r)}.

(36,15)

Der asymptotische Ausdruck für die Funktionen wird mit Hilfe der Formel III (d, 14) gefunden, in der für den vorliegenden Fall nur das erste Glied ausschlaggebend ist (das zweite verschwindet mit einer höheren Potenz von 1jr): !} = g

V2 V/ c ± m sin (pr + bx + v In 2pr _ r

c

cos \

nl)

(36,16)

2

mit ~ U

x =

t

s- - arg

r (y + 1 + w) . '- ny 2 + nl 2

(36,17)

1) Die Wellenfunktionen zu einem abstoßenden Feld ergeben sich hieraus durch Vorzeichenänderung von Zex, d. h. durch Vorzeichenwechsel von 'V.

129

§ 36. Bewegung im COULoMB-Feld

oder "6

e 2~ "

=

"

iVm/E r(y + 1 - iv) e'4n(l-) y I' - iv r(y + 1 + iv) •

(36,18)

Um später darauf verweisen zu können, geben wir"noch den Ausdruck für die Phasen im extrem relativistischen Fall (E ~ m, v ~ Zex) an: e 2i6"

=

r(y +-1--- -iZex) - -"- - -- - ein(l-y) . I' - iZex r(y + 1 + iZex)

(36,19)

Der Ausdruck (36,16) unterscheidet sich von (35,8) nur in dem Summanden mit dem Logarithmus im Argument der trigonometrischen Funktion. Wie im Falle der SCHRÖDINGER-Gleichung verursacht die langsame Abnahme des COULOMB-Potentials eine Verzerrung in der Phase der Welle, die eine langsam veränderliche Funktion von r wird. Bei der analytischen Forsetzung in den Bereich E m erhält der Ausdruck (36,18) die Gestalt





- 2 selbst, d. h. nicht proportional zur Intensität der Linie (wie es in der klassischen Theorie war). 'Vegen F 1 F2 F 1 -+ 2 kann eine Linie sehr breit sein und eine relativ geringe Intensität haben. 1

----';>-

+

§ 63.

>

Resonanzfluoreszenz

Die endliche Linienbreite der Niveaus muß bei einem Streuproblem unbedingt dann beachtet werden, wenn die Frequenz w des einfallenden Lichtes in die Nähe einer 1) In .~omplizierteren Fällen ist 1V g die Gesamtwahrscheinlichkeit aller Kaskaden, die mit dem Ubergang 1 -+ 2 beginnen und im Niveau 0 enden.

§ 63. Resonanzfluoreszenz

229

"Zwischen"-Frequenz Wnl oder W2n kommt (sogenannte Resonanzjluoreszenz) (V. 1931). Wir betrachten dieHAYLEIGH-Streuung an einem System (sagen wir, an einem Atom) im Grundzustand, so daß Anfangs- und Endzustand gleich und streng diskret sind. Die Frequenz des Lichtes liege in der Nähe einer Frequenz Wnl; das Niveau 11, sei ein angeregtes Niveau und damit quasidiskret. Dieses Problem könnte mit der im vorangegangenen Paragraphen besprochenen Methode behandelt werden. Das ist aber nicht unbedingt erforderlich, weil das Problem dem in III, § 134 behandelten Problem der nichtrelativistischen Resonanzstreuung an einem quasidiskreten Niveau ganz analog iF;t. Nach den dort gewonnenen Ergebnissen muß die Streuamplitude den Polfaktor WEISSKOPF,

1

'" - (E

n -

i

~n -EI)

enthalten. Andererseits muß die Formel für Iw - wnll }> F n in die Formel (59,5} ohne Resonanz übergehen. Es ist daher klar, daß sich der gesuchte Streuquerschnitt ergibt, indem man in Formel (59,5) einfach E n durch E n über

11,

-

~ F n ersetzt; in der Summe 2

kann man sich dabei auf die Resonanzterme beschränken:

L

(dznc'*) (dnlc)

da= I ~ (Wnl -

1

W)2

+4

2 1

4d'

(63,1)

2 WO.

Fn

Es wird über alle Zustände (mit verschiedenen Drehimpulsprojektionen Mn) zum Resonanzniveau E n summiert; die Zustände 1 und 2 gehören zum gleichen (tiefsten) Niveau und können sich nur in den Werten MI und M 2 unterscheiden. Der Streuquerschnitt (63,1) hat für W = Wnl ein Maximum. Größenordnungsmäßig ist der Maximalwert des Steuquerschnitts a max --..... w 4 d41 F~. Da die Wahrscheinlichkeit für den spontanen Ü bcrgang n ~ 1 und damit auch die Breite F n größenordnungsmäßig W 3([2 sind, ist dieser Wert ~

(63,2)

d. h. von der Größenordnung des Quadrates der Lichtwellenlänge und unabhängig von der Feinstrukturkonstanten. Da sich das Atom vor und nach der Streuung in einem streng diskreten (dem tiefsten) Niveau befindet, sind die Frequenzen des primären und des sekundären Photons streng gleich. Bei der Einstrahlung von lllOnochromatischem Licht wird deshalb auch die Streulinie monochromatisch sein. Falls das einfallende Licht die spektrale Intensitätsverteilung 1((1)) .mit einer über die Breite Fn langsam veränderlichen Funktion 1(w) hat, dann wird die Intensität des Streulichtes proportional zu 1(W n l) dw

(63,3)

Mit anderen vVorten, die Form der Streulinie ist die natürliche Linienform bei spontaner Emission vom Niveau E n aus.

230

Kapitel VI. Streuung von Licht

Der Streuquerschnitt (63,1) entspricht dem Streutensor

.E (d i )2n

(dk)nl

i W 1 -

W -

n

(63,4)

rn

-

2

Insbesondere ist der Tensor für die Polarisierbarkeit

CXik

=

(Cik)n

Mn

=

(63,5)

i

Wnl -

"2 r n

W -

Die Addition eines Imaginärteils zu den Energieniveaus der angeregten Zwischenzustände zerstört die Hermitezität des Polarisierbarkeitstensors. Es tritt ein antihermitescher Teil auf, der unmittelbar mit der Lichtabsorption zusammenhängt, wie wir gleich zeigen werden. Nach der Absorption eines Quants geht das Atom früher oder später wieder in den Grundzustand über, indem es ein oder mehrere Photonen emittiert. Von diesem Standpunkt aus ist der Absorptionsquerschnitt einfach der totale Streuquerschnitt für alle möglichen Streuprozesse. 1 ) Andererseits wird dieser Streuquerschnitt nach dem optischen Theorem (Ö9,25) durch den antihermiteschen Teil des Polarisierbarkeitstensors ausgedrückt. Wir setzen in (59,25) den Tensor CXik aus (63,5) ein und finden folgende Formel für den Absorptionsquerschnitt für ein Photon mit der Frequenz W in der Nähe von Wnl: (lab = 4n Für

2

.E Idn1 C l2 w Mn

n

[(

W

_

r n /2 Wnl

)2

+ .l4 T n2f

(63,6)

r

dieser Formel gegen die b-Funktion mit einer streng bestimmten Frequenz absorbiert werden kann. Das auf das Atom einfallende Licht habe die Spektral -und Winkelverteilung I ke der Energiestromdichte (vgl. (44,7)). Die Stromdichte der Pho-

b(w -

n ---+ 0 strebt der letzte Faktor in Wnl), weil in diesem Fall nur ein Photon

tonen ist dann I ke dw do, und die Absorptionswahrscheinlichkeit ist W

dWab = (lab I ke dw d(l .

(63,7)

W

Wenn sich die Funktion Ike(w) über die Breite wir nach einer partiellen Integration dWab = 4n 2 .E Idn1 cI 2

Ike(Wnl)

r n nur langsam ändert, dann erhalten

do .

Mn

Da andererseits nach (45,5) 3

dwsp

= ~ .E Id 1nc*1 2 2nMn

3

do

= ~.E Idn1 cl2 do 2nMn

die Wahrscheinlichkeit für die spontane Emission eines Photons mit der Frequenz ist, gelangen wir erneut zu Formel (44,9}. .

Wnl

1) Wir betonen, daß es sich hier um ein absorbierendes System im stabilen Grundzustand

handelt. Wegen der endlichen Versuchsdauer wäre die Problemstellung für ein ange~egtes Niveau anders. Für den Grundzustand sind für w > 0 der Tensor der elastischen Streuung des Photons und der Polarisierbarkeitstensor gleich.

VII

DIE STREUMATRIX

§ 64.

Die streuamplitude

Bei Stoßproblemen hat man es normalerweise mit folgender, allgemeiner Problem~ stellung zu tun: Gegeben ist der Anfangszustand eines Systems (einiger freier Teil~ ehen), und es sind die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen möglichen End~ zustände (andere freie Teilchen) zu berechnen. Das Symbolli) bezeichne den Anfangs~ zustand. Das Ergebnis eines Stoßes kann dann als Superposition (64,1)

I 11) t' und t < t'). TVJ(x)

§ 76.

~+(x')

=

Der Photonenpropagator

Bisher haben wir (in § 43 und 74) die explizite Gestalt der Operatoren für das elektromagnetische Feld A zur Berechnung von Matrixelementen nur bei einer Änderung der Zahl der realen Photonen benötigt. Zu diesem Zweck war die in § 2 angegebene Darstellung der Potentiale eines freien Feldes als Entwicklung nach transversalen ebenen Wellen ausreichelld. Diese Darstellung liefert aber an sich keine vollständige Beschreibung eines beliebigen Feldes. Das wird bereits aus der analogen Sachlage in der klassischen Elektrodynamik klar: Ein beliebiges Feld (bei Anwesenheit von Ladungen) kann nicht nach transversalen Wellen entwickelt werden; außer dem transversalen Feldanteil (der durch das Vektorpotential mit der Bedingung div A = beschrieben wird) gibt es noch die sta~ische COULOMB- Wechselwirkung, die durch das skalare Potential (,/J beschrie ben wird. 1 ) Wir haben auf diese Weise eigentlich noch keine vollständige Definition des Operators ohne diese ist aber die direkte Berechnung des Photonenpropagators nach der Formel Dp,,(x - x') = i - 0 liefert der Zustand mit dem Bahndrehimpllis der Relativbewegung l = 0 einen von Null verschiedenen Beitrag ZUlll \Yirkungsquerschnitt. 8-ZlIstände des Systems "EIPlüron+Positron" haben aber negative Parität. (s. die

1) Diese Formel wird aber für r+ ;::;; (X unbrauchbar. und man darf die CoeLo:.\IB-"'echselwirkung zwischeil den Komponelrlen des Paares nicht \'ernachlässigen (\'gI. den Schluß VOll § 90). :!) 8. \V. H. l\Icl\fAsTER, He\'. l\Ioel. Phys. 33 (1 0G 1) 8.

§ 88. Vernichtung eines Elektronenpaares

347

Aufgabe zu § 27). In Zuständen mit negativer Parität haben zwei Photonen aufeinander senkrechte Polarisationen (§ 9). Im nichtrelativistischen Fall müssen die Photonen aus einer Paarvernichtung diese Eigenschaft aufweisen. Sind Elektron und Positron polarisiert., dann kann man für den nichtrelativistischen Fall behaupten, daß eine Paarvernichtung nur für antiparallele Spins möglich ist. Da die Paarvernichtung aus einem S-Zustand heraus erfolgt, ist tatsächlich der Gesamtdrehimpuls des Systems gleich dem Gesamtspin der Teilchen, gleich 1 für parallele Spins. Ein System aus zwei Photonen hat aber überhaupt keinen Zustand mit dem Gesamtdrehimpuls 1 (§ 9). Im ultrarelativistischen Grenzfall (v ~ 1) ist die Vernichtung longitudinal polarisierter Teilchen (Elektron und Positron) nur möglich, wenn die Spiralitäten von Elektron und Positron entgegengesetzte Vorzeichen haben. I ) In diesem Grenzfall verhalten sich die Teilchen mit bestimmten Spiralzuständen wie Neutrinos (s. den Schluß von § 80); deshalb müssen sich Elektron und Positron ähnlich wie Neutrino und Antineutrino verhalten, woraus sich obige Behauptung ergibt. Eine Vernichtung von Elektron und Positron mit gleichen Spiralitäten kommt im ultrarelativistischen Fall nur dann vor, wenn man die Glieder mit m berücksichtigt. Die Amplitude für diesen Prozeß unterscheidet sich größenordnungsmäßig um einen Faktor m/c von der Amplitude für die Vernichtung eines Paares mit parallelen Spins; der Wirkungsquerschnitt ist dementsprechend um einen Faktor (m/c)2 kleiner. Aufgabe Man berechne den Wirkungsquerschnitt für die Bildung eines Elektron-Positron-Paares beim Stoß zweier Photonen (G. BREIT, J. A. WHEELER, 1934)! Lösung. Das ist der inverse Prozeß zur Vernichtung eines Elektron-Positron-Paares unter Bildung zweier Photonen. Die Quadrate der Amplituden für beide Prozesse sind gleich; ihr Zusammenhang mit dem Wirkungsquerschnitt ist anders, weil jetzt 1 2 = = (k 1 k 2 )2 = t 2/4 ist. Demnach ist dO'B

=

t -

4m 2

dO'v--t

Im Massenmittelpunktsystem ist (t dO'B

=

=

4E 2

=

4(0 2 )

2

v dO'v ;

v ist die Geschwindigkeit der Komponenten des Paares. Bei der Integration zur Berechnung

des totalen Wirkungsquerschnitts ist zu beachten, daß das Ergebnis hier nicht wie bei der Paarvernichtung durch 2 zu dividieren ist; denn die beiden Teilchen im Endzustand (Elektron und Positron) sind nicht identisch. Deshalb haben wir (im Massenmittelpunktsystem) O'B

= 2v 2 0'v = nr; (1 2

+

_ v 2 ) {(3 _ v 4 ) In 1 v _ 2v(2 1 - v

V 2 )} •

(1)

In einem beliebigen Bezugssystem K, in dem die beiden Photonen k l und k 2 einander entgegenfliegen, ist (wegen der Invarianz von k 1 k 2 ) 001 00 2 (I)

i~t

t(IlIt'/l

=

00 2 ;

die Energie der Photonen im Massenmittelpunktsystem. Da die Energien der Phound der Komponenten des Paares im Massenmittelpunktsystem gleich sind, ist

I) Da gleichzeitig die Impulse der Teilchen (im Massenmittelpunktsystem) entgegengesetzt gerichtet sind, entsprechen Spiralitäten verschiedenen Vorzeichens parallelen Spins.

348 OJ =

Kapitel X. Wechselwirkung von Elektronen mit Photonen E

m/Yl - v2 •

Beim Übergang zum System K hat man daher in (1)

zu setZeI1.

§ 89.

Vernichtung von Positronium

Aus Gründen der Impulserhaltung muß die Vernichtung des Elektrons und des Positrons im Positronium von der Emission mindestens zweier Photonen begleitet sein. Ein solcher Zerfall (aus dem Grundzustand heraus) ist aber nur für Parapositronium möglich. In § 9 ist gezeigt worden, daß der Gesamtdrehimpuls eines Systems von zwei Photonen nicht gleich 1 sein kann. Deswegen kann das Orthopositronium, das sich in einem 3SI -Zustand befindet, nicht in zwei Photonen zerfallen. Das Positronium hat im 3Sc Z ustand negative Ladungsparität (s. die Aufgabe zu § 27); auf Grund des FURRy-Theorems (§ 79) kann das Positronium aus diesem Zustand heraus überhaupt nicht in eine gerade Anzahl von Photonen zerfallen. Dagegen hat das Positronium im ISo-Zustand positive Ladungsparität, und deshalb ist der Zerfall des Parapositroniums in eine beliebige ungerade Anzahl von Photonen verboten. Der wesentliche Prozeß, der die Lebensdauer des Positroniums bestimmt, ist also die Vernichtung des Parapositroniullls unter Emission von zwei Photonen und die Vernichtung des Orthopositroniums unter Emission von drei Photonen (1. JA. POMERANTSCHUK, 1948). Die Zerfallswahrscheinlichkeit kann mit dem Wirkungsquerschnitt für die Vernichtung eines freien Paares in Zusammenhang gebracht werden. Die Impulse von Elektron und Positron im Positronium sind --- me 2 Jli, d. h. klein gegenüber mc. Bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeit für die Vernichtumg kann man daher zur Grenze zweier im Koordinatenursprwlg ruhender Teilchen übergehen. a2y sei der Wirkungsquerschnitt für die Vernichtung eines freien Paares unter Bildung von zwei Photonen; dieser Querschnitt sei über die Spinrichtungen der beiden Teilchen gelllitteit. Im nichtrelativistischen Grenzfall haben wir gemäß (88,1l)1)

a.)-y

= n

(~)2 ~v mc

(89,1)

2

mit v als Relativgeschwindigkeit der Teilchen. 'Vir erhalten die Wahrscheinlichkeit für die Vernichtung, indem wir (J2y mit der Stromdichte v 1'ljJ(0)1 2 multiplizieren. Hier ist 'ljJ(r) die auf 1 normierte Wellenfunktion des Positroniumgrundzustandes:

w:?y

'ljJ(r)

1

= - = e- r / a , Yna3

a

=

2li 2 -2

(89,2)

me

(der BOHRsche Hadius des l)ositroniums a ist doppelt so groß wie der Radius des Wasserstoffatollls, weil die reduzierte Masse nur halb so groß ist). Diese Wahrscheinlichkeit entspricht einem über die Spins gemittelten Anfangszustand. Im Positronium kann aber von den vier möglichen Spinzuständen eines Systems aus zwei Teilchen nur einer in zwei Photonen zerfallen (derjenige mit dem Gesamtspin 0). Daher hängt die mittlere Zerfallswahrscheinlichkeit w:?y über die Beziehung w 2 )' = 'lL'0/4 mit der Zerfalls1) Die Formeln (89,1) bis (89,7) werden in normalen Einheiten aufgeschrieben.

§ 89. Vernichtung Von Positronium

wahrscheinlichkeit

Wo

349

für das Parapositronium zusammen. Auf diese Weise wird

(89,3) Wir setzen die Werte aus (89,1) und (89,2) ein und bekommen für die Lebensdauer des Parapositroniums To

2/i

= - 2-5 = 1,23.10-10 s.

(89,4)

mc cx

Wir machen darauf aufmerksam, daß die Niveaubreite der Energie des Niveaus ist:

ro =

/i/To klein gegenüber

me 4 cx 2 IE 1 = - = mc 2 _ . gr 4/i2 4 Gerade aus diesem Grunde darf man das Positronium als quasistationäres System ansehen. Analog finden wir die Zerfallswahrscheinlichkeit für das Orthopositronium, die mit dem über die Spins gemittelten Wirkungsquerschnitt für die Vernichtung eines freien Paares unter Bildung dreier Photonen über die Beziehung wl =

t

W3Y =

t

11jJ(0)1 2 (va3Y)V~O

(89,5)

zusammenhängt (3/4 ist das relative statistische Gewicht eines Zustandes mit dem Spin 1). Wir greifen vor und benutzen _

0'3 y

=

2)2 4(n 2 - 9) c cx - 2 3v mc

(e

(89,6)

Demnach ist die Lebensdauer des Orthopositroniums Tl

=

9n /i 1 ,4. 10 -7 s. = 2(n 2 - 9) mc 2 cx 6

(89,7)

r

Die Ungleichung l ~ IEgrl ist in diesem Fall selbstverständlich noch besser als für Para positronium erfüllt. Jetzt berechnen wir den Wirkungsquerschnitt für die Vernichtung eines freien Paares unter Bildung dreier Photonen (A. ÜRE, J. L. POWELL, 1949). Nach (64,18) wird der Wirkungsquerschnitt des betrachteten Prozesses im Massenmittelpunktsystem folgendermaßen durch das Quadrat der Amplitude ausgedrückt:

d 3k d 3 k d 3k

l 3 2 X ----------------

(2n)92w l

'

2w 2 • 2w 3

= 2m . m

(89,8)

V = m 2v; v ist die Relativgeschwindigkeit 2 von Positron und Elektron (die wir als klein voraussetzen); k l , k 2 , k 3 und W v W 2 , W 3 sind die Wellenzahl vektoren und die Frequenzen der entstehenden Photonen; die ~-Funktion beinhaltet die Erhaltungssätze für Energie und Impuls. Auf Grund dieser Erhaltungssätze müssen die drei Frequenzen W l , W 2 , W 3 durch die Seitenlängen eines Dreiecks mit dem Umfang 2m dargestellt werden. Mit anderen Worten, die Beträge

Dabei haben wir nach (64,16) I

350

Kapitel X. Wechselwirkung von Elektronen mit Photonen

der Impulse k v k 2, und k 3 und die Winkel zwischen ihnen sind durch die Vorgabe zweier Frequenzen vollständig bestimmt. Zur Paarvernichtung unter Bildung dreier Photonen gehört das Diagramm

:'===[Pk:---

-P+

sowie fünf weitere Diagramme, die sich durch Vertauschung der Photonen kv k2 und k3 ergeben. Die zugehörige Amplitude schreiben wir in der Form

M fi = (4n)3/2

e~3)*e~2)*e~1)* u( -p+) QAIl"U(p_)

(89,9)

mit QAIl" =

I: yAG(k 3

-

P+) yIlG(p_ -

p

k1 ) y" ,

(89,10)

es wird über alle Permutationen der Photonennummern 1, 2 und 3 summiert; gleichzeitig sind die entsprechenden Tensorindizes A, p und v zu permutieren. Das Betragsquadrat der über die Polarisationen von Elektron und Positron gemittelten und über die Photonenpolarisationen summierten Amplitude ist

t

I: IMf ;l2

=

(89,11 )

(4n)3 Sp {e+QAIl"e_QAIl"}

polar

mit

e- = t (( yp)- + m) , In den Matrizen (jAIl" ist gegenüber den Matrizen QAIl" die Reihenfolge der Faktoren in den einzelnen Summanden umgekehrt. Im uns interessierenden Grenzfall kleiner Geschwindigkeiten von Elektron und Positron kann man deren 3-Impulse p_ und p+ gleich Null setzen, d. h. p_ = p+ = (m, 0). Dann sind die GREENschen Funktionen für das Elektron G(p _ _ k

)

1

=

(yp) - k1 (p - k1 )2 -

+ m ~ -k + m(yO + 1) 1

m2

-2mw 1

u. ä.; die Polarisationsmatrizen werden zu

e+ = ~

(yO

± 1) .

Beim Auslllultiplizieren in (89,11) entsteht eine Vielzahl von Gliedern. Man kann die Zahl der für die Rechnung erforderlichen Glieder stark herabsetzen, indem man die Symmetrie bei Vertauschung der Photonen in vollem Umfang ausnutzt. Man braucht dann die sechs Summanden in ~Il" (89,10) nur mit einem beliebigen Summanden in QAIl" zu multiplizieren. Von den auf diese Weise verbleibenden sechs Spuren kann man noch einige Teile herausziehen, die bei verschiedenen Vertauschungen von Photonen ineinander übergehen. Die beim Ausrechnen der Spuren auftretenden Produkte der 4-Vektoren p, kv k2 und ka werden alle durch die Frequenzen W l , W 2 und W 3 ausgedrückt. Wegen p = (m, 0) ist pk1 = mw v ... Die Produkte k1 k 2 , ... werden aus der Gleichung für dIe Impulserhaltung 2p = k1 k2 k3 berechnet; wir formen diese Gleichung um in 2p - k3 = k1 k2 , quadrieren diese und bekommen

+

k1 k 2 = 2m(m - (

3 ), ...

+ +

(89,12)

§ 89. Vernichtung von Positronium

351

Als Result.at einer recht langen Rechnung ergibt sich

~ 1: IMfil2 = 4

(4n)3 e6 . 16

[(rn - ( 1)2 + (rn - ( 2)2 + (rn - ( 3)2] .

polar

W 2W 3

W 1W 3

W 1W 2

Diesen Ausdruck setzen wir in (89,8) ein und erhalten für den differentiellen Wirkungsquerschnitt der Dreiphotonen-Paarvernichtung

e

d aa

=-",2m 2 v

Y

rn -

[(

rn + rn - )2] )2+ (----)2'

W1

(02(03

W2

(0,(03

W3

(

(0,(02

Hier muß noch die o-Funktion eliminiert werden. Die erste o-Funktion wird bei der Integration über d 3 k 3 aufgebraucht; danach substituieren wir die verbleibenden Differentiale d 3 k 1 d 3 k 2 ---+ 4nw~ dW 1 • 2nw~ d( cos f)12) dW 2 ; f)12 ist der Winkel zwischen k 1 und k 2 . Es versteht sich, daß bereits über die Richtungen von k 1 und über das Azimut von k 2 bezüglich k 1 integriert worden ist. Wir differenzieren die Gleichung

W3

=

Vw~ + w~ +

2W 1W 2

cos

f)12

und finden

Bei der Integration über W3 fällt die zweite o-Funktion heraus. Als Ergebnis erhalten wir den Wirkungsquerschnitt für die Paarvernichtung unter Bildung von Photonen mit gegebenen Energien in der Form (89,14} (da wir die weitere Integration über die Frequenzen im Auge haben, ist hier der Faktor 1/6 eingeführt worden, der die Identität der Photonen berücksichtigt; vgl. die Fußnote auf S. 233). Die Frequenzen W ll W 2 und W 3 können Werte zwischen 0 und annehmen (der Wert wird von zwei Frequenzen erreicht, wenn die dritte Null ist). Zu gegebenem w 1 liegt die Frequenz W 2 zwischen m - W 1 und m. Wir integrieren (89,14) zwischen diesen Grenzen über W 2 und erhalten als Spektralverteilung für die Photonen

rn

rn

_ d(3)'

F( (

8e 6 . --F(w1 ) dw 1 3vm 3

=

_ w 1 (m -

1) -

(2m -

( (

1) 1 )2

,

+ 2m w-

W1 1

+ [21n(mwi-

Die Funktion F(w 1 ) wächst monoton von Null bei Abb. 14 ist die Kurve für F(w 1 ) dargestellt.

(

1)

W1

-

2m(m - ( 1 )2]1 m -w 1 (2m - (

n--.

m

1 )3

= 0 bis 1 bei

W1 =

m; in

352

Kapitel X. Wechselwirkung \"on Elektronen mit Photonen

/

0,0

./ ~~

V

l/

......... 1-'"

./

0,2

o

/'

V

0,6

08

7,0

Abb.14

Der totale Wirkungsquerschnitt, für die Paarvernichtung ergibt sich aus (89,14) durch Integration über die beiden Frequenzen:

Das Integral ist (n 2 mel (89,6).

§ 90.

-

g)j3. und wir gelangen zu der schon vorweggenommenen For-

Bremsstrahlung im Magnetfeld

Nach der klassischen Theorie (H, § 74) emit,t,iert ein ultrarelativistisches Elektron bei der Bewegung in einem konstant,en Magnet.feld 11 ein ql1asikontinuierliches Spekt.rulll IlIit einem Maximum bei der Frequenz

)3 W.--..- Wo (:L ' I

(90,1)

wobei

Wo =

v

lei H Ipl

---

~

lei H

(90.2)

-E

die Umlauffrequenz eines Elektrons mit der Energie E bei der Bewegung auf einer Kreisbahn (in einer Ebene senkrecht zum Feld) ist,.l) '''ir werden annehmen. daß die longitudinale (zu 11 parallele) Komponente der Elektrollengeschwindigkeit KulI ist; durch geeignete Wahl des Bezugssystems kann das immer erreicht werden. Die Quanteneffekte bei der Bremsst.rahlung im Magnetfeld haben zwei Ursachen: die quanten mechanische Bewegung des Elektrons und den quantenmechanischen Rückstoß bei der Emission des Photons. Letzterer wird dllrch das Yerhältnis hW!E bestillllllt" und die klassische Theorie darf angewandt werden. wenn dieses Yerhältnis

1) In diesem Paragraphen setzen wir (' =

1, aber wir oehalten den Faktor h oei.

§ 90. Bremsstrahlung in, Magnetfeld

353

klein ist. In diesem Zusammenhang ist es giinstig, den Parameter

x=

~~

H

Ho m

HE

Hom

~ hwo(~)3 E

(90,3)

m

mit Ho = m2 /lel h (= m2c3 /lel h) = 4,4 . 10 9 T einzuführen. Im klassischen Bereich ist X "-' hw IE ~ l. Im entgegengesetzten Fall (X 1) ist die Energie des emittierten Photons hw --- E, wobei sich (wie wir später noch sehen werden) der wesentliche Bereich des Spektrums bis zu Frequenzen erstreckt, für die die Energie des Elektrons nach der Emission H E'~m~ (90,4) H

>

ist. Damit das Elektron ultrarelativistisch bleibt, muf3 das Feld folgende Bedingung erfüllen: (90,5)

Die quantenmechanische Bewegung des Elektrons selbst wird durch das Verhältnis hWo!E charakterisiert; liw o ist der Abl:ltand zwischen benachbarten Energieniveaus bei der Bewegung im Magnetfeld. Wegen

hw

o= !!.. (m)2 Ho

E

E

ist infolge von (90,5) hw o ~ E, d. h., die Bewegung des Elektrons ist bis auf die Abhängigkeit von X quasiklassisch. Mit anderen Worten, man darf vernachlässigen, daß die dynamischen Variablen des Elektrons nicht miteinander vertauschbar sind (die vernachlässigten Glieder sind von der Größenordnung hWo!E), und gleichzeitig berücksichtigen, daß sie mit den Operatoren fiir daR Photonenfeld nicht vertauschbar sind (Größenordnung hwjE).l) Die qllasiklassischen Wellenfunktionen für die stationären Zustände eines Elektrons in einem ällßeren Feld können symbolisch in der Form ljJ =

(th

A -1/"2. u(p) A exp -(2H)

A) cp(r) Ht

(90,6)

geschriehen werden: darin sind q;(l') ---..- exp(iSjh) die quasiklassischen Wellenfunktionen eines TeilchenR ohne Spin (8(1') ist die zugehörige klassische '~Tirkllng). u(p) ist der BiRpinoroperator A

u(p) ==

((li + A

(H

m)1!"2 10

+ rn)-l/:!. (ap) w

) ,

1) Die vollstündige Lösung des quanten theoretischen Problems der Bremsstrahlung im :\Iagnetfeld ist ,'on X. P. KLEPIKOW (1 fl54) gefunden worden, die ersten quantentheoretischC'n KorrekturC'n zur klassischen Formel stallunen von A. A. f'OKoLow, N. r. KLEPIKOW lind 1. .:\f. TER~OW (lfli'i2). '\'. K. BUER ulld 'V.lU. KATKOW haben (lfl67) explizit ausgenutzt. daß die Bewegullg quasiklassisch ist; die Darstellung in diesem Paragraphen lehnt sich all die Arbeit diespr beidel1 Autoren an ..T. f'CHWI~GER (1 fl54) hat früher eine ähnliche 1Ictllode angewandt. UIl1 die ersten quantentheoretischen Korrekturen zur Strahlungsintensität zu bercchnell.

354

Kapitel X. Wechselwirkung von Elektronen mit Photonen

der sich aus der Bispinoramplitude der ebenen Welle u(p) (23,9) ergibt, indem man p und c durch Operatoren ersetztl) :

p= P-

eA

=

ii = (p2 + m 2)1/2 ,

-iTiIJ -eA ,

P ist der verallgemeinerte Impuls eines Teilchens in einem äußeren Feld mit dem Vektorpotential A(r). Die Reihenfolge der Operatoren in 1p ist unwesentlich, weil wir vernachlässigen, daß sie nicht miteinander vertauschbar sind. Der Spinzustand des Elektrons wird durch den dreidimensionalen Spinor w beschrieben. Bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeit für die Emission eines Photons im quasiklassischen Fall benutzt man besser nicht die Endformel (44,3) der Störungstheorie, sondern die noch nicht über die Zeit integrierte Formel. Für die gesamte differentielle Wahrscheinlichkeit (nach unendlich langer Zeit) haben wir 2 ) 00

(90,7) -00

(vgl. III, (41,2)); es wird über die Endzustände des Elektrons summiert. Unter Verwendung von (90,6) kann man das Matrixelement Vfi(t) für die Emission eines Photons w, k folgendermaßen in Operatorform schreiben:

't 'k X e 1W -1 ". (e*oc)

(i

A)

u(p) exp - - Ht Ti d 3x , (2H)1/2 h

--A--

die Operatoren in der eckigen Klammer wirken dabei nach links. Das Photonenfeld ist in d~eidimensional transversaler Eichung gewählt worden. Die Faktoren exp (± iHtfTi) transformieren die dazwischenstehenden SCHRÖDINGER-Operatoren in explizit zeitabhängige Operatoren im HEISENBERG-Bild. Wir schreiben Vfi(t) in der Form Vfi(t) = e

1/Tiw e V4n E Z p'k - pk

(98,1l)

zu schreiben; es wird über alle Teilchen summiert (Teilchen mit den Ladungen Ze). Entsprechend werden auch die Formeln (98,6) bis (98,8) abgeändert. Insbesondere ist im nichtrelativistischen Fall

Mfi

=

M}?> e V4n E

Z(v' - v) e* .

w

(98,12)

I

Für zwei Teilchen erhält diese Formel die Gestalt

e Mfi = M}?> V4n (zle _ Z2 ) qe*, m2 mm m= _ _ 1_2_; m1 + m 2

m1

w

q=(v'-v),

(98,13)

v und v' sind die Relativgeschwindigkeiten der Teilchen vor und nach dem Stoß. Wir integrieren das Quadrat IMfi l2 über die Flugrichtungen des Photons, summieren über dessen Polarisationsrichtungen und erhalten daraus die nichtrelativistische Spektralverteilung der Strahlung in der Form dO'w

=

2e

dO'el -

2

(Zl -

3n m1

-

Z2)2 dw. q2 m2 w

Die erhaltenen Ergebnisse können für den Fall gleichzeitiger Emission mehrerer weicher Photonen verallgemeinert werden. Für jedes Photon wird in der Amplitude Mfi ein eigener Faktor der Gestalt wie in (98,5) bei M}?> hinzugefügt. Davon kann man sich ganz einfach unmittelbar überzeugen, sagen wir, am Beispiel zweier Photonen. Die Linien der beiden emittierten Photonen müssen an die äußeren Linien angehängt werden, und zwar in zwei verschiedenen Reihenfolgen, d. h., ein Diagramm mit der äußeren Linie p wird durch zwei Diagramme mit den Linien 2

k ~

, ,k ' , 7

'

p-k7-k z

k"

'

\ ..

p-k1

\ ..

P

oder..

,, k ,, 2

'

\ ..

\ ..

p-:-k 1 -kz p-k2 ·· P

409

§ 98. Emission weicher Photonen bei Stößen

ersetzt. Jedes Diagramm enthält den Faktor (Nenner der Elektronenpropagatoren) 1

2 (pk1

1

+ pk2 ) 2pk1

oder

1

2(pk1

+ pk2 )

1 2pk2

•

Ihre Summe ist 1 1 2pk1 2pk2 '

d. h., sie enthält das Produkt zweier unabhängiger Faktoren, die zum ersten bzw. zweiten Photon gehören. Anschließend werden in der Summe aller Diagramme die Summanden (auf Grund der Eichinvarianz) zu einem Produkt von Differenzen zusammengefaßt :

t _ pet) (p'e: _

ple ( p'k

1

pk1

p'k2

pe:) . pk2

Entsprechend der Faktorisierung der Amplitude besteht auch der Wirkungsquerschnitt für den Prozeß aus verschiedenen Faktoren. Die weichen Photonen werden also unabhängig voneinander emittiert. Der Wirkungsquerschnitt für einen Prozeß, bei dem n weiche Photonen emittiert werden, kann in der Form (98,14) geschrieben werden; dwv dw 2 , ••• sind die Wahrscheinlichkeiten für die separate Emission der Photonen kv k2 , ••• Bei der Integration dieser Formel über die Variablen (Frequenzen und Richtungen) im Endzustand, die für alle Quanten gleiche Variabilitätsbereiche haben, muß wegen der Identität der Photonen der Faktor Iln! eingeführt werden. Int~grieren wir den Emissionsquerschnitt (98,1) über die Frequenzen in emem endlichen Intervall von W 1 bis W 2 , so erhalten wir einen Ausdruck der Gestalt (98,15) (vgl. (98,8)). Dabei versteht es sich, daß beide Frequenzen nicht zu groß sind, so daß die möglichen Werte für W2 durch die Bedingung für die Brauchbarkeit der Methode festgelegt werden. Mit logarithmischer Genauigkeit kann man aber W 2 --... e setzen, wenn e die Anfangsenergie des strahlenden Teilchens ist. Die Werte von Wl sind durch nichts von unten beschränkt. Lassen wir aber Wl --+ 0 gehen, dann sehen wir, daß der Emissionsquerschnitt für alle .möglichen weichen Quanten unendlich wird. Wir wollen den Sinn dieses Sachverhaltes - der sogenannten Infrarotkatastrophe - ergründen (F. BLOCH, A. NORDSJECK, 1937). Für (98,16) wird da > dael. Das bedeutet aber, daß die Störungstheorie'unbrauchbar wird - man kann da nicht mehr als Größe höherer Ordnung in bezug auf dael berechnen. In diesem Fall muß man mit anderen Worten nicht cx sondern cx In (elwl) als kleinen Parameter ansehen.

410

Kapitel X. Wechselwirkung von Elektronen mit Photonen

Die Ableitung der Formeln (98,5) bis·(98,8) auf der Grundlage der Störungstheorie wird also für genügend kleine Frequenzen ungültig. Andererseits ist die klassische Formel für die Intensität d! (s. 11, (69,4)) um so besser anwendbar, je kleiner w ist. Daher bleibt die Formel (98,1) richtig, wenn man ihre Bedeutung ein wenig zum Klassischen hin verändert. In (98,1) ist angenommen worden, daß ein Photon emittiert wird. Die Energie, die das Teilchen bei der Emission verliert, ist dann gleich w, und der "Querschnitt für den relativen Energieverlust" wird durch den Ausdruck w da/c oder d! (98,17) daelc gegeben. In Wirklichkeit ist aber für genügend kleine w die Emissionswahrscheinlichkeit nicht klein, und die Emissionswahrscheinlichkeit für zwei und mehr Photonen ist nicht kleiner als die Emissionswahrscheinlichkeit für ein Photon. Unter diesen Bedingungen bleibt der Ausdruck (98,17) richtig, aber die klassische Intensität d! wird nicht die Emissionswahrscheinlichkeit für ein Photon bestimmen. Die mittlere Zahl der emittierten Photonen wird' dri

=

d!

(98,18)

w

oder im Frequenzintervall von

WI

bis

0)2

(98,19) Die weichen Photonen werden statistisch unabhängig emittiert (das gilt in allen Näherungen der Störungstheorie ). Man kann daher für die Mehrfachemission die POISSON-Formel anwenden: Die Wahrscheinlichkeit w(n) für die Emission von n Photonen wird folgendermaßen durch die mittlere Photonenzahl ausgedrückt:

n

ri n

-

w(n) = _e- n

n!

•

(98,20)

"Vir schreiben den Wirkungsquerschnitt für eine Streuung mit Emission von Photonen in der Form da

=

dael . w(n) .

(98,21 )

Wegen I.: w(n) = 1 ist dael der totale Querschnitt für eine Streuung, bei der auch eine beliebige weiche Strahlung auftritt. Dieser Sachverhalt ist aus der klassischen Behandlung unmittelbar evident; nach der Störungstheorie ist dael der Streuquerschnitt für die rein elastische Streuung. Aber die Störungstheorie ist hier unbrauchbar. Der mit der Störungstheorie für die elastische Streuung berechnete Streuquerschnitt dao enthält in Wirklichkeit auch die Emission beliebiger weicher Photonen. Der Streuquerschnitt für die elastische Streuung ~st tatsächlich Null: Für W I --?>- 0 geht die mittlere Zahl ri --?>- 00, und nach (98,20) verschwindet die Emissionswahrschdnlichkeit für eine beliebige endliche Photonenzahl. I ) 1) Wir kommen später in § 130 im Zusammenhang mit der Untersuchung der Strahlungskorrekturen auf eine ausführlichere Besprechung dieser Situation zurück.

411

§ 98. Emission weicher Photonen bei Stößen

Aufgabenl ) 1. Man berechne die Spektralverteilung für die beim Abbremsen eines ultrarelativistischen Elektrons an einem Kern emittierten weichen Quanten! Lösung. Die Integration der Formel (98,8) über

dOk

ergibt

dw da = cxF(~) - dael , w

(1)

mit

F(~)

=

~ [ 2~2 + ~ y'~2

;rr;

+

1

In

(~ + y'~2 +

1) _

1],

~ =

Ipl . ()

(2)

-S1l1-

m

2

(p ist der Impuls, () der Streuwinkel des Elektrons). Im ultrarelativistischen Fall spielt der Winkelbereich (3)

die Hauptrolle (die untere Grenze ist die Bedingung (98,10), wegen der oberen Grenze s.u.). Dabei ist ~ ::::::; e()/2m ~ 1, so daß gilt

F(~)

::::::;

~~2,

3;rr;

und der Streuquerschnitt für die elastische Streuung des Elektrons am Kern ist (s. (80,10)) 22m2

dael ~ 4Z r e -

do -.

(4)

e2 ()4

Das Integral

dWJ

16Z 2 cxr 2 da w = e 3 w

d() -

()

ist logarithmisch divergent; es wird unten bei Winkeln () "-' m 2 w/e 3 und oben bei abgeschnitten, d. h. bei Winkeln () ~ m/E (für ~ -- 00 ist

F

~

4 -ln

~

'" 1

~,

;rr;

so daß das Integral konvergiert). Mit logarithmischer Genauigkeit finden wir auf diese Weise 2 16 2 2 dw E (5) da w = - Z cxr e - l n - 3 w mw in Übereinstimmung mit dem logarithmischen Teil in Formel (93,17) (in der e ~ E' zu setzen ist). Man kann über die logarithmische Genauigkeit hinausgelangen, indem man über die Grenzen des quasiklassischen Bereiches hinausgeht. 2. Für den Stoß zweier ultrarelativistischer Elektronen ist (im Massenmittelpunktsystem) der Wirkungsquerschnitt für die gleichzeitige Emission zweier weicher Photonen in entgegengesetzte Richtungen unter kleinen Winkeln zu den Elektronenimpulsen zu berechnen. Lösung. Die in entgegengesetzte Richtungen fliegenden Photonen werden von verschiedenen Elektronen emittiert, jeweils in der betreffenden Bewegungsrichtung. Der Wirkungsquerschnitt für die gleichzeitige Emission ist ~ =

E • () -S1l1-;

m

2

(6)

1) Die im folgenden wiedergegebenen Anwendungen der Formel (98,7) stammen von W. N. BAJER und W. M. GALIZKI (1964).

412

Kapitel X. Wechselwirkung von Elektronen mit Photonen

c ist die Energie der einzelnen Elektronen, e ist der Streuwinkel im Massenmittelpunktsystem, der für beide Elektronen gleich ist (da die Photonen bekanntlich in verschiedene Richtungen elnittiert werden, braucht kein Faktor 1/2 in den Querschnitt eingeführt zu werden). Der Streuquerschnitt für die elastische Streuung der Elektronen in kleine Winkel im Massenmittelpunktsystem stimmt im ultrarelativistischen Fall mit (4) überein (vgl. (81,11)). Anders als (1), verhält sich der Wirkungsquerschnitt (6) für e -+ 0 wie e de, so daß das Integral konvergiert. Einerseits erlaubt diese Eigenschaft, bis zu e = 0 zu integrieren (ohne wegen einer möglichen Verletzung der Bedingung für die Brauchbarkeit der Methode besorgt sein zu müssen). Andererseits stammt der Hauptbeitrag zum integralen Wirkungsquerschnitt jetzt vom Bereich e ~ m/e (und nicht von e ~ m/e), so daß man den exakten Ausdruck (2) zu verwenden hat. Die Integration des Wirkungsquerschnittes über die Streuwinkel ergibt da w ,w 2

=

r

~ 5 n L

+ 2 C(3)] r~(X2 dW 2

(C ist die RIEMANNsche C-Funktion, C(3)

§ 99.

1

W1

dW 2 w2

=

5,9r~(X2 dW 1 dW 2 w1

W2

1,202).

=

Die Methode der äquivalenten Photonen

qv

Wir vergleichen die beiden durch folgende Diagramme beschriebenen Prozesse:

QV

q

q

+k

+k

(99,1)

p,Ap

I

0

b

(die Kreise sollen den ganzen inneren Teil des Diagramms darstellen). Das Diagramm a) stellt den Stoß eines Photons k (k 2 = 0) mit einem Teilchen mit dem 4-Impuls q (und der Masse m, q2 = m 2 ) dar. Beim Stoß wird ein System (ein Teilchen oder eine Gruppe von Teilchen) mit dem resultierenden 4-Impuls Q gebildet. Der Graph b) bedeutet den Stoß desselben Teilchens q mit einem anderen Teilchen mit dem 4Impuls p und der Masse M (p2 = 1l12 ). Beim Stoß erhält das letztere Teilchen den 4-Impuls p', und es entsteht dasselbe System Q. Den zweiten Prozeß kann man als Stoß des Teilchens q mit einem vom Teilchen p emittierten, virtuellen Photon mit dem Impuls k = p - p' (k 2 0) auffassen. Wenn dabei jk 2 j klein ist, unterscheidet sich das virtuelle Photon nur wenig von einem realen. Offensichtlich kann man einen derartigen Sachverhalt beim Stoß sehr schneller Teilchen vorfinden; denn das elektromagnetische Feld eines mit der Geschwindigkeit v ~ 1 bewegten Elektrons ist fast transversal und hat daher ähnliche Eigenschaften wie das Feld einer Lichtwelle. Unter diesen Bedingungen kann l1lan den 'Virkungsquerschnitt für den Prozeß b) durch den Wirkungsquerschnitt für den Prozeß a) ausdrücken.!) Das Teilchen M wird also als ultrarelativistisch angesehen, seine Energie (im Ruhsystem des Teilchens m) sei c lJl. Falls die Massen der stoßenden Teilchen rn und




1)

Die hier besprochene Methode ist von C. F.

VON

WEIZSÄCKER und E. J.

'VILLIAMS

(1934) ausgearbeitet worden; die Grundidee dieser Methode ist bereits früher von E. FERMI (1924) ausgesprochen worden.

§ 99. Die Methode der äquivalenten Photonen

413




>

für

2w'

m 2 ' w'

' und der Ausdruck· d WB = \M(!}\2 f

d 3 k' d 3

,

q , (2n)4l5(4}(8k (2n)62w'2qo2qo

+q-

q' - k')

(101,14)

stellt die entsprechende differentielle Wahrscheinlichkeit (pro Zeiteinheit) dar. I) Die Amplituden M}~) sind ähnlich aufgebaut wie die Streuamplituden mit ebenen Wellen. Auch die Summation über die Polarisationen der Teilchen erfolgt daher in üblicher Weise. Nach der Summation über die Polarisationen von Elektron und Photon im Endzustand und der Mittelung über die Polarisationen des Elektrons im Anfangszustand ergibt sich 2

d WB = e m 4n X

2

d 3k' d3q' " l5(4}(8k qoqoW

+q -

q' - k')

{-2J 2(Z) + ~2 (1 + 2(kp) (kk')2 (J;+l + J;-l - 2J;)}. (kp')

(101,15)

B

Zur Integration von (101,15) bemerken wir, daß infolge der A~ialsymmetrie des Feldes der zirkular polarisierten Welle die differentielle Wahrscheinlichkeit nicht vom Winkel cp um die k-Richtung abhängt. Dieser Umstand und die l5-Funktion ermöglichen, über alle Variablen - bis auf eine - zu integrieren. Als Variable, über die nicht integriert wird, wählen wir die invariante Größe u = (kk')j(kp'). Nach der Integration über d 3k dcp d(qo + w') haben wir dann

l5(4}( k 8

+q-

3 3 ' k' d k' d q' 2n du q ) q~w' ~ (1 + u) 2

Tatsächlich liefert die angegebene Integration im Massenmittelpunktsystem (imSystem mit 8k + q = q + k' = 0) 2n Iq'l d cos 0IE B mit E B = 8W + qo = w' + qo; ist der Winkel zwischen kund q' (vgl. die Transformation (64,12»). Andererseits ist

o

1) Wir machen darauf aufmerksam, daß die Normierung der Funktionen "Pp auf die Dichte 1 der Normierung auf eine 1. Man kann den Parameter ~ groß werden lassen, indem man zum Beispiel die Frequenz w bei festgehaltener Feldstärke kleiner werden läßt (offensichtlich ist ~ = eF /mw, wenn F die Amplitude der Feldstärke ist). Der Fall ~ ?> 1 führt also im wesentlichen zu den Prozessen in einem konstanten homogenen Feld, in dem die Feldstärken E und H betragsmäßig gleich und aufeinander senkrecht sind (wir wollen ein solches Feld als Kreuzfeld bezeichnen). Die Emissionswahrscheinlichkeit in diesem Feld kann durch den Grenzübergang ~ -+ 00 berechnet werden, es ist aber einfacher, die Rechnung sofort für ein konstantes Feld mit dem 4-Potential A"

= a"q;,

q;

=

kx,

(ak)

=

(101,20)

0

auszuführen (so daß F"" = k"a" - k"a" = const ist). Die exakte Wellenfunktion des Elektrons in diesem Feld ergibt sich, indem man (101,20) in (40,7) und (40,8) einsetzt,

"Pp

=

[1

+ e (yk) (ya) q;] 2(kp)

u(p) exp {-ie (ap) q;2 Y2po 2(kp)

+ ie 2~ q;3 6(kp)

-

iPX}. (101,21)

Das mit Hilfe dieser Funktion gewonnene Ergebnis ist exakt für die Strahlung eines Elektrons in einem Kreuzfeld bei beliebiger Energie des Elektrons. Es ist bemerkenswert, daß dieses Ergebnis (in geeigneter Darstellung; s. u.) im ultrare1ativistischen Fall für die Strahlung eines Elektrons in einem beliebigen konstanten homogenen elektromagnetischen Feld gilt, nicht nur für ein Elektron in einem Kreuzfeld. Unter anderem gilt dieses Resultat auch für ein konstantes Magnetfeld (das in § 90 betrachtet worden ist). Zur Formulierung dieser Behauptung bemerken wir, daß der Zustand eines Teilchens in einem beliebigen konstanten homogenen Feld durch genau soviel Quantenzahlen beschrieben wird wie der Zustand eines freien Teilchens. Man kann diese Quantenzahlen immer so wählen, daß sie beim Ausschalten des Feldes in die Quantenzahlen eines freien Teilchens übergehen, d. h. in seinen 4-Impuls p" (p 2 = m 2 ). Auf diese Weise wird der Zustand eines Teilchens in einem konstanten Feld durch den konstanten 4-Vektor P beschrie ben. Die Gesamtintensität der Strahlung ist eine invariante Größe und hängt nur von den Invarianten ab, die man aus dem konstanten 4-Tensor F"v und dem konstanten

428

Kapitel X. Wechselwirkung von Elektronen mit Photonen

4-Vektor pli- bilden kann. I ) Ferner darf Fp.v nur zusammen mit der Ladung e in die Intensität eingehen. Unter Beachtung dessen erhalten wir die drei dimensions losen Invarianten e2 e2 X2 = - 6 (Fp. vpV)2 = - {ia 2(kp)2, m m (101,22)

In einem Kreuzfeld ist j = g == 0, während im allgemeinen Fall alle drei Invarianten von Null verschieden sind. Für ein ultrarelativistisches Elektron (Po ~ m) und für einen Vektor p, der mit den Feldern E und H Winkel () ~ mJpo einschließt, ist aber X2 ~ j, g (mit anderen Worten, für ein ultrarelativistisches Teilchen sieht ein beliebiges Feld für fast alle p-Richtungen wie ein Kreuzfeld aus). Wenn außerdem die Feldstärken lEI, IHI ~ m 2Je (= m 2c3 Jeh) sind, dann ist 1/1, Igl ~ 1. 2 ) Unter diesen Bedingungen ist die für ein Kreuzfeld berechnete und durch die Invariante X ausgedrückte Intensität auch für die Strahlung in einem beliebigen konstanten Feld zutreffend. Die Invariante X wird folgendermaßen durch die Feldstärken E und Hausgedrückt:

e2 X2 = - 6 {([pH] m

+ POE)2 -

(pE)2} .

Für ein konstantes Magnetfeld stimmt X mit der in § 90 eingeführten Größe (90,3) überein, so daß die hier angestellten Überlegungen auf einem anderen Wege zu den Ergebnissen von § 90 führen. 3 )

1) Ähnliche Überlegungen können auch für die differentielle Intensität angestellt werden. 2) Mit derselben Genauigkeit kann man dabei p in der Größe (F II-vpV) 2 als den gewöhnlichen

kinetischen 4-Impuls des Teilchens ansehen. 3) Die Theorie der verschiedenen Prozesse in starken Feldern ist in folgenden Übersichtsartikeln ausführlich dargestellt worden: A. 1. NIKISCHOW und W. 1. RITUS im Sammelband "Quantenelektrodynamik der Erscheinungen in intensiven Feldern", Arbeiten des Physika!. Inst. d. Akad. d. Wissenschaften, Band !Ir - Nauka, Moskau 1979.

XI

EXAKTE PROPAGATOREN UND ECKTEILE

§ 102.

Feldoperatoren im HEISENBERG-Bild

Bei der Behandlung der verschiedenen elektrodynamischen Prozesse haben wir uns bisher auf die erste nicht verschwindende Näherung der Störungstheorie beschränkt. Wir gelangen jetzt zum Studium von Effekten, die sich unter Berücksichtigung höherer Näherungen ergeben. Diese Effekte werden als Strahlungskorrekturen bezeichnet. Man kann die Struktur der höheren Näherungen bessel' verstehen, wenn man zunächst einige allgemeine Eigenschaften der exakten (d. h. nicht nach Potenzen von e2 entwickelten) Streuamplituden untersucht. Wir haben in § 72 gesehen, daß die aufeinanderfolgenden Glieder in der Störungsreihe durch die Feldoperatoren im Wechselwirkungsbild ausgedrückt", werden, d. h. durch Operatoren, deren Zeitabhängigkeit vom HAMILTON -Operator Ho für ein System freier Teilchen bestimmt wird. Die exakten Streuamplituden werden zweckmäßiger nicht durch die Operatoren im Wechselwirkungsbild sondern durch Operatoren im HEISENBERG-Bild ausgedrückt. Die Zeitabhängigkeit der Operatoren im HEISENBERG-Bild wird von dem exakten HAMILTON-

H Ho

V.

Operator des Systems wechselwirkender Teilchen bestimmt, = + Entsprechend der allgemeinen Regel für die Bildung von HEISENBERG-Üperatoren haben wir {p(x)

=

{p(t, r) = eilit {p(r) e- iiit

,

(102,1)

entsprechendes gilt für ~(x) und A(x), wobei {p(r), ... die zeitunabhängigen Operatoren (im SCHRÖDINGER-Bild) sind l ). Wir bemerken sofort, daß die HEISENBERG-Üperatoren zu gleichen Zeitpunkten denselben Vertauschungsregeln gehorchen wie die Operatoren im SCHRÖDINGER- oder im Wechselwirkungsbild. Tatsächlich haben wir zum Beispiel '"

.!::.,

{'ljJi(t, r), 'ljJlc(t, r )}+

'" -.!::, -iHt = = eifit {'ljJi(r), 'ljJlc(r )}+ e

0

I'iko(r -

,

r)

(102,2)

(vgl. (75,6)). Analog sind die Operatoren {p(t, r) und A(t, r') miteinander vertauschbar: {{pt(t, r), A(t, r')} _

=

0

(für verschiedene Zeitpunkte gilt diese Festellung nicht!). Die "Bewegungsgleichung" für den {p-Operator im HEISENBERG-Bild kann man aus der allgemeinen Formel III, (13,7) erhalten: . a{p (x)

-~

-----at =

A

'"

'"

'"

H'IjJ(x) - 'IjJ(x) H .

(102,3)

1) In diesem Kapitel sind Operatoren mit einem Zeitargument Operatoren im REISENBERG-Bild, Operatoren im Wechselwirkungs bild werden mit einem zusätzlichen Index int gekennzeichnet.

430

Kapitel XI. Exakte Propagatoren und Eckteile

Für den H,kMILTON-Operator sind SCHRÖDINGER- und HEISENBERG-Bild identisch, wobei der HAMILTON-Üperator ausgedrückt durch die Feldoperatoren in diesen beiden Bildern die gleiche Gestalt hat. Im vorliegenden Fall kann man bei der Berechnung der rechten Seite in (102,3) den nur vom Operator A(x) abhängigen Teil im HAMILTONOperator (den HAMILToN-Operator des freien elektromagnetischen Feldes) weglassen, weil dieser Teil mit VJ(x) kommutiert. Gemäß (21,13) und (43,3) bekommen wir

ii = f VJ*(t, r) (exp + ßm) VJ(t, r) d x + e f ~(t, r) (yA(t, r)) VJ(t, r) d x 3

3

f ~(t, r) {(yp) + m + e(yA(t, r))} VJ(t, r) d x • 3

=

(102,4)

{ii,

Wir berechnen den Kommutator VJ(t, r)} _ mit Hilfe von (102,2), eliminieren die c5-Funktion durch Integration über d 3 x und erhalten ((yp) - e(yA) - m) VJ(t, r)

=

0.

(102,5)

Wie zu erwarten war, genügt der Operator VJ(t, r) einer Gleichung, die formal mit der DIRAc-Gleichung übereinstimmt. Die Gleichung für den Operator des elektromagnetischen Feldes A(t, r) ist aus der Korrespondenz zum klassischen Fall unmittelbar evident. Falls die Bedingungen für diesen Fall (große Besetzungszahlen, s. § 5) erfüllt sind, muß die Operatorgleichung nach der Mittelung über den Feldzustand in die klassische MAxwELLsche Gleichung für die Potentiale 11, (30,2) übergehen. Hieraus ist klar, daß die Gleichung für den Operator einfach dieselbe Gestalt wie die MAxwELLsche Gleichung hat, d. h., wir haben (bei beliebiger Richtung) A

A

aVa~A~(x)

j(x) = VJ(x)

A

-

a~a~AV(x)

A

= -4nef(x) ;

(102,6)

yV~(x) ist darin der Strollloperator, der die Kontinuitätsgleichung (102,7)

a"l(x) = 0

identisch erfüllt. Es ist wesentlich, daß die Gleichungen (102,6) linear in den Operatoren A~ und J/t sind, so daß es keinen Zweifel über die Reihenfolge dieser Operatoren gibt. Wie die entsprechenden Gleichungen für die Wellenfunktionen ist das System der Operatorgleichungen (102,6) und (102,7) invariant gegenüber den Eichtransformationen 1jJ(x) -+ e -iex ijJ(x) , A

~

A

(102,8) wobei x(x) ein beliebiger hermitescher Operator ist, der mit VJ (zum gleichen Zeitpunkt) vertauschbar ist. I ) Wir wollen jetzt den Zusammenhang zwischen den Operatoren im HEISENBERGBild und im Wechselwirkungsbild herstellen. Um die Überlegungen zu vereinfachen, ist die formale Voraussetzung zwe;kmäßig (und ohne Auswirkung auf das Endergebnis), daß die Wechselwirkung V(t) von t = - 00 bis zu endlichen Zeiten adiaba1) Wir unterstreichen, daß es sich hier um ",-Operatoren im HEISENBERG-Bild handelt. Im Wechselwirkungsbild läßt eine Eichtransformation der elektromagnetischen Potentiale die ",-Operatoren überhaupt unbeeinflußt.

§ 103. Der exakte Photonenpropagator

tisch "eingeschaltet" wird. Für t -+ - 0 0 stimmen dann die beiden Bilder - REISENBERG- und \Vechselwirkungsbild - einfach überein. Auch die entsprechenden "'TeIlenfunktionen des Systems lP und lPint sind gleich: lPint(t

= - (0) = lP .

(102,9)

Andererseits hängt die Wellenfunktion im HEISENBERG-Bild überhaupt nicht von der Zeit ab (die gesamte Zeitabhängigkeit ist auf die Operatoren übertragen worden). Im Wechselwirkungsbild gilt für die Zeitabhängigkeit der Wellenfunktion gemäß (72,7) lPint(t) = S(t,

-00)

(102,10)

lP int ( - (0)

mit tl

A

S(t2 , tI ) = T exp { - i

........

f V(t') dt'}

(102,1l)

t2

mit den unmittelbar evidenten Eigenschaften A

'"

A

S(t, tI ) S(tI' to)

= S(t, to) ,

A

'"

S-I(t, tI ) = S(tI , t) .

( 102,12)

Wir vergleichen (102,10) mit (102,9) lind finden die Beziehung lPint ( / = S(t, - (0) lP ,

(102,13)

die die vVellenfunktlOnen in den bei den Bildern miteinander verknüpft. Die FOrIlIel für die Transformation von Operatoren lautet entsprechend lp(t, ),)

8- (t, - (0) lpint(t, },) S(t, - (0) = 8( - 00, t) lpint(t, r) 8(t, - (0)

=

A

1

(102,14)

'"

(dasselbe gilt für 1p und A). Zum Schluß wollen wir noch eine allgemeine Bemerkung anbringen. Wir haben schon wiederholt darauf hingewiesen, daß der physikalische Sinn der Feldoperatoren in der relativistischen Quantentheorie eng begrenzt ist, weil die Vakuumfluktuationen Unendlichkeiten verursachen. Das trifft umso mehr auf die Operatoren im REISENBERG-Bild zu; denn diese enthalten in der Tat auch noch diejenigen Divergenzen, die mit der Wechselwirkung zusammenhängen. In diesem Kapitel werden wir in § 102 bis 109 die formale Theorie wiedergeben; dabei werden die Probleme der Beseitigung dieser Divergenzen nicht erörtert, und es wird mit allen Größen so ,umgegangen, als wären sie endlich. Die so erhaltenen Ergebnisse haben vor allem heuristischen Wert: Sie erlauben eine tiefergehende Erklärung des Sinnes der Entwicklungen in der Störungstheorie. Es ist durchaus möglich, daß sie in irgendeiner Form auch in einer künftigen Theorie, die frei von den gegenwärtigen Schwierigkeiten ist, erhalten bleiben.

§ 103.

Der exakte Photonenpropagator

Im Formalismus der exakten (nicht nach Potenzen von e2 entwickelten) Theorie spielen die Begriffe der exakten Propagatoren die Hauptrolle. I ) 1) Diese Begriffe sind erstmalig von F. Dyso::-r (1949) eingeführt wÜl'den; DYSON hat im "'f'scntlichen den ganzen in diesem Kapitel dargestellten Formalismus entwickelt.

432

Kapitel XI. Exakte Propagatoren und Eckteile

Der exakte Photonenpropagator (den wir mit dem Sonderbuchstaben werden) ist definiert durch die Formel 2)1J"(x -

i

Es sei zunächst t t'. Wir benutzen den Zusammenhang von A(x) mit Aint(x) (vgl. (102,14)) und schreiben 2)1J"(x - x')

"

A

= i .

S(t,

-00)

S( -00, t') A~nt(x')

Entsprechend (102,12) ersetzen wir '"

'"

S(t, -00) S( -00, t')

S(-oo, t) und erhalten

=

'" = S(t,

t') ,

8(-00, +00) 8(00, t)

i .

(103,5)

§ 103. Der exakte Photonenpropagator

433


(2) und J/(2) können anschließend mit Hilfe der Gleichungen (112,6) und (112,8) berechnet werden. Das beschriebene systematische Vorgehen eröffnet im Prinzip die Möglichkeit, für 8>, J/ und AI' in einer beliebigen Näherung der Störungstheorie endliche Ausdrücke zu erhalten. Damit wird gleichzeitig die Berechnung der Amplituden für die physikalischen Streuprozesse möglich, die durch Graphen mit den Bestandteilen 8>, J/ und AI' repräsentiert werden. Die oben (in § 111) formulierten physikalischen Bedingungen sind also hinreichend für die eindeutige Regularisierung aller in der Theorie auftretenden FEYNMANDiagramme. Dieser Sachverhalt ist bei weitem keine triviale Eigenschaft der Quantenelektrodynamik und wird als Renormierbarkeit bezeichnet. 2 ) Für die wirkliche Berechnung der Strahlungskorrekturen braucht das eben beschriebene Vorgehen nicht der einfachste und rationellste Weg zu sein. Im folgenden Kapitel werden wir insbesondere sehen, daß man zweckmäßigerweise zuerst mit der Berechnung der Imaginärteile der betreffenden Größen beginnt; die Integrale für diese Imaginärteile enthalten keine Divergenzen. Die vollständige Größe wird dann mit Hilfe der Dispersionsrelationen durch analytische Fortsetzung berechnet. Dadurch wird es möglich, die umfangreichen Rechnungen zu vermeiden, die .bei der direkten Regularisierung mittels Subtraktionen erforderlich wären.

1) In Diagrammen höherer Ordnungen kann es erforderlich sein, auch Bestandteile mit vier Enden (cT) von vornherein bereits durch die regularisierten Größen zn ersetzen. 2) Eine mathematisch strenge Begründung für die Theorie der Renormi~rungen in der Quantenelektrodynamik findet man in folgendem Buch: N. N. BOGOLJUBOW und D. W. SCHIRKOW, Einführung in die Theorie quantisierter Felder, Moskau, 1957 (russ.).

XII

STRAHLUNGSKORREKTUREN

§ 113.

Berechnung des Polarisationsoperators

Wir wollen nunmehr die Strahlungskorrekturen wirklich ausrechnen und beginnen mit der Berechnung des Polarisationsoperators (J. SCHWINGER, 1949; R. P. FEYNMAN; 1949). In der ersten Näherung der Störungstheorie wird der Polarisationsoperator durch die Schleife in folgendem Diagramm dargestellt:

(113,1)

Wie bereits vermerkt worden ist, wird das Problem erleichtert, wenn man mit der Berechnung des Imaginärteiles der gesuchten Funktion beginnt. Die Berechnung des Imaginärteiles erfolgt am zweckmäßigsten unter Ausnutzung der Unitaritätsbeziehung. Dabei wird die Linie für das virtuelle Photon als zu einem fiktiven "realen" Teilchen gehörig angesehen - zu einem Vektorboson mit der Masse M2 = k 2 , das mit dem Elektron nach demselben Gesetz wie das Photon wechselwirkt. Bei diesem Vorgehe!). wird (113,1) zu einem Diagramm für einen "realen" Prozeß, wodurch die Anwendung der Unitaritätsbedingung gerechtfertigt wird. Das Diagramm (113,1) wird somit als Diagramm für die Amplitude zum Übergang des Bosons in sich selbst (Diagonalelement der S-Matrix) über einen Zerfall in ein Elektron-Positron-Paar angesehen. Die Kreuze im Diagramm (113,1) geben an, an welchen Linien es in zwei Teile zerschnitten werden muß, um den Zwischenzustand bei Anwendung der Unitaritätsbeziehung einzubauen. Dieser Zustand enthält ein Elektron mit dem 4-Impuls p_ = p und ein Positron mit p+ = - (p - k). Die Unitaritätsbeziehung (71,4) mit einem Zweiteilchen-Zwischenzustand ergibt für gleichen Anfangs- und Endzustand

2 Im M ii --

Ipl

---

(471:)2 c

I:

polar

J

I Mnil 2 do.

(113,2)

Hier ist die anhand des Diagramms (113,1) gebildete Amplitude 1I1 ii (113,3) wobei

eIl

erfüllt.

der 4-Polarisationsvektor des Bosons ist und nach (14,13) die Gleichung

472

Kapitel XII. Strahlungskorrekturen

Zur Amplitude M ni gehört ein Diagramm für den Zerfall des Bosons in ein Paar:

Ik

A.

p-

-p+

Der zugehörige analytische Ausdruck ist (113,4) Wir setzen (113,3-4) in (113,2) ein und erhalten 2e*e Im (pf.l V = v

f.l

~~ pof:r 'f' f*le*e f.l v •

(113,5)

4n c

Dabei sind P = p_ = -p+ und c = c+ + c_ = 2c+ die Impulse bzw. die Gesamtenergie des Paares im Massenmittelpunktsystem ; es wird über die Richtungen von p integriert und über die Polarisationen beider Teilchen summiert. Nun mitteln wir beide Seiten der Gleichung (113,5) über die Polarisationen des Bosons. Die Mittelung geschieht mit Hilfe der Formel

-* 1 ( gf.l ef.le = -"3 V

kf.lkv)

~

V -

(vgl. (14,l5)). Beachten wir, daß der Tensor (pf.l V und der Vektor jf.l transversal sind ((Ppvk v = 0, fkf.l = 0), und ersetzen wir (P~ = 3(P, so erhalten wir als Ergebnis 2 Im (P

=

~!El L

12n c polar

J

(jj*) da .

(113,6)

Die Summation über die Polarisationen wird in der üblichen Weise ausgeführt, die Integration über da bewirkt lediglich die Multiplikation mit 4n, und wir bekommen als Resultat

2 Im(P = e2 !ElSPYtl ((YP_) 3c .

+ m)yf.l((yp+)

- m) = _e28IPI(p+p_ +2m 2). 3c

Führen wir die Variable (113,7) ein, dann sind

p2

t

m2

= __

4 und die endgültige Formel für Im (P lautet Im (P(t) = - -LX

3

Vt -

2

4m (t

t

+ 2m

2

) ,

(113,8)

Der Wert t = 4m 2 ist die Schwelle für die Erzeugung eines Elektron-Positron-Paares durch ein virtuelles Photon (vgl. die Fußnote 2 auf S. 464). In der betrachteten Näherung der Störungstheorie (oc e2 ) ist der Zustand mit einem Paar der einzige, der als Zwischenzustand in der Unitaritätsbedingung (113,2) vorkommen kann. In derselben Näherung ist folglich für t 4m 2 die rechte Seite in (113,2) gleich Null, und es





(r) =

eikr ~(/>(k) d k . 3

Da ~(/>(k) eine Funktion von t über die Winkel

f

=

_k2 allein ist, bekommen wir nach der Integration

00

1 4n2

~(/>(r) =

(114,3)

(2n)3

f

__

~(/>(t)

o

V

sin (r -t) d( -t) = -1I m r 4n 2r

.

00

~(/>( _y2) e try

y dy

-00

(bei der letzten Umformung ist ausgenutzt worden, daß der Integrand eine gerade Funktion von y = ist). Jetzt kann man den Integrationsweg in die obere y-Halbebene verschieben und ihn längs des Schnittes der Funktion 8'( _y2) legen(Abb. 20).

R

2im

Abb.20

Dieser Schnitt beginnt im Punkt 2im und verläuft längs der imaginären Achse nach oben (wobei das linke Ufer des Schnittes dem physikalischen Blatt entspricht). Führen wir statt y die neue Variable x ein, y = ix, so erhalten wir

f

00

~(/>(r) =

_1_ 2n 2r

Im ~(/>(X2) e- rx x dx .

2m

Schließlich kehren wir zur Integration über t

x 2 zurück und haben endgültig

=

00

~(/>(r) =

_1_

4n2r

f

Im ~(/>(t) e -r Vt dt .

(114,4)

4m 2

Der Imaginärteil

4ne Im ~(/>(t) = - - I m 8'(t) 2

t

wird aus (113,8) entnommen, und nach einer unmittelbar evidenten Variablensubstitution finden wir (/>(r)

=

1

e r

+ ~(/>(r) = e

1

r

f

00

{I

+ 2lX

3n

1

(E. UEHLING, R. SERBER, 1935).

e- 2mrC (1

+ _12) V~ dC} (114,5) 2 2C

C

476

Kapitel XII. Strahlungskorrekturen

Das Integral in diesem Ausdruck kann in zwei Grenzfällen berechnet werden. Zunächst betrachten wir kleine r (mr ~ 1). Wir zerlegen das Integral über den ersten Summanden in der Klammer in zwei Integrale: 00 _____ Cl 00

1=

fe- 2m" y~' ~--; 1 dt f '" d~ + f . ,dC =

1

1

> Cl > 1 ist.

wobei Cl so gewählt wird, daß l/mr ersten Integral r = 0 setzen, dann ist 11 ~

f

Cl~ _ _

dC ~ In 2C1

2

C -2

1

C

1

-

='"

I,

+ 1"

~

Auf Grund dessen kann man im

1.

In 12 dagegen kann man die 1 unter der Wurzel vernachlässigen:

f e-2m,,~~ 00

2=

1

=

In~,· e- 2m", + 2mr

-

~

f e-2m 00

"Int d~.

~

Im Exponenten und in der unteren Integrationsgrenze kann Ferner substituieren wir 2mrC = x und bekommen

12

=

In 2C1

-

+ ln~ + mr

f

Cl

=

0 gesetzt werden.

00

e- x In x dx = - In 2C1 + In

~mr

0

o

mit der EULERschen Konstanten 0 = 0,577 ... Im Integral über den zweiten Summanden in (114,5) kann man sofort r = 0 setzen:

Wir addieren alle drei Integrale (wobei sich die Hilfsgröße Cl heraushebt) und erhalten tP(r)

(1 3n

= -e1 [ 1 + 2LX r

5)]

In -- - 0 - mr 6

,

r

1

~-.

m

(114,6)

Für mr> 1 ist der Bereich C - 1 --... l/mr ~ 1 im Integral wesentlich. Nach der Substitution C = 1 + ~ und den entsprechenden Vernachlässigungen wird aus dem Integral 00

e- 2mr

f e-2mr~! Y2~ d~ 2

=

3

8(mr)3/2

y; e- 2mr .

o

In diesem Fall haben wir demzufolge 1 ) e1

2mr (

tP(r) = -; 1

+

4

y; (mr)3/2 ) '

LX

e-

1 r>-. m

(114,7)

-----

1) Der Ursprung des Faktors e -2mr in oCP(r) ist bereits an der Gestalt des Ausgangsintegrals (1l4,4) zu erkennen: Für große r sind darin t-Werte in der Nähe der unteren Grenze wesentlich. Mit anderen Worten, der Exponent wird durch die Lage der ersten Singularität der Funktion oCP(t) bestimmt.

§ 115. Der Imaginärteil des Polarisationsoperators

477

Die Vakuumpolarisation verändert das COULoMB-Feld einer Punktladung, wie wir sehen, im Bereich r ---- l/m (= li/me), wenn m die Elektronenmasse ist. Außerhalb dieses Bereiches nimmt die Veränderung des COULoMB-Feldes exponentiell ab. Wir wollen noch eine wichtige Bemerkung allgemeiner Natur anfügen. Bisher haben wir immer angenommen, daß die Strahlungskorrekturen von der Wechselwirkun'g des Photonenfeldes mit dem Elektron-Positron-Feld verursacht werden. Wir haben die inneren geschlossenen Schleifen in den Selbstenergiediagrammen ces Photons den Elektronen zugeschrieben und damit die Wechselwirkung des Photons mit dem "Elektronenvakuum" berücksichtigt. Das Photon wechselwirkt aber auch mit den Feldern anderer Teilchen. Die Wechselwirkung mit den "Vakua" dieser Felder wird durch dieselben Selbstenergiediagramme beschrieben, nur sind die innere:p. Schleifen den entsprechenden Teilchen zuzuordnen. Die Beiträge von diesen Diagrammen unterscheiden sich größenordnungs mäßig von den Beiträgen der Elektronendiagramme um eine gewisse Potenz des Verhältnisses me/m, wenn m die Masse des betreffenden Teilchens und m e die Elektronenmasse sind. Müonen und Pionen haben Massen, die der Elektronenmasse am nächsten benachbart sind. Der Zahlenwert der Verhältnisse me/m p und me/m p ist etwa (X. Die Strahlungskorrekturen von diesen Teilchen müßten daher zusammen mit den Elektronenkorrekturen der nächsten Ordnungen berücksichtigt werden. Für die Müonen ist die Berechnung der Strahlungskorrekturen mit Hilfe der vorhanden~n Theorie im Prinzip zulässig, für die Pionen dagegen nicht (weil sie stark wechselwirkende Teilchen sind). Dieser Umstand beschränkt prinzipiell die Möglichkeit genauer Berechnungen konkreter Effekte in der heutigen Quantenelektrodynamik. Würde man allein die Photon-Elektron-Wechselwirkung bei der Berechnung der Korrekturen in beliebig hohen Näherungen berücksichtigen, so würde man über die zulässige Genauigkeit hina usgehen. Die in diesem Paragraphen behandelten Strahlungskorrekturen zum COULOMBschen Gesetz sind im Bereich r ---- I/me wesentlich, wie wir gesehen haben. Jetzt können wir hinzufügen, daß die hergeleiteten Formeln für Abstände r -- l/m p (oder I/mn) nicht mehr ausreichen, weil dort auch die Effekte der Vakuumpolarisation von anderen Teilchen her wesentlich werden.

§ 115.

Berechnung des Imaginärteiles des Polarisationsoperators über ein FEYNMANIntegral

Bei der direkten Berechnung des Polarisations operators in der ersten Näherung der Störungstheorie anhand des entsprechenden Diagrammes (Schleife im Diagramm (113,1)) wäre als Korrektur das Integral i(PPIl ~ _ 4n

€2fSp

4 yPG(p) yllG(p _ k) d p (2n)4

(115,1)

zu berechnen. Dieses über den ganzen vierdimensionalen p-Raum zu erstreckende Integral divergiert aber quadratisch; um ein endliches Ergebnis zu erhalten, müßte das Integral nach den in § 112 beschriebenen Regeln regularisiert werden. Wir werden hier nicht die erforderlichen Rechnungen in voller Länge wiedergeben, sondern zeigen, wie man über das Integral (115,1) den Imaginärteil des Polarisations-

478

Kapitel XII. Strahlungskorrekturen

operators (den wir in § 113 mit Hilfe der Unitaritätsbedingung bestimmt haben) berechnen kann; diese Rechnungen enthalten eine ganze Reihe lehrreicher Momente. Der Imaginärteil des Integrales (115,1) ist divergenzfrei und bedarf keiner Regularisierung. Für die skalare Funktion Im;P = 1/3 Im ;p~ haben wir 2 Im:P = Im 4ne Sp y~((yp) + m) y~((yp) - (yk) + m) d4 }. 3(2n)4 (p 2 - m 2 + iO) [(p - k)2 - m 2 + iO] P

J

{i

Nach der Bildung der Spur erhält das Integral die Gestalt

=

Im :P(k2)

J

Im

2e 2

(2m 2

=-

cp(p)

4

(p 2 _ m 2

3n 3

+ pk

icp(p) d p iO) [(p _ k)2 - m 2

+

+ iO]

,

I

(115,2)

_ p2) .

>

Es sei k 2 O. Wir gehen zu dem Bezugssystem, in dem k ha ben in diesem System

=

(ko,O) ist, über und

(p - k)2 = (Po - k O)2 _ p2 . Ferner führen wir die Bezeichnung 8 =

yp2

+ m2

ein (8 ist nicht die "Energie" des virtuellen Elektrons Po!) und formen (115,3) um in

( )-f

Im:P k 2 -

00 d3 d 'P _[po

2e2 2 cp (Po, p) = - 3 (m

(p~ -

.

"

+ 8 + Pok 0 2

3n

icp(po, p)

+ iO) [(Po -

ko)' - "

1

+ iO1' l

2)

Po .

J (115,3)

Der Integrand hat vier Pole hinsichtlich der Variablen Po: a) Po =

8 -

iO ,

b) Po = k o -

®

8

+ iO ,

,

!

a'

•

/

a') Po

=

-8

b') Po

=

ko +

+ iO , 8 -

i 0.

/"-----

J -~-."",..

.".

/

/

a

b'

Abb.21

>

In Abb. 21 ist die Lage dieser Pole vermerkt. Wir wollen uns auf k o 0 festlegen (das Ergebnis ist eine Funktion von k5 und somit vom Vorzeichen von ko unabhängig). Nun wollen wir den Sprung der Funktion :P(t) auf dem Schnitt in der komplexen t-Ebene, t = k2 = k5, berechnen oder, was dasselbe ist, auf der reellen Achse in der ko-Ebene. Der Realteil der Funktion :P(t) ist auf dem Schnitt stetig, so daß der Sprung Ll:P(t)

ist.

=

2i Im :P(t)

(115,4)

§ 115. Der Imaginärteil des Polarisationsoperators

479

Zuerst zeigen wir, wie man bereits an der Gestalt des Integrales die Lage des Schnittes feststellen kann. Wir bezeichnen das innere Integral in (115,3) (das Integral über dpo) mit I(p, ko). Solange die oberen und die unteren Pole in Abb. 21 endliche Abstände voneinander haben, kann der Integrationsweg bei der Integration über Po yon den Polen weg verlegt werden (gestrichelte Kurve in der Abbildung). Es ist daher offensichtlich, daß sich in diesem Fall das Integral I(p, ko) nicht ändert, wenn man die Pole bund b' um eine infinitesimale Strecke nach oben oder nach unten von der reellen Achse weg verschiebt, d. h., wenn man substituiert ko ~ ko + i,5, ,5 ~ O. Mit anderen Worten sind die Werte von I(p, k o) gleich, wenn k o von oben oder von unten gegen einen reellen Wert strebt, so daß J(p, ko) keinen Beitrag zum Sprung LlJ> liefert. Die Situation ändert sich, wenn zwei Pole (für ko 0 können das die Pole a und b sein) direkt untereinander liegen, so daß der Integrationsweg dazwischen "eingeklemmt" ist und nicht verlegt werden kann. Der Sprung LlJ> ist also nur dann von Null verschieden, wenn irgendwo i III Integrationsbereich bei der Integration über d 3p die Bedingung

>

ko - 8 = 8 erfüllt werden kann, d. h. für ko = 28 lich k o ~ 2m sein, d. h. t ~ 4m 2•I ) Wir formen das Integral I(p, ko) um in I(

f

k) -

p, 0 -

a

(2 Po -

icp(po, p) dpo 2) [( Po - k0 )2

8

= 2 yp2

-

8

+ m 2. Dazu muß offensicht-

(115,5)

2]

Wir haben darin die Summanden iO im Nenner weggelassen und den Integrationsweg 0 entsprechend Abb. 22 abgeändert. Das Auftreten eines Sprunges LlJ>(t) hängt damit zusammen, daß der Integrationsweg nicht vom Pol a weg verlegt werden kann (wenn der Integrationsweg zwischen a und b eingeklemmt ist). Wir beachten diesen Umstand und ersetzen den Integrationsweg 0 durch den Weg 0', der unterhalb des Punktes a verläuft; entsprechend fügen wir das Integral längs eines kleinen Kreises um diesen

o

C

b

C'

a'

b

Abb.22 Punkt hinzu (Abb. 22b). Nach dieser Änderung des Integrationsweges kann der Weg 0' immer ungehindert von den Polen weg verschoben werden, so daß die Integration längs 0' nur z um regulären Teil der Funktion J>(t) einen Beitrag liefert. Zur Berechnung des gesuchten Sprunges braucht man nur das Integral über den Kreis 0" betrachten, was auf die Bildung des Residuums im Pol a hinausläuft. Diese Operation 1) Analog überzeugen wir uns vom Fehlen eines Schnittes für t = k2 < o. In diesem ·Fall wählen wir das Bezugssystem mit k = (0, k) und finden, daß die Pole des Integranden bei Po

=

±(e -

iO) ,

Po

=

± q/(p -

k)2

+m

2

-

iO)

liegen. Die beiden unteren Pole liegen immer in der rechten, die beiden oberen in der linken po-Halbebene, so daß kein Paar nebeneinander liegen kann.

480

Kapitel XII. Strahlungskorrekturen

kann durch folgende Substitution im Integranden ausgeführt werden: 1 ?

Pö -

E

2

---7>-

. ~? u(Pö -

2 E )

-2n~

(115,6)

(das negative Vorzeichen resultiert daraus, daß der Kreis um den Pol in negativem Umlaufsinn durchlaufen wird). Dabei ist im Argument der o-Funktion nur die Wurzel Po = +E zu berücksichtigen (es wird nur um den Pol a herum integriert, aber nicht um a'). Diese Bedingung wird von selbst erfüllt, wenn man die Integration nur über den halben 4-Illlpulsraum erstreckt: Po O. Nach der Substitution (115,6) wird der Sprung des Integrals l(p, ko) unmittelbar ausgerechnet:

>

Lll = {1(p, ko + io) - l(p, ko - 1'0)}o--+ +0

f

00

~

-2ni

b(P6 - ,') i(q) ,

(121,6)

in der cf>(q) die FOURIER-Transformierte des skalaren Potentiales des konstanten äußeren Feldes ist (cf> == A~»); ferner ist dabei beachtet, daß die Elektronenladung e = - lei ist.

503

§ 121. Die Streuung eines Elektrons an einem äußeren Feld

Die beiden Ausdrücke in (121,5) können offensichtlich unabhängig voneinander berechnet werden. Der erste Ausdruck wird in diesem, der zweite im folgenden Abschnitt behandelt werden. Die an hand des Diagrammes (121,1) gebildete Amplitude in zweiter Näherung wird durch folgendes Integral gegebenl ):

M(~) =

-e 2

f

J

{U(P') yO

+ m. yoU(P)} (/>(p' m 2 + ~O .

(yn

f2 -

3

_ j) (/>(f _ p) d f

(2n)3

.

(121,7) Die ,,4-Impulse" des konstanten äußeren Feldes ql keine Zeitkomponenten, daher ist

fo

=

e

=

=f -

P und q2

= p' - f

haben (121,8)

e' ,

wenn e und e' die Energien des Elektrons in Anfangs- und Endzustand sind; für elastische Streuung sind e und e' gleich. Für das reine COULoMB-Feld einer ruhenden Ladung Z lei ist (/>(q) = 4nZ

q2

lei.

Das Integral (121,7) divergiert für dieses Potential logarithmisch (für f~ p und ~ p'). Diese Divergenz ist spezifisch für das COULoMB-Feld und hängt mit dem langsamen Verschwinden dieses Feldes im Unendlichen zusammen. Man kann den Ursprung dieser Divergenz am besten am nichtrelativistischen Fall erläutern. Nach III, (133,8) hat der Faktor vor der Kugelwelle eilplTfr im asymptotischen Ausdruck für die Wellenfunktion eines Elektrons im COULoMB-Feld die Gestalt

f

f( {} ) exp

.zcxm Ipl r ) . ( -~-ln Ipl

Dieser Faktor ist gerade die Streuamplitude für die Streuung eines Elektrons an diesem Feld, und ihre Phase enthält, wie wir sehen, einen (für r -+ (0) divergenten Term. Bei der Entwicklung der Streuamplitude nach Potenzen von Z "erursacht dieser Term die Divergenz aller Glieder in der Entwicklung vom zweiten an (da die Funktion f({}) selbst proportional zuZcx ist). Im relativistischen Fall liegt selbstverständlich ein analoger Sachverhalt vor. Diese Überlegungen zeigen gleichzeitig, daß sich die divergenten Glieder bei der Berechnung des Streuquerschnittes gegenseitig aufheben müssen, weil die Phase der Amplitude für den Streuquerschnitt unwesentlich ist. Der einfachste Weg einer korrekten Rechnung führt zunächst über die Behandlung der Streuung an einem abgeschirmten CouLoMB-Feld, d. h. man setzt (/>( )

q

=

4nZ lei

q2

+ ~2

(121,9)

mit einer kleinen konstanten Abschirmung b(~ ~ Ipl). Bei diesem Vorgehen wird gleichzeitig die Divergenz in der Streuamplitude beseitigt, und im Endergebnis für den Streuquerschnitt kann wieder ~ = 0 gesetzt werden. 1) Wir erinnern daran, daß man hier die Regel der Diagrammtechnik für ein konstantes

äußeres Feld anzuwenden hat, s. die in § 77 formulierte Regel 8.

504

Kapitel XII. Strahlungskorrekturen

Durch Einsetzen von (121,9) in (121,7) erhalten wir

111}7) = - ~Z2(X2U(p')

n mit den Bezeichnungen J

I

J

/

[(p' _ /)2

+ c)2] [(I _

[(p' _ /)2

=

E2 -

I

+ c)2] [(I _ d~ p)2 + c)2] [p2

J J

=

+ m) J + yJ] u(p)

[(yOE

d!

-

f2

+ iO] ,

3

p)2

+ c)2] [p2

_

f2 +

p

+ p'

== -~ J 2 .

iO]

I

(121,10)

m 2 = p'2, und das J ntegral J ist in p und p' symmetrisch; aus

Hier ist p2 = SYlllmetrieüberlegungen ist unmittelbar evident, daß der Vektor J die Richtung von 11 + p' haben muß. Wir eliminieren jetzt die y-Matrizen mit Hilfe der Gleichungen

= (yOE - rn) u ,

ypu

u'yp'

= U'(yOE - m)

und bekommen

lvlj7)

')

=

~Z2(X2U(p') [yOE(JI n

-

+ J 2) +

rn(JI

J 2)] u(p) .

-

(121,1l)

In den weiteren Rechnungen gehen wir (wie in § 80) von den Bispinoramplituden u und u' zu den entsprechenden (gemäß (23,9) und (23,1l)) dreidimensionalen Spinoren wund w' über. Durch direkte Multiplikation finden wir

u'u

+ m) - (E 1O'*{ (E + m) + (E

= w'*{ (E

u'yOu =

m) cos ()

-

+ iva(E

-

m) sin ()} 10 .

m) ('os () -iva(E -

'111) sin ()} w

mit [nn']

v=-sin () ,

n

I J'

=~ Ipl '

ros () = nn ' .

n'=-

Ip'l '

Nun setzen wir die Amplitude (121,1l) in folgender Gestalt an I )

...:vl}7) A("2)

= 4n1O'*(A(2) =

-

+

1

B('.~)va) 10 ,

_1_ Z2 (X2{[(E+ 2

m)

+ (E

- m) cos ()] E(JI

2n

+ J 2)

I

I "

+ [(E +

m) -

(E - m) ('os ()] m(JI - J 2)} ,

(121,12)

Z2(X2(E - m) sin ()[E(J I + J 2) - m(JI - J 2)] . J 2n 2 Die Streuamplitude in erster Näherung lautet in analogen Bezeichnungen B("2)

1UW

=

_t_

= 4nw'*(A(1)

Z(X A(l) =

B(I)

=

-[(E

q2

+

B(1)va) 10 ,

+ m) + (E

-

- i Z(X (E - m) sin ()

q2

1

m) cos ()],

(121,13)

j

mit q = p' - p . 1) Die Definition der Größen .A und B entspricht hier der Definition in § 37 und in IU, § 140 und unterscheidet sich in einem Faktor von der Definition in § 80.

505

§ 121. Die Streuung eines Elektrons an einem äuf3eren Feld

Der Streuquerschnitt und die Polarisationseffekte werden durch die Größen A = A(l) + A(2) und B = B(l) + B(2) mit Hilfe der in III, § 138 abgeleiteten Formeln ausgedrückt.. So ist der Streuquerschnitt für unpolarisierte Elektronen da = (IAI 2 + IBI 2) da'~ da(!) + 2(A(1) Re A(2) - iB(l) Im B(2») da' . Xach Einsetzen von (121,12-13) ergibt eine einfache Rechnung

e:

Z3 CX 3 3

da(2) = -

da' - - - - Jt2p 2 sin 2 ~ 2

x

[(1 - v' sin' :) Re (J, + J 1 + ':: Re(J, 2

J,ll

(121,14)

wenn v = Ipl/e: die Geschwindigkeit des Elektrons und f) der Streu winkel sind. Infolge der Streuung werden die Elektronen polarisiert, der Polarisationsvektor der Elektronen im Endzustand ist

'-

~'=

2 Re (AB*) 2(A(1) Re B(2) - iB(l) Im A(2») IAI2 + IBI21'~ IA(1)12 + IB(1)1 2 v

oder nach Einsetzen von (121,12-13) .

-!Z cxmp 4

3

f)

f)

Sin -cos2 2 ------:f):-Im (J1 1 - v 2 sin2

-

J 2) v .

(121,15)

vVir gelangen nunmehr zur Berechnung der Integrale J 1 und J 2 • Sie wird erleichtert, indem man die Methode der Parametrisierung nach Formel (131,2) anwendet. Das Integral J 1 erhält die Gestalt

f([! .J. 1 1 1

J -

_?

1 -

...

o

{[(p' - /)2

•

d~3

rf r

o

+

+

-

iO] ~3P .

verbraucht die o-Funktion. Wir vereinfachen den Nenner

1-~2

1

1

+

0 0

Die Integration über und erhalten J = -2

+

3 d ! d~l d~2 d~3' b(l - ~] - ~2 - ~3) b2J ~l [(p - /)2 b2J ~2 [f2 - p 2

•

{b2(~1

0

+ ~2) + p2(2~1 +

Führen wir statt f die neue Variable d 3! auf ein Integral der Gestalt

f

d.3k (k 2 -

a2

-

iO)3

1~

=

f -

3 d ! d~l d~2 2~2 - 1) - 2f(~lP' ~lP'

-

~2P

+ ~2P) + f2 -

iO}3'

ein, so wird das Integral über

506

Kapitel XII. Strahlungskorrekturen

wird. Statt ~1 und ~2 führen wir die symmetrischen Kombinationen x = ~1 + ~2 und y = ~1 - ~2 ein. Die Integration über dy (von 0 bis x) ist elementar und ergibt

J 1

J, = -

2~;~3

[bX' - 2x + 1 -

~X - :oj[(l

l5

2

- X)2 - - x - iO

]1/2

p2

o

mit

p2

b=

+ pp' 2p2

()

= cos 2 - . 2

Bei der Integration über dx zerlegen wir für l5 Teile:

j ..

dx = { :.. dx

o

j ..

+

0

=

1 In 2(1 - b) (bx 2

_ o

0 den Integrationsbereich in zwei

dx ,

1-15 1

Im ersten Integral kann man dann l5

_.rl-~~. dx =

----'?

1

2 (1 _ b)

0 setzen, und es wird 1 )

-

1 (1 - X)2 1 2x + 1 - iO) 0

151

[1n 1 l5i_ b + ~n. ] .

Im zweiten Integral kann man überall außer in (1 - X)2 x Klammer im Nenner auch l5 = 0 setzen, dann wird 2 ) 1

=

1 und in der ersten

15 1

J"'dx= -1 ~b J (X"-~~iOr 15 [Jl ;:r +, J / (~:- x"r

1-15 1

0

IP1

dx'

1

=

-

.

dx'

]

(X" -

I-b

~~

0

__ 1_[ln 21pll51 + i~]. 1-b l5 2 Bei der Addition der beiden Integrale fällt, wie es sein muß, die Größe l5 1 heraus und es ergibt sich (121,16)

1) Die Regel für die Umgehung der Pole (der Summand iO) ermöglicht, die Änderung des Argumentes des Ausdruckes im Logarithmus beim Übergang von 0 zu 1 - «51 zu bestimmen: Beim U mg.ehen des Verzweigungsschnittes von unten her ändert sich das Argument von 0 bis -no 2) Auch hier legt die Vorschrift für die Umgehung der Pole das Vorzeichen der 'Vurzel fest, wenn man von positiven zu negativen Werten des Integranden übergeht.

§ 122. Strahlungskorrekturen zur Streuung eines Elektrons

507

Das Integral J 2 wird ähnlich berechnet und ist

in 2

.

(J In sm

21pI 3 cos 2 -

(J

2'

(121,17)

2

Nun müssen diese Ausdrücke noch in (121,14) und (121,15) eingesetzt werden, und wir gelangen zu folgenden Endergebnissen: da(2) =

n(Zcx)3 s

4lpl 3 sin 3 -

(J

( 1 - sin -(J) da' 2'

(121,18)

2

,., __ 2Zcxm Ipl

~

'3(JI . (J Sin - n SIn2 2

v

(121,19)

.' (1 - v' sin' :)008 :

(W. A. McKINLEY und H. FESHBACH, 1948; R. H. DALITZ, 1950). In der ersten BORNschen Näherung sind die Streuquerschnitte für Elektron und Positron (im gleichen äußeren Feld) gleich. In der zweiten Näherung verschwindet diese Symmetrie. Für die Streuung eines Positrons (mit der Ladung +Iel) hat die Amplitude in der ersten Näherung (121,6) das entgegengesetzte Vorzeichen, während sich das Vorzeichen von M};) nicht ändert. Deshalb wechselt der Streuquerschnitt da(2), der der Interferenzterm von M}P und M};) ist, sein Vorzeichen. Dasselbe geschieht auch mit dem Ausdruck (121,19) für den Polarisationsvektor. Überhaupt kann man von den Formeln für die Elektronenstreuung zu den Formeln für die Pos itronenstreuung gelangen, indem man formal ersetzt Z -+ _·Z.

§ 122.

Strahlungskorrekturen zur Streuung eines Elektrons an einem äußeren Feld

Wir gelangen jetzt zur Berechnung der Strahlungskorrekturen zur Streuung eines Elektrons an einem äußeren Feld (J. SCHWINGER, 1949). Der betreffende Teil der Streuamplitude wird durch die beiden Diagramme (121,2) dargestellt. Das erste Diagramm liefert folgenden Beitrag zur Amplitude

wenn !P( _q2) der zur Schleife im Diagramm gehörige Polarisationsoperator ist. Der Beitrag des zweiten Graphen ist - (u'AOu) e(])(q) ,

wobei AO das Korrekturglied zum Vertexoperator ist (TI-l = yl-l ist

+ AI-l);

gemäß (116,6)

508

Kapitel XII. Strahlungskol'rekturen

Wir addieren die beiden Beiträge und bekommen!) MJ~)

= -

Qrad(q) =

(u'yoQrad U )

e(/)(q),

1

f( _q2) - 1 - 2(P( _q2)

q

1 + -2 g( _q2) qy .

m

}

(122,1)

Zuerst befassen wir uns mit dem Problem der Infrarotdivergenz im Formfaktor f( _q2) und damit auch in der Streuamplitude (122,1) selbst. Es wurde bereits darauf hingewiesen (§ 98), daß die exakte Amplitude der rein elastischen Streuung an sich Null ist, d. h. keinen Sinn hat. Physikalische Bedeutung hat nur die Streuamplitude für den Prozeß, bei dem auch beliebig viele weiche Photonen mit einer Energie jeweils kleiner als ein gewisser vorgege bener Wert (Omax emittiert werden; W max muß die Bedingungen erfüllen, unter denen die Theorie der Emission weicher Photonen brauchbar ist. Es hat mit anderen Worten nur die Summe

da

~ da"

j"dW

+ da"

w

+ da" ;,

J- dw J-dW w,

w,

+ ...

(122,2)

0 0 0

einen Sinn; darin sind dael der Streuquerschnitt ohne Photonenemission und dw w die differentielle EIllissionswahrscheinlichkeit für ein Photon mit der Frequenz w. Dabei wird vorausgesetzt, daß dael selbst als Störungsreihe berechnet wird, d. h. als Entwicklung nach Potenzen von cx. 2 ) Addieren wir alle Glieder gleicher Ordnung in cx aus allen Summanden in (122,2), so erhalten wir da als Entwicklung in cx, und jedes Glied in dieser Entwicklung wird endlich sein. In der ersten BORNschen Näherung ist dael oc cx 2 • Dieses Glied hat natürlich für sich allein einen Sinn. Wenn wir die nächste Korrektur zu dael (den Term oc cx 3 ) berücksichtigen wollen, dann müssen wir zusammen mit dieser auch den zweiten Summanden in der SUlllme (122,2) mitnehmen: Wegen dWel oc cx entsteht bei der Multiplikation mit dael oc cx 2 hieraus ebenfalls eine Größe oc cx 3 • Wir wollen zeigen, daß die Infrarotdivergenz bei der Addition dieser beiden Größen verschwindet. Das divergente Glied im Formfaktor hat nach (117,17) die Gestalt 3 )

_~F(~)ln 2

2m

m.

A

Das entsprechende Glied in der Amplitude (122,l) ist cx m- F In - ' (u'yOu) e(/)(q)

2

A

1) Bei den Umformungen ist zu beachten. daß zu qfJ. = (0. p) entsprechend q" = (0, - q) gehört! Demzufolge ist (Jo"qv = _ yOqy. 2) Ob die Strahlungskorrekturen in dw w beriicksichtigt werden müssen oder nicht, hängt vom Wert von Wmax ab. Der Grenzfall W -+ 0 entspricht dem klassischen Fall, und die Strahlungskorrekturen verschwinden; deshalb kann man durch Wahl eines genügend kleinen Wmax die Strahlungskorrekturen immer klein halten. 3) Davon kann man sich leicht überzeugen, indem man den Zusanllnenhang

Iql zwischen

1 -

~

Iql und der Variablen

~

ausnutzt; (117,17) ist mit ~ aufgeschrieben worden.

§ 122. Strahlungskorrekturen zur Streuung eines Elektrons

509

und im Streuquerschnitt (121,5) m da' -aFln _. \U'yOU\2 \e(])(q)1 2 _ _ •

. f

da wra =

A

16n 2

Wir vergleichen diesen Ausdruck mit dem Streuque.rschnitt in der ersten BORNschen Näherung

und finden

- -aF In m A . da(1) .

dainfra -

(122,3)

Andererseits ergibt der zweite Summand in (122,2) mit

J dw

w

aus (120,11)

wroax

dael

J

dw w

2wrnax

aF In -A- . da

=

(1)

(122,4)

.

o

Schließlich addieren wir (122,3) und (122,4) und erhalten -da(1) . aF

(~) In ~ . 2m

(122,5)

2w rnax

Der divergente Beitrag von den weichen (Ikl ---- A) virtuellen Photonen hebt sich tatsächlich gegen den Beitrag von der Emission der gleichen realen Photonen auf. Diese Feststellung trifft auch für einen beliebigen anderen Streuprozeß zu. Gleichzeitig ergibt sich im Streuquerschnitt eine Abhängigkeit von W rnaX . Diese Abhängigkeit entsteht, weil die Größe W rnax in der Definition der Streuung als Prozeß unter Emission beliebig vieler weicher Photonen enthalten ist. Es ist ganz natürlich, daß der Wirkungsquerschnitt für einen solchen Prozeß umso kleiner wird, je kleiner die Grenzfrequenz W max der Photonen ist, deren Emission wir noch zu dem betrachteten Streuprozeß hinzunehmen. Jetzt wollen wir den vollständigen Ausdruck für die Strahlungskorrektur zum Streuquerschnitt angeben. Dabei gehen wir auf dem üblichen Wege vor (s. (65,7)) und finden für den über die Elektronenpolarisationen im Anfangszustand gemittelten und über die Elektronenpolarisationen im Endzustand summierten Streuquerschnitt da

=

da(1)

+ da rad

= le(])(q)1 2

Sp {((yp')

-

da'

+ m) (yO + yOQrad) ((yp) + m) (yO + QOradY)} 32n2 ' (122,6)

Nach (122,1) sind Qrad = a

+ byq ,

Qrad = yOQ~dYo 1

a =f( _q2) - 1 - -/P( _q2), q2

b

= =

a

+

1 _g( _q2) .

2m

Bis zu Gliedern linear in a und b ist die Spur in (122,6) 1

4Sp { ... } = 2

(2," 2 8 - ~) (1 +

byq ,

2a) - 2b mq 2.

510

Kapitel XII. Strahlungskorrekturen

Demzufolge ist darad = 2

{f).( _q2) -

1 -

\!p( _q2) -

q

4 2 q2 2 g( _q2)} da(l) , c -q

(122,7)

wobei da(l) der Streuquerschnitt in der ersten BORNsehen Näherung für unpolarisierte Elektronen (80,5) ist. Am Formfaktor fist der IndexA angehängt worden, um daran zu erinnern, daß er "bei der PhotonenmasseA abgeschnitten" worden ist. Zu (122,7) muß noch der Emissionsquerschnit,t für die weichen Photonen addiert werden. Stellt man f}. in der Form

('Iq\)

f).( -q 2 ) = 1 - -(r)

=

-~ (ln ~ + ~ -~) ,dcJ>(1')

3mn 2

2x

24

5

- i

~)' 1](/>(1') .

4nm

(123,8)

Die Xiveauverschiebung (jE~I) bekolllmen wir, indem wir e (j(/>(1') mit der 'Vellenfunktion des ungestörten Zustandes des Atolt1elektrons mitteln, d. h. als das entsprechende Diagonalelelllent 2 ) er:x ( m (jE (1) s = - - In ~

3nrn 2

2x

II + -24

1) 5

~

18) -

. - 0 analy-

!

{st[st -

4m 2 (s

+ t)]}1/2 .

(126,17)

Die notwendige Vorzeichenwahl in diesem Ausdruck kann man sich folgendermaßen überlegen. Der Einfachheit halber setzen wir B = 1. Im physikalischen Bereich (s 0, t 0) haben wir dann AIs(s, t) O. Tatsächlich haben die beiden Nenner im Integranden in (126,6) das gleiche (negative) Vorzeichen:

>


m wesentlich, so daß man für f"(w') den Ausdruck (128,3) verwenden darf. Die untere Integrationsgrenze darf dabei Null gesetzt werden. Der Hauptwert des Integrals kann als halbe Summe von Integralen

§ 129. Strahlungskorrekturen für das elektromagnetische Feld

541

über Wege dargestellt werden, die längs des oberen und des unteren Ufers der rechten reellen Halbachse in der komplexen w'-Ebene verlaufen. Diese Wege können dann ihrerseits in der w' -Ebene gedreht werden, bis sie die obere bzw. untere imaginäre Halbachse erreichen. Das Ergebnis für f'(w) ist dann 00

00

und endgültig erhalten wir Ref(w,O)

= -

7

18

w (Z1X)2 r e - .

(128,5)

m

Wir lenken die Aufmerksamkeit darauf, daß der Realteil der Amplitude, anders als der Imaginärteil, keinen großen Logarithmus enthält. Die Quadratsumme der Ausdrücke (128,3) und (128,5) ergibt den Streuquerschnitt zum Winkel Null: 2 0 n } do (128,6) da/fJ=o = -49-2( Z 1X) 4 r 2e (W)2 n 2 ,15w 81n

m

{I

--+m 4

(F. ROHRLICH, R. L. GLUCKSTERN, 1952). Das für die strenge Vorwärtsstreuung erhaltene Ergebnis (128,6) ist auch für einen gewissen Bereich kleiner Winkel brauchbar. Man kann zeigen, daß es unter der Bedingung () ~ (m/w)2 angewandt werden darf. Dieser Bereich liefert aber nur einen kleinen Beitrag zum totalen Streuquerschnitt. Der Hauptbeitrag zum totalen Streuquerschnitt stammt vom Winkelbereich () ~ m/w. Man kann das auf Grund der allgemeinen (nicht für den Winkel Null spezialisierten) Unitaritätsrelation leicht verstehen. Diese Beziehung verknüpft die Streuamplitude der Photonenstreuung und der Paarbildung durch ein Photon miteinander. In diesem Bereich gibt es aber keinen logarithll_}schen Term, und der totale Streuquerschnitt ist (] - (Z,,)'

r; (:)' 0' -

(Z,,)'

r;

(128,7)

(H. A. BETRE, F. ROHRLICH, 1952). Für große w strebt also der kohärente Streuquerschnitt gegen einen konstanten Grenzwert.

§ 129.

Strahlungskorrekturen zu den Gleichungen für das elektromagnetische Feld

Bei der Quantisierung des Elektron-Positron-Feldes haben wir gesehen (§ 25), daß in dem Ausdruck für die Energie des Vakuums eine unendliche Konstante auftritt; diese Konstante kann in der Gestalt!) (129,1)

1) Wir verwenden hier den Buchstaben Feldstärke zu vermeiden.

~

statt E um Verwechslungen mit der elektrischen

542

Kapitel

xII. Strahlungskorrekturen

geschrieben werden, wobei -e~l die negativen Frequenzen der Lösungen der DIRAcGleichung sind. An sich hat diese Konstante keine physikalische Bedeutung, da die Energie des Vakuums laut Definition gleich Null ist. Andererseits ändern sich aber die Energieniveaus ek--;;l in Anwesenheit eines elektromagnetischen Feldes. Diese Änderungen sind endlich und haben eine bestimmte physikalische Bedeutung. Sie beschreiben die Abhängigkeit der Eigenschaften des Raumes vom Feld und verändern die Gleichungen für das elektromagnetische Feld im Vakuum. Die .Änderung der Feldgleichungen findet ihren Ausdruck in einer Änderung der zugehörigen LAGRANGE-Funktion. Die LAGRANGE-Dichte L ist eine relativistische Invariante und kann daher nur von den Invarianten E2 - H2 und EH abhängen. Der übliche Ausdruck ist

L o =~(E2 - H2). Sn

(129,2)

Das ist das erste Glied in der Entwicklung des allgemeinen Ausdruckes nach den Invarianten. Wir bestimmen die LAGRANGE-Funktion für den Fall, daß sich die Felder E und H räumlich und zeitlich so langsam ändern, daß man sie als homogen und konstant ansehen kann. L, enthält dann keine Ableitungen der Felder. Am Schluß dieses Paragraphen werden wir auf die dafür notwendigen Bedingungen eingehen. Unser Problem hat aber nur dann einen Sinn, wenn zusätzlich noch das elektrische Feld als hinreichend schwach vorausgesetzt wird; denn ein homogenes elektrisches Feld kann aus dem Vakuum Paare erzeugen. Das Feld selbst darf nur dann als abgeschlossenes System betrachtet werden, wenn die Wahrscheinlichkeit für die Paarbildung genügend klein ist, d. h., es muß gelten

lEI

2

°.

Schon allein aus allgemeinen Überlegungen heraus kann man feststellen, daß n(x, k) eine wachsende Funktion von k ist, und deshalb kann diese Ungleichung nicht erfüllt werden, so daß die betrachtetenZerfälle ebenfalls unmöglich sind (ersetzen wir n(k-k1) und n(k1) durch n(k), so vergrößern wir offensichtlich die ganze Summe, während sie aber tatsächlich erst nach dieser Substitution gleich Null wird). Die getroffene Feststellung bezieht sich auf beliebige durchsichtige Medien und ist eine Folge der KRAMERSKRONIG-Relation für den Brechungsindex (s. VIII, § 84). In unserem Falle ist das äußere Feld ein "durchsichtiges Medium" für Photonen aller Frequenzen w 2m, bis zur Schwelle der Paarerzeugung, d. h. bis zum Auftreten der Photonenabsorption. Dje einzigen zulässigen Zerfallsprozesse sind demnach


nll nicht nur für w ~ m (wenn die Ausdrücke (130,5) und (130,6) gelten), sondern auch für alle w < 2m (Schwelle für die Paarerzeugung durch ein Photon) richtig ist. 1) Numerische Rechnungen ergeben, daß die Ungleichung n1-

554

Kapitel XII. Strahlungskorrekturen

Die beiden unabhängigen Polarisationen werden durch folgende Einheitsvektoren festgelegt l ) : eil 11 [1,b] , e 1- 11 [k[kb]] . (130,13) Es ist leicht einzusehen, daß die Vektoren e 1- in der Zerlegung M

ikZ

= E

M).).1).2e~).)· e~1)e~).2)

).).1).2

(die IndizesA, Al und A2 nehmen die Werte -.i und 11 an, vgl. (127,9)) in jedem Summanden in gerader Anzahl (0 oder 2) vorkommen müssen. Tatsächlich ist die Amplitude M fi invariant gegenüber einer OP-Transformation. Da die Potentiale A (und damit auch e) OP-invariant sind, muß auch der Tensor MiklOP-invariant sein. Eine OP-Transformation bewirkt eil ~ eil und e 1- ~ -e 1- (die Ladungskonjugation ändert das Vorzeichen von b, und eine Spiegelung ändert das Vorzeichen von k und läßt das Vorzeichen des Axialvektors b unverändert). "Tenn in einem Summanden in obiger Zerlegung der Vektor e 1- einmal vorkommt, dann muß der zugehörige Skalar M).).1).2 OP-ungerade sein. Aber aus den (in der kollinearen Näherung) einzigen beiden Vektoren k = k l = k 2 und b, die beide bei einer OP-Transformation ihr Vorzeichen wechseln, kann man keinen OP-ungeraden Skalar bilden, womit obige Behauptung bewiesen ist. In der kollinearen Näherung ist also der Zerfall (130,12) verboten. Eine genauere Abschätzung ergibt für das Verhältnis der Amplitude dieses Prozesses zur Amplitude des in kollinearer Näherung erlaubten Prozesses (130,11)

M II 1-, II M 1-1-,11

__

{}2 __

(X (

B o )2 B kr

(130,14)

mit

Bk'

~ ~: (= ~:c: =4,4 ' 10 T ) 9

(die Winkel {} werden aus (130,9) zu (}2 -- n 1- - nll abgeschätzt). Die Tatsache, daß von aUen Zerfällen (in führender Näherung) nur der Zerfall YII ~Y 1Y 1- möglich ist, hat folgende Konsequenz: In einem unpolarisierten Photonenstrahl, der sich in einem Magnetfeld ausbreitet, wird sich letzten Endes eine -.i-Polarisation einstellen. Wir wollen jetzt die Zerfallsamplituden M fi = M 1-1-,11 mit Hilfe der Störungstheorie berechnen, d. h. unter der Voraussetzung B o ~ B kr • Die ersten (incx und im äußeren Feld) nichtverschwindenden FEYNMAN-Diagramme haben die Gestalt

+

:--T1--kz

~--LL--

( 130,15)

k

(mit allen möglichen Vertauschungen der Enden), wobei drei freie Linien Photonen entsprechen und eine dem äußeren Feld. Aber in der kollinearen Näherung ver1) Die Indizes 11 und 1- entsprechen den oben definierten Polarisationen. Es sei daran erinnert, daß die Einheitsvektoren e die Richtung des Vektorpotentials A (und damit auch des Feldes E' selbst) bestimmen und senkrecht auf der Richtung von B' stehen.

§ 130. Der Zerfall eines Photons im Magnetfeld

555

schwindet die zu diesen Diagrammen gehörige Amplitude. Infolge der Eichinvarianz kann das äußere Feld nur als 4-Feldstärketensor Fflv in die Prozeßamplitude eingehen~ und die 4-Vektoren für die Photonenpolarisation können nur in den antisymmetrischen Kombinationen

!/-lV

=

kf/ßv - kveft

zusammen mit den 4-Wellenzahlvektoren auftreten. Der endgültige Ausdruck für die Amplitude wird aus dem Tensor für das äußere Feld F/1V , den Tensoren !ft v, !l/-lv, !211V für die drei Photonen und den zugehörigen 4-Wellenzahlvektoren k ll , k1/-l' k2ft gebildet. Er muß in allen Tensoren !/-lV linear sein, und für die Diagramme (130,15) muß er auch in Fftv linear sein. In der kollinearen Näherung werden die 4-Vektoren kl und k2 auf k zurückgeführt: kl = kOh!W, k2 = kw 2!w. Unter diesen Bedingungen verschwindet jedes in der angegebenen Weise gebildete Skalarprodukt identisch: Man kann sich leicht vorstellen, daß jedes derartige Produkt mindestens einen Faktor k 2 oder ke enthält, der gleich Null ist. In der kollinearen Näherung ergibt sich also der erste von Null verschiedene Beitrag zur Zerfallsamplitude von Sechseckdiagrammen der Gestalt

(130,16)

mit drei Linien für das äußere Feld. l ) Die zu diesen Diagrammen gehörige Amplitude wird bereits mit drei Faktoren F/1V gebildet. Derartige Skalarprodukte können von Null verschieden sein. Aber alle von Null verschiedenen Produkte enthalten die Wellenzahlvektoren der Photonen nur über die Tensoren !/-lv. Man kann sich einfach überlegen, daß in den Produkten die Faktoren k2 oder ke auftreten, die gleich Null sind, wenn man noch weitere Faktoren k hinzunimmt. Die Komponenten des Tensors !ftv sind aber gleich den Komponenten der Feldstärken E' und B' des Photonenfeldes. Wenn man nun die den Diagrammen (130,16) entsprechende Zerfallsamplitude als Matrixelement eines Operators darstellt, dann wird dieser Operator nicht von den Photonenfrequenzen abhängen, falls man ihn durch die Operatoren für die Feldstärken der Photonenfelder ausdrückt. Hieraus folgt weiterhin, daß die Berechnung der Zerfallsamplitude (die dem Diagramm (130,16) entspricht) mit Hilfe der LAGRANGEFunktion (129,17) das richtige Resultat ergibt, unberührt von der Bedingung w




J(l)

~f du d~ ,

=

2n

(137,12)

uv

wobei der Integrationsbereich durch die Ungleichungen 2

-rnf.l< u, S

begrenzt wird (bei der Beschränkung auf Quadrate von Logarithmen wird das Zeichen ~ einfach durch ein Ungleichheitszeichen ersetzt). Die direkte Rechnung ergibt

>

J (I) = ~ln2~2 • 4n rn ,t

(137,13)

In höheren Näherungen der Störungstheorie resultieren Beiträge oc an In 2n s von "Leiter"-Diagrammen analog zu (137,6), aber mit mehreren "Sprossen". Der vollständige doppelt logarithmische asymptotische Ausdruck für die Streuamplitude ist daher die unendliche Reihe p~

iMf ;

Pp

.

I· I I • I

Pe

Pp

,-

I·

., I I

+

I I

I I I

+

.'

.'

d

i ..

i •

I I

I I

I

• I

+ ...

(137,14)

Um die allgemeine Gestalt der Reihenglieder zu erkennen, betrachten wir noch den Graphen dritter Näherung (den dritten Summanden in der Reihe (137,14)). Das ent· sprechende Integral kann in die Form

Mj~)

=

MjpJ(2) ,

J2 _

(iX )2f 2n

gebracht werden, und der Integrationsbereich ist 2

-rns ,t
0 gilt. In diesem System ist Cl = c2 = C, so daß po = 2c wird, und die Komponenten des 4-Vektors q sind cf = 0, q = 2P2 = -2P1' Für ein Hadron mit dem Spin 0 hat der Strom im BREIT-System eine besonders einfache Form

>

J= O. F( _q2) kann demzufolge als FOURIER-Transformierte der statischen Verteilung von Ladungen mit der Dichte e(r)

=

e -1(2n)3

f

.

F( _q2) e1qr d 3q

(138,9)

interpretiert werden. In diesem Sinne spricht man von einer räumlichen elektromagnetischen Struktur eines Teilchens. Für F = const = 1 wäre e(r) = e b(r). Die q-Abhängigkeit des Formfaktors wird als Abweichung der Ladungsverteilung von einer Punktladung interpretiert. Diese Deutung darf aber nicht zu wörtlich genommen 1)

Für das Proton ist Fe(O) = 1, Fm(O) -Fe(O) = 1,793, für das Neutron ist Fe(O) = -1,913 (das magnetische Moment ist rein "anomal").

Fm(O)

=

0,

592

Kapitel XIV. Elektrodynamik der Hadronen

werden. Die Funktion 2('1') bezieht. sich auf ein bestimmt.es Bezugssystem, weil zu jedem q- Wert. ein eigenes System gehört,. Nur im nicht.relat.ivist.ischen Fall kleiner q2

(141,1)

mit M(l) - - (jJ (F. E. I.ow, 1954; M. GELL-MANN und M. L. GOLDBERGER, 1954). Für den betrachteten Prozeß gibt es drei Sorten von Diagrammen X'

k

,

I

M

pi

o

X'

X \

l

\

/

\

) p

p-k'

pi

-

(144,5)

q) (01 J v In) (ni JJI. 10)

(144,6)

und t = q2 0. n t ist die einzige kinematische Invariante für das betrachtete kinematische Problem (für das Diagramm (144,1) mit drei freien Enden), und q ist der einzige Vektor, von dem WJl.V abhängen kann. Unter Ausnutzung der Stromerhaltung kann man daher den Tensor WJl.V folgendermaßen ansetzen: W

{lV

= ~ n(lt)(t) (q{lqV _ g ) 2