Lehrbuch der Theoretischen Physik - Band VI - Hydrodynamik [VI, 5 ed.] 3055000633, 3055000706

Citation preview

L. D. Landau E. M. Lifschitz Lehrbuch der Theoretischen Physik Band VI

Titel der Originalausgabe: rHAPoAHHaMHKa erschienen im Verlag Nauka, Moskau © 1986 Verlag Nauka (3., überarbeitete und ergänzte Auflage) Autoren: L. D. Landau E. M. Lifschitz

Herausgeber: Prof. Dr. habil. Wolfgang Weller Universität Leipzig, Sektion Physik Augustusplatz 10 0-7031 Leipzig, BR Deutschland

Deutschsprachige Ausgaben: 1. Auflage 1966 3. Auflage 1974 2. Auflage 1971 (Nachdruck 1978)

4. Auflage 1981 5. Auflage 1991 (korrigierter Nachdruck)

Lektorat: Dipl.- Phys. U rsula Heilmann Übersetzer: Prof. Dr. Adolf KühneI, Leipzig und Prof. Dr. Wolfgang Weller, Leipzig Manuskriptbearbeitung: Dipl.-Phys. Renate Gelbrich Herstellerische Betreuung: Christine Fromm

CIP-Titelaufnahme der Deutschen Bibliothek Lehrbuch der theoretischen Physik: in 10 Bänden / L. D. Landau; E. M. Lifschitz. In dt. Sprache hrsg. von Paul Ziesche. - Berlin : Akademie-Verl. Einheitssacht. : Teoretiöeskaja fizika (dt.)

ISBN 3-05-500063-3 NE: Landau, Lev D.; Lifsic, Evgenij M.; Ziesche, Paul [Hrsg.]; EST Bd. 6. Landau, Lev D.: Hydrodynamik. - 5., überarb. Aufl. - 1991 Landau, Lev D.: Hydrodynamik / L. D. Landau; E. M. Lifschitz. In dt. Sprache hrsg. von Wolfgang Weller. [Übers. aus dem Russ. von Adolf Kühnel und Wolfgang Weller]. - 5., überarb. Aufl. - Berlin : Akademie-Verl., 1991 (Lehrbuch der theoretischen Physik; Bd. 6) Einhei tssacht.: Gidrodinamika ik

+

QViVk -

a;k

= -

a ik

+

QViV k

(15,1)

schreiben. Der Tensor (15,2)

heißt Spannungstensor, alk heißt zäher Spannungstensor (oder Reibungstensors. aik gibt den Teil des Impulsstromes an, der nicht mit dem unmittelbaren Transport des Impulses gemeinsam mit der Masse der bewegten Flüssigkeit zusammenhängt. 1) 1) Wir werden unten sehen, daß alk ein zu (jik proportionales Glied enthält, d. h. ein Glied derselben Gestalt wie P(jik' Deshalb muß nach einer solchen Formänderung des Tensors für den Impulsstrom eigentlich genauer festgelegt werden, was man unter dem Druck p zu verstehen hat; siehe dazu den Schluß von § 49.

VIIoBERFLÄCHENERSCHEINUNGEN

§ 61.

Die Laplacesche Formel

In diesem Kapitel werden wir uns mit den Erscheinungen an der Grenzfläche zwischen zwei kontinuierlichen Medien befassen (in Wirklichkeit sind natürlich zwei aneinander grenzende Medien durch eine dünne Übergangsschicht getrennt; diese ist aber so dünn, daß wir sie als Fläche ansehen können). An einer gekrümmtem Grenzfläche zwischen zwei Medien ist der Druck in den beiden Medien verschieden. Zur Bestimmung dieser Druckdifferenz (des sogenannten Oberflächendruckes) schreiben wir die Bedingung dafür auf, daß sich die beiden Medien miteinander im thermodynamischen Gleichgewicht befinden und beachten dabei die Oberflächeneigenschaften der Grenzfläche. Die Grenzfläche soll infinitesimal verschoben werden. In jedem Punkte der unverrückten Fläche errichten wir die Normale. Den Abschnitt auf der Normalen zwischen der Das zwischen den beiden unverrückten und der verschobenen Fläche bezeichnen wir mit df, wenn df das Flächenelement ist. Flächen eingeschlossene Volumenelement ist dann PI und P2 seien die Drücke im ersten und im zweiten Medium. Wir werden als positiv zählen, wenn die Verschiebung der Grenzfläche, sagen wir, nach dem zweiten Medium hin erfolgt. Die bei der beschriebenen Volumenänderung zu leistende Arbeit ist

Je

Je.

Je

Die gesamte Arbeit JR bei der Verschiebung der Fläche ergibt sich durch Addition der Arbeit, die mit der Änderung der Größe dieser Fläche zusammenhängt. Dieser Teil der Arbeit ist bekanntlich der Änderung J f der Größe der Fläche proportional und gleich rt J f; rt ist die Oberflächenspannung. Die gesamte Arbeit ist also gleich (61,1)

Die Bedingung für das thermodynamische Gleichgewicht fordert bekanntlich JR = O. Es seien weiter R I und R 2 die Hauptkrümmungsradien in dem gegebenen Flächenpunkt; wir zählen R I und R 2 als positiv, wenn sie in das erste Medium hineingerichtet sind. Die Bogenelemente dl i und dl 2 auf der Fläche in den Ebenen der Hauptschnitte nehmen dl i bzw. ~ dl 2 zu (man muß dl i RI R2 und dl 2 als Bogenelemente von Kreisen mit den Radien R I und R 2 auffassen). Das Flächenelement df = dl 1 dl 2 wird daher nach der Verschiebung

bei der infinitesimalen Verschiebung der Fläche um

Je

X

EINDIlVIENSIONALE GASSTRÖMUNG

§ 97.

Das Ausströmen eines Gases durch eine Düse

Wir wollen das stationäre Ausströmen eines Gases aus einem großen Gefäß durch ein Rohr mit veränderlichen Querschnitt oder, wie man sagt, durch eine Düse behandeln. Dabei werden wir voraussetzen, daß man die Gasströmung an jeder Stelle des Rohres auf dem Querschnitt als homogen ansehen kann, die Geschwindigkeit hat dann praktisch die Richtung der Rohrachse. Das Rohr darf dazu nicht allzu weit sein, und die Querschnittsfläche S darf sich entlang des Rohres nur langsam ändern. Alle für die Strömung charakteristischen Größen hängen dann nur von der Koordinate in Achsenrichtung ab. Unter diesen Bedingungen kann man die in § 83 erhaltenen Beziehungen, die längs einer Stromlinie gelten, unmittelbar für die Änderung der Größen entlang des Rohres verwenden. Die pro Zeiteinheit durch einen Rohrquerschnitt strömende Gasmenge (Masse), d. h. die Durchflußmenge des Gases, ist Q = {lvS. Diese Größe muß offensichtlich längs des ganzen Rohres konstant bleiben:

Q

= S{lV =

const .

(97,1)

Die linearen Abmessungen des Gefäßes setzen wir gegenüber dem Rohrdurchmesser als sehr groß voraus. Die Geschwindigkeit des Gases im Gefäß kann man daher als gleich Null annehmen. Dementsprechend sind in den Formeln von § 83 alle Größen mit dem Index Null die Werte der entsprechenden Größen im Gefäß. Wie wir gesehen haben, kann die Stromdichte j = {lV nicht größer als ein gewisser Grenzwert i; werden. Es ist daher klar, daß auch die möglichen Werte für die gesamte Durchflußmenge Q des Gases (für das betreffende Rohr und für einen gegebenen Zustand des Gases im Gefäß) eine obere Grenze Qmax haben; diese läßt sich leicht bestimmen. Würde der Wert i; für die Stromdichte nicht an der engsten Stelle des Rohres angenommen, dann müßte j > j* sein für Querschnitte mit kleinerem S, was aber unmöglich ist. Daher kann der Wert j = j * nur an der engsten Stelle des Rohres angen ommen werden; die entsprechende Querschnittsfläche bezeichnen wir mit Smin' Die obere Grenze für die gesamte Durchflußmenge des Gases ist also (97,2) Zuerst behandeln wir eine Düse, die sich zum äußeren Ende hin monoton verengt, so daß die minimale Querschnittsfläche am Ende erreicht wird (Abb.70). Nach (97,1) nimmt die Stromdichte j längs des Rohres monoton zu. Dasselbe gilt für die Strömungsgeschwindigkeit 1\ der Druck nimmt dementsprechend monoton ab. Der größtmögliche Wert von j wird

XII

EBENE GASSTRÖMUNG

§ 114.

Potentialströmung eines kompressiblen Gases

Wir werden im folgenden vielen wichtigen Fällen begegenen, bei denen man die Strömung eines Gases praktisch im ganzen Raum als Potentialströmung ansehen kann. Hier werden wir die allgemeinen Gleichungen für eine Potentialströmung herleiten und ihre Anwendbarkeit in allgemeiner Form diskutieren. 1) Eine Gasströmung verliert ihre Eigenschaft, Potentialströmung zu sein, im allgemeinen durch Stoßwellen; nach dem Durchgang einer Potentialströmung durch eine Stoßwelle wird im allgemeinen Falle eine Wirbelströmung vorliegen. Eine Ausnahme stellen jedoch diejenigen Fälle dar, bei denen ein stationärer Potentialstrom durch eine Stoßwelle mit (auf der ganzen Wellenfläche) konstanter Intensität hindurchgeht. Damit hat man es z. B. zu tun, wenn ein homogener Strom eine Welle durchsetzt, die alle Stromlinien unter dem gleichen Winkel schneidet. 2) Die Strömung bleibt in diesen Fällen auch hinter der Stoßwelle eine Potentialströmung. Zum Beweis dieser Behauptung benutzen wir die Eulersche Gleichung in der Form

1 -\7v 2 2

-

vxrot v

=

-

1 -\7p Q

(vgl. (2,10)) oder \j (

W

+

~) -

v x rot v

=

T\j s

.

Hier ist die Identität dw = T ds + dp/Q aus der Thermodynamik benutzt worden. In der Potentialströmung vor der Stoßwelle ist w + v2 /2 = const; in der Stoßwelle ist diese Größe stetig. Deshalb bleibt sie auch im ganzen Raum hinter der Stoßwelle konstant, und wir haben

v x rot v

=

-

T\7s .

(114,1)

Die Potentialströmung vor der Stoßwelle ist isentrop. Im allgemeinen Fall einer beliebigen Stoßwelle mit einem auf der Wellenfläche veränderlichen Entropiesprung wird im Raum hinter der Welle \7s =f: 0 sein. Zusammen mit \7s wird auch rot v verschieden von Null sein. Hat die Stoßwelle aber eine konstante Intensität, dann ist auch der Entropiesprung in ihr konstant, so daß die Strömung hinter ihr ebenfalls isentrop wird, d. h. \7s = 0 ist. I)

In diesem Paragraphen wird die Strömung noch nicht als eben vorausgesetzt! der Überschallströmungen um einen Keil und einen

2) Solchen Fällen sind wir bereits beim Studium Kegel begegnet (§§ 112, 113).

XIII DIE STRÖMUNG UM ENDLICHE KÖRPER

§ 122.

Die Entstehung von Stoßwellen in der Überschallströmung um Körper

Einfache Überlegungen zeigen, daß in einer Überschallströmung um einen Körper beliebiger Gestalt vor dem Körper eine Stoßwelle entstehen muß. In einem Überschallstrom breiten sich Störungen infolge der Anwesenheit eines umströmten Körpers nur stromabwärts aus. Der den Körper anströmende homogene Überschallstrom müßte deshalb bis zum vordersten Ende des Körpers ungestört sein. Dann wäre aber auf der Oberfläche dieses Endes die Normalkomponente der Strömungsgeschwindigkeit von Null verschieden, im Widerspruch zu der notwendigen Randbedingung. Der Ausweg aus dieser Situation kann nur die Entstehung einer Stoßwelle sein, wodurch die Strömung zwischen der Welle und dem vorderen Ende des Körpers eine Unterschallströmung wird. Wird ein Körper mit Überschallgeschwindigkeit angeströmt, so entsteht also vor ihm eine Stoßwelle; sie wird als Kopfwelle bezeichnet. Bei der Umströmung eines Körpers mit einem stumpfen vorderen Ende berührt diese Welle den Körper nicht. Vor der Stoßwelle ist der Strom homogen, hinter ihr ändert sich die Strömung und krümmt sich um den um strömten Körper (Abb. 127a). Die Fläche der Stoßwelle reicht bis ins Unendliche; in großen Entfernungen vom Körper, wo die Intensität der Welle gering ist, schneidet sie die Richtung des Stromes aus dem Unendlichen unter einem Winkel nahe dem Machsehen Winkel. Charakteristisch für die Umströmung eines Körpers mit stumpfem Ende ist die Existenz eines Unterschallbereichs in der Strömung hinter der Stoßwelle, genauer, hinter dem am weitesten vorspringenden Teil ihrer Fläche. Dieser Bereich erstreckt sich bis zum umströmten Körper, er wird somit begrenzt von der Unstetigkeitsfläche, der Oberfläche des Körpers und der "seitlichen" Schallfläche (gestrichelte Linie in Abb. 127a). Die Stoßwelle kann mit dem Körper nur dann in Berührung kommen, wenn das vordere Ende des Körpers zugespitzt ist. Dann hat auch die Unstetigkeitsfläche eine Spitze an derselben Stelle wie der Körper (Abb. 127b). Bei unsymmetrischem Anströmen kann ein Teil dieser Fläche eine schwache Unstetigkeitsfläche sein. Für einen Körper gegebener

a)

b}

Abb. 127

xv § 133.

RELATIVISTISCHE HYDRODYNAMIK

Der Energie-Impuls-Tensor einer Flüssigkeit

Die Notwendigkeit, relativistische Effekte in der Hydrodynamik zu berücksichtigen, entsteht nicht nur im Zusammenhang mit einer großen (mit der Lichtgeschwindigkeit vergleichbaren) Geschwindigkeit der makroskopischen Flüssigkeitsströmung. Die hydrodynamischen Gleichungen ändern sich auch dann wesentlich, wenn diese Geschwindigkeit nicht groß ist, aber die Geschwindigkeiten der mikroskopischen Bewegung der die Flüssigkeit bildenden Teilchen groß sind. Zur Ableitung der relativistischen Gleichungen der Hydrodynamik muß man vor allem die Gestalt des vierdimensionalen Energie-Impuls-Tensors t» der strömenden Flüssigkeit feststellen. 1) Wir erinnern daran, daß TOO = T 00 die Energiedichte ist, TOaic = - T oalc die Komponenten der Impulsdichte sind und die Größen TaP = T ap den Tensor der Impulsstromdichte bilden; die Energiestromdichte c'T" unterscheidet sich von der Impulsdichte nur um den Faktor c 2 • Der Impulsstrom durch ein Oberflächenelement df eines Körpers 2) ist die an diesem Element angreifende Kraft. Daher ist Taß dIp die «-Kompouente der auf dieses Flächenelement wirkenden Kraft. Wir betrachten ein Volumenelement der Flüssigkeit und benutzen ein Bezugssystem, in dem dieses Element ruht (lokales Ruhsystem; die Werte der Größen in diesem System bezeichnen wir als Ruhenergie usw.). In diesem Bezugssystem gilt das Pascalsche Gesetz: Der von einem gegebenen Flüssigkeitsteil ausgeübte Druck ist in allen Richtungen gleich groß und überall senkrecht zu der Fläche, auf die er wirkt. Deshalb ist Ta p dIp = p dj, und demnach

T a ß = pbaß

•

Die Komponenten TOa, die die Impulsdichte darstellen, sind im lokalen Ruhsystem gleich Null. Die Komponente TOO ist die Ruhdichte der inneren Energie der Flüssigkeit, die wir in diesem Kapitel mit e bezeichnen werden. 1) Der Inhalt dieses Paragraphen wiederholt in beträchtlichem Maße den Inhalt von 11, § 35 und ist hier im Interesse einer zusammenhängenden Darstellung angeführt. Die in diesem Kapitel verwendeten Bezeichnungen entsprechen den Bezeichnungen in 11. Lateinische Indizes i, k, I, ... durchlaufen die Werte 0, 1, 2, 3; Xo = ct ist die Zeitkoordinate (in diesem Kapitel ist c die Lichtgeschwindigkeit). Die ersten Buchstaben des griechischen Alphabets IX, ß, ... durchlaufen die zu den räumlichen Koordinaten gehörenden Werte 1,2, 3. Der Galileischen Metrik (der speziellen Relativitätstheorie) entspricht der metrische Tensor mit den Komponenten goo = 1, gll = g22 = g33

= -l. 2) Für den dreidimensionalen Vektor d! (und unten für den Vektor der Geschwindigkeit v) in kartesischen Komponenten ist es nicht nötig, zwischen kontra- und kovarianten Komponenten zu unterscheiden, und wir schreiben sie überall mit unteren Indizes. Das gleiche gilt auch für den dreidimensionalen Einheitstensor b(J.(J'

SACHVERZEICHNIS

Ableitung, substantielle 3 Ablösung 184 Ablösungslinie 184 Absorptionskoeffizient 386 adiabatisch 4 adsorbierter Film 314 Ähnlichkeitsexponent 522 Ähnlichkeitsgesetz 73 - für den Wärmetransport 261 - für schallnahe Strömungen 608 äußere Abmessung der Turbulenz 163 akustische Grenzschicht 392 - Strömung 392 Anfangsunstetigkeit 478 Anstellwinkel 230 Anziehungsbassin 137 Anziehungsgebiet 137 Attraktor 137, 145 -, seltsamer 148 Auftrieb 37, 88 - eines dünnen TragtlügeIs 236 Auftriebsbeiwert 230 - des Tragtlügeis 236 Auftriebskraft 37 Bäuche 342 Barodiffusionskoeffizient 293 Benard-Instabilität 283 Bereich der turbulenten Strömung 184 Bernoullische Gleichung II - -, relativistische 647 Beweglichkeit 298 Bifurkation 138 -, inverse 160 - mit Periodenverdopplung 150 Bose-Flüssigkeit 656 Brechung der Schallwelle 328 Brennzone 616 Brownsche Bewegung 297 Burgerssehe Gleichung 450

Cantorsche Menge 147 Chapman-Jouguet-Punkt 625 Charakteristiken 404 charakteristische Fläche 403 - Linie 404 Couette-Strömung 71 - -, ebene 71 Dämpfung der Schwerewellen 117 Dämpfungsfaktor 118 D'Alernbertsches Paradoxon 37 Detlagration 615 Detonation 622 Detonationsadiabate 623 Detonationswelle 622 Dicke der Grenzschicht 199 Diffusion 287 - suspendierter Teilchen 297 Diffusionskoeffizient 293 Diffusionsstrom 288 Diffusor 97 Diffusorströmung 99 Dipolstrahlung 362 Diskontinuitätsfläche 411 Dissipation 57 Dissipationsbereich 168 Doppler-Effekt 336 dritter Schall 677 Düse 462 dynamische Adiabate 418 ebene Welle 318 effektiver Streuquerschnitt 382 Eigenfrequenzen 340 Eigenschwingungen 340 Eikonal 331 eindimensionale Ähnlichkeitsströmung 469 Eindringtiefe 107 einfache Welle 487