Lehrbuch der Experimentalphysik: Band 3 Optik [6., völlig neue Aufl. Reprint 2018] 9783111616049, 9783110043662

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BERGMANN-SCHAEFER LEHRBUCH DER

EXPERIMENTALPHYSIK BAND III OPTIK

BERGMANN-SCHAEFER LEHRBUCH DER EXPERIMENTALPHYSIK ZUM G E B R A U C H B E I A K A D E M I S C H E N V O R L E S U N G E N U N D ZUM S E L B S T S T U D I U M

BAND DI

Optik Herausgegeben von H. Gobrecht

Autoren: Hans Joachim Eichler, Heinrich Gobrecht, Dietrich Hahn, Heinz Niedrig, Manfred Richter, Heinz Schoenebeck, Horst Weber, Kurt Weber Sechste, völlig neue Auflage

w DE

G 1974

WALTER D E G R U Y T E R • B E R L I N • NEW Y O R K

Das Buch enthält 667 Abbildungen und eine Ausschlagtafel

ISBN 3 11 004366 1

© Copyright

1973 b y Walter de Gruyter & Co., vormals G. J. Göschen'sche Verlagshandlung — J. Guttentag,

Verlagsbuchhandlung — Georg Reimer — K a r l J. Triibner — Veit & Comp., Berlin 30. — Alle Rechte, insbesondere das Recht der Vervielfältigung und Verbreitung sowie der Übersetzung, vorbehalten. Kein T e i l des Werkes darf in irgendeiner F o r m (durch Photokopie. Mikrofilm oder ein anderes Verfahren) ohne schriftliche Genehmigung des Verlages reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden. Printed in Germany. Satz und Druck: Walter de Gruyter & Co., Berlin 30

Vorwort zur 6. Auflage Der Fortschritt der wissenschaftlichen Erkenntnis und der technischen Anwendungen macht bei Neuauflagen eines Physik-Lehrbuches naturgemäß Veränderungen notwendig. Diese können so zahlreich und tiefgehend sein, daß ein einzelner Autor nicht mehr in der Lage ist, das ganze Gebiet allein zu bearbeiten. Deshalb wurde in diesem Band der Weg beschritten, das Gebiet der Optik auf mehrere Autoren zu verteilen. Wenn dabei die Auffassungen nicht einheitlich sein können und die Darstellungen verschiedenartig ausfallen, so wird dieser Nachteil dadurch ausgeglichen, daß jeder Autor sein Kapitel gründlicher und sorgfältiger bearbeiten konnte. Außerdem bestand nun die Möglichkeit, auch solche Autoren zu gewinnen, die auf dem Gebiet des bearbeiteten Kapitels selbst forschend tätig sind. Die Grundlagen der Optik haben sich im letzten Jahrzehnt kaum geändert, wohl aber sind neue Erkenntnisse und sehr bedeutende technische Fortschritte dazu gekommen. Der Laser als kohärente Lichtquelle und damit auch die Holographie haben die Optik sehr bereichert und werden ausführlich behandelt. Die Quantenoptik mit interessanten Experimenten und die Elektronenoptik mit den großartigen Leistungen der Elektronenmikroskopie werden in neuer Form dargestellt. Die technischen Anwendungen der Riesenimpulslaser, der F o u r i e r Spektroskopie, der Lichtleiter (sogar im Ultraviolett!), der flüssigen Kristalle, der Polaroid-Kamera und vieler anderer, neuer Entwicklungen erfordern in einem Lehrbuch ihre grundsätzliche Behandlung. Man kann verschiedener Meinung darüber sein, ob die Farben und ihre meßbare Erfassung in ein Physik-Lehrbuch gehören oder nicht. Diskussionen darüber führten schließlich zu der Auffassung, daß jeder an der Physik Interessierte einmal das Problem und die Möglichkeiten der Farbmessung kennenlernen sollte. Die Relativitätstheorie wurde auch neu bearbeitet und im Optik-Band belassen, da sie in diesen besser hineinpaßt als in einen der anderen Bände des Lehrbuchs. Seit der ersten Auflage im Jahre 1955 hat dieser Optik-Band stets eine positive Aufnahme gefunden. Das hat sicher daran gelegen, daß sowohl L u d w i g B e r g m a n n als auch C l e m e n s S c h a e f e r wegen ihres stark ausgeprägten pädagogischen Interesses sehr bemüht waren, ein leicht verständliches Lehrbuch für Anfänger zu schaffen, das zugleich dem fortgeschrittenen Leser viel bietet. F r a n k M a t o s s i , der die vierte Auflage besorgte, verfolgte dieses Ziel weiter. Infolge seines Todes mußte die fünfte Auflage als unveränderter Nachdruck erscheinen. Die sechste Auflage liegt nun in der stark veränderten Form vor.

VI

Vorwort

Um dem Anfänger das Lesen zu erleichtern, beginnt auch jetzt jedes Kapitel einfach und leicht verständlich; später wird er auf eine gewisse Höhe mitgezogen. Der Fortgeschrittene andererseits wird die leichten Abschnitte nur kurz überfliegen. Es wurden weitgehend die internationalen Einheiten (SI) und auch die international empfohlenen Buchstabensymbole verwendet. In Ausnahmefällen mußte dieses Ziel aufgegeben werden, wenn der Buchstabe schon vergeben ist. Ein Beispiel möge dies zeigen: Die allgemein gebräuchliche Verwendung des Buchstabens n für die Besetzungsdichte bei den Laserniveaus hat zur Folge, daß im gleichen Text für die Brechzahl nicht auch der sonst übliche Buchstabe n, sondern ausnahmsweise der griechische Buchstabe r] verwendet wird. Physikalische Größen sind kursiv, Vektoren fett gesetzt. Bei Indizes und Exponenten wurde hiervon abgesehen, weil die Kleinheit der Buchstaben nicht mehr erkennen läßt, ob der Buchstabe schräg steht oder nicht. Auch in Zeichnungen wurde davon abgesehen, weil bei allein stehenden Buchstaben ebenfalls diese Schwierigkeit besteht. In wichtigen Fällen steht hier bei Vektoren ein Pfeil über dem Buchstaben. Die Literaturzusammenstellung am Ende des Buches soll den interessierten Leser zu ergänzenden Studium und zur Vertiefung anreizen. I n den angegebenen Veröffentlichungen finden sich jeweils weitere Literaturhinweise. Das deutsclbenglische und englisch-deutsche Wörterverzeichnis schließlich enthält solche Fachwörter, die in diesem Band vorkommen und in einem gewöhnlichen Wörterbuch nicht zu finden sind. Herrn Prof. Dr. H. Slevogt danke ich für wertvolle Ratschläge und den Herren Prof. Dipl.-Ing. Wilrich Hoffmann und Dipl.-Phys. Dieter Wobig für ihre Mitarbeit. Berlin-Schlachtensee, im Juli 1973

Heinrich

Gobrecht

Inhaltsübersicht I. Kapitel. Geometrische Optik von Prof. Dr.-Ing. Heinrich Gobrecht, Technische Universität Berlin 1,1. I, 2. I, 3. I, 4. I, 5. I, 6. I, 7. I, 8. 1,9. I, 10. I, 11. I, 12. I, 13. I, 14. I, 15.

Vorbemerkungen und Grundbegriffe Die geradlinige Ausbreitung des Lichtes; Schatten; Lochkamera Die Reflexion des Lichtes; ebene Spiegel Gekrümmte Spiegel; Konkav- und Konvexspiegel Die Brechung des Lichtes; Totalreflexion Brechung des Lichtes beim Durchgang durch Prismen; Spektrometer und Refraktometer Brechung des Lichtes an einer Kugelfläche Brechung und Abbildung durch ein zentriertes System brechender Kugelflächen Abbildung durch Linsen Die Abbildungsfehler der Linsen Die Strahlenbegrenzung; Wirkung der Blenden Das Auge und einige optische Instrumente Helligkeit lind Kontrast bei den optischen Instrumenten Der Fermatsche Satz; das Eikonal; der Satz von Malus Optik der Atmosphäre

1 3 7 14 28 44 57 71 81 102 117 123 159 162 173

II. Kapitel. Dispersion und Absorption des Lichtes von Prof. Dr.-Ing. Heinrich Gobrecht, Technische Universität Berlin I I , 1. I I , 2. 11,3. I I , 4. II, 5. I I , 6. 11,7. I I , 8. II, 9. I I , 10.

Messung der Lichtgeschwindigkeit Phasengeschwindigkeit, Gruppengeschwindigkeit, Frontgeschwindigkeit . . . . Die Dispersion des Lichtes: Normale Dispersion Achromatische und geradsichtige Prismen; chromatische Bildfehler Infrarote (ultrarote) und ultraviolette Strahlung Absorption der Strahlung Die Dispersion des Lichtes: Anomale Dispersion Dispersion und Absorption schwach absorbierender Substanzen; Anwendungen Dispersion und Absorption der Metalle Spektralanalyse; Emissions- und Absorptionsspektren; Dopplereffekt; Spektralapparate

185 194 199 209 215 236 242 249 265 275

III. Kapitel. Interferenz und Beugung von Prof. Dr.-Ing. Hans Joachim Eichler, Technische Universität Berlin I I I , 1. Allgemeines über Interferenz von Lichtwellen; Kohärenz und Inkohärenz . . . 295 I I I , 2. Fresnelscher Spiegelversuch und Varianten 305

Inhaltsübersicht

VIII

I I I , 3. Interferenzerscheinungen an dünnen Schichten, Farben dünner Blättchen; Kurven gleicher Dicke und gleicher Neigung I I I , 4. Zweistrahlinterferometer 111,5. Vielstrahlinterferenz; Interferenzspektroskopie I I I , 6. Stehende Lichtwellen; Farbenphotographie nach Lippmann I I I , 7. Lichtschwebungen I I I , 8. Grunderscheinungen der Beugung; Beugung am Spalt, an rechteckiger und kreisförmiger Öffnung I I I , 9. Das Auflösungsvermögen optischer Instrumente (Fernrohr, Auge, Mikroskop, Prisma) I I I , 10. Beugung durch mehrere kongruente, regelmäßig angeordnete Öffnungen; Youngscher Interferenzversuch; Beugungsgitter; Stufengitter; Ultraschallwellengitter I I I , 11. Beugung an zwei-und dreidimensionalen Gittern; Röntgenstrahlbeugung . . . I I I , 12. Bildentstehung im Mikroskop nach E. Abbe; Phasenkontrastverfahren nach Zernike; Schlierenverfahren I I I , 13. Beugung an vielen unregelmäßig angeordneten Öffnungen oder Teilchen; Theorie des Himmelsblaus I I I , 14. Holographie

311 325 329 343 347 350 363 369 385 399 415 422

IV. Kapitel. Polarisation und Doppelbrechung des Lichtes von Prof. Dr. rer. nat. K u r t Weber, Technische Universität Berlin IV, IV, IV, IV, IV, IV, IV,

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

IV, IV, IV, IV, IV, IV, IV,

8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

Polarisation des Lichtes durch Reflexion und gewöhnliche Brechung Theorie der Reflexion, Brechung und Polarisation; Fresnelsche Formeln . . . Totalreflexion, Herstellung von elliptisch und zirkulär polarisiertem Licht . . . Polarisation des reflektierten Lichtes bei absorbierenden Medien; Metallreflexion Doppelbrechung und Polarisation an optisch einachsigen Kristallen Optisch zweiachsige Kristalle Polarisatoren: Nicoisches Prisma, Glan-Thompson-Prisma, Turmalinplatte, Polarisationsfilter; Wollastonprisma; Polarisationsphotometer Drehung der Schwingungsebene polarisierten Lichtes (optische Aktivität) . . . Optisches Verhalten und Symmetrie der Kristalle Interferenzen an Kristallplatten im parallelen, polarisierten Strahlengang . . . Interferenzen im konvergenten Licht Kristalline Flüssigkeiten Induzierte Doppelbrechung in isotropen Stoffen Zeeman- und Starkeffekt

439 450 459 472 480 504 509 516 528 536 548 554 565 571

V. Kapitel. Strahlung und Photometrie von Prof. Dr.-Ing. Dietrich Hahn, Physikalisch-Technische Bundesanstalt, Berlin V, V, V, V, V, V, V, V, V, V,

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Grundbegriffe und Arten der Strahlung Grundgrößen und Definitionen Das K i r c h h o f f s c h e Gesetz Der schwarze Körper Das S t e f a n - B o l t z m a n n s c h e Gesetz Das W i e n sehe Verschiebungsgesetz Die Strahlungsgesetze von R a y l e i g h - J e a n s , W. W i e n und M. P l a n c k . . . Strahlung nicht-schwarzer Körper Strahlungscharakteristische Temperaturangaben, Pyrometrie Der spektrale Hellempfindlichkeitsgrad des Auges und die photometrischen Grundbegriffe

583 584 590 594 598 600 603 609 612 616

Inhaltsübersicht V, 11. Realisierung der Lichteinheit, Normallichtquellen V, 12. Photometrische Meßmethoden und Meßgeräte V, 13. Ausblicke auf die Lichttechnik

IX 621 624 630

VI. Kapitel. Farbmetrik von Prof. Dr.-Ing. Manfred Richter, Bundesanstalt f ü r Materialprüfung, Berlin VI, VI, VI, VI, VI, VI, VI, VI, VI, VI, VI, VI, VI, VI, VI, VI,

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

Wesen und Farbe Technik der additiven Farbmischung Gesetzmäßigkeiten der additiven Farbmischung Wirkungsweise des Auges Weiterer Ausbau der Farbvalenzmetrik Die Spektralwerte Virtuelle Farbvalenzen, Normalvalenz-System Farbreiz und Farbvalenz Körperfarben Bedingt-gleiche Farben Sogenannte subtraktive Farbmischung Optimalfarben Komplementäre und kompensative Farben Helmholtz-Maßzahlen Verfahren der Farbmessung Anschauliche Farbkennzeichnung; höhere Farbmetrik

639 641 645 652 656 661 665 670 672 674 675 677 680 683 684 688

VII. Kapitel. Quantenoptik von Prof. Dr.-Ing. Horst Weber, Universität Bern VII, VII, VII, VII, VII, VII, VII, VII, VII, VII, VII,

1. Der lichtelektrische Effekt 2. Einsteins korpuskulare Theorie des Lichts und deren Prüfung 3. Der lichtelektrische Effekt bei hohen Lichtintensitäten 4. Anwendungen des lichtelektrischen Effekts 5. Die korpuskularen Eigenschaften des Photons 6. Die Bedeutung der Quantenelektrodymanik 7. Die quantenhafte Absorption und Emission von Licht 8. Streuung von Photonen 9. Statistische Eigenschaften der Photonen 10. Erzeugung von kohärentem Licht — LASER 11. Nichtlineare Optik

698 704 711 717 726 733 742 760 794 814 841

V m . Kapitel. Wellencharakter der Materie von Prof. Dr.-Ing. Heinz Niedrig, Technische Universität Berlin VIII, VIII, VIII, VIII, VIII, VIII,

1. Materiewellen 2. Elektronenbeugung 3. Beugung anderer Materieteilchen 4. Elektronenoptik 5. Elektronenmikroskopie 6. Die Unschärfe-Relation bei Materiewellen

855 860 871 873 889 900

X

Inhaltsübersicht IX. Kapitel. Relativitätstheorie von Prof. Dr.-Ing. Heinz Schoenebeck, Technische Universität Berlin

IX, IX, IX, IX, IX, IX, IX, IX,

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Das Relativitätsprinzip der Mechanik Versagen des Relativitätsprinzips der Mechanik in der Elektrodynamik . . . . Versuche zum Mitführungskoeffizienten Der Versuch von Michelson Die Einsteinsche Lösung des Problems Das Additionstheorem der Geschwindigkeiten; der Mitführungskoeffizient . . . Dopplersches Prinzip und Aberration Die Invarianz der Gleichungen der Elektrodynamik und der Mechanik gegenüber der Lorentz-Transformation I X , 9. Rotationsbewegung I X , 10. Energie und Masse IX, 11. Uberblick über den Gedankenkreis der allgemeinen Relativitätstheorie . . . .

905 907 910 913 918 924 927 932 938 940 944

I.

KAPITEL

Geometrische Optik ( H e i n r i c h G o b r e c h t , Berlin)

1,1. Vorbemerkungen und Grundbegriffe In der „geometrischen Optik" oder „Strahlenoptik" wird die geradlinige Ausbreitung des Lichtes in eng begrenzten Lichtbündeln behandelt. Für den Anfang ist diese Art der Betrachtung nützlich. So versteht man die Wirkungsweise von Spiegeln und Linsen am leichtesten, auch dann, wenn diese zu optischen Geräten zusammengesetzt sind (Photoapparat, Fernrohr, Mikroskop usw.). Später wird man freilich erkennen, daß die optische Abbildung nicht vollständig durch die Ausbreitung geometrischer „Strahlen" beschrieben werden kann. Man findet durch einfache Versuche leicht, daß sich ein eng begrenztes Lichtbündel in einem homogenen Medium, z. B . in Luft einheitlicher Temperatur, geradlinig wie ein „Strahl" ausbreitet. Oft sieht man solche „Lichtstrahlen", wenn die Sonne durch die Lücken der Blätter eines dunklen Waldes scheint und auf Nebel trifft, ferner auch, wenn ein Sonnenstrahl in ein mit Staub oder Tabakrauch erfülltes Zimmer gelangt. Durch einfache Überlegung kommt man sofort zu dem Schluß, daß man den Sonnenstrahl selbst nicht sehen kann, und daß man den Weg des Strahls nur deshalb beobachtet, weil das Licht die kleinen, schwebenden Teilchen (Staub, Wassertröpfchen) beleuchtet, die sich dann besonders gut vor einem dunklen Hintergrund abheben. Daß das Licht eine elektromagnetische Welle ist, interessiert bei der Betrachtungsweise der geometrischen Optik kaum. Nur die Wellenlänge ist öfter von Belang, weil in Materie die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichtes von der Wellenlänge abhängt. Dadurch entsteht beim Übergang des Lichtstrahls von einem Medium in ein anderes mit einer unterschiedlichen Lichtgeschwindigkeit, also auch mit einer unterschiedlichen Wellenlänge, ein Knick, eine „Brechung" des Strahls, sofern der Einfall in die Grenzebene nicht senkrecht erfolgt. Auch ist der minimale Durchmesser einer Blende von der Wellenlänge abhängig : Der Durchmesser der das Lichtbündel begrenzenden Blende muß wesentlich größer sein (etwa 1000 mal) als die Licht Wellenlänge, wenn die geradlinige Ausbreitung des Strahls nicht durch Beugung an der Blende gestört sein soll. Diese Bedingung gilt nicht nur für Lichtwellen: Die auf den Flugplätzen sich drehenden Parabolspiegel bündeln die „Radarstrahlen". Deren Wellenlänge ist 1

Experimentalphysik III

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Geometrische Optik

etwa 10 4 mal größer als die Licht Wellenlänge. E s ist deshalb nicht möglich, kleine Spiegeldurchmesser wie beim Licht zu verwenden. Unter Optik verstand man früher die Lehre vom sichtbaren Licht ausschließlich. Als dann gefunden wurde, daß außerhalb des sichtbaren Spektrums das infrarote und das ultraviolette Licht existiert, bezog man dieses unsichtbare Licht ohne Bedenken in die Optik mit ein. Analog spricht man vom „Röntgenlicht" und der „Röntgenoptik" sowie von den „optischen Eigenschaften" der elektromagnetischen Zentimeter- und Millimeter wellen. Die Optik ist also nicht auf das sichtbare Licht beschränkt, wenngleich dieses zusammen mit dem benachbarten infraroten und ultravioletten Licht überwiegend die Optik beherrscht. Der Gesamtbereich der elektromagnetischen Wellen erstreckt sich lückenlos von den energieärmsten, langen Wellen, die leicht mit elektrischen Schwingungskreisen hergestellt und von Antennen abgestrahlt werden können, bis zu den energiereichsten, ultraharten Röntgenstrahlen und den Gammastrahlen der Atomkerne. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit im Vakuum ist bei allen gleich: Lichtgeschwindigkeit im Vakuum c « 3 • 10 8 m / s . Das Spektrum des sichtbaren Lichtes umfaßt nur eine Oktave. Sie liegt bei etwa 0,4 /im (violett) bis 0,7 /¿in (rot), entsprechend einer Frequenz von 8 • 10 14 bis 4 • 10 14 Hz. Der Farbeindruck, den das Licht im Auge hervorruft, wird ausschließlich von der Frequenz des Lichtes bestimmt, das vom Auge wahrgenommen wird. Wenn in der Strahlenoptik das unterschiedliche Verhalten des roten und des violetten Lichtes beschrieben wird, z. B . bei der Brechung, so ist mit dieser etwas laxen Ausdrucksweise nicht der Farbeindruck im Auge, sondern das Frequenzgebiet gemeint. E s ist eben einfacher und kürzer zu sagen: „rotes Licht" statt „sichtbares Licht kleiner Frequenz, das im Auge den Eindruck rot hervorruft". Um einen eng begrenzten Lichtstrahl zu erzeugen, soll möglichst schon der Anfang des Strahls, also die Lichtquelle, punktförmig sein. Eine solche Lichtquelle, die punktförmig ist und dauernd gleichmäßig leuchtet, gibt es nicht. Man behilft sich jedoch so: Entweder wählt man den Abstand der Lichtquelle groß, und sie erscheint dann unter einem sehr kleinen Winkel: Ein Stern von sehr großer Ausdehnung ist wegen des sehr großen Abstandes eine punktförmige Lichtquelle. Oder man beleuchtet eine feine, runde oder spaltförmige Blende von hinten mit einer Lichtquelle. Das kleine Loch oder der enge Spalt ersetzt dann die punktförmige bzw. lineare Lichtquelle. Als Lichtquelle muß nicht unbedingt ein „Selbstleuchter" verwendet werden. Man kann z. B . eine Metallkugel von der Sonne oder von einer hellen Lampe beleuchten und hat so eine ganz gute (punktförmige) Lichtquelle. Oder man beleuchtet eine diffus reflektierende Fläche, die dann als Lichtquelle dient und einen Spalt oder eine Blende beleuchtet. Der Mond und die Planeten sind ja bekanntlich ebenfalls keine Selbstleuchter, und das Tageslicht im Zimmer ist bei bedecktem Himmel an Wolken und Wänden diffus reflektiertes Sonnenlicht. In der geometrischen Optik ist das Vorzeichen des Richtungspfeils des Lichtstrahls nur selten von Bedeutung, weil der Weg zweier Lichtstrahlen ent-

Die geradlinige Ausbreitung des Lichtes; Schatten; Lochkamera

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gegengesetzter Richtung fast immer gleich, ist (Satz von der Umkehrbarkeit des Lichtweges). Die Strahlrichtung steht i. allg. senkrecht auf der Wellenfläche. Lichtstrahlen beliebiger Herkunft können sich durchkreuzen, ohne sich zu stören. Jeder Strahl verläuft so, als ob die anderen nicht da wären.

1,2. Die geradlinige Ausbreitung des Lichtes; Schatten; Lochkamera Wenn eine ideal punktförmige Lichtquelle vorhanden ist und wenn die Ausbreitung von Strahlen wirklich geradlinig ist, dann müssen Gegenstände, die von den Strahlen getroffen werden, scharf begrenzte Schattenbilder liefern. Dies ist auch bei erster, einfacher Betrachtung wirklich der Fall, besonders, wenn das Schattenbild nicht allzuweit vom Gegenstand entfernt ist. Bei sehr genauer Beobachtung, z. B. mit einer Lupe oder mit einem Mikroskop (und bei großem Abstand des Schattenbildes vom Gegenstand), sieht man jedoch kein scharf begrenztes Schattenbild. Der Rand des Schattenbildes besteht aus hellen und dunklen Streifen. Man nennt diese Erscheinung Beugung. Sie tritt immer dann auf, wenn Wellen auf Hinderniskanten treffen. Die Beugung ist daher auch ein Beweis für die Wellennatur des Lichtes. In der geometrischen Optik wird von der Erscheinung der Beugung im allgemeinen abgesehen. Einiges über Schatten. Bringt man vor einen leuchtenden Lichtpunkt L in einiger Entfernung einen undurchsichtigen Körper K (Abb. 1,1), z. B. eine Kugel, I w I I

I I

•

I

a

b

Abb. I, 1. Schattenbildung hinter einer Kugel bei punktförmiger Lichtquelle a) Strahlenverlauf b) Bild des Schattens

so bildet sich hinter der Kugel ein S c h a t t e n r a u m S aus, der von den die Kugel tangierenden Strahlen begrenzt wird und der die Gestalt eines sich erweiternden Kegels hat. Bringt man hinter den schattenwerfenden Körper eine weiße Wand W, so sieht man auf dieser den Schatten des Körpers. Der Schatten läßt die Umrisse des schattenwerfenden Körpers erkennen und ist von einer gleichmäßig erhellten Fläche umgeben. Im Fall der schattenwerfenden Kugel hat der Schatten, da wegen der geradlinigen Ausbreitung des Lichtes eine Zentralprojektion vorliegt, die Gestalt eines Kegelschnitts: Steht die Wand senkrecht zur Kegelachse, so I*

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Geometrische Optik

liefert die Kugel einen kreisförmigen Schatten (Abb. 1,1). —• Wird der Körper, z. B. eine KugelK, von z w e i punktförmigen Lichtquellen beleuchtet (Abb. I, 2a) so entstehen hinter dem Körper drei verschiedene Schattenräume. Der Raum H j wird nur von L l t der Raum H 2 nur von L 2 beleuchtet, während der Raum S überhaupt kein Licht bekommt. Die nur teilweise beleuchteten Räume und H 2 liegen im H a l b s c h a t t e n , während der Raum S den K e r n s c h a t t e n bildet. Auf einem in den Schattenraum gebrachten weißen Schirm W erhält man das Bild von Abb. 1,2b, aus dem man deutlich die verschiedenen Schattenräume

Abb. I, 2. Schattenbildung hinter einer Kugel bei zwei punktförmigen Lichtquellen a) Strahlenverlauf b) Bild des Schattens

erkennt. — Wird schließlich der schatten werfende Körper von einer flächenhaften Lichtquelle F beleuchtet (Abb. I, 3a), so muß man für jeden Punkt der Lichtquelle den Schattenkegel entwerfen und ihre gemeinsame Wirkung hinter dem Körper durch Summierung feststellen. Es zeigt sich dann, daß sich hinter dem Körper ein Kernschatten S ausbildet, der keinerlei Licht erhält. Dieser Kernschatten ist von einem Halbschatten H umgeben, der nach außen allmählich in den vollerleuchteten Raum und nach innen allmählich in den Kernschatten übergeht (Abb. I, 3b). In diesem Halbschatten findet also ein stetiger Übergang von voller Helligkeit zu voller Dunkelheit statt. Der Kernschatten ist daher nur dicht hinter dem Körper scharf begrenzt und bekommt, je weiter man sich von dem schattenwerfenden Körper entfernt, eine immer unschärfere Begrenzung.

Abb. I, 3. Schattenbildung hinter einer Kugel bei flächenhafter Lichtquelle a) Strahlenverlauf 6) Bild des Schattens

Die geradlinige Ausbreitung des Lichtes; Schatten; Lochkamera

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Ist, wie in Abb. I, 3a, der Querschnitt des schattenwerfenden Körpers kleiner als der der Lichtquelle, so entsteht in großer Entfernung hinter dem Körper kein Kernschatten mehr, sondern nur noch Halbschatten. Im Sonnenlicht ist der Kernschatten einer Kugel etwa 108 mal so lang wie der Kugeldurchmesser. Dies folgt aus der Beziehung Schattenlänge Kugeldurchmesser

Sonnenentfernung Sonnendurchmesser

150 • 108 km 1,392 • 108 km

Die Abb. 1,3 a gibt gleichzeitig die Verhältnisse wieder, die sich bei einer Sonnenoder Mondfinsternis abspielen. Stellt F die Leuchtfläche der Sonne und K die Erde dar, so entsteht eine Mondfinsternis, wenn der Mond in den Kernschatten hinter der Erde eintritt, und zwar ist die Finsternis total oder partiell, je nachdem, ob die ganze Mondfläche oder nur ein Teil im Schattenraum verdunkelt wird. Ist dagegen K der Mond, so entsteht eine Sonnenfinsternis auf der Erde, wenn diese in den Schattenraum hinter dem Mond gelangt. Da der Durchmesser der Erde (12740 km) fast viermal größer als der des Mondes (3340 km) ist, entsteht für diejenigen Orte der Erde, die vom Kernschatten getroffen werden, eine totale Sonnenfinsternis, während für alle die 0 te, die im Halbschatten liegen, nur eine partielle Finsternis eintritt, d. h. es bleibt für sie noch ein mehr oder minder großer sichelförmiger Teil der Sonnenscheibe sichtbar. Ist schließlich der Mond zur Zeit der Sonnenfinsternis soweit von der Erde entfernt, daß die Spitze des Kernschattens diese nicht mehr trifft, so entsteht eine ringförmige Sonnenfinsternis. Schattenbilder haben eine sehr bedeutungsvolle Anwendung bei Röntgenstrahlen gefunden, da es für diese keine Linsen gibt. In der Medi?in und in der Technik sind alle Röntgenaufnahmen Schattenbilder der Gegenstände, deren Umrisse man kennen möchte. Voraussetzung für scharfe Bilder sind auch hier punktförmige Lichtquellen, d. h. der Entstehungsort der Röntgenstrahlen soll einen möglichst kleinen Durchmesser haben. Da die Röntgenstrahlen durch Aufprall schneller Elektronen auf die Anode der Vakuumröhre entstehen, müssen die Elektronen zu einem möglichst kleinen Brennpunkt (Fokus) gebündelt werden. Dies geschieht durch elektrische oder magnetische Felder. Die Lochkamera wurde schon 1321 von L e v i B e n G e r s o n erwähnt (Abb. I, 4). Eine Abbildung damit ist nur wegen der geradlinigen Ausbreitung des Lichtes möglich. Die Schärfe des Bildes sollte um so größer sein, je kleiner die Öffnung O

Abb. I. 4. Entstehung eines Bildes in der Lochkamera

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Geometrische Optik

ist. Dies ist auch wirklich der Fall, sofern die Öffnung O nicht zu klein ist, so daß Beugung auftritt. Die Größe des Bildes hängt von dem Abstand Bild—Loch ab. Da die Fläche des Bildes mit dem Quadrat des Abstandes Bild—Loch steigt, sinkt damit auch die Helligkeit des Bildes mit dem Quadrat des Abstandes Bild—Loch. Andererseits ist die Helligkeit des Bildes proportional der Fläche der Öffnung, durch die das Licht kommt, also proportional dem Quadrat des Lochdurchmessers. Bildet man analog zum photographischen Objektiv den Quotienten Lochdurchmesser/Abstand Loch—Bild, so erhält man wie beim photographischen Objektiv ein relatives Maß für die Bildhelligkeit und damit auch für die Belichtungszeit. Beim Objektiv nennt man den Quotienten: Blendendurchmesser/Brennweite die relative Öffnung. Beim photographischen Objektiv steht dieser Quotient (oder auch einfach die „Blendenzahl") auf dem Rand eingraviert: 1 : 2,8; 1 : 3,5; 1 : 4,5 usw. Beträgt nun bei einer Lochkamera der Durchmesser der Öffnung 1 mm, und der Abstand Loch—Bild 100 mm, so würde dies einer Blendenzahl von 100 entsprechen. Ist z. B . die Belichtungszeit bei der Aufnahme einer Landschaft mit einem Photoapparat 1 / 1 0 0 Sekunde bei Blende 8, so folgt daraus für die oben angegebene Lochkamera eine 15fache Belichtungszeit, also 0,15 Sekunden. Der Lochdurchmesser darf wegen der Beugung nicht zu klein gemacht werden. Als „Faustformel" kann man sich merken, daß das Beugungsscheibchen einen Durchmesser hat, der gleich der Blendenzahl in /im ist. Bei der angegebenen Lochkamera ist also der Durchmesser des Beugungsscheibchens etwa 0,1 mm. Bezeichnet G die Größe des Gegenstandes, B die des Bildes und bedeuten g und b die Abstände von Gegenstand und Bild von der Lochebene (Abb. 1,4), so besteht die Beziehung: B:G

=

b:g.

Das Verhältnis BjQ heißt Abbildungsmaßstab. Solange die Öffnung O klein ist gegenüber der Struktur des Gegenstandes, spielt ihre Form (ob rund oder eckig) keine Rolle. Hierfür bietet sich in der Natur ein schönes Beispiel in den runden Sonnenbildchen, die man häufig auf dem schattigen Waldboden unter einem Laubbaum beobachtet. Sie entstehen dadurch, daß die vielen unregelmäßig gestalteten Lücken zwischen den Blättern des Baumes wie kleine Öffnungen wirken und auf dem Boden kleine Bilder der Sonnenscheibe erzeugen. Bei einer partiellen Sonnenfinsternis dagegen erhält man sichelförmige Bilder der Sonne. Technische Anwendung findet die Lochkamera überall dort, wo eine Abbildung durch Linsen nicht möglich ist. Dies ist z. B. dann der Fall, wenn eine Röntgenlichtquelle abgebildet werden soll. Hierbei ist von großem Interesse, ob diese kreisrund, rechteckig oder elliptisch ist und welche Größe sie hat. Die Lochkamera gibt ein gutes Beispiel für die Unabhängigkeit der sich in der Öffnung 0 durchkreuzenden Strahlenbüschel. Die von verschiedenen Stellen des Gegenstandes ausgehenden Wellen können sich in der engen Öffnung durchkreuzen, ohne sich zu stören.

Die Reflexion des Lichtes; ebene Spiegel

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1,3. Die Reflexion des Lichtes; ebene Spiegel Aus der Erfahrung des täglichen Lebens weiß ein jeder, daß die Reflexion des Lichtes an der Oberfläche eines festen Körpers verschiedenartig sein kann: Ein ebener Metallspiegel reflektiert einen Lichtstrahl anders als eine weiß gekalkte Wand. Beim Spiegel erfährt das auffallende Licht eine Richtungsänderung; an der weißen Wand wird das Licht diffus in alle Richtungen reflektiert. Die weiße Wand sendet das Licht wie ein Selbstleuchter aus. Von allen Richtungen aus betrachtet erscheint die bestrahlte Fläche gleich hell, ganz im Gegensatz zum beleuchteten Spiegel oder zur spiegelnden Wasseroberfläche. Zwischen den beiden Extremen, der reinen Spiegelung und der vollkommen diffusen Reflexion, gibt es alle Übergänge (Abb. 1,5). Die diffuse Reflexion wird auch Remission genannt.

a a) diffus;

b

C

Abb. I, 5. Reflexion des Lichtes b) Spiegelung; c) diffus mit Anteil von Spiegelung

Sie läßt sich f ü r alle Wellenlängen des sichtbaren Spektrums gut verwirklichen an Schichten von CaS0 4 (Gips) oder B a S 0 4 . Eine Fläche aus diesen Stoffen, mit weißem Licht bestrahlt, sieht daher auch vollkommen weiß aus. Die Ursache f ü r eine mehr oder weniger diffuse Reflexion ist das S t r e u v e r m ö g e n der Oberfläche. J e größer die Wellenlänge, desto kleiner wird das Streuvermögen. Das heißt, daß mit zunehmender Wellenlänge eine Oberfläche immer mehr spiegelnd wird. Dies gilt nicht nur für Lichtwellen. Das Echo von Schallwellen ist auch eine Spiegelung. Ein Waldrand oder eine Häuserwand ist für Wellen von einigen Metern Länge ein guter Spiegel. In den Alpen kann man beobachten, daß hohe Felswände die Radiowellen spiegeln und den Empfang von sehr entfernten UKW-Sendern (Wellenlänge einige Meter) in den Tälern ermöglichen. In der Optik ist die Spiegelung, also die spiegelnde Reflexion, von besonders großem Interesse. Untersucht man die Zuordnung von einfallendem Strahl, reflektiertem Strahl und Lage der Spiegelfläche, die man durch die Normale, also die Senkrechte auf der Spiegelfläche kennzeichnet, so kommt man durch einfache Versuche schnell zu dem wichtigen Reflexionsgesetz: Einfallender und reflektierter Strahl bilden mit der Senkrechten gleiche Winkel; einfallender Strahl, Senkrechte und reflektierter Strahl liegen in einer Ebene. Zum Nachweis dieses Gesetzes kann die in Abb. I, 6 skizzierte Anordnung dienen. I m Mittelpunkt einer größeren Scheibe mit Winkeleinteilung ist ein kleiner ebener Spiegel S drehbar angebracht. Der Spiegel trägt senkrecht zu seiner Fläche einen Zeiger. Man läßt ein schmales Lichtbündel derart auf den Spiegel fallen, daß es die große Scheibe streift. So kann man im Dunkeln den Licht weg als helle

8

Geometrische Optik

Linie auf der Scheibe sehen. Man kann gleichzeitig folgendes erkennen: Wird der Spiegel um einen bestimmten Winkel gedreht, so ändert sich die Richtung des reflektierten Strahls um den doppelten Winkel; denn es ändern sich sowohl der Einfalls- als auch der Reflexionswinkel um den Betrag, um den der Spiegel gedreht wird. Hiervon macht man Gebrauch bei der Messung kleiner Drehwinkel.

L Abb. I, 6. Nachweis des Reflexionsgesetzes

Die Entstellung von Bildern am ebenen Spiegel. In Abb. 1,7 befindet sich eine punktförmige Lichtquelle L in der Entfernung a vor einem ebenen Spiegel S. Wir zeichnen eine Anzahl Strahlen LPV LP2, ... von L nach dem Spiegel und konstruieren nach dem Reflexionsgesetz die reflektierten Strahlen. Verlängern wir diese rückwärts über den Spiegel hinaus, so schneiden sie sich in einem Punkt L' hinter dem Spiegel, der dieselbe Entfernung a vom Spiegel hat, wie die Lichtquelle L. In Abb. I, 7 ist z. B. A LOP1 = A L'OPv da nach dem Reflexionsgesetz

was zu beweisen war. Ist umgekehrt der aus dem (dichteren) Medium 2 kommende Strahl L'O gegeben, so fällt man von B das Lot auf die Grenzfläche CO', das den kleineren Kreis in A schneidet. Die Verlängerung von AO über 0 hinaus liefert dann den in das (dünnere) Medium gebrochenen Strahl.

Abb. 1,40. Diagramm zur Ermittlung des gebrochenen Strahls beim Übergang von Luft nach Stoffen mit den Brechzahlen zwischen 1 und 2

Wasser Borkron BK1 Fünf F3 SchwerfUnt

Abb. I, 40 gibt ein auf Grund dieser Konstruktion gezeichnetes Diagramm wieder, aus dem man sofort für den Übergang von Luft zu einem Stoff mit den Brechzahlen 1 bis 2 oder umgekehrt den gebrochenen Strahl finden kann. 3

Experimentalphysik I I I

34

Geometrische Optik

Nach Abb. I, 39 ist die Ablenkung ö, die ein Strahl durch die Brechung erfährt, durch (1,10)

d = x —ß

gegeben. Aus dem Brechungsgesetz (I, 6) folgt sin x = w21 sin ß und weiter sin

— sin ß

x

=

( n

2 1

— 1) sin ß

.

Nach dem Additionstheorem der trigonometrischen Funktionen ist diese Gleichung identisch mit der folgenden: .

a

—

ß

2 sin — • n

cos

n2 ist. Nun ist aber der größte Wert, den

sin ß überhaupt annehmen kann, gleich 1, wenn nämlich ß gleich 90° wird. In diesem Fall tritt der in das dünnere Medium gebrochene Strahl s t r e i f e n d zur G r e n z f l ä c h e in dieses ein (Strahl 3 in Abb. I, 41). Der zugehörige Einfallswinkel xg im dichteren Medium ist dann durch die Gleichung (1,11)

sin x g = ~

12

= n 21 = ^ n

l

gegeben. Einfallswinkeln x, die größer als der durch Gl. (I, 11) definierte Grenzwinkel xg sind, entspricht kein r e e l l e r B r e c h u n g s w i n k e l ß m e h r ; daher kann ein Ubertritt des Lichtes in das dünnere Medium n i c h t mehr erfolgen. Das Licht wird vielmehr an der Grenzfläche regulär reflektiert, und zwar m i t seiner vollen I n t e n s i t ä t (Strahl 4 in Abb. I, 41). Man bezeichnet daher diesen zuerst von J . K e p l e r (1611) beobachteten Vorgang als Totalreflexion. Man kann also sagen: Totalreflexion tritt stets dann ein, wenn Licht aus einem optisch dichteren Medium auf die Grenzfläche eines optisch dünneren fällt und der Einfallswinkel größer als der durch die Gleichung sin Äg = Kj j bestimmte Grenzwinkel ist.

35

Die Brechung des Lichtes; Totalreflexion

Wir müssen uns hier mit dieser empirischen Feststellung begnügen. Auf die feineren Vorgänge bei der Totalreflexion kommen wir in Nr. IV, 3 zurück. Beim Übergang von Wasser nach Luft ist sin a g = 3 / 4 , d. h. a = 48°35'. Abb. I, 42 zeigt für diesen Fall den in der vorangehenden Abb. I, 41 schematisch dargestellten Strahlenverlauf experimentell: Einige Zentimeter unter der Wasseroberfläche befindet sich eine (in der Abb. verdeckte) Lichtquelle, die durch mehrere Schlitzblenden einige scharf begrenzte Strahlenbündel schräg gegen die Wasseroberfläche strahlt. Von diesen werden nur die, deren Einfallswinkel kleiner als der Grenzwinkel von 48° 35' ist, in den Luftraum hinein gebrochen, während die anderen in das Wasser zurück totalreflektiert werden. Man sieht in der Abb. 1,42 auch deutlich die weit größere Intensität der totalreflektierten Strahlen gegenüber 7

Abb. 1,41

Abb. I, 42

Abb. 1,41. Brechung und Totalreflexion beim Übergang des Lichts von einem dichteren in ein dünneres Medium Abb. I, 42. Versuchsanordnung zum Nachweis der Brechung und Totalreflexion an der Grenzfläche Wasser — Luft. Die Lichtquelle befindet sich links unten im Wasser in einer mit Schlitzen versehenen Dose

den normal reflektierten. — Abb. I, 43 zeigt den Übergang des Lichtes von Glas nach Luft. Bei den Einfallswinkeln 30° und 40° findet sowohl Brechung als auch Reflexion statt, bei den Einfallswinkeln 50° und 60° haben wir bereits totale Reflexion. Der Grenzwinkel liegt bei dem benutzten Glas mit n = 1,55 bei 40,5°. — Blickt man schräg von unten gegen eine Wasseroberfläche unter einem Einfallswinkel, der größer ist als der Grenzwinkel der Totaheflexion, so kann man nicht durch die Wasseroberfläche hindurchsehen; diese erscheint vollkommen spiegelnd. Aus dem Wasser heraus kann man nur innerhalb des durch den Grenzwinkel der Totaheflexion gegebenen räumlichen Winkels sehen. Abb. I, 44a zeigt, wie ein unter Wasser befindliches Auge eines Schwimmers mit Taucherbrille die Außenwelt erblickt: Er sieht sie — natürlich verzerrt! — innerhalb eines Kegels, dessen halber Öffnungswinkel gleich dem Grenzwinkel ist; außerhalb des Kegels sieht er nur totalreflektiertes Licht, z. B. den Grund des Bassins, in dem er sich befindet. — Ein leuchtender Punkt unmittelbar oberhalb der Wasserfläche strahlt in den Außenraum gleichmäßig nach allen Richtungen, im Wasser dagegen nur 8*

36

Geometrische Optik

Abb. 1,43. Brechung und Reflexion'des Lichtes beim Übergang von Glas nach Luft: a, b) Einfallswinkel 30° bzw. 40° kleiner als Grenzwinkel 40,5° ergibt Brechung und Reflexion; c, d) Einfallswinkel 50° bzw. 60° größer als Grenzwinkel 40,5° ergibt Totalreflexion

innerhalb eines Kegels, dessen halber Öffnungswinkel gleich dem Grenzwinkel ist (Abb. I, 44b). Der in Abb. I, 44a dargestellte Fall, daß Licht von einem optisch dichteren Medium nach einem optisch dünneren strahlt, tritt regelmäßig beim Gebrauch eines Mikroskops auf. Denn das von einem Punkt P des beleuchteten Präparates kommende Licht verläuft, bevor es in die Frontlinse des Mikroskop-Objektives eintritt, zunächst durch das Deckglas mit der absoluten Brechzahl n — 1,515 und dann durch eine Luftschicht. Dabei kann wegen der Totalreflexion an der Grenze zwischen Glas und Luft nur ein Strahlenbüschel austreten, dessen äußerster Strahl einen Winkel von 41,5° mit dem Einfallslot einschließt (Abb. I, 45a). Bringt man aber zwischen Deckglas und Frontlinse noch eine Wasserschicht, so vergrößert sich dieser Winkel auf 61,5° (Abb. I, 45 b), während bei Verwendung von öl, das

Die Brechung des Lichtes; Totalreflexion

37

Abb. I, 44. Zur Brechung des Lichtes beim Übergang von Luft nach Wasser: a) Ein unter Wasser befindliches Auge mit Taucherbrille sieht innerhalb eines durch den Grenzwinkel der Totalreflexion gegebenen Winkels (2 • 48° 30' = 97°) die verzerrte Außenwelt; b) Von einem leuchtenden Punkt unmittelbar oberhalb der Wasseroberfläche tritt das Licht in das Wasser nur innerhalb eines Kegels, dessen halber Öffnungswinkel gleich dem Grenzwinkel der Totalreflexion (48° 30') ist

a £

b

j ^ / l u f t n -1 5° ».5?

Deckglas /?--1,515^j /?--1,515,^

[X Z yt^y^/ektfr^Z

[

I j y/^^Wasser

n* 1,33

Wy^ Deckglas n= 1,515, /// /// /,/ ¿ v /// /// "// /// /,//// p'''Objektträger /// /// /// //, .r, m ',/ „r "' //,

C

'^f^z^Deckgl. n = 1,5U V» /// ///p '< / / / / / / /'/

///

,// /// / / / / / \

Abb. 1,45. Strahlenverlauf durch das Deckglas eines mikroskopischen Präparates: a) Deckglas grenzt an Luft, numerische Apertur = 1; 6) Deckglas grenzt an Wasser, numerische Apertur = 1,33; c) Deckglas grenzt an öl gleicher Brechzahl, numerische Apertur = 1,515

die gleiche Brechzahl wie das Deckglas hat, der Winkel sogar 90° wird (Abb. 1,45 c). Dies hat zur Folge, daß viel mehr Licht in das Objektiv gelangt, also die Helligkeit des Bildes erheblich gesteigert wird. (Über die weitergehende Bedeutung dieser sog. „Immersion" s. Nr. 1,12). In den in Abb. I, 45 dargestellten drei Fällen sind die numerischen Aperturen der äußersten noch austretenden Strahlen der Reihe nach 1,515 sin 41,5° = 1,00;

1,515 sin 61,5° = 1,33 und 1,515 sin 90° = 1,515,

d. h. gleich den absoluten Brechzahlen der auf das Deckglas gebrachten Stoffe.

38

Geometrische Optik

[ Den quantitativen Unterschied zwischen totaler und partieller Reflexion zeigen folgende Versuche: In ein Becherglas gießt man etwas Wasser (n = 1,33) und schichtet darüber Benzol (n = 1,496), in ein zweites Becherglas bringt man Schwefelkohlenstoff (n = 1,618) und darüber Wasser (Abb. I, 46). Blickt man schräg von oben auf die Trennungsfläche der beiden Flüssigkeiten, so sieht man im ersten Falle (Abb. 1,46 a) infolge der totalen Reflexion eine in lebhaftem Silberglanz erscheinende Fläche, während im zweiten Falle (Abb. I, 46b) die Grenzfläche

a

b

Abb. I, 46. Demonstration von totaler (a) und partieller (6) Reflexion

zwischen Schwefelkohlenstoff und Wasser nur einen matten Glanz zeigt, da die Strahlen an ihr nur partiell gespiegelt werden. — Stellt man ein zum Teil mit Quecksilber gefülltes Reagenzgläschen schräg in ein mit Wasser gefülltes Becherglas (Abb. I, 47) und blickt von oben darauf, so sieht man bei richtiger Neigung des Reagenzglases das von einer weißen Kartonpapierfläche K in das Glas fallende Licht an der Luft im Reagenzglas total-reflektiert. Diese Reflexion ist vollständiger als die an Quecksilber; man erkennt das deutlich daran, daß der mit Q u e c k s i l b e r gefüllte Teil des Reagenzglases grau im Vergleich zu dem oberen totalreflektierenden Teil erscheint. Gießt man Wasser in das Reagenzglas, so verschwindet der Silberglanz, soweit das Wasser steigt.

Wasser

X

—_

Abb. 1,47. Eine durch Totalreflexion an der Grenze Wasser — Luft gespiegelte weiße Fläche K erscheint heller als bei Spiegelung an reinem Quecksilber

Quecksilber

Auch die Tatsache, daß Luftblasen im Wasser wie silberglänzende Perlen erscheinen, ist eine Folge der Totalreflexion. Fällt dagegen Licht auf die Grenzfläche zweier Medien mit gleichen Brechzahlen, so findet weder Brechung noch Reflexion

Die Brechung des Lichtes; Totalreflexion

39

statt; das Licht geht vielmehr ungebrochen hindurch. Man kann daher einen (blasenfreien) Glasstab, den man in eine Flüssigkeit von gleicher Brechzahl, z. B. Zedernholzöl (oder besser in eine Lösung von Chloralhydrat in etwas Glyzerin) taucht, überhaupt nicht mehr sehen. — Besonders effektvoll läßt sich nach J . D. C o l l a d o n (1841) die Totalreflexion des Lichtes zeigen, wenn man (Abb. I, 48) in die Achse eines ausfließenden Wasserstrahles ein intensives Lichtbündel einstrahlt. Das Licht kann dann aus dem Wasserstrahl nicht mehr austreten, da es infolge wiederholter totaler Reflexion gezwungen wird, innerhalb des Strahles diesem zu folgen. Der Wasserstrahl würde also vollkommen dunkel sein, wenn nicht die

Oberfläche kleine Störungen und Kräuselungen aufwiese, durch die das Licht austreten kann, und so den Strahl in seiner ganzen Länge leuchtend macht; dies ist besonders der Fall, wenn der Strahl sich in Tropfen aufgelöst hat (Fontaines lumineuses). — Ersetzt man den Wasserstrahl durch einen gebogenen Glasstab, so kann man durch diesen Licht von einer Lichtquelle nach einem anderen Punkt, z. B. unter das Präparat in einem Mikroskop, auch über mehrere Krümmungen hinwegleiten. — Dieses Prinzip wird heute in der sog. Fiber- oder Faser-Optik sehr vollkommen durchgeführt, indem Licht durch ein etwa 2—5 cm dickes Bündel von sehr vielen dünnen Glas- oder Kunststoffasern geleitet wird. Ein solcher „ L i c h t l e i t e r " ist biegsam und gestattet die Fortleitung von Licht wie Wasser in einen Schlauch. Das Licht tritt an einem Ende in die Fasern ein und kann erst am anderen Ende wieder herauskommen, da es unterwegs infolge der Totalreflexion die einzelne Faser nicht verlassen kann. Voraussetzung für eine vollkommene Totalreflexion sind glatte, saubere Wände der Fasern, die von einem Medium geringerer Brechzahl umgeben sind (z. B. Luft). Die Berührungsstellen der Fasern gegeneinander heben zwar die Totalreflexion auf. Sofern aber kein Bild übertragen werden soll, stören diese Berührungsstellen nur wenig. Anderenfalls werden die Glasfasern mit einer dünnen KunststoffSchicht umgeben. Der

Geometrische Optik

40

Durchmesser der einzelnen Fasern beträgt etwa 1 ¡j,m.. Selbstverständlich darf die Glas- oder Runststoffaser wegen des langen Weges das Licht nicht merklich absorbieren (verschlucken). Daß schließlich auch eine Totalreflexion des Lichtes an der Grenze zwischen zwei Gasschichten verschiedener Dichte stattfindet, kann man in der Weise zeigen, daß man ein schmales Lichtbündel schräg von unten gegen die Öffnung eines flachen, innen geschwärzten Kastens richtet. Heizt man nun die Luft in dem Kasten (z. B. elektrisch) auf, so wird das Lichtbündel an der Grenze zwischen heißer und kalter Luft total reflektiert. In der Natur tritt Totalreflexion des Lichtes häufig an den über stark erhitztem Boden lagernden Luftmassen ein. Uber Vorgänge der Luftspiegelung in der Atmosphäre siehe Nr. 1,15. Beim schrägen Durchgang durch eine planparallele Glasplatte erleidet ein Lichtbündel eine zweifache Brechung (Abb. I, 49a). Beim Eintritt in das Glas wird es zum Einfallslot hin, beim Austritt aus der Platte vom Einfallslot weg gebrochen. Im Glas läuft das Lichtbündel ebenso wie in der Luft geradlinig. Da schon aus Symmetriegründen der Einfallswinkel gleich dem Austrittswinkel ist, e r f ä h r t das L i c h t b ü n d e l beim D u r c h g a n g d u r c h eine p l a n p a r a l l e l e P l a t t e

a

a

b

Abb. 1,49. Parallelverschiebung eines Lichtstrahls durch eine planparallele Platte; a) Versuch; 6) Strahlenkonstruktion

k e i n e R i c h t u n g s ä n d e r u n g , s o n d e r n n u r e i n e P a r a l l e l v e r s c h i e b u n g A, die um so größer ist, je größer die Plattendicke d, die Brechzahl n und der Einfallswinkel ol ist. Aus Abb. I, 49 b findet man sin (a

ß) —

also (I. 12)

A

d sin (a — ß) cos ß

Führt man mittels des Brechungsgesetzes (I, 6) die Brechzahl n des Glases gegen Luft ein, so ist:

Die Brechung des Lichtes; Totalreflexion

41

Damit folgt für die Parallelverschiebung A : (1,13)

A — d sin oc \

—gg8-? ) yrfi — sin2 tx j

Wie gesagt, wächst A mit d, a und n; A wird Null für d = 0 oder a = 0 oder w = l , was auch ohne Formel einleuchtend ist. Die Parallelverschiebung eines Lichtstrahles durch eine planparallele Platte wird in dem von H. v. H e l m h o l t z (1856) angegebenen Ophthalmometer zur optischen Messung der Abstände zweier Punkte an einem Objekt benutzt, an das man mit den gewöhnlichen Längenmeßmethoden nicht herankommen kann, z.B. Durchmesser der Augenpupille. Das Ophthalmometer besteht aus zwei dicht übereinander angebrachten gleich dicken Glasplatten Gx und G2, von denen jede die Hälfte eines Fernrohrobjektivs F bedeckt (Abb. I, 50). Beide Platten lassen sich um eine

gemeinsame Achse gleichzeitig um gleiche Winkel gegeneinander verdrehen. Dadurch werden die beiden Objektmarken P und P' gleichmäßig um gleiche Beträge nach rechts und links verschoben, so daß man 4 Punkte P x und P{ sowie P 2 und P2 sieht. Verdreht man die Platten soweit, daß die mittleren Punkte P 2 und P{ zusammenfallen, so ist die gesuchte Entfernung a von P und P ' unter Benutzung von Gl. (I, 13): sin 2 = y)' = r od Aus diesen letzten Gleichungen kann man ein sehr merkwürdiges Verhalten sehr dicker bikonvexer Linsen von kugel- bzw. stabförmiger Gestalt (Abb. I, 89) ablesen. Für eine Linse von Kugelform, d. h. d = 2r, rückt der Brennpunkt bis auf y> = ip' = r/2 an die Linsenfläche heran (Abb. I, 89a). Wird d = 3r, so wird yi = yi' = 0, d. h. die Brennpunkte liegen in den

Abb. I, 89. Lage der Brenn- und Hauptpunkte bei bikonvexen Linsen von kugel- bzw. stabförmiger Gestalt

Abbildung durch Linsen

85

Scheitelpunkten (Abb. I, 89 b). Mit weiter zunehmender Dicke rücken die Brennpunkte sogar in das Linseninnere hinein (Abb. I, 89 c), um schließlich bei d = 6r, ebenso wie die beiden Hauptpunkte, nach beiden Seiten ins Unendliche zu wandern (Abb. I, 89 d). In diesem Fall stellt die stabförmige Linse ein t e l e s k o p i s c h e s S y s t e m dar (vgl. 10 S. weiter). Vergrößert man die Linsendicke noch weiter (d > 6r), so rücken die Brenn- und Hauptpunkte von den entgegengesetzten Seiten wieder auf die Scheitelpunkte der Linse zu. In den Fällen der Abb. I, 89 a bis c liegt — im Sinne der Lichtbewegung — F vor H und H' vor F ' : Die Stab linse wirkt also als k o l l e k t i v e s S y s t e m mit positiven Brennweiten / (und /'). Dagegen ist im Falle der Abb. I, 89e die Lage der genannten Punkte umgekehrt: die Brennweiten / (und /') sind negativ, das System ist jetzt d i s p a n s i v . Den Übergang bildet der teleskopische Fall der Abb. I, 89 d. Ausdrücklich sei bemerkt, daß diese Bezeichnung nichts mit der Frage zu tun hat, ob die Linse reelle oder virtuelle Bilder erzeugt. Die Stablinse Abb. I, 89e kann reelle, aufrechte Bilder erzeugen, obwohl das System dispansiv genannt wird. Man vergleiche auch die graph. Darstellung in Abb. I, 90, aus der hervorgeht, daß der teleskopische Fall die Grenze zwischen positiven und negativen Brennweiten darstellt.

Abb. I, 90. Diagramm zur graphischen Ermittlung der Brennweite / (Abstand des Brennpunktes von dem Hauptpunkt), der Größe y> (Abstand des Brennpunktes vom Scheitelpunkt) und des gegenseitigen Abstandes HH' der beiden Hauptpunkte bei bikonvexen Linsen von kugel- bzw. stabförmiger Gestalt

2. B i k o n k a v l i n s e m i t g l e i c h e n K r ü m m u n g s r a d i e n (Abb. I, 88d): Hier ist rx = — r; r 2 = r. Dann folgt aus Gl. (I, 40b) bzw. (I, 41b):

/ = /' =

..."

(» — l ) [ 2 r » + d(n— 1)] '

Da der Nenner immer positiv ist, bleiben die B r e n n w e i t e n s t e t s n e g a t i v (daher die Bezeichnung negative Linse). Für die Brechkraft folgt aus (1,45):

Geometrische Optik

86

Aus Gl. (1,43b) bzw. ( I , 4 4 b ) ergibt sich: nr2 + r(n— l)d (n — l)[2m + d(n — l)]

ip = y> =

und h =

h

=

2m + < i ( » - l ) '

D i e H a u p t p u n k t e l i e g e n a l s o s t e t s i n n e r h a l b der L i n s e in g l e i c h e n A b s t ä n d e n von den L i n s e n s c h e i t e l n . Für n = 1,5 ergeben sich die Ausdrücke: , ,, — 6 r2 —r * ~ I ~ r,r + d ~~ 1 + d[%r und D

=

6r + d 6 r2

1 + d/6r r

Ist d/6r klein gegen 1, so kann man dafür schreiben: / = /' = — r ( l —

— (r — dl 6)

=

und D =

— • r — d/6

Ferner ist: ip = ip' —

6r2 + 2rd -— : —— 6r + d

, und

,

,,

h = h

=

2dr

6r + d '

bzw. für d klein gegen 6 r: ip = %p' = —

-L d j

und

h = h' = -i- d .

3. P l a n k o n v e x l i n s e (Abb. I, 88b). Bei dieser ist entweder ry = r, r2 = oo, oder r 2 = — r und rl = oo. Im e r s t e n Fall dividieren wir in Gl. (I, 40b) oder (I, 41b) Zähler und Nenner durch r 2 . Dies liefert:

/ = /' =

(n-\)

(l ~^]n

+

d

(n—l)

und ergibt:

/ = /' = und

Zu derselben Gleichung gelangt man aber auch im z w e i t e n Fall. Die B r e n n w e i t e n der P l a n k o n v e x l i n s e sind a l s o s t e t s p o s i t i v , und zwar u n a b h ä n g i g von der D i c k e der L i n s e . Diese wirkt immer als Sammellinse.

87

Abbildung durch Linsen

In derselben Weise erhalten wir aus (I,43b) oder (I,44b) für r 1 = rundr 2 = oo:

und

V

r

=

'

V

,

nr — (n — 1) d (n — 1 fn

=

h = 0;

h' = — . n

D e r H a u p t p u n k t H f ä l l t also m i t dem S c h e i t e l p u n k t S x der K u g e l f l ä c h e 1 z u s a m m e n , w ä h r e n d H' ins L i n s e n i n n e r e f ä l l t . Für rt = oo und r2 = —- r sind die Werte von ip und y>' bzw. von h und h' gerade vertauscht. Für w = 1,5 erhalten wir: / = /' = 2 r ;

D =

f = 2r; h =

± ;

=

—yj;

0;

4. P l a n k o n k a v l i n s e (Abb. I, 88e). Bei dieser ist auch eine Fläche eben, die andere aber konkav. Es ist also entweder r1 = — r, r 2 = oo oder aber r1 = oo, r2 — r. Dies ergibt in beiden Fällen:

/' = /'' = — T ; n—1

D =

r

I n f o l g e der n e g a t i v e n B r e n n w e i t e w i r k t die L i n s e s t e t s z e r s t r e u e n d . Für r1 = — r, r2 — oo erhalten wir ferner: r

y = — h = 0;

V

,

— nr — (n — 1) ti ( ^ " l yn '

=

h' =

d

n

,

während für r2 = r, r1 = oo die Werte von ip und y/ sich ebenso wie die von h und h' vertauschen. Mit m = 1,5 ergibt sich: / =

/

'

=

_ 2 r ;

y> = — 2r ; h = 0;

D = = h' =

- _ 2 ( r + y ) ; .

5. K o n k a v k o n v e x l i n s e (Abb. I, 88c). Bei dieser Linse, die auch p o s i t i v e r M e n i s k u s genannt wird, sind je nach der Stellung der Linse zum einfallenden Licht r1 und r2 positiv und \ r2\ > | r x | (wie in Abb. I, 88 c) oder und r2 beide negativ und | rx \ > | r2 \. In beiden Fällen bleibt r2 — r1 stets positiv; aus den allgemeinen Gl. (I, 40b) und (I, 41b), in denen der Nenner in unserem Fall stets

88

Geometrische Optik

positiv ist, folgt, d a ß a u c h f — f s t e t s p o s i t i v i s t . D i e K o n k a v k o n v e x l i n s e w i r k t a l s o s t e t s a l s S a m m e l l i n s e . Auch die Brechkraft ist natürlich immer positiv. Für y>, ip', h, h' gelten die allgemeinen Formeln (I, 43 b) und (I, 44 b) mit der Maßgabe, daß r 2 — ri in ihnen positiv zu nehmen ist. D e r H a u p t p u n k t , d e r z u r s t ä r k e r g e k r ü m m t e n F l ä c h e g e h ö r t (z. B. H für u < r2) l i e g t , wie man aus dem Vorzeichen erkennt, s t e t s a u ß e r h a l b d e r L i n s e . Bei abnehmender Differenz der Krümmungen rückt er immer weiter heraus, so daß auch der zweite Hauptpunkt auf der gleichen Seite der Linse heraustreten kann, wie dies z. B. in Abb. I, 88c der Fall ist. Für den Sonderfall n = 1,5 ergibt sich: / — f'

6r r

iz • ->i) + d 6V2 + 2 rxd 3 ( r , --rj +d 2r d — h = TTT— Tx . ; 3(»-s — rj) + d ' =

n

=

V h' =

— r

i> + d . 12 Gr1r2 — 2rid 3 — rj) + d 3 (r2 — ri) + d-

6. K o n v e x k o n k a v l i n s e (Abb. I, 88f). Bei diesem n e g a t i v e n M e n i s k u s sind wieder je nach Stellung der Linse zum einfallenden Licht rx und r2 beide negativ und | r1 | < | r 2 [ (wie in Abb. I, 88 c) oder r1 und r2 beide positiv und I ri I > I r 2 I • I*1 beiden Fällen ist aber jetzt r2—• r1 n e g a t i v . Aus der allgemeinen Gl. (I, 40b) oder (I, 41b)

/ = /' =

(n — l)[(r2 — rjn + d (n — 1)]

folgt, daß / = /' sowohl negative als auch positive Werte annehmen kann. Die Brennweite ist negativ, wenn (r2 — rx) n + d (n — 1) < 0 d. h. d < — —^ oder d


—

—

r

i \ > s 0 w e r d e n / u n d /' p o s i t i v , u n d d e r

Meniskus wirkt als Sammellinse. Den Ubergang zwischen den beiden Möglichkeiten bildet der t e l e s k o p i s c h e F a l l , der eintritt, wenn d = -

n

{r1 — r2). Dann sind

/ = /' = Ä = A'=Y> = Y / = oo. Einen besonderen Fall stellt schließlich eine „ L i n s e m i t N u l l k r ü m m u n g " dar, bei der beide Flächen den gleichen Krümmungsradius r haben, so daß r2 — rl = 0 wird. Dann haben wir:

Abbildung durch Linsen nr2 f— f — I / In l\2,i '> (n—lfd

V

A =

_ ( n — l)2d — rar2

T i

nr2 + r(n — 1) gegen die Achse einfallendes Parallelstrahlbündel gezeichnet. Ohne die Okularlinse L 2 würden sich die drei gezeichneten Strahlen in dem Bildpunkt B schneiden, der in der hinteren Brennebene von L j und damit gleichzeitig auch in der vorderen Brennebene von L 2 liegt. Bei Vorhandensein der Okularlinse werden die nach B zielenden Strahlen so abgelenkt, daß sie von einem im Unendlichen liegenden Bildpunkt herzukommen scheinen, wobei sie die optische

144

Geometrische Optik

Achse unter dem Winkel ip schneiden. Für die subjektive Vergrößerung (absolut genommen) des Fernrohres erhalten wir also: , , I I

=

BF\ F202

tany = t a n tp

. BF, ' F2Ö~

0X F202

=

=

[/21

. '

da / 2 hier negativ ist, ist v selbst auch negativ, und das Galileische Fernrohr liefert aufrechte Bilder, in Übereinstimmung mit unsern Festsetzungen. B e i m h o l l ä n d i s c h e n o d e r G a l i l e i s c h e n F e r n r o h r i st a l s o die V e r g r ö ß e r u n g s zahlgleich dem Q u o t i e n t e n aus den beiden B r e n n w e i t e n von O b j e k t i v und Okular.

a

b

Abb. I , 148. Verlauf eines Strahlenbündels durch ein G a l i l e i s c h e s Fernrohr a) Einfall parallel zur Achse; 6) Einfall geneigt zur Achse In Abb. I, 148 ist der Strahlengang durch ein G a l i l e i s c h e s F e r n r o h r f ü r die beiden Fälle photographiert, daß das Strahlenbündel einmal parallel zur Achse u n d zum andern u n t e r dem Winkel cp gegen die Achse geneigt einfällt. Aus diesen A u f n a h m e n k a n n m a n auf dreierlei Weise die Vergrößerungszahl festellen. Erstens ist | v \ = fj\ / 2 1, zweitens ist | v \ =

und t a n (p drittens gilt | v | = Djd, wenn D u n d d die Durchmesser des einfallenden u n d austretenden Lichtbündels bedeuten. Die A u f n a h m e I, 148a liefert z. B. 1 - 1 = ^

M =

= 2.1:

T

= 2

'

0 7

-

Wir fragen weiter nach der S t r a h l e n b e g r e n z u n g im holländischen Fernrohr. W e n n wir zunächst von dem betrachtenden Auge absehen, bildet die Öffnung CD der Objektivlinse die Aperturblende u n d gleichzeitig die Eintrittspupille. Das von letzterer durch die Okularlinse entworfene virtuelle Bild C'D' bildet die Austrittspupille. I h r R a d i u s h a t die Größe ,_ r

=

r yTTTT ~

r M"'

Das Auge und einige optische Instrumente

145

(r der Radius der Objektivlinse). Diese Gleichung ergibt sich folgendermaßen: Nach Abb. I, 147 ist der Abstand des „Objektes" r von der abbildenden Linse L 2 , d. h. die Gegenstandsweite g — h — | / 2 1, bzw., wenn wir, wie immer, nicht mit den Absolutbeträgen, sondern mit den algebraischen Größen selbst rechnen, g = + / 2 . Ist b (ebenfalls als algebraische Größe betrachtet) die Bildweite, d. h. der Abstand r' des „Bildes" von L 2 , so haben wir zunächst die gewöhnliche Abbildungsgleichung: h + h

b

/,

Dazu kommt die Aussage, daß Bildgröße r' zu Objektgröße r sich verhält wie b zu 9 = fi + /.. d- h. 6

—r = fi + h ' Eliminiert man aus beiden Gleichungen das unbekannte 6, so folgt sofort die zu beweisende Gleichung. Da die Austrittspupille zwischen Objektiv und Okular liegt, kann die Augenpupille (AA in Abb. I, 147) nicht mit ihr in eine Ebene gebracht werden. Wenn daher, wie in Abb. I, 147, die Augenpupille größer ist als die Austrittspupille, so wirkt die Augenpupille als Gesichtsfeldblende. Dies ist bei gegebenem Objektivdurchmesser immer der Fall für starke Vergrößerungen ( f 1 > | / 2 1); das Gesichtsfeld des Fernrohrs ist in diesem Fall ein sehr beschränktes. Ist dagegen durch entsprechende Wahl der Brennweiten die Fernrohrvergrößerung klein, so wird die Austrittspupille C'D' des Fernrohrs größer als die Augenpupille (Abb. 1,149), so daß letztere als Austrittspupille für den ganzen Strahlengang (Instrument + Auge) wirkt. In diesem Fall wird das bildseitige Gesichtsfeld durch das Bild C'D' der Objektivöffnung begrenzt. C'D' ist also die Austrittsluke, und die Objektivöffnung ist die Gesichtsfeldblende des Fernrohrs. Man kann also in diesem Fall das Gesichtsfeld des Fernrohrs durch Wahl eines Objektivs mit großem Durchmesser vergrößern.

Zwischen diesen beiden extremen Möglichkeiten bildet den Übergang der Fall, daß die Austrittspupille C'D' g e r a d e g l e i c h der Augenpupille wird. Die diesen Fall erzeugende Vergrößerung heißt nach H e l m h o l t z „ N o r m a l v e r g r ö ß e r u n g " . Wegen der Gleichung r' = r/v folgt nun eine Beziehung zwischen der Größe des Objektivradius r und dem der Augenpupille, den wir q nennen wollen. Im ersten Fall (Abb. I, 147) ist offenbar: r' < q, d. h. r < q \ v | (starke Vergrößerung), 10

Experimentalphysik I I I

Geometrische Optik

146 im zweiten Fall (Abb. I, 149) ist:

/ > g, d. h. r > g | v | (schwache Vergrößerung) , und im Grenzfall ist: r' = g, d. h. r = g | v | (Normalvergrößerung). Nehmen wir beispielsweise q = 2 mm und eine Vergrößerung | v \ = fj\ /21 = 4 an, ao muß der Radius des Objektivs r = 2 • 4 mm = 8 mm sein, damit die gegebene Vergrößerung 4 die Normalvergrößerung wird; denn dann ist gerade r' = rj\ v | = 8 mm/4 = 2 mm = g. Würde man r = 16 mm wählen, so läge der Fall vor, daß / = 16 mm/4 = 4 mm, d. h. r' > Q ist. Die Vergrößerung 4 ist dann kleiner als die Normalvergrößerung. Umgekehrt, wenn man r = 4 mm wählt, dann ist r' = rj\ v | = 4 mm/4 = 1 mm, d. h. / < g; \ v \ = 4 ist größer als die Normalvergrößerung. — Betont sei noch, daß das Gesichtsfeld des Galileischen Fernrohrs niemals scharf begrenzt ist, da die Gesichtsfeldblende (bzw. ihr Bild) im Endlichen, also nicht am Bildort liegt. Über die Rolle der Normalvergrößerung für die Helligkeit der Bilder siehe Nr. I, 13. Für den Fall, daß das Objektiv die Gesichtsfeldblende darstellt, findet man die Größe des Gesichtsfeldwinkels an Hand der Abb. I, 150. Der in das Fernrohr einfallende Strahl 8 falle gerade unter dem Gesichtsfeldwinkel y am Rande des Objektivs ein. Er muß dann im Bildraum unter dem konjugierten Winkel w durch die Mitte der dicht hinter dem Okular befindlichen Augenpupille A hindurchgehen. Dann ist: tan w =

h-\h\

und im Hinblick auf die Gültigkeit der Beziehung v = (1,56)

' tan w

tan y

folgt weiter:

=

2W(/,—\L\) ist das Verhätnis P u ^ c ^ m e 3 s e r O b j e k t i v s ^ ^ die sog. r e l a t i v e ö f f U1 1 2 1 6 Länge des Fernrohrs nung, und da das Gesichtsfeld natürlich dem Quadrat des Gesichtsfeldwinkels proportional ist, folgt aus (1,56), daß es u m g e k e h r t p r o p o r t i o n a l dem Q u a d r a t der V e r g r ö ß e rung und d i r e k t p r o p o r t i o n a l dem Q u a d r a t der r e l a t i v e n O b j e k t i v ö f f n u n g ist.

I n der P r a x i s besteht die Objektivlinse des Galileischen Fernrohrs zur Vermeidung der sphärischen und chromatischen (s. N r . I I , 4) Aberration aus einer verkitteten Doppellinse. Das Okular ist dagegen meistens eine einfache Zerstreuungslinse. Zur B e t r a c h t u n g irdischer, also in endlicher Entfernung liegender

Das Auge und einige optische Instrumente

147

Gegenstände muß die Entfernung zwischen Objektiv und Okular zwecks Scharfeinstellung des Bildes etwas vergrößert werden. Zwei im Augenabstand parallel zueinander angeordnete Galilei-Fernrohre bilden das sog. Opern - oder T h e a t e r glas. Das astronomische oder Keplersche Fernrohr. (J. K e p l e r , 1611.) Bei diesem besteht das Objektiv aus einer langbrennweitigen, das Okular aus einer kurzbrennweitigen Sammellinse, die in dem Abstand der Summe ihrer Brennweiten angeordnet sind (Abb. 1,151). Damit ist wieder ein teleskopischer Strahlengang

hergestellt. Das Objektiv erzeugt von einem fernen Gegenstand in seiner Brennebene ein umgekehrtes, reelles, stark verkleinertes Bild; dieses wird durch das als Lupe wirkende Okular betrachtet. Infolgedessen sieht das Auge vom Gegenstand ein umgekehrtes, vergrößertes, virtuelles Bild. Dabei muß das Auge „auf Unendlich" akkomodieren, da das durch das Okular betrachtete Bild in seiner Brennebene liegt, so daß die aus dem Okular austretenden Strahlen parallel verlaufen. Um die subjektive Vergrößerung dieses Fernrohrs zu berechnen, verfolgen wir in Abb. 1,151 den durch die Objektivmitte O t unter dem Winkel

schneidet. Für die (subjektive) Vergrößerung gilt daher wieder: tanw v = -—r. tan g' ist oder daß die Vergrößerung des Instrumentes die Normalvergrößerung überschreitet. Dann ist die Augenpupille, im Gegensatz zum eben behandelten Fall und zum Sehen ohne QA

Instrument, n i c h t ausgefüllt, und so wird die Helligkeit im Verhältnis — - verkleinert :

-¿r- = ( — ) , d. h. H < H0 für g' < gA (oder für v > vn). "o \ 6A ' I s t die N o r m a l v e r g r ö ß e r u n g vB ü b e r s c h r i t t e n , so ist die m i t I n s t r u m e n t b e o b a c h t e t e H e l l i g k e i t H s t e t s k l e i n e r als die n a t ü r l i c h e H e l l i g k e i t H0. Führen wir den Radius g der Eintrittspupille ein, so kann man schreiben:

z-m-ti

Darin ist nun

gleich der Vergrößerung v des Fernrohrs; also folgt:

(I, 60a)

- H - = ( — t H0 \eAW Hätte das Fernrohr gerade die Vergrößerung vn, so wäre o' = qa , und es folgt dann aus (I, 60) oder (I, 60a) H = H0. Dann kann man aus (I, 60a) den Radius g der Eintrittspupille, d. h. des Objektivs, bestimmen, der gerade ausreicht, um H = H0 zu machen: 6 = ^A^n • Hätte man z. B . eine Normalvergrößerung va = 50, so müßte das Objektiv den Radius q = 50 gA cm besitzen, um volle Helligkeit zu liefern. Nimmt man den Radius der Augenpupille überschlagsweise zu 0,2 cm an, so gäbe das ein Objektiv von 10 cm Radius; das liefert dann die volle Helligkeit H = H0. Würden wir aber die Vergrößerung über die Normalvergrößerung steigern, etwa v = 2va = 100 wählen, so wäre q/q' = 100, also g' = 0,1 cm, während der Augenpupillenradius 0,2 cm ist. Also würde die Helligkeit H nach (I, 60) sein: H n*

/ q' \2

/ 0,1 \2

1 4'

, ,

„

1 „ 4 0

164

Geometrische Optik

Da die Normalvergrößerung vn =

QA

ist, weil für sie o' = qa wird, kann man für

Dn < v die für das Fernrohr gültige Gleichung (I, 60a) in die Form bringen: (I, 6 0 b )

=

Daraus ersieht man unmittelbar die Richtigkeit des folgenden Satzes: J e m e h r die N o r m a l v e r g r ö ß e r u n g des F e r n r o h r s ü b e r s c h r i t t e n w i r d , u m so weniger hell wird das von ihm erzeugte Bild. Kein optisches Instrument kann also die Leuchtdichte (Flächenhelligkeit) L eines Objektes vergrößern. Dies gilt nicht nur für die Leuchtdichten von Objekt und Bild, sondern auch für andere dazwischen liegende Flächen, z. B. die Linsenfläche S in Abb. I, 163. Dabei muß beachtet werden, daß diese Flächen keine Selbstleuchter sind, also nicht nach allen Richtungen ausstrahlen, sondern nur in denjenigen Winkelbereich, der sich aus den Abbildungsgesetzen der geometrischen Optik ergibt, wobei wir wieder paraxiale Abbildung voraussetzen wollen. Von zliS'j geht der Lichtstrom 01 = nL1AS1 sin 2 «! aus, der auf S auftrifft. Von der Fläche S wird dann der Lichtstrom 0S = nLaS sin2«; ausgesandt. Nun ist auf Grund der Geometrie der Abbildung s i n 2 w / s i n 2 ä : tan 2 w/tan 2 « 1 = ASJS. Also ist 0a = TILSAS1

sin 2 U 1 =

0X.

Da aus energetischen Gründen

0S

=

01

sein muß, so

folgt Ls = Lx, d. h. die Linsenfläche (und auch jede andere vom Strahlenbündel durchsetzte Fläche) strahlt zwar mit gleicher Leuchtdichte, aber die Öffnungswinkel der von ihren Punkten bzw. Flächenelementen ausgehenden Strahlenbündel sind so geändert, daß die Gesamtlichtströme gleich bleiben. Statt der eigentlichen Leuchtfläche kann man daher die Fläche S als „äquivalente Leuchtfläche" ansehen. Auch das Bild AS2 ist eine äquivalente Leuchtfläche, wenn es etwa als Zwischenbild in einem weiter nach rechts verlaufenden geometrisch-optischen Strahlengang auftritt und nicht als bestrahlte, diffus reflektierende Fläche, für die die Beleuchtungsstärke dann die Rolle der Leuchtdichte spielt. Tatsächlich ist ein optisches Instrument imstande, die Beleuchtungsstärke, d. h. den empfangenen L i c h t s t r o m p r o F l ä c h e zu v e r g r ö ß e r n . Wenn wir uns an die Verhältnisse der Abb. I, 163 anschließen, so wird dort von einer Fläche Zl^ mit der Leuchtdichte L (den Index können wir jetzt als überflüssig fortlassen) ein Lichtstrom in einen Kegel vom halben Öffnungswinkel gestrahlt und nach Passieren des Instruments in einem Kegel vom halben Öffnungswinkel u2 auf AS2, dem Bild von ASV konzentriert. Da die Leuchtdichte von ASl und AS2 die gleiche ist, wie vorhin bewiesen, lautet mit dieser Vereinfachung die Gleichung für 0 : 0 = TTLAS1

sin 2 »!

= TCLAS2

sin 2 w 2 .

Man kann nun diese Formel sowohl von links nach rechts {ASX strahlendes, AS2 empfangendes Flächenelement) als auch von rechts nach links {AS2 strahlendes, empfangendes Element) lesen. Im ersteren Fall erzeugt der Lichtstrom 0 auf AS2 die Beleuchtungsstärke E2 = —=

ZliS2

JIL sin 2 « 2 , im zweiten Fall auf A81

dagegen die Beleuchtungsstärke EI = JIL sin 2 u y . Die Beleuchtungsstärke kann

Helligkeit und Kontrast bei den optischen Instrumenten

165

also durch ein optisches Instrument vermehrt werden, dazu ist nur erforderlich, daß das Bild A8 2 von A v e r k l e i n e r t ist. Denn der gleiche Lichtstrom wird dann durch die Abbildung auf einer kleineren Fläche konzentriert. Man kann daher die Funktion der optischen Instrumente auch so ausdrücken: Die optischen Instrumente vermögen die Beleuchtungsstärke E zu vergrößern, während die Leuchtdichte L unverändert bleibt. Ein einfaches Beispiel mag dies noch näher erläutern: Durch eine Linse vom Radius B und einer Brennweite / wollen wir ein Sonnenbild entwerfen. Wenn das Sonnenbildchen den Radius g, also die Fläche ng2 hat, muß das Produkt aus Linsenfläche und der Beleuchtungsstärke E1 derselben gleich dem Produkt aus Fläche des Sonnenbildes und dessen Beleuchtungsstärke E2 sein. Denn beide Produkte stellen den Lichtstrom