Lehrbuch der Experimentalphysik: Band 3 Optik [7. Aufl. Reprint 2019] 9783111710617, 9783110074574

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Bergmann-Schaefer Lehrbuch der Experimentalphysik Band III Optik

Bergmann-Schaefer Lehrbuch der Experimentalphysik Band III Optik Herausgegeben von Heinrich Gobrecht Autoren Hans-Joachim Eichler, Heinrich Gobrecht, Dietrich Hahn, Heinz Niedrig, Manfred Richter, Heinz Schoenebeck, "Horst Weber, Kurt Weber Siebente Auflage

w DE

G Walter de Gruyter • Berlin • New York 1978

D a s Buch enthält 667 Abbildungen u n d eine Ausschlagtafel.

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der Deutschen

Bibliothek

Bergmann, Ludwig Lehrbuch der Experimentalphysik / Bergmann-Schaefer. — Berlin, New York : de Gruyter. N E : Schaefer, Clemens:; Bergmann-Schaefer, . . . Bd. 3. Optik / hrsg. von Heinrich Gobrecht. Autoren H a n s J o a c h i m Eichler . . . — 7. Aufl. — 1978. I S B N 3-11-007457-5 N E : Eichler, H a n s Joachim [Bearb.]

© Copyright 1978 b y Walter de Gruyter & Co., vormals G. J . Göschen'sche Verlagshandlung, J . Guttentag, Verlagsbuchhandlung, Georg Reimer, Karl J . Trübner, Veit & Comp., Berlin 30. Alle Rechte, insbesondere das Recht der Vervielfältigung u n d Verbreitung sowie der Übersetzung, vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf in irgendeiner Form (durch Photokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren) ohne schriftliche Genehmigung des Verlages reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden. Printed in Germany. Einbandentwurf: Wernitz & Wernitz, Berlin. S a t z : Walter de Gruyter, Berlin. D r u c k : Mercedes-Druck, Berlin. Bindung: Lüderitz & Bauer Buchgewerbe G m b H , Berlin.

Vorwort zur 7. Auflage Nur wenige J a h r e nach Erscheinen der sechsten Auflage mußte diese neue Auflage vorbereitet werden. Eine sorgfältige Durchsicht war den Autoren deshalb angenehm, weil die Gelegenheit bestand, Verbesserungen vorzunehmen und den neuesten Stand wissenschaftlicher Kenntnis zu berücksichtigen. So wurde z. B. der Abschnitt über die nicht lineare Optik wesentlich erweitert. Anregungen aus dem Kreis der Leser, Fachkollegen und Studenten wurden gern aufgenommen u n d verwendet. Besonderer Dank für R a t und Hilfe gilt Prof. Dr.-Ing. Joachim Hertel und Dr. rer. nat. Dieter Wobig, beide an der Technische Universität Berlin. Berlin-Schlachtensee, im November 1977

H. Gobrecht

Vorwort zur 6. Auflage Der Fortschritt der wissenschaftlichen Erkenntnis und der technischen Anwendungen macht bei Neuauflagen eines Physik-Lehrbuches naturgemäß Veränderungen notwendig. Diese können so zahlreich und tiefgehend sein, daß ein einzelner Autor nicht mehr in der Lage ist, das ganze Gebiet allein zu bearbeiten. Deshalb wurde in diesem Band der Weg beschritten, das Gebiet der Optik auf mehrere Autoren zu verteilen. Wenn dabei die Auffassungen nicht einheitlich sein können und die Darstellungen verschiedenartig ausfallen, so wird dieser Nachteil dadurch ausgeglichen, daß jeder Autor sein Kapitel gründlicher und sorgfältiger bearbeiten konnte. Außerdem bestand nun die Möglichkeit, auch solche Autoren zu gewinnen, die auf dem Gebiet des bearbeiteten Kapitels selbst forschend tätig sind. Die Grundlagen der Optik haben sich im letzten J a h r z e h n t kaum geändert, wohl aber sind neue Erkenntnisse und sehr bedeutende technische Fortschritte dazu gekommen. Der Laser als kohärente Lichtquelle und damit auch die Holographie haben die Optik sehr bereichert und werden ausführlich behandelt. Die Quantenoptik mit interessanten Experimenten und die Elektronenoptik mit den großartigen Leistungen der Elektronenmikroskopie werden in neuer Form dargestellt. Die technischen Anwendungen der Riesenimpulslaser, der F o u r i e r Spektroskopie, der Lichtleiter (sogar im Ultraviolett!), der flüssigen Kristalle, der Polaroid-Kamera und vieler anderer, neuer Entwicklungen erfordern in einem Lehrbuch ihre grundsätzliche Behandlung. Man k a n n verschiedener Meinung darüber sein, ob die Farben und ihre meßbare Erfassung in ein Physik-Lehrbuch gehören oder nicht. Diskussionen darüber führten schließlich zu der Auffassung, daß jeder an der Physik Interessierte einmal das Problem und die Möglichkeiten der Farbmessung kennenlernen sollte. Die Relativitätstheorie wurde auch neu bearbeitet und im Optik-Band belassen, da sie in diesen besser hineinpaßt als in einen der anderen Bände des Lehrbuchs. Seit der ersten Auflage im J a h r e 1955 hat dieser Optik-Band stets eine positive Aufnahme gefunden. Das hat sicher daran gelegen, daß sowohl L u d w i g B e r g m a n n als auch C l e m e n s S c h a e f e r wegen ihres stark ausgeprägten pädagogischen Interesses sehr bemüht waren, ein leicht verständliches Lehrbuch für Anfänger zu schaffen, das zugleich dem fortgeschrittenen Leser viel bietet. F r a n k M a t o s s i , der die vierte Auflage besorgte, verfolgte dieses Ziel weiter. Infolge seines Todes mußte die f ü n f t e Auflage als unveränderter Nachdruck erscheinen. Die sechste Auflage liegt nun in der stark veränderten Form vor. U m dem Anfänger das Lesen zu erleichtern, beginnt auch jetzt jedes Kapitel einfach u n d leicht verständlich; später wird er auf eine gewisse Höhe mitgezogen. Der Fortgeschrittene andererseits wird die leichten Abschnitte nur kurz überfliegen.

VIII

Vorwort

Es wurden weitgehend die internationalen Einheiten (SI) und auch die international empfohlenen Buchstabensymbole verwendet. I n Ausnahmefällen mußte dieses Ziel aufgegeben werden, wenn der Buchstabe schon vergeben ist. Ein Beispiel möge dies zeigen: Die allgemein gebräuchliche Verwendung des Buchstabens n für die Besetzungsdichte bei den Laserniveaus hat zur Folge, daß im gleichen Text für die Brechzahl nicht auch der sonst übliche Buchstabe n, sondern ausnahmsweise der griechische Buchstabe r/ verwendet wird. Physikalische Größen sind kursiv, Vektoren fett gesetzt. Bei Indizes und Exponenten wurde hiervon abgesehen, weil die Kleinheit der Buchstaben nicht mehr erkennen läßt, ob der Buchstabe schräg steht oder nicht. Auch in Zeichnungen wurde davon abgesehen, weil bei allein stehenden Buchstaben ebenfalls diese Schwierigkeit besteht. In wichtigen Fällen steht hier bei Vektoren ein Pfeil über dem Buchstaben. Die Literaturzusammenstellung am Ende des Buches soll den interessierten Leser zu ergänzendem Studium und zur Vertiefung anreizen. In den angegebenen Veröffentlichungen finden sich jeweils weitere Literatur hinweise. Das deutsch-englische und englisch-deutsche Wörterverzeichnis schließlich enthält solche Fachwörter, die in diesem Band vorkommen und in einem gewöhnlichen Wörterbuch nicht zu finden sind. Herrn Prof. Dr. H . Slevogt danke ich für wertvolle Ratschläge und den Herren Prof. Dipl.-Ing. Wilrich H o f f m a n n und Dipl.-Phys. Dieter Wobig für ihre Mitarbeit. Berlin-Schlachtensee, im Juli 1973

Heinrich Gobrecht

Inhaltsübersicht I. Kapitel. Strahlenoptik

Prof. Dr.-Ing. Heinrich Gobrecht, Technische Universität Berlin 1.1. 1.2. I, 3. I, 4. I, 5. I, 6. I, I, I, I, I, I, I, I, I,

7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

Vorbemerkungen und Grundbegriffe . Die geradlinige Ausbreitung des Lichtes ¡-Schatten; Lochkamera • Die Reflexion des Lichtes; ebene Spiegel Gekrümmte Spiegel; Konkav- und Konvexspiegel Die Brechung des Lichtes; Totalreflexion Brechung des Lichtes beim Durchgang durch Prismen; Spektrometer und Refraktometer ' Brechung des Lichtes an einer Kugelfläche Brechung und Abbildung durch ein zentriertes System brechender Kugelflächen Abbildung durch Linsen Die Abbildungsfehler der Linsen Die Strahlenbegrenzung; Wirkung der Blenden Das Auge und einige optische Instrumente Helligkeit und Kontrast bei den optischen Instrumenten Der Fermatsche Satz; das Eikonal; der Satz von Malus Optik der Atmosphäre

1 3 7 14 28 44 57 71 81 102 117 123 159 168 173

II. Kapitel. Dispersion und Absorption des Lichtes

Prof. Dr.-Ing. Heinrich Gobrecht, Technische Universität Berlin I I , 1. I I , 2. I I , 3. 11,4. I I , 5. I I , 6. I I , 7. I I , 8. II, 9. I I , 10.

Messung der Lichtgeschwindigkeit Phasengeschwindigkeit, Gruppengeschwindigkeit, Frontgeschwindigkeit . . . . Die Dispersion des Lichtes: Normale Dispersion Achromatische und geradsichtige Prismen; chromatische Bildfehler Infrarote (ultrarote) und ultraviolette Strahlung Absorption der Strahlung Die Dispersion des Lichtes: Anomale Dispersion Dispersion und Absorption schwach absorbierender Substanzen; Anwendungen Dispersion und Absorption der Metalle Spektralanalyse; Emissions- und Absorptionsspektren; Dopplereffekt; Spektralapparate

185 194 199 209 215 236 242 249 265 275

III. Kapitel. Interferenz und B e u g u n g

Prof. Dr.-Ing. Hans-Joachim Eichler, Technische Universität Berlin I I I , 1. I I I , 2. I I I , 3. I I I , 4. 111,5.

Allgemeines über Interferenz von Lichtwellen; Kohärenz und Inkohärenz . . 297 Fresnelscher Spiegelversuch und Varianten 307 Interferenzerscheinungen an dünnen Schichten. Farben dünner Blättchen; Kurven gleicher Dicke und gleicher Neigung 313 Zweistrahlinterferometer 327 Vielstrahlinterferenz; Interferenzspektroskopie 331

X

Inhaltsübersicht

I I I , 6. I I I , 7. I I I , 8. I I I , 9. III', 10. I I I , 11. I I I , 12. I I I , 13. I I I , 14.

Stehende Lichtwellen; Farbenphotographie nach L i p p m a n n Lichtschwebungen Grunderscheinungen der Beugung; Beugung a m Spalt, an rechteckiger u n d kreisförmiger Öffnung Das Auflösungsvermögen optischer I n s t r u m e n t e (Fernrohr, Auge, Mikroskop, Prisma) Beugung durch mehrere kongruente, regelmäßig angeordnete Öffnungen; Youngijcher Interferenzversuch; Beugungsgitter; Stufengitter; Ultraschallwellengitter Beugung a n zwei- u n d dreidimensionalen Gittern; Röntgenstrahlbeugung . . . Bildentstehung im Mikroskop nach E . Abbe; Phasenkontrastverfahren nach Zernike; Schlierenverfahren Beugung an vielen unregelmäßig angeordneten Öffnungen oder Teilchen; Theorie des Himmelsblaus Holographie '

345 349 352 365 371 387 401 417 424

IV. Kapitel. Polarisation und Doppelbrechung des Lichtes Prof. Dr. rer. n a t . K u r t Weber, Technische Universität Berlin IV, IV, IV, IV, IV, IV, IV,

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

IV, IV, IV, IV, IV, IV, IV,

8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

Polarisation des Lichtes durch Reflexion u n d gewöhnliche Brechung . . . . . Theorie der Reflexion, Brechung und Polarisation; Fresnelsche Formeln . . . Totalreflexion, Herstellung von elliptisch u n d zirkulär polarisiertem Licht . . Polarisation des reflektierten Lichtes bei absorbierenden Medien; Metallreflexion Doppelbrechung u n d Polarisation an optisch einachsigen Kristallen Optisch zweiachsige Kristalle Polarisatoren: Nicoisches Prisma, Glan-Thompson-Prisma, Turmalinplatte, Polarisationsfilter; Wollastonprisma; Polarisationsphotometer Drehung der Schwingungsebene polarisierten Lichtes (optische Aktivität) . . . Optisches Verhalten u n d Symmetrie der Kristalle Interferenzen an Kristallplatten im parallelen, polarisierten Strahlengang . . . Interferenzen im konvergenten Licht Kristalline Flüssigkeiten Induzierte Doppelbrechung in isotropen Stoffen Zeeman- u n d Starkeffekt

441 452 461 474 482 506 511 518 530 538 550 556 567 573

V. Kapitel. Strahlung und Photometrie Prof. Dr.-Ing. Dietrich H a h n , Physikalisch-Technische Bundesanstalt, Braunschweig V, V, V, V, V, V, V, V, V, V,

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

V, 11. V, 12. V, 13.

Grundbegriffe u n d Arten der Strahlung Grundgrößen u n d Definitionen Das K i r c h h o f f s c h e Gesetz Der schwarze Körper Das S t e f a n - B o l t z m a n n s c h e Gesetz Das W i e n s c h e Verschiebungsgesetz Die Strahlungsgesetze von R a y l e i g h - J e a n s , W . W i e n u n d M. P l a n c k . . Strahlung nicht-schwarzer K ö r p e r Strahlungscharakteristische Temperaturangaben, Pyrometrie Der spektrale Hellempfindlichkeitsgrad des Auges u n d die photometrischen Grundbegriffe Realisierung der Lichteinheit, Normallichtquellen Photometrische Meßmethoden u n d Meßgeräte Ausblicke auf die Lichttechnik

585 586 592 595 600 602 605 611 614 618 623 626 632

Inhaltsübersicht

XI

VI. Kapitel. Farbmetrik

Prof. Dr.-Ing. Manfred Richter, Bundesanstalt für Materialprüfung, Berlin VI, VI, VI, VI, VI, VI, VI, VI, VI, VI, VI, VI, VI, VI, VI, VI,

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

Wesen der Farbe Technik der additiven Farbmischung Gesetzmäßigkeiten der additiven Farbmischung Wirkungsweise des Auges Weiterer Ausbau der Farbvalenzmetrik Die Spektralwerte Virtuelle Farbvalenzen, Normvalenz-System Farbreiz und Farbvalenz Körperfarben Bedingt-gleiche Farben Sogenannte subtraktive Farbmischung Optimalfarben Komplementäre und kompensative Farben Helmholtz-Maßzahlen Verfahren der Farbmessung Anschauliche Farbkennzeichnung; höhere Farbmetrik

641 643 647 654 658 663 667 672 674 676 677 679 682 685 686 690

VII. Kapitel. Quantenoptik

Prof. Dr.-Ing. Horst Weber, Universität Kaiserslautern VII, VII, VII, VII, VII, VII, VII, VII, VII, VII, VII,

1. Der lichtelektrische Effekt 2. Einsteins korpuskulare Theorie des Lichts und deren Prüfung 3. Der lichtelektrische Effekt bei hohen Lichtintensitäten 4. Anwendungen des lichtelektrischen Effekts 5. Die korpuskularen Eigenschaften des Photons 6. Die Bedeutung der Quantenelektrodynamik 7. Die quantenhafte Absorption und Emission von Licht 8. Streuung von Photonen 9. Statistische Eigenschaften der Photonen 10. Erzeugung von kohärentem Licht — LASER 11. Nichtlineare Optik

700 706 713 719 728 735 744 762 796 816 843

VIII. Kapitel. Wellencharakter der Materie

Prof. Dr.-Ing. Heinz Niedrig, Technische Universität Berlin VIII, VIII, VIII, VIII, VIII, VIII,

1. Materiewellen 2. Elektronenbeugung 3. Beugung anderer Materieteilchen 4. Elektronenoptik 5. Elektronenmikroskopie 6. Die Unschärfe-Relation bei Materiewellen

865 870 881 883 899 910

IX. Kapitel. Relativitätstheorie

Prof. Dr.-Ing. Heinz Schoenebeek, Technische Universität Berlin I X , 1. I X , 2. I X , 3.

Das Relativitätsprinzip der Mechanik Versagen des Relativitätsprinzips der Mechanik in der Elektrodynamik . . . . Versuche zum Mitführungskoeffizienten

915 917 920

XII IX, IX, IX, IX, IX,

Inhaltsübersicht 4. 5. 6. 7. 8.

Der Versuch von Michelson Die Einsteinsche Lösung des Problems Das Additionstheorem der Geschwindigkeiten; der Mitführungskoeffizient. . . Dopplersches Prinzip und Aberration Die Invarianz der Gleichungen der Elektrodynamik und der Mechanik gegenüber der Lorentz-Transformation I X , 9. Rotationsbewegung I X , 10. Energie und Masse I X , 11. Überblick über den Gedankenkreis der allgemeinen Relativitätstheorie . . . .

Literatur zur Ergänzung und Vertiefung Deutsch-englisches Fachwörterverzeichnis Englisch-deutsches Fachwörterverzeichnis Sach- und Namenregister Konstanten Energieeinheiten Strahlungsphysikalische und lichttechnische Größen und Einheiten

923 928 934 937 942 948 950 954

967 975 985 997 1011 1011 1011

I. KAPITEL

Strahlenoptik ( H e i n r i c h G o b r e c h t , Berlin)

1,1. Vorbemerkungen und Grundbegriffe In der „geometrischen Optik" oder „Strahlenoptik" wird die geradlinige Ausbreitung des Lichtes in eng begrenzten Lichtbündeln behandelt. Für den Anfang ist diese Art der Betrachtung nützlich. So versteht man die Wirkungsweise von Spiegeln und Linsen am leichtesten, auch dann, wenn diese zu optischen Geräten zusammengesetzt sind (Photoapparat, Fernrohr, Mikroskop usw.). Später wird man freilich erkennen, daß die optische Abbildung nicht vollständig durch die Ausbreitung geometrischer „Strahlen" beschrieben werden kann. Man findet durch einfache Versuche leicht, daß sich ein eng begrenztes Lichtbündel in einem homogenen Medium, z. B. in Luft einheitlicher Temperatur, geradlinig wie ein „Strahl" ausbreitet. Oft- sieht man solche „Lichtstrahlen", wenn die Sonne durch die Lücken der Blätter eines dunklen Waldes scheint und auf Nebel trifft, ferner auch, wenn ein Sonnenstrahl in ein mit Staub oder Tabakrauch erfülltes Zimmer gelangt. Durch einfache Überlegung kommt man sofort zu dem Schluß, daß man den Sonnenstrahl selbst nicht sehen kann, und daß man den Weg des Strahls nur deshalb beobachtet, weil das Licht die kleinen, schwebenden Teilchen (Staub, Wassertröpfchen) beleuchtet, die sich dann besonders gut vor einem dunklen Hintergrund abheben. Daß das Licht eine elektromagnetische Welle ist, interessiert bei der Betrachtungsweise der Strahlenoptik kaum. Nur die Wellenlänge ist öfter von Belang, weil in Materie die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichtes von der Wellenlänge abhängt. Dadurch entsteht beim Ubergang des Lichtstrahls von einem Medium in ein anderes mit einer unterschiedlichen Lichtgeschwindigkeit, also auch mit einer unterschiedlichen Wellenlänge, ein Knick, eine „Brechung" des Strahls, sofern der Einfall in die Grenzebene nicht senkrecht erfolgt. Auch ist der minimale Durchmesser einer Blende von der Wellenlänge abhängig : Der Durchmesser der daa Lichtbündel begrenzenden Blende muß wesentlich größer sein (etwa 1000 mal) als die Licht weilenlänge, wenn die geradlinige Ausbreitung des Strahls nicht durch Beugung an der Blende gestört sein soll. Diese Bedingung gilt nicht nur für Lichtwellen: Die auf den Flugplätzen sich drehenden Parabolspiegel bündeln die „Radarstrahlen". Deren Wellenlänge ist

2

Strahlenoptik

etwa 10 4 mal größer als die Lichtwellenlänge. Es ist deshalb nicht möglich, kleine Spiegeldurchmesser wie beim Licht zu verwenden. Unter Optik verstand man früher die Lehre vom sichtbaren Licht ausschließlich. Als dann gefunden wurde, daß außerhalb des sichtbaren Spektrums das infrarote und das ultraviolette Licht existiert, bezog man dieses unsichtbare Licht ohne Bedenken in die Optik mit ein. Analog spricht man vom „Röntgenlicht" und der „Röntgenoptik" sowie von den „optischen Eigenschaften" der elektromagnetischen Zentimeter- und Millimeter wellen. Die Optik ist also nicht auf das sichtbare Licht beschränkt, wenngleich dieses zusammen mit dem benachbarten infraroten und ultravioletten Licht überwiegend die Optik beherrscht. Der Gesamtbereich der elektromagnetischen Wellen erstreckt sich lückenlos von den energieärmsten, langen Wellen, die leicht mit elektrischen Schwingungskreisen hergestellt und von Antennen abgestrahlt werden können, bis zu den energiereichsten, ultraharten Röntgenstrahlen und den Gammastrahlen der Atomkerne. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit im Vakuum ist bei allen gleich: Lichtgeschwindigkeit im Vakuum c » 3 • 108 m/s. Das Spektrum des sichtbaren Lichtes umfaßt nur eine Oktave. Sie liegt bei etwa 0,4 fim (violett) bis 0,7 ^ m (rot), entsprechend einer Frequenz von 8 • 1 0 u bis 4 • 1 0 u Hz. Der Farbeindruck, den das Licht im Auge hervorruft, wird ausschließlich von der Frequenz des Lichtes bestimmt, das vom Auge wahrgenommen wird. Wenn in der Strahlenoptik das unterschiedliche Verhalten des roten und des violetten Lichtes beschrieben wird, z. B. bei der Brechung, so ist mit dieser etwas laxen Ausdrucksweise nicht der Farbeindruck im Auge, sondern das Frequenzgebiet gemeint. Es ist eben einfacher und kürzer zu sagen: „rotes Licht" statt „sichtbares Licht kleiner Frequenz, das im Auge den Eindruck rot hervorruft". Um einen eng begrenzten Lichtstrahl zu erzeugen, soll möglichst schon der Anfang des Strahls, also die Lichtquelle, punktförmig sein. Eine solche Lichtquelle, die punktförmig ist und dauernd gleichmäßig leuchtet, gibt es nicht. Man behüft sich jedoch so: Entweder wählt man den Abstand der Lichtquelle groß, und sie erscheint dann unter einem sehr kleinen Winkel: Ein Stern von sehr großer Ausdehnung ist wegen des sehr großen Abstandes eine punktförmige, besser punktartige Lichtquelle. Oder man beleuchtet eine feine, runde oder spaltförmige Blende von hinten mit einer Lichtquelle. Das kleine Loch oder der enge Spalt ersetzt dann die punktförmige bzw. lineare Lichtquelle. Als Lichtquelle muß nicht unbedingt ein „Selbstleuchter" verwendet werden. Man kann z. B . eine Metallkugel von der Sonne oder von einer hellen Lampe beleuchten und hat so eine ganz gute (punktartige) Lichtquelle. Oder man beleuchtet eine diffus reflektierende Fläche, die dann als Lichtquelle dient und einen Spalt oder eine Blende beleuchtet. Der Mond und die Planeten sind ja bekanntlich ebenfalls keine Selbstleuchter, und das Tageslicht im Zimmer ist bei bedecktem Himmel an Wolken und Wänden diffus reflektiertes Sonnenlicht. In der Strahlenoptik ist das Vorzeichen des Richtungspfeils des Lichtstrahls nur selten von Bedeutung, weil der Weg zweier Lichtstrahlen entgegengesetzter

Die geradlinige Ausbreitung des Lichtes; Schatten; Lochkamera

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Richtung fast immer gleich ist (Satz von der Umkehrbarkeit des Lichtweges). Die Strahlenrichtung steht i. allg. senkrecht auf der Wellenfläche. Lichtstrahlen beliebiger Herkunft können sich durchkreuzen, ohne sich zu stören. Jeder Strahl verläuft jedenfalls im Vakuum so, als ob die anderen nicht da wären.

1,2. Die geradlinige Ausbreitung des Lichtes; Schatten; Lochkamera Wenn eine ideal punktförmige Lichtquelle vorhanden ist und wenn die Ausbreitung von Strahlen wirklich geradlinig ist, dann müssen Gegenstände, die von den Strahlen getroffen werden, scharf begrenzte Schattenbilder liefern. Dies ist auch bei erster, einfacher Betrachtung wirklich der Fall, besonders, wenn das Schattenbild nicht allzuweit vom Gegenstand entfernt ist. Bei sehr genauer Beobachtung, z. B. mit einer Lupe oder mit einem Mikroskop (und bei großem Abstand des Schattenbildes vom Gegenstand), sieht man jedoch kein scharf begrenztes Schattenbild. Der Rand des Schattenbildes besteht aus hellen und dunklen Streifen. Man nennt diese Erscheinung Beugung. Sie tritt immer dann auf, wenn Wellen auf Hinderniskanten treffen. Die Beugung ist daher auch ein Beweis für die Wellennatur des Lichtes. In der Strahlenoptik wird von der Erscheinung der Beugung abgesehen. Einiges über Schatten. Bringt man vor einen leuchtenden Lichtpunkt L in einiger Entfernung einen undurchsichtigen Körper K (Abb. 1,1), z. B. eine Kugel, I IV

Abb. I, 1. Schattenbildung hinter einer Kugel bei punktförmiger Lichtquelle o) Strahlenverlauf b) Bild des Schattens

so bildet sich hinter der Kugel ein S c h a t t e n r a u m S aus, der von den die Kugel tangierenden Strahlen begrenzt wird und der die Gestalt eines sich erweiternden Kegels hat. Bringt man hinter den schattenwerfenden Körper eine weiße Wand W, so sieht man auf dieser den Schatten des Körpers. Der Schatten läßt die Umrisse des schattenwerfenden Körpers erkennen und ist von einer gleichmäßig erhellten Fläche umgeben. Im Fall der schattenwerfenden Kugel hat der Schatten, da wegen der geradlinigen Ausbreitung des Lichtes eine Zentralprojektion vorliegt, die Gestalt eines Kegelschnitts: Steht die Wand senkrecht zur Kegelachse, so

Strahlenoptik

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liefert die Kugel einen kreisförmigen Schatten (Abb. 1,1). — Wird der Körper, z. B. eine Kugel K, von zwei punktförmigen Lichtquellen beleuchtet (Abb. I, 2a) so entstehen hinter dem Körper drei verschiedene Schattenräume. Der Raum Hj wird nur von L 1( der Raum H 2 nur von L 2 beleuchtet, während der Raum S überhaupt kein Licht bekommt. Die nur teilweise beleuchteten Räume H j und H 2 liegen im H a l b s c h a t t e n , während der Raum S den K e r n s c h a t t e n bildet. Auf einem in den Schattenraum gebrachten weißen Schirm W erhält man das Bild von Abb. 1,2 b, aus dem man deutlich die verschiedenen Schattenräume

a

b

Abb. I, 2. Schattenbildung hinter einer Kugel bei zwei punktförmigen Lichtquellen a) Strahlenverlauf b) Bild des Schattens

erkennt. —• Wird schließlich der schatten werfende Körper von einer flächenhaften Lichtquelle F beleuchtet (Abb. I, 3a), so muß man für jeden Punkt der Lichtquelle den Schattenkegel entwerfen und ihre gemeinsame Wirkung hinter dem Körper durch Summierung feststellen. Es zeigt sich dann, daß sich hinter dem Körper ein Kernschatten S ausbildet, der keinerlei Licht erhält. Dieser Kernschatten ist von einem Halbschatten H umgeben, der nach außen allmählich in den vollerleuchteten Raum und nach innen allmählich in den Kernschatten übergeht (Abb. I, 3b). In diesem Halbschatten findet also ein stetiger Übergang von voller Helligkeit zu voller Dunkelheit statt. Der Kernschatten ist daher nur dicht hinter dem Körper scharf begrenzt und bekommt, je weiter man sich von dem schattenwerfenden Körper entfernt, eine immer unschärfere Begrenzung.

F

a

b

Abb. I, 3. Schattenbildung hinter einer Kugel bei flächenhafter Lichtquelle a) Strahlenverlauf b) Bild des Schattens

Die geradlinige Ausbreitung des Lichtes; Schatten; Lochkamera

5

Ist, wie in Abb. I, 3a, der Querschnitt des schattenwerfenden Körpers kleiner als der der Lichtquelle, so entsteht in großer Entfernung hinter dem Körper kein Kernschatten mehr, sondern nur noch Halbschatten. Im Sonnenlicht ist der Kernschatten einer Kugel etwa 108 mal so lang wie der Kugeldurchmesser. Dies folgt aus der Beziehung Schattenlänge Kugeldurchmesser

Sonnenentfernung Sonnendurchmesser

150-10° km 1,392-10® km

^g

Die Abb. I, 3a gibt zugleich die Verhältnisse wieder, die sich bei einer Sonnenoder Mondfinsternis abspielen. Stellt F die Leuchtfläche der Sonne und K die Erde dar, so entsteht eine Mondfinsternis, wenn der Mond in den Kernschatten hinter der Erde eintritt, und zwar ist die Finsternis total oder partiell, je nachdem, ob die ganze Mondfläche oder nur ein Teil im Schattenraum verdunkelt wird. Ist dagegen K der Mond, so entsteht eine Sonnenfinsternis auf der Erde, wenn diese in den Schattenraum hinter dem Mond gelangt. Da der Durchmesser der Erde (12740 km) fast viermal größer als der des Mondes (3340 km) ist, entsteht für diejenigen Orte der Erde, die vom Kernschatten getroffen werden, eine totale Sonnenfinsternis, während für alle die Orte, die im Halbschatten liegen, nur eine partielle Finsternis eintritt, d. h. es bleibt für sie noch ein mehr oder minder großer sichelförmiger Teil der Sonnenscheibe sichtbar. Ist schließlich der Mond zur Zeit der Sonnenfinsternis soweit von der Erde entfernt, daß die Spitze des Kernschattens diese nicht mehr trifft, so entsteht eine ringförmige Sonnenfinsternis. Schattenbilder haben eine sehr bedeutungsvolle Anwendung bei Röntgenstrahlen gefunden, da es für diese keine Linsen gibt. In der Medizin und in der Technik sind fast alle Röntgenaufnahmen Schattenbilder der Gegenstände, deren Umrisse man kennen möchte. Voraussetzung für scharfe Bilder sind auch hier punktförmige Lichtquellen, d. h. der Entstehungsort der Röntgenstrahlen soll einen möglichst kleinen Durchmesser haben. Da die Röntgenstrahlen durch Aufprall schneller Elektronen auf die Anode der Vakuumröhre entstehen, müssen die Elektronen zu einem möglichst kleinen Brennpunkt (Fokus) gebündelt werden. Dies geschieht durch elektrische oder magnetische Felder. Die Lochkamera wurde schon 1321 von L e v i B e n G e r s o n erwähnt (Abb. I, 4). Eine Abbildung damit ist nur wegen der geradlinigen Ausbreitung des Lichtes möglich. Die Schärfe des Bildes sollte um so größer sein, je kleiner die Öffnung O

Abb. I. 4. Entstehung eines Bildes in der Lochkamera

6

Strahlenoptik

ist. Dies ist auch wirklich der Fall, sofern die Öffnung 0 nicht zu klein ist, so daß Beugung auftritt. Die Größe des Bildes hängt von dem Abstand Bild—Loch ab. Da die Fläche des Bildes-mit dem Quadrat des Abstandes Bild—Loch steigt, sinkt damit auch die Helligkeit des Bildes mit dem Quadrat des Abstandes Bild—Loch. Andererseits ist die Helligkeit des Bildes proportional der Fläche der Öffnung, durch die das Licht kommt, also proportional dem Quadrat des Lochdurchmessers. Bildet man analog zum photographischen Objektiv den Quotienten Lochdurchmesser/Abstand Loch—Bild, so erhält man wie beim photographischen Objektiv ein relatives Maß für die Bildhelligkeit und damit auch für die Belichtungszeit. Beim Objektiv nennt man den Quotienten: Blendendurchmesser/Brennweite die relative Öffnung oder das Öffnungsverhältnis. Beim photographischen Objektiv steht dieser Quotient (als Kehrwert die „Blende") auf dem Rand eingraviert: 1 : 2,8; 1 : 3,5; 1 : 4,5 usw. Beträgt nun bei einer Löchkamera der Durchmesser der Öffnung 1 mm, und der Abstand Loch—Bild 100 mm, so würde dies einer Blende von 100 entsprechen. Ist z. B. die Belichtungszeit bei der Aufnahme einer Landschaft mit einem Photoapparat 1 / 100 Sekunde bei Blende 8, so folgt daraus für die oben angegebene Lochkamera eine 156fache Belichtungszeit, also 1,5 Sekunden. Der Lochdurchmesser darf wegen der Beugung nicht zu klein gemacht werden. Als „Faustformel" kann man sich merken, daß das Beugungsscheibchen einen Durchmesser hat, der gleich der Blendenzahl in fim ist. Bei der angegebenen Lochkamera ist also der Durchmesser des Beugungsscheibchens etwa 0,1 mm. Bezeichnet G die Größe des Gegenstandes, B die des Bildes und bedeuten g und b die Abstände von Gegenstand und Bild von der Lochebene (Abb. 1,4), so besteht die Beziehung: B\G =

b:g.

Das Verhältnis B/G heißt Abbildungsmaßstab. Solange die Öffnung O klein ist gegenüber der Struktur des Gegenstandes, spielt ihre Form (ob rund oder eckig) keine Rolle. Hierfür bietet sich in der Natur ein schönes Beispiel in den runden Sonnenbildchen, die man häufig auf dem schattigen Waldboden unter einem Laubbaum beobachtet. Sie entstehen dadurch, daß die vielen unregelmäßig gestalteten Lücken zwischen den Blättern des Baumes wie kleine Öffnungen wirken und auf dem Boden kleine Bilder der Sonnenscheibe erzeugen. Bei einer partiellen Sonnenfinsternis dagegen erhält man sichelförmige Bilder der Sonne. Technische Anwendung findet die Lochkamera dort, wo eine Abbildung durch Linsen nicht möglich ist. Dies ist z. B. dann der Fall, wenn eine Röntgenlichtquelle abgebildet werden soll. Hierbei ist von großem Interesse, ob diese kreisrund, rechteckig oder elliptisch ist und welche Größe sie hat. Die Lochkamera gibt ein gutes Beispiel für die Unabhängigkeit der sich in der Öffnung 0 durchkreuzenden Strahlenbüschel. Die von verschiedenen Stellen des Gegenstandes ausgehenden Wellen können sich in der engen Öffnung durchkreuzen, ohne sieb zu stören.

Die Reflexion des Lichtes; ebene Spiegel

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1,3. Die Reflexion des Lichtes; ebene Spiegel Aus der Erfahrung des täglichen Lebens weiß ein jeder, daß die Reflexion des Lichtes an der Oberfläche eines festen Körpers verschiedenartig sein kann: Ein ebener Metallspiegel reflektiert einen Lichtstrahl anders als eine weiß gekalkte Wand. Beim Spiegel erfährt das auffallende Licht eine Richtungsänderung; an der weißen Wand wird das Licht diffus in alle Richtungen reflektiert. Die weiße Wand sendet das Licht wie ein SeJbstleuchter aus. Von allen Richtungen aus betrachtet erscheint die bestrahlte Fläche gleich hell, ganz im Gegensatz zum beleuchteten Spiegel oder zur spiegelnden Wasseroberfläche. Zwischen den beiden Extremen, der reinen Spiegelung und der vollkommen diffusen Reflexion, gibt es alle Ubergänge (Abb. I, 5). Die diffuse Reflexion wird auch Remission genannt.

a a) diffus;

b

//V/V/y/W^W/W/W/

c

Abb. I, 5. Reflexion des Lichtes b) Spiegelung; c) diffus mit Anteil von Spiegelung

Sie läßt sich für alle Wellenlängen des sichtbaren Spektrums gut verwirklichen an Schichten von CaS0 4 (Gips) oder B a S 0 4 . Eine Fläche aus diesen Stoffen, mit weißem Licht bestrahlt, sieht daher auch vollkommen weiß aus. Die Ursache für eine mehr oder weniger diffuse Reflexion ist das S t r e u v e r m ö g e n der Oberfläche. J e größer die Wellenlänge, desto kleiner wird das Streu vermögen. Das heißt, daß mit zunehmender Wellenlänge eine Oberfläche immer mehr spiegelnd wird. Dies gilt nicht nur für Lichtwellen. Das Echo von Schallwellen ist auch eine Spiegelung. Ein Waldrand oder eine Häuserwand ist für Wellen von einigen Metern Länge ein guter Spiegel. In den Alpen kann man beobachten, daß hohe Felswände die Radiowellen spiegeln und den Empfang von sehr entfernten UKW-Sendern (Wellenlänge einige Meter) in den Tälern ermöglichen. In der Optik ist die Spiegelung, also die spiegelnde Reflexion, von besonders großem Interesse. Untersucht man die Zuordnung von einfallendem Strahl, reflektiertem Strahl und Lage der Spiegelfläche, die man durch die Normale, also die Senkrechte auf der Spiegelfläche kennzeichnet, so kommt man durch einfache Versuche schnell zu dem wichtigen Reflexionsgesetz: Einfallender und reflektierter Strahl bilden mit der Senkrechten gleiche Winkel; einfallender Strahl, Senkrechte und reflektierter Strahl liegen in einer Ebene. Zum Nachweis dieses Gesetzes kann die in Abb. I, 6 skizzierte Anordnung dienen. I m Mittelpunkt einer größeren Scheibe mit Winkeleinteilung ist ein kleiner ebener Spiegel S drehbar angebracht. Der Spiegel trägt senkrecht zu seiner Fläche einen Zeiger. Man läßt ein schmales Lichtbündel derart auf den Spiegel fallen, daß es die große Scheibe streift. So kann man im Dunkeln den Lichtweg als helle

8

Strahlenoptik

Linie auf der Scheibe sehen. Man kann gleichzeitig folgendes erkennen: Wird der Spiegel um einen bestimmten Winkel gedreht, so ändert sich die Richtung des reflektierten Strahls um den doppelten Winkel; denn es ändern sich sowohl der Einfalls- als auch der Reflexionswinkel um den Betrag, um den der Spiegel gedreht wird. Hiervon macht man Gebrauch bei der Messung kleiner Drehwinkel.

L Abb. I, 6. Nachweis des Reflexionsgesetzes

Die Entstehung von Bildern am ebenen Spiegel. In Abb. 1,7 befindet sich eine punktförmige Lichtquelle L in der Entfernung a vor einem ebenen Spiegel S. Wir zeichnen eine Anzahl Strahlen LPV LP2, ... von L nach dem Spiegel und konstruieren nach dem Reflexionsgesetz die reflektierten Strahlen. Verlängern wir diese rückwärts über den Spiegel hinaus, so schneiden sie sich in einem Punkt L' hinter dem Spiegel, der dieselbe Entfernung a vom Spiegel hat, wie die Lichtquelle L. In Abb. I, 7 ist z. B. A LOP1 = A L'OPv da nach dem Reflexionsgesetz q:D>

jg' GG'

1 6 1 g

=

=

_ J _ g - f

=

\b\-f f

Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke MBB' und MGG' erhält man ferner: l&l g

r + \b\ r—g

=

=

2/ + | 6 [ 2f — g

Aus dieser Gleichung folgt der Reihe nach 2f-\b\-\b\-g

=

2fg+\b\'g,

oder: und schließlich:

/ • I b | = fg + | b | • g

_

f ~

g

1_ 161 •

23

Gekrümmte Spiegel; Konkav- und Konvexapiegel

Setzt man hier statt — | b \ den (negativen) Wert b ein, so folgt wieder die alte Abbildungsgleichung (I, 1): wie es sein muß. An Hand der Figuren von Abb. I, 28 können wir zusammenfassend sagen: R ü c k t der G e g e n s t a n d aus der E n t f e r n u n g g = oo i m m e r n ä h e r an den H o h l s p i e g e l h e r a n , so r ü c k t sein r e e l l e s B i l d , von der S t e l l e b = f b e g i n n e n d , i m m e r w e i t e r vom S p i e g e l ab. D a b e i w ä c h s t der A b b i l d u n g s m a ß s t a b z u n ä c h s t v o n O b i s -f- 1, wenn der G e g e n s t a n d sich dem S p i e g e l von g = oo bis g = r = 2/ n ä h e r t , und d a n n w e i t e r bis + oo, wenn der G e g e n s t a n d bis in die B r e n n e b e n e (g = /) r ü c k t , wobei b = oo wird. S o b a l d der G e g e n s t a n d die B r e n n e b e n e ü b e r s c h r e i t e t , s p r i n g t das r e e l l e und b i s h e r r e l a t i v zum G e g e n s t a n d u m g e k e h r t e B i l d von + oo n a c h —• oo und wird v i r t u e l l und a u f r e c h t . B e i w e i t e r e r A n n ä h e rung des G e g e n s t a n d e s an den S p i e g e l n ä h e r t s i c h a u c h von der a n d e r n S e i t e das v i r t u e l l e B i l d dem S p i e g e l . D a b e i ä n d e r t sich der A b b i l d u n g s m a ß s t a b von — oo b i s — 1, wenn der G e g e n s t a n d bis u n m i t t e l b a r an den S p i e g e l h e r a n g e f ü h r t wird. Einen Überblick über die gegenseitige Lage von Gegenstand und Bild beim Hohlspiegel gibt die Tabelle. Experimentell lassen sich diese Verhältnisse einfach verfolgen, indem man als Gegenstand eine Glühlampe vor dem Hohlspiegel verschiebt und das Bild auf einer Mattscheibe auffängt. Ein Demonstrationsversuch ist in Abb. 1,29 wieder-

Abb. I, 29. Demonstrationsversuch zum Nachweis des von einem Hohlspiegel erzeugten reellen Bildes

Gegenstandsort

Bildort

Bildart

zwischen Unendlich und Spiegelmittelpunkt

zwischen Brennebene und Spiegelmittelpunkt

reell, umgekehrt, verkleinert; 0 ^ v ^ + 1

im Spiegelmittelpunkt

im Spiegelmittelpunkt

reell, umgekehrt, gleich groß; v = + 1

zwischen Spiegelmittelpunkt und Brennebene

zwischen Spiegelmittelpunkt reell, umgekehrt, vergrößert; und Unendlich 1 ^ V ^ oo

zwischen Brennebene und Scheitelpunkt

zwischen minus Unendlich und Scheitelpunkt

virtuell, aufrecht, vergrößert; — oo ^ v —• 1

24

Strahlenoptik

gegeben. Im Abstand der doppelten Brennweite befindet sich vor einem Hohlspiegel eine leere Blumenvase und unterhalb derselben ist verdeckt für den in den Spiegel blickenden Beobachter ein Blumenstrauß in umgekehrter Lage aufgehängt. Von diesem entwirft der Spiegel über der Vase ein reelles Bild in natürlicher Größe, so daß der Betrachter den Eindruck gewinnt, als ob sich der Blumenstrauß in der Vase befinde. Natürlich wird die Täuschung sofort bemerkt, wenn das Auge so weit verschoben wird, daß die Verbindungslinie Auge-Bild nicht mehr den Spiegel trifft. Bisher wurde die Abbildung eines Gegenstandes durch einen Hohlspiegel nur längs der Hauptachse mittels paraxialer Strahlenbüschel vorgenommen. Wir können aber von jedem Punkt des Gegenstandes durch den Krümmungsmittelpunkt M des Spiegels eine N e b e n a c h s e zeichnen, z. B. G^i, G2S2, G[S[, O^S'^ in Abb. I, 30, und längs jeder Nebenachse den betreffenden Gegenstandspunkt durch

ein zu dieser Achse paraxiales Strahlenbüschel abbilden. Wir erhalten dann eine Reihe von Bildpunkten B 1( B 2 , Bj, Bg, die, wie man erkennt, keineswegs auf einer Geraden senkrecht zur Hauptachse, sondern (angenähert) auf einem Kreisbogen liegen: Das Bild B2BB'Z des zur Hauptachse senkrechten geraden Gegenstandes G2OG2 ist g e k r ü m m t . Je weiter entfernt sich ein Gegenstandspunkt seitlich von der Hauptachse befindet, um so mehr rückt sein Bildpunkt vom Spiegel aus der Bildebene heraus, welche durch den Bildpunkt auf der Hauptachse bestimmt ist. Entwirft man daher das reelle Bild auf einer Mattscheibe, um es sichtbar zu machen, so wird stets nur der mittlere Teil des Bildes scharf abgebildet, während die seitlichen Teile verschwommen erscheinen. Statt eines seitlichen Bildp u n k t e s entsteht auf der Mattscheibe ein kleiner Z e r s t r e u u n g s k r e i s , da sich die Strahlen des abbildenden Büschels erst hinter der Mattscheibe in einem Punkt vereinigen. Hier zeigt sich im Gegensatz zu der sphärischen Aberration, die bei Abbildung eines punktförmigen Gegenstands mit weit geöffreten Bündeln auftritt, eine andere Art von „Abbildungsfehler", eine Bildwölbung bei Abbildung eines ebenen ausgedehnten Gegenstands mit paraxialen Strahlen (vgl. Nr. 1,7 u. 10). Außer der Verwendung in Beleuchtungsanlagen zur Erzeugung eines parallelen oder eines konvergenten Lichtbüschels (z. B. bei einem Mikroskopspiegel) hat der Hohlspiegel als abbildendes System eine wichtige Anwendung in den astronomischen Spiegelteleskopen gefunden. Durch eine sinnreiche Erfindung

Gekrümmte Spiegel; Konkav- und Konvexspiegel

25

von B. S c h m i d t an der Hamburger Sternwarte (1931) kann durch eine Platte (Schmidt-Platte) aus Glas, die im Abstand des Krümmungsradius' vor dem Spiegel sitzt, die sphärische Aberration des Spiegels selbst bei großem Öffnungswinkel korrigiert werden. Die Dicke dieser Platte variiert etwas mit dem Radius, und zwar so, daß die sphärische Aberration des Spiegels gerade kompensiert wird. Die Bildfläche bleibt allerdings gewölbt. Ein sphärischer Spiegel mit Korrekturplatte wird auch Schmidt-Spiegel genannt und wird bei astronomischen Fernrohren sehr viel verwendet. Siehe auch Nr. 1,12. — I n der Augenheilkunde besteht der zuerst von H. v. H e l m h o l t z (1851) angegebene Augenspiegel (in den späteren Ausführungen) aus einem Hohlspiegel H von etwa 10 cm Durchmesser und etwa 25 cm Brennweite, der in seinem Scheitelpunkt eine Öffnung von etwa 1 cm Durchmesser hat (Abb. I, 31). Wenn der Arzt durch diese Öffnung nach dem zu unter -

Abb. I, 31. Der Hohlspiegel als Augenspiegel

suchenden Auge A blickt, kann er dieses durch geeignete Haltung des Spiegels gleichzeitig intensiv beleuchten, ohne selbst geblendet zu werden. Auf diese Weise ist es möglich, innere Teile des Auges, namentlich die hintere Wand und den das Auge ausfüllenden Glaskörper, deutlich zu sehen und zu untersuchen. — Bei mit einer Glühlampe als Lichtquelle ausgestatteten Projektionsapparaten benutzt man einen Hohlspiegel, um die einzelnen Wendeln der Glühlampe in die dazwischenliegenden Lücken abzubilden (Abb. I, 32).

Abb. I, 32. Abbildung der Wendeln einer Projektionsglühlampe (a) in die Lücken zwischen den einzelnen Wendeln (&)

26

Strahlenoptik

Zum Schluß gehen wir noch kurz auf die sphärischen Konvex- oder Wölbspiegel ein, bei denen die nach außen gewölbte Fläche als Spiegel dient. Ein auf einen solchen Spiegel fallender achsenparalleler Strahl (1 in Abb. I, 33a) wird so reflektiert, als ob er von einem hinter dem Spiegel liegenden, also virtuellen Brennpunkt F herkäme. Der Abstand des Brennpunktes vom Scheitelpunkt S des Spiegels heißt wieder die Brennweite /, wobei wir aber beachten müssen, daß diese h i n t e r dem Spiegel liegt und somit negativ anzusetzen ist. Aus der Gleichschenkeligkeit des Dreiecks MFA folgt wieder, daß f = •— ist. Ein von einem Gegenstandspunkt G ¿i auf der Spiegelachse ausgehender Strahl (2 in Abb. I, 33a) wird so reflektiert, als ob er von einem ebenfalls hinter dem Spiegel zwischen Brennpunkt und Scheitelpunkt liegenden virtuellen Bildpunkt B herkäme. Auch die Bildweite b hat einen negativen Wert. In Abb. I, 33 b ist die Bildkonstruktion für einen Gegen-

2

Abb. I, 33. Reflexion am sphärischen Wölbspiegel a) zur Definition von Bild- und Brennpunkt; b) Bildkonstruktion

stand OG' wiedergegeben. Von G' aus ist erstens ein Strahl 1 nach dem Spiegelmittelpunkt M hin gezeichnet, der in sich selbst reflektiert wird, zweitens ein zur Achse parallel verlaufender Strahl 2, der nach Reflexion vom Brennpunkt F herzukommen scheint, drittens ein nach dem Scheitelpunkt S gerichteter Strahl 3, der mit der Achse vor und nach der Reflexion gleiche Winkel bildet, und viertens ein nach dem Brennpunkt F gerichteter Strahl, der parallel zur Achse reflektiert wird. Die rückseitigen Verlängerungen dieser vier Strahlen schneiden sich im Bildpunkt B ' ; natürlich sind nur zwei von diesen Strahlen notwendig zur Konstruktion. Wir erhalten also von dem Gegenstand ein aufrechtes, verkleinertes, v i r t u -

Gekrümmte Spiegel; Konkav- und Konvexspiegel

27

e l l e s Bild. Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke SBB' und SGG' folgt für den Abbildungsmaßstab v und seinen Absolutbetrag | v |: ( i 5 [L

)

'°>

M

^

=

00'

=

IAL

g

.

'

A

w =

=

9

_iAL

9 '

Dabei bedeutet das negative Vorzeichen, daß jetzt das Bild die gleiche Richtung wie der Gegenstand hat (d. h. v < 0). Aus der Ähnlichkeit der beiden anderen Dreiecke MBB' und MGG' in Abb. I, 33b folgt ferner: il Sa)

,

,

[6| _ MB

_

2|/1-]6|

Aus den Gl. (I, 5) und (I, 5 a) findet man als Abbildungsgleichung für den Wölbspiegel wieder die alte Beziehung (I, 1): (I 1

I)

' '

- = - ++

f

9

-

b •

Würde man — statt /, g, b als algebraische Größen zu betrachten — unter /, g, b die A b s o l u t b e t r ä g e verstehen, so erhielte man eine andere Abbildungsgleichung, nämlich:

&5b)

- T - 7 - T -

die man zuweilen in Lehrbüchern findet; der Leser muß also stets prüfen, was gemeint ist. Unsere Darstellung hat den Vorzug, daß in allen Fällen Gl. (I, 1) erhalten bleibt.

Setzt man nach (I, l a ) auch hier

g = x + f,

b = x' + / ,

so gilt natürlich auch die Newtonsche Form der Abbildungsgleichung unverändert : (I, 5c)

xx' = P .

Den durch die Abbildungsgleichungen (1,1) und (I, 5 c) gegebenen funktionalen Zusammenhang zwischen g, b bzw. x, x' und / stellt Abb. I, 34 dar, die in vollkommener Analogie zur Abb. I, 24 steht. Man erkennt, daß nur der ausgezogene Teil der Hyperbel für die Abbildungsverhältnisse beim Konvexspiegel in Frage kommt. Bewegt sich beim Konvexspiegel der Gegenstand vom Unendlichen her auf den Spiegel zu, so wandert sein virtuelles Bild vom Brennpunkt nach dem Spiegel, wobei sich der Abbildungsmaßstab von 0 bis — 1 ändert. Ein Konvexspiegel liefert also stets nur verkleinerte virtuelle Bilder. — Sphärische Konvexspiegel dienen oft dazu, dem Fahrer eines Kraftwagens ein verkleinertes Bild der Vorgänge hinter seinem Fahrzeug zu liefern. Der Blickwinkel ist vergrößert. Sowohl für den Konkav- als auch Konvexspiegel gilt übrigens, daß bei einer Bewegung des Gegenstandes auf den Spiegel zu oder von ihm fort das Bild sich stets in der entgegengesetzten Richtung verschiebt. Daher spricht man von einer rückläufigen Abbildung. Ähnlich wie bei den Hohlspiegeln der parabolisch gekrümmte Spiegel eine ausgezeichnete Rolle spielt, kommt bei den Wölbspiegeln dem hyperbolisch gekrümmten Spiegel eine gewisse Bedeutung zu. Bekanntlich wird der Winkel zwischen zwei von einem Hyperbelpunkt P nach den beiden Brennpunkten Fj und F 2 gezogenen Brennstrahlen von der Normalen N in

28

Strahlenoptik

Abb. 1,34. Graphische Darstellung der Abbildungsgleichung beim Konvexspiegel

Abb. I, 34

Abb. I, 35. Reflexion am hyperbolischen Konvexspiegel

diesem Punkt P halbiert (Abb. I, 35). Es wird daher jeder vom Brennpunkt nach dem gegenüberliegenden Hyperbelast gerichtete Strahl 1 von diesem so reflektiert, als ob er von dem andern Brennpunkt F2 herkäme, und umgekehrt wird jeder nach dem Brennpunkt F2 gerichtete Strahl 2 zum Brennpunkt gespiegelt. Man kann daher mit einem hyperbolischen Konvexspiegel, dessen Fläche man sich durch Rotation eines Hyperbelastes um die Hyperbelachse entstanden zu denken hat, die Konvergenz eines auf den Spiegel fallenden Strahlenbüschels verkleinern, ohne daß dabei die Homozentrizität des Büschels gestört wird, d. h. sämtliche Strahlen gehen nach der Spiegelung wieder durch einen Punkt. Über die Verwendung hyperbolischer Konvexspiegel beim Spiegelfernrohr siehe Nr. I, 12.

1,5. Die Brechung des Lichtes; Totalreflexion Fällt Licht auf die Trennungsfläche zweier durchsichtiger Körper (z. B. aus Luft in Glas oder Wasser), so wird nur ein Teil in das erste Medium zurückgeworfen, während der übrige Teil in das zweite Medium eindringt; dabei erleidet bei schrägem Auftreffen auf die Grenzflächen der Strahl im allgemeinen eine Richtungsänderung beim Übertritt in das andere Medium, die sogenannte Brechung. Ähnlich wie bei der Reflexion gibt es auch eine d i f f u s e B r e c h u n g , wenn nämlich die Trennungsfläche rauh ist. Bei der diffusen Brechung wird der Lichtstrahl mehr oder weniger nach allen Richtungen hin gebrochen. Diese Art der Brechung interessiert hier aber nicht, sondern nur diejenige, bei welcher der Lichtstrahl auch nach der Brechung eine bestimmte Richtung hat, die nur von der Richtung des einfallenden Strahls und der Natur der beiden Medien abhängt. Von der Tatsache der Brechung beim Eintritt von Licht aus Luft in Wasser oder umgekehrt kann man sich durch einfache Versuche überzeugen. Legt man

Die Brechung des Lichtes; Totalreflexion

29

z. B. auf den Boden eines leeren Gefäßes mit undurchsichtigen Wänden eine Münze und blickt in einer solchen Richtung schräg in das Gefäß, daß die Münze gerade durch die Seitenwand verdeckt wird, so wird sie sofort sichtbar, wenn man Wasser in das Gefäß gießt (Abb. I, 36 a): die von der Münze kommenden Lichtstrahlen werden beim Austritt aus dem Wasser gebrochen und gelangen dadurch in das Auge; dieses sieht die Münze M in der Lage M', d. h. in der Verlängerung der ins Auge gelangenden Strahlen, also etwas gehoben. Aus demselben Grunde erscheint ein schräg ins Wasser getauchter Stab an der Eintrittsstelle geknickt (Abb. I, 36b), der Boden eines Schwimmbeckens gehoben und gekrümmt (c).1

Abb. I, 36. Versuche zum Nachweis der Lichtbrechung a) scheinbare Hebung einer im Wasser liegenden Münze 6) scheinbare Knickung eines schräg ins Wasser getauchten Stabes c) scheinbare Hebung des Bodens eines Schwimmbeckens

Um die Gesetzmäßigkeit der Lichtbrechung zu finden, lassen wir ein schmales Lichtbündel schräg auf eine Wasseroberfläche im Inneren eines schmalen Glastroges fallen und verfolgen die Richtung der Lichtstrahlen in Luft und Wasser in der Weise, daß wir vertikal in das Wasser eine Mattscheibe stellen, auf der das Licht seinen Weg als helle Linie aufzeichnet (Abb. I, 37). Statt dessen kann man auch nach J . T y n d a l l Luft und Wasser durch Zusatz von Rauch bzw. Milch etwas trüben und so den Weg des Lichtes sichtbar machen. Man beobachtet, daß die Richtung des Strahles beim Eintritt in das Wasser einen Knick erfährt und (in dem betrachteten Fall) zum Einfallslot hin gebrochen wird, und zwar werden

Abb. I, 37. Brechung eines Lichtstrahls beim Übergang von Luft nach Wasser а) Einfallswinkel = 52° б) Einfallswinkel = 67°

Betrachtet man einen unter Wasser befindlichen Gegenstand mit zwei Augen, so erscheint dieser senkrecht angehoben. Bei der Beobachtung mit nur einem Auge ergibt sich dazu eine seitliche Verschiebung. Außerdem muß man bei der Brechung eines Lichtbündels an der ebenen Grenzfläche Wasser—Luft noch einen auftretenden Abbildungsfehler (Astigmatismus) berücksichtigen. (Vgl. den Kleindruck zu Abb. I, 74 und zu Abb. I, 118).

Strahlenoptik

30

die Strahlen um so mehr von ihrer ursprünglichen Richtung abgelenkt, je schräger sie auf die Grenzfläche fallen (Abb. I, 37b). I m m e r l i e g e n e i n f a l l e n d e r S t r a h l , E i n f a l l s l o t u n d g e b r o c h e n e r S t r a h l in e i n e r E b e n e . Bezeichnen wir den Winkel des einfallenden Strahles mit dem Lot als den E i n f a l l s w i n k e l a und den Winkel, den der gebrochene Strahl mit dem Lot bildet, als B r e c h u n g s w i n k e l ß, so gilt das von W. S n e l l i u s (1620) aufgefundene Brechungsgesetz: Der Sinus des Einfallswinkels steht zum Sinus des Brechungswinkels in einem konstanten Verhältnis, das nur von der Natur der beiden Medien abhängt. Es gilt also die Gleichung: (I, 6) K

'

'

sin ß

= w21 = Const.

Die Konstante n21 heißt die Brechzahl (auch Brechungsindex, seltener Brechungsquotient) des Mediums 2 in bezug auf das Medium 1. Beim Ubergang von Luft in Wasser ist n21 annähernd 4 / 3 , beim Ubergang von Luft nach gewöhnlichem Spiegelglas hat n 21 etwa den Wert 3 / 2 . Abb. I, 38 zeigt die Brechung des Lichtes

Abb. I, 38. Brechung und Reflexion eines Lichtstrahls beim Übergang von Luft nach Glas а) Einfallswinkel« = 40°; Brechungswinkel ß = 24,5° б) Einfallswinkel a = 60°; Brechungswinkel ß = 34°

beim schrägen Eintritt in ein Stück Glas, und zwar für die beiden Einfallswinkel 40° und 60°; als zugehörige Brechungswinkel entnimmt man aus den Aufnahmen 24,5° und 34°: dies liefert nach dem Brechungsgesetz (I, 6) für n2l den Wert 1,55. Damit der Lichtstrahl beim Austritt aus dem Glas nach Luft keine erneute Brechung erfährt, hat das Glasstück halbkreisförmige Gestalt. Alle Strahlen befinden sich in der gemeinsamen „Einfallsebene". Wie bereits in Band I in der allgemeinen Wellenlehre gezeigt, ist die Ursache für die Brechung einer Welle die Änderung ihrer Fortpflanzungsgeschwindigkeit.

31

Die Brechung des Lichtes; Totalreflexion

Die Brechzahl stellt, wie wir dort gezeigt haben, direkt das Verhältnis der Fortpflanzungsgeschwindigkeiten in den beiden Medien dar. Bezeichnen wir diese mit cx und c2, so können wir schreiben: /T rr\ (I, 7)

Wgl

ci s n< = -i=•' *

sin ß

Da es nach dem Satz von der Umkehrbarkeit des Lichtweges gleichgültig ist, ob der Lichtstrahl vom Medium 1 nach 2 oder umgekehrt von 2 nach 1 läuft, kann man auch schreiben smß _ sin«

c2 Cj

'

wobei jetzt ß den Einfallswinkel im Medium 2, a den Brechungswinkel im Medium 1 und w12 die Brechzahl des Mediums 1 in bezug auf 2 bedeuten. (Natürlich wird bei der Strahlungsumkehr der Strahl vom Einfallslot weg gebrochen, wenn er vorher aufs Lot zu gebrochen wurde.) Es gilt also 1 «12

=

21

Man nennt nl2 bzw. n2l genauer die r e l a t i v e n Brechzahlen der beiden Stoffe im Gegensatz zu der a b s o l u t e n Brechzahl eines Stoffes, die sich auf den Eintritt des Lichtes aus dem Vakuum in den betreffenden Stoff bezieht. In diesem Fall gilt: TC - = 1

W10

= nl

Und

2

=

W20 =

n2

>

da man das Vakuum als das normale Bezugsmedium betrachtet, läßt man den Index „ 0 " fort und schreibt die absoluten Brechzahlen nur mit einem Index. Aus den beiden letzten Gleichungen folgt durchDivision und Berücksichtigung von (1,7): KV

i = $=

d . h . die r e l a t i v e B r e c h z a h l w21 zweier S t o f f e 1 und 2 i s t g l e i c h dem Q u o t i e n t e n der a b s o l u t e n B r e c h z a h l e n b e i d e r S t o f f e . Hat man, wie das meistens der Fall ist, die relative Brechzahl eines Mediums gegen Luft gemessen —• er sei n x L —, so kann man nach Gl. (I, 8) seine absolute Brechzahl nK ermitteln, wenn man die absolute Brechzahl der Luft nL kennt. Es ist dann Wx

=•" wxL ' «L •

Nun ist, wie in Nr. 6 noch gezeigt wird, die absolute Brechzahl der Luft nL = 1,000292, so daß die gegen Luft gemessenen Werte der relativen Brechzahlen nur wenig von den absoluten abweichen. In der folgenden Tabelle sind die Brechzahlen einiger Stoffe zusammengestellt. Sie gelten für das Licht der gelben Natriumlinie (D-Linie). Diese Angabe ist erforderlich, da die Brechzahl, wie später noch gezeigt wird, von der Farbe (Schwingungszahl) des Lichtes abhängt.

32

Strahlenoptik A b s o l u t e B r e c h z a h l e n e i n i g e r S t o f f e f ü r N a - L i c h t bei 2 0 ° C

Feste Stoffe: Eis Lithiumfluorid Flußspat Sylvin Steinsalz Cäsiumjodid Optische Gläser: Borkron B K 1 Schwerkron SK 1 Flint F 3 Schwerflint SF 4 schwerstes Flint Quarzglas Plexiglas Diamant

1,31 1,3915 1,4338 1,4903 1,5443 1,7899 1,5100 1,6102 1,6128 1,7550 1,9 1,4588 1,50.. 1,52 2,4173

Flüssigkeiten: Wasser Äthylalkohol Leinöl Benzol Zedernöl Kassiaöl Schwefelkohlenstoff . . . . Monobromnaphthalin . . . Methylenjodid

1,3330 1,3618 1,486 1,5012 1,505 1,605 1,6276 1,6582 1,7417

G a s e : (0° C, Atmosphärendruck) Sauerstoff Stickstoff Kohlendioxid Distickstoffoxid Luft

1,000271 1,000298 1,000449 1,000516 1,000292

Man nennt einen Stoff o p t i s c h d i c h t e r ( o p t i s c h dünner) als einen anderen, wenn seine absolute Brechzahl größer (kleiner) ist als die des anderen. Die optische Dichte ist jedoch nicht mit der (stofflichen) Dichte zu verwechseln. Zum Beispiel hat Wasser trotz seiner größeren stofflichen Dichte eine kleinere Brechzahl als das spezifisch leichtere Benzol. Bei ein und demselben Stoff wächst allerdings die Brechzahl mit der Dichte des Stoffes; wird diese also z. B. durch Druck erhöht, so steigt auch die Brechzahl an. Die Gl. (I, 6) oder (I, 7), die das Brechungsgesetz darstellen, kann man unter Berücksichtigung von (I, 8) in der Form schreiben: (I, 9)

nx sin a = n2 sin ß = Const.

Da man wegen der Umkehrbarkeit des Lichtweges auch den Winkel a als Brechungswinkel bezeichnen kann, läßt sich das Brechungsgesetz in folgender Form aussprechen: Das Produkt aus Brechzahl und Sinus des Brechungswinkels ist bei der Brechung unveränderlich. Das Produkt n sin x heißt nach E . A b b e (1873) die numerische Apertur des Strahles gegen das Einfallslot. Das Brechungsgesetz sagt also aus, daß die numerische Apertur bei der Brechung eines Lichtstrahls unverändert bleibt. Auf diese Weise ist das Brechungsgesetz in Form einer sog. o p t i s c h e n I n v a r i a n t e dargestellt, indem der Wert der numerischen Apertur n sin a bei beliebig vielen aufeinanderfolgenden Brechungen unverändert bleibt. Rein formal enthält Gl. (I, 9), d. h. das Brechungsgesetz, auch das Reflexionsgesetz; man hat nur = —• % zu setzen und erhält dann das Reflexionsgesetz in der Form ß = — a ; das Minuszeichen rührt davon her, daß ß im ersten Medium auf der anderen Seite des Lotes liegt. Diese Bemerkung gilt für alle Reflexionsprobleme, worauf wir später noch zurückkommen werden. Wir zeigen zunächst, wie man die Richtung eines gebrochenen Strahles zu einem vorgegebenen einfallenden Strahl geometrisch ermitteln kann. In Abb. I, 39 falle im Punkt O ein Lichtstrahl LO auf die ebene Grenzfläche 00' zwischen zwei Medien 1 und 2 auf. Wir errichten in O das Einfallslot SS' und zeichnen um O im Medium 2 zwei Kreise, deren Radienverhältnis gleich der relativen Brechungszahl n 2 i l des Mediums 2 gegen Medium 1 ist (in der Abb. ist 2 als das optisch dichtere Medium angenommen). Die Verlängerung des einfallenden Strahls schneidet den kleineren Kreis in A. Von hier fällen wir das Lot AG auf die Grenzfläche OO'

33

Die Brechung des Lichtes; Totalreflexion

Abb. I, 39. Geometrische Ermittlung des gebrochenen Strahls

und verlängern es rückwärts bis zum Schnittpunkt B mit dem größeren Kreis. Dann gibt die Verbindung OB die Richtung des gebrochenen Strahls im Medium 2 wieder. Es ist nämlich sin ot sin ß

sin GAO sin CBO

CO AO

CO BO

BO AO

was zu beweisen war. Ist umgekehrt der aus dem (dichteren) Medium 2 kommende Strahl L'O gegeben, so fällt man von B das Lot auf die Grenzfläche 00', das den kleineren Kreis in A schneidet. Die Verlängerung von AO über O hinaus liefert dann den in das (dünnere) Medium gebrochenen Strahl.

Abb. 1,40. Diagramm zur Ermittlung des gebrochenen Strahls beim Übergang von Luft nach Stoffen mit den Brechzahlen zwischen 1 und 2

Wasser Borkron BK1 Fünf F3 SchwerfUnt

Abb. I, 40 gibt ein auf Grund dieser Konstruktion gezeichnetes Diagramm wieder, aus dem man sofort für den Übergang von Luft zu einem Stoff mit den Brechzahlen 1 bis 2 oder umgekehrt den gebrochenen Strahl finden kann.

Strahlenoptik

34

Nach Abb. 1,39 ist die Ablenkung w2 ist. Nun ist aber der größte Wert, den n

t

sin ß überhaupt annehmen kann, gleich 1, wenn nämlich ß gleich 90° wird. In diesem Fall t r i t t der in das dünnere Medium gebrochene Strahl s t r e i f e n d z u r G r e n z f l ä c h e in dieses ein (Strahl 3 in Abb. I, 41). Der zugehörige Einfallswinkel a g im dichteren Medium ist dann durch die Gleichung (I, 11)

sin ocg =

= nn =

gegeben. Einfallswinkeln a, die größer als der durch Gl. (I, 11) definierte Grenzwinkel ocg sind, entspricht k e i n r e e l l e r B r e c h u n g s w i n k e l ß m e h r ; daher kann ein Übertritt des Lichtes in das dünnere Medium n i c h t m e h r e r f o l g e n . Das Licht wird vielmehr an der Grenzfläche regulär reflektiert, und zwar m i t s e i n e r v o l l e n I n t e n s i t ä t (Strahl 4 in Abb. I, 41). Man bezeichnet daher diesen zuerst von J. K e p l e r (1611) beobachteten Vorgang als Totalreflexion. Man kann also sagen: Totalreflexion tritt stets dann ein, wenn Licht aus einem optisch dichteren Medium auf die Grenzfläche eines optisch dünneren fällt und der Einfallswinkel größer als der durch die Gleichung sin « g = n 1 2 bestimmte Grenzwinkel ist.

Die Brechung des Lichtes; Totalreflexion

35

Wir müssen uns hier mit dieser empirischen Feststellung begnügen. Auf die feineren Vorgänge bei der Totalreflexion kommen wir in Nr. IV, 3 zurück. Beim Übergang von Wasser nach Luft ist sin acg = 3 / 4 , d. h. a = 48° 35'. Abb. I, 42 zeigt für diesen Fall den in der vorangehenden Abb. I, 41 schematisch dargestellten Strahlenverlauf experimentell: Einige Zentimeter unter der Wasseroberfläche befindet sich eine (in der Abb. verdeckte) Lichtquelle, die durch mehrere Schlitzblenden einige scharf begrenzte Strahlenbündel schräg gegen die Wasseroberfläche strahlt. Von diesen werden nur die, deren Einfallswinkel kleiner als der Grenzwinkel von 48° 35' ist, in den Luftraum hinein gebrochen, während die anderen in das Wasser zurück totalreflektiert werden. Man sieht in der Abb. 1,42 auch deutlich die weit größere Intensität der totalreflektierten Strahlen gegenüber 1

Abb. I, 41

Abb. I, 42

Abb. 1,41. Brechung und Totalreflexion beim Übergang des Lichts von einem dichteren in ein dünneres Medium Abb. I, 42. Versuchsanordnung zum Nachweis der Brechung und Totalreflexion an der Grenzfläche Wasser — Luft. Die Lichtquelle befindet sich links unten im Wasser in einer mit Schlitzen versehenen Dose

den normal reflektierten. — Abb. I, 43 zeigt den Übergang des Lichtes von Glas nach Luft. Bei den Einfallswinkeln 30° und 40° findet sowohl Brechung als auch Reflexion statt, bei den Einfallswinkeln 50° und 60° haben wir bereits totale Reflexion. Der Grenzwinkel liegt bei dem benutzten Glas mit n = 1,55 bei 40,5°. — Blickt man schräg von unten gegen eine Wasseroberfläche unter einem Einfallswinkel, der größer ist als der Grenzwinkel der Totalreflexion, so kann man nicht durch die Wasseroberfläche hindurchsehen; diese erscheint vollkommen spiegelnd. Aus dem Wasser heraus kann man nur innerhalb des durch den Grenzwinkel der Totalreflexion gegebenen räumlichen Winkels sehen. Abb. I , 44 a zeigt, wie ein unter Wasser befindliches Auge eines Schwimmers mit Taucherbrille die Außenwelt erblickt: E r sieht sie — natürlich verzerrt! — innerhalb eines Kegels, dessen halber Öffnungswinkel gleich dem Grenzwinkel ist; außerhalb des Kegels sieht er nur totalreflektiertes Licht, z. B . den Grund des Bassins, in dem er sich befindet. — Ein leuchtender Punkt unmittelbar oberhalb der Wasserfläche strahlt in den Außenraum gleichmäßig nach allen Richtungen, im Wasser dagegen nur

36

Strahlenoptik

Abb. 1,43. Brechung und Reflexion des Lichtes beim Übergang von Glas nach Luft: a, b) Einfallswinkel 30° bzw. 40° kleiner als Grenzwinkel 40,5° ergibt Brechung und Reflexion; c, d) Einfallswinkel 50° bzw. 60° größer als Grenzwinkel 40,5° ergibt Totalreflexion

innerhalb eines Kegels, dessen halber Öffnungswinkel gleich dem Grenzwinkel ist (Abb. I, 44b). Der in Abb. I, 44a dargestellte Fall, daß Licht von einem optisch dichteren Medium nach einem optisch dünneren strahlt, tritt regelmäßig beim Gebrauch eines Mikroskops auf. Denn das von einem Punkt P des beleuchteten Präparates kommende Licht verläuft, bevor es in die Frontlinse des Mikroskop-Objektives eintritt, zunächst durch das Deckglas mit der absoluten Brechzahl n = 1,515 und dann durch eine Luftschicht. Dabei kann wegen der Totalreflexion an der Grenze zwischen Glas und Luft nur ein Strahlenbüschel austreten, dessen äußerster Strahl einen Winkel von 41,5° mit dem Einfallslot einschließt (Abb. I, 45a). Bringt man aber zwischen Deckglas und Frontlinse noch eine Wasserschicht, so vergrößert sich dieser Winkel auf 61,5° (Abb. I, 45b), während bei Verwendung von öl, das

Die Brechung des Lichtes; Totalreflexion

37

Abb. I, 44. Zur Brechung des Lichtes beim Übergang von Luft nach Wasser: a) Ein unter Wasser befindliches Auge mit Taucherbrille sieht innerhalb eines durch den Grenzwinkel der Totalreflexion gegebenen Winkels (2 • 48° 30' = 97°) die verzerrte Außenwelt; 6) Von einem leuchtenden Punkt unmittelbar oberhalb der Wasseroberfläche tritt das Licht in das Wasser nur innerhalb eines Kegels, dessen halber Öffnungswinkel gleich dem Grenzwinkel der Totalreflexion (48° 30') ist

a

/ A X Luft n -1 i i j y »• - »> >,. •>• M

D e c k g l a s n * 1,515/y\

,„,, "

"Objektträger J

/,, ,/, ,/,

^

/// '// i

b

1 / / p a s s e r n* 1,33 l ^ y ^ D e c k g l a s n-1,515'

/ss p'

WV/' /// ///

¿e /// /// '//

/// /// »> YS

'Objektträger " X m »/ „r f' /„

Ö! n= 1,515

"' " "'P w\ « Öbjektträgir* ///s/, M /„ /,/_%/¿¿¿v /// '_/>,

Abb. 1,45. Strahlenverlauf durch das Deckglas eines mikroskopischen Präparates: a) Deckglas grenzt an Luft, numerische Apertur = 1; 6) Deckglas grenzt an Wasser, numerische Apertur = 1,33; c) Deckglas grenzt an öl gleicher Brechzahl, numerische Apertur = 1,515 die gleiche Brechzahl wie das Deckglas hat, der Winkel sogar 90° wird (Abb. I,45c). Dies hat zur Folge, daß viel mehr Licht in das Objektiv gelangt, also die Helligkeit des Bildes erheblich gesteigert wird. (Über die weitergehende Bedeutung dieser sog. „Immersion" s. Nr. 1,12). In den in Abb. I, 45 dargestellten drei Fällen sind die numerischen Aperturen der äußersten noch austretenden Strahlen der Reihe nach 1,515 sin 41,5° = 1,00;

1,515 sin 61,5° = 1,33 und 1,515 sin 90° = 1,515,

d. h. gleich den absoluten Brechzahlen der auf das Deckglas gebrachten Stoffe.

38

Strahlenoptik

Den quantitativen Unterschied zwischen totaler und partieller Reflexion zeigen folgende Versuche: In ein Becherglas gießt man etwas Wasser (n = 1,33) und schichtet darüber Benzol (n — 1,496), in ein zweites Becherglas bringt man Schwefelkohlenstoff (n = 1,618) und darüber Wasser (Abb. I, 46). Blickt man schräg von oben auf die Trennungsfläche der beiden Flüssigkeiten, so sieht man im ersten Falle (Abb. 1,46 a) infolge der totalen Reflexion eine in lebhaftem Silberglanz erscheinende Fläche, während im zweiten Falle (Abb. I, 46 b) die Grenzfläche P

Wasser

a

Schwefelkohlenstoff b

Abb. I, 46. Demonstration von totaler (o) und partieller (6) Reflexion

zwischen Schwefelkohlenstoff und Wasser nur einen matten Glanz zeigt,, da die Strahlen an ihr nur partiell gespiegelt werden. — Stellt man ein zum Teil mit Quecksilber gefülltes Reagenzgläschen schräg in ein mit Wasser gefülltes Becherglas (Abb. I, 47) und blickt von oben darauf, so sieht man bei richtiger Neigung des Reagenzglases das von einer weißen Kartonpapierfläche K in das Glas fallende Licht an der Luft im Reagenzglas total-reflektiert. Diese Reflexion ist vollständiger als die an Quecksilber; man erkennt das deutlich daran, daß der mit Quecksilber gefüllte Teil des Reagenzglases grau im Vergleich zu dem oberen totalreflektierenden Teil erscheint. Gießt man Wasser in das Reagenzglas, so verschwindet der Silberglanz, soweit das Wasser steigt.

Abb. 1,47. Eine durch Totalreflexion an der Grenze Wasser — Luft gespiegelte weiße Fläche K erscheint heller als bei Spiegelung an reinem Quecksilber Quecksilber

Auch die Tatsache, daß Luftblasen im Wasser wie silberglänzende Perlen erscheinen, ist eine Folge der Totalreflexion. Fällt dagegen Licht auf die Grenzfläche zweier Medien mit gleichen Brechzahlen, so findet weder Brechung noch Reflexion

Die Brechung des Lichtes; Totalreflexion

39

statt; das Licht geht vielmehr ungebrochen hindurch. Man kann daher einen (blasenfreien) Glasstab, den man in eine Flüssigkeit von gleicher Brechzahl, z. B. Zedernholzöl (oder besser in eine Lösung von Chloralhydrat in etwas Glyzerin) taucht, überhaupt nicht mehr sehen. — Besonders effektvoll läßt sich nach J . D. Colladon (1841) die Totalreflexion des Lichtes zeigen, wenn man (Abb. I, 48) in die Achse eines ausfließenden Wasserstrahles ein intensives Lichtbündel einstrahlt. Das Licht kann dann aus dem Wasserstrahl nicht mehr austreten, da es infolge wiederholter totaler Reflexion gezwungen wird, innerhalb des Strahles diesem zu folgen. Der Wasserstrahl würde also vollkommen dunkel sein, wenn nicht die

Abb. I, 48. Totalreflexion des Lichtes in einem ausfließenden Wasserstrahl

Oberfläche kleine Störungen und Kräuselungen aufwiese, durch die das Licht austreten kann, und so den Strahl in seiner ganzen Länge leuchtend macht; dies ist besonders der Fall, wenn der Strahl sich in Tropfen aufgelöst hat (Fontaines lumineuses). — Ersetzt man den Wasserstrahl durch einen gebogenen Glasstab, so kann man durch diesen Licht von einer Lichtquelle nach einem anderen Punkt, z. B. unter das Präparat in einem Mikroskop, auch über mehrere Krümmungen hinwegleiten. — Dieses Prinzip wird heute in der sog. Fiber- oder Faser-Optik sehr vollkommen durchgeführt, indem Licht durch ein etwa 2—5 cm dickes Bündel von sehr vielen dünnen Glas- oder Kunststoffasern geleitet wird. Ein solcher „ L i c h t l e i t e r " ist biegsam und gestattet die Fortleitung von Licht wie Wasser in einen Schlauch. Das Licht tritt an einem Ende in die Fasern ein und kann erst am anderen Ende wieder herauskommen, da es unterwegs infolge der Totalreflexion die einzelne Faser nicht verlassen kann. Voraussetzung für eine vollkommene Totalreflexion sind glatte, saubere Wände der Fasern, die von einem Medium geringerer Brechzahl umgeben sind (z. B. Luft). Die Berührungsstellen der Fasern gegeneinander heben zwar die Totalreflexion auf. Sofern aber kein Bild übertragen werden soll, stören diese Berührungsstellen nur wenig. Anderenfalls werden die Glasfasern mit einer dünnen Kunststoffschicht umgeben. Der

Strahlenoptik

40

Durchmesser der einzelnen Fasern beträgt für Lichtleiter- und Bildleiterbündel 10 bis 500 fim; für Leiter der Nachrichtentechnik herab bis zu 1 ¡um. Selbstverständlich darf die Glas- oder Kunststoffaser wegen des langen Weges das Licht nicht merklich absorbieren (wenige dB/km werden erreicht). Daß schließlich auch eine Totalreflexion des Lichtes an der Grenze zwischen zwei Gasschichten verschiedener Dichte stattfindet, kann man in der Weise zeigen, daß man ein schmales Lichtbündel schräg von unten gegen die Öffnung eines flachen, innen geschwärzten Kastens richtet. Heizt man nun die Luft in dem Kasten (z. B. elektrisch) auf, so wird das Lichtbündel an der Grenze zwischen heißer und kalter Luft total reflektiert. I n der Natur t r i t t Totalreflexion des Lichtes häufig an den über stark erhitztem Boden lagernden Luftmassen ein. Über Vorgänge der Luftspiegelung in der Atmosphäre siehe Nr. 1,15. Beim schrägen Durchgang durch eine planparallele Glasplatte erleidet ein Lichtbündel eine zweifache Brechung (Abb. I, 49a). Beim Eintritt in das Glas wird es zum Einfallslot hin, beim Austritt aus der Platte vom Einfallslot w e g gebrochen. I m Glas läuft das Lichtbündel ebenso wie in der Luft geradlinig. Da schon aus Symmetriegründen der Einfallswinkel gleich dem Austrittswinkel ist, e r f ä h r t das L i c h t b ü n d e l beim D u r c h g a n g d u r c h eine p l a n p a r a l l e l e P l a t t e

Abb. 1,49. Parallelverschiebung eines Lichtstrahls durch eine planparallele Platte; o) Versuch; 6) Strahlenkonstruktion k e i n e R i c h t u n g s ä n d e r u n g , s o n d e r n n u r e i n e P a r a l l e l v e r s c h i e b u n g A, die u m so größer ist, je größer die Plattendicke d, die Brechzahl n und der Einfallswinkel a ist. Aus Abb. I, 49 b findet man sin(a also (1,12)

ß) — -jjß

^

=

;

AB = - ¿ ^ ,

d sin ( « - / ? ) cos ß

F ü h r t man mittels mitte des Brechungsgesetzes (I, 6) die Brechzahl n des Glases gegen Luft ein, so ist: sin ß = ^rc**

und

cos ß =

j/l

sin2«

41

Die Brechung des Lichtes; Totalreflexion

Damit folgt für die Parallelverschiebung A : (1,13)

A=dsinoc{l

\

|/n2 — sin2 a /

Wie gesagt, wächst A mit d, a. und n; A wird Null für d = 0 oder a = 0 oder n = 1, was auch ohne Formel einleuchtend ist. Die Parallelverschiebung eines Lichtstrahles durch eine planparallele Platte wird in dem von H. v. Helmholtz (1856) angegebenen Ophthalmometer zur optischen Messung der Abstände zweier Punkte an einem Objekt benutzt, an das man mit den gewöhnlichen Längenmeßmethoden nicht herankommen kann, z.B. Krümmungsradius der Hornhaut. Das Ophthalmometer besteht aus zwei dicht übereinander angebrachten gleich dicken Glasplatten Gj und G2, von denen jede die Hälfte eines Fernrohrobjektivs F bedeckt (Abb. I, 50). Beide Platten lassen

sich um eine gemeinsame Achse gleichzeitig um gleiche Winkel gegeneinander verdrehen. Dadurch werden die beiden Objektmarken P und P' gleichmäßig um gleiche Beträge nach rechts und links verschoben, so daß man 4 Punkte P x und P x sowie P 2 und P£ sieht. Verdreht man die Platten so weit, daß die mittleren Punkte P 2 und P{ zusammenfallen, so ist die gesuchte Entfernung a von P und P' unter Benutzung von Gl. (I, 13): /i ca a i a = 2A = 2d sin a ( 1 \

cosa \ , . = d 2sina |lr? — sin2 a / \

sin 2a \ - , |/ra2 — sin2 a /

wenn a den Winkel bedeutet, um den jede der beiden Platten von der Dicke d und der Brechzahl n aus ihrer Nullage verdreht werden mußte. Bemerkenswerterweise geht der Abstand des auszumessenden Gegenstandes vom Ophthalmometer in die Formel nicht ein. Eine planparallele Platte kann in verschiedener Weise zur Messung der Brechzahl des Stoffes, aus dem sie besteht, verwendet werden. Nach Duo de C h a u l n e s (1767) stellt man zum Beispiel mit Hilfe eines Mikroskopes, dessen Verschiebung längs der optischen Achse mikrometrisch gemessen werden kann, zunächst auf eine Marke M, zum Beispiel einen Strich auf einem Objektträger, scharf ein (Abb. I, 51 a). Dann bringt man zwischen M und Mikroskop die planparallele Platte. Dadurch erscheint M in die Höhe gehoben nach M'. Um wieder ein scharfes Bild zu erhalten, muß man das Mikroskop um die Strecke M M' = a anheben, die gleich der Strecke BO ist. Ist d die Dicke der Platte, so ist tan a = AD: (d — a)

und

tan ß

-

.

Strahlenoptik

42

Unter der Voraussetzung, daß die Winkel a. und ß und damit auch AD gegen d klein sind, so daß der Tangens der Winkel gleich ihrem Sinus gesetzt werden kann, erhält man: sinix d n = ——. = . sin ß d— a Für Platten der Dicke d = 1 cm läßt sich n bis auf eine Einheit der dritten Dezimale genau messen. Dieses Verfahren kann in zweierlei Weise variiert werden. Bringt man auf der oberen und der unteren Seite der Platte je eine Marke Mj und M2 an und stellt nacheinander das Mikroskop auf beide Marken ein, so ist dazu eine Verschiebung b des Mikroskopes notwendig, da die Marke

k«

1 \M, ////// A V o > t /// /// b /9y: ///////// /// //' /// /// ß \ '///

d

"

' Abb. 1,51. Zur Messung der Brech zahl einer planparallelen Platte (nach de Chaulnes)

\/// ///

b) M2 nach der Stelle MJ gehoben erscheint (Abb. I, 51 b). Für die Brechzahl n der Platte gilt dann (wieder unter den gleichen Voraussetzungen): n =

d b -

Bringt man schließlich auf der Oberfläche der Platte eine helle Marke an, die man schräg von oben beleuchtet, und stellt das Mikroskop einmal direkt auf die Marke M und dann auf ihr an der unteren Plattenfläche gespiegeltes Bild Mg ein, das von M den Abstand 2 d hat und scheinbar bei M^ liegt (Abb. I, 51c), so ist wieder eine Verschiebung 6 des Mikroskops erforderlich, und es gilt jetzt: 2d n = -TEin weiteres Verfahren (von A. Pfund) verwendet die Erscheinung der Totalreflexion. Beleuchtet man durch eine planparallele Platte hindurch einen auf ihrer Rückseite angebrachten weißen Fleck P aus Papier oder weißer Farbe möglichst punktförmig und recht intensiv, so tritt das diffus in die Platte zurückgestrahlte Licht nur bis zum Grenzwinkel der Totalreflexion aus der Platte wieder aus, während es vom Grenzwinkel der Totalreflexion ab zwischen der Vorder- und Bückseite der Platte hin und her totalreflektiert wird (Abb. 1,62a).

Die Brechung des Lichtes; Totalreflexion

43

a

Abb. I, 52. Messung der Brechzahl einer planparallelen Glasplatte mittels Totalreflexion (nach A. H. Pfund) o) Strahlenverlauf in der Platte b) Aufnahme der auf der bestäubten Platte durch Totalreflexion sichtbar werdenden Ringe mit den Radien rv r 2 Der zentrale Lichtfleck in der Mitte ist abgedeckt; der innerste Ring mit dem Radius rx ist stark überstrahlt Bestäubt man die Rückseite der Platte mit einem feinen Pulver, z. B. Bärlappsamen, so zeichnen sich die Reflexionsstellen, die dem Grenzwinkel der totalen Reflexion entsprechen, durch plötzliche Zunahme der Helligkeit ab, wie die photographische Aufnahme Abb. I, 52 b zeigt, bei der der zentrale Fleck zur Vermeidung einer Überbelichtung abgeblendet ist. Statt der erwarteten Intensitätsstufen beobachtet man hier aber helle und dunkle Ringe. Infolge der Bestäubung sind die wirklichen Verhältnisse wesentlich weniger einfach, als unsere elementare Darstellung annimmt. Wie man aus der Abb. I, 52a abliest, gelten die Beziehungen: sma

g =

rj2 jTgr

und

d cos 8 0 daß sich aus obigen Gl. nach Erweiterung mit nx bzw. n2 ergibt: GM

BM

»l OA ~ = n 0 BA ' Wie man aus der Abb. I, 72 a entnimmt, ist aber GM = g + r und BM = b — r; setzen wir ferner GA = sx und BA = s2, so erhalten wir: ,16)

B l

+r ^ . J9 L

= B l

b —r —

Benutzen wir Abb. I, 72b, so haben wir GM = g — | r | = g + r, BM = | b \ — | r | = r — b und AB = | s21 = — s 2 zu setzen und e r h a l t e n d a n n d i e s e l b e Gleichung.

Brechung des Lichtes an einer Kugelfläche

61

Gl. (I, 16) gilt also ganz allgemein für jeden von G nach der brechenden Fläche ausgehenden Strahl. Es ergeben jedoch, wie man sich leicht überzeugt (siehe auch Abb. I, 70), von G unter verschiedenen Öffnungswinkeln % gezogene Strahlen verschiedene Bildpunkte. Diese Komplikation fällt aber, wie beim Hohlspiegel, fort, wenn wir nur achsennahe (paraxiale) Strahlen betrachten; dann können wir sx x g und «2 x b setzen, da dann cos ut und cos m2 nahezu gleich 1 sind, und erhalten an Stelle von Gl. (I, 16) nach Umrechnung:

Diese Gleichung gilt für paraxiale Strahlen ganz allgemein, wenn man die Strecken g, b, r mit ihrem richtigen Wert — je nach den Umständen positiv oder negativ — einsetzt. Ergibt sich aus Gl. (I, 16a) der Wert von b, den man i. a. sucht, positiv oder negativ, so heißt das, daß der Bildpunkt von G rechts oder links vom Scheitelpunkt der Kugelfläche liegt, d. h. reell oder virtuell ist. Nach dem Satz von der Umkehrbarkeit des Lichtweges ist es für den Strahlenverlauf gleichgültig, welche Richtung das Licht hat. Werden also die von G ausgehenden Strahlen in B vereinigt, so treffen umgekehrt die von B ausgehenden Strahlen in G zusammen. Zwei so miteinander verknüpfte Punkte nennt man konjugierte Punkte. Gl. (I, 16a) sagt dann aus, daß — i m m e r u n t e r d e r V o r a u s s e t z u n g p a r a x i a l e r S t r a h l e n — ein h o m o z e n t r i s c h e s S t r a h l e n büschel auch nach der Brechung an einer Kugelfläche homozentrisch b l e i b t . Man bezeichnet diese punktweise Abbildung aller auf der Achse gelegenen Objektpunkte durch paraxiale Strahlen als Gaußsehe A b b i l d u n g , weil sie von C. F. G a u ß (1840) zuerst in allgemeiner Weise behandelt wurde. Aus Gl. (I, 16a) entnimmt man noch, daß G und B stets im gleichen Sinn auf der Achse wandern: geht G von links nach rechts auf der Achse, d. h. wird | g | kleiner, so wandert B ebenfalls von links nach rechts, d. h. es wird bei positivem r (konvexe Kugelfläche) | b | größer und bei negativem r (konkave Kugelfläche) | b | kleiner. Man nennt daher diese Abbildung r e c h t l ä u f i g ; sie kommt nur bei der Brechung vor, denn bei der Reflexion hatten wir es mit einer rückläufigen Abbildung zu tun. Wir führen nun noch die B r e n n p u n k t e F und F ' ein: a l s s o l c h e b e z e i c h net m a n die zum u n e n d l i c h f e r n e n G e g e n s t a n d s p u n k t bzw. B i l d p u n k t g e h ö r e n d e n k o n j u g i e r t e n P u n k t e , a l s o d i e j e n i g e n P u n k t e , in d e n e n p a r a l l e l z u r A c h s e auf die T r e n n u n g s f l ä c h e f a l l e n d e p a r a x i a l e S t r a h l e n im a n d e r e n M e d i u m die A c h s e s c h n e i d e n (Abb. I, 73a) b z w . v o n d e n e n parallel einfallende S t r a h l e n nach der B r e c h u n g h e r z u k o m m e n schein e n (Abb. I, 73 b). Die beiden Brennpunkte liegen also auf entgegengesetzten Seiten der brechenden Fläche. Wir wollen den dem unendlich fernen Achsenpunkt des Bildraumes entsprechenden Brennpunkt als den o b j e k t s e i t i g e n oder v o r d e r e n B r e n n p u n k t F bezeichnen. Alle von ihm ausgehenden (Abb. I, 73a, Strahl 1) oder nach ihm hin zielenden (Abb. I, 73b, Strahl 1) Strahlen werden so gebrochen, daß sie im Bildraum parallel zur Achse laufen. Umgekehrt bezeichnen wir den anderen Brennpunkt als bildseitigen oder hinteren Brennpunkt F ' : alle

Strahlenoptik

62

von ihm ausgehenden (Abb. I, 73a, Strahl 2) oder nach ihm hin zielenden Strahlen (in b, Strahl 2) werden so gebrochen, daß sie im Objektraum parallel zur Achse laufen. Die Abstände der Brennpunkte vom Scheitelpunkt nennen wir die Brennweiten / und /', die Wahl ihrer Vorzeichen soll denen von g und b entsprechen. Es bedeutet z. B. ein positives /' stets einen im Bildraum liegenden reellen Brennpunkt, während man an einem negativen Vorzeichen von /' erkennt, daß es sich um einen virtuellen bildseitigen, im Gegenstandsraum liegenden Brennpunkt handelt. Wie man aus Abb. I, 73 b ersieht, sind z. B. für eine konkave Fläche mit

chenden Kugelfläche

n2 > nx, wie hier angenommen war, die Brennpunkte virtuell, da sowohl / als auch /' negative Werte annehmen. Die Werte für / und /' erhält man aus Gl. (1,16a), wenn man darin g und b unendlich werden läßt. Für b = folgt:

und für g

=

oo:

fr"1»

Als Differenz der beiden Brennweiten ergibt sich: (1.18)

f'~f

=

r,

und für ihr Verhältnis: (1.19)

1

=

Die beiden Brennweiten haben also stets das g l e i c h e Vorzeichen, d. h. die beiden Brennpunkte liegen stets auf entgegengesetzten Seiten der brechenden Fläche

Brechung des lichtes an einer Kugeliläche

63

(Abb. I, 73), und die beiden Brennweiten verhalten sich wie die Brechzahlen der beiden Medien, die durch die Kugelfläche getrennt werden. Aus Gl. (I, 17 b) erkennt man insbesondere, daß / ' nur positiv wird, wenn r und n2 — nt gleiches Vorzeichen haben. E i n e b r e c h e n d e F l ä c h e s a m m e l t a l s o p a r a l l e l e S t r a h len in e i n e m P u n k t , w e n n i h r M i t t e l p u n k t im s t ä r k e r b r e c h e n d e n M e d i u m liegt, einerlei, von welcher Seite d a s L i c h t auf die F l ä c h e f ä l l t (Abb. I, 73a). F ü h r t man die Brennweiten in Gl. (1,16a) ein, so erhält man die Abbildungsgleichung für paraxiale Strahlen: (1,20)

7 +

f

= 1

-

Diese Grundgleichung, aus der man zu jeder Gegenstandsweite die zugehörige Bildweite berechnen kann, nimmt besonders einfache Gestalt an, wenn man statt der Scheitelwerte von g und b die auf die Brennpunkte bezogenen Koordinaten von Gegenstands- und Bildpunkt einführt. Bezeichnet man den Abstand des Gegenstandspunktes vom objektseitigen Brennpunkt F mit x, und den Abstand des Bildpunktes B vom bildseitigen Brennpunkt mit x', so ist g = / + x und b — /' + x'. Setzt man diese Werte in Gl. (I, 20) ein, so erhält m a n : f + x ' f' + x' woraus die Newtonsche Form der Abbildungsgleichung folgt:

(1,21)

xx' =

//'.

I m VIII. Kap. werden wir in anderem Zusammenhang eine allgemeinere Ableitung der Gl. (I, 20) kennenlernen, in der f ü r die Existenz punktweiser Abbildung nur vorausgesetzt werden muß, daß der Ablenkungswinkel, a—ß, proportional zum Abstand von A von der Achse, also proportional sin q> sein muß. Für paraxiale Strahlen ist dies hier der Fall, da a—ß « sin (a—ß) ~ sin a — sin ß = (iL+l.

8;n

y_

Gl. (1,16a) können wir unter Benutzung der Gl. (1,17a) und (I, 17b) auch in folgender Form schreiben: (1,16b)

—i- +

=

-

^ f

i'r *

aus der hervorgeht, daß den durch die zugehörigen Brechzahlen dividierten Größen g, b, f, f f und — f heißen die reduzierten Brenneine besondere Bedeutung zukommt. Die Größen — «1 »2 weiten, entsprechend sind — und — die reduzierten Schnittweiten. Nach A. Gullstrand »1 »2 (1908) nennt man — = A. die reduzierte Konvergenz der Gegenstandsweite, = die g b reduzierte Konvergenz der Bildweite und = = S die Brechkraft der brechenden Fläche.

64

Strahlenoptik

(Es ist üblich, Brechkraft und Konvergenz in Dioptrien [s. Nr. 1,4] anzugeben.) Mit diesen Bezeichnungen kann man Gl. (I, 16b) in der Form schreiben: (I, 22)

Ag + Ab = S

lind den Satz aussprechen: Bei e i n e r b r e c h e n d e n K u g e l f l ä c h e i s t die S u m m e der r e d u z i e r t e n K o n v e r genzen von Gegenstands- u n d Bildweite gleich der B r e c h k r a f t der brechenden Fläche. Entsprechend läßt sich Gl. (I, 21) in die Form bringen: XX' = S2

(I, 23) wobei X = — und X' = ^

die reduzierten Konvergenzen der von den Brennpunkten aus

gerechneten Gegenstands- und Bildweite bedeuten. Gemäß Gl. (I, 16b) kann man sich zur Bildung der Brechkraft einer Kugelfläche merken: Man durchdringt die Fläche in Richtung des Lichtes, schreibt die hinter der Fläche herrschende Brechzahl hin, zieht davon die Brechzahl vor der Fläche ab und dividiert (durch den in Metern ausgedrückten) Radius der Fläche. Experimentell kann man die Brechung an einer Kugelf lache zeigen, indem man ein Bündel paralleler Lichtstrahlen von oben auf einen mit Wasser gefüllten Standzylinder fallen läßt und auf die Wasseroberfläche ein Uhrglas bringt, das die Oberfläche je nach seiner Lage konkav oder konvex gestaltet. Der Strahlenverlauf im Wasser und die Lage des Brennpunktes bei konvex gekrümmter Fläche läßt sich verfolgen, wenn man das Wasser mit etwas Fluoreszein versetzt. In Gl. (1,16a) ist übrigens formal auch der Fall der Reflexion enthalten. Setzt man nämlich »2 = — nv so nimmt Gl. (1,16a) die Gestalt an: J_ _ J _ = _ 9 b ~

2 r

Dies stimmt mit der Abbildungsgleichung (I, 1) für sphärische Spiegel (s. Nr. I, 4) überein, wenn man berücksichtigt, daß man beim Hohlspiegel die Bildweiten, Brennweiten, Krümmungsradien mit umgekehrten Vorzeichen einsetzt wie bei der Brechung. Lassen wir ferner in Gl. (I, 16a) r = oo werden, d. h. gehen wir von einer gekrümmten Trennungsfläche zwischen den beiden Medien zu einer ebenen Fläche über, so wird:

d. h.

9

h

b =

~ *ni

Diese Gleichung sagt aus, daß ein im Abstand g hinter einer brechenden Fläche liegender Gegenstand bei senkrechtem Einblick in die Fläche in der Entfernung b = — g hinter der n i Fläche gesehen wird. Nun wird in praktischen Fällen das Medium 2, in das die vom Gegenstandspunkt ausgehenden Strahlen eindringen, Luft sein, also n2 = 1. Beim Einblick in die brechende Fläche scheint also der Gegenstand um g — — g = — — g der Fläche genähert. % n! Dies ist der Grund dafür, daß der Boden von Gewässern bei senkrechtem Einblick gehoben i/ j j erscheint, und zwar um g = — g . Von dieser Erscheinung hatten wir bereits in Nr. /3 4 1,5 bei der Messung einer Brechzahl der Glasplatte Gebrauch gemacht (Abb. I, 51b).

Brechung des Lichtes an einer Kugelfläche

65

Diese Überlegung gilt wegen der Beschränkung auf paraxiale Strahlen nur bei senkrechtem Einblick in die Wasserfläche. Bei schiefem Einblick wird der betreffende Punkt P unter der Wasseroberfläche nicht nur stärker gehoben, sondern auch seitlich verschoben. Verlängert man z. B. zwei benachbarte, von P ausgehende, ins Auge gelangende Strahlen (Abb. I, 74) nach ihrer Brechung geradlinig rückwärts in der Blickrichtung, so schneiden sie sich bei P'. Je tiefer sich das Auge zur Wasseroberfläche senkt, um so näher rückt der virtuelle Blickpunkt P' längs einer Kurve bis zur Wasseroberfläche. Man nennt diese Kurve die Diakaustik des Punktes P; es bilden nämlich sämtliche von P in die Luft gebrochenen Strahlen mit ihrer rückwärtigen Verlängerung Tangenten an die kaustifleheFläche, die durch Rotation der Diakaustik um die Achse M P entsteht. Die Spitze 8 der Diakaustik ist der Punkt, in dem P bei senkrechtem Einblick gesehen wird.

I -t — Abb. I, 74. Entstehung der Diakaustik

2. Abbildung eines ausgedehnten Gegenstandes. Bisher wurde nur die Abbildung eines auf der optischen Achse liegenden Punktes G durch eine Kugelfläche betrachtet. Wir wollen aber jetzt einen senkrecht zur Achse ausgedehnten Gegenstand abbilden. Zu diesem Zweck kann man folgendermaßen vorgehen: Um den Mittelpunkt M der brechenden Kugelfläche denken wir uns eine konzentrische Kugel mit dem Radius MO (in Abb. 1,75 gestrichelt) und nehmen auf dieser Kugelfläche irgendeinen Punkt G' an. Verbinden wir nun auch G' mit dem Mittelpunkt M der brechenden Fläche, so können wir 0'M ebenfalls als optische Achse ( N e b e n achse) betrachten und nun dieselben Überlegungen wie bisher anstellen, um den Bildpunkt B' zu G' zu finden: dieser liegt offenbar auf einer mit dem Radius M B um M gedachten zweiten konzentrischen Kugelfläche, die in der Abbildung ebenfalls gestrichelt ist. Was für G' und B' gilt, gilt für jeden Punkt G", G"' ... der ersten Kugelfläche: jedem ihrer Punkte entspricht je ein Bildpunkt B", B ' " ... der zweiten Kugelfläche. D. h. es gilt der Satz: Liegen die Objektpunkte auf einer zur brechenden Fläche konzentrischen Kugclfläche, so liegen die konjugierten Bildpunkte ebenfalls auf einer mit der brechenden Fläche konzentrischen Kugelfläche. Beschränken wir uns aber auf einen zylindrischen, rings um die Hauptachse gelegenen sehr engen Raum, d. h. auf paraxiale Strahlen, so können wir offenbar die kleinen Stücke der beiden Kugelflächen innerhalb dieses Raumes als eben,

66

Strahlenoptik

Abb. I, 75. Zur Abbildung eines ausgedehnten Gegenstandes durch eine brechende konvexe Kugelfläche

d. h. m i t den T a n g e n t i a l e b e n e n T bzw. T' z u s a m m e n f a l l e n d b e t r a c h t e n . In dieser Näherung können wir also sagen, daß senkrecht zur Hauptachse gelegene Ebenen durch Paraxialstrahlen wieder in senkrecht zur Achse liegende Ebenen abgebildet werden. Man vergleiche das analoge Problem beim Spiegel (Nr. 1,4). Um also einen senkrecht zur Achse orientierten Gegenstand geringer Ausdehnung durch eine Kugelfläche abzubilden, kann man drei ausgezeichnete Strahlen ziehen, nämlich: 1. Ein vom Endpunkt G' des Gegenstandes parallel zur Achse einfallender Strahl (1 in Abb. I, 76 a) wird so gebrochen, daß er bei einer konvex gekrümmten Fläche für n1 < n2 durch den bildseitigen Brennpunkt F ' hindurchgeht und bei einer konkav gekrümmten Fläche (1 in Abb. I, 76b) vom virtuellen bildseitigen Brennpunkt F ' herzukommen scheint. 2. Ein von G' durch den objektseitigen Brennpunkt F gehender Strahl (2 in Abb. I, 76a) bzw. bei einer konkaven Fläche nach dem Brennpunkt F hinzielender Strahl (2 in Abb. I, 76b) wird für nx < n2 so gebrochen, daß er parallel zur Achse weiterläuft. 3. Ein von G' nach dem Mittelpunkt M der brechenden Fläche gezogener Strahl (3 in Abb. I, 76a und b) erfährt keine Brechung. Ist umgekehrt % > n2, so gilt der Strahlverlauf von Abb. I, 76 a für eine konkave, der von Abb. I, 76b für eine konvexe Kugelfläche. Man erhält demnach von einem außerhalb des Brennpunktes F befindlichen Gegenstand im Falle % < n2 bei einer konvexen Brechungsfläche ein umgekehrtes reelles Bild und bei einer konkaven ein virtuelles aufrechtes Bild. Im Falle > n2 liegen die Verhältnisse gerade umgekehrt. 3. Die optischen Vergrößerungen, Satz von Lagrange. Wie bei den sphärischen Spiegeln bezeichnen wir das Verhältnis von Bildgröße y2, gemessen in der zur Achse senkrechten Richtung, zu der Gegenstandsgröße y1 als laterale oder trans-

Brechung des Lichtes an einer Kugelfläche

versale Vergrößerung v. Aus den einander in Abb. 1,76a folgt: Vi v= = Vi

67

ähnlichen Dreiecken B B' M und GG'M b— r — — . g+ r

Unter Benutzung von (1,16a) folgt hieraus nach Umrechnung: (1,24)

v =

n1

y±= Vl Vi »2 9


n.2 (c, d) ist

68

Strahlenoptik

Aus Abb. 1 , 7 6 b erhalten wir die gleiche Formel: b — r v =—•— = g + r

», 6 n2g

.

Nur ist zu beachten, daß im letzteren Falle nach unserer Vorzeichenbestimmung b einen negativen Wert hat, also auch v negativ ausfällt. Das bedeutet, daß das virtuelle Bild oberhalb der optischen Achse liegt. Umgekehrt bedeutet ein positiver Wert von v, daß das Bild dem Gegenstand entgegengesetzt, also umgekehrt ist. Da v bei einem gegebenen brechenden System nur von g und b abhängt und von der Gegenstandsgröße y1 unabhängig ist, gilt der Satz : Die laterale Vergrößerung ist in konjugierten Ebenenpaaren konstant und variiert nur von Ebenenpaar zu Ebenenpaar. Setzt man in Gl. (1,24) für Ol. nach Gl. (1,19) den Wert -L ein und ersetzt g J

und b durch g = / + x, b = f + x', so kann man schreiben : v =

+ *'>

M

Ersetzt man schließlich im Zähler f f nach (1,21) durch xx', so ergibt sich: (1,24 a) Unter nochmaliger Benutzung von Gl. (I, 21) kann man dafür auch schreiben: (I, 24b)

v =

fx

Außer der Lateralvergrößerung kann man auch eine Tiefen- oder axiale Vergrößerung definieren. Denken wir uns einen längs der Achse liegenden Gegenstand QG' von der Länge Ax, so entspricht ihm ein Bild BB' von der Größe Ax' (Abb. Ax'

1,77). Das Verhältnis

ist die Tiefenvergrößerung t. Um sie zu berechnen, diffe-

renzieren wir am einfachsten die N e w t o n sehe Form der Abbildungsgleichung (1,21). Das liefert: und folglich (1.25)

xAx'

6r), so rücken die Brenn- und Hauptpunkte von den entgegengesetzten Seiten wieder auf die Scheitelpunkte der Linse zu. In den Fällen der Abb. I, 89 a bis c liegt — im Sinne der Lichtbewegung — F vor H und H ' vor F ' : Die Stablinse wirkt also als k o l l e k t i v e s S y s t e m mit positiven Brennweiten / (und /'). Dagegen ist im Falle der Abb. I, 89e die Lage der genannten Punkte umgekehrt: die Brennweiten / (und /') sind negativ, das System ist jetzt d i s p a n s i v . Den Übergang bildet der teleskopische Fall der Abb. I, 89 d. Ausdrücklich sei bemerkt, daß diese Bezeichnung nichts mit der Frage zu tun hat, ob die Linse reelle oder virtuelle Bilder erzeugt. Die Stablinse Abb. I, 89 e kann reelle, aufrechte Bilder erzeugen, obwohl das System dispansiv genannt wird. Man vergleiche auch die graph. Darstellung in Abb. I, 90, aus der hervorgeht, daß der teleskopische Fall die Grenze zwischen positiven und negativen Brennweiten darstellt.

Abb. I, 90. Diagramm zur graphischen Ermittlung der Brennweite / (Abstand des Brennpunktes von dem Hauptpunkt), der Größe yi (Abstand des Brennpunktes vom Scheitelpunkt) und des gegenseitigen Abstandes H H ' der beiden Hauptpunkte bei bikonvexen Linsen von kugel- bzw. stabförmiger Gestalt

2. B i k o n k a v l i n s e m i t g l e i c h e n K r ü m m u n g s r a d i e n (Abb. 1,88d): Hier ist rx = — r; r2 = r. Dann folgt aus Gl. (1,40 b) bzw. (1,41 b):

/ = /' =

— nr 2 (n — l ) [ 2 m + d{n—

1)] '

Da der Nenner immer positiv ist, bleiben die B r e n n w e i t e n s t e t s n e g a t i v (daher die Bezeichnung negative Linse). Für die Brechkraft folgt aus (1,45): „ . - ^ - „ { i

+ ifcfU}.

Strahlenoptik

86

Aus Gl. (1,43b) bzw. (1,44b) ergibt sich: nr2 + r(n — l)' = —

+

dj

und

h — h' = -^-d .

3. P l a n k o n v e x l i n s e (Abb. 1,88b). Bei dieser ist entweder r1 = r, r2= oo, oder r 2 = — r und r t = oo. Im ersten Fall dividieren wir in Gl. (I, 40b) oder (I, 41b) Zähler und Nenner durch r 2 . Dies liefert:

/ = /' =

n + d

(» —1)

(» — 1)

und ergibt:

/ = /'

w— 1

und D

=

i—l

Zu derselben Gleichung gelangt man aber auch im zweiten Fall. Die B r e n n weiten der P l a n k o n v e x l i n s e sind also s t e t s p o s i t i v , und zwar unabhängig von der Dicke der Linse. Diese wirkt immer als Sammellinse.

Abbildung durch Linsen

87

In derselben Weise erhalten wiraus (I,43b) oder (1,44b) für rx = rundr 2 = oo: V

und

=

r «T^T '

V

,

nr — (n — 1) d (n — 1 )h

—

h= 0;

h' = — . n

Der H a u p t p u n k t H f ä l l t also mit dem S c h e i t e l p u n k t S x der Kugelfläche 1 zusammen, während H' ins Linseninnere f ä l l t . Für rx = oo und r 2 = — r sind die Werte von ip und rp' bzw. von h und h' gerade vertauscht. Für n — 1,5 erhalten wir: / =

/

'

2r;

=

D =

V = 2r ;

W

l _ .

' = 2^r — ~ y ,

A = 0; 4. P l a n k o n k a v l i n s e (Abb. I, 88e). Bei dieser ist auch eine Fläche eben, die andere aber konkav. Es ist also entweder = — r, r2 = oo oder aber r1 — oo, r 2 = r. Dies ergibt in beiden Fällen: /' = /' —1; ' =to ——

D =

— r

Infolge der negativen B r e n n w e i t e wirkt die Linse s t e t s zerstreuend. Für rl = — r, r 2 = oo erhalten wir ferner: y

=

r ~ n —1 '

V

,

— nr — (n — 1 )d (^lTü '

=

h'=

Ä = 0;

—, n

während für r 2 = r, r x = oo die Werte von ip und y>' sich ebenso wie die von h und h' vertauschen. Mit n = 1,5 ergibt sich: / = /< = _ 2 r ; W

= —2r-

Ä =

D = V

' = — 2(r + y ) ;

0;

5. K o n k a v k o n v e x l i n s e (Abb. I, 88c). Bei dieser Linse, die auch p o s i t i v e r Meniskus genannt wird, sind je nach der Stellung der Linse zum einfallenden Licht rx und r2 positiv und | r2 | > | rx \ (wie in Abb. I, 88 c) oder r1 und r 2 beide negativ und | rx | > [ r 2 1. In beiden Fällen bleibt r 2 — r1 stets positiv; aus den allgemeinen Gl. (1,40 b) und (1,41b), in denen der Nenner in unserem Fall stets

Strahlenoptik

88

positiv ist, folgt, d a ß a u c h / = /' s t e t s p o s i t i v ist. D i e K o n k a v k o n v e x l i n s e w i r k t a l s o s t e t s a l s S a m m e l l i n s e . Auch die Brechkraft ist natürlich immer positiv. Für %p, y', h, h' gelten die allgemeinen Formeln (1,43b) und (1,44b) mit der Maßgabe, daß r 2 — r1 in ihnen positiv zu nehmen ist. D e r H a u p t p u n k t , der zur s t ä r k e r g e k r ü m m t e n F l ä c h e g e h ö r t (z. B. H für rx < r 2 ) l i e g t , wie man aus dem Vorzeichen erkennt, s t e t s a u ß e r h a l b der L i n s e . Bei abnehmender Differenz der Krümmungen rückt er immer weiter heraus, so daß auch der zweite Hauptpunkt auf der gleichen Seite der Linse heraustreten kann, wie dies z. B . in Abb. 1 , 8 8 c der Fall ist. Für den Sonderfall n = 1,5 ergibt sich: t _ f _

1

1

6rir2 . 3 (rt — ri)+d' 6r,r, + 2 r,d

W ^ J T J - ' h=n,~2r3(r \d.2 —r^ + d '

r, = " ,

3(r2 —r t ) + d rlr2 ®«" «rx r, — 2 rzd 3(r2 — rj + d V> = 2r^d 3(r2 — rj + d ' h'

6. K o n v e x k o n k a v l i n s e (Abb. 1,88f). Bei diesem n e g a t i v e n M e n i s k u s sind wieder je nach Stellung der Linse zum einfallenden Licht rl und r 2 beide negativ und | r x | < | r 2 | (wie in Abb. I, 88c) oder und r 2 beide positiv und I r i I > I r2 I • I 1 1 beiden Fällen ist aber jetzt r 2 — r1 n e g a t i v . Aus der allgemeinen Gl. (1,40 b) oder (1,41b) l _ l >

=

nriri (n — l)[(r2 — ri)n + d{n — 1)]

folgt, daß / = /' sowohl negative als auch positive Werte annehmen kann. Die Brennweite ist negativ, wenn (r2 — rx) n -f- d (n — 1) < 0 d. h. d < —

—

oder d < — \ r„ — r, | ist. D a n n w i r k t der M e n i s k u s als Z e r s t r e u u n g s n—1 linse. Für y> und ip', h und h' gelten wieder die allgemeinen Gl. (1,43 b) und (1,44 b), aber hier mit der Maßgabe, daß r 2 — rl n e g a t i v ist. Von den b e i d e n H a u p t p u n k t e n f ä l l t w i e d e r der zur s t ä r k e r g e k r ü m m t e n F l ä c h e g e h ö r e n d e a u ß e r h a l b der L i n s e . Bei genügender Dicke kann auch der zweite aus der Linse herauswandern, wie es in Abb. I,88f der Fall ist. Wird aber d > — — - - | r 2 — r x | , so werden / und /' p o s i t i v , und der Meniskus wirkt als Sammellinse. Den Übergang zwischen den beiden Möglichkeiten bildet der t e l e s k o p i s c h e F a l l , der eintritt, wenn d — — ( r , — r 2 ). Dann sind n—1 / = /' = Ä = A ' = v =

v'=0°-

Einen besonderen Fall stellt schließlich eine „ L i n s e m i t N u l l k r ü m m u n g " dar, bei der beide Flächen den gleichen Krümmungsradius r haben, so daß r 2 — rt ~ 0 wird. Dann haben wir:

Abbildung durch Linsen nr* t —f — • ' ' (»— 1 )*d '

n — (w - ^ w»

nrs + r(» — 1)

n—1 '

.

n—1'

D i e s e L i n s e w i r k t also s t e t s a l s S a m m e l l i n s e . Die beiden Hauptpunkte liegen außerhalb der Linse, und zwar vor der konvex gekrümmten Fläche. Der Abstand der beiden Hauptpunkte ist d — (Ä + h') = d, also gleich der Linsendicke. Für n = 1,5 gehen die obigen Gleichungen über in: '

'

d '

6r2 '

U

6r* + 2ri v = — d — ;

v

h=

h' = 2r.

— 2r;

,

6r2 — 2rd = — d —

;

Dünne Linsen. Besonders einfach werden die Verhältnisse bei dünnen Linsen, bei denen die Dicke d der Linse gegenüber den Krümmungsradien der Linsenflächen so klein wird, daß man d(n—1) gegenüber n(r2 — vernachlässigen darf. Dann treten an Stelle der Gl. (1,40b) bis (1,44b) die folgenden: (1,40 c)

/'=.

r = /; (»— l)(ra — rx) "

(1,42 c)

»(»•a — >i) . 71—1 '

(1,43c)

y, - - ( Ä _ 1 ) ( r i _ r i ) B

(1,44c)

A=-r—

(I, 41c)

/ =

,

V A' =

;

-rjn '

- = /'; (n — l)(r2 — r,)

T

„_1)(r2_ri)n •

(rz — rjn '

In diesem Fall ergibt sich für den A b s t a n d der beiden H a u p t p u n k t e der Ausdruck: d — »(A + A ' )' = 1

TO

=

TO

der unabhängig von den Krümmungsradien ist. Für die Brechkraft Z> der dünnen Linse folgt aus Gl. (1,45): (I,45c)

D =

(n-

Es bleibe dem Leser überlassen, die oben aufgestellten Gleichungen für die verschiedenen Linsentypen auf den Fall dünner Linsen zu spezialisieren. Macht man die Linse schließlich so dünn, daß man ihre Dicke ganz vernachlässigen darf, so spricht man von sehr dünnen (oder ideellen) Linsen. Die Gl. (1,40 c) bis (1,42 c) bleiben bestehen, die Gl. (1,43 c) für ip und ip' werden mit (1,40 c)

90

Strahlenoptik

und (I, 41 c) identisch, d. h. es wird y> = y>' = / = /' und aus (1,44c) folgt h = h' = 0. Es fallen also die Scheitelpunkte mit den beiden Hauptpunkten in dem sog. optischen M i t t e l p u n k t (siehe weiter unten) der Linse zusammen. Natürlich hätte man die Verhältnisse bei dünnen und ideellen Linsen auf einfachere Weise direkt herleiten können, wie es in der Schulbuchliteratur zu geschehen pflegt. Wir haben demgegenüber Wert darauf gelegt, die dünnen Linsen als Spezialfall eines zentrierten Systems zu behandeln. Abbildung durch Linsen. Für die Abbildung eines Gegenstandes durch Linsen gelten natürlich dieselben Vorschriften wie bei einem zentrierten System. Man zieht zunächst von dem betreffenden Punkt, z. B. Gx in Abb. 1,91, einen achsen 1 =

il

B. Zerstreuungslinsen zwischen g = 00 u. g = 0 bei g = 0

zwischen 6 = — / u. 6 = 0 bei 6 = 0

virtuell, aufrecht, verkleinert virtuell, aufrecht, gleich groß

l « l < i M

=

1

n

Für die graphische Darstellung dieser Verhältnisse können die Abbildungen 1 , 2 4 u n d I, 34 verwendet werden. I n den folgenden Abb. I, 94 bis I, 96 ist nach der bei Abb. I, 87 beschriebenen Methode der Strahlenverlauf durch einige Linsen v o n endlicher Dicke sichtbar gemacht. Bei Abb. 1 , 9 4 a fallen auf eine bikonvexe Linse v o n links drei parallele

b

Abb. I, 94. Verlauf von drei parallelen Strahlen durch eine dicke, bikonvexe Linse, a) Einfall der Strahlen von links; 6) Einfall der Strahlen von rechts 1

Da bei unserer Vorzeichenwahl bei aufrechtem Bild die Lateralvergrößerung v negativ ausfällt, ist hier der Absolutbetrag von v angegeben.

Abbildung durch Linsen

93

Strahlen; sie werden so gebrochen, daß sie sich im bildseitigen Brennpunkt F' schneiden. Verlängert man die einfallenden Strahlen geradlinig in ihrer Richtung und die austretenden geradlinig rückwärts, so schneiden sich diese (gestrichelt eingezeichneten) Linien in der bildseitigen Hauptebene Abb. 1,94b zeigt den gleichen Versuch bei der gleichen Linse, nur mit dem Unterschied, daß der Einfall der parallelen Strahlen von der anderen Seite erfolgt, so daß sie sich im objektseitigen Brennpunkt F schneiden. Die Verlängerung der Strahlen liefert jetzt die objektseitige Hauptebene JC. In den Abb. 1,95a und b ist derselbe Versuch für eine gleich dicke konkav-konvexe Linse wiederholt; beide Hauptebenen sind nach links verschoben, und die objektseitige Hauptebene fällt sogar aus dem Linsenkörper heraus. Die letzte Abb. 1,96 zeigt den schiefen Durchgang eines Strahles

a

b

Abb. I, 95. Verlauf von drei parallelen Strahlen durch eine dicke konkav-konvexe Linse o) Einfall der Strahlen von links b) Einfall der Strahlen von rechts

durch eine bikonvexe Linse. Der Strahl fällt dabei so auf die Linse, daß die geradlinige Verlängerung des einfallenden bzw. austretenden Strahls die Achse in den beiden Knotenpunkten schneidet. Da sich vor und hinter der Linse dasselbe Medium (Luft) befindet, stellen die Knotenpunkte gleichzeitig die beiden Hauptpunkte dar. Nach Definition der Knotenpunkte müssen die in die Linse eintretenden und aus ihr austretenden Strahlen mit der Linsenachse gleiche Winkel bilden, d. h. der Strahl erleidet in diesem Fall beim Durchgang durch die Linse nur eine

94

Strahlenoptik

Parallelverschiebung, sein Schnittpunkt mit der Achse heißt der optische Mittelpunkt der Linse. Über seine Lage in einer Linse von endlicher Dicke können wir noch folgendes aussagen: In der Abb. I, 97 sind von den Krümmungsmittelpunkten der die Linse begrenzenden Kugelflächen die beiden einander parallelen Radien M1 Rx und M2 Ä2 gezogen. Die Verbindungslinie ÄJ-RJ sei ein Teil eines die Linse durchsetzenden Strahles P R1R2Q, von dem vorausgesetzt sei, daß er durch den optischen Mittelpunkt gehe. Für diesen Strahl wirkt die Linse wie eine planparallele Platte, und zwar eine solche, die von den beiden parallelen Tangentialebenen T1 und T2 durch R1 und R2 gebildet würde. Die geradlinige Verlängerung des einfallenden und die

rückwärtige Verlängerung des austretenden Strahles liefern wieder die beiden Knotenpunkte K j und K a . Für die Lage des optischen Mittelpunktes O, in dem der Strahl die Achse schneidet, folgt aus der Ähnlichkeit der Dreiecke OR1M1 und OR2Mi die Proportion: 0RX: OR2 = r-L: r2 . Wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke OR1S1 und 0R2S2 ist ferner: 0S1: 0S2 = 0R1: so daß die Beziehung besteht:

0Sl: 0S2 =

0R2, : r2 ,

in Worten: Der optische Mittelpunkt einer Linse teilt die Linsendicke im Verhältnis der Krümmungsradien ihrer Flächen. Die Eigenschaft der Knotenpunkte, wonach die durch sie hindurchgehenden Strahlen im Gegenstands- und Bildraum parallel verlaufen, läßt sich zur e x p e r i m e n t e l l e n B e s t i m m u n g d e r H a u p t p u n k t e (Hauptebenen) einer Linse oder eines Linsensystems benutzen. Man setzt zu diesem Zweck das System 0 auf ein Stativ St, das auf einem Schlitten Sch verschiebbar angeordnet ist, wobei die Verschiebung parallel der optischen Achse des Systems erfolgt (Abb. 1,98). Die

95

Abbildung durch Linsen

Schiene selbst ist auf einer Drehachse A angebracht. Entwirft man mit dem System 0 das Bild einer Lichtquelle auf einem Schirm, so wird dieses Bild im allgemeinen beim Drehen des Systems um die Achse A hin und her wandern und nur dann stillstehen, wenn die Drehachse durch den bildseitigen Knotenpunkt geht und die Drehungswinkel genügend klein sind, so daß sin cp mit tan

tjvjovi

rrp no'

sr

A dAbb. I, 99. System aus zwei Linsen I und II mit zugehörigen Brennpunkten und Hauptebenen A = optisches Intervall

Strahlenoptik

96

Dann kann man, auoh ohne den Verlauf der Strahlen im einzelnen verfolgen zu können, folgende Aussagen machen, wobei wie immer vorausgesetzt sei, daß man sich im Bereich Gaußscher Abbildung befindet: Einem von links kommenden, zur Systemachse parallelen Strahl muß im Bildraum 1 von I ein Strahl 1' entsprechen, der im hinteren Brennpunkt F i der Linse I unter einem Winkel v! die Achse schneidet. Die Linse I I bilde F i im Punkt F ' ab. Dementsprechend wird den Strahlen 1 bzw. 1' nun ein Strahl 1" im Bildraum des Gesamtsystems entsprechen, etwa unter dem Winkel u". Im übrigen ist es nicht notwendig, daß die gezeichneten Strahlen die Achse real in den angegebenen Punkten schneiden. Die in Abb. 1,99 eingezeichneten Richtungen von 1' und 1 " und die Lage von ¿tf", der hinteren Hauptebene des Systems, dienen daher nur zur Definition der vorkommenden Größen und sind nicht Wiedergabe realer Verhältnisse. Dies Verfahren soll besonders unterstreichen, daß es bei der Ableitung der folgenden Beziehungen nur auf die Voraussetzung der Existenz einer Gaußschen Abbildung und auf die Definition ankommt, nicht aber auf irgendeinen realisierten Strahlengang, den sich der Leser selbst konstruieren kann. Aus der Gaußschen Definition der Brennweite, Gl. (I, 29), folgt sodann für die hintere Brennweite /' des Gesamtsystems '

,, _

y

tan u"

_

y tan u' tan u' tan u"

Nach Gl. (I, 35 a) ist tan u'/tan u" — f'2/x , wo x den Abstand des von I I abgebildeten Gegenstands von F 2 aus bedeutet, also in der Bezeichnung von Abb. 1,99, x = — A = — (d — f[ — / 2 ). Außerdem ist, wieder auf Grund der Brennweitendefinition, 2//tan u' = f [ , also schließlich (T,47)

/ '

=

_ / ^ i

=

_ M .

=

/

.

Um die Lage von F ' und des zu ihm im Objektraum konjugierten vorderen System-Brennpunkts F festzulegen, etwa durch die Abstände E ' = F ' — oder E = F — F j von den als bekannt anzunehmenden Brennpunkten F2 oder F x , so sieht man sofort, da F ' der Bildpunkt von F j mit Bezug auf die Linse I I ist, daß auf Grund der allgemein für eine Gaußsche Abbildung gültigen Gleichung (1,24) sein muß (1,48)

(-A)

=

entsprechend ist (1,48a) 1

E-A^fl.

Unter Objekt- bzw. Bildraum versteht man nur die Zusammenfassung aller möglichen Objektpunkte bzw. der zugehörigen Bildpunkte eines optischen SyBtema. Diese „Räume" sind also keineswegs räumlich absolut getrennt; ein und derselbe reale Punkt kann je naoh Betrachtungsweise Objekt- oder Bildpunkt sein.

Abbildung durch Linsen

97

Damit ist die Abbildung durch das Gesamtsystem durch Angabe der Brennweiten und der Lage der Brennpunkte eindeutig beschrieben. Für die Abstände der resultierenden Hauptebenen von den Scheitelpunkten und S 2 folgt auf Grund von Gl. (1,44) nach einiger Rechnung UA h + U-d fid =f1 + f2-d-

(I, 49)

h' =

(1,49a)

h

Es ist ohne weiteres ersichtlich, daß man an Stelle der „Linsen" I und I I ebenso schon Linsensysteme hätte benutzen können. Für dünne Linsen, bei denen die Hauptebenen praktisch in der Linsenmitte zusammenfallen, bedeutet d den Abstand der beiden Linsenmitten. Bringt man zwei dünne Linsen zur Berührung, so daß d praktisch gleich Null wird, so erhält man aus Gl. (1,47) für die resultierende Brennweite: (L50)

/==/

' = 7T+T'

oder (1,50 a)

7 = / ' = r

+

f

Führt man statt der Brennweiten die Brechkräfte ein, so liefert die letzte Gleichung: (1,50 b)

D = D1 +

Di.

B e i zwei a n e i n a n d e r l i e g e n d e n d ü n n e n L i n s e n a d d i e r e n sich die r e z i p r o k e n B r e n n w e i t e n o d e r d i e B r e c h k r ä f t e . Es ergeben also zwei aufeinandergelegte Linsen von gleicher Brennweite eine Linse von halber Brennweite oder doppelter Brechkraft. Ein besonderer Fall tritt ein, wenn man zwei Linsen in eine solche Entfernung bringt, daß ihr Abstand d gleich der (algebraischen) Summe der Einzelbrennweiten beider Linsen wird. Dann wird das optische Intervall A entsprechend Gl. (I, 42) Null und nach Gl. (1,47) die resultierende Brennweite unendlich. Wir haben dann ein t e l e s k o p i s c h e s System vor uns, bei dem parallel einfallende Strahlen wieder als paralleles Strahlenbündel austreten. In Abb. 1,100 sind die Strahlengänge durch zwei teleskopische Systeme wiedergegeben, bei Abb. 1,100 a sind eine bikonvexe und eine plankonvexe Linse miteinander kombiniert, in Abb. 1,100 b eine plankonvexe und eine plankonkave. Die Lage des gemeinsamen Brennpunktes beider Linsen ist angegeben. Bezeichnen wir den Durchmesser des einfallenden Lichtbündels mit dt, den des austretenden mit d2, so gilt die aus Abb. 1,100 sofort ablesbare Beziehung: : d2 = : /2 . Eine solche Kombination zweier Linsen zeigt — wie der Leser bemerken wird — sämtliche Eigenschaften, die wir bei den Stablinsen oben festgestellt haben und die zunächst überraschen, weil es sich bei diesen um e i n e Linse handelt; das Sonderbare verschwindet, wenn man, wie hier, zwei Linsen in variablem Abstand betrachtet.

98

Strahlenoptik

Abb. I, 100. Verlauf von 5 parallelen Lichtstrahlen durch ein teleskopisches System, das aus einer bikonvexen und plankonvexen Linse (o) bzw. aus einer plankonvexen und einer plankonkaven Linse (6) besteht

Bestimmung der Brennweite. Zur Frage der experimentellen Bestimmung der Brennweite ist folgendes zu sagen: Bei dünnen Sammellinsen läßt sich die Brennweite aus der Abbildungsgleichung (I, 46a) ermitteln, indem man mit der Linse einen Gegenstand, z. B . ein in eine Metallscheibe eingeschnittenes, von der Rückseite beleuchtetes Zeichen (Buchstabe) auf einer Mattscheibe scharf abbildet und die Gegenstandsweite g und Bildweite b mit einem Maßstab bestimmt. Dann folgt aus (I, 46 a):

Ein zweites Verfahren besteht darin, daß man die auszumessende Sammellinse vor ein auf Unendlich eingestelltes Fernrohr setzt und damit (durch die Linse hindurch) einen Gegenstand (Skala) betrachtet. Damit man ein scharfes Bild bekommt, muß der Gegenstand sich in der Brennebene der Linse befinden, denn nur dann werden alle vom Objekt ausgehenden Strahlen nach Brechung in der Linse als parallele Strahlen in das Fernrohr eintreten. Auch die Brennweiten von Zerstreuungslinsen lassen sich auf diese beiden Arten bestimmen, indem man die zu untersuchende Zerstreuungslinse mit einer Sammellinse von solcher Brechkraft kombiniert, daß das resultierende System noch als Sammellinse wirkt. Bezeichnen fz die gesuchte Brennweite der Zerstreuungslinse, /a die der benutzten Sammellinse und /k die der Kombination, so folgt aus (I, 50 a):

V/.

Abbildung duroh Linsen

99

Bei Linsen mit nicht mehr zu vernachlässigender Dicke werden die beschriebenen Verfahren dadurch unsicher, daß die von der Linse aus zu messenden Entfernungen nicht mehr genau definiert sind. In diesem Fall hilft eine von F. W. Bessel (1840) angegebene Methode weiter. Wählt man nämlich den Abstand von Objektund Bildebene größer als die vierfache Brennweite der Linse, so gibt es zwischen diesen beiden Ebenen zwei Stellungen der Linse, bei denen eine scharfe Abbildung erfolgt. Man kann nämlich in der Abbildungsgleichung (1,46 a) die Werte von g und b gegeneinander austauschen, wobei man einmal ein vergrößertes, das andere Mal ein verkleinertes Bild des Gegenstandes in der festgehaltenen Bildebene B erhält. Die dazu erforderlichen beiden Linsenstellungen sind in bezug auf 0 und B

Abb. I, 101. Bestimmung der Brennweite einer Linse mittels der Besselschen Methode

symmetrisch; der Abstand beider Einstellungen sei d, die Entfernung von 0 und B sei e. Dann ist, wie aus Abb. 1,101 hervorgeht, dag — b' und b = g' ist:

g + 6 = e und g — b = d . Addition und Subtraktion beider Gleichungen liefern:

9 = y (e + d) und

b = y (e — d).

Setzt man diese Werte für g und b in die Abbildungsgleichung (1,46 a) ein, so folgt:

Dabei ist allerdings vorausgesetzt, daß der Abstand der beiden Hauptebenen in der zu messenden Linse so klein ist, daß er gegen die Brennweite vernachlässigt werden kann. Beträgt dieser Abstand j, so ist genauer

e = g + b + j, und man findet für /: '

. _ 1 (, —fl» —«j» 4

e— j

Mit folgendem, von E . A b b e (1904) herrührenden Verfahren läßt sich die wirkliche Brennweite, d. h. der Abstand des Brennpunktes von der zugehörigen

100

Strahlenoptik

Hauptebene ermitteln. Nach der Abbildungsgleichung (I, 46a) ist für zwei verschiedene Stellungen I und I I von Objekt, Linse und Bild, wie sie Abb. 1,102 zeigt: * = /(i + t ) ;

* =

+

woraus durch Subtraktion i

=

gi — ga Silk — g2/&2

folgt. Nun kann man für das Verhältnis von Gegenstands w e i t e zu Bildweite das Verhältnis von Gegenstands g r o ß e zu Bildgröße einsetzen, so daß man erhält: f_ gl — ?2 gl — 92 _ ( g l ~ g 2 K" 2 = '

G1/B1 — GJB2

lK — l/Vt

v2 — vx

'

wobei vt = BJ^/OJ^ und v2 = / G2 die in beiden Stellungen gemessenen Lateralvergrößerungen bedeuten. Man hat also zur Bestimmung der Brennweite / bei

zwei verschiedenen Gegenstandsweiten g1 und g2 (die sich zwar auf den Abstand des Gegenstandes von ihrer der Lage nach unbekannten Hauptebene beziehen aber nicht selbst, sondern nur mit ihrer Differenz g1 — g2 bekannt zu sein brauchen) die zugehörigen Größen von Gegenstand und Bild, d. h. die Lateralvergrößerungen v1 und t' 2 , zu messen. Die diesem Zweck dienenden Apparate heißen Fokometer. Wir haben bisher nur Linsen betrachtet, die aus einem stärker brechenden Stoff (z. B. Glas) als ihre Umgebung (Luft) bestehen. Liegt der Fall aber umgekehrt, daß die Linse aus einem Medium besteht, dessen Brechzahl kleiner als die der Umgebung ist, so wirken Konvexiiiisen als Zerstreuungslinsen und Konkavlinsen als Sammellinsen, da sich in den Gleichungen (I, 38 a) bis (I, 44 a) die Vorzeichen der Glieder (n2 — %) und (n3 — n2) umkehren. Man kann

Abbildung durch Linsen

101

dies zeigen, indem man sich aus zwei Uhrgläsern eine bikonvexe Linse oder unter Zuhilfenahme eines Metallringes eine bikonkave zusammenkittet, die als Linsenmedium Luft enthält. Taucht man solche „Luftlinsen" in Wasser, so wird ein Parallelstrahlenbündel durch eine Konvexlinse zerstreut und durch die Konkavlinse in einem Brennpunkt gesammelt. Zum Schluß dieses Abschnittes seien noch zwei besondere Linsenformen erwähnt, die für Scheinwerfer und Beleuchtungszwecke Anwendung finden. Will man z. B . das von einer Lichtquelle (Glühlampe, Krater einer Bogenlampe) ausgehende Licht zu einem parallelen Strahlenbündel zusammenfassen, so muß man die Lichtquelle in den Brennpunkt einer Sammellinse stellen. Um dabei möglichst viel Licht zu erfassen, ist eine Linse von kurzer Brennweite und möglichst großem Durchmesser, also großem Öffnungsverhältnis (siehe weiter unten) erforderlich. Kurze Brennweite bedingt aber nach (I, 41 b) kleine Krümmungsradien, d. h. dicke und schwere Linsen. Z. B . würde eine Bikonvexlinse aus Kronglas (n = 1,5) bei einer Brennweite von 22 cm und einem Durchmesser von 27 cm bereits eine Dicke von 10 cm besitzen. Abgesehen vom hohen Gewicht und den großen Abbildungsfehlern solcher Linsen besteht noch die Gefahr, daß die Linsen bei einseitiger Erwärmung durch die Lichtquelle leicht zerspringen. Zur Vermeidung dieser Nachteile hat A. F r e s n e l (1820) Stufen-(Ring-)linsen angegeben, die aus einer Hauptlinse bestehen, die mit ringförmigen Ausschnitten aus Linsen von größerer Öffnung umgeben ist. Abb. I , 103 zeigt zwei Ausführungsformen solcher Linsen, wie sie bei Scheinwerfern von Leuchttürmen, Kraftwagen usw. verwendet werden.

Eine zweite Art von Linsen sind die sog. Spiegellinsen. Bekanntlich läßt sich ein sphärischer Hohlspiegel zur Erzeugung eines parallelen Strahlenbündels von einer in seinem Brennpunkt befindlichen Lichtquelle nur bei kleinem Öffnungsverhältnis, d. h. bei kleinem Spiegeldurchmesser, verwenden. Der für diese Zwecke ideale Parabolspiegel ist wegen seiner asphärischen Fläche verhältnismäßig schwer herstellbar. Der französische Pionieroffizier A. M a n g i n hat daher 1876 einen sphärischen Hohlspiegel angegeben, der dem einfachen Kugelspiegel weit überlegen ist. Nach Abb. I , 104 stellt ein derartiger M a n g i n s p i e g e l einen negativen Meniskus dar, bei dem die äußere konvexe Grenzfläche verspiegelt ist: wir haben es also mit einer Spiegellinse zu tun. Um störende Wirkungen der Reflexion des Lichtes an der vorderen (unverspiegelten) Fläche zu vermeiden, befindet sich die Lichtquelle in ihrem Rrümmungsmittelpunkt. Das Licht tritt also senkrecht in die Glasschicht ein, wird an der verspiegelten Fläche reflektiert und erfährt beim Austritt aus der vorderen Fläche eine derartige Brechung, daß die austretenden Strahlen ein paralleles Strahlenbündel bilden. Für diesen Fall gilt nach M a n g i n die Beziehung: R

~

nr2 + (2 n — 1) rd + (n — 1) d2 (2n — l)r + 2(n — l)rf

worin E den Radius der verspiegelten äußeren Fläche, r den der unverspiegelten inneren Fläche, d die Dicke des Spiegels in der Achse und n die Brechzahl des benutzten Glases bedeu-

102

Strahlenoptik

ten. Charakteristisch für die Leistungsfähigkeit aller dieser Anordnungen ist das sog. Ö f f n u n g s v e r h ä l t n i s , d. h. das Verhältnis des Durchmessers der Linse (bzw. Spiegels) zur Brennweite /. Mit Spiegellinsen lassen sich Öffnungsverhältnisse von 1: 1,5 gegenüber 1: 10 bei einfachen Kugelspiegeln erreichen. Später (1915) ist es R. S t r a u b e l gelungen, bei Spiegellinsen, bei denen eine Fläche parabolisch, die andere paraboloidähnlich gestaltet ist (sog.

M2 Abb. I, 104. Schnitt durch einen Mangin-Spiegel

.R-Spiegel), das Öffnungsverhältnis auf 5 : 1 zu erhöhen. Solche Spiegel werden in der Hauptsache für Scheinwerfer verwendet. Die an der Bückseite von Fahrzeugen angebrachten Rückstrahler stellen übrigens auch eine Art von Spiegellinsen dar. Wie Abb. 1,105 zeigt, werden die an der Vorderseite gebrochenen, nahezu parallel einfallenden Strahlen auf der verspiegelten Rückseite der Linse vereinigt und werden im selben Bündel zurückgeworfen, aus welcher Richtung auch immer die Lichtstrahlen kommen. Voraussetzung ist, daß beide Kugelflächen den gleichen Mittelpunkt haben. Die Krümmung der ersten Fläche richtet sich natürlich nach der Brechzahl des Materials, aus dem die Spiegellinse hergestellt ist (sog. K a t z e n a u g e n ) . Heute werden meist (gepreßte) Tripelspiegel aus Kunststoff oder Glas verwendet (vgl. Nr. I, 6).

Abb. 1,105. Strahlenverlauf in einem Rückstrahler (Katzenauge)

1,10. Die Abbildungsfehler der Linsen Das bisher über die optische Abbildung durch Linsen Gesagte gilt nur für achsennahe Strahlen. Dieser Idealfall tritt aber in Wirklichkeit nur selten auf; wir haben es vielmehr meistens mit Strahlen zu tun, die auch durch die Rand-

Die Abbildungsfehler der Linsen

103

gebiete der Linse gehen oder die Achse unter Winkeln schneiden, für die man nicht mehr den Sinus oder den Tangens mit dem Bogen vertauschen darf. Dann tritt bei gewöhnlichen Linsen eine Anzahl von Mängeln der optischen Abbildung auf, die man als Abbildungsfehler bezeichnet. Die hauptsächlichen Fehler sind: 1. 2. 3. 4. 6. 6.

die sphärische Aberration (öffnungsfehler), die Koma, der Astigmatismus, die Krümmung der Bildebene (Bildfeldwölbung), die Verzeichnung oder Verzerrung der Abbildung (Distorsion), die chromatische Aberration (Farblängsfehler und chromatische Vergrößerungsdifferenz).

Die sphärische Aberration. Wir hatten bereits beim sphärischen Hohlspiegel gesehen, daß nur die achsennahen Parallelstrahlen im Brennpunkt des Hohlspiegels vereinigt werden, während die achsenfernen Strahlen die Achse in Punkten schneiden, die näher am Scheitelpunkt des Spiegels liegen. Das gesamte auf die Spiegelfläche auftreffende Strahlenbündel bildet nach der Reflexion eine Brennfläche, deren Schnitt mit einer durch die Achse gelegten Ebene die Katakaustik ergibt. Entsprechendes gilt auch bei den Linsen. Eine Umwandlung der achsenparallelen Strahlen in Strahlen durch den Brennpunkt und umgekehrt findet nur im paraxialen Gebiet statt: es werden keineswegs sämtliche auf eine Linse mit großer Öffnung fallende achsenparallele Strahlen in einem Brennpunkt vereinigt. Wie z. B. der an einer plankonvexen Linse aufgenommene Strahlengang (Abb. I, 106a) zeigt, haben die Randstrahlen eine kürzere Schnittweite als die

Abb. I, 106. Bei einer plankonvexen Linse haben die Randstrahlen eine sehr viel kürzere Schnittweite als die achsennahen Strahlen, wenn das Licht die Linse von der planen Seite her durchsetzt (a); im umgekehrten Fall (b) verringert sich die sphärische Längsaberration

Strahlen in Achsennähe. Der Abstand der Brennpunkte F r und F m (die Indizes ,,r" und ,,m" weisen auf „Rand" und „Mitte" hin) liefert eine Darstellung des Öffnungsfehlers als Längsaberration der Linse. Denken wir uns durch den Brenn-

104

Strahlenoptik

punkt F m der achsennahen Strahlen eine Bildebene senkrecht zur Achse gelegt, so bilden die Randstrahlen, die vom Brennpunkt F r kommen, auf dieser Ebene einen Kreis. Man erhält damit eine Darstellung des öffnungsfehlers als Queraberration (Lateralaberration). In Abb. I, 107 fällt auf eine bikonvexe Linse ein paralleles Strahlenbündel; man erkennt deutlich hinter der Linse die Form der D i a k a u s t i k . Das alle Strahlen umfassende Lichtbündel zieht sich hinter der Linse nicht mehr in einem B r e n n p u n k t zusammen, sondern sein engster Querschnitt ist eine kleine Kreisfläche, der sog. A b w e i c h u n g s k r e i s . Die sphärische Aberration ist bei gegebener Linsenöffnung u m so größer, je stärker die Linsenkrümmung, d. h. je kürzer die Brennweite ist. Sie ist jedoch nicht nur von der Linsenform abhängig, sondern auch wesentlich durch die Art

Abb. I, 107. Diakaustik hinter einer bikonvexen Linse

der Brechung in der Linse bedingt. Dreht man z. B. die in Abb. 1,106a benutzte plankonvexe Linse um, so daß sie ihre konvexe Seite dem einfallenden Licht zukehrt (Abb. 1,106b), so wird die Aberration wesentlich kleiner. I m letzteren Fall sind beide Flächen der Linse an der Brechung beteiligt, während im Fall der Abb. 1,106a an der Planfläche keine Brechung stattfindet. Es gilt dabei d i e a l l gemeine Regel, die Linse zwecks E r r e i c h u n g möglichst k l e i n e r Aberr a t i o n so zu b e n u t z e n , d a ß d i e B r e c h u n g m ö g l i c h s t auf b e i d e F l ä c h e n g l e i c h m ä ß i g v e r t e i l t i s t . Man kann die Aberration weiter dadurch verringern, daß man bei einfachen Linsen die Krümmungsradien möglichst groß hält, aber dafür, um die Brennweite nicht zu groß werden zu lassen, ein hochbrechendes Glas wählt. Schließlich läßt sich auch durch passende Wahl der Krümmungsradien eine Verringerung der Aberration erzielen. Für eine sehr große Objektweite erreicht bei gegebener Brennweite und Linsenöffnung die sphärische Aberration (nach L. E u l e r , 1762) ein Minimum, wenn das Verhältnis rjr2 der Krümmungsradien der Bedingung rx r2

4 + n — 2m.2 2 n2 + n

genügt. Dies ergibt z. B. für n = 1,5 den Wert r1jr2 = — 1 / 6 , was entweder einer Bikonvex- oder Bikonkavlinse entspricht, wobei die stärker gekrümmte Fläche dem einfallenden Licht zugewandt sein muß. Die folgende Tabelle ergibt einen Überblick über die Größe der Längsaberration, die sich bei einer Linse der Brennweite 100 mm und vom Durchmesser 20 mm in Abhängigkeit von ihrer Form ergibt.

Die Abbildungsfehler der Linsen

105

Sphärische Aberration Form der Linse / = 100 mm; h = 10 mm 1. Plankonvexlinse; Planfl. dem einfallenden Licht zugekehrt . . . 2. Bikonvexlinse, mit gleichen Radien 3. Plankonvexlinse, konvexe Fl. dem einfallenden Licht zugekehrt 4. Günstigste Linsenform, bei ra = 1,5 bikonvex, bei n = 2 konkav-konvex, die stärker gekrümmte Fläche dem einfall. Licht zugekehrt

r

:r

l 2

n = 2 sphär. Aberration

4,5 mm

OO

2,0 mm

1

1,67 mm

1

1,0 mm

0

1,17 mm

0

0,5 mm

1:6

1,07 mm

1:5

0,44 mm

:r

l 2

n = 1,5 sphär. Aberration

oo

r

In Abb. I, 108 ist die Art und Weise dargestellt, wie man in der rechnenden Optik die sphärische Aberration graphisch anzugeben pflegt. Man zeichnet ein Koordinatensystem, dessen horizontale Achse durch die optische Achse und dessen senkrechte Achse durch ein im Brennpunkt F m der achsenparallelen Strahlen errichtetes Lot E gebildet wird. Die sphärische Aberration wird dann durch die Kurve K wiedergegeben, bei der die Ordinaten die Einfallshöhen hv h2 usw. der achsenparallelen Strahlen vor der Linse, die Abszissen die sphärischen Längsaberrationen dieser Strahlen, d. h. die Entfernungen ihrer Achsenschnittpunkte F 1 , F 2 usw. von dem Punkt F m sind.

Abb. I, 108. Graphische Darstellung der sphärischen Aberration

Auch Zerstreuungslinsen haben eine sphärische Aberration. Man findet sie, indem man die von der Linse gebrochenen, parallel einfallenden Strahlen für die Mitte und den Rand der Linse rückwärts bis zum Schnitt mit der Achse verlängert. Durch die Kombination einer Konvexlinse mit einer Konkavlinse größerer Brennweite ist eine Verminderung der Aberration möglich; dabei kann man den Grad der Verbesserung durch verschiedene Entfernung der Linsen verändern und das System sogar überkorrigieren, d. h. das Vorzeichen der Aberration umändern, so daß die achsennahen Strahlen die kleinere, die achsenfernen die größere Brennweite bekommen; entsprechend ist dann Abb. 1,108 abzuändern. Um eine aberrationsfreie Abbildung bei sehr großen Öffnungswinkeln zu erreichen, wie sie bei Mikroskopobjektiven bis zu Werten von nahezu 180° vorkommen, benutzt man nach G. B. Amici die Tatsache, daß es bei jeder kugelförmigen Linse unendlich viele Punkte innerhalb derselben gibt, derart, daß alle von ihnen

106

Strahlenoptik

ausgehenden Strahlen so gebrochen werden, daß sie bei der Rückwärtsverlängerung genau, also ohne jede sphärische Aberration, wieder durch den entsprechenden konjugierten Punkt gehen. Wir haben bereits am Anfang von I, 7 gezeigt, wie man mittels der Weierstraß sehen Konstruktion diese Punkte finden kann. Bei einem Mikroskopobjektiv benutzt man eine halbkugelförmige Frontlinse, deren Brechzahl n und deren Radius r sei, die ihre ebene Fläche dem abzubildenden punktförmigen Objekt zuwendet. Letzteres bettet man in ein Medium, das dieselbe Brechzahl n wie das Glas der Linse hat, und fügt zwischen das Objekt und die Linse eine Flüssigkeit, die ebenfalls dieselbe Brechzahl aufweist (z. B. Zedernholzöl). Man denke sich nun um den Mittelpunkt M der Frontlinse mit dem Radius r/», wie in Abb. I, 70, eine Hilfskugel 2, die die Mikroskopachse in A trifft; dorthin wird das Objekt gebracht. A ist dann der auf der Achse liegende aberrationsfreie Punkt, dem der konjugierte Punkt B entspricht, der gleichfalls auf der Achse, und zwar auf dem Schnittpunkt derselben mit der Hilfskugel 1 vom Radius nr liegt. Wie Abb. 1,109 zeigt, wird dann aus dem stark divergenten, von A ausgehenden Lichtbüschel ein weniger divergentes Strahlenbüschel, das von dem virtuellen Punkt B herzukommen scheint. Man kann nun hinter der Halbkugellinse einen positiven Meniskus so anbringen, daß der Mittelpunkt seiner inneren Fläche mit dem Punkt B zusammenfällt, während ihre äußere Fläche einen solchen Radius hat, daß B wieder im aberrationsfreien Punkt dieser Kugelfläche liegt. Dann treten die Strahlen in diese Linse ohne Brechung ein und verlassen sie so, als ob sie von einem noch weiter entfernten Punkt C herkämen, wobei auch dieser Strahlengang aberrationsfrei ist. Durch Anbringung einer dritten, vierten usw. konkav-

konvexen Linse kann man immer weiter nach links liegende, virtuelle, aber aberrationsfreie Bilder vom Objekt A erzeugen und so die Divergenz des ursprünglichen Strahlenbüschels sukzessive verkleinern, ohne daß Aberrationsfehler auftreten. Freilich beschränkt man sich meistens auf die ersten beiden Linsen, da andere Linsenfehler, hauptsächlich chromatische, zu sehr anwachsen. Wenn man es auch durch das soeben beschriebene Verfahren erreicht hat, daß durch die Linse oder das Linsensystem ein Achsenpunkt durch weitgeöffnete Strahlenbüschel aberrationsfrei in einen wieder auf der Achse liegenden Bildpunkt abgebildet wird, so ist damit noch keineswegs die weitere Forderung erfüllt, daß

Die Abbildungsfehler der Linsen

107

eine kleine senkrecht zur Achse stehende Figur wieder in eine ihr genau ähnliche Figur abgebildet wird. Wenn wir durch eine aberrationsfreie Linse einen zur Achse senkrechten Gegenstand 001 abbilden wollen, so kann dies nach Abb. 1,110 in zweierlei Weise geschehen, und zwar entweder durch ein schmales achsennahes Bündel (Abb. 1,110 a) oder durch ein nur aus Randstrahlen gebildetes Strahlenbüschel (Abb. 1,110b). Es kann sein, daß diese beiden Bilder nicht gleich groß ausfallen, die Lateralvergrößerung also unterschiedliche Werte annimmt. Die

V

Abb. 1,110. Abbildung eines Gegenstandes durch eine bikonvexe Linse vermittels eines achsennahen (a) oder randnahen (b) Strahlenbündels

dadurch bedingte unscharfe Abbildung eines seitlich der Achse gelegenen Punktes tritt aber dann nicht ein, wenn Gleichheit der lateralen Vergrößerung für alle Zonen des abbildenden Systems besteht. E. Abbe (1873) und H. v. Helmholtz (1874) haben nachgewiesen, daß dafür die Beziehung (1,51)

n sin u: n' sin u' = y' \y = Const.

bestehen muß, wenn n und n', wie üblich, die Brechzahlen im Gegenstandsraum und Bildraum bedeuten. Für den Normalfall, daß n = n' ist, geht diese sog. Sinusbedingung in die Gestalt über: (I, 51a)

sin u : sin u' = y' :y = Const.

Den Beweis dieses für die Optik wichtigen Satzes, den wir hier nicht bringen, hat Helmholtz in der Weise geführt, daß er verlangte, daß die Energiestrahlung, die von der Oberfläche des Objektes ausgeht, vollständig in die Oberfläche des ähnlichen Bildes eintritt. Nach Abbe heißt ein optisches System, das die Sinusbedingung erfüllt und somit auch für die außerhalb der Achse liegenden Punkte aberrationsfrei ist, aplanatisch. Die dafür erforderlichen Bedingungen sind aber nur für bestimmte bei der Konstruktion des Bildes zugrunde gelegte Gegenstands- und Bildorte zu erfüllen. Die Punkte, für die sie erfüllt sind, heißen gleichfalls a p l a n a t i s c h e P u n k t e . Nebenbei sei bemerkt, daß für die beiden konjugierten Punkte B und C der Abb. I, 70 (Brechung des Lichtes an einer Kugelfläche) die Sinusbedingung erfüllt ist. Bezeichnen wir in der genannten Abbildung den Winkel ABC mit «, den Winkel ACM mit und beachten, daß MAC = ABC, also ebenfalls gleich u ist, so gilt für das Dreieck ACM die Beziehung sin MAC: sin ACM = sin u: sin u' = MC-.MA = n x :w 2 = const. Daher werden auch die beiden Punkte B und C aplanatische Punkte genannt.

108

Strahlenoptik

Schließlich sei darauf hingewiesen, daß die Sinusbedingung (1,51) nicht mit der H e l m h o l t z - L a g r a n g e s c h e n Gl. (1,32) verwechselt werden darf. Nur für paraxiale Strahlen, für die sin u = tan u = u gesetzt werden kann, fallen beide Bedingungen zusammen. Dagegen stehen für größere Werte von u beide Bedingungen in direktem Gegensatz, so daß mit einem aplanatischen System, das für die Abbildung zweier Flächenelemente ineinander notwendig ist, die Bedingungen der sog. „ k o l l i n e a r e n " Abbildung, d. h. die punktweise Abbildung beliebig großer Räume durch weit geöffnete Strahlenbüschel, physikalisch n i c h t zu verwirklichen sind. Die Koma. Bildet man durch eine Linse wie in Abb. 1,111 einen stark seitlich von der Achse liegenden Punkt P auf einem Schirm ab, so erhält man infolge der

Abb. I, 111. Entstehung einer unsymmetrischen kaustischen Kurve beim schiefen Durchgang eines Strahlenbüschels durch eine bikonvexe Linse

Abb. I, 112. Verlauf von fünf parallelen Strahlen beim schiefen Durchgang durch eine plankonvexe Linse

sphärischen Aberration kein scharfes punktförmiges Bild, sondern eine einseitig stark verzerrte Figur, die infolge der unsymmetrisch auftretenden kaustischen Kurve (Abb. 1,112) entsteht. An einen einigermaßen scharfen Kern schließt sich eine kometenschweifartige Figur an (Abb. 1,113a), so daß man der Erscheinung den Namen Koma, (vom griechischen x o f i a . oder x o f i r ] , Haar) gegeben hat. Die Koma ist also ein Abbildungsfehler, der auf einer einseitigen Lichtanhäufung in der Bildebene beruht. Wie man aus der Abb. 1,111 sieht, ist die Gestalt der Koma zu der durch P und die optische Achse der Linse gelegten Meridianebene (Zeichenebene von Abb. 1,111) symmetrisch. Dies zeigt die Aufnahme Abb. 1,114, die die

109

Die Abbildungsfehler der Linsen

a

b

c

d

Abb. I, 113. Verschiedene Formen der bei schiefem Lichtdurchgang durch eine Sammellinse entstehenden Koma. a) Bild einer punktförmigen Lochblende bei Benutzung des Strahlengangs von Abb. I, 111; b—d) Bilder einer punktförmigen Lochblende in verschiedenen Bildebenen bei Abbiendung der Linsenmitte und Benutzung der Randstrahlen

Abbildung eines regelmäßig gelochten Bleches durch eine bikonvexe Linse darstellt. J e weiter die einzelnen Löcher von der optischen Achse entfernt sind, um so stärker tritt bei ihnen die Erscheinung der Koma auf. Blendet man bei der Abbildung eines einzelnen seitlich der Achse gelegenen Punktes die Mitte der Linse ab, so daß nur die durch die Bandzone der Linse gehenden Strahlen zur Wirkung kommen, so erhält man überhaupt kein einigermaßen definiertes Bild des Punktes, sondern Figuren, wie sie in Abb. I, 113b—113d für verschiedene Entfernungen der Bildebene von der Linse wiedergegeben sind.

Die Erscheinung der Koma läßt sich durch hinreichendes Abblenden der benutzten Linse unterdrücken. Der Astigmatismus. Bei der Abbildung von seitlich von der Linsenachse gelegenen Punkten eines Gegenstandes durch eine Linse tritt ein weiterer Abbildungsfehler auf, indem das schräg durch die Linse tretende Lichtbüschel keinen Bild-

110

Strahlenoptik

punkfc, sondern zwei in einem gewissen Abstand liegende zueinander senkrechte Bildlinien erzeugt. Man nennt diesen Fehler Astigmatismus (Punktlosigkeit) schiefer Strahlenbüschel. Zum Verständnis dieser Erscheinung betrachte man Abb. 1,115. In dem vom seitlich der Achse gelegenen Punkt P ausgehenden Strahlenbüschel, das die Konvexlinse außerhalb ihrer Mitte trifft, sind zwei zu-

einander senkrechte Ebenen (Hauptschnitte) hervorgehoben: Die Ebene PM1Mt enthält die Linsenachse und die Büschelachse PD und wird M e r i d i o n a l e b e n e genannt; die zu dieser senkrechte Ebene PS1Si, die ebenfalls die Büschelachse, aber nicht die Linsenachse enthält, heißt S a g i t t a l e b e n e . Der Strahl PMt wird stärker, und der Strahl PM2 wird schwächer gebrochen als der Strahl PD. Alle drei vereinigen sich im Punkt BM. An dieser Stelle sind aber die Strahlen P S t und PS2 noch nicht vereinigt, da ihre Brechung schwächer ist als die von PMV Sie treffen erst im Punkt B s zusammen, wo die gebrochenen Strahlen PM X und PM2 schon wieder auseinandergezogen sind. So ergibt die Sagittalebene eine horizontale Bildlinie dort, wo die Meridianebene zu einem Punkt BM vereinigt ist, und die Meridianebene ergibt eine vertikale Bildlinie, wo die Sagittalebene ihren Bildpunkt B s hat. Es gibt also keinen gemeinsamen Bildpunkt, sondern zwei Bildlinien, die in zwei zueinander senkrechten Ebenen liegen. Der Abstand zwischen den Bildlinien wird astigmatische Differenz genannt. Bringt man hinter der Linse einen Schirm senkrecht zur Büschelachse an die Stelle A, so hat der auf ihm entstehende Lichtfleck die Gestalt einer horizontal liegenden Ellipse, an der Stelle B die einer vertikal stehenden Ellipse, während er in der Mitte zwischen den beiden Bildlinien an der Stelle C die Form eines Kreises annimmt. (Kreis der k l e i n s t e n K o n f u s i o n . ) Nur an den Stellen BM und B 8 erhält man ein einigermaßen scharfes Bild einer Linie (Abb. 1,116). Je schiefer die Lichtstrahlen

Die Abbildungsfehler der Linsen

111

Abb. I, 116. Querschnitte des in Abb. I, 115 gezeichneten Lichtbündels hinter der Linse an den Stellen A, B u , C, B s und B

die linse durchsetzen, desto weiter rücken die Bildlinien auseinander, desto stärker ist der astigmatische Fehler. Bildet man schräg durch eine Linse ein Kreuzgitter ab, so wird entweder nur die eine oder die dazu senkrechte andere Schar der Gitterstriche deutlich abgebildet, und zwar jede nur am Ort der zu ihr parallelen Bildlinie. Bei der Abbildung eines zur Achse der Linse senkrecht stehenden Gegenstandes macht sich der Astigmatismus durch eine Unschärfe am Bildrand bemerkbar ( a s t i g m a t i s c h e Verzerrung), auf die wir bei der Besprechung der Bildfeldwölbung näher eingehen werden. Die rechnerische Bestimmung der Lage der Bildpunkte BM und Bs ist nicht einfach, i m Falle einer dünnen Linse liefert die Rechnung noch recht überschaubare Resultate, wenn man zusätzlich annimmt, daß die Blende sich in der Linsenebene befindet und die Abstände der Gegenstandspunkte G von der optischen Achse gering sind. Liegen die Gegenstandspunkte G auf einer Ebene senkrecht zur optischen Achse, deren Schnittpunkt G 0 sein möge (vgl. Abb. I, 119), so liegen die Bildpunkte BM und B s auf Kugelflächen mit den Krümmungsradien B u und Äs. Die Kugelflächen berühren sich in dem Bildpunkt B 0 von G 0 . Die Kugelmittelpunkte liegen auf der optischen Achse zwischen B 0 und der Linse. Für die Krümmungsradien Mm und Rs gilt l / Ä s = (n + 1) D und l/_ß M = (3» + 1) D, wobei D die in Gleichung (I, 45 c) angegebene Brechkraft der dünnen Linse ist. Da die Bedingungen D > 0 und n > 1 erfüllt sind, erhält man das Ergebnis, daß der Krümmungsradius i?s größer als Ä M ist. Das bedeutet aber, daß der Bildpunkt BM von einem Gegenstandspunkt G vor Bs liegt.

Strahlenoptik

112

Ein besonderer Typus astigmatisch brechender Flächen ist die Z y l i n d e r f l ä c h e (Abb. 1,117); bei ihr werden auch von der Achse ausgehende Strahlen zu einem astigmatischen Strahlenbündel. Die von dem Objektpunkt P kommenden Strahlen, die die Zylinderfläche längs der Kreislinie abc schneiden, werden in dem reellen Bildpunkt auf der Achse hinter der Fläche vereinigt, während die längs der Geraden dbe einfallenden Strahlen nach der Brechung von dem virtuellen Bildpunkt B 2 vor der Fläche herzukommen scheinen. Stellt man in P ein Kreuzgitter als Objekt so auf, daß seine beiden Linienscharen parallel zu abc und de verlaufen, so werden die vertikalen Linien V in der durch B x gehenden Ebene als reelles Bild, die horizontalen Linien H als virtuelles Bild in einer durch B 2 gehenden Ebene abgebildet. Man erhält also in der Ebene B x eine vertikale Linie als reelles Bild eines flächenhaften Gegenstandes, der sich in der Ebene von P befindet. A s t i g m a t i s m u s tritt nicht nur bei der Brechung an gekrümmten Flächen, sondern ganz a l l g e m e i n bei der B r e c h u n g eines L i c h t b ü s c h e l s an e i n e r e b e n e n F l ä c h e a u f . In Abb. I, 118 sei z. B. TT eine brechende Fläche, etwa die Grenzfläche zwischen Luft und Glas oder Wasser. Von dem leuchtenden Punkt P falle ein eng begrenztes Strahlenbüschel schräg auf die Fläche TT. Der Mittelstrahl des Büschels treffe die Fläche in A, die Begrenzung des Büschels auf der Fläche sei durch die Ellipse M1S1M2S2 angedeutet. Wir fällen vom Punkt P auf die Fläche das Lot, das diese im Fußpunkt F trifft; die Verbindungslinie von F und A schneidet die Ellipse in Mx und M2. Die von P aus nach Mx und M2 einfallenden Strahlen des Büschels werden so gebrochen, daß sie nach der Brechung in der Einfallsebene PFA bleiben. Ihre rückwärtigen Verlängerungen schneiden sich in dem virtuellen Bildpunkt B M . Man nennt, Ä

V

Abb. 1,118. Astigmatismus bei der Brechung eines Lichtbüschels an einer ebenen Fläche wie oben, diese in der Einfallsebene bleibenden Strahlen des Büschels die Meridionalstrahlen. Anders liegen die Verhältnisse bei den Strahlen, die von P nach den Enden Sx und Sa des senkrecht zu MXM2 gezogenen Ellipsendurchmessers verlaufen: Diese Strahlen bestimmen die Sagittalebene des Büschels. Die Strahlen PSl und PS2 werden so gebrochen, daß ihre rückwärtigen Verlängerungen sich in dem Punkt B s schneiden, der auf der Verlängerung von FP liegt. Die Brechung des Strahlenbüschels an der ebenen Fläche erfolgt also so, daß die gebrochenen Strahlen von zwei virtuellen, in einer gewissen Entfernung liegenden Bildpunkten herzukommen scheinen. Man kann diesen Astigmatismus an einer ebenen Fläche beobachten, wenn man z. B. mit einem Mikroskop schräg durch eine planparallele dickere Glasplatte eine beleuchtete Blendenöffnung betrachtet. Es gibt dann zwei Einstellungen des Mikroskops, in denen man die Blendenöffnung scharf sieht.

Die Abbildungsfehler der Linsen

113

Krümmung der Bildebene (Bildfeldwölbung). W i r fanden im Vorhergehenden,

daß der astigmatische Fehler, d. h. der Abstand des meridionalen und des sagittalen Bildcss um so größer ist, je schiefer das betreffende Lichtbündel die Linse durchsetzt. In Abb. 1,119 sind diese Verhältnisse nochmals für einige durch eine Bikonvexl nse gehende Strahlen gezeichnet, die von einem fernen Objekt kommen. Für den piraxialen Strahl 0 fallen beide Bildpunkte in einem Punkt B 0 auf der Achse zusammen. Für den Strahl 1 liegen sie bei B 1 M und B 1 S und für den Strahl 2 bei B 2M und B 2 S usw. Das Gesamtbild des abzubildenden Gegenstandes wird sich also auf ZT'ei gewölbte Bildflächen verteilen, deren Gestalt man erhält, wenn man die in Abb. 1,119 durch die Punkte B 2 M , B 1 M , B 0 und B 2 S , B 1 S , B 0 gezeichneten Kurven K^ und Ks um die Linsenachse rotieren läßt. Die so entstehenden beiden Flächen nennt man die meridionale und sagittale Bildschale. Den mittleren Ab-

Abb. I, 119. Entstehung der meridionalen (KM) und sagittalen (K s ) Bildschale bei der Abbildung durch eine bikonvexe Linse

stand der beiden auf einem Strahl liegenden Bildpunkte von der durch den Punkt B 0 gehenden Einstellebene (Gaußsehe Bildebene) nennt man die Bildfeldwölbung. Sie ist die Ursache von Unscharfen in dem optischen Bild, da es i. a. nicht möglich ist, die Auffangfläche für das Bild (Mattscheibe, photographische Platte) so zu krümmen, daß sie zwischen die beiden Bildschalen fällt. Außerdem treten infolge des Astigmatismus auch noch Verfälschungen des Bildes auf, indem die Einzelheiten des Objektteiles teils auf der meridionalen, teils auf der sagittalen Bildschale scharf wiedergegeben, gewissermaßen also aussortiert werden. Nehmen wir z. B. eine Schar konzentrischer Kreise mit einer Anzahl von Durchmessern an (Abb. 1,120a), und stellen dies Objekt senkrecht zur Achse im Gegenstandsraum so auf, daß die Achse durch den Mittelpunkt der Kreise geht, so kann man zunächst eine Einstellung der Bildebene (im Punkt B 0 der Abb. I, 119) finden, bei der die Bildmitte, und zwar sowohl die Kreise als auch die Durchmesser scharf werden (Abb. 1,120b). Wie man sieht, werden mit fortschreitender Entfernung von der Bildmitte Durchmesser und Kreise immer unschärfer. Geht man mit der Bildebene näher an die Linse heran, so findet man eine zweite Einstellung,

114

Strahlenoptik

bei der nur die äußeren Teile der Durchmesser scharf werden (Abb. 1,120c). In diesem Fall befindet sich das Bild des äußeren Kreises gerade auf der Sagittalschale (also z. B. im Punkt B 2 s der Abb. 1,119), in der nach Abb. 1,115 nur die zur Achse radialen Teile scharf abgebildet werden. Nähert man die Bildebene noch mehr der Linse, so erhält man schließlich das in Abb. 1,120d wiedergegebene Bild, bei dem nur die äußersten Kreise scharf abgebildet sind, während die anderen Kreise und die Radien unscharf sind. Der äußere Kreis liegt bei dieser Einstellung auf der meridionalen Bildschale (z. B. im Punkt B 2M der Abb. 1,119). Man benutzt das soeben beschriebene Verfahren in der Optik zur Prüfung von Linsen und Objekten auf Astigmatismus. Aufgabe der praktischen Optik ist es, durch Kombination mehrerer Linsen aus geeigneten Glassorten nicht nur den Astigmatismus durch Zusammenbringen der sagittalen und meridionalen Bildschale in

c d Abb. I, 120. Abbildung eines aus drei konzentrischen Kreisen und drei Durchmessern bestehenden Gegenstandes (o) durch eine astigmatische Linse in verschiedenen Bildebenen. In (6) geht die Bildebene durch den Punkt B 0 der Abb. I, 119: Es werden nur die Durchmesser und der Kreis in der Bildmitte scharf. In (c) befindet sich das Bild des äußeren Kreises auf der Sagittalschale, z. B. im Punkt B 2 S der Abb. I, 119, so daß nur die äußeren Teile der Durchmesser sowie der zweite Kreis, der sich zufällig auf der Meridionalschale befindet, scharf werden. Geht man mit der Bildebene noch näher an die Linse heran (d), so wird nur der äußere Kreis scharf, da er bei dieser Einstellung auf der meridionalen Schale, z. B. in Punkt B SM in Abb. I, 119, liegt

115

Die Abbildungsfehler der Linsen

eine einzige Schale zu beseitigen, sondern gleichzeitig auch die Bildfeldwölbung aufzuheben; Objektive, bei denen beide Fehler beseitigt sind, werden Anastigmate genannt. Man kann übrigens bereits durch eine geeignete vor die Linse gesetzte Blende gleichzeitig den Astigmatismus und die Bildieldwölbung annähernd korrigieren (anastigmatische Bildfeldebnung). Man erreicht dadurch, daß die meridionale und sagittale Bildschale symmetrisch zur Ebene, auf der das Bild stehen soll, zu liegen kommen, also eine nach vorn und nach hinten gewölbte Fläche bilden. Der Astigmatismus selbst bleibt also bestehen, aber es entsteht auf der Bildebene weder das eine noch das andere Bild des betreffenden Gegenstandspunktes, sondern ein verschwommener kleiner Zerstreuungskreis. Wird dieser auch noch durch genügendes Abblenden hinreichend klein gemacht, so erscheint das Bild mit ausreichender Schärfe. Verzeichnung oder Verzerrung des Bildes (Distorsion). Die bisher erörterten

Linsenfehler lassen sich, wie wir sahen, z. T. durch Abblenden der Linse, d. h. durch Einengung ihrer wirksamen Öffnung beheben. Das Anbringen einer Blende vor oder hinter der Linse kann aber trotz der erwähnten Verbesserung einen neuen Fehler hervorrufen, der sich in einer Verzerrung des Bildes bemerkbar macht. Bildet man z. B. durch eine Konvexlinse ein Kreuzgitter auf einem Schirm ab und setzt h i n t e r die Linse im Bildraum eine den Strahlengang begrenzende Lochblende, so erhält man das in Abb. 1,121a wiedergegebene Bild, das eine deutliche

a

b

Abb. I, 121. Kissenförmige (a) und tonnenförmige (b) Verzeichnung eines Kreuzgitters

Verzeichnung erkennen läßt, indem die Randpartien auseinandergezogen sind. Man spricht in diesem Fall von einer kissenförmigen Verzeichnung. Setzt man dagegen dieselbe Blende vor die Linse in den Objektraum, so erhält man das verzerrte Bild der Abb. 1,121b, bei dem die Randpartien zusammengezogen sind (sog. tonnenförmige Verzeichnung). Zum Verständnis dieser Erscheinung betrachten wir die in Abb. 1,122 gezeichneten Strahlengänge. Von dem senkrecht zur Linsenachse stehenden Gegenstand GjG^ möge der Achsenpunkt Gx in B x abgebildet werden, während das Bild des achsenfernen Punktes G2 infolge der die Linse schief durchsetzenden Strahlen näher zur Linse bei B 2 entsteht. Auf einem im Punkt B x senkrecht zur Achse aufgestellten Schirm erhält man daher von G2 einen Zerstreuungskreis mit dem Durchmesser ZZ', sein Mittelpunkt M werde

116

Strahlenoptik

von einem von G 2 kommenden, durch die Linsenmitte gehenden Strahl getroffen. Setzt man nun h i n t e r die Linse (Abb. 1,122a) die Blende Bl, die nur ein enges Strahlenbündel durchläßt, so entsteht auf dem Schirm ein wesentlich kleinerer Lichtfleck mit dem Zentrum bei M', das aber weiter von der Achse entfernt liegt; das ist dadurch bedingt, daß der Mittelstrahl 02B2 durch die u n t e r e Hälfte der Blende abgeschnitten wird. Da nun M' den Ort des Bildes von G2 angibt, ist dieses in den Randgebieten auseinandergezogen: wir erhalten also die in Abb. 1,121a dargestellte kissenförmige Verzeichnung. Analog erklärt sich nach 1,122 b die

Abb. I. 122. Erklärung der kissen- bzw. tonnenförmigen Verzeichnung durch eine hinter die Linse (o) bzw. vor die Linse (6) gesetzte Blende

tonnenförmige Verzeichnung, wenn die Blende Bl sich v o r der Linse im Objektraum befindet; die Mitte des Lichtflecks rückt dann von M näher nach der Linsenachse nach M'. Hier wird der Mittelstrahl G2B2 von der o b e r e n Hälfte der Blende abgeschnitten, die Randgebiete des Bildes werden hier zusammengezogen. Damit eine Blende keine Verzeichnung des Bildes hervorruft, muß sie so in den Strahlengang eingesetzt werden, daß sie die durch den optischen Mittelpunkt der Linse gehenden Strahlen u n g e h i n d e r t durchläßt. Dies ist praktisch nur möglich, wenn das abbildende Linsensystem aus mindestens zwei Linsen zusammengesetzt ist, damit die Blende z w i s c h e n ihnen angebracht werden kann. Derartige Linsensysteme, die keinerlei Verzerrung hervorrufen, heißen orthoskopische Objektive. Sie wurden erstmalig durch H. A. S t e i n h e i l (1865) bei dem „ P e r i s k o p " genannten System verwirklicht, das aus zwei einfachen konkav-konvexen Linsen

Die Strahlenbegrenzung, Wirkung der Blenden

117

(positiven Menisken) mit dazwischen befindlicher Blende besteht (Abb. 1,123). Die zu erfüllende Bedingung zur Erlangung der Verzeichnungsfreiheit wird drei Seiten später behandelt. Die chromatischen Bildfehler werden am Ende von Nr. II, 4 beschrieben.

Abb. I, 123. Aus zwei positiven Menisken mit dazwischen befindlicher Blende bestehendes orthoskopisches System

1,11. Die Strahlenbegrenzung, Wirkung der Blenden In dem vorhergehenden Abschnitt wurde bereits mehrfach die Tatsache erwähnt, daß man durch Anbringung von Blenden den Querschnitt des das optische System durchsetzenden Licht büscheis begrenzen und z. B. durch die Abbiendung der Randstrahlen eine Verringerung der Linsenfehler erzielen kann. Auch die Erscheinung, daß je nach dem Blendenort die Abbildung verschieden ausfällt, wurde bereits besprochen. Es wird sich herausstellen, daß die Blenden zwei Funktionen ausüben, n ä m l i c h e i n e r s e i t s die H e l l i g k e i t des B i l d e s u n d anderers e i t s die Größe des G e s i c h t s f e l d e s bestimmen. Als Blende kann sowohl die Fassung einer Linse als auch jede in den Strahlengang eingefügte Öffnung dienen. Gelegentlich tritt an die Stelle einer solchen D u r c h l a ß b l e n d e eine S p i e g e l b l e n d e , die durch die wirksame Spiegelfläche das auf sie fallende Lichtbündel begrenzt (z. B. Galvanometerspiegel). In allen diesen Fällen hat man zu beachten, daß jede Blende durch das optische System, dem sie angehört, selbst wieder abgebildet wird, wobei ihr Bild je nach ihrer Lage sowohl im Bildraum oder im Gegenstandsraum als auch in beiden zusammen entstehen kann, wenn nämlich die Blende zwischen zwei Linsen liegt, die zusammen das optische System bilden. Es gehören daher zu jeder körperlich vorhandenen reellen Blende immer ein oder zwei optisch wirksame Blendenbilder. Man bezeichnet die körperliche Blende selbst als Aperturblende, ihre Bilder als Pupillen. Insbesondere bezeichnet man das vom Objekt aus gesehene Bild der Aperturblende als Eintrittspupille, und das vom Bild her gesehene Bild der Aperturblende als Austrittspupille. Wir wollen uns diese Verhältnisse an einigen einfachen Beispielen klarmachen. In Abb. 1,124 befinde sich vor der Konvexlinse L im Gegenstandsraum außerhalb der Brennweite eine kreisförmige Blende P; von ihr erzeugt die Linse ein reelles Bild P'. Von dem vor der Blende befindlichen Gegenstand AE in G wird durch die Linse in G' ein ebenfalls reelles verkleinertes Bild A'E' hervorgebracht. Wie man sieht, werden die von jedem Punkt des Gegenstandes ausgehenden Strahlen-

118

Strahlenoptik

büschel durch die Blende P begrenzt. In Abb. 1,124 ist z. B. ein solcher Strahlenkegel vom Punkt A des Gegenstandes aus gezeichnet, der die Öffnung CD der Blende zur Basis hat. In diesem Fall ist also die Aperturblende P gleichzeitig Eintrittspupille. Verfolgt man die Strahlen AG und AD weiter, so schneiden sie sich im Punkt A' des Bildes G' und treten dann durch die Randpunkte C' und D' des Blendenbildes P' aus: P' ist also Austrittspupille. Während die Eintrittspupille P maßgebend für die Öffnung eines auf das optische System einfallenden Strahlenbüschels ist, begrenzt die Austrittspupille P' die Öffnung des aus dem System austretenden Strahlenbüschels. Man bezeichnet den halben Öffnungswinkel des durch die Eintrittspupille gehenden Strahlenkegels, der von einem auf der optischen Achse liegenden Punkt (G) des Gegenstandes ausgeht, als öffnungs- oder Aperturwinkel cd; analog nennt man den zu co konjugierten Winkel, der durch den die Austrittspupille durchsetzenden Strahlenkegel bestimmt wird, den Projektionswinkel co'.

und Projektionawinkel

Macht man die Eintrittspupille sehr klein, so bleiben schließlich nur noch die durch ihren Mittelpunkt M und nachher durch den konjugierten Mittelpunkt M' der Austrittspupille laufenden Strahlen übrig. Sie sind in Abb. 1,124 gestrichelt und heißen Hauptstrahlen, ihren Verlauf nennt man den S t r a h l e n g a n g des Systems. In Abb. 1,125 ist nochmals der Gegenstand G und die Eintrittspupille aus der vorhergehenden Abbildung vergrößert dargestellt, und es sind von den Randpunkten A und E sowie von der Mitte G des Gegenstandes Strahlenbüschel gezeichnet, die sämtlich die Eintrittspupille zur Basis haben. Diese Strahlen kann man nun auch als Strahlenkegel betrachten, die von den Rändern C und D sowie von der Mitte M der Eintrittspupille ausgehen und den Gegenstand zur Basis haben. Zwischen Objekt und Eintrittspupille und analog zwischen Bild und Austrittspupille besteht also eine Reziprozität, d. h. man kann sämtliche wirksamen Strahlen in zweierlei Art zusammenfassen: einmal als Strahlenkegel, ausgehend von den Objektpunkten mit der Eintrittspupille als Basis und zweitens als Strahlenkegel, ausgehend von denPunkten der Eintrittspupille mit dem Objekt als Basis. Man kann mit anderen Worten Eintrittspupille und Objekt sowie Austrittspupille und Bild miteinander vertauschen.

Die Strahlenbegrenzung, Wirkung der Blenden

119

Wie man weiter aus Abb. 1,124 erkennt, kann man zu einem Gegenstand das Bild finden, wenn die Lage der Eintritts- und Austrittspupille sowie die Lage der Linse bekannt sind. Man hat dazu lediglich von einem Punkt des Gegenstandes zwei Strahlen nach zwei Punkten der Eintrittspupille zu ziehen und sie über die Linse nach den konjugierten Punkten der Austrittspupille weiterzuzeichnen. Man

P

Abb. 1,125. Reziprozität zwischen Objekt und Eintrittspupille

E kann sich dies leicht klarmachen, wenn man bedenkt, daß durch Eintrittspupille und Austrittspupille zwei konjugierte Ebenen des abbildenden Systems bekannt sind, aus denen man rückwärts z. B. die beiden Brennpunkte F und F' usw. bestimmen kann; durch F und F' und die Linse (die beiden Hauptebenen) ist aber natürlich die Lage des Bildes zu jedem Objekt festgelegt. In Abb. 1,124 sind z. B. ADA'D' und AMA'M' zwei solche Strahlen, die den zu A konjugierten Bildpunkt A' liefern. Man kann dies auch noch anders ausdrücken: Sind Eintrittspupille und Austrittspupille sowie Objekt und Bild gegeben, so sind die durch die Austrittspupille austretenden Strahlen durch die in die Eintrittspupille eintretenden bestimmt. Jedem von einem Objektpunkt (z. B. A) nach einem Punkt der Eintrittspupille (z. B. C) zielenden einfallenden Strahl entspricht ein ausfallender Strahl durch die konjugierten Punkte A' und C'; dabei braucht man den Strahlengang im System gar nicht zu kennen. Verschieben wir die Blende P in Abb. 1,124 näher zur Linse, so daß sie sich innerhalb der Brennweite befindet (Abb. 1,126), so entwirft die Linse von der

' Ai

A e D'. Ferner ist nach Abb. I, 140a

CO, so daß wir auch schreiben können

G&

02 A "

Aus der Abbildung folgt weiter:

C02 _ 01 02 _ l 0,0, a G . o ,

Strahlenoptik

136

Da ferner A das Bild von Oj ist, liefert die Abbildungsgleichung (I, 46 a):

\A ^ l -

-

+

1

=

U

-

und somit

Nehmen wir ferner an, daß das Bild B2B1 von G201 annähernd in der vorderen Brennebene der Okularlinse L 2 entsteht, so liefert die Abbildungsgleichung für die Linse I.^: 1

+ i-n ^ 1

1

h

und somit r n

h(l-k) /i(i-/.)

Die Größe A ist dabei der Abstand der hinteren Brennebene des Objektivs L j von der vorderen Brennebene des Okulars L 2 ; sie wird als o p t i s c h e T u b u s l ä n g e bezeichnet und ist identisch mit dem schon (für ein aus zwei Linsen bestehendes System) eingeführten „optischen Intervall" (vgl. Nr. I, 8 und Abb. I, 99). Mit den obigen Werten für 02A und GlOl erhalten wir schließlich:

l— U '

A

D i e V e r g r ö ß e r u n g des M i k r o s k o p s ist also d i r e k t p r o p o r t i o n a l der B e z u g s s e h w e i t e des B e o b a c h t e r s und der o p t i s c h e n T u b u s l ä n g e , d. h. dem A b s t a n d der e i n a n d e r b e n a c h b a r t e n B r e n n p u n k t e v o n Ob-

Das Auge und einige optische Instrumente

137

j e k t i v und Okular und umgekehrt proportional dem Produkt der beiden Brennweiten. Nach Gl. (1,47) ist aber —

die resultierende vordere

Gesamtbrennweite / des Mikroskops, die sich als negativ ergibt. Wir können also die Mikroskopvergrößerung auch in der Form v = — ~ schreiben und im Hinblick auf (1,53 a) das Mikroskop als eine Lupe betrachten; um eine starke Vergrößerung zu erhalten, muß die Brennweite hinreichend klein ssin. Dies läßt sich technisch mit einer einzelnen Linse nicht erreichen, da diese im Durchmesser viel zu klein würde. Mittels zweier um ein optisches Intervall getrennter Einzellinsen läßt sich jedoch eine fast beliebig kleine Brennweite erzielen. Aus Gl. (I, 47) in Nr. I, 9 ersieht man sofort, daß man aus einer Linse mit der Brennweite f1 durch Hinzufügung einer weiteren Linse mit der Brennweite / 2 im Intervall A ein System von m mal kleinerer Brennweite herstellen kann, wenn man das optische Intervall gleich m/2 wählt. In dieser Weise macht die Herstellung eines Systems mit einer Brennweite von wenigen Zehnteln eines Millimeters keine Schwierigkeiten. Dabei ist in dioptrischer Hinsicht noch folgendes zu beachten: Beim Mikroskop bildet das Objektiv ein Flächenelement mittels weitgeöffneter Büschel ab (aplanatische Abbildung, siehe Nr. 1,10), während das Okular das ausgedehnte, vergrößerte, vom Objektiv erzeugte Bild mittels enger Büschel abbildet. Diese Teilung der optischen Leistung ermöglicht erst eine einwandfreie Abbildung trotz der verlangten starken Vergrößerung. Schreibt man die Mikroskopvergrößerung nach (I, 54) in der Form A —

s

h ' h -

so haben beide Faktoren eine einfache Bedeutung:

>

^objektiv = J^

65

ist die Lateralvergrößerung des Objektivs, wie eine Anwendung der Gl. (I, 24a) zeigt; und

>

55a

"Okular = 712"

'st (abgesehen vom Vorzeichen) die Lupenvergrößerung des Okulars, gemäß Gl. (I, 53 a). D i e G e s a m t v e r g r ö ß e r u n g des M i k r o s k o p s s e t z t sich also aus den T e i l v e r g r ö ß e r u n g e n (1,55) und (I, 55a) m u l t i p l i k a t i v z u s a m m e n .

Die Gesamtvergrößerung eines Mikroskops läßt sich einfach messen, indem man einen durch das Mikroskop gesehenen vergrößerten Maßstab bekannter Teilung mit einem unvergrößerten in der deutlichen Sehweite liegenden Maßstab vergleicht. Man stellt zu diesem Zweck einen mit einer Millimeterteilung versehenen Maßstab seitlich vom Mikroskop parallel zu seiner optischen Achse in 25 cm Entfernung vom Okular auf. Unmittelbar über dem Okular befestigt man einen halbdurchlässig versilberten, unter 45° geneigten Spiegel; dieser wirft das von der Seite kommende Licht nach oben in das Auge des Beobachters. Gleichzeitig sieht man, da der Spiegel halbdurchlässig ist, die auf dem Mikroskop-

Strahlenoptik

138

tisch liegende Teilung. Als solche wählt man zweckmäßig eine in x / 100 mm geteilte Glasskala. Fallen a Skalenteile dieser 1 / 100 mm-Teilung auf b Skalenteile des unvergrößerten Vergleichsmaßstabes, so ist die Vergrößerung: v

=

100 — .

a

Die bei modernen Mikroskopen benutzten Objektive bestehen immer aus mehreren Linsen, da sich nur so die verschiedenen Abbildungsfehler beseitigen lassen. Achromate sind Objektive, bei denen die Schnittweiten für Rot und Blau übereinstimmen; bei Apochromaten ist eine Vereinigung aller sichtbaren Farben praktisch erreicht (s. Kap. II, 4). Bei Planobjektiven ist die Bildfeldwölbung unterdrückt; sie sind wichtig für photographische Aufnahmen des Mikroskopbildes. Erstrebenswert sind also Apochromate, die zugleich Planobjektive sind. — Zur Kennzeichnung eines Objektivs dienen die Angaben über seine b i l d s e i t i g e B r e n n w e i t e und seine n u m e r i s c h e A p e r t u r . Aus der Brennweite läßt sich nach (I, 55) sofort bei bekannter Tubuslänge die Objektivvergrößerung bestimmen. Die numerische Apertur bildet dagegen ein Maß für das ins Objektiv eintretende Licht, d. h. für die Bildhelligkeit. Ebenso hängt von der Apertur das sog. Auflösungsvermögen des Mikroskops ab, ein Begriff, den wir hier noch nicht erörtern können, da die Strahlenoptik dazu nicht ausreicht, vielmehr die Wellentheorie des Lichtes herangezogen werden muß. Wie bereits in Nr. I, 5 angegeben, versteht man unter n u m e r i s c h e r A p e r t u r das Produkt aus Brechzahl n und dem Sinus des Brechungswinkels | / 2 1); das Gesichtsfeld des Fernrohrs ist in diesem Fall ein sehr beschränktes. Ist dagegen durch entsprechende Wahl der Brennweiten die Fernrohrvergrößerung klein, so wird die Austrittspupille C'D' des Fernrohrs größer als die Augenpupille (Abb. 1,149), so daß letztere als Austrittspupille für den ganzen Strahlengang (Instrument + Auge) wirkt. In diesem Fall wird das bildseitige Gesichtsfeld durch das Bild C'D' der Objektivöffnung begrenzt. C'D' ist also die Austrittsluke, und die Objektivöffnung ist die Gesichtsfeldblende des Fernrohrs. Man kann also in diesem Fall das Gesichtsfeld des Fernrohrs durch Wahl eines Objektivs mit großem Durchmesser vergrößern.

Zwischen diesen beiden extremen Möglichkeiten bildet den Übergang der Fall, daß die Austrittspupille C'D' g e r a d e gleich der Augenpupille wird. Die diesen Fall erzeugende Vergrößerung heißt nach H e l m h o l t z „ N o r m a l v e r g r ö ß e r u n g " . Wegen der Gleichung r' = rjv folgt nun eine Beziehung zwischen der Größe des Objektivradius r und dem der Augenpupille, den wir q nennen wollen. Im ersten Fall (Abb. I, 147) ist offenbar: r < q, d. h. r < Q ] v \ (starke Vergrößerung) ,

Strahlenoptik

146 im zweiten Fall (Abb. I, 149) ist:

r' > g, d. h. r > g \ v | (schwache Vergrößerung), und im Grenzfall ist: / = g, d. h. r = g | v \ (Normalvergrößerung). Nehmen wir beispielsweise g = 2 mm und eine Vergrößerung | v \ = f j \ / 2 1 = 4 an, so muß der Radius des Objektivs r — 2 • 4 mm = 8 mm sein, damit die gegebene Vergrößerung 4 die Normalvergrößerung wird; denn dann ist gerade r' = r/| v \ = 8 mm/4 = 2 mm = g. Würde man r = 16 mm wählen, so läge der Fall vor, daß r' = 16 mm/4 = 4 mm, d. h. r' > g ist. Die Vergrößerung 4 ist dann kleiner als die Normalvergrößerung. Umgekehrt, wenn man r = 4 mm wählt, dann ist r' = r/| v \ = 4 mm/4 = 1 mm, d. h. r' < g; \ v \ = 4 ist größer als die Normalvergrößerung. — Betont sei noch, daß das Gesichtsfeld des G a l i l e i s c h e n Fernrohrs niemals scharf begrenzt ist, da die Gesichtsfeldblende (bzw. ihr Bild) im Endlichen, also nicht am Bildort liegt. Über die Rolle der Normalvergrößerung für die Helligkeit der Bilder siehe Nr. 1,13. Für den Fall, daß das Objektiv die Gesichtsfeldblende darstellt, findet man die Größe des Gesichtsfeldwinkels an Hand der Abb. I, 150. Der in das Fernrohr einfallende Strahl S falle gerade unter dem Gesichtsfeldwinkel y am Rande des Objektivs ein. E r muß dann im Bildraum unter dem konjugierten Winkel w durch die Mitte der dicht hinter dem Okular befindlichen Augenpupille A hindurchgehen. Dann ist: tan w =

fi~\h

und im Hinblick auf die Gültigkeit der Beziehung v = (I, 56)

t a n y ss y =

W

tan y

folgt weiter:

1 f x - I M

2r/(/. — I /, I) ist das Verhätnis P u ^ c ^ m e s s e r Objektivs ^ ^ ^ relative öffW1 1 21 6 Länge des Fernrohrs n u n g , und da das Gesichtsfeld natürlich dem Quadrat des Gesichtsfeldwinkels proportional ist, folgt aus (I, 56), daß es u m g e k e h r t p r o p o r t i o n a l d e m Q u a d r a t d e r V e r g r ö ß e rung und direkt p r o p o r t i o n a l dem Q u a d r a t der relativen O b j e k t i v ö f f n u n g ist.

In der Praxis bestellt die Objektivlinse des Galileischen Fernrohrs zur Vermeidung der sphärischen und chromatischen (s. Nr. II, 4) Aberration aus einer verkitteten Doppellinse. Das Okular ist dagegen meistens eine einfache Zerstreuungslinse. Zur Betrachtung irdischer, also in endlicher Entfernung liegender

Das Auge und einige optische Instrumente

147

Gegenstände muß die Entfernung zwischen Objektiv und Okular zwecks Scharfeinstellung des Bildes etwas vergrößert werden. Zwei im Augenabstand parallel zueinander angeordnete Galilei-Fernrohre bilden das sog. Opern- oder T h e a t e r glas. Das astronomische oder Keplersche Fernrohr. ( J . K e p l e r , 1611.) Bei diesem besteht das Objektiv aus einer langbrennweitigen, das Okular aus einer kurzbrennweitigen Sammellinse, die in dem Abstand der Summe ihrer Brennweiten angeordnet sind (Abb. 1,151). Damit ist wieder ein teleskopischer Strahlengang

hergestellt. Das Objektiv erzeugt von einem fernen Gegenstand in seiner Brennebene ein umgekehrtes, reelles, stark verkleinertes Bild; dieses wird durch das als Lupe wirkende Okular betrachtet. Infolgedessen sieht das Auge vom Gegenstand ein umgekehrtes, vergrößertes, virtuelles Bild. Dabei muß das Auge „auf Unendlich" akkomodieren, da das durch das Okular betrachtete Bild in seiner Brennebene liegt, so daß die aus dem Okular austretenden Strahlen parallel verlaufen. Um die subjektive Vergrößerung dieses Fernrohrs zu berechnen, verfolgen wir in Abb. 1,151 den durch die Objektivmitte Oj unter dem Winkel rp einfallenden Strahl. Er wird von dem Okular so gebrochen, daß er die optische Achse im Punkt A, wo wir uns das Auge zu denken haben, unter dem Winkel y> schneidet. Für die (subjektive) Vergrößerung gilt daher wieder: tanv . tan?)

v = - — -

Nun ist: tan w = Y

b

und tan w = , C 0 * , -. Also v = ^ f ^ . Da A das durch *

fi + U

b

das Okular vom Punkt Ox entworfene Bild ist, gilt die Linsengleichung:

aus der folgt:

h + k ^

1 Damit erhalten wir:

b

=

b

f2>

h

/,(/, +

h)

'

148

Strahlenoptik

Die V e r g r ö ß e r u n g des Keplerschen F e r n r o h r e ist also a u c h wieder gleich dem Quotienten der Brennweiten von O b j e k t i v und Okular; aber sie ist positiv, in Übereinstimmung damit, daß das Bild umgekehrt ist. In Abb. 1,152 ist der Strahlengang durch ein K e p l e r s c h e s Fernrohr für ein parallel zur Achse und ein geneigt zur Achse einfallendes Strahlenbündel photographiert. Für die Vergrößerung des benutzten Instruments gewinnt man, wieder nach 3 verschiedenen Methoden, die Werte: „ = - ^ = 2,6; f2

„=

tan

woraus durch Elimination von b B~

folgt.

h ~

V

a

b

Abb. I, 152. Verlauf eines Strahlenbündels durch ein astronomisches Fernrohr a) Strahleneinfall parallel zur Achse; 6) Strahleneinfall geneigt zur Achse

Wie steht es mit der S t r a h l e n b e g r e n z u n g ? Da im Fernrohr in der gemeinsamen Brennebene von Objektiv und Okular das reelle Bild des Gegenstandes entsteht, bringt man an dieser Stelle eine runde Blende an, die das Gesichtsfeld begrenzt (Abb. 1,153). Sie ist die eigentliche G e s i c h t s f e l d b l e n d e . Da ihr Bild auf der Objektseite im Unendlichen liegt, begrenzt sie das Gesichtsfeld bei Betrachtung sehr weit entfernter Gegenstände scharf.

Das Auge und einige optische Instrumente

149

Als A p e r t u r b l e n d e und gleichzeitig als E i n t r i t t s p u p i l l e dient die Objektivöffnung. I h r im Bildraum von der Okularlinse entworfenes reelles Bild stellt die A u s t r i t t s p u p i l l e dar. Mißt man den Durchmesser dieser Austrittspupille (des sog. A u g e n k r e i s e s ) , so ist sein Verhältnis zum Objektivdurchmesser gleich der reziproken Fernrohrvergrößerung; das entspricht gerade der eben beschriebenen EP

Abb. I, 153. Lage von Eintrittspupille, Gesichtsfeldblende und Aperturblende beim astronomischen Fernrohr experimentellen Methode zur Bestimmung der Vergrößerung. I m Gegensatz zum G a l i l e i s c h e n Fernrohr liegt die Austrittspupille außerhalb des Fernrohres, so daß man an diese Stelle das Auge bringen kann. Dabei sind wieder, wie beim G a l i l e i Fernrohr, drei Fälle zu unterscheiden, nämlich ob die Austrittspupille größer, gleich oder kleiner als die Augenpupille ist; m. a. W., ob die Normalvergrößerung unterschritten, erreicht oder überschritten ist. I m ersteren F a l l übernimmt die Augenpupille die Rolle der Austrittspupille. Wie man aus Abb. I, 153 entnimmt, ist der Gesichtsfeldwinkel y durch den von der Mitte der Eintrittspupille E P (Objektivöffnung) nach dem R a n d der Gesichtsfeldblende gezogenen Strahl und somit durch die Beziehung (I, 56 a)

tan y x y =

~

gegeben, wenn r den Radius der Gesichtsfeldblende bedeutet. Das G e s i c h t s f e l d des Keplerschen F e r n r o h r s ist also dem Q u a d r a t der r e l a t i v e n Öffnung der Gesichtsfeldblende direkt proportional, aber unabh ä n g i g v o n d e r O b j e k t i v ö f f n u n g u n d d e r O k u l a r b r e n n w e i t e . Der Leser vergleiche damit die entsprechende Gl. (I, 56) für das G a l i l e i f e r n r o h r , wo die Verhältnisse vollkommen anders liegen. Hohe Vergrößerung geht also einher mit kleinerem Gesichtsfeld (bei gegebenem /2 und r). W a s für den Gebrauch als Fernrohr nachteilig erscheint, kann bei anderer Verwendung vorteilhaft sein, z. B . dann, wenn ein Strahlenbündel großer Divergenz in ein solches kleiner Divergenz verwandelt werden soll. Man würde dann etwa in der Abb. I , 151 den Strahlengang von rechts nach links verlaufen lassen, um das gesuchte Ziel zu erreichen. Die eingezeichneten Strahlenbündel mit den Winkeln (p und xp sind dabei als die äußere Begrenzung des Büschels aufzufassen.

150

Strahlenoptik

Auch beim Keplerschen Fernrohr muß das Objektiv aus zwei verkitteten Linsen bestehen, um die sphärische und die chromatische Aberration zu beseitigen. Als Okulare verwendet man ebenfalls Systeme aus zwei oder mehreren Linsen, z. B. das beim Mikroskop beschriebene Huyghenssche Okular oder das in Abb. I, 154 wiedergegebene Ramsdensche Okular. Dieses besteht aus zwei plan-

konvexen Linsen, die einander ihre konvexen Flächen zukehren und deren Abstand etwa gleich der Brennweite jeder einzelnen Linse ist. Von Bedeutung ist für den praktischen Gebrauch des Fernrohres die in Form eines Okulardeckels auf dem Okular sitzende Okularblende, die die Austrittspupille begrenzt. Dadurch ist die Stellung des Auges beim Hineinblicken in das Fernrohr fixiert, und es wird alles falsche von seitlichen Lichtquellen kommende Störlicht abgeblendet. Ein Nachteil des Keplerschen Fernrohres ist, daß das Bild umgekehrt ist, was bei Beobachtung irdischer Gegenstände stört, bei astronomischen Beobachtungen freilich nicht ins Gewicht fällt (daher auch der Name „astronomisches Fernrohr"). Bei dem terrestrischen Fernrohr nach K e p l e r bringt man zwischen Objektiv Lj und Okular L 3 noch eine Sammellinse L 2 an, so daß das vom Objektiv entworfene Bild noch einmal umgekehrt wird (Abb. I, 155). Macht man den Abstand des Objektivbrennpunktes F| von der Umkehrlinse L 2 gleich der doppelten Brenn-

Abb. I, 155. Strahlenverlauf in einem terrestrischen Fernrohr

weite der letzteren, so liegt auch das umgekehrte Bild in der doppelten Brennweite hinter der Umkehrlinse. Die Gesamtlänge des terrestrischen Fernrohrs, gemessen zwischen Objektiv und Okular, beträgt dann: l = /i + 4/ 2 + /, . Ein solches Fernrohr hat daher immer eine etwas unhandliche Länge. Das Prismenfernrohr. Der eben erwähnte Nachteil der großen Länge des terrestrischen Fernrohrs läßt sich dadurch beseitigen, daß man zur Umkehr des Bildes

Das Auge und einige optische Instrumente

151

des astronomischen Fernrohrs eine viermalige Totalreflexion an zwei rechtwinkeligen Prismen in der von J . P o r r o (1848) angegebenen und in Abb. I, 63 dargestellten Anordnung benutzt. In Abb. I, 156 ist ein aus zwei Prismenfernrohren zusammengesetztes b i n o k u l a r e s F e r n r o h r (sog. P r i s m e n f e r n g l a s ) wiedergegeben. Dadurch, daß die beiden Prismen einen gewissen Abstand voneinander haben, der von den Strahlen auf dem geknickten Weg dreimal durchlaufen wird, erreicht man eine beträchtliche Verkürzung des Fernrohres. Wie man weiter aus Abb. I, 156 erkennt, sind der ins Objektiv eintretende und der aus dem Okular austretende Strahl seitlich gegeneinander verschoben. Dadurch erhält man einen gegen den Okularabstand (d. h. gegen den Augenabstand) vergrößerten Objektivabstand und infolgedessen einen erhöhten stereoskopischen Effekt bei der Beobachtung mit beiden Augen. Prismenferngläser werden heute bis zu 20facher Vergrößerung und mit Gesichtsfeldern von 60° bis 70° gebaut; an Stelle der PorroPrismen werden häufig auch andere Umkehrprismen benutzt. _0kutar-, abstand

Abb. 1,156. Binokulares Prismenfernrohr Erweiterter Objektivabstand

Spiegelteleskope. Eine andere Art von Fernrohren sind die fast ausschließlich in der Astronomie benutzten Spiegelteleskope. Bei ihnen wird das Objektiv durch einen Hohlspiegel gebildet. Dieser erzeugt von den weit entfernten Gegenständen ein reelles, umgekehrtes, verkleinertes Bild, das durch eine Okularlupe betrachtet wird. J e nach Anordnung dieses Okulars unterscheidet man die in Abb. I, 157 skizzierten Spiegelfernrohre. Bei dem von J . G r e g o r y (1611) gebauten T e l e s k o p (Abb. I, 157a) werden die Strahlen, nachdem sie sich über den Objektivspiegel S x in dem kleinen reellen Bild B vereinigt haben, durch einen zweiten kleinen Hohlspiegel S 2 so zurückgeworfen, daß sie durch eine Öffnung in der Mitte des Spiegels S x in das Okular 0 gelangen. Dabei entwirft der Hohlspiegel S 2 von dem Bild B direkt vor dem Okular ein aufrechtes reelles Bild B' des fernen Gegenstandes. — Bei dem Spiegelteleskop von G. C a s s e g r a i n (1671) werden die vom Objektivspiegel Sj kommenden Strahlen (Abb. I, 156b), bevor sie sich zu dem Bild B vereinigen, durch einen hyperbolischen Konvexspiegel, also mit verringerter Konvergenz, so reflektiert, daß sie durch eine Öffnung in der Mitte von Sx dicht vor dem Okular 0 ein umgekehrtes reelles Bild liefern, das wieder durch das Okular als Lupe betrachtet wird.

152

Strahlenoptik

Bei den folgenden Typen wird die Durchbohrung des Objektivspiegels vermieden. Bei der Anordnung von I. Newton (1671) werden die vom Hauptspiegel S x kommenden Strahlen durch einen kleinen unter 45° gegen die Rohrachse geneigten Planspiegel S 2 zur Seite geworfen, so daß das reelle verkleinerte Bild nach B zu liegen kommt, wo es wieder durch das Okular O betrachtet werden kann (Abb. I, 157c). In dem Spiegelteleskop von W. Herschel (1789; Abb. I, 157d) ist der Objektivspiegel S x etwas zur Rohrachse geneigt, so daß das von ihm erzeugte reelle verkleinerte Bild durch das am Eingang des Rohres seitlich angebrachte Okular direkt betrachtet werden kann. Da die beiden letztgenannten Typen eine Blickrichtung haben, die von der Fernrohrachse verschieden ist, bringt man kleine, zur Fernrohrachse parallel gerichtete Hilfsfernrohre (sog. Sucher) an.

B
nl, d. h. die Brechzahl n2 im Bildraum größer ist als im Objektraum n1, so tritt in der Tat durch Benutzung eines optischen Instruments eine Vergrößerung der Leuchtdichte ein. Dies ist der Fall beim normalen Immersionsmikroskop, bei dem die Lichtquelle in Luft = 1) durch den Kondensor in die Immersionsflüssigkeit (w2 > 1) abgebildet wird. Die ins Mikroskop eintretende Lichtmenge ist daher proportional n% sin2M2, wenn u2 der halbe Öffnungswinkel des Objektivs, n 2 sinu 2 also seine numerische Apertur bedeutet. Da das optische Bild der Lichtquelle aber schließlich doch in Luft erzeugt wird, ist im Endergebnis die Leuchtdichte wieder dieselbe geblieben — im günstigsten Fall. (Diese Betrachtung bezieht sich natürlich nicht auf das durchleuchtete O b j e k t , das ja nicht die Lichtquelle ist!) Im allgemeinen kann man annehmen —- und wir wollen dies von jetzt ab auch tun —, daß die Lichtquelle und ihr Bild beide in Luft (nl = n2 = 1) liegen. Dann folgt aus (I, 59), daß im günstigsten Fall (I, 59a)

= 1

ist. Kein optisches Instrument kann die Helligkeit über die natürliche Helligkeit H0 steigern; die Leuchtdichte kann bei gleicher Brechzahl nicht erhöht werden. Die obige Betrachtung hat zur Voraussetzung, daß der Lichtstrom 0 , wie beim natürlichen Sehen, die Augenpupille vollständig a u s f ü l l t . Da man das Auge i. a. an die Stelle der Austrittspupille bringt, heißt das, daß ihr Radius q' größer oder mindestens gleich dem Radius gA der Augenpupille {q J2 qa) sein muß.

163

Helligkeit und Kontrast bei den optischen Instrumenten

Nun wird als Normalvergrößerung i>n eines optischen Instrumentes nach Helmholtz diejenige bezeichnet, bei der Q' = QK ist; ist die Vergrößerung V < VN, so ist q' > q a . Die Bedingung q' ä g k bedeutet also, daß das Instrument (z. B. ein Fernrohr) höchstens die Normalvergrößerung VN besitzt. Wir können das Ergebnis auch so aussprechen: Wenn die V e r g r ö ß e r u n g eines o p t i s c h e n I n s t r u m e n t s gleich oder k l e i n e r als die N o r m a l v e r g r ö ß e r u n g i s t , ist die H e l l i g k e i t H des von ihm erzeugten B i l d e s h ö c h s t e n s gleich der n a t ü r l i c h e n Helligk e i t H0. Unter einer Normalvergrößerung versteht man also diejenige Vergrößerung, bei der ein durch ein optisches Instrument betrachteter Gegenstand mit der gleichen Helligkeit erscheint wie dem unbewaffneten Auge. Wir haben nun den Fall zu betrachten, daß umgekehrt Qa > G' ist oder daß die Vergrößerung des Instrumentes die Normalvergrößerung überschreitet. Dann ist die Augenpupille, im Gegensatz zum eben behandelten Fall und zum Sehen ohne QA

Instrument, n i c h t ausgefüllt, und so wird die Helligkeit im Verhältnis

ver-

kleinert :

H = j > d. h. H < H0 für Q' < gA (oder für V > VN). H0 I s t die N o r m a l v e r g r ö ß e r u n g vD ü b e r s c h r i t t e n , so ist die mit I n s t r u ment b e o b a c h t e t e H e l l i g k e i t H s t e t s k l e i n e r als die n a t ü r l i c h e Helligkeit H0.

Führen wir den Radius Q der Eintrittspupille ein, so kann man schreiben:

Darin ist nun ~ gleich der Vergrößerung V des Fernrohrs; also folgt:

Hätte das Fernrohr gerade die Vergrößerung vn, so wäre o' = q a , und es folgt dann aus (I, 60) oder (I, 60a) H = H0. Dann kann man aus (I, 60a) den Radius Q der Eintrittspupille, d. h. des Objektivs, bestimmen, der gerade ausreicht, um H = H0 zu machen: Q =

QA ^N •

Hätte man z. B. eine Normalvergrößerung VA = 50, so müßte das Objektiv den Radius Q = 50 QA c m besitzen, um volle Helligkeit zu liefern. Nimmt man den Radius der Augenpupille überschlagsweise zu 0,2 cm an, so gäbe das ein Objektiv von 10 cm Radius; das liefert dann die volle Helligkeit H = H0. Würden wir aber die Vergrößerung über die Normalvergrößerung steigern, etwa V = 2VA = 100 wählen, so wäre Q/Q' = 100, also Q' = 0,1 cm, während der Augenpupillenradius 0,2 cm ist. Also würde die Helligkeit H nach (I, 60) sein:

4HiM®"-^ "

164

Strahlenoptik

Da die Normalvergrößerung

= — ist, weil für sie o = q a wird, kann man für 6A

vB < v die für das Fernrohr gültige Gleichung (I, 60a) in die Form bringen: (T'60b)

I H i r )

2

-

Daraus ersieht man unmittelbar die Richtigkeit des folgenden Satzes: J e m e h r die N o r m a l v e r g r ö ß e r u n g des F e r n r o h r s ü b e r s c h r i t t e n w i r d , um so w e n i g e r hell wird d a s von ihm e r z e u g t e B i l d . Kein optisches Instrument kann also die Leuchtdichte (Flächenhelligkeit) L eines Objektes vergrößern. Dies gilt nicht nur für die Leuchtdichten von Objekt und Bild, sondern auch für andere dazwischen liegende Flächen, z. B. die Linsenfläche S in Abb. I, 163. Dabei muß beachtet werden, daß diese Flächen keine Selbstleuchter sind, also nicht nach allen Richtungen ausstrahlen, sondern nur in denjenigen Winkelbereich, der sich aus den Abbildungsgesetzen der geometrischen Optik ergibt, wobei wir wieder paraxiale Abbildung voraussetzen wollen. Von .d&j geht der Lichtstrom 01 = NL1AS1 sin 2 it 1 aus, der auf S auftrifft. Von der Fläche S wird dann der Lichtstrom 0S = NLSS sin2W ausgesandt. Nun ist auf Grund der Geometrie der Abbildung sin2w/sin2Mj » tan 2 w/tan2 = ASJS. Also ist 0A = NLAAS1

sin 2 «! =

0L.

Da aus energetischen Gründen 0S = -

Wählen wir für das Kronglasprisma einen brechenden Winkel von 10°, so ergibt sich für das Flintplasprisma ein Winkel von 4°50'24". Die resultierende mittlere Ablenkung des achromatischen Prismas ist dann 2°6'. Wie oben erwähnt, erzielt man so keine vollkommene Achromasie des gebrochenen weißen Lichtbüschels. Das ist jedoch möglich, wenn der Quotient der partiellen Dispersionen der benutzten Prismenmaterialien im ganzen Spektrum konstant ist (was nach der letzten Tabelle z. B. für Flintglas und Terpentinöl angenähert zutrifft), d. h., wenn die beiden Dispersionskurven den Bedingungen genügen: n = ¡(X) und n' = kj(X). Dann wird Gl. (II, 12) für die Ablenkung einer mittleren Wellenlänge: Ay = (nx — nz) e

ny — 1 — nz

kny — 1 k(n% — nz)

d. h. die Ablenkung ist für alle Wellenlängen die gleiche, was zu beweisen war.

Gerade umgekehrt liegen die Verhältnisse bei dem von G. Amici (1860) angegebenen Geradsichtprisma. Bei diesem verlangt man Dispersion bei verschwindender Ablenkung eines mittleren Strahles. Man setzt gewöhnlich ein solches Prisma aus drei oder fünf Prismen nach Abb. II, 18 zusammen, die man mit Kanadabalsam aneinanderkittet.

212

Dispersion und Absorption des Lichtes

Abb. II, 18. Strahlenverlauf in einem aus fünf Prismen zusammengesetzten Geradsichtprisma Die mathematische Bedingung für ein zweiteiliges Geradsichtprisma mit kleinen brechenden Winkeln ist, daß in Gl. (II, 9) A y = 0 wird; das liefert die Beziehung: (II, 13)

'y — 1 n„— 1 n

£ E'

D i e b r e c h e n d e n W i n k e l v o n z w e i zu e i n e m G e r a d s i c h t p r i s m a z u s a m m e n t r e t e n d e n P r i s m e n müssen sich also u m g e k e h r t v e r h a l t e n wie die für die n i c h t a b g e l e n k t e F a r b e g ü l t i g e n , u m 1 v e r m i n d e r t e n B r e c h z a h l e n der beiden Glassorten. Unter Benutzung dieser Beziehung folgt aus Gl. (II, 10) weiter: (II, 14)

n

y

1

Wählt man wieder die den F r a u n h o f e r s c h e n Linien F, D, C entsprechenden Farben für die Größen x, y, z, so lassen sich die letzten beiden Gleichungen in der Form schreiben: (II, 13 a) (II, 14a)

e B'

©x.^K-1)^

E s i s t a l s o a u c h e i n G e r a d s i c h t p r i s m a nur d a n n m ö g l i c h , w e n n d i e A b b e s c h e n Z a h l e n f ü r d i e b e i d e n v e r w e n d e t e n G l a s s o r t e n v e r s c h i e d e n sind.

Wenn die mathematischen Beziehungen hier zwar nur für den selten verwirklichten Fall kleiner brechender Winkel abgeleitet werden, so ändert sich das Grundsätzliche auch bei strenger Rechnung nicht. Chromatische Aberration und achromatische Objektive. Die Abhängigkeit der Brechzahl von der Wellenlänge muß sich auch bei der Abbildung durch Linsen auswirken, falls nicht ein schmaler Wellenlängenbereich, also einfarbiges Licht, verwendet wird. Man erhält so außer den in Nr. I, 10 behandelten Abbildungsfehlern auch sog. Farbfehler. Denn eine Linse hat für jede Wellenlänge eine andere Brennweite. Bei einer dünnen Linse ist die Brennweite für violettes Licht kleiner als die für rotes Licht, weil die Brechzahl für violettes Licht größer ist als die für rotes Licht. Die Abb. II, 19 und II, 20 zeigen den Strahlenverlauf eines parallel zur Achse bei einer Konvex- und einer Konkavlinse auffallenden Strahlenbündels von weißem Licht. An Stelle e i n e s Brennpunktes ergibt sich für jede Farbe ein besonderer Brennpunkt. Diese liegen um so weiter auseinander, je größer die Dispersion des verwendeten Glases ist. Ein Beispiel:

Achromatische und geradsichtige Prismen; chromatische Bildfelder

213

Eine Linse mit / = 100 mm aus einem Glas mit v = 67, d. h. sehr schwacher Dispersion, hat zwischen rotem und blauem Licht eine Brennweitendifferenz von 1,6 mm. Es ist üblich, den Nennwert der Brennweite für das gelbe Natriumlicht anzugeben, also für n D . Die Abweichungen davon bezeichnet man als Farbfehler, Farbabweichung oder chromatische Aberration. Bei der Abbildung eines weißen Punktes sieht man auf dem Bildschirm in der Brennebene konzentrische Ringe verschiedener Farben.

Abb. II, 19. Chromatische Aberration (Konkavlinse)

Abb. II, 20. Chromatische Aberration (Konvexlinse)

Bei den Zerstreuungslinsen haben ebenfalls die Strahlen kürzerer Wellenlänge die kürzere Brennweite. Die virtuellen Bildpunkte liegen aber in umgekehrter Reihenfolge. Im Gegensatz zur Sammellinse, bei der eine Unterkorrektion vorliegt, ist bei der Zerstreuungslinse eine chromatische Überkorrektion vorhanden. Wegen der verschiedenen Brennweiten entsteht für jede Farbe ein anderes Bild. Diese verschiedenfarbigen Bilder unterscheiden sich durch ihre Größe. Man nennt diesen Fehler die chromatische Vergrößerungsdifferenz. Die Bilder liegen aber auch an verschiedenen Stellen: Der Fehler heißt chromatische Längsabweichung oder Farblängsfehler. Die farbigen Säume, die man immer bei der Abbildung mit einer einfachen Linse (z. B. Brillenglas) sieht, machen die chromatischen Abbildungsfehler zu den auffälligsten und bekanntesten. Es ist deshalb nicht verwunderlich, daß man schon früh nach einer Korrektur suchte. In Analogie zum achromatischen Prisma kann man durch Hintereinanderschaltung einer Sammellinse und einer Zerstreuungslinse aus geeigneten Gläsern eine a c h r o m a t i s c h e L i n s e schaffen, bei der diese chromatische Aberration zum mindesten für zwei Farben völlig behoben ist. Dies hat zuerst der englische Mechaniker J . D o l l o n d (1757) gezeigt.

214

Dispersion und Absorption des Lichtes

Bedingung ist dabei, wie man aus Abb. II, 21 erkennt, daß die Dispersion der Sammellinse durch die der Zerstreuungslinse gerade aufgehoben wird, wobei aber eine Ablenkung der einfallenden Strahlen bestehen bleiben muß. Ein solches Linsensystem nennt man einen Achromaten.

Abb. II, 21. Achromatische Linse

Wie sind nun zu diesem Zweck die Brennweiten der beiden Linsen zu wählen ? Wir beschränken unsere Überlegungen der Einfachheit halber auf dünne Linsen. Nach Gl. (I, 45c) ist die Brechkraft einer solchen: D = j =

(»•

(r1 und r2 die beiden Krümmungsradien der Linse). Für eine benachbarte Spektralfarbe, für die die Brechzahl n + An sein möge, findet man die Änderung der Brechkraft leicht durch Differenzbildung; das liefert: f

\ rx

r2 I

f 71

1

Diese Gleichung gilt mit guter Annäherung auch für weiter auseinander liegende Spektralfarben; dann wird An = nF — nc, also An n~ï

n,y — 1

v

(v = Abbesche Zahl). Also gilt weiter: \ f I

f V

Für zwei dicht hintereinander stehende Linsen mit den Einzelbrennweiten f1 und / 2 gilt für die resultierende Brennweite / r : und demnach auch:

fr

h

+

h '

(II, 15) Hieraus folgt als Bedingung dafür, daß die Brennweiten des Systems für die in Betracht kommenden beiden Farben gleich sind:

/ 1^

Infrarote (ultrarote) und ultraviolette Strahlung

215

Damit ergibt sich als Bedingung für die Achromasie der zusammengesetzten Linse: (II 16)

'

=

Da Vi und v2 dasselbe Vorzeichen haben, müssen /, und f2 entgegengesetzte Vorzeichen besitzen; es ist also die Vereinigung einer konvexen mit einer konkaven Linse erforderlich (Abb. II, 21). Wählt man z. B. zwei in der Tabelle der Nr. II, 3 aufgeführte Glassorten und gibt der aus Borkronglas angefertigten Sammellinse willkürlich eine Brennweite f1 = 10 cm, so muß die konkave Flintglaslinse die Brennweite v

62 9

t = - / t- ^ i = - 1 ir> > /, 0 37^ = - 1 7,„ cm 1

haben. Die resultierende Brennweite des Achromaten ist dann: / r = 24,25 cm . Man erkennt auch hier, daß ein Achromat nur dann möglich ist, wenn vx 4= v2 ist. Wäre nämlich v1 = v2, so würde / j = — f 2 sein, und die resultierende Brennweite würde unendlich werden, d. h. diese Kombination würde gleichzeitig ihre Brechkraft verlieren. Dies ist genau so wie beim achromatischen Prisma. Eine historische Bemerkung mag interessieren: Von seiner falschen Vorstellung ausgehend, daß v für alle Stoffe den gleichen Wert habe, kam N e w t o n zu der unrichtigen Behauptung, achromatische Linsen seien unmöglich; er ging also dazu über, Spiegelteleskope zu konstruieren bzw. zu verbessern. Der berühmte Mathematiker L e o n h a r d E u l e r behauptete dagegen, Achromate müßten möglich sein, da das Auge farblose Ränder sieht. Auch diese letztere Behauptung ist unrichtig. Aber sie war es, die D o l l o n d zu seinen schließlich mit Erfolg gekrönten Versuchen veranlaßte, achromatische Objektive herzustellen.

Es ist klar, daß die chromatische Aberration, auch wenn sie für zwei Farben beseitigt ist (im vorliegenden Falle für C und F), doch noch für andere Farben bestehenbleibt. Man nennt auch hier diese noch vorhandene chromatische Abweichung das s e k u n d ä r e S p e k t r u m . Durch Benutzung der modernen optischen Gläser lassen sich heute Systeme aus nur zwei Linsen herstellen, bei denen mindestens drei auseinanderliegende Spektralfarben, z. B. Rot, Gelb und Blau eine vollständige Vereinigung erfahren, so daß eine Farberscheinung bei der optischen Abbildung praktisch beseitigt ist. Man spricht in einem solchen Fall v o n a p o c h r o m a t i s c h e r K o r r e k t i o n . Mikroskopobjektive, bei denen, allerdings unter Benutzung von mehr als zwei Linsen, das sekundäre Spektrum vollständig beseitigt ist, werden daher nach E. A b b e als Apochromate bezeichnet.

II, 5. Infrarote (ultrarote) und ultraviolette Strahlung Das Spektrum eines glühenden, festen Körpers (Sonne, Glühlampe) hat nur deshalb ein Ende im tiefen Dunkelrot und auf der kurzwelligen Seite im Violett, weil unser Auge nicht imstande ist, das Licht jenseits dieser Grenzen zu sehen.

216

Dispersion und Absorption des Lichtes

In Wirklichkeit ist das Spektrum an den Seiten nicht begrenzt. Die Grenzen des sichtbaren Lichtes liegen bei etwa 0,4 f i m und 0,8 ¡ i m . Kürzerwelliges Licht heißt ultraviolett, längerwelliges infrarot (auch ultrarot). Die Empfindlichkeit des Auges ist für grünes Licht am größten und nimmt nach beiden Enden des sichtbaren Spektrums stark ab. Deshalb ist es überraschend, wenn man zum erstenmal das Spektrum einer Glühlampe mit einem objektiven, nicht selektiven Strahlungsempfänger aufnimmt: Man stellt fest, daß die Glühlampe im roten Spektralgebiet viel stärker strahlt als im grünen und im infraroten Spektralgebiet noch viel stärker als im roten. Die kurzwellige Grenze des infraroten Lichtes liegt dort, wo die Sichtbarkeit aufhört, also bei etwa 0,8 f i m . Eine langwellige scharfe Grenze des infraroten Lichtes gibt es ebensowenig wie eine kurzwellige Grenze des ultravioletten. Im gesamten elektromagnetischen Spektrum gibt es nur allmähliche Übergänge in der Wechselwirkung zwischen Strahlung und Materie und ebenso Überschneidungen in der Art der Strahlungserzeugung. So kann man infrarotes Licht zwischen 0,1 und 1 mm Wellenlänge sowohl mit einer Quecksilber-Hochdrucklampe als auch mit Elektronenröhren und Oszillatoren (Submillimeterwellen) erzeugen. An das kurzwellige Ultraviolett schließt sich die weiche Röntgenstrahlung bei etwa 10 nm an. Auch dieser Übergang ist kontinuierlich. Dieses Spektralgebiet (A = 1 bis 100 nm) ist experimentell schwer zugänglich, ebenso wie das Gebiet von X = 0,1 bis 1 mm. Das liegt einmal daran, daß es sehr schwer ist, eine intensive Strahlung in diesen Gebieten zu erzeugen, und ferner daran, daß die Strahlung sehr stark von der Materie, auch von Luft, absorbiert wird. In diesem Abschnitt sollen Lichtquellen, Empfänger, durchlässige Fenster und die Möglichkeiten der Lichtzerlegung in schmale Wellenlängenbereiche behandelt werden. Die Ausdehnung der Spektroskopie vom sichtbaren in das infrarote und ultraviolette Gebiet hat bedeutende Fortschritte in der Physik, Chemie und Technik zur Folge gehabt. Die neuen, international vereinbarten Einheiten für Wellenlängen sind: 1 f i m = IG -6 in; 1 nm = 10~9 m. Gebräuchlich ist auch noch die Einheit 1 Ä ( = Ängström) = 10~10 m. — (Die früher viel verwendeten Einheiten 1 /u ( = Mikron) = 1 [ i m = 10~' m und 1 r a / i ( = 1 Millimikron) = 10~9 m sollten vermieden werden.) — Die Frequenzen werden in Hertz = s _ 1 angegeben. — Häufig ist die Energieskala wichtiger als die Wellenlängenskala, weil sie die Energieverhältnisse übersichtlicher und vergleichbar angibt. Die Energie elektromagnetischer Strahlung kommt in Quanten der Größe hv vor (Planck-Konstante h = 6,625 • 10 - 3 4 J s ; v = Frequenz in s - 1 ). Im allgemeinen wird aber die Wellenlänge A gemessen. Da die Lichtete geschwindigkeit c = X • v ist, kann man h • v = — schreiben. Man erhält somit eine der A

Energie proportionale Skala, wenn man A -1 aufträgt. Man braucht also nur den reziproken Wert der gemessenen Wellenlänge zu bilden. Es ist üblich, in der Einheit c m - 1 anzugeben. Tut man dies auf einer vertikalen Skala, so liegt das ultraviolette Licht oben, das violette darunter, das rote am unteren Ende des sichtbaren Spektrums und darunter das infrarote Licht. Nun versteht man, daß der Ausdruck „infrarotes Licht" dann seine Berechtigung erhält, wenn man die Energie statt der Wellenlänge aufträgt. Sehr oft wird die Energie des Lichtquants auch in Elektronenvolt (eV) angegeben. 1 eV entspricht 8066 c m - 1 bzw. 1,24 / i m . Für die Einheit 1 cm - 1 wird auch gelegentlich noch 1 K ( = 1 Kayser) geschrieben.

Infrarote (ultrarote) und ultraviolette Strahlung

217

Die infrarote (ultrarote) Strahlung wurde im Jahre 1800 durch den Musiker und Astronomen F. W. H e r s c h e l entdeckt. Er untersuchte die Erwärmung einer geschwärzten Fläche durch die einzelnen Farben im Sonnenspektrum und fand dabei auch eine starke Temperaturerhöhung jenseits des roten Endes, eben im Ultrarot. Im Ultraviolett fand er die Temperaturerhöhung nicht, weil seine Nachweisempfindlichkeit zu gering war. Das infrarote Licht erregt die Atome und Moleküle der Materie, auf die es trifft, zu (Resonanz-)Schwingungen. Das bedeutet Erwärmung. Die Frequenz des ultravioletten Lichtes ist im allgemeinen zu hoch, um die Schwingungen der Atome anzuregen. Die Absorption ultravioletten Lichtes führt zu anderen Wirkungen (innerer und äußerer Photoeffekt, d. h. Abtrennung von Elektronen, photochemische Reaktionen, Fluoreszenz). Dabei gibt es auch eine schwache Erwärmung. Die Absorption infraroten Lichtes führt fast ausschließlich zur Umwandlung der auffallenden elektromagnetischen Strahlungsenergie in Wärme. Deshalb werden die infraroten Strahlen auch „ W ä r m e s t r a h l e n " genannt. Dieser Ausdruck ist mit etwas Vorsicht zu gebrauchen, weil nicht nur die infraroten Strahlen eine Erwärmung bei Absorption verursachen. Er hat sich aber sehr eingebürgert, insbesondere deshalb, weil unsere irdischen Temperaturstrahler (Glühlampe, glühende Kohle, alle Arten von Öfen und Heizungskörper) überwiegend oder ausschließlich infrarote Strahlung aussenden. Die spektrale Verteilung der Emission eines „schwarzen Körpers" wird im V. Kapitel behandelt. Im übrigen wird auf Bd. I, Nr. 99, Wärmeübertragung durch Strahlung, verwiesen. Zwei wichtige Beziehungen müssen aber an dieser Stelle erwähnt werden: Die spezifische Ausstrahlung M eines schwarzen Körpers über den gesamten Wellenlängenbereich ist proportional der v i e r t e n (!) P o t e n z der Kelvin-Temperatur. Dies ist das Stefan-Boltzmannsche Gesetz: M = aTi

M = spez. Ausstrahlung dcp/dA (Einheit: Wm~2) ct = 5,67 • 10- 8 Wm- 2 K - 4 T = Kelvin-Temperatur

Das Maximum der Strahlung verschiebt sich mit steigender Temperatur zu kleineren Wellenlängen (vgl. Abb. V, 6). Die Lage des Maximums kann aus der Kelvin-Temperatur nach dem Wienschen Verschiebungsgesetz berechnet werden: Amax • T = const = 2898 /um • K . Beträgt z. B. die Temperatur eines Strahlers 2898 K (das ist etwa die Temperatur einer kurzlebigen Glühlampe für photographische Aufnahmen oder zur Projektion), dann liegt das Maximum der Strahlung bei 1 fim, also im Infrarot! Man müßte die Temperatur auf rund 6000 K steigern, um zu erreichen, daß das Maximum der Strahlung bei einer Wellenlänge von etwa 0,5 /im, also beim Maximum der Augenempfindlichkeit, liegt. Diese Temperatur hat die Oberfläche der Sonne, und infolge der Anpassung unserer Augen an die Strahlung der Sonne liegt das Maximum unserer Augenempfindlichkeit bei dieser Wellenlänge, d. h. im grünen Teil des Spektrums (vgl. VI. Kap. „Farbmetrik"). Wenn man die

218

Dispersion und Absorption des Lichtes

Strahlungsgesetze anwendet, wie dies eben bei der Berechnung des Maximums der Wellenlänge mit dem W i e n sehen Verschiebungsgesetz geschehen ist, dann darf man nicht vergessen, daß die Strahlungsgesetze nur für ideal schwarze Körper gültig sind. Der Wolframdraht einer Glühlampe z. B. ist kein schwarzer, sondern ein sog. „grauer" Strahler. Das Strahlungsvermögen ist geringer als das eines schwarzen Strahlers. Das Maximum der Strahlungsstärke liegt aber ungefähr bei der gleichen Wellenlänge. Als Stralilungsquellen für das Infrarot kommen in erster Linie Tcmperaturstrahler in Frage. Da gewöhnliches Glas nur bis etwa A = 2,5 /im durchlässig ist, müssen bei G l ü h l a m p e n besondere Fenster aufgekittet sein, wenn man längerwelliges Licht braucht (vgl. Abb. V, 12). W o l f r a m b a n d l a m p e n sind auch in Quarzkolben lieferbar (durchlässig bis 3,5 /im). Sehr intensive, fast kontinuierliche Infrarotstrahlung geben X e n o n - H o c h d r u c k l a m p e n . Die Strahlung entspricht der eines schwarzen Körpers der Temperatur von 6000 K. Der Quarzkolben verhindert aber den Durchtritt der Strahlung, die längerwellig als 3,5 ¡um ist. Man greift deshalb oft auf die altbewährte in Luft brennende K o h l e b o g e n l a m p e (pos. Krater etwa 4000 K) zurück, die aber den Nachteil hat, daß sie unruhig brennt. Der von W. N e r n s t im Jahre 1900 erfundene N e r n s t b r e n n e r hat diesen Nachteil nicht, strahlt aber schwächer. Er besteht aus 85% Zr0 2 und 15% Y 2 0 3 . Das Pulvergemisch wird zu einem Stab von einigen Zentimetern Länge und einigen Millimetern Durchmesser gepreßt. An beiden Enden werden Elektroden angeschlossen. Der durch den Stift fließende Strom heizt ihn auf eine Temperatur von etwa 2200 K. Er brennt in Luft und benötigt den Sauerstoff zur Oxydation von Metallatomen, die an der Kathode abgeschieden werden. — Die Strahlung eines „schwarzen Körpers" gibt ein einseitig geöffnetes Keramikrohr ab, das außen von einem Platinband geheizt wird (Abb. V, 5), — Infrarotstrahler für Heiz- und Trocknungszwecke bestehen aus C h r o m n i c k e l s t a h l - oder A l u m i n i u m s t a h l - D r ä h t e n , hinter denen metallische Reflektoren angebracht sind. Der Widerstandsdraht kann in Luft bis auf 1000 °C (helle Rotglut) erhitzt werden, ohne daß er ganz durchoxydiert. Die Oxidschicht an der Oberfläche hat ein relativ hohes Emissionsvermögen. Die Strahlungsstärke hat ein breites, flaches Maximum, das sich von etwa 1 bis über 10 ¡im erstreckt. Es handelt sich also weder um einen schwarzen noch um einen grauen Strahler, sondern um einen sog. Selektivstrahler. — Als Widerstandsmaterial kann statt Chromnickelstahl auch S i l i c i u m c a r b i d verwendet werden, das zu Stäben gepreßt wird. Der Vorteil ist, daß man es höher erhitzen kann (1600°C); der Nachteil ist die Zerbrechlichkeit der Stäbe. — Auch der A u e r s t r u m p f , bestehend aus Thoriumoxid mit 1% Zusatz von Ceroxid, ist ein Selektivstrahler. Er wird durch Gasflammen (Leuchtgas, Propan, Benzin) zum hellen Leuchten erregt und stellt für das langwellige Infrarot oberhalb von 10 ¡im eine gute Strahlungsquelle dar. In diesem Gebiet ist die spektrale Verteilung der Emission der des schwarzen Körpers ähnlich. — Für Sonderzwecke gibt es Gas-, Glas- und Festkörper-Laser, die kohärentes Licht bestimmter Wellenlänge als eng begrenzten Strahl aussenden (Beispiele: Neodym-Glas-Laser für das nahe, Cyan-Gas-Laser für das ferne Infrarot, Festkörper-Laser PbSj_ x Sex

Infrarote (ultrarote) und ultraviolette Strahlung

219

für 5,5 bis 8,7 /im, durch Magnetfeld kontinuierlich durchstimmbar). — Für spektralanalytische Zwecke wird im allgemeinen bis etwa 20 ¿tm der Nernstbrenner, von 20 bis 1000 /im die Quecksilberhochdrucklampe im Quarzglaskolben verwendet, sofern ein Kontinuum von Wellenlängen erforderlich ist, wie z. B. für Absorptionsmessungen. Braucht man dagegen monochromatisches Licht bestimmter Wellenlänge, so nimmt man eine Gasentladungslampe, die ein solches Element enthält, das die gewünschte Wellenlänge emittiert. Strahlungsempfänger für Infrarot. Die starke Absorption der infraroten Strahlung durch Materie führt, wie schon erwähnt, zur Erwärmung der bestrahlten Oberfläche. Man kann deshalb durch Messung der Temperaturerhöhung die durch Strahlung zugeführte Energie ermitteln (Thermische Empfänger). Sehr bekannt und viel verwendet ist das Thermoelement. Als Strahlungsempfänger enthält es eine kleine, sehr dünne Metall- (z. B. Gold-)Folie, die auf der einen Seite geschwärzt ist. An die Folie der Fläche von etwa 3 x 1 mm 2 sind die beiden Drähte aus verschiedenem Material geschweißt oder gelötet. Der Empfänger befindet sich im Hochvakuum. Die kalten Lötstellen des Thermoelementes befinden sich ebenfalls im Vakuumgefäß, und zwar an den Stellen, wo die Drähte des Thermoelementes mit den Metalldurchführungen verbunden sind. Für die Wahl der Metall- bzw. Legierungskombination sind die thermoelektrische Spannung, der elektrische Widerstand der Drähte, deren Wärmeleitfähigkeit und die gesamte Wärmekapazität maßgebend. Eine Oberfläche der Metallfolie wird mit Ruß oder Platinschwarz (günstig für kurzwelliges Infrarot) oder fein zermahlenem Glas (günstig für langwelliges Infrarot) bedeckt. Gold, das in einer Stickstoff- oder Wasserstoffatmosphäre aufgedampft ist, ergibt einen tiefschwarzen, samtartigen Niederschlag, der das Infrarot in einem weiten Spektralbereich stark absorbiert und deshalb auch sehr günstig ist (Metallschwarz). Die Empfängerfläche ist der Form einer Spektrallinie angepaßt. Die Wärmekapazität des Thermoelementes soll möglichst klein sein. Die Strahlung wird periodisch ( z . B . mit rotierendem Sektor und 12,5 Hz) unterbrochen. Die Thermospannung wird verstärkt. Es lassen sich Zeitkonstanten von 0,01 s erreichen. Die kleinste noch nachweisbare Strahlungsleistung liegt für Thermoelemente mit Zeitkonstanten von 0,01 bis 0,1 s bei 1 0 - 9 bis 10~ 10 Watt (gültig für Raumtemperatur). Diese kleinste Strahlungsleistung wird durch das Rauschen bestimmt. Vereinbarungsgemäß gilt als kleinste, gerade noch nachweisbare Strahlungsleistung diejenige, die gleich der Rauschleistung ist (Rauschäquivalentleistung). Bolometer. Die Temperaturerhöhung einer schwarzen Empfängerfolie durch Strahlungsabsorption wird beim Bolometer durch Messung der Änderung des elektrischen Widerstandes gemessen. Es werden M e t a l l e (Platin, Nickel) und H a l b l e i t e r benutzt. Der temperaturabhängige Widerstand wird in einer Brückenschaltung gemessen. Bei Verwendung einer kleinen und extrem dünnen Folie, auf welche das geeignete Metall mäanderförmig und dünn aufgedampft ist, läßt sich eine Zeitkonstante bis 0,01 s erreichen. So kann man das Licht unterbrechen und die Widerstandsänderung verstärken. Die Rauschäquivalentleistung liegt bei (Metall- und Halbleiter-)Bolometern in der gleichen Größen-

220

Dispersion und Absorption des Lichtes

Ordnung wie bei Strahlungs-Thermoelementen. — Wesentlich größere Empfindlichkeit hat das Supraleitungs-Bolometer. Bei diesem wird die außerordentlich große Änderung des elektrischen Widerstandes beim Übergang vom supraleitenden in den normalleitenden Zustand ausgenutzt. Die Zeitkonstanten lassen sich bis auf 1 ms herabdrücken. Die Rauschäquivalentleistung beträgt bei 0,01 s und 10 K etwa 4 • 10~ u Watt. Der experimentelle Aufwand ist groß, da bei der Temperatur des flüssigen Heliums gearbeitet werden muß. Pneumatische Empfänger. Führt die Strahlungsabsorption einer schwarzen Folie zur Erwärmung eines Gases, das sich in einer Kammer befindet und infolge der Erwärmung ausdehnt, dann kann diese Ausdehnung in verschiedener Weise gemessen werden. Z. B. kann sich eine leitfähige Membran verbiegen, die einer festen Metallplatte gegenübersteht. Beide Platten bilden einen Kondensator, dessen Kapazität sich mit der Erwärmung des Gases ändert. Bei einem anderen Empfänger, der viel verwendet und nach seinem Erfinder Golay-Detektor genannt wird, biegt das sich ausdehnende Gas einen kleinen, flexiblen Spiegel durch (Abb. II, 22). Ein Strichgitter wird über diesen Spiegel auf sich selbst projiziert. Eine Photozelle erhält das Licht einer Glühlampe, wenn das Bild des

fällt auf die rechte, geschwärzte Wand einer kleinen, abgeschlossenen Kammer b. Die erwärmte Luft der Kammer verbiegt eine dünne, spiegelnde Membran M auf der linken Seite der Kammer. Ein von der Glühlampe G kommender Lichtstrahl projiziert die obere Hälfte eines Strichgitters C über die spiegelnde Membran auf die untere Hälfte des Strichgitters. Die Photozelle Ph erhält je nach der Durchbiegung der Membran und damit auch je nach Lage und Schärfe des Strichgitterbildes mehr oder weniger Licht der Glühlampe über den Spiegel Sp

Strichgitters genau auf das Strichgitter selbst fällt. Sie erhält aber kein Licht, wenn infolge der Durchbiegung des Spiegels das Bild des Strichgitters die Lücken des Gitters ausfüllt. Die absorbierende schwarze Fläche und der biegsame Spiegel sind sehr dünn und klein (etwa 2,6 mm Durchmesser); die Wärmekapazität ist so gering, daß der zu messende Lichtstrahl mit einer Frequenz von 10 Hz unterbrochen und der Wechselstrom der Photozelle verstärkt werden kann. Ein Golay-Detektor ist empfindlicher als die besten Thermoelemente. Die Rauschäquivalentleistung beträgt bei einer Zeitkonstante von 0,01 s und bei Zimmertemperatur etwa 10~10 Watt. Halbleiter-Detektoren. Die drei behandelten thermischen Strahlungsempfänger haben den Vorteil gemeinsam, über einen sehr weiten Spektralbereich gleich-

Infrarote (ultrarote) und ultraviolette Strahlung

221

mäßig empfindlich zu sein, sofern die Empfangsfläche für alle Spektralgebiete gleich stark absorbierend ist (was in Wirklichkeit nicht ganz der Fall ist). Man kann sie für ultraviolettes, sichtbares und infrarotes Licht bis über 1 mm Wellen-

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1

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I I I I

20 fjum 30

Abb. II, 23. Relative Empfindlichkeit eines mit Kupfer dotierten Germanium-Photowiderstandes bei 4,2 K

länge verwenden. Im Gegensatz zu diesen gibt es selektive Empfänger, die nur in einem bestimmten Spektralgebiet empfindlich sind. Die wichtigsten selektiven Empfänger sind: Halbleiter-Detektoren, Photokathoden und photographische Platten bzw. Filme. Zwei typische Beispiele von Halbleiter-Detektoren zeigen

Abb. I I , 23 u. 24. Der Vorteil der selektiven Empfänger ist einmal die größere Empfindlichkeit und ferner die Möglichkeit der Umwandlung eines InfrarotBildes in ein sichtbares. Die wichtigsten Halbleiter-Detektoren bestehen aus PbS, PbSe, PbTe, InSb und Germanium, das mit bestimmten Stoffen (Cu, Au, Hg)

222

Dispersion und Absorption des Lichtes

dotiert ist. Der Widerstand dieser Stoffe sinkt infolge der Bestrahlung. Man spricht deshalb auch von Photowiderständen. Um ein günstigeres Signal/Rausch Verhältnis zu erhalten, wird zweckmäßig das Rauschen durch Kühlung herabgesetzt. Abb. I I , 25 zeigt einen Helium-Kryostaten für die Kühlung von InfrarotDetektoren. Die Rauschäquivalentleistung bei einer Zeitkonstanten von 1 ms beträgt für Germanium, das mit Kupfer dotiert ist, etwa 10 - 1 1 W. Helium-

Vokuum-

Abb. II, 25. Kryostat zur Kühlung eines Halbleiter-Infrarot-Detektors. Volumen des flüssigen Stickstoffs 1000 cm 3 , des flüssigen Heliums 700 cm 3 . Die Kühlmenge reicht etwa 7 Stunden (Valvo)

Für die Sichtbarmachung von infraroten Bildern der Wellenlänge bis 1,2 /um sind die besonders s e n s i b i l i s i e r t e p h o t o g r a p h i s c h e S c h i c h t und der ä u ß e r e l i c h t e l e k t r i s c h e E f f e k t , also die Auslösung freier Elektronen (aus einer Ag-O-Cs-Schicht), geeignet. Dies geschieht mit der Photokathode im Infrarot-Bildwandler: Die durch Strahlung in der Photokathode ausgelösten Elektronen werden im Hochvakuum durch ein elektrostatisches Feld beschleunigt und durch eine elektrostatische oder magnetische Linse auf einem Leuchtschirm abgebildet. So kann ein unsichtbares infrarotes Bild, das durch ein Objektiv auf die Photokathode geworfen wird, gleichzeitig vom Auge auf dem Leuchtschirm gesehen werden. Die erforderliche Anodenspannung beträgt z. B. 20 000 Volt. Die Röhre ist 15 bis 20 cm lang und hat einen Durchmesser von 6 bis 8 cm.

Infrarote (ultrarote) und ultraviolette Strahlung

223

Das Leuchtschirmbild (2 • 3 cm 2 ) wird mit einer Lupe betrachtet. Trotz vieler Versuche ist es nicht gelungen, den äußeren Photoeffekt und die Empfindlichkeit der photographischen Schicht auf Wellenlängen größer als 1,2 ¡um auszudehnen. — Bei Aufnahmen mit photographischen Infrarotplatten und bei Verwendung eines Bildwandlers muß selbstverständlich ein F i l t e r v o r g e s c h a l t e t werden, das nur infrarotes Licht hindurchläßt, weil beide Empfänger auch für sichtbares Licht empfindlich sind. Die F e r n s e h t e c h n i k ermöglicht auch die Umwandlung eines infraroten Bildes in ein sichtbares. Man nimmt als Aufnahmeröhre ein V i d i k o n , das eine infrarotempfindliche Halbleiterschicht enthält. Auf diese fällt das Licht und ändert dadurch die elektrische Leitfähigkeit. Von der Rückseite wird die Schicht durch einen Elektronenstrahl abgestastet. Man kann infrarote Bilder bis zur Wellenlänge von etwa 1,7 fim ohne Kühlung der Schicht gut umwandeln. Die Bilder werden auf dem Bildschirm eines Fernsehapparates sichtbar. Zur Erhöhung des Auflösungsvermögens kann die Zeilenzahl (z. B . auf 2000) gesteigert werden. Dies ist dann relativ leicht möglich, wenn auf eine drahtlose Übertragung verzichtet wird, wenn also das Vidikon mit Verstärker neben der Bildröhre steht. Eine grundsätzlich andere, sehr interessante Methode, infrarote Bilder ohne Beschränkung auf einen bestimmten Wellenlängenbereich in sichtbare Bilder umzuwandeln, wurde von M. C z e r n y erfunden und als Evaporographie bezeichnet. Ein sehr dünnes Häutchen aus Kollodium, Kunststoff oder Aluminiumoxid wird auf einer Seite geschwärzt und auf der anderen Seite mit ö l (Hexadekan) bedampft. Das infrarote Bild auf der schwarzen Seite der Folie erwärmt diese an den hellen Stellen. Hier verdampft das ö l auf der Rückseite der Folie. So erhält man eine verschieden dicke ölschicht, die bei Beleuchtung mit einfarbigem Licht als Interferenzbild gut sichtbar ist. Die Folie befindet sich in einem Gefäß bei vermindertem Druck, um das Verdampfen des Öls zu erleichtern. Das Bild wird bei längerer Belichtung zunächst kontrastreicher, dann wieder kontrastärmer und verschwindet schließlich, weil das ö l auch an den dunklen Stellen verdampft. Vor jeder neuen Aufnahme erhält die Folie eine neue ölschicht durch Bedampfen aus einem kleinen Vorratsbehälter im gleichen Gefäß. Nach einiger Übung gelingt es leicht, die Infrarotstrahlung einer Hand oder eines Kopfes im Bild auf diese Weise festzuhalten (Lit.). Schließlich sei noch die Ausleuchtung von Phosphoren erwähnt, eine Methode, die schon früh erfolgreich angewendet wurde. Leuchtstoffe, die so präpariert sind, daß sie nach Erregung mit kurzwelligem Licht starkes Nachleuchten, sog. Phosphoreszenz, zeigen, geben das gespeicherte Licht bei Erwärmung sehr viel schneller ab. Bedeckt man z. B . eine Glasplatte mit einer solchen Leuchtstoff schicht (z. B . SrS oder CaS, beide dotiert mit Sm und Eu), und erregt man den Phosphor durch Bestrahlung mit dem kurzwelligen Licht einer Quecksilberdampflampe, dann kann man mit dieser Platte infrarote Bilder bis 1,5 /um aufnehmen. Die Stellen, die infrarotes Licht absorbiert haben, sind nach kurzem, hellem Aufleuchten dunkel. Nach dieser Belichtung legt man die Schicht auf eine photographische Platte. Die noch hellen Stellen der Leuchtstoffschicht belichten die photographische Platte und erzeugen so ein Positiv. Erfolgreiche Anwendun-

224

Dispersion und Absorption des Lichtes

gen dieser Methode machte A r n o B e r g m a n n im Jahre 1907, indem er als erster so die infraroten Linien der Alkalispektren fand (Bergmann-Serien). Die Abb. II, 26 zeigt einige Beispiele aus seiner Dissertation.

Cäsium

Rubidium

Kalium

Abb. II, 26. Aufnahmen von Alkalispektren mit Hilfe der Ausleuchtung phosphoreszierender Substanzen. Die überstrahlenden Kalium-Linien haben die Wellenlängen 766,5 und 769,9 nm. Das linke Ende der Spektren liegt bei etwa 600 nm, das rechte Ende bei etwa 1550 nm. Aufnahmen von Arno B e r g m a n n aus seiner Dissertation in Jena 1907

Infrarotdurchlässige und -undurchlässige Materialien. Die optische Durchlässigkeit der Materialien in Abhängigkeit von der Wellenlänge und Schichtdicke ist für die Wahl der Fenster bei Strahlungsquellen und -empfängern sowie für die Wahl von Prismen bei Spektralapparaten von Bedeutung. Die Abb. II, 27 bis 30 geben einen Überblick der für das Infrarot häufig verwendeten Substanzen, Abb. II, 29 u. 30 zeigen auch den Einfluß der Schichtdicke. In Nr. II, 6 und 8 wird die optische Absorption unter dem Einfluß der Schichtdicke ausführlich behandelt. Hier soll nur ein Überblick über die wichtigsten Stoffe gegeben werden. Bei den Gasen sind die Schwingungen und Rotationen der Moleküle ungestört. Man findet scharfe Absorptionen, die heute fast alle bekannt und in Tabellen zu 20000 5000 1250 40000 10000 2500 1000 850

0,25 0,5

Blas I I

1

2

•

8

10

330

200

100

20

cm'1

15 20

30

50

100

500

fim

I

10

1000

I KBr I Quarzglas Ca F¡

Na Ct I

12

630 500

Polyesterfilm

(gestreckt)

I CsBr I CsJ

Abb. II, 27. Fenster für Infrarot mit ihren Durchlässigkeitsbereichen für kleine Schichtdicken (CsBr, CsJ, KBr und NaCl sind hygroskopisch!)

225

Infrarote (ultrarote) und ultraviolette Strahlung

finden sind. Bei Experimenten stören besonders die Absorptionen durch den H 2 0- und C0 2 -Gehalt der Luft. I m Sonnenspektrum auf der Erde fehlen mehrere Spektralbereiche infolge dieser Absorptionen. Sie sind z. B. besonders stark bei 100

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1

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3 cm -1cm IN

20 firn

V

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i

\

\

\ \ fim

Abb. 29

Abb. 28

Abb. II, 28. Spektrale Durchlässigkeit von Quarz (a), Lithiumfluorid (b), Flußspat (c), Steinsalz (d), Sylvin (e) und Kaliumbromid (/); Schichtdicke 3 cm Abb. II, 29. Licht-Durchlässigkeit von extrem reinem, synthetischen Quarzglas (Hanauer Quarzglas Suprasil-W). Man vergleiche mit der Kurve a der Abb. II, 28 2500 100

1500

2000

1000 cm

%

CaFz

80

s •è> 60 •H

\

\10mm

?7mm'\

\

VW mm

ZSmmA \

•5 40

-I ça

20 0

LiF \

^

\I

\

I

\I N V X

I

8

9

10/im 12

Abb. II, 30. Infrarotdurchlässigkeit von LiF und CaF2 für verschiedene Schichtdicken

folgenden Wellenlängen (in /um): 1,1 (H 2 0); 1,38 (II 2 0);. 1,9 (H 2 0); 2,7 (C0 2 und H a O); 4,3 (C0 2 ); 6,0 (H 2 0); 14,5 (C0 2 ). Die starke Absorption von Wasser bemerkt man beim Schwimmen an der Erwärmung der Wasseroberfläche im ruhigen Wasser, das von der Sonne beschienen wurde. Will man infrarotes Licht wegen störender Erwärmung zurückhalten, z. B. bei konzentrierter Bestrahlung eines Gegenstandes mit sichtbarem Licht, dann genügt eine mit Wasser gefüllte Küvette von 1 cm Schichtdicke. — Bei Metallen und einigen Halbleitern wird durch freie Elektronen eine Absorption des infraroten Lichts verursacht. Die Elektronen übernehmen die Schwingungsenergie des Lichts und strahlen selbst

Dispersion und Absorption des Lichtes

226

wieder, d. h. das Licht wird reflektiert. Fensterglas von Bürohäusern und Personenwagen wird deshalb mit Metallen (z. B. Gold) oder Halbleitern bedampft, damit das infrarote Sonnenlicht nicht in die Räume dringt und sie zu sehr erwärmt. Andererseits will man auch verhindern, daß die Wärme beheizter Räume infolge Strahlung durch die Fenster nach außen gelangt. Erwünscht sind somit Gläser oder Schichten auf diesen, welche das sichtbare Licht vollständig hindurchlassen und das unsichtbare Infrarot vollständig reflektieren, d. h. eine möglichst steile Kante der Durchlässigkeit bzw. der Absorption bei etwa 0,7 ^m haben. Die Reflektion ist dann besonders wichtig, wenn vermieden werden soll, daß sich das Glas erwärmt. Bei Grill- oder Backofenfenstern stört diese Erwärmung nicht; deshalb kann man hier Kunststoffolien auf das Glas kleben, die die Infrarotstrahlung echt absorbieren, d. h. in Wärme umwandeln. („Wärmeschutzfolien" aus Polypropylen, die oft auch für eine breite Verwendung mit einer dünnen Aluminiumschicht versehen sind). Fast alle optischen Gläser lassen infrarotes Licht bis etwa 2,7 /um hindurch. Man nennt die Wellenlänge, bei welcher die Durchlässigkeit eines Materials von 5 mm Schichtdicke um 3 0 % gesunken ist, die G r e n z w e l l e n l ä n g e . In der Tabelle sind die Grenzwellenlängen für einige Stoffe (als Einkristalle mit Ausnahme der Gläser) angegeben.

Material

Grenz Wellenlänge in /im

Optische Gläser Quarzglas A1203 MgO und MgF2 LiF CaF 2 BaF 2 NaCl KBr CsJ Ge

2,7 3,8 5,5 7 7 10 13,5 20 30 55 21

KRS-5

40

Bemerkungen

sofern extrem rein

hygroskopisch hygroskopisch hygroskopisch maxim. Durchlässigkeit 2 mm Schichtdicke nur maxim. Durchlässigkeit 5 mm Schichtdicke nur

bei 50% bei 75%

Einige der Stoffe lösen sich in Wasser sehr leicht. Man muß darauf achten, daß sich die polierten Prismenflächen dieser Stoffe nur in trockener Atmosphäre befinden. — Es gibt Stoffe, wie z. B. Germanium, die im sichtbaren Spektralbereich vollkommen lichtundurchlässig sind, jedoch das infrarote Licht in einem weiten Spektralbereich hindurchlassen, wenn auch verhältnismäßig schwach. — Außer der Absorption stört bei Infrarot-Fenstern auch die Reflexion. Diese kann durch dielektrische Mehrfachschichten stark herabgesetzt werden (sog. Entspiegelung; vgl. Nr. I I I , 3).

Infrarote (ultrarote) und ultraviolette Strahlung

227

Bei der Konstruktion von Spektromotern für den infraroten Spektralbereich werden Linsen weitgehend vermieden und durch Metallspiegel ersetzt. Diese haben im Infrarot ein sehr gutes Reflexionsvermögen. Für die Zerlegung des Lichtes in schmale Wellenlängenbereiche werden bis etwa 30 /um Prismen oder Gitter, darüber hinaus nur Gitter verwendet. Prismen aus NaCl oder KBr haben Basislängen und Höhen von etwa 15 cm. Sie werden so hergestellt: In die Oberfläche der Salzschmelze (etwa 800 °C) taucht ein Platinrohr, durch das Kühlwasser fließt. Das sich abkühlende Salz haftet am Platinrohr. Dann wird das Platinrohr langsam in die Höhe gezogen (Geschwindigkeit etwa 1 cm pro Stunde). Schließlich hängt ein schwerer Block festen Salzes am Platinrohr, am oberen Ende mit unvollkommener Kristallisation, weiter unten aber oft in einen guten Einkristall übergehend. Dieser wird zu einem Prisma zersägt; die Seitenflächen werden geschliffen und poliert. Wegen der großen Löslichkeit einiger Salze in Wasser muß Wasserdampf von dem Prisma ferngehalten werden. Dies geschieht dadurch, daß man entweder das Prisma in einem abgeschlossenen Raum mit Trockenmittel hält oder unter dem Prisma ständig eine kleine Heizung in Betrieb hat, damit sich kein Wasserdampf auf den empfindlichen, polierten Prismenflächen niederschlagen kann.

Abb. II, 31. Grundsätzlicher Aufbau eines Spiegelspektrometers S t = Spalte, H, = Hohlspiegel, P = Prisma, A = Drehachse für P und Planspiegel Sp, R = Strahlungsempfänger

Abb. II, 31 zeigt den grundsätzlichen Aufbau eines Infrarot-Spektrometers. Wie man sieht, sind die Absorption des Linsenmaterials und die nicht zu behebende chromatische Abberration von Linsen im Infrarot durch die Verwendung von Spiegeln umgangen. Sphärische Hohlspiegel zeigen allerdings starke sphärische Aberration, insbesondere bei dem hier notwendigen außeraxialen Strahlengang. Deren Einfluß wird nach Czerny und Turner durch den in Abb. II, 31 gezeichneten „gekreuzten" Strahlengang durch teilweise Kompensation der bei H x und H 2 entstehenden Aberrationen vermindert. Unumgehbar ist die Absorption im Prismenmaterial, wodurch der ausnutzbare Wellenlängenbereich begrenzt wird (Abb. II, 28 bis 30). Die angegebene Konstruktion gehört zu der Klasse der S p e k t r o m e t e r mit k o n s t a n t e r Ablenkung. D. h. der Kollimatorteil und das Beobachtungsfernrohr S 2 H 2 bleiben fest; die Wellenlänge, die auf S 2 fällt, wird durch Drehung der sog. Wadsworth-Einrichtung P-Sp um die gemeinsame Drehachse A eingestellt. Wie aus Abb. II, 32 zu erkennen ist, hat die Wadsworth-Einrichtung S

J

H

J

228

Dispersion und Absorption des Lichtes

die Wirkung, den im Minimum der Ablenkung durchgehenden Strahl parallel mit sich selbst zu verschieben, und zwar unabhängig von dem jeweiligen Wert von «, durch den die Wellenlänge bestimmt wird, die durch S 2 ausgesondert wird. (Auch andere Winkel zwischen Prisma und Planspiegel sind möglich; auch dann ist konstante Ablenkung erreichbar.) Welche Wellenlänge durch S a hindurchgeht, berechnet sich aus der bekannten Dispersion n(X) des Prismenmaterials in Verbindung mit der für das Minimum der Ablenkung gültigen Beziehung

(e = Prismenwinkel,

0) .

Die Integration ergibt sofort: In 0 = In 0 O — a l , oder: (II, 17)

0 = 0oe-a'1.

Absorption der Strahlung

237

0 O ist also die Strahlungsleistung, die an der Stelle l = 0 in das Medium eindringt. Das Gesetz (II, 17) wird als das L a m b e r t s c h e G e s e t z bezeichnet. Es besagt, daß in jeder Schicht dl des Materials der gleiche Bruchteil der eindringenden Strahlung verschluckt wird. Die Größe a wird A b s o r p t i o n s k o e f f i z i e n t genannt. a ist abhängig von der Wellenlänge X und der Natur des absorbierenden Mediums, a b e r n i c h t von l. Da al in (II, 17) dimensionslos ist, hat a die Dimension einer reziproken Länge; a wird z. B. in c m - 1 gemessen. Seine physikalische Bedeutung ist die des reziproken Weges, auf dem die Strahlungsleistung auf den e-ten Teil herabsinkt. Denn für a = \jl wird nach (II, 17) = 0oe_1. Wenn 1/a gerade gleich der Wellenlänge X ist, so muß 0O auf den e-ten Teil nach D u r c h l a u f e n e i n e r W e l l e n l ä n g e herabsinken. A. B e e r (1852) hat den Absorptionskoeffizienten a genauer bestimmt, indem er von dem Gedanken ausging, daß die Absorption längs eines Weges l nur von der Gesamtzahl der im Strahlengang befindlichen absorbierenden Individuen (Atome, Moleküle) abhängen könne. Ist also die Konzentration der absorbierenden Zentren c (bzw. ihr Partialdruck p), so ist die Gesamtzahl der absorbierenden Zentren offenbar proportional dem Produkt cl (bzw. pl). Bedeutet daher a' (a") einen anderen Koeffizienten, so kann das L a m b e r t s c h e Gesetz (II, 17) geschrieben werden: (II, 17a)

0=0oB-a'cX

bzw.

In dieser Form wird es als L a m b e r t - B e e r s c h e s A b s o r p t i o n s g e s e t z bezeichnet. Nach der zugrunde liegenden Auffassung sollte es also für die Absorption gleichgültig sein, ob man kleine Konzentrationen (oder Partialdrucke) und große Schichtdicken oder umgekehrt große Konzentrationen (und Partialdrucke) und kleine Schichtdicken verwendet, wenn nur das Produkt cl (oder pl) den gleichen Wert hat. Streng kann dies offenbar nur gelten, wenn die absorbierenden Zentren gegenseitig keine Wechselwirkung aufeinander ausüben, was man bei kleiner Konzentration (oder kleinem Partialdruck) wohl annehmen kann. Zweifelhaft ist dies aber bei hohen Konzentrationen (Partialdrucken). Tatsächlich findet man dann auch Abweichungen vom L a m b e r t - B e e r s e h e n Gesetz. Es kann auch vorkommen, daß bei gleichbleibendem Partialdruck (Konzentration) der absorbierenden Zentren auch nichtabsorbierende Fremdstoffe eine störende Einwirkung ausüben; das würde bedeuten, daß die Absorption nicht nur vom Partialdruck (Konzentration), sondern auch vom Gesamtdruck (Gesamtkonzentration) abhängt; auch solche Fälle sind mehrfach festgestellt worden. Man kann also nur sagen, daß das L a m b e r t - B e e r s c h e Gesetz den Charakter eines Grenzgesetzes für kleine Konzentrationen und Partialdrucke hat. Aus theoretischen Gründen, die später hervortreten werden, setzt man zweckmäßig den Absorptionskoeffizienten a (II, 17b)

4jto« a = —i—

bzw.

a•X

— — = nx = k ,

worin x als A b s o r p t i o n s i n d e x bezeichnet wird, n ist die Brechzahl. Da a eine reziproke Länge ist, wird der Absorptionsindex x dimensionslos, d. h. eine reine Zahl.

238

Dispersion und Absorption des Lichtes

Der Absorptionskoeffizient a kann in Abhängigkeit von der Wellenlänge mit einem S p e k t r a l p h o t o m e t e r gemessen werden. Im Prinzip besteht ein Spektralphotometer aus zwei Spektrometern etwa in der Form, daß der Spalt eines Spektrometers derart unterteilt wird, daß die untere Hälfte frei bleibt, die obere Hälfte von der absorbierenden Substanz bedeckt wird und beide Hälften von der gleichen Strahlungsquelle beleuchtet werden. Dann entstehen zwei übereinanderliegende Spektren mit verschiedenen Helligkeiten für die verschiedenen Wellenlängen. Durch meßbare Schwächung der Strahlung durch den Vergleichsspalt (Verkleinerung des Spalts, Vorschaltung eines Filters bekannter Absorption, rotierender Sektor) werden die beiden Spektren bei jeder Wellenlänge auf gleiche Helligkeit gebracht. Die dazu nötige Schwächung des Vergleichsspektrums gibt dann ein Maß für die Absorption des untersuchten Stoffs. In anderen Formen von Spektralphotometern, speziell in solchen für objektive Strahlungsempfänger, wird der Spalt nicht unterteilt; jedoch wird der Strahlengang vor dem Spalt in zwei Teile geteilt, und ein Spiegel, der periodisch ein- und ausgeschaltet wird, bringt abwechselnd den einen oder den anderen Strahlengang zum Spektrometerspalt. Die (mit Spiegel ein oder aus) im Meßinstrument angezeigten Intensitäten werden dann miteinander verglichen. Bei moderner technischer Ausführung solcher Spektralphotometer wird der Intensitätsvergleich durch geeignete Kompensationsschaltungen automatisch vorgenommen. Das ändert nichts am Prinzip. Das periodische Ein- und Ausschalten hat übrigens den weiteren Vorteil, Störung der Messung durch Umgebungseinflüsse, die langsam gegenüber der Wechselperiode erfolgen, dadurch auszuschalten, daß man die Empfänger in einen Wechselstromkreis einbaut, der auf die Wechselperiode abgestimmt ist, so daß sie auf Strahlung, die nicht mit dieser Periode „moduliert" ist, praktisch nicht ansprechen. Bei diesem einfachen Meßverfahren wird nicht ermittelt, ob die auffallende Strahlungsleistung 0 O auch wirklich in das Medium eindringt. Es kann ja ein Teil reflektiert werden, wie dies bei Metallen besonders stark geschieht. Das L a m b e r t s c h e Gesetz bezieht sich aber nur auf die eindringende Strahlung. Man umgeht diese Schwierigkeit bei der Messung, indem man beide Spalthälften mit Platten verschiedener Dicke bedeckt. Der Reflexionsverlust ist bei beiden Hälften der gleiche und fällt bei der Messung bzw. Rechnung heraus. Zu beachten ist ferner, daß das Licht senkrecht auf die Oberfläche der Platte trifft, damit die Plattendicke gleich dem Lichtweg ist. In der Technischen Optik und Lichttechnik spielen die Reflexion, die Absorption, die Transmission und die Lichtstreuung eine große Rolle. Man denke nur an die Reflexion der vielen Linsenoberflächen bei Objektiven, an die Absorption und Durchlässigkeit (Transmission) von Filtergläsern und an die Lichtstreuung in Milchgläsern. Infolge verschiedenartiger Ansprüche und Meßmethoden sind Begriffe entstanden und gebräuchlich, die kurz geschildert werden sollen. Die Strahlungsleistung i>, die eine Lichtquelle in einem bestimmten Raumwinkel verläßt, kann sowohl energetisch (mit einem Thermoelement) als auch visuell (mit dem Auge) gemessen werden. Bei visueller Messung geht die Augenempfindlichkeit ein (wichtig z. B. bei Sonnenbrillen; s. Abb. V, 13). Die energetische Messung ist unabhängig hiervon und ebenso von der spektralen Empfindlichkeit anderer Empfänger. Visuell wird der „Lichtstrom" 0 in Lumen (Im) gemessen. (Eine international vereinbarte Normallichtquelle von der Lichtstärke 1 Candela sendet in den Raum einen Lichtstrom von 47tlm.) Energetisch wird die Strahlungsleistung in Watt gemessen, d. h. die von einem schwarzen Empfänger pro Zeit aufgenommene Strahlungsenergie (Wärme).

Absorption der Strahlung

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Die energetisch, bei einer bestimmten Wellenlänge A gemessene Strahlungsleistung sei (i>e.i)o- Beim Auftreten auf einen optisch klaren Stoff geht ein Teil durch Reflexion verloren. Der Quotient aus reflektierender durch auffallende Strahlungsleistung wird R e f l e x i o n s g r a d q genannt. Der eindringende Anteil der Strahlungsleistung sei (e;.)h, so daß co'coh « a>\ und {co\— co'2) « 2co h (w h — co') gesetzt werden kann, so folgt aus Gl. (II, 28c), wenn dort für n2x der Wert 7l6hrhlü)h eingesetzt wird, nach elementarer Rechnung COh

—— Co' = 1/2 Th .

Das Doppelte dieser Differenz ist die Breite der Absorptionslinie in halber Höhe (Abb. II, 44), so daß diese „ H a l b w e r t s b r e i t e " ungefähr durch l/rh gegeben ist1. Die Linie ist also um so schmaler, je größer r, je kleiner die Reibungskraft ist. Größere Werte von T vergrößern danach nicht nur die Maximalwerte von n2x, sondern lassen diese Maxima auch schärfer hervortreten. Die Eigenfrequenz 2, während im sichtbaren und ultravioletten Spektralgebiet n m 1,5 ist. Nun ist nach der elementaren Linsenformel die Brennweite einer Linse / = (r, und r,2 die beiden (»—l)(r a —rj) 1 Krümmungsradien). Das bedeutet, daß eine Quarzlinse, die für sichtbares Licht mittlerer Wellenlänge eine Brennweite / = 27,3 cm besitzt, für die langen ultraroten Wellen nur noch eine solche von 12 cm hat. Solche Werte mögen die beiden Quarzlinsen Qj und Q 2 in Abb. I I , 49 haben. Der Abstand der Lichtquelle L wird größer als 12 cm, aber kleiner als 27,3 cm gewählt. Von L ausgesandte

Strahlung 1), und ihre Variation mit (pi ist nicht erheblich. Daher befolgt bei diesen Metallen die Brechung n a h e z u das gewöhnliche Brechungsgesetz. Die zweite Hälfte der Tabelle zeigt zunächst, daß für Cu, Ag und Au n0 < 1 ist, sowie daß die Änderung von nv mit cp1 sehr erheblich ist; hier ist also das Brechungsgesetz ein ganz anderes. Im besonderen zeigt die Tabelle, daß für Cu die Brechzahl n 9 zwischen 60° und 70° durch den Wert 1 hindurchgeht, und das gleiche zeigt sich für etwas größere Winkel bei Ag und Au. Das bedeutet aber, daß für diese Metalle bei einem bestimmten Einfallswinkel (bei Cu 62,9°, bei Ag 71,9°, bei Au 76,2°) die e i n f a l l e n d e W e l l e u n g e b r o c h e n i n d a s M e t a l l e i n t r i t t ; dies hat S h e a auch direkt konstatiert. — Abb. II, 52 gibt graphisch die Werte der Tabelle wieder. Man könnte unsere obige Feststellung, daß n Q sin p