Klausurtraining Statistik [2., durchges. Aufl. Reprint 2014] 9783486790627, 9783486237597

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Klausurtraining Statistik Von

o. Prof. Dr. Karl Bosch

2., durchgesehene Auflage

R. Oldenbourg Verlag München Wien

Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Bosch, Karl: Klausuitraining Statistik / von Karl Bosch. - München ; Wien : Oldenbourg, 1996 ISBN 3-486-23759-4

© 1996 R. Oldenbourg Verlag GmbH, München Das Werk einschließlich aller Abbildungen ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen. Gesamtherstellung: R. Oldenbourg Graphische Betriebe GmbH, München ISBN 3-486-23759-4

Inhaltsverzeichnis Beschreibende (deskriptive) Statistik Kapitel 1 : Aufgaben

1

Kapitel 4 : Lösungen

69

Wahrscheinlichkeitsrechnung Kapitel 2 : Aufgaben

18

Kapitel 5 : Lösungen

101

Beurteilende (induktive) Statistik Kapitel 3 : Aufgaben

44

Kapitel 6 : Lösungen

149

Tabellenanhang Tab. 1 : Verteilungsfunktion der Standard Normalverteilung 201 Tab. 2 : Quantile der Standard- Normalverteilung . . . .

203

Tab. 3 : Quantile der t-Verteilung

205

Tab. 4: Quantile der Chi-Quadrat-Verteilung

208

Tab. 5: Quantile der F-Verteilung

211

Vorwort (zur ersten und zweiten Auflage) Die vorliegende Aufgabensammlung enthält Klausuraufgaben, die zur Vorbereitung auf die Klausuren zur Statistik geeignet sind. Im wesentlichen wird der übliche Stoff fur das Grundstudium in Statistik abgedeckt, doch wird es Vorlesungen geben, die in manchen Gebieten von dieser Stoffauswahl etwas abweichen. Zur Klausurvorbereitung sollten dann zusätzlich entsprechende Aufgaben gerechnet werden. Da die Stoffeinteilung nicht in allen (zweisemestrigen) Vorlesungen gleich ist, besteht die Aufgabensammlung aus drei Teilgebieten: beschreibende (deskriptive) Statistik:

Aufgaben 1.1 bis 1.40

Wahrscheinlichkeitsrechnung:

Aufgaben 2.1 bis 2.64

beurteilende (induktive) Statistik:

Aufgaben 3.1 bis 3.60.

In manchen Kursen wird im ersten Semester mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung begonnen. Da zur Lösung der Aufgaben aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung die beschreibende Statistik nicht benötigt wird, kann ohne weiteres mit diesem Teil begonnen werden. Nach den Aufgabenstellungen im ersten Teil stehen im zweiten Teil die vollständigen Lösungswege. Die Lösungen sind meistens auf vier Stellen angegeben, wobei in der Regel nicht mit den angegebenen (gerundeten) Zwischenergebnissen, sondern mit den gespeicherten (exakten) Werten weitergerechnet wird. Die von Ihnen berechneten Ergebnisse können wegen vorgenommener Rundungen von den hier angegebenen Ergebnissen mehr oder weniger stark abweichen, insbesondere wenn Quantité aus Tabellen abgelesen werden. Bei den vorliegenden Berechnungen wurden die Quantile mit Hilfe eines Taschenrechners bestimmt. Am Ende des Buches befinden sich noch einige Tabellen. Eine sinnvolle Klausurvorbereitung besteht im sorgfältigen Rechnen der Aufgaben. Erst danach sollte der Lösungsweg mit dem im Buch angegebenen verglichen werden. Für Hinweise auf Fehler und Anregungen bin ich stets dankbar. Allen Leserinnen und Lesern wünsche ich viel Erfolg beim Lösen der Aufgaben.

Karl Bosch

Beschreibende Statistik

1

Aufgaben Kap. 1 Aufgaben zur beschreibenden Statistik Aufgabe 1.1 Ein Staubsauger des Typs Saugfix kostet in verschiedenen Kaufhäusern (in DM): 249, 231, 219, 229, 284, 269,239. a) Bestimmen Sie den Mittelwert χ . b) Bestimmen Sie den Median χ . c) Welcher dieser beiden Lageparameter ist der geeignetere? d) Bestimmen Sie die mittlere Abweichung der Stichprobenwerte vom Mittelwert x . e) Bestimmen Sie die mittlere Abweichung der Stichprobenwerte vom Median x. f) Berechnen Sie die Standardabweichung s. g) Ordnen Sie die in d), e) und f) berechneten Abweichungen der Größe nach an. Gilt die festgestellte Reihenfolge immer?

Aufgabe 1.2 In einer Wiederholungsklausur zur Statistik erhielten die Teilnehmer folgende Punkte : 10, 17, 18, 15, 19, 12, 15, 15, 21, 21, 5, 21, 8, 17, 12, 24, 26, 18,28, 10, 26, 17, 3, 21, 32, 17, 3, 20, 12, 7, 22. a) Zeichnen Sie ein Stabdiagramm für die absoluten Häufigkeiten. b) Bestimmen Sie das arithmetische Mittel und den Median. c) Wie viele Punkte dürfen zum Bestehen der Prüfung verlangt werden, damit mindestens α) 50%, β) 75%, 7 ) 9 0 % der Kandidaten die Prüfung bestehen? d) Bestimmen Sie das untere und das obere Quartil sowie den Quartilsababstand. Welche Bedeutung hat dieser Quartilsabstand?

2

Aufgaben

Aufgabe 1.3 In einer kleinen Pension wurde an 50 Tagen jeweils die Anzahl der belegten Betten festgestellt: 5 4 6 7 5 4 7 8 9 10 9 10 8 6 4 5 7 9 10 9 6 6 7 9 8 7 4 5 5 7 9 8 9 9 8 9 6 6 6 7 9 10 8 7 10 8 7 8

10 10

a) Stellen Sie eine Tabelle für die absoluten und relativen Häufigkeiten auf. b) Zeichen Sie ein Stabdiagramm für die relativen Häufigkeiten. c) Zeichnen Sie die empirische Verteilungsfunktion. d) Bestimmen Sie den Mittelwert und den Median. e) Berechnen Sie die Standardabweichung. f) Berechnen Sie die Schiefe der Verteilung. g) Berechnen Sie den Exzeß (die Wölbung) der Verteilung.

Aufgabe 1.4 In Familien wurde die Anzahl der Kinder festgestellt. Dabei erhielt man das folgende Ergebnis: Anzahl der Kinder Häufigkeiten

0

1

2

3

4

5

6

7

22

31

22

13

7

3

0

2

a) Wie viele Familien wurden befragt? b) Zeichnen Sie ein Stabdiagramm für die relativen Häufigkeiten. c) Zeichnen Sie die empirische Verteilungsfunktion. d) Bestimmen Sie den Modalwert. e) Berechnen Sie den Mittelwert χ der Stichprobe. f) Bestimmen Sie den Median χ der Stichprobe. g) Interpretieren Sie den erhaltenen Mittelwert und den Median. h) Bestimmen Sie die beiden Quartile und interpretieren Sie diese beiden Werte. i) Berechnen Sie den Variationskoeffizienten, j ) Bestimmen Sie die Schiefe der Verteilung.

Beschreibende Statistik

3

Aufgabe 1.5 Bei einer Radarkontrolle wurden diejenigen Fahrzeuge registriert, welche die zulässige Höchstgeschwindigkeit überschritten. Dabei erhielt man folgende Werte: Überschreitungsgeschwindigkeit über 0 über 10 über 15 über 20 über 25 über 30 über 40 über 50 über 60

bis 10 bis 15 bis 20 bis 25 bis 30 bis 40 bis 50 bis 60 km/h

km/h km/h km/h km/h km/h km/h km/h km/h

Anzahl der Fahrzeuge 161 67 53 39 28 33 12 7 0

a) Zeichnen Sie ein flächenproportionales Histogramm für die relativen Klassenhäufigkeiten. b) Zeichnen Sie die klassierte empirische Verteilungsfunktion. c) Wieviel Prozent der registrierten Fahrzeuge überschritten die Höchstgeschwindigkeit um mehr als 25 km/h? d) In welchem Bereich liegt der Median χ der Uberschreitungsgeschwindigkeiten? e) Bestimmen Sie einen Näherungswert für den Median χ . f) Bestimmen Sie Näherungswerte für die beiden Quartile und interpretieren Sie diese Werte. g) Bestimmen Sie einen Näherungswert für die mittlere Überschreitungsgeschwindigkeit χ . h) Bestimmen Sie die Näherungswerte für den Median und die Quartile zeichnerisch aus der klassierten (empirischen) Verteilungsfunktion.

4

Aufgaben

Aufgabe 1.6 Die monatlichen Ausgaben einer bestimmten Person sind anteilmäßig in der nachfolgenden Tabelle zusammengestellt. Die Preiserhöhungen innerhalb eines Jahres für die einzelnen Gebiete sind in der dritten Spalte angegeben. Um wieviel Prozent erhöhten sich die Gesamtausgaben der Person im Durchschnitt? Artikel

prozentualer Anteil

Miete Lebensmittel Auto Genußartikel Urlaub sonstiges

Preiserhöhung in Prozent 6 3,5 4,5 4 2 4,2

40 15 12 10 15 8

Aufgabe 1.7 Die Preise für ein bestimmtes Produkt erhöhten sich in fünf Jahren jährlich um jeweils 3,7%, 4,2%, 2,8%, 5,1% und 2,5%. Bestimmen Sie die mittlere Preisteigerungsrate während dieser fünf Jahre.

Aufgabe 1.8 Während vier Jahren betrug der Kurs für eine Aktie jeweils zum Jahresbeginn (in DM): 500 ; 600 ; 400 und 700. Jemand kaufte immer zum Jahresbeginn zu diesen Kursen die Aktie. Berechnen Sie den durchschnittlichen Kaufkurs (pro Aktie), falls a) jeweils 100 Stück ; b) jeweils für den gleichen Betrag von 84 000 DM von der Aktie gekauft wurde. Durch welche Mittelwertsbildung kann der jeweilige durchschnittliche Kaufkurs berechnet werden?

Aufgabe 1.9 Ein bestimmter Arbeitsvorgang kann von einem von vier Arbeitern durchgeführt werden. Die Fertigungszeiten in Minuten pro Stück sind in der nachfolgenden Tabelle zusammengestellt: Arbeiter Stückzeit (Min./Stück)

1

2

3

5

1,0

1,2

1,5

1,6

5

Beschreibende Statistik Berechnen Sie die durchschnittlichen Stückzeiten eines Postens, bei dem a) jeder der vier Arbeiter 500 Stück bearbeitet ; b) jeder Arbeiter 8 Stunden arbeitet ;

c) Arbeiter 1 und 2 jeweils 8 Stunden, Arbeiter 3 sechs Stunden und Arbeiter 4 vier Stunden arbeitet. Geben Sie jeweils an, durch welche Mittelwertbildung die jeweilige durchschnittliche Bearbeitungszeit berechnet werden kann.

Aufgabe 1.10 Von drei verschiedenen Stichproben mit nur positiven Werten sind folgende Kenngrößen gegeben: Stichprobe 1

Stichprobe 2 Stichprobe 3

Stichprobenumfang

10

40

50

arithmetisches Mittel

5,1

5,3

5,4

geometrisches Mittel

4,8

4,9

5,1

harmonisches Mittel

4,6

4,8

5,0

Varianz (Division durch η - 1)

2,1

2,2

2,3

Die drei Stichproben werden zu einer einzigen Stichprobe vereinigt. Bestimmen Sie die in der Tabelle genannten Kenngrößen für die gesamte Stichprobe.

Aufgabe 1.11 An einer GmbH sind fünf Personen mit jeweils 50, 20, 15, 10 bzw. 5 % beteiligt. a) Skizzieren Sie die Lorenzkurve. b) Bestimmmen Sie den Gini - Koeffizienten (das Lorenzsche Konzentrationsmaß). c) Wie müßten die Anteile unter den fünf Personen aufgeteilt sein, damit der Gini - Koeffizient verschwindet? d) Bei welcher Verteilung der Anteile unter den fünf Personen wäre der Gini - Koeffizient maximal? Berechnen Sie diesen maximalen Wert und skizzieren Sie die dazugehörige Lorenzkurve.

6

Aufgaben

Aufgabe 1.12 50 Studierenden steht monatlich jeweils der in der nachfolgenden Tabelle angegebene Geldbetrag zur Verfügung: Geldbetrag [DM] Häufigkeiten

700

750

800

850

900

5

7

10

10

9

1000 1500 5

4

a) Stellen Sie das Stabdiagramm der relativen Häufigkeiten dar. b) Skizzieren Sie die empirische Verteilungsfunktion. c) Bestimmen Sie den Mittelwert und den Median. d) Skizzieren Sie die Lorenzkurve. e) Wieviel Prozent des Geldes aller 50 Studierenden haben die 9 Personen, denen mindestens 1000 DM zur Verfügung steht. f) Bestimmmen Sie den Gini- Koeffizienten (das Lorenzsche Konzentrationsmaß). g) Wie müßte der Geldbetrag bei gleicher Gesamtsumme unter den 50 Studierenden aufgeteilt werden, damit der Gini-Koeffizient verschwindet?

Aufgabe 1.13 Bestimmen Sie aus den Daten der Aufgabe 1.12 folgende Großen: _ 1 η _ a) den Variationskoefßzienten ν = = mit s = „ Σ ( x ¡ — *) 5 i=i b) den Herfindahl - Index H (auf direktem Wege). c) Bestätigen Sie die Formel H = g- (ν2 + 1).

Aufgabe 1.14 Die Börsenkurse (in DM) zweier Automobilaktien A und Β an 10 verschiedenen Börsentagen sind in der nachfolgenden Tabelle zusammengestellt: A

490

510

520

550

580

610

620

630

640

670

Β

210

225

245

240

270

295

280

305

295

320

7

Beschreibende Statistik a) Zeichnen Sie die Punktwolke.

b) Berechnen Sie die Mittelwerte, Varianzen und Standardabweichungen der Kurse der beiden einzelnen Aktien. c) Bestimmen Sie die Kovarianz und den Korrelationskoeffizienten r nach Bravais-Pearson. Interpretieren Sie den erhaltenen Wert für den Korrelationskoeffizienten. d) Bestimmen Sie die Gleichung der Regressionsgeraden der Kurse der Aktie Β bezüglich der Kurse der Aktie A. Zeichnen Sie die Regressionsgerade in die Punktwolke ein. e) Bestimmen Sie die Summe der vertikalen Abweichungsquadrate der 10 Punkte von der Regressionsgeraden. f) Wie lautet das Bestimmtheitsmaß?

Aufgabe 1.15 In der nachfolgenden Tabelle ist die gemeinsame Häufigkeitsverteilung (absolute Häufigkeiten) gegeben: ί 1 2

3 4 5

1

2

3

4

5

2 3 0 0

2 4 4 0

1 0 2 1 12 4 4 3

0 0 0 3

0

0

1

2

2

a) Bestimmen Sie die beiden Randverteilungen sowie deren Mittelwerte und Standardabweichungen. b) Bestimmen Sie die Kovarianz und den Korrelationskoeffizienten r nach Bravais - Pearson. c) Bestimmen Sie jeweils für die x- bzw. y-Werte die bedingten Mediane und die bedingten Mittelwerte.

8

Aufgaben

Aufgabe 1.16 Von einer zweidimensionalen Häufigkeitsverteilung sind folgende Werte gegeben: 4 Summe 5 6 7 x j* \ y k \ 1 2 3

*

4 *

2 3

*

2

1

*

*

8

*

*

14

Summe

4

16

*

2

30

6

a) Vervollständigen Sie die Tabelle. b) Berechnen Sie die Mittelwerte und Varianzen der beiden Randverteilungen. c) Bestimmen Sie die Häufigkeitsverteilung, den Mittelwert und die Varianz der Stichprobe der Summe ζ = χ + y. Gilt = + Sy ?

Aufgabe 1.17 In den beiden Klausuren zur Statistik I und Statistik II erhielten 10 Studierende (in alphabetischer Reihenfolge) die in der nachfolgenden Tabelle (2. und 3. Zeile) angegebenen Punkte: Stud. Nr.

1

2

8

9

10

Punkte in Klausur I

18 25 14 30 17 21 24 19

8

10

Punkte in Klausur II

10 27 19 25 13 23 21 26 18 14

3

4

5

6

7

a) Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten r nach Bravais-Pearson. b) Bestimmen Sie den Spearmanschen Rangkorrelationskoeffizienten r s . c) Weshalb ist hier der Spearmansche Rangkorrelationskoeffizient r s als Maß für die lineare Abhängigkeit besser geeignet als der Korrelationskoeffizient r nach Bravais-Pearson?

Aufgabe 1.18 Gegeben sind die Werte einer zweidimensionalen Stichprobe: i

10 10 11 11 12 12 13 13 14 14 15 15 16 16

Vi

23 24 22 25 21 26 20 27 21 26 22 25 23 24

x

Beschreibende Statistik

9

a) Zeichnen Sie die Punktwolke. b) Begründen Sie, weshalb die Kovarianz und damit auch der Korrelationskoeffizient r verschwindet. c) Wie lautet die Gleichung der Regressionsgeraden der y - Werte bezüglich der χ-Werte. d) Wie lautet die Gleichung der Regressionsgeraden der χ-Werte bezüglich der y-Werte. Zeichnen Sie diese Regressionsgeraden in die Abbildung ein. e) Bestimmen Sie die Rangzahlen der x - Werte und die der y-Werte. f) Bestimmen Sie den Spearmanschen Rangkorrelationskoeffizienten r s .

Aufgabe 1.19 Von einer Stichprobe seien folgende Größen bekannt: Stichprobenumfang:

η = 500 ;

Summe aller Werte:

¿ x¡ = 85 500 ; i=l η Quadratsumme: £ xf = 14635470. i=l a) Berechnen Sie daraus den Mittelwert χ und die Varianz

s2 = — n

1

£ (xj — x) 2 i=l

bzw

s 2 = g Σ ( x ¡ — *) 2 · i=l

b) Bestimmen Sie den Herfindahl - Index.

Aufgabe 1.20 In einem Betrieb sind 841 Personen beschäftigt. Das monatliche Durchschnittsgehalt beträgt χ = 3 241,45 bei einer Standardabweichung von s = 172,15 DM. Der Median lautet χ = 2967,59 DM. Im darauffolgenden Jahr werden die Gehälter linear um 2,9 % erhöht. Zusätzlich dazu erhält jede Person noch einen Sockelbetrag von 50 DM. Berechnen Sie den Mittelwert, den Median und die Standardabweichung der neuen Gehälter.

10

Aufgaben

Aufgabe 1.21 Jemand kaufte eine Aktie zum Preis von 500 DM. Im ersten Jahr stieg sie um 10 % auf 550 DM, im zweiten Jahr fiel sie um 20 % auf 440 DM. Im dritten Jahr fiel sie um 15 % auf 374 DM. Im vierten Jahr stieg sie wieder um 25 % auf 467,50 DM. a) Um wieviel Prozent hat sich die Aktie pro Jahr im Durchschnitt verändert? b) Weshalb ist hier das arithmetische Mittel der prozentualen Veränderungen zur Berechnung der mittleren Kurssteigerung nicht geeignet? Aufgabe 1.22 Gegeben ist die empirische Verteilungsfunktion: 0

für χ < 1,5

0,1 für 1,5 < χ < 3 0,4

für 3 < χ < 4,5

0,65 für 4,5 < χ < 7 1

für χ > 7.

a) Zeichnen Sie die Verteilungsfunktion sowie ein Stabdiagramm für die relativen Häufigkeiten der Stichprobenwerte. b) Berechnen Sie den Mittelwert der Stichprobe. c) Berechnen Sie den Median der Stichprobe. d) Zeichnen Sie die Lorenzsche Konzentrationskurve. e) Berechnen Sie den Gini- Koeffizienten (Lorenzsches Konzentrationsmaß).

Aufgabe 1.23 Die jeweiligen Umsätze und die Umsätze pro Mitarbeiter in drei Betrieben sind in der nachfolgenden Tabelle zusammengestellt: Betrieb

Umsatz in DM

Umsatz pro Mitarbeiter

I

220500000

490000

II

273 000000

520000

III

340480000

560000

Beschreibende Statistik

11

a) Bestimmen Sie den durchschnittlichen Umsatz pro Mitarbeiter in allen drei Betrieben zusammen. b) Stellen Sie den durchschnittlichen Umsatz aus a) als gewichtetes arithmetisches Mittel dar. c) Stellen Sie den durchschnittlichen Umsatz aus a) als gewichtetes harmonisches Mittel dar.

Aufgabe 1.24 In der nachfolgenden Abbildung ist die Lorenzkurve für die Umsätze einzelner Betriebe skizziert (Skaleneinteilung in Prozent).

100

Prozent der Betriebe

70

90 100

a) Wie sind die Umsätze auf die einzelnen Betriebe konzentriert? b) Bestimmen Sie mit Hilfe der Trapezregel den Inhalt Κ der Konzentrationsfläche, also der Fläche zwischen der ersten Winkelhalbierenden (Diagonalen) und der Lorenzkurve. c) Bestimmen Sie den Gini-Koeffizienten G.

Aufgabe 1.25 Bei der Untersuchung der Milchmenge y [kg] einer Kuh in Abhängigkeit vom Fettgehalt [ % ] ergaben sich folgende Meßwerte: i

3,1

3,2

3,3

3,4

3,5

3,6

3,6

3,7

3,8

3,9

y¡

23,6

22,1

22,3

21,8

18,7

20,9

19,2

18,9

19,1

17,4

x

a) Zeichnen Sie die Punktwolke.

12

Aufgaben

b) Bestimmen Sie den Korrelationskoeffizienten r (nach Bravais-Pearson). Weshalb ist hier der Korrelationskoeffizient r geeignet? c) Bestimmen Sie die Gleichung der Regressionsgeraden von y bezüglich x. Zeichnen Sie die Regressionsgerade in die Punktwolke ein. d) Bestimmen Sie die zugehörigen Werte y¡ auf der Regressionsgeraden. e) Bestimmen Sie die Summe der vertikalen Abstandsquadrate der Stichprobenwerte von der Regressionsgeraden. f) Geben Sie einen Schätzwert für die Milchmenge bei einem Fettgehalt von 3,575 % an. Aufgabe 1.26 Gegeben ist folgende zweidimensionale Häufigkeitsverteilung mit den relativen Häufigkeiten: Xj y í \ 0 1 2 3

0

1

2

3

0,1 0,1 0,1 0

0 0,2 0,1 0

0 0 0,2 0,1

0 0 0 0,1

a) Bestimmen Sie die Mittelwerte der beiden Randverteilungen. b) Bestimmen Sie den Korrelationskoeffizienten r (nach Bravais-Pearson). Aufgabe 1.27 Von einer zweidimensionalen Stichprobe sind folgende Größen gegeben: η = 50;

Σ > ϊ = 520; i

E y ¡ = 730; i

Ç x? = 5 604 ; i

Σ > , ? = 11099; i

Σ ν * = 7837. i

a) Berechnen Sie die Mittelwerte und Standardabweichungen der beiden einzelnen Stichproben. b) Berechnen Sie die Kovarianz und den Korrelationskoeffizienten nach Bravais-Pearson. c) Bestimmen Sie die Gleichungen der beiden Regressionsgeraden. d) Bestimmen Sie die Summe der vertikalen Abstandsquadrate der Stichprobenpaare von der Regressionsgeraden bzgl. χ und die Summe der horizontalen Abstandsquadrate von der Regressionsgeraden bzgl. y.

Beschreibende Statistik

13

Aufgabe 1.28 Zwei Experten führten Geschmacksprüfungen bei 5 Käsesorten durch. Dabei konnten die Verkoster jeweils bis zu 20 Punkte vergeben. Das Ergebnis ist in der nachfolgenden Tabelle zusammengestellt: Käsesorte

1

2

3

4

5

Punkte Verk. I

(x¡)

9

12

4

17

15

Punkte Verk. II

(y¡)

7

14

8

18

20

Bestimmen Sie zur Beurteilung des Zusammenhangs beider Bewertungen a) den Rangkorrelationskoeffizienten r s von Spearman; b) den Rangkorrelationskoeffizienten τ von Kendall.

Aufgabe 1.29 Zur Auswertung von 1000 Meßergebnissen mußten die Studierenden als Hausaufgabe die Summe und die Quadratsumme dieser 1000 Meßwerte berechnen. Ein Student legte das folgende Ergebnis vor: 1000 1000 „ Xj = 1458; £ x ? = 2 1 1 0 . i=l i=l Begründen Sie, weshalb mindestens eine dieser Summen falsch sein muß.

Aufgabe 1.30 Ein Schiff fährt nacheinander Strecken der Länge 50 km, 100 km und 150 km mit unterschiedlichen, aber jeweils konstanten Geschwindigkeiten. Für die erste Strecke benötigt es 4 Min./km, für die zweite 3 Min./km und für die dritte 2 Min./km. a) Berechnen Sie die im Durchschnitt für die gesamte Strecke benotigte Zeit pro km. Durch welche Mittelwertsbildung kann dieser Durchschnittswert berechnet werden? b) Berechnen Sie die durchschnittliche Geschwindigkeit für die gesamte Strecke.

14

Aufgaben

Aufgabe 1.31 In einer bäuerlichen Gemeinde ist die Anzahl der landwirtschaftlichen Klein-und Großbetriebe in Abhängigkeit von der Betriebsgöße (in ha) in der nachfolgenden Tabelle zusammengestellt: Größe

unter 1

Anzahl

3

1-2

2-5

5

8

5-10

10-20

20-50

50 - 1 0 0

10

12

7

5

a) Bestimmen Sie Näherungswerte für das arithmetische Mittel χ und den Median x. b) Skizzieren Sie die Lorenzkurve. c) Bestimmen Sie einen Näherungswert (Lorenzsches Konzentrationsmaß).

für den

Gini - Koeffizienten

Aufgabe 1.32 An einem Tanzturnier nahmen 6 Tanzpaare teil. Zwei Wertungsrichter gaben den Paaren folgende Platzziffern Tanzpaar Nr.

1

2

3

4

5

6

Platz von Wertungsrichter I

4

2

5

1

6

3

Platz von Wertungsrichter II

3

1

5

2

6

4

Bestimmen Sie den Spearmanschen Rangkorrelationskoeffizienten r s .

Aufgabe 1.33 Eine zweidimensionale Stichprobe besitze die beiden Regressionsgeraden y = 1,5x4-1,5 ; x = 0,4y + l . a) Berechnen Sie das Bestimmtheitsmaß und den Korrelationskoeffizienten r (nach Bravais-Pearson). b) Die Stichprobe besitze die Kovarianz s x y = 6. Berechnen Sie daraus die Standardabweichungen und Mittelwerte der beiden Randverteilungen.

Beschreibende Statistik

15

Aufgabe 1.34 Eine Firma hat zwei verschiedene Produktionsstätten. Im ersten Werk sind 400 Beschäftigte mit einem Durchschnittsverdienst von 3650 DM und der zugehörigen Standardabweichung von 150 DM. In beiden Werken zusammen arbeiten 1000 Personen mit einem Durchschnittsgehalt von 3 500 DM und der Streuung von 200 DM. Bestimmen Sie den Durchschnittsverdienst mit der zugehörigen Standardabweichung im zweiten Werk (in DM).

Aufgabe 1.35 Werkstücke werden auf einer von fünf unterschiedlich modernen Maschinen bearbeitet. Dabei werden pro Stück folgende Maschinenzeiten benötigt: Maschine

I

II

III

IV

V

Bearbeitungszeit [sec./Stück]

10

15

20

20

30

a) Auf jeder Maschine werden gleich viele Stücke bearbeitet. Welche Durchschnittszeit in sec. pro Stück wird für die Gesamtproduktion insgesamt benötigt? b) Auf den einzelnen Maschinen werden fogende Stückzahlen bearbeitet: I: 300 ; II: 250 ; III: 200 ; IV: 200 ; V: 150. Berechnen Sie die durchschnittliche Bearbeitungszeit pro Stück für diesen Gesamtposten. c) Alle Maschinen arbeiten gleich lang. Wie viele Stücke pro Stunde werden im Durchschnitt hergestellt? Welche Durchschnittszeit in sec. pro Stück wird für diese Produktion benötigt?

16

Aufgaben

Aufgabe 1.36 In der nachfolgenden Abbildung ist eine klassierte Verteilungsfunktion (einer Klasseneinteilung) gegeben:

a) Geben Sie die relativen Häufigkeiten der Klasseneinteilung an. b) Zeichnen Sie für die relativen Häufigkeiten ein flächenproportionales Histogramm. c) Bestimmen Sie mit Hilfe der klassierten Verteilungsfunktion Näherungswerte für folgende Kenngrößen: α) Median, ß) beide Quartile. d) Zeichnen Sie unter Benutzung der oberen Klassengrenzen die Lorenzkurve. e) Bestimmen Sie den Gini-Koeffizienten zur Lorenzkurve aus d). Aufgabe 1.37 Die Lorenzkurve einer Häufigkeitsverteilung besitzt folgende (innere) Stützu 0,2 0,5 0,7 0,9 stellen: i v 0,4 0,05 0,2 0,6 i a) Skizzieren Sie die Lorenzkurve. b) Welcher relative Anteil der Merkmalssumme entfallt auf die α) 50% kleinsten, ß) 10 % größten Merkmalsträger? c) Bestimmen Sie den Gini - Koeffizienten.

Beschreibende Statistik

17

Aufgabe 1.38 In einer Klausur zur Statistik mußten aus Daten die Eckpunkte der Lorenzkurve berechnet werden. Jemand gab folgende Stützstellen an: u

i

0,1

0,25

0,55

0,8

0,9

v

i

0,05

0,2

0,65

0,75

0,95

Geben Sie eine ganz einfache Begründung dafür an, daß dieses Ergebnis nicht stimmen kann.

Aufgabe 1.39 In 8 Lebensmittelmärkten wurden die Kartoffelpreise in DM/kg in Abhängigkeit von den Güteklassen Α, Β und C festgestellt mit dem Ergebnis: Markt

1

2

3

4

5

6

7

8

Klasse (x¡)

A

A

C

Β

A

C

B

A

0,90 1,30

1,40

1,20

1,10

1,20

Preise (y¡)

1,30 1,50

a) Welcher Korrelationskoefïizient ist ein geeignetes Maß für den Zusammenhang?

b) Berechnen Sie diesen Korrelationskoeffizienten.

Aufgabe 1.40 Eine Firma hatte in den Jahren von 1984 bis 1993 folgende Umsätze Jahr 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 (in Mio DM): Umsatz 120 125 131 134 141 148 152 157 160

1993 167

a) Welcher Umsatz sollte für das Jahr 1994 angestrebt werden, damit die Umsatzsteigerung vom Jahr 1993 zum Jahr 1994 gleich der durchschnittlichen Umsatzsteigerung von 1984 bis 1993 ist? b) Bestimmen Sie die Gleichung der Regressionsgeraden der Umsätze bzgl. der Jahre. Mit Hilfe der Regressionsgeraden soll ein Schätzwert für den Umsatz im Jahre 1994 bestimmt werden.

Aufgaben

18

Kap. 2 Aufgaben zur Wahrscheinlichkeitsrechnung Aufgabe 2.1 Bei einer Qualitätskontrolle können Werkstücke zwei Fehler haben, den Fehler A und den Fehler B. Aus Erfahrung seien folgende Werte bekannt: Mit Wahrscheinlichkeit 0,05 hat ein Werkstück den Fehler A, mit Wahrscheinlichkeit 0,01 hat es beide Fehler und mit Wahrscheinlichkeit 0,03 nur den Fehler B. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat ein Werkstück den Fehler B? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein Werkstück fehlerhaft bzw. fehlerfrei? c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit besitzt ein Werkstück genau einen Fehler? d) Bei einem Werkstück wurde der Fehler A festgestellt, während die Untersuchung auf den Fehler Β noch nicht erfolgt ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat es auch den Fehler Β bzw. nicht den Fehler B? e) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein Werkstsück fehlerfrei, falls es den Fehler Β (bzw. A) nicht besitzt? f) Sind die Ereignisse "Fehler A" und "Fehler B" (stochastisch) unabhängig? g) Von einem Stück sei nur bekannt, daß es fehlerhaft ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat es α) nur den Fehler A, ß) nur den Fehler B, γ) beide Fehler ?

Aufgabe 2.2 Von hochwertigen Geräten ist bekannt, daß sie innerhalb von 100 Stunden jeweils mit Wahrscheinlichkeit ρ = 0,15 ausfallen. a) Ein Seriensystem besteht aus 10 hintereinandergeschalteten Geräten. Beim Ausfall eines der 10 Geräte fällt das System sofort aus. Mit welcher Wahrscheinlichkeit überlebt das System 100 Betriebsstunden? b) Ein Parallelsystem bestehe aus 3 parallel geschalteten Geräten. Das System fällt erst aus, wenn alle drei Komponenten ausgefallen sind. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist dieses Parallelsystem 100 Stunden betriebsbereit?

Wahrscheinlichkeitsrechnung

19

c) Aus wie vielen Komponenten muB ein Parallelsystem mindestens bestehen, damit das System mit einer Wahrscheinlichkeit von a) mindestens 0,9999 ß) mindestens 0,999999 100 Stunden betriebsbereit ist?

Aufgabe 2.3 Werkstucke werden auf einer von drei verschieden Maschinen produziert. Die älteste Maschine 1 fertigt 20 % der Gesamtproduktion, wobei 6 Prozent Ausschuß ist. Die Maschine 2 stellt 30 % der Gesamtproduktion her mit einem Ausschußanteil von 3 %. Der Rest wird von der modernsten Maschine hergestellt mit einem Ausschußanteil von 1 %. a) Welcher3 Ausschußanteil entsteht in der Gesamtproduktion? b) Aus der gesamten Produktion wird ein Stück zufallig ausgewählt, von dem sich herausstellt, daß es fehlerhaft ist. Mit welchen Wahrscheinlichkeiten wurde dieses Stuck von der Maschine 1, 2 bzw. 3 hergestellt? (Probe!). c) Mit welchen Wahrscheinlichkeiten wurde ein zufallig ausgewähltes fehlerfreies Stück von den einzelnen Maschinen hergestellt?

Aufgabe 2.4 Ein Eimer enthalte 100 Lose mit den Nummern 1 bis 100. Daraus werde ein Los zufallig ausgewählt und die Nummer festgestellt. Dabei werden folgende Ereignisse betrachtet: G: gerade Zahl; U: ungerade Zahl; B: die Zahl ist ein Vielfaches von 7 ; C: die Zahl ist größer als 95. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für diese Ereignisse. b) Welche Paare von den vier gegebenen Ereignissen sind unabhängig?

Aufgabe 2.5 In einer Qualitätskontrolle findet eine dreifache Kontrolle statt. Von den fehlerhaften Stucken werden bei der ersten Kontrolle 80 % entdeckt. Von den nichtentdeckten fehlerhaften Stücken stellt die 2. Kontrolle 60 % als fehlerhaft fest, bei der dritten Kontrolle werden schließlich 30 % der fehlerhaften Stücke entdeckt.

Aufgaben

20

a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird ein fehlerhaftes Stück bei den drei Kontrollgängen nicht entdeckt? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird ein fehlerhaftes Stück bei der i - ten Kontrolle entdeckt (i = 1,2,3)? c) Die Entdeckung eines fehlerhaften Stückes koste bei Kontrolle 1 fünf DM, bei Kontrolle 2 zehn DM und bei Kontrolle 3 zwanzig DM. Bei den übersehenen fehlerhaften Stücken finde eine Kundenreklamation statt, wobei der Kunde für jedes fehlerhafte Stück 50 DM erhält. Die Zufallsvariable X beschreibe den Betrag, den ein fehlerhaftes Stück bis zu seiner Entdeckung verursacht. Bestimmen Sie die Verteilung der Zufallsvariablen X und zeichnen Sie ein Stabdiagramm und die Verteilungsfunktion. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung der Zufallsvariablen X. d) Die dritte Kontrolle werde ersatzlos gestrichen. Welche mittlere Kosten entstehen dann bis zur Entdeckung eines fehlerhaften Stücks?

Aufgabe 2.6 Bei einem verfälschten Würfel besitze die Zufallsvariable X der Augenzahlen (bei einem Einzelwurf) folgende Verteilung: Augenzahl Wahrscheinlichkeit

1

2

3

4

5

6

0,10

0,15

0,15

0,15

0,15

0,30

a) Zeichnen Sie ein Stabdiagramm und die Verteilungsfunktion. b) Berechnen Sie den Erwartungswert E(X). c) Bestimmen Sie die Standardabweichung σ. d) Bestimmen Sie den Median. e) Berechnen Sie die Schiefe. f) Bestimmen Sie den Exzeß.

Wahrscheinlichkeitsrechnung

21

Aufgabe 2.7 Für eine Prüfung gibt ein Prüfer 6 Gebiete an. Ein Prüfling bereitet sich nur auf vier dieser Gebiete vor. Bei der Prüfung wählt der Prüfer aus den sechs angegebenen Gebieten drei zufällig aus. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat sich der Prüfling auf k der vom Prüfer ausgewählten Gebiete vorbereitet für k = 0, 1, 2, 3 ? b) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz der Zufallsvariablen X aus a).

Aufgabe 2.8 Die Zufallsvariable X, welche die Anzahl der Tore beschreibt, welche die gastgebende Mannschaft bei einem Spiel der ersten Fußballbundesliga erzielt, sei Poisson - verteilt mit dem Parameter λ = 2,4. a) Bestimmen Sie die Verteilung für k < 7. b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt die gastgebende Mannschaft in einem Spiel mehr als 7 Tore? c) Bestimmen Sie für die Zufallsvariable X den Erwartungswert, die Standardabweichung, die Schiefe und den Exzeß.

Aufgabe 2.9 In einer Urne befinden sich 10 gleichartige Kugeln mit den aufgedruckten Zahlen 1 bis 10. Sie dürfen aus der Urne eine Kugel zufallig ziehen und erhalten die Nummer der Kugel in DM ausgezahlt. Die Zufallsvariable X beschreibe die Auszahlung pro Spiel. a) Berechnen Sie den Erwartungswert von X. b) Berechnen Sie die Varianz von X. c) Bestimmen Sie die Schiefe der Verteilung. d) Sie führen das Spiel lOOOmal durch. Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz der gesamten Auszahlung. e) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnen Sie bei 1000 Spielen insgesamt mindestens 5 600 DM ?

22

Aufgaben

Aufgabe 2.10 Beim Roulette setzt ein Spieler jeweils 10 DM auf die Colonne {1,2,3}. a) Die Zufallsvariable X beschreibe die Anzahl der benotigten Einsätze bis der Spieler zum ersten Mal gewinnt. Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X. b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit verliert der Spieler bei jedem der ersten 25 Spiele? c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt der Spieler erstmals beim 26. Spiel?

Aufgabe 2.11 Beim Roulette setze ein Spieler am gleichen Tisch jeweils eine Einheit auf A = {1,2,3,4,5,6} und Β = {4,5,6,7,8,9}. Im Falle eines Gewinns erhält er den fünffachen Einsatz ausgezahlt. Die Zufallsvariablen X und Y beschreiben die Reingewinne bei den beiden Einzeleinsätzen. a) Bestimmen Sie die gemeinsame Verteilung sowie die beiden Randverteilungen. b) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz der Randverteilungen. c) Sind die Zufallsvariablen X und Y unabhängig? d) Bestimmen Sie die Verteilung der Summe X + Y. e) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz der Summe. Gilt Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)? f) Bestimmen Sie die Kovarianz und den Korrelationskoeffizienten. g) Berechnen Sie Var(X) + Var(Y) + 2 Cov(X, Y). Welche Größe stellt dieser Ausdruck dar?

Aufgabe 2.12 Die beiden Zufallsvariablen X und Y besitzen die in der nachfolgenden Kontingenztafel dargestellte gemeinsame Verteilung:

1 2 3

1

2

3

0 1 4 0

1 4 0 1 4

0 1 4 0

23

Wahrscheinlichkeitsrechnung a) Sind die beiden Zufallsvariablen voneinander unabhängig? b) Berechnen Sie die Kovarianz.

c) Berechnen Sie die Varianz der Summe X + Y, ohne deren Verteilung zu bestimmen.

Aufgabe 2.13 Ein Stab der Länge 4 werde an den beiden Enden festgehalten und so durchgebrochen. Die Zufallsvariable X der Bruchstelle besitze die Dichte für 0 < χ < 4 ; sonst . a) Zeigen Sie, daß f Dichte ist und skizzieren Sie f. b) Bestimmen und skizzieren Sie die Verteilungsfunktion F(x) (Probe!). c) Berechnen Sie den Erwartungswert E(X). d) Bestimmen Sie die Symmetriestelle s der Dichte. e) Berechnen Sie den Median.

Aufgabe 2.14 Die Zufallsvariable X besitze die in der nachfolgenden Abbildung dargestellte Dichte: f(x)

,ι

0,4

0

X

2

3

4

5

24

Aufgaben

a) Geben Sie die Gleichung der Dichte f an. b) Bestimmen Sie die Gleichung der Verteilungsfunktion F. c) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung der Zufallsvariablen X. d) Berechnen Sie den Median μ .

Aufgabe 2.15 Die stetige Zufallsvariable X besitzt eine Dichte der Art

{

χ2 + c 0

für 0 < χ < 1 ; sonst .

a) Für welche Konstante c ist f Dichte? b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P(0,25 < X < 0,75). c) Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X. d) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz der Zufallsvariablen 12X + 3 . e) Wie lautet die Standardisierte der Zufallsvariablen X ?

Aufgabe 2.16 Das Gewicht von Eiern einer bestimmten Hühnerrasse sei ungefähr normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 75 g und der Standardabweichung 17 = 8 g. Ein Erzeuger möchte die Eier in drei Gewichtsklassen zum Verkauf anbieten. a) Wie müssen die Gewichtsgrenzen festgelegt werden, damit im Durchschnitt alle drei Gewichtsklassen gleich stark besetzt sind? b) Ein Ei aus den drei Gewichtsklassen bringe einen Reingewinn von 1; 3 bzw. 8 Pfg. Bestimmen Sie den Erwartungswert der Zufallsvariablen X, die den Reingewinn pro Ei beschreibt. c) Ein Händler bietet dem Landwirt an, alle Eier unsortiert zu übernehmen. Bei welchem Durchschnittspreis macht der Landwirt den gleichen Reingewinn, wenn für das Sortieren 0,5 Pfg. pro Ei berechnet wird?

Wahrscheinlichkeitsrechnung

25

Aufgabe 2.17 Die Lebensdauer (Betriebszeit) eines elektronischen Bauteils sei exponentialverteilt mit dem Erwartungswert 200 Stunden. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit funktioniert ein solches Teil mindestens 250 Stunden? b) Bestimmen Sie den Median μ . c) Beim Ausfall eines solchen Teils werde es unmittelbar ohne Zeitverlust durch ein neues mit der gleichen Lebensdauerverteilung ersetzt. Die Zufallsvariable Y n beschreibe die gesamte Betriebszeit von η solchen Bauteilen. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von Y n . d) Wie viele Bauteile müssen mindestens vorhanden sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0,95 eine Gesamtbetriebszeit von 10 000 Stunden erreicht wird?

Aufgabe 2.18 Der Durchmesser (in mm) von Kugeln für ein Kugellager sei ungefähr normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 15 und der Standardabweichung σ = 0,1. a) Eine Kugel ist unbrauchbar, wenn der Durchmesser um mehr als 0,25 mm vom Sollwert 15 abweicht. Wieviel Prozent der Produktion ist auf Dauer Ausschuß? b) Geben Sie eine obere Grenze für den Ausschußanteil an, wenn die Zufallsvariable X des Durchmessers zwar den Erwartungswert μ = 15 und die Standardabweichung σ = 0,1 besitzt, ihre Verteilung jedoch nicht bekannt ist?

Aufgabe 2.19 Die gemeinsame Dichte zweier Zufallsvariablen (X,Y) sei in dem in der nachfolgenden Abbildung eingezeichneten Quadrat konstant mit dem Wert c und verschwinde außerhalb dieses Quadrats. y " Λ

f(x.y) = o

X

o

2

26

Aufgaben

a) Bestimen Sie diese Konstante c. b) Berechnen Sie die beiden Randdichten. c) Bestimmen Sie die Erwartungswerte und Varianzen der Zufallsvariablen X und Y. d) Sind die beiden Zufallsvariablen unabhängig? e) Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten.

Aufgabe 2.20 Die beiden Zufallsvariablen X und Y besitzen die Dichten

fi(x) =

2x

für 0 < χ < 1

0

sonst für 0 < y < 2

f2(y)

sonst.

a) Bestimmen Sie die zugehörigen Verteilungsfunktionen und zeigen Sie, daß es sich tatsächlich um Dichten handelt. b) Die beiden Zufallsvariablen seien unabhängig. Geben Sie die gemeinsame Dichte an. c) Bestimmen Sie die Varianz der Summe X + Y, falls X und Y unabhängig sind.

Aufgabe 2.21 Wie oft muß mit einer idealen Münze mindestens geworfen werden, damit mit Wahrscheinlichkeit von (mindestens) 0,8 in der Serie mindestens lOOmal Wappen geworfen wird?

Wahrscheinlichkeitsrechnung

27

Aufgabe 2.22 Zwei Zufallsvariable Χ, Y besitzen folgende Kenngrößen: E(X) = 4; Var(X) = 4;

E(Y) = 5; Var(Y) = 25; Ε(Χ·Υ) = 15.

a) Bestimmen Sie den Korrelationskoeffizienten p. b) Bestimmen Sie die Regressionsgerade von Y bezüglich X. c) Wie lautet das Bestimmtheitsmaß? d) Berechnen Sie den Erwartungswert der quadratischen vertikalen Abweichungen der zweidimensionalen Zufallsvariablen (X,Y) von der Regressionsgeraden aus b).

Aufgabe 2.23 Gegeben sind die Zufallsvariablen X und Y mit den Varianzen Var(X) = 1 ; Var(Y) = 4 ; Var(X + Y) = 7. a) Berechnen Sie Var(5 + 4 X) und Var(2X + 2 Y). b) Bestimmen Sie die Kovarianz Cov(X, Y) und den Korrelationskoeffizienten p. c) Beweisen Sie folgende allgemein gültige Formel: Var(a X + b Y) = a 2 Var(X) + b 2 Var(Y) + 2 a b Cov(X, Y), a, b e R. d) Berechnen Sie mit Hilfe der Formel aus c) für die obigen Zufallsvariablen Var(2X — 3 Y).

Aufgabe 2.24 a) Für welche Konstante c ist f(x) =

χ5 0

für χ > 1 sonst

Dichte einer Zufallsvariablen X? b) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X.

28

Aufgaben

c) Die Zufallsvariable Y besitze die Dichte

f(y) = '

\2 y

für y > l sonst.

Bestimmen Sie den Median und geben Sie eine allgemeine Formel für das a - Quantil an. Zahlenbeispiele: α = 0,1 ; a = 0,05. Zeigen Sie, daß die Zufallsvariable Y keinen Erwartungswert besitzt.

Aufgabe 2.25 Die Wartezeit X (in Min.) eines Fahrgastes auf den nächsten Bus sei im Intervall [ 0 ; 10] gleichmäßig verteilt. a) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz der Zufallsvariablen X. b) Jemand fährt während eines Jahres 600 mal mit dem Bus. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung der gesamten Wartezeit Y in Stunden bei den 600 Fahrten. c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die gesamte Wartezeit Y aus b) großer als 52 Stunden? d) Bestimmen Sie die Konstante c mit P( | Y — 501 < c) = 0,90.

Aufgabe 2.26 Beim Samstags-Lotto werden aus den 49 Zahlen 1,2,3, ...,49 sechs Zahlen als Gewinnzahlen gezogen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse: a) die Zahl 13 gehört zu den sechs Gewinnzahlen; b) alle sechs Gewinnzahlen sind gerade (ungerade); c) es gibt genauso viele gerade wie ungerade Gewinnzahlen.

Wahrscheinlichkeitsrechnung

29

Aufgabe 2.27 Gegeben sind die Wahrscheinlichkeiten P(A) = 0,3 ; P(B) = 0,8 ; P(A|B) = 0,5. a) Berechnen Sie P(A Π Β). b) Sind die Ereignisse A und Β stochastisch unabhängig (Begründung)? c) Berechnen Sie P(A U B), P(Ä | Β), P(B | A) und P(X Π Β). d) Berechnen Sie P(Ä | B).

Aufgabe 2.28 Ein AIDS - Schnelltest habe die Eigenschaft, daß er bei einem HIV -Infizierten mit Wahrscheinlichkeit 0,999 und bei nicht Infizierten mit Wahrscheinlichkeit 0,9999 die richtige Diagnose erstellt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine zufallig ausgewählte Person tatsächlich infiziert (nicht infiziert), bei der das Ergebnis des Schnelltests die Infizierung anzeigt (nicht anzeigt)? Dabei sei vorausgesetzt, daß 0,05 Prozent der Bevölkerung bereits HIV-infiziert ist. Interpretieren Sie das Ergebnis.

Aufgabe 2.29 Beim Werfen mit vier idealen Würfeln erhält ein Spieler folgende Beträge ausbezahlt: a) die Augensumme in DM ; b) 36 DM, falls alle vier Augenzahlen gleich sind, 3 DM, falls alle vier Augenzahlen verschieden sind, 0 DM sonst. Bei welchen Einsätzen sind die einzelnen Spiele fair (Einsatz = Erwartungswert der Auszahlung)? c) Das Spiel b) werde lOOmal durchgeführt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt die gesamte Auszahlung zwischen 70 und 130 DM, die Grenzen eingeschlossen?

30

Aufgaben

Aufgabe 2.30 Ein 40jähriger Mann schließt eine reine Risikolebensversicherung über 100000 DM ab. Im Todesfall erhalten die Erben 100000 DM ausgezahlt, im Erlebensfall findet keine spätere Auszahlung statt. Die Sterbewahrscheinlichkeit innerhalb eines Jahres sei 0,002. a) Bei welchem Jahresbeitrag χ ist der Erwartungswert des Reingewinns (Prämieneinnahme minus Auszahlung) für die Versicherungsgesellschaft gleich Null? b) Bei welcher Jahresprämie y beträgt die Gewinnerwartung 100 DM? Geben Sie bei dieser Jahresprämie die Verteilung der Zufallsvariablen Y des Reingewinns an. Berechnen Sie die Varianz und die Standardabweichung der Zufallsvariablen Y. c) Unter der Bedingung aus b) schließt die gleiche Person gleichzeitig 10 Verträge über jeweils 100 000 DM (oder einen einzigen Vertrag über eine Million DM) ab. Berechnen Sie Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung der entsprechenden Zufallsvariablen des Reingewinns aus diesem großen Vertrag. d) Die Versicherungsgesellschaft schließe mit 10 vierzigjährigen Personen jeweils einen Vertrag aus b) ab. Dabei sei vorausgesetzt, daß die einzelnen Personen unabhängig voneinander jeweils mit Wahrscheinlichkeit 0,002 innerhalb des Jahres sterben. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz des Reingewinns aus allen 10 Verträgen zusammen. e) Begründen Sie den Unterschied der Varianzen in c) und d), obwohl es sich um die gleiche Vertragssumme handelt.

Aufgabe 2.31 Bei einem AIDS - Test werde aus Kostengründen folgendes Verfahren vorgeschlagen: Die Blutproben von η Personen werden halbiert. Zunächst wird die Hälfte der Blutproben von allen η Personen gemischt und damit der Test durchgeführt. Falls eine dieser Personen infiziert ist, zeigt dies der Test an. Dann wird mit den anderen Hälften der Blutproben jeweils ein getrennter Test durchgeführt. Unabhängig voneinander sei jede Person mit Wahrscheinlichkeit 0,0005 infiziert. Berechnen Sie die mittlere Anzahl (Erwartungswert) der pro Person benötigten Tests. Berechnen Sie diesen Erwartungswert für η = 10 ; 20 ; 100 ; 500; 1000 und 10000.

Wahrscheinlichkeitsrechnung

31

Aufgabe 2.32 Mit 6 idealen Würfeln werde gleichzeitig geworfen. Die Zufallsvariable X beschreibe die Anzahl der geworfenen Sechsen. a) Bestimmen Sie die Verteilung von X. b) Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung von X.

c) Bestimmen Sie die Schiefe und den Exzeß der Verteilung.

Aufgabe 2.33 Mit einem idealen Würfel werde so lange geworfen, bis erstmals eine Sechs erscheint. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden mindestens 10 Würfe benötigt? b) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen X, welche die Anzahl der benotigten Würfe beschreibt. c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit benötigt man mindestens 6, aber höchstens 9 Würfe? d) Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz der Zufallsvariablen X der benötigten Würfe.

Aufgabe 2.34 Die Zufallsvariable X, die das Gewicht (in Gramm) von Zuckerpaketen beschreibt, besitze den Erwartungswert μ = 1005 g und die Standardabweichung σ = 3 g. Bestimmen Sie die kleinste Konstante c mit P(| X — 1005 I > c) < 0,05, falls a) X normalverteilt ist, b) die Verteilung von X nicht bekannt ist.

32

Aufgaben

Aufgabe 2.35 Die beiden Zufallsvariablen X und Y besitzen folgende gemeinsame Verteilung: 3

4

5

0

0,05

0,15

0,10

1

0,10

0,25

0,15

2

0,05

0,10

0,05

a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten P(X < 1,5 ; Y < 4,5) ; P(X < 2 ; Y > 4). b) Berechnen Sie die Erwartungswerte und Varianzen der beiden Zufallsvariablen X und Y. c) Berechnen Sie die Kovarianz Cov(X,Y) und den Korrelationskoeffizienten p. d) Bestimmen Sie die Verteilung, den Erwartungswert und die Varianz von X + Y.

Aufgabe 2.36 Eine ideale Münze werde dreimal geworfen. Die Zufallsvariable X beschreibe die Anzahl der Wappen, die Zufallsvariable Y gibt an, wie oft Zahl geworfen wird. a) Geben Sie die gemeinsame Verteilung von X und Y an. b) Bestimmen Sie die Randverteilungen und deren Erwartungswerte und Varianzen. Welche Verteilungen stellen die Randverteilungen dar? c) Bestimmen Sie den Korrelationskoeffizienten ρ und begründen Sie das Ergebnis. d) Berechnen Sie die Verteilung, den Erwartungswert und die Varianz der Summenvariablen X + Y. e) Wie lautet die Regressionsgerade von Y bzgl. X?

33

Wahrscheinlichkeitsrechnung Aufgabe 2.37

Die beiden Zufallsvariablen X und Y besitzen die Erwartungswerte E(X) = 4; E(Y) = 10, die Varianzen Var(X) = 9 und Var(Y) = 36 sowie die Kovarianz Cov(X, Y) = — 1,55. a) Berechnen Sie die Erwartungswerte und Varianzen der Zufallsvariablen X + Yund 5X-2Y.

b) Für welches minimale c gilt P ( | 5 X - 2 Y | > c ) < 0,25?

Aufgabe 2.38 a) Zeigen Sie, daß die Funktion aus der nachfolgenden Abbildung die Dichte f einer Zufallsvariablen X ist und bestimmen Sie die Gleichung der f(x) Dichte.

ι

0

I

1

I

2

I

3

I

4

I

5

Γ 6

b) Bestimmen und skizzieren Sie die Verteilungsfunktion F(x). c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten P(3 < X < 5) und P(X > 4). d) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X.

Aufgabe 2.39 Die Zufallsvariable X besitze den Erwartungswert 16 und die Varianz 12. a) Bestimmen Sie die Grenzen a und b, falls X in [ a , b ] , a < b, gleichmäßig verteilt ist. b) Berechnen Sie P(12 < X < 20) für diese gleichmäßige Verteilung. c) Bestimmen Sie P(12 < X < 20), falls X normalverteilt ist. d) Geben Sie die größte untere Schranke für P(12 < X < 20) an, falls die Verteilung von X nicht bekannt ist.

34

Aufgaben

Aufgabe 2.40 Es sei X eine diskrete Zufallsvariable mit dem Wertebereich {1,2,3,4,5} und den Wahrscheinlichkeiten P(X = i) = y für i = 1,2,..., 5. a) Bestimmen Sie die Konstante c. b) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X. c) Die Zufallsvariable Y besitze die Dichte f

^

=1?

(y)=-

für 0,5 < y < 5,5 sonst.

Berechen Sie die Konstante c, die Verteilungsfunktion F(y), den Erwartungswert und die Varianz von Y. Vergleichen Sie das Ergebnis mit b). d) Geben Sie eine geschlossene Formel für das a - Quantil q a der Zufallsvariablen Y aus c) an. Zahlenbeispiele für a = 0,1 und a = 0,95. Bestimmen Sie ferner den Median.

Aufgabe 2.41 Gegeben sind die Wahrscheinlichkeiten P(A) = 0,4; P(B) = 0,5; P(Äf~lB) = 0,3. a) Sind die Ereignisse A und Β unabhängig? b) Berechnen Sie P(A U Β) , P(A Π Β), P(X Π Β) und P(A Π Β). c) Berechnen Sie P(A|B) und P(B|A).

Aufgabe 2.42 Bei einer Prüfung sind bei jeder der fünf Fragen in zufälliger Reihenfolge die richtige und drei falsche Antworten angegeben. Zum Bestehen der Prüfung müssen mindestens drei Fragen richtig beantwortet werden. Ein Student kennt keine einzige Antwort und kreuzt daher bei jeder Frage zufällig eine Antwort an. Mit welcher Wahrscheinlichkeit besteht er so die Prüfung?

35

Wahrscheinlichkeitsrechnung Aufgabe 2.43

Die Klausur zur Statistik darf zweimal wiederholt werden. Die Teilnehmer sind nach der Anzahl der Versuche zusammengestellt Teilnehmerzahl 1. Versuch 2. Versuch 3. Versuch

350 100 50

bestanden 310 65 20

a) Wieviel Prozent der Teilnehmer hat die Klausur bestanden? b) Ein Teilnehmer kommt in das Institut mit der Bemerkung, er habe die Klausur nicht bestanden. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten dafür, daß er den 1., 2. bzw. 3. Prüfungsversuch unternommen hatte.

Aufgabe 2.44 Ein Zeitschriftenhändler kauft eine bestimmte Zeitschrift zu 10 DM ein und verkauft sie für 15 DM. Nichtverkaufte Exemplare können nicht zurückgegeben werden. Aus längerer Erfahrung sind folgende Wahrscheinlichkeiten für die Nachfragemengen bekannt: nachgefragte Zeitschriften

0

1

2

3

4

5

Wahrscheinlichkeiten p^

0,1

0,2

0,3

0,2

0,1

0,1

a) Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz der Anzahl X der verkauften Zeitschriften. b) Wie viele Zeitschriften soll der Händler bestellen, damit seine Gewinnerwartung maximal wird?

Aufgabe 2.45 In einer Produktion sei jedes einzelne Werkstück unabhängig von den anderen jeweils mit Wahrscheinlichkeit 0,02 fehlerhaft. Der Produktion werden 100 Stuck zufallig entnommen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, daß sich in der Stichprobe genau k fehlerhafte Stücke befinden für 0 < k < 6 a) exakt nach der Binomialverteilung, b) approximativ über die Poisson - Verteilung.

Aufgaben

36 Aufgabe 2.46 Mit einem idealen Würfel werde lOOOmal geworfen.

a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, daß mindestens 315mal eine Fünf oder Sechs geworfen wird. b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die Augensumme mindestens gleich 3400, aber höchstens gleich 3600 ist.

Aufgabe 2.47 Die beiden Zufallsvariablen X und Y besitzen folgende gemeinsame Verteilung: 3

4

5

1

0,06

0,09

0,15

2

0,08

0,12

0,20

3

0,06

0,09

0,15

a) Sind die beiden Zufallsvariablen stochastisch unabhängig? b) Berechnen Sie die Erwartungswerte und Varianzen der beiden Zufallsvariablen X und Y. c) Berechnen Sie Ε(Χ·Υ), die Kovarianz und den Korrelationskoeffizienten der beiden Zufallsvariablen X und Y.

d) Berechnen Sie P(X + Y > 7).

Aufgabe 2.48 Die beiden Zufallsvariablen X und Y besitzen folgende gemeinsame VerSumme 2 3 1 teilung sowie die 0angegebenen Randverteilungen: y χ. i 0 1 2

0,2

Summe

0,3

* *

0,1 0,1 0,15 *

0,05

*

0,05

0 0,05

0,3

0,05

*

0,15 0,5 *

1

a) Bestimmen Sie die mit * bezeichneten fehlenden gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten.

Wahrscheinlichkeitsrechnung

37

b) Sind die beiden Zufallsvariablen stochastisch unabhängig? c) Berechnen Sie die Erwartungswerte und Varianzen der beiden Zufallsvariablan X und Y. d) Bestimmen Sie die Verteilung der Zufallsvariablen X · Y und berechnen Sie den Erwartungswert Ε(Χ·Υ). e) Bestimmen Sie die Kovarianz und den Korrelationskoeffizienten von X und Y.

Aufgabe 2.49 Die Zufallsvariable X besitze die in der nachfolgenden Abbildung dargestellte Dreiecksverteilung

a) Bestimmen Sie die Gleichung der Verteilungsfunktion. b) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz der Zufallsvariablen X. c) Bestimmen Sie den Median μ .

38

Aufgaben

Aufgabe 2.50 Ein Faden der Länge 100 cm werde an beiden Enden gespannt bis er durchreißt. Die Bruchstelle sei auf der ganzen Länge gleichmäßig verteilt. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist nach dem Reißen ein Teilstück höchstens halb so lang wie das andere? b) Die Zufallsvariable X beschreibe in [0 ; 100] die Bruchstelle. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X.

Aufgabe 2.51 a) Bestimmen Sie das Intervall [a;b], a < b so, daß

{ 0

(2x + ±) 2 1 b) c) d)

für χ < a

für a < χ < b für χ > b

eine Verteilungsfunktion ist. Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz der Zufallsvariablen X, welche besitzt. Berechnen Sie die P(XVerteilungsfunktion > 0) ; P(0,1 < X 2).

Aufgabe 2.55 Ein Hersteller behauptet, in einer großen Warenlieferung sei jedes einzelne Stück mit Wahrscheinlichkeit 0,02 fehlerhaft. a) Ein Kunde macht folgende Eingangskontrolle: Er wählt 50 Stück zufällig aus. Falls sich darunter mehr als zwei fehlerhafte Stücke befinden, verweigert er die Annahme. Mit welcher Wahrscheinlichkeit verweigert er die Annahme, obwohl ρ = 0,02 die tatsächliche Ausschußwahrscheinlichkeit ist? b) Die Qualitätskontrolle werde folgendermaßen durchgeführt: Aus der Sendung werden η Stück zufallig ausgewählt. Falls nicht alle Stücke fehlerfrei sind, wird die Sendung abgelehnt. Wie groß darf η sein, damit die Ablehnung der Sendung höchstens mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,10 erfolgt, falls 0,02 die tatsächliche Ausschußwahrscheinlichkeit ist?

40

Aufgaben

Aufgabe 2.56 Gegeben ist die Funktion für x < 0 F(x) =

ix2 2

für 0 < χ < 1

1

für χ > 5.

a) Zeigen Sie, daß F Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsvariablen X ist und geben Sie die Dichte an. b) Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X.

Aufgabe 2.57 Die Zufallsvariable X besitze die Dichte f(x) =

c · ( x — 2)2 0

für 0 < x < 4 sonst.

a) Für welche Konstante c ist f Dichte? b) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion F(x). c) Bestimmen Sie den Erwartungswert und den Median der Zufallsvariablen X. d) Bestimmen Sie das 0,9-Quantil und das 0,1-Quantil.

Aufgabe 2.58 Die Zufallsvariable X besitze die Verteilung Werte von X Wahrscheinlichkeiten

-1

0

+1

1 3

1 3

1 3

Die Zufallsvariable Y = f(X) = X 2 sei die Quadratfunktion von X. a) Bestimmen Sie die gemeinsame Verteilung von X und Y. Sind X und Y unabhängig? b) Sind X und Y unkorreliert?

41

Wahrscheinlichkeitsrechnung Aufgabe 2.59

Die beiden Zufallsvariablen X und Y seien unabhängig und besitzen die gleiche Verteilung: Werte Wahrscheinlichkeiten

1

2

3

0,1

0,3

0,6

a) Bestimmen Sie die Erwartungswerte und die Varianzen von X und Y. b) Geben Sie die gemeinsame Verteilung von X und Y an. c) Bestimmen Sie die Verteilung, den Erwartungswert und die Varianz von X + Y. d) Bestimmen Sie die Verteilung, den Erwartungswert und die Varianz von X-Y. e) Bestimmen Sie die Verteilung, den Erwartungswert und die Varianz der Zufallsvariablen 2X.

Aufgabe 2.60 Es seien X und Y normalverteilte Zufallsvariable mit E(X) = 10 ; Var(X) = 9 ; E(Y) = 20 ; Var(Y) = 16 ; Cov(X, Y) = - M . a) Welche Verteilung besitzt die Zufallsvariable 2 X + 3 Y? b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten P(70 < 2X + 3 Y < 100)

und P(|2X + 3 Y | > 85).

Aufgabe 2.61 Die Zufallsvariable X besitze die Dichte

Í

ax2 + b

für — 2 < χ < 2 " -

0

sonst.

a) Für welche Konstanten a und b ist f eine Dichte? b) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X in Abhängigkeit von den zulässigen Parameterwerten a und b. Für welche Parameterwerte wird die Varianz am kleinsten bzw. am größten?

42

Aufgaben

Aufgabe 2.62 Gegeben sind zwei Zufallsvariablen X und Y mit den Kenngrößen: E(X) = 40 ; Var(X) = 16 ; E(Y) = 60 ; Var(Y) = 25 ; Kovarianz: Cov(X, Y) = 11,5. a) Bestimmen Sie den Korrelationskoeffizienten p. b) Bestimmen Sie die Varianz der Summe X + Y . c) Berechnen Sie P(85 < X + Y < 115), falls X und Y normalverteilt sind. d) Schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit P(85 < X + Y < 115) nach unten ab, falls die beiden Zufallsvariablen X und Y nicht normalverteilt sind. e) Geben Sie den minimalen Wert c mit P( | X + Y —1001 > c) < 0,1 an, falls die Verteilungen von X und Y nicht bekannt sind.

Aufgabe 2.63 Bierflaschen werden von einer automatischen Abfüllanlage gefüllt. Die Zufallsvariable X der vom Automaten abgegebenen Füllmenge (in cm 3 ) sei näherungsweise normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 505 cm 3 und der Standardabweichung σ = 3 cm 3 . Jede leere Flasche kann 510 cm 3 Flüssigkeit aufnehmen (Fassungsvermögen), der Rest läuft über. a) Wieviel Prozent der abgefüllten Flaschen sind auf Dauer randvoll gefüllt? Dabei darf bei der Abfüllung ein Überlauf stattfinden. b) Die Zufallsvariable Y beschreibe den Inhalt einer abgefüllten Flasche. Berechnen Sie P(Y = 510) und geben Sie die Verteilungsfunktion F(y) der Zufallsvariablen Y an. c) Berechnen Sie den Erwartungswert der Zufallsvariablen Y der Füllmenge aus b). d) Wieviel läuft beim Abfüllen im Mittel pro Flasche über?

Wahrscheinlichkeitsrechnung

43

Aufgabe 2.64 Ein Fruchtsaft wird in Flaschen abgefüllt. Die Zufallsvariable des Fassungsvermögens (in cm 3 ) der leeren Flaschen (maximaler möglicher Inhalt) sei normalverteilt mit dem Erwartungswert 1005 cm 3 und der Standardabweichung 4 cm 3 . Die Zufallsvariable der Menge (in cm 3 ) der vom Automaten pro Flasche abgegebenen Füllmenge sei normalverteilt mit dem Erwartungswert 1001 cm 3 und der Standardabweichung 3 cm 3 . a) Wieviel Prozent der abgefüllten Flaschen sind auf Dauer randvoll? Dabei darf bei der Abfüllung ein Überlauf stattfinden. b) Wieviel läuft beim Abfüllen pro Flasche im Mittel über? c) Berechnen Sie mit Hilfe von b) den Erwartungswert der Zufallsvariablen des Inhalts (ohne übergelaufene Menge) einer gefüllten Flasche.

44

Aufgaben

Kap. 3 Aufgaben zur beurteilenden Statistik Aufgabe 3.1 a) Zeigen Sie, daß für jede Konstante b > 0 die Funktion 0

F(x) =

1 — e~

,2

für χ < 0 für χ > 0

eine Verteilungsfunktion ist. b) Bestimmen Sie die Dichte f der entsprechenden Zufallsvariablen. c) x 1 ,x 2 ,... sei eine unabhängige Stichprobe der Zufallsvariablen X mit der Verteilungsfunktion F. Bestimmen Sie die Maximum-Likelihood Schätzung für den Parameter b. J X J J

Aufgabe 3.2 a) Bestimmen Sie die Grenze c < 0 so, daS fur a > 0 die Funktion

Í

0

fur χ < c

2 — e - a x für c < χ < 0 1

für χ > 0

stetige Verteilungsfunktion ist. b) eine Bestimmen Sie die Dichte f der entsprechenden Zufallsvariablen. c) Berechnen Sie die Maximum-Likelihood-Schätzung für a aus einer unabhängigen Stichprobe x 1 ,x 2 ) ··· mit χ· < 0 für alle i. d) Bestimmen Sie die Maximum-Likelihood-Schätzung für den Erwartungswert μ.

Aufgabe 3.3 Der Durchmesser von Kugeln für spezielle Kugellager sei näherungsweise normalverteilt. Dabei hängt der Erwartungswert μ von der Maschineneinstellung ab, während die Standardabweichung σ = 0,3 mm eine konstante MaschinengröSe ist. Eine Stichprobe vom Umfang η = 64 ergab einen mittleren Durchmesser χ = 11,4 mm.

Beurteilende Statistik

45

a) Bestimmen Sie ein zweiseitiges Konfidenzintervall für den Erwartungswert μ zur Konfidenzwahrscheinlichkeit 7 = 0,99. b) Zu welcher Konfidenzwahrscheinlichkeit 7 erhält man für μ das Konfidenzintervall [11,25 ; 11,55] ?

Aufgabe 3.4 Von einer Maschine produzierte Werkstücke seien jeweils mit Wahrscheinlichkeit ρ fehlerhaft, wobei ρ nicht bekannt ist. Zur Schätzung von ρ wurden 400 Werkstücke zufällig ausgewählt. 22 davon waren fehlerhaft. a) Geben Sie einen erwartungstreuen Schätzwert für die unbekannte Wahrscheinlichkeit ρ an. b) Bestimmen Sie für ρ ein zweiseitiges Vertrauensintervall zur Konfidenzwahrscheinlichkeit 7 = 0,95. c) Wie viele Werkstücke müssen mindestens untersucht werden, damit man für die unbekannte Wahrscheinlichkeit ρ zu 7 = 0,05 ein Vertrauensintervall erhält, dessen Länge höchstens gleich 0,01 ist? Dabei kann als gesichert angenommen werden, daß die Ausschußwahrscheinlichkeit kleiner als 0,1 ist.

Aufgabe 3.5 Die Zufallsvariable X beschreibe das Abfullgewicht (im Gramm) von Maiskörner in Dosen. Dabei sei X näherungsweise normalverteilt. 100 Dosen wurden zufällig ausgewählt und der Inhalt gewogen. Dabei erhielt man die Größen 100 Σ = 34584 g ; i=l 100 Summe der Gewichtsquadrate: Σ = 11962535 g . i=l a) Bestimmen Sie einen Schätzwert für den Erwartungswert μ von X. Gesamtgewicht:

b) Berechnen Sie ein Konfidenzintervall für μ zum Konfidenzniveau 7 = 0,95, falls die Standardabweichung σ = 4,5 eine bekannte (unveränderliche) Maschinengröße ist. c) Wie groß muß der Stichprobenumfang η mindestens sein, damit man bei bekannter Standardabweichung σ = 4,5 zum Konfidenzniveau 7 = 0,99 ein Konfidenzintervall für μ erhält, dessen Länge höchstens 1 g ist?

46

Aufgaben

d) Die Varianz σ 2 sei nicht bekannt. Bestimmen Sie aus den obigen Daten einen Schätzwert fur die Varianz. e) Bestimmen Sie mit Hilfe der in c) geschätzten Varianz ein Konfidenzintervall für den Erwartungswert μ zum Niveau 7 = 0,95. f) Die Varianz sei nicht bekannt. Bestimmen Sie ein zweiseitiges Konfidenzintervall fur σ 2 zum Konfidenzniveau 7 = 0,95. g) Kann der Hersteller aufgrund des Stichprobenergebnisses mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 0,05 behaupten, der Erwartungswert μ sei größer als 345? Dabei sei die Varianz nicht bekannt.

Aufgabe 3.6 Ein herkömmliches Medikament besitze die bekannte Heilungswahrscheinlichkeit ρ = 0,5. Ein neues Medikament soll erst dann auf den Markt kommen, wenn statistisch nachgewiesen ist, daß seine Heilungswahrscheinlichkeit größer als 0,5 ist. Wegen möglicher Nebenwirkungen wurde das Medikament nur 16 Patienten verabreicht. Bei 11 trat eine Heilung ein. a) Bestimmen Sie einen Schätzwert für die Heilungswahrscheinlichkeit des neuen Medikaments. b) Berechnen Sie ein zweiseitiges Konfidenzintervall für ρ zur Konfidenzwahrscheinlichkeit 7 = 0,9. Achten Sie dabei auf den kleinen Stichprobenumfang ! c) Bestimmen Sie zur Konfidenzwahrscheinlichkeit 7 = 0,05 ein einseitiges Konfidenzintervall für ρ der Gestalt [p u ; 1]. d) Kann mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von a = 0,05 behauptet werden, die Heilungswahrscheinlichkeit des neuen Medikaments sei größer als 0,5 ?

Aufgabe 3.7 Von einer Zufallsvariablen X sei die Varianz σ2 = 25 bekannt, nicht jedoch der Erwartungswert μ. Eine Stichprobe vom Umfang η = 100 ergab den Mittelwert χ = 81,2. Bestimmen Sie ein Konfidenzintervall für μ, dessen Konfidenzwahrscheinlichkeit mindestens 0,90 ist, falls a) die Zufallsvariable X normalverteilt ist, b) die Verteilung von X nicht bekannt ist. Benutzen Sie in diesem Fall die Tschebyscheffsche Ungleichung. Interpretieren Sie das Ergebnis.

Beurteilende Statistik

47

Aufgabe 3.8 Bei der Produktion gleicher Werkstücke gibt es bei zwei Maschinen verschiedene Ausschußquoten. Bei der Maschine I beträgt sie 4 %, bei der Maschine II 8 %• In der Qualitätskontrolle kommt ein Posten an. Dabei ist nur bekannt, daß der gesamte Posten von einer der beiden Maschinen produziert wurde, aber nicht von welcher. a) Es wird folgender Schnelltest durchgeführt: Aus der Sendung werden 25 Stück zufallig ausgewählt. Falls sich darunter höchstens ein fehlerhaftes Stück befindet, entscheidet man sich für die Ausschußwahrscheinlichkeit ρ = 0,04, sonst für ρ = 0,08. Stellen Sie die Nullhypothese und die Alternative auf und bestimmen Sie die beiden möglichen Irrtumswahrscheinlichkeiten bei diesem Test. b) Wie viele Stücke η müssen mindestens ausgewählt werden, damit die Zufallsvariable der fehlerhaften Stücke in der Stichprobe ungefähr normalverteilt ist? c) Der Test werde folgendermaßen durchgeführt: Es werden 500 Stück untersucht. Falls sich darunter höchstens 30 fehlerhafte befinden, entscheidet man sich für ρ = 0,04, sonst für ρ = 0,08. Bestimmen Sie die beiden Irrtumswahrscheinlichkeiten bei diesem Test. d) Führen Sie den Test aus c) mit der kritischen Grenze c = 28 durch (Entscheidung für ρ = 0,04, falls sich höchstens 28 fehlerhafte Stücke in der Stichprobe befinden). Bestimmen Sie die Irrtumswahrscheinlichkeiten.

Aufgabe 3.9 Es sei ρ die unbekannte Heilungswahrscheinlichkeit eines neuen Medikaments. Der Test der Nullhypothese H0: ρ < 0,8 gegen die Alternative H1: ρ > 0,8 wird folgendermaßen durchgeführt: Das Medikament wird 15 zufällig ausgewählten Patienten verabreicht. Falls mindestens 14 dieser Patienten geheilt werden, wird die Nullhypothese zugunsten der Alternativen abgelehnt. Andernfalls wird H 0 nicht abgelehnt. a) Bestimmen Sie das Signifikanzniveau des Tests. b) Geben Sie die Gleichung der Gütefunktion g(p) des Tests an und skizzieren Sie g. c) Drücken Sie die vom wahren Parameter ρ abhängigen Irrtumswahrscheinlichkeiten durch die Gütefunktion aus. Bestimmen Sie den maximalen Wert für die Irrtumswahrscheinlichkeit 2. Art.

48

Aufgaben

d) Wie groS ist die Irrtumswahrscheinlichkeit 1. Art, falls ρ = 0,4 der wahre Parameter ist? Berechnen Sie die Irrtumswahrscheinlichkeit 2. Art, falls ρ = 0,9 der wahre Parameter ist. Aufgabe 3.10 Von einer Abfüllanlage werden Maiskörner in Dosen abgefüllt. Die Varianz σ 2 = 20 der normalverteilten Zufallsvariablen X des Abfüllgewichts sei eine unveränderliche Machinengröße, während sich der Erwartungswert μ im Laufe der Zeit ändern kann. Der Hersteller behauptet, der Erwartungswert betrage mehr als 350 g. Zur Testdurchführung wird das mittlere Abfullgewicht χ von 100 zufällig ausgewählten Dosen benutzt. a) Welche Nullhypothese und Alternative soll der Hersteller zur Testdurchführung wählen? b) Wie groß muß χ mindestens sein, damit der Hersteller seine Behauptung mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 0,05 aufrechterhalten kann? c) Bestimmen Sie die Gleichung der Gütefunktion g(p) des Tests mit dem in b) bestimmten Entscheidungsbereich und skizzieren Sie g. Berechnen Sie g(350). d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit nimmt der Hersteller eine überflüssige Neueinstellung der Maschine vor (keine Entscheidung für μ > 350), falls 351 der tatsächliche Erwartungswert ist?

Aufgabe 3.11 Bei der Herstellung von Kugeln für ein Kugellager kann für den Erwartungswert μ der Sollwert μ0 = 50 mm im allgemeinen nicht exakt eingehalten werden. Aus diesem Grund wird für den Erwartungswert μ das zulässige Intervall [49,95 ; 50,05] vorgegeben. Falls festgestellt wird, daß μ nicht mehr zwischen diesen Grenzen liegt, wird eine Neueinstellung der Maschine vorgenommen, die sehr kostspielig ist. Die Standardabweichung σ = 0,5 mm sei als feste Maschinengröße unveränderlich. Getestet werden soll die Nullhypothese H 0 : 49,95 < μ < 50,05

gegen die

Alternative Hj: μ < 49,95 oder μ > 50,05. Zur Testdurchführung benutzt man den Mittelwert χ (mittlerer Durchmesser) einer Stichprobe vom Umfang η = 400. Im Falle χ < 49,9 oder χ > 50,1 wird die Nullhypothese H0 abgelehnt, also eine Neueinstellung der Maschine vorgenommen.

Beurteilende Statistik

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a) Bestimmen Sie unter der Normalverteilungsannahme die Gutefunktion g(/j) dieses Tests. b) Bestimmen Sie die Irrtumswahrscheinlichkeit 1. Art für folgende Werte μ = 50,0 ; μ = 49,95 ; μ = 50,05 . c) Bestimmen Sie die Irrtumswahrscheinlichkeit 2. Art, falls μ = 50,1 der tatsächliche Erwartungswert ist. d) Skizzieren Sie die Gütefunktion gfa). e) Wie groB ist das Signifikanzniveau des Tests?

Aufgabe 3.12 Die Zufallsvariable X sei normalverteilt mit bekannter Standardabweichung σ = 5 und unbekanntem Erwartungswert μ. Der Test der Nullhypothese H0: 98 < μ < 102 gegen die Alternative Ηα: | /i — 1001 > 2 wird folgendermaßen duchgeführt: χ sei der Mittelwert einer Stichprobe vom Umfang η = 16. Falls mit einer geeigneten Konstanten c gilt | χ — 1001 > c, wird die Nullhypothese abgelehnt (und die Alterantive angenommen), sonst wird H0 nicht abgeleht. a) Bestimmen Sie die Konstante c so, daS die Irrtumswahrscheinlichkeit dafür, daß H 0 abgelehnt wird, obwohl μ = 100 der tatsächliche Erwartungswert ist, gleich 0,01 ist. b) Bestimmen Sie mit dem in a) berechneten Wert c die Gleichung der Gütefunktion dieses Tests. c) Bestimmen Sie das Signifikanzniveau a (maximale Irrtumswahrscheinlichkeit 1. Art) dieses Tests. d) Wie könnte man das Signifikanzniveau dieses Tests verkleinern? e) Welche nicht geschlossen lösbare Gleichung für c muß numerisch gelöst werden, damit das Signifikanzniveau gleich a ist? Aufgabe 3.13 Die Zufallsvariable X der Füllmenge maschinell abgefüllter Bierflaschen (in cm3) sei näherungsweise normalverteilt mit dem bekannten Erwartungswert μ = 500 und unbekannter Varianz. Eine Stichprobe vom Umfang 100 ergab die quadratische Abweichungssumme 100

Σ (x¡ — 500) = 189. ¡=i

50

Aufgaben

ι a) Zeigen Sie, daß ¿ Σ 2

i=1

( X i ~ /0 eine erwartungstreue Schätzfunktion fur

σ ist. Berechnen Sie den Schätzwert. b) Falls in einem Test nachgewiesen wird, daß die Varianz σ 2 größer als 1,5 ist, muß die Abfüllanlage neu eingestellt werden. Ist eine Neueinstellung erforderlich? Führen Sie einen entsprechenden Test mit α = 0,05 durch. c) Welchen Test muß die Firma durchfuhren, damit sie sich mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens 0,05 für σ 2 < 1,5 entscheiden kann?

Aufgabe 3.14 Es seien p A und p B die unbekannten Heilungswahrscheinlichkeiten zweier verschiedener Medikamente A und B. Das Medikament A wurde 100 zufalgig ausgewählten Patienten verabreicht, davon wurden 51 geheilt. Beim Medikament Β wurden von 150 Patienten 105 geheilt. a) Bestimmen Sie ein zweiseitiges Konfidenzintervall für die Differenz p B — p A zum Niveau y = 0,95. b) Kann man aufgrund des Stichprobenergebnisses mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit α = 0,05 behaupten, die Heilungswahrscheinlichkeit des Medikaments Β sei um mehr als 0,075 größer als die des Medikaments A?

Aufgabe 3.15 Das Gewicht der von einer Maschine abgefüllten Menge (in Gramm) sei näherungsweise normalverteilt. Dabei hänge der Erwartungswert μ von der Maschineneinstellung ab, während die Standardabweichung σ = 3 eine davon unabhängige feste Maschinengröße sei. Die Einstellung des Erwartungswertes μ wird entweder von der Person A oder von der Person Β vorgenommen. Es besteht der Verdacht, daß der Erwartungswert μ Α bei der Einstellung durch die Person A um mindestens 3 Gramm größer ist als der Erwartungswert /ig bei der Einstellung durch die Person B. Bei beiden Einstellungen werden jeweils 100 Mengen gewogen. Die Mittelwerte betragen: bei Einstellung durch A: x A = 523,5 ; bei Einstellung durch B: y B = 519,8. a) Bestimmen Sie ein zweiseitiges Vertrauensintervall für die Differenz μ Α — /ig zum Niveau γ = 0,95. b) Kann man sich aufgrund des Stichprobenergebnisses mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 0,05 für μ Α > μ Β + 3 entscheiden?

Beurteilende Statistik

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Aufgabe 3.16 Bei Pkw-Motoren eines bestimmten Typs liegt die Vermutung nahe, daB der Benzinverbrauch bei einer bestimmten Geschwindigkeit durch eine Änderung am Motor um mindestens 11/100 km gesenkt werden kann. Zum Test wurde der durchschnittliche Benzinverbrauch von Fahrzeugen mit und ohne diese Änderung festgestellt mit dem Ergebnis: mit Änderung: durchschnittlicher Benzinverbrauch bei n a = 50 Fahrzeugen: χ = 8,21 1/100 km; Standardabweichung: s x = 0,89 1/100 km; ohne Änderung: durchschnittlicher Benzinverbrauch bei n 2 = 120 Fahrzeugen: y = 9,45 1/100 km; Standardabweichung: s y = 0,91 1/100 km. Beide Zufallsvariablen seien näherungsweise normalverteilt mit derselben (unbekannten) Varianz σ 2 . a) Geben Sie einen Schätzwert für die gemeinsame unbekannte Varianz an. b) Kann aufgrund des Stichprobenergebnisses mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit α = 0,05 behauptet werden, der Erwartungswert μ Μ des Benzinverbrauchs mit der vorgenommenen Änderung sei um mindestens 11 kleiner als der Erwartungswert μ 0 ohne diese Änderung? c) Welche maximale Verbrauchsreduktion kann aufgrund des Testergebnisses mit α = 0,05 als statistisch signifikant nachgewiesen werden?

Aufgabe 3.17 Ein Kaufhaus bezieht Dosen mit in Würfel geschnittenen Karotten von zwei Firmen A und B. Bei jedem der beiden Lieferanten seien die Zufallsvariablen der Füllgewichte (in Gramm) näherungsweise normalverteilt mit den (unbekannten) Erwartungswerten μ^ und μΒ. Die beiden Varianzen seien nicht bekannt. Aus beiden Liefermengen wurden jeweils 200 Dosen zufällig ausgewählt und gewogen mit dem Ergebnis: x A = 620,53; s A = 6,34

(n A = 200);

y B = 618,28; s B = 5,81

(n B = 200).

Bestimmen Sie ein zweiseitiges Konfidenzintervall für die Differenz der beiden Erwartungswerte μ Α — μ Β zum Niveau 7 = 0,95.

52

Aufgaben

Aufgabe 3.18 Der Hersteller eines bestimmten Getränks behauptet, daß Weitspringer nach dem Konsum des Getränks im Durchschnitt weiter springen ids ohne das Getränk. Zum Test sprangen 15 Personen zunächst ohne Konsum des Getränks und eine halbe Stunde nach Einnahme des Getränks. Dabei ergaben sich folgende Weiten (in cm): Person i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Xj (ohne Getränk)

398 640 530 598 471 654 561 421 501 614

y¡ (mit Getränk)

396 643 536 603 469 658 565 421 499 615

Kann man aufgrund dieses Ergebnisses mit a = 0,05 der Behauptung des Getränkeherstellers glauben? Führen Sie einen Test unter der Normalverteilungsannahme durch.

Aufgabe 3.19 Zwei Schützen wollen wiederholt auf ein Ziel schieSen. Schütze A behauptet, daß er im Durchschnitt mindestens 5 % mehr Treffer als Schütze Β erzielt. Schütze A erzielt bei 50 Schüssen 42 und Β bei 60 Schüssen 47 Treffer. Den Unterschied zwischen den relativen Treffferhäufigkeiten r A = § = 0,84;

r B = § = 0,75

fuhrt Β allein auf den Zufall zurück. a) Hat der Schütze Β recht oder ist die Behauptung des Schützen A statistisch nachgewiesen? Führen Sie einen Test mit dem Signiñkanzniveau α = 0,05 durch. b) Kann mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit a = 0,05 behauptet werden, die Trefferwahrscheinlichkeit des Schützen A sei größer als die von Β ?

Aufgabe 3.20 In einer Abfüllanlage werden Getränkeflaschen maschinell abgefüllt. Die Zufallsvariable der Füllmenge (in cm 3 ) sei (näherungsweise) normalverteilt. Eine neuentwickelte Anlage soll nur dann in Produktion gehen, wenn die entsprechende Standardabweichung σ Ν um mehr als 10 % kleiner ist als die Standardabweichung σ Α der alten Anlage. Zum Test wurden zwei unabhängige Stichproben benutzt mit den Größen: alte Anlage:

Umfang: n A = 101 ; Varianz s A = 1,65;

neue Anlage:

Umfang: n N = 51 ;

Varianz s^ = 1,30.

Beurteilende Statistik

53

a) Kann mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von α = 0,05 behauptet werden, die Standardabweichung bei der neuen Anlage sei um mehr als 10 % kleiner als die bei der alten Anlage? b) Mit einem Stichprobenumfang n A = 10 000 erhielt man mit der alten Abfüllanlage eine Standardabweichung von s A = 1,31. Bei der neuen Anlage soll eine Stichprobe vom Umfang n B = 101 gezogen werden. Wie groS darf die Standardabweichung s N höchstens sein, damit man sich mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit α = 0,025 für σ Ν < 0,9 · σ Α entscheiden kann? Aufgabe 3.21 Bei einer Landtagswahl erhielten die einzelnen Parteien folgende Stimmenanteile: A 42 %, Β 38 %, C 9 %, D 8 %, S (Sonstige) 3 %. Nach einigen politischen Skandalen wurden 2000 Wähler zufällig ausgewählt und nach ihrer Einstellung zu den Parteien befragt. Dabei sprachen sich 805 für die Partei A, 731 für B, 185 für C, 174 für D und 105 für die Sonstigen aus. Testen Sie mit α = 0,01, ob sich seit der letzten Wahl das Wahlverhalten signifikant geändert hat. Aufgabe 3.22 In einer Statistikklausur erzielten die Teilnehmer folgendes Ergebnis: 348 der Teilnehmer nahmen zum ersten Mal an der Klausur teil. Davon bestanden 295. Von den 120 Wiederholern bestanden 84. Testen Sie mit a = 0,001 ob die beiden Ereignisse "Bestehen der Klausur" und "Wiederholung der Klausur" unabhängig sind.

Aufgabe 3.23 In einem Betrieb wurden die monatlichen Bruttoeinkommen (in DM) in Abhängigkeit vom Geschlecht untersucht. Dabei ergab sich folgende Häufigkeitstabelle: Einkommen unter 2 000 DM von 2 000 bis unter 3 000 DM von 3000 bis unter 4000 DM mindestens 4 000 DM

männlich 80 134 115 40

weiblich 61 112 58 15

Testen Sie mit α = 0,05, ob das Einkommen vom Geschlecht unabhängig ist.

54

Aufgaben

Aufgabe 3.24 In einer Produktion werden jeweils in einer Doppelpackung zwei Glühbirnen zusammengepackt. Die Zufallsvariable X beschreibe die Anzahl der unbrauchbaren (beschädigten) Glühbirnen in einem solchen Zweierpaket. Nach dem Transport erhielt man folgende Stichprobe: Anzahl defekter Glühbirnen pro Packung Anzahl der Packungen

0

1

2

320

48

32

a) Testen Sie mit α = 0,001, ob die Zufallsvariable X binomialverteilt ist. b) Testen Sie mit a = 0,001, ob X Poisson-verteilt ist.

Aufgabe 3.25 Es wird vermutet, daß die Zufallsvariable X der Lebensdauer bestimmter Geräte eine in der nachfolgenden Abbildung dargestellte Dichte f besitzt.

a) Bestimmen Sie die Konstante a so, daß f Dichte ist. b) Bestimmen Sie den Erwartungswert von X. c) Zum Test, ob f die Dichte der Zufallvariablen X sein kann, erhielt man folgende Klassenhäufigkeiten: Klasse Häufigkeiten

0 < χ < 1/2 1/2 < χ < 1 1 < χ < 3/2 3/2 < χ < 2 7

18

Führen Sie den Test mit a = 0,1 durch.

22

24

Beurteilende Statistik

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Aufgabe 3.26 Es sei ρ die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein direkt der Produktion entnommenes Werkstück fehlerhaft ist. Zum Test der Nullhypothese H 0 : ρ = 0,1 gegen die Alternative

Η χ : ρ φ 0,1

werden aus der Produktion 100 Werkstücke zufällig ausgewählt und geprüft. Darunter befinden sich k fehlerhafte. In welchem Bereich muß k liegen, damit H 0 mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit α = 0,05 abgelehnt werden kann. Lösen Sie die Aufgabe a) mit dem Chi-Quadrat-Anpassungstest für p 1 = P(F) = 0,l; p 2 = P(F) = 0,9; b) mit dem Test einer Wahrscheinlichkeit ρ bei großem Stichprobenumfang.

Aufgabe 3.27 Es seien X und Y zwei normalverteilte Zufallsvariable mit dem unbekannten Korrelationskoefñzienten p. a) Eine zweidimensionale Stichprobe vom Umfang η = 100 besitzt den Korrelationskoeffizienten r = 0,071. Kann hieraus mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit a — 0,05 die Behauptung p > 0 bestätigt werden? b) Wie groß müßte der Stichprobenumfang η mindestens sein, damit der Korrelationskoeffizient r = 0,071 mit α = 0,05 für ρ > 0 signifikant ist? c) Wie groß muß der Betrag | r | des Korrelationskoeffizienten einer Stichprobe vom Umfang η = 100 mindestens sein, damit man mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit a = 0,05 die Nullhypothese der Unkorreliertheit ablehnen kann?

Aufgabe 3.28 Bei 100 zufallig ausgewählten Frauen wurde das Gewicht und die Körperlänge (Größe) gemessen. Die zweidimensionale Stichprobe besitzt den Korrelationskoeffizienten r = 0,864. Die beiden Zufallsvariablen seien dabei (näherungs weise) normal ver teilt. a) Bestimmen Sie zum Niveau 7 = 0,95 ein zweiseitiges Konfidenzintervall für den Korrelationskoeffizienten ρ der beiden Zufallsvariablen des Gewichts und der Körpergröße. b) Ist aufgrund des Stichprobenergebnisses die Behauptung ρ > 0,83 mit a = 0,05 abgesichert?

56

Aufgaben

Aufgabe 3.29 Bei 300 Männern und 200 Frauen wurde jeweils das Körpergewicht und die Körpergröße festgestellt und der jeweilige Korrelationskoeffizient berechnet. Dabei erhielt man die Werte: Männer: Tj = 0,92 ; Frauen r 2 = 0,87. Ist das Ergebnis signifikant dafür, daß der Korrelationskoeffizient p2 bei den Frauen kleiner ist als p^ bei den Männern? Führen Sie den Test mit α = 0,05 unter der Normalverteilungsannahme durch.

Aufgabe 3.30 Der Fettgehalt von Wurst wurde bei 20 Wurstsorten jeweils mit zwei verschiedenen Verfahren gemessen. Bei 14 Messungen ergab das Verfahren 2 einen größeren Meßwert, bei den restlichen 6 Messungen war der mit dem Verfahren 1 gemessene Wert größer. Testen Sie mit a = 0,06, ob die Abweichungen rein zufällig sind oder ob die Wahrscheinlichkeit dafür, daß das Verfahren 2 einen größeren Meßwert als das Verfahren 1 liefert, größer ids 0,5 ist. Wie groß ist das Signifikanzniveau des Tests?

Aufgabe 3.31 Zu vorgegebenem ϋ > 0 sei in der nachfolgenden Abbildung die Dichte einer Lebensdauerverteilung gegeben.

a) Bestimmen Sie die obere Grenze b in Abhängigkeit von ϋ und geben Sie die Gleichung der Dichte an. b) Bestimmen Sie die Gleichung für die Maximum-Likelihood-Schätzung des Parameters ύ aus einer unabhängigen Stichprobe x l t x 2 , . . . ,χ,^. Für welche η ist diese Gleichung geschlossen lösbar?

Beurteilende Statistik

57

c) Bestimmen Sie die Maximum- Likelihood -Schätzung für ϋ aus einer Stichprobe Xj vom Umfang η = 1. d) Bestimmen Sie fur η = 1 die Maximum-Likelihood-Schätzung für den Erwartungswert μ. e) Bestimmen Sie für η = 1 die Maximum-Likelihood-Schätzung für den Median μ.

Aufgabe 3.32 Am Wahlabend steht sehr lange nicht fest, ob die Partei A die 5 %-Hürde schafft. Bei 1 Million ausgezählter Stimmen beträgt der Stimmenanteil für die Partei A 5,04 %. Kann daraus mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von 0,99 geschlossen werden, daB die Partei mindestens 5 % der Stimmen erhält? Benutzen Sie dazu a) ein Vertrauensintervall ; b) einen geeigneten Test. c) Wie viele Stimmen mSSten mindestens ausgezählt sein, damit man aus dem relativen Stimmenanteil von 0,0504 mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 0,01 behaupten kann, die Partei überspringe die 5% -Hürde?

Aufgabe 3.33 Die Zufallsvariable X sei geometrisch verteilt mit dem unbekannten Parameter p. Bestimmen Sie die Maximum-Likelihood-Schätzungen für den Parameter ρ und den Erwartungswert μ aus einer unabhängigen Stichprobe Xj, Χ2,..., XJJ .

Aufgabe 3.34 Die Betriebsdauer (Lebensdauer) elektronischer Bauteile sei exponentialverteilt. Bei 50 zufällig ausgewählten Bauteilen betrug die durchschnittliche Betriebsdauer χ = 2010,5 Stunden. a) Geben Sie eine Schätzung für den Parameter λ der Exponentialverteilung an. b) Bestimmen Sie ein Konfidenzintervall für λ zum Niveau 7 = 0,95.

58

Aufgaben

Aufgabe 3.35 In der Qualitätskontrolle eines Betriebes liegt ein großer Posten vor. Dabei ist nur bekannt, daß die Ausschußwahrscheinlichkeit für jedes einzelne Stuck entweder gleich 0,05 oder gleich 0,06 ist. Zum Test werden η (>200) Stücke zufallig ausgewählt und die relative Ausschußhäufigkeit r n bestimmt. Mit einer noch zu bestimmenden Konstanten c wird dann folgender Test durchgeführt: rn > c

Entscheidung für ρ = 0,06 ;

rn < c

Entscheidung für ρ = 0,05.

a) Bestimmen Sie die Grenze c so, daß beide Irrtumswahrscheinlichkeiten gleich groß sind. b) Wie groß muß der Stichprobenumfang η mindestens sein, damit die übereinstimmenden Irrtumswahrscheinlichkeiten aus a) höchstens gleich 0,05 sind? Hinweis: Benutzen Sie als Approximation die Normalverteilung. Verzichten Sie dabei auf die Stetigkeitskorrektur.

Aufgabe 3.36 Es soll statistisch (signifikant) nachgewiesen werden, daß in einer Buchdruckerei weniger als 2 % der gedruckten Bücher einen Fehler aufweisen. Zum Test werden 150 Bücher zufällig ausgewählt. a) Wie viele dieser 150 Bücher dürfen höchstens fehlerhaft sein, damit man mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens 0,05 behaupten kann, daß tatsächlich weniger als 2 % der gedruckten Bücher fehlerhaft sind? Bestimmen Sie das zugehörige Signifikanzniveau α . b) Bestimmen Sie die Gleichung der Gütefunktion des Tests und zeigen Sie, daß sie streng monoton fallend ist. c) Approximieren Sie für kleine Werte ρ die Gütefunktion durch eine Exponentialfunktion.

Beurteilende Statistik

59

Aufgabe 3.37 In einem Betrieb werden Lebensmittel von zwei verschiedenen Maschinen abgepackt. Die Gewichte seien jeweils näherungsweise normalverteilt. Der Erwartungswert (in Gramm) ist bei der Anlage I gleich 500, bei der Anlage II gleich 502. Ein Abnehmer erhält eine große Liefermenge. Dabei kann er davon ausgehen, daß die gesamte Lieferung von einer der beiden Anlagen abgefüllt wurde. Der Test des Erwartunsgwertes werde mit dem Mittelwert χ einer Stichprobe vom Umfang η und einer Konstanten c folgendermaßen durchgeführt: χ > c ^ Entscheidung für μ = 502 ; χ < c ^ Entscheidung für μ = 500. Bestimmen Sie für folgende Modelle die Grenze c so, daß beide Irrtumswahrscheinlichkeiten gleich sind. a) Beide Standardabweichungen σ1 = σ2 = σ stimmen überein, wobei σ bekannt ist. Geben Sie für σ — 3 den minimalen Stichprobenumfang η an, für den beide Irrtumswahrscheinlichkeiten höchstens gleich 0,01 sind. b) Beide Standardabweichungen σ 1 und σ 2 sind bekannt. Sie dürfen verschieden sein. Geben Sie für σ χ = 3 und σ 2 = 5 den minimalen Stichprobenumfang η an, fur den beide Irrtumswahrscheinlichkeiten höchstens gleich 0,01 sind.

Aufgabe 3.38 Die Zufallsvariable des Gewichts (in Gramm) von Salzpaketen sei näherungsweise normalverteilt mit dem von der Maschineneinstellung abhängigen Erwartungswert μ. Die Standardabweichung σ = 3 sei von der Einstellung unabhängig. a) Falls der Mittelwert χ einer Stichprobe vom Umfang η größer als 500,5 ist, geht der Hersteller davon aus, daß μ > 500 erfüllt ist. Wie groß muß der Stichprobenumfang η mindestens sein, damit die Irrtumswahrscheinlichkeit bei einer solchen Entscheidung höchstens gleich 0,01 ist? b) Eine Stichprobe vom Umfang η = 200 hat einen Mittelwert χ = 503,245. Geben Sie damit ein Prognoseintervall (Konfidenzintervall) fur das Gewicht eines in Zukunft zufällig ausgewählten Pakets zum Niveau 7 = 0,95 an. Hinweis: Standardisieren Sie die Differenz Y —X der unabhängigen Zufallsvariablen Y (Gewicht eines Pakets) und X (Zufallsvariable des Stichprobenmittels der 200 Pakete). c) Aus der Produktion sollen 100 Pakete zufallig ausgewählt werden. Bestimmen Sie mit Hilfe der Stichprobe aus b) ein Prognoseintervall für den Mittelwert y dieser Stichprobe zum Niveau γ = 0,99.

Aufgaben

60

Aufgabe 3.39 Eine Firma läßt eine größere Menge Metallstäbe herstellen. Die Zufallsvariable der Länge (in mm) sei näherungsweise normalverteilt. Alle Stäbe sollen möglichst gleich lang sein. Daher verlangt der Abnehmer, daB die Standardabweichung σ kleiner als 3 ist. a) Der Abnehmer wählt 50 Stäbe zufällig aus und erhält als Standardabweichung s = 2,84. Kann mit der Irrtumswahrscheinlichkeit a = 0,05 die Vorgabe σ < 3 bestätigt werden? b) Bestimmen Sie die kleinste Irrtumswahrscheinlichkeit α, mit der man sich aufgrund des Ergebnisses aus a) gerade noch für σ < 3 entscheiden könnte.

Aufgabe 3.40 Die Zufallsvariable des Durchmessers von Kugeln für spezielle Kugellager sei näherungsweise normalverteilt. Die Standardabweichung σ — 0,3 sei eine konstante Maschinengröße. Der Erwartungswert besitzt einen Sollwert von μ0 = 11,5 mm. Zum Test der Nullhypothese H 0 : μ = 11,5 gegen die Alternative Hj : μ φ 11,5 mit dem Signifikanzniveau α = 0,05 wird der Mittelwert χ einer Stichprobe vom Umfang η = 64 benutzt. a) In welchem Bereich (Ablehnungsbereich) muß der Mittelwert χ liegen, damit die Nullhypothese abgelehnt werden kann? b) Bestimmen Sie die Gleichung der GStefunktion g(/j) des Tests und skizzieren Sie g. c) Berechnen Sie g(ll,5). Was fällt Ihnen dabei auf? d) Bestimmen Sie die Irrtumswahrscheinlichkeit dafür, daß bei diesem Test die Nullhypothese nicht verworfen wird, obwohl μ = 11,6 der tatsächliche Erwartungswert ist. e) Wir nehmen an, die Nullhypothese sei richtig, χ sei der Mittelwert einer Zufallsstichprobe vom Umfang η = 64. Bestimmen Sie ein Prognoseintervall für χ mit einer 95%igen Sicherheit, also zwei Grenzen Cjund c 2 mit P(ci < X < c 2 ) = 0,95.

Beurteilende Statistik

61

Aufgabe 3.41 Die Zufallsvariable X beschreibe den Durchmesser (im mm) von Kugeln, die für ein bestimmtes Kugellager produziert werden. X sei (näherungsweise) normalverteilt, wobei sich der von der Maschineneinstellung abhängige Erwartungswert μ im Laufe der Zeit verändern kann, während die bekannte Standardabweichung σ = 0,1 immer gleich bleibt. Falls für den Erwartungswert μ gilt I μ — 201 > 0,01, sind die Kugeln unbrauchbar. Eine Neueinstellung der Maschine verursache keine großen Kosten. Der Test der Nullhypothese H 0 : | μ — 201 > 0,01 gegen die Alternative H a : I μ — 201 < 0,01 werde folgendermaßen duchgefuhrt: Mit dem Mittelwert χ einer Stichprobe vom Umfang η = 400 wird folgende Entscheidung getroffen: I χ - 20 I < 0,005

Ablehnung von H 0 (weitere Produktion ohne Neueinstellung) ; I χ — 20 I > 0,005 => Annahme von H 0 (Neueinstellung der Maschine).

a) Bestimmen Sie die Gleichung der Gütefunktion dieses Tests. b) Berechnen Sie die Irrtumswahrscheinlichkeiten 1. Art für μ = 20,01 und μ = 19,99 (Grenzpunkte der Hypothesen). c) Skizzieren Sie die GOtefunktion im Bereich 19,984 < μ < 20,016. d) Bestimmen Sie das Signifikanzniveau α (maximale Irrtumswahrscheinlichkeit 1. Art). e) Bestimmen Sie die kleinste Irrtumswahrscheinlichkeit 2. Art. Aufgabe 3.42 Von 20 Mädchen und 25 Jungen des gleichen Jahrgangs wurden die Körpergrößen (in cm) bestimmt. Dabei erhielt man folgende Mittelwerte und Standardabweichungen Mädchen:

x M = 121,45 ; s M = 4,35; ^ = 20 ;

Knaben:

y K = 124,69 ; s K = 4,41; n 2 = 25.

Die Varianzen der beiden Grundgesamtheiten seien gleich groß. a) Schätzen Sie die gemeinsame Varianz σ 2 der Zufallsvariablen der beiden Körpergrößen. b) Bestimmen Sie ein Vertrauensintervall fur die Differenz der beiden Erwartungswerte μ κ — μ Μ zum Niveau γ = 0,95 . c) Wie groß darf die Konstante c höchstens sein, damit aufgrund des Stichprobenergebnisses mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit a = 0,05 die Aussage μ κ > μ Μ + c statistisch abgesichert ist?

62

Aufgaben

Aufgabe 3.43 Für den Alkohol-Test wurde ein neues Gerät entwickelt. Nach einer gewissen Zeit kam die Vermutung auf, das neue Gerat weise einen systematischen Fehler auf und messe im Mittel mindestens 0,05 Promille zu viel. Zum Test wurden 400 Blutproben jeweils mit dem früher benutzten und dem neuen Gerat ausgewertet und die Differenzenwerte d¡ ( = m i t dem neuen Gerät gemessener Wert minus mit dem alten Gerät gemessener Wert) bestimmt. Diese Stichprobe der Differenzen ergab folgende Großen (in Promille): Mittelwert:

d = 0,0512;

Standardabweichung: s d = 0,0084.

Ist mit a = 0,01 signifikant nachgewiesen, daß das neue Gerät im Mittel mindestens 0,05 Promille mehr mißt als das alte Gerät?

Aufgabe 3.44 Die mittlere Lebensdauer (in gefahrenen Kilometern) von Autoreifen zweier verschiedener Marken soll miteinander verglichen werden. Dabei erhält man folgende Stichproben: = 71; χ = 58345 km; s x = 4589 km; n 2 = 51; y = 59731 k m ; s y = 4 2 1 5 k m . Testen Sie auf Gleichheit der beiden Erwartungswerte mit a = 0,05. Dabei sollen beide Zufallsvariablen normalverteilt sein und die gleiche Varianz besitzen.

Aufgabe 3.45 Es seien und p2 die unbekannten Korrelationskoeffizienten von je zwei normalverteilten zweidimensionalen Zufallsvariablen. Zum Test der Nullhypothese H 0 : px = p2 gegen die Alternative Η l : ρ^ φ p2 werden zwei getrennte Stichproben vom gleichen Stichprobenumfang n j = n 2 = η gezogen und die beiden Korrelationskoeffizienten r j = 0,685 ; r 2 = 0,692 berechnet. Wie groß muß der gemeinsame Stichprobenumfang η mindestens sein, damit dieses Ergebnis mit a = 0,05 für ρ j φ p 2 signifikant ist?

Beurteilende Statistik

63

Aufgabe 3.46 Für die Übungen zur Vorlesung für Statistik gibt es sechs verschiedene Gruppen. Die einzelnen Übungen finden alle zu verschiedenen Zeiten statt, von denen nicht alle gleich beliebt sind. Aus diesem Grund soll die Gruppeneinteilung jede Woche neu erfolgen und zwar durch folgendes Zufallsexperiment: Jeder Teilnehmer wirft jeweils zum Wochenbeginn einen idealen Würfel und geht in die Gruppe, deren Nummer mit der geworfenen Äugenzahl übereinstimmt. In der ersten Woche ergab sich die Einteilung: Gruppe Anzahl der Teilnehmer

1

2

3

4

5

6

69

72

65

48

51

55

Der Dozent vermutet, daß manche Teilnehmer nicht gewürfelt haben und einfach in eine Gruppe gingen, die für sie zeitlich günstig war. Kann diese Vermutung bestätigt werden? Führen Sie einen entsprechenden Test mit α = 0,05 durch. Aufgabe 3.47 Es soll mit a = 0,05 getestet werden, ob die Körpergröße von Studentinnen (näherungsweise) normalverteilt ist. Dazu wurde bei 200 zufällig ausgewählten Studentinnen die Körpergröße (in cm) gemessen: Klasse 150 160 170 180

< < <
0 so, daß es sich tatsächlich um eine Dichte handelt. b) x 1 ,x 2 )... ,Xn sei eine unabhängige Stichprobe mit Xj > 0 für alle i. Bestimmen Sie hieraus die Maximum-Likelihood-Schätzung fur a. Hinweis: Benutzen Sie folgende Fallunterscheidung: 1. Fall: x¡ < 1 fur alle i ; 2. Fall: Xj > 1 für mindestens ein i.

Aufgabe 3.51 Die FGllmenge der von einer Abfüllanlage gefüllten Bierflaschen sei näherungsweise normalverteilt. Der Hersteller der Anlage behauptet, der Erwartungswert μ der Füllmenge sei 0,5 1 und die Standardabweichung σ betrage höchstens 0,02 1. Zum Test werden 36 Flaschen zufallig ausgewählt und deren Füllmengen festgestellt. Dabei erhält man den Mittelwert χ = 0,495 1 und die Standardabweichung σ = 0,0241. Kann mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von α = 0,05 jeweils eine der nachfolgenden beiden Aussagen gemacht werden: a) der Erwartungswert μ ist kleiner als 0,5 1 ; b) die Standardabweichung σ ist größer als 0,021 ?

65

Beurteilende Statistik Aufgabe 3.52

In der Entbindungsstation eines Krankenhauses wurden während eines Jahres 1483 Kinder lebend geboren, davon waren 721 Mädchen. a) Bestimmen Sie daraus ein zweiseitiges Konfidenzintervall für die Wahrscheinlichkeit ρ einer Mädchengeburt zum Konfidenzniveau 0,96. b) Kann aufgrund dieses Ergebnisses mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit α = 0,02 behauptet werden, die Wahrscheinlichkeit einer Mädchengeburt sei kleiner als 0,5? Geben Sie eine Begründung fur das Ergebnis an. c) Die relative Häufigkeit r n (M) der Mädchengeburten sei 0,485. Wie viele Geburten müssen dann mindestens vorliegen, damit mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens 0,01 behauptet werden kann, die Wahrscheinlichkeit einer Mädchengeburt sei kleiner als 0,49 ?

Aufgabe 3.53 Ein Lieferant von Hähnchen behauptet, das durchschnittliche Gewicht (Erwartungswert) betrage mindestens 1000 g. Zum Test wählt ein Abnehmer 50 Hähnchen zufällig aus. Dabei erhält er folgende Werte: Gesamtgewicht der 50 Hähnchen: 49 839 g ; Summe der Gewichtsquadrate: 49 683 225 g 2 . a) Formulieren Sie die Nullhypothese und die Alternative. b) Führen Sie den Test mit α = 0,04 durch. c) Bis zu welcher minimalen Irrtumswahrscheinlichkeit OTj^ könnte man aufgrund des Stichprobenergebnisses behaupten, das durchschnittliche Gewicht der Hähnchen in der gesamten Sendung sei kleiner als 1000 g?

Aufgabe 3.54 Beim Würfelspiel schöpften verschiedene Spieler den Verdacht, der Gastwirt würde immer einem bestimmten Spieler verfälschte Würfel geben. Aus diesem Grund schrieb eine an dem Tisch sitzende Person die von diesem Spieler geworfenen Augenzahlen auf und erhielt das Ergebnis: Augenzahl i

1

2

3

4

5

6

Häufigkeit h¡

28

26

32

35

25

38

66

Aufgaben

a) Führen Sie den Test auf Verfälschtheit der Würfel mit α = 0,10 durch. b) Wie groß muß bei 500 Würfen die Summe der Quadrate der Häufig500

keiten Σ h¡ mindestens sein, so daß mit α = 0,05 statistisch signifikant i=l nachgewiesen werden kann, daß mindestens einer der Würfel verfälscht ist? Aufgabe 3.55 In einem Großbetrieb wurden über einen längeren Zeitraum die Anzahl der Arbeitsunfälle in Abhängigkeit vom Wochentag zusammengestellt: Wochentag Anzahl der Unfälle

Montag

Dienstag

97

71

Mittwoch Donnerst. Freitag 60

64

82

Testen Sie mit a = 0,05, ob die Häufigkeiten der Unfälle auf die einzelnen Arbeitstage gleichmäßig verteilt sind.

Aufgabe 3.56 Es wird vermutet, daß die Lebensdauer bestimmter Geräte exponentialverteilt ist. Von 100 Geräten wurde die Betriebsdauer Xj (in Stunden) festgestellt: Klasse 100 250 500 750 1000 1500

< < < < <
0 die Verteilungsfunktion F(x)=«

0

für

χ 0 und fur den Erwartungswert μ der durch die folgenden Dichten bestimmten Verteilungen aus einer unabhängigen Stichprobe x x , x 2 ,... , χ ^ a)f(x) =

^ 0 τΛ

b)fW= r = 0 ; vertikale Gerade: χ = 13 ( = Mittelwert der x-Werte). c) y = 23,5. d ) x = 13. e)

*i y¡

10

10

11

11

12

12

13

13

23

24

22

25

21

26

20

27

R(x i ) = R i

1,5

1,5

3,5

3,5

5,5

5,5

7,5

7,5

R(y¡) = R¡

6,5

8,5

4,5

10,5

2,5

12,5

1

14

Ri-Ri

-5

-7

-1

-7

3

-7

14

14

15

15

16

16

y¡

21

26

22

25

23

24

Ri

9,5

9,5

11,5

11,5

13,5

13,5

Ri

2,5

12,5

4,5

10,5

6,5

8,5

Ri-Ri

7

-3

7

1

7

5

6,5 - 6 , 5

86

Lösungen der Aufgaben

f) Weil in beiden Gruppen Bindungen (übereinstimmende Rangzahlen) aufteten, kann der Rangkorrelationskoeffizient von Spearman nach der folgenden Formel berechnet werden : n

. ( n 2 _ l ) - 6 - 1 [R(xj) — R(y¡)]2 - ^ ( B x + B y )

I S =

>| [ n . ( n 2 - l ) - B x ] . [ n - ( n 2 - l ) - B y ]

mit den Bindungskorrekturen B x = ¿ b¡ · (bj — 1) = 7 · 2 · 3 = 42 j=i (7 Bindungsgruppen mit jeweils zwei gleichen Rangzahlen, bj = 2) ; B y = Σ < V ( c £ - l ) = 6 - 2 - 3 = 36 k=l (6 Bindungsgruppen mit jeweils zwei gleichen Rangzahlen, c k = 2). Für den Zähler erhält man: Ζ = 14 · (142 - 1 ) - 6 · 448,5 - ± (42 + 36) = 0 . Damit verschwindet auch der Spearmansche Rangkorrelationskoeffizient, d. h es gilt r s = 0. Hinweis: r g könnte auch dadurch bestimmt werden, daß man für die obigen Rangzahlen den Korrelationskoeffizienten nach Bravais-Pearson berechnet.

Aufgabe 1.19

a) χ = ^ - 8 5 5 0 0 = 171; s2=

¿

χ? - η - χ 2 ) = ^ - ( 1 4 6 3 5 4 7 0 - 5 0 0 • 1712) = 30;

§ 2 = Α Σ (xi-x)2 = ^ i - s

b) Mit ν = S

gilt

2

= M - 3 0 = 29,94.

H = ì - ( v 2 + l) = 5 l g - ( ^ + l ) « 0 , 0 0 2 0 .

Beschreibende Statistik

87

Aufgabe 1.20 Lineare Transformation:

neue Stichprobe: y = 1,029 · χ + 50 ;

neuer Mittelwert:

y = 1,029 · χ + 50 « 3 385,45 DM ;

neuer Median:

y = 1,029 · χ + 50 « 3103,65 DM ;

neue Standardabweichung:

Sy = 1,029 - s x « 177,14 DM.

Aufgabe 1.21 a) Durchschnittlicher Steigerungsfaktor = q ; q = \ 1,1 -0,8 -0,85 -1,25 « 0,98334 = 1 - 0,01666. Pro Jahr ist die Aktie im Durchschnitt um ungefähr 1,666 % gefallen. b) Zur Durchschnittberechnung muB das geometrische Mittel benutzt werden. Das arithmetische Mittel der prozentualen Steigerungen wäre hier gleich Null, obwohl die Aktie nach 4 Jahren nicht den Ausgangskurs besitzt. Aufgabe 1.22 a) Stichprobenwerte = Sprungstellen relative Häufigkeiten = Sprunghöhen Stichprobenwerte Xj

1,5

3

4,5

7

relative Häufigkeiten r¡

0,1

0,3

0,25

0,35

u k = kumul. rei. Häufigk.

0,1

0,4

0,65

1,00

v k = kumul. Anteile r

i

0,2-

1

0,032 0,227 0,470 1,00

U 3

Ί

4

Γ

5

(s. d)) (s. d)).

Lösungen der Aufgaben

88

b) χ = 1,5 · 0,1 + 3 · 0,3 + 4,5 · 0,25 + 7 · 0,35 = 4,625. c) x = 4,5. d) u k = kumulierte relative Häufigkeiten (s. obige Tabelle) ; kumulierte rei. Anteile an der gesamten Stichprobensumme : k Σ Vxj vk= ^ = Σ V i j=l

k hj k Σ n-·^ Σ ν ^ J7X . = ^ = Σ S-Xj J j=l

k Σ ν ^

°· Tabelle).

Σ ν ^ J=1

e) Formel des Gini- Koeffizienten bei Häufigkeitsverteilungen: G = Σ

K - i + u k)· ? k * k - 1 mit u 0 = 1 · Σ V i J=1 Kurzen durch den (unbekannten) Stichprobenumfang η ergibt G = Σ ( n k - i + ^ - T k=l

-

1

= 4^5-kÇi(uw_1+uk)Tk.xk -

1 = 0,230.

Beschreibende Statistik

89

Aufgabe 1.23 a) Gesamtumsatz: 833980000 DM; Anzahl der Mitarbeiter im Betrieb =

Um^tz im Betrieb Umsatz pro Mitarbeiter

Gesamtanzahl der Mitarbeiter: 450 + 525 + 608 = 1583 ; durchschnittlicher Umsatz pro Mitarbeiter: χ = 833 1 9 583° 00 = 5 2 6 8 3 5 > 1 2 D M Pro Mitarbeiter. b) χ = 490 000 ·

+ 520 000 · ^ ^ + 560 000 · ^ ^ = 526 835,12 DM

(gewichtetes arithmetisches Mittel der Umsätze pro Mitarbeiter). χ - _ 833 980 000 _ ~ 1583 ~

c) x

_ ~

220500000 + 273000000 + 340480000 220500000 , 273000000 , 340480000 490000 + 520000 ^ 560000

1 22050 1 , 27300 1 , 34048 1 + 83398*490000 83398*520000 + 83398*560000

= x j = gewichtetes harmonisches Mittel der drei Umsätze pro Mitarbeiter in den drei Betrieben mit den Umsatzanteilen als Gewichte _, _ 22 050. w _ 27 300 . w _ 34 048 2 3 83398' "83398' "83398"

Aufgabe 1.24 a) 5 % des Umsatzes ist auf 25 % der Betriebe konzentriert ; 15 % des Umsatzes ist auf 45 % der Betriebe konzentriert ; 30 % des Umsatzes ist auf 20 % der Betriebe konzentriert ; 50 % des Umsatzes ist auf 10 % der Betriebe konzentriert. b) Inhalt der Fläche unterhalb der Lorenzkurve (Trapezregel): g = i · 0,05 · 0,25 + Ì · (0,05 + 0,2) · 0,45 + i · (0,2 + 0,5) · 0,2 + ì · (0,5 + 1) -0,1 = 0,2075. Inhalt der Fläche zwischen der Diagonalen und der Lorenzkurve Κ = ì - 0,2075 = 0,2925. c) G = 2 Κ = 0,585.

90

Lösungen der Aufgaben

Aufgabe 1.25 y 1 25-

2018-

17-

b) χ = 3,51 ; s

« 0,260;

x

Kovarianz: s x y «

y = 20,4; s

— 0,474;

y

« 2,006;

Korrelationskoeffizient: r «

— 0,909 ;

weil eine metrische Skala vorliegt.

c) y _ y = ! ^ . ( x _ x ) 8 Í d)

=>. y = - 7,012 X + 45,011 .

3,1

3,2

3,3

3,4

3,5

3,6

3,6

3,7

3,8

3,9

23,6

22,1

22,3

21,8

18,7

20,9

19,2

18,9

19,1

17,4

23,3

22,6

21,9

21,2

20,5

19,8

19,8

19,1

18,4

17,7

e) Q = (η — 1) · Sy · (1 — r 2 ) « 6,29. f ) y « 19,9. Aufgabe 1.26

*

s

0 1 2 3 r. k (Summe) x

=

1 4 η Σ j=l

0

1

2

3

0,1 0,1 0,1 0

0 0,2 0,1 0

0 0 0,2

0 0 0

0,1

0,1

0,1 0,3 0,4 0,2

0,3

0,1

1

0,3

0,3 4 =

Σ j=l

kj·

Tj. (Summe

4

= Σ Tj.-Xj j=i

= 0,1 -0 + 0,3 -1 + 0,4.2 + 0,2-3 = 1,7; y = Σ r -k·y£ = 0 , 3 - 0 + 0,3-1 + 0,3-2 + 0,1-3 = 1,2. k=l

Beschreibende Statistik Σ

91

hjk-Xj-yk-n-x-y

b) r =

1 Division von Zähler und Nenner durch η ergibt wegen 1 = 5 = Σ j,lt=l

r =

fy-x^-yk-x-y

Ν J=1 N

k=l

'

2,70-1,7-1,2

: 0,7485.

•J(3,7 —1,7 2 ) · (2,4 —1,2 2 )

Aufgabe 1.27 a)x = ^ = 1 0 , 4 ;

s2 =

( 5 6 0 4 - 5 0 · 10,4 2 ) = 4 ; s x = 2;

y = ™ = 14,6; s 2 = ¿ · ( 1 1 0 9 9 - 5 0 · 14,6 2 ) = 9; s y = 3 . b) Kovarianz: s x y = ¿ · (7 837 - 50 · 10,4 · 14,6) = 5 ; . _

s xy

_ 5.

χ " sy

—

6 '

Hinweis: Falls man bei der Berechnung der Varianzen und der Kovarianz jeweils durch η dividiert, erhält man für den Korrelationskoeffizienten den gleichen Wert wie bei der Division durch η — 1. c) α) Regressionsgerade von y bezüglich χ : y - y = ^r-(x-x); sx

y-i4,6 = |.(x-io,4); 4

y = 1,25 χ + 1,6; β) Regressionsgerade von χ bezüglich y : x - x = ^f.(y-y); sy

x - 10,4 = | - ( y - 14,6); y

χ = 0,556 y + 2,289 (gerundete Werte).

92

Lösungen der Aufgaben

d) α) Summe der horizontalen Abstandsquadrate von der Regressionsgeraden bzgl. x: Q a = ( n - l ) - s 2 . ( l - r 2 ) = 4 9 - 9 - ( l - ( | ) 2 ) = 134,75; ß) Summe der horizontalen Abstandsquadrate von der Regressionsgeraden bzgl. y: Q^ = ( n - l ) . S 2 . ( l - r 2 ) = 4 9 - 4 - ( l - ( | ) 2 ) « 5 9 , 8 9 .

Aufgabe 1.28 a) Käsesorte

1

2

3

4

5

R(x¡)

2

3

1

5

4

Rfo)

1

3

2

4

5

Diff. R(xi)-R(y¡)

1

0

-1

1

-1

6 - Σ [R(xi)-R(yi)] 2 i=l

b) Keine Bindungen; die χ-Werte werden der Größe nach geordnet und die y-Werte entsprechend zugeordnet Qj = Anzahl der y-Werte, deren Ränge kleiner als R(y¡) sind und rechts von yj stehen (Inversionen). Käsesorte

3

1

2

5

4

x

4

9

12

15

17

yj zu x^j zugeordnet

8

7

14

20

18

Ränge R(y¡)

2

1

3

5

4

1

0

0

1

0

(i) geordnet

Inversionen

Q¡

Q = 2 (Summe]

93

Beschreibende Statistik Aufgabe 1.29 •¡=¡¿T( =

,

τ*?-*·*)

^2

= s è i (

999 ' (2IIO — ^ ^ j < 0. Die Varianz muß jedoch positiv sein.

Aufgabe 1.30 Strecke [km]

50

100

150

Summe 300

Zeit [Min.]

200

300

300

Summe 800

a) Durchschnittliche Zeit pro km:

οηπ

o = ^ Min./km ;

800 _ 1 1 300" M ~ 50 ι 100 ι 150 800 800 * 800 800 800 i-200 + |-300 + i-300 (gewichtetes harmonisches Mittel der drei Einzelzeiten pro km; die Gewichte sind proportional zu den benötigten Zeiten). b) Durchschnittsgeschwindigkeit:

km/min. = | · 60 = 22,5 km/h.

Aufgabe 1.31 Die Werte weden mit den rechten Klassengrenzen identifiziert. Größe absolute Anteil pro a k = obere Häufigk. Gruppe Grenze Vak

Κ

relativer kumulierte Anteil der rei. Anteile Gruppen uk

bis 1 1 bis 2 2 bis 5 5 bis 10 10 bis 20 20 bis 50 50 bis 100

3 5 8 10 12 7 5

3 10 40 100 240 350 500

0,06 0,10 0,16 0,20 0,24 0,14 0,10

Gesamt

50

1243

1,00

0,06 0,16 0,32 0,52 0,76 0,90 1,00

kumulierte Geldanteile vk

0,0024 0,0105 0,0426 0,1231 0,3162 0,5977 1,0000

94

Losungen der Aufgaben

a) χ

«

· (3 · 0,5 + 5 · 1,5 + 8 · 3,5 + 1 0 · 7,5 + 1 2 · 15 + 7 · 35 + 5 · 75)

= 18,24. Der Median ist das arithmetische Mittel des 25. und 26. Stichprobenwertes, also 5 < χ < 10 ; .

- , 0,5-0,32 . ... + 0 20 — 5 = 9 ' 5 h a ·

b) Mit den Werten (u k , v k ) aus der obigen Tabelle erhält man die Lorenzkurve

0,1"

*• u 0 0,1

c) Mit den oberen Klassengrenzen erhält man den Näherungswert G ^ E K - I +^ ' T ^ = i"S7ö · (o,06 · 3 + 0,22 · 10 + 0,48 · 40 k=1 Σ M¡ i=l + 0,84 · 100 +1,28 · 240 +1,66 · 350 +1,90 · 500) - 1 « 0,5638.

Aufgabe 1.32 Tanzpaar Nr.

1

2

3

4

5

6

Rangzahlen R(x¡) (Richter I)

4

2

5

1

6

3

Rangzahlen R(y¡) (Richter II)

3

1

5

2

6

4

Differenzen R(x¡) — R(y¡)

1

1

0 -1

r Ss = 1

0 -1

6 - E [R(xi)-R(yi)] 2 1Ξ1— = l - i ^ á r « 0,8857. η · (η — 1) 6-35

95

Beschreibende Statistik Aufgabe 1.33 a) Β = r 2 = 1,5-0,4 = 0,6;

r =-JÔ^T « 0,7746.

Syy b) Aus y - y = - γ · (χ - χ) s x

8__v χ - χ = -y- · (y - y) folgt s y

und

1,5 = —ψ = s 8 x X

=>•

s2 = 4 ;

s = 2;

0 , 4 = Sy ^ = Sy 4

^

Sy = 15 ;

s y = { T b * 3,8730.

Aus

y = y + 1,5 · (χ — χ) = 1,5 χ + 1,5

und

χ = χ + 0,4 · (y — y) = 0,4 y + 1

folgt

y — l , 5 x = 1,5 — 0,4 y + x =

1

χ = 4;

|·2,5

)

+

y = 7,5.

Aufgabe 1.34 Anzahl

Mittelwert

Werk I Werk II

400 600

X! = 3650

Gesamt

1000

*2 3500

Standarbabweichung Sj = 150 s

2

200

Bestimmung des Mittelwertes: 400·3650 + 6 0 0 · χ 2 = 1 000-3500

=> x 2 = 3400 DM.

Die Berechnung der Varianz geschieht über die Quadratsummen mit Hilfe der Formel

s2 =

¿x?-n·x2) ;

erste Stichprobe: 150

, / 400 „ = 3M ( Σ z i - 400 · 3650 J ;

400 „ Σ A = 5 337 977 500 ;

gesamte Stichprobe: „ 1 / 1000 . 1000 „ 200 = 959 ( Σ y? - 1000 · 3500 J ; £ y,? = 12 289 960 000 ;

96

Lösungen der Aufgaben

Quadratsumme der 2. Stichprobe: 600

„

Σ wf = 12 289 960 000 - 5 337 977 500 = 6 951982 500 ; i=l Varianz der 2. Stichprobe: S

2 = 5§9 ( 6 9 5 1 9 8 2

500

Standardabweichung:

~

600

'340°2) *

'

26 681 97

'

s 2 « 163,35.

Aufgabe 1.35 a) x = i ( 1 0 + 15 + 20 + 20 + 30) = 19 sec./Stück (gewöhnliches arithmetisches Mittel). b) χ = j - l j ç (300 · 10 + 250 · 15 + 200 · 20 + 200 · 20 + 150 · 30) = 17,5 sec./Stück (gewichtetes arithmetisches Mittel). c) Maschine

I

bearbeitete Stück pro Stunde 360

II

III

IV

V

Summe

240

180

180

120

1080

In einer Stunde werden 1080 Stück bearbeitet. Zur Bearbeitung der 1080 Stück werden 5 Stunden benötigt. Zur Bearbeitung von einem Stück benötigt man _5_

_ 5 - 6 0 - 6 0 _ 50 sec /Stück

h

1080

—

1080

~ 3 ^•/atuck .

Aufgabe 1.36 rei. Häufig- (rechte Klassen- kumulierte, rei. kumul. rei. a)Klassen keiten r·

0 10 20 40

10 20 40 60

Summen

grenze) · Tj = Zj

Häufigk. = u k

0,1 0,2 0,5 0,2

1 4 20 12

0,1 0,3 0,8 1,0

1,0

37

1,0

Anteile = v¡ 0,027 0,135 0,676 1,000

Beschreibende Statistik b) '

Rechseckshöhe =

10

97 tt? τ-—r— Klassenbreite

40

20

60

1 --

0,5-0,8

t 40 *0,75

60

Interpolation: Median:

+

=

02

=• χ » 28; 0 15

unteres Quartil: Xo 2 5 « 1 0 + z; ^ = oberes Quartil: Xo 7 5 « 2 0 + z; ^ = ^

^s«17'5'' => ^ 2 5 « 3 8 .

98 d)

Lösungen der Aufgaben 1

vk = ^

k ^ z¡ (s. obige Tabelle).

e) Flächeninhalt unterhalb der Lorenzkurve: _ 0 + 0,027 Λ 1 , 0,027 + 0,135 Λ Ο , 0,135 + 0,676 n c , 0,676 + 1 0,1 g» g 2 ' 2 ' 2 « 0,3878 (die einzelnen Summanden sind die Flächeninhalte der Flächen unter den vier Polygonzügen der Lorenzkurve). Gini - Koeffizient: G = 2 · ( i - g) « 0,2442.

Aufgabe 1.37

99

Beschreibende Statistik

b) Auf die 50 % kleinsten Merkmalsträger entfällt 20 % der Gesamtsumme, die 10 % größten Merkmalsträger besitzen 40 % der Gesamtsumme. c) Zunächst wird die Fläche unterhalb der Lorenzkurve berechnet: (Inhalte der 4 Trapeze) g = i(0 + 0,05) · 0,2+^(0,05 + 0,2) · 0,3+±(0,2 + 0,6) · 0,4+1(0,6 + 1 ) · 0,1 = 0,2825;

Gini-Koeffizient: G = 2 - ( i - g ) = 1 - 2 g = 0,435.

Aufgabe 1.38 Die Lorenzkurve kann nicht oberhalb der Diagonalen zwischen (0 ; 0) und (1 ; 1)Bedingung liegen. Fürist alle Eckpunkte < u¡; 0,65) ; diese jedoch für dasmuß Paaralso (u 3gelten: ; v3) = v¡ (0,55 verletzt. Aufgabe 1.39 a) Der Rangkorrelationskoeffizient von Spearman. b) Die Güteklassen werden angeordnet durch C

Β

A

Markt

1

2

3

4

5

6

7

8

Klasse (x¡)

A

A

C

Β

A

C

Β

A

0,90

1,30

1,40

1,20

1,10

1,20

Preise (y¡)

1,30 1,50

R i = R(x i )

6,5

6,5

1,5

3,5

6,5

1,5

3,5

6,5

Ri = R( yi )

5,5

8

1

5,5

7

3,5

2

3,5

Ri-Ri

1

-1,5

0,5

-2

-0,5

-2

1,5

3

Da Bindungen auftreten, muß folgende Formel benutzt werden : ηv - l )

- 6 - Σ [R(xj) — R(y¡)]2 4 ( B X + B y )

mit den Bindungskorrekturen 3 Β χ = Σ bj - (b? - 1) = 4 · (42 - 1) + 2 · (22 - 1) + 2 · (22 - 1) = 72 (3 Bindungsgruppen mit 4 bzw. 2 bzw. 2 Bindungen);

Lösungen der Aufgaben

100 B„ — ¿ c k . ( 4 - l ) = 2 . 2 - 3 = 12 k=l

(2 Bindungsgruppen mit jeweils zwei gleichen Rangzahlen, c k = 2) ; 8

Mit η = 8 und £ [R¡ - R¡]2 = 23 erhält man i=l 8 · (82 — 1) — 6·23 —A(72 + 12) rs = , \ « 0,7028. ^ [8 · (8 — 1) — 72] · [8 · (8 — 1) — 12] Hinweis: r s könnte auch dadurch bestimmt werden, daß man für die obigen Rangzahlen den Korrelationskoeffizienten nach Bravais-Pearson berechnet.

Aufgabe 1.40 a) Berechnung mit Hilfe des geometrischen Mittels : „9

q

125 131 ~ 120 ' 125 '

167 _ 167 . ' 120 ~ 120 '

n q

\ 167 N 120 « 1,0374;

_ ~

Umsatzziel für 1994: q · 167 » 173,25 Mio. DM. b) Jahr:

χ = 1988,5;

s2 = ^ ;

8χ

«3,0277;

Umsatz: y = 143,5 ; s y « 15,7991 ; Kovarianz: s x y « 47,7222 ; s KorrelationskoefFizient: r = - *\ ss 0,9977 ; χ

y

y - y = -8 t ( X - X ) ; X y = 5,2061-χ-10208,75. Prognosewert: y(1994) « 172,13 Mio DM.

Wahrscheinlichkeitsrechnung

101

Kap. 5 Lösungen der Aufgaben zur Wahrscheinlichkeitsrechnung Aufgabe 2.1

Gegeben: P(A) = 0,05; P(AnB) = 0,01; P(XnB) = 0,03. a) P(B) = P(A Π Β) + P(Ä Π Β) = 0,01 + 0,03 = 0,04. b) A U Β: das Werksück ist fehlerhaft ; P(A U B) = B(A) + P(B) - P(A Π Β) = 0,05 + 0,04 - 0,01 = 0,08 ; Α Π Β: das Werkstück ist fehlerfrei ; P(A Π Β) = P(A U Β) = 1 - P(A U B) = 0,92. c) Genau einen Fehler: ΑΠΒ U ΑΠΒ ; P(A η B) = P(A) - P(A Π B) = 0,04 ; P(A η Β) + P(X η B) = 0,04 + 0,03 = 0,07. d)P(B|A)=

=

P(B|A) = 1-P(B|A) = 0,8.

=

^ P^Aim- P(ÄηB) _P(ÄηB) _ 0 , 9 2 _ 2 3 ^ n . P(BIÄ)- P(ÄnB) _ P(XnB) _ 0,92 _ 92 p J 6 £ 1 η * I A ) - p ( X ) - ! _ P ( A ) - 0,95 - 95 ~ U , y ò 8 4 · f) 0,01 = P(A η Β) Φ P(A) · P(B) = 0,05 · 0,04 ; A und Β sind nicht unabhängig. g) α) P(A Π ΒIA U B) —

" P(AUB) " p 8 " 2'

p(AuB)

ß\ P r Ä n R l A L J R w i i Ä M - ^ - S . 7

)P(AnB|AUB)=^n|)=g

=

i (Summe = 1).

102

Lösungen der Aufgaben

Aufgabe 2.2 a) P(ein Gerät überlebt 100 Stunden) = 1 - ρ = 0,85 ; P(das System überlebt 100 Stunden) = 0,8510 « 0,1969. b) P(alle 3 Komponenten fallen aus) = 0,153 P(System überlebt) = 1 - 0,153 « 0,9966. c) η Komponenten ; P(Parallelsystem überlebt) = 1 — 0,15® > 7 ; «·0,15η ^ ¡

α) η > 5 (aufgerundet) ; β) η > 8 (aufgerundet).

Aufgabe 2.3 F: das Werkstück ist fehlerhaft; M; : das Werkstück wurde von der Maschine i produziert. Gegeben: P(F| M x ) = 0,06 ; P(MX) = 0,2 ;

P(F| M 2 ) = 0,03 ; P(M 2 ) = 0,3 ;

P(F| M 3 ) = 0,01 ;P(M 3 ) = 0,5; a) Satz von der vollständigen Ereignisdisjunktion: P(F) = Σ P(F| M¡) · P(M¡) = 0,06 · 0,2 + 0,03 · 0,3 + 0,01 · 0,5 = 0,026 ; i=l ungefähr 2,6 % der Gesamtproduktion ist Ausschuß. b) Bayessche Formel: = P(M!| F) P(M 2 |F) =

für i = 1, 2, 3 ; 0,4615; «0,3462;

P(M 3 | F) = °'00102°6'5 « 0,1923

(Summe = 1).

103

Wahrscheinlichkeitsrechnung c) P(F) = 1 - P ( F ) = 0,974; P(Mi,F)

= W

Z

Ö

ruri =

1,2)3;

P(M 1 |F) = ^ i ^ « 0 , 1 9 3 0 ; P(M

2

| F ) = ^ ^ «0,2988;

P(M 3 | F) = Q ' 0 " 9 7 0 / « 0,5082

(Summe = 1).

Aufgabe 2.4 a)P(G)

= P(U) = ^

= i ; P(B) = ^ ; P ( C ) = 4 .

b) P(Gf1ü) = 0 / P(G) · P(U) ; nicht unabhängig ; P(G Π B) = jjp = P(G) · P(B) ; unabhängig ; P(G η C) = γ ^ φ P(G) · P(C) ; nicht unabhängig ; P(U η B) =

= P(U) · P(B) ; unabhängig ;

P(U η C) = jjjjj Φ P(U) · P(C) ; nicht unabhängig ; P(B Π C) = -JL φ P(B) · P(C) ; nicht unabhängig.

Aufgabe 2.5 Kj : ein fehlerhaftes Stück wird bei der i-ten Kontrolle entdeckt; gegeben: P(KX) = 0,8 ; P(K 2 | Kx) = 0,6 ; P(K 3 | Kx Π K2) = 0,3 ; a) p ( K x n K 2 n K 3 ) =

P(ïy

κ ^ κ ^ - ρ ^ ι κ ^ - ρ ^ )

= (1-0,3) -(1-0,6) -(1-0,8) = 0,056. b) Die Ereignisse K¡ sind unvereinbar. Daraus folgt P(Kj) = 0,8 ; P(K2) = P(K 2 | Kx) · P(KX) = 0,6 · 0,2 = 0,12 ; P(K 3 ) = P(K 3 1K 2 Π Kj) · P(K 2 |K X ) · Ρ(Κα) = 0,3 · 0,4 · 0,2 = 0,024.

104

Lösungen der Aufgaben x¡ (Werte in DM)

5

10

20

50

Pj (Wahrscheinlichkeiten)

0,8

0,12

0,024

0,056

0,8

0,5-

0

JL-r

0,12

0,1 •

5

τ

10

20

50

10

20

50

FM n

0,5-

0,1 0

5

Wahrscheinlichkeitsrechnung

105

E(X) = 5 · 0,8 +10 · 0,12 + 20 · 0,024 + 50 · 0,056 = 8,48 DM ; E(X2) - [E(X)]2

Var(X) =

5 2 · 0,8 + 102 · 0,12 + 202 · 0,024 + 502 · 0,056 - 8,482

=

« 109,6896 DM2; σ « 10,4733 DM.

d) E(X) = 5 · 0,8 +10 · 0,12 + 50 · 0,08 = 9,20 DM.

Aufgabe 2.6

a)

,L

Pl

0,1-

o

filili 2

3

4

5

6

2

3

4=μ

5

6

F(x) 1 -

0,1-

0

•χ

Lösungen der Aufgaben

106

b) E(X) = 1 - 0 , 1 + 2 - 0 , 1 5 + 3 - 0 , 1 5 + 4 - 0 , 1 5 + 5 - 0 , 1 5 + 6-0,30 = 4 . c) σ 2 = ( - 3 ) 2 · 0 , 1 + ( - 2 ) 2 · 0 , 1 5 + ( - 1 ) 2 - 0 , 1 5 + 0-0,15 + l 2 · 0 , 1 5 + 2 2 · 0,3 = 3 ; σ = >[3". d) μ = 4 (s. obiges Bild),

>Í33

e, 7) = 1 - ¿ pu « 0,0033. k=0 c) E(X) = Var(X) = 2,4 ;

σ=

Schiefe:

-¡L = - ¡ = = «

Exzeß:

Ì

«

« 1,5492 ;

0,6455;

0,4167.

Aufgabe 2.9 Gleichmäßge Verteilung auf W = { 1 , 2 , 3 , . . . , 10};

m = 10 ;

a) E ( X ) = S ± i = 5,5 DM. b)Var(X) = 2

^

= 99 = 8,25

DM2

'

c) Das Stabdiagramm ist symmetrisch. Daher verschwindet die Schiefe. 1000

d)Y=EX¡; E(Y) = 1000 · E(X) = 5 500 DM ; 1=1= 1000 · Var(X) = 8250 DM 2 . Var(Y)

1000

e) Nach dem zentralen Grenzwertsatz ist Y = Σ X¡ ungefähr normalveri=l teilt mit dem Erwartungswert und der Varianz aus d). P ( Y > 5 600) = 1 - P(Y < 5 600) = 1 « Ι - Φ ( Ι , Ι Ο Ι Ο ) « 0,1355.

j^5"0
0 für alle χ € R ; +00

4

jf(x)dx

=

4

^|[4x-^]dx = A.[2x2_^

— oo

0

— JL (v> — _ 3 32 _ ι ~ 32 ' K 3 ' ~ 32 ' 3

b) χ < 0:

F(x) = 0.

0 < χ < 4: F(x) = -

P

(X 4:

3

16

32

'

F(x) = 1 ;

Probe: 0 < x < 4

F'(x) = | x - ^ x

2

= f(x).

Wahrscheinlichkeitsrechnung

4

111

4

c)E(X)=|x-f(x)dx= 0

Γ Τ4 [4x2-x3]dx = ¿ . [ | x 3 - ^ J =2;

0

0

4 Γ I4 Ε(Χ 2 )= j x 2 . f ( x ) d x = [ 4 x 3 - x 4 ] d x = ¿ . [ x 4 - ¿ ] =4,8; 0 o o 2 2 Var(X) = E(X ) - [E(X)] = 0,8; σ = >[ÖJ « 0,8944. d) f ist eine nach unten geöffnete Parabel mit dem Scheitel (Symmetriestelle) s = 2 ( = Erwartungswert).

e) μ = 2 (= Symmetriestelle s). Aufgabe 2.14 a)f(x) =

0,4 —0,08 χ für 0 < χ < 5 ; 0

sonst .

b ) x < 0 : F(x) = 0; 0 100) = 1 - P i x , , < 100) = l - P ( X n < 99,5) 1

Vvñ/2 -

ψα/2

)

( 99,5-Iχ / 99,5-fx

99,5-s

I - 9 9 , 5 = 0,420811 Vñ" n — 0,841621 Vñ" = 199 (>fF-0,420811) 2 = 199,177 f ñ = 0,420811+

199,177 = 14,533822

η > 212 (aufgerundet).

Aufgabe 2.22

) P

~

E(X·Y) — E(X)·E(Y) _ 1 5 - 4 - 5 , _ 1 ^ Ϋ ^ . ^ Ϋ ) ~ 2-5 2·

b) Ϋ - E(Y) = Y-5 =

15

· (X - E(X)) ~4'5-(X-4)

Ϋ = — 1,25 · (X — 4) + 5 Y = — 1,25X + 10. c ) B = p2 = \. d) E[(Y - Ϋ) 2 ] = Var(Y) · (1 - p 2 ) = 25 · (1 - \ ) = f

.

ψ;

Wahrscheinlichkeitsrechnung

119

Aufgabe 2.23 a) Var(5 + 4 X ) = 16 · Var(X) = 16 ; Var(2X + 2 Y ) = Var(2 · (X + Y)) = 4 · Var(X + Y) = 28. b) Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y) + 2 · Cov(X, Y ) Cov(X, Y ) = i · [Var(X + Y ) - Var(X) - Var(Y)] = 1 ; P

Cov(X,Y) ^Var(X) ^ V a r ( Y )

J _ 1-2

=

=

1 2'

c) Mit μχ = E(X) und μγ = E(Y) erhält man aus der Definition der Varianz und der Linearität des Erwartungswertes Var(aX + b Υ ) = E ( ( a X + b Y - a/i x - b/i Y ) 2 ) = E([a(X-/lx) + b(Y-/iY)]2) = E ( a 2 ( X - μχ)2 + b 2 (Y - μγ)2 + 2 a b (X - /¿χ)(Υ = a 2 ε ( ( Χ - μχ)2)

+ b 2 e ( ( Y - μγ)2)

μγ))

+ 2 a b Ε ( ( Χ - μχ)(Υ -

μγ))

= a 2 Var(X) + b 2 Var(Y) + 2 a b C o v ( X , Y ) . d) Mit a = 2 und b = — 3 erhält man aus c) und b) Var(2X — 3 Y ) = 2 2 Var(X) + 3 3 Var(Y) - 1 2 Cov(X, Y ) = 4 · 1 + 9 · 4 — 12-1 = 28.

Aufgabe 2.24 oo

b

a) 1 = f-%dx = lim f-^dx = lim [ - ^ V f = lim Jx5 b—oo j x 5 b->oo L 4 X 4 J l b—oo l c = 4.

oo E(X2)= U d x J ·*·

b =

lim U d x = U m Γ b—»oo J x b—»oo L

Var(X) = E ( X 2 ) - [ E ( X ) ] 2 = 2 - ^ = § .

2lb * J1

2;

4

— M = jh 4 4b4 )

Lösungen der Aufgaben

120 y c)y>l: ι1

F(y)=|idu=[-i]"

~L -—l .o '

=

1-Ì;

Tí —2· r ~ Λ'

^ « H f c

α = 0,1:

q

α = 0,95:

0 1

= i = M;

|75Ö -


6.

130

Lösungen der Aufgaben

c) P(3 < X < 5) = F(5) — F(3) = _ j j j + M +

g =

P(X > 4) = 1 - F ( 4 ) = 1 + l | - 2 0 + | d)E(X)= j ( - ¿

x 2 +

¿ x ) d x =[ - i x 3

+

¿ x ^

2

= -'+T+|-s=i=f

*3·7778;

2

-

27 , on . 1 io _ 140.

Var(X) = E(X 2 )-[E(X)] 2 = i M - ( M ) 2 Aufgabe 2.39 a)E(X)=^±^=16;

=> a + b = 32;

Var(X) =

= 12

2b =44;

b — 22; a = 10.

b) Dichte in [10 ; 22] :

« 1,2840.

b-a =

f(x) = ^

} .

= 12 (wegen b > a)

;

P(12 < X < 20) = ^ · (20 - 12) = c)P(12[2000" « 1 - Φ ( - 1,2634) «0,8968.

135

Wahrscheinlichkeitsrechnung

b) X beschreibe die Augenzahl bei einem Einzelwurf. X ist gleichmäfiig verteilt auf {1,2,3,4,5,6} mit E ( X ) = ^ - = 3,5; Var(X) = % I

35;

=

Y 1 0 0 0 beschreibe die Augensumme mit E ( Y 1 0 0 0 ) = 1000 · E(X) = 3500 ; V a r ( Y 1 0 0 0 ) = 1000 · Var(X) = 1000 · | | = nach dem zentralen Grenzwertsatz ist Y 1 0 0 0 näherungsweise normalverteilt mit P(3400 < Y 1 0 0 0 < 3600) _ ρ f3600 - 3500 ^ Y iooo ~ 3 5 0 0 ^ 3400 - 3500 \ V λ] 8750/3 ~ ^ 8750/3 ~ 8750/3 ' «

Φ(1,8516) - Φ( - 1,8516) = 2 · Φ(1,8516) - 1 « 0,9359.

Aufgabe 2.47 3

4

5

Summe

1

0,06

0,09

0,15

0,3

2

0,08

0,12

0,20

0,4

3

0,06

0,09

0,15

0,3

0,3

0,5

1

Summe 0,2

Wegen P(X = x¡ ; Y = yß = P(X = x¡) · P(Y = yj) für alle i , j sind die Zufallsvariablen X und Y unabhängig. b)E(X)

=

Var(X) = E(Y)

=

Var(Y) =

1-0,3 + 2-0,4 + 3-0,3 = 2; l 2 · 0,3 + 2 2 · 0,4 + 3 2 · 0,3 - 2 2 = 0,6 ; 3-0,2 + 4-0,3 + 5-0,5 = 4,3; 3 2 · 0,2 + 4 2 - 0,3 + 5 2 - 0,5 - 4,3 2 = 0,61.

136

Lösungen der Aufgaben

c) Aus der Unabhängigkeit folgt E(X · Y) = E(X) · E(Y) = 8,6 ; Cov(X,Y) = 0 => p = 0. d) P(X + Y > 7) = P(X + Y = 7) + P(X + Y = 8) = 0,2 + 0,09 + 0,15 = 0,44.

Aufgabe 2.48 0

1

2

3

Summe

0 1 2

0 0,2 0,1

0,1 0,1 0,15

0,05 0,2 0,05

0 0 0,05

0,15 0,5 0,35

Summe

0,3

0,35

0,3

0,05

1

b) Die Zufallsvariablen sind nicht unabhängig wegen 0 = P(X = 0 ; Y = 0) φ P(X = 0) · P(Y = 0). c) E(X) = 0-0,15 + 1-0,5 + 2-0,35 = 1,2; Var(X) = 0 2 · 0,15 + l 2 · 0,5 + 2 2 · 0,35 - 1,22 = 0,46 ; E(Y) = 0-0,3 + 1 - 0 , 3 5 + 2-0,3 + 3-0,05 = 1,1; Var(Y) = 0 2 · 0,3 + l 2 · 0,35 + 2 2 · 0,3 + 3 2 · 0,05 - 1,1a = 0,79. 0

1

2

4

6

0,45

0,1

0,35

0,05

0,05

d) Werte von Χ - Y Wahrscheinlichkeiten

E(X · Y) = 1 - 0,1 + 2 - 0,35 + 4 - 0,05 + 6 · 0,05 = 1,3. e) Cov(X, Y) = E(X · Y) - E(X) - E(Y) = 1,3 - 1 , 2 · 1,1 = - 0,02 ; Cov(X,Y) = -yj Var(X) · -JVar(Y)

0,02 „ _ ^0,46-0,79 ~

Wahrscheinlichkeitsrechnung

137

Aufgabe 2.49

a) f(x) =

0,04 χ

fur 0 < χ < 5

0,4 —0,04 χ

für 5 < χ < 10

0 χ

< 0: F(x)

ΞΞ

sonst. 0;

X

0 < x < 5 : F(x)= 10,04udu = 0,02x 2 ; F(5) = 0,5; o χ 5 < χ < 10 : F(x) = 0 , 5 + | (0,4 - 0,04 u) du = 0,5 + [ 0,4 u - 0,02 u 2 ] = 0,5 + 0,4 χ - 0,02 x 2 - 2 + 0,5 = 0,4 χ - 0,02 χ 2 - 1 ; χ > 10:

F(x) = 1.

b) E(X) = 5 (Symmetriestelle der Dichte) ; 10 2

5 2

10 3

E(X ) = J χ · f (x) dx = J 0,04 x dx + j (0,4 x 2 - 0,04 x3)dx 0 =

0 4

[ο,ΟΙχ ]® +

5

[^χ3-0,01χ^°

= 6,25 + ^ - 1 0 0 - ^ + 6,25 = ψ ; Var(X) = E(X2) - [E(X)]2 = ψ - 25 = c) JÏ = 5 (Symmetrie-Stelle der Dichte).

Aufgabe 2.50

a) χ = Bruchstelle 0 < χ < 100 ; I

1

0

χ

Günstiger Bereich: 0 < x < ^ ρP =

9 100 ΪΗΓ = 2 100 3'

1 100

oder ^ < x < 100;

Lösungen der Aufgaben

138

b) X ist auf [0 ; 100] gleichmäßig verteilt (a = 0, b = 100) ; E(X) = 5 d ^ = 50 cm; Var(X) = ^ σ =

= i ^ = 2|0cm2;

m 28,8675 cm.

Aufgabe 2.51 a ) 0 = F(a) = (2a + i ) 2

o

2a + i = 0;

a = -±;

l = F(b) = (2b + i ) 2

*

2b + ì = 1;

b = ±.

b)-| 4 .

c) Die Dichte ist eine Parabel mit dem Scheitel an der Stelle s = 2. Diese Stelle ist Symmetriestelle (Achsensymmetrie). Daraus folgt E(X) = £ = 2 . d) F(qo, 9 ) = 0,9 ¿ [ ( q o , 9 - 2 ) 3 + 8] = 0,9 ( q o , 9 " 2 ) 3 + 8 = 14,4 ( q o , 9 - 2 ) 3 = 6,4 qo g = 2 + ' « I M

« 3,8566 ;

aus SymmetreigrOnden folgt qo,i = 4 - q o , 9 « 4 - 3 , 8 5 6 6 = 0 , 1 4 3 4 .

Aufgabe 2.58 0

H -1 0 1 Summe

0

1 0 1 3

1

l 0 1 2 3

Summe 1 3 1 3 1 3 1

Die Zufallsvariablen sich nicht unabhängig. b) E ( X · Y ) = - 1 . 1 + 1 . 1 = 0; E ( X ) = - 1 + 1 = 0;

E(Y) = | ;

Cov(X, Y) = 0 ; X und Y sind unkorreliert, aber nicht unabhängig.

Wahrscheinlichkeitsrechnung

143

Aufgabe 2.59 a) E(X) = E(Y) = 1 · 0,1 + 2 · 0,3 + 3 · 0,6 = 2,5 ; Var(X) = Var(Y) = l 2 · 0,1 + 22 · 0,3 + 3 2 · 0,6 - 2,52 = 0,45. b) Aus der Unabhängigkeit folgt die Produktdarstellung P(X = x¡ ; Y =

yj)

= P(X = xj) · P(Y = y j ) für alle i, j .

1

2

3

Summe

1

0,01

0,03

0,06

0,1

2

0,03

0,09

0,18

0,3

3

0,06

0,18

0,36

0,6

0,3

0,6

1

2

3

4

5

6

0,01

0,06

0,21

0,36

0,36

Summe 0,1

c) Werte von X + Y Wahrscheinlichkeiten

E(X + Y) = E(X) + E(Y) = 5; aus der Unabhängigkeit folgt Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) = 0,90. d) Werte von Χ - Y Wahrscheinlichkeiten

-2

-1

0

1

2

0,06

0,21

0,46

0,21

0,06

E(X — Y) = E(X) — E(Y) = 0 ; Var(X - Y) = Var(X) + ( - l) 2 · Var(Y) = Var(X) + Var(Y) = 0,90. e) Werte von 2 X Wahrscheinlichkeiten E(2 X) = 2 · E(X) = 5 ;

2

4

6

0,1

0,3

0,6

Var(2 X) = 4 · Var(X) = 1,8.

144

LSsungen der Aufgaben

Aufgabe 2.60 a) 2 X + 3 Y ist normalverteilt mit den Parametern E(2X + 3Y) = 2E(X) + 3E(Y) = 2 · 10 + 3-20 = 80; Var(2 X + 3 Y) = 2 2 · Var(X) + 3 2 · Var(Y) + 12 · Cov(X, Y) = 4 · 9 + 9·16 + 1 2 · ( - ^ ) = 100. b) Die Standardisierung von 2X + 3Y lautet Ζ =

2 X

P(70 < 2X + 3Y < 100) = P ( 7 0 1 " ¿ 8 0 < Ζ
85) = Ρ(2Χ + 3 Υ < - 85)+ Ρ(2Χ + 3Υ > 85) = Ρ(2Χ + 3 Υ < — 85) + 1 — Ρ(2 Χ + 3 Υ < 85) = 1 + Ρ(Ζ < -

8

0

)

-Ρ(Ζ < ^ f f f i

= 1 + Φ ( - 16,5) -Φ(0,5) » 1 + 0-0,6915 = 0,3085.

Aufgabe 2.61 a) Aus f( — χ) = f(x) (Symmetrie) folgt \ = | ( a x 2 + b ) d x = [ a ^ + b x ] o = | a + 2b; o lineare Beziehung:

16 a + 12 b = 3;

b = ^ —^a;

2

f(x) = a x + b ist eine Parabel mit dem Scheitel an der Stelle χ = 0 ; daher gilt f(x) = a x 2 + ± - | a > 0 f f i r - 2 < x < 2 f(0) = i - | a > 0

f(0) > 0 und f(2) > 0.

a 0 f ist Dichte für

O

O· a > a

und

b= i-|a.

Wahrscheinlichkeitsrechnung

145

b) E(X) = 0 aus Symmetriegründen ; 2

Var(X) = E ( X 2 ) - 0 = J [ a ^ + i i - l ^ x ^ d x - 2

g'(a) = 0 besitzt keine Lösung; es gibt kein rei. Extremum ; g ( - | > ) = 0,8 (Minimum); g ( ^ ) = 2,4 (Maximum).

Aufgabe 2.62 a)

Cov(X.V) \ Var(X) · Var(Y)

=

IM 4-5

=

0)575.

b) Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2 · Cov(X, Y) = 16 + 25 + 23 = 64. c) E(X + Y) = 100 ; Standardisierung der Summenvariablen X + Y ergibt P(85 < X + Y < 115) = P ( 8 5 - 1 0 0 < Ζ
c ) = P ( | S - 1 0 0 | > c ) < ^ P c c > 0 monoton fallend mit

=0.

1 Damit ist die Funktion F(x) = 1 — e F(0) = 0 und Xlim —»OOF(x) = 1 -lim X-+00 β b)

f(x)H

2bx-e"bx

für χ > 0

0

für χ < 0.

Í

monoton wachsend mit -1>χ2

= 1 - 0 = 1.

c) Likelihood - Funktion L(b)=2bx1-e

-bx:

^bxj-e

— b x2í

= 2 n ·b n ·Xj ·x 2 · ... -Xjj-e

-b

-bxí

·...

Σ * ? i=1

lnL(b) = η·In2 + η·Inb + £ lnx¡ - b £ x? i=l

dlnb _ η db

i=l

i=l

_

η

"

Σχ? i=l

d lnb = _ —-ür η < 0 =>• Maximum. db*

>0;

Aufgabe 3.2

a) F(0) = 2 - 1 = 1; 0 = F(c) = 2 — e - a c ; e - a c = 2; - a c = ln2;

c = - ^ ;

wegen a > 0 ist die Funktion e ~ a x monoton fallend. Dann ist F(x) = 2 — e - a x monoton wachsend mit F ( - ^ ) = 0; F(0) = 1. b

)

Í ae-ax f ( * HI

n0

für sonst.

- ^
t 9

(115 - 1 0 · 1,72) « 9,5667;

· f ™ « 1,738 ; 0 95

« 1,833 ;

Testentscheidung: wegen t ^ < t 9 . 0 9 5 kann die Nullhypothese nicht abgelehnt, die Alternative also nicht angenommen werden. Die Behauptung des Getränkeherstellers ist mit α = 0,05 nicht signifikant.

Aufgabe 3.19 p A sei die Trefferwahrscheinlichkeit des Schützen A, p B die des Schützen B; n A = 50 ; n B = 60. Test der Differenz p A — p g . a) Nullhypothese H 0 : p A < p B + 0,05 Alternative H x :

p A > pg + 0,05

O

p A - p B < 0,05 ;

O

p A — p B > 0,05 .

Wegen der großen Stichprobenumfänge werden die Binomialverteilungen durch die Normalverteilungen approximiert. Testgröße 7

ber. —

Ta-TB-0,05 ' A - U - ' A ) , rB * n

A

+

~ γΒ) n

B

0 , 8 0,16 4 - 0 , 7( 50,75-0,25 -0,05 0,84· τ 50 60

>

: 0,5246 ;

Ablehnungsbereich für H 0 : z^,. > z1_Q = z 0 9 5 « 1,65. Testentscheidung: wegen z ^ < zx _ a kann H 0 nicht abgelehnt, die Behauptung des Schützen A also nicht angenommen werden.

Lösungen der Aufgaben

166 b) Nullhypothese H 0 : p A < p B Alternative Hj: z

PA>Pb r

ber. =

>

Γ

p A - pg < 0 ;

°

PA-PB>°;

r

A~ B

γ

~ Α) . ΓΒ '

Α*

O-

~ γ Β)

n

+ n A B 0,84-0,75 0,84- 0,16 0,75 -0,25 50 60

1

«1,1804;

wegen z ^ < z1 _ a ist keine Ablehnung von H 0 möglich; die unterschiedlichen Trefferquoten können auf den Zufall zurückgeführt werden. Aufgabe 3.20 a) Nullhypothese H 0 : σ Ν > 0,9 · σ Α Ο

σ2 > 0,81 · σ\ & - y > 0,81 σ

Α

Alternative

Hx:

σ Ν < 0 , 9 · σ Α -ο· σ ^ < 0 , 8 1 · σ Α

a¿

· » - y χ\.

t

_

β

= χ\.

0 999

« 10,83 ;

Testentscheidung: wegen > χ 2 . j _ α wird die Nullhypothese der Unabhängigkeit abgelehnt. Das Ergebnis ist signifikant dafür, daß die Wiederholer schlechter abschnitten als die Erstteilnehmer.

Aufgabe 3.23 Chi - Quadrat - Unabhängigkeitstest ; Nullhypothese H 0 : Einkommen und Geschlecht sind voneinander unabhängig. Kontingenztafel mit m = 4 Zeilen und r = 2 Spalten Häufigkeiten hj k

hj. (Summe)

80 134 115 40

61 112 58 15

141 246 173 55

Summe h. k 369

246

615

Testgröße:

* L . = » · (j=l £ = 615

i

k=l

n

j·

k

2

' 2

80 , 61 .+ 1342 112 ·( 141 · 369 141 · 246 246 · 369r +^ i246 · 246 1152 58 r + l 402 15" T + •173 ì · 246 · 369 1 7 3 · 246 T 55 · 369ΓT +55

« 615 · (1,017059 — 1) ss 10,49. Anzahl der Freiheitsgrade: (m — 1) · (r — 1) = 3 · 1 = 3 ; Ablehnungsbereich:

>

. 0 9 5 « 7,81 ;

Testentscheidung: wegen > χ 2 . 0 9 5 wird die Nullhypothese H 0 der Unabhängigkeit abgelehnt. Das Einkommen der Frauen ist signifikant niedriger als das der Männer.

169

Beurteilende Statisìk

Aufgabe 3.24 a) Chi - Quadrat-Anpassunsgtest: ρ = unbekannte Wahrscheinlichkeit dafür, da8 eine zufällig ausgewählte Glühbirne defekt ist; in den 400 Packungen befinden sich insgesamt 800 Glühbirnen. Schätzwert für die unbekannte Ausschußwahrscheinlichkeit ρ : Ρ = 800'(320- 0 + 48 -1 + 32-2) = 0,14; geschätzte hypothestische Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung p i = ( ? ) . 0 , 1 4 i - 0 , 8 6 2 - i , i = 0,l,2; erwartete Häufigkeiten 400 · p¡ i beobachtete Häufigkeiten Wahrscheinlichkeiten

h¡

p¡

erwartete Häufigkeiten 400 · pj Testgroße: χ ^ . = Σ ^ i=0

^

«

n

0

1

2

320

48

32

0,7936

0,2408

0,0196

295,84

96,32

7,84

100,67;

Ein Parameter wurde geschätzt. Anzahl der Freiheitsgrade: Ablehnungsbereich:

3 — 1 — 1 = 1;

> xj

0 999

« 10,83 ;

Testentscheidung: wegen χ{^Γ > Χχ. q 999 wird die Nullhypothese, daß eine Binomialverteilung vorliegt, abgelehnt. b) Schätzung des Parameters Λ : λ = x = ^ · (320-0 + 4 8 - 1 + 32-2) = 0,28; geschätzte hypothetische Wahrscheinlichkeiten: ^

£ . k!

β

- λ

=

0 ^ k!

erwartete Häufigkeiten:

0,28. ' η · pjj = 400 · p^ ;

170

Lösungen der Aufgaben k

>2

0

1

beobachtete Häufigkeiten

320

48

Wahrscheinlichkeiten p^

0,75578

0,21162

0,0326

302,32

84,65

13,04

erwartete Häufigkeiten 400 · p^ Testgröße: x L . = Σ ^ ^ K k k=0 Ein Parameter wurde geschätzt.

32

^ 44,48.

Anzahl der Freiheitsgrade: 3 — 1 — 1 = 1 ; > Χχ. o 999 w 10,83;

Ablehnungsbereich: Testentscheidung:

wegen > 0 9 9 9 wird die Nullhypothese, daß eine Poisson-Verteilung vorliegt, abgelehnt.

Aufgabe 3.25 a) Fläche zwischen der Dichte f und der x-Achse | +a=l

k

~

für 0 < χ < 1

3 2 3

f(x) = .

b)E(X) =

a = 2;

für 1 < χ < 2 sonst.

0 j1»

x dx + ! 0

2f

2

j x dx 1

2 , 4 _ 1 _ 11 Q" 1 ^ 3 ~ 9 ·

Beurteilende Statisik

171

c) Nullhypothese H 0 fur die Klassenwahrscheinlichkeiten: _1 1 3 1_1. i ~2'2'2'2 ~I2' η = 71. np

pn

Klasse Wahrsch.

_1 2 „ _1. 2-2'3_Pl-4'

erwartete Häufigkeit

1 12 1 4 1 3 1 3

K, K, K, ΚΛ

_P _ _ _ 1 2 _ 1 . 3-P4~2'3~3'

beobachtete Häufigkeit

71 12 71 4 71 3 71 3

7 18 22

24

Testgröße: H

i=1

i

r — 1 = 3 Freiheitsgrade ; Ablehnungsbereich von H 0 :

>

090

ss 6,25 ;

Testentscheidung: wegen < X3 · o 90 kann die Nullhypothese H 0 nicht abgelehnt werden. Das Ergebnis steht also nicht in signifikantem Widerspruch zu H 0 .

Aufgabe 3.26 a) H 0 :

Pl

= P(F) = 0,1 ; p 2 = P(F) = 0,9; η = 100;

h j = k ; h 2 = 100 - k ; 2 _ Xber. -

(k —100-0,l) 2 100-0,1 (k-10)2 10

=

(

k

-

1 0

+

)

2

+

(100 —k —100*0,9)2 100-0,9

(10 - k ) 2 _ ( k - 1 0 ) 2 90 ~ 10 {Ä

+

Λ]= χ2

0 95

« 3,84146 ;

(k-10)2 90

172

Lösungen der Aufgaben

(k —10)2 · g > xf ; 0,95 ^ 3,84146 (k —10)2 > 9 · χ 2 . 0 9 5 « 34,573 ; |k-101>>|34,573 «5,88; Lösung: k < 4

oder

k > 16.

b) Nullhypothese H 0 : ρ = 0,1 ; Alternative Hj : ρ φ 0,1 ; Approximation durch die Normalverteilung. Ablehnungsbereich für die relative Häufigkeit r 1 0 0 = jjjç : ' ^ ' • ^ ö

> z 0 i 9 7 5 « 1,95996

I r 1 0 0 - 0 , 1 1 >0,0588 I j^Q-0,1 I > 0,0588

1-100

| k - 1 0 | >5,88; Lösung: k < 4 oder k > 16.

Aufgabe 3.27 a) Nullhypothese H 0 : ρ < 0 ;

Alternative Hj : ρ > 0. · -¡=^== = { W · • ° ' ° 7 1 - « 0,705 ; -J 1 — r ^ 1 — 0,071

Testgröße: t ^ =

Ablehnungsbereich (t- Verteilung mit η — 2 Freiheitsgraden): 4

ber. > t n - 2 ¡ l - a

= t

98¡0,95 w 1 ' 6 6 1 5

Testentscheidung: wegen t ^ < t n _ 2 x _ a kann die Nullhypothese H 0 nicht abgelehnt, also Hx nicht angenommen werden. b) Da η groß sein muß, ist das t-Quantil ungefähr gleich dem Quantil der Normalverteilung. Damit erhält man W

· ,/'0" > t n _ 2 ;0,95 « zo,95 « 1.64485 ; ^ 1 — 0,071

=

η—2>

1

~ 0 , 0 7 1 2 V-(1,64485)2; 0,071

η >536.

Beurteilende Statisik C)

^

> t 9 8 : 0,975

'

173 *

1,98447

,2 (1,984471) 2 nn,ft1D I Z ? » 98 *°'°4018 r 2 > ( l - r 2 ) · 0,04018 r 2 ( l + 0,04018) >0,04018 r 2 > 0,03863 |r| >0,19655.

Aufgabe 3.28 Benutzt wird die Fisher-Transformation, wonach

Realisierung einer Zufallsvariablen ist, die ungefähr standard-normalverteilt ist, falls ρ der tatsächliche Korrelationskoeffizient ist. a) Mit den Quantilen der Normalverteilung erhält man « 1 1- Γ 2 z = l n l ± 0 | g _ a = lnl±I _ 1 —r ^ n —3 1-0,864 λ[97 b =

1-r

+

untere Grenze:

2Z.1~aJ2

«3,0158;

e.

~ } m 0,804 : e +1

Konfidenzintervall fur ρ:

w

obere Grenze: e . ~ ^ « 0,907 ; e +1

[ 0,804 ; 0,907 ] ,

b) Nullhypothese Η 0 : ρ < 0,83;

d.h. 0,804 < ρ < 0,907.

Alternative Η 1 : ρ > 0,83.

»

Ablehnungsbereich: ζ ^ > z 1 _ α = ζ 0 9 5 « 1,645. Testentscheidung: wegen ζ ^ < z 1 _ Q kann die Nullhypothese H 0 nicht abgelehnt werden.

174

Lösungen der Aufgaben

Aufgabe 3.29 Nullhypothese H 0 : p-y < p2 ;

Alternative Hj : py > p 2 ·

Mit der Fisher -Transformation erhält man die Testgröße ln

i±£i _

'ber. = è — f i ^

l n

i±H ψ 2 -

3

+

« 2,785;

η,-3

Ablehnungebereich: ζ ^ > Zj _ β = z 0 9 5 « 1,645. Testentscheidung: wegen z ^ > Zj _ α wird die Nullhypothese abgelehnt. Das Ergebnis ist signifikant für > p2.

Aufgabe 3.30 Die Zufallsvariable D beschreibe die Differenz der mit dem Verfahren 2 und dem Verfahren 1 bestimmten Meßwerte. Nullhypothese

H 0 : P(D > 0) < ^ ;

Alternative

Hj : P(D > 0 ) > 1 .

Benutzt wird der einseitige Vorzeichentest für verbundene Stichproben. Die Testgröße X beschreibe die Anzahl der positiven Differenzen. Im Falle P(D > 0) = I ist X binomialverteilt mit den Parametern η = 20 und ρ = 0,5. Bestimmung der Ablehnungsgrenze k aus P(X > k ) = g ( 2 · 0 ) · (0,5) 20 < α = 0,06 i=k \ ι /

(k minimal).

Elementare Rechnung ergibt k = 14 mit P(X > k) « 0,05766 (Signifikanzniveau). Testentscheidung: da 14 > k positive Differenzen festgestellt wurden, wird die Nullhypothese H 0 abgelehnt. Die Wahrscheinlichkeit für eine positive Differenz ist also größer als j . Das Signifikanzniveau lautet α » 0,05766.

175

B e u r t e i l e n d e Statisik

A u f g a b e 3.31 a ) Inhalt der Dreiecksfläche: . T < - 2 , 0 < x < ^ ,

_ m -

n ¿

=

_

für

O < χ
+ j l n ( l - | . x j ) ; i=l

5

è i

(l-f-x¡)

D i e s e G l e i c h u n g ist n u r f ü r η =

c

) è " r 7 3 Τ —

2 · t? · X j =

d,?

d ) , -

2

°

«·

ö.x1 =

2 . ( l - f x

1

) =

2 - d . x

2 'X1

1

d2Ln(t?)

=

1 g e s c h l o s s e n lösbar.

2 ;

_

t? =

_ J_

*

^

=

- x

J

(

x

1 +

2

i ;

2 ·

( 1

i

_ | .

Χ ι ) 2

Λ

2 /

- | x J - 4 =

- 2 x J < 0

í

x

x

2

3^3

-

^

d

-

^

í

=>

-

Maximum.

f

^

0 -

t?2

μ =

2 3t?

= 2fx,. 3

1

2 _ X _ / o _ 4 x

~~ t?

3 t?— ^

3^

1 _

_2_.

t?~3t?'

1

176

Lösungen der Aufgaben

e) 0 < χ < I X F(x)= | ( ü - ^ u ) d u = - f x ' + tf. X = „2 X

4,

=

(*-§) 2

=

2

=

Ì

•

1

ϋ2

2 + ±

ϋ2

x12 = ~

i

tf.x-^.x2

+

ύ2

= JL

ϋ2

; ^+

ist größer als die obere Grenze ^ .

2-aJT

Maximum - Likelihood - Schätzung μ =

=

(2-λΓ2)·Χι.

Aufgabe 3.32 a) Das einseitige Vertrauensintervall für die Wahrscheinlichkeit ρ : "ein zufallig ausgesuchter Wähler gibt die Stimme der Partei A" besitzt die untere Grenze Pu =

=

r

r

h

- a

Ν

S

0,0504 - 2,32635 · ^

QOO 000 ^

*

°'04989;

Vertrauensintervall für ρ : [ 0,04989 ; 1 ] . Damit kann mit der Sicherheitswahrscheinlichkeit 7 = 0,99 nicht geschlossen werden, daß die Partei die 5% - Hürde überspringt. b) Nullhypothese: H 0 : ρ < 0,05 ;

Alternative: Ηχ: ρ > 0,05 ;

(die Grenze kann auch zur Nullhypothese genommen werden); Testgröße:

Zber

= =

. Γρ~Ρ° ·>Γη -J Po · (1 - Po) 0,05 · 0,95

·^TÜÜÖÖÖQ = 1,83533;

Beurteilende Statisik

177

Ablehnungsbereich:

> z 1 _ a = z 0 gg = 2,32635 ;

Testentscheidung: wegen z ^ < z 0 gg kann mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit α = 0,01 die Nullhypothese nicht abgelehnt, die Alternative also nicht angenommen werden. Mit der Sicherheitswahrscheinlichkeit γ = 0,99 kann also nicht behauptet werden, daß die Partei die 5% - Hürde überspringt. Ν m * ·.» c) Testgroße:

Zber.

0,0504 - 0,05 n „„.„. = ^ ^ Q ^ · Mñ > z 0 9 9 = 2,32635 ;

η > 1606 657 (aufgerundet).

Aufgabe 3.33 P(X = k) = p . ( l - p ) k " 1

für k = 1,2,...

Likelihood - Funktion: L(p) =

p.(l-p)xl-1.p.(l-p)x2-1.....p.(l-p)xn-1 Σ

(*i-i)

= pn·(1 — p)i=1

= ρη·(1-ρ)η·χ-η

lnL(p) = n - l n p + ( η · χ — η)·1η(1 — ρ) á í ^ j S - t o · * - » ) · ^ «

ι-sfiftì

1 - p - ( x - 1) · ρ = 0 1—ρ -χ·ρ + ρ = 0 1 - χ . ρ = 0;

dp'

ρ = = = τγ— 5 Σ^ϊ ρ*

^ (ι_ρ)2 ·

Bei einer geometrischen Verteilung ist wegen Xj > 1 für alle i auch χ > 1. Damit gilt - _ 1 _

^

L(p) dp"8


|0,06

= =

t

f cc --0 0,06 ,06 UaJ0,06 0 . 0 6 - -00,94 . 9 4 "N

y r

ηηβχ 1

^

0

'

0 6

)

Beurteilende Statisik

179

α = β ergibt — c + 0,05 ψά = c - 0,06 .-ïû ^0,05 · 0,95 ~ ^0,06 · 0,94 ( - c + 0,05)-^0,06-0,94 =

1ι

Λ0,05· 0,95· >0,06· 0,94

(c-0,06)-^0,05-0,95

| -(-1)

(c - 0,05) · ^0,0564 = ( - c + 0,06) · >J0,0475 c · (ij0,0564 + ^0,0475) = ^ 0 5 6 4 · 0,05 + Λ|Ρ475 · 0,06 c = ^0564-0,05 + ^0475-0,06 λ|0^564 + ^ 0 4 7 5 (gewichtetes arithmetisches Mittel). b)4>(

- c + 0,05 Nñ- ) < 0v05 λ|0,05·0,95

- c + 0,05 ΝΊΓ < -1,644854 ^0,05-0,95 Vñ" > 74,911863 il > 5 612 (aufgerundet)

Aufgabe 3.36 ρ = Wahrscheinlichkeit, daß ein zufällig ausgewähltes Buch fehlerhaft ist. a) Nullhypothese H 0 : ρ > 0,02 ;

Alternative Ηα: ρ < 0,02 ;

X beschreibe die Anzahl der fehlerhaften unter den 150 ausgewählten Büchern. X ist binomial verteilt mit η = 150 und p. P(X = k | p ) = ( 1 5 ° ) . p k . ( l - p ) " o - k f ü r k

= 0 ,l

150.

P(X = 01P = 0,02) = 0,98150 « 0,0483 ; P(X = 11 ρ = 0,02) = 150 · 0,02 · 0,98149 « 0,1478 ; die Nullhypothese kann nur dann zugunsten von ρ < 0,02 abgelehnt werden, wenn keines der 150 ausgewählten Bücher fehlerhaft ist. Das Signifikanzniveau lautet α « 0,0483.

180

Losungen der Aufgaben

b)g(p) = P ( X = 01 p) = (1 — p ) 1 5 0 ; g'(p)=-150·(1-ρ)149 c I /i = 500) = 1 - P(X < c I /i = 500)

β = P ( X < c [ / i = 502) =

α = β

^

-

+ 500.^

1/j = 502)

=

- 5 0 2 . ^

- c + 500 = c - 502 2 c = 1002 c = 501 (arithmetisches Mittel der beiden Erwartungswerte) ; /3 =

$(MJ-502.>rñ) 49 (aufgerundet).

Beurteilende Statisik b )

α

=

P ( X

=

Ι

>

-

c

Φ

181

I /χ =

(

^

5 0 0 )

θ

θ

.

=

1 — P ( X

η

)

ν


T ñ < ^ p . V ñ | / i = 502)

α= β

=>

— C + σ

5 0 0

( — c +

- ο · ( σ

c · ( σ

2

c

σ

=

=

1

c =

5 0 0 )

+

2

+

σ

3

ffj)

2

· σ

σ

) =

1

=

u n d

φ

σ

+

8 7

(c — 5 0 2 )

— 5 0 2 σ

5 0 2 σ

2

I

+

1

+

_|7

a )

5

σ

σ

2

2

· 5 0 0

σ

).

liefert

· 5 0 0

=




=

2

e r g i b t

| · 5 0 2

β =

η

σ

· 5 0 2

(σ-j =

σ

£ ^ 5 0 2

=

* "

1

6

3

0)01

5

( g e w i c h t e t e s

a r i t h m e t i s c h e s

M i t t e l )

182

Lösungen der Aufgaben

Aufgabe 3.38 a) Nullhypothese H 0 : μ < 500 ; Alternative H ^ μ > 500; Ablehnungsbereich fur die Nullhypothese: X > 500,5 Ο z

b e r . = ^ψ^'ΉΓ

>

> ψ-Ψά

= z 1 _ a = z0i99w2,32635;

η > 195 (aufgerundet). b) Y beschreibe das Gewicht eines zufällig ausgewählten Pakets, X sei die Zufallsvariable des Stichprobenmittels. Wegen der Unabhängigkeit gilt Var(Y - X ) = Var(Y) + Var(X) = σ 2 + 4 = T T 1 ' = E(Y-X)

= E(Y) - E(X)

= μ-μ

§5'

9

=

= 0.

γ γ Λ „ ist standard-normalverteilt. -J 9,045 p(—i—Ai < ^ j j - < -ι-β/2)= 1 — p

(-z0,975
[ÖÖ35 · z 0 9 7 5 ) = 0,99; p ( x - 0 , 9 4 6 < Ϋ < X + 0,946) = 0,99 ; χ = 503,245 ergibt das Prognoseintervall für den Mittelwert y [502,299; 504,191].

9,045 ;

Beurteilende Statistik

183

Aufgabe 3.39 a) Nullhypothese H 0 : σ > 3 ; Testgröße : ^

=

Alternative Hj : σ < 3 ; = ¡ L M * » 43.M27;

σ0

Ablehnungsbereich von H 0 :


. 0 g 5 kann die Nullhypothese nicht abgelehnt werden. Der Abnehmer kann nicht davon ausgehen, daß die Bedingung σ < 3 erfüllt ist. b) F = Verteilungsfunktion der Chi-Quadrat-Verteilung mit 49 Freiheitsgraden. F ( 4 3 , 9 1 2 7 ) « 0,3210 = α .

Aufgabe 3.40 a) Ablehnungsbereich: •·>πγ X _ 1 1

0,3

'5

>Zl-o/2

>f64 > Z1 - α/2 = z0,975 « 1.95996 ;

ι X - 1 1 , 5 1 > 1,95996 · ^

« 0,07350 ;

χ < 11,4265 oder χ > 11,5735; Ablehnungsbereich: A = ( - oo ; 11,4265) U (11,5735 ; + oo). b) Die Gütefunktion g(/i) gibt die Wahrscheinlichkeit für die Ablehnung der Nullhypothese an, falls μ der tatsächliche Erwartungswert ist. g(/i) = P(X e AI μ) = 1 - P(ll,4265 < X < 11,5735 | μ). Falls μ der tatsächliche Erwartungswert ist, besitzt die normalverteilte Zufallsvariable X den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ^ = -g- = 0,0375. Dann muß die Zufallsvariable X bezüglich μ (und nicht bzgl. μ 0 ) standardisiert werden mit

184

Lösungen der Aufgaben

BP) -

11,4265-μ ^ X - μ . 11,5735 0,0375 -0,0375 0,0375

^

~

ι

ρ/1Μ265-μ V 0,0375 -

~

ι + 4

Λ

1Μ265-Μ 0,0375 y

Ί Ο

-

11,5735 0,0375

)

/11,5735-Μ 0,0375 ) '

I

1

1

I

I

11,3

11,4

11,5

11,6

11,7

11,5735 - 1 1 , 5 0,0375 7 =

1 + Φ( —1,96) — Φ(1,96)

=

2 · [1 - Φ(1,96)] = 0,05 = α (Signifikanzniveau).

Hinweis: Wegen möglicher Rundungsfehler kann der berechnete Wert g ( l l , 5 ) vom Signifikanzniveau a = 0,05 abweichen. d)/?(ll,6)

=

ι1 - 8 ( 1n1i , 6 ) = Φ ^ 1( 1 , 5 0)0375 7 3 5 - 1 1 , 6 j\~ ^/11,4265-11,6\ V 0,0375 )

=

Φ( - 0,7067) - Φ ( - 4,6267)

=

1-Φ(0,7067)-[1-Φ(4,6267)]

=

Φ(4,6267) - Φ(0,7067) « 0,240.

e) Aus Ρ ( Χ e A I μ = 11,5) = 0,05 folgt P ( X ( A I μ = 11,5) = P(11,4265 < Χ < 11,57351 μ = 11,5) = 0,95. Prognoseintervall für χ :

[ 11,4265 ; 11,5735 ] .

Beurteilende Statistik

185

Aufgabe 3.41 a) Nullhypothese: H0 : | μ - 201 > 0,01 Ο μ < 19,99 oder μ > 20,01 ; Alternative: H^ | μ - 201 < 0,01 Ablehnungsbereich:

·«• 19,99 < μ < 20,01 ;

| χ — 201 < 0,005

O

19,995 < χ < 20,005 ;

Gütefunktion (Standardisierung bzgl. μ) gOi) = P( 19,995 < X < 20,0051 μ)

= Φ(200 · (20,005 - μ))- Φ(200 · (19,995 - /ι)). b)g(20,01) = Φ(200 · (20,005 — 20,01)) — Φ(200 · (19,995 — 20,01)) = Φ ( — 1) — Φ( — 3) « 0,1573 ; g(19,99) = Φ(200 · (20,005 —19,99)) — Φ(200 · (19,995 —19,99)) = Φ (3) - Φ(1) « 0,1573 = g(20,01) « 0,1573. c) 9(μ)

1 -ßmln

0,5-

α - -

0,1 -

μ

19,99

20

d) Nach b) gilt α = g(19,99) = g(20,01) « 0,1573. e) / W = l - g ( 2 0 ) = 0,3173.

20,01

20,016

186

LSsungen der Aufgaben

Aufgabe 3.42 a) t - T e s t bei nichtverbundenen Stichproben bei unbekannten, aber gleichen Varianzen „2 ~ „2 - ( ° l - 1) · «M + (°2 - 1) · S K _ 19 · 4,35 2 + 24 · 4,41 2 , n1 + n 2 - 2 20 + 2 5 - 2

σ

' '

ft#19 216

b) Testgröße: §5 4 =

+

·

mit

82 = ( è

+

è ) ·19'216 «1·7294 ;

»d « 1.3151 ;

mit der t - Verteilung mit n j + n 2 — 2 = 43 Freiheitsgraden erhält man die Grenzen c

u, Ο = Χκ -

τ t 4 3 . 0,975 · s d =

124

' 6 9 - 121,45 =F 2,0167 · 1,3151 ;

Vertrauenstintervall für μ κ — /i M : [0,59 ; 5,89] . c) Nullhypothese: H 0 :

— μ Μ < c ; Alternative: Hj :

— μΜ > c ;

Ablehnungebereich von H 0 : W

=

yK

~sXdM"C > V * 2 - 2 ' ° .

124,69^121,45 — c

> M g U ;

9 5

*

0 < c


Aufgabe 3.43 μ2 = E(Y) = Erwartungswert mit dem neuen Gerät ; /ij = E(X) = Erwartungswert mit dem alten Gerät. Nullhypothese H 0 : μ2
μ^ + 0,05.

Da es sich um eine verbundene Stichprobe handelt, wird der t - DifferenzenTest benutzt. Mit y — χ = d erhält man die m , "O Testgroße:

i d — 0,05 t ^ , = — g ^ — ψά «

Ablehnungsbereich: t ^

> t399

0 99

0,0512-0,05 0>0084'— Ι »

0 0._ « 2,857.

« z 0 9 9 « 2,326 ;

Testentscheidung: wegen t ^ > z 0 gg wird die Nullhypothese abgelehnt. Das Ergebnis spricht signifikant dafür, daß das neue Meßgerät im Mittel mindestens 0,05 Promille mehr mißt als das alte.

Beurteilende Statistik

187

Aufgabe 3.44 Nullhypothese H 0 : μ1 = μ2;

Alternative Η 1 : μι φ μ2;

t-Test bei unverbundenen Stichproben bei unbekannten, aber gleichen Varianzen. Schätzung der gemeinsamen Standardabweichung:

σ fa

(

Λ

s =-

η ι

- ΐ Κ + (η2-1)·8; η,+η,-2

Testgröße: tbe,=

«1.70; S

' N

n

l

+ n

2

Ablehnungsbereich: t ^ > t n i + n 2 _ 2 ;

095

= t 1 2 0 . 0 9 5 « 1,66;

Testentscheidung: wegen t ^ > t 1 2 0 . 0 95 wird die Nullhypothese H 0 abgelehnt. Mit α = 0,05 ist statistisch nachgewiesen, daß zwischen den beiden mittleren Lebensdauern ein Unterschied besteht.

Aufgabe 3.45 Die Fisher-Transformation ergibt mit η χ = n 2 = η die Testgröße In z

ber.= 5 ·

1 — Γι

1 — γ-,

+

n2-3

In

_ 1 " 2'

1 + 0,685 _ l n 1 + 0,692 1-0,692 1 - 0,685 1 1 n-3 + Ν n-3

. 1 + 0,685 _ . 1 + 0,692 1 η 1-0,692 > zo,975 = 1,959964 1-0,685

m

=

0,006655 > 1,959964 >|n-3

>

1,959964 0,006655 '

η > 8 6 749 (aufgerundet).

188

Lösungen der Aufgaben

Aufgabe 3.46 Chi - Quadrat - Anpassungstest ; Nullhypothese H 0 : pj = ^ (Gruppenauswahl) für jedes i ; Testgröße: 2 _ r (h¡ - η p¡) 2 Xber." Σ η ρ; =

! r h? _ ñ Σ ρτ-η -

ι ι r χ'γβ

3δο·22100-360 = ψ «8,33;

r — 1 = 5 Freiheitsgrade; Ablehnungsbereich: χ ^ > X5¡o,95 w H»0T ; Testentscheidung: wegen < . 0 9 5 kann die Nullhypothese nicht abgelehnt werden. Das Ergebnis ist für die Vermutung des Dozenten nicht signifikant.

Aufgabe 3.47 Nullhypothese H 0 : Die Zufallsvariable der Körpergröße ist normalverteilt. Maximum-Likelihood-Schätzung der Parameter der (hypothetischen) Normalverteilung: μ = χ = 166,8 ; σ =-yJS-g-L . s = ^ g . 10,2 = 10,1745; geschätzte Klassenwahrscheinlichkeiten: d -

ΓΓΧ < 15QÌ

166,8 ^ 150 150-- 166,8 166,8\ ρ/ Χ Χ— - 166,8

= *(-äH 04935; ρ 2 = Ρ(150 < Χ < 160) = Φ ( Μ ^ ) -

Φ

« 0,20261 ;

Ρ3= Ρ4

= Ρ(170 < Χ < 180) = Φ

- Φ ( 1 ^ ™ ) « 0,29344 ;

ρ 5 = Ρ(Χ > 180) = 1 - Ρ(Χ < 180) = 1 - Φ ( ^ Ι τ Ι γ ) * ° ' 0 9 7 2 5

;

189

Beurteilende Statistik abs. Häufigkeit Klasse 150 160 170 180

< < <


. 0 9 5 « 5,99 ;

Testentscheidung: wegen X^er. < ·o 95 kann die Nullhypothese H 0 , daß die Zufallsvariable der Körpergröße normalverteilt ist, nicht abgelehnt werden. Das Ergebnis steht also nicht in signifikantem Widerspruch zur Normalverteilung.

Aufgabe 3.48 a)/Ì = x = 25Q.(102-0 + 73· 1 + 1 9 - 2 + 6 - 3 ) = ||| = 0,645. b) Maximum - Likelihood-Schätzung: Ä = χ = 0,645 ; geschätzte hypothetische Wahrscheinlichkeiten: \k - λ (0,645)1' >e -o,645 {Qr k = 0 , 1 , 2 , . . . ; kT· k! erwartete Häufigkeiten: η · pjj = 200 · p^ Pk =

Anzahl der Druckfehler absolute Häufigkeit erwartete Häufigkeit

0

1

2

>3

102

73

19

6

21,83

5,56

104,93

67,68

Testgröße: i=0

90.

Anzahl der Freiheitsgrade: 4 — 1 — 1 = 2 (ein geschätzter Parameter) ; Ablehnungsbereich:

>

. 0 9 « 4,61 ;

Testentscheidung: wegen < χ$. 0 9 kann die Nullhypothese der Poisson-Verteilung mit α = 0,1 nicht abgelehnt werden.

Lösungen der Aufgaben

190 Aufgabe 3.49

Die Zufallsvariable D beschreibe die Differenz der Reaktionszeit auf das zweite und das erste Signal. Nullhypothese

H 0 : P(D > 0) < ì ;

Alternative

Hj : P(D > 0) > Ì .

Benutzt wird der einseitige Vorzeichentest fur verbundene Stichproben. Die Testgröße X beschreibe die Anzahl der positiven Differenzen. Im Falle P(D > 0) = J ist X binomialverteilt mit den Parametern η = 400 und ρ = 0,5. E(X) = 400 · 0,5 = 200 ;

Var(X) = 400 · 0,5 · 0,5 = 100 ; σ = 10 ;

c = Ablehnungsgrenze ; Approximation durch die Normalverteilung: α = =

P(X > c I ρ = 0,5) = 1 — P(X < c | ρ = 0,5) ,-p(Xì|00 c — 220.

Testentscheidung: da mehr als 220 Differenzen positiv sind, wird die Nullhypothese abgelehnt. Die Wahrscheinlichkeit für eine positive Differenz ist größer als i .

Aufgabe 3.50 oo a) 1 =

1

oo

jf(x)dx= jadx + a J e _ b ( x _ 1 ) d x 0

0

= a + a·lim Γ — Ì · e ~ b c-ooL b

1

~

Jl

= a+ £ = 1 b

=

1-a

Hinweis: Im Grenzfall a = 1 entsteht eine gleichmäßige Verteilung zwischen 0 und 1. Dann muß der Grenzwert b—»oo durchgeführt werden, bei dem der zweite Teil der Dichte verschwindet.

Beurteilende Statistik

191 für Xj< 1

b)f(xi)=·

a»e

-T-Mxi-i)

für x¡ > 1.

In der Likelihood-Funktion liefert jeder Stichprobenwert x¡ den Faktor *_(x. _ i) a. Für Xj > 1 kommt noch der Faktor e 1 - a 1 hinzu. Damit gilt L(a)=an· Π e- A t a - » ) i:xj > 1 Wir setzen w=

=

an.e

-rèi .Σ (χi-i) i:xj > 1

Σ (Xi-i). i:xj > 1

1. Fall: w = 0 (kein Stichpobenwert ist größer als 1). Nach Voraussetzung gilt 0 < a < 1. Dann ist L(a) = a n ist maximal für a = 1, also â = 1, falls Xj < 1 fur alle i (a = 1 ergibt die gleichmäßige Verteilung mit b = oo). 2. Fall: w > 0. - y ^ ·w

lnL(a) = η-Ina

dInL(a) _ n _ _ _ w _ _ n da - a (i_a)2-U (l_a)2_a.w

=

0

1 - 2 a + a2 - a - f = 0 a

2

-2a.(l

+

^)=-l

_ 1 , W I

w , w2

wegen a < 1 und w > 0 gilt Wι w n 4n 2

a-(l-a)2

192

Lösungen der Aufgaben

Aus

„2

folgt durch Wurzelziehen ^ +

>

2

4η

d 2 ln L(a) _ da

< 1

»n

, also à > 0. Damit gilt 0 < â < 1

w 22 — — < 0 ; damit liegt ein Maximum vor. a (1 — a) n

Aulgabe 3.51 a) Test der Nullhypothese H 0 : μ > 0,5 gegen die Alternative Ηα: μ < 0,51 ; ν * -« * x - ^ o ,— 0,495-0,5 . , Testgroße: t ^ = — ^ · Vñ = 0 Q 2 4 · 6 = - 1,25 ; Ablehnungebereich: t ^ < —13 5;0)95 « — 1,69. Testentscheidung: wegen t ^ > —1 35 . 0 9 5 kann die Nullhypothese nicht abgelehnt werden. Es kann also nicht behauptet werden, der Erwartungswert μ sei kleiner als 0,5 1. b) Test der Nullhypothese H 0 : σ 2 < 0,0004 gegen die Alternative Hj: σ 2 > 0,0004; _ _ft Testgroße:

2

Xber . =

Ablehnungsbereich:

(n — l)s 2 35 · 0,0242 „ . - j - = = 50,4 ; > Xg5

0 95

ss 49,8 ;

Testentscheidung: wegen > χ | 5 . 0 9 5 kann die Nullhypothese zugunsten der Alternative abgelehnt werden. Die Standardabweichung ist also größer als 0,02 (Varianz größer als 0,0004).

Beurteilende Statistik

193

Aufgabe 3.52 =

z = z

«0,4862; η = 1483;

l - o / 2 = z O,98 Äi2 > 0537 ;

p u « 0,460;

Po

« 0,513;

Konfidenzintervall für ρ : [ 0,460 ; 0,513 ]. b) Durch Weglassen der unteren Grenze erhält man das einseitige Konfidenzintervall ρ < 0,513 zur Konfidenzwahrscheinlichkeit γ = 0,98. Die Behauptung:p < 0,5 ist also nicht zu 98% abgesichert. Der Stichprobenumfang η oder die Irrtumswahrscheinlichkeit α sind zu klein gewählt. c) Nullhypothese H 0 : ρ > 0,49 ;

Alternative Hj : ρ < 0,49 ;

Ablehnungsbereich: >|Po-(l-Po)

,_ 0,485-0,49 •10,49· (1-0,49)

- 0 , 0 1 ·ψα < -2,32635

„ « -2,32635;

| -(-1)

0,01-^ñ" >2,32635 η > 54098 (aufgerundet).

Aufgabe 3.53 a) Nullhypothese H 0 : μ > 1000; b) χ =

Alternative Hj : μ < 1000.

= 996,78 g;

s 2 = ¿ [49 683 225 - 50 · 996,78*] ; s « 9,801 ; rr t. -« * ,— 996,78-1000 ^ 0090 Testgroße: t ^ = — ^ · χί?

0 90

« 9,24 ;

Testentscheidung: wegen < Xs · 0 90 kann die Nullhypothese der Unverfälschtheit der Würfel nicht abgelehnt werden. Das Ergebnis ist fur die Verfälschtheit nicht signifikant. Es kann auf den Zufall zurückgeführt werden. b) Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 : p¡ = ^ für alle i : Xber.= 5 Ü 0 ¿ > i - 5 0 0 > *5;0,β5 » 11.0705; g è h? > ^ Ρ · ( 5 0 0 + Χ^. Ο 9 5 ) =42 590 (aufgerundet). 0 i=i Aufgabe 3.55 Nullhypothese H 0 : Die Unfälle sind auf die 5 Wochenarbeitstage gleichmäßig verteilt. Chi-Quadrat-Anpassungstest mit p¡ = ^ (Wahrscheinlichkeit, daß ein Unfall am i- ten Wochentag stattfindet) für i = 1,..., 5. Mit η = 374 erhält man die Testgröße: _ 2 Xber. =

5 (^-η.Ρ;)2_ s 5 EFp¡ ~~ 374

ni

014

-28 8 7 0 - 3 7 4 « 1 1 , 9 6 ;

r — 1 = 4 Freiheitsgrade (kein geschätzter Parameter); Ablehnungsbereich:

> χ 2 . 0 9 5 « 9,49 ;

Testentscheidung: wegen χ^,. > X4.095 wird die Nullhypothese abgelehnt. Die Unfälle sind nicht gleichmäßig auf die 5 Arbeitstage verteilt.

Beurteilende Statistik

195

Aufgabe 3.56 Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung P(X χ\

0 95

« 11,07 ;

Testentscheidung: wegen x^er. < X5 · o 95 kann die Nullhypothese H 0 , daß die Zufallsvariable der Lebensdauer exponentialverteilt ist, nicht abgelehnt werden. Das Ergebnis steht also nicht in signifikantem Widerspruch zur Exponentialverteilung.

196

Lösungen der Aufgaben

Aufgabe 3.57 «0

Eft Σ (Xi-μ)2) = έ Σ e ( ( X ¡ - ^ ) 2 ) = I Σ ν ΐ=1 ' ί=1 ' i=l 1 . π / τ2* •— / τ2* — — = g·ησ = σ ·

Var(Xj)

b) Likelihood-Funktion L(x 1 ,x 2 ,.„,x n ,^,ff 2 )= ί lnL = - | ΐ η ( 2 π σ 2 ) - ^ Σ

J -e

2σ

1=1

(xj-μ)2

= - | ΐ η ( 2 π ) - | ΐ η ( σ 2 ) - ^ _ Σ (Xi-/i) 2 d lnL= d( ϋ.

Likelihood - Funktion η í i L ( x 1 , x 2 , . . . , x n ; t ? ) = Π f(Xi;t?)=< \ i=i I 0

fürtf>max(x1,x2,...,xn) _ 0 für ν < max(x 1 ,x 2 ,... ,χ,,) ;

L(xj, x 2 , . . . , x n ; ΰ) wird maximal für ϋ = max (x lf x 2 ,..., Xj, ) ; 0 = max(x 1 ,x 2 ,...,x n ). b)/i = E(X) = |; μ = 1 - 0 = ^ · m a x ( x l t x 2 , . . . , x n ) . c) Allgemein gilt: E(X) = μ =

hieraus folgt

E(2X) = 2·E(X) = 2μ = ϋ\ ΰ = 2 x .

Aufgabe 3.60

{

i

für I Xj I < ΰ

0

für I Xj I > tf.

L(tf) = L ( x 1 , x 2 , . . . , x n ; i ? ) =

i=l

ftf(Xi^)

fürt?>max(|x 1 |,|x 2 |,...,|x n |) 0

für i?

L(tf) wird maximal an der Stelle tf = max(|x 1 |,|x 2 |,...,|xj). /i = E ( X ) = i [ t ? + ( - t ? ) ] = 0; μ = 0 (unabhängig von der Stichprobe).

Beurteilende

Statistik

b)f(xi;0)={

3* 0

m

199

sonst.

fif(xi^) i=l

=

1

m

^Tñ

0

Für

ϋ >

für

-

m i n

—

ϋ
^

£

ϋ>

sonst

0 ist L ( t ? ) i n ύ m o n o t o n

Bedingung:

(x¡),

/ Xj X 2 Xjj \ I — X j , — x 2 , . . . , — XJJ,-g-j-g-,... » - g - ).

i - m a x I

*2»···»

Xa» 2

' 2

2

/*

Tabellenanhang

200

Tabellenanhang Verteilungsfunktion Φ(ζ) der Standard-Normalverteilung

S. 201

Quantile

S. 203

Zj _ α der Standard- Normalverteilung

Quantile t n . j _ Q der t-Verteilung

S. 205

Quantile χ2η.

S. 208

Quantile f^

χ

;n

_ β der Chi-Quadrat-Verteilung ; 1

_ e der F-Verteilung

S. 211

201

Verteilungsfunktion der Normalverteilung

Tab. 1 : Verteilungsfunktion Φ(ζ) der Standard-Normalverteilung N(d ; 1) 0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4

ζ

0,5000 0,5398 0,5793 0,6179 0,6554

0,5040 0,5438 0,5832 0,6217 0,6591

0,5080 0,5478 0,5871 0,6255 0,6628

0,5120 0,5517 0,5910 0,6293 0,6664

0,5160 0,5557 0,5948 0,6331 0,6700

0,5199 0,5596 0,5987 0,6368 0,6736

0,5239 0,5636 0,6026 0,6406 0,6772

0,5279 0,5675 0,6064 0,6443 0,6808

0,5319 0,5714 0,6103 0,6480 0,6844

0,5359 0,5753 0,6141 0,6517 0,6879

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

0,6915 0,7257 0,7580 0,7881 0,8159

0,6950 0,7291 0,7611 0,7910 0,8186

0,6985 0,7324 0,7642 0,7939 0,8212

0,7019 0,7357 0,7673 0,7967 0,8238

0,7054 0,7389 0,7704 0,7995 0,8264

0,7088 0,7422 0,7734 0,8023 0,8289

0,7123 0,7454 0,7764 0,8051 0,8315

0,7157 0,7486 0,7794 0,8078 0,8340

0,7190 0,7517 0,7823 0,8106 0,8365

0,7224 0,7549 0,7852 0,8133 0,8389

1,0 1,1 1,2 1,3 1,4

0,8413 0,8643 0,8849 0,9032 0,9192

0,8438 0,8665 0,8869 0,9049 0,9207

0,8461 0,8686 0,8888 0,9066 0,9222

0,8485 0,8708 0,8907 0,9082 0,9236

0,8508 0,8729 0,8925 0,9099 0,9251

0,8531 0,8749 0,8944 0,9115 0,9265

0,8554 0,8770 0,8962 0,9131 0,9279

0,8577 0,8790 0,8980 0,9147 0,9292

0,8599 0,8810 0,8997 0,9162 0,9306

0,8621 0,8830 0,9015 0,0177 0,9319

1,5 1,6 1,7 1,8 1,9

0,9332 0,9452 0,9554 0,9641 0,9713

0,9345 0,9463 0,9564 0,9649 0,9719

0,9357 0,9474 0,9573 0,9656 0,9726

0,9370 0,9484 0,9582 0,9664 0,9732

0,9382 0,9495 0,9591 0,9671 0,9738

0,9394 0,9505 0,9599 0,9678 0,9744

0,9406 0,9515 0,9608 0,9686 0,9750

0,9418 0,9525 0,9616 0,9693 0,9756

0,9429 0,9535 0,9625 0,9699 0,9761

0,9441 0,9545 0,9633 0,9706 0,9767

2,0 2,1 2,2 2,3 2,4

0,9772 0,9821 0,9861 0,9893 0,9918

0,9778 0,9826 0,9864 0,9896 0,9920

0,9783 0,9830 0,9868 0,9898 0,9922

0,9788 0,9834 0,9871 0,9901 0,9925

0,9793 0,9838 0,9875 0,9904 0,9927

0,9798 0,9842 0,9878 0,9906 0,9929

0,9803 0,9846 0,9881 0,9909 0,9931

0,9808 0,9850 0,9884 0,9911 0,9932

0,9812 0,9854 0,9887 0,9913 0,9934

0,9817 0,9857 0,9890 0,9916 0,9936

2,5 2,6 2,7 2,8 2,9

0,9938 0,9953 0,9965 0,9974 0,9981

0,9940 0,9955 0,9966 0,9975 0,9982

0,9941 0,9956 0,9967 0,9976 0,9982

0,9943 0,9957 0,9968 0,9977 0,9983

0,9945 0,9959 0,9969 0,9977 0,9984

0,9946 0,9960 0,9970 0,9978 0,9984

0,9948 0,9961 0,9971 0,9979 0,9985

0,9949 0,9962 0,9972 0,9979 0,9985

0,9951 0,9963 0,9973 0,9980 0,9986

0,9952 0,9964 0,9974 0,9981 0,9986

3,0 3,1 3,2 3,3 3,4

0,9987 0,9990 0,9993 0,9995 0,9997

0,9987 0,9991 0,9993 0,9995 0,9997

0,9987 0,9991 0,9994 0,9995 0,9997

0,9988 0,9991 0,9994 0,9996 0,9997

0,9988 0,9992 0,9994 0,9996 0,9997

0,9989 0,9992 0,9994 0,9996 0,9997

0,9989 0,9992 0,9994 0,9996 0,9997

0,9989 0,9992 0,9995 0,9996 0,9997

0,9990 0,9993 0,9995 0,9996 0,9997

0,9990 0,9993 0,9995 0,9997 0,9998

3,5 3,6 3,7 3,8 3,9

0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 1,0000

0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 1,0000

0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000

0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000

0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000

0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000

0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000

0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000

0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000

0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000

Verteilungsfunktion der Normalverteilung

202

zu Tab. 1 : Tabelliert sind die Werte der Verteilungsfunktion Φ(ζ) = P(Z < ζ) fur ζ > 0 . Ablesebeispiel:

Φ(1,75) = 0,9599 .

Funktionswerte fur negative Argumete: Φ( — ζ) = 1 — Φ(ζ) . Approximation nach Hastings für ζ > 0 : Φ(ζ) «

2

- ^ t + a 2 t 2 + agt 3 + a 4 t 4 + a 5 t 5 )

mit t -

1 • 1 + bz '

b = 0,2316419; a x = 0,319381530; ¡^ = -0,356563782; a 3 = 1,781477937; a 4 = -1,821255978; a 5 = 1,330274429. Für ζ > 0 erhält man Näherungswerte, die auf mindestens 7 Stellen genau sind.

203

Quantile der Normalverteilung

Tab. 2 :

Quantile z 1 _ a der Standard-

-ας ^ySSSNN

Ν ( 0 ; 1) - Normalverteilung 1 -α

ζ

1- α

Ζ

1- α

ζ

1—α

\ Ζ

0,9975 0,9976 0,9977 0,9978 0,9979

1-α 2,80703 2,82016 2,83379 2,84796 2,86274

1,95996 2,05375 2,17009

0,9980 0,9981 0,9982 0,9983 0,9984

2,87816 2,89430 2,91124 2,92905 2,94784

0,9900 0,9905 0,9910 0,9915 0,9920

2,32635 2,34553 2,36562 2,38671 2,40891

0,9985 0,9986 0,9987 0,9988 0,9989

2,96774 2,98888 3,01145 3,03567 3,06181

1,28155 1,31058 1,34076 1,37220 1,40507

0,9925 0,9930 0,9935 0,9940 0,9945

2,43238 2,45726 2,48377 2,51214 2,54270

0,9990 0,9991 0,9992 0,9993 0,9994

3,09023 3,12139 3,15591 3,19465 3,23888

1,43953 1,47579 1,51410 1,55477 1,59819

0,9950 0,9955 0,9960 0,9965 0,9970

2,57583 2,61205 2,65207 2,69684 2,74778

0,9995 0,9996 0,9997 0,9998 0,9999

3,29053 3,35279 3,43161 3,54008 3,71902

0,50 0,51 0,52 0,53 0,54

1-α 0,00000 0,02507 0,05015 0,07527 0,10043

0,75 0,76 0,77 0,78 0,79

1 -α 0,67449 0,70630 0,73885 0,77219 0,80642

0,950 0,955 0,960 0,965 0,970

1-α 1,64485 1,69540 1,75069 1,81191 1,88079

0,55 0,56 0,57 0,58 0,59

0,12566 0,15097 0,17637 0,20189 0,22754

0,80 0,81 0,82 0,83 0,84

0,84162 0,87790 0,91537 0,95416 0,99446

0,975 0,980 0,985

0,60 0,61 0,62 0,63 0,64

0,25335 0,27932 0,30548 0,33185 0,35846

0,85 0,85 0,87 0,88 0,89

1,03643 1,08032 1,12639 1,17499 1,22653

0,65 0,66 0,67 0,68 0,69

0,38532 0,41246 0,43991 0,46770 0,49585

0,900 0,905 0,910 0,915 0,920

0,70 0,71 0,72 0,73 0,74

0,52440 0,55338 0,58284 0,61281 0,64335

0,925 0,930 0,935 0,940 0,945

204

Quantile der Normalverteilung

zu Tab. 2: Für das Quantil z1 _ a gilt

_ a ) = 1 - a.

Links vom Quantil Zj _ a liegt die Wahrscheinlichkeitsmasse 1 — a. Ablesebeispiel: z 0 9 7 5 = 1,95996 . Quantile für 0 < a < 0,5 erhält man aus zCT = — *χ _ α · Approximation nach Hasting? für 0,5 < 1 — a < 1 :

*1! _ α„ « t

bn + b^t + b-jt 2 5 1— 2 l + Cjt + C j ^ + Cgt3

mit

b 0 = 2,515517 ; b j = 0,802853 ;

b 2 = 0,010328 ;

c t = 1,432788 ;

c 3 = 0,001308.

c 2 = 0,189269 ;

, t = ΊJ - 2 1 nv( l - q ) ; '

Die Näherungswerte sind auf mindestens drei Dezimalstellen genau.

Quantile der t - Verteilung

205

Tab. 3 : Quantile der t-Verteilung mit η Freüeitsgraden

Ν 'n;t-o

1—α η

0,900

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3,078 1,886 1,638 1,533 1,476 1,440 1,415 1,397 1,383

6,314 2,920 2,353 2,132 2,015 1,943 1,895 1,860 1,833

12,706 4,303 3,182 2,776 2,571 2,447 2,365 2,306 2,262

31,821 6,965 4,541 3,747 3,365 3,143 2,998 2,896 2,821

63,657 9,925 5,841 4,604 4,032 3,707 3,499 3,355 3,250

318,309 22,327 10,214 7,173 5,893 5,208 4,785 4,501 4,297

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

1,372 1,363 1,356 1,350 1,345 1,341 1,337 1,333 1,330 1,328

1,812 1,796 1,782 1,771 1,761 1,753 1,746 1,740 1,734 1,729

2,228 2,201 2,179 2,160 2,145 2,131 2,120 2,110 2,101 2,093

2,764 2,718 2,681 2,650 2,624 2,602 2,583 2,567 2,552 2,539

3,169 3,106 3,055 3,012 2,977 2,947 2,921 2,898 2,878 2,861

4,144 4,025 3,930 3,852 3,787 3,733 3,686 3,646 3,610 3,579

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

1,325 1,323 1,321 1,319 1,318 1,316 1,315 1,314 1,313 1,311

1,725 1,721 1,717 1,714 1,711 1,708 1,706 1,703 1,701 1,699

2,086 2,080 2,074 2,069 2,064 2,060 2,056 2,052 2,048 2,045

2,528 2,518 2,508 2,500 2,492 2,485 2,479 2,473 2,467 2,462

2,845 2,831 2,819 2,807 2,797 2,787 2,779 2,771 2,763 2,756

3,552 3,527 3,505 3,485 3,467 3,450 3,435 3,421 3,408 3,396

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

30 40 50 60 70 80 90

1,310 1,303 1,299 1,296 1,294 1,292 1,291

1,697 1,684 1,676 1,671 1,667 1,644 1,662

2,042 2,021 2,009 2,000 1,994 1,990 1,987

2,457 2,423 2,403 2,390 2,381 2,374 2,369

2,750 2,704 2,678 2,660 2,648 2,639 2,632

3,385 3,307 3,261 3,232 3,211 3,195 3,182

30 40 50 60 70 80 90

0,950

0,975

0,990

0,995

0,999 η 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Quantile der t - Verteilung

206

Tab. 3 (Fortsetzung) : 1—α η

0,900

100 150 200 300 400 500 600 800 1000

1,290 1,287 1,286 1,284 1,284 1,283 1,283 1,283 1,282

1,660 1,655 1,653 1,650 1,649 1,648 1,647 1,647 1,646

1,984 1,976 1,972 1,968 1,966 1,965 1,964 1,963 1,962

2,364 2,352 2,345 2,339 2,336 2,334 2,333 2,331 2,330

2,626 2,609 2,601 2,593 2,589 2,586 2,584 2,582 2,581

3,174 3,146 3,131 3,118 3,111 3,107 3,104 3,101 3,098

100 150 200 300 400 500 600 800 1000

οο

1,282

1,646

1,960

2,326

2,576

3,090

οο

0,950

0,975

0,990

0,995

0,999 η

zu Tab. 3: Für das Quantil t

j _α

gilt F(t n . j _ a ) = 1 — α.

Links vom Quantil t n . j _ a

liegt die Wahrscheinlichkeitsmasse 1 — α.

Ablesebeispiel: t 2 0 . 0 ) 9g = 2,528 . Quantile für 0 < 1 — α < 0,5 erhält man aus t n ; a = — t ^ j _ a . Approximation für 0,5 < 1 — α < 1 :

t η ; 1 _ α

„ ~

c

9 z ? - g + c 7 z ? - a + cs4-a + c 3 z ? - g + C1 Z1 - α 92160 η 4

mit ζ

1 - α

=

(1— α) - Quantil der Standard-Normal Verteilung mit φ

(ζΐ-α) =

1

~

a

·

cg = 79 ; c 7 = 720η + 776 ; c 5 = 4800η 2 + 4560n + 1482 ; c 3 = 23040η 3 + 15360η 2 + 4080η - 1920 ; Cj = 92160η 4 + 23 040η 3 + 2880η 2 - 3600η - 945.

Quantile der t - Verteilung

207

zu Tab. 3 Formel von Ρeitzer und Pratt für η > 10 : η

;1- a mit

Zj _ α = q - Quantil der Standard-Normalverteilung mit Φ(ζ 1 _ a ) = 1 — a ;

c

Diese Formel liefert bereits für η = 3 und 0,5 < q < 0,99 Näherungswerte mit einer maximalen absoluten Abweichung von 0,8 vom tatsächlichen Quantil. Für η—κχ> konvergiert die Verteilungsfunktion der t-Verteilung gegen die Verteilungsfunktion der Standard-N( 0 ; l)-Normalverteilung mit

;1- α

«

Zj _ a

für η > 30.

208

Quantité der Chi - Quadrat - Verteilung mit η Freiheitsgraden Tab. 4: Quantile x^.j _ a der Chi-Quadrat-Verteilung (n Freiheitsgrade)

\ l - a n\

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,005 0.3937.10 5

0,01003 0,07172 0,2070 0,4117 0,6757 0,9893 1,344 1,735

0,010 0,1571:10 4

0,02010 0,1148 0,2971 0,5543 0,8721 1,239 1,647 2,088

0,025

0,050

0,9821:10 3

0,3932:10 2

0,05064 0,2158 0,4844 0,8312 1,237 1,690 2,180 2,700

0,100

0,250

0,500

0,1026 0,3518 0,7107 1,145 1,635 2,167 2,733 3,325

0,015791 0,2107 0,5844 1,064 1,610 2,204 2,833 3,490 4,168

0,1015 0,5754 1,2125 1,9226 2,675 3,455 4,255 5,071 5,899

0,4549 1,3863 2,3660 3,3567 4,351 5,348 6,346 7,344 8,343

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

2,156 2,603 3,074 3,565 4,075 4,601 5,142 5,697 6,265 6,844

2,558 3,053 3,571 4,107 4,660 5,229 5,812 6,408 7,015 7,633

3,247 3,816 4,404 5,009 5,629 6,262 6,908 7,564 8,231 8,907

3,940 4,575 5,226 5,982 6,571 7,261 7,962 8,672 9,390 10,117

4,865 5,578 6,304 7,042 7,790 8,547 9,312 10,085 10,865 11,651

6,737 7,584 8,438 9,299 10,165 11,037 11,912 12,792 13,675 14,562

9,342 10,341 11,340 12,340 13,399 14,339 15,338 16,338 17,338 18,338

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

7,434 8,034 8,643 9,260 9,886 10,520 11,160 11,808 12,461 13,121

8,260 8,897 9,542 10,196 10,856 11,524 12,198 12,879 13,565 14,256

9,591 10,283 10,982 11,689 12,401 13,120 13,844 14,573 15,308 16,047

10,851 11,591 12,338 13,091 13,848 14,611 15,379 16,151 16,928 17,708

12,443 13,240 14,041 14,848 15,569 16,473 17,292 18,114 18,939 19,768

15,452 16,344 17,240 18,137 19,037 19,940 20,843 21,749 22,657 23,557

19,337 20,337 21,337 22,337 23,337 24,337 25,336 26,336 27,336 28,336

30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

13,787 14,458 15,134 15,815 16,501 17,192 17,887 18,586 19,289 19,996

14,953 15,655 16,362 17,074 17,789 18,509 19,233 19,960 20,691 21,426

16,791 17,539 18,291 19,047 19,806 20,569 21,336 22,106 22,878 23,654

18,493 19,281 20,072 20,867 21,664 22,465 23,269 24,075 24,884 25,695

20,599 21,434 22,271 23,110 23,952 24,797 25,643 26,492 27,343 28,196

24,478 25,390 26,304 27,219 28,136 29,054 29,973 30,893 31,815 32,737

29,336 30,336 31,336 32,336 33,336 34,336 35,336 36,336 37,335 38,335

40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

20,707 21,421 22,138 22,859 23,584 24,311 25,041 25,775 26,511 27,249

22,164 22,906 23,650 24,398 25,148 25,901 26,657 27,416 28,177 28,941

24,433 25,215 25,999 26,785 27,575 28,366 19,160 29,956 30,755 31,555

26,509 27,326 28,144 28,965 29,787 30,612 31,349 32,268 33,098 33,930

29,051 29,907 30,765 31,625 32,487 33,350 34,215 35,081 35,949 36,818

33,660 34,585 35,510 36,436 37,363 38,291 39,220 40,149 41,079 42,010

39,335 40,335 41,335 42,335 43,335 44,335 45,335 46,335 47,335 48,335

209

Quantile der Chi-Quadrat-Verteilung mit η Freiheitsgraden Tabelle 4 (Fortaetiung):

χ

0,750

0,900

0,950

0,975

0,990

0,995

0,999

1 2 3 4 5 β 7 8 9

1,323 2,773 4,108 5,385 6,626 7,841 9,037 10,219 11,389

2,706 4,605 6,251 7,779 9,236 10,645 12,017 13,362 14,684

3,841 5,991 7,815 9,488 11,070 12,592 14,067 15,507 16,919

5,024 7,378 9,348 11,143 12,833 14,449 16,013 17,535 19,023

6,635 9,210 11,345 12,277 15,086 16,812 18,475 20,090 21,666

7,879 10,597 12,838 14,860 16,750 18,548 20,278 21,955 23,589

10,828 13,816 16,266 18,467 20,515 22,458 24,322 26,124 27,877

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

12,549 13,701 14,845 15,984 17,117 18,245 19,369 20,489 21,605 22,718

15,987 17,275 18,549 19,812 21,064 22,307 23,542 24,769 25,989 27,204

18,307 19,675 21,026 22,362 23,685 24,996 26,296 27,587 28,869 30,144

20,483 21,920 23,337 24,736 26,119 27,488 28,845 30,191 31,526 32,852

23,209 24,725 26,217 27,688 19,141 30,578 32,000 33,409 34,805 36,191

25,188 26,757 28,300 29,819 31,319 32,801 34,267 35,719 37,156 38,582

29,588 31,264 32,909 34,528 36,123 37,697 39,252 40,790 42,312 43,820

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

23,828 24,935 26,039 27,141 28,241 29,339 30,435 31,528 32,620 33,711

28,412 29,615 30,813 32,007 33,196 34,382 35,563 36,741 37,916 39,087

31,410 32,671 33,924 35,172 36,415 37,652 38,885 40,113 41,337 42,557

34,170 35,479 36,781 38,076 39,364 40,646 41,923 43,195 44,461 45,722

37,566 38,932 40,289 41,638 42,980 44,314 45,642 46,963 48,278 49,588

39,997 41,401 42,796 44,181 45,559 46,928 48,290 49,645 50,993 52,336

45,315 46,797 48,268 49,728 51,179 52,620 54,052 55,476 56,892 58,301

30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

34,800 35,887 36,973 38,058 39,141 40,223 41,304 42,383 43,462 44,539

40,256 41,422 42,585 43,745 44,903 46,059 47,212 48,363 49,513 50,660

42,773 44,985 46,194 47,400 48,602 49,802 50,998 52,192 53,384 54,572

46,979 48,232 49,480 50,725 51,966 53,203 54,437 55,668 56,896 58,120

50,892 52,191 53,486 54,776 56,061 57,342 58,619 59,893 61,162 62,428

53,672 - 59,703 55,003 61,098 62,487 56,328 63,870 57,648 58,964 65,247 66,619 60,275 61,581 67,985 62,883 69,346 70,703 64,181 65,476 72,055

40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

45,616 46,692 47,766 48,840 49,913 50,985 52,056 53,127 54,196 55,265

51,805 52,949 54,090 55,230 56,369 57,505 58,641 59,744 60,907 62,038

55,758 56,942 58,124 59,304 60,481 61,656 62,830 64,001 65,171 66,339

59,342 60,561 61,777 62,990 64,201 65,410 66,617 67,821 69,023 70,222

63,691 64,950 66,206 67,459 68,710 69,957 71,201 72,443 73,683 74.919

66,766 68,053 69,336 70,616 71,893 73,166 74,437 75,704 76,969 78,231

73,402 74,745 76,084 77,419 78,750 80,077 81,400 82,720 84,037 85,351

210

Quantile der Chi-Quadrat-Verteilung mit η Freiheitsgraden Tabelle 4 (Forteetsung): \1-α 50 60 70 80 90 100

50 60 70 80 90 100

0,005

0,010

0,025

0,050

0,100

0,250

0,500

27,991 35,535 43,275 51,172 59,196 67,238

29,707 37,485 45,442 53,540 61,754 70,065

32,357 40,482 48,758 57,153 65,647 74,222

34,764 43,188 51,739 60,391 69,126 77,929

37,689 46,459 55,329 64,278 73,921 82,358

42,942 52,294 61,698 71,145 80,625 90,133

49,335 59,335 69,334 79,334 89.335 99,334

0,750

0,900

0,950

0,975

0,990

0,995

0,999

56,334 66,981 77,577 88,130 98,650 109,141

63,167 74,397 85,527 96,578 107,565 118,498

67,505 79,082 90,531 101,879 113,145 124,342

71,420 83,298 95,023 106,629 118,136 129,561

76,154 88,379 100,425 112,329 124,116 135,807

79,490 91,952 104,215 116,321 128,299 140,169

86,661 99,607 112,317 124,839 137,208 149,449

SU Tab. 4 :

n;1—α

A

Für das Quantil *

2n;1

_0

gilt F( X 2 n ; 1 _ J = 1 - a .

Links vom Quantil X „ . j _ 0 liegt die Wahrscheinlichkeitsmasse 1 — a . Ablesebeispiel: χ | 5 . 0

9g

= 57,342 .

Approximationen für 0 < q < 1 : _2_ 9η Zj _ α

= (1— α) - Quantil der Standard-Normalverteilung. η + ^ T ñ ζ1 _ β

Xη n :; 1 ι — - o Zj _ α *η;1-α

für η > 30 ;

=

(1— α) - Quantil der Standard-Normalverteilung.

« \ [Z1 - α + ^

Zj _ α =

für η > 30 ;

^

f

fSr η > 100 ;

(1— α) - Quantil der Standard-Normalverteilung.

Quantité der F - V e r t e i l u n g mit (iij ; n 2 )

Tab. 5 :

Quantile 4

i ; B j ; 1

mit (n],n2) n

l

_

e

211

Freiheitsgraden

der F-Verteilung

Freiheitsgraden 'n^n]; 1—a

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1 0,990 0,975 0,950 0,900

4052 647,8 161,4 39,86

4999 799,5 199,5 49,50

5403 864,2 215,7 53,59

5625 899,6 224,6 55,83

5764 921,8 230,2 57,24

5859 937,1 234,0 58,20

5928 948,2 236,8 58,91

5981 956,7 238,9 59,44

6022 963,3 240,5 59,86

6056 968,6 241,9 60,20

2 0,990 0,975 0,950 0,900

98,50 38,51 18,51 8,256

99,00 39,00 19,00 9,000

99,17 39,17 19,16 9,162

99,25 39,25 19,25 9,243

99,30 39,30 19,30 9,293

99,33 39,33 19,33 9,326

99,36 39,36 19,35 9,349

99,37 39,37 19,37 9,367

99,39 39,39 19,38 9,381

99,40 39,40 19,40 9,392

3 0,990 0,975 0,950 0,900

34,12 17,44 10,13 5,538

30,82 16,04 9,552 5,462

29,46 15,44 9,277 5,391

28,71 15,10 9,117 5,343

28,24 14,88 9,013 5,309

27,91 14,73 8,941 5,285

27,67 14,62 8,887 5,266

27,49 14,54 8,845 5,252

27,35 14,47 8,812 5,240

27,23 14,42 8,786 5,230

4 0,990 0,975 0,950 0,900

21,20 12,22 7,709 4,545

18,00 10,65 6,944 4,325

16,69 9,979 6,591 4,191

15,98 9,605 6,388 4,107

15,52 9,364 6,256 4,051

15,21 9,197 6,163 4,010

14,98 9,074 6,094 3,979

14,80 8,980 6,041 3,955

14,66 8,905 5,999 3,936

14,55 8,844 5,964 3,920

5 0,990 0,975 0,950 0,900

16,26 10,01 6,608 4,060

13,27 8,434 5,786 3,780

12,06 7,764 5,409 3,619

11,39 7,388 5,192 3,520

10,97 7,416 5,050 3,453

10,67 6,978 4,950 3,405

10,46 6,853 4,876 3,368

10,29 6,757 4,818 3,339

10,16 6,681 4,772 3,316

10,05 6,619 4,735 3,297

6 0,990 0,975 0,950 0,990

13,75 8,813 5,987 3,776

10,92 7,260 5,143 3,463

9,780 6,599 4,757 3,289

9,148 6,227 4,534 3,181

8,746 5,988 4,387 3,108

8,466 5,820 4,284 3,055

8,260 5,695 4,207 3,014

8,102 5,600 4,147 2,983

7,976 5,523 4,099 2,958

7,874 5,461 4,060 2,937

7 0,990 0,975 0,950 0,900

12,25 8,073 5,591 3,589

9,547 6,542 4,737 3,257

8,451 5,890 4,347 3,074

7,847 5,523 4,120 2,961

7,460 5,285 3,972 2,883

7,191 5,119 3,866 2,827

6,993 4,995 3,787 2,785

6,840 4,899 3,726 2,752

6,719 4,823 3,677 2,725

6,620 4,761 3,637 2,703

8 0,990 0,975 0,950 0,900

11,26 7,571 5,318 3,458

8,649 6,059 4,459 3,113

7,591 5,416 4,066 2,924

7,006 5,053 3,838 2,806

6,632 4,817 3,687 2,726

6,371 4,652 3,581 2,668

6,178 4,529 3,500 2,624

6,029 4,433 3,438 2,589

5,911 4,357 3,388 2,561

5,814 4,295 3,347 2,538

9 0,990 0,975 0,950 0,900

10,56 7,209 5,117 3,360

8,022 5,715 4,256 3,006

6,992 5,078 3,863 2,813

6,422 4,718 3,633 2,693

6,057 4,484 3,482 2,611

5,802 4,320 3,374 2,551

5,613 4,197 3,293 2,505

5,467 4,102 3,230 2,469

5,351 4,026 3,179 2,440

5,257 3,964 3,137 2,146

10 0,990 0,975 0,950 0,900

10,04 6,937 4,965 3,285

7,559 5,456 4,103 2,924

6,552 4,826 3,708 2,728

5,994 4,468 3,478 2,605

5,636 4,236 3,326 2,522

5,386 4,072 3,217 2,461

5,200 3,950 3,135 2,414

5,057 3,855 3,072 2,377

4,942 3,779 3,020 2,347

4,849 3,717 2,978 2,323

n

2

l-o

Quantile der F - Verteilung mit (n1 ; n 2 ) Freiheitsgraden

212

Tab. 5. Fortsetzung n n

2

i

1 -α

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

1

0,990 0,975 0,950 0,900

6083 973,0 243,0 60,47

6106 976,7 243,9 60,71

6126 979,8 244,7 60,90

6143 982,5 245,4 61,07

6157 984,9 245,9 61,22

6170 986,9 246,5 61,35

6181 988,7 246,9 61,46

6192 990,3 247,3 61,57

6201 991,8 247,7 61,66

6209 993,1 248,0 61,74

2

0,990 0,975 0,950 0,900

90,41 39,41 19,40 9,401

99,42 39,41 19,41 9,408

99,42 39,42 19,42 9,415

99,43 39,43 19,42 9,420

99,43 39,43 19,43 9,425

99,44 39,44 19,43 9,429

99,44 39,44 19,44 9,433

99,44 39,44 19,44 9,436

99,45 39,45 19,44 9,439

99,45 39,45 19,45 9,441

3

0,990 0,975 0,950 0,900

27,13 14,37 8,763 5,222

27,05 14,34 8,745 5,216

26,98 14,30 8,729 5,210

26,92 14,28 8,715 5,205

26,87 14,25 8,703 5,200

26,83 14,23 8,692 5,196

26,79 14,21 8,683 5,193

26,75 14,20 8,675 5,190

26,72 14,18 8,667 5,187

26,69 14,17 8,660 5,184

4

0,990 0,9Í5 0,950 0,900

14,45 8,794 5,936 3,907

14,37 8,751 5,912 3,896

14,31 8,715 5,891 3,886

14,25 8,684 5,873 3,878

14,20 8,657 5,858 3,870

14,15 8,633 5,844 3,864

14,11 8,611 5,832 3,858

14,08 8,592 5,821 3,853

14,05 8,575 5,811 3,849

14,02 8,560 5,803 3,844

5

0,990 0,975 0,950 0,900

9,263 6,568 4,704 3,282

9,888 6,525 4,678 3,268

9,825 6,488 4,655 3,257

9,770 6,456 4,636 3,247

9,722 6,428 4,619 3,238

9,680 6,403 4,604 3,230

9,643 6,381 4,590 3,223

9,610 6,362 4,578 3,217

9,580 6,344 4,568 3,212

9,553 6,329 4,558 3,207

6

0,990 0,975 0,950 0,900

7,790 5,410 4,027 2,919

7,718 5,366 4,000 2,905

7,658 5,329 3,976 2,892

7,605 5,297 3,956 2,881

7,559 5,269 3,938 2,871

7,519 5,244 3,922 2,863

7,483 5,222 3,908 2,855

7,451 5,202 3,896 2,848

7,422 5,184 3,884 2,842

7,396 5,168 3,874 2,836

7

0,990 0,975 0,950 0,900

6,538 4,709 3,603 2,684

6,469 4,666 3,575 2,668

6,410 4,628 3,550 2,654

6,359 4,596 3,529 2,643

6,314 4,568 3,511 2,632

6,275 4,543 3,494 2,623

6,240 4,521 3,480 2,615

6,209 4,501 3,467 2,607

6,181 4,483 3,455 2,601

6,155 4,467 3,445 2,595

8

0,990 0,975 0,950 0,900

5,734 4,243 3,313 2,519

5,667 4,200 3,284 2,502

5,609 4,162 3,259 2,488

5,559 4,130 3,237 2,475

5,515 4,101 3,218 2,464

5,477 4,076 3,202 2,455

5,442 4,054 3,187 2,446

5,412 4,034 3,173 2,438

5,384 4,016 3,161 2,431

5,359 3,999 3,150 2,425

9

0,990 0,975 0,950 0,900

5,178 3,912 3,102 2,396

5,111 3,868 3,073 2,379

5,055 3,831 3,048 2,364

5,005 3,798 3,025 2,351

4,962 3,769 3,006 2,340

4,924 3,744 2,989 2,329

4,890 3,722 2,974 2,320

4,860 3,701 2,960 2,312

4,833 3,683 2,948 2,305

4,808 3,667 2,936 2,298

10 0,990 0,975 0,950 0,900

4,772 3,665 2,943 2,302

4,706 3,621 2,913 2,284

4,650 3,583 2,887 2,269

4,601 3,550 2,865 2,255

4,558 3,522 2,845 2,244

4,520 3,496 2,828 2,233

4,487 3,474 2,812 2,224

4,457 3,453 2,798 2,215

4,430 3,435 2,785 2,208

4,405 3,419 2,774 2,201

Quantile der F-Verteilung mit (η, ;n 2 ) Freiheitsgraden

213

Tab. 5. Fortsetzung ni

25

30

40

50

60

1 0,990 0,975 0,950 0,900

6340 998,1 249,3 62,06

6261 1001 250,1 62,26

6287 1006 251,1 62,53

6303 1008 251,8 62,69

6313 1010 252,2 62,79

2 0,990 0,975 0,950 0,900

99,46 39,46 19,46 9,451

99,47 39,46 19,46 9,458

99,47 39,47 19,47 9,466

99,48 39,48 19,48 9,471

3 0,990 0,975 0,950 0,900

26,58 14,12 8,634 5,175

26,50 14,08 8,617 5,168

26,41 14,04 8,594 5,160

4 0,990 0,975 0,950 0,900

13,91 8,501 5,769 3,828

13,84 8,461 5,746 3,817

5 0,990 0,975 0,950 0,900

9,449 6,268 4,521 3,187

6 0,990 0,975 0,950 0,990

00

100

200

500

6326 1012 252,7 62,93

6334 1013 253,0 63,01

6350 1016 253,7 63,17

6359 1017 254,1 63,26

6366 1018 254,3 63,33

99,48 39,48 19,48 9,475

99,49 39,49 19,48 9,479

99,49 39,49 19,49 9,481

99,49 39,49 19,49 9,486

99,50 39,50 19,49 9,489

99,50 39,50 19,50 9,491

26,35 14,01 8,581 5,155

26,32 13,99 8,572 5,151

26,27 13,97 8,561 5,147

26,24 13,96 8,554 5,144

26,18 13,93 8,540 5,139

26,15 13,91 8,832 5,136

26,13 13,90 8,526 5,134

13,75 8,411 5,717 3,804

13,69 8,381 5,699 3,795

13,65 8,360 5,688 3,790

13,61 8,335 5,673 3,782

13,58 8,319 5,664 3,778

13,52 8,289 5,646 3,769

13,49 8,270 5,635 3,764

13,46 8,257 5,628 3,761

9,379 6,227 4,496 3,174

9,291 6,175 4,464 3,157

9,238 6,144 4,444 3,147

9,202 6,123 4,431 3,140

9,157 6,096 4,415 3,132

9,130 6,080 4,405 3,126

9,075 6,048 4,385 3,116

9,042 6,028 4,373 3,109

9,020 6,015 4,365 3,105

7,296 5,107 3,774 2,815

7,229 5,065 3,808 2,800

7,143 5,012 3,774 2,781

7,091 4,980 3,754 2,770

7,057 4,959 3,740 2,762

7,013 4,932 3,722 2,752

9,987 4,915 3,712 2,746

6,934 4,882 3,690 2,734

6,902 4,863 3,677 2,727

6,880 4,849 3,669 2,722

7 0,990 0,975 0,950 0,900

6,058 4,405 3,404 2,571

5,992 4,362 3,376 2,555

5,908 4,309 3,340 2,535

5,858 4,276 3,319 2,523

5,824 4,254 3,304 2,514

5,781 4,227 3,286 2,504

5,755 4,210 3,275 2,497

5,702 4,176 3,252 2,484

5,671 4,156 3,239 2,476

5,650 4,142 3,230 2,471

8 0,990 0,975 0,950 0,900

5,263 3,937 3,108 2,400

5,198 3,894 3,079 2,383

5,116 3,840 3,043 2,361

5,065 3,807 3,020 2,348

5,032 3,784 3,005 2,339

4,989 3,756 2,986 2,328

4,963 3,739 2,975 2,321

4,911 3,705 2,951 2,307

4,880 3,684 2,937 2,298

4,859 3,670 2,928 2,293

9 0,990 0,975 0,950 0,900

4,713 3,604 2,826 2,272

4,649 3,560 2,864 2,255

4,567 3,505 2,826 2,232

4,517 3,472 2,803 2,218

4,483 3,449 2,787 2,208

4,441 3,421 2,768 2,196

4,415 3,403 2,576 2,189

4,363 3,368 2,731 2,174

4,332 3,347 2,717 2,165

4,311 3,333 2,707 2,159

10 0,990 0,975 0,950 0,900

4,311 3,355 2,730 2,174

4,247 3,311 2,700 2,155

4,165, 3,255 2,661 2,132

4,155 3,221 2,637 2,117

4,082 3,198 2,621 2,107

4,039 3,169 2,601 2,095

4,014 3,152 2,588 2,087

3,962 3,116 2,563 2,071

3,930 3,094 2,548 2,062

3,909 3,080 2,538 2,055

n2

1 -α

80

214

Quantile der F - Verteilung mit (η, ; n 2 ) Freiheitsgraden Tab. 5. Fortsetzung n2

nl l-o

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 0,990 0,975 0,950 0,900

9,646 6,724 4,844 3,225

7,206 5,256 3,982 2,860

6,217 4,630 3,587 2,660

5,668 4,257 3,357 2,536

5,316 4,044 3,204 2,451

5,069 3,881 3,095 2,389

4,886 3,759 3,012 2,342

4,744 3,664 2,948 2,304

4,632 3,588 2,896 2,274

4,539 3,526 2,854 2,248

12 0,990 0,975 0,950 0,900

9,330 6,554 4,747 3,177

6,927 5,096 3,885 2,807

5,953 4,474 3,490 2,606

5,412 4,121 3,259 2,480

5,064 3,891 3,106 2,394

4,821 3,728 2,996 2,331

4,640 3,607 2,913 2,283

4,499 3,512 2,849 2,245

4,388 3,436 2,796 2,214

4,296 3,374 2,753 2,188

13 0,990 0,975 0,950 0,900

9,074 6,414 4,667 3,136

6,701 4,965 3,806 2,763

5,739 4,347 3,411 2,560

5,205 3,996 3,179 2,434

4,862 3,767 3,025 2,347

4,620 3,604 2,915 2,283

4,441 3,483 2,832 2,234

4,302 3,388 2,767 2,195

4,191 3,312 2,714 2,164

4,100 3,250 2,671 2,138

14 0,990 0,975 0,950 0,900

8,862 6,298 4,600 3,102

6,515 4,857 3,739 2,726

5,564 4,242 3,344 2,522

5,035 3,892 3,112 2,395

4,695 3,663 2,958 2,307

4,456 3,501 2,848 2,243

4,278 3,380 2,764 2,193

4,140 3,285 2,699 2,154

4,030 3,209 2,646 2,122

3,939 3,147 2,602 2,095

15 0,990 0,975 0,950 0,900

8,683 6,200 4,543 3,073

6,359 4,765 3,682 2,965

5,417 4,153 3,287 2,490

4,893 3,804 3,056 2,361

4,556 3,576 2,901 2,273

4,318 3,415 2,790 2,208

4,142 3,293 2,707 2,158

4,004 3,199 2,641 2,119

3,895 3,123 2,588 2,086

3,805 3,060 2,544 2,059

16 0,990 0,975 0,950 0,990

8,531 6,115 4,494 3,048

6,226 4,687 3,634 2,668

5,292 4,077 3,239 2,462

4,773 3,729 3,007 2,333

4,437 3,502 2,852 2,244

4,202 3,341 2,741 2,178

4,026 3,219 2,657 2,128

3,890 3,125 2,591 2,088

3,780 3,049 2,538 2,055

3,691 2,986 2,494 2,028

17 0,990 0,975 0,950 0,900

8,400 6,042 4,451 3,026

6,112 4,619 3,592 2,645

5,185 4,011 3,197 2,437

4,669 3,665 2,965 2,308

4,336 4,438 2,810 2,218

4,102 3,277 2,699 2,152

3,927 3,156 2,614 2,102

3,791 3,061 2,548 2,061

3,682 2,985 2,494 2,028

3,593 2,922 2,450 2,001

18 0,990 0,975 0,950 0,900

8,285 5,978 4,414 3,007

6,013 4,560 3,555 2,624

5,092 3,954 3,160 2,146

4,579 3,608 2,928 2,286

4,248 3,382 2,773 2,196

4,015 3,221 2,661 2,130

3,841 3,100 2,577 2,079

3,705 3,005 2,510 2,038

3,597 2,929 2,456 2,005

3,508 2,866 2,412 1,977

19 0,990 0,975 0,950 0,900

8,185 5,922 4,381 2,990

5,926 4,508 3,522 2,606

5,010 3,903 3,127 2,397

4,500 3,559 2,895 2,266

4,171 3,333 2,740 2,176

3,939 3,172 2,628 2,109

3,765 3,051 2,544 2,058

3,631 2,956 2,477 2,017

3,523 2,880 2,423 1,984

3,434 2,817 2,378 1,956

20 0,990 0,975 0,950 0,900

8,096 5,871 4,351 2,975

5,849 4,461 3,493 2,589

4,938 3,859 3,098 2,380

4,431 3,515 2,866 2,249

4,103 3,289 2,711 2,158

3,871 3,128 2,599 2,091

3,699 3,007 2,514 2,040

3,564 2,913 2,477 1,999

3,457 2,837 2,393 1,965

3,368 2,774 2,348 1,937

Quantité der F - Verteilung mit (η, ; n 2 ) Freiheitsgraden

215

Tab. 5. Fortsetzung n i 1 -α

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

11 0,990 0,975 0,950 0,900

4,462 3,474 2,818 2,227

4,397 3,430 2,788 2,209

4,342 3,392 2,761 2,193

4,293 3,359 2,739 2,179

4,251 3,330 2,179 2,167

4,213 3,304 2,701 2,156

4,180 3,282 2,685 2,147

4,150 3,261 2,671 2,138

4,123 3,243 2,658 2,130

4,099 3,226 2,646 2,123

12 0,990 0,975 0,950 0,900

4,220 3,321 2,717 2,166

4,155 3,277 2,687 2,147

4,100 3,239 2,660 2,131

4,052 3,206 2,637 2,117

4,010 3,177 2,617 2,105

3,972 3,152 2,599 2,094

3,939 3,129 2,583 2,084

3,909 3,108 2,568 2,075

3,883 3,090 2,555 2,067

3,858 3,073 2,544 2,060

13 0,990 0,975 0,950 0,900

4,025 3,197 2,635 2,116

3,960 3,153 2,604 2,097

3,905 3,115 2,577 2,080

3,857 3,082 2,533 2,066

3,815 3,053 2,533 2,053

3,778 3,027 2,515 2,042

3,745 3,004 2,499 2,032

3,716 2,983 2,484 2,023

3,689 2,965 2,471 2,014

3,665 2,948 2,459 2,007

14 0,990 0,975 0,950 0,900

3,864 3,095 2,565 2,073

3,800 3,050 2,534 2,054

3,745 3,012 2,507 2,037

3,697 2,978 2,484 2,022

3,656 2,949 2,463 2,010

3,619 2,923 2,445 1,998

3,586 2,900 2,428 1,988

3,556 2,879 2,413 1,978

3,529 2,861 2,400 1,970

3,505 2,844 2,388 1,962

15 0,990 0,975 0,950 0,900

3,730 3,008 2,507 2,037

3,666 2,963 2,475 2,017

3,612 2,925 2,448 2,000

3,564 2,891 2,424 1,985

3,522 2,862 2,403 1,972

3,485 2,836 2,385 1,961

3,452 2,813 2,368 1,950

3,423 2,792 2,353 1,941

3,396 2,773 2,340 1,932

3,372 2,756 2,328 1,924

16 0,990 0,975 0,950 0,990

3,616 2,934 2,456 2,005

3,553 2,889 2,425 1,985

3,498 2,851 2,397 1,968

3,450 2,817 2,373 1,953

3,409 2,788 2,352 1,940

3,372 2,761 2,333 1,928

3,339 2,738 2,317 1,917

3,310 2,717 2,302 1,908

3,283 2,698 2,288 1,899

3,259 2,681 2,276 1,891

17 0,990 0,975 0,950 0,900

3,519 2,870 2,413 1,978

3,455 2,825 2,381 1,958

3,401 2,786 2,353 1,940

3,353 2,753 2,329 1,925

3,312 2,723 2,308 1,912

3,275 2,697 2,289 1,900

3,242 2,673 2,272 1,889

3,212 2,652 2,257 1,879

3,186 2,633 2,243 1,870

3,162 2,616 2,230 1,862

18 0,990 0,975 0,950 0,900

3,434 2,814 2,374 1,954

3,371 2,769 2,342 1,933

3,316 2,730 2,314 1,916

3,269 2,696 2,290 1,900

3,227 2,667 2,269 1,887

3,190 2,640 2,250 1,875

3,158 2,617 2,233 1,864

3,128 2,596 2,217 1,854

3,101 2,576 2,203 1,845

3,077 2,559 2,191 1,837

19 0,990 0,975 0,950 0,900

3,360 2,765 2,340 1,932

3,297 2,720 2,308 1,912

3,242 2,681 2,280 1,894

3,195 2,647 2,256 1,878

3,153 2,617 2,234 1,865

3,116 2,591 2,215 1,852

3,084 2,567 2,198 1,841

3,054 2,546 2,182 1,831

3,027 2,526 2,168 1,822

3,003 2,509 2,155 1,814

20 0,990 0,975 0,950 0,900

3,294 2,721 2,310 1,913

3,231 2,676 2,278 1,892

3,177 2,637 2,250 1,875

3,130 2,603 2,225 1,859

3,088 2,573 2,203 1,845

3,051 2,547 2,184 1,833

3,018 2,523 2,167 1,821

2,989 2,501 2,151 1,811

2,962 2,482 2,137 1,802

2,938 2,464 2,124 1,794

n

2

216

Quantile der F-Verteilung mit (n1 ;n 2 ) Freiheitsgraden Tab. 5. Fortsetzung nl 1-a

25

30

40

50

60

100

200

500

11 0,990 0,975 0,950 0,900

4,005 3,162 2,601 2,095

3,941 3,118 2,570 2,076

3,860 3,061 2,531 2,052

3,810 3,027 2,507 2,036

3,776 3,004 2,490 2,026

3,734 2,794 2,469 2,013

3,708 2,956 2,457 2,005

3,656 2,920 2,431 1,989

3,624 2,898 2,415 1,983

3,602 2,883 2,404 1,972

12 0,990 0,975 0,950 0,900

3,765 3,008 2,498 2,031

3,701 2,963 2,466 2,011

3,619 2,906 2,426 1,986

3,569 2,871 2,401 1,970

3,535 2,848 2,384 1,960

3,493 2,818 2,363 1,946

3,467 2,800 2,350 1,938

3,414 2,763 2,323 1,921

3,382 2,740 2,307 1,911

3,361 2,725 2,296 1,904

13 0,990 0,975 0,950 0,900

3,571 2,882 2,412 1,978

3,507 2,837 2,380 1,958

3,425 2,780 2,339 1,931

3,375 2,744 2,314 1,915

3,341 2,720 2,297 1,904

3,298 2,690 2,275 1,890

3,272 2,671 2,261 1,882

3,219 2,634 2,234 1,864

3,187 2,611 2,218 1,854

3,165 2,595 2,206 1,846

14 0,990 0,975 0,950 0,900

3,412 2,778 2,341 1,933

3,348 2,732 2,308 1,912

3,266 2,674 2,266 1,885

3,215 2,638 2,241 1,869

3,181 2,614 2,223 1,857

3,138 2,583 2,201 1,843

3,112 2,565 2,187 1,834

3,059 2,526 2,159 1,816

3,026 2,503 2,142 1,805

3,004 2,487 2,131 1,797

15 0,990 0,975 0,950 0,900

3,278 2,689 2,280 1,894

3,214 2,644 2,247 1,873

3,132 2,585 2,204 1,845

3,081 2,549 2,178 1,828

3,047 2,524 2,160 1,817

3,004 2,493 2,137 1,802

2,977 2,474 2,123 1,793

2,923 2,435 2,095 1,774

2,891 2,411 2,078 1,763

2,868 2,395 2,066 1,755

16 0,990 0,975 0,950 0,990

3,165 2,614 2,227 1,860

3,101 2,568 2,194 1,839

3,018 2,509 2,151 1,811

2,967 2,472 2,124 1,793

2,933 2,447 2,106 1,782

2,889 2,415 2,083 1,766

2,863 2,396 2,068 1,757

2,808 2,357 2,039 1,738

2,775 2,333 2,022 1,726

2,753 2,316 2,010 1,718

17 0,990 0,975 0,950 0,900

3,068 2,548 2,181 1,831

3,003 2,502 2,148 1,809

2,920 2,442 2,104 1,781

2,869 2,405 2,077 1,763

2,835 2,380 2,058 1,751

2,791 2,348 2,035 1,735

2,764 2,329 2,020 1,726

2,709 2,289 1,991 1,706

2,676 2,264 1,973 1,694

2,653 2,247 1,960 1,686

18 0,990 0,975 0,950 0,900

2,983 2,491 2,141 1,805

2,919 2,444 2,107 1,783

2,835 2,384 2,063 1,754

2,784 2,347 2,035 1,736

2,749 2,321 2,017 1,723

2,705 2,289 1,993 1,707

2,678 2,269 1,978 1,698

2,623 2,229 1,948 1,678

2,589 2,204 1,929 1,665

2,566 2,187 1,917 1,657

19 0,990 0,975 0,950 0,900

2,909 2,441 2,106 1,782

2,844 2,394 2,071 1,759

2,761 2,333 2,026 1,730

2,709 2,295 1,999 1,711

2,674 2,270 1,980 1,699

2,630 2,237 1,955 1,683

2,602 2,217 1,940 1,673

2,547 2,176 1,910 1,652

2,512 2,150 1,891 1,639

2,489 2,133 1,878 1,631

20 0,990 0,975 0,950 0,900

2,843 2,396 2,074 1,761

2,778 2,349 2,039 1,738

2,695 2,287 1,994 1,708

2,643 2,249 1,966 1,690

2,608 2,223 1,946 1,677

2,563 2,190 1,922 1,660

2,535 2,170 1,907 1,650

2,479 2,128 1,875 1,629

2,445 2,103 1,856 1,616

2,421 2,085 1,843 1,607

n2

80

00

217

Quantile der F-Verteilung mit (η, ;n 2 ) Freiheitsgraden Tab. 5. Fortsetzung n

l

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

25 0,990 0,975 0,950 0,900

7,770 5,686 4,242 2,918

5,568 4,291 3,385 2,528

4,675 3,694 2,991 2,317

4,177 3,353 2,759 2,184

3,855 3,129 2,603 2,092

3,627 2,969 2,490 2,024

3,457 2,848 2,405 1,971

3,324 2,753 2,337 1,929

3,217 2,677 2,282 1,895

3,129 2,613 2,236 1,866

30 0,990 0,975 0,950 0,900

7,562 5,568 4,171 2,881

5,390 4,182 3,316 2,489

4,510 3,589 2,922 2,276

4,018 3,250 2,690 2,142

3,699 3,026 2,534 2,049

3,473 2,867 2,421 1,980

3,304 2,746 2,334 1,927

3,173 2,651 2,266 1,884

3,067 2,275 2,211 1,849

2,979 2,511 2,165 1,819

40 0,990 0,975 0,950 0,900

7,314 5,424 4,085 2,835

5,179 4,051 3,232 2,440

4,313 3,463 2,839 2,226

3,828 3,126 2,606 2,091

3,514 2,904 2,449 1,997

3,291 2,744 2,336 1,927

3,124 2,624 2,249 1,873

2,993 2,529 2,180 1,829

2,888 2,452 2,124 1,793

2,801 2,388 2,077 1,763

50 0,990 0,975 0,950 0,900

7,171 5,340 4,034 2,809

5,057 3,975 3,183 2,412

4,199 3,390 2,790 2,197

3,720 3,054 2,557 2,061

3,048 2,833 2,400 1,966

3,186 2,674 2,286 1,895

3,020 2,553 2,199, 1,840

2,890 2,458 2,130 1,796

2,785 2,381 2,073 1,760

2,698 2,317 2,026 1,729

60 0,990 0,975 0,950 0,900

7,077 5,286 4,001 2,791

4,977 3,925 3,510 2,393

4,126 3,343 2,758 2,177

3,649 3,008 2,525 2,041

3,339 2,786 2,368 1,946

3,119 2,627 2,254 1,875

2,953 2,507 2,167 1,819

2,823 2,412 2,097 1,775

2,718 2,334 2,040 1,738

2,632 2,270 1,993 1,707

80 0,990 0,975 0,950 0,900

6,963 5,218 3,960 2,769

4,881 3,864 3,111 2,370

4,036 3,284 2,719 2,514

3,563 2,950 2,486 2,016

3,255 2,730 2,329 1,921

3,036 2,571 2,214 1,849

2,871 2,450 2,126 1,793

2,742 2,355 2,056 1,748

2,637 2,277 1,999 1,711

2,551 2,213 1,951 1,680

100 0,990 0,975 0,950 0,900

6,895 5,179 3,936 2,756

4,824 3,828 3,087 2,356

3,984 2,250 2,696 2,139

3,513 2,917 2,463 2,002

3,206 2,696 2,305 1,906

2,988 2,537 2,191 1,834

2,823 2,417 2,103 1,778

2,694 2,321 2,032 1,732

2,590 2,244 1,975 1,695

2,503 2,179 1,927 1,663

200 0,990 0,975 0,950 0,900

6,763 5,100 3,888 2,731

4,713 3,758 3,041 2,329

3,881 3,182 2,650 2,111

3,414 2,850 2,417 1,973

3,110 2,630 2,259 1,876

2,893 2,472 2,144 1,804

2,730 2,351 2,056 1,747

2,601 2,256 1,985 1,701

2,497 2,178 1,927 1,663

2,411 2,113 1,878 1,631

500 0,990 0,975 0,950 0,900

6,686 5,054 3,860 2,716

4,648 3,716 3,014 2,313

3,821 3,142 2,623 2,095

3,357 2,811 2,390 1,956

3,054 2,592 2,232 1,859

2,838 2,434 2,117 1,786

2,675 2,313 2,028 1,729

2,547 2,217 1,957 1,683

2,443 2,139 1,899 1,644

2,357 2,074 1,850 1,612

oo 0,990 0,975 0,950 0,900

6,635 5,024 3,841 2,706

4,605 3,689 2,996 2,303

3,782 3,116 2,605 2,084

3,319 2,786 2,372 1,945

3,017 2,567 2,214 1,847

2,802 2,408 2,099 1,774

2,639 2,288 2,010 1,717

2,511 2,192 1,938 1,670

2,407 2,114 1,880 1,632

2,321 2,048 1,831 1,599

n

2

1- α

218

Quantile der F - Verteilung mit (ηΊ ; n 2 ) Freiheitsgraden Tab. 5. Fortsetzung nl l-o

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

25 0,990 0,975 0,950 0,900

3,056 2,560 2,198 1,841

2,993 2,515 2,165 1,820

2,939 2,476 2,136 1,802

2,892 2,441 2,111 1,785

2,850 2,411 2,089 1,771

2,813 2,384 2,069 1,758

2,780 2,360 2,051 1,746

2,751 2,338 2,035 1,736

2,724 2,318 2,021 1,726

2,699 2,300 2,007 1,718

30 0,990 0,975 0,950 0,900

2,905 2,458 2,126 1,794

2,843 2,412 2,092 1,773

2,789 2,372 2,063 1,754

2,742 2,338 2,037 1,737

2,700 2,307 2,015 1,722

2,663 2,280 1,995 1,709

2,630 2,255 1,976 1,697

2,600 2,233 1,960 1,686

2,573 2,213 1,945 1,676

2,549 2,195 1,932 1,667

40 0,990 0,975 0,950 0,900

2,727 2,334 2,038 1,737

2,665 2,288 2,003 1,715

2,611 2,248 1,974 1,695

2,563 2,213 1,947 1,678

2,522 2,182 1,924 1,662

2,484 2,154 1,904 1,649

2,451 2,129 1,885 1,636

2,421 2,107 1,868 1,625

2,394 2,086 1,853 1,615

2,369 2,068 1,839 1,605

50 0,990 0,975 0,950 0,900

2,625 2,263 1,986 1,703

2,562 2,216 1,952 1,680

2,508 2,176 1,921 1,660

2,461 2,140 1,895 1,643

2,419 2,109 1,871 1,627

2,382 2,081 1,850 1,613

2,348 2,056 1,831 1,600

2,318 2,033 1,814 1,588

2,290 2,012 1,798 1,578

2,265 1,993 1,784 1,568

60 0,990 0,975 0,950 0,900

2,559 2,216 1,952 1,680

2,496 2,169 1,917 1,657

2,442 2,129 1,887 1,637

2,394 2,093 1,860 1,619

2,352 2,061 1,836 1,603

2,315 2,033 1,815 1,589

2,281 2,008 1,796 1,576

2,251 1,985 1,778 1,564

2,223 1,964 1,763 1,553

2,198 1,944 1,748 1,543

80 0,990 0,975 0,950 0,900

2,478 2,158 1,910 1,653

2,415 2,111 1,875 1,629

2,361 2,071 1,845 1,609

2,313 2,035 1,817 1,590

2,271 2,003 1,793 1,574

2,233 1,974 1,772 1,559

2,199 1,948 1,752 1,546

2,169 1,925 1,734 1,534

2,141 1,904 1,718 1,523

2,115 1,884 1,703 1,513

100 0,990 0,975 0,950 0,900

2,430 2,124 1,886 1,636

2,367 2,077 1,850 1,612

2,313 2,036 1,819 1,592

2,265 2,000 1,792 1,573

2,223 1,968 1,768 1,557

2,185 1,939 1,746 1,542

2,151 1,913 1,726 1,528

2,120 1,890 1,708 1,516

2,092 1,868 1,691 1,505

2,067 1,849 1,676 1,494

200 0,990 0,975 0,950 0,900

2,338 2,058 1,837 1,603

2,275 2,010 1,801 1,579

2,220 1,969 1,769 1,558

2,172 1,932 1,742 1,539

2,129 1,900 1,717 1,522

2,091 1,870 1,694 1,507

2,057 1,844 1,674 1,493

2,026 1,820 1,656 1,480

1,997 1,798 1,639 1,468

1,971 1,778 1,623 1,458

500 0,990 0,975 0,950 0,900

2,283 2,019 1,808 1,584

2,220 1,971 1,772 1,559

2,166 1,929 1,740 1,537

2,117 1,892 1,712 1,518

2,075 1,859 1,686 1,501

2,036 1,830 1,664 1,485

2,002 1,803 1,643 1,471

1,970 1,779 1,625 1,458

1,942 1,757 1,607 1,446

1,915 1,736 1,592 1,435

00 0,990 0,975 0,950 0,900

2,248 1,993 1,789 1,571

2,185 1,945 1,752 1,546

2,130 1,903 1,720 1,524

2,081 1,866 1,692 1,505

2,039 1,833 1,666 1,487

2,000 1,803 1,644 1,471

1,965 1,776 1,623 1,457

1,934 1,752 1,604 1,444

1,905 1,729 1,587 1,432

1,878 1,708 1,751 1,421

n2

Quantile der F-Verteilung mit (η, ;n 2 ) Freiheitsgraden

219

Tab. 5. Fortsetzung ni 1-a

00

100

200

500

2,317 2,017 1,796 1,576

2,289 1,996 1,779 1,565

2,230 1,952 1,746 1,542

2,200 1,926 1,726 1,527

2,176 1,908 1,712 1,517

2,208 1,940 1,740 1,538

2,160 1,904 1,712 1,519

2,131 1,882 1,695 1,507

2,070 1,835 1,660 1,482

2,032 1,807 1,638 1,467

2,006 1,787 1,622 1,456

2,058 1,832 1,660 1,483

2,019 1,803 1,637 1,467

1,969 1,764 1,608 1,447

1,938 1,741 1,589 1,434

1,874 1,691 1,551 1,406

1,833 1,659 1,526 1,389

1,805 1,637 1,509 1,377

2,007 1,796 1,634 1,465

1,949 1,752 1,599 1,441

1,909 1,721 1,576 1,424

1,857 1,681 1,544 1,402

1,825 1,656 1,525 1,388

1,757 1,603 1,484 1,359

1,713 1,569 1,457 1,340

1,683 1,545 1,438 1,327

2,028 1,815 1,649 1,476

1,936 1,744 1,594 1,437

1,877 1,699 1,559 1,413

1,836 1,667 1,534 1,395

1,783 1,625 1,502 1,372

1,749 1,599 1,481 1,358

1,678 1,543 1,438 1,326

1,633 1,508 1,409 1,306

1,601 1,482 1,389 1,291

2,015 1,807 1,644 1,472

1,944 1,752 1,602 1,443

1,849 1,679 1,545 1,403

1,788 1,632 1,508 1,377

1,746 1,599 1,482 1,358

1,690 1,555 1,448 1,334

1,655 1,527 1,426 1,318

1,579 1,467 1,379 1,284

1,530 1,428 1,347 1,261

1,494 1,400 1,325 1,245

100 0,990 0,975 0,950 0,900

1,965 1,770 1,616 1,453

1,893 1,715 1,573 1,423

1,797 1,640 1,515 1,382

1,735 1,592 1,477 1,355

1,692 1,558 1,450 1,336

1,634 1,512 1,415 1,310

1,598 1,483 1,392 1,293

1,518 1,420 1,342 1,257

1,466 1,378 1,308 1,232

1,427 1,347 1,283 1,214

200 0,990 0,975 0,950 0,900

1,868 1,698 1,561 1,414

1,794 1,640 1,516 1,383

1,694 1,562 1,455 1,339

1,629 1,511 1,415 1,310

1,583 1,474 1,386 1,289

1,521 1,425 1,346 1,261

1,481 1,393 1,321 1,242

1,391 1,320 1,263 1,199

1,328 1,269 1,221 1,168

1,279 1,229 1,189 1,144

500 0,990 0,975 0,950 0,900

1,812 1,655 1,528 1,391

1,735 1,596 1,482 1,358

1,633 1,515 1,419 1,313

1,566 1,462 1,376 1,282

1,517 1,423 1,346 1,260

1,452 1,370 1,303 1,229

1,408 1,336 1,275 1,209

1,308 1,254 1,210 1,160

1,232 1,192 1,159 1,122

1,164 1,137 1,113 1,087

00 0,990 0,975 0,950 0,900

1,774 1,626 1,506 1,375

1,696 1,588 1,476 1,342

1,592 1,484 1,394 1,295

1,523 1,428 1,350 1,263

1,473 1,388 1,318 1,240

1,404 1,333 1,274 1,207

1,358 1,296 1,243 1,850

1,247 1,205 1,170 1,130

1,153 1,128 1,106 1,082

1,000 1,000 1,000 1,000

n2

25

30

40

50

60

25 0,990 0,975 0,950 0,900

2,604 2,230 1,955 1,683

2,838 2,182 1,919 1,659

2,453 2,118 1,872 1,627

2,400 2,079 1,842 1,607

2,364 2,052 1,822 1,593

30 0,990 0,975 0,950 0,900

2,453 2,124 1,878 1,632

2,386 2,074 1,841 1,606

2,299 2,009 1,792 1,573

2,245 1,968 1,761 1,552

40 0,990 0,975 0,950 0,900

2,271 1,994 1,783 1,568

2,203 1,943 1,744 1,541

2,114 1,875 1,693 1,506

50 0,990 0,975 0,950 0,900

2,167 1,919 1,727 1,529

2,098 1,866 1,687 1,502

60 0,990 0,975 0,950 0,900

2,098 1,869 1,690 1,504

80 0,990 0,975 0,950 0,900

80

220

Quantile der F-Verteilung mit (n1 ;n 2 ) Freiheitsgraden

su Tab. 5: Tabelliert sind nur rechtsseitige Quantile. Für das Quantil f ^ . j - « , Links vom Quantil f^ .

gilt

. j _β

Ablesebeispiel: fi8,i2;0,95

=

linksseitige Quantile : f_

liegt die Wahrscheinlichkeitsmasse 1 — a.

2,568 . =

1

1

Besiehung rar t^Verteilung :

. n j . x _ Q) = 1 - α.

f

1

.

hij , nj ¡ 1 - o f l n 2 ; 1 _ e = [t n2 ; ι _ α ] 2 · fj ^ . j _ Q = [zj _ J 2 .

Beziehung rar Standard-Normalverteilung:

Grenzwerte : ^2 η,1 ; α n. f — . f — 2 .f _ ι Tij,oo;l—o Dj ' o o ^ j i l - o ^2n2 ; 1 - α ' oo,oo;l — α Harmonische Interpolation : Gesucht ist das nichtvertafelte Quantil

^ ; ι — er •

a) Vertafelt seien die Quantile mit dem Freiheitsgrad n 2 , nicht jedoch die mit nj. Mit Hilfe der vertafelten Quantile mit (nj ; n2) und (nj' ; n2) Freiheitsgraden mit n j < nj < η y wird linear interpoliert mit den reziproken Freiheitsgraden f

1 ' n2 · * — °

- L

+ ÜLIÜLY, _ f i ' n2 ' ^ — α _1 1_ \ n j , nj ; 1 — α η η ί ϊ

n ï ( n i - n i ) (f _ ι "2 ; 1 — β τ n ^ n y - n i ) W ' n 2 ; 1 - e

_ -

f

ï *n^,n 2 ¡l-ay 1

) »i,n2:l-o/

b) Interpolation nach Laubacher : Für die Freiheitsgrade n^ < nj < nj' und n^ < n 2 < nj¡' seien die Quantile ^l.njsl-e · ' ^ i ' . n J j U - a u n d ^ . n ^ l - o vertafelt. Dann erhält man mit den reziproken Freiheitsgraden die lineare Interpolation bei zwei Variablen f

nj . D j S l - e

Ä

(i-^-^-^-íni.niíl-o

+ í1 " c l ) ' c 2 . n J ; 1 - o

+ c l , ( 1 _ c 2 ) ' f n y , n ! í ; l - a + C1 ' c2

,nÍ¡· ; 1 - α

Quantile der F - Verteilung mit (η Ί ; n 2 ) Freiheitsgraden

mit

e,

=

ην Κ - n i ) Η

n^ny-nj)

η

und

c2,

=

2 (η2

— η

221

2 ) ¿4 .

η2(η^-4)

F ü r n j = n j ist Cj = 0 , für n^ = n 2 gilt c 2 = 0, also F a l l a).

Approximationen nach Paulson für n 2 > 3 :

Zl

ZJ _

α

~°

I -2-.\f

^ 9n2

lS,n2;l-oi

,2/3 . _2_ +

9 n i

= ( 1 - a ) - Q u a n t i l der S t a n d a r d - N o r m a l v e r t e i l u n g .

'

•

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