J. L. Lagrange’s mathematische Werke: Band 1 Die Theorie der analytischen Functionen [Neue, vom Verf. verb. und verm. Aufl. Reprint 2018] 9783111406893, 9783111043425

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J. L. Lagrange's mathematische

W e r k e. Deutsch

herausgegeben von

A. L. Cr

E r s t e r

eile.

B a n d ,

èie Theorie der analytischen Functionen enthaltend.

B e r l i n ,

bei

G.

1 8 2 3.

Reimer.

Th e o r i e der

analytischen Functionen. Enthaltend:

die Hauptsatze der Differential-Rechnung, ohne die Vorstellung vom Unendlich-Kleinen, von verschwindenden Grössen, von Grenzen und Fluxioncn, ganz nach Art der algebraischen Analysis endlicher Grössen vorgetragen

J. L.

Lagrange,

Mitgliedc des Instituts der Künste und Wissenschaften, des L ä n g e n liurcau\ uud des Senat - Conservateurs, Grosskreuze der E h r e n Legion lind Rcichcgrofen.

Neue, vorn Verfasser verbesserte und vermehrte Auflage. N e b «t Nachriclitcn von L a g r a n g e ' s Leben und einem Verzeichnisse seiner Werke, deutsch herausgegeben und mit Anmerkungen, Erläuterungen und Zusätzen begleitet

Dr. A. L.

Creile,

Runici. Prouoi. Geheimen O b e r - B a u r a t h e .

Mit

zwei

B e r l i n ,

K u p f e r t a f e l n .

bei

G.

» 8 2 3.

R e i m e r .

Vorrede des Uebersetzers.

U n t e r den Mathematikern, die ihre Wissenschaft weiter ausbildeten, nimmt Lagrange eine vorxügliche Stelle ein. Er steht, imVerdienste um dieMathematik, in gleichem Range mit E u e Ii des, Archimedes, Leibnitz, N e w t o n und E u 1 e r. Ihm verdankt die Mathematik die Erfindung der VariationsRechnung; eine rein analytische, auf den Variations-Calcul gegründete Darstellung der gesammten Mechanik, mit wichtigen Anwendungen auf die Astronomie; Entdeckungen in der Theorie der algebraischen Gleichungen, denen, nach

nach Ihm, wenig Neues hinzugefügt worden; die Begründung und Feststellung der Principien der sogenannten Infinitesimal-Rechnung und unzählige andere einzelne Entdeckungen und Vervollkommnungen in allen Theilen der Grössenlehre. L a g r a n g e war, in jedem Sinne, des grossen E u l e r s würdiger Nachfolger: in Bestrebungen, im Verdienste, und sogar in der Stelle, welche er, zwenzig Jahre long, bei der Academie der Wissenschaften zu Berlin bekleidete. Beide Männer gingen denselben Weg, nemHch den analytischen, der i n der Mathematik unstreitig der wahre Weg der Entdeckung ist. Sie Beide sind es vorzüglich, die der Mathematik ihre neueste Gestalt und Ausdehnung gaben. E u l e r s unerschöpflicher, einen bewundernswürdigen Fleiss belohnender Reichthum, und, mit diesem ausgerüstet, L a g r a n g e ' s schaffende

fende Kraft hatten Erfolge, welche Epoche in der Wissenschaft machten and dieselbe um einen ganzen Zeitraum vor, ja zum Theil, wie es z. B. mit der analytischen Mechanik scheint, ilbfer die gegenwärtige Zeit hinaus rückten. L a g r a n g e ' s Schriften enthalten für den Kenner einen, noch auf späte Zeiten hin, nutzbaren Schatz von mathematischen Sätzen und Gedanken, und zum Studio sind wenige andere Schriften, in jedem Sinne, und besonders ihrer Eigentümlichkeit wegen, so sehr zu empfehlen, wie die seinigen. In hohem Grade nemlich besass dieser Schriftsteller die seltene Oabe, einen Gegenstand aus dem umfassendsten und allgemeinsten Standpunkte zu betrachten, ihn zu überschauen und bis in seine Tiefen zu durchdringen. L a g r a n g e ' s Klarheit der Ideeh und der Darstellung ist fast ohne Beispiel; das Ver-

Verwick eheste ist ihm, und wird durch ihn so leicht und einfach, wie das Elementare, und an Strenge und Scharfsinn möchten nur die Alten ihm zu vergleichen sein. Alle seine Schriften sind Denen, für die er sie bestimmte, in hohem Grade deutlich, welches der stärkste Beweis ist, dass er sich selbst klar war. Denn Worte sind die Bilder der Gedanken, und Klarheit des Vortrages und der Begriffe können nur beisammen sein. L a g r a n g e war einer der hellsten und ruhigsten, und, wenn der Ausdruck erlaubt ist, v e r s t ä n d i g s t e n Denker, zugleich aber einer der anspruchlosesten, und nie etwas anders als seinen Gegenstand im Auge behaltenden Lehrer, welche je die Mathematik besass. Was aber kann, besonders in einer kränkelnden Zeit, wie die jetzige, wo nur zu häufige Spuren, theils der Ueberspannung, theils

theils der Betäubung, mit allen Verirrungen in ihrem Gefolge, nicht die Fortschritte der Wissenschaften, sondern ihren Verfall anzukündigen scheinen, diensamer und mehr N o t h sein, als Werke, in welchen ein reiner, gesunder und kräftiger Sinn zu finden ist, und die nichts anders wollen, als die treue Förderung der schlichten Währheit und ihres Gegenstandes. L a g r a n g e ' s mathematische Schriften besitzen diese Eigenschaften in vorzüglichem Grade; und, während des grossen E u l e r s Schriften einen unübersehbaren Schatz von R e s u l t a t e n des richtigen und natürlichen mathematischen Denkens darbieten, sind L a g r a n g e ' s Werke, mit ähnlichenResultaten ausgestattet, durch Beispiel, die schönste Lehre des richtigen mathematischen D e n k e n s s e l b s t , Wer mit L a g r a n g e ' s Art und auf seinem Wege wan-

wandelt, wird nicht zurückgehen! Mit einem Worte: L a g r a n g e ' s Werke gehören zu dem Vorzüglichsten, was je in der Mathema'ik geleistet wurde. Dennoch sind diese Werke in Deutschland, im Verhältnisse ihres Werths, viel zu wenig bekannt. Fast nur wer die Mathematik ex professo treibt, weiss um sie und schätzt sie. Zum Studiren werden sie wenig benutzt und den Anfäpgern sind sie fast unbekannt, während doch grade ihr N u t zen für Lernende, aus den obigen Gründen, nicht geringer sein möchte, als ihr Nutzen für Kenner. Die Hindernisse allgemeiner Bekanntschaft mit diesen schätzbaren Werken liegen in mehreren Umständen. Erstlich ist unstreitig die fremde Sprache, in welcher L a g r a n g e schrieb, ein Hinderniss allg e m e i n e r Bekanntscaft mit seinenSchriften; denn die Fähigkeit, eine Wis-

Wissenschaft in Büchern zu s t n d i r e n die nicht in der Muttersprache verfasst sind, ist nicht allgemein; auch wird dieses Hindernis« noch durch die Schwierigkeit, in Deutschland, französische Bücher schnell und wohlfeil zu erhalten, vergrössert. Zweitens Hegt ein Hinderniss darin, dass L a g r a n g e nie eigentliche Lehrbücher schrieb, sondern fast nur zerstreute Abhandlungen und Bemerkungen über einzelne Gegenstände^ Das einzige Werk, welches Lehrbuch zu nennen wäre, nemlich die analytische Mechanik, beschäftigt sich nicht mit den Elementen der Wissenschaft, wenigstens nicht in dem Sinne, den man gewöhnlich dem Worte „Elemente" beizulegen pflegt, s ond ern mit der allgemeins tenEntwickelung der Mechanik, bis an ihre äussersten Grenzen, und ist Denen, die die vorhergehenden Theile der Mathematik

tik nicht in demselben Geiste studirten, kaum zugänglich. Andere, mehr vereinzelte Abhandlungen über abgesonderte, aber gleichwohl fast alle Theile der Mathematik berührende Gegenstände, sind in den verschiedenartigsten periodischen Schriften, in denMemoiren der Academieen von Turin, Berlin und Paris, in den Journalen der neuen französischen Schulen u. s. w. zerstreut. Hieraus scheint zu folgen, dass L a g r a n g e ' s Schriften zum eigentlichen Studio weniger geeignet sind, was indessen nicht der Fall ist. Denn immerhin mag der Lernende das Materielle der Wissenschaft, wenn er es auch nicht bei L a g r a n g e beisammen findet, aus andern guten Lehrbüchern schöpfen: resumiren, mathematisch Denken und die Kunst, selbst zu schaffen, lehrt Niemand besser, als L a g r a n g e . Ein drittes Hinderniss liegt

liegt in einem Umstände, der zum Theil ans dem vorigen folgt. Danemlich L a g r a n g e nie die Absicht zu haben schien, die ganze Wissenschaft mit seinen Lesern durchzugehen, so setzen seine Werke überall Vorkenntnisse voraus, die man darin nur zerstreut oder auch gar nicht findet, übergehen Zwischensätze und Zwischenrechnungen und sind so verfasst, als wären sie nur mehr für Kenner geschrieben. Dieses erschwert, in Ermangelung einer Nachhülfe, bei aller ihrer Klarheit, wenigstens den Eingang in dieselben und in ihren Geist, und hindert also ebenfalls die allgemeine Benutzung« Da es nun möglich zu sein scheint, diese Hindernisse zu heben, indem dem ersten und kleinsten eine Uebersetzung, dem zweiten eine Sammlung, und zu ihrem Zwecke dienende möglich-

Ucfrste Zusammenstellung der mehr zerstreuten Abhandlungen, dem dritten eine Ergänzung der Zwischensätze und Zwischenrechnungen, gleichsam ein Commentar, abhelfen und diesen Schatz mathematischer Wahrheiten allgemeiner zugänglich machen dürfte, so hat der Unterzeichnete die Ausführung eines solchen Unternehmens für nützlich gehalten. Schon das blosse Sammeln so bedeutender und so sehr zerstreuter Werke scheint nicht unwichtig, weil das Beste, der Vereinzelung wegen, weniger nutzbar ist und duch selbst eher vergessen wird, oder wohl gar, in späterer Zeit, eher verloren geht. Ein nicht minder wichtiges Unternehmen würde daher auch eine gleiche Sammlung der E u l e r s c h e n Schriften sein, wovon aber die Ausführbarkeit, wegen der ungeheuren Masse dieser Schriften, und weil das In-

Interesse an denselben, da sie schon in eine etwas frühere Epoche fallen» so wie die Wissenchaft sich weiter entwickelt, nothwendig abnehmen rauss, schwer abzusehen ist. L a g r a n g e ' s Werke fallen dagegen in eine spätere Bijdungs-Periode, ihr Umfang ist nicht sehr gross und ihr Nutzen liegt näher; daher schien die Sammlung dieser Schriften, auch selbst blos auf den Zweck des Sammeins gesehen, einem gleichen Unternehmen mit den E u l e r s c h e n Werken wenigstens voranzugehen. Und da nun der unmittelbare Nutzen der L a g r a n g i s c h e n Arbeiten für das Studium der Mathematik, nach den obigen Ansichten, noch auf eine eigentümliche Weise so bedeutend ist, so schien vorzugsweise die Sammlung und Bearbeitung dieser Werke, auf die oben angezeigte Art, rathsamer und ein Unternehmen zu

zu sein, welches beitragen kann, die so wichtige Verallgemeinerung des Studiums der Mathematik zu befördern. Von diesen Ansichten ausgehend, hat der Unterzeichnete den Vorsatz gefasst,dieLagrangischen mathematischen Werke zu sammeln, zu commentiren und nach und nach in deutscher Sprache herauszugeben. Er hat mit der Theorie der Functionen und den Vorlesungen über die Functionen-Rechnung, wegen des eigenthümlichen Interesse ihres Inhalts, den Anfang gemacht. In diesen beiden Werken, welche ein in sich abgeschlossenes Ganze bilden, und welche man in den hier erscheinenden beiden ersten Bänden der Sammlung findet, hatte L a g r a n g e vorzüglich den Zweck, die Infinitesimal Rechnung von den dunkeln und unsichere Vorstellungen unendlich-kleiner

ner Grössen zu befreien, dieselbe auf natürliche und einfache Begriffe fester zu gründen und sie Jedem eben so begreiflich zu machen, wie es die Algebra und die elementare Geometrie ist. Die Werke selbst liefern den mathematischen Beweis, wie vollkommen ihm dieses Vorhaben .gelang. Da aber L a g r a n g e , zu diesem seinem Zwecke, die Analysis, von Anfang bis zu Ende, durchgehen musste, so enthalten diese beiden Bände zugleich einen umfassenden und eindringenden, gleichsam critischen Vortrag aller der wichtigsten Lehren der gesainmten sogenannten Differential-, Integral- und VariationsRechnung und der Anwendung derselben auf die Geometrie und Mechanik. Es fehlt ausserdem darin nicht an neuen, dem Verfasser eigenthümlichen Entdeckungen, und so sind dann diese Abhandlungen, schon ihres maB teriel-

teriellen Inhalts wegen, abgesehen von ihrem e i g e n t ü m l i c h e n Zwecke, von hohem Werthe. Sie sind also schon in dieser Hinsicht, mehr aber noch eben ihres eigenthümlichen Zwecks, und vor allein, wegen des vortrefflichen Vortrages u n d als Muster klarer mathematischen Abhandlungen, allen Denen zu empfehlen, die sich die Mathematik zu eigen machen, oder dieselbe auch nur als Verstandes-Bildungs-Wissenschaft studiren wollen. Die Lagrangische Theorie der Functionen und die Vorlesungen darüber tragen die Ansichten vor, welchen die meisten neuen Lehrbücher gefolgt sind; daher werden Diejenigen, welche jeneLehrbücherstudirten, hier die Originale und die Quellen derselben finden. Aber auch Denjenigen, welche den Cursus dieses Theils der Mathematik noch nicht machten, wird deT Lagrangische commentirte Vor-

Vortrag sehr wohl zugänglich Sein, und sie werden durch das Studium desselben einen trefflichen Grund legen, der ihnen beim weitem Lesen ausführlicher Lehrbegriffe nicht anders als von grösstem Nutzen Sein kann. Den obigen Ansichten des Zwecks seiner Arbeiten zu Folge, hat der Unterzeichnete den Text mit mehreren Zusätzen, Erläuterungen und Bemerkungen begleitet, die sich in drei verschiedene Classen theilen lassen. Die def ersten Art, welche man am häufigsten findet, sind blosse Einschaltungen von Zwischen- oder Vordersätzen und Zwischen-Rechnungen, desgleichen Erläuterungen durch Figuren, die L a g r a n g e überging, weil er nicht für den gewöhnlichen Unterricht schrieb, die aber dem Studirenden das Lesen des Werks erleichtern werden* Die der zweiten Art sind Bemerkungen und Erlau-

läuterungs - Versuche e i g e n t ü m l i c h e r Ansichten des Buchs, mehr im Allgemeinen. Auch diese Einschaltungen werden hoffentlich zur Erleichterung des Studiums dienen. D i e der dritten Art sind Bemerkungen über Gegenstände, bei welchen der Herausgeber seine Ueberzeugung mit dem Vortrage des Verfassers nicht ganz vereinigen konnte. D i e Zusätze dieser letzten Art insbesondere wünscht der Herausgeber von Kennern berücksichtigt; die Zusätze der beiden ersten Arten sind ausschliesslich für Diejenigen bestimmt, welche das Buch studiren wollen. Der Versicherung, dass die Zusätze der dritten Art nicht etwa aus der Absicht, seine Meinungen und Arbeiten den Lagrangischen gegenüber zu stellen, oder gar, diese tadeln zu wollen, entstanden, glaubt der Uebersetzer sich überheben zu können; denn eines Theils

Theils hat er seine hohe Achtung für L a g r a n g e , hier oben, deutlich genug ausgesprochen und er rechnet es sich ausserdem zur Ehre, L a g r a n g e , in so fern er vorzüglich in dessen Schriften seine eigenen Studien machte, seinen Lehrer zu nenn'en; andern Theils aber ist der Herausgeber wirklich zu sehr überzeugt, dass der Werth, selbst des Ruhms, um so mehr also des Zolles der Eitelkeit, gegen den Werth der Wahrheit in Nichts zerfällt, als dass es ihm nur einen Augenblick eingekommen sein könnte, Etwas, das ohne einen läutern Zweck Nichts sein würde, auf Kosten der Wahrheit gelten machen zu wollen. Da inzwischen aber auch gegenseits die Wahrheit, und ihre liebste Wissenschaft, die Mathematik, keine Autorität kennt, so glaubte der Uebersetzer befügt und verpflichtet zu sein, seine Meinung, wo sie von der, Anderer

rer abweicht, unverholen, mit Gründen unterstützt, zu sagen. Er ist überzeugt, L a g r a n g e selbst, wenn er lebte und dieses Buch ihm zu Gesicht käme, würde diese Ansicht nicht tadeln. Die häufigen Hinweisungen des Uebersetzers in den Anmerkungen auf seine eigenen kleinen Arbeiten könnten ebenfalls eine Neben-Absicht zu haben scheinen. Allein, da, wie gesagt, der Uebersetzer mit vorzüglicher Vorliebe L a g r a n g e ' s Werke studirte, so wird man es natürlich linden, dass seine eigenen Arbeiten vorzüglich Gegenstände behandelten, die sein Meister bearbeitete. Diese Gegenstände trafen also auch mit den gegenwärtigen zusammen und folglich konnte der Uebersetzer,wo er seine Meinung zu sagen hatte, wenn er nicht wiederholen wollte, was er anderwärts schon bekannt gemacht hatte, nicht anders, als darauf hinweisen. Wegen

Wegen der Menge der Zusätze würde es unbequem gewesen sein, ihnen, auf die gewöhnliche Art, ihre Stelle unter den Text, als Anmerkungen, anzuweisen. Sie sind daher in den Text selbst eingeschaltet und [ durch Cursiv - Schrift und Einschliessung

in eckige Klammern,]

Wie

vorstehende Worte, vom Texte abgesondert worden. Sie sind aber überall, selbst in der Wortfügung, so gestellt worden, dass man sie beim Lesen, wenn man will, ohne dass der Zusammenhang des Textes unterbrochen wird, auch ganz weglassen kann. Lieset man das Buch so, als wenn Alles, was mit liegender Schrift gedruckt und in eckige Klammern eingeschlossen ist, gar nicht da wäre, so hat man die getreue Uebersetzung des Originals. Es scheint, dass es möglich gewesen wäre, den Text in dieser Üebersetzung etwas abzukürzen, weil zum Theil Gegenständ

genstände, welche in der Theorie der Functionen abgehandelt werden, i n den Vorlesungen über dieFunctionen-Rechn u n g wieder vorkommen. Allein eines Theils sind dieser Gegenstände nur wenige, andern Theils ist selbst die zwiefache Behandlung so originell und so voller e i g e n t ü m l i c h e r Ideen, dass es nicht angemessen schien, u m einige wenigeBogen Zugewinnen, vielleichtEtwas von bedeutendem W e r t h e zu verlieren u n d das W e r k zu verstümmeln. Dieserhalb ist von dem Originale nicht das mindeste Wesentliche weggelassen worden. Eine nicht geringe Schwierigkeit dieses Unternehmens, die der Uebersetzer bei diesen ersten beiden Bänden antraf, darf nicht unberührt bleiben. L a g r a n g e bedient sich nemlich, sowohl in der Theorie der Functionen, als in den Vorlesungen über dieselbe, eigenthümlicher, selbst geschaffener Bezeich-

B e z e i c h n u n g e n una B e n e n n u n g e n , die aber, Theils unzulänglich, Theils undeutlich sind, wovon der beste Beweis darin liegt, dass der Verfasser selbst, diese Bezeichnungen und Benennungen in der Folge wieder verliess. N u n aber sind Bezeichnungen und Benennungen in der Mathematik von grösserer Wichtigkeit, als es beim ersten Anblicke scheint. Sie sind die Sprache dieser Wissenschaft und eben so bedeutend für sie, wie die Hede für den Ausdruck und selbst für die Entwickelung der Gedanken. Einen merkwürdigen Beweis hiervon geben die Fluxions - Zeichen der Newtonschen Schule. Es ist bekannt, dass diese Schule in der Analysis zurückbleibt, und der Grund davon kann fast Nichts-Anderem, als der Unvollkommenheit der Zeichen zugeschrieben werden. Ferner ist es auch gewiss, dass grade die neuen .Lagran-

Lagrangischen. Reichen Vieles beigetragen haben, die Bekanntschaft mit den vortrefflichen Schriften, die sich ihrer bedienen, zu erschweren und ein Vorurtheil gegen ihren Inhalt zu erregen, oder wenigstens zu hindern, dass ihnen ganz die hohe Werthschätzung a l l g e m e i n zu Theil werde, die sie verdienen. Aus allen diesen Gründen durften die neuen Lagrangischen Zeichen durchaus nicht beibehalten werden. Daraus entstand nun aber eine Verlegenheit um andere Zeichen; denn die alten Leibnitzischen Zeichen sind grade die Bilder und Bewahrer der undeutlichen und zum Theil mangelhaften Vorstellungen, deren Berichtigung den Hauptzweck des Lagrangischen Werks ausmacht. Der Uebersetzer hat zwar selbst, in seinen mathematischen Versuchen, Zeichen und Benennungen vorgeschlagen, deren Angemessenheit und

und Conseqnenz sich m i t G r ü n d e n darthun lässt, und er ist auch von der Consequenz derselben so fest überzeugt, dass er sich, bei seinen eigenen Arbeiten, nie anderer als ähnlicher Zeichen und Benennungen bedienen wird. Seine eigenen Ideeil aber an die Stelle Lagrangischer zu setzen: dazu konnte er sich durchaus nicht entschliessen. Nach langer Berathung blieb ihm nichts anders übrig, als, nach L a g r a n g e ' s Beispiel in der analytischen Mechanik, dennoch die alten keibnitzischen Zeichen zu wählen, jedoch mit denjenigen ModiJicationen, welche wenigstens die unrichtigen, den Zeichen anklebenden Begriffe entfernen. Er ist sehr besorgt gewesen, die wahren Bedeutungen der Zeichen und Benennungen noch durch Zusätze zu erläutern, wo etwa das Original, wegen L a g r a n g e ' s neuer Zeichen, die besondere Erläuterung ersparen

sparen konnte und glaubt n u n , auf dieseWeise, denNachtheil,welchen diese unvermeidliche Abänderung hätte nach sich ziehen können, vermieden und gehoben zu haben. In Rücksicht dessen, was sich auf die Erklärung der Lagrangischen Zeichen bezieht, hat der Text natürlich einige Abänderungen und Auslassungen erfahren müssen, jedoch ist Bedacht genommen worden, dass dadurch in dem wesentlichen Inhalte durchaus keine Aenderung entstehe. Auch hat der Uebersetzer zuweilen andere. Buchstaben-Bezeichnungen gewählt, welche deutlicher und bequemer schienen, z.B. statt der undeutlichen Buchstaben i und o, die Buchstaben k und A, und dergleichen mehr, was aber im Wesentlichen nichts ändert. Ferner hat der Uebersetzer, im zweiten Bande, Paragraphen-Abtheilungen und Ueberschriften des einzelnen

nen Inhalts beigefügt, wodurch er die Deutlichkeit und U Übersichtlichkeit befördert zu haben glaubt. Noch ist jedem Bande ein Verzeichniss derjenigen Druckfehler des Originals, die bei der Uebersetzung bemerkt wurden und daselbst nicht angezeigt sind, angehängt worden. Diese Verzeichnisse werden den Besitzern des Originals nützlich sein. Einer Sammlung der Werke eines so berühmten und verdienten Schriftstellers, schien es angemessen, Nachrichten von seinem Leben und Wirken, so wie ein Verzeichniss seiner Werke vorauszuschicken. Der Uebersetzer hat zu dem ersten die von D e l a m b r e der Academie vorgelesene Biographie L a g r a n g e 's, nebst einigen Anhängen und dem was er selbst, hier, im ehemaligen Aufenthalts - Orte L a g r ä n g e ' s , hat sammeln können, gewählt

wählt und das Verzeichniss der Werke L a g r a n g e ' s ist so mitgetheilt worden, wie es L a c r o i x der analytischen Mechanik angehängt hat. Das Brustbild des grossen Mannes, nach einer Medaille, die in Paris verfertigt ist und die nach dem Zeugniss Aller, welche L a g r a n g e sahen, den Uebersetzer mit eingeschlossen, das Verdienst der äussersten Aehnlichkeit hat, ist in Kupfer gestochen worden und ziert, nebst einem Fac-simile des Namenszuges L a g r a n g e ' s , den Titel des ersten Bandes. Schliesslich kann der Herausgeber nicht unterlassen, der rühmlichen Bereitwilligkeit zu erwähnen, mit welcher die Verlags-Handlung sein Unternehmen beförderte* Man wird die Güte des Drucks und das Aeussere der vorliegenden beiden Bände nicht übersehen und ohne Zweifel den Eifer des

des Herrn Verlegers, in Förderimg nützlicher Werke in den exacten Wissenschaften, mit Vergnügen anerkennen. Der Herausgeber wünscht nun diesen ersten Bänden nur Etwas von derjenigen Theilnahme, welche die Lagrangischen Arbeiten verdienen. Alsdann wird es seine angenehmste Pflicht sein, seine Kräfte und die wenigen, meist nächtlichen Stunden, welche seine Geschäfte im öffentlichen Dienst ihm für die Wissenschaft übrig lassen, der Fortsetzung dieses Unternehmens zu widmen. Berlin im November 1822. A. L . C r e i l e .

Nachricht von Lagrang e's Leben und Schriften. Vorgelesen von O e l a m b r e am 3. Januar 1814 in der Academie der Wissenschaften zu Paris. (Mémoires

de la classe des sciences

mathématiques

et physiques de Pinstient de France, année lßlß.^

J o s e p h L o u i s L a g r a n g e , einer der Urheber der Academie von Turin, zwanzig Jahre Director der physisch-mathematischen Classe der Academie der Wissenschaften zu Berlin, Ehrenmitglied der Academie der Wissenschaften zu Paris, Mitglied des Instituts von Frankreich und des Längen-Büreaux, Senator und Graf des Reichs, Gross-Officier der Ehrenlegion und Grosskreuz des Kaiserlichen Ordens der Reunion, wurde zu Turin am 25. Januar 1736 geboren.

Seine E l -

tern waren J o s e p h L o u i s L a g r a n g e , Kriegszahlmeister und M a r i a T h e r e s e G r o s ,

ein-

zige Tochter eines reichen Arztes zu Cambiano. Sein Urgrossvater, französischer CavallerieCapitain, war in die Dienste Emanuel des zweiten, Königs von Sardinien, gegangen, der ihn,

II

durch Verheirathung mit einer Dame Conti, aus einer berühmten römischen Familie, an Turin fesselte.

Er war ein geborner Pariser und ver-

wandt mit Marie Louise, Dame

Latours

der

Mutter Ludwigs des Vierzehnten und späterhin Gemalin von François

Gaston de Bethune *).

Diese Familien-Umstände haben zwar keinen Werth bei einem Gelehrten, dessen Ruhm des Stammbaumes nicht bedarf; allein sie sind fur Frankreich nicht gleichgültig, welches sich bemühte ihn wieder zu erhalten und ihn in seine alten Rechte wieder

einzusetzen.

Sein

und seiner Mutter Nameu beweisen seine franlösische Abkunft; alle seine Werke sind französisch geschrieben, seine Geburtsstadt war späterhin an Frankreich gekommen. Frankreich also hat unzweifelhaft das Recht, sich eins der grössten Genies zu rühmen, die jemals die Wissenschaften verherrlichten. L a g r a n g e s Vater war reich; er hatte sich vortheilhaft verheirathet, verlor aber sein Vermögen durch gewagte Unternehmungen. gen wir deshalb Lagrange nicht!

Bekla-

Er selbst

betrachtete die Geld-Verluste seines Vaters als eine der ersten Ursachen alles Guten, was ihm

*) Lobrede auf Lagrange von Cossali. Padua 18'3-

UI

hernach -widerfuhr. Er äusserte seihst, er glaube, wäre er begüterter gewesen, er "würde sich vielleicht der Mathematik nicht gewidmet hohen, und -was hatte er -wohl auf irgend einer andern Laufhahn erreichen können, das mit einem ruhigen betrachtenden Leben, mit jener glänzenden Reihe von unbestrittenen Erfolgen in einer anerkannt schwierigen Wissenschaft, und mit jener hohen Achtung zu vergleichen gewesen wäre, die er bis zu seinem letzten Augenblicke, in immer steigendem Maasse, genoss! Die Neigung für die Mathematik war nicht diejenige, die sich hei ihm zuerst zeigte. Er interessirte sich eifrig für C i c e r o und V i r g i l , ehe er A r c h i m e d und N e w t o n lesen konnte. Bald darauf ging er, mit nicht geringerm Ififer, zu der Geometrie der Alten über, die er Anfangs der neuern Analysis vorzog. Eine Abhandlung des berühmten H a l l e y , aus jener Zeit, worin dieser die Vorzüge der Analysis zu beweisen sucht, hatte die Ehre, L a g r a n g e zu bekehren und ihm seine wahre Bestimmung zu offenbaren. Er trieb nun dieses neue Studium, und «war eben so glücklich wie bis dahin die Synthesis, iu welcher er schon so ausgezeichnete Fortschritte gemacht hatte« dass er im. sechszchnten Jahre

IV seines Alters*) die Stelle eines Professors der Mathematik an der Königl. Artillerie Schule bekleiden konnte.

Die ungewöhnliche

Jugend eines L e h -

rers gereicht ihm zum Vortheil -wenn er ausserordentliche Talente hat, und seine Schüler nicht 2 u jung sind.

L a g r a n g e s Schüler waren alle

älter als er, aber desto aufmerksamer aufseineu UjPterri cht.

Er zeichnete einige von ihnen aus,

d i e seine Freunde wurden. Aus dieser Verbindung entstand die Turiner Acadcniie, die im Jahre 1 7 5 9 unter dem Titel : Actes

de la société

privée,

rer Schriften herausgab.

den ersten Band i h Man findet darin den

jungen L a g r a n g e die physischen gen des Arztes C i g n a Marquis d e S a l u c e s cenex

und die Arbeiten

leiten.

ihm die

weitem

auf welche sich

überlassend.

Abhand-

Entwickelungen

Seine Formeln

der

bezogen

Mau bemerkt schon in diesen M e -

moiren den rein analytischen G a n g , der h e r der

des

Er lieferte F o n -

den analytischen T h e i l seiner

lungen, Sätze

Untersuchun-

ausschliessliche Character

Lagrangeschen

Schöpfungen wurde.

eine neue Theorie

nach-

der grossen Er

des Hebels gefunden.

hatte Sie

macht den dritten T h e i l einer Abhandlung aus, die viel Glück

haue.

Foncenex

wurde

zur

*) Nach andern im fünfzehnten oder neunzehnten.

¥

Belohnung an die Sphxi der Marine gestellt, die damals der König von Sardinien errichtete. Die beiden ersten Theile scheinen den nemlichen Styl zu haben und aus derselben Feder geflossen; sind sie etwa auch von L a g r a n g e ?

Er

hat sie nie ausdrücklich reclamirt, aber

der

wahre Verfasser lässt sich noch deutlicher aus dem Umstände schliessen, dass F o n c e n e x bald aus den Sammlungen der neuen Academie verschwindet und dass M o n t u c l a , der nicht wusste was uns L a g r a n g e in seinen letzten Augenblicken entdeckt hat, sich wundert, dass F o n c e w n e x , nachdem er sich so vortheühaft angekündigt, Untersuchungen eingestellt habe, die ihm hätten einen Namen machen können. Lagrange,

während er

seinem

Freunde

einzelne Arbeiten überliess, machte um eben die Zeit unter seinem eigeuen Namen Theorien b e kannt, die er weiter auszuführen und zu entwickeln versprach. für die Maxima

Nachdem er neue Methoden und Minima

und die Unzulänglichkeit

aller Art gegeben

der bekannten F o r -

meln gezeigt hatte, kündigte er an, dass er diesen Gegenstand, der ihm interessant scheine, in einem Werke an welchem er arbeite, weiter entwickeln wolle, wo sich zeigen werde, dass sich auf eben diese Satze die ganze Mechanik, fester sowohl als flüssiger Körper, bauen lasse.

Vi S o hatte er also schon im drei und zwanzigsten Jahre den Grund zu jenem grossen Werke gelegt, das späterhin die Bewunderung der G e lehrten erregte, In dem nemlichen Bande unterwirft er die Theorie der rücklaufenden Reihen und der W a h r scheinlichkeit, die bis daliin nur auf indirectem W e g e behandelt •worden -waren, der DifferentialRechnung und begründet sie auf diese

Weise

natürlicher und fester. N e w t o n hatte versucht, die Bewegung flüssiger Körper der Rechnung zu unterwerfen, und Untersuchungen über die Fortpflanzung des Schalles angestellt; seine Grundsätze waieu unzureichend und selbst irrig und seine Voraussetzungen nicht Überfall mit einander vereinbar. grange

beweiset sie;

Untersuchungen

er gründet seine

auf bekannte dynamische

Laneue Ge-

setze; indem er nur die in grader Linie liegenden Lufltheilchen betrachtet, bringt er die Aufgabe auf diejenige von sclnvingcnden Saiten, über Welche noch die grössteu Mathematiker verschiedener Meinung gewesen waren;

er zeigt, dass

ihre Rechnungen zur Beantwortung der

Frage

nicht hinreichen; er versucht eine neue Auflösung, nach einer eben so neuen als interessanten Methode,

durch

welche sich eine unendliche

Menge von Gleichungen zugleich auflösen lassen,

VII

und die «ich sogar auf die unstetigen Functionen ausdehnen lasse Er begründet die Daniel-Bernoullische Theorie der Vermischung einfacher und gleichförmiger Schwingungen fester. Er zeigt die Grenzen, innerhalb welcher diese Theorie zureicht, und über welche hinaus sie fehlt; darauf kommt er zu der von Euler angegebenen Construction, die völlig genau ist, obgleich ihr Erfinder darauf durch nicht ganz strenge Rechnungen kam. Er beantwortet die d'Alembertschen Einwürfe, Er beweiset, dass, welche Gestalt auch die Saite hat, die Dauer der Schwingungen immer dieselbe ist; ein Erfahrungssalz, dessen Beweis d'Alembert für sehr schwer oder gar unmöglich gehalten hatte. Er geht zur Fortpflanzung des Schalles über, handelt von dem einfachen und zusammengesetzten Echo, von der Vermischung des Schalles, von der Möglichkeit, dass sich mehrere Klänge in einem und demselben Raum verbreiten, ohne sich zu stören. Er beweiset strenge die Entstehung der harmonischen Töne. Er schl^esst mit der Bemerkimg, dass er das Vorurtheil habe bekämpfen wollen, als könne die Mathematik nicht zu Aufklärungen in der Physik dienen. Wir haben einen ausführlichen Auszug jener Abhandlung gegeben, weil sie die erste ist, an welcher sich L a g r a n g e ' s Talente zeigten- Die

vin Analysis in dieser Abhandlung gehört zu den allerschwierigsten, aber der Gegenstand hat zugleich etwas Sinnliches. Es kommen darin Worte und Dinge vor, die unsern meisten Zuhörern nicht fremd sind. Auffallend ist, dass auf eine ßolche Weise, ein noch ganz junger Mann, indem er einen Gegenstand behandelt, über welchen N e w t o n , T a y l o r , B e r n o u l l i und d'AleUlbert arbeiteten, auf einmal mitten in der Reihe dieser grossen Gelehrten als ihres Gleichen erscheint, ja selbst als Schiedsrichter, der, einen schwierigen Streit schlichtend, Jedem zeigt, worin er Recht habe und worin er irre, den Streit entscheidet und die wahre Auflösung giebt, die Jene vermutheten, aber nicht finden konnten. Aber, so fest und wohlbegründet ihm auch seine Sátze scheinen, so gesteht er doch, dass sie die beobachteten Erscheinungen nur unvollständig erklären, besonders bei den Blase-Instrumenten, was die Weite und Lage der Oeffnungen und die Geschwindigkeit des Schalles überhaupt betrifft-, es ist in der That wahrscheinlich, dass bei den Blase-Instrumenten die Luft nicht mehr als aus gradlinigen Streifen zusammeugeseizt betrachtet werden- darf; indessen erklärt doch diese Rechnung den bekannten Versuch von T a r t i n i recht gut, wenn man annimmt, dass dieser berühmte Gelehrte sich in

IX

so fern irrte, daw er die Octave für den -wirklichen Ton hielt, den er hörte. E u l e r erkannte bald den Werth der neuen Methode und machte sie zum Gegenstande seiner tiefsten Forschungen. D'Alembert gab nicht nach. In Privat-Briefen und gedruckten Abhandlungen machte er eine Menge Einwürfe, •welche alle späterhin L a g r a n g e beantwortet hat, wobei es aber doch sonderbar ist, dass in einer Wissenschaft, die man gewöhnlich für so strenge hält, selbst Gelehrte des ersten Ranges noch in ihren Meinungen getheilt seyn und fortwährend darüber streiten konnten ? Dies kommt ohne Zweifel daher, dass Gegenstände, deren Resultate nicht füglich unmittelbar Versuchen unterworfen werden können, ausser einem calculativen Theil, welcher strengen Gesetzen unterworfen ist, über welche sich nicht streiten lässt, gewöhnlich noch einen metaphysischen Theil haben, der zweifelhaft und dunkel bleibt [und einen physischen, über welchen man gewöhnlieh, bei solchen Anwendungen der Mathematik auf einzelne Erscheinungen, zunächst mit Hypothesen hinweg zu kommen sucht]. Auch Wohl daher, dass sich die Mathematiker öfters bei ihren Rechnungen begnügen, bloss den Gang der Beweise anzuzeigen und Eniwickelungeu, die keiuesweges immer so überflüssig sind als es

X

scheint, "weglassen, "wo dann die Ausfüllung dieser Lücken öfters eine Arbeit erfordert zu welcher nur der Verfasser allein den Mnth haben mag; endlich aber daher, dass Dieser, fortgerissen von seinem Gegenstande und von seiner Geschicklichkeit,

sich erlaubt, selbst auch wohl

über zwischenliegende Begriffe hinwegzuschreiten und seiue Endgleichung gleichsam zu errathen, anstatt sich Schritt vor Schritt, mit derjenigen Aufmerksamkeit die jedes Misverstandniss hebt, ihr zu nähern.

Daher finden öfters vor-

sichtige Rechner, selbst bei E u l e r , d ' A l e m b c r t und L a g r a n g e , Fehler, und die besten Köpfe können sich nicht sogleich verstandigen, weil sie sich nicht mit derjenigen Aufmerksamkeit lesen, die nöthig ist, um sich zu verstehen. E u l e r s erste Antwort bestand darin, L a grange

in die Berliner Academie aufnehmen

zu lassen. Als er ihm am 2. October 1 7 5 9 seine Aufnahme meldet, schreibt er ihm:

„Ihre

„Aullösung des isoperimetrischen Problems lässt „nichts zu wünschen übrig, und ich freue mich, „ dass dieser Gegenstand, mit welchem ich mich, „seit den ersten Versuchen bis jetzt, fast allein „beschäftigte, durch Sie zum höchsten Grade „der Vollkommenheit gebracht ist

Die Wich-

t i g k e i t des Gegenstandes hat mich veranlasst, „mit Hülfe der von Ihnen gegebenen Aufklä-

XI

~rangenj eine analytische Auflösung der Aufgabe auszuarbeiten, die ich aber durchaus nicht eher „ bekannt machen werde, bis Sie die Fortsetzung „Ihrer Untersuchungen haben drucken lassen, „um Ihnen nicht den geringsten Theil des Ruhms J,ZQ entziehen, der Ihnen gebührt*" So sehr diese zarte Behandlung, diese Beweise der höchsten Achtung, einem jungen Manne der noch nicht vier und zwanzig Jahre alt war, schmeicheln mussten, so sehr machen sie auch dem berühmten Gelehrten Ehre, der, damals den Scepter der Mathematik in der Hand haltend, auf eine solche Weise ein Werk aufzufassen verstand, das ihm seinen Nachfolger zeigte. Aber Eulers Worte stehen in einem Briefe; man könnte glauben, dass dieser grosse und wackere (grand et bort) Mann sich nur ein wenig eine gewisse Uebertreibung erlaubt habe, die wohl im Briefstyl vorkommt. Wir wollen also sehen wie er sich in der Folge in der Dissertation selbst ausdrückt, die sein Brief ankündigt. Im Eingange heisst es: „Nachdem ich mich lange Zeit vergebens „bemüht hatte dieses Integral zu finden ( p o s t „quam diu et multum desudassem nec „quiequam inquisivissem) bin ich nicht wenig „ erstaunt (penitus obstupui) zu vernehmen, dass „die Aufgabe in den Turiner Memoiren leicht

XII

„und glücklich gelöset sey.

Diese schöne Ent-

d e c k u n g hat um so mehr meine Verwundrung „erregt, je mehr die Auflösung, von der Method e die ich angegeben habe, abweicht, und sie „an Einfachheit übertrifft" So beginnt E u l e r seine Abhandlung, in -welcher er, mit seinem gewohnlichen

lichtvollen

Vortrage, die Principien der Methode seines jungen Nebenbuhlers und die Theorie des neuen Calculs, den er V a r i a t i o u s - R e c h n u n g nennt, auseinander setzt-

[ Welch

eine

Lobrede

auf

Euler!] Um die verschiedenen Ursachen

von E u -

l e r s Bewundrung, die er mit so edler Freimütliigkcit aussprach, deutlicher zu zeigen, wird es nicht unnütz seyn den Ursprung der Untersuchungen L a g r a n g e ' s zu erzählen, wie er ihn uns zwei Tage vor seinem Tode niitgetlieilt hat. Die ersten Versuche, das Maximum und Minimum unbestimmter Integral-Ausdrücke zu finden, waren von B e r n o u l l i , an der Linie des schnellsten Falles und der isoperimetrischen Aufgabe, gemacht worden.

E u l e r hatte sie in eine

allgemeine Methode gebracht, in einem originellen Werke, in welchem Einsicht

des Calculs

so sinnreich

sie auch

nige Einfachheit,

sich überall

zeigt; war,

die

aber seine hatte

tiefste Methode,

nicht

die sich von einem rein

diejeana•

XIII

lytischen Werk erwarten Hess. E u l e r gab dies selbst zu. Er glaubte die Notwendigkeit eines von der Geometrie und der Analysis unabhängigen Beweises zu ahnden *). In einem Anhange am Ende des Buchs, der

von der Bewegung geworfener Körper in nicht widerstehendem Mittel handelt, scheint er ganz den Hül&quellen der Analysis zu misstrauen. Er sagt am Schlosse: Ist mein Princip (das-

jenige, welches Lagrange späterhin das frincip der kleinsten Wirkimg nannte) etwa nicht strenge genug bewiesen, obgleich es feststeht, so glaube ich, dass man es noch durch eine, gute Metaphysik zur grössten Evidenz wird bringen, können und überlasse dieses den Mttaphysikem. Diese Aufforderung, auf -welche die Metaphysikei nicht antworteten, hörte L a g r ä n g e . Sie reitzte ihn. In Kurzem Tand der ¡unge Mann die Auflösung, an welcher E u l e r verzweifelt war*, er fand sie durch die Analysis und indem er erzählt, wie er zu dieser Entdeckung gekommen sey, sagt er ausdrücklich, um auf E u l e r s

*) Desideratur itaque melhodiu a resolutione geo~ metrica^t lineari libera, qua pateat, toco Pdp scribi passe pdP. Und eben dieies beweiset L a g r a n g e durch die Variation^« Rechnung.

XIV

Zweifel zu antworten, dass er sie nicht für metaphysisch, sondern das Princip für eine nothwendige Folge aus den Gesetzen der Mechanik, für einen bloss einzelnen Fall eines noch allgemeinem Princips halte, auf welches er späterhin wirklich seine analytische Mechanik gebaut hat. (Man sehe die analytische Mechanik, Seite 246 der zweiten, und S. 189 der ersten Auflage.) Dieser schöne Eifer, unübersteiglich gehaltene Schwierigkeiten zu überwinden und unvollkommen gebliebene Theorieen zu vervollkommnen, scheint L a g r a n g e

bei der Wahl seiner Ge-

genstände immer geleitet zu haben. D ' A l e m b e r t haue geglaubt, dass es unmöglich sey, die Bewegung einer in einem Gefasse eingeschlossenen Flüssigkeit der Rechnung

zu

unterwerfen, in so fern das Gcfäss nicht eine bestimmte Gestalt habe.

Lagrange

beweiset,

dass der Fall, im Gegentheil, nur dann schwierig ist, wenn sich die Flüssigkeit in mehrere Massen theilt, dass man aber alsdann den Ort der Theilung bestimmen und die Bewegung so untersuchen könne, als wenn die Theile isolirt •wären. D'Alembert

meinte,

die

verschiedenen

Schichten einer flüssigen Masse, wie sie die Erde anfänglich habe seyn können, dürften nicht noth-

X?

wendigenfreise waagerecht seyn; L a g r a n g e zeigt, dass d ' A l e m b e r t s Gleichungen nichts als die Gleichungen der Schichten selbst sind. Indem er so gegen d ' A l e m b e r t , und zwar mit aller einem Gelehrten dieses ¡Ranges schuldigen Achtung, stritt, bediente er sich öfter» schöner Sätze seines Gegners selbst; d ' A l e m b e r t seiner Seits schreibt L a g r a n g e bei Gelegenheit dieser Untersuchungen :

„Ihre Auf-

„gabe hat mir so schön geschienen, dass ich „eine andere Auflösung gesucht habe; ich habe „eine einfachere Methode, um zn Ihrem eleganten Ausdruck zu gelangen, gefunden." Diese Beispiele, deren sich leicht mehrere geben Hessen, zeigen, mit welcher Zartheit diese berühmten Wettkämpfer einander behandelten und dass sie, indem sie unaufhörlich ihre Kräfte maassen, besiegt oder Sieger, in ihrem Streite selbst noch Ursach fanden, sich nur um so höher zu achten , und dem Gegner Gelegenheit zu neuen Triumphen bereiteten. Die Pariser Academie hatte die Theorie der Schwankungen des Mondes zu einer ihrer Preisaufgaben gemacht, d. h, sie verlangte die Nachweisung der Ursachen, aus welchen der Mond,' indem er sich um die Erde bewegt, ihr, mit Ausnahme einiger von den Astronomen beobachteten Differenzen, deren Zusammenhang der ältere

XVI

Cassini

sehr gui erklärt hat, immer dieselbe

Seite zukehrt

Es kam darauf an,

diese Er-

scheinung der Rechnung zu unterwerfen, und sie analytisch,

aus

dem Princip

der

allgemeinen

Schwere, zu erklären. Diese Aufgabe "war eine Aufforderung für L a g r a n g e ' s Genie, und eine ihm dargebotene Gelegenheit, seine Principien und Entdeckungen anzuwenden.

analytischen

D ' A l e m b e r t s Er-

wartung ward nicht getäuscht.

Lagrange's

Arbeit ist eines der schönsten Denkmäler seines Ruhms.

Man findet darin die erste Entwicke-

lung seiner Ideeen und den Keim der analytischen Mechanik.

D ' A l e m b e r t schreibt ihm:

„Ich habe mit eben so vielem Vergnügen als „Nutzen Ihre

schöne Ausarbeitung

über

die

„Monds-Schwankungen gelesen, die des erhalt e n e n Preises so würdig ist." Dieser Erfolg bewog die Academie, die Theorie der Jupiters Trabanten zu verlangen.

Eu-

l e r , C l a i r a u t und d ' A l e m b e r t

sich

hatten

an der Aufgabe von drei Körpern, bei Gelegenheit der Mondsbewegungen, geübt; B a i l l y wendete hernach C l a i r a u t s Theorie auf das P r o blem von den Trabanten an.

Sie führte ihn

schon zu interessanten Resultaten, Theorie war unzureichend.

aber diese

Die Erde hat nur

einen Trabanten, Jupiter hat deren viere, die sirh

XVII

«ich unaufhörlich stoßen üöd die gegenseitig auf ihren Lauf wirken; das war also die Aufgabe von sechs Körpern, der Sonne, dem Jupiter, und seinen vier Monden. L a g r a n g ' e griff die Schwierigkeit gradezu an, besiegte sie glücklich, zeigte die Ursach der von den • Astronomen beobachteten Ungleichheiten, und machte noch auf einige andere aufmerksam, die durch ihre Kleinheit den Beobachtern entgehen. Die Kürze der zum Concurs bestimmten Zeit und der ungeheure Umfang der analytischen und numerischeu, Rechnungen erlaubte ihm nicht, den Gegenstand in einer ersten Abhandlung ganz zu erschöpfen; er bemerkte Dieses selbst und versprach weitere Untersuchungen, von welchen aber vielleicht andere Arbeiten, die mehr nach seinem Geschmack seyq mochten, ihn immer abgehalten haben. Vier und zwanzig Jahre später hat der Graf L a p l a c e diese schwierige Theorie wieder vorgenommen und iuteressante Entdeckungen darin gemacht, die sie vervollständigten und die Astronomen in Stand setzten, ihre Tafeln von allem blos Empirischen zu befreien. Um eben jene Zeit erregte eine Aufgabe ganz anderer Art L a g r a n g e ' s Aufmerksamkeit. F e r m a t , einer der grössten Geometer Frankreichs und seiner Zeit, hatte über die Eigenschaften der Zahleu äusserst merkwürdige Lehrsäue hin-

SY1II terlasseu, auf die fcr vielleicht durch Induotion gekommen war, und vdn welchen er sich die Beweise vorbehalten hatte, die man aber nach seinem Tode nicht fand, vielleicht weil er selbst sie als unzureichend verworfeu hatte, oder aus irgend einem andern, • nicht wohl auszumittelnden, Grunde. Die Lehrsäue selbst scheinen zwar nur mehr sonderbar als nützlich, aber man •weiss, wifi sehr Schwierigkeiten , besonders dett Mathematiker, reitzen. Würden wohl sonst die Geometer, ohne diesen Reitz, so viel Wichtigkeit auf das Problem von der Brachystochrone, von der Isoperimitrie und den rechtwinkligen Trajectorien gelegt haben? Gewiss nicht; sie wollten einen neuen Calcul erschaffen, sie wollten Methoden erfinden und vervollkommnen, denen es einst an nützlichen Anwendungen nichi fehlen konnte, und so ergriffen sie die erste beste Aufgabe, welche neuer Hülfsraittel bedarf. Die Theorie der allgemeinen Schwere, welche N e w t o n entdeckt hatte, war für sie ein wahrer Fund. Schwerlich konnte jemals der Transceudental - Calcul einen würdigern und erhabenem Gegenstand finden. Und weiche Fortschritte man hier üoch machen mag, dem ersten Erfinder bleibt sein Ruhm. Auch L a g r a n g e , det öfters N e w t o n das grösste Genie aller Zeiten nennt, fugt hinzu „ auch das glück-

XIX

liebste;

denn es giebt

Weltalls zu erfinden."

nur eine Theorie des Hundertjährige Arbeiten

und Entdeckungen sind nöthig gewesen,

um

das Gebäude aufzuführen, zu weichein N e w t o n den Grund gelegt hatte, aber das Wesentliche verdankt man ihm, und es scheint gleichsam als habe er schon eine Bahn durchlaufen, die er nur mit eiuem Glänze eröffnete, der seinen Nachfolgern Muth gab. Ohne Zweifel hatten sich schon

mehrere

Mathematiker an den Ferinatschen Sätzen versucht.

Keinem war Etwas gelungen.

Euler

allein hatte einige Schritte auf diesem schwierigen Wege gethan, auf welchem sich seitdem L e g e n d r e und G a u s s ausgezeichnet haben. L a grange,

indem er einige Winke E u l e r s be-

nutzte und berichtigte, lösete eine Aufgabe, die zu allen übrigen

den Schlüssel

zu enthalten

scheint und von welcher er zugleich eine nützliche Anwendung gab, nerolich die vollständige Auflösung der Gleichungen des zweiten Grades zwischen zwei unbekannten Grössen, wenn diese Grössen, ganze Zahlen seyn sollen. Die Abhandlung, obgleich, wie die vorigen, in den Turiner Memoiren abgedruckt, ist aus Berlin vom 29. September 1768 'datirt.

Dieses

Datum erinnert au eines jener Ereignisse, welche

XX

macheu, dass L a g r a n g e ' s 'Leben nicht ganz in seinen Werken ist. Der mehr;

Aufenhalt er fand

mit einigem schäftigte; zu sehen,

zu Turin

dort

geßel

Niemand

Erfolge

ihm

mehrf

der

mit der Mathematik

er wünschte mit welchen

die Pariser

wenig sich be-

Gelehrten

er im Briefwechsel

war.

Herr von C a r r a c c i o l i , mit weichem er in der •ertrautesten Freundschaft stand, wurde bei der Gesandschaft in London angestellt und musste durch Paris gehen, wo er einige Zeit bleiben Wollte.

Er schlug L a g r ä n g e vor, mit ihm zu

reisen, welches dieser mit Vergnügen annahm. Er wurde von d ' A l e i n b e r t , C l a i r a u t , C o n d o r c e t , F o n t a i n e , N o l l e t , M a r i e und andern Gelehrten ganz so aufgenommen, wie er es erwarten durfte.

Plötzlich aber, nach einem

Mittagsessen, bei welchem N o l l e t

ihm lauter

auf italianische Weise zubereitete Speisen hatte vorsetzen

lassen, erkrankt,

konnte er seinem

Freuude nicht nach London folgen.

Dieser er-

hielt unvermuthet den Befehl sich auf seiueu Posten zu begeben und musste nun L a g r a n g e , in einer gemietheten Wohnung, unter der Aufsicht eines Vertrauten zurücklassen, der-beauftragt war, für alles Nöthige zu sorgen. Dieser Zufall änderte L a g r a n g e ' s Projecte. Er kehrte nach Turin zurück.

Dort widmete

XXI

er sich mit neuem Eifer der Mathematik, als er horte, dass die Berliner Acadeiftie mit dem Verlust E u l e r s bedroht -werde, der die Absicht habe nach Petersburg zurückzugehen.

D'Alem-

bert spricht von diesem Vorsatz E u l e r s in einem Briefe an V o l t a i r e vom 3. März 1766. „ E s wird mir leid thun" sagt er, „der Mann ist nicht sehr amüsant, aber ein grosser Mathematiker," d ' A l e m b e r t lag freilich wenig daran, dass der „wenig amüsante Mann" sich von Paris um 7 Grad weiter nach Norden entfernte; er konnte ja die Werke „des grossen Mathematikers" eben so wohl in den

Petersburger

als in den Berliner Memoiren lesen.

Was aber

d ' A l e m b e r t nicht behagte, war die Furcht, an seine Stelle berufen zu werden, und die Verlegenheit, hier Anerbietungen abzulehnen, die er nicht anzunehmen fest entschlossen war.

Frie-

d r i c h [der Grosse] bot in der That d ' A l e m b e r t wiederholt die Präsidenten-Stelle seiner Academie an, die er ihm seit dem Tode Maupertius aufbewahrt hatte; d ' A l e m b e r t schlug ihm vor, L a g r a u g e an E u l e r s Stelle zu sezzen, und wenn wir der geheimen Geschichte des Berliner Ho&s (2. Band S. 477) glauben, SO hatte schon Euler

selbst, Lagrange

als den

Mann genannt, der im Stande sey, auf seiner Bahn weiter fortzuschreiten.

In der That ist

3XII

es sehr natürlich, dass Euler, der die Eilaubniss wünschte Berlin zu verlassen, und d'Alembert, der einen Yorwand suchte es zu meiden, beide, ohne Verabredung, ihre Gründe hatten, an den Mann zu denken, der am meisten geeignet -war, den Glauz zu erhalten, welchen Eule rs Arbeiten über die preussische Acadenue verbreitet hatten, L a g r a n g e ward angenommen. Er erhielt einen Gehalt von i5oo Thalern, oder ungefähr 6000 Franken, mit dem Titel eines Directors der physisch-mathematischen Classe der Acaclemie. Man kann sich wundern, dass E u l e r tmd L a g r a n g e , nach einander an M a u p e r t u i s Stelle, nur die Hälfte'des Gehalts bekamen, welches der König d ' A l e m b e r t ganz geben wollte. Dies erklärt sich daraus, dass dieser Fürst, der sich in seinen Mussestnnden mit der Poesie und den K iinsten beschäftigte, keinen Begriff von den Wissenschaften hatte, die er jedoch als Knig beschützen zu müssen glaubte, [ D i e s e Unrichtigkeit wird selbst dur~h das, was unmittelbar f o l g t , widerlegt. ] dass er wenig von dei- Mathematik hielt, gegen welche er drei Seiten Verse richtete, die er d ' A l e m b e r t selbst sandte, der aber Anstand nahm, darauf bis zur Beendigung der Belagerung von Schweidnitz zu

XXIII

„weil ««" wie e f sagte, „zuviel auf inrnal seyn würde, die Oestreicher und die M»hemalik zugleich zu Gegnern zu haben" und endlich, wenn man in der Correspondena mit V o l t a i r e lieset^wie F r i e d r i c h , E u l e r , ungeichtet seines grossen Rufs, nur gewöhnlich seinen einäugigen Mathematiker nannte, „ dessen Ohren nicht dazu gemacht wären, die Reize der Poesie zu verstehen" wozu V o l t a i r e hinzufügt ., Unserer ist nur eine kleine Zahl von Eingeweihten-, die Uebrigen sind Profane" eine mehr witzige als richtige Remerkung, die E u l e r , in Beziehung auf die Mathematik, mit weit grösserm Recht, V o l t a i r e und F r i e d r i c h hätte zurück geben könjien. Man bemerkt leicht, dass V o l t a i r e , der mit so vieler Gerechtigkeit N e w t o n gelobt halte, hier nur dem Könige schmeicheln wollte. Er geht in die Idee dieses Fürsten ein, der an der Spitze seiner Academie nur einen Mann stellen wollte, welcher zugleich, wenigstens irgend einen allgemeinen literarischen Ruf habe, indem er fürchtete, dass sich ein Mathematiker vielleicht nicl.t hinreichend für did Leitung der übrigen literarischen Arbeiten interessiren, eiu Literator aber, an die Spitze einer Gesellschaft die zum Tlieil aus Gelehrten bestand .deren Sprache er nicht einmal kannte, noch weniger passen würde. So hatte er Recht, mWOFten,

XXIV

die Stelle zu theilen, damit sie um so vollständiger ausgefüllt werde. grosse

König

weil er,

[ A l s o theilte sie

aus weisen Gründen,

wie es oben hiess,

ten nicht geachtet Lagrange

die

der

und

nicht

Wissenschaf-

hätte.]

nahm seine Stelle

vember 1 7 6 6 ein.

am 6. No-

In dem Antritts - Protocoll

wird ihm der Name L a g r a n g e - T o u r n ' i e r beigelegt.

Er

war

genommen die men;

es nicht

die Stellen

er studirte

schäftigte er kam

dem

Könige

wohl

auf-

worden, aber er bemerkte bald, dass

Deutschen

fremden

von

suchte und zwang ihre Achtung

haben,

in ihrem Lande

eifrig

sich ernsthaft Niemand

gern

einneh-

ihre Sprache; nur mit

im Wege, endlich

wenn er

Mathematik;

weil

er

die Deutschen,

nicht zu versagen.

be-

nichts ihm

„Der Konig"

sagte er, „behandelte mich gut; ich glaube sogar, dass er mich E u l e r vorzog, der ein wenig frömmelte,

wahrend

ich im Gegentheil jeden

Glaubenszwist vermied und Jedem seine Meinung liess."

Diese weise Zurückhaltung, die ihn

zwar den Annehmlichkeiten des geselligen L e bens entzog, welche jedoch auch nicht ohne Iucon— venienzen gewesen seyo Minden, machte, dass ihm alle seine Zeit für mathematische Arbeiten blieb, von welchen er bis dahiu nur den schmeichelhaftesten und uugetheiltesten Beifall geernd-

XXV

tet hattfe. "Nor einmal wurde die«er Einklang des Beifalls unterbrochen. Ein französischer Mathematiker, der mit grossem Scharfsinn eine noch grössere Eigenliebe verband, und sich kaum die Mühe gab die Werke Anderer zu studiren, beschuldigte L a g r a n g e , er habe sich auf der neuen Bahn, die er betreten, verirrt, weil er ihre Theorie nicht hinreichend ergründet; er warf ihm. vor, dass er in seinen Behauptungen und Rechnungen gefehlt habe. L a g r ä n g e bezeigt in seiner Antwort einiges Befremden über diese nicht sehr artigen Bemerkungen, von "welchen er wenig getroffen wurde. Er erwartete wenigstens, sie durch einige gute oder schlechte Gründe gerechtfertigt zu sehen. Er zeigte, dass F o n t a i n e » Aufgabe unvollständig und in gewisser Hinsicht widersprechend sey, F o n t a i n e hatte sich gerühmt, den Mathematikern die Bedingungen gezeigt zu haben, unter welchen die Integration der Differential-Gleichungen zwischen drei unveränderlichen Grössen möglich ist. L a g r a n g e zeigt ihm durch mehrere Citate, dass diese Bedingungen den Geometern längst bekannt waren, ehe F o n t a i n e im Stande seyn konnte, sie ihnen zu lehren. Er leugnet übrigens nicht, dass F o n t a i n e sie vielleicht ebenfalls finden konnte, „wenigstens bin ich überzeugt w fügt er hinzu

xxn „dass Fontaine dazu so gut als ein Anderer fähig i s t " Mit solcher Rücksicht und Massigung antwortete er dem angreifenden Theil. C o n d o r c e t in der Gedächtnissrede auf F o n t a i n e ist hei Gelegenheit dieses Streits zu dem Geständnis« gezwungen, dass sein College gegen die gewöhnliche Höflichkeit gefehlt habe, welche nie bei Seile zu setzen erlaubt sey, die Dieser aber vielleicht bei berühmten Gegnern, deren Ehre der kleinen Schonung nicht bedürfe , für weniger unerlasslich gehalten haben möge. Man sieht leicht den Werth dieser Entschuldigung, besonders zu Gunsten eines Mannes, der nach seinem eigenen Gestandniss „die Eitelkeit Anderer studirte, um sie bei Gelegenheit zu bestrafen ( b l e s s e r ) . " Man nmss wenigstens gestehen, dass Derjenige, welcher sich, im Besitz des Rechts, auf eine solche Weise angegriffen sieht und die Höflichkeit dennoch gegen seinen Gegner, der sich ihrer überhebt, beobachtet, über Diesen, dessen unüberlegten Angriff er ausserdem siegreich zurückweiset, in doppeltem Vortheil ist. Man erwarte nicht, dass wir L a g r a n g e Schritt vor Schritt bei seinem gelehrten Untersuchmigen, mit welchen er die Berliner Memoiren, und selbst einige Bände der Turiner Acadeniie bereichert hat, die ihm in jedem Bctracht

XXVII

ihre Existenz verdankt, folgen. Wir können indessen nicht umhin, wenigstens mit einigen Worten das Merkwürdigste daraus zu erwähnen. W i r nennen Folgendes. Eine grosse Abhandlung, in welcher man den Beweis eines sonderbaren Satzes findet, den E u l e r nicht haue beweisen können; eine Erweiterung dieses Satze» und directe Beweise a n derer, auf welche E u l e r nur durch Induction gekommen war; in- welcher ferner der Verfasser, nachdem er die Aualysis des D i o p h a n t e s und F e r m a t berührt hat, zu den Gleichungen mit partiellen Differentialen übergeht, ein von E u l e r bemerktes Paradoxon erklärt, eine ganze Gattung von neuen Gleichungen zeigt, von welchen man nur einzelne Falle kannte und dabei einen scheinbaren Widerspruch hebt, indem er die Bedeutung, sowohl der vollständigen Integrale dieser Gleichungen, als der singulairen Auflösungen zeigt, die in jenen Integralen nicht enthalten sind. Einen, durch seine Allgemeinheit und Einfachheit des Gesetzes der Fortschreitung, merkwürdigen Ausdruck für die Umkebrung der Reihen, von welchem er eine glückliche Anwendung auf das Keplersche Problem macht, und durch welchen es ihm gelingt die Convergenz des aualvtischen Ausdrucks der Gleichung für

xxvni den Mittelpunkt zu zeigen, •welche Convergenz man immer angenommen hatte, ohne sie beweisen zu können. Eine wichtige Abhandlung über die Auflösung der numerischen Gleichungen, welche zugleich neue Bemerkungen über die algebraischen Gleichungen

enthält.

Diese Arbeit

hat

dem

Werke, welches hernach unter demselben Titel herausgekommen ist und von welchem zwei Auflagen erschienen sind, zur Grundlage gedient Ein anderes

nicht weniger wichtiges noch

neueres Memoire, in welchem er den Differential- und Integral - Calcul auf bloss algebraische Operationen zurückführt, und dadurch aus diesem Calcul die Ideen des Unendlich Kleinen, der Fluxionen, der Grenzen und des Verscliwindens, ganz verbannt

Die Legitimität der Ab-

kürzungen die man sich in diesen beiden Rechnungen erlaubt, wird hier nachgewiesen und der Calcul wird von allen Schwierigkeiten und P a radoxen, die, seit seiner Erfindung, aus einer unvollständigen und verdächtigen Metaphysik entstanden waren, befreit Den Beweis eines sonderbaren Lehrsatzes von den Primzahlen, der bis dahin Niemanden

ge-

lungen und der um so schwieriger war, da sich dergleichen Sätze nicht wohl algebraisch ausdrücken lassen.

XXIX

Die Integration partieller Differentiale erster Ordnung nach einem sehr allgemeinen Princip, -welches für die meisten Fälle, in welchen diese Integration möglich ist, zureicht Eine rein analytische Auflösung der Aufgabe von der drehenden Bewegung eines Körpers yon beliebiger Gestalt, durch welche es ihm endlich gelingt, die Schwierigkeiten zu überwinden, die ihn lange aufgehalten hatten, w o r ü b e r aber die Mathematiker noch einige weitere Entwickelungen zu erwarten schienen, die sie im zweiten Bande seiner neuen analytischen Mechanik zu finden hofften. Mehrere Aufsätze über die dunkle und schwierige Theorie der Wahrscheinlichkeit, wo das Integral merkwürdig ist, welches davon die Grundlage ausmacht, so wie die Zahl und Wichtigkeit der Probleme die dadurch aufgelöset werden; ferner die Anwendung die der Verfasser von dieser Theorie auf die in der Astronomie immer wieder vorkommende Aufgabe macht: über das Zutrauen, welches sich in das mittlere Resultat einer grossen Zahl von Beobachtungen setzen lässt; wobei man die interessante und für den Bordaischen Kreiss so günstige Bemerkung antrifft, dass jede grade Zahl, vor der nächst grossem ungraden, in Rücksicht auf die Wahrscheinlichkeit dass der Fehler zwischen gewissen Gren-

XXX

zen liege, den Vorzog hat Der Graf L a p l a c e haue seiner Seits an der nemiichen Theorie gearbeitet L a g r a n g e nimmt sie abermals vor und bringt Mittel in Anwendung, die sich auf Gleichungen aller Ordnungen erstrecken, von -welchen sie die endlichen Integrale geben, und die in allen Fällen die Bestimmung der willkülirlichen Functionen erleichtern. M a c l a u r i n hatte nach Art der Alten die Anziehung elliptischer Sphäroiden behandelt L a g r a n g e setzt diese Arbeit mit dem Sinnreichsten und Schönsten was uns A r c h i m e d e s hinterlassen hat, in Vergleich. Er zeigt aber, das« sich dieser .schwierige Gegenstand eben so leicht analytisch behandeln lässt. Dies gelingt ihm, aber er bleibt mit dem englischen Mathematiker auf demselben Punkte stehen. L e g e n d r e und L a p l a c e sind seitdem weiter gegangen. Ganz kürzlich hat uns I v o r y gezeigt, dass man sich durch eine sehr- einfache Betrachtung einer Menge von Rechnung überheben und selbst zu Sätzen gelangen kann, zu welchen nur die weitläufigsten Rechnungen, und nur mit Schwierigkeit führen. Sonst suchten die Mathematiker immer erst von jeder Aufgabe eine Art von Uebersicht zu erlangen, um die Aufgabe zu vereinfachen, und sie auf schon gelosete Aufgaben zurückzubringen, und dann dadurch den Calcul zu

XXXI

vereinfachen, oder ihn gar entbehrlich zu machen. Seit der Erfindung der Infinitesimale Rechnung aber macht zuweilen die Allgemein* heit der Methode, bei -welcher dem Rechner eigentliches Genie- entbehrlicher ist, dass man in schwierigem Fällen nur mehr das allgemeine In* rtiument zu vervollkommnen sucht. Jetzt da solche Quellen durch die Arbeiten Eulers, Lagrange's und ihrer ihnen -würdiger Nachfolger erschöpft zu seyn scheinen, wäre es vielleicht Zeit, mehr zu der alten Methode und zu D. Bern o u i l l i s Weise zurückzukehren, von welchem C o n d o r c e t rühmt, dass er als Rechner mässig gewesen sey. Lagrange hat von seinen ausgezeichneten Talenten, aus Gewohnheit, zuweilen einen andern Gebrauch gemacht Er nimmt Alles aus der Analysis. Jedoch richtiger ist es, zu sagen, dass er im höchsten Grade beide Methoden verband; den Beweis davon giebt die Variations-Rechnung, mit welcher sich, weder der Grösse noch der Allgemeinheit nach, kaum eine der glücklichsten Ideen anderer Mathematiker vergleichen lässt. Und was die sinnreichen Uebersichten zur Vereinfachung einzelner Aufgaben betrifft, so hat er schon früher die Erscheinungen bein Schall auf die Theorie der schwingenden Saiten gebracht^ auch noch in der letz-, ten Arbeit die er der Classe vorlegte, auf eine

ffTCTI

solche Welse seine Theorie der Variationen der störenden Elemente der Planeten ungemein vereinfacht und -aus seiner Auflösung eine allgemeine Methode für alle Probleme der Mechanik gemacht, wo die störenden Kräfte gegen die Haupt-Kräfte sehr klein sind. Sieht man ih^ indessen gleich in den meisten Fällen die glücklichsten Anstrengungen machen, um eine Aufgabe zu verallgemeinern und seineu Gegenstand zu erschöpfen, so findet man doch auch zuweilen, dass er sich seihst Schwierigkeiten schafft, wo es keine giebt, und sinnreiche und gelehrte Methoden zur Auflösung elementarer Aufgaben anwendet, zu welchen blos ganz gewöhnliche Constructionen nöthig sind, [zum- Beispiel auch in der Abhandlung über die Pyramide.] So untersucht er bei Gelegenheit, des letzten Durchganges der Venus, die Curve des Einund Austrittes für die verschiedenen Länder der Erde analytisch. Aber, blos um zu der sehr leichten und mittelmässig genauen Auflösung von D e l i l l e und L a l a n d e zu gelangen, ist er gezwungen, ganz fremde Mittel und feine Bemerkungen zu Hülfe zu nehmen und seine Coordinaten einer Menge von Verwandlungen zu unterwerfen, während man durch eine trigonomerische Rechnung von wenigen Zeilen eine vollständigere

XXXIII

ständigere Formel erhallen kann, in "welcher sich noch Glieder finden, die L a g r a u p e nicht hat und die, obgleich sehr klein, doch nicht zu vernachlässigen

sind.

Jedoch ist nicht ru leug-

nen, dass er ans seiner Formel eiii gntt-s Mittel zur Berechnung

der

Sonnen - Parallnxc zu

ziehen weiss, welches weder D c l i l l e noch T,al a n d e bemerkt hatten, welches man aber auch ebenfalls \i ihr öffentlich das ehrenvolle Zeugniss, ihm sein Leben lieb und

das* wenn

der Abschied

vom

Leben ihm schwer sev, es nur darum sev, weil er so viele Tugend und Güte verlasse, die ihm »ein, Dasevn

versüssten.

Wir

erfüllen durch

die Mittheilung dieser V\ orte eine Pflicht der Gerechtigkeit und Wahrheit.

L a g r a n g e , wel-

cher in den Frauen einen Geist fand, der fähig ist, mit Anmuth, die feinsten Bemerkungen zu fassen, theilte sich stets seiner Gattin in seinen innigsten Angelegenheiten mit. Als der Revolutions-Sturm den Thron und die gesellschaftliche Ordnung umstürzte,

blieb

L a tr r a n g c., durch seine Studien entfernt von diesen Erschütterungen, und durch die Sanftheit seines Characters sicher vor den Reibungen der Faciionen.

Mau vergass ihn, weil man ilm un-

fähig fand zu schade«. Er geizte zu wenig nach Ruhm, um Jemand zu verdunkeln, und zu wenig nach Stellen, um Feinde oder Nebenbuhler zu haben.

Er trachtete nach keinem andern Thron

als den der Mathematik fürchtete man nicht.

und diese Herrschaft

W e r mag sagen, ob man

dennoch in diesen Zeiten

des Unglücks nicht

i m Sinne hatte, dieses berühmte Opfer fallen zu machen!

Für gewisse Leute wäre ein solches

L X U T

Verbrechen nicht ohne Heize gewesen, und man fürchtete «» augenblicklich allerdings. JLagrange liebte jedenfalls die -wahre Freiheit, weil er ungemein

gerecht, und

die wahre

weil er ungemein vernünftig wir-

Philosophie, Die im Na-

men der einen und der anderen begangene Ausschweifungen, welche ihm immer fremd blieben, haben ihu weder von der einen, uoch >on. der andern

entfernt.

Ais Mitglied der Münz - Commissian im Jahre 1792 findet man von ihm noch eine Abhandlung iu L a v o i s i e r s Sammlung der politischen Arithmetik.

Als Professor der Normal-Schule

und der polytechnischen Schule, schrieb er, vorzüglich für sie, im Jahre 1797, seine Theorie der analytischen Functionen, im Jahr 1798 die Auflösung der numerischeu Gleichungen,

Vor-

lesungen uber die Functiuns-Rechnung u, 5. wsa wie vcrbchiedene Abhandlungen in dem Journal dieser gelehrten Schule.

Das Langen-Bü-

reanx nahm ihn in Anspruch, und die mathematische Abiheilung des Instituls konnte nicht, ohne ihn an der Spitze, gebildet werden.

Man

iindet unter den Abhandlungen dieser berühmten Gesellschaft

mehrere

Memoiren von ihm,

der eines ihrer aufmerksamsten

und

eifrigsten

Mitglieder war. Man \\ iirde diesen»

grossen

Mann Unrecht thun,

L XXXVI

wenn man glaubte, dass der Rang eines Senators, eines Grafen des Reichs etc. ihn geblendet hätte. Die wahre Grösse "war ihm zu natürlich. würde ihn wenig kennen,

Man

wenn man glauben

wollte, dass ihm alles das irgend einen Schritt kostete.

Er sagte im Gegenlheil: „der Prunk

genire ihn," und sein einlaches Leben gab den Beweis da\on.

Er hasste den Zwang und war

weit entfernt, den Holling zu machen.

Dazu

bedurfte es nicht erst der Bescheidenheit:

er

war offenbar über seine Würden erhaben;

er

empfing sie dankbar aus der Hand eines grossen Mannes, der ihn ehrte, und der fähig war, ihn zu beurtheilen.

Die IN .ich weit weiset in der Ge-

schichte der Volker den ausgezeichneten Gelelirteu ihre Stellen

neben tlen Helden an.

Beide

sind Eroberer, jeder in seiner Art. Se. Majestät, die ihn immer mit der würdigsten Auszeichnung begegnete, nannte ihn: ,,die hohe Pyramide der Mathematik, u

sie geruhete, bei seiner

letzten

Krankheit, sich mehrere Male nach seinem B e iluden erkundigen zu lassen. I . a g r a n g e war fest- und wohlproportionirtobwohl zart gebaut!und von mittler Grösse; sein Gesicht war ruhig, sinnig und ehrwürdig, sein Blick durchdringend, aber sanft.

Sein Kopf,

ohne jene Grösse zu haben, die man grossen Denkern

eigen glaubt, A\ar schön und regel-

LXXXVII

massig', er hMte im Mannes-Aller braunes und schlichtes Haar gehabt, -welch«« im Alter weiss geworden war, ohne auszugehen. Seime Augen waren aschenblau (bleu cendre), seine Nase gebogen (aquilin), seine Gesichtszuge waren voll Ausdrucks, Würde, Anmuth und Adels. Er hat immer eine bestimmte Abneigung gehabt, sich abbilden zu lassen, denn er meinte, dass nur die Eigenschaften des Geistes und der Seile allein verdienten, den Erinnerungen der Nachwelt aufbewahrt zu werden. (Yerstohlenerweise hat man ihn während des Schlummers gezeichnet. Nach seinen Tode hat man sein Gesicht abgeformt.) Sein Körper war gedrungen (stricte), nervig, der Leib zurücktretend, ohne mager zu seyn; die Knochen wareu stark, die Gesichtsfarbe bleich und matt, besonders um die Augen, die Haut überall etwas haarig, mit durchscheinenden Adern. (Die Neigung zu Hämorrhoiden, zur Verstopfung und beständige Besorgniss um s«ine Gesundheit beweisen, nebst dem Obigen, dass sein Temperament melaneoKscher Art war.) Schüchtern, aber zntraulich gegen Jeden, drückte er sich mit einem angenehmen Lachein aus, indem er immer mit einer gewissen Anmuth sein: „Ich weiss nicht'' wiederholte, und bescheiden seine Zweifel und Einwurfe vortrug. Er sprach langsam und schnarrte ein wenig

I-XXXVI1I

(grasseyant), aber er erhol) die Stimme,' wenn er seine, Ideen entwickelte, und gewöhnlich trug er sie dann unerwartet, tiefeindringend, und mit einem Reichthum von originellen und glücklich erfundenen Ausdrucken, vor. Er zweifelte viel, und suchte sich mit Jedem zu verständigen, aber ohne sich mit Worten abfertigen zu lassen, oder mit Scheingründen au begnügen. Er liebte die Gegenstände zu erschöpfen und folgte nicht dem Faden der gewöhnlichen leeren Unterhaltung. Zuweilen \ ersetzte ihn ein einzelnes Wort in Nachdenken, und er fasstc dann seinen Gegenstand mit einer so neuen Ansicht auf, dass man Wohl sähe, sie komme von tiefen Einsichteu her. So z. B. sagte er einst: „ die Aerzte können wohl „ein Fieber vertreiben, nicht aber uns dasjenige ,, Fieber geben, welches gerade das rechte wäre." Er war im Ausdruck sehr vorsichtig und tadelte sich selbst, wenn er etwa in der Unterhaltung etwas Gewagtes gesagt zu haben glaubte. Er nahm au der I ulerhaltung keinen sehr thatigen A n theil; er hasste vielmehr die Gespräche über Andere oder über nichtige Kleinigkeiten, die nur zu oft der Gegenstand davon sind. Er lieble oin unierrichtendes und ruhiges Gesprach. Da er sich nie mit jenen Spielen beschäftigte, die zur Verschwendung der Zeit, welche Demjenigen, der ihreu Werth nicht kennt t zu, lang-

LXXXII

»am dahin läuft i -erfunden sind, so bereicherte er sich, während des Müssiggangs Andrer, mit Kenntnissen. Seine, mehr ernste als fröhliche, obgleich nicht traurige Gemüthsart war ton unwandelbarer Sanftheit, die ihn zum Gegenstande der allgemeinsten Achtung machte. Es -tfar ihm unmöglich, ein empfindendes Wesen leiden zu sehen; er verabscheute die Grausamkeit, seihst gegen Thiere; er war der erklärte Feind Alle« dessen, was der Gewaltthätigkeit und dem Streite ahnlich sieht; er war, auf eine wahrhaft ängstlich- religiöse Weise, gerecht. Die Billigkeit war für ihn eine unverbrüchliche mathematische Regel, von der man sich, ohne absurd zu werden, nicht entfeinen dürfe. Diese Tugend war, nebst der Güte, der Grundzug seiner Moral, und Je-, dermann wusste dies. Man erlaube uns eine Bemerkung. Ist es nicht jener Zustaud des Friedens und der Unschuld, entfernt vou stürmischen Leidenschaften,' und verbunden mit einem pythagorisch- nüchternen Lehenswandel und mit sanften, Gerechtigkeit liebenden, Gesinnungen, der die Heiterkeit der Seele erhält, und die Harmonie der Denkkraft erhöht? Fand nicht L a g r a n g e , wie Newton, eben darin die Quelle jener Sammlung, die es ihm möglich machte, die Gegenstände

xc seine* Nachdenkens so lange vorher zu ergründen ?

W i e v i e l , sonst nicht mittelmäasige,

Ta-

lente würden Intensität und Energie bekomme«, wenn sie so alle Kräfte auf einen Punkt lenkten, anstatt sie roll Unruhe auf fremdartige Gegenstande zu zerstreuen! und

Die

-wahre Moral - Philosophie

die Mässigung' sind

dem

Genie

unent-

behrlich; Da L a g r a n g e einen schwachen Magen hatte, wie gewöhnlich alle, viel mit dem K o p f e arbeitende Menschen (imbecilli stomacho pene, Ottilies eupidi litterarum

sunt. Celsits de Medic.)

so gewöhnte er sich an feine sehr massige und regelmässige Diät. W e n n er, in Gesellschaft, ein wenig mehr als gewöhnlich ass, so litt er sogleich an Unverdaulichkeit

Deshalb ihachte er

aichs aum Gesetze, sehr wenig zu essen, um besser arbeiten zu können, und wenn seine körperlichen Kräfte deshalb nicht sehr zunahmen, so schützte ihn dagegen seine Massigkeit gegen Krankheiten. E r hat bis zu seinem letzten Augenblicke sein ungeheures Gedächtniss und die unveränderliche Kraft zu fassen und zu arbeiten behalten. sen Vorzug hatte

er

vor

Newton,

(Die-

welcher

in seinen letzten Jahren kindisch wurde.

Frei-

lich lebte dieser 85 Jahr.

Er

litt zuletzt am

Steine).

die

iibiigcn Sinn»-

Sein Gesicht

lind

waren im besten Zustande, hlos das Gehör war

KCl

etwas hart g e W o r d e ä . Wie D«scurte» schlief er lange und stand sehr spät auf (gegen loUhr). Er ging gegen Mitternacht zu Bette und schlummerte gewöhnlich etwas, nach dem Essen. Morgens trank er Kaffee mit Milch, ass sehr nässig ztt Mittag, wenig Fleisch, oder doch das leichteste, mehr Gemüse und Früchte. (Als N e w ton seidfe Optik schrieb, lebte er fast nur von Brod und Wein mit Wasser. Aach D e » c a r te s lebte fast nur von Gemüse und trank äusserst wenig Wein, öfters monatelang gar keinen. L e i b n i t z ass viel, vielleicht aus Gewohnheit der Deutschen und trank sehr Wenig. E u l e r trank sehr viel, und rauchte auch Taback. Die Diät hat, auf die Dauer, Einfluss. auf die Stimmung der Seele, deshalb verdient sie Erwähnung.) Er trank nur Bier und, hasste alle 6tarke Getränke. Späterhin trank er Kaffee im Walser, sehr süss und heiss, denn er liebte überhaupt die W ärme und befand sich an schönen Tagen in der Sonne sehr wohl. Gegen 1 0 Uhr Abends trank er sehr heissen Thee mit vielem Zucker, zuweilen mit Citronensaft, um sich zu erquicken und von seinen Studien zu erholen. Er war gegen die Reize der italiünischen Musik und des französischen Theaters nicht unempfindlich, and wenn er in der letzten Zeit das Schauspiel nicht mehr besuchte, so geschah es,

ICI!

-weil ihn die eingeschlossene Luft, zwischen einer Menge Menschen, incommodirte.

Er lieble

sehr die freie Luft und ging fast täglich, und schnell, beständig in Nachdenken vertieft, spazieren.

Man -wird hoffentlich diese Details ent-

schuldigen. In seinem Zimmer las und dachte L a g r a n g e viel

Er schrieb nie eher, als bis er séiuen Ge-

genstand reiflich von allen Seiten überlegt hatte. E r war allezeit einfach gekleidet und liasste die Sueht, sich bemerklich zu machen. Verstellung gewesen

Es würde

seyn, ein so ausgezeich-

netes Verdienst zu verleugnen ; er leugnete es, mit angenehmer Naivetat, keinesweges, denn er •war äusserst aufrichtig;

aber wenn man

ihn

hörte, so schien es, als wenn seine Schiller seines Gleichen wären ; so viel Vergnügen machte es ihm, den Werth ihrer Arbeiten hervorzuheben. Es ist kaum glaublich, wie entfernt er von Stolz war.

Nur erst in seiner letzten Zeit er-

f u h r m a u , dass er es gewesen w a r , der dem Saluee

und D a v i e t d e F o u c c a e x etc. die

Grundzüge der, unter ihren Namen, in den Sammlungen der Turiner Académie bekannt gemachten, Abhandlungen geliefert haue. Der Astronom L e m o n n i e r , der in einer Abhandlung, die den mechanischen Preis der Academie der Y\ issenschafteu erhielt, analytisch-mathematische

Eni-

xcm Wickelungen gefunden hatte, welche weit über die Kräfte des Concurrerneu zu gehen schienen, haue L a g r a n g e in Verdacht der Hülfe.

Die-

ser entschuldigte sich, dass er dem Mechaniker den Preis gewonnen habe, damit, dass derselbe ein guter Familien-Vater sey.

Er war dafür

bekannt, auf solche Weise die Regel zu ubertreten. In seinen letzten Tagen gestand L a g r a n g e , dass unsre Wissenschaftan nur schwache Schimmer iq dem finstern Abgrund der Unwissenheit sind, in welcher wir leben. erhabene

und

Bemerkung!]

[Wahrlich eine

weise, Lagrange's

würdige,

So hatte Der gut reden, welcher

fast den ganzen Kreis des menschlichen Wissens durchlaufen und die Grenzen der mathematii

sehen Analysis weit hinaus gerückt haue.

Die

wahre Bescheidenheit wirklicher Gelehrten ist sehr natürlich.

Grosse Geister schwingen sich

auf, bis zu den Grenzen der möglichen Erkenntniss;

und weil ihr Blick

weiter reicht,

als bei Andern, so messen sie das Ziel. die Kurzsichtigen, deren

Aber

Blick diese Grenzen

nicht erreicht, glauben sich im unbeschränkten Raum und werden stolz auf ihre vermeintliche Unermesslichkeit. Alles was das Gepräge der Nützlichkeit und V\ ohlthiiligkeit trug, wurde von dieser wahrhaft

XCIV

grossen und edlen Seele mit Warme ergriflen. Man hat vielleicht nicht genug alle seine T u genden gekannt, die seinen bessern Theil ausmachten, weil man nur auf sein Talent sähe. Auch ohne dieses wäre L a g r a n g e noch ein bewundernswürdiger Mensch gewesen; aber man musste ihn näher kennen, man musste in das Heiligthum seines Herzens dringen, welches sich dem Blick einer Zeit, die oft wenig geeignet ist, es zu fassen, verbarg. Wie erhaben war ein solcher Einklang der Tugend und des Talents! Wir fürchten hier keinen Widerspruch von irgend Jemand der L a g r a n g e kannte. Jetzt, da der Tod ihn ims entriss, da kein Interesse mehr unser Urtheil bestimmen kann, sind wir seiner Asche die Ehre der Wahrheit schuldig; wir geben ihm kein anderes als dasjenige ehrenvolle Zeugniss, welches einem braven Manne zukommt; der Schmeicheley bedarf sein Andenken nicht. Der Mensch ist nur ein Punkt im Weltall, die Zeit seines Daseyns nur ein Augenblick; aber der Punkt vergrüssert sich durch das Licht des Gedankens, das Daseyn verewigt sich durch den Adel der Tugend. Auch ich wurde von L a g r a n g e mit seiner Achtung beehrt. Warum kann ich liier auf seinem Grabe nicht Alles ausdrücken, was ich fühle! . J . J. V i r e y .

Einige Zusätze zu vorstehenden Nachrichten von Lagrange's Leben. D e r Herausgeber dieser Hebersetzung der Lagrangischen Werke hat sich bemüht, hier in Berlin, wo L a g r a n g e so lange lebte, über diesen grossen Mann noch einige Nachrichten zu sammeln.

Viel Ausfuhrlicheres als oben erzählt

wird hat er nicht erfahren. Lagrange's Freunde waren nicht zahlreich und die meisten sind nicht mehr. Was er von den noch übrig gebliebenen gehört hat, setzt wenig Neues dem Obigen hinzu.

Es enthalt aber die einstimxnunge Bestäti-

gung alles des Guten und Rühmlichen, was L a g r a n g e ' s Biographen von ihm sagen. Jeder

der L a g r a n g e ,

entweder

selbst,

oder auch nur aus Erzählungen Andrer kannte, kann nicht genug den vortrefflichen Character, die Herzensgüte und die wahrhaft kindliche Unschuld des grossen Mannes rühmen.

Einer sei-

ner noch lebenden Freunde, den der Herausgeber um Nachrichten vun ihm ersuchte, erschöpfte

XCVI

sich fast in seinem Lobe.

Nirgend hat Refe-

rent in Berlin jemals etwas anderes als Kuhm von Lagrange gehört.

Ein hoher Beweis seiner

Vortreflliclikeit! denn es folgt daraus, dass L a g r a n g e vielleicht keinen Feind hatte.

Li der

Th^t lebte er, näch der Beschreibung Derer die ihn kannten, so ganz nur seiner Wissenschaft allein, dass ihm die Händel der Welt beinahe unbekannt blieben. Sein Geist wohnte im Reich des Denkens und er war dem Treiben der Mönschen fast gänzlich fremd. So war es ihm denn auch möglich, durch die Stürme der französischen Revolution hindurehzukommen, ohne von ihnen ergriffen zu werden.

Einer seiner hiesi-

gen Freunde gab ihm darüber seine Verwunderung zu erkennen und fragte ihn, wie er es mache, um Unangefochten zu bleiben; „ I c h gehe nicht aus

meinem Z i m m e r , "

erwiederte

er,

,, sehe kaum durch das Fenster, und so weiss ich nicht was vorgeht; -wahrscheinlich weiss man auch wohl nicht um mich." Eben dieser Freund, welcher ihn, wiederholt, später

in Paris,

auch

noch zur Zeit des Consulats, sähe, rühmt seine Geradheit und sein Benehmen, das von echtem Gefühl der W ürde zeugte.

Wahrend Andre sich

gegen die Gewaltigen demüthigten, begegnete L agrauge du

etwa

ihnen mit keiner andern Achtung als ihren

Verdiensten

wirklich

zukam. L a g r n n-

xcvn L a g r a n g e war ein -wahrhaft glucklicher Mensch; denn welches Olück

ist dem zu vergleichen,

fern von wilden Leidenschaften, im Gelnet. der Wissenschaften, wie in einer bessern Welt zu leben und von dem niedrigen Getümmel kaum etwas zu vernehmen. dem was man

Aber auch aussei lieh, in

gewöhnlich

zur

Behaglichkeit

nothwendig glaubt, war L a g r a n g e nicht vom Schicksal vernachlässigt.

Sein Leben floss ohne

Kummer, ohne häufigere schmerzhafte Verluste dahin.

Nur einmal, in Berlin, bei dem Tode

seiner ersten Frau, der ihn tief betrübte, und einmal in Paris, als er durch die Revolution in den bittersten Mangel gerieth, schien auch an ihn

der

Kelch

gekommen.

In

diese

letatß

Epoche gehört eiu Umstand, den seine Biographen nicht erzählen, der aber, weil er unserm Lande sehr zur Ehre gereicht, nicht verschwiegen werden darf.

In jeuer unglücklichen Rc-

volutions-Zeit nemlich

war L a g r a n g e ,

weil

das damalige Papiergeld im Werdie last bis auf Null gesunken war, rat hen.

in drückenden Mangel ge-

E r war schon mehrere Jahre von Ber-

lin entfernt, und hatte die Pension von dreihundert Thalern jährlich, die ihm der Konig, ungeachtet seines Abganges, aus seinem Gehalte von 1500 Thalcrn festgesetzt hatte, nicht erhoben, wahrscheinlich, Weil et nicht einen Gehalt

xcrm ziehen wollte, ohue dafür etwas Bestimmte« zu leisten, obgleich er allerdings, nach seinem Abgänge von Berlin, noch einige Memoiren hierher geliefert hat.

Man erfuhr hier seine Lage,

und eben jener Freund, dessen oben erwähnt ist, und der um die Zeit sich in Paris befand, übernahm es, zu versuchen, ob L a g r a n g e «ey, von hier aus Hülfe anzunehmen.

geneigt Kr fand

ihn zwar geneigt., aber zweifelnd an einer solchen Hülfe, w e i l , wie er sagte, Preussen mit Frankreich im Kriege und die Pension scheinlich verfallen sey.

Mau sandle ihm von

hier aus den Gehalt für die Zeit

und

rettete

wahr-

ganze verflossene

ihn dadurch

wahrscheinlich

-,

vom Verderben denn merkwürdig ist seine Aeusserung, als sein Freund ihn fragte, was er denn wohl geihau hülle, wenn diese Hülle nicht erschienen wäre.

„Ich vvüre wahrscheinlich um-

g e k o m m e n , " crwiederlc er, „denn Schulden zu machen wäre mir unmöglich gewesen." Sciuc Häuslichkeit schildert sein Freund beneidenswerrth.

Besonders seine zweite Frau war

in jedem Betracht ausgezeichnet, an Körper und Seele.

Sie war eine der schönsten und zugleich

geistreichsten Frauen von Paris; sein Schwiegervater L e m o n n i e r war das Ideal eines würdigen Greises. Lagrange

ging

fast

nur mit

Gelehrten

xcix verschiedener Fächer um, z. B. mit Laplace, Monge, Chaptal, Berthoilet etc. aber, wie sein Freund versichert, nicht literarisch. Er wusste nicht einmal, dass die mécanique céleste unter der Presse sey. Aus seinen Arbeiten machte er gleichwolil kein Geheimniss. „Ich wünsche nur zu nützen, so viel ich kann," sagte er: „wie meine Arbeiten unter die Leute kommen, ist mir ziemlich gleichgültig." Von den Verdiensten Anderer sprach er mit grösster Achtung, mit besonderer Vorliebe aber von E u l e r s Verdiensten. Wenu mau ihn fragte, wie am besten die Mathematik zu studiren sev, so verwies er an E u l e r s Schriften. Er war durchaus fern von eigner Ueberschätzung. Das Ideal seiner Achtung war nur seine Wissenschaft! Alles bestätiget, dass in L a g r a n g e Tugend und Talente auf eine seltene Weise \ ereiniget waren.

Verzeicliniss von Lagrange's Werken. MitgethcUt >ou

Lacroix.

( 9 * wii >i«W telchr* der rweitrn Auflage der antlytUehtn Mechanik augeljjingt Holtet.)

Abgesonderte

Wflrke.

Brief an Julius Carl F a g n a n o , vom 23. Juny. 1754.

e

nt

haltend eine mil der Xewtonschen Reihe für die Potenzen correspoirlirende Reihe für die Differentiale und Integrale beliebiger Ordnung (zu Turin gedruckt) Znsätze zu F . u l e r s Algebra. Analytische Mechanik.

Erste Ausgabe 1788- Zweite Aus-

gabe. ister Band, l ß n . 21er Band, iö»5Theorie der analytischen Functionen. F.rsle Ausgabe, Jalir V. (1797 )

Zweite Aiifigahe, i8>3-

Auflösung der numerischen Gleichungen. Jahr VI. (1798J

Erste Ausgab«

Zweite Ausgabe, 1806-

Vorlesungen über die Functions - Rechnung.

Die erste

Ausgabe macht einen Theil der zweiten Ausgabe der séances des ecoles normales von 1801 aus. Die Werk ist im zwölften Heft des Journal» der école polytechnique nun .lahr XII (i8f>4) abgedruckt. Im Jahr i(jot> hat der Veriksser ein« ImuuUwe Ausgab«

Cl in OcttT veranstaltet, welche zwei neue Vorlesungen enthält, die wieder >n den vierzehnten Band des Journal« ä» ticol0

polytacknique

aufgenommen «ind.

Sammlungen der Turioer Academic. Miscellanea. Erster

Band.

Untersuchungen über die Methode der Maxintu und Mi-

nima. Ueber die Integratipn

einer Differential - Gleichung

nat

endlichen Differenzen, die die Theorie der rücklauienden Reihen enthält. Untersuchungen über die Forlpflanzung des Schalles. ?weitcr

B a n d.

Neue Untersuchungen über die Fortpflanzung des Schalles. Versuch einer neuen Methode die Maxuna und Minima unbestimmter Integralfotmeln zu finden. Anwendung dieser Methode auf die Auflösung verschiedener Aufgaben der Dynamik. Dritter

B a 11 d.

reber verschiedene Aufgaben der Integral - Rechnung (mit Anwendungen auf die Hydrodynamik, Dynamik und physische Astronomie). Vierter

Band.

.Auflösung einer arithmetischen Aufgabe. Ueber dir Integration in welchen

einiger Differential - Gleichungen,'

die unbestimmten Gröben

abgesondert

sind, deren Glieder einzeln aber nicht integrirl werden können.

CII l.'eber di« Methode der Variationen. Ueber die Bewegung eines Körpers, der von rwei festen Punkte» angezogen wird. Erste und >weü,e Abhandlung. Fünfter

Band.

Ueber die Gestalt der Säulen. Ueber den Nutzen der Methode, ein Mittel zwischen Beobachtungen zu nehmen.

Ahhandlungen der Turiner Academie. Jahr 1784 — 85Er s t e r

T h e i 1.

Ueber den Stoss flüssiger Körper. Zweiter

Theil.

Neue Integrations - Methode für Differentiale, die ein Quadrat-Wurzel-Zeichen enthalten, unter welchem die veränderliehe Grösse nicht über den vierten Grad «teigi.

Abhandlungen der Berliner Academie. X X I . Band vom Jahre 1765. Ueber die Tautochronen. X X H . Band vom Jahre 1766. Ueber den Durchgang der Venus am 3. Jtrny 1769 (oder über die Parallaxen). X X m . Band vom Jahre 1767. Ueber die Auflösung unbestimmter Aufgaben des zweiten Grades. Ueber die Auflösung der numerischen Gleichungen» X X I V . Band vom Jahre 1768. Zusatz zu der Abhandlung über die Auflösung der ntunemerischen Gleichungen.

cnt N«u« M e t h o d e , u a b e H i m m t « A u f g e b e n iii ganzen Z a h U n aufzulöten. Neue Methode, Buchstaben Gleichungen durch Reiheu a u f sulöseu. jptV.

B a n d TO«I J a h r «

1769.

I ' e b e r die K r a f t g e b o g e n e r F e d e r n . l ' e b e r die K e p l e r s c h e Aufgabe. l i e b e r che Elimination.

Neue Abhandluugeu der Berliner Academie. Jahr

1770.

N e u e Betrachtungen über die T a u t o c h r o n e n . B e w e i s eines arithmetischen Lehrsatzes. B e t r a c h t u n g e n ü b e r die algebraisch« Auflösung der G l e i chungen. Jahr

1771.

B e w e i s eines neuen Lelirsatzes ü b e r die Primzahlen. F o r t s e t z u n g der Betrachtungen über die algebraisch« A u f l ö s u n g der Gleichungen. Jahr U e b c r eine neue A r t v o n

1772. Rechnung,

die sich a u f D i f f a -

rentiation und Integration bezieht. Ueber

die Gestalt

der u n m ö g l i c h e « W u r z e l n

der

Glen

chungen. H e b e r astronomische S t r a h l e n b r e c h u n g . L e b e r die Integration der G l e i c h u n g e n mit partiellen P i f lercntralcn erster O r d n u n g . Jahr N e u e Auflösung dei

Aufgabe

1-73. über

die d r e h e n d e B e w e -

g u n g eines K ö r p e r s . U e b e r die A n z i e h u n g elliptischer S p h a r o i d e n .

(IV

Analytische Auflösung einiger Aufgabe« von der dreiseitigen Pyramide. Arithmetische l ntersuchungen. Jahr 1 7 7 4 . Ueber die Singulair en Integrale

von Differential - Glei-

chungen. lieber die Bewegung der Knoten der Planeten-ßajinen. Jahr 1775. Untersuchungen iiber die rücklaufenden Reihen, deren Glieder auf verschiedene Art abweclisebi, oder über die linearen Gleichungen mit partiellen Differenzen, so wie

über

n «'er Sammlung

Ton Vorlesungen (1er Normal-Schule.

Aber die »weite Auflage,

welche 1806 bei C o u r c i e r herauskam, ist sehr vermehrt. letztere wird hier citirt.

Diese

HIV

besonderes Werk, j>ind, unabhängig

von

der

welches für sich und

Theorie

der

Functionen

gelesen werden kann, so hat man sich begnügt, es überall, -wo es Erlauterungen und nützliche Entwickelungen enthält, zu citiren.

Inhalt der Theorie der Functionen.

Einleitung. Seite.

Von den Functionen überhaupt. abgeleiteten Functionen.

Von S t a m m -

und

V o n den verschiedenen

Ansichten der Differential-Rechnung.

Gegenstand

dieses Werks

3

Erster

Theil.

Uebersicht der Theorie mit ihren vorzüglichsten Anwendungen auf die Analysls. Seite.

Irrster Abschnitt. von

Entwickelung einer Function

einer veränderlichen Crosse

in eine

Reihe,

w e n n man der veränderlichen Grösse ein Wachsthum beilegt. ser

Reihe.

dieser Reihe

Stufenweise Bildung der Glieder dieWichtiger

Lehrsatz

über

die

Natur 13

c \> [ Seite. Zweiter

\ I i s c Ii 11 i 1 1 .

Abgeleitete

Iliri- LS« i.< 1' '¡iiiing unti ¡Iii Dritter

A li s r li il i t1.

i . j . o i i f ut i.il

Functionen.

\lgoi itlnmis

- 5 °

Ableitungen von l ' o t e n z e n ,

i i) .< li. l.ogarifinn.'n, S i n u s u n d C o -

simi';. nml v o n A (.-.drücken, dio aus diesen e i n f a c h e n Functionen zusammengesetzt, sind. Abieil u n g s - G l e i chungeu Vierte r

4° A b s e li n i I 1 .

Digression.

l i e b e r die M i t -

tei. die Fu iln n f ü r F x p o n e n t i a l - G r ö s s e n ,

Logarith-

men, S i n n s , Cosinus und K r e i s b o g e n blos algebraisch 7ii e n t w i c k e l n f ü n f Lev

.

A li f e l i n i 1 1 .

Fun. 1 1 . u n i i ,

f>g Von der Entwiekelung

w e n n man d i r v e r ä n d e r l i c h e n

«im ii l n ' s l i ì i i m t n YV i-j'ih beilegt.

der

Grosse

Fall, in w e l c h e m

die a l l g e m e i n e K e g e l nielli znlriiTl.

V o n den

Wer-

tlien d e r J J r i i f l i e , deren Z ä h l e r und N e n n e r z u g l e i c h verschw iiulen ch.n

V oli dell b e s o n d e r e n Füllen, i n 'vvcl-

die E n i >vick< hing e i n e r Fuiiclion

Potenzen

niil

Wae 'listini i iis

ganzen der

positiven

veränderlichen

nie iit n a c h

Exponenten Grössen

des fort-

schreitet Sechster

78 Abschnitt.

Functionen in K e i h e n .

Allgemeine Auflösung der F.nl u irkelung der F u n c t i o -

nen in endliche R e i b e n v o n einer beliebigen Glie derzalil.

M i t i c i . die l ì c i t e

( diede aiw.udriick.cn.

nach einem

beliebigen

N e u e r L e h r s a t z v o n solchen

Kwlien Siebentel

gfi A Iis r h u i t i .

Von

den

Ableitung*-

Gleichinij.',''!! und direni Nutzen in der Analvsis, bei l'inJoiiuuii^

d..j i ' u i K t i o i i e i i

Allgemeine

Theorie

cxvu Seite. dieser G l e i c h u n g e n

der

und

darin v o r k o m m e n d e n

w ilikürlichen Constanten Achter

Abschnitt

Fülle

der Zurückleituny

129

In w e l c h e m die

einfache™

v o n abgeleiteten

Functio-

n e n , o d e r v o n A b l e i t u n g s - G l e i c h u n g e n e r s t e r rd innig, u n t e r s u c h t w e r d e n . tionen

V o n d e n Linearen Func-

der verschiedenen Ordnungen, und

denen,

die linear gemacht w e r d e n k ö n n e n Neunter

Abschnitt.

drücken,

die nicht

in

151

V o n d e n s i n g u l a i r e n Ausden vollständigen

g l e i c h u n g e n mit b e g r i f f e n sind.

.Stamin-

V o n den 1 s i n g u l a i -

ren Slanimgleichungen Zehuter

17O

AbsclinitL

tungen in

der

V o m Gebrauch der Ablei

Analysis

u n d v o n Bestiniunin.; d e r

willkürlichen Constanten.

A l i w e n d u n g a u f diu Sum-

liiirung

die A u i l ö s u n g

der Reihen

und

der

Glei-

chungen des drillen Grades Cilfler

Abschnitt.

Voll

193 der

Stanimgleichurig

e i n e r A b l e i l u n g s - G l c i c h u n g erster O r d n u n g , in w e l 1 h e r die

veränderlichen

Grössen

gesondert

sind,

m w e l c h e r m a n a b e r d i r e e l die S l a m u i g r ö s s e j e d e s einzelnen Gliedes nicht finden kann.

Merkwürdige

E i g e n s c h a f t e n dieser S t a m m g r ö s s e n Zwölfter der

Abschnitt.

Functionen

zweier

V o n ihren Ableitungen. tionen und Bedingungen, müssen.

Allgemeines

Von

der

206 Entwicklung

veränderlichen

Grössen.

B e z e i c h n u n g diese)- F u n c w e l c h e n sie e n t s p r e c h e n

Gesetz

zwischen

den

d e r n der Entwickelt!!!:; e i n e r F u n c t i o n v o n

Glie-

mehre-

ren veränderlichen Grössen und den Gliedern, die wieder

aus

entstehen

der

I'lnlvvickcliing

der

ersten

Glieder ..,33

CXVII1

Seite. Dreizehnter tel angegeben

Abschnitt.

In welchem die Mit-

werden, Functionen einer beliebi-

gen Zahl veränderlicher Grössen in endliche Reihen von so vielen Gliedern als man will, zu entwickeln lind den Werth der Reste auszudrücken . Vierzehnter

Abschnitt.

Von den abgeleiteten

Gleichungen mit ilrei veränderlichen Grossen. den willkürlichen

£46

Von

Functionen in den vollständi-

gen Staimngrössen

zwischen

drei

veränderlichen

Grossen

254

I'nufzehnler

Abschnitt.

Merkwürdiger Aus-

druck iur die Kntwickelung ciuer beliebigen Function der in der Gleichung s =

x +f

enthalte-

nen unbekannten Grösse z in eine Reihe Sechzehnter

Abschnitt.

.

.

.

264

Allgemeine Methode,

die Stammgleichung einer liueäreii Ableitungs-Gleichung erster Ordnung zwischen mehreren

verän-

derlichen Grössen, desgleichen die Sluinmgleicliung einer beliebigen A blcitungs - Gleichung erster Ordnung Enden

zwischen

drei

veränderlichen

Grössen itu tßi

CX1X

Zweiter

Theil.

Auwendung der Theorie der Functionen auf die Geometrie. Seite.

Erster

Abschnitt.

Ueber die

Ansichten von den Tangenten.

verschiedenen

Theorie der Tan-

genten und der Berührung von verschiedenen Ordnungen, nach den Grundsätzen der Geometrie der Alten Zweiter

303 Abschnitt.

Von den gradlinigen Tan-

genten und von den Berührungs - Kreisen und dem geometrischen Ort ihrer Mittel - Puñete.

Von den

Krüininungs- Kreisen und dein geometrischen Ort ihrer Mittel - Puñete. Allgemeine Untersuchung der Berührung von Curven in der Ebene. Von der Berührung in singulairen Fallen und

den Asymp-

toten Dritter

313 Abschnitt.

Directe und umgekehrte

Aufgaben über die Berührung der Curven. Untersuchung der Fälle, in welchen ein Verhältniss zwischen den beiden Elementen

der Berühruug er-

ster Ordnung gegeben ist. Von der Curve, • welche durch die tingulaire Stammgleichung einer AbJeitungs - Gleichung erster Ordnung ausgedrückt wird. Vierter

Abschnitt.

ter Ordnung. gulairen

Von der Berührung zwei-

Theorie und Construction der sin-

Stammgleichungen

höherer

Ordnungen.

Beispiel an der analytischen Theorie der Evoluten. Fünfter

339

Abschnitt.

Von

den

grössten

365

und

kleinsten Werthen der Functionen einer veränderlichen Grösse

583

cxx Seite.

Sechster

Abschnitt.

Von der Quadratur und

Retification der Curven in der Ebene.

Von dem

Volumen und der Oberfläche der Conöiden.

All-

gemeine Regel für die analytische Auflösung dieser Art von Aufgaben

593

Siebenter Abschnitt. der Curven

doppelter

mungs-Halbmesser,

Theorie der Berührung

Krümmung.

Vom Krüni-

von den Mittel-Puncten der

Krümmung und den geometrischen Orten derselben.

Von

den Evoluten

Krümmung. Curven Achter

.

Quadratur

der Curven

doppelter

und Rectification

dieser

.

4*4

Abschnitt.

\ on den krummen Flachen

und ihren berührenden Ebenen.

Theorie der Be-

rührung der krummen Flächen.

Von der Berüh-

rung der verschiedenen Ordnungen Neunter geln.

Abschnitt.

438

Von den Berührung.? - K u -

Von den Linien der giiissten und kleinsten

Krümmung. Zehntel'

Eigenschaften dieser Linien

Abschnitt.

.

.

.

45l

Auflösung einiger Aufga-

ben, bei welchen bestimmte Verhältnisse zwischen den Elementen der Berührung

krummer Flüchen

in der ersten Ordnung gegeben sind.

Zeichnung

der Auflösungen. Gleichung dcveloppabler Flächen.

4®3

E i l f t e r A b s c h n i t t . Von den grössten und kleinsten W r t h c i i

der Ordinalen

krummer

Allgemeine Aullösung d * r Aufgabe niinimis.

Mittel, die Maxima und Minima der Func-

tionen mehrerer tersuchen

Flachen.

de nuximis et

verandeiliclicu Grössen zu un472

CXXI Seite. Zwölfter Abschnitt

Von den Aufgaben über

Maxhma nnd Mirrima, die sich auf die VariationsRechnung beziehen.

Von der für das Maximum

und Minimum gemeinschaftlich Statt findenden Gleichung und vom Unterscheidungs-Zeichen der Maxima und Minima Dreizehnter bigen Zahl

-

- .

Abschnitt.

Methode

Ausdehnung der obi-

auf Functionen

veränderlicher

Grössen.

500

einer

beliebigen

Aufgabe von

der

Bracliystochrone. Kennzeichen an einer gegebeneu Grösse, ob sie eine Ableitung erster, oder überhaupt beliebiger Ordnung »ey Vierzehnter Abschnitt

526 V o n der Berechnung

des Inhalts und der Oberfläche von Körpern von gegebener Gestalt

« . . .

D r i t t e r

542

Theil.'

Anwendung der Theorie der Functionen auf die Mechanik. Seite. Erster chanik.

Abschnitt

Vom Gegenstande der Me-

Von der gleichförmigen und gleichförmig

beschleunigten Bewegung. wegung überhaupt.

Von der gradlinigen B e -

Verhältnisse zwischen Raum,

Geschwindigkeit und beschleunigender Kraft . Zweiter Abschnitt.

.

Von der Zusammensetzung

der Bewegungen, besonders dröier gleichförmigen. Von der Zusammensetzung und Zerlegung der Ge-

567

CX XU Stitt. Von den Wurflimen

schwindigkeiten und Kräfte. im leeren Räume Dritter wegung.

gg6

A b s c h nitt.

Von der krummlinigen Be-

Von den Geschwindigkeiten

und Kräf-

ten bei diesen Bewegungen. Allgemeine Gleichungen der Bewegung

eines von beliebigen Kräften

getriebenen Körpers.

Von den Mitteln, die Zeit

zwischen diesen Gleichungen zu eliminiren, um die Bahn des K ö r p e r s zu finden Vierter

Abschnitt

599

Von

der Aufgabe,

den

Widerstand des Mittels zu finden, in welchem ein geworfener K o r p e r eine gegebene Curve beschreibt. N e w t o n s Auflösung dieser Aufgabe in der ersten Ausgabe seiner Principien.

Ursachen des Irrthums

in dieser Auflösung. Uni erschicd zwischen der Methode der Reihen und der Methode der Ableitungen, oder der Differential-Rechnung Fünfter Abschnitt.

6ie

Von der Bewegung

eines

Körpers auf einer gegebenen Flache, oder unter gewissen Bedingungen- Von der Bewegung mehrerer, unter einander verbundener Körper. Bedingungs-Gleichungen

Von den

zwischen den gegebenen

Cpordinaten die.ser verschiedenen Körper und der Methode, daraus die Kräfte zu finden, die aus der Wechselwirkung

entstehen.

Allgemeiner

Beweis

des Princips der virtuellen Geschwindigkeiten Sechster

A b s c h n i tt.

Von

Be\Vegüng des SchwerpuncLs.

dem Gesetze

640 der

Von dem Gesetze

der Flächen bei der drehenden Bewegung um eine feste Axe, oder um ein< n einzelnen festen 1'uuet, oder um den Schwerpuiul, in freien Systemen

654

cum Seite.

S i e b e n t e r A b s c h n i t t Vom dem Gesetze der lebendigen Kräfte bei der Bewegung eines, von beliebigen beschleunigenden Kräfte getriebenen Systems. Von der Erbaltting der lebendigen Kräfte bei dem Stosse elastischer Körper. Vom Verluste dieser Kräfte bei dem Stosse barter Körper, oder, im Allgemeinen, bei plötzlichen Veränderungen, die dem Systeme widerfahren können. Von der Summe der lebendigen Kräfte im Zustande des Gleichgewichts. Allgemeine Bemerkungen über die Ersparung der Kräfte bei Maschinen , 675 Z u s a t z zum zweiten Abschnitte des ersten Theils.

E n d e

des

Inhalts.

69z

CXX1V

Verzeichniss einiger bei der Uebersetzung bemerkten Druckfehler des Originals, die daselbst nicht angezeigt sind.

x' x$ statt •• •. 2.3-4*5 2-3-4-5 v'i1 r"*'1 13 + statt •- +. 0 v. o. — 2 2 3 d, u. — rclativement ä in statt relativement ä x. 8 f. steht y et x statt y en x. 2 z 4 — tg— statt L" 0 0 —. a 2

Seite »5 Zeile 3 v. u. steht —

a6 —

—

61 —

—

85 —

— 121

—

— 145 —

6 z>. o.

x i = o ei ^

9 p Q p = o ei

Xyz =0.

— x£o — 10 -y. w. jie/i£ = u'Jz* + o.uzt zj'z statt =z 11 f z 1 + o.iL z f z f z . — 157 — 7 v. u. .sieht (f(P, O) statt Ji) und P et (J statt Q et B.

CkXT

Seite 189 Zeile 8 v. o. steht y K statt K. S18 — 16 v. u. steht du = y dx statt dy—ydu. — 352 — 16 v. o. steht courbe de'veloppable statt surface développable. — 336 —• 16 v. u. steht y — o statt y + o. — 251 —- 6 v. u. steht courbes statt surfaces. .— — 11 v. u. desgleichen. 273

—

—> 277

—

—

281

—

— —-

281 a84

— —

;—

290

—•

•—

292

—

—

13 v. o. stehtf'(y) etc. statt etc. 16 v. n. steht la proposée la quantité proposée. »6 v. u. steht f'Xy) = nnfÇyy') statt f X r ) =zn,fXy,y') 11 v. u. steht y"—my' staty' 11 v. u. steht 2 Ç=f"(y,y") 2 3 u. 4 v. u. steht à un plan celle d'un plan. 10 v. u. steht f" (y") « / Cy ). 8 v. u. desgleichen. 10 v . u, steht t, et u, statt rr

293 303 -

— I

— —

3o5

—

37

—

517

—•

w

,

statt =2/7» + my'. statt statt statt

M.

14 v. o. steht dx dy du ' dt' 7 v. sin a v. en

/'OO

¿LX

-jp X

¿LY

u. steht sin t = — s t = — s. n. steht t, en x statt x.

t et ut v

statt

statt t et

CXXVl Seite —

329 Zeile

15 t . u. steht par res forcés pour ces forces.

556

—

3 v. o. steht

337

—

3 v. o. steht

statt

statt —n-

statt

y

ayyci+y2)"

—

541

—

542

—

343

—

5 v. o. steht y+Qo—Ro*—So* + So* statt y+Qo—.flol + .S'os. 7 v. o. steht p statt y. „ 71 a rr* v 8 ' steht — statt — .

543

—

8 v-

546~

gr statt —— ßr . 11 v. o. steht. —— 2 u •—• 15 v. o. steht x statt X. — 2 v. u. steht u, -V les statt u, z» etc. les. — 12 v. m. steht MU1—NF*—Mu* 2 —Nv — etc. statt MU2 + iV^3 + etcm —Mu2— Nu1— etc.

— —

360 375

_

5717

—

steht

—- statt

cxxvn

Ve

rgleichung

der Paragraphen-Zahlen und Bemerkung der vorzüglichsten Abweichungen der beiden Ausgaben des Originals.

Zweite

Ausgabe.

Erste

Ausgabe.

Die Einleitung tritt an die Stelle von ff. 1 —• 8i. Th. ff. i—15 treten an die Stelle von ff. 9 — 21. ff. 14—17 — — — — ff- 29 — 33. jr. 18—23 — — — — s- 22—28ff- 2 4 — S 5 « - 3 8 — — — ff- 34 — 48ff. 36 — 37 kommt hinzu, ff. 59 — 75 treten an die Stelle v. ff. 49 — 88* ff. 76 kommt hinzu, ff. 77 tritt veränd. an dieStelle v. ff. 89 — 91. ff. 78 — 80 kommt hinzu, ff. 81 —-82 treten an dieStelle v. ff. 92 — 94. ff. 83 — 95 treten an die Stelle v. ff. 95 — 107. a. Th. ff. 1 — 38 — — — — ff. 108—146. '• 59—4 2 trct. gänzlich verändert an die Stelle von ff. 147—»S»ff. ¿15—76 tret. an die Stelle v. ff. 152—183. ff. 77—8ö. Der i^- Abschnitt kommt hinzu.

CXXVIII

3. Th. ff. I — 4 treten an die Stelle-v. ff. i85—»89ff. 5

ist der erweiterte

ff.

189.

ff. 7 — 1 9 treten an die Stelle v. ff'. 190—203. ff'. 20—24 tret. gänzlich an die Stelle

ff.

verändert von

ff.

204—206.

— 2 6 treten an die Stelle von ff. 206—207.

ff. 27—30 tr. veränd. an d. Stelle v. ff. 2©8—210. ff. 5 1 — 4 7

tret~

Der Zusatz kommt

a n

die

hinzu.

Stelle

v. ff. 2 1 1 — 2 2 8 -

T

h

e

o

r

i

e

der

analytischen Functionen. Enthaltend: die Hauptsätze der Differential-Rechnung, ohne die Vorstellung vom Unendlich - Kleinen, von verschwindenden Grössen, von Grenzen und Fluxionen, ganz nach Art der algebraischen Analysis endlicher Grössen vorgetragen.

I »1

Einleitung. Von den Functionen überhaupt.

Von Stamm»

und abgeleiteten Functionen. Von den verschiedenen Ansichten der Differential - Rechnung. Gegenstand dieses Werks.

M a n nennt F u n c t i o n einer oder mehrerer Grössen, jeden Rechnungs-Ausdruck, in welchem diese Grössen auf irgend eine Weise vorkommen, sey es abgesondert oder verbunden mit andern Grössen, die als gegeben und unveränderlich betrachtet werden, während die Functions-Grössen alle mögliche Werthe erhalten können. Man sieht also eigentlich bei den Functionen nur allein auf diejenigen Grössen, welche veränderlich angenommen werden, ohne Rücksicht auf die Constanten, die damit verbunden seyn können. {Man könnte die unabhängig veränderlichen Grös~ sen, aus welchen eine Function zusammengesetzt ist, Elemente der Function nennen, auch statt des willkürlichen TVorts Function, des bezeichnenderen, abhängige Grösse sich bedienen.]

Die ersten Analysten gebrauchten das Wort F u n c t i o n nur, um allgemein die Potenzen einer Grösse zu bezeichnen. Späterhin dehnte man die

4 Bedeutung

des Worts auf jede

aus

einer

andern

Grosse beliebig zusammengesetzte. Grosse aus.

Leib-

nitz und die Bernouillfs bedienten sich desselben «1erst in der allgemeineren Bedeutung; jetzt ist dieser Gebrauch allgemein. W e n n man die veränderliche G r o s s e , von welcher eine Function abhängt, zunehmen lässt, indem jnan derselben eine unbestimmte Grösse beifügt, so kann man die Function, wenn sie eine algebraische ist, durch die gewöhnlichen Regeln der Algebra, nach Potenzen der unbestimmten Grösse, entwickeln. erste Glied

der Entwickelung

ist

nothwendig

Das dio

Function selbst, welche wir primitive ( J o n c t i o n pri-

mitive, S t a m m - G r ö s s e ) nennen wollen. Die folgenden Glieder werden verschiedene Functionen der veränderlichen Grösse enthalten, mulliplicirt mit den verschiedenen Potenzen clor unbestimmten

Grösse.

Diese neue Functionen worden einzig und allein von drr Stamm Function abhängen, aus welcher sie entstehen und können folglich a b g e l e i t e t e

Functioderivees} heisaen. Allgemein kann die Stammgrösse, sie sey von algebraischer Form oder nicht, auf eben die Weise, entweder wirklich entwickelt werden, oder, als sey sie entwickelt, betrachtet werden und folglich Ableitungen haben. Durch diese Behandlung der Functionen entsteht eine Analyse, die die gewöhnliche, an Allgemeinheit und an zahlreichen Anwendungen, weit übertrifft. Im Laufe dieses W e r k s wird sich zeigen, dass die Rechnung welche man gewöhnlich den T r a n s c e n d e n t a l - oder I n f i n i t e s i m a l - C a l c u l n e n oder

A b l e i t u n g e n {Jontions

iwarnt, im Grunde ¿Sicht« anders ist, als die Rech-

s mmg -mit Stamm- «nd abgeleiteten Grossen, und der Differential- und Integral -Cäfcul nichts ander* «la die Rechnung :pit dergleichen Functionen. Die ersten Mathematiker, welfch« von dem Bffferential-Calcul Anwendungen machten. L e i b n f t « , B e r n o u i l l i , L ' H o p i t a l haben ihn auf die Eigenschaften unendlich kleiner Grössen verschieden«" Ordnungen und auf den Umstand gegründet, d&ss man die Grössen, wenn ihv Unterschied gegen selbst unendlich klein ist, als gleich betrachten und behandeln kann. Zufrieden damit, dass sie durch ihre Rechnungs - Methode, auf einem leichten und sichern Wege, genaue Resultate fanden, bemühten sie sie Ii nicht weiter, die Methode selbst fester zu begründen* E u l e r und d ' A l e m b e r t , die ihnen nachfolgten, haben dem Mangel einer festeren Begründung dadurch abzuhelfen gesucht, dass sie an einzelnen Anwendungen zeigten, dass die Differenzen, welche man unendlich klein annimmt, unbedingt Null sindj, und dass ihre Verhältnisse, die allein in Rechnimg kommen, nichts anders sind als die Grenzen der Verhältnisse endlicher aber unbestimmter Differenzen. Man sieht indessen iejeht ein, dass diese \ orstellungen, obgleich an sich richtig, für Grundsatz« «iner Wissenschaft, die auf Eviden« gebauet seyn soll, nicht klar genug sind, wenigstens für Anfänger nicht Ausserdem scheint mir der wahre Grund von der Möglichkeit richtiger Resultate in der Differential - Rerh-unng, in welcher man, so wie *ie ist, wirklich mit unendlich kleinen, oder für unendlich klein angenommenen Grossen umgeht und dergleichen

6 Grössen berechnet, darin zu liegen, dass der, aus der falschen Voraussetzung des Unendlich Kleinen, entstehende Fehler durch einen andern Fehler der Methode selbst, vermöge dessen man bei der Differentiation immer nur unendlich Kleine einer und derselben Ordnung beibehält, verbessert oder aufgehoben wird. Wenn man z. ¡B. eine krumme Linie als ein Vieleck von unendlich vielen kleinen Seiten betrachtet, deren Verlängerungen die Tangenten der krummen Linie sind, so setzt man offenbar etwas Falsches voraus; aber der Irrthum wird, wenn man weiter rechnet, durch Weglassung unendlich kleiner Grössen verbessert Dieser Umstand lässt sich leicht an Beispielen zeigen, obgleich die allgemeinere Nachweisung schwer seyn möchte. [Mit Recht nennt Lagrange die Grössen unendlich kleiner Voraussetzung eine f a l sche (fausse); denn eine unendlich kleine Grösse ist eine Grössey deren Kleinheit, wie es ihr Name bezeichnet, alle Grenzen überschreitet, also Etwas das gar keine Grosse hat, mithin eine Grösse, die keine Grösse ist. ] N e w t o n , um das Unendlich-kleine zu vermeiden, liess die mathematischen [ Z a h l e n - und Raum-] Grössen durch Bewegung entstehen und suchte eine Methode, um die Geschwindigkeiten, oder vielmehr die Verhältnisse der veränderlichen Geschwindigkeiten, mit welchen diese Grössen entstehen, zu bestimmen. Man n^nnt dieses Verfaliren, nach ihm, die M e t h o d e d e r F l u x i o n e n , oder den F l u x i o n s C a l c u l , weil IN e w t u n die Geschwindigkeiten, i'iiixionen der Grössen nannte. Die l luxions-Methode oder

Ftuxions-Rechnung kommt sowohl im Wesentlichen, als in ihren Operationen mit der Differential-Rechnung überein. Sie weicht von dieser bloss in den Grundbegriffen ab, welche dabei in der That klarer zu seyn scheinen, indem Jedermann von Geschwindigkeit einen Begriff hat, oder wenigstens zu haben glaubt Aber, eines Theils bringt man mit dem Begriff von Bewegung etwas Fremdartiges in eine Rechnung, die nur algebraische Grössen zum Gegenstande hat, und setzt sich in die Notwendigkeit, die Grössen als Linien zu betrachten, welche von dem bewegten Punkt oder Korper durchlaufen werden; andern Theils rauss man auch gestehen, dass sich von der Geschwindigkeit eines Punkts in jedem Augenblick, wenn die Geschwindigkeit veränderlich ist, doch eigentlich keine klare Vorstellung fassen Ih'sst Aus der gelehrten Abhandlung von M a c 1 a u r i n über die Fluxionen kann man sehen, wie schwer es ist. die Methode der Fluxionen strenge zu begründen und wieviel eigenthiimliche Kunstgriffe zu den Beweisen der einzelnen Theile derselben nothwendig sind. Auch hat N e w t o n selbst, in seinem W e r k e da prineipiis, der Methode der letzten Verhältnisse verschwindender Grossen, id-s der kiirzern. den V urzug gegeben, und die Principien der Fluxionen beziehen sich am Ende auf nichts anders als auf die Gründe dieser zweiten Methode. Dieselbe hat aber, eben wie diejenige der Grenzen, von welcher oben die Rede war, und welche von jener nur gleichsam ein« algebraische t e b e r .setzung ist, diu grosse LnVollkommenheit. dass sie die Grössen grade in dem Augenblick betrachtet, wo sie aufhören Grössen zu seyn

8 Obgleich man einen sehr klaren Begriff •on dein Verhaltniss zweier Grössen hat, so lange sie wirklich da sind, so hört doch in der That die Klarheit und Bestimmtheit des Begrills auf, sobald die Grössen, beide zugleich, verschwinden. Um diese Unvollkommenheit zu verbessern, schlug neuerlich ein geschickter englischer Geometer, dem man wichtige analytische Entdeckungen verdankt, statt der bis dahin von allen englischen Mathematikern ängstlich beigehaltenen Fluxions-Methode, eine andere, rein analytische Methode vor, die der Differential - Rechnung ähnlich ist, in welcher aber, statt unendlich - kleiner oder gänzlich verschwindender Differenzen der veränderlichen Grössen, die verschiedenen Werth« dieser Grössen selbst in Rechnung gebracht werden, die man hernach dadurch einander gleich macht, dass man, durch Division, die Factoren wegschafft, welche die Gleichheit hindern. Durch dieses Miitel vermeidet man in der That die unendlich kleinen und verschwindenden Grössen, aber die Methode und die Anwendung der Rechnung sind beschwerlich und wenig natürlich. Man nimmt dem Differential Oalcul, wenn man seine Principien auf diesem W ege begründen will, seine besten Y orzüge, nemlich die Einfachheit der Methode und die Leichtigkeit der Operationen. Man sehe da» W erk: che residual analysis, a new branch of tue algcbric are, by John Landen, London 1764, desgleichen die Abhandlungen dieses nemliclien Schriftstellers vom Jahr 17581 über den uemlichen Gegenstand. Dieser Wechsel der Begründung* - Art und des V ort rag es der Grundsätze der Differential - Rechnung,

9 tnd Seifest die Benennung des Cakuls, scheinen anzudeuten , dass die richtige Theorie desselben noch nicht entdeckt ist, obgleich man die einfachsten und bequemsten Regeln für den Mechanismus der Operationen kennt. Man wird noch mehrere Betrachtungen über diesen Gegenstand in der ersten Vorlesung über die Functions - Rechnung [ dem zweiten Bande

dieser

UÜbersetzung ] finden. In einer Abhandlung Tom Jahr 1772, welche in den Berliner Memoiren gedruckt ist, und welche die Analogie der Differentiale und positiven Potenzen, so wie der Integrale und negativen Potenzen zum Gegenstande hat, behauptete ich, dass die Theorie der Entwickelung der Functionen in Reihen, die wahren, und von dem Begriffe des Unendlich-kleinen und der Grenzen ganzlich unabhängigen Principien der Differential-Rechnung enthalte; ich bewies naoh dieser Theorie den taylorschen Satz, welcher der Grund-Pfeiler der Reihen-Methode ist, und welchen man bis dahin nur durch die Differential-Rechnung selbst, also nur durch unendlich-kleine Grössen bewiesen hatte. Späterhin hat A r b o g a s t

der Academie der

Wissenschaften eine Abhandlung vorgelegt, in welcher die nemlichen Ideen, mit Entwiekelungen und Anwendungen die ihm zugehören, vorgetragen werden.

Da aber der V erfasser über diesen Gegenstand

noch Nichts weiter bekannt gemacht hatte, denn das "Werk des seligen A r b o g a s t vom Jahr »8oo, unter dem Titel: Derivalions - Rechnung, hat etwas Anders cum Gegenstände, wie es ftuc-h der Verfasser am

io Schlüsse der Vorrede selbst sagt, und ich durch Umstände veranlasst wurde, die allgemeinen Principien der Analysis zu entwickeln, so habe ich meine frühem Ideen über den Differential - Calcul wieder aufgenommen und die Untersuchungen darüber erneuert, um sie noch fester zu begründen und zu verallgemeinern. Daraus ist die gegenwärtige Schrift entstanden, welche ich nur allein in Erwägung des Nutzens für Diejenigen, welche diesen wichtigen Theil der Analysis ergründen wollen, bekannt mache. [Dieser Nutzen ist offenbar sehr gross; denn wer die Mathematik studirt ohne ihren Principien mit klaren und natürlichen Ansichten auf den Grund zu kommen, geräth leicht in Gefahr, seine Begriffe, besonders durch die sogenannte höhere Mathematik, nicht aufzuklären, sondern noch mehr zu verwirren. Fängt der Lernende erst an, in TVortspielen, wie vom Unendlichen, in welchen kein Sinn ist, Sinn zu finden, und also Etwas, was Nichts ist,für Etwas zuhalten,so ist er schon aus dem Gebiete der Mathematik schon gänzlich verirrt und in ein mystisches Dunkel gerathen, welches keinen Schutz mehr gegen Irrthum hat und aus welchem der Rückweg, wie aus jeder Finsterniss, schwer ist. Das Unendliche, als Grösse genommen, ist unmathematisch; die Mathematik hat es überall nur mit wirklichen Grössen zu thun, und eine Grösse die nicht Jedem begreiflich ist, und die nicht sinnlich im Umfange des Endlichen liegt, ist gar kein Vorwurf der Mathematik.] Ks kann befremdend scheinen, dass eine richti gere Art die Differential-Rechnung zu behandelt

11

nicht früh f r ron den Geometern bemerkt worden und besonders, dass sie N e w t o n entgangen ist, der die Methode der Reihen und der Fhrxionen erfand. Aber N e w t o n bediente sich einer einfachen Betrachtung der Reihen, nur zur Auflösung der dritten Aufgabe im zweiten Buche seiner Principien, wo das Gesetz des Widerstandes gesucht wird, unter welchem ein bewegter schwerer Körper einen gegebenen Raum beschreibet, eine Aufgabe, die wesentlich vom Diiferential- oder Fluxions-Calcul abhängt Bekanntlich fand J o h a n n B e r n o u l l i , dass diese Auflösung falsch ist, wenn man sie mit der des Differential -Calculs vergleicht und sein Neffe N i c o l a n s behauptete, der Fehler entstehe daher, dass N e w t o n das dritte Glied der convergirenden Reihe, in welche er die Ordinate der gegebenen Curve aufgelöset hatte, für das w e i t e , das vierte Glied für das dritte Differential dieser Ordinate genommen habe, statt dass uach den Regeln der Differential-Rechnung das erste dieser Glieder nur die Hälfte, das andere nur der sechste Theil jener Differentiale hätte sein sollen. (Man sehe die Abhandlungen der Academie der Wissenschaften von 1 7 1 1 und den ersten Band von J o h a n n B e r n o u l l i s Werken.) N e w t o n ging, ohne zu antworten, von seiner ersten Methode ganzlich ab und gab in der zweiten Auflage seiner Principien eine andere, auf die Differential-Rechnung gegründete, Auflösung der Aufgabe. Seitdem hat man nicht weiter an die Anwendung der Methode der Reihen auf solche Aufgaben gedacht, als nur um den Irrthum New tons, und dass die Erinnerung N i c o l a u s B e r n o u l l i s berücksichtige! werden müsse, zu zeigen.

13

(Man sehe in derEncyclopädle, die Artikel: D i f f e r e n t i a l , K r a f t . W i r werden weiter unten zeigen, das« der krthum nicht in der Methode, sondern blos darin lag* dass N e w t o n nicht alle Glieder, die in Betracht kommen, in Rechnung gebracht hatte. Hierdurch lasst sich «eine erste Auflösung, deren kein Commeniator seiner Principien weiter erwähnt, berichtigen. Der Gegenstand dieses Werks ist: die Theorie der als Stammgrössen und Ableitungen betrachteten Functionen und die Auflösung der vorzüglichsten von der Differential-Rechnung abhangigen. Aufgaben der Analysis, Geometrie und Mechanik zu begründen und dadurch der Auflösung dieser Aufgaben die Strenge der Beweise der Alten zu geben.

»3

Erster

Theil.

Uebersicht der Theorie mit ihren vorzüglichsten Anwendungen auf die Analysis. Erster

Abschnitt.

Entwickelung einer Function von einer veränderlichen Grösse in eine Reihe, -wenn man der veränderlichen Grösse ein Wachsthum beilegt. Stufenweise Bildung der Glieder der Reihe. Wichtiger Lehrsatz über die Natur dieser Reihe.

1. W i r wollen durch den Buchstaben f oder Ft vor das Zeichen der veränderlichen Grösse gesetzt, eine beliebige Function dieser Grösse, d. h. jede von ihr abhängige Grösse, die sich, mit ihr zugleich, nach einem bestimmten Gesetz verändert, bezeichnen. Also bedeutet f x oder Fx eine Function der veränderlichen Grösse x. Will man die Function von einer, schon ius x zusammengesetzten Grösse, wie x3, a + bx etc. b< £cichnen, so schliesse man die Grösse in zwei Klammem. So wie also f x eine Function von x

14

2. I.

bedeutet, so sind f ( r l ) , f(a + /> x) etc. Functionen von x*, a + bx etc. Um Functionen zweier unabhängig veränderlichen Grössen wie x , y zu bezeichnen, wollen wir f ( x , y) schreiben u. s. w. Wenn wir durch andre Zeichen Functionen ausdrücken, werden wir es anzeigen. W i r wollen nun eine Function f x einer beliebigen veränderlichen Grösse x betrachten. Setzt man x + A statt x, wo k eine beliebige unbestimmte Grösse ist, so erhält man f ( x + k) und man kann diese Grösse nacli der Theorie der Reihen in eine Reihe von der Form f x + pk + q k* + rk} entwickeln, worin die Coefficienten p, q, r.... der verschiedenen Potenzen von ä, neue, von der Stammgrosse f x abgeleitete, und von k unabhängige Functionen von x sind. [Lagrange bezeichnet die Veränderung von x durch i. Der Uebersetzer hat statt i, weil dieser Buchstabe theils unbequem ist, theils von einigen Schriftstellern, nach Gauss* zur Bezeichnung von 'Y — x- ausschliesslich gebraucht wird, den Buchstaben k gesetzt.] 2. Um aber nichts Unbegründetes anzunehmen, wollen wir damit anfangen, die Gestalt der Reihe fiir die Entwickelung von f x zu untersuchen, die entsteht, wenn man in f x , x + k statt x setzt und von welcher wir vorausgesetzt haben, dass sie k nur in Potenzen von ganzen positiven Exponenten enthalten könne.

e. 1

»5

Die Voraussetzung rechtfertigt .sich zwar durch die Entwickelung der bekannten Functionen; aber so viel mir bekannt, ist sie noch nie a priori

zu be-

weisen versucht worden, welches gleichwohl um so nothweiidigcr se\ 11 inöclitc. da es wirklich Falle giebt, in welchen die Entwickelung nicht Statt

findet

Aus-

serdem benilrt die ganze J f f e r e u t i a l - Rechnung auf dieser Entwickelung, und die Ausnahme Fälle sind es, in welchen man die Rechnung im Irrthum glaubte. Ich will zuerst beweisen, T.ntwickelung

der

dass i n der, aus der

Function J(jc

+ k~) entstehenden

Reihe, keine Potenz von /> mit gebrochenen nenten

vorkommen k a n n ,

wenn

man

Expo-

nicht

etwa

der Grosse h besondere bestimmte W e r t h e beilegt. Es ist in der Tliat klar dass die Y\ urzeln von k nur von W u r z e l g r o s s e n in der Stammgrösse f x ren können

und

dass die Substitution

herrüh-

von x + k

»tau x , die Zahl der \\ urzelgrössen weder vermehren noch vermindern, noch ihre Natnr ändern kann, in so fern x und k unbestimmte Grossen sind.

An-

derntheils weiss man aus der Natur der Gleichungen, «lass eine W u r z e l g r ö s s e allemal so viele verschiedene Y\ erthe hat, als ihr Exponent, Einheiten, und dass folglich jede irrationale Function

so viele verschie-

dene W e r t h e hat, als man Combinationen aus den verschiedenen W e r U i e n der W urzelgrössen, die sie enthalt, machen kann.

Könnte also die Entwicke-

lung der Function f ( x + k) ein Glied von der Form m uk

n

haben,

so

miisste

erstlich

f x

nothwendig

mif irrationale Function seyn und folglich eine ger i.sse Zahl

i erschiedener

V\ erthe haben; die nem-

i6

2.

I.

Hche Zahl von W e r t h e n miisste dann f ( x + k) und dessen Entwickelung haben.

L i esse sieh nun dies«

Entwickelung durch die Reihe Jx

+ pk + qk* +

+

in «An

ausdrucken, so würde sich jeder W e r t h von f x mit rj jedem der n W e r t h e der Wurzelgrosse \ km verbinden, so dass die entwickelte Function f ( x + k) mehrere verschiedene W e r t h e haben würde als die unentwickelte, welches ungereimt ist Dieser Beweis ist allgemein und strenge, so longo x und k unbestimmte Grössen sind; aber er hört auf es zu seyn, wenn man T bestimmte W e r t h e beilegt; denn es ist möglich,

dass diese W e r t h e

Wurzei-

grössen in f x aufheben, die in f ( x + A) bleiben. W i r werden weiter unten, im fünften Abschnitte, diese besondern Fälle, und was daraus folgt, untersuchen. E s ist gezeigt worden, dass die Entwickelung von fix

4- ä), im Allgemeinen, keine Potenzen von k

mit gebrochenen Exponenten ist leicht zu sehen,

enthalten kann.

Es

dass auch keine Potenzen mit

negativen Exponenten vorkommen können. Denn wäre unter den Gliedern der Entwickelung eines von der Form

, wo m eine ganze positive

Zahl ist, so würde dieses Glied unendlich gross sein, sobald

man k — o setzt.

tion f(jx

+ k)

unendlich

Also würde gross

sein

die Funcfür

A=

o,

folglich miisste f x einen unendlichen W e r t h haben, welches gleichwohl nur für besondere W e r t h e von * möglich ist | Mei-

»7 [ Meines die

Er achtem

Reihe

bigen

für

Function

in Potenzen enthalten stens

dieser

Entwickelung

f (x

+ Ar),

von kann,

schwach

ist

die

ganzen

positiven unzulänglich,

und für

auch,

ich,

ein

Beweis

k

nur

Exponenten

Principien

zu verwickelt;

belie-

Grösse

erstens

viel

dass

einer

die

Wissenschaft glaube

Beweis,

wenig-

einer

ganzen

dann

aber

überhaupt

ist nicht

nothig. Unzulänglich falls

gezeigt

ist der Beweis,

wird,

gebrochenen men kann.

Es

nicht

andere

noch

k giebt, und

welche

selbst

die

für

es wäre

nicht

obigen

bewiesen, noch

dass

Momente

Exponenten. vielleicht

kennet,

des des

BeweiBeweises,

der

noch

es vori

nicht

ist die Strenge

z. B.

von vorkom-

des Vorkommens

die Nicht - Existenz

tien und negativen denn

in Potenzen

die man

Sodann

allen-

Exponenten

Formen

solche,

ses aufhören. auch

k nicht

wird aber

selbst

für

dass

und negativen

weil nur

gebrochzweifelhaft,

möglich,

dass

die

mit

den

m Combination Werthen

der von

f ( x + A) nicht hinaus

vierten

Der

Ausdruck

ist von gp's

f x ,

die

der

3

Wurzeln

der

Werthe

davon 3

diese

haben, 3, welche

geben.

n

der fVerthe

des

A + y B.

miisste

G Werthe

k

Gleichungen

geben

y

Beweisart

und ] / B auch

von

Zahl

Die

Grades

der Fonr

6 Werthe 1.

fVerthe

über die Zahl

vermehrte.

und

immer

n

den

des

fx

dritten

ein

Beispiel.

dritten

Grades

Narh

T.agran-

Grösse V A

vothwendig hat

mit einander

Gleichwohl

von

von

deren

3

ra'nbinirt

hat virkhfh I M

i8

2. 1

Gleichung des ¿ritten Grades nur 5 Wurzeln, folglich die Grosse Y A + ]/nicht sechs, vondern m»r ¿re» fVerthe. Nicht viel anders ist e> mit den negativen Exponenten, Man kann im Voraus unmöglich wissen, ob sich nicht G.liedei mit negativen Exponenten, die für k = o unendlich gross sind, aufheben. Der Beweis ist also, wie es scheint, unzulänglich. Er handelt in der That -von einem Gegenstande der noch nicht da ist, von der Form einer Grosse die erst gefunden werden soll und schliesst also von Eigenschaften, die erst gefunden werden sollen, auf diese Eigenschaften selbst, welches die Genauigkeit des Resultats zweifelhaft macht. Der Beweis kann also nicht wohl strenge seyn. IVare er es aber auch. so wäre er doch wenigstens zur Begründung einer ganzen fVissenschaft gewiss zu verwickelt und viel zu wenig natürlich. Die Theorie der Glci. chungen, auf welcher er beruht, hat viel zu grosse Schwierigkeiten, und ist noch viel zu unvollkommen, als dass sich auf sie ein Beweis f ür Elemente gründen Hesse. Es ist richtig, da-ss eine Grösse wie \ k, n fVurzeln hat, aber es sind darunter unmögliche. Der Begrijf unmöglicher Grössen ist aber kaum viel klarer, als der von unendlichen, oder verschwindenden Grössen. Man würde also durch den Tqusch eigentlich rucht Viel gewinnen. Es wäre in der That sehr übel, wenn die sehr einfache Rechnung mit Functionen, oder mit veränderlichen Grössen, wirklich auf so dunkeln und verwickelten Begriffen, wie die von un-< möglichen Grössen, beruhte.

»9 Glücklicherweise ist es wohl nicht so. Es lasse sich zeigen, dass der Beweis für die Nicht-Existenz andrer, als ganzer positiver Exponenten von k, in der Entwicklung von f(sc + A), unnöthig ist. tVie nemlich die Folge dieses Buchs zeige lässt sich f i x + k) wirklich entwickeln und die Glieder der Reihe lassen sich sämmtlich finden, ohne die Bedingung, dass die Reihe für diese Entwickelung. k nur allein Potenzen von ganzen positiven Exponenten enthalte. Die EntwickelungsOperation geschieht mit einer Strenge und Einfachheit, die nichts zu wünschen übrig lässt. Da dass man die Glieder der nun grade dadurch, Reihe wirklich findet, also durch die That, gezeigt wird, dass die Entwickelung mit ganzen positiven Exponenten von k möglich ist, so ist es ganz gleichgültig, ob etwa auch noch eine andere Entwickelung, oder ob nur diese allein Statt findet. Es kommt keinesweges darauf an, zu zeigen, dass nur allein die Entwickelung mit ganzen positiven Exponenten von k möglich ist, (und dies ist wirklich nicht der Fall, vielmehr sind unzählige Formen für die Entwickelung einer Grösse möglich), sondern es kommt darauf an, die Grösse f i x + A), und zwar grade nur mit Potenzen von k von ganzen positiven Exponenten, wirklich zu entwickeln, unbekümmert darum, ob noch eine andere Entwickelung möglich sey, oder nicht. Der Zweck der Rechnung verlangt grade die Entwickelung mit ganzen positiven Exponenten, und keine andere. Alle übrigen sind ihm gleichgültig, und dass dir

so Entwicklung in jedem

existirt

besondern

lieh verrichtet. allgemein

oder

möglich

FaUe dadurch,

sey, zeigt

dassman

Es liisst steh in der That

schwerlich

zeigen, dass die Entwickelung

positiven

Exponenten

immer

existire;

sich

sie wirk-

mit

ganzen

denn sie exi-

stirt wirklich nicht immer; viel weniger also kann sich zeigen

lassen,

dass nicht etwa eine andere

Der

obige

Beweis hat unmöglich

und

wird nie gelingen,

sen trachtet,

Glücklicherweise nothig.

Man

f(x

von

k willkiihrlich

Operirt der

existirt,

des Uebersetzers und

mit

ersten. Aufsätze S.

Bande und

Exponenten

denn

nur

ist

nothwendig. die

man konnte

hüben. die

nicht

diese Glieder

auch kein Zwei/eh

das\

sonst

unmög-

sehe ein

Mehre-

in einer kleinen

Schrift

Man

Gegenstand über

ist.

positiven

und findet

veränderlichen

Mechanik,

bewei-

Entwickelung

andere

denn

operirt

re» iiber diesen nung

keine

so ist natürlich

richtig

zu

der Fall

der

voraus;

und

man nun richtig

die Reihe lich

die Gestalt

+ k) mir ganzen

Jieihe,

immer

können

-aber ist er auch, wie gesagt, setzt

von

Entwicklung

gelingen

weil man Etwas

was wirklich nicht

existire.

Anwendting Grossen

der

auf

Rech-

Geometrie

Berlin

beijVIaurer,

i8»6,

seiner

Sammlung

mathematischer

Abhandlungen,

ebendaselbst,

und

im ißai.

etc.J 3. Nachdem wir uns auf diese W e i s e von der All-

gemeinheit der Form der Enlwickehuig der Function f{x

+ A) uherzeu^l luben. wollen wir näher sehen,

worin dio iJnl« ii.Icking K-steht uud was ihr« Ohe

91 der einzeln

deutung zelnen

bedeuten.

[Die

der Glieder Anwendungen,

genstand.

eigentümlichere

findet auf

Be-

sieh erst bei den diesen

oder

ein-

jenen

Ga-

];

Zuerst ist klar, dass mau, Hm dten vou k unabhängigen Theil zu finden, nur h =

o setzen darf,

wodurch die Grösse f ( x + k) in f x übergeht.

Der

von f ( x + k) übrig bleibende Theil, wenn k gleich Null gesetzt wird,, ist

also f x ,

so das» f(x

+ A)

gleich ist: fx, zusammengenommen mit einer Grösse, die für k =

o verschwindet, und die .folglich mit ei-

ner Potenz von k multiplicirt ist, deren Exponent eine positive Zalil ist, oder dafür angesehen werden kann.

l ad da wir bewiesen haben, dass kerne Po-

tenzen von k mit gebrochenen Exponenten in der Entwicklung von f ( x + A) vorkommen können, so folgt, dass die Grösse nur mit einer Potenz von k von ganzen positiven Exponenten multiplicirt seyn, und folglich nur von der Vorm kP

seyn kann, wo

P eine Function vou x und k ist, die für k ^ nicht unendlich gross ist.

[ Z ) a « die

Entwicke-

Lung von f ( x + A) von

der Form f (x + k)

+ kP

oben

sey,

setzung.

Es

ist,

wie

sind

unendlich

Entwicklungen welche

von

man braucht

bemerkt, viele

verschiedene

muss.

dem

'Theil mit k, die

von ganten iwar

Die

Für

die

ist die erste Bedingung Jür

k =

andere

positiven

von allen ganzen

Bedingung Grosse Zahlen

ist,

k nur in

Exponenten

die,

o; woraus

dass der erste 'l'heil, ohne k, nothwendig seyn

f x Voraus-

f ( x + k) möglich.

dass sie m / x übergehe

o

folgt,

f x

dass

in.

Potenzen

vorkomme, von

selbst

i an.\

und

22

3-

1

Man erhalt also

f i x + A) =

f x + kP;

f ( x + A) —fx

=

folglich

kP.

Das erste Glied muss durch k theilbar s e y n , weil es gleich kP ist.

Dividirt man mit

_

f ( x + k) k

s6 erhöh man

—fx

Dieses P ist, wie man sieht, ebenfalls eine Function von x und k.

Man kann also davon das, was

Ton k unabhängig ist, und folglich für k = verschwindet, absondern.

W a s aus P

o nicht

wird, wenn

man k = o setzt, scy p, so ist p eine Function von x und A; und durch ein, dem obigen ähnliches Raisonnement, beweiset man, dass P = p + k Q, wo k Q denjenigen Theil von P bedeutet, welcher für k = o verschwindet, Q aber eine neue Function von x und A ist, die für k = o nicht unendlich gross i s t

P — p = kQ. P — p muss durch k theilbar seyn weil es kQ ist, also erhält man Man

erhält also

Der W e r t h von Q für k =

o sey q, so ist q eine

Function von x, ohne / , und der andere Theil von

Q,

welcher mit k zugleich verschwindet, ist, wie

oben, von der Form kB, wo B wiederum eine Function von x und k ist, welche man findet wenn man

Q — q durch k dividirt u. s. w. Man erhält also

/ ( x + A)=

f x + kP, B =

r + kS

P = i p + kQ,

Q=

q + kB,

etc.

folglich, wenn man diese Ausdrücke nach und nach substituirt,

4• *» f ( x + k ) =

f x +

43

+ k P = : / x + k p + k

k*q

+ k*R

=

1

Q = / x

+

kp

etc.

w elches für die Entwicklung von f ( x + k) eine Reihe von der Form giebt, wie wir sie oben vorausgesetzt haben [und zwar v o r a u s g e s e t z t , ohne dass int Voraus

ein

nothig

Beweis

der

Zulässlichkeit

der

Form

wäre.]

4Es sev zum Beispiel f x =

so erhalt man

+

.1 =

k P =

x + k

_

p-

.€

x(x

1

Li 1— v

also

+

L r»

1

,o x

3

x*~x*(x

( x + k)

+ ky

Kx

k

k

x

x(x

l

k

i

X

_

i

L x*

1

— *

+

/?

1

r'Cr + A)'

etc. folglich

__ i_

+ k)

n-

+ ky^

Ci—

.r 3(x + A)'

r = i

! x(x

1

7 t x + k)

_

+ ky

[

X2

2_

+ k) i

k*

x k2

X1

x

_ ^

^

x*(x

x*(x

2

AJ

+ k)

c&c

•

+ k)

wie es die wirkliche Division [von x + k in l] giebt. W ir wollen zum zweiten Beispiel die irrationale Function ~)/x nehmen. Man erhalt fx = + = V ( x + ä) = V ^ + AP, also k

24

5' 1.

kQ =r P—p

=

. + A) + y x

y

y je — y (x + k)

k

flyx[y(ar+A)+y^]

Q

c y . r [ y ( x + ä ) + y x]2

l S y x f y C - r + A) + y . r ] 2 '

^

i ~öy x _

X

A ay.r

S^F

Ci

1

^

A — a . r + g-\/x + y ( x + A) + x [ y (x + A) + yx]>

^

j/ C^ + A) + 5 t / x ^ x [ y ( x - + A) + y x - p

8-'»-y'efV(x + A) + y.r'|J '

iöx2yx

so dass

y (.c + A; — y x + —

Vx +

= y r* + - A -V x-

=

,

VX +

k

y ( r + A) + y . r A ayx

8 ^ y als das Glied kp. Rhen so verhält es sich mit der Summe der Glieder A'r, k*s gegen das Glied k'q u. s* w\]

% Uebrigens ist zu bemerken, dass die obige Methode einer schrittweisen KntWickelung der Glieder der Reihe für f ( v + A), nach Potenzen ton A, allgemein, nur da/111 auf die Entwickelung einer Function von x und A passet, wenn sich diese Function in eine Reihe auflösen lasst, die nach Potenzen von A von ganzen positiven Exponenten fortschreitet. Denn der üeweis in ( a.), dass jede Function von (.r + A), allgemein gesprochen, dieser Form lit'hig ist, kann nicht auf alle Functionen von x und A angewandt werden. (Car le raisonnement de Varticle 2, par lequel nous avons prouvé que toute fonction de x + t est, généralement parlant, susceptible de cette forme, ne pourrait pas s'appliquer à une fonction quelconque de x et i). [Dieser scheinbare Widerspruch liegt wohl nur in einiger Ungenau!gkeit des Ausdrucks. Es soll heissen : der Beweis könne nicht auf alle Fälle, für besondere einzelne JVerthe von x, angewendet werden, anstatt: er passe nicht auf alle Functionen.] Aber so bald die Réduction möglich ist, kann man immer

3°

8-

1

auf cMe, aus der Entwickelung nach steigenden Potenzen von k entstellenden Reihen, die Schlüsse des vorigen Artikels ausdehnen, nemlich, dass die Grösse k immer so klein angenommen werden kann, dass jedes Glied der Reihe grosser ist, als die Summe aller folgenden. [Mit Ausnahme des so eben ausgesprochenen wichtigen Satzes enthalt dieser erst« Abschnitt noch keine weitere Schritte zum Ziele. Lagrange hat hier, gegen seine sonstige Gewohnheit, sogar seinen Vortrag mit Beispielen und ausführlichen Rechnungen, die den freien Lauf- der Darstellung nur hemmen, weil nie das Besondere den Beweis des Allgemeinen befördert, gleichsam belastet. Beispiele nach einem allgemeinen Vortrage erläutern, vor demselben, können sie ihn sogar verdunkeln.]

Zweiter

Abschnitt.

Abgeleitete Functionen. Ihre Bezeichnung und ihr Algorithmus.

a

W i r haben gesehen, dass durch die Entwickelung von f(x + k) verscldedene, aber sämmtlich von der Stamm - Function f x abgeleitete, Functionen p, q, r entstehen und wir haben die Mittel angegeben, diese Functionen in einzelnen Fällen zu finden. Um aber die Theorie dieser Functionen zu

5» -heg» ÜIHUR, kommt es auf das allgemeine Gesetz «1er Ableitung an. Zu dem Ende wollen v i r den allgemeinen Ausdruck

f i x + k) = f x + pk + qk* + rk> wieder vornehmen und setzen, x gehe i n x + e über, wo e irgend eine unbestimmte, von k unabhängige Grosse ist. [ L a g r a n g e schreibt x+o. JVeg/en der Aehnlichkett des Buchstaben o mit Null, habe ich statt dessen einen andern Buchstaben gesetzt.] Ks ist klar, dass dadurch aus f ( x + A), f ( x + A + wird- Zugleich aber sieht man, dass man das nemr liehe Resultat erhalt, wenn man in f ( x + k), bloss k + e statt k setzt Also muss auch das Resultat das nemliche seyn, man mag in die Reihe f x + pk + qk 1 + rk 2...., k + e statt A, oder x + e statt x setzen. Das Erste giebt f x + pik + e) + q (ä + e)* + r(A + e)» Entwickelt man die einzelnen Glieder, schreibt aber, 4pr Kurze wegen, nur die beiden ersten Glieder jetler Potenz aus, welche zu den Vergleichungen, deren wir zu den beabsichtigten Bestimmungen bedürfen , hinreichend sind, [dass dieses der Fall ist, kann auch besonders bewiesen werden\ so erhält man f x + pk + qk* + rk 1 + sk*.... + pe + zqke + 3 rk*e + /^sk}e.... Um die zweite Substitution auazufuhren, mögen, f x +f X. e...., p+p'e...., q + q'e...., r+r'e.... bedeuten, was aus f x , p, q, r . . . . wird, wenn man darin x + e statt x s«Uct. Man erhält dann, wenn mau von der Entwicfeetyupg qm- diejenigen Glie*

32 der nimmt, welche die ersten Potenzen von c enthalten : f x + pA + 7 A* + t A j + sk* ...... + y"o;e + p'Ae + tf As e + r'A'e Da diese beiden Resultate identisch seyn müssen, was auch A und e seyn mögen, so erhält man, wenn man die Glieder, welche e, Ae, A* e eic. enthalten, einzeln mit einander vergleicht, p s= f x , a/itende d2

unter

d + ki —Y + dx

¿'••zeichnet werden,

Vor-

dieser

welches

wenn f x = y ist,

IN fr,( r + A) =y '

voll

Unter

dfx dx

man,

die

als etwas

ein-e

bekannten

.

r J

wolle

wird,

bloss

hier

Taylor,

, K

Jedoch

Zeichen

des,

Lagrangi-

- Rechnung

Resultat,

Ausdruck

der

erinnert

erhält.

das der

die

Differential»

Stelle

Differential

anselten.was

imoollkommne

der

die

zu setzen.

und

kürliches

an

im Voraus der

entfernen

obgleich

fortdy,

bedeuten

darunter

gesetzten

unzertrennlich,

wel-

dfx d*fx t\t. und nur—'— , —t—s % d i dx1

d2 Y

dy ,

^^

vorhin

.... haben eine Bedeutung,

sieht übrigens

Grössen

unter

schon

einander

müssen, wie sehr unbequem die neue Vorstellung nicht

Zeichen

,, Versuch Grössen würde

ich

Hätte

1813"

ner andern Geometrie

anders

die in

mit

Schrift,

und Mechanik,

sind,

denn

ihre

über die

und bewährt gefunden,

Vorzüge

durch

viel jahrigen

Schriften

davon, abgehen

Anwendung

habe;

habe,

Gebrauch

ge-

weshalb ich auch in

im, FVesentlichen werde.

Als

eigene setzen. bemerklich

machen, werde ich in dem gegenwärtigen

d ,

,/»

Idee I m zu

TVerke. in

den einzelnen Fällen, von den vorgeschlagenen chen Nachricht geben. Hier, in der von f ( x + A), schreibt man richtiger:

nicht

Uebersetzung

einer Idee Lagrange's

indessen den Nutzen besserer Zeichen

d^fx

auf

ich

aber mochte ich sie nicht in dieser

d'f»

so statt

Grössen

gethan

Zeichen

an die Stelle

die

meinem

veränderlichen

mit veränderlichen

eigenen

leider

wie ich es dort, und in- ei-

diese

wieder

fiir

ohne Bedenken

prüft meinen

Jemand

bedienen,

kleinen

Rechnung

werden

sie waren

angenommen

mich derselben

der alten Zeichen

immer

geschrieben

vorgeschlagen,

lassen sich beweisen,

weil

die alten Zeichen

über die Rechnung 1. Band

hier,

sind, allein

zu vermeiden.

bequemern

der

die

angezeigte.

Man fort

nemhch

Zei-

Entwickelung statt ^^ , d»

38 scatt

dy -JT'

d*y

d*y -JZT

d IT*'

d* TT-r»

.Der Grund des Bessern ist folgender: Willkürlich ist nichts als das d, um, im Fall man in f x , x + k stau x und für f{x + h~) die Reihe f x + kp + k2q + AJ r.... setzt, die Abhängigkeit des Coejficienten p von der Stammgrosse f x , oder, wenn man will, die Operation zu, bezeichnen, durch welche p aus x gefunden wird. Nachdem einmal dieses Zeichen d willkürlich angenommen worden, darf Nichts weiter willkürlich gesetzt werden, weil, wie bewiesen, alle übrige Coejficienten, q, r,... auf die nemliche Weise, oder durch gleiche Operationen, der Reihe nach von einander abhängen, wie p vonfx, so dass man für q nothwendig schreiben d d(dfx) d*fx (rrV , e .. muss:————, oder—— , Jfür r, — oder a a ' 3 ¿ V ® U, s. w. iv»/i w • ^ , t —-=~ aber ist, wZur de/» weiter una. 3 fe/i vorkommenden Fall mehrerer veränderlichen Grössen x, y, z a u s welchen eine Grösse zusammengesetzt seyn kann, wie es hier f x aus der einen Grösse x ist (und aus keinem andern Grunde) eine Anzeige der Grössen nöthig, welche so eben als unabhängig veränderlich betrachtet werden. Diese Grössen zeigen die alten Zeichen dadurch an, dass sie (z. B. hier wo x die veränderliche Grösse ist) dx unter d f x setzen, welches aber fehlerhaft ist, und zwar aus dem Grunde, weil das Untersetzen auf eine Division

39 deutet,

die

nicht

hen, weil man einmal

State

sich

bei einem

vision vision

allein

vom

im Sinne.

chen

Da

auf

den

auf

diese

schlechten Art

falls

als

ration

blosses mehr das

sondern

blos für

halten;

das

zu denken

Division

ein

ist

Zeichen das

der

genen,

die allen.

nicht

zugleich selbst,

Denn für

Du\ nur die

bes-

ist,

eben-

der

Ope-

an

keine

man ist

völlig

keine

Grösse, zu

dass denn

man

nun

ist

jetzt

—

und

Operation für

durchaus allgemeine

ist, so ist

die naher

nach x.

der Rechnung

eigentlich

wie immer,

man

wie d das

die Ableitung

liche

Operation

so

Zeichen

dem Sinne

Zeichen

wo dann

kunne;

Ableitungs-

sind übrigens ändert,

d;

beUm

alte

setzt

Zeichen

und

besondere

nemhehfür

das

ist.

Zei-

Operations-Zeic/ien

verstehen

Grosse'

das alte

verwerflich.

es unmöglich,

ein zusammenhangendes keine

Di-

den

d an sielt selbst

also

eine

wie es der Sinn

unter

Division

den

welche veränderlich

Zeichen,

gewöhnt

Di-

bei

Vorstellungen

zu hindern,

selbst,

verlangt,

fVeise

hier

keine

und

Dienst,

leistet,

ser die Grösse

an man

wirklich

solche

hinge-

könnte,

hat

der alten

so ist es fehlerhaft

nun

eine

leider

Unendlichen

die Unrichtigkeit

fördert,

E.\ mochte

gewöhnen

Divi uons - Zeichen,

zu denken,

Vorstellungen

finde/.

allenfalls

bestimmte,

Die

vorgeschla-

getreuen

Zeichen

nur, und zwar fast d bedeutet wird

noch

unver-

das

et so gebraucht,

unrichtigen

mit bezcirhiu

Be^nffc L

—

werden.]

Nemdass

von

der

10. I.

4°

Dritter

Abschnitt.

Ableitungen v n P o t e n z e n , E x p o n e n t i a l - G r ö s s e n , Logarithmen, Sinus und Cosinus, und von A u s d r ü c k e n die a u s d i e s e n e i n f a c h e n F u n c t i o n e n z u sammengesetzt sind.

Ahleitungs-Gleichungen.

lO. W e i l alles darauf a n k o m m t , die e r s t e

Ablei-

tung einer gegebenen Function zu linden, so wollen wir die allgemeinen Kegeln für die Zusammensetzung der Ableitungen der vorzüglichsten, in der Analysis vorkommenden, Grössen abhandeln. A u s dem Obigen sieht m a n , dass die Ableitung

t!/v '

e liev

gegebenen I' nnetion f x

der veränderli-

chen Grosse x nichts ander,-- ist als der Coeificient des ersten Gliedes der I liilwickehmg dieser Function, wenn man darin x + /, statt x setzt. Iis konunt also nur diuauf an, diesen Coeilicienten zu finden. Iis soy f x =

x m,

so ist

f \x + k) =

(x +

A) m.

Nun ist entweder durch die Axithmetik, oder durch einfache algebraische Operationen leicht zu beweisen, dass die beiden ersten Glieder der Potenz m des liinoniuins x + Ä, x"' + rnx m~1

sind, m mag eine ganze

Zahl oder ein Brach, positiv oder negativ seyn. ist also

Es

i o. I.

4t

[Anstatt diesen Beweis aus der Algebra zu nehmen, Aann man ihn aus der obigen Grundformel für die Entwickelung von f(x + A) selbst, allgemeiner, leichter und strenger geben. Im afeiten Bande kommt dieser Gegenstand ausführte-' eher vor.] Man erhält also auf dieselbe Weise d fx , . m—a d>fx z=.m(m—, —m.m— i.m—2x 2

__« "

u. s. w. — mxm~1

[Nemlich da

aus f x = xm

funden wird, wenn man den Exponenten Eins vermindert mel aber lehrt,

Ex-

die allgemeine

Grundfor-

von

^J^

eben so

muss

man, um

dass von

abhängt, wie

m um

und mit dem unverminderten

ponenten multiplicirt,

ge-

fxi

so

zu finden, in mxm~l wieder den Exponenten m—1 um \ vermindern, und mit dem unverminderten Ex¿1 f x m ponenten multiplicaren, welches ¿x%~ * m — » xm~* giebt u. s. w. ] Man erhält folglich, vermöge der allgemeinen Formel (8.) (x + A)m = xm + mx"-1

+

m

k+

m

'

m

~~1 a

xmr\k*

....

a. 3 welches die bekannte Binomial-Formel ist, die also auf diese W eise fur alle YVerthe von m bewiesen

4*

ii.

I.

wird [Für alle mögliche JVerthe von in kann die Formel wohl noch nicht ohne Weiteres angenommen werden, weil in der Algebra nur für ganze oder gebrochene, positive und negative Exponenten bewiesen wird, dass das zweite Glied da Fintwickelung von (x + mxm~1 k ist. JSur für solche Exponenten ist man überzeugt, da.^ dfx _ = mxm 1 ist, worauf das Uebrige beruht Man sehe wegen dieses Alles den zweiten

Thcil.\

11.

Es sey zweitens f x =

a z so ist

f{x + A) = ax+* = aTa\ Es kommt wieder nur auf die beiden ersten Glieder von ak an. wenn man diese; Grosse nacli Potenzen von k entwickelt. üs »ey zu dem Ende a = i + b , so ist, vermöge, des Ausdrucks (10.) 2 2.3 Entwickelt man die Producle von k, k — i, k — z, und ordnet die Entwicklung nach den Potenzen von A, so findet man, dass die in k inulliplicirlen (Wieder die Reihe b — \b* + Irildeu. Setzt man der Kürze wegen b—\b* + lb»... oder a- • i ä

—

+ ...—A a 3 so siad die beiden ersten Glieder des in eine Reihe entwickelten Werths von i + Ak iolgli« !> ist

is.

L

=

Aax.

dfx dx

45

Durch Wiederholung der Operation findet man 4x* d

y ? ax*

s b A x Aax

=

=

=

A x A*a*

A'ax

* w.

A l s o jst

Diridirt man mit a z und setzt A s = x , so erhalt man die bekannte Reihe: A1 x* a1 = i + ^ x + —

+

A*x* 3.3

12. Setzt man in diese Reihe x =

.

a =

I + A +

und setzt man x =

A* 2

+

fi.

i so erhalt man 3

so erhalt man

t i Die Grösse aA

ist also eine unveränderliche Zahl,

die, für den Fall A = z i , der W e r t h von a selbst ist, Die Reihe giebt i aA

=

2,71828 »aaö4 5 9 ° 4 5 c "

Man bezeichnet diese Zahl gewohnlich durch e, so dass sich also das Verhultniss zwischen a und A, t durch die Gleichung aA — e ausdrucken lasst, woraus a = r eA

folgt

1

44

W a r e / i c e " 1 , so wäre und folglich M*- =.mem dx dx2 woraus, wie oben, emx

fl=se",

alsoAz=zm

e ^ J i ^ L - * , » tf«... c,c dx*

— i + mx +

77»* a;2

+

folgt

m* ar1 2

'

3

In der Gleichung y ax ist aber x nichts anders als der Logarithme TOJI y, wenn a die Basis des logarithmischen Systems, das heisst, die Zalil bezeichnet, deren Loguiillime I ist. Es ist ulso x = logy, für die Basis a. [.Ich werde der Kürze wegen das Zeichen der Basis über das TVort log u setzen, also z. B. schreiben xz=.logy.\ Aus demselben Grunde giebt die Gleichung t a ~A \ ° a [nemlich

= e, — — log c und A = log a, log (^a i j ist bekanntlich

= —j- log(a). a Aber log a ist = i weil der Logarithme der 'Grundzahl jedes Systems immer I ist; also i\c X ] » 1 —T —-g- log (a) = —jwar, log a i =

und folglich, =

wcz7 a

=

e

Zog e. Auf dieselbe IVeise e A e folgt aus = o, log (e ~) = log (e) A. i e « = log a also loga=zA]. In dem gewöhnlichen Logarithmen-System ist die Basis a = i o , weil mil dieser Basis die Rechnung leichter ist. In der Analysi.s zieht inun dos System. dessen Basis die obige

12. L

45

Zahl e Ist, als das einfachere vor. Dieses Systeto ist das N e p e r s c h e .

Man nennt diese Nepersche Lo*

garithmen auch hyperbolische, weil sie durch die Flache einer gleichseitigen Hyperbel zwischen den Asymptoten vorgestellt werden. durch den Buchstaben l. [Die log zu setzen, ter.

Es

Basis

wieder

der Consequenz>

auch

bei der Bezeichnung,

nicht

Logarithmen

für

die

den Logarithmen einige

dagegen man

aber

kommen,

damit

mögliche

Basis

bezeichnen.

der Analysis und Sätze, gleich sen.

sind

auch Sind

muss sich

von aber

nothwendig,

weiter

der Gegenstand

Zeichen das

Begriffe

sind esy

ob-

seyn müs-

festgesetzt, System

so

der

Consequenz

wie die

Zei-

nur

aus

Rechnung

selbst.

hat unstreitig

eben

als die Rechnung

verdient

in will-

die ersten

angemessen

in der Analysis

U, wohl ihn• Hegeln

alle gleicher

Bezeichnungen

man ausgeht,

auch

entwickeln,

Die Bezeichnung

man kann

unbeschränkt

chen, eben so wohl mit aller sich

Setzt sondern

für

die ersten

-vie-

log, so mit

wenigstens

damit

die

kommen,

keinesweges

welchen

diese

andere

Systeme Die

Nur die Zeichen

kann

allenfalls

durch

das Wort

nie zu Ende

l, so

muss man

unvermeidlich.

über

und

für einige

und Verwirrung

logarithmische

Leichtigkeit kürlich.

Zeichen

den

logy

und

nothwendig

ist zuletzt

die

durch

die Basis e durch

willkürliche

len Zeichen

a

nemlich

noch so fortfahren,

erfinden;

zu Ende

man

Basis

für

bestirttotNutzen

Bezeichnet

man zwar auch

und

JVort

ein Fall, wo der

ist.

Bases

über das

ist wohl allgeWieinet

ist hier

zu verkennen

noch

Man bezeichnet sie

eine grössere

selbst,

und

Aufmerk-

13- I-

46

samkeit,

als ihm gewöhnlich zu Theil wird; 'denn

in keiner Wissenschaft

sind

die

Bezeichnungen

so wesentlich und [wichtig als in der Analysis. Sie sind für die Rechnung fast was die Worte für « die Sprache sind. ] Es ist also A = log a, f o l g t lieh wird die Function ax durch ax log a ausgedrückt v( u . )

t

Da übrigens az=eA

so ist a —

elofwodurch

sich alle Exponential-Grössen auf die neinliche Basis e reduciren lassen. vollständig garithmen einfach,

und

der

dass nach

und undeutliche zwei Reihen,

Erklärung eine

eine sogenannte

der

Lo-

klar

und

Es

wäre

ist.

die

schwerfällige

der Logarithmen

sogenannte arithmetische,

Verschwände,

che und leichte Exponenten,

würdig grade

enthält

Theorie

Exponential-Grössen,

wie es Lagrange

zu wünschen,

chern

[.Das Vorstehende

die Grundlage

aus den

und die so einfache,

Erklärung

an ihre Stelle

durch

geometrische,

und Lehrbünatürli-

der Logarithmen

durch

träte. ]

13. 11

Es sey, drittens, f x =

logx,

der Natur der Logarithmen, x =

so hat man, nach af*.

Wenn

nun

x in x + A übergeht, so wird aus f x . dfx

k*

d* f x

Setzt man der Kurze wegen , dfx k —j— dx [Im Original

k* + — 2

steht

d*fx dx2

=

*.

wieder der mit o so leicht

zu

47 verwechselnde Buchstabe o. Der Uebersetzer erlaubt sich, ihn zur Förderung der Deutlichkeit mit dem Buchstaben x zu vertauschen,] so geht die Gleichung x — afx, wenn man x + k statt x, und folglich J (x + x) statt f x setzt, in x + k =

afx+*

=

af* a"

uber. Dividirt man diesen Ausdruck durch den vorigen x = so erhalt man Ä ^ / v 1 + — = ax — i + Ax + ... (13.) X s Lasst man auf beiden Seiten die Einheit weg und dividirt durch Ar, nachdem der W e r t h von * substituirt worden, so erhalt man, nachdem der entstehende Ausdruck nach den Potenzen von k geordnet worden, JL »

^

jgL JLTa +

+

^

CfLy]....

x dx 2 L a r \ ax x J Da die Grosse k unbestimmt bleiben muss, so muss die Gleichung, unabhängig von k, Statt ünden. Also •missen sich alle Glieder, die in eine und dieselbe l'otenz von k multiplicirt sind, aufheben und es müsM'ii so viel einzelne Gleichungen Statt finden, als Glieder da sind. Man erhalt also + Y - o = x dx dx2 \ dx / u. s. w. Da mm f x = allgemein dfx i dx Ax

war, so erhalt man

uulhui, zufolge der Formel (10.)

l ,e x log a

48

i4-

d f x

d*fx

i

~dx*~~

1

• x * l o g a

'

~~

2. 3

=

d * / x

g

dx*

x

3

—

x log

'

»

/oga

dx*

etc.

a

welche Werthe, wie man sieht, den verschiedenen Gleichungen genug thuiL Man erhalt also, durch die Substitution dieser Werthe in die Reihe f k3

k log{x+A)

=

log

d f x

x + k

.. ,,

k*

x + • x l o g a

Setzt man x = 1 imd kannten Ausdruck t ,• , ^ log (1 + =

&x*loga

k = z x ,

3 x

i

l o g a

so erhält man den be-

a; — 4aü4 + \x* . . . . 1 loga

Für die hyperbolischen Logarithmen, für welche e loge-=z

ist bloss

-

. « f x — l o g x , [ D / e j e noch

d f x

Ausdrücke leichter

zweiten

1 — , für

die

gefunden

d

2

/ x

d

x

l

. —

—

—

Logarithmen

werden.

Man

l .

.

.

.

können sehe

den

Band.]

14.

Die Sinus und Cosinus Von Winkeln, analytisch betrachtet, sind nichts anders als Ausdrucke mit unmöglichen Exponenlial - Grossen. Man kann also ihre Ableitungen aus denen der Exponcntial-Grössen finden, [fix ist nicht nöthig unmögliche Grössen nen

zu

H i d f e

unmittelbar

nometrischen den

zu

zweiten

nehmen. aus

Linien Band.

den

Die

kön-

K i g n i s c h a f t c n der

gefunden ]

Ableitungen

werden.

Man

trigosehe

»4- I-

49

E s sey, also viertens, f x = sin x- Da —i — —e und cosx— sinx= 7 y — i •x]/—i —xV—i e — e so setze man f x = ^y . Diesgiebt (nach 12.) wenn man in e m c . + y — i. statt m schreibt j d ctx —3

—

Xl/—i . — xV —1 e Y + c

= cos x. +

Eben so sey ' f x ssz ros x =

e~xV~~1

>. ».

a

so findet man . /• —i —.xV—i df x e r —e = dx ü

• V —

1

— —

sirix.

Da man nun die ersten Ableitungen von sinx und cosx hat, so lassen sich leicht die übrigen Ableitungen finden. Da neinlich i Jf x c J c fxzasinx, —f—zzcosx, und fxscosx, ' rt v giebt, so ist flu- / x — sin x:

dfx -H— —cosx, dx

und für f x =

d*fx / d x2

=

— sinx,

d+fx • •/4 . dx

=

dJx —4— c= —. sirt x dx d\fx = dx'

sin

— cos xs '

x....

cos x:

dfx -4— = —sinx, dx

d*fx d*fx , a . = — cosxt . =ss sin x. dx dx 3 ' d*fx —, . = cosx etc. dx* Diese Ausdrücke geben die Reihen

. , , Aa . Ä* sin vlx + k)z= sin x + kcosx sin x — cosx ' fi 2.3. Ä* + sm x + .... 2-3-4

»

[i]

$o

15. I

, . cos (x + k) = cosx—ksinx v '

k2 k% cosx + -sinx a 2.5

k• ¡2.3.4

COS X +

Setzt man x = o und k = x, so erhält man die bekannten Ausdrücke «n x

x

COi X =

>

— + 2-3 2.3.4.5 1 i a;4 + .... 1» 2-3-4 15.

Die hier in Betrachtung gezogenen Functionen 6

a * , logx, sinx, c o j x sind die einfachsten analytischen Ausdrücke. Alle Grössen die von einer veränderlichen Grösse abhängen sind daraus entweder durch Addition, Subtraction, Multiplication oder Division zusammengesetzt, oder es sind Gleichungen gegeben, in welchen die Functionen von jenen Formen vorkommen. [ i s j sind wohl nur alle gewöhnlich vorkommende Grössen gemeint, in so fern man nicht unter den benannten Zusammensetzungs - Arten auch unendliche Reihen mit versteht. Denn es giebt bekanntlich Grössen, die sich ohne unendliche Reihen nicht aus xm, e

ax, logx, sinx, cosx zusammensetzen lassen.] Kennt man also die ersten Ableitungen der obigen einfachen Functionen, so findet man leicht die ersten Ableitungen der zusammengesetzten Ausdrücke, und durch Wiederholung der Operationen, der Reihe nach, die zweiten, dritten Ableitungen u. s. w. p, q, /-.... sollen einfache Functionen von x be-

L

i5.

deuten, deren erste Ableitungen sind und welche nacli den obigen Ausdrücken gefunden « erden können. leitung

einer aus p, qy r—

Function von y. x+k

Man verlangt die erste A b -

Man erwäge, dass wenn

w i r d , y im allgemeinen i n ^ + A

übergeht (9.)

k* 2

über.

aus x ,

+ ~ ^ ¡ r r ••••

Nun gehen aber zu gleicher Zeit /?,

, dp k* setzt. Dann aber geht z in , dz rben ( n . )

[»So sinnreich

+

2-3

... .

diese Entwichelunrg l 5 1

66

i 9 . I-

ist, so hat doch der letzte Uebergang zum Resultat einige Schwierigkeit, weil die Identität der Glieder die n enthalten, oder ihr Aufheben, in dem Ausdrucke nicht sichtbar ist, sondern nur geschlossen wird. Die Schwierigkeit liegt aber nicht in der Sache selbst; denn es giebt andere, noch einfachere Mittel zur algebraischen Entwiekelung x von a . Man sehe den zweiten Thei!,] »9W i r wollen auf eine ähnliche Weise den Werth Ton x in y suchen. W i r geben zu dem Ende der Gleichung ax =y die Form (i + a — i)nx = (i + y — i)* welche mit ax =y identisch ist, und wo n eine beliebige Grösse bedeutet, die auf die Werthe von x und y keinen Einfluss hat Entwickelt man die beiden Glieder wie Binomien, so erhält man „ nx(nx-i), . nx(nx-iYnx-z), ,, 2 St 3 s n.n—i n.n—l.n—2. = i + n( — 0 + — — < y — i ) + Cr—O..1 -Y

oder, wenn man auf beiden Seiten die Einheit weglässt und mit n dividirt, , x(nx— i), x(nx—\)(nx—2), xC>....

. +

a

(nX) x

n

a. 3

D a die Werthe von sinx und cosx von der willkürlichen, Grösse n unabhängig sind, so, müssen sich alle Glieder des zweiten Theils der Gleichung, die in irgend eine Potenz von n multiplicirt sind, aufheben. Nimmt man daher nur auf diejenigen Glieder Rücksicht, in welchen n nach der Entwicklung nicht mehr vorkommt, so reducirt sich erstlich die Grösse X auf ihr erstes Glied Ax~\/— », die Coefficienten der Potenzen von x aber reduciren sich auf i , —

denn

1 + x1

x4 —, also ist die Grösse welche » + x1

die Differenz ist

. , — — übertrifft, um so mehr grosser, als 1 — x * . V (»+*') Man kann also die obige Vergleichuiig auf folgende Form bringen A

A =

Air* 2.5

+

^

2.3.4.5

Nimmt man aber x so an. dass offenbar die. Reihe A

,.

.

.... < 1 nnd > 1 — x 1 .

A3 x2 a. 3

A* x2

— < 1 so ist 3

convergent nnd 6

ihre Summe kleiner als A, aber grösser als A

A^x* -5

weil man, wenn man das a l e und 3 | 1 '- 4 l e

5,ft

f-lied u. s. w. zusammenzieht, lauter negative, hinge

¿3. I

77

gen wenn man das 3te und ^te, 5 t« und 6te Glied u. s. \v. zusammen nimmt, lauter positive Grossen erhalt. A

Setzt man also x
1 — x2, folglich 2- 5 A1 x2 A > ( 1 — x 2 ) und < 1 + 2. 3

welches immer bleibt, wie klein auch x sein mag. Daraus folgt, dass nothwendig A = 1 ist Denn' es sey A = 1 + wo A irgend eine sehr kleine Grösse A3 x3 ist, so darf man nur x so annehmen, dass ¿xi

ecc

. .t ' nicht u. s.w.

weil die Wurzelgrösse in den Ableitungen verschiedene Coefficienten erhält, und diese Coefficienten möglicherweise nicht alle für einerlei Werthe von x Null sein können. Im zweiten Fall ist gegentheils klar, dass die Wurzelgrösse notwendigerweise in allen den Funcd f x d1 fx (ionen f x , —4—, y 2 .... bis ins Unendliche veiu CC a OC schwinden muss, weil man jetzt annimmt, dass es die Wurzelgrösse selbst ist, die fiir einen bestimmten Werth von x zu Null wird. Nun kann aber, möglicherweise, das Verschwinden der Wureelgrösse nicht mehr in der Function f(x + k) Statt finden, weil k eine unbestimmte, von x unabhängige Grösse ist. Es folgt also, dass die Reihe . , dfx k* d*fx e für die Entwickelung der Function f ( x + A), sobald Wurzeigrössen, die sie enthalten sollte, wegfallen, fehlerhaft ist [In jedem Fall ist der Ausdruck fehlerhaft nicht ganz genau, denn eine richgetige Rechnung kann nie etwas Fehlerhaftes ben. Die Reihe divergir» in solchen Fallen und lässt, was sie ausdrückt, unbestimmt.] Die Reihe ist also im ersten Fall legitim, im anderen nicht.

ÖO

25.1.

25. Es sey y ^ . f x und folglich, wenn man die erste, zweite u. s. w. Ableitung nimmt: dy

dj*x

dx

dx

day

ä1 fx

' dx2

dx3

Ct

°'

Angenommen nun, es verschwinde für irgend einen Werth von x in f x eine Wurzelgrcisse, die in

dx

tl fx bleibt, so ist klar, dass dann die Function —^— eine grössere Zahl verschiedener Werthc dfx haben wiirdo, :tls f x y wegen der Wurzelgrosse, die i n v o r k o m m t , in f x aber verschwindet, woraus folgt, dass der Werth dv von — n i c h t

durch eine l unction von x und y

ausgedrückt werden kann, welche die Wurzelgfösse nicht enthält. Nun erhält man, wenn man die W u r zelgrcisse durch die Erhebung zu Potenzen in f x wegschafft und die entstehende Gleichung durch F x y o , bezeichnet, aus der ersten abgeleiteten Gleichung derselben, wie in (17.) gezeigt, dy dx

dFxy dx

'

dFxy dy

Dieser Ausdruck ist also fehlerhaft, wenn man x den besondern Werth giebt, was aber nicht geschehen kann, ohne dass die Grossen zugleich verschwinden. ist der Ausdruck von

¿Fxy dx

^^

dFxy dy

In einem solchen Fall also gleich—; und umgekehrt,

wenn Dieses geschieht, so ist es ein Zeichen, dass der znge-

25. I

81

zugehörige Werth Ton x eine Wmzelgrü.sse in f x ,

dfx verschwinden gemacht hat. [ H i e r -

nicht aber in ^

aus folgt

nun deutlich,

tigkeit , sondern solchen

Fällen

dass nicht eine

Unbestimmtheit Statt

findet,

der

FehlerhafFormel

in

denn der Ausdruck

§

ist

unbestimmt.] U m in solchem Falle den W e r t h von - ¿ 2 L zu dx finden, muss man nicht bei der ersten von Fxy s = o abgeleiteten Gleichung, welche dy dFxy dFxy dx ' dy dx ~~~ ist und jeütt identisch, unabhängig von dem Wertho von -^r— Statt findet, stehen bleiben,1 sondern zü der dx zweiten abgeleiteten Gleichung übergehen, welche man nach den nemlichen Regeln findet und welche von der Form

d 2y dx 2

dFxy dy

[Nemlich

+

/ dy S 3 d 2Fxy dy \ . d x j dy 2 " dx d 2Fx — o ist. dx 2

die erste

Ableitung

dFxy ^ ^ dx ' na° , , d 1 l/\rVundnach ~d,X 2

—^

welches

ist,

und I.

von

d 2y dFxy dx 2 dx dy\ 2 d 2Fxy

y\iti)

zusammen

\ , dy dx dx

C

lS

und

folglich

das dx dy statt

Vorige

dy d 2Fxy dx dy dx dy d 2 Fxy dxdy» -d^-^Tx-d ^r^

ausmacht.

^y Eins dx dieser

d 2 Fxy dx dy

Dass

und

dasselbe

beiden

Grössen

[61

fi6.

82 -

dx

geschrieben '

dly d x

weiter

,uniten

bewiesen,

dieser

¿Stelle,

indem

merkt.

I.

werden auch

er

seine

kann,

wird

Lagrange

Zeichen

an

erklärt,

be-

||

DWe

Gleichung giebt allgemein den W e r t h

A X - , alber' in d e m g e g e b e n e n F a l l e

von

verschwindet

.. f/2 r G l i e d , \ w k l i v s - j - - - ^ - enthalt, « e i l d i e G r o s s e

da*

dFxy — ^ —

g l e i c h T^iulU wird. D i e ü b r i g b l e i b e n d e G l e i c h u n g i s t e i n e Gleichung

d'-s z w e i t e n G r a d e s

in R u c k s i c h t

dt auf-—-,

/J y a u s welchipr m a n d e n W e r t h der also zweifach

von

finden

kann,

ist.

26. K s m v /.. B . / '

= (

Y =

s

Setzt man

hier

v —o. M a n sieht von r

'

n

— s m

(x — a 1

=

tf,

- ==

dass

isl

m> i-I y u

=

y(«-/'>-

aU... d a s s d i e \ \ u r z e l g r r i s s c in d e m W e r t h «

v e r s c h w i n d e t , n i c h t a b e r 111 d e m W o r t h e

j £ L d r ' 2e ft

' — o ) V f - r — />)• s o

davs a l s o v

d r

Gleichung (x — l)

nur einen W e r t h

deren z w e i . auf

die

nimmt

hat,

von

hinge-

Bringt m a n n u n die g e g e b e n e

rntionale

Form

y

2

=

( r — ) = 2 (a—b) also - & - = y ( a — b ) ,

wie oben. Uebrigens konnte der nemliche Werth von x , für welchen in der ersten Ableitung Glieder verschwinden, auch noch in der zweiten Ableitung Glieder aufheben. In diesem Fall muss man die dritte Ableitung nehmen, welche, wegen Aufhebung der Glieder mit

d2y d% y ^ und , blos zu einer Gleichung mit

^ ^ werden würde, und zwar vom dritten Grade d:c u. s. w. Alles dieses hängt von der Natur der Wur/elgrösse ab, die in f x aufgehoben wird, und die durch den Grad der Gleichung, in welcher vorkommt, ersetzt werden muss. W ir wollen indessen diesen Gegenstand, der uns zu weit von unserem Ziel ablüluen würde, lüclit weiter verlolgen.

84

27-

'

27. M a n setzt-, zweitens, der JH-mliche W o r t h

von

x, welcher in f x

eine Wurzelgros.se verschwinden dfx macht, hebe dieselbe auch in J • auf, o h n e sie in

d 3 L2fx -— dx — zu Null zu machen. Alsdann haben Jf x u n d jft rf* f T —L—gleich viele W e r t h e , aber — h a t m e l i r W e r dx ° dx 3 the. Hebt man also die W urzelgrösse in der Gleidy chung y = f x auf, so ist der W e r t h von • , den m a n daraus ableitet, = § und man muss, u m den W e r t h von - i ^3 , zu finden, zu höheren abgeleiteten dx Gleichungen übergehen. Es sey y =.{x

— a) 3 y(x — ¿>), so erhält man

Setzt man hier x = o, so erhält man

y = °,

= °

Ä)

Ulld

Bringt man aber die gegebene Gleichung auf die rationale Torrn

y 2 = (x~ay(x — i>), W) erhält man daraus die erste abgeleitete Gleichung dy — ^ — dx ~ ^ — ^ dy x

+

welche, für x = a, -j— = § giebt, weil y=o

ist, we-

nigstens, wenn man nicht, nachdem y substituirt worden,

27. I.

85

das Ganz« erst durch ( r — a ) 2 diridirt und erst dy hernach x = a setzt, welches • - / - = o geben wurde. a x Geht. man zur zweiten Gleichung über, so erh.ill man

m

=

und für x 3= a,

6 ( x — a ) J ( x — b ) + 4(x—ö)*

^ — o, wie oben. Aber, um den air

d3 v \ \ f.rth \n

—— zu finden, nuiss man zur dritten,

und selbst zur vierten Gleichung fortgehen. Jene ist •Ä

+

' Ä

=

l

8

C

+

"C—*)(*-*>

in welcher alle Glieder für x = a verschwinden.' Die vierte Gleichung ist ,( d*y\* + . *3L SÜlL+y ±JL — 48 ( x - a ) + 4 + y dx dx» dx* ' + 12 (1 — ¿»). Setzt man x = a. also r = o und —f— = o , so ax erh.ilt man

=

». 4 ' f =

=

*v

z y (a —

wie oben. W i r wollen diese Untersuchung, die u b n g f n s nach den obigen Principien keine Schwierigkeit hat, nicht weiter fortsetzen. W i r wollen nur bemerken, dass die Curve, deren Abscissen x und deren Ordinaten y = / x sind, für dasjenige x welches in / x und nicht zugleich in

eine Wurzelgrosse verschwin-

86

28. 1.

den macht, einen sogenannten v i e l f a c h e n (point multiple), d Fx dx

—-

Punkt

für dasjenige x, welches in f x

und

eine Wurzelgro.sse verschwinden macht, einen

Berührungs

- Punkt,

(point

für dasjenige x, welches in f x ,

d'attouchement), dfx

und

d

2

fx

zugleicli, eine Wurzelgrosse aufhebt, einen K r ü m i n u n g s - P u n k t ' (point d'osrulation) hat u . s. w. Man wird den Grund davon hei der Anwendung der Theorie der Functionen auf die Theorie der Curven sehen, 28Bei Gelegenheil dieser .Schwierigkeit wollen wilder Methode-erwähnen, den W e r t h eines Bruches zu linden, dessen Zäliler und Nenner zugleich verschwinden. Es .se)

^ « ' i n solcher Bruch, wo f x und Fx

Functionen von .-»: sind, die für x = a beide zugleicli verschwinden. Man verlangt den Y\ erth des Bruches für .i u. Man setze

ij^—z^y

und folglich y Fx =. f x.

Diese Gleichung ist identisch für x = a und folglich in diesem Fall von y unabhängig, welches also unbestimmt bleibt. .Sil- dient folglich in diesem Zustande zur Bestimmung von y für den Fall x — a nicht. Nimmt man aber die erste abgeleitete Gleichung, so erhält man dv

.

dt

o. ...

> dt

>

-7 ^

d2/{x~x:) 772

35. d*f(x-xz) dt*

*

105

x*z> 2

d*f(x-xz) ~dü

dB ~dTy

+

folglich, wenn man weglässt was sich aufhebt den Rest mit x* dividirt, dß_ _ dz — wie

und

d^f(x-xz) JT> '

z

oben.] Mau rauss also, um R zu (Inden, eine Stamm-

grüsse mit z sudien, deren erste Ableitung den aud B — hat, und die zugleich für dz 2 = 0 verschwindet. Setzt man in diese Gi'össe hernach 2 = 1 , so erhält man d/'ni x2 dafox . _ c r f x = fox + x - J j — + y + x3r dx c a r u. s. w.

gegebenen Werth von

Fährt man auf diese Weise fori, so erhält man die Formel von (35.) immlich: dfox x2 d2 J Fox ¿1:3 d* fox + x ^ + , +-— , ... dx 2 dxü-3 «ar3 Die gegenwärtige Rcclumng hat den Vorzug, dass . fox J

f x =

sie das Mittel zeigt, die Reste der Reihe x/J,

x- Q,

x * B u. s. w. /.11 finden, wenn man bei dem ersten, zweiten etc. Glicde sLelien bleiben will. [Hier zuerst. .so wie überall sich vollends lichkeit setze

in der Folge,

die Unbestimmtheit

der neuett

zum Beweise

Lagrangischen den

33. und

wörtlich

nach der Urschrift,

35.

Nous auons vu jusqu'ici

>rom er dircctement

und

Zeichen. 55.

zeigt

UnzulängIch

Parugraph,

her: eotnmetU

tous les termes du

on peut dceeloppe-

íoó

55

ment

He la fonction

ces

de

per

une fom

ces ascendantes ta

/ .•»:+/\

i ; ou peut.

de

tion

I.

la

ntit-e.nl

meine

manière,

que/conque, d'une

les pul s sa ii •

suivant

des •variables

dévelople.s

puissan-

< ontcnucs

dans

fonction. Un

f(x

e f f e t , si un reprend

+ i) = f x H- / / x i

puisque

x et i sont

on y

peut

qui

donnera

fx = De

plus,

x — i

'x ¡-

mettre

iii,,

indéterminées,

à ta place

+

on pourra

+ xzj

• ni z est une

de x,

cc

'—/"(«.--/)+

xz

quantité

tion

quelconque

elc.

représentent

de J x, IMais

a

la

comme

en.

place

d'- /.

quelle quelconque

conques,

< ' /o.î durch die Schuld, der unbestimmten Zeichen:. Die Grossen,

iNun ist „ _ fr~f(x~k) k

f L

f

iSimint m a n

i x

i 1 r—/J

i —k)

also die Ableitungen uach kj[ so erhalt

man dp _ i dk ~ x(x—Ä)2'

dg

, *

r~

i x(x—k)*'""

»Substituirt man Dieses in die obigen Ausdrucke von f x und setzt hernach x + k statt x. so erhult inan 1 _ x + k

l x

t(x

k

x + k

x

x2

+ k) x2 (t + k)

+

u. s. w. wie in (4.^ Iis sey f x =

yx,

so ist f(x

— k) ==

und wenn man die Ableitungen nach x

Y(x—k)t

[oder t

=

x — ä] n i m m t , df(x—k)

1

d*f(x

— k) _

1

etc. i Ii er ist ,, [ =

= Man erhalt, wenn inan die Ablei-

yx+y(x—k)

(ungen nach k nimmt, 2 > / ( r — k) [Yx+ 1 8( r - k ) \ y

x +

Y(x — *)»] 1

y(x-k)]>

M V * +

VC-*)]

37- I. yx + SVCr — K —j

—

etc.

8 C * — A ) * [ V . r + >•'..>•_*•)»] Substituirt man dieses in den Ausdruck von f x . so erhält mao, wenn man noch x + h statt x setzt, V ( . r =

v c x + U v * .

—

V

v

r

'

Ä o.y x

h

,

* *

2yx

,

öxj/x

,

k — y x-\—, 2.y X

k* + k) +

2 yx[j/(x

k2 —+ 8xy X

yxy

8xyx[y(x+k)+yx]* k* —f.—— lGx'yx

wie in (4.) 3 r Mar. kann auch aus dein Ausdruck in (3.) f(x + k) = f x +

kP

unmittelbar das Gesetz der Reihe und den Ausdruck der Resle linden, wenn man abwechselnd die Ableitungen nach x und nach k nimmt. [ L a g r a n g e ist hier

gezwungen,

zeichnung

der

Zeichen werden

die

Ableitungen

anzudeuten. dadurch

Verschiedenheit

von

Die

der die

netjetzt angebracht

ein

Ableitungen

den Ableitungen

terschieden , dass der Strich Grösse,

durch

der

eigene nach

k

nach x un-

an der

abgeleiteten

- Operation

bezeich-

unterhalb, statt wie gewöhnlich

oberhalb

wird.

Ableitungs

Be-

Dergleichen

Hülfsmittel

nicht weit. Denn, kommt eine dritte, Grösse vor, nach welcher die Ableitung

reichen

vierte

it. s.w.

genommen

werden soll, so geräth. man wegen der Stelle lies Strichs offenbar in Verlegenheit.] Man erhält zuerst, vermöge der Ableitung nach i , d f ( x + A) dx

d f x dx

dP dx '

[»ve;/ neinlich f ( x + A) = f x + kP gesetzt wird.] öodann erhält man durch die Ableitung nach A, weil offenbar die Ableitungen von f (x-\-k) nach A und x das Ncmliche geben,