J. L. Lagrange’s mathematische Werke: Band 2 Die Vorlesungen über die Functionen-Rechnung [Reprint 2015 ed.] 9783111614779, 9783111238876

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J. L. Lagranges mathematische

W e r k e. Deutsch

herausgegeben von

A. L.

Creile.

Z w e i t e r

B a n d ,

die Vorlesungen über die Functionen-Reclinung enthaltend.

B e r l i n ,

bei

G.

1 Ö 2 3 .

Reimer,

Vorlesungen ü b e r

d i e

Functionen - Rechnung. V o n

J.

L.

Lagrange,

Mitgliede des Instituts der Künste und Wissenschaften, des L ä n g e n Büreaux und des S e n a t - C o n s e r v a t e u r s , Grosskreuze der E h r e n Legion und

Reichsgrafen.

N e u e , vom Verfasser durchgesehene, -verbesserte vermehrte

und

Auflage.

Mit Anmerkungen, Erläuterungen und Zusätzen, deutsch

herausgegeben v o n

Dr. A. L.

Grelle,

Königl. Preuss. Geheimen Ober-Iiaurathe.

B e r l i n ,

b e i

1

8

G.

2

3.

R e i m e r .

Vorrede des Originals. D i e s e Vorlesungen, welche den ersten Theil der Theorie der analytischen Functionen commentiren und ergänzen, enthalten einen Curaus desjenigen Theils der Analysis, welchen man gewöhnlich Infinitesimal-, oder Transcendental - Calcul nennt, der aber nichts weiter ist, als die FunctionenRechnung. Diejenigen, welche die DifferentialRechnung studirten, finden in diesen Vorlesungen einfachere und bestimmtere Ansichten dieser Rechnung und neue Ausdrücke und Methoden, oder eine neue Darstellung derjenigen,

VI

welchen noch mehrere Klarheit und Genauigkeit zu wünschen war. In der gegenwärtigen neuen Auflage sind mehrere Stellen, der Deutlichkeit und Einfachheit wegen, verändert worden, auch finden sich mehrere Zusätze, vorzüglich in der achtzehnten, ein und zwanzigsten und zwei und zwanzigsten Vorlesung. Diese letzte enthält eine vollständige Abhandlung der Variations - Rechnun g.

I

n

h

a

l

t

der Vorlesungen über die FunctionenRechnung. Erste

Vorlesung. Seite

Vom Gegenstande der Functionen - Rechnung und den Functionen überhaupt

1

Zweite Vorlesung. Ueber die Entwickelung der Functionen einer veränderlichen Grösse, wenn man dieselbe sich verändern lässt. Allgemeines Gesetz der Entwickelung. Ursprung der abgeleiteten Grössen. Verschiedene Ordnungen der Ableitungen. Ihre Bezeichnung . Allgemeine Entwickelung von f(x+k) 13 Ableitungen und Stammgrössen Ableitungen von Functionen mehrerer veränderlicher

Grössen

21

22

Dritte Vorlesung. Ableitungen von Potenzen. Entwickelung einer beliebigen Potenz eines Binomii 25 Ableitungen von Potenzen Binomial-Formel

25 37

Methode, die Constanten einer Stanungrösse zu finden. 48

VIII

V i e r t e

V o r l e s u n g . Seite

Ableitungen der Exponential-Grössen und L o garithmen.

Entwickelung

dieser Grössen in

Reihen

51

Ableitungen von Exponential-Grössen Entwickelung der Exponential-Grössen Ableitungen von Logarithmen Entwickelung der Logarithmen

51 . . . .

58 66 74

Die Reihe für Logarithmen convergent zu machen. Natürliche Logarithmen Anwendung der Exponential-Grössen auf den polyuomischen Lehrsatz F ü n f t e Ableitungen

79 92 94

V o r l e s u n g .

der Sinus und Cosinus nach den

Bogen und der Bogen nach den Sinus und C o sinus,

und Entwickelung

dieser Grössen

in

Reihen

97

Ableitungen der Sinus und Cosinus

97

Entwickelung der Reihen für Sinus und Cosinus

.

114

Ausdrücke der Bogen durch ihre Sinus und Cosinus.

153

S e c h s t e

V o r l e s u n g .

Ableitungen von Grössen, die aus verschiedenen Functionen einer und derselben veränderlichen Grösse zusammengesetzt

sind, oder die von

dergleichen Functionen vermittelst Gleichungen abhängen S i e b e n t e

139 V o r l e s u n g .

V o m Uebertragcn der Abhängigkeit der veränderlichen Grössen in den Ableitungen

-

.

165

IX

Achte

Vorlesung. Seite

Von Entwickelung der Functionen, wenn man der veränderlichen Grösse einen bestimmten W e r t h beilegt. Fälle, in welchen die allgemeine Regel fehlt (est en defaut). Untersuchung dieser Fälle. V o n dem W e r t h e der Brüche, deren Zähler und Nenner zugleich verschwinden Den Werth v o n — zu

finden

o

Den Werth v o n

.

196

zu finden

Neunte

176

200

Vorlesung.

V o n der Methode, die Grenzen des Werths der Entwickelung einer Function zu finden, wenn man nur eine bestimmte Zahl von Gliedern nehmen will. Fälle, in welchen die Principicn des Differential - Catculs fehlerhaft sind.

Fun-

damental-Lehrsatz. Grenzen mehrerer Reihen. Strenge A r t , die Ableitungen in die Theorie der Curven und der veränderlichen Bewegung einzuführen Anwendung

. o. steht on ri eût toujours statt on n'eut toujours que. 3 27. o. steht dirigé statt divisé.

1 2 2;. o .

7 27. u. steht Donc si P est la plus grande valeur positive ou negative des quantités etc. statt Donc si P est la valeur positive ou negative de la plus grande des quantités etc. ¿3 ïs 10 27. u. steht i + — + etc. ¿i

2 ¿i

5

statt i

— 150 —

—• »45 — '— »45 —

3 + — 5 + etc. io 27. o. steht J f •=. — — etc. 2 , m etc. / u= 2

9 v. o. stehty2m—zy co*mx+1 =0 statt y2m— o.y cos m x + 1 = o. 11 -v. u. steht y2 — 2 cosx + 1 = o statt y2 — 2 y cos x + 1

— 146 —

statt

2

o.

12 v.o. steht y \—ücosf — \m rn J „ f q> 2c\ statt

xvm

Seite

Zeile 8 o. steht y—xy +c~\/(i+y'2) statt y — xy' + cY(i +y'2) = o. J 54 — 10 v' steht y + ax + c "j/(i + a2) statt y + ax + c~j/(i + a 2 ) = o.

—

—

— i6x — — 174 — — 18g — — 195 — — *97 —' — 198 — — 215 — — 215 — 226 — — 231 —

"x 7 v. o. steht^-Z- —1=0 statt-?—,—i=o. y y 5 v. u. steht du premier ordre statt du troisième ordre. 7 v. u. steht (a, b*) statt (I>'(a, b) 10 v.u. steht résultant st. résultante. (n-*-1") 10 v.o. steht x, Yi Y •••• y stati , (n—1) *>yijr--y 11 u - steht x2—aay + a2—¿ = 0 statt x2 — a ay — a2 — b = o. 6 v. o. steht y' —x y etc. statt y — xy' etc. 7 v. o. steht ces deux statt ces deux constantes. 13 v. o. steht x2 = zay + a2 + b = (x,y,a,b') = o statt F(x,y, a, b) = o. 2 2 39 — v. u. steht et (f et statt

00

CL Cß

gen diese, A b l e i t u n g e n der Stammgrosse nennen. x e r s t e A b l e i t u n g oder A b l e i Ferner soll d f— d2 f x lung e r s t e r O r d n u n g , -, welche die erste Ableitung der vorigen ist, soll z w e i t e A b l e i t u n g , dt f x oder A b l e i t u n g z w e i t e r O r d n u n g , die Ableitung von

• oder

d2

^ af x d r i t t e A b l e i t u n g oder

A b l e i t u n g d r i t t e r O r d n u n g u. s. w. heissen. Unter dem Worte „Ableitung" allein soll immer die erste Ableitung und unter .Slamuigrossc die-

22

II.

23-

Ableit. von Funct. mehrerer jenige verstanden werden, zu welcher die erste Ableitung gehört. Ist die Stanimgrösse nicht durch f \ sondern durch einen einzelnen Buchstaben bezeichnet, z. B. fx durch y, wo y durch irgend eine Gleichung zwischen x und y gegeben sein kann, so kann man die Ableitungen von y uui eine ähnliche Weise bezeichnen, nemlieh durch

dx

,

etc.

dx2

Auf diese Weise geht y in dy_ y

dx

+

+

k2

d2y

2

dx2

k*

d*y

a.3

+

über, wenn man x + k statt x setzt.

Ableitungen

von Functionen änderlichen

mehrerer ver-

Grössen,

23IJat man Functionen mehrerer veränderlicher Grüsen x, y —

z. ß.

) , so werden die

y

Ableitungen, nach den verschiedenen veränderlichen ••

,

,

Grossen, durch n

—-—— 2

—,

dx

[Lag der

range

nemlichen

d f (as, y—)

•

,

dx

,

dx

dy

bedient Bezeichnungen

dr'Çv,

—, —

sich

.

y....')

— ....,

dy

- u. s. w. bezeichnet. in

den

und

Leçons

noch

Benennungen

II.

24veiändei

23

lichen

Grössen.

wie in der Theorie des fonctions. Der Uebersetzer hat in dieser Uebersetzung, aus den im ersten Theile angegebenen Gründen, statt der Lagrangischen Zcichen die Leibniizischen genommen und nur im Ganzen die Benennungen beibehalten. Was über beide Arten der Bezeichnung im ersten Theile bemerkt worden., findet auch hier Anwendung. JVsgen Vsränderung der Zeichen konnte der letzte Paragraph nicht wörtlich übersetzt werden. Lagrange führt einen einzelnen Fall an, d) w . . . . , l"2

+ ¿W, folglich

b =

auf denn

a/io y ü r 0].

Man

i , so ist

1 + w =

1 + Öö) . . . .

[weil b r = o war], also a = (1 + + «x2

.._r dfx Wenn —4— = ax d2fx d*fx

do^ j

=

—

Ö b +

0""'

2

_ . ^ oa; 27, so ist d*Fx

ds Fx

dfä 3 cioc^ —= b4 — u. s. w. 3 3

also f x = b + ax2 —ax% 4 Allgemein, wenn

=• fiotP ist, so erhält man,

wenn man die Ableitungen nimmt, d'fx — 2 = dx

nax

n—i

d3fx n—2 , —r^T—=— n.n— i .ax dx3

etc., '

also, wenn man diese Ausdrücke substituirt, JFx—b

,

+ ax

n+i/" » n.n—i { i—•—l V 2 2.3

Nun ist, wenn man (1 — 1)

71-4"

1

n.n—i.ra—2 \ .... J. 2.3.4 > entwickelt,

, .n+a , , . , n+i.n (i-O =1—C«+0+—3 [Dieses denn

ist nur der Fall, sobald

nicht Null, n.

n+ sondern

n+i.n.n—1 — + ...=0,

wenn n + 1 positiv

1 negativ unendlich

ist,

ist;

ist (1 — i)™"'"1

gross.] [ 4 ]

Also ist

in.

5o

29.

Meth. die Const. ein. Stammgr. ^f (/i + 1 )

n n.n— 1 —— + ——

folglich ti n.n—1 1 + 2 2.3

den sagt,

\

=

,,

n.n—l.n —2 2.5.4

was auch n sein mag. wickelung

zußnden.

[Aus

wenigstens folgt

dieser

Art

der Ausdruck

TVerth von n nicht, sondern, nur in dem Falle,

1 ^ + der

1

Ent-

für

je-

wie vorhin

ge-

wenn n + 1 positiv

Iii.]

Man erhält also Jf

„ x =

n+i ax , + b. n + 1

In der That ist die Ableitung dieser Grösse nach der allgemeinen Regel a(n + i)xn n + 1

ax

n

1

denn die Ableitung der Constante b ist Null.

IV.

Vierte

V o r l e s u n g

Ableitungen der Exponential-Grössen und Logarithmen. E n t w i c k l u n g dieser Grössen in Reihen.

Ableitungen

von

Exponential-Grossen.

3o. D ie Untersuchung der Function xm, in welcher x das veränderliche Element und m eine Constanle ist, fuhrt unmittelbar auf diejenige der Function a wo x das veränderliche Element und a eine Constante ist. Grössen der letzten Art heissen E x p o n e n t i a l - G r ü s s e n , weil sie sich nur mit dem Exponenten zugleich verandern. U m die Ableitung von a x zu finden, darf man nur, n a c h d e m allgemeinen Principe, x + k statt x setzen und die Function nach Potenzen von k entwickeln. Der Coefficient mit k ist alsdann die gesuchte Ableitung. Dieses giebt zunächst x4-k x k

a

Man setze a =

= a .a .

i + b, so erhält ruan

IV.

52

Ableitungen ak =

(1 +

3°« von b)k

lind, nach der obigen allgemeinen Formel, n ß* =

* ,, j (V l + £ ) * =

.. Ä'iIi ""*1 ,2 1 + Äi + .¿ + 2

~ "liÄ "2.3 » ¿> .... 2.3

Ordne!, man die Glieder dieser Reihe nach Potenzen von Ä-, so isl leicht zu sehen, dass die beiden ersten Glieder der Enlwic.kelung von ak folgende sind: i +

C V

¿2 ¿3 b«• \ r S

+

1

ö

4~"'v

Man setze, der Kürze wegen, b2 Z»4 b— r+ — — , oder fweil b — a—i «¿1J 2 ^ 3 4 (ß — i ) 1 + ( « — 0 3 («— 0 4 1 a 3 4 — so sind i + cä die beiden ersten Glieder der Entwich clung von a\ folglich sind, wenn man mit a00 mnltiplicirt, ax + c ax Ä-, die beiden ersten Glieder der Entwickelung von ax k. Also ist der Coefficient c / , zu k, die erste Ableitung von ax. Der Coefficient c hängt, wie man sieht, von der Grösse a ab, welche die G r u n d z a h l oder B a s i s der Exponenlial-Grösse ax lieisst. Man nennt diesen CoefTicienten gemeinhin den M o d u l . Man findet, also, dass die e r s t e A b l e i t u n g e i n e r E x p o n e n t i a l - G r ö s s e dem P r o d u c t e d e r n e m l i c h e n G r ö s s e in e i n e n c o n s t a n t e n C o e f f i c i e n t e n g l e i c h isl, w e l c h e r von der G r u n d z a h l , oder der B a s i s d e r E x p o n e n t i a l G r o s s e abhängt und der Modul heisst.

30.

IV.

53

Exponential[Man I.

kann

Grössen.

dieses auch, wie folgt,

Vermöge

des allgemeinen

finden

Ausdrucks 2

Jf

ist

, r 1 d f x k . d2 f.X ( x + Ä) = Jf x + k—f— + dx 2 dxnemlich

r

f j x + k) ~ f x k

k_ d 2 f x 2 dx2

d f x dx

Hier,

dx ,, tfx

x

ö

.x

Grosse

also isc fC%+k)—fx ^—-—

a — i 7 . Dieses giebt, k i + b setzt,

wenn

oder

k M-Ä& +

ist f x =

% fe c i t i a . a , folglich —

— k ~ man, wie oben, a =

""'

o.

zra diesem Falle,

r, 7n oc-4-k f ( x + k) = o ^ = a X . a„fe — „X a

d*fx

d f x • jj^ gleich der

also ist die erste Ableitung f ( x + k ) — f x c.. j — r -— Jfur k = k

k2.3

•

k.k—l,. 2 A.A—'i./f — 2 , 3 b + Z> .... — i 2 2J5

oder d f x -j— == ax[b dx V

+

k—i 2

,„ k—i b2 +

für k = u; also, wenn mau k = —5— = dx oder, weil b

a ( A \ a— i

« ist,

+

5

.k—2 2-5

o

J}

b3

setzt, 4

....), y

\ ....) s

54

30.

I V

Ableitungen dfx _dax _ ,r dx ~ dx ~ V

(a-i)2 2

von (a-1)3 5

(a-Q4 4 "V

wie oben. II. Das andre bei den Potenzen gebrauchte Verfahren mit allgemeinen Functions-Formen ist in dem gegenwärtigen Falle folgendes. Die Eigenschaft der Exponential - Grössen nemlich besteht darin, dass, für zwei beliebige veränderliche Grössen x und y und für ein beliebiges a, so y a . aJ = a J , also, wenn man die Exponirungs-Operation f bezeichnet,

durch

f x f y = / ( • * + r) ist. Man setze in diese Gleichung x + k statt x, so muss man, wenn man will., dass fix unverändert den ziemlichen JVcrtlu behalten soll, y — k statt y setzen. Dieses giebt, weil nunmehr f(x + /,) .f(j—k) = f(x +j) = z f x f y ist, wenn man diese Ausdrücke nach der allgemeinen Formel f(x + k)z=fx + k + — —f— .... entJ J dx a dx-

wickelt,

oder

So.

55

iv. Exponential-

Grössen.

f x f y= f x f y

also, da die Coejficienten zu einerlei von k, zusammen, gleich Null sind, Fy ' dx

—J c x

J

d

f y __ dy

Diese Gleichung df x dx

~~ ~~Jy~' kann nur Statt df y dx

seinen Werth

man y statt x Also ist

findon,

^

ist, weil x von y nicht dfx —.fx

Qder

Q

dfy dy

dx

fx

Potenzen

abhängt

wenn

c

und

nicht ändern

dennoch soll,

wenn

setzt. oder

dx dx

wie oben gefunden

wurde.

Die Constante c kann man, wie im Texte, wie in der Anmerkung finden. III. Will man von der Gleichung (ax)m = als allgemeinem Ausdrucke der Eigenschaft,

oder

amx, der

56

rv.

3 o.

Ableitungen Exponential-Grösse die erste Ableitung finden. Man bezeichne

von

a' ausgehen, so kann man dieser Grösse, wie folgt, nemlich

die Grund-Bedingung

a* durch fix, so ist

folgende:

(fixT

=

fimx;

oder, wenn man mx^zy

und fix zziz

setzt,

^ -fyNun ist, wie weiter xuiten gezeigt wird, allgemein, die erste Ableitung nach x einer Grösse Uy die von einer andern, z. B. z odery abhängt, welche selbst wieder eine Function von x ist, du dx Lässb man, für in

lich u = z

sein,

obigen allgemeinen tung von Potenzen, d(zm) —.——=imz dx Setzt ^¿y

,n~i

du dz dz ' dx den gegenwärtigen so erhält

man,

Gesetzes für

erst-

vermöge

des

die erste

n

x

= mz ~~ , dz — = dx

Fall,

c

Ablei-

also

.m —1 d

m( J f x )

f x —. dx

man dagegen

u = f y , so erhält man ^^

•

weil y =

mx

Ü3L — Hl1.

m;

> oder

=

und

folglich

— f y ist, welches zugleich,

wie wei-

dy —r~ = m ist,1 dx

dx aLo,

weil z

m

dy

'

'

30,

IV.

57

Exponential - Grössen. ter unten allgemein gezeigt

wird,

^^

? —

giebt,

„ , C - m—• 1

4/y

• dx Man

dividire

f(mx)z=z

diese

Hieraus folgt, 'f

x

dy

Gleichung

FFI SO erhalt d f x

—

dfy

c

¿öjj jzcä der TVerth

nicht ändert,

der

Grösse

wenn man statt x

irgend

nothwendig d f x r — : tx dx '

=

c

folglich

- P dx wie oben.]

=

man

c

-^T =

'

durch

eine beliebige andre Grösse y setzt. d f x ^^ \ f x nur eine Constante c sein.

und

J

oder

c x

f>

=

odcr

Also

kann,

Es ist also

53

IV.

31—52.

Entwickelung von Entwickelung von Exponential- Grössen. 3i. Da die erste Ableitung von ax, cax ist, so ist die zweite Ableitung von a£ [oder die erste Ableitung von der ersten Ableitung] c2 ax, die dritte 3 x Ableitung c a u. s. w. Setzt m a n also aj: = fx, so ist ¿f— 1

z=i cax m > (/ W

—j ^

•

ax

— « -

-

1/

etc C/ (s G •

U>

ax3

Substituirt man Dieses in die allgemeine Entwickelung von f(x + ä), so erhalt man

ax+k = ax +

caxk + —

2

axk3

+

a.3

a'k*

....

und, wenn man mit ax dividirt. .

a" =

.

I + c« +

c2k2

2

4-

c3A*

2.5

....

Dieses ist die Reihe, von welcher wir oben zunächst die beiden ersten Glieder fanden. Sie dient, wie man sieht, eine beliebige Potenz in eine, nach den Polenzen ihres Exponenten geordnete, Reihe zu entwickeln. 32. Vermittelst dieser Reihe lasst sich unmittelbar der W e r t h von a durch c ausdrücken. Setzt man ncmlich i, so ist

33-

IV-

59

E x p o n e n t i a l - Grössen.

und, wenn e = i , so erhält man für a folgende sehr einfache Reihe: 1 1 l a + — + — + 2 s.3 2.3.4""' deren Werth 2,718281828459.... ist. Dieses ist die Zahl, welche man gewöhnlich durch e bezeichnet, und welche folglich die Basis der E x ponential-Grösse mit dem Modul 1 ist. Setzt man in diesem Falle f x e x , so ist blos e x , ^J^

•^-f— = u- OC

t

=

ek

— e r etc. und folglich

CL 00

1 +

Ä2 2

,

k} 2.3

k + •—• + —-

+

k* 2.3.4

33Setzt man in die obige Gleichung ak = -1

c*k

2

2

.

...., k = a

c

1 + ck

1

— , so erhalt man c

1 1 1 + 1 + — + —- • •.. = 2 2.3

e.

Man hat also zwischen den drei constanten Grössen ö, c und e, die Gleichung 1 ac

=

e, woraus folgt: a =

Diese Gleichung giebt auch

ec.

IV.

6o

55-

Entwicklung

von

woraus man sieht, dass, wenn c negativ genommen wird, a in — übergeht. Q*

Setzt man Dieses in

die

obige gegebene Gleichung c =s a — 1 (.3

+2

2

,

Ä3 .... 4—....

3

mithin erhält man, tm'Z ¿> = « — \ ist, pff =

'

„a — ,1

(«~-Q

a

2

+.

(