Höhere Analysis: Teil 1 Differentialrechnung [Reprint 2011 ed.] 9783110238372, 9783110238365

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Kleine mathematische Bibliothek aus der Sammlung Guschen. Jedes Bändchen elegant gebunden 80 Pfennig. Ebene Geometrie mit 115 zweifarbigen Figuren von Prof. G. Mahler. Zweite Auflage. Nr. 41. Arithmetik und Algebra von Professor Dr. Hermann Schubert. Zweite Auflage. Nr. 47.

Beispiel-Sammlung zur Arithmetik und Algebra von Professor Dr. Hermann Schubert.

Nr. 48.

Formelsammlung u. Repetitorinm der Mathematik mit 20 Fig.v. Prof. Bürklen. Zweite Aufl. Nr. 51. Niedere Analysis mit 6 Figuren von Dr. Benedikt Sporer. Nr. 53. Geometrisches Zeichnen mit 282 Figuren von Architekt H. Becker. Nr. 58.

Analytische Geometrie der Ebene mit 45 Figuren von Prof. Dr. M. Simon.

Nr. 65.

Geometrie in synthetischer Behandlung mit 57 Figuren von Dr. K. Doehlemann. Nr. 72, Tierstellige Logarithmen von Professor Dr. Hermann Schubert. In zweifarbigem Druck. Nr. 81.

Sammlung Göschen

Höhere Analysis Erster Teil

D iff erentialrechnung von

Dr. Friedrich Junker Mit 63 Figuren

Leipzig G. J. Göschen'sche Verlagshandlung 1898

Alle Rechte, insbesondere das Uebersetzungsrecht von der V e r l a g s h a n d l u n g vorbehalten.

Druck und Einband von C a r l R e m b o l d & Co. in Heilbronn.

Inhalt. Seite L Abschnitt. Vorbereitung zur Differentialrechnung. § S § tj § § g §

l. 2. 3. 4. 5 6. 7. 8.

Kpnstante und veränderliche Grossen. Begriff der Funktion Einteilung der Funktionen Bemerkungen zu den transcendenten Funktionen . . Geometrische Darstellung d e r Funktionen . . . . Umkohrung der Funktionen Eindeutigkeit und Mehrdeutigkeit der Funktionen . . Grenzwerte der Funktionen Die Zahl e und die Summe der kten Potenzen der natürlichen Zahlen

§ % § §

9. Die Grenzwerte von -, -^- etc ' 10. Unendlich kleine Grossen lt. Quadratur einiger Kurven 12. Endlichkeit und Stetigkeit der Funktionen

.

.

.

9 10 12 17 20 24 25 27 31 33 35 40

II. A b s c h n i t t . Differenzen, Differentiale und Ableitungen erster Ordnung. § 8 § § § § § §

1 3 . Herleitung des Differentialquotienten . . . . 14. Geometrische Bedeutung des Dift'erentialquotienten . 15. Differentiation der einfachsten algebraischen Funktionen 16. Differentiation der elementaren transcendentenFuuktionen 17. Ableitung zusammengesetzter Funktionen der Elementar funktionen 18. Ableitung der Funktionen von Funktionen 19. Funktionen von der Form = cp(fc), y = (t) 20. Ableitung zusammengesetzter Funktionen von x. Par tielle Ableitungen 21. Ableitung implizit gegebener Funktionen

§ 22. Die logarithmische Differentiation § 28. Funktionen zweier oder mehrerer unabhängigen Verän derlichen. Totales Differential

42 43 45 47

50 53 55 56 58 59 60

6

Inhalts Verzeichnis. Seite

III. A b s c h n i t t . Ableitungen und Differentiale höherer Ordnung. § 24. Höhere Ableitungen explizit gegebener Funktionen . § 26. Höhere Ableitungen zusammengesetzter Funktionen der Elementarfunktionen § 26. Höhere Differenzen und Differentialquotienten § 27. Partielle Ableitungen höherer Ordnung § 28. Höhere Ableitungen implizit gegebener Funktionen Differentiation einer Gleichung § 29. Höhere totale Differentiale § 30. Begriff der Differentialgleichung

62 64 65 67 69 71 72

IV. A b s c h n i t t . Anwendung der Differentialrechnung zur Ermittlung der Grenzwerte unbestimmter Formen. § 31. Die unbestimmte Form —

74

§ § g §

76 78 79 80

32. 33. 3i. 35.

Die unbestimmte Form °£Die unbestimmte Form 0 . oo Die unbestimmte Form » — » Die unbestimmten Formen 0°, w°, l«

V. A b s c h n i t t . Konvergenz und Divergenz der Reihen. § 36. § 37. g 38. § 39.

Erklärungen Konvergenz der Reihen mit positiven Gliedern . . Konvergenzkriterien der Reihen mit positiven Gliedern Konvergenz der Reihen mit positiven und negativen Gliedern

8l 82 86 87

VI. A b s c h n i t t . Darstellung der Funktionen durch Potenzreihen. 8 40. Begriff der Potenzreibe § 4l. Eindeutige Darstellung der Funktionen in Potenzreihen § 42. Die Reihe von Maclaurin für Funktionen einer Veränderlichen § 43. Die Reihe von Taylor für Funktionen einer Veränderlichen § 44. Reihenentwicklung der Exponentialfunktionen a x und e * § 45. Reihenentwicklung der logarithmischen Funktionen . § 46. Reihenentwicklung der trigonometrischen Funktionen . § 47. Reihenentwicklung der cyklometrischen Funktionen . § 48. Die Reihen von Maclaurin und Taylor für Funktionen

zweier Veränderlichen

und y

89 91 91 93 96 97 99 101

105

Inhaltsverzeichnis.

7 Seite

VII. A b s c h n i t t . Maxima und Minima der Funktionen. §49. Maxima und Minima der Funktionen einer Veränderlichen 106 § 60. Herleitung des analytischen Kennzeichens von Maximum und Minimum 108 § 5l. Maxima und Minima von gebrochenen Ausdrücken . 111 § 52. Maxima und Minima einer Funktion von zwei unabhängigen Veränderlichen 113 § 53. Maxima und Minima mit Nebenbedingungen . . .116 g 54. Allgemeine Aufgabe über Maxima und Minima mit Nebenbedingungen 119

VIII. A b s c h n i t t . Anwendung der Analysis auf die Geometrie. § 55. Die Schnittpunkte einer Geraden mit der Kurve. Tangente und Normale § 5fi. Bestimmung der Asymptoten g 57. Länge der Tangente, Normale, Subtangente, Subnorraale g 58. Steigen und Fallen einer Kurvo. Maximal- und Minimalpunkte derselben § 69. Konvexität und Konkavität der Kurven. Wendepunkte derselben . § 60. Das Element und Differential des Bogens . S 6l. Die singulären Punkte einer Kurve g 62. Entwicklung des analytischen Kennzeichens für die Art eines singulären Punkts . . . . § 63. Das Problem der Berührung ebener Kurven g 6t. Der Krümraungskreis g 65. ßvolute und Evolvente § 66. Anwendung von Polarkoordinaten § 67. Beispiele für Polarkoordinatcn 8 68. Einhüllende Kurven 69. Anwendung der Differentialrechnung zur Quadratur der Kurven

123 125 128 130 131 135 137

139 145 148 154 158 162 164

168

IX. A b s c h n i t t . Anwendung der Differentialrechnung auf die Mechanik. § 7 0 . Geradlinige Bewegung eines Punktes . . . . 174 § 7l. Anwendung auf den freien Fall uud den senkrechten Wurf aufwärts . . . . 178 g 72. Krummlinige Bewegung eines Körpers . . . .180 § 73. Anwendung auf den schiefen Wurf 187

I. A b s c h n i t t .

Torbereitung zur Differentialrechnung. § 1.

Konstante und ver nderliche Grossen. Begriff der Funktion. 1. E r k l r u n g . Eine Grosse, welche nur einen einzigen bestimmten Wert hat, heisst k o n s t a n t . Man bezeichnet solche Grossen mit a; b; c, . . .; A; B, C; . . . ; « , β, γ . . . 2. E r k l r u n g . Eine Grosse, welche beliebig viele Werte annehmen kann, heisst eine ver n d e r l i c h e oder v a r i a b l e Grosse. Grossen dieser Art werden durch die Buchstaben x, y, z, . . . oder X, Y, Z, . . . oder |, η, ζ, . . . angegeben. 3. E r k l r u n g . Jeder Ausdruck, welcher konstante und ver nderliche Grossen in irgend welcher Verbindung enth lt, heisst eine F u n k t i o n dieser Grossen. Gew hnlich bezeichnet man die Punktionen symbolisch mit den Buchstaben f, φ, φ, . . . oder auch mit F, Φ, if, ... und versteht unter f (χ), φ (χ), . . ., F (χ), . . . Funktionen, in denen nur eine Ver nderliche χ enthalten ist, desgleichen unter f (x y), φ (xy), . . ., F (xy), . . . Funktionen, welche zwei Ver nderliche χ und y enthalten, etc.

10

Vorbereitung zur Differentialrechnung.

Hat man bei einer Aufgabe mehrere Veränderliche in Rechnung zu ziehen, so kann man einigen derselben willkürliche Werte beilegen und alsdann die übrigen durch diese ausdrücken. Die ersteren heissen in diesem Fall die u n a b h ä n g i g e n , diese die a b h ä n g i g e n Veränderlichen oder die F u n k t i o n e n der u n a b h ä n g i g e n . Erscheinen die ersteren in Funktion der unabhängigen aufgelöst, so heissen sie auch e n t w i c k e l t e ( e x p l i c i t e ) Funktionen der unabhängigen. So ist z = f (xy) = axa + b y2 eine entwickelte Funktion der unabhängigen Veränderlichen und y. In der Gleichung

f(»y.)-£+£-+*,'-1 = 0 dagegen sind die Veränderlichen xyz unentwickelt miteinander verbunden. § 2. Einteilung der Funktionen. Die Funktionen, mit denen wir es im folgenden zu thun haben werden, zerfallen in a l g e b r a i s c h e und t r a n s c e n d e n t e. E r k l ä r u n g . Eine algebraische Funktion ist eine solche, in welcher Veränderliche und Konstante durch algebraische Operationen — Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Radizieren, Potenzieren — verbunden sind. Man unterscheidet wieder e i n f a c h e und z u s a m m e n g e s e t z t e Funktionen dieser Art. Ist c eine Konstante und die Veränderliche, so sind c c,— c, c -f-x, c — x, ex, —, yx, x°

Einteilung der Funktionen. die einfachsten algebraischen Funktionen. sind die folgenden

11 Dagegen

^T, — + x2, etc. *

als zusammengesetzte Funktionen zu hezeichnen. Die algebraischen Funktionen zerfallen in r a t i o n a l e und i r r a t i o n a l e Funktionen und die ersteren wieder in g a n z e und g e b r o c h e n e rationale Funktionen. Der Ausdruck a0 + a, -f a2 x2 + . . . + aa xn ist eine ganze rationale Funktion, (a0 + a t x + a2 x2 -f . . . -f a m eine gebrochene rationale Funktion einer Veränderlichen x. Eine algebraische Funktion wird i r r a t i o n a l , wenn die Veränderlichen auch unter dem Wurzelzeichen auftreten. Beispiele: a

5 etc

"' ·

E r k l ä r u n g . Zu den t r a n s c e n d e n t e n Funktionen gehören: a) die Exponentialfunktionen ax, ex ; ß) die logarith mische Funktion log x (gelesen: Logarithmus von x im System mit der Basis a oder kurz im System a); ) die trigonometrischen Funktionen sin x, cos x, tg x, cot x; die cyklometrischen Funktionen arc sin x,

arc cos x, arc tg x, arc cot x.

12

Vorbereitung zur Differentialrechnung.

§ 3. Bemerkungen zu den transcendenten Funktionen. «) D i e l o g a r i t h m i s c h e n F u n k t i o n e n . E r k l ä r u n g . Ist eine Potenz b = aV gegeben und der Exponent y gesucht, so heisst diese Operation das L o g a r i t h m i e r e n . Die gegebene Potenz b ist der L o g a r i t h m a n d , der gesuchte Exponent y heisst der L o g a r i t h m u s , die gegebene Basis a der Potenz ay bildet die B a s i s oder G r u n d z a h l eines Logarithmeusystems. Wir erhalten aus obiger Gleichung durch Logarithmieren :

y - log b,

(i)

d. h. der L o g a r i t h m u s b f ü r die B a s i s a l o g a r i t h m ie r t giebt den Logarithmus. Setzt man aus (1) den Wert von y in die gegebene Gleichung ein, so folgt: alS8b = b (2) d. h. die Basis m i t dem L o g a r i t h m u s p o t e n z i e r t g i e b t den L o g a r i t h m and. Die Logarithmen aller Zahlen für eine bestimmte Basis bilden ein l o g a r i t h m i s c h e s S y s t e m . Hiebei ist die Basis selbst willkürlich. Nur muss sie die Eigenschaft haben, dass sie, mit beliebigen Zahlen potenziert, jede beliebige Zahl hervorbringt. Daher kann die Zahl l, wie auch jede negative Zahl nicht Basis eines Logarithmensystems werden. Aus der Gleichung (1) folgt für b = l, bezw. a =b. PL

&

log l = 0, bzw. log a = l, d. h. der L o g a r i t h m u s d e r Z a h l l ist f ü r j e d e s S y s t e m g l e i c h 0.

Bemerkungen zu den transcendenten Funktionen.

13

Der L o g a r i t h m u s der Z a h l a im System a i s t s t e t s g l e i c h 1. Logarithmiert man beiderseits die Gleichung x = ay , so folgt log = y ; andererseits ergiebt sich , wenn man die Basis c zu Grunde legt C C C log = log ay = ylog a, woraus folgt : ,c y = logx:loga Indem man beide Werte von y mit einander vergleicht, erhalten wir den wichtigen S a t z . n

log = log : log a (3) DerLogarithmus derZahl imSystema ist g l e i c h dem L o g a r i t h m u s von im System c d i v i d i e r t d u r c h den L o g a r i t h m u s von a im g l e i c h e n S y s t e m . Dieser Satz dient dazu, die Logarithmen für ein System (mit der Basis) a zu berechnea, wenn diejenigen im System c bekannt sind. So ist z. B.

log 3 = log 3: log 4 = 0,79239. In der elementaren Mathematik werden nur die g e m e i n e n oder b r i g g ' s c h e n Logarithmen gebraucht, deren Basis die Zahl 10 ist. Ausser diesem System kommt in der Analysis noch das n a t ü r l i c h e oder N e p e r sehe zur Anwendung, dessen Basis die irrationale Zahl e = 2,7182818 . . . ist, die wir in den folgenden §§ näher kennen lernen werden. E r k l ä r u n g . Setzt man in (3) c = e gleich der Basis des natürlichen Logarithrnensystems, so heisst loga der n a t ü r l i c h e L o g a r i t h m u s von a und wird allgemein mit la bezeichnet.

14

Vorbereitung zur Differentialrechnung.

Damit geht die Formel (3) über in lx i a X = ylog

Erklärung. Der reziproke Wert des natürlichen Logarithmus von a heisst der „ M o d u l des L o g a r i t h m e n s y s t e m s m i t d e r B a s i s a" u n d \vird bezeichnet mit TVr Ma — -

]a

ff\\ (5J

Satz. D e r L o g a r i t h m u s i r g e n d e i n e r p o sitiven Zahl im S y s t e m m i t d e r B a s i s a ist gleich dem natürlichen Logarithmus von m u l t i p l i z i e r t m i t d e m M o d u l Ma log = Ix Ma (6) Für die briggischen Logarithmen ist Ma = 0,43429448 ... ß) Die t r i g m o m e t r i s c h e n Funktionen werden gewöhnlich durch Strecken im Kreis vom Radius l dargestellt. 1st 0 A = l, so ist sin = B F, cos = 0 F, tg = A E, cot = G D In der Analysis dagegen werden die Winkel als Bögen in Teilen des Halbmessers ausgedrückt. Die Zahl x, durch welche die Grosse eines Winkels gemessen wird, ist eine absolute Zahl, nämlich die Längens ' *' zahl des zum Winkel gehörigen Bogens, gemessen auf einem Kreis vom Radius

Bemerkungen zu den transcendenten Funktionen.

15

1. Die volle Umdrehung, der Winkel von 360°, erh lt den Zahlenwert 2 π und der Winkel von 93° den numerischen Wert Ψ ISO Zu jeder Zahl χ geh rt alsdann ein sinus, cosinus, tangens, cotangens. Diese Funktionen nennt man trigonometrische. y) D i e c y k l o m e t r i s c h e n F u n k t i o n e n . Man kann auch umgekehrt χ als Mass einer trigonometrischen Linie betrachten und den zugeh rigen Bogen aufsuchen. Auf diese Weise gelangt man zu den i n v e r s e n Kreisfunktionen oder den cyklometrischen Funktionen y — arc sinx, y = arc cos x, y = arc tg x, y = arc cot x, die somit als die Umkehrungen von y = sinx, y = cos x, y = tg x, y = cot x zu betrachten sind. E r k l r u n g . Man versteht beispielsweise unter y =·· arc sinx (gelesen: arcus sinus von x) den Bogen (im Kreis vom Radius 1), dessen sinus gleich x ist u. s. w. Einige Beispiele seien hier angef hrt: 0 = arc (sin = 0), 0 = arc (cos = 1) oder allgemeiner n π = arc (sin = 0), 2 n π = arc (cos = 1), wo n eine ganze Zahl ist. Ferner ist

--- = arc (sin — 1) = arc (cos = 0), 2t

— - = arc f sin = ^j j = arc (cos = j/f J = arc (*g = 1) Satz.

Jede t r i g o n o m e t r i s c h e Gleichung

16

Vorbereitung zur Differentialrechnung.

k a n n in eine c y k l o m e t r i s c h e u m g e s e t z t w e r d e n und u m g e k e h r t . So zieht z. B. die Gleichung . (π \ sin l - Q — φ l = cos φ \^ l die cyklometrische nach sich

— — φ = arc (sin = cos ψ) und wenn wir cos ψ = χ (φ = arc cos χ) setzen, so folgt:

—- = arc sin χ -j- arc cos χ Λ

(δ)

Die Richtigkeit dieser Gleichung geht auch aus der Figur 2 hervor, in wel^ c h e r O A = l, PC = DO = x "i angenommen ist, denn hier^ · · i £ nii ist P A = arc sin x, P B = arc cos χ und

PA-f PB = -£,

. 2. Ebenso folgt aus 7t

tg — Λ

= cot 9

φ = arc (tg = cot φ) und wenn

cot φ = χ,

(xy) rationale oder transcendente Funktionen von bezw. und y sind. Beispiele von r a t i o n a l e n Kurven sind J u n k e r , Höhere Analysis. 2

18

Vorbereitung zur Differentialrechnung.

1. d i e g e r a d e L i n i e Fig.. 4, deren Gleichung auf die Form gebracht werden kann: — + -^-1=0 a + b l U} wo mit a und b die Strecken bezeichnet sind, welche von den A:xen abgeschnitten werden ·, 2. d i e E l l i p s e , bezw. H y p · e rb e l Fig. 5 und 6, deren Gleichumg Fig. 4.

Fig. 5.

- β·

Geometrische Darstellung der Funktionen.

19

3. das k a r t e s i s c h e B l a t t Fig. 7, dessen GHeichung ist:

Fig. 7.

4. die L e m n i s k a t e von B e r n o u l l i i. welche die Gleichung hat U.

Fig. 8

S. W.

Fig. 8-

Beispiele von transcendenten Kurven, bieten dar:

20

Vorbereitung zur Differentialrechnung.

1. die E x p o n e n t i a l f u n k t i o n y = ax, die l o g a r i t h m i s c h e F u n k t i o n y = logx; 2. die t r i g o n o m e t r i s c h e n F u n k t i o n e n y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = cot x; 3. die c y k l o m e t r i s c h e n F u n k t i o n e n y = arc sinx, y = arc cos x, y = arc tg x, y = arc cot x, deren Gestalt wir im nächsten § kennen lernen werden. Enthält eine Funktion drei Veränderliche x y z, so können dieselben als die rechtwinkligen Koor>.-'* dinaten x, y, z eines Punkts P im Kaum angesehen werden, dessen Entfernungen von den drei Koordinatenebenen (yz-Ebene, zx-Ebene, xyFlg 9< ' Ebene) eben durch x, y, z angegeben sind. Siehe Fig. 9. Dann stellt jede der Gleichungen z = f (x y) oder ( y z) = 0 eine Fläche dar, welche oo2 viele Punkte des Raumes enthält. Ein Beispiel hiefür bietet die Funktion dar, welche ein Drehungsperaboloid repräsentiert, das die xy-Ebene im Ursprung berührt und durch Fig. 20 veranschaulicht wird. § 5. Umkehrnng der Funktionen. E r k l ä r u n g . Löst man die Gleichung y = f (x,) in welcher bis jetzt y in Funktion von x ausgedrückt ist, nach x auf, setzt man also x = — — zweideutig 5 da man der Quadratwurzel a sowohl das positive als das negative Zeichen geben kann. Sie wird eindeutig wenn a + b = o oder =

ist und o-deutig für alle Werte von < . a a Für die rationalen Funktionen gilt der Satz. J e d e r a t i o n a l e F u n k t i o n i s t e i n e eindeutige Funktion. Beispiele von mehrdeutigen Funktionen bieten die irrationalen Funktionen dar.

Grenzwerte der Funktionen.

25

§ 7. Grenzwerte der Funktionen. 1. E r k l ä r u n g . Wenn eine veränderliche Grosse x sich mehr und mehr einer bestimmten Zahl a (0, l, 2, . . ·, ) nähert und ihr Unterschied von a schliesslich kleiner bleibt als irgend welche angebbare Grosse, so sagt man x habe den Wert a zur Grenze (limes) und bezeichnet diesen Prozess durch limes ( = a). Nähert sich dem Wert a; so nähert sich gleichzeitig auch jede Funktion f (x) von einer Grenze A und man drückt diesen Prozess aus durch

lim f (x)

= A,

d. h. f (x) erreicht die Grenze A, wenn x die Grenze a erreicht. A heisst der Grenzwert der Funktion f (x). 2. So ist beispielsweise lim (x5 + as)x = a = 2 a5, lim (x3 — a x)x = a = 0, 3. Ist ferner jt

i = n r2 sin — cos — n n der Inhalt eines in einen Kreis von Radius r beschriebenen regulären -Ecks (Fig. 14), so nähert sich derselbe um so mehr dem Inhalt J des Kreises, je grosser n wird, d. h. es ist J = limi

=r 2 limnsin — cos —

n— » Es seien noch folgende Sätze angeführt: 4. Satz: Der G r e n z w e r t der S u m m e o d e r d e r D i f f e r e n z z w e i e r o d e r m e h r e r e r Funk-

26

Vorbereitung zur Differentialrechnung.

tionen ist gleich der Summe oder der Differenz der Grenzwerte der einzelnen Funktionen. wo A, B, C, ... dift Grenzwerte von f, φ, ψ>, ... bezeichnen. — Ebenso gilt der 5. Satz: Der G r e n z w e r t des P r o d u k t s , b e z w . Q u o t i e n t e n z w e i e r F u n k t i o n e n i s t gleich d e m P r o d u k t , bezw. Q u o t i e n t e n der G r e n z w e r t e der beiden Funktionen. lim f(x) b>0 und ist n eine ganze positive Zahl, so ist o enbar: an + i _ bn +1

somit auch a n-M_bn

+ i < (a—b)(n Setzt man hierin im Einklang mit der Bedingung (2)

n' so folgt nach einiger Umformung:

28

Vorbereitung zur Differentialrechnung.

(4) ein Ausdruck, der zeigt, d a s s in d e r R e i h e der Zahlen ala2a3... jede folgende grosser ist als die vorhergehende. Setzt man andererseits ebenfalls in Uebereinstimmung mit (2)

• = 1 +i? b =1· so geht die Ungleichung (3) über in / l \n / 1

< 2 oder

2n

1

Diese Formel zeigt, dass, wie gross auch n wachsen möge, keine der Zahlen at a2 a3 . . . den Betrag 4 erreicht. Wir schliessen deshalb, dass der Ausdruck / l \n H _i n-- für ein unendlich wachsendes n sich mehr \ / und mehr einer zwischen 2 und 4 liegenden Grenze nähert. Diese Grenze wird allgemein mit dem Buchstaben e bezeichnet. Satz: U n t e r d e r Z a h l v e r s t e h t man den G r e n z w e r t , gegen w e l c h e n der A u s d r u c k / l \n \l-\ - - f ü r n = oo o d e r a u c h d e r f o l g e n d e \ n/