Grundzüge und Aufgaben der Differential- und Integralrechnung nebst den Resultaten [24., verb. Aufl. Reprint 2020] 9783112313138, 9783112301869

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H.DÖLP

UND E.

NETTO

GRUNDZÜGE UND A U F G A B E N DER D I F F E R E N T I A L UN D I N T E G R A L R E C H N U N G N E B S T DEN R E S U L T A T E N

24., verbesserte Auflage

VERLAG A L F R E D TÖPELMANN, B E R L I N 30 1964

INHALT Differentialrechnung Funktionen einer unabhängigen Variablen

1. Zusammenstellung der Differentialquotienten der einfachen Punktionen 2. Funktion eines reellen veränderlichen Differentialquotienten . . 3. Aufgaben zur Differentiation algebraischer Funktionen 4. Differentialquotienten der trigonometrischen und zyklometrischen Funktionen 5. Exponential- und logarithmische Funktionen 6. Unentwickelte Funktionen 7. Funktionen von der Form: x = (t) 8. Differentialquotienten höherer Ordnung 9. Anwendung der Differentialrechnung zur Ermittlung von Grenzwerten 10. Maxima und Minima von Funktionen 11. Die Reihen von Taylor und Maclaurin Funktionen von zwei unabhängigen Variablen

12. Entwicklung der Differentialquotienten 13. Maxima und Minima von Funktionen mit zwei unabhängigen Variablen « 14. Homogene Funktionen 15. Die Reihen von Taylor und Maclaurin für Funktionen mit zwei unabhängigen Variablen

gelte

3 4 20 25 32 39 44 47 54 61 85 94 96 99 100

Integralrechnung 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Unbestimmte Integrale

Die einfachen Integralformen Integration rationaler Funktionen Reduktionsformeln Algebraische Funktionen Exponential- und logarithmische Funktionen Trigonometrische und zyklometrische Funktionen

103 110 131 133 149 152

Bestimmte Integrale

1. 2. 3. 4. 6. 6. 7. 8.

Anwendung der Dilterential- und Integralrechnung au! Geometrie

Tangente und Normale ebener Kurven 169 Doppelpunkte, Rückkehrpunkte, konjugierte (isolierte) Punkte 175 Krümmungskreis und Evolute 179 Die Wende- oder Inflexionspunkte 186 Der Flächeninhalt begrenzter Figuren 189 Rektifikation ebener Kurven 195 Die Oberfläche von Rotationskörpern 198 Der Kubikinhalt von Rotationskörpern 200

Differentialrechnung Funktionen e i n e r unabhängigen Variablen § 1. Zusammenstellung der Differentialquotienten der einfachen Funktionen dy — dx

y = axn * a V

® =-=xn = ax~n

nax"-1

dy -f- = dx

na n+1 = xrxr

„ , —nax-'1-1 1

«=oV®=ox» " '

d

Ji=?Ln)/ dx nxi-n'

=

~ = — a "l/x^" dx n ' dy dx

y =|/a y ~

dy

e

y=ax

= —- axn n

2

Tx=e

—8111

y = cotg®

| =

_ -

y — arc sin x

dy = da;

1_ /HZ

y = arc cos x

dy dx

i»

1

1

=

dy = dx dy -f- = dx dy dx=

— sin x

y =

n

g = «Mg a

y = Ina; y a

l an x

COS

X

l_ x cos x

I

X

l _ = _ i - c o t g ^

j/x _

4 y = arc tg x y = arc cotg x

dy __ ^ dx 1 + x2 dy = 1_ dx 1 + xl'

y = sinh x

^ = cosh x (vgl. S. 92)

y = cosh x

^r = sinh

y = arsinh x

dx dy =

y = arcosh x

dx

*y= dx

x

1 1 x1 +|/l + .. \/x* - 1

§ 2. Beeile Funktionen reeller Veränderlicher. Differentialquotient A. F u n k t i o n s b e g r i f f I. E i n d e u t i g e F u n k t i o n e n e i n e r V e r ä n d e r l i c h e n . Unter einer e i n d e u t i g e n (reellen) F u n k t i o n f(x) der (reellen) unabhängigen V e r ä n d e r l i c h e n oder V a r i a b l e n x verstehen wir eine Vorschrift, derzufolge jeder Zahl x aus einer gewissen Menge D reeller Zahlen eine reelle Zahl f(x), der sogenannte W e r t der Funktion, zugeordnet wird; D heißt der D e f i n i t i o n s b e r e i c h der Funktion. B e i s p i e l e : (1) Die K o n s t a n t e n . Das sind diejenigen Funktionen, bei denen allen x der gleiche Wert, etwa c, zugeordnet ist, also f(x) = c für jedes x aus D. (2) Die P o l y n o m e . Als Polynome 0-ten Grades bezeichnet man die Konstanten. Für k Si 1 bezeichnet man als Polynome A-ten G r a d e s die Funktionen a0 + axx + • • • + wobei a 0 , . . ., ak (reelle) Zahlen (Konstanten) und ak 4= 0 ist. Der Definitionsbereich eines Polynoms kann als die Gesamtheit aller reellen Zahlen angenommen werden. Spezialfälle: Für k = 1 hat man die l i n e a r e n Funktionen o 0 + axx, für k = 2 die q u a d r a t i s c h e n . (3) Als r a t i o n a l e Funktionen bezeichnet man die Quotienten Z(x): N(x) aus je zwei Polynomen Z(x) und N(x). Weil m i t N u l l n i e m a l s d i v i d i e r t w e r d e n d a r f , enthält hier der Definitionsbereich D nur solche x, für die N(x) 4= 0 ist; insbesondere kann nicht N(x) = Konst. = 0 sein. Beispiel: Z(x) = 3 + 2x,

5 N (x) = 1 — 2x2 + .r 4 ; hier gehören x = nicht zum Definitionsbereich D. (4) S i n u s und K o s i n u s . f(x) = sin x ist für alle x erklärt. Da aber der Sinus p e r i o d i s c h , d. h. da sin x = sin (x + 2fcr) ist für i = 0, i 1, i 2 so braucht man sin x nur für alle x mit 0 x < In zu kennen. Das gleiche gilt für cos x. (5) T a n g e n s und K o t a n g e n s . Es ist tg x = sin x : cos x 1 3 2 k 4 - 1 JT nur für a; #= ± y 7r, zb y ^ » • • ± 2 ' ' " ' definiert, w e ü der 2k + 1 Kosinus für ^ - 2 - n Null ist, k = 0, 1, 2, . . . . Für welche x ist ctg x = cos x : sin x definiert ? II. M e h r d e u t i g e F u n k t i o n e n e i n e r V e r ä n d e r l i c h e n . Neben den eindeutigen (Ziff. I.) begegnet man auch mehrd e u t i g e n (mehrwertigen) Funktionen / (x); bei diesen sind also einzelnen oder allen x m e h r e r e Werte zugeordnet. Beispiel: f(x) = )Jx. Hier muß zunächst x 0 «ein (denn für x < 0 wird die Wurzel imaginär, während wir es nur mit reellen Funktionen zu tun haben); für x > 0 kann j/a; sowohl positiv als negativ genommen werden, während für x = 0 Null der einzige Wert ist. — Andere Beispiele mehrdeutiger Funktionen treten bei den impliziten Funktionen auf (vgl. Ziff. IV.). I I I . F u n k t i o n e n von m e h r e r e n V e r ä n d e r l i c h e n . Entsprechend wie die (reellen) Funktionen von e i n e r (reellen) Veränderlichen werden die Funktionen von n ^ 2 (reellen) Veränderlichen erklärt. Es genügt, den Fall n = 2 zu besprechen. Der ganze Unterschied gegenüber dem Fall einer Veränderlichen (n = 1) besteht darin, daß für n = 2 der Definitionsbereich D der Funktion nicht mehr eine Menge von Zahlen x, sondern von P a a r e n (x, y) von Zahlen x, y ist. Man bezeichnet demgemäß die x und y als die (unabhängigen) Veränderlichen und die Funktion selbst mit f(x, y), g(x, y) usw. Im Fall n = 1 veranschaulicht man sich die x als P u n k t e auf der (Zahl-)Geraden, im Fall n = 2 die Paare (x, y) als Punkte auf der x, y-Ebene. B e i s p i e l e : (1) f(x, y) =~i

+

. wobei a =)= 0, b =)= 0. Der

Definitionsbereich ist hier die ganze Ebene. — (2) g(x, y) = x : y. Hier ist der Definitionsbereich die Ebene mit Ausnahme der Geraden y = 0 . — (3) Während die Beispiele (I) und (2) ein-

6 deutige Funktionen liefern, ist h(x, y) = J / x : y

zweiwertig

IV. Unentwickelte Funktionen. Bei gegebener Funktion / (x, y) kann man nach allen Paaren (x, y) des Definitionsbereiches D fragen, für die f(x, y) = 0 ist. Vermöge dieser Gleichung f{x,y) = 0 werden jedem (in Betracht kommenden) x eine oder mehrere y zugeordnet, nämlich alle y, für die f(x, y) — 0 ist. Dadurch wird y als Funktion von x erklärt, in Zeichen: y =F(x). Die Bestimmung von F(x) entspricht der „Auflösung" der Gleichung f(x,y) = 0 nach y. Man sagt auch, durch /(x, y) — 0 sei y implizite als Funktion von x erklärt oder y sei implizite oder unentwickelte F u n k t i o n von x. Ist speziell f(x, y) = y — g(x), also y =g{x), so heißt y e x p l i z i t e oder entwickelte Funktion von x. B e i s p i e l e : (1) Für f(x,y) = ( 1 +x2)y—c ist F(x) = c : ( 1 + « 2 ) eindeutig für alle x. (2) Für f(x, y) = ^ + f ! + c, a # = 0 , 6 + 0, ist F(x) = — [/ — ca2 — x1 nur für c iS 0 erklärt (nämlich reell), für c = 0 muß x = 0 sein, für c < 0 muß x2 —ca 2 sein. B. D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t I. D i f f e r e n z e n q u o t i e n t . Bei gegebenem f(x) kann man für beliebige x, x1 mit x =)= x1 den D i f f e r e n z e n q u o t i e n t e n Vi —V _/(si) - fix)

^

bilden, wobei y1 =f(xi) und y =f(x) ist. Übrigens gilt bei Vertauschung von x1 bzw. y1 mit x bzw. y stets y — yi _ X CCj

Vi - y »Uj ~ cc

Die im Zähler und Nenner auftretenden Differenzen kürzt man auch so ab: Af = Ay = y1 — y und Ax — xx — x. Der Differenzenquotient schreibt sich dann (la)

^=4y=/(*+^)-/(») Ax

Ax

Ax

wobei

^

+

Der Differenzenquotient liefert das Verhältnis des Zuwachses der abhängigen zum Zuwachs der unabhängigen Veränderlichen. Wir wollen den Differenzenquotienten auch geometrisch repräsentieren. Zu diesem Zwecke erinnern wir an die aus der

7 analytischen Geometrie her bekannte Darstellung der Funktion y =f(x) durch eine Kurve in der ««/-Ebene. Die Abszisse OQ eines Kurvenpunktes P gibt den Wert der Veränderlichen x und seine Ordinate QP den Wert der Funktion f(x) an. J e nachdem f(x) ein- oder mehrwertig ist, gehören zu der Abszisse x eine oder mehrere Ordinaten y. Der Punkt P der Kurve möge die Abszisse x und die Ordinate y besitzen. Wir schreiben dies kurz P = (x, y). Ebenso sei P1 = (xlt yx) = (x + Ax, y + Ay). Dann ist PR = QQt = x1 —x = Ax und P j Ä =yi~y=Ay (vgl. Fig. 1), und wir erhalten Ay f(x + Ax) - f(x) . = —-KPWir können tg ß in einfacher und verständlicher Art das S t e i g u n g s m a ß der Geraden SPPX nennen. Dann sieht man:

Der D i f f e r e n z e n q u o t i e n t (1) oder (la) g i b t das S t e i gungsmaß der S e k a n t e P P 1 an, welche zu den K u r v e n p u n k t e n P = {x, y) und Px=(x + Ax, y + Ay) gehört. 1. B e i s p i e l : y —ax*, yx —ax\\ Au Vi — V 2? — x2 . . - =a— —a(x1 + x). AOZ X^ X ^ —X 2. B e i s p i e l :

y = j/a;, y1 = \/x1;

1 dy _V\ — V __ — V* _ Ax xt- x xx-x ~ yx1 + ]/x'

8 II. G r e n z w e r t e . Wir wollen nun in der Figur den Punkt /', auf der Kurve unbegrenzt dem als fest angenommenen Punkte P sich nähern lassen. Um richtige analytische Einsicht in diesen Prozeß zu gewinnen, müssen wir einige neue Begriffe einführen. Sieht man bei einer reellen Größe a von dem Vorzeichen ah, so spricht man von ihrem a b s o l u t e n B e t r a g e ; beispielsweise haben + 1 und — 1 den absoluten Betrag 1. Der absolute Betrag von a wird durch \ a \ bezeichnet. Genauer: Es ist |a| = a, falls aj> 0, und |r/| =r-. -n, falls a < 0. Demzufolge gilt: |a| = 0 nur für a -- 0, sonst |«| > 0; ferner |o,| — | — a\ und |rtft] = |a|-]fc] sowie die wichtige (,,Dreix0 = —oo oder auch f(x) i oo für x -* x0, wenn f(x) beliebig große Werte besitzt, falls x hinreichend nahe bei x0 liegt (genauer: wenn zu beliebigem M > 0 bzw. < 0 ein ö (M) existiert derart, daß f{x) > M bzw. f(x) < M, falls nur 0 < \x — x0\ • x erhält man (4)

!=»«*"-x

+ ••• +

xn^).

12 Wird n = 0, so ist y =a, d. h. eine Konstante, und daher auch y1 — a. Die Differenz Ay ist mithin gleich Null, und ebenso ist der Differenzenquotient Ay: Ax = 0. Geht man zur Grenze über, so folgt ^ = 0, wenn y = a = Konstante. Die Richtigkeit dieser Formel läßt sich auch an der Funktionskurve ablesen, die für y = konst. eine zur x-Achse parallele gerade Linie ist, deren Tangente in jedem Punkte mit ihr zusammenfällt. Deshalb ist a = 0, tg a = 0. Wir zeigen weiter, daß (4) auch für negative ganze Zahlen n gilt. Wir setzen: 2 / = — = ax~n (n ganz und positiv) und finden ähnlich wie oben dy x? — hm a dCC = lim ~

1 xn — a x, — xn = hm -¡¡-^ • 1 X «Cj Ou X^ ~~ X (x?- 1 + x ^ x + • • • + x"-!).

Für xY ->• x erhält man, einem negativen n in (4) entsprechend: ~ = — ax

nax~n~x.

V. 2. U m k e h r f u n k t i o n u n d i h r e A b l e i t u n g . D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t der P o t e n z f ü r gebrochene E x p o n e n t e n . Die Ableitung der Potenz xi, wo q ein Bruch ist, ergibt sich aus einem allgemeinen Satz. Dieser bezieht sich auf die sogenannte U m k e h r f u n k t i o n (auch Umkehrung oder urngekehrte Funktion) cp{y) einer vorgegebenen Funktion f(x), nämlich auf die durch y — f(x) = 0 implizit gegebene Funktion x =

und z selbst wieder eine Funktion von x, etwa z = g(x), so folgt aus y = f ( g ( x ) ) =h(x), daß y auch eine Funktion von x ist. Zu den Werten x, x1 mögen die Werte y, y1 und z, zx gehören. Wir setzen: x1 — x = Ax, yx — y = Ay, z1 — z = Az, und nehmen an, daß Az =)= 0 sei; dann ist identisch: Ay Ax

Ay Az

Az Ax'

und nach dem Satze vom Grenzwert eines Produktes ergibt sich 1 ) die sogenannte K e t t e n r e g e l : dy__dydz_ dx dz dx '

I s t y e i n e F u n k t i o n v o n z, u n d z s e l b s t e i n e F u n k t i o n v o n x, so i s t d e r D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t v o n y n a c h x g l e i c h dem P r o d u k t e aus dem D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t e n von y n a c h z in d e n D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t e n v o n z n a c h x. B e i s p i e l : y = (ax)2 = z2, wenn z = ax gesetzt wird; ^ = 2 z, dz

P = a ; dx

^ = 2 z - a = 2 a * x . dx

Aus y —a2x2 erhält man denselben Wert. Die Regel (6) bleibt auch richtig, wenn Az = 0 f ü r beliebig kleine dz Ax =1= 0 a u f t r i t t ; es ist d a n n -¡- = 0 . dx

15 Die Formel (6) erweitert sich dadurch, daß wir annehmen, es sei: y = f ( u ) , u = u' —

t/ = 1,

2

V

, _ 2x(x — a) — 1 • (x — a ) {x - a)2 2

_

'

Aus der reduzierten Form y =x + a entsteht derselbe Wert. Einfacher kann der Differentialquotient eines Quotienten aus demjenigen eines Produkts hergeleitet werden. Ist nämlich u

• j.

>

t

y = — , so ist u — yv, u =vy « y 2

Dölp-Netto

,

u —V yv

U — •— Vv

,

/

+ yv ,

, V

,

u v V—2 uv

,

18 Die abgeleiteten Theoreme über die Differentiation rational zusammengesetzter Funktionen sind besondere Fälle eines allgemeinen Satzes, zu dessen Herleitung wir nun übergehen wollen, nachdem noch eine neue Bezeichnung eingeführt worden ist. Bedeutet f(u, v) eine Funktion zweier Variablen u, v, so kann die Differentiation entweder nach u vor sich gehen, wobei v als konstant angesehen wird, oder umgekehrt nach v, wobei u als konstant gilt. Eine solche Differentiation nach einer der beiden Variablen heißt p a r t i e l l e D i f f e r e n t i a t i o n , und ihr Resultat ist der p a r t i e l l e D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t n a c h u oder n a c h v. Um darauf hinzudeuten, unterscheidet man diese Operation durch Benutzung eines runden d von dem t o t a l e n Differentiieren und schreibt 8ßu,v) __ , f(u + Au, v) - f(u, v) Au du ~um 8f(u, V) _ y /(«. V + Av) — f(u, v) 8v Av Wir gehen jetzt zu dem angekündigten Satze über. Es sei y — f (u, v) und hierbei u und v Funktionen von x, etwa u = 9 o ( x ) und v = ip (x).

Es soll ^ bestimmt werden. Zu den

Werten x und x1 möge u, v, y und

vy, y1 gehören. Dann ist

2/1- 2/ i,»i) - /(M, v) ~~ ZC «Cj oc _ / ( « ! . "1) - /(". »l) + /(". ^1) - /(«. ») x1 — X U — /("l' "l) — f( > "1) ui - u + /(". "1) - f(u> v) vi - V Dabei ist ux—u =)= 0, v1—v =)= 0 angenommen (vgl. aber Fußnote Seite 14). Läßt man x1 gegen x und damit vlt yx gegen u, v, y gehen, dann wird u, — u du .. v, — v dv ,. y, — y dy lim = j- , lim = -r- , lim — — - = -f , x1 —x dx xx — x dx x1 •— x dx ü m /("> "1) ~ f( u ' v) V-L — V

=

öJS u ' v ) . 8v '

dagegen ist der Grenzwert des ersten Quotienten auf der rechten Seite der letzten Gleichung nicht unmittelbar ersichtlich. Aber in

19 allen für uns später in Betracht kommenden Fällen gilt (wie hier nicht bewiesen wird): /(«i,«i) -/(«."i) ux — u

lim

_

lim/(«i,v)

- /(«» v) u± — u

df(u, v) du

=

Daher erhalten wir (10) ^ '

^ dx

dj(u,v) dx

8f(u,v)du du dx

df(u,v)dv dv dx

dy du du dx

dy dv dv dz '

Diesen Ausdruck nennen wir den t o t a l e n D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t e n v o n y n a c h x. Wir sehen: S i n d u u n d v F u n k t i o n e n v o n x, u n d i s t y e i n e F u n k t i o n v o n u u n d v, so d i f f e r e n z i e r t man diese t o t a l n a c h der v o r s t e h e n d e n F o r m e l durch Verwendung der partiellen D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t e n d e r F u n k t i o n n a c h u u n d v. 1. B e i s p i e l : Sind u und v zu einer Summe oder Differenz Qi

verbunden, »unden, so ist y — /f (u, v) — u ± v, — = 1,

p.1

— = i

1 und

g ± £ - (dx' V g l . Formel 7. dx = i dx 2. B e i s p i e l :

Ist y = f (u, v) — u • v,

3. B e i s p i e l : df

die

u

dy

Ist 1 du

y = / (u, v) = u dv

so wird -J- = v,

, so wird

vu' — uv'

,

/TT

=

>

_

4. B e i s p i e l : Wenn y eine Funktion nur von u ist, indem andere Variable v ganz fehlt, dann fällt in (10) der vi

zweite Teil der rechten Seite fort; ferner ist ~ mit

oder

.

Für

y = f (u),

gleichbedeutend

u = rp (x) finden

wir

dann:

«h

E s erübrigt uns jetzt noch zu zeigen, auf welche Weise (10) erweitert werden kann. Aua den drei Funktionen von x, nämlich u = cp(x), v = ip(x), w = Q (X) setzen wir die Funktion y —f(u, v, w) zusammen, legen der unabhängigen Variablen x die Werte x und xt bei, bilden die entsprechenden Funktionswerte:

2«

u

= (p{x),

ui

=

v =f(x),

7 (^i) > vi=f(xi)>

w

=o(x),

Wi=Q(Xi),

y

—f(u,v,w) yi=f(wvv1,w1)

20 und daraus den Differenzenquotienten: y-i — y _/(«i, i>i,u>i) — t(u, v, u>) X^ X «ij 2? den wir, um ihn für den Grenzübergang geeignet zu machen, folgendermaßen umgestalten, wobei mx — w =j= 0, v t — u =f= 0, wx — w 4= 0 vorausgesetzt wird. (Vgl. aber Fußnote 1 ) Seite 14.) —

Vij- y

_

/(%.

Vy v>i)

— /(", fi,

— M

11 iij ~ X /(tt, Vlt Wj) — f(u, V, Wj) V f{u, V, Wj) — f(u, V, w) U>1 — w W vt — V %— X 1 —w xx — X ' Geht jetzt in x über, so verschwinden zugleich die Differenzen (y1 — y), («j — u), (v1 — v), (wi — w) und die drei aus Differenzen der Funktionswerte bestehenden Zähler, und die Betrachtungen, welche oben zur Formel (10) führten, ergeben hier Wj ~

(10a) '

dx

du dx

8v dx

+

8w

dx

A l g e b r a i s c h e u n d t r a n s z e n d e n t e F u n k t i o n e n . Eine Funktion f(x) heißt a l g e b r a i s c h , wenn es eine natürliche Zahl nl2i 1 und Polynome a0(x), . . ., an(x) gibt, wobei an{x) nicht konstant gleich Null ist, derart, daß a0(x) + a1(x)f(x) + a2(x) {i(x)f + • • • + a„(x) (/(*))» =0 für alle x des Definitionsbereiches. Funktionen, welche nicht algebraisch sind, heißen t r a n s z e n d e n t e F u n k t i o n e n . Insbesondere gehören hierher die Exponentialfunktionen ex und ax nebst ihren Umkehrungen lg x und a log x oder L g « ; ferner die trigonometrischen Funktionen sin«, cos x, . . . und als deren Umkehrungen die zyklometrischen Funktionen arc sin x, arc cos x (Auf Beweise für diese Behauptungen muß hier verzichtet werden.) § 3. Aufgaben zur Differentiation algebraischer Funktionen

2 )y=ax 3) y — ax + b

g = o di~a

21 ¿y

à) y — ax2 5) y =

2x3

5x3

—

8) y =a

+

+

=

2) y = YS

=

3) y =

Y ü

^

1

=

T

5) y =

x

= *

-è

5 Y»» ]/x ®

y¿ 19

dy dx

=

6x2

=

26 +

2cx

—a =

-4a ' X6 '

dy dx

1 2 j/i

dy dx

2 1 3 ' y¿

dy dx

1

6) y =x3

cz2

dy dx dy dx

9) y = — =

1) y = ]/x

2 ax

cfy 20 a x* drr = -15a; 2 a áx

6) y — 4ax5 7)2/=-

—

=

«

'

dy dx

1 1 2 ' |/ía

dy dx

3 1 20 ' ' Y ^

dy dx

=

dy dx

7 a 2 ' ^

dy &

11 6

1 yxvt

)y=x]/x~Yx =

g = 4

y I "

Die nächstfolgenden Beispiele werden durch Einführung einer Zwischenvariablen z nach der unter (6) angeführten Formel differenziert: dy dx

dy dz dz dx

22) y = [a + bx)2 = z2

dy dx

•• 2b(a

23) y =

g

21) y =f(z),

z=

24) y = (a + 6 a;2)2

g=4bx(a

25) y = (a — bx3)5

g = _15

26) y = (a + x*)3

dy = 6x (a + x2)2 dx

27) y =

dy _ 3 ( a s — 1)» x4 dx

(«-!)

3

28) y = (o +

+

cx2)n

+ bx*) bx^a—bx3)*

jL = n (a + bx + ex 2 )"- 1 • (b + 2cx)

1 29) y — a -f- bx

dy _ —b dx (a + bx)*

1 30) y = (a — b x2)3

dy dx

6 bx (a — b x1)*

dy dx

pnxf (b - xP)n+1

31) y =

1 (b — xP)n

dy

dy _

33) y = \/a + bx = zi

dx

34) y =

dx

dy __

]/2px

dy __

35) y = | / / ( i j 36) y =

dx

I f/a — bx

4 9 x3 ~t" (1 - x)1

=

dy _ dx

2

b Ya + b x V ]/2px f'(x)

2 yi(x) b 2 f(a ~ bx f

23 dj/ — fix ^ ~~ I « - fcx2 a+ x dx | 2 y = s,'l 1 usw. Es gilt sogar Hm ax = + oo und lim ax = 0 für a > 1; denn an wird für hinreichend große X—— oo natürliche Zahlen n beliebig groß, also a~n = 1 : an beliebig klein, x x = + oo und ax ist monoton. Entsprechend ist hm lim a— + ®a — 0 bzw.X—*• 00 für 0 < a < 1. Beachtet man, daß ax monoton ist, so folgt jetzt:

ax (für 0 < a, a =)= 1) d u r c h l ä u f t alle positiven reellen Zahlen genau einmal, wenn x alle reellen Zahlen genau einmal d u r c h l ä u f t . Genauer: Bei festem a gibt es zu jeder positiven Zahl y genau eine reelle Zahl x = x(y) derart, daß y = ax. Dieses x(y) ist aber die U m k e h r f u n k t i o n «log y vony = ax, wobei also stets y > 0 sein soll. Es heißt "log y der L o g a r i t h m u s von y zur B a s i s a > 0 und y der Numerus. Aus dem obigen folgt insbesondere, daß "log y alle reellen Zahlen genau einmal d u r c h l ä u f t , wenn y alle positiven Zahlen genau einmal durchläuft und daß lim "log y = + oo und Hm "log y = — oo, wenn a > 1. +® v- 0 und x = "log ax für jedes x. Rechenregeln. Für ax gelten die — im Falle, daß x ein Bruch ist, wohlbekannten — Rechenregeln (I) a° = 1; (II) «*'+*» = ax' • ax>\ (III) (a*0*a

=ax'V

33 Daraus folgt für den Logarithmus (I') «log 1 = 0; (IT) " l o g y 2 = a l ° g V i + a l ° g y , l (III') "log (y«>) = Vi "log yx. Der Z u s a m m e n h a n g z w i s c h e n E x p o n e n t i a l f u n k t i o n e n bzw. L o g a r i t h m e n v e r s c h i e d e n e r B a s e n ist — wie sogleich zu beweisen — folgender: (IV) a* = bx (IV') "log y = ("log b) • »log y;

° und (V') "log 6 = 1 : »log a.

B e w e i s . Aus ax = b* folgt »log (b*) = z = »log ax — x »log a. Aus "log y = w "log b folgt "log y = "log bu, also u = »log y. Und (V') folgt aus (IV') für y —a. D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t von E x p o n e n t i a l f u n k t i o n u n d L o g a r i t h m u s . Ohne Beweis benutzen wir im folgenden, daß a* an der Stelle x — 0 differenzierbar und daß die Ableitung in £=0 nicht Null ist. Aus (II) ergibt sich nun ax+Az—ax — (aAx-a°)ax. Dividiert man mit Ax, so liefert der Grenzübergang für Ax 0, d a ß ^ - =qaax, wobei qa — ^ ^ r j Q die Ableitung von ax an der Stelle x — 0. Wegen (IV) ist andererseits

= (q6 • »log a) • ax.

Somit qa = qt »log a. Zu gegebenem b, also auch gegebenem qb gibt es nun genau ein a, für welches qa — 1, also 1 = qb »log a; denn »log a durchläuft alle reellen von Null verschiedenen Zahlen genau einmal, wenn a alle positiven von 1 verschiedenen Zahlen durchläuft. Wegen qa = qb »log a — qc "log a ist dieses a (mit qa= 1) unabhängig von dem zugrunde gelegten b. Wir b e z e i c h n e n dasjenige a, für welches qa = 1 ist, m i t e und ex als die n a t ü r l i c h e E x p o n e n t i a l f u n k t i o n , entsprechend den Logarithmus zur Basis e als den n a t ü r l i c h e n L o g a r i t h m u s u n d m i t l g x , also lg x = «log x. Es gilt mithin (19)

(19a)

*£=(]go)a«.

Für den Logarithmus lg y als Umkehrfunktion von ex ist die Ableitung gleich 1 : ex, wobei ex = y. Also ( 20)

*M = L (20a) i ^ K l = e 1— = _ J _ . dy y dy y \oga y lga Wegen xT = e rlg:r für x > 0 und b e l i e b i g e s r e e l l e s r folgt aus (19) noch der D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t d e r P o t e n z 3 Dölp-Netto

34 dxr — dx

(19a)

=

xT

1 • r •— x

. , rxr~1.

=

A n m e r k u n g . Es ist

(T

\

CC

1 +

+

It2 + ' "

+

1 • 2 •... • J ' al8°

e = 2,718 281 828 459 . . . = Um (l + ^ + • • 1 (vgl. Aufgabe 423, S. 88).

1•2•

Aufgaben 129)

y

=

130)

y

=

dy

eax

=

e*

ax

e~ax

aeax

—

=

— a e ~

a x

X 131)

y

132)

y

133)

y

ax

= a e °

dx

exx

=

dx dy

=

y

dx

9in

=

^ dx

'*

e

dx

x2ex

y

=

138)

y

=ex{x

139)

y

=

140)

y

=

d

142)

y

y

=

=

a

\e"

cos

earc tg x =

z2

1 +

£ = x e

dy

x

( 2 + x )

(x

+

n)

exxn

dx 2x

+

IX

141)

x

dx

exx"

—

s i n 2xesiD'

^ =a;e I

1)

—

(x2

=

dy

136) y — e w c t i I 137)

~

^ = — sin x ecos a

134) y = ecosx 135)

ae2

dx

+ e~ xe*'

mx

2) X \2

dx dy dx dy dx

a — 2 \e — e 2

°j

= (cos x — sin x) e"in x

143) y = e2* sin 2 x

g = e 2 l ( 2 sin 2 « + sin 2x)

144) y

dy ex(x — dx ~ i"

«i _ i 145 ) » = 5 r + ï

dy _

2 e1 dx — (e* + l) 2 dy _ e x | V + (a — w)8] da; — xn+1

1 4 6 ) 2 / = ^ = ^ 1 4 7 ) y = j/ë®*

fc

148) y = |/x(e* + 1)

dy

a^x

dx

-x"

cos2 a;

= p(amx

+ b)v-lamxrn

^ = a 1 « " - 1 (a + x lg a) ^

154) y = lg (a") = n • lg x

dy dx

155) y = l g i - =

dx

—lg«

157) y = (lg x)n = zn

dy dx

159) y = lg x + lg x2 = 3 lg x 160) y = l g ( l — z 2 ) = l g z +

a —x n x

dx

^ =

158) y = lg ( ¿ ^ J

L_

=

156) y = lg (ax) = lg a + lgz

161) y = lg ( l

xJ^+ï-lga

dx ~ yx2 + i dy aH » lg a

153) y = l g ( a —

3*

e«(a: + l) + l 2 Yx (ex + 1)

dx

151) y = (a"1* + 6)p 152) y =ax

2 y* =

dy _

149) 150) y =

M)

dx

x

1

x

w(lg x)" - 1 x

dy= l_ dx a+ x dy dx x dy __ 2x dx~~~~ 1 - x 2 dy a dx — +

lg

36

162) y = ig (a

)

163) y = lg (emx +

e~mx)

dy dy __ m(emx - e~mx) dx emx + e~mx

164) y = lg (* + J/1 + «-) 165) y = X

2 j/äT + 2 lg (l + j/x) a + \/a2 — X*

166) y = lgm y = l g ( a

X

+ be*)

% =

dy _ —a dx x ]/a% _ X' % =

^

J/l + z2

169) y = lg ]/2ax — x2

¿2/ dx

œ— x 2ax — x2

170) 2/ = lg

dx

l — x*

dy dx

a a? — x2

dy

1 — lg x

^ 1/a-f

171)

• X - X

X

,.„.

VI1, lgx

174) y = lg

X2

a V*, lg a

1 + a r* 1 - a V'

Ifc

dx

175) y = x j/a2 + a;2 + lg (»; + j/a 2 + x2) 176) y =lg(a

+ x + j/2ax

m , . „

178)

+

„.

+

+ x2)

%

n , x — a dy

Ix _

g

V*. =

^

= mx + n

g = as lg (1 H- as»)

^

37 l ^ ^ f l g ^ j

+ i l g ^

+ èarctg,

g

=

180) y = lg (X — 1) + 3 lg (x + 1) + lg (x2 + 1) + 5 arc tg x dy _ 6Xa + 3a;2 + 2x — 7 dx x* — 1 ,„,, 1 , |/a T+ bx — yl/a 181) y = - 7 = l g |/a [/a + bx + \/a~ 1+ x l8Zj y — — lg y — ^ 183)

¿V " dy

fc ¿

1 x\/a + bx

dx

2 ~~ x(l -x2)~

1, ~x2

l-f£

& =

ioA% y

dy ¿ =

1 — x 4- le x ( 1 _ V

185) y = lg sin x

g = cotg a;

186) y = lg cos x

g = — t g a;

187) y = lg tg a;

g =

^

188) y = l g c o t g * = l g t g ( - £ - « )

g :

189) y = lgsin ( 1 = ^ ) = lg sin *

sin 2x

g = ~ cotg

1 9 0 ) 2 / = lg(cos|-)2

|

=

191) y = lg sin l/a + 6 x

^ = — 6 cotg l/a + bx ax 2 J/a + bx

192)y=lgcos]/I

| =

1931 « = lëí í a + 6 t g x \ vo> y U - 6 tg xj

dx~

194) y = lg tg x + lg cos x = lg sin x 195) y = ] g / ( x ) = l g z

^ t g | / I 2ah

a? - (a2 + 62) sin2 x g = cotg a;

38 Der D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t des natürlichen L o g a rithmus einer Funktion ist gleich einem Bruch, dessen Nenner die Funktion und dessen Zähler der D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t der Funktion ist. Funktionen von der Form y = f(u, v) = uv, worin u und v Funktionen von x sind, werden nach Formel (10) (vgl. S. 19) differenziert. Es ist dann

rif ~ = vuv~1, du dy

i

t-.

•

. 1

1. Beispiel:

„

rif

= uv 1su, °

dv *

y =

/ mx v«.» (ax) \

=

m(ax)mx

du

,, ,

und dv

du v — mx\ ^

u =ax,

(1 + lg x + lg

= (sin x)coa

—m>

a).

du

2. Beispiel: y — (sin a:)cos *;

dv

di)

^ = cos a;,

— — sinx;

(cos2 x — sin2 x lg sin x).

X~1

Derartige Funktionen können etwas bequemer behandelt werden, wenn man beiderseits den Logarithmus nimmt und sich erinnert, daß eine Funktion von y, wenn y selbst eine Funktion von x ist, in der Weise nach x differenziert werden kann, daß man dieselbe zuerst nach y differenziert und diesen Differentialquotienten noch' mit demjenigen von y nach x multipliziert (vgl. S. 14). 3. B e i s p i e l : y =xx; g

=

Igy

(l

=x\gx;

+\gx)y

4. Beispiel: y = ¡^j

y

= xx(l

• ^ +

=

1 +

Igx]

lgx).

; lg y = x (lg a — lg x); — H — D n—x\

5. Beispiel: y = ( dx

X2'

* » dz

i =

— _

% \

X

= I

z

z

(

1 + lgz),

f i + ig [ ^ g \

i1-^*) X I

39 6. B e i s p i e l : y = Y ® ; g = ^

Beispiel

=

8. B e i s p i e l : „ = (0. y = Oft ist es zweckmäßig, y in der Weise von x abhängig zu machen, daß man beide als Funktionen einer dritten Variablen darstellt, indem man setzt: * = V = v ( 0 Kann t daraus eliminiert werden, so erhält man die entsprechende direkte Beziehung zwischen x und y wieder. So geht z. B . x — r cos t, y =r sin t leicht in / = x2 + y2 — r2 = 0 über. Da t in diesen Formen die eigentliche unabhängige Variable ist, so legen wir ihr die besonderen Werte t und t1 bei und erhalten die entsprechenden Funktionswerte: x=cp(t) x1={t) 2/i = v(ii), die wir zu folgender Identität zusammensetzen, falls x1 — x =|= 0 : Vi - y (A)

vi-y _ ~ -

X

h -1 «Cj

OC

—t Da nun der Grenzübergang von ti in t auch den von xx in x und von y1 in y zur Folge hat, so gehen alle Differenzenquotienten in (A) gleichzeitig in Differentialquotienten über, und wir erhalten dy ,„„, dy dt dx . . < 23 > E = E- wenn dt^ dt Unter der Gestalt: % = ^ • % , oder: J = ^ . * ist (23) nur dt dx dt dx dt dx eine Wiederholung von Formel (6), S. 14. 1. B e i s p i e l : dt

= b cos t; ~ = ' dx

x — a cos t, y = b sin i;

dx ^ — — a sin t,

— cotg t. Wird t eliminiert, so erhält man e a ' y2

die Gleichung: / = — +

J^

— 1=0,

/

1

1. 1

oder: y = — J/a 2 — x2,

und daraus für den Differentialquotienten die beiden Formen: dy

b2x

j

Q( er

dy

— bx

45 bx x Da nun cotg t = — und auch = , 2 ist, so lassen die ay [/o — x2 3 Formen des Differentialquotienten sich aufeinander zurückführen. 2. B e i s p i e l :

x — t cos 0 , 0 4 = 1 . ) = - 3 .

DieUn-

bestimmtheit verschwindet erst nach dreimaliger Differentiation von Zähler und Nenner, und man findet: 2 cos x — 8 cos 2x (x) = GP zugehören. Es ist dann (vgl. Fig. 3) tg « itr\ = = ~ " U

'

y

'

v

{ X

a )

t g

( x - a ) t g ß

' ig

ß '

Geht x in a über, so werden die Sekanten A B und A C zu Tangenten der entsprechenden Kurven im Punkt A, und damit geht zugleich t g « in -a ist mithin 0 (für alle x). Ist dann lim g(x) = 0 (bzw. = ± oo) und x —>a

lim h(x) = 0 (bzw. = + oo), so existiert lim g(x): h(x) = f(a) x-^-a

x—Kt

und ist gleich lim g'{x): h' (x), wenn der letztere Limes existiert. x—*a

U n t e r den eben g e m a c h t e n Voraussetzungen f i n d e t man also d e n lim g(x): h(x), i n d e m m a n Z ä h l e r u n d N e n n e r f ü r sich d i f f e r e n z i e r t u n d m i t d e m Q u o t i e n t e n d i e s e r Ableitungen den Grenzübergang a u s f ü h r t . D a b e i h a n d e l t es sich u m d i e T yJ rp e n und — . 0

oo

Diese Regel gilt auch für Grenzübergänge mit x -* ± oo (statt mit x ->• a). Aufgaben 2

,. . 6z — 5x + 1 287 / ( x ) = i f ^2 ÖZ i 8z - 2x -~T

/(i) — = "e

288 / ( * ) = t z r r X 1

fW

, ,.

1

»

=

289 290 291 292 293

,,

/(X) =

x - (n + 1) a;n+1 + ni»+' (l^W

t w - ' - t t r f ( x )

-

W

=

tfäi-yis-z

—

294

.... n(n + 1) /(!)=—T-

V

]/& - o

/

(

o

)

=

=

0

3

3

,, .

\/2a3x — x 4 - a 11fcfix

295 /(*) = ' 296

4 a — 1/ox'

,, .

16

/(«)="j-»

58 297 298

(*) = ì1 — "sin a; — cos x w

/(O) =

(X)==5

/(0) = 1

299

w

300

M - —J '

sin x

x —

• e

/(0) = l g n

301 „ig® — a;

302

lg (s2 - 3) - a* + 3« - 10

303 304

/(l) =

w =

lg(a

+

/ ( 0 ) =

1

V/ -i

1

- a'

305

/

306

. . sin (nx) (x) — — '

, / r .. /(0) = n

. .

,. .

307 308 309 310

X

/ W - y

x)-lga

+ x+

lga-l

a

a

sin x

_ sin (M) ' ' sin (6x) . . 2 sin a: — 1 ^ = coiTx , > IC08I

.... f

, tn\ (ej =

1 o_ 6 _

\ T K

1

311 312 313 314

. . sin 2x — 2 sin x ( * > = 2e1 — 2 — 2x . . 2 tg2 x — cotg x — 1 W — 2 sin2 x - oos2 x - i

,

_ = ° , /ji\ 10 ' U/ ~ "3

3

59 «ipt i, \

arosin(2 — x) Va? - x * aro sin -

316

)/a2 —:

317

! cos

=

/(0) = 1

l/2z — xz

318

/(0) = 0

319

/

320

/(3;)

-

a + 6a;

-

-1' i

/(°°) =

T

321

/(oo) =

322 / ( * ) = 5 e-

/(oo) = 0

0

323

3

324

/«o» — - i

325) f(x) =

HO) ootg-2-

Der

Typus

oo — o o .

Wenn in f(x)

=

— n u r

y> (o) und g (a) gleich Null werden, so schreibt man die Differenz als Quotient [cp (x) q (x)—jc(x) f(x)]: y(x) q(x), welcher für x -»a vom Typus -jj- ist. 326) f(x) = i 3 x

X- = sin a;

Sh\x7

ar sin x

/(0) = oo 'v '

71 1

828)/(«)-

i r

L

T

-ii

i

/(l)

= - 1

60 i

^

)

/(o) =

+4-

D e r T y p u s 0 • oo liegt vor, wenn in f(x) = • 1 und ü ->• 0 , 5) u

so hat man den Typus °j/l,

0 und v ->• oo , so hat man den Typus

j/0,

6) u -* oo und v ->- oo , so hat man den Typus °° j/oo . In diesen Fällen wird der Exponent von e vom Typus 0 • oo .

61 336) f(x) =

/(0) = 1

337) f{x) = x»

/(

^J = 1 / [- = 1 w >(l)=1-

i 338) /(*) = (sin*) 008 * 339) f{x) = (aina;) tgx

A n m e r k u n g . Wenn, wie es vorkommt, die unbestimmte Form irgendeines Ausdrucks durch Differentiation nicht beseitigt werden kann, so kann man in der Regel dazu die Reihenentwicklung zu Hilfe nehmen (vgl. S. 85ff.). § 10. Maxima und Minima von Funktionen E n t w i c k e l t e F u n k t i o n e n . Es sei f(x) differenzierbar, also insbesondere auch stetig, für a SS x 6, a < b. Zunächst sei f(a) — f(b) = 0 . Ist f(x) konstant, so ist f (x) = 0 für jedes x. Ist aber / (x) nicht konstant und nimmt / (x) positive Werte an, so gibt es (was anschaulich klar ist, aber hier nicht bewiesen wird) ein x0 mit a < x0 < b, in welchem / (a;) den größten Wert annimmt, so daß also f(x0)^f(x) für jedes x. Dann ist aber der Differenzenquotient (f(x)—f(x0)):(x — x0) 3; 0 oder sS 0, je nachdem x < x0 oder x > x0. Wegen /' (x0) = lim (/(z) —/(x 0 )): (x —x0) ist daher f'(x0) ^ 0 und f'(x0) ^ 0, mithin /' (x0) = 0 . Wenn f(x) keine positiven Werte annimmt, so nimmt g(x) = — / (x) positive Werte an. Aus g' (x0) = 0 folgt aber /' (z0) = — g' (x0) = 0 . — Ist jetzt f(a) 4= f(b) und setzt man F(x) = f(x)—(f(b)(x—a) - f /(«) (b —x)): (b — a ) , so ist F(x) differenzierbar und zwar ist F'(x) = f'(x) — (f(b)—/(«)) : (b—a) (für jedes x); außerdem ist F(a) = F(b). Zufolge dem oben Bewiesenen existiert also ein x0 mit a < x0 < b und F' (¡c0) = 0; mithin /' (x0) = (/ (6) —/ (a)) : (b —a). Es gilt mithin der M i t t e l w e r t s a t z . I s t f(x) d i f f e r e n z i e r b a r (und s t e t i g ) in a ^ x b, so e x i s t i e r t ein a;0 mit a < x0 < b, für welches (26a)

r(x,)=j(h)bZnaa)

oder

also

f(b) = f(a) +

(b-a)f'(x0).

S p e z i e l l für f(a) = f(b) i s t f'(x0) = 0 ( R o l l e s c h e r Satz). Zusatz. Wenn a < x0 < b ist, dann gibt es ein 0 mit 0 < 0 < 1 derart, daß x0 = a + 6 (b — a). Der Mittelwertsatz schreibt sich dann (26)

f(b) = f(a) + /'(a + 6{b—a))

(b—a),

0 < 0 < 1.

62 F o l g e r u n g e n a u s dem M i t t e l w e r t s a t z . (1) I s t j'(x) > Obzw. f'(x) < 0 f ü r a l l e « d e s D e f i n i t i o n s b e r e i c h e s D, so n i m m t f(x) zu bzw. a b in D. Denn für a 0 folgt f(x")—f(x') > 0 bzw. < 0 je nachdem /' (a;0) > 0 oder < 0 . ( l a ) Von (1) gilt auch eine Umkehrung: N i m m t f(x) zu bzw. a b i n D, so i s t /' (x) ^ 0 bzw. f'(x) ^ 0 i n D. E s nehme f(x) zu und gleichzeitig sei f (xj < 0 für ein xt aus D. Für alle von x1 hinreichend wenig verschiedene x unterscheidet sich (j(x)—f(x1fj\(x—xx) beliebig wenig von /' (xz), ist also negativ. Ist also z . B . x1 < x, so ist f(x) < /(a^), im Widerspruch zur Annahme, daß f (x) zunimmt. (2) E s i s t /'(#) = 0 f ü r a l l e x g e n a u d a n n , w e n n f(x) = k o n s t . Denn aus /' (x) — 0 folgt /' (x0) = 0 , also (nach den Formeln im Beweise von Folgerung (1)) f(x") — f(x') = f(a). Umgekehrt folgt aus f(x) = konst. auch /' (x) = 0 für alle x, wie schon früher (§ 3, Beispiel 1), S. 20) bewiesen wurde. Die eben entwickelten Sätze lassen sich sehr einfach geometrisch veranschaulichen, wenn man x und y als die rechtwinkligen Koordinaten der Kurve y — f(x) deutet. Dann ist = /' (x) die trigonometrische Tangente des Winkels, den die im Punkte (x, y) angelegte Berührungslinie 1 ) der Kurve mit der Richtung der wachsenden x einschließt (§ 2, S. 11), und zwar soll die Berührungslinie immer in der Richtung vom Punkte (x, y) nach dem Punkte (x-\-dx, y + dy) genommen werden. Dabei ist gesetzt dx = x' —x > 0 , dy = (x' — x) f (x), und es soll dx hinreichend klein sein. Wenn eine Kurve zwischen A und B stetig verläuft und das Steigungsmaß ihrer Tangente zwischen A und B stetig sich ändert, dann gibt es zwischen A und B mindestens eine Tangente A1B1, welche Fig. 4 der S e h n e t B parallel läuft. Ist ferner die Das heißt die Tangente (vgl. Seite 11).

63

Fig. 7 b

Fig. 8 b

64 Funktion y = f(x) f ü r wachsende x im Z u n e h m e n begriffen 1 ), so s t e i g t die Kurve 2 ), wenn man sie im Sinne der wachsenden x durchläuft. Es sind dx und dy beide positiv. (Fig. 5 a an der Stelle M„ Fig. 6 a an der Stelle M,,, Fig. 7 a an den Stellen M, und M,,.) Die Berührungslinie schließt mit der Richtung der wachsenden x einen Winkel ein, dessen Kosinus und Sinus beide positiv sind, nämlich der 3 — und der Sinus = ——— ). E ist dies 2 2 2 ydx + dy Ydx + dy der positive spitze Winkel oc, in Fig. 5 a, der positive spitze Winkel

Periodische Wiederholung für x = 2kn + ^ bzw. a; = 2

+

n.

3. B e i s p i e l : Für welchen Wert von x wird f(x) = (—) ein V Max oder Min ? *' f ' ( x ) = ("f") (lg® — lgx — 1) = 0,

oder lg x = lg-^-, a: = ^ ; a

f"(x) =

+ /'(*) (lg o - l g a a

d. h. negativ, mithin ist /

1);

f

(-J-) =

•

.

= e" ein Max.

4. B e i s p i e l : Für welche Werte von x wird f (x) = sin x sin (a — x) ein Max oder Min ? f ( x ) = sin (- oo fordert mehr als die bloße Konvergenz der entstehenden unendlichen Reihen; denn bei bloßer Konvergenz kann R sich auch einer von 0 verschiedenen Grenze nähern. Aufgaben In den folgenden Aufgaben sind jedesmal nur die ersten Glieder der Taylorschen bzw. Maclaurinschen Formel angegeben; dem Leser bleibt die Angabe der Restglieder überlassen. — Hinsichtlich der Untersuchung, ob und für welche x der Rest gegen Null konvergiert, also f(a + x) durch die unendliche Reihe dargestellt wird, muß auf ausführliche Lehrbücher verwiesen werden. 417) D a s B i n o m i u m . Zu f(x) = xn gehören die Werte f(a) = an, f'(a) = wo" -1 , f"(a) = n(n — 1) a""2, f"'(a) = n(n — 1) (n —2) an~3, usw. Nach der Formel von Taylor erhält man f ( x - \ - a ) oder: (a + x)n = an + nan~1 y + n(n — 1) an~2

418) Die Reihe für (1 + x)~n zu finden. f(x) = x~n, / ( l ) = 1, /'(1) = - » , /"(1) = n(n + 1), /"'(1) = - (» + 1) (» + 2) usw. ( l + a ! ) - » = l — » J + »(» + l ) i ^ — » ( » + l)(» + 2 ) r J 3 + x ) Eine „unendliche Reihe" Oj + o2 + • • • heißt k o n v e r g e n t , wenn im (oj + • • • + an) existiert.

n—y CO

88 419) Man entwickle den Ausdruck j / l + x in eine Reihe. f(x) = xi , f'(x) =

f"(x) = —

usw.; daher

/(1) = 1, /'(1) = i , / " ( ! ) = — 1 , usw. i/i—T— l / i + a : = Ii +i T* _

T

1

2 3 . Tz + . 1 _• 3. Tx

420) Man leite die Reihe her:

421) Wenn f(x) = x3 — 3a;2 + 4x — 5 ist, soll f(x + 2) entwickelt werden. Es ist /(2) = — 1, /'(2) = 4, f" (2) = 6. /"'(2) = 6; f(x + 2) = — 1 + 4a; + 3a;2 + 422) Nach der Formel von Maclaurin soll abgeleitet werden: a + x

a b

—a

a— 6

, & —

2

i

a

423) Die R e i h e f ü r a*. f(x) = ax, /(0) = 1, /"(0) = (lg a) 2 , /'"(0) = (lg a) 3 , usw. o*= 1 + ^ l

g o

+

i

^(lg

a

)2+_^_(l

g a

)3

/'(0) = l g a , +

....

Daraus geht die Reihe für ex hervor, wenn man e statt a setzt, wodurch lg a zu lg e = 1 wird. 424) D i e R e i h e für lg (1 + x). f(x) = \gx, /(1) = 0 , /'(1) = 1, /"(1) = - 1 , / " ' ( 1 ) = 2, / " " ( l ) 1 - 2 - 3 , /< v >(l) = l - 2 - 3 - 4 , usw. < * y * 5

5 Wird darin — x statt x gesetzt, so entsteht: -t-3 X2 »V »V l g ( l — XJ a.——————— —

Durch Substitution von x — 2z

\

die vorstehende in

folgende für die Berechnung bequeme Formel über: 2z + 1

3 (2z + l) 3

5 (2z + 1);

89 Aus ax — y folgt Lg y = x (für die Basis a); andrerseits ergibt e = y die Beziehung \ g y = x \ g a , und daraus x l g a

Lg

V =

¿ l g

y ,

Lg (1 +

x)

=

¿ l g (1

+

x ) .

Will man also Lg (1 + x) in eine Reihe entwickeln, so kommt man auf die für lg (1 + x) zurück, nur dividiert durch lg a. Die einfachste und natürlichste Entwicklung wird also für a = e stattfinden. Deshalb heißen die zur Basis e gehörigen Logarithmen die natürlichen. 425) Nachzuweisen, daß: (1

+

ex)

3

= 8 + 12y + 2 4 ^ +

426) D i e R e i h e f ü r sin (x + /' (o) = cos a , f " (a) = — sin sin

(x +

a) —

sin

a

+ cos

a

Für a = 0 wird:

sin a

=

+

1 'J

-

'-

/(a) = s i n a ,

f(z) = sin x, usw.

a,

1

ir|-3 +

— cos a

^ „H 1*u 'O

.

•

1 - 2 - t - ^

427) D i e R e i h e f ü r cos(a; + o), f ( x ) — c o s x , /(a) = c o s a , /' (a) = — sin a , f " ( a ) = — cos a, / " ' (a) = sin a, usw. cos (a + x) = cosa—sina Für a = 0 erhält man: COS

X —

1

1 — r—s 1-2

cos a -—5 + sin a i ' Z

+

1*

+ • • •.

L ' ö

1•2•3 • 4

428) Auf ähnliche Weise entwickelt man: , . , . . , 1 i , 2 t g « i» , 2 ( 1 + 3

"«)

x3

,

Das Gesetz der Koeffizienten ist hier nicht übersichtlich. 429) Nach der Formel von Maclaurin soll f(x) — cos2 x entwickelt werden.

90 430) Mittelst der Reihe von Maclaurin ist die Formel von Moivre abzuleiten1). Gegeben ist / (x) = (cos x + i sin x)n. Man findet: /' (x) = n (cos x + i sin a;)"-1 (— sin x -f i cos x) — = ni (cos x + i sin x)n = ni • f(x), und daraus folgt, daß f"(x) = ni-f'(x) = (ni)2f(x) ist usw. Nun ist /(0) = 1, /'(0) = ni, /"(0) = — n2, /"'(0) = — nH, usw., und (cos X + i sin x)n = 1 — J-T2 + x - 2 - 3 - 4 , . / nx n33? , \ + MT-TT2T3 + '--)' oder nach den für sin x und cos x entwickelten Reihen: (cos x + % sin x)n = cos (nx) + i sin (nx). 431) Die P u n k t i o n f(x) = arc sin x soll in eine Reihe entwickelt werden. Weil die höheren Differentialquotienten wenig einfache Formen annehmen, benutzen wir die sogenannte Methode der unbestimmten Koeffizienten, die angewendet werden darf, sobald die Möglichkeit der Entwicklung feststeht. Wir setzen: arc sin x = A + Bx + Cx2 + Dx3 + Ex4 -\ und finden A = 0 für x = 0 1 ). Wird auf beiden Seiten differenziert, so entsteht 2 ): 1 := B + 2Cx + 3Dx2 + 4=Ex3 -\ )/l - xFür die linke Seite liefert Aufgabe 420) die Reihe:

(1

= 1 + 1 ^ + 1 ^ 4

+

.

+

.,

und so erhält man durch Vergleichung: 5=1,

0 = 0, D — gTg , E = 0, usw., , Irr 3

arc sin * = * +

1 • 3 x6

+ ^ ^ 7t Für x = 1 wird arc sin x = ,. x

y T

1• 3 • 5 i'

+ ^r^Tg y +

) Weil, wie auch in 432), der H a u p t w e r t in Betracht gezogen wird. ) Vorbehaltlich der nötigen Nachweise für die Existenz der auftretenden Grenzwerte, evtl. unter Berücksichtigung des Auftretens komplexer Werte. 2

91 432) D i e R e i h e f ü r arctga;. Setzt man: arc tg x = A + Bx + Cx2 + D z 3 + Ex* + • • so ist A = 0 für x = 0 1 ). Die Differentiation gibt 1 1 +x*

= B + 2 Cx + 3 Dx2 + ±Ea?

Da nun weiter, wie bekannt kannt 1 2

+ xi — x6 -\

1 —X

1 + X2

+

,

so findet man durch Vergleichung, daß: 1, 0 = 0, D = —

B=

E

= 0, usw.

arct

ga; = T - T + i - y + Für x = 1 ist arc tg x = ~ , und man hat: ü

4

=

i _ J -

3

+

± _ ! 5

7

+

! _ ± 9

+ T

11

....

Werden die Glieder paarweise vereinigt, so entsteht die zur Berechnung von n praktischere Form: * 4

= 2

/

1 i \i • 3

1

| 1 | 5.79.11

Setzt man tg tx = £ und tg ß = daher (« + /9) = £ L = / i 4 U

+

r

so ist tg (« + ß) = 1 und

. Man darf mithin setzen:

M _ l / i S + M8 + 1 / 1 6 + M 5 3/ 3 \2 3/ 5 \2 3/

Zum Schlüsse dieses Kapitels stellen wir noch einige später notwendige Formeln auf. Wird in der Reihe für ex an die Stelle von x die imaginäre Variable ix gesetzt, so entsteht 3 ) fix _ 1 _ _JE

L

±

E

1'2t1'2-3-4 X

X3

1•2• 3

_ _Lt . . .

1•2. ..6 1

X5

1.2.3-4-5

!) Vgl. Fußnote S. 90. 2 ) Vgl. Fußnote 2) S. 90. 3 2 ) Vgl. Fußnote ) S. 90. Man beachte auch, daß e2 für komplexes z und die Rechenregeln hierfür erst in der Funktionentheorie definiert bzw. gerechtfertigt werden.

92 oder es ist eix = cos x + i sin x, und allgemein: einx =

(32)

c o s (nx) + i s i n (nx).

Da nun auch e = (cos x + i sin x)n ist, so erhalten wir leicht durch Vergleichung die Formel von Moivre wieder. Aus inx

eix —

cos x

+

i

sin

x

und

e~ix

= cos x

—

i

sin

x

folgt leicht: .„„.

(33)

cos x =

eix + e~ix 5 2t

.

, sin

x =

eix — e~ix ^ , ¿i%

worin auch nx statt x gesetzt werden darf. Tritt ebenso in Aufgabe Nr. 424) an die Stelle von x die imaginäre Variable ix, so erhält man: , 1 + ia;

=

„• I x

3? x5 T + T

\ )'

woraus dann unter Berücksichtigung der Reihe für arc tg x folgt: v(34)

a r c6t g a ; = ^ 6l g ^ t - ^ . 2t 1 — ix Ersetzt man in den Formeln (33) für cos x und sin x die Variable i durch 1, so erhält man die sogenannten '

Hyperbelfunktionen cosha;

x

(e -f- e~x), sogen, h y p e r b o l i s c h e r K o s i n u s ;

sinh x = \ (ex — e~x), sogen, h y p e r b o l i s c h e r S i n u s . A u f g a b e n : 1. Man bestätige die Richtigkeit der folgenden Beziehungen: cosh 0 = 1 , sinh 0 = 0 , cosh x = cosh (— x), sinh x = — sinh (— x), d cosh x ., d sinh x , —3 = sinh x, —3 = cosh x. dx

dz

2. A d d i t i o n s t h e o r e m e (Beweis!) cosh (x i y) = cosh x cosh y ^ sinh x sinh y, sinh (x ± y) = sinh x cosh y ^ cosh x sinh y, (cosh x)2 — (sinh x)2 = 1, (cosh x)2 -f- (sinh x)2 = cosh 2x, sinh 2x = 2 sinh x cosh x.

93 3. Man zeige: Es nimmt cosh x zu bzw. ab mit wachsendem x je nachdem x > 0 bzw. x < 0 . Hingegen nimmt sinh x mit wachsendem x zu für jedes x. Es besitzt cosh x bzw. sinh x in x = 0 ein Minimum bzw. einen Wendepunkt. 4. Wegen Aufgabe 3. ist die U m k e h r f u n k t i o n arsinh y von y = s i n h a ; , sprich A r e a des hyperbolischen Sinus, eind e u t i g bestimmt. Und zwar ist arsinh y — lg (y + |/l + y2), wobei y jede reelle Zahl sein kann und stets der p o s i t i v e Wert der Q u a d r a t w u r z e l zu nehmen ist. (Bew. Setzt man u=ex, so ist 2sinh x = 2y ~ u — u~x. Auflösung nach u gibt u = y -f- |/l + V2)Dagegen ist die Umkehrfunktion arcosh y, A r e a vom hyperbolischen Kosinus, z w e i d e u t i g . In der Tat ergibt eine analoge Rechnung wie beim sinh x arcosh y = lg (y i [/y 2 — l ) , wobei y 1 sein muß und die beiden Zweige den zwei verschiedenen Vorzeichen der Quadratwurzel entsprechen. d, arsinh y

¿y

d arcosh y

3

dy

1

— ^ j = j = = mit positiver Quadratwurzel =

1

7=

±)/yi—

_

1

, mit y >

n

1.

Funktionen von z w e i unabhängigen Variablen § 12. Entwicklung der Differentialquotienten Sind in der gegebenen Funktion z = f{x,y) die beiden Variablen x und y unabhängig voneinander, so können die Werte, welche z nacheinander annimmt, wenn man den Variablen x und y immer andere und andere Werte beilegt, auf folgende Weise graphisch veranschaulicht werden: In der euklidischen Ebene benutzt man in bekannter Weise rechtwinklige Koordinaten x und y zur Festlegung eines Punktes D (Fig. 10), errichtet in D ein Perpendikel zur Koordinatenebene und trägt darauf den Wert von z ab, welcher den gewählten Werten für x und y entspricht. So erhält man den Punkt M im Baume. Bei mehrwertigen Funktionen findet man mehr als einen Fig. 10 Punkt auf der nämlichen Senkrechten. Der Inbegriff aller Lagen, welche der Punkt M vermöge der Gleichung z = f{x, y) annehmen kann, möge — wenigstens bei eindeutigem f(x, y) — eine Oberfläche heißen. Eine Änderung des Funktionswertes z — f(x, y) kann nun auf dreierlei Weise veranlaßt werden, und zwar: 1. dadurch, daß bei festem y nur x übergeht in xt, 2. dadurch, daß bei festem x nur y übergeht in ylt 3. dadurch, daß gleichzeitig x und y übergehen in xx und yv Demgemäß müssen auch 3 verschiedene Arten von Differenzen der Funktionswerte unterschieden werden, nämlich: 1) 1{xi,v)—t{x,v)\

2) f(x,y1)—f(x,y);

3) f(x1,y1)

—f(x,

Daß man die Werte: g/

8x

- lim/(Xl'

~/(x'v) x1 — x

y)

8 f =.- lim , ( x ' ' V l ) ' f { x ' y ) ' 8y Vi — V

y).

95 die partiellen Differentialquotienten der Funktion nennt, wurde S. 18 erörtert. Wir haben uns deshalb hier nur noch mit derjenigen Veränderung zu befassen, welche der Funktionswert z dadurch erfährt, daß sich die beiden Variablen x und y gleichzeitig ändern. Wenn den Zahlen x, y und xly y1 mit x 4= y, xt =|= yx die Funktionswerte z und zv zugehören, so ist — z = f(xyx) Zi

/fo. yJ - /(*. Vi) {

=

x i

—/(x, y), oder: _

x )

+

i^yJ-J^y)

(yi

Setzt man (35)

d z = % d x + y0

r — \dx\ + \dy\) dabei sind

und ^

r—»-0

als stetig vorausgesetzt.

(Auf einen Beweis muß hier verzichtet werden.) Die rechte Seite in (35) bezeichnet man auch als t o t a l e s D i f f e r e n t i a l von f(x, y). psJ

rxf

Wird (35) auf ^ und ~ angewendet und dabei berücksichtigt, daß dx und dy konstant sind, so entsteht, wenn d(dz) = d2z gesetzt wird: dH =

¿—Z—dx

dH = ^dx2

+

+

^-M—

dy

2^-ydxdy^dyK Aufgaben

433) z = 3x 2 + xi? + y4 .A.. xy 434) z = —f— x+ y '

V

»

dz = (6x + yi)dx + (2xy + 0 ist, g(x, y) > a0 bzw. < a0 je nachdem z. B. x = y -j= 0 bzw. x — — y 4= 0. Ist aber z. B. an 4= 0, so läßt sich y(x, y) so schreiben (A)

g(x, y) = a0 + a n

X

+ ~ V f + Kl«22 »ii / Die eckige Klammer rechterhand ist niemals negativ und Null nur für x = y = 0, wenn ana22 — a \ 2 > 0 . In diesem Fall hat aber g(x,y) in (0,0) ein Maximum (bzw. Minimum), wenn an < 0 (bzw. an > 0). Also: D a m i t g(x, y) in (A) an der S t e l l e (0, 0) e i n M a x i m u m bzw. M i n i m u m besitzt, ist notwendig, daß

97 cij = « 2 = 0 , u n d hinreichend, d a ß ana22

— a\2 > 0 u n d au < 0

(bzw. an > 0). (Es ist dann von selbst a22 < 0 bzw. a22 > 0).

(B) Es sei jetzt f(x, y) nebst seinen partiellen Ableitungen 1. u n d 2. Ordnung stetig f ü r x0—cu < 0 bzw. 6 U > 0, wenn nur | x — x0 | + | y — y0 | und damit auch I x — xo I + I V — y0 I = I ö | • (| x — x0 | + | y—y0\) hinreichend klein ist. Die eckige Klammer (vgl. (A)) ist dann niemals negativ, welchen Wert auch 0 mit 0 < 0 < 1 besitzt. Daraus folgt die Behauptung wie in (A). Aufgaben 441) z = x + y -f xy— 2

2

6x — 4y + 5

442) z = x2— 6 x y + f + 3 z + Qy 7 Dölp-Netto

Min für x = | , y = § Min für x =

? 7 2

, y = 5

3

443) 2 = ±xy + -i- + y

Min f ü r x = y = y

444) z = (x + y)2 — (x + 5y + #?/)

Min für a; = — 1, y—3

445) z = xy2(a — x —y)3

Max f ü r x =

446) 2 = sin x + sin y + sin (x + y)

Max für x = y = 60°

447) 2 = sin x sin y sin (tx — x — y)

Max für x = y —

448) z = x3 — 3 a x y + y3

Max für x = y = a.

,y =

|/2

~

449) Das Volumen eines rechtwinkligen Parallelepipedes ist = a 3 . Wie groß müssen die Kanten sein, wenn die Oberfläche ein Min werden soll ? Der Körper ist ein Würfel, dessen Kanten = a sind. 450) Eine Zahl a soll in 3 solche Teile zerlegt werden, daß deren Produkt ein Max wird. 2 = xy{a —x —• y) wird Max, wenn jeder Teil = ^ ist. 451) In einen Kreis soll das an Fläche größte Dreieck gezeichnet werden. Die zu den Seiten gehörenden Zentriwinkel mögen x, y und (2n — x — y) heißen, so wird F = £r 2 [sin x + sin y + sin ( 2 n — x — y)] ein Max, wenn die 3 Zentriwinkel gleich, mithin auch die Dreieckseiten gleich sind. 452) Die Summe der 3 Seiten eines Dreiecks ist = 2 s . Wie muß man die einzelnen Seiten wählen, wenn die Fläche ein Max sein soll ? F = [/s(s — x) (s — y) (x + y — s) wird ein Max, wenn die 3 Seiten gleich sind. 453) Aus einer Kugel soll das an Volumen größte rechtwinklige Parallelepiped herausgeschnitten werden. Kugelhalbmesser = r, die halben Kanten x, y, u; es besteht die Relation: x2 + y2 + u2-—r2. Das Volumen z = 8xyu wird Max für x = y = u = r ]/ J•.

99 § 14. Homogene Funktionen Wir sagen, der Ausdruck ax2«/3 sei von der fünften Dimension, weil die Exponentensumme der beiden Variablen 5 beträgt, und oix4 + u2x2) nennen — ——- einen Ausdruck dritter Dimension, weil die x + y

Differenz aus der Exponentensumme des Zählers und des Nenners gleich 3 ist. Daß die Dimension eines Ausdrucks auch eine negative oder gebrochene Zahl sein kann, zeigen Beispiele. Eine Funktion f(x, y,z, . . .) heißt h o m o g e n v o n d e r D i m e n s i o n n, wenn für beliebiges t > 0 gilt: = tnf (x, y, z, . . .).

(36)

f(tx,ty,tz,

1. B e i s p i e l :

f(x,y) = 5 x 2 — 2xy-\-ly2\ 2 f(tx, ty) = 5t x*—2txty + 7t2y2

2. B e i s p i e l :

f ( t x

,

f(x,y,z)

t y

...)

=

= t2f(x,

y).

x3z2 — y4x2 + y2z2 x2i y i

, tz) =

=

tixittyi

tl / (x,

yt

t)

.

+ (Z

E u l e r s L e h r s a t z ü b e r h o m o g e n e F u n k t i o n e n . Wir setzen in (36) tx = u, ty = v, tz = w, und differenzieren die beiden Seiten nach t : du dt j

du

dv dt dv

oder, w e i l 5 = «, ^ =

dw d t ~ dw

n t

Hx'y>

. ,

^ = 2 ist,

l-x+l-y+l-^^t^y*^Setzt man hierin t = 1, so verwandelt sich % in — , ~ gi

-r- in — , und man erhält: dw

du

8x

dv

in •'/ . ctt

dz

vorausgesetzt, daß / und seine partiellen Ableitungen stetig sind. Diese Formel stellt den Satz von Euler dar.

100

2. B e i s p i e l :

/ = 3? + 2ax^y — ayz = 0 ;

(3z 2 + 4 a x y ) x + (2ax2—3ay2) 3. B e i s p i e l :

4. B e i s p i e l : r

/ = ^

2ax2y—ay3).

y2'z=E;

/ = —— 8x~ 2R'

y = 3(a;3 +

dy~

~ 2 yz 2B '

8J_ _ - •f dz~'2R'

|3 ;'

. d/ | 7. . d/ _ 8x ^ y 8y

i f x + x*y = (x3 + y3)2

xy_ x3 + y3 '

5. Bei

§ 15. Die Formeln von Taylor und Maclaurin für Funktionen mit zwei unabhängigen Variablen Ersetzen wir in f(x, y) die Variable x durch x + £ und y durch y + r], so kann die Funktion in eine Reihe nach Potenzen und Produkten von f und r) entwickelt werden. Um diese Entwicklung auf § 11 zurückzuführen, setzen wir £ = rt, r) = st und f(x-\-rt, y s t ) — F{t), indem wir uns unter x,y,r,s bestimmt gewählte Werte und unter t eine Variable vorstellen. Nach dem Maclaurinschen Satze ist jetzt: F(t) = F(0) + r (0) j- + F" (0) ~

+ F'"(0)

lT|.-3

+ •••.

Bei der Bildung der Funktionen F', F", usw. ist es zweckmäßig, x rt = u, y + st = v zu setzen, wodurch F(t) in f(u, v) umdu dv r gewandelt wird. Zugleich ist , ¿¡=s> die höheren Differentialquotienten verschwinden. So ist:

101 F(t)

=/(«,«)

K

F"

'

_

8f_ du

8[

dv

~

8u

dv'

dt

(t\ W

*W"

~

(i) rn

-

dt I^Ya.

9

du2 W ¡2x^irndx

58)

J_.

59) / •

(x — 5) — 2 lg (z + 1)

= *fc(* + y) dx = 2 lg (z -

4

*

3) + 4 lg (s -

+ ]

2

112 60) Jf3a* +x2 ßi^

6 1 )

J

+ x

-- i29x 2 - 25dx,

f W - l ^ + l j

3*$

y ^ - i

= ~T—r

dx

. . .+ ,lg(a; . . + , 4).. ~y-+2x. „ + .21g(x—3)

=

6x« ,

+

— 2»* +

— + 3 lg i Man setze x° = z.

62)

=

x

6z« . „ §

- i r +

3 x

— 1) + 9 lg (x> + l ) .

¿

63)' JT x8t + o21— - 1r =

Ji (a:r +^ l)2— 2^

64) i - 2r L - d x = f - r - ^ - ^ d2 z = J x + a? J x* — (oi)

= 2 ~)/2i g z + 1 + |/2

s-.lg^i +

1

). '

Es ist aber auch bereits gefunden: / ^

e f c B

=

T

a r o t

8T'

und da wir wissen, daß zwei Integralwerte der nämlichen Funktion nur um eine Konstante differieren können, so ist es gestattet zu setzen: ^ lg X , = arc tg — + C. Wird diese Formel zur Verzi ° x + ai °a Wandlung von Integralwerten benutzt, so kann die Konstante C in die willkürliche Konstante des Integrals aufgenommen werden. Setzen wir nun noch z — p für x und q für a, so entsteht die Formel: /cr\ l , x — p — qi x—p _ (5) jplg , • = arc tg + C, w 2% ° x — p + qi ? die bald Verwendung finden wird (vgl. S. 117). 2. D i e b e i d e n W u r z e l n « u n d ß s i n d r e e l l u n d g l e i c h . Dann nimmt die Formel (4) die Form an; man erhält ihren wahren Wert, wenn man Zähler und Nenner nach ß differenziert und dann ß = x setzt. So wird gefunden: Beispiel 64) gehört eigentlich erst zu Ziff. 3., Seite 113. — Logarithmen sind von uns nur für reelle (nicht für komplexe (imaginäre)) Numeri erklärt worden. Komplexe Numeri werden in der Funktionentheorie in Betracht gezogen; dort wird auoh gezeigt, daß die Regeln, nach denen wir hier und im folgenden mit Logarithmen komplexer Numeri rechnen, zulässig sind (also nicht zu Widersprüchen führen).

113

(6)

/

mx - dz 1 1 «) 2

W

=

+n m lg (x - ß)mß x- - ß - 1 ß=a ma m lg (x — «) x — tx

Will man diese Formel direkt ableiten, so setzt man:

mx + n A+ B 2X — X (X -

0

iat

I n t e g r a t i o n eines B r u c h e s v o n der F o r m : ff (s) _ a0xm + aiX"1'1 + atxm-3 + • • • + am W ) ~ xn + M"-1 + btxn~* + ••• + &„ "

"

115 Es wird vorausgesetzt, daß m < n ist. Sollte diese Bedingung bei einem gegebenen Bruche noch nicht erfüllt sein, so kann man die Division, so lange es geht, ausführen. Der gegebene Bruch wird dann gleich der Summe aus einem Polynom und einem Bruch von der Form , in welchem m < n ist. Es wird nun der Nenner in Faktoren 1. Grades zerlegt und zu dem Zwecke die Gleichung aufgelöst: f(x) = xn + biZ"-1

+ b2xn-*

H

+ bn = 0 .

Wir haben hinsichtlich einer Wurzel