Grundzüge und Anwendungen der Differential und Integralrechnung mit zahlreichen Übungsaufgaben für höhere Schulen [Sonderabdr., Reprint 2022 ed.] 9783112683187

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Mehlers Hauptsätze der Elementar - Mathematik bearbeitet von Oberstudiendirektor N. Schulte-Tigges erscheinen in demselben Verlag in folgenden Ausgaben:

Ausgabe A, Stammbuch, wenig verändert, nur ergänzt, ohne Aufgaben und Übungen. 31. Aufl. Preis 2.80. Ausgabe B

mit Übungen, den neuen Lehrplänen an­

gepaßt, Unterstufe in 1 Band 12. Aufl. Preis 2.40. Oberstufe in 1 Band, S. Aufl. Preis s.so. Ausgabe B

ohne Übungen, sonst wie die vorige: Unterstufe in 1 Band, 12. Aufl. Preis 1 .so Oberstufe in J Band, S. Aufl. Preis 4.—.

Geometrische Aufgaben u. Übungen (aus der Ausgabe B): Unterstufe in ) Bändchen

Preis o.6o.

Oberstufe in ) Bändchen

Preis j.so.

(Ergänzung Mr Nusgabe A und Nusgabe B ohne Übungen sowie M jedem

anderen Lehrbuch.)

Grund,üge

und Anwendungen

der Differential- und

Integralrechnung mit zahlreichen Übungsaufgaben für höhere Schulen. (Sonderabdruck aus Metzlers Hauptsätzen der Elementar-Mathcmatit, bearbeitet von N. Schulte-Tigges.)

Preis ).—

Vierstellige Rechentafeln, für alle logarithmischen und trigonometrischen Rechnungen der höheren Schulen ausreichend.

Preis 0.20.

Grundzüge und Anwendungen der

DLfferentLalund Integralrechnung mit zahlreichen Übungsaufgaben für höhere Schulen von

A. Schulte-Tigges Oberstudiendirektor des Realgymnasiums I zu (assel Geh. Studienrar

(Sonderabdruck aus Mehlers Hauptsätzen der Elementar Mathematik,

bearbeitet von A. Schulte-Tigges)

Berlin und Leipzig J925

Walter de Eruyter & (Co. vormals G. 3* Göfchen'fche Verlagshandlung — I. Guttentag, Verlags­ buchhandlung — Georg Reimer — Rarl 3- Trübner — Veit & Lomp.

Druck von Walter de Gruyter öc Co., Berlin. W JO

Erster Teil: Grundzüge und Anwendungen der Differentialrechnung in engster Verbindung mit der Lehre von den Funk­ tionen.

Erster Abschnitt.

Grundzüge der Differentialrechnung. § 1. Wenn eine Größe (y) sich mit einer anderen Größe (x) ändert, so nennt man die erste von der zweiten abhängig oder eine Funktion der zweiten. Beispiele: 1. (Aus dem praktischen Leben). Der Preis einer Ware ändert sich mit der Zeit. 2. (Aus der Arithmetik.) a) Die dritte Potenz einer Zahl ändert sich mit der Zahl; b) der Logarithmus einer Zahl ändert sich mit der Zahl. 3. (Aus der Planimetrie.) Der Flächeninhalt eines Quadrats ändert sich mit der Quadratseite. 4. (Aus der Stereometrie.) Der Rauminhalt einer Kugel ändert sich mit ihrem Halbmesser. 5. (Aus der Trigonometrie.) Der Sinus eines Winkels ändert sich mit dem Winkel. (Trigonometrische „Funktionen".) 6. (Aus der Wärmelehre.) a) Die Spannkraft des (gesättigten) Wasser­ dampfes ändert sich mit der Temperatur, desgl. b) die Dichte des Wassers. 7. (Aus der Meteorologie). An demselben Ort ändert sich der Luftdruck mit der Zeit, desgl. die Temperatur und die Feuchtigkeit der Luft. 8. (Aus der Mechanik.) a) Tie Geschwindigkeit eines frei fallenden Körpers ändert sich mit der Zeit, b) Die lebendige Kraft eines Körpers (Energie der Bewegung) ändert sich mit der Geschwindigkeit.

Bemerkung: Bei der Abhängigkeit einer Größe von einer anderen im obigen Sinne ist nicht immer die erste die Wirkung, die zweite die Ursache, wie die obigen Beispiele lehren. Schulte-Tigges, Differential- und Integralrechnung. 1

I. Grundzüge und Anwendungen der Differentialrechnung.

2

§ S. In vielen Fällen ist die Abhängigkeit so klar erkannt, daß man sie durch eine mathematische Formel (Gleichung) ausdrücken kann, so im Beispiel 2 a) durch y = x3; 2 b) durch y — log x; 3) durch y — x2; 4) durch y = ^nx?; 5) durch r/ — 8M L; 8a) y = gx; 8b)durch y = ^mxa. Die hierin außer y und x vorkommenden Größen sind den Beispielen entsprechend als unveränderlich (konstant) anzusehen; x ist die un­ abhängige, y die abhängige Veränderliche. In andern Fällen (Beispiel 1, 6a, 6b, 7 (ist es nicht möglich oder bis jetzt noch nicht möglich, die Ab­ hängigkeit durch eine mathematische Formel wiederzugeben. Bemerkungen: 1. Meist steht es frei, die eine oder die andere Ver­ änderliche als unabhängige zu wählen; gegebenenfalls sind dann die 3/—

y

Formeln umzukehren, wie in 2 a) x — Ny, 8a) x = g usw.

2. In vielen Fällen ist eine Größe von mehr als einer andern ab­ hängig, wie in den Beispielen 8a) und 8b), wenn auch g und m als ver­ änderlich angenommen werden. Die Gesamtänderung von y kann dann aber in der Weise festgestellt werden, daß man die Veränderungen der einzelnen unabhängigen Veränderlichen nacheinander vornimmt, womit denn diese Aufgabe auf mehrere obiger Art zurückgeführt ist. § 3. In allen Fällen aber läßt sich die Abhängigkeit auf doppelte Weise darstellen, nämlich 1) arithmetisch: durch eine Zahlentabelle, 2) geometrisch: durch eine Zeichnung (graphische Darstellung).

Die Zahlentabelle erhält man, wenn man für die eine Verän­ derliche bestimmte Werte (meist in wachsender Folge) annimmt und die zugehörigen Werte der andern ermittelt. AIs eine solche Zahlentabelle würde sich ergeben für Beispiel 6a. Tempe­ ratur x -

0

10

20

30

40

50

60

80

70

90

100

Grad Celsius.

Spann­ 4,6 9,2 17,4 31,5 54,9 92,0 148,8 233,1 354,6 525,5 760,0 mm Queck­ silber. kraft y =

Beispiel 2a.

— 3

— 2

— 1

0

1

2

3

4

- 64 — 27

— 8

— 1

0

1

i 8

27

64

— 4

Grundzüge der Differentialrechnung.

3

Bemerkung: Ist die Abhängigkeit durch eine mathematische Formel darstellbar, so kann man für die unabhängige Veränderliche beliebige Werte annehmen und wählt im allgemeinen solche, die gleichmäßig zunehmen; in den anderen Fällen muß man sich mit den Werten be­ gnügen, für die die Abhängigkeit tatsächlich ermittelt ist. § 4

Die Zahlentabelle gibt nur ausgesuchte Werte derVeränder-

0 10 20 30 40 50 60 70 60 90 100°C.

Fig. 1.

wie die abhängige Veränderliche sich ändert, wenn die andere allmählich zunimmt. Dies aber leistet die graphische Darstellung. Hierbei werden beide Veränderliche durch Strecken dargestellt, indem für die Maßeinheit einer jeden eine Strecke von bestimmter Länge (gleichsam als Bild) ausgewählt wird. Es sind alsdann die in der Zahlen­ tabelle vorkommenden Größen in solche Strecken umzurechnen. Die er­ haltenen -r-Strecken trägt man nunmehr auf einer wagerechten Geraden (der T-Achse) von einem und demselben Punkt (dem Anfangspunkt) 0 (oder 0) an und zwar nach derselben Richtung (rechts) hin ab und errichtet 1*

4

I. Grundzüge und Anwendungen der Differentialrechnung.

in den Endpunkten auf der L-Achse nach oben Lote gleich den betreffen­ den ^-Strecken. Sind negative x oder y vorhanden, so wählt man hierfür die entgegengesetzten Richtungen (links bzw. unten). Verfolgt man nun die Lote von links nach rechts, so erkennt man, wie y sich bei wach­ sendem x ändert, d. h. ob es zu- oder abnimmt oder sich gleich bleibt, auch um wieviel es zu- oder abnimmt usw.

8 5- Schaltet man noch mehr Zwischenwerte in die Zahlentabelle

Fig. 2.

einiger Sicherheit die Endpunkte der Lote durch eine Linie verbinden, die nun die Änderung der r/-Lote lückenlos darstellt und außerdem derart, daß sie mit einem Blick übersehen werden kann.

Auf diese Weise ist Fig. 1 und 2 zu Beispiel 6a und 2a ent­ standen, wobei im ersten Falle 10° C durch 1cm, 10mm Quecksilber durch 1 mm, im zweiten Fall die Einheit der x durch 1 cm und die der y durch 1mm dargestellt worden sind.

Grundzüge der Differentialrechnung.

5

Die die Endpunkte der y verbindende Linie soll die «/-Linie genannt werden; die im Anfangspunkt auf der -r-Achse errichtete Senkrechte heißt die «/-Achse, y und x selbst Koordinaten und zwar x die Abszisse und y die Ordinate, das Ganze ein Koordinatenshstem.

8«. i. Die Betrachtung der auf solche Weise dargestellten Linien ergibt sofort: Steigt die «/»Sittte (stets nach rechts hin betrachtet), so nimmt y bei wachsendem x zu; fällt sie, so nimmt es ab; bleibt sie längere oder kürzere Zeit wagerecht, so ändert y währenddessen seinen Wert nicht. 2. Ist im besonderen die U-Linie eine gerade Linie, so erkennt man ohne weiteres und kann mathematisch leicht beweisen: a) Wächst x gleichmäßig, so ändert sich auch y gleichmäßig, und zwar um so stärker, je steiler die Gerade zur -r-Achse geneigt ist. b) Geht die «/--Linie durch den Anfangspunkt, so nimmt y in dem­ selben Verhältnis zu wie x. c) Für den Winkel a, den die Gerade mit der positiven Richtung der zlt# L-Achse bildet, ist stets tg a — —, wenn ziy den Zuwachs der Ordinate bezeichnet, der dem Zuwachs der Abszisse, Ax, entspricht.

§ 7. Eine Gerade ist die r/-Linie stets, wenn y eine Funktion ersten Grades von x ist. Beweis: Die Funktion sei y = ax + b. Ist also x = 0, so ergibt sich y=b, und für x = 1 ist y = Durch die Endpunkte der beiden ermittelten y, A und C, legt man die Gerade AG und zieht AF\\OB; . CF a dann ist tg a = jp = | = stFür ein beliebiges drittes x, OD — c, ist nun y oder DE = ac + b. Verlängert man ALF bis G, so ist EG — ac und tg EAG = — = a

= tg a, d. h. E liegt auf der Geraden AC. Die Gleichung y = ax + b stellt also stets eine Gerade dar, und zwar ist a die trigonometrische Tangente

6

I. Grundzüge und Anwendungen der Differentialrechnung.

ihres Winkels mit der «-Achse (gemessen im Sinne einer Drehung der positiven «-Achse zur positiven Mchse) und b das auf der positiven ^-Achse abgeschnittene Stück.

§ 8. Ist die U-Linie eine kmmme Linie und will man wissen, wie sich y in einem bestimmten Punkt der Kurve gegen den Wert m einem früheren Punkt geändert hat, so verbindet man beide Punkte durch eine Sehne und urteilt nach § 6, 1 und 2. Für den Winkel dieser Sehne mit der positiven Richtung der «-Achse ist auch hier tg«=

(Differenzen -

quotient), wenn man unter «dy und J« wiederum den Zuwachs der Ordi­ nate und der Abszisse versteht. Dieses Urteil sagt aber nichts aus über die Veränderung, die y zwischen den beiden ausgewählten Punkten erfahren hat. Soll also die Änderung von y lückenlos verfolgt werden, so müssen die beiden betrachteten Punkte immer näher aneinander gerückt werden, bis sie unmittelbar zusammenliegen, wobei dann aus der Sehne die Tangente wird, -dy und J« werden in diesem Falle unendlich Hein*) und mit dy und dx bezeichnet; für die Tangente gilt alsdann die Gleichung tg « =

rin der Quotient

(Differentialquotient), wo­

noch näher bestimmt werden muß, da er der Zahlen­

tabelle nicht entnommen werden kann. Diese Bestimmung ist bei solchen Kurven, die aus mathematischen Gleichungen hervorgegangen sind, auf arithmetischem Wege möglich und soll weiter unten ausgeführt werden. Es ist aber nicht zu vergessen, daß a zeichnerisch durch Anlegung der Tangente und nachfolgende Messung (oder Schätzung) näher bestimmt werden kann. *) Es wird wenigstens im folgenden stets vorausgesetzt, daß mit zta auch ziy unendlich klein wird, d. h. daß die Funktion — wenigstens in un­ mittelbarer Nähe des betrachteten Punktes — stetig ist.

Grundzüge der Differentialrechnung.

7

8» Das Verhalten einer Kurve in unmittelbarer Nähe eines ihrer Punkte ist daher nach der Lage der Tan­ gente in diesem Punkte zu beurteilen und das Gesamtver­ halten einer durch eine Kurve dargestellten Funktion nach dem Verhalten der an ihr gleitend gedachten Tangente. Aus einer solchen Betrachtung der in den Figuren 5a — k dar­ gestellten ^-Linien und ihrer Tangenten erhellen nachstehende Ergebnisse:

Bei a wächst y zunächst weniger stark, zuletzt aber stärker; „ stärker, „ „ weniger stark; b ,, ,, ab c nimmt „ n ft ff ff ff i „ weniger stark, „ „ stärker ab. „ » e setzt sich aus b und d zusammen, dazwischen erreicht y ein Maximum da, wo die Tangente wagerecht liegt oder a — 0 ist; f setzt sich entsprechend aus c und a zusammen und weist für y ein Minimum auf. g besteht aus b und a, h aus a und b, i aus c und d, k aus d und c; bei g—k tritt ein Wendepunkt da auf, wo die Tangente beim Gleiten aus der Drehung nach der einen Richtung in die entgegengesetzte übergeht, wo die Kurve also auf verschiedenen Seiten der Tangente liegt. Bemerkung: Andere Kurven können aus a und c, d und b, a und d, b und c, c und b, d und a zusammengesetzt werden. Noch andere For­ men entstehen, wenn in den Fällen e—k die Tangenten in den zusammen­ stoßenden Endpunkten nicht zusammenfallen. Alle diese Formen sollen aber von der Betrachtung ausgeschlossen bleiben, da sich in dem Grenz­ punkte die Lage der Tangente (beim Gleiten) sprungweise ändert.

Nachsatz

Vordersatz

Grundzüge und Anwendungen der Differentialrechnung.

Geometrisch

Arithmetisch

a) Ist die Tangente auf­

c) Ist die Tangente wage­ recht gerichtet *) (ihr Nei­ gungswinkel**) gleich Null),

Arithmetisch

so steigt die Kurve (und so nimmt y mit wachsen­ zwar um so stärker, je steiler dem x zu (und zwar die Tangente), um so stärker, je größer *•=&

wärts gerichtet *) (ihr Nei­ gungswinkel**) spitz),

6) Ist die Tangente abwärts gerichtet*) (ihr Neigungs­ winkel**) stumpf),

Geometrisch

Ist tg « = ^ negativ,

3fltg« = |=o,

so fällt die Kurve (und zwar so nimmt y mit wachsendem um so stärker, je steiler die x ab (und zwar um so stärker, je größer, absolut Tangente), dy\ genommen, tga = so geht die Kurve an diesem so hat y Punkt entweder a) vom Steigen zum Fallen a) ein Maximum oder

oder b) vom Fallen zum Steigen b) ein Minimum oder über oder sie hat c) einen Wendepunkt im c) y geht beim Zu- oder Steigen oder im Fallen, Abnehmen durch einen Ruhepunkt hindurch.

*) Stets von links nach rechts betrachtet. **) Mit der positiven Richtung der L-Achse im Sinne einer Drehung von der positiven L-Achse zur positiven r/-Achse.

Grundzüge der Differentialrechnung.

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§ 10. Diese Ergebnisse lassen sich in die folgenden Regeln zusam­ menfassen: (Siehe die Übersicht auf S. 8.)

8 11. Ist die Funktion ein mathematischer Ausdruck, so läßt sich der Differentialquotient rein arithmetisch be­ stimmen. Es hat dies den Vorzug, daß man die umständliche Zahlen­ tabelle und ihre graphische Darstellung entbehren und sich doch mit Hülfe des ermittelten Differentialquotienten eine Vorstellung von dem Verlauf der Funktion machen kann. Auch läßt sich die Betrachtung all­ gemeiner gestalten. Es sei zunächst die Funktion ein Ausdruck ersten Grades in x, also y — ax + b. Dann gehören zu den ausgewählten Werten xx und x2 die Funktionswerte yx = axx -j- b und y2 — ax2 + b, und es ist y2—yx — a(x2 —

oder dy = a. dx, daher

= a.

Der Differenzenquotient ist also stets gleich a und behält daher auch diesen Wert, wenn x2 — xx und damit y2 — yx wird (d. h. wenn die

beiden Punkte der -/-Linie zusammenrücken).

d(ax + &) dx

Daher ist

«oder

a‘

Da der Differentialquotient konstant ist, so folgt dasselbe für den Neigungswinkel der Tangente; die -/-Linie ist also eine unter einem Winkel a zur X-Achse geneigte Gerade, für die tg a = a ist (vgl. § 7).

§ 12 Differenttalquotient einer rationalen ganzen Funktion zweiten Grades. Eine rationale ganze Funktion ist eine algebraische Summe, deren Glieder Produkte aus rationalen Koeffi­ zienten und natürlichen Potenzen von x sind, oder läßt sich auf diese Form bringen; sie ist vom zweiten Grade, wenn x höchstens in der zweiten Potenz vorkommt. y = aa?2 + öa? + c yx = ax2 + bxx + c, y2= ax2 + bx2 + c; y2 — yx = a(x2 — x2) + b(x2 — xx);

du = 2ax + b oder 0, ferner y* = — |, y = ± | /3 (schwach fallende Wendetangenten). Die Kurve ist zentrisch symmetrisch, da für a? = ±a die Ordinate zwei gleiche Werte mit entgegengesetzten Vorzeichen annimmt. Entwirf hiernach ein Bild der Kurve ohne Aufstellung einer Zahlentabelle. „ x1 — 1 , — 6x „ 18a:2 4-24 2‘ y = L2 —4' y = (L2—4)2' y " (x2 — 4)3 ‘ — ± 1 rotti) y = 0, y' = 4= | (die Kurve schneidet die L-Achse mit tga = ^i). Für x = ± 2 wird y = oo und y'= oo (die Parallelen zur y-Achse im

Abstand ± 2 sind Asymptoten). Für x = ± oo wird y =------ v — 1 und

y' — ------ TT------------ — 0 (auch die Parallele im Wstande 4-1 zur x(-r--)(-2-4) Achse ist Asymptote). Für x = 0 wird y' = 0, y" < 0, y = J (Maximum in Höhe j). Für Werte von x, die nahe bei ± 2 liegen, wird y sehr groß und zwar negativ, wenn der absolute Wert von x keiner, positiv, wenn er größer als 2 ist. (Die Kurve springt also bei —2 aus dem positiven ins negative,

Grundzüge der Differentialrechnung.

19

bei -l- 2 aus dem negativen ins positive Unendliche über.) Die Kurve ist symme­ trisch zur Mchse, da y für x = + a denselben Wert annimmt. g2__ | 2 3. y = —-—;V = x2 ;y" = —. Kein Maximum und Minittturn, kein Wendepunkt.

Für x = ± 1 ist y = 0, y' = 2.

Für L —0 ist

y = oo,y* = oo, die U-Achse also Asymptote. Für x = ± °o iP «/ = x—

= oo, y' = 1 + ~ =.l, die Gleichung der Tangente daher

y=l.(£—x)

also, da x = ± oo, -tj =§.

oder 7] — ;c + ~ = f — x oder »/ + “ = f,

Mithin ist auch die Halbiemngslinie des ersten und dritten Quadranten Asymptote. Kurve zentrisch symmetrisch zum Anfangspunkt.

g 23.

Disferentialqrwtient von

für gebrochene n.

m m m Ist y -- -r", so ist yv = xx", y2 = x2n, m

m

Z

lxm

/

lxm

1

1

dy _x2n — xTn _ \x2n) — \a^nJ

zlx

x2 — xT

1

___

1 n

1

n

Demnach gilt die Formel d(xn) dx

= nxB_1

für jedes ganze oder gebrochene, positive oder negative n. Mit Hilfe der abgeleiteten Formeln läßt sich der Differential-

quotient einer jeden algebraischen Funktion von x (b. h. eines jeden Ausdrucks, der nur durch Anwendung der vier Grundrech­ nungsarten, des Potenzierens und des Radizierens ent­ steht) bestimmen.

Anmerkung: Es lassen sich jetzt also auch Funktionen untersuchen wie z. B. die Neilsche Parabel y — f/z2, bei der y* — lx~i, y" = — jz-i ist. Die Kurve ist symmetrisch zur r/-Achse. Für x = 0 tp y = 0, / = oo, für x = ± 1 dagegen y = 1, y' = ± | und für x = ± co y = oo, y' = 0. Danach ist der ungefähre Verlauf der Kurve leicht zu zeichnen.

§ 24. Funktionen.

Ermittelung des Difserentialquotienten unentwickelter

20

I. Grundzüge und Anwendungen der Differentialrechnung.

In vielen Fällen ist die Funktion, deren Differentialquotient zu er­ mitteln ist, nicht „entwickelt" in der Form y— /($) gegeben, so wenn die Gleichung ax2 -\-by2= c

vorliegt. Nach der bisherigen Art wäre dann der Differentialquotient folgendermaßen zu bestimmen: — ax2 + c

-----i