Getriebelehre: Band 1 Geometrische Grundlagen [3., neubearb. Aufl. Reprint 2019] 9783111381299, 9783111022512

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SAMMLUNG

GÖSCHEN

BAND

1061

GETRIEBELEHRE von

DIPL.'ING.

P.

GRODZINSKI

I

GEOMETRISCHE

f

GRUNDLAGEN

Dritte, neubearbeitete Auflage von

DIPL.-ING.

GISBERT

LECHNEH

Mit 131 Figuren

WALTER DE GRUYTER & CO. vorm als G. J . Göschen'sche Verlagshandlung • J . Guttentag, Verlagsbuchhandlung • Georg Heimer • Karl J . Trübner • Veit & Comp

BERLIN

1960

© Copyright 1960 by W a l t e r de Gruyter & Co. r Berlin W 35. — Alle Rechte, einschl. der Rechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, von der Verlagshandlung vorbehalten. — Archiv-Nr. 11 10 61. — Satz unrl Druck: Deutsche Zentraldrudcerei AG., Berlin S W 6 1 , Dessauer Str. 6/7. — Printed in Germany.

Inhaltsverzeichnis

Seite

Schrifttum Einleitung

4 7

Bewegungsgeometrie (Bahnen, Geschwindigkeiten

und B e s c h l e u n i g u n g e n e b e n e r

Systeme)

1. Ebene Bewegung eines Punktes

10

1.1. G e r a d l i n i g e B e w e g u n g e i n e s P u n k t e s 1.2. Z u s a m m e n s e t z u n g g e r a d l i n i g e r B e w e g u n g e n 1.3. K r u m m l i n i g e B e w e g u n g e n e i n e s P u n k t e s

10 19 23

2. Ebene Bewegung zweier Ebenen

26

2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5.

S c h i e b u n g und D r e h u n g M o m e n t a n p o l z w e i e r sich b e l i e b i g b e w e g e n d e r E b e n e n Beschleunigungspol W e n d e k r e i s und W e c h s e l k r e i s B e s t i m m u n g d e s K r ü m m u n g s m i t t e l p u n k t e s e i n e r B a h n nach Hartmann 2.6. Z u s a m m e n h a n g zwischen d e r K r ü m m u n g d e r B a h n und d e r Krümmung der Polbahnen

3. Ebene Bewegung dreier Ebenen 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6.

und Beschleunigungen

4.1. A l l g e m e i n e s 4.2. G e l e n k v i e r e c k (Bogenschubkurbel oder Doppelkurbel, Doppelschwinge) 4.3. G e r a d s c h u b k u r b e l 4.4. K u r b e l s d i l e i f e n 4.5. B o g e n s c h l e i f e n - und K r e u z s c h l e i f e n g e t i i e b e

48 49

53

Allgemeines Zwei Schiebungen g e g e n die feste Ebene S c h i e b u n g und D r e h u n g um e i n e n f e s t e n P u n k t D r e h u n g z w e i e r E b e n e n g e g e n e i n e d r i t t e um f e s t e Beliebige Bewegung dreier Ebenen Coriolis-Besdileunigung

4. Geschwindigkeiten getrieben

31 26 40 43

Punkte

von KurbelKurbelschwinge,

53 54 55 56 60 63

66 66 66 80 86 94

5. Geschwindigkeiten und Beschleunigungen von Kurvengetrieben 97 5.1. 5.2. 5.3. 5.4.

K u r v e n s c h u b mit a b l a u f e n d e r R o l l e Kurvenscheiben mit, ablaufender Rolle K u r v e n s c h e i b e n mit p l a t t e n a r t i g e m E i n g r i f f s g l i e d Untersuchung eines Nockens einer Hochofengebläsemaschine

97 98 101 102

Inhalt — Schrifttum

4

Geometrische Zusammenhänge 1. Beweglichkeit und Zwanglaufbedingungen 2. Konstruktion von Gelenkgetrieben 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6.

Allgemeines Beweglichkeit und Totlagen Bogensdiubkurbel oder kurbelschwinge Doppelkurbel .' Doppelschwinge Sonderfälle

Seite

106 Iii 111 112 114 118 118 119

3. Koppelbewegungen

121

4. Konstruktion von Kurvengetrieben

129

4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7.

Grundlagen Verwendete Bezeichnungen Bewegungsgesetze Ermittlung des Grundkreishalbmessers Konstruktion der Kurvenscheiben Beispiel zum Entwurf einer Kurvenscheibe Kurvenscheiben mit kreisförmiger Begrenzung

129 132 133 141 147 148 151

5. Grundgesetze der Verzahnung

153

6. Wälzhebeltriebe

157

Stichwortverzeichnis

163

Schrifttum (chronologisch geordnet) 1. R. W i l l i s , Principles of Mechanism, 1. Ausg. 1841, 2. Ausg. London, 1870. 2. F. R e u l e a u x , Theoretische Kinematik, I. Teil, Braunschweig, 1875. 3. F. G r a s h o f , Theoretische Maschinenlehre, Theorie der Getriebe, Hamburg-Leipzig, 1883. 4. L. B u r m e s t e r , Lehrbuch der Kinematik, Leipzig, 1888. 5. F. R e u l e a u x , Theoretische Kinematik, II. Teil, Braunschweig, 1900.

Schrifttum

5

6. C. W. M a c C o r d , Velocity Diagrams, their contraction and their Uses, New York, London, 1901. 7. H. P o l s t e r , Kinematik, Sammlung Göschen, 1912, 2. Auflage 1920. 8. W. H a r t m a n n , Die Maschinengetriebe, Berlin, 1913. 9. M. G r ü b l e r , Getriebelehre, Berlin, 1917. 10. A. W. K l e i n , Kinematics of Machinery, New York, London, 1917. 11. C h r i s t m a n n - B a e r , Grundzüge der Kinematik, 2. Auflage, Berlin, 1922. 12. F. W i 11 e n b a u e r , Graphische Dynamik, Berlin, 1923. 13. Ausschuß für wirtschaftliche Fertigung AWF-Getriebeblätter, Berlin, 1922—1944. 14. R. B e y e r , Einführung in die Kinematik, Leipzig, 1928. 15. AWF-Getriebe- und -Getriebemodelle, Bd. I. Berlin, 1928, Bd. II. Berlin, 1929. 16. J a h r - K n e c h t e l , Grundzüge der Getriebelehre, 1. Band, Leipzig, 1930. Dritter Neudruck, Leipzig 1949. 17. H.J. K n a b , Getriebelehre, 2. Auflage, Nürnberg, 1930. 18. H, B e y e r , Technische Kinematik, Leipzig, 1931. 19. K. R a u h , Praktische Getriebelehre, I. Band, Berlin, 1931. 2. Aufl., Berlin 1951. 20. M. M a c k , Geometrie der Getriebe, Berlin, 1931. 21. T h . P o e s c h i , Einführung in die ebene Getriebelehre, Berlin, 1932. 22. K. F e d e r h o f e r , Graphische Kinematik und Kinetostatik. Berlin, 1932. 23. R. M ü 11 e r , Einführung in die ebene Getriebelehre, Berlin, 1932. 24. P. G r o d z i n s k i , Getriebelehre, Bd. II, Sammlung Göschen, 1933. 25. J a h r - K n e c h t e l , Grundzüge der Getriebelehre, Bd. II, Leipzig, 1938. 26. K. R a u h , Praktische Getriebelehre, Bd. II, Berlin, 1939. 27. W. S t e e d s , Mechanism and the Kinematics of Machines, London, 1940. 28. R. F r a n k e , Vom Aufbau der Getriebe, Bd. I, Die Entwicklungslehre der Getriebe, l.Aufl. 1943, 2. Aufl. 1948.

6

Schrifttum 29. P. G r o d z i n s k i , A practical Theory of Mechanisms, Manchester, 1947. 30. R. K r a u s , Grundlagen der Getriebelehre, Hannover, Wolfenbüttel 1949. 31. K . H a i n und W . M e y e r z u r C a p e l l e n , Kinematik. F I A T Review of German Science 1939—1946 (Naturforschung und Medizin in Deutschland), Bd. 7: Angewandte Mathematik, Teil V. 32. O. K r a e m e r , Getriebelehre. Eine Auswahl für Studium und Praxis, Karlsruhe, 1950. 33. K. H. S i e k e r , Einfache Getriebe, Bd. 15 der Lehrbücher der Feinwerktechnik, Leipzig, 1950. 34. R. F r a n k e , Vom Aufbau der Getriebe, Bd. II. Die Baulehre der Getriebe, Düsseldorf, 1951. 35. K. F e d e r h o f e r , Prüfungs- und Übungsaufgaben aus der Mechanik des Punktes und des starren Körpers, Teil I—III, Wien, 1950, 1951. 36. R. K r a u s , Getriebelehre, Berlin 1951. 37. K. H a i n , Angewandte Getriebelehre, Hannover 1952. 38. R. B e y e r , Kinematische Getriebesynthese, Berlin 1953. 39. AWF- VDMA- VDI-Getriebehefte und Getriebeblätter, Berlin 1955—1958. 40. R. B e y e r , Kinematisch-getriebeanalytisches Praktikum, Berlin 1958. 41. R. B e y e r , Kinematisch-getriebedynamisches Praktikum, Berlin 1960.

In den vorstehend angegebenen Werken finden sich zum Teil umfangreichere Literaturhinweise, insbesondere auch über Zeitschriftenaufsätze. Zahlreiche Werke, insbesondere 2, 4, 5 und 8 sind vergriffen. Die unter 13 und 39 angeführten Getriebeblätter sind eine Zusammenstellung von in der Praxis angewandten Getrieben und der hierfür notwendigen Konstruktionen. Die Sammlung wird laufend ergänzt. Einzelne Abbildungen wurden mit Erlaubnis des A W F dieser wichtigen Sammlung entnommen.

Einleitung Die Getriebelehre oder Zwanglauflehre 1 ) macht Gebrauch von grundlegenden Lehren der Geometrie, der Mechanik und selbstverständlich auch, soweit dies erforderlich ist, der Festigkeitslehre und der Thermodynamik. Vor allem kann die Getriebelehre des geometrischen Aufbaues nicht entraten, denn ein Getriebe wird überhaupt nur dann praktisch ausgeführt werden können, wenn die verschiedenen Stellungen oder Lagen seiner Glieder geometrisch möglich sind. Eine bestimmte Bewegung (vollständiger Umlauf einer Kurbel) wird nur bei entsprechender Wahl von Größe und Lage der davon beeinflußten Getriebeglieder möglich sein. Die Getriebe und ihre Glieder müssen nicht nur in bestimmter Weise beweglich sein, sondern diese Bewegungen müssen auch innerhalb bestimmter Zeitabschnitte ausgeführt werden. Während die Geometrie nur mit dem Begriff des Raumes arbeitet, berücksichtigt die Bewegungsgeometrie noch den Begriff der Zeit. Man kann sie also als die Wissenschaft bezeichnen, die den räumlichen und den zeitlichen Verlauf der Bewegungen erforscht. Während die Mechanik, insbesondere Kinetik oder Dynamik, zu Raum und Zeit noch den Begriff der Masse hinzunimmt, kann man die Bewegungsgeometrie als eine erweiterte Geometrie ansehen. Die Bewegungsgeometrie hatte im Laufe ihrer Entwicklung eine Reihe von Aufgaben zu lösen, und ihre Ent1) In wissenschaftlichem Sinne nennt man die Bewegungsgeometrie (Phoronomie) auch Kinematik (von xivrjua Bewegung), leider versteht man in technischen Kreisen unter „Kinematik" auch die körperliche Ausbildung der die Bewegung ausführenden Körper. Um eine klare Unterscheidung zu finden, soll das W o r t „Kinematik" möglichst vermieden werden; die reine Bewegungslehre soll Bewegungsgeometrie, die Lehre d e r körperlichen „Ausbildung" von Bewegungsvorgängen soll „Getriebelehre" oder Zwanqlauflehre genannt werden.

8

Einleitung

wicädung kann heute noch nicht als abgeschlossen angesehen werden. Seit geraumer Zeit stehen Verfahren zur Verfügung, um Geschwindigkeiten und Beschleunigungen (und Kräfte) an beliebigen Bewegungen zu untersuchen. Ein Ausschnitt aus diesem Gebiet wird im ersten Teil dieser Arbeit unter „Bewegungsgeometrie" gegeben (Getriebeanalyse). Weitgehendste Anwendung wird von graphischen Verfahren gemacht, die von W. Hartmann, R. Mollier und anderen in hoher Vollkommenheit entwickelt wurden. Diese Verfahren sind weit anschaulicher als rechnerische Verfahren, die zum Teil noch im Ausland angewandt werden und die nur für bestimmte Getriebe mit geometrisch einfachen Beziehungen geeignet sind. Es sei betont, daß diese Verfahren lediglich ermöglichen, ein in seinen wesentlichen Abmessungen gegebenes Getriebe zu untersuchen, bezüglich der in einzelnen Teilen auftretenden Geschwindigkeiten und Beschleunigungen, um danach die Teile werkstoffgerecht auszuwählen und zu bemessen. Damit sind gleichzeitig die Hilfsmittel an die Hand gegeben, um gewisse Verbesserungen hinsichtlich Abmessungen und Lage der Getriebeglieder zu geben, ohne jedoch den gegebenen getrieblichen Zusammenhang zu ändern. Die Verfahren erlauben auch verschiedene Getriebe für den gleichen Zweck miteinander zu vergleichen und dann die beste Lösung zu wählen. Im zweiten Teil wird Gebrauch von rein geometrischen Verfahren zum Aufbau von Getrieben gemacht. Die sogenannte Zahlensynthese, erstmalig von M. Grübler angewandt, hat durch die Hand von K. Kutzbach und R. Kraus in Deutschland und A. W. Klein in Amerika eine wesentliche Weiterentwicklung erfahren. Ein weiterer Zweig der Bewegungsgeometrie, die Maßsynthese, kann hier nur ganz kurz gestreift werden. Aus den nahezu vergessenen Arbeiten von L. Burmester und R. Müller ist sie von H. Alt, R. Beyer, W. Lichtenheldt, K. Hain wesentlich weiterentwickelt worden. Noch heute

Einleitung

9

wird die Bedeutung dieser Lehren von vielen Ingenieuren nicht voll verstanden. Es ist dies ein Zweig, der noch stark im Aufbau begriffen ist und noch der engsten Zusammenarbeit mit dem Maschineningenieur bedarf, um einwandfreie Getriebe zu entwickeln. Die so entwickelten Methoden erlauben, bestimmte Forderungen aufzustellen und danach ein Getriebe zu finden, das diesen Forderungen genügt. Beispielsweise können zwei und mehr Stellungen eines Gliedes gegeben sein, und es sind die Aufhängepunkte zu finden, die es zur KopDel eines Gelenkvierecks macht, dessen feste Gelenkpunkte oder dessen Kurbellänge gegeben sind. Es muß jedoch vor der falschen Auffassung gewarnt werden, daß die Maßsynthese ermöglicht, eine Getriebeform zu finden. Die mögliche Getriebeform: Gelenkvieredc, Gelenksechsedc usw. muß jedoch bereits vorher festliegen, da nur dann die geometrischen Hilfsmittel zweckmäßig anwendbar sind. Diese Überlegungen zeigen anschaulich, daß nur durch gemeinsame Anwendung der verschiedenen Grundverfahren der Getriebelehre der vom Maschineningenieur erwartete brauchbare Entwurf eines Getriebes entsteht. Beispielsweise dürften die Grundüberlegungen rein anschaulicher Natur sein, um einen geeigneten Getriebetyp zu finden (siehe Bd. II: Angewandte Getriebelehre), die den gestellten Bedingungen genügt. Die folgende Aufgabe wäre Anwendung der Zahlensynthese, ob das beabsichtigte Getriebe die für den Zweck geringste Zahl von Gelenken und Gliedern hat, und ob gleichwertige Getriebe bestehen. Der nächste Schritt wäre Anwendung der Maßsynthese, um die geeigneten Abmessungen des Getriebes zu ermitteln, woraufhin dann die analytischen Verfahren angewandt werden, um Geschwindigkeiten und Beschleunigungen aufzufinden und das Geschwindigkeits- und Beschleunigungsverhalten festzulegen. Daraufhin ist dann das Getriebe mit Rücksicht auf die Maschine konstruktiv zu entwickeln. Das Getriebe mag dann schwer mit der Form des ersten

10

Ebene Bewegung eines Punktes

Entwurfes in Einklang zu bringen sein. Der geschilderte Werdegang ist nur beispielsweise gegeben, da häufig wesentliche Abweichungen in der Reihenfolge notwendig sein werden, beispielsweise, wenn bestimmte Geschwindigkeiten oder Beschleunigungen gegeben sind. Die Reihenfolge der Behandlung in diesem Bändchen ist von didaktischen Gründen bestimmt. Bewegungsgeometrie (Bahnen, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen ebener Systeme) ]. Ebene Bewegung eines Punktes 1.1 Geradlinige Bewegung eines Punktes Weg. Die gerade Linie fg (Bild 1) sei die Bahn eines Punktes A. Punkt O ist ein willkürlich gewählter Punkt auf dieser Bahn, der als Bezugspunkt für die Bewegung von. A dienen soll. Die Lage von A auf der Geraden fg ist durch den Abstand OA = s bestimmt. Um die Lage des Punktes A rechts oder links von O unterscheiden zu f p — o Bild

die geometrische Subtraktion. §

Das Verhältnis vm = y wird mittlere

Geschwindigkeit

der zusammengesetzten Bewegung genannt. Nur wenn beide Bewegungen in Richtung sx und s2 gleichförmige Bewegungen sind, stimmt vm mit der tatsächlichen Geschwindigkeit überein. Geschwindigkeiten. Das oben erläuterte Verfahren der Zusammensetzung geradliniger Wege gilt auch, wenn das Zeitelement df, in dem wir die Bewegung betrachten, unendlich klein wird. In diesem Zeitelement können wir die Geschwindigkeiten der 11. Zusammensetzung von Wegelemen„

ten und Geschwindigkeiten.

Einzelbewegungen als gleichförmig ansehen und erhalten dann (Bild 11) die Geschwindigkeit v des Punktes A ds df

ds t +-> dsä _ dt

Di und u 2 sind die in Richtung der Wege 6'x und s2 fallenden Geschwindigkeiten. Wir können also die tatsächliche Geschwindigkeit einer zusammengesetzten Bewegung durch geometrische Addition der Geschwindigkeiten der Einzelbewegung finden. B e i s p i e l : Umfangsgeschwindigkeit am rollenden Rade (Bild 12). Ein Rad vom Halbmesser r rolle auf der ebenen Fahrbahn mit der Geschwindigkeit v ab. Dann hat der Berührungspunkt P augenblicklich die Geschwindigkeit 0 (Momentanpol der Bewegung siehe S.31). Der Mittelpunkt des Rades hat die Geschwindigkeit v. Ein Punkt C am Anfang hat die horizontale Geschwindigkeit des Mittelpunktes und weiter eine

22

Ebene Bewegung eines Punktes

Rad

Umfangsgeschwindigkeit v tangential zum Kreis. Die beiden Geschwindigkeiten werden nach einem Parallelogramm zusammengesetzt. Ist (p der Drehwinkel, so schließen die Vektoren ebenfalls den Winkel qj ein, und wegen des gleichschenkligen Dreiecks vr = 2 « • sin >a sa = =r„ r•a-

2 = (14) " Q t r die Gesamtbeschleunigung p = p t + p n = ] / p i + p2n = (15)

= |/ (T • S)2 + (r CD2)2 = r ]/ e2 + w4 . Die Gesamtbeschleunigung ist gegen den Halbmesser AM um den Winkel a geneigt, wobei 6 f •6 , = , . 16 pn r • (t)2 io2 Man erkennt, daß bei Drehung einer Ebene um einen festen Punkt Wege, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen proportional mit dem Halbmesser wachsen. Der Winkel zwischen Halbmesser und Beschleunigung ist dagegen vom Halbmesser unabhängig.

Pf tg& a = — =

B e i s p i e l : Ermittlung der Gesdiwindigkeit und Beschleunigung . des Punktes C auf AM (Bild 18). ' Man verbindet den Endpunkt von va mit M und zieht eine Parallele durch C zu va, die Verbindungslinie va M schneidet hierauf vc ab. Ferner verbindet man den Endpunkt von p3 mit M und zieht eine Parallele zu p a durch C, die Verbindungslinie schneidet audi hier pc ab. Während v und vc J_ zu AM

^

j 1

,, —*f'

stehen, sind p3 und pr um den gleich- B i l d ^ Beschleunigungen .. einer bbene, die sich um bleibenden Winkel a gegen AM ge- einen festen Drehpunkt neigt. dreht.

Ebene Bewegung zweier Ebenen

30

Bei gleichförmiger Bewegung, also bei konstanter Winkelgeschwindigkeit, wird 1 = Drehzahl Umlaufzeit

T =

— = 0,1047 • n • sek"1 60 30-co = 9,549 • ü) • min-1 2n

=

60 . sek (Zeit für eine n Volldrehung).

Allgemeine Bewegung. Durch Zusammensetzen einer Schiebung (s. S. 26) und einer Drehung (s. S. 27) erhält man die allgemeine Bewegung einer Ebene. Das Ende A einer Stange a = AB (Bild 19 a) führt eine Schiebung mit der Geschwindigkeit ü a aus, während sich die Stange

Momentanpol zweier sich beliebig bewegender Ebenen

31

gleichzeitig mit der Winkelgeschwindigkeit w dreht. Als Elementarbewegung aufgefaßt, gelangt Stange AB durch eine Elementarschiebung A sa in die Lage AjB', durch die zusätzliche Drehung A

= tg i) (hieraus dann ra rh Bestimmung der Größe von v¡, s. weiter unten), wobei co = Winkelgeschwindigkeit um den Momentanpol.

Ebene Bewegung zweier Ebenen

32

Man nennt deshalb den Punkt P Geschwindigkeitspol, Momentanpol oder Momentanzentrum. Es ist dies der einzige Punkt der Ebene E i , der im betrachteten Zeitpunkt in Ruhe bleibt, er ist deshalb beiden Ebenen EQ und E1 gemeinsam. Mit Hilfe des Gesdrwindigkeitspoles läßt sich die Geschwindigkeit jedes beliebigen Punktes der bewegten Ebene ermitteln, wenn die Geschwindigkeit v3 eines Punktes A bekannt ist (Bild 21). Die Geschwindigkeit jedes beliebigen Punktes B, C usw. findet man dadurch, ß

/

a

b

Bild 21 a u. b. Ermittelung der Geschwindigkeiten beliebiger Punkte einer bewegten Ebene mittels Gesdiwindigkeitsplanes.

daß man den vom Polstrahl AP und der Verbindungslinie vaP eingeschlossenen Winkel (s. Seite 28) ebenfalls an die Polstrahlen PB bzw. PC anträgt. Diese schneiden auf den Senkrechten zu den Polstrahlen die Geschwindigkeiten Vb bzw. vc ab. Man erkennt, daß die Endpunkte der Geschwindigkeiten ua, vc ein dem Dreieck ABC ähnliches Dreieck bilden. Eine weitere geometrische Beziehung zwischen den Geschwindigkeiten erhält man, wenn man den sog. Geschwindigkeitsplan (Bild 21 b) entwirft. Man trägt von einem beliebigen Punkt O aus die Geschwindigkeiten der Punkte ABC usw. nach Größe und Richtung an. Die Endpunkte A'B'C' bilden wieder ein dem Dreieck ABC ähnliches Dreieck. Diese Beziehungen geben die Möglichkeit, die Geschwindigkeiten beliebiger

M omentanpol zweier sich beliebig bewegender Ebenen

33

Punkte zu ermitteln. In der Bewegungsgeometrie hat es sich eingeführt, mit den um 90° gedrehten Geschwindigkeiten zu arbeiten, da sich hierdurch viele Aufgaben leichter und genauer lösen lassen (s. Seite 39). Sie werden im folgenden mit v~} gekennzeichnet; andererseits gibt es verschiedentlich Lehrbücher, die aus Gründen der Anschaulichkeit die Anwendung der wirklichen Geschwindigkeitspfeile vorziehen. In Abschnitt 1.3 wurde nachgewiesen, daß die Richtung der Geschwindigkeit eines Punktes mit der Bahntangente zusammenfällt. Sind also die Bahnen zweier Punkte A und B gegeben, so kann man ohne Zuhilfenahme der Geschwindigkeiten durch Zeichnen der Bahnnormalen zu einer beliebigen Lage A„Bn den zugehörigen Pol Pn ermitteln (Bild 22). Verändert die Strecke AB ihre Lage, so wird im allgemeinen der Pol P seine Lage ändern. Ermittelt man für verschiedene aufeinanderfolgende Lagen AB den jeweiligen Drehpunkt, so stellt man fest, daß sich die Pole auf einer Kurve oder Linie anordnen. Es entsteht sowohl auf der ruhenn _ 00 ,

.

,

i

r

i

Bild 22.

Die

Bewegung

einer

den Ebene als auch auf der Ebene kann stets durch das Abbewegten Ebene eine Kurve, rollen einer beweglichen Polbahn Die Kurve auf der ruhenden G a u f e i n e r f e s t e n P o l b a h n R dargestellt werden. Ebene nennt man Rastpolbahn R und diejenige auf der bewegten Ebene Gangpolbahn G. In jedem Zeitpunkt haben beide Polkurven den Pol gemeinsam. Durch eine Drehung um einen unendlich kleinen Winkel um diesen gemeinsamen Punkt gelangen jeweils die Nachbarkurven zur Deckung. Das ist nur möglich, wenn die sich im Pol berührenden Polkurven aufeinander abrollen, ohne zu gleiten (man nennt sie deshalb 3

Grodzinski, Getriebelehre I

Ebene Bewegung zweier Ebenen

34

auch Rollkurven). Die Rastpolbahn R ermittelt man zeichnerisch durch Annahme verschiedener Lagen AB auf den Bahnen a und b. Sehr zweckmäßig ist es, ein durchsichtiges Stüde Zeichenpapier als Ebene AB zu benutzen, man erhält dann auf ihr die Gangpolbahn G und kann den Bewegungsverlauf durch Abrollen der Polbahnen aufeinander gut verfolgen. Für eine bestimmte Anfangsstellung läßt sich die Gangpolbahn auch in die Zeichnung der ruhenden Ebene eintragen, indem man die vom Pol und den Kurvennormalen gebildeten Dreiecke auf die Anfangsstellung überträgt; so ist A ABGi s A A4B4R4. Da sich jede Bewegung einer Ebene auf einer anderen, wie sie durch ein beliebiges Getriebe erzeugt wird, durch die Bewegung der aufeinander abrollenden Polbahnen ersetzen läßt, bilden die Polbahnen eines der wichtigsten Hilfsmittel zur Konstruktion und Untersuchung von Getrieben. b

B e i s p i e l e : Punkt A der Stange AB = l (Bild 23) bewegt sich auf der Geraden a, Punkt B auf der Geraden b. Wir finden P als Schnittpunkt der Normalen n a in A und nb in B. Man erkennt, daß der Abstand OP = AB = l, also konstant ist; P bewegt sich 3 und umgekehrt va R = . Auf AM liegt auch der Momentanpol P, dessen Polwediselgeschwindigkeit u sich in zwei Komponenten ua 1 PM und um || PM zerlegen läßt. I • Da P während einer Elementarbewegung des Punktes A den Strahl AM nicht verlasken kann, so müssen die Endpunkte von va und ua auf einem von M ausgehenden Strahl liegen. Damit ist eine einfache zeichnerische Konstruktion des Krümmungsmittelpunktes M gegeben. Ferner besteht die Beziehung \ |,

M6 Bild 34. Krümmungsmittelpunkt einer Bahn, Bestimmung nach Hartmann.

R _ V3 PM ~ ua '

d. h. die Verbindungslinie der Endpunkte von v a und u a geht durch den Krümmungsmittelpunkt M. Graphische Ermittlung der Polwechselgesdiwindigkeit (Bild 35): Sind die Geschwindigkeiten v a und v b zweier Punkte A und B einer bewegten Ebene E j gegeben, und sind die augenblicklichen Krümmungsmittelpunkte M a und Mb bekannt, so läßt sich die Wechselgeschwindigkeit des Poles P auf einfache Art ermitteln. Den Momentanpol P findet man als Schnittpunkt der Bahnnormalen AMa und BMb. Man zieht durch P die Parallelen zu « a und vb bis zu den Schnittpunkten mit den Strahlen durch M bzw. M fc ; diese schneiden die Komponen-

Krümmung der Bahn und Krümmung der Polbahnen

49

ten der Polwechselgeschwindigkeit « a und u^ ab. Durch die Schnittpunkte zieht man Parallelen zu AMa und BMb. Diese

%

¡\ I n 6

Bild 35. Ermittlung der Polwechselgeschwindigkeit

schneiden sich in U. PU = u ist die Polwechselgeschwindigkeit nach Größe und Richtung. PU ist gleichzeitig die Tangente an die Polkurven R und G, dazu senkrecht steht die Richtungslinie der Polbeschleunigung po = u • co. 2.6 Zusammenhang zwischen der Krümmung der Bahn und der Krümmung der Polbahnen1) Von einem bewegten System sind die Polbahnen G und R, die sich im Punkte P berühren, gegeben. Das Abrollen der Polbahnen aufeinander kann für eine kleine Bewegung durch das Abrollen der beiden Krümmungskreise der Polbahnen Kr und Kg ersetzt werden (Bild 36). Ist die Polwechselgeschwindigkeit u, die in Richtung der Polbahntangente fällt, bekannt, so ergibt sich die Geschwindigkeit t>m des Mittelpunktes M g des Krümmungshalbmessers der Gangpolbahn zu R + R„ vm = R-tg& = u— . l) Beispiel zur Ermittlung eines Krümmungshalbmessers (vierpunktif berührend) aus der Polwediselgesdiwindigkeit an einem Kurbelrastgetriebe. Siehe R. Kraus, Schrifttum 30, S. 45. Weiterhin K. H. Sieker: Ermittlung von Gelenkvierecken aus den Krümmungshalbmessern der Polbahnen und deren Änderungen. ( D i e T e c h n i k , Bd. 3, 1948 S. 170 bis 174.) 4 Grodzinski. Getriebelehrc I

50

Ebene Bewegung zweier Ebenen

Die Geschwindigkeit eines Bahnpunktes A mit dem Abstand AP = q ist va = q • tg •§. Ferner gilt, wie im Abschnitt 2.5 dargelegt, die Beziehung

Bild 36. Beziehungen zwischen Bahn- und PolbahnKrümmung. Va

=

Ua

6 + e»

^

» 9 = & ' t&V

.

wobei £> + «o = AM3 = Krümmungshalbmesser der Bahnkurve. Zwischen u und u 3 besteht die Beziehung u = u • sin u .

Krümmung der Bahn und Krümmung der Polbahnen

51

Aus den obigen drei Gleichungen können wir die Geschwindigkeiten eliminieren und erhalten 1 1 1 1 -- + — S l n ö = B + R> (19) 0 ?0 Q die sogenannte Euler-Savarysche Formel. Sie gestattet, bei gegebenen Rollbahnen die Krümmung der Bahnkurven zu ermitteln. Für diejenigen Punkte der Bahn, für die der Krümmungskreis im Unendlichen liegt, also — - = 0, ergibt sich R-R0 R • R„ Q = r> „ • sin « ; setzt man D = — , so wird o = D • sin oc. K + K„ n + «„

Bild 37. Abrollen eines Rades (siehe auch Bild 32) Wendekreis.

Der

geometrische

Ort

für

alle

Punkte,

die dieser BedinDä gung genügen, ist ein Kreis mit Halbmesser , und zwar dei in Abschnitt 2.4 ermittelte Wendekreis, der geometrische Ort für alle Bahnpunkte, bei denen die Krümmung wechselt. B e i s p i e l I : Ein Kreis K mit Halbmesser R rollt auf einer Geraden (rollendes Rad) (Bild 37), Kreis und Gerade bilden gleichzeitig die Polbahnen der Bewegung, die Krümmungskreise sind R und Ro = Die in der Kreisebene liegenden Punkte A, B, C beschreiben Zykloiden. Der Wendekreis hat 4'

52

E b e n e Bewegung zweier E b e n e n

den Durchmesser D a = R, es ist also ein Kreis vom halben Durchmesser. E r schneidet, wie m a n in Bild 37 deutlich erkennt, die Bahnkurven in ihren W e n d e p u n k t e n . Die Polwechselgeschwindigkeit u ist gleich der Geschwindigkeit des Wendepols W . B e i s p i e l I I : Wendekreis beim Gelenkviereck. Die Bahn der Koppelpunkte A u n d B sind Kreise um die D r e h p u n k t e 1 u n d 2 (Bild 38). Der Pol der Koppelbewegung findet sich als Schnittpunkt der Verlängerungen 1A u n d IB.

l'olliuluiliuujnitf \J'

11 'fndi'krvis

Bild 38. Wendekreis eines Gelenkviereckes. Gegeben sei va;

der Winkel APu a sei i), wir tragen ihn

ebenfalls an BP und erhalten vb J_ BP- Wir verlängern l « a u n d erhalten im Schnittpunkt der Parallelen zu Ava auf die gleiche Weise ermitteln wir ub.

durch P

«a;

Durch den E n d p u n k t

von u a ziehen wir eine Parallele zu 1P, u n d durch den E n d punkt von u b ziehen wir eine Parallele zu 2P, diese schneiden sich im E n d p u n k t von u = uP. u liegt in Bichtung der Polbahntangente, wir errichten in P das Lot auf u u n d haben so

Allgemeines

53

die Polbahnnoimale. An diese tragen wir den Winkel // an und ziehen eine Parallele zur Normalen durch den Endpunkt von u, durch den Schnittpunkt ziehen wir eine Parallele zu u und erhalten Punkt W. PW = D a , gleich dem Durchmesser des Wendekreises.

3. Ebene Bewegung dreier Ebenen 3.1 Allgemeines Drei Ebenen E 1 ; E 2 , E3 bewegen sich nach beliebigem Gesetz gegeneinander. Wenn wir uns als Beobachter auf eine dieser Ebenen stellen und alle Bewegungen mitmachen, so erscheint uns die Ebene, auf der wir gerade stehen, als feststehend, und wir würden nur eine Bewegung der beiden anderen Ebenen beobachten. Diese Bewegungen werden als Relativbewegungen bezeichnet, während die Absolutbewegung nur von einer ruhenden vierten Ebene aus zu beobachten wäre. Wir wollen jedoch hier nur die Relativbewegung untersuchen und denken uns deshalb eine der drei Ebenen als fest. Wir wählen die Ebene E± als „feste Ebene" und denken sie mit der Papierebene zusammenfallend, während die Ebenen E 2 und E 3 bestimmte Bewegungen ausführen können1). Denkt man sich während der Bewegung einen Punkt durch einen plötzlichen Nadelstich auf allen drei Ebenen markiert, so sollen die drei übereinanderliegenden Punkte je nach der Ebene, der sie angehören, die Buchstaben A 1 ; A 2 , A3 erhalten. Die Geschwindigkeiten dieser Punkte erhalten die Bezeichnungen u 3 1 , t>21 und ü 2 3 , die Beschleunigungen psx, P21, P23- So bedeutet zum Beispiel u 3 i die Geschwindigkeit, die ein Punkt A 3 der Ebene E 3 gegenüber der Ebene E1 hat. Umgekehrt würde die Geschwindigkeit des Punktes Ax (Punkt der Ebene E^ gegen die Ebene E 3 mit u 1 3 zu bezeichnen sein, da dieser Punkt sich 1) E s d ü r f t e v o r t e i l h a f t s e i n , d i e f o l g e n d e n D a r s t e l l u n g e n auf e i n e m f e s t e n Z e i c h e n b l a t t und z w e i d u r c h s i c h t i g e n Z e i c h e n b l ä t t e r n E u n d £3, b e i s p i e l s w e i s e aus Z e l l o p h a n , zu ü b e r t r a g e n .

54

Ebene Bewegung dreier Ebenen

dann in entgegengesetzter Richtung bewegt 3.2 Zwei Schiebungen gegen die feste Ebene Wir nehmen an, daß sowohl die Ebene E 2 als auch die Ebene £3 gegen die feste Ebene E j eine Schiebung in beliebiger Richtung ausführt (Bild 39). Die Ebene E3 führt eine Schiebung mit der Geschwindigkeit «32 gegen E 2 , und E 2 führt eine Schiebung mit der

Bild 39. Schiebungen zweier Ebenen.

Bild 40. Sdiiebungen der Keilkette.

an

Geschwindigkeit « 2 i gegen die angenommene feste Ebene E j aus. Diese beiden Geschwindigkeiten lassen sich zusammensetzen, und man erhält Da die Geschwindigkeiten jedes Punktes einer Ebene bei einer Schiebung nach Größe und Richtung die gleichen sind, so gilt die obige Beziehung für sämtliche Punkte der Ebene. Als Beispiel diene die Keilkette (Bild 40). Die Schiebungsrichtungen sind durch die Linien bestimmt, in denen sich die drei Keilflächen berühren. Ist die Schiebungsgeschwindigkeit von k2 gegen k1, nämlich v2i, gegeben, so läßt diese sich in die Komponenten v 2 3 und u 3 1 zerlegen. Allgemein kann man sagen: Kennt man die Bahn und das Bewegungsgesetz eines Punktes in zwei Ebenen, so kann man durch geometrische Zusammensetzung die Wege,

Schiebung und Drehung um einen festen Punkt Geschwindigkeiten und Beschleunigungen dieses gegenüber der festen Ebene E1 ermitteln.

55 Punktes

3.3 Schiebung und Drehung um einen festen Punkt Die Ebene E 2 führt gegen die ruhende Ebene £-[ eine Schiebung mit der Geschwindigkeit vs aus. Um einen Punkt S der Ebene E 2 dreht sich die Ebene E 3 mit der ,. \ \ Winkelgeschwindigkeit (o (Bild 41). Derartige Bewegungen kommen an Getrieben häufig vor, wenn eine Schiebung durch eine Drehbewegung und umgekehrt erzeugt wer\ den soll. — B e i s p i e l : BeBild 41. Schiebung und Drehung um __

i

einen festen Punkt.

wegung des Kreuzkopfes und der Pleuelstange einer Geradschubkurbel (Bild 64, S. 85). Ein beliebiger Punkt A 3 der Ebene E 3 im Abstand a vom Drehpunkt S hat gegen E2 die Geschwindigkeit Der sich augenblicklich mit A 3 deckende Punkt A 2 hat die Schiebungsgeschwindigkeit vs der Ebene E 2 . Die wirkliche Geschwindigkeit t ^ des Punktes A 3 gegen die Ebene Ei finden wir durch Zusammensetzen von ü 3 2 und vs zu Wie bei anderen Bewegungsvorgängen, so ist auch hier anzunehmen, daß ein Punkt vorhanden ist, der augenblicklich die Geschwindigkeit = 0 hat, d. h. den Pol der Bewegung darstellt. Für diesen Punkt müßte u 3 1 = 0 t,32+->üs = ° also

Ebene Bewegung dreier Ebenen

56

werden; dies ist jedoch nur der Fall, wenn für ihn « 3 2 und vs von gleicher Größe und entgegengesetzt gerichtet sind. Für den Pol P, der den Absand a 0 vom Drehpunkt S habe, gilt also :l2=~

V

Vs'

% •°J=VS'

Vs "0 = ^7-

Ferner ergibt sich, daß a 0 senkrecht zu vs steht, und zwar liegt P in der Richtung, in die vs nach Drehung um 90° im Uhrzeigersinne fallen würde. Wir können also die Gesamtbewegung der beiden Ebenen E2 und Es ersetzt denken durch eine Drehung um den festen Pol P. Dieser Pol behält nämlich im Gegensatz zu den Bewegungsvorgängen auf Seite 33 seine Lage auf der festen Ebene E^ bei. Wir können uns nun denken, daß die Ebene E3 sich um diesen Punkt P dreht. Dann hat z. B. der Punkt S als Punkt der Ebene E3 die Drehgeschwindigkeit vs, diese ist aber = a0 • a>. Somit dreht sich S um P mit der Winkelgeschwindigkeit w, d.h. mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit, mit der sich E3 um E2 in S dreht. Die Geschwindigkeit « 3 1 des Punktes A 3 , bezogen auf den Pol P, kann geschrieben werden u 3 1 — c • 10, wobei c der Abstand A 3 P. Der Nachweis ergibt sich aus der Beziehung (S. 56) und daraus, daß c = a0 4-> a. 3.4 Drehung zweier Ebenen gegen eine dritte um feste Punkte Die Ebenen E 2 und E3 drehen sich gegen die ruhende Ebene E1 um die festen Punkte P 2 1 und P 3 1 mit den Winkelgeschwindigkeiten o) 2 i und o>31 (Bild 42). Ein Punkt A mit den Abständen o 2 und a3 von den Drehpunkten P 2 i und P 3 1 hat dann gegen E i die Geschwindigkeiten (03l' U31=V je nachdem er als Punkt A 2 der Ebene E 2 oder als Punkt

Drehung zweier Ebenen gegen eine dritte um feste Punkte

57

A3 der Ebene £3 angesehen wird. Auch die Richtungen von f 2 i und t) 31 sind hierdurch bestimmt, indem sie senkrecht' zu den jeweiligen Polstrahlen stehen. Infolge der Relativbewegung von E 3 gegen E 2 hat A als Punkt A 3 gegen E 2 die Geschwindigkeit u 3 2 . Es ist dann

Bild 42. Drehung zweier Ebenen gegen eine dritte.

. Ließe sich ein Punkt finden, der als Punkt der Ebene E 3 gegen Ebene E2 in relativer Ruhe wäre, so könnte man die Bewegung von E 3 gegen E2 als eine Drehbewegung um diesen Punkt auffassen. Für diesen Punkt müßte sein also t>31 = +-> v21 . Diese beiden Geschwindigkeiten können nur gleich richtet sein, wenn sich der gesuchte Punkt P 3 2 auf Verbindungslinie von P 2 i und P 3 1 befindet. Hat P 3 2 Abstände r 2 bzw. r 3 von P 2 i und P 3 1 , so sind die schwindigkeiten dieses Punktes

geder die Ge-

58

Ebene Bewegung dreier Ebenen

Diese Geschwindigkeiten sind (nach S. 31) nur gleich, wenn

d. h. Punkt P 3 2 teilt die Verbindungslinie der beiden Drehpunkte P 2 1 und P 3 1 im umgekehrten Verhältnis der Winkelgeschwindigkeiten. Diese Teilung findet außen statt wenn a>21 und oj31 gleichen Drehsinn haben, innen dagegen, wenn beide Winkelgeschwindigkeiten in ungleichem Sinne drehen. Diese Feststellung führt zu dem Satze, daß die Relativ bewegung zweier sich, gegen eine dritte Ebene drehender Ebenen wiederum eine Drehung ist. Der Drehpunkt liegt auf der Verbindungslinie der anderen Drehpunkte und teilt sie im umgekehrten Verhältnis der Winkelgeschwindigkeiten. Folgende Beziehungen sind leicht rechnerisch oder graphisch zu ermitteln: a) Gegeben r 1 ; o>2i und a>31 mit gleichem Drehsinn, gesucht r 2 und r 3 (Bild 43):

Bild 43. Ermittlung von Winkelgeschwindigkeiten bei gleichem Drehsinn.

r.2 r,3

31

CO,

2

—

2

1

21

b) Gegeben r 1 ; a> 21 und oj 3 1 haben entgegengesetzten Drehsinn, gesucht r 2 und r 3 (Bild 44):

Drehung zweier Ebenen gegen eine dritte um feste Punkte

59

Bild 44. Ermittlung von Winkelgeschwindigkeiten bei entgegengesetzem Drehsinn. r

2 + r3 = r i

T

=

W

31 _

r

2

r„ w. ' = W" r 3 21

1W +t 3i °21

rr , - ,r1 < U— + £ Ü ~ »l il'

c) Gesucht Winkelgeschwindigkeit « 3 2 : Für P 3 1 gilt t5

3 1=U32+>,;21=0

Im Falle a) sind

also

r'3 • co3

2 = t 1• oj 2 1 OJ,

= W3 1 ~

W

21 •

(Bild 43)

Graphisch liest man das gleiche Ergebnis aus Bild 43 ab, nämlich dPs2;

P j i = - —Pn-

Im Gegensatz zu den Geschwindigkeiten ergeben aber diese 6 Beschleunigungen im allgemeinen nicht eine andere dieser Gruppe, sondern es gehört zu jedem Paar noch eine weitere Zusatzbeschleunigung, die nach ihrem Entdecker den Namen „Coriolis"-Beschleunigung trägt. Erst

Coriolis-Beschleunigung

63

mit dieser Zusatzbesdileunigung geben die beiden ersten eine andere der 6 oben angegebenen Beschleunigungen. 3.6 Coriolis-Beschleunigung An Stelle einer strengen Ableitung sei die anschauliche Ableitung von R.Beyer benutzt (Bild 47). Punkt A wird während eines unendlich kleinen Zeitabschnittes auf der Ubertragbahn f = AA' der Ebene E2 geführt. Gleichzeitig führt er eine Bewegung auf der Ebene E3 aus (Relativbahn r). Aus der Bewegung der Übertragbahn f und auf der Relativbahn r setzt sich die absolute Bewegung zusammen. Für die Geschwindigkeit gilt v

a

= V f +-» V

r

.

Würde der Punkt A seine Anfangsgeschwindigkeit beibehalten, so käme er nach Punkt A' • •

w

l i-i.i

-J.

1

'

^• Ermittelung der Coriolis-Besdileunigung (nach R.Beyer),

m Wirklichkeit gelangt er nach A", indem er die Wegabweichung A a ausführt. Diese Wegabweichung läßt sich in Komponenten zerlegen, die Abweichung A f infolge Bewegung auf der Ubertragbahn, die Abweichung A r hervorgerufen durch Verschiebung der Relativbahn von Lage r nach Lage r. Hinzu kommt ein Bogenelement A z durch Drehung der

64

Ebene Bewegung dreier Ebenen

Relativbahn in die Lage r", hervorgerufen durch Drehen der Ebene E 2 u m ? m i t dem Winkel d

a beide Größen können zeichnerisch oder rechnerisch gefunden werden. Zur Ermittlung der Beschleunigung p 3 des Punktes 3 müssen wir uns überlegen, daß die Bewegung dieses Punktes durch eine Verschiebebewegung der Koppelstange b und eine Drehung der Schwinge c hervorgerufen wird. Die Beschleunigung p3 ergibt sich als Resultierende aus der Beschleunigung p32 der Koppelstange und der Beschleunigung p 2 des Punktes 2: p 3 = p 2 + —• P32Während p2 (siehe oben) nach Größe und Richtung bekannt ist, kennen wir von p32 nur die Normalkomponente 2

Pn32

aus der Beziehung pn32 =

^ , ferner können wir

2

die Normalkomponente pns = — ermitteln. Hierdurch c erhalten wir zwei geometrische Orte für den Endpunkt von p 3 , nämlich eine Gerade RR, senkrecht zu 23 im Abstand (p„32 — Komponente von p2 auf 23) vom Punkt 3

70 Geschwindigkeiten u. Beschleunigungen von Kurbelgetrieben

Bild 51 a. Bild 51 a u. b. Allgemeine Beschleunigung des Schwingengelenks am Gelenkviereck.

aus, und eine Gerade TT, senkrecht zu c im Abstand pn3. Der Schnittpunkt dieser beiden Geraden ergibt die gesuchte Beschleunigung p 3 . Im folgenden sei die Ermittlung im einzelnen beschrieben. In Punkt 2 trägt man nach Größe und Richtung u 2 = ö • 2 eine Parallele zu 23, die auf 34 die Geschwindigkeit v ausschneidet (6), gleichzeitig zieht man

71

Gelenkviereck

eine Parallele durch 6 zu 12, diese schneidet auf 23 die Geschwindigkeit 1)32 (7) aus. Auf 12 ermittelt man graphisch p n2 , indem man den Halbkreis über 12 zum Schnitt bringt mit dem Kreisbogen v2 um 2, die Senkrechte zu 12 ergibt p n 2 (8), pt2 -+->pn2 ergeben zusammen P2 (9). Durch Schlagen des Halbkreises über 23, Schneiden mit dem Kreisbogen €32 um 3, Ziehen 2

der Senkrechten zu 23 finden wir p n 3 2 =

(10), durch

10 ziehen wir eine Parallele zu P2 = 29 und machen 10 11 = p 2 . Das Lot durch 11 zu 23 ergibt als geometrischen Ort für p 3 die Gerade RR. (Man kann auch vom Punkt 10 aus eine Komponente der Beschleunigung p 2 in Richtung 23 aus abtragen und im Endpunkt das Lot errichten.) Die Gerade TT finden wir durch Schlagen des Halbkreises über 34, Schneiden mit einem Kreisbogen v3 um 3, als Senkrechte zu 34 durch den Schnittpunkt. Der Schnittpunkt der Geraden RR und TT ergibt den gesuchten Endpunkt (13) der Beschleunigung p 3 . Bild 51b zeigt die Zusammensetzung der Beschleunigung p 3 . Ein wichtiger Sonderfall ist der, daß sich die Kurbel a mit gleichförmiger Geschwindigkeit dreht, d. h. w3 = konst. (Bild 52). Die Winkelbeschleunigung ea wird dann 0; kein Punkt der Kurbel a, z. B. auch 2, hat eine Tangentialbeschleunigung, die Normalbeschleunigung des Punktes 2 v) ist p 2 = p n 2 = a und fällt in die Gerade 21. Für diesen Sonderfall empfiehlt es sich, den Geschwindigkeitsmaßstab so zu wählen, daß v2 = a wird, dann wird auch p 2 = a, d. h. sowohl die Spitzen von u 2 als auch von p 2 fallen nach 1. Man ermittelt, wie bereits im Bild 49 ausgeführt, die Geschwindigkeit u3 und «32 (4) und bildet

72 Geschwindigkeiten u. Beschleunigungen von Kurbelgetrieben

Bild 5 2 a. Bild 5 2 a u. b. gelenkes a m /'rii,;

Beschleunigung des SchwingenGelenkvieredc bei gleichförmiger Kurbeldrehzahl.

hieraus nadi Hilfskonstruktion (Halbkreis •pJ Bild 5 2 b.

«3 2 Pn,

—• =

3 5

"

Durch 5 ziehen wir die Parallele zu a, die sich mit der Parallelen zu 23 durch ] in 6 schneidet. Die Senkrechte zu 23 durch 6 ergibt die Gerade RR. Die Gerade TT finden wir in gleicher Weise wie oben durch Schlagen des Halbkreises über 34, Schneiden mit dem Kreisbogen « 3 um 3, als Senkrechte zu 34 durch den Schnittpunkt. RR und TT schneiden sich im Endpunkt von p3. 1) Man spart bei der Ermittlung einige Hilfslinien, wenn man die Konstruktion von p n 3 2 anstatt auf der koppelgeraden 23 auszuführen, auf die Parallele hierzu durch die Endpunkte von v^ und v^1 verlegt (nach Getriebeblatt A W F 603); die vorliegende Konstruktion ist jedodi etwas leichter verständlich.

Gelenkvieredc

73

Beschleunigungen in den Umkehrstellungen. In den Umkehrstellungen von Getrieben ist die Ermittlung der Beschleunigungen von größter Bedeutung (Bild 53). Hier

den Umkehrstellungen des Gelenkvierecks.

Bild 53 c.

wird die Geschwindigkeit « 3 = 0, somit wird p n , = 0, es kann also nur eine Tangentialbeschleunigung auftreten. Da die Glieder a und h eine Strecklage bilden, wird die Relativgeschwindigkeit «32 = — «• Wir finden z.B. für den Totpunkt 2' p'„ 32 durch Schlagen des Halbkreises über b = 23 und Kreisbogen mit v2 = v32 um 3', die

74 Geschwindigkeiten u. Beschleunigungen von Kurbelgetrieben Senkrechte zum Schnittpunkt schneidet auf 2' 3' den Endpunkt 5' der Beschleunigung p„32 aus., An diesem Endpunkt tragen wir nach Größe und Richtung P2 an (6'). Das Lot (R'R') von 6' auf 2' 3' schneidet auf TT (-L zu 3' 4) die gesuchte Beschleunigung P3 = 3' 7 aus.

Viereckes.

Bild 54 c.

Die gleiche Konstruktion wiederholen wir beim anderen Totpunkt 2". Wir erhalten hier 3" 7" die Beschleunigung p"3- Wir erkennen, daß die Richtung der Beschleunigungen P3 und P3 verschieden ist, P3 ist negativ, p'3 positiv. Die Konstruktion vereinfacht sich (Bild 54), wenn' wa = konst.; sa = 0; dann fallen (bei geeigneter Wahl der Maßstäbe, s. S. 68)die Beschleunigungen p 2 nach Größe

Gelenkviereck

75

und Richtung mit dem Kurbelhalbmesser a zusammen. Das Antragen von p 2 a n Pma kann man sich dadurch sparen, daß man über 15 (wobei 3 " 5" =a) einen Halbkreis mit b schlägt, diesen mit dem Kreisbogen um 5" mit 5" 3 " schneidet und von dort unmittelbar das Lot R" R" auf 2" 3 " mit der Senkrechten T" T" auf 3 " 4" zum Schnitt bringt. 3" 6" ist die gesuchte Beschleunigung p 3 Auf die gleiche Weise finden wir 3' 6', die Beschleunigung p'3. Die Beschleunigungskonstruktionen Bild 51 u. f. des Gelenkvieredcs sind nicht einfach, man ermittelt deshalb die Beschleunigung nur für solche Punkte, bei denen erhebliche Geschwindigkeitsveränderungen auftreten. Vielfach ersetzt man die vektorielle Bestimmung der Beschleunigung durch graphische Differentiation aus dem tv- bzw. sü-Schaubild; hierdurch können jedoch erhebliche Ungenauigkeiten entstehen, da die bei der Ermittlung der einzelnen Größen entstandenen Ungenauigkeiten sich vervielfachen; ganz abwegig ist es, aus dem fs-Diagramm durch doppelte graphische Differentiation die Beschleunigung abzuleiten (s. S. 18). Beschleunigungsermittlung nach Grübler. (Schrifttum 9, S. 5). Für bestimmte Fälle läßt sich die von Grübler angegebene Konstruktion der Beschleunigung aus dem Diagramm der gedrehten Geschwindigkeiten gut benutzen. Auf die Ableitung sei hier verzichtet und nur die Konstruktion (Bild 55) angegeben. Auf bekannte Weise sei das Diagramm der gedrehten Geschwindigkeiten ermittelt (s. S. 67). Zur augenblicklichen Lage A des Kurbelpunktes 3 gehört die gedrehte Geschwindigkeit die im Punkt B endet. Man ziehe die Tangente an die Bahnkurve in A (-1- zu A 4) und an die Geschwindigkeitslinie in B, dann errichte man in B die Normale, die die Bahntangente in N schneidet. Man verbindet 4 N und bringt diese Linie zum Schnitt mit der Parallelen zur Bahntangente durch B. Die Strecke BC ergibt bereits die

76 Geschwindigkeiten u. Beschleunigungen von Kurbelgetrieben Tangentialbeschleunigung pt nach Größe und Richtung, die nur noch nach A zu verlegen ist. Im allgemeinen genügt die Kenntnis der Tangentialbeschleunigung; die Gesamtbeschleunigung p findet man ebenfalls recht einfach durch Ziehen einer Parallelen durch C zu AB und Verlängerung der Normalen BN (Schnittpunkt M). AM = p entspricht nach Größe und Richtung der Gesamtbeschleunigung. Man findet aber die Normalbeschleunigung ebenfalls leicht mit Hilfe des Halbkreises über A 4 und der Senkrechten zum Schnittpunkt Q mit dem Kreise um Bild 55. E r m i t t l a n g der Beschleunigung nach A mit v3- Diese M. Grübler (allgemein anwendbares Verfahren für gegebene Bahnkurve und Geschwindigkeit) 1 ).

Konstruktion benutzt man zur Kontrolle der Genauigkeit: Q, P, M müssen auf einer Geraden liegen. Augenscheinlich versagt die Konstruktion (Bild 55), wenn die Geschwindigkeit v a = 0 wird, also gerade für die wichtigen Beschleunigungen in den Totlagen. Hier ist also auf die Konstruktion nach Bild 53 oder Bild 54 zurückzugreifen. Beschleunigung eines beliebigen Punktes der Schwinge und der Koppel. Ist die Beschleunigung p 3 des Punktes 1) Diese Konstruktion hat allgemeine Gültigkeit nicht nur für das Gelenkviereck, sondern für eine beliebige Bahnkurve, wobei das Gesdiwindigkeitsdiagramm auf der Normalen dazu aufgetragen ist. Anwendung beim Kurbelsdileifengetriebe siehe Seite 92.

Gelenkviereck

77

78 Geschwindigkeiten u. Beschleunigungen von Kurbelgetrieben der Schwinge ermittelt, so läßt sich auch die Beschleunigung jedes beliebigen Punktes ihrer Ebene nach den auf Seite 29 entwickelten Sätzen auffinden. Die Beschleunigung p 3 liege zum Fahrstrahl 34 unter dem Winkel a; dann liegt die Beschleunigung jedes beliebigen Punktes der Schwingebene 34 ebenfalls unter dem Winkel a zu ihrem Fahrstrahl (Bild 57). Liegt ein Punkt, z.B. B, auf der Schwingengeraden 34, so findet man die Größe von pB durch Ziehen des Fahrstrahles 43' und einer Parallelen zu p 3 durch B. Für einen beliebigen Punkt der

Schwingebene 34, z. B. A, gilt, daß die Endpunkte der Beschleunigungsvektoren ein der Lage ihrer Punkte ähnliches Dreieck bilden. So ist A 4A'3' ~ A 4 A3. Bei gegebenem p 3 läßt sich also durch Einzeichnen des ähnlichen Dreiecks über 34 Punkt A' der Endpunkt des Beschleunigungsvektors PA leicht finden. Als Kontrolle dient, daß der Winkel 4AA' = a sein muß. Die Beschleunigung eines beliebigen Punktes der Koppelebene 23 läßt sich finden (Bild 58), wenn die Beschleunigungen zweier Punkte, z. B. p 2 und p 3 , bekannt sind. Zur Ermittlung der Beschleunigung eines Punktes 6 der Koppelgeraden 23 zieht man durch die Endpunkte von p 2

Gelenkviereck

79

und P3 die Gerade A und durch Punkt 3 und den Endpunkt von P2 die Gerade B. Man zieht durch 6 eine Parallele zu p2 bis zum Schnittpunkt mit B und durch diesen Punkt eine Parallele zu P3, diese schneidet aus A die gesuchte Beschleunigung (Beweis aus der Ähnlichkeit der Dreiecke). Für einen beliebigen Koppelpunkt 8 konstruiert man über den Endpunkten der Vektoren P2

\

V//////SS' fbst

Bild 58 a u. b. Beschleunigungen der Koppelebene des Gelenkviereckes.

und p3 ein zum Dreieck 238 ähnliches Dreieck, die Spitze dieses Dreiecks ist der Endpunkt des Beschleunigungsvektors pg. In Bild 58 b ist der Beschleunigungsplan eingetragen. Die Endpunkte der Beschleunigungen der auf der Koppelgeraden 23 liegenden Punkte liegen auf einer Geraden 2' 3'. Für Punkt 8 gilt, daß das A 2' 3' 8' ~ A 2 3 8. B e i s p i e l I : Das Getriebe (Bild 51 a, S. 70) ist im Maßstab 1 : 6 gezeichnet; n = 300 U/min. Der Geschwindigkeitsmaßstab errechnet sich aus «2 = 0,0175 m

a •

Q

" = 0,028 • 6 • 71

ou

= 5,27m/sek, also I m - 300m/sek. Der

oU

Beschleunigungsmaß-

80 Geschwindigkeiten u. Beschleunigungen von Kurbelgetrieben

jz* • 100 = 165 m/sek2; also 1 m g 15700 m/sek2; v s = 0,023 m ? 0,023 • 300 = 6,9m/sek; ps = 0,028 = 0,028 • 15 700 = 440 m/sek2; p)s = 0,0255 ~ 0,0255 • 15700 = 400 m/sek2. B e i s p i e l I I : . Für das Getriebe Bild55 wurde unter Annahme einer gleichförmigen Kurbelgeschwindigkeit in Bild 56 a die Geschwindigkeit über dem Kurbelweg aufgetragen; in Bild 56 b wurde die nach der Grüblerschen Konstruktion ermittelte Beschleunigung p{ ebenfalls über dem Kurbelweg aufgetragen und in Bild 56 c über dem abgewickelten Weg des Schwingenpunktes 3 sowohl Geschwindigkeit v als auch Tangentialbeschleunigung pf aufgetragen. Dieses Beispiel soll zeigen, daß man für bestimmte Zwedce geeignete Schaubilder zu wählen hat, d. h. entweder Auftragung über der Zeit (Bild 56 a und 56 b) oder über dem Weg (Bild 56 c) oder unmittelbar über der Bahnkurve (Bild 55). 4.3 Geradschubkurbel Wird im Gelenkvieredc (Bild 49) die Schwinge c unendlich lang, so daß Punkt 3 an Stelle einer Bewegung auf einem Kreisbogen eine Schiebung auf einer Geraden gg ausführt, so entsteht die allgemeine oder geschränkte Geradschubkurhel (Bestimmungsstücke: Kurbel a, Pleuelstange b, Abstand des Kurbelmittelpunktes 1 von der Gleitbahn gg = e, Bild 59 1 )). Wege. Die Bewegung des Schiebers 3 findet man, indem der Kurbelkreis in gleiche Teile geteilt wird; die Kreise mit der KoDpellänge l = b ergeben auf der Geraden gg die zugehörigen Schieberstellungen. Durch den Abstand e ergibt sich annäherungsweise ein Hub h = f {b + af - e2 - 1/ (fo - a f - e-.2 (20) (20 a) der etwas größer als 2 a ist. Der Vorwärts- und Rückwärtshub werden unter verschiedenen Kurbelwinkeln, d. h. in verschiedenen Zeiten zurückgelegt. 1) D i e K u r b e l o d r e h t s i d i in den B i l d e r n 59 b i s 63 im U h r z e i g e r s i n n e .

Geradschubkurbel

81

Geschwindigkeiten. Gegeben sei die Geschwindigkeit «2 des Punktes 2 der Kurbel a. Durch den Endpunkt von t>2 zieht man eine Parallele zu 23, diese schneidet auf dem Lot zu gg durch 3 die Gleitbahngeschwindigkeit v3 ab. Die Parallele zu a durch den Endpunkt von V3 schneidet auf der Verlängerung von 23 die Geschwindigkeit ab. Beschleunigungen. Punkt 3 wird auf der Gleitbahn geführt, infolgedessen hat er kein© Normalbeschleunigung,

Bild 59 a u. b.

Geschwindigkeiten und Beschleunigungen trischen Geradschubkurbel.

dei

exzen-

und der geometrische Ort TT fällt mit gg zusammen. Durch Schlagen des Halbkreises über 23, Schneiden mit Kreisbogen «32, Lot auf 23, erhalten wir p„32 = 35. In 5 tragen wir nach Größe und Richtung p 2 (6) an > das Lot in 6 auf 23 gibt RR, der Schnittpunkt 7 mit gg ergibt bereits die Beschleunigung p3 (Kreuzkopfbeschleunigung). Bei Pleuelstangen großer Länge empfiehlt es sich, die Konstruktion der Geschwindigkeiten und Beschleunigungen nach Punkt 2 zu verlegen, damit keine so langen Parallelen zu ziehen sind, die u. U. wesentliche Ungenauigkeiten erzeugen können. Es handelt sich um die gleiche Konstruktion, wobei man sogar noch einige Hilfslinien 6

Grodzinski, Getriebelehre I

82 Geschwindigkeiten u. Beschleunigungen von Kurbelgetrieben erspart; sie ist in Bild 60 durchgeführt. Durch den Endpunkt t>2 zieht man eine Senkrechte zu gg und erhält U32 auf der Verlängerung von 23. Den Halbkreis über 23 bringt man zum Schnitt mit dem Kreisbogen U32 um 2, errichtet die Senkrechte zu 23, dies ist bereits der geometrische Ort SS für den Endpunkt p 3 . Man zieht noch die Parallele durch den Endpunkt 6 von p 2 z u SS und erhält in 56 = p3 nach Größe und Richtung. Sonderfall, OJ = konst.; E = 0. Für den Sonderfall der mit gleichbleibender Winkelgeschwindigkeit umlaufenden

Bild 60.

Ermittelung

der

Geschwindigkeiten am Kurbelende.

und

Beschleunigungen

Kurbel vereinfacht sich die Konstruktion, indem man wieder €2 = 21 und ebenfalls p 2 = 21 wählt. Die Konstruktion ist sonst die gleiche (Bild 61). Durch besondere Einfachheit zeichnet sich die Mohrsche Konstruktion (Bild 62) aus. Diese ist ebenfalls nach Punkt 2 verlegt und ist dadurch besonders für große Pleuelstangenlängen b geeignet, weil die Halbkreiskonstruktion (Bild 59—61) vermieden ist. Man verlängert die Pleuelstangenrichtung 32 bis zum Schnittpunkt 5 mit der Senkrechten auf gg im Punkt 1. Dann zieht man die Parallele zu 13 durch 5 bis zum Schnittpunkt 6 mit der Verlängerung 12, durch 6 zieht

Geradschubkurbel

83

man die Parallele zu 15 bis zum Schnittpunkt 7 mit 23. In 7 errichtet man das Lot auf 23 und bringt es zum Schnitt mit der Parallelen zu gg (Punkt 8). 81 ist der

Größe und Richtung nach p 3 , die Beschleunigung des Punktes 3. Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke folgt, daß v32 25 2 2 7 = ^ 3 = b = Pn32; die weitere Konstruktion entspricht der nach Bild 60.

exzentrischen

Geradschubkurbel

Geschwindigkeiten und Beschleunigungen beliebiger Punkte der Pleuelstange b werden nach dem auf Seite 78 dargelegten Verfahren ermittelt. 6*

84 Geschwindigkeiten u. Beschleunigungen von Kurbelgetrieben Zentrische Geradschubkurbel. Fällt die Schubrichtung gg in die Verbindungslinie 13, so nennt man das Getriebe zentrisdie Geradschubkurbel, Abstand e wird = 0. Die Bewegung des Schiebers 3 findet man, indem der Kurbelkreis in gleiche Teile geteilt wird, die Kreise mit der Koppellänge l = b ergeben auf der Geraden gg die zugehörigen Schieberstellungen. Der Gesamthub ist 2 a. Aus diesem Grunde wird auch vielfach das Schieberdiagramm nach Punkt 1 verlegt. Man schlägt um Punkt 3 einen Kreisbogen durch 2 mit b; der Schnittpunkt auf 13 = gg gibt im Abstand 18 den Schieberweg. Die Geschwindig-

Bild 63. Geschwindigkeiten und Beschleunigungen Geradsdiubkurbel.

der

zentrischen

keits- und Beschleunigungskonstruktionen vereinfachen sich für diesen Fall. Bild 63 zeigt die Konstruktion der Geschwindigkeiten und Beschleunigungen für den allgemeinen Fall. Die Entwicklung ist die gleiche, wie in Bild 59 gezeigt (s. S. 81). Die Mohrsdie Konstruktion ist ebenfalls anwendbar, sie vereinfacht sich dadurch, daß 15 -L 13. Sonderfall. Für den Sonderfall der mit gleichbleibender Winkelgeschwindigkeit umlaufenden Kurbel vereinfacht sich die Konstruktion, indem man wieder «2 = 21 = a und ebenfalls P2 = 21 wählt. Die Konstruktion ist

Geradschubkurbel

85

1

sonst die gleiche wie in Bild 64 ). Neben der Kreisbogenkonstruktion ist auch die nadi Mohr eingetragen. Beschleunigungen in den Umkehrlagen (Bild 65). In den Umkehrlagen treten beim zentrischen Geradschub-

Geradschubkurbel, Kreisbogen- und Mohrsdie-Konstruktion.

kurbelgetriebe die größten Beschleunigungen auf. Die Umkehrpunkte 3' und 3" haben die Geschwindigkeiten

gungsverlauf der Geradschubkurbel.

Die Beschleunigung der Punkte 3' und 3" setzt sich u2 aus der Normalbeschleunigung p2 = — und der Normal1) Die Kurbel a dreht sich in Bild 64 entgegengesetzt dem Uhrzeigersinne.

8 6 Geschwindigkeiten u. Beschleunigungen von Kurbelgetrieben

beschleunigung der Pleuelstange b = l: p 3 2 = pn32 ~ u2 •y zusammen (Bild 65, graphisch durch Halbkreis über 23, Kreisbogen mit v32 und Lot auf 23 durch den Schnittpunkt zu ermitteln). Für den rechten Umkehrpunkt 3' ist

für den linken Umkehrpunkt

Die Größen werden graphisch leicht auf der Verbindungslinie 13 gefunden. Mit diesen beiden Werten und dem Abstand 1 ) a ~ ]/r2 + l2 für p = 0 und u m a x sowie einigen Zwischen werten läßt sich das p/s-Schaubild leicht aufzeichnen 2 ). Der Punkt p = 0 kennzeichnet gleichzeitig 4.4 Kurbelschleifen Macht man die Kurbel a des Geradschubkurbelgetriebes zum Gestell, so entsteht die umlaufende Kurbelschleife. Der Gleitstein c führt bei einer Drehung des jetzt als Kurbel dienenden Gliedes b im Schieber oder der Kulisse d eine hin und her gehende Bewegung aus. Geschwindigkeiten. Bild 66 zeigt die Geschwindigkeiten in ihrer wirklichen Lage. v3 -L 32 ist die Geschwindigkeit des Punktes 3. Senkrecht zu 13 ergibt sich die Geschwindigkeit vc des augenblicklich mit 3 zusammenfallenden Punktes C der Kurbelschleife d. Die Ver1) D i e s e B e z i e h u n g ist n u r a n n ä h e r u n g s w e i s e . S i e h e auch M e y e r zur C a p e l l e n , Gröflt- und K l e i n s t w e r t e v o n G e s c h w i n d i g k e i t und Beschleunigung bei der Geradschubkurbel, M a s c h i n e n b a u / B e t r i e b Bd. 16. 1937. S . 529. 2) Es wird auch v o r g e s c h l a g e n , d i e B e s c h l e u n i g u n g s k u r v e durdi e i n e P a r a b e l zu e r s e t z e n , w e n n d i e b e i d e n E n d p u n k t e ( g r ö ß t e und k l e i n s t e B e s c h l e u n i g u n g ) g e g e b e n sind. D i e V e r b i n d u n g s l i n i e s c h n e i d e t d i e A d i s e d e r G l e i t b a h n im P u n k t e F , und d a s L o t EF = 3Ärai2 b e s t i m m t den Scheitelpunkt der Parabel, die mittels K o r b b o g e n k o n s t r u k t i o n eingezeichnet wird.

Kurbelschleifen bindungslinie der beiden Endpunkte « 3 und vc, parallel zur Schubrichtung gg, ergibt die Relativgeschwindigkeit vr der Gleitsteinbewegung vr — v3 +-> ü c . Mit vc = 13 • tg 3, «r und v?. 'c-

87

•

/ Bild 66. Geschwindigkeiten der umlaufenden Kurbelschleife (exzentrisch).

Beschleunigungen. Ist die Beschleunigung p3 des Punktes 3 nach Lage und Richtung gegeben, so kann die Beschleunigung für die mit ihm zusammenfallenden Punkte des Gleitsteins C und der Schleifkurbel oder Schleife d zerlegt werden (Bild 67) in 1. die Beschleunigung pr des Gleitstücks c gegenüber der Kurbelschleife d-, sie fällt in die Richtung der Schleifkurbel. 2. Die Beschleunigung des mit 3 zusammenfallenden Punktes C der Schleifkurbel gegen das Gesteliglied; sie zerlegt sich in die beiden rechtwinkligen Komponenten, 13- w j = Normalbeschleunigung pnc; [sie läßt sich aus vc = 13 • a>j graphisch nach Größe und Richtung ermitteln (Richtung 13)] und 13 • « j = Tangentialbeschleunigung ptc. 3. Zusatz- oder Coriolisbeschleunigung von der Größe 2 vr • f)d senkrecht zur wirklichen Richtung vn also parallel zu

im gleichen Sinne zeigend.

Die Normalbeschleunigung pnc = 13 • wird zuerst durch Schlagen des Halbkreises über 13, Schneiden mit V? = 13 • OJJ, Loten des Schnittpunktes auf 31 gefunden

88 Geschwindigkeiten u. Beschleunigungen von Kurbelgetrieben (4); 34 = pnc ist die Normalbeschleunigung des mit 3 zusammenfallenden Punktes C der Kurbelschwinge d. Die Tangentialbeschleunigung ist nur der Richtung nach bekannt, wir müssen deshalb vorerst die Zusatzbeschleuni6

Bild 67 a u. b. Beschleunigungen der umlaufenden (exzentrisch).

Kurbelschleife

gung p2 ermitteln. Diese ist parallel zu t>, und hat die Größe von 2 vr • a>j. Wir finden sie graphisch, indem wir durch 4 eine Parallele zu v? ziehen und zum Schnitt (5) mit der Verlängerung von 23 bringen. Wir machen dann 56 = 45 und erhalten mit 46 nach Größe und Richtung p2-

Kurbelschleifen

89

Durch 6 ziehen wir eine Senkrechte durch 13 und durch den Endpunkt der gegebenen Beschleunigung p 3 eine Parallele zur Schubrichtung gg; der Schnittpunkt 7 ergibt ptc, die Tangentialkomponente von p c und pr die Relativbeschleunigung des Gleitsteins c in der Kurbelschleife d. In Bild 67 b ist das Beschleunigungsbild anschaulicher herausgezeichnet. Das gleiche Getriebe kann auch durch die Kurbelschleife d angetrieben werden; dann sind cüj und £4 bekannt; gesucht wird p 3 und pr. Aus dem Bild der gedrehten Geschwindigkeiten erhalten wir, da u? = 13 • 00j bekannt ist, u 3 und v?. Die gegebene Beschleunigung pc zerlegen wir in pnc und p ( c ; aus p n c = 13ft)c gebracht und liefert t>5. Wir teilen den Kurbelkreis von b beispielsweise in 12 gleiche Teile und ermitteln für jeden Punkt «5 wie beschrieben; wegen der Symmetrie des Getriebes werden nur die Ge-

Kurbelschleifen

93

schwindigkeiten von 0 bis 6 ermittelt. Man erkennt auch, daß für den unteren Quadranten des Kurbelkreises nicht genügend Punkte vorliegen, infolgedessen sind hier die Stellungen für die Punkte 4 a, 5 a usw. zusätzlich zu untersuchen. Das Geschwindigkeitsdiagramm kann ähnlich wie in Bild 55 unmittelbar über der Bahn des Punktes 5 aufgetragen werden oder ist in einem besonderen Schaubild Bild 70 aufzuzeichnen. Man erkennt, daß der Vor-

folgt, und daß der Rückhub mit wesentlich höherer Geschwindigkeit zurückgelegt wird. Dies kann auch unmittelbar aus Bild 69 ersehen werden, da zum Vorwärtshub die Kurbel den Winkel a und zum Rückhub den Winkel ß zu beschreiben hat, mit sin ß/2 =

a

und

a + ß - 360°. Wird die Kurbel 12 — b unendlich lang, so entsteht das als Winkelschleife bezeichnete Getriebe (Bild 71, es

94

Geschwindigkeiten u. Beschleunigungen von Kurbelgetrieben

spielt als Ersatzgetriebe für Kurvenscheiben mit gerader Gleitbahn eine Rolle). Die Ermittlung der Geschwindigkeiten und Beschleunigungen ist die gleiche wie bei der umlaufenden Kurbelschleife. Die Beschleunigung P3 fällt in die Schubrichtung cc, da die Normalbeschleunigung Pnc — 0 wird. Sonst ist die Konstruktion der Beschleunigung die gleiche, wie sie bei der Kurbelschleife durchgeführt wurde (s.S. 88, Bild 67).

Bild 71 a u. b. Geschwindigkeiten und Beschleunigungen der Winkelsdileife (Schubschleife).

4.5 Bogenschleifen- und Kreuzschleifengetriebe

Wird im Geradschubkurbelgetriebe die Pleuelstange b sehr lang, so kann man auf dem Umwege über eine Zapfenerweiterung die Pleuelstange durch eine Bogenführung ersetzen. Wir können deshalb bei dem Getriebe in Bild 72 die Geschwindigkeiten und Beschleunigungen auf die gleiche Art ermitteln wie beim Geradschubkurbelgetriebe. Die im folgenden beschriebene Konstruktion berücksichtigt die Relativbewegung des Bogengleitsteines. v2 ist die senkrecht zum Kurbelhalbmesser a liegende Geschwindigkeit

Bogenschleifen- und Kreuzschleifengetriebe

95

des Kurbelpunktes 2, sie zerlegt sich in die Relativgeschwindigkeit vr, d. h. die Geschwindigkeit des zum Gleitstein ausgebildeten Gliedes c; sie fällt in die Richtung der Tangente des jeweiligen Punktes 2 der Bogenführung. Parallel zur Gleitbahn liegt die Geschwindigkeit vc des Gliedes c: V2 = Vr +-> Vc .

Gegeben ist ferner die Beschleunigung p2 des Punktes 2. Die Zusatzbeschleunigung p z fällt bei diesem Getriebe weg. Wir finden durch Schlagen des Halbkreises über (3) 2 und Schneiden mit dem Halbkreis vr um 2, Loten des Schnittpunktes auf (3) 2 den geometrischen Ort gg. Durch den Endpunkt 5 von p2 ziehen wir eine Parallele zur Gleitbahn 44 und finden im Schnittpunkt 6 mit gg in 65 = pc die Beschleunigung des Gliedes c. In Bild 72 ist das Beschleunigungsbild besonders herausgezeichnet: PC = P, +-

Pnr+^Pir-

96 Geschwindigkeiten u. Beschleunigungen von Rurbelgetrieben

Bild 73. Geschwindigkeiten und Beschleunigungen der Kreuzschleife.

Rückt der Mittelpunkt der Bogenschleife ins Unendliche, so entsteht das Kreuzschleifengetriebe mit 2 Gerad(Prismen)führungen (Bild 73). Die Komponente p n r wird wegen 2

= 0, und p r fällt in Gleitbahnrichtung 2. Wir finden « 2 senkrecht 12, vr fällt in Gleitbahnrichtung 2, vc in Gleitbahnrichtung 4. p 2 zerlegt sich in p r in Gleitbahnrichtung 2 und p c in Gleitbahnrichtung 4. Ist die Winkelgeschwindigkeit wa = konst., dann wählt man v2 = 12 = a (Bild 74) und erhält ebenfalls p 2 = 12 = a. Es ist dann vr = a • cos a; üc = a • sin a; und ebenso p c = a • cosa; p r = a • sina, wobei der zurückgelegte Weg s — a - cos a ist. Die B ü d 74.

Vereinfachung a> konst.

für

§ e ' Geschwindigkeiten und Beschleunigungen über

We

Kurvenschub mit ablaufender Rolle

97

der Zeit (Drehwinkel) aufgetragen, ergeben Sinusschwingungen mit einer Phasenverschiebung von 90°. 5. Geschwindigkeiten und Beschleunigungen von Kurvengetrieben Die Geschwindigkeiten und Beschleunigungen von bereits ausgeführten Kurvengetrieben, deren Kurvenverlauf keiner erkennbaren Gesetzmäßigkeit folgt, werden am zweckmäßigsten auf graphischem Wege ermittelt. 5.1 Kurvenschub mit ablaufender Rolle Zur gegebenen Kurvenbahn K (Bild 75) wird durch Schlagen von Kreisbogen mit dem Rollenhalbmesser die Mittelpunktsbahn KsP, d. h. die Bahn des Rollenmittelpunktes als Hüllkurve ermittelt. Wir legen an die Kurve Ksp die Tangente und finden so die Kurvennormalen. Mit Hilfe der bekannten Geschwindigkeiten üa der Schubkurve finden wir die Geschwindigkeit vy des durch den Kurvenschub be- Bild 75. Der einfädle Kurvenschub mit Rolle ...

und sein Ersatzgetriebe (Kreuzschleife).

tatigtenSchiebers. Die Beschleunigung des Schiebers ermittelt man entweder durch Aufzeichnen des su-Schaubildes und Konstruktion der Subnormalen (s. Abschnitt 1.1, Seite 13) oder durch Ersetzen des Kurvengetriebes durch ein entsprechendes Kurbelgetriebe. Gerade Abschnitte der Kurve K s p sind beschleunigungsfrei. Gekrümmte Abschnitte lassen 7

Grodzinski, Getriebelehre I

98 Geschwindigkeiten u. Beschleunigungen von Kurvengetrieben sich beim Schieber durch ein Kreuzschleifengetriebe, beim Schwinghebel durch ein exzentrisches Schubkurbelgetriebe ersetzen. Man ermittelt dann nach Abschnitt 4.5 und 4.3 die Beschleunigungen (der Einfachheit halber auch die Geschwindigkeiten) dieser Ersatzgetriebe. 5.2 Kurvenseheiben mit ablaufender Rolle

Zur gegebenen Kurvenbahn wird durch Schlagen von Kreisbogen mit dem Rollenhalbmesser die Mittelpunktsbahn Ksp, d. h. die Bahn des Rollenmittelpunktes, als Hüllkurve ermittelt. Man versucht nun, diese Bahn annäherungsweise durch Stücke aus Kreisbogen und Geraden zu ersetzen. Hat die Kurve einen stetigen Verlauf, so werden die Krümmungsmittelpunkte auf einer Bild 76. Kurvensdieibe mit Hubschwinge Kurve liegen, der und Rolle. Evolute der ursprünglichen Kurve (Bild 76). Ist die ursprüngliche Kurve, wie dies vielfach bei Nocken von Verbrennungsmotoren der Fall ist, selbst aus Kreisbögen zusammengesetzt (s. Abschnitt 4.7, Seite 151), so sind deren Krümmungsmittelpunkte ebenfalls die der Mittelpunktsbahn. Abschnitte von Geraden haben die gleiche Länge auf der Kurve und auf der Mittelpunktsbahn. Hub. Den gesamten Umfang der Mittelpunktsbahn unterteilen wir vorerst in Ruhe- und Bewegungsabschnitte.

Kurvenscheiben mit ablaufender Rolle

99

Die Ruheabschnitte sind konzentrische Kreise um den Mittelpunkt A der Kurvenscheibe, in diesen Punkten führt der Schieber oder Hebel keine Bewegung aus. Geschwindigkeiten und Beschleunigungen sind also an diesen Stellen gleich 0. Die jeweiligen Bewegungsabschnitte, von denen mehrere nacheinander angeordnet sein können und die im allgemeinen durch Ruheabschnitte (konzentrische Kreise) voneinander getrennt sind, werden, bezogen auf einen Grundkreis, in eine Anzahl gleicher Teile geteilt. Die radiale Entfernung des jeweiligen Teilpunktes von der Mittelpunktsbahn ist der Hub h, der den Schieber oder Hebel zurückgelegt hat. Geschwindigkeiten und Beschleunigungen. Zur Ermittlung der Geschwindigkeiten und Beschleunigungen ist näher auf die Kurvenform einzugehen (Bild 76). Zur Stellung B des Rollenmittelpunktes gehört der Krümmungsmittelpunkt K. Je nach Form der Kurve bewegt sich Punkt B ein kürzeres oder längeres Stüde auf einem Kreisbogen um Punkt K mit Halbmesser b. Wir können uns deshalb das Getriebe ersetzt denken durch eine Kurbel a = AK, die sich um Punkt A dreht und mit der der auf Gleitbahn gg gleitende Mittelpunkt B der Rolle durch die Koppel b fest verbunden ist. Das Kurvengetriebe ist also augenblicklich durch die Geradschubkurbel AKB ersetzt. Wir brauchen deshalb nur mittels der im Abschnitt 4 entwickelten Verfahren die Geschwindigkeiten und Beschleunigungen des Rollenmittelpunktes B zu ermitteln. Führt der Rollenpunkt B eine Schwingbewegung mit Hebel c um den festen Drehpunkt D aus (in Bild 76 gestrichelt), so wird das Ersatzgetriebe ein Gelenkviereck mit Steg AD = d, Kurbel a = AK, Schwinge c = BD und Koppel b = KB; die Geschwindigkeiten und Beschleunigungen des Rollenmittelpunktes B sind nach Abschnitt 4.2, Seite 66 zu ermitteln. Um ein Bild über den Geschwindigkeits- und Beschleunigungsverlauf zu gewinnen, muß man diese Werte für 7«

100 Geschwindigkeiten u. Beschleunigungen von Kurvengetrieben eine Anzahl Punkte des Bewegungsabschnittes der Kurvenscheibe ermitteln. Die Untersuchung vereinfacht sich, wenn das Kurvenprofil und damit auch das der Mittelpunktsbahn nur aus Kreisbogen zusammengesetzt ist i

B i l d 77. Kurvenscheibe (aus Kreisb ö g e n zusammengesetzt) mit H u b schieber und Rolle.

Bild 78. Kurvenscheibe (aus Kreisb ö g e n zusammengesetzt) mit H u b schwinge und Rolle.

(Bild 77 u. 78), dann schrumpft die Bahn der Krümmungsmittelpunkte zu einzelnen Punkten zusammen, gleichzeitig entstehen starke Beschleunigungssprünge1)2). Besteht ein tangentialer Ubergang zwischen den Kreisbögen, so müssen die Mittelpunkte zweier benachbarter Abschnitte auf einer gemeinsamen Normalen liegen. Für diese Punkte B ergeben sich somit zwei Ersatzgetriebe; zur Kontrolle kann 1) Diese werden vermieden, wenn sich die Krümmung stetig ändert, z. B. der Krümmungsmittelpunkt K auf einer stetigen Kurve liegt (Bild 76). Hier findet jedodi ein starker Beschleunigungssprung in Richtung der Senkrechten zu A statt. Im Brit. Patent 653910 wird vorgeschlagen, diesen Sprung ebenfalls durch eine Evolute zu vermeiden und die gesamte Kurvenbahn durch Abwälzen eines Bandes (Stahlband) auf der Evolute zu erzeugen. 2) Siehe Abschnitt 4.3, S. 133.

Kurvenscheiben mit plattenartigem Eingriffsglied

101

man benutzen, daß sich für diese Punkte B gleich große Geschwindigkeiten ergeben, während die Beschleunigungen gerade an dieser Stelle größere Sprünge wegen der Unstetigkeit der Krümmung aufweisen. Sonderfall. Ist die Kurvenscheibe zum Teil aus geradlinigen Stücken zusammengesetzt, liegt der Krümmungsmittelpunkt K also im Unendlichen, so entsteht als Ersatzgetriebe bei der Schieberführung: das Winkelschleifengetriebe (Abschnitt 4.4, Seite 86) und beim Schwinghebel die umlaufende Kurbelschleife (Abschnitt 4.4, Seite 86). 5.3 Kurvensdieiben mit plattenartigem Eingriffsglied

In Fällen, wo die Reibung zwischen Kurvenführung und Eingriffsglied weniger schädlich ist, benutzt man ein plattenartiges Eingriffsglied an Stelle der Rolle. Der Berührungspunkt zwischen Kurve und Eingriffsglied wandert hier im allgemeinen. Bei der Kurvenscheibe mit Schwinghebel (Bild 79) ermittelt man zunächst die Bahn eines bestimmten Punktes des Eingriffsglie- d a + c + d > b.

(24 a u. b)

Diese Bedingung genügt, um ein Getriebe zu erzeugen, bei dem bei Aufstellung auf ein Glied die beiden an ihm angelenkten Glieder eine Schwingbeivegung ausführen. Man fordert jedoch vielfach, daß ein Glied eine vollständige Drehbewegung ausführt. Dieser Drehbewegung entspricht eine Schwingbewegung des anderen im Gestell gelagerten Gliedes (Bogenschubkurbel oder Kurbelebenfalls eine Drehbewegung, im schwinge) oder allgemeinen mit etwas abgeändertem Bewegungsspiel (Doppelkurbel).

Beweglichkeit und Totlagen

113

Soll Glied a eine vollständige Drehbewegung ausführen, so gelten noch die folgenden Bedingungen:

Bild 90 a—c. Die Deck- und Strecklagen des Gelenkviereckes zeigen an, ob ein vollständiger Umlauf der Kurbel möglich ist.

1.

Bild 91 a—d. Die vier verschiedenen Aufstellungen des umlaufenden Gelenkviereckes, a, b Bogenschubkurbel (Kurbelschwinge), c Doppelkurbel, d Doppelschwinge.

o+ b < c 2. a) a < d ß) c / ' \ haupt zu gewinnen, hat r ' man vorgeschlagen, mit

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Eine Koppelkurve mit Spitzen

u n d a n n ä h e r n d g e r a d l i n i g e m Verlauf

beschriebenen Hilfseinnch- k a n n z u m stillstand e i n « Schleife in t u n g e n e i n e n Atlas van zwei Endstellungen benutzt werden. 1) Nach AWF 627, Lenkergeradführungen.

Koppelbewegungen

127

Koppelkurven1) aufzustellen. An Hand einer solchen Zusammenstellung könnte der Konstrukteur versuchen, das zu seiner Kurve geeignete Getriebe bestimmter Abmessungen herauszusuchen. Diese Aufgabe läßt sich auch getriebegeometrisch lösen, indem eine beliebige Kurve, gegeben durch die Anzahl auf ihr liegender Punkte, angenommen wird. Die Getriebesynthese (s. Einleitung S. 8) hat nun Hilfsmittel entwickelt, um ein Gelenkviereck zu ermitteln, von dem ein Koppelpunkt eine derartige Bahn beschreibt. Ist nur eine beschränkte Anzahl von Punkten gegeben, so können noch andere Bedingungen erfüllt werden, z. B. können neben 4 Lagen des Koppelpunktes noch die beiden Steggelenke gegeben sein2). Weiterhin können z. B. 4 Lagen der Koppelpunkte 4 bestimmten Lagen der Kurbel zugeordnet werden 3 ). Weitere Aufgaben lassen sich durch die von L. Burmester (Schrifttum 4) angegebenen Mittelpunktsund Kreispunktskurven lösen. Die Mittelpunktskurve ist der geometrische Ort aller Mittelpunkte von Kreisbögen, auf denen Koppelpunkte in vier gegebenen Lagen der Koppel liegen, während die Kreispunktkurve der geometrische Ort aller Punkte ist, die in vier Koppellagen auf einem Kreisbogen liegen 4 ). K. Hain 5 ) hat weiterhin in seinem Verfahren der Punktlagenreduktion die Möglichkeit gegeben, unter gewissen Voraussetzungen Getriebe mit mehr einander zugeordneten Winkeln oder Lagen zu entwickeln, als es mit der Mittelpunkts- oder Kreispunktskurve möglich ist. 1) Kürzlich ist ein Atlas dieser Art in Amerika veröffentlicht worden: J . A. Hrones, C. L. Nelson. Analysis of the fourbar linkage. 730 S. illustr. J . Wiley & Sons, New York 1951. 2) Siehe R. Kraus, Sdlrifttum 30, S. 57. 3) Siehe R. Kraus, Schrifttum 30, S. 58. *) Die Anwendung dieser Verfahren setzt wesentliche Geschicklichkeit im geometrischen Zeichnen voraus und darf für Leser dieses Bändchens als zu weitgehend vorausgesetzt werden. 5 ) Siehe K. Hain, Punktlagenreduktion als getriebesynthetisches Hilfsmittel, G e t r i e b e t e c h n i k - R e u l e a u x - M i t t e i l u n g e n Bd. 11, 1943, Rl—R3, außerdem Bd. 12, 1944, R17—R20.

128

Koppelbewegungen

Die Punktlagenreduktion sei an einem von K. Hain angegebenen Beispiel behandelt. In Bild 109 sind die 5 Koppelpunktslagen E x bis E 5 gegeben. Zwei beliebige Mittelsenkredite werden errichtet z. B. auf EXE5 und E%E3, deren Schnittpunkt als Drehpunkt der Schwinge, d. h. B 0

Bild 109. Konstruktion eines Gelenkvierecks für fünf gegebene Lagen der Koppelebene (Koppelkurven). Punktlagenreduktion nach K. Hain.

gewählt wird. Somit entstehen zwei Punktlagenreduktionen, indem B 0 5 mit B 0 und B 0 3 mit B 0 2 zusammenfallen, wenn die Dreiecke E5B0A5, ESB0A3 und /i 2 BoA 2 nach Ax-Ei gedreht werden und -=C A\BÜAQ = % IPI5 = V2 EIBQE 5 ; ferner ist zu machen A 2 Bo^o — % V23 = 1/2 'F- E2BQE3. Man wählt die Gerade XQ durch B 0 und trägt unter den obigen Winkeln die Geraden x x und

Grundlagen

129

an, wählt auf x^ und bestimmt A2 mit A2E2 = A^^. Die Mittelsenkrechte auf A J A 2 schneidet x0 in A0, dem Kurbeldrehpunkt. Bringt man nun die Figur (Fünfeck) B0A5E5B5 nach A 1 E 1 , so kann es wegen < AXB0A5 = E1B0E-O

=

vi5

um

B0

in diese Lage gedreht werden, worauf beide sich deckende Figuren in die Lage A J E J ^ gebracht werden. Bei der Drehung bleiben die Punkte B 0 zusammen und kommen nach B 0 ? , B03. Wird Fünfeck B 0 A 4 E 4 B 4 nach A-^E^ gebracht, so kommt B 0 nach BQ4. Es bleibt noch übrig, die Gelenklage B1 Punkten B01B05B02 u s w der Schnittpunkt B 0 1 B 0 4

,.

\

Bild 110. Benutzung einer Koppelkurve in einem Teigkneter.

zu bestimmen. Da sie von den denselben Abstand hat, ist sie und B04B03.

Beliebig geformte Koppelkurven werden in den verschiedensten Maschinen nutzbar gemacht. Bild 110 zeigt die Anwendung in einer Teigknetmaschine 1 ). Der sich um die Achse c drehende Mischbehälter ist auf einem Teil seines Umfangs der Form der Koppelkurve angepaßt. 4. Konstruktion von Kurvengetrieben 4.1 Grundlagen Kurvengetriebe dienen ebenso wie die Kurbelgetriebe zur Umwandlung einer gleichförmigen Antriebsdrehung in eine hin- und hergehende Abtriebsbewegung. Für die Bewegung eines Schiebers oder Schwinghebels durch eine Kurvenscheibe wird im allgemeinen die Erreichung eines bestimmten Hubes H innerhalb einer vorgeschriebenen Zeit T1 gefordert, z. B. bei einer Ventilsteuerung. 1) Nach AWF 602, Bogensdiubkurbel. 9 Grodzinski, Getriebelehre I

Konstruktion von Kurvengetrieben

130

Man unterscheidet Kurvenschübe mit geradliniger Antriebsbewegung sowie Kurvenscheiben mit drehender Antriebsbewegung und räumliche Kurventriebe, bei denen das Bewegungsdiagramm auf dem Umfang von Rotationskörpern (Zylinder, Kegel u. dgl.) aufgetragen wird. Vorteile: Mit Kurventrieben können komplizierte Bewegungen verwirklicht werden, die sich mit einfachen (viergliedrigen) Kurbelgetrieben nicht und mit 6- und mehr gliedrigen nur annähernd erzeugen lassen, z. B. Bewegung der Wirkwerkzeuge {Lochnadel, Platine, Presse, Nadel) m Wirkereimaischinen. Sie gestatten eine flache und gedrängte' Bauweise und sind leicht auswechselbar. Für den Werkzeugmaschinenbau sind Kurventriebe von besonderer Bedeutung, da sich mit ihrer Hilfe lange und genaue Rasten sowie unbedingt gleichförmige Bewegungen erzeugen, lassen. Nachteile: Gegenüber den Kurbeltrieben ist der Verschleiß zwischen Scheibe und Schieber als Hauptnachteil anzusehen. Dadurch wird die Kurvenform verändert und das geforderte Bewegungsgesetz nicht mehr eingehalten, z. B. Stößel-Verschleiß bei Verbrennungsmotoren verändert die Steuerzeiten der Ventile. Bei höheren Drehzahlen arbeiten Kurventriebe lauter, ferner wird durch die elastische Verformung der Kurvenscheibe das Bewegungsgesetz verändert1). s, Y Bild 111. W e g Zeit-Schaubild für einen Arbeitsgang eines Kurvengetriebes T

1) Rothbart, H. A.: Cams, Design and Accuracy, New York, & Sons 1956.

J.Wiley

Grundlagen

131

Die Grundlage für den Entwurf eines Kurventriebes bildet der vorgeschriebene Bewegungsablauf, wie ihn Bild 111 in allgemeiner Form zeigt. Tragen wir die Ordinaten eines derartigen Bewegungsdiagramms auf dem Umfang eines bestimmten Grundkreises r 0 auf, so entsteht eine Kurvenscheibe. Ein auf ihr ablaufender Schieber gibt das gleiche Bewegungsgesetz wieder. Beim Entwurf ist vor allem auf eine zweckmäßige Auswahl der Bewegungsgesetze für den Anlauf und Ablauf in den Zeiten T1 und T 3 (Bild 111) sowie des Grundkreises r0 zu achten. (Siehe Abschnitt 4.3 bis 4.5.) Ein Kurvenscheibengetriebe besteht nach Bild 112 aus der im Gestell c gelagerten Kurvenscheibe a und dem ebenfalls in c gelagerten Schwinghebel (Bild 112 b) oder Schieber b (Bild 112 a). Die Kurvenscheibe wird begrenzt durch den Grundkreis r 0 (untere Rast), den hierzu konzentrischen Kopfkreis rk (obere Rast) und der Anlauf- bzw. Ablauf-Flanke F1 und F 2 . a)

Bild 112.

b)

Ebene Kurvengetriebe, a) Kurvenschubgetriebe; b) Kurvenschwinggetriebe.

Wird ein zu kleiner Grundkreis gewählt, so wird der Anstieg der Kurve zu steil — der Schieber kann klemmen. Andererseits ergibt ein größerer Grundkreis größere Scheibenabmessungen, Beschleunigungen und Fliehkräfte, so daß

132

Konstruktion von Kurvengetrieben

man immer bestrebt sein muß, zu einem gegebenen Bewegungsgesetz den günstigsten Scheibendurchmesser zu wählen. Nach den bisherigen Ausführungen gliedert sich der Entwurf eines Kurvenscheibengetriebes in folgende Einzelaufgaben: 1. Ermittlung geeigneter Bewegungsgesetze für An- und Ablauf; 2. Ermittlung des kleinsten Grundkreishalbmessers r 0 , bei dem die vorgeschriebenen Übertragungswinkel für Anlauf- und Ablauf-Flanke eingehalten werden; 3. Übertragung der Bewegungsgesetze auf den Grundkreis bzw. Konstruktion der Scheibe. 4.2 Verwendete Bezeichnungen

a h e H Mz

(mm) (ms - 2 )

Achsabstand Schieber- (Schwinghebel-) Beschleunigung (mm) Exzentrizität, Abstand zwischen Schieber und Kurvenscheibenmittelpunkt (mm) Gesamthub (cm/m) Zeichenmaßstab

M2 M„= — - (cm/ms-1) Geschwindigkeitsmaßstab CO nic (U/min) Antriebsdrehzahl n — Abkürzungsfaktor für zusammengesetzte Beweigungsgesetze ji • ji cü = — (s _ 1 ) Winkelgeschwindigkeit oU ro (mm) Gr.undkreis s (mm) laufende Hubkoordinate t (s) laufende Zeitkoordinate 60 Tges = n— (s) Gesamtzeit für einen Arbeitsgang ac

Bewegungsgesetze

Ti v

(s) (ms-1)

vg

(ms-1)

v„

(ms-1)

fm Vm ß

— — (°)

133

Anlaufzeit Schieber- (Schwinghebel-) Geschwindigkeit Gleitgeschwindigkeit tangential zur Flanke der Kurvenscheibe Umfangsgeschwindigkeit eines Punktes der Kurvenscheibe Geschwindigkeitsbeiwert Beschleunigungsbeiwert Übertragungswinkel

T — 360 (°) Drehwinkel der Kurvenscheibe beim 1 ®es Heben r3 (P3=™— 360 (°) Drehwinkel der Kurvenscheibe beim ' 8 es Senken y> (°) Schwingwinkel des Schwinghebels

/\ / \A / /\ J. ' t \

V «

T . 2

Vr \

\ \

>

Bild 113. Bewegungsgesetze für Kurvengetriebe. a) Bewegungsgesetz 1: Gleichförmige Hubbewegung; b) Bewegungsgesetz 2: Sinusförmiger Beschleunigungsverlauf c) Bewegungsgesetz 3: Konstanter Besdileunigungsverlauf d) Bewegungsgesetz 4: Sinusförmiger Verlauf der Hubbewegung.

Bewegungsgesetze

135

drücke dargestellt werden: vm=Zm

bm = r}m"

und 1 3

-

. 1,3

£ m und r]m sind Konstante und für ein bestimmtes Bewegungsgesetz charakteristisch. 4.3.1 E i n f a c h e B e w e g u n g s g e s e t z e Vier Beispiele solcher .Bewegungsgesetze stehend aufgeführt: 1. Gleichförmiger Hub (Bild 113 a):

seien

nach-

= A . i ; im = l ; v = ä _ . b = 0. T> T1 v m = Ü. Diese Kurvenform ergibt zwar eine gleichförmige Geschwindigkeit des Abtriebsgliedes, jedoch treten zu Beginn und Ende der Hubbewegung Unstetigkeiten in der Geschwindigkeit und damit Stöße auf. S

2. Sinusförmiger Beschleunigungsverlauf (Bild 113b): H

i/T>~

L

sin

(2jt/TrO] =

ü = H/T, • [1 - cos (2 n/T1 • i)] ; b = Zn- WT\ • sin (2 n/T x • t); Geltungsbereich:

Ogtg

o_ m = 2 • H/Ti ' ; £ m = 2 bei i = T J 2 ;

Ti3;

bmm = In- H/Tl2.9 ; Vm

= 2jt bei t = TJ4 .

3. Konstanter Beschleunigungsverlauf: Die Forderung nach einem konstanten Verlauf der Beschleunigung führt zu einem Gesetz, das aus 2 Parabelästen zusammengesetzt wird. In der Zeit D g i g T / 2 ist: s = 2 • H/T\ • f2 ; o = 4- H/Tl • t, in der Zeit TJ2 s = H-2H/Tj

ist: • (7\-t2);

e = 4H/T* • (T, - 1 ) .

136

Konstruktion von Kurvengetrieben

Die Beschleunigung b = konstant und ergibt sich zu b = 4 • H/T]; bei

t=

TJ2.

4. Sinoidischer Verlauf der Hubbewegung: s = H/2 [ 1 - cos (ji/T1

• t)],

u = n/2 • H/Tt • sin ( n / T 1 • t) , b =

n2

H/2 T{ • cos ( n / T 1 • t),

vm = n/2 • H/Tl , Zm = n/2

Geltungsbereich: 0 g i g T,

bei

bm =

t=TJ2,

nV2-H/T\

= ^ bei t = 0 und t = 7\.

Ein Vergleich der in Zahlentafel 1 zusammengestellten Beiwerte f m und rjm zeigt, daß die auftretenden Geschwindigkeiten und Beschleunigungen sich durch die Wahl des Bewegungsgesetzes stark beeinflussen lassen, was besonders für rasch laufende Kurvenscheiben von Wichtigkeit ist. Zahlentafel 1 Geschwindigkeitsbeiwerte f und f]m für einfache Bewegungsgesetze nach Bild 113 Bewegungsgesetz '

1. 1

¡m

0

4.3.2 K o m b i n i e r t e

12- 13. 2

6,28 |

4.

2

1,57

4

4,93

Bewegungsgesetze

Beim Entwurf von Kurvengetrieben ist in vielen Fällen — vor allem im Werkzeugmaschinenbau — eine gleichförmige Hubbewegung, wie sie durch das Bewegungsgesetz 1, Abschnitt 4.3.1, erzeugt wird, erwünscht. Zur Vermeidung der bei diesem Bewegungsgesetz auftretenden „Stöße" kann am Beginn und Ende der Hubbewegung ein

Bewegungsgesetze

137

Zahlentafel 2 Verlauf des Hubweges s in Abhängigkeit von der Zeit t für die Bewegungsgesetze nach Bild 113 bei Normalhub H = 100 mm t T

0 0,1 0,2 0,3 0.4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

Bewegungsgesetz 2. 0 0,63 4,85 14,85 30,63 50,00 69,37 85,15 95,15 99,37 100,00

3. 0 2,00 8,00 18,00 32,00 50,00 68,00 82,00 92,00 98,00 100,00

4. 0 2,45 9,55 20,60 34,55 50,00 65,45 79,40 90,45 97,55 100,00

Bewegungsgesetz mit gleichförmigem Geschwindigkeitsanstieg hinzugefügt werden. Dies führt zu den „kombinierten Bewegungsgesetzen" mit abgekürzter Beschleunigungszeit f ü r Beginn u n d E n d e der H u b b e w e g u n g unter Verwendung eines „Abkürzungsfaktors" n. Kombinierte Bewegungsgesetze gestatten es ferner, vorgeschriebene Höchstgeschwindigkeiten einzuhalten, wie im folgenden gezeigt werden soll. Somit kann der Bewegungs-, Geschwindigkeits- u n d Beschleunigungsverlauf durch geschickte Auswahl u n d Kombination von Bewegungsgesetzen weitgehend den Anforderungen angeglichen werden. Wesentliche Beiträge zur Systematik solcher Gesetze lieferten H.Finkelnburg 1 ) u n d R.Beyer 2 ) [38, 40]. Ein kombiniertes Bewegungsgesetz zur Erzielung des Hubes H in der Zeit Ti besteht demnach: 1) Finkelnburg, H.: Systematik der Bewegungsgesetze. Maschinenbau/ Der Betrieb, Beilage „Reuleaux-Mitt.", 1936, S. 695/697, 1937, S. 221, S. 425. 2) Beyer, R.: Zui Synthese der Bewegungsgesetze ebener und räumlicher Kurvengetriebe. Z. Konstruktion. 5. J a h r g . (1953) S. 188—192.

138

Konstruktion von Kurvengetrieben

1. aus einem Bewegungsgesetz für den Beginn der Hubbewegung in der Zeit O^ti«,'!,,

s, = f (H; T,; t) ,

2. aus einer gleichförmigen Hubbewegung s n = H/T1 • t in der Zeit nl • 7\ g t g (1 - n 2 ) • 7\ , 3. aus einem Bewegungsgesetz für das Ende der Hubbewegung sm = f (H; Tt; t) in der Zeit!(1 - n , ) • T, g i g T , . Die auftretenden maximalen Geschwindigkeiten stehen in einem mathematischen Zusammenhang mit den gewählten Abkürzungsfaktoren und n 2 , mit denen die für Beginn und Ende der Hubbewegung gewählten Bewegungsgesetze abgekürzt werden. Dieser Zusammenhang wird nun für folgenden Sonderfall abgeleitet: m = n 2 = n und gleiches Bewegungsgesetz s = f (H; Tu t) für Beginn und Ende der Hubbewegung (Bild 114). Es gelte das Bewegungsgesetz s = / (H; T,; t) mit = • U/T, und b„ = • H/T, von 0 ^ t < n • T, m »m i m •m ' 1 — — l und (1 - n) • Tj g t g T t ; von t = n • Tj bis i = (1 — n) • T, gelte: s = H/T t, also dasl •Bewegungsgesetz mit gleichförmigem Hub. Gesucht wird die als Funktion von n, f m bzw. tj m auftretende maximale Geschwindigkeit und Beschleunigung bzw. die dazugehörigen Beiwerte ££ und rjm^m

i» . JL 'm T ' 1 1

(1) *'

Bewegungsgesetze

139

Bild 114. Beispiel für ein kombiniertes Bewegungsgesetz mit zwischengeschalteter gleichförmiger Hubbewegung. Für Beginn und Ende des Hubes gilt Bewegungsgesetz, Bild 113 b.

v m = iEm •

2

Im Bereich n • -

Zeit

.

^ t geringeres vm bei einer um 19 °/o erhöhten Beschleunigung bm.

Ermittlung des Grundkreishalbmessers

141

Zahlentafel 3 Geschwindigkeitsbeiwerte f * und ry* für das kombinierte Bewegungsgesetz nach Abschnitt 4.3.3 in Abhängigkeit vom Abkürzungsfaktor n n


3) ab, zeichnet zunächst

die Gerade B ^ S mit der Strecke B3 C3 = l3

und

dann die Winkel Bi C\ 0 = ß\ und B3 C3 O = 1x3 und findet O. Strecke EO ergibt ro und O S Achsabstand a. 10 Grodzinski, Getriebelehre I

146

Konstruktion von Kurvengetrieben

2. Kurvenscheibe mit exzentrisch geführtem Schieber (Bild 117 und 120). e;

\h,

A

Bild 117. Hilfsschaubild zur Konstruktion des kleinsten Grundkreishalbmessers ro für ein Kurvenschubgetriebe.

Die Konstruktion von r 0 geht aus Bild 117 hervor. Der Mittelpunkt O ist durch den Schnittpunkt der beiden freien Schenkel von ß x und //3 gegeben. Er liegt um den Abstand e von der Schubrichtung EB3 entfernt. Die Hubriciitung des Schiebers liegt in der Verlängerung von 3. Gerader Kurvenschub (Trommelkurven) (Bild 118). Beim Kurvenschub mit rechtwinkligen Koordinaten ist die gesamte Kurvenlänge, die zur Einhaltung eines vorgeschriebenen Übertragungswinkels notwendig ist, leicht rechnerisch zu ermitteln.

Bild 118. Zur Ermittlung der notwendigen Mindestlänge eines geraden Kurvensdiubes zur Einhaltung eines vorgeschriebenen Übertragungswinkels

Konstruktion der Kurvenscheiben

147

vs = L m i n /Ti = Schubgeschwindigkeit (Umfangsgeschwindigkeit der Trommel) vg = Gleitgeschwindigkeit (tangential zur Kurvenflanke) v m = £m ' Hl Ti = maximale Hubgeschwindigkeit. Für den Fall eines kombinierten Bewegungsgesetzes ist £ m durch zu ersetzen. Es muß sein: tg ß — vsjvm , dann ist Gerade Kurvenschübe, aufgetragen auf einem Zylinderumfang (Trommel), finden im Werkzeugmaschinenbau zur Steuerung von Werkzeugbewegungen vielfach Verwendung. 4.5 Konstruktion der Kurvenscheiben Nach Ermittlung eines geeigneten Bewegungsgesetzes (Abschnitt 4.3) kann nun ausgehend von dem in Abschnitt 4.4 ermittelten Grundkreishalbmesser r 0 die Kurvenscheibe konstruiert werden. Bei einer Kurvenscheibe mit Schwinghebel (Bild 119) schlägt man um O Kreise mit r 0 und Achsabstand a. Den letzteren teilt man in die gleiche Anzahl Teile wie die Zeitstrecke des Weg-Zedt-Schaubildes. Um jeden dieser Punkte schlägt man einen Kreisbogen mit der angenommenen Hebellänge b, auf dem man von r 0 aus die entsprechenden Hubstrecken s des Weg-iZeit-Diagramms im Bogenmaß aufträgt. Bei einer Kurvenscheibe mit exzentrischem Schieber (Bild 120) schlägt man um O Kreise mit Halbmesser e und r 0 sowie einen Teilkreis k 0 mit beliebigem Radius. Diesen teilt man, beginnend beim Schnittpunkt, mit der Schubrichtung in die gleiche Zahl Teile wie die Zeit10«

148

Konstruktion von Kurvengetrieben

Bild 119. Zur Konstruktion einer Kurvenscheibe mit Schwinghebel. Bewegungsgesetze nach Beispiel in Abschnitt 4.6.

strecke des Weg-Zeit-Schaubildes. Durch die einzelnen Teilpunkte zieht man Tangenten an den Kreis mit Halbmesser e. Auf diesem trägt man von r 0 aus die Hubstredoen des Weg-Zeit-Diagramms auf. Nach dem Aufzeichnen der Kurven (Bild 119 und 120) empfiehlt sich nachzuprüfen, ob an den Punkten maximaler Geschwindigkeit die vorgeschriebenen Übertragungswinkel ß i und /W3 vorhanden sind. 4.6 Beispiel zum Entwurf einer Kurvenscheibe Durch eine Kurvenscheibe, die sich mit 300 U/min dreht, soll innerhalb eines Drehwinkels von cp^ = 120° ein Hub H von 0,025 m erzeugt werden. Der Schwinghebel bestreiche dabei einen Winkel von = 30°. Der Hebel verbleibe für qe2 — 60° in der oberen und für •>, und = f ( , , ; i) so e r g e b e n sich unTUnde Zahnräder.

ro* g e g e b e n ,

7- B.

156

Grundgesetze der Verzahnung

ermitteln, nimmt man, möglichst im gleichen Abstand, verschiedene Punkte Ci an. Der Abstand der gefundenen Punkte B1 und B ergibt ein Bild des zeitlichen Ablaufs der Abwälzbewegung. Der B und B1 entsprechende Punkt B2 des Gegenprofils c 2 liegt auf einem um M 2 mit M2B geschlagenen Kreise. Man macht Bogen C 2 P auf Teilkreis k2 = Bogen C j P und schlägt um C 2 einen Kreisbogen mit PB = C1B1. Der Schnittpunkt beider Kreise ergibt ß 2 auf c2. Die Linie B 2 C 2 ist eine Normale des gesuchten Zahnprofils c 2 . Wurden die Punkte C1 in gleichem Abstand auf dem Teilkreis gewählt, so ergibt der jeweilige Abstand entsprechend Punkt B1 und ß 2 ein Bild der Gleitgeschwindigkeit längs der Zahnflanken. Wie man aus diesem Verfahren erkennt, kann man als Zahnflanke jede beliebig geformte Kurve verwenden, deren Normalen den Wälzkreis schneiden. Bei den üblichen Verzahnungen ist die Eingriffslinie e ihrer Form nach gegeben. Bei der Zykloidenverzahnung 'besteht die EinigrifFsldnie aus zwei Kreisabschnitten, die sich im Teilkreis berühren, bei der Evolventenverzahnung aus einer unter dem Eingriffswinkel a geneigten Geraden. Die Evolventenverzahnung hat den Vorteil, daß der Achsenabstand MiM2 keinen Einfluß auf die Gleichförmigkeit der Bewegungsübertragung hat, so daß sich die Betriebsfehler selbständig ausgleichen. (Näheres über Verzahnungsarten siehe Sammlung Göschen, Band 3/3a.) Sind die Zähne eines Rades als zylindrische Zapfen (Treibstöcke) ausgebildet, so werden die Flanken des Gegenrades Äquidistanten zu Zykloiden. Diese Zahnform ist nicht günstig, da sie. nicht erlaubt, Satzräder auszubilden, d. h. Zähne einer Gruppe von Rädern verschiedener Zähnezahl austauschbar zu machen. Ein besonderes Getriebe dieser Art ist das Grissongetriebe mit einem Zahn für hohe Übersetzungen (siehe H. Polster, Schrifttum 7).

Wälzhebelgetriebe

157

6. Wälzhebelgetriebe1) Wälzhebel dienen zur Übertragung von Bewegungen mit veränderlicher Übersetzung. Meist ist die Bedingung gestellt, daß die beiden Wälzkurven aufeinander abrollen sollen, ohne zu gleiten; dann bestehen die gleichen Beziehungen wie zwischen zwei Polbahnen. Man kann also ein beliebig gegebenes Polbahnpaar (z. B. eines Gelenkvieredcs) als Wälzhebel benutzen. Man unterscheidet nach ihrer Aufstellung Wälzhebelgetriebe mit festen Drehpunkten (Bild 126 und 127) und Wälzhebelgetriebe mit fester Wälzbank (Bild 128 a und b), vielfach auch als Wälzhebel mit beweglichem Drehpunkt bezeichnet, da bei Führung eines Drehpunktes des bewegten Wälzhebels auf einer bestimmten iBahn (meist Gerade) der andere Drehpunkt eine Kurve beschreibt. Wälzhebel mit festen Drehpunkten. Die beiden Wälzhebel drehen sich um die festen Drehpunkte 1 und 2. Damit ein reines Abwälzen stattfindet, muß der jeweilige Wälzpunkt (als Pol der Bewegung) auf der Verbindungslinie 12 liegen. Ist dies nicht der Fall, z. B. auf Grund praktischer Erfordernisse, so tritt neben dem Abwälzen

Bild 126.

Bild 127.

Bild 126 u. 127. Wälzhebelgetriebe mit festen Drehpunkten. 1) Redinerisdie Ermittlung eines Wälzhebelgetriebes mit zwei festen Drehpunkten aus einem Gelenkviereck, siehe K. H. Sieker, D i e T e c h n i k , Bd. 3, 1948, S. 170—174.

158

Wälzhebelgetriebe

O.

UJ

a

b

Bild 128 a u. b. Wälzhebelgetriebe mit fester Wälzbank.

noch ein Gleiten auf, dessen Größe durch den Abstand des jeweiligen Berührungspunktes von dem Pol (auf Verbindungslinie 12) bestimmt wird. Bei reinem Abwälzen sind die Berührungsflächen der Wälzpunkte als Polbahnen auszubilden. Sind die festen Drehpunkte 1 und 2 und die eine Wälzbahn a gegeben (Bild 129), so läßt sich die andere Wälzbahn b auf Grund der im Abschnitt 2.2 (Seite 33) gegebenen Regeln ermitteln. Wir betrachten die Wälzbahn a als Rastpolbahn, auf der sich die zu ermittelnde Gangpolbahn b abwälzen soll. Wir schlagen hierzu einen Kreis um 2 mit 12; ziehen beliebige Strahlen 22', 23' usw. Diese schneiden auf der gegebenen Bahn a die Pole P 2 , P3 usw., auf der Verbindungslinie 12 liegt der augenblickliche Pol P, der sowohl ein Punkt der Bahn a als der Bahn b ist. Für diesen Punkt als Ausgangspunkt ermitteln wir die Bahn b, indem wir z. B. um P einen Kreisbogen mit PP 4 und um 1 einen Kreisbogen 4'P 4 schlagen, der Schnittpunkt ist ein Punkt der Bahn b. Die Konstruktion ist nur näherungsweise, da wir den Bogen PP 4 durch die Sehne ersetzen, was jedoch für flache Wälzbahnen zulässig erscheint.

Wälzhebelgetriebe

159

Gleiche Wälzbahnen entstehen, wenn man als Bahnkurven Ellipsen oder logarithmische Spiralen wählt. Die Ellipsen sind die Polbahnen des Antiparallelkurbelgetriebes (Bild 99 b, Seite 120). Unter Benutzung dieses Getriebes als Ersatzgetriebe lassen sich die Abmessungen leicht bestimmen. Der gegebene Abstand der festen Drehpunkte 14 = 2A ist gleich der großen Achse der Ellipse, 2B ist frei wählbar, um jedoch eine kleine Anfangsübersetzung zu

Bild 129. Annäherungsweise Konstruktion einer beweglidien Wälzbahn, wenn das Profil des anderen Wälzhebels gegeben ist.

160

Wälzhebelgetriebe

erhalten, wählt man 2B verhältnismäßig klein. Die Punkte 1 bis 4 bilden die Brennpunkte der Ellipsen, Brennpunktsabstand 12 = 34 = a = }'A2 - B2. Für die Verwendung als Wälzhebel werden die Ellipsen nur teilweise ausgebildet. Aus praktischen Gründen wählt man eine Wälzbahn häufig als Gerade (Bild 130), man erhält hier eine niedrige Anfangsübersetzung. Man ermittelt die zugehörige Abwälzkurve nach dem oben angegebenen Verfahren punktweise; für den Anfangspunkt wählt man ein beliebiges Kurvenstück und nimmt hier eine kleine Gleitung in Kauf. Feste Wälzbahnen. Um ©in gleiitfredies Abwälzen zu erzielen, muß der Pol der Bewegung auf der Wälzbahn liegen. Bei der Anwendung an Dampfmaschinensteuerungen wird ein Punkt des bewegten Wälzhebels gerade geführt (Ventilachse). Für gleitungsfreies Abrollen besteht

Bild 130. Wälzhebel mit festem Drehpunkt; eine Bahn ist eine Gerade.

Wälzhebelgetriebe

161

deshalb die Bedingung, daß AP senkrecht zur Ventilachse gg liegt. Auf Grund dieser Bedingung läßt sich eine näherungsweise Konstruktion (für flache Kurven) angeben (Bild 131). Kurve a ist wieder die gegebene Rastpolbahn, die hier tatsächlich feststeht. Wir ziehen innerhalb des Hubbereiches h verschiedene beliebige Parallen zu AP und erhalten P2, P3, P4 usw. als Schnittpunkte mit der Rastpolbahn a. Wir finden die entsprechenden Punkte auf der Gangpolbahn b, indem wir z. B. um P einen Kreisbogen PP2 schlagen und um 2' einen Kreisbogen 2'F 2 , diese schneiden sich in dem P 2 entsprechenden Punkte der Gangpolbahn b. Durch punktweise Konstruktion finden wir so die Kurve b. Ein beliebiger Punkt des bewegten Wälzhebels, z. B. B, beschreibt eine Bahn, die etwa einer Koppelkurve entspricht. Damit die Führungsbahn gg keine Seitendrücke bekommt, sollen sich die Normale nn im Pol P und die Verlängerung der in B angreifenden Koppel b in einem Punkte auf der Geraden gg schneiden. 11

Grodzinski, Getriebelehre I

162

Wälzhebelgetriebe

Ein Sonderfall tritt ein, wenn eine der Wälzbahnen eine Gerade wird, dann ist die Begrenzung der anderen eine logarithmisdie Spirale. Wählt man als Wälzbank den Ausschnitt eines Kreises, dessen Mittelpunkt auf der Geraden gg liegt, so geht die bewegte Wälzbahn ebenfalls in einen Kreis über, und zwar vom halben Durchmesser (Kardankreispaar).

Stichwortverzeichnis

Absolutbewegung 23, 53 Antiparallelkurbel 39, 120 Ausgleichgetriebe 108 AWF (Ausschuß für wirtsciiaftlidie Fertigung) 6

Evolute 98, 100 Evolventenverzahnuna 156 Freier Fall 66

Gangpolbahn 33, 34, 35, 36', 38, 123, 161 Gegenprofil 155 Beschleunigung 12 Gelenkgeradführungen Beschleunigungsmaß125 stab 79, 105 Gelenkgetriebe 111 Beschleunigungsplan 41, Gelenkviereck 49, 52 65, 74 61, 66 Beschleuniguqgspol 40, Geradführung s. Lenker44 geradführung Beweglichkeit 106, 112 Geradschubkurbel 27, Bewegunggeometrie 7 37, 80, 86 Bewegungsgesetze 133 Geschwindigkeit 11, 33, —, einfache 135 39, 135 —, kombinierte 136 GesdhwindigkeitsmaßBeyer, R. 8, 63, 110, 144 stab 79, 105, 132, 144 Bogenschleife 94 Geschwindigkeitsplan 32 Bogenschubkurbel 114 Geschwindigkeitspol s. Bresse'sche Kreise 46 Momentanpol Burmester, L. 8, 127 Getriebeanalyse 8 Gleichförmig beschleuCoriolis-Beschleuninigte Bewegung 14, gung 63, 66 135 Gleichförmige Bewegung Drehgelenkpaar 106 14, 134, ¿35 Drehpol 26 Gleichschenkliges GeDrehung 26 lenkviereck 120 Drehzahl 30 Gleitgeschwindigkeit Doppelkurbel 113, 118, 147, 156 121 Gliedlängen 111 Doppelschwinge 113, Graphische Differen114, 118 tiation 15 Graphische Ermittlung Ebene 26 15, 17 Hingriffsglied 101 Graohische Integration Eingriffsiinie 154 18 Einheiten 28 Grissongetriebe 156 Elementarbeschleunigung 24 Harmonische Bewegung Ellipsen 37, 120, 160 15 Ersatzgetriebe 94, 97, Hochofengebläse 103 107, 160 Hüllkurven 36, 37 Euler, J . 51 Hyperbel 120

163

Kardankreispaar 34 Kardiodide 36 Keilkette 54 Kinematik 7 Koppelebene 79, 121 Koppelkurven 127, 129 Kreispunktkurve 112, 127 Kreuzkopfbeschleunigung 81 Kreuzschleife 15, 34, 94 Krümmungshalbmesser 49 Krümmungsmittelpunkt 99 — von Koppelkurven 24 Krummlinige Bewegung 23 Kurbelgetriebe 66, 106 Kurbelschleife 86 Kurbelschwinge siehe Bogenschubkurbel Kurvengetriebe 129 —, G rund kreishalbmesser 141 —, Konstruktion 147 —, Schieber exzentrisch 147 —, räumliche 130 Kurvenscheiben 66, 98, 147 — mit kreisförmiger Begrenzung 15l Kurvenschub 97, 146 Längeneinheit 16 Lagen2uordnungen 111 Lenkergeradführungen 126 Leonardo da Vinci 36 Logarithmische Spirale 162 Maßstäbe 12, 132, 144 Maßsynthese 8 Mittelpunktsbahn 97 Mittelpunktskurve 112. 127

Stichwortverzeichnis

164 Mittlere Geschwindigk e i t 21 M o m e n t a n p o l 32 M o m e n t a n z e n t r u m s. Momentanpol N o c k e n 103, 151 Normalbeschleunigung 24 Ovalwerk

36

P a r a l l e l k u r b e l n 120 P a r a l l e l o g r a m m der B e w e g u n g e n 20 P a s c a l ' s d i e K u r v e n 36 P i l z s t ö ß e l 102 P o l b a h n e n 37, 48, 50 P o l e 60 P o l s a t z 60 P r i s m e n p a a r 106 P u n k t l a g e n r e d u k t i o n 128 R a s t p o l b a h n 33, 34, 35, 36, 37, 161 R e l a t i v b e w e g u n g 53 R o b e r t ' s c h e r Dreiedcl e n k e r 126 Roberval'sche Tafelw a a g e 106

R o l l e n d e s R a d 21, 51 R o l l k u r v e n 33, 37 S c h i e b u n g 26 S c h w i n g h e b e l 147 Sechsgliedriqe Getriebe 125 Senkrechte Geschwind i g k e i t e n 32, 33 S h a p i n g m a s c h i n e 92 S i n o i d e 135 S i n u s s d i w i n g u n g e n 15, 97 S t i l l s t ä n d e 124, 125 T a f e l w a a g e 108 Tangentialbeschleunig u n g 24 T e i l k r e i s s. W ä l z k r e i s T o t l a g e n 112 T r i e b s t ö c k e 156 T r o m m e l k u r v e 146 Übertragungsbewegung 23, 63 Übertragungswinkel 117, 141, 142 U m k e h r s t e l l u n g e n 73, 85, 92 U m k e h r u n g der B e w e g u n g 35, 3 6 U m l a u f z e i t 30, 132

V e k t o r e n 20 V e n t i l s t e u e r u n g 151 V e r z a h n u n g 153 W ä l z h e b e l 157 W ä l z k r e i s e 155 W e c h s e l k r e i s 43 W e g 10 W e g m a ß s t a b 16 W e n d e k r e i s 43, 45, 52 W e n d e p u n k t e 40, 51 Winkelbeschleunigung 28 Winkelgeschwindigkeit 30 W i n k e l s c h l e i f e 93, 101 Zahlensynthese 8 Z a h n r ä d e r 153 Z e i c h e n m a ß s t a b 16 Z e i t e i n h e i t 28 Z u s a t z b e s c h l e u n i g u n g s. Coriolis-Beschleunigung Z w a n g l a u f 106 Zwanglauflehre 7 Z w e i g g e t r i e b e s. A u s gleichgetriebe Z y k l o i d e 51, 123 Zykloidenverzahnung 156

Sammlung Göschen Gesamtverzeichnis

Jeder Band D M 3,60 • Doppelband D M 5,80 Dreifachband D M 7,80

Herbst 1967

Walter de Gruyter & Co • Berlin 30

Die Bände der S a m m l u n g Göschen vermitteln in konzentrierter Form den grundlegenden Stoff für das Studium der einzelnen wissenschaftlichen Disziplinen. Sie sind nicht nur Hilfsmittel für die Arbeit an Universitäten und Hochschulen, sondern auch vorzüglich geeignet für Fachschulen, Arbeitskreise und zum Selbststudium. Die Fülle des Materials hat sich besonders für die Vorbereitung zu Examina und Prüfungen bewährt. Auch eine schnelle Orientierung geht hier niemals auf Kosten der Gründlichkeit.

Inhaltsübersicht Biologie

16

Musik

Botanik

17

Orientalistik

Chemie

15

Pädagogik

7

Philosophie

Deutsche Sprache u. Literatur . . Elektrotechnik

19

Englisch

8

Physik Psychologie

Erd- u. Länderkunde

10

Publizistik

Geologie

18

Religion

Germanisch

8

Romanisch

Geschichte

6

Slavische Sprachen

9

Soziologie

Griechisch Hoch- u. Tiefbau

22

Statistik

8

5 10 4 3 14 4 10 4 8 10 4 10

Technik

19

Kartographie

10

Technologie

16

Kristallographie

18

Vermessungswesen

21

Wasserbau

22

Indogermanisch

Kunst Land- u. Forstwirtschaft Lateinisch

5 . . . .

18

Wirtschaft

10

9

Zoologie

17

Maschinenbau

20

Mathematik

12

Autoren reg ister

29

Mineralogie

18

Bandnummernfolge

23

Geisteswissenschaften Philosophie E i n f ü h r u n g in die P h i l o s o p h i e von H . L e i s e g a n g t . 6. Aufl. 146 S. 1966. (281) H a u p t p r o b l e m e der P h i l o s o p h i e von G . S i m m e l f . 8., unveränd. Aufl. 177 S. 1964. (500) G e s c h i c h t e der P h i l o s o p h i e I: Die griechische Philosophie von W . C a p e l l e . 1. Tl. V o n Thaies bis Leukippos. 3., erw. Aufl. Etwa 135 S. In V o r b . (857) II: Die griechische Philosophie von W . C a p e l l e . 2. Tl. V o n der Sophistik bis z u m Tode Piatons. 3., stark erw. Aufl. Etwa 144 S. In Vorb. (858) III: Die griechische Philosophie von W . C a p e l l e . 3. Tl. V o m Tode Piatons bis zur Alten Stoa. 2.. stark erw. Aufl. 132 S. 1954. (859) I V : Die griechische Philosophie von W . C a p e l l e . 4. Tl. V o n der Alten Stoa bis z u m Eklektizismus im 1 . Jh. v. Chr. 2., stark erw. Aufl. 132 S. 1954. (863) V : Die Philosophie des Mittelalters von J. K o c h . In Vorb. (826) V I : V o n der Renaissance bis Kant von K . S c h i II i n g. 234 S. 1954. (394/394a) VII: Immanuel Kant von F . K a u l b a c h . In V o r b . (536) VIII: Die Philosophie des 19. Jahrhunderts von G . L e h m a n n . 1.TI. 151 S. 1953. (571) I X : Die Philosophie des 19. Jahrhunderts von G . L e h m a n n . 2.Tl. 168 S. 1953. (709) X : Die Philosophie im ersten Drittel des 20. Jahrhunderts 1.TI. von G . L e h m a n n . 128 S. 1957 (845) X I : Die Philosophie im ersten Drittel des 20. Jahrhunderts 2. Tl. von G . L e h m a n n . 114 S. 1960. (850) D i e g e i s t i g e S i t u a t i o n der Z e i t (1931) von K . J a s p e r s . 6 . A b d r . der im Sommer 1932 bearb. 5. Aufl. 211 S. 1965. (1000) F o r m a l e L o g i k von P. L o r e n z e n . 3., durchges. u. erw. Aufl. 184 S. 1967. (1176/1176a) P h i l o s o p h i s c h e s W ö r t e r b u c h von M . A p e l f . 5., voll, neu bearb. Aufl. von P. L u d z . 315 S. 1958. (1031/1031 a) P h i l o s o p h i s c h e A n t h r o p o l o g i e . Menschliche Selbstdeutung in Geschichte und Gegenwart von M . L a n d m a n n . 2., durchges. Aufl. 223 S. 1964. (156/156a)

3

GEISTESWISSENSCHAFTEN

Pädagogik, Psychologie, Soziologie Geschichte der P ä d a g o g i k von Herrn. W e i m e r . 17., neubearb. Aufl. von H e i n i W e i m e r 205 S. 1947. ( H 5 / U 5 a ) T h e r a p e u t i s c h e Psychologie. Ihr W e g durch die Psychoanalyse von W . M . K r a n e f e l d t M . e. Einf. von C . G . J u n g . 3. Aufl. 152 S. 1956. (1034) A l l g e m e i n e P s y c h o l o g i e von T h E r i s m a n n t - 4 Bde. I : G r u n d p r o b l e m e . 3. Aufl. 146 S. 1965. (831) II: G r u n d a r i e n des psychischen Geschehens. 2., neubearb. Aufl. 248 S. 1959. (832 /832a ; III: Experimentelle Psychologie und ihre Grundlagen. 1 . T I . 2., neubearb. Aufl. 112 S., 7 A b b . 1962. (833) I V : Experimentelle Psychologie und ihre Grundlagen. 2. Tl. 2., neubearb. Aufl. 199 S. 20 A b b . 1962. (834;534a) S o z i o l o g i e . Geschichte und Hauptprobleme von L. v o n W i e s e . 8. Aufl. 183 S. 1967. (101/101 a ) I d e e n g e s c h i c h t e d e r s o z i a l e n B e w e g u n g des 19. und 20. Jh. von W . H o f m a n n . 2. Aufl. In V o r b (1205/1205a) S o z i a l p s y c h o l o g i e von P.R. H o f s f ä t t e r . 3 . Aufl. 191 S.,18 A b b . 1967. (104/104a) P s y c h o l o g i e des Berufe- u n d W i r t s c h a f t s l e b e n s von W . M o e d e f . 193 S. 48 A b b . 1958. (851 /851 o) I n d u s t r i e - und B e t r i e b s s o z i o l o g i e von R. D a h r e n d o r f . 4. Aufl. 142 S., 3 Fig. 1967 (103) W i r t s c h a f t s s o z i o l o g i e von F. F ü r s t e n b e r g . 122 S. 1961. (1193) E i n f ü h r u n g in die S o z i a l e t h i k von H.-D. W e n d l a n d . 144 S. 1963. (1203)

Religion Jesus von M . D i b e l i u s f - 4. Aufl. m. e. Nachtr. von W . G . K ü m m e l . 140 S. 1966. (1130) P a u l u s von M . D i b e l l u s f . N a c h dem Tode des Verf. hrsg. u. zu Ende gef. von W . G. K ü m m e l . 3., durchges. Aufl. 156 S. 1964. (1160) L u t h e r von F. L a u . 2., verb. Aufl. 153 S. 1966. (1187) M e l a n c h t h o n von R. S t u p p e r i c h . 139 S. 1960. (1190) Z w i n g l i von F. S e h m i d f - C l a u s i n g . 119 S. 1965.(1219) S c h l e i e r m a c h e r . Leben und W e r k von M . R e d e k e r . In V o r b . (1177/1177a) Sttren K i e r k e g a a r d . Leben u. W e r k von H . G e r d a s . 134 S. 1966. (1221) E i n f ü h r u n g in die K o n f e s s i o n s k u n d e der o r t h o d o x e n K i r c h e n von K . O n a s c h . 291 S. 1962. (1197/1197o) G e s c h i c h t e des christlichen Gottesdienstes v o n W . N a g e l . 215 S. 1962. (1202/1202a)

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GEISTESWISSENSCHAFTEN G e s c h i c h t e Israels. V o n den Anfängen bis zur Zerstörung des Tempels (70 n. Chr.) von E. L. E h r l i c h . 2.Aufl. In V o r b . (231/231 a) R ö m i s c h e R e l i g i o n s g e s c h i c h t e von F. A l t h e i m . 2 Bde. 2., umgearb. Aufl. I: G r u n d l a g e n und Grundbegriffe. 116 S. 1956. (1C35) II: Der geschichtliche Ablauf. 164 S. 1956. (1052) D i e R e l i g i o n des B u d d h i s m u s von D . S c h l i n g l o f f . 2 Bde. I : D e r Heilsweg des Mönchstums. 122 S., 11 Abb., 1 Kte. 1962. (174) II: D e r Heilsweg für die Welt. 129 S „ 9 Abb., 1 Kte. 1963. (770)

Musik M u s i k ä s t h e t i k von H . J. M o s e r . 180 S. M . zahlr. Notenbelsp. 1953. (344) S y s t e m a t i s c h e M o d u l a t i o n von R. H e r n r i e d . 2. Aufl. 136 S. M . zahlr. Notenbeisp. 1950. (1094) D e r p o l y p h o n e S a t z von E. P e p p i n g . 2 Bde. I: Der cantus-firmus-Satz. 2. Aufl. 233 S. Mit zahlr. Notenbelsp. 1950. (1148) II: Ü b u n g e n im doppelten Kontrapunkt und im K a n o n . 137 S. M . zahlr. Notenbeisp. 1957. (1164/1164a) A l l g e m e i n e M u s i k l e h r e von H. J. M o s e r . 2., durchges. Aufl. 155 S. M . zahlr. Notenbeisp. 1955. (220/220a) H a r m o n i e l e h r e von H. J. M o s e r . 2 Bde. I : 109 S. M . 120 Notenbeisp. 1954. (809) II: In V o r b . (810) D i e M u s i k des 19. J a h r h u n d e r t s von W . O e h l m a n n . 180 S. 1953. (170) D i e M u s i k des 20. J a h r h u n d e r t s von W . O e h I m a n n. 312 S. 1961. (171/171 a) T e c h n i k der deutschen G e s a n g s k u n s t von H. J. M o s e r . 3., durchges. u. verb. Aufl. 144 S., 5 Fig., sowie Tab. u. Notenbeisp. 1954. (576/576a) D i e K u n s t des D i r i g i e r e n s von H. W . v o n W a l t e r s h a u s e n f . 2., verm. Aufl. 138 S. M . 19 Notenbeisp. 1954. (1147) D i e T e c h n i k des K l a v i e r s p i e l s aus dem Geiste des musikalischen Kunstwerkes von K . S c h u b e r t - f . 3. Aufl. 110 S. M . Notenbeisp. 1954. (1045)

Kunst S t i l k u n d e von H . W e i g e r t . 2 Bde. I : Vorzeit, Antike, Mittelalter. 4. Aufl. Etwa 136 S., 94 A b b . In V o r b . (80) II: Spätmittelalter und Neuzeit. 3., durchges. u. erg. Aufl. 150 S., 88 A b b . 1958. (781) A r c h ä o l o g i e von A . R u m p f . 3 Bde. I : Einleitung, historischer Überblick. 143 S., 6 A b b . , 1 2 T a f . 1953. (538) II: Die Archäologensprache. Die antiken Reproduktionen. 136 S., 7 Abb., 12 Taf. 1956. (539) III: In V o r b . (540)

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GEISTESWISSENSCHAFTEN

Geschichte E i n f ü h r u n g in die Geschichtswissenschaft von P. K i r n . 5., beerb. u. e r g . Aufl. von J. L e u s c h n e r . 127 S. 1968. (270/270a) E i n f ü h r u n g in die Z e i t g e s c h i c h t e von B. S c h e u r i g . 101 S. 1962. (1204) Z e i t r e c h n u n g der r ö m i s c h e n K a i s e r z e i t , des M i t t e l a l t e r s und der N e u z e i t für die J a h r e 1—2000 n. C h r . von H . L i e t z m a n n t . 3. Aufl., durchges. von K. A l a n d . 130 S. 1956. (1085) K u l t u r der U r z e i t von F. B e h n . 3 Bde. 4. Aufl. der Kultur der Urzeit Bd. 1 — 3 von M . H o e r n e s . I: Die vormetallischen Kulturen. (Die Steinzeiten Europas. Gleichartige Kulturen in anderen Erdteilen.) 172 S., 48 A b b . 1950. (564) II: Die älteren Metallkulturen. (Der Beginn der Metaübenutzung, Kupferund Bronzezeit in Europa, im Orient und in A m e r i k a . ) 160 S., 67 A b b . 1950. (565) III: Die jüngeren Metallkulturen. ( D a s Eisen als Kulturmetall, HallstattLat6ne-Ku Itur in Europa. D a s erste Auftreten des Eisens in den anderen Weltteilen.) 149 S. 60 A b b . 1950. (566) V o r g e s c h i c h t e E u r o p a s von F. B e h n . Neuauft. In V o r b . (42) D e r Eintritt der G e r m a n e n in die Geschichte von J. H a l l e r f . 3.Aufl., durchges. von H. D a n n e n b a u e r . 120 S. 6 Kartensk. 1957. (1117) V o n den K a r o l i n g e r n zu den Staufern. Die altdeutsche Kaiserzeit (900—1250) von I H a l l e r f . 5., durchges. Aufl. von H . D a n n e n b a u e r . 142 S., 4 Ktn. 1968. In V o r b . (1065) V o n den S t a u f e r n zu den H a b s b u r g e r n . Auflösung des Reichs und E m p o r kommen der Landesstaaten (1250—1519) von J. H a l l e r f . 2., durchges. Aufl. von H. D a n n e n b a u e r 118 S., 6 Kartensk. 1960. (1077) Deutsche Geschichte im Zeitalter der Reformation, der Gegenreformation und des dreißigjährigen Krieges von F. H ä r t u n g . 2., durchges. A u f l . 128 S. 1963. (1105) Deutsche G e s c h i c h t e v o n 1648—1740. Politischer und geistiger W i e d e r a u f b a u von W . T r e u e . 120 S. 1956 (35) Deutsche Geschichte v o n 1719—1806. V o n der Schaffung des europäischen Gleichgewichts bis zu Napoleons Herrschaft von W . T r e u e . 168 S. 1957. (39) Deutsche neuen Deutsche Vorb.

Geschichte v o n 1806—1890. V o m Ende des allen bis zur Höhe des Reiches von W . T r e u e . 128 S 1961 .(893) G e s c h i c h t e v o n 1890 bis zur G e g e n w a r t v o n W . T r e u e . In (894)

Q u e l l e n k u n d e der D e u t s c h e n G e s c h i c h t e i m M i t t e l a l t e r (bis zur Mitte des 15. Jahrhunderts) von K . i a c o b f 3 Bde. I: Einleitung Allgemeiner Teil. Die Zeit der Karolinger. 6.Aufl., bearb. von H. H ö h e n l e u t n e r . 127 S. 1959. (279) II: Die Kaiserzeit (911—1250). 5. Aufl., neubearb. von H . H o h e n l e u t n e r . 141 S. 1961. (280)

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GEISTESWISSENSCHAFTEN III: Das Spätmittelalter (vom Interregnum bis 1500). Hrsg. von F. W e d e n . 152 S. 1952. (284) Geschichte Englands von H. P r s l l e r . 2 Bde. I: bis 1815. 4., erw. Aufl. Etwa 135 S„ 7 Stammtaf., 2 Ktn. 1967. (375/375a) Ii! Von 1815 bis 1910. 2., väll. umgearb. Aufl. 118 S„ 1 Stammlaf., 7 Ktn. 1954. (1088) Römische Geschichte von F. A l t h e l m . 4 Bde. 2., verb. Aufl. I: Bis zur Schlacht bei Pydna (168 v. Chr.). 124 S. 1956. (19) H: Bis zur Schlacht bei Actium (31 v. Chr.). 129 S. 1956. (677) Hl; Bis zur Schlacht an der Milvlschen Brücke (312 n. Chr.). 148 S. 1958. (679) I V : Bis zur Schlacht am Yarmuk (636 n. Chr.). In Vorb. (684) Geschichte der Vereinigten Staaten von A m e r i k a von O. G r a f z u S t o l b e r g - W e r n i g e r o d e . 192 S.. 10 Ktn. 1956. (1051/1051 a)

Deutsche Sprache und Literatur Geschichte der deutschen Sprache von H. S p e r b e r . 5.( neubearb. Aufl. von P. v o n Polenz. 136 S. 1966. (915) Deutsches Rechtschreibungswörterbuch von M . G o t t s c h a l d f . 2., verb. Aufl. 269 S. 1953. (200/200a) Deutsche Wortkunde. Kulturgeschichte des deutschen Wortschatzes von A . S c h i r m e r . 5. Aufl. von W . M i t z k a . 125 S. 1965. (929) Deutsche Sprachlehre von W . Hofstaetter. 10. Aufl. Voll. Umarb. der 8. Aufl. 150 S. 1960. (20) S t i m m k u n d e für Beruf, Kunst und Heilzwecke von H. Biehle. 111 S. 1955. (60) Redetechnik. Einführung in die Rhetorik von H. Biehle. 2., erw. Aufl. 151 s. 1961.(61) Grundlagen der Sprecherziehung von J. Jesch. 93 S., 8 Abb. 1967. (1122) Deutsches Dichten und Denken von der germanischen bis zur staufischen Zeit von H. N a u m a n n f . (Deutsche Literaturgeschichte vom 5.—13. Jahrhundert.) 3., verb. Aufl. in Vorb. (1121) Deutsches Dichten und Denken v o m Mittelalter zur Neuzeit von G. M ü l I er (1270 bis 1700). 3., durchges. Aufl. In Vorb. (1086) Deutsches Dichten und Denken von der Aufklärung bis zum Realismus (Deutsche Literaturgeschichte von 1700—1890) von K. V l e t o r t . 3., durchges. Aufl. 159 S. 1958. (1096) Deutsche Heldensage von H. S c h n e i d e r . 2.Aufl., bearb. von R. W l s n l e w s k l . 148 S. 1964. (32) Der Nibelunge N d t in Auswahl. Mit kurzem Wörterbuch hrsg. von K. L a n g o s c h . 11., durchges. Aufl. 166 S. 1966. (1) Kudrun und Dietrich-Epen in Auswahl mit Wörterbuch von O. L. J i r l c z e k . 6. Aufl., bearb. von R. W i s n l e w s k l . 173 S. 1957. (10)

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GEISTESWISSENSCHAFTEN W o l f r a m von Eschenbach, Parzlfal. Eine Auswahl mit Anmerkungen und Wärterbuch von H. Jantzen. 3. Aufl., bearb. von H, K o l b. 128 S. 1966. (921) H o r t m a n n von Aue. Der a r m e Heinrich nebst einer Auswahl aus der „Klage" dem „Gregorlus" und den Liedern (mit einem Wörterverzeichnis) hrsg. von F. M a u r e r . 2. Aufl. 96 S. 1968. Im Druck. (18) Gottfried von Straßburg. Tristan und Isolde in Auswahl hrsg. von F. M a u rer. 2. Aufl. 142 S. 1965. (22) Die deutschen Personennamen von M. G a t t s c h a i d t , 2., verb. Aufl. 151 S. 1955. (422) Althochdeutsches Elementarbuch. Grammatik und Texte von H. N a u m a n n ! u. W . Betz. 4., verb. u. verm. Aufl. 183 S. 1967. (1111,1111a) Mittelhochdeuteche G r a m m a t i k ven H. de B o o r u. IC W i s n i e w s k l . 5., durchges, Aufl. 150 S. 1967, (1108)

Indogermanisch, Germanisch Indogermanische Sprachwissenschaft von H. K r ä h e . 2 Bde. I: Einleitung und Lautlehre. 5. Aufl. 110 S. 1966. (59) II: Formenlehre. 4., neubearb. Aufl. 100 S. 1963. (64) Sanskrit-Grammatik mit sprachvergleichenden Erläuterungen von M . M a y r h o f e n 2., völl. neu bearb. Aufl. 110 S. 1965. (1158/1158a) Altirische G r a m m a t i k von J. P o k o r n y . 2. Aufl. 1968. (896/896a) Gotisches Elementarbuch. Grammatik. Texte mit Übersetzung und Erläuterungen von H. H e m p e l . 4., neubearb. Aufl. 169 S. 1966. (79/79a) Altnordisches Elementarbuch. Einführung, Grammatik, Texte (zum Teil mit Übersetzung) und Wörterbuch von F. R a n k e . 3., völl. umgearb. Aufl. von D. H o f m a n n . 205 S. 1967. (1115/1115a/1115b) Germanische Sprachwissenschaft von H. K r ä h e . 3 Bde. I: Einleitung und Lautlehre. 6. Aufl. 147 S. 1966. (238) II: Formenlehre. 6.Aufl. 149 S. 1967. (780) III: Wortbildungslehre von W . M e l d . 270 S. 1967. (1218/1218a/1218b)

Englisch, Romanisch Altenglisches Elementarbuch. Einführung, Grammatik, Texte mit Übersetzung und Wörterbuch von M. Lehnert. 6., verb. Aufl. 178 S. 1965. (1125) Mittel englische« Elementarbuch von H. W e i n s t o c k . 1967. In Vorb. (1226/ 1226 a/1226 b) Historische neuenglische Laut- und Formenlehre von E. E k w a l l . 4., verb. Aufl. 150 S. 1965. (735)

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GEISTESWISSENSCHAFTEN Englische P h o n e t i k von H. M u t s c h m a n n f . 2. Aufl., bearb. von G. S c h e r e r . 127 S. 1963. (601) Englische Literaturgeschichte von F. S c h u b e l . 4 Bde. I : Die alt- und mittelenglische Perlode. 2„ neubearb. Aufl. 189 S. 1967. (1114/1114a) II: Von der Renaissance bis zur Aufklärung. 160 S. 1956. (1116) III: Romantik und Viktorianismus. 160 S. 1960. (1124) Beowulf. Eine Auswahl mit Einführung, teilweiser Übersetzung, Anmerkungen und etymologischem Wörterbuch von M. L e h n e r t . 4 „ verb. Aufl. 135 S. 1967. (1135) S h a k e s p e a r e von P. M e i ß n e r f . 2.Aufl., neubearb. von M. L e h n e r t . 136 S. 1954. (1142) R o m a n i s c h e Sprachwissenschaft von H. L a u s b e r g . 4 Bde. I: Einleitung und Vokalismus. 2., durchges. Aufl. 211 S. 1963. (128/128a) II: Konsonantismus. 2., durchges. Aufl. 95 S. 1967. (250) III: Formenlehre. 1-Teil. 99 S. 1962. (1199) III: Formenlehre. 2. Teil. S. 99—260. 1962. (1200/1200a) I V : Wortlehre. In Vorb. (1208)

Griechisch, Lateinisch G r i e c h i s c h e Sprachwissenschaft von W . B r a n d e n s t e i n . 3 Bde. I : Einleitung, Lautsystem, Etymologie. 160 S. 1954. (117) II: Wortbildung und Formenlehre. 192 S. 1959. (118/118a) III: Syntax I. Einleitung. Die Flexibilien. 145 S. 1966. (924/924a) Geschichte d e r griechischen Sprache. 2 Bde. I: Bis zum Ausgang der klassischen Zeit von O . H o f f m a n n und A. Deb r u n n e r . 4., neubearb. Aufl. von A. S c h e r e r . 1968. (111/111a) II: Grundfragen und Grundzüge des nachklassischen Griechisch von A. D e b r u n n e r . 2. Aufl., bearb. von A. S c h e r e r . 1968. (114/114a) Geschichte der griechischen L i t e r a t u r von W . N e s t l e . 2 Bde. 3. Aufl., bearb. von W . L i e b i c h . I : 144 S. 1961. (70) II: 149 S. 1963. (557) G r a m m a t i k d e r neugriechischen V o l k s s p r a c h e von J . K a l i t s u n a k i s . 3., wes. erw. u. verb. Aufl. 196 S. 1963. (756/756a) Neugriechisch-deutsches Gesprächsbuch von J. K a l i t s u n a k i s . 2.Aufl., bearb. von A. S t e i n m e t z . 99 S. 1960. (587) Geschichte d e r lateinischen S p r a c h e von F. S t o l z u. A. D e b r u n n e r t . 4., stark umgearb. Aufl. von W . P. S c h m i d . 145 S. 1966. (492/492a) G e s c h i c h t e d e r römischen L i t e r a t u r von L. B i e l e r . 2., verb. Aufl. 2 Bde. I : D e Literatur der Republik. 160 S. 1965. (52) II: Die Literatur der Kaiserzeit. 133 S, 1965. (866)

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GEISTESWISSENSCHAFTEN

Orientalistik, Slavistik D i e Keilschrift von B. M e i s s n e r . 3.Aufl., neubearb. v o n K . O b e r h u b e r . Etwa 150 S. 1967. (708/708 a/708 b) D i e H i e r o g l y p h e n von A . E r m a n . 3. Aufl., neu bearb. von O . K r ü c k m a n n . 1968. In V o r b . (608/608a/608b ) H e b r ä i s c h e G r a m m a t i k von R. M e y e r . 3 Bde. I : Einleitung, Schrift, und Lautlehre. 3„ neubearb. Aufl. 120 S. 1966. (763/763 a/763 b) II: Formenlehre und Flexionstabellen. 3. Aufl. In V o r b . (764/764 a/764b) III: Satzlehre. In V o r b . (765/765a/765b) H e b r ä i s c h e s T e x t b u c h zu G. B e e r - R . M e y e r , Hebräische G r a m m a t i k von R. M e y e r . 1 7 0 S . 1960. (769/769a) S l a v i s c h e S p r a c h w i s s e n s c h a f t von H. B r ä u e r . 2 Bde. I : Einleitung, Lautlehre. 221 S. 1961 (1191/1191 a) N: Formenlehre. 1. Tl. 1968. (1192/1192a) V e r g l e i c h e n d e G e s c h i c h t e der s l a v i s c h e n L i t e r a t v r e n von D . T s c h l i e w s k i j . 2 Bde. In V o r b . t : Einführung. Anfänge des slavischen Schrifttums bis z u m Klassizismus. (1222/1 222 a ) I I : R o m a n t i k bis zur Moderne. (1223/1223a) Russische G r a m m a t i k von E. B e r n e k e r f . 6., verb. Aufl. von M . V a s m e r f . 155 S. 1961. (66) Polnische G r a m m a t i k von N . D a m e r a u . 139 S. 1967. (942/942a)

Erd- und Länderkunde, Kartographie A f r i k a von F. J a e g e r . Ein geographischer Uberblick. 2 Bde. 3. Aufl. I: D e r Lebensraum. 179 S., 18 A b b . In V o r b . (910) II: Mensch und Kultur. 155 S „ 6 A b b . In V o r b . (911) A u s t r a l i e n u n d O z e a n i e n von H. J. K r u g . 176 S., 46 Sk. 1953. (319) K a r t o g r a p h i e von V . H e i s s l e r . 2. Aufl. 213 S., 125 A b b . , 8 Anl. 1966. (30/30a)

Wirtschaft, Statistik, Publizistik A l l g e m e i n e B e t r i e b s w i r t s c h a f t s l e h r e v o n K . M e l l e r o w i c z . 4 Bde. 11. u. 12. durchges. Aufl. I : 224 S. 1964. (1008/1 008a ) II: 188 S. 1966. (1153/1 153a ' III: 260 S. 1967. (1154/1 154a ; I V : 209 S. 1963. (1186/1 186a ) A l l g e m e i n e V o l k s w i r t s c h a f t s l e h r e von A . P a u l s e n . 4 Bde. I: Grundlegung, Wirtschaftskreislauf. 7. Aufl. 159 S.. 11 A b b . 1966. (1169) II: Haushalte, Unternehmungen, Marktformen. 7, Aufl. 172 S., 31 A b b . 1966, (1170)

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GEISTESWISSENSCHAFTE N III: Produktionsfaktoren. 5., neubearb. u. erg. Aufl. 228 S., 24 A b b . 1967. (1171/1171 a) I V : Gesamtbeschäftigung, Konjunkturen, Wachstum. 4., neubearb. u. erg. Aufl. 188 S. 1966. (1172) Ü b u n g s a u f g a b e n m i t L ö s u n g e n zu A . P a u I s e n , Allgemeine Volkswirtschaftslehre l/ll von W . W e d i g . 177 S. 1967. (1227/1227a) G e s c h i c h t e der V o l k s w i r t s c h a f t s l e h r e von S. W e n d t . 2., neubearb. Aufl. Etwa 1B2S. 1968. (1194/1194a) A l l g e m e i n e V o l k s w i r t s c h a f t s p o l i t i k von H. O h m . 2 Bde. t: Systematisch-Theoretische Grundlegung. 2., verb. u. erg. Aufl. 137 S,, 6 Abb. 1965. (1195) H: D e r volkswirtschaftliche Gesamtorganismus als Objekt der Wirtschaftspolitik. 180 S. 1967. (1196/1196a) F i n a n z w i s s e n s c h a f t von H. K o l m s . 4 Bde. I: Grundlegung, Öffentliche Ausgaben. 3., Verb. Aufl. 165 S. 1966. (148) H: Erwerbseinkünfte, Gebühren und Beiträge, Allgemeine Steuerlehre. 3., verb. Aufl. 154 S. 1966. (391) III: Besondere Steuerlehre. 2., verb. u. erg. Aufl. 205 S. 1967. (776/776a) I V : Öffentlicher Kredit. Öffentlicher Haushalt. Finanzausgleich. 191 S. 1964. (782/782 a ) F i n a n z m a t h e m a t i k von M . N i c o l a s . 2., verb. Aufl. 192 S., 11 T a f . , 8 T a b . u. 72 Beisp. 1967. (1183/1183a) P r o g r a m m i e r u n g von D a t e n v e r a r b e i t u n g s a n l a g e n von H. J. S c h n e i d e r u. D . J u r k s c h . 111 S., 8 T a b . , 11 A b b . 1967. (1225/1225a) L i n e a r e P r o g r a m m i e r u n g von H. L a n g e n . Etwa 200 S. (1206/1206a) B u c h h a l t u n g und B i l a n z von E. K o s i o l . 2., Überarb. u. veränd. Aufl. 186 S. 1967. (1213/1213a) Industrie- und B e t r i e b s s o z i o l o g i e von R. D a h r e n d o r f . 4. Aufl. 142 S., 3 Fig. 1967. (103) W i r t s c h a f t s s o z i o l o g i e von F. F ü r s t e n b e r g . 122 S. 1961. (1193) P s y c h o l o g i e des Berufs- und W i r t s c h a f t s l e b e n s von W . M o e d e f . 190 S. 48 A b b . 1958. (851/851 a ) E i n f ü h r u n g in die A r b e i t s w i s s e n s c h a f t von H. H . H i l f . 169 S., 57 A b b . 1964. ( 1 212/1212 a) A l l g e m e i n e M e t h o d e n l e h r e der Statistik von J. P f a n z a g l . 2 Bde. I : Elementare Methoden unter besonderer Berücksichtigung der A n w e n d u n gen in den Wlrtschafts- und Sozial wissen schaffen. 4., verb. Aufl. 266 S., 51 A b b . 1967. (746/746 a) H: Höhere Methoden unter besonderer Berücksichtigung der A n w e n d u n g e n in Naturwissenschaften, Medizin und Technik. 3., verb. Aufl. 315 S., 41 Abb. 1968. (747/747a) Z e i t u n g s l e h r e von E. D o v i f a t . 2 Bde. 5., neubearb. Aufl. I : Theoretische und rechtliche Grundlagen — Nachricht und M e i n u n g — S p r a c h e und Form. 162 S. 1967 (1039/1039a) II: Redaktion — Die Sparten: Verlag und Vertrieb, Wirtschaft und Technik — Sicherung der öffentlichen Aufgabe. 179 S. 1967. (1040/1040a)

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Naturwissenschaften Mathematik G e s c h i c h t e der M a t h e m a t i k von J. E. H o f m a n n . 4 Bde. I: V o n den A n f ä n g e n bis zum Auftreten von Fermat und Descartes. 2., verb. u. verm. Aufl. 251 S. 1963. (226/226 a ) U: V o n Fermat und Descartes bis zur Frfindung des Calculus und bis zum A u s b a u der neuen Methoden. 109 S. 1957. (875) III: V o n den Auseinandersetzungen um den Catculus bis zur französischen Revolution. 107 S. 1957. (882) I V : Geschichte der Mathematik der neuesten Zeit von N . S t u l o f f . In V o r b . (883) M a t h e m a t i s c h e F o r m e l s a m m l u n g von F. O . R i n g l e b . 8., verb. Aufl. 322 S., 40 Fig. 1967. (51/51 a ) V i e r s t e l l i g e T a f e l n und G e g e n t a f e l n für Iogarithmisches und trigonometrisches Rechnen in zwei Farben zusammengestellt von H. S c h u b e r t und R. H a u s s n er. 3. neubearb. Aufl. von J. E r l e b a c h . 158 S. 1960. (61) Fünfstellige L o g a r i t h m e n mit mehreren graphischen Rechentafeln und häufig v o r k o m m e n d e n Zahlenwerten von A . A d l e r . 4. Aufl., Überarb. von J. E r l e b a c h . 127 S „ 1 Taf. 1962. («23) A r i t h m e t i k von P. B. F i s c h e r t . 3. Aufl. von H. R o h r b a c h . 152 S., 19 A b b . 1958. (47) H ö h e r e A l g e b r a von H. H a s s e . 2 Bde. 5., neubearb. Aufl. I : Lineare Gleichungen. 150 S. 1963. (931) I I : Gleichungen höheren Grades. 158 S., 5 Fig. 1967. (932) A u f g a b e n s a m m l u n g z u r h ö h e r e n A l g e b r a von H. H a s s e u. W . K l o b e . 3., verb. Aufl. 183 S. 1961. (1082) E l e m e n t a r e und klassische A l g e b r a v o m m o d e r n e n S t a n d p u n k t v o n W . K r u l l . 2 Bde. I : 3., erw. Aufl. 148 S. 1963. (930) II: 132 S. 1959. (933) A l g e b r a i s c h e K u r v e n und Flächen von W . B u r a u . 2 Bde. I : Algebraische Kurven der Ebene. 153 S., 28 A b b . 1962. (435) II: Algebraische Flächen 3. G r a d e s und R a u m k u r v e n 3. und 4. Grades. 162 S., 17 A b b . 1962. (436/436a) E i n f ü h r u n g in die Z a h l e n t h e o r i e von A . S c h o l z f . Oberarb. u. hrsg. v o n B. S c h o e n e b e r g . 4. Aufl. 128 S. 1966. (1131) F o r m a l e L o g i k von P. L o r e n z e n . 3., durchges. u. erw. Aufl. 184 S. 1967. (1176/1176a)

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NATU (WISSENSCHAFTEN T o p o l o g i a von W . F r a n z . 2 Bde. I: Allgemeine Topologie. 2.. verb. Aufl. 144 S., 9 Flg. 1965. (1181) II: Algebraische Topologie. 153 S. 1965. (1182/1182a) E l e m e n t e d e r Funktionentheorie von K. K n o p p f . 7. Aufl. 144 S., 23 Fig. 1966. (1109) Fwnktionentheorie von K . K n o p p f . 2 Bde. 11. Aufl. I: G r u n d l a g e n der allgemeinen Theorie der analytischen Funktionen. 144 S„ 8 Fig. 1965. (668) II: A n w e n d u n g e n und Weiterführung der allgemeinen Theorie. 130 S., 7 Fig. 1965. (703) A u f g a b e n s a m m l u n g z u r F u n k t i o n e n t h e o r i e von K. K n o p p f . 2 Bde. I: A u f g a b e n zur elementaren Funktionentheorie. 7. Aufl. 135 S. 1965. (877) II: A u f g a b e n zur höheren Funktionentheorie. 6. Aufl. 151 S. 1964. (878,) D i f f e r e n t i a l - und I n t e g r a l r e c h n u n g von M . B a r n e r . (Früher W i l l i n g ) . 4 Bde. 1: Grenzwertbegriff, Differentialrechnung. 2., durchges. Aufl. 176 S., 39 Fig. 1963. (86) G e w ö h n l i c h e D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g e n von G . H o h e i s e l . 7.» neubearb. u. erw. Aufl. 142 S. 1965. (920/920a) Partielle D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g e n Etwa 128 S. In Vorb. (1003)

von G . H o h e i s e l . 5., durchges. Aufl.

A u f g a b e n s a m m l u n g zu den g e w ö h n l i c h e n und partiellen D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g e n von G. H o h e i s e l . 4., neubearb. Aufl. 153 S. 1964. (1059/ 1059a) I n t e g r a l g le ich u n g e n von G . H o h e i s e l . 2., neubearb. u. erw. Aufl. 112 S. 1963. (1099) M e n g e n l e h r e von E. K a m k e . 5. Aufl. 194 S., 6 Flg. 1965. (999/999a) G r u p p e n t h e o r i e von L. B a u m g a r t n e r . 4., erw. Aufl. 190 S., 3 T a f . 1964. (837/837 a) Ebene und s p h ä r i s c h e T r i g o n o m e t r i e von G . H e s s e n b e r g t . 5.Aufl. durchges. von H. K n e s e r . 172 S., 60 Flg. 1957. (99) D a r s t e l l e n d e G e o m e t r i e von W . H a a c k . 3 Bde. I: Die wichtigsten Darstellungsmethoden. G r u n d - und Aufriß ebenflächiger K ö r p e r 6. Aufl. 113 S „ 120 A b b . 1967. (142) II: K ö r p e r mit krummen Begrenzungsflächen. Kotierte Projektionen. 5., durchges. Aufl. 129 S., 84 A b b . 1967. (143) III: Axonometrie una Perspektive. 3. Aufl. 129 S., 100 A b b . 1965. (144) A n a l y t i s c h e G e o m e t r i e von K . P. G r o t e m e y e r . 3., neubearb. Aufl. 218 S., 73 A b b . 1964. (65/65a)

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NATURWISSENSCHAFTEN Nichteuklidische G e o m e t r i e . Hyperbolische Geometrie der Ebene von R. B a l d u s f . 4. Aufl., bearb. u. erg. von F. L ö b e l l . 158 S., 75 Fig. 1964. (97 0/97 Oa) Differentialgeometrie von K. S t r u b e c k e r . 3 Bde. I: Kurventheorie der Ebene und des Raumes. 2., erw. Aufl. 253 S., 45 Fig.. 1964. (1113/1113a ) II: Theorie der Flächenmelrik. 195 S„ 14 Fig. 1958. (1179/1179a) III: Theorie der Flächenkrümmung. 254 S„ 38 Fig. 1959. (1180/1180a) V a r i a t i o n s r e c h n u n g von L. K o s c h m i e d e r . 2 Bde. 2., neubearb. Aufl. I: Das freie und gebundene Extrem einfacher Grundintegrale. 128 S., 23 Fig. 1962. (1074) II: Anwendung klassischer Verfahren auf allgemeine Fragen des Extrems. — Neuere unmittelbare Verfahren. In Vorb. (1075) Einführung in die k o n f o r m e A b b i l d u n g von L. B i e b e r b a c h . 6., neubearb. Aufl. 184S., 41 Zeichng. 1967. (768/768a) Vektoren und M a t r i z e n von S. V a l e n t i n e r . 4.Aufl. (11., erw. Aufl der „Vektoranalysis"). Mit Anh.: Aufgaben zur Vektorrechnung von H. K ö n i g . 206 S., 35 Fig. 1967.