Getriebelehre: Band 1 Geometrische Grundlagen [2., neubearb. Aufl. Reprint 2019] 9783111678269, 9783111292526

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SAMMLUNG

GÖSCHEN

BAND

1061

Getriebelehre Von

Dipl.-Ing. P. Grodzinski A. M. I. Mech. E. in L o n d o n

I

Geometrische Grundlagen Mit Zweite,

W a l t e r

142

Figuren

neubearbeitete

de

Auflage

G r u y t e r

&

Co.

vormals G . J . G ö s c h e n ' s e h e Verlagshandlung • J. G u t t e n t a g , Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • Karl J . T r ü b n e r - Veit Sc C o m p . B e r l i n

1 9 5 3

Alle R e c h t e e i n s c h l . der R e c h t e d e r H e r s t e l l u n g v o n P h o t o k o p i e n u n d M i k r o f i l m e n , von

der Verlagshandlung

Copyright W A L T E R

DE

by

G R U Y T E R

v o r m a l s G . J . Göschen'sche V e r l a g s h a n d l u n g buchhandlung

• Georg Reimer

vorbehalten

6c

CO

• J. G u t t e n t a g ,

• Karl J. Trübner

Berlin W 35, G e n t h i n e r S t r . 13

Archiv-Nr. U1061 Druck von H a r r y Bartels, Berlin-Charlottenburg Printed

in

Germany

Verlags-

• V e i t Sc C o m p .

3

Inhaltsverzeichnis

Seite

Schrifttum Einleitung

4

7

Bewegungsgeometrie (Bahnen, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen ebener Systeme.) I. E b e n e B e w e g u n g eines P u n k t e s a) Geradlinige Bewegung eines Punktes b) Zusammensetzung geradliniger Bewegungen c) Krummlinige Bewegungen eines Punktes

lo 10 19 23

II. Ebene Bewegung zweier Ebenen a) Schiebung und Drehung b) Momentanpol zweier sich beliebig bewegender Ebenen . . c) Beschleunigungspol d) Wendekreis und Wechselkreis e) Bestimmung des Krümmungsmittelpunktes einer Bahn nach Hartmann f) Zusammenhang zwischen der Krümmung der Bahn und der Krümmung der Polbahnen

26 26 31 40 43

III. Ebene Bewegung dreier Ebenen a) Allgemeines b) Zwei Schiebungen gegen die feste Ebene c) Sdiiebung und Drehung um einen festen Punkt d) Drehung zweier Ebenen gegen eine dritte um feste Punkte e) Beliebige Bewegung dreier Ebenen f) Coriolis-Beschleunigung

53 53 54 55 56 60 63

I V . Geschwindigkeiten getrieben

und

Beschleunigungen

a) Allgemeines b) Gelenkviereck (Bogenschubkurbel oder Doppelkurbel, Doppelschwinge) c) Geradsdiubkurbel d) Kurbelschleifen e) Bogenschleifen- und Kreuzschleifengetriebe

von

48 49

Kurbel66

Kurbelschwinge,

66 66 80 86 94

V . G e s c h w i n d i g k e i t e n u n d Beschleunigungen v o n K u r v e n getrieben 97 a) Kurvenschub mit ablaufender Rolle 97 b) Kurvensdieiben mit ablaufender Rolle 98 c) Kurvensdieiben mit plattenartigem Eingriffsglied 101 d) Untersuchung eines Nockens einer Hochofengebläsemaschine 102

4

Inhalt — Schrifttum

Geometrische Zusammenhänge I . Beweglichkeit u n d Z w a n g l a u f b e d i n g u n g e n II. Konstruktion von Gelenkgetrieben a) b) c) d) e) f)

Seite

106 Iii

Allgemeines Beweglichkeit der Totlagen Bogenschubk'urbel o d e r K u r b e l s c h w i n g e Doppelkurbel Doppelschwinge Sonderfälle

111 112 114 118 118 119

III. Koppelbewegungen

121

IV. Konstruktion von Kurventrieben

129

a) b) c) d) e)

Obergangskurven Kurvenschub und Trommelkurven Kurvenscheiben K u r v e n s c h e i b e n mit k r e i s f ö r m i g e r Schwingkurventriebe

Begrenzung

V. G r u n d g e s e t z e der V e r z a h n u n g

131 135 137 146 143

149

VI. Wälzhebeltriebe

152

Stichwortverzeichnis

153

Schrifttum (chronologisch

geordnet I

1. R . W i l l i s , P r i n c i p l e s of M e c h a n i s m , 1. Ausg. 1841, 2. A u s g . L o n d o n , 1870. 2. F. R e u l e a u x , T h e o r e t i s c h e K i n e m a t i k , I. T e i l , B r a u n schweig, 1875. 3. F. G r a s h o f , T h e o r e t i s c h e M a s c h i n e n l e h r e , T h e o r i e d e r G e t r i e b e , H a m b u r g - L e i p z i g , 1883. 4. 5.

L. B u r m e s t e r , L e h r b u c h d e r K i n e m a t i k , Leipzig 1888. F. R e u l e a u x , T h e o r e t i s c h e K i n e m a t i k , I I . T e i l , B r a u n schweig, 1900. 6. C . W . M a c C o r d , V e l o c i t y d i a g r a m s , their c o n s t r u c t i o n a n d t h e i r uses, N e w Y o r k , L o n d o n , 1901. 7. H . P o l s t e r , K i n e m a t i k , S a m m l u n g Göschen, 1912, 2. A u f l a g e 1920.

Schrifttum

5

8.

W. H a r t m a n n ,

9.

M. G r ü b 1 e r , G e t r i e b e l e h r e , Berlin, 1917.

Die Maschinengetriebe,

10.

A. W . K 1 e i n , L o n d o n , 1917.

Kinematics

11.

C h r i s t m a n n - B a e r , 2. A u f l a g e , Berlin, 1922.

of M a c h i n e r y ,

Grundzüge

der

Berlin,

1913.

New

York,

Kinematik,

12.

F. W i t t e n b a u e r ,

13.

Ausschuß f ü r wirtschaftliche Fertigung AWF-Getriebeb l ä t t e r , Berlin, 1922—1944, w e r d e n z. Z t . neu b e a r b e i t e t .

14.

R. B e y e r ,

15.

A W F - G e t r i e b e - u n d - G e t r i e b e m o d e l l e , Bd. I. Berlin, 1928, Bd. I I . Berlin, 1929.

16.

Jahr-Knechtel, Grundzüge der Getriebelehre, 1. B a n d , Leipzig, 1930. D r i t t e r N e u d r u c k , Leipzig 1949.

17.

H . J. K n a b ,

18. R . B e y e r ,

G r a p h i s c h e D y n a m i k , Berlin, 1923.

E i n f ü h r u n g in die K i n e m a t i k , Leipzig,

G e t r i e b e l e h r e , 2. A u f l a g e , N ü r n b e r g , Technische Kinematik,

Leipzig,

1928.

1930.

1931

19. K . R a u h , P r a k t i s c h e G e t r i e b e l e h r e , I. B a n d , Berlin, 1931. 2. A u f l . , Berlin 1951. 20.

K . M a c k , G e o m e t r i e d e r Getriebe, Berlin, 1931.

21.

T h . P o e s c h l , E i n f ü h r u n g in die ebene G e t r i e b e l e h r e , Berlin, 1932. K. F e d e r h o f e r , Graphische Kinematik und Kinet o s t a t i k . Berlin, 1932.

22.

R . M ü 11 e r , E i n f ü h r u n g in die ebene G e t r i e b e l e h r e , Berlin, 1932. 24. P . G r o d z i n s k i , G e t r i e b e l e h r e , Bd. II, Sammlung Göschen, 1933. 25. J a h r - K n e c h t e l , Grundzüge der Getriebelehre, Bd. II, Leipzig, 1938. 23.

26. 27.

K. R a u h ,

P r a k t i s c h e G e t r i e b e l e h r e , Bd. I I , Berlin, 1939.

W . S t e e d s , Mechanism a n d the K i n e m a t i c s of M a chines, L o n d o n , 1940. 28. R . F r a n k e , V o m A u f b a u der G e t r i e b e , Bd. I, D i e E n t wicklungslehre der G e t r i e b e , 1. A u f l . 1943, 2. A u f l . 1948. 29. P. G r o d z i n s k i , A p r a c t i c a l t h e o r y of mechanisms, M a n c h e s t e r , 1947.

6

Schrifttum

30. R. K r a u s , Grundlagen der Getriebelehre, H a n n o v e r , "Wolfenbüttel 1949. 31. K. H a i n und V . M e y e r z u r C a p e l l e n , Kinematik. F I A T Review of German Science 1939—1946 (Naturforschung und Medizin in Deutschland), Bd. 7: Angew a n d t e Mathematik, Teil V. 32. O. K r a e m e r , Getriebelehre. Eine Auswahl f ü r Studium und Praxis, Karlsruhe, 1950. 33. K . H . S i e k e r , Einfache Getriebe, Bd. 15 der Lehrbücher der Feinwerktechnik, Leipzig, 1950. 34. R . F r a n k e , V o m A u f b a u der Getriebe, Bd. I I . Die Baulehre der Getriebe, Düsseldorf, 1951. 35. K . F e d e r h o f e r , Prüfungs- und Übungsaufgaben aus der Mechanik des Punktes und des starren Körpers, Teil I — I I I , Wien 1950, 1951. 36. R . K r a u s , Getriebelehre, Berlin 1951. In den vorstehend angegebenen Werken finden sich zum Teil umfangreichere Literaturhinweise, insbesondere auch über Zeitschriftenaufsätze. Zahlreiche Werke, insbesondere 2, 4, 5 und 8 sind vergriffen. Die unter 13 angeführten Getriebeblätter sind eine Zusammenstellung von in der Praxis angewandten Getrieben und der h i e r f ü r notwendigen Konstruktionen. Die Sammlung wird laufend ergänzt. Einzelne Abbildungen wurden mit Erlaubnis des A W F dieser wichtigen Sammlung entnommen. Eine Neubearbeitung ist im Gange.

Einleitung Die Getriebelehre oder Zwanglauflehre 1 ) macht Gebrauch von grundlegenden Lehren der Geometrie, der Mechanik und selbstverständlich auch, soweit dies erforderlich ist, der Festigkeitslehre und der Thermodynamik. Vor allem kann die Getriebelehre des g e o m e t r i s c h e n A u f b a u e s nicht entraten, denn ein Getriebe wird überhaupt nur dann praktisch ausgeführt werden können, wenn die verschiedenen Stellungen oder Lagen seiner Glieder geometrisch möglich sind. Eine bestimmte Bewegung (vollständiger Umlauf einer Kurbel) wird nur bei entsprechender W a h l von Größe und Lage der davon beeinflußten Getriebeglieder möglich sein. Die Getriebe und ihre Glieder müssen nicht nur in bestimmter Weise beweglich sein, sondern diese Bewegungen müssen auch innerhalb bestimmter Zeitabschnitte ausgeführt werden. W ä h r e n d die Geometrie nur mit dem Begriff des Raumes arbeitet, berücksichtigt die B e w e g u n g s g e o m e t r i e noch den Begriff der Zeit. Man kann sie also als die Wissenschaft bezeichnen, die den räumlichen und den zeitlichen Verlauf der Bewegungen erforscht. Während die Mechanik, insbesondere Kinetik oder Dynamik, zu Raum und Zeit noch den Begriff der Masse hinzunimmt, kann man die Bewegungsgeometrie als eine erweiterte Geometrie ansehen. Die Bewegungsgeometrie hatte im Laufe ihrer Entwicklung eine Reihe von Aufgaben zu lösen und 1) In wissenschaftlichem Sinne nennt man die Bewegungsgeometrie (Phoronomie) auch Kinematik (von xiriypa Bewegung), leider versteht man in technischen Kreisen unter „Kinematik" auch die körperliche Ausbildung der die Bewegung ausführenden Körper. Um eine klare Unterscheidung zu finden, soll das W o r t „Kinematik" möglichst vermieden werden; die reine Bewegungslehre soll Bewegungsgeometrie, die Lehre der körperlichen „Ausbildung" von Bewegungsvorgängen »oll „Getriebelehr«" oder Zwanglauflehre genannt werden.

8

Einleitung

ihre Entwicklung kann heute noch nicht als abgeschlossen angesehen werden. Seit geraumer Zeit stehen Verfahren zur Verfügung, um Geschwindigkeiten und Beschleunigungen (und Kräfte) an beliebigen Bewegungen zu untersuchen. Ein Ausschnitt aus diesem Gebiet wird im ersten Teil dieser Arbeit unter Bewegungsgeometrie gegeben (Getriebeanalyse). Weitgehendste Anwendung wird von graphischen Verfahren gemacht, die von W . H a r t m a n n , R. Mollier und anderen in hoher Vervollkommenheit entwickelt wurden. Diese Verfahren sind weit anschaulicher als rechnerische Verfahren, die zum Teil noch im Ausland angewandt werden und die nur für bestimmte Getriebe mit geometrisch einfachen Beziehungen geeignet sind. Es sei betont, daß diese Verfahren lediglich ermöglichen, ein in seinen wesentlichen Abmessungen gegebenes Getriebe zu untersuchen, bezüglich der in einzelnen Teilen auftretenden Geschwindigkeiten und Beschleunigungen, um danach die Teile werkstoffgerecht auszuwählen und zu bemessen. Damit sind gleichzeitig die Hilfsmittel an die H a n d gegeben, um gewisse Verbesserungen hinsichtlich Abmessungen und Lage der Getriebeglieder zu geben, ohne jedoch den gegebenen getrieblichen Zusammenhang zu ändern. Die Verfahren erlauben auch verschiedene Getriebe f ü r den gleichen Zweck miteinander zu vergleichen und dann die beste Lösung zu wählen. Im zweiten Teil wird Gebrauch von rein geometrischen Verfahren zum Aufbau von Getrieben gemacht. Die sogenannte Z a h l e n s y n t h e s e , erstmalig von M. Grübler angewandt, hat durch die H a n d von K. Kutzbach und R. Kraus in Deutschland und A. W . Klein in Amerika eine wesentliche Weiterentwicklung erfahren. Ein weiterer Zweig der Bewegungsgeometrie, die M a ß s y n t h e s e , kann hier nur ganz kurz gestreift werden. Aus den nahezu vergessenen Arbeiten von L. Burmester und R. Müller ist sie von H . Alt, R. Beyer, W . Lichtenheldt, K. H a i n wesentlich weiter entwickelt

Einleitung

9

worden. Noch heute wird die Bedeutung dieser Lehren von vielen Ingenieuren nicht voll verstanden. Es ist dies ein Zweig, der noch stark im Aufbau begriffen ist und noch der engsten Zusammenarbeit mit dem Maschineningenieur bedarf, um einwandfreie Getriebe zu entwickeln. Die so entwickelten Methoden erlauben, bestimmte Forderungen aufzustellen und danach ein Getriebe zu finden, das diesen Forderungen genügt. Beispielsweise können zwei und mehr Stellungen eines Gliedes gegeben sein, und es sind die Aufhängepunkte zu finden, die es zur Koppel eines Gelenkviereckes macht, dessen feste Gelenkpunkte oder dessen Kurbellänge gegeben sind. Es muß jedoch vor der falschen Auffassung gewarnt werden, daß die Maßsynthese ermöglicht, e i n e G e t r i e b e f o r m zu finden. Die mögliche Getriebeform: Gelenkviereck, Gelenksechseck usw. muß jedoch bereits vorher festliegen, da nur dann die geometrischen Hifsmittel zweckmäßig anwendbar sind. Diese Überlegungen zeigen anschaulich, daß nur durch gemeinsame Anwendung der verschiedenen Grundverfahren der Getriebelehre der vom Maschineningenieur erwartete brauchbare Entwurf eines Getriebes entsteht. Beispielsweise dürften die Grundüberlegungen rein anschaulicher N a t u r sein, um einen geeigneten Getriebetyp zu finden (siehe Bd. I I : Angewandte Getriebelehre), die den gestellten Bedingungen genügt. Die folgende Aufgabe wäre Anwendung der Zahlensynthese, ob das beabsichtigte Getriebe die für den Zweck geringste Zahl von Gelenken und Gliedern hat, und ob gleichwertige Getriebe bestehen. Der nächste Schritt wäre Anwendung der Maßsynthese, um die geeigneten Abmessungen des Getriebes zu ermitteln, woraufhin dann die analytischen Verfahren angewandt werden, um Geschwindigkeiten und Beschleunigungen aufzufinden, und das Geschwindigkeits- und Beschleunigungsverhalten festzulegen. Daraufhin ist dann das Getriebe mit Rücksicht auf die Maschine konstruktiv zu entwickeln.

10

Ebene B e w e g u n g eines

Punktes

Das Getriebe mag dann schwer mit der Form des ersten Entwurfes in Einklang zu bringen sein. Der geschilderte Werdegang ist nur beispielsweise gegeben, da häufig wesentliche Abweichungen in der Reihenfolge notwendig sein werden, beispielsweise, wenn bestimmte Geschwindigkeiten oder Beschleunigungen gegeben sind. Die Reihenfolge der Behandlung in diesem Bändchen ist von didaktischen Gründen bestimmt. Bewegungsgeometrie. ('Bahnen, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen ebener Systeme.) I. Ebene Bewegung eines Punktes. a) G e r a d l i n i g e B e w e g u n g e i n e s P u n k t e s . Weg. Die gerade Linie fg (Fig. 1) sei die Bahn eines Punktes A. Punkt O ist ein willkürlich gewählter Punkt auf dieser Bahn, der als Bezugspunkt für die Bewegung von A dienen soll. Die Lage von A auf der Geraden fg ist durch den Abstand OA = s bestimmt. Um die Lage des Punktes A rechts oder links von O unterscheiden zu f 9 # können, legen wir fest, daß OA = s rechts von O ein positives, links von Fig. 1. Geradlinige Bewegung eines O ein negatives VorPunktes vom Stillstand O. zeichen erhält. Die Bewegung des Punktes A auf fg ist eindeutig bestimmt, sobald man zu jeder Zeit t die jeweilige Entfernung OA = s kennt. Um eine bestimmte Geschwindigkeit v aus dem Ruhezustand zu erreichen, muß ein Punkt vorerst eine bestimmte Beschleunigung p haben. Umgekehrt, um von einer Geschwindigkeit v zur Ruhe gebracht zu werden, muß dem Punkt eine negative Beschleunigung oder Verzögerung erteilt werden.

Geradlinige Bewegung eines Punktes

11

Dieser Zusammenhang kann nun durch Versuche ermittelt oder durch eine mathematische Beziehung zwischen s und t gegeben sein. Man drückt dies so aus, daß s eine Funktion von t ist, in Zeichen (1) s = f (t). f (t) bedeutet eine an sich willkürliche Funktion der Zeit, die jedoch stetig und eindeutig sein muß. Um die Bewegung des Punktes A zu veranschaulichen, benutzt man eine graphische Darstellung, und zwar trägt man über der .4 A, Zeit t als Abszisse T den Weg s als Ordinate auf. Man erhält so das Zeit - Weg - Fig. 2. Geradlinige Bewegung eines Punktes, Schaubild (ts- nach dem bereits ein bestimmter W e g so zurüdcgelegt ist. Schaubild, Fig. 3). Fig. 3 gilt für den allgemeinen Fall (Fig. 2), daß die Bewegung nicht im Ursprung O, sondern bei einem Punkte An beginnt, wobei OA0 = s0 = f{t0). Geschwindigkeit. Um die Art des Bewegungsverlaufs zu kennzeichnen, be/ j nutzt man allgemein den Begriff der G e schwindigkeit. Man versteht hierunter die W e g ä n d e r u n g in d e r Zeiteinh e i t . In Fig. 3 ergibt sich die Geschwindigkeit v des Punktes A zur Zeit t als Verhältnis des kleinen Wegabschnitts ds zu dem Fig. 3. Zeit-Weg-Sdiaubild für eine entsprechenden Zeitabbeliebige Bewegung! die jeweilige i . j , .. Geschwindigkeit ist durch die Neigung schnitt at. werden die der Tangente gegeben.

E b e n e B e w e g u n g eines P u n k t e s

12

Abschnitte ds und dt unendlich klein, so erhält man d^^ d f ( t ) (2) V /'(*)• = ~ dt dt Aus der DifferentialA. rechnung ist bekannt (s. auch Fig. 3)^ daß y = tg a, d. h. die jeweilige Geschwindigkeit entspricht der Tangente an die Zeit-Wegkurve. Trägt man die jeweilige Geschwindigkeit „ , . , , „^ v graphisch über der F i g . 4.

Zeit-Geschwindigkeits - Schaubild

y

P

r

r

U"1t

t auf, SO ernalt B e s c h l e u n i g u n g i s t d u r c h d i e N e i g u n g d e r m a n a ] s w e Jteres kennTangente gegeben, zeichnendes Bild des Bewegungsverlaufes das Zeit-Geschwindigkeitsschaubild (tvSchaubild, Fig. 4). Aus der Beziehung (Gl. 2) erhalten wir ds — v • dt; zwischen den Zeiten t = t0 und t = tv ergibt sich durch 'i Integration si — s„ = \ v • dt, d. h. der in diesem Zeit'o abschnitt zurückgelegte Weg. Er wird im iv-Schaubild dargestellt durch die Fläche AoAiBiBa. Durch Auftragen der Geschwindigkeit v über dem Weg s erhält man das Weg-Geschwindigkeitsschaubild, (svSchaubild) das (s. weiter unten) für den Beschleunigungsverlauf wichtig ist. Beschleunigung. Ändert sich die Geschwindigkeit v der Bewegung mit der Zeit, so ist es für die Beurteilung des Bewegungsvorganges (insbesondere auch für das dynamische Verhalten) notwendig, die Geschwindigkeitsänderung während der Zeiteinheit zu erfassen. Unter der Beschleunigung p des Punktes A zur Zeit t versteht man das für

beliebige

Bewegung;

die

jeweilige

¿eit

G e r a d l i n i g e B e w e g u n g eines

Verhältnis der kleinen Geschwindigkeitsänderung dv zu dem entsprechenden Zeitabschnitt dt. W e r d e n die Abschnitte dv und dt unendlich klein, so erhält man /->s dv (3) > =Tt cPs d ?

=

r

(

i

)

-

AllS F i g . 4 e r k e n n t m a n

!

p

L

13

Punktes

y^dti \fi

B,

Fig. 5. Zeit-Beschleunigungs-Schaubild für beliebige Bewegungen; die in einem bestimmten Zeitabschnitt erzielte Geschwindigkeit ist durch die unterhalb der Kurve

liegende Flädle gegeben daß p = ig/?. Graphisch ' über der Zeit aufgetragen ergibt sich das fp-Schaubild (Fig. 5). M a n kann p auch aus dem w-Schaubild erhalten, und z w a r ist _ dv - - _ dv dv ds v (4) ds dt ds dt also nur abhängig von v u n d s. Im Schaubild (Fig. 6) ist die Subnormale BC = v ' tgy = dv = Pds Aus dem Zeit - Beschleunigungs-Schaubild ( t p - Schaubild, Fig. 5) läßt sich auch umgekehrt die GeFig. 6. Weg-Geschwindigkeits-Schaubild. Die schwindigkeit v abSubnormale ergibt die Besdileunigung. leiten. Aus der Beziehung (Gl. 3) erhalten wir dv = p • dt. Zwischen den Zeiten t = t„ und t = tl ergibt sich durch

14

Ebene Bewegung eines Punktes

Integration vt — vn — I p • dt, d. h. die in diesem Zeit'o . . . . . . abschnitt zurückgelegte Geschwindigkeit. Sie wird im t pSchaubild dargestellt durch die Fläche A0AiBiB0. Die Tangente an die Kurve (Fig. 5) gibt die Änderung der Beschleunigung mit der Zeit:

=

•

allge2

ds .- nicht dt berücksichtigt. P. Melchior hat vorgeschlagen, die Ableimeinen werden höhere Ableitungen als p =

tung von p, d- h.

als Ruck zu bezeichnen.

Sonderfälle. G l e i c h f ö r m i g e B e w e g u n g ist eine Bewegung, bei der in gleichen Zeiten gleiche Wege zurückgelegt werden, also v -- konst; p = O; s — v.t. Gleichförmig beschleunigte Bewegung ist eine 'Bewegung, bei der die Beschleunigung stets gleichbleibt. Aus p = konst. folgert v = p • t und j = - £ - - • t* (Beispiel: freier Fall). Die Beziehungen, die zwischen Höchst- und Kleinstwerten von Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung einer beliebigen Bewegung bestehen, werden aus Fig. 7 klar. Hat die Wegkurve s einen Höchst- oder Kleinstwert (analytische Bedingung —-¡- = O), so ist nach v = dt dt v ebenfalls O. Man erkennt in Fig. 7, daß zu Beginn der Bewegung und an ihrem Ende s eine horizontale Tangente aufweist, ebenso in der Mitte der Bewegung. Die Geschwindigkeit erreicht ihre Höchstwerte, wenn die Wegkurve eine Wendetangente aufweist, d. h. wenn sie ihre Richtung ändert. Ähnliche Beziehungen bestehen zwischen Geschwindigkeit und Beschleunigung. Für v = O hat

Geradlinige

Bewegung

eine« P u n k t e «

15

Fig. 7. Zeit-Weg-, Zeit-Gesdiwindigkeits- und Zeit-Beschleunigungssdiaubild für ein Kreuzsdüeifengetriebe; harmonisdie Bewegung, graphisdie Ermittlung.

entsprechend p = . — • = O, die Beschleunigung p Höchstdt oder Kleinstwerte, andererseits ist p = O für die Höchstund Kleinstwerte von v. B e i s p i e l : Harmonische Schwingung (Kreuzschleifenbewegung Fig. 73 u. 74, S. 96). Eine Kurbel dreht sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit und treibt am Halbmesser a einen Schieber. Sein Abstand von der Mittelstellung ist gegeben durch s = a • cos a = a • cos cot, seine Geschwindigkeit ist v = ~ = a • co • sin cot, seine Beschleunigung dt , dv , . b = —-.— = — a a)s cos cot = — w* s. dt Die größte Auslenkung des Schiebers ist s = ± a, mit v = O und bmax = + co2 a, d. h. die größte Beschleunigung ergibt sich in den Endstellungen. Die größte Geschwindigkeit des Schiebers ergibt sich für s = O, wobei auch die kleinste Beschleunigung auftritt. Einheiten. In der Bewegungslehre treten nur zwei Grundeinheiten auf, nämlich die der L ä n g e und die

16

Ebene Bewegungen eines Punktes

der Z e i t ; alle übrigen Einheiten, wie die der Geschwindigkeit und Beschleunigung sind hierauf zu beziehen. Längen und Wege werden in der Technik in mm, cm, m und km gemessen, Zeiten in min, sek, Stunden, neuerdings auch häufiger in ~JQQ- AUS der Begriffsbestimmung der Geschwindigkeit erhalten wir dann das Maß f ü r die Geschwindigkeit z . B . in cm/sek; m/sek; m/min; km/St. Am üblichsten ist das Maß m/sek, das auch im folgenden ausschließlich angewandt wird; das ergibt den Geschwindigkeitsmaßstab (v) = m/sek = m. sek -1 . entsprechend erhalten wir f ü r die Beschleunigung den Maßstab ( p j = m/sek 2 = m. sek"2. Zur zeichnerischen Darstellung der Wege, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen ist es notwendig, den Z e i c h e n m a ß s t a b so zu wählen, daß wir ein möglichst anschauliches Bild der Bewegung erhalten. Wir können f ü r die einzelnen Werte an sich beliebige Maßstäbe wählen, nur muß der durch die Bewegung gegebene Zusammenhang gewahrt bleiben. Gerade das Umrechnen der Maßstäbe bereitet dem Anfänger erhebliche Schwierigkeiten, weshalb hierauf etwas näher eingegangen sei. Maß der Zeichnung Wegmaßstab 1 cm Zeitmaßstab 1 cm Geschwindigkeitsmaßstab 1 cm . . = Beschleunigungsmaßstab

wirkliches Maß ^ a • m T sek ß =

T • hl:

• m/sek

Hierin sind a, T, hv und hi, beliebig wählbare Größen. Man erkennt, daß,- wenn diese 4 Größen gewählt sind, die Geschwindigkeits- und Beschleunigungsmaßstäbe be-

Geradlinige Bewegung eines Punktes

17

stimmt sind. Näheres über die Bedeutung von hv und hi, (Maßeinheit sek) weiter unten. Ein Beispiel (Fig. 7, Bewegungsvorgang eines Kreuzschleifengetriebes) mag den Zusammenhang näher klären. Dieser Darstellung sind folgende Maßstäbe zugrunde gelegt, und zwar wurden hv = hi, = 0,16 sek gewählt. Wegmaßstab 1 cm a 0,02 m Zeitmaßstab 1 cm ^ T = 0,1 sek Geschwindigkeitsmaßstab 1 cm=ß = —5-'^- =1,25 m/sek 0,1 • 0,16

Beschleunigungsmaßstab 1 cm —y —

1 25 =

78 m/sek2

Liest man in der Zeichnung z. B. eine Höchstgeschwindigkeit von 2,5 cm ab, so bedeutet das v m a x = 1,25 • 2,5 = 3,125 m/sek. Bei jeder zeichnerischen Darstellung mache man sich zuerst die Größe der Maßstäbe klar und trage sie in die Zeichnung ein, damit keine Verwechslungen entstehen können. Graphische Ermittlung. Ist eine der Funktionen s = f (t), v = fv (t), p = fP (i) gegeben oder durch ein beliebiges Verfahren ermittelt, so können die entsprechenden Wege, Geschwindigkeiten, Beschleunigungen durch graphische Differentiation und Integration auf Grund der Gleichungen 1—4 ermittelt werden. G r a p h i s c h e D i f f e r e n t i a t i o n . In Fig. 7 sei vorerst nur die Wegkurve s über der Zeit t gegeben. Die Geschwindigkeit v des Punktes A, der den Weg A0A zurückgelegt hat, finden wir aus der Beziehung v = tg a. Wir konstruieren ein Poldreieck über OO' = hv sek und ziehen OA' parallel zur Tangente in A. O'A' ist dann die graphisch ermittelte Geschwindigkeit v des Punktes A. Auf diese Weise lassen sich für alle Punkte der Wegkurve A die zugehörigen Geschwindigkeiten ermitteln, und man trägt die Geschwindigkeitskurve v über der Zeit t ein. Die Beschleunigung p des Punktes A finden wir durch ein gleiches Verfahren, indem wir die Tangenten an den G r o tl / i ii s k i , O l riebelehre 1

'1

18

Ebene Bewegung eines Punktes

Punkt A" der Geschwindigkeitskurve anlegen und in einem beliebigen Poldreieck über OO' = h\> sek eine Parallele zur Kurventangente ziehen; die Strecke O ' A " ist dann die gesuchte 'Beschleunigung p = tg ß des Punktes A. Durch Ziehen mehrerer Tangenten an v ermittelt man so Einzelwerte der Beschleunigungskurve. Die Beschleunigung p läßt sich ebenfalls graphisch nach dem Subnormalenverfahren (s. S. 13) bei gegebener svKurve ermitteln. Der Beschleunigungsmaßstab ist hier ö2 1 cm ~ J— m/sek2. Die graphische Ermittlung von Gea schwindigkeiten und Beschleunigungen setzt eine genaue Konstruktion der Kurventangenten voraus (hierfür empfiehlt sich die Anwendung eines kleinen Spiegels, den man in Richtung der Kurvennormalen so lange dreht, bis das sichtbare Kurvenstück mit seinem Spiegelbild zusammenfällt. W e g e n d e r U n g e n a u i g k e i t e n d e r T a n g e n t e n k o n s t r u k t i o n ist eine zweimalige graphische Differentiation n i c h t z u e m p f e h l e n ; dies ist auch im allgemeinen nicht notwendig, da entweder das Bewegungsgesetz als Funktion gegeben ist oder durch ein Getriebe verkörpert wird, dessen Geschwindigkeiten und Beschleunigungen vektoriell ermittelt werden können (siehe weiter unten). Durch g r a p h i s c h e I n t e g r a t i o n kann bei gegebener Geschwindigkeitskurve die Wegkurve und bei gegebener Beschleunigungskurve die Geschwindigkeitskurve ermittelt werden. Man wendet das Tangentenverfahren nach Fig. 7 umgekehrt an (Fig. 8). Die einzelnen Ordinaten der ^-Kurve werden auf die Achse in O' übertragen und die Endpunkte mit dem Pol O verbunden. Um einen stetigen Verlauf der j-Kurve zu sichern, sind zwischen die Ordinaten O bis 6 Hilfsordinaten a bis / so zu legen, daß die oberen und unteren schraffierten Flächen jedes Feldes gleichgroß werden. Zu den Polstrahlen durch O sind nun Parallelen zu ziehen. Die erste entspricht dem Polstrahl O und geht durch O, die zweite ist parallel

Zusammensetzung geradliniger Bewegungen

19

zu Polstrahl 1 und schneidet O in a, die dritte ist parallel zu Polstrahl 1 und schneidet die zweite Parallele auf Ordinate b usw. Der so entstandene Linienzug umhüllt die Wegkur-v e bzw. bei gegebener Beschleunigung die Geschwindigkeitskurve. Ein anderes Verfahren ist, die Fläche unter der Geschwindigkeitskurve zu integrieren. Man teilt die Fläche in eine Anzahl paralleler Streifen und mißt diese aus. b) Z u s a m m e n setzung geradliniger Beweg u n g e n. Wege. Führt ein Punkt gleichzeitig zwei Bewegungen aui, z. B. ein Segelboot, das stromabwärts fährt und gleichzeitig vom Wind getrieben wird, so ergibt sich der tatsächlich zurückgelegte Weg

\HTndricMiatg

Fig. 9. Parallelogramm der Wege am Beispiel eines Segelbootes, ausgesetzt der Wasserströmung und dem Windtriebe. 2"

20

Ebene B e w e g u n g eines

Punktes

durch Aneinandersetzen der in jeder der beiden Wegrichtungen und s2 zurückgelegten Wege unter Berücksichtigung der richtigen Wegrichtungen (Fig. 9). Man nennt das entstehende Bild das P a r a l l e l o g r a m m d e r B e w e g u n g e n (Fig. 10a) und erkennt, daß es gleich ist, ob man zum Punkte A2 auf dem Weg AAtA2 (Fig. 10 b) oder AA\A2 (Fig. 10 c) gelangt. Ist der Winkel zwischen s t und s2 bekannt, so kann man s aus

c Fig. 10 a—c. Zusammensetzung von Wegen.

und s2 nach dem Cosinussatz der Trigonometrie berechnen. (5) s = j/ij + + 2iiii,cos a. Da man aber in der Bewegungslehre (und auch in anderen Zweigen der Mechanik) mit z e i c h n e r i s c h gegeb e n e n Größen zu tun hat, wendet man das Verfahren der geometrischen Addition (oder Subtraktion) an und schreibt an Stelle Gleichung (5)') (5 a) s = s1 -+->• s2 wobei das Zeichen diese Summe von einer gewöhnlichen algebraischen Summe unterscheidet. Die geometrische Summe sl -K s2 wird zur algebraischen Summe, wenn die Wege und s2 gleiche Richtungen haben, wenn also a = 180°. Da es gleich ist, auf welchem Wege man zu A2 gelangt, ist auch bei der geometrischen Addition die Reihenfolge der Summanden gleich, also s = s2 +* Umgekehrt kann man auch jede Bewegung in Komponenten zerlegen, z. B. nach Koordinatenachsen. So er1) Von der eigentlichen Vektorrechnung soll in diesem Bändchen kein Gebrauch gemacht werden. Die Schreibweise —y und -f-*- ist von M. Tolle in Regelung der Kraftmaschinen zuerst 1905 eingeführt worden.

Zusammensetzung geradliniger Bewegungen 1 halten wir z. B. s 9 = s 1> hierbei kennzeichnet Zeichen -> die geometrische Subtraktion.

Das

Verhältnis

S

21

das

ittlere G et s c h w i n d i g k e i t t der zusammengesetzten Bewegung genannt. N u r wenn beide Bewegungen in Richtung sx und So gleichförmige Bewegungen sind, stimmt vm mit der tatsächlichen Geschwindigkeit überein. Geschwindigkeiten. Das oben erläuterte V e r f a h r e n der Zusammen, Setzung geradliIds,4/ J niger Wege gilt auch, wenn das Zeitelement dt, in dem wir die Bewegung betrachten, unendlich klein wird. In diesem ZeitFig. 11. Z u s a m m e n s e t z u n g v o n W e g e l e m e n t e n element können und G e s c h w i n d i g k e i t e n . wir die Geschwindigkeiten der Einzelbewegungen als gleichförmig ansehen und erhalten dann (Fig. 11) die Geschwindigkeit v des Punktes A dsj -f ^ ds2 = V. +> V.,. dt dt~~ vt und v2 sind die in Richtung der Wege und s2 fallenden Geschwindigkeiten. W i r können also die tatsächliche Geschwindigkeit einer zusammengesetzten Bewegung durch geometrische Addition der Geschwindigkeiten der Einzelbewegung finden. Beispiel: Umfangsgeschwindigkeit am rollenden Rade (Fig. 12). Ein Rad vom fialbmesser r rolle auf der ebenen Fahrbahn mit der Geschwindigkeit v ab. Dann hat der Berührungspunkt P augenblicklich die Geschwindigkeit o (Momentanpol der Bewegung siehe S. 31). Der Mittelpunkt des Rades hat die Geschwindigkeit v. Ein Punkt C am Umfang hat die horizontale Geschwindigkeit des Mittelpunktes und weiter eine Vm

=

Ebene Bewegung eines Punktes

Rad

Umfangsgeschwindigkeit v tangential zum K r e i s . D i e beiden Geschwindigkeiten werden nach einem P a r a l l e l o g r a m m zusammengesetzt. Ist

ein. Wir zeichnen das Parallelogramm 1) Diese Bewegung wird System- oder auch Führungsbewegung qe nannt. Neuerdings wurde die Bezeichnung „Ubertragungsbewegung' vorgeschlagen, siehe auch Seite 63 u. f.

24

Ebene Bewegung eines Punktes

Aa-

v liv

V••

Fig. 13 a u. b. Geschwindigkeiten und Beschleunigungen krummliniger Bewegung.

bei

der Geschwindigkeiten (Fig. 13 b) und stellen fest, daß wir, um von Geschwindigkeit v zu v zu gelangen, die Elementarbeschleunigung Av aufzuwenden, haben. Diese Elementarbeschleunigung Av wird durch eine Beschleunigung p hervorgerufen, die auf den Punkt A in gleicher Richtung einwirkt: p =

An Stelle von Av dt werden vielfach zwei Komponenten' eingeführt (s. Fig. 13 b), von denen die eine dv in Richtung der Geschwindigkeit v (also in Tangentenrichtung) und die andere v • dcp in dazu senkrechter Richtung (also in Normalenrichtung) liegt, also Av = dv v • dcp. Die Beschleunigung ist dann Av dv +•»• v • dcp dv . v • dcp . p p dt dt d t " Yt \ d. h. die Gesamtbeschleunigung läßt sich geometrisch aus zwei Einzelbeschleunigungen zusammensetzen. Die Komponente: (6) p = dv t

dt fällt in die Tangentenrichtung und wird T a n g e n t i a l b e s c h l e u n i g u n g genannt. Diese Komponente verursacht lediglich eine Größenänderung der Geschwindigkeit v. (Ist v = konstant, so ist pt = O). Die andere Komponente: (7) pn — v • ^ dt fällt in die Richtung 'v • dcp, die Normalenrichtung, und

Krummlinige

Bewegungen

eines

Punktes

25

heißt daher N o r m a l b e s c h l e u n i g u n g . Sie versucht lediglich eine Richtungsänderung der Geschwindigkeit [p,, wird O in Wendepunkten der 'Bahn und bei geradliniger Bewegung). Kennt man den Krümmungshalbmesser der jeweiligen Bahnpunkte A und Ä, nämlich AM = AM = o, so erhält man mit ds = p • dq> . vdw vds v~ dt gdt g Die Normalbeschleunigung ist also proportional dem Quadrat der Geschwindigkeiten und umgekehrt proportional dem jeweiligen Krümmungshalbmesser. Aus dieser Beziehung ergeben sich auch einfache z e i c h n e r i s c h e • 1,

Fig, 14 a u, b. G r a p h i s c h e V e r f a h r e n zur E r m i t t l u n g d e r N o r m a l beschleunigung.

K o n s t r u k t i o n e n von pn, wenn v und Q = r gegeben sind, die bei der Untersuchung von Getrieben häufig angewandt werden. Man schlägt über AM = r (Fig. 14 a) den Halbkreis und bringt ihn mit dem Kreis um A mit v zum Schnitt (Punkt B). Man lotet B auf AM; AC = pn (Kathetensatz). Das Lot BC ist gleichzeitig ein geometrischer Ort f ü r den Endpunkt von p. Ist v > r, so versagt diese Konstruktion. Man wählt dann die nach Fig. 14 b. Man verbindet M mit dem Endpunkt von v A, und errichtet hierauf das Lot, das die Verlängerung AM in B' schneidet. AB' ist der Größe nach pn; um die richtige Lage von pn zu erhalten, muß dieses erst noch um 180° nach Endpunkt B gedreht werden (Konstruktion nach dem Höhensatz). Im allgemeinen ist die Konstruk-

26

Ebene Bewegung zweier

Ebenen

tion nach Fig. 14 a vorzuziehen, da sie pn in richtiger Lage und gleichzeitig einen geometrischen Ort für den Endpunkt von p ergibt. Eine andere geometrische Lösung für Gleichung (7a) nach M. Grübler kann ohne Zirkel ausgeführt werden. Sie ist besonders geeignet für gedrehte Geschwindigkeiten, die nicht gleich Fig. 15. Geometrische der Kurbellänge sind. In Fig. 15 Konstruktion der Beschleunigung nach M. ziehe eine beliebige Gerade durch A Grübler. und wähle einen beliebigen Endpunkt D, der mit M verbunden wird. Ziehe eine Parallele zu MD durch D', den Endpunkt von v (C), und eine weitere Parallele durch C zu DD' (£), dann ist AE = b (Proportionalität — = V ). v entspricht pn und a = r. v a II. Ebene Bewegung zweier Ebenen. a) S c h i e b u n g u n d D r e h u n g . Zur Untersuchung des Bewegungszustandes ebener Getriebe genügt nur in Einzelfällen die Kenntnis der Bewegung eines Punktes, im allgemeinen muß man die Bewegung einer Ebene kennen. Die Bewegung einer Ebene ist bestimmt, wenn man die Bewegung zweier ihrer Punkte, die einen festen Abstand voneinander haben, kennt. Ausgehend von der r e i n e n S c h i e b u n g u n d D r e h u n g , soll die allgemeine Bewegung zweier Ebenen zueinander behandelt werden. Schiebung. Eine Ebene führt eine Schiebung aus, wenn ^ eine in ihr liegende Gerade > h'„ CD während der Bewegung ständig einer festen Geraden AB parallel bleibt. Sämtliche Körperpunkte der Ebene Flg. 16. Schiebung einoi Ebene, beschreiben deckungsgleiche,

Schiebung und D r e h u n g

27

gleichliegende Bahnkurven (Fig. 16). Kennt man daher die Bahn eines einzelnen Punktes, z. B. A, der bewegten Ebene und seine Bewegungsgleichung s = / (t), so ist damit auch die Bewegung jedes anderen Punktes bekannt. B e i s p i e l : Bewegung des K r e u z k o p f e s einer D a m p f m a s c h i n e (Geradschubkurbelgetriebe). D r e h u n g u m e i n e n f e s t e n Punkt. D r e h u n g nennen wir die Bewegung einer Ebene, w e n n einer ihrer P u n k t e ständig seine Lage beibehält. D e r feste P u n k t heißt D r e h p u n k t oder Drehpol. M sei d e r feste D r e h p u n k t der Bewegung der Ebene E\ gegenüber d e r feststehenden Ebene £0 (Fig. 17). W i r wählen auf Ebene £0 eine feste Bewegungsgerade AMo und bezeichnen v o n ihr aus die Bewegung des P u n k t e s A; dieser bewegt sich u m M auf dem gleichbleibenden Halbmesser r a . Sein Bewegungsgesetz ist i a = / a (f). Drehung einer Die Bewegung eines P u n k t e s B mit H a l b m e s s e r rb lautet sb = fh(t)-, d a s„ = ra •

der Ebene El zur Zeit t ist das V e r h ä l t n i s des kleinen Winkelabschnittes Arp zu d e m entsprechenden Zeitabschnitt At. W e r d e n diese Abschnitte u n e n d lich klein, so erhält m a n v

28

Ebene Bewegung zweier Ebenen

(9)

dw d , °>=~j t =-d-ffw= nt).

W i n k e l b e s c h l e u n i g u n g der Ebene £', z u r Zeit t ist das V e r h ä l t n i s des in d e m kleinen Zeitabschnitt At e r f o l g t e n Zuwachses der W i n k e l g e s c h w i n d i g k e i t e n Aw zu deren Z e i t a b s c h n i t t At. W e r d e n diese Abschnitte u n e n d l i c h klein, so e r h ä l t m a n

(.0, M a n beachte die Ü b e r e i n s t i m m u n g m i t den auf Seite 12-14 e r l ä u t e r t e n B e g r i f f e n v o n G e s c h w i n d i g k e i t e n u n d Beschleunigung. Einheiten. Im G e g e n s a t z z u r eigentlichen G e s c h w i n d i g keit, die v o n W e g u n d Zeit a b h ä n g t , ist die W i n k e l g e 1 s c h w i n d i g k e i t w ein reines Z e i t m a ß , ihre Einheit ist

—j;

oder sek" 1 ; graphisch w i r d sie durch den W i n k e l tg # = -— (s. F i g . 18) d a r g e s t e l l t . Ebenso ist die W i n k e l b e s c h l e u nigung g ein reines Z e i t m a ß mit der Einheit —£2 oder sek" 2 ; sie l ä ß t sich e b e n f a l l s graphisch (s. Fig. 1 8 ) durch den W i n k e l tg /y =

Bewegung

r«

darstellen.

eines beliebigen

Punktes einer sich

d r e h e n d e n Ebene. A l l e P u n k t e der sich um einen festen P u n k t d r e h e n d e n Ebene beschreiben konzentrische Kreise um den Drehpunlg:. A u s der A n f a n g s l a g e A0 z u r Zeit t = O g e l a n g t e d e r b e w e g t e P u n k t a u f den H a l b m e s s e r r z u r Zeit t in L a g e A ( F i g . 17). D a n n ist der W i n k e l A0MA = (p der in der Zeit t beschriebene D r e h w i n k e l . Der in dieser Zeit z u r ü c k g e l e g t e W e g ist (11) s = r • Nach den im Abschnitt I a e n t w i c k e l t e n B e z i e h u n g e n erh a l t e n w i r die G e s c h w i n d i g k e i t des P u n k t e s A z u r Zeit t

Schiebung u n d

29

Drehung

ds dw —r •-= r • = r • co dt dt die Tangentialbeschleunigung des Punktes A zur Zeit t (12)

r ^W r r e dt dt dt" die Normalbeschleunigung des Punktes A zur Zeit t •ß _ ( r • oj)2 _ , _ v2 (14) •) r r die Gesamtbeschleunigung (13)

p —

(15)

p = p> • pn =

Ip] i- pl ••

2

j/(r • f) + (roj-)2 = r |/i 2 + co4 Die Gesamtbeschleunigung ist gegen den Halbmesser um den W i n k e l a geneigt, wobei

AM

Pi J— pl> M a n erkennt, d a ß bei Drehung einer Ebene um einen festen P u n k t Wege, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen proportional mit dem Halbmesser wachsen. Der Winkel zwischen Halbmesser und Beschleunigung ist dagegen vom Halbmesser unabhängig. (16)

Beispiel:

tg a

Ermittlung

der

Ge-

s c h w i n d i g k e i t u n d Beschleunigung j des P u n k t e s C auf AM (Fig. 18). Man verbindet den E n d p u n k t von v„ m i t M u n d zieht eine P a r a l l e l e durch C zu va, die V e r b i n d u n g s linie vnM schneidet hierauf v,. ab. Ferner verbindet man den Endp u n k t v o n pa m i t M u n d zieht e i n : P a r a l l e l e zu pa d u r c h C , die V e r b i n d u n g s l i n i e schneidet auch hier pr ab. W ä h r e n d vn u n d vr zu AM stehen, sind p„ u n d u m den gleichbleibenden W i n k e l et e e e e n AM ec- F i g ' 1 8 ' Beschleunigungen einer DieiDenaen w i n s e i a gegen j i M ge E b e n e , die sich um einen festen neigt. Drehpunkt dreht.

30

Ebene Bewegung zweier Eben«n Bei

gleichförmiger

Bewegung,

also

bei

kon-

stanter Winkelgeschwindigkeit, wird —— = s = 0; dagegen dt bleibt die Normalbesdileunigung konstant. Bei dieser Bewegung wird häufig an Stelle der Winkelgeschwindigkeit die Drehzahl oder Zahl der Umdrehungen je Minute (U/min) angegeben.

o

Fig. 19 a u. b. Zusammensetzen einer Schiebung und Drehung: a) mittels Gesdiwindigkeitsvektoren, b) mittels Elementarbewegungen.

Winkelgeschwindigkeit co = ——— = q ^ 4 7 . 60

30

'

M

Drehzahl

n =

Umlaufzeit

T = -— =

71 ro

= 9,549 .

.

n

0)

.

s e k-i min-i

— sek (Zeit f ü r eine n Volldrehung).

Allgemeine Bewegung: Durch Zusammensetzen einer Schiebung (siehe S. 26) u n d einer D r e h u n g (siehe S. 27) e r h ä l t m a n die allgemeine B e w e g u n g einer E b e n e . D a s E n d e A einer S t a n g e a — AB (Fig. 19 a) f ü h r t eine Schiebung m i t d e r G e s c h w i n d i g k e i t va aus,

Momentanpol zweier sich beliebig bewegender Ebenen

31

w ä h r e n d sich die S t a n g e gleichzeitig m i t d e r W i n k e l g e s c h w i n d i g k e i t co d r e h t . Als E l e m e n t a r b e w e g u n g a u f g e f a ß t , g e l a n g t S t a n g e AB d u r c h eine E l e m e n t a r s c h i e b u n g Asa in d i e L a g e AXB', d u r c h die z u s ä t z l i c h e D r e h u n g Afp w i r d P u n k t B' a m H e b e l a r m a n a c h B1 gebracht. Asb = Asa +* Asba = Asa -f* aAcp u m g e w a n d e l t in e n d l i c h e G e s c h w i n d i g k e i t e n (Fig. 19 b) Vb = va adcp = va a w. b) M o m e n t a n p o l z w e i e r s i c h bewegender Ebenen.

beliebig

B e w e g t sich eine E b e n e El (Fig. 20) gegen eine r u h e n d e E b e n e E0 u n d h a b e n ihre b e i d e n P u n k t e A u n d B die Geschwindigkeit e n va u n d Vb (va G r ö ß e u n d R i c h t u n g beliebig, d a n n vb n u r nach Richtung beliebig, dagegen G r ö ß e bestimmt), so kann m a n den augenblicklichen Bewegungszus t a n d d e r E b e n e Fig. 20. Geschwindigkeiten und Momentanpol einer sich bewegenden Ebene. E1 als D r e h u n g u m einen P u n k t P a u f f a s s e n . D i e s e n P u n k t P b e s t i m m t m a n als S c h n i t t p u n k t d e r in A a u f va u n d in B auf Vb errichteten L o t e . V e r b i n d e t m a n die E n d p u n k t e v o n va u n d Vb m i t d e m P u n k t P, so m u ß dieser P u n k t die augenblickliche G e s c h w i n d i g k e i t = O h a b e n ; dies ist d a n n der Fall, w e n n

= ra ' d a n n Bestimmung der G r ö ß e w o b e i (0 = W i n k e l g e s c h mentanpols.

— = co = tg # (hieraus rb v o n v b s. w e i t e r u n t e n ) , w i n d i g k e i t des Mo-

32

Ebene Bewegung zweier Ebenen

Man nennt deshalb den Punkt P G e s c h w i n d i g keitspol, Momentanpol oder M o m e n t a n z e n t r u m . Es ist dies der einzige Punkt der Ebene Ev der im betrachteten Zeitpunkt in Ruhe bleibt, er ist deshalb beiden Ebenen E0 und Ei gemeinsam. Mit H i l f e des Geschwindigkeitspoles läßt sich die Geschwindigkeit jedes beliebigen Punktes der bewegten Ebene ermitteln, wenn die Geschwindigkeit v a eine:/ Punktes A bekannt ist (Fig. 21). Die Geschwindigkeit jedes beliebigen Punktes B, C , usw. findet man dadurch, B

. Somit dreht sich S um P mit der Winkelgeschwindigkeit et», d. h. mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit, mit der sich £ 3 um £ 2 in S dreht. v

32

= — vs;

Die Geschwindigkeit v31 des Punktes As, bezogen auf den Pol P, kann geschrieben werden v3i = c • w, wobei c der Abstand ASP. Der Nachweis ergibt sich aus der Beziehung (S. 56) und daraus, daß c =

a0 +>• a.

d) D r e h u n g z w e i e r E b e n e n g e g e n d r i t t e um f e s t e Punkte.

eine

Die Ebenen E2 und £ s drehen sich gegen die ruhende Ebene Ex um die festen Punkte P 2 i u n ( l P»i m i t den Winkelgeschwindigkeiten « 2 1 und co31 (Fig. 42). Ein Punkt A mit den Abständen a2 und a3 von den Drehpunkten P.u

Drehung zweier Ebenen gegen eine dritte um feste Punkte

57

und P3i hat dann gegen E1 die Geschwindigkeiten V

21

~

a

2

'

®21

v 3 1 = a 3 • co31 je nachdem er als Punkt A2 der Ebene E2 oder als Punkt A3 der Ebene E3 angesehen wird. Auch die Richtungen von v21 und v3i sind hierdurch bestimmt, indem sie senkrecht zu den jeweiligen Polstrahlen stehen. Infolge der Relativbewegung von E3 gegen E2 hat A als Punkt A3 gegen E2 die Geschwindigkeit vi2. Es ist dann V

31 =

V

22

^21-

Ließe sich ein Punkt finden, der als Punkt der Ebene Ez gegen Ebene E2 in relativer Ruhe wäre, so könnte man die 'Bewegung von Es gegen E2 als eine Drehbewegung um diesen Punkt auffassen. Für diesen Punkt müßte sein v32 = 0, also v31 Diese beiden Geschwindigkeiten können nur gleich gerichtet sein, wenn sich der gesuchte Punkt P32 auf der Verbindungslinie von P2i und PS1 befindet. H a t P32 die Abstände r 2 bzw. r3 von P2l und P3i, so sind die Geschwin-

5R

Ebene Bewegung dreier

Ebenen

digkeiten dieses Punktes v21 = r2 • w21 v31 = r 3 • ü)s1. Diese Geschwindigkeiten sind (nach S. 32) nur gleich, wenn >2 _ «31 ,

''s 21 und 0) 32 gleichen Drehsinn haben, innen dagegen, wenn beide Winkelgeschwindigkeiten in ungleichem Sinne drehen. D i e s e F e s t s t e l l u n g f ü h r t zu d e m S a t z e , d a ß die R e 1a t i v b e w e g u n g z w e i e r sich gegeneine dritte E b ene dr eh en der Eben e n w i e d e r u m e i n e D r e h u n g i s t . Der Drehpunkt liegt auf der Verbindungslinie der anderen Drehpunkte und teilt sie im umgekehrten Verhältnis der Winkelgeschwindigkeiten. Folgende Beziehungen sind leicht rechnerisch oder graphisch zu ermitteln: a) Gegeben rv co21 und \

f»ix

«>;!2 — r t • —— —

1 — w2I (Fig. 43) Graphisch liest man das gleiche Ergebnis aus Fig. 43 ab, nämlich dq>i2 = d'P-M — drp21 dagegen-im Fall b) ^82

vn

'

= r j • w2,

also r 3 • oj 32 = ü)S2

~ ~ >'i

=

=

rt r

•

w2i J !

" '

' r

0Ji:i

3

= w s l + co21

Graphisch liest man hier aus Fig. 44 ab

(Fig. 44)

60

Ebene Bewegung dreier

Ebenen

dq>32 = d V3l = V2l . Man erkennt eine besondere Gesetzmäßigkeit in der Reihenfolge der Indizes. Jede Geschwindigkeit ist durch zwei Ziffern gekennzeichnet, von denen die erste die Ebene angibt, der der Punkt angehört, die zweite die v

Ebene Bewegung dreier Ebenen

62

Ebene, gegen die seine Geschwindigkeit zu ermitteln ist. Bei der Z u s a m m e n s e t z u n g v o n Geschwindigkeiten beachte m a n als Regel, d a ß sich nur Geschwindigkeiten verschiedener Ebenen zusammensetzen lassen, z. B . vs2 und v2V d. h. die Z i f f e r n in der M i t t e müssen gleich sein. D i e resultierende Geschwindigkeit w i r d d a n n aus den beiden anderen Z i f f e r n gebildet, im Beispiel also v31. W i r erhalten so , ^32 "T ^>1 = ^31 K e n n t m a n die drei P o l e der drei Ebenen, so kennt m a n f ü r jeden P u n k t A auch die Richtung seiner Polstrahlen und d a m i t auch die R i d i t u n g e n seiner gedrehten G e schwindigkeiten. Ist eine Geschwindigkeit d a n n der G r ö ß e nach gegeben, so läßt sich das Sechseck konstruieren und somit alle Geschwindigkeiten ermitteln. Beschleunigungen. D i e drei sich augenblicklich in A deckenden P u n k t e Au A2, A3 der drei Ebenen haben analog den Geschwindigkeiten die folgenden sechs R e l a t i v beschleunigungen P u n k t A, P u n k t Ao Punkt

A.,

P12 g e g e n Ebene £ 2 pn gegen Ebene £ 3 p 2 i gegen Ebene £ , P23 g e g e n Ebene £ : i

Pai gegen Ebene £ , pS2 gegen Ebene £ 2 w o v o n ebenfalls wieder je zwei einander dem absoluten W e r t * nach gleich sind. P12 = Pgl! P23 = P32! P31 = Palm G e g e n s a t z zu den Geschwindigkeiten ergeben aber diese 6 Beschleunigungen im allgemeinen nicht eine andere dieser G r u p p e , sondern es gehört zu jedem P a a r noch eine weitere Zusatzbeschleunigung, die nach ihrem E n t decker den N a m e n ,,Coriolis"-Beschleunigung trägt. Erst

Coriolis-Beschleunigung

63

mit dieser Zusatzbeschleunigung geben die beiden ersten eine andere der 6 oben angegebenen Beschleunigungen. f) C o r i o l i s - B e s c h l e u n i g u n g An Stelle einer strengen Ableitung sei die anschauliche Ableitung von R. Beyer benutzt (Fig. 47). Punkt A wird während eines unendlich kleinen Zeitabschnittes auf der Ubertragbahn/= AA' der Ebene E2 geführt. Gleichzeitig f ü h r t er eine Bewegung auf der Ebene £ 3 aus (Relativbahn r). Aus der Bewegung der Übertragbahn / und der auf der Relativbahn r setzt sich die absolute Bewegung zusammen. Für die Geschwindigkeit gilt V

a

=

Vf

+ *

V,

Würde der Punkt A seine AnfangsFig. 47. Ermittelung der Coriolis-Beschleunigung geschwindigkeit (Nadi R. Beyer). beibehalten, so käme er nach Punkt A\, in Wirklichkeit gelangt er nach A", indem er die Wegabweichung Aa ausführt. Diese Wegabweichung läßt sich in Komponenten zerlegen, die Abweichung Af infolge Bewegung auf der Übertragbahn, die Abweichung Ar hervorgerufen durch Verschiebung der Relativbahn von Lage r nach Lage r . H i n z u kommt ein

64

Ebene Bewegung dreier Ebenen

Bogenelement Az, durch Drehung der Relativbahn in die Lage r", hervorgerufen durch Drehen der Ebene E2 um P mit dem Winkel dtp Az = Ä A"r • dcp. Ä A"r ist gleich dem in der Zeit dt zurückgelegten Weg auf der Relativbahn, also Az = v, • dt • dm

da a> =

: dt

Az = vr • CD • (dt)1 Aa = Af 4* Ar 4- Az. Die kleinen Wegelemente werden in der Zeit dt beschleunigt zurückgelegt; sieht man diese 'Bewegung unter Vernachlässigung von Differentialen höherer Ordnung als gleichförmig beschleunigt an (siehe Seite 14), so ermittelt •sich die Beschleunigung p zu P

=

2 s

=

2

A

_ t* (dt)' und die Coriolis-Beschleunigung (18) pz = = 2vr • cj, sie steht _L zu vr. Setzt man an Stelle der Wegelemente die Beschleunigungen, so kann man diese ebenfalls, zusammensetzen (19) pa = pf 4- pr 4- P,. _ (Fig. 48) 1 ) pf = Übertragungsbeschleunigung (aus Rotationsbeschleunigung) des Punktes A2 gegen die feste Ebene E1 pr = Relativbeschleunigung von A3 gegen E2 pz = 2 vTü) Coriolisbeschleunigung pa = Ptr, +

-

-

?

-

(

.

-

f )

für den linken Umkehrpunkt p:

=

p:

+

p»

=

v'

r

I1

+

y )

Die Größen werden graphisch leicht auf der Verbindungslinie 13 gefunden. Mit_diesen beiden Werten und dem Abstand 1 ) a = Y r1 + P für p = 0 und vmax sowie einigen Zwischenwerten läßt sich das p/i-Schaubild leicht aufzeichnen2). Der Punkt p = 0 kennzeichnet gleichzeitig d)

Kurbelschleifen.

Macht man die Kurbel a des Geradschubkurbelgetriebes zum Gestell, so entsteht die u m l a u f e n d e K u r b e l s c h l e i f e . Der Gleitstein c führt bei einer Drehung des jetzt als Kurbel dienenden Gliedes b im Schieber oder der Kulisse d eine hin- und hergehende Bewegung aus. Geschwindigkeiten. Fig. 66 zeigt die Geschwindigkeiten in ihrer wirklichen Lage. v s _L 32 ist die Geschwindigkeit des Punktes 3. Senkrecht zu 13 ergibt sich die Geschwindigkeit vc des augenblicklich mit 3 zusammenfallenden Punktes C der Kurbelschleife, d. Die Ver1) Diese Beziehung ist nur annäherungsweise. Siehe auch M e y e r z u r C a p e l l e n , Gröflt- und Kleinstwerte von Geschwindigkeit und Beschleunigung bei der Geradschubkurbel, Maschinenbau/Bet r i e b Bd. 16. 1937. S. 529. 2) Es wird auch vorgeschlagen, die Besdileunigungskurve durch eine Parabel zu ersetzen, wenn die beiden Endpunkte (größte und kleinste Beschleunigung) gegeben sind. Die Verbindungslinie schneidet die Adise der Gleitbahn im Punkte F, und das Lot EF — 3faw* bestimmt den Scheitelpunkt der Parabel, die mittels Korbbogenkonstruktion eingezeichnet wird.

Kurbelschleifen

87

bindungslinie der beiden Endpunkte vs und vc, parallel zur Sdiubriditung gg, ergibt die Relativgesdiwindigkeit i>8 der Gleitsteinbewegung vT = vs vc. Mit vc =

13 • tg a und «d bekannt; gesucht wird ps und pr. Aus dem Bild der gedrehten Geschwindigkeiten erhalten wir, da vc = 13 • u>d bekannt ist, v:i und vr. Die gegebene Beschleunigung pc zerlegen wir in pnc und pic; aus pnc = 13 a e r m i t t e l n wir wie oben pz = 2 • vr • w(i, tragen ptc an den Endpunkt von pz an und erhalten wie oben Punkt 7. Durch Schlagen des Halbkreises über 32 und Schneiden mit dem Kreisbogen um 3, Herabloten des Schnittpunktes auf 32 erhalten wir in 9 den Endpunkt von Durch Ziehen einer Parallele durch 7 zu gg erhalten wir pr und p s . Erfolgt der Antrieb mit gleichbleibender Winkelgeschwindigkeit b, dann wählt man wie beim Gelenkviereck = b und damit pn% = b = 23, hierdurch vereinfacht sich die Konstruktion etwas. Beim Antrieb der Kurbelschwinge d ist diese Vereinfachung nicht möglich, da die Entfernung 13 veränderlich ist. Sonderfälle. Ein häufiger Sonderfall tritt dann ein, wenn die Gerade gg durch den Drehpunkt 1 geht (entspricht der zentrischen Geradschubkurbel). Man kann die gleiche Konstruktion, wie sie auf Seite 87 f angegeben wurde, anwenden. Die Tangentialbeschleunigung ptc des Punktes C und die Coriolisbeschleunigung pz fallen hier in die gleiche Richtung. Gegeben sind v3 und ps, wobei

9 0 G e s c h w i n d i g k e i t e n u. Beschleunigungen v o n

Kurbelgetrieben

Durch Fällen des Lotes auf gg erhalten wir vT senkredu zu gg und vc in Richtung gg. Durch Schlagen des Halbkreises über 13 und Schlagen des Kreisbogens vc um 3,

Fig. 68 a—c. Geschwindigkeiten und Beschleunigungen der zentrischen Kurbelsdileife.

Loten des Sdinittpunktes auf gg erhalten wir 34 = p,„ . W i r machen dann 56 = 45 und erhalten in 46 = pz die Zusatzbesdileunigung. W i r verlängern 46 und ziehen durch den Endpunkt 8 von p 3 eine Parallele zu gg, 67 =

Kurbelschleifen

91

ptc und senkrecht d a z u 78 = pT. I m nebenstehenden Beschleunigungsbild (Fig. 68 b) ist die Lage der Beschleunigungen übersichtlich eingetragen. Eine v o n der obigen etwas abweichende K o n s t r u k t i o n (Fig. 68c) zeichnet sich durch weniger Linien in der eigentlichen Getriebezeichnung aus. M a n arbeitet hier mit den wirklichen Geschwindigkeiten (s. Fig. 66, Seite 87). Senkrecht zu 23 liegt v3, senkrecht zu gg der Geschwindigkeitsvektor des augenblicklich mit 3 z u s a m m e n f a l l e n den P u n k t e s C ( v r = 34), zwischen vs u n d vc liegt die Relativgeschwindigkeit vT des Gleitsteines. W i r verbinden 4 mit 1 u n d errichten auf der Verbindungslinie das Lot, das die V e r l ä n g e r u n g 13 in 5 schneidet. 53 ist d a n n nach dem H ö h e n s a t z pnc

=

~

, d a n n tragen wir v o n 1 auf

13 die Strecke 2 • vr ab (7) u n d ziehen eine Parallele zu 34 durch 7, 78 = pz = 2vt • cürf, die ZusatzbeschleunigungDie weitere K o n s t r u k t i o n w i r d im Beschleunigungsbild (Fig. 68) durchgeführt. M a n t r ä g t in Co pnc u n d ps an, f ü g t pz im E n d p u n k t v o n p 3 an, errichtet im E n d p u n k t v o n pnc das L o t u n d b r i n g t dieses z u m Schnitt mit einer Parallelen durch den a n d e r e n E n d p u n k t von pi. Für den Fall, d a ß cot = konst., l ä ß t sich die K o n s t r u k t i o n d a d u r c h vereinfachen, d a ß m a n v3 = 32 = b u n d ebenfalls Pn3 = P% = b m a c h t . Bei A n t r i e b der K u r b e l schleife d w i r d das gleiche V e r f a h r e n sinngemäß angewendet. Die Geschwindigkeits- u n d Beschleunigungsverhältnisse sind die gleichen, w e n n m a n die G l e i t b a h n v o n P u n k t 3 nach P u n k t 1 verlegt (Fig. 69). Es ist erforderlich, das Getriebe in verschiedenen Stellungen zu untersuchen, um einen Überblick über den Bewegungsverlauf zu erhalten. Ausgewählte Stellungen sind die U m k e h r l a g e n der Kurbelschleife d. H i e r ist die Z u -

92 Geschwindigkeiten u. Beschleunigungen von Kurbelgetrieben satzbeschleunigung p2 = 0, a n d e r e r seits h a t die T a n gentialbeschleunig u n g ptc i h r e _ Höchstwerte. Die Konstruktion ist die gleiche wie f ü r die Umkehrlagen des G e l e n k v i e r e k kes (Fig. 53, Seite 73), Schwinge c in Fig. 53 w i r d hier Schwinge d. Die Beschleunigungen für Zwischenstellungen lassen sich auch hier nach d e r Fig. 69. G e s c h w i n d i g k e i t e n der s c h w i n g e n d e n Grüblerschen K o n K u r b e l s c h l e i f e zum A n t r i e b e i n e r S h a p i n g - s t r u k t i o n (Fig. 55, maschine. Seite 76) e r m i t t e l n . Beispiel: Fig. 69 zeigt eine Kurbelschleife, wie sie an Shapingmaschinen (Waagerechtstoßmaschinen) angewandt wird. Die Kurbel b läuft mit gleichförmiger Geschwindigkeit um und erteilt der Schwinge d eine ungleichförmige Bewegung, die vom Gelenk 5 auf den Schlitten durch ein weiteres Gelenk oder einen Gleitstein übertragen wird. Die Geschwindigkeit des Punktes 5 ist zu ermitteln. Nach dem Vorbehandelten wählen wir die senkrechte Geschwindigkeit gleich der Kurbellänge b, der -mit 3 zusammenfallende Punkt C der Schwinge d hat die Geschwindigkeit vc, deren Endpunkt durch Fällen des Lotes von 2 auf d erhalten wird. Wir drehen vr um 90° in seine riditige Lage, d. h. verbinden den Endpunkt von vr mit 1, die Senkrechte in 5 wird zum Schnitt mit lvn gebracht und liefert vr. Wir teilen den Kurbelkreis von b beispielsweise in 12 gleiche Teile und ermitteln für jeden Punkt v5 wie beschrieben; wegen der Symmetrie des Getriebes werden nur die Geschwindigkeiten von 0 bis 6 ermittelt. Man

Kurbelschleifen

93

e r k e n n t auch, d a ß f ü r d e n u n t e r e n Q u a d r a n t e n des K u r b e l kreises nicht g e n ü g e n d P u n k t e vorliegen, infolgedessen sind hier die Stellungen f ü r die P u n k t e 4a, 5a etc. zusätzlich zu untersuchen.

Das Geschwindigkeitsdiagramm kann ähnlich wie in Fig. 55 unmittelbar über der Bahn des Punktes 5 aufgetragen werden oder ist in einem besonderen Schaubild

folgt, und daß der Rückhub mit wesentlich höherer Geschwindigkeit zurückgelegt wird. Dies kann auch unmittelbar aus Fig. 69 ersehen werden, da zum Vorwärtshub die Kurbel den Winkel a und zum Rüdshub b den Winkel ß zu beschreiben hat, mit sin ß/2 = -— und a + ß = 360°. _ " Wird die Kurbel 12 = . b unendlich lang, so entsteht das als W i n k e l s c h l e i f e bezeichnete Getriebe (Fig. 71,

94 Geschwindigkeiten u. Besdileunigungen von Kurbelgetrieben

es spielt als Ersatzgetriebe für Kurvenscheiben mit gerader Gleitbahn eine Rolle). Die Ermittlung der Geschwindigkeiten und Beschleunigungen ist die gleiche wie bei der umlaufenden Kurbelschleife. Die Beschleunigung ps fällt in die Schubrichtung cc, da die Normalbeschleunigung pnc = 0 wird. Sonst ist die Konstruktion der Beschleunigung die gleiche, wie sie bei der Kurbelschleife durchgeführt wurde (s. Seite 88, Fig. 67).


max = 19,5 X 0,28 = 5,45 m/sek 2 .

Geometrische Zusammenhänge. I. Beweglichkeit und Zwanglaufbedingungen. Die Bedingungen der Beweglichkeit von Getrieben bestehen in ganzzahligen Beziehungen zwischen der Zahl der Glieder n und der sie verbindenden Elementenpaare oder Gelenke g. Bei «-Gliedern muß ein Glied das Gestell bilden und es sind n — 1 Glieder beliebig beweglich. Um Starrheit F = 0, d. h. Freiheitsgrad 0 zu erreichen, sind 3 ( n — 1 ) Bewegungen zu verhindern 1 ). Um einen beliebigen Freiheitsgrad zu erreichen, brauchen nur 3 (n — 1) F Bewegungen verhindert zu werden. Ein Gelenk mit Freiheitsgrad / verhindert (3 — /) Beweguneen 2 ). Für ein Getriebe mit ¿-Gelenken, das die oben angegebenen Bewegungsverhinderungen aufweisen soll, muß sein (21a) g (3 — /) = 3 (» — 1) — F oder (21 b) F = 3 (n—1) — g (3 — /) worin / = 1 für Kurbelgetriebe mit sogenannten niederen Elementenpaaren (Rundgelenk, Schiebegelenk 3 ), Schraubengelenk) und / = 2 für höhere Elementenpaare (Kurvenscheiben, Zahnräderpaarungen usw.). Für Kurbelgetriebe haben wir damit für Elementenpaare mit Freiheitsgrad / = 1 22 a) F = 3n — 3 — 2g und für den Freiheitsgrad F = 1 (zwangläufige Getriebe) 1) D i e Z a h l 3 e r g i b t s i c h d a r a u s , daß e i n e G e r a d e g e g e n ü b e r e i n e r a n d e r e n ( e b e n e s P r o b l e m ) a n a l y t i s c h durch 3 B e s t i m m u n g s g r ö ß e n festg e l e g t ist. Z. B . z w e i K o o r d i n a t e n x, y e i n e s P u n k t e s und e i n e Richtung, o d e r in P o l a r k o o r d i n a t e n r, a und w i e d e r u m e i n e Richtung. 2) E s ist h i e r u n t e r s c h i e d e n z w i s c h e n (1) F r e i h e i t s g r a d e i n e s G e l e n k e s / , (2) F r e i h e i t s g r a d d e s g e s a m t e n G e t r i e b e s F. 3) A u d i P r i s m e n p a a r g e n a n n t .

Beweglichkeit und Zwanglaufbedingungen

107

(22 b) 2g — 3n + 4 = 0 die sogenannte Grüblersche Zwanglaufbedingung. Der Freiheitsgrad F eines Getriebes ist die Z a h l der O r d i n a t e n , die zur Bestimmung seiner Lage notwendig sind. Z. B. F = 0 starres Gebilde, F = 1 zwangläufiges Getriebe, F — 2 u n d mehr Ausgleich- oder Zweiggetriebe nach Kutzbach, wobei g = A n z a h l der Drehgelenk- u n d Prismenpaare, n = A n z a h l der Glieder. Die Gleichung setzt 1. voraus, d a ß kein Glied ausschließlich parallele Prismenpaare enthält, 2. Glieder mit nur 2 Prismenpaaren nicht unmittelbar verbunden sind u n d 3. in keiner geschlossenen Gliedergruppe weniger Fig. 83. Gelenkviereck (Schema), zwangläufig. als 2 Drehgelenkpaare auftreten 1 ). Beispiele: Das Gelenkviereck besitzt n = 4 Glieder und g = 4 Gelenke, die Gleichung (22 b) ist also erfüllt (Fig. 83). Man erkennt, daß die Gleichung nur für geradzahlige n erfüllt ist, z. B. n = 2; 4; 6; 8. Für n — 2 ergibt sich g = 1 das Drehpaar; für n = 4 das Gelenkvieredt; für n = 6; g = 7. Diese sechsgliedrigen Gelenkvierecke lassen sich in zwei Formen (Fig. 84a u. b) darstellen. Man erkennt zugleich, daß hier Glieder auftreten, die mehr als zwei Gelenke besitzen. Die achtgliedrigen Gelenkketten 2 ) können bereits in zwölf verschiedenen Formen auftreten. Es treten in diesen Ketten Untergruppen mit einem oder mehreren Gelenkvierecken auf. Im allgemeinen lassen sich deshalb die meisten getrieblichen Aufgaben Fig. 84 a u . b. Die beiden Grundformen z w a n g . m i t t e l s G e l e n k v i e r e < k e n läufiger sedisgliedriger Getriebe. losen. 1) Treten in einem Getriebe hö-here Elementenpaare auf, so denke man sich diese durch ein Ersatzgetriebe in niedere Elementenpaare umgewandelt (Beispiele siehe Abschnitt V, S. 97J. 2) Siehe Getriebelehre II.

108

Beweglichkeit und Zwanglaufbedingungen

Ersetzt man in diesen Getrieben ein Drehgelenkpaar durch ein Prismenpaar (man stellt sich vor, d a ß ein D r e h p u n k t ins Unendliche rückt), dann bleibt die Zwangläufigkeit noch erhalten. Das Gelenkviereck geht z. B. in das ebenfalls zwangläufige Geradschubkurbelgetriebe über. Beim Ersatz mehrerer Gelenke durch Prismenpaare ist der oben angeführte Satz zu beachten. Beschränkt man die Betrachtungen nur auf Ketten mit Gliedern bis zu 4 Elementen und ist die Anzahl der Glieder mit 2 Elementen = n 2 , mit 3 Elementen = n s , mit 4 Elementen = n t , so ist n = «2 + «j +

«4

und 2g = 2« 2 + 3» s + 4 « 4 diese Gleichungen in (20) eingesetzt ergeben (23a u. 23 b) n2 = « 4 + 4 und n — 2 n 2 + n3 — 4 i Die Zahl der Glieder mit 2 Elemeriten eines zwangläufigen Getriebes ist mindestens 4 (bei n4 = 0). Die Anzahl der Glieder mit 3 Elementen ist stets gerade. Es gibt Ketten, die z w a r zwangläufig beweglich sind und doch der Gleichung (22 b) nicht genügen, wenn nämlich mehrere Glieder Fig. 85. Die Robervalsche Tafel- gleiche Abmessungen haben und waage als Beispiel eines überparallele Bahnen beschreiben, man gesdilossenen Getriebes. nennt diese Ketten übergeschlossen (Fig. 85, Robertvalsche T a f e l w a a g e mit n' = 5, g' = 6), f ü r derartige Ketten gilt (22) g' > 3/2 n' — 2.

Ausgleichgetriebe. Die Aufgabe eines Getriebes ist bekanntlich, eine Bewegung in eine andere umzuformen, dazu braucht das Getriebe eine Zu- und eine Ableitung (Antrieb und Abtrieb). Nun gibt es eine Reihe von Getrieben, die mehrere Zu- und Ableitungen besitzen. Diese Getriebe, von Kutzbach Z w e i g g e t r i e b e genannt, sind bei Antrieb von einer Leitung aus nicht mehr zwangläufig, d. h. sie ergeben keine eindeutige Bewegung eines anderen Getriebegliedes, sondern sie verteilen diese Be-

Beweglichkeit und Zwanglaufbedingungen

109

wegung entsprechend den Widerständen gleichmäßig auf mehrere Glieder. Für diese Getriebe gilt die oben angef ü h r t e Gleichung (22a) unter Berücksichtigung, d a ß ein Zweiggetriebe mit z Leitungen den Freiheitsgrad F = z — 1 hat. W e r d e n ferner das Gestell (das in diesem Fall ein beweglicher R a h m e n sein k a n n ) u n d die zur E i n f ü h rung und Ableitung der Bewegungen dienenden z Leitungen nicht mitgezählt, so haben wir n = z + 1 + s2 + sa + s4 2s, S = z + ss in Gleichung (22 a) einzuführen u n d erhalten F

=

z — s2 + s3 +

3i4

in der A n z a h l der Gelenke und Gliederscheiben, die nunmehr mit s2, s3 u n d i 4 bezeichnet werden, je nachdem sii 2, 3 u n d 4 Gelenke besitzen. Führen wir die obige Beziehung F = z — 1 ein, so haben wir allgemein, d. h. unabhängig von der Anzahl der Leitungen z u n d des Freiheitsgrades F die K u t z bachsche Beziehung (23) i 2 = s 3 + 3*4 + 1. Eine Voraussetzung ist, daß das * 4 -Glied nur mittelbar durch ein i ä -Glied mit einer Leitung verbunden werden d a r f , dies gilt jedoch nicht f ü r die i 3 -Glieder. Diese Gleichung sagt nichts über die Abmessungen der Glieder und insbesondere nichts über das Ge- Fig. 86. Ausgleichgetriebe stell oder den R a h m e n aus, in für drei Leitungen mit nur einem dreifachen Glied s 3 . dem die Leitungen gelagert sind. So k a n n der R a h m e n selbst auch beweglich sein. Sie ist auch unabhängig von der Z a h l der Leitungen z. B e i s p i e l I: I n e i n e m A u s g l e i c h g e t r i e b e m i t d r e i L e i t u n g e n soll n u r e i n f s - G l i e d e n t h a l t e n sein. L ö s u n g B i l d 86. N a c h F o r m e l 2 3 e r h a l t e n w i r f ü r st — 0 u n d s 3 = 1; j 2 = 2. E i n e s y m m e t r i s c h e A n o r d n u n g e r g i b t sich, w e n n L e i t u n g L , d a s i a - G l i e d t r ä g t u n d d i e L e i t u n g e n L t u n d Z.2 m i t je e i n e m

110

Beweglichkeit und

Zwanglaufbedingungen i2-Glied verbunden w e r d e n ; die freien Enden werden nun mit den beiden freien Gelenken des i3Gliedes verbunden.

Beispiel II: Fig. 87 z e i g t ein Beispiel f ü r 3 L e i t u n g e n Llt L2 u n d L3, d i e als d r e i fache Glieder eingezeichnet sind und zusammen mit dem ebenfalls mehrfach beweglich dargestellten R a h m e n in der Fig. 87. Zwölfgliedriges Ausgleichgetriebe B e z i e h u n g (23) n i c h t (nach R. Beyer). m i t z ä h l e n . Es s i n d d e m n a c h I 3 = 2 , J4 = 1, u n d es f o l e t a u s G l e i c h u n g (23) J 2 = 6 , die B e d i n g u n g ist a l s o e r f ü l l t . E i n e b e s o n d e r e T h e o r i e d e r K u r b e l g e t r i e b e ist v o n W . L y n e n u n d G . M a r x 1 ) e n t w i c k e l t w o r d e n . Es w i r d z w i s c h e n G e t r i e ben „ i m losen A u f b a u " (Bogenschubkurbel-Einkurbelgetriebe, erweitert zu Zwei- und (g') Dreikurbelgetrieben, die l e t z t e r e n m i t 2 u n d m e h r ¡i Freiheitsgraden) und Getrieben „im gebundenen Aufbau" (Mehrkurbelgetriebe mit einem Freiheitsgrad, d. h. z w a n g läufig) unterschieden. F ü r diese Getriebe u n d deren Ableitungen werden die Bewegungsgesetze, G e s c h w i n d i g k e i t e n und Beschleunigungen „ . , i Tr •• r • Fig. 88. Zuordnung zweier Lagen der u n a JS.rarte in s y s t e m a Schwingen bei einem Gelenkviereck mit tischer W e i s e e n t w i c k e l t . gegebenem Steg. 1) Siehe Abschnitt Bewegungslehre der Getriebe, Hütte Bd. I 27. Aufl. S. « * , 1948.

111

Allgeroeines

II. Konstruktion von Gelenkgetrieben. a) A l l g e m e i n e s . Im folgenden werden einige wichtige Aufgaben zur Konstruktion von Gelenkgetrieben behandelt. Je nach Art des Getriebes und Anzahl seiner Glieder ist die Freiheit in der W a h l der Gliedabmessungen beschränkt, so kann man beim Gelenkviereck (Fig. 89) an sich die Gliedlängen a, b, c und d beliebig wählen, bei der Geradschubkurbel kann man nurmehr Kurbelhalbmesser a und Pleuelstangenlänge b wählen, während bei der Kreuzschleife mit Wahl des Kurbelhalbmessers a bereits der gesamte Bewegungsvorgang bestimmt ist, sofern noch die Geschwindigkeit eines Punktes bekannt ist. So können bei der Geradschubkurbel bei gegebenem Kurbelhalbmesser und gegebener Drehzahl die Geschwindigkeiten und Beschleunigungen des Gleitsteines durch entsprechende W a h l der Pleuelstangen- Fig . 8 9 . G e l e n k v i e r e c k , d a s a l s länge b noch in bestimmtem B o g e n s d i u b k u r b e l v e r w e n d e t , ,

ty

i

••

i

i

•

werden

kann.

MaiSe abgeändert werden; ist dies geschehen, so bestehen weiter keine Freiheiten oder Möglichkeiten der Abänderung mehr. Beim Gelenkviereck hat man also, sofern nicht besondere einschränkende Bedingungen gestellt werden, die größte Freiheit in der Wahl der Abmessungen, es wird deshalb f ü r die verschiedensten Bewegungsvorgänge benutzt. Auch Getriebe mit einer größeren Anzahl Glieder lassen sich vielfach auf Gelenkvierecke zurückführen. Lagenzuordnungen. Die Aufgabe kann gestellt werden, daß zwei um feste Drehpunkte schwingende Glieder a und c durch eine feste Koppel b zu verbinden sind. Auf elementare Weise läßt sich diese Aufgabe für zwei und drei Stellungen der Schwingen a und c wie folgt lösen. Wenn nur zwei zugeordnete Lagen gegeben sind, «ei angenommen, daß die Länge c gegeben ist, wäh-

112

Konstruktion

von

Gelenkgetrieben

rend die Länge a zu bestimmen ist. Die beiden Stellungen (2') und (2") der Schwinge a schließen den Winkel a ein (Fig. 88). W i r bestimmen einen Punkt ( 3 " ) der durch Rückdrehung des Gestells d und der Schwinge c in die erste Stellung (2') erhalten wird, d. h. entsprechend einer Rückdrehung der Schwinge von Lage ( 2 " ) in Lage (2'). Zu diesem Zwecke muß Punkt 3 " um den Winkel a — (2') 1 ( 2 " ) gedreht werden mit 1 als Scheitel. Die Mittelsenkrechte zu 3' ( 3 " ) schneidet den freien Schenkel (2') in 2', dem Gelenkpunkt der Koppel. Die Koppellänge ist gleich 2'3'. Diese von Grübler (Schrifttum 9, S. 108—110) angegebene Lösung läßt sich auch auf drei zugeordnete Lagen ausdehnen, indem man nunmehr die Mittelsenkrechten sowohl für die erste und zweite als auch die zweite und dritte (oder erste und dritte) Lage bestimmt. Der Schnittpunkt beider Mittelsenkrechten bestimmt dann den Koppelgelenkpunkt. Für 4 und mehr zugeordnete Lagen läßt sich diese Aufgabe mittels der von Burmester (Schrifttum 4) angegebenen Mittelpunkt- und Kreispunktkurven lösen. Die Behandlung dieser Kurven ist außerhalb des Rahmens dieses Bändchens. b) B e w e g l i c h k e i t u n d Totlagen. Damit die vier Glieder a, b, c, d zu einem Gelenkviereck zusammengeschlossen werden können, müssen die beiden Ungleichheiten bestehen (24 a u. b) a + b + c > d und a + c + d > b. Diese Bedingung genügt, um ein Getriebe zu erzeugen, bei dem bei Aufstellung auf ein Glied die beiden an ihm angelenkten Glieder eine S c h w i n g b e w e g u n g ausführen. Man fordert jedoch vielfach, daß ein Glied eine vollständige D r e h b e w e g u n g ausführt. Dieser D r e h : bewegung entspricht eine Schwingbewegung des anderen im Gestell gelagerten Gliedes (Bogenschubkurbel oder Kurbelschwinge) oder ebenfalls eine Drehbewegung, im

Beweglichkeit und Totlagen

113

allgemeinen mit etwas abgeändertem Bewegungsspiel (Doppelkurbel). Soll Glied a eine vollständige Drehbewegung ausführen so gelten noch die folgenden Bedingungen:

Fig. 90 a—c. Die Deck- und Strecklagen des Gelenkviereckes zeigen an, ob ein vollständiger Umlauf der Kurbel möglich ist.

Fig. 91 a—d. Die vier verschiedenen Aufstellungen des umlaufenden Gelenkviereckes, a, b Bogenschubkurbel (Kurbelschwinge), c Doppelkurbel, d Doppelschwinge,

•