Fysikk for elektro 8251905826

Citation preview

E.H. HAUGE

FYSIKK FOR ELEKTRO

TAPIR 1983

© TAPIR FORLAG

ISBN 82-519-0582-6

INNHOLD I. KLASSISK TERMODYNAMIKK

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24.

Innledning ........................................................................................... Temperatur ......................................................................................... Ideelle gasser. Tilstandslikning .......................................................... Mikroskopisk modell for ideelle gasser ............................................. Arbeid .................................................................................................. Foreløpig diskusjon av reversible kontra irreversible prosesser ...... Tilstandsfunksjoner etc......................................................................... Varmelærens 1. hovedsetning ............................................................ Varmekapasitet ................................................................................... Relasjoner mellom partiellderiverte og Cp—Cy .............................. Reversibel adiabatisk prosess ............................................................. Kretsprosesser. Carnot-prosessen ..................................................... Varmelærens 2. hovedsetning ............................................................ Entropien: En tilstandsfunksjon ........................................................ Konsekvenser av entropiens eksistens ............................................... Entropi, irreversibilitet og uorden .................................................... Termodynamiske potensialer ........................................................... Det maksimale arbeidet, eller eksergien ........................................... Åpne systemer .................................................................................... Faseoverganger .................................................................................... Clausius-Clapeyrons likning ............................................................... Joule-Thomson effekten, kjøleskap og varmepumper .................... Termodynamikk i magnetiske og elektriske felt ............................. Varmelærens 3. hovedsetning ...........................................................

11 12 14 18 24 26 28 31 32 34 36 39 42 47 52 57 63 64 69 73 77 83 88 95

-6 -

II.

VARMETRANSPORT 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Endimensjonal varmeledning ............................................................. Varmeledningslikningen som konserveringslov ................................ Eksempler på varmeledningsproblemer ............................................. Konveksjon ........................................................................................ Stråling ................................................................................................ Svart stråling ....................................................................................... Stefan-Boltzmanns lov ........................................................................ Plancks fordelingslov .......................................................................... Energiregnskap for isolerglass ............................................................

99 102 107 112 116 118 122 124 128

III. BØLGER

1. Innledning ............................................................................................ 135 2. Endimensjonale bølger ....................................................................... 136 3. Bølger i flere dimensjoner. Diffraksjon ............................................ 142 IV. KVANTEMEKANIKK

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

Innledning ........................................................................................... Hva er galt med klassisk fysikk? ........................................................ Grunnpostulater .................................................................................. Frie partikler ....................................................................................... Potensialtrinn og barrierer. Tunneleffekten ..................................... Ehrenfests teorem .............................................................................. Stasjonære og tidsavhengige tilstander .............................................. Partikkel i boks ................................................................................... Harmonisk oscillator. Strålingsfeltet ................................................. Rotasjon ............................................................................................... Hydrogenatomet ................................................................................ Dreieimpuls, magnetisk moment og spinn ....................................... Bosoner, fermioner og Pauliprinsippet .............................................. Det periodiske system ........................................................................ Elektroner i krystaller ........................................................................ Sluttord ................................................................................................

149 151 158 166 172 176 180 185 190 196 204 208 212 215 217 222

-7 -

V. STATISTISK MEKANIKK

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Hvorfor statistisk mekanikk? ............................................................ Sannsynlighetsfordelingens form ....................................................... Maxwellfordelingen ................................... Det klassiske ekvipartisjonsprinsippet ............................................... Energifluktuasjoner mm....................................................................... Paramagnetisme ................................................................................... Plan eks strålingslov ............................................................................. Elektroner i faste stoff ....................................................................... Statistisk tydning av entropien ..........................................................

223 224 230 232 236 239 241 247 256

Appendiks A. Relasjoner mellom partiellderiverte .................................... Appendiks B. Kule- og sylinderkoordinater ............................................. Appendiks C. Bevis for Ehrenfests teorem ................................................. Appendiks D. E(k) for Kronig-Penney modellen ....................................... Appendiks E. Sammenhenger mellom termodynamikk og statistisk mekanikk ..................................................... 269

261 263 264 267

SANNSYNLIGHETSREGNING OG FYSIKK. ET FØRSTEHJELPSKURS 273

FORORD Grunnkurset i fysikk for elektrostudenter ved NTH er nå konsentrert om fire hovedemner: Termodynamikk, varmetransport,

kvantemekanikk og statistisk mekanikk, med en rask gjennomgang av grunnleggende bølgebegreper som et femte emne. Som en nød­

løsning for studenter uten bakgrunn i sannsynlighetsregning er et førstehjelpskurs på feltet hengt på til slutt.

Hensikten med dette fysikkfaget er å etablere et fundament som etterfølgende fag kan bygge på. Og som forhåpentlig vil sette

leseren bedre i stand til å møte nye problemstillinger senere.

Vekten er derfor ikke lagt på å presentere flest mulig formler for oppskriftsmessige løsninger. Slike løsninger har gjerne be­ grenset levetid. Det som er siktepunktet, er å klargjøre fundamen­ tale sammenhenger med livskraft gjennom skiftende faser i utvik­

lingen .

Denne grunnholdningen har satt preg på stoffvalg og presenta­ sjon. Snarveger som på lengre sikt vil virke begrensende er unngått. F.eks. er termodynamikken ikke ensidig bygd på ideelle gasser, men er gitt en generell formulering, selv om dette krever en smule gymnastikk med partiellderiverte og totale differensial. Tilsvarende

er Bohrs atommodell snautt nok nevnt. Som en historisk viktig snar­ veg til hydrogenspektret er modellen fristende å ty til. I et mer langsiktig perspektiv kan den tvertimot virke som en sperre mot

fruktbar kvantemekanisk basisinnsikt. At kvantemekanikken formu­

leres ved hjelp av partielle differensiallikninger som da i rimelig grad må mestres, er rett og slett en av livets realiteter. Men om grunnlaget er tatt på alvor, betyr ikke det at alle

detaljene er der. Tekniske detaljer (også i matematisk betydning) er bare tatt med i den grad de anses som nødvendige for forståelsen. Emnene stoffet er samlet om, er i hovedtrekk pekt ut av mot-

takeravdelingen, selv om forfatteren selvsagt har ansvaret for det­

aljene i stoffvalget. Grovt sett er termodynamikk og varmetransport emner som enhver sivilingeniør i en energibevisst verden bør ha

basisinnsikt i. Varme- og varmetransport spiller med i de forskjell­ igste sammenhenger. At det legges en tilsvarende vekt på kvante­

mekanikk og statistisk mekanikk er i det vesentlige betinget av utviklingen av moderne elektronikk. Elektronikk- og datarevolusjonen

- 10-

bygger på faststoff-komponenter som bare kan forstås kvante-

mekanisk. Med den korte tida som står til rådighet er dette et krev­ ende kurs. Det har ikke vært mulig å gå fram med den grundige

langsomhet som utvilsomt ville hjulpet på forståelsen. Valg av delemner og eksempler har hele tida vært gjort med gjerrige side­

blikk til tidsrammen. Det vil derfor ikke være vanskelig å finne ting som "mangler". På den annen side inneholder boka som den

foreligger allerede stoff i overkant av det tida tillater. Dette

er gjort med hensikt: Det gir foreleseren manøvreringsrom innen bokas ramme, og den nysgjerrige student anledning til å snuse på

sammenhenger som ikke er kjernepensum. De fleste avsnitt avsluttes med et lite antall spørsmål. De

fleste er kvalitative. Av regning trengs i høyden overslag over størrelsesordener. Noen av spørsmålene er svært så enkle, men slett

ikke alle. Enkelte trenger ytterligere presisering for å være men­ ingsfylte. Hensikten med spørsmålene er å stimulere til fruktbar

tenkning om stoffet som er gjennomgått, og dets sammenhenger med

nærliggende problemområder. Forfatteren har ingen fullstendig fasit å tilby! (Ideen til slike spørsmål, og noen av spørsmålene selv, er stjålet fra Halliday og Resnicks innføringsbøker i fysikk.) Kurset er ikke fullstendig som det foreligger her. For å få

skikkelig tak på stoffet, forutsettes det at øvingene tas alvorlig.

Oppgaveregning er en helt nødvendig del av læreprosessen! Til slutt vil jeg takke de studentene som har vært utsatt for

innkjøringsversjonen av kurset, for nyttig tilbakekopling. Fram­ stilling og stoffvalg er blitt endret på adskillige punkter som

følge av signalene tilbake. Og sist, men ikke minst, en takk til

Ingrid Sletbak som med god hjelp av Tove Stavø har dradd lasset med å få det hele over på en leselig form.

E.H.Hauge Trondheim, august 1983.

I. KLASSISK TERMODYNAMIKK 1. Innledning

I dette kapitlet skal vi ta for oss de grunnleggende lovene innen det emnet som vanligvis kalles termodynamikk. Strengt tatt

er det systemer i likevekt som skal studeres, og et mer dekkende navn ville sånn sett være termostatikk. Men siden mange prosesser i praksis forløper tilstrekkelig langsomt til at vi i rimelig

tilnærmelse kan betrakte dem som en kjede av likevektstilstanden,

har likevektslæren et større nedslagsfelt enn en ved første øye­

kast skulle tro. Likevektslærens idealiserte prosesser gir også

verdifull informasjon om øvre grenser for utbyttet av virkelige prosesser. Termodynamikken gir derfor et nyttig utgangspunkt for

studiet av alle slags varmekraftmaskiner, kjøleskapet (og varme­ pumpa) inkludert. Det var varmekraftmaskinene som var termodynamikkens histor­ iske utgangspunkt. Men gyldighetsområdet begrenser seg ikke til dem. Tvertimot kan termodynamiske resonnementer brukes på en

uhyre vid klasse av systemer i, eller i nærheten av, termisk like­

vekt. Termodynamikken er grunnleggende for forståelsen av fase­ overganger som fra is til vann, fra paramagnet til ferromagnet,

fra ohmsk leder til supraleder, den danner basis for kjemiske

likevekter, elektromagnetisk hulromsstråling, elektronlikevekt

ved kontakt mellom metaller og halvledere, osv.osv. På den annen side kan det ikke nektes for at varmelærens læresetningers vidt­

favnende gyldighet er nært knyttet til et pedagogisk problem.

Termodynamikken virker gjerne abstrakt og derfor vanskelig å få skikkelig tak på i første omgang. Dette problemet skal vi gå løs

på sammen, med krum hals’. Termodynamikken gir i seg selv ingen fullstendig beskrivelse. Dens generelle lovmessigheten må suppleres med tiIstandslikningen

som oppsummenen de enkelte systemens sænegenheten. Tilstandslik­ ningene en høyst fonskjellige fon f.eks. gassen, fennomagneten ,

svant stnåling og såpeboblen. De må bestemmes ved ekspenimenten ellen ved statistiske teonien bygd på innsikt i stoffenes mikno-

- 12-

skopiske mekanikk. Mikrobeskrivelsen og dens statistiske sammen­ heng med termodynamikken kommer vi tilbake til i siste del av dette kurset.

Framstillingen av termodynamikken vi bruker her vil i alt

vesentlig være konvensjonell, og konsentrert om systemer med mekanisk

p-V

kopling til omgivelsene. Den ideelle gassen vil

være gjengangeren når eksempler skal gjennomregnes . Gasser er ikke uten interesse for elektroingeniører, selvsagt, men kunne vi ikke like gjerne brukt magnetiske systemer, med den ideelle para-

magneten som kjerneeksemplet?

I prinsipp, jo. Likevel er den

konvensjonelle framstillingsmåten sannsynligvis bedre. Vi har alle en mengde erfaringer med

p-V

systemer fra dagliglivet: Vi

pumper sykler, hører kompressorkjøleskapet dure, og ser isen legge seg på vannene senhøstes. Et tilsvarende rikt erfaringsmateriale

rundt magnetiske systemer har de færreste. Vi tar derfor utgangs­ punkt i den mest velkjente varianten av termodynamikken. Noe av

spennvidden blir likevel antydet ved systemene som behandles i §23 og i kap.II, §§ 6 og 7.

2. Temperatur

Vi skal ikke gå inn i en spissfindig diskusjon om hva termisk likevekt er, men ta det som et intuitivt begrep. Et system overlatt til seg selv, varmeisolert fra omgivelsene, vil etter en

tid være i termisk likevekt. To systemer er i termisk likevekt med hverandre dersom ingen varme flyter fra det ene til det andre når

de bringes i kontakt. En klasse alminnelige erfaringer i forbin­ delse med slike situasjoner kan formuleres presist som varmelærens

O’te hovedsetning:

To systemer i termisk likevekt med et tredje, er i termisk likevekt med hverandre.

- 13-

Skjematisk:

^\\\\\\\W^w\wi

Dette er grunnlaget for det universelle temperaturbegrepet som karakteristikk av termiske likevektstilstander. Når en åpner kjøleskapet om morgenen er osten, melka og lufta i kjøleskapet i termisk likevekt, de har samme temperatur. Materialegenskapene er

helt forskjellige, men temperaturen er den samme. Temperaturen er jo et velkjent begrep, og alle vet hvordan

den måles: En myser mot termometret og vagger med hodet til den blå væskesøylen plutselig er der: Blått femtall, fem kuldegrader.

Fullt så enkelt er det ikke når standarden for temperatur skal fastlegges. Temperaturbegrepet er pr. definisjon uavhengig av spesi­

elle materialegenskaper. Men en eller annen slik egenskap må ut­ nyttes for å få målt den! Vi kan bruke at sprit utvider seg raskere

enn glass når temperaturen stiger, eller, med et vanlig metallspiraltermometer, basere oss på metallets utvidelse alene. Is og damppunktet kan vi konvensjonelt definere som

0°C

og

100°C . Men hva

med temperaturene imellom? Dersom termometrene viser forskjellig,

hvilket er eventuelt korrekt? Som standard er tradisjonelt gasstermometret valgt, siden

erfaringer (og kinetisk gassteori) viser at ved lave trykk vil alle nøytrale gasser i stadig bedre tilnærmelse kunne betraktes som ide­

elle (se neste avsnitt).

- 14-

Gasstrykket, som er direkte målbart , settes proporsjonalt med den absolutte temperatur, og temperaturen ved vanns trippelpunkt

(se § 20 ) defineres som 273.16 K. Ved atmosfæretrykk gir dette T = t + 273.15 K der

T

er den absolutte temperatur, målt i Kelvin (K), og

t

er

Celsiustemperaturen . Siden Celsiusskalaen bare avviker fra den

absolutte temperaturskala i valg av nullpunkt, er måleenheten den samme langs begge skalaer. Den hverdagslige enhetsbetegnelsen er derfor synonym med

°C

K , bortsett fra i de forbindelser der

valget av nullpunkt er essensielt.

Når referansetermometret er definert, kan vi lage termometre basert på hvilken som helst temperaturavhengig materialegenskap . Hvilken type termometer som er mest praktisk avhenger av bruks­

område og temperaturintervall. Vi skal ikke lage noen lang liste her. Den ville lett bli en katalog over alle tenkelige termiske

effekter, og derfor gi leseren større utbytte etter at et kurs i termisk fysikk er avsluttet.

3. Ideelle gasser. Tilstandslikning

Som nevnt vil alle gasser, 02 , H2, C02 etc., og også bland­ inger som f.eks. luft, ved tilstrekkelig lave trykk oppføre seg som ideelle gasser. En ideell gass har følgende sammenheng mellom

trykket

p , volumet

V

og den absolutte temperatur

pV = NkBT [Merk: SI enheten for trykk er

Her er

N

1N/m2= 1 Pa (Pascal)].

antall molekyler i gassen, og

kB

er Boltzmanns

konstant

k = 1 . 3807 - 1 0 D

—o q

J/K

.

Under ca. 1K er gasstermometret ubrukbart og andre standardmål må innføres. Det ville føre for langt med en findiskusjon av dette emnet her. Antyd­ ninger finnes i §§ 13 og 23.

- 15 -

Når den universelle temperaturskalaen er konvensjonelt fastlagt ved at absoluttemperaturen ved

H20’s

trippelpunkt er 273.16 K ,

er derved også Boltzmanns konstant fiksert som en universell

naturkonstant. På dagliglivets skala, mao. i makrofysikk (motsetning: mikrofysikk), er det ikke naturlig å telle molekyler. Den makroskopiske

mengde-"enheten" er et mol. Vi minner om noen elementære fakta i denne forbindelsen. Antall molekyler pr. mol er kjent som Avogadros tall

N.= 6.022• 1 0 2 3 /mol - Avogadros tall

m , blir den molare massen

Dersom molekylmassen er .

M - N. m *

Ut fra dette ble et mol historisk definert som følger. Dersom mole­

kylets masse er

Xu , der

1u = 1 .660 •10

-2 7

u

er atommasseenheten

kg ,

er massen til et mol av stoffet

X gram. Med utgangspunkt i denne

definisjonen av molbegrepet er Avogadros tall eksperimentelt fast­

lagt. Atommasseenheten er slik definert at et atoms masse målt i denne enheten, er omtrent lik antall nukleoner (protoner eller

nøytroner) i kjernen. De vanligste isotopene av noen aktuelle elementer har f.eks. massene Element

Masse (u)

H

1.008

N

14.008

0

1 6 . 000

Ar

39.948

Tilbake til den ideelle gassen. Med makrobegreper skrives tilstandslikningen pV = nRT

der n = rj— = antall mol A R = N^kg= 8.314 J/K = den molare gasskonstanten.

- 16-

Konsekvenser av ideelle gassers tilstandslikning:

Isotermer:

T=konstant , p=p(V)-konst./V

Isobarer: p=konst.

("Boyle-Mariotte’s lov")

, V=V(T)=konst.T ("Gay-Lussac’s lov")

2

Isochorer: V=konst., p = p(T)=konst.T (Basis for gasstermometret)

Historisk gikk som kjent utviklingen via Boyle-Mariotte og Gay-

Lussac^ lover til tilstandslikningen som sammenfatter disse på en enkel

Tilstandslikningen definerer en flate i det 3-dimensjonale pVT-"rommet" .

- 17-

Eksempe1:

Volumet opptatt av et mol ideell gass ved

og

Po= 1.0133 10 *

To= 273.15 K - 09C

5 Pa = 1 atm er

8.31U-J/K-273.15 K = 0.022u1 m,

1 .0133•10 5 Pa

V o = 22.41 dm3 . For reelle gasser er tilstandslikningen for den ideelle gassen i beste fall en god tilnærmelse. Men i alle fall eksisterer

det en tilstandslikning, dvs. en sammenheng p = F(V,T,n) eller for ett mol,

n=1

,

:

p = p(V,T) .

Typiske isotermer for et gass-væske system ved forskjellige

temperaturer (vi ser bort fra faststoff-fasen foreløpig, for mer fullstendig fasediagram, se figurene i §20):

V

- 18-

Spørsmål: mikroskopisk eller et makroskopisk begrep?

1.

Er temperaturbegrepet et

2.

Har temperaturbegrepet en naturgitt "retning": Må vi nødvendigvis tilordne varmere legemer en høyere temperatur enn kaldere?

3-

Hvordan kunne du tenke deg å måle temperaturen a på solas overflate b på havbunnen c_ midt inne i en datamaskin d_ til en flue?

U.

På grunn av termisk ekspansjon vil svingetida til en pendel være svakt temperaturavhengig. Forklar dette. Hvordan kunne du tenke deg å kompen­ sere for denne effekten ved å feste et rør med kvikksølv i til pendelen?

5.

Dersom trykk og volum til en ideell gass er gitt, er da temperaturen entydig bestemt? Gjelder dette for alle systemer?

4.

Mikroskopisk modell for ideelle gasser

I denne delen av kurset skal vi holde oss i det alt vesent­

lige til makroskopisk fysikk. Termodynamikken er makrosystemers varmelære. Makroskopisk termodynamikk står solid forankret i sine

egne grunnpostulater, og slik sett er det ingen logisk tvingende grunn til å kikke under makroteppet. Likevel vet vi at selv om vår

daglige erfaring gir oss et bilde av gasser, væsker og faste stoff

som kontinuerlige media, er ikke dette hele historien. Stoffene består av molekyler, av bittesmå diskrete partikler som er i stadig

bevegelse, som kolliderer med hverandre og med veggene i beholderen.

En mer almengyldig innføring i statistisk mekanikk, som tar for

seg sammenhengen mellom disse to tilsynelatende helt forskjellige bildene av materien, må uts-tå til siste del av kurset. Det kan likevel være til støtte for den fysiske forståelsen av de makro-

skopiske begrepene, allerede nå å oppsummere det mekaniske bildet gassteori gir av en ideell gass. Paradoksalt nok virker gjerne enkelte av begrepene i makrobeskrivelsen uvante og abstrakte,

elementær

mens mikrobeskrivelsens mekaniske begreper er enkle og velkjente. I elementær kinetisk gassteori tenker

en seg en gassbeholder (volum V) med N

molekyler som farer i alle ret­

ninger. Tettheten er så lav at part­ iklene mesteparten av tida beveger

seg i rettlinjete baner. En gang i blant vil en gitt partikkel kolli­

dere med en annen partikkel og endre

- 19-

hastighet, (vanligvis vil både retning og størrelse endres).

Hvilket trykk vil en slik gass øve mot veggene? Se på en av dem. Partikler vil kollidere mot veggen og gi en impuls til denne. I realiteten er selvsagt vekselvirkningen med en fysisk vegg (som

jo også er bygd opp av molekyler), temmelig komplisert, med energiutveksling i tillegg til impulsutveksling. Men i termisk likevekt vil energiutvekslingen i middel være lik null. Det vil

også impulsutvekslingen parallelt veggen være. Derved kan vi skjematisere virkeligheten og oppfatte veggen som et glatt

matematisk plan som gassmolekylene reflekteres fra ved elastiske

støt. Hastighetskomponentene

v^

og vz vil ikke endres av stdtet, mens v skifter fortegn. La

vX > 0

være x-komponenten

av hastigheten før støtet. Bevegelsesmengdens x-komponent før støtet

er da

mv^ . Etter støtet er den

-mv X , og totalt endrer støtet partikkelens bevegelsesmengde med -2mv X

La oss nå gjøre den urealistiske antakelse at alle molekylene

har samme verdi

v

> 0

for hastighetens x-komponent. (Merk at

ingen begrensning er innført på

I) Vi skal senere friz v X ha vilkårlige verdier. Antall molekyler som treffer arealet

og y gjøre oss fra denne restriksjonen og la v

A

v

på veggen i løpet av tidsinter-

vallet

(t, t + dt)

vil da være

Av dt N-V der

N

volumet

er antall molekyler i total-

V , og vi stilltiende har

forutsatt so^ rett og rimelig er, at molekyItettheten er den samme over­ alt i

V .

Endringen i bevegelsesmengde or.tidsenhet til molekylene som treffer arealet A på veggen er -2mv X * NAv

X

/V = kraft fra veggen på gassmolekylene.

-20-

Trykket er kraft pr.flateenhet på veggen, og er derved gitt som

p, ^+v x

= 2mv xx Nv /V = 2 77 V mvx2 .

Ved å merke trykket med nedre indeks

+v X , har vi understreket

er beregnet ut fra den urealistiske forutsetningen at x alle molekylenes hastighetskomponent i x-retningen er +v X

at

p+v

Feilene vi har innført ved denne restriksjonen kan vi nå rette opp ved å påpeke at

A.

Bare halvparten av molekylene har

v

> 0 , og bare denne

halvparten støter mot veggen og bidrar til trykket.

B.

Hastigheten til molekylene antar alle mulige verdier, og det

er kolossalt mange av dem. Derfor er det middelverdien av det funne uttrykket som representerer det makroskopiske

trykket

p .

Når vi betegner middelverdien, eller for å være mer presis, for­ ventningsverdien ( jfr.førstehjelpskurset sist i boka) av som har vi altså

v2

N m p r - rr V x I likevekt er en gass isotrop, dvs. den har samme egenskaper i alle

retninger. Altså: = y - z

På den annen side er v2 - v2+v2+v2 x y z Altså kan vi skrive 1

N

~>2

9

N

-r-,

p . > H = 4 J rf V m = -5- ry V b c-»d i x2

V

V = RT^n

- RT2£n

vd

va

For adiabatiske prosesser har vi tidligere vist at

pVY- konst

;

TVY

- konst .

Derfor har en T VY“1 = T,VY”1 aa dd

Men siden

Ta = Tt, = Ti

°S

; ’

T. V?”1 = T VY"1 bb co

Tc~Td=T2

’

Ti

’

dette

, b _ c dvs’ V "V a d

-41 -

og derved V,

W = R(T1-T2)£n a Skjematisk kan vi framstille energistrømmene i kretsprosessen som i figuren.

Tallverditegnet på

er en

Q2

følge av fortegnskonvensjonen: Varme tilført systemet (her

kretsprosessen) regnes positiv. Det er naturlig å definere

virkningsgraden som def w

Qi"IQ2 I

p

av prosessen

Qj+ Q2

R(T1 -T2 Hn

V, RT^n / a

T

Virkningsgraden sier hvor stor del av energimengden tappet fra varmereservoaret med den høyeste temperaturen som utnyttes som arbeid . Det er klart at pI .

IM

Anta at påstand I er usann. Da kunne vi tappe varme fra et reservoar, omsette det helt ut i arbeid, og deretter bruke dette

arbeidet helt ut til å kjøre en Carnotprosess baklengs og derved overføre en varmemengde fra et kaldere til et varmere reservoar uten andre endringer. Denne konklusjonen er i strid med II, og

derfor må premisset være usant. Dvs., I må være sann som følge av

at II antas sann.

Anta at påstand II er usann. Ved en kretsprosess er netto­

resultatet at varmemengden

IQI overføres fra et kaldere til et

varmere reservoar. Men kopler en dessuten en Carnotprosess mellom

de to reservoarene innrettet slik at det utføres et arbeid

W og

vil nettoresultatet være at

IQ'I

trekkes fra det varmere,

IQI tilføres det kaldere reservoaret, IQ'I-IQI i sin helhet omvandles til

arbeidet W . Dette strider mot formulering I, og II kan derfor ikke være

usann. Altså: I=>II . Vi har derved vist at I følger av II, og II følger av I. De

to utsagnene må derfor være ekvivalente . Dette betyr ikke at de nødvendigvis er korrekte . De kan enten begge være sanne, eller

begge usanne. Og siden utsagnene gjelder naturen, kan bare eksperimenter avgjøre sannhetsverdien. I dette tilfellet er ikke

testen helt liketil, fordi det ikke er lett eksperimentelt å påvise

-44-

at noe er umulig. La oss derfor nøye oss med å fastslå at ingen

moteksempler mot 2.hovedsetning er eksperimentelt påvist, trass i

at det er over hundre år siden den er formulert. Vi skal derfor basere oss på varmelærens 2.hovedsetning som eksperimentelt veri­ fisert for makroskopiske systemer. På basis av Clausius’ formulering kan vi nå vise Carno t ’ _s _te_ grem

Ingen syklisk virkende varmekraftmaskin som arbeider mellom to gitte temperaturer kan ha større virkningsgrad enn Carnotmaskinen.

Vi viser dette ved å kople sammen en vilkårlig kretsprosess (rever­ sibel eller irreversibel) , M med en Carnotprosess mellom de to samme varmereservoarene. Carnot-

prosessen kjøres baklengs, dvs. det utføres arbeid på maskinen

og varme overføres fra lavtemp-

eraturreservoaret

T2

temperaturreservoaret

til høy-

T . Vi

ordner oss slik (og det kan vi

alltid i prinsipp gjøre) at

arbeidet utført på Carnotprosessen er like stort som arbeidet utført

av den andre prosessen

M .

Nettoresultatet av denne tandem-prosessen er at varmemengden

trekkes ut av reservoaret ved

IQ2I-QI en

avgis til reservoaret ved

iq2 i-QI =

T2

og varmemengden . Ifølge 1.hovedsetning har

Qx-iq; i

Iflg. 2.hovedsetning (Clausius' formulering) må

Qx-iq;i > o . Virkningsgraden til de to maskinene er, pr.definisjon

def IWI nC =

iq; i

def TT W nM “ Qt

-45 -

Men siden vi ordnet det slik at arbeidet

IWI

er ett og det samme

for de to maskinene, og siden 2.hovedsetning gir

i nc Ved å gjøre

M

Q

> IQ] I

, må

qed.

reversibel har vi maksimert virkningsgraden, og

^M = r|C * ^en en reversi^e^- M som opererer mellom to og bare to varmereservoarer må selv være en Carnotmaskin: Delene av den rever­ sible kretsprosesser som foregår i kontakt med varmereservoarene må være isotermer ved temperaturene

Tx

og

T2 . Og de delpros­

essene som endrer temperaturene fram og tilbake mellom må, når

M

Tz

og

T2

er reversibel, være adiabatiske (reversibel varmeut­

Tt og T2 ’. ) Altså: Dersom en krets­

veksling kan bare skje ved

prosess som arbeider mellom to og bare to varmereservoarer med gitte temperaturer er reversibel, er den en Carnotprosess.

I argumentasjonen ovenfor inngikk ingen referanse til Carnotprosessens arbeidssubstans. Virkningsgraden må derfor være uav­

hengig av denne, og for å fastlegge den generelt

gyldige

> kan

vi bruke den enklest tenkelige substans, nemlig den ideelle gass. Altså:

Alle Carnotprosesser3 uansett arbeids substans 3 Tx-T har virkningsgraden p = ----- =—-— c 1 x

Siden Carnotsyklusen har en virkningsgrad som bare avhenger

av de to reservoarenes temperaturer, men ikke av arbeidssubstansen, kan vi bruke denne prosessen til å gi en definisjon

av temperaturen, uavhengig av gasstermometret , nevnt i §2. Denne termodynamiske temperatur er identisk med gasstermometrets i det

området gasstermometret er brukbart. Men i tillegg gir definisjonen en referanse for termometre som skal operere under 1K. Vi går ikke nærmere inn på disse finurlighetene her.

*

Kjøres varmekraftmaskinen baklengs virker den som varmepumpe. (Litt sent å ta patent på ideen som er lord Kelvins fra 1852.) Tilsvar­

ende virkningsgraden

n

for en varmekraftmaskin kan en definere

effektfaktoren for en varmepumpe

-46-

def IQ x I

TwT

Argumenter helt analoge til de vi nettopp brukte til å vise at for varmekraftmaskinen er

p < (T -T2)/T1

, gir som konsekvens av

2.hovedsetning at E Ti-

t2

Kan vi komme i nærheten av likhetstegnet her ser det lovende ut', Med utetemperatur 0°C og innetemperatur 20°C blir dette £

293 20

- 14.7

En varmepumpe drevet av en 100W motor skulle gi opp mot 1 .5kW opp-

varming av stua ved slapseføre utendørs' Fullt så enkelt er det dessverre ikke i praksis, men likevel

synes varmepumpa, i alle fall i visse sammenhenger, å ha framtida

for seg. Vi kommer mer detaljert tilbake til den i §22. Før vi gar videre skal vi understreke at Carnotprosessen ikke

er den eneste reversible kretsprosessen en kan tenke seg. Ta for

eksempel trekantprosessen vist, der

1->2

er en isobar (med

stigende temperatur og tilført varmemengde Qj)» 2->3 er en isochor (med synkende temperatur

og avgitt varmemengde 3-»1

er en adiabat

IQ2 I), og

(med Q = 0) .

Siden varmemengdene må være gitt ved de respektive varmekapasitet ­

ene (antatt temperaturuavhengige

er

-M -

q2=

V cp(T2- tx)

-iq2i = Cv(T3-T2) ,

og virkningsgraden blir w Q7

^1 =

1

1^2'

T2

T3

‘ y t^-t;

“

y1 = C p /C„V . Merk at virkningsgraden ikke er uavhengig av arbeidssubstansen i dette tilfellet.’ For det første inngår y direkte i

der

svaret, og dessuten forutsatte vi at varmekapasitetene var temperaturuavhengige. Virkningsgradens universalitet er et særtrekk ved Carnotprosessen!

Spørsmål: 1.

I prinsipp er det mulig å omgjøre essensielt hele den indre energien (til et mol argon f.eks.) til nyttig arbeid. Forklar hvordan.

2.

Hvorfor strider ikke påstanden i spørsmål 1 mot Kelvins formulering av 2. hovedsetning?

3.

Et kjøleskap er plassert på kjøkkenet i et elektrisk oppvarmet hus. Hvordan vil kjøleskapet innvirke på elektrisitetsregningen for juli måned? Og for januar?

14. Entropien: En tilstandsfunksjon La oss se på en vilkårlig reversibel kretsprosess. En slik prosess kan beskrives ved en

lukket kurve i et tilstandsdiagram (f.eks., men ikke nødvendig­

vis, et p-V diagram). La oss i første omgang diskretisere prosessen til

et endelig antall Carnotprosesser mellom temperaturene

T , T2,

...

, og et tilsvarende antall adiabater. Uansett arbeidssubstans

ga 2.hovedsetning at virkningsgraden til en Carnotprosess mellom

temperaturene

TL

og

defQ.-IQi+1l n Q1

+

er

Qp Qi+1 Q1

T.- T. 1 i i+1 T. i

-48 -

eller Q. Q. yi + A1 T. + T i i+1

0 .

Med referanse til figuren ovenfor kan vi oppfatte den diskretiserte versjonen av den opprinnelige kretsprosessen som sammensatt

av en rekke elementærprosesser mellom to nærliggende temperaturer.

Ved en slik kombinasjon av elementærprosesser, vil alle varmeoverføringer kansellere unntatt de som svarer til den takkete omkretsen. Bruk av relasjonen ovenfor på hver elementærprosess gir da tilsammen

der bare isotermbiter langs den takkete omkretsen er tatt med.

Går vi nå til grensen

n-> «>

på en slik måte at vi nærmer oss den

kontinuerlige kretsprosessen, vil temperaturene konvergere mot endelige verdier mens hver enkelt av varmemengdene

Ch

går mot

null. Derved blir vi sittende igjen med omløpsintegralet

T

der

0

står for integralet rundt hele kretsprosessen. For alle

reversible kretsprosesser, dvs. alle prosesser som kan framstilles

som en lukket kurve i et tilstandsdiagram (f.eks.p-V),er altså

-49-

Integralet over

fra

A

til

er uavhengig av vegen! Presis

B

det samme vil vi finne for integralet over det totale differensi­ U er en tilstandsfunksjon , må nødvendigvis være uavhengig av integras jonsvegen mellom A

alet dU . Siden Vq

trekkes derfor arbeidet ut av omgivelsenes totale energi. Dette

understreker at eksergien ikke er spesifikk for systemet alene, men for system pluss omgivelser.

-67-

som VJ

tmax

= -AG

Endringen i Gibbs fri energi, oppfattet som i likningen over, er

derfor analog den potensielle energi i mekanikken, for systemer med

gitt ytre

og

pQ

To .

Siden det nyttige arbeid nødvendigvis må være positivt eller null, følger at Gibbs ' fri energi er minimal i likevekt

ved gitt ytre trykk og temperatur. Denne fundamentale egenskapen til

G

får vi bruk for i §19.

Det er lett å vise at dersom i stedet temperatur og volum er gitt, spiller Helmholtz' fri energi,

F=U-TS , en tilsvarende

rolle, både ved at den er minimal i likevekt, og dessuten gir det

maksimale nyttige arbeid. I varmeteknisk praksis er det ofte hverken

G

eller

F

som

bestemmer eksergien. Ta f.eks. en dampturbin. Idealisert er situa­

sjonen denne:

Damp ved W^_

p1,T1

drives inn i turbinen, som gjør et nyttig arbeid

og slipper gassen ut med omgivelsenes trykk

pQ

og temperatur

Tq . (Dette er selvsagt en idealisering. Vi neglisjerer også den kinetiske energi til gasstrømmene og deres potensielle energi i tyngdefeltet). En gassmengde som på inngangssiden opptok volumet

har volumet

arbeidet

VQ

P^j

ved

p0,T0. Trykket

VT,

px ("inngangstrykket”) utfører

på systemet, mens arbeidet

P0V0 blir utført av

gassen mot (utgangs-) omgivelsene.

Det som er problemet her, er at systemet kopler til to forskj„ skjellige trykk px og p0 . Hverken G eller F gir umiddelbart det maksimale arbeidet i dette tilfellet. Vi skal vise nedenfor at eksergien denne gang er gitt som *

.

O

Dvs. den delen av totalsystemet som vi har festet oppmerksomheten pa, gitt i figuren.

-68-

Wtmax= E =

der

H=U+pV

er entalpien.

Dampturbinen er et av mange eksempler på en slik prosess. Kompressorer i et luftgjennomstrømningsanlegg er av samme typen,

bortsett fra at prosessen da kjøres motsatt veg. Eksergien gir i dette tilfellet det minimale arbeid som må til for å få prosessen til å gå. Dette understreker igjen analogien til potensiell energi: Fjellvannets potensielle energi i tyngdefeltet, relativt kraftsta­

sjonen nede i dalen, gir på den ene siden den maksimale energi kraftverket kan "produsere". På den annen side representerer den

potensielle energien det minimale arbeid en ville trenge for å

pumpe vannet fra kraftstasjonen opp i bassenget. Friksjonstap i rør­ gata vil føre til at en får mindre enn det maksimale ut, og ville måtte utføre mer enn det minimale i pumpeprosessen. Bevis for

tmax

-AH+TqAS

Vi bruker følgende argumentasjonsknep: La oss tenke oss at det

er turbinen selv som leverer arbeidet som må til for å heve trykket på inngangsside fra pQ til p} . Når denne ekstrasløyfen regnes

med til systemet selv, opereres det bare med ett ytre trykk, nemlig p0

. Derved er det maksimale arbeid en kan få ut, gitt som

-AG .

Dette nettoarbeidet er det maksimale turbinarbeidet

W^_ uten tmax tilbakesløyfen, minus det arbeidet som er tilbakeført, nemlig (p1-p0)V1 . Altså Wtmax-(P1-Po)vi= -4U-poAV+ToAS

For turbinen med utenfra gitt inngangstrykk

denne likningen (med

p

, gir opprydding av

AU=U0-U1, etc.)

Wtmax= U1+PIV1-U0-P„V1,-T0(SI-S„)

qed.

-69-

Spør smål : 1.

Hva kan en i prinsipp få mest nyttig arbeid ut av, et tonn is med temperatur -10°C eller et tonn vann med temperatur 50 °C ?

2.

Bør en dampturbin varmeisoleres, eller bør en sørge for best mulig termisk kontakt med omgivelsene (ved temperatur TQ ) dersom målet er å maksimere det nyttige arbeidet ?

19. Åpne systemer I et fullstendig lukket system er både volum, indre energi og antall partikler fiksert. Her finnes ingen gjensidig påvirkning

mellom system og omgivelser, og

derfor ingen gjensidig likevekt.

Likevektsbegrepet går i dette til­ fellet utelukkende på den interne

likevekten i systemet. Dersom systemet koples mekanisk til omgivelsene ved et lett

bevegelig, men termisk isolert stempel, karakteriseres likevekten

mellom system og omgivelser av den

intensive parameteren

p . Trykket

må være det samme i system og omgiv­ elser. I denne situasjonen er H=U+pV

fiksert, og den naturlige

energivariable. Neste skritt i retning av større åpenhet er å fjerne den

termiske isolasjonen. Når varmeutveksling med omgivelsene tillates, karakteriseres den termiske likevek­

ten ved den intensive variable

T,p N

T .

Den mekaniske likevekten er stadig gitt av trykket.

Det siste skrittet mot fullstendig åpenhet tas ved å tillate utveksling av partikler med omgivelsene. En kan f.eks. tenke seg systemet som et fullstendig åpent

delsystem av et større system.

Spørsmålet er nå: Hvilke intenensive variable karakteriserer nå likevekten, i tillegg til

p

og

T ?

-70 -

Før vi svarer på dette, skal vi ved fire eksempler vise at materielt åpne systemer er viktige i mange sammenhenger. Det første eksemplet er likevekter mellom forskjellige faser

av samme stoff (jfr.§§ 20,21). Tenk f.eks. på gass-væske likevekt og definer væskefasen som "systemet". Væskefasen kan avgi molekyler til gassfasen ved fordampning, og den kan motta molekyler ved kon-

densasjon. Bare ved spesielle verdier av

p

og

T

vil disse

prosessene nulle hverandre ut. Vi trenger derfor et ekstra like-

vektskriterium for det materielt åpne systemet: væskefasen. Et annet eksempel er kanskje det viktigste for elektroingeni­

ører: Dersom to metaller (eller halvledere) bringes i kontakt, kan elektroner flyte fra det ene til det andre. Overføringen av elek­

troner fortsetter til et kontaktpotensial , karakteristisk for for­ bindelsen, er bygd opp. Oppfatter vi det ene metallet som "systemet" ér det materielt lukket i den forstand at atomene i krystallglitteret ikke utveksles med omgivelsene. Derimot er det åpent med hensyn

til elektronutveksling. Hva karakteriserer elektronlikevekten? Svaret på dette er grunnleggende for all diskusjon av kontaktpoten-

sialer,

p-n overganger, transistoregenskaper etc. Diskusjonen

selv må føres på kvantemekanikkens språk. Vi kommer tilbake til dette i kap.V, §8.

Det tredje eksemplet har mange likhetstrekk med det andre: For biologiske systemer er halvgjennomtrengelige membraner livs­

viktige. Slike membraner er karakterisert ved at små molekyler,

vannmolekyler f.eks., slipper gjennom, mens større molekyler ikke

gjør det. Resultatet er delvis åpne systemer. Til slutt: Kjemiske reaksjoner representerer en hel ny klasse

av åpne systemer. Antall molekyler av hvert av stoffene som inngår, er ikke fiksert. Totalsystemet kan derfor oppfattes som sammensatt

av materielt åpne delsystemer. Likevektskriteriet som vi nå skal formulere, vil derfor være basis også for diskusjon av kjemiske

likevekter. *

For et materielt lukket system (men gjerne mekanisk og termisk åpent), gir 1. og 2.hovedsetning differensialrelasjonen

dU = TdS - pdV

-71 -

Siden likevekt i materielt åpne systemer vanligvis innstiller seg ved gitt trykk og temperatur, er det mer hensiktsmessig å bruke

Gibbs ’ fri energi

Eliminasjon av

dU

G=U+pV-TS

enn å bruke den indre energien

U .

gir differensialrelasjonen på formen (jfr.§17)

dG = -SdT+Vdp

Dersom nå systemet er materielt åpent, vil et (relativt) lite an­ tall tilførte partikler,

dN , øke systemets energi med et beløp

som er proporsjonalt med

dN . Differensialrelasjonen for

G

får

derved et ekstra ledd dG = -SdT+Vdp+pdN . Proporsjonalitetsfaktoren

p

kalles vanligvis det kjemiske poten'

sial. Dersom systemet er en blanding av

ter, nummerert ved

i=1,2,...c,

c

forskjellige komponen­

generaliseres differensialrela-

sjonen umiddelbart til c dG = -SdT+Vdp+ 1 p-dN- . i=1 1 1

Ved innføring av andre energivariable enn

G

følger tilleggsledd-

ene med slik at f.eks. c dU = TdS-pdV+ E p . dN. . i=1 1 1 Vi vet allerede nok til å formulere kriteriet for materiell

likevekt i åpne systemer. Tenk for enkelhets skyld på et enkomponentsystem. Delsystemet og omgivelsene er i likevekt ved gitt

og

T . For system pluss omgivelser har en derfor

p

(dp=0, dT=0)

:

dG = pSdNs+ p°dN°

der

s

står for (del-)system og

0

for omgivelser.

Siden partikkeltallene endres ved at partikler utveksles, må dNs- -dN°= dN . Derved

dG = (ps- p°)dN . I §18 fant vi at ved gitt

p

og

T

har

G

den egenskap at den

er minimal i likevekt. Ved materiell likevekt mellom delsystem og

omgivelser må derfor

dG=0

selv om en og annen partikkel utveksles.

Derved kan en bare ha likevekt dersom

-72-

For blandinger må dette gjelde for hver enkelt komponent separat. Vi har med andre ord funnet tilleggskriteriet for likevekt i materielt åpne systemer:

Dersom komponent nr. i kan utveksles mellom et system og

dets omgivelser 3 er betingelsen for materiell likevekt at det tilsvarende kjemiske potensial system og omgivelser.

p.

er det samme i

Dette innebærer at ved gass-væske likevekt må det kjemiske potensial i gassfasen være lik det i væskefasen. For -to metaller, A

og

B , i kontakt, utveksles elektroner inntil

Ap

*«$

A yel

—►

————_

Denne likevektslikningen er

D

i -

A

utgangspunktet for å beregne underskuddet av elektroner i

________ —__________

kontaktpotensialet

Siden

p

B yel ’

A , overskuddet i mellom de to metallene.

Ap

B , og

er slik en sentral størrelse, er det verdt å påkoste

den en formell definisjon. Den følger umiddelbart av differensialrelasjonen for

G . For énkomponentsystemer lyder den

u = (II)

ZP,T

X

Men siden og

G = G(p,T,N)

;

G

er ekstensiv,- dvs. proporsjonal med

T , må den ha formen

følger at

p

N

ved gitt

p

G(p,T) - g(p,T)-N . Av definisjonen

ikke er annet enn Gibbs fri energi pr.partikkel i

enkomponentsystemer. G(p,T,N) = p(p,T)-N Generaliseringen til

c

komponenter er grei. Prøv’.

Spørsmål : 1.

Dersom vann og damp er i kontakt ved slike forhold at

p

vann

> u ' damp

vil da vannet fordampe, eller vil dampen kondensere?

er også ekstensive størrelser. Hvorfor kan en ikke G med resultat at p f.eks. er indre energi

2.

Energiene U,H og F argumentere som for pr. molekyl?

3.

Vis at likevektsbetingelsen for en kjemisk reaksjon av typen

V 2V

uab2

A+2Bi±AB2

er

-732 0. Faseoverganger

Rene stoff (énkomponentsysterner) forekommer i minst 3 ulike

faser, som gass, væske og fast stoff. Vanligvis eksisterer det også forskjellige modifikasjoner av den faste fasen, og faseover­ ganger mellom disse. Spesielt komplisert kan bildet bli dersom systemet er en blanding av forskjellige komponenter. Faget metall­ urgi er bl.a. opptatt av slike problemer. Dessuten

har en fase­

overganger i magnetiske systemer som overgangen fra paramagnetisk

til ferromagnetisk fase. Og tilsvarende overgang til ferroelektrisk

fase. Faseoverganger i flytende krystaller er teknologisk interess­ ante. Til slutt er det verdt å peke på overgangen fra normal til supraledende tilstand, en faseovergang som kan få økende betydning framover. For ikke å komplisere bildet, skal vi likevel holde oss

til det enkleste eksemplet her, med de tre fasene: fast stoff, væske og gass. Tilstandsdiaerammet i

I

p-T

p-T planet vil kvalitativt se slik ut:

diagrammet representerer

smeltelinjen de sammenhørende

verdier av trykk og temperatur som tillater fredelig sameksistens av fast stoff og væske. Vanligvis heller denne linjen mot høyre,

men for

H20

heller den mot venstre. Fordampningslinj en gir til­

svarende likevektstilstandene mellom væske og gass, og sublimasjons1injen mellom fast stoff og gass. De tre linjene møtes i trippelpunktet (kalt

t

i figuren). Ved dette spesielle trykket

og denne temperaturen kan alle tre fasene eksistere i likevekt med hverandre. (For H20 er p^_ = U-.6 mmHg-613Pa , T^_ = 0.01°C).

Fordampningskurven ender i det kritiske punkt (kalt

c

i figuren).

Over kritisk punkt (høyere trykk, og/eller høyere temperatur) faller

distinksjonen mellom gass og væske bort, de blir en og samme fase. Smeltelinjen ender ikke i et kritisk punkt. Eksperimentalister og teoretikere er enige om det. Under punkt

p

er, som det framgår

av diagrammet, væskefasen ustabil og den faste fasen sublimerer direkte til gass. Et kjent eksempel på dette er

i fast form). Siden

C02

for

p^_

C02

C02

(kalt "tørris"

er ca. 5atm. , forekommer ikke

i væskeform i åpne kar.

I

p-V

planet er tilstandsdiagrammet kvalitativt vist nedenfor.

Dette diagrammet er mer komplisert enn

p-T

diagrammet siden det

spesifikke volum er forskjellig for to faser som sameksisterer ved

gitt

p

og

T . De helt opptrukne linjene er såkalte koeksistens-

linjer, og viser sammenhørende verdier for trykk og volum for de

forskjellige faser i likevekt med hverandre. I figuren står for fast stoff,

v

for væske,

punkt. En isoterm med

T1_ V

. > V. væske fast

> S

. > S. væske fast

og da vil alle tre faselikevektskurvene ha

dp/dT > 0 , dvs. de vil

peke oppover mot høyre. Men der er interessante unntak fra disse ulikhetene mellom væske og fast stoff. For

H,0 er V < V. 2 vann is mens entropiulikheten går den vanlige vegen. Dermed blir dp/dT

negativ for smeltekurven til

§20).

H20 , (se tilbake på figurene

i

Denne anomalien har en rekke viktige konsekvenser som

livet i et land som Norge er sterkt avhengig av. La oss bare nevne en: Isen blir faktisk liggende på vannene om vinteren, den synker

*

-

—------------------------

Vi snakker altså ikke om irreversibel frysing etter underkjøling av vann f.eks.

- 79 -

ikke til bunns som den konvensjonelle ulikheten skulle tilsi. Dette

har sin betydning, både for skisporten, drikkevannsforsyningen og NVE!

Som en digresjon kan det nevnes at for fysikere er også et annet unntak interessant. Entropien til

3He 2

for

faktisk høyere i fast fase enn i væskefasen (mens

T AVm « RT/p

>> V

gass

. , V » V. væske gass fast stoff

Med antakelse 2 og 3 gir Clausius-Clapeyron

dp _ ^m dT R og siden til

p_ rp2

oppfattes som konstant, integreres dette

L /R m L £np

dp _ Lm . dT p R -p2

R

m

1 • Fp + konst. L

p(T) Se figuren

i §2h.

m .konst. 4- e RT

-80-

Konstanten i formelen er gitt når ett punkt

(p ,TQ)

på damp-

trykkurven er k j ent Lm m //11_ p(T) = po e R

1 T

Faktisk er resultatet atskillig bedre enn de temmelig grove antakelsene gir grunnlag for å tro. Feilene som gjøres drar i motsatte retninger, viser det seg. Likevel gir den funne formel

et damptrykk som er en så følsom funksjon av temperaturen at formelen ikke må brukes ukritisk. Som interpolasjonsformel innen

et begrenset temperaturområde virker den utmerket, men en skal være varsom med raske ekstrapolasjoner.

I hverdagslivet er det spesielt i forbindelse med fuktproblemer i bygninger at damptrykkformelen er interessant. En bruker den da

for metningstrykket til vanndampen i lufta. Men kan det være riktig å bruke Clausius-Clapeyron, som var utledet for et énkomponent-

system, til å beskrive én av komponentene

(HO)

i blandingen

fuktig luft? Svaret er at i meget god tilnærmelse er dette riktig,

fordi to nødvendige betingelser er oppfylt: 1.

Fuktig luft i det aktuelle temperaturområde er i meget

god tilnærmelse en ideell gassblanding. Hver av kompo­ nentene oppfører seg da som om de andre ikke var til

stede. 2.

Oppløseligheten av

N2

og

02

i den kondenserte fasen,

vann eller is, er så liten at antall oppløste

02

N2

og

molekyler er relativt sett neglisjerbart, og vi kan

i denne forbindelse regne kondensatet som rent

H20 .

[Oppløseligheten er ikke lik null. Faktisk er antall 02-molekyler pr. m3 (temperaturavhengig.’) av samme størr­

elsesorden i vann som i luft. Livet i havet, og dermed

vårt eget, avhenger av dette faktum]. Relativ fuktighet er definert som p *=

h2o 10 0%

-81 -

q

der

er partialtrykket av vanndamp i lufta og

p^(T)

vanndampens metningstrykk ved den gitte temperatur. Det er

som er gitt ved sublimasjons- og fordampningskurvene i grammet for

p-T

er p^(T) dia­

H20 . Nå er vanligvis totaltrykket det samme ute og

innendørs. Ulikheter i totaltrykket utjevnes raskt. (Unntak: Vifter

i ventilasjonsanlegg kan opprettholde trykkdifferanser som er små, men likevel vesentlige for fuktproblematikken).

Hva skjer så dersom uteluft blir brakt innendørs uten å endre sammensetning? Vanndampens partialtrykk forblir da det samme, mens temperaturen stiger. Av Clausius-Clapeyron vet vi at

p^(T)

stiger

meget raskt med temperaturen, og derved vil den relative fuktighet

ø

avta tilsvarende. For lav relativ fuktighet føles ubehagelig,

og vi står overfor et kjent problem i vinterlandet Norge.

Men om totaltrykket er det samme, trenger ikke luftas sammen­

setning være den samme inne som ute. De fysiske prosessene som

fører til likevekt også med hensyn til sammensetning (diffusjon

m.fl.), er analogt varmeledning langsomme prosesser og kan som varmeledning forsinkes med enkle midler (steinull i det ene til­

fellet, diffusjonstett papp i det andre). Med fuktighetskilder inne vil derfor den relative fuktighet kunne opprettholdes selv ved lave

utetemperaturer. Vi er selv fuktighetskilder ved åndedrettet, og i tillegg har en vaskemaskiner, lagret fuktighet i vegger, møbler

etc. etc., og i siste instans spesialkonstruerte luftfuktere. Men dermed oppstår neste problem: Behagelig luftfuktighet inne til­

svarer et partialtrykk for vanndamp som fører til kondens når inne­ lufta diffunderer ut gjennom bygningsdeler med synkende temperatur.

Og kondens i vegger kan ha utrivelige konsekvenser.'

Standardløsningen på dette problemet er velkjent: diffusjonstett

papp.

Eksempel : Uteluft med relativ fuktighet 80% blir brakt innendørs uten å endre sammensetning. Utetemperaturen er (1) 0°C eller (2) -20°C. Hva blir uteluftas relative fuktighet når den har nådd innetempera­ turen 20°C?

-82-

Fakta: Fordampningsvarmen nær 0°C

er

L^=45kJ/mol

varmen er

mens sublimasjons -

L s =52kJ/mol.

Figuren viser tilfelle (1). Når utelufta bringes inn med kon­

stant sammensetning og totaltrykk er det absolutte vanndamptrykk

uendret lik p = p ,( 273 ) • 80% c1 d

Den relative fuktigheten dette representerer inne er

0.8p,( 273) p^lroQ-o 293 V ) = 100%- —p^Q 293 ) P1

i =100%-

Clausius-Clapeyron lyder

fLf /1 1\] P,(T) P„ 6XD rp FFT d xo pR \l0 1 // Jf

Med

L^=45kJ/mol

og

R=8.3J/mol-K

gir dette den relative fuktig­

heten for tilfelle (1):

T =80% • exp

1 27 3

45 • 10 3 8.3

1 V 2 9 3 Jf

= 80%-0.26=21%

I tilfelle (2)

må vi beregne

p.( 273 ) p,( 253 ) (f) 2 =80% p,( 29 3 x) = 80% • — rynTY) • p,( •-ro ToT) p,(,293 273 d d d

p.(253)

Vi har spaltet trykkbrøken i to fordi vi over 0°C har fordampning, karakterisert ved mens vi under 0°C har sublimasjon, karak-

terisert ved

L s . Derved

------—z*

og H-feltet reduseres så til 0.

Under denne adiabatiske demagnetiadiabat

seringen vil spinnenes entropi

igjen øke. Men siden paramagneten

nå er varmeisolert, må varmemengden* Om en her har to eller flere ledd er et spørsmål om tellemåte. Det er altsa ikke slik at faste stoffers kompressibilitet kan neglisjeres i alle forbindelser, selv om det vanligvis er rimelig å oppfatte faste stoffers volum som fiksert. ** *

I praksis f.eks. kromkaliumalum eller ceriummagnesiumnitrat.

-93-

som tilføres spinnsystemet under demagnetiseringen, tas fra andre frihetsgrader i paramagneten selv. Derved synker temperaturen.

La oss forfølge resonnementet ovenfor mer kvantitativt. Den

termodynamiske identitet lyder, med

T

og

H

som fri variable

TdS = dU-pQVHdM

\3T/t4

V°VH\9t/h

11

il

Lt dT

Ved adiabatisk demagnetisering er

9U\

dH

9H/t

0

—»0

.

Underforstått: Ingen faseoverganger mellom

**

For konvergens er det tilstrekkelig at

C -K)

0

med en positiv potens av

samme hvor liten potensen måtte være. Derimot er tabel .

T .

og

C

~ konst/(~£nT)

T ,

uaksep­

-96-

Mer kan ikke sies på bakgrunn av termodynamikk alene. Skal en komme lenger, må en ty til eksperimenter eller til statistisk mekan­

isk teori. Eller aller helst til et fruktbart vekselspill mellom de

to. Den modellen som i god tilnærmelse beskriver

CV(T)

for faste

stoff, ble formulert av Debye, etter fiffig kvantestatistisk for­ arbeid av Einstein. Kvalitativt gir den

Debye-temperaturen

(C «C^)

0

som vist på figuren.

for noen grunnstoffer er sitert i tabellen

til faste stoff var tidligere blitt opphøyd til "lov” av

Dulong og Petit. Ved lave temperaturer gir Debye

CV~T3

. Dette

stemmer godt for isolatorer, men metaller har i tillegg et lineært

C^aT+bT3 , som dominerer for

ledd,

T

og

9z2

T(r,

dT = r A —

T(r) - A£nr + B ; A,B = konstanter Grensebetingelsene lyder T(r}) = Tx

‘,

T(r2) = T2

,

°S gip to likninger til bestemmelse av de to konstantene Når røken har lagt seg,blir resultatet

A

og

B .

£n p-

t1-(ti-t2)

-£n — ri

Eksempel_2r_Forplantning_ay_temperatursvingninger

Anta at lufttemperaturen ved jord­

luft

overflata svinger harmonisk

^Z77777-^7V777T777777777777^ Z~^

Homogen jord (uten tele ’.)

T(0,t) = T +T coswt m i der perioden kan være 1 døgn eller 1 år. Anta videre at for z -»

y

vil T(z-«>,t)=Tm . Hvordan vil temperatursvingningene på overflata forplante seg nedover i jorda, når jorda antas homogen (ingen teleproblemer!)? Slike temperatursvingninger styres av varmeledningslikningen

32T

3T 3t

■

T

Drp =

Å Cp

Problemet blir da å fravriste likningen en løsning som oppfyller de

- 109 -

gitte grensebetingelsene. Selv om ekspertisen på partielle differ­

ensiallikninger foreløpig glimrer ved sitt fravær, er det ingen grunn til å gi opp’. Sunt fysikkvett hjelper betraktelig. For det første er det rimelig å anta at temperatursvingningene på overflata forplanter seg nedover i jorda med en eller annen hastighet. Erstatter vi coscot med cos(kz-wt) har vi oppnådd

nettopp dette: Bølgetoppen, gitt ved

kz-wt=0 , forplanter seg

z/t=æ/k , der konstanten

nedover med hastigheten

k

foreløpig er

ukjent. For det annet tilsier sunn sans at svingningene blir dempet

etterhvert som de forplanter seg nedover. Vi multipliserer derfor cos(kz-æt) med en dempningsfunksjon f(z) , med egenskapen f(z)->0 når

*~ z-

. Kort sagt, vi gjetter at løsningen har formen T(z,t)-T

Grensebetingelsene ved

m

= f(z) cos(kz-æt) z=0

f(0)=T1 . Ved å anta at løs­

gir at

ningen har denne spesielle formen, kan vi redusere problemet til en ordinær differensiallikning for

f(z)

.

(Har vi gjettet feil, burde

straffen være at denne likningen ikke har løsninger ’. ) Innsettes den antatte løsningsform i varmeledningslikningen får en

f(z)wsin = D,p( f ”cos(f)-2f ’ ksinQ f(z-

A=0

gir>

og

B = Tx

. Derved gir

(1):

ujf + 2DTkf’ = (u)-2DTk2)f = 0 eller

Summa summarum: T( z , t) =Tm+Tx e

cos(/

z -cot)

La oss se litt nærmere på dette resultatet. For det første

ser vi at det, for gitt

t , representerer en dempet cosinussving-

ning nedover i jorda. Dempningen er eksponensiell og av formen i exp(-z/A) der A= ( 21/oocp ) 2 kalles inntrengningsdybden. Med sving-

ningsamplitude T:/e « 0.36T1

T1

når

på overflata vil amplituden ha sunket til x=A

og til

I^/e2» 0.14T

når

typiske tallverdier for jord, og med vinkelfrekvens til henholdsvis døgn- og årsvariasjoner co^p ' ( 1 år)=2Tr]

x=2A . Med

co

som svarer

[co, • (1ddgn) =2tt døgn ■ &

finner en

A, , ~ 8cm døgn

A o ~ 1 .6m ar

Disse resultatene (som selvsagt er kvalitative, bygd som de er på

en idealisert problemstilling) er nær knyttet til praktisk virke­ lighet .(Hvordan?)

For hver gitt dybde

svinger temperaturen harmonisk om

z

Tm .

Amplituden er, som vi har sett, redusert i forhold til temperatur­ svingninger i overflaten, og fasen er forsinket. Ved dybden

z - z0= ttA -

TT

21 tocp

vil temperatursvingningene være gitt ved

T(z„,t) o m- T i +T e

— Tf

cosCm-cot)

- T -T e ^cosoot m i

altså i motfase med overflatesvingningen1 Ved en dybde på ca. 1.6m * 7T

~ 5m

vil derved 22. januar være årets varmeste dag, og

-111 -

22.juli arets kaldeste. En må likevel huske på at amplituden har •

sunket til

“ TT

Ti’6

har sunket fra

0-01+T1

Tj~10K

. I praksis betyr dette at amplituden

til mindre enn en halv grad ved

Temperaturvariasjonen (kvalitativt) ved u)t = 7T (22.januar).

Vi minner til slutt om at regningene er *

t=0

z = zo=irA

(22.juli) og

basert på den viktigste

idealisering at jorda er homogen, og at modifikasjoner pga. lag­ deling, varierende fuktighet og frost er neglisjert.

Det idealiserte eksemplet vi haip gjennomregnet gjaldt forplant­ ning av temperatursvingninger fra overflata og inn i et uendelig

tykt medium. I forbindelse med boliger, elektriske maskiner eller

industrielle prosesser er en oftere interessert i temperaturforplantning gjennom en vegg av endelig tykkelse. Problemet blir da mer komplisert, (men ikke verre enn at det kan løses med regneteknikker vi skal snuse på i kap. IV). I mange tilfeller kan resul­ tatene vi allerede har kommet fram til, likevel være gode nok.

En "uendelig tykk" vegg trenger ikke være særlig tykk. Kriteriet til å vurdere tykkelsen er ånenbart gitt av inntrengningsdybden 1 A=(2Å/wcp)2 . Allerede når tykkelsen er 2-3 ganger A , er den i

rimelig tilnærmelse "uendelig". Med bruk av ferdigheter utviklet i kap.III og IV kan regningene i dette avsnittet gjøres mye enklere. Anta først separasjon av de variable z og t , dvs. anta T(z,t)-T =g(z)h(t) . Innsetting og jamføring med grensebetingelsen ved z=0 viser at separasjonskonstanten må velges som -iu) , og temperaturer» oppfattes som kompleks. Likningen for g(z) er velkjent, og realdelen av løsningen finnes umiddelbart som den vi med noe mer strev kom fram til ovenfor. Fyll inn detaljene etter at kap.III og IV er mestret'.

-112-

Srxpr småt : 1.

Hvor tykk må en teglsteinsvegg, utsatt for døgnvariasjoner i temperaturen, være for at den kan regnes som uendelig tykk?

2.

Når frosten plutelig kommer i november, hvordan vil.(grovt sett) istykkelsen pa Baklidammen vokse med tida? Som t? som t ? som t2?

4.

Konveksjon

I faste stoffer er varmetransporten ikke forbundet med mate­ rialtransport og energien kan bare transporteres ved at den ut­

veksles mellom nabomolekyler i (noenlunde) fastlagte posisjoner. Vi har ren varmeledning. I gasser og væsker, derimot, er det ikke noe til hinder for at det oppstår massetransport, eller konveksjon, og dette gir en viktig tilleggsmekanisme for energitransport.

En skiller mellom tvungen og naturlig konveksjon. Eksempel på tvungen konveksjon: Vind. Den varmen som strømmer

ut i lufta fra faste overflater (vegger, vinduer, ansikter) blir

raskt blåst bort med økende vindstyrke, og varmestrømmen ut av det faste materialet vil øke, selv om utetemperaturen er konstant.

Naturlig konveksjon: Når gasser og væsker varmes opp, vil tettheten synke (unntak: vann under M-0C) og de oppvarmede gass/

væskemengdene vil stige opp. Presis hva som skjer vil avhenge

sterkt av detaljene i problemet, bl.a. av geometrien. Eksemge1_A^_Vertikal_luftspalt_£dobbeltvindu_f ieksi) Langs innsiden av vinduet varmes

lufta opp og stiger til værs, langs utsiden kjøles den ned og synker, og

resultatet er et strømningsbilde

som vist. Dette gir en varmeoverføring fra varm til kald rute, dvs. alt i alt en horisontal varmestrøm. Denne konveksjonsstrdmmen vil kon­ kurrere med varmestrøm pga. varmeledning (og pga.stråling som vi kommer tilbake til). Konveksjons-

strømmen drives av temperaturdifferansene og begrenses av friksjons­ krefter i lufta (væsken), dvs. av luftas viskositet, n . Friksjons­

kreftene er proporsjonale med hvor raskt strømhastigheten endrer seg i rommet,

-113-

9v

_z

F ~ n 9x

Med gitte temperaturdifferanser (^drivende "krefter”) vil derfor strømningshastighetene bli mindre, jo mindre avstanden mellom

rutene er. Konveksjonsbidraget til varmestrømmen minker med strømningshastigheten i lufta, og derved med minkende ruteavstand. Varme-

ledningsbidraget, derimot, er proporsjonalt med

dT/dx , og med

konstant temperaturdifferanse vil det øke med minkende avstand mellom

rutene. Eksperimentelt viser

det seg at konveksjonen er ubetydelig for ruteavstand

mindre enn 10mm, mens den domi­ nerer over varmeledningen når

ruteavstanden er stdrre enn

30-40mm. (I tillegg kommer strålingen som vi kommer tilbake til: Den er uavhengig av avstanden mellom rutene.)

Tilsvarende vil temperaturprofilene i smale og brede vertikale luft-

spalter vise karakteristiske forskjeller.

Smal spalt T(x)

(neglisjerbar konveksjon):

- 114-

Eksempel_Br_Horisontal_luftspalti_varmet_opp_nedenfra

Her vil konveksjonsprosessen van­ Tx 2

ligvis være en ennå mer effektiv

ZZ/ZZZ/////Z///'ZZ/Z//Z//ZZ2ZZ

OOP

r;w wt/mwhWHWJtr T 1 >T 2

varmeoverføringsmekanisme enn i til­

fellet med vertikal luftspalt. Men går en nøye inn på dette med en fysikers hemningsløse interesse for

finurligheter, vil en finne ut at situasjonen ikke er så entydig. Med

gitt skikttykkelse og viskositet i mediet mellom platene vil en ikke få konveksjon før en har nådd en viss kritisk størrelse på temperatur

differansen. Da vil konveksjonen sette inn, og det vil danne seg et regulært strømningsmønster. (Såkalt Benardkonveksjon: Er en heldig med tomatsaus, matolje el.l. på en stekepanne med akkurat passe opp­ varming nedenfra, kan en se at det danner seg sekskantede strøm-

ningsceller!) Men ved

ennå høyere temperaturforskjeller vil det

regulære strømningsmønsteret bryte sammen og en får en uregelmessig (i tid og rom), turbulent strømning. Detaljene i disse overgangene

er et aktivt (og komplisert!) forskningsfelt p.t. Eksempel_Cr_Horisontal_luftspalt_1_varmet_opp_ 2Y£nfra Dersom temperaturen er strengt kon­

stant på øvre og nedre flate, og endeveggene ikke skaper forstyrrel­ ser, vil en her ha ren varmeled­ ning, fordi drivkraften bak konveksjonsmekanismen (lettere luft ned­ erst) ikke er tilstede. Det er en

tilsvarende mekanisme som redder livet til fisk i fjellvann: For vanr

under 40C

er kaldere vann lettere, slik at om en har en islagt inn­

sjø, vil temoeratursenkningen av vannet under U°C

måtte foregå ved

varmeledning alene. Og varmeledning er en tilstrekkelig langsom prosess til at våren kommer tidsnok. Disse tre eksemplene er de enklest mulige situasjoner i en

essensielt endimensjonal geometri og uten tvungen konveksjon. Det skulle allerede være klart at konveksjonsfenomenene er såpass kom­

pliserte at virkelig å regne på dem ut fra en presis forståelse av den fysiske prosessen i de fleste praktiske tilfeller ikke er aktuel

-115-

En må da stole på empiriske kunnskaper, og også disse må tas med

en klype salt: Tilsynelatende uskyldige endringer av forsøksbe­ tingelsene kan gi betydelige forskjeller i resultatene. Her må

tallverdier vurderes for hva de- er, og ikke blindt overføres til nye situasjoner! Den vanligste måten å feie alle disse problemene under teppet

på, i forbindelse med varmestrøm fra faste overflater til væsker eller gasser, er å operere med en overflatetemperatur T^. i den , og beskrive faste overflaten og en gass (væske)-temperatur T o varmestrømmen ut av den faste overflaten som

J = A-a(T.-T ) f g

A er overflatens areal og a er det såkalte varmeovergangstallet der

med dimensjon

W/m2K . All den kom­

pliserte fysikken er her skjult i

a

som bestemmes empirisk. Forbeholdene om detaljene i forsøksbetingelsene vil her gå på empirien bak oppgitte

verdier for a Som et eksempel kan nevnes følgende erfaringsformel for overgangstallet ved naturlig konveksjon i luft langs en vertikal vegg a « 1 . 8 (AtA m2K

Som en ser har overgangstallet en svak avhengighet av

AT=IT^.-Tg|

(målt i K) ved naturlig konveksjon. En horisontal flate varmet neden­ fra gir en a av samme form, men med koeffisient * 2.5 i stedet for

1.8. Ved oppvarming ovenfra er koeffisienten 1.3. Med temperatur­

differanser av størrelsesorden 10K , gir dette overgangstall i om­ rådet 2.5-10 W/m2K . Ved tvungen konveksjon blir

a

avhengig av strømningshastig-

heten, og kan bli adskillig høyere. For eksempel skjærer bygningsforskriftene skånselsløst gjennom alle om og men, og erklærer at

følgende tall (som også inkluderer strålingsbidrag!) skal brukes ved dimensjonering av vegger:

au - 25 W/m2K i?

(ute)

;

a^= 7.5 W/m2K

(inne)

.

Koeffisientene er, karakteristisk nok, avhengige av hvilken kilde en bruker.

-116-

Det blåser som kjent mer utendørs!

Nok en gang: Konveksjon er et komplisert felt, med allslags

detalj avhengig hydrodynamikk skjult bak svært så greie erfaringsformler. Er stor nøyaktighet irrelevant, bør en ikke kaste bort

tid på dypsindige grublerier, selv om teorien kan si noe om enkle geometrier. Skulle presisjon være en nødvendighet, er et eksperiment

kanskje noe å overveie!

Spørsmål: 1.

Hvordan kjøler kjøleribber?

2.

Hvordan skaper det meteorologiske fenomenet inversjon (lokalt stigende temp­ eratur med økende høyde over bakken) sporadisk ubehagelige luftforurensningsproblemer i f.eks. Oslo?

5.

Stråling Vi skal nå se nærmere på den tredje varmetransportmekanismen,

nemlig stråling.

En av de viktigste oppdagelsene i fysikken i det

forrige århundret var at synlig lys, infrarød-, ultrafiolett- og røntgenstråling er alle elektromagnetiske bølger av samme natur som radiobølger, men med forskjellige frekvensområder.

Elektromagnetisk stråling griper derfor inn i vårt dagligliv

på mange måter.

Vi skal konsentrere oss om stråling som varme-

trans port mekanisme..

Dette innebærer at vi skal konsentrere opp-

-117-

merksomheten om synlig lys og infraråd stråling.

Stråling er

den viktigste varmetransportmekanisme i den forstand at det er

strålingen fra sola som holder liv i oss alle.

Men også for mer

jordnære varmetransportproblemer spiller strålingen en viktig og ofte dominerende rolle.

Ved temperaturforskjeller over luftgap,

i husvegger eller i smelteovner, er strålingsbidraget essentielt.

Innstrålingen gjennom vinduer har vi umiddelbare erfaringer med. Utstrålingen vil bli behandlet i §9.

Ofte er strålingens vinkelfordeling viktig.

Denne sida av

strålingsproblematikken har likevel en mer regneteknisk karakter,

og vi skal, så langt det er mulig, la den ligge.

Det vi er ute

etter, er å forstå varmestrålingens fundamentale egenskaper.

I eksemplene skal vi derfor holde oss til den enklest tenkelige éndimensjonale geometri. Når stråler treffer et legeme vil den delvis bli reflektert, delvis absorbert og delvis transmittert (dersom legemet er gjennom­

siktig) .

Brøkdelen av innfallende stråling som reflekteres, ab­

sorberes og transmitteres må summere seg til

1 , slik at

r + a + g = 1 der

r

er refleksjonsevnen,

transmisjonsevnen. rett innfall!).

a

er absorbsjonsevnen og

g

er

(Vi har underforstått begrenset oss til vinkel­

Disse tre størrelsene vil avhenge sterkt av

materialet

overflatens beskaffenhet

strålingens bølgelengde. Mens f.eks. glass er gjennomsiktig for synlig lys synlige området med glasstykkelse

~5mm)

(g~0.9

er det praktisk talt

fullstendig ugjennomsiktig for stråling av bølgelengder bølgelengden til synlig lys.

i det

~10 x

Bortsett fra for glass i det syn­

lige området kan vi for våre formål vanligvis regne transmisjons­

evnen som null og får da r + a

1

-118-

Spørsmål' 1 .

Hva kan det komme av at metaller er ugjennomsiktige for alt fra radio­ bølger til synlig lys?

2.

At fortynnete gasser er gjennomsiktige for synlig lys kan til nød aksepteres. Men hvordan i all verden kan en væske som vann eller et fast stoff som glass være det? (Fornuftige kommentarer blir først mulige etter at kvantemekanikken er gjennomskuet!)

6.

Svart stråling En idealisering som er sentral i denne forbindelse er "det

absolutt svarte legeme" der

r=g=0

og

a=l .

I praksis kan en

lage seg en god tilnærmelse til dette med en hul boks der den uregelmessige indre overflaten er laget av sterkt lysabsorberende

Et lite hull i boksen vil da (utenfra!) kunne be­ (Mange refleksjoner i traktes som et absolutt svart legeme. boksen, hver med liten r , fører til at

materiale.

svært lite av strålingen inn gjennom hullet slipper ut, altså, for hullet: a~l .

Det ekkofrie rommet til Akustisk

laboratorium er bygd på samme prinsipp.)

La oss nå se på stråling i likevekt med faste legemer.

Vi

antar at vi har en lukket boks med vegger som er fullkomment

svarte, dvs. med

a=l, og med temperatur

T .

Dette betyr ikke

at all stråling i hulrommet absorberes og forsvinner.

Vi vet jo

av erfaring at når et legeme varmes opp vil det emittere stråling. Først registrerer vi det som (langbølget) varmestråling, og ved tilstrekkelig høy temperatur vil intensiteten i den synlige delen

av spektret bli tilstrekkelig stor til at strålingen registreres

av øyet, legemet gløder.

Ytterligere temperaturhevning regi­

streres som fargeendring fra mørk rødt til hvitt.

Den ideali­

seringen vi her kaller et absolutt svart legeme er definert ved

at

a=l

for alle bølgelengder.

Dersom dets temperatur er i nær­

heten av romtemperatur, vil det også se helt svart ut.

Men det

betyr bare at ved romtemperatur vil meget lite stråling med

bølgelengder i den synlige del av spektret emitteres.

Ved høyere

-119-

temperaturer vil et absolutt svart legeme ikke være svart i den dagligdagse betydning av ordet.

F.eks. er sola i god tilnærmelse

et absolutt svart legeme. Ved likevekt vil det derfor være stråling i hulrommet (svart stråling) med en viss energitetthet

u

(energi pr. volumenhet).

Anta nå at hulrommet har et lite hull mot omverdenen og la oss

beregne energistrømtettheten ut av dette.

Vi kan regne strålingen

som en "ideell gass" av lyskvanta, fotoner, som farer i alle mulige retninger, men med samme fart c , kjent som lyshastigheten

Strømtettheten er energistrøm

pr. flateenhet loddrett på flata.

Dersom vinkelen mellom en vil­ kårlig retning og flatenormalen

kalles

x

0 , har en for energi-

strømtettheten i strålingen ut av

hullet

-j s

1 2

• C, h

Faktoren | er et resultat av at bare den halvparten av fotonene som har en hastighet med positiv x-komponent, bidrar til strål­

ingen ut av hullet.

Indeksen

h

i

h

er en tilsvarende

påminnelse: Bare fotoner som går mot høyere (dvs. med skal midles over.

0

tilsvarer dette å

f(T) =T4

gå langs den stiplete linjen som

1

• 'i 1

•

Dette svarer til å bruke

Tm « 2^T1+T2^

, der

--- 17 —----

i

f' (T )

Resultatet er uttrykket

’

7

■cr4T°(To-T,) m 2 1

el e2 £1£2

Tilnærmelsen er god når

(T2~T^)/T^d

r2^

/r

ro+

.

,

sin(f)

trenger vi ikke engang å ta med andre

ledd, som ville gitt en ørliten korreksjon. I eksponensialfunk-

sjonen derimot skal korreksjonsleddene multipliseres med Dersom

dsinø

er av størrelsesorden

Å , blir derfor korreksjons-

leddene viktige. (Den relevante størrelsen å sammenlikne

her er

2tt , ikke

kr0

k=27r/Å . kd

med

! ) Altså

. . xr ikd . , ikd . , -i A i(kro-u)t) - ——smø ——smø s « -7-r- e e + e

777

cos(kr0-æt)•cos

Res

kd sin . —

Intensiteten er proporsjonal med tidsmiddelet av amplitudens kvadh

rat. Kvadratet av første cosinusfaktor gir etter tidsmidling rett og slett 5. Med andre ord

kd . , I(ø) = I 0 cos 2 —smø der

I

I 0 cos 2

inø

er intensiteten i foroverretningen . Alle faktorene som er

uavhengige av

ø

har vi feid inn i

Io

. Vi er sant å si lite

interessert i intensitetens absoluttverdi , det som interesserer oss

er dens vinkelavhengighet. Regningen gir som resultat at vi burde se lysende striper som svarer til konstruktiv

interferens, adskilt av

- 145 -

mørke, der de to bølgene slukker hverandre ut. I(ø)

ø no

- ø0

0

Første mørkepunkt er gitt ved TTd . , TT — smø0= 2

Når

øQ

, eller

, Å ø0«

er en liten vinkel, er siste uttrykket godt nok.

Den enkle regningen ovenfor gir et resultat som stemmer godt

med observasjonene på de fleste vis. Men én forutsigelse ser sus­ pekt ut: Det kan da ikke være riktig at alle maksima er like høye!

Eksperimentelle observasjoner viser klart at stripene blir svakere etter hvert som en fjerner seg fra midtstripen. Det er ikke urime­ lig å anta at dette har noe med spaltens bredde å gjøre. Jo smalere spalt jo mer blir lyset bøyd.

For å undersøke dette gjør vi en beregning helt analog med den forrige. Vi ser på kulebølgene fra hvert punkt

y

i spalteåpningen,

adderer amplituden (dvs.integrerer over

y ), kvadrerer og tidsmidler

-ikysinø

ika . . . , r - — —smø —ika —sinø—r e - e nø L J

i (kr - cot)

2A e sinø

- 146 -

Altså Ia(ø)

der

IQ

er intensiteten i foroverretning fra én spalt med bredde

Første mørkepunkt er gitt ved Tra . ,a — Sln*o = 71

• 4.3. = Å— , eller ,_ smd o a o

der siste tilnærmelse er god dersom

krav enn

Å

±°° (ellers ville integralet over I V I 2 divergere).

Dermed forsvinner overflateleddet, og vi finner, med litt omskriving

=

dxT(x,t)( - ^) yyV (x,t)

X

oX

1

— 00

Men høyre side er ingen ting annet enn den komplekskonj ugerte av

, slik oppskriften først ga den. Altså X

= * Dvs.,

er reell, uansett bølgefunksjonen V’s form I x ■ Beviset for at er reell kan lett generaliseres til

og til 3 dimensjoner. Alt som trengs er et passende antall delvise integrasjoner, og det faktum at overflateledd må vilkårlig

G

forsvinne pga. normeringsbetingelsen. Med utgangspunkt i de to spesialtilfellene vi har behandlet,

kan vi nå koste på oss oppskriften for beregning av

F(r,p)

avhenger både av

=

d3r V (r *

r

og av

p . Den lyder:

,t)F(r ,pop)1F(r ,t)

når

- 163 -

For at

skal være reell må produkter av

og

r

p

symmetri-

seres før p*P Op • F.eks.: r«p -* | (r • POp+POp •r) «Vi kommer ikke til å få bruk for slike spissfindigheter.

*

Så langt har vi tatt utgangspunkt i en kjent kvantemekanisk tilstand, gitt ved bølgefunksjonen

T(r,t) , og dogmatisk slått

fast hvordan forventningsverdier av vilkårlige funksjoner

F(r,p)

skal beregnes for den gitte tilstand. Det som åpenbart fortsatt mangler, er en dynamisk likning som bestemmer

T(r,t)'s tidsutvik-

ling,når T(r,0) og grensebetingelsene er gitt. Med andre ord, vi trenger en likning som svarer til Newton's d2r/dt2 =lt/m , —> der K er kraften som virker på partikkelen. Schrodinger var den som, i 1926, først skrev ned denne lik­

ningen. I sin knappeste form lyder den ~ 91 = Hop f

Energioperatoren, eller Hamiltonoperatoren som

vanligvis

kalles, konstrueres med utgangspunkt i den klassiske Hamilton-

funksjonen (energifunksjonen) etter nøyaktig samme oppskrift som den vi presenterte i forbindelse med beregning av

. I klassisk

fysikk avhenger den kinetiske energien bare av hastigheten, mens _> * den potensielle energien V(r) vanligvis bare avhenger av posi­ sjonen. Da får Hamiltonfunksjonen for én partikkel formen

H(r>,p) = JU + V(r) En mer eksplisitt utgave av Schrbdingerlikningen er derfor [når p-^Cfi/DV]

9'P(r,t) dl2 -u \ . w ( u» r “*■ -u \ rfi —^9t —2 2m- - 77— V’ 'P(r,t)+V(r)V(r,t) ’

Unntaket dannes av ladete partikler som beveger seg i magnetfelt, der K=q(vx^). vi skal ikke behandle slike problemer her.

- 164 -

Hvor forskjellig den enn ser ut, er denne likningen faktisk kvantemekanikkens svar på Newtons 2.lov, d2r/dt=i^/m . Vi skal antyde sammenhengen i §6. Schrodingerlikningen er, som en ser, en partiell differensial­

likning, av første orden i

9/3t , og av annen orden i de romderi-

verte. Siden likningen er av første orden i den

V(r,0)

lingen av

som begynnelsesbetingelse for å bestemme tidsutvik'i . Dette er slik vi er vant til det fra klassisk

mekanikk. Klassisk definerer

r(0), v(0)

mens den kvantemekanisk er gitt av 'P(r,t)

9/9t , trengs tilstan­

begynnelsestilstanden,

^(rjO) . Grensebetingelsene på

fastlegges gjerne ved enkle fysiske resonnementer, men

allerede likningen selv viser

at

T(r,t)

må være kontinuerlig i

rommet, og at romderiverte bare kan være diskontinuerlige i punkter

der potensialet divergerer,

V-»±°° . En viktig egenskap ved Schrod-

ingerlikningen er at den er lineær i den ukjente, ¥ . Dette betyr at superposisjonsprinsippet og alle de knep som er tillatt i lineær

matematikk kan brukes uhemmet. Har en f.eks. funnet to løsninger av likningen, Ti

og

W2 , er en hvilken som helst lineærkombinasjon

a? +b'P2 også en løsning. Når en for første gang støter på Schrodingerlikningen, vil reaksjonene selvsagt avhenge sterkt av hvor fortrolig en er med parti

elle differensiallikninger. De aller fleste møter Schrodingerlik­ ningen uten solide matematiske forkunnskaper på feltet, og derved

virker den mer skremmende enn nødvendig. Likevel, vi overser kjekt alle tilløp til handlingslammelse, og bruker likningen i avsnittene

som følger til å diskutere noen av de problemene der klassisk mekan­

ikk kom til kort. Vi skal vise at Schrodingerlikningen faktisk gir grunnlaget for å forstå disse problemene, uten å trekke inn flere matematiske detaljer enn nødvendig. Om framstillingen også skulle

motivere til utforsking av partielle differensiallikninger i sin alminnelighet, er det utmerket, ikke bare for kvantemekanikkens del.

*

*

Likningen integreres over små områder i rommet, og man finargumenterer.

- 165 -

Dette avsnittet er, naturlig nok, blitt heller ordrikt. Til

gjengjeld kan det sammenfattes i følgende knappe grunnpostulater: 1.

En partikkels kvantemekaniske tilstand er gitt av bølge­

funks jonen

T(r,t) , hvis absoluttkvadrat gir sannsynlighets-

fordelingen over partikkelens mulige posisjoner.

2.

Tidsutviklingen av bølgefunksjonen bestemmes av Schrbdingerlikningen

ot

3.

= - 3 *- V2? + VI 2m

Forventningsverdien av en vilkårlig funksjon som

= når

1112

d3rl (r,t) *

F(r,p)

er gitt

F(r ,yV )T (r ,t) ,

antas normert til 1.

Bortsett fra generalisering til partikler med spinn, og til fler-

partikkelsystemer, vil vi i resten av kvantemekanikk-kapitlet be­ grense oss til å bruke disse grunnpostulatene på forskjellige eksempler, hver av dem karakterisert ved sin potensialfunksjon V (?) .

Spør småt: (til dels av den dypsindige sorten som en ikke bør ta tungt ved første gangs arbeid med stoffet!)

1. Hva kan menes med relasjonen

- p x = ifi ? opx opx 2. Er klassisk mekanikk kausal? Er den deterministisk? Er kvantemekanikken kausal? Deterministisk?

xp

3. Schrodingerlikningen burde innebære partikkelbevarelse. Hvordan sjekke at lette kravet er oppfylt?

- 166 -

U. Frie partikler Den enklest tenkelige form for potensiell energi en partikkel kan ha, er

V(r)=0 . Dette svarer til at partikkelen beveger seg

fritt i rommet uten å være påvirket av ytre krefter. Når vi i første omgang begrenser oss til én dimensjon, får da Schrodingerlikningen

for

'{'(x,!)

formen

8? _ at

Ti2 82T 2m 3x2

Det er rimelig å anta

’

at løsningen i dette tilfelle må ha form av

en plan bølge som forplanter seg langs x-aksen i(k x-wt) ,

V (x, t) = C e der bølgetallet

k

og vinkelfrekvensen

oj

er konstanter. Inn-

setting i Schrodingerlikningen viser at den plane bølgen faktisk er

en løsning, forutsatt at ■n2k2

-

X

Denne sammenhengen mellom vinkelfrekvens og bølgetall er Schrbdinger bølgens dispersjonsrelasjon. En plan bølge som strekker seg over alle

x ..kan ikke godt repre­

sentere én partikkel. Den oppfattes i stedet som representant for en

partikkelstråle , og vi normerer med hensyn på tettheten , n , i

strålen

|T(x,t) I 2= Derved må

= ICI 2= n .

C^/rT-e10, der

6

er en konstant fasefaktor uten fysisk

betydning. Vi kan derfor sette

C = /r? .

La oss nå se hva oppskriften for beregning av forventnings­ verdier gir for den plane bølgen. Siden bølgefunksjonen i dette til-

Med utgangspunkt i de Broglies hypotese (senere verifisert av Davisson og Germers eksperimenter) måtte plane bølger være løsninger av kvantemekanikkens dyn am i skp grunnlikning. Dette var derfor et krav Schrodinger hadde i bakhodet mens han jaktet på "sin" likning.

- 167-

fellet ikke er normert til 1, må vi dividere med normeringsintegralet. Forventningsverdien av impulsen, p

dx Y

— 1

oX

, blir da

T

dx

dx 'P^k T x

= "fik

x

dx

Dette er i samsvar med de Broglies hypotese! Siden k vy. =2tt/å , og , gir likningen = h/Å . Helt tilsvarende kan vi be2Tifi=h regne

2

(hk.) 2 VY

dx Av dette kan vi slutte to ting. For det første at standard­

avviket for impulsen er

(Ap )2 = = -

2 = 0 A

A

A

A

A

Med andre ord: Impulsen er gitt med absolutt presisjon som

Px=^* 1^x~h/A i en plan bølge. Eller: I en plan bølge er impulsfordelingen uendelig skarp. For det andre er forventningsverdien av energien dS2k2

=

= ~2^r = hw

der siste likning er gitt av dispersjonsrelasjonen. Siden åpenbart

t

.

Intervallet det integreres over er irrelevant i dette tilfellet, bare det er det samme i teller og nevner. En kontroll på at normeringen er korrekt: Når A er en konstant-, gir oppskriften =A , som den burde.

- 168-

= (Hk )n X X nemlig som

i dette tilfellet, er også energien skarpt definert,

E = -fito (Vi bruker konvensjonelt

E

for energiens tallverdi,

Hamiltonfunksjonen, dvs. energien som funksjon av

r

H(r,p)

og

for

p , og

for den tilsvarende Hamiltonoperator.) Planck og de Broglies

identifikasjoner av energi med frekvens og impuls med invers bølge­ lengde følger latså som konsekvenser av de grunnpostulatene vi

serverte i forrige avsnitt. Av den plane bølgens dispersjonsrelasjon

m^Hk^/lm

kan vi

beregne Schrbdingerbølgens fase- og gruppehastighet. Ifølge defini­

sjonene i kap.III, §2, er de . j_x p (i) _ •Tik __ x _ 1_ Cx~ k^ 2m 2 m

V

x

-

, v Hk x dm - ----------dk m x

-T7-

-

p'x m

—

Det er åpenbart gruppehastigheten

vx

som svarer til partikkel-

hastigheten i strålen. Fasehastigheten har ingen direkte fysisk betydning. Mens impulsen er presist fastlagt for en plan bølge, er derimot

en gitt partikkels posisjon i strålen fullstendig ubestemt. Absoluttkvadratet av bølgefunksjonen er uavhengig av

x

(og av t) , og

partikkelen kan derfor befinne seg hvor som helst mellom

-°°

og

+°° , med like stor sannsynlighet. Skal vi snekre sammen en bølgefunksjon som representerer en fri partikkel som er så noenlunde lokalisert i rommet, må vi super-

ponere flere planbølger. Så lenge dispersjonsrelasjonen

oppfylt, gir hvilken som helst

k

m=m(k )

er

(positiv eller negativ) en aksep-

tabel planbdlgeløsning. For å representere en lokalisert partikkel,

er det ikke nok å addere et endelig antall planbdlger, et integral må til:

i(k -wt)

p '?(x , t) =

dk X C(k X ) e

Med passende valg av

vektfunksjonen

C(k X )

, kan en lokalisert

"bølgepakke" konstrueres. Nøyere inspeksjon av denne bølgepakken

- 169 -

-iæ(k )t viser at

og

T(x,t)

C(k )e

er hverandres Fourier-

transformer. En typisk bølgepakke (som beveger seg mot venstre) er skissert på figuren ved

t = t . Siden

V

og

C

er komplekse, er

deres realdeler vist.

m2

A

Det ville føre for langt her å gå i detalj om Fouriertransformasjonenes mange vidunderlige egenskaper. Vi skal begrense oss til å

peke nå ett sentralt poeng. Definer standardavviket

Ax

fra bølge-

pakkens tyngdepunkt som (Ax)2= med

|V(x,t)I2

,

som sannsynlighetsfordelingen i

x . Tilsvarende kan

vi definere, ved oppskriften i §3, (Ap )2 = X

XX

Det er en relativt enkel øvingsoppgave i Fouriertransformasjoner å vise at Ax.Apx > y

-170-

Hva betyr dette? Matematisk følgende: For å lage en lokali­

sert bølgepakke, med endelig

Ax , må vi overlagre mange plane

bølger, hver med sitt bølgetall

k

og tilsvarende impuls

o =fik

Summen (integralet) over disse bølgene kan derfor ikke lenger ha

et presist bølgetall, men en fordeling med bredde svarende bredde

Den

Ap =tiAk

Ak

, og en til-

i impuls fordelingen.

fysiske tolkning av ulikheten har revolusjonerende konse­

kvenser for mekanikken. Ulikheten påstår nemlig at vi ikke både

kan bestemme posisjon og impuls med absolutt presisjon. Vi kan i prinsipp bestemme den ene variable helt presist. For en plan bølge fant vi jo at

andre,

Ap =0 . Men da mister vi enhver kontroll med den

Ax=°° . Størrelsene

Ax

og

Ap X

representerer uskarphetene

i bestemmelsen av posisjon og impuls, og kalles Heisenbergs uskarp-

hetsrelasjon, etter oppdageren.

Siden Plancks konstant er liten på makroskopisk skala, blir vi ikke plaget av Heisenbergs uskarphetsrelasjon til daglig. På atomaer skala, derimot, er den viktig. Ikke slik å forstå at den represen­

terer noen tilleggsinformasjon utover Schrodingerlikningen. Tvertimot, uskarphetsrelasjonen er her utledet som en konsekvens av postulatene i §3. Men uskarphetsrelasjonen gir et enkelt kriterium

for når klassisk partikkelbeskrivelse bryter sammen og må erstattes

av kvantemekanikkens bølgebilde. I den filosofiske diskusjonen som har fulgt i kvantemekanikkens kjølvann, har uskarphetsrelasjonen stått sentralt. Paradoksalt nok har uskarphetsrelasjonen lite å gjøre med

kvantemekanikk i og for seg. Den kan ekvivalent skrives uten som Ak * Ax

x

fi

> 1 2

og gjelder for hvilken som helst bølgetype, ikke bare for Schrddingerbølger. Uskarphetsrelasjonen på denne formen kan derfor brukes

som et kriterium for når geometrisk optikk må erstattes med bølge-

optikk. Og den gir begrensninger på ultralyds muligheter som medi­ sinsk diagnoseverktøy. *

Vi har hittil holdt oss til frie oartikler i én dimensjon. Generaliseringen til 3 dimensjoner går greit. Schroingerlikningen

- 171 -

for

T(r,t)

får da formen

2m

at

med planbølgeløsning f(r,t)

= C e

der dispersjonsrelasjonen mellom dia)

i(k-r-o)t) io

og

k-lkl er

di2k2 2m

Ved superposisjon finnes den generelle løsning av Schrodingerlikningen for frie uartikler

T(r,t)

,3. Z./T *' i(k-r-a)t) dk C(k) e

Godt gjemt i denne formen ligger også f.eks. kulebølgen.

På helt tilsvarende vis som i det éndimensjonale tilfellet, finner en for planbølgen med k=kk (der £ er enhetsvektoren i i h A p^dik^ y k

De Broglies hypotese er utledet for plane bølger i 3 dimensjoner

som en konsekvens av Schrbdingerlikningen, og Davisson og Germers eksperimentelle resultater derved "forklart". Det er verdt å peke på at grunnforskning i ettertid ofte viser

seg å være nyttig. Davisson og Germer ga et viktig bidrag til kvantemekanikkens utvikling. Men eksperimentene deres er også basis for en moderne måleteknisk metode, med kjelenavnet LEED (Low energy

electron diffraction). Her er problemstillingen endevendt: Elektron—

strålens kvanteegenskaper anses som velkjente, og strålen brukes til å utforske strukturen i faste overflater.

Spør små Z: 1.

Kan de Broglie bølgelengden til en partikkel være mindre enn partikkelens lineære dimensjoner? Større? Er det sammenhenger her?

- 1722.

En fri partikkel i 1 dimensjon er ved t=0 med standardawikene Ax og Ap . Vil Ap endre seg?

3.

Flaggermus orienterer seg ved å sende ut korte ultralydpulser og registrere refleksjonene fra omgivelsene. Hvilket forhold kan flaggermus ha til uskarphetsrelasjonen?

5.

Potensialtrirm og barrierer. Tunneleffekten.

representert ved en bølgepakke endre seg med tida? Vil Ax

En aldri så liten generalisering av resultatene i forrige avsnitt gir oss muligheter for å forstå en ren kvanteeffekt med

flere interessante teknologi-anvendelser. Vi tar i første omgang for oss en enkel modell som representerer innledningsrunden på vegen mot forståelse av elektroner som strømmer fra et metall og inn i et annet.

kB’æB

---------- A

®

V=0

£———

En partikkelstråle representert ved en planbølge i område bølgetall

k^

trinn med høyde

I

A

er

coA , sendes inn mot et potensial-

og vinkelfrekvens

V . Den blir dels reflektert, dels transmittert inn

B , med bølgetall

i område

A , med

V=0

kn

og vinkelfrekvens

coD .

og vi kan bruke resultatene for frie oartikler

direkte. Bølgefunksjonen må her representere en superposisjon av innfallende og reflektert stråle (x , t)

C. e i

i(k.x-æ.t) A A + C r

e

i(-kAx-æAt) AA

Dispersjonsrelasjonen gir

E A^æA~ 2m E

kAA = /2mE7/di A

og amplitudene er bestemt av partikkeltetthetene i innfallende og reflektert stråle, C.=Æ? , C =/n~’ . i i r r

- 173 -

I område

92

ih

lyder Schrodingerlikningen

Ti2 9 2T 2m 9x2 + VT

9t

er en konstant, virker det ingen krefter på partikkelen, og

V

Siden

B

løsningen må igjen være en plan bølge Ct e

VB(x,t)

i(kux-mDt) B B

Innsetting i Schrodingerlikningen gir nå

En=-hu) = -5-^ + V B B 2m

; ’

kp = /2m(ER-V)7-fi B B

Men ennå er ikke løsningen fastlagt! Vi må insistere på at både V(x,t)

og

9V/9x

er kontinuerlige i punktet

skjøtebetingelser som forbinder

-irn.t

(C. i+ C r)e

Vg , nemlig

-icoRt = tC. e -iwBt

-iæAt

ik.(C.-C )e Air

og

x=0 . Dette gir to

= ikpC e B t

Disse betingelsene skal være oppfylt for alle t. Dette er bare mulig

dersom

æ

. Med andre ord: Totalenergien

E (kinetisk pluss

potensiell energi) må være den samme i de to områdene, ellers kan

Ta, W

ikke

og

B

være noen løsning. Vi kan derfor droppe indeksene

på co og E heretter. Det gjenstår to likninger for de tre amplitudene

Ch ,

A

og

Ct.

Den første er gitt av tettheten i innfallende partikkelstråle. Den kan velges fritt. Skjøtebetingelsene uttrykker de to andre ved

CA

kA~ kB „ kA+ kB 1 2kA kA+ kB

trømtettheten i plane bølger er

j-nv , tettheten multiplisert med

:

- 174-

hastigheten' v=p/m=hk/m . Dette gir

Tik. j . = I C . I 2 —- ; Ji i m ’

ti(-k.) j = I C I 2 ---- — Jr r m

Refleksjonskoeffisient

R

3t=lctl

2

m

gir brøkdelen av innkommende partikler

som blir reflektert 2

2

kA" _^B

R

C.

kA+ kB

i

Transmis jonskoeffis ienten

£t

s c.1

2

’ kA

T

gir brøkdelen transmittert

UkAkB (kA+kB>2

Som en sjekk på regningene ser en at

R+T=1

.

Innsetting av energier i stedet for bølgetall gir

Æ - Æ^v\2 Men hva skjer når

V>E ?

Klassisk er svaret åpenbart: Alt blir reflektert fordi

partikkelenergien ikke er stor nok til klatring over

V .

Kvantemekanisk blir svaret det samme, men ikke på fullt så enkle premisser. Dersom vi går tilbake til Schrbdingerlikningen for

område B , har den fremdeles en løsning selv om løsningen formen ¥B(x,t) = Ct e-6x-i0)t der p x

2g2 + wV E=hoo= - -h — 2m

V>E . Men nå har

- 175 Dersom en skriver

kg-iB , kan denne nye løsningen formelt identi­

fiseres med den tidligere. Derved kan vi hoppe over mellomregning­ ene, og finner den nye refleksjonskoeffisienten direkte fra den vi fant tidligere

Dersom

V>E , blir alle elektronene reflektert, uansett verdien til

B , dvs. uansett

V .

Den kvantemekaniske refleksjonskoeffisienten er altså i full overensstemmelse med den klassiske når tatet skjuler det seg overraskelser!

V>E . Men bak dette resul­ I område

B

er partikkel-

tettheten

I

) 12= I ctl

2

e

-2Bx

V>E for x>0 , er det klassisk sett umulig for partikler å befinne seg i område B . Kvantemekanisk står derimot døra på gløtt: I et lite område (tykkelse ~ B !) nær x = 0 er partikkeltettheten Siden

endelig I Dette får observerbare konsekvenser når potensialtrinnet

erstattes med en potensialbarriere

V>E , men med endelig tykkelse.

±B

Regningene blir helt tilsvarende de vi har gjennomført, men nå med

to skjøtebetingelser ved detaljene her. For

x=0 , og to ved

x-a . Vi hopper over

Ba>,1 , kan resultatet for transmisjonskoeffisi-

enten skrives

VkÅ+62/ Med V>E får en likevel transmisjon gjennom barrieren’. Den faller riktignok raskt av med Ba = a/2m(V-E)’/■¥! , men for tynne barrierer

- 176 -

kan altså en kvantepartikkel pr. "tunneleffekt" lure seg gjennom, selv om barrieren klassisk sett er for høy.

Tunneleffekten er basis for tunneldioden, som brukes i for­ sterkere for svært høyfrekvente signaler. Mer om tunneldioden i

senere kurs. Tunneleffekten er også grunnlaget for siste (eller bedre: neste) nytt i utstyr for å studere overflater: Tunnelmikro-

skopet. Poenget bak dette er transmisjonskoeffisientens sterke avhengighet av barrieretykkelsen

a . Elektroner strdmmer pr.

tunneleffekt fra en bevegelig spiss ned mot metalloverflaten som

skal kartlegges. Når spissens posisjon reguleres slik at tunnelstrømmen er konstant, er avstanden til overflaten presist gitt. Posisjoneringen av spissen kan håndteres med en ndyaktighet av

størrelsesorden

0.1 Å (!!), og derved kan metalloverflaten kart­

legges i detalj.

Spør små Z ; 1.

Vil to ledere i makroskopisk kontakt være i mikroskopisk kontakt? Hva kan tunneleffekten ha å si her?

2.

Sett inn tall for transmisjonskoeffisienten ved tunneleffekt, når E og V-E begge settes lik 1eV og a er henholdsvis 1Å og 10Å . Er det noe å lære av disse tallene?

6.

Ehrenfests teorem Vi startet i §3 med å presentere kvantemekanikkens grunnpostu-

later. Enhver teori må bygge på et sett grunnpostulater som prin­

sipielt ikke kan "forstås". Gir teorien korrekte forutsigelser, aksepteres grunnpostulatene. Ellers ikke. Postulatet

K = ma , som

klassisk mekanikk essensielt er bygd på, kan heller ikke "forstås"

ut fra den klassiske mekanikken selv. Den gangen (det virker aller­ ede som svært lenge siden!) vi lærte dette, ble

K=ma

akseptert,

fordi vi nokså raskt kunne konstatere at påstanden har konsekvenser

som stemmer med erfaringene.

Etterhvert som erfaringsområdet øker, blir eldre teoretiske modeller utilstrekkelige. Når hastigheten nærmer seg lyshastigheten,

viser eksperimenter at Newtons velprøvde mekanikk ikke lenger er god nok. Einstein løste dette problemet med sin relativitetsteori. Hans relativistiske mekanikk gir overensstemmelse med eksperimenter

-177 -

der Newtons mekanikk kommer til kort. Likevel, et overveldende erfaringsmateriale viser at Newtons likninger er korrekte for

makrosystemer med

v

di

+ c2ip2(r)e

,

er konstanter7. Absoluttkvadratet av

c

nå et tidsavhengig ledd, proporsjonalt med

T(r,t)

har

cos [ ( E 2-E 1 ) t /Ti ] ! (Vis

dette når c ,c ,ip.,ip. antas reelle.) Superposisjoner av stasjonære tilstander med forskjellig

energi gir altså tidsavhengige tilstander. Stasjonære tilstander har derfor en mer generell betydning enn navnet skulle tilsi. Et viktig spørsmål når det gjelder den fysiske tolkningen av

kvantemekanikkens matematiske maskineri melder seg nå: Sett at en partikkel befinner seg i superposisjonen av de stasjonære til­

standene

ip1

og

ip2 , gitt ovenfor. Vi rigger så til et eksperi­

ment som skal fastslå partikkelens energi. Hvilken energi vil vi Når ip og ip antas normert til 1 og produktet ip^ integrerer seg til ,,0 (ip og!ip2 er 2 "ortogonale" når E2*E1), gir normering av f at IcJ + IcJ =1

-184-

måle, når tekniske ufullkommenheter i apparaturen neglisjeres? Svaret er: Enten E} , med sannsynlighet w =|cxl2 , eller E , med sannsynlighet w2=|c2l2= 1-wx . Forventningsverdien til ener­

gien er = wiEi+ w2E2 og kan ligge hvor som helst mellom

Ex og

E2 , men en måling av

energien kan bare gi en av de to mulighetene, E

eller

E2 .

Dette er et spesialtilfelle av et av kvantemekanikkens grunnpostulater, som strengt tatt hører hjemme i §3 :

Et enkelt, ideelt eksperiment som måler den dynami-ske størrelsen

F(r,p) , vil

som resultat bare kunne gi en av den tilsvarende operators, Fq^’s, egenverdier

Dette grunnpostulat er viktig for den fysiske tolkningen av kvante­ mekanikken. For kvantemekaniske beregninger er det irrelevant. La oss oppsummere resultatene fra dette avsnittet:

A.

For en partikkel i et potensial

V(r)

svarer stasjonære

tilstander til en skarpt definert totalenergi

E .

B.

Stasjonære tilstander er løsninger av den tidsuavhengige Schrodingerlikningen .

C.

Spektret av tillatte energier for stasjonære tilstander kan være kontinuerlig, diskret, eller en kombinasjon, alt etter formen på potensialet V(r) .

D.

Tidsavhengige tilstander kan oppfattes som superposisjoner av

stasjonære tilstander.

E.

En måling av en dynamisk størrelse kan som resultat bare gi en av den tilsvarende operators egenverdier.

Spør små Z- : V=0 ? Er en bølgepakke en

1.

Er en plan bølge en stasjonær tilstand når stasjonær tilstand?

2.

Hva er

3.

Atomenes stabilitet var et mysterium i klassisk * fysikk. Hvordan kan Hamiltonoperatorens diskrete spektrum være nøkkelen til dette mysteriet?

for en stasjonær tilstand i potensialet

V ?

- 185 -

8. Partikkel i boks Det

enkleste eksempel på en partikkel bundet til en poten-

sialbrønn er en partikkel innesperret i en boks. Vi ser først på

én dimensjon og potensialet har da formen

>. fO for 0) * Egenverdiene er gitt som Lop

= *2 ia+1)Yta

Y£m

LzopY£m ’

;

=0,1,2,.... *

’

m=0’±1 ’±2’ ••••±£

Mulige rotasjonstilstander i 3 dimensjoner danner igjen et diskret sett, men denne gangen er det 2£+1 forskjellige tilstander med m-0,±1,...±£ som svarer til egenverdien -Ti2£(£ + 1) til L2 . op i r L2/ * 2 2 Som ventet er degenera=£(£+1 ) L z /-h =m sjonsgraden ( 2 9. +1 ) for £ = 2 _____ m=0,±1,±2 3 Lq ’s egenverdier større 2 i 3 dimensjoner enn i 2, 1 og den øker med stigende

0 .

£=1 £=0

, m= 0 , ±1

m= 0

9, . De første kulefunk-

-1

sjonene, normert til 1

-2

ved integrasjon over hele

-3

-■

romvinkelen

Utt ,er

Når kulekoordinatene er definert slik de vanligvis er: Hva z-retningen står for fysisk har vi ikke sagt noe om!

-201 -

Yo,o=T= ’ /U-7T

; Y1,0='MCOSØ ; Yi,±r T VwsinS e±1* ’ ’

Tegning av komplekse funksjoner i vinkelrommet er en hasardiøs

oppgave, men når kurvens avstand fra origo står for

skulle

resultatet bli noe sånt som

Kommentarer: A. Den laveste egentilstanden til

L2^

har null dreieimpuls og er

kulesymmetrisk.

B.

Siden bare

L2 og ikke L inngår i Hamiltonoperatoren for op zop et kulesymmetrisk system, vil også energinivåene ha en degenerasjonsgrad på(minst)

2£+1

. Som tidligere: Symmetri gir degenera­

sjon. C.

Kulefunksjonene har i og for seg ikke noe med kvantemekanikk å

gjøre. De danner det naturlige funksjonssett for kuleflata på

samme måte som

exp(imø) , eller sinus og cosinus, er det natur­

lige funksjonssett på sirkelen (eller ekvivalent, for periodiske

funksjoner på en linje). Kulefunksjoner dukker derfor opp i alle slags sammenhenger der kulekoordinatene er det hendigste koordi­

natsystemet.

Eksempe1: Hamiltonfunksjonen for et toatomig molekyl (som

N2 eller

02) i

en gass kan skrives H = H, + H 0+ H 0 trans rex. ex. Translasjonsdelen Fk beskriver molekylets tyngdepunktsbeveg-1 trans er atommassen. else som en fri partikkel med masse 2m^ , der m. Denne delen av historien ble behandlet i §4, og vi lar den ligge.

- 202-

Elektrontilstandene i molekylet gir energibidraget

H 0

. Ifølge

statistisk mekanikk (kap.V) er den relative sannsynlighet for at et system befinner seg i en tilstand med energi

AE

hdyere enn

exp(-AE/kDT) . Eksiterte D over grunntilstanden.

grunntilstanden, gitt av Boltzmannfaktoren

elektrontilstander ligger typisk flere

eV

Boltzmanns konstant uttrykt i

k =8.62• 1 0-JeV/K. Det er D T=300K er sannsynligheten

er

eV/K

derfor klart at ved værelsestemperatur

meget liten for at elektronsystemet befinner seg i eksiterte til­ stander. Elektronene befinner seg med bortimot sikkerhet "nedfrosset

i grunntilstanden, og slike temperaturer.

kan neglisjeres som uinteressant ved

H

Vi står igjen med

H 2^ O X/_

som beskriver atomenes bevegelse

relativt molekylets tyngdepunkt. Ved å gå over til relativkoordi-

nater , reduseres problemet til bevegelsen av en partikkel med

redusert masse

m=m./2

som beskriver bindings-

V(r)

i potensialet

kreftene mellom atomene i molekylet. Bindingsenergien er uavhengig

av molekylets orientering i rommet, og V(r) avhenger derfor bare av avstanden r mellom atomene. Typisk form for V(r) er skissert

på figuren. Dybden

D

av poten-

sialbrønnen er av størrelsesorden

noen

eV , og ved samme argumenta

sjon som ovenfor kan vi slutte at

ved værelsestemperatur befinner molekylet seg nær brønnens bunn. Dvs. at avstanden mellom atomene

er nær

a

og vibrasjonene rundt

denne verdien kan beskrives ved harmonisk oscillator modellen.

Resultatene fra §9 kan derfor brukes til å beskrive molekylets vibrasjonsspektrum, i alle fall så lenge vibrasjonsenergien Faktisk er brdnnpotensialet for

N2

og

02

så trangt at

>kgT .

Vibrasjonsfrihetsgraden kan derfor også betraktes som nedfrosset i

grunntilstanden ved værelsestemperatur. I Hamiltonfunksjonen for

relativbevegelsen R

*

re£

P~ = — 2m

L2

2mr 2

Jfr.tolegemeproblemet i klassisk mekanikk.

■ 203 kan med andre ord de to første leddene erstattes med konstanten -(D-^dw) , som definerer molekylets bindingsenergi. Det siste leddet i H „ er rotasjonsbidraget til energien. X ti X/ I tråd med antakelsene foran, kan r erstattes med konstanten a . Vi behandler altså molekylet som en stiv rotator med treghetsmomentet

I

om tyngdepunktet

I = 2-m.(f)23 = ^mAa2= ma2 A Z ™

Hamiltonfunksjonen for rotasjonsfrihetsgradene får derved formen H

rex,

=L2/2ma2=L2/2I

Etter denne lange innledningen løser vi raskt energiegenverdi-

problemet. Hamiltonoperatoren er

L2p/2I , egenfunksjonene er kule­

funks jonene, og energispektret for rotasjon er ti2

E = b_£(£ + 1) X/

;

,2,3, . . .

JL

der egenverdiene har degenerasjonsgrad 2£+1 . Når dette skal brukes til å beregne bidraget til

, støter en

på en interessant subtilitet som har a gjøre med hvorvidt de to atom­

ene er identiske (jfr.§13). Vi skal ikke ta opp dette her. Det kvantemekaniske problemet er oftest (men ikke alltid!) irrelevant, fordi klassiske tilnærmelser blir gode,når det er mange rotasjonsnivåer på

energiskalaen isk temperatur

k^T . Rotasjonsspektret definerer derfor en karakterist­

kgT^o^_=h2/2I . Tallverdier for

T^iq^_(K) '

H2:85.4 , N2:2.86 , 02:2.07 , CO:2.77 , HC£:15.2

Værelsestemperatur er i alle tilfeller høy relativt

Tro^_

og klassisk

mekanikk er da god nok (jfr.kap.V , §4).

Spør smål: 1.

Sjekk ved innsetting at du ikke er blitt lurt. Er virkelig°de 4 laveste kulefunksjonene egenfunksjoner til L2^ og med de påståtte egenverdier?

2.

I stiv-rotator tilnærmelsen ble L2/2mr2 erstattet med L /2ma . Vil denne tilnærmelsen gi for høye eller for lave energiegenverdier til et molekyl som snurrer rundt? Vil tilnærmelsen være best for lave eller for høye rotasjons-

3.

tilstander? Molekylene 0 og N har symmetriske elektronfordelinger og derfor ikke noe permanent elektrisk dipolmoment. Vannmolekyler har et slikt dipolmoment. Hva kan dette ha med absorbsjon av infrarød varmestråling i atmosfæren a gjøre?

-204-

11. Hydrogenatomet

I forrige avsnitt diskuterte vi hva som generelt kan sies om kvantemekaniske tilstander i kulesymmetriske potensialer

V(r) .

Med kulesymmetri separerer Schrodingerlikningen i en vinkeldel og

en radialdel. Vinkeldelens rotasjonstilstander ble funnet uten referanse til funksjonsformen

V(r) . Når vi nå skal ta for oss det

første atomet i det periodiske system og se på elektrontilstandene

i hydrogenatomet, er derfor rotasjonsdelen av problemet allerede løst. Et hydrogenatom består av et proton, som danner atomkjernen, og et elektron. Vekselvirkningen er gitt av Coulombpotensialet *

I forrige avsnitt fant vi at likningen for bølgefunksjonens radial­ del R(r) generelt har formen

tf2 •h2C R = ER 2m V2R + V(r) + 2mr 2 Konstanten C står for den egenverdien til -A2=L2 /•fi2 • oo til bølgefunksjonens vinkeldel. Med rotasjonstilstanden

som svarer

W9’*’

fant vi at egenverdien til L2 er 2 £(£ +1) , dvs. at C=£(£+1) Radialdelen V2 av Laplaceoperatoren i 3 dimensjoner finnes i Appendiks B , og med Coulombpotensial blir derved radiallik-

.

ningen Hl 1 d forklarer

hydrogenatomets stabilitet. Schrodingerlikningen oppløser der­ for det klassiske stabilitetsparadokset.

Spørsmål: 1.

Tettheten til vann, femører og kålrabi er alle av størrelsesorden 1kg/dm3. Hvorfor denne grad av enighet? Hvorfor kunne ikke tettheten like gjerne vært f.eks. 10 000 ganger større eller mindre? Hva kan Bohr-radien ha med dette å gjøre?

2.

Hva skjer med hydrogenatomets grunntilstand dersom vi går til den klassiske grensen h-»0?

3.

Hvordan kan uskarphetsrelasjonen brukes til å fastslå at elektronets grunntilstandsenergi er endelig? Kan argumentet raffineres til å gi en grunntilstandsenergi av riktig størrelsesorden?

- 20812. Dreieimpuls, magnetisk moment og spinn

Tilbake til dreieimpulsen, L . Dersom partikkelen som roterer

er elektrisk ladet, vil en rotasjonstilstand svare til en bitteliten strømsløyfe. Til slike strømsløyfer hører et magnetisk moment. Vi

resonnerer foreløpig klassisk og elementært, og ser på et elektron

i en sirkelformet bane med radius

r . I middel vil et elektron som beveger seg rundt sirkelbanen med

banefart

v

svare til en strøm­

styrke I = ~.ev

2 irr

Strømsløyfens magnetiske moment, p , står loddrett på strømsløyfens

plan, og har en tallverdi lik strømstyrken multiplisert med sløyfens

areal, irr2. Innføres impulsen

p = mv

i stedet for farten blir resul­

tatet e y = “ 2H rP

Dette er et spesialtilfelle av den generelle relasjonen -» e PL= "

-» -» e 7* rXP = - 2HL ’

gyldig for vilkårlig sløyfeform. Vi har hengt merkelappen P^

L

på

for å understreke at dette er det magnetiske moment som skyldes

elektronets banedreieimpuls

L .

Et magnetisk moment har lavere energi når det er rettet med et *

o

B-felt enn når det er rettet mot. Dette gir et bidrag til energifunksjonen av formen H = - 3-p P lokalt

Den kvantemekaniske operatorversjonen av et slikt energiledd kan

skrives ned direkte, når det magnetiske momentet skyldes elektronets banedreieimpuls. Velges z-aksen i É’s retning gir uttrykket for

p^ i kvanteversjon —————. .

-

Eksperimentelt er det vanligvis det magnetiske H-feltet en har kontroll med (jfr. § 23 i kap.I). Sammenhengen mellom dette og det lokale B-feltet kan være temmelig komplisert.

_

-209-

H

pop

=

2m

L

zop

Denne operatøren er jo en gammel venn allerede! Dens egenverdier og

egenfunksjoner ble diskutert i §10. For å se H i virksomhet kan en påtrykke en glødende gass pop (av atomært hydrogen f.eks., eller av andre atomer der elektroner er fanget i et tilnærmet kulesymmetrisk potensial) et magnetfelt.

Da vil elektronets totale Hamiltonoperator få et lite ekstraledd

H

som bryter Coulombpotensialets kulesymmetri. Derved oppheves

degenerasjonen mellom de

2£ + 1

forskjellige rotasjonstilstandene

med forskjellige m-verdier. Siden egenverdiene til ^ZOp er vil det degenererte energinivået splittes i 2£+1 ekvidistante

’

nivåer B+ 0

_ É=0

m 2 1

------------------------ 0 Her: £ = 2---------- "C-------------------- ~1 ---------------- -2 Av dette kan en slutte hvilken oppsplitting en må vente seg i den glødende gassens elektromagnetiske linjespektrum. Vi skal ikke gå

inn på dette her, fordi argumentasjonen krever en detaljert disku­

sjon av samspillet mellom elektrontilstander og elektromagnetisk stråling. Da denne argumentasjonen ble gjennomført på 1920-tallet viste det seg imidlertid at den ikke ga overensstemmelse med mange

av de observerte linjespektra! Noe manglet! Dette noe ble skaffet til veie av Goudsmit og Uhlenbeck som i 1925 postulerte at elek­

tronet har en egendreieimpuls, et spinn. Noen år senere fant Dirac at elektronspinnet er en nødvendig konsekvens av relativistisk

kvantemekanikk, som også er i stand til å forklare dets egenskaper.

Vi skal ganske enkelt ta elektronspinnets eksistens og egenskaper til etterretning . Spinnet analoge til banedreieimpulsen

S

har egenskaper som er helt

L . I analogi med dreieimpulsopera-

toren kan vi studere egenverdiene til

S

. For ett enkelt spinn

Som et(altfor grovt!) klassisk bilde av spinnet kan en tenke seg at elektronet roterer om sin egen akse. Bildet innebærer (korrekt!) at spinnet også har sitt eget magnetiske moment. Men alle tall bildet gir er gale. **

Totalspinnet til flere elektroner kan settes sammen ved vektoraddisjon av enkeltspinn. Totalspinnet til to elektroner kan derfor ha en S2 med egen­ verdier s=0 eller s=1 .

-210-

har

egenverdien

fi2s(s + 1)

med

s = J . Spinnets z-komponent

S

zop har, i likhet med Lzop , egenverdier som kan skrives som fim Kvantetallet m kunne ta verdier i heltallige trinn fra -£ s til +£ . Kvantetallet m s kan ta verdier i heltallige trinn fra

-s

til

+s . For ett elektron blir dette såre enkelt,

verdiene

-J

og

m

s

kan ta

+ J . Disse resultatene ligger til grunn for van­

lig sjargong: Elektronet har spinn 5, som kan være i to tilstander,

"opp"

(m s =J) eller s"ned” (m = -5) . Som en kunne vente har en ladet partikkel med spinn også et

magnetisk moment. Mer merkverdig er det at Goudsmit og Uhlenbeck var tvunget til å postulere følgende sammenheng mellom magnetiske moment p og spinn 3 o

Minustegnet er greit nok, det er en følge av at elektronet har nega­

tiv ladning. Men forholdet mellom

som mellom

og

L !

ps

og

er dobbelt så stort

Dette kan ikke forstås ut fra klassiske

forestillinger. Det viste seg imidlertid å være en nødvendig konse­

kvens av Diracs relativistiske elektronteori. En direkte eksperimentell påvisning av elektronets spinn ble

utført av Stern og Gerlach. Idealisert består eksperimentet i å sende

en elektronstråle gjennom et inhomogent magnetfelt. I motsetning

til homogene magnetfelt gir inhomogene en netto resultantkraft på

magnetiske dipoler, og derved på spinnets magnetiske moment. Derved skilles elektronene med spinn parallelt feltet fra dem med spinn

antiparallelt. Med elektronets spinn som en ekstra frihetsgrad, må tilstandsbegrepet utvides for slike partikler. Et elektrons tilstand er først fullstendig spesifisert når romtilstanden standen ("opp” eller "ned") er gitt . * *■

ip(r) og spinntil-

En konsekvens av dette er at

Vi ser bort fra vekselvirkninger mellom romtilstand og spinntilstand.

-211 -

energinivået faktoren n2

i hydrogenatomet har total degenerasjonsgrad 2n23 , fra romtilstandene og faktoren 2 fra spinntilstand-

ene.

Når vi nå har magnetiske moment både fra banebevegelsen og fra

elektronenes spinn, blir det naturligvis mer komplisert å forutsi effekten av et ytre É-felt på elektromagnetiske linjespektra. Fak­ tisk er komplikasjonene akkurat tilstrekkelige til å gi samsvar mellom teori og eksperiment! Vi skal ikke gå inn på dette her. Elektronets spinn er vesentlig i mange andre sammenhenger.

Diamagnetisme kan forklares på bakgrunn av elektronets banedreie­ impuls. Paramagnetisme derimot kan bare forstås som et resultat av

elektronspinnets reaksjon på et ytre magnetfelt. Og ferromagnetisme,

som hverdagslivets permanente magneter bygger på, er en konsekvens av samspillet elektronspinnene i mellom. I de neste avsnittene skal

vi også vise at elektronspinnet er nddvendig for å forstå oppbyg­

ningen av atomenes periodiske system.

Spør små Z: ->+

1.

Jordas magnetfelt er av størrelsesorden 10 T . Hva er, grovt regnet, energidifferensen mellom et elektrons spinntilstand antiparallelt og parallelt dette feltet, i eV ?

2.

Sølv har atomnummer ^7, og Ag-atomet har derfor ^+7 elektroner. Hvert av elek­ tronene har spinn s=g . Hva kan det komme av at Ag ikke har spinn s=^7/2 , men tvertimot oppfører seg som en s=§ partikkel ?

3.

Dersom eksiterte hydrogenatomer, alle i tilstander med en gitt verdi for kvantetallet £ , ble brukt i Stern-Gerlach eksperimentet, hvor mange kompo­ nenter ville partikkelstrålen splittes i ?

U.

Stern og Gerlach utførte sitt eksperiment med en stråle Ag-atomer, og ikke med elektroner. Elektronenes totale banedreieimpuls er lik null i sølvatomet. Men likevel, hvorfor bruke noe så komplisert som Ag når en kunne bruke noe så enkelt som elektroner?

-212-

13. Bosoner, fermioner og Pauliprinsippet Hittil har vi begrenset oss til kvantemekanisk diskusjon av

én partikkel i et ytre kraftfelt. Eller i høyden til to veksel-

virkende partikler (hydrogenatomet), som på samme måte som i klass­ isk mekanikk kan reduseres til et énpartikkelproblem i relativko-

ordinater. Men kvantemekanikken ville stå svakt om den ikke kunne ta hånd om flere partikler enn tol Vi er f.eks. svært interesserte

i elektroners oppførsel i faste stoff. Og da er partikkeltallet ~1 0 2 3 . Nå er det i og for seg greit nok å definere bølgefunksjoner

for flere partikler. Tolkningen av slike bølgefunksjoner er helt analog til Borns postulat for énpartikkelfunksjonen . F.eks. er

I f(rx,r2,t)|2d3rxd3r2 = sannsynligheten for, ved tida

t , å

finne partikkel nr.1 i romelementet

d3rx

ved

rx

d 3r 2

ved

r 2„ .

, og samtidig nr.2 i

Siden vi nettopp har lært at partikler kan ha spinn, må også spinntilstanden tas med for at beskrivelsen skal være fullstendig. F.eks

står uttrykket IV C?,m ’ s ,t) I 2 d 3r

for sannsynligheten for å finne partikkelen i spinntilstand

msz-| "ned", for et elektron) og i romelementet

(mg=3 "opp", eller d3r

rundt

mg

r . Generaliseringen til flere partikler er rett fram,

som ovenfor. Hamiltonoperatoren for et flerpartikkelsystem er det heller

ikke noe problem å konstruere. Impulser erstattes som før med gradi enter “*

“*

P2-* P?op

der gradienten

T

”*

.

r?

_

2

’

Pe

P6op

_ "fi

i

s

virker med hensyn på argumentet

r^ . Når

Hamiltonoperatoren er konstruert, kan Schrodingerlikningen ned­

skrives. Det ser kort sagt ut som om generalisering til flerpartikkelproblemer ikke byr på prinsipielle vansker. Likevel, et viktig nytt postulat med vidtrekkende konsekvenser

kommer inn:

- 213 -

Fundamentatvartikter av samme stag er ikke

tit å skjetne fra hverandre, de er"identiske". I klassisk fysikk er det ikke slik. Der kan en i prinsipp følge en

bestemt partikkel gjennom en kollisjonsprosess , samme hvor komplisert

den måtte være, fordi partikkelbanene i prinsipp er skarpt definerte.

I kvantemekanikken går banebegrepet mer eller mindre i oppløsning. Når to elektroner kolliderer f.eks. er det ikke

1 eller 2 ?

2 eller 1 ? mulig å fastslå hvilket av de to utgående elektronene som opprinne­

lig kom ovenfra. Elektroner representerer altså et eksempel på fundamentalpartikler som ikke kan skjelnes fra hverandre. Andre

eksempler er protoner, nøytroner og fotoner. Men også sammensatte systemer, som f.eks. heliumatomer, kan oppfattes som fundamentalpartikler, dersom de har samme indre struktur, og denne strukturen

ikke endres av prosessene de sammensatte "fundamentalpartiklene" inngår i. For å klargjøre konsekvensene av det nye fundamentalpostulatet,

tar vi for oss bølgefunksjonen som beskriver to identiske partikler def l(1,2;t) = Kr T ,ms1 ,r2 ,ms2 ;t) (Vi lar altså

1

stå for alle tilstandsvariable til

nartikkel nr.1.)

Dersom partiklene 1 og 2 ikke er til å skjelne fra hverandre, må det

bety at den fysiske størrelsen eller 2 byttes om: IK1,2;t)l2 =

ll(1,2;t)|2

forblir uendret om 1

IK2,1;t)l2

Denne likningen har i alminnelighet bare to mulige løsninger

l(1,2;t) = K2,1;t)

bosoner

K1,2;t) =-K2,1;t)

fermioner

Disse to mulighetene deler fundamentalpartiklene i to adskilte

- 214 -

klasser: Bosonene har symmetriske bølgefunksjoner, mens fermionene

har antisymmetriske. For å finne kriteriet som avgjør hvilken klasse en viss type fundamentalpartikler tilhører, må en gå til

relativistisk kvantemekanikk. Vi tar rett og slett resultatet til etterretning her: Partikler med heltallig spinn (s=0,1,2...)

bosoner. Partikler med halvtallig spinn (s = | Eksempler: Bosoner: Fotoner (s=1)

er

...) er fermioner.

, uHe (s-0)

Fermioner: Elektroner, protoner, nøytroner, 3He

(alle med

s=l )

Dersom to partikler er i presis samme stasjonære enpartikkeltilstand dvs. samme banetilstand og samme spinntilstand * , må topartikkeltilstanden ha formen

ip(1 ,2) = b (1 )b (2) . k k

Dette er en fullt akseptabel tilstand for bosoner, åpenbart er b( 1 , 2 ) =\p ( 2,1 ) . Resultatet kan umiddelbert generaliseres: Et vilkår­ lig antall bosoner kan plasseres i samme enpartikkeltilstand. Denne egenskapen til bosoner er en nødvendig forutsetning for laserens virkemåte. Inn i en bestemt svingemode, med spesifisert bølgevektor £ , kan det stables et ubegrenset antall fotoner. Det er derfor ingei

prinsipiell begrensning på hvor stor intensitet med gitt

k

en lasei

kan generere. For fermioner, derimot, er topartikkeltilstanden ovenfor

uakseptabel, den er i konflikt med antisymmetrikravet! Konsekvensen

av dette er det såkalte Pauliprinsippet: To fermioner kan ikke befinne seg i presis samme kvantetilstand.

Med kvantetilstand menes her en enpartikkeltilstand som er full­ stendig spesifisert, både med hensyn til romtilstand og til spinn-

tilstand. For spinn-J

partikler som elektroner finnes det to

mulige spinntilstander, "opp" og "ned". Dette innebærer at maksimum . • • ♦* to elektroner kan befinne seg i samme romtilstand

* I

o

.

står indeksen k for samlingen av alle kvantetall som er nødvendige for å spesifisere tilstanden.

Denne siste formuleringen var Paulis opprinnelige.

- 215 -

Antisymmetrikravet, eller Pauliprinsippet for elektroner, er nødvendig for å forklare atomenes oppbygning og det periodiske system.

Det er like grunnleggende for forståelsen av faste stoffers elektro­ nikk . Spør smål: 1 .

Har atomkjerner spinn?

1U-. Det periodiske system Med det vi har lært om rotasjonstilstander i kulesymmetriske potensialer, om hydrogenatomet, om elektronets spinn og Pauliprin­

sippet, er vi nå rustet til å forstå hovedtrekkene ved atomenes opp­ bygning og det periodiske system. Faktisk har vi allerede grunnlag til å gi kvantemekaniske forklaringer på kjente kjemiske særtrekk

ved de forskjellige hovedgruppene i systemet, men vi skal nøye oss

med en kvalitativ begrunnelse for selve oppbygningen av det period­ iske system. Som utgangspunkt skal vi ta følgende forenklende antakelse: Hvert elektron i et atom beveger seg i et kulesymmetrisk potensial

, som er et resultat av Coulombpotensialet fra kjernen og av

V(r)

en utsmurt kulesymmetrisk ladningstetthet som representerer de andre elektronene. Enelektrontilstandene som følger av dette bildet

kalles "orbitaler". Siden vi har antatt en effektivt kulesymmetrisk

V(r) , vet vi at Schrodingerproblemet for elektronet vi har festet

oppmerksomheten på spaltes i to: Et vinkelproblem og et radialproblem. Vinkelproblemets rotasjonstilstander med tilhørende egenverdier

form. Med to mulige spinntilstander for hver banetilstand har vinkelproblemet 2(2 £ +1 ) låsninger

er som kjent uavhengig av

V(r)’s

for en gitt verdi av Z . Den neste standardantakelsen i bransjen er at alle elektroner

med samme verdi for kvantetallene

n

og

£

beveger seg i samme

V 0(r) . De 2(2Z+1) tilstandene med gitt n n x? kan da fylles med høyst ett elektron i hver tilstand, ifølge

effektive potensial

og

Z

Pauliprinsinpet. Tilstandene fylles nedenfra, dvs. en starter med (n=1 , £ = 0)

fortsetter med

(2,0) og (2,1) osv. Bildet som her er

skissert er basis for Hartree-Fock metoden, en iterasjonsmetode for beregning av effektive potensialer, og dertil hørende orbitaler og

-216-

energier. Uten å gå i kvantitativ detalj gir dette grunnlag for å forstå hvordan det periodiske system bygges opp (i alle fall før

bildet kompliseres i atomer med mange elektroner, der den skisserte systematikken til tider kan bli i enkleste laget): £=1

£=0

H 1

n=1

He 2

Li Be 3 4

n=2

B

C

N

0

F

Ne

5

6

7

8

9

1 0

A£

Si

P

S

C£

Ar

13

14

15

16

17

18

Na Mg 11 12 n=3

Atomnummeret (=antall protoner i kjernen) er gitt under hvert ele­

ment . Når elektronorbitaler skal spesifiseres, er følgende spektro-

(s-elektron) ,

skopiske terminologi vanlig:

£ = 2 (d-elektron)

(p-elektron),

, £=3 (f-elektron) . Elektronkonfigurasjonen i

f.eks. Na-atomet spesifiseres da som

Na: 1s 2 2s 2 2p 6 3s Her står mens

2p6

1s2

for "2 s-elektroner (£=0) med hovedkvantetall n=1"

betyr

6 p-elektroner

(£=1)

med hovedkvantetall 2".

Tilsammen spesifiserer uttrykket ovenfor orbitalene til alle de 11 elektronene i

Na-atomet. Som en ser er alle spinnene parvis stablet

inn i banetilstander , unntatt 3s-elektronet som har uoarret spinn.

Na-atomets netto elektronspinn, | , skyldes dette ene elektronet. Når lærebøker, f.eks. i kjemi , presenterer bilder av orbital-

enes romlige utstrekning, er det absoluttkvadratet av bølgefunk-

sjonenes radial- eventuelt vinkeldel som vises. F.eks. er d-elek-

tronenes

(£=2)

vinkelfordeling ingen ting annet enn absolutt­

kvadratet av passende lineærkombinasjoner av kulefunksjonene (m-0,±1 , ± 2 ): * ~

• ■

-

-

Y2m

--- ---- —-- ——--- ----

Portrettet av d-elektronene er sakset fra H.Holtan: Generell kjemi, Universitets­ forlaget, Oslo 1970. Se neste side.

- 217-

SpørsmåZ: 1.

Var ikke spørsmålet i §11 om tettheten til kålrabi litt raskt ute? Har ikke svaret noe med Pauliprinsippet å gjøre?

2.

Ville det vært mulig å leve lykkelig i en verden der elektronets spinn var null?

15. Elektroner i krystaller

De eksemplene vi hittil har diskutert har vært av typen: Partikkel fanget i et lokalisert potensial (boks-, harmonisk-

Coulombpotensial). Men hva med elektroner i et fast stoff, eller mer presist, i en periodisk krystall? Her vil elektronene til­

trekkes, ikke mot ett punkt, men mot punktene i en periodisk

ordnet struktur. I en slik struktur vil energiegenverdiproblemet gi kvalitativt nye resultater. I stedet for skarpt definerte energinivåer får en, som vi skal se, energibånd med en viss bredde, adskilt av forbudte energiområder.

£ 1‘

rt

--=

7ZZZZL forbudte energigap ■

tillatte energibånd

Energinivåene i ett enkelt atom

—* «

\

Båndstruktur i krystall

Denne båndstrukturen er det som sammen med elektronenes fermionnatur (Pauliprinsippet) forklarer forskjellen mellom elektriske ledere, halvledere og isolatorer, og som derved danner basis for

-218-

moderne faststoff elektronikk. Vi begrenser oss til det enkleste tilfellet, nemlig et endim­

ensjonalt krystallgitter av uendelig utstrekning. Den potensielle

a a >nnn

energien har formen V(x)

----------------------------------------------------- 1

0

Her er

a-2a------ 3a

x

gitterkonstanten, og periodisiteten er uttrykt ved at

a

V(x+a)=V(x)

for alle

x .

En ikke-lokalisert partikkel som beveger seg fritt langs x-aksen med impuls "hk kan, som vi så i §4, representeres ved en 11c X • plan bølge, e . I en periodisk struktur vil den plane bølgen

amplitudemoduleres av potensialet i krystallgitteret. Bølgefunksjon­

ene får derved formen , z x ikx z x ip(x) = e u, (x)

uv(x)=u, (x+a) har gitterets periodisitet. Bølgefunksjoner av K K *** denne typen kalles Bloch-funksjoner . Funksjonen u^(x) må best­

der

emmes slik at

ip(x)

er en løsning av Schrodingerlikningen 2 - ~ ’P” og > for T 0 * T=0 , inneholder den ingen antakelser om enpartikkeltilstandenes

og

spesielle egenskaper. Resultatene så langt er derfor generelt gyldige for alle fermionsystemer med neglisjerbar vekselvirkning.

Uttrykt i kommodebildet kan en si at ved T=0 fylles skuffene systematisk nedenfra. Den øverste skuffen som må tas i bruk for å få

plassert alle elektronene, definerer oppfylling ved

T=0

po

. Denne oppskriften for

er uavhengig av kommodens spesielle design!

Elektronenes kjemiske potensial ved

T=0 , Uo

» er en så sentral

størrelse i faststoff elektronikken at det har fått eget navn:

-251 -

Ferminivået eller Fermienergien. Men er ikke egenskapene nær

T=0

av nokså akademisk interesse,

noe en kan overlate til livsfjerne teoretikere å leke med? Elektron­ iske komponenter befinner seg jo stort sett ved romtemperatur!

Svaret på dette er det tilsynelatende paradoksale at romtemperatur

er meget nær det absolutte nullpunkt i denne forbindelse. Eller mer presist: For vanlige elektrontettheter og ved romtemperatur er

kgT0 .

, er

Av kvantestatistikk følger derved varmelærens 3.hovedsetning i sin svakeste form ("Entropien har en endelig nedre grense") * nærmest som en trivialitet!

2. Når

0 *T-

, vil systemet søke seg ned i sin grunntilstand. Dersom

vi antar at mangepartikkelsystemets grunntilstand, er degenerert, skulle da w0=1 og disse forutsetninger blir entropien

=Q

ve0 , jo større blir entro-

pien. Perfekt orden svarer til at grunntilstanden med sikkerhet er okkupert, og at

S=0 .

6. Vi nevner også at det statistiske uttrykket for entropien, på en negativ konstant nær, brukes som et mål for informasjon i tele-

kommunikasj onsbransj en. 7. Til slutt: Anta at totalenergien er fiksert, og at det finnes

forskjellige mikrotilstander med denne energien. Regnes disse tilstandene som like sannsynlige (vi har i utgangspunktet ingen

grunn til å anta noe annet!), blir sannsynligheten

1/W

for at

hver enkelt av dem er realisert. Derved er entropien

Vi valgte betegnelsen

W

fordi formelen vi her kom fram til,

representerer den historisk første mikroskopiske tolkning av

W

- 259-

entropien. Det var Boltzmann som stod for den geniale innsikt. Han

foreslo dette uttrykket lenge før både kvantemekanikken og statist­ isk mekanikk i moderne forstand var etablert. Boltzmann oppfattet W

som antall mikrotilstander konsistent med den gitte makrotil-

stand (E,V) . Så stolt var han av denne formelen at den etter eget

ønske pryder hans gravstein i Wien.

* Entropien og dens oppførsel nær

T=0

er en god illustrasjon

av hvordan forskjellige deler av fysikkfaget spiller sammen og gjen­

sidig belyser hverandre. Fysikkens styrke er

i høy grad dens enhet:

Et lite sett grunnpostulater kan beskrive tilsynelatende høyst for­ skjellige, men likevel sammenhengende sider av virkeligheten.

At fysikken er enhetlig må ikke oppfattes slik at faget nå er dødt og avsluttet, som en fullstendig katalog av fasitsvar. Innførings­ kurs vil lett gi er slikt inntrykk. På de fagfeltene vi har behandlet må en også regne med at grunnpostulatene i det vesentlige har funnet

sin form. Vi har derfor trengt sammen en komplisert historisk pros­ ess og tatt destillatet, grunnpostulatene, til etterretning. Men

faget utvikles stadig og gamle sannheter blir kombinert på nye og

overraskende måter. Med dypere forståelse og ny teknologi som resul­

tater. I dette spillet er ingen utstyrt med fasit: Fantasi, innsikt og hardt arbeid blir utslagsgivende'. Det kan passe å sette et foreløpig punktum her.

Spør små Z: Alle bøker inneholder feil, misvisende mumling og unødvendige uklarheter. Denne også. Hva har du funnet? (Forfatteren er takknemlig for dannete hint’.)

- 261 -

Appendiks A. La

Relasjoner mellom partiellderiverte

x,y,z

være tre variable som er forbundet ved en likning

F(x ,y ,z ) = 0

,

slik at antall frie variable er lik 2 .

Vi antar at forbindelses-

likningen kan løses eksplisitt med hensyn på hver av de tre vari­

x=x(y,z)

able slik at funksjonene

y=y(x,z) , z=z(x,y)

,

er

kj ente. En triviell relasjon mellom partiellderiverte er da

(A.l)

Siden her hele tiden

holdes konstant er dette ingenting annet enn den tilsvarende relasjon for vanlige deriverte. y

En mindre selvinnlysende relasjon finnes ved å ta utgangs­ punkt i det totale differensial

,

_ /3z\

.

/ 3z\

.

dz - (jsd dx + Uv dy • \ x 7/X /y

Anta nå at endringene

dx

og

dx

i

x

og

y

er slik at

dz=0 .

men med konstant høyde over havet).

(Vi beveger oss i terrenget,

Divisjon med

dy

gir da

0 =

\3x) x zy

+ /'ih \3y/ (dx/, n x y'xx zdz = 0

er bare en klønete måte å skrive den partiell-

Men

deriverte

(3y/3x)z

på.

Altså

(A.2) y

Et fysisk anvendelseseksempel på denne relasjonen er gitt i kap.I , §10. Den tredje relasjonen vi trenger er kjederegelen for deriva­

sjon, generalisert til funksjoner med to frie variable. være en éntydig funksjon av

x

og

y ,

f=f(x,y)

, mens

La

x

f og

y

-262-

videre oppfattes som éntydige funksjoner av ;

x=x(s,t)

y=y(s,t) .

t :

dy

f3f\ [f9x\ kax; \ /yL\kas/

+

ds +

(

[7af^ fax\ IaM Jvk u

f

På den annen side, når

f=f(s,t)

og

Da gir utskriving av totale differensial

+

df

s

fafA !^\ ds + [±«>

Siden

ip

(husk normeringsbe-

00

tingel sen

f

dxip“ip = l) , forsvinner overflateleddene ved delvis

— 00

integrasjon slik at

fi 2im

f

lx + d-X.

_

°° =

-

m

3x i

dx

f

m

I siste linje ble definisjonslikningen for

brukt.

del av Ehrenfests teorem er derved bevist.

Andre del bevises tilsvarende 00

r

= / *x

Pr. definisjon er

.

, .S{ fi 3 ip dx ♦ J

— 00

slik at d dt

fi i

*

00

f

— 00

dx

at

, 2 ilk + / _9_dk_ 1 3X * 3t3x J

Første

- 266-

Delvis integrasjon på siste ledd gir: d

d

~ °°

>

5{

i _æ

dt

9t

3x

3x

9t j

Dernest brukes Schrodingerlikningen 2

00

d dt

1

ifi 3 ip 2m 2 3x

dx { [

f

—00

3ip" 3x

ifi

*

i fi

2 3 ip

Vip] }

2m 3x2

Ved delvis integrasjon vil leddene 2 *

3 ip 3ip _ 3ip . 2 9x 3x 3x

*

2

3zip . 2 3x

kansellere, og vi står igjen med

00

d

*

dt

=

f

—00

..... dx{V< 3x

. . *

3x

Vip }

Delvis integrasjon av første ledd gir d dt

3V 3x

SVx , dx ip (- ^)ip

qed.

v/]

a

- 267-

Appendiks D.

for Kronig-Penney modellen

E(k)

Her skal vi gå gjennom den detaljerte utledningen av dis­

pers jonsrelas jonen §15 med

E(k) for Kronig-Penney modellen definert i oo V(x) = -aE 6(x-na) . Schrodingerlikningen lyder n = -°°

^2

-

ipn(x) + V(x)ip(x) = Eip(x)

Mellom potensialbrønnene er

V = 0 , slik at

ip

må ha formen som

for en fri partikkel

0(x) = A eic^x + Be~ic^X

der

2 2 Ti q /2m - E

eller

0