Formelsammlung zur Numerischen Mathematik mit QuickBASIC-Programmen [3 ed.] 3411143126

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CIP-Titelaufnahme der Deutschen Bibliothek Engeln-Möllges, Gisela: Formelsammlung zur numerischen Mathematik mit QuickBASIC-Programmen / von Gisela Engeln-Müllges u. Fritz Reutter. Anh. Quick-BASIC-Programme / von Jürgen Dietel ... - 3., völlig neu bearb. und erw. Aufl. - Mannheim; Wien; Zürich: BI-Wiss.-Verl., 1991 ISBN 3-411-14312-6 NE: Reutter, Fritz: ; Beigef. Werk; HST Gedruckt auf säurefreiem Papier mit neutralem pH-Wert (bibJiotheksfest)

Autoren und Verlag übernehmen für die Fehlerfreiheit der Programme keine Gewährleistung oder Haftung. Der Verlag übernimmt keine Gewähr dafür, daß die beschriebenen Verfahren, Programme usw. frei von Schutzrechten Dritter sind. Alle Rechte, auch die der Übersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten. Kein Teil dieses Werkes darf ohne schriftliche Einwilligung des Verlages in irgendeiner Form (Fotokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren), auch nicht für Zwecke der Unterrichtsgestaltung, reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden. © Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus AG, Mannheim 1991 Druck: Progressdruck GmbH, Speyer Bindearbeit: Klambt-Druck GmbH, Speyer Printed in Germany ISBN 3-411-14312-6

VII

Vorwort zur 3. Auflage

Am 28. August 1990 starb Prof. Dr. Fritz Reutter nach langer Krankheit im Alter von 79 Jahren. Als Initiator der Formelsammlung zur Numerischen Mathematik mit FORTRAN-Programmen, deren 1. Auflage 1974 erschienen ist, war er über viele Jahre maßgeblich an Inhalt und Gestaltung des Textteiles beteiligt. Aus Gesundheitsgriinden konnte Prof. Reutter seit 1983 leider nicht mehr an der Weiterentwicklung der gemeinsam verfaßten Bücher mitwirken und hatte mir deshalb die alleinige Fortführung dieser Aufgabe übertragen. Es ist mir eine Verpflichtung, die mit ihm zusammen begonnene Arbeit in seinem Sinne fortzusetzen. Eine Würdigung der wissenschaftlichen Arbeit von Professor Reutter wird in der 7. Auflage der Formelsammlung zur Numerischen Mathematik mit FORTRAN 77-Programmen erscheinen. Ich widme dieses Buch dem Andenken meines im vergangenen Jahr verstorbenen Bruders, Dr. rer. nat. Claus Engeln, der als Physiker und Anwender numerischer Verfahren die Entwicklung dieser Formelsammlung stets mit großem Interesse begleitet und durch Mitarbeit an den QuickBASIC-Programmen des Anhanges gefördert hat. Die übrigen Autoren des Programmteiles haben es dankenswerterweise übernommen, seine Arbeit zu Ende zu führen. Diese "Formelsammlung" enthält nicht nur Formeln zu Standardmethoden der Numerischen Mathematik, sondern beschreibt auch die Prinzipien der verschiedenen Verfahren, formuliert Algorithmen und gibt Entscheidungshilfen zur Auswahl der geeigneten Methode. Sie ist jedoch kein Lehrbuch zur Numerischen Mathematik; auf die Angabe von Beweisen sowie auf Beispiele wird verzichtet. Zahlreiche Literaturangaben zur mathematischen Vertiefung und thematischen Ergänzung sollen die Nutzung des Buches unterstützen. In dieser Auflage wurde gegenüber der 2. Auflage der Textteil völlig neu bearbeitet und sehr stark erweitert. Er stimmt in wesentlichen Teilen mit dem Textteil der 6. Auflage der Formelsammlung mit Standard-FORTRAN 77 Programmen (1988) sowie mit dem Textteil der 2. Auflage der Forrnelsamm-

VIII

lung zur Numerischen Mathematik mit C-Programmen (1990) überein. In die vorliegende Auflage wurden zusätzlich folgende Sachgebiete eingearbeitet: Konditionsschätzung bei Matrizen, Verfahren der konjugierten Gradienten, Shepard-Interpolation, Akima- und Renner-Subsplines, Numerische Kubatur, zusätzliche Runge-Kutta-Einbettungsformeln sowie zahlreiche Ergänzungen bei den Literaturangaben. Neben der inhaltlichen Überarbeitung fast aller Kapitel wurden gegenüber der 2. Auflage viele neue Verfahren aufgenommen, deren Anwendung für die Ingenieurpraxis nützlich ist. So kamen zur Lösung nichtlinearer Gleichungen weitere sicher konvergierende Verfahren hinzu, zur Lösung linearer Gleichungssysteme weitere Verfahren für Systeme mit symmetrischen und bandstrukturierten Matrizen, das CG- Verfahren für symmetrische, positiv definite Matrizen, die Lösung überbestimmter Systeme mit Hilfe der Householdertransformation sowie Schätzungsverfahren für die Kondition von Matrizen. Zur Berechnung der Eigenwerte von Matrizen wurden das LR- und das QRVerfahren sowie die Hessenbergtransformation eingearbeitet. Das Kapitel Approximation wurde um die Householdertransformation zur Lösung des linearen Ausgleichsproblems, um den diskreten Ausgleich mit Hilfe orthogonaler Polynome und um die nichtlineare Approximation erweitert. Das Kapitel Interpolation durch algebraische Polynome wurde gekürzt, es wurden jedoch eine rationale Interpolationsmethode sowie die Shepard-Methode zur mehrdimensionalen Interpolation hinzugefügt. Die Splines wurden um die kubischen Ausgleichssplines zu verschiedenen Randbedingungen erweitert (in der 2. Auflage waren nur natürliche Ausgleichssplines enthalten), ferner um die kubischen und bikubischen Beziersplines sowie interpolierende Oberflächensplines beliebiger Ableitungsordnung. Neu ist ein Kapitel über Akima-Subsplines und Renner-Subsplines. Das Kapitel Quadratur wurde durch die Clenshaw-CurtisFormeln und eine Beschreibung der adaptiven Quadraturverfahren ergänzt. Zum Thema Kubatur ist ein neues Kapitel entstanden. Die bisher in getrennten Kapiteln bearbeiteten Anfangswertprobleme für Einzeldifferentialgleichungen und Systeme erster Ordnung wurden in einem Kapitel zusarnmengefaßt und erweitert. Das verbesserte Euler-Cauchy-Verfahren, eine große Anzahl von Runge-Kutta-Einbettungsformeln und Algorithmen zur Schrittweitensteuerung und Adaption sowie Abschnitte über Stabilität und steife Systeme wurden aufgenommen. Ein Kapitel über partielle Differentialgleichungen (insbesondere über die Methode der Finiten Elemente) wurde von vielen Lesern gewünscht. Da es nicht möglich ist, alle wichtigen Gebiete der Numerischen Mathematik einschließlich der zugehörigen Programme in einem Band zu behandeln (wie der Umfang dieses Buches schon zeigt), muß ich mich vorerst auf Literaturangaben zu den Themen "Numerische Behandlung partieller Differentialgleichungen" und "Die Methode der Finiten Elemente" beschränken; sie sind im Anschluß an

XI

Bezeichnungen

wenn-dann bzw. hat zur Folge dann und nur dann nach Definition gleich geforderte Gleichheit

< < > ~ a« b

kleiner, kleiner oder gleich größer, größer oder gleich a ist wesentlich kleiner als b ungefähr gleich identisch proportional bzw. gleichmäßig zu

f/.

Menge aus den Elementen al, a2,... Menge aller x für die gilt ... Element von nicht Element von

~

enthalten in oder Teilmenge von

c ct.

echt enthalten in oder echte Teilmenge von

IN

Menge Menge Menge Menge

{al,a2, ... }

{xl··· } E

IN o 7Z

(J}

IR ([J

IR+, IR-

(a,b)

nicht Teilmenge von der der der der

natürlichen Zahlen natürlichen Zahlen mit Null ganzen Zahlen rationalen Zahlen

Menge der reellen Zahlen Menge der komplexen Zahlen Menge der positiven bzw. negativen reellen Zahlen offenes Intervall von abis b, a < b

xv

Inhaltsverzeichnis

1 Darstellung von Zahlen und Fehleranalyse

1.1 Definition von Fehlergrößen 1.2 Dezimaldarstellung von Zahlen 1.3 Fehlerquellen 1.3.1 Der Verfahrensfehler 1.3.2 Der Eingangsfehler 1.3.3 Der Rechnungsfehler

1

1 3 7 7 8 11

2 Numerische Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungen 13

2.1 AufgabensteIlung und Anwendungsempfehlungen 2.2 Definitionen und Sätze über Nullstellen 2.3 Allgemeines Iterationsverfahren 2.3.1 Konstruktionsmethode und Definition 2.3.2 Existenz von Lösungen und Eindeutigkeit der Lösung 2.3.3 Konvergenz eines Iterationsverfahrens, Fehlerabschätzungen, Rechnungsfehler 2.3.4 Praktische Durchführung 2.4 Konvergenzordnung eines Iterationsverfahrens 2.5 Newtonsehe Verfahren 2.5.1 Das Newtonsehe Verfahren für einfache Nullstellen 2.5.2 Gedämpftes Newton-Verfahren 2.5.3 Das Newtonsehe Verfahren fiir mehrfache Nullstellen. Das modifizierte Newtonsehe Verfahren 2.6 Regula Falsi 2.6.1 Regula Falsi fiir einfache Nullstellen 2.6.2 Modifizierte Regula Falsi fiir mehrfache Nullstellen 2.6.3 Primitivform der Regula Falsi

13 14 15 15 17 18 21 23 25 25 27 28 29 29 30 30

XVI 2.7 Verfahren von Steffensen 2.7.1 Das Verfahren von Steffensen für einfache Nullstellen 2.7.2 Das modifizierte Steffensen-Verfahren für mehrfache Nullstellen 2.8 Einschlußverfahren 2.8.1 Das Bisektionsverfahren 2.8.2 Das Pegasus- Verfahren 2.8.3 Das Verfahren von Anderson-Björck 2.8.4 Die Verfahren von King und Anderson-Björck-King. Das Illinois-Verfahren 2.9 Effizienz der Verfahren und Entscheidungshilfen 3 Verfahren zur Lösung algebraischer Gleichungen

31 31 32 32 33 34 36 39 39 43

3.1 Vorbemerkungen 43 3.2 Das Horner-Schema 44 3.2.1 Das einfache Horner-Schema für reelle Argumentwerte .44 3.2.2 Das einfache Horner-Schema für komplexe Argumentwerte . .45 3.2.3 Das vollständige Homer-Schema für reelle Argumentwerte .. 47 3.2.4 Anwendungen 49 3.3 Methoden zur Bestimmung sämtlicher Lösungen algebraischer Gleichungen 50 3.3.1 Vorbemerkungen, Überblick und Entscheidungshilfen für die Wahl der Methode 50 3.3.2 Das Verfahren von Muller " 51 3.3.3 Das Verfahren von Bauhuber 54 3.3.4 Das Verfahren von Jenkins und Traub 56 3.4 Entscheidungshilfen 56 4 Direkte Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme

4.1 Aufgabenstellung 4.2 Definitionen und Sätze 4.3 Lösbarkeitsbedingungen für ein lineares Gleichungssystem 4.4 Prinzip der direkten Methoden 4.5 Der Gauß-Algorithmus 4.5.1 Gauß-Algorithmen mit Spaltenpivotsuche 4.5.2 Pivotsuche 4.5.3 Gauß-Algorithmus als Dreieckszerlegung

57

57 58 64 65 66 66 70 71

XVII 4.5.4 Der Gauß-AIgorithmus für Systeme mit mehreren rechten Seiten 73 74 4.6 Matrizeninversion mit dem Gauß-AIgorithmus 4.7 Verfahren für Systeme mit symmetrischen Matrizen 75 76 4.7.1 Systeme mit symmetrischer, streng regulärer Matrix 4.7.2 Systeme mit symmetrischer, positiv definiter Matrix. Cholesky-Verfahren 76 4.7.3 Systeme mit symmetrischer, positiv definiter Matrix. Verfahren der konjugierten Gradienten (CG- Verfahren) 80 4.8 Das Gauß-Jordan-Verfahren 84 4.9 Bestimmung der zu einer Matrix inversen Matrix mit dem Austauschverfahren 85 4.10 Gleichungssysteme mit tridiagonalen Matrizen 87 87 4.10.1 Systeme mit tridiagonaler Matrix 4.10.2 Systeme mit symmetrischer, tridiagonaler, positiv definiter Matrix 89 4.11 Gleichungssysteme mit zyklisch tridiagonalen Matrizen 91 91 4.11.1 Systeme mit zyklisch tridiagonaler Matrix 4.11.2 Systeme mit symmetrischer, zyklisch tridiagonaler Matrix .. 93 4.12 Gleichungssysteme mit fünfdiagonalen Matrizen 95 95 4.12.1 Systeme mit fünfdiagonalen Matrizen 4.12.2 Systeme mit symmetrischer, fiinfdiagonaler, positiv definiter Matrix 98 4.13 Gleichungssysteme mit Bandmatrizen 100 4.14 Lösung überbestimmter linearer Gleichungssysteme mit Householdertransformation 106 4.15 Fehler, Kondition und Nachiteration 111 4.15.1 Fehler und Kondition 111 4.15.2 Konditionsschätzung 113 4.15.3 Möglichkeiten zur Konditionsverbesserung 116 4.15.4 Nachiteration 117 118 4.16 Gleichungssysteme mit Blockmatrizen 4.16.1 Vorbemerkungen 118 4.16.2 Gauß-AIgorithmus für Blocksysteme 119 121 4.16.3 Gauß-AIgorithmus für tridiagonale Blocksysteme 4.16.4 Weitere Block-Verfahren 121 122 4.17 Entscheidungshilfen für die Auswahl des Verfahrens

XVIII 5 Iterationsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme 125

5.1 5.2 5.3 5.4

Vorbemerkungen und Entscheidungshilfen Vektor- und Matrizennormen Das Iterationsverfahren in Gesamtschritten Das Iterationsverfahren in Einzelschritten oder das Gauß-Seidelsche Iterationsverfahren 5.5 Relaxation beim Gesamtschrittverfahren 5.6 Relaxation beim Einzelschrittverfahren

125 126 127 132 133 134

6 Systeme nichtlinearer Gleichungen

137

6.1 Allgemeines Iterationsverfahren für Systeme 6.2 Spezielle Iterationsverfahren 6.2.1 Newtonsche Verfahren für nichtlineare Systeme 6.2.1.1 Das quadratisch konvergente Newton-Verfahren 6.2.1.2 Gedämpftes Newton-Verfahren für Systeme 6.2.2 Regula Falsi für nichtlineare Systeme 6.2.3 Das Verfahren des stärksten Abstiegs (Gradientenverfahren ) für nichtlineare Systeme 6.2.4 Das Verfahren von Brown für Systeme 6.3 Entscheidungshilfen für die Auswahl der Methode

137 143 143 143 145 146 147 149 149

7 Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen

151

7.1 Definitionen und Aufgabenstellungen 151 7.2 Diagonalähnliche Matrizen 153 7.3 Das Iterationsverfahren nach v. Mises 155 7.3.1 Bestimmung des betragsgrößten Eigenwertes und des zugehörigen Eigenvektors 155 7.3.2 Bestimmung des betragskleinsten Eigenwertes 159 7.3.3 Bestimmung weiterer Eigenwerte und Eigenvektoren 160 7.4 Konvergenzverbesserung mit Hilfe des Rayleigh-Quotienten im Falle hermitescher Matrizen 161 7.5 Das Verfahren von Krylov 162 7.5.1 Bestimmung der Eigenwerte 162 7.5.2 Bestimmung der Eigenvektoren 164 7.6 Bestimmung der Eigenwerte positiv definiter symmetrischer tridiagonaler Matrizen mit Hilfe des QD-Algorithmus 165 7.7 Transformationen auf Hessenbergform, LR- und QR-Verfahren 167 7.7.1 Transformation einer Matrix auf obere Hessenbergform .... 167 I

I

XIX 7.7.2 LR - Verfahren 169 7.7.3 QR - Verfahren 171 7.8 Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix nach den Verfahren von Martin, Parlett, Peters, Reinsch und Wilkinson 172 7.9 Entscheidungshilfen 174 8 Lineare und nichtlineare Approximation

175

8.1 Lineare Approximation 176 8.1.1 Approximationsaufgabe und beste Approximation 176 8.1.2 Kontinuierliche lineare Approximation im quadratischen Mittel 180 8.1.3 Diskrete lineare Approximation im quadratischen Mittel .. 184 8.1.3.1 Normalgleichungen fiir den diskreten linearen Ausgleich .184 8.1.3.2 Diskreter Ausgleich durch algebraische Polynome unter Verwendung orthogonaler Polynome 187 8.1.3.3 Lineare Regression. Ausgleich durch lineare algebraische Polynome 189 8.1.3.4 Householdertransformation zur Lösung des linearen Ausgleichsproblems 190 8.1.4 Approximation von Polynomen durch TschebyscheffPolynome 193 8.1.4.1 Beste gleichmäßige Approximation, Definition 193 8.1.4.2 Approximation durch Tschebyscheff-Polynome 194 8.1.5 Approximation periodischer Funktionen 201 8.1.5.1 Approximation periodischer Funktionen im quadratischen Mittel 202 8.1.5.2 Trigonometrische Interpolation 202 205 8.1.5.3 Komplexe diskrete Fourier-Transformation (FFT) 8.2 Nichtlineare Approximation 207 8.2.1 Transformationsmethode beim nichtlinearen Ausgleich 208 8.2.2 Nichtlinearer Ausgleich im quadratischen Mittel 210 8.3 Entscheidungshilfen 210 9 Polynomiale und rationale Interpolation

213

9.1 AufgabensteIlung zur Interpolation durch algebraische Polynome 213 9.2 Interpolationsformeln von Lagrange 215 215 9.2.1 Lagrangesche Formel für beliebige StützsteIlen 216 9.2.2 Lagrangesche Formel für äquidistante StützsteIlen

xx 9.3 Das Interpolationsschema von Aitken für beliebige Sützstellen 9.4 Inverse Interpolation nach Aitken 9.5 Interpolatioilsformeln von Newton 9.5.1 Newtonsche Formel für beliebige StützsteIlen 9.5.2 Newtonsche Formel für äquidistante StützsteIlen 9.6 Restglied der Interpolation und Aussagen zur Abschätzung und Schätzung des Interpolationsfehlers 9.7 Rationale Interpolation 9.8 Interpolation bei Funktionen mehrerer Veränderlichen 9.8.1 Interpolationsformel von Lagrange bei Funktionen von zwei Veränderlichen 9.8.2 Shepard-Interpolation 9.9 Entscheidungshilfen für die Auswahl des zweckmäßigen Interpolationsverfahrens

.217 219 220 220 221 223 225 229 229 231 235

10 Interpolierende Polynomsplines zur Konstruktion glatter Kurven 237

10.1 Polynomsplines dritten Grades 10.1.1 Definition der Splinefunktionen 10.1.2 Berechnung der nichtparametrischen kubischen Splines 10.1.3 Berechnung der parametrischen kubischen Splines 10.1.4 Kombinierte interpolierende Polynom-Splines 10.1.5 Konvergenz und Fehlerabschätzungen interpolierender kubischer Splines 10.2 Hermite-Splines fünften Grades 10.2.1 Definition der Hermite-Splines 10.2.2 Berechnung der nichtparametrischen Hermite-Splines 10.2.3 Berechnung der parametrischen Hermite-Splines 10.3 Entscheidungshilfen zur Auswahl der geeigneten interpolierenden oder approximierenden Splinemethode 11 Polynomiale Ausgleichssplines 3. Grades

11.1 11.2 11.3 11.4 11.5

237 238 240 246 250 256 257 257 259 263 266 273

Problemstellung 273 Definition der Splinefunktionen 274 Berechnung der nichtparametrischen kubischen Ausgleichssplines 275 Berechnung der parametrischen kubischen Ausgleichssplines 282 Entscheidungshilfen 283

XXI 12 Zweidimensionale Splines, Bezier-Splines, o berflächensplines

12.1 Interpolierende zweidimensionale Polynomsplines dritten Grades zur Konstruktion glatter Flächen 12.2 Kubische und bikubische interpolierende und approximierende Besier -Splines 12.2.1 Kubische Besier -Splines zur Konstruktion glatter Kurven und Kurven mit Knick 12.2.2 Approximierende bikubische Bezier -Splines zur Konstruktion glatter Flächen 12.2.3 Modifizierte (interpolierende) kubische Besier - Splines 12.3 Zweidimensionale interpolierende Oberächensplines 12.4 Entscheidungshilfen 13 Akima- und Renner-Subsplines

13.1 13.2 13.3 13.4 13.5

Akima-Subsplines Renner-Subsplines Abrundung von Ecken bei Akima- und Renner-Kurven Näherungsweise Berechnung der Bogenlänge einer Kurve Entscheidungshilfen

14 Numerische Differentiation

14.1 AufgabensteIlung 14.2 Differentiation mit Hilfe eines Interpolationspolynomes 14.3 Differentiation mit Hilfe interpolierender kubischer Polynom-Splines 14.4 Differentiation nach dem Romberg- Verfahren 14.5 Entscheidungshilfen 15 Numerische Quadratur

15.1 Vorbemerkungen 15.2 Konstruktion von Interpolationsquadraturformeln 15.3 Newton-Cotes-Formeln 15.3.1 Die Sehnentrapezformel 15.3.2 Die Simpsonsche Formel 15.3.3 Die 3/8-Formel 15.3.4 Weitere Newton-Cotes-Formeln

285

285 296 296 300 307 307 310 311

311 314 318 319 320 323

323 324 328 328 330 331

331 333 335 337 338 340 342

XXII 15.3.5 Zusammenfassung zur Fehlerordnung von Newton-Cotes-Formeln 344 15.4 Quadraturformeln von Maclaurin 345 15.4.1 Die Tangententrapezformel 345 15.4.2 Weitere Maclaurin-Formeln 346 15.5 Die Euler-Maclaurin-Formeln 347 15.6 Tschebyscheffsche Quadraturformeln 350 15.7 Quadraturformeln von Gauß 353 15.8 Einfache Berechnung von Gewichten und StützsteIlen verallgemeinerter Gauß-Quadraturformeln 357 15.9 Quadraturformeln von Clenshaw-Curtis 361 362 15.10 Das "erfahren von ftomberg 15.11 Fehlerschätzung und Rechnungsfehler 364 15.12 Adaptive Quadraturverfahren 367 15.13 Konvergenz der Quadraturformeln 368 15.14 Entscheidungshilfen für die Auswahl der geeigneten Methode .. 369 16 Numerische Kubatur 16.1 Problemstellung 16.2 Konstruktion von Interpolationskubaturformeln 16.3 Newton-Cotes-Formeln für rechteckige Integrationsbereiche 16.4 Newton-Cotes-Kubaturformeln für Dreieckbereiche 16.5 Das Romberg-Kubaturverfahren für Rechteckbereiche 16.6 Gauß-Kubaturformeln für Hechteckbereiche 16.7 Gauß-Kubaturformeln für Dreieckbereiche 16.7.1 Dreieckbereiche mit achsenparallelen Katheten 16.7.2 Dreiecke in allgemeiner Lage 16.8 Berechnung des Riemannschen Flächenintegrals mit bikubischen Splines 16.9 Entscheidungshilfen 17 Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen 17.1 Problemstellung 17.2 Prinzip der numerischen "erfahren 17.3 Einschrittverfahren 17.3.1 Das Polygonzugverfahren von Euler-Cauchy 17.3.2 Das verbesserte Euler-Cauchy-"erfahren

371 371 374 377 382 383 386 388 388 389 390 391

393 393 394 396 396 397

XXIII 17.3.3 Praediktor-Korrektor-Verfahren von Heun 17.3.4 Explizite Runge-Kutta-Verfahren 17.3.4.1 Konstruktion von Runge-Kutta-Verfahren 17.3.4.2 Klassisches Runge-Kutta-Verfahren 17.3.4.3 Zusammenstellung expliziter Runge-Kutta-Formeln 17.3.4.4 Einbettungsformeln 17.3.5 Implizite Runge-Kutta-Verfahren vom Gauß-Typ 17.3.6 Gemeinsame Darstellug aller Einschrittverfahren. Verfahrensfunktion eines Einschrittverfahrens. Konsistenz 17.3.7 Fehlerschätzung und Schrittweitensteuerung 17.3.7.1 Fehlerschätzung 17.3.7.2 Methoden zur automatischen Schrittweitensteuerung, adaptive Anfangswertproblemlöser 17.4 Mehrschrittverfahren 17.4.1 Prinzip der Mehrschrittverfahren 17.4.2 Das explizite Verfahren von Adams-Bashforth 17.4.3 Das Praediktor-Korrektor-Verfahren von Adams-Moulton 17.4.4 Verfahren von Adams-Störmer 17.4.5 Fehlerschätzungsformeln für Mehrschrittverfahren 17.4.6 Rechnungsfehler für Ein- und Mehrschrittverfahren 17.5 Extrapolationsverfahren von Bulirsch-Stoer-Gragg 17.6 Stabilität 17.6.1 Vorbemerkungen 17.6.2 Stabilität der Differentialgleichung 17.6.3 Stabilität des numerischen Verfahrens 17.7 Steife Differentialgleichungssysteme 17.7.1 Problemstellung 17.7.2 Kriterien für Steifbeit eines Systems 17.7.3 Das Verfahren von Gear zur Integration steifer Systeme 17.8 Entscheidungshilfen bei der Wahl des Verfahrens 18 Randwertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen

398 400 400 .401 403 407 .420

422 424 424 425 429 429 .431 . 433 437 439 440 441 444 444 445 .446 450 450 441 442 457

463

18.1 Problemstellung

463

18.2 Zurückführung des Randwertproblems auf ein Anfangswertproblem

464

XXIV 18.2.1 Randwertprobleme für nichtlineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung 18.2.2 Randwertprobleme für Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung 18.2.3 Mehrzielverfahren 18.3 Differenzenverfahren 18.3.1 Das gewöhnliche Differenzenverfahren 18.3.2 Differenzenverfahren höherer Näherung 18.3.3 Iterative Auflösung der linearen Gleichungssysteme zu speziellen Randwertproblemen 18.3.4 Lineare Eigenwertprobleme

.464 467 468 .472 472 478 480 481

Anhang: QuickBASIC-Programme

483

Verzeichnis der Programme nach Reihenfolge im Anhang

485

Alphabetisches Verzeichnis der Programmnamen

493

Vorwort zum Anhang

501

QuickBASIC-Programme

503

Literaturverzeichnis

971

Literatur zu weiteren Themengebieten

989

- Numerische Behandlung partieller Differentialgleichungen

989

- Methode der Finiten Elemente

990

Sachwortverzeichnis

995

Verzeichnis der Programme nach der Reihenfolge im Anhang

Kapitel Beschreibung PO

P 2.5.3

P 2.8

Name

Arcus-Cosinus Unterprogramm von MASCHINENGENAUIGKEIT Maximum zweier Integers Minimum zweier Integers Ermittlung der Maschinengenauigkeit

Seite

ARCCOS GROESSERALSEINS IMAX IMIN MASCHINENGENAUIGKEIT Maximum zweier Doubles MAX Minimum zweier Doubles MIN Kommandozeilen- Parameter PARAMSTR Umrechnung Grad nach Radiant RAD Signum einer Zahl SIGN Include-Files mit Konstanten-Deklaration MAXDOUBLE FALSE TRUE Include-Files mit Typ-Deklaration PAAR INTV

503

Newton für einfache Nullstellen Hornerschema zu NEWPOL Polynomauswertung zu NEWEIN Newton fiir mehrfache Nullstellen Anderson-Björg für NULLST Anderson-Björg-King für NULLST Rahmenprog. fiir Einschlußverfahren Pegasus für NULLST Pegasus-King für NULLST Hilfsroutinen für NULLST

508 511 512 515 519 520 521 527 528 529

NEWEIN NEWPOH NEWPOL NEWMOD ANDBJ ANDBJK NULLST PEG PEGK TAUSCH

503 503 504 504 504 505 505 506 506 507 507 507 507 507

486

Verzeichnis der Programme

P 2.8.2

Pegasus- Verfahren

P 3.3.2

Komplexes Hornerschema für MULLRV Komplexes Hornerschema und Fehler für MULLRV Komplexe Division für MULLRV Komplexe Multiplikation für MULLRV Eine komplexe Nullstelle für MULLRV Muller: alle komplexen Wurzeln eines Polynoms Polynomdivision für MULLRV Lösung einer komplexen quadratischen Gleichung Betrag einer komplexen Zahl für BAUPOL Eine komplexe Nullstelle für BAUPOL Bauhuber: alle Wurzeln eines Polynoms Komplexe Division für BAUPOL Komplexes Hornerschema für BAUPOL Hilfsroutinen für BAUPOL

P 3.3.3

P 4.5 P 4.5.3

Gauß für lineare Gleichungssysteme Gauß: Lösung des Gleichungssystems Gauß: Zerlegung der Matrix P 4.5.4 Gauß für mehrere rechte Seiten P 4.7.2 Cholesky: Lösung des Gleichungssystems Cholesky für symmetrische positiv definite Matrizen Cholesky: Zerlegung der Matrix P 4.7.3 Verfahren der konjugierten Gradienten P 4.9 Pivot: Inverse Matrix mit Austauschverfahren P 4.10.1 Systeme mit tridiagonaler streng regulärer Matrix Lösung zu TRDIAG Zerlegung zu TRDIAG P 4.10.2 Lösung zu TRIDSY Systeme mit symmetrischer tridiagonaler positiv definiter Matrix Zerlegung zu TRIDSY

UPI UP2 PEGASU

529 529 530

HORNC

534

HORNCE KOMDIV KOMMUL MULLER

535 536 538 538

MULLRV POLDIV

542 546

QUADSOLV

547

ABSKOM BAUNUL BAUPOL KOMDIV KOMHOR MKONST SKALFK

548 549 554 556 558 560 561

FGAUSS FGAUSL FGAUSZ GAUMRS FCHOKL

563 564 566 569 571

FCHOKY FCHOKZ CG

572 574 576

PIVOT

578

TRDIAG TRDIGL TRDIGZ TRIDSL

582 583 584 586

TRIDSY TRIDSZ

587 589

Verzeichnis der Programme P 4.11.1 Lösung zu FZYKTR Systeme mit zyklisch tridiagonaler streng regulärer Matrix Zerlegung zu FZYKTR P 4.11.2 Lösung zu ZYTRSY Systeme mit symmetrischer positiv definiter zyklisch tridiagonaler Matrix Zerlegung zu ZYTRSY P 4.12.1 Systeme mit fünfdiagonaler streng regulärer Matrix Lösung zu FDIAG Zerlegung zu FDIAG P 4.12.2 Lösung zu FDIASY Systeme mit symmetrischer fünfdiagonaler positiv definiter Matrix Zerlegung zu FDIASY Gleichungssysteme mit Bandmatrizen P 4.13 Lösung zu BAND Zerlegung zu BAND P 4.14 Householder: überbestimmte lineare Gleichungssysteme P 4.15.1 Hadamardsche Konditionszahl einer Matrix P 4.15.4 Nachiteration zum Gauß-Algorithmus P5.4

Gauß-Seidel: Einzelschritt-Iteration

P 6.2.1.2 Schätzung der Jakobimatrix zu GENEWD Gedämpftes Newton- Verfahren mit geschätzter Jakobi-Matrix Gedämpftes Newton- Verfahren Euklidische Norm eines Vektors Überbestimmtes System mit gedämpftem Newton Schätzung der Jakobimatrix zu NGLSYS P 6.2.4 Brown: Lösung eines nichtlinearen Gleichungssystems Näherungslösung des Brown- Algorithmus Lösung eines linearen Gleichungssystems für BROWN P 7.3.1 P 7.8

Mises: Betragsgrößter Eigenwert QR- Verfahren: Eigenwerte und

v.

487 FZYKTL

591

FZYKTR FZYKTZ ZYTRSL

592 594 597

ZYTRSY ZYTRSZ

598 599

FDIAG FDIAGL FDIAGZ FDIASL

602 604 605 608

FDIASY FDIASZ BAND BANDL BANDZ

609 610 613 615 616

SHOUSE

620

HADKOND NACHIT

622 624

EINREL

627

FDIFQU

631

GENEWD GENEWT FENORM

632 638 643

NGLSYS JACOBI

645 650

BROWN ITER4

652 655

SUBST

658

EIWERT

660

Verzeichnis der Programme

488 Eigenvektoren Unterprogramme zum QR-Verfahren

P 8.1.3.1 Ausgleichspolynom mit GaußFehlerquadratmethode P 8.1.3.2 Approximation durch diskrete orthogonale Polynome Unterprogramme zu POAUGE

P 8.1.3.4 Diskreter linearer Ausgleich P 8.1.5.3 Diskrete Fourieranalyse und -synthese P 8.2.2 Diskreter nichtlinearer Ausgleich P 9.5

P 9.7

P 10

Newtonsches Interpolationspolynom Auswertung des Newtonsehen Interpolationspolynoms Unterprogramm zu FRAINT Rationale Interpolation bei Vorgabe des Zähler-Grades Unterprogramm zu FRAINT Auswertung einer rationalen Interpolationsfunktion Rationale Interpolationsfunktion Unterprogramm zu PARMIT Transformiert-parametrische kubische Spline-Interpolation Hermitesche Spline-Interpolation Kubische Spline-Interpolation Unterprogramm zu ISPLTR Unterprogramm zu PARSPL Unterprogramme zu den SPLINERoutinen

EIGEN HQR2 BALAN BALBAK COMABS COMDIV ELMHES ELMTRA NORMAL

662 665 675 677 679 680 681 682 684

GAFEME

686

POAUGE POWERT Q SKALP SLIAU RFFT SNLIAU

688 690 691 693 694 696 701

NEWTIP

705

WERTNP FRAFKT

706 707

FRAINT FRAORD

708 710

IRATWERT RATINT

711 712

HERMIT

715

ISPLTR PARMIT PARSPL PERSPL SPLINE

720 724 729 732 734

HMTAB HMTABH HMTWRT INTERVALL

737 738 738 739

Verzeichnis der Programme

PU

Unterprogramme zu Ausgleichssplines

Kubischer nichtparametrischer Ausgleichsspline Kubischer parametrischer Ausgleichsspline Kubischer nichtparametrischer periodischer Ausgleichsspline Kubischer transformiert-parametrischer Ausgleichsspline Lösung zu FZYFSY Symmetrische, fast zyklische fünfdiagonale Gleichungssysteme Zerlegung zu FZYFSY P 12.1

Unterprogramme zu bikubischen Splines

Berechnung der Koeffizienten von bikubischen Splines Funktionswert einer bikubischen Splinefunktion Unterprogramme zu bikubischen Splines

P 12.2

Berechnung von Bezier-Splines Unterprogramme zu Bezier-Splines

17 QuickBASIC

489 PARTAB PARTABH PMTAB PMTABH PSPWRT SPTAB SPTABH SPWERT STRTAB STRWRT

740 741 742 743 743 744 745 746 746 748

GLSP1A GLSP2A GLSP3A

751 755 758

GLSPNP

760

GLSPPA

760

GLSPPE

766

GLSPTR FZYFSL

769 773

FZYFSY FZYFSZ

774 775

A121S1-9 A122S1-3 A123S1

779 787 790

BIKUBl-3

790

BSWERT FIBIKl-2 FIBIKU XYINTV BEZIER BEZPKT BEZRANDPKT INTPOL KUBBEZ KUBBEZTAB2

794 795 797 798 799 801 803 804 806 807

Verzeichnis der Programme

490

P 12.3

Unterprogramme zu zweidimensionalen Oberflächensplines

KUBBEZTAB3 MOKUBE RECHP RECHVP RECHWP

808 809 810 811 812

ALPHA2 APPRX2 E2 EKREISTRAFO GAMMA2 NEXT2

813 814 816 816 817 818

PROB2

819

ISAMAXV SAXPYVW SDOTVW SKALIER SSPCO SSPFA SSPSL SSWAPVW SUMABS

821 822 823 824 824 828 832 833 834

ABSKREU2 ABSKREUZ AKIMA AKIPAR

836 836 836 839

ECKRUND ECKRUNDP RENNER

841 842 844

RENNTANG

847

Berechnung zweidimensionaler

oberflächensplines

Unterprogramme zur Lösung gepackter linearer Gleichungssysteme

P 13

Unterprogramme zu Akima-RennerSubsplines Nichtparametrische Akima-Subsplines Parametrische Akima-Subsplines Unterprogramme zu Akima-RennerSubsplines Nichtparametrische Renner-Subsplines Unterprogramm zu Akima-RennerSubsplines

P 14

P 15.3 P 15.7

Numerische Differentiation nach Romberg DIFROM Auswertung einer kubischen SplineFunktion FSPLAB

848

Initialisierungsroutine zu QUANEC Newton-Cotes-Quadraturformel Stützstellen, Gewichte für

852 853

INITFORML QUANEC

849

Verzeichnis der Programme

P 15.10 P 15.12

P 16.3

P 16.4

P.16.5

P 16.6

P 16.7

17*

491

Gaußsche Quadraturverfahren Romberg-Quadraturverfahren Eindimensionales adaptives Quadraturverfahren Unterprogramme zum adaptiven Quadraturverfahren

ORTOGP QUAROM

854 856

GAX

860

GXACC GXDEL GXDIV GXINS GXPEGA GXPOLY GXQUAD GXSTG SETPAAR

863 864 864 865 866 867 868 869 871

Unterprogramm zu KUB4NECN Newton-Cotes-Kubatur über Rechteckgebiete Initialisierungsroutine zu KUB4NECN 3-Punkte-Newton-Cotes-Kubatur über Dreiecksgebiete Unterprogramm zur Newton-CotesKubatur Romberg- Richardson-Kubatur über Dreiecksgebiete Rechteck- Kubatur: Bulirsch- Richardson Unterprogramm zur Bulirsch-RichardsonKubatur Rechteck-Kubatur: Romberg-Richardson Unterprogramm zur RombergRichardson-Kubatur Richardson-Extrapolation mit Bulirsch-Folge Unterprogramm zu BURIEXTR Richardson-Extrapolation mit RombergFolge Gauß-Kubatur für äquidistante Rechtecke Initialisierungsroutine zu KUB4GAUE Gauß-Kubatur für variable Rechtecke Initialisierungsroutine zu KUB4GAUV Initialisierungsroutine zu KUB3GAUN n-Punkt-Gauß-Kubatur für Dreiecke

KNOTGEW

873

KUB4NECN KUB4NECNINIT

873 874

KUB3NEC3

875

KUB3NEC3N

877

KUB3RORI KUB4BURI

877 879

KUB4BUST KUB4RORI

880 881

KUB4ROST

882

BURIEXTR NENNER

883 884

RORIEXTR KUB4GAUE KUB4GAUEINIT KUB4GAUV KUB4GAUVINIT GAUNINITALIZE KUB3GAUN

884 885 888 888 891 893 893

Verzeichnis der Programme

492

Differentialglei chungs- Einschrittverfahren P 17.3 P 17.3.5 Treiber-Routine zu IMRUKU Implizites Runge-Kutta-Verfahren Unterprogramm von IMRUKU StützsteIlen, Gewichte zur GaußQuadratur Angepaßtes Pegasus-Verfahren für GALEO Hornerschema für GALEO Koeffizienten für Runge-KuttaVerfahren P 17.3.7 Anfangswertproblem mit Schrittweitensteuerung England-Einbett ungsformel 4./5. Ordnung Maximumnorm zweier Vektoren Runge- Kutta-Ein bettungsformel 2./3. Ordnung Runge-Kutta-Fehlberg mit Schrittweitensteuerung P 17.4.3 Ein Schritt im Adams-BashforthMoulton-Verfahren Adams-Bashforth-MoultonDifferentialgleichung Ein Runge-Kutta-Schritt im Adams- Bashforth-Moulton-Verfahren Runge-Kutta-Start für das Adams-Bashforth-Moulton-Verfahren P 17.5 Bulirsch-Stoer-Gragg Differentialgleichungs- Extrapolation Einzelschritt für DG LEXT P 18.2

Randwertproblem 1. Ordnung mit Schießverfahren

DGLESV TRIRKV IMRUKU WURZ

895 903 906 922

GALEO

923

GXPEGA GXPOLY

925 927

STUETZ

928

AWP

931

ENGL45 NORM

935 937

RUKU23

938

FRKFSY

939

AMBSCHRITT

945

DGLABM

947

RKSCHRITT

953

RKSTART

955

DGLEXT EXTRAPOL

958 962

RWP

965

Verzeichnis der Programme in alphabetischer Reihenfolge

Kapitel Beschreibung

Name

Seite

P P P P P

A121S1-9 A122S1-3 A123S1 ABSKOM

779 787 790 548

ABSKREU2

836

ABSKREUZ AKIMA AKIPAR

836 836 839

ALPHA2

813

AMBSCHRITT ANDBJ ANDBJK

945 519 520

APPRX2 ARCCOS

814 503

AWP BALAN BALBAK BAND BANDL BANDZ BAUNUL BAUPOL

931 675 677 613 615 616

12.1 12.1 12.1 3.3.3 13

Unterprogramme zu bikubischen Splines Unterprogramme zu bikubischen Splines Unterprogramm zu bikubischen Splines Betrag einer komplexen Zahl für BAUPOL Unterprogramm zu Akima- Renner- . Subsplines Unterprogramm zu Akima-RennerP 13 Subsplines Nichtparametrische Akima-Subsplines P 13 Parametrische Akima-Subsplines P 13 Unterprogramm zu zweidimensionalen P 12.3 Oberflächensplines P 17.4.3 Ein Schritt im Adams-BashforthMoulton-Verfahren Anderson-Björg für NULLST P 2.8 Anderson-Björg-King für NULLST P 2.8 Unterprogramm zu zweidimensionalen P 12.3 Oberflächensplines Arcus-Cosinus PO P 17.3.7 Anfangswertproblem mit Schrittweitensteuerung Unterprogramm zum QR- Verfahren P 7.8 Unterprogramm zum QR- Verfahren P 7.8 Gleichungssysteme mit Bandmatrizen P 4.13 Lösung zu BAND P 4.13 Zerlegung zu BAND P 4.13 P 3.3.3 Eine komplexe Nullstelle für BAUPOL P 3.3.3 Bauhuber: alle Wurzeln eines Polynoms

549

554

494

Verzeichnis der Programme

Berechnung von Bezier-Splines Unterprogramm zu Bezier-Splines Unterprogramm zu Bezier-Splinee Berechnung der Koeffizienten von bikubischen Splines P 6.2.4 Brown: Lösung eines nichtlinearen Gleichungssystems Funktionswert einer bikubischen P 12.1 Splinefunktion Richardson-Extrapolation mit BulirschP 16.5 Folge P 4.7.3 Verfahren der konjugierten Gradienten Unterprogramm zum QR- Verfahren P 7.8 Unterprogramm zum QR-Verfahren P 7.8 P 17.4.3 Adams- Bashforth-Moulton- Differentialgleichung P 17.3 Differentialgleichungs- Einschri ttverfahren P 17.5 Bulirsch-Stoer-Gragg Differentialgleichungs-Extrapolation Numerische Differentiation nach Romberg P 14 P 12.3 Unterprogramm zu zweidimensionalen oberflächensplines Unterprogramm zu Akima-RennerP 13 Subsplines P 13 Unterprogramm zu Akima-RennerSubsplines P 7.8 QR-Verfahren: Eigenwerte und Eigenvektoren P 5.4 Gauß-Seidel: Einzelschritt-Iteration P 7.3.1 v. Mises: Betragsgrößter Eigenwert P 12.3 Unterprogramm zu zweidimensionalen Ob erflächensplines P 7.8 Unterprogramm zum QR-Verfahren P 7.8 Unterprogramm zum QR-Verfahren P 17.3.7 England-Einbettungsformel 4./5. Ordnung P 17.5 Einzelschritt fiir DGLEXT PO Include-File mit Konstanten-Deklaration P 4.7.2 Cholesky: Lösung des Gleichungssystems P 4.7.2 Cholesky für symmetrische positiv definite Matrizen P 4.7.2 Cholesky: Zerlegung der Matrix P 4.12.1 Systeme mit fünfdiagonaler regulärer Matrix

P P P P

12.2 12.2 12.2 12.1

BEZIER BEZPKT BEZRANDPKT

799 801 803

BIKUBI-3

790

BROWN

652

BSWERT

794

BURIEXTR CG COMABS COMDIV

883 576 679 680

DGLABM DGLESV

947 895

DGLEXT DIFROM

958 848

E2

816

ECKRUND

841

ECKRUNDP

842

EIGEN EINREL EIWERT

662 627 660

EKREISTRAFO ELMHES ELMTRA ENGL45 EXTRAPOL FALSE FCHOKL

816 681 682 935 962 507 571

FCHOKY FCHOKZ

572 574

FDIAG

602

Verzeichnis der Programme P P P P

4.12.1 4.12.1 4.12.2 4.12.2

P P P P P P P P P P

4.12.2 6.2.1.2 6.2.1.2 4.5.3 4.5 4.5.3 12.1 12.1 9.7 9.7

P 9.7 P 17.3.7 P 14 PU PU PU P 4.11.1 P4.11.1 P 4.11.1 P 8.1.3.1 P 17.3.5 P 12.3 P 4.5.4 P 16.7 P 15.12 P 6.2.1.2 P 6.2.1.2 PU

Lösung zu FDIAG Zerlegung zu FDIAG Lösung zu FDIASY Systeme mit symmetrischer fünfdiagonaler positiv definiter Matrix Zerlegung zu FDIASY Schätzung der J akobirnatrix zu GENEWD Euklidische Norm eines Vektors Gauß: Lösung des Gleichungssystems Gauß für lineare Gleichungssysteme Gauß: Zerlegung der Matrix Unterprogramme zu bikubischen Splines Unterprogramm zu bikubischen Splines Unterprogramm zu FRAINT Rationale Interpolation bei Vorgabe des Zähler-Grades Unterprogramm zu FRAINT Runge-Kutta-Fehlberg mit Schrittweitensteuerung Auswertung einer kubischen SplineFunktion Lösung zu FZYFSY Symmetrische, fast zyklische fünfdiagonale Gleichungssysteme Zerlegung zu FZYFSY Lösung zu FZYKTR Systeme mit zyklisch tri diagonaler streng regulärer Matrix Zerlegung zu FZYKTR Ausgleichspolynom mit GaußFehlerquadratmethode Stützstellen, Gewichte zur GaußQuadratur Unterprogramm zu zweidimensionalen Oberflächensplines Gauß für mehrere rechte Seiten Initialisierungsroutine zu KUB3GAUN Eindimensionales adaptives Quadraturverfahren Gedämpftes Newton-Verfahren mit geschätzter Jakobi-Matrix Gedämpftes Newton- Verfahren Unterprogramm zu Ausgleichssplines

495 FDIAGL FDIAGZ FDIASL

604 605 608

FDIASY FDIASZ FDIFQU FENORM FGAUSL FGAUSS FGAUSZ FIBIK1-2 FIBIKU FRAFKT

609 610 631 643 564 563 566 795 797 707

FRAINT FRAORD

708 710

FRKFSY

939

FSPLAB FZYFSL

849 773

FZYFSY FZYFSZ FZYKTL

774 775 591

FZYKTR FZYKTZ

592 594

GAFEME

686

GALEO

923

GAMMA2 817 GAUMRS 569 GAUNINITALIZE 893 GAX

860

GENEWD GENEWT GLSP1A

632 638 751

496 PU P 11 PU PU P 11 PU PO P 15.12 P 15.12 P 15.12 P 15.12 P 15.12 P 17.3.5 P 17.3.5 P 15.12 P 15.12 P 15.12 P 4.15.1 P P P P P P

10 10 10 10 3.3.2 3.3.2

P 7.8 PO PO P 17.3.5 P 15.3

Verzeichnis der Programme Unterprogramm zu Ausgleichssplines Unterprogramm zu Ausgleichssplines Kubischer nichtparametrischer Ausgleichsspline Kubischer parametrischer Ausgleichsspline Kubischer nichtparametrischer periodischer Ausgleichsspline Kubischer transformiert-parametrischer Ausgleichsspline Unterprogramm von MASCHINENGENAUIGKEIT Unterprogramm zum adaptiven Quadraturverfahren Unterprogramm zum adaptiven Quadraturverfahren Unterprogramm zum adaptiven Quadraturverfahren Unterprogramm zum adaptiven Quadraturverfahren Unterprogramm zum adaptiven Quadraturverfahren Angepaßtes Pegasus-Verfahren für GALEO Hornerschema für GALEO Unterprogramm zum adaptiven Quadraturverfahren Unterprogramm zum adaptiven Quadraturverfahren Unterprogramm zum adaptiven Quadraturverfahren Hadamardsche Konditionszahl einer Matrix Unterprogramm zu PARMIT Unterprogramm zu den SPLINE-Routinen Unterprogramm zu den SPLINE-Routinen Unterprogramm zu den SPLINE-Routinen Komplexes Hornerschema für MULLRV Komplexes Hornerschema und Fehler für MULLRV Unterprogramm zum QR- Verfahren Maximum zweier Integers Minimum zweier Integers Implizites Runge-Kutta-Verfahren Initialisierungsroutine zu QUANEC

GLSP2A GLSP3A

755 758

GLSPNP GLSPPA

760 760

GLSPPE

766

GLSPTR GROESSERALSEINS

769

GXACC

863

GXDEL

864

GXDIV

864

GXINS

865

GXPEGA GXPEGA GXPOLY

866 925 927

GXPOLY

867

GXQUAD

868

GXSTG

869

HADKOND HERMIT HMTAB HMTABH HMTWRT HORNC

622 715 737 738 738 534

HORNCE HQR2 IMAX IMIN IMRUKU INITFORML

535 665 503 504 906 852

503

Verzeichnis der Programme P 10 P 12.2 PO P 9.7

Unterprogramm zu den SPLINE-Routinen Unterprogramm zu Bezier-Splines Include-File mit Typ-Deklaration Auswertung einer rationalen Interpolationsfunktion P 12.3 Unterprogramm zur Lösung gepackter linearer Gleichungssysteme P 10 Transformiert-parametrische kubische Spline- Interpolation P 6.2.4 Näherungslösung des Brown- Algorithmus P 6.2.1.2 Schätzung der Jakobimatrix zu NGLSYS P 16.3 Unterprogramm zu KUB4NECN P 3.3.2 Komplexe Division für MULLRV P 3.3.3 Komplexe Division für BAUPOL P 3.3.3 Komplexes Hornerschema für BAU POL P 3.3.2 Komplexe Multiplikation für MULLRV P 16.7 n-Punkt-Gauß-Kubatur für Dreiecke P 16.4 3-Punkte-Newton-Cotes-Kubatur über Dreiecksgebiete P 16.4 Unterprogramm zur Newton-CotesKubatur Romberg-Richardson-Kubatur über P 16.4 Dreiecksgebiete P 16.5 Rechteck-Kubatur: Bulirsch-Richardson Unterprogramm zur Bulirsch-RichardsonP 16.5 Kubatur Gauß-Kubatur für äquidistante Rechtecke P 16.6 Initialisierungsroutine zu KUB4GAUE P 16.6 Gauß-Kubatur für variable Rechtecke P 16.6 Initialisierungsroutine zu KUB4GAUV P 16.6 Newton-Cotes-Kubatur über RechtP 16.3 eckgebiete Initialisierungsroutine zu KUB4NECN P 16.3 Rechteck-Kubatur: Romberg-Richardson P 16.5 Unterprogramm zur Romberg-RichardP 16.5 son-Kubatur Unterprogramm zu Beaier-Splines P 12.2 Unterprogramm zu Bezier-Splines P 12.2 P 12.2 Unterprogramm zu Bezier-Splines Ermittlung der Maschinengenauigkeit PO PO PO

Maximum zweier Doubles Include-File mit Konstanten-Deklaration

497 INTERVALL INTPOL INTV

739 804 507

IRATWERT

711

ISAMAXV

821

ISPLTR ITER4 JACOBI KNOTGEW KOMDIV KOMDIV KOMHOR KOMMUL KUB3GAUN

720 655 650 873 536 556 558 538 893

KUB3NEC3

875

KUB3NEC3N

877

KUB3RORI KUB4BURI

877 879

KUB4BUST KUB4GAUE KUB4GA UEINIT KUB4GAUV KUB4GAUVINIT

880 885 888 888 891

873 KUB4NECN KUB4NECNINIT 874 881 KUB4RORI KUB4ROST KUBBEZ KUBBEZTAB2 KUBBEZTAB3 MASCHINENGENAUIGKEIT MAX MAXDOUBLE

882 806 807 808 504 504 507

498 PO P 3.3.3 P 12.2 P 3.3.2 P 3.3.2 P P P P P P P P

4.15.4 16.5 2.5.3 2.5.3 2.5.3 2.5.3 9.5 12.3

P 6.2.1.2 P P P P

17.3.7 7.8 2.8 15.7

PO PO P 10 P 10 P 10 P 10 P 2.8 P 2.8.2 P 2.8 P 10 P 4.9 P 10 P 10 P 8.1.3.2 P 3.3.2 P 8.1.3.2 P 12.3 P 10

Verzeichnis der Programme Minimum zweier Doubles Hilfsroutine für BAUPOL Unterprogramm zu Bezier-Splines Eine komplexe Nullstelle für MULLRV Muller: alle komplexen Wurzeln eines Polynoms Nachiteration zum Gauß-Algorithmus Unterprogramm zu BURIEXTR Newton für einfache Nullstellen Newton für mehrfache Nullstellen Hornerschema zu NEWPOL Polynomauswertung zu NEWEIN Newtonsches Interpolationspolynom Unterprogramm zu zweidimensionalen Oberflächensplines Überbestimmtes System mit gedämpftem Newton Maximumnorm zweier Vektoren Unterprogramm zum QR-Verfahren Rahmenprog. für Einschlußverfahren Stützstellen, Gewichte für Gaußsehe Quadraturverfahren Include-File mit Typ-Deklaration Kommandozeilen-Parameter Hermitesche Spline-Interpolation Kubische Spline-Interpolation Unterprogramm zu den SPLINE-Routinen Unterprogramm zu den SPLINE-Routinen Pegasus für NULLST Pegasus- Verfahren Pegasus-King für NULLST Unterprogramm zu ISPLTR Pivot: Inverse Matrix mit Austauschverfahren Unterprogramm zu den SPLINE-Routinen Unterprogramm zu den SPLINE-Routinen Approximation durch diskrete orthogonale Polynome Polynomdivision für MULLRV Unterprogramm zu POAUGE Berechnung zweidimensionaler Oberflächensplines Unterprogramm zu den SPLINE-Routinen

MIN MKONST MOKUBE MULLER

505 560 809 538

MULLRV NACHIT NENNER NEWEIN NEWMOD NEWPOH NEWPOL NEWTIP

542 624 884 508 515 511 512 705

NEXT2

818

NGLSYS NORM NORMAL NULLST

645 937 684 521

ORTOGP PAAR PARAMSTR PARMIT PARSPL PARTAB PARTABH PEG PEGASU PEGK PERSPL

854 507 505 724 729 740 741 527 530 528 732

PIVOT PMTAB PMTABH

578 742 743

POAUGE POLDIV POWERT

688 546 690

PROB2 PSPWRT

819 743

Verzeichnis der Programme P 8.1.3.2 Unterprogramm zu POAUGE P 3.3.2 Lösung einer komplexen quadratischen Gleichung P 15.3 Newton-Cotes-Quadraturformel P 15.10 Romberg-Quadraturverfahren PO Umrechnung Grad nach Radiant P 9.7 Rationale Interp olationsfunktion P 12.2 Unterprogramm zu Bezier-Splines P 12.2 Unterprogramm zu Bezier-Splines P 12.2 Unterprogramm zu Bezier-Splines P 13 Nichtparametrische Renner-Subsplines P 13 Unterprogramm zu Akima-RennerSubsplines P 8.1.5.3 Diskrete Fourieranalyse und -synthese P 17.4.3 Ein Runge-Kutta-Schritt im AdamsBashforth-Moulton-Verfahren P 17.4.3 Runge-Kutta-Start für das AdamsBashforth-Moulton-Verfahren P 16.5 Richardson-Extrapolation mit Romberg-Folge P 17.3.7 Runge- Kutta- Ein bettungsformel 2./3. Ordnung P 18.2 Randwertproblem 1. Ordnung mit Schießverfahren Unterprogramm zur Lösung gepackter P 12.3 linearer Gleichungssysteme Unterprogramm zur Lösung gepackter P 12.3 linearer Gleichungssysteme P 15.12 Unterprogramm zum adaptiven Quadraturverfahren P 4.14 Householder: überbestimmte lineare Gleichungssysteme Signum einer Zahl PO P 3.3.3 Hilfsroutine für BAUPOL Unterprogramm zur Lösung gepackter P 12.3 linearer Gleichungssysteme P 8.1.3.2 Unterprogramm zu POAUGE P 8.1.3.4 Diskreter linearer Ausgleich P 8.2.2 Diskreter nichtlinearer Ausgleich Unterprogramm zu PARSPL P 10 Unterprogramm zu den SPLINE-Routinen P 10 Unterprogramm zu den SPLINE-Routinen P 10 Unterprogramm zu den SPLINE-Routinen P 10

499 Q

691

QUADSOLV QUANEC QUAROM RAD RATINT RECHP RECHVP RECHWP RENNER

547 853 856 506 712 810 811 812 844

RENNTANG RFFT

847 696

RKSCHRITT

953

RKSTART

955

RORIEXTR

884

RUKU23

938

RWP

965

SAXPYVW

822

SDOTVW

823

SETPAAR

871

SHOUSE SIGN SKALFK

620 506 561

SKALIER SKALP SLIAU SNLIAU SPLINE SPTAB SPTABH SPWERT

824 693 694 701 734 744 745

746

500 P 12.3 P 12.3 P 12.3 P 12.3 P P P P

10 10 17.3.5 6.2.4

P 12.3 P 2.8 P 4.10.1 P P P P

4.10.1 4.10.1 4.10.2 4.10.2

P 4.10.2 P 17.3.5 PO P 2.8 P 2.8 P 9.5 P P P P

17.3.5 12.1 4.11.2 4.11.2

P 4.11.2

Verzeichnis der Programme Unterprogramm zur Lösung gepackter linearer Gleichungssysteme Unterprogramm zur Lösung gepackter linearer Gleichungssysteme Unterprogramm zur Lösung gepackter linearer Gleichnugssysteme Unterprogramm zur Lösung gepackter linearer Gleichungssysteme Unterprogramm zu den SPLINE-Routinen Unterprogramm zu den SPLINE-Routinen Koeffizienten für Runge-Kutta-Verfahren Lösung eines linearen Gleichungssystems für BROWN Unterprogramm zur Lösung gepackter linearer Gleichungssysteme Hilfsroutine für NULLST Systeme mit tridiagonaler streng regulärer Matrix Lösung zu TRDIAG Zerlegung zu TRDIAG Lösung zu TRIDSY Systeme mit symmetrischer tridiagonaler positiv definiter Matrix Zerlegung zu TRIDSY Treiber-Routine zu IMRUKU Include-File mit Konstanten-Deklaration Hilfsroutine für NULLST Hilfsroutine für NULLST Auswertung des Newtonsehen Interpolationspolynorns Unterprogramm von IMRUKU Unterprogramm zu bikubischen Splines Lösung zu ZYTRSY Systeme mit symmetrischer positiv definiter zyklisch tridiagonaler Matrix Zerlegung zu ZYTRSY

SSPCO

824

SSPFA

828

SSPSL

832

SSWAPVW STRTAB STRWRT STUETZ

833 746 748 928

SUBST

658

SUMABS TAUSCH

834 529

TRDIAG TRDIGL TRDIGZ TRIDSL

582 583 584 586

TRIDSY TRIDSZ TRIRKV TRUE UPI UP2

587 589 903 507 529 529

WERTNP WURZ XYINTV ZYTRSL

706 922 798 597

ZYTRSY ZYTRSZ

598 599

Zum Thema

Ingenieurwissenschaften im B. 1.-Wissenschaftsverlag Gawehn, W.

Bertram,A.

ANSI C-TURBO C

Axiomatische Einfiihrung in die Kontinuumsmechanik

Eine vollständige Einführung einschließlich der TURBO C-Grafik und der C-Bibliothek. 448 Seiten. 1989. Kartoniert. Gatzemeier, M. (Hrsg.)

Die Grundlagen der Kontinuumsmechanik werden auf mathematisch axiomatische Weise entwickelt. 288 Seiten. 1989. Kartoniert.

Verantwortung in Wissenschaft und Technik

Engeln-Müllges, G.lF. Reutter

Die Problematik der Verantwortung von Wissenschaftlern und Technikern einerseits unter theoretischen Aspekten philosophischer Ethik und Wissenschaftstheorie, andererseits unter praktischen Gesichtspunkten der Wissenschafts- und Technikentwicklung. 450 Seiten. 1989. Gebunden. Waller, H.lR. Schmidt

Schwingungslehre für Ingenieure Grundlagen, Simulation und Anwendung Kompakte Darstellung der Theorie und der numerischen Behandlung von Schwingungen bis zur Aufbereitung von Methoden und Werkzeugen zur Lösung von Schwingungsproblemen aus der Praxis. 720 Seiten. 1989. Gebunden.

Formelsammlung zur Numerischen Mathematik mit Standard-FORTAN 77Programmen Formelsammlung zu den Standardmethoden der Numerischen Mathematik. 6., völlig neu bearbeitete und erweiterte Auflage 1988. 808 Seiten. Gebunden. Klingbeil, E.

Variationsrechnung Einführung für Studenten der Mathematik, Physik und Ingenieurwissenschaften im 2. Studienabschnitt. 2., überarbeitete Auflage. 331 Seiten. 1988. Kartoniert.

DD

Wissenschaftsverlag Mannheim/Wien/Zürich

Zum Thema Mathematik im B.1.-Wissenschaftsverlag Reiffen, H.-J./H.W. Trapp

Weissinger, J.

Differentialrechnung

Spärlich besetzte Gleichungssysteme Eine Einftihrung mit BASIC- und PASCAL-Programmen Beschreibung und Begründung eines direkten, eines iterativen und eines Mehrstufen-Verfahrens mit Beispielen und Programmen in BASIC und PASCAL. 240 Seiten. 1990. Gebunden. Reimer,M.

Constmctive Theory of Multivariate Functions with an Application to Tomography Das Werk behandelt Fragen der Interpolation und Approximation multivariater Funktionen durch Polynome, vor allem über der Sphäre, der Vollkugel und dem Simplex. 288 Seiten. 1990. Kartoniert. Engeln-Müllges, G./F. Reutter

Formelsammlung zur Numerischen Mathematik mit C-Programmen Prägnante Darstellung von Standard-Verfahren der Numerischen Mathematik mit C-Programmen. 768 Seiten. 2., vollständig überarbeitete und erweiterte Auflage 1990.

Lehr- und Lernbuch in einem: eine verständliche Einftihrung, die durch zahlreiche »Lektionen« die Anwendung übt und erleichtert. 386 Seiten. 1989. Kartoniert. Storch, U./H. Wiebe

Lehrbuch der Mathematik für Mathematiker, Informatiker und Physiker Band I: Analysis einer Veränderlichen Eine ausftihrliche Einftihrung in die Analysis einer Veränderlichen (Stetigkeit, Differentiation, Integration) auch unter Berücksichtigung numerischer Verfahren mit zahlreichen Abbildungen, Beispielen und Aufgaben. 546 Seiten. 1989. Gebunden. Band 11: Lineare Algebra Die lineare Algebra unter Einschluß der linearen Differentialgleichungssysteme erster Ordnung unter der elementaren Theorie der normierten Vektorräume. 657 Seiten. 1990. Gebunden.

UD Wissenschaftsverlag Mannheim/Wien/Zürich