Fondamenti di Dinamica e Vibrazione delle Strutture Vol. 2 Sistemi continui [Vol. 2] 9788893853774

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L’autore

1. Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni 1 Strutture isostatiche e geometria delle masse 2. Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni 2 Strutture iperstatiche e verifiche di resistenza 3. Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni 3 Introduzione all’analisi probabilistica delle strutture 4. Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni 4 Temi d’esame 5. Scienza delle Costruzioni 1 Teoria dell’elasticità 6. Scienza delle Costruzioni 2 Teoria della trave 7. Lezioni di Scienza delle Costruzioni 8. Fondamenti di analisi matriciale delle strutture 9. Fondamenti di dinamica e vibrazione delle strutture 1 10. FONDAMENTI DI DINAMICA E VIBRAZIONE DELLE STRUTTURE 2 11. Teoria delle strutture 1 12. Teoria delle strutture 2

ISBN 978-88-9385-377-4

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Fondamenti di dinamica e vibrazione delle strutture 2

Collana di Scienza delle Costruzioni:

10

Erasmo VIOLA

E. Viola 

Erasmo VIOLA Laureatosi con lode in Ingegneria Civile, all’Università degli Studi di Napoli il 30 luglio 1973, dal 1° novembre dello stesso anno ha ricoperto ruoli diversi presso l’Istituto di Scienza delle Costruzioni dell’Università di Bologna: Borsista, Assistente Ordinario, Prof. Associato e Prof. Ordinario. È stato per circa 25 anni Coordinatore dei Dottorati di Ricerca in Meccanica delle Strutture, prima, e di Ingegneria Strutturale ed Idraulica dopo. Nel periodo 2002- 2017 ha svolto anche la funzione di Responsabile Scientifico del Centro di Ricerche CIMEST dell’Università di Bologna. Nel corso degli anni ha svolto una intensa attività didattica e di ricerca. I risultati scientifici conseguiti sono ampiamente riconosciuti anche in ambito internazionale.

Collana di Scienza delle Costruzioni di

Fondamenti di DINAMICA E VIBRAZIONE DELLE STRUTTURE Volume secondo: Sistemi continui

Collana di Scienza delle Costruzioni di Erasmo Viola

Erasmo VIOLA

Fondamenti di DINAMICA E VIBRAZIONE DELLE STRUTTURE Volume secondo: Sistemi continui

ISBN  © Copyright 2023. Società Editrice Esculapio s.r.l. Via Terracini, 30 – 40131 Bologna www.editrice-esculapio.com – [email protected]

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«Se davvero è saggio, il maestro non vi invita ad entrare nella dimora del suo sapere, ma vi guida alla soglia della vostra mente. E colui che è esperto nella scienza dei numeri può descrivervi il mondo del peso e della misura, ma oltre non può condurvi, poiché la visione di un uomo non può prestare le proprie ali ad un altro uomo». MHLIL GJBRAN ( 1883-1931)

Indice

1. VIBRAZIONI LONGITUDINALI DELLE TRAVI

1.1. 1.2. 1.3.

1.4.

1.5. 1.6. 1.7. I .8.

1.9.

1.1 O. 1.11.

I. I 2.

............................. .

Sistemi continui e discreti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sommario del capitolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equazione del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Equazioni generatrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Equazione fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3. Equazione d'onda unidimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soluzione dell'equazione del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1. Metodo di separazione delle variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2. Autovalori ed autofunzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3. Condizioni iniziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esempio 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esempio 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ortogonalità dei modi naturali di vibrare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1. Osservazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vibrazioni longitudinali forzate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1. Valutazione della risposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equazioni nello schema delle teorie fisiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I. 7. I. Energia potenziale elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Osservazione sulle condizioni al contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.1. Condizioni di vincolo semplice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.2. Condizioni di vincolo complesso Applicazione del principio di Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.1. Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.2. Calcolo dei termini energetici e di lavoro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.3. Variazioni dei termini energetici e di lavoro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cenni sul metodo degli elementi finiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Metodo di Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11. I. Equazione differenziale del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11.2. Forma debole del!' equazione differenziale del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11.3. Funzioni di forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11.4. Interpolazione della funzione test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I. I 1.5. Forma semi-discretizzata della formulazione debole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Metodo delle equazioni di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.12.1. Termini di energia e di lavoro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I

2 3 3

5 5 6 6

8 9 II 17 19 21 21 24 25 29 29 29 32 34 34 35 36 38 39 39 40 42 45 45 48 48

VI 1.12.2. Matrice di massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.12.3. Matrice di rigidezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I. 12.4. Vettore dei carichi nodali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.12.5. Equazione del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I. I J Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49 49 50 51 52

2. VIBRAZIONI TRASVERSALI E TORSIONALI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

2. I. 2.2.

2.3.

2.4. 2.5.

2.6.

Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Vibrazioni trasversali delle funi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.2.1. Ipotesi semplificative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.2.2. Equazione del moto forzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.2.3. Equazione del moto libero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.2.4. Soluzione stazionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.2.5. Detem1inazione dei modi naturali di vibrare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Esempio 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.2.6. Schema delle teorie fisiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 2.2.7. Applicazione del principio di Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.2. 7.1. Calcolo dei termini energetici e di lavoro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.2.7.2. Variazione dei termini energetici e di lavoro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Vibrazioni torsionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2.3.1. Equazione del moto forzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2.3.2. Equazione del moto libero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2.3.3. Soluzione stazionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2.3.4. Condizioni spaziali al contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.3.4.1. Estremità fissate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.3.4.2. Estremità libere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 2.3.4.3. Trave avente un estremo libero e un estremo incastrato . . . . . . . . . . . . 86 2.3.4.4. Osservazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Esempio 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 2.3.5. Schema delle teorie fisiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 2.3.6. Applicazione del principio d1 Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Mensola con sola deformabilità tagliante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Trattazione unificata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 2.5.1. Equazione delle oscillazioni libere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 2.5.2. Velocità di propagazione delle onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 2.5.3. Soluzione stazionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 2.5.4. Relazioni di ortogonalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I 02 Esercizi ............................. : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I 02

3. VIBRAZIONI FLESSIONALI DELLE TRAVI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 3.1. 3.2.

Premessa e sommario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equazione del moto forzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Equazione indefinita di equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Equazioni di congruenza e di legame elastico ........................... 3.2.3. Equazione fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

115 116 118 119 120

VII 3.2.4. Osservazioni ..................................................... Oscillazioni libere ...................................................... 3.3.1. Equazioni delle forme modali e dei moti armonici ....................... 3.3.2. Soluzione dell'equazione dei modi normali ............................. 3.3.3. Autovalori ed autofunzioni ......................................... Esempio 3.1 ..................................................... Esempio 3.2 ..................................................... Esempio 3.3 ..................................................... 3.4. Pulsazioni naturali per differenti condizioni di vincolo ......................... Esempio 3.4 ..................................................... 3.5. Ortogonalità dei modi naturali di vibrazione trasversale delle travi ................ 3.5.1. Differenti condizioni di ortogonalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2. Normalizzazione dei modi naturali ................................... 3.6. Oscillazioni forzate ..................................................... 3.6.1. Premessa ........................................................ 3.6.2. Equazione modale ................................................ Esempio 3.5 ..................................................... 3.7. Equazioni della trave inflessa nello schema delle teorie fisiche ................... 3.8. Condizioni al contorno complesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.1. Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.2. Vincoli cedevoli alla traslazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.3. Molle e smorzatori torsionali ........................................ 3.9. Applicazione del principio di Hamilton ..................................... 3.9.1. Premessa ........................................................ 3.9.2. Calcolo dei termini energetici e di lavoro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9.3. Variazioni dei termini energetici e di lavoro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9.4. Equazione del moto e condizioni ai limiti .............................. 3. l O. Influenza dello sforzo assiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10.1. Oscillazioni libere ................................................ 3.10.2. Trave appoggiata agli estremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esempio 3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.11. Moto impresso alla base di una mensola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 .12. Metodo di Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.12.1. Equazione differenziale del moto ..................................... 3.12.2. Forma debole dell'equazione del moto ................................ 3.12.3. Funzioni di forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.12.4. Formulazione agli elementi finiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.12.5. Calcolo di matrici e vettori .......................................... 3.13. Metodo delle equazioni di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 .13. I. Termini energetici e di lavoro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.13.2. Interpolazione della funzione spostamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.13.3. Matricedimassa ................................................. 3.13.4. Matrice di rigidezza ............................................... 3.13.5. Vettore dei carichi nodali generalizzati ................................ 3.13.6. Equazione del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.14. Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.

121 122 122 124 126 127 132 135 137 142 144 I 44 146 147 147 147 150 153 155 155 156 160 161 161 162 163 165 166 166 169 172 173 176 176 177 179 181 183 186 186 187 188 189 190 191 192

VIII 4. VIBRAZIONI DI MEMBRANE E PIASTRE SOTTILI

4.1. 4.2. 4.3.

Introduzione e sommario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equazione del moto forzato della membrana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oscillazioni libere della membrana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................... 4.3.1. Membrana di forma rettangolare ..................................... Esempio 4.1 ...................................................... 4.4. Vibrazioni flessionali delle piastre sottili 4.5. Ipotesi cinematica e componenti di deformazione ............................. 4.6. Tensioni e caratteristiche di sollecitazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7. Equazioni indefinite di equilibrio .......................................... 4.8. Equazioni di le:game costitutivo elastico ..................................... 4.9. Equazione fondamentale ................................................. 4. 9.1. Schema delle teorie fisiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9.2. Variabile energetica ............................................... 4.10. Vibrazioni libere delle piastre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. I O. I. Piastre rettangolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esempio 4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. I I. Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

211 211 213 216 217 219 220 223 225 229 233 235 236 239 239 241 244 245

5. DINAMICA ALEATORIA ................................................... 253

5.1.

5.2.

5.3.

5.4.

5.5.

Vibrazioni casuali e deterministiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1. Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. I .2. Processo stocastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3. Variabil,e aleatoria dipendente dal tempo ............................... Definizioni di probabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1. General.ità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esempio 5.1 ..................................................... 5.2.2. Definizione classica di probabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esempio 5.2 ..................................................... 5.2.3. Definizione frequentista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.4. Definizione soggettivista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.5. Definizione assiomatica di probabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teoremi della probabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1. Teorema della probabilità totale ..................................... , 5.3.2. Probabilità condizionata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3. Teorema della probabilità composta e teorema di Bayes ................... 5.3.4. Eventi indipendenti .............. : ................................ Variabile aleatoria continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1. Esempi di grandezze aleatorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2. Istogramma e poligono delle frequenze ................................ 5.4.3. Distribuzione di probabilità ......................................... 5.4.4. Funziorn: di ripartizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Distribuzione di probabilità delle ampiezze di un segnale ....................... 5.5.1. Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.2. Proprietà della funzione densità di probabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

253 253 254 256 257 257 259 260 261 263 264 265 266 266 268 270 271 272 272 272 275 277 280 280 283

IX 5.5.3. 5.5.4. 5.5.5. 5.6. Valori 5.6. l. 5.6.2.

Probabilità di eventi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Densità di probabilità uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Densità di probabilità di Reyleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . aspettati e loro significato geometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Definizione di valore aspettato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Interpretazione geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esempio 5.3 ..................................................... 5.6.3. Densità normale con media nulla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7. Processi stocastici stazionari ed ergodici .................................... 5.7.1. Medie sull'insieme delle realizzazioni ................................. 5.7.2. Medie temporali .................................................. 5.7.3. Processo ergodico ................................................. 5.7.4. Medie di insieme e medie temporali .................................. 5.7.5. Osservazione .................................................... 5.8. Risposta del sistema ad eccitazione casuale .................................. 5.8. I. Premessa ........................................................ 5.8.2. Sistema lineare eccitato da forzante aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8.3. Valore medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8.4. Processo ergodico e gaussiano ....................................... 5.8.4.1. Forzante esterna .......................................... 5.8.4.2. Moto impresso al supporto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8.5. Problemi di verifica e di progetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esempio 5.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9. Determinazione del valore quadratico medio e della densità di potenza spettrale ..... 5.9.1. Determinazione del valore quadratico medio ........................... 5.9.2. Calcolo della funzione di densità di potenza spettrale ..................... 5.9.2.1. Calcolo mediante operazioni analogiche ....................... 5.9.2.2. Calcolo attraverso lo sviluppo in serie di Fourier ................. 5.10. Relazioni generali per sistemi a più gradi di libertà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 O. I. Trasformata e antitrasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10.2. Analisi nel dominio del tempo ....................................... 5.10.2.1. Correlazione ed autocorrelazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10.2.2. Proprietà della funzione di autocorrelazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. I O.2. 3. Osservazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10.3. Analisi nel dominio della frequenza .................................. 5.10.3.1. Densità spettrale di potenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. 10.3.2. Densità spettrale incrociata .................................. 5.10.3.3. Proprietà della densità spettrale di potenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. I 0.4. Relazioni tra ingresso e uscita nel dominio del tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10.5. Matrice delle funzioni del sistema .................................... 5.11. Proprietà dei sistemi a più gradi di libertà nello spazio modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.11. I. Equazioni del moto nello spazio modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 I .2. Matrice di trasferimento nello spazio modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.12. Caratterizzazione delle grandezze fisiche e modali ............................. 5.12.1. Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. I 2.2. Val or medio di un vettore di processi aleatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

283 284 286 287 287 289 291 294 299 299 301 303 303 304 305 305 306 308 309 309 3 IO 3I I 313 316 316 318 318 320 322 322 323 323 324 324 325 325 326 327 327 331 336 336 339 341 341 342

X

5.12.3. Definizione delle matrici di correlazione e di densità di potenza . . . . . . . . . . . . 5.12.4. Relazioni tra le matrici di correlazione e di densità spettrale ............... 5.12.5. Matrice di potenza spettrale ......................................... 5.13. Teorema di Parseval per i sistemi a più gradi di libertà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.13.1. Enunciato del teorema e deduzioni ................................... 5.13.2. Relazioni nello spazio modalt: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.14. Statistiche dell'eccitazione e della risposta ................................... 5.14.1. Premessa ........................................................ 5, 14.2. Statistiche delle forze nodali ........................................ 5.14.3. Statistiche delle forzanti generalizzate ................................. 5.14.4. Statistic:he della risposta generalizzata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.14.4.1. Dominio della frequenza .................................... 5.14.4.2. Dominio del tempo ........................................ 5.14.5. Risposta nodale in termini di risposta generalizzata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.14.5.1. Matrice di correlazione ...................................... 5.14.5.2. Matrice di densità d:i potenza ................................. 5.14.5.3. Relazioni tra matrice di correlazione e matrice di densità spettrale 5.14.6. Risposta nodale in termini di eccitazione nodale ........................... 5.14.7. Matrice di potenza spettrale della risposta nodale ......................... 5.15. Esercizi ..............................................................

343 344 345 346 346 348 349 349 350 351 352 353 354 356 356 358 359 359 360 363

6. TECNICHE DI IDENTIFICAZIONE DffNAMICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 6.1.

Legame tra le variabili di ingresso e di uscita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1. Premessa ........................................................ 6.1.2. Modelli parametrici e a scatola nera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2.1. Modello spaziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2.2. Modello delle funzioni di trasferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2.3. Modello modale .......................................... 6.2. Funzione di trasferimento dei sistemi ad un grado di libertà ..................... 6.2.1. Modulo della funzione di trasferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2. Parte reale e parte immaginaria della risposta ........................... 6.2.3. Metodo di Nyquist ................................................ 6.2.4. Osservazione sull'indice di smorzamento .............................. 6.3. Funzioni di trasferimento dei sistemi ad N gradi di libertà ..................... 6.3.1. Richiami delle equazioni dell'analisi modale ........................... 6.3.2. Eccitazione armonica in un solo punto ................................ 6.3.3. Calcolo delle funzioni di trasferimento ................................ 6.3.4. Matrice di trasferimento ........... '. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.4.1. Rappresentazione nello spazio modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.4.2. Rappresentazione nello spazio fisico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.5. Differenti rappresentazioni della funzione di trasferimento . . . . . . . . . . . . . . . . Esempio 6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4. Prove sperimentali ...................................................... 6.4.1. Premessa ........................................................ 6.4.2. Eccitazione della struttura ..........................................

365 365 366 366 368 369 370 3 70 373 374 377 377 377 381 383 385 385 387 389 391 401 401 401

XI

6.5.

6.6.

6.7.

6.8.

6.4.3. Tipi di eccitazione ................................................ 6.4.4. Apparecchiature di eccitazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.5. Rilevazione delle grandezze fisiche ................................... 6.4.5.1. Accelerometro piezoelettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.6. Acquisizione ed analisi dei dati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.7. Teorema del campionamento ........................................ 6.4.8. Funzione di coerenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.9. Osservazioni e sintesi .............................................. 6.4.10. Fasi operative di una prova dinamica ................................. Funzioni di trasferimento sperimentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.1. Determinazione della prima colonna della matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.2. Stima della matrice modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.3. Curve rigenerate della matrice di recettanza ............................ Identificazione dei sistemi strutturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.1. Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.2. Identificazione dei parametri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.3. Minimi quadrati non lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Metodo statistico ....................................................... 6. 7. I. Matrice di sensitività . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7.2. Espressione dello stimatore .......................................... 6.7.3. Identificazione delle matrici di massa e di rigidezza ...................... Esempio 6.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

402 404 408 409 410 412 413 414 414 417 417 419 421 421 421 422 423 426 426 429 429 431 438

Appendice A. DEFORMAZIONI FINITE ......................................... 441

A. I. Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441 A.2. Applicazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443 BIBLIOGRAFIA .............................................................. 447

1

Vibrazioni longitudinali delle travi

«Ciò che contraddistingue le menti veramente originali non è di essere i primi a vedere qualcosa di nuovo, ma di vedere nuovo ciò che è vecchio, conosciuto da sempre e, per questo, trascurato da tutti». NIETZSCHE

(1844-1900)

1.1. SISTEMI CONTINUI E DISCRETI I sistemi continui hanno infiniti gradi di libertà, poiché una generica configurazione del sistema continuo è fissata da una infinità di parametri, o coordinate. Il comportamento dinamico dei sistemi continui viene descritto da equazioni differenziali alle derivate parziali, poiché le grandezze che definiscono il moto del sistema dipendono sia dal tempo, che dallo spazio. Per i sistemi discreh: invece, aventi un numero finito di gradi di libertà, la configurazione del sistema è descritta da parametri che risultano essere funzioni soltanto del tempo. Pertanto, le equazioni differenziali del moto di un sistema discreto sono alle derivate totali. Giova rilevare che il sistema discreto ed il sistema continuo rappresentano, in generale, dei modelli matematici di uno stesso sistema fisico. La soluzione in forma chiusa di un sistema continuo vibrante, può essere ottenuta solo nei casi particolari in cui la massa e le proprietà elastiche sono uniformemente distribuite. Il moto del sistema viene descritto da una funzione del tempo t e della coordinata spaziale, che individua il generico punto della struttura. Si tratta del moto perturbato attorno alla configurazione di equilibrio statico. In altri termini, nei parr. seguenti verranno analizzate le piccole vibrazioni nell'intorno della configurazione di equilibrio statico. Per tutti gli elementi strutturali (trave, filo, membrana, piastra), le equazioni del moto possono essere ottenute definendo le equazioni di equilibrio dinamico per il generico elemento di materia, posto nella configurazione corrente.

2

1.2. SOMMARIO DEL CAPITOLO In questo capitolo vengono analizzate le vibrazioni longitudinali delle travi, ossia le oscillazioni lungo l'asse della trave. Viene ricavata l'equazione del moto delle vibrazioni longitudinali libere:

{ 1.2. I)

ox 2

c2

ot 2

ove c2 = E/µ denota il quadrato della velocità di propagazione delle onde longitudinali, E definisce il modulo di elasticità del materiale e µ la densità di massa. Come soluzione stazionaria della (1.2.1) si assume l'integrale particolare

{ 1.2 .2)

u(x, t) = U(x)g(t)

ove u ( x, t) è la funzione che descrive lo spostamento assiale della sezione corrente di ascissa .r, all'istante t . Con la posizione (1.2.2), la (I .2.1) si trasfonna in due equazioni differenziali ordinarie. La funzione spaziale U( x) , detta anche funzione normale, oppure funzione principale, soddisfa all'equazione differenziale dei modi normali (modi naturali, oppure modi principali): (l.2.3)

La funzione del tempo g( t) soddisfa l'equazione differenziale: dei moti am1onici (1.2.4)

d2 g(t) ? --?-+w-g(t)=O

dt-

oppure

g(t)+w 2 g(t)=O

1!ssendo ( 1.2 .5)

w

==be= b ~

ia pulsazione con cui vibra la generica sezione della trave. Il parametro b verrà specificato nel seguito. L'integrale generale del moto libero del sistema ammette la rappresentazione 00

(l.2.6)

u(x, t) = ~(An cos wnt + Bn sen-wnt)( Cn cos bnx + Dn sen bnx) n=l

Le costanti Cn e Dn si determinano in base alle condizioni di vincolo agli estremi della 1rave, dette anche condizioni ai limiti, oppure al contorno. Le costanti An e Bn, invece, risultano determinabili dalle condizioni iniziali del moto assegnando, ad esempio, la distribuzione di spostamenti u 0 (x) e di veloc:ità u0 (x) all'istante iniziale t =O. I coefficienti on( n

=0

l, 2, ... ) prendono il nome di autovalori.

3

1.3. EQUAZIONE DEL MOTO 1.3.1. Equazioni generatrici Per studiare le vibrazioni longitudinali nel solido mono-dimensionale di fig. 1.1.a, si consideri l'elemento di trave di lunghezza dx illustrato in fig. 1.1.b, sollecitato dal carico assiale esterno p(x, t), funzione dell'ascissa x e del tempo t. Sulla sezione di ascissa x, avente area A( x) , agisce lo sforzo assiale N ( x, t) ; in corrispondenza della sezione posta ali' ascissa x + dx , avente area

dA A(x +dx)= A(x) + -dx dx

(1.3.1) lo sforzo assiale vale

( 1.3 .2)

N(x+dx,t)=N(x,t)+

oN(x, t) ox dx

Si indichi con u( x, t) lo spostamento dalla posizione di equilibrio, nella direzione dell'asse della trave, della sezione trasversale situata all'ascissa x, al tempo t .

p(x, t)

a)

o

X

dx

X

~

y

N(x, t)

I

A(\I i(j/A(x

+ dx)

b)

N(x,t)+ aN!,t) dx p(x, t)

Figura 1.1. a) Trave con massa e carico assiale distribuiti, sollecitata a sforzo normale N ; b) forze agenti sull'elemento di trave di lunghezza infinitesima dx in condizioni stazionarie.

4

La massa dm relativa a tale elemento di lunghezza infinitesima dx può scriversi

(1.3.3)

dm

= µAdx = mdx

ove µ denota la massa per unità di volume, ossia la densità del materiale. II prodotto µA = m indica la massa per unità di lunghezza. Si suppone che: a) durante la deformazione, la sezione retta rimane piana e ortogonale all'asse del solido; b) il modulo di elasticità del materiale E = E( x) può variare con l'ascissa x ;

e:) il materiale è elastico lineare, ossia il legame tra la tensione a = a x e la deformazione f: = Ex è del tipo

( 1.3 .4) Il modulo di elasticità nonna/e E è detto anche modulo di Youngdel materiale. Nella (1.3.4), le grandezze E = E(~,, t) e a = a(x, t) dipendono sia dall'ascissa x, che dal tempo t. Tuttavia, per semplicità, a volte verrà omessa la dipendenza delle varie grandezze dai due parametri x e t in argomento. La ( 1.3 .4) prende il nome di equazione costitutiva, oppure equazione di legame. La deformazione E = Ex è la derivata, rispetto ad x , della funzione spostamento u = u( x, t) nell'ipotesi di piccole deformazioni: ( 1.3 .5) La (1.3.5) prende il nome di equazione di congruenza, detta anche equazione cinematica, oppure equazione di definizione. Lo sforzo assiale N = N ( x, t), nella sezione di ascissa x ed al tempo t , è fornito dal prodotto dell'area A = A( x) della sezione trasversale per la tensione a = a( x, t) : 0

( 1.3 .6)

N=Aa

L'equazione del moto può essere dedotta considerando l'equilibrio dell'elementino di fig. 1.1.b, sotto l'azione delle forze indicate nella figura stessa. La forza d'inerzia dF1 agente sulla massa dm _(1.3.3) risulta essere ( 1.3 .7) Difatti, supponendo l'accelerazione positiva, ossia: ( 1.3 .8)

5

la forza d'inerzia dF1 (1.3.7) ha il verso opposto a quello dell'asse x della trave. Considerando tale forza d'inerzia, unitamente a quelle applicate all'elementino di fig. 1.1.b, l 'equilibrio alla traslazione nella direzione longitudinale dell'asse del solido in parola porge ( 1.3 .9)

p(x, t)dx + [ N(x, t) +

8N(x, t) ] 8 2 u(x, t) ax dx - N(x, t) - µA àt 2 dx= O

da cui si ricava l'equazione indefinita di equilibrio del solido monodimensionale in vibrazione longitudinale 82 u àt 2

àN àx

-+p=µA-

( 1.3 .IO) 1.3.2. Equazione fondamentale

L'equazione di legame elastico (1.3.4) può anche scriversi nella fonna

N = EAt:

(1.3.11)

per esprimere la relazione tra la caratteristica di solleçitazione N e la caratteristica di defonnazione g. Introducendo in quest'ultima relazione l'equazione di congruenza (1.3.5), si ha àu N = EAt: = EAàx

( 1.3 .12)

La (1.3.12) combina le equazioni di congruenza e di legame costitutivo. Tenendo conto della (l.3. 12) nella (1.3. IO), si ricava l'equazione fondamentale della trave in vibrazione longitudinale (l.3.13)

a (EAau) au +p=µAàx 2

àx

é)t2

ossia l'equazione indefinita di equilibrio in tennini di spostamenti. La (1.3.13), denominata anche equazione differenziale del moto, riassume in sé i tre aspetti del problema dell'equilibrio elastico: congruenza, legame costitutivo elastico ed equilibrio. 1.3.3. Equazione d'onda unidimensionale Nel paragrafo precedente è stata ricavata l'equazione alle derivate parziali del secondo ordine (l .3 .13 ), che esprime il moto longitudinale forzato della trave in funzione dello spostamento u = u( x, t) . Indicando con l'apice la derivata rispetto a x e con il punto la derivata rispetto al tempo, la (l.3.13) assume l'aspetto (1.3.14)

(EAu')' = µAu - p

6

Supponendo E, A costanti, p

= O , la (1.3.13) si scrive

( 1.3 .15) essendo ( 1.3 .16) la velocità di propagazione delle onde longitudinali nelle aste, ossia nelle travi sollecitate a i:forzo assiale. La (l.3.15) è denominata anche equazione d'onda unidimensionale, oppure, più semplicemente, equazione delle onde. Si può anche affermare che la ( 1.3 .15) definisce il moto longitudinale libero della trave.

ll.4. SOLUZIONE DELL'EQUAZIONE DEL MOTO

l.4.1. Metodo di separazione delle variabili L'equazione del moto delle oscillazioni longitudinali libere si ricava dalla ( 1.3 .13) ponendo la forzante esterna p( x, t) uguale a zero: (1.4.1) La (1.4.1) è valida nell'ipotesi che la costante di rigidezza EA non dipenda dall'ascissa x. Si supponga che il moto della sezione di ascissa x della trave sia descritto dall'equazione u(x,t) = U(x)g{t)

( 1.4 .2)

e:ssendo U = U( x) e g = g( t) funzioni di una sola variabile, rispettivamente, dell'ascissa 3; e del tempo t. La {l.4.2) rappresenta una soluzione stazionaria, detta anche soluzione generale, dell'equazione differenziale ( 1.4.1 ). Le prime due derivate della funzione u = u( x, t) sia rispetto al tempo, sia rispetto alla variabile x ammettono, nell'ordine, le rappresentazioni ( 1.4 .3)

u=

au(x, t)

(l .4 .4)

u=

a2u(x,t)

(l .4 .5)

u'

(l .4 .6)

u" = a2u(x,t) = U"(x)g(t)

at

=

U(x)g(t)

= U(x)g(t)

8t 2

=

au(x, t) ax (13;2

= U'(x)g(t)

7

Per le (1.4.4) e (1.4.6), la (1.4. l) può porsi nella forma EAU"(x)g(t) = mU(x)g(t)

(l .4 .7)

ove si è indicato con m = µA la massa per unità di lunghezza della trave. L'equazione (l.4.7) assume l'aspetto ( l.4 .8)

1 U"(x)

··(t)

/3

g(t)

- - - - = -9 U(x)

1

= costante = -w-

ove si è posto (I) 1 {3=.!!!_=f:!:...=EA E c2

( l.4 .9)

il primo termine della (l .4.8) è una funzione della sola ascissa x , mentre il secondo

g( t) / g( t) è funzione del tempo. Pertanto, l'uguaglianza tra le due funzioni in parola richiede che ciascuna di esse sia una costante, indicata con -w 2 per semplicità. Dalla (I .4.8) si ricavano due equazioni differenziali ordinarie

=O

(l.4.10)

g(t) + w 2 g(t)

(l.4.ll)

U'\ X) + b2 U (X) = 0

ove b2 denota (1.4.12)

1

b-

1

mw 2 = -w 2 2

= {3w- = -

EA

c

L'equazione ( 1.4.11) prende il nome di equazione differenziale dei modi nonna/i, oppure delle fanne modali. La (1.4.10) rappresenta l'equazione differenziale dei moti annonici, di cui si è già discusso nel par. 3 .2.2 del Voi. 1. La soluzione generale della ( 1.4. lO) può esprimersi in vari modi (cfr. Esercizio 3.1, Voi. 1). Ad esempio, si può porre: ( l .4.13) Le (l.4.2) e (1.4.10) avvertono che la sezione della trave posta all'ascissa x, oscilla armonicamente attorno alla posizione di equilibrio con ampiezza U(x). Affinché le oscillazioni armoniche risultino stabili, poi, la funzione g( t) deve essere limitata per tutti gli istanti t .

(1)11 metodo di soluzione che consiste nel ricercare la soluzione della (1.4.l) mediante la posizione ( 1.4.2), prende il nome di metodo di separazione delle variabili. La soluzione stessa è detta soluzione a

variabili separabili. La costante indicata in ( 1.4.8) con -w 2 è denominata costante di separazione. Nel metodo di separazione delle variabili, ove si ricerca la soluzione della ( 1.4. l) nella forma ( 1.4.2), l'esistenza e l'unicità della soluzione vengono verificate a posteriori.

1.4.2. Autovalori ed autofunzioni La soluzione generale della (1.4.11) può scriversi nella forma seguente (l.4.14)

u(X) = e cos bx + D sen bx

ove le costanti C e D si determinano in base alle condizioni ai limiti, dette anche condizioni

,li contorno, oppure condizioni agli estremi della trave. Giova rilevare che, quando si impongono le condizioni di vincolo agli estremi della trave, per ricavare le costanti C e D della soluzione ( 1.4.14 ), le cc.ndizioni stesse risultano soddi!;fatte :mio per particolari valori (l.4.15) del parametro b (1.4.12), detti autovalon; oppure valori caratteristici, o anche valori propri. In corrispondenza degli autovalori (l.4.15), la (1.4.12) consente di calcolare le frequenze

naturali, conosciute anche come frequenze proprie del sistema: (l.4.16) Nell'uguaglianza più a destra della (I .4.16), e denota la velocità di propagazione delle onde longitudinali nella barra. Le condizioni ai limiti non possono, in generale, essere soddisfatte da soluzioni dell'equazione data con valori arbitrari di b . Le condizioni al contorno vincolano b ad assumere solamente certi valori, detti autovalori. Gli autovalori costin1iscono un insieme numerabile, che prende il nome di spettro. Fisicamente, si può affermare che la trave, nelle oscillazioni libere, può assumere solo determinate forme (configurazioni) e ciascuna di esse corrisponde ad un autovalore. Dato che non si può passare con continuità da una configurazione ali' altra, si giustifica I' esist,:nza di autovalori in successione discreta, oppure, di uno spettro discreto di autovalori. Le soluzioni dell'equazione che soddisfano alle condizioni ai limiti, dette autofùnzioni, sono determinate a meno di un fattore costante. L'autofunzìone corrispondente ali' n-esìmo autovalore sì annulla

n - 1 volte all'interno dell'insieme di definizione. L'autofunzione corrispondente al primo autovalore prende iii nome dì armonica fondamentale, mentre le restanti autofunzionì si dicono armoniche superiori. Ali' armonica fondamentale corrisponde la frequenza fondamentale, mentre le armoniche superiori sono associate alle frequenze :;uperiori.

All'autovalore bn, oppure alla frequenza naturale wn resta associata I' autofunzione Un, detta anche funzione caratteristica, funzione propria, oppure modo proprio di vibrare ( I .4 .17)

9

La ( 1.4.17) definisce la fonna del n-esimo modo naturale di vibrazione (detta anche fonna modale) e verifica l'equazione dei modi nonna/i: ( 1.4 .18) Per le (1.4.13) e (1.4.17), una soluzione della (1.4.1) può esprimersi nella fonna

( 1 .4 . I 9) La (1.4. I 9) esprime la soluzione corrispondente all'n-esimo autovalore bn, per n= 1,2, ....

La soluzione genera/e dell'equazione differenziale del moto ( 1.4.1) risulta essere una combinazione lineare delle soluzioni ( 1.4.19): 00

( 1.4 .20)

u.(x, t) = L

00

anu.n(x, t)

n=I

= L(An cos wnt + Bn sen wnt)UnCx) n=I

I coefficienti di ex- 1 , ex- 2 , ••• , della combinazione lineare (1.4.20) sono incorporati nelle costanti An e Bn dell'ultima uguaglianz.a delle (1.4.20) stesse. Quando le condizioni iniziali sono generiche, risultano eccitati tutti i modi di vibrare Un( x) . Detti modi compariranno con coefficienti non nulli nella scrittura dell'integrale generale (1.4.20). Pertanto, il moto del sistema può essere inteso come combinazione lineare dei modi di vibrare del sistema stesso.

La tab. 1.1 illustra le condizioni al contorno, le equazioni delle frequenze, le funzioni normali e le espressioni delle pulsazioni naturali per tre problemi di vibrazioni longitudinali libere. I dettagli dei problemi in parola sono riportati negli esercizi. In particolare, la trave a mensola è trattata nell'Esempio I. I.

1.4.3. Condizioni iniziali Le costanti An e Bn , nella ( 1.4.20) possono essere detenninate in base alle condizioni iniziali

u.(x,0) = u 0 (x),

(l.4.21) Le funzioni u 0 ( x) e

u0 ( x)

definiscono, nell'ordine, lo spostamento iniziale e la velocità

iniziale. Per la (1.4.20) e le (1.4.21), la configurazione iniziale u. 0 (x) e la distribuzione delle

velocità iniziali

u0 ( x)

ammettono le rappresentazioni 00

( 1.4 .22)

u(x,0) = u. 0 (x) = LAnUn(x) n=I 00

( 1.4 .23)

u(x,0)

= u0 (x) = LwnBnUn(x) n=I

o

Tabella 1.1. Quadro sinottico de!!e condizioni ai limiti, delle equazioni delle frequenze e dei modi naturaii òi vibrazione longitudinale.

Condizioni ai limiti

Trave

Equazione delle frequenze

u(0,t)=0 O'

• X

oppure r

I I

EA àul =O àx x=C

u(O, t) = O

u(e, t) =

EA òu Òx

I

2n- I

le'lrX

o

oppure

~

Trave libera

e

un = Dn sen

=

o

oppure n?T

e

w = -e n e

sen be= O

w = --

x=O

oppure EA àul =O Òx x=C

(2 n- l)n 2e e

wn=nn~ nn Un = Dn sen ex

we sen - = O

o

oppure wn =

sen be= O

Trave incastrata

~

we cos - =

Frequenze naturali

_ (2n- l)n ,/ EA wn 2 me2

cos be= O

~ Trave a mensola I I

Forme modali (funzioni normali)

we sen - = O e

mrc

n

nn un= cn cos ex

e

oppure w =nn n e

i

µ

Il

Moltiplicando i membri delle ( 1.4.22) e (1.4.23) per l'auto funzione U,( x) ed integrando tra O ed l!, , risulta

( 1.4 .24)

( 1.4 .25)

Se si utilizza il risultato, che verrà mostrato nel par. 1.5: per

( 1.4 .26)

r=n

altrimenti ossia la proprietà di ortogonalità dei modi normali di vibrazione, le (1.4.24) e (1.4.25) ammettono le rappresentazioni

( 1.4 .27)

I A,= N T

( 1.4 .28)

B,

1t

1 = -N

w,

u 0 (x)U.(x) dx

Q

1f u

r

0

(x)U,(x) dx

O

per r = 1 , 2 , ... , oo . La (1.4.26) esprime la condizione di ortogonalità delle autofunzioni, ove la costante N, denota il fattore di normalizzazione: (1.4.29)

Esempio 1.1

Determinare le frequenze naturali e i modi naturali di vibrazione longitudinale di una trave a mensola, a sezione costante e di lunghezza e (fig. 1.2). Soluzione Le condizioni ai limiti in corrispondenza dell'incastro H e dell'estremo libero B esprimono lo spostamento nullo u(O, t) e lo sforzo assiale nullo N(€, t) =O, rispettivamente ( I)

u( O, t) =O,

N(e, t)

=O

12

H

~~------------s___ ~

X, U

yj

Figura 1.2. Trave a mensola a sezione costante.

La prima delle ( l) è una condizione geometrica, mentre la seconda è una condizione statica. Essendo la soluzione del problema delle vibrazioni longitudinali esprimibile nella forma (1.4.2), la prima della (I) diventa

( 2)

u(O,t) = U(O)g(t) = O

È: da notare che g( t) descrive il moto armonico della sezione attorno alla posizione di equilibrio. Pertanto, quando g( t) f O deve necessariamente risultare U(O)

( 3)

=O

essendo U = U( x) l'ampiezza di vibrazione della sezione di ascissa x. In base all'equazione costitutiva (1.3.12), la seconda delle (I) può scriversi N(R., t) = EAU'( R,) g (t) =O, avendo indicato con l'apice ' la derivata di u rispetto ad x. Da tale relazione segue che la condizione statica al contorno in argomento prende la forma

( 4)

u'(f, t) = é)u

I

OX x=e

I

=O= dU = U'(f) dx x=e

e:,sendo la costante di rigidezza EA f O . Per le uhime due uguaglianze valgono le considerazioni svolte prima, ma a partire dalla relazione

( 5)

ou~:,t)

= u'(x,t) = U'(x)g(t)

Per la (3), dalla ( 1.4.14), qui di seguito riscritta per comodità:

( 6)

U(x) = Ccosbx+ Dsen bx

13

si ricava

C=O

( 7) e la soluzione generale (6) prende la fonna

U(x)=Dsenbx

( 8) Differenziando la (8) si ha

, dU(x) U (x) = - - = bDcosbx dx

(9)

Nella (9) deve essere D f O poiché, in caso contrario, si avrebbe una soluzione priva di significato. Le (4) e (9), unitamente alla condizione Df O, consentono di scrivere cos bR.

( IO)

=O

La (IO) rappresenta l'equazione caratteristica, detta anche equazione delle frequenze. Le soluzioni della (I O) si desumono dalla condizione

bn € =

( Il)

(n - _!_) 2

1r

,

n= 1,2, ...

e costituiscono gli autovalori, detti anche valori caratten'stici. Dalla (11) risulta:

( 12) Noti i valori propri ( 12), le frequenze naturali si ricavano dalla ( 1.4.16):

potendo scrivere in generale

( 14)

Wn

= b

n

~= b ~A= (2n- l)n ~A= (2n- l)n ~ A µ

n

-m

2 ,:,o

-m

2

-o? m,:,-

ove m denota la massa per unità di lunghezza della trave, mentre µ rappresenta la densità. I modi naturali di vibrazione, ossia le autofunzioni, si ricavano dalla combinazione delle (8) e (12):

(15)

14

Per i = 1 , la ( 15) fornisce il primo modo naturale, detto anche modo fondamentale di vibrazione, oppure prima a1monica o prima fonna modale: ( 16) Per i = 2 la (15) fornisce il secondo modo naturale di vibrazione, detto anche seconda 0

armomca: ( 17)

Il terzo modo naturale di vibrazione è rappresentato da: ( 18) Le prime tre autofunzioni (16)-(18) sono illustrate in fig. 1.3, per D

= 1 . I punti in cui le

funzioni U;( x) intersecano l'asse x prendono il nome di nodi, oppure di punti nodali. I punti di massima vibrazione sono chiamati antinod1~ oppure ventri. La deformata dell' n-esimo modo di vibrare presenta« n » antinodi e« n » nodi. Per l' n-esimo modo di vibrare, la soluzione ( li 9)

assume l'aspetto (20) se la costante D viene conglobata in An e Bn e si assume

(21) per n= 1, 2, .... La soluzione generale si ottiene dalla sovrapposizione di tutte le soluzioni particolari (20). Risulta (22)

La (22) può anche scriversi nella forma 00

(23)

u(x, t) = L(An cos wnt + Bn sen wnt) sen bnx n=I

1.5

Modo 1

1

a)

o

1 U2(x)

Modo2

Antinodo

1

b)

-------

x/ r

I

Qi O,

u(.e, t)

>O

positivi, per definizione, ossia nella direzione dell'asse x . Per le masse in parola sono definite anche le velocità (l.8.11)

·co ,t) = au(O,t) at

u

> O,

·e.e ) = au(.e,t) at

u ,t

>

o

e le accelerazioni ( 1.8 .12)

,t = 82 u( O' t) > O,

.. ( O )

U

!:)1

ut-

·•cl)c., t ) = a2u(.e, t) 8t2

u

>

o

Agli spostamenti (1.8.10), alle velocità (l.8.11) ed alle accelerazioni ( 1.8.12) delle masse risultano associate, nell'ordine, le reazioni elastiche delle molle: ( 1.8.13) le forze viscose-. (1.8.14) e le forze d'inerzia:

( 1.8 .15) Le forz.e (1.8.13)-(1.8.15) sono applicate in fig. 1.9.b, ed hanno il verso opposto all'asse x . Dalla fig. 1.9.b appare che l'equilibrio alla traslazione di ciascuna delle due masse fornisce le relazioni

= m 1 ii.(0,t) + c 1ii(O,t) + k 1 u(O,t)

(1.8.16)

N1

(1.8.17)

N 2 = -m 2 ii.(i,t) -c2 ù(f.,t) - k2 u(f.,t)

Nel caso in esame, si è detto che le forze esterne illustrate in fig. 1.9.c hanno il verso delle forze interne positive di fig. 1.9.d, per cui risulta (1.8.18)

N1

= N(O,t),

Per le ( 1.8.16)-( 1.8.18), si ha la rappresentazione ( 1.8 .19) ( 1.8.20)

m 1 ii(O,t) + c 1 u(O,t) + k 1 u(O,t) = EAau~:,t)

34

1.9. APPLICAZIONE DEL PRINCIPIO DI HAMILTON 1.9.1. Premessa L'equazione del moto forzato (1.3.13) della trave a sezione costante, sollecitata a sforzo assial1e dal carico distribuito p = p(x, t) può ricavarsi anche mediante l'applicazione del principio di Hamilton, scritto nella fonna seguente:

(l.9.1) Nella ( 1. 9.1) si è indicato:

8'T = variazione dell'energia cinetica 'I della trave; 8 = variazione dell'energia elastica di deformazione 'r.Jelbtrave; 8W = variazione del lavoro W delle forze esterne. Per la (1.9.1) si può affennare che la somma delle tre variazioni 8'T, -8, 8W considerate durante un qualsiasi intervallo di tempo ( t 1 , t 2 ) deve essere uguale a zero. Attraverso il principio variazionale {l.9.1) riesce possibile detenninare non solo l'equazione indefinita di equilibrio in tennini di spostamenti, ma anche le condizioni statiche al contorno, denominate anche condizioni naturali. Per fissare le idee si consideri la trave a mensola di fig. 1.1 O, sollecitata lungo l'asse dal carico distribuito per unità di lunghezza p = p( x, t) . In corrispondenza dell'estremo libero è applicato il carico concentrato F = F(t)

( 1.9 .2)

p = p(x, I)

c-;:::::J ~B

C

-

F(I)

...-----------x Figura 1.10. Trave a mensola sollecitata dal carico assiale p = p( x, t} e dal carico concentrato F( t).

35

1.9.2. Calcolo dei termini energetici e di lavoro

In corrispondenza della deformata assiale della trave u = u(x,t)

( 1.9 .3)

1' energia elastica di deformazione della trave assume l'aspetto (1. 7. I O):

(1.9.4)

et>=_!_

(2 EA [ou(x,t)] 2

2 Jo

dx=_!_ ( EAu' 2 dx

òx

2 Jo

L'estremo superiore dell'integrale (1.9.4) denota la lunghezza R. della trave, mentre la derivata prima della funzione u = u( x, t) rispetto ad x è stata indicata nell'ultima uguaglianza con un apice:

òu(x, t) u '( xt ) =u , --=

( 1.9 .5)

òx

'

L'energia cinetica 'T della trave corrispondente al moto longitudinale ( 1.9.3) ammette la rappresentazione ( 1.9 .6)

11R.2

'T = -

o

m(x) [8u(x,t)] ---

111',--~ mu- dx

2

&

dx= -

2 o

Nell'ultima uguaglianza della (1.9.6) si è indicato con il punto la derivata rispetto al tempo Òu(

( 1 .9. 7)

X,

at

t) _ . (

- u x, t

)

Il lavoro W dei carichi esterni è pari alla somma dei lavori W1 del carico distribuito p( x, t) e W 2 del carico concentrato F = F( t) ali' estremo libero della mensola ( 1.9 .8)

Risulta

1c p(x, t)u(x, t) dx= 11', pu dx

( 1.9 .9)

W1 =

(1.9.10)

W 2 = F(t)u(R., t)

36

1.9.3. Variazioni dei termini energetici e di lavoro Per le (1.9.4), (1.9.6), (l.9.9), (l .9.1 O), le variazioni dei tennini energetici sono

( 1.9. Il) 6 = 1t EAu'(x, t)6u'(x, t) dx= [EAu'6u]g - 1\EAu')'6u dx ( 1.9 .12) 6'T = 1i 1nu6ù dx

1 t

(1.9.1i3) 6W1 =

0

.p6udx,

L'uguaglianza più a destra della (l.9.11) tiene conto dell'integrazione per parti. Nella (l .9.11) si è assunto 6u come fattore differenziale ed EAu' come fattore finito. Risulta anche

(1.9.14)

au a 6u'(x, t) = 6u' = 6- = -6u = (6u)' ax ax

Integrando per parti rispetto alla variabile tempo, si ha

( 1. 9 .15) I~ da notare che la variazione della velocità 6u è uguale alla velocità della variazione ( 6u)'

6u = 6au = ~6u = (6u)'

( 1.9 .16)

at

at

poiché gli operatori di variazione 8 e di derivazione

:t

possono commutare tra loro.

L'uguaglianza più a di!stra della (1.9.15) discende dall'ipotesi relativa ai moti sincroni

( 1.9 .17) e:ssendo note le configurazioni u( x, t 1 ) e u( x, t 2 ) agli istanti t 1 (iniziale) e t 2 (finale). Per la (1.9.15), la variazione dell'energia cinetica ammette la rappresentazione

i.ti 8'T J.ti [1t mu8u dx] 1t [ [,t u8u dt] dx = -- i.ti [1t mii6u d~] dt =

(1.9.18)

dt =

m

2

Nelle ultime due uguaglianze sono stati invertiti gli ordini di integrazione. Tenendo conto delle (1.9.11), (1.9.13), (1.9.18), la (1.9.1) diventa

( 1.9 .19)

i.ti {1\-mu + ( EAu')' + p]ou dx+ F(t)6u(e, t) - [EAu' 6u]&} dt = O

37

Nel caso della trave a mensola, fissata in x zione essenziale al contorno, si scrive

= O , la condizione di vincolo, detta anche condi-

u(O,t) = O

( 1.9 .20)

La (l .9.19) deve essere verificata per tutti gli istanti dell'intervallo [ t 1 , t 2 ] , per cui si deve annullare la funzione integranda all'interno delle parentesi graffe: ( 1.9 .21)

le

[-:-mii+ (EAu')' + p]ou dx+ F( t)ou( e, t) - EAu'(e, t)Ou( e, t)

=O

Nella (l.9.21) compare un solo termine di frontiera, essendo nullo il valore della funzione variazione ou( x, t) in corrispondenza del vincolo in x = O 6u(O, t) = O

( 1.9 .22)

La funzione òu = òu( x, t) è arbitraria. Pertanto, se si assume òu( x, t) diversa da zero lungo la trave, ma nulla in x =e, la (l.9.21) diventa ( 1.9 .23)

le

[-mii+ (EAu')' + p]8u dx= O

L'integrale (l.9.23) è uguale a zero per ogni funzione òu, per cui si ha (EAu')' + p = mii

( 1.9 .24) oppure -a

( 1.9 .25)

ax

( EAau) +p=µAa2 u

ax

8t 1

Per la (l .9.24), la (l .9.21) diventa ( 1.9 .26)

[F(t) - EAu'(R.,t)]òu(R.,t)

=O

Assumendo ou = «Su( x, t) , tale che ..x + C 4 senh Àx

ove sono introdotte le nuove costanti C 1 , C 2 , C 3 e C 4 • Se dalle due relazioni (3.3.25) si ricavano le funzioni iperboliche cosh .Àx e senh >..x in termini di quelle esponenziali (I) e si sostituisce nella (3 .3.27), si può scrivere l'integrale generale della (3.3.17) nella forma

(3 .3 .28) ove D 1 , D 2 , D 3 , D 4 sono le nuove costanti arbitrarie. Le quattro costanti arbitrarie che intervengono nelle (3.3.24), (3 .3.27), (3.3.28) caratterizzano la forma modale, oppure il modo normale di vibrare della trave. Tali costanti devono essere calcolate in base alle condizioni di vincolo agli estremi della trave. Le condizioni di vincolo sono due per ogni sezione terminale della trave e si dicono condizioni ai limiti, oppure,

condizioni al contomo. Le condizioni ai limiti permettono di esprimere tre delle costanti in funzione della quarta e di ricavare l'equazione delle frequenze, da cui si deduce il parametro ).. . Trattandosi di vibrazioni libere, non riesce possibile valutare la quarta costante. Questa, infatti, definisce l'ampiezza del moto, che dipende dalle condizioni iniziali .

(1) Dalla (3.3.25) risulta ( 1)

eÀx

= cosh

Àx

+ senh

Àx,

Sommando e sottraendo le (l) si ricavano le espressioni delle funzioni iperboliche ( 2)

in tennini di funzione esponenziale e>-x, e- Àx . Si scrivano ora le due espressioni (3.3.26): ( 3)

e+iÀx

= cos Àx + i sen

Àx,

e-iÀx

= cos Àx

-

i sen

Àx

Sommando e sottraendo membro a membro le (3) si deducono le espressioni del seno e del coseno di ÀX : eiÀx _ e-i>.x

( 4)

senÀx=

Zi

126

3.3.3. Autovalor·i ed autofunzioni Per le (3.3.15) e (3.3.16), la soluzione stazionaria del moto libero a regime (3.3.6) può esprimersi nella forma: (3.3.29)

v(x, t)

= V(x) cos(wt - rp)

oppure (3 .3 .30)

v(x, t)

= V(x)(A cos wt + B sen wt)

Nella (3.3.29) la costante G è assorbita dalle costanti di V(1). Per le (3.3.24), (3.3.27), (3.3.28), la (3.3.29) definisce il moto trasversale di una trave, comunque siano le cndizioni al contorno o le condizioni iniziali. Con riferimento all'espressione (3.3.27) di V(x), ad esempio, si è detto alla. fine del par. precedente, ,che le costanti C;( i = l, 2, 3, 4) si determ ...·1ano in base alle condizioni ai limiti. Dall'esame di tali condizioni, si riconosce che esse possono essere soddisfatte solo se il parametro .\ assume particolari valori (3.3.31) detti autovalori, valori caratteristici, valori latenti, valori principali, oppure valori propri. Al generico autovalore, corrisponde la frequenza propria wn che si deduce dalla (3.3.14):

(3 .3 .32)

per n == l , 2 , ... Oltre che la pulsazione naturafo wn espressa dalla (3.3.32), an'autovalore Àn COITisponde I' autotùnzione V~ ( x) , detta anche funzione caratteristica, oppure funzione propria, definita a meno di una costante. La funzione spaziale Vn ( x) , che definisce la deformata assunta dalla tra.ve in corrispondenza della generica pulsazione propria wn, prende anche il nome di n-esimo modo (naturale o proprio) di vibrare del sistema. Potendo scrivere in corrispondenza di wn (3 .3 .33)

il generico integrale particolare della (3.3 .1) ammette la rappresentazione (3 .3 .34)

127

Essendo l'equazione delle oscillazioni libere della trave lineare, l'integrale generale della (3 .3.1) è fornito dalla combinazione lineare delle soluzioni (3 .3 .34 ): 00

(3 .3 .35)

v(x,t)

= L1nVn(x,t) n=I

Inglobando i coefficienti 1 1 , ••• , 1n nelle costanti An e Bn della (3.3.34), la (3.3.35) prende la forma 00

(3 .3 .36)

v(x, t) =

L Vn(x)(An cos wnt + Bn sen wnt) n=I

Se la soluzione del moto armonico corrispondente a >-.n si scrive come segue ( 3 .3 .37) l'integrale generale della (3 .3. I) ammette la rappresentazione 00

( 3 .3 .38)

v(x, t)

=

L Vn(x) cos(wnt -

cpn)

n=I

La (3.3.36), oppure la (3.3.38), esprime l'equazione della deformata dell'asse geometrico della trave in vibrazione libera. Nelle (3.3 .36) e (3.3.38) si può assumere per la funzione principale Vn = Vn ( x) I' espressione che deriva dalla (3.3.27)

relativa all'autovalore n-esimo.

Esempio 3.1

Studiare le oscillazioni libere della trave, a sezione costante, appoggiata agli estremi ed illustrata in fìg. 3.2.

X

Figura 3.2. Trave a sezione costante appoggiata agli estremi.

128

Soluzione. L'equazione differenziale delle oscillazioni libere della trave può scriversi nella forma (3.3.5):

v'"' + (3v = o

( 1)

ove con l'apice e con il punto sono indicate le derivate rispetto alla coordinata x ed al tempo

t , rispettivamente. La soluzione della ( 1) ammett,e la rappresentazione

(2)

v(x, t) = V(x)g(t)

oppun: ( 3)

vl(x, t)

= V(x) cos(wt -

-e, segue che C4 = O

e la (12)

prende la forma

( 16)

V(x)

= 0 2 sen

ÀX

Escludendo la soluzione banale C2 = O , dalla (16) si ricava l'equazione delle frequenze

( 17)

sen

>-.e=

O

Le soluzioni della ( I 7) sono del tipo

(18) ove .À 1 , .À 2 , ••• , .À n sono gli autovalori o valori caratteristici (detti anche valori propri o valori latenti). La sostituzione delle radici (18) nella (3.3.32) fornisce le frequenze naturali

(19)

130

OaH a)

li

L b)

c) Modo2

Modo3

Figura 3.3. Forme modali per trave a sezione costante appoggiata agli estremi.

In corrispondenza dell' n-esimo modo di vibrare, caratterizzato dalla frequenza propria wn, la (16) consente di esprimere la funzione di forma come segue:

(20)

Vn(:r)

= C?-

sen Ànx

= C?-

mr

sen --x {i_

La funzione V" = Vn ( x) (20) è detta autofunzione, funzione caratteristica, oppure funzione norm1ale, ovvero funzione principale. Giova rilevare che le prime tre autofunzioni (20)

( 21)

V3

0

=

37r

C 2 sen --x {i_

che esprimono i primi tre modi naturali di vibrazione, sono illustrati in fig. 3.3. La pulsazione naturale associata ali' n-esimo modo di vibrare risulta essere n2 volte più grande della pulsazione fondamentale.

13 I Una qualsiasi combinazione lineare delle funzioni di forma (20): (22)

è soluzione dell'equazione differenziale (3.3.12), qui di seguito riscritta

(23) Nella (22) 11 , , 2 , ••• , Ìn sono scalari arbitrari. Se si introducono i coefficienti (24) la (22) diventa (25) La (25) assume anche l'aspetto

(26)

In corrispondenza dell'ennesimo autovalore, la (3) ammette la rappresentazione (27)

oppure

(28) La soluzione generale dell'equazione differenziale del moto in vibrazione libera della trave appoggiata agli estremi, risulta essere:

(29)

Si supponga che siano note le condizioni iniziali al tempo t v( X' O) = Vo sen

(30) v(x,0) = O

e

1fX

=O

= Vi (X)

132

La prima delle (30) indica che la defonnata impressa alla trave corrisponde al primo modo di vibrare!, ove v 0 rappresenta lo spostamento nella mezzeria della trave stessa. Per la (29), le (30) assumono l'aspetto

( 31)

Dato che che

w,,, B,,, sen

n;

x possono essere differenti da zero, dalla seconda delle (31) segue

oppure

.R. + 1 = O

da cui si deducono le prime tre radici (3 .4 .5)

Per la trave vincolata agli estremi con incastro ed appoggio (cfr. Esercizio 3.2), dall'equazione caratteristica (3 .4 .6)

tg >.R. - tgh >.R. = O

si ricavano i valori delle prime cinque radici illustrate dalla (20) dell'Esercizio in parola. La trave avente gli estremi liberi (c:fr. Esercizio 3.3) ha l'equazione delle frequenze ( 3 .4. 7)

cos >.f. cosh >-.R. = I

analoga a quella della trave con gli estremi incastrati. È da notare, però, che la radice nulla (3.4.8)

comporta uno spostamento rigido solo per la trave con estremi liberi. Per avere una visione unitaria delle varie condizioni di vincolo che determinano le frequenze di vibrazione, la tab. 3.3 riporta i valori dei primi tre coefficienti che intervengono nella(34.I): (3 .2 .9)

n= 1,2,3, ...

per dieci differenti condizioni di vincolo. L'ultima colonna di tab. 3.3, poi, fornisce anche la formula generale per il calcolo del predetto coefficiente ( >.R.)n .

È da notare che, ni~i casi 4), 5) e 7) l'espressione di ( >-.R.)n è quella esatta: (3.4.10)

Per le restanti condizioni di vincolo, invece, l'espressione di ( >-.R.) 11 , per n approssimata.

>3

, risulta essere

139

Tabella 3.3. Quadro sinottico delle condizioni al contorno e dei valori di ( .\n€) = ( .\€)" per la trave inflessa. ( .\t:)n

n=I

Condizioni al contorno

N

f

l

1

o

I

T

Estremo libero

Estremo libero

M(O,t)=O T(O,t)=O

M(€,t)=O

o

Doppio pendolo

M(O,t)=O T(O, t) = O

ip( =o T(€,t)=O

o

4,730

7,853

--1[

o

2,365

5,498

o

3,927

7,069

o

3,142

6,283

(n-l)1r

4,712

7,854

2n- I -2-7[

2n- I 2

4n- 5 --1[

4

e, o

~ Estremo libero

Appoggio

M(O,t)=O T( O, t) = O

v(€,t)=O M(€,t)=O

,

4n- 3 --1[

4

~

4

5

n>3

T(€,t)=O

Estremo libero

3

n= 3

1

X

2

n=2

Doppio pendolo

Doppio pendolo

-!Vn(x)

=O

(3 .5 .4)

V;'"(x) - ).:Vr(x)

=O

Moltiplicando la (3.5.3) per Vr( x) , la (3.5.4) per Vn( x) e sottraendo membro a membro la (3.5.4) dalla (3.5.3), si ricava (dopo aver integrato tra Oed R, ): (3.5.5)

(>-! - >-;)

le

Vn(x)Vr(x) dx=

l\v~

111

(x)Vr(x) - V;'"(x)Vn(x)] dx

Integrando per parti gli integrali al secondo membro della (3.5.5) si ha:

(3.5.6)

le

V~111 (x)Vr{x) dx= [Vt(x)VT(x)l&+

-[V~'(x)V;(x)l& +

(3.5.7)

le

le

V~'(x)V;'(x) dx

V;'"{x)Vn(x) dx= [V;"(x)Vn(x)]&+

-[V;'(x)V~(x)l& +

le

V;'(x)V~'(x) dx

Sottraendo la {3.5.7) dalla (3.5.6), riesce possibile esprimere il termine a sinistra delle (3.5.5) in funzione dei valori al contorno delle autofunzioni Vn ( x) e Vr( x) e delle ]oro derivate:

(3.5.8)

P.! - >-;)

le

Vn(x)Vr(x) dx

=[V~11 (x)Vr(x) - V~'(x)V;(x) + V~(x)V;'(x) - Vn(x)V;"(x)}&

Nei casi concreti, come sarà ulteriormente specificato nelle pagine seguenti, le condizioni al contorno fanno annullare il secondo membro della (3.5.8). Pertanto, si deduce: (3 .5 .9) Essendo ).n 1 ).r, per ipotesi, la (3.5.9) equivale alla condizione di ortogonalità (3.5. l ). Nel caso più generale di trave a sezione variabile, la condizione di ortogonalità delle auto funzioni si esprime rispetto alla massa per unità di lunghezza m( x) (cfr. Esercizio 3.4): (3 .5 .10)

rin

146

Il metodo più efficace per dimostrare la (3.5.10) è quello che impiega il teorema di Betti (cfr. Esercizio 3.5). Per quanto concerne la relazione di ortogonalità rispetto alla rigidezza E I ( x) , occorre notare che essa non vale per le funzioni normali Vn ( x) e Vi x) , bensì pe:r le loro derivate seconde (cfr. Esercizio 3.6):

(3 .5 .11)

le

EI(x)

d~:~x) d2 :;~x) dx= O'

rfn

oppuH: (3.5.12)

rfn

3.5.2.. Normalizzazione dei modi naturali Pier r = n, l'integrale (3.5.10) è una quantità positiva, quando l'autofunzione Vn(x) risulta essere diversa dalla soluzione banale del problema agli autovalori. D~lto che le Jùnzioni caratttiristiche Vn ( x) sono definite a meno di una costante, si può operare lai normalizzazione dei modi naturali scrivendo (3.5.113)

( r, n °= I, 2, ... )

essendo tirn il simbolo di Kronecher se (3.5.14)

r=n

altrimenti I modi naturali Vn ( x) soddisfacenti alla condizione (3.5.13) prendono, più propriamente, il nome di modi normali di vibrare. È da notare che la normalizzazione delle funzioni proprie può essere fatta in più maniere. Ad es,empio, per la (3.5.13), la (4) dell'Esercizio 3.6 assume l'aspetto (3.5.15)

le

Vr(x) [

d~

2 (

EI(x)

d~;~x))] dx= 2

W~- = aw+ àu

ou

àu

per le (3 .13.39)-(3.13.41) si ricavano le equazioni del moto

(3.13.43)

mii ( t) + ku ( t) = F ( t)

192

3.14. ESERCIZI

Esercizio 3.1 Verificare che le frequenze naturali di vibrazione e le forme modali per la trave a mensola a sezione costante, sono quelle indicate in fìg. 3.20 dopo aver ricavato l'espressione:

V(x) = cos >xx - cosh Àx -

cos )..JI, + cosh )..R, . )..R, h >-./sen h - senh h) sen + sen

della funzione di forma, a meno della costante arbitraria C 1 (cfr. Esercizio 3.2). Cenni di soluzione. Le condizioni ai limiti della trave sono:

t w, =

:3,s2J ~~

X

•

---------~

~1---==:::::;_ _ _ _ _ _ _ __

Modo 1

~ '"---Modo2

Figura ~•.20. F'orme modali della trave a mensola.

193

(1)

(2)

x=O

x=€

{ v(O, t) =O,

oppure

V(O) = O

v'(O, t) =O,

oppure

V'(O) = O

{M(k'.,t)=O,

oppure

V 11 (€)=0

T(€,t)=O,

oppure

V"'(€)= O

Assumendo per la funzione di forma: ( 3)

V(x) = C 1 cos .\x + C 2 sen .\x + C 3 cosh .\x + C 4 senh .\x

dalla (I) risulta C 1 = -C3 , C2 = -C4 e l'equazione delle frequenze: ( 4)

cos V cosh V + 1 = O

si ricava dalla risoluzione del determinante del sistema (sen .\€ + senh .\€)02 + (cos .\€ + cosh .\€)01 = O ( 5)

( cos .\€ + cosh .\€) C 2 + ( senh .\€ - sen .\€) C 1

=O

posto uguale a zero. Le radici dell'equazione delle frequenze sono ( 6)

Esercizio 3.2

Determinare le frequenze naturali ed i modi nonna/i di vibrazione per la trave di sezione costante di lunghezza€ (fig. 3.21), vincolata agli estremi con un incastro in H ed un appoggio in B.

X

Figura 3.21. Trave appoggiata ed incastrata agli estremi.

194

Le condizioni di vincolo in H sono di tipo cinematico ed esprimono lo spostamento = O:

v( x, t) e la rotazione v 1( x, t) nulli, della sezione vincolata posta all'ascissa x

( I)

v( O, t) =O,

v 1(0,t)=O

In coni.spondenza dell'appoggio B, le condizioni di vincolo sono di tipo misto, ossia una di tipo statico (momento M ( x, t) nullo in B ) e l'altra di tipo cinematico (spostamento v( x, t) nullo in B ): M(/:',t) = O

v(/:',t)=O,

( 2)

In virtù delle relazioni (3.2.8) e (3.3.29), qui di seguito riscritte per comodità

( 3)

82 v 8x 2

( 4)

v(x, t)

-

-

M EI

= V(x)

cos(wt - rp)

le condizioni ai limiti (I) e (2) comportano le seguenti condizioni sulle funzioni di forma: V(O)=O,

( 5)

V 1(0) = O

per x = O , mentre per x = I!. , si ha V(f!.) = O,

( 6)

V 11 (f!.) =

o

risultando cos( wt - rp) f- O , in generale. Impiegando l'equazione (3.3.27): ( 7)

V(x)

= C 1 cos Àx + C 2 sen Àx + C 3 cosh Àx + C 4 senh Àx

e la sua derivata prima rispetto a x : ( 8)

V 1( x) = ->-.C1 sen

Àx

+ >-.C2 cos Àx + >-.C 3 senh Àx + >-.C4 cosh Àx

dalle due condizioni (5) risulta (4): ( 9)

V(O)=C 1 +C3 =0

( IO)

V 1(0) = >-.(C2 + C 4 ) = O

( 4) Le funzioni seno iperbolico ( senh x) e coseno iperbolico ( cosh x) sono definite come segue:

e"+ e-x cosh x= - - -

2

195

La derivata seconda rispetto a x della funzione di forma V ( x) assume l'aspetto ( 11) Sostituendo le (6) nella (7) e nella (11 ), rispettivamente, si ricava

= C2 sen \f.+ C 1 cos \f.+ C4 senh \e+ C3 cosh \€=O

(12)

V( C)

(13)

~

V"(C)

= -C2 sen

\/!, -

C 1 cos \/!, + C4 senh \€ + C3 cosh \€ = O

Risultando dalle (9) e (1 O) ( 14) le (12) e (13) si scrivono

(15)

C2 ( sen

\/!, - senh \€) +

( 16)

C2 ( sen

.\/!, + senh \€)

C 1( cos \f_

- cosh .\€)

=O

+ C 1( cos \/!, + cosh \€) = O

li sistema delle equazioni (15) e (16) ammette una soluzione diversa da quella banale (soluzione ovvia) se e solo se è nullo il determinante della matrice dei coefficienti C2 e C 1

( 17)

sen .\/l, - senh .\f.

I sen .\f.+ senh .\/l,

cos .\f. - cosh .\f. I =

:

0

cos .\/l, + cosh .\/l,

Lo sviluppo del determinante (I 7) fornisce l'equazione delle frequenze per la trave in esame sen .\/!, cosh \f. - senh \/l, cos \f.

( I 8)

=O

che assume anche l'aspetto

tg .\€ - tgh .\€ = O

( 19) Le soluzioni della ( 19) sono (20)

\i€= 3,923

\2€ = 7,069

.\4€= 13,352

\ 5

e=

16 , 493

A ciascuna delle radici (20) corrisponde la frequenza naturale wn che si desume dalla (3.3.32)

( 21)

196

ove l'indice n serve a denotare l'ordine delle frequenze naturali. Per le (14), la (7) si riduce

a (22) Dall'equazione (15) si ricava

0 2 _ cosh \ne - cos \ne _ --a 01 sen \nR, - senh \ne n

(23)

il rapporto an = C 2 /C 1 tra le costanti, in corrispondenza della frequenza naturale wn. Per le (22) e (23), la funzione di fonna Vn(x) corrispondente a wn assume l'aspetto

La frequenza fondamentale della trave vale

( 25)

?

W1

fE1

fE1

= (3,923)-y~ = 15,39V;fiF

in forza delle (20) e (2 I). Le restanti quattro frequenze naturali risultano essere

/EI

{ET

= ( 7, 069)- V~ = 49, 97 V~ ?

( 26)

W2

(27)

W3 = (

( 28)

W4

?

l O, 21) -

V{ET ~ = o

{ET

l 04 , 24

V(EI ~ (EI

=(13,352)-v~= 11s,28v~

(29) Dalla (24) appare che la funzione di forma Vn(x)" corrispondente a wn è definita a meno della costante C 1 , che definisce l'ampiezza dell'ennesimo modo di vibrare. Tale ampiezza dipende dalle condizioni iniziali. In fig. 3 .22 sono illustrati i primi cinque modi naturali di vibrazione, per la trave incastrata ed appoggiata agli estremi. In corrispondenza delle varie autofunzioni sono indicati anche i punti nodali.

197

V(x) a)

I X

0-----------------

b)

v:===:==

Modo 1

e)

~056r V2(X) ~

Modo 2

'

d)

~

Vix)~ ~ 0 , 3Br ~ Modo3 --~o,69r ~ Vix)

e)

~0,29r "

f)

~0,53f

~ 0,24 e

"

~0,76r

e:::::::-., 0,62 r

~

V5(x) ~

'----7 o,43 r '---------7 o, 81 r ~

Modo 4

Modo 5

Figura 3.22. Modi naturali di vibrare per la trave incastrata ed appoggiata agli estremi.

Esercizio 3.3

Ricavare l'equazione delle frequenze per la trave avente gli estremi liberi. Cenni di soluzione. Le condizioni al contorno agli estremi della trave esprimono i valori

198

nulli d!!l momento e del taglio ( I)

M(O,t)=O,

M(€,t) = O

T( O, t) =O,

T(€,t)=O

La sohizione generale dell'equazione differenziale dei modi naturali di vibrazione (3.3.27), viene qui di seguito riscritta per comodità ( 2)

= C 1 cos >..x + C 2 sen

V(x)

>..x + C 3 cosh >..x + C 4 senh >..x

Il momento M ( x, t) ed il taglio T( x, t) ammettono le rappresentazioni in termini di spo~tamento V = V(X, t): 0

02 V

Il

( 3)

M(x, t) = - E0I 0 = -EIV (x) cos(wt - ip)

( 4)

T(x,t) = -EI ox 3 = -EIV (x) cos(wt- ip)

x-

83v

m

Per le (3) e (4), le condizioni a sinistra della (1) forniscono C 1 = C 3 e C 2 assume l'aspetto ( 5)

= C 4 e la (2)

V ( x) = C 1 ( cos >.. x + cosh >.. x) + C 2 ( sen >.. x + senh >.. x)

Le condizioni a destra delle (I), che in termini di funzione di forma V ( x) si traducono nelle due condizioni ( 6)

V III( ,:.fi)

danno luogo al sistema di equazioni in C 1 e C 2

:

cos >..e+ cosh >..e) + C 2 (

-

C 1(

-

d3 V( x) = ___

dx 3

=

o

sen )..€ + senh ).,f_) = O

( 7)

C 1 ( + sen )..€ + senh >..€) + C 2 ( - cos

).,f, +

cosh )..f,) = O

Dall'annullamento del determinante della matrice dei coefficienti del sistema (7), si ricava !"equazione delle frequenze ( 8)

cos

).,f, cosh ).I!,

= I

essendo sen 2 >.e + cos 2 >.e = 1 , cosh 2 '>-€ - senh 2 >.e = 1 . Le prime quattro radici dell'equazione caratteristica (8) sono ( 9)

>.. 1e= 4, 130

199

o-----x

V 1(x)

,_f::::>__-"'_..----------,""'-/1~ ~ ~

V 2 (x)

C':'>-

V 3 (x)

l>,,

~

o:::::::_:::::>

.-::::::::=::-: ":::]

~

~

,/1

Primo modo

Secondo modo

Terzo modo

Figura 3.23. Modi naturali di vibrare della trave con estremità libere.

Dalla (9) si possono ricavare le frequenze angolari wn ( n = O, I, 2, ... ) e le frequenze cicliche fn = wn/2 n. Ricavando da una delle (7) una costante in funzione dell'altra e sostituendo nella (5) si determina l'equazione della generica fonna modale Vn( x) corrispondente a wn. I primi tre modi di vibrare V 1 ( x), V 2 ( x), V3 ( x) , corrispondenti a w 1 , w 2 , w 3 sono illustrati in fig. 3.23. Alla frequenza nulla w0 = O corrisponde lo spostamento rigido

( 10) composto da una rotazione e da una traslazione.

Esercizio 3.4

Se si parte dall'equazione differenziale delle vibrazioni libere de/fa trave con rigidezza E I ( x) variabile con l'ascissa x : ( 1)

200

e si assume ( 2)

v(x, t)

= V(x)g(t)

a) Verificare che il problema agli autovalori ammette la rappresentazione d2 dx 2

( 3)

(

EI

d 2 V (X) ) _ 2 _ dxl - w m( x) V ( x)

ove si è indicato m(x) = µA, w 2 = -g(t)/g(t). La (3) rappresenta l'equazione differenziale dei modi naturali di vibrare, nel caso più generale di trave con massa e rigidezza variabili con l'ascissa x . b) Siano V/ x) e Vn ( x) due soluzioni della (3), ossia u':ile funzioni naturali distinte (dette ,fl.nche funzioni principali, funzioni normali, funzioni proprie, funzioni caratteristiche, oppun~ autofunzioni), corrispondenti alle pulsazioni w, e wn, rispettivamente. Valgono, 11Jlora, le relazioni:

( 4) ( 5) Se si moltiplica la (4) per V,( x) e la (5) per Vn( x) e si procede come nel par. 3.5, verificare che risulta

(w~ -w;) ( 6)

le

m(x)Vn(x)V,(x) dx=

[-V,(x)Tn(x) + v;(x)Mn(x) + Vn(x)T,(x) - V~(x)M,(x)]t

ove le espressioni dei tagli e dei momenti flettenti associati ai modi propri di vibrare Vn ( x) e V, ( ::r) risultano essere:

( 7)

V '( ) r

x

=

dV,(x) dx ,

c) Notare che per ordinarie condizioni di vincolo (appoggio-appoggio, appoggio-incastro, incastro-estremo libero, e così via) il secondo membro della (6) si annulla e la (6) diventa ( 8)

201

Avendo supposto autofunzioni

WT

f wn

per n'f r, dalla (8) si ricava la relazione di ortogonalità delle

Tf n

( 9)

rispetto alla distribuzione di massa m( x) . Nel caso di trave a sezione costante, risulta m( x) indipendente dall'ascissa x e la (9) diventa per

( 10)

Tf n

Esercizio 3.5

Dimostrare la relazione di ortogonalità dei modi naturali di vibrazione rispetto alla massa per unità di lunghezza m( x) della trave ( I)

r'f n

impiegando il teorema di Betti. Dimostrazione. Siano Vn( x) e Vr( x) due modi naturali di vibrare della medesima trave. Per fissare le idee si consideri la trave a mensola, ove sono illustrati il secondo ed il terzo modo di vibrare, assunti rispettivamente, come «modo n-esimo » e «modo r-esimo ». Detti modi corrispondono alle frequenze naturali wn e wr, nell'ordine (fig. 3.24). Gli spostamenti corrispondenti ai due modi di vibrare in narrativa ammettono le rappresentazioni (2)

vr(x, t) = Vr(x)g,(t)

Le autofunzioni Vn( x) e Vr( x) soddisfano l'equazione differenziale (3.3.12) dei modi naturali di vibrare, mentre le funzioni del tempo gn(t) e gr(t) sono soluzioni dell'equazione differenziale (3 .3 .11) dei moti armonici:

( 3) Agli spostamenti (2) corrispondono le accelerazioni

( 4) ( 5)

202

Secondo modo "' modo n

X

b)~~ ~ f ~ In

"-J

Terzo modo,. modo r

c)

X

y

v,(x, t) = V,(x)g,(t)

Figura J.24.

Le uguaglianze più a destra delle (4) e (5) derivano dalle (3). Se si indica con m(x) la massa per unità di lunghezza della trave, le forze d'inerzia che si sviluppano durante i modi naturali di vibrare (per unità di lunghezza della trave) in argomento, risultano essere ( 6)

f1n = -m(x)vn(x,t) = w~m(x)Vn(x)g/t)

( 7)

f1r = -m(x)vr(x,t) = w;m(x)Vix)gr(t)

Le forze d'inerzia f1n e f1r risultano associate, nell'ordine, ali' n-esimo ed all' r-esimo modo naturale di vibrare. Per le (2) e (6), il lavoro Lnr = W nr delle forze d'inerzia f1n per gli spostamenti connessi all' r-esimo modo di vibrare, assume l'aspetto

203

Per le (2) e (7), il lavoro Wrn = Lrn delle forze d'inerzia fir per gli spostamenti vn(x, t) prende la forma

Le (8) e (9) rappresentano i lavori delle forze d'inerzia per gli spostamenti che si sviluppano durante i due modi naturali di vibrare, corrispondenti alle frequenze circolari wn e w, , rispettivamente. Per il teorema di Betti, dall'uguaglianza Lrrr = Lrn si ricava ( IO)

Se le pulsazioni proprie sono diverse, ossia wr f wn , la (I O) fornisce la relazione di ortogonalità (1) delle forme modali.

Esercizio 3.6 Dimostrare la relazione di ortogonalità ( I)

1P

EI(x) V~'(x) V;'(x) dx= O,

rf n

delle derivate seconde delle auto funzioni Vn ( x) e Vr ( x) :

( 2)

rispetto alla funzione-peso E I ( x) . Soluzione. In corrispondenza dell' n-esima pulsazione propria wn della trave, il problema agli autovalori assume l'aspetto ( 3)

Moltiplicando entrambi i membri della (3) per la funzione propria, Vr(x), corrispondente alla pulsazione propria wr, ed integrando sull'intervallo O < x < e, la (3) ammette la rappresentazione

204 P,er la nel azione di ortogonalità delle auto funzioni (3 .5 .10) rispetto alla massa m( x) , la (4) diventa: ( 5)

rf n

Integrando per parti l'integrale (5), si può scrivere

( 6)

Se si riconosce che i termini all'interno delle parentesi tonde: ( 7)

2

-Tn ( x) = :x ( E J( x) d

~;;

x) ) ,

rappresentano le caratteristiche di sollecitazione: taglio Tn ( x) e momento flettente M n( x) , associate alla deformata flessionale corrispondente a Vn ( x) , la (6) si scrive

Per le ordinarie condizioni ai limiti, alle estremità della trave si annulla il taglio o lo spostamento, la rotazione o il momento flettente. Pertanto, la (8) assume l'aspetto (I).

Esercizio 3. 7 Co11 riferimento alla trave a mensola (.ig. 3.25) con massa concentrata M all'estremo libero :r = f_ , verificare che la condizione di ortogonalità delle autofunzioni assume l'aspetto ( I)

E, l(x), m(x)

I

~---,______. M

F'igura 3.25. Trave a mensola con massa concentrata all'estremo libero.

205

f[[rirJT)

N __.

Figura 3.26. Trave a mensola sollecitata dai carichi /( x, t) ed N.

Esercizio 3.8 Ricavare l'equazione del moto forzato e le condizioni naturali al contorno per la trave a mensola, sollecitata come in fìg. 3.26, attraverso il principio di Hamilton.

Esercizio 3.9 Con riferimento alle notazioni della fìg. 3.27, osservare che le equazioni di equilibrio alla traslazione dell'elemento di trave, secondo l'asse y .ed alla rotazione attorno al punto G, ammettono le rappresentazioni

x

dx

a) O~

y

b)

~l ----, Gr t M +dM

T

av dx ax

4 !T+dT

I

• a2v Fj =(mdx)2

at

Figura 3.27. Configurazioni deformate della trave e del tronco elementare.

206

( I)

y)

éJT 82 V - éJx + m éJt2 = f(x, t)

( 2)

G)

T = éJM + N éJv

éJx

éJx

Derivando primo e secondo membro della (2) rispetto ad x, utilizzando la (I) e l'equazione costitutiva in tennini di spostamenti [j2 V

M= - E I -

(3)

éJx2

rilevare che si ha

(4) La (4) rappresenta l'equazione differenziale del moto per le osciJJazioni flessionali delle travi a sezione costante, ed include l'effetto dello sforzo assiale. È dfJ notare che la (4) è stata ricavata nelle ipotesi di piccoli spostamenti e di trascurabilità delle deformazioni taglianti, nonché dell'inerzia rotazionale.

Esercizio 3.10 Per il sistema di fig. 3.28 si considenno le energie cinetiche di traslazione 'T 1 e di rotazione 'T2 : 1 2

'T = I

1f_ µAv O

2

dx ,

'T2

1(

= 2 Jo µJ,j} dx

N

~ v(x, t) ~ . . . - - -

~J6{t)

Figura 3.30. Elemento di trave con due differenti condizioni di vincolo.

In ciascuno dei due casi raggruppare gli spostamenti liberi e quelli impediti.

4

Vibrazioni di membrane e piastre sottili

«È minor male l'agitarsi nel dubbio, che riposar nell'errore». ALESSANDRO MANZONI

(1785-1873)

4.1. INTRODUZIONE E SOMMARIO

In questo capitolo sono trattate le oscillazioni membranali e le vibrazioni flessionali delle piastre sottili. In particolare, nel par. 4.2 viene ricavata l'equazione del moto forzato della membrana vibrante, qui di seguito riportata: (4.1.1)

2w élw &1w) + q = _& S(-+m--

&x1

[)y2

at1

eccitata dalla forzante esterna q = q(x,y,t). Nella (4.1.l) S denota lo sforzo uniformemente distribuito sul contorno esterno della membrana, w = w( x, y, t) rappresenta lo spostamento trasversale dei punti della membrana, mentre m indica la massa per unità di superficie. Dalla (4.l.l) si ricava, per q =O, l'equazione del moto libero, ossia la forma bidimensionale dell'equazione delle onde, nonché la velocità di propagazione ( 4 .1.2)

Nel par. 4.3 si studiano le vibrazioni libere della membrana, assumendo come soluzione stazionaria la funzione (4.1.3)

w(x,y,t) = W(x,y)g(t)

prodotto della funzione W ( x, y) delle sole coordinate spaziali x, y e della funzione g( t) del tempo t. Si vuol far rilevare che, per la membrana di forma rettangolare di lati a e b, si ricavano le autofunzioni

(4.1.4)

W mn = W(x , y)

= Csen

m'lfx

mry

--sen -b a

212 t: le pulsazioni naturali

(4.1.5) l restanti paragrafi 4.4-4. I O del capitolo sono dedicati alla trattazione della piastra sottile. Vengono precisate le ipotesi su cui si basa la teoria classica de/le piastre e stabilite le equazioni del problema dell'equilibrio elastico. In particolare, nel par. 4.5 vengono descritte le

relazioni cinematiche tra le curvature flessionali Xx e x11 e torsionale Xxy e le componenti di spostamento w

= w(x, y, t):

( 4 .1.6) Nel par. 4.6 vengono definite le caratteristiche di sollecitazione, costituite da due momenti

flettenti M" e M 11 e da un momento torcente Mxv, in termini di componenti di tensione

( 4 .1.7)

Nel par. 4.7 sono determinate le equazioni indefinite di equilibrio dinamico, che possono essere raccolte nella forma (4.1.8)

a1 M

__ :r

òx2

a M_x_y + a aw +2_ _M _Y + q = µh-axay é)y 1 élt 2 2

1

1

Nelle (4.1. 7)-(4.1.8) h denota lo spessore della piastra, q = q( x, y, t) la forzante esterna, mentre /t esprime la densità di massa, ossia la massa per unità di volume. L«! equazioni di legame costitutivo elastico tra le caratteristiche di sollecitazione Mx, M 11 ,

Mxy e le corrispondenti caratteristiche di defonnazione Xx, Xy, Xxv: Mx= f(xx + VXy)

M11 = f(x 11 + vxx)

( 4 .1. 9)

Mxy = sono precisate nel par. 4.8, ove

r

r (l

- 11) Xxy 2

è una costante dipendente dalle proprietà meccaniche E, v

del materiale e dallo spessore h della piastra: (4.1.10)

r

Eh 3

= 12(1 -

v2)

213

Combinando le (4.1.6), (4.1.8) e (4.1.9), nel par. 4.9 viene specificata l'equazione fondamentale del moto forzato della piastra sottile

(4.1.11)

r

w

w a w) =q-µhaw

4 84 ò4 ( -+2--..,,...+2 2 òx4 òx òy òy 4

2

òt 2

che ammette anche la rappresentazione contratta Lw = q- µhw

(4.1.12) se si indica con L il prodotto di

r

per l'operatore biarmonico 'v4

= ( 'v 2 ) 2

•

Le vibrazioni libere delle piastre sono illustrate nel par. 4.1 O. Assumendo la soluzione stazionaria del tipo ( 4.1.3), si ricava l'equazione delle forme modali (4.1.13) ove W

= W(x,y) e

(4.1.14) essendo w la pulsazione naturale. Nel caso di piastra rettangolare di Iati a e b, semplicemente appoggiata al contorno, le auto funzioni prendono la forma (4.1.4 ). Le conispondenti pulsazioni naturali risultano essere

( 4 .1.15)

4.2. EQUAZIONE DEL MOTO FORZATO DELLA MEMBRANA

Si consideri una membrana uniformemente tesa dallo sforzo S , fissata al contorno come in fig. 4.1.a, e sollecitata dalla forzante esterna (cfr. figg. 4.1.b, c):

( 4 .2 .1)

q = q(x,y,t)

Il carico q agisce secondo la direzione dell'asse z , ossia risulta applicata nella direzione ortogonale al piano x - y della membrana indeformata. Per ricavare le equazioni indefinite

214

s

z

X

a)

o

L

K

'}y

Sdy

H

q(x, y, t)

e)

i\

Sdx

1

aw ) -a ( w +-dy ay ay

y b)

o

X

+ dx

Figuri!. 4.1. Membrana uniformemente tesa sul contorno.

di equilibrio, si isoli un elemento rettangolare di membrana di dimensioni infinitesime dx e dy , sollecitato dalla risultante esterna indicata con Z 0 :

Z 0 = q(x, y, t) dx dy

{ 4 .2 .2) La funzione (4.2.3)

w

= w(x,y,t)

denota lo spostamento, all'istante t, del generico punto della membrana di coordinate x e y.

Le: forze S dy agenti sui lati LN e H K dell'elementino, sono inclinate degli angoli e

0! 2

(fig. 4.1.b) nell'ordine

( 4 .2 .4)

O!

aw

I

= -8x

0! 1

215

rispetto alla retta parallela all'asse x . Essendo detti angoli molto piccoli, essi si possono confondere con i rispettivi seni. Pertanto, le componenti Z 1 e Z 2 degli sforzi S dy nella direzione dell'asse z valgono: ( 4 .2 .5) ( 4 .2 .6)

Z2

=

a (w + aw ox dx ) S dy

S dy sen a 2 = ox

La componente Z 1 è negativa, poiché è diretta nel verso opposto dell'asse z. Per le (4.2.5) e (4.2.6), la componente verticale Zx delle azioni agenti sui lati LN e H K dell'elemento paralleli all'asse y, assume l'aspetto:

( 4 .2 .7) Mediante considerazioni analoghe (cfr. fig. 4.1.c), si ricava la componente Z 11 secondo l'asse

z , della risultante degli sforzi agenti sui lati L K e N H paralleli all'asse x . Risulta

( 4 .2 .8) Durante il moto della membrana, sull'elemento in narrativa agisce la risultante Z 1 delle forze d'inerzia

02 w d d - .. d X d y Z J = --m X y = -mW 1 8 t--

(4.2.9) Nella (4.2.9) m l'accelerazione

=

m( x, y) denota la massa per unità di superficie, mentre

w rappresenta

( 4 .2 .10)

Sotto l'azione delle forze precedentemente esaminate, l'equilibrio alla traslazione dell'elemento di lati dx e dy, secondo la direzione dell'asse z, richiede che si abbia (4.2.11) Per le (4.2.2), (4.2.7)-(4.2.9), dalla (4.2.11) si deduce l'equazione del moto forzato della membrana vibrante (4.2.12)

S

a2-w+ a2-w) + q = _m-EJ2 w (8x2 By 2 Bt 2

216

= O , la (4.2.12) fornisce l'equazione delle

Se la forzante esterna è nulla, ossia si ha q( x, y, t) oscillazioni libere (4.2.13)

S

a2-w +a-2 w) (8x2 8y 2

_ aw =m-8t 2 2

Se si indica con e la velocità di propagazione (4.2.14) la (4.2 . 13) diventa (4.2.15)

82 w 82 w 1 8 2w --+--=--8x2 8y 2 c 2 8t 2

oppun: (4.2.I6)

?

c2 'v'-w

82 w

= -òt2

Nella (4.2.16) si è introdotto l'operatore di Laplace ( 4 .2 .17)

) = -a2+ -a2

'y'-

8x2

é)y2

La (4.2.16) rappresenta la fonna bidimensionale dell'equazione delle onde.

4.3. OSCILLAZIONI LIBERE DELLA MEMBRANA

L'equazione (4.2.13) delle vibrazioni libere della membrana viene qui di seguito riscritta per comodità (4.3.1)

w) = _8 w m--

82 w 82 S ( --+ - -

ox2

oy

2

2

8t 2

ove S denota lo sforzo costante di trazione per unità di lunghezza, nonnale al contorno della membrana. La soluzione della (4.3.1) può scriversi nella fonna ( 4 .3 .2)

w(x, y, t)

= W(x, y)g(t)

come prodotto della funzione del tempo g( t) e della funzione W ( x, y) delle sole variabili spaziali x, y . Se si ricavano le derivate seconde della funzione w( x, y, t) rispetto ad x e y e rispetto al tempo t, e si sostituisce nella (4.3.1), si ha

( 4 .3 J)

.., ( 82 W 82 W ) __ d2 g( t) :, -0 1 + -0 1 g(t) - m(x)W(x,y)-d-1 xyt-

217

La (4.3.3) può scriversi nella forma

( 4 .3 .4)

§_ m

(a2w + a2w) J_ = g(t) 8x 2

8y 2

W

= cost =

-w2

g(t)

Poiché il termine a sinistra è funzione soltanto delle variabili spaziali x e y , mentre il termine g( t) / g( t) è funzione soltanto del tempo, l'uguaglianza (4.3.4) comporta che i suddetti termini siano costanti. Indicando con -w 2 la costante in argomento, dalla (4.3.4) si ricava l'equazione differenziale dei moti annonici: ( 4 .3 .5) e l'equazione differenziale delle forme modali:

32w+ -32-w+ 132 w -8x 1 8y 1

( 4 .3 .6)

o

avendo posto

132 = w

( 4 .3 .7)

2-

m

s

Dalla (4.3.7) si ottiene

( 4 .3 .8)

4.3.1. Membrana di forma rettangolare La soluzione generale della (4.3.5) prende la forma consueta (4.3.9)

g( t) = A cos wt + B sen wt

Nel caso di membrana rettangolare di lati a e b, fissata al contorno (fig. 4.2), la funzione w( x, y, t) deve soddisfare le condizioni

( 4 .3 .10)

w(O,y,t) = w(a,y,t) = w(x,0,t) = w(x,b,t)

La soluzione della ( 4.3.6) è la funzione delle variabili spaziali (4.3.11)

m1rx

n1ry

W mn = W( x , y) = C sen -a- sen - b

=O

218

b

0...-------.-------+y

a

X

Figura 4.2. Membrana rettangolare fissata al contorno.

che sodldisfa le condizioni al contorno (4.3. l O) per tutti i numeri naturali m ed n. La :sostituzione della (4.3. l l) e delle sue derivate seconde nella (4.3.6) fornisce l'equazione delle frequenze (4.3.12)

m2

71"2 (

-J

a-

+ 1n2) = (32

b-

Per le (4.3.8) e (4.3.12) le pulsazioni naturali risultano essere m2 +n2 -~ -

( 4 .3 .13)

b2

a2

m

La pulsazione fondamentale si ricava per n = m = 1 :

(4.3.14)

w

11

= w = n✓ l I

a2

+ l

b2

fs V~

Di conseguenza, la frequenza fondamentale ammette la rappresentazione

( 4 .3 .15)

219

Le frequenze superiori calcolate mediante la (4.3.13) per alcuni valori interi di m ed n, nonché le corrispondenti autofunzioni W mn ( 4.3 .11) sono riportate ne I par. 4. l Oper le piastre rettangolari. Nel caso di membrana quadrata di lato a, le (4.3.14) e (4.3.15) si scrivono rispettivamente

(4.3.16)

wI

=:::.Ns

f=.!_/S

_,

a

1

m

aV2m

Il periodo fondamentale risulta essere

( 4 .3 .17)

Esempio 4.1

Si consideri una pelle quadrata di lato 0,8 me massa O, 1 kg. Se la pelle è fissata al con tomo con uno sforzo S

( 1)

N N = 5 - = 5 -10 3 mm

m

a) Calcolare la frequenza fondamentale; b) determinare la velocità di propagazione della perturbazione. Soluzione. La frequenza fondamentale si ricava dalla (4.3. 16) qui di seguito riscritta per comodità

f

( 2)

1

=.!_ {s a V2m

La massa m per unità di area vale

( 3)

_ _ O, l _ _ 2 kg 2 m - ( O, 8) (O' 8) - 15 '6 . l O m 2

Per i dati del problema, dalla (2) risulta

( 4)

50 · 10 4 2 _ 15 62

= 158, 14

Hz

'

La velocità di propagazione si valuta dalla (4.2.14):

( 5)

5 · 103 =17891~ (15,62)10- 2 'sec

220 4.4. VIBRAZIONI FLESSIONALI DELLE PIASTRE SOTTILI La piastra sottile è un solido bidimensionale, sollecitato da un carico q

= q( x, y, t) or-

togonale al suo piano medio (fig. 4.3), il cui comportamento si può descrivere trascurando !"influenza del taglio sulla deformazione. Coi1 riferimento alla lastra di forma qualsiasi, la tema cartesiana ortogonale di riferimento Oxyz è assunta con gli assi x e y giacenti nel piano medio della piastra, e con l'asse z ortogonale a quest'ultimo. Le componenti di spostamento secondo gli assi x, y e z sono ù1dicat,e, nell'ordine ( 4 .4)

U

= u( X, y, Z, t)

v = v(x,y,z,t)

w = w(x,y,z,t)

Sotto l'azione della forzante esterna

q = q(x, Y, t)

( 4 .4 .2:)

il solido s'inflette in entrambe le direzioni x e y, ed il piano medio diventa una superficie a doppia curvatura che prende il nome di superficie elastica.

forzante esterna

Piano medio Spessore h

z

]figura 4.3. Piastra bidimensionale di spessore sottile h.

221

Configurazione indeformata

A

----X

--- - - -- B

y

Piano medio

w

z

Superficie elastica/

Figura 4.4. Intersezione della superficie elastica con il piano x-z .

Per studiare il comportamento dinamico delle piastre sottili, ci si riferisce al piano medio del solido bidimensionale. La teoria classica delle piastre sottili, detta anche teoria di KirchhoffLove, si basa sulle ipotesi qui di seguito elencate. 1) Gli spostamenti u = u(x,y,z,t) e v = v(x,y,z,t) deipuntidelpianomediodella lastra sono nulli

( 4 .4 .3)

u(x,y,0,t)

= v(x,y,0,t) = O

2) Gli spostamenti w = w( x, y, z, t) dei punti della piastra, secondo la direzione normale al piano medio, sono indipendenti da z e piccoli rispetto allo spessore h della piastra ( 4 .4 .4)

w

= w(x,y,z,t) = w(x,y,t)

~

h

3) I segmenti rettilinei e normali al piano medio della piastra, si conservano rettilinei anche dopo la deformazione e nonnali alla superficie elastica.

222

Configurazione indeformata

Y

O

----------7---

A

Piano medio

--i---------, z

B

w

h

I I I

Superficie elastica

z

F'igura 4.5. Intersezione della superficie elastica con il piano y-z .

Le figg. 4.4, 4.5 illustrano le intersezioni della superficie elastica con i piani x-z e y-z , nell'ordine. Il segmento rettilineo AB, diretto secondo l'asse z nella configurazione indeformat:a, si trasforma nel segmento A' B' ortogonale alla superficie elastica. Le componenti t: e v di spostamento del punto B, secondo gli assi x e y, nell'ordine, assumono l'aspetto

u = -

O e P(B) P(A n B) = P(B n A) e scrivere (5.3 .13)

> O,

dalle(5.3.4)e(5.3.12)sipuòricavare

P(A

n B) = P(A)P(B/A)

P(A

n B) = P(B)P(A/ B)

oppure (5.3.14)

Ciascuna delle relazioni ( 5 .3 .13 )-( 5 .3 .14) costituisce il teorema della probabilità composta. Per le (5.3. 13) e (5.3.14) vale l'uguaglianza

P(A)P(B/A) = P(B)P(A/ B)

(5.3 .15)

Dalla (5.3.15) si può ricavare ad esempio, l'espressione della probabilità dell'evento C

=B

condizionata dall'evento E = A (5.3.16)

P(B/A)= P(B)P(A/B) P(A)

oppure

P(C/E) = P(C)P(E/C) P(E)

ove E denota «evento», oppure «effetto», generato dalla «causa» C, oppure subordinato ali' (( ipotesi»

e.

La probabilità assoluta P( C) viene valutata inizialmente ed è detta probabilità a priori, mentre P( C / E) viene denominata probabilità aposterion·. li numero P( E/ C) si dice pro-

b;.rbilità probativa o verosimiglianza e rappresenta la probabilità che l'ipotesi C dà ali' evento E di verificarsi, oppure la probabilità con cui la causa C genera l'evento E. La probabilità P(E/C) viene determinata empiricamente dall'esperimento.

271

La probabilità a priori P( C), invece, non dipende dal risultato empirico dell'evento E, ma riflette il grado di conoscenza soggettiva sulla causa C, che è la sola a generare l'evento

E. La probabilità a posteriori P( C/ E) della causa C, sapendo che l'evento E si è verificato, esprime la probabilità con cui l'ipotesi C ha agito nel determinare E. Nella formula (5.3.16) si combinano informazioni a priori P(C) e verosimiglianze P( E/ C). Ebbene, si può dire che quanto più la probabilità a posteriori P( C / E) è diversa dalla probabilità a priori P( C), tanto maggiormente le osservazioni sperimentali hanno modificato le informazioni iniziali sulla causa C. La (5.3.16) rappresenta la più semplice formulazione del teorema di Bayes, o regola di Bayes. Il teorema consente di osservare come si modifica la probabilità iniziale P( C) in virtù della conoscenza di nuove informazioni, espresse attraverso la probabilità probativa P( E/C), fornendo per l'appunto la probabilità a posteriori. Per una trattazione più completa dell'argomento si può consultare il volume [V4] dell'au-

tore. Occorre ribadire che la valutazione della probabilità a priori P( C) è effettuata su basi personali e soggettive. Questo è il motivo fondamentale per cui la teoria soggettivista della probabilità si salda con la teoria di Bayes, che dà luogo all'approccio Bayesiano. Nello spirito di tale approccio, le osservazioni sperimentali vengono considerate come informazioni addizionali, che vanno ad aggiungersi alle informazioni a priori disponibili. 5.3.4. Eventi indipendenti Due eventi A e B si dicono indipendenti se vale la relazione

P(A n B) = P(A)P(B)

(5 .3 .17)

ossia se la probabilità della loro intersezione è pari al prodotto delle rispettive probabilità. Dato che in generale vale la relazione (5.3.13) qui di seguito riscritta per comodità (5 .3 .18)

P(A n B) = P(A)P(B/A) = P(B)P(A/ B)

il confronto tra le (5.3.17) e (5.3.18) consente di scrivere

( 5 .3 .19)

P(B/A)

=

P(B)

oppure

P(A/B)

=

P(A)

Ciascuna delle relazioni (5.3.19) può essere assunta per definire gli eventi A e B indipendenti. La prima delle (5.3.19) afferma che la probabilità dell'evento B non è condizionata dal fatto che A si sia verificato, oppure no. In altri termini, la probabilità P( B / A) di B dato

A è uguale alla probabilità P( B) di B.

272

5.4. VARIABILE ALEATORIA CONTINUA 5.4.1. Esempi di grandezze aleatorie Una grandezza aleatoria, detta anche variabile aleatoria, è associata ad un esperimento casuale. Come affennato precedentemente, si dice casuale un esperimento che, pur condotto nelle medesime condizioni, può dar luogo a risultati diversi. Si pensi, ad esempio, al lancio di un dado non truccato, ove i possibili risultati sono i numeri interi 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 . Pertanto una grandezza aleatoria ( oppure casuale), come il risultato di un lancio di un dado non truccato, può assumere una varietà di valori diversi, ma non è possibile stabilire in anticipo il valore che assumerà, poiché esso varia in modo casuale da prova a prova. In alcune situazioni, la variabile aleatoria si definisce in maniera naturale. Ad esempio, sono variabili aleatorie:

X1

=

«il numero di incidenti stradali che si verificano in un detenninato giorno in una na-

zione»; X2

= «la durata in vita di un'attrezzatura»;

X 3 = «il numero medio di chiamate telefoniche effettuate dagli abbonati in un certo intervallo di tempo»; X 4 = «il numero dei pezzi prodotti da una macchina e dichiarati difettosi al collaudo». La variabile X 2 è continua, le restanti X 1 , X 3 , X 4 sono discrete. In tutti questi esempi, iii valore di ciascuna delle variabili X 1 , ••• , X 4 è aleatorio, nel senso che non si conosce il valore che la generica variabile assumerà, oppure ha già assunto.

5.4.2. Istogramma e poligono delle frequenze Anche la resistenza a trazione di un materiale è una variabile aleatoria. Difatti, prima di eseguire una prova di rottura a trazione su una provetta di accia:io, non si conosce il valore Q del massimo carico applicabile, ovvero della tensione di rottura. (fig. 5.8):

(5.4.1)

a =a =a=Q Y o A

L = 10 O

Figura 5.8. Provino impiegato nella prova di trazione di un acciaio,

273

essendo A l'area della sezione resistente, pari all'area della sezione retta del tratto cilindrico di lunghezza L = l0D (4). Inoltre, eseguendo prove di rottura a trazione su provini nominalmente identici, si ottengono generalmente risultati diversi. In fig. 5.9.a sono illustrati i valori delle resistenze determinate su I 00 provette standardizzate di acciaio e raggruppate in 9 classi, ciascuna di ampiezza pari a 20 N /mm 2 . La rappresentazione mostra che su 2 provini è stata misurata una resistenza compresa nell'intervallo di estremi 210 N /mm 2 e 230 N /mm 2 , su 7 provini la resistenza è compresa tra 230 N /mm 2 e 250 N /mm 2 , e cosi di seguito fino ad osservare che su 4 campioni è stata determinata una resistenza non inferiore a 370 N /mm 2 e non superiore a 390 N /mm 2 . Gli intervalli (in totale 9), cui appartengono i risultati delle prove sperimentali in argomento, prendono il nome di classi o celle. Il numero di osservazioni comprese in ciascuna classe è detto frequenza. La successione di rettangoli aventi come base l'intervallo delle classi e come altezza la frequenza corrispondente, prende il nome di istogramma o diagramma a canne d'organo. Si dice anche che l'istogramma è la rappresentazione grafica di una distribuzione di frequenza. Il punto medio dell'intervallo di classe che presenta il rettangolo più alto è denominato moda della distribuzione; nel caso che si sta esaminando essa corrisponde al valore di 300 N / mm 2 . Giova rilevare che, finora, si è mostrato come la resistenza dell'acciaio, che risulta essere variabile aleatoria, non possa esprimersi mediante un singolo numero, bensì solo attraverso una distribuzione di frequenza. In altre parole, tutta l'informazione racchiusa dall'istogramma non può essere sintetizzata da un singolo numero. La poligonale ottenuta congiungendo i punti medi dei lati superiori dei rettangoli dell'istogramma dicesi poligono delle frequenze. In fig. 5.9.a il poligono delle frequenze è rappresentato dalla linea disegnata a tratti, ed è esteso anche ai due intervalli terminali di frequenza zero. In tal modo l'area dell'istogramma, somma delle aree dei rettangoli, risulta uguale all'area delimitata dal poligono di frequenza e dall'asse delle ascisse. La tab. 5.2 riporta nella seconda colonna le frequenze assolute in corrispondenza delle varie classi. Se si dividono le frequenze assolute n; per il numero totale di osservazioni N = l 00 , si ottengono le frequenze relative di classe ( 5 .4 .2)

!; = ;

riportate nella terza colonna della tab. 5.2. Esse danno luogo all'istogramma ed al poligono delle frequenze relative di fig 5.2.b. Le altezze dei rettangoli dell'istogramma rappresentano le frazioni di misure che cadono in ciascun intervallo. Risulta

(4) In questo paragrafo Q indica lo sforzo di rottura a trazione, mentre N denota l'unità di misura della forza, essendo N l'iniziale di «Newton». Inoltre, con N si può esprimere anche un numero.

274

n 25

Frequenza assoluta Istogramma

I N = 100 I

23 ,

20

Poligono delle /frequenze

'~

I

15 11 , . 10

13

I

;

7,,.

5

2,,.

o a)

I

200

250

350

300

a,

400

Oo : Oy

Resistenza

fi

Frequenza relativa 0, 23 ,, ,

O, 18 ,

0.2

Istogramma / , /

Poli9ono delle frequenze relative

,0, 16

I

0,13 0,11,' ;

0.1

0,07,,.

,0,06

0,02,,

b)

200

J5 ~

o 250

300

N/mm2

'I

•

350

Resistenza Frequenza relativa Ampiezza di classe

o.o

Altezza

I

Istogramma Poligono delle ~ densità di frequenza "---.'-----._ .,. .,.

Area --1-A-t-016-A ,,\\I

I

I

0.01 Base

o e)

200

250

300

350

400 o0 = oY Resistenza

Figura 5.9. Istogrammi e poligoni di frequenza della resistenza a !trazione.

275

Tabella 5.2. Distribuzioni di frequenza. Classi di ampiezza D. = 20 N /mm 2

Frequenza assoluta

Frequenza relativa

fi

n;

=

n;/N

Densità di frequenza relativa

f;/D.

I

2

0,02

0,001

2

7

0,07

0,0035

3

11

O, 11

O, 0055

4

18

O, 18

0,009

5

23

0,23

O, 0115

6

16

O, 16

0,008

7

13

O, 13

0,0065

8

6

0,06

0,003

9

4

0,04

0,002

N

=

100

Lf;

I

=

(5.4.3) Dividendo le frequenze relative f; per l'ampiezza di classe D. = 20 N /mm 2 si ottengono le densità di frequenza relativa

f;/ D. .

La fig. 5.9.c mostra l'istogramma ed il poligono della densità di frequenza della resistenza a trazione, ove le altezze dei rettangoli rappresentano il rapporto tra la frequenza relativa fi e l'ampiezza di classe. L'area A; dell' i-esimo rettangolo (5.4.4)

A= fi. D.= f•

!),.

•

è pari alla frequenza relativa fi. Dato che la frequenza relativa è misurata dall'area dei rettangoli dell'istogramma, si ha ( 5 .4 .5) Per la (5.4.5) l'area di ogni rettangolo denota la percentuale di misure, che cadono sull'intervallo che costituisce la base del rettangolo stesso. Ad esempio, l'area A 6

= (O, 008

- 20) =

O, 16 del rettangolo tratteggiata in fig. 5.9.c, esprime che il 16% di tutte le misure di resistenza appartengono all'intervallo di estremi 31 O N /mm 2 , 330 N /mm 2 .

5.4.3. Distribuzione di probabilità Se si aumenta il numero N di misure e si riduce la dimensione dell'intervallo di classe, l'istogramma di fig. 5.9.c risulterà sempre di più descrivibile da una curva continua, ossia il

276 poligono delle frequenze diventerà una curva regolare detta distribuzione limite, densità di probabilità, oppure funzione di probabilità (fig. 5.1 O). Tale funzione si indica con f ( x), ad esempio, se la resistenza crO = crv viene indicata con X. I valori che la variabile aleatoria (v.a.) X può assumere sono, talvolta, rappresentati dal carattere X. Nota la densità di probabilità f( x), l'area al di sotto della curva f( x) compresa tra le rette x = a, x = b e l'asse delle ascisse denota la frazione di misure che cadono tra :r = a ed x = b. Più precisamente, si dice che la probabilità che la v.a. X assuma detem1inazioni nell'intervallo a ::;; X ::;; b è pari all'integrale della sua funzione densità di probabilità f( x), esteso tra gli estremi a e b :

P(a:s;X::;;b)= 1bf(x)dx

( 5 .4 .6)

L'area al di sotto di

f ( x)

deve essere uno:

1

+00

(5 4 .7)

-oc,

f(x)dx=I

La (5.4.7) viene detta condizione di nonnalizzazione. Deve risultare sempre f( x) ;2". O.

f(x)

f

0.3

b

Ja

f(x)dx

=

{

Frazione di misure che cadono tra

X=a, X=b

0.2 0.1 N/mm2

o 200

250

400 ao = cry= X

350

300 \

a

b

Figura 5.10. Illustrazione grafica della probabilità dell'evento a •~ X

Resistenza

s b.

277 Nell'esempio in narrativa non ha senso parlare di valori negativi della resistenza, per cui la (5.4.7) può esprimersi nella forma: (5.4.8)

P( O S X

< oo) =

fo

00

f( x) dx= 1

La distribuzione di probabilità f ( x) è detta anche modello probabilistico. In generale, la sollecitazione e la resistenza, essendo variabili aleatorie, devono essere descritte dalle rispettive distribuzioni di probabilità. È da notare che il modello probabilistico con cui si cerca di rappresentare la realtà, oltre che dall'esame statistico di una massa rilevante di dati, può derivare anche da considerazioni probabilistiche. Anche se esisterà sempre uno scostamento della curva teorica dai dati sperimentali, l'adozione di un modello probabilistico consente di sfruttare le proprietà della curva matematica adottata per rappresentare il fenomeno oggetto di studio. Le proprietà della funzione densità di probabilità sono illustrate in modo sistematico nel par. 5.5.2.

5.4.4. Funzione di ripartizione La funzione di ripartizione F( x) , detta anche funzione di distribuzione, può essere definita a partire dalla funzione densità di probabilità f ( x) : (5.4.9)

F(x) =

1-~

f(t) dt

Tale funzione assegna ad ogni numero reale x, ossia ad ogni x appartenente all'intervallo -oo x oo, l'integrale al secondo membro della (5.4.9). Detto integrale misura l'area, compresa tra il grafico di f( x) e l'asse delle ascisse, depositata sull'intervallo ( -oo, x]. Anche la funzione di ripartizione può essere intesa come modello matematico di una distribuzione di frequenza. A tal fine, a partire dall'istogramma delle frequenze assolute (fig. 5.9.a) si può costruire l'istogramma delle frequenze cumulate, riportando sui nove intervalli di classe una successione di rettangoli (fig. 5.11.a). Le altezze dei rettangoli sono via via crescenti, poiché rappresentano la frequenza cumulata F;, ossia la somma delle frequenze relative delle classi che precedono quella in considerazione, compresa quest'ultima. Ad esempio, la frequenza cumulata della terza classe è F3 = 20 , visto che le frequenze relative delle prime tre classi sono / 1 = 2 , f 2 = 7, f 3 = 11 :

s s

(5.4.10) La frequenza cumulata F9 relativa alla nona classe è I 00 . Infatti, si ha (5.4.11)

278

F;

Frequenza cumulata

F9 =F=100

100 Istogramma delle frequenze /cumulate

90

90 77

80 70 61 60 50 38

40 30 20

20 9 10

N/mm 2

o

200

250

300

350

400

a)

F,

450 o 0 = oy

Frequenza cumulata 100

100

80 Poligono delle frequenze cumulate 60

40

20

N/mm 2

o 200

250

300

350

b)

Figura 5.11. Istogramma e poligono delle frequenze cumulate.

400

450

279

F(x)

0.5

N/mm2

o 200

250

300

350

400

450

Figura 5.12. Funzione di ripartizione della resistenza a trazione.

Con riferimento ad F 3 = 20 (5.4. I O), l'istogramma di fig. 5.11.a indica che la resistenza a trazione determinata su 20 provette risulta inferiore, oppure uguale, a 270 N /mm 2 • Relativamente al rettangolo più alto dell'istogramma, che rappresenta F9 = 100 , il significato è che le I 00 barre nominalmente identiche e sottoposte alla prova di trazione, hanno fatto registrare tutte una resistenza non superiore a 390 N /mm 2 • In fìg. 5.1 l .b è rappresentanto il poligono delle frequenze cumulate, che congiunge i punti medi dei lati superiori dei rettangoli dell'istogramma. Tale poligono termina con un tratto orizzontale, poiché se si considera un valore della resistenza cr0 = 400 N /mm 2 , oppure cr 0 = 450 N /mm 2 , sono sempre 100 i provini esaminati e con resistenza inferiore a 400 N /mm 2 , oppure a 450 N /mm 2 , rispettivamente. È possibile costruire anche l'istogramma ed il poligono delle frequenze relative cumulate, come visto in precedenza. Giova rilevare che se si opera un cambiamento di scala, gli stessi grafici di fig. 5. l l rappresentano l'istogramma ed il poligono delle frequenze cumulate cercati. Se si aumenta sempre di più il numero di misure di resistenza e si riduce contemporaneamente l'ampiezza degli intervalli di classe, il poligono delle frequenze cumulate si avvicina ad una curva detta distribuzione limite, oppure curva delle frequenze cumulate empiriche. Quando

280 la curva delle frequenze empiriche viene approssimata mediante una legge analitica F( x)

(modello probabilistico), si dice che F( x) rappresenta la fùnzione di ripartizione oppure la funzione di distribuzione cumulativa della variabile aleatoria X , ossia della resistenza a trazione dell'acciaio delle barre (fig. 5.12). La generica ordinata della funzione continua F( x) , che risulta essere non decrescente e con un asintoto orizzontale, ha il significato espresso dalla (5.4.9). Per penetrare il significato della funzione di ripartizione, occorre sempre riferirsi all'istogramma delle frequenze relative cumulate, quando l'ampiezza di classe tende a zero e l'altezza. del rettangolo corrispondente si identifica con F( x) . Tale altezza, inoltre, ha un preciso significato sia con riferimento all''istogrammadelle frequenze relative, che a quello delle frequenze relative cumulate. Si vuol far rilevare che dalla (5.4.9) si ricava per derivazione

dF(x) dx

(54.12) essendo f( -oo)

= f(x)

= O.

Alcune proprietà della funzione di ripartizione sono illustrate nel par. 5.5, con riferimento alla variabile aleatoria che esprime l'ampiezza di un segnale.

5.5. DISTRIBUZIONE DI PROBABILITÀ DELLE AMPIEZZE Dl UN SEGNALE 5.5.1. Premessa Con riferimento ad un segnale (fig. 5.13), ossia ad una funzione x( t) del tempo, si vuole calcolare la probabilità che al generico istante t l'ampiezza x( t) del segnale sia interiore di lln prefissato valore x . Tale probabilità si indica con il simbolo {5.5.1)

P(x(t) S xJ = F(x)

Dalla fig. 5 .13 appare che risulta x( t)

sx

quando t appartiene ad uno degli intervalli

(5 .5 .2) Al variare del valore prefissato x, varia l'ampiezza.degli intervalli (5.5.2), per cui P[ x(t)

S

:r] è una funzione di x, indicata con F(x) nella (5.5.1). Una stima della probabilità dell'evento [x(t) s xJ si ri,cava sommando gli intervalli (5.5.2) e dividendo per la lunghezza totale T dell'intervallo di tempo che si considera. Quando la lunghezza dell'intervallo T tende all'infinito, si ha

(5.5.3)

281

x(t)

X

) " ' " temporale

X

f(x)

\

T

Funzione di ripartizione Funzione di densità

Figura 5.13. Rappresentazione delle funzioni di densità f(x) e di ripartizione F(x) delle ampiezze di un segnale stazionario ed ergodico.

La funzione F(x) definita dalla (5.5.1) prende il nome di funzione di ripartizione, oppure funzione di distribuzione della variabile aleatoria x(t) = X, che esprime l'ampiezza x del segnale. La funzione di ripartizione F( x) gode delle seguenti proprietà:

( 5 .5 .4)

F(-oo)

= O,

O

s F(x) s 1,

F(oo) = 1

La relazione più a sinistra delle (5.5.4) avverte che è nulla la probabilità che l'ampiezza

x del segnale sia inferiore a -oo. Il rapporto b. t;/T è sempre maggiore oppure uguale a zero, come appare dalla fig. 5.13, ma non può essere mai maggiore di uno. Pertanto, deve essere sempre I 2 F( x) 2 O, in virtù della (5.5.3). Infine,tuttiivaloridi x(t) sonominoridi +oo, percuil'evento [x(t) s oo] è l'evento certo a cui si associa probabilità uno:

L

(5 .5 .5)

F(oo) = P[x(t)

< oo]

= I

:282

F(x)

Asintoto

1

--+ F(x)

F(x-+ ~X) - F(x) = ~F

F(x + ~) X

o

x2 = X+~

X1 =x

a) x+~

f(x)

J:t(t)dt a f(x)~

I

b)

X1

x,

f_}(x)dx = F{x(t)

s

=X

x2

=X+~

x1 ]

Figura 5.14. Illustrazione delle funzioni di distribuzione F( x) e di densità f( x).

La generica funzione di ripartizione della variabile aleatoria X = x( t) , che risulta essere una funzione non decrescente, ha il grafico illustrato in fig. 5.14.a, ove sono disegnate le ordinate che rappresentano i valori della funzione F( x) in x e x + A x. La diffen~nza di suddetti valori rappresenta l'incremento della funzione AF

(5 .5 .6)

= F(:r + Ax) - F(x)

Il limite del rapporto incrementale AF / A x per A·x ....... O, quando esiste finito, definisce la fì.mzione densità f( x) : (5.5.7)

f(x)

= lim AF = lim F(x + Ax) - F(;,) = dF !ix--+0

Ax

!ix-+O

Ax

dx

Pe,rtanto, se la funzione F( x) è continua e derivabile, la sua derivata prima fornisce la densità

di probabilità f ( x) della variabile aleatoria X.

283

La (5.5.7) esprime il legame tra la funzione densità f(x) e la funzione di distribuzione F( x). La tangente trigonometrica della retta tangente al grafico di F( x) in un punto, rappresenta il valore della funzione densità f ( x) in quel punto.

5.5.2. Proprietà della funzione densità di probabilità La funzione densità è illustrata in fig. 5.14.b e gode delle seguenti proprietà:

( 5 .5 .8)

1)

f(x)zO

( 5 .5 .9)

2)

j

(non-negatività)

+oo _ 00

f(x)dx= 1

(normalizzazione)

È da notare che qualsiasi funzione f( x) non-negativa, tale che l'area racchiusa tra il suo grafico e l'asse delle ascisse è pari ad uno, può essere assunta come densità di probabilità. In altri termini, le due proprietà di non-negatfrità e di normalizzazione della funzione f ( x) caratterizzano completamente la variabile aleatoria X = x( t).

5.5.3. Probabilità di eventi In base alle considerazioni precedenti si possono calcolare le probabilità degli eventi

( 5 .5 .1 O) impiegando le funzioni di ripartizione F( x) e di densità f ( x). Per il primo evento si può scrivere

J

x,

(5.5.11)

F(x) = P[x(t) :S:: xi)= P(X :S:: x 1 ) =

-oc f(x) dx

La prima uguaglianza della (5.5.11) deriva dalla definizione (5.5.1) di funzione di ripartizione

F( x), mentre la seconda deriva dalla posizione x( t) = X, poiché si è indicata con X la variabile aleatoria che esprime l'ampiezza x( t). Per quanto riguarda l'ultima uguaglianza si può osservare che, ricavando dF = f(x) dx dalla (5.5.7), si ha

(5.5.12)

essendo F( -oo) = O, per la prima delle proprietà (5.5.4). In sintesi, la probabilità che le determinazioni di x(t) siano inferiori, oppure uguali a x 1 , si calcola come F( x 1 ), se è nota la funzione di ripartizione F( x). La probabilità dell'evento a sinistra della (5.5.10), si può valutare anche attraverso l'integrale di f(x) tra -oo ed x 1 , quandoènotalafunzionedensità f(x).

284

Dal punto di vista geometrico, la (5.5.11) informa che l'ordinata F( x 1) = F( :r) della curva di distribuzione (fig. 5.14.a) misura l'area sotto la curva di densità a sinistra della retta x = X1 (fig. 5.14.b). La probabilità del secondo degli eventi (5.5.10), che esprime l'appartenenza di x(t) all'intervallo di estremi x 1 e x 2 , vale

(5.5.13)

La prima uguaglianza avverte che la probabilità che x( t) sia maggiore, oppure uguale al valore x 1 e non maggiore di x 2 , è fornita dall'area delimitata dal grafico della funzione densità f ( x) , dal!' asse delle ascisse e dalle rette x = x I e x = x 2 . Tale area è tratteggiata in fig. 5.14.b. Quando !J. x = dx risulta anche

1

x+dx

(5.5.14)

x

f(t) dt

=

f(x) dx

Le uguaglianze che seguono derivano dalla proprietà additiva dell'integrale definito e dalle proprietà della funzione di ripartizione F( x). Per valutare la probabilità dell'evento x( t) ~ x 2 , oppure X ~ x 2 , si può notare che è possibile riferirsi all'evento complementare: (5.5.14)

5.5.4. Densità di probabilità uniforme Si consideri la funzione deterministica x( t) illustrata in fig. 5.15.a. La probabilità che la variabile aleatoria x = x( t) sia inferiore a -A è zero, poiché X = x( t) varia tra -;1 e +A. Pertanto (:5.5.15)

P[x(t)

-s; -A]=

P(X

-s; --A)= O

S! può anche scrivere F(x)

=O

per

f(x)

=O

per

(:i .5 .16) X

-s; -A.

in base alle definizioni delle funzioni di ripartizione F( x) e di densità f ( x).

285

x(t)

=X

a)

F(x) Funzione di ripartizione

X

-A

o

A

b)

f(x)

Funzione densità

1/2A

X

-A

o

A

e) Figura 5.15. Caratterizzazione della storia temporale x( t) nel dominio delle ampiezze mediante la funzione di ripartizione F( x), oppure la funzione di densità f ( x) della variabile aleatoria x( t).

Dal grafico di fig. 5.15.a appare anche che è uguale ad uno la probabilità che x( t) assuma detenninazioni inferiori al valore A :

( 5 .5 .17)

F(A) = P[x(t)

:s; A]=

P[X

:s; A]= 1

X

286 Difatti, x( t) s A costituisce l'evento certo, poiché ogni determinazione di X = x( t) risulta appartenere all'intervallo chiuso [ -A, A]. Pertanto, x( t) è sempre non superiore ad A. Se si calcola la probabilità dell'evento :r(t) bilità, si può scrivere (5.5.18)

F(A) =

sA

impiegando la funzione densità di proba-

1: 1: f(x) dx=

f(x) dx= I

Per la funzione periodica di fig. 5.15.a appare anche che (5.5.19)

P(X S O) = P(X ~ O) =O, 5

La (5.5.19) avverte che la probabilità che x( t) = X assuma valori negativi, uguaglia la probabilità che x( t) = X assuma detenninazioni positive. Pertanto

(5 .5 .20)

F(O) = P(X :::; O)= 0,5 =

lo

f(r) dx

-A

Tenendo anche conto della linearità dei tratti della funzione x( t), i grafici delle funzioni di ripartizione F(x) e di densità f(x) sono quelli illustrati in fìg. 5.15.b, c, nell'ordine. La funzione densità f ( x) e la funzione di ripartizione F'( x) della generica variabile aleatoria X sono sempre definite su tutto l'intervallo -oo, +oo dei numeri reali. Dal punto di vista analitico la funzione densità f ( :e) illustrata in fig. 5.15 .c, ad esempio, delta anche densità rettangolare, oppure densità uniforme, si rappresenta: se

,(5.5.21)

x E [ -A,A]

altrimenti

S.S.5. Densità di probabilità di Rayleigh Quando i valori x( t) della variabile aleatoria X assumono i valori dello stesso segno come in fig. 5.16.a, ad esempio, la distribuzione di probabilità della v.a X viene detta di

Rayleigh. lLa funzione di ripartizione della v.a. X di Rayleigh prende la fonna (fig. 5.16.b): F(x)

={

1 - e-rz /2

per

o

altrimenti

x

>O

La derivata di F(x) rispetto ad x fomiscela.tùnzionedensitiìdi X (fig. 5.16.c): f(x)

={

xe-rz /2

per

o

altrimenti

x

>O

287

x(t)

a)

Funzione di ripartizione

F(x)

X

o b)

Funzione di densità

f(x)

o

e)

X

Figura 5.16. Illustrazione del segnale con valori non negativi e delle funzioni di ripartizione e di densità dell'ampiezza.

S.6. VALORI ASPETTATI E LORO SIGNIFICATO GEOMETRICO 5.6.1. Definizione di valore aspettato

Nel par. 5.5 si è visto che una storia temporale x = x( t) ha una funzione densità di probabilità /(x) che gode delle proprietà (5.5.8), (5.5.9) e (5.5.13), qui di seguito riscritte per comodità:

(5.6 .1)

1)

f(x)

~

O

288 ( 5 .6 .2)

2)

( 5 .6 .3)

3)

1_: 1

00

x

2

f(x) dx= 1

f(:r) dx= P(x 1

~X:::~ x 2 )

X1

Nella (5.6.3) la variabile aleatoria è stata anche indicata con il carattere maiuscolo, per distinguerla meglio dai valori che essa può assumere. Nota la distribuzione di probabilità f ( x) si possono calcolare vari indici sintetici, detti anche statistiche, che riassumono alcuni aspetti della funzione di probabilità f ( x) ( e quindi della storia temporale x = x( t) ). Sia 'P = T

u s

u