Teoria e tecnica delle strutture, Vol. 2 - Parte1 [Volume 2 - parte 1]

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PIERO POZZATI Professore ordinario nella Università di Bologna

TEORIA E TECNICA DELLE STRUTTURE Volume secondo

SISTEMI DI TRAVI Parte prima

L'interpretazione elastica

UNIONE TIPOGRAFICO-EDITRICE TORINESE

PREFAZIONE

©

1977 Unione Tipografico~Editrice Torinese corso Raffaello, 28 - 10125 Torino

Tipografia Sociale Torinese corso Monte Cucco, 108 - 10141 Torino

Il volume II di questa Teoria e tecnica delle strutture è dedicato ai sistemi di travi e si articola in tre parti: di esse, la prima riguarda soluzioni imperniate sull'elasticità lineare; la seconda tratta applicazioni sia numeriche, sia pratiche; mentre temi tanto teorici quanto applicativi, riguardanti le analisi probabilistica e limite, nonchè gli effetti sismici, saranno svolti nella terza, lasciata ultima per il suo carattere meno omogeneo e in parte complementare. Il presente volume, che costituisce la prima delle tre parti citate, e che viene dato alle stampe insieme con la seconda, concerne quindi l'interpretazione elastica; la quale, benchè sia in genere da considerare circoscritta ali' esame delle situazioni di esercizio, costituisce, anche nel quadro di valutazioni più complete, un indispensabile termine di riferimento. Coerentemente con le linee generali appena abbozzate nel primo volume, si troveranno ampiamente sviluppati, per i casi iperstatici, le due vie che già vennero definite, per il loro significato intrinseco, del!' equilibrio e della congruenza, preferendo quindi trattare vari problenii strutturali come esempi e casi particolari dei n1etodi, non viceversa. Dare un quadro degli innumerevoli contributi, o anche soltanto dei più rilevanti di essi, appare oggi giorno problematico, e forse comporterebbe il pericolo di perdere il filo conduttore delle idee ispiratrici; per cui occorre operare delle scelte, preferendo soffermarsi sui modi di .Procedere che servano a stimolare qualche riflessione concludente, e a costituire strunienti di portata non troppo ristretta. Ciò anche perchè l'impiego degli elaboratori elettronici ha sconvolto niolte scale di valori, comportando, per la straordinaria rapidità dell'esecuzione .dei calcoli, il livellamento dell'importanza delle varie tecniche, e favorendo quindi i procedimenti di indagine più generali. Nel presentare il metodo dell'equilibrio farò ricorso, oltre che alla definizione di movilnenti indipendenti e forze correlative, ai i< coefficienti di rigidezza», dei quali sono casi particolari e importanti le già definite rigidezze alla rotazione e alla traslazione. Ciò consentirà una scrittura delle equazioni risolventi molto compatta e significativa, utile sia per derivare i possibili modi di procedere, sia per rendere evidenti le peculiari prerogative del metodo: le quali sono numerose, e in particolare comprendono il fatto di non dovere effettuare la scelta della configurazione principale, che resta sempre quella delle varie membrature con gli estremi pe1fettan1ente incastrati, qualunque sia

Prefazione

PrefaZione

il grado (anche nullo) di iperstaticità; e di ottenere vantaggi tanto più notevoli, rispetto ad altri procedimenti, quanto più è elevato il livello dell'indeterminazione statica. Dbninuendo tale livello può risultare utile il metodo della congruenza il quale, al contrario del precedente, presenta l'ovvio vantaggio di aver nulle le incognite nei casi isostatici. Le varie equazioni risolventi e i passaggi operativi si prestano, soprattutto seguendo il metodo del!' equilibrio, a venire scritti ancora più sinteticamente con le notazioni n1atriciali, senza alcuna preparazione particolare. Lasciando quindi evidente il ruolo proprio delle matrici, che è quello di fornire una stenografia operativa; ed evitando quindi l'equivoco, non infrequente sentendo parlare di «metodi matriciali}), che i soliti concetti espressi per tramite delle matrici possano dare origine a metodi a sè stanti. Il cap. XV, dedicato all'impiego delle matrici, poggerà quindi ancora sul cardine dei due metodi del!' equilibrio e della congruenza; impiego che non ho introdotto sin dall'inizio della trattazione dei nzetodi sia per lasciar più netta la genesi dei concetti, in nessun n1odo subordinata ad esso, sia per nzettere in evidenza la sua utilità principalmente in vasti calcoli da eseguire per mezzo di un elaboratore. A proposito di questa presentazione unitaria con o senza matrici, d'altronde non nuova, e di un'esposizione che ancora indugerà su procedimenti approssimativi, può essere opportuno soffermare per un n101nento l'attenzione su un aspetto che non sempre viene considerato nell'illustrare i metodi di calcolo per le strutture; riprendendo in poche righe alcune osservazioni che, già accennate nella pren1essa del primo volume, verranno più estesamente esposte nella conclusione del capitolo citato. Per l'uso degli elaboratori elettronici, che consente di effettuare calcoli malte volte in1pensabili per le possibilità u1nane, acquista basilare importanza la traduzione della soluzione matematica in progran1n1i, ossia in codtficazioni operative adatte al funzionamento del calcolatore, basate su criteri di esecuzione atti a richiedere il 1ninor numero possibile di interventi soggettivi. È chiaro allora che, esistendo la possibilità, attualmente già molto diffusa, di fare ricorso a programn1i elaborati una volta per tutte da specialisti, sussiste il pericolo che l'ingegnere, essendo spesso incapace di ripercorrere il camn1ino che ha consentito di mettere a punto gli stessi programmi, si trovi nella condizione di doversi assumere responsabilità di calcoli che non può comprendere, o di dover passar la delega ad altre persone. Inoltre è opportuno aver presente che una cosa è il progetto di una struttura, altra cosa è il calcolo; confusione purtroppo non infrequente da parte di chi, non essendo impegnato nella parte più tipica della professione, tende a identijicare l'uno con l'altro, e a dilatare l'importanza del secondo. Infatti, anche restando nel!' ambito del solo lavoro teorico, esistono altre fasi del progetto di decisiva importanza delle quali già si disse proprio nella premessa alla presente opera: la scelta della soluzione strutturale; il din1ensionamento di massima dell'opera; la definizione di uno schema di calcolo sufficienten1ente rispondente alla realtà, ma non tale da mettere in gioco un nu1nero di risposte tanto elevato da corifondere la con1prensione e la necessaria sintesi; il controllo dell'ordine di grandezza dei risultati, per garantirsi che non sia stato con1piuto qualche errore nel!' approntamento delle schede dei programmi. Orbene per tutto questo è quanto mai opportuno l'impiego di procedimenti di calcolo rapidi, basati su limpide e immediate giustificazioni logiche.

Di ciò ho desiderato ancora una volta far cenno per richiamare !'attenzione sul fatto che, per la progettazione di una struttura, sono ugualn1ente necessari tanto calcoli semplici, anche di portata largamente approssimativa, quanto analisi più sofisticate per gli accertamenti e le messe a punto finali. Per cui ho cercato di tener conto di tale duplice esigenza nel testo che seguirà, aiutato dalla fortunata circostanza che spesso la risposta a entrambe dette esigenze può essere unitaria, ossia trarre origine dal lnedesimo metodo di calcolo, che in genere è quello dell'equilibrio; e un certo spazio verrà dato anche ai procedimenti iterativi, per i quali ho preferito in genere operare sui valori globali delle incognite (anzichè sui loro incrementi), col vantaggio di ottenerne l'« autocorrezione». S'intende che, quando si impieghi un elaboratore, poichè il nun1ero delle incognite preoccupa limitatamente, almeno entro i limiti della sua capacità di me1noria, alle volte - come per i tralicci spaziali - può essere conveniente anche l'uso del metodo che verrà detto >; su suolo elastico; simultanean1ente ù{f/.essa e soggetta a sforzo assiale. In tutti i casi ho cercato con qualche esempio di illustrare le proprietà salienti, insistendo, quando appaia opportuno, sul!' interpretazione fisica delle operazioni analitiche. Ogni capitolo è stato scritto com.e un discorso quasi a sè, tuttavia sufficiente a maturare autonome conclusioni; e penso che ciò possa renderne più agevole la lettura e la consultazione. Oltre agli argon1enti che rappresentano quella che, a mio avviso, è una base indispensabile per potere affi·ontare seria1nente il progetto di un sistema di travi, il volume comprende alcune parti che possono suscitare il desiderio di un 1naggiore approfondin1ento; per cui mi sono preoccupato di corredare il testo di notizie bibliografiche abbastanza diffuse e commentate, sia nel corso del!' esposizione, sia al termine di essa. Mi congedo da questo libro, che mi è costato non lieve fatica, in un ten1po travagliato per l'Università. Sotto certi aspetti avrei voluto che non nascesse, soprattutto per il fatto che inevitabiln1ente sarà breve la sua vita; e non mi sarei deciso, se non fosse stato per il desiderio di poter forse, in qualche modo, continuare ad essere vicino ad alcuni allievi, anche quando si appresteranno ad approfondire le loro conoscenze di base, e a percorrere il camn1ino non facile della loro professione. Infine un vivo ringraziamento, che non è di prammatica, alla Casa editrice U.T.E.T. la quale, pur nelle difficoltà del momento, non ha concesso alcuna trascuratezza, coerentemente con la sua a1nmirevole tradizione.

IV

Bologna, febbraio 1977.

V

INDICE

A) Richiami di alcuni procedimenti di calcolo numerico ricorrenti nello studio dei sistemi di travi. I. Matrici. 1.1. Premessa

P·

1.2. Definizioni

1.3. Operazioni sulle matrici 1.3.1. 1.3.2. 1.3.3. 1.3 .4.

Somma di matrici Prodotto di matrici Determinante di una matrice Inversione di una matrice. Proprietà relative alla matrice inversa 1.3.5. Derivata e integrale di una matrice

3 6

» Jì

1>

8 8 9 13

14 17

II. Risoluzione dei sistemi di equazioni lineari. 2.1. Considerazioni introduttive 2.2. Risoluzione di un sistema di equazioni con la regola di Cramer e con l'inversione della matrice dei coefficienti: sostanziale coincidenza dei due metodi

P·

18

»

19

2.3. Risoluzione delle equazioni per eliminazione: metodo di Gauss e metodi 2.3.1. Metodo di Gauss Ese1npio 2.1. 2.3.2. Cenno ai metodi di eliminazione diretta o di fattorizzazione triangolare (Banachiewicz, Cholesky, Crout, Doolittle): schema operativo secondo Crout. Sostanziale coincidenza con lo schema tabellare de1 metodo di Gauss Esempio 2.2.

21 21

»

22

24

24

VIII

Indice

Indice

2.4. Risoluzione delle equazioni per iterazione 2.4.1. Iterazione continua. Metodo di Seidel Esempio 2.3. 2.4.2. Procedimento iterativo ((per rilassamento l) Esempio 2.4.

2.5. Equazioni lineari. Osservazioni a) Equazioni non 01nogenee b) Equazioni omogenee e) Impiego di sottomatrici nella scrittura di un sistema di equazioni d) Equazioni sfavorevolmente condizionate (o di tipo «instabile)>)

IV. Archi.

P·

25

>)

26

4.1. Osservazioni introduttive

27 28

4.2. Equazioni indefinite di equilibrio- e di congruenza

67

29

4.3. L'arco a due cerniere

72

>) >)

30 >) >) >)

Esempio 4.1. (coefficienti elastici per un arco a due cerniere parabolico e circolare) Esempio 4.2. (arco incernierato: linea d'influenza della spinta)

30 30

31

4.4. L'arco incastrato

32

2.6. Autovalori e autovettori Esempio 2.5. Esemp~o 2.6. (vibrazioni di masse collegate da moUe) Esempio 2.7. (carico critico di un sistema di aste) Esempio 2.8. (carico critico di una trave di sezione variabile)

IX

a) Le espressioni delle incognite staticamente indeterminate b) Una variazione di sezione conveniente e) Influenza delle variazioni di sezione e di forma dell'arco sullo

33 >) >)

2.7. Matrici (e operazioni matriciali) particolari connesse con il calcolo degli autovalori

34 36 38 40

d) e) f) g)

41

2.7.1. Matrice degli autovalori 2. 7 .2. Matrice degli autovettori 2.7.3. Trasfonnazione di una matrice in una matrice diagonale

41 41 42

2.8. Matrice «ortogonale» e matrice ({rotazione». Cambiamento degli assi di riferimento e trasfonnazione di matrici

43

2.8.1. Matrice ortogonale 2.8.2. Can1bian1ento degli assi coordinati. Matrice «rotazione)) 2.8.3. Trasformazione di matrici

43 44

4.5. Arco con movimenti impressi alle estremità Esempio 4.8. (archi parabolico e circolare con le estremità soggette a movimenti impressi)

47

Cenni storici e bibliografici

stato di sollecitazione Archi non simmetrici Il metodo della spinta addizionale Variazioni termiche Deformata di un arco. La notevole rigidezza dell'arco rispetto alla corrispondente trave Esempio 4.3. (arco parabolico incastrato: linea d'influenza delle reazioni) Esempio 4.4. (arco parabolico incastrato: reazioni per una variazione di temperatura) Esempio 4.5. (condizioni di carico più gravose) Esempio 4.6. (arco parabolico incastrato: linea d'influenza dello spostamento verticale in chiave) Esempio 4.7. (arco circolare incastrato, caricato uniformemente sull'orizzontale)

48

P·

>) >) >) >) >)

67

73 75

75 75 79 80 83 83 84

84

85 88 88 89 >)

90 91

>)

92

p.

94

V. Travi snelle a parete sottile aperta. 5.1. Premessa

B) La trave isolata: richiami ricorrenti nello studio dei sistemi di travi.

5.2. Travi a parete sottile e aperta soggette a sforzo tag1iante a) Lo stato di tensione b) Le condizioni affinché lo sforzo tagliante non provochi torsione. Il centro di taglio e) Un'osservazione sul calcolo di un integrale ricorrente Esempio 5.1. (centro di taglio per un profilato con la sezione a [) Esempio 5.2. (diagramma delle tensioni tangenziali e centro di taglio per una sezione a corona circolare sottile aperta)

III. Travi. 3.1. Travi prismatiche con le estren1ità incastrate, articolate, cedevoli: richiami a) La trave con le estremità incastrate perfettamente b) La trave con un'estremità articolata, l'altra incastrata e) I momenti alle estremità di una trave in funzione dei carichi e dei n1ovimenti delle sezioni estreme 3.2. Travi di sezione variabile Tabella 3.1. Trave appoggiata con )

98 98

99 >) >)

>)

104 104 106

107 107 111 115 117 118 119

Indice

X

Indice

5.4. Sistemi equilibrati di forze longitudinali applicati alle estremità di una trave a parete sottile aperta. Bimomenti e relativi p. stati di tensione

121

Esempio 5.5. (smorzamento degli effetti provocati da un bimo-

mento)

125

5.5. Travi a parete sottile aperta: sollecitazioni per le strisce di parete trasversali; I 'importanza degli irrigidimenti alle estremità della trave

126

7.2.1. L'equazione della linea elastica 7.2.2. La trave con le estremità articolate a) Carico ripartito uniformemente b) Carico trasversale Q concentrato nella mezzeria e) Coppie M., simmetriche applicate alle estremità d) Coppie Man antimetriche applicate alle estremità e) Coppia Mu applicata all'estremità A della trave Esempio 7.1. (trave inflessa e compressa soggetta a un carico ripartito e concentrato) 7.2.3. Trave con le estremità impedite di ruotare

7.3. Trazione e carichi trasversali

Esempio 5.6. (sollecitazioni trasversali per una trave a parete sottile aperta di sezione circolare)

128 129

5.6. Bibliografia

XI

p. J)

>>

i>

160 161 162 163 163 163 163

164 164 l>

Esempio 7.2. (determinazione dello sforzo esistente nella catena di un arco)

165 168

7.4. Cenni bibliografici

169

VI. La trave su appoggi elastici infinitamente vicini. 6.1. Osservazioni introduttive. Equazione della linea elastica e sua integrazione P· a) Premessa b) Integrali particolari e) L'integrale generale

6.2. La trave di lunghezza illimitata

»

133 133 133 133 136 139 139 140

6.3. La trave di lunghezza finita 6.3.1. Condizioni di carico che non inflettono la trave 6.3.2. Soluzioni per Ja trave considerata indeformabile 6.3.3. La trave deformabile sottoposta a forze e a coppie sulle sezioni estreme 6.3.4. La trave di lunghezza finita caricata in modo generico Esempio 6.1. (trave di fondazione soggetta a due carichi sulle sezioni estreme) Esempio 6.2. (trave di fondazione in varie condizioni ai limiti) Esempio 6.3. (trave di fondazione soggetta a più carichi) Esempio 6.4. (reticolo di travi assimilato a una trave su suolo elastico) Esempio 6.5. (trave su suolo elastico precompressa) Tabella 6.1. Valori delle funzioni I} (x), 'P (x), s (x), d (x) Tabella 6.2. Trave di lunghezza finita su suolo elastico (Winkler). Momenti per P0 Tabella 6.3. Trave di lunghezza finita su suolo elastico (Winkler). Momenti MD Tabella 6.4. Trave di lunghezza finita su suolo elastico (Winkler). Pressioni per P 0 Tabella 6.5. Trave di lunghezza finita su suolo elastico (Winkler). Pressioni per M 0 Tabella 6.6. Trave di lunghezza finita su suolo elastico (Winkler), soggetta alle azioni P 0 , M 0 • Movimenti delle se~ zioni estreme

VIII. Trave su appoggi obliqui.

140 144 146 147 148

150 150 152 »

156 156

8.3. Trave appoggiata soggetta a carichi

i>

171 171 172

l)

173 173 174

1>

174

»

8.3.1. La soluzione ottenuta considerando in una prima fase del calcolo la trave con le estremità incastrate 8.3.2. Trave appoggiata: carico concentrato in un punto qualunque 8.3.3. Carico ripartito uniformen1ente

8.4. Osservazioni sull'attendibilità delle formule ottenute

174

175 175 l>

176

l>

176 177

p.

179

Esempio 8.1. (ponte su appoggi obliqui caricato uniformemente; confronti tra i comportamenti di trave e di piastra) 8.5. Cenni bibliografici

157 157

IX. Travi « miste» di acciaio e calcestruzzo. 9.1. Premessa e richiami

180

9.2. Sezione soggetta a mon1ento flettente

180 181

a) Sezione di acciaio e calcestruzzo

9.3. Sezione soggetta a sforzo tagliante

182

9.4. Tensioni conseguenti al ritiro del calcestruzzo

183

9.5. Deformazioni

p. 159 >)

170 171

))

b) Sezione di calcestruzzo precompresso e ordinario

VII. Travi soggette a carichi trasversali e a sforzo assiale. 7.2. Con1pressione e carichi trasversali

8.2. Coppie applicate alle sezioni estreme 8.2.1. Coppie MzA applicate alle sezioni estreme a) Coppie simmetrice MzA b) Coppie antimetriche e) Una coppia MzA applicata alla sola sezione A d) Effetti di una coppia MzA• essendo l'estremità B incastrata 8.2.2. Coppie MxA applicate a11e sezioni estreme

P·

154

155

6.4. Cenni bibliografici

7.1. Premessa

8.1. Premessa

160

Esempio 9.1. (sezione soggetta a M, T e agli effetti del ritiro del calcestruzzo)

9.6. Bibliografia

»

185

l>

186

188

Indice

Indice

XII

11.4. Affinamento delle approssimazioni per estrapolazione

X. L'impiego delle serie di Fourier nello studio delle travi (prismatiche e anulari). 10.1. Premessa 10.1.1. Serie e coefficienti di Fourier 10.1.2. Osservazioni. Proprietà dei termini delle serie a) Simmetrie e antimetrie presentate dai termini della serie b) II caso della funzione impulsiva e) Cambiamento di denominazioni

J)

»

191 194 194 196 197

mediante un 'equazione algebrica

i>

227

Esempio 11.5.

l)

228

p.

233

11.5. Soluzione di un sistema di equazioni alle differenze espressa

198 l) l)

198 198 200 200 200

» 201 l>

l)

201 203 204 205

10.3. L'impiego delle serie di Fourier nello studio delle travi ad

anello

206

Carichi radiali Carichi radenti Carichi normali al piano dell'anello Momenti esterni m" Esempio 10,4. (anelio soggetto a carichi radiali, ripartiti uniforn1emente su tratti) Tabella 10.1. Carichi antimetrici rappresentati con serie di Fourier Tabella 10.2. Carichi simmetrici, rappresentati con serie di Fourier

207 208 209 209

10.3.1. 10.3.2. 10.3.3. 10.3.4.

10.4. Cenni bibliografici

225 226

C) Sistemi di travi iperstatici. - L'interpretazione elastica.

10.2. L'impiego delle serie di Fourier nello studio delle travi prismatiche 10.2.1. La trave appoggiata a) Condizione di carico qualunque b) Effetti di una coppia concentrata in un punto generico e) Carico radente lungo uno dei lembi d) Trave appoggiata alle estremità, su suolo elastico e) Trave inflessa e soggetta a sforzo normale, vincolata a un suolo elastico (appoggiata alle estren1ità) Esempio 10.1. (trave appoggiata, soggetta a varie condizioni di carico, risolta impiegando le serie di Fourier) 10.2.2. La trave doppiamente incastrata Esempio 10.2. (trave incastrata, soggetta a varie condizioni di carico, risolta impiegando le serie di Fourier) Esempio 10.3. (trave su suolo elastico soggetta a carichi equidistanti)

191

p. >)

Esempio 11.4.

p. »

XIII

210 211 212

»

213

XII. Premesse e richiami. 12.1. Condizioni di equilibrio di una struttura espresse con i coef-

ficienti di rigidezza 12.1.1. Strutture caricate in corrispondenza dei nodi 12.1.2. Strutture genericamente caricate. Il ricorso a vincoli ausiliari 12.1.3. Casi particolari dei coefficienti di rigidezza: rigidezze alla rotazione e alla traslazione a) Rigidezza alla rotazione b) Rigidezza al1a traslazione 12.1.4. Distribuzione di un momento tra più aste aventi rigidezza alla rotazione nota 12.1.5. Distribuzione di una forza tra più aste aventi rigidezza alla traslazione nota 12.1.6. Osservazioni

233 J>

237

» »

238 238 238

»

240

»

11.1. Differenze finite. Premessa

11.2. Applicazioni allo studio delle travi a) Travi prismatiche b) Travi di sezione variabile

indeterminata. Coefficienti di deformabilità

l>

modi di applicare il principio dei lavori virtuali

248

XIII. Il metodo dell'equilibrio (o delle deformazioni).

p.

13.1. Equazioni risolventi

e) Trave su suolo elastico secondo Winkler

Esempio 11.1.

p.

214

»

217

per strutture ricorrenti

217

13.3.1. Telai piani con i Esempio 13.3. Esempio 13 .4. 13.3.2. Sistemi di telai e Esempio 13.5. 13.3.3. Telai piani aventi Esempio 13.6. 13.3.4. Telai piani aventi Esempio 13.7. Esempio 13.8.

220 220 221

11.3. Affinamento delle approssimazioni operando sulle condi-

zioni ai limiti mediante sviluppi polinomiali Esempio 11.2. Esempio 11.3.

i>

222

l)

223

224

244

12.3. Metodo dell'equilibrio e metodo della congruenza: due

251

253 258 260

Esempio 13.1. Esempio 13.2.

» » »

243

12.2. Condizioni di congruenza per una struttura staticamente

13.2. Osservazioni

XL L'impiego delle differenze finite nello studio delle travi.

241

13.3, Applicazioni del 1netodo dell'equilibrio: equazioni tipiche nodi che ruotano e che traslano

>) >)

mensole soggetti ad azioni orizzontali i nodi che ruotano e non traslano

262 262 266

l)

267

>)

268

>)

271

>)

>)

i nodi che traslano senza ruotare

275 276 278

>) >)

280 282

Indice

XIV

J3.4. Applicazioni del metodo dell'equilibrio: procedimenti iterativi per l'equilibramento dei momenti P· 13.4.1. Osservazioni sui metodi iterativi 13.4.2. Telai con nodi che ruotano ma non si spostano: il n1etodo di Cross a) Il procedimento Esempio 13.9. b) Osservazioni e) Il metodo di Cross operando sui valori totali dei momenti ripartiti e trasmessi (anzichè sui loro incrementi): il procedimento diviene autocorrettivo 13.4.3. Telai con nodi che ruotano e si spostano. Metodo di Cross generalizzato Esempio 13.10. Esempio 13.11. 13.4.4. Telai con nodi spostabili: il caso del telaio simmetrico a una sola campata (le torri) Esempio 13.12. Esempio 13.13. 13.4.5. Travi Vierendeel Esempio 13.14. 13.4.6. Strutture i cui nodi subiscono spostamenti noti a) Telai soggetti a variazioni della temperatura media b) Effetti per cedimenti noti dei vincoli e) Osservazioni 13.4.7. Sollecitazioni secondarie per tralicci aventi le aste collegate rigidamente e caricati in corrispondenza dei nodi

13.5. Riduzione del numero dei movimenti incogniti e delle relative condizioni di equilibrio. Procedimento ((dei movimenti primari impressi » Esempio 13.15. Esempio 13.16. Esempio 13.17.

15.2. Matrice delle rigidezze e matrice delle deformabilità

282 282 283 283

>)

,,

286 287 288

>) >) >)

289 292 295

296 297 298

>) >) >) >)

,,

,,

299

303 307 307 308 309 309

,,

>)

>)

312 314 316 319

XIV. Il metodo della congruenza (o delle forze). 14.1. Il modo di procedere Esempio 14.l. Esempio 14.2. 14.2. Applicazioni del 1netodo della congruenza: equazioni tipiche per strutture ricorrenti 14.2.1. Trave continua su appoggi rigidi o soggetti a spostamenti di valore prescritto: equazione dei tre momenti 14.2.2. Trave continua su appoggi cedevoli elasticamente: equazione dei cinque momenti Esempio 14.3. 14.2.3. Reticoli di travi Esempio 14.4. Esempio 14.5.

>)

321 322 325

>)

327

P·

p. 340

15.3. L'impiego delle matrici nel metodo dell'equilibrio 15.3.1. La matrice delle rigidezze per l'elemento strutturale isolato Esen1pio 15.1. Esempio 15.2. 15.3.2. Insiemi di travi: matrice delle rigidezze e matrice delle sollecitazioni a) Procedimento ordinario b) Procedimento diretto Esempio 15.3. Esempio 15.4. Esempio 15.5. 15.3.3. L'impiego delle matrici nel metodo dell'equilibrio. La conciusione del calcolo a) Strutture caricate nei nodi b) Strutture caricate in modo qualunque e) Stati di sollecitazione coattivi Esen1pio 15.6. 15.3.4. Le equazioni risolventi hanno una parte dei termini noti nulli 15.4. Impiego delle matrici nel metodo della congruenza 15.4.1. Strutture isostatiche: relazioni tra azioni interne, movimenti e forze 15.4.2. Strutture iperstatiche: calcolo delle incognite statican1ente indeterminate Esempio 15.7. Esempio 15.8.

342 342 345 347 348 348 348 349 353 354 >) >)

355 355 356 357 357 358

>)

359 359

>) >)

15.5. Tralicci piani e spaziali: procedimento di ca1colo «globale)> impiegando le matrici

362 363 364 365

Esempio 15.9.

367

15.6. Qualche osservazione conclusiva. L'impiego degli elaboratori elettronici nel calcolo delle strutture

368

XVI. Procedimenti semplificativi. 327

>) >)

329 331 332 335 336

XV. L'impiego delle matrici nell'analisi delle strutture. 15.1. Premessa 15.1.1. Generalità 15.1.2. Simboli e numerazione dei nodi

xv

Indice

p. 338 >) >)

338 339

16.1. Premessa 16.2. Telai aventi lo stato di sollecitazione poco influenzato dagli spostamenti dei nodi

p.

372

l>

373

I 6.3. Telai aventi lo stato di sollecitazione poco influenzato dalle rotazioni dei nodi 16.4. Telai aventi lo stato di sollecitazione influenzato sia dalle rotazioni, sia dagli spostamenti dei nodi 16.5. Il comportamento delle strutture «a telaio)) interpretato con fittizi schen1i continui

374

J>

377

379

Indìce

XVI

16.5.1. Premessa 16.5.2. Pareti irrigidenti con una o più serie di fori allineati verticalmente Esempio 16.1. Esempio 16.2, Esempio 16.3. 16.5,3, Parete irrigidente collegata a un telaio soggetta a carichi orizzontali Esempio 16.4,

16.6. Sistemi strutturali soggetti a comportamento spaziale per carichi orizzontali. - Le azioni sulle varie strutture compoM nenti. Un procedimento di calcolo semplifìcativo Notizie bibliografiche e storiche Indice degli autori

p.

379

» »

380 387 388 390 393 396

398 » 403 411

A)

MATRICI E RISOLUZIONE DEI SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI - RICHIAMI RICORRENTI NELLO STUDIO DEI SISTEMI DI TRAVI

1 -

POZZATI, JI-1.

CAPITOLO

I

MATRICI

1.1. l'rentessa. a) Le difficoltà crescenti della soluzione dei problemi connessi con le attività della tecnica hanno fatto avvertire sempre maggiore l'importanza di poter disporre di un linguaggio matematico che, senza divenire eccessi-

vamente ermetico, fosse il più possibile sintetico e semplice. La definizione delle matrici e della relativa analisi corrispose a tale esigenza. Infatti, poichè nei calcoli si deve effettuare spesso il maneggio di vari elementi suscettibili delle medesime operazioni, si ritenne opportuno aggregarli in «matrici » (ossia in insiemi) ciascuna distinguibile con un solo

simbolo; e poichè certe operazioni tra gli elementi di due o più di esse sono ricorrenti, fu conveniente tradurle una volta per tntte in ben determinate proprietà e regole, dando così vita a una corrispondente algebra che, se per certi aspetti mantiene legami e somiglianze con quella tradizionale, per altri possiede peculiari attributi e sviluppi meritevoli di essere ricordati. Con l'introduzione delle matrici si è compiuto un passo importante nel simbolismo matematico, la cui definizione fu tutt'altro che rapida e prese corpo a mano a mano che si complicarono i problemi e le relative risposte. AH 'inizio, quando il pensiero matematico si co1ninciò a organizzare, le operazioni vennero descritte con espressioni prese esclusivamente dal linguaggio; poi si cercò di abbreviare i discorsi usando particolari vocaboli e segni Cl.1 ).

L'intendimento restava però fondamentalmente quello di costituire una più duttile intesa inatematica e passò un lungo tempo prima che nascesse I'al-

gebra, ossia prima che, con l'impiego delle lettere nel calcolo, i simboli perdessero il diretto aggancio con particolari significati e stessero a indicare invece entità e numeri generici; di questi, impiegando l'algebra, si poteva far restare soltanto il concetto più generale fissando, con processi operativi non contingenti, proprietà e riferimenti immutabili espressi con un linguaggio di ampia portata. (t.tJ Principalmente per merito del matematico greco Diophantus, vissuto nel terzo secolo dopo Cristo. Diophantus creò una forma di scrittura matematica, ma i simboli e i vocaboli rappresentarono soprattutto delle abbreviazioni e furono adottati per indicare particolari e non generiche entità e operazioni; tuttavia l'incognita o le incognite vennero indicate con lo stesso simbolo, indipendentemente dal problema trattato.

Capitolo primo

Matrici

Ciò che ci appare ora tanto spontaneo e semp_lice richiese però un lungo tempo di maturazione con il fallimento di innumerevoli tentativi, e la stessa scelta dei simboli fu non di rado di decisiva importanza per lo sviluppo del pensiero scientifico: agli antichi greci, per esempio, che impiegarono le lettere dell'alfabeto associate a un apice per rappresentare i numeri, probabilmente riuscì difficile l'idea di usare le lettere per indicare un numero generico (1 • 2); e si pensi a ciò che ha comportato Poter rappresentare chiaramente qualunque grandezza nu1nerica impiegando soltanto dieci simboli aventi il valore ancorato alla loro posizione (1. 3). b) Con il complicarsi dei calcoli si trovò conveniente, una volta accertata la validità di un certo processo operativo, lasciar la dimostrazione da parte e definire determinate regole pratiche e complessi di operazioni, detti « algoritmi », a loro volta rappresentabili con simboli 0; uguali, se tale quantità è 3 -

POZZA TI, II~ 1.

34

Capitolo secondo

Equazioni lineari

nulla; complesse coniugate, se negativa]. Vedremo in seguito (in particolare in alcuni esempi) come, per ogni À, si calcolano le incognite xi (o, più brevemente, il relativo vettore x). Nel caso generale, dall'equazione [2.17] si ottiene, una volta sviluppato il determinante (par. 1.3.3.b):

Si suppone l'arco parabolico, con sezione variabile secondo la legge J=J0 /cos {} (voi. I, par. 10.2) e con la «freccia» f~l/5.

35

a) È incognita la direzione r, quindi la sua inclinazione a rispetto all'asse x. Le componenti della forza P secondo x, y valgono Px=Pcosa e Py=-Psena; quelle dello spostamento O, O cos a e -O sena. Quindi, se si indicano con O' xx'

[2.20] e le costanti C, dipendono dagli elementi della matrice [A]. L'equazione [2.17], o la [2.20], è detta equazione caratteristica (o polinomio caratteristico) di [A]; essa amn1ette n radici reali o complesse, non necessaria1nente distinte [distinte e reali, se la matrice è simmetrica e reale C2 · 6l]. Tali radici },,, À2, ... , Àn sono dette autovalori della matrice A e il vettore x(À,) (ossia la serie delle incognite) ottenuto risolvendo il sistema [2.15] con À=À;, è l'autovettore (o autosoluzione) corrispondente a Ài. In definitiva viene chiamato « autovalore » un valore À per il quale il sistema [2.16] ammette una soluzione non nulla; e ogni soluzione non nulla è a sua volta detta «autovettore ». È chiaro che se x è un autovettore lo è anche kx per qualunque valore di k. Ossia, per quanto è stato detto in inerito ai sistemi on1ogenei che ammet.:.; tono una soluzione non banale (par. 2.2), ogni vettore non è unico, essendo la soluzione non nulla ma indeterminata; per cui, posta una delle incognite x,=c (e non ha importanza quale), il sistema di equazioni [2.15], tralasciata una qualunque delle stesse equazioni, consente di definire le rimanenti incognite (componenti del relativo vettore) in funzione di x,, quindi del generico moltiplicatore c (es. 2-6, 7, 8). In pratica può convenire di nornializzare ciascun vettore x (Aì) dividendone ogni con1ponente per la sua «lunghezza» (o norma) (2.7J: [2.21] ed è evidente che, così facendo, la costante e si elimina e scompare l'indeterminatezza del vettore.

ly A Fig. 2,1

r

P cosa· iVxx-Psen a· O'xy=O cosa Pcos a· f/vx-Psen a· O'yy=-0 sena, ossia: (P O'xx-0) cos a-P b'xy sen a=O [a]

P O'yx cos a-(P flyy-(J) sen a=O,

che sono del tipo: (a11 -J.) x 1 +a1 2x2=0 ll21X1+(a22_-À)

[b]

X2=0 ·

Il sistema [b] ammette soluzione non nulla se:

Pa',.-o I

[e]

p O' vx

e sviluppando tale determinante si ottiene: 02 -(P O'xx+P 6' 11 y) O+P 2 (0'xxlì'vv-O~~)=O.

b) I valori dei coefficienti elastici.

[y~ 1{ (lx-

cipio dei lavori virtuali si trova (si

Per l'arco della fig. 2.1, libero in A e incastrato in B, determinare quale direzione debba avere una forza P applicata alla sua estremità libera A, affinchè la traslazione O della sezione A si sviluppi lungo la stessa direzione r della forza.

l·--1. '13

X

a

ò'xy= O'yx, O'YY i coefficienti elastici, ossia gli spostamenti provocati dalle azioni unitarie Px=l e Py=l, valgono evidentemente le relazioni:

Poichè l'arco è parabolico Esempio 2.5.

p

"I

:/

{}

l

f

[d]

x')], applicando ad esempio il prin-

suppone/~ 1/5):

l

f

1

dx

o',.~ y'ds/EJ~ y'. cos I! EJ,: cos I!

8 / 2/ 15 EJ, =0,02131'/EJ,,

fl'

L. Fox (vol. cit. nella bibl.), p. 42; F. SCHEID (vol. cit.), p. 349. Se un vettore, dato un riferimento cartesiano in un piano che contiene lo stesso vettore, amn1ette le componenti xi. x 2 , la sua lunghezza vale x1 2 +x2 2 • Generalmente, un qualunque insieme di numeri o di variabili può esser considerato un vettore; se, in uno spazio a n dimensioni (iperspazio), n sono le componenti Xi. x 2, .. ., x,,, si chiama norma (o lunghezza) la quantità l*=Vx12+ ... +x,. 2 • Si 11or1nalizza un vettore dividendo ogni sua componente per la lunghezza. Ad esempio. dati x,~3c, x,~4c, si,ha l'~cV3'+4' ~se, quindi lix, 11~3/5, Il x, i[~4/5.

ò' xy= ({ yx= - 3Elc = -0,06 /3/EJc'

e nel f~tto che, co?s1deratl 1 coe~c1entl d'influenza delle 1ncogn1te x, ogni incremento d1 una Xt puo essere dosato 1n modo da accelerare, volendo, la convergenza. Però, qualora ~i intenda ~ogliere questo particolare aspetto, si ha, rispetto al metodo di Gauss-Se1del, un minor grado di automaticità e «con l'esperienza, e soltanto con l'esperienza il calcolatore può apprendere gli accorgimenti che abbreviano il suo lavoro ... >> (G. ALLEN, cap. XIII del!' op. Handbook of Engineering Mechanics, diretta da W. FLi.iGGE, McGraw-Hill, 1962). Nel par. 2.4 sono stati illustrati alcuni metodi iterativi per la soluzione di sistemi di equazioni lineari. Nello studio delle strutture staticamente indeterminate, tali s~st~mi possono derivare dal

MOMENTI D'INCASTRO PERFETTO

IV

ARCHI 2

4.1. Osservazioni introduttive.

A~VC\V~stg

24

l

-,.J-l!n J.,-

1

t

A ttr--.~s--,---f};, B h !i1I= ti Vi T

qx= qsen n7x (n=2,4.) -

-

Il comportamento statico di un arco può essere molto più favorevole di quello di una trave ad asse rettilineo, soggetta agli stessi carichi e di eguale luce, ma il vantaggio è fortemente influenzato dalle condizioni di vincolo e di carico, per cui può essere opportuna qualche considerazione preliminare.

2

Ma=Mb=-~

Linea d'influenza di

Ma

Linea d'influenza di V0 (mezz)

Fig. 4.1

i;;::

"~

Consideria1no, per esempio, un arco a tre cerniere soggetto a due carichi

a

('-..L--

I

qt

Q3

05

Lba~rave appogg)

07

Lb= spostamento in mezzeria

- - x/l .,-.-,

0,1

x/l

Mi>; 0,081

0,2

0,4

q5

q5

0,144

0,125

0,096

0,162 0,224

0;25

0,224 0,162 0,088 01026

q944

1,00

0,944 0,7"92 0,568 0,296

q3

0)28 0,147

'bi

0,026 0,088

Lba

0,296 0,568 0,792

0,7

qB

q9 fattore

0,063 0,032 0,009

~··

~·

-Pl }p/3

4BE]

concentrati simmetrici (fig, 4.1): praticato un taglio in chiave, per simmetria si ha il solo sforzo normale N=H=Pa/f, al quale consegue la tensione a0 =Pa/Af, indicando con A l'area della sezione; mentre nella mezzeria della trave ngualmente caricata e di uguale luce, al momento flettente M,=Pa consegue la tensione massima, considerando la sezione rettangolare b · h, '1,=6Pa/bh 2 =a.

r,

Quindi, essendo in genere f»h, la trave, nella sezione

considerata, risulta molto più sollecitata dell'arco; e tale prerogativa in sostanza dipende dal fatto che, per l'arco, le azioni H equilibranti la coppia (Pa) sono associate al braccio f, mentre per la trave la medesima coppia è equilibrata dalle risultanti R delle tensioni che hanno il braccio h, molto minore della freccia f.

Capitolo quarto

68

Archi

Se si pensa invece l'arco vincolato con cerniera e carrello (fig. 4.lc), lo stato di sollecitazione differisce assai poco da quello della corrispondente trave, e in particolare coincidono i diagrammi dei momenti.. Ma se il vi~colo è in grado di fornire un'azione orizzontale

1! che co.ntrasti coi: ~fficac1a ~o

spostamento relativo delle imposte, i momenti flettenti compless1v1, cabno m genere fortemente, rispetto al caso del carrello semplice, m v1rt~ dei momenti negativi forniti dalla spinta H; anzi, dato un arco iperstatico con le estremità vincolate da cerniere fisse o incastri, se per la sua

configuraz~on.e

principale a tre cerniere risulta assiale la curva o la poligonal~ de~e pre~s10m, di solito lo stato di sollecitazione per detta struttura isostatica e dommant~ e gli effetti delle azioni staticamente indeterminate hanno .s~ars.o pes.o. C10 avviene vale la pena di ricordarlo (voi. I, cap. 6), per condiz10m che m pratica

so~o frequentemente verificate,

e quanto più ci si

appro~sima a t~le st~t?

69

nella fìg. 4.2, in cui gli assi y, z si ritengono coincidenti con quelli principali d'inerzia della sezione, sulla faccia anteriore in generale agiscono lo sforzo assiale N, due sforzi di taglio (T., T,), e tre momenti, di cui uno è torcente (M,); due sono flettenti; e per tali sei caratteristiche di sollecitazione il senso è considerato positivo se i vettori che le rappresentano sono rivolti contrariamente agli assi, pensando, s'intende, di rappresentare le coppie con i relativi asse-momenti. Ovviamente tutte le azioni interne invertono il segno e s'incrementano di quantità infinitesime, pari ai rispettivi differenziali, quando, spostandosi nel senso degli archi crescenti, si passa alla faccia posteriore del tronco; quindi per tale seconda sezione i sensi dei vettori che rappresentano

le varie sollecitazioni concordano tutti con quelli stabiliti per i tre assi di riferimento. Inoltre le azioni esterne (ossia le forze unitarie qx, qy, qz e le

static~,

di cose tanto più l'arco comporta, per la sua forma, no:evoh vantaggi

quindi anche estetici, come testimonia~o g:i inn~erev.oh ardn~enti cos~ru~t1v1. Dalla presenza della spinta H, qumdi degli sforzi norma.II che prmcrpal-

mente da essa sono provocati, dipende la differenza sostanziale del compo~­ tamento degli archi rispetto a quello delle travi. E va da sè che, se le co!'d1zioni di carico rendono deboli le spinte, i privilegi consentiti dalla soluz1?ne ad arco tendono a svanire, come per esempio avviene per la struttur.a snn-

Fig. 4.2

metrica soggetta a carichi verticali antimetrici della fig. 4.ld, che evidentemente non provocano azioni orizzontali.

z~

dw

y

.

Per archi di limitata importanza, si adotta in genere la forma crrcolare 0

parabolica; mentre nei casi notevoli, essendo _opportuno ri~u~re al massllTI?

i momenti flettenti, di solito l'asse dell'arco viene fatto comc1dere col pohgono funicolare dei carichi permanenti (eventualmente ass?ciati a un~ ,quot~ di quelli accidentali) passante per i baricentri delle sez10m d1 estre~rt.a e dr mezzeria. Un dato importante per gli archi è il ribassamento, ossia 11 rapporto tra la freccia e la luce, il cui valore pratico in genere si aggira intorno a 1/5 71/6. . . . Analogamente a quanto è stato fatto per le travi, supporremo che il piano contenente l'asse dell'arco sia di simmetria, e che di conseguenza, per effetto di forze agenti nello stesso piano, l'asse geometrico deformandosi ~~n ~se~

da esso. Inoltre ci limiteremo a considerare, in vista del calcolo degh ms1em1

coppie unitarie mx, my, mz distribuite lungo l'arco) sono ritenute positive se rivolte concordemente con gli stessi assi. È evidente che, aflìnchè sia assicurato l'equilibrio dell'elemento, debbono

risultare soddisfatte le sei equazioni indefinite di equilibrio; indefinite nel senso di relazioni da ricavare per un generico tronco elementare, prescindendo

dalle condizioni ai limiti valide per la struttura in cui esso si trova inserito. Tali equazioni, delle quali ovviamente tre riguardano le traslazioni lungo gli assi di riferimento e tre le rotazioni, indicando con apici le derivate ri-

spetto alla linea s, risultano (f' =df7ds):

di travi, i casi staticamente indeterminati dell'arco isolato di piccola curvatura con le estremità articolate e incastrate.

Riteniamo anche utile (vedremo nel par. 10.3 alcuni esempi) una breve premessa sulle equazioni indefinite di equilibrio e di congruenza dell'arco piano soggetto a stato di sollecitazione piano e spaziale.

4.2. Equazioni indefinite di equilibrio e di congruenza. a) Se si pensa di estrarre un tronco infinitesimo dell'arco,. sulle due se: zioni A B che lo delimitano debbono essere applicate le vane componenti

dell'azi~ne

interna. Precisamente, adottato il riferimento cartesiano indicato

-T"+M/+m,=0,

Mx'-Mv/r+m,=0,

T,+M/+M"/r+mv=O.

[4.1]

Ciascuna di esse si ottiene annullando la somma di tutte le componenti dell'azione esterna e interna lungo ciascuna delle tre direzioni prescelte; così, ad esempio secondo x (fig. 4.3), trascurando gli infinitesimi di ordine supe-

riore, dN-Tv · ds/r+q,ds=O. È inoltre da notare che ogni azione compie lavoro a causa del correlativo movimento, il quale deve avere carattere di continuità, dovendo risultare compatibile con la compagine del materiale; quindi, essendo sei le azioni interne, si hanno sei relazioni indefinite di congruenza, ognuna delle quali

Archi

Capitolo quarto

70

esprime il legame tra la variazione infinitesima di un movimento e la deformazione ad opera della relativa caratteristica di sollecitazione. Se u, v, w sono gli spostamenti secondo gli assi coordinati x, y, z e