Finanzmathematik 9783486599398, 9783486585568

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Fin an zm ath em atik von

Prof. Dr. Karl Bosch

7., unveränderte Auflage

Oldenbourg Verlag München Wien

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© 2007

Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH Rosenheimer Straße 145, D-81671 München Telefon: (089) 45051-0 oldenbourg.de

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ISBN 978-3-486-58556-8

Inhaltsverzeichnis Vorwort.

IX

1: Mathematische Grundlagen. Die arithmetische Zahlenfolge. Die arithmetische Reihe. Die geometrische Folge. Die endliche geometrische Reihe. Die unendliche geometrische Reihe. Das Rechnen mit Logarithmen.

1 2 2 2 3 4 5

Kapitel 2: Abschreibungen. 2.1. Die lineare Abschreibung.,. 2.2. Die arithmetisch-degressive (fallende) Abschreibung. 2.3. Die digitale Abschreibung.

7 7 8 9 10 13 13

Abschreibung. Aufgaben.

14 15

Kapitel 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6.

2.4. Die geometrisch-degressive Abschreibung. 2.5. Abschreibung in Staffelsätzen. 2.6. Abschreibung mit verschiedenen Abschreibungsarten. 2.7. Der Übergang von der geometrisch-degressiven zur linearen 2.8.

Kapitel 3.1. 3.2. 3.3.

3: Zins-und

Zinseszinsrechnung.

Einmalige Einzahlung ohne Zinseszins. Einmalige Einzahlung mit Zinseszins. Regelmäßige Einzahlung mit Zinseszins (Sparraten). 3.3.1. Einzahlungen am Anfang oder Ende eines Jahres bei jährlicher Verzinsung (Einzahlung zu den Zinsterminen). 3.3.2. Unterjährige Einzahlungen bei jährlicher Verzinsung. 3.3.3. Unterjährige Verzinsung bei regelmäßigen jährlichen

Einzahlungen. Unterjährige Einzahlungen bei unterjährigen Verzinsungen. Bestimmung des effektiven Zinssatzes. BASIC-Programm bei der Zinseszinsrechnung. Aufgaben. 3.3.4.

3.4. 3.5. 3.6.

Kapitel 4: Tilgungsrechnung (Rückzahlung von Krediten). 4.1. Rückzahlungen mit unregelmäßigen Beträgen zu den 4.2.

Zinsterminen. Tilgung einer Schuld in gleichen Tilgungsraten

(Ratentilgung).

4.2.1. Tilgung einer Ratenschuld zu den Zinsterminen. 4.2.2. Unterjährige Tilgung einer Ratenschuld. 4.2.2.1. Unterjährige Verzinsung der unterjährigen Restschuld. 4.2.2.2. Unterjährige Verzinsung der gleichen Ausgangsschuld. 4.2.2.3. Unterjährige Tilgung keine unterjährige Verzinsung. 4.2.3.1. Tilgungsaufgeld (prozentuale Gebühren von der

16 16 18 28

29 31 35

35 36 37 40 43

44 45 45 48 48 48 50

-

Tilgungsrate).

52

Inhaltsverzeichnis

VI

4.3.

4.2.3.2. Prozentuale Gebühren von der Restschuld. Tilgung einer Schuld durch gleiche Annuitäten (Annuitätentilgung)... 4.3.1. Annuitäten tilgung zu den Zinsterminen. 4.3.2. Unterjährige Annuitätentilgungen ohne unterjährige

53 54 54

Verzinsung.

60 60 61

unterjähriger Verzinsung. Unterjährige Annuitätenzahlungen bei nichtkorrekter unterjähriger Verzinsung. 4.3.5. Annuitätentilgung mit unterjähriger Verzinsung und nichtunterjähriger Tilgung.

62

4.3.2.1. Nachschüssige unterjährige Annuitätentilgungen. 4.3.2.2. Vorschüssige unterjährige Annuitätentilgungen. 4.3.3. Unterjährige Annuitätentilgung bei korrekter 4.3.4.

4.4. 4.5. 4.6. 4.7.

4.8. 4.9.

4.3.6. Annuitätentilgungen mit zusätzlichem Tilgungsaufgeld. 4.3.7. Annuitätentilgung mit eingeschlossenem Tilgungsaufgeld. 4.3.8. Annuitäten tilgung mit zusätzlicher Restschuldgebühr. 4.3.9. Annuitätentilgung mit eingeschlossener Restschuldgebühr. Kredite mit Auszahlungsgebühren (Disagio). Kredite mit tilgungsfreier Zeit. 4.5.1. Bezahlung der Zinsen während der tilgungsfreien Zeit. 4.5.2. Keine Bezahlung der Zinsen während der tilgungsfreien ZeitÄnderung der Rückzahlungsbedingung während der Laufzeit. Rückzahlung mit einer Tilgungsrücklage (Rücklagentilgung). 4.7.1. Tilgungsrücklage bei Zahlung der anfallenden Zinsen. 4.7.2. Tilgungsrücklage ohne Zahlung der anfallenden Zinsen. BASIC-Programm für Annuitätentilgungen.

Aufgaben.

Kapitel 5: Rentenrechnung. 5.1. Rentenzahlungen. 5.2. Konstante Rentenzahlungen. 5.2.1. Die nachschüssige konstante Rente. 5.2.2. Die vorschüssige konstante Rente. 5.3. Arithmetisch fortschreitende Rentenzahlungen. 5.3.1. Nachschüssige arithmetisch fortschreitende Rentenzahlungen 5.3.2. Vorschüssige arithmetisch fortschreitende Rentenzahlungen. 5.4. Geometrisch fortschreitende Rentenzahlungen. 5.4.1. Nachschüssige geometrisch fortschreitende Rentenzahlungen5.4.2. Vorschüssige geometrisch fortschreitende Rentenzahlungen. 5.5. Allgemeine arithmetisch fortschreitende Rentenzahlungen. 5.5.1. Nachschüssige Rentenzahlungen. 5.5.2. Vorschüssige Rentenzahlungen. 5.6. Allgemeine geometrisch fortschreitende Rentenzahlungen. 5.6.1. Nachschüssige Rentenzahlungen. 5.6.2. Vorschüssige Rentenzahlungen. 5.7. Allgemeine geometrisch-arithmetisch fortschreitende ...

Rentenzahlungen.

65 66 68 72 73 74 75 75 76 77 77 77 79 79 83 86 86 86 86 91 94 94 97 99 99 102

105 105 107 107 107 109 110

Nachschüssige Rentenzahlungen. 111 Vorschüssige Rentenzahlungen. 113 Unterjährige Rentenzahlungen. 114 5.7.1. 5.7.2.

5.8.

63

Inhaltsverzeichnis

Zusammenstellung der wichtigsten nachschüssigen Renten (Zahlung zu den Zinsterminen). 5.10. BASIC-Programm für die Rentenrechnung. 5.11. Aufgaben.

VII

5.9.

117 118 121

Kurs- und Effektivzinsberechnung. 124 6.1. Der Kurs einer Nullkupon-Anleihe (Zerobonds). 125 6.2. Der Kurs einer zeitlich befristeten oder ewigen nachschüssigen Jahresrente. 127 6.3. Der Kurs einer Zinsanleihe (Zinsschuld). 129 6.3.1. Kurs einer Zinsanleihe mit jährlicher Zinszahlung ohne Aufgeld. 129 6.3.2. Kurs einer Zinsanleihe bei unterjähriger Zinszahlung. 133 6.3.3. Der Kurs einer ewigen Zinsanleihe bei unterjähriger Verzinsung. 136 6.3.4. Kurs einer Zinsanleihe mit Tilgungsaufgeld. 136 6.3.5. Zusammenstellung der Kursformeln bei Zinsanleihen. 137 6.3.6. BASIC-Programm für Zinsanleihen. 138 6.4. Der Kurs einer Ratenschuld. 140 6.4.1. Der Kurs einer Ratenschuld bei jährlicher Tilgung ohne Aufgeld. 140 6.4.2. Der Kurs einer Ratenschuld bei unterjähriger Verzinsung und jährlicher Tilgung. 142 6.4.3. Der Kurs einer Ratenschuld bei unterjähriger Tilgung und jährlicher Verzinsung. 144 6.4.3.1. Jährliche Verzinsung ohne Berücksichtigung der Unterjährigkeit der Tilgungen. 144 6.4.3.2. Jährliche Verzinsung mit Berücksichtigung der unterjährigen Tilgungen. 144 6.4.4. Der Kurs einer Ratenschuld bei unterjähriger Tilgung und Verzinsung zu den Tilgungsterminen. 146 6.4.5. Der Kurs einer Ratenschuld mit Tilgungsgeld. 147 6.4.6. Der Kurs einer Ratenschuld bei aufgeschobener Tilgung. 148 6.4.7. Zusammenstellung des Kurses einer Ratenschuld. 149 6.4.8. BASIC-Programm für Ratenschulden. 151 6.5. Kurs und Effektivverzinsung von Annuitätenschulden. 154 6.5.1. Kurs einer jährlichen Annuitätenschuld ohne Aufgeld und ohne Rest. 154 6.5.2. Kurs bei Jahresannuitäten mit Rest. 161 6.5.3. Kurs bei unterjährigen Annuitätenzahlungen. 163 6.5.3.1. Keine Berücksichtigung der Unterjährigkeit der Tilgung bei der Verzinsung des Nominalkapitals. 164 6.5.3.2. Berücksichtigung der Unterjährigkeit der Tilgungen bei der Verzinsung des Nominalkapitals. 164 6.5.4. Annuitätenzahlungen mit Tilgungsaufgeld. 165 6.5.4.1. Tilgungsaufgelder bei jährlichen Annuitätenzahlungen ohne Restannuität. 166 6.5.4.2. Tilgungsaufgelder bei jährlichen Annuitätenzahlungen mit einer Restannuität. 167 6.5.4.3. Tilgungsaufgelder bei beliebigen Annuitätenschulden. 170

Kapitel 6:

VIII

Inhaltsverzeichnis

6.5.5. Kurs einer Annuitätenschuld bei aufgeschobener Tilgung. 6.5.6. Zusammenstellung der Kurse bei Annuitätenschulden. 6.5.7. BASIC-Programm bei Annuitätenschulden. 6.6. Umrechnung von allgemeinen Anleihen in Zinsanleihen die mittlere Laufzeit einer Anleihe. 6.6.1. Jährliche Ratenschuld-Zinsanleihe. 6.6.2. Jährliche Annuitätenanleihe Zinsanleihe. 6.7. Aufgaben.

170 172 173

Kapitel 7: Grundbegriffe der Versicherungsmathematik.

187 187 189 190 193 193 195

-

-

7.1. Die Sterbetafeln. 7.2. Die Lebenserwartung (mittlere Lebensdauer). 7.3. Leibrenten. 7.4. Lebensversicherungen. 7.4.1. Einmalige Prämienzahlung. 7.4.2. Jährliche befristete Prämienzahlungen.

177

178 182 183

Lösungen der Aufgaben. 196

Anhang.

216

Literaturverzeichnis. 220 Sachverzeichnis. 221

Vorwort In dem vorliegenden Buch werden die wichtigsten Gebiete der Finanzmathematik behandelt, und zwar Abschreibungen, Zins- und Zinseszinsrechnung, Tilgungsrechnung, Rentenrechnung, sowie Kurs- und Effektivzinsberechnung. In Kap. 7 wird nur kurz auf einige Probleme aus der Versicherungsmathematik eingegangen.

Der Autor bemüht sich, den behandelten Stoff zwar anschaulich und elementar, aber dennoch gründlich zu behandeln. Im Vordergrund stehen dabei immer die Anwendungsmöglichkeiten. So werden z. B. Kredite bei der Tilgungsrechnung und bei der Kurs- und Effektivzinsberechnung behandelt. Bei der Tilgungsrechnung steht die Restschuld, bei der Kurs- und Effektivzinsberechnung dagegen der Auszahlungsbetrag eines Kredits bei zwei verschiedenen Zinssätzen im Vordergrund. Bei der Herleitung der entsprechenden Formeln werden im Wesentlichen Eigenschaften der arithmetischen und geometrischen Folgen und Reihen sowie des Logarithmus benutzt. Die hergeleiteten Formeln werden anschließend in Kästen übersichtlich dargestellt, wobei die benutzten Bezeichnungen im Anschluß nochmals erläutert werden. Dadurch kann der Anwender die entsprechenden Formeln sehr schnell finden, ohne daß dazu seitenweise Texte durchgelesen werden müssen. Aus diesem Grund kann das Buch sowohl als Lehr- und Übungsbuch als auch als Formelsammlung benutzt werden. Es wendet sich an alle Personen, die sich während ihres Studiums oder in der Praxis mit Finanzmathematik beschäftigen müssen, speziell natürlich an die Studenten der Wirtschaftswissenschaften. Zum besseren Verständnis sollen die vielen Beispiele und Übungsaufgaben mit Lösungen beitragen. Für PC's sind sechs Programme in BASIC angegeben. Mit diesen Programmen lassen sich manche Ergebnisse sehr schnell berechnen. Mit manchen Programmen kann auch der effektive Zinssatz berechnet werden, was mit elementaren Methoden nicht möglich ist. Aufgaben, zu deren Lösung eines der Programme benötigt wird, sind mit einem * versehen. Mein Dank gilt dem Oldenbourg-Verlag, insbesondere Herrn Diplom-Volkswirt Martin Weigert für die Aufnahme dieses Buches in sein Programm und die gute Zusammenarbeit während der Entstehungszeit dieses Buches. Jedem Leser bin ich für kritische Hinweise und Verbesserungsvorschläge dankbar. Karl Bosch

Vorwort zur sechsten Auflage Die sechste Auflage wurde vollständig überarbeitet. Neben der Umstellung von DM auf Euro wurde auch die neue Rechtschreibung weitgehend berücksichtigt. Wie in den vorangegangenen Neuauflagen wurden Fehler im Text und in den Formeln beseitigt. Bei allen Personen, die mich auf Fehler aufmerksam gemacht haben, möchte ich mich recht herzlich bedanken. Karl Bosch

Kapitel 1: Mathematische Grundlagen In diesem

Kapitel sollen die wichtigsten mathematischen Grundlagen zusammengestellt werden, die zur Lösung von Problemen aus der Finanzmathematik benutzt

werden.

1.1. Die arithmetische Zahlenfolge Beispiel 1: Der Umsatz eines Betriebes betrage im ersten Jahr a Einheiten. Er soll in jedem Jahr um den gleichen absoluten Betrag d erhöht werden. Dann erhält man die Umsätze in den nächsten Jahren der Reihe nach als

a, a +

d, a + 2d, a + 3d,

+

a

4d,

a

+

5d,

...

Der Umsatz im n-ten Jahr lautet somit a„

=

a

+

(n

l)d für n

=

1,2,...

-

Diese Zahlen bilden der Reihe nach eine sog. arithmetische

Zahlenfolge.

Definition 1: Mit zwei a,

beliebigen Zahlen a und d heißt a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d, a + (n-l)d, ...

ai a2 a3 eine arithmetische

a5

a4

a„

an

Zahlenfolge.

Das n-te Glied einer arithmetischen =

...

a-r-(n-l)d,

n

=

Zahlenfolge lautet

l,2,...

Die Differenzen zweier aufeinanderfolgender Glieder sind konstant mit an+! an d für jedes n. Durch diese Differenz d und das Anfangsglied a ist die arithmetische Zahlenfolge eindeutig bestimmt. Ferner ist für n > 1 das Folgenglied an gleich dem arithmetischen Mittel der beiden benachbarten Glieder. Es gilt —

=

a„

=

^ (an-1-f-aI1+1)

für

n

=

2, 3,

...

Beispiel 2: Ein Angestellter erhält ein monatliches Anfangsgehalt von 3000 EUR. Nach jedem Jahr wird das Gehalt um 200 EUR erhöht. Die laufenden Gehälter bilden eine arithmetische Zahlenfolge 3000, 3200, 3400, 3600, 3800, 4000, mit a 3000 und d 200. Das Gehalt im n-ten Jahr beträgt ...

=

a„ n

=

=

=

3000 + 200

10 liefert a10

(n-1); =

4800 EUR.

Beispiel 3: Das 3. Glied einer arithmetischen Folge sei 10 und das 5. Glied gleich 15. Gesucht ist das n-te Glied a„. Aus a5 a3 2d folgt d 2,5. =

—

=

2

10

Kapitel 1: Mathematische Grundlagen a3

=

=

Hieraus a„

=

a

+ 2d

+5

a

=

ergibt

a

=

5.

folgt

5 + 2,5

•

(n

1) für n

1, 2,

=

....

-

1.2. Die arithmetische Reihe In

Beispiel 1

n

erhält

man

Darstellung fs„ a

+

}s„

2s„

=

a

+d

+

a

+ 2d

+

...

(n —l)d+ a + (n —2)d+ a + (n 3)d+ 2a + (n l)d + 2a + (n l)d + 2a + (n l)d + 2na + n(n l)d n(2a + (n l)d) n(a + a + (n rj(a1 + a„). a

+

...

—

...

-

-

-

=

n

Jahren sn

=

£ a{ die i 1 =

=

=

für den Gesamtumsatz während

=

=

-

-

(n-l)d a(umgekehrte Reihenfolge) + 2a + (n l)d l)d) a

+

-

-

=

Definition 2: Die Summe der ersten sn

=

+

a

(a + d) + ...+(a + (n-l)d)=

arithmetische Reihe. Aus der

=

k=l

Mit

a

=

d

H-2„ + ,

Glieder einer arithmetischen

£ ak £ (a + (k-l)d)

Folge

=

heißt

k=l

k=l

obigen Gleichung folgt

i ak= £ (a + (k-l)d) ^

s„=

n

i.

k=l

=

1 erhält

...-r-n

man aus

n =

•

[2a + (n-l)d]

=

^ L

[a1 + aj.

(1)

(1) unmittelbar

(n + 1)

(2)

—-

Beispiel 4: Ein Betrieb hat im Jahr 1986 einen Umsatz von 800 Mio. EUR. Dieser Umsatz soll jährlich um 90 Mio. EUR gesteigert werden. Für das Jahr 2000 lautet somit das Umsatzziel 800 + 14 90 2060 Mio. EUR. Für die 15 Jahre (=n) von 1986 bis 2000 ist somit ein Gesamtumsatz n 15 (800 -I- 2060) 21450 Mio. EUR geplant. (at + aj =

•

•

=

-

von

=

•

—

1.3. Die

geometrische Folge

Beispiel 5: Der Umsatz eines Betriebes betrage im laufenden Jahr a Einheiten. Von Jahr zu Jahr soll der Umsatz jeweils um p % (des Vorjahresumsatzes) erhöht werden. Stellt an den Umsatz im n-ten Jahr dar, so gilt a»+1

=

a»+ilö'a"

=

a"

(1 ioö) +

mita^

Die Jahresumsätze lauten der Reihe nach

=

a-

Kapitel 1: Mathematische Grundlagen

Allgemein gilt an

=

a'(1 10ö)

fürn

+

Die Umsätze stellen ein sog. Definition 3: Mit zwei Zahlen

aq2, aq3,

a, aq,

1'2-

=

^

-

geometrische Folge dar. und q heißt

a

aqn~\ aqn,

...

at a2 a3 a4 an an+1 eine geometrische Zahlenfolge. Das n-te Glied a„ besitzt die an aqn"\ n l,2,... mit q° 1. =

=

Darstellung

=

Bei einer geometrischen Folge ist der Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant. Es gilt =

q für alle

Wegen

n.

——

a» —

j/an-i' an+i

ist für n ^ 2 jedes Folgenglied gleich dem geometrischen Mittel der beiden benachbarten Folgenglieder.

Beispiel 6: Bei einer nichtnegativen geometrischen Folge sei das zweite Glied gleich 10 und das 4. gleich 40, d.h. a2

=

10, a4

=

40.

q2

=

4

Aus

= —

folgt q

=

2.

ergibt a 5. Die geometrische Folge lautet somit 5, 10, 20, 40, 80, Allgemein: a„ 5 2n_1 für n 1, 2,... 10

a2

=

=

a

q

=

=

a

-

2

=

geometrische Reihe

1.4. Die endliche Mit q als s„

=

a

=

(V 1 +

+ aq +

100;)

——

erhält man in

aq2 +

Beispiel 5 den Gesamtumsatz während n Jahren n-l

...

+

aqn_1

=

a

=

a

+ aq +

heißt endliche

aq2 +... + aq"-1 geometrische

•

2Z qk

k=0

Definition 4: Die Summe der ersten sn

...

=

•

n

Glieder einer n-l

=

Reihe.

a •

£ ak

k

=

0

geometrischen Folge

Kapitel 1: Mathematische Grundlagen Diese Summe kann durch gliedweise Multiplikation mit q folgendermaßen berechnet werden X

=

qx

=

l-r-q-r-q2-r-...-r-qn_1 q-r-q2 + ...-r-qn"1-l-"qn

Subtraktion liefert Hieraus folgt

x

•

(q

1)

1.

q"

=

-

-

q"-l l+q

+ q2 +

...+qn-1

q

=

für q

n

Für die endliche

für q * 1;

Reihe erhält

geometrische

(3)

1.

=

man

somit die

Darstelung (4)

Beispiel 7: Gegeben sei eine geometrische Folge mit a lautet die Summe der ersten 10 Glieder s10

=

Für

|q|
oo

10000

=

—1


oo gilt in (17) das Gleichheitszeichen. In diesem Fall heißt die Verzinsung eine stetige Verzinsung.

K0-

=

-

=

2. Fall: p

beliebig

Für beliebiges p nähert sich b

/ =

_p_

Zahl eioo, d.h.

/

lim

m,.V

Y"

p

1 +

—7—

gilt

für

Somit

\

\m

p

1 +

100

m/

mit wachsendem m immer mehr der

———

p

eioo.

=

100m/

große m die Näherung

^-K«-(1+«fc)"

(18)

wobei bei stetiger Verzinsung (m -* 00) in (18) das Gleichheitszeichen steht. Bei der stetigen Verzinsung kann der Kontostand zu jedem Zeitpunkt t berechnet werden als

K(t) K(t)

=

p

=

K0

=

(19)

Kontostand zum Zeitpunkt t bei der nomineller Jahreszinssatz

k =

erhält

für

man

m

—

+

=

m

große m eine Näherungsformel für (10) in

-eioVm.

IÖ0m' k

K^

stetigen Verzinsung

Ausgangskapital

=

Für t

—in

K0eT5ö'

Kapital nach m

(20)

Jahren

—

p

=

K0

=

m

=

nomineller Jahreszinssatz

Ausgangskapital Anzahl der Zinsperioden

pro Jahr

Beispiel 14 (s. Beispiel 10): Ein Kapital von 50000 EUR werde zum nominellen Jahvon 6% stetig verzinst. Dann wächst das Kapital in 10 Jahren an auf

reszinssatz

K(10)

=

50000 eiW

10

=

91105,94 EUR.

Dieser Grenzbetrag wird bei der täglichen bzw. stündlichen

Verzinsung schon fast

erreicht, so dass eine weitere Verfeinerung kaum mehr Vorteile für den Sparer bringt (s. Beispiel 10).

Kapitel 3:

Zins- und

27

Zinseszinsrechnung

(19) können von den vier Größen K(t), K0, werden, wodurch die vierte bestimmt ist.

In

p und t wieder drei

vorgegeben

Berechnung des Anfangskapitals (Barwerts) K0

K0 K0

=

t

=

K(t) p

=

K(t)

e

ToV«.

(21)

Anfangskapital

Laufzeit in Jahren Kapital nach der Laufzeit t bei nomineller Jahreszinssatz

=

=

stetiger Verzinsung

Berechnung des nominellen Jahreszinssatzes p

Logarithmus erhält man wegen Ine

Mit Hilfe des natürlichen

=

1

aus

(21)

p

eioo

und hieraus

100

Jn

t

Bezeichnungen

/K m\ /K(t)

I

(23)

\K0 s.

(21)

Berechnung der Laufzeit t Aus (23) folgt t

^°.h/K(t) V K0 P

=

(24)

Bezeichnungen s. (21)

Beispiel 15: Nach 7l/2 Jahren erwartet ein Unternehmer einen Kapitaleingang von

500000 EUR. a) Gesucht ist der Barwert dieses Betrags bei einer stetigen Verzinsung bei einem nominellen Jahreszinssatz von 5 %. b) Gesucht ist der Barwert bei einer vierteljährlichen Verzinsung mit jeweils 1,25 %.

c) Nach welcher Zeit müßte der Betrag von EUR 500 000 bei stetiger Verzinsung mit p 5% anfallen, damit der Barwert 300000 EUR wäre? Lösung: a) Mit t 7,5 und K(7,5) 500000 berechnet sich der Barwert nach (21) als =

=

B0

=

K0

b) Mit m

=

=

=

4;

500000 e"Töö -7-5 =

m

—

1,25; k

=

=

343644,64 EUR.

30 und K™ 4

=

500000

folgt

aus

(11)

28

Kapitel 3:

Bo

=

K0

Zinseszinsrechnung

500000

7-= 344444,34 EUR.

=

1 +

100

c) Aus (24) folgt /500000\ 100 In-= t

Zins- und

,

=

10,22 Jahre.

\3°0000/

5

—

Der zu einer stetigen Verzinsung zugehörige effektive Jahreszinssatz peff, der bei jährlichen Einmalverzinsungen jeweils zum Jahresende zum gleichen Endbetrag führt wie bei der stetigen Verzinsung, ergibt sich durch Gleichsetzen der beiden Kontostände nach einem Jahr

Ko-eToV1 Die

K0

=

-

fl

+

P

100,

Auflösung dieser Gleichung liefert

(eT5ö-l); peff p

= =

p

=

i001n(l + ^l.

effektiver Jahreszinssatz nomineller Jahreszinssatz bei stetiger

Verzinsung

Beispiel 16: a) Einer stetigen Verzinsung mit dem Zinssatz von p fektiver Jahreszinssatz

peff

=

100

•

(el^ö

1)

(25)

=

6% p.a.

entspricht ein ef-

von =

6,1837%.

-

b) Ein effektiver Zinssatz 5 % wird bei einer stetigen Verzinsung erreicht bei einem nominellen Jahreszinssatz p

=

3.3.

100 1n

+

von

A\= 4)879o o/0.

Regelmäßige Einzahlungen mit

Während in Abschnitt 3.2 eine

Zinseszins

einmalige Einzahlung erfolgte,

(Sparraten) sollen in diesem

Abschnitt regelmäßige Einzahlungen in gleichen Zeitabständen untersucht werden. Allgemein werden zwei Modelle behandelt. In Abschnitt 3.3.1. finden die Einzahlungen jeweils am Anfang oder Ende eines Jahres statt, also zu Zeitpunkten, bei denen das Kapital verzinst wird. In Abschnitt 3.3.2. werden während eines Jahres m > 1 Einzahlungen in regelmäßigen Abständen vorgenommen (unterjährige Einzahlungen). Falls die Einzahlungen am Anfang der entsprechenden Zeitabschnitte vorgenommen

Einzahlungen

Zeitabschnitte

werden, spricht man von vorschüssiger Einzahlung. Nachschüssige Einzahlungen am Ende der entsprechenden

finden statt, falls die

erfolgen.

Kapitel 3:

29

Zinseszinsrechnung

Zins- und

3.3.1.

Einzahlungen am Anfang oder Ende eines Jahres bei jährlicher Verzinsung (Einzahlungen zu den Zinsterminen) Während n Jahren sollen entweder jeweils zu Beginn (vorschüssig) oder am Ende E„ eingezahlt werden. (nachschüssig) der Reihe nach die Beträge E1( E2, E3, Dann können die Einzahlungen auf der Zeitgerade dargestellt werden als E„ Einzahlung Ej E2 E3 E4 vorschüssige Einzahlung -1-1-1-1-h ...

Jahr

nachschüssige Einzahlung

0

Einzahlung 0

Jahr

Am Ende eines jeden Jahres werde das Konto war, mit p % verzinst.

Kn

sei der Kontostand nach

n

1

2

3

Et

E2

E3

1

2

3

...

n-1

n

En_,

En

n-1

n

Kapital, das zu Beginn des Jahres auf den

Jahren,

a) Vorschüssige Einzahlungen Bei vorschüssigen Einzahlungen wird n-mal das zweimal En_! und einmal En verzinst. Hieraus folgt mit q

Kn

=

=

p 1 H-aus 100

E1q" + E2q"-1 +

Falls alle

K„

=

+

...

•

•

f^ + q"-2 + geometrische

Es

gilt

E„q=

...

1)

+

—

(5)

Einzahlungsbeträge gleich

E q

Kapital Eu (n l)-mal E2,...,

£

E =

Ekq"-k 1. +

k= l

sind, folgt hieraus E q •

•

q"-l 1

Reihe

also

qn-l

« ••'•TT K„

(26)

=

Kontostand nach

E

=

vorschüssige Einzahlung zu Beginn eines jeden Jahres

q

=1+llö

p

=

n

=

n

Jahren

Jahreszinssatz Laufzeit in Jahren bei jährlicher

Verzinsung

Beispiel 17: Ein Bausparer zahlt jeweils zum Jahresbeginn 1000 EUR auf einen Bausparvertrag ein. Die Verzinsung erfolgt jeweils zum Jahresende mit 3 % (Zinseszins). Dann beträgt das Guthaben nach 15 Jahren

K15

=

1000 1,03 •

1,0315

1 -

0,03

——

=

19156,88 EUR.

Kapitel 3: Zins- und Zinseszinsrechnung

30

Berechnung des Einzahlungsbetrags E Falls bei fest vorgegebenem Jahreszinssatz p nach n Jahren ein vorgegebener Kontostand K„ erreicht werden soll, erhält man die vorschüssige Einzahlung aus (26) als 1

(27)

q(q"-l)

Bezeichnungen

(26)

s.

Beispiel 18: Herr Huber schließt einen Bausparvertrag über 100 000 EUR ab. Bis zur geplanten Zuteilung in 8 Jahren muß der Kontostand mindestens 40 % der Bausparsumme betragen. Wie viel muß Herr Huber jeweils zum Jahresbeginn bei einem Jahreszinssatz

Lösung: E

=

Mit q

40000

3 % einzahlen?

von =

1,03 folgt 0,03

1,03 (1,038

Berechnung Aus

(26) folgt

=

1)

•

der Laufzeit

aus

(27)

4367,24 EUR.

-

n

durch elementare

Rechnung für die Laufzeit n (28)

Bezeichnungen

s.

(26)

I. a. ist die Lösung n nicht ganzzahlig. Aufrunden liefert die minimale Anzahl der Jahre, nach denen erstmals der geforderte Kontostand überschritten wird.

Beispiel 19: Ein Sparer zahlt jeweils zu Beginn eines Jahres 5000 EUR auf ein Konto ein. Nach wie viel Jahren ist bei einem Jahreszinssatz von 4% mit Zinseszins ein Kontostand von mindestens 100000 EUR erreicht? Mit q

=

1,04, K„

/

100000

=

folgt aus (28)

0,04

'iJ-5T54-i-H55Jahre. 15 (aufgerundet). n Die Kontostände nach 14 bzw. 15 Jahre erhält

Lösung: K14 K15

=

=

=

5000 1,04

1

•

5000

•

1,04

•

0414 -1 0,04

=

man aus

95117,94 EUR;

——

1

0415

1

-= —

0,04

104122,66 EUR.

(26) als

Kapitel 3: Zins- und Zinseszinsrechnung

31

b) Nachschüssige Einzahlungen Bei der nachschüssigen Einzahlung wird jeder Betrag einmal weniger verzinst. Damit gilt K„ E1q"-1 + E2q"-2 + E3q"-3 + + E„= (29) Ekq°-k k l und bei gleichen Einzahlungen =

...

£ =

q"-l

'•-' hr

(30)

=

Kontostand nach

E

=

nachschüssige Einzahlung in jedem Jahr

q

=

p 1 -I- ——; p 100

Kn

=

n

Jahren

Jahreszinssatz mit Zinseszins

Berechnung des Einzahlungsbetrages E Aus (30) folgt E

=

K„-4^i

(31)

Bezeichnungen s. (30) Beispiel 20: Wie viel muß ein Bausparer jährlich nachschüssig aufeinen Bausparvertrag einzahlen, damit nach 12 Jahren die Bausparsumme 25 000 EUR bei einem Jahreszinssatz

Lösung:

von

E

2,5 % erreicht wird? 0,025 25000 '

=

•

12—-1 1,02512

=

t

1812,18 EUR.

-

Bei

vorschüssiger Einzahlung beträgt E 181248 ETJR 1,025 q

lie jährliche

Einzahlung

=

Berechnung der Laufzeit n Aus (30) folgt durch elementare Rechnung (32) Bezeichnungen 3.3.2.

s.

(30)

Unterjährige Einzahlungen bei jährlicher Verzinsung Jedes Jahr werde in m gleichlange Teilintervalle zerlegt. In jedem dieser Teilintervalle werde zu Beginn (vorschüssig) bzw. am Ende (nachschüssig) der gleiche Betrag E

eingezahlt.

Kapitel 3:

32

Zins- und

Zinseszinsrechnung

a) Vorschüssige Einzahlungen E E E Einzahlung E 1

2

1. Zinszahlung

2. Zinszahlung

0

Jahr

E n-1

E

-h n-te

(m 3) =

Zinszahlung

Am Ende eines jeden Jahres werde das Kapital mit einem Jahreszinssatz von p % verzinst. Das Kapital, welches ein ganzes Jahr auf den Konto ist, wird mit p %, das k später eingezahlte nur mit dem entsprechendem Anteil verzinst. Ein Kapital, das m k Jahre auf dem Konto ist, wird mit p % verzinst für k 1, 2, ..., m.

—

=

•

m

—

Als erstes soll der Kontostand nach einem Jahr, also nach der ersten Zinszahlung berechnet werden. Für die m Einzahlungen während eines Jahres erhält man folgende Zinszahlungen

Zinsen

Einzahlung

Summation der m Einzelzinsen aus der 3. Spalte liefert die Zinsen für das 1. Jahr als

Zl

=

1

P

El^m-.[1 + 2+.-+m] Elööm-2=

(33)

arithmetische Reihe

(m + 1) 200

p

•E.

Zusammen mit den Einzahlungen während des ersten Jahres lautet der Kontostand nach einem Jahr

Kl=L

+

200

J

(34)

Kx voll verzinst, was Kx I 1 100 ergibt. Da die Neueinzahlung wie im 1. Jahr erfolgt, kommt noch der Betrag Kt hinzu. Damit erhält man Im zweiten Jahr wird

•

den Kontostand nach 2 Jahren als

K,

f

,

(m + l)

p~|

(35)

Kapitel 3: So fortfahrend erhält

man

Zins- und

den Kontostand nach

K.-E.[» ^?^].(l +

33

Zinseszinsrechnung n

Jahren als

+ q+... + q.-i)

oder

(m + 1) p" •

K„

Kn

=

p

=

E

=

m

•

+

200

Kontostand nach Jahreszinssatz

(36)

1

Jahren bei jährlicher

n

Verzinsung

4

« =1 +

äquidistanten unterjährigen Einzahlungen pro Jahr vorschüssige Einzahlung jährliche anteilsmäßige Verzinsung Mit dem jährlichen Gesamteinzahlungsbetrag B m E geht (36) über in

m

=

E

=

Anzahl der

=

K„

B

=

1 +

(m + 1)

•

•

1

p

200m

(36')

q-1

jährlicher Einzahlungsbetrag auf m unterjährige vorschüssige Einzahlungen B der jeweiligen Höhe E aufgeteilt m Restliche Bezeichnungen s. (36)

B

=

=

—

Falls der

K„

B

=

Gesamtbetrag B jeweils zum Jahresende eingezahlt würde, qn- 1

wäre

1

der Kontostand nach n Jahren. Durch die Aufteilung des nachschüssigen jährlichen B wird der Einzahlungsbetrags B auf m vorschüssige Einzahlungen der Höhe E =

m

—

=

*——

multipliziert. Für 1 geht die nachschüssige Einzahlung in die vorschüssige über. Der zugehörige

Kontostand mit dem Faktor entsprechende r m

^m

1 +

200m

p Faktor lautet dann 1 -I-= q. 100

Beispiel 21: Ein Sparer zahlt 6 Jahre lang jeweils zum ersten eines jeden Monats 78 EUR auf ein Sparbuch ein. Die Verzinsung erfolge jährlich mit 6%. Nach 7 Jahren kann er über das gesamte Guthaben verfügen. Gesucht ist dieses Guthaben G. Mit m 12 und E 78 erhält man das Guthaben nach 6 Jahren =

Kfi

=

78

=

I"

L

+

13-61 1,066- 1 200 0,06

J

_

6741,09 EUR.

aus

(36) als

34

Kapitel 3:

G

Zinseszinsrechnung

beitragsfreien Jahr wird K6 voll verzinst.

Im letzten =

Zins- und

K6 1,06 •

Damit

gilt

7145,55 EUR.

=

^

Verzinsung monatlich mit jeweils % erfolgen würde, gäbe es in 6 Jahren der Einzahlung 12 6 72 Zinstermine. Mit n 72, p 0,5 und E erhält man mit (26) das Guthaben nach 7 Jahren als Falls die

=

•

G

=

78

1

1,005

•

=

00572 1 1,00512 0,005

•—

=

=

den =

78

7191,37 EUR.

,

6 Jahre

7. Jahr

.

b) nachschüssige Einzahlungen

Einzahlung Jahr

EEEEEEEEE E(m 3) -t-1-1-1-1-1-h-,-1-1-1=

1 1. Zinszahlung

0

Bei der nachschüssigen Einzahlung eingezahlten Beträge

pl

2 n-1 2. Zinszahlung

n

n-te

Zinszahlung

lauten die Zinsen für die im laufenden Jahr

,

p

,

1

(m

1)

•

m

—

=

(m-l)-p 200

folgt

Hieraus K,1

=

E

•

(m-l) pl (m-l) pl =m-E- f H-—fnH-——,

,

|_

J

200

|_

200m

J

=

n B

(m-D pl f.lH-——200m J |_ ,

.

Aufteilung des nachschüssigen jährlichen Einzahlungsbetrags B auf m nach^ schüssige unterjährige Einzahlungen liefert den Faktor 1 + 200 m ^. Die

^

f d

fi[

K„

=

p

=

q

=1+llö

,

i

p"|

q'-l

p] 200m

q"-1

(m-l)

("-^

Kontostand nach Jahreszinssatz

n

q-1

(37) '

Jahren bei jährlicher

Verzinsung

äquidistanten unterjährigen Einzahlungen pro Jahr nachschüssige unterjährige Einzahlung jährliche anteilsmäßige Verzinsung mE jährliche Einzahlung auf m nachschüssige unterjährige Einzahlungen B aufgeteilt. m

=

E

=

=

Anzahl der

=

Kapitel 3:

Zins- und

35

Zinseszinsrechnung

Beispiel 22 (vgl. Beispiel 21): Falls die Raten aus Beispiel 21 jeweils zum Monatsletzten (nachschüssig) eingezahlt werden, lautet das Guthaben nach 7 Jahren im Falle

jährlicher Verzinsung mit 6 % 1,066- 1 G 78 12 + ^—^1 =

•

I

L

Bei monatlicher

1,06

•

200

J

0,06

Verzinsung

lautet der

=

7110,95 EUR.

Endbetrag

Ö=1^5=7155'59EUR3.3.3.

Unterjährige Verzinsung bei regelmäßigen jährlichen Einzahlungen Falls bei jährlichen Einzahlungen die Verzinsung m-mal unterjährig vorgenommen p wird, kann aus dem konformen Zinssatz m mit (15) der effektive Jahreszinssatz Peff P' berechnet werden. Mit diesem Jahreszinssatz p' können dann die Formeln —

=

aus

Abschnitt 3.3.1. mit der Laufzeit

m

Jahren direkt übernommen werden.

Beispiel 23: Bei einer jährlichen Verzinsung mit 5 % werden alle 2 Jahre vorschüssig auf ein Konto 10000 EUR eingezahlt. Für zwei Jahre lautet der Aufzinsungsfaktor q 1,052 1,1025. a) Den Kontostand nach 10 Jahren erhält man mit n 5 aus (26) als =

=

=

K,

=

10000

1,052

(1 052)5 •

1

67644,52 EUR. ——£-= 1,052 -1 -

b) Nach 11 Jahren lautet der Kontostand (K5 + 10000) 1,05 81526,75 EUR. •

=

3.3.4. Unterjährige Einzahlungen bei unterjährigen Verzinsungen Finden Verzinsung und Einzahlungen zu den gleichen Terminen jeweils m-mal unterjährig, z. B. vierteljährlich statt, so ist es sinnvoll, als Zeiteinheit anstelle eines p zu wähJahres die entsprechende Zinsperiode mit dem konformen Zinssatz p =

m

—

len. Auch für diesen Fall können die Formeln aus Abschnitt 3.3.1. direkt übernommen werden.

Beispiel 24: Bei einem nominellen Jahreszinssatz von 5 % bei vierteljährlicher Verzinsung zahlt jemand vierteljährlich a) nachschüssig, b) vorschüssig 2000 EUR ein. Den Kontostand nach 10 Jahren erhält man mit p 1,25% aus (30) und (26) als 1,0125*°- 1 a) K40 2000 102979,11 EUR; 0Q125 =

=

=

n

=

40

(Zinsperioden)

und

36

Zins- und

Kapitel 3:

b) K40

=

1,0125 K40 •

=

Zinseszinsrechnung

104266,35 EUR.

Beispiel 25: Mit einem nominellen Jahreszinssatz von 4 % werde ein Konto viertel-

jährlich verzinst. a) vorschüssig, b) nachschüssig

Monatlich werden

jeweils 1000 EUR eingezahlt. Gesucht ist der Kontostand nach 10 Jahren. Die 10 Jahre bestehen aus n 40 Zinsperioden mit jeweils m 3 Einzahlungen. Mit p 1 % erhält man aus (36) bzw. (37) =

=

=

=

147636,85 EUR;

=

147147,98 EUR.

3.4. Bestimmung des effektiven Zinssatzes Bei unterjährigen Einzahlungen können die Gleichungen T (m + l)-p~| qn-l , K„ Ec m +-—(vorschussi8); „

=

f

„ _

.....

,

•

,

'

(m-l)

p]

~q~~f q"-l

(38)

(nachschüssig)

nicht exakt nach p aufgelöst werden, falls die übrigen Größen n (Laufzeit), E (unterjähriger Einzahlungsbetrag), m (Anzahl der unterjährigen Teilintervalle) und Kn (= geforderter Kontostand nach n Jahren) vorgegeben werden. Trotzdem ist es möglich, durch sog. Iterationsverfahren aus dieser Gleichung den effektiven Zinssatz p beliebig genau zu bestimmen. Dazu ist die sog. Intervallhalbierungsmethode geeignet. Dabei wird die Zinsgleichung 1 (m + 1) p m + 200 q-1 vorschüssig; f (P) x (m-l)p qn- 1 m + nachschüssig 1 200 •

=

=

benutzt.

Po der für zu ist ein Zinssatz p0, groß ist, den also f (p0) > Kn ist. DieAusgangspunkt ses Ausgangsintervall [0; p0] wird halbiert. Dann gibt es für die Intervallmitte u

=

Po

drei Möglichkeiten:

—

1. Fall f (u) 2. Fall f(u) 3. Fall f(u)

=

< >

Kn Kn Kn

=>

u

=>

u

=>

u

ist der gesuchte Zinssatz. ist zu klein; dann gilt u < p ist zu groß; d.h. 0 < p < u.


K THEN GOTO 6B0 670 P=2*P:RE=P:G0T0 650 680 FOR 1=1 TO 50

690 P-(LI+RE)/2 700 GOSUB 800 710 IF X

S

=

S

S,-5J-S-2.-.S.

Die Restschulden

/

2

S2,..., Sn,..., SN

sehen Zahlenfolge mit d

T

=

=

S

=

—

—

N

0 bilden also den Anfang einer arithmeti-

und

—

SN

0.

=

Zj sei der Zinsaufwand für die i-te Zinsperiode, der zusätzlich .1 + N 100

mit der

Lösung

P

=

p m

Damit

_P_.S 100

AZ--

P-.s m

P

P

=

(7)

gilt n-1 N

=

-

m

1+m-N 1+N

2n -P-S 100 z

1 + m-N

p 100

2

1 + N. 2

:

m-1 200

'

1+m-N m

•

(1 + N)'

(8)

50

Zn Z

AZ p

Kapitel 4: Tilgungsrechnung =

=

=

=

m

Zinsen in der n-ten Zinsperiode Gesamtzinsen bei unterjähriger Tilgung bei der Zinsberechnung weiligen Restschuld am Anfang der Zinsperiode Mehrzinsen gegenüber der korrekten unterjährigen Verzinsung

p

der je-

Tilgungsintervall

Zinssatz pro

—

=

von

nomineller Ersatzzinssatz pro Zinsperiode, der die der unterjährigen Tilgungen ausgleicht

Nichtberücksichtigung

Beispiel 5: Ein Ratenkredit über 40000 EUR mit einer Laufzeit von 10 Jahren soll vierteljährlich nachschüssig mit gleichen Raten getilgt werden. Neben den Tilgungsraten sind jeweils 2 % Zinsen zu zahlen. a) Die Tilgungsrate beträgt T

b)

=

40000 ^

=

1000 EUR pro

Quartal.

Falls die Zinsen jeweils von der unterjährigen Restschuld berechnet werden (unterjährige Verzinsung), erhält man den gesamten Zinsaufwand aus (3) mit N

Z

=

40 und p 2

=

—

100

=

2 als

1+40 40000 2

=

16400 EUR.

——

c) Falls die Zinsen jeweils von der zu Beginn des Jahres vorhandenen Kreditsumme p 2 und m 4 einen zusätzlichen berechnet werden, erhält man nach (6) mit m =

Zinsaufwand AZ

d)

=

2 40000

•

=

—

von

—

200

=

1200 EUR.

Bei dieser nichtkorrekten Zinsberechnung müssen insgesamt 17 600 EUR Zinsen gezahlt werden. Der nominelle Ersatzzinssatz pro Zinsperiode von p

=

21+i4;

10 =

7,4545»/.

würde bei der anteilmäßigen Berechnung von 1,8636% Zinsen von der jeweiligen Ausgangssumme eines Jahres zur gleichen gesamten Zinsbelastung führen wie die vierteljährige Verzinsung der Restschuld mit jeweils 2 %. 4.2.2.3. Unterjährige

Tilgung keine unterjährige Verzinsung -

Während der Tilgungsbetrag T

S =-—

m

•

N

m-mal unterjährig gezahlt wird, sollen die

Zinsen am Ende einer jeden Zinsperiode, also nach jeweils m Tilgungen gezahlt werden. Zj sei der zum i-ten Zinszahlungstermin zusätzlich anfallende Zinsbetrag. Zuerst soll Z1 berechnet werden.

51

Kapitel 4: Tilgungsrechnung T

T

Tilgung 1

0

Zeit

Restschuld S

T

H-

-h

4

3^

1_

2

m

m

m

m

S-T

S-2T

S-3T

m

—

—

•

P

[S + (S

100 m P

[

P

100m Damit z1

T) + (S —

2T) +

...

+

(S —

—

[m-S-T(l +2 +

100m =

...

+

(m

100

Mit

den

1) T)]

(m-l))].

(m-1)

m-S-T-

gilt

_p

=

man

•

—

Ts1_

(m-i> 2

•

m

•

si N

p

J

100

s

[~i|_

1 N

."-n 2m J'

(9)

Da sich die Restschuld bei jedem Zinstermin um den Tilgungsbetrag verringert, gilt für die Zinsbeträge die Rekursionsformel

Z"

2T,..., —

—

—

1

S-mT

S-4TS-(m-2)TS-(m-l)T

Für jeweils einen Zeitraum der Länge müssen die Beträge S, S T, S m P S (m 1) T anteilmäßig mit % verzinst werden. Damit erhält m 1. Zinsbetrag als —

1

—

m

m

1

m

—

Z--rlör?

fürn

=

m

•

T

=

N

2,3,...,N.

(9) folgt hieraus

Zn~

100

Damit

Zn

'

=

m

=

N

=

/

t

m-l\l

p

„

T

1

/

m

+

lV

gilt

=

100

—

Zn

1

s

S

•

N

(

m+1Y

(10)

Zinsen zum n-ten Zinstermin (nicht unterjährig) Anzahl der nachschüssigen unterjährigen Tilgungen der Höhe T pro Zinsperiode Laufzeit der Ratenschuld in Zinsperioden

Bei einer Tilgungsdauer nach (10)

von

N

Zinspenoden beträgt

=

s m-N

der gesamte Zinsaufwand

52

z

Kapitel 4: Tilgungsrechnung

iöös[N-r(1 4'S{N-N-

z zn 11=1

=

+2+

N

...

+

N) +

(N 1) + -^-

_p_. s

•

100

+

m

+

2m

—1J + 2m

m

•

p*-1+m+ii 2m J' I 2

Also Z

=

100

N-l 2

S

—

Z

=

1

m +

(11)

2m

Gesamtzinsen bei der Tilgungsdauer von N Zinsperioden mit jeweils m unterjährigen Tilgungen; keine unterjährige Verzinsung

Beispiel 6: Eine Schuld von 60000 EUR wird jährlich mit 8 % verzinst. 60 Monate lang sollen nachschüssig jeweils 1000 EUR getilgt werden. Gesucht sind die an den Jahresenden zusätzlich anfallenden Zinsen. Mit m 12 und N 5 erhält man aus (10) die Zinsen =

=

Jahr

Zinsen

Differenz

Zx Z2 Z3 Z4

960 960 960 960

4360 3400 2440 1480 Z,= 520 Summe 12200 =

=

=

=

Die Gesamtzinsen erhält

0,08 60000 •

4.2.3.

man

[H]=

auch

aus

(11) als

12200 EUR.

Tilgungszahlungen mit laufenden Gebühren

Bei manchen Krediten muß der Schuldner dem Geldgeber zusätzlich zu den Tilgungsraten und den anfallenden Zinsen laufende Gebühren zahlen. Diese Gebühren können von der Tilgungsrate, von der Restschuld oder von der Ausgangsschuld abhängig sein.

Tilgungsaufgeld (prozentuale Gebühren von der Tilgungsrate) Bei jeder Tilgung sollen a % von dem Tilgungsbetrag als Gebühren gezahlt werden. Damit erhält man die gesamten Rückzahlungsbeträge (Annuitäten) als

4.2.3.1.

An

Z„ + Tn + Tn. T T |I Gebühren Zinsen Tilgung =

•

——

Kapitel 4: Tilgungsrechnung Im Falle

53

T sind auch die Gebühren Gn T 1 LKJ konstant. Diese Gebühren haben auf die Zinsberechnung keinen Einfluß.

gleicher Tilgungsraten Tn

4.2.3.2. Prozentuale Gebühren

von

=

=

•

der Restschuld

Falls zu Beginn der n-ten Zinsperiode die Restschuld S„_l vorhanden ist, sollen am Ende der

Zinsperiode neben den Zinsen Zn

=

p

S„_!

und der

Tilgungsrate T„

noch ß % von der Restschuld als Gebühren gezahlt werden. Die Gebühren zum nten Zinstermin betragen dann

Ok-jjä'S.-!Damit lautet die Gesamtannuität

An

=

Tn + Zn + Gn (P + 0).S "

loo

"

Ersetzt man im entsprechenden Tilgungsplan den Zinssatz p durch den Ersatzzins-

satz

P*=P + P\ so sind sämtliche Formeln aus den bisherigen Abschnitten dieses Kapitels direkt anwendbar. Für den Schuldner ist es ja belanglos, ob die Kosten durch Zinsen oder Gebühren entstehen. Ohne zusätzliche Gebühren würde dieser Ersatzzinssatz p* dem Schuldner die gleichen laufenden Kosten verursachen wie der Zinssatz p und der Gebührensatz ß.

Beispiel 7: Ein Kredit über 20 000 EUR ist jährlich mit 6% zu verzinsen und in 10 nachschüssigen gleichen Tilgungsraten zu tilgen. Neben der Tilgungsrate von 2000 EUR sind noch 2 % von der Restsumme aus dem Vorjahr an Gebühren zu entrichten. a) Mit p 6% erhält man die Gesamtzinsen aus (3) als =

Z

=

0,06

1 + 10 •

20000

——-

=

6600 EUR.

b) Die Gesamtgebühren ergeben sich aus (3) mit p G

=

0,02

•

"

20000

=

=

2 % als

2200 EUR-

c) An Tilgungen, Zinsen und Gebühren müssen für den Kredit insgesamt 20000 + 6600 + 2200 gezahlt werden.

=

28800 EUR.

Kapitel 4: Tilgungsrechnung

54

4.3.

Tilgung einer Schuld durch gleiche (Annuitätentilgung)

Annuitäten

Bei gleichbleibenden Tilgungsraten (Abschnitt 4.2.) nehmen die zusätzlich anfallenden Zinsen im Laufe der Zeit ab. Die Gesamtbelastung (Tilgung -I- Zinsen) des Schuldners ist somit bei gleichbleibender Tilgungsrate am Anfang der Tilgungszeit am größten und wird laufend kleiner. Bei der Annuitäten-Tilgung dagegen wird zu jedem Tilgungstermin die gleiche Annuität A für Zinsen und Tilgung gezahlt. Mit dem Tilgungsbetrag T und dem Zinsbetrag Z gilt bei einer Annuitätentilgung T -I- Z A (konstant). Falls die Zinszahlungen Z im Laufe der Zeit kleiner werden, erhöhen sich entsprechend die Tilgungsbeträge. =

4.3.1. Annuitätentilgungen zu den Zinsterminen Bei einem Zinssatz von p % soll zu jedem Zinstermin die konstante Annuität A gezahlt werden. Mit Zn anfallende Zinsen zum n-ten Zinstermin =

T„ Tilgungsbetrag zum n-ten Zinstermin gilt für jedes n 1, 2, A Zn + T„ (konstant). =

=

...

=

Aus

Ausgangsschuld und S„ die Restschuld nach n Zinsperioden. S^S-q-A S sei die

und der Rekursionsformel

Sn S„_1q-A fürn 2, 3,... folgt S„ S qn A (q"-1 + qn~2 + =

=

=

•

...

+q+

1)

-

=

qn- 1

Sq"-A-2--. q-1

(12)

(12) ist plausibel. Ohne Tilgung wächst die Ausgangsschuld S in n Zinsperioden an auf S q". Die n nachschüssigen Annuitätenzahlungen ergeben qn 1 nach Formel (30) aus Abschnitt 3.3.1 einen Endwert A-. Die Differenz Die Formel

•

-

dieser beiden End werte liefert die Restschuld

^

Sn. p bilden die Falls die Annuität A größer ist als die erste Zinszahlung Zt S 100 Restschulden Sn eine fallende Zahlenfolge. Dann sind die Tilgungsbeträge Tn wach—

=

•

,

——

send mit

T„ Sn_! S„. T„ selbst unterscheidet sich von Tn_! durch die Zinsersparnis, die durch die vorhergehende Tilgungsrate Tn_! verursacht wird. Damit gilt die Rekursionsformel =

—

Kapitel 4: Tilgungsrechnung Hieraus

Tn

folgt unmittelbar

Tx q"-1

fürn

Z1 + T1

SIPÄ+T1

=

•

=

2, 3,

...

Aus A

=

erhält

=

Damit liefert

=

A-S(q-1).

(13) =

=

Zn

=

S(q-l) + T1

man

T\=A-S -P-

A

=

[A-S(q-l)]q°-1.

Zn + Tn ergibt schließlich die Zinsen

A-Tn

=

=

Damit

A-[A-S.^].q-

A-[A-S(q-l)]q-1.

gilt

n-l

S A

Sn T„

= = =

=

Zn

=

p

=

.

Ausgangsschuld

Annuität zu den Zinsterminen Restschuld

Tilgung

Zinsen zum n-ten Zinstermin Zinssatz pro Zinsperiode

Berechnung der Tilgungsdauer aus einer vorgegebenen Annuität Eine Annuitätenschuld ist nach genau N Zinsperioden getilgt, falls SN diese Tilgungsdauer N erhält man aus (12) die Bedingung aN- 1 S.qN_A.S-l q- 1

=

o.

Multiplikation dieser Gleichung mit (q 1) liefert —

56

Kapitel 4: Tilgungsrechnung

1) qN

qN + A qN[A-S(q-l)] A S

(q

•

A

•

-

•

=

0

-

=

qN

A

1

=

A-S(q-l)

^

S(q-l)

Logarithmieren ergibt

Hieraus

folgt (18)

N A S

Tilgungsdauer in Zinsperioden nachschüssige Annuität pro Zinsperiode Ausgangsschuld q=1 + Zinssatz pro Zinsperiode p =

=

=

llö

=

Bei vorgegebenem S, A und p wird das nach (18) berechnete N i. a. nicht ganzzahlig sein. Abrunden liefert einen Zeitpunkt, zu dem die Schuld noch nicht ganz getilgt ist. Aus der Restschuld kann jedoch der restliche Rückzahlungsbetrag für das letzte Teiljahr berechnet werden.

Beispiel 8: Von einem Darlehen über 50000 EUR mit dem Jahreszinssatz von 6% wird jeweils zum Jahresende 4500 EUR einschließlich anfallender Zinsen zurückgezahlt. a) Für die Laufzeit N erhält man aus (18) N

/

0,06-500O0\

"H-^00—j lg 1,06 ,

=-v

b) Nach S18

=

,

A

18 Jahren 50000

•

„-=

18,85 Jahre.

beträgt die Restschuld nach (17)

1,0618

4500 -

1 0618 -1 '

•

EUR. ^— 3641,52 =

Am Ende des 19. Jahres muß einschließlich der noch anfallenden Zinsen der Betrag

S18 1,06 3860,01 EUR zurückgezahlt werden. •

=

57

Kapitel 4: Tilgungsrechnung

Beispiel 9: Für eine Grundschuld müssen vierteljährlich 2 % Zinsen gezahlt werden. Die Rückzahlung erfolgt in nachschüssigen vierteljährlichen Annuitäten von 2,25 % der gesamten Ausgangsgrundschuld. Gesucht ist die gesamte Tilgungsdauer.

Eine Zinsperiode besteht hier aus für die Anzahl der Zinsperioden _i 8

°'02 (i^ 0,022< ^-j'0225^

Jahr.

Gegeben ist

110,96 Quartale.

=

lg 1,02

Nach etwa 273/4 Jahren ist die Grundschuld getilgt. Den effektiven Jahreszinssatz peff, der dieser unterjährigen 2 % entspricht, erhält man aus

1+ als

peff

^ =

=

0,0225. Aus (18) folgt

= —

Verzinsung mit jeweils

(1 + 0,02)*

8,2432%.

Vorgabe der Laufzeit N Bei vielen Annuitätenkrediten wird die Laufzeit N mit erhält man aus (12) A

S

=

=

S

A

qN (q-1) _(q-l) S £lN~1 qN qN , qN(q-l)

•_

-

A-

=

0

vorgegeben.

Damit

'

(19)

1

1 =

SN

^

q-1

'

Bei einer vorgegebenen Laufzeit N kann der Kreditbetrag S auch aufgefaßt werden als Barwert der N nachschüssigen Einzahlungen der Höhe A. Dieser Barwert läßt sich darstellen als A A S- —+ -j + q q „

...

+

A

A

/

1

+ + -jr-=--{l q q V q -

...

+

1

\

-TrT) q V

q

womit ebenfalls die Gleichung (19) erhalten wird. Mit der Annuität A aus (19) ergibt sich bei einer Laufzeit von N Restschuld nach n Zinsperioden nach (17) als

Zinsperioden die

58

Kapitel 4: Tilgungsrechnung

1-4 S.-A—t-q'-A.«"-1 q-1 q-1 q"

=

qn-^-q" q-1

i-qV q-1

A-ü—-A-i-

=

,-4 für Mit

q"

+i

n

qN-q° qN-l

S-

=

1,2,..., N mit SN

=

q

100

—

1 —

(20)

=

0.

gilt wegen (14), (15) und (19) für die Tilgungsraten T„ bei vorgege-

bener Laufzeit N

T^ A-S iöö =

Tn

=

T1-qn-1

Damit A

=

=

A-s•-A-(i-i £)-£; +

qn-1

-^

q

für

n

=

(21)

1,2,.... N.

gilt bei vorgegebener Tilgungsdauer N S

=

qN (q-l) _S (q-l) qN

S

=

S„

=

A'(1~q^) A0 qN)_S(qN-q"). qN-l (qN-l) qN(q-D

q-1

(22)

q-1

SN=0;

T^q"-1^; N A S

SB T„ Z„

=

Zn

=

A-T„ für n

Annuität pro Zinstermin

=

Ausgangsschuld

= =

1,2, ...,N.

vorgegebene Tilgungsdauer in Zinsperioden

=

=

=

Restschuld nach

n-te Tilgungsrate n-te Zinsrate

n

Zinsterminen

Kapitel 4: Tilgungsrechnung

59

Beispiel 10: a) Ein Bauspardarlehen in Höhe von 200 000 EUR mit einem effektiven Jahreszinssatz von 5 % soll mit 15 nachschüssigen konstanten Jahresannuitäten getilgt werden. Die jährliche Annuität erhält man aus (22) als 200000 -1,0515 0,05 A EUR=

=-1,05"-1

b)

19268,46

Das Bauspardarlehen werde monatlich mit

Monat

5

% verzinst. Ferner soll in jedem

—

nachschüssig der gleiche Betrag zurückgezahlt werden.

Mit Mitpp = =

^

-

li

und N

=

1512

=

180 erhält man den monatlichen

Rückzahlungs-

betrag als

180

(1+l4)18 -^°(i+i4)180'

200000'

c)

=

1581,59 EUR.

Der monatlichen Verzinsung mit % 1 peff, den man aus

V

100 als peff

=

12

entspricht der effektive Jahreszinssatz

100/

5,1162%

erhält.

d)

Den zu einem effektiven Jahreszinssatz peff p erhält man aus

=

5 % konformen Monatszinssatz

1

als

1] 0,407412%. Diesem Monatszins entspricht die monatliche Annuität

p

=

100

•

[1,0512

200000

•

=

-

q180

•

-|-

ä =-rrss—:-= 1570,04 EUR. q180 1 —

Beispiel 11: Der effektive Jahreszinssatz für ein Darlehen über 150 000 EUR betrage 8%. Die Laufzeit sei 10 Jahre. Jeweils zum Jahresende werde der gleiche Betrag zurückgezahlt. a) Nach (22) lautet die jährliche Annuität

A-'50^8.","'08-22354.42

EUR.

Kapitel 4: Tilgungsrechnung

60

b) Nach sieben Jahren beträgt die

S7

150000

=

1,0810 1,087 noi0 \ \1,0810-1

•

=

-

Restschuld

57609,52 EUR.

Beispiel 12: Eine Schuld über 20000 EUR werde jährlich mit 6% verzinst. a) Gesucht ist die nachschüssige jährliche Annuität, mit der diese Schuld in 10 Jahren halbiert wird. Für die gesuchte Annuität A 10000

=

20000

•

1,0610

nach

gilt

(17) mit S10

=

10000

1,0610-1

A -I—-—. •

0,06

-

folgt (20000 1,0610-10000) 0,06

Hieraus

•

•

A

=-\„10 l,06lo-l

,-=

1958,68 EUR.

b) Die gesamte Laufzeit erhält man aus (18) als 20000\ (. 0,06 -20

-lg(1--T95M lg 1,06 .

_i,68 / N =-2s-'-'-

Nach 16 Jahren

S16

=

20000

•

16,28 Jahre.

=

beträgt die Restschuld nach (17)

1,0616 1958,68 -

1

'

0616

1

EUR. QQ6— 522,77 —

-

=

Unterjährige Annuitätentilgungen ohne unterjährige Verzinsung Während jeder Zinsperiode soll m mal unterjährig die konstante unterjährige Annuität a gezahlt werden.

4.3.2.

Nachschüssige unterjährige Annuitätentilgungen Die m nachschüssigen unterjährigen Rückzahlungen der jeweiligen Höhe a können als m unterjährige nachschüssige Einzahlungen interpretiert werden, die nach (37), Abschnitt 3.3.2. nach n Zinsperioden anwachsen auf den Betrag [ (m-l)-pl q--l

4.3.2.1.

,

Bei einem

perioden. Sn S„

=

p

=

=

Kreditbetrag S ist dann Sn

Sq"

(m-l)-p

m+-^öö— ,

=

S

q"

q--l q-1

—

K„ die Restschuld nach

n

Zins-

(23)

Restschuld nach n Zinsperioden bei m unterjährigen nachschüssigen Annuitätenzahlungen der Höhe a Zinssatz pro

Zinsperiode

61

Kapitel 4: Tilgungsrechnung

unterjährigen Annuitäten der Höhe konforme Annuität A pro Zinsperiode mit

m

A a

=

A

=

a

=

m

a

entspricht

nach

(12)

und

(23) die

(m-l)p

+

(24)

200

unterjährige nachschüssige Annuität (m-mal) konforme nachschüssige Annuität pro Zinsperiode

Diese auf die Zinsperiode hochgerechnete Annuität A liefert nach n Zinsperioden dieselbe Restschuld Sn wie die m unterjährigen Annuitätenzahlungen der Höhe a. Somit können mit dieser konformen Annuität A alle Formeln aus Abschnitt 4.3.1. übernommen werden.

Vorschüssige unterjährige Annuitätentilgungen m vorschüssigen unterjährigen Annuitäten der Höhe a' entspricht nach (36), Abschnitt 3.3.2. die konforme nachschüssige Annuität pro Zinsperiode 4.3.2.2.

(m + 1) p" •

A a' A

=

=

=

a'

m

+

(25)

200

unterjährige vorschüssige Annuität (m-mal) konforme nachschüssige Annuität pro Zinsperiode

Auch hiermit können alle Formeln aus Abschnitt 4.3.1. übernommen werden. Im Falle m 1 geht die vorschüssige Annuität a' über in die nachschüssige Annu=

ität A

=

(l

a'

+ -

Beispiel 13: Für ein Bauspardarlehen über 100000 EUR muß monatlich 750EUR zurückgezahlt werden. Die Verzinsung erfolge vierteljährlich mit jeweils 1,25%. Gesucht ist die Restschuld nach 15 Jahren sowie die Laufzeit bei

a) nachschüssiger; b) vorschüssiger monatlicher Annuitätenzahlung. Eine Zinsperiode beträgt V* Jahr mit jeweils drei unterjährigen Rückzahlungen und dem Zinssatz p

=

1,25 %.

a) Nachschüssige Tilgung Bei nachschüssiger monatlicher Zahlung von vierteljährliche Annuität aus (24) als A

=

Aus

S60

750

\

200

750 EUR erhält

man

die konforme

2259,38 EUR.

J

(17) erhält man die Restschuld nach 60 Quartalen (= 15 Jahren) als 1,01256 1 100000 EUR.

=

•

1,01256° 2259,38 -

=

0,0125

10594,66

62

Kapitel 4: Tilgungsrechnung

Die Laufzeit erhält

/

N

man aus

(18)

0,0125 lOOOOON 2259,38 •

)

g\

Nach

^ Quartaklgl,0125 16 Jahren (=64 Quartale) beträgt die Restschuld

S64

100000

=

'

-~

=

1

•

012564 )12564

—

1

1.012564 2259,38 ^r——— 0,0125 •

=

1926,02 EUR.

-

b) Vorschüssige Tilgung Bei vorschüssiger monatlicher Tilgung lautet die konforme nachschüssige Quartalsannuität nach (25) A

=

750

•

^3

+

=

2268,75 EUR.

Hiermit erhält man Restschuld nach 15 Jahren S60 N Laufzeit Restschuld nach 16 Jahren S64

= = =

9764,72 EUR 64,45 Quartale 1015,61 EUR.

Beispiel 14: Eine Annuitätenschuld über 60000 EUR werde jährlich mit 7,5% verzinst und soll in 10 Jahren getilgt sein. a) Bei jährlicher nachschüssiger Rückzahlung beträgt die Jahresannuität nach (22) A

60000 0,075

=-

-=

1

8741,16 EUR.

1

L0751 b) Bei nachschüssiger monatlicher Rückzahlung beträgt die monatliche Annuität -

nach (24)

874146

=

12+117'5 200 c)

Aus

704,22 EUR.

(25) erhält man die vorschüssige monatliche Annuität 12 +-— 200

4.3.3. Unterjährige Annuitätentilgung bei korrekter unterjähriger Verzinsung. Falls bei einem effektiven Jahreszinssatz peff. bei einer unterjährigen Annuitätentilgung die Zinsberechnung auch m-mal unterjährig mit Zinseszins erfolgt, gilt für den konformen Zinssatz 3.3.2.

p

=

m

—

pro

unterjährige Zinsperiode

nach

(15), Abschnitt

63

Kapitel 4: Tilgungsrechnung

(26)

Mit diesem konformen unterjährigen Zinssatz werden die unterjährigen Tilgungsintervalle als neue Zinsintervalle benutzt.

Beispiel 15: Eine Annuitätenschuld über 30 000 EUR soll jährlich mit einem effekti-

Zinssatz von 6% verzinst werden. Die Laufzeit sei 10 Jahre. Bei jährlicher nachschüssiger Annuitätenzahlung erhält man die Jahresannuität aus (22) als

ven

a)

a=^o^r,0,06=***** b)

eur p»

Bei vierteljährlicher Verzinsung und Tilgung (m teljahreszinssatz nach (26) p

100

=

[1,06? 1]

=

=

4) lautet der konforme Vier-

1,467385%.

-

Mit N 10 4 che Annuität =

30000

•

•

Quartalen und p

40

=

a40 (ü

1)

•

=-q4o

-

t

=

=

f> erhält man aus (22) die vierteljährli-

996,85 EUR pro Quartal.

-"

_

Wegen der unterjährigen Tilgung ist die jährliche Belastung 3987,40 EUR geringer als bei jährlicher Tilgung in a).

von

4

•

996,85

=

4.3.4. Unterjährige Annuitätenzahlungen bei nichtkorrekter

Verzinsung

unterjähriger

Früher berechneten viele Kreditinstitute wie in Abschnitt 4.2.2.2. bei unterjährigen Tilgungen die Zinsen nicht von der tatsächlichen Restschuld, sondern sie legten bei jeder der m unterjährigen Zinsberechnungen immer die gleiche zu Beginn der Zinsperiode vorhandene Restschuld zugrunde. Dadurch entstand ein ungerechtfertigter Zinsvorteil für den Darlehensgeber. Bei m unterjährigen nachschüssigen Annuitätenzahlungen der Höhe a und einer jeweiligen Verzinsung der zu Beginn der Zinsperiode vorhandenen Restschuld §„_ t mit p % wurde bei jeder der m unterjährigen Tilgungen der gleiche Betrag

t„

=

a -

=

a

•

-

(q

1) -

Mit der Gesamttilgung innerhalb der n-ten Zinsperiode T„ hieraus die Rekursionsformel

getilgt. man

^

=

m

•

tn erhält

64

5-

Kapitel 4: Tilgungsrechnung =

=

mit

s-'-m(-5-'i5ö)

Vl.(1 m.JL)_m.a

«,„_,,

+

S0

=

S

(Ausgangsschuld).

Mit dem Zinsfaktor q

=

1 +

m

•

p 100

ergibt sich hieraus

—-

§„

=

S qn •

m

•

m

•

a

(1 + q + q2 +

•

-

=

S

q"

...

+ qn_1)

q'-l

a

q-1

-

Die Restschuldberechnung wurde also durchgeführt, als ob alle m unterjährigen Annuitätenzahlungen erst am Ende der Zinsperiode geleistet werden. Als Zinssatz p wird der zu p gehörige Nominalzinssatz p m p gewählt. Dieser Zinssatz weicht =

vom

effektiven Jahreszinssatz ab.

Damit

§„

=

gilt S qn

m

•

a

-

q

Sn

=

a

=

S

=

•

=

1 +m

'

q-1

(27)

100'

Restschuld nach

n Zinsperioden m-malige unterjährige Annuität Ausgangsschuld Verzinsung mit jeweils p % von der zu Beginn der Zinsperiode vorhandenen Ausgangsschuld

Bei korrekter unterjähriger Zinsberechnung mit jeweils p % von der Restsumme würden die n Zinsperioden in m n unterjährige Zinsperioden unterteilt mit der Restschuld nach n Jahren

S„

=

S qm n-a

Restschuld nach

1

q-1

4

=

1+

100

(28)

Zinsperioden bei korrekter Verzinsung mit Zinseszins andere Bezeichnungen s. (27).

S„

=

n

Damit das nichtkorrekte Modell (27) die gleiche Laufzeit wie das Modell (28) bei korrekter unterjähriger Verzinsung liefert, muß entweder die unterjährige Annuität a oder der Zinssatz p (pro Zinsperiode) geändert werden.

65

Kapitel 4: Tilgungsrechnung

Beispiel 16: Für eine Annuitätenschuld über 50000 EUR seien vierteljährlich nachschüssig 2 % von der Ausgangssumme, also 1000 EUR zurückzuzahlen. Das Kredit7 institut berechnet vierteljährlich 1,75% Zinsen. 4 =

-

a) Bei korrekter Zinsberechnung von der Quartalsrestschuld beträgt die schuld nach 10 Jahren nach (28)

S10

=

50000

•

1.017540

1000

1

'

017540 -1

Q0^5— 42845,73 EUR. =

•

-

Der vierteljährlichen Verzinsung mit satz peff mit l+

fg

Hieraus peff

=

=

Rest-

1,75 % entspricht der effektive Jahreszins-

1,0175*.

folgt

7,1859%.

b) Falls die Zinsen in jedem Quartal mit 1,75 % von der Ausgangsschuld des Jahres berechnet werden, erhält man aus (27) mit

,_,+4.£-«W die Restschuld nach 10 Jahren als

S10

=

50000

•

1,0710

4 1000 •

-

1

•

0710

1

-^-^— —

=

43091,78 EUR.

Bei diesem Modell erhält das Kreditinstitut in 10 Jahren einen Zinsvorteil Sio S10 246,05 EUR.

von

=

~

Annuitätentilgung mit unterjähriger Verzinsung und nichtunterjähriger Tilgung Falls bei einer Annuitätenschuld zwar die Verzinsung, nicht jedoch die Tilgung unterjährig erfolgt, ist es sinnvoll die Zinstermine über den Effektivzinsfuß den Tilgungsterminen anzupassen. Einer m-maligen unterjährigen Verzinsung mit dem jeweiligen Zinssatz p entspricht die einmalige Verzinsung am Ende der Zinsperiode 4.3.5.

mit dem effektiven Zinssatz peff mit

• £-(' &)"• Mit diesem effektiven Zinssatz sind dann bei Verzinsung zu den alle Formeln aus Abschnitt 4.3.1. anwendbar.

Tilgungsterminen

Beispiel 17: a) Eine Annuitätenschuld über 50 000 EUR ist halbjährlich mit jeweils 4 % zu verzinsen und jeweils zum Jahresende zu tilgen. Die Tilgungsdauer betrage 20 Jahre. Mit dem effektiven Verzinsungsfaktor q 1 + ~f- 1,042 1,0816 X \)\) =

=

=

66

Kapitel 4: Tilgungsrechnung und dem effektiven Jahreszinssatz peff ge Jahresannuität nach (22) 50000 1,081620 0,0816 •

=

8,16 % lautet die jährliche nachschüssi-

•

'

A=-,1,081620-1 /- 5153,40 EUR pro Jahr. 0 Bei einer halbjährlichen Tilgung und Verzinsung lautet die Halbjahresannuität

wegen N

=

50000

a

•

1,04*° 0,04

=-T-rT&ö—i—1— 1,0440 -1

Bei einer

b)

20 2 und q

=

-

1,04

2526,17 EUR pro Halbjahr.

vierteljährlichen Verzinsung mit jeweils 2 % gilt

Damit erhält

man

die Jahresannuität

50000 1,02'°-(1,02* 1) Ä =;;;80 T-

5185,13 pro 1,0280 -1 Bei vierteljährlicher Verzinsung und Tilgung beträgt die vierteljährliche Annuität 50000 1,0280 0,02 -

=

EUR

Jahr.

-

.

=

l,028O-l

1258,04EUR pro Quartal.

4.3.6. Annuitätentilgungen mit zusätzlichem Tilgungsaufgeld Zusätzlich zur konstanten Annuität A soll bei jeder Tilgung a % vom entsprechenden Tilgungsbetrag als Gebühren an den Darlehensgeber gezahlt werden. Da die Gebühren zusätzlich zur Annuität A erhoben werden, haben sie auf die Berechnung der Annuität keinen Einfluß. Die Annuität A kann also unabhängig vom Aufgeld aus den Formeln der Abschnitte 4.3.1. und 4.3.2. berechnet werden. Zusätzlich dazu sind noch laufend Gebühren zu berechnen und zu bezahlen. Falls keine unterjährige Rückzahlung stattfindet, müssen zum n-ten Zinstermin zusätzlich zur Annuität A

=

Z„

+

Zinsen

T„ Tilgung

die Gebühren '

' "

100

"

gezahlt werden. Die Gesamtbelastung zum n-ten Zinstermin beträgt damit An

=

A+

Gn

=

Zn +

Tn(l ^). +

Bei einer Laufzeit von N Zinsterminen erhält man die laufenden Gebühren aus (22) als

67

Kapitel 4: Tilgungsrechnung Diese Gebühren sind wachsend. Ihre Summe n

man

mit G

beträgt natürlich G

=

——

lw

•

S,

was

X G„ mit (29) und (22) auch direkt nachrechnen kann.

=

n=l

Damit

Gn

G„ N A a

= =

=

=

gilt

=

100

(30)

qN

zusätzliche Gebühren zum n-ten Zinstermin Laufzeit in Zinsperioden Annuität pro Zinsperiode ohne Tilgungsaufschlag prozentualer zusätzlicher Tilgungsaufschlag in %.

Beispiel 18: Eine Annuitätenschuld von 50000 EUR mit dem Jahreszinssatz von 7 % soll in 5 Jahren nachschüssig zurückgezahlt werden. Bei jeder Tilgung werde ein zusätzliches Tilgungsaufgeld von 5 % erhoben. a) Aus (22) erhält man die jährliche Annuität ohne Tilgungsaufschlag A

b)

50000 =

1.075 -0,07

1,075 -1

=

12194,53 EUR.

Mit dieser Annuität lautet der

Jahr Schuld zu

Tilgungsplan

Zinsen

Tilgung

(7%)

Beginn

50000

3500

41305,47 32002,32 22047,95 11396,78 0,02

2891,38 2240,16 1543,36 797,77

Aufgeld

8694,53 9303,15 9954,37 10651,17 11396,76

434,73 465,16 497,72 532,56 569,84 Summe 2500,01

Gesamt-

belastung 12629,26 12659,69 12692,25 12727,09 12764,37

(Restschuld nach 5 Jahren) Dafür, daß die Restschuld nach 5 Jahren nicht exakt gleich 0 ist, sind Rundungsfehler verantwortlich.

Beispiel 19:

Eine jährlich mit 6 % zu verzinsende Annuitätenschuld über 100000 EUR soll in 20 gleichen nachschüssigen Jahresraten getilgt werden. Zusätzlich werde ein Tilgungsaufgeld von 8 % erhoben. Die Annuität beträgt nach (22) 100000 1,062°- 0,06 a-< 1,062°- 1 '

=

Die zusätzlichen Gebühren

0,08 8718,46

87i8>46 eur-

betragen im I.Jahr nach (30)

•

Gl=

1,06"

-

217^8 EÜR

68

Kapitel 4: Tilgungsrechnung

und im letzten Jahr

G20 20

,0

=

4.3.7.

Gi1 1,0619 •

0,08-8718,46 1,06 '

=

-—t

=

nr

658 EUR.

Annuitätentilgung mit eingeschlossenem Tilgungsaufgeld

Falls das Tilgungsaufgeld von 0 sollte der auf 3 =-anwendbare Zinssatz pT kleiner sein. 1-100 =

Bei einer fest vereinbarten Annuität Ay beträgt die Restschuld nach n Zinsperioden

S" 7

=

S„

p'

=

0

=

=

S'q"_A''^T

™x

q'

=

1+

iM:

S-V' löö 1

(43)

~

ergibt mit der gleichen Annuität Ay die Restschuld

S-q'»-A,-^

effektiver Zinssatz.

mit

q'-l +

J^;

(44)

75

Kapitel 4: Tilgungsrechnung

Die Zinsfestschreibung gelte für m Zinsperioden. Dann läßt sich aus (43) die Restschuld Sm berechnen. Bei 100% Auszahlung und der Verzinsung der effektiven Kreditsumme S zum Effektivzinssatz p' erhält man mit der gleichen Annuität Ay die Restschuld Sm aus (44). Damit läßt sich bei gleicher Annuität der effektive Jahreszinssatz p' berechnen aus

Sm

=

was

1

q'm

Sq"n-Ay-^7—-,

(45)

-

mit dem abschließenden

BASIC-Programm aus Abschnitt 4.8. möglich ist.

Beispiel 23: Eine Grundschuld von 134000 EUR wird zu 95% ausgezahlt und ist vierteljährlich mit 2,15% zu verzinsen. Zum Ende eines jeden Quartals ist als Annuität 3216,00 DM zu bezahlen. Die Zinsbindung gilt für 6 Jahre. a) Bei korrekter vierteljährlicher Verzinsung mit 2,15 % lautet die Restschuld nach 6 Jahren (=24 Quartalen) S24 b)

=

134000

•

1.021524

3216

1 021524

1

'

•

QQ21S— —

-

=

123620,05 EUR.

Am Ende eines jeden Quartals werde die gleiche Annuität von 3216 EUR verlangt, während die Zinsen mit jeweils 2,15% von der zu Beginn des Jahres vorhandenen Restschuld berechnet werden. Da die Unterjährigkeit der Tilgung ignoriert wird, kann die Restschuld mit der jährlichen Annuität A 4 3216 12864 EUR und dem Jahreszinssatz p 8,6% berechnet werden. Damit erhält man bei dieser nicht ganz korrekten Verzinsung die Restschuld nach 6 Jahren als 1 0866 1 124019,96 EUR. S6 134000 1,0866 12864 o^ =

=

•

=

'

=

•

•

-

—

=

0,086

Die effektiven Jahreszinssätze dieser beiden Beispiel 30 berechnet.

Finanzierungen

werden in

4.5. Kredite mit tilgungsfreier Zeit Bei manchen Krediten wird die Tilgung am Anfang für 1 Zinsperioden ausgesetzt. Danach beginne die Tilgung nachschüssig, d. h. die erste Tilgung wird zum (1 -I-1)ten Zinstermin fällig. tilgungsfreie Zeit Tilgung nachschüssig T2 T3 Tt T4 -

0

12

4.5.1.

3

—

1-11

Bezahlung der Zinsen während der tilgungsfreien Zeit Falls während der tilgungsfreien Zeit zu jedem Zinstermin die fälligen Zinsen der Höhe p S gezahlt werden, bleibt bis zum Tilgungsbeginn die Schuldsumme S 100 gleich. Damit können auf den Tilgungsbeginn (Zeitverschiebung) alle Formeln dieses Kapitels übertragen werden. •

——

76

Kapitel 4: Tilgungsrechnung

Bezahlung der Zinsen während der tilgungsfreien Zeit Falls während der tilgungsfreien Zeit auch keine Zinsen gezahlt werden, wächst die Schuld S bis zum Beginn der nachschüssigen Tilgungsphase an auf

4.5.2. Keine

s'

=

P

V

si1 ioöj=Sq' +

Mit diesem

*

(46)

angewachsenen Schuldbetrag S, wird der Tilgungsplan durchgeführt.

Beispiel 24: Ein Kredit über 50000 EUR wird jährlich mit 7% verzinst. Für die Rückzahlung ist folgendes vereinbart: Am Ende des 10. Jahres und dann jährlich wird eine Annuität von 8000 EUR fällig. Falls die erste Annuität nachschüssig gezahlt wird, sind 9 tilgungsfreie Jahre festgesetzt. a) Falls während der tilgungsfreien Zeit die laufenden jährlichen Zinsen von 3500 EUR gezahlt werden, lautet zu Beginn des 10. Jahres die Ausgangsschuld S 50000 EUR. Damit erhält man die Tilgungsdauer =

0,07 50000\

/

•

e

/ V =-^—-Jlg 1,07 8000

_

N

Nach 8

S88

=

(abgerundet) Tilgungsjahren beträgt die

50000

•

1,078

8000 -

1 078

1

•-= —

0,07

Am Ende des 9. Tilgungsjahres

A9

8,5 Jahre.

=

Restschuld

3830,89 EUR.

beträgt die

Restannuität

S8 1,07 4099,05 EUR. Diesen Restbetrag erhält man auch als A9 8000 S9. Unter Berücksichtigung der tilgungsfreien Zeit läuft der Kredit dann insgesamt =

•

=

=

—

18 Jahre.

b)

Falls während der tilgungsfreien Zeit keine Zinsen Schuldsumme nach 9 Jahren an auf S 50000 1,079 = 91922,96 EUR. In diesem Fall lautet die reine Tilgungsdauer =

•

-lg5 V 1

-

0,07-91922,96s

8000 N =-i-'-

=

lg 1,07 Nach 24 Tilgungsjahren beträgt die

S24

gezahlt werden, wächst die

=

91 922,96

•

1,0724

8000 -

24,11 Jahre. Restschuld

1 ' 0724 •

1

EUR. Q?— 853,62 —

=

Entweder muß am Ende des 24. Tilgungsjahres zusätzlich 853,62 EUR gezahlt werden oder beträgt die 25. Annuität A25 853,62 1,07 913,37 EUR. =

•

=

77

Kapitel 4: Tilgungsrechnung

4.6.

Änderung der RückZahlungsbedingungen während der Laufzeit

Hypotheken wird ein fester Zinssatz in der Regel nur für eine bestimmte Zeit festgeschrieben, z. B. für 5 oder 10 Jahre. Danach wird der Zinssatz, die Annuität und die weitere Laufzeit neu festgelegt. Zur Berechnung der Restschulden muß zunächst die Restschuld am Ende der ersten Zinsfestschreibungsphase berechnet werden. Danach beginnt der Rückzahlungsprozeß mit dieser Restschuld neu (zeitliche Verschiebung). Bei

Für eine Hypothek über 100000 EUR wird für 10 Jahre ein effektiver Zinssatz von 7,25% festgelegt. Die Tilgung erfolgt mit einer Annuität von 8250 EUR. a) Nach 10 Jahren lautet die Restschuld nach (17)

Beispiel 25:

S10 b)

=

100000

•

1,072510

8250

1

'

072510 -1

EUR. QQ725— 86019,32 =

•

-

Nach 10 Jahren erhöhe sich der Zinssatz auf 8 %. Für die Rückzahlung werde die gleiche Annuität beibehalten. Mit n 10 erhält man aus (17) die Restschuld nach 20 Jahren als =

i

R20

=

86 019,32

•

1,0810

8250

•

0810_1

^-r——

=

66195,12 EUR.

-

4.7.

Rückzahlung mit einer Tilgungsrücklage (Rücklagentilgung)

Eine Schuld S, die zu jedem der N Zinstermine mit p % verzinst werden muß, kann auch am Ende der Laufzeit N aufeinmal getilgt werden. Falls während der Laufzeit die anfallenden Zinsen nicht gezahlt werden, wird am Ende der Laufzeit der Ge-

(

P

V

1 S qN fällig. Werden jedoch während der Laufzeit die samtbetrag S I 1 + jeweils anfallenden Zinsen gezahlt, so ist am Ende der Laufzeit die Ausgangsschuld S zu tilgen. Der Endbetrag kann im Laufe der Zeit angespart werden. Bei der Bildung einer sog. Tilgungsrücklage wird zu jedem Zinstermin die gleiche Rücklage R zu einem Zinssatz p angelegt. Dieser Guthabenzinssatz p kann vom Schuldzinssatz p verschieden sein. Im Falle p > p (Zinserhöhung) ist für den Schuldner die Bildung einer Tilgungsrücklage anstelle der normalen Tilgung sicherlich vorteilhaft. •

=

•

4.7.1. Tilgungsrücklage bei Zahlung der anfallenden Zinsen Zu jedem Zinstermin werden die für die Gesamtschuld S anfallenden Zinsen S

•

p 100 Die

——-

gezahlt. Gleichzeitig werde der Betrag R in die Tilgungsrücklage gestellt. p +R Rücklagen werden mit p % verzinst. Damit kann die Gesamtbelastung S als Annuität aufgefaßt werden mit •

——

78

Kapitel 4: Tilgungsrechnung

Tilgungsrücklage Für p p stellt R praktisch eine konstante „Tilgungsrate" dar. Bis zum Ende der Laufzeit N (Anzahl der Tilgungsperioden) ergeben die laufenden nachschüssigen Rücklageneinzahlungen nach (30) aus Abschnitt 3.3.1. einschließlich der Zinsen einen Endbetrag =

*-*-T-[(,+&7-,]-*-£r-

m

-

Falls mit der Rücklagenbildung erst nach einigen Zinsperioden begonnen wird, muß in (47) N entsprechend reduziert werden. Die Gleichung (47) kann bei vorgegebenem p und S nach R oder nach N aufgelöst werden.

Beispiel 26: Die Laufzeit einer Schuld über SO 000 EUR mit einem effektiven Jahres-

zinssa tzz von 6 % betrage 20 Jahre. Jeweils zum Jahresende werden die laufenden Zinsen gezahlt und eine Rücklage R zum Zinssatz von 5,5% angelegt. Damit die Rücklagentilgung nach 20 Jahren vorgenommen werden kann, erhält man aus (47) für die Rücklagenrate den Wert r

=

50000

•

5,5

1

^ 100 1,0552° -1 •

,

=

1433,97 eur.

Beispiel 27: Eine Schuld über 200000 EUR ist jährlich mit 5 % zu verzinsen. Für die Rückzahlung stehen nachschüssig jährlich insgesamt 15000 EUR zur Verfügung und zwar 10000 EUR für die laufenden Zinsen und 5000 EUR für eine Tilgungsrücklage, die jährlich zu 4,5% mit Zinseszins angelegt wird. Gesucht ist die Laufzeit N, nach der die Gesamtschuld S mit der Tilgungsrücklage getilgt werden kann. Aus

(47) folgt

1JM =1

+

200000 0,045 5000

=

„0

2'8-

Logarithmieren liefert N

23,39 Jahre, =-4-^—= lg 1,045

Nach 23 bzw. 24 Jahren lauten die

R23 R24

1 04523 '

=

5000

•

=

5000

•

Tilgungsrücklagen

1

EUR. 0045— 194685,15 =

—

1 ' 04524

1 —

=

208445,98 EUR.

nach

(47)

Kapitel 4: Tilgungsrechnung

79

Tilgungsrücklage ohne Zahlung der anfallenden Zinsen Falls die laufenden Zinsen nicht gezahlt werden, wächst die Schuld S bis zum Ende P V / an. Damit am Ende der Laufzeit N die der Laufzeit N auf SN S I 1 +

4.7.2.

=

--^J

•

Gesamtschuld SN mit Hilfe der Tilgungsrücklage RN zurückgezahlt werden kann, muß RN SN gelten. Aus (47) erhält man =

Beispiel 28: Eine Schuld über 80000 EUR muss bei einer Laufzeit von 15 Jahren jährlich mit 6,5 % verzinst werden. Die Tilgung einschließlich der anfallenden Zinsen soll mit Hilfe einer jährlichen nachschüssigen Tilgungsrate R erfolgen, die mit 6,4% verzinst wird. Aus

(48) erhält man diese Tilgungsrate als

R

80000

=

•

1,06515 0,064 •

* •

=

8573,61 EUR.

—-

4.8. BASIC-Programm für Annuitätentilgungen Das nachfolgende BASIC-Programm behandelt vor- oder nachschüssige unterjährige Annuitätentilgungen. In der konstanten Annuität A sollen bereits alle Kosten enthalten sein. Dabei können die Zahlungen vor- oder nach schüssig vorgenommen werden. Die unterjährige Verzinsung kann mit (korrekt) oder ohne (nichtkorrekt) Berücksichtigung der Unterjährigkeit der Tilgungen erfolgen. Auszahlungsgebühren und Tilgungsaufgelder werden in l)-3) berücksichtigt. Folgende Fallunterscheidungen sind möglich:

1) Berechnung der Annuität A aus der Laufzeit N. 2) Berechnung der Laufzeit N und der Restannuität aus einer vorgegebenen Annuität.

3) Berechnung der Restschuld S„ nach n Zinsperioden aus einer vorgegebenen Annuität. Dabei kann auch die in 1) berechnete Annuität verwendet werden. 4) Berechnung des effektiven Zinssatzes p bei korrekter unterjähriger Verzinsung. Aus dem effektiv ausgezahlten Kreditbetrag S und der (vorgegebenen) unterjährigen vor- oder nachschüssigen Annuität A wird derjenige Zinssatz p' berechnet, der

n Zinsperioden bei korrekter unterjähriger Verzinsung einen vorgegebenen (evtl. nach anderen Methoden berechneten) Restkredit Sn liefert. Der berechnete Zinssatz p' berücksichtigt somit Tilgungsaufgelder, Auszahlungsgebühren (Disagio) und nichtkorrekte Verzinsungsmethoden. Zur Berechnung von p' wird nach Anpassung der unterjährigen Termine die Formel (45) benutzt. Falls n die Gesamtlaufzeit ist, muß S„ 0 eingegeben werden.

nach

=

Kapitel 4: Tilgungsrechnung

81

TILGEN-PROGRAMM NR II 10 REM ANNUITÄTENSCHULDEN BEI BELIEBIGER LAUFZEIT SO REM BERECHNUNG DER RESTSCHULD UND DER EFFEKTIVEN VERZINSUNG 30 REM AUSZAHLUNGSGEBÜHREN UND TILGUNGSAUFGELDER WERDEN BERÜCKSICHTIGT DIE UNTERJAHRIGEN ANNUITÄTEN ENTHALTEN BEREITS DAS AUFGELD 40 REM SO PRINT "SOLL EIN EFFEKTIVER ZINSSATZ BERECHNET WERDEN (J=JA)"

5 REM

60 INPUT EF*:IF EF*="J"

THEN GOTO 140 70 PRINT "WIEVIEL '/. AUSZAHLUNGSGEBÜHREN WERDEN BERECHNET" SO INPUT G 90 PRINT "WIEVIEL BETRÄGT DER AUSGEZAHLTE KREDITBETRAG S" 100 INPUT S: S=S/1 THEN GOTO 490 480 PRINT "ANNUITÄT PRO ZINSPERIODE = ";A:GOTO 510 490 PRINT "PRO ZINSPERIODE MUSS ";M;" -MAL DIE UNTERJÄHRIGE ANNUITÄT" 500 PRINT A;" GEZAHLT WERDEN" 510 PRINT "SOLL DIE RESTSCHULD ZU DIESER ANNUITÄT BERECHNET WERDEN (J=JA)?" 5S0 INPUT RES*:IF RES*="J" THEN GOTO 330 530 PRINT:ENT*="WIA" 540 PRINT "ANNUITÄTENBERECHNUNG FÜR EINE ANDERE LAUFZEIT K gendeinmal der Zeitpunkt erreicht, zu dem der Kontostand nicht mehr zur Bezahlung des Rentenbetrages r ausreicht. •

p

——

=

•

—

89

Kapitel 5: Rentenrechnung

Bestimmung des Ausgangskapitals aus der Rentenhöhe und Rentenlaufzeit Das Kapital K ist nach N Rentenzahlungen der Höhe r genau dann aufgebraucht, falls

K-n

KqN

=

r

qN- 1

=

•

q-1

—

0

—

gilt. Die Lösung K dieser Gleichung stellt gleichzeitig den Barwert R0 von N nachschüssigen Rentenzahlungen dar. K K aN

=

= =

R0

=

(5)

rqS^ZT-raN.

Ausgangskapital Barwert für N nachschüssige Rentenzahlungen der Höhe r nachschüssiger Rentenbarwertfaktor =

q =1 + p

qN-l

1 =

^

Zinsperiode

Zinssatz pro

Beispiel 3: Gesucht ist das Kapital K, das bei einer monatlichen Verzinsung von 0,5 % 20 Jahre lang eine monatliche nachschüssige Rente von 1500 EUR ergibt. Mit N K

=

20 12 •

——^

1,005240

Bestimmung

des

Laufzeit N Löst r

r

K N

man

=

=

= =

p

nnnr-=

0,005

(5)

die

209371,16 EUR.

(maximalen) Rentenbetrags

(5) nach r auf,

KqN(q-l) qN-l

so

erhält

Lösung

aus

dem

Ausgangskapital

+

llö

Zinssatz pro

Multiplikation

K

(6)

aN

Zinsperiode

der

Gleichung (5) mit qN (q

1) liefert

•

—

KqN(q-l)

=

rqN-r

K und der

man

nachschüssiger Rentenbetrag Ausgangskapital Laufzeit in Zinsperioden

q=1 =

man aus

1,005240-1

1

1500

=

240 erhält

=

und

90

Kapitel 5: Rentenrechnung

Logarithmieren ergibt die Laufzeit

(7) N K

nachschüssigen Ausgangskapital Laufzeit der

= =

q=1

+

Rente der Höhe

r

ll>

I. a. ist die Lösung N nicht ganzzahlig. In einem solchen Fall muß N auf die nächste ganze Zahl abgerundet werden.

Beispiel 4: 200 000 EUR sind bei einer monatlichen Verzinsung mit jeweils 0,5% angelegt. a) Die höchstmögliche nachschüssige monatliche ewige Rente beträgt 1000 EUR. re 200000 0,005 Bei einer nachschüssigen monatlichen Rente

b)

-lg

N

=

•

=

von

1200 EUR lautet die Laufzeit

200000 0J

1

=-*—,lg 1,005*2°°-'- 359,25 Monate. =

A

Die Rente von 1200 EUR kann also 359 (abgerundet!) Monate lang gezahlt werden.

c)

Nach 359 Monaten lautet der Kontostand nach

K359

200 000

=

•

1,005359

-=

•

0,005

-

Dieser Restbetrag könnte werden.

d)

1200

(3)

1 005359_1

zusammen

295,51 EUR.

mit der 359. Rentenzahlung

ausgezahlt

Das Kapital von 200000 EUR ist nach genau 359 Monaten aufgebraucht, falls K359 0 ist. Die zugehörige maximale Rente erhält man aus (6) als =

200000

-1,005359 -0,005

.^_

=-LÖÖS^ri-= 1200,30 EUR.

r

Wieviel muß jemand 20 Jahre lang monatlich nachschüssig einzahlen, damit er anschließend 20 Jahre lang eine nachschüssige monatliche Rente von 2000 EUR erhält? Die Verzinsung erfolge monatlich mit 0,5%.

Beispiel 5: Mit N aus

K-

(5)

=

20 12 als

=

•

=

240 Monaten erhält man den Barwert der Rente nach 20 Jahren

1

2000 •

Tjjf 1,005240

•

l,00524O-l

nnnr-=

0,005

279161,54 EUR.

91

Kapitel 5: Rentenrechnung

Bei nachschüssiger monatlicher Einzahlung des Betrages E wächst das Konto in 240 Monaten an auf

1,005240 -1

E

K240 Aus

K24o

•

0,005

' "

=

K erhält

man

die monatliche

Einzahlungsrate E

vorschussige konstante Rente Rentenbeträge rrrrrr H-1-1-h

=

604,19 EUR.

5.2.2. Die

Zinstermin Laufzeit

1 —1

0

n

n

n

2 —2

n

3 —3

n

4 —4

n

5 —5

rr

n-2 2

n-1

n

1

Falls der Rentenbetrag r jeweils zu Beginn einer Zinsperiode gezahlt wird, lautet der Rentenendwert nach n Zinsperioden

R;

=

Aus

r(q + q2 +

...

+

qn)

=

qRn.

(1) folgt qn-l

(8)

q-1

Rj,

=

r

=

vorschüssiger Rentenendwert für n Rentenzahlungen vorschüssige Rente

Dabei ist

s'n

=

q

1

qn

•-— -

Für den

zugehörigen r0 qn r;

•

Rentenbarwert

vorschüssige Rentenendwertfaktor.

R'0 folgt aus

=

•

1

R0

q s„ der

=

=

Dabei ist

a'n

q

(9)

vorschüssigen Rentenbeträgen r a„ der vorschüssige Rentenbarwertfaktor.

Rentenbarwert =

qn-1

von n

Beispiel 6 (vgl. Beispiel 2): Falls die Forderungen aus Beispiel 2 jeweils zum Jahresbeginn fällig sind, lautet der vorschüssige Barwert Rö

=

1,04 R0 •

=

23126,24 EUR.

Rentenzahlungen aus einem Ausgangskapital K Falls zur vorschüssigen Rentenzahlung ein Kapital K zur Verfügung steht, welches nachschüssig mit jeweils p % verzinst wird, lautet der Kontostand nach n Zinsperioden

92

Kapitel 5: Rentenrechnung

K; Kq»-R;

=

=

K^

=

K

=

Ri s'n

= =

Kq»-rq-5!—i q-1

=

Kq--rs;.

(10)

vorschüssigen Rentenzahlungen der Höhe r Ausgangskapital vorschüssiger Rentenendwert vorschüssiger Rentenendwertfaktor Kapital

nach

n

ewige Rente Für die ewige vorschüssige Rente r'e muss die Bedingung Ki mit erhält man aus (10) die Gleichung K K-q-r.-q mit der Lösung

Die

=

K erfüllt sein. Hier-

=

,

K(q-1)

r.

q

q

(ii)

ewige vorschüssige Rente Ausgangskapital ewige nachschüssige Rente Mit dieser maximalen ewigen Rente gilt K'n K für alle n. Bei einem Zinssatz von p % pro Zinsperiode ist eine ewige vorschüssigen Rente der Höhe r„ nur möglich, falls das Ausgangskapital K zur Verfügung steht mit

i'c

K re

=

=

=

=

(12)

q-1 K

=

Kapital für eine ewige vorschüssige

Die zeitlich Im Falle

Rente der Höhe

r^

begrenzte Rente

r >

^———— ist der Rentenbetrag größer als die laufend anfallenden q

Zinsen. Dann ist K'B eine gegen 0 fallende Zahlenfolge. In diesem Fall ist die Rentenzahlung zeitlich begrenzt.

Bestimmung des Ausgangskapitals aus der Rentenhöhe und der Rentenlaufzeit Nach N Rentenzahlungen ist das Kapital K genau dann aufgebraucht, wenn qN- 1 KN KqN-rq-i—- 0 q-i gilt. Die Lösung K dieser Gleichung stellt gleichzeitig den Rentenbarwert R0 von N vorschüssigen Rentenzahlungen dar, also =

=

93

Kapitel 5: Rentenrechnung K K

=

r-

=

1

(13)

r- aN

Ausgangskapital (Barwert) für n vorschüssige Rentenzahlungen der Höhe r vorschüssiger Rentenbarwertfaktor

=

a^

qN-l

1

R0

=

q aN

=

=

-

Beispiel 7 (vgl. Beispiel 3): Falls die monatliche Rente von 1500 EUR 20 Jahre lang vorschüssig gezahlt wird, ist dazu ein Ausgangskapital von K

=

1,005 209371,16 •

210418,01 EUR

=

erforderlich.

Bestimmung der Rentenhöhe aus dem Anfangskapital und der Rentenlaufzeit Löst man (13) nach r auf, so erhält man r

r

=

K

=

=

KV

(q-1)

K =

1

(14)

aN'

vorschüssiger Rentenbetrag bei n Rentenzahlungen Ausgangskapital

Bestimmung der Laufzeit aus der Rentenhöhe und dem Ausgangskapital Mit dem Barwert Rq k (Ausgangskapital) gilt nach (13) für die Laufzeit n =

K

1 =

r-

q""1 q-1 Multiplikation dieser Gleichung mit qN_1 (q 1) liefert •

—

qN-1K(q-l) rqN-r; qN-1[rq-K(q-l)] r; =

=

r-q-K(q-l)

K(q-l)

q-

Logarithrnieren ergibt die Laufzeit n-1 n K

= =

Laufzeit der vorschüssigen Ausgangskapital ,

_

-lg(q- 0 ist diese Zahlenfolge wachsend, für d < 0 fallend, während d 0 die in Abschnitt 5.2. behandelten konstanten Rentenzahlungen liefert. =

Nachschüssige arithmetisch fortschreitende Rentenzahlungen Am Ende der k-ten Zinsperiode werde eine Rente der Höhe rk r + (k-l)d, k l,2,... gezahlt. 5.3.1.

=

=

Renten-

zahlungen Laufzeit in

Zinsperioden

r+

r

d

r+

2

n

2d

r+

3d

r

+ (n-2)d

r

+ (n-l)d

,-1-1-1-1-1-1-

0

1

—

3

2

1

n

n —

4

3 —

4

n —

n-1 1

n

0

Kapitel 5: Rentenrechnung Der Rentenendwert nach

Rn

=

r

•

n

95

Zinsperioden lautet

q»-i + (r + d) q""2 + (r + 2d) q"-3 + •

•

...

+ (r + (n-2)d)q

(r + (n-l)d) r(l+q + q2 + ...+q"-1) + d[(n-l) + (n-2)q +

=

=

+

(n-3)q2 +

r

—^— + d [n (1 + q + 1

•

•

q(1 +

Mit

+

qn-2]

•

erhält

+ •

-

,

3q2-t-... + (n-l)qn-2

=

nqn_1

q"-l

q-1

(q-1)2

(16)

man

q"-l Elementare

T

,

q^-l

d \

qn-l q-v q-i

V

q""1

qn -1 1

liefert

Umformung

/ =

qn~2) 1) q"-2)].

...

2q + 3q2+... + (n

-

l + 2q +

R„

...

n

d

d/

q-i

q-1

(17)

Rentenendwert bei n nachschüssigen arithmetisch fortschreitenden Rentenzahlungen der Höhe r + (k l)d, k 1,2,... n q"-l s„ nachschüssiger Rentenendwertfaktor. q-1 =

—

=-=

der erste Summand r sn durch die Anfangsrente r, während der d zweiten Summand- (s„ n) auf die laufenden Rentenerhöhungen zurückzuq 1 führen ist. Für den Rentenbarwert von n nachschüssigen arithmetisch steigenden Rentenzahlungen erhält man aus In

(17) entsteht

•

•

—

~

Ro-qn Rn mit (17) =

r0

_*._(r+_i q- V q-V =

=

R0

=

r

+

nd

qn (q-D

q"(q-l)

nd •

q-iy d

r-an +

T

a„" -

qn(q-l)

(a"-q^)

(18)

Rentenbarwert von n nachschüssigen arithmetisch fortschreitenden Rentenrk r + (k l)d, k 1,2,..., n

zahlungen qn q-i

1

a„

qn-l

=-•

-

=

-

q

—

=

=

1

nachschüssiger Rentenbarwertfaktor

96

Kapitel 5: Rentenrechnung

Beispiel 9:

Zum Ende des gerade beginnenden Monats werde eine Rente über 1000 EUR fallig. Die Rentenbeträge für die nachfolgenden Monate sollen um jeweils 5 EUR erhöht werden. Die Verzinsung erfolge monatlich mit 0,4%.

Mit n mit r

a)

=

=

1012 120 erhält 1000 und d 5 als =

man aus

(17) den Rentenendwert nach

10 Jahren

=

/*

5

\ 1,004120- 1

120 -5

R»«-(1W+Ö^J--ööb4-W „

=

195671'91EUR-

b) Den Rentenbarwert einer zehnjährigen Rente erhält man als

R°= Rl20'

i^oöW

Rentenzahlungen

=

121194,51 EUR-

Ausgangskapital K Die Rente soll aus einem zum Zeitpunkt t 0 mit p % Zinsen angelegten Kapital K erfolgen. Für die Kontostände Kn nach n Zinsperioden erhält man mit (17) aus

einem

=

Kn

Kn

=

=

Kq"-Rn

=

Kq"-fr+-^-N) q-i V q-v q^q-i ^4

Kontostand nach n nachschüssigen arithmetisch fortschreitenden Zahlungen der Höhe rk r + (k l)d, k 1,2,..., n Ausgangskapital

Renten

=

=

K

(19)

+

—

=

Zu vorgegebenem r, d, N und q kann aus (19) berechnet werden, welches Ausgangskapital K für diese N Rentenzahlungen notwendig ist. Aus KN 0 folgt =

(20) K aN

= =

Ausgangskapital für genau N arithmetisch fortschreitende Rentenzahlungen. nachschüssiger Rentenbarwertfaktor

Beispiel 10:

Fünf Jahre

lang

sollen

jeweils

zum

Jahresende die

Rentenbeträge

10000; 11000; 12000; 13000; 14000 EUR fällig werden. a) Gesucht ist das Ausgangskapital K, welches bei einem Jahreszinssatz von 5 % durch diese 5 Rentenzahlungen aufgezehrt wird. Mit r 10000, d 1000, N 5 und q 1,05 erhält man aus (20) K 51531,68 EUR. =

=

=

=

=

97

Kapitel 5: Rentenrechnung

b) Für die Rentenberechnung gilt folgender Tilgungsplan Jahr

Kapital Beginn

verzinstes

des Jahres

Kapital Rentenzahlung

zahlung

51531,68 44108,26 35313,67 25079,35 13333,32

54108,26 46313,67 37079,35 26333,32 13999,99

10000 11000 12000 13000

zu

1 2 3 4 5

Renten-

vor

der

Kapital am

Ende

des Jahres

44108,26 35313,67 25079,35 13333,32 -0,01

14000

Daß der Endbetrag nach 5 Jahren nicht exakt Null ist, liegt an der Rundung auf ganze Centbeträge. Diese gerundeten Beträge werden für die laufenden Zinsbere-

chnungen zugrunde gelegt. Bemerkung: Bei vorgegebenem K, r, d und q läßt sich die Gleichung (20) nicht geschlossen nach N auflösen. Zur Berechnung von N müssen Iterationsverfahren benutzt werden. Im BASIC-Programm RENTEN in Abschnitt 5.9. wird das Intervallhalbierungsverfahren benutzt. 5.3.2.

Vorschüssige arithmetisch fortschreitende Rentenzahlungen r + 3d r+d r + 2d r + 4d Rentenbeträge r

Zinstermin Laufzeit

1 n-1

2

3

4

n-2

n-3

n-4

n-2 2

r

+ (n-l)d

n-1 1

Rentenzahlungen der Höhe

Falls die

(k-l)d, k 1, 2, ...,n jeweils zu Beginn der Zinsperiode vorgenommen werden, müssen die eingezahlten Renten jeweils um eine Zinsperiode länger verzinst werden. Somit erhält man für den vorschüssigen Rentenendwert RJ, für n Zinsperioden aus (17) rk

=

r

Ri

R4

+

=

q-Rn

=

=

q-

q-1 V r+--:-^ q-1/ q-1

=

q

r

qd q-1 (s„

s„ + -—7

n)

=

r

•

-

s; +

d -—-

q-1

•

(s; nq).

(21)

-

Rentenendwert nach n Zinsperioden bei vorschüssigen arithmetisch fortschreitenden Rentenzahlungen der Höhe rk r + (k l)d =

=

sn

=

q sn '

1)

q (qn

=-= -

q -1

—

vorschüssiger

Rentenendwertfaktor.

Für den Barwert

Roqn

Hieraus 1

R' -

R; folgt

=

=

R'0 gilt qRn. 1

R -

R„

=

q

R»

=

q

•

R0

98

Kapitel 5: Rentenrechnung

und mit

RJ,

=

an

=

(18)

Rentenbarwert für n Zinsperioden bei n vorschüssigen arithmetisch fortschreitenden Rentenzahlungen der Höhe rk r + (k l)d vorschüssiger Rentenbarwertfaktor =

—

Beispiel 11 (vgl. Beispiel 9): Falls die Rentenzahlungen aus Beispiel 9 vorschüssig erfolgen, lautet der Rentenendwert nach 10 Jahren (120 Monaten) R'120 1,004 -R120 196454,60 EUR und der Rentenbarwert nach 10 Jahren =

R°

=

=

l^DöW R'120 '

=

121 679'29 EUR

=

q '

R°

•

Rentenzahlungen aus einem Ausgangskapital K Falls für die Rentenzahlungen ein zum Beginn der Laufzeit angelegtes Kapital K zur Verfügung steht, lautet der Kontostand nach n Zinsperioden

Kn

=

Kqn-Rn

=

K-q"-q(r+^-)

Kontostand nach n tender Rentenzahlung rk K Ausgangskapital

K'a

=

1

q" -

q-1

+

n

•

d q •

(23)

q-1

Zinsperioden bei vorschüssiger arithmetisch fortschreir + (k l)d, k 1,2,..., n =

=

—

=

Das Kapital K reicht genau dann für N Rentenzahlungen aus, falls KN (22) und (23) folgt 1 ,N-1

K

=

r

+

qN-l q-1/ q-1

N-d"

=

0 ist. Aus

(24)

q^T.

Kapital, das genau für N vorschüssige arithmetisch fortschreitende Renten-

zahlungen ausreicht.

Beispiel 12 (vgl. Beispiel 10): Falls die Rentenbeträge aus Beispiel 10 vorschüssig gezahlt werden, muß dafür ein Kapital von K 1,05 51531,68 54108,26 EUR zur Verfügung stehen. Das Kapital ist dann zu Beginn des 5. Jahres nach der 5. Rentenzahlung aufgebraucht. =

•

=

99

Kapitel 5: Rentenrechnung

5.4. Geometrisch fortschreitende Rentenzahlungen Falls sich die Rentenzahlungen von Termin zu Termin jeweils um a % ändern, bilden die Rentenbeträge eine geometrische Zahlenfolge. Mit der Ausgangsrente r lautet dann die k-te Rentenzahlung rk

=

r»1 + Toö

Für a.

>

=

=

r

Ö

Zinsperiode

Für den Rentenendwert nach

=

=

r

•

n

Damit

q"

raJ

3 n—3

4 n—4

n-2 2

n-1 1

Zinsperioden erhält man ...

a"

+

ran_2q + ran_1

q" für a 4= q

•—

und

1 -

für

a

•

r

1

q"

für

a

=

q;

a =f

q.

(25)

a-q" fur „

•-

a-q

Rentenendwert von n nachschüssigen geometrisch fortschreitenden Rentender Höhe rk rak_1, k 1, 2,..., n

zahlungen

=

Für den Rentenbarwert n

R

0 ergibt fallende RentenbeRentenbeträgen liefert.

=

r

=

100

gilt -

Rn

r

=

qn_1

r

n

R„

n

rqn_1 + raqn_2 + ra2qn~3 +

L q

Rn

1+

a
03 Jahre. _

1,061 vorschüssige Rente 11 mal gezahlt werden. b) Unmittelbar nach der 11. Rentenzahlung der Höhe ru 15000 1,0410 lautet der Kontostand zu Beginn des 11. Jahres nach (31) und (30) Damit kann auch die

=

K.10

t,,

=

150000

•

1

1,06110

—

1,04-1,061

-

717,15

1 06110

0410

15000 1,061 •-15000

-

=

•

•

1,0410

=

1,061

Hieraus erhält man den Kontostand K„ 760,90 EUR.

am

Ende des 11. Jahres als

=

Für eine mit 5% Wachstum und mit 30000 EUR beginnende geometrisch fortschreitende jährliche Rente sind 400000 EUR mit 5 % Jahreszins angelegt. Hier gilt also a q 1,05. a) Bei nachschüssiger Rentenzahlung lautet die Laufzeit nach (29) 400000 1,05 14 Jahre. N 30000 Nach 14 Rentenzahlungen beträgt der Kontostand nach (27) und (25)

Beispiel 18:

=

=

=-=

K14

=

400000 •

1,0514

14 30000 •

•

1,0513

=

b) Bei vorschüssiger Rentenzahlung erhält man N

=

400000 -^r^r 30000

=

0.

-

13,33 Jahre.

aus

(32) die Laufzeit

105

Kapitel 5: Rentenrechnung

Vorschüssig können also nur 13 Renten ausgezahlt werden. Unmittelbar nach Auszahlung der 13. Rente r13 30000 1,0512 lautet der Kontostand zu Beginn des 13. Jahres nach (31) und (30) K12 r13 400000 1,0512 12 30000 1,0512 30000 1,0512 =

17958,56 EUR.

•

•

•

•

=

-

-

-

=

Multiplikation dieses Wertes mit q 1,05 liefert den Kontostand am Ende des 13. Jahres als K13 1,05 17958,56 18856,49 EUR. =

=

5.5.

Allgemeine

=

•

arithmetisch fortschreitende

Rentenzahlungen

Bei diesem Modell soll zunächst eine konstante Rente gezahlt werden. Nach jeweils Zinsperioden werden die Renten um den konstanten Wert d geändert, d > 0 bedeutet dabei eine Rentenerhöhung, d < 0 eine Rentenreduzierung. Da w Zinsperioden lang konstante Renten gezahlt werden, stimmen für n ^ w Rentenendwert und Rentenbarwert mit den entsprechenden Werten aus Abschnitt 5.3. überein. Für w 1 erhält man die arithmetisch fortschreitende Rente aus Abschnitt 5.3. w

=

Nachschüssige Rentenzahlungen Während w Zinsperioden soll nachschüssig die konstante Rente r gezahlt werden. Nach jeweils w Zinsperioden werde die alte Rente um d erhöht. Zur Berechnung des Rentenendwertes Rn sind bezüglich der Laufzeit n Fallunterscheidungen notwendig. Für n ^ kw sei Rnk) der Rentenendwert nach n Zinsperioden, falls insgesamt nur (k l)-mal Rentenerhöhungen um d vorgenommen würden und danach die konstante Rente r + (k 1) d ohne weitere Erhöhung weitergezahlt würde. Für (k l)w

=

q •

Rn

=

-i

r.(q«-l) +

q-

\

qn-(k-l)w

/n"

d-^L_JL_-(k_i)j

R^^

_

für(k-l)w?" 150 INPUT KON«:IF KON*="J" THEN GOTO 220 160 PRINT "SIND DIE RENTEN ARITHMETISCH FORTSCHREITEND!(J=JA)?" 170 INPUT AR*: IF AR*="J" THEN GOTO 200 1B0 PRINT "SIND DIE RENTEN GEOMETRISCH FORTSCHREITEND ?" 190 INPUT GEOM* 200 PRINT "JEWEILIGE ANFANGSRENTE IN DER ERSTEN ZINSPERIODE = 210 GOTO 230 220 PRINT "KONSTANTE RENTE = 230 INPUT R:IF KON*="J" THEN GOTO WO 240 PRINT "SOLL DIE MAXIMALE RENTENSTEIGERUNG BERECHNET WERDEN ?" 250 INPUT MAX* 260 IF MAX*="J" THEN GOTO 660 270 IF KQN*="J" THEN GOTO 400 SSO IF AR*="J" THEN GOTO 350 290 IF GEOM* = "J" THEN GOTO 370 300 PRINT "UM WIEVIEL •/. WÄCHST DIE ARITHMETISCH-GEOMETRISCHE RENTE?" 310 INPUT A:A=1+A/100 320 PRINT "UM WELCHEN SOCKELBETRAG D WÖCHST DIESE GEMISCHTE RENTE ?" 330 INPUT D:GOTO 400 340 PRINT "UM WELCHEN SOCKELBETRAG WÖCHST DIESE GEMISCHTE RENTE ?" 350 PRINT "UM WELCHEN BETRAG D WÄCHST DIE ARITHMETISCHE RENTE PRO JAHR ?" 360 INPUT Dl GOTO 400 370 PRINT "UM WIEVIEL PROZENT WÖCHST DIE GEOMETRISCHE RENTE PRO JAHR?" 380 INPUT A:A=1+A/100 390 REM-ENDE DER EINGABE400 PRINT "SOLL DER RENTENBARWERT ODER ENDWERT BERECHNET WERDEN (J=JA>?" 410 INPUT BAR*i IF BAR*"J" THEN GOTO 500 420 REM BERECHNUNG DES RENTENBAR- U. ENDWERTS430 PRINT "LAUFZEIT N DER RENTE IN ZINSPERIODEN «" 440 INPUT NI PR I NT £»50 GOSUB 900 460 PRINT "RENTENENDWERT = " ;RN 470 PRINT "RENTENBARWERT = ";RO:PRINT 480 ENT*»"WIA":PRINT "BERECHNUNG EINES NEUEN RENTENEND-ODER BARWERTS ?" 490 INPUT ENT*: IF ENT*="J" THEN GOTO 430 500 PRINT "SOLL DIE LAUFZEIT DER RENTE BERECHNET WERDEN ?" 510 INPUT LAUF*:IF LAUF*"J" THEN END 520 REM BERECHNUNG DER LAUFZEIT DER RENTE AUS EINEM AUSGANGSKAPITAL530 PRINT "WELCHES KAPITAL K IST FÜR DIE RENTE ANGELEGT?" 540 INPUT K "

"

550 GOSUB 1080 560 570 580 590 600 610

620 630 640

PRINT "LAUFZEIT N DER RENTE = ";NG;" ZINSPERIODEN" ZU=N:FOR 1 = 1 TO 2 N=ZU-1 + I: GOSUB 900 PRINT "RENTENBARWERT FÜR ";N;" ZINSPERIODEN = ";R0 NEXT I WE*—"WIA"a PRINT "BERECHNUNG EINER ANDEREN LAUFZEIT (J=JA)" INPUT WE* IF WE*="J" THEN GOTO 520 END REM

650 660 REM MAXIMALE STEIGERUNG BEI ARITHMETISCHER ODER GEOMETRISCHER RENTE

-

670 680 690 700

PRINT

"LAUFZEIT N IN ZINSPERIODEN =": INPUT N

-

PRINT "AUSGANGSKAPITAL (BARWERT) K =?":INPUT K IF GEOM*="J" THEN GOTO 760 AN=(1-1/QVN)/(Q-l)

710 D= 0 geht für n -»oo K über in K^ (ewige Rente) =--. p q-1 Dieses

=

•

=

—-—

Bezüglich des Realzinssatzes p' besitzt die njährige

Rente den Barwert

Kurs- und

Kapitel 6:

128

mit dem Barwert der

K_, —

r

100 r

q'-l

p'

ewigen

Effektivzinsberechnung

Rente

Der Kurs C der n-jährigen mit dem nominellen Zinssatz p ausgestatteten Rente gibt an, wieviel Prozent des nominellen Barwerts Knom der reale Barwert Krca| beträgt. Aus (2) und (3) folgt

C

=

K

100

(4)

100

= —

Der Kurs der

C.

—

100-^ Koo

=

Damit

=

Knom

r —

(5)

=

C

=

ani K' 100 r K' '

100 •-;

^

a„

'

q-l i+

= = =

*

=

100

an^ 100

r

=

1

^; P

(6)

1

1

=

T

r

...

q-1

q

Kre>,

—

r

K„

C

100-^. p

gilt

K

Knom Krea,

Rente lautet

ewigen

P

a„

=

P

=

'

q'-l P nom 9

Q

1+

iöö;

p'

=

Pre"-

nomineller Barwert realer Barwert von n nachschüssigen Rentenbeträgen der Höhe Kurs der mit dem Zinssatz p ausgestatteten n-maligen Rente Kurs der ewigen Rente

r

Beispiel 4: Bei einem Jahreszinssatz von 6,25 % möchte jemand eine jährliche nachschüssige Rente von jeweils 20000 EUR erwerben. a) Für eine 25jährige Rente ist dafür der Betrag 1

1 K

=

zu

b)

-=

0,0625

zahlen,

Eine

^

1,062525

20000

ewige

Rente kostet

20000 =

0^625

=

320000 EUR-

249 704,66 EUR

Kapitel 6:

Kurs- und

129

Effektivzinsberechnung

c) Nach 10 Jahren soll der restliche Rentenanspruch der 25jährigen Rente bar ausgezahlt werden. Beim gleichen Zinssatz beträgt der entsprechende Barwert für die Restlaufzeit

von

15 Jahren

1 1-

K

=

1,062515

20000-= 191110,99 EUR.

0,0625

Falls der Realzinssatz inzwischen auf 7 % gestiegen ist, beträgt der Abfindungsnach 10 Jahren wegen der 15jährigen Restlaufzeit nur noch

wert

1 K'

=

20000-= 182158,28 EUR.

0,07

Der Kurs für die Rente mit der Restlaufzeit

C=

von

15 Jahren lautet

100-^-= 95,3154%. JTw.

6.3. Der Kurs einer Zinsanleihe

(Zinsschuld)

Für Zinsanleihen werden während der gesamten Laufzeit nur die anfallenden Zinsen gezahlt. Die Tilgung erfolgt geschlossen am Ende der Laufzeit. Bei der Kursberechnung gehen wir immer vom Nennwert Knom =100 EUR aus. Für die Zinsberechnung werde während der gesamten Laufzeit der bei der Ausgabe festgesetzte Nominalzinssatz p pnom benutzt. Der Realzinssatz p' bestimmt dann den Kurs der Anleihe. =

6.3.1. Kurs einer Zinsanleihe mit

jährlicher Zinszahlung ohne Aufgeld

Eine mit dem nominellen Jahreszinssatz p ausgestattete Zinsanleihe habe die Laufzeit n Jahre. Für eine Anleihe mit dem Nominalkapital Knom= 100 EUR werden jährlich jeweils p EUR Zinsen ausgezahlt. Am Ende der Laufzeit erfolge die Rück-

zahlung zu pari.

1. Der Kurs bei einer

ganzjährigen Laufzeit n Falls die Laufzeit n ganzzahlig ist, gibt es für eine 100 EUR-Anleihe folgende Zahlungen Zinsen

Jahr

p

p

p

p

p

p

p

\-1-I-1-1-1-1-10

1

2

Tilgung Bezüglich des Realzinssatzes den Barwert

3

4

n-2

n-1

n

100

p' besitzen diese Zahlungen für die 100 EUR-Anleihe

130

Kapitel 6: Kurs- und Effektivzinsberechnung

Vl

P

v

100

p

P

Barwert der Zinsen

Barwert der

Tilgung

1

1

q'n

100

^rr+a^

=

P

=

(ioo_-JL_YJ-

=

ioo

Für die letzte

(7)

(i-^) V p7

p

=

100

,

a-+a^

+

^. p

-7i; + ioo

q

p'

1 =-benutzt. 100

Umformung wurde q' —

Dieser Barwert ist somit der Kurs C der mit einem nominellen Zinssatz

von

p%

ausgestatteten Zinsanleihe beim realen Zinssatz p' und bei einer (Rest-) Laufzeit von Jahren. Für p p' ist C Damit gilt

n

=

c

=pa; +

100%.

=

100 =

100

l

C


-*-f/

\Laufz.«7^ ^s^X^

^-«*.

//

Jl

/-X-\ Ende ) (V-/

ganzzahliger

Y

1

=

AUF

/KursC

/'/ /

^ V. Tilgungsaufge,d_/ | „

Börsennotierter Nettoteurs C

^tt^-**0*^

f'^^*.

ja

Kurs für eine andere

^^^^^

ff

jj

^*"^«»«^^

Laufzeit?

^

nein

^**sv. ^s*"^desBerechnung Tilgungsauf- ^"""-s^ gelds für den ^«v^ ^^Kurs C 100%?^^ =

T

nein

1

AUF

Laufzeit (nicht unbedingt

=

=

Iganzzahlig)

j*-

/ /_

ganzzahlig)

II

*

J

13

=

Tilgungsaufgeld

//

II

^s^****^ Tilgungs-^v. aufgeld für eine^V. andere Lauf-

zeit?^x^ |nein

^

18

J(11

Kapitel 6:

Kurs- Und

Effektivzinsberechnung

139

5 REM ZINS ANLEIHE-;-PROGRAMM NR IV 10 REM DERECHNUNG DER KURSE UND DER EFFEKTIV VERZINSUNB BEI ZINSANLEIHEN 30 PRINT "NOMINELLER JAHRESZINSSATZ"

30 INPUT P:M=1:X=0:R=P 40 PRINT "WIRD DIE ANLEIHE UNTER JÄHR IG VERZINST " 50 INPUT UNTt 60 IF UNT»"J" THEN GOTO 90 "70 PRINT "ANZAHL DER UNTERJÖHRIGEN ZINSZAHLUNGEN" SO INPUT M 90 PRINT "SOLL DER EFFEKTIVE REALZINSSATZ BERECHNET WERDEN " 100 INPUT EF* HO IF EF»="J" THEN GOTO 460 ISO PRINT "REALER JAHRESZINSSATZ =" 130 INPUT PS 140 P.R1NT "SOLL DAS TILGUNGSAUFGELD FÜR DEN KURS 100 X BERECHNET WERDEN < J=JA > 150 INPUT AUF* 160 IF AUF*="J" THEN GOTO 330 170 REM KURSBERECHNUNG-j«ISO PRINT "TILGUNGSAUFGELD IN X =?":INPUT A 190 PRINT "GEBEN SIE ZUR KURSBERECHNUNG DIE LAUFZEIT DER ANLEIHE EXAKT EIN" 200 INPUT Y:N=INT(Y) : IF Y>N THEN GOTU 280

"

210 X=0:GOTO 230 220 N=N+lsX=N-Y 230 GOSUB 670 240 PRINT "KURS C = ";U;" X" 250 PRINT "BÖRSENNOTIERTER NETTOKURS = ";U-P»Xj" X" 260 ENT»="WIA":PRINT 270 PRINT "KURSBERECHNUNG FÜR EINE ANDERE LAUFZEIT ?" 280 INPUT ENT*:IF ENT*="J" THEN GOTO 190 290 PRINT "SOLL DAS TILGUNGSAUFGELD FÜR DEN KURS 100 X BERECHNET WERDEN(J=JA>" 300 INPUT WT* 310 IF WT*="J" THEN GOTO 330

320 END 330 REM BERECHNUNG DES TILGUNGSAUFGELDS340 PRINT "LAUFZEIT IN GANZEN JAHREN EINGEBEN" 350 INPUT N 360 IF INT(N)=N THEN GOTO 380 370 PRINT "DIE LAUFZEIT MUSS GANZZAHLIG SEIN ":G0T0 340 380 V=P»(1+(M-1)»PS/(200«M)) 390 AUF=100»"N-1)»(1-V/PS):PRINT 400 PRINT "DER KURS IST 100 X BEI EINEM" 410 PRINT "AUFGELD VON ";AUFj" %" 420 ENT*='!WIA" iPRINT 430 PRINT "AUFGELDBERECHNUNG FÜR EINE ANDERE LAUFZEIT ?" 440 INPUT ENT*:IF ENT*»"J" THEN GOTO 330

450 END 460 REM BERECHNUNG DES REALEN JAHRESZINSSATZES470 PRINT "AUFGELD IN X INPUT A 480 PRINT "KURS C DER ANLEIHE = ?"lINPUT C 490 PRINT "LAUFZEIT IN JAHREN" 500 INPUT Y:N=INT(Y) 510 IF N=Y THEN GOTO 530 SSO N=N+l:X=N-Y 530 LI=0:PS=1 540 PS=2»PS:RE=PS!GOSUB 660 550 IF U>C THEN GOTO 540 560 FOR 1=1 TO 50 570 PS-(LI+RE)/2:G0SUB 670 580 IF U>C THEN LI=PS ELSE RE=PS 590 NEXT I 600 PRINT "DER REALE JAHRESZINSSATZ BETRÖGT ";PS;" X" 610 ENT*="WIA" :PRINT

620 PRINT "BERECHNUNG EINES ANDEREN REALZINSSATZES ?" 630 INPUT ENT*:IF ENT*="J" THEN GOTO 460 640 END 650 REM660 REM UNTERPROGRAMM ZUR KURSBERECHNUNG670 P=-R*< l-MM-l >»PS/ (2O0*M) ) 680 U=1+A/100-P/PS

690 U-U/< H-PS/100)"N+P/PS 700 U-100*U» 710 RETURN

Kapitel 6:

140

Kurs- und

Effektivzinsberechnung

Beispiel 11: Eine Anleihe mit einem nominellen Jahreszinssatz von 6% und einer Laufzeit von 10 Jahren wird zu 98% ausgegeben. Nach 10 Jahren wird sie Nennwert zurückgezahlt. Gesucht ist der effektive reale Jahreszinssatz bei

zum

a) jährlicher; b) halbjährlicher; c) vierteljährlicher Verzinsung der Anleihe. Das obige Programm liefert mit p 6; a 0; C 98 und N 10 folgende Ausga=

=

ben a) m=l: b) m 2: c) m 4: =

=

=

=

p'= 6,275291 %; p' 6,372129%; p' 6,421679%. =

=

Beispiel 12: Eine Anleihe ist mit einem nominellen Jahreszinssatz von p 5 % bei halbjährlicher Zinszahlung ausgestattet. Der reale Jahreszinssatz sei 5,81 %. Wie hoch muss das prozentuale Tilgungsaufgeld gewählt werden, damit der Ausgabekurs C0 100% ist bei einer Laufzeit von a) 10; b) 20 Jahren? Das Programm liefert mit m 2 das Tilgungsaufgeld a) n 10: a 9,632896%; b) n 20: a 26,57721%. Die Rückzahlung am Ende der Laufzeit muss also 100 + a% vom Begebungskurs C„ 100 betragen. =

=

=

=

=

=

=

=

Beispiel 13: Eine Zinsanleihe mit einer Restlaufzeit von 4 Jahren und 3 Monaten sei mit einem Nominalzinssatz von 5,5% ausgestattet. Zinsen werden jährlich gezahlt, die Rückzahlung erfolge zu pari. Der börsennotierte Nettokurs betrage 98,15 %. Gesucht ist der reale Jahreszinssatz für diesen Nettokurs. Die Laufzeit ist 4,25 5 0,75 Jahre. Mit x 0,75 erhält man aus (9) den Kurs =

=

—

C 98,15 + 0,75 -5,5 102,275. Mit diesem Kurs, der Laufzeit 4,25 und dem Aufgeld 0 liefert das BASIC-Programm den realen Jahreszinssatz p' 6,006665 %. =

=

=

6.4. Der Kurs einer Ratenschuld Bei Ratenschulden (s. Abschnitt 4.2.) sind neben der konstanten Tilgungsrate noch die laufenden Zinsen zu bezahlen.

jährlicher Tilgung ohne Aufgeld Eine Ratenschuld mit dem Nominalwert Knoin =100 EUR werde mit n nachschüssi100 Neben der Tilgungsrate T müssen gen jährlichen Tilgungsraten T =-getilgt. n noch die laufenden Zinsen und zwar jeweils p % von der vorhergehenden Restschuld gezahlt werden. Damit entsteht folgender Rückzahlungsplan:

6.4.1. Der Kurs einer Ratenschuld bei

Kapitel 6:

Koom

Effektivzinsberechnung

Kurs- und

141

100

=

100

Tilgung

100

n

f0

Jahr Zinsen

n

100

100

100

100

100

n

n

n

n

n

2

3

4

n-2

n-1

n

Z2

Z3

Z4

Z„-2

Z„_,

Zn

Bezüglich des realen Zinssatzes p' besitzen die n Tilgungsbeträge den

Barwert

T0

1

/l

100

1

• (q \q +-72+

=

n

—

1

1

100

—)

+

1

100

q

q'-l

n

(15)

a„.

=

Die Zinsbeträge Z t, Z2,..., Zn für die 100 EUR-Nominalschuld bilden eine arithmetisch fallende Folge mit dem Anfangsbetrag r

p und der Differenz d —. n p p Aus (18), 5.3.1. erhält Abschnitt 1 man mit q -»q' 1 =-bezüglich v H-, 100 q' 100 des realen Zinssatzes p' den Barwert aller n Zinsbeträge als / 100 n p l100 zo p-~ r an +-nr n n q'n p' p ) \ / 100 100 p 1 =

Z±

=

=

—

=

—

p\

=

•

,

,

p^

•

1

Mit

=

1

—

z0

=

p

(q' -

•

-

1)

•

an

=

p'

1 -

100 p

a;

(16)

q^'

p'

—

•

a.

folgt hier aus

100 p •

-

=

p

•

K

-

also

Zö

=

100 •

Damit

Knom

^p

100 p np

,

K+

100 p -p a„ •

•

(17)

n

gilt 100

=

100EUR; T0 =-an; Z'0 n

=

100

^pp

(18)

c-,m[I(1-f)+f]-k. Knom 100 EUR-Ratenschuld mit n jährlichen Tilgungsraten T jährliche Verzinsung mit p % T0 Barwert der Tilgungsbeträge Z'0 Barwert der Zinsbeträge Kurs der Ratenschuld bzgl. des realen Zinssatzes p' C =

=

= =

n

=

Laufzeit in Jahren

100 n

Kapitel 6:

142

Kurs- und

Effektivzinsberechnung

Beispiel 14: Für eine Tilgungsschuld über 60000 EUR werden jährlich auf den Restbetrag 7,5% Zinsen gezahlt. Die Tilgung erfolge in 15 gleichen Jahresraten. a) Gesucht ist der Begebungskurs bei einem realen Jahreszinssatz von 7,65 %. Mit n 15, p 7,5, p' 7,65 und q' 1,0765 erhält man aus (18) den Begebungskurs =

1

1

C0

=

100

Die 15

=

=

=

15

1.076515 /

7,5 \

V

7,65/

0,0765

7,5 7,65

=

99,182416%.

Tilgungsbeträge für die 100 EUR-Anleihe besitzen den Barwert

100

1"

1

1,076515

T°-TT ^5765-5M°32"%Damit sind 58,303211 % des Nominalwertes für die Tilgung und 99,182416 58,303211 40,879206% für die Zinszahlungen bestimmt. =

-

b)

Der Tilgungsplan geht von der Schuldsumme S 60 000 EUR aus und berechnet die Zinsen jeweils mit dem nominellen Jahreszinssatz 7,5%. Beim realen ZinsC 60000 600 C satz von 7,65% darf die Tilgungsschuld nur mit 100 59 509,45 EUR ausgezahlt werden. =

=

•

—

=

6.4.2. Der Kurs einer Ratenschuld bei unterjähriger

Tilgung

Verzinsung und jährlicher p

jeweils m % verzinst, wobei p der nominelle Jahreszinssatz ist. Die unterjährig gezahlten Zinsen können für den Rest des Jahres zum Realzinssatz p' wieder angelegt werden. Dadurch entsteht gegenüber der jährlichen Verzinsung ein Zinsvorteil. Da die Tilgungen zum Jahresende erfolgen und die Zinsen bei jeder unterjährigen Verzinsung anteilmäßig gezahlt werden, ist die nominelle Restschuld Sn_! während des gesamten Jahres konstant. p Von dieser Restschuld werden bei jeder unterjährigen Verzinsung % Zinsen bem rechnet. Aus (11), Abschnitt 6.3.2. erhält man den effektiven nominellen Jahreszins-

Die Ratenschuld werde pro Jahr m-mal mit

—

—

satz

P

/

=

\

m-1

P(1+2^Pj

m-1

=

P+2Ööm-'PP'

m-1

p p' %. 200m Zu den mit p % berechneten Jahreszinsen Zt, Z2, zusätzlichen Zinsen

also einen Mehrzins

von

•

•

———

l^-p'-Z,

füri

=

...,

Zn kommen also noch die

l,2,...

hinzu. Diese zusätzlichen Zinsen besitzen nach

(18) den zusätzlichen

Barwert

Kapitel 6: Z'

1

m

p' v Z'o0 200m

=-•

•

—

(m-l)p

Kurs- und

1

m

p' 100

=—

v

200m

•

Effektivzinsberechnung

143

1-5=n

p •

p'

—

1-^n

2m

der als Kurszuschlag gegenüber dem Kurs bei der jährlichen Verzinsung verwendet werden muss. Der Barwert der Tilgungsbeträge bleibt unverändert.

Damit z,= Z'

gilt

(m-l)

p

2m

^

;

Kurs

=

C + Z'.

(19)

Kurszuschlag einer Ratenschuld bei m-maliger unterjähriger Verzinsung und jährlicher Tilgung. Um diesen Wert muss der Kurs C bei jährlicher Verzinsung erhöht werden. =

Dieser Kurszuschlag Z' muss zum Kurs C bei jährlicher Verzinsung addiert werden. Falls man bei der Kursberechnung C in (18) den nominellen Zinssatz p ersetzt durch effektiven Nominalzinssatz =

P(1 Iöm-P')' +

erhält

200m direkt den Kurs für die

man

unterjährige Zinszahlung.

Beispiel 15 (vgl. Beispiel 14): Falls die Tilgungsschuld aus Beispiel 14 bei jährlicher Tilgung monatlich verzinst wird, erhält man mit m 12 aus (19) den Kurszuschlag =

Z'

=

11-7,5

1.07651

-

,1

2 12

Monatliche

1

1

15 0,0765

=

1,433327%.

Verzinsung ergibt somit den Begebungskurs

99,182416 + 1,433327

=

100,615743 %.

In diesem Fall beträgt die Gesamtauszahlung 60 369,45 EUR. Der Gesamtkurs kann auch aus (18) direkt berechnet werden mit dem Übergang zum effektiven Nominalzinssatz P

=

7,5

•

1 +

11

•

7,65\

200-12/

762969%. _

Mit diesem effektiven Nominalzinssatz erhält

=

100-

ebenfalls den Kurs

1

1

C

man

1,076s15 15

0,0765

=

65

100,615743%.

144

Kapitel 6:

Kurs- und

6.4.3. Der Kurs einer Ratenschuld bei

Effektivzinsberechnung

unterjähriger Tilgung und jährlicher

Verzinsung

Der jährliche Tilgungsbetrag T werde aufm unterjährige Tilgungsbeträge der Höhe T aufgeteilt. Die Verzinsung erfolge jährlich mit dem nominellen Jahreszinssatz p.

m

—

Für die

Zinsberechnung sollen zwei

Modelle unterschieden werden.

Im ersten Modell wird bei der Zinsberechnung die nicht berücksichtigt, d. h. die Zinsen werden jährlich

Unterjährigkeit

der Tilgung der gesamten zu Beginn des Jahres vorhandenen nominellen Restschuld berechnet. Das zweite Modell soll die Unterjährigkeit der Tilgungen bei der Zinsberechnung berücksichtigen. von

Verzinsung ohne Berücksichtigung der Unterjährigkeit der Tilgungen. Falls in jedem Jahr p % Zinsen von der zu Beginn des entsprechenden Jahres vorhandenen nominellen Restschuld berechnet werden, bleibt der Barwert Z'Q der Zinsen für die nominelle 100 EUR-Schuld unverändert. Infolge der unterjährigen TilT gung können die Tilgungsbeträge m für den Rest des Jahres zum realen JahreszinsT erhält man dann aus (11), satz p' anteilmäßig wiederangelegt werden. Mit p Abschnitt 6.3.2. den effektiven jährlichen Tilgungsbetrag 6.4.3.1. Jährliche

—

=

/

=

\

m-1

m-1

T(1+2Ö^PJ=T+2Ööm-pT(18)

Zusammen mit

„

(20)

^

erhält man hieraus den Barwert,

Tilgungsbetrages erhöht, als (m-1) (m-1) P 200m

,

0

200m

100 P

=

n

Um diesen Barwert T' erhöht sich der Kurs

um

(m-l)-p'

an

2m

n

gegenüber dem

Tilgung. Damit gilt (m-l)-p'

(m-l)-p'

„

°"

~

200m Kurs

=

C + T';

C

=

'

Kurs bei

jährlicher

(21)

2mn

Kurs bei jährlicher

den sich der Barwert des

Tilgung.

Kurszuschlag einer Ratenschuld bei unterjähriger Tilgung und jährlicher Verzinsung ohne Berücksichtigung der Unterjährigkeit der Tilgung. Um diesen Wert muß der Kurs bei jährlicher Tilgung erhöht werden.

T'

=

6.4.3.2. Jährliche Verzinsung mit Berücksichtigung der unterjährigen Tilgungen Falls die Zinsberechnung am Ende eines jeden Jahres anteilmäßig für die jeweilige Restschuld erfolgt, bleibt der Kurszuschlag T' für die Tilgungsbeträge nach (21) unverändert. Die Zinsen werden bei dieser korrekten anteilmäßigen Verzinsung

niedriger.

m

m

Effektivzinsberechnung

Kurs- und

Kapitel 6: m

145

mm

+

0

1

Bei einer Jahrestilgung T beträgt die Zinsersparnis für den k-ten Tilgungsbetrag der T

Höhe .

m

—

(m-k)p

T

100m

m

fur k

-—-•—

Hieraus erhält

=

als Zinsersparnis für das gesamte Jahr

man

TV, I (m k) m

P lOUm

——

—

»

=

1

1,2, ...,m.

=

-

T

P 100m

•

Daraus erhält -

L~ _

(m

1)

•

man

lo~ 200

1)

•

-

200

m

•

(m-l)m"|

m-

2

(m-1)

^

(m-l)

2

200m

den Barwert der ersparten Zinsen

(m

p

-

1) -

-

P T 100m

n

(m

•

m

——-

_

m

p

100

,

'"

'

n

_

T

zusammen

(m-l)-p 2mn

Um diesen Betrag erniedrigt sich der Kurs, während erhöht. Der Kurszuschlag beträgt damit A T 2'.

p

er

mit (18) als

,

(22)

'a-'

sich

gleichzeitig

um

T'

=

—

d

(m-l)-(p'-p) •

Kurs

=

•

C + A;

C

=

(23)

,

=-z-• 2 m n

a„

Kurs bei jährlicher

Tilgung und Verzinsung.

Kurszuschlag bei unterjähriger Tilgung und jährlicher anteilmäßiger Verzinsung der Restschuld. Um diesen Betrag muß der Kurs C bei jährlicher Tilgung und Verzinsung erhöht werden. A

=

Bemerkung: Nur für p' p verschwindet A. Dann hat bei der jährlichen Verzinsung die unterjährige Tilgung keinen Einfluss auf den Kurs. Im Falle p'> p werden zwar Zinsen (bezüglich p) gespart. Die unterjährigen Tilgungsbeträge erzielen jedoch bezüglich des realen Zinssatzes p' einen höheren Zinsertrag als die Zinsersparnis =

ausmacht.

Beispiel 16: Eine Ratenschuld über 20000 EUR ist bei einer Laufzeit von 5 Jahren mit einem nominellen Jahreszinssatz von p 6% ausgestattet. Der reale Jahreszinssatz sei p' 6,46 %. =

=

1

1 -

Hier gilt a'5

=

1,06465

—r-^—r— U,Uo4o

=

4,16016950.

146

Kapitel 6:

Kurs- und

ErTektivzinsberechnung

a) Bei jährlicher Verzinsung und jährlicher Tilgung lautet der Kurs nach (18)

^" 1-^77 J "IX

C=100

b)

6,46

+

98,803957%.

6,46

Bei monatlicher Tilgung und jährlicher korrekter anteilmäßiger Verzinsung beträgt der Kursaufschlag nach (23) 11

(6,46-6)

=

'

2-12-5

a*

=

°'175420°/o

•

Hier lautet der Kurs

C

C+d

=

einen

was

C •

100

=

98,979377%,

Auszahlungsbetrag von

20000

=

—

19795,88 EUR ergibt.

c) Falls die Zinsen bei der monatlichen Tilgung jährlich von der zu Beginn des Jahres vorhandenen nominellen Restschuld berechnet werden, lautet der Kurszuschlag nach (21) T'

=

-1 „Ü'4f

2-12-5

•

ai

=

2,463514%,

was

einem Kurs

C

C + T'= 101,267471%

=

Auszahlungsbetrag von 20253,49 EUR ergibt. Diese nicht ganz korrekte Verzinsung kostet also den Schuldner den Betrag von 457,61 EUR, den ihm das Kreditinstitut bei der Auszahlung vorenthält. und den

6.4.4. Der Kurs einer Ratenschuld bei den Tilgungsterminen

unterjähriger Tilgung und Verzinsung zu

In diesem Abschnitt soll Tilgung und Verzinsung zu den gleichen m unterjährigen Zeitabschnitten erfolgen. Wir setzen voraus, dass die Realverzinsung auch unterjährig möglich ist, dass also die durch Tilgung und Verzinsung der Nominalschuld eingehenden Beträge nach ihrer Wiederanlage unterjährig mit dem Realzinssatz verzinst werden. Bei diesem Modell bietet sich an, die unterjährigen Tilgungsintervalle als neue Zinsintervalle zu wählen. Dann muss allerdings der jeweilige konfor-

Zinssatz benutzt werden. Für den konformen Nominalzinssatz pkonf

me

/

r

_P_ iw\m= +ioo' looj

während der konforme Realzinssatz pKonf

V

gilt,

100

J

100

berechnet wird. Durch den

Übergang

aus

Kapitel 6:

Kurs- und

147

Effektivzinsberechnung

P-^Pkoir;

P -»Pkonr; n-»nm können dann alle Formeln aus Abschnitt 6.4.1. übernommen werden.

Beispiel 17: a) Eine Ratenschuld

von nominal 80000 EUR sei monatlich mit dem nominellen Monatszinssatz von 0,5 % zu verzinsen und innerhalb von 10 Jahren monatlich nachschüssig zu tilgen. Die eingehenden Beträge können monatlich mit dem realen Monatszinssatz von 0,55 % angelegt werden. Mit n 10 12 120; p 0,5; p' 0,55 erhält man aus (18) den Kurs =

1

C

100

=

1+

V

0,0055 120

T-^

100

-

100-

^

=

5,5

97,551145%.

n

l,005512

=

=

10 erhält

=

q'.

man aus

(18) den

Kurs

1

1 =

5,5

Tilgung und Verzinsung erhält man die konformen Jahreszins-

Mit diesen Zinssätzen und

C

=

/_5\ + J_

1,0055120

Bei jährlicher sätze

b)

=

=

•

1,0055"°

lO(q'-l)

l/j_P_^ p'

6.4.5. Der Kurs einer Ratenschuld mit

=

97,279468%.

Tilgungsaufgeld

Bei jeder Tilgung sollen a % vom jeweiligen Tilgungsbetrag an Gebühren entrichtet werden. Neben dem

Tilgungsbetrag T sind somit zusätzlich

bezahlen. Bei der Tilgung des Nominalkapitals Knom

=

a •

T Gebühren

zu

100 DM in n gleichen Jah-

betragen die Gebühren am Jahresende jeweils n DM. Bei einer Laufzeit a von n Jahren besitzen die Gebühren den Barwert- a„, der als Kurszuschlag für die n resraten

—

•

Gebühren erhoben werden muß. Damit gilt

100 + a

a

C3i---ai; T6 + g; n c.

=

c + g:

=

=

n

——

a; (24)

loo

Kurszuschlag einer Tilgungsschuld bei jährlicher Tilgung mit a % Tilgungsaufgeld Ca Kurs mit TUgungsaufgeld C Kurs ohne Tilgungsaufgeld + T0 G; Barwert der Tilgungen mit Aufgeld von Knom 100 G,

=

=

=

=

=

148

Kurs- und

Kapitel 6:

Effektivzinsberechnung

Bemerkung: Mit dem aufgeldbedingten Tilgungsbarwert lässt sich auch der Kurs für

unterjährige Tilgungen mit Tilgungsaufgeld berechnen.

Das Tilgungsaufgeld von a% könnte so gewählt werden, dass der Kurs exakt 100% ist. Die Abweichung des realen Zinssatzes vom nominalen kann somit durch das

Tilgungsaufgeld kursmäßig ausgeglichen werden. Aus Ca 100 folgt =

i+

^--p 100

p

OL

1Ö0 gilt

Damit

(25) Laufzeit

1

•

C

=

7,5

6.4.7.

1+2ÖÖTT2I

1

1,07655 0,0765

+

100,615743

—r^=rr«— 1,0765 s

=

100,881164%.

Zusammenstellung der Kurse einer Ratenschuld

In der

nachfolgenden Tabelle sind die Kurse einer Ratenschuld bei verschiedenen Tilgungs- und Verzinsungsarten zusammengestellt. Die Berechnung erfolgt mit Hilfe der in den Abschnitten 6.4.1. bis 6.4.5. abgeleiteten Formeln. Tilgungsfreie Zeiten werden nicht berücksichtigt. Die Kurse gelten für folgende Werte Laufzeit in Jahren ohne tilgungsfreie Zeit n ot prozentuales Tilgungsaufgeld. In der letzten Spalte wird das Tilgungsaufgeld berechnet, bei dem der Kurs der =

=

Ratenschuld genau 100% ist.

Kapitel 6:

Kurs- und

Effektivzinsberechnung

o.

I

3 «• I

E

JÜ

«

,1 +

1«°

«Mo. + +

clft I

I

3

a

i

l

6

+

«Tl

2 g3 d

u

B

X od o

,_

s &«, ° t 2 ? 5 u »

1

21 'to

c

1 u

-1

x!

00

« s

J

B-B

-

°

—

o

oo

_

'PS

i

Iii

!25 'S &

14

00

00

J3

'S •c-s 3 !"

e

Ja

3,

® :2,

Sc

!=3

—

±

o c

SED,

•er o

@

b

IS 2a 5

—>

„

G X u 3 S o.

Kapitel 6:

Kurs- und

Effektivzinsberechnung

151

BASIC-Programm für Ratenschulden Im nachfolgenden Programm sollen die Kurse für alle in der Tabelle des Abschnitts 6.4.7. angegebenen Modelle berechnet werden. Dabei genügt es, folgende Funktion einzugeben 6.4.8.

«-"•(H(,+«)-(i+^HH)folgende Modifizierungen notwendig

Dabei sind ®

x

=

0

und

x

=

0; p

x

=

p'

m

=

1

•(1 2ÄP') m

+

200 m

9 x (p'-p). Damit kann der Kurs C berechnet werden. Das prozentuale Kurs von 100% ergibt, erhält man für diese Fälle aus =

a

=

fi--V--V P7 a; p'

100

(m

1 +

1)

•

Aufgeld, das einen

4

x

-

200m

Beispiel 20: Eine mit einem nominellen Jahreszinssatz von p Ratenschuld besitze eine Laufzeit

von

=

5,5 % ausgestattete

12 Jahren. Der reale Jahreszinssatz sei

p' 6,15%. a) Ohne Tilgungsaufgeld liefert das obige Programm folgende Kurse =

1.

Tilgung jährlich, Verzinsung jährlich C

2.

96,75469%.

Tilgung jährlich, Verzinsung vierteljährlich (m 4) =

97,38799%. Tilgung vierteljährlich; Verzinsung jährlich ohne Berücksichtigung der Unterjährigkeit der Tilgung C 98,3528%. Tilgung vierteljährlich, Verzinsung jährlich mit Berücksichtigung der UnterC

3.

=

=

=

4.

jährigkeit der Tilgung

C 96,9236%. 5. Bei vierteljährlicher Tilgung und Verzinsung werden die konformen Vierteljahreszinssätze benutzt. =

p

=

p'

=

100 100

•

(1,055°-2S 1) 1,347517%; (1,0615°25 1) 1,503262%. =

-

•

=

-

Mit

n

C

96,98226%.

=

=

12 4 •

=

48 erhält

man aus

Fall © den Kurs

Kapitel 6:

Kurs- und

153

Effektivzinsberechnung

5 REM RATENANLEIHE-PROGRAMM NR V 10 REM KURS- UND EFFEKTIVZINSBERECHNUNG BEI RATENSCHULDEN SO REM ALS ZINS-U.TILGUNGSMODELL IST EINE DER NUMMERN 1-4 EINZUGEBEN 30 REM BEZEICHNUNGEN SIEHE TABELLE AUS ABSCHNITT 6.4.7. 40 PRINT "WELCHES MODELL SOLL UNTERSUCHT WERDEN (EINGABE DER NUMMER)" 50 INPUT E 60 PRINT "LAUFZEIT DER RATENSCHULD IN JAHREN" 70 INPUT N 80 PRINT "NOMINELLER ZINSSATZ DER RATENSCHULD"

90 INPUT PsM=l:X=0:R=P 100 PRINT "GIBT ES IM MODELL UNTERJqHRIGE TL IL. INTERVALLE < J=JA ) 110 INPUT UNT«:IF UNT*0"J" THEN GOTO 140 120 PRINT "ANZAHL M DER UNTERJoHRIGEN TEILINTERVALLE" 130 INPUT M 140 PRINT "SOLL DER EFFEKTIVE REALZINSSATZ BERECHNET WERDEN " "

150 INPUT EF*

160 IF EF*="J" THEN GOTO 460 170 PRINT "REALER JAHRESZINSSATZ =" 180 INPUT PS 190 PRINT "SOLL DER KURS DER RATENSCHULD BERECHNET WERDEN 200

INPUT K*

"

210 220 230 240

IF K»"J" THEN GOTO 280 REM KURSBERECHNUNG DER RATENSCHULDPRINT "TILGUNGSAUFGELD IN '/." INPUT A 250 GOSUB 5B0

260 PRINT 270 PRINT "KURS = ";U;" •/." 280 PRINT "SOLL DAS TILGUNGSAUFGELD BEIM KURS lOO X BERECHNET WERDEN (J=JA)" 290 INPUT AUF» 300 IF AUF*"J" THEN END 310 REM TILGUNGSAUFGELD FÜR DEN KURS VON 10O •/.-

320 IF E=3 THEN X=PS 330 IF E=4 THEN X=PS-R 340 P=R»(l+CM-l)»PS/ 620 IF E >-P/PS

670 U-100»(AN*B/N+P/PS) 680 RETURN

Kapitel 6:

154

Kurs- und

Effektivzinsberechnung

b) Die Tilgungsaufgelder für einen Begebungskurs 100% erhält man für die in a) beschriebenen Modelle aus dem Programm als 1) « 4,683375%; 2) a 3,76943%; 3) a 2,32352%; 4) a 4,33953%; 5) « 4,257967%. =

= = = =

Beispiel 21: Eine Ratenschuld mit einer Laufzeit von 15 Jahren ist mit einem nominellen Jahreszinssatz von 5% ausgestattet. Der Auszahlungskurs sei 100%, das

Tilgungsaufgeld 8%.

a) Bei jährlicher Verzinsung und jährlicher Tilgung erhält man aus dem Programm den realen Jahreszinssatz

p'

=

5,88356%.

b) Bei monatlicher Tilgung und jährlicher anteilmäßiger Verzinsung liegt Fall vor

p'

=

©

mit

5,933731%.

c) Monatliche Tilgung und jährliche Verzinsung ohne Berücksichtigung der Unterjährigkeit der Tilgung liefert als Fall p' 6,215828%. Durch diese nicht korrekte Verzinsung wird ein Zinsvorteil von 0,282096 % erzielt. =

Annuitätenschulden Bei Annuitätenschulden (vgl. Abschnitt 4.3.) wird zu jedem Tilgungstermin die gleiche Annuität A für Zins und Tilgung gezahlt. Die nominelle Annuitätenschuld

6.5. Kurs und Effektivverzinsung

von

soll für die gesamte Laufzeit mit dem nominellen Zinssatz p verzinst werden. Eine Abweichung des nominellen vom realen Zinssatz wird durch den Kurs bzw. ein

Tilgungsaufgeld ausgeglichen.

6.5.1. Kurs einer jährlichen Annuitätenschuld ohne Aufgeld und ohne Rest Bei einer Laufzeit von genau n Jahren besitzen die n Annuitätenzahlungen der Höhe A bezüglich des nominellen Zinssatzes den Barwert

K

^ ^ vorgegebener

=

Knom

=

+

+

...

+

A

=

A._^

=

A.an;

q

=

1+

_P_.

(29)

Laufzeit n und Annuität A muß der Schuldner dieses Nominalkader während gesamten Laufzeit mit dem nominellen Jahreszinssatz p verzinpital Bei

sen.

Bezüglich des realen Zinssatzes p'

lautet der Barwert 1

Kapitel 6:

Kurs- und

Effektivzinsberechnung

155

Dieser Betrag wird dem Schuldner effektiv ausgezahlt, während Knom mit p % verzinst und getilgt werden muß. Als Kurs der mit dem Nominalzinssatz p ausgestatteten Annuitätenanleihe erhält man aus (29) und (30)

C

100—^

100—. a„ Zu diesem Kurs muss das mit p% =

(31)

=

Knom

verzinsende Nominalkapital Knom ausgezahlt C werden, damit das ausgezahlte Realkapital Kreil 100 K„on, mit den n Annuitätenzahlungen der Höhe A bis zur vollständigen Tilgung effektiv mit dem Realzinssatz p' % verzinst wird. Die jeweiligen Restschulden sind dann nach n Jahren getilgt. Für die Laufzeit n erhält man also zu

=

S„

=

S;

=

q°-1

Knomq"-A q-1

-=

A

Kre.,q' -

Damit

K

q'n -1 q' -1

0 mit q4

--=

0

=

mit 4 q'

p

1 + —;

=

100'

1 +

p' —.

100

gilt A a„;

Knoni

K'

•

—

—

A

Krca) —

•

aj,;

—

C =100—;

(32)

1

1-

_

l

i

*=1^t; K K' C

= =

=

n

=

A

=

q'=1

+

i^ö;

p'=Pre"

Knom mit dem nominellen Zinssatz p ausgestattete Annuitätenschuld Kreil Auszahlungsbetrag beim effektiven Zinssatz p' Kurs der Annuitenschuld Knom =

=

Laufzeit in Jahren Annuität

Bemerkung: Wählt man die Nominalschuld Knom 100 EUR, so sind dafür n Annu100 erbringen. Mit dieser speziellen Annuität itätenzahlungen der Höhe Ä =-zu a" =

lautet der Kurs

C = 100— a„

=

Äal

=

K'.

Der Kurs stimmt in diesem Fall mit dem Realkapital K' überein, also mit dem Barwert bzgl. des Realzinssatzes p' der n Annuitäten Ä, mit denen das Nominalka-

Kapitel 6:

156

pital Knom

=

100

getilgt wird.

Kurs- und

Es

Effektivansberechnung

gilt also

(32') Ä

=

C

=

n-malige Annuität (ohne Restannuität) für das Nominalkapital Knom Kurs Barwert der n Annuitäten Ä bzgl. des realen Zinssatzes p'

=

100

=

Beispiel 22: Eine Annuitätenschuld über 50000 EUR ist mit einem nominellen Jahreszinssatz von p 6% ausgestattet und in 15 konstanten Jahresannuitäten zu =

tilgen. a) Für die Zinsberechnung mit dem nominellen Zinssatz p und zur Berechnung der Annuität A wird die Nominalschuld Knom S 50000 EUR benutzt. Die Annuität erhält man aus (32) als =

A

=

Knom

50000

•

0,06

=-—

=

i_L_ 1,0615

a»

5148,14 EUR.

Die Restschuld nach 10 Jahren

S10

=

50000

•

=

l,06l° 5148,14

beträgt 1 0610 '

•

1

QQ6— 21685,81 EUR. =

-

-

b) Bei einem realen Jahreszinssatz von 6,22 % lautet der prozentuale Auszahlungskurs

^

1 ~

C0

1,062215

0,0622 9,574149 100-'—-= 100 n

=

1_

106^"

9'?12249

=

98,578088 %.

0,06 Das Darlehen wird mit

49289,04 EUR ausgezahlt. Falls dieser tatsächlich ausgezahlte Kreditbetrag mit p' 6,22% verzinst würde, erhält man mit der gleichen Annuität A 5148,14 EUR die Restschuld nach 15 Jahren =

=

S'15

=

49289,04 1.062215

5148,14

•

•

-

1 ' 062215 ^

1 —

0,05 EUR.

=

—

-

Die Abweichung von 0 ist auf Rundsfehler zurückzuführen. Die entsprechende Restschuld nach 10 Jahren lautet 1 062210 -1

S'10

=

49289,04 1,062210

5148,14

•

-

'

•

QQ622—

=

21556,63 EUR.

Dieser Betrag weicht von S10 ab. Innerhalb der Laufzeit kann die nominelle Restschuld Sk von der realen Restschuld Sk zwar abweichen. Am Ende der Laufzeit verschwinden jedoch beide.

Kapitel 6:

Kurs- und

Effektivzinsberechnung

157

c) Bei einem realen Jahreszinssatz von 5,8 % erhält man den prozentualen Ausgabekurs

co

1 05815 100-—-=

=

101,319864%

0,058 9,712249

und den gesamten

Auszahlungsbetrag 50659,93 EUR.

Beispiel 23: a) Bei einem Realzinssatz von 6,5 % soll eine zu 100% ausgezahlte Schuld über 100000 EUR in 15 gleichbleibenden nachschüssigen Jahresannuitäten zurückgezahlt werden. Dann lautet die Annuität nach A

(32)

0,065

100000-= 10635,28 EUR.

=

1_L_ 1,0651S

b) Nach

10 Jahren erhält man die Restschuld als Barwert der fünf restlichen Annuitäten bezüglich des Zinssatzes von 6,5% als 1 1

S10

10635,28

=

•

1,0655 '—

=

0,065

44196,81 EUR.

c) Nach 10 Jahren möchte der Schuldner das Restdarlehen vorzeitig ablösen. Da inzwischen der Zinssatz auf 6% gefallen ist, beträgt der Rückkaufpreis bezüglich des neuen realen Zinssatzes von p' 6 %. =

S

=

10635,28

1_J^ •

o

06^

=

44799'67 EUR"

Wegen der inzwischen erfolgten Zinssenkung ist dieser Betrag höher als die Restschuld S10. In diesem Fall lautet der Kurs C

=

100

44799 67 •

44196^

=

10U64031%-

Der gesamte Kurswert der Annuitätenschuld soll nun zerlegt werden in die beiden

Anteile, die auf die Tilgungsbeträge bzw. auf die Zinszahlungen zurückzuführen sind, als

JC_

=

_Ct_

+

Cz

gesamter

Kurswert der

Kurswert der

Kurswert

Tilgungsbeträge

Zinszahlungen

Bar- und Kurswert der reinen

Tilgungsbeträge

Nach (22) Abschnitt 4.3.1. lauten die reinen Tilgungsbeträge einer n-jährigen Annuitätenschuld bei einem nominalen Zinssatz p

Kapitel 6:

158

Tk

^r-qk, ^^TT Tilgungsbeträge

k

=

=

Kurs- und

Effektivzinsberechnung

l,2,...,n; Q

=

=

1+

^

-

können als nachschüssige geometrisch fortschreitende n Rente (s. Abschnitt 5.4.1.) aufgefasst werden. Bei einem Realzinssatz p' lautet der Rentenbarwert der Tilgungsbeträge

Diese

To

£

-

k=i

=

=

'

Tn+T

q

Q

1. Fall: p

Wegen q

=

~7k

£

k=i

() \q /

•

p'. q' erhält man hier

n-A _

2. Fall: p =1= p'. Wegen q + q' gilt in diesem Fall T>

1

q.

_____

=

A

1 q"

1 q-

•--—

q'-q

1

i_1_ =

100 A

P'-P

-

Cp der reinen Tilgungsbeträge bezüglich Knom erhält man aus

Den Kurswert

Cj

=

100

=

'

K„

100'

~~~—

Damit

gilt n-A

T0

für p

=

p';

für p *

p'.

=

1

1 a

•

q q q -q

—;-

100-

cT

Aa„

a„q 1

=

(33) r

100

J_ q"-^

a„

q'-q

=

p';

für p 4=

p';

fürp

q-l n

=

T0

=

Laufzeit in Jahren Barwert der n Tilgungsbeträge beim realen Zinssatz p'

Kapitel 6: Kurs- und Effektivzinsberechnung A

=

Cr

=

P

=

P'

=

159

jährliche Annuität Kurswert der n Tilgungsbeträge bzgl. Knom beim realen Zinssatz p' Pnom Pre.l

Bar- und Kurswert der reinen

Zinsbeträge

Den Barwert Z'0 der reinen Zinsbeträge erhält man durch Subtraktion des Barwertes der Tilgungsbeträge T0 vom Barwert Kreal der gesamten Annuitätenschuld, also aus

Z0

Kre4l T0 A aj, T'0. Der Kurswert Cz der reinen Zinsbeträge lautet dann

Cz

=

=

—

•

—

=

100

1. Fall: p

"

•

J^K„„m

=

=

100

A

•

a_

p'. Wegen

q-1

folgt aus (33)

Zi-A-a1-Ti Cz

=

=

A.(a,-^rj;

100

2. Fall: p *

p'. Nach (33) gilt 1

Z0

=

Aa;-T0

=

Aa;-A

1

q-q

Wegen

folgt hieraus q'an-qan-q'a; + a; + qan-an Z0 *

=

A-;q-q A(q-l)(an-a^ q'

q -

=

-

100p(an-a^ an(p'-p)

Ap(an-a;) p' p

•

Kurs- und

Kapitel 6:

160 Damit

gilt A- a,

Z0

=

A p

für p

qn+l

(a„ a^) P'-P

•

=

p';

für p 4=

p';

•

-

"('-JTF")

100

C7

Effektivzinsberechnung

=

(an a_) a„-(p'-p)

100 p •

=

p'; (34)

•

für p * p';

-

1

1

für p

1

1

-

a„

Z'0 Cz

= =

A

=

n

=

P

=

=

q'-l

q-1

Barwert der reinen Zinsbeträge Kurswert der reinen Zinsbeträge bzgl. jährliche nachschüssige Annuität Laufzeit in Jahren Pnom! P' Prcal

K„

=

Beispiel 24: Eine Annuitätenschuld soll nominell mit 5,5% verzinst und in 15 Jahren durch gleiche Jahresannuitäten getilgt werden. Der reale Jahreszinssatz sei 5,81%.

1 ~

a) Es gilt

1,05515

a15-^-= 10,03758094; 1

1 15 ais

=

1,058115

9,83396726. —tt^z--= 0,0581

b) Die Annuität für eine Nominalschuld Knom Ä

=

=

a15

=

100 EUR

beträgt nach (32')

9,96256 EUR.

—

c)

Der

Begebungskurs ist

C

100

=

=

•

a15

—

d)

Ä a'15

Den Kurswert der

100

•

=

97,971487%.

Tilgungsbeträge erhält man aus (33) als

1

1

1.05515

L058115

CTT =-:-= 61,981731 %. 0,0031 a15 Der Kurswert der Zinsbeträge lautet nach (34)

161

Effektivzinsberechnung

Kurs- und

Kapitel 6:

Cz^1005'^!15:^ =35,989755o/o. a15 P>81 3>->) Kontrolle: CT + Cz C '

—

(Abweichung von einer Einheit in Rundungsfehler). 5,5% ist der Begebungskurs =

e) Im Falle p'

=

p

=

C 100%. Der Kurswert der

der 6. Stelle als

=

Tilgungsbeträge lautet für p'

5,5 nach (33)

=

66,938396% 100-——rj a15 1,05515 und der Kurswert der Zinsbeträge Cz 100 CT 33,061604%.

CT

=

=

•

=

=

-

6.5.2. Kurs bei Jahresannuitäten mit Rest Bei einer A

=

vorgegebenen ganzzahligen

Laufzeit

n

folgt aus (32)

^= ^.

(35)

=

Damit lässt sich die Annuität A aus der Laufzeit und dem Kreditbetrag berechnen. Falls jedoch die nach (35) berechnete Annuität A abgerundet wird, ist das Darlehen nach n Jahren noch nicht vollständig getilgt. Im (n + l)-ten Jahr wird dann eine Restannuität fällig. Der gleiche Sachverhalt liegt vor, falls der Kreditbetrag und die Annuität fest vorgegegeben werden. Dann ist die nach (18), Abschnitt 4.3.1. berechnete Laufzeit i.a. nicht ganzzahlig. Mit dem ganzzahligen Anteil n lässt sich die Laufzeit darstellen in der Form

n

+q

=-^-:-'igq

mit 0

q

Nach dem letzten ganzen Jahr der Laufzeit

Sn

=

Knom q" A •

—

•

^Z_L q-1

=


200-:

,

C

=

98,313819%

Auszahlungsbetrag Kre>1

=

Cf

j~ Knora 107451,37 EUR. =

c) Bei monatlicher Zahlung von 1000 EUR unter Berücksichtigung der Unterjährigkeit der Tilgung beträgt das Nominalkapital

Knora

-

(1 + 20^2] +

'

Knom

=

112801,52 EUR.

11-7,84 200 12 •

Der Kurs ist

C„ =-^ 1+

Daraus 6.5.4.

C •

=

95,257637%.

200 -12

ergibt sich der Auszahlungsbetrag Kreal

=

107452,11 EUR.

Annuitätenzahlungen mit Tilgungsaufgeld

Für eine Annuitätenschuld sollen neben den laufenden Zins- und Tilgungsbeträgen vom Tilgungsbetrag an Gebühren gezahlt werden. Dieses Aufgeld sei bereits in der Annuität A* enthalten, es gelte also

jeweils a %

A*=^+^L+jkZ Tilgung Aufgeld Zinsen

=Z+T

(1+ioö)-

Kapitel 6: Kurs- und Effektivzinsberechnung

166

Die Annuität A* soll die Tilgungsaufgelder bereits enthalten. In Abschnitt 4.3.7. wurde gezeigt, dass zu einer vorgegebenen Laufzeit n diese Annuität A* berechnet werden kann mit den Hilfsgrößen nominelles

11

Ersatzkapital K*om

nomineller Ersatzzinssatz

p*

=

Knom

•

(1

+

=

Restschuldberechnung wurde in Abschnitt 4.3.7. die Ausgangsschuld unter Berücksichtigung der Tilgungsgebühren benutzt. Da die Tilgungsaufgelder jedoch auch Zahlungsverpflichtungen darstellen, kann zur Kursberechnung unmittelbar das Ersatzkapital KJom mit dem zugehörigen Ersatzzinssatz verwendet werden. Zur

Tilgungsaufgelder bei jährlichen Annuitätenzahlungen ohne Restannuität Falls die Schuld einschließlich des Tilgungsaufgelds durch genau n Annuitäten zurückgezahlt sein soll, lautet die Annuität nach (37), Abschnitt 4.3.7. 6.5.4.1.

(* .,Kt5.Kaj a?

+

^)

1

1 -

^lq._,+ 100'

a:

=

q*-l Bezüglich des realen Zinssatzes p' besitzen die n Annuitätenzahlungen der Höhe A*

den Barwert K'

Kreal

Hieraus

C,

=

A*

•

a;

-

Knom

•

-

-

ergibt sich der Kurs

100

Damit

Kri K„

=

100-

gilt

A*

=

C.

=

Knom(l+7^) (100 + 061„

8 a21 + •

=

von

=

93,9457%.

c) Ohne Tilgungsaufgeld erhält man die Laufzeit bei gleicher Annuitätenzahlung aus

(36)

n

+q

/

0,05 100\

-H1—H lg ,

=

Die Restannuität

am

Ä21 1,0521 (100 =

=

6.5.4.3.

8 a20 + •

20,103 Jahre.

Ende des 21. Jahres lautet nach 8

•

-

•

a20)

(39) liefert den Kurs ohne C

=

1,05

°1'8046212 415

=

=

(37)

0,842245.

Tilgungsaufgeld als 91,2620%.

Tilgungsaufgelder bei beliebigen Annuitätenschulden

Auf Grund der Überlegungen in Abschnitt 6.5.4.2. erhält man den Kurs einer beliebigen Annuitätenschuld mit

8)

a10

=

=

^

d

=

=

£

ak

•

=

=

21161,36 EUR. 213 964,90 EUR.

19451,36 EUR.

=

2500 EUR;

10

A=

(minimal). •

Restwert nach 9 Jahren:

d

9

500000 0,918 0,09 R9 500 000 0,919

b) Abschreibung im 9. Jahr: c)

=

=

d-(l + 2 +

...

+

10)

2500 10 11 =-=

2

137500EUR.

Abschnitt 3.6 1) a) 122500EUR; b) 124618.19EUR; c) 125075.05EUR; d) 125232,27EUR. e) in c) peff 4,576509%; in d) peff 4,602786%. 2) 27 957 EUR. 3) a) K14 25000 1,055 1,065 1,07* 55969,44 EUR. =

=

=

•

•

•

=

14 =

a)

(1

+

ioö7

=3; p

b)

(i + J^)90

c)

e loo

30 p

=

3; p

=

55969,44; p'

=

3; p

100

=

•

—

=

5,925563 %.

3>729920%; =

ln3

3,684483 %; =

3,662041%.

198

Lösungen der Aufgaben

5) a) 1,052°

=

b) l,0262n c)

1,5;

=

=

lg 1,052

t =-In

5,2

y^

=

n

p

6,500484%.

=

=

15;

41,73 EUR.

=

^1 -r^j

c) 14,60

7,797 Jahre.

=

14,60 EUR.

=

7^

1,5

38,88;

=

Restliche Laufzeit 100

^

7,898 Jahre.

=

100

100

7) a) K0

lel 5 -=-2-= 7,999 Jahre.

=

n

-—100

=

b)

n

=1,5;

e loo

6) K0

1,5;

=41,73;

+

p

=

11,0733%.

8) a) 154846,01 EUR; b) 148890,39EUR. 9) a) 2991,69 EUR; b) 3141,27 EUR. / 0,06 60000\ + gl 6000 1,06 —i—'10) a) n _i 7,698; n 8 Jahre (aufgerundet). Q6 -

j

•

Kg

=

•

n)

E

8,066;

'

n

=

9 Jahre

(aufgerundet).

68 947,90 EUR. 1

10000 0,05

=

)

6000

—

lg 1,06 =

=

62947,90 EUR. i,06 60000\

lg|l + K9

=

1-iTT

058

84'97 EUR pro Monat-

=

12+löö"

~

12) Anzahl der Zinsperioden: n 10 4 40 Vierteljahre. Unterjährige Einzahlung mit m 3 2 6. 7 1 25T 1 012540 1 T + 62238 EUR. a) K40 200 =

E

=

=

•

[6 -^-\

-

b) p'

=

•

=

—

effektiver Jahreszinssatz; q'

=

1 +

-

P'

^

1) 4687,60 EUR pro Jahr. „„-~ q' (q'l° 1) r 13 4~i 1 04" 1 > 12 =

62238 (q'

=

-

,

•

,

-

•

13)

200 n

_%

Ku

=

|_

+

'

200

——

J

10,98; Lösung n =

33000;

•

—

,

0,04

=

33068,53 EUR.

_

11 Jahre

(aufgerundet).

1,0125*

=

1,050945.

Lösungen der Aufgaben

14) a) K10

12000

=

1,0610

•

1 =

—

158169,54 EUR;

—

b) 1,06 K10

167659,71 EUR;

=

•

c)

(l

13 6 > + 200 12;

z^1^)

K1o

=

163310,05EUR;

d)

(1 250-12-)

^o

=

162519,20 EUR.

-

•

+

15) a) 2702,73 EUR pro Jahr (vorschüssig); b) 2878,41 EUR pro Jahr (nachschüssig); 2878,41 c) e' 231,71 EUR pro Monat (vorschüssig); =-=

13-6,5

12H-— 200

d)

2878,41

=-=

e

232,93 EUR pro Monat (nachschüssig).

200

16) Das BASIC-Programm ZINSEN liefert folgende Werte: a) p 6,153923%; b) p 6,483599%; c) p 6,548149%. =

=

=

Abschnitt 4.9 1) a) Zinsen für das n-te Jahr: Zn

Z10 b)

Z

=

=

1650EUR; Z15

0,06

21 •

—

•

50000

=

120 Monate.

a) a) Z120

=

60 000

ß)

Z

=

0,006

™

=

60000

=

•

1

n-l

20

900EUR; Z2O=150EUR.

0,006

=

500 0,006 •

=

3 EUR.

-

60000

•

b) Jährliche Tilgung a) 2120

^1

/ •

31500 EUR.

=

2) Laufzeit N

•

=

3000

=

21780 EUR.

=

6000 EUR; N

^1 yj^

•

0,006

=

=

10 Jahre, 36

EUR;

-

ß) 2

=

12 0,006

60000

•

2

=

23760 EUR.

—

12

p —f 100

•

11 2

—

•

60000

=

21780;

p

=

0,55%

pro Monat.

Lösungen der Aufgaben

200

3) Jahr

Ausgangs-

Zinsen

20000 18000 16000 14000 12000 10000 8000 6000 4000 2000

1400 1260 1120 980 840 700 560 420 280 140

Summe

7700

1 2 3 4 5 6 7

8 9 10

schuld

Tilgungsaufgeld