Finanzmathematik [Reprint 2018 ed.] 9783486795127, 9783486244656

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Bücher von Herrn Univ.-Prof. Dr. Günter Altrogge im Oldenbourg Verlag: Altrogge, Investition, 4. Auflage Altrogge, Netzplantechnik, 3. Auflage Altrogge, Finanzmathematik

Finanzmathematik Von Universitätsprofessor

Dr. Günter Altrogge

R. Oldenbourg Verlag München Wien

Für Kumpelchen

Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Altrogge, Günter: Finanzmathematik / von Günter Altrogge. - München ; Wien : Oldenbourg, 1999 ISBN 3 - 4 8 6 - 2 4 4 6 5 - 5

© 1999 R. O l d e n b o u r g Verlag Rosenheimer Straße 145, D-81671 München Telefon: (089) 45051-0, Internet: http://www.oldenbourg.de Das Werk einschließlich aller Abbildungen ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb d e r Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen. Gedruckt auf säure- und chlorfreiem Papier Gesamtherstellung: R. O l d e n b o u r g Graphische Betriebe GmbH, M ü n c h e n ISBN 3 - 4 8 6 - 2 4 4 6 5 - 5

Inhaltsverzeichnis 1. Zinsrechnung

1

1.1. Zinsen und Bezugszeitraum

1

1.2. Einfache Zinsen

4

1.3. Zinseszinsen bei jährlicher Zinszuschreibung

20

1.4. Unterjährige Verzinsung und konforme Zinssätze

28

1.5. Gemischte Zinsrechnung

42

1.6. Äquivalenz in Zahlungen

56

2. Rentenrechnung

73

2.1. Renten

73

2.2. Nachschüssige gleichbleibende Jahresrente

75

2.3. Vorschüssige gleichbleibende Jahresrente

89

2.4. Unterjährige gleichbleibende Rentenzahlungen

96

2.5. Geometrisch veränderliche Rente

112

2.6. Arithmetisch veränderliche Rente

124

3. Tilgungsrechnung

139

3.1. Schuld und Tilgung

139

3.2. Ratentilgung

143

3.3. Annuitätentilgung

154

3.4. Kontoflihrungsmodelle der Tilgungs- und Zinsverrechnung

166

4. Renditerechnung

177

4.1. Kurse und Renditen bei Finanzprodukten bzw. Finanzanlagen

177

4.2. Bewertung von gesamtfälligen Anleihen

194

4.3 Bewertung von Ratenanleihen

204

4.4 Bewertung von Annuitätenschulden

210

Symbolverzeichnis

216

Literaturverzeichnis

218

Schlagwortverzeichnis

219

1. Zinsrechnung

1.1. Zinsen und

Bezugszeitraum

Zinsen stellen das Entgelt dar für die zeitweilige Überlassung von Kapital. Der Gläubiger ist Kapitalgeber, der Schuldner ist Kapitalnehmer. Das Geschäft der Banken ist hier beidseitig, sie sind Intermediäre zwischen Kapitalanlegern und Kreditnehmern. Banken vergüten ihren Einlagekunden Habenzinsen auf deren Einlagen etwa auf einem Sparbuch und bisweilen auch auf Girokonten. Sie berechnen ihren Kreditkunden Sollzinsen für ausgereichte Kredite etwa als Konsumentenkredite oder als Dispositionskredite bei sogenannter geduldeter Kontoüberziehung. Die Höhe der Zinsen Z berechnet sich aus dem überlassenen Kapital K, dem Zinssatz i und der Laufzeit n. Genau sei die folgende Symbolik festgelegt: Z

Zinsen

K0

Anfangskapital

K

Endkapital

i

Zinssatz

n

Laufzeit

Zinsen, Anfangs- und Endkapital werden in einer einheitlichen Währung dargestellt, also etwa in US-Dollar, Kanada-Dollar, Deutscher Mark D M oder Euro. Der Zinssatz wird üblicherweise in % angegeben und auf das Jahr bezogen wie etwa 4 % oder genauer 4% p. a. Die PAngV geht sogar so weit, daß sie die Bezeichnung "effektiver Jahreszins" für die Preisangabe vorschreibt. Die Finanzmathematik arbeitet aber auch mit Zinssätzen für andere Bezugszeiträume wie Monat, Tag oder gar den Moment. Hierbei spricht man von unterjährigen oder unterjährlichen Zinsen Dies geschieht aber mehr intern bei Ausweis des Jahreszinssatzes nach außen. Der Bezug auf das Jahr erfolgt nicht zuletzt aus Gründen der Vergleichbarkeit. Es ist in der Finanzmathematik offenbar unumgänglich, auf einen Zusammenhang zwischen einem Prozentzinssatz p und dem Zinssatz i hinzuweisen, dies sogar teilweise durch das gesamte Formelwerk hindurchzuziehen. Dem Prozentzinssatz p = 4 entspricht der Zinssatz i = 4%. Dies soll folgende Formel darstellen, sie ist fast überall zu finden:

2

Kapitel 1. Zinsrechnung

100

(1.1)

Die Laufzeit etwa bei Anleihen oder Krediten bis zur Tilgung wird üblicherweise in Jahren gemessen. Es kommen aber auch andere Zeitbezüge vor wie Halbjahre (= Semester), Quartale, Monate oder gar Tage. Monate haben unterschiedliche Dauern zwischen 28 Tagen und 31 Tagen; ähnlich ist es mit Quartalen, Halbjahren und gar Jahren mit Schaltjahren. Hier werden Standards vereinbart wie etwa als deutsche Methode der Monat generell zu 30 Tagen und folglich das Quartal zu 90 Tagen, das Halbjahr zu 180 Tagen und das Jahr zu 360 Tagen. Ebenso in Jahren, Halbjahren, Monaten und Tagen werden Zinsperioden definiert meistens bei strukturierten Zahlungen wie monatlichen Ratenzahlungen bei Konsumentenkrediten oder halbjährlichen Zinszahlungen bei Anleihen. Zinsperioden sind diejenigen Zeiträume, fiir die Zinsen oder Zinszahlen berechnet werden. Sie sind so definiert, daß innerhalb dieser Zeiträume weder Zahlungen erfolgen noch Zinsberechnungen. Die für die Zinsperiode berechneten Zinsen werden entweder direkt auf dem Konto verrechnet oder auf Nebenkonten quasi auf Lager gelegt. So bestimmt etwa § 608 BGB im wesentlichen, daß Zinsen erst "nach dem Ablaufe j e eines Jahres" zu entrichten sind. Zinsperioden spielen eine herausragende Rolle bei sogenannten Kontoführungsmodellen für strukturierte Zahlungen, wie etwa bei den berühmten Hypothekenurteilen des BGH vom 24. November 1988 bzw. der damals erforderlichen Neuberechnung der Kontenstände. Solche Kontofiihrungsmodelle werden im Bankenbereich auch als Staffelrechnungen bezeichnet. Sie spielten eine bedeutende Rolle bei den Diskussionen um den Ersatz der Uniformmethode für Ratenkredite durch die Methode nach PAngV, welche ihrerseits pikanterweise nach der EU-Vereinheitlichung wohl nicht mehr zulässig ist, in Deutschland aber weiterhin offenbar die Regel ist. Es genügt bei den Zinsrechnungen nun nicht, einfach von Jahren zu sprechen oder von Zinsperioden anderer Länge. Sehr deutlich ist zu unterscheiden zwischen Kalenderjahren einerseits und relativen Jahren oder Zeiträumen andererseits, welche irgendwann an eigentlich jedem Zeitpunkt beginnen können entweder als freie Vereinbarung der Vertragspartner oder als Vorgabe beispielsweise des Emittenten einer Anleihe. Typische Beispiele für kalenderzeitbezogene Kontoführungen sind das Sparbuch oder der Hypothekarkredit. Bei solchen wird in Zinsberechnungen konsequent auf das Kalenderjahr abgestellt oder auf Zinsperioden, die kalenderbezogen definiert sind. Die Zahlungsreihe wird quasi mit Gewalt in

1.1. Zinsen und Bezugszeitraum

3

das K a l e n d e r j a h r hineingepreßt. Offensichtlich ergeben sich dann n o r m a lerweise s o g e n a n n t e g e b r o c h e n e Z i n s p e r i o d e n sowohl v o r wie auch nach den g a n z e n Kalenderjahren. Deren f i n a n z m a t h e m a t i s c h e B e h a n d l u n g ist schwierig u n d insbesondere umstritten. Beispiele f ü r relative Zeitrechnung sind e t w a ein Ratenkredit o d e r eine A n leihe. Ein B a n k k u n d e nimmt einen solchen Kundenkredit zu einem ihm g e n e h m e n Z e i t p u n k t auf, ebenso begibt etwa die B u n d e s r e p u b l i k D e u t s c h l a n d eine B u n d e s a n l e i h e zu einem von ihr bestimmten Zeitpunkt, im ü b r i g e n auch zu e i n e m fein abgestimmten Emissionskurs. Z i n s z a h l u n g e n a u f A n leihen e r f o l g e n regelmäßig zu bestimmten Kalenderdaten, etwa bei h a l b j ä h rigen Z a h l u n g e n zum 7. April und zum 7. Oktober. Dabei erfolgt die - hier als e n d f ä l l i g unterstellte - Tilgung regelmäßig zu einem solchen Z i n s t e r m i n , bei d e r E m i s s i o n sind d u r c h a u s A b w e i c h u n g e n von solchen Daten zu b e o b achten. W i e i m m e r sind solche Z e i t b e z ü g e auch vermischt anzutreffen, und d a s durchaus h ä u f i g . E s geht um relative Jahre und e n t s p r e c h e n d e Z i n s p e r i o d e n , d e n e n absolute in Kalenderjahren oder ihren Teilen g e g e n ü b e r s t e h e n . K a l e n d e r b e z o g e n werden in diesem Z u s a m m e n h a n g immer w i e d e r Steuerzahl u n g e n g e n a n n t . Z w e i f e l s o h n e erfolgen Steuerfestsetzungen r e g e l m ä ß i g mit B e z u g a u f das Kalenderjahr. Die Z a h l u n g e n ( d a r a u f k o m m t es bei f i n a n z m a t h e m a t i s c h e n Beurteilungen an), Vorauszahlungen und N a c h z a h l u n g e n erf o l g e n zu sehr differenzierten Zeitpunkten.

Beispiel 1.1: Die Verzinsungssystematik des S p a r b u c h e s ist auf d a s K a l e n d e r j a h r ausgerichtet, an dessen Ende w e r d e n Z i n s e n z u g e s c h r i e ben. Auf welchen B e t r a g ist eine zu A n f a n g des K a l e n d e r j a h r e s g e t ä tigte Einlage von 10.000 D M bis z u m Ende des K a l e n d e r j a h r e s a n g e w a c h s e n , w e n n durchgehend 4 % Zinsen gezahlt w e r d e n ? Auf w e l c h e n B e t r a g ist diese j e t z t zur Mitte des Kalenderjahres getätigte E i n l a g e n a c h Jahresfrist a n g e w a c h s e n ? W i e kann man den Z i n s e s z i n s e f f e k t auch bei Einlage zu K a l e n d e r j a h r e s b e g i n n realisieren? W i e e r g ä b e sich so ein M a x i m u m an Endkapital nach E n d e des K a l e n d e r j a h r e s ? B a n k ü b l i c h e Besonderheiten in Wertstellungen o d e r NichtVerzinsung von P f e n n i g b e t r ä g e n sollen keine Rolle spielen. E b e n s o sollen k e i n e K o s t e n f ü r K o n t o f ü h r u n g , K o n t o e r ö f f n u n g etc. anfallen. (Die T h e o r i e zu d e n komplizierteren Fragen folgt später.)

4

Kapitel 1. Zinsrechnung

Lösung: Die Einlage von 10.000 DM zu Beginn des Kalenderjahres erbringt im Laufe dieses Kalenderjahres bei 4% genau 400 DM an Zinsen, zu Jahresende sind damit 10.400 DM verfügbar. Werden 10.000 DM zur Mitte des Kalenderjahres auf das Sparbuch eingezahlt, ergeben sich für das restliche Kalenderjahr die Hälfte von 400 DM an Zinsen, welche zugeschrieben werden zum Jahresendbetrag von 10.200 DM. Im zweiten Halbjahr der Anlage werden an Zinsen die Hälfte von 4% darauf vergütet, das sind 204 DM. Insgesamt sind zur Mitte des zweiten Kalenderjahres 10.204 DM bei Abschluß des Sparbuches verfügbar. Die Mitte des Kalenderjahres ist im übrigen der optimale Anlagezeitpunkt, will man über genau ein relatives Jahr das Maximum an Endergebnis erzielen. Den skizzierten Zinseszinseffekt mit dem Endbetrag von 10.404 DM kann man offenbar auch bei Anlage in genau einem Kalenderjahr dadurch erzielen, daß man das Sparbuch genau in der Mitte des Jahres ablöst und den erzielten Betrag sofort auch ein neu errichtetes Sparbuch einzahlt. Dieser Verzinsung von Zinsen über quasi künstlich hergestellte Gutschriften steht natürlich die Bankenpraxis entgegen, die solche Transaktionen eben doch nicht kostenlos macht. Dieser künstliche Zinseszinseffekt des Sparbuches läßt sich - falls eben keine Kosten anfallen - noch verbessern etwa durch monatliches "erneuern" des Sparbuches mit jeweiliger Zinszuschreibung. Der Endbetrag zu Jahresende beträgt dann 10.407,42 DM. Bei tagtäglicher "Erneuerung" über 365 Tage im Jahr werden es zum Schluß 10.408,08 DM. Im theoretischen Extrem der permanenten "Erneuerung" sind es letztendlich 10.408,11 DM.

1.2. Einfache

Zinsen

Einfache Zinsen werden etwa von Gerichten in Zivilstreitigkeiten oder von Finanzämtern festgesetzt, können auch von Kaufleuten untereinander gefordert werden. Im folgenden sind einige gesetzliche Vorschriften über einfache Zinsen und Höhe eines Zinssatzes wiedergegeben, zudem der vielzitierte § 608 BGB zur Zinszuschreibung. Interessant ist die Steigerung eines vorgegebenen Zinssatzes von 4% im BGB über 5% nach HGB bis zu 6% nach AO. Zumindest im BGB und im HGB sind Zinsen von Zinsen ausdrücklich untersagt.

1.2. Einfache Zinsen

§ 246 BGB

5

Gesetzlicher Zinssatz

Ist eine Schuld nach Gesetz oder Rechtsgeschäft zu verzinsen, so sind vier vom Hundert für das Jahr zu entrichten, sofern nicht ein anderes bestimmt ist. § 248 BGB

Zinseszinsen

(1) Eine im voraus getroffene Vereinbarung, daß fällige Zinsen wieder Zinsen tragen sollen, ist nichtig. (2) ... § 608 BGB

Fälligkeit der Zinsen

Sind für ein Darlehen Zinsen bedungen, so sind sie, sofern nicht ein anderes bestimmt ist, nach dem Ablaufe j e eines Jahres und, wenn das Darlehen vor dem Ablauf eines Jahres zurückzuerstatten ist, bei der Rückerstattung zu entrichten. § 3 5 2 H G B Gesetzlicher Zinssatz (1) Die Höhe der gesetzlichen Zinsen mit Einschluß der Verzugszinsen, ist bei beiderseitigen Handelsgeschäften fünf vom Hundert für das Jahr. Das gleiche gilt, wenn für eine Schuld aus einem solchen Handelsgeschäfte Zinsen ohne Bestimmung des Zinsfüßes versprochen sind. (2) Ist in diesem Gesetzesbuche die Verpflichtung zur Zahlung von Zinsen ohne Bestimmung der Höhe angesprochen, so sind darunter Zinsen zu fünf vom Hundert für das Jahr zu verstehen. § 3 5 3 H G B Fälligkeitszinsen Kaufleute untereinander sind berechtigt, für ihre Forderungen aus beiderseitigen Handelsgeschäften vom Tage der Fälligkeit an Zinsen zu fordern. Zinsen von Zinsen können auf Grund dieser Vorschrift nicht gefordert werden. § 2 3 3 a AO

Verzinsung von Steuernachforderungen und Steuererstattungen

( 1 ) Führt die Festsetzung der Einkommen-, Körperschaft-, Vermögen-, Umsatz- oder Gewerbesteuer zu einer Steuernachforderung oder Steuererstattung, ist diese nach Maßgabe der folgenden Absätze zu verzinsen. Dies gilt nicht für die Festsetzung von Vorauszahlungen und Steuerabzugsbeträgen. ( 2 ) Der Zinslauf beginnt 15 Monate nach Ablauf des Kalenderjahrs, in dem die Steuer entstanden ist. Er beginnt für die Einkommen- und Körper-

6

Kapitel 1. Zinsrechnung

schaftsteuer 21 Monate nach diesem Zeitpunkt, wenn die Einkünfte aus Land- und Forstwirtschaft bei der erstmaligen Steuerfestsetzung die anderen Einkünfte überwiegen. Er endet mit Ablauf des Tages, an dem die Steuerfestsetzung wirksam wird, spätestens vier Jahre nach seinem Beginn. (3)... § 234 A O

Stundungszinsen

(1) Für die Dauer einer gewährten Stundung von Ansprüchen aus dem Steuerschuldverhältnis werden Zinsen erhoben. ... § 235 A O

Verzinsung von hinterzogenen Steuern

(1) Hinterzogene Steuern sind zu verzinsen. ... § 238 A O

Höhe und Berechnung der Zinsen

(1) Die Zinsen betragen für jeden Monat einhalb vom Hundert. Sie sind von dem Tag an, an dem der Zinslauf beginnt, nur für volle Monate zu zahlen; angefangene Monate bleiben außer Ansatz. (2) Für die Berechnung der Zinsen wird der zu verzinsende Betrag jeder Steuerart auf volle hundert Deutsche Mark nach unten abgerundet.

Die Zinsen Z sind proportional der Höhe des überlassenen Kapitals K und der Laufzeit n. Mit dem Zinssatz i ergeben sich die Zinsen nach Z =K i n

(1.2)

Das Endkapital ergibt sich als Summe aus Anfangskapital und Zinsen. Verdeutlicht man das Anfangskapital durch seinen Index, so ergibt sich das Endkapital nach der folgenden Beziehung: Kn=K0{l

+ i-n)

(1.3)

Beispiel 1.2: A leiht B 1.000 D M für 5 Jahre bei Vereinbarung von einfachen Zinsen in Höhe von 8% und Zahlung der Zinsen nach den 5 Jahren. Wie hoch sind die jährlichen Zinsen, wie hoch sind die insgesamten zu zahlenden Zinsen, welchen Betrag bekommt A nach den 5 Jahren zurück?

1.2. Einfache Zinsen

7

Lösung: Die jährlichen Zinsen mit 8% von 1.000 D M betragen 80 D M , das sind zusammen über 5 Jahre 400 DM. Nach 5 Jahren wird A 1.400 DM zurückbekommen. Entsprechend (1.3) folgt dieses Ergebnis aus K s = 1,000DM(l + 8% • 5) = 1 000DM • 1,4 = 1 400DM

Beispiel 1.3: V leiht L 2.000 D M für 3 Jahre und 5 Monate bei Vereinbarung von einfachen Zinsen in Höhe von 9% und Zahlung der Zinsen nach den 3 Jahren und 5 Monaten. Wie hoch sind die jährlichen Zinsen, wie hoch sind die insgesamten zu zahlenden Zinsen, welchen Betrag bekommt A nach den 3 Jahren und 5 Monaten zurück? Lösung: Die jährlichen Zinsen mit 9% von 1.000 D M betragen 90 DM, das sind zusammen über 3 Jahre und 5 Monate = 3,4167 Jahre 307,50 DM. Nach diesen 3 5/12 Jahren wird A 1.307,50 D M zurückbekommen. Gemäß (1.3) folgt dieses Ergebnis aus K n = 1 000DM(l + 9% • 3,4167) = 1 000DM • 1,3075 = 1 307,50DM

An der Gleichung ( 1 3 ) werden die "vier Fragestellungen der Zinsrechnung" 1 deutlich, wie sie prinzipiell für die gesamte Zinsrechnung gelten. E s wird wohl der häufigere Fall sein, daß bei Kapitalhingabe die zu zahlenden Zinsen interessieren und damit auch der final zu zahlende Gesamtbetrag, so ist (1.3) konditioniert. Gleichung (1.3) hat 4 Parameter, auch nach den anderen wird gefragt. So kann die Frage lauten nach dem Kapitaleinsatz jetzt zur Erzielung eines bestimmten Endbetrages nach n Jahren, so kann nach einem (kritischen) Zinssatz i gefragt werden bei vorgegebenen Kapitalbeträgen anfangs und final bei vorgegebener Laufzeit, so kann nach einer notwendigen Laufzeit bei ansonsten vorgegebenen Konditionen gefragt sein. Die entsprechenden Formeln ergeben sich einfach aus (1.3) zu (1.4)

1

Kruschwitz, Finanzmathematik, 1996, S. 4

Kapitel 1. Zinsrechnung

8

i =

{KJK0-\)!n

n = {KJK0-

1)//

(1.5)

(1.6)

Beispiel 1.4: Welcher Zinssatz ist erforderlich, damit ein Anfangskapital von 10.000 D M bei einfachen Zinsen über 4 Jahre auf das Endkapital von 11.500 D M anwächst? Lösung: Nach (1.5) ergibt sich der geforderte Zinssatz zu / = (l 1,500DM /10.000DM - 1 ) / 4 = (l,l 5 - 1 ) / 4 = 0,15 / 4 = 3,75%

Beispiel 1.5: Ein Wechsel über 60.000 D M wird in 2 1/2 Jahren fällig. Er soll jetzt übertragen werden nach (bei Banken unüblicher, sogenannter amtlichen) Diskontierung gemäß (1.6) mit dem Zinssatz von 8%. Welchen Wert hat der Wechsel heute? Lösung: Unter Anwendung von (1.4) berechnet sich der Wert zu K0 = 60.000DM(l + 8% • 2,5) = 60.000DM /1,2 = 50.000DM

Exkurs: Vorschüssiger Jahreszinssatz "Als Bezugsgröße des Zinssatzes verwendet man das dem Geschäft zugrunde liegende Kapital." 2 Dieses ist praktisch fast immer das Anfangskapital, aber theoretisch - und bisweilen praktisch etwa bei der Diskontierung von Wechseln - kann man den Zinssatz auch auf das Endkapital beziehen, die Summe aus Anfangskapital und Zinsen. Mit einem solchen vorschüssiger Zinssatz i v o r ergeben sich für die Zinsen und das Anfangskapital die Relationen zum Endkapital:

2

Kruschwitz, Finanzmathematik, 1996, S. 3

9

1.2. Einfache Zinsen

Z = Knivorn

(1.7)

K0={\-r°'-n)Kn

(1.8)

Die Zinsen in Bezug zum Anfangskapital werden: • vor

i -n Z = K0 — r °1 -r -n

(1.9)}

Aus (1.8) und (1.4) ergibt sich die Relation von i v o r zu dem üblichen (nachschüssigen) Zinssatz i zu:

\+i-n

(1.10)

Der vorschüssige Zinssatz i vor ist offensichtlich kleiner als der übliche (nachschüssige) Zinssatz i, theoretisch unter der wohl immer erfüllten Bedingung positiver Werte für Zinssatz i und Laufzeit n. Der Wert von i v o r wird in Relation zu i umso kleiner, je größer die Laufzeit n ist. Dies umgekehrt bedeutet, daß der übliche (nachschüssige) Zinssatz i vergleichsweise immer größer wird, je größer der Wert von n ist.

Beispiel 1.6: A leiht B 1.000 DM für ein Jahr bei Vereinbarung von einfachen vorschüssigen Zinsen in Höhe von 11%. Wie hoch sind die zu zahlenden Zinsen, welchen Betrag bekommt A nach dem Jahre zurück? Wie hoch ist der entsprechende nachschüssige Zinssatz? Lösung: Mit n = 1 ergeben sich die zu zahlenden Zinsen gemäß (1.9) zu Z = 1,000DM • 8% /(l - 8%) = 86,96DM Insgesamt bekommt A nach dem Jahr den Betrag von 1.086,96 D M zurück. Das entspricht für diesen Fall offensichtlich einem nachschüssigen Zinssatz von 8,696%.

Beispiel 1.7: R erhält eine Rechnung über 5.010 DM mit der Skontoformel: zahlbar in 30 Tagen netto oder mit 2% Skonto innerhalb von

10

Kapitel 1. Zinsrechnung

10 Tagen. Wie hoch ist der nach 10 Tagen zu zahlende Betrag? Wie hoch ist der vorschüssige Jahreszinssatz, wie hoch ist der nachschüssige Jahreszinssatz? Lösung: Der nach der Skontoformel spätestens nach 10 Tagen zu zahlende Betrag macht 98% von 5.010 DM aus, also 4.909,80 DM. Der vorschüssige Zinssatz auf 20 Tage beträgt (5.010DM - 4.909,80DM)/ 5.010DM = 100,20DM / 5.010DM = 2% Das ist der vorgegebene %-Satz. Der nachschüssige Zinssatz auf 20 Tage beträgt (5.010DM-4.909,80DM)/4.909,80DM = 100,20DM/4.909,80DM = 2,0408% Daraus läßt sich der nachschüssige Jahreszinssatz einfach berechnen durch Multiplikation mit 360/20 = 18 zu i = 36,7347%. Dann ergibt sich nach (1.10) wieder der vorschüssige Jahreszinssatz von ivor = / / (1 + / / 1 8 ) = 3 6 %

Das sind genau die vorgegebenen 2% auf 20 Tage.

Anmerkungen zu solchen Rechnungen und diesen erfreulichen Zinssätzen des Geldsparens sind unerläßlich, obschon die Rechnungen zweifelsohne fehlerfrei sind. In der Praxis ist der unterstellte Zeitraum von 20 Tagen wenig relevant. Es ist durchaus üblich und wird akzeptiert, das das Skonto auch noch bei Zahlungen nach 15 oder 20 Tagen abgezogen wird. Bei Behörden ist es durchaus üblich und gar Vorschrift, generell ein von Behörden vorgegebenes Skonto abzuziehen auch ohne Skontoformel auf der Rechnung und auch bei mancher Langsamkeit von Behörden. Was soll der Lieferant machen bei einer solchen Skonto-Verrechnung, die er in keiner Weise eingeräumt hat? Zum zweiten ist die Begleichung der Rechnung netto Kasse nach 30 Tagen in keiner Weise sicher. Was soll denn der Lieferant nun machen, wenn er den Rechnungsbetrag etwa erst nach 6 Monaten erhält, in Hoffnung für ihn dann nicht mehr mit Skontoabzug. Klagen mögen in allen

1.2. Einfache Zinsen

11

Fällen erfolgversprechend sein, Anschlußaufträge sind wahrscheinlich in den Kamin zu schreiben.

Beispiel 1.8: Ein Wechsel über 60.000 DM wird in 2 1/2 Jahren fällig. Eine Bank kauft ihn jetzt im Rahmen ihrer Kreditgeschäfte mit einem Diskontierungssatz von 8% bei üblicher Verrechnung vorschüssiger Zinsen. Welchen Betrag schreibt die Bank dem Einreicher gut? Irgendwelche Gebühren und Steuern sollen hier unberücksichtigt bleiben. Lösung: Die Zinsen errechnen sich einfach gemäß (1.9) mit 8% über 2,5 Jahre auf den Betrag von 60.000 DM, das macht 12.000 DM an Zinsen. Dem Bankkunden werden folglich 48.000 gutgeschrieben. Das sind 2.000 DM weniger gegenüber dem vergleichbaren Fall des Beispiels 1.5 mit 8% nachschüssigen Zinsen.

Gerade bei einfachen Zinsen ist es unproblematisch, die Laufzeit auch in Monaten M oder Tagen T auszudrücken. Dies wird erforderlich, wenn die Laufzeit nicht in ganzzahligen Jahren ausgedrückt werden kann. Dabei kann ein Runden auf volle Monate gefordert werden, wie es etwa § 238 (1) AO für Zinsen auf Steuerforderungen vorschreibt § 238 (2) AO nennt zudem das Runden des Anfangsbetrages. Die Beziehung (1.2) für Zinsen und (1.3) fiir das Endkapital lassen sich folgendermaßen auf den Monat als Bezug umschreiben: Z = K0-i-M/\2

(1.11)

Kn = K0(l+i-M/\2)

(1.12)

Beispiel 1.9: Für den einkommensteuerpflichtigen A ergeht am 22. Juni 1988 ein - geänderter - Steuerbescheid 1983 über 4.224,00 DM ESt und am 1. Juli 1988 ein solcher fiir 1984 über 1.600,00 DM ESt. Auf einen Einspruch gegen beide und Antrag auf Aussetzung der Vollziehung vom 20. Juli 1988 hin werden die Beträge ausgesetzt "bis zum Ablauf eines Monats nach Bekanntgabe der Entscheidung über den Einspruch". Mit Schreiben vom 28. April 1995 wird der Ein-

12

Kapitel 1. Zinsrechnung

spruch vom Finanzamt zurückgewiesen, Klage wird dann von A nicht mehr erhoben. Unter dem 23. November 1995 ergeht ein "Bescheid über Aussetzungszinsen (§ 237 AO)" für beide Jahre. In welcher Höhe werden diese Zinsen festgesetzt? Lösung: Bezüglich der ESt 1983 beträgt der abgerundete zu verzinsende Betrag 4.200 DM, der Zinslauf beginnt am 25. Juli 1988 und endet am 1. Juni 1995, der Zinszeitraum in vollen Monaten beträgt 82 Monate, der Zinssatz mit 0,5% für jeden Monat ergibt sich zu 41,0%, daraus errechnet sich ein Zinsbetrag von 1.722,00 DM. Für die ESt 1984 beträgt der theoretisch abzurundende und zu verzinsende Betrag weiterhin 1.600 DM, der Zinslauf beginnt am 4. August 1988 und endet am 1. Juni 1995, der Zinszeitraum in vollen Monaten beträgt 81 Monate, der Zinssatz mit 0,5% für jeden Monat ergibt sich zu 40,5%, daraus errechnet sich ein Zinsbetrag von 648,00 DM. Insgesamt sind für die Jahre 1983 und 1984 Aussetzungszinsen in Höhe von 2.370,- D M zu zahlen. Anmerkung: Dieses Beispiel ist pfenniggenau und insbesondere datumsgenau der Realität entnommen. Endgültige Klärungen von Steuertatbeständen nach einem Dutzend von Jahren sind offenbar nicht auszuschließen, möglicherweise durchaus an der Tagesordnung. Die Klärung eines Einspruchs dauerte in diesem Fall kanpp 7 Jahre. Pikanterweise hat das betroffene Finanzamt die beiden Beträge von 1.722 DM und 648 DM in der Summe und im Bescheid auch noch auf 2.523 DM festgesetzt. Dieser Irrtum ließ sich allerdings durch einen einfachen Anruf klären und korrigieren, man muß es aber bemerken.

Ähnlich (1.11) und (1.12) ergeben sich die auf Tage bezogenen Beziehungen für Zins und Endkapital, wenn nach der sogenannten deutschen Methode das Jahr zu 360 Tagen und die Monate gleichlang zu 30 Tagen gerechnet werden. Dies ist bei kurzen Zeiträumen weniger Tage einfach, bei längeren Zeiträumen sind die Monate mit 30 Tagen und die Jahre mit 360 Tagen anzusetzen. So wird analog: Z = Kn-i-T!

360

Kn =K0(l + i- 77360)

(1.13) (1.14)

1.2. Einfache Zinsen

13

Beispiel 1.10: V o m 29. Februar 2004 bis z u m 28. D e z e m b e r 2 0 0 6 verzinst sich der B e t r a g von 23.000 E u r o zu 13% mit e i n f a c h e n Z i n s e n . W i e hoch sind die erzielten Zinsen, w e l c h e r Betrag wird dann a m T a g (Fest) der unschuldigen Kinder ausgezahlt? Lösung: Die Laufzeit ergibt sich aus 2 Jahren = 720 Tagen bis E n d e F e b r u a r 2006, aus weiteren 9 M o n a t e n = 270 T a g e n bis E n d e N o v e m b e r 2 0 0 6 und aus weiteren 28 Tagen im D e z e m b e r 2006, insgesamt zu 1.018 Tagen. N a c h (1.13) errechnen sich die Zinsen zu Z = 23 OOOEuro• 1 3 % - 1 , 0 1 8 / 3 6 0 = 8 . 4 5 5 , 0 6 E u r o Am 28. D e z e m b e r 2 0 0 6 werden insgesamt 3 1.455,06 E u r o ausgezahlt.

E x k u r s : Z i n s z a h l e n und K o n t o f ü h r u n g I n s b e s o n d e r e bei B a n k e n sind vielfältig verzinsliche K o n t e n zu f ü h r e n mit h ä u f i g v e r ä n d e r l i c h e n K o n t e n s t ä n d e n und auch veränderlichen Z i n s s ä t z e n . In der K o n t o f ü h r u n g ist es üblich, zur B e r e c h n u n g von ( e i n f a c h e n ) Z i n s e n w ä h r e n d der Zeit gleichbleibender Zinssätze und in e i n e m K a l e n d e r j a h r "nur" s o g e n a n n t e Z i n s z a h l e n a n z u s a m m e l n und erst bei Z i n s s a t z ä n d e r u n g oder am E n d e des K a l e n d e r j a h r e s die Zinszahlungen zu b e r e c h n e n durch A n w e n d u n g des sogenannten Zinsdivisors (oder Zinsteilers). (1.13) wird u m g e s c h r i e b e n mit Zinszahl Z Z und Zinsdivisor Z D zu Z = Z Z / ZD

(1.15)

Die j e w e i l s auf einen bestimmten Betrag und einen b e s t i m m t e n Z e i t r a u m b e r e c h n e t e n Z i n s z a h l e n w e r d e n definiert mit ZZ = K0-Tl\00

(1.16)

Für den Z i n s d i v i s o r , der offensichtlich u n a b h ä n g i g v o m zu v e r z i n s e n d e n B e t r a g ist und e b e n s o von der Zeit des Zinslaufes, ergibt sich einfach

ZD = 3 , 6 / i

(1.17)

Kapitel 1. Zinsrechnung

14

Diese Beziehung ist wohl nicht schön anzusehen. Jedenfalls findet man regelmäßig die Verschönerung der Optik durch Einbeziehung von (1.1) zu Z£> = 360//>

(1.18)

Beispiel 1.11: Das Konto des Herrn XYZ weist zu Anfang des Kalenderjahres den Stand von 30.200 D M aus. Am 15. Januar werden 1.000 D M eingezahlt, am 31. Januar erfolgt eine Auszahlung von 3 .500 DM. Am 29. Februar kommt eine Einzahlung von 500 DM, am folgenden Tag des 1. März eine gleiche von 500 DM. Auszahlungen von je 9.000 D M erfolgen am 5. April, am 20. Oktober und am 30. November. Daneben werden am 20. August und am 20. Dezember j e 700 D M eingezahlt. Die Daten sollen Daten der Wertstellung sein. Der Zinssatz beträgt bis einschließlich August 4%, dann steigt er auf 5%. Wie werden die Zinsen des Jahres berechnet über Staffeln von Zinszahlen und die Zinsdivisoren? Lösung: Die Zinszahlen werden gemäß (1.16) berechnet aus den Kapitalstand der vorhergehenden Buchung und den Zeitabstand dazu, der gemessen wird in Tagen mit der Normierung des Monats auf 30 Tage. Die Staffeln von Zinszahlen sind getrennt zu fuhren einmal bis Ende August für den Zinssatz von 4% und dann ab Anfang September für den Zinssatz 5%. Mit den beiden Zinsdivisoren nach (1.17) ergeben sich gemäß (1.15) die entsprechenden Zinsbeträge. In der folgenden Tabelle sind die Rechnungen wiedergegeben.

1.2. Einfache Zinsen

Wertstellung

Laufzeit in Tagen

Kontenbewegung

31.12.

Kontostand

15

Zinszahlen 4%

Zinszahlen 5%

30.200

15.1.

15

+ 1.000

31.200

4.530

31.1.

15

-3.500

27.700

4.680

29.2.

29

+ 500

28.200

8.033

1.3.

1

+ 500

28.700

282

5.4.

34

- 9.000

19.700

9.758

20.8.

135

700

20.400

26.595

31.8.

10

0

20.400

2.040

20.10.

50

- 9.000

11.400

10.200

30.11.

40

- 9.000

2.400

4.560

20.12.

20

+ 700

3.100

480

31.12.

10

0

3.100

310

Summen

359

Zinsdivisor Zinsen

55.918

15.550

90

72

621,31

215,97

In den ersten 8 Monaten werden 621,31 DM an Zinsen erzielt, in den letzten 4 Monaten 215,97 DM, für das ganze Jahr insgesamt 837,28 DM. Durch die Buchung im Februar wird die Kürze dieses Monats relevant, im gesamten Jahr werden nur 359 Tage gerechnet.

Beispiel 1.12: Frau ABC fuhrt das gleiche Konto wie Herr XYZ unter gleichen Bedingungen mit dem einen Unterschied, daß sie die 500 D M des 29. Februars einen Tag länger behält und die Einzahlung aus Faulheit oder Berechnung oder Cleverness erst einen Tag später am 1. März tätigt mit dann insgesamt 1.000 DM Einzahlung an dem Tage. Wieviel Zinsen erzielt Frau ABC in dem Jahr? Lösung: Die vorhergehende Staffelrechnung der Zinszahlen ändert sich offenbar in den beiden Positionen Ende Februar / Anfang März, dies ist im folgenden wiedergegeben.

16

Kapitel 1. Zinsrechnung

Wertstellung

Laufzeit in Tagen

Kontenbewegung

31.12.

Kontostand

Zinszahlen 4%

Zinszahlen 5%

30.200

15.1.

15

+ 1.000

31.200

4.530

31.1.

15

-3.500

27.700

4.680

1.3

31

+ 1.000

28.700

8.587

5.4

34

-9.000

19.700

9.758

20.8

135

+700

20.400

26.595

31.8

10

0

20.400

2.040

20.10.

50

- 9.000

11.400

10.200

31.10.

40

- 9.000

2.400

4.560

20.12.

20

+700

3.100

480

31.12.

10

0

3.100

310

Summen

360

Zinsdivisor Zinsen

56.190

15.550

90

72

624,33

215,97

Frau A B C realisiert alle unterstellten 360 Zinstage. Obschon sie die genannten 500 D M einen Tag länger verfügbar hatte und damit einen Vorteil gegenüber Herrn XYZ aus Beispiel 1.11, erzielt sie insgesamt 840,30 D M an Zinsen und hat damit 3,02 D M mehr erzielt als Herr XYZ

Beispiel 1.13: Der Jungunternehmer QRS fuhrt das Konto ähnlich w i e Frau A B C mit dem ersten Unterschied, daß er an den drei genannten Tagen nicht j e 9.000 DM an Auszahlung veranlaßt, sondern jeweils 16.000 D M für sein gutlaufendes Geschäft. Damit nimmt Q R S den f ü r ihn günstigen Überziehungskredit in Anspruch, der bis einschließlich August 9 % kostet und ab September 12% kosten soll. Durch geschäftstüchtige Verhandlungen erreicht Q R S allerdings, daß ihm ganzjährig Habenzinsen von nur 4 % und dafür ganzjährig Sollzinsen von 9 % verrechnet werden. Welche Zinsbeträge ergeben sich zu Jahresende?

1.2. Einfache Zinsen

17

Lösung: Nun sind Staffeln der Zinszahlen für Soll- und Habenstände zu unterscheiden. Die Rechnungen sind in der folgenden Tabelle wiedergegeben.

Wertstellung

Laufzeit in Tagen

Kontenbewegung

31.12.

Kontostand

Zinszahlen Haben 4%

Zinszahlen Soll 9%

30.200

15.1.

15

+ 1.000

31.200

4.530

31.1.

15

- 3.500

27.700

4.680

1.3.

31

+ 1.000

28.700

8.587

5.4.

34

- 16.000

12.700

9.758

20.8.

135

+ 700

13.400

17.145

20.10.

50

- 16.000

2.600

6.700

30.11.

40

- 16.000

18.600

1.040

20.12.

20

+ 700

17.900

3.720

31.12.

10

0

17.900

1.790

Summen

360

Zinsdivisor Zinsen

51.400

6.550

90

40

511,11

163,65

Dem Jungunternehmer QRS werden zu Jahresende 511,11 DM an Habenzinsen gutgeschrieben und 163,65 DM an Sollzinsen belastet.

Exkurs: Berechnung von Zeitdifferenzen (übernommen von Junge)

Locarek-

"Die kleinste Zeitspanne, für die in der Praxis normalerweise Zinsen berechnet werden, ist ein Tag. Die Verzinsung eines einbezahlten Betrages mit Habenzinsen oder eines ausbezahlten Betrages mit Sollzinsen beginnt aber nicht unbedingt ab dem Tag, an dem die Zahlung erfolgt. Der Verzinsungsbeginn, die Wertstellung des Betrages, wird von den Banken und Sparkassen unterschiedlich gehandhabt. Große Differenzen ergeben sich z.B. im täglichen Zahlungsverkehr (auf Girokonten) zwischen der Wertstellung für

18

Kapitel 1. Zinsrechnung

Ein- und Auszahlungen. Bei Sparkonten unterscheidet man im wesentlichen zwei Ansätze: •

Die meisten Sparkassen verzinsen Einzahlungen ab dem Einzahlungstag (Wert heute) und bei Auszahlungen endet die Verzinsung des ausbezahlten (Teil-)Betrages am Tag vor der Auszahlung (Wert gestern).

•

Alle anderen Kreditinstitute verzinsen Einzahlungen ab dem der Einzahlung folgenden Tag (Wert morgen) und bei Auszahlungen endet die Verzinsung des ausbezahlten Betrages am Tag der Auszahlung (Wert heute).

Auch zwischen den Zahlungen wird für die Bestimmung des Zinsbetrages Z maßgebliche Zeit oft nicht nach dem exakten Kalenderdatum berechnet, da diese Berechnung bei Differenzen von mehreren Monaten schnell umständlich wird. Man unterscheidet deshalb drei Methoden zur Berechnung der Zinstage. a) Englische Methode (365/365) bzw. (act/act) Die Methode der exakten Berechnung sowohl der Kalendertage als auch der Länge des Kalenderjahres (nach dem bei uns gültigen gregorianischen Kalender) heißt auch englische Methode. Abgekürzt wird die Bezeichnung auch als "365/365", wobei die erste Zahl "365" die im Jahr berechneten Tage und die zweite "365" die angenommene Länge des Kalenderjahres in Tagen angibt. Dies ist nicht ganz exakt, da bei dieser Methode die Schaltjahre mit 366 Tagen gerechnet werden, und in Schaltjahren der 29. Februar berücksichtigt wird. Die zweite Abkürzung "act/act" (act steht für actual, also "tatsächlich") trift den Sachverhalt deshalb besser. Diese Methode ist nicht nur in England gebräuchlich, sondern auch für die Abrechnung von Sparkonten in Kanada und dem restlichen Commonwealth, USA, sowie z.B. Portugal und Griechenland. Aus historischen Gründen werden auch die meisten Wertpapiere, die vom US-Schatzamt (US-Treasury) ausgegeben werden, nach dieser Methode abgerechnet. ... b) Französische Methode (365/360) Nach der französischen Methode rechnet man die Zinstage exakt, das Kalenderjahr aber stets mit 360 Tagen ab. Auf diese Weise erhält ein Anleger, der sein Geld in mehreren Abschnitten, aber insgesamt ein Jahr lang anlegt, mehr als den nominellen Jahreszinssatz. Nach dieser Methode werden die Zinsen in Frankreich, den Benelux-Staaten, sowie z.B. Spanien und Italien errechnet. Auch bei der Abrechnung von Lombard-Darlehen durch die deutsche Bundesbank und oft bei Tagesgeld und Festgeldanlagen auf dem EuroMarkt wird diese Methode benutzt.

1.2. Einfache Zinsen

19

c) Deutsche Methode (360/360) bzw. (30/360) Die deutsche Methode berechnet sowohl die Monate mit 30 Tagen als die Jahre mit 360 Tagen. Ein Anleger erhält in den "langen" Monaten für sein Kapital zu wenig Zinsen (1/12 statt 31/365 des Jahreszinses) und in den kurzen Monaten, besonders im Februar, zu viel Zinsen. Dieser Effekt gleicht sich aber über das Jahr gesehen wieder aus. Die Abweichungen werden wegen der mit der Berechnung der Zinstage verbundenen Vereinfachung in Kauf genommen. ... Der 31. eines Monats rechnet als der 30. Tag. Allerdings gibt es z.B. bei Wechselkrediten auch Abweichungen von dieser Regel, mit denen wir uns nicht genauer beschäftigen wollen." 3

Beispiel 1.14: A kauft mit Wertstellung 7.7. nominal 40.000 ZAR (südafrikanische Rand) der Anleihe 8% Escom, die zwei Zinstermine 1. März und 1. September hat. Der Kurs der Anleihe beträgt 69,20 (%) und der Devisenkurs ist 0,3805 (DM/ZAR). Welcher Gesamtbetrag wird A in Rechnung gestellt, wenn die verrechneten Zinsen nach der englischen Methode ermittelt werden, wenn an Provision 0,5% vom Nennwert und an Maklergebühr 0,075% vom Nennwert belastet werden und wenn zudem 3 DM Auslagenersatz und 5 DM Liefergebühr verrechnet werden? Lösung: Der Kurswert ergibt sich aus dem Nennwert 40.000 ZAR und dem Börsenkurs 69,20% und dem Devisenkurs 0,3805 DM/ZAR multiplikativ zu 10.532,24 DM. Der Zinsberechnung liegen die wirklichen Tage der Monate März bis Juli zugrunde mit 31 + 30 + 31 + 30 + 27 = 149 Tage. Die verrechneten Zinsen ergeben sich aus 8% auf 40.000 ZAR, dem Devisenkurs von 0,3805 DM/ZAR und dem Anteil 149/365 zu 497,04 DM. Der Nennwert der Anleihe in DM ergibt sich aus den 40.000 ZAR und dem Kurs 0,3805 DM/ZAR zu 15.220 DM. Die Provision mit 0,5% vom Nennwert beträgt 76,10 DM, die Maklergebühr mit 0,075% macht 11,41 DM aus.

3

Locarek-Junge, Finanzmathematik, 1997, S. 43 ff.

20

Kapitel 1. Zinsrechnung

Mit Auslagenersatz und Liefergebühr werden bei Valutierung z u m 7.7. insgesamt belastet 10.532,24 D M + 497,04 D M + 76,10 D M + 11,41 D M + 3 D M + 5 D M = 11.124,79 DM.

1.3. Zinseszinsen bei jährlicher

Zinszuschreibung

Die übliche Zinseszinsrechnung schlägt die im Laufe des (meist relativen) Jahres aufgelaufenen Zinsen am Jahresende dem zinstragenden Kapital zu, die a u f g e l a u f e n e n Zinsen werden kapitalisiert. Nach genau einem Jahr und entsprechender Zinszuschreibung ist der Betrag K j vorhanden:

K, =K0+K0-i

= Ki(\ + i)

In zweiten Jahr verzinst sich K, und wird am Ende des Jahres zu

K2 =K, + Kri = K0(\+i)2 Insgesamt ergibt sich aus dem Anfangskapital K 0 über n Jahre bei einem Zinssatz i der Endbetrag K n zu:

K„=K0(\+i)"=K0-q"

(L19)

Diese allgemeine Zinseszinsformel gilt als Grundlage der gesamten Fin a n z m a t h e m a t i k . Im allgemeinen Fall m u ß die Laufzeit n nicht ganzzahlig sein. Z u r kürzeren Darstellung wird der Zinsfaktor 8 then go to M l

Beispiel 1.44: Der Betrag von 100 TDM aus Beispiel 1.43 wird wieder über 5,05 Jahre angelegt bei gemischter Verzinsung, diesmal aber in relativen Jahren. Wie groß ist jetzt der Zinssatz i beim Endkapital von 150 TDM? Lösung: Aus Algorithmus 1.2 kommen die folgenden Ergebnisse und Fehlerdaten:

56

Kapitel 1. Zinsrechnung

Iterationsschritt

Wert i

absoluter Fehler

Fehlerquotient

0

8,3601397%

0,0033630%

—

8,3567405%

-0,0000363%

-0,0108

2

8,3567772%

0,0000004%

-0,01116

3

8,3567767%

-0,0000000%

Der Zinssatz ergibt sich in 4 Stellen zu 8,357%. Er liegt um 0,021% höher als der vergleichbare Zinssatz von 8,336% in Beispiel 1.43 bei 5,05 Jahren im Kalender. Das Verfahren konvergiert sehr viel schneller, was durch den geringeren Fehler des Anfangswertes begründet sein dürfte, hier besonders wegen der 0,05 Jahre als nichtganzzahligem Anteil. Aber auch der Konvergenzfaktor, der Absolutwert der Fehlerquotienten, ist mit 0,011 deutlich geringer als der mit 0,27 aus Beispiel 1.43, er beträgt nur noch rund 1/25.

Ein abschließendes Wort sei anderen Näherungsverfahren gewidmet, von denen es sehr viele und sehr gute gibt, nicht nur das an dieser Stelle hier meist eingeführte Newton-Verfahren. Das Newton-Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen eigentlich beliebiger Funktionen legt eine Tangente an die Funktion, benötigt also die 1. Ableitung. Damit ist es besonders gut geeignet für Polynome, bei denen man im Horner-Schema neben dem Funktionswert relativ einfach auch die 1. Ableitung an der Stelle berechnen kann. Das Newton-Verfahren konvergiert in der Regel quadratisch gegenüber der linearen Konvergenz bei (1.72) und (1.74). Dies ist beileibe nicht immer vorteilhaft, wie es oft recht allgemein behauptet wird. Es kommt auch sehr stark auf den Konvergenzfaktor an. So sollte man bei solch einfachen Fällen das "schwere Geschütz" des Newton-Verfahrens nicht auffahren, wo sich die gut konvergierenden Beziehungen (1.72) und (1.74) relativ einfach herleiten lassen.

1.6. Äquivalenz

in

Zahlungen

"Das Äquivalenzprinzip ist von fundamentaler Bedeutung für alle Entscheidungen, bei denen das Problem besteht, einen oder mehrere Kapitalbeträge

1.6. Äquivalenz in Zahlungen

57

oder Zahlungen zu verschiedenen Zeitpunkten miteinander zu vergleichen." 1 3 Es ist gerade das Zentrale der Zinsrechnung, daß Anfangskapitalien durch Verzinsung in Endkapitalien überführt werden und daß aus Endkapitalien durch Diskontierung Anfangskapitalien ermittelt werden. Dabei ist es zumindest im Prinzip egal, ob einfache Verzinsung, Zinseszins oder auch gemischte Verzinsung eine Rolle spielen. Anfangskapital und Endkapital sind somit äquivalent, sie sind mit ihren Zeitbezügen einander gleichwertig. Anfangszeitpunt 0 und Endzeitpunkt n der Kapitalien K 0 und K n sind beliebig darstellbar auf der Zeitachse. Zur Äquivalenz dieser beiden Kapitalbeträge beim Zinssatz i kann der Zeitpunkt 0 durchaus in der Z u k u n f t liegen bzw. der Zeitpunkt n in der Vergangenheit. Gleiche Äquivalenzfragen tauchen auf bei der Frage, wie mehrere Kapitalbeträge - gleichen Vorzeichens - durch einen einzigen in Größe ihrer Summ e ersetzt werden können. Vorgegeben sind Kapitalbcträge K j , K2, K3, ... mit ihren Zahlungszeitpunkten nj n 2 , n 3 , ... Die äquivalente einmalige Zahlung K ist die Summe der Kapitalbeträge:

K =

K]+K2+K3+...

Gesucht ist der zu K gehörige Zeitpunkt n, der in Zinsen äquivalent ist zu den verschiedenen Kapitalbeträgen mit ihren Zahlungszeitpunkten. Dies gilt im Prinzip für jede Art der Verzinsung oder Diskontierung, also für einfache Zinsen, Zinseszinsen oder gemischte Zinsen. Alle vor n liegenden Kapitalbeträge werden aufgezinst gemäß der entsprechenden Beziehungen (1.3), (1.19), (1.59) oder (1.63). Alle nach n liegenden Beträge werden abgezinst g e m ä ß der zugehörigen Relationen (1.4), (1.21), (1.66) oder (1.67). Der Zeitpunkt n wird bezeichnet als mittlerer Zahlungs- oder Zinstermin, auch als Fälligkeitstermin.

Beispiel 1.45: Ein Betrag von 10 T D M werde in 1 Jahr fällig, ein zweiter von 20 T D M in 6 Jahren. Der Jetztzeitpunkt sei der Einfachheit halber ein Kalenderjahresanfang, so daß die obigen Zeitpunkte auch genau Anfänge bzw. Enden von Kalenderjahren sind. W e l c h e s ist bei einem Zinssatz von 10% der Fälligkeitstermin der G e s a m t schuld von 30 T D M einmal bei einfachen Zinsen, dann bei Zinseszinsen einschließlich konformer Verzinsung unterjährig und schließlich bei gemischter Verzinsung?

13

Locarek-Junge, Finanzmathematik, 1997, S. 74

Kapitel 1. Zinsrechnung

Lösung: Der mittlere Zahlungstermin muß in diesem einfachen Fall zweier Zahlungen zwischen deren Zeitpunkten liegen. Folglich weiß man, daß bei allen drei Verzinsungsarten 10 TDM über n - 1 Jahre aufgezinst und 20 TDM über 6 - n Jahre abgezinst werden zur Summe des Gesamtbetrages von 30 TDM. Für einfache Zinsen ergibt sich die Grundbeziehung: 10TDM[l +10 %(« -1)] + 20TDM / [l +10%(6 - «)] = 30TDM Nach vielfältigen Umrechnung wird daraus die quadratische Gleichung:

n2 -37w+136 = 0 Hieraus errechnet sich der mittlere Zahlungstermin zu 4,1386 Jahren. Zur Kontrolle werden auf- und abgezinste Beträge mit n = 4,1386 Jahre berechnet: 10TDM(l +10% • 3,13 86) = 13,13 86TDM 20TDM /(l +10% • 1,8614) = 16,8614TDM Diese beiden Beträge addieren sich offenbar auf zu den geforderten 30 TDM. Bei zinseszinslicher Rechnung wird die Grundbeziehung aus Auf- und Abzinsung zu: 10TDM(l + lO0/»)"-1 + 20TDM(l +10%)~ (6_ ' !) = 30TDM und etwas umgeformt: 1,1" (l 0TDM • 1,1"1 + 20TDM • 1,1"6 )= 30TDM In der Klammer stehen die auf den Bezugszeitpunkt 0 diskontierten Ausgangsbeträge, so läßt es sich auch allgemein gut herleiten. Rechnet man den Klammerwert aus und dividiert, wird nun: 1,1" = 1,472

1.6. Äquivalenz in Zahlungen

59

Über Logarithmierungen ergibt sich der mittlere Zahlungstermin zu 4,0565 Jahren. Auch hier sollen zur Kontrolle die auf- und abgezinsten Beträge ermittelt werden mit n = 4,0565 Jahre: 10TDM-1,13 0565 = 13,38187TDM 1-9435

20TDM • l,r

= 16,61817TDM

Die Summe ergibt wieder 30 TDM, der Rundungsfehler tritt an der 7. Stelle auf. Bei gemischter Verzinsung soll von der (hoffentlich richtigen) Erkenntnis aus obigen Rechnungen ausgegangen werden, daß sich der erste Betrag 10 TDM über drei Jahre zinseszinshch verzinst und darin in einfachen Zinsen, daß es mit dem zweiten Betrag 20 TDM und seiner Abzinsung analog ist. Die Grundbeziehung aus Auf- und Abzinsung wird jetzt zumindest aus dem Umfang komplizierter: 10TDM(l +10%) 3 [l +10%{n - 4)] +20TDM(l +10%)

1

/[l +10%(5 - n)} = 3 0TDM

Nach wirklich verrückten Umformungen ergibt sich die noch nicht mit Rundungsfehlern behaftete quadratische Gleichung. n2 -46,1769/1,1 4 « + 163,231/1,l 4 = 0 Für die hier interessierende Wurzel dieser Gleichung ergibt sich mit 4,056688 Jahren der gesuchte mittlere Zahlungstermin, die Genauigkeit mit 4,0567 Jahren genügt sicherlich. Auch hier soll die Kontrolle erfolgen über ein Nachrechnen der Aufzinsung der 10 TDM und der Abzinsung der 20 TDM zum Summenbetrag der 30 TDM: 10TDM • 1,13 (l + 0,00567) = 13,38547TDM 20TDM • 1,1"' / (l + 0,09433) = 16,61457TDM Die Summe ergibt wieder die geforderten 30 TDM, Rundungsfehler ad libidum.

60

Kapitel 1. Zinsrechnung

A n m e r k u n g : Zu diesen Beispielrechnungen ist allgemein anzufügen, daß möglichst lange und sehr aufwendig analytisch gerechnet wurde. Dies hat wohl den Anschein einer weitgehend sehr genauen Rechnung, auch das Stigma einer "mathematisch exakten" (was ist das?) Bastelei. Nun wird man eigentlich auch nicht in diesem speziellen Beispiel und noch weniger allgemein so vorgehen, natürlich geht es auch iterativ, und das weit schneller, weit besser und mit weit weniger analytischem Aufwand. Offensichtlich sind aber iterative Näherungsverfahren in der Finanzmathematik stigmatisiert, irgendwie werden vermeintlich genauere Lösungen gesucht oder sogenannte geschlossene Ausdrücke. Über die Herkunft derartig unsachlicher B e z ü g e kann man aus der Geschichte der Finanzmathematik spekulieren, sachliche G r ü n d e etwa einer Genauigkeit von Ergebnissen gibt es dazu nicht. D a s Beispiel deutet an, daß man allein bei Zinseszinsen zu einer relativ einf a c h e n Beziehung zur direkten Berechnung des mittleren Zahlungstermins gelangt. Allgemein gilt zinseszinslich bei insbesondere beliebigen Zeitpunkten ohne Einschränkung der Ansatz:

Die Kapitalbeträge K k sind den nicht restringierten Zeitpunkten n k zugeordnet. Der Zeitpunkt n k ist auf einen zeitlichen Nullpunkt bezogen, der beliebig festgelegt werden kann. Auf diesen zeitlichen Nullpunkt bezieht sich dann auch der gesuchte mittlere Zahlungstermin n. Bei n - n k > 0 findet Aufzinsung des entsprechenden Betrages statt, bei n - n k < 0 wird der zugehörige Betrag abgezinst. Man kann in der Relation den Term mit n isolieren:

Ein solcher Schritt ist bei den beiden anderen Verzinsungsarten einfache bzw. gemischte Verzinsung nicht möglich, was auch aus den Rechnungen in Beispiel 1.45 deutlich wird. Hier stehen in der Klammer Barwerte auf einen beliebig wählbaren Bezugszeitpunkt 0. Zumindest für einfache Zinsen ist in der Literatur häufig ein Vorgehen zu finden, das auf Barwerte in einfachen Zinsen abstellt. Dies ist offensichtlich falsch zumindest insofern, als dann der mittlere Zahlungstermin von der willkürlichen Festlegung des zeitlichen Nullpunktes abhängt, und das kann wohl nicht richtig sein. O b i g e Beziehung f ü r Zinseszinsen läßt sich einfach nach dem gesuchten mittleren Zahlungszeitpunkt n auflösen:

1.6. Äquivalenz in Zahlungen

n=

61

(1.75)

In q

Im Beispiel 1.45 wurde der Fälligkeitstermin bei Zinseszinsen nach dieser Formel in Schritten berechnet. Soll der mittlere Zahlungstermin bei einfachen oder gemischten Zinsen allgemein ermittelt werden, muß die Situation sehr genau modelliert werden insbesondere in der Unterscheidung relativer Jahre oder Kalenderjahre und den bei letzteren regelmäßig gegebenen zwei Zeiträumen mit einfachen Zinsen. Zudem benötigt man zunächst einen ungefähren Wert, um abschätzen zu können, ob auf oder abgezinst wird bzw. wie groß die Anzahl der ganzzahligen Zinsperioden mit Zinseszins ist. Eine solche Abschätzung ergibt sich problemlos aus (1.75). Die Ansätze entsprechend Beispiel 1.45 mit den darüber hinausgehenden Verfeinerungen enthalten im allgemeinen Fall je einige oder viele Terme der Auf- und Abzinsung. Würde man wie im einfachen Beispiel 1.45 geschehen ausmultiplizieren, ergäben sich Polynome in n beträchtlichen Grades. Man wird iterative Näherungsverfahren benutzen, die den mittleren Zahlungstermin n mit beliebiger Genauigkeit berechnen. Dies könnte das (später genau beschriebene) Newton-Verfahren sein, welches allerdings die allgemeine Darstellung der 1. Ableitung erfordert. Die Verfahren sind, wenn auch mit Mühen, automatisierbar, d. h. in allgemeinen Algorithmen darstellbar. Das soll hier aber nicht weiter verfolgt werden. Eine weitere Analyse des in (1.75) dargestellten mittleren Zahlungstermins fragt nach dem Wert beim Zinssatz i = 0%. Für i = 0% und damit q = 1 wird (1.75) zu einem unbestimmten Ausdruck 0/0. Solche unbestimmten Ausdrücke lassen sich nach der Regel von l'Hospital fassen durch (unter Umständen wiederholte) Differenzierungen jeweils in Zähler und Nenner nach i bzw q. Die Wahl dieser Werte ist insofern unerheblich, als offensichtlich gilt: di Idq = dq I di = 1 Für diesen Grenzwert wird folglich (1.75) zu: n\.(/-> 0)

=

£>

(1.76)

Dieses n ist aus der Betrachtung von Anleihen und deren Zinsempfindlichkeit, deren Risiko in bezug auf Änderungen des Marktzinssatzes auch als

Kapitel 1. Zinsrechnung

62

Duration bekannt, anders hergeleitet aus der Zinsempfindlichkeit eines Barwertes einer Anleihe, ihres Kurses und nicht auf den Grenzwert i = 0 beschränkt. Für i = 0 und damit q = 1 ergibt sich der sogenannte Schwerpunkt der Zahlungsreihe zu: o V nkKk ns = Z K t

(1.77)

Verschiedentlich wird auch ein erster Näherungswert für den mittleren Zahlungstermin berechnet, indem q"nk in (1.75) in einer bonomischen Reihe entwickelt und diese nach dem linearen Glied in i abgebrochen wird. Auch dann ergibt sich der Schwerpunkt nach (1.77).

Beispiel 1.46: Ein Betrag von 10 TDM sei jetzt fällig, 13 T D M seien es in 2,3 Jahren, dann 14 TDM in 3,7 Jahren und schließlich 13 T D M in 7 Jahren. Welches ist der mittlere Zahlungstermin für den insgesamt zu zahlenden Betrag von 50 TDM? Es sollen Zinssätze betrachtet werden von 0% bis 30% jeweils in Schritten von 5%. Wie groß sind die relativen Änderungen in den mittleren Zahlungsterminen mit Bezug auf die Änderung im Zinssatz? Lösung: Beim Grenzwert i = 0% sind mittlerer Zahlungstermin und Duration gleich, beide entsprechen dem Schwerpunkt der Zahlungsreihe nach (1.77). Ansonsten sind die mittleren Zahlungstermine nach (1.75) zu berechnen, was mit einem einfachen Algorithmus nach (1.75) nicht nur der möglichen Fehler wegen maschinell erfolgen sollte. Die mittleren Zahlungstermine sind im folgenden für die geforderten 7 Zinssätze zusammengefaßt. In der letzten Spalte ist das Verhältnis der Änderungen angegeben, eine Annäherung an die 1. Ableitung des mittleren Zahlungstermins nach dem Zinssatz.

1.6. Äquivalenz in Zahlungen

n

63

An/Ai

0%

3,454 Jahre

5%

3,309 Jahre

-2,90

10%

3,173 Jahre

-2,72

15%

3,047 Jahre

-2,52

20%

2,930 Jahre

-2,34

25%

2,822 Jahre

-2,16

30%

2,721 Jahre

-2,02

Exkurs: Typisierung von Investitionen nach E. Schneider Der mittlere Zahlungstermin hat zur Klassifikation von Investitionen und v. v. von Finanzierungen und (noch wichtiger) auch von so nicht identifizierbaren "Geldgeschäften", die alle in zwei Zahlungsreihen, nämlich einer Einzahlungsreihe und einer Auszahlungsreihe darstellbar sind, eine enorme Bedeutung. Derartige Klassifikationen basieren auf E. Schneider 14 , der Gedankengänge von Boulding 1 5 übernimmt und weiterfuhrt. E. Schneider verwendet für den mittleren Zahlungszeitpunkt den Begriff Zeitzentrum (mit der Bedingung i > 0), den Boulding als time centre mit der Bedingung i > - 1 geprägt hatte mit Bezug auf einen speziellen Zinssatz, nämlich den internen Zinsfuß der Investition, welche Boulding als Kombination zweier (nicht saldierter, das ist in diesem Zusammenhang unerheblich) Zahlungsreihen darstellt. "Unter dem Zeitzentrum der Reihe a^ a 2 , ..., a h soll der Zeitpunkt verstanden werden, ... wo die Summe aller Zahlungen bei dem gegebenen Zinsfuß der Reihe a 1? a 2 , ..., a h äquivalent ist". 16 Schneider definiert einen Typus I der eigentlichen Investition dadurch, daß "das Zeitzentrum der Einnahmenreihe einer Investition bei jedem positiven Zinssatz später als das Zeitzentrum für die Ausgabenreihe" 1 7 liegt. Auch wenn die Bedingung des positiven Zinssatz gesetzt wird, muß in Grenzbetrachtungen diese Relation der Zeitzentren auch für den Schwerpunkt der Zahlungsreihen gelten.

14

Schneider, Wirtschaftlichkeitsrechnung, 1973, S. 8 ff.

15

Boulding, Time and Investment, 1936, S. 199 f.

16

Schneider, Wirtschaftlichkeitsrechnung, 1973, S. 8

17

Schneider, Wirtschaftlichkeitsrechnung, 1973, S. 9

Kapitel 1. Zinsrechnung

64

"Liegt das Zeitzentrum für die Einnahmenreihe einer Investition bei jedem positiven Zinsfuß vor dem Zeitzentrum der Ausgabenreihe," 18 spricht Schneider von einer "Investition vom Typus II"19 oder einer uneigentlichen Investition. Eine solche Zahlungsreihe wird üblicherweise als Finanzierungsmaßnahme bezeichnet. Auch hier gelten die Zeitbezüge ebenso für die Grenzwerte der Schwerpunkte der Zahlungsreihen. Nun ist es leider nicht so, daß mit der Typisierung I und II von E. Schneider alle Möglichkeiten der Relation von Einzahlungsreihe und Auszahlungsreihe erfaßt sind. Es gibt auch quasi mittlere Fälle zwischen eindeutiger Investition und eindeutiger Finanzierung, bei denen in Abhängigkeit von der Höhe des Zinssatzes i die Lage der Zeitzentren von Einzahlungsreihe und Auszahlungsreihe wechselt im Vor- und Nacheinander. Bei einem solchen Investitionstypus III liegen die Zeitzentren dann auch sehr nahe beieinander. Investitionen vom Typ III entstehen regelmäßig durch sehr verwikkelte Konstruktionen mit oft mehreren eigentlichen Investitionen und oft mehreren eigentlichen Finanzierungsmaßnahmen. Solche Kombinationen, die zusammengefaßt analysiert werden müssen, sind häufig sehr schwierig zu beurteilen, von Informationsmängeln in Prospekten ganz abgesehen. Die Problematik solchen Finanzkonstrukte vom Typ III zeigt sich eben darin, daß man eigentlich eben nicht nach Investition und Finanzierung trennen kann. Auf die Problematik der Auswirkungen von Datenänderungen etwa als Erhöhung eines Kreditzinssatzes kann hier nur hingewiesen werden. Die Zinsempfindlichkeit eines Zeitzentrums (oder des mittleren Zahlungstermins) läßt sich darstellen über die 1. Ableitung von n nach i oder besser die Elastizität von n in bezug auf i. Zur Darstellung soll (1.75) formelmäßig über die schon definierte Kapitalsumme K und den Barwert (1.78) vereinfacht werden zu (1.79): (1.78)

n=

\nK-\nBW In

18

Schneider, Wirtschaftlichkeitsrechnung, 1973, S. 9

19

Schneider, Wirtschaftlichkeitsrechnung, 1973, S. 10

(1.79)

65

1.6. Äquivalenz in Zahlungen

1. Ableitung und Elastizität ergeben sich zu: dn _dn= di

dq

1 i

1 dBW

In q\BW /

t7bw,, + In q{i dn i

/

I i i ; In q

|

di

BW

n q

n

(1.80)

dBW di

i

+—

q

(1.81)

Sowohl 1. Ableitung als auch Elastizität nehmen den Grenzwert 0 an im Falle der Degeneration einer einzigen Zahlung. Dies liegt auf der Hand: Das Zeitzentrum einer einzigen Zahlung ist der Zeitpunkt dieser Zahlung, und das unabhängig vom Zinssatz i. Die 1. Ableitung konvergiert beim Zinssatz i = 0 gegen einen recht komplizierten negativen Wert, der unten einfach herleitbar ist. Die Elastizität hat entsprechend den Grenzwert 0, auch das kann einfach gezeigt werden. Daß 1. Ableitung und Elastizität bis auf die genannten Fälle generell negativ sind, folgt anschaulich aus Beispiel 1.46. Dies läßt sich auch allgemein beweisen etwa über Vereinfachung mit gleiche Beträge zu äquidistanten Zeitpunkten oder allgemeineren Ansätzen. Diese Beweise sind aber derart aufwendig, daß sie hier unterbleiben sollen.

Beispiel 1.47: Es werden wieder die Daten des Beipiels 1.46 zugrunde gelegt: Ein Betrag von 10 TDM sei jetzt fällig, 13 TDM seien es in 2,3 Jahren, dann 14 TDM in 3,7 Jahren und schließlich 13 TDM in 7 Jahren. Es sollen Zinssätze betrachtet werden von 0% bis 30% jeweils in Schritten von 5%. Wie groß sind 1. Ableitung des Zeitzentrums nach i und entsprechende Elastizität für die 7 Zinssätze? Wie verhalten sich die Differentialquotienten = 1. Ableitung zu den Differenzenquotienten des Beispiels 1.46? Lösung: Berechnungsgrundlage sind die Beziehungen (1.80) und (1.81), auch hier sollte maschinell gerechnet werden der Einfachheit halber und wegen der möglichen Fehler. Tabellenkalkulationen bieten sich auch hier förmlich an, deren Genauigkeit ist gut genug. Beim Grenzwert i = 0% versagen solche maschinellen Rechnungen, da ist auf die theoreti-

66

Kapitel 1. Zinsrechnung

sehen Herleitungen zurückzugreifen. Die Berechnungsergebnisse sind im folgenden für die geforderten 7 Zinssätze zusammengefaßt.

i

dn/di

TVi

0%

-3,009 Jahre

0,000%

5%

-2,810 Jahre

-4,246%

10%

-2,614 Jahre

-8,239%

15%

-2,427 Jahre

-11,948%

20%

-2,251 Jahre

-15,361%

25%

-2,086 Jahre

-18,482%

30%

-1,934 Jahre

-21,323%

Die 1. Ableitungen entsprechen den Differenzenquotienten aus Beispiel 1.46, sie liegen richtigerweise etwa in der Mitte zwischen den dortigen Werten. Die Elastizitäten laufen in der Tendenz mit den Zinssätzen.

Die Elastizität des Barwertes (1.78) nach i ergibt sich zu: dBW i = — dl W BW

=

i Zn^q-' q %r 2_,K q k

k

=

i D ~ 71 T +/

(L82)

Die Elastizität des Barwertes ist offensichtlich negativ, für i = 0 geht sie gegen 0, nämlich gegen 0 • D(i=0) = 0 - 0 . Mit (1.82) werden (1.80) und (1.81) zumindest formal einfacher zu:

dl

=

(1.83)

qmq

Im = ---—{D q In q

I n-\)

(1.84)

Aus (1.83) läßt sich der in Beispiel 1.47 benutzte Grenzwert bei i = 0% leicht herleiten. Da Zeitzentruni n und Duration D gleich sind, ergibt

67

1.6. Äquivalenz in Zahlungen

(1.83) zunächst einen unbestimmten Ausdruck 0/0. Nach l'Hospital sind Zähler und Nenner jeweis zu differenzieren zu: dn ~di

'dD__dn_ 1 + \nq .. di

di

1

dD

2 + In q di

(1.85)

Für i = 0 beträgt der Grenzwert aus (1.85) die Hälfte der Ableitung der Duration nach dem Zinssatz. Diese Ableitung ist einfach zu berechnen, wenn auch mit etwas Aufwand. Einfach ist der Grenzwert bei i = 0 für die Elastizität nach (1.84), der Grenzwert ergibt sich zu Null. In (1.84) erscheint zwar auch erst ein unbestimmter Ausdruck 0/0. Nach Differentiation in Zähler und Nenner bleibt die 0 im Zähler, der Nenner wird gleich 1 wie im mittleren Term von (1.85). Da 1. Ableitung und Elastizität negativ sind, zeigen die beiden Beziehungen (1.83) und (1.84), daß die Duration D kleiner ist als das Zeitzentrum n, beim Zinssatz i = 0 besteht bekanntlich Gleichheit. Der Fall der Degeneration einer Zahlung ist dabei ausgeschlossen. Explizit läßt sich die Differenz aus einer Umformung von (1.83) darstellen mit: n = D-q\nq

— di

(1.86)

Aus (1.84) läßt sich für die Relation D/n (diese > 0) herleiten: DI n= \ + — \nqr]nj

(1.87)

/

Beispiel 1.48: Es werden wiederum die Daten des Beipiels 1.46 zugrunde gelegt: Ein Betrag von 10 TDM sei jetzt fällig, 13 TDM seien es in 2,3 Jahren, dann 14 TDM in 3,7 Jahren und schließlich 13 TDM in 7 Jahren. Es sollen Zinssätze betrachtet werden von 0% bis 30% jeweils in Schritten von 5%. Wie groß sind Duration und Zeitzentrum, wie groß sind Differenz und Quotient für die 7 Zinssätze? Lösung: Die Berechnungen können direkt über (1.75) und (1.76) erfolgen oder indirekt mittels (1.86) bzw. (1.87). Die Ergebnisse in Jahren sind im folgenden für die geforderten 7 Zinssätze zusammengestellt.

68

Kapitel 1. Zinsrechnung

i

n

D

n-D

n/D

0%

3,454

3,454

0,000

1,000

5%

3,309

3,165

0,144

1,045

10%

3,173

2,899

0,274

1,095

15%

3,047

2,657

0,390

1,147

20%

2,930

2,438

0,492

1,202

25%

2,822

2,240

0,582

1,260

30%

2,721

2,061

0,660

1,320

Äquivalenz aus der fundamentalen Bedeutung des Äquivalenzprinzips bezieht sich nicht nur auf die Relation einzelner Zahlungen zu verschiedenen Zeitpunkten zueinander und auf das Verhältnis von Zahlungsreihen zu äquivalenten einzelnen Zahlungen. Zumindest im Prinzip bezieht sich das Äquivalenzprinzip besonders auf die Relation verschiedener Zahlungsreihen zueinander, und das im wesentlichen weniger auf Äquivalenz, sondern sehr wichtig auf Nichtäquivalenz, auf die Frage der Prävalenzen von Zahlungsreihen untereinander. Äquivalenz von Zahlungsreihen bedeutet gleiche Werte der Zahlungsreihen, wobei der Wert üblicherweise gemessen wird im Barwert nach (1.78). Gleichwertigkeit bezieht sich allgemein nicht nur auf den Zeitpunkt 0 und den dort zugeordneten Barwert. Gleichwertigkeit kann sich auf jeden Zeitpunkt vor, zwischen und nach den Zeitpunkten der Zahlungsreihe beziehen, das meint formal die Multiplikation in der Barwertformel (1.79) mit einem konstanten Faktor. Für einen Endwert EW zu einem vorgegebenen Zeitpunkt T, der nach dem Zeitpunkt der letzten Zahlung liegt oder zumindest nicht davor, ergibt sich einfach durch Aufzinsen mit q T : EW = ^ K k q T - " *

(1.88)

Man spricht allgemein von einem Zeitwert ZW oder auch allgemein Kapitalwert, wenn ein Bezugszeitpunkt t des Wertevergleiches beliebige Werte etwa zwischen den Zeitpunkten der Zahlunsgreihe annimmt. Das ist gegenüber dem Barwert ein Aufzinsen mit dem konstanten Faktor q T oder gegenüber dem Endwert ein Abzinsen mit dem konstanten Faktor q(T_t). Damit wird bei einem Teil der Kapitalbeträge aufgezinst und bei einem anderen Teil abgezinst. Rein theoretisch kann der Bezugszeitpunkt t auch negativ sein (dann wird nur abgezinst) oder größer als der Bezugszeitpunkt T des

1.6. Äquivalenz in Zahlungen

69

Endwertes (dann wird nur aufgezinst), praktisch wird es für eine solche Festlegung aber kaum Gründe geben. Für den Zeitwert gilt die Beziehung: ZW = Y , K k q ' - " *

(1.89)

Der Barwert BW ist ein Spezialfall des Zeitwertes ZW mit t = 0, der Endwert E W ebenso mit t = T. Nicht nur in Betrachtungen über die Duration interessiert die Zinsempfindlichkeit der Zeit- oder Kapitalwerte und insbesondere der Spezialfälle Bar- und Endwert. Zinsempfindlichkeit meint die Änderung dieser Zeitwerte mit einer Änderung im Zinssatz i. solches wird ausgedruckt durch erste Ableitungen, d. h. Differentialquotienten, manchmal auch ersetzt durch Differenzenquotienten. Allgemein ist die 1. Ableitung von Z W nach i:

di

(1.90)

Für die klassischen Größen Barwert (t = 0) und Endwert (t = T) sind die 1. Ableitungen analog und einfach: ^ - Z - A T " ' - '

di

(1.9!)

0-92)

In der Betrachtung von Äquivalenz bei zwei oder mehr Zahlungsreihen kann man die Frage nach jeder unbekannten der vielfältigen Größen stellen, etwa nach einem Betrag einer Zahlungsreihe oder nach dem äquivalenten Zeitpunkt eines Betrages oder auch nach einem Zinssatz, welcher die Äquivalenz herstellt. Letzteres ist ein kritischer Zinssatz, welcher die Gleichwertigkeit der Barwerte zweier Zahlungsreihen herstellt wie genau so die Gleichwertigkeit der Endwerte und aller möglichen sonstigen Zeitwerte

Beispiel 1.49: Eine erste Zahlungsreihe Z mit insgesamt 35 T D M an Einzahlungen bestehe im einzelnen aus 4 Einzahlungen mit 10 T D M in 0,3 Jahren, 12 T D M in 2,25 Jahren, 5 T D M in 3,6 Jahren und 8 T D M in 4,87 Jahren. Eine zweite Zahlungsreihe Z Z mit insgesamt 37 T D M an Einzahlungen habe drei Einzahlungen mit 6 T D M nach 3,5 Jahren, 15 T D M nach 4,4 Jahren und 16 T D M zu einem noch unbe-

70

Kapitel 1. Zinsrechnung

kannten Zeitpunkt. Als Zinssatz ist i = 7,8% vorgegeben. Welches ist dieser Zeitpunkt bei der Äquivalenz der Einzahlungsreihen Z und ZZ? Es soll einmal gerechnet werden über den Barwert und dann über einen Endwert zum vorgegebenen Zeitpunkt 8,3 Jahre. Lösung: Der Barwert der Zahlungsreihe Z beim Zinssatz von 7,8% errechnet sich im Prinzip einfach nach (1.78) zu 29.276 DM. Der Barweit der ersten beiden Zahlungen von ZZ wird entsprechend 15.392 DM. Die Differenz macht den Barwert der letzten Zahlung 16 TDM aus. So ergibt sich zunächst: q -»k

= ( 2 9 , 2 7 6 - 1 5 , 3 9 2 ) / 1 6 = 0,86775

Der gesuchte Zeitpunkt ergibt sich aus der Auflösung danach aus der logarithmischen Beziehung: nk = - In 0,86775 / In 1,078 = 1,888 Jahre Die Rechnung in Endwerten des Zeitpunktes 8,3 Jahre verläft analog, der Endwert von Z beträgt 54,607 TDM, und der Teilendwert von ZZ macht 28,709 TDM aus. Somit wird: q

T - n

k

_ (54 607 - 28,709)/16 = 1,6186

Die logarithmische Beziehung wird zu: T-nk

= In 1,6186/In 1,078 = 6,412

Mit T = 8,3 Jahre errechnet sich der Zeitpunkt der 16 TDM in ZZ wieder zu 1,888 Jahren.

In diesen Beziehungen ist die Frage nach bestimmten Kapitalbeträgen oder nach bestimmten Zahlungszeitpunkten insofern einfach zu beantworten, als die Beziehungen wie in Beispiel 1.49 dargestellt nach diesen Größen aufgelöst werden können aus der Gleichheit der Barwerte, Zeitwerte oder Endwerte, dies im übrigen in beliebigem Bezug. Der Rechenaufwand dazu mag beträchtlich sein, er ist von Computern und speziell Tabellenkalkulationen sehr einfach zu bewältigen. Es ist etwas anderes, wenn man nach interessanteren Größen fragt und da speziell nach demjenigen Zinssatz i, der Äquivalenz der Zahlungsreihen

71

1.6. Äquivalenz in Zahlungen

bedeutet. Ein solches Problem rangiert unter der Bezeichnung des kritischen Zinssatzes, wiewohl auch die obigen Größen kritische Werte darstellen Kritische Zinssätze stellen eines der Probleme und Fragen der Finanzmathematik dar und mehr der Beurteilung von Investitionsprojekten mit definierten Zahlungen, im Zweifel das zentrale. Nun sind alle Fragen nach dem Zinssatz i Fragen nach Polynomwurzeln oder zumindest ähnlichem, man schaue auf die Beziehungen (1.78), (1.88) und (1.89). Solche lassen sich nun mal nicht nach der gesuchten Größe i (explizit) auflösen, es gibt aber exzellente iterative Näherungsverfahren, welche den Zinssatz i mit beliebiger Genauigkeit berechnen. Dieses ist in Mathematiklehrbüchern vergangener Jahrhunderte nachlesbar schon vor dem Computerzeitalter. Als probates Näherungsverfahren wird insbesondere in der Finanzmathematik das Newton-Verfahren propagiert, das sicherlich sehr zu Recht, aber es gibt auch eine Vielzahl an Verfahren gleicher Qualität. Das Newton-Verfahren konvergiert quadratisch mit einem Problem des Konvergenzfaktors bzw. des Anfangswertes, das ist bei dieser relativ einfachen Beziehung unproblematisch. Das Newton-Verfahren sucht ganz einfach das i an der Stelle y(i) = 0. Die Iterationsbeziehung des Newton-Verfahrens ist einfach aus y(i) als Wert an der Stelle i und y'(i) als der Ableitung an dieser Stelle:

•

n

•

ai\

y {') Bei einem solchen kritischen Zinssatz i, wie oben beschrieben, muß y(i) offensichtlich die Differenz aus den relevanten Bar-, End- oder Zeitwerten sein entsprechend (1.78), (1.88) oder (1.89). Die Ableitung y'(i) setzt sich entsprechend aus der Differenz der Ableitungen zusammen nach (1.91), (1.92) oder (1.90).

Beispiel 1.50: Fast wie in Beispiel 1.49: Eine erste Zahlungsreihe Z mit insgesamt 35 TDM an Einzahlungen bestehe im einzelnen aus 4 Einzahlungen mit 10 TDM in 0,3 Jahren, 12 T D M in 2,25 Jahren, 5 T D M in 3,6 Jahren und 8 TDM in 4,87 Jahren. Eine zweite Zahlungsreihe ZZ mit insgesamt 37 T D M an Einzahlungen habe drei Einzahlungen mit 6 TDM nach 3,5 Jahren, 15 TDM nach 4,4 Jahren und 16 T D M nach 5,2 Jahren. Bei welchem Zinssatz sind die Einzahlungsreihen Z und ZZ äquivalent?

Kapitel 1. Zinsrechnung

72

Lösung: Im C o m p u t e r ist die Iterationsbeziehung (1.93) zu installieren. Dabei ist es unerheblich, ob y(i) als Differenz der Barwerte, von Zeitwerten oder von Endwerten definiert wird, auch unter Gesichtspunkten des Rechenaufwandes ist das wenig relevant, der W e g über Barwerte ist allerdings formelmäßig einfacher. Die Ableitungen y'(i) sind analytisch zu bestimmen nach (1.90) bzw. (1.91) bwz. (1.92), das erfordert einen gewissen Aufwand. Es wird ausgehend von i = 7,8% aus Beispiel 1.49 gerechnet werden, auch der Anfangswert der Iteration ist bei diesen gutmütigen Problemen weniger wichtig. Bei allen drei Vorgehensweisen ergibt sich nach 3 Iterationsschritten i = 2 , 6 2 1 % auf 4 Stellen genau, ein weiterer Iterationsschritt kommt in den Bereich der Rundungsungenauigkeiten des Computers und bringt i = 2 , 6 2 1 2 7 4 % auf 7 Stellen genau.

Grundlegend in der Finanzmathematik und insbesondere in Investitionsrechn u n g e n sind Betrachtungen zur Disäquivalenz, genauer die Frage der Prävalenz einer Zahlungsreihe in Relation zu einer anderen. Offensichtlich ist diejenige Zahlungsreihe die bessere, die den höheren Wert hat, sei es Bar-, E n d - oder Zeitwert, natürlich jeweils bei gleichem Zinssatz. In der Investitionsrechnung spielt derjenige kritische Zinssatz i eine herausragende Rolle, bei d e m Bar-, End- oder Zeitwert den Wert Null annehmen. Dieser kritische Zinssatz ist der interne Zinssatz der Zahlungsreihe und existiert nur für "saldierte" Zahlungsreihen oder genauer gesagt solche, die Zahlungen beiderlei Vorzeichen aufweisen. Hiermit sind viele Fragen zu Eindeutigkeit, Vorzeichen, sogenannten Prämissen und auch verschiedenen Interpretationen verbunden. Dazu ist auf die spezielle Literatur zu Investitionen und Investitionsrechnungen zu verweisen. 2 0

20

Vgl. Altrogge, Investition, 1996 und die dort angegebene Literatur

2. Rentenrechnung

2.1. Renten Unter Renten werden landläufig Nacharbeitseinkommen verstanden, seien es nun Renten aus halbstaatlichen Rentenkassen, aus (ganz-) staatlichen Kassen oder als nichtstaatliche Betriebsrenten. Diese Renten werden absolut betragsmäßig, in ihrer Laufzeit und auch in einer sogenannten D y n a m i k des Ansteigens laufend öffentlich diskutiert. Die politischen Diskussionen daru m in den letzten Jahren des zweiten Jahrtausends unserer Zeitrechnung sprechen ein beredtes Wort nicht nur um Rechnungen, gleichwohl u m Gerechtigkeiten und insbesondere Finanzierung und Finanzierbarkeit der zumindest in Deutschland anstehenden immensen Beträge. Renten als Nacharbeitseinkommen sind normalerweise in ihrer Laufzeit auf das Lebensende eines Rentners bezogen, sie laufen schlicht bis zum Tode bzw. den ein oder anderen Monat danach. Man spricht in diesem Zusamm e n h a n g weitläufig von Leibrenten. Es gibt natürlich auch andere Konstruktionen nicht nur aus steuerlichen Gründen, bei denen Renten zeitlich begrenzt sind oder auch über den Tod hinaus kontraktiert sind. Finanzmathematisch muß man eine Rente etwa in Betrag oder Laufzeit und auch in weiteren Parametern präziser fassen, was nicht heißt, daß diese Betrachtungen nicht etwa auf Leibrenten über Erwartungswerte in Laufzeiten übertragbar seien, ganz im Gegenteil: Finanzmathematische Überlegungen sind die Basis aller Kalkulationen etwa von Rentenversicherungen oder Lebensversicherungen. Unter einer Rente wird eine Folge von Rentenzahlungen (synonym Rentenraten, aber auch Renten) verstanden, die zeitlich äquidistant mit d e m Abstand einer vorgegebenen Rentenperiode erfolgt. Der einfachste Fall einer solchen Äquidistanz sind jährliche Rentenzahlungen. Zur Rentenrechnung gehören aber auch Fälle mit zeitlich größeren Abständen in Form von Warte-, Unterbrechungs- oder Abbruchzeiten. D i e wiederkehrenden Zahlungen einer Rente können einmal gleichhoch sein über die gesamte Laufzeit, sie können aber auch dynamisiert sein oder externen Indizes wie etwa einem Lebenshaltungskostenindex folgen. Die Finanzmathematik betrachtet in der Dynamisierung sogenannte arithmetische und geometrische Renten. Dabei stellt die Folge der Rentenzahlungen einmal eine arithmetische Folge dar und zum anderen eine geometrische

74

Kapitel 2. Rentenrechnung

Folge. Finanzmathematisch ist es weitgehend unerheblich, ob die Zahlungen in den Folgen ansteigen oder abfallen. Es ist von besonderer Bedeutung, ob die Rentenzahlungen am Anfang oder am Ende der jeweiligen Rentenperioden gezahlt werden, man bezeichnet diese Renten als vorschüssige Renten bzw nachschüssige Renten. Letztere haben praktisch die größere Bedeutung und sollen deswegen hier als Basisfall behandelt werden. Diese Unterscheidung hat nichts zu tun mit der Differenzierung im Zinssatz des 1. Kapitels. Dort wurde der nachschüssige Zinssatz als Normalfall dargestellt, der vorschüssige Zinssatz als Ableitung daraus in einfachen Umrechnungsformeln. Hier wird nur der nachschüssige Zinssatz dargestellt, eine Umwandlung in vorschüssige Zinssätze mit den Beziehungen des 1. Kapitels ist unbenommen. Die Darstellung der Renten und die Behandlung der damit zusammenhängenden Fragen soll hier zunächst - auch der Klarheit halber - mit jährlichen Rentenzahlungen erfolgen. Damit wird die Laufzeit der Rente sinnvollerweise in (ganzen) Jahren gemessen. Dies mag verwundern angesichts der Tatsache, daß Renten in der Praxis sehr häufig unterjährig gezahlt werden etwa zu Monatsanfängen oder Monatsenden. Es wird sich zeigen, daß eine Übertragung der Ergebnisse und Analysen auf unterjährige Zahlungen etwa in Quartals- oder Monatsabständen oder gar auf einen kontinuierlichen Zahlungsstrom einfach und unproblematisch darstellbar ist. Die Bezugnahme auf das Jahr wirft sofort wieder die Frage auf, ob denn das Kalenderjahr gemeint sei oder ein relatives Jahr ohne Kalenderbezug. Man könnte explizit auf das Kalenderjahr Bezug nehmen und insbesondere unterjährig mit einfachen Zinsen rechnen. Solche Fälle sind denkbar insbesondere bei bankenüblicher Verzinsung etwa auf Girokonten oder Sparbüchern, sie spielen praktisch in der Rentenrechnung aber keine Rolle. So kann man einfache Zinsen in der Rentenrechnung problemlos ausschließen Setzt man unterjährig statt der einfachen Zinsen konforme unterjährige Zinssätze an, verschwinden die Unterschiede zwischen dem Kalenderjahr und dem relativen Jahr. In den folgenden Betrachtungen zur Rentenrechnung wird ein solcher terminologischer Unterschied nicht mehr gemacht. Bei Jahresrenten stimmen Rentenperiode und Zinsperiode offensichtlich überein. Auch bei unterjährigen Rentenzahlungen treten keine Differenzen und Probleme auf, wenn man einerseits die unterjährigen Rentenzahlungen konform berechnet und andererseits unterjährig mit konformen Zinssätzen rechnet. In der Rentenrechnung auf die wiederkehrenden Zahlungen interessieren bei bekannter Folge der Zahlungen der Rentenbarwert (oder Barwert BW), der Rentenendwert am Ende der Rentenlaufzeit n (oder Endwert EW) und

2.2. Nachschüssige gleichbleibende Jahresrente

75

auch ein Rentenzeitwert (oder Zeitwert ZW) zu einem vorgegebenen Zeitpunkt t sinnvollerweise zwischen 0 und n. Ebenso interessieren auch "Wege" zu diesen zeitpunktbezogenen "konzentrierten" Werten BW, EW und ZW. Das sind Fragen nach allen anderen Größen der Rente aus verschiedenen Richtungen, insgesamt eine Fülle möglicher Fragestellungen an die Rentenrechnung.

2.2. Nachschüssige

gleichbleibende

Jahresrente

Bei der gleichbleibenden Jahresrente erfolgt über die Rentenlaufzeit von n Jahren jährlich die gleichbleibende Rentenzahlung R in den Jahren 1, 2, ..., n. Die n Zahlungen werden nachschüssig (postnumerando) geleistet, d. h. zu den Zeitpunkten 1, 2, .... n. Es interessieren daraus agglomerierte Zeitwerte dieser Rente, das sind Barwert BW, Endwert EW auf den Zeitpunkt n und Zeitwert ZW auf einen Zeitpunkt t eigentlich in ganzen Jahren, aber nicht notwendigerweise. Der Barwert stellt die Kapitalisierung der Rente dar, der Endwert die "Ablaufleistung", den bei Ende der Rentenlaufzeit zum Zeitpunkt n aufgelaufenen Betrag. Die Berechnung des Endwertes aus einer Darstellung auf verzinslichem Konto wird in der Finanzmathematik sicher zu Recht als anschaulicher verstanden, die Herleitung des interessanteren Barwertes ist abstrakter und soll hier zunächst erfolgen. Zur Ermittlung des Barwertes BW sind alle Zahlungen R der Zeitpunkte 1, 2, ..., n auf den Zeitpunkt 0 zu diskontieren mit dem Zinssatz i bzw. über den Diskontierungsfaktor q zu: BW = R-q~x + Rq'2 +... +

Rqn

= R{q~1 +q2 +... + q-") = R-S

(2.1)

Die Summe S ist eine geometrische Reihe mit n Gliedern und soll hier in Schritten einmal genauer analysiert, untersucht und zusammengefaßt werden: •S" =q-] +q~2 +... + q~" q-S =\ + q]+... + q {q-\)S

= 1 -q" i

76

Kapitel 2. Rentenrechnung

Diese Summe S wird Rentenbarwertfaktor RBF (bei nachschüssiger Jahresrente) genannt und wird unterschiedlich differenziert dargestellt als: K f l ^ W U i C z l i-q" q-1

{q-\)q"

Der Rentenbarwertfaktor RBF wird oft auch als Kapitalisierungsfaktor bezeichnet aus der Sicht, daß nachschüssige Rentenzahlungen kapitalisiert werden sollen, also durch eine Einmalzahlung zum Zeitpunkt 0 zu ersetzen sind. Zusammenfassend ergibt sich für den Barwert der Rente die Beziehung: BW = R^3-

= R-RBF

(2.3)

Der Endwert EW der nachschüssige Jahresrente läßt sich einfach aus dem Barwert berechnen durch Aufzinsung. Er soll hier aber anschaulicher in Schritten hergeleitet werden. Der Endwert stellt definitionsgemäß den Wert der Rente zum Zeitpunkt n der Rentenlaufzeit dar. Die erste Rentenzahlung R fällt zum Zeitpunkt 1 an, sie verzinst sich also über n-1 Jahre. Die zweite Zahlung R verzinst sich über n-2 Jahre usw. Die letzte Zahlung R fällt zum Zeitpunkt n an, sie wird unverzinst aufaddiert. Somit ergibt sich für den Rentenendwert EW die Beziehung: EW = R-q"x + Rq"2

+ ... + R

= R{qn~' +q"~2 +...+ l)= RS

(2.4)

Diese Summe S ist wiederum eine geometrische Reihe mit n Gliedern, die wiederum schrittweise berechnet werden soll: 5 =qn~] +q"~2 +... +1 q-S (,q-l)S

=qn +q"-] +... + q =q"-\

2.2. Nachschüssige gleichbleibende Jahresrente

77

Diese Summe S wird nun Rentenendwertfaktor REF (bei nachschüssiger Jahresrente) genannt und differenziert dargestellt: R E F =

r

z

l

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