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German Pages [276] Year 2008
ULI
Fin an zm ath em atik Intensivkurs Lehr- und Übungsbuch
von
Prof. Dr. Holger Ihrig und
Prof. Dr. Peter Pflaum er
11., überarbeitete Auflage
Oldenbourg Verlag München
Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen im Internet über abrufbar.
Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind
© 2009
Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH Rosenheimer Straße 145, D-81671 München Telefon: (089) 45051-0 oldenbourg.de Das Werk einschließlich aller Abbildungen ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen.
Lektorat: Wirtschafts- und Sozialwissenschaften, wiso@ oldenbourg.de Dr. Rolf Jäger Coverentwurf: Kochan & Partner, München Gedruckt auf säure- und chlorfreiem Papier Gesamtherstellung: Books on Demand GmbH, Norderstedt
Herstellung:
ISBN 978-3-486-58925-2
Vorwort
V
VORWORT ZUR l. BIS II. AUFLAGE Das vorliegende Buch ist aus Grundvorlesungen der Wirtschaftsmathematik entstanden, die wir in den letzten Jahren für Studierende der Wirtschafts- und Sozialwissenschaften sowie für Studierende des Wirtschaftsingenieurwesens gehalten haben. Es ist unser Konzept, mittels Testaufgaben mit Lösungsangaben eine schnelle Ist-Analyse des vorhandenen Wissens zu ermöglichen (um Kapitel überschlagen zu können), durch einen nicht zu umfassend gehaltenen, an Übungsbeispielen orientierten Lehrtext das nötige Wissen rasch zu vermitteln und in einem Übungsteil mit erweitert dargestellten Lösungen, das Gelernte zu verfestigen. Das Ziel ist im besonderen die schnelle Vermittlung von Basiswissen.
Hierzu ist jedem Kapitel ein Testteil mit insgesamt 64 Aufgaben, den zugehörigen Lösungsund Hinweisen auf den zuzuordnenden Abschnitt im Lehrtext vorangestellt. Im Lehrtext verdeutlichen tabellarische Übersichten auf einfache Weise die Entwicklung der finanzmathematischen Formeln. Besonders haben wir darauf geachtet, daß der Leser die mathematischen Herleitungen anhand von zahlreichen, parallel durchgerechneten Beispielen leicht einsehbar nachvollziehen kann. Ein Übungsteil schließt die jeweiligen Kapitel ab. Für die 148 Übungsaufgaben sind in einem Anhang die Lösungshilfen hinreichend ausführlich angegeben. Das Lösen der vermischten Aufgaben in Anhang C dient der optimalen Klausurvorbereitung. Wir haben versucht, möglichst wenige mathematische Vorkenntnisse vorauszusetzen. Leser, die ihr mathematisches Grundwissen auffrischen wollen bzw. müssen, wird vor der Lektüre des finanzmathematischen Teiles empfohlen, den Anhang A durchzuarbeiten.
angaben
Wichtig scheint uns, daß dieses Buch als Hilfe zum Gebrauch neben Vorlesungen als Prüfungsvorbereitungs- und im späteren Berufsleben als Nachschlage- und Auffrischungsmedium verstanden wird. Zu diesem Zweck haben wir auch wichtige finanzmathematische Tabellen eingefügt, mit denen auf einfache Weise Rentenendwerte, Rentenbarwerte, Annuitäten und Effektivzinsen ermittelt werden können. Eine ideale
Ergänzung zu dem vorliegenden Lehrbuch ist die Monographie Pflaumer, P: Klausurtraining Finanzmathematik,
welche eine Zusammenstellung von Klausuraufgaben der Finanzmathematik enthält, die in den letzten Jahren von uns gestellt worden sind. Zur Durchführung komplexer Berechnungen ist
Pflaumer, P: Excel-Funktionen für Finanzmathematik und Investitionsrechnung
als Lektüre zu empfehlen. Wichtige finanzmathematische Formeln und Funktionen in Excel werden anhand vieler Beispiele der Finanzmathematik und der Investitionsrechnung übersichtsartig erläutert. Den Herren Prof. Dr. W. Hauke und Dipl.-Phys. C. Heuson danken wir für die kritische Durchsicht des Textes bei der Durchführung ihrer Vorlesungen sowie für wertvolle Hinweise. Unser besonderer Dank gilt auch Herrn Dr. J. Schechler, Oldenbourg Verlag, für die sehr gute und verständnisvolle Zusammenarbeit.
Holger Ihrig und Peter Pflaumer
Inhaltsverzeichnis
VI
INHALTSVERZEICHNIS
A. EINFACHE ZINSRECHNUNG I.
1 1
Testaufgaben
II. Lehrtext 1.
1
Begriffe
1
2. Zinsformel für einfache Verzinsung 3. 4. 5.
6.
3
Berechnung von Kapital, Zinsfuß und Laufzeit Berechnung von Tageszinsen Zinssatz bei Gewährung von Skonto Barwert bei einfacher Verzinsung
Übungsaufgaben
III.
5 6
6 9
B. RECHNEN MIT ZINSESZINSEN
L
4
10
Testaufgaben
10
II. Lehrtext
11
1. Jährliche
11
2.
14
Verzinsung Unterjährliche Verzinsung und stetige Verzinsung
3. Effektivzins und konformer Zins
16
4. Barwert bei der Zinseszinsrechnung
19
5.
Anwendungen
21
5.1 Wachstumsraten
21
und Halbierungszeiten
Verdopplungs-, Verdreifachungs5.3 Realzins (inflationsbereinigter Zinsfuß)
5.2
5.4 Gemischte
III.
Verzinsung
Übungsaufgaben
24 26 27
29
Inhaltsverzeichnis
C. RENTENRECHNUNG I.
Testaufgaben
II. Lehrtext 1.
Grundbegriffe
2. Jährliche Renten- (Raten-) Zahlungen
33 33 35
35 37
2.1
Nachschüssige Zahlungen
37
2.2
Vorschussige Zahlungen
42
2.3 Kombinierte Renten- und Zinszahlungen
2.3.1
Rentenzahlung und Einzelleistung 2.3.2 Aufgeschobene, unterbrochene und abgebrochene Renten 3. Unterjährliche Renten-(Raten-) Zahlungen 3.1 Nachschüssige Zahlung mit jährlicher Verzinsung 3.2 Vorschussige Zahlung mit jährlicher Verzinsung 3.3 Unterjährliche Zins- und Rentenzahlung 3.4 Einige Fragestellungen bei unterjährlicher Rentenzahlung 4. Ewige Rente 5. Dynamische Rente 5.1 Nachschüssige jährliche Zahlungen 5.2 Vorschüssige jährliche Zahlungen 5.3 Renten mit gleicher Dynamisierungsrate und gleichem Zinsfuß 6. Rentenrechnung bei gemischter Verzinsung und Berechnung der Effektivverzinsung nach Preisangabenverordnung (PAngV 2000) 7. Mittlerer Zahlungstermin und Duration 8. Zusammenfassung der wichtigsten Formeln der Rentenrechnung 9. Investitionsrechnung 9.1 Kennzahlen bei konstanten Einzahlungsüberschüssen 9.2. Kennzahlen bei variablen Einzahlungsüberschüssen III. Übungsaufgaben D. TILGUNGSRECHNUNG
I.
VII
Testaufgaben
II. Lehrtext
47
47 49 51
52 53 54 56 59 61 61 63 64
65
71 74
78 78
82 84
92 92
94
Inhaltsverzeichnis
VIII
1. 2.
3.
Grundbegriffe Ratentilgung 2.1 Jährliche Ratentilgung 2.2 Unterjährliche Ratentilgung
94
Annuitätentilgung 3.1 Jährliche Annuitätentilgung 3.2 Unterjähriiche Annuitätentilgung
102
98 102 106
107
3.2.2
109
Unterjährliche Verzinsung
E. KURSRECHNUNG I.
95
3.2.1 Jährliche Verzinsung
Übungsaufgaben
III.
95
Testaufgaben
H. Lehrtest
114
118 118 119
1. Defüiition des Kurses
119
2. Kurs einer am Ende der Laufzeit zurückzahlbaren Schuld
121
2.1 Kurs einer Zinsschuld
121
2.2 Kurse von unverzinslichen Schatzanweisungen und Nullkupon-Anleihen
126
2.3 Der Einfluß des Marktzinses auf den Kurs
127
2.4 Duration und Kurssensitivität
128
3. Kurs einer ewigen Anleihe
131
4. Kurs einer Annuitätenschuld
132
4.1 Jährliche
Annuitätenzahlung 4.2 Unterjährliche Annuitätenzahlung 4.2.1 Jährliche Verzinsung 4.2.2 Unterjährliche Verzinsung 5. Kurs einer Ratenschuld
III.
133 133 134 134
Ratentilgung 5.2 Unterjährliche Ratentilgung
134
Rentabilitätsrechnung
136
5.1 Jährliche 6.
132
Übungsaufgaben
135
140
Inhaltsverzeichnis
F. ABSCHREIBUNG I.
143
Testaufgaben
143
U. Lehrtext 1.
DC
144
Vorbemerkung
144
2. Lineare Abschreibung
146
3.
146
4. 5. III.
Degressive Abschreibung Degressive Abschreibung mit Übergang zur linearen Abschreibung Digitale Abschreibung
Übungsaufgaben
150 152
ANHANG A: EINIGE MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN DER REELLEN ZAHLEN 1.
149
153
Potenzrechnung Wurzelrechnung Logarithmenrechnung
154
4. Summen und Zahlenreihen
156
5. Zahlenreihen in der Finanzmathematik
158
2.
3.
6.
Übungsaufgaben
ANHANG B:
zu
153 155
den Grundlagen
160
LÖSUNGSHINWEISE
166
A. Einfache Zinsrechnung
166
B. Rechnen mit Zinseszinsen
167
C.
173
D.
186
Rentenrechnung Tilgungsrechnung E. Kursrechnung F. Abschreibung ANHANG C: VERMISCHTE AUFGABEN MIT
Aufgaben Lösungen
192 196
LÖSUNGEN
198 198 209
X
Inhaltsverzeichnis
ANHANG D: TABELLEN
213
Hinweise zur Ermittlung von Effektivzinsen mit Hilfe der Tabellen 1. Effektivzins bei jährlichen
Zahlungen
2. Effektivzins bei unterjährlichen Zahlungen 2.1 AIBD-Methode bzw.
2000
PAngV 2.2 Effektivzins bei gemischter Verzinsung (auch: PAngV 1985) Tabelle I:
214 214 214 214 215
218
Tabelle IV:
Nachschüssige Rentenendwertfaktoren Vorschüssige Rentenendwertfaktoren Nachschüssige Rentenbarwertfaktoren Vorschüssige Rentenbarwertfaktoren
Tabelle V:
Annuitätenfaktoren
226
Tabelle II:
Tabelle III:
Nachschüssige monatliche Rentenbarwertfaktoren Tabelle VII: Nachschüssige vierteljährliche Rentenbarwertfaktoren Tabelle VIII: Nachschüssige halbjährliche Rentenbarwertfaktoren Tabelle IX: Vorschüssige monatliche Rentenbarwertfaktoren Tabelle X: Vorschüssige vierteljährliche Rentenbarwertfaktoren Tabelle XI: Vorschüssige halbjährliche Rentenbarwertfaktoren Tabelle VI:
220
222 224
228 240 244 246 258 262
LITERATURHINWEISE
265
SACHVERZEICHNIS
267
A.
Einfache Zinsrechnung
1
A. EINFACHE ZINSRECHNUNG
I. 1. Ein
Testaufgaben Geldbetrag über 800 € wird vom 31.05. bis 06.07. zu 5% angelegt. Wie hoch sind
die Zinsen?
Lösung:
-»-A4
4€
lange dauert es, bis 500 € auf 600 € angewachsen sind, Verzinsung von 5% angenommen wird?
2. Wie
Lösung: 3. Ein
4 Jahre
Geldbetrag über
1000 € wird für ein
falls eine einfache -»A3
Vierteljahr zu 3% angelegt.
Berechnen Sie
die Zinsen.
Lösung:
7,50 €
-»
A 1
€, der in 72 Tagen fällig ist, wird zum Diskont eingereicht. Der Diskontsatz beträgt inkl. Provision 10%. Welchen Betrag zahlt die Bank? -+ A 6 Lösung: 1000 € (999,60 €)
4. Ein Wechsel über 1020
Betrag über 53.000 € bereits 9 Monate vorher ausbezahlt werden. Der Diskontsatz beträgt 8%. Berechnen Sie den Barwert der Zahlung.
5. Einem Erben soll ein
Lösung:
50.000 €
-*
A6
Jahresverzinsung entspricht die Skontogewährung in der folgenden Zahlungsbedingung? "Zahlbar 10 Tage nach Rechnungsstellung mit 2% Skontoabzug oder einen Monat nach Rechnungsstellung ohne Abzug".
6. Welcher
Lösung:
36,73%
-+
A5
II. Lehrtext 1.
Begriffe
Unter Zins versteht man den Preis, den ein Schuldner für die leihweise
Überlassung von
Geld bezahlen muß (Sollzins) bzw. ein Gläubiger für die Überlassung von Sparkapital erhält
(Habenzins). Bei der Berechnung der Zinsen muß unterschieden werden, ob die bereits angefallenen Zinsen mitverzinst werden (Zinseszinsrechnung) oder nicht (einfache Zinsrechnung). Bei der einfachen Zinsrechnung werden die Zinsen jeweils vom Anfangskapital zu
2
Einfache Zinsrechnung
A.
Beginn einer Finanzaktion berechnet. Die am Ende einer Zinsperiode (= Vorperiode) gutgeschriebenen Zinsen werden in der folgenden Periode nicht mitverzinst. Der Zinsbetrag jeder Periode ist daher gleich groß. Kapital bzw. der Geldbetrag am Anfang der ersten Periode wird mit Kq das Kapi-
Das
,
tal am Ende der letzten Periode wird mit K„ bezeichnet. Der Zinsfuß pro Periode heißt p. Er wird zumeist für das Jahr angegeben. Dies kann durch den Zusatz p.a. (per annum) verdeutlicht werden. Wichtige Begriffe und die in der Finanzmathematik üblichen Bezeichnungen
sind in der folgenden Übersicht zusammengestellt. Einfache Zinsen sind beim Geldverkehr zwischen Privatleuten nach § 248 BGB und zwischen Kaufleuten nach § 353 HGB gestattet. Zinseszinsen dürfen nur von Versicherungsanstalten, Banken und Sparkassen berechnet werden. Der Zinsfuß beträgt beim Fehlen anderer Vereinbarungen 4% im bürgerlichen Recht, 5% im Handelsrecht und 6% im Wechsel- und Scheckrecht.
Übersicht: Wichtige Begriffe der Zinsrechnung Ky
Anfangskapital zu Beginn einer Finanzaktion
:
.
p
Zinsfuß in Prozent bzw. vom Hundert; wird vereinbart für einen bestimmten Zeitraum (dieser Zeitraum ist üblicherweise ein Jahr, wenn nicht ausdrücklich anders angegeben! -* Jahreszinsen).
n
Anzahl der gleich langen Zeiträume, in denen der Zinsfuß p cherweise -» Jahre, wenn nicht anders angegeben).
m
Anzahl der Zinsperioden im Zeitraum der Gültigkeit einer solchen Zinsperiode wird das Kapital verzinst. Beispiel: Zeitraum sei ein Jahr (Jahreszinsen p) m 2 halbjährliche Verzinsung
:
von
gewährt wird (übli-
p;
jeweils
zum
Ende
=
vierteljährliche Verzinsung monatliche Verzinsung
p*
:
tägliche Verzinsung (finanztechnisch gilt: 1 Jahr Zinsfuß pro Zinsperiode p* p/m -»
=
m
=
m
=
m
=
4 12 360
360 Tage)
=
Beispiel: Jahreszinsen p 6 (6% Zinsen/Jahr) .
=
-»
Monatszinsen p*
=
6/12
=
1/2
=
0,5
(0,5% Zinsen/Monat)
Zn
:
Kn
:
Merke:
aufgelaufene Zinserträge eines Anfangskapitals Kq nach n Zinszeiträumen bzw. nach n m Verzinsungen; die Zinsen werden jeweils am Ende einer Zinsperiode berechnet. Endkapital nach n Zinszeiträumen; dies setzt sich zusammen kapital und den aufgelaufenen Zinserträgen: K n =K0 +Z n Wenn nicht ausdrücklich darauf hingewiesen die Größe n zählt Jahre.
wird,
so
aus
gelten
dem
Anfangs-
Jahreszinsen und
A.
Einfache Zinsrechnung
3
2. Zinsformel für einfache Verzinsung In diesem Abschnitt wird die Zinsformel für die einfache
spiels abgeleitet. Beispiel: Anfangskapital Ko Fall
a: m
=
1
*
eine
Zu verzinsendes
n
Kapital
0
von
einem Jahr.
Endkapital
Zinsertrag
Z1
K0.TJÖ=
=
K,-
1.000,- €• tu7j 50,-€ =
=
=
1.050,-€
-
Ko= 1.000,-€
Z2
=
Z1+K0TJÖ=
K2
2
=1.100,-€
=
2
im Zinszeitraum
Verzinsung
eine
-
Ko= 1.000,-€ 1
1.000,- €; Jahreszinsen von 5% (p=5).
=
Zinsperiode, d.h.
Jahr
Verzinsung anhand eines Bei-
Kq ™=100,-€
=
-
zk
=
=
k
Ko Töö
Kk Ko + Zk =
=
k 50,- € •
Ko= 1.000,-€
Zn
=
=
Ko-
n
^=
Kn Ko + Zn =
50,- €
n •
Endkapital nach n Jahren:
Kn ^ + Zn K0 + nKoTÖÜ: =
Kn
Fall b:
m >
1
=
=Knfl 0 V +n—) 100-'
1.000,-€ (l+n-0,05).
=
Zinsperioden im Zinszeitraum von einem Jahr; es wird jeweils nach einer Zinsperiode von ^m-tel Jahr mit einem Zins pro Zinsperiode von p*=p/m verzinst; es wird somit pro Jahr m mal verzinst; nach n Jahren erge-*
m
ben sich insgesamt n-m Verzinsungen.
Bezeichnung: unterjährliche Verzinsung + m 12 und p*
z.B.: monatliche Verzinsung
=
=
5/12 .
4
A.
Einfache Zinsrechnung
Endkapital nach n Jahren: P*
Kn KO + zn K0 + n-m-Ko ygg =
=
Kn
c:
^1+nmn7Tüö)
=Kn(l+n —) 0 V 100/
1
=
000>- €
(1+n 12T2Töö)
(m fällt heraus!).
Bei der einfachen
Verzinsung spielt es keine Rolle, wie oft in einem Zinszeitraum verzinst wird, da die jeweils erzielten Zinserträge nicht mitverzinst werden (siehe jedoch Kapitel B: Zinseszinsrechnung).
Merke:
Fall
=
Kapital Kg steht entweder kürzer als ein Jahr oder keine Verzinsung an, wie folgende Beispiele zeigen: ß) 1 Vierteljahr; a) 3 Monate; 3/4 1 Jahr; 8) 390 Tage. y) Das
ganzen Jahre
n zur
Die Zinsen berechnen sich nun zu:
a) Z3/12
ß) Zl/4 y)
Z,,7S
8) Z39o/360
=Ko-f2'TOl5;
=
=
=
=
Ko
•
{ft}
\ T07j K^Tj -rj^Ko-1,75 -r^;
Kn
=
;
•
Ko-7-4^ Kq 390 Pj3^
=
Kfl 3-55
=
•
yjjjj.
Bei der einfachen Zinsrechnung ist es unerheblich, ob die Anzahl der Jahre ganz-
Merke:
zahlig ist.
3. Durch
Berechnung von Kapital, Zinsfuß und Laufzeit Umformung
der Zinsformel können
Anfangskapital,
Laufzeit und Zinsfuß be-
rechnet werden.
Berechnung des Kapitals -
Welches
Kapital bringt bei 5% Verzinsung in 7 Monaten 200 € Zinsen? Zn
=
n
Ko toTJ
A.
Einfache Zinsrechnung
5
bzw.
Kq-—-6.857,14 €. Berechnung des Zinsfußes -
Ein
Festgeldkonto über
10.000 € erbrachte nach 3 Monaten 100 € Zinsen. Wie
hoch ist der Jahreszinsfuß?
Zn
=
K0 TOTJ
n
bzw.
_100 Zn_
lOQ-ioo €
.
p""ErKo~~3/121Ö.ÖÖÖ €-4Berechnung der Laufzeit -
In wieviel Tagen bringen 5.000 € zu 5%
Zn
=
angelegt 50 € Zinsen?
n
K0
Tn7i
bzw.
IflO-Z,
a 10Q.5Q € _mtm Jahre-72 Tage. 5 5.000 €-0,2 D~T*o~~ -
.
4.
Berechnung von Tageszinsen
Steht ein
Geldbetrag t Tage zu p% p.a. zur Verfügung, so wird die Größe (Ko t)/100 als
Zinszahl bezeichnet, während 360 Zinsdivisor genannt wird. Die Zinsen erhält man aus -p—
Ko t
360
Zinszahl
^ _ m ^ 100 p Zinsdivisor' Bei der Berechnung von Tageszinsen wird im Text wie folgt verfahren: '
a) Das Jahr hat 360 Tage; ein Monat hat 30 Tage. b) Bei der Berechnung der Zinstage wird der 1. Tag mitgerechnet, während der letzte Tag nicht berücksichtigt wird. Beispiel: Wieviele Zinstage werden berechnet? 01.01.-31.01. Lösung: 29 Tage 01.01. -30.01. Lösung: 29 Tage 20.02. -03.03. Lösung: 13 Tage* 30.03. 30.04. Lösung: 30 Tage 31.05. 07.06. Lösung: 7 Tage -
-
01.01.-31.12.
Lösung: 359 Tage
6
A.
Einfache Zinsrechnung
(* Man nimmt den Februar zu 30 Tagen an. Nur wenn die Zinsen bis bruar zu berechnen sind, berücksichtigt man 28 bzw. 29 Tage.)
zum
28. bzw. 29. Fe-
Beispiel: Wie viele Zinsen erhält man für 2005, wenn auf ein neu angelegtes Sparbuch fol-
gende Beträge einbezahlt worden sind? Der Zinsfuß beträgt 3%. Einzahlung
Datum
Zinszahlen
Zinstage
_in €_ 03.01.05 17.03.05 07.04.05
1.300 1.200 500
358 284 264
4654 3408 1320
Summe der Zinszahlen:
9382
Zinsdivisor: Zinsen
=
120
-r%c 78,18 € =
5. Zinssatz bei
Gewährung von Skonto
Skonto ist ein Preisnachlaß, der bei der Barzahlung von Waren gewährt wird. Die Zahlungsbedingungen eines
Angebotes lauten: "Zahlung rein netto innerhalb 30 Tagen,
2% Skonto innerhalb 10 Tagen". Welchem Jahreszins
(Effektiwerzinsung) entspricht die Ausnutzung des Skontos, falls un-
terstellt wird, daß am 10. oder am 30. Tag bezahlt wird?
Lösung:
Rechnungsbetrag am 30. Tag : R Rechnungsbetrag am 10. Tag : R( 1 -0,02) 0.98 R : 0,02 R Ersparnis -* 0,98 R erbringen in (30-10)=20 Tagen 0,02 R an jährlichen Verzinsung entspricht dies? Zt-360-100 0,Q2R360 100 .,, 7, 36,73 =
P-Kol-0.98R 2Ö _
_
"Zinsen". Welcher
'
_
Es werden somit 36,73% Zinsen für 20 Tage
gewährt.
6. Barwert bei einfacher Verzinsung Unter Barwert versteht gen
Kapitals.
gezogen wird.
man
Diskont ist der
den
augenblicklichen Tageswert eines in der Zukunft fälli-
Zins, der bei Ankauf einer noch nicht fälligen Forderung ab-
A.
Einfache Zinsrechnung
7
Beispiel: Eine Forderung über 10.000 €, die am 30.10. fällig ist, wird bereits 3 Monate vorher bezahlt. Wie hoch ist der zu zahlende Betrag am 30.07. bei einer Verzinsung von 5%? Hier wird also nach dem Barwert der Forderung am 30.07.
Kn
=
gefragt. Da
Ml+" ToVj)
ist, erhält man den Barwert
(1+n iiö) Berechnung des Barwertes nennt man Abzinsen oder Diskontieren. Die Forderung über 10.000 €, fällig am 30.10., wird auf den 30.07. abgezinst. Würde man den abgezinsten Betrag von 9876,54 € zu 5% 3 Monate lang anlegen, so würde das Kapital wieder auf 10.000 € wachsen. Der Zinsabzug oder Diskont beträgt 123,46 €. Das Verfahren
Merke:
zur
Im kaufmännischen Geschäftsverkehr ist
jedoch aus Vereinfachungsgründen üblich, den Barwert als Differenz zwischen fälligem Betrag und Zinsen vom fälligen Betrag zu berechnen, d.h. es
wobei Zq den Zinsertrag, berechnet aus dem Endkapital,
angibt.
Ist der
Abzinsungszeitraum nicht zu groß, so ist der Unterschied zwischen beiden rechnungsarten gering, wie das nachfolgende Beispiel zeigt: Beispiel: Einer Bank wird
Be-
fälliger Wechsel über 3.000 € zum Diskont eingereicht. Der Diskontsatz beträgt inkl. Provision 8%. Welchen Betrag am
20.11. ein
am
30.11.
zahlt die Bank?
Ko -K« -Z,,
3.000 €
=
3.000 €
=
3.000 €-6,67 €
-
=
jg, jjg
2.993,33 €
(Diskont 6,67 €). Die korrekte Berechnung ergäbe einen Barwert von =
Ko
0000 l +36Ö TÖÖ 3
=
1
=
2.993,35 €.
'
Die Differenz ist hier
vernachlässigen.
Der Leser mache sich
jedoch am folgenden Beispiel klar, daß die kaufmännische Diskontierung bei längeren Abzinsungszeiträumen erheblich von der sogenannten bürgerlichen Diskontierung abweicht. zu
A.
8
Einfache Zinsrechnung
Beispiel: A überläßt B sein Motorrad mit der Vereinbarung, hierfür in fünf Jahren € 10.000,- von B zu erhalten. Was ist das Motorrad am Tage der Vereinbarung bar (bezahlt) wert, wenn bei einfacher Verzinsung von 4,5% Jahreszinsen ausgegangen wird?
Anfangskapital Kq (= Barwert) wert, das in 5 Jahren bei p=4,5 das Endkapital Kn 10.000 € erbringt.
Antwort: Das Motorrad ist in bar das
=
10.000,- € 1+5 4,5
=
8.163,27 €.
100
(Das Motorrad entspricht 8.163,27 €.)
am
Tage
der
Vereinbarung
einem Barwert
von
Barwert bei kaufmännischer Diskontierung
Kq
=
10.000 €
-
5--j4^-10.000€
=
7.750,-€.
Setzt man den Barwert von 7750 € in die Formel für den korrekten Barwert ein,
so er-
hält man
1000V
7750,-€= bzw. /lO.OOO I neu
(10.0 0
,\ *
\
100
=
5,81
Diskontierung hat also den gleichen Effekt wie die bürgerliche Diskontierung mit einem höheren Diskontsatz (bzw. Zinsfuß). Die kaufmännische
Merke:
Diskontierung (z.B. beim Wechseldiskont) ist der tatsächliche Zinssatz höher als der angegebene. Die Differenz wird um so größer, je länger der Diskontierungszeitraum ist.
Bei der kaufmännischen
Gegensatz zur Diskontierung mit einfachen Zinsen, die im kaufmännischen Bereich dominiert, gibt es die Diskontierung mit Zinseszinsen, die beispielsweise im Versicherungswesen oder auf dem Kapitalmarkt üblich ist. Im
A.
III.
9
Einfache Zinsrechnung
Übungsaufgaben
1. Der Student S. überzieht sein Bankkonto in der Zeit
06.03. bis 26.06.2002
vom
um
1.500 €. Der Sollzinssatz der Bank beträgt 10% p.a.. Wie hoch sind die Sollzinsen? 2. Ein Rentner bezieht eine Jahresrente
von
24.000 €. Welches
Kapital muß
er
in
8%igen Pfandbriefen anlegen, um daraus denselben Ertrag zu erzielen? Rechnung über 3.250 € wird nicht sofort bezahlt. Daher sind Verzugszinsen in Höhe von 144,45 € zu bezahlen. Für welche Zeitspanne wurden Verzugszinsen be-
3. Eine
rechnet, falls der Zinsfuß 8% beträgt?
Rechnung von 10.000 € soll bezahlt werden. Die Zahlungsbedingungen lauten: "Zahlung ohne Abzug innerhalb 30 Tagen; bei Zahlung innerhalb 10 Tagen Abzug von 2% Skonto". Welcher Jahresverzinsung entspricht diese Zahlungsbedingung, wenn unterstellt wird, daß genau am 30. bzw. am 10. Tag bezahlt wird?
4. Eine
5. Ein Girokonto weist
am
Jahresanfang ein Guthaben
werden auf das Konto 10.000 € überwiesen;
am
von
2.400 € auf. Am 06.03.
21.01. und am 16.02. werden jeweils
abgebucht. Die Bank berechnet 12% Sollzins Sie die Zinsabrechnung zum 01.04. auf.
4.000 €
und 0,5% Habenzins. Stellen
6. Eine Rechnung über 5.000 € mit einem Zahlungsziel von 3 Monaten soll bezahlt wer-
Tagen wird ein Skonto von 2% gewährt. Liquide Mittel stehen in den nächsten 3 Monaten nicht zur Verfügung. Soll die Rechnung dennoch am 10. Tag unter Inanspruchnahme eines Kontokorrentkredits zu 10% bezahlt werden?
den. Bei
7.
Zahlung innerhalb
10
Folgende drei Wechsel werden von einer Bank
zu
8% Zins
zum
31.08. kaufmännisch
diskontiert: 3.000 €,
fällig am 28.09. 4.000 €, fällig am 18.10. 7.000 e, fällig am 02.11. Wie hoch ist die Gutschrift der Bank, falls
insgesamt 9,- € Spesen anfallen?
8. Jemand kauft Waren für 1.000 € auf 3 Monate Ziel. Lohnt satz von
10%, die Rechnung sofort zu bezahlen,
geräumt werden?
wenn
bei
es
sich, bei einem Zins-
Barzahlung 2%
Skonto ein-
B. Rechnen mit Zinseszinsen
10
B. RECHNEN MIT ZINSESZINSEN
I.
Testaufgaben
1. Ein
Sparer legt 1.000 € zu 3% an. jährlicher Zinszahlung? Lösung:
2. Welcher
Wie hoch ist sein Kontostand nach 10 Jahren bei
1343,92 €
Betrag muß
zu
-*
4% bei
B 1
jährlicher Zinszahlung angelegt werden,
damit daraus
nach 10 Jahren 10.000 € werden?
Lösung: 3. Welcher
6.755,64 €
B4
Betrag muß zu 4% Jahreszinsen bei vierteljährlicher Zinszahlung angelegt wer-
den, damit daraus nach 10 Jahren 10.000 € werden? Lösung: 6.716,53 € 4. Eine
Festgeldanlage
werde monatlich
zu
^B2,B4
3% Jahreszinsen verzinst. Berechnen Sie den
effektiven Jahreszinssatz.
Lösung:
3,04%
-»•
Weltbevölkerung betrug 1985 Mrd. vorausgeschätzt. Berechnen
5. Die
Lösung:
etwa
B3
4,5 Mrd.. Für das Jahr 2100 wird sie auf 10,5
Sie die durchschnittliche
0,74%
jährliche Wachstumsrate. -*
B 5.1
6. Die Inflationsrate beträgt 5% pro Jahr. Nach wieviel Jahren hat sich das Preisniveau
verdoppelt? Lösung: 7. Eine
14,2 Jahre
Festgeldanlage
5,1%.
wird
->•
vierteljährlich
B 5.2
verzinst. Der effektive Jahreszinssatz
beträgt
Berechnen Sie den Jahreszins, den die Bank gewährt.
Lösung:
5%
+
Kapital über 5.000 € werde zu 6% für 5 Jahre angelegt. rate beträgt 3%. Wie hoch ist die reale Verzinsung?
8. Ein
Lösung:
2,91%
9. Nach wieviel Jahren
Die jährliche Inflations-
-»•
verdoppelt
sich ein
Kapital,
falls die
B3
B 5.3
Verzinsung monatlich
0,5% erfolgt? Lösung:
11,58 Jahre
-*B2, B 5.2
mit
B. Rechnen mit Zinseszinsen
11
Nullkupon-Anleihe, die heute zum Kurs von 60% gehandelt wird, soll in 8 Jahren zu einem Kurs von 100% zurückbezahlt werden. Wie hoch ist die jährliche Verzinsung?
10. Eine
Lösung:
B 1
6,6%
Kapital werde im ersten Jahr zu 2%, im zweiten Jahr zu 6% und im dritten Jahr zu 10% verzinst. Berechnen Sie die durchschnittliche Verzinsung pro Jahr.
11. Ein
Lösung:
-»-B5.1
5,95%
lange müssen 10.000 € angelegt werden, damit sie bei einer Verzinsung von 7% ein Endkapital von 25.000 € erbringen?
12. Wie
Lösung:
13,54 Jahre
»
B 1
II. Lehrtext
Zinseszinsrechnung werden die anfallenden Zinsen jeweils zum Kapital hinzugezählt und in der nachfolgenden Zinsperiode mitverzinst. Bei der
(wegen häufigen Vorkommens)
Abkürzung:
1
1. Jährliche
Verzinsung
Beispiel: Anfangskapital Kq 1
q heißt Zinsfaktor.
+
=
1.000,- €; Jahreszinsen
von
5%
(p=5); Zinsperiode
Jahr, d.h. m=l .
Jahr
Datum 01.01.
1
31.12.
Kapital
Zinsen
Endkapital
Ko= 1.000,- €
Ko' fjjg
™
50~ €
Kl_Ko + KOTol5~ =
1.050,--€
B. Rechnen mit Zinseszinsen
12
K^Ko-q1
01.01.
1.050,- €
=
Ki
31.12.
Tf]5
=
52,50 €
K2-Ki + K, =
=
(Ko-q)
q
jjjg-Krql =
Ko q2
1.102,50 6
K2 Ko q2
01.01.
=
=
1.102,50 6
K-2 1015 55,13 6
31.12.
=
K3 Koq3 =
=
1.157,63 6
Kn.^Ko-qn-1
01.01.
^-1 TOTJ
31.12.
Kn^Ko-q-
Endkapital nach n Jahren: qn
=
(l J075)11 +
heißt
Aufzinsungsfaktor, weil das Anfangskapital, das mit diesem Faktor multipliziert wird, sich auf den Wert des Endkapitals vermehrt (= aufzinst).
Typische Fragestellungen:
a)
Kapital erbringt Kq 1.000.-6 Frage nach dem Endkapital!
Wieviel -»
=
nach 7 Jahren bei 5% Jahreszinsen?
Kn= Kfl-q K7= 1.000,-6 b)
Welche Summe jetzt
(l y^jj +
=
1.000.-6-
1,057= 1.407,106.
angelegt bringt nach 8 Jahren bei 5% Jahreszinsen ein Kapital von
1.477,45 6? -»
Frage nach dem Barwert! 1.477,45 6 Ko _Kn -t 1,05« =
=
1.000,-6.
_
-
Anmerkung: Der Faktor l/qn heißt Abzinsungsfaktor.
B. Rechnen mit Zinseszinsen
c) Welche Zinsen werden gewährt,
1.000,-- € nach 6 Jahren 1.229,25 €
wenn
13
er-
bringen? -* Frage nach dem Zinsfuß!
i6
qn ?
q
e;
=
1+tSö
=
=
Der Zinsfuß
i
i2ooo',2-l
=
=
j1«22925
=
=
1,22925
l034999
0,035
beträgt 3,5% .
d)
festgelegt werden, wenn sie bei einer Verzinsung von 6.45% ein Endkapital von 1.650,- € erbringen sollen? » Frage nach der Zeit bzw. nach der Anzahl der Verzinsungen! Wie
lange
müssen 1.000,- €
.
6,45V_
,
^.ca
Gleichung löst man durch Logarithmieren nach einer beliebigen (üblicherweise Basis 10 oder e: lg x logio x, In x logg x). Die
=
lg qn lg =
n
lg q lg =
•
=
lg K„ lg Ko
=
lg 1,0645°
=
n
lg 1,0645
=
n
0,027146
-
,„
IgK -lgKp igq
1650
0,217483 _OA 0
^Q Qg"1
=
5,7507 -0,225< 0 =
-
Somit hat man den Lösungswert bereits eingegrenzt. Bei negativem F(q) hat man q zu klein, bei positivem Wert zu groß angesetzt. Aus Gründen der Zweckmäßigkeit sollte gen. Wertetabelle
man
sich eine kleine Wertetabelle anle-
C.
42
Rentenrechnung
zuj):
qn=rfr=410,02 €q5 4,1002 LStg qn q-1 =^
Rn Ro =
=
r
Probieren oder die Tabellen im Anhang D fuhren zur Lösung. Der Ausdruck
_Lf£ii=_L(1+ qn q-1 qn
+
n-l) l+l + qn qn-l =
n
q
fällt für
q>0 (Unendlichkeitsstelle bei q=0) mit wachsendem q monoton, so daß es wiederum nur eine Lösung gibt: In diesem Falle bedeutet wegen der fallenden Monotonie des ersten Ausdruckes
F(q)0, daß er kleiner als die Lösung ist. Wertetabelle
F(q) 10 5
Merke:
-0,3094 0,2292 -0,0543
1,1 1,05 1,075 1,07
7,5 7,0
Bemerkung
-2,56-10-6
zu
groß
zu
klein
groß Lösung
noch
zu
Es ist nicht sehr
Formel
zu
sinnvoll, sich für alle diese Fragestellungen die entsprechende merken abgesehen von der Gefahr, eine falsche herauszugreifen. -
Von der Grundformel
matisch
Ungeübten
Rjj
=
r
^-j- lassen sich alle Fälle leicht ableiten. Mathe-
ist anzuraten,
frühzeitig Werte einzusetzen,
um
die mathe-
matischen Ausdrücke zu vereinfachen.
2.2 Vorschüssige Zahlungen Man kann die
Beispiels im vorigen Abschnitt übernehmen, wenn man überall den Begriff "nachschüssig" durch "vorschüssig" ersetzt, da die Zahlungen zu Beginn des Zinszeitraumes von einem Jahr vorgenommen werden. Fragestellungen
des
C.
Rentenrechnung
43
Folgende Fragestellungen werden behandelt:
a) Rentenendwert R,j b) Rentenbarwert Rq c) Verrentung: Roqn-Rn
=
0
Rentenrate r Laufzeit n Zinsfuß p
d) e) f)
Beispiel: Zu Beginn eines Jahres werden r=100,- € eingezahlt (= jährliche vorschüssige
Zahlung). Das einliegende Kapital wird mit 7% (p=7) verzinst. trägt n=5 Jahre.
Die Laufzeit be-
a) Wieviel beträgt das angesammelte Kapital am Ende der Laufzeit? +
Rentenendwert R^ ?
Jahr
r
r=100,-€
1. Jahr
1 2. Jahr 2
Kapital am Ende des Jahres n
Rate
n
R, =r + rTpRJ
=
r(l+TpRJ)=r ql
=
107,00 €
-
r=100,-€
R2
=
r
q1 + R, q
=
rq + rq2
=221,49 €
-
3. Jahr
r=100,-€
R3
4. Jahr 4
r
=
100,- €
R4
r
=
100,- €
R5
5. Jahr
=
=
=
=
5
rq + R2q
=
rq + rq2 + rq3
rq + R3q
=
rq + rq2
rq + rq2
+
rq3 + rq4 + rq5
+
343,99 €
rq3 + rq4 475,07 € =
rq(l+q+q2+q3+q4) ^j-
=
rq
=
615,33 €
n-1 -
n-tes Jahr
r
=
100,- €
Kn-qfl1
vorschüssige Rentenendwertformel
n —
b)
groß ist der Rentenbarwert der obigen Rentenzahlung ? Rentenbarwert Rq ?
Wie *
44
C.
Rentenrechnung
vorschüssigen Rentenzahlungen ist der Betrag, der, einmalig zu Beginn der Laufzeit angelegt, nach S Jahren den gleichen Endbetrag R5 ergibt wie die S Rentenzahlungen. Es gilt also: 15-1 Ro-q5 R5 Der Rentenbarwert
von
5
=
bzw.
p
Allgemein:
=
rq9±f
_Rn_
q°-l
r
vorschüssige Rentenbarwertformel c) Welches Kapital Kq muß eingelegt werden, damit s Jahre lang vorschüssig die Rate r=100,- € ausgezahlt werden kann (p=7)? -» Verrentungsproblem, Rentenbarwert Rq ? Jahr
Auszahlung
n
r
Kapital am Ende des Jahres n K„ Ko Rq =
0 1. Jahr 1 2. Jahr 2 3. Jahr 3 4. Jahr 4
=
r
=
100,- €
K, (Rrj-rjq Ro q-rq =
=
r
=
100,- €
K2 (Krr)q Rq q2 rq2 =
n
rq
=
-
=
280,80 €
-
r
=
100,- €
K3 (K2-r)q Rq q3 rq* rq2 =
=
rq
-
-
=
193,46 €
-
-
r
=
100,- €
K4 (K3-r)q Roq4 rq4 rq3 rq2 =
=
-
-
-
rq
=
100,00 €
-
-
K5 (K4-r)q Roq5-rq5-rq4-rq3-rq2-rq =
=
=
=
n-tes Jahr
362,43 €
-
5. Jahr
n_l
=
-
r=100,-€
5
438,72 €
-
=
Roq5-rq(l+q+q2+q3+q4)
.
R0q5-rqq|r
-
=
Ro07=°'4025-
_/g 1,4025 ~5
"gl.07
,
zuj): qn.!
Die
Rp
^--^(q-1)nach
Auflösung
n
438,72 €
0,07 n0-2870 „nn
lotf,- € Ttö7
ergibt:
=
5.
_ =
+
Laufzeit n
46
C.
Rentenrechnung
f) Wie groß ist der Zinsfuß, wenn 5 Jahre lang eine Rate (Rente) 100,— € jährlich vorschüssig rx) angespart 615,33 € ergeben; ß) von einem Kapital von 438,72 € ausgezahlt werden kann ? •*
zu
Zinsfuß p bzw. q
=
1
yjjQ- ?
+
et):
Rn
rq^-
=
=
615,33 €
=6,1533. Zur Lösung gelangt man auch hier durch Probieren;
F(q)
=
q^-^ q^-6,1533. =
Wertetabelle
F(q) 10 5
7,5 7,0
Bemerkung
0,562 -0,351 0,091 9,1 10-5
1,1 1,05 1,075 1,07
zu
groß
zu
klein
noch zu groß
Lösung
zußj: Roqn
=
rq9^l
qn-l
Lösung
=
•
74^
q durch Probieren: v^ F(q)=
1
438,72 € q5 =
4,3872.
.4,3872. .^3=1^1 q4 q-1
qn-l q-1
r
Wertetabelle p
q
F(q)
10 5
1,1 1,05
7,5 7,0
1,075 1,07
-0,217 0,159 -0,038
noch zu groß
1,1310-5
Lösung
Bemerkung zu zu
groß
klein
von
C.
Rentenrechnung
47
2.3. Kombinierte Renten- und Zinszahlungen
Rentenzahlung und Einzelleistung
2.3.1
Gelegentlich wird ein Kapital Ko zu p% für n Jahre zinseszinslich angelegt und jedes Jahr eine Rente von r hinzugefügt oder abgehoben. Der Endwert der verzinsten einmaligen Einzahlung (Einzelleistung) und der n Rentenzahlungen beträgt nach n Jahren bei p% Zinses-
R„=Kn±Rt
Rn=K0q"±X-l q-1
(nachschüssige Zahlungsweise)
Rn=K0qn±rq q'-l
(vorschüssige Zahlungsweise).
bzw.
q-i
Beispiel: Jemand legt am 01.01.2002 50.000 € zu 4% zinseszinslich an. Danach werden jährlich regelmäßig weitere 5.000 € nachschüssig (beginnend am 31.12.2002) eingezahlt Wie hoch ist das Guthaben am 01.01.2014? R,,
=
50.000€l,0412+5.000€ 1,0412-1 0,04
=
155.180,64€.
•—--
a) Die Barwerte erhält man durch Abzinsung:
Rjl
R _
YL -
±J-&± q-1 q"
°-qb)
q-1
(nachschüssige Zahlungsweise)
(vorschüssige Zahlungsweise)
Die Rentenrate r ergibt bei gegebenem Endwert
r
=
n\ q-i (R„-K0.q").-S, q"-l
Rn:
(nachschüssige Zahlungsweise)
48
C.
Rentenrechnung
q
(vorschüssige Zahlungsweise)
qn-l
Bei positivem r handelt es sich um eine Einzahlung, bei negativem r um eine Auszahlung.
Beispiel: Der Student A. gewinnt 200.000 €. Jahren möchte er
er
über ein
Er legt das Geld zu 5% zinseszinslich an. In 30
Vermögen von 500.000 € verfügen. Welchen Betrag kann
jährlich vorschüssig von seinem Guthaben abheben? r
=
(500.000€
200.000 € -
•
1,0530)
•—•
1,05
1,0530-1
=-5.223,40 €.
-
Er kann 5.223,40 € abheben.
c) Die Auflösung der Formeln nach der Laufzeit ergibt
In n
=-
[K0-(q-l)±rJ lnq
bei
gegebenem Endwert Rn
(nachschüssige Zahlungsweise)
In
n
"\K0(q-l)±rq/ lnq
(vorschüssige Zahlungsweise)
Beispiel: Jemand legt 500.000 € zu 3% an. Jährlich werden nachschüssig 50.000 € abgehoben. Nach wieviel Jahren ist das Konto erstmals unter 100.000 € gesunken? '
100.000
0,03-50.000\
l J_ yj*]} J= (-47.000^ l35"J_9>97 lnl,03 lnl,03 -35.000
lnl,03
Nach 10 Jahren ist das Konto erstmals unter 100.000 € gesunken. Hinweis: Ist
K0 0, dann erhalten wir die Formeln der Rentenrechnung, ist dagegen =
dann erhalten wir die Formeln der Zinseszinsrechnung.
r
=
0,
C.
49
Rentenrechnung
d) Eine Auflösung der Formeln nach q bzw. p ist i.a. nicht möglich, falls r * 0 Wie in den Abschnitten C 2.1 und C 2.2 gezeigt, erhält man durch Probieren, d.h. durch Einsetzen geeigneter Werte in die Ausgangsgleichungen, rasch gute Lösungsnäherungen. .
Beispiel:
legt am 01.01.2002 50.000 € zinseszinslich an. Danach werden jährlich regelmäßig weitere 5.000 € nachschüssig (beginnend am 31.12.2002) eingezahlt
Jemand
Das Guthaben
am
01.01.2014 beläuft sich auf 155.180,64 €. Wie hoch
war
die
jährliche Verzinsung p? 12
R12 155.180,64 € =
=
50.000 €
•
)
'.-' +
=
r+r+
+r+ =
r'm +
590,20 €
+
+
rm^1+r rm^5ö-2 rm^-3 "+r rm^üö(m-1> +
+
+
+
r'S10T5 (1+2+3 +
"
+
[m'l])
(m-l)m
=
an, so
C.
Rentenrechmtng
53
(m-l)ml
{p
nachschüssige Rentenendwertformel Den Rentenbarwert erhält man, indem
R„ durch qn dividiert wird:
nachschüssige Rentenbarwertformel
qn qn q-1
t
3.2 Vorschüssige Zahlung mit jährlicher Verzinsung
Beispiel: Ein Sparvertrag mit Zahlungen zu Beginn des Quartals in Höhe von 25,- € bei 7% Verzinsung wird abgeschlossen.
...
Jahr Rate Kapital n=0m=l
r
=
25,-€
K
m=2
r
=
25,-€
K-
m=3
r
=
25,-€
K=
r+
=
rf$ r(l 5^)
r(l ^Jjj ) r(l 2} r(l +f$) r(l 2)+ ^1+foTJ'3) R, r(l +^) r(l 2) 70€ 13.502,266. einfach verzinst Zudem werden aber noch Raten, die werden, eingezahlt und er"
geben:
^2
"
=
•r +
-
5-250 € +
r+
--
T^-TJJ-250 €
+
+
...
ToV 250€
+
=
D
=
n2 mr + 1
=
n2 m r + r
1.260,42 6.
fn2m-l n2m-2 n2m-3 +
n
i
1
=
+
-
(n2m-l+l)
nTTÖÖ1-2-
n2'mr + rT5ö
Zusammenfassend
=
Aj {l+2 (D2 m-2) (n2 "-I)} n
=
r
-
+
RV12
(n2 m) T&J (n2 s) t7jö M)t8ü st07j- '
n2 m r +
/
'
V2
x
>
n2(n2 m-l) 2-
1.260,42 6.
ergibt gemischter Verzinsung:
sich für die
nachschüssige Rentenendwertformel
bei
66
C.
Rentenrechnung
^
R
5
=
=
V1+n2-Töo-) R»2 +
13.502,26 €+1.260,42 €= 14.762,68 €.
^2
Entsprechend folgt lung:
Beispiel, jedoch
für dasselbe
n2(m Den Rentenbarwert erhält
+
in
man
TuO"
bei
vorschüssiger
Ratenzah-
n2-m+l\l
gleicher
2
l\
Weise durch
Anwendung
der ge-
mischten Verzinsung:
Rp bzw.
=
Roqnl(l+n2Tgö) Rn (1+n2TÜö)
Beispiel: Ein Sparer spart monatlich vorschüssig 250 € bei einer jährlichen Verzinsung von
5%. Wie hoch ist der Barwert bei einer Laufzeit von 4 Jahren und 5 Monaten?
*°
,
i
14.822,88 €
««4/,: 5
y
11.945,95 €.
Fragestellungen der vorigen Abschnitte dieses Kapitels entsprechend behandeln. Als Beispiel sollen hier nur die Effektivzinsen von Krediten mit nicht ganzzahligen Laufzeiten bei jährlicher Verzinsimg berechnet werden. Mit Hilfe
o.a.
Formeln lassen sich alle
Bei Krediten wurde der effektive Jahreszinsfuß in Deutschland bis
zum
Jahr 2000 im
Prinzip mit o.a. Formeln ermittelt. Die gesetzliche Grundlage waren § 4 der PAngV 1985 (Preisangabenverordnung) und die Ausführungsbestimmungen der Länder. Bei der Berechnung des effektiven Jahreszinses sind alle unmittelbaren Kredit- und Vermittlungsko-
C.
sten
einzubeziehen
67
Rentenrechnung
(z.B. Nominalzins, Bearbeitungsgebühren, Disagio, Maklerprovisionen,
unterjährliche Zinszahlungen). Einige Aufwendungen, z.B. Aufwendungen im Zusammenhang mit der Absicherung des Darlehens (Notariatsgebühren und Grundbuchkosten), Versicherungskosten und Kontoführungsgebühren im marktüblichen Umfang, sind nicht zu berücksichtigen. Weiter ist gesetzlich geregelt, daß der jährliche Effektivzins mindestens mit einer, höchstens aber mit zwei Stellen hinter dem Komma anzugeben ist. Bei "variablen" Krediten, d.h. bei Krediten mit nicht über die gesamte Laufzeit festen Kreditkonditionen, ist ein sogenannter nen
anfänglicher effektiver Jahreszins über die Festschreibungszeit zu berech-
(vgl. Übungsaufgabe 49).
Berechnung des effektiven Jahreszinses muß (bei nachschüssiger Zahlungsweise) die Gleichung Zur
F(q)
=
ii-—-—.-^-^
=
0
_qD1(1+n2TSö)_
,
obiger Rentenbarwertformel ergibt, durch Probieren gelöst werden. Man nennt 360-Tage-Methode. Für die tägliche Praxis wird man Hilfsmittel (Rechner, Rechenprogramme oder die Tabellen im Anhang D) einsetzen. Zur Einbeziehung weiterer Faktoren, wie tilgungsfreie Zeiten, Berechnung des anfänglichen Effektivzinses, muß die Lösungsgleichung entsprechend modifiziert werden.
die sich
aus
das Verfahren
Die
folgenden Beispiele sollen das Vorgehen verdeutlichen. Die beiden ersten Beispiele sind den Ausführungsbestimmungen zur PAngV 1985 entnommen. Beispiel: Kredithöhe (Auszahlungsbetrag): Laufzeit:
8.000 DM
30 Monate
Zinssatz: 0,62% pro Monat, bezogen auf den Auszahlungsbetrag
Bearbeitungsgebühr: 2% des Auszahlungsbetrages; net und ist nicht zu
Rückzahlung: Lösung:
1 Monat nach
n\ + n2 2 + yj, Ro - 8.000 DM
n
=
r
=
=
sie wird monatlich verrech-
verzinsen
Kreditauszahlung, monatlich.
m=12
MP0DM + 00062
g 000 DM+
0,02.8.000 DM= m6ß DM
.
"*
Peff= 16,26
(durch Probieren oder mit Hilfe der Tab. VI und linearer Interpolation in Anhang D)
68
C.
Rentenrechnung
Beispiel: Kredithöhe (Rückzahlungsbetrag):
8.000 DM
Laufzeit: 10 Quartale Auszahlung: 98% (= 2% Disagio), Quartalsrate: 890,61 DM (nachschüssig) Rückzahlung: 1 Quartal nach Kreditauszahlung, vierteljährlich
Lösung:
n
n]
=
+
n2
Ro 0,98
=
2
2
m
^,
8.000 DM
=
=
=
4
7.840 DM,
r
=
890,61 DM
•
peff=9,94
-+
+
(durch Probieren oder mit Hilfe der Tab. VII und linearer Interpolation in Anhang D)
Beispiel: Kredithöhe (Auszahlungsbetrag) am 30.04.1990:
2.400 DM
Laufzeit: 6 Monate
Zinssatz: 0,5% pro Monat vom Auszahlungsbetrag 8 DM pro Monat, nicht zu verzinsen
Bearbeitungsgebühr: Rückzahlung: Lösung:
1 Monat nach Kreditauszahlung, monatlich
n,+n2 0 + j2-, m=12 Ro 2.400 DM, r 400 DM + 12 DM + 8 DM 420 DM
n
=
=
=
=
=
Die Ermittlung des effektiven Jahreszinses vereinfacht sich hier, da nur
(_n2(m 1+n2T07jjfjp Ro +
F(q) zu
lösen ist. Die „-„
=
Tuü
=
fJ
Gleichung kann algebraisch nach p aufgelöst werden. Man erhält rnnzr-Rp 2520-2400 120 _lnn
n2
[Ro 22
T2(2400-1050)
1
r
•
-
mit m-n2
=
N
=
mit Z
=
Rn =
—, so
Nr-Ro m
N-
\
r
17,78
Anzahl der Ratenzahlungen.
Setzt man im Nenner näherungsweise r
Peff=100
T2 1350
0 N 2
folgt
200
m
Ro(N+l)
)
Ro Zinsen und sonstige Aufwendungen. =
-
Formel, der sogenannten Uniformmethode, kann der jährliche Effektivzinsfuß einer ausbezahlten Kreditsumme Rq auf einfache Weise auch für Laufzeiten, die länger als ein Jahr sind, abgeschätzt werden; dabei wird der Kredit in N Raten, die jedes Mit Hilfe dieser
-
-
—
m
tel Jahr fällig sind,
getilgt. Mit der Uniformmethode wurde bis
1980 der Effekivzinsfuß,
69
C Rentenrechnung
insbesondere bei
Teilzahlungskrediten, berechnet.
Bei monatlicher Tilgung:
2.400 (Zinsen und sonstige Aufwendungen) Kreditauszahlungbetrag (Laufzeitmonate + 1)
«
•eff
_
Für das letzte bzw. das vorletzte Beispiel ergibt die Uniformmethode 2400 120
p*eff =---=17,14 2400 ,
(6+1)
bzw.
p*eff =200 ,
-
(10 890,61 -0,98 8000) 9,89. (0,98 8000)-(10+1)
4----
=
Ob ein
angegebener effektiver Jahreszins richtig ist, kann relativ einfach mit Hilfe eines Kontos für einen Vergleichskredit überprüft werden. Das Konto für den Vergleichskredit entwickelt sich bei dem im letzten Beispiel ermittelten effektiven Jahreszins von peff= 17,78 bei 360 Zinstagen und nachschüssiger Zinsbelastung wie folgt: Kapitalkonto 30.04.1994 30.05.1994 30.06.1994 30.07.1994 30.08.1994 30.09.1994 30.10.1994
Zinskonto DM
DM
Soll Haben Haben Haben Haben Haben Haben
213,36 -31,11 24,89 -18,67 12,45 6,22
120,00 Haben 120,00 Soll
120,00
Auszahlung 2.400,00 l.Rate 2. Rate 3. Rate 4. Rate 5. Rate 6. Rate
Saldo
Zinsbelastung
420,00 420,00 420,00 420,00 420,00 420,00
-
-
-
0
(Zinsen für 180 Tage) (Zinsen für 150 Tage) (Zinsen für 120 Tage) (Zinsen für 90 Tage) (Zinsen für 60 Tage) (Zinsen für 30 Tage) (Zinsen für 0 Tage)
Endsaldo
richtiger Berechnung des effektiven Jahreszinses muß der Endsaldo des Kontos für den Vergleichskredit Null ergeben; geringe Differenzen können durch Rundungen auftreten. Bei
Die
kapitalwirksamen Zinsverrechnungen werden beim Effektivzins nach PreisangabenVerordnung jeweils nach Ablauf eines vollen Jahres (nach 360 Tagen) berücksichtigt. Bei gebrochenen Laufzeiten wird die letzte Zinsverrechnung nach Ablauf der verbliebenen Dauer von weniger als einem Jahr nach einfacher Zinsrechnung durchgeführt. Im Gegensatz dazu wird beim "Effektivzins nach Braess" die erste Zinsverrechnung nach Ablauf der gebrochenen Laufzeit vorgenommen. Danach folgen nur noch ganze Laufzeitjahre.
C.
70
Rentenrechnung
Bei der sogenannten AIBD-Methode (Association of International Bond Dealers) erfolgt die Zinsverrechnung mit der Ratenzahlung. Während man beim Effektivzinsverfahren nach
360-Tage-Methode im unterjährlichen Bereich mit einfachen Zinsen rechnet, wird bei der AIBD-Methode sowohl im jährlichen als auch im unterjährlichen Bereich mit Zinseszinsen kalkuliert. Auf- und Abzinsungen erfolgen bei unterjährlichen Raten mit Bruchteilen der Zinsperiode. Unterschiede ergeben sich daher nur im unterjährlichen Bereich. In §6 und im Anhang zu §6 der neuen PAngV 2000, die seit 1.9.2000 gilt, wird die bislang in Deutschland geltende 360-Tage-Methode durch die AIBD-Methode ersetzt. Zugrunde gelegt werden für das Jahr jetzt 365 Tage (1 Monat 1/12 Jahr 365/12 Tage). Der Effektivzins ist jetzt auf zwei Nachkommastellen genau anzugeben. Im Falle der Auszahlung eines Darlehens als Einmalbetrag Ro zum Zeitpunkt 0 lautet die Berechnungsvorschrift: der
=
rk
tk
=
=
=
Ratenauszahlung mit der Nummer k in Jahren oder Jahresbruchteilen ausgedrückte Zeitabstand zwischen
Darlehensauszahlung und der Ratenzahlung peff
=
rk
Effektivzinsfuß.
Beispiel: Ein Darlehen beträgt 4.000 €, jedoch hält der Darlehensgeber 80 € Bearbeitungsgebühr ein. Die Darlehensauszahlung erfolgt Ende 2002. Die erste Rückzahlung r, 1.000 € =
wird nach 3 Monaten, die zweite r2
=
2.000 € nach 6 Monaten und die dritte r3
nach 12 Monaten getätigt. Nach obiger Berechnungsformel 3.920 €
1.000€ =
-r-
2.000 €
=
1.200 €
ergibt sich die Gleichung 1.200€
+-— +-
und als Lösung (durch Probieren) ein effektiver Jahreszinssatz von
12,66%.
gleich hohen Zahlungen r in gleichen zeitlichen Abständen, dann vereinfacht sich die Berechnimg. Die Lösungsgleichung
Geschehen die
n
R0.-L.alzl q
q -1
C.
Rentenrechnung
71
unterjährlichen Zinsfuß p* (q* -ljlOO, der auf einfache Weise mittels Tab. III (vgl. Anhang D) ermittelt werden kann. Der unterjährliche Zinsfuß p* wird dann in den jährlichen Effektivzinsfuß umgerechnet (vgl. Abschnitt B 3): liefert den
7.
=
Mittlerer Zahlungstermin und Duration
Zahlungen verteilt auf n Zinszeiträume ist die Angabe einer mittleren Laufzeit, die die durchschnittliche Kapitalbindungsdauer bemißt, von besonderer Bedeutung. Als mittlere Dauer z legt man den Zeitpunkt fest, an dem alle Zahlungen der Rente (= n r) auf einmal erfolgen sollen. Abgezinst auf den Beginn der Rente muß sich dann der gleiche Barwert ergeben: Für eine Rente mit
n
•
R -
—
Hieraus folgt für eine nachschüssige Rente:
q" -1
nr_ 1
R
q"'r'q-l
q2
und nach Umformung
lnq Entsprechend gilt für die vorschüssige Rente
rq-
Der Unterschied
einer
von
q-1
und
z
=
lnq
-1.
einem Zinszeitraum zwischen der mittleren Dauer einer nach- und
vorschüssigen Renten spiegelt vorschüssigen Rente wider.
den
um
einen Zeitraum früheren
Zahlungsbeginn
der
C. Rentenrechnung
72
Eine einfache Abschätzung der mittleren Dauer erhält man durch die Angabe der mittle-
Zahlungstermine k. Für nachschüssige Zahlungen ist dies das arithmetische Mittel aus erstem (k=l) und letztem (k=n) Zahlungstermin: ren
Zeit aller
n+1 z
Entsprechend gilt
=
m =-.
2
vorschüssige Zahlungen, wo der erste Zahlungstermin sofort (k=0) und der letzte eine Periode vor Ablauf (k=n-l) erfolgt: für
n-1 2 Beide Zeiten werden als mittlerer Zahlungstermin bezeichnet. z
=
m
=—
.
Eine andere
Annäherung zur gemittelten Zeitdauer-Abschätzung, Duration genannt, berücksichtigt, daß Zahlungen zu späteren Zeitpunkten ein zunehmend geringeres Gewicht erhalten. Je später nämlich eine Zahlung r geleistet werden muß, desto weniger ist sie auch zu Beginn einer Rente (bar) wert. Als Gewichtsfaktor ihres Zahlungstermins wird daher ihr auf den Barwert bezogenes Verhältnis r/R^, abgezinst auf den Beginn der Rente, angenommen. Der Gewichtsfaktor zum Zeitpunkt t ist also: 1
r
Die
gewichteten Zeiten t'
werden
nun zur
Gesamtzeit, der Duration, aufaddiert. Dieser
Näherungswert findet in der Anlage- und Vermögensberatung Verwendung. Für nachschüssige Rentenzahlungen folgt: z
=
D=
r
l t'=l
Ä
t-=i
t
r
1
5
l t q' Ro-q' Rom
-—-
=
—
-
L(a±± M
_qnlq(q-i)2"q:T; T gfM
(vgl. Anhang A.5)
qn q-i '
D
=
qn+1-n(q-l)-q
"
(qM)(q-l) Entsprechend ergibt sich für vorschüssige Rentenzahlungen: n-l
D=
I 1
t'
r n-1
=
rI
s-1. /„q°-'-l
t
i -
=
n-A
i5^ lq (q-i)2 q-'/ qn-(n-l)(q-l)-q '
_
1
qn-l
i^q-l
_
(qM)(q-l)
C. Rentenrechnung
Hieraus
folgt
für den Unterschied zwischen der Duration einer nach- und einer
73
vor-
schüssigen Rente: D
nach
D vor
=qn+l-n(q-l)-q
qn-(n-l)(q-l)-q (qn-l)(q-l) (qn-l)(q-l)
=
Die Differenz der Duration weise einer
n+1
-q
n
-q+1 ,
,
/
_
(q
n
t\,
»\
-l)(q-l)=
,
(qn-l)(q-l) (q"-l)(q-l)
ergibt wieder die um einen Zinszeitraum vorgezogene Zahlungs-
vorschüssigen Rente.
Die verschiedenen
Beispiel:
q
Mittelungszeiten erläutert das folgende Beispiel.
Jemand hat für ein Grundstück 10 Jahre die
gemittelten Zahlungstermine
und einem Zinsfuß
Lösung:
lang r
€
bei nach- bzw.
groß sind vorschüssiger Zahlungsweise bezahlen. Wie
zu
8%?
von
nachschüssig: z
=
°'08 V/n '.°8 /nflO-1,0810 1,08I(V
=
^
mittlerer Zahlungstermin: r,
r,
Duration:
D
=
m
=
\j-
=
5,18 Jahre
5,5 Jahre
1,08"-100,08-1,08
—-rrr—?-!—
=
(1,08 -1)0,08
.„-,,, Jahre 4,87
vorschüssig: alle Zeiten
Merke:
um
ein Jahr kürzer.
Mittelungen der Zeitdauer sind von den jeweiligen (konstanten) Zahlungsbeträgen unabhängig; sie hängen nur von Laufzeit und Zinsfuß ab. Die
Beispiel: Beim obigen Rentengeschäft sei ein Zinsfuß -*
nachschüssig:
z
=
10%
gegeben.
5,10 Jahre
m
=
D
=
5,5 Jahre 4,73 Jahre.
Der mittl. Zahlungstermin weicht
nach unten ab.
von
vom
exakten Mittelwert
z
nach oben, die Duration
74
C.
Rentenrechnung
Bei einer ewigen Rente berechnet sich die Duration zu:
nachschüssig: D- lim
qn+1-°(q-*)-q n+1
=
=
(q°-l)(q-l)
,\i_T/_n+l 1 .l-Kq-l)+ql/qUr lim9!Z. on q-1 i. ,
,
r_/-_
.
I•
n-»~
q
q-1
vorschüssig: D
l =
—.
q-1
Die zeitliche Differenz der Duration von nach- und vorschüssiger ewiger Rente i q q-i Uahr Dnach.-Dvor =
=
—-=
q_i q_i q.i
—
beträgt auch hier ein Jahr.
8.
Zusammenfassung der wichtigsten Formeln der Rentenrechnung
Dieser Abschnitt faßt die
wichtigsten Formeln der Rentenrechnung wegen ihrer zentra-
len Bedeutung für die gesamte Finanzmathematik in Ubersichten zusammen.
a) Übersicht: Jährliche Rentenzahlungen Rentenbarwert:
Ro
=
Rn/qn
nachschüssig: Rentenendwert:
Laufzeit:
/g[Rn(q-iyr+i] 'gq l
l-^(q-DJ 'gq Zinsfuß:
F(q)
=
^.^ q-1
=
0
r
Lösung q durch Probieren oder mit Hilfe der Tabellen im Anh. D.
p=100(q-l)
C.
Rentenrechnung
75
vorschüssig: Rentenendwert:
Rn
rq
=
q-1
'g^(q-D+i
Laufzeit:
feq l
Li *o (q-D
_I_9_
'gq Zinsfuß:
F(q)
=
q
—=
q-1
0
r
Lösung q durch Probieren oder mit Hilfe der Tabellen im Anh. D. p=100(q-l)
b) Übersicht: Unterjährliche Rentenzahlungen: n
Rentenendwert: Ersatzrentenrate:
R_ ^
=
1.
nachschüssig
re
=
2.
vorschüssig
re
=
,
ree 3-^-
q-1
r£m y0^ r[m y^ ^m^^j +
+
Laufzeit:
wie in Übersicht a) (nachschüssig) mit re statt r.
Zinsfuß:
wie in Übersicht a)
(nachschüssig)
c) Übersicht: Ewige Rente
nachschüssiger Barwert: vorschüssiger Barwert:
Ko-q^T
mit re statt r.
76
C.
Rentenrechnung
d) Übersicht: Dynamische Rente Rentenendwert qW
nachschüssig jährlich:
R„
vorschüssig jährlich:
R„
r
=
n_in
q-/ n*
rq 3-^—
=
q-/
Rentenendwert q=/
nachschüssig jährlich:
vorschüssig jährlich:
ILj Ka
=
n
=
n
-
r
qn~1
t
qa
e) Übersicht: Gemischte Verzinsung Rentenendwert,
n
=
nj
+
n2
nachschüssig:
R»
vorschüssig:
R„
Rentenbarwert:
=
Rq
=
r{(m+ jjjg ^J^l ygg) +
n2
r{(m+ ygg ^^"^(l ygg) +
=
(1+n2T?ü)
Zinsfuß (nach- und vorschüssig)
allgemein:
F(q)
RJr
=
Ro 0
—-=
I0
q" q-1
—
,
bzw. ,
c q"-l -I0, +—->0. q" q-1 .
80
C.
Rentenrechnung
nennt man in der
Investitionsrechnung den Kapitalwert (bei konstanten Einzahlungsüberschüssen). Formal ist der Kapitalwert die Differenz der abgezinsten Einzahlungsüberschüsse und der Investitionsauszahlung. Der Kapitalwert beträgt im vorliegenden Fall:
C0
Der
=
-100.000 € +
20 000 € 1 05-1
1,0510
•-
,„
=
1,05-1
54.434,70 €.
Kapitalwert kann aber auch als abgezinste Differenz der Vermögensendwerte betrach-
werden:
tet
1,0510
qn Eine Investition ist tiv
aus
rechnerischen Gründen durchzuführen,
wenn
der
Kapitalwert posi-
ist, und zu unterlassen, wenn er negativ ist. Zwischen dem Vermögensendwert der Investi-
tionsalternative und dem Kapitalwert besteht folgender Zusammenhang:
Kj,=(C0+I0)-qn q-1
c q"-i r , -In+— -—r+Lj
q-1
Denjenigen Zinsfuß, bei welchem das Anfangskapital Io auf das Endkapital bzw. auf den Vermögensendwert K[n wächst, nennt man Baldwin-ZinsfuB oder Kapitalverzinsung. Der Baldwin-Zinsfuß gibt die Verzinsung des eingesetzten Kapitals an (vgl. S. 13):
q"-l •100
=
q-1
-1
100
=
(c0+i0)qn -l i0
Für das Silberminenbeispiel ergibt sich für den Baldwin-Zinsfuß:
100.
C.
fj2Sl.557.85 .) 100 100.000 [V'fl-1 J .„
TbB
=
81
Rentenrechnung
.
=
9,66. „
Die Investition lohnt sich, da der Baldwin-Zinsfuß größer als der KalJculationszinsfuß ist.
Zu unterscheiden
Baldwin-Zinsfuß ist der interne Zinsfuß rj, der die Verzinsung des Kapitals angibt; von der Investitionssumme von 100.000 € könnte bei
vom
jeweils gebundenen einer Verzinsung, die dem internen Zinsfuß entspricht, 10 Jahre lang eine Rente von 20.000 € jährlich ausgezahlt werden (vgl. S. 40). Er ist der Zinsfuß, bei welchem der Kapitalwert der Investition Null wird.
c -o--i
ic q"-1 q? qr-i
mit q. =1 + -S-. 100 Rechnerisch wird
er
durch Probieren oder mit Hilfe
von
Rentenbarwerttabellen ermittelt
(vgl. auch S. 41f). Mit
=
c
—
5 und n=10 erkennt man aus der Tabelle der Rentenbawertfaktoren (Tab.
III), daß
der interne Zinsfuß zwischen 15% und 16% liegen muß. Lineare Interpolation führt zu:
5-5,0188 4,8332-5,0188
,, r,1 =15 +-= 15,1.
Die Investition lohnt sich, da der interne Zinsfuß größer als der Kalkulationszinsfuß ist.
Merke: Ist der
Kapitalwert positiv, dann sind sowohl Baldwin-Zinsfuß als auch interner Zinsfuß größer als der Kalkulationszinsfuß. Bei Beurteilung eines einzigen Investitionsprojektes reicht es daher, nur eine der Kennzahlen auszurechnen, um die Vorteilhaftigkeit der Investition zu beurteilen.
C.
82
Rentenrechnung
9.2 Kennzahlen bei variablen Einzahlungsüberschüssen Bei vielen Investitionen in der Praxis werden die
Einzahlungsüberschüsse unterschiedlich groß sein. Der Kapitalwert ist auch in diesem Fall die Differenz aus den abgezinsten Einzahlungsüberschüssen und der Investitionsauszahlung, d.h.: C C0---I
+^L + Ü+ +Sil
Einzahlungsüberschuß c ist neben dem laufenden Überschuß aus Umsatztätigkeit auch der Resterlös des Investitionsobjektes enthalten. Im
Zur Berechnung des Baldwin-Zinsfußes gilt wie oben:
I,
K 2--1
•100
=
(c0+io)-qn
-i •100
Bestimmung des internen Zinsfußes setzt man die Kapitalwertgleichung gleich Null. Die Bestimmungsgleichung für den internen Zinsfuß lautet dann im allgemeinen Fall: Zur
C0=0
Der interne Zinsfuß kann (i.a.)
nur
=
-Io+^-+%+....+^
T,=A-Z,
-
Ro
=
=
S
n
9.000,- €
A.qo
1. Jahr
3.429,46 €
1,073 =
S(q-l)
_sq°-l qn-l
2. Jahr =
R2 R,-T2 =
T] 2.799,46 €
Z2
T2 A-Z2
=
=
=
R1T01J R1 4«V
'«- *«
13.
4
14.
2x-2 2"x+l
7
=
=
33;
-»
•
•
=
=
24x 8X+1 =
=
0;
-*
(2X)2
x2,4 + 4x1,2-2,4 0; =
+
2x-2 0 ; =
2*1 -2 2X2=1 =
=
/gi;
1
:x
=
0
: x
=
0,589
(nicht definiert)
x}"2 =-4,53 (nicht definiert) x^-2 0,53 =
7|°^
=
: x
•
15.
ex e2 + ex e3=33
-(/gx)2 + 8/gx-20 /gx1-2; /gx2
=
0;
=
-10
:
*, :x2
=
=
100
-if5
Anhang A: Einige mathematische Grundlagen
164
Lösungshinweis für die folgenden Aufgaben: 17.
x3-llx2 + 35x-25
=
eine Lösung ist durch Probieren zu finden.
0
*2,3 18.
19.
20.
x3-3x2-x + 3
x3-2x2-x + 2
=
=
0
=
5
:x, x2 x3
=
l
=
3
=
-l
x2 x3
=
2
=
-l
:x,
=
0
x3-111 x2+lllOx-1000
=
0
l
x2=10 x3=100 d) Aufgaben mit Summen 1.
21
23
I (k+2) k=l
n=3
n
=
276-2- 1 =273
20
11
2.
l
I (k+3)- k=5 l (k-1) k=2
=
24
24
3.
X
5
=
X
5
1
=
100
k=5
k=5 31
4.
-89
13
X
13-
i=l
l
31
=
0
i=l 179
S
=
5 + 9+ 13 + 17
+
..
.+ 717
=
X [5 + (i-l)4]
=
64 619
i-l
6.
8=1+2+»+...+^
7.
S
=
8.
S
=
100
9.
I k=l
j (2)'
1 "
1'96875
25+ 125+ 625+...+ 3125
=
3900
e3 + e4 + e5 +... + e9
=
12 807,20
1
1,1*
—
=
100 =
l TT 1,1 k=i
1 —
1,1* 1
"10
Anhang A: Einige mathemalische Grundlagen
10.
I 22+»
k=i 9
11.
12.
i,r
=50
l
—r
+
l
5
k=i
i 2"k
1
i,r
049,60
—
10
.
I 2k k=0 k=0
=
k-i =
£ 2n l= 1023
n-1 =
l
n=l
1,9375 (l)n"' w =
oo
13.
£ 2'k
=2
£ 3"k
=\5
k=0
14.
k=0
15.
k=0 v z/
si 17.
s
=
25+ 125 + 225 +...+3125
'+8
_2 "3
3(io+i)-10(3-l)-3 (310-i)(3-i) =50 400
165
166
Anhang B: Lösungshinweise A
ANHANG B:
LÖSUNGSHINWEISE
A. Einfache Zinsrechnung
t= 110
Tage
z-3W-1-50°-tSj-45'83€ 2.
K
3.
n
=
=
100
fft000- 300.000 €
"g0^1^45
=
0,5556 Jahre 200 TaRe "
200 360 100
A 4.
p-$_8öö.j0-36,73 _
20
T _
3ÜÖ'
t ytnn
'
0j5 25 TT»" 38J
, ^
12
20
Töö" 385'
,
^
'
12
.
25
TT35 35J'
A Ann
Habenzins 2,19 € Sollzins /. 50,67 € Saldo /. 48,48 € 100-360 100 _nio,
6.
p—4 aoO-80—9,18
,
7.
'
.
nem
Kaufmännische Diskontierung:
*o°il m töü)+40W>{1 -m m)+7Mil-m m) =
13.842,22 9(Spesen) -
=
13.833,22 €
Rechnungsbetrag abzüglich Skonto 980,00 €
8. -
Barwert -
Kn
=
1
1P00,,
+-i.-iu12 100
=
975,61 €;
nein
'
0,5
Töö
Anhang B: Lösungshinweise B B. Rechnen mit Zinseszinsen
1.134 Mrd.
q10 1.485,2 Mrd. __?«y 1.485,2 =
_,n„
*
2.
a) 20.000 (1,06)5 b) c)
=
(1,03)10 20.000 (1.005)60
P
=
2,7
26.764,51 €
=26.878,33 6
20.000
=
26.977,00 €
=26"6'50€ 20H1+raf°5 e0,06 e) =26.997,18
d>
5
20.000
6
3.
2
=
T§ö35 e100
m2. o,0198 TO^^ p=
4.
1,98
gemischte Verzinsung:
Ko
=
10.000 6
Kaufsumme:
7
254>93€
x
Spesen:
0,015 x Verkaufssumme: 1,5 0,8 x= l,2x 0,018 x Spesen: •
-/?/Ux-0,018 ,\ *! 0,015
peff-1Y n
=
x
x+
x
(^/Bf-1)100
=
inft 100
7'91
167
Anhang B: Lösungshinweise B
168
1.478,9 Mrd. DM q5 1.830,5 Mrd. DM q= 1,0436 - p 4,36 =
=
2=l,045q5
7.
q= 1,1045 p
-+
v
o
10,45
=
.0,025-5
-v
R35-K.0e
8.
e
0,015 10
e
0,025-5+0,015 10+0,01
_v
Ko c
0,01-20 20
„.
_ ~
K35
Ko e
0,475
TOÖ"35
0,475 _
^ 5^
bzw.
=
=
0,0136
p=l,36 Bei stetigem Wachstum berechnet sich die durchschnittliche Wachstumsrate als gewogenes arithmetisches Mittel der Wachstumsraten! 9.
k«= 10.000 + IM)0- + IMPO
a)
k6=l,086 b) 30.000 n
10.
23.773,23(1,08)° =
3'02Jahre
e"0,005n Entwicklungsland:
=
gilt:
ke.n* 2K\n*
bzw.
=
Da
23.773,23 €
23.773,23 € =37.725,12 6
=/7n^
k{,
Industrieland: In n* Jahren
=
•
=
1,087
1.083
K^e0'03^^"0'00511' 0 0
Ko 2Ko ist, gilt: =
e
O,03n*_-2 2t =
e
•
-0,005n«
•
„0,035n* e =4 .
'
_
n*
=
Ä33
=
39'6Jahre-
k^ Koe0,03n =
Anhang B: Lösungshinweise B 11.
Yn
Bruttosozialprodukt zum Zeitpunkt n Bevölkerung zum Zeitpunkt n
Pn •p-
=
rn
Prokopfeinkommen zum Zeitpunkt n YA 0,02n
yn
o
0,05n
YB
I°-i_= y0 BvB yn pB 0,01n vBe°'04n =
c
*o e
In n* Jahren gilt:
yB =2yA bzw. B
y0
^j yo
Da
=
e
0,04n«
^
A
y0
e0,02n*
3,gilt e 0,04n»
,
=
o e
0,02n»
bzw.
n*
p
=
=
^1,0614-lj
4- 100
=
6
gemischte Verzinsung: 1
™(l
14.
+
toX1 tööH1 to)a) 00g10=5.536,76€ +
m
K
b> 15.
rw 89,6 Jahre-
(.+-£-)*-1*14
12.
13.
=
2. Hälfte:
K0
=
=
+
m
10
^S
=5.488,12 6
q=l+To\j
1.Hälfte: q.= 1
+
1^=1^+1) 2
=
q5q'5
=
q5(2(q+l))5
1
295-42 dm
169
Anhang B: Lösungshinweise B
170
q2 + q-2,297 -*
q
=
-+
P
=
=
0
1,096 9,6
-|=4,8 1,04 1,039 1,038 •.(l,04-(n-1)0,001) 1,04 + m 1,039 + m 1,038 +...+ m(l,04-(n-1)0,001) m2 0,04 + 0,039 + 0,038 +...+ (0,04-(n-1)0,001) 2
16.
=
•
m
2
•
In
=
=
In 2 m
^[0,04 (0,04-(n-l)0,001)]
arithmetische Reihe !
+
n2
-
81n +
1.386,29
n{= 56,435 zu groß 1^ 24,565 (etwa 25 Jahre)
* -»
=
Probe: Nach 25 Jahren hat sich das Kapital um den Faktor
17.
p
=
^1,022
18.
p
•
1)
100
•
K_2
K12
20.
-1)
=
=
1,072 i^ 1,075
2,1
•
•
-
=
2
22
1,0312 1.0412 •
p
a)
5
=
1,06°
/
=
=
D
(12f2-l) -«»
c) d)
5
-+
n
=
=
6°'°°°
=
=
0,8457
4,67
=
4,79 Billionen DM
100 =15,02
\12I0
(l+T2^ö)
5-1,03*° 5 l,()05,2°-n
b)
100
-
816,30 €
Prf=lA/wiSK-l 1
21.
23.
•
•
1.0510 1.045
=
19.
0,998 1,002 1,012
1,99 erhöht!
-n
=
=
=
=
-1.200
^^5
j7n^-7j?
T^H^05Tj5
Qj%
=
6,95
=27,62Jahre =
=
27,22 Jahre
26,89Jahre
=26,82 Jahre
Anhang B: Lösungshinweise B
a)
24.
A:KA 20e°'03n B:KB 60e°'01n 20e0'03n 60e°'01n 3 e0,02n =
=
=
=
n=o7y2=54,9Jahre b)
20
ß
25 =
p
25-
=
60 e0'01'25
^ 3,852)
100
m
=
5,39
*-*5 .)
x
=
fl+_^fm^n
=
l
pr-(((fs)wr-oiw-^ a)
K 1000 1000 1000 1000 T R
1000
1000
1000
1000
2000
Ablöse
Barwert heute:
Rq R^j + Rq2 =
1.000
=
R0iTgö; 1.000,
„
^"
_
«
R0 - R01 =
a)
R15
b)
Ri5 p
=
=
=
+
=
Ro2q5-Ro2 2.000
p
^2-ni 66JJahre •
=
j)1^1 r(l2
1.054 +
1.000(4
+
100.000-
1,06° +
4.000^^-
=
50.000-
1,06°
=
4.000
•
0,05
=
50.000 n
50.000
b)
•
=
^
0,05
1,06° + 8.000
'ff6^'1
23,79 24 Jahre
=
=
(rB 4.000) -
10.793,40 €
1'0^'1 4—H
12-
I.I-1-1-1-1-I-1-I-181
82
83
84
85
87
86
88
89
xxx
R90
"
=
=
a)
d)
3
{10.000 -^jfl} 1.037 {2O.OOO i^jfij (l101.686,71 0.000 1,037 1,03) ^Q Qj'1 +
+
•
20.000-
=
DM
r=
ioo.(K)0
b) c)
90
I 3
13.
;
=
1,0610 rß
+
M
r
=
M
-l,0512y^5rT= 11.282,546 11.282,54 6 ,919156
12 + 0,05
•
lL2*lf4€
f
=
11.282,54 6
12 + 0,05
•
f
10.745,28 6 =91542€
•
1,03
r=4003,92
Anhang B: Lösungshinweise C
176
14.
r
50O0''€,, =405,52 6
=
12 + 0,06 y •
20
r(l2 0,07^^0J7ö7^{lOO.OOO 1.0720 300^12 0,07 ^-j ^OT^}
1.0720 +
60.000-
15.
+
=
20
=
2
+
+
•
•
r=
16.
1.667,02 6
8.000 + 2.000
lA14-11 1
a)
rn0
b)
rn0
c)
r =5.000 + M?0 + MOO +
=
=
14-11
4.000 1
=
1,1-0,1
0
=
1,140,1
14.339,73 6
12.679,46 6
1,1*
l.l2
5W0
l.l4
13.148,35 6
=
Alternative b)!
bezogen auf Zeit in 5 Jahren
17.
r
=
750.000 650.000
•
-
-
1 15-1 18.000^-5-
1,15 + 35.000 193.044,80 6
= -
lohnt nicht! Das Haus ist auf heute zu
18.
a)
bezogen mindestens 119.865,63
=
teuer.
20.000
-1,11"
(2.200 4.600) -
b)
6
20.000-
=
4.600
^T^-+1.000
Ml"- -4.600 + 110
«-WJ-»— r^j^+
\,\2W
=
4.490
= -
1.000bzw.
r=
3.482,706
1Q1 f)AA sn f c
iyj,w!'0" 5 i 1,1-
Anhang B: Lösungshinweise C
177
„13 S—fi q-1 .
19.
a)
q13
2.400
F(q)
=
=
200
Xl13-i -12 13 q-1
=
0
q
1,1 -4,8
F(q) |
1,05 -2,6
|
q=
1,005 0,556
|
|
1,01 0,13
1
|
1,015 -0,268
|
1,012 -0,023
1,0116
| 2,910'
1,0116-*p= 1,16 Monatszins 1,16%
eff. Jahreszins: 2.400
b)
peff=
q13
=
100(l,011612-l)= 14,8
200 q
a!3-i "OTT
analog a)
Monatszins: 1,365%
17,6%
Jahreszins:
20.
30.000
•
1.01540
=
r=
21.
r(3332,610,015 ^'olois"1 +
€
55
65
I I I I
10
0
15
75 (77) I I I I I I I 20 03 e0"03") R2
=
=
R3
=
+
=
0'03
+
-
2
+
geom. Reihe: =
+...
0,03 20
,
——
e0'
-1
229.448,98 m3
1.00o(l20,050,05 y) r(l2 0,05 yj l'°Q05~l +
46.
R =-1-^ = 245.500 n
rlO
+
bzw-
"=
1-583,64 €
Anhang B: Lösungshinweise C 47.
a)
72 Monate
15.000
6 Jahre
282,05(12
=
+
^.T)1^L q
peff =11,11
(durch Probieren) 1 n12 1 15.000 282,05 q72 q-i -+ 11,07 (durch Probieren) peff
-*
b)
-»
=
•
100(l,00878712-l)
=
=
1.300-250= 1.050= 190
48.
3
n,=2 m
=
(da Festschreibungszeit)
0
=
n2
4
R0 7.840 Rj= 1.729,19 =
r=
890,61
3\a!d /7.840-' -29,l%2\ ^ -7(4L JL. tSö-2)V-(-890,61 f' 10,04 (durch Probieren) -
*
50.
aa)
ab)
p
K,0 K,
1
+
=
1.014 10 1.488,86 DM 1.000 1.014 0,95 2 K, 1.014 0,95 1.000 1.014 0,952 3 Kj 1.014 0,95 1.000 1.014 0.953
=
=
=
=
1.000
=
•
•
•
=
•
=
•
•
K10 b)
500
=
=
1,014 0,95 1.000 1.014 10 0.9510 891,44 DM 1.000 l,014n 0,95° 1 000 (l,014 0,95)n =
=
•
=
•
•
2
\
'4/nl,01+/n0,95) t/n
=
60'316
~*
61 Jahre
183
184
Anhang B: Lösungshinweise C 12r- Rn
51
P=10OTV3T5r 20
52
12r-1.000 _
1.000-5,5r
1.200
(vgl.51.)
91,60 € ——Tjy-jj« 100 2 '
S3.
Zweijahresrate wird in eine Einjahresrate umgerechnet: 2.000
R.10 =2.000
54.
a)
1,032-1
=
-*
P5n 50
=
-
0,9950
0,99n
b)
40
c>
nl™Pn
d)
P(
=
=
•
=
+
+
e)
^
rT^ 0'3l^ =
0,99 P0 + r 80 0,99 80 + r r 0,8 (Millionen) =
=
70 r
=
=
0.9950
•
80 + r 1_
0,547 (Millionen)
=
i_0)99
0,3
1-0,99
=
11
294,46€
qr+r
1'0'"S°
=
-*
0,03
r =-~z-
q2P0
80 + 0,3
80
1'032'1
1,03-1 ni10-1i l m10 i =2.000 1'UJ,"1 0,03 i)032-l
i
P1=qP0 + r P2 qP1+r P2
r
2.000 0,03
bzw. 0 ' 03
=
=
n
60,25 (Millionen) =
=
3°(MÜ,ionen)
160,14 (Jahre)
Anhang B: Lösungshinweise C
« 55.
C^_T2(12
F(p)-
a^ a)
100
°)
100
_n -m-0 12 100 100Zn_ 100j_ —
100
12
-100 +
b) -»
q*
185
^-
=
0
1,01-peff=(l,0112-l)lO0 =12,68
=
bzw. -100 +
^
0
=
q
-+q=
1,1268
peff= 12,68
bzw.
56.
1000q^i ^
57.
(r0-10.000) 1,062 (Rq-10.000)= 10.000
bzw.
1,0683
q=
=
p
6,83
=
-
rq
90 906,15 6
=
58.
20.000
-I-1-\-
4—i—i—v-
2 3 4 5 20.000 20.000
0
,
20.000
1
n
6
20.000
8
7
A-1—I-
9
10
=
.
.
-^^ 20.000-^(1+^-^ 1.053 \ 1.051 1,052 5
+
5
+ ...+
Nebenrechnung: 111 q
q
0--1 _
->
^-1
r"
_
q
^ J__i
1
12
13
14
1.0595)
2
n-i
q
l-q5n
qS q5n-l
q5°
_
11
20.000 -48
-r— Ro0 =-r 1,053 1,058 1.0548
a>
.
q5n-l
1
Ngf q5n q5-l q5n"5 q5-l _
_
1/1 1 0550-l\ \ 1=72 850,17 6 =20.000-A-j7 05J ViH,05'J 0545 11.05M 055-l 11,05J >
/
b) Nebenrechnung: fa n-»oo -
r-0
=
(_i_^i). \q5n-5 q5-l y 20.000
lim „-*
U=4-
\q5-l\q5n-5 q5n-5/f q5_i
l'0S. =79 809,89 6 —^ 1,053 1,055-1
(vgl. auch Lösung C.3)
Anhang B: Lösungshinweise D
186
D.
Tilgungsrechnung
Jahr
1
1 2 3 4 5
2.
Zinsen
500.000 400.000 300.000 200.000 100.000
35.000 28.000 21.000 14.000 7.000
100.000 100.000 100.000 100.000 100.000
135.000 128.000 121.000 114.000 107.000
Insgesamt
105.000
500.000
605.000
Tilgung
Rj =100.000(20-10+1) =1.100.000€ 500.000 6 R15 100.000(20-16+1) Z,2= 100.000(20-12+1) 0,1 90.000 € Alg T + Zf8= 100.000+ 100.000(20-18+1)
a) b) c) d)
=
=
=
=
3.
Zges Agra-S =
STojjinT^ =2.000.000 0,1 •2j-
=
2.100.000 6
•
1,024 1,0824 peff 8,24 T=10 00j000 250.000
a)
b)
=
0,1
130.0006
=
e)
Aufwendung
Restschuld
-*•
=
ba)
=
=
R,5,3, 250.000(4 (10-6+1) -3) 4.250.000 6 =
=
•
Rg 250.000(4 (10-9+1) -0) 2.000.000 6 z5 3 + z5 4 250.000(4(10-5+l)-3+l) ^
bb)
=
=
•
bc)
=
•
250.000(4(10-5+l)-4+l)
+ =
A? 3
bd)
zges
-
Rg
4.
s
=
=
=
•
=
320.0006
10.000.000
-^j (10-9+1)
-s =
4^55
215.000 6
250.0O0{l1,28(4(10-7+l>3+l) j^jj yöö (t" I) Ages 250.000-
=
A5 T5 + z5
=
+
=
=
be)
110.000+105.000
•
=
=
=
4 100 000 €
200.000
1.000.000
100.000 + 100.000 (10-5+1)
^
=
166.000
p
=
11
Anhang B: Lösungshinweise D
500.0000,„ 12
(n-8+1>T0T
——
n=
12 Jahre
peff= 12,55
p*
-*
=
800.
(fr 1,1255 -l)-
3! T=mj^w
=
100
=
25 000
Restschuld zu Beginn des 3. Jahres
Rj 0 Quarta,
600.000 €
Zinsen
Tilgung
Aufwendung
600.000 575.000 550.000 525.000
18.000 17.250 16.500 15.750
25.000 25.000 25.000 25.000
43.000 42.250 41.500 40.750
Tilgung
Jahr
Restschuld €
Zinsen €
1 2 3 4 5 6
1.000.000,00 870.392,62 727.824,50 570.999,57 398.492,15 208.734,98
100.000,00 87.039,26 72.782,45 57.099,96 39.849,22 20.873,40
129.607,38 142.568,12 156.824,93 172.507,42 189.758,17 208.733,98
229.607,38 229.607,38 229.607,38 229.607,38 229.607,38 229.607,38
Insgesamt
377.644,28
1.000.000
1.377.644,28
A
=
Zj b)
=
Restschuld
1 2 3 4
.» a)
25.000 (4(8-3+l)-0)
=
n _
€
0,09= 18.000 200.000 0,08 16.000
200.000
=
m
=
•
18.000 In 2.000 -
=-m
-=
_
->
T
=
2.000
28,55 Jahre fg
_
Restschuld zu Beginn des 27. Jahres: R_,
n
=
200.000
t
'
flR2"»^ 1 fIR2*
1,0828'
«T
-1
=
40.093,53 €
Annuität €
187
188
Anhang B: Lösungshinweise D
,
,
Janr
~~27 28 29
Restschuld €
Zinsen €
Tilgung
Annuität €
40.093,53 25.301,01 9.325,09
3.207,48 2.024,08 746,01*
14.792,52 15.975,92 9.325,09
18.000,00 18.000,00 10.071,10*
€
*Restschuld wird am Ende des 29. Jahres zurückbezahlt; wird sie nach Ablauf von 0,55 Jahren des 29. Jahres zurückbezahlt, dann betragen die Zinsen nur 410,30 €; die Annuität ist entsprechend geringer.
c)
Restschuld nach 10 Jahren:
R.n 10
200.000
=
l'
nRZ8'^-i nu'" ,,«'
^28,55
=
,
171.027,30
Ansparung 0,4 171.027,30 68.410,92 =
R,0 - r
9.
68.410,92 490,55 6
=
=
a)
A
b)
R,. ™
c)
T{ Tlg Zu
=
50.000 =
=
d) e)' f)'
A
Z
•
r(l2 ^T).l^ +
l,l30-°41,130-1
5.303,96 6
1,1-1 5.303,96 5.000 303,96 6 =
-
=
=
1,117= 1.536,366 5.303,96-303,96 1,113 4.254,616 303,96-
=
ges =
ges
30 5.303,96
159.118,80 6 159.118,80-50.000= 109.118,806 '
=
'
'
1
130-1'''l10 =45.155,626
l,l30-l
=
+
=
-
37.403,27 R,. ^°
10.
=
l24 =23.100,146
50.000 1l'1130-1
R,10 =50.000-
g)
=
S
=
=
S
100.000
•
+
l>°*
'}'0S
1,08-1 A 9.367,88 =
Annuität
Jahr
Restschuld 6
Zinsen 6
Tilgung
"2I
37.403,27 31.027,66 24.142,00 16.705,48 8.674,04
2.992,26 2.482,21 1.931,36 1.336,44 693,92
6.375,61 6.885,66 7.436,52 8.031,44 8.673,95
9.367,88 9.367,88 9.367,88 9.367,88 9.367,88
Insgesamt
134.197,00
100.000,00
234.197,00
22 23 24 25
6
6
Anhang B: Lösungshinweise D
U.
T
=
4
-»
2.444,52
=
1.0511
A
=3.611,67 Z„4 3.611,67 2.444,52 1.167,15 € =
12.
a)
b) c) d)
13.
14.
a
=
100.000
=
7
100.000
°'02
1.0220
6.115,67 €
l'02
=
=
=
=20-6.115,67- 100.000
a)
A
b)
7.173,55
a)
n
ges
p
500.000
=
=
m
=
=
=
=22.313,406 =7.173,55 6
6
100 Quartale
3
2
a
Z
1,01120-1
^j^'1 =21.736,57
25 4 •
1,01120
200.000
=
ges
°'02 1,02100 1 02100-1
=-7- >
,V-L
(3+iiöi)
25 12 1.536,61 200.000 ' •
-
100.000 15'
=
1,02-1
.
Z
'
=
-
~\>02 69.402,93 6 1,0220-1 T =6115^7 1.0214 5.430,546 15 1,0220 1,0219= 119,926 Z,n 6.115,67-6115!^7 20 1>0220 R_
e)'
b)
1.053
—~
•
=
=
1
536,61 6
260.983 6
1,08° 0,08n
/n.-L.n?8"1 V 100' 2)
1198=
1,08°
14.903,12 (l,08n-l) 8.000 =
6.903,12-
l,08n= 14.903,12 1,08° 2,159 =
_/n 2,159
ln ,
.
n-Tn-l^-10Jahre _
_
189
Anhang B: Lösungshinweise D
190
200.000 16.
a
15.877,60
=
q10
-9lL
•
=-1-—r9-^•
Lösung durch Probieren: P 8
q
1,08 1,12 1,10
14.610,73 17.182,93 15.877,60
12 10
17.
a
=1.939,47
Lösung durch Probieren:
(vgl. 16)
14.000
groß Lösung
-•>
-
p
-»
=
6
1,07°
200.000
18.
klein
zu
q12-^-
100.000 =
zu
=-7-=—A'07 -1
(2
28.490 (l,07n-l)
+
=
T5ö
l) 1,07°
14.000
n_/nl,966_ln A
Z
=
ges
ges
Lösung durch Probieren:
100.000
b)
14.919,39
c)
149.193,90 6
21.
°*lS
A=
a)
9.200
q38-2^q -1
(vgl. 16)
100(l,011512-l)= 14,71
.
-7nmr=
80.000 €
=
n^ilO —' 0,061 =14.919,396 ,a oimnc -1,061 ,n
a A
-
=
1,0115 -*Peff=
»"> a)
=
280.000 €
-
300
q=
=
=280.000 200.000
19.
in 20.
14.000-2-10
l,061l0-l
100.000
(12
+
_
q10 -3lL q10-l
t) 490,38
tdö
p
=
=
8,0 (Probieren)
6.019,41
6.019,41 50.000 0,05 3.519,41 _/n 6.019,41 -In 3.519,41,,, ...
T,
=
-
•
=
n-^ÜTOl-'—11Jahrc _
p=10
191
Anhang B: Lösungshinweise D
b)
R5 3
50.000
=
tob) -490'38 {(12
1.055 (l +
+
Töö
t)
%r(l+\hm)+u(l2+ml)}
64.611,75 35.154,10 29.457,65 € 100 100 100 100 100 32577,89 + =
=
-
20.000 0,97
22.
q
=
=
-^q +-5-+ -Tq q
a)
q
q
+-^— q
peff= 11,35
31 in Abschnitt B.
Jahr
Restschuld
Zinsen
Tilgung
Annuität
9 10
2657,60 1379,91
212,61 110,39
1277,69 1379,90
1490,29 1490,29
4902,90 €.
b) 24.
-r ^-
bzw.
1,1135
vgl. auch Aufg. 23.
+
a) Annuität: A 300.000 0,180674 54.202; =
=
Restschuld nach 3 Jahren 0 Es
=
erfolgt eine Wiederanlage
erhält man
A*= 210.828
•
4)^
=
300.000 0.702760 =210.828;
der Restschuld
0,243891
=
zu
7% für 5 Jahre. Als Annuität
51.419. Der jährliche Schaden der Bank ist
folglich die Differenz der beiden Annuitäten : A A* 54.202 51.419 2.783. Der Gesamtschaden V (finanzmathematische Vorfälligkeitsentschädigung) der Bank entspricht dem Barwert der jährlichen Mindereinnahmen: -
=
=
-
Rn ^
=
V
Bankenformel:
b)
=
1,07s-1
1 2.783-z--=11.411
1.075
210.828 5 0,02
0,07 =
/qn(q-l) q^*+l>-\ Für q
=
1,09; q*
und S
=
300.000 folgt:
V
=
300.000
=
21.083
q°-qk-1\
1,07 (Wiederanlagezinsfaktor);
n
=
(0,180674-0,702760)' 11.411 v
-
0,243891
8;
k-1
=
3 bzw k
=
4
192
Anhang B: Lösungshinweise E E.
1.
Kursrechnung
C
a)
=
100%
•
Ii —^-7 1,06s l
~l\J
0,07 l'06 O.06
+
=
104,21%
- k0= 104,216 b)
100 f l065-ll 3 + ii+ojyj >~°~ \+—;=io6,45e 0 ^ p:=—z 0,06 / 1>065 1,065 l k:
C= 100%
2.
1.000.000
=
p
=
K. -
+
p
1.000.000 =-
0
1.065p
q'=q.
f J1+0,05i^iUJL 0,06 J lj065 l
957.876,36 =-?
1.065
56.370,93 6
C„0 100% =
C,1 100% =
-*
5.
,
da
q-li
q4l
0
1.000.000 -+
-rrJl+(q-l)3_lil= loo»/.,
•
—t-rr Ii 1(07n\
+
0,07
1'0,07 07U'1Jl
i 1 + 0,07 l>°* ~l\ 0,08 J l,0810l
100%
=
=
93,29%
6,71% niedriger
Zinsniveau 7%:
5%-Anleihe: C
=
100%
1
Ii Iil
l,0720 l ,n
8%-Anleihe: C=100%——.
1.074
+
0,05 1'07 0,07
+
0,08 •
-11/
±*°^U 0,07 J
-
=
78,81% 103,39%
Zinsniveau 6%: 5%-Anleihe: C
8%-Anleihe:
=
100%-^fl l,0620 l
C=100%--t
Kursanstieg:
+
0,05
Ii +0,08
1,064 l
5%-Anleihe:
12,33%
8%-Anleihe:
3,42%
*M 'l\ 0,06 /
=
88,53%
106,93% ^-rl0,06 J
Anhang B: Lösungshinweise E
13,13%
100
^% q
=
^q'=l,07 100 C =-TT %
=
1,0928
C
8.
=
100%
g= 133,33%
a)
rjg-- 100%
b)
Lösung durch Probieren: 95%
8,95%
=
8,42%
100%
=
F(q) F(q) 1,094 1,093 1,0929
94,61% 94,98% 95,02% p
=
9,295
'^W1^1) =96,16%
C= 100%
1,07-(0,07(1,06 -1) 10.
aa)
C
=
-*
ab)
100%
'^W'07;1) 1,0770,07(1,06 -1)
96,54%
Auszahlungsbetrag: 193.080,- € 4 + -7--I
C =-^°_|. 96,54% 96,89% =
4 + 100 2 —
•+
ac)
=
-
Auszahlungsbetrag: 193.780,- €
12+i.ü
C-. 96,54% 12 + -2_.il 100
-»
=
96,97%
2
Auszahlungsbetrag: 193.940,- €
193
Anhang B: Lösungshinweise E
194
b)
A = 200.000
35.827 =-2—n12 + -6_.ii 100 2
a
c)
ii.
1,0677
0,06 , 1,06-1 =
=
35.827,- €
2.905,68 €
7% (Marktzins)
w.ltmM£m&i V-1K1,066-1)
a)
q
1,0946 bzw.
-»q'=
b)
9o./o
p'= 9,46 (durch Probieren)
n+™'t (12 t)
=
+
ioo%
l
1. 2. 3. 4. 5.
Jahr Jahr Jahr
9.000 6.300 4.410
Jahr Jahr 6. Jahr
m
Schreibung vomRestwfrt € 6.000 5.250 4.900 4.900 4.900
100 5+1-= 2,67 30
Ubergang im 3. Jahr !
Restbuchwert zu
Beginn €
30.000 21.000 14.700 9.800 4.900 0
197
198
Anhang C:
Vermischte Aufgaben
VERMISCHTE AUFGABEN MIT LÖSUNGEN
ANHANG C:
Aufgabe 1: Vereinfache den folgenden Ausdruck:
Vx2V^
=
Aufgabe 2: Löse die folgenden Gleichungen: .
_2_§_ x+
b. ) c.
)
2x-12
es"'=l
e**1
=
1
Aufgabe 3: Ein Darlehen über 200.000 € soll mit 8 % verzinst und durch 50.000 € jährlich getilgt werden. Wie lange dauert die Tilgung?
gleich hohe Annuitäten von
Aufgabe 4: Die Preissteigerungsrate betrage 8% pro Jahr. Nach wieviel Jahren hat sich das Preisniveau a.) verdoppelt? b.) vervierfacht?
Aufgabe 5: Bei einem Zinsniveau von 10% kauft ein Spekulant für 100.000 € Zero-Bonds mit 2Oj ähriger Laufzeit zum abgezinsten Kurs. Nach vier Jahren ist der Zinssatz auf 12% gestiegen. Welche effektive Jahresverzinsung seines eingesetzten Kapitals erzielt er beim Verkauf seiner ZeroBonds nach 4 Jahren zum gerechten Marktwert? Aufgabe 6: Eine Anleihe von 2.000.000 € soll mittels (jährlicher) Annuität zu 8% verzinst und innerhalb der nächsten 3 Jahre getilgt werden. a. ) Wie hoch ist die Annuität? b. ) Wieviel Zinsen werden insgesamt gezahlt?
Aufgabe 7: Berechne:
Aufgabe 8: Löse folgende Gleichungen: 16 a. ) e-"x' b. ) x'-10-x'+29 x-20 0, falls eine Lösung x, 1 bekannt ist. =
=
=
Anhang C:
Vermischte Aufgaben
199
Aufgabe 9: Eine Frau hat Anfang 19SS bei einer Bank 20.000 DM zum Jahreszinssatz von 6% angelegt. Seit 1980 hat sie begonnen, am Anfang eines jeden Jahres 8.000 DM abzuheben. Wie lange kann sie jedes Jahr diesen Betrag abheben, ohne ihr Konto zu überziehen?
Aufgabe 10: Eine Anleihe von 1.000.000 € soll mittels gleichbleibender (jährlicher) Annuität zu 11% verzinst und innerhalb der nächsten 4 Jahre getilgt werden. Wie gestaltet sich der Til-
gungsplan (Restschuld, Zinsen, Tilgung)? Aufgabe 11:
man sich als 30jähriger mit einer Lebenserwartung von 70 Jahren eine vorschussige Monatsrente von 1.000 € mit vereinbartem jährlichen Zuwachs von 3% und einem Jahreszins von 5,5% abfinden lassen? b. ) Sie wollen für die beste Vororüfung eines jeden Jahres einen Preis von 1.000 € nachschüssig aussetzen. Welches Kapital müssen Sie bei einem Jahreszins von 6% anlegen?
a.
) Mit welchem Kapital kann
Aufgabe 12: Jemand möchte von seinem 63. Geburtstag an 20 Jahre lang eine jährliche nachschüssige Rente in Höhe von 20.000 € ausbezahlt bekommen. Welchen Betrag muß er dafür 30 Jahre lang bis zu seinem 63. Geburtstag jährlich vorschüssig einzahlen? Sowohl in der Anspar- als auch in der Auszahlzeit werde das Konto jährlich mit 5,5% verzinst. Aufgabe 13: Vereinfache:
2a-l_4.2a-2 z"1-8 z" +16-2"-'
"
Aufgabe 14: Bestimme a.
) log,
x aus: x
=
2
•
logc
a+
-
logc b
b. )9-32"=3,+l c. ) xh" 10 =
Aufgabe 15: a.) Löse folgende Gleichung: 4-V3x + 4=2x
b.) Welche Summe besitzt die unendliche Reihe Aufgabe 16:
) Ein Sparer zahlt zum Ersten eines jeden Monats 100 € auf sein Konto ein. Zum Ende des Jahres werden die Zinsen anteilsmäßig mit 3% pro Jahr gutgeschrieben. Wie lautet der Kontostand nach 10 Jahren? b. ) Nach wieviel Jahren verdoppelt sich ein Kapital, falls die Verzinsung vierteljährlich mit a.
1,5% erfolgt?
) Die landwirtschaftliche Nutzfläche in der Sahel-Zone verringert sich jährlich um etwa 3,5%. Wieviel Prozent der heutigen Nutzfläche wird in 12 Jahren noch vorhanden sein?
c.
200
Anhang C:
Vermischte Aufgaben
Aufgabe 17:
Ein Bankkunde benötigt für den Kauf eines Autos einen kvtrzfristigen Kredit über genau 40.000 €. Er akzeptiert folgende Konditionen: Laufzeit zwei Jahre, Rückzahlung in zwei gleichen Annuitäten zum jeweiligen Jahresende, Jahreszins von 6,5% bei 95%iger
Auszahlung. a. ) Wie hoch sind die beiden Annuitäten? b. ) Welchen Effektivzins (Marktzins) zahlt er? Aufgabe 18: Löse folgende
Gleichung: 2
i,r-i
10=i^-oJAufgabe 19: Ein Buchhändler verkauft ein Lehrbuch der Finanzmathematik zum Ladenpreis von 36 €. Sein Aufschlag in Prozent hat den gleichen Zahlenwert wie der Einkaufspreis in €. Wie hoch ist der Einkaufspreis?
Aufgabe 20: Löse
folgende Gleichung nach x auf:
(x-+0*
a=x
Aufgabe 21: Jemand legt 1.000.000 € zu 6% zinseszinslich an. a. ) Es werden monatlich nachschüssig 8.000 € abgehoben. Wie hoch ist der Kontostand nach 8 Jahren und zwei Monaten? b. ) Es werden jährlich nachschüssig 100.000 € abgehoben. Nach wieviel (vollen) Jahren ist erstmals der Kontostand unter 500.000 € gesunken? Aufgabe 22: a. ) Eine Festgeldanlage wird monatlich verzinst. Der effektive Jahreszins beträgt 6%. Berechne die Jahreszinsen, die die Bank gewährt. b. ) Ein Kapital werde im ersten Jahr zu 4%, im zweiten Jahr zu 8% und im dritten Jahr zu 12% verzinst. Berechne die durchschnittliche Verzinsung pro Jahr. c. ) Das Sozialprodukt y eines Landes steigt jährlich um 1,5%, während die Bevölkerung B jährlich um 2,5% zunimmt. Berechne die Wachstumsrate des Pro-Kopf-Einkommens y/B.
Aufgabe 23:
legt 500.000 € zu 8% Jahreszinsen an. Am Ende des ersten Jahres werden 50.000 € abgehoben. Auf Grund der Teuerung wird damit gerechnet, daß der Betrag jährlich um 5% erhöht werden muß. Nach wieviel Jahren ist das angelegte Kapital aufgebraucht?
Jemand
Aufgabe 24: a. ) Wieviel muß am Ende eines jeden Monats gespart werden, um bei 5%iger Verzinsung in 5 Jahren ein Kapital von 20.000 € anzusparen? b. ) Am 1.1.2005 wurde ein Sparkonto mit einer Einzahlung von 1.000 € eröffnet. Das Guthaben wird vierteljährlich mit 1% verzinst. Wie hoch ist das Guthaben am 1.1.2015,
Anhang C:
Vermischte Aufgaben
201
wenn:
a.) alle Zinsgutschriften auf dem Konto bleiben? ß .) an jedem Jahresende 5% des verzinsten Kapitals abgehoben werden? Aufgabe 25: Vereinfache:
(2-x + 3-v)2 +(2y-3s)2 (2u + 3v)2 +(2v-3u)2 Aufgabe 26:
) Ein Kapital von 10.000 € wird 6 Jahre zu 5%, anschließend 7 Jahre zu 10% verzinst. Wie hoch ist die durchschnittliche jährliche Verzinsung? b. ) In wieviel Jahren wachsen 3.000 € auf 15.000 €, falls die Verzinsung vierteljährlich mit 2% erfolgt? c. ) Zwischen 1960 und 1993 hat sich der Schadstoffgehalt eines Sees vertausendfacht. In den darauf folgenden 5 Jahren ist er um 14% zurückgegangen. Um wieviel Prozent ist der Schadstoffgehalt seit 1960 angestiegen? a.
Aufgabe 27: Ein PC kostet bei Barzahlung 6.000 €. Bei Ratenzahlung, die einen Monat nach Kauf beginnt, sind 1.000 € sofort als Anzahlung und dann 24 Monatsraten zu je 240 € zu entrichten. Berechne den effektiven Jahreszins, falls jährliche Zinsperioden unterstellt werden. Aufgabe 28: Nach 18 Jahren beträgt die Restschuld eines Annuitätenkredits, der zu 8% verzinst wird und eine Gesamtlaufzeit von 20 Jahren hat, noch 18.163 €. a. ) Erstelle den Tilgungsplan der letzten 2 Jahre. b.) Wie hoch sind die insgesamt für den Kredit zu zahlenden Zinsen? Aufgabe 29: Bei einem Marktzinsniveau von 8% werden folgende Wertpapiere angeboten: a. ) 5%-Anleihe mit einer Restlaufzeit von 12 Jahren (Rückzahlungskurs 100%). b. ) 7%-Anleihe mit einer Restlaufzeit von 4 Jahren (Rückzahlungskurs 100%). c. ) Zero-Bond mit einer Restlaufzeit von 7 Jahren (Rückzahlungskurs 105%). Berechne die prozentuale Kursänderung, falls das Zinsniveau um einen Prozentpunkt die Berechnung soll sowohl exakt als auch unter Verwendung der Duration erfolgen.
steigt;
Aufgabe 30: Eine Maschine, die 360.000 € kostet, soll durch einen Kredit finanziert werden. Die Hausbank bietet einen Kredit, der in gleich hohen jährlichen Tilgungsraten zurückzuzahlen ist, mit folgenden Konditionen an: Zins p.a.
Auszahlung Laufzeit
) Wie hoch ist die Annuität im 2. Jahr? b. ) Wie hoch ist der Effektivzins? c. ) Wie hoch sind die Gesamtaufwendungen? a.
8% 90% 4 Jahre.
202
Anhang C:
Vermischte Aufgaben
Aufgabe 31: Der Anschaffungswert einer Maschine betragt 100.000 €. Die Nutzungsdauer wird auf 6 Jahre veranschlagt. Der Restverkaufserlös ist Null. Erstellen Sie den Abschreibungsplan bei
degressiver Abschreibung mit Übergang zur linearen Abschreibung im optimalen Zeitpunkt, falls der degressive Abschreibungssatz 25% beträgt.
Aufgabe 32: a. ) Jemand spart 1.000 € jährlich nachschüssig 10 Jahre lang. Danach kann
aus
dem
an-
gesammelten Kapital jährlich eine ewige nachschüssige Rente von 1.000 € gezahlt werden. Wie hoch ist der für beide Rentenzahlungen gleiche Zinsfuß? b. ) Sie wollen alle zwei Jahre einen Preis von 10.000 € (nachschüssig) für außerordentliche Leistungen auf dem Gebiet der Finanzmathematik aussetzen. Welches Kapital müssen Sie
bei einem Jahreszins von 6% bereitstellen? ) Zwischen 1950 und 1986 hat sich der Gewinn eines Unternehmens verhundertfacht. In den darauf folgenden 5 Jahren ist er um 14% zurückgegangen. Berechne die durchschnittliche jährliche Wachstumsrate zwischen 1950 und 1991.
c.
Aufgabe 33: Ein Kredit über 1.000 € mit einer Laufzeit von 12 Monaten wird gewährt. Der Effektivzins beträgt 20%. Welche nachschüssige Monatsrate ergibt sich bei einer jährlichen Verzinsung?
Aufgabe 34: Harald R. ist 30 Jahre alt; sein jetziges Jahreseinkommen beträgt 60.000 €. Er geht davon aus, daß sein Einkommen bis zu seinem 60. Geburtstag jährlich um 5% steigt. a. ) Harald R. spart 5% seines Einkommens jährlich nachschüssig. Wie hoch ist sein Sparguthaben an seinem 60. Geburtstag, falls sich das angesparte Kapital jährlich mit 8% verzinst? b. ) Nach seiner Pensionierung (an seinem 60. Geburtstag) möchte er das angesparte Guthaben verbrauchen. Er plant, monatlich nachschüssig 5.000 € auszugeben. Nach wieviel Jahren ist das Geld aufgebraucht, falls die Verzinsung jährlich mit 8% erfolgt?
Aufgabe 35: Vereinfache: 1 1
(x + y)(x-y)
x2 +y2 Aufgabe 36: Berechne für q > 1: Km
„.£-77 q m
=
Anhang C:
Vermischte Aufgaben
203
Aufgabe 37: Berechne:
b.)£50+5k S 1,1" Aufgabe 38: Eine Anleihe mit einer Nominalverzinsung von 5% wird zu einem Kurs von 95% erworben und nach 6 Jahren zu einem Kurs von 100% zurückgegeben. Wie hoch ist die Rendite?
Aufgabe 39: Eine AG nimmt einen Kredit über 10 Millionen € auf, der in zehn Jahren mit gleichbleibenden vierteljährlichen Tilgungsraten zu tilgen ist. Der Vierteljahreszins beträgt 2,5%. a. ) Wie hoch ist der effektive Jahreszinssatz? b. ) Berechnen Sie ba. ) die Restschuld nach 8 V* Jahren. bb. ) die Zinsen in der zweiten Hälfte des siebten Jahres. bc. ) die insgesamt zu zahlenden Zinsen.
Aufgabe 40:
ständige Wegebaulast von jährlich 1.000 € vorschüssig mit einem alle sechs Jahre fälligen Instandhaltungsbetrag von 2.000 € soll abgelöst werden. Der nächste Instandhaltungsbetrag fällt in zwei Jahren an. Wie hoch ist die Ablösesumme bei einem Zinssatz von Eine
5%?
Aufgabe 41: Ein Kapital von 10.000 € wächst in eineinhalb Jahren auf 10.762,50 € Zinssatz bei gemischter Verzinsung?
an.
Wie hoch ist der
Aufgabe 42: Ein Darlehen habe eine Laufzeit von acht Jahren; die Annuität sei vierteljährlich fällig. Der Nominalzinsfuß beträgt vierteljährlich 2% und der Marktzinsfuß vierteljährlich 1,5%. Berechnen Sie den Auszahlungskurs. Aufgabe 43: Es wird ein Kredit über 10.000 € aufgenommen. Die Halbjahresraten von jeweils 4.000 €. Wie hoch ist die Effektiwerzinsung bei a.
Rückzahlungen erfolgen
in drei
) halbjährlicher Zinsverrechnungsperiode?
b. ) jährlicher Zinsverrechnungsperiode?
Aufgabe 44: Das Land A erwirtschaftet 30% des Bruttosozialproduktes des Landes B, dessen Bruttosozialproduktjährlich um 3% wächst. a. ) Wie hoch muß die jährliche Wachstumsrate des Bruttosozialproduktes von A sein, um B in 7 Jahren wirtschaftlich einzuholen? b. ) Das Bruttosozialprodukt von A steige jährlich um 6%. Nach wieviel Jahren sind die Bruttosozialprodukte in den beiden Ländern gleich hoch?
Anhang C:
204
Vermischte Aufgaben
Aufgabe 45: Einem Tankstellenbesitzer wird eine Autowaschanlage zum Preis von 100.000 € angeboten. Es wird jährlich mit einem Oberschuß von 20.000 € (nachschüssig) gerechnet. Nach Ablauf der Nutzungsdauer von 10 Jahren kann für die Anlage noch ein Schrottwert von 10.000 € erzielt werden. Bei welchem Zinsfuß p lohnt sich die Investition gerade noch?
Aufgabe 46: Um welchen Prozentsatz muß eine jährliche vorschüssige Sparrate von anfänglich 1.000 € pro Jahr steigen, damit man nach zehn Jahren ein Kapital von 20.000 € besitzt, falls der Zinsfuß 7% beträgt?
Aufgabe 47: Ein Darlehen mit einer Laufzeit von acht Jahren soll halbjährlich mit konstanter Tilgungsrate getilgt werden. Der Nominalzinsfuß beträgt halbjährlich 3% und der Marktzinsfuß halbjährlich 4%. Berechnen Sie den Auszahlungskurs.
Aufgabe 48: Ein Kredit über 980 € wird aufgenommen. Die schüssigen Monatsraten von jeweils 250 €. Wie hoch ist die Effektivverzinsung bei a. ) Anwendung der Uniformmethode? b. ) monatlicher Zinsverrechnungsperiode? c.
Rückzahlungen erfolgen
in vier nach-
) jährlicher Zinsverrechnungsperiode?
Aufgabe 49: Ein Sparer spart vierteljährlich nachschüssig 500 € bei einer jährlichen Verzinsung von 6%. Wie groß ist sein Guthaben nach fünf Jahren und fünf Monaten und zwanzig Tagen? Aufgabe 50: Sie wollen alle drei Jahre für die beste Klausur in Wirtschaftsmathematik einen Preis von 1.000 € aussetzen. Welches Kapital müssen Sie bei einem Jahreszins von 6% anlegen, falls der Preis nachschüssig a. ) ewig vergeben wird? b. ) nur fünfmal vergeben wird?
Aufgabe 51: Eine Anleihe mit einer NominalVerzinsung worben und nach 6 Jahren Rendite?
zu
einem Kurs
von von
8% wird zu einem Kurs von 104,6% er92,66% zurückgegeben. Wie hoch ist die
Aufgabe 52: Eine AG nimmt einen Kredit Uber 10 Millionen € auf, der in elf Jahren mit gleichbleibenden vierteljährlichen Annuitäten zu tilgen ist. Der Vierteljahreszins beträgt 2%. a. ) Berechnen Sie die Restschuld nach 5 V« Jahren. b. ) Wieviel Zinsen müssen in der ersten Hälfte des siebten Jahres gezahlt werden?
Anhang C:
Vermischte Aufgaben
205
Aufgabe 53: Für den Kaufeines Autos, welches 51.161 € kostet, wird ein Sparvertrag zu 6% Jahreszinsen abgeschlossen. Die vorschüssige jährliche Anfangsrate von 5.000 € soll jährlich um 5% steigen. Nach wieviel Jahren hat der Sparer die 51.161 € angespart? Aufgabe 54: Jemand spart vierteljährlich nachschüssig 500 € bei einer jährlichen Verzinsung von 6%. Wie groß ist sein Guthaben nach a. ) 3 Vi Jahren? b. ) sieben Jahren, fünf Monaten und zehn Tagen?
Aufgabe 55: Ein Versicherungsbeitrag über 1.000 €, der
am Anfang eines Jahres fällig ist, kann in Bei vierteljährlicher Zahlungsweise bebezahlt werden. nachschüssigen Vierteljahresraten rechnet die Versicherung einen Aufschlag von 5%. Welcher Effektiwerzinsung entspricht dieser Aufschlag bei a.
) vierteljährlicher Zinsverrechnungsperiode?
b. ) jährlicher Zinsverrechnungsperiode?
Aufgabe 56: Vereinfache:
Aufgabe 57: Eine Hochschule, die 1980 8.600 Studierende hatte, nahm bis 1990 um ebensoviel Prozent zu, wie sie durch den Geburtenrückgang bis 1995 verlor. Um wieviel Prozent hat die Zahl der Studierenden von 1980 bis 1990 zugenommen, wenn 1995 8.514 Studierende immatrikuliert waren?
Aufgabe 58: In eine private Rentenversicherung werden einmalig 110.000 € eingezahlt. Die voraussichtliche Verzinsung des eingesetzten Kapitals beträgt 7,8% jährlich. Nach 14 Jahren wird aus dem verzinsten Kapital eine nachschüssige Monatsrente von 2687 € bis zum Alter (60+x) Jahre des Versicherungsnehmers gezahlt. Mit welchem x (Laufzeit der Rente) kalkuliert die
Versicherung? Aufgabe 59: Ein Versicherungsnehmer einer Lebensversicherung hat die Wahl zwischen einer nachschüssigen dynamischen Monatsrente von 2.025 €, die sich jährlich um 3,75% erhöht, und einer nachschüssigen Monatsrente von 2.718 € in konstanter Höhe. Beide Renten werden bis zum Tode des Versicherungsnehmers gezahlt. Der Zinsfuß beträgt 3,75 %. a. ) Nach wieviel Jahren ist die dynamische Rente zum ersten Male höher als die konstante? b. ) Bei welcher Laufzeit sind beide Renten gleich vorteilhaft? Aufgabe 60: Eine Schuld von 50.000 € soll innerhalb von 30 Jahren mit gleichbleibenden jährlichen Annuitäten getilgt werden. Berechne bei einem Zinsfuß von 10% die Summe aller Tilgungen bis einschließlich des 18. Jahres.
Anhang C:
206
Vermischte Aufgaben
Aufgabe 61: Ein Annuitätendarlehen über 300.000 € (bei monatlicher Tilgung) wurde Ende 2002 zu einem Zinssatz von 9% bei einer Bank aufgenommen. Die Laufzeit (Zinsbindungsdauer) betrug 8 Jahre. Weil 4 Jahre später das Zinsniveau auf 7% gesunken ist, möchte der Darlehensnehmer die Restschuld vorzeitig zurückzahlen. Wie hoch ist die finanzmathematische
Vorfälligkeitsentschädigung ohne Berücksichtigung von Kreditbearbeitungskosten? Aufgabe 62: Löse folgende Gleichung nach y auf: x
=
-iln(l-v)
Aufgabe 63: Ein Vater möchte seinen fünf Söhnen Hunerich, Gunthamund, Thrasamund, Hilderich und Gelinter zum 18. Geburtstag jeweils 40.000 € schenken. Himerich wird in genau drei Jahren, Gunthamund in genau fünf Jahren und Thrasamund in genau sechs Jahren 18 Jahre alt Seine Zwillingssöhne Hilderich und Gelimer sind genau zehn Jahre alt. Der Vater beschließt daher, ab sofort einen festen Betrag monatlich nachschüssig auf ein neu anzulegendes Sparbuch mit einer Verzinsung von 5% p.a. einzuzahlen. a. ) Wie hoch ist die erforderliche monatliche Sparrate, wenn der Kontostand nach der letzten Auszahlung 0,- € betragen soll? b. ) Wie hoch ist der Kontostand nach sechs Jahren nach Abzug des Geburtstagsgeschenkes fur Thrasamund? Aufgabe 64: Berechne: 100
a.)
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