Finanzmathematik: Intensivkurs - Lehr- und Übungsbuch 9783486599336, 9783486589252

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ULI

Fin an zm ath em atik Intensivkurs Lehr- und Übungsbuch

von

Prof. Dr. Holger Ihrig und

Prof. Dr. Peter Pflaum er

11., überarbeitete Auflage

Oldenbourg Verlag München

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen im Internet über abrufbar.

Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind

© 2009

Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH Rosenheimer Straße 145, D-81671 München Telefon: (089) 45051-0 oldenbourg.de Das Werk einschließlich aller Abbildungen ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen.

Lektorat: Wirtschafts- und Sozialwissenschaften, wiso@ oldenbourg.de Dr. Rolf Jäger Coverentwurf: Kochan & Partner, München Gedruckt auf säure- und chlorfreiem Papier Gesamtherstellung: Books on Demand GmbH, Norderstedt

Herstellung:

ISBN 978-3-486-58925-2

Vorwort

V

VORWORT ZUR l. BIS II. AUFLAGE Das vorliegende Buch ist aus Grundvorlesungen der Wirtschaftsmathematik entstanden, die wir in den letzten Jahren für Studierende der Wirtschafts- und Sozialwissenschaften sowie für Studierende des Wirtschaftsingenieurwesens gehalten haben. Es ist unser Konzept, mittels Testaufgaben mit Lösungsangaben eine schnelle Ist-Analyse des vorhandenen Wissens zu ermöglichen (um Kapitel überschlagen zu können), durch einen nicht zu umfassend gehaltenen, an Übungsbeispielen orientierten Lehrtext das nötige Wissen rasch zu vermitteln und in einem Übungsteil mit erweitert dargestellten Lösungen, das Gelernte zu verfestigen. Das Ziel ist im besonderen die schnelle Vermittlung von Basiswissen.

Hierzu ist jedem Kapitel ein Testteil mit insgesamt 64 Aufgaben, den zugehörigen Lösungsund Hinweisen auf den zuzuordnenden Abschnitt im Lehrtext vorangestellt. Im Lehrtext verdeutlichen tabellarische Übersichten auf einfache Weise die Entwicklung der finanzmathematischen Formeln. Besonders haben wir darauf geachtet, daß der Leser die mathematischen Herleitungen anhand von zahlreichen, parallel durchgerechneten Beispielen leicht einsehbar nachvollziehen kann. Ein Übungsteil schließt die jeweiligen Kapitel ab. Für die 148 Übungsaufgaben sind in einem Anhang die Lösungshilfen hinreichend ausführlich angegeben. Das Lösen der vermischten Aufgaben in Anhang C dient der optimalen Klausurvorbereitung. Wir haben versucht, möglichst wenige mathematische Vorkenntnisse vorauszusetzen. Leser, die ihr mathematisches Grundwissen auffrischen wollen bzw. müssen, wird vor der Lektüre des finanzmathematischen Teiles empfohlen, den Anhang A durchzuarbeiten.

angaben

Wichtig scheint uns, daß dieses Buch als Hilfe zum Gebrauch neben Vorlesungen als Prüfungsvorbereitungs- und im späteren Berufsleben als Nachschlage- und Auffrischungsmedium verstanden wird. Zu diesem Zweck haben wir auch wichtige finanzmathematische Tabellen eingefügt, mit denen auf einfache Weise Rentenendwerte, Rentenbarwerte, Annuitäten und Effektivzinsen ermittelt werden können. Eine ideale

Ergänzung zu dem vorliegenden Lehrbuch ist die Monographie Pflaumer, P: Klausurtraining Finanzmathematik,

welche eine Zusammenstellung von Klausuraufgaben der Finanzmathematik enthält, die in den letzten Jahren von uns gestellt worden sind. Zur Durchführung komplexer Berechnungen ist

Pflaumer, P: Excel-Funktionen für Finanzmathematik und Investitionsrechnung

als Lektüre zu empfehlen. Wichtige finanzmathematische Formeln und Funktionen in Excel werden anhand vieler Beispiele der Finanzmathematik und der Investitionsrechnung übersichtsartig erläutert. Den Herren Prof. Dr. W. Hauke und Dipl.-Phys. C. Heuson danken wir für die kritische Durchsicht des Textes bei der Durchführung ihrer Vorlesungen sowie für wertvolle Hinweise. Unser besonderer Dank gilt auch Herrn Dr. J. Schechler, Oldenbourg Verlag, für die sehr gute und verständnisvolle Zusammenarbeit.

Holger Ihrig und Peter Pflaumer

Inhaltsverzeichnis

VI

INHALTSVERZEICHNIS

A. EINFACHE ZINSRECHNUNG I.

1 1

Testaufgaben

II. Lehrtext 1.

1

Begriffe

1

2. Zinsformel für einfache Verzinsung 3. 4. 5.

6.

3

Berechnung von Kapital, Zinsfuß und Laufzeit Berechnung von Tageszinsen Zinssatz bei Gewährung von Skonto Barwert bei einfacher Verzinsung

Übungsaufgaben

III.

5 6

6 9

B. RECHNEN MIT ZINSESZINSEN

L

4

10

Testaufgaben

10

II. Lehrtext

11

1. Jährliche

11

2.

14

Verzinsung Unterjährliche Verzinsung und stetige Verzinsung

3. Effektivzins und konformer Zins

16

4. Barwert bei der Zinseszinsrechnung

19

5.

Anwendungen

21

5.1 Wachstumsraten

21

und Halbierungszeiten

Verdopplungs-, Verdreifachungs5.3 Realzins (inflationsbereinigter Zinsfuß)

5.2

5.4 Gemischte

III.

Verzinsung

Übungsaufgaben

24 26 27

29

Inhaltsverzeichnis

C. RENTENRECHNUNG I.

Testaufgaben

II. Lehrtext 1.

Grundbegriffe

2. Jährliche Renten- (Raten-) Zahlungen

33 33 35

35 37

2.1

Nachschüssige Zahlungen

37

2.2

Vorschussige Zahlungen

42

2.3 Kombinierte Renten- und Zinszahlungen

2.3.1

Rentenzahlung und Einzelleistung 2.3.2 Aufgeschobene, unterbrochene und abgebrochene Renten 3. Unterjährliche Renten-(Raten-) Zahlungen 3.1 Nachschüssige Zahlung mit jährlicher Verzinsung 3.2 Vorschussige Zahlung mit jährlicher Verzinsung 3.3 Unterjährliche Zins- und Rentenzahlung 3.4 Einige Fragestellungen bei unterjährlicher Rentenzahlung 4. Ewige Rente 5. Dynamische Rente 5.1 Nachschüssige jährliche Zahlungen 5.2 Vorschüssige jährliche Zahlungen 5.3 Renten mit gleicher Dynamisierungsrate und gleichem Zinsfuß 6. Rentenrechnung bei gemischter Verzinsung und Berechnung der Effektivverzinsung nach Preisangabenverordnung (PAngV 2000) 7. Mittlerer Zahlungstermin und Duration 8. Zusammenfassung der wichtigsten Formeln der Rentenrechnung 9. Investitionsrechnung 9.1 Kennzahlen bei konstanten Einzahlungsüberschüssen 9.2. Kennzahlen bei variablen Einzahlungsüberschüssen III. Übungsaufgaben D. TILGUNGSRECHNUNG

I.

VII

Testaufgaben

II. Lehrtext

47

47 49 51

52 53 54 56 59 61 61 63 64

65

71 74

78 78

82 84

92 92

94

Inhaltsverzeichnis

VIII

1. 2.

3.

Grundbegriffe Ratentilgung 2.1 Jährliche Ratentilgung 2.2 Unterjährliche Ratentilgung

94

Annuitätentilgung 3.1 Jährliche Annuitätentilgung 3.2 Unterjähriiche Annuitätentilgung

102

98 102 106

107

3.2.2

109

Unterjährliche Verzinsung

E. KURSRECHNUNG I.

95

3.2.1 Jährliche Verzinsung

Übungsaufgaben

III.

95

Testaufgaben

H. Lehrtest

114

118 118 119

1. Defüiition des Kurses

119

2. Kurs einer am Ende der Laufzeit zurückzahlbaren Schuld

121

2.1 Kurs einer Zinsschuld

121

2.2 Kurse von unverzinslichen Schatzanweisungen und Nullkupon-Anleihen

126

2.3 Der Einfluß des Marktzinses auf den Kurs

127

2.4 Duration und Kurssensitivität

128

3. Kurs einer ewigen Anleihe

131

4. Kurs einer Annuitätenschuld

132

4.1 Jährliche

Annuitätenzahlung 4.2 Unterjährliche Annuitätenzahlung 4.2.1 Jährliche Verzinsung 4.2.2 Unterjährliche Verzinsung 5. Kurs einer Ratenschuld

III.

133 133 134 134

Ratentilgung 5.2 Unterjährliche Ratentilgung

134

Rentabilitätsrechnung

136

5.1 Jährliche 6.

132

Übungsaufgaben

135

140

Inhaltsverzeichnis

F. ABSCHREIBUNG I.

143

Testaufgaben

143

U. Lehrtext 1.

DC

144

Vorbemerkung

144

2. Lineare Abschreibung

146

3.

146

4. 5. III.

Degressive Abschreibung Degressive Abschreibung mit Übergang zur linearen Abschreibung Digitale Abschreibung

Übungsaufgaben

150 152

ANHANG A: EINIGE MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN DER REELLEN ZAHLEN 1.

149

153

Potenzrechnung Wurzelrechnung Logarithmenrechnung

154

4. Summen und Zahlenreihen

156

5. Zahlenreihen in der Finanzmathematik

158

2.

3.

6.

Übungsaufgaben

ANHANG B:

zu

153 155

den Grundlagen

160

LÖSUNGSHINWEISE

166

A. Einfache Zinsrechnung

166

B. Rechnen mit Zinseszinsen

167

C.

173

D.

186

Rentenrechnung Tilgungsrechnung E. Kursrechnung F. Abschreibung ANHANG C: VERMISCHTE AUFGABEN MIT

Aufgaben Lösungen

192 196

LÖSUNGEN

198 198 209

X

Inhaltsverzeichnis

ANHANG D: TABELLEN

213

Hinweise zur Ermittlung von Effektivzinsen mit Hilfe der Tabellen 1. Effektivzins bei jährlichen

Zahlungen

2. Effektivzins bei unterjährlichen Zahlungen 2.1 AIBD-Methode bzw.

2000

PAngV 2.2 Effektivzins bei gemischter Verzinsung (auch: PAngV 1985) Tabelle I:

214 214 214 214 215

218

Tabelle IV:

Nachschüssige Rentenendwertfaktoren Vorschüssige Rentenendwertfaktoren Nachschüssige Rentenbarwertfaktoren Vorschüssige Rentenbarwertfaktoren

Tabelle V:

Annuitätenfaktoren

226

Tabelle II:

Tabelle III:

Nachschüssige monatliche Rentenbarwertfaktoren Tabelle VII: Nachschüssige vierteljährliche Rentenbarwertfaktoren Tabelle VIII: Nachschüssige halbjährliche Rentenbarwertfaktoren Tabelle IX: Vorschüssige monatliche Rentenbarwertfaktoren Tabelle X: Vorschüssige vierteljährliche Rentenbarwertfaktoren Tabelle XI: Vorschüssige halbjährliche Rentenbarwertfaktoren Tabelle VI:

220

222 224

228 240 244 246 258 262

LITERATURHINWEISE

265

SACHVERZEICHNIS

267

A.

Einfache Zinsrechnung

1

A. EINFACHE ZINSRECHNUNG

I. 1. Ein

Testaufgaben Geldbetrag über 800 € wird vom 31.05. bis 06.07. zu 5% angelegt. Wie hoch sind

die Zinsen?

Lösung:

-»-A4

4€

lange dauert es, bis 500 € auf 600 € angewachsen sind, Verzinsung von 5% angenommen wird?

2. Wie

Lösung: 3. Ein

4 Jahre

Geldbetrag über

1000 € wird für ein

falls eine einfache -»A3

Vierteljahr zu 3% angelegt.

Berechnen Sie

die Zinsen.

Lösung:

7,50 €

-»

A 1

€, der in 72 Tagen fällig ist, wird zum Diskont eingereicht. Der Diskontsatz beträgt inkl. Provision 10%. Welchen Betrag zahlt die Bank? -+ A 6 Lösung: 1000 € (999,60 €)

4. Ein Wechsel über 1020

Betrag über 53.000 € bereits 9 Monate vorher ausbezahlt werden. Der Diskontsatz beträgt 8%. Berechnen Sie den Barwert der Zahlung.

5. Einem Erben soll ein

Lösung:

50.000 €

-*

A6

Jahresverzinsung entspricht die Skontogewährung in der folgenden Zahlungsbedingung? "Zahlbar 10 Tage nach Rechnungsstellung mit 2% Skontoabzug oder einen Monat nach Rechnungsstellung ohne Abzug".

6. Welcher

Lösung:

36,73%

-+

A5

II. Lehrtext 1.

Begriffe

Unter Zins versteht man den Preis, den ein Schuldner für die leihweise

Überlassung von

Geld bezahlen muß (Sollzins) bzw. ein Gläubiger für die Überlassung von Sparkapital erhält

(Habenzins). Bei der Berechnung der Zinsen muß unterschieden werden, ob die bereits angefallenen Zinsen mitverzinst werden (Zinseszinsrechnung) oder nicht (einfache Zinsrechnung). Bei der einfachen Zinsrechnung werden die Zinsen jeweils vom Anfangskapital zu

2

Einfache Zinsrechnung

A.

Beginn einer Finanzaktion berechnet. Die am Ende einer Zinsperiode (= Vorperiode) gutgeschriebenen Zinsen werden in der folgenden Periode nicht mitverzinst. Der Zinsbetrag jeder Periode ist daher gleich groß. Kapital bzw. der Geldbetrag am Anfang der ersten Periode wird mit Kq das Kapi-

Das

,

tal am Ende der letzten Periode wird mit K„ bezeichnet. Der Zinsfuß pro Periode heißt p. Er wird zumeist für das Jahr angegeben. Dies kann durch den Zusatz p.a. (per annum) verdeutlicht werden. Wichtige Begriffe und die in der Finanzmathematik üblichen Bezeichnungen

sind in der folgenden Übersicht zusammengestellt. Einfache Zinsen sind beim Geldverkehr zwischen Privatleuten nach § 248 BGB und zwischen Kaufleuten nach § 353 HGB gestattet. Zinseszinsen dürfen nur von Versicherungsanstalten, Banken und Sparkassen berechnet werden. Der Zinsfuß beträgt beim Fehlen anderer Vereinbarungen 4% im bürgerlichen Recht, 5% im Handelsrecht und 6% im Wechsel- und Scheckrecht.

Übersicht: Wichtige Begriffe der Zinsrechnung Ky

Anfangskapital zu Beginn einer Finanzaktion

:

.

p

Zinsfuß in Prozent bzw. vom Hundert; wird vereinbart für einen bestimmten Zeitraum (dieser Zeitraum ist üblicherweise ein Jahr, wenn nicht ausdrücklich anders angegeben! -* Jahreszinsen).

n

Anzahl der gleich langen Zeiträume, in denen der Zinsfuß p cherweise -» Jahre, wenn nicht anders angegeben).

m

Anzahl der Zinsperioden im Zeitraum der Gültigkeit einer solchen Zinsperiode wird das Kapital verzinst. Beispiel: Zeitraum sei ein Jahr (Jahreszinsen p) m 2 halbjährliche Verzinsung

:

von

gewährt wird (übli-

p;

jeweils

zum

Ende

=

vierteljährliche Verzinsung monatliche Verzinsung

p*

:

tägliche Verzinsung (finanztechnisch gilt: 1 Jahr Zinsfuß pro Zinsperiode p* p/m -»

=

m

=

m

=

m

=

4 12 360

360 Tage)

=

Beispiel: Jahreszinsen p 6 (6% Zinsen/Jahr) .

=

-»

Monatszinsen p*

=

6/12

=

1/2

=

0,5

(0,5% Zinsen/Monat)

Zn

:

Kn

:

Merke:

aufgelaufene Zinserträge eines Anfangskapitals Kq nach n Zinszeiträumen bzw. nach n m Verzinsungen; die Zinsen werden jeweils am Ende einer Zinsperiode berechnet. Endkapital nach n Zinszeiträumen; dies setzt sich zusammen kapital und den aufgelaufenen Zinserträgen: K n =K0 +Z n Wenn nicht ausdrücklich darauf hingewiesen die Größe n zählt Jahre.

wird,

so

aus

gelten

dem

Anfangs-

Jahreszinsen und

A.

Einfache Zinsrechnung

3

2. Zinsformel für einfache Verzinsung In diesem Abschnitt wird die Zinsformel für die einfache

spiels abgeleitet. Beispiel: Anfangskapital Ko Fall

a: m

=

1

*

eine

Zu verzinsendes

n

Kapital

0

von

einem Jahr.

Endkapital

Zinsertrag

Z1

K0.TJÖ=

=

K,-

1.000,- €• tu7j 50,-€ =

=

=

1.050,-€

-

Ko= 1.000,-€

Z2

=

Z1+K0TJÖ=

K2

2

=1.100,-€

=

2

im Zinszeitraum

Verzinsung

eine

-

Ko= 1.000,-€ 1

1.000,- €; Jahreszinsen von 5% (p=5).

=

Zinsperiode, d.h.

Jahr

Verzinsung anhand eines Bei-

Kq ™=100,-€

=

-

zk

=

=

k

Ko Töö

Kk Ko + Zk =

=

k 50,- € •

Ko= 1.000,-€

Zn

=

=

Ko-

n

^=

Kn Ko + Zn =

50,- €

n •

Endkapital nach n Jahren:

Kn ^ + Zn K0 + nKoTÖÜ: =

Kn

Fall b:

m >

1

=

=Knfl 0 V +n—) 100-'

1.000,-€ (l+n-0,05).

=

Zinsperioden im Zinszeitraum von einem Jahr; es wird jeweils nach einer Zinsperiode von ^m-tel Jahr mit einem Zins pro Zinsperiode von p*=p/m verzinst; es wird somit pro Jahr m mal verzinst; nach n Jahren erge-*

m

ben sich insgesamt n-m Verzinsungen.

Bezeichnung: unterjährliche Verzinsung + m 12 und p*

z.B.: monatliche Verzinsung

=

=

5/12 .

4

A.

Einfache Zinsrechnung

Endkapital nach n Jahren: P*

Kn KO + zn K0 + n-m-Ko ygg =

=

Kn

c:

^1+nmn7Tüö)

=Kn(l+n —) 0 V 100/

1

=

000>- €

(1+n 12T2Töö)

(m fällt heraus!).

Bei der einfachen

Verzinsung spielt es keine Rolle, wie oft in einem Zinszeitraum verzinst wird, da die jeweils erzielten Zinserträge nicht mitverzinst werden (siehe jedoch Kapitel B: Zinseszinsrechnung).

Merke:

Fall

=

Kapital Kg steht entweder kürzer als ein Jahr oder keine Verzinsung an, wie folgende Beispiele zeigen: ß) 1 Vierteljahr; a) 3 Monate; 3/4 1 Jahr; 8) 390 Tage. y) Das

ganzen Jahre

n zur

Die Zinsen berechnen sich nun zu:

a) Z3/12

ß) Zl/4 y)

Z,,7S

8) Z39o/360

=Ko-f2'TOl5;

=

=

=

=

Ko

•

{ft}

\ T07j K^Tj -rj^Ko-1,75 -r^;

Kn

=

;

•

Ko-7-4^ Kq 390 Pj3^

=

Kfl 3-55

=

•

yjjjj.

Bei der einfachen Zinsrechnung ist es unerheblich, ob die Anzahl der Jahre ganz-

Merke:

zahlig ist.

3. Durch

Berechnung von Kapital, Zinsfuß und Laufzeit Umformung

der Zinsformel können

Anfangskapital,

Laufzeit und Zinsfuß be-

rechnet werden.

Berechnung des Kapitals -

Welches

Kapital bringt bei 5% Verzinsung in 7 Monaten 200 € Zinsen? Zn

=

n

Ko toTJ

A.

Einfache Zinsrechnung

5

bzw.

Kq-—-6.857,14 €. Berechnung des Zinsfußes -

Ein

Festgeldkonto über

10.000 € erbrachte nach 3 Monaten 100 € Zinsen. Wie

hoch ist der Jahreszinsfuß?

Zn

=

K0 TOTJ

n

bzw.

_100 Zn_

lOQ-ioo €

.

p""ErKo~~3/121Ö.ÖÖÖ €-4Berechnung der Laufzeit -

In wieviel Tagen bringen 5.000 € zu 5%

Zn

=

angelegt 50 € Zinsen?

n

K0

Tn7i

bzw.

IflO-Z,

a 10Q.5Q € _mtm Jahre-72 Tage. 5 5.000 €-0,2 D~T*o~~ -

.

4.

Berechnung von Tageszinsen

Steht ein

Geldbetrag t Tage zu p% p.a. zur Verfügung, so wird die Größe (Ko t)/100 als

Zinszahl bezeichnet, während 360 Zinsdivisor genannt wird. Die Zinsen erhält man aus -p—

Ko t

360

Zinszahl

^ _ m ^ 100 p Zinsdivisor' Bei der Berechnung von Tageszinsen wird im Text wie folgt verfahren: '

a) Das Jahr hat 360 Tage; ein Monat hat 30 Tage. b) Bei der Berechnung der Zinstage wird der 1. Tag mitgerechnet, während der letzte Tag nicht berücksichtigt wird. Beispiel: Wieviele Zinstage werden berechnet? 01.01.-31.01. Lösung: 29 Tage 01.01. -30.01. Lösung: 29 Tage 20.02. -03.03. Lösung: 13 Tage* 30.03. 30.04. Lösung: 30 Tage 31.05. 07.06. Lösung: 7 Tage -

-

01.01.-31.12.

Lösung: 359 Tage

6

A.

Einfache Zinsrechnung

(* Man nimmt den Februar zu 30 Tagen an. Nur wenn die Zinsen bis bruar zu berechnen sind, berücksichtigt man 28 bzw. 29 Tage.)

zum

28. bzw. 29. Fe-

Beispiel: Wie viele Zinsen erhält man für 2005, wenn auf ein neu angelegtes Sparbuch fol-

gende Beträge einbezahlt worden sind? Der Zinsfuß beträgt 3%. Einzahlung

Datum

Zinszahlen

Zinstage

_in €_ 03.01.05 17.03.05 07.04.05

1.300 1.200 500

358 284 264

4654 3408 1320

Summe der Zinszahlen:

9382

Zinsdivisor: Zinsen

=

120

-r%c 78,18 € =

5. Zinssatz bei

Gewährung von Skonto

Skonto ist ein Preisnachlaß, der bei der Barzahlung von Waren gewährt wird. Die Zahlungsbedingungen eines

Angebotes lauten: "Zahlung rein netto innerhalb 30 Tagen,

2% Skonto innerhalb 10 Tagen". Welchem Jahreszins

(Effektiwerzinsung) entspricht die Ausnutzung des Skontos, falls un-

terstellt wird, daß am 10. oder am 30. Tag bezahlt wird?

Lösung:

Rechnungsbetrag am 30. Tag : R Rechnungsbetrag am 10. Tag : R( 1 -0,02) 0.98 R : 0,02 R Ersparnis -* 0,98 R erbringen in (30-10)=20 Tagen 0,02 R an jährlichen Verzinsung entspricht dies? Zt-360-100 0,Q2R360 100 .,, 7, 36,73 =

P-Kol-0.98R 2Ö _

_

"Zinsen". Welcher

'

_

Es werden somit 36,73% Zinsen für 20 Tage

gewährt.

6. Barwert bei einfacher Verzinsung Unter Barwert versteht gen

Kapitals.

gezogen wird.

man

Diskont ist der

den

augenblicklichen Tageswert eines in der Zukunft fälli-

Zins, der bei Ankauf einer noch nicht fälligen Forderung ab-

A.

Einfache Zinsrechnung

7

Beispiel: Eine Forderung über 10.000 €, die am 30.10. fällig ist, wird bereits 3 Monate vorher bezahlt. Wie hoch ist der zu zahlende Betrag am 30.07. bei einer Verzinsung von 5%? Hier wird also nach dem Barwert der Forderung am 30.07.

Kn

=

gefragt. Da

Ml+" ToVj)

ist, erhält man den Barwert

(1+n iiö) Berechnung des Barwertes nennt man Abzinsen oder Diskontieren. Die Forderung über 10.000 €, fällig am 30.10., wird auf den 30.07. abgezinst. Würde man den abgezinsten Betrag von 9876,54 € zu 5% 3 Monate lang anlegen, so würde das Kapital wieder auf 10.000 € wachsen. Der Zinsabzug oder Diskont beträgt 123,46 €. Das Verfahren

Merke:

zur

Im kaufmännischen Geschäftsverkehr ist

jedoch aus Vereinfachungsgründen üblich, den Barwert als Differenz zwischen fälligem Betrag und Zinsen vom fälligen Betrag zu berechnen, d.h. es

wobei Zq den Zinsertrag, berechnet aus dem Endkapital,

angibt.

Ist der

Abzinsungszeitraum nicht zu groß, so ist der Unterschied zwischen beiden rechnungsarten gering, wie das nachfolgende Beispiel zeigt: Beispiel: Einer Bank wird

Be-

fälliger Wechsel über 3.000 € zum Diskont eingereicht. Der Diskontsatz beträgt inkl. Provision 8%. Welchen Betrag am

20.11. ein

am

30.11.

zahlt die Bank?

Ko -K« -Z,,

3.000 €

=

3.000 €

=

3.000 €-6,67 €

-

=

jg, jjg

2.993,33 €

(Diskont 6,67 €). Die korrekte Berechnung ergäbe einen Barwert von =

Ko

0000 l +36Ö TÖÖ 3

=

1

=

2.993,35 €.

'

Die Differenz ist hier

vernachlässigen.

Der Leser mache sich

jedoch am folgenden Beispiel klar, daß die kaufmännische Diskontierung bei längeren Abzinsungszeiträumen erheblich von der sogenannten bürgerlichen Diskontierung abweicht. zu

A.

8

Einfache Zinsrechnung

Beispiel: A überläßt B sein Motorrad mit der Vereinbarung, hierfür in fünf Jahren € 10.000,- von B zu erhalten. Was ist das Motorrad am Tage der Vereinbarung bar (bezahlt) wert, wenn bei einfacher Verzinsung von 4,5% Jahreszinsen ausgegangen wird?

Anfangskapital Kq (= Barwert) wert, das in 5 Jahren bei p=4,5 das Endkapital Kn 10.000 € erbringt.

Antwort: Das Motorrad ist in bar das

=

10.000,- € 1+5 4,5

=

8.163,27 €.

100

(Das Motorrad entspricht 8.163,27 €.)

am

Tage

der

Vereinbarung

einem Barwert

von

Barwert bei kaufmännischer Diskontierung

Kq

=

10.000 €

-

5--j4^-10.000€

=

7.750,-€.

Setzt man den Barwert von 7750 € in die Formel für den korrekten Barwert ein,

so er-

hält man

1000V

7750,-€= bzw. /lO.OOO I neu

(10.0 0

,\ *

\

100

=

5,81

Diskontierung hat also den gleichen Effekt wie die bürgerliche Diskontierung mit einem höheren Diskontsatz (bzw. Zinsfuß). Die kaufmännische

Merke:

Diskontierung (z.B. beim Wechseldiskont) ist der tatsächliche Zinssatz höher als der angegebene. Die Differenz wird um so größer, je länger der Diskontierungszeitraum ist.

Bei der kaufmännischen

Gegensatz zur Diskontierung mit einfachen Zinsen, die im kaufmännischen Bereich dominiert, gibt es die Diskontierung mit Zinseszinsen, die beispielsweise im Versicherungswesen oder auf dem Kapitalmarkt üblich ist. Im

A.

III.

9

Einfache Zinsrechnung

Übungsaufgaben

1. Der Student S. überzieht sein Bankkonto in der Zeit

06.03. bis 26.06.2002

vom

um

1.500 €. Der Sollzinssatz der Bank beträgt 10% p.a.. Wie hoch sind die Sollzinsen? 2. Ein Rentner bezieht eine Jahresrente

von

24.000 €. Welches

Kapital muß

er

in

8%igen Pfandbriefen anlegen, um daraus denselben Ertrag zu erzielen? Rechnung über 3.250 € wird nicht sofort bezahlt. Daher sind Verzugszinsen in Höhe von 144,45 € zu bezahlen. Für welche Zeitspanne wurden Verzugszinsen be-

3. Eine

rechnet, falls der Zinsfuß 8% beträgt?

Rechnung von 10.000 € soll bezahlt werden. Die Zahlungsbedingungen lauten: "Zahlung ohne Abzug innerhalb 30 Tagen; bei Zahlung innerhalb 10 Tagen Abzug von 2% Skonto". Welcher Jahresverzinsung entspricht diese Zahlungsbedingung, wenn unterstellt wird, daß genau am 30. bzw. am 10. Tag bezahlt wird?

4. Eine

5. Ein Girokonto weist

am

Jahresanfang ein Guthaben

werden auf das Konto 10.000 € überwiesen;

am

von

2.400 € auf. Am 06.03.

21.01. und am 16.02. werden jeweils

abgebucht. Die Bank berechnet 12% Sollzins Sie die Zinsabrechnung zum 01.04. auf.

4.000 €

und 0,5% Habenzins. Stellen

6. Eine Rechnung über 5.000 € mit einem Zahlungsziel von 3 Monaten soll bezahlt wer-

Tagen wird ein Skonto von 2% gewährt. Liquide Mittel stehen in den nächsten 3 Monaten nicht zur Verfügung. Soll die Rechnung dennoch am 10. Tag unter Inanspruchnahme eines Kontokorrentkredits zu 10% bezahlt werden?

den. Bei

7.

Zahlung innerhalb

10

Folgende drei Wechsel werden von einer Bank

zu

8% Zins

zum

31.08. kaufmännisch

diskontiert: 3.000 €,

fällig am 28.09. 4.000 €, fällig am 18.10. 7.000 e, fällig am 02.11. Wie hoch ist die Gutschrift der Bank, falls

insgesamt 9,- € Spesen anfallen?

8. Jemand kauft Waren für 1.000 € auf 3 Monate Ziel. Lohnt satz von

10%, die Rechnung sofort zu bezahlen,

geräumt werden?

wenn

bei

es

sich, bei einem Zins-

Barzahlung 2%

Skonto ein-

B. Rechnen mit Zinseszinsen

10

B. RECHNEN MIT ZINSESZINSEN

I.

Testaufgaben

1. Ein

Sparer legt 1.000 € zu 3% an. jährlicher Zinszahlung? Lösung:

2. Welcher

Wie hoch ist sein Kontostand nach 10 Jahren bei

1343,92 €

Betrag muß

zu

-*

4% bei

B 1

jährlicher Zinszahlung angelegt werden,

damit daraus

nach 10 Jahren 10.000 € werden?

Lösung: 3. Welcher

6.755,64 €

B4

Betrag muß zu 4% Jahreszinsen bei vierteljährlicher Zinszahlung angelegt wer-

den, damit daraus nach 10 Jahren 10.000 € werden? Lösung: 6.716,53 € 4. Eine

Festgeldanlage

werde monatlich

zu

^B2,B4

3% Jahreszinsen verzinst. Berechnen Sie den

effektiven Jahreszinssatz.

Lösung:

3,04%

-»•

Weltbevölkerung betrug 1985 Mrd. vorausgeschätzt. Berechnen

5. Die

Lösung:

etwa

B3

4,5 Mrd.. Für das Jahr 2100 wird sie auf 10,5

Sie die durchschnittliche

0,74%

jährliche Wachstumsrate. -*

B 5.1

6. Die Inflationsrate beträgt 5% pro Jahr. Nach wieviel Jahren hat sich das Preisniveau

verdoppelt? Lösung: 7. Eine

14,2 Jahre

Festgeldanlage

5,1%.

wird

->•

vierteljährlich

B 5.2

verzinst. Der effektive Jahreszinssatz

beträgt

Berechnen Sie den Jahreszins, den die Bank gewährt.

Lösung:

5%

+

Kapital über 5.000 € werde zu 6% für 5 Jahre angelegt. rate beträgt 3%. Wie hoch ist die reale Verzinsung?

8. Ein

Lösung:

2,91%

9. Nach wieviel Jahren

Die jährliche Inflations-

-»•

verdoppelt

sich ein

Kapital,

falls die

B3

B 5.3

Verzinsung monatlich

0,5% erfolgt? Lösung:

11,58 Jahre

-*B2, B 5.2

mit

B. Rechnen mit Zinseszinsen

11

Nullkupon-Anleihe, die heute zum Kurs von 60% gehandelt wird, soll in 8 Jahren zu einem Kurs von 100% zurückbezahlt werden. Wie hoch ist die jährliche Verzinsung?

10. Eine

Lösung:

B 1

6,6%

Kapital werde im ersten Jahr zu 2%, im zweiten Jahr zu 6% und im dritten Jahr zu 10% verzinst. Berechnen Sie die durchschnittliche Verzinsung pro Jahr.

11. Ein

Lösung:

-»-B5.1

5,95%

lange müssen 10.000 € angelegt werden, damit sie bei einer Verzinsung von 7% ein Endkapital von 25.000 € erbringen?

12. Wie

Lösung:

13,54 Jahre

»

B 1

II. Lehrtext

Zinseszinsrechnung werden die anfallenden Zinsen jeweils zum Kapital hinzugezählt und in der nachfolgenden Zinsperiode mitverzinst. Bei der

(wegen häufigen Vorkommens)

Abkürzung:

1

1. Jährliche

Verzinsung

Beispiel: Anfangskapital Kq 1

q heißt Zinsfaktor.

+

=

1.000,- €; Jahreszinsen

von

5%

(p=5); Zinsperiode

Jahr, d.h. m=l .

Jahr

Datum 01.01.

1

31.12.

Kapital

Zinsen

Endkapital

Ko= 1.000,- €

Ko' fjjg

™

50~ €

Kl_Ko + KOTol5~ =

1.050,--€

B. Rechnen mit Zinseszinsen

12

K^Ko-q1

01.01.

1.050,- €

=

Ki

31.12.

Tf]5

=

52,50 €

K2-Ki + K, =

=

(Ko-q)

q

jjjg-Krql =

Ko q2

1.102,50 6

K2 Ko q2

01.01.

=

=

1.102,50 6

K-2 1015 55,13 6

31.12.

=

K3 Koq3 =

=

1.157,63 6

Kn.^Ko-qn-1

01.01.

^-1 TOTJ

31.12.

Kn^Ko-q-

Endkapital nach n Jahren: qn

=

(l J075)11 +

heißt

Aufzinsungsfaktor, weil das Anfangskapital, das mit diesem Faktor multipliziert wird, sich auf den Wert des Endkapitals vermehrt (= aufzinst).

Typische Fragestellungen:

a)

Kapital erbringt Kq 1.000.-6 Frage nach dem Endkapital!

Wieviel -»

=

nach 7 Jahren bei 5% Jahreszinsen?

Kn= Kfl-q K7= 1.000,-6 b)

Welche Summe jetzt

(l y^jj +

=

1.000.-6-

1,057= 1.407,106.

angelegt bringt nach 8 Jahren bei 5% Jahreszinsen ein Kapital von

1.477,45 6? -»

Frage nach dem Barwert! 1.477,45 6 Ko _Kn -t 1,05« =

=

1.000,-6.

_

-

Anmerkung: Der Faktor l/qn heißt Abzinsungsfaktor.

B. Rechnen mit Zinseszinsen

c) Welche Zinsen werden gewährt,

1.000,-- € nach 6 Jahren 1.229,25 €

wenn

13

er-

bringen? -* Frage nach dem Zinsfuß!

i6

qn ?

q

e;

=

1+tSö

=

=

Der Zinsfuß

i

i2ooo',2-l

=

=

j1«22925

=

=

1,22925

l034999

0,035

beträgt 3,5% .

d)

festgelegt werden, wenn sie bei einer Verzinsung von 6.45% ein Endkapital von 1.650,- € erbringen sollen? » Frage nach der Zeit bzw. nach der Anzahl der Verzinsungen! Wie

lange

müssen 1.000,- €

.

6,45V_

,

^.ca

Gleichung löst man durch Logarithmieren nach einer beliebigen (üblicherweise Basis 10 oder e: lg x logio x, In x logg x). Die

=

lg qn lg =

n

lg q lg =

•

=

lg K„ lg Ko

=

lg 1,0645°

=

n

lg 1,0645

=

n

0,027146

-

,„

IgK -lgKp igq

1650

0,217483 _OA 0

^Q Qg"1

=

5,7507 -0,225< 0 =

-

Somit hat man den Lösungswert bereits eingegrenzt. Bei negativem F(q) hat man q zu klein, bei positivem Wert zu groß angesetzt. Aus Gründen der Zweckmäßigkeit sollte gen. Wertetabelle

man

sich eine kleine Wertetabelle anle-

C.

42

Rentenrechnung

zuj):

qn=rfr=410,02 €q5 4,1002 LStg qn q-1 =^

Rn Ro =

=

r

Probieren oder die Tabellen im Anhang D fuhren zur Lösung. Der Ausdruck

_Lf£ii=_L(1+ qn q-1 qn

+

n-l) l+l + qn qn-l =

n

q

fällt für

q>0 (Unendlichkeitsstelle bei q=0) mit wachsendem q monoton, so daß es wiederum nur eine Lösung gibt: In diesem Falle bedeutet wegen der fallenden Monotonie des ersten Ausdruckes

F(q)0, daß er kleiner als die Lösung ist. Wertetabelle

F(q) 10 5

Merke:

-0,3094 0,2292 -0,0543

1,1 1,05 1,075 1,07

7,5 7,0

Bemerkung

-2,56-10-6

zu

groß

zu

klein

groß Lösung

noch

zu

Es ist nicht sehr

Formel

zu

sinnvoll, sich für alle diese Fragestellungen die entsprechende merken abgesehen von der Gefahr, eine falsche herauszugreifen. -

Von der Grundformel

matisch

Ungeübten

Rjj

=

r

^-j- lassen sich alle Fälle leicht ableiten. Mathe-

ist anzuraten,

frühzeitig Werte einzusetzen,

um

die mathe-

matischen Ausdrücke zu vereinfachen.

2.2 Vorschüssige Zahlungen Man kann die

Beispiels im vorigen Abschnitt übernehmen, wenn man überall den Begriff "nachschüssig" durch "vorschüssig" ersetzt, da die Zahlungen zu Beginn des Zinszeitraumes von einem Jahr vorgenommen werden. Fragestellungen

des

C.

Rentenrechnung

43

Folgende Fragestellungen werden behandelt:

a) Rentenendwert R,j b) Rentenbarwert Rq c) Verrentung: Roqn-Rn

=

0

Rentenrate r Laufzeit n Zinsfuß p

d) e) f)

Beispiel: Zu Beginn eines Jahres werden r=100,- € eingezahlt (= jährliche vorschüssige

Zahlung). Das einliegende Kapital wird mit 7% (p=7) verzinst. trägt n=5 Jahre.

Die Laufzeit be-

a) Wieviel beträgt das angesammelte Kapital am Ende der Laufzeit? +

Rentenendwert R^ ?

Jahr

r

r=100,-€

1. Jahr

1 2. Jahr 2

Kapital am Ende des Jahres n

Rate

n

R, =r + rTpRJ

=

r(l+TpRJ)=r ql

=

107,00 €

-

r=100,-€

R2

=

r

q1 + R, q

=

rq + rq2

=221,49 €

-

3. Jahr

r=100,-€

R3

4. Jahr 4

r

=

100,- €

R4

r

=

100,- €

R5

5. Jahr

=

=

=

=

5

rq + R2q

=

rq + rq2 + rq3

rq + R3q

=

rq + rq2

rq + rq2

+

rq3 + rq4 + rq5

+

343,99 €

rq3 + rq4 475,07 € =

rq(l+q+q2+q3+q4) ^j-

=

rq

=

615,33 €

n-1 -

n-tes Jahr

r

=

100,- €

Kn-qfl1

vorschüssige Rentenendwertformel

n —

b)

groß ist der Rentenbarwert der obigen Rentenzahlung ? Rentenbarwert Rq ?

Wie *

44

C.

Rentenrechnung

vorschüssigen Rentenzahlungen ist der Betrag, der, einmalig zu Beginn der Laufzeit angelegt, nach S Jahren den gleichen Endbetrag R5 ergibt wie die S Rentenzahlungen. Es gilt also: 15-1 Ro-q5 R5 Der Rentenbarwert

von

5

=

bzw.

p

Allgemein:

=

rq9±f

_Rn_

q°-l

r

vorschüssige Rentenbarwertformel c) Welches Kapital Kq muß eingelegt werden, damit s Jahre lang vorschüssig die Rate r=100,- € ausgezahlt werden kann (p=7)? -» Verrentungsproblem, Rentenbarwert Rq ? Jahr

Auszahlung

n

r

Kapital am Ende des Jahres n K„ Ko Rq =

0 1. Jahr 1 2. Jahr 2 3. Jahr 3 4. Jahr 4

=

r

=

100,- €

K, (Rrj-rjq Ro q-rq =

=

r

=

100,- €

K2 (Krr)q Rq q2 rq2 =

n

rq

=

-

=

280,80 €

-

r

=

100,- €

K3 (K2-r)q Rq q3 rq* rq2 =

=

rq

-

-

=

193,46 €

-

-

r

=

100,- €

K4 (K3-r)q Roq4 rq4 rq3 rq2 =

=

-

-

-

rq

=

100,00 €

-

-

K5 (K4-r)q Roq5-rq5-rq4-rq3-rq2-rq =

=

=

=

n-tes Jahr

362,43 €

-

5. Jahr

n_l

=

-

r=100,-€

5

438,72 €

-

=

Roq5-rq(l+q+q2+q3+q4)

.

R0q5-rqq|r

-

=

Ro07=°'4025-

_/g 1,4025 ~5

"gl.07

,

zuj): qn.!

Die

Rp

^--^(q-1)nach

Auflösung

n

438,72 €

0,07 n0-2870 „nn

lotf,- € Ttö7

ergibt:

=

5.

_ =

+

Laufzeit n

46

C.

Rentenrechnung

f) Wie groß ist der Zinsfuß, wenn 5 Jahre lang eine Rate (Rente) 100,— € jährlich vorschüssig rx) angespart 615,33 € ergeben; ß) von einem Kapital von 438,72 € ausgezahlt werden kann ? •*

zu

Zinsfuß p bzw. q

=

1

yjjQ- ?

+

et):

Rn

rq^-

=

=

615,33 €

=6,1533. Zur Lösung gelangt man auch hier durch Probieren;

F(q)

=

q^-^ q^-6,1533. =

Wertetabelle

F(q) 10 5

7,5 7,0

Bemerkung

0,562 -0,351 0,091 9,1 10-5

1,1 1,05 1,075 1,07

zu

groß

zu

klein

noch zu groß

Lösung

zußj: Roqn

=

rq9^l

qn-l

Lösung

=

•

74^

q durch Probieren: v^ F(q)=

1

438,72 € q5 =

4,3872.

.4,3872. .^3=1^1 q4 q-1

qn-l q-1

r

Wertetabelle p

q

F(q)

10 5

1,1 1,05

7,5 7,0

1,075 1,07

-0,217 0,159 -0,038

noch zu groß

1,1310-5

Lösung

Bemerkung zu zu

groß

klein

von

C.

Rentenrechnung

47

2.3. Kombinierte Renten- und Zinszahlungen

Rentenzahlung und Einzelleistung

2.3.1

Gelegentlich wird ein Kapital Ko zu p% für n Jahre zinseszinslich angelegt und jedes Jahr eine Rente von r hinzugefügt oder abgehoben. Der Endwert der verzinsten einmaligen Einzahlung (Einzelleistung) und der n Rentenzahlungen beträgt nach n Jahren bei p% Zinses-

R„=Kn±Rt

Rn=K0q"±X-l q-1

(nachschüssige Zahlungsweise)

Rn=K0qn±rq q'-l

(vorschüssige Zahlungsweise).

bzw.

q-i

Beispiel: Jemand legt am 01.01.2002 50.000 € zu 4% zinseszinslich an. Danach werden jährlich regelmäßig weitere 5.000 € nachschüssig (beginnend am 31.12.2002) eingezahlt Wie hoch ist das Guthaben am 01.01.2014? R,,

=

50.000€l,0412+5.000€ 1,0412-1 0,04

=

155.180,64€.

•—--

a) Die Barwerte erhält man durch Abzinsung:

Rjl

R _

YL -

±J-&± q-1 q"

°-qb)

q-1

(nachschüssige Zahlungsweise)

(vorschüssige Zahlungsweise)

Die Rentenrate r ergibt bei gegebenem Endwert

r

=

n\ q-i (R„-K0.q").-S, q"-l

Rn:

(nachschüssige Zahlungsweise)

48

C.

Rentenrechnung

q

(vorschüssige Zahlungsweise)

qn-l

Bei positivem r handelt es sich um eine Einzahlung, bei negativem r um eine Auszahlung.

Beispiel: Der Student A. gewinnt 200.000 €. Jahren möchte er

er

über ein

Er legt das Geld zu 5% zinseszinslich an. In 30

Vermögen von 500.000 € verfügen. Welchen Betrag kann

jährlich vorschüssig von seinem Guthaben abheben? r

=

(500.000€

200.000 € -

•

1,0530)

•—•

1,05

1,0530-1

=-5.223,40 €.

-

Er kann 5.223,40 € abheben.

c) Die Auflösung der Formeln nach der Laufzeit ergibt

In n

=-

[K0-(q-l)±rJ lnq

bei

gegebenem Endwert Rn

(nachschüssige Zahlungsweise)

In

n

"\K0(q-l)±rq/ lnq

(vorschüssige Zahlungsweise)

Beispiel: Jemand legt 500.000 € zu 3% an. Jährlich werden nachschüssig 50.000 € abgehoben. Nach wieviel Jahren ist das Konto erstmals unter 100.000 € gesunken? '

100.000

0,03-50.000\

l J_ yj*]} J= (-47.000^ l35"J_9>97 lnl,03 lnl,03 -35.000

lnl,03

Nach 10 Jahren ist das Konto erstmals unter 100.000 € gesunken. Hinweis: Ist

K0 0, dann erhalten wir die Formeln der Rentenrechnung, ist dagegen =

dann erhalten wir die Formeln der Zinseszinsrechnung.

r

=

0,

C.

49

Rentenrechnung

d) Eine Auflösung der Formeln nach q bzw. p ist i.a. nicht möglich, falls r * 0 Wie in den Abschnitten C 2.1 und C 2.2 gezeigt, erhält man durch Probieren, d.h. durch Einsetzen geeigneter Werte in die Ausgangsgleichungen, rasch gute Lösungsnäherungen. .

Beispiel:

legt am 01.01.2002 50.000 € zinseszinslich an. Danach werden jährlich regelmäßig weitere 5.000 € nachschüssig (beginnend am 31.12.2002) eingezahlt

Jemand

Das Guthaben

am

01.01.2014 beläuft sich auf 155.180,64 €. Wie hoch

war

die

jährliche Verzinsung p? 12

R12 155.180,64 € =

=

50.000 €

•


)

'.-' +

=

r+r+

+r+ =

r'm +

590,20 €

+

+

rm^1+r rm^5ö-2 rm^-3 "+r rm^üö(m-1> +

+

+

+

r'S10T5 (1+2+3 +

"

+

[m'l])

(m-l)m

=

an, so

C.

Rentenrechmtng

53

(m-l)ml

{p

nachschüssige Rentenendwertformel Den Rentenbarwert erhält man, indem

R„ durch qn dividiert wird:

nachschüssige Rentenbarwertformel

qn qn q-1

t

3.2 Vorschüssige Zahlung mit jährlicher Verzinsung

Beispiel: Ein Sparvertrag mit Zahlungen zu Beginn des Quartals in Höhe von 25,- € bei 7% Verzinsung wird abgeschlossen.

...

Jahr Rate Kapital n=0m=l

r

=

25,-€

K

m=2

r

=

25,-€

K-

m=3

r

=

25,-€

K=

r+

=

rf$ r(l 5^)

r(l ^Jjj ) r(l 2} r(l +f$) r(l 2)+ ^1+foTJ'3) R, r(l +^) r(l 2) 70€ 13.502,266. einfach verzinst Zudem werden aber noch Raten, die werden, eingezahlt und er"

geben:

^2

"

=

•r +

-

5-250 € +

r+

--

T^-TJJ-250 €

+

+

...

ToV 250€

+

=

D

=

n2 mr + 1

=

n2 m r + r

1.260,42 6.

fn2m-l n2m-2 n2m-3 +

n

i

1

=

+

-

(n2m-l+l)

nTTÖÖ1-2-

n2'mr + rT5ö

Zusammenfassend

=

Aj {l+2 (D2 m-2) (n2 "-I)} n

=

r

-

+

RV12

(n2 m) T&J (n2 s) t7jö M)t8ü st07j- '

n2 m r +

/

'

V2

x

>

n2(n2 m-l) 2-

1.260,42 6.

ergibt gemischter Verzinsung:

sich für die

nachschüssige Rentenendwertformel

bei

66

C.

Rentenrechnung

^

R

5

=

=

V1+n2-Töo-) R»2 +

13.502,26 €+1.260,42 €= 14.762,68 €.

^2

Entsprechend folgt lung:

Beispiel, jedoch

für dasselbe

n2(m Den Rentenbarwert erhält

+

in

man

TuO"

bei

vorschüssiger

Ratenzah-

n2-m+l\l

gleicher

2

l\

Weise durch

Anwendung

der ge-

mischten Verzinsung:

Rp bzw.

=

Roqnl(l+n2Tgö) Rn (1+n2TÜö)

Beispiel: Ein Sparer spart monatlich vorschüssig 250 € bei einer jährlichen Verzinsung von

5%. Wie hoch ist der Barwert bei einer Laufzeit von 4 Jahren und 5 Monaten?

*°

,

i

14.822,88 €

««4/,: 5

y

11.945,95 €.

Fragestellungen der vorigen Abschnitte dieses Kapitels entsprechend behandeln. Als Beispiel sollen hier nur die Effektivzinsen von Krediten mit nicht ganzzahligen Laufzeiten bei jährlicher Verzinsimg berechnet werden. Mit Hilfe

o.a.

Formeln lassen sich alle

Bei Krediten wurde der effektive Jahreszinsfuß in Deutschland bis

zum

Jahr 2000 im

Prinzip mit o.a. Formeln ermittelt. Die gesetzliche Grundlage waren § 4 der PAngV 1985 (Preisangabenverordnung) und die Ausführungsbestimmungen der Länder. Bei der Berechnung des effektiven Jahreszinses sind alle unmittelbaren Kredit- und Vermittlungsko-

C.

sten

einzubeziehen

67

Rentenrechnung

(z.B. Nominalzins, Bearbeitungsgebühren, Disagio, Maklerprovisionen,

unterjährliche Zinszahlungen). Einige Aufwendungen, z.B. Aufwendungen im Zusammenhang mit der Absicherung des Darlehens (Notariatsgebühren und Grundbuchkosten), Versicherungskosten und Kontoführungsgebühren im marktüblichen Umfang, sind nicht zu berücksichtigen. Weiter ist gesetzlich geregelt, daß der jährliche Effektivzins mindestens mit einer, höchstens aber mit zwei Stellen hinter dem Komma anzugeben ist. Bei "variablen" Krediten, d.h. bei Krediten mit nicht über die gesamte Laufzeit festen Kreditkonditionen, ist ein sogenannter nen

anfänglicher effektiver Jahreszins über die Festschreibungszeit zu berech-

(vgl. Übungsaufgabe 49).

Berechnung des effektiven Jahreszinses muß (bei nachschüssiger Zahlungsweise) die Gleichung Zur

F(q)

=

ii-—-—.-^-^

=

0

_qD1(1+n2TSö)_

,

obiger Rentenbarwertformel ergibt, durch Probieren gelöst werden. Man nennt 360-Tage-Methode. Für die tägliche Praxis wird man Hilfsmittel (Rechner, Rechenprogramme oder die Tabellen im Anhang D) einsetzen. Zur Einbeziehung weiterer Faktoren, wie tilgungsfreie Zeiten, Berechnung des anfänglichen Effektivzinses, muß die Lösungsgleichung entsprechend modifiziert werden.

die sich

aus

das Verfahren

Die

folgenden Beispiele sollen das Vorgehen verdeutlichen. Die beiden ersten Beispiele sind den Ausführungsbestimmungen zur PAngV 1985 entnommen. Beispiel: Kredithöhe (Auszahlungsbetrag): Laufzeit:

8.000 DM

30 Monate

Zinssatz: 0,62% pro Monat, bezogen auf den Auszahlungsbetrag

Bearbeitungsgebühr: 2% des Auszahlungsbetrages; net und ist nicht zu

Rückzahlung: Lösung:

1 Monat nach

n\ + n2 2 + yj, Ro - 8.000 DM

n

=

r

=

=

sie wird monatlich verrech-

verzinsen

Kreditauszahlung, monatlich.

m=12

MP0DM + 00062

g 000 DM+

0,02.8.000 DM= m6ß DM

.

"*

Peff= 16,26

(durch Probieren oder mit Hilfe der Tab. VI und linearer Interpolation in Anhang D)

68

C.

Rentenrechnung

Beispiel: Kredithöhe (Rückzahlungsbetrag):

8.000 DM

Laufzeit: 10 Quartale Auszahlung: 98% (= 2% Disagio), Quartalsrate: 890,61 DM (nachschüssig) Rückzahlung: 1 Quartal nach Kreditauszahlung, vierteljährlich

Lösung:

n

n]

=

+

n2

Ro 0,98

=

2

2

m

^,

8.000 DM

=

=

=

4

7.840 DM,

r

=

890,61 DM

•

peff=9,94

-+

+

(durch Probieren oder mit Hilfe der Tab. VII und linearer Interpolation in Anhang D)

Beispiel: Kredithöhe (Auszahlungsbetrag) am 30.04.1990:

2.400 DM

Laufzeit: 6 Monate

Zinssatz: 0,5% pro Monat vom Auszahlungsbetrag 8 DM pro Monat, nicht zu verzinsen

Bearbeitungsgebühr: Rückzahlung: Lösung:

1 Monat nach Kreditauszahlung, monatlich

n,+n2 0 + j2-, m=12 Ro 2.400 DM, r 400 DM + 12 DM + 8 DM 420 DM

n

=

=

=

=

=

Die Ermittlung des effektiven Jahreszinses vereinfacht sich hier, da nur

(_n2(m 1+n2T07jjfjp Ro +

F(q) zu

lösen ist. Die „-„

=

Tuü

=

fJ

Gleichung kann algebraisch nach p aufgelöst werden. Man erhält rnnzr-Rp 2520-2400 120 _lnn

n2

[Ro 22

T2(2400-1050)

1

r

•

-

mit m-n2

=

N

=

mit Z

=

Rn =

—, so

Nr-Ro m

N-

\

r

17,78

Anzahl der Ratenzahlungen.

Setzt man im Nenner näherungsweise r

Peff=100

T2 1350

0 N 2

folgt

200

m

Ro(N+l)

)

Ro Zinsen und sonstige Aufwendungen. =

-

Formel, der sogenannten Uniformmethode, kann der jährliche Effektivzinsfuß einer ausbezahlten Kreditsumme Rq auf einfache Weise auch für Laufzeiten, die länger als ein Jahr sind, abgeschätzt werden; dabei wird der Kredit in N Raten, die jedes Mit Hilfe dieser

-

-

—

m

tel Jahr fällig sind,

getilgt. Mit der Uniformmethode wurde bis

1980 der Effekivzinsfuß,

69

C Rentenrechnung

insbesondere bei

Teilzahlungskrediten, berechnet.

Bei monatlicher Tilgung:

2.400 (Zinsen und sonstige Aufwendungen) Kreditauszahlungbetrag (Laufzeitmonate + 1)

«

•eff

_

Für das letzte bzw. das vorletzte Beispiel ergibt die Uniformmethode 2400 120

p*eff =---=17,14 2400 ,

(6+1)

bzw.

p*eff =200 ,

-

(10 890,61 -0,98 8000) 9,89. (0,98 8000)-(10+1)

4----

=

Ob ein

angegebener effektiver Jahreszins richtig ist, kann relativ einfach mit Hilfe eines Kontos für einen Vergleichskredit überprüft werden. Das Konto für den Vergleichskredit entwickelt sich bei dem im letzten Beispiel ermittelten effektiven Jahreszins von peff= 17,78 bei 360 Zinstagen und nachschüssiger Zinsbelastung wie folgt: Kapitalkonto 30.04.1994 30.05.1994 30.06.1994 30.07.1994 30.08.1994 30.09.1994 30.10.1994

Zinskonto DM

DM

Soll Haben Haben Haben Haben Haben Haben

213,36 -31,11 24,89 -18,67 12,45 6,22

120,00 Haben 120,00 Soll

120,00

Auszahlung 2.400,00 l.Rate 2. Rate 3. Rate 4. Rate 5. Rate 6. Rate

Saldo

Zinsbelastung

420,00 420,00 420,00 420,00 420,00 420,00

-

-

-

0

(Zinsen für 180 Tage) (Zinsen für 150 Tage) (Zinsen für 120 Tage) (Zinsen für 90 Tage) (Zinsen für 60 Tage) (Zinsen für 30 Tage) (Zinsen für 0 Tage)

Endsaldo

richtiger Berechnung des effektiven Jahreszinses muß der Endsaldo des Kontos für den Vergleichskredit Null ergeben; geringe Differenzen können durch Rundungen auftreten. Bei

Die

kapitalwirksamen Zinsverrechnungen werden beim Effektivzins nach PreisangabenVerordnung jeweils nach Ablauf eines vollen Jahres (nach 360 Tagen) berücksichtigt. Bei gebrochenen Laufzeiten wird die letzte Zinsverrechnung nach Ablauf der verbliebenen Dauer von weniger als einem Jahr nach einfacher Zinsrechnung durchgeführt. Im Gegensatz dazu wird beim "Effektivzins nach Braess" die erste Zinsverrechnung nach Ablauf der gebrochenen Laufzeit vorgenommen. Danach folgen nur noch ganze Laufzeitjahre.

C.

70

Rentenrechnung

Bei der sogenannten AIBD-Methode (Association of International Bond Dealers) erfolgt die Zinsverrechnung mit der Ratenzahlung. Während man beim Effektivzinsverfahren nach

360-Tage-Methode im unterjährlichen Bereich mit einfachen Zinsen rechnet, wird bei der AIBD-Methode sowohl im jährlichen als auch im unterjährlichen Bereich mit Zinseszinsen kalkuliert. Auf- und Abzinsungen erfolgen bei unterjährlichen Raten mit Bruchteilen der Zinsperiode. Unterschiede ergeben sich daher nur im unterjährlichen Bereich. In §6 und im Anhang zu §6 der neuen PAngV 2000, die seit 1.9.2000 gilt, wird die bislang in Deutschland geltende 360-Tage-Methode durch die AIBD-Methode ersetzt. Zugrunde gelegt werden für das Jahr jetzt 365 Tage (1 Monat 1/12 Jahr 365/12 Tage). Der Effektivzins ist jetzt auf zwei Nachkommastellen genau anzugeben. Im Falle der Auszahlung eines Darlehens als Einmalbetrag Ro zum Zeitpunkt 0 lautet die Berechnungsvorschrift: der

=

rk

tk

=

=

=

Ratenauszahlung mit der Nummer k in Jahren oder Jahresbruchteilen ausgedrückte Zeitabstand zwischen

Darlehensauszahlung und der Ratenzahlung peff

=

rk

Effektivzinsfuß.

Beispiel: Ein Darlehen beträgt 4.000 €, jedoch hält der Darlehensgeber 80 € Bearbeitungsgebühr ein. Die Darlehensauszahlung erfolgt Ende 2002. Die erste Rückzahlung r, 1.000 € =

wird nach 3 Monaten, die zweite r2

=

2.000 € nach 6 Monaten und die dritte r3

nach 12 Monaten getätigt. Nach obiger Berechnungsformel 3.920 €

1.000€ =

-r-

2.000 €

=

1.200 €

ergibt sich die Gleichung 1.200€

+-— +-

und als Lösung (durch Probieren) ein effektiver Jahreszinssatz von

12,66%.

gleich hohen Zahlungen r in gleichen zeitlichen Abständen, dann vereinfacht sich die Berechnimg. Die Lösungsgleichung

Geschehen die

n

R0.-L.alzl q

q -1

C.

Rentenrechnung

71

unterjährlichen Zinsfuß p* (q* -ljlOO, der auf einfache Weise mittels Tab. III (vgl. Anhang D) ermittelt werden kann. Der unterjährliche Zinsfuß p* wird dann in den jährlichen Effektivzinsfuß umgerechnet (vgl. Abschnitt B 3): liefert den

7.

=

Mittlerer Zahlungstermin und Duration

Zahlungen verteilt auf n Zinszeiträume ist die Angabe einer mittleren Laufzeit, die die durchschnittliche Kapitalbindungsdauer bemißt, von besonderer Bedeutung. Als mittlere Dauer z legt man den Zeitpunkt fest, an dem alle Zahlungen der Rente (= n r) auf einmal erfolgen sollen. Abgezinst auf den Beginn der Rente muß sich dann der gleiche Barwert ergeben: Für eine Rente mit

n

•

R -

—

Hieraus folgt für eine nachschüssige Rente:

q" -1

nr_ 1

R

q"'r'q-l

q2

und nach Umformung

lnq Entsprechend gilt für die vorschüssige Rente

rq-

Der Unterschied

einer

von

q-1

und

z

=

lnq

-1.

einem Zinszeitraum zwischen der mittleren Dauer einer nach- und

vorschüssigen Renten spiegelt vorschüssigen Rente wider.

den

um

einen Zeitraum früheren

Zahlungsbeginn

der

C. Rentenrechnung

72

Eine einfache Abschätzung der mittleren Dauer erhält man durch die Angabe der mittle-

Zahlungstermine k. Für nachschüssige Zahlungen ist dies das arithmetische Mittel aus erstem (k=l) und letztem (k=n) Zahlungstermin: ren

Zeit aller

n+1 z

Entsprechend gilt

=

m =-.

2

vorschüssige Zahlungen, wo der erste Zahlungstermin sofort (k=0) und der letzte eine Periode vor Ablauf (k=n-l) erfolgt: für

n-1 2 Beide Zeiten werden als mittlerer Zahlungstermin bezeichnet. z

=

m

=—

.

Eine andere

Annäherung zur gemittelten Zeitdauer-Abschätzung, Duration genannt, berücksichtigt, daß Zahlungen zu späteren Zeitpunkten ein zunehmend geringeres Gewicht erhalten. Je später nämlich eine Zahlung r geleistet werden muß, desto weniger ist sie auch zu Beginn einer Rente (bar) wert. Als Gewichtsfaktor ihres Zahlungstermins wird daher ihr auf den Barwert bezogenes Verhältnis r/R^, abgezinst auf den Beginn der Rente, angenommen. Der Gewichtsfaktor zum Zeitpunkt t ist also: 1

r

Die

gewichteten Zeiten t'

werden

nun zur

Gesamtzeit, der Duration, aufaddiert. Dieser

Näherungswert findet in der Anlage- und Vermögensberatung Verwendung. Für nachschüssige Rentenzahlungen folgt: z

=

D=

r

l t'=l

Ä

t-=i

t

r

1

5

l t q' Ro-q' Rom

-—-

=

—

-

L(a±± M

_qnlq(q-i)2"q:T; T gfM

(vgl. Anhang A.5)

qn q-i '

D

=

qn+1-n(q-l)-q

"

(qM)(q-l) Entsprechend ergibt sich für vorschüssige Rentenzahlungen: n-l

D=

I 1

t'

r n-1

=

rI

s-1. /„q°-'-l

t

i -

=

n-A

i5^ lq (q-i)2 q-'/ qn-(n-l)(q-l)-q '

_

1

qn-l

i^q-l

_

(qM)(q-l)

C. Rentenrechnung

Hieraus

folgt

für den Unterschied zwischen der Duration einer nach- und einer

73

vor-

schüssigen Rente: D

nach

D vor

=qn+l-n(q-l)-q

qn-(n-l)(q-l)-q (qn-l)(q-l) (qn-l)(q-l)

=

Die Differenz der Duration weise einer

n+1

-q

n

-q+1 ,

,

/

_

(q

n

t\,

»\

-l)(q-l)=

,

(qn-l)(q-l) (q"-l)(q-l)

ergibt wieder die um einen Zinszeitraum vorgezogene Zahlungs-

vorschüssigen Rente.

Die verschiedenen

Beispiel:

q

Mittelungszeiten erläutert das folgende Beispiel.

Jemand hat für ein Grundstück 10 Jahre die

gemittelten Zahlungstermine

und einem Zinsfuß

Lösung:

lang r

€

bei nach- bzw.

groß sind vorschüssiger Zahlungsweise bezahlen. Wie

zu

8%?

von

nachschüssig: z

=

°'08 V/n '.°8 /nflO-1,0810 1,08I(V

=

^

mittlerer Zahlungstermin: r,

r,

Duration:

D

=

m

=

\j-

=

5,18 Jahre

5,5 Jahre

1,08"-100,08-1,08

—-rrr—?-!—

=

(1,08 -1)0,08

.„-,,, Jahre 4,87

vorschüssig: alle Zeiten

Merke:

um

ein Jahr kürzer.

Mittelungen der Zeitdauer sind von den jeweiligen (konstanten) Zahlungsbeträgen unabhängig; sie hängen nur von Laufzeit und Zinsfuß ab. Die

Beispiel: Beim obigen Rentengeschäft sei ein Zinsfuß -*

nachschüssig:

z

=

10%

gegeben.

5,10 Jahre

m

=

D

=

5,5 Jahre 4,73 Jahre.

Der mittl. Zahlungstermin weicht

nach unten ab.

von

vom

exakten Mittelwert

z

nach oben, die Duration

74

C.

Rentenrechnung

Bei einer ewigen Rente berechnet sich die Duration zu:

nachschüssig: D- lim

qn+1-°(q-*)-q n+1

=

=

(q°-l)(q-l)

,\i_T/_n+l 1 .l-Kq-l)+ql/qUr lim9!Z. on q-1 i. ,

,

r_/-_

.

I•

n-»~

q

q-1

vorschüssig: D

l =

—.

q-1

Die zeitliche Differenz der Duration von nach- und vorschüssiger ewiger Rente i q q-i Uahr Dnach.-Dvor =

=

—-=

q_i q_i q.i

—

beträgt auch hier ein Jahr.

8.

Zusammenfassung der wichtigsten Formeln der Rentenrechnung

Dieser Abschnitt faßt die

wichtigsten Formeln der Rentenrechnung wegen ihrer zentra-

len Bedeutung für die gesamte Finanzmathematik in Ubersichten zusammen.

a) Übersicht: Jährliche Rentenzahlungen Rentenbarwert:

Ro

=

Rn/qn

nachschüssig: Rentenendwert:

Laufzeit:

/g[Rn(q-iyr+i] 'gq l

l-^(q-DJ 'gq Zinsfuß:

F(q)

=

^.^ q-1

=

0

r

Lösung q durch Probieren oder mit Hilfe der Tabellen im Anh. D.

p=100(q-l)

C.

Rentenrechnung

75

vorschüssig: Rentenendwert:

Rn

rq

=

q-1

'g^(q-D+i

Laufzeit:

feq l

Li *o (q-D

_I_9_

'gq Zinsfuß:

F(q)

=

q

—=

q-1

0

r

Lösung q durch Probieren oder mit Hilfe der Tabellen im Anh. D. p=100(q-l)

b) Übersicht: Unterjährliche Rentenzahlungen: n

Rentenendwert: Ersatzrentenrate:

R_ ^

=

1.

nachschüssig

re

=

2.

vorschüssig

re

=

,

ree 3-^-

q-1

r£m y0^ r[m y^ ^m^^j +

+

Laufzeit:

wie in Übersicht a) (nachschüssig) mit re statt r.

Zinsfuß:

wie in Übersicht a)

(nachschüssig)

c) Übersicht: Ewige Rente

nachschüssiger Barwert: vorschüssiger Barwert:

Ko-q^T

mit re statt r.

76

C.

Rentenrechnung

d) Übersicht: Dynamische Rente Rentenendwert qW

nachschüssig jährlich:

R„

vorschüssig jährlich:

R„

r

=

n_in

q-/ n*

rq 3-^—

=

q-/

Rentenendwert q=/

nachschüssig jährlich:

vorschüssig jährlich:

ILj Ka

=

n

=

n

-

r

qn~1

t

qa

e) Übersicht: Gemischte Verzinsung Rentenendwert,

n

=

nj

+

n2

nachschüssig:

R»

vorschüssig:

R„

Rentenbarwert:

=

Rq

=

r{(m+ jjjg ^J^l ygg) +

n2

r{(m+ ygg ^^"^(l ygg) +

=

(1+n2T?ü)

Zinsfuß (nach- und vorschüssig)

allgemein:

F(q)

RJr

=

Ro 0

—-=

I0

q" q-1

—

,

bzw. ,

c q"-l -I0, +—->0. q" q-1 .

80

C.

Rentenrechnung

nennt man in der

Investitionsrechnung den Kapitalwert (bei konstanten Einzahlungsüberschüssen). Formal ist der Kapitalwert die Differenz der abgezinsten Einzahlungsüberschüsse und der Investitionsauszahlung. Der Kapitalwert beträgt im vorliegenden Fall:

C0

Der

=

-100.000 € +

20 000 € 1 05-1

1,0510

•-

,„

=

1,05-1

54.434,70 €.

Kapitalwert kann aber auch als abgezinste Differenz der Vermögensendwerte betrach-

werden:

tet

1,0510

qn Eine Investition ist tiv

aus

rechnerischen Gründen durchzuführen,

wenn

der

Kapitalwert posi-

ist, und zu unterlassen, wenn er negativ ist. Zwischen dem Vermögensendwert der Investi-

tionsalternative und dem Kapitalwert besteht folgender Zusammenhang:

Kj,=(C0+I0)-qn q-1

c q"-i r , -In+— -—r+Lj

q-1

Denjenigen Zinsfuß, bei welchem das Anfangskapital Io auf das Endkapital bzw. auf den Vermögensendwert K[n wächst, nennt man Baldwin-ZinsfuB oder Kapitalverzinsung. Der Baldwin-Zinsfuß gibt die Verzinsung des eingesetzten Kapitals an (vgl. S. 13):

q"-l •100

=

q-1

-1

100

=

(c0+i0)qn -l i0

Für das Silberminenbeispiel ergibt sich für den Baldwin-Zinsfuß:

100.

C.

fj2Sl.557.85 .) 100 100.000 [V'fl-1 J .„

TbB

=

81

Rentenrechnung

.

=

9,66. „

Die Investition lohnt sich, da der Baldwin-Zinsfuß größer als der KalJculationszinsfuß ist.

Zu unterscheiden

Baldwin-Zinsfuß ist der interne Zinsfuß rj, der die Verzinsung des Kapitals angibt; von der Investitionssumme von 100.000 € könnte bei

vom

jeweils gebundenen einer Verzinsung, die dem internen Zinsfuß entspricht, 10 Jahre lang eine Rente von 20.000 € jährlich ausgezahlt werden (vgl. S. 40). Er ist der Zinsfuß, bei welchem der Kapitalwert der Investition Null wird.

c -o--i

ic q"-1 q? qr-i

mit q. =1 + -S-. 100 Rechnerisch wird

er

durch Probieren oder mit Hilfe

von

Rentenbarwerttabellen ermittelt

(vgl. auch S. 41f). Mit

=

c

—

5 und n=10 erkennt man aus der Tabelle der Rentenbawertfaktoren (Tab.

III), daß

der interne Zinsfuß zwischen 15% und 16% liegen muß. Lineare Interpolation führt zu:

5-5,0188 4,8332-5,0188

,, r,1 =15 +-= 15,1.

Die Investition lohnt sich, da der interne Zinsfuß größer als der Kalkulationszinsfuß ist.

Merke: Ist der

Kapitalwert positiv, dann sind sowohl Baldwin-Zinsfuß als auch interner Zinsfuß größer als der Kalkulationszinsfuß. Bei Beurteilung eines einzigen Investitionsprojektes reicht es daher, nur eine der Kennzahlen auszurechnen, um die Vorteilhaftigkeit der Investition zu beurteilen.

C.

82

Rentenrechnung

9.2 Kennzahlen bei variablen Einzahlungsüberschüssen Bei vielen Investitionen in der Praxis werden die

Einzahlungsüberschüsse unterschiedlich groß sein. Der Kapitalwert ist auch in diesem Fall die Differenz aus den abgezinsten Einzahlungsüberschüssen und der Investitionsauszahlung, d.h.: C C0---I

+^L + Ü+ +Sil

Einzahlungsüberschuß c ist neben dem laufenden Überschuß aus Umsatztätigkeit auch der Resterlös des Investitionsobjektes enthalten. Im

Zur Berechnung des Baldwin-Zinsfußes gilt wie oben:

I,

K 2--1

•100

=

(c0+io)-qn

-i •100

Bestimmung des internen Zinsfußes setzt man die Kapitalwertgleichung gleich Null. Die Bestimmungsgleichung für den internen Zinsfuß lautet dann im allgemeinen Fall: Zur

C0=0

Der interne Zinsfuß kann (i.a.)

nur

=

-Io+^-+%+....+^

T,=A-Z,

-

Ro

=

=

S

n

9.000,- €

A.qo

1. Jahr

3.429,46 €

1,073 =

S(q-l)

_sq°-l qn-l

2. Jahr =

R2 R,-T2 =

T] 2.799,46 €

Z2

T2 A-Z2

=

=

=

R1T01J R1 4«V

'«- *«

13.

4

14.

2x-2 2"x+l

7

=

=

33;

-»

•

•

=

=

24x 8X+1 =

=

0;

-*

(2X)2

x2,4 + 4x1,2-2,4 0; =

+

2x-2 0 ; =

2*1 -2 2X2=1 =

=

/gi;

1

:x

=

0

: x

=

0,589

(nicht definiert)

x}"2 =-4,53 (nicht definiert) x^-2 0,53 =

7|°^

=

: x

•

15.

ex e2 + ex e3=33

-(/gx)2 + 8/gx-20 /gx1-2; /gx2

=

0;

=

-10

:

*, :x2

=

=

100

-if5

Anhang A: Einige mathematische Grundlagen

164

Lösungshinweis für die folgenden Aufgaben: 17.

x3-llx2 + 35x-25

=

eine Lösung ist durch Probieren zu finden.

0

*2,3 18.

19.

20.

x3-3x2-x + 3

x3-2x2-x + 2

=

=

0

=

5

:x, x2 x3

=

l

=

3

=

-l

x2 x3

=

2

=

-l

:x,

=

0

x3-111 x2+lllOx-1000

=

0

l

x2=10 x3=100 d) Aufgaben mit Summen 1.

21

23

I (k+2) k=l

n=3

n

=

276-2- 1 =273

20

11

2.

l

I (k+3)- k=5 l (k-1) k=2

=

24

24

3.

X

5

=

X

5

1

=

100

k=5

k=5 31

4.

-89

13

X

13-

i=l

l

31

=

0

i=l 179

S

=

5 + 9+ 13 + 17

+

..

.+ 717

=

X [5 + (i-l)4]

=

64 619

i-l

6.

8=1+2+»+...+^

7.

S

=

8.

S

=

100

9.

I k=l

j (2)'

1 "

1'96875

25+ 125+ 625+...+ 3125

=

3900

e3 + e4 + e5 +... + e9

=

12 807,20

1

1,1*

—

=

100 =

l TT 1,1 k=i

1 —

1,1* 1

"10

Anhang A: Einige mathemalische Grundlagen

10.

I 22+»

k=i 9

11.

12.

i,r

=50

l

—r

+

l

5

k=i

i 2"k

1

i,r

049,60

—

10

.

I 2k k=0 k=0

=

k-i =

£ 2n l= 1023

n-1 =

l

n=l

1,9375 (l)n"' w =

oo

13.

£ 2'k

=2

£ 3"k

=\5

k=0

14.

k=0

15.

k=0 v z/

si 17.

s

=

25+ 125 + 225 +...+3125

'+8

_2 "3

3(io+i)-10(3-l)-3 (310-i)(3-i) =50 400

165

166

Anhang B: Lösungshinweise A

ANHANG B:

LÖSUNGSHINWEISE

A. Einfache Zinsrechnung

t= 110

Tage

z-3W-1-50°-tSj-45'83€ 2.

K

3.

n

=

=

100

fft000- 300.000 €

"g0^1^45

=

0,5556 Jahre 200 TaRe "

200 360 100

A 4.

p-$_8öö.j0-36,73 _

20

T _

3ÜÖ'

t ytnn

'

0j5 25 TT»" 38J

, ^

12

20

Töö" 385'

,

^

'

12

.

25

TT35 35J'

A Ann

Habenzins 2,19 € Sollzins /. 50,67 € Saldo /. 48,48 € 100-360 100 _nio,

6.

p—4 aoO-80—9,18

,

7.

'

.

nem

Kaufmännische Diskontierung:

*o°il m töü)+40W>{1 -m m)+7Mil-m m) =

13.842,22 9(Spesen) -

=

13.833,22 €

Rechnungsbetrag abzüglich Skonto 980,00 €

8. -

Barwert -

Kn

=

1

1P00,,

+-i.-iu12 100

=

975,61 €;

nein

'

0,5

Töö

Anhang B: Lösungshinweise B B. Rechnen mit Zinseszinsen

1.134 Mrd.

q10 1.485,2 Mrd. __?«y 1.485,2 =

_,n„

*

2.

a) 20.000 (1,06)5 b) c)

=

(1,03)10 20.000 (1.005)60

P

=

2,7

26.764,51 €

=26.878,33 6

20.000

=

26.977,00 €

=26"6'50€ 20H1+raf°5 e0,06 e) =26.997,18

d>

5

20.000

6

3.

2

=

T§ö35 e100

m2. o,0198 TO^^ p=

4.

1,98

gemischte Verzinsung:

Ko

=

10.000 6

Kaufsumme:

7

254>93€

x

Spesen:

0,015 x Verkaufssumme: 1,5 0,8 x= l,2x 0,018 x Spesen: •

-/?/Ux-0,018 ,\ *! 0,015

peff-1Y n

=

x

x+

x

(^/Bf-1)100

=

inft 100

7'91

167

Anhang B: Lösungshinweise B

168

1.478,9 Mrd. DM q5 1.830,5 Mrd. DM q= 1,0436 - p 4,36 =

=

2=l,045q5

7.

q= 1,1045 p

-+

v

o

10,45

=

.0,025-5

-v

R35-K.0e

8.

e

0,015 10

e

0,025-5+0,015 10+0,01

_v

Ko c

0,01-20 20

„.

_ ~

K35

Ko e

0,475

TOÖ"35

0,475 _

^ 5^

bzw.

=

=

0,0136

p=l,36 Bei stetigem Wachstum berechnet sich die durchschnittliche Wachstumsrate als gewogenes arithmetisches Mittel der Wachstumsraten! 9.

k«= 10.000 + IM)0- + IMPO

a)

k6=l,086 b) 30.000 n

10.

23.773,23(1,08)° =

3'02Jahre

e"0,005n Entwicklungsland:

=

gilt:

ke.n* 2K\n*

bzw.

=

Da

23.773,23 €

23.773,23 € =37.725,12 6

=/7n^

k{,

Industrieland: In n* Jahren

=

•

=

1,087

1.083

K^e0'03^^"0'00511' 0 0

Ko 2Ko ist, gilt: =

e

O,03n*_-2 2t =

e

•

-0,005n«

•

„0,035n* e =4 .

'

_

n*

=

Ä33

=

39'6Jahre-

k^ Koe0,03n =

Anhang B: Lösungshinweise B 11.

Yn

Bruttosozialprodukt zum Zeitpunkt n Bevölkerung zum Zeitpunkt n

Pn •p-

=

rn

Prokopfeinkommen zum Zeitpunkt n YA 0,02n

yn

o

0,05n

YB

I°-i_= y0 BvB yn pB 0,01n vBe°'04n =

c

*o e

In n* Jahren gilt:

yB =2yA bzw. B

y0

^j yo

Da

=

e

0,04n«

^

A

y0

e0,02n*

3,gilt e 0,04n»

,

=

o e

0,02n»

bzw.

n*

p

=

=

^1,0614-lj

4- 100

=

6

gemischte Verzinsung: 1

™(l

14.

+

toX1 tööH1 to)a) 00g10=5.536,76€ +

m

K

b> 15.

rw 89,6 Jahre-

(.+-£-)*-1*14

12.

13.

=

2. Hälfte:

K0

=

=

+

m

10

^S

=5.488,12 6

q=l+To\j

1.Hälfte: q.= 1

+

1^=1^+1) 2

=

q5q'5

=

q5(2(q+l))5

1

295-42 dm

169

Anhang B: Lösungshinweise B

170

q2 + q-2,297 -*

q

=

-+

P

=

=

0

1,096 9,6

-|=4,8 1,04 1,039 1,038 •.(l,04-(n-1)0,001) 1,04 + m 1,039 + m 1,038 +...+ m(l,04-(n-1)0,001) m2 0,04 + 0,039 + 0,038 +...+ (0,04-(n-1)0,001) 2

16.

=

•

m

2

•

In

=

=

In 2 m

^[0,04 (0,04-(n-l)0,001)]

arithmetische Reihe !

+

n2

-

81n +

1.386,29

n{= 56,435 zu groß 1^ 24,565 (etwa 25 Jahre)

* -»

=

Probe: Nach 25 Jahren hat sich das Kapital um den Faktor

17.

p

=

^1,022

18.

p

•

1)

100

•

K_2

K12

20.

-1)

=

=

1,072 i^ 1,075

2,1

•

•

-

=

2

22

1,0312 1.0412 •

p

a)

5

=

1,06°

/

=

=

D

(12f2-l) -«»

c) d)

5

-+

n

=

=

6°'°°°

=

=

0,8457

4,67

=

4,79 Billionen DM

100 =15,02

\12I0

(l+T2^ö)

5-1,03*° 5 l,()05,2°-n

b)

100

-

816,30 €

Prf=lA/wiSK-l 1

21.

23.

•

•

1.0510 1.045

=

19.

0,998 1,002 1,012

1,99 erhöht!

-n

=

=

=

=

-1.200

^^5

j7n^-7j?

T^H^05Tj5

Qj%

=

6,95

=27,62Jahre =

=

27,22 Jahre

26,89Jahre

=26,82 Jahre

Anhang B: Lösungshinweise B

a)

24.

A:KA 20e°'03n B:KB 60e°'01n 20e0'03n 60e°'01n 3 e0,02n =

=

=

=

n=o7y2=54,9Jahre b)

20

ß

25 =

p

25-

=

60 e0'01'25

^ 3,852)

100

m

=

5,39

*-*5 .)

x

=

fl+_^fm^n

=

l

pr-(((fs)wr-oiw-^ a)

K 1000 1000 1000 1000 T R

1000

1000

1000

1000

2000

Ablöse

Barwert heute:

Rq R^j + Rq2 =

1.000

=

R0iTgö; 1.000,

„

^"

_

«

R0 - R01 =

a)

R15

b)

Ri5 p

=

=

=

+

=

Ro2q5-Ro2 2.000

p

^2-ni 66JJahre •

=

j)1^1 r(l2

1.054 +

1.000(4

+

100.000-

1,06° +

4.000^^-

=

50.000-

1,06°

=

4.000

•

0,05

=

50.000 n

50.000

b)

•

=

^

0,05

1,06° + 8.000

'ff6^'1

23,79 24 Jahre

=

=

(rB 4.000) -

10.793,40 €

1'0^'1 4—H

12-

I.I-1-1-1-1-I-1-I-181

82

83

84

85

87

86

88

89

xxx

R90

"

=

=

a)

d)

3

{10.000 -^jfl} 1.037 {2O.OOO i^jfij (l101.686,71 0.000 1,037 1,03) ^Q Qj'1 +

+

•

20.000-

=

DM

r=

ioo.(K)0

b) c)

90

I 3

13.

;

=

1,0610 rß

+

M

r

=

M

-l,0512y^5rT= 11.282,546 11.282,54 6 ,919156

12 + 0,05

•

lL2*lf4€

f

=

11.282,54 6

12 + 0,05

•

f

10.745,28 6 =91542€

•

1,03

r=4003,92

Anhang B: Lösungshinweise C

176

14.

r

50O0''€,, =405,52 6

=

12 + 0,06 y •

20

r(l2 0,07^^0J7ö7^{lOO.OOO 1.0720 300^12 0,07 ^-j ^OT^}

1.0720 +

60.000-

15.

+

=

20

=

2

+

+

•

•

r=

16.

1.667,02 6

8.000 + 2.000

lA14-11 1

a)

rn0

b)

rn0

c)

r =5.000 + M?0 + MOO +

=

=

14-11

4.000 1

=

1,1-0,1

0

=

1,140,1

14.339,73 6

12.679,46 6

1,1*

l.l2

5W0

l.l4

13.148,35 6

=

Alternative b)!

bezogen auf Zeit in 5 Jahren

17.

r

=

750.000 650.000

•

-

-

1 15-1 18.000^-5-

1,15 + 35.000 193.044,80 6

= -

lohnt nicht! Das Haus ist auf heute zu

18.

a)

bezogen mindestens 119.865,63

=

teuer.

20.000

-1,11"

(2.200 4.600) -

b)

6

20.000-

=

4.600

^T^-+1.000

Ml"- -4.600 + 110

«-WJ-»— r^j^+

\,\2W

=

4.490

= -

1.000bzw.

r=

3.482,706

1Q1 f)AA sn f c

iyj,w!'0" 5 i 1,1-

Anhang B: Lösungshinweise C

177

„13 S—fi q-1 .

19.

a)

q13

2.400

F(q)

=

=

200

Xl13-i -12 13 q-1

=

0

q

1,1 -4,8

F(q) |

1,05 -2,6

|

q=

1,005 0,556

|

|

1,01 0,13

1

|

1,015 -0,268

|

1,012 -0,023

1,0116

| 2,910'

1,0116-*p= 1,16 Monatszins 1,16%

eff. Jahreszins: 2.400

b)

peff=

q13

=

100(l,011612-l)= 14,8

200 q

a!3-i "OTT

analog a)

Monatszins: 1,365%

17,6%

Jahreszins:

20.

30.000

•

1.01540

=

r=

21.

r(3332,610,015 ^'olois"1 +

€

55

65

I I I I

10

0

15

75 (77) I I I I I I I 20 03 e0"03") R2

=

=

R3

=

+

=

0'03

+

-

2

+

geom. Reihe: =

+...

0,03 20

,

——

e0'

-1

229.448,98 m3

1.00o(l20,050,05 y) r(l2 0,05 yj l'°Q05~l +

46.

R =-1-^ = 245.500 n

rlO

+

bzw-

"=

1-583,64 €

Anhang B: Lösungshinweise C 47.

a)

72 Monate

15.000

6 Jahre

282,05(12

=

+

^.T)1^L q

peff =11,11

(durch Probieren) 1 n12 1 15.000 282,05 q72 q-i -+ 11,07 (durch Probieren) peff

-*

b)

-»

=

•

100(l,00878712-l)

=

=

1.300-250= 1.050= 190

48.

3

n,=2 m

=

(da Festschreibungszeit)

0

=

n2

4

R0 7.840 Rj= 1.729,19 =

r=

890,61

3\a!d /7.840-' -29,l%2\ ^ -7(4L JL. tSö-2)V-(-890,61 f' 10,04 (durch Probieren) -

*

50.

aa)

ab)

p

K,0 K,

1

+

=

1.014 10 1.488,86 DM 1.000 1.014 0,95 2 K, 1.014 0,95 1.000 1.014 0,952 3 Kj 1.014 0,95 1.000 1.014 0.953

=

=

=

=

1.000

=

•

•

•

=

•

=

•

•

K10 b)

500

=

=

1,014 0,95 1.000 1.014 10 0.9510 891,44 DM 1.000 l,014n 0,95° 1 000 (l,014 0,95)n =

=

•

=

•

•

2

\

'4/nl,01+/n0,95) t/n

=

60'316

~*

61 Jahre

183

184

Anhang B: Lösungshinweise C 12r- Rn

51

P=10OTV3T5r 20

52

12r-1.000 _

1.000-5,5r

1.200

(vgl.51.)

91,60 € ——Tjy-jj« 100 2 '

S3.

Zweijahresrate wird in eine Einjahresrate umgerechnet: 2.000

R.10 =2.000

54.

a)

1,032-1

=

-*

P5n 50

=

-

0,9950

0,99n

b)

40

c>

nl™Pn

d)

P(

=

=

•

=

+

+

e)

^

rT^ 0'3l^ =

0,99 P0 + r 80 0,99 80 + r r 0,8 (Millionen) =

=

70 r

=

=

0.9950

•

80 + r 1_

0,547 (Millionen)

=

i_0)99

0,3

1-0,99

=

11

294,46€

qr+r

1'0'"S°

=

-*

0,03

r =-~z-

q2P0

80 + 0,3

80

1'032'1

1,03-1 ni10-1i l m10 i =2.000 1'UJ,"1 0,03 i)032-l

i

P1=qP0 + r P2 qP1+r P2

r

2.000 0,03

bzw. 0 ' 03

=

=

n

60,25 (Millionen) =

=

3°(MÜ,ionen)

160,14 (Jahre)

Anhang B: Lösungshinweise C

« 55.

C^_T2(12

F(p)-

a^ a)

100

°)

100

_n -m-0 12 100 100Zn_ 100j_ —

100

12

-100 +

b) -»

q*

185

^-

=

0

1,01-peff=(l,0112-l)lO0 =12,68

=

bzw. -100 +

^

0

=

q

-+q=

1,1268

peff= 12,68

bzw.

56.

1000q^i ^

57.

(r0-10.000) 1,062 (Rq-10.000)= 10.000

bzw.

1,0683

q=

=

p

6,83

=

-

rq

90 906,15 6

=

58.

20.000

-I-1-\-

4—i—i—v-

2 3 4 5 20.000 20.000

0

,

20.000

1

n

6

20.000

8

7

A-1—I-

9

10

=

.

.

-^^ 20.000-^(1+^-^ 1.053 \ 1.051 1,052 5

+

5

+ ...+

Nebenrechnung: 111 q

q

0--1 _

->

^-1

r"

_

q

^ J__i

1

12

13

14

1.0595)

2

n-i

q

l-q5n

qS q5n-l

q5°

_

11

20.000 -48

-r— Ro0 =-r 1,053 1,058 1.0548

a>

.

q5n-l

1

Ngf q5n q5-l q5n"5 q5-l _

_

1/1 1 0550-l\ \ 1=72 850,17 6 =20.000-A-j7 05J ViH,05'J 0545 11.05M 055-l 11,05J >

/

b) Nebenrechnung: fa n-»oo -

r-0

=

(_i_^i). \q5n-5 q5-l y 20.000

lim „-*

U=4-

\q5-l\q5n-5 q5n-5/f q5_i

l'0S. =79 809,89 6 —^ 1,053 1,055-1

(vgl. auch Lösung C.3)

Anhang B: Lösungshinweise D

186

D.

Tilgungsrechnung

Jahr

1

1 2 3 4 5

2.

Zinsen

500.000 400.000 300.000 200.000 100.000

35.000 28.000 21.000 14.000 7.000

100.000 100.000 100.000 100.000 100.000

135.000 128.000 121.000 114.000 107.000

Insgesamt

105.000

500.000

605.000

Tilgung

Rj =100.000(20-10+1) =1.100.000€ 500.000 6 R15 100.000(20-16+1) Z,2= 100.000(20-12+1) 0,1 90.000 € Alg T + Zf8= 100.000+ 100.000(20-18+1)

a) b) c) d)

=

=

=

=

3.

Zges Agra-S =

STojjinT^ =2.000.000 0,1 •2j-

=

2.100.000 6

•

1,024 1,0824 peff 8,24 T=10 00j000 250.000

a)

b)

=

0,1

130.0006

=

e)

Aufwendung

Restschuld

-*•

=

ba)

=

=

R,5,3, 250.000(4 (10-6+1) -3) 4.250.000 6 =

=

•

Rg 250.000(4 (10-9+1) -0) 2.000.000 6 z5 3 + z5 4 250.000(4(10-5+l)-3+l) ^

bb)

=

=

•

bc)

=

•

250.000(4(10-5+l)-4+l)

+ =

A? 3

bd)

zges

-

Rg

4.

s

=

=

=

•

=

320.0006

10.000.000

-^j (10-9+1)

-s =

4^55

215.000 6

250.0O0{l1,28(4(10-7+l>3+l) j^jj yöö (t" I) Ages 250.000-

=

A5 T5 + z5

=

+

=

=

be)

110.000+105.000

•

=

=

=

4 100 000 €

200.000

1.000.000

100.000 + 100.000 (10-5+1)

^

=

166.000

p

=

11

Anhang B: Lösungshinweise D

500.0000,„ 12

(n-8+1>T0T

——

n=

12 Jahre

peff= 12,55

p*

-*

=

800.

(fr 1,1255 -l)-

3! T=mj^w

=

100

=

25 000

Restschuld zu Beginn des 3. Jahres

Rj 0 Quarta,

600.000 €

Zinsen

Tilgung

Aufwendung

600.000 575.000 550.000 525.000

18.000 17.250 16.500 15.750

25.000 25.000 25.000 25.000

43.000 42.250 41.500 40.750

Tilgung

Jahr

Restschuld €

Zinsen €

1 2 3 4 5 6

1.000.000,00 870.392,62 727.824,50 570.999,57 398.492,15 208.734,98

100.000,00 87.039,26 72.782,45 57.099,96 39.849,22 20.873,40

129.607,38 142.568,12 156.824,93 172.507,42 189.758,17 208.733,98

229.607,38 229.607,38 229.607,38 229.607,38 229.607,38 229.607,38

Insgesamt

377.644,28

1.000.000

1.377.644,28

A

=

Zj b)

=

Restschuld

1 2 3 4

.» a)

25.000 (4(8-3+l)-0)

=

n _

€

0,09= 18.000 200.000 0,08 16.000

200.000

=

m

=

•

18.000 In 2.000 -

=-m

-=

_

->

T

=

2.000

28,55 Jahre fg

_

Restschuld zu Beginn des 27. Jahres: R_,

n

=

200.000

t

'

flR2"»^ 1 fIR2*

1,0828'

«T

-1

=

40.093,53 €

Annuität €

187

188

Anhang B: Lösungshinweise D

,

,

Janr

~~27 28 29

Restschuld €

Zinsen €

Tilgung

Annuität €

40.093,53 25.301,01 9.325,09

3.207,48 2.024,08 746,01*

14.792,52 15.975,92 9.325,09

18.000,00 18.000,00 10.071,10*

€

*Restschuld wird am Ende des 29. Jahres zurückbezahlt; wird sie nach Ablauf von 0,55 Jahren des 29. Jahres zurückbezahlt, dann betragen die Zinsen nur 410,30 €; die Annuität ist entsprechend geringer.

c)

Restschuld nach 10 Jahren:

R.n 10

200.000

=

l'

nRZ8'^-i nu'" ,,«'

^28,55

=

,

171.027,30

Ansparung 0,4 171.027,30 68.410,92 =

R,0 - r

9.

68.410,92 490,55 6

=

=

a)

A

b)

R,. ™

c)

T{ Tlg Zu

=

50.000 =

=

d) e)' f)'

A

Z

•

r(l2 ^T).l^ +

l,l30-°41,130-1

5.303,96 6

1,1-1 5.303,96 5.000 303,96 6 =

-

=

=

1,117= 1.536,366 5.303,96-303,96 1,113 4.254,616 303,96-

=

ges =

ges

30 5.303,96

159.118,80 6 159.118,80-50.000= 109.118,806 '

=

'

'

1

130-1'''l10 =45.155,626

l,l30-l

=

+

=

-

37.403,27 R,. ^°

10.

=

l24 =23.100,146

50.000 1l'1130-1

R,10 =50.000-

g)

=

S

=

=

S

100.000

•

+

l>°*

'}'0S

1,08-1 A 9.367,88 =

Annuität

Jahr

Restschuld 6

Zinsen 6

Tilgung

"2I

37.403,27 31.027,66 24.142,00 16.705,48 8.674,04

2.992,26 2.482,21 1.931,36 1.336,44 693,92

6.375,61 6.885,66 7.436,52 8.031,44 8.673,95

9.367,88 9.367,88 9.367,88 9.367,88 9.367,88

Insgesamt

134.197,00

100.000,00

234.197,00

22 23 24 25

6

6

Anhang B: Lösungshinweise D

U.

T

=

4

-»

2.444,52

=

1.0511

A

=3.611,67 Z„4 3.611,67 2.444,52 1.167,15 € =

12.

a)

b) c) d)

13.

14.

a

=

100.000

=

7

100.000

°'02

1.0220

6.115,67 €

l'02

=

=

=

=20-6.115,67- 100.000

a)

A

b)

7.173,55

a)

n

ges

p

500.000

=

=

m

=

=

=

=22.313,406 =7.173,55 6

6

100 Quartale

3

2

a

Z

1,01120-1

^j^'1 =21.736,57

25 4 •

1,01120

200.000

=

ges

°'02 1,02100 1 02100-1

=-7- >

,V-L

(3+iiöi)

25 12 1.536,61 200.000 ' •

-

100.000 15'

=

1,02-1

.

Z

'

=

-

~\>02 69.402,93 6 1,0220-1 T =6115^7 1.0214 5.430,546 15 1,0220 1,0219= 119,926 Z,n 6.115,67-6115!^7 20 1>0220 R_

e)'

b)

1.053

—~

•

=

=

1

536,61 6

260.983 6

1,08° 0,08n

/n.-L.n?8"1 V 100' 2)

1198=

1,08°

14.903,12 (l,08n-l) 8.000 =

6.903,12-

l,08n= 14.903,12 1,08° 2,159 =

_/n 2,159

ln ,

.

n-Tn-l^-10Jahre _

_

189

Anhang B: Lösungshinweise D

190

200.000 16.

a

15.877,60

=

q10

-9lL

•

=-1-—r9-^•

Lösung durch Probieren: P 8

q

1,08 1,12 1,10

14.610,73 17.182,93 15.877,60

12 10

17.

a

=1.939,47

Lösung durch Probieren:

(vgl. 16)

14.000

groß Lösung

-•>

-

p

-»

=

6

1,07°

200.000

18.

klein

zu

q12-^-

100.000 =

zu

=-7-=—A'07 -1

(2

28.490 (l,07n-l)

+

=

T5ö

l) 1,07°

14.000

n_/nl,966_ln A

Z

=

ges

ges

Lösung durch Probieren:

100.000

b)

14.919,39

c)

149.193,90 6

21.

°*lS

A=

a)

9.200

q38-2^q -1

(vgl. 16)

100(l,011512-l)= 14,71

.

-7nmr=

80.000 €

=

n^ilO —' 0,061 =14.919,396 ,a oimnc -1,061 ,n

a A

-

=

1,0115 -*Peff=

»"> a)

=

280.000 €

-

300

q=

=

=280.000 200.000

19.

in 20.

14.000-2-10

l,061l0-l

100.000

(12

+

_

q10 -3lL q10-l

t) 490,38

tdö

p

=

=

8,0 (Probieren)

6.019,41

6.019,41 50.000 0,05 3.519,41 _/n 6.019,41 -In 3.519,41,,, ...

T,

=

-

•

=

n-^ÜTOl-'—11Jahrc _

p=10

191

Anhang B: Lösungshinweise D

b)

R5 3

50.000

=

tob) -490'38 {(12

1.055 (l +

+

Töö

t)

%r(l+\hm)+u(l2+ml)}

64.611,75 35.154,10 29.457,65 € 100 100 100 100 100 32577,89 + =

=

-

20.000 0,97

22.

q

=

=

-^q +-5-+ -Tq q

a)

q

q

+-^— q

peff= 11,35

31 in Abschnitt B.

Jahr

Restschuld

Zinsen

Tilgung

Annuität

9 10

2657,60 1379,91

212,61 110,39

1277,69 1379,90

1490,29 1490,29

4902,90 €.

b) 24.

-r ^-

bzw.

1,1135

vgl. auch Aufg. 23.

+

a) Annuität: A 300.000 0,180674 54.202; =

=

Restschuld nach 3 Jahren 0 Es

=

erfolgt eine Wiederanlage

erhält man

A*= 210.828

•

4)^

=

300.000 0.702760 =210.828;

der Restschuld

0,243891

=

zu

7% für 5 Jahre. Als Annuität

51.419. Der jährliche Schaden der Bank ist

folglich die Differenz der beiden Annuitäten : A A* 54.202 51.419 2.783. Der Gesamtschaden V (finanzmathematische Vorfälligkeitsentschädigung) der Bank entspricht dem Barwert der jährlichen Mindereinnahmen: -

=

=

-

Rn ^

=

V

Bankenformel:

b)

=

1,07s-1

1 2.783-z--=11.411

1.075

210.828 5 0,02

0,07 =

/qn(q-l) q^*+l>-\ Für q

=

1,09; q*

und S

=

300.000 folgt:

V

=

300.000

=

21.083

q°-qk-1\

1,07 (Wiederanlagezinsfaktor);

n

=

(0,180674-0,702760)' 11.411 v

-

0,243891

8;

k-1

=

3 bzw k

=

4

192

Anhang B: Lösungshinweise E E.

1.

Kursrechnung

C

a)

=

100%

•

Ii —^-7 1,06s l

~l\J

0,07 l'06 O.06

+

=

104,21%

- k0= 104,216 b)

100 f l065-ll 3 + ii+ojyj >~°~ \+—;=io6,45e 0 ^ p:=—z 0,06 / 1>065 1,065 l k:

C= 100%

2.

1.000.000

=

p

=

K. -

+

p

1.000.000 =-

0

1.065p

q'=q.

f J1+0,05i^iUJL 0,06 J lj065 l

957.876,36 =-?

1.065

56.370,93 6

C„0 100% =

C,1 100% =

-*

5.

,

da

q-li

q4l

0

1.000.000 -+

-rrJl+(q-l)3_lil= loo»/.,

•

—t-rr Ii 1(07n\

+

0,07

1'0,07 07U'1Jl

i 1 + 0,07 l>°* ~l\ 0,08 J l,0810l

100%

=

=

93,29%

6,71% niedriger

Zinsniveau 7%:

5%-Anleihe: C

=

100%

1

Ii Iil

l,0720 l ,n

8%-Anleihe: C=100%——.

1.074

+

0,05 1'07 0,07

+

0,08 •

-11/

±*°^U 0,07 J

-

=

78,81% 103,39%

Zinsniveau 6%: 5%-Anleihe: C

8%-Anleihe:

=

100%-^fl l,0620 l

C=100%--t

Kursanstieg:

+

0,05

Ii +0,08

1,064 l

5%-Anleihe:

12,33%

8%-Anleihe:

3,42%

*M 'l\ 0,06 /

=

88,53%

106,93% ^-rl0,06 J

Anhang B: Lösungshinweise E

13,13%

100

^% q

=

^q'=l,07 100 C =-TT %

=

1,0928

C

8.

=

100%

g= 133,33%

a)

rjg-- 100%

b)

Lösung durch Probieren: 95%

8,95%

=

8,42%

100%

=

F(q) F(q) 1,094 1,093 1,0929

94,61% 94,98% 95,02% p

=

9,295

'^W1^1) =96,16%

C= 100%

1,07-(0,07(1,06 -1) 10.

aa)

C

=

-*

ab)

100%

'^W'07;1) 1,0770,07(1,06 -1)

96,54%

Auszahlungsbetrag: 193.080,- € 4 + -7--I

C =-^°_|. 96,54% 96,89% =

4 + 100 2 —

•+

ac)

=

-

Auszahlungsbetrag: 193.780,- €

12+i.ü

C-. 96,54% 12 + -2_.il 100

-»

=

96,97%

2

Auszahlungsbetrag: 193.940,- €

193

Anhang B: Lösungshinweise E

194

b)

A = 200.000

35.827 =-2—n12 + -6_.ii 100 2

a

c)

ii.

1,0677

0,06 , 1,06-1 =

=

35.827,- €

2.905,68 €

7% (Marktzins)

w.ltmM£m&i V-1K1,066-1)

a)

q

1,0946 bzw.

-»q'=

b)

9o./o

p'= 9,46 (durch Probieren)

n+™'t (12 t)

=

+

ioo%

l

1. 2. 3. 4. 5.

Jahr Jahr Jahr

9.000 6.300 4.410

Jahr Jahr 6. Jahr

m

Schreibung vomRestwfrt € 6.000 5.250 4.900 4.900 4.900

100 5+1-= 2,67 30

Ubergang im 3. Jahr !

Restbuchwert zu

Beginn €

30.000 21.000 14.700 9.800 4.900 0

197

198

Anhang C:

Vermischte Aufgaben

VERMISCHTE AUFGABEN MIT LÖSUNGEN

ANHANG C:

Aufgabe 1: Vereinfache den folgenden Ausdruck:

Vx2V^

=

Aufgabe 2: Löse die folgenden Gleichungen: .

_2_§_ x+

b. ) c.

)

2x-12

es"'=l

e**1

=

1

Aufgabe 3: Ein Darlehen über 200.000 € soll mit 8 % verzinst und durch 50.000 € jährlich getilgt werden. Wie lange dauert die Tilgung?

gleich hohe Annuitäten von

Aufgabe 4: Die Preissteigerungsrate betrage 8% pro Jahr. Nach wieviel Jahren hat sich das Preisniveau a.) verdoppelt? b.) vervierfacht?

Aufgabe 5: Bei einem Zinsniveau von 10% kauft ein Spekulant für 100.000 € Zero-Bonds mit 2Oj ähriger Laufzeit zum abgezinsten Kurs. Nach vier Jahren ist der Zinssatz auf 12% gestiegen. Welche effektive Jahresverzinsung seines eingesetzten Kapitals erzielt er beim Verkauf seiner ZeroBonds nach 4 Jahren zum gerechten Marktwert? Aufgabe 6: Eine Anleihe von 2.000.000 € soll mittels (jährlicher) Annuität zu 8% verzinst und innerhalb der nächsten 3 Jahre getilgt werden. a. ) Wie hoch ist die Annuität? b. ) Wieviel Zinsen werden insgesamt gezahlt?

Aufgabe 7: Berechne:

Aufgabe 8: Löse folgende Gleichungen: 16 a. ) e-"x' b. ) x'-10-x'+29 x-20 0, falls eine Lösung x, 1 bekannt ist. =

=

=

Anhang C:

Vermischte Aufgaben

199

Aufgabe 9: Eine Frau hat Anfang 19SS bei einer Bank 20.000 DM zum Jahreszinssatz von 6% angelegt. Seit 1980 hat sie begonnen, am Anfang eines jeden Jahres 8.000 DM abzuheben. Wie lange kann sie jedes Jahr diesen Betrag abheben, ohne ihr Konto zu überziehen?

Aufgabe 10: Eine Anleihe von 1.000.000 € soll mittels gleichbleibender (jährlicher) Annuität zu 11% verzinst und innerhalb der nächsten 4 Jahre getilgt werden. Wie gestaltet sich der Til-

gungsplan (Restschuld, Zinsen, Tilgung)? Aufgabe 11:

man sich als 30jähriger mit einer Lebenserwartung von 70 Jahren eine vorschussige Monatsrente von 1.000 € mit vereinbartem jährlichen Zuwachs von 3% und einem Jahreszins von 5,5% abfinden lassen? b. ) Sie wollen für die beste Vororüfung eines jeden Jahres einen Preis von 1.000 € nachschüssig aussetzen. Welches Kapital müssen Sie bei einem Jahreszins von 6% anlegen?

a.

) Mit welchem Kapital kann

Aufgabe 12: Jemand möchte von seinem 63. Geburtstag an 20 Jahre lang eine jährliche nachschüssige Rente in Höhe von 20.000 € ausbezahlt bekommen. Welchen Betrag muß er dafür 30 Jahre lang bis zu seinem 63. Geburtstag jährlich vorschüssig einzahlen? Sowohl in der Anspar- als auch in der Auszahlzeit werde das Konto jährlich mit 5,5% verzinst. Aufgabe 13: Vereinfache:

2a-l_4.2a-2 z"1-8 z" +16-2"-'

"

Aufgabe 14: Bestimme a.

) log,

x aus: x

=

2

•

logc

a+

-

logc b

b. )9-32"=3,+l c. ) xh" 10 =

Aufgabe 15: a.) Löse folgende Gleichung: 4-V3x + 4=2x

b.) Welche Summe besitzt die unendliche Reihe Aufgabe 16:

) Ein Sparer zahlt zum Ersten eines jeden Monats 100 € auf sein Konto ein. Zum Ende des Jahres werden die Zinsen anteilsmäßig mit 3% pro Jahr gutgeschrieben. Wie lautet der Kontostand nach 10 Jahren? b. ) Nach wieviel Jahren verdoppelt sich ein Kapital, falls die Verzinsung vierteljährlich mit a.

1,5% erfolgt?

) Die landwirtschaftliche Nutzfläche in der Sahel-Zone verringert sich jährlich um etwa 3,5%. Wieviel Prozent der heutigen Nutzfläche wird in 12 Jahren noch vorhanden sein?

c.

200

Anhang C:

Vermischte Aufgaben

Aufgabe 17:

Ein Bankkunde benötigt für den Kauf eines Autos einen kvtrzfristigen Kredit über genau 40.000 €. Er akzeptiert folgende Konditionen: Laufzeit zwei Jahre, Rückzahlung in zwei gleichen Annuitäten zum jeweiligen Jahresende, Jahreszins von 6,5% bei 95%iger

Auszahlung. a. ) Wie hoch sind die beiden Annuitäten? b. ) Welchen Effektivzins (Marktzins) zahlt er? Aufgabe 18: Löse folgende

Gleichung: 2

i,r-i

10=i^-oJAufgabe 19: Ein Buchhändler verkauft ein Lehrbuch der Finanzmathematik zum Ladenpreis von 36 €. Sein Aufschlag in Prozent hat den gleichen Zahlenwert wie der Einkaufspreis in €. Wie hoch ist der Einkaufspreis?

Aufgabe 20: Löse

folgende Gleichung nach x auf:

(x-+0*

a=x

Aufgabe 21: Jemand legt 1.000.000 € zu 6% zinseszinslich an. a. ) Es werden monatlich nachschüssig 8.000 € abgehoben. Wie hoch ist der Kontostand nach 8 Jahren und zwei Monaten? b. ) Es werden jährlich nachschüssig 100.000 € abgehoben. Nach wieviel (vollen) Jahren ist erstmals der Kontostand unter 500.000 € gesunken? Aufgabe 22: a. ) Eine Festgeldanlage wird monatlich verzinst. Der effektive Jahreszins beträgt 6%. Berechne die Jahreszinsen, die die Bank gewährt. b. ) Ein Kapital werde im ersten Jahr zu 4%, im zweiten Jahr zu 8% und im dritten Jahr zu 12% verzinst. Berechne die durchschnittliche Verzinsung pro Jahr. c. ) Das Sozialprodukt y eines Landes steigt jährlich um 1,5%, während die Bevölkerung B jährlich um 2,5% zunimmt. Berechne die Wachstumsrate des Pro-Kopf-Einkommens y/B.

Aufgabe 23:

legt 500.000 € zu 8% Jahreszinsen an. Am Ende des ersten Jahres werden 50.000 € abgehoben. Auf Grund der Teuerung wird damit gerechnet, daß der Betrag jährlich um 5% erhöht werden muß. Nach wieviel Jahren ist das angelegte Kapital aufgebraucht?

Jemand

Aufgabe 24: a. ) Wieviel muß am Ende eines jeden Monats gespart werden, um bei 5%iger Verzinsung in 5 Jahren ein Kapital von 20.000 € anzusparen? b. ) Am 1.1.2005 wurde ein Sparkonto mit einer Einzahlung von 1.000 € eröffnet. Das Guthaben wird vierteljährlich mit 1% verzinst. Wie hoch ist das Guthaben am 1.1.2015,

Anhang C:

Vermischte Aufgaben

201

wenn:

a.) alle Zinsgutschriften auf dem Konto bleiben? ß .) an jedem Jahresende 5% des verzinsten Kapitals abgehoben werden? Aufgabe 25: Vereinfache:

(2-x + 3-v)2 +(2y-3s)2 (2u + 3v)2 +(2v-3u)2 Aufgabe 26:

) Ein Kapital von 10.000 € wird 6 Jahre zu 5%, anschließend 7 Jahre zu 10% verzinst. Wie hoch ist die durchschnittliche jährliche Verzinsung? b. ) In wieviel Jahren wachsen 3.000 € auf 15.000 €, falls die Verzinsung vierteljährlich mit 2% erfolgt? c. ) Zwischen 1960 und 1993 hat sich der Schadstoffgehalt eines Sees vertausendfacht. In den darauf folgenden 5 Jahren ist er um 14% zurückgegangen. Um wieviel Prozent ist der Schadstoffgehalt seit 1960 angestiegen? a.

Aufgabe 27: Ein PC kostet bei Barzahlung 6.000 €. Bei Ratenzahlung, die einen Monat nach Kauf beginnt, sind 1.000 € sofort als Anzahlung und dann 24 Monatsraten zu je 240 € zu entrichten. Berechne den effektiven Jahreszins, falls jährliche Zinsperioden unterstellt werden. Aufgabe 28: Nach 18 Jahren beträgt die Restschuld eines Annuitätenkredits, der zu 8% verzinst wird und eine Gesamtlaufzeit von 20 Jahren hat, noch 18.163 €. a. ) Erstelle den Tilgungsplan der letzten 2 Jahre. b.) Wie hoch sind die insgesamt für den Kredit zu zahlenden Zinsen? Aufgabe 29: Bei einem Marktzinsniveau von 8% werden folgende Wertpapiere angeboten: a. ) 5%-Anleihe mit einer Restlaufzeit von 12 Jahren (Rückzahlungskurs 100%). b. ) 7%-Anleihe mit einer Restlaufzeit von 4 Jahren (Rückzahlungskurs 100%). c. ) Zero-Bond mit einer Restlaufzeit von 7 Jahren (Rückzahlungskurs 105%). Berechne die prozentuale Kursänderung, falls das Zinsniveau um einen Prozentpunkt die Berechnung soll sowohl exakt als auch unter Verwendung der Duration erfolgen.

steigt;

Aufgabe 30: Eine Maschine, die 360.000 € kostet, soll durch einen Kredit finanziert werden. Die Hausbank bietet einen Kredit, der in gleich hohen jährlichen Tilgungsraten zurückzuzahlen ist, mit folgenden Konditionen an: Zins p.a.

Auszahlung Laufzeit

) Wie hoch ist die Annuität im 2. Jahr? b. ) Wie hoch ist der Effektivzins? c. ) Wie hoch sind die Gesamtaufwendungen? a.

8% 90% 4 Jahre.

202

Anhang C:

Vermischte Aufgaben

Aufgabe 31: Der Anschaffungswert einer Maschine betragt 100.000 €. Die Nutzungsdauer wird auf 6 Jahre veranschlagt. Der Restverkaufserlös ist Null. Erstellen Sie den Abschreibungsplan bei

degressiver Abschreibung mit Übergang zur linearen Abschreibung im optimalen Zeitpunkt, falls der degressive Abschreibungssatz 25% beträgt.

Aufgabe 32: a. ) Jemand spart 1.000 € jährlich nachschüssig 10 Jahre lang. Danach kann

aus

dem

an-

gesammelten Kapital jährlich eine ewige nachschüssige Rente von 1.000 € gezahlt werden. Wie hoch ist der für beide Rentenzahlungen gleiche Zinsfuß? b. ) Sie wollen alle zwei Jahre einen Preis von 10.000 € (nachschüssig) für außerordentliche Leistungen auf dem Gebiet der Finanzmathematik aussetzen. Welches Kapital müssen Sie

bei einem Jahreszins von 6% bereitstellen? ) Zwischen 1950 und 1986 hat sich der Gewinn eines Unternehmens verhundertfacht. In den darauf folgenden 5 Jahren ist er um 14% zurückgegangen. Berechne die durchschnittliche jährliche Wachstumsrate zwischen 1950 und 1991.

c.

Aufgabe 33: Ein Kredit über 1.000 € mit einer Laufzeit von 12 Monaten wird gewährt. Der Effektivzins beträgt 20%. Welche nachschüssige Monatsrate ergibt sich bei einer jährlichen Verzinsung?

Aufgabe 34: Harald R. ist 30 Jahre alt; sein jetziges Jahreseinkommen beträgt 60.000 €. Er geht davon aus, daß sein Einkommen bis zu seinem 60. Geburtstag jährlich um 5% steigt. a. ) Harald R. spart 5% seines Einkommens jährlich nachschüssig. Wie hoch ist sein Sparguthaben an seinem 60. Geburtstag, falls sich das angesparte Kapital jährlich mit 8% verzinst? b. ) Nach seiner Pensionierung (an seinem 60. Geburtstag) möchte er das angesparte Guthaben verbrauchen. Er plant, monatlich nachschüssig 5.000 € auszugeben. Nach wieviel Jahren ist das Geld aufgebraucht, falls die Verzinsung jährlich mit 8% erfolgt?

Aufgabe 35: Vereinfache: 1 1

(x + y)(x-y)

x2 +y2 Aufgabe 36: Berechne für q > 1: Km

„.£-77 q m

=

Anhang C:

Vermischte Aufgaben

203

Aufgabe 37: Berechne:

b.)£50+5k S 1,1" Aufgabe 38: Eine Anleihe mit einer Nominalverzinsung von 5% wird zu einem Kurs von 95% erworben und nach 6 Jahren zu einem Kurs von 100% zurückgegeben. Wie hoch ist die Rendite?

Aufgabe 39: Eine AG nimmt einen Kredit über 10 Millionen € auf, der in zehn Jahren mit gleichbleibenden vierteljährlichen Tilgungsraten zu tilgen ist. Der Vierteljahreszins beträgt 2,5%. a. ) Wie hoch ist der effektive Jahreszinssatz? b. ) Berechnen Sie ba. ) die Restschuld nach 8 V* Jahren. bb. ) die Zinsen in der zweiten Hälfte des siebten Jahres. bc. ) die insgesamt zu zahlenden Zinsen.

Aufgabe 40:

ständige Wegebaulast von jährlich 1.000 € vorschüssig mit einem alle sechs Jahre fälligen Instandhaltungsbetrag von 2.000 € soll abgelöst werden. Der nächste Instandhaltungsbetrag fällt in zwei Jahren an. Wie hoch ist die Ablösesumme bei einem Zinssatz von Eine

5%?

Aufgabe 41: Ein Kapital von 10.000 € wächst in eineinhalb Jahren auf 10.762,50 € Zinssatz bei gemischter Verzinsung?

an.

Wie hoch ist der

Aufgabe 42: Ein Darlehen habe eine Laufzeit von acht Jahren; die Annuität sei vierteljährlich fällig. Der Nominalzinsfuß beträgt vierteljährlich 2% und der Marktzinsfuß vierteljährlich 1,5%. Berechnen Sie den Auszahlungskurs. Aufgabe 43: Es wird ein Kredit über 10.000 € aufgenommen. Die Halbjahresraten von jeweils 4.000 €. Wie hoch ist die Effektiwerzinsung bei a.

Rückzahlungen erfolgen

in drei

) halbjährlicher Zinsverrechnungsperiode?

b. ) jährlicher Zinsverrechnungsperiode?

Aufgabe 44: Das Land A erwirtschaftet 30% des Bruttosozialproduktes des Landes B, dessen Bruttosozialproduktjährlich um 3% wächst. a. ) Wie hoch muß die jährliche Wachstumsrate des Bruttosozialproduktes von A sein, um B in 7 Jahren wirtschaftlich einzuholen? b. ) Das Bruttosozialprodukt von A steige jährlich um 6%. Nach wieviel Jahren sind die Bruttosozialprodukte in den beiden Ländern gleich hoch?

Anhang C:

204

Vermischte Aufgaben

Aufgabe 45: Einem Tankstellenbesitzer wird eine Autowaschanlage zum Preis von 100.000 € angeboten. Es wird jährlich mit einem Oberschuß von 20.000 € (nachschüssig) gerechnet. Nach Ablauf der Nutzungsdauer von 10 Jahren kann für die Anlage noch ein Schrottwert von 10.000 € erzielt werden. Bei welchem Zinsfuß p lohnt sich die Investition gerade noch?

Aufgabe 46: Um welchen Prozentsatz muß eine jährliche vorschüssige Sparrate von anfänglich 1.000 € pro Jahr steigen, damit man nach zehn Jahren ein Kapital von 20.000 € besitzt, falls der Zinsfuß 7% beträgt?

Aufgabe 47: Ein Darlehen mit einer Laufzeit von acht Jahren soll halbjährlich mit konstanter Tilgungsrate getilgt werden. Der Nominalzinsfuß beträgt halbjährlich 3% und der Marktzinsfuß halbjährlich 4%. Berechnen Sie den Auszahlungskurs.

Aufgabe 48: Ein Kredit über 980 € wird aufgenommen. Die schüssigen Monatsraten von jeweils 250 €. Wie hoch ist die Effektivverzinsung bei a. ) Anwendung der Uniformmethode? b. ) monatlicher Zinsverrechnungsperiode? c.

Rückzahlungen erfolgen

in vier nach-

) jährlicher Zinsverrechnungsperiode?

Aufgabe 49: Ein Sparer spart vierteljährlich nachschüssig 500 € bei einer jährlichen Verzinsung von 6%. Wie groß ist sein Guthaben nach fünf Jahren und fünf Monaten und zwanzig Tagen? Aufgabe 50: Sie wollen alle drei Jahre für die beste Klausur in Wirtschaftsmathematik einen Preis von 1.000 € aussetzen. Welches Kapital müssen Sie bei einem Jahreszins von 6% anlegen, falls der Preis nachschüssig a. ) ewig vergeben wird? b. ) nur fünfmal vergeben wird?

Aufgabe 51: Eine Anleihe mit einer NominalVerzinsung worben und nach 6 Jahren Rendite?

zu

einem Kurs

von von

8% wird zu einem Kurs von 104,6% er92,66% zurückgegeben. Wie hoch ist die

Aufgabe 52: Eine AG nimmt einen Kredit Uber 10 Millionen € auf, der in elf Jahren mit gleichbleibenden vierteljährlichen Annuitäten zu tilgen ist. Der Vierteljahreszins beträgt 2%. a. ) Berechnen Sie die Restschuld nach 5 V« Jahren. b. ) Wieviel Zinsen müssen in der ersten Hälfte des siebten Jahres gezahlt werden?

Anhang C:

Vermischte Aufgaben

205

Aufgabe 53: Für den Kaufeines Autos, welches 51.161 € kostet, wird ein Sparvertrag zu 6% Jahreszinsen abgeschlossen. Die vorschüssige jährliche Anfangsrate von 5.000 € soll jährlich um 5% steigen. Nach wieviel Jahren hat der Sparer die 51.161 € angespart? Aufgabe 54: Jemand spart vierteljährlich nachschüssig 500 € bei einer jährlichen Verzinsung von 6%. Wie groß ist sein Guthaben nach a. ) 3 Vi Jahren? b. ) sieben Jahren, fünf Monaten und zehn Tagen?

Aufgabe 55: Ein Versicherungsbeitrag über 1.000 €, der

am Anfang eines Jahres fällig ist, kann in Bei vierteljährlicher Zahlungsweise bebezahlt werden. nachschüssigen Vierteljahresraten rechnet die Versicherung einen Aufschlag von 5%. Welcher Effektiwerzinsung entspricht dieser Aufschlag bei a.

) vierteljährlicher Zinsverrechnungsperiode?

b. ) jährlicher Zinsverrechnungsperiode?

Aufgabe 56: Vereinfache:

Aufgabe 57: Eine Hochschule, die 1980 8.600 Studierende hatte, nahm bis 1990 um ebensoviel Prozent zu, wie sie durch den Geburtenrückgang bis 1995 verlor. Um wieviel Prozent hat die Zahl der Studierenden von 1980 bis 1990 zugenommen, wenn 1995 8.514 Studierende immatrikuliert waren?

Aufgabe 58: In eine private Rentenversicherung werden einmalig 110.000 € eingezahlt. Die voraussichtliche Verzinsung des eingesetzten Kapitals beträgt 7,8% jährlich. Nach 14 Jahren wird aus dem verzinsten Kapital eine nachschüssige Monatsrente von 2687 € bis zum Alter (60+x) Jahre des Versicherungsnehmers gezahlt. Mit welchem x (Laufzeit der Rente) kalkuliert die

Versicherung? Aufgabe 59: Ein Versicherungsnehmer einer Lebensversicherung hat die Wahl zwischen einer nachschüssigen dynamischen Monatsrente von 2.025 €, die sich jährlich um 3,75% erhöht, und einer nachschüssigen Monatsrente von 2.718 € in konstanter Höhe. Beide Renten werden bis zum Tode des Versicherungsnehmers gezahlt. Der Zinsfuß beträgt 3,75 %. a. ) Nach wieviel Jahren ist die dynamische Rente zum ersten Male höher als die konstante? b. ) Bei welcher Laufzeit sind beide Renten gleich vorteilhaft? Aufgabe 60: Eine Schuld von 50.000 € soll innerhalb von 30 Jahren mit gleichbleibenden jährlichen Annuitäten getilgt werden. Berechne bei einem Zinsfuß von 10% die Summe aller Tilgungen bis einschließlich des 18. Jahres.

Anhang C:

206

Vermischte Aufgaben

Aufgabe 61: Ein Annuitätendarlehen über 300.000 € (bei monatlicher Tilgung) wurde Ende 2002 zu einem Zinssatz von 9% bei einer Bank aufgenommen. Die Laufzeit (Zinsbindungsdauer) betrug 8 Jahre. Weil 4 Jahre später das Zinsniveau auf 7% gesunken ist, möchte der Darlehensnehmer die Restschuld vorzeitig zurückzahlen. Wie hoch ist die finanzmathematische

Vorfälligkeitsentschädigung ohne Berücksichtigung von Kreditbearbeitungskosten? Aufgabe 62: Löse folgende Gleichung nach y auf: x

=

-iln(l-v)

Aufgabe 63: Ein Vater möchte seinen fünf Söhnen Hunerich, Gunthamund, Thrasamund, Hilderich und Gelinter zum 18. Geburtstag jeweils 40.000 € schenken. Himerich wird in genau drei Jahren, Gunthamund in genau fünf Jahren und Thrasamund in genau sechs Jahren 18 Jahre alt Seine Zwillingssöhne Hilderich und Gelimer sind genau zehn Jahre alt. Der Vater beschließt daher, ab sofort einen festen Betrag monatlich nachschüssig auf ein neu anzulegendes Sparbuch mit einer Verzinsung von 5% p.a. einzuzahlen. a. ) Wie hoch ist die erforderliche monatliche Sparrate, wenn der Kontostand nach der letzten Auszahlung 0,- € betragen soll? b. ) Wie hoch ist der Kontostand nach sechs Jahren nach Abzug des Geburtstagsgeschenkes fur Thrasamund? Aufgabe 64: Berechne: 100

a.)

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